Aritmética 1 Secundaria (publicaciones Dominguinas)

ARITMÉTICA - SECUNDARIA

T I R

A

É M

A C I T

MATERIAL EDUCATIVO PARA EL ALUMNO

“Lo que sabemos es una gota de agua; lo que ignoramos es el océano” “Isaac Newton”

Aritmética I - SECUNDARIA

INDICE ARITMÉTICA I CAPITULO

TEMAS

PAGINA

1

TEORÍA DE CONJUNTOS

09

2

SISTEMA DE NUMERACIÓN

21

3

CUATRO OPERACIONES

29

4

DIVISIBILIDAD

37

5

NÚMEROS PRIMOS

47

6

MCD - MCM

55

7

NÚMEROS RACIONALES

63

8

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

74

9

RAZONES Y PROPORCIONES

83

10

MAGNITUDES Y PROPORCIONES

91

11

ESTADISTICA

101

Página 06

Aritmé tica I SECUNDARIA I.

-



MAPA CONCEPTUAL

TEORÍA DE CONJUNTOS Nulo o vacío Finitos Unitario Conjuntos

Numerable Infinitos Innumerable

I.

MAPA CONCEPTUAL Unión ® A È B = {x/x Î A ó x Î B} Intersección ® A Ç B = {x/x Î A y x Î B} Diferencia

Operaciones entre conjuntos

® A - B = {x/x Î A y x Ï B} Complemento ® B’ = {x/x Î A y x Ï B} ó B’ = {x/x Ï B} Diferencia Simétrica ® A D B = {x/x Î (A - B) È (B -A)



Pá gina 8

Aritmé tica I - SECUNDARIA

TEORÍA DE CONJUNTOS SITUACIÓN INICIAL En el campo deportivo SANTA MARIA, hay cierta cantidad de alumnos que hemos de determinar. Se sabe que cada uno de los alumnos presentes en en el campo deportivo practican al menos uno de los tres deportes siguientes: natación, futbol y karate. De manera sucesiva se solicita que se sirvan levantar la mano los que practican a) b) c) d)

Natación y lo hacen 56 Futbol y lo hacen 64 Karate y lo hacen 40 Natación y futbol y lo hacen 36

e) Natación y karate y lo hacen 24 f) Futbol y karate y lo hacen 20 g) Los tres deportes y lo hacen 16

Se pregunta 1. ¿Cuántos alumnos hay en el campo deportivo? 2. ¿Cuántos practican nada más que karate?

ü NOCIÓN DE CONJUNTO CONJUNTO.- Concepto primitivo que no tiene defini-ción pero que nos da la idea de agrupación de objetos a los cuales llamaremos elemento de conjunto. Los con-juntos se denotan con letras mayúsculas: A; B; C; ... ; mientras que los elementos del conjunto se denotan con letras minúsculas a; b; c; etc.

ü RELACIÓN DE PERTENENCIA Si un objeto es elemento del conjunto, se dirá que pertenece (Î ) al conjunto, en caso contrario, se dirá que no pertenece (Ï ) a dicho conjunto.

Ejemplo:

A = {3 ; 9 ; 16 ; 25} 3ÎA ; 10ÏA

ü CARDINAL DE UN CONJUNTO

Es la cantidad de elementos de un conjunto A y se denota: n(A) Así en el ejemplo anterior: n(A) = 4

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO

a. Por extensión o en forma tabular Es cuando se indican los elementos del conjunto. A = {* ; l ; # ; ... ; u } b. Por comprensión o forma constructiva Es cuando se indica alguna característica particular y común a sus elementos. A = {f(x) / x cumple alguna condición}



CAPÍTULO 1

ü DIAGRAMA DE VENN - EULER

Son figuras geométricas planas cerradas que se utilizan para representar gráficamente a los conjuntos.

ü RELACIONES ENTRE CONJUNTOS Inclusión (Ì฀) Se dice que un conjunto A está incluido en B; si todos los elementos de A, están en el A Ì BÛ " xÎ AÞ xÎB * A es subconjunto de B * B incluye a A (B É A)

A

B

x

Igualdad Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos. Es decir: A = B Û ฀A Ì B Ù ฀ B Ì A CLASES DE CONJUNTOS CONJUNTO VACÍO Es aquel conjunto que NO tiene elementos. También se le llama nulo y se denota por: f o { }

INDICADORES DE LOGRO: 1. Formula ejemplos sobre determinación de conjuntos diferenciándolos 2 .Realiza correctamente operaciones entre conjuntos 3. Iden fica las propiedades de las operaciones con conjuntos resolviendo y graficando ejercicios.

Averigüemos acerca de la Aritmética: https://www.youtube.com/watch?v= b7qcTe7CFeY&spfreload=10

CONJUNTO UNITARIO Es aquel conjunto que tiene un solo https://www.youtube.com/watch?v= elemento. También se le llama Singletón. YVfw1Bf0e0U CONJUNTO UNIVERSAL Es un conjunto universal que se toma como base para el estudio de otros Ejercicios resueltos de conjuntos contenidos y que se denota aritmética en video: por: “U”. https://www.youtube.com/watch?v= fQueEftduFA CONJUNTO POTENCIA Es aquel conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos del conjunto A y se denota por P(A). Ejemplo: A = {2;8} P(A) = { f; {2}; {8}; {2;8} } OBSERVACIÓN

La cantidad de subconjuntos de un n(A) conjunto A es igual a 2 . Ejemplo : A = {5; 7; 9}; n(A) = 3 Entonces hay : 23 = 8 subconjuntos que son: { f; {5}; {7}; {9}; {5;7}; {5;9}; {7;9} y {5;7;9} } CONJUNTOS DISJUNTOS Cuando no tienen elementos comunes.

A

2

7

5

8

Averigüemos acerca de la teoria de conjuntos: https://www.youtube.com/watch?v= DcrNJczhfZs https://www.youtube.com/watch?v= DcrNJczhfZs

B

Pá gina 9

Aritmética I - SECUNDARIA

CONJUNTOS COMPARABLES Cuando uno de ellos está incluido en el otro.

INTERSECCIÓN: (Ç)

A B

A

CONJUNTOS EQUIVALENTES Cuando tiene la misma cantidad de elementos. A es equivalente a B. Entonces: n(A) = n(B)

1.3.2. DIFERENCIA: ( – )

CONJUNTO PRODUCTO También llamado Cartesiano. A x B = {(a ; b) / a ÎA Ù b Î B} Par ordenado Ejemplo: A = {1; 3; 5} ; B = {7; 11} A x B = {(1;7); (1;11); (3;11); (3;7); (5;7); (5;11)}

A

DIFERENCIA SIMÉTRICA: (D) A D B = {x / xÎ(A È B) Ù x Ï (A Ç B)}

Conjunto de los números enteros (Z) Z = {...; -2; -1; 0; 1; 2; ...}

A

Conjunto de los números racionales (Q)

Conjunto de los números irracionales (I) Son aquellos que tienen una representación decimal infinita no periódica y no pueden ser expresados como el cociente de dos números enteros.

B

1.3.3. COMPLEMENTO: (AC; A')

Conjunto de los números racionales (R) Es la reunión de los racionales con los irracionales. R=QÈI Conjuntos de los números complejos (C)

B

OBSERVACIÓN: A – B también se denota: A \ B

CONJUNTOS NUMÉRICOS Conjunto de los números naturales (N) N = {0; 1; 2; 3; ......}

B

A

U

1.3. OPERACIONES CON CONJUNTOS A È B = {x / x Î A Ú x Î B}

A

B

OBSERVACIÓN El complemento de A, se puede realizar respecto a cualquier conjunto, tal que A Ì B y se denota:

CAB = B - A Se lee: Complemento de A respecto a B.



Página 10

Aritmética I - SECUNDARIA

1.4. PROPIEDADES Y LEYES 1. Leyes distributivas de unión e intersección: A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C) A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C) 2. Leyes de Morgan: (A È B)' = A' Ç B' (A Ç B)' = A' È B' 3. A D B = (A È B) – (A Ç B) A D B = (A – B) È (B – A) 4. n(A È B) = n(A) + n(B) - n(A Ç B) 5. n(A x B) = n(A) x n(B) 6. A – B = A Ç B' 7. A' – B' = B – A

n (A U B)=27

8. n[P(A) Ç P(B)] = n[P(A Ç B)] 9. n[P(A) È P(B)] = n[P(A)] + n[P(B)] - n[P(A) Ç P(B)] o también: n[P(A) È P(B) ] =

n(A) 2

n(A)

n(B) +

2

n(B)

n(A Ç B) -

2

n(AÇB)

10. A È f = A / A Ç f = f 11. A È U = U / A Ç U = A 12. (A')' = A 13. A ÈA' = U / A ÇA' = f 14. n(A È B È C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A Ç B) n(A Ç C) - n(B Ç C) + n(A Ç B Ç C) 15. Leyes de absorción: * A È (A Ç B) = A * A È (A' Ç B) = A È B

* A Ç (A È B) = A *A Ç (A' È฀ B) = A Ç B

ACTIVIDAD Anotar en el cuaderno aquellas actividades que den la idea de operaciones de conjuntos. Deben trabajar en grupos de 2,3, 4 para ampliar la vison del tema.

1. Se ha dado el siguiente conjunto unitario; ahora veamos cómo se desarrolla: A = {4a + 1 ; 3a + 4 ; 2b + 9} Hallar la suma de las cifras de (a + b) - 1



=800

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Aritmética I - SECUNDARIA

CONOZCAMOS MAS:

Diofanto de Alejandria (Siglo III) Matemático griego. Sus escritos contribuyeron de forma notable al perfeccionamiento de la notación algebraica y al desarrollo de los conocimientos del álgebra de su época. Mediante artificios de cálculo supo dar soluciones particulares a numerosos problemas, y estableció las bases para un posterior desarrollo de importantes cuestiones matemáticas. De su obra se conservan varios volúmenes de la Aritmética (libro de inspiración colectiva, pero redactado por un solo autor) y fragmentos de Porismas y Números poligonales. Nada sabemos acerca de la patria de este matemático griego y muy poco referente a su vida. Perteneció a la escuela alejandrina, nació hacia el 250 y murió a los ochenta y cuatro años. Una dedicatoria suya a cierto Dionisio, que se ha querido identificar con el coetáneo santo del mismo nombre, obispo de París, ha inducido a creerle cristiano.

1. 5.-Se ha encuestado a 80 personas sobre el consumo de gaseosas con los siguiente s resultados: 15 hombres toman gaseosa, entre los hombres que no toman gaseosa y las mujeres que toman gaseosa suman 50 y son 36 las mujeres encuestadas. ¿Cuántos de los encuestados no toman gaseosa? Si gaseosa

H M 15 21

No gaseosa

29 15

}

{

a)24

b) 36

c) 44 d) 50

e) 77

80 36 44 3.-Sean “A” y “B” conjuntos unitarios, tales que: A = { m + n ; 14 } B = { 4m – 3n; 21 }

44 36 6.-Dados los conjuntos A = {0; 2; 3; 4; 5 } B = {x/x ∈N;0 < X <9} C= {1; 3; 5; 7; 9 }

Hallar la suma de elementos de “Q” Q = {x 2 + 3x / x € N, n ≤ x ≤ m }

Hallar n [(A - B) UC] Solución;

a) 210 d) 360

B= { x/x ∈ N 0 < X < 9} B= {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7:8}

b) 260 e) 420

c) 320

Luego A-B = {0} (A-B)UC= {0;1; 3; 5; 7; 9 } ∴ n [(A - B) UC ]=6

BLOQUE

I

4. Dado el conjunto unitario “M” y “N”

1. Indicar verdadero ( V ) o falso ( F ) según corresponda, para el conjunto : S = {4; 7; {5}; 9 } I. II. III. IV.

n (S) = 4 5 ∈S {5}∈S {9}∈ S

a) VVFF e) VFFV



Dados los conjuntos

b) VFVF

c) FVFV

M = { p + q; 25 } ; N = { p – q; 5 }

Hallar: a)225

2

2

p +q

b) 325 c) 350 d)125 e) 100

d) FFVV

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Aritmé tica I SECUNDARIA

5.-Dados los conjuntos “R” y “Q” se cumple n[P (R) ] = 64 n[P (Q) ] = 512 n[P (R Q) ] = 16 Calcular: n [P (R U Q)] a)8 b)9 c)10 d)11 e) 12

-

8. Dado el conjunto: 3

N = {x + 2/x ∈ Z -1 ≤ x ≤ 3 }

¿Qué proposiciones son verdaderas? I. II. III.

n (N) = 4 “N” tiene 32 subconjuntos “N” tiene 63 subconjuntos propios





9.- Sean los conjuntos n [ P (A U B)] = 512

P = {4; 6; 3; 5; 8}

n [ P (A)] = 64 n [ P (B)] = 256

d) 2

Hallar: n ( A ∆ B) b) 3

c) 4 5

R = {4; 8; 9; 5; 6} (P – Q) U R e) 6

a)4

7. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene A? A = {x/x ∈ N, -2 x ≤ 6 } a)15 b) 31

Q = {3; 5; 7; 8; 9}

Hallar el número de elementos de:

c) 63 d) 128

b)5

c) 6

A = { a, b, c, d, e, f } C = { r,m,s,o,d,c} e) 127

d) 7

e) 8

10. Sean los conjuntos B = {m, n, a, p, q}

Hallar el número de elementos de : (B – C) a)1

b)2

U

6. Si

A c) 3

d)4

e) 8

Pá gina 13

BLOQUE

Aritmé tica I - SECUNDARIA

II

1. Dados los conjuntos “P” y “Q”, se sabe : n ( P ) = 40 n ( Q ) = 28 n ( P U Q ) = 58 Hallar: n ( P ∩ Q)

a) 7

b) 8

4. Diego en el año 2016. Durante el mes de de febrero, en horas de la tarde, se dirige a jugar fulbito, se sabe que 18 días lleva un balón de fulbito y 20 días lleva su tomatodo ¿Cuántas tardes llevo Diego ambas cosas? a) 6

c)10

d) 12

b) 7

c)8

d) 9

e) 10

e) 13

El italiano Peano, dicta un conjunto de axiomas que define el conjunto de los números N (1857 - 1932)

DIAGRAM A LINEAL Se utiliza para conjuntos comparables, es decir, para aquellos que cumple: A Ì B Ejm.:

2. Se tiene los conjuntos M y N y se sabe : n ( M U N ) = 72 n ( M - N ) = 24 n ( M ) = 36 Hallar: n ( M D N ) a) 52

b) 60

c)64

d) 70

e) 8

5. De 180 alumnos universitarios que se encuentran en el patio de la UNIVERSIDAD SANTO DOMINGO DE GUZMAN, se sabe que :

a) 1

b) 2



c)3

d) 4

e) 5

Su diagrama sería: C A

B

72 estudian MATEMÁTICA

60 estudian ESTADÍSTICA 64 estudian ECONOMÍA 20 estudian MATEMÁTICA y ESTADÍSTICA 240 estudian ESTADÍSTICA Y ECONOMIA 18 estudian sólo ECONOMÍA 10 estudian los tres cursos

¿Cuántos alumnos estudian sólo cursos? a)36 b) 24 c)32 d)46 e) 48

3. Durante el mes de Enero. Jorge salió a la playa con Lucia y Maritza. Si 13 días salió con Lucia y 22 días con Maritza Cuantos días salió con las dos juntas?.

A = {1; 2; 3} B = {4; 5; 6} C = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

dos

EL NÚMERO CERO La invención del 0 se debe a los hindúes en el siglo IX fueron los árabes los que lo introdujeron en Europa. Al parecer, el primer matemático importante que hizo uso del signo 0 fue el árabe Muhammad Ibn Al – Khwarizmi, en el 810 de nuestra era, aunque no adquirió su actual significado hasta el siglo XVII.

Pá gina 14

Aritmé tica I SECUNDARIA

6.-En un salón de 43 alumnos rindieron los exámenes de aritmética, algebra y geometría, se obtuvo los siguientes resultados

-

-

18 alumnos aprobaron aritmética



20 alumnos aprobaron Algebra

8 alumnos aprobaron Algebra y geometría solamente 12 alumnos aprobaron algebra pero no aritmética El 97% de agua está en los mares, el 3% es agua dulce. De este 3% el 97% e stá en los polos congelada, el 2% esta en las corrientes subterráneas y el 1% es la que tenemos acceso. De este 1%, el 57% esta en lagos, el 38% pertenece a la humedad del medio el 8% es vapor, el 1% esta en organismos vivos y el 1% esta en los ríos. Esto nos deja 0,02% de agua para toda la humanidad.

-

8 alumnos aprobaron aritmética y algebra

-6

alumnos aprobaron los 3 exámenes

7 alumnos no aprobaron ningún examen ¿Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera? I. 9 alumnos aprobaron exactamente dos cursos 16 alumnos aprobaron geometría II. 14 alumnos aprobaron geometría pero III. no aritmética b) Sólo II c) Solo III a) Sólo I d) I y II

a) 8

b) 9

c) 10

d) 11

e) 12

e) I y III

DIAGRAMA DE CARROLL:

Diagrama de Carroll: Se usa generalmente para representar conjuntos disjuntos.

9. De 80 alumnos se sabe que 44 no escuchan cumbia, 40 no escuchan música criolla y 16 no escuchan cumbia ni música criolla, ¿Qué porcentaje de alumnos escuchan cumbia y música criolla?

Ejm.: Para 2 conjuntos Disjuntos A y B A

8. De un salón de 60 alumnos, cuando todos salieron al receso, se pudo observar que 32 compraron empanadas; 28 frugos y 10 no compraron ni empanadas ni frugos. ¿Cuántos alumnos compraron empanadas y frugos ?

B

a) 12% d) 18%

A ® Puede representar a los mujeres B ® Puede representar a los hombres A ® Puede representar capitalinos B ® Puede representar provincianos

c) 15%

7.- De 120 personas que viajaron al extranjero, se sabe que 47 viajaron a Colombia, 37 a Brasil y 34 a Ecuador. Si 18 viajaron a Brasil y Colombia y 9 de ellos viajaron también a Ecuador, 22 viajaron sólo a Colombia y 15 viajaron sólo a Ecuador, ¿Cuántos viajaron a otros países? a) 32 b) 35



b) 14% e) 21%

c) 39

d) 40

e) 44

Pá gina 15

Aritmé tica I - SECUNDARIA

10. En un salón de clases de la Universidad 2. En una fiesta, hay tres mujeres por cada de ingeniería hay 70 alumnos de los cuales 5 asistentes. Si la cuarta parte de las 35 son hombres , 44 son mayores de mujeres no tienen celular y la tercera edad y 15 mujeres son menores de edad parte de los hombres sí, ¿Cuántas ¿Cuántos hombres no son mayores de edad? personas asistieron a la fiesta? Considere que 75 personas no tiene a) 10 b) 11 c) 12 d) 24 e) 20 celulares a) 220 b) 130 c) 168 d) 180 e) 156

42 dientes ene un perro, mientras que el hombre 32. 50 veces su propio peso es lo que puede levantar una hormiga.

III

BLOQUE

1. De un conjunto de alumnos, la cuarta parte decide ir al Museo de Historia y de estos la cuarta parte también asisten a jugar futbol. De los que no van al Museo de Historia, la tercera parte no va a jugar futbol. ¿Cuántos fueron a jugar futbol, si los alumnos son mayores de 40, pero menores que 60? a)64 b) 67

c) 65

d)52 e) 54

3. En una capacitación del personal docente,

de 100 personas, hay diez docentes varones provincianos, hay 40 docentes mujeres limeñas, el número de docentes mujeres provincianas excede en 10 al número de docentes varones limeños ¿Cuántos docentes varones asisten a la capacitación?

El matemá co alemán Frege u liza los conceptos propios de la Teoría de conjuntos cantoriana, para definir el número natural como un cardinal de un conjunto. (1848 -1925)

Averigüemos acerca de numeración: https://www.youtube.com/watch?v= lew7EK4Kuco https://www.youtube.com/watch?v= gdYESD57WsM https://www.youtube.com/watch?v= xtEOLtgYmPw https://www.youtube.com/watch?v= 7y1oI2sQSRk



Pá gina 16

Aritmé tica I - SECUNDARIA

4. Una empresa de transporte de mototaxi, dispone de cierto número de motos, de los cuales 6 se encuentran en reparación. Se sabe lo siguiente : * 40 circulan en las mañanas

1. Si A U B = {3; 4; 5 ; 6 ; 10 ; 12 } A B = {5 ; 10 ; 12 } Hallar; n ( A B ) = {3 ; 4 ; 6 }

* 35 en las tardes

U

en las noches * 18 en las mañanas y tardes

a) 5

* 12 en las tardes y noches * 15 en las mañanas y noches ¿Cuántos son en total, si además se conoce que 4 trabajan todo el día (mañana, tarde y noche ) ? a) 60

b) 55

c) 66

TAREA # 1

d) 68

b) 4

d) 2

c) 3

e)6

2. Si : n (Q ) = 7 y n ( R ) = 5, ¿Cuál es el máximo número de subconjuntos que puede tener “Q ∩ R”? a) 256 d) 32

e) 70

b) 128 e) 16

c) 64

3. De un total de 28 alumnos se sabe que 18 practican aritmética y 16 practican álgebra ¿ Cuantos practican ambos cursos? a) 2

b) 4

c) 6

d) 8

e) 10

4. De un grupo de 220 deportistas se sabe que 150 son extranjeros y 120 hacen pesas. Si 35 deportistas son peruanos y hacen pesas ¿Cuántos deportistas extranjeros no hacen pesas? a) 40 d) 65 5.

En cierta facultad de ciencias administrativas de una universidad, se requiere que todos los alumnos del ultimo ciclo cursen matemáticas, contabilidad y economía. Si se sabe que de 720 de estos alumnos, 400 cursen matemáticas, 300 contabilidad y matemáticas 90 contabilidad y matemáticas y 60 contabilidad y economía ¿ Cuantos cursan los tres cursos?. a) 80

b) 100

c) 110

d)120

e) 160

b) 55 e) 70

5. Dado los conjuntos “A” y “B” se cumple: n( A U B ) = 40 n ( A – B ) = 15 n ( B – A ) = 10 Hallar : n ( A ) + n ( B ) a) 55 d) 70



c) 60

b) 60 e) 75

c) 65

Pá gina 17

Aritmética I - SECUNDARIA

PREGUNTAS DE CONCURSOS Y EXAMEN DE ADMISIÓN

1. Sea el conjunto P = {x N / 110 ≤ x ≤ 140; x primo} Calcule el número de elementos de P a) 7 b) 4 c) 6 d) 8 e) 5 (UNMSM) 2. En un aula de un total de 68 personas, 25 practican básquet, 48 futbol y 30 voley; si 6 personas practican los 3 deportes. ¿Cuántos practican un solo deporte? a)38

b) 39

e) 41

e) 42

c) 40

3. Calcule la suma de los valores enteros positivos de n, de modo que n + 26 resulte un valor entero n+2 a) 20 d) 43

b) 32 e) 45

c) 22

5. En un departamento de control de calidad de un producto se consideran tres defectos A, B y C como los más importantes. Se analizaron 200 productos con el siguiente resultado :

65 productos poseen el defecto A 63 productos poseen el defecto B 82 productos poseen el defecto C 40 productos poseen exactamente dos defectos 10 productos poseen exactamente tres defectos ¿Cuántos productos no poseen ningún defecto? a) 100 d) 150

b) 50 e) 60

c) 190 ( UNI )

(CONAMAT) 4. Carlos debe almorzar pollo o pescado (o ambos) en su almuerzo cada día del mes de marzo. Si en su almuerzo durante 20 días hubo pollo y durante 25 días hubo pescado, entonces el número de días que almorzó pollo y pescado es : a) 18 d) 14

b) 16 e) 13

c) 15

( UNI )



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Aritmé tica I - SECUNDARIA

GEORG FERDINAND CANTOR

(San Petersburgo, 1845 - Halle, Alemania, 1918) Matemático alemán de origen ruso. El joven Cantor permaneció en Rusia junto a su familia durante once años, hasta que la delicada salud de su padre les obligó a trasladarse a Alemania. En 1862 ingresó en la Universidad de Zurich, pero tras la muerte de su padre, un año después, se trasladó a la Universidad de Berlín, donde estudió matemáticas, física y filosofía. Se doctoró en 1867 y empezó a trabajar como profesor adjunto en la Universidad de Halle.

Georg Cantor Partiendo de las ideas contenidas en una obra póstuma de Bernhard Bolzano, Paradojas de lo infinito (1851), en 1874 publicó su primer trabajo sobre teoría de conjuntos. Entre 1874 y 1897, demostró que el conjunto de los números enteros tenía el mismo número de elementos que el conjunto de los números pares, y que el número de puntos en un segmento es igual al número de puntos de una línea infinita, de un plano y de cualquier espacio. Es decir, que todos los conjuntos infinitos tienen «el mismo tamaño». Cantor consideró estos conjuntos como entidades completas con un número de elementos infinitos completos. Llamó a estos números infinitos completos «números transfinitos» y articuló una aritmética transfinita completa. Por este trabajo fue ascendido a profesor en 1879. Sin embargo, el concepto de infinito en matemáticas había sido tabú hasta entonces, y por ello se granjeó algunos enemigos, especialmente Leopold Kronecker, que hizo lo imposible por arruinar su carrera. Estancado en una institución docente de tercera clase, privado del reconocimiento por su trabajo y constantemente atacado por Kronecker, sufrió su primera crisis nerviosa en 1884.

Sus teorías sólo fueron reconocidas a principios del siglo XX, y en 1904 fue galardonado con una medalla de la Sociedad Real de Londres y admitido tanto en la Sociedad Matemática de Londres como en la Sociedad de Ciencias de Gotinga. En la actualidad se le considera como el padre de la teoría de conjuntos, punto de partida de excepcional importancia en el desarrollo de la matemática moderna. Murió en una institución mental.

Pá gina 19

Aritmé tica I - SECUNDARIA

NUMERACIÓN SISTEMA DE NUMERACIÓN

Número: idea de cantidad Numeral: es la representación escrita de un número. Ejemplo: 3;? ; III Cifra: son los símbolos convencionales que se emplean para representar un número.

Sistema posicional de numeración Se basa en el

Principio de orden

Principio de la base

nos indica

nos indica

Que toda cifra de un numeral posee un orden y lugar establecido.

Que la base es un entero positivo mayor que uno y nos dice cuántas unidades son necesarias de un orden para formar una unidad del orden inmediato superior

además Representación literal de números ejemplo ??? ? {10;11;12,……99} . ???? ? . ?????? ?????? ? { 1007 ;1017 ;……6667 } ???????? . 33; ? ? ?575; ? ? ? ?????????? ? ? ? ? ?; 44444 ??? ? numerales capicúas

Descomposición Polinómica

Cambio de Base de Base 10 a base ¹10

De base ¹10 a base ¹10

Pá gina 20

Aritmé tica I - SECUNDARIA

SISTEMA DE NUMERACIÓN SITUACION INICIAL Juan visita la ciudad Cuaternaria. Un poblador le pregunta su edad y Juan dice: tengo 18 años. El poblador no en ende cuántos años ene Juan.(En esta ciudad sólo se emplean las cifras 0; 1; 2 y 3). Ayudemos a Juan a poder expresar su edad. ¿Cómo se escribirá la edad de Juan en esa ciudad?

Resolución 18 se convierte a base 4 18 4 16 4 4 2 4 1 0

Numeral Capicúa.- Un numeral es capicúa, cuando la lectura de derecha a izquierda o de izquierda a derecha es la misma, sus cifras equidistantes del centro son iguales. Ejemplo: Capicúa de dos cifras : aa Capicúa de tres cifras : aba Capicúa de cuatro cifras : abba

CAPÍTULO 2 INDICADORES DE LOGRO: 1. Analiza datos disponibles y efectúa la conversión de numerales de un sistema a otro de base 10. 2 . Iden fica los pos de problemas y formula resultados en ejercicios y problemas . propuestos

18 =.........

.

DEFINICION NUMERACIÓN.- Es la parte de la Aritmética que estudia la formación, representación, lectura y escritura de los números.

Averigüemos acerca de sistema de numeración

Número y numeral

https://www.youtube.com/watch?v= EGTEOv7Z1Wg

A. Número: Es la idea asociada a la cantidad que nos permite cuantificar los objetos de la naturaleza.

https://www.youtube.com/watch?v= Y3bRI_Uqi5U

B. Numeral: Es la representación simbólica de un número.

Ejercicios resueltos de aritmética en video: https://www.youtube.com/watch?v= gx-7dOqnYnY

Ejemplo: Se puede representar por 2 ; II ; dos ; qq ; etc. C. Cifras.- Son símbolos que convencionalmente se van a utilizar para la formación de los numerales y son: {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; (10); (11); (12); ...} Ejemplos: Numeral de dos cifras : ab Numeral de tres cifras : abc Numeral de cuatro cifras : abcd .

Pá gina 21

Aritmé tica I - SECUNDARIA

CASOS ESPECIALES a) Número con cifras máximas (n-1)(n-1)...(n-1)(n) = nk- 1 "k" cifras

b) Bases sucesivas 1a = 1b 1c

a + b + c + .... + m + n

1 m(n)



Pá gina 22

Aritmé tica I - SECUNDARIA 2. Juan Nonario piensa en el siguiente numeral: a(a-3)(a+2) (9) . ¿Cuántos posibles valores tiene “a”?

1. Convertir: 213(6) a base 10. Resolución:

Aplicando el método de “descomposición polinómica”

a) 5

b) 2

c) 3

d) 4

e) 6

Resolución:

213(6) = 2 × 62 + 1 × 6 + 3 2 × 36 + 6 + 3 72 + 9 81

∴ 213(6) = 81

3.¿Cuantos números de la forma x(2x-1)x existen?

2. Convertir 124 a base 3

a) 4

Resolución:

b) 4

c) 6

d) 7

350 veces su tamaño puede saltar una pulga. 9460 800 000 000 kilómetros mide aproximadamente un año luz.

e) 8

Resolución:

En este caso, se aplica “divisiones sucesivas”

124 3 12 41 3 3 3 4 11 13 12 4 3 9 1 3 3 1 1 2 1 BLOQUE

124 = 11121

4.¿Cuantos números de la forma a(a+2)(a-3)

I

existen?.

1.- El señor Octonario tiene (a -2) a (a +4) (8) años. Calcula el valor de “a” a) 1

b) 2



c) 3

d) 4

a) 5

b) 5

Resolución

c) 7

d) 8

e) 9

El origen exacto por lo cual los romanos emplearon rayas ver cales p ara indicar 1,2, 3, 4, no se conocen, pero la opinión más generalizada es que provienen de los dedos de la mano. (100 a.C.)

e) 5

Pá gina 23

Aritmé tica I - SECUNDARIA 5.-Las edades de cuatro amigos son: z34(y) ; 3x2(8)

; 411(z) y

y52(x)

a) 111(2)

Calcula:”x + y + z”

Resolución :

210 (a) ; 21b (5) ;

c) 111 (4)

d) 111 (5)

y

9-Luis dice: si se cumple que 451 (m) = 3xy (7) 1aa (b)

Calcula: a x b b) 9

b) 111(3)

Resolución

6.-Juan ahorra durante tres días las siguientes cantidades:

a) 6

8.-Identifique el numeral que no representa un número primo.

¿ Cuál sera el valor de “m” ? a) 5

c) 12

d) 15

b) 6

c) 7

d) 8

e) 9

Resolución

e) 18

Resolución

10-¿Cuál es el valor de “n” ?, Si la siguiente 7.-Determina el numeral que representa el mayor número. a) 100000

(2)

b) 220

(3)

(4)

c) 111

igualdad es correcta. (2a) a (2a)(n) = aak(4)

(6)

d) 134

a) 2

b) 3

c) 4

d)-2

e) 1

Resolución



Pá gina 24

Aritmé tica I - SECUNDARIA

II

BLOQUE

4. El numeral n

1. Calcula el valor de “X”, si: 22 (x + 1) = 30(x) a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

( n2 ) esta escrito en base 9

y es el mayor posible . ¿ Como se escribe en el sistema decimal? a) 71

e) 6

b) 72

c) 73

d) 74

e) 76

Resolución

Resolución

5. El menor número de tres cifras diferentes del sistema decimal escrito en base 9 es : 2. Si: x00 = x020x a) 1

b) 2

Calcula el valor de “x”.

(3)

c) 3

d) 4

a) 102(9) b) 123 (9)

e) 5

c) 103(9) d) 122 (9) e) 113

Resolución Resolución

3.- El numeral de a(a + 3) (a + 2) esta escrito en base 7 y es el mayor posible. ¿ Cómo se escribe

sistema decimal escrito en base 8 es :

en el sistema decimal ? a) 191

b) 192

c) 193

6. El mayor numero de tres cifras diferentes del

d) 194

e) 195

a) 1722 (8) b) 1731 (8)

c) 1732(8) d) 1733

(8)

Resolución

Resolución



Pá gina 25

Aritmé tica I - SECUNDARIA 7.Calcular la suma de cifras del numeral 315

(6)

ser expresado en base nueve. a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

al

10. SI: 4 (b + 1) 3(6)= bbb4 (n) Calcula el valor de “b”

e) 10

a) 5

Resolución

8. Expresar el numero de tres cifras diferentes del sistema octal; en el sistema quinario. a) 233

b) 213 c) 203

d) 231

Resolución

e) 214

b) 4

c) 3 d) 2

e) 1

III

BLOQUE

1.- Si: aba (n) = bcn (m) , Ademas: b

4 y m

Calcula: a + b + c + m + n a) 25

b) 26

c) 27

d) 28

e) 29

9. Si: a(a + 2)(a+4) (6) = xyz (a+4) 2. Si se cumple:

Calcula: “x+ y + z” a) 5

b) 6 c) 203

d)7

e) 9

n(n+1)(n+2)(n+3) (n+4) = axx (6) Calcula el valor de n3 + a2 + x a) 128



b) 14

c) 20

d) 82

e) 28

Pá gina 26

9

Aritmé tica I - SECUNDARIA

4.Calcula “a+b” , si se cumple:

2. Determina la cantidad de números de 4 cifras en base 8 que contienen el número 3

451(n) = 3ab(7) a) 2

b) 5

c) 4

d) 7

a). 1520 b)1522 c) 1524 d) 1526 e) 1528

e) 3

3. Determina la suma de cifras en base a 2 el menor numeral de la base 8, cuya suma de cifras es 148

5.Calcula el mayor valor de “n” , si: ab (n) = ba (7)

a) 65 a) 1

b) 2

c) 36

d) 37

UNMSM

b)64

c)62

d)63

e)61 CONMAT

e) 15

4.Jessica fue de compras y gastó s/. aca(6) en una blusa s/.b0b(6) en un par de zapatos y s/.abc (6) en un pantalón. Si en toda la compra gasto s/. cc(b+2)0 (6) ; calcula el valor de a x b x c.

TAREA # 2

a) 15

1.Calcula el valor de “m” en cada caso:

b) 6

c) 3

d) 12

e) 13

a) m(m+2)(m+5) (7) b( m2 )m(m+1) (4) 5. Si se cumple que: 2.Convertir a base 10 cada numeral: a) 215 (7) b) 123(6)

122 (6) x 240 (6) =................. ab (3) Calcula: “a+ b” a) 4 b) 1 c) 3 d) 2 e)5

c) 241 (8) d) 127(8)

3.Convertir a base senario cada numeral: a) 200

b) 125

c) 215

CONAMAT

d) 116

4.Convertir a base octal cada numeral: a) 123 (5) b) 181 (9) c) 224 (5)

d) 135 (6)

5.Calcula “a” , si aaa (4) =126 a) 5

b) 6

c) 7

d) 8

e) 9

PREGUNTAS DE CONCURSOS EXAMEN DE ADMISIÓN

Y

1. Sabiendo que K= ab (4) = cd (5) y a+b+c+d=11 en el sistema decimal con a = 0 y c = 0. Determina K en el sistema decimal.



Pá gina 27

Aritmé tica I - SECUNDARIA

CUATRO OPERACIONES CUATRO OPERACIONES OPERACIONES EN Z OPERACIONES EN Z

Adición en

Sustracción en Z

Multiplicación Multiplicaciónen enZZ

División en Zen Z División

* División entera exacta

BLAISE PASCAL a + b = suma

M–S=D

a . b = producto

Propiedades:

Equivale a:

Propiedades:

1) 2) 3) 4)

a + b = b +a (a + b) + c = a + (b + c) a+0=a a + (-a) =

M + (-S) = D (-S) opuesto de S Propiedad:

1) a . b = b . a 2) (a . b) . c = a . (b . c)

æ1ö ÷ =1 èaø

3) a . ç

D d q

* División entera inexacta D d q

M=S+D

D=d.q

q

R q

D = dq + R

Propiedad: d¹0

Pá gina 28

Aritmé tica I - SECUNDARIA

CUATRO OPERACIONES



SITUACIÓN INICIAL

Por aniversario, la I.E. “Santo Domingo de Guzmán” organizó una mini-olimpiada, donde se convocó a los alumnos del 1° año de secundaria, resultando ganador de esta competencia deportiva la sección del 1° año “B” integrado por 29 alumnos. Como premio, se hicieron merecedores de 60 entradas para una función de teatro. ¿Cuántas entradas le corresponde a cada uno?

n2

CAPITULO 3 INDICADORES DE LOGRO: 1. Iden fica y aplica procesos en la resolución de problemas en Z. 2.Interpreta situaciones problemá cas u lizando leyes formales de cuatro operaciones y ob ene soluciones sa sfactorias

Resolución: Para determinar la cantidad de entradas a cada uno delos integrantes de la sección ganadora, también tiene que considerarse al profesor tutor de la sección

n° entradas = ___ n° alumnos + tutor

DEFINICIÓN

= ___

0

1

2

3

n

n+1

S=A + A +A +A +....A= A - 1 A-1 Averigüemos acerca de 4 operaciones https://www.youtube.com/watch?v= nbDA4TY7ymc https://www.youtube.com/watch?v= BCMjjWQAxFE https://www.youtube.com/watch?v= 8wPARzdyF88 https://www.youtube.com/watch?v= IMDhFxNf18M



Pá gina 29



Aritmé tica I - SECUNDARIA

DIVISIÓN.

Consiste en que dadas dos cantidades, dividendo y divisor, hallan un tercero llamado cociente. Clases de división a)División exacta b)División inexacta:

OPERACIÓN DE SUMAR

- Por defecto - Por exceso

División exacta D r

La suma es la primera operación cuya necesidad

d q

; si : r = 0

D=dxq

División inexacta

siente el hombre; los dedos de las manos y las

D

d

r

q

; si : r = 0 D = d x q + r

Por defecto

piedrecillas le bastaron

D =d l q + r

Por exceso D = d l qe - re

en un comienzo, pero cuando irrumpe en el campo del comercio

necesita fijar sus compras y sus ventas.

ACTIVIDAD: b)Por un número formado por nueves:

N x 99 ... 99 = N 00 ... 00 – N n cifras

Ejemplo:



n cifras

2978 x 999 2978000 – 2978 2975022

Anotar en el cuaderno aquellas operaciones refentes a la adición, sustracción, multiplicación y división, aplicando a la vida diaria. Deben trabajar en grupos de 2, 3 o 4 alumnos para ampliar la visión del tema.

Pá gina 30

Aritmé tica I - SECUNDARIA

2- Blanca tiene d5 años de edad y Rosa 3c años de edad, se sabe que Rosa excede

1.- Hallar la diferencia de dos números, sabiendo que si el minuendo aumenta en 483 y el sustraendo en 365, la nueva diferencia es 1428. Resolución M - S = D

OPERACIÓN DE RESTAR

de los hindúes las tomaron los árabes, quienes las llevaron a Europa. Sin embargo, ellos

a) 12 b) 27 c) 37 d) 25 e) 35 Resolución

(M + 483) - (S + 365) = 1428 M + 483 – S – 365

= 1428

M - S + 118

= 1428

M – S = 1310 Rpta. = 1310 Dos trenes salen al mismo tiempo de dos estaciones que se encuentran separadas 630 km.y van uno al encuentro de otro. Si el primero marcha a 60 km. por hora y el segundo a 40 km por hora, ¿A qué distancia se hallarán después de 5 horas de marcha?

3.- Fernando compra un auto en s/. 13570, luego de tenerlo durante 7 meses lo vende a s/. 12500 ¿Cuánto perdió en la venta? a) s/.1170

b) s/.1230

d) s/.1000

e) s/.970

c) s/.1070

Resolución

Resolución

comenzaban a restar

Distancia que ambos trenes recorren en una hora = 60 + 40 = 100 km

por las unidades de

Distancia recorrida en 5 horas: 100 x 5 = 500 Km

mayor orden, es decir,

Les falta recorrer: 630 – 500 = 130 km

por la izquierda.

años tiene Blanca

Pero notemos que:

¢ Las reglas para efectuar la resta son de origen hindú;

en 12 años a la edad de Blanca. ¿Cuántos

Se hallan a 130 km de distancia. BLOQUE

I

1.-Pedro tiene a4 soles y necesita ab soles, para poder comprar una camisa que cuesta c32 soles. Calcule: “a + b + c” a)11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

4.- Sandra gana en la venta de un vestido s/. 86 soles, si a ella el vestido le costó s/.172 soles. ¿Cuál fue el precio de venta del vestido? a) s/. 84

b) s/. 258

d) s/. 198

e) s/. 234

c) s/. 232

Resolución

Resolución

Pá gina 31

Aritmé tica I - SECUNDARIA

5. Una vendedora de frutas, tiene naranjas, peras y plátanos, en un total de 124 frutas. Si tuviera 24 naranjas más, 8 peras mas y 12 platanos menos, tendría una cantidad igual de cada fruta. Hallar el número total de peras. a) 40 b) 60

c) 24 d) 32

e) 36

8. Se repartieron 1829 naranjas en cantidades iguales entre 140 participantes asistentes a una maratón pero sobraron 9 naranjas ¿ Cuanto le correspondio a a cada uno ? b) 11

a) 7

c) 13

d) 15

e) 18

Resolución

Resolución

6.-A una fiesta de promoción de un colegio, asistieron 67 integrantes de la promoción, si hubiesen asistido 13 integrantes varones y 10 integrantes mujeres, todos hubiesen bailado en parejas el vals de despedida de la promoción.¿Cuantos integrantes varones asistieron a la fiesta de promoción? a) 25 b) 30

c) 32

d)35

e) 40

9.-Vicente compra cierto números de polos por s/. 3300 a s/.22 cada uno y vendio 76 polos por s/.2128 ¿Cuántos polos le quedan y cuanto gano en cada uno de los que vendio? a) 64 y s/.360

b) 72 y s/420

c) 74 y s/. 360

d) 74 y s/ .456 e) 64 y s/. 420 Resolución

Resolución

7.- En una división el cociente es 83 y el divisor 47 calcular el dividendo, si se sabe que el residuo resulto máximo. a) 3901 b) 3947 Resolución

c) 3856

d) 3952 e) 4016

. . 10.- Mariano, compra cierto número de camisas a s/.3900 y vendió 36 camisas a s/.2880, ganando s/.15,00 en cada una. ¿Cuántas camisas le quedan?. a)20

b)21

c) 22

d)23

e) 24

Resolución



Pá gina 32

BLOQUE

Aritmé tica I - SECUNDARIA

II

1.- Calcular: mnp, si mnp – pnm = 3ab mnp + pnm = 1432 a) 728 b) 914 c) 934 d) 964 e) 998

4- Las edades de un padre y su hijo son: a5 y 5a respectivamente. Si el padre es mayor por bc años. Calcula el complemento aritmético de (a x b x c). Si b toma el menor valor posible. a) 24

b) 44

c) 56

d) 64

e) 72

5.- Marcela dice: la suma de los tres términos de una sustracción es 844 y el sustraendo es la mitad del minuendo. ¿Cuál es el valor de la diferencia?

2.- Si: abc + cba = 1332 abc – cba = 1xy

a) 124 b) 164 c) 198 d) 211 e) 256

Calcular: a + b + c a) 60 b) 70 c) 80 d) 18 e) 90

3.- Las edades que tienen los profesores Ruiz y Cordova son: 4a y a4, si la diferencia de dichos números es bc. Calcula el complemento aritmético de (a + b + c), si “b” toma el valor mayor posible. a) 17

b) 19



c) 20

d) 21

6.- La su ma de términos de una sustracción es 570, además el sustraendo es 2/5 del minuendo. Determina la suma de las cifras de la diferencia? a) 8 b) 9

c) 10

d) 11

e) 12

e) 90

Pá gina 33

Aritmé tica I - SECUNDARIA

7.- Al dividir “D” entre “A” el cociente fue 13 y el residuo es el mayor posible. Si: “D + A” es 464, calcula la suma de cifras de “D” a) 7

b) 8

c) 9

d) 10

e) 11

Resolución

10.- Una secretaria para adquirir velocidad en el tipeado, decide ejercitarse de la siguiente manera: El primer día escribe 3 cartas; el segundo día 5 cartas; el tercer día 7 cartas; el cuarto día 9 cartas y así sucesivamente. ¿Cuántas cartas habrá escrito en total al cabo de 10 días? a) 60

b) 121 c) 120 d) 99 e) 112

COMO MULTIPLICABAN EN LA EDAD MEDIA Daremos a continuación,

Resolución

un ejemplo de cómo efectuaban la multiplicación 8.- El cociente de la división de dos números enteros 20 y el resto es 18. Si se suma el dividendo, el divisor, el cociente y el resto, la suma obtenida es 1001. ¿Cuál es el dividendo? a)918

b) 900

en Europa durante la Edad Media, empleando BLOQUE

c) 103 d) 299 e) 220

III

1.- Juan compra xy polos y cada polo cuesta “y” nuevos soles, si en total paga z36 nuevos soles. Calcula el complemento aritmético de (x + y + z); z > que 1 y x > que 5.

Resolución

a) 14 b) 86 c) 84 d) 85 e) 16

un procedimiento hindú bastante perfeccionado por los árabes.

Sea la multiplicación: 845 x 326 = 275,470 Multiplicación en la

2.- En el 2015 la edad que José cumplió era un

9.- Sabiendo que ab + ba = 66 y que a > b, determinar el máximo valor que puede tomar a x b. a) 66

b) 60

c) 9 d) 10

e) 8

número de 2 dígitos tal que al multiplicarlo por el producto de sus 2 digitos se obtiene un un número de 3 cifras iguales. La suma de las

Edad Media: 845 x 326 = 275,470

cifras del año de nacimiento de José es . a) 18

b) 19

c) 22

d) 24

e) 25

Resolución

6a

8 2 7

3- En la fiesta del cumpleaños del abuelito de Raul asistieron 113 personas, Juan bailo con 4 damas Carlos con 7 damas; Luis con 12; Miguel con 19

5

2

4

1 4

8

4

y así sucesivamente hasta que Diego bailo de damas y caballeros es: b) 90

c) 92

d) 93

1

6

con todas ellas. La diferencia entre el numero

a) 80

5a

e) 95

Pá gina 34

4a

4

5 2 8

2

7

4

1 1 3

0

5

3

3a

0

2

2a

0

6

1a

Aritmé tica I - SECUNDARIA

LA OPERACIÓN DE DIVIDIR Tanto los griegos como los romanos se sirvieron del ábaco para efectuar la división y operación que resultaba también muy complicada. ²

4.- Arturo tiene ahorrado en un mes una cantidad de dinero representado por un número de tres cifras, si a este número se le suma dos veces las cifras de las centenas y dos veces la cifra de las decenas, Se obtiene como resultado el

complemento aritmetici del numero original.

uno de los procedimientos más antiguos de la división fuese el egipcio, el cual se basaba en hacer duplicaciones y en tomar mitades.

a) 228 b) 312 c) 348 d) 488

e) 13222

PREGUNTAS DE CONCURSO EXAMEN DE ADMISIÓN

5.- En un torneo de ajedrez, auspiciado por la UNIVERSIDAD SANTO DOMINGO, se jugaron 246 partidos en total. En la primera parte jugaron todos contra todos y en la segunda parte jugaron los 9 primeros.

a) 18

b) 19

c) 20

a) 0

b) 10

c) 12

d) 90

e) 7 (ONEM)

d) 21 e) 22

TAREA # 3 1.- Un taxista compra diariamente seis galones de gasolina de s/. 15 el galón. ¿Cuántos galones podrá comprar con la misma cantidad de dinero, si el precio de la gasolina sube a s/. 18? a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

e) 9

c) 23

d) 24

e)25

3.- Diego le dice a su amigo; si me regalas s/.32 entonces tendríamos igual cantidad de dinero. Si la suma de nuestro dinero es s/. 648. ¿Cuánto dinero tiene Diego? a) 292 b) 318 c) 340 d) 368

2.-Los residuos por defecto y por exceso están en relación de 8 a 7 respec vamente. Si el dividiendo es de tres cifras y termina en cifra 2, determine la suma de valores que toma el dividendo sabiendo que el cociente por defecto es 4 a) 1836 e) 2236

e) 356

4.- El cociente y el resto de una división inexacta son 18 y 9 respectivamente, pero si al dividendo se le aumenta 49 unidades, el cociente sería 22 y el resto 6. Determinar la suma del dividendo y el divisor. a) 186 b) 192 c) 256 d) 262 e) 314

b) 1648

c) 1848

d) 2126 (CONAMAT)

3.- Si la suma de los complementos aritméticos de los números xy; yx es 79, halle x + y. a) 10

2.- Mauricio pregunta la edad a la amiga de su hermana, y ella dice: mi edad es igual a la suma de los puntos inscritos en las caras de un dado. ¿Cuál es la edad de la amiga? b)22

Y

1. Sea - N el mayor número por el que hay que multiplicar a 20 para obtener un número tal que la suma de sus dígitos sea 14. Dar como respuesta el producto de los dígitos de N.

¿Cuántos jugadores participaron?

a)21



a) 12222 b ) 13333 c) 13332 d) 14332

hallar la cantidad ahorrada por Arturo.

LOS EGIPCIOS

Es muy posible que

5.- La señora del quiosco de un colégio vende xyxy galletas em el mês de abril y en el mes de mayo vende yxyx galletas. Calcula la cantidad de galletas que vendio en estos dos meses, si x + y=12

b) 9

c) 12

d) 13

e) 11 (UNMSM)

4.- Las edades de 6 hermanos, cuya suma es 108, se encuentra en progresión aritmética. Si hace 4 años la edad del tercer hermano era el triple de la del menor. ¿Qué edad tenía el mayor cuando nació el menor de ellos, si sus nacimientos coinciden en el día y el mes? a) 28

b) 32

c) 20

d) 24

e) 22 (UNMSM)

5.- Un matrimonio que tiene dos hijos acordó pesarse y lo hicieron del modo siguiente; se pesaron los padres y resultó 126 kg; después el papá y el hijo mayor y resultó 106 kg;, y por último la mamá con el hijo menor y resultó 83 kg. Se sabe que el hijo mayor pesa 9 kg más que el menor. Determine cuánto pesa el hijo

mayor.

a) 36 b) 27

c) 45

d) 56

e) 47

Pá gina 35

Aritmé tica I - SECUNDARIA

Z+

rd

rd

B

r d re

n+

n

n

n

r k= r

k

re

n+

B

n

n n n n n n n n) n Z+ (n) n

- re

n+ axbxc

n

Z+

K

abcd n abcd n

abcd

r

bcd n

n3

Por exceso

rk k

17 ab

17 9

8+3

5 xmn



n

ab

8+5

7 + 3 5 xmn

7+4

Pá gina 36

DIVISIBILIDAD

Aritmé tica I - SECUNDARIA

SITUACIÓN INICIAL El Profesor Arones, propuso el siguiente juego: contar del 1 al 50 y aplaudir cada vez que se diga un múltiplo de 4 o un número que termina en 4. ¿Cuántas veces se ha aplaudido hasta terminar el juego?

Resolución 4= 4;8;12;16:.......44;48

(

n

)

n= 48-4 + 1 4 n=..........

CAPITULO 4

CAPITULO 4 INDICADORES DE LOGRO: Interpreta los principios de la divisibilidad y los aplica a la resolución de problemas afines. 2.- Analiza los principios de la mul plicidad y los aplica en la simplificación de expresiones numéricas.

Averigüemos acerca de la Divisibildad:

https://www.youtube.com/watch?v= 66rCYbWNV05 https://www.youtube.com/watch?v= WDaD9yuDz4 https://www.youtube.com/watch?v= q96IMkxbM1U

https://www.youtube.com/watch?v= VgS7icitZzw https://www.youtube.com/watch?v= CvAMMnOd7pm



Pá gina 37

Aritmé tica I - SECUNDARIA

“n” un múltiplo de él

abcdef

18 - 3

7

15+2

12



Pá gina 38

Aritmé tica I - SECUNDARIA ACTIVIDAD

BLOQUE

I. Formen grupos de 5 alumnos. ii. Elaboren una lista de 5 números que identifiquen a cada integrante del grupo (Número de DNI , número telefónico, etc.) III. Con la ayuda del profesor (a) analiza cada uno de los número para comprobar si son divisibles por 2; 3; 4; 5 y 9.

1. Si: abc = 11

1. Escribe los divisores de: a) 24

b) 36

c)48

d) 20

bac = 7 y cab = 5

Determina: (a+b+c) + (a× b × c )

Resolución: abc = 11

I

→ a – b + c = 11 ……..(I)

2. Escribe los 6 primeros múl plos de: a) 3

b) 7

c) 13

d) 19

bac = 7 → 2a + 3b +c =7 …………(II) cab = 5 → b= 5

…………(III)

Reemplazando (III) en (I ) y en (II) respectivamente: a + c =5

… (IV)

3a + c = 7-3 → 2 a = 7 − 1 a=3 c =2 Luego: (3+5+2) + (3× 5 × 2) = 40

2. ¿Cuántos números comprendidos entre 348 y 2700 son divisibles por 25?

Resolución:

3. Mi edad es un múl plo de 7. El año entrante será un múl plo de 5, si tengo más de 20 años y menos de 82. ¿Cuál será mi edad dentro de 9 años? a) 35 e) 77

b) 42

c) 49

d) 56

Los números divisibles por 25 forman una progresión aritmé ca de razón 25. 350; 375 ; 400; 425; ……..;2700 ∴ Nº de términos=



2700 −350 25

+1

94+1=95

Pá gina 39

Aritmé tica I - SECUNDARIA

6.Resuelve los siguientes ejercicios:

4. Si se cumple: (a +5) (4b) (a − 4) (b−1) = 9

Además : (b − 1) (a − 4) (c + 5) (4c) = 6

A) Calcula el valor de “n” .Si: nnn1 = 7 a) 3 e) 7

b) 4

c) 5

d) 6

Calcula: 2a + 3b + 4c a) 11

b) 12

c) 13

d) 14

e) 15 B) Si: xxxyy 2 = 99. Calcula el valor de xy a) 6 e) 18

b) 8

c) 10

d) 12

5. Resuelve los siguientes ejercicios: A) ¿Cuántos números múl plos de 7 hay del 1 al 140?

a) 15 e) 21

b) 20

c) 18

d) 19

7. Resuelve los siguientes ejercicios: A) Juan ene S/. a2a Si : a2a = 3. ¿Cuánto dinero ene Juan, si “a” toma su mayor valor? a) 121 e) 828

B) ¿Cuántos números múl plos de 5 hay del 1 al 200? a) 35 e) 45

b) 38

c) 39

d) 40

c) 626

d) 727

B) Fernanda ene a(2a)(3a) contactos en el Facebook. Si dicha can dad es divisible por 3. ¿Cuántos contactos como mínimo ene Fernanda? a) 123



b) 222

b) 246 c) 369

d) 132

e)963

Pá gina 40

Aritmé tica I - SECUNDARIA

.8.Resuelve los siguientes ejercicios:

10. ¿Cuál es el residuo de dividir?

A) Luis ene S/. 13a. Si dicha can dad es divisible por 6. ¿Cuánto dinero ene Luis, si es el mayor posible?

a) 132

b) 134

c) 136

d) 138

e) 130

a) 1

6666 … 666 entre 9

e) 5

20 cifras

b) 2

c) 3

d) 4

B) María ene 6a(a + 3)3 soles ahorrados en un banco. Si dicha can dad es divisible por 9. ¿Cuánto dinero ahorrado ene María? a) 6143

b) 6253

c) 6363 d) 6473

e)6583 BLOQUE

II

1. Calcula: “a+b”, si: 3a = 7 + 1 y b5 = 9 + 1 a) 11 e) 15

b) 12

c) 13

d) 14

9. ¿Cuál es el residuo de dividir? 8888 … 888 entre 3

a) 0 e) 4



35 cifras

b) 1

c) 2

d) 3

Pá gina 41

Aritmé tica I - SECUNDARIA 2. Calcula el valor de: (m + n) máximo en: m2= 4 + 2

a) 15

b) 16

y

7n = 8 − 1

c) 17

d) 18

e) 19

3. Escribe “V” si es verdadero o “F” si es falso , de las siguientes igualdades: a) 3128 = 8 …….. (…..)

5. Calcula: “x + y”, si: 13x8 = 9

36y4 = 8

a) 5

d) 8

c) 1618 = 3 …………. (…..)

c) 7

e) 9

6. Si el número 2x45y es múltiplo de 72. Calcula el valor de “x + y” a) 1 e) 8

b) 213 = 4 …………. (…..)

b) 6

b) 5

c) 6

d) 7

d)5656 = 7 …………. (…..)

4. Calcula el valor de n + p + a, si: 4n27 = 9 ;

a) 11

b) 12

a1a5 = 11 c) 13

343pp = 8

d) 14 e)10

7. Determina la suma de todos los números de cinco cifras de la forma 27a4b de modo que sean divisibles por 4 y 9. a) 82332 b) 82324 c) 81330 d) 8223 e) 81332

Pá gina 42

Aritmé tica I - SECUNDARIA

8. Calcula el valor de “n”, si:

a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

1. Juan posee ab naranjas, si lo reparte a 9 niños no le sobra, pero si lo reparte a 10 niños en partes iguales le sobra 3 naranjas. Calcula el valor de “a – b ”

e) 7

a) 2 e) 9

9. Si: ab = 5

;

ba= 9

abc= 4

Calcula el mayor valor de: “a + b + c”

a) 15 e) 19

b) 16

c) 17

III

BLOQUE

3n(n+ 1)(n + 2) 1 es múltiplo de 11.

d) 18

b) 3

c) 4

d) 5

2. En una reunión de trabajadores se observa que la quinta parte son solteros. Si se nombran comisiones de 7 personas, sobrarían 3 de ellas. Además, en una votación entre dos propuestas todos votaron y resultó empate. Calcula el número de personas si éste está comprendido entre 200 y 280. a) 240

b) 235

d) 220 e) 253

c) 264

3. Si: 74x7 es divisible por 9 y xxy es divisible por 4, determina el resto de dividir x y entre 5. a) 1

10. Si: 2mn = 5

; nm = 6

mnp

=4

Calcula el mayor valor de: “m + n + p”

a) 11 e) 15

b) 10

c) 13

d) 14

b) 2

c) 3

e) 0

d) 4

4. Si: (a−2)bcd1a = b y además

mnpqr(b − 4) = 10

Calcula el valor de “a + b” a) 5

b) 6

c) 7

d) 8

e) 9

5. A una reunión asistieron 123 personas de las cuales 4/15 de los hombres, bailaban y la séptima parte de las mujeres usaban falda. ¿Cuántas mujeres hay? a) 50



b) 60

c) 63

d) 70

e) 120

Pá gina 43

Aritmé tica I - SECUNDARIA

TAREA # 4

PREGUNTAS DE CONCURSOS Y EXAMEN DE ADMISION

1. Escribe los divisores de: a) 64

b) 81

c) 128

d)126

2.Resolver los siguientes ejercicios : A) Si: 1xx4 = 3 Da como respuesta la suma de los valores de “x” a) 12

b) 15

c) 18

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

3.Resuelve los siguientes ejercicios



b) 4

c)5

d) 6

b) 3 ó 8

c) 2 ó 9

d) 6

e) 5

; cbb = 8

a) 24

c) 140

Calcula el valor de: a× b × c b) 60

aba = 7

d) 75

e) 120

B) Calcula el valor de “b” Si: b2a = 9

a) 3

b) 4

y

d) 6

A) ¿Cuántos múltiplos de 7 hay desde 14 al 200? b) 12

c) 13

d) 5

91001 − 71001 = ⋯ a , donde la cifra de 2

Las unidades es “a”. Calcula: a + a + 2 a) 8 e) 16

b) 10

c) 12

d) 14 (UNI)

3. Sea el número: E= 22001 + 32001

Calcula el residuo de dividir E entre 7 b) 2

c) 3

d) 4 (UNI)

4. Señale la suma de valores de “a”, si: ab6a53 es divisible por 33. b) 8

c) 10

d) 12

e) 15 (CONAMAT)

e) 7

5.Resuelve los siguientes ejercicios:

a) 16 e) 15

c) 4

2. En la diferencia que se muestra:

a) 6

aa63a = 8 c) 5

b) 3

(UNMSM)

a) 1 e) 0

4.Resuelve los siguientes ejercicios: A) Si: abc = 5

a) 2 e) 7

e) 7

B) Calcula el valor de “p”, si: 1´ppppp 1 = 7 a) 2

al dividir entre 9 el número formado ?

3

A) Calcula el valor de “n”, si: 412n5n =11 a) 3

242628………..343638.¿Cuál será el residuo

e) 24

d) 21

B) Si: 9a3a = 9 Calcula el valor de “a” a) 1

1. Si se empieza a escribir uno a continuación del otro la secuencia de los números naturales pares hasta el 38, como se muestra a continuación

d) 14

5. Los números de dos dígitos ab y ba cumplen que ab − 2 = 7 y ba− 1 = 9. Calcula: a + b a) 11 e) 10

b) 12

c) 13

d) 14

(ONEM)

B) ¿Cuántos múltiplos de 9 hay desde 27 al 240? a) 23



b) 24

c) 25

d) 26

Pá gina 44

Aritmética I - SECUNDARIA

Isaac Newton

Isaac Newton (Woolsthorpe, Lincolnshire; 25 de diciembre de 1642jul./ 4 de enero de 1643greg.Kensington, Londres; 20 de marzojul./ 31 de marzo de 1727greg.) fue un físico, filósofo, teólogo, inventor, alquimista ymatemático inglés. Es autor de los Philosophiæ naturales principia matemática, más conocidos como los Principia, donde describe la ley de la gravitación universal y estableció las bases de la clásica mediante las leyes que llevan su nombre. Entre sus otros descubrimientos científicos destacan los trabajos sobre la naturaleza de la luz y la óptica(que se presentan principalmente en su obra Ópticas) y el desarrollo del cálculo. Newton comparte con Gottfried Leibniz el crédito por el desarrollo del cálculo, que utilizó para formular sus leyes de la física. También contribuyó en otras áreas de la matemática, desarrollando el teorema y las fórmulas de Newton-Cotes. Entre sus hallazgos científicos se encuentran el descubrimiento de que el espectro que se observa cuando la luz blanca pasa por un prisma es inherente a esa luz, en lugar de provenir del prisma (como había sido postulado por Roger Bacon en el siglo XIII); su argumentación sobre la posibilidad de que la luz estuviera compuesta por partículas; su desarrollo de una ley de convección térmica, que describe la tasa de enfriamiento de los objetos expuestos al aire; sus estudios sobre la velocidad del sonido en el aire; y su propuesta de una teoría sobre el origen de las estrellas. Fue también un pionero de la mecánica de fluidos, estableciendo una ley sobre la viscosidad. Newton fue el primero en demostrar que las leyes naturales que gobiernan el movimiento en la Tierra y las que gobiernan el movimiento de los cuerpos celestes son las mismas. Es, a menudo, calificado como el científico más grande de todos los tiempos, y su obra como la culminación de la revolución científica. El matemático y físico matemático Joseph Louis Lagrange (1736-1813), dijo que «Newton fue el más grande genio que ha existido y también el más afortunado dado que sólo se puede encontrar una vez un sistema que rija el mundo».

Página 45

Aritmé tica I - SECUNDARIA

son

son

.....

es

ejemplo

coprimos

emplearemos

donde



Pá gina 46

Aritmé tica I - SECUNDARIA

NÚMEROS PRIMOS SITUACIÓN INICIAL La edad del Profesor de Química es igual a la suma de todos los números primos de dos cifras que empiezan en 1. ¿Qué edad tiene el profesor?

RESOLUCIÓN

11+13+.......+19=........ Edad del profesor ...........

DIVISORES DE UN NÚMERO Todo número no primo, se puede descomponer, siempre, en un producto de varios factores, todos ellos primos y la descomposición es única. Cantidad de divisores de un número (CDN). a) Cantidad de divisores simples en N (CDSN). Está conformado por la unidad y todos los números primos que sean divisores de N. b) Cantidad de divisores compuestos de N (CDCN) Está conformado por todos los números no primos que sean divisores de N.

La unidad.- Es el único número entero positivo que posee un solo divisor. Número primo.- Es un número natural, mayor que 1. Se dice que es primo absoluto o simplemente primo si únicamente posee dos divisores (la unidad y el mismo número). Los primos más pequeños son: H = {2; 3; 5; 7; 11; 13; ...} Número compuestos.- Son todos aquellos números que poseen más de dos divisores. Así por ejemplo los números 4 y 6 son compuestos porque poseen 3 y 4 divisores respectivamente. NÚMEROS PRIMOS RELATIVOS O PRIMOS ENTRE SÍ (PESI) Dos o más números enteros son PESI cuando su único divisor común es la unidad. Así por ejemplo 8 y 15 son PESI porque:

Ejemplo: Divisores de 48. d(48) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48} DS = 1; 2; 3 DC = 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48 CDS = 3 CDC = 7 CDN = 3 + 7 = 10 Todos los divisores primos de un número se observan en su descomposición canónica. N=a

a l

b

b l

c

g l

....

La cantidad total de divisores de un número se calcula aplicando: N=a

a

Þ CDN = (a

D(15) = {1; 3; 5; 15}

l

b

b l

c

g l

1. Iden ficar e interpretar a las fracciones

2 .Reconocer a las fracciones con núas y clasificarlas

Averigüemos acerca de los números primos

https://www.youtube.com/watch?v= IkaLibe7tF4

Donde: a, b, c, ... son números primos diferentes. a; b; g; ... son números enteros.

D(8) = {1; 2; 4; 8}

INDICADORES DE LOGRO:

3. Expresar un número racional o irracional como

CDN = CDSN + CDCN

NÚMEROS SIMPLES

CAPITULO 5

https://www.youtube.com/watch?v= vULSpsaVGy8

https://www.youtube.com/watch?v= rK3zAVjM1a8

....

+ 1) (b + 1) (g +1)... +1)

https://www.youtube.com/watch?v= KyORBGrvlyM

Ejemplos: Descomposición Canónica.-Forma verbal o a) Determinar la cantidad de divisores de 360. D(8) Ç D(15) = {1}

descomposición en factores primos de un número.

Ejemplo: 360 180 90 45 15 5

2 2 2 3 3 5

Solución: N = 23 x 32 x 5

360 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 2

3

x 3

2

x 5

1

CDN = (3 + 1) (2 + 1) (1 + 1) CDN = 4 x 3 x 2 = 24

360 180 90 45 15 5 1

2 2 2 3 3 5

Divisores primos Pá gina 47

b) Si:

KARL FRIEDRICH GAUSS (Brunswick, actual Alemania, 1777 - Gotinga , id., 1855) Matemático, físico y astrónomo alemán. Nacido en el seno de una familia humilde, desde muy temprana edad Karl Friedrich Gauss dio muestras de una prodigiosa capacidad para las matemáticas (según la leyenda, a los tres años interrumpió a su padre cuando estaba ocupado en la contabilidad de su negocio para indicarle un error de cálculo), hasta

Aritmé tica I - SECUNDARIA D.C.

N = ab ´ (a + 1)´ ba ´ (b + 4 )

donde (a + b) = 9; Calcular CDN Solución: Como “a” y (a + 1) son dos factores primos consecutivos, entonces: a=2; a+1=3 Si: a = 2 ; b = 7 7 2 Þ N = 2 x 3 x 7 x 11 CDN = (7 + 1) (1 + 1) (2 + 1) (1 + 1) CDN = 8 x 2 x 3 x 2 = 96 Suma de los divisores de un número (SDN).-

Si: N = a

a

l

el punto de ser recomendado al duque de Brunswick por sus profesores de la escuela

Þ SDN =

primaria

b

b

g

l

c l ....

A a+1 - 1 Bb+1 - 1 Cg+1 - 1 · · · ... A -1 B -1 C -1

Suma de los inversos de los divisores de un número (SIDN).SDN SIDN = N

Producto de los divisores de número (PDN).CDN

PDN = N El duque le proporcionó asistencia financiera en sus estudios secundarios y universitarios, que efectuó en la Universidad de Gotinga entre 1795 y 1798. Su tesis doctoral (1799) versó sobre el teorema fundamental del álgebra (que establece que toda ecuación algebraica de coeficientes complejos tiene soluciones igualmente complejas), que Gauss demostró.

Particularidades de los divisores propios de un número.-

ACTIVIDAD

En grupo de 5 alumnos elaborarán una tabla que contiene los números primos que existen entre 1 y el 100. Para construirla se procede así: a) Se escriben los números del 1 al 100. b) Se tachan los múltiplos de 2 a partir del 4. c) Se tachan todos los múltiplos de 5 a partir del 25 y por último los múltiplos de 7 a partir de 49. d) Para completar se finaliza tachando el 1.

1.- ¿Cuántos divisores tiene 240? Resolución I. Descomposición en sus factores primos 240 2 × 5 24

2

12

2

6

2

∴ N= 24 × 3 × 5

CD240 = (4 + 1) (1+ 1)(1 + 1) 5×2×2

3 3 CD240 = 20 divisores a) Divisores Propios (DN*).- Dado un número 1 entero positivo, se consideran divisores propios del entero positivo, a todos sus divisores menores que él. Para un número 2.- Calcula la suma de todos los divisores de 180 N se cumple: Descomposición en sus factores primos CDN* = CDN - 1 Resolución 2

*

SDN = SDN - N

b) Número Perfecto.- Se dice que un número es perfecto, si es igual a la suma de sus divisores propios. N es perfecto Û N = SDN*

180 2 × 5 18 2 9

3

3

3

1

2

N=2 × 3 × 5

∴ SD=

2 3 −1 2−1

×

3 3 −1 3−1

=7 × 13 × 6

SD= 546

Ejemplos: * D(6)* = 1; 2; 3 (6) = 1 + 2 + 3

Þ 6 es número perfecto.



Pá gina 48

×

5 2 −1 5−1

180 2 × 5

2

9

3

3

3

2

N=2 × 3 × 5

18 2

∴ SD=

Aritmé tica I - SECUNDARIA

2 3 −1

×

2−1

3 3 −1 3−1

7× 13 × 6

×

5 2 −1 5−1

a) 30

b) 20

c) 36

d) 45

e) 24

546

1

BLOQUE

I

1. La edad de Enrique es igual a la suma de todos los números primos de una cifra. ¿Cuántos años ene Enrique? a) 12

4. Lorena ene una can dad de dinero que es igual a la can dad de divisores de 720. ¿Cuánto dinero ene Lorena?

b) 17

c) 18

d) 26

e) 27

5. La edad del Profesor de R.M es igual a la suma de todos los divisores de 24. ¿Qué edad ene el profesor? a) 40

b) 50

c) 60

d) 48

e) 18

2. El papá de Ruth gasta S/. abc en pasajes. Calcula a+b+c , si abc es igual a la suma de los números primos menores de 30.

6. Carlos ene una suma de dinero igual a la suma de todos los divisores de 300. ¿Cuánto dinero ene Carlos?

a) 10

a) 28

b) 11

c) 12

d) 13

e) 14

3. La edad de la Profesora de Biología es igual a la can dad de divisores de 480. ¿Cuántos años ene la profesora? a) 20

b) 22



c) 24

d) 28

b) 31

c) 868

d) 898

e) 989

Recuerda Para que 2 o + número sea PESI solo deben tener en común a la unidad como divisor.

Recuerda Para la cantidad total de divisores aumentamos una unidad a cada exponente de su descomposición canónica

7. Dado: N = 24 × 33 × 52 × 7 ¿Cuántos divisores ene N ?

a) 120

b) 60

c) 80

d) 100

e) 300

e) 32

Pá gina 49

8. Si: N = 25 × 102 × 52 × 73

Aritmé tica I - SECUNDARIA

BLOQUE

¿Cuántos divisores ene N ? a) 120

b) 160

c) 84

d) 150

1. ¿Cuántos divisores más ene el número 480 que el número 300?

e) 72

a) 2

a a 9. Si:Q = 2 × 3 + 1 × 5 Calcula el valor de “a”

a) 5

b) 6

c) 7

tiene 144 divisores

d) 8

e) 9

10. Dado: P = 2 × 5a −1 × 7 si sabemos que ene 24 divisores. Calcula el valor de “a” a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

b) 4

c) 6

d) 8

e) 10

2. ¿Cuántos divisores más ene el número 720 que el número 100? a) 18

b) 19

c) 21

d) 17

e) 31

3. Si el número 560n ene 81 divisores. Calcula el valor de “ n“ a) 2



II

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

Pá gina 50

- Aritmé tica I SECUNDARIA

4. Si el número 25 n × 8 ene 28 divisores. Calcula el valor de “n” a)1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

a) 103

5. Si: A=15 n × 10n +1 ene 69 divisores no primos. Calcula el valor de “n” a) 1

b) 2

c) 4

d) 6

8. Calcula el número de divisores compuestos de: N = 102 × 53 × 72 × 23

e) 8

c) 4

d) 5

a) 36

b) 32

c) 24

d) 20

e) 16

e) 107

n 10. Calcula “n”, si 481 ene n1 divisores. a) 5

e) 6

7. Calcula el número de divisores compuestos de: N= 72 × 112 × 53

d) 106

b) 6

BLOQUE

c) 7

d) 8

e) 9

III

1. Si el numeral (a +4) ( a ( b − 3) (3 b( está 2

(

b) 3

c) 105

9. Calcula el número de divisores compuestos de: N = (5× 72 (2

n 6. Si: N = 75 × 30 ene 57 divisores no primos. Calcula el valor de “n” a) 2

b) 104

bien escrito, ¿cuántos divisores ene b(a + 2) a , si este numeral es el menor posible?

a) 10

b) 12

c) 14

d) 15

Pá gina 51

e) 18

Aritmé tica I - SECUNDARIA

2. La can dad de divisores del menor número

N

28 × 18n+2

= es múl plo de 11. Calcula la can dad de divisores de nn a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

3. Si: 4 a × 3 b ene aa divisores. ¿Cuántos divisores ene abba ? a) 14

b) 10

c) 18

d) 11

PREGUNTAS DE CONCURSOS Y EXAMEN DE ADMISION

1. Sea ab un número primo mayor que 40. Determina el número de divisores que ene el número ababab00. a) 121

b) 144

c) 288

d) 432

e) 576

e) 9

4. Si el número 663n ene aba divisores. Calcula a+b+n a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17 5. Si:ab 000 es el mayor numeral que ene 32

(UNI) 2. ¿Cuántos números de la forma (4 a − 3) (3b) (4 a −3) son primos? a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5 (UNI)

divisores. Calcula a + b a) 15

b) 16

c) 17

d) 18

e) 19

3. El cuadrado de un número primo “p” sumado con el cuadrado del consecu vo a “p” más 80, es un número de 3 cifras, igual al cuadrado de otro número primo. Calcula la suma de cifras de “p” a) 5

TAREA # 6

b) 8

c) 9

d) 10

e) 11 (UNMSM)

1. Calcula la suma de todos los números primos mayores que 40 pero menores que 60. a) 240

b) 243

c) 303

d) 292

e) 291

4. La suma de tres números primos absolutos y diferentes es 32 y la diferencia del mayor con el intermedio es 8. Calcula la diferencia del mayor y menor de los números primos.

2. Calcula la can dad de divisores de los siguientes números: a) 320 b) 480 c) 360 d) 700

a) 13

3. Calcula la suma de divisores de los siguientes números: a) 90 b) 120 c) 200 d) 240

5. Si: ab es un número primo absoluto. ¿Cuántos divisores como mínimo presenta ab0ab ?

n

4. Si: M = 3 −1 × 5n −1 × 7n −1 divisores. Calcula el valor de “a” a) 2

b) 4

c) 5

d) 7

ene 64

b) 19

c) 15

d) 17

e) 21

(CONAMAT)

a) 9

b) 10

c) 12

d) 15

e) 18

(CONAMAT )

e) 8

5. Si: 10 m × 25n ene 33 divisores. Calcula el valor de “m+n” a) 4

b) 5



c) 6

d) 8

e) 9

Pá gina 52

Aritmé tica I - SECUNDARIA Aritmética I - SECUNDARIA

es

es

Los

son

cocientes

residuos sus

Pá gina 53 Página

Aritmética I - SECUNDARIA

CIENCIA DE LA ARITMETICA Aritmética es la ciencia que trata de la expresión, cálculo y propiedades de las cantidades consideradas como números. Número, es el conjunto de unidades ó partes de la unidad de una misma especie( parte alicuota), ó también de la Unidad misma. (Cifra). Unidad, es la cantidad conocida,con la cual se comparan todas las cantidades de la misma especie. En las Aritméticas son sólo cantidades expresadas como números, del mismo espécimen o lenguaje, el sistema de lenguaje decimal es el más usado, después el binario, etc. El número es siempre un ente abstracto en las Aritméticas, que no está determinado por la naturaleza de la Unidad, se le denomina cifra que viene a ser un Guarismo; el número puede contener una, muchas o ninguna de las llamadas CIFRAS. La Cifra es el símbolo del Número Cuando la cifra no es ninguna se expresa como cero. (0).

Página 54

Aritmé tica I - SECUNDARIA

MÁXIMO COMÚN DIVISOR, MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO SITUACIÓN INICIAL Dos cometas se aproximan al Sol, uno cada 25 años y otro cada 60 años, Habiéndose aproximado juntos en 1950,¿cuál es la fecha siguiente en que volverán a aproximarse juntos?

Resolución 25 - 60 25 - 30 25 -15 25 - 1 5-1

2 2 3 5 5

MÉTODOS PARA CALCULAR EL MCD Y MCM Calculemos el MCD de los números 256; 560; 720. 256 128 64 32 16

MCM (25;60) 2

560 280 140 70 35

720 360 180 90 45

2 2 2 2

números comparando.

MCM = 2 X 3 X 5 = Año en que se aproximarán juntos nuevamente = 1950 +.....=

Observación: Si MCD(A;B;C) = d A= d p B=d q PESI C=d r 4

Divisores Z+ 1; 2; 3; 6; 9; 18 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24

* Divisores comunes de (18 y 24) = 1; 2; 3; 6 * Mayor divisor común = 6 * MCD(18 y 24) = 6

NOTA: MCD(18 y 24) = 6

Divisores Z+ 1; 2; 3; 6

De lo anterior se cumple C.D. (comunes deAy B) = C.D.MCD(A;B) MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) Ejemplo: Sean los números: 18 y 24

POR DESCOMPOSICIÓN SIMULTÁNEA PARA EL MCM Calcular el MCM de los números 192; 240 y 360. 192 96 48 24 8 4 2 1 1 1

240 120 60 30 10 5 5 5 5 1

360 180 90 45 15 15 15 15 5 1

2 2 2 3 2 2 2 3 5

}

Números 18 24

.Iden fica las propiedades del MCD y MCM y aplica la resolución de ejercicios y problemas.

MCD(256; 560; 720) = 2 = 16

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) Ejemplo: Sean los números: 18 y 24

INDICADORES DE LOGRO: Formula ejemplos y calcula el MCD de 2 o más

PESI

2

CAPITULO 6

MCM(192; 240; 360) = 2 x 2 x 2 x 3 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5 MCM(192; 240; 360) = 26 x 32 x 5 = 2880 Observación: m= A x m= B x m= C x

Si: MCM(A;B;C) = m p q PESI r

Averigüemos acerca de los números primos https://www.youtube.com/watch?v= VNEu5XJ8hV8 https://www.youtube.com/watch?v= bASSADUYj8E https://www.youtube.com/watch?v= r5Mmxdn2jNc https://www.youtube.com/watch?v= yyxPzL3IOp0

NOTA: MCM(18 y 24) = 72 De lo anterior se cumple Multiplos comunes de Ay B

Múltiplos Z+ 18; 36; 54; 72; 90; 108; 126; POR DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA PARA 144; 162; 180; 198; 216; ... EL MCD.- Calculemos el MCD de los números. A= 2 6 x 3 2 x 5 4 x 7 3 24 24; 48; 72; 96; 120; 144; 168; B = 2 3 x 3 4 x 5 6 x 111 192; 216; 240; 264; 288; ... C = 2 5 x 3 3 x 5 3 x 13 2 *Múltiplos comunes de (18 y 24) = 72; 144; \ MCD(A;B;C) = 2 3 x 3 2 x 5 3 216...

Números 18

Pá gina 55

Múltiplos Z+

72; 144; 216 MCM(A:B)

Aritmé tica I - SECUNDARIA

El M.C.M de varios enteros positivos es el menor entero positivo que sea

ACTIVIDAD

divisible entre cada

En grupos de 5 alumnos. Elaborar reglas de: 15 cm; 20cm y 25cm. ¿Cuál es la menor distancia que se puede medir exactamente con dichas reglas?

uno de ellos.

{

Emplea la pizarra para realizar dichas mediciones .

enteros positivos

{

El M.C.D de varios

1. ¿Cuál es el menor número diferente , de cero, divisible entre 4; 12 y 18?

es el mayor entero que sea divisor de

Resolución:

cada uno de ellos.

Hallamos el MCM de (4;12 y 18) 4 – 12 – 18 2 2– 6 – 9 2 1– 3 – 9 3 1 – 3 3 1 MCM= 2 × 2 × 3 × 3 = 36

MCD(A;B) = rn- 1



El menor número es 36

2. Una madre distribuye exactamente entre sus hijos 40 caramelos y 60 chocolates. ¿Qué número de dulces le corresponde a cada uno de ellos; si es el máximo posible ?

Pá gina 56

ISAAC NEWTON (Woolsthorpe, Lincolnshire; 25 de diciembre de 1642 jul. 4 de enero de 1643greg.-Kensington, Londres; 20 de marzo jul 31 de marzo de 1727greg.) fue un físico, filósofo,teólogo, inventor, alquimista y matemático inglés. Es autor de los Philosophiæ naturales principia matemática,más conocidos como los Principia, donde describe la ley de la gravitación universal y estableció las bases de la clásica mediante las leyes que llevan su nombre. Entre sus otros descubrimientos científicos destacan los trabajos sobre la naturaleza de la luz y la óptica (que se presentan principalmente en su obra Ópticas) y el desarrollo del cálculo. Newton comparte con Gottfried Leibniz el créditopor el desarrollo del cálculo,que utilizó para formular sus leyes de la física. También contribuyó en otras áreas de la matemática, desarrollando el teorema y las fórmulas de Newton-Cotes. Entre sus hallazgos científicos se encuentran el descubrimiento de que el espectro que se observa cuando la luz blanca pasa por un prisma es inherente a esa luz, en lugar de provenir del prisma (como había sido postulado por Roger Bacon en el siglo XIII); su argumentación sobre la posibilidad de que la luz estuviera compuesta por partículas; su desarrollo de una ley de convección térmica, que describe la tasa de enfriamiento de los objetos expuestos al aire;sus estudios sobre la velocidad del sonido en el aire; y su propuesta de una teoría sobre el origen de las estrellas. Fue también un pionero de la mecánica de fluidos, estableciendo una ley sobre la viscosidad.

Aritmé tica I - SECUNDARIA

Resolución:

40 – 60

2x5

4 – 6 2 2 – 3

a) 45

b) 55 c) 65

d) 75 e) 80

MCD = 2 × 2 × 5 = 20

∴ le corresponde a cada hijo 20 dulces

BLOQUE

I

1. Calcula el MCD de 247 y 91 por el Algoritmo de Euclides a) 13

b) 17

c) 19

d) 21

e) 23

4. La suma de dos números es 2704 y los cocientes obtenidos al calcular su MCD por el algoritmo de Euclides fueron 2,3; 5 y 3. Calcula su MCD. a) 14

2. Calcula el MCD de 948 y 252 por el algoritmo de Euclides y da como respuesta el producto de los cocientes sucesivos. a) 9



3. La suma de dos números es285 y al calcular su MCD mediante divisiones sucesivas, los cocientes obtenidos fueron 1, 1; 2 y 2. Calcula la diferencia de los números.

Hallamos el MCD de (40 y 60)

b) 27

c) 36

d) 45

e) 60

b) 13

c) 16

d) 17

e) 21

5. ¿Cuál es el mayor número que divide a 2000, dando 11 de residuo, y a 2708, dando 17 de residuo? a) 117 b) 107 c) 105

d) 127

Pá gina 57

e) 137

Aritmé tica I - SECUNDARIA

6. ¿Cuál es el mayor número que divide a 105, dando 5 de residuo, y a 146, dando 6 de residuo? a) 4

b) 6 c) 8

d) 10

e) 20

d) 7524

A = 32 × 7 × 11

B = 2 × 72 × 3

Da como respuesta la suma de cifras del MCM a) 14

b) 16

c) 18

e) 22

A = 202 × 153

e) 7596

B = 123 × 102

C = 182 × 213 × 114

a) 54

b) 216

c) 108

BLOQUE 8. Calcula el MCD y MCM de los números 1200 y 960.Expresando los números en descomposición canónica. Da como respuesta la suma de ellos. a) 4560 b) 4540 c) 4530

d) 20

10. Calcula el MCD de A, B y C siendo:

7. Calcula el MCD y MCM de los números 540 y 504.Expresando los números en descomposición canónica. Da como respuestasuma la de ellos. a) 7566 b) 7586 c) 7576

9. Calcula el MCM de A y B si:

d) 5040 e) 5000

d) 27

e) 432

II

1. Llegó una donación de 180 tarros de leche, 300 bolsas de arroz y 450 bolsas de avena. Deseamos empaquetarlos de tal modo que en cada paquete haya el mismo número de ar culos. ¿Cuántos paquetes como máximo podemos hacer? ¿Cuántos productos de cada uno hay en un Paquete?



Pá gina 58

Aritmé tica I - SECUNDARIA

2. Las fiestas patronales de tres pueblos de la provincia de Canta se celebran en forma especial cada 4, 6 y 8 años, respectivamente. ¿Cada cuántos años se celebran Simultáneamente las fiestas patronales de estos pueblos? a) 20

b) 30

c) 24

d) 36

b) 141

c) 162

d) 177 e) 171

4. Al empaquetar menos de 145 galletas de dos en dos, de tres en tres, de cuatro en cuatro y de cinco en cinco, siempre sobra una, pero empaquetando de 11 en 11 no sobra ninguna. ¿Cuántas galletas hay? a) 110

b) 99



c) 121

d) 143

a) 12

b) 18

c) 15

d) 20

e) 24

e) 12

3. Determine el menor número que dividido entre 6, 7 y 8 siempre deja un residuo de 3. a) 164

5. El producto de dos números es 11 232, si el MCM de estos es 624. Calcula el MCD.

6. El producto de dos números es 7007, si el MCD de estos es 7. Calcula el MCM. a) 91

b) 11

c) 77

d) 123

e) 1001

7. Calcula el valor de “K”, si el MCD de: 132k; 18k y 24k es 210. a) 24

b) 35

c) 32

d) 40

e) 50

e) 127

Pá gina 59

Aritmé tica I - SECUNDARIA

8.- El MCD de losnúmeros: 36K; 54K y 90K es 1620. Calcula el menor de los números. a) 8100

b) 4880 c) 1620

d) 3240

e) 2700

BLOQUE

III

1. Calcula “n” si es MCD de los números n 4 × 15 y 6 n × 5 es 30. a) 5

b)4

c) 3

d)2

e) 1

2. Se dispone de ladrillos cuyas dimensiones son: 18; 15 y 10cm. ¿Cuántos de estos ladrillos son necesarios para formar el cubo compacto más pequeño? a) 300 9.- Calcula dos números cuyo MCD es 23.Si los cocientes obtenidos al aplicar el Algoritmo de Euclides fueron: 1; 3; 2; 1; 1; 2. Da la suma de ambos valores. a) 2300

b) 690

c) 2323

d) 1040

e) 3120

b) 310

d) 270 e) 275

c) 290

3. Si: MCD ( aba;(c -3) (b+6) c) = 15 Calcula: a + b + c a) 8

b) 9

c) 10

d) 11

e) 12

4. Al calcular el MCD de 6a( a + 2) y ab 1 por el Algoritmo de Euclides se obtuvieron como cocientes: 1; 3 y 2. Calcula: a - b, si a > b a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

5. Calcula: A× B, si : 10. En la determinación del MCD de dos números mediante el Algoritmo de Euclides se obtuvo los siguientes cocientes sucesivos: 1; 3; 2 y 4 si el MCD es 7. Calcula el número mayor. a) 140

b) 127

c) 308

d) 28 e) 252

MCM(11A ; 55 B) = 4950 MCD (6A; 30 B) = 300

a) 4650 b) 4720 c)4555 d) 3670 e) 4500

AÑO

IV a.C.

1200



ACONTECIMIENTOS

*

El método de obtención del M.C.D. por divisiones sucesivas. Aparece ya descrito en su obra “Elementos” del matemático griego Euclides.

*

Leonardo Pisano. Escribió un libro titulado Liber Abaci, donde explica las matemáticas usada por los árabes que fue aprendida de los Indus. El cero es la nada.

Pá gina 60

TAREA # 6

Aritmé tica I - SECUNDARIA

1. Calcula el MCD mediante el Algoritmo de Euclides de los siguientes números: a) 6188 y 4709 b) 1591 y 2257 c) 948 y 252 2. La suma de dos números es 2604 y los cocientes obtenidos al aplicar el Algoritmo de Euclides fueron: 2;3;5 y 8. Calcula dicho MCD a) 6

b) 12

c) 14

d) 18

e) 20

3. ¿Cuál es el mayor número que divide a 205, dando 15 de residuo, y a 586, dando 16 de residuo? a) 2

b) 3

c) 5

d) 10

e) 190

4. Un gallo canta cada 8 minutos y otro cada 12 minutos. Si ambos cantan a las 6:00 h, ¿A qué hora volverán a cantar juntos? a) 6:48 h b) 6:32 h c) 7:16 h d) 6:24 h e) 6:36 h 5. Un negociante tiene tres barriles de vino, cuyas capacidades son: 36; 48 y 60 litros. Si desea vender todo el contenido en recipientes pequeños de máxima capacidad, de modo que no sobre vino en ninguno de los barriles, ¿cuántos recipientes necesita? a) 10

b) 12

c) 15

d) 24

e) 30

PREGUNTAS DE CONCURSOS Y EXAMEN DE ADMISIÓN 1. El producto del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los números enteros positivos P y Q es 864 y el de los números P y R es 720; Halle q / r. A) 1/5 B) 1/4 C) 6/5

D) 5/6

E) 1

2. María, Rosa y Alicia compraron, cada una, varias cajas con igual número de platos. María compró, en total, 55 platos; Rosa compró 88 y Alicia, 99. Halle el número total de cajas compradas por las tres y el número de platos que hay en cada caja respec vamente. A) 22 y 11 B) 22 y 9 C) 20 y 11 D) 22 y 7

(UNMSM)

en una ciudad un terrible crimen por lo cual los habitantes de la ciudad buscaron a los culpables y decidieron matarlos, pero en su afán por capturar a los culpables capturaron a 16 sospechosos, siendo 5 de ellos inocentes.
ara saber quiénes eran P inocentes los habitantes

(UNMSM) 3. Dos transpor stas parten simultáneamente de Lima hacia Tacna. El primer transpor sta recorre 50 km cada día y el segundo recorre 10 km el 1er día, 20 km el 2do día, 30 km el 3er día y así sucesivamente. ¿Después de cuántos días se encontrarán? A) 11 días B) 9 días C) 10 días D) 8 dias E) 12 días (UNMSM) 4. Cesítar ene tres pos de canicas cuyas can dades son: abca ; bcab y cabc , luego las agrupa de 5 en 5; de 7 en 7 y de 9 en 9 respec vamente, y no le sobran canicas en ningún caso. Calcula: a × b ×c. B) 80

C) 125

con los dioses, recibiendo la siguiente respuesta: “
A lo largo y ancho de un terreno lanzaremos rayos muriendo todo aquel que no este en una posición adecuada estará distanciada “x” metros una de otra, y además esta distancia divide exactamente el largo y ancho del terreno en partes iguales, no pudiendo colocarse una persona en las esquinas . ¿Cuál es el valor de esta medida “x”? además se sabe que “x” es lo mayor posible: Ancho = 12 metros
Largo = 16 metros”

C) 5

D) 4

12 x metros

x

D) 35

posición prohibida

x

5. El máximo común divisor de los números abc y 240 es 15. ¿Cuantos valores dis ntos puede tomar a + b + c? B) 6

de la ciudad consultaron

posición prohibida

(CONAMAT)

A) 7


Cierto día se había come do

culpables y quienes

E) 20 y 7

A) 105

JUSTICIA DIVINA

E) 3 (ONEM)

x 16 m

x posición prohibida

Como se puede ver la distancia”x” debe ser un numero que divide exactamente a 16 y 12 y ademas la mayor posible,¿Cuanto vale esta medida?.

Pá gina 61

Aritmé tica I - SECUNDARIA

NÚMEROS RACIONALES

(Q)

CLASIFICACIÓN

NÚMERO DECIMAL

Propia Impropia Ordinaria Decimal

Exactos

Homogénea Heterogénea

P. Puro Inexactos P. Mixto

Pá gina 62

Aritmé tica I - SECUNDARIA

NÚMEROS RACIONALES Dos amigos viajeros, Juan y Raúl tienen 8 y 7 empanadas de carne respectivamente. Se encuentran con un explorador cansado y de hambre, con quien comparten las empanadas en partes iguales. El explorador al despedirse, como agradecimiento les obsequia s/. 20 ¿Cuánto le corresponde a cada amigo viajero? Juan tiene ____ empanadas Raúl tiene _____ Empanadas Las empanadas se reparten en partes iguales: Juan = Raúl = Explorador = Se reparte S/. 20 Juan le toca =

Raúl le toca =

Juan invita Juan invita + Raúl invita

CLASIFICACIÓN DE LAS FRACCIONES Por comparación de sus términos

a) Fracción propia Numerador < Denominador 3 4 15 19 ; ; ; ;etc. 7 6 20 25

b) Fracción impropia Numerador > Denominador 3 12 24 19 ; ; ; ;etc. 2 10 18 11

Por el denominador a) Fracción decimal

INDICADORES DE LOGRO: 1. Formula ejemplos sobre determinación de conjuntos diferenciándolos 2 .Realiza correctamente operaciones entre conjuntos 3. Iden fica las propiedades de las operaciones con conjuntos resolviendo y graficando ejercicios.

Denominador =10n 3 4 37 50 ; ; ; ;etc. 10 10 100 1000

Raúl invita Juan invita + Raúl invita

DEFINICIÓN:

b) Fracción ordinaria

a,b Î ,Z se Dado un par ordenado (a;b) donde denomina número racional a la relación de división. a , siendo b ¹ 0 b 3 8 9 15 1 Ejemplos : ; ; ; ; 4 2 3 4 8 son números racionales.

ü FRACCIÓN Se denomina fracción a una parte de la unidad dividida en partes iguales. Está representada por la división de dos números enteros: ,asiendo b ¹ 0. b a numerador denominador b NOTA El denominador señala el número de partes en que ha sido dividida la unidad y el numerador señala cuántas de estas partes se han tomado. Ejemplo:

{

3 8

Averigüemos acerca de la Aritmética:

Denominador ¹ 10n 3 14 5 8 ; ; ; ;etc. 9 15 7 9

Por los divisores comunes entre los términos a) Fracciones reductibles Tienen divisores comunes diferente de 1 entre los términos. 4 18 30 36 ; ; ; ;etc. 6 24 20 18

b) Fracciones irreductibles Los términos son PESI. 13 27 15 18 ; ; ; ;etc. 15 4 16 25

Por las denominaciones de varias fracciones a) Fracciones homogéneas Denominadores iguales.

3 partes sombreadas 8 partes que se ha dividido la unidad

Luego, la parte sombreada representa a

CAPITULO 7

https://www.youtube.com/watch?v= b7qcTe7CFeY&spfreload=10 https://www.youtube.com/watch?v= YVfw1Bf0e0U

Ejercicios resueltos de aritmética en video: https://www.youtube.com/watch?v= fQueEftduFA

Averigüemos acerca de la teoria de conjuntos: Averigüemos acerca de la teoria de conjuntos: https://www.youtube.com/watch?v= DcrNJczhfZs https://www.youtube.com/watch?v= DcrNJczhfZs

7 5 16 19 ; ; ; ;etc. 9 9 9 9 b) Fracciones heterogéneas Denominadores diferentes entre sí. 2 12 20 9 ; ; ; ;etc. 13 5 30 4

Pá gina 63

Aritmé tica I - SECUNDARIA

7.1.9. HOMOGENEIZACIÓN Para comparar varias fracciones es conveniente homogenizarlas; esto es transformar en fracciones equivalentes con igual denominador.

7.1.5. FRACCIONES EQUIVALENTES Si : F = Sea :

a b

Luego :

a ak < > ;K b bk

Z+

Homogenicemos: 4 ; 30 ; 21; 13 ; etc. 9 8 18 18

7 7k ü ì 14 21 28 < > í ; ; ;...; ý 10 10k þ î 20 30 40

7.1.6. FRACCIÓN DE FRACCIÓN En la figura, la parte sombreada del rectángulo inferior es 4 de 1 del rectángulo mayor. 6 4

A) Simplificamos la fracción reductible: 4 30 15 21 7 13 4 15 7 13 ; = ; = ; Þ ; ; ; 9 8 4 18 6 18 9 4 6 18

B) Calculamos el MCM de los denominadores: MCM(9; 4; 6; 18) = 36

{

C) Damos a todos el denominador igual al MCD y cada numerador se obtiene dividiendo el MCD entre el denominador y multiplicando por el correspondiente numerador.

Como la última fracción está referida a otra fracción se llama fracción de fracción. 7.1.7. COMPARACIÓN DE FRACCIONES De varias fracciones homogéneas es mayor la de mayor numerador. 9 7 2 1 > > > ; etc. 5 5 5 5

(36 ¸ 9) x 4

16 36

(36 ¸ 6) x 7

42 36

2 3 3+2 5 5 3 2 + = = ; - = 8 8 8 8 8 8 8 5 8

{

7.1.8. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES Dada una fracción: Se puede expandir multiplicando a ambos términos por el mismo número. Se puede simplificar dividiendo ambos términos por los divisores comunes.

12 ¸ 3 4 = 18 ¸ 3 6 1 4

x2 x2

(36 ¸ 18) x 13

7.2.1. Adición y sustracción de fracciones cuando las fracciones son homogéneas. En la figura se observa:

17 17 17 17 > > > ; etc. 3 5 10 9

12 18

26 36

(36 ¸ 4) x 15

7.2. OPERACIONES CON FRACCIONES

De varias fracciones heterogéneas; con igual numerador, es mayor la de menor denominador.

12 x 2 24 = 18 x 2 36

135 36

2 8

{{ 2 8

3 8

NOTA: Para sumar o restar fracciones homogéneas, es suficiente sumar o restar los numeradores manteniendo el denominador. 7.2.2. Adición y sustracción de fracciones heterogéneas Ejemplo:

8 16

¸8 ¸8

1 2

A)

7 5 3 + 9 6 8

MCM(9; 6 y 8) = 72

Pá gina 64

Aritmé tica I - SECUNDARIA

7.2.4. Multiplicación y División de Fracciones A) Multiplicación de fracciones Para multiplicar fracciones, sean homogéneas o heterogéneas, se multiplican los numeradores y denominadores entre sí.

7 56 5 60 3 27 = ; = ; = = 9 72 6 72 8 72

56 + 60 - 27 89 17 = =1 72 72 72

N´

B) Efectuar:

a N a N· a = ´ = b 1 b b

3 8 9 15 + + 15 20 60 90

Ejemplo: 8 ´ 15 ´ 3 9 16 4

MCM(15; 20; 60 y 90) = 180

Solución: Simplificamos los factores comunes del numerador y denominador.

3 36 8 72 = ; = 15 180 20 180

8 9

9 27 15 30 = ; = 60 180 90 180

B)

36 + 72 + 27 - 30 105 = 180 180

C) Efectuar:

2 2

3

10

15

2

1

5 1

5 1

3 5

I.

7.2.3. Cuando los números son mixtos En este caso se puede efectuar de dos formas. Pasando el mixto a fracción ordinaria:

6 17

24

Sumando y restando separadamente enteros y fracciones:

3 4

2 3

a ¸c = a b bc

;

5 8

(9 + 15 - 12) = 12 3 2 5 18 + 16 - 15 19 19 + - = = ó 12 4 3 8 24 24 24

II. a ¸

III.

b a·c = c b

a b = a c bc

Ejemplos: *

4 3 4 7 28 ¸ = ´ = 5 7 5 3 15

* 4¸

MCM = 24 108 + 105 - 124 161 = ó 24 24

a b = a·d c b·c d Divisor Dividendo

108 - 110 + 21 - 18 1 = 120 120

9 + 15 - 12

3 1´5´1 5 = = 1´2´4 8 4

De otra manera:

M.C.M. = 120

2º

´

a c a d a·d ¸ = ´ = b d b c b·c

10 - 12 - 40 - 60 5 6 20 30

1º

15 16

División de fracciones Para dividir las fracciones es recomendable invertir los términos del divisor y aplicar la multiplicación o aplicar “producto de extremos al producto de los términos medios”.

9 11 7 9 + 10 12 40 60

1

´

5 3 12 = 4´ = 3 5 5

7 7 ´ 4 28 = = = 14 2 2 2 * 4

3 3 1 3 ¸5 = ´ = 7 7 5 35 4 5 = 4 ´1 = 4 * 9 5 ´ 9 45

*

UN TRUCO ARITMÉTICO Piensa en un número de tres cifras. Escribe el número en un papel y a continuación repite el número; de modo que, se forme un número de 6 cifras. Divide este número por siete; luego, el cociente obtenido divídelo por 11, este nuevo resultado divídelo por 13 y obtendrás el número de tres cifras que inicialmente habías pensado. Puedes hacer este truco con tus amigos.

Pá gina 65

Aritmé tica I - SECUNDARIA

ACTIVIDAD

I

BLOQUE

Anotar en el cuaderno aquellas acciones que de la idea de fracción, enfocandose en la vida diaria. Deben trabajar en grupos de 2, 3 o 4 alumnos para ampliar la visión del tema.

Relacionar: a) 1.-Un caño puede llenar una piscina en 8 horas y otro en 15 horas, mientras el caño de desagüe lo vacía en 18 horas. Cuando la piscina está llena hasta ¼ de la altura se abren los 3 caños durante 1 hora. ¿Qué fracción de la piscina faltará llenar?

b) c) d)

Fracción propia

7 ; 27 11 13

Fracción equivalente

11 ; 23 5 17

Fracción irreductible

3 ; 7 5 9

Fracción impropia

7 ; 28

Resolución: En 1 hora el primer caño llena 1/9 del depósito y el segundo 1/15 y el caño de desagüe vacía 1/18 .

2.-Completar con los signos “>” o “<”

1 1 1 ? + ?9 15 18

1 × 10 1 × 6 1×5 10 + 6 - 5 11 + = = 9 × 10 15 × 6 18 × 5 90 90

Falta llenar: 1 del depósito.

11

90

=

90 90

-

11

90

=

79 90

2. Una bola elástica cae al piso desde un edificio y se eleva cada vez a los ½ de la altura anterior. Después de haber rebotado 3 veces se ha elevado 1 metro de altura ¿Desde qué altura cayó al principio? Resolución: El primer bote es igual a ½ h (h, altura de donde cayó) 1 1 1 El 1° rebote es igual a × h= h El 2° rebote es igual a

2 1

2 1

2 1

1

4

1

× × ×h= h 2 1

2 1

1

8

1

El 3° rebote es igual a × × × h = h 2 2 2 2 16 Como el 3° rebote es igual a 1 m, entonces 1/16 h = 1m ? h = 16 ??

3.-Calcular: Los

de

Los

de

La quinta parte de Los

de los

de

Los

de los

de

Pá gina 66

Aritmé tica I - SECUNDARIA

4. En una caja de 50 lapiceros, 15 son de color rojo, 10 son de color azul, 12 son de color verde y el resto son de color negro ¿qué fracción del total son de color negro?

a) 3

b) 3 c) 50

3 50

d)

3 50

6. En un ómnibus del transporte urbano tiene 42 asientos. Están sentados 5/7 de estos. ¿Cuántas personas están sentadas? ¿Qué fracción representan los asientos vacíos respecto al total de asientos?

e) 3

a) 12;

5 7

e) 30;

5

b) 30; 5 7

7

2

c) 12;

7

d) 30

2 7

7. Calcule la diferencia del numerador y el denominador de la fracción irreductible equivalente a M.

5. En un aula de 30 alumnos los 3/5 practican algún deporte. ¿Cuánto alumnos hacen deporte? ¿Cuántos no? ¿Qué fracción de la clase representan los alumnos que no practican ningún deporte? a) 18;15;

2 5

b) ) 18;22;

b) 18;12; 3 3 5 5

3 5

?? =

0,1 + 0,2 + 0,3 + - - - + 0,7 0,11? + 0,22? + 0,33? + - - - 0,77?

a)1

b)2

c)4

d)6

d)9

2

c) 12;16;5 2

e) 18;12; 535

Pá gina 67

Aritmé tica I - SECUNDARIA

8. Calcule la suma del numerador y denominador de la fracción irreductible equivalente a R 1,2 + 2,3 + 3,4 + - - - + 7,8 ?? = 1, 2? + 2, 3? + 3, 4? + - - - + 7, 8? a) 139 b) 163 c) 123 d) 147 e) 150

II

BLOQUE

1. Miguel tiene cierto número de naranjas, las cuales distribuye de la siguiente manera: Da a uno de sus compañeros ¼ del número total menos ¼ de naranjas y se guarda para si la 1/20 del número total más media naranja. ¿Cuántas naranjas tenía? a) 5

b) 6

c) 9

d) 12

e) 9

9. Un caño llena un tanque en 4 horas y otro lo vacía en 5 horas. ¿En cuánto tiempo se llenará el depósito si se abren ambos caños a la vez? a) 12 hrs d) 24 hrs

b) 15 hrs e) 30 hrs

c) 20 hrs

2. Sebastián pasa un día de su vida de la siguiente manera: La mitad de él durmiendo, la cuarta parte del resto comiendo, los 5/8 del resto estudiando, 4/9 de resto tocando guitarra. Si las 11/8 de una hora al día los dedica a ver el jardín. Determinar qué tiempo le queda para ir a nadar. a)

1 2

horas

d) 5 horas

10. Un depósito tiene grifos: Uno lo llenaría en 8 horas otro lo vaciaría en 12 horas. Si se abren al mismo tiempo ambos grifos, ¿Al cabo de cuánto tiempo se llenará el depósito? a) 16 horas d) 24 horas

b) 20 horas e) 28 horas.

b) 6 horas e)

77 33

c) 3 horas

horas

c) 22 horas

Pá gina 68

Aritmé tica I - SECUNDARIA

4. Un vendedor de frutas compra manzanas, a razón de 6 manzanas por S/.7.00 luego vende los 3/5 del número de manzanas que compró a razón de 3 por S/.5.00 y lo demás a razón de 4 por S/.7.00 se desea saber cuántas manzanas compró si su utilidad es de S/.832.

6. Un tonel contiene 30 litros de vino y 6 litros de agua. Si extraemos 18 litros de la mezcla ¿Cuantos litros de vino se extraen? a) 10

b) 12

c) 14

d) 15

e) 16

a) 800 b) 900 c) 1000 d) 1100 e) 1560

5. Un depósito contiene 48 litros de leche y 16 litros de agua. Si se extraen 24 litros de la mezcla, ¿Cuántos litros de leche se extraen? a) 12

b) 15

c) 18

d) 20

e) 16

7. En el cumpleaños de su hermano menor, José come la mitad del número de pasteles más medio pastel, en la segunda vez, la mitad de lo que quedaban más medio pastel, así sucesivamente, después de la cuarta vez que comió no quedo ningún pastel ¿Cuántos pasteles había inicialmente? a) 8

b) 10

c) 15 d) 17

e) 23

Pá gina 69

Aritmé tica I - SECUNDARIA

8. Un empresario reparte cierta ganancia de un negocio entre sus 4 socios, Al primero le da 2/3 del total, al segundo ¼ del resto al tercero 3/5 del nuevo resto si el último socio recibió S/.800.00 ¿Cuál era la ganancia total obtenida? a) 8000 b) 1200 c) 2005 d) 6000 e) 3500

10. Dos depósitos de agua tienen respectivamente 168 y 420 litros ¿Cuántos litros de agua hay que añadirse a cada depósito, para que la nueva relación del 1er depósito con respecto al 79

segundo sea de 142 ? ? 142

a) 130 litros

b) 148 litros

c) 152 litros

d) 164 litros

e) 180litros

III

BLOQUE

9. ¿Qué número ha de añadirse a los dos términos de la fracción a) 7 d) 13

23 40

para que sea igual a b) 9 e) 15

c) 11

2 3

?

1. Un vendedor de frutas tiene cierto número de mangos, vende 3/5 de ellos más dos mangos; luego vende 1/3 de los restantes más dos mangos, luego vende la mitad del saldo más un mango. Finalmente vende los 24 restantes, el número de mangos inicial empieza con la cifra. a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

2. Un caño puede llenar un tanque en cuatro horas, y un agujero que está ubicado a ¼ de la altura sobre la base, puede vaciar el volumen que está por encima de él en 60 horas. Con el tanque vacío se abre el caño cuando el tanque se llena, ¿Qué fracción del volumen del tanque se ha perdidos por el agujero? a)

4

79

b)

5

77

c)

3

56

d)

3

80

e)

8

75

? . 3 .Mario, Felipe y Armando pueden pintar una casa en, 6, 54 Horas, mientras que Armando y Mario lo pueden hacer en 9 horas. ¿En cuántas horas podrá pintar Felipe la casa? a) 24 d) 27

b) 25 e) 28

c) 26

Pá gina 70

Aritmé tica I - SECUNDARIA

TAREA # 7

4. La diferencia de una fracción propia e impropia es de

13 42

, si los términos de estas fracciones

son cuatro números consecutivos, de los cuales los dos menores son de la fracción propia. Hallar la suma de las cifras decimales periódicas de la mayor fracción. a) 25

b) 26

c) 27

d) 28

1.-Se reparten naranjas entre cuatro amigas. A la primera le tocó ¼ del total; a la segunda 1/8; a la tercera 1/12 y a la cuarta le tocó 6 naranjas más que a las otras tres juntas. ¿cuántas naranjas le tocó a la tercera amiga?

e) 29

a) 42

b) 39 c) 6

d) 56

e) 36

2 5

2.-Si los de los docentes de un colegio son varones. Si 3 5

15 de las docentes mujeres son solteras y los de las mismas son casadas ¿Cuál es el número de docentes? a) 80

b) 70

c) 50

d) 40

e) 30

3.-El papá de Rodolfo, gastó 1/3 de lo que no gastó.

5. El abuelito de Isabel gana S/. 500 de pensión. 3 3 Gasta de esta cantidad en medicinas, del 10

5

1

resto en alimentos y de lo que se queda en 5 propinas para sus nietos. Entonces le queda.

a) 50

b) 70

c) 98

d) 112

¿Cuánto gastó el papá de Rodolfo, si inicialmente tenía S/.120?

a) 90

b) 60

c) 50

d) 40

e) 30

e) 138 4.-Martín tiene S/.66 y le regalan 2/3 de ese dinero. Si después gasta 4/5 del total. ¿Cuánto dinero le queda?

a) 36

b) 28 c) 24

d) 22

e) 18

5.-Estando vacío un tanque y cerrado el caño del desagüe, Se abren 3 caños y el tanque se llena en una hora. Si únicamente se hubieran abierto 2 caños, el tanque habría tardado 2 horas en llenarse. ¿Cuánto tiempo tarda en llenar el tanque, el tercer caño?

a) 1 h

b) 2 h

c) 3 h

d) 4 h

e) 5 h

Pá gina 71

Aritmé tica I - SECUNDARIA

PREGUNTAS DE CONCURSOS Y EXAMEN DE ADMISIÓN 1.En un molino había cierta cantidad de toneladas de harina y de éstas se vendió la cuarta parte. Luego se vendió la tercera parte del resto, quedando por vender 24 toneladas ¿Cuántas toneladas de harina había inicialmente? (ONEM) a) 12

b) 20

c) 24

d) 36

Sabias que.

e) 48

2.Una fracción irreductible tiene denominador 2. Si a esta fracción le restamos 13/6 se obtiene la inversa de la fracción con signo opuesto. Determine el numerador de la fracción. a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6 (UNMSM) 3. Halle el número de elementos de la clase de equivalencia de 7/11 de modo que el numerador tenga 3 cifras y el denominador 4. (UNI) a) 50 b) 51 c) 52 d) 53 e) 5 4. Halle la suma de las cifras periódicas y no periódicas del decimal equivalente a 8/3000. . a) 8 d) 15

b) 6 e) 11

c) 3 (UNMSM)

2

5. Si a b a + b = Calcula el mayor valor que puede 2 tomar x en la siguiente ecuación ??? 2) 1 2 + 2 3 + 3 4 = 2 (x 2? a) 2

b) 4

c) 6

d) 8

e) 10

(ONEM)

Pá gina 72

Aritmé tica I - SECUNDARIA

se cumple que

se cumple que

se cumple que

se cumple que

definición defecto

defecto

n

Pá gina 73

Aritmé tica I - SECUNDARIA

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN SITUACION INICIAL Un campo mide 189 metros de largo y 84 metros de ancho.¿Cunato hay que disminuir la longitud y aumentar la anchura para formar un cuadrado de idéntica superficie? El cuadrado de igual superficie tendrá de lado 15876 =......

n

() a b

Disminución de longitud 189---------=......... Aumento de anchura: 126-...........=

POTENCIACIÓN

Es la operación matemática que consiste en multiplicar por sí mismo un número llamado base, tantas veces como lo indique otro número llamado exponente, obteniendo como resultado un número llamado potencia. n

K =N

K l K l K ... K

K = Base n = Exponente N = Potencia

an bn Base

2 .Realiza correctamente operaciones entre conjuntos

k

81 = 92

N=KlKlK

Potenciación en Z a) Cuando la base es positiva Ejemplos: 4 v (+3) = (+3) (+3) (+3) (+3) = +81 3 v (+4) = (+4) (+4) (+4) = +64 b) Cuando la base es negativa Ejemplos: 4 v (–5) = (–5) (–5) (–5) (–5) = +625 3 v (–9) = (–9) (–9) (–9) = –729

3

ü Leyes formales de la potenciación Averigüemos acerca de la Aritmética:

23 x 25 x 2–6 = 22 3

729 = 272

Cubo perfecto (K ) Si el exponente es múltiplo de tres, tendrá un cubo perfecto. 3

3. Iden fica las propiedades de las operaciones con conjuntos resolviendo y graficando ejercicios.

33 27 æ 3ö * ç- ÷ = - 3 = 64 4 è 4ø

v

Cuadrado perfecto (K ) Si el exponente es múltiplo de dos, dan un cuadrado perfecto. N = K2 N=KlK

.

=

Ejemplos:

2

N = K3

Exponente

a. Producto de bases iguales

“n” veces

Ejemplos: 16 = 42

INDICADORES DE LOGRO: 1. Formula ejemplos sobre determinación de conjuntos diferenciándolos

Ejemplo: 2 52 25 æ 5ö * ç+ ÷ = + 2 = + 36 6 è 6ø

DEFICINICION

Donde:

CAPITULO 8

Potenciación en Q Es una multiplicación de fracción por si misma, se puede expresar en forma de potencia.

4

-5

5 5 5 v æ- ö æ- ö æ- ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ è 6ø è 6ø è 6ø

3+4-5

æ 5ö = ç- ÷ è 6ø

=+

52

62

2

æ 5ö = ç- ÷ è 6ø =+

25 36

https://www.youtube.com/watch?v= b7qcTe7CFeY&spfreload=10 https://www.youtube.com/watch?v= YVfw1Bf0e0U

Ejercicios resueltos de aritmética en video:

b. Cociente de bases iguales

https://www.youtube.com/watch?v= fQueEftduFA

Ejemplos: v

45 = 45 -3 = 42 = 16 43

v

(-8 ) 2 - (-1) 3 = (-8 ) = (-8 ) -1 (-8 )

Averigüemos acerca de la teoria de conjuntos:

2

c.

Averigüemos acerca de la teoria de conjuntos:

= -512

https://www.youtube.com/watch?v= DcrNJczhfZs

Potencia de potencia

https://www.youtube.com/watch?v= DcrNJczhfZs

Ejemplos: v

2

é(-2 )3 ù = (-2 )3´2 = (-2 )6 = 64 ë û é êé ê ëê ë

(( 4 ) ) 2

4

3

1 ù 1 2´4´ ´3 3 ù8ú 8 = 4 = (4 ) = 64 ( ) ûú ú û

Pá gina 74

d. Exponente cero v(-7 ) = 1 0

{

9 v éë (-12 ) ùû

8

} 0

Aritmé tica I - SECUNDARIA

b) Cuando el índice es impar. 3 * -8 = -2

5 * -243 = -3

=1

e. Exponente negativo.- Se invierte la 2

v

3

12 1 æ 1ö =ç ÷ = 2 = 3 9 3 è ø

-2

-1

v

1

4 æ 5ö æ 4ö ç- 4 ÷ = ç- 5 ÷ = - 5 è ø è ø

RADICACIÓN

Es aquella operación inversa a la potenciación, en la cual, dada dos cantidades; radicación e índice; se busca una tercera cantidad llamada raíz que elevado a un n

N : Radicando n : Índice k : Raíz

Donde:

Ejemplo:

N = k Û N = kn

C. Raíz de un producto

* 4 · 9 · 25 = 4 ´ 9 ´ 25 = 2 ´ 3 ´ 5 = 30 *3 27 ´ 125 = 3 27 ´ 3 125 = 3 ´ 5 = 15

D. Raíz de un cociente *

4 = 9

*3

64 = 343

49 = 7

83 = 512 Þ

3

= 3

3

2 3

64

343

=

4 7

E. Raíz de una potencia 4

4 2 * 3 = 32 = 3 = 9 3 * 8

6

6

= 8 3 = 8 2 = 64

F. Raíz de una raíz * *

72 = 49 Þ

4 9

3

4096 = 12

16

12 12

2

16 = 12 8

=2

= 122 = 144

512 = 8

OBSERVACIÓN * Si el índice es dos, se tendrá una raíz N = k Û N = k2

*

Si el índice es tres, se tendrá una raíz 3

N = k Û N = k3

Ejemplos: * 23 = 8 ® 3 8 = 2

25* = 32 ® 5 32 = 2

PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN A. Raíz de un número entero positivo a) Cuando el índice es par. 9 = ±3 ;

6

729 = ±3

b) Cuando el índice es impar. 3

8 =2;

3

512 = 8

B. Raíz de un número entero negativo a) Cuando el índice es par. * -16

su raíz es imaginaria.

* 4 -81

su raíz es imaginaria.

75

Aritmé tica I - SECUNDARIA

I

BLOQUE

1. Si: abba = k3

1.-Completa la siguiente tabla:

Hallar: b – a

Resolución º

Se deduce que abba = 11 = 11n

()

11n = k3 n= 11² . t3 Reemplazando:

abba = 113.t3

Resolución

abba = 1331t3 (

Dando valores a “t” deducimos que si:

)

(

t=1

)

3.-Resuelve:

Þ abba = 1331 \ b – a =3-1= 2 2.- ¿Cuántos números cuadrados perfectos de 3 cifras en base 6 existen?

A)

(- 12 )( 12 ) (- 32 ) =

B)

(- 57 ) x (- 23 ) x (- 56 ) x (- 67 ) x (- -23 )

abc 6 = k²

Sabemos que: 1006 £ abc 6 < 10006 36 £ k² < 216 6 £ k < 14, a

13

17

=

Resolución

(

Resolución Del problema

17

)

4.-Resuelve:

A)

(- 32 ) x (- 32 ) = 3

2

-1

2

2

B) (- ) x (- ) x (- ) x (- ) = 1 5

-1

1 9

-9

1 7

-1

1 4

-1

Resolución

{

k tomará {6,7,8,...14} 9 valores

\ Habrá 9 números

5.-Calcular

0.25

a) 0,1 b) 0,2 c) 0,4 d) 0,5 e) 0,6

Pá gina 76

6.- Calcular : a) 0,2

Aritmé tica I - SECUNDARIA

9. - Simplificar:

0.36

b) 0,4

c) 0,6

d) 0,8

e) 0,9

( 0,064 +

0,81

3

a) 160/10

b) 169/100

d) 15/10

e) 12/15

)

2

c)49/100

Resolución:

æ ö 7.-Simplificar çç 3 0,037 + 0,4 ÷÷ è ø

a) 1

b) 6

c) 8

d) 10

10. - Simplificar:

2

a) 1,1 b) 2,6

( 0,125 + 3

c) 2,744

3

0,729

d) 2,8

)

3

e) 3,5

e) 12

Resolución: Resolución:

BLOQUE

8.-Calcular: M = a) 4,79

b) 4,89

Resolución:

99, 444... + 0,555... 4,6111... - 0,6111...

c) 4,99

d) 5

e) 5,25

1.- Hallar (a + b) si: a) 7 b) 8

c) 9

II 22ab

es un cuadrado perfecto.

d) 10

e) 11

Resolución:

Pá gina 77

Aritmé tica I - SECUNDARIA

????????? es un cuadrado perfecto. 2.- Hallar (mxn) si: 31mn 31????

a) 17

b)1 8

c)1 9

d) 20

e) 21

5.- un coronel que tiene 1152 hombres quiere formar con ellos un cuadrado de centro vacío que pueda contener 42 hombres de cada lado. Determinar cuántos hombres habrá en la fila exterior del cuadro

y cuántas filas formarán

a) 45 hombres y 6 filas d)36 y 10

b) 48 y 8

c)54 y 9

e) 49 y 8

3. Hallar el número menor posible por el que ha de multiplicarse el número 267 750 para que sea cuadrado perfecto. a) 1170

b)1 190

c) 1900

d)1270

e) 1821

6.- Un coronel de un regimiento quiere formar un cuadro con sus soldados. Si forma un cuadrado compacto le sobran 96 soldados; pero dejando un hueco en el interior puede poner 3 hombres más en la fila exterior sin que le falte ni sobre gente. Hallar cuantos soldados tiene, si para llenar el centro 4.- Hallar el número menor posible por el que ha de multiplicarse el número 15120 para que sea

Vacio le hacen falta 225 hombres. a) 1970

b)1 190

c)2800

d) 2700

Cuadrado perfecto. a) 75

b) 85

d)105

e) 115

c)95

Pá gina 78

e) 2821

7.-

Si:

aba (b - 1) = k 2 .

a) 88

b) 81

c) 82

Aritmé tica I - SECUNDARIA

Hallar: ab d) 94

e)

10.- Para pavimentar un patio cuadrado se emplean losetas de 50 x 50cm. Si el patio tuviera un metro más por cada lado se habrá necesitado 140 losetas más. ¿Cuánto mide cada lado del patio? a) 12

b) 12,50

3

BLOQUE

c) 19.50

d) 16

e) 17

8.- ¿Cuántos cubos perfectos existen en: 15.18.1; 15.18.2, 15.18.3,....15.18.7000? a) 8

b) 4

c) 12

d) 15

e) 9

1.-Si: 5ab y 7ab son cuadrados perfectos. Hallar (a - b) 9.- Hallar un cubo perfecto de 5 cifras de tal manera que la suma de sus cifras de ordenes impares sea 19 y que la suma de las cifras de ordenes pares sea 8. dar la cifra de las centenas. a) 6

b) 7 c) 9

d) 8

e) 5

a) 7 b) -7

c) 6

d) 3

e) 4

2

2.-Si: 9ab4 = mn , hallar (a+b+m+n) a) 23 b) 24 c) 26

d) 33

e) 30

3

3.- Si: N = abcde tal que: a + c + e = 19 b+d=8 Hallar a . b a) 21 b) 18 c) 20

d) 12

e) 15

Pá gina 79

Aritmé tica I - SECUNDARIA

4.- Si: 21ab y 29ab son cuadrados perfectos. Hallar a.b a) 6 b) 12 c) 20 d) 36

e) 18

5.- Si: abcd es un cuadrado perfecto y cd = 8xab , hallar (a+b+c+d)

TAREA # 8 1.Ramón tiene una cantidad igual a A que es igual a la cantidad de dinero que tiene en el bolsillo , y su deuda es igual al producto de la raíz cuadrada de A, Hallar cuanto es la cantidad que le queda después de pagar su deuda

A = 55225

a) 165

consecutivos es 295. ¿Cuáles son dichos números? a) 124 y 125

b) 117 y 118

d) 147 y 148

e) 152 y 153

1.- Considere los tres menores números naturales consecutivos de tres cifras, cuya suma es un cuadrado perfecto. La menor cifra del mayor de esos tres números es: a) 0 b)1 c)2 d)3 e) 4 (UNI) 2. N = ababab y M el menor número tal que el cociente N entre M, es un cuadrado Perfecto La suma de las cifras de M será

b) 175 c) 185 d) 195 e) 205

2.- La edad de Armando es igual a la suma de M+N.

a) 2

b)3

c)4

d)5

M = 3 343 2

N=

2

Hallar la edad de armando. b) 17

c) 18

d) 19

e) 20

3.- Hallar la suma de el numerador y denominador de A =

3

3.- Se quiere cercar un terreno de 2 forma cuadrada cuya superficie es de 15625 m Con una cerca de tres hileras de alambre. Se desea saber cuánto costará toda la obra si el metro de alambre cuesta S/. 15,50 y la mano de obra total: S/. 4225,00 a) 11975

b)2325

c)26925 d)27675

e)27475

(UNI)

0,296

a) 3

e)6 (UNI)

6+8

a) 16

c)135 y 136

PREGUNTAS DE CONCURSOS Y EXAMEN DE ADMISIÓN

a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20

Si :

5.- La diferencia de dos cuadrados de dos números

b) 4

c) 7

d) 5 e) 6

4.- Si Rosario tiene una edad igual al valor de

4.- Se compra cierto número de relojes por 5625 dólares, sabiendo que el número de relojes comprados es igual al precio de un reloj en dólares ¿Cuántos relojes se han comprado?

a) 70

b) 75

c)90

d) 85

e) 65

(UNI)

4

M = 160000 y patricia tiene una edad igual a R = 33 , hallar la diferencia de sus edades a) 12

b) 11

c)9

d) 8

e) 7

5.- Hallar los cuadrados perfectos de la forma

n 2 = aabb e indicar: si a + b a) 15

b)13

c)17

d)19

e)11

Pá gina 80

Aritmética I - SECUNDARIA

LA HERENCIA Jotar y su alumno viajaban por el desierto en un solo camello montando uno a la vez sobre el animal; en su camino se encontraron con cuatro hermanos que discutían por lo cual Jotar decidió intervenir. “Saludos amigos míos”, ¿podría saber el motivo de su discusión? Preguntó Jotar; uno de los hermanos replicó: “He aquí que somos cuatro hermanos a las cuales nuestro padre dejó estos 31 camellos como herencia, siendo lo único de valor que poseemos, nuestro padre antes de morir dijo que la mitad de estos camellos sea para mi que soy el mayor, la mitad del resto para mi segundo hermano, la mitad de lo que sobre para mi tercer hermano y así hasta llegar a mi cuarto hermano. Pero sucede que la mitad de 31 es 15 y medio y la mitad del resto es 7 y cuarto y la mitad de lo que sobra es 3 y 5/8 y así sucesivamente, pero mis hermanos menores reclaman para ellos un animal más para ellos y que yo reciba solo 15 porque a decir de ellos ya tengo muchos”. “Bueno, intervino Jotar; permítame que yo juzgue”, “está bien” respondieron los cuatro hermanos, “pero antes permítanme agregar mi camello a su herencia”, “estás loco maestro” intervino el alumno de Jotar “¿Cómo viajaremos luego?”; “confianza” le dijo Jotar. “Bueno ahora tenemos 32 camellos en la herencia”; pasó el hermano mayor y Jotar dijo: “La mitad de 32 es 16 pero antes te correspondían 15 y medio, toma ahora los 16 camellos, creo que salistes ganando” “Si y muchas gracias” replicó el hermano mayor. “Ahora restan 16, la mitad de 16 es 8 que es lo que te corresponde ahora y no 7 y cuarto creo que tu también sales ganando en este negocio” le dijo al segundo hermano que también quedo complacido. “Ya solo quedan 8 camellos, siendo 4 la mitad. Por lo tanto toma ahora los 4 que te corresponden” le dijo al tercer hermano. “Por último a ti que eres el menor te corresponde la mitad de 4 que es 2”.

“Entenderán que mi juicio fue justo pues todos salieron ganando, además restan dos animales, uno de ellos era el que agregó mi alumno y el otro coincidirán que sería el pago justo por mi juicio”. “Así es” exclamaron muy satisfechos los hermanos los cuales se despidieron muy agradecidos de Jotar y es así que Jotar y su alumno pudieron viajar por el desierto montados esta vez cada uno en un camello.

Página 81

Aritmé tica I - SECUNDARIA

Pá gina 82

Aritmé tica I - SECUNDARIA

RAZONES Y PROPORCIONES SITUACIÓN INICIAL En una elección reciente para elegir al delegado del primer año de secundaria de un total de 180 alumnos, Manuel recibió 126 votos. Demuestra si cada enunciado es verdadero: a) La razón del numero de alumnos que votaron por Manuel al numero de que votaron por Eduardo es como 3 a 7. b) La votación obtenida poe Eduardo es igual al 30%. c) Un 40% mas de personas votaron Manuel que Eduardo

a) Votaron por Eduardo = E =___= ___ Votaron por Manuel b) E x 100% = ___x 100% = ___x 100% = E +M c) ( M E ) x 100% = ( ) x 100% E+M

E+M

PROPORCIÓN: Es la igualdad de dos razones del mismo tipo. Representaremos dos tipos: *Proporción aritmética PROPORCIÓN ARITMÉTICA 15 - 11= 4 10 - 6= 4 1º 2º

RAZÓN Se llama razón a la comparación de dos cantidades ya sea por diferencia o por división. Razón aritmética: Es una comparación mediante la sustracción. Ejemplo: En un auto se observa que hay 50 mujeres y 20 varones. Antecedente 50 - 20 = 30

Razón Matemática

(suma de términos extremos)

Consecuente Se dice: * M y H están en la relación de 5 a 2. * M es a H como 5 es a 2. * La razón de M y H es 5/2. * M y H son proporcionales a 5 y 2.

3. Aplica las propiedades de las proposiciones en la solución de ejercicios y problemas

Donde: -Antecedentes: 15 y 10 -Consecuentes: 3 y 2 Se cumple: 15 x 2

11+10 Producto

=

Producto

(suma de términos medios)

(suma de términos extremos)

3 x 10 Producto

=

(suma de términos medios)

Averigüemos acerca de Razones y Proporciones: https://www.youtube.com/watch?v= I2bs2KlSTKA

CLASES DE PROPORCION

Segun los valores de los terminos medios https://www.youtube.com/watch?v= pueden ser: U0QmRW8N4ag *Proporcion discreta (los 4 terminos diferentes ) *Proporcion continua (terminos medios Ejercicios resueltos de iguales) en video: PROPORCIÓN ARITMÉTICA a-b=c-d b=c d: Cuarta diferencial de a, b y c

https://www.youtube.com/watch?v= zWlnzZ0a_d0 https://www.youtube.com/watch?v= hlt7r4MuVWs

a b = b c b: Media proporcional de a y c

b: Media diferencial de a y c b=

PROPORCIÓN GEOMÉTRICA a c = ; (b ¹ c) b d d: Cuarta diferencial de a, b y c

a-b=c-d

CONTINUA

50 = 20

=

3º 4º

15 10 = 3 2

Términos medios

Términos extremos Donde: -Antecedentes: 15 y 10 -Consecuentes: 11 y 6 Se cumple:

Antecedente M H

6

Términos medios

=

2 .Compara y discrimina los diferentes pos de proporciones.

10 =5 2

Términos extremos

1º 2º

Términos extremos

DISCRETA

Razón geométrica.- Es una comparación mediante la división:

4º

15 - 11 = 10 -

Consecuente Interpretamos: M excede a H en 30.

3º

PROPORCIÓN GEOMÉTRICA 15 =5 3

INDICADORES DE LOGRO: 1. Iden fica y diferencia entre una razón aritmé ca y otra geométrica.

*Proporción geométrica

15+6 Producto

DEFINICIÓN

CAPÍTULO 9

a+c 2

b = a´c

c: Tercera diferencial de a y b

c: Tercera proporcional de a y b

PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES

Dados: a-b= c-d a±b

=

a c = b d

c±d

Pá gina 83

Aritmé tica I - SECUNDARIA

a+b c+d = a–b c–d a+c a c = = b+d b d a+c b+d = a–c b–d

Þ

a c e = = =K b d f a+c+e a c e = = = =K b+d +f b d f

a b c d = = = =k b c d e Þ

I

BLOQUE

1- Las edades de Juan y Raúl son como 8

es a 5 y la diferencia de sus edades es 12 años. ¿Cuál es la edad de Raúl? a) 16 b) 20 c) 25 d) 28 e) 30

a´b´c ´d a = k4 Þ = k4 b´ c ´ d´ e e

ACTIVIDAD: Anotar en el cuaderno aquellas operaciones que den ideas de razones. Deben trabajar en grupos de 2, 3 o 4 para ampliar la visión del tema.

1.- En un concurso de matemáticas hay 28 alumnos varones, si la razón entre alumnos varones y mujeres es como 4 es a 3. ¿Cuántos alumnos participan en el concurso de matemáticas? Resolución:

V=4 M 3

28 x 3 = 4 x M

M = 28 x 3 = 21 4

Alumnos participantes = Varones + Mujeres Alumnos participantes = 28 + 21 Alumnos participantes = 49 Rpta.

2- La cantidad de caramelos que tienen Rosa y Alicia son entre sí como 4 es a 9 y su suma es 117.Calcular ¿Cuántos caramelos tiene Alicia? a) 36 b) 63 c) 72 d) 81 e) 91

2.- A la celebración del aniversario de un colegio, asistieron 1260 personas; por cada 4 varones hay 5 mujeres. ¿Cuántas parejas deben retirarse para que las cantidades de varones y mujeres que quedan, se encuentre en la relación de 3 a 7? Resolución: V=4xn M 5xn

4n + 5n = 1260 9n = 1260 n = 140 V = 4 x 140 = 540 M 5 x 140 700

3.- Las edades de Isabel, Naomi y Gabriela están en la razón de 5; 4; y 7. ¿Qué edad tiene Naomi, si las suma de las edades de Isabel y Gabriela es 36? a) 8 años b) 10 años d) 15 años e) 18 años

c) 12 años

Se retiran “a” parejas V–a=3 M–a 7

3 = 540 – a 7 700 – a

3 x 700 – 3 x a = 7 x 540 – 7 x a 7a – 3a = 3780 – 2100 4a = 1680 a = 1680 = 420 Rpta.

Pá gina 84

Aritmé tica I - SECUNDARIA

4.- En una fiesta hay 20 hombres, si la razón entre mujeres y hombres es como 4 es a 5. ¿Cuántas personas hay en la fiesta? a) 20

b) 24

c) 28

d) 32

e) 36

7.- En un salón de clase el número de varones, es al número de mujeres como 3 es a 5; si se considera al profesor y a una alumna menos, la nueva relación será de 2/3, hallar cuántas alumnas hay en el salón. a) 15 b) 18 c) 20 d) 25 e) 30

5.- Si: B – A = 2 y A2 = B2 16 25

8.- La relación entre las edades de dos hermanos

Hallar el valor de: 5A + 3B AxB

es, actualmente 3/2. Se sabe que, dentro de 8

a) 3 5

actual del hermano mayor?

b) 4 5

c) 5 7

d) 7 8

años, dicha relación será 5/4. ¿Cuál es la edad

e) 8 9

a) 6

b) 8

c) 12

d) 15

e) 18

9.- Se tiene la siguiente serie de razones geométricas iguales. 6.- Si:

a = b = c 3 7 11

4a + 5b = 7 2a - b 3

Hallar la razón geométrica entre “a” y “b” a) 7

b) 9

c) 11

d) 13

e) 14

Halle la suma de los antecedentes Si:

2a + 5b - c = 120

a) 64 b) 70 c) 72 d) 78 e) 84

Pá gina 85



Aritmé tica I - SECUNDARIA

10.- María y Patricia, quienes se encuentran separados 240 metros, parten al encuentro con velocidades que están en la relación de 7 a 5. Cuando estén separados 120 metros, ¿Cuál será la diferencia de los recorridos? a) 20 b) 30

c) 40

d) 50

2.-El perímetro de un rectángulo es 110 cm. y la razón entre sus lados que forman un ángulo de 90° es 3/8. Calcular el área del rectángulo. a) 300 cm2 b) 600 cm2 c) 900 cm2 d) 1000 cm2 e) 1200 cm2

e) 60

3.- En una proporción geométrica continua, la suma de los extremos es 74 y su diferencia es 24. Hallar la suma de cifras de la media proporcional.

BLOQUE

II

a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

e) 10

1.- El perímetro de un triángulo rectángulo es 240 cm. Y la razón entre sus catetos es de 5 a 12. Calcular el área del triángulo rectángulo. a) 1920 b) 2040 c) 2080 d) 3120 e) 4995

4.- En una proporción geométrica continua, la suma de dos términos de la primera razón es 20 y la suma de dos términos de la segunda razón es 30. La media proporcional es: a) 4

b) 6

c) 9

d) 12

e) 15

Pá gina 86

Aritmé tica I - SECUNDARIA

5.- La razón del precio de dos televisores de diferente

7.- De la proporción m = p se sabe que: n q

marca es 9/7 y la diferencia de sus precios

m + n = 35 p + q = 45 n + q = 32

es s/. 356. Hallar el precio del televisor de menor costo.

Hallar el valor de “m”

a) s/.1196 b) s/.1246 c) s/.1602 d) s/.2848 e) s/.356

a) 12

6.- La cantidad de tres aulas es 73, si la razón entre la primera aula y la segunda es 5/7 y la

b) 14

c) 18

d) 21

e) 40

8.- Si: a = 4 además 4a - b = 135 b 7 a) 105

b) 135 c) 145 d) 165 e) 175

diferencia de la s mismas es

8, hallar la cantidad de alumnos de la tercera aula. a) 20

b) 24

c) 25

d) 28

e) 40

9.- Las edades de cuatro alumnos dominguinos son: 16; 8; 10 y 4 años. ¿Dentro de cuántos años sus edades formarán una proporción geométrica en ese orden? a) 4

b) 6

c) 8

d) 10

e) 12

Pá gina 87

Aritmé tica I - SECUNDARIA 10.- Isabel una vendedora de libros, observa en su mercadería que por cada 5 libros de aritmética hay 4 libros de algebra y por cada 7 libros de algebra hay 3 libros de geometría. Si en total tiene 450 ¿En cuántos excede el número de los

3. En una proporción geométrica discreta, el producto de los antecedentes es 108 y su diferencia es igual al doble del menor de los antecedentes, Si la suma de los 4 términos de la proporción es 144, hallar el menor de los consecuentes. a) 24

b) 28

c) 30

d) 32

e) 36

libros de aritmética al número de libros de geometría? a) 98

b) 112

c) 124

d) 132

e) 138

4.-En una fiesta familiar, el número de mujeres que bailan y el de varones que no bailan están en relación de 3 a 4 respectivamente. Si asistieron 50 mujeres y 70 varones ¿Cuantas mujeres no bailan ? a) 10 d) 30

BLOQUE

III

1. Maritza y Roberto salen al encuentro uno al otro con velocidades que están relación de 5 a 7 respectivamente conversan durante cierto tiempo y después cada uno regresa a su casa con velocidades que son entre si como 6 es a 9. ¿Quién llega primero? Si al inicio estaban separados 7200 m. a) Maritza, 800

b) Roberto, 600

c) Maritza, 600

d) Roberto, 200

e) Roberto 100 2. Se encienden 3 cirios de igual material y diámetro, cuyas longitudes están en progresión aritmética de razón 18 c.m. Después de cierto tiempo, sus longitudes son entre sí como 3,2y 1; y 10 minutos, después se consume el más pequeño, ¿Cuál era la longitud del más grande si el segundo empleo 1 hora en consumirse totalmente? a) 96 c.m

b) 108 c.m

d) 144 c.m

e) 162 c.m

b) 20 e) 40

c) 25

5.-Un deposito contiene 12 litros de alcohol “p” y otro deposito contiene 36 litros de alcohol “q”. ¿Cuántos litros deben intercambiarse de manera que en ambos depósitos haga el mismo grado? a) 15 L d) 18 L

b) 17 L e) 20 L

c) 12 L

TAREA # 9 1.-Las edades de Juan y Raúl son como 8 es a 5 y la diferencia de sus edades es 12 años ¿Cuál es la edad de Raúl? a) 12

b) 16

c) 20 d) 24

e) 28

2.-El sueldo de un obrero y sus ahorros esta en la relación de 9 a 2. Si en el mes de octubre sus gastos fueron S/.840 ¿Cuál fue el sueldo percibido por el obrero? a) S/.960 d) S/.1260

b) S/.1080 e) S/.1320

c) S/.1240

3.-Gerardo y Roger pintaron una casa por S/.1200. Si Gerardo trabajo 15 días y Roger trabajo 25 días, ¿Cuánto recibió Roger por su trabajo? a) 350 b) 850 c) 450

d) 550

e) 750

c) 126 c.m

Pá gina 88

Aritmé tica I - SECUNDARIA

4.- La cantidad de dinero que tienen Ana y María están en relación de 3 a 4 respectivamente ¿Qué cantidad tiene María , Si juntas tienen 126?

a) S/.48 b) S/.56 c) S/.720 d) S/.80 e) S/.84 5.- En un salón de clases de 28 alumnos, la relación de alumnos aprobados y desaprobados en el curso de aritmética es de

3 4

respectivamente ¿Cuál es la

cantidad de alumnos aprobados? a) 9 b) 12 c) 15 d) 18

e) 16

4.-La población de peces en un estanque aumenta a razón del 20% anual. Al final del segundo año se tiene una población de P2 peces. Al final del tercer año, la población P3 se ajusta a la siguiente proporción.

P2 = P3 3 4,5

Si la población inicial Po fue 200 peces, entonces P3 es: a) 330

b) 360

d) 480

e) 432

c) 420

(UNI)

PREGUNTAS DE CONCURSOS Y EXAMEN DE ADMISION 1.-La edad actual de Pedro es igual a la mitad de la edad de Luis. Hace 12 años la edad de Pedro era la cuarta parte de la edad de Luis . ¿Hace cuantos años la edad de Pedro

5. Un cilindro contiene 5 galones de aceite más que otro. Si la razón del número de galones del uno al otro es de 8/7 ¿Cuántos galones de aceite hay en cada uno? a) 28 y 23

b) 42 y 47

d) 21 y 26

e) 56 y 61.

c) 35 y 40

era la tercera parte de la edad Luis? a) 6

b) 6

c) 10

d) 12

e) 10 (ONEM)

2.-Si : a = b = a + b a - b ; m-n=16 m

n

4

Calcule la media proporcional más la media 2

diferencial de a y b.2 a) 20

b) 30

c) 32 d34

e) 36

3.-En una serie de cuatro razone geométricas iguales con constante de proporcionalidad positiva, lo antecedentes son 2;3;7 y 11. Si el producto de los consecuentes es 37422, halle la constante de proporcionalidad de la serie. a) 1/ 2 b) 2/3

c) 2/9 d1/3

e) 2/7 (UNMSM)

Pá gina 89

Aritmé tica I - SECUNDARIA

es

es

ejemplo

ejemplo

pueden ser

consisten en que

consisten en que

se cumple que

se cumple que

propiedades

Pá gina 90

Aritmé tica I - SECUNDARIA

MAGNITUDES PROPORCIONALES SITUACIÓN INICIAL Es un dia de verano. Eduardo de 160 cm de altura , proyecta una sombra de 100 cm. ¿ Que altura tendra un edificio que a la misma hora proyecta una sombra de 800 cm

Resolución

CAPITULO 10

Definición

INDICADORES DE LOGRO:

MAGNITUD.

1.

Es todo aquello susceptible de variación (aumento o disminución) y que puede ser medido.

1. Define y representa creativamente y con actitud critica.

2 . Compara y define magnitudes directamente proporcionales

Magnitudes proporcionales Dos magnitudes serán proporcionales si son dependientes entre sí, es decir, si una de ellas varía, la otra también varía en la misma proporción.

3. Aplica y resuelve magnitudes inversamente proporcionales

CLASES DE MAGNITUDES. 160 c.m.

100 cm.

Longitud normal

160 x

Magnitudes directamente proporcionales (MDP) También denominados proporcionales; dos magnitudes A y B son directamente proporcionales (DP) cuando el cociente entre sus valores correspon-dientes es una constante. E s d e c i r, A y B s o n d i r e c t a m e n t e proporcionales si: A = k (constante); también A = k l B B

Longitud de la sombra 100 800

Se lee: A es directamente proporcional a B. Esto significa que cuando A se duplica, triplica, cuadruplica, etc. B también se duplica, triplica, cuadruplica, etc. Notación: D.P. o a

Magnitudes

A B

(longitud normal) DP (longitud sombra)

a2

a 3 a4

...............

an

b1

b2

b 3 b4

...............

bn

longitud normal longitud sombra

A

= cte.

https://www.youtube.com/watch?v= OgboG47LfBM

Ejercicios resueltos de magnitudes en video:

De ello ocurre: A

https://www.youtube.com/watch?v= LBPKrEeftuA

Valores correspondientes a1

Si: A D l P l B < > A a B

800 cm

https://www.youtube.com/watch?v= iKRTS_qOpBU

https://www.youtube.com/watch?v= i6n1JulU2GU

Valores numéricos:

x

Averigüemos acerca de Magnitudes:

Más (+)

.............................

Más (+)

https://www.youtube.com/watch?v= LBPKkEeftuA

Menos ............................. Menos

Reemplazando 160 100

=

x 800

Entonces

x=

Pá gina 91

Aritmé tica I - SECUNDARIA

Ejemplo: Un automóvil recorre un tramo con una velocidad de 20km/h se demoró 8h si duplica su velocidad, entonces se demorará.

Ejemplo: Si dos cuadernos cuestan S/. 6, ¿cuánto costarán 6 cuadernos?

Solución: Como duplica su velocidad se demora menos tiempo en recorrer el mismo tramo; específicamente la mitad del tiempo; es decir:

Solución: Como el número de cuadernos se ha triplicado, también el costo se triplica. Es decir : 3 x S/. 6 = S/. 18 Podemos llenar un cuadro con algunos datos. Magnitudes Costo Nº cuadernos

Valores correspondientes 6 12 18 24 2 4 6 8

Del cuadro observamos que si dividimos el costo de cuadernos, se obtiene una cantidad constante, en este caso es 3.

8 h = 4h 2 Llenamos un cuadro con algunos datos:

Magnitudes Velocidad Tiempo

Valores correspondientes 20 40 80 ..... 8 4 2 .....

Graficamos:

A

Graficamos:

Velocidad

80

A Costo 24 18 6 2

4

6

8

B

Cuade rnos

40

12

20 2

10.2.2. Magnitudes inversamente proporcionales (MIP).- Dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales cuando el producto entre sus valores correspondientes es una constante. Es decir: A y B son inversamente proporcionales k A l B = k (constante); también A = B Se lee: A es inversamente proporcional a B. Esto significa que al duplicarse A; B se reduce a su mitad. Si A se cuadruplica, B se reduce a su cuarta parte, etc. -1 Notación: I.P. ó a -1 Si: A.I.P.B. < > A l a B De ello ocurre: A

Más (+)

................................... Menos (-)

A Menos ................................... (-)

B

Más (+)

4

8

Tiempo

REGLA DE TRES La regla de tres es una aplicación aritmética que permite calcular valores desconocidos para luego comparar varias magnitudes. Se clasifican en: I.

II.

Simples a 2 magnitudes

a) Directa b) Inversa

Compuestas (más de 2 magnitudes)

REGLA DE TRES SIMPLE Es cuando al comparar, intervienen solo dos magnitudes, a su vez puede ser: a) Directa: Cuando las magnitudes son directamente proporcionales. Magnitud (1) a1 a2 Luego:

a1

b1

(D.P.)

=

a2 x

Þ x=

Magnitud (2) b1 x b1 · a2 a1

Pá gina 92

Aritmé tica I - SECUNDARIA

b) Inversa: Cuando las magnitudes que intervienen en el problema son inversamente proporcionales. Magnitud (1) a1 a2 Luego:

(I.P.)

Magnitud (2) b1 x

a1 · b1 = a2 · x Þ x =

b1 · a1 a2

REGLA DE TRES COMPUESTA Cuando intervienen más de dos magnitudes. A

B

C

D

E

a1

b1

c1

d1

e1

a2

b2

x

d2

e2

(D)

(I)

(I)

(D)

velocidad x tiempo = cte 30 km /h x 4h=60km/h t= 2h

Entonces:

30 km/h x 4h = V x T V = 60 km/h Rpta.

d ( distancia) = 30 km/h x 4 h = 120 km 2.- Adolfo pintó una pared cuadrada en 30 minutos. Si ahora está pintando otra pared cuyo lado es el cuádruplo del anterior, ¿En cuánto tiempo

x = c1 ´

a2

a1

´

b1

b2

´

d1

d2

´

terminará de pintar esta pared?

e2

e1

L

ACTIVIDAD Anotar en el cuaderno aquellas Operaciones

L

que den la idea de magnitudes Proporcionales. Deben trabajar en grupo de 2,3 o 4 alumnos para ampliar la visión del tema.

4L

1.- Jorge conduce su auto, para visitar a su

madre al trabajo a razón 30 km/h durante 4horas; Al regresar decide duplicar su velocidad (60 km/h) ¿Cuánto tiempo empleará al retornar a su casa, si recorre el mismo camino? ¿Cuál es su distancia?

4L

Obra Tiempo V: 30 km/h

= cte.

t = 4 horas 2

Casa

Madre

Reemplazando:

?

Rpta

2

L =(4L) = 16L = x 30 x

X = 480 minutos

Pá gina 93

BLOQUE

I

Aritmé tica I - SECUNDARIA 2

4.- Si M es D.P a N, Calcular M cuando N vale 64

1.- El gráfico muestra los valores de dos magnitudes directamente proporcional. Calcular “x + y”

si cuando M es 6, N vale 9.

a) 13

b) 16

c) 9

d) 10

e) 12

a) 30 b) 80 c) 120 d) 120 e) 242

Resolución 5.- R es directamente proporcional a P complete el siguiente cuadro. Resolución: 2.- El gráfico muestra los valores de dos magnitudes inversamente proporcional. Calcular “x + y”

2400 400 640 R 80 P 10 20 30 120

6.- Indicar la expresion correcta para cada caso: a). “El cuadradado de T es I.P. al cubo de P” b). “R” es I.P al cubo de “Q”

a) 10 b) 20 c) 240 d) 45 e) 50 Resolución:

3.- Si P y Q son magnitudes I.P. Completar el siguiente cuadro.

P 80 40 Q 4 16

1 2

P x Q= cte Pá gina 94

Aritmé tica I - SECUNDARIA 7.- El precio de un diamante es D.P. al cuadrado

9.- La propina de Antonio es D.P. a la propina de Boris e I.P. a la propina de Carlos. Hallar la propina de “Antonio” si cuando la propina de Boris es s/. 10 y la propina de Carlos es s/.5. Si cuando Boris tenga s/.20, Carlos tendrá s/. 15 y Antonio tendría s/.2.

de su peso. Si un diamante que pesa 100 gramos cuesta s/. 2400. ¿Cuánto valdrá otro diamante de 120 gramos de peso? a) 1 860

b) 2 852

c) 3 240 d) 3456

e) 5 240

8.- El precio de un diamante es proporcional a su peso, si un diamante de 60 gramos vale s/.1440. ¿Cuál es el peso de un diamante que vale s/. 7200 ?

a) 300

b) 600

c) 800

d) 900

e) 1200

a) 3

b) 5

c) 6

d) 7

10. - Se sabe que M es D.P. a

e) 8

N e I.P. a

R 2.

Si M = 3 cuando N = 36 y R = 8. Hallar M cuando N = 16 y R = 4. a) 4

b) 8

c) 16

d) 36

e) 42

Pá gina 95

BLOQUE

II

Aritmé tica I - SECUNDARIA

3.- Una rueda dentada M de 60 dientes está unida

1.- El gasto del profesor “NAVARRO” es D.P. a su sueldo, siendo el resto ahorrado, si su sueldo equivale a s/. 1550 ahorra s/. 260. ¿Cuál será su sueldo cuando su gasto sea de s/. 1419?

mediante un eje con el engranaje N y este a su vez engrana con otra P. Sabiendo que N y P tienen respectivamente 30 y 45 dientes. Si M da 3000 revoluciones por minuto. ¿Cuánto tiempo empleará la rueda P en dar 48 000 vueltas?

a) 12 b) 18 a) 1400

b) 1134

c)1585

d) 1625

c)24

d) 30

e) 36

e) 1705

4.- Una rueda R de 80 dientes engrana con otra rueda S de 50 dientes; fija del eje S hay otra rueda Q de 15

2.- El sueldo de un Ingeniero es s/. 4000 y es D.P.

dientes que engrana con una rueda T de 40 dientes,

al cuadrado de su gasto en el uso de su

Si R da 120 vueltas por minuto.

celular. Si su gasto en el uso de celular es

¿Cuántas vueltas dará la rueda T?

Equivalente a s/. 100. ¿Cuál será su sueldo cuando su gasto sea de s/. 125? a) 4600

b) 5134

c) 5650

a) 70 b) 72

c) 60

d) 90

e) 96

d) 6250 e) 7200

Pá gina 96

Aritmé tica I - SECUNDARIA

5.- Sabiendo que W es D.P. a E2, las variaciones de las magnitudes W y E se muestran en el siguiente cuadro. Hallar: 3x + 2y + 4Z

7.- El costo de un terreno es I.P. al cuadrado de la distancia que lo separa de Lima y D.P. a su área. Un cierto terreno cuesta 60000 mil soles y otro terreno de triple de área

a) 48

27

6x + z

Z

x

x

y

4

8

b) 61

c)75

d) 80

y situado a una distancia doble que la anterior costará:

e) 88

6.- Se sabe que H es directamente proporcional

al cuadrado de D y al cubo de k e inversamente proporcional con la raíz cuadrada de A. Del siguiente cuadro determinar el valor e: (m + z)

Magnitudes H D K A a) 480

b) 610

z 5 2z 25

a) s/. 25 000

b)s/.37 000

c) s/. 45 000

d) s/.50 000

e) s/. 42 000

8.- El sueldo de un empleado es directamente proporcional a su rendimiento e inversamente proporcional al número de días que ha faltado a trabajar. Si Teodoro tuvo un sueldo mensual de S/. 900 y su rendimiento es como 6 y falto 8 días entonces. ¿Cuál es el sueldo de Carlos, si su rendimiento es como 7 y falta 4 días?

Cantidades 108 324 2 4 3z m 9 16

c) 750

d) 560

a) s/. 1960 d) s/. 1980

b) s/. 1 840

c) s/. 2100

e) s/.2 280

e) 440

Pá gina 97

Aritmé tica I - SECUNDARIA

BLOQUE

9.- Repartir S/. 1695 entre 3 personas de modo que la parte de la primera sea a la segunda como 8 es a 5 y que la parte de la segunda sea a la de la tercera como 6 esa 7. Hallar la diferencia entre la mayor y menor de las partes.

a) s/.160

b)s/. 180

c)s/.210

d) s/.270

e)s/. 280

III

1.-“m” máquinas hacen una obra en 60 días. (M+8) máquinas hacen la misma obra en 40 días ¿En cuánto tiempo harán la misma obra (m+5) máquinas? a) 18

b) 21

c)22

d) 24

e) 30

2.- Mariano quiere pasar por la aduana 68 cajas de mangos y como no tiene dinero suficiente decide pagar con 8 de estás y recibe de vuelto 60 soles ; más si sólo pagara con 4, tendría que adicionar 276 soles. ¿Cuánto cuesta la caja de mangos?

a) s/.75

b)s/. 84

c)s/.90

d) s/.98 e) s/.102

3.- La edad de Fabricio es a la edad de Hernán como 2 10.- Repartir S/. 2952 entre 3 personas de modo que la parte

es a 3, y la edad de Hernán es a la edad de

de la primera sea a la segunda como 7 es a 6 y que la

Rodrigo como 4 es a 5. Si el menor tiene 14 años

segunda sea a la de la tercera como 4 es a 5. Hallar

menos que el mayor de los tres,

la parte intermedia.

a) s/.1344

b) s/.1080 c)s/.1536 d) s/.1056 e) s/.1440

¿Cuántos años tiene Hernán?

a) 18

b) 21

c)22

d) 24

e) 30

4.- Un tanque de forma cilíndrica de 6m de diámetro y 10 m de profundidad abastece de agua a 40 familias durante 25 días . Si se tuviera un tanque de 4m de radio y 18m de profundidad, ¿Cuántos días podrá abastecer de agua a 64 familias?

a) 38

b) 46

c) 50

d) 54

e) 58

5.- El valor de un Diamante varía proporcionalmente al cuadrado de su peso. ¿Cuánto se perderá

al partir

un diamante que costó S/. 2997 en 3 partes, cuyos pesos son entre si como 4; 3 y 2 Respectivamente? a) s/. 1075 b) s/. 1076 d) s/. 1849 e) s/. 1073

c) s/. 1924

Pá gina 98

Aritmé tica I - SECUNDARIA

TAREA # 10

1.- Si E y F son magnitudes proporcionales representadas} mediante el siguiente gráfico. Calcular “m” E

PREGUNTAS DE CONCURSOS Y EXAMEN DE ADMISIÓN

1.-Una rueda A de 80 dientes , engrana con otra rueda B de 50 dientes. Fijo al eje de B hay otra rueda C de 20 dientes que engrana con una rueda D de 40 dientes. Si A da 120 vueltas

d

por minuto, cuántas vueltas dará la rueda D?

40

a)70

b)72

c)60

d)90

e)96

16 4

20

(UNI )

F

m

2.- Si dos cantidades A y B son inversamente proporcionales

a)50 b) 30

c) 20

d) 40

e) 60

2.- Dos engranajes de 28 y 42 dientes están concatenados y en el transcurso de 3 minutos uno da 60 vueltas más que el otro. Hallar la velocidad menor en rev/min. a) 25

b) 30

c) 35

d) 40

e) 60

3.- Si M es D.P. a N2 y D.P. a C . Hallar M cuando N= 2 y C = 25. Si cuando N = 5 y C = 16; M = 15. a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

4.- En el siguiente gráfico K y R son rectas y C es la rama de una hipérbola.

si la constante de proporcionalidad entre la suma y diferencia de A y 1/B vale 6? a)6/5

b)7/5

c)2

d)7

e)1/7 (UNI)

3.- En una joyería se sabe que el precio de cualquier diamante es proporcional al cuadrado de su peso y que la constante de proporcionalidad es la misma para todos los diamantes. Un diamante que cuesta 360 000 dólares se rompe en dos partes, de las cuales el peso de una de ellas es el doble de la otra. Si las dos partes son vendidas entonces podemos afirmar que: a) Gano $140 000 b) gano $160 000 c) perdió $160 000

Si: a + b + c + z = 60

d) gano $200 000

Hallar “2z”

e) No se ganó ni se perdió

4.- El precio de un diamante es proporcional al cuadrado de su

K

y

con constante de proporcionalidad igual a K, ¿Cuánto vale k

peso. Si un diamante de 5 gramos cuesta S/. 1000, ¿Cuánto cuesta un diamante de 2 gramos?

R

2z

b) S/. 400

c) S/. 200

d)S/.240

4 a

b

b) 4

c)24

e)S/. 160

(ONEM)

C

z

a) 12

a) S/. 320

d) 18

5.- Cada una de tres recolectoras de frutas llevaba una canasta

x

c

Con el mismo de higos. ¿Cuantos higos en total llevaban

e) 8

las recolectoras como mínimo , si al final todos, niños y recolectoras tuvieron un numero entero igual de higos?

5- Repartir 1800 en partes D.P. a los números 2; 3 y 4. Dar la menor parte.

a) a) 400

b) 200

c) 300

d) 800

30

b) 36

c) 40

d) 46

e) 52

e) 900

Pá gina 99 Página

(UNMSM)

Aritmé tica I - SECUNDARIA

Pá gina 100 Página

Aritmé tica I - SECUNDARIA

ESTADÍSTICA SITUACIÓN INICIAL

CAPITULO 11

DEFINICION

Se analizan las notas de 25 alumnos en el curso

INDICADORES DE LOGRO:

se Aritmética recogiendose los siguientes datos:

1. Identifica con precisión frases

6,10,12,5,7,3,4,8,2,11,7,10,12,16,15,7,11,10,6,9, 9,10,13,13,14.

como “segun las estadísticas”, “las estadísticas nos dicen etc..”

2 . Analiza datos que se muestran mediante tablas o gráficos.

a- ¿ Cuantos estudiantes aprobaron el curso

3. Grafica con presicion, diagramas

según los datos originales?

de barras .

Resolución:

4. Forma figuras con polígonos de frecuencia sin margen de error.

11,11,12,.........16

} n = .....

b.- Calcular la moda para los datos sin agrupar. Resolución:

Averigüemos acerca Estadistica

Mo (es el numero que mas veces se repite)

Mo = ........ https://www.youtube.com/watch?v= h2tdhAgLLAw

c.- Calcular la media para datos sin agrupar.

https://www.youtube.com/watch?v= JmUmv-jJD1g

Resolución: Media aritmética = 6+10+12+5.......+13+14 = 25

.....

d.- Calcular la mediana para los datos sin agrupar Resolución: 1.- 2 2.- 3 3.- 4 4.- 5 5.- 6 6.- 6 7.- 7

8.- 7 9.- 7 10.- 8 11.- 9 12.- 9 13.- 10 14.- 10

15.- 10 16.- 10 17.- 11 18.- 11 19.- 12 20.- 12 21.- 13

22.- 13 23.- 14 24.- 15 25.- 16

Ejercicios resueltos de en video: https://www.youtube.com/watch?v= fQueEftduFA

Averigüemos acerca de la teoria de conjuntos:

Me (valor central de los datos sin agrupar)

Me=.......

Pá gina 101

Aritmé tica I - SECUNDARIA

ACTIVIDAD.

Anotar en el cuaderno aquellas actividades de la vida diaria, que nos den la idea de ESTADISTICA. Deben trabajar en grupos de 2, 3,4 para ampliar la visión del tema.

Pá gina 102

Aritmé tica I - SECUNDARIA BLOQUE

I

1.-

a) 15,5 y 16 b) 17,65 y 18 c) 16,65 y 17 d) 17,5 y 19

2.- De los siguientes datos: 1.20; 1.22; 1.20; 1.18; 1.35; 1;3 Es la altura de cada niño, hallar el promedio aritmético Hallar su x a) 1.24

b) 1.21 c) 1.22

d) 1.23

e) 1.25

Pá gina 103

Aritmé tica I - SECUNDARIA

3.- De los siguientes datos hallar la moda:

5.

6, 8, 4, 6, 6, 8, 4, 12, 13, 4, 6 a) 4 b) 6 c)8

d) 12

e) 13

a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3 d) 0,4 e) 0,5

6. y de como respuesta

B(400)corresponde al sector B 6.- Indique que porcentaje la suma de ambas: A(400)

C(600)

D(400) 4.-De los siguientes datos halla la mediana:

a) 7333,3 b) 9666,6 c) 8666,6 d) 8999,9 e) 7666,6

14, 16, 25, 36, 18, 12, 11, 16, 14 a) 12 b) 11 c)14

d) 16

e) 25

a) 10%

b) 20

c) 30

d) 40

e) 60

Completa el siguiente esquema y luego contesta las preguntas:

Salario

x

fi

0 – 400

200

25

400 – 800

600

800 – 1200

1000

1200 - 1600

1400

1600 - 2000

1800

Fi

hi

Hi

40

0.40 0.15 0.80

20

Pá gina 104

Aritmé tica I - SECUNDARIA

7.- ¿Cuántos empleados ganan igual o más a 800 soles? a) 30

b) 40

c)60

d) 80 e) 90

9.- ¿Cuántas personas se sometieron a la prueba del producto?

a) 70 b) 75 c)80

d) 90

e) 100

8.- ¿Cuántos empleados ganan entre 800 y 1200? a) 15

b) 25

c)35

d) 40

e) 80

La empresa “Figurita S.A.” ofrece un producto en Tele mercado que garantiza que una persona podría bajar de 12 kg. hasta 20 kg. en 30 días la empresa “Control” se encarga de analizar si el producto ofrecido cumple lo prometido, pero lo cual contrata “n” personas y luego de sometidos al producto durante 30 días nos muestra los siguientes resultados:

10.- ¿Qué porcentaje de las personas bajaron más de 12 kg.? a) 55,6% b) 15% c)20% d) 36%

e) 23%

Pá gina 105

II

BLOQUE

Aritmé tica I - SECUNDARIA 2.

Un fabricante de polos presenta la paga mensual de un grupo de trabajadores. indique la clase mediana, cuál es el intervalo modal y la media.

1.- Se tiene la siguiente tabla de frecuencias incompleta: Notas

hi

Hi

0,18 [4 , 8 )

0,44

[8 ,12 ) [12 , 16)

0,12

0,91

[16 , 20) Halle la nota promedio. a) Mayor que 10 b) 9,8 d) 8,72

c) Menor que 7

e) 7,8

4.

2.- Del siguiente gráfico calcular:

# PERSONAS #PERSONAS

70

50 40 30

120

140

160

180 pp8

200

ESTATURA

¿Cuántas personas miden más de 1.20 mts.? a) 30 b) 210 c)150

d) 170 e) 200

Pá gina 106

Aritmé tica I - SECUNDARIA

III

BLOQUE

6.-

1.- A través de una encuesta realizada a 200 trabajadores sobre sus salarios mensuales, Se pudo elaborar la siguiente tabla de distribución de frecuencias de igual ancho de Clase.

Ii

Xi

fi

180

Fi

Hi

30 20

0,25 108 0,715

Xi Profesión Docentes

fi

Fi

hi

70

Químicos

0,25

Ingenieros

0,40

Comunicación

a) 395 b) 455 c) 615 d) 655 e)725

120

dentistas 600 Completar la tabla anterior y responda: 7.- ¿Cuál es la frecuencia relativa de los Dentistas? 8.- Hallar el porcentaje de Ingenieros 9.- Hallar F4 10.- Hallar cuántos no son Químicos

Pá gina 107

Aritmé tica I - SECUNDARIA 2.-

3.-

4.-

5.-

Pá gina 108

TAREA # 11

Aritmé tica I - SECUNDARIA

1.- Las notas de un examen de aptitud academica están distribuidas en el siguiente histograma de frecuencias.

1.- Sobre una población de 500 alumnos se extrajeron los siguientes datos: - 10% Jugos - 20% Refrescos - 25% Yogurt - 36% toman gaseosas ¿Qué cantidad de habitantes toman solo agua? a) 100

b) 45

c) 50

d) 125

e) 150

2.- Indique que porcentaje corresponde al sector P

¿Cuál es la nota promedio del examen? a) 11,12

¿cual es la nota promedio del examen? d) 13,12 e) 14,06

N(200) N(300)

b) 11,08 c) 12,02

a) 11,12

b) 11,08 c) 12,(Examen 02 d) 13,12 UNI ) e)14,06

2.- En una tabla de distribución de frecuencia

P(800)

con 6 intervalos de igual amplitud, el valor

Q(700)

mínimo es 500 y el valor máximo es de a) 10% 3.-

b) 20

c) 30

d) 40

e) 60

De los siguientes datos halla la mediana: 24, 26, 35, 46, 38, 22, 33, 36, 24,23,27,29

a) 22

b) 33

c) 28

d) 26

1700. Si la característica medida es el ingreso (en soles) de un grupo de trabajadores y se sabe además que.

e) 29

Dada la siguiente figura, responda lo siguiente

4.- ¿Cuántas personas ahorran más de180 nuevos soles? a) 90 b) 200

c) 150

d) 180

e) 160

5.- ¿Cuántas personas ahorran más de160 nuevos soles y menos de 200 nuevos soles? a) 100 b) 110 c) 120

d) 130 e) 140

¿Qué porcentaje de trabajadores ganan como mínimo 900 soles y como máximo 1300 soles? a) 75% b) 37,5%

c) 35%

d) 30%

e) 62,5% (Examen UNI )

Pá gina 109

Aritmé tica I - SECUNDARIA

3.-Para cubrir el puesto de mecánico

electricista se recibieron solicitudes de 200 postulantes. En el cuadro siguiente se presenta la distribución de los postulantes según experiencia laboral en el área.

5.- El peso promedio de todos los estudiantes de una clase A es 68,4 y de todos los estudiantes De la clase B es 71,2. Si el peso promedio de ambas clases combinadas es 70 y el número de estudiantes en la clase B excede a la de A en 16. ¿Cuántos estudiantes tienen la clase b? a) 64

Experiencia Porcentaje laboral(años) acumulado

b) 40

c) 24

d) 48

e) 36

(Examen UNI)

[5-7)

8%

[7-9)

18%

[9-11)

34%

[11-13)

65%

[13-15)

100%

Entonces la experiencia laboral mínima de los postulantes para el 90% de los postulantes es: a) 7,4 años

b) 8,4 años

c) 10,4 años

d) 12,4 años

e) 14,4 años

(Examen UNI ) 4.- De 500 alumnos de un colegio, cuya estatura promedio es de 1,67 m; 150 son mujeres. si la estatura promedio o media aritmética de las mujeres es 1,60. Calcular la estatura promedio de los varones de dicho grupo. a) 1,70 b) 1,64

c) 1,71

d) 1,69 e) 1,68

(Examen UNI)

Pá gina 110