Geometría: Ciclo Repaso Admisión 2014 – 2 Examen Final

CICLO REPASO ADMISIÓN 2014 – 2

Examen Final

4. En el gráfico, se muestra los triángulos ABC y DEC. Calcule  E

GEOMETRÍA

B

 

4 1. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si una región triangular gira una vuelta en el plano que lo contiene alrededor de un vértice el conjunto resultante es no convexo. II. Si a una región triangular se le omite una de sus alturas, el conjunto resultante es un conjunto no convexo. III. La intersección de dos sectores circulares es un conjunto convexo. A) FFF B) FFV C) VFV D) VVV E) FVV 2. En la figura mostrada, calcule el valor de x. x–r

x+r

x

A) 30 D) 75

B) 45 E) 90

C) 60

3. En el cateto AB de un triángulo ABC recto en B se ubican los puntos P y Q (A – P – Q), tal que AP = PQ y en AC se ubica el punto R de modo que PR  AB . Si las regiones APR y QBC son congruentes, entonces la medida del ángulo BAC es A) 18,5 B) 22,5 C) 26,5 D) 30,0 E) 37,0 CEPRE-UNI

D

 A

100

w



A) 35 D) 55

3w

C

B) 40 E) 80

C) 50

5. Es un polígono regular, el número de diagonales medias es el doble del número de diagonales. La medida de un ángulo interior es A) 72 B) 36 C) 108 D) 144 E) 150 6. En un cuadrado ABCD, P es un punto de prolongación del lado DA, tal que AP = 2m, AB = 6 m y D es un punto del interior del cuadrado PCQR. Entonces la distancia (en m) de D a suur QR es A) 4,8 B) 5,2 C) 5,6 D) 6,0 E) 6,4 7. En el gráfico la razón aritmética entre los perímetros de los triángulos ABC y CDE es 12 u , el perímetro del cuadrilátero ABED es 18 u. Entonces la longitud (en u) de DE es

B E A

A) 1,5 D) 3,0

D

B) 1,8 E) 3,5 GEOMETRÍA

C

C) 2,5

1

CICLO REPASO ADMISIÓN 2014 – 2

8. O y H son el circuncentro y ortocentro del triángulo ABC, entonces el valor de  es B 20

Examen Final

12. En la figura: A, se encuentra en el plano P, AB y AC forman con dicho plano ángulos de 60 y 53 AB  20 m , respectivamente, AC  10 m y la proyección de BC en el plano mide 8 m. Calcule (en m2) el área de la proyección de la región triángular ABC en el plano.

P B

T O

H

A

A) 120 D) 150

C C

B) 130 E) 160

C) 140

9. En un triángulo ABC (AB = BC) se trazan las alturas BH y AF que se interceptan en O. Si OB  5 u y OH  1u , entonces OA (en u) es A) 5 B) 6 C) 7 D) 2 2 E) 3 2 10. En un triángulo equilátero ABC de circuncentro O, se traza OP perpendicular al plano que contiene al triángulo ABC, si AP = AB, M y F son puntos medios de AP y OP respectivamente. ¿Qué medida tiene el ángulo determinado por OM y CF ? A) 30 B) 45 C) 53 D) 60 E) 75 11.Sea el triángulo ABC tal que AB = BC = 5 u y AC = 6 u. Por B se traza BF perpendicular al plano que contiene al triángulo tal que BF = 2 u. ¿Cuál es la distancia (en u) entre AB y FC ? 24 32 45 A) B) C) 13 68 37 48 65 D) E) 35 89

CEPRE-UNI

P A) 18 D) 30

A

B) 20 E) 36

C) 24

13. En un triángulo ABC, recto en B, I es el incentro, AB = 9 u y AC – BC = 1 u. Por I, se traza IF perpendicular al plano ABC. Si IF = 3 u entonces la medida del diedro que determinan los planos ABC y AFC es A) 30 B) 37 C) 45 D) 53 E) 75 14. En UN rectángulo isósceles PQR, la hipotenusa PR mide 2 2 m y por Q se traza QM perpendicular al plano de PQR. Si QM  6 , entonces la medida del diedro Q – PR – M es A) 30 B) 37 C) 45 D) 53 E) 60 15. ABCDE es un pentágono regular de centro O, contenido en u un uur plano uuur P.uuSe ur traza OQ  P y luego QA , QB , QC , uuur uuur QD y QE , determinándose el ángulo pentaedro Q-ABCDE. Calcule la medida del ángulo AQB, sabiendo que es un número entero par, el mayor posible. A) 62 B) 64 C) 66 GEOMETRÍA

2

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D) 68 E) 70 16. En el triedro V-ABC, las medidas de sus caras son proporcionales a 2, 3 y 4. Calcule el máximo valor entero de la cara de medida intermedia. A) 117 B) 118 C) 119 D) 120 E) 121

= 4 u, entonces el área (en u2) de la región triangular MM' A ' es 3 31 A) 5 31 B) 4 31 C) 2 D) 3 31 E) 2 31

17. La medida de dos ángulos diedros de un triedro son 100 y 150. Calcule el mayor valor entero de la medida del tercer diedro. A) 71 B) 91 C) 101 D) 129 E) 131 18. Un poliedro convexo está formado por una región pentagonal, tres regiones triangulares y cuatro regiones cuadrangulares. Calcule el número de diagonales, de dicho poliedro. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 19. Un poliedro convexo está formado por regiones triangulares y cuadrangulares. Si el número de vértices es igual al número de caras, entonces el número de regiones triangulares es A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 20. Un poliedro está formado por solamente regiones pentagonales y hexagonales regulares, de modo que cada cara pentagonal está rodeada solamente por caras hexagonales. ¿Cuál es el número de aristas del poliedro? A) 60 B) 72 C) 64 D) 96 E) 90 21. En un prisma regular ABC-DEF las caras laterales son regiones cuadradas, O es centro de la cara BCFE y M es el punto medio de DE . Si M' y A ' son los simétricos de los puntos M y A respecto al punto O y AB CEPRE-UNI

22. En la figura se muestra el desarrollo de un prisma triangular regular, inscrito en una circunferencia cuyo radio mide R. Este desarrollo muestra tres regiones rectangulares congruentes y dos regiones triangulares equiláteras ¿Cuál es el volumen (en u3) del sólido determinado por el prisma?

R3 3 A) 12 R3 2 D) 8

R3 3 B) 8 3 R 6 E) 9

R3 2 C) 12

23. El gráfico muestra el desarrollo lateral de un tronco de prisma triangular regular, cuya área lateral es 216 u2. Si BP = 6 u y QC = 21 u, entonces el volumen (en u3) del sólido que limita dicho tronco es Q

P

A

A) 72 3

B

C

B) 84 6 GEOMETRÍA

D

C) 120 3 3

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D) 144 3

E) 288 3

24. En un romboedro ABCD-EFGH, AD = 8 cm y el ángulo triedro A-EBD es equilátero donde cada cara mide 60, entonces el volumen (en cm 3) del sólido determinado por el romboedro es A) 220 2 B) 230 2 C) 240 2 D) 250 2 E) 256 2 25. En una pirámide PABC se tiene que PA = 6 u, AB = 4 u, AC = 5 u y las caras del ángulo triedro A-PBC miden 60 cada una. ¿Cuál es el volumen (en u3) del sólido limitado por la pirámide? A) 10 3 B) 10 2 C) 12 3 D) 9 3 E) 12 2 26. En una pirámide cuadrangular regular, la altura mide 3 u y el área de una de las caras laterales es igual al área de la base. Calcule el área total (en u2) de la pirámide. A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 9 27. En una pirámide regular de base hexagonal, su altura mide 18 u. Si la arista de la base mide 18 3 u . ¿A qué distancia (en u) de la base se debe trazar un plano paralelo a la base para que la sección resultante tenga un área de 72 3 u2 ? A) 10 B) 12 C) 14 D) 15 E) 16 28. En un tronco de pirámide de bases triangulares, en el cuál todas sus caras son circunscriptibles, la suma de las longitudes de las aristas laterales es 12 u y las áreas de las bases miden 4 u2 y 16 u2. Calcule el perímetro (en u) de la base mayor. CEPRE-UNI

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A) 8 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18 29. En una pirámide O-ABC se trazauu un ur plano que intercepta a las aristas OA uuur uuur , OB y OC en los puntos medios M, P y N respectivamente .El volumen del sólido limitado por la pirámide O-ABC es 128 u3. Calcule (en u3) el volumen del sólido limitado por la pirámide PAMNC. A) 26 B) 28 C) 48 D) 54

E) 62

30. Al girar una vuelta un rectángulo de longitud de lados a y b alrededor de un eje que contiene al lado de longitud b se obtiene un cilindro de 288 u3 de capacidad y al girar el rectángulo alrededor de un eje que contiene al lado de longitud a se obtiene un cilindro de 384 u3 de capacidad. Calcule en u2 el área de la región rectangular. A) 36 B) 38 C) 42 D) 48 E) 54 31. En un cilindro de revolución se inscribe un tetraedro regular de arista l de modo que una arista es generatriz del cilindro. Calcule el volumen del solido limitado por el cilindro. 9l 3 9l 3 9l 3 A) B) C) 32 16 64 3 3 l l D) E) 7 8 32. En un tronco de cilindro oblicuo las generatrices máxima y mínima miden a y b (a > b). Si los ejes mayores de las elipses de las bases son perpendiculares y el eje del cilindro determina un ángulo que mide 15 con uno de los ejes mayores de las elipses, entonces el volumen del sólido acotado por el cilindro es GEOMETRÍA

4

CICLO REPASO ADMISIÓN 2014 – 2

A) B) C) D) E)

  2 a  b2   a  b  256   2 a  b2   a  b  16   2 a  b2   a  b  64   2 a  b2   a  b  128   2 a  b2   a  b  32

33. En un cilindro de revolución CD y AB son diámetros paralelos a las bases superior e inferior respectivamente, siendo BC generatrices AD y diametralmente opuestas,O centro de la base superior y P  OB . Si P dista de O, del eje del cilindro y la base inferior en 5 u, 3 u y 8 u, respectivamente, entonces el volumen (en u3) del sólido limitado por el cono de vértice C y diámetro AB de su base es A) 310 B) 312 C) 314 D) 324 E) 328 34. El perímetro del triángulo rectángulo generador de un cono es 3 u y el volumen del solido limitado por el 1 cono es igual a del radio por el 5 área total. Calcule la longitud (en u) del radio de la base. 2 3 5 A) B) C) 5 5 3 1 D) E) 1 3

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36. A una esfera se le intercepta por un plano que pasa por su centro y en la sección formada se inscribe un triángulo ABC cuyos lados miden AB = 4 u, AC = 6 u y BC = 5 u. El triángulo ABC es la base de una pirámide cuya altura mide igual que la longitud del radio de la esfera. Calcule el volumen del solido limitado por la pirámide. A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 16 37. En un octaedro regular cuyas aristas miden a unidades, se ubica una esfera tangente a las aristas. Calcule el área de uno de los casquetes que se determinan sobre una de las caras del octaedro. A)  a2  2  1 / 6 B)  a2  3  6  / 6

C)  a2  2 6  3  / 6 D)  a2  3  2  /6

E)  a2  4  6  / 6 38. Si la tierra fuera una esfera de 12 750 km de diámetro entonces un octavo de la superficie terrestre puede verse desde una altura en km de A) 949 B) 1 750 C) 2 125 D) 3 671 E) 4 562 39. En un exaedro regular la distancia de un vértice al centro de la cara opuesta es d; calcule el área de la superficie esférica circunscrita al exaedro. A)  d2 B) 2 d2 C) 3 d2 D) 4 d2

E) 10 d2

35. En un tronco de cono de revolución, el perímetro de la sección axial es 12 u. Calcule (en u2) el área de la superficie lateral, si es máxima. A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12 CEPRE-UNI

GEOMETRÍA

5

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40. En la figura mostrada O y O1 son centros de los arcos de circunferencias AO1 y OMB. Calcule la razón de volumen de los sólidos generados por los segmentos circulares sombreados al girar 360 alrededor de la recta L. A

M

L O

2 3 3 4 2 C) 3 3 6 3 E) 3 3 5 A)

O1

B

2 3 3 5 2 D) 3 3 5 B)

41. En una semicircunferencia cuyo diámetro es AB, por B se traza una recta L que intercepta el arco AB en Q, en el ángulo ABQ se inscribe una circunferencia tangente al diámetro en P y a la cuerda BQ en F, la perpendicular al segmento AP es tangente a la circunferencia en M tal que A-M-F, si el segmento QF mide a unidades, calcular (en u3) el volumen del sólido generado por la región triangular PQF al girar una vuelta alrededor de la recta L.

A)

B)

C)

D)

E)

CEPRE-UNI

GEOMETRÍA

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Examen Final

GEOMETRÍA CICLO REPASO EXAMEN FINAL 2014-2 Claves de Respuestas

CEPRE-UNI

01.

A

21.

E

02.

C

22.

A

03.

B

23.

D

04.

B

24.

E

05.

C

25.

B

06.

B

26.

A

07.

D

27.

C

08.

E

28.

D

09.

C

29.

C

10.

B

30.

D

11.

A

31.

A

12.

C

32.

D

13.

B

33.

D

14.

E

34.

B

15.

E

35.

C

16.

C

36.

C

17.

D

37.

B

18.

D

38.

C

19.

B

39.

B

20.

E

40.

B

41

A

GEOMETRÍA

7