Ejercicios Resueltos Geometría Analítica

Ejercicios resueltos geometría analítica (IV). Rectas y puntos notables del triángulo Calcula en el triángulo A(2, 3) ; B(6, 9) ; C (8, 1): 1) Ecuaciones de las medianas y coordenadas del baricentro Mediana: recta que pasa por el punto medio de una lado y por el vértice opuesto

Punto medio del lado AB: Vector:

Mediana: En forma general —————————————

Punto medio del lado BC: Vector

Mediana: En forma general —————————————

Punto medio del lado AC: Vector

Mediana En forma explicita ————————————— Para calcular el baricentro resolvemos el sistema formado por dos de las medianas:

Por sustitución

. Despejando

El baricentro 2) Ecuaciones de las mediatrices y coordenadas del circuncentro Mediatriz: recta perpendicular a un lado que pasa por su punto medio

Los puntos medios M, N y O ya los hemos calculado. Calculamos los vectores de los lados para sacar la pendiente de la perpendicular. Vector

Pendiente

Pendiente de la perpendicular

Mediatriz ———————————————Vector

Pendiente Pendiente de la perpendicular Mediatriz: ——————————————– Vector

Pendiente

Pendiente de la perpendicular

ediatriz: —————————————Para calcular el circuncentro resolvemos el sistema formado por dos de las mediatrices

Despejamos y en la primera y sustituimos en la segunda:

;

El circuncentro 3) Ecuaciones de las alturas y coordenadas del ortocentro Altura : recta perpendicular a un lado que pasa por el vértice opuesto

En el apartado anterior ya hemos calculado la pendiente de las rectas perperndiculares a los lados por lo que directamente, podemos escribir las ecuaciones de las alturas: Altura respecto al lado AB: recta perpendicular al lado AB que pasa por C (8, 1): Altura respecto al lado AC: recta perpendicular al lado AC que pasa por B(6, 9):

Altura respecto al lado BC: recta perpendicular al lado BC que pasa por A(2, 3): El ortocentro de calcula mediante la intersección de dos de las alturas:

Despejamos y en la primera y sustituimos en la segunda: ;

El ortocentro:

Encuentre un punto sobre el eje Y QUE SEA EQUIDISTANTE DE (4,-1) y (3,-5) Le contesto en su propio comentario: Si es un punto del eje OY tendrá la forma (0, y). La equidistancia a esos dos puntos (4,-1) y (3, -5) se expresa:

Elevando al cuadrado ambos términos y desarrollando los productos notables nos queda:

La solución es

Y el punto buscado: Si el centro del rectángulo está en el origen de coordenadas, El punto (0,0) es el punto medio de las diagonales de longitud 10. Un punto de la diagonal será Como el punto media es 0: (1) (2) La longitud de la diagonal es 10:

Elevando al cuadrado y utilizando (1) y (2)

y el otro

.

Como una diagonal está sobre la recta

Si Si Estos son los puntos que delimitan una de las diagonales. (3, 4) y (-3, -4) Uno de los lados tiene pendiente -2 Recta que pasa por (3, 4) y tiene pendiente -2: Recta que pasa por (-3, -4) y tiene pendiente -2: Para obtener los otros vértices: 1)recta perpendicular a

que pasa por

2)Intersección de está recta con

:

:

La solución es

3)recta perpendicular a

que pasa por

4)Intersección de está recta con

:

:

La solución del sistema es Estos puntos (-5, 0 )y (5, 0) conforman otra diagonal de 10 unidades cuyo punto medio es el origen Ahora ya calculas la longitud de los lados y calculas el área con basex X altura:

La ecuación canónica de la recta tiene la forma

donde a y b son los segementos que

determina la recta sobre los ejes OX e OY respectivamente (puntos de corte) Por lo tanto : ―interceptando con el eje x origina un segmento de longitud igual a 7 unidades‖ se

traduce en: (1) Por otro lado ―pasa por el punto de abscisa x=4 perteneciente a la recta dada por 5x+3y-30=0″ Sustituimos x= 4 en la ecuación de la recta

$

Nuestra recta pasa por el punto sustituyendo en (1) obtendremos el valor del parámetro ―b‖:

Despejando La ecuación de la recta será

Para obtener la ecuación de la recta usaremos la forma punto-pendiente el punto

es el punto (4,4).

La pendiente la sacaremos derivando la ecuación de la circunferencia

La ecuación de la recta tangente quedará siendo (x,y) un punto de la circunferencia. Dicho punto satisfará el sistema:

Su resultado es