1

222

Capítulo 2 ............... 116 Módulo 5 .............124 Módulo 6 .............128

FÍ S

RE

S

SO

C

FI GEO L

H

IS

LP O

BI

O

Q

UÍ

Fí

sic a

M AT

221

Capítulo 1 .................92 Módulo 1 ..............103 Módulo 2 ..............106 Módulo 3 ..............109 Módulo 4 .............. 112

Menor consumo de combustível

2. favorável: quando o vento sopra de cauda (de trás para frente), aumentando a velocidade do avião, podendo ou não causar afastamento lateral; Maior consumo de combustível

• Reconhecer e discriminar grandezas escalares e vetoriais. • Efetuar operações que envolvam grandezas escalares e vetoriais.

Proa = rota

3. desfavorável: quando o vento sopra na frente do avião (de proa), diminuindo a velocidade, podendo ou não causar afastamento lateral;

4. indiferente: quando o vento sopra exatamente de lado (través), sem necessariamente afetar a velocidade, mas causando um pequeno ou um grande afastamento lateral.

Sem vento

Proa

Vento Deriva

Com vento

IRYNA RASKO / DREAMSTIME.COM

1. Grandezas físicas: escalar e vetorial 94 2. Operações com vetores 96 3. Decomposição vetorial 99 4. Produto de um número real por um vetor 100 5. Subtração vetorial 100 6. Organizador gráfico 102 Módulo 1 – Grandezas físicas: escalar e vetorial 103 Módulo 2 – Adição vetorial: regra do polígono 106 Módulo 3 – Adição vetorial: regra do paralelogramo 109 Módulo 4 – Decomposição e diferença vetoriais 112

Efeito do vento sobre o voo O vento nada mais é que o deslocamento de ar de uma região de alta pressão para uma de baixa pressão, por isso uma aeronave, ao se deslocar nessa massa de ar, sofre os efeitos desse deslocamento. Tipos de vento: 1. neutro: o piloto não precisa corrigir o curso do avião. Vento calmo (até 11 km/h);

A presença dos ventos durante um voo pode favorecer “empurrando” a aeronave, mas também pode prejudicá-la, caso eles estejam em sentido contrário. Nesse caso, o piloto deverá aumentar a velocidade e, assim, a aeronave irá consumir mais combustível.

Uma maneira simples e eficiente de calcular a influência do vento no voo é por meio da utilização de um diagrama vetorial. Considerando uma viagem de 200 km, um avião com velocidade de 400 km/h e um vento de 200 km/h, temos:

vavião

vavião vresultante

Indiferente

Favorável

Desfavorável

vvento

vvento

vavião

vresultante

vresultante = 200 km/h

vresultante = 600 km/h

Tempo de viagem = 1 h

Tempo de viagem = 20 min

vvento

vresultante

vresultante = 346 km/h

Vetores

1

O estudo de vetores é de extrema importância em diversas áreas da ciência como na aviação, engenharia, fisioterapia, odontologia, etc. Em geral, sempre que precisamos conhecer a direção e o sentido de uma grandeza podemos usar a representação vetorial para facilitar o entendimento e a resolução dos problemas.

93

Tempo de viagem ≈ 35 min

A Física é a ciência que se propõe a descrever e compreender os fenômenos físicos que ocorrem na natureza desde o macro (Universo) até o micro (átomo). A explicação dos fenômenos normalmente envolve medidas de tempo, distância, massa, velocidade e muitas outras. O ato de medir consiste em comparar com um determinado padrão, o que se deseja medir. Por exemplo, a medida do comprimento de um lápis pode ser obtida comparando-o a uma régua, que, por sua vez, foi comparada a uma barra-padrão. Um dos padrões internacionais, cujo comprimento é 1 m (um metro), encontra-se no Departamento Internacional de Pesos e Medidas, na França. No Brasil, o responsável por manter e conservar os padrões das unidades de medida é o Inmetro (Instituto Nacional de Metrologia). Toda vez que realizamos uma medida, esta deve vir acompanhada de uma unidade de medida. Sem ela, a medida efetuada não proporciona a ideia da magnitude da grandeza. Por exemplo, se a massa da Terra é fornecida apenas com o valor numérico de, aproximadamente, 6,0 · 1024, não conseguimos entender a magnitude dessa medida. Ela está em gramas, kilogramas ou em toneladas?

B. Grandeza vetorial Algumas grandezas físicas não ficam perfeitamente caracterizadas conhecendo-se apenas a medida e a sua respectiva unidade. Por exemplo, consideremos uma caixa apoiada numa superfície plana, horizontal e muito lisa, conforme mostra a figura.

Vamos empurrar essa caixa com uma força cujo valor numérico é 20 N (N = newton: unidade de medida de força no Sistema Internacional de Unidades). O que acontecerá com a caixa: ela vai se movimentar ou não? Se ela se movimentar, para onde será o movimento? Para entendermos o que vai ocorrer, necessitamos conhecer, além do valor numérico e da unidade da força, também a direção e o sentido de aplicação dessa força. Suponhamos que a força seja aplicada na caixa, na direção horizontal e para a direita, conforme mostra a figura. F = 20 N

Com essas informações, e sabendo que apenas a força é suficiente para colocar a caixa em movimento, chegamos à conclusão de que ela se movimentará para a direita. Em contrapartida, aplicando-se o mesmo valor de força na vertical para baixo, perceberemos que ela não se moverá.

TENYO MARCHEV / DREAMSTIME.COM

F = 20 N

A massa aproximada da Terra é de 6,0 ·1024 kg.

Entretanto, se a medida da massa da Terra for fornecida como sendo 6,0 · 1024 kg, teremos a noção da magnitude dessa medida. Podemos dizer que, para entender a dimensão de uma medida, ela deve vir acompanhada da sua unidade de medida. A isso denominamos grandeza física. As grandezas físicas estão divididas em dois grupos: as escalares e as vetoriais.

A. Grandeza escalar Algumas grandezas físicas são perfeitamente caracterizadas apenas quando conhecemos a medida mais a unidade de medida. Por exemplo, quando recebemos a informação de que a duração de determinada viagem é de 2 horas e 45 minutos, temos uma grandeza escalar (intervalo de tempo), ou seja, apenas a medida mais a unidade nos proporcionam a ideia da grandeza. Podemos citar como exemplos de grandezas escalares o comprimento, o volume, a área, a massa, o tempo, a temperatura, a densidade, a pressão, entre outros. No decorrer do estudo da Física, utilizaremos algumas grandezas escalares.

Temos aqui um exemplo de grandeza vetorial (força): uma grandeza é dita vetorial quando, para caracterizá-la perfeitamente, torna-se necessário conhecer o valor da sua medida, a unidade, a direção e o sentido. A tabela seguinte apresenta alguns exemplos de grandezas físicas escalares e vetoriais, que serão estudados ao longo do curso de Física. Grandeza física

Escalar

Vetorial

Deslocamento

x

Velocidade

x

Aceleração

x

Densidade

x

Força

x

Massa

x

Energia

x

Distância

x

Área

x

Volume

x

Quantidade de movimento

x

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1 221 Física Ciências da Natureza e suas Tecnologias 94

1. Grandezas físicas: escalar e vetorial

 F4

C. Vetores

As grandezas vetoriais são representadas pelos vetores. Um vetor é um segmento de reta que apresenta uma orientação (seta), conforme mostra a figura.  F Módulo

Sentido Direção

Origem do vetor

Extremidade do vetor

Intensidade: valor do  vetor (módulo) mais a unidade  (F ou |F|) F Dire çã o: da reta suporte do vetor  Sentido: da seta do vetor

  F 3 ≠ F 4 (vetores distintos) F3 = F4 (módulos iguais)   F 3 = −F 4 (mesmo módulo, mesma direção e sentidos contrários). O sinal de subtração não significaque F 4 é negativo, mas que ele tem sentido contrário ao de F 3. C.3. Vetores ortogonais Dois vetores são classificados como ortogonais quando podem formar entre si um ângulo de 90°. Nesse caso, os vetores serão perpendiculares entre si.  F5

No exemplo da caixa empurrada por uma força de 20 N, temos:  F  Intensidade: |F| = 20 N ou F = 20 N  F Direção: horizontal Sentido: da esquerda para a direita ou, simplesmente, para a direita  C.1. Vetores iguais Dois ou mais vetores são iguais quando possuem o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido. Eles devem ser representados por segmentos de reta de mesmo comprimento, paralelos entre si e apontando para o mesmo lado, conforme figura.

 F6   F 5 ≠ F 6 (vetores distintos) Os módulos de F5 e F6 podem ser iguais ou diferentes.

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16

01. Na figura a seguir, encontra-se representada uma força que atua em um corpo apoiado em uma superfície plana e horizontal. O lado de cada quadriculado corresponde à força de intensidade 1 N. Caracterize a intensidade, a direção e o sentido dessa força.

 F1 Resolução  F2

EMI-15-10

  F 1 = F 2 (mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido) F1 = F2 (mesmo módulo)

1 221 Física

 F3

 Intensidade: F = 6 N ou |F| = 6 N  F Direção: horizontal Sentido: da direita para a esquerda ou, simplesmente, para a esquerda 

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

 

Acesse: .

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Assista ao vídeo sobre grandezas físicas.

C.2. Vetores opostos Dois vetores são considerados opostos quando possuem o mesmo módulo, a mesma direção, mas sentidos contrários. Eles devem ser representados por segmentos de reta de mesmo comprimento, paralelos entre si e apontando para lados opostos.

1

F1 = 6 N

221

Física, Biologia e etimologia

Física

F2 = 8 N

A dengue é uma doença infecciosa causada pelo flavivirus, ou seja, vírus da família Flaviviridae, dos quais se conhecem quatro sorotipos: DENV-1, DENV-2, DENV-3 e DENV-4. Esses vírus são transmitidos por meio da picada de mosquitos e, por isso, são também conhecidos como arbovírus. No Brasil, o principal vetor da dengue é a fêmea do mosquito Aedes aegypti. No entanto, ensaios em laboratório mostraram que mosquitos Aedes albopticus, espécie comum nos Estados Unidos da América e no sudeste asiático, mostraram-se capazes de transmitir o vírus no Brasil. O termo vetor, usado comumente na Biologia, é também usado na Física. Afinal, qual a relação entre um mosquito e o conceito de vetor na Física? Etimologicamente, a palavra vetor vem do latim vector, que pode significar "aquele que carrega". Como o mosquito “carrega” o vírus, ele é um vetor. Na Física, vetor é um segmento de reta orientado que “carrega” informações sobre grandezas físicas vetoriais: o valor numérico, ou intensidade, a direção e o sentido. Disponível em: . Acesso em: 25 abr. 2014. Adaptado.

2. Operações com vetores

As operações com grandezas escalares são as básicas, aquelas com as quais estamos acostumados na Matemática. Por exemplo, um casal resolve medir as suas respectivas massas e, para isso, procuram uma farmácia que possui uma balança. O homem sobe na balança e observa a leitura de 65 kg, e a mulher sobe na balança e observa a leitura de 53 kg. Se eles subirem simultaneamente na balança, qual será a leitura das suas massas? Considerando a balança devidamente calibrada, a leitura será de 65 + 53 = 118 kg. Para obtermos o valor de 118 kg, realizamos uma simples operação de adição. Para estudarmos as grandezas vetoriais, precisamos conhecer outras formas de se realizarem as operações matemáticas. Nesse caso, devemos observar a intensidade, a direção e o sentido de cada grandeza. Por exemplo, um bloco, apoiado numa mesa plana e horizontal, é puxado por duas forças horizontais, paralelas ao plano, que formam entre si um ângulo de 90°, conforme mostra a figura seguinte.

A. Adição vetorial: regra do polígono O objetivo é obter uma única força, que produzirá o mesmo efeito das duas forças aplicadas simultaneamente. Essa  força única é denominada vetor soma, força resultante (F R ) ou resultante das forças. A figura seguinte ilustra o procedimento.  F1  FR

 F2

A resultante das forças no corpo é dada pela  aplicadas  soma vetorial das forças F1 e F2, ou seja:    FR = F1 + F2 Normalmente, a intensidade da força resultante é diferente da soma das intensidades das duas forças aplicadas     F 1 + F 2 ≠ F 1 + F 2 . Neste caso em particular, como as forças são perpendiculares entre si, a intensidade da força resultante aplicada no corpo pode ser encontrada usando-se o teorema de Pitágoras. FR2 = F12 + F22 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100 F = 10 N  FR

Observe   que:  FR = F1 + F2 → indica que o vetor resultante das forças é obtido pela soma vetorial das duas forças aplicadas no corpo. Ele é o único vetor que faz o mesmo efeito que os demais vetores juntos; FR2 = F12 + F22 → indica que a intensidade da resultante das forças foi encontrada aplicando-se o Teorema de Pitágoras. Observações • Quando os dois vetores possuem a mesma direção e o mesmo sentido, o módulo do vetor soma é igual à soma dos módulos desses dois vetores.

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96

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

LUCIANO OLIVEIRA

Qual é o valor da força que representa a ação simultânea dessas duas forças, ou seja, qual é o valor da adição vetorial dessas duas forças? Para efetuar a adição de duas grandezas vetoriais, podemos utilizar a regra do polígono ou a do paralelogramo. Vejamos cada uma delas.

 F2

 a

1 Física

Estando as forças ligadas pela regra do polígono, o vetor soma é aquele que liga a origem do primeiro vetor à extremidade do último.

 b  c

  único vetor, denominado força resultante (FR ), que é a resultante das forças:     FR = F1 + F2 + F3

221

• Se as direções dos vetores forem perpendiculares entre si, o módulo do vetor soma poderá ser obtido usando-se o Teorema de Pitágoras. Isso é válido para qualquer grandeza física (velocidade, deslocamento, aceleração etc.). Generalizando, podemos escrever:

 F3

a2 = b2 + c2

Sem mudar o módulo, a direção e o sentido, ligamos os vetores de forma que a extremidade de um fique ligada à origem do outro.  F2

 F1

 F3

 FR  FR  F3

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 F2

 F1

Para direções diferentes das citadas, o módulo do vetor soma poderá ser encontrado caso os vetores sejam fornecidos num quadriculado. Como exemplo vamos considerar que, no quadriculado    mostrado na figura seguinte, temos três forças, F1, F2 e F3, aplicadas num mesmo corpo. Podemos substituí-las por um

 FR

Cada lado do quadriculado corresponde a 1 N.

Para encontrar a intensidade da resultante das forças aplicadas no corpo, devemos contar os quadriculados da resultante na horizontal (8 quadriculados) e na vertical (6 quadriculados) e, a seguir, aplicamos o Teorema de Pitágoras: FR2 = 82 + 62 → FR2 = 64 + 36 → FR = 100 FR = 10 N

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 F1

97

• Se os vetores forem de mesma direção e de sentidos opostos, então o módulo do vetor soma será encontrado fazendo-se o módulo da diferença entre os módulos dos dois vetores. A regra do polígono pode ser aplicada para qualquer que seja o número de vetores. Para isso, devemos efetuar a ligação desses vetores, arrastando-os, sem alterar o seu módulo, a sua direção e o seu sentido, de maneira que a extremidade de um deles fique ligada à origem do seguinte. O vetor soma será aquele que liga a origem do primeiro à extremidade do último. Para um conjunto de vetores, o vetor soma será sempre o mesmo, independentemente da ordem da ligação dos vetores. Dados os vetores a seguir, encontraremos, graficamente, o vetor soma:  F2   F1 F3

17

01. Uma pista de passeio compreende dois trechos planos, horizontais e que formam entre si um ângulo de 90°. Uma pessoa realiza um deslocamento retilíneo de 80 m no primeiro trecho e, a seguir, faz, no segundo trecho, um deslocamento retilíneo de 60 m. Calcule a distância total percorrida pela pessoa e o módulo deslocamento vetorial por ela realizado. Resolução Como a distância percorrida é uma grandeza escalar, a distância total percorrida (d) é a soma das distâncias d1 e d2. Assim, temos: d = d1 + d2 → d = 80 + 60 → d = 140 m E, como o deslocamento é uma grandeza vetorial, o módulo é dado por d2 = d21 + d22, pois os dois deslocamentos são perpendiculares entre si. Portanto: d2 = 802 + 602 → d2 = 6 400 + 3 600 = 10 000 → d = 100 m Do ponto de partida ao ponto de parada, a pessoa caminhou 140 m (distância percorrida). Se ela fosse em linha reta do ponto de partida ao ponto de parada, percorreria 100 m (deslocamento).

Dois vetores podem ser somados tanto pela regra do polígono quanto pela regra do paralelogramo. O vetor final será o mesmo, qualquer que seja a regra adotada. A regra do paralelogramo vale para dois vetores. Ela permite o cálculo do módulo do vetor soma para qualquer que seja o ângulo conhecido  entre  os dois vetores. Dados os vetores F1 e F2 a seguir, cujas origens são coin  cidentes, tiramos da extremidade de F1 uma paralela a F2 e da extremidade de F2 uma paralela a F1.  F1

 F1

 F2

 F2

 F1 θ

α

 F2

Pela trigonometria, temos que cos α = – cos θ (2). Substituindo 2 em 1: FR2 = F12 + F22 − 2⋅F1 ⋅F2 ⋅( − cos θ ) ou FR2 = F12 + F22 + 2⋅F1 ⋅F2 ⋅cos θ Equação da força resultante usada na regra do paralelogramo.

O vetor soma é obtido da seguinte forma: sua origem coincide com a origem dos dois vetores somados, e sua extremidade coincide com o encontro das pontilhadas.

Casos particulares da regra do paralelogramo A maioria das situações da adição de dois vetores pode ser simplificada por meio dos casos particulares da regra do paralelogramo: • θ = 0º (os vetores possuem a mesma direção e o mesmo sentido): o módulo do vetorsoma  é igual à soma dos módulos dos dois vetores, F1 e F2:  F1

 F1

 FR

θ

 FR    FR = F1 + F2  FR = F1 + F2

 F2 θ → ângulo formado entre as origens dos vetores O módulo do vetor soma pode ser encontrado a partir da lei dos cossenos. FR2 = F12 + F22 + 2⋅F1 ⋅F2 ⋅cos θ

Física e Matemática Após estudarem a lei dos cossenos na disciplina de Matemática, alguns alunos podem achar estranho o sinal positivo na equação anterior. De fato, ela é muito parecida com a lei dos cossenos, mas o ângulo usado nesse caso é diferente. Isso ocorre porque a lei dos cossenos é definida para triângulos; posicionando os vetores de modo a formar um triângulo, temos:  FR  F2

α

 F1

FR2 = F12 + F22 − 2⋅F1 ⋅F2 ⋅cos α (1) Lei dos cossenos Ao usarmos a regra do paralelogramo, temos o ângulo θ, e não o ângulo α.

 F2

• θ = 90º (os vetores são perpendiculares entre si): o módulo do vetor soma é obtido pelo Teorema   de Pitágoras com os módulos dos dois vetores, F1 e F2:  F1

 FR  F2

   FR = F1 + F 2 FR2 = F12 + F22

• θ = 180º (os vetores possuem a mesma direção e sentidos contrários): o módulo do vetor soma é igual ao módulo   da diferença dos módulos dos dois vetores, F1 e F2:  F1  F2

 FR

   FR = F1 + F 2 FR = F1 − F2

Nesse caso, a direção e o sentido do vetor soma coinci dem com a direção e o sentido do vetor de maior módulo ( F1).

C. Somas máxima e mínima Considerando dois vetores de módulos conhecidos e variando-se o ângulo entre as suas origens comuns, o módulo

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1 221 Física Ciências da Natureza e suas Tecnologias 98

B. Adição vetorial: regra do paralelogramo

 F1

FR máx = F1 + F2

Com base nessa figura, podemos fazer o processo inverso ao da adição de dois vetores perpendiculares entre si, ou seja, dado um vetor, podemos decompô-lo em dois outros vetores perpendiculares entre si. Esse processo é denominado decomposição vetorial.

 F1  F2

 FR

y

FR mín. = F1 – F2 Portanto, podemos dizer que o módulo do vetor soma (FR) de dois outros vetores estará sempre compreendido entre os módulos das somas mínima (FR mín.) e máxima (FR máx.). FR mín. ≤ FR ≤ FR máx. |F1 – F2| ≤ FR ≤ F1 + F2

EMI-15-10

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FR

x

18

01. Uma partícula sofre dois deslocamentos retilíneos e sucessivos, cujas intensidades são d1 = 12 m e d2 = 5 m. Calcule: a. a intensidade do deslocamento vetorial resultante da partícula   para os ângulos formados entre os vetores d1 e d2 de 0°, 90° e 180°; b. o intervalo das possíveis intensidades do deslocamento vetorial   resultante caso o ângulo entre os vetores d1 e d2 seja desconhecido. Resolução a. Para um ângulo de 0º, os deslocamentos possuem a mesma direção e o mesmo sentido. Nesse caso, temos: d = d1 + d2 → d = 12 + 5 → d = 17 cm Para um ângulo de 90º, os deslocamentos são perpendiculares entre si. Assim: d2 = d21 + d22 → d² = 122 + 52 → d² = 144 + 25 → d = 169 → d = 13 m E para um ângulo de 180º, os deslocamentos possuem a mesma direção e sentidos contrários. Nesse caso, temos: d = d1 – d2 → d = 12 – 5 → d = 7 cm b. Quando desconhecemos o ângulo formado entre os vetores, dizemos, então, que o módulo do vetor soma estará compreendido entre a diferença e a soma dos módulos dos vetores: d1 – d2 ≤ d ≤ d1 + d2 12 – 5 ≤ d ≤ 12 + 5 7 m ≤ d ≤ 17 m

Veja os passos a seguir. Vamos traçar uma paralela ao eixo y e outra ao eixo x, ambas partindo da extremidade do vetor força resultante. Os vetores que compõem o vetor soma são aqueles que ligam a origem aos pontos de intersecção das linhas tracejadas com os eixos x e y. y

FR Fy

x

θ Fx

Para encontrarmos os módulos dos vetores Fx e Fy, usamos as relações trigonométricas no triângulo retângulo: cosθ =

F cateto adjacente → cosθ = X → FX = FR ⋅cosθ hipotenusa FR

senθ =

F cateto oposto → senθ = Y → FY = FR ⋅senθ hipotenusa FR

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 F2

Física

 FR

 FR Para θ = 180°:

1

Sabemos que a soma de dois vetores perpendiculares entre si resulta num vetor soma, como mostra a figura a seguir.

221

3. Decomposição vetorial

99

do vetor soma varia. O máximo módulo do vetor soma ocorre para o ângulo de 0°, e o mínimo módulo do vetor soma ocorre para o ângulo de 180°. Para θ = 0°:   F1 F2

19

01. O módulo do vetor soma de dois ou mais vetores pode ser encontrado efetuando-se a soma das componentes nos eixos x e y e, a seguir, aplicando-se o Teorema de Pitágoras nesses componentes. Sabendo que os vetores representados a seguir estão num mesmo plano do papel, obtenha o módulo do vetor soma pelo método da soma das componentes. Cada quadrícula corresponde a 1 m.  a

 c

 b

Dados dois vetores, F1 e F2, o vetor soma é dado por:  F1

 FR

θ

 F2 FR2 = F12 + F22 + 2⋅F1 ⋅F2 ⋅cos θ   O vetor diferença entre os vetores F1 e F2 pode ser encontrado da seguinte forma:       D = F 1 − F 2 → D = F 1 + −F 2   Ou seja, a subtração entre F1 e F2 pode   ser entendida como a adição de F1 com o vetor oposto a F2, conforme mostra a figura.  D

( )

Resolução No eixo horizontal (x), temos: sx = ax+ bx + cx → sx = 4 + 4 – 2 → sx = 6 m E, no eixo vertical (y), temos: sy = ay+ by – cy → sy = 5 + 6 – 3 → sy = 8 m Portanto, o módulo do vetor soma vale: s2 = s2x + sy2 → s2 = 62 + 82 → s2 = 36 + 64 →

 F1 α

 F2

s = 100 → s = 10 m

4. Produto de um número real por um vetor Uma grandeza vetorial pode ser multiplicada por um número real. O resultado desse produto será uma grandeza vetorial. O vetor resultante dessa multiplicação poderá ter alterado o seu módulo e o seu sentido em relação ao vetor original, porém a direção será sempre a mesma.  Vejamos um exemplo. Dado um vetor deslocamento d, vamos multiplicá-lo por um número real. Se esse número for positivo e diferente de 1, haverá alteração no módulo do vetor; se o número for negativo, poderá alterar o módulo e alterará o sentido do vetor, conforme mostram as figuras seguintes:  d

 –2 d  2d

 O vetor 2d tem o dobro do módulo, a mesma direção e o   mesmo sentido do vetor d. Já o vetor –2d tem o dobro do mó dulo, a mesma direção e o sentido oposto ao do vetor d.

5. Subtração vetorial

Dados dois vetores, poderíamos desenvolver uma nova álgebra vetorial para o cálculo da diferença vetorial; porém, para facilitar, podemos obter a diferença vetorial a partir da soma dos dois vetores.

θ

O módulo do vetor diferença é dado por: D2 = F12 + F22 + 2⋅F1 ⋅F2 ⋅cos α α + θ = 180° → α = 180° – θ Os ângulos α e θ são suplementares; portanto, sendo dado θ, podemos encontrar α, e o módulo do vetor diferença poderá ser encontrado da mesma forma que o módulo da soma, bastando trocar o ângulo entre as origens. Devemos     estar atentos ao fato de que F1 – F2 é diferente de F2 – F1.

Física e Matemática   Outro modo de subtrair os dois vetores, F1 – F2, é colocar ambos na mesma origem, e o vetor diferença terá origem no vetor que possui o sinal negativo e fim no vetor com o sinal positivo:  F1 θ

  F1 – F2

 F2 Usando a lei dos cossenos, temos: (F1 – F2)2 = F12 + F22 – 2 · F1 · F2 · cos θ EMI-15-10

100

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Física

221

1

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1 221 Física 101

GEORGIOS KOLLIDAS / DREAMSTIME.COM

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

A Física na História O estudo das Ciências Naturais remonta ao início da civilização e foi-se aperfeiçoando no decorrer do tempo. No começo, era disperso e com base apenas em observações superficiais e fragmentadas. No século XI da nossa era, eminentes pensadores postularam a necessidade de regras para esse entendimento. Foi a partir do século XIII, por influência do uso da Matemática, da observação e da experimentação, que a exigência de métodos precisos de investigação e explicação dos fenômenos naturais conduziram ao método científico. O método científico consiste de um conjunto de regras básicas para se desenvolver uma experiência com o objetivo de produzir, corrigir e integrar conhecimento científico. Com base no empirismo filosófico (conhecimento fundamentado na observação da natureza e no uso da razão), grandes pensadores e cientistas desenvolveram a ciência elevando o pensamento humano a um novo patamar de abrangência. Nomes como Descartes, Bacon, Galileu, Newton, entre outros, figuram entre aqueles que desenvolveram o chamado pensamento reducionista-mecanicista. Nessa visão de mundo, o universo é algo lógico e previsível, bastando ao cientista utilizar “seu microscópio” para conhecê-lo e, a partir daí, fazer previsões a respeito do seu comportamento.

René Descartes, Francis Bacon, Galileu Galilei e Isaac Newton

EMI-15-10

Com o acúmulo de uma quantidade imensa de conhecimento científico, surgiu a necessidade de segmentar esse conhecimento, criando-se, então, inúmeros campos de atuação da Ciência, como a Física, a Química, a Matemática, as Ciências Humanas, a Biologia, entre outros. Com o passar do tempo, essa separação foi-se aprofundando. No século XX, pensadores de todos os campos do conhecimento humano perceberam que seria necessário criar uma nova abordagem científica, pois a antiga já não era suficiente para explicar muitos fenômenos. Surgiu o pensamento sistêmico. Nessa nova abordagem, propõe-se uma nova e diferente integração dos campos da Ciência, potencializando, assim, a compreensão humana sobre a natureza. O pensamento sistêmico não nega a racionalidade científica, apenas a engloba em um nível mais elevado, no qual a abordagem subjetiva das artes e o conhecimento milenar obtido pelas filosofias espiritualistas são componentes valiosos. Nessa forma de pensar, a interdisciplinaridade encontrou campo fecundo para seu desabrochar. Apoiada em ombros de gigantes, a ciência continua a avançar. "Se vi mais longe foi por estar de pé sobre ombros de gigantes." Frase escrita por Newton em uma carta para Robert Hooke, em 15 de fevereiro de 1676.

1

20

01.   A figura seguinte mostra duas forças, F1 e F2, de intensidades, respectivamente, iguais a 15 N e 12 N. O ângulo formado entre suas origens   é de 60°. Calcule a intensidade da diferença vetorial ( F = F1 – F2) e faça a representação gráfica desse vetor.

Física

221

APRENDER SEMPRE

Resolução Vamos transformar essa diferença em uma soma de vetores:      F = F1 − F2 = F1 + (−F2 )  F  F1

 F1

120°



– F2

F2 = F12 + F22 + 2 · F1 · F2 · cos 120° F2 =152 + 122 + 2 · 15 · 12 · ( –0,50) F² = 189 ⇒ F ≈ 13,7 N

 F2

6. Organizador gráfico

Escalar

102

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

60°

Medida mais a unidade de medida

Direção e sentido

Grandeza físicas

Vetorial

Tema

Tópico

Subtópico

Fx = F · cos α Fy = F · sen α

Subtópico destaque

Apenas texto Características

EMI-15-10

FR2 = F12 + F 22 + 2 × 1F × 2F× cos a

1

Módulo 1

221

Grandezas físicas: escalar e vetorial

Resolução Das grandezas expressas nas alternativas, temos: • escalares: massa, densidade e distância; • vetoriais: força, aceleração, deslocamento e velocidade. Alternativa correta: C 02. Do alto de um prédio em construção, inadvertidamente, um pedreiro deixa cair um tijolo e, num dado instante, a sua velocidade é de 5 m/s e a queda é vertical. Caracterize a intensidade, a direção e o sentido do vetor velocidade do tijolo no instante considerado.

03. Um corpo, apoiado numa superfície plana e horizontal, recebe a ação de uma força que o faz escorregar pela superfície. Para entendermos o fenômeno físico descrito, é necessário conhecermos, a respeito da força: a. apenas a medida e a unidade de medida. b. apenas a direção. c. apenas o sentido. d. a medida, a unidade da medida, a direção e o sentido. e. apenas a medida, a direção e o sentido. Resolução Para que uma grandeza física fique perfeitamente caracterizada, é necessário que sejam explicitados a medida, a unidade dessa medida, a direção e o sentido. a. Refere-se à grandeza escalar. b. Nenhuma grandeza é caracterizada apenas pela direção. c. Nenhuma grandeza é caracterizada apenas pelo sentido. e. A intensidade de um vetor necessita, além da unidade, da medida. Alternativa correta: D Habilidade Reconhecer e discriminar grandezas escalares e vetoriais.

103

Resolução Intensidade: v = 5 m/s Direção: vertical Sentido: para baixo

Exercícios Extras

 d. v = 5 m/s, na horizontal para a direita e. v = 5 m/s

04. Observe a figura a seguir. N

5 m/s O

L S

EMI-15-10

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

01. As alternativas abaixo contêm grandezas físicas que podem ser escalares ou vetoriais. Assinale a que apresenta apenas grandezas vetoriais. a. Força, massa e aceleração b. Deslocamento, força e massa c. Força, velocidade e deslocamento d. Deslocamento, densidade e velocidade e. Distância, massa e densidade

Física

Exercícios de Aplicação

O bloco nela mostrado desloca-se com velocidade de 5 m/s e, ao lado da figura, encontra-se a orientação. Com base nessas informações, assinale a alternativa que apresenta as características corretas do vetor velocidade. a. v = 5 m/s, na horizontal para a direita b. v = 5 m/s, na direção leste-oeste e no sentido de oeste para  leste c. v = 5 m/s, na direção leste-oeste e no sentido de oeste para leste

05. Um avião faz o trajeto entre as cidades de Brasília e Rio de Janeiro. Num trecho desse voo, não há ventos, e a velocidade do avião é constante, horizontal e de 900 km/h, na direção e sentido representados pela seta a seguir. Caracterize a intensidade, a direção e o sentido da velocidade desse avião, usando as coordenadas geográficas fornecidas na figura. N

O

L

S

900 km/h

1 221

Orientações ao professor • Sobre o módulo Este módulo visa, especificamente, estabelecer as diferenças entre as grandezas físicas escalares e vetoriais. Selecionamos alguns pontos que merecem destaque: 1. a necessidade da colocação da unidade ao especificarmos uma grandeza física, seja ela escalar ou vetorial; 2. a comparação entre grandezas físicas só será possível quando elas forem da mesma espécie; 3. a diferença entre direção e sentido.

104

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Física

Seu espaço

Exercícios Propostos

Exercícios de

tarefa

reforço

aprofundamento

06. Assinale a alternativa que contém a grandeza escalar. a. Deslocamento b. Velocidade c. Força d. Aceleração e. Distância

07. Assinale a alternativa que contém a grandeza vetorial. a. Energia b. Densidade c. Força d. Massa e. Distância 08. Faça a representação da força F = 100 N, na horizontal e para a esquerda.

EMI-15-10

Da teoria, leia o tópico 1.

a. b. c. d. e.

valor numérico – desvio – unidade – direção desvio – sentido – direção – módulo valor numérico – unidade – direção – sentido módulo – vetor – padrão – quantidade padrão – valor numérico – unidade – sentido

11. A figura a seguir mostra dois vetores, paralelos entre si, e representando duas grandezas distintas: força e velocidade. 10 N

10 m/s

 F  v

EMI-15-10

Responda às perguntas. a. Essas grandezas são iguais? Justifique. b. Esses vetores têm o mesmo módulo? Justifique. c. Esses vetores têm a mesma direção e o mesmo sentido? Justifique. 12. Acafe-SC Na natureza, a energia não pode ser criada nem destruída. Ela simplesmente sofre transformações de uma modalidade para outra. Por exemplo, numa usina hidrelétrica, a água represada possui energia potencial gravitacional. Ao chegar à tubulação, essa energia é transformada em energia cinética. Ao atingir a turbina da usina, a energia cinética é convertida em energia mecânica. Depois disso, no gerador, a energia mecânica é convertida em energia elétrica. Acerca da grandeza física energia, é correto afirmar que: a. é uma grandeza vetorial, portanto há necessidade de se caracterizarem a intensidade, a direção e o sentido. b. é uma grandeza escalar, portanto há necessidade de se caracterizarem apenas a medida e a unidade. c. enquanto armazenada na represa, é uma grandeza escalar e, ao ganhar movimento, torna-se vetorial. d. não é grandeza física, por não precisar de unidade de medida. e. a energia mecânica é escalar, enquanto a energia elétrica é vetorial.

1 221 Física

14. PUC-RJ O vetor posição de um objeto em relação à origem do sistema de coordenadas pode ser desenhado como mostra a figura. Y (m) 12 10 8 6 4 2 0

0

2

4

6

X (m)

Calcule o módulo, em metros, desse vetor. a. 5,0 b. 7,5 c. 10,0 d. 11,2 e. 15,0 15. Um ponto material encontra-se na origem de um sistema cartesiano (x, y). Esse ponto material recebe a ação de uma força de intensidade 20 N no segundo quadrante, formando o ângulo de 30° com o eixo x. Faça a representação gráfica desse vetor. 16. A figura a seguir mostra um vetor força de 200 N, representado no plano cartesiano x, y. Caracterize esse vetor força. y

x 30° F

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

10. Acafe-SC Assinale, entre as alternativas a seguir, aquela que completa corretamente a afirmativa: “Grandezas vetoriais são aquelas que necessitam de ____________, ____________,_______ e ________ para serem perfeitamente definidas.”

13. São dadas duas forças: F1 = 10 N, na horizontal e para a direita, e F2 = 10 N, na vertical e para cima. Com relação a essas duas forças, podemos afirmar que: a. elas são iguais. b. elas têm o mesmo sentido. c. elas têm a mesma direção. d. elas são opostas. e. elas possuem a mesma intensidade.

105

09. São dadas duas grandezas físicas vetoriais: F = 20 N, na horizontal e para a direita; v = 20 m/s, na horizontal e para a direita. Acerca dessas duas grandezas físicas, podemos afirmar que: a. elas são iguais. b. a velocidade não é grandeza vetorial. c. não comparamos grandezas diferentes. d. a força não é grandeza vetorial. e. elas são iguais apenas nas suas intensidades.

1

Módulo 2

221

Adição vetorial: regra do polígono

01. UEPG-PR Uma pessoa sai de sua casa para comprar pão e leite na padaria. Inicialmente, ela caminha 400 m para o leste, dobra à esquerda e caminha mais 400 m para o norte. Logo após, vira novamente à esquerda e caminha mais 100 m para o oeste, até chegar à padaria. A distância percorrida e o vetor deslocamento da pessoa são, respectivamente, iguais a: a. 200 m e 400 m. b. 500 m e 900 m. c. 800 m e 900 m. d. 900 m e 250 m. e. 900 m e 500 m. Resolução Distância percorrida (x) x = 400 + 400 + 100 x = 900 m Deslocamento vetorial (d) 400 m 100 m 400 m  d

106

d2 = 3002 + 4002 d = 500 m Alternativa correta: E

02. Uma cidade planejada tem todos os quarteirões com a forma geométrica de um quadrado de lado 100 m. Uma pessoa percorre um quarteirão, dobra a esquina e percorre mais um quarteirão. Calcule o deslocamento vetorial realizado pela pessoa. Resolução d2 = 1002 + 1002 = 2 · 1002 d = 100 2 m 03. Um corpo recebe a ação de duas forças horizontais de intensidades 12 N e 5 N. O ângulo formado entre essas duas forças é de 90°. A intensidade da resultante dessas duas forças é: a. nula. d. 13 N. b. 5 N. e. 19 N. c. 12 N. Resolução Para o ângulo de 90°, podemos encontrar a intensidade da resultante das forças aplicadas no corpo pelo Teorema de Pitágoras: FR2 = F12 + F22 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169 FR = 13 N a. A soma vetorial de duas forças de intensidades 12 N e 5 N nunca resulta na soma nula. b. A soma vetorial de duas forças de intensidades 12 N e 5 N nunca resulta na soma de 5 N. c. Para resultar em 12 N, o ângulo entre as forças deveria ser diferente de 90°. e. A soma vetorial de duas forças de intensidades 12 N e 5 N nunca resulta na soma de 19 N. Alternativa correta: D Habilidade Efetuar operações que envolvam grandezas escalares e vetoriais.

Exercícios Extras 04. Uma pessoa inicia uma caminhada num trecho retilíneo de uma trilha percorrendo a distância de 30 m. A seguir, ela retorna 10 m na mesma trilha e para. Do início até o momento em que parou, a distância percorrida e a intensidade do deslocamento vetorial são, respectivamente: a. 20 m e 40 m. b. 40 m e 20 m. c. 40 m e 40 m. d. 20 m e 20 m. e. nula e 20 m.

05. Observe a figura a seguir:  a

 c  b

O lado de cada quadriculado mede 1 cm. Calcule o módulo do vetor soma desses três vetores.

EMI-15-10

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Física

Exercícios de Aplicação

Simulação que permite manipular vetores, alterando o seu comprimento e a sua inclinação, e que apresenta a soma de todos os vetores que foram escolhidos. Há um manual detalhado, em inglês, de como utilizar o objeto de aprendizagem no site .

Exercícios Propostos Da teoria, leia os tópicos 2 e 2A. Exercícios de

tarefa

reforço

aprofundamento

06. UMC-SP Um móvel percorre 40 km para o norte e, em seguida, 30 km para o leste. O deslocamento resultante do móvel foi de: a. 70 km. b. 50 km. c. 40 km. d. 30 km. e. 10 km. 07. Unopar-PR Um estudante anda 1 km para o leste, 1 km para o sul e, em seguida, 2 km para o oeste. A intensidade do vetor deslocamento sofrido no percurso é, em km, aproximadamente, igual a: a. 0 b. 1,0 c. 1,4 d. 3,5 e. 4,0 08. Com relação ao exercício anterior, calcule a distância percorrida pelo estudante.

EMI-15-10

09.  Uma  partícula realiza dois deslocamentos sucessivos, d1 e d2 , tais que:  • d1 – 8 m, vertical para cima;  • d2 – 6 m, horizontal para a direita. A intensidade do vetor deslocamento dessa partícula é de: a. 2 m. b. 6 m. c. 8 m.

d. 10 m. e. 14 m. 10. UFAM O diagrama de corpo livre de um objeto puxado por várias forças, por meio de um piso sem atrito, está representado na figura a seguir. y

3N

Física

Acesse: .

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

• Na web

2N 2N

5N

x

4N 5N

A intensidade da força resultante e o quadrante em que a força se encontra são: a. 15 N; primeiro quadrante. b. 21 N; terceiro quadrante. c. 7 N; segundo quadrante. d. 5 N; terceiro quadrante. e. 21 N; primeiro quadrante. 11. UFSCar-SP Num voo intercontinental, o painel eletrônico de um avião informa que a velocidade do avião, em relação ao ar, é de 900 km/h, no sentido norte. No mesmo instante, sopra um vento com intensidade de 80 km/h, para o oeste. A velocidade do avião, em relação ao solo, deve ser, em km/h, próxima de: a. 980 b. 910 c. 903 d. 896 e. 820

107

Orientações ao professor • Sobre o módulo Neste módulo, procuramos estabelecer as diferenças entre distância percorrida e deslocamento. Na regra do polígono, é importante enfatizar que o resultado é o mesmo, independentemente   da ordem dos vetores e dos significados das operações: a = b + c e a = b + c. Como a Dinâmica está intimamente ligada ao conceito de força e será assunto do próximo capítulo, sempre que possível, usar a grandeza força como exemplo na adição de vetores.

221

1

Seu espaço

8m

221

1

     08. A + B + C = 0 (0 representa vetor nulo.)    16. A + C ≥ B    32. A + C > B     64. A + C = A + C

12. Observe a figura a seguir: 2m 8m

15. UFSCar-SP Três forças idênticas e coplanares são aplicadas sobre um ponto material, formando entre si ângulos de 120°.  F1

13. Unicamp-SP modificado Na viagem do descobrimento, a frota de Cabral precisou navegar contra o vento uma boa parte do tempo. Isso só foi possível graças à tecnologia de transportes marítimos mais moderna da época: as caravelas. Nelas, o perfil das velas é tal que a direção do movimento pode formar um ângulo agudo com a direção do vento, como indicado no diagrama de forças a seguir.

Força da vela

nto

Força lateral (da quilha) Força de resistência do ar

= 1 000 N

Assinale a alternativa que representa o módulo, a direção e o sentido da força resultante. a. c. e.

b.

5 000 N

3 000 N

1 000 N

d.

2 000 N

4 000 N

14. UEM-PR Dado o diagrama vetorial a seguir, assinale a(s) alternativa(s) correta(s).  B

 C  A

   01. A + C = B    02. B + C = A    04. B − C = A

120°

120°

 F3 Nessas condições, pode-se afirmar que a intensidade da força resultante sobre o ponto material tem valor igual a: a. 3 F b. 2 F c. F d. F 2 e. 0 16. PUC-RS Entrando pelo portão O de um estádio, um torcedor executa uma trajetória, representada pelas linhas contínuas OABC, até alcançar a sua cadeira, C. Considerando que, na figura, a escala seja 1:1 000, é correto afirmar que o torcedor percorreu uma distância de _________ e teve um deslocamento de _________.

Posição (cm)

Ve

120°

 F2

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 O 0

A

B

C 2

4

10 6 8 Posição (cm)

12

a. 2,4 · 102 m; 1,2 · 102 m, na direção da reta OC. b. 2,4 · 102 m; 1,2 · 102 m. c. 2,4 · 10 m, na direção da reta OC; 1,2 · 10 m. d. 1,2 · 10 m; 1,4 · 10 m, na direção da reta OC. e. 2,4 · 10 m; 1,2 · 10 m, na direção da reta OC.

14

EMI-15-10

Ela mostra três vetores deslocamentos sucessivos realizados por uma partícula. Os ângulos entre eles são de 90°. A intensidade do vetor deslocamento resultante é de: a. 4 m. d. 12 m. b. 6 m. e. 14 m. c. 10 m.

108

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Física

Dê a soma dos números dos itens corretos.

Adição vetorial: regra do paralelogramo

221

1

Módulo 3

02. Dois vetores deslocamentos possuem intensidades de 6 m e 8 m e suas origens formam entre si um ângulo de 60°. A intensidade do vetor deslocamento resultante desses dois vetores é de: a. 6 m. b. 8 m. c. 10 m. d. 2 37m. e. 12 m. Resolução d2 = d21 + d22 + 2 · d1 · d2 · cos α = = 62 + 82 + 2 · 6 · 8 · cos 60° d2 = 36 + 64 + 96 · 0,5 = 148 d = 2 37m Alternativa correta: D

Resolução FR2 = F12 + F22 + 2⋅F1 ⋅F2 ⋅cos α = F2 + F2 + 2 · F · F · cos 120° FR2 = F2 + F2 + 2 · F2 · (– 0,5) = F2 + F2 – F2 = F2 FR = F FR = 50 N A soma de dois vetores de mesmo módulo, cujas origens formam entre si um ângulo de 120°, resulta num vetor soma de mesmo módulo que cada um dos vetores somados. a. Seria correta se os vetores fossem opostos. b. Seria correta para um determinado ângulo diferente de 120°. d. Seria correta para um determinado ângulo diferente de 120°. e. Seria correta se os vetores fossem de mesma direção e mesmo sentido. Alternativa correta: C Habilidade Efetuar operações que envolvam grandezas escalares e vetoriais.

EMI-15-10

Exercícios Extras 04. O morador de um edifício entra no elevador no quarto andar e desce verticalmente 12 m até o andar térreo. A seguir, ele caminha num trecho plano e horizontal, percorrendo uma distância de 5 m até a porta do edifício. A intensidade do vetor deslocamento realizada pelo morador é: a. 5 m. d. 17 m. b. 12 m. e. nula. c. 13 m.

05. Dois homens puxam horizontalmente um poste por meio de cordas, sendo o ângulo entre elas igual a 45°. Se um dos homens exerce uma força de 750 N e o outro, uma força de 500 N, calcule a intensidade da força resultante. Adote cos 45° = sen 45° = 0,7.

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Resolução FR2 = F12 + F22 = 102 + 242 = 100 + 576 = 676 FR = 26 N

03. Em Física, quando nos referimos à partícula, estamos falando de um corpo de pequenas dimensões, ou seja, o tamanho desse corpo pode ser comparado a um ponto. Um ponto material recebe a ação de duas forças de intensidades iguais a 50 N e cujas origens formam entre si um ângulo de 120°. A intensidade da resultante dessas forças vale: a. nula. b. 25 N. c. 50 N. d. 70 N. e. 100 N.

109

01. Duas forças de intensidades 10 N e 24 N estão num mesmo plano, atuam num mesmo corpo e formam entre si um ângulo de 90°. Calcule a intensidade da resultante dessas duas forças.

Física

Exercícios de Aplicação

1 221

Orientações ao professor • Sobre o módulo Este módulo aborda, especificamente, a adição de dois vetores por meio da regra do paralelogramo. Iniciar destacando a importância da soma vetorial de duas grandezas, tais como a velocidade, no traçado da rota de um avião, levando-se em conta a velocidade do avião em relação ao ar e a velocidade do vento. Da mesma forma, o movimento de um barco depende da velocidade da correnteza. Pontos de destaque: • os valores possíveis da soma de dois vetores; • revisão das funções trigonométricas em triângulos.

Exercícios Propostos Da teoria, leia os tópicos 2B e 2C. Exercícios de

tarefa

reforço

aprofundamento

06. Uma partícula recebe a ação de duas forças de intensidades 10 N e 20 N, cujas origens dos vetores formam entre si um ângulo de 120°. Calcule a intensidade da resultante dessas duas forças. 07. Dois vetores formam um ângulo entre si de 60° (cos 60°= 0,5) de forma que o módulo do vetor soma vale 14 unidades. Se o módulo de um dos vetores vale 6 unidades, calcule o módulo do outro vetor.

40 m. Se um dos deslocamentos tem o triplo da intensidade do outro, a intensidade do vetor de menor deslocamento é de: a. 10 m. b. 4 · 10 m. c. 12 · 10 m. d. 30 m. e. 40 m. 10. Uma praça tem a forma de um quadrado de lado 100 m de comprimento. Possui calçada ao redor e nas duas diagonais, conforme mostra o esquema abaixo.

A

B

D

C

08. Uma partícula realiza um deslocamento vetorial de módulo d e, a seguir, numa direção perpendicular a esse deslocamento, percorre outro deslocamento, cujo módulo é o triplo do primeiro. Calcule o módulo do deslocamento resultante desses dois deslocamentos sucessivos. 09. Dois vetores deslocamentos perpendiculares entre si apresentam um deslocamento resultante de intensidade

Os pontos A, B, C e D representam os vértices do quadrado.

EMI-15-10

110

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Física

Seu espaço

12. PUCCamp-SP A soma de dois vetores ortogonais, isto é, perpendiculares entre si, um de módulo 12 e outro de módulo 16, terá módulo igual a: a. 4. b. um valor compreendido entre 12 e 16. c. 20. d. 28. e. um valor maior que 28. 13. USF-SP   Dois vetores,   a e b , são perpendiculares entre si, e o vetor soma  s = a + b tem módulo igual a 15. Sendo o módulo do vetor a igual a 12, o módulo do vetor b é igual a: a. 3 b. 6 c. 9 d. 15 e. 27 14. Cefet-PR     Quatro vetores, a, b, c e d, de módulos iguais a 7 unidades cada um, assumem, numa primeira situação, o aspecto indicado no diagrama vetorial a seguir. Numa segunda situação, invertemos o sentido de um deles. A resultante, na primeira e segunda situações, terá módulo, respectivamente, igual a:

 b  a

 c

EMI-15-10

a. 28 unidades e zero. b. zero e 14 unidades.

221

1 v



θ

v

A

a. b. c. d. e.

30º 60º 45º 0º 90º

16. AFA-SP   Os vetores A e B , na figura a seguir, representam, respectivamente, a velocidade do vento e a de um avião em pleno voo, ambas medidas em relação ao solo. Sabendo-se que o movimento resultante do avião acontece em uma direção perpendicular à direção da velocidade do vento, temse  que  o cosseno do ângulo θ entre os vetores velocidades A e B vale: 

A

θ



B

 B a. −  A  A b. −  B   c. − A ⋅ B

 d



B P

Física

15. Ufla-MG Dois automóveis, A e B, partem do ponto P e afastam-se em linha reta com a mesma velocidade v, conforme figura. Sabendo-se que a velocidade em que um observa o outro tem módulo v, então o ângulo θ vale:

  d. − A ⋅ B

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

11. Uma partícula realiza dois deslocamentos sucessivos de 10 m e 12 m. O deslocamento vetorial resultante é de 2 31 m. Nessas condições, o ângulo formado entre as origens desses dois vetores deslocamentos é de: a. 0° b. 45° c. 60° d. 90° e. 120°

c. zero e 7 unidades. d. 7 unidades e 28 unidades. e. zero e zero.

111

Um atleta parte de A, desloca-se até B e, depois, de B até C. A intensidade do vetor deslocamento e a distância percorrida de A até C valem, respectivamente: a. 100 m; 200 m. b. 100 2 m; 200 m. c. 100 2 m; 100 2 m. d. nula; 100 2 m. e. 200 m; 100 2 m.

1

Módulo 4

221

Decomposição e diferença vetoriais

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Física

Exercícios de Aplicação 01. Um corpo de pequenas dimensões recebe a ação de apenas duas forças de intensidades 10 N e 15 N. Assinale a alternativa que representa uma possível intensidade da resultante dessas duas forças. a. nula d. 6 unidades b. 1 unidade e. 26 unidades c. 3 unidades Resolução A intensidade da resultante das duas forças dadas estará compreendida entre o mínimo e o máximo valor da soma. |F1 – F2| ≤ FR ≤ F1 + F2 |10 – 15| ≤ FR ≤ 10 + 15 5 N ≤ FR ≤ 25 N Alternativa correta: D

02. Dois vetores velocidades de intensidades iguais a 10 m/s têm suas origens formando-se um ângulo entre si de 60º. Calcule a intensidade do vetor diferença entre eles. Resolução θ = 180° – α = 180° – 60° = 120° v2d = v21 + v22 + 2 · v1 · v2 · cos θ v2d = 102 + 102 + 2 · 10 · 10 (– 05) = = 100 + 100 – 100 = 100 vd = 10 m/s

03. UFV-MG As componentes x e y da velocidade de um automóvel são, respectivamente, – 20 km/h e + 20 km/h. O diagrama que ilustra  a orientação correta do vetor velocidade do automóvel v é: a.

c.

y

y



V

112

60° x



60°

x

45°

x

V

b.

y

d.



y

V

45° x



Resolução vx = – 20 km/h vy = +20 km/h vx < 0 e vy > 0 ⇒ o vetor velocidade está no segundo quadrante. As duas componentes da velocidade possuem o mesmo valor em módulo. Então, o ângulo formado entre o vetor velocidade e um dos eixos é de 45°. a. Seria correta para o ângulo de 45°.

c. Seria correta se vx > 0, vy < 0 e o ângulo fosse de 45°. d. Seria correta se vx > 0 e vy < 0. Alternativa correta: B Habilidade Efetuar operações que envolvam grandezas escalares e vetoriais.

EMI-15-10

V

Seu espaço Orientações ao professor • Sobre o módulo Com este módulo, encerramos o capítulo sobre vetores. Na decomposição vetorial, destacar que os eixos não precisam ser, obrigatoriamente, horizontal e vertical. Mostrar como exemplo o plano inclinado, em que é mais prático traçar dois eixos, um paralelo e outro perpendicular ao plano. É importante enfatizar que a subtração vetorial pode ser resolvida como uma adição de um vetor com o vetor oposto ao outro. Para finalizar, solicitar aos alunos que apresentem um mapa conceitual sobre grandezas físicas diferente do apresentado na teoria. • Na web Acessar: .

Essa atividade é um jogo muito criativo, que utiliza os conceitos de vetores e o raciocínio lógico para vencer uma corrida usando apenas caneta e papel. Seria interessante finalizar o assunto de vetores com essa brincadeira.

EMI-15-10

Acessar: .

Nesta simulação, é possível estudar os vetores, podendo modificar os seus componentes como o ângulo do vetor em relação ao eixo das abscissas, tamanho ou módulo dos vetores. Também é possível decompor o vetor em componentes no eixo das abscissas e ordenadas. Podem-se adicionar outros vetores e observar as representações das leis da adição e da regra do paralelogramo. Há também uma explicação sobre a adição de vetores por meio da soma de suas componentes. Acessar: .

A atividade proposta contém dois quadros. No primeiro, é apresentado um vetor sem suas coordenadas e um botão ‘Iniciar’, que permite a apresentação de um novo vetor. No segundo, é apresentado um vetor qualquer, de modo que o aluno possa alterar os valores de x e y por meio das flechas e descobrir, a partir daí, as coordenadas do vetor do primeiro quadro. Acessar: .

Simulação que mostra, de modo simplificado, a subtração de vetores.

221 Física Ciências da Natureza e suas Tecnologias

05. Os dois vetores deslocamentos de uma partícula têm intensidades de 12 m e 16 m. Com relação à intensidade do vetor deslocamento resultante, dê a soma dos números dos itens corretos. 01. Será sempre 20 m. 02. Poderá ser 20 m. 04. Nunca poderá ser nulo. 08. O mínimo valor é 4 m. 16. O máximo valor é 20 m. 32. Poderá ter valor de 25 m.

113

04. Uma partícula move-se num trecho plano, horizontal e retilíneo. Nesse trecho, o vetor deslocamento dessa partícula possui intensidade de 20 m. A componente ortogonal desse deslocamento no eixo x vale 10 3 m. O ângulo que o vetor forma com o eixo x vale: a. 0° b. 30° c. 45° d. 60° e. 90°

1

Exercícios Extras

Da teoria, leia os tópicos 3, 4 e 5. Exercícios de

tarefa

reforço

aprofundamento

06. Duas únicas forças de intensidades diferentes de zero atuam simultaneamente sobre um ponto material. A intensidade da resultante dessas duas forças será máxima quando o ângulo entre elas for: a. 0° d. 90° b. 45° e. 180° c. 60° 07. No plano  cartesiano (x, y) a seguir, está representado um vetor força F de intensidade 20 N, que forma um ângulo de 30° com o eixo x. Calcule as componentes da força nos eixos x e y. y

 F

30° x

08. As componentes ortogonais de um vetor velocidade são: vx = 5 m/s e vy = 12 m/s. Calcule a intensidade do vetor velocidade. 09. UFV-MG   A figura a seguir ilustra um diagrama com três vetores, M, Ne Q.

11. Uma partícula recebe a ação de uma única força constante de intensidade F = 120 N. A decomposição dessa força resulta em duas componentes ortogonais de forma que suas intensidades são uma o dobro da outra. Calcule as intensidades dessas componentes. 12. Dois vetores têm a mesma direção, sentidos opostos e módulos 3 e 4, respectivamente. A diferença entre esses vetores tem módulo igual a: a. 1 b. 5 c. 7 d. 12 e. 6 13. Uma partícula realiza um deslocamento vetorial de intensidade 2 m. As componentes ortogonais desse vetor medem 3 m e 1 m. O ângulo que o vetor deslocamento forma com a componente de menor módulo é de: a. 0° b. 30° c. 45° d. 60° e. 90° 14. Uma partícula recebe a ação de apenas 4 forças, localizadas no plano xy, conforme mostra a figura a seguir. Usando a decomposição vetorial, calcule a intensidade da resultante das forças aplicadas na partícula. y

F2 = 5 N





M

Q

F3 = 6 N



10. Um avião possui velocidade de 200 m/s, a 30° acima da direção horizontal. Determine as componentes da velocidade na horizontal e na vertical. Adote o eixo x na horizontal e o eixo y na vertical.

F1 = 10 N x

θ

N

Dessa forma, é correto afirmar que:    a. M = Q + N    b. M = Q −N    c. N = M + Q    d. N = M − Q

θ

F4 = 10 N

Dados Sen θ = 0,6 e cos θ = 0,8 15. UAFA-SP

  Considere que dois vetores, A e B, formam entre si um ângulo de 60°, quando têm suas origens sobre um ponto em comum. Além disso, considere,  também, que o módulo de B é duasvezes maior que o de , ou seja, A    B = 2 A. Sendo o vetor soma S = A + B e o vetor diferença D = A – B, a razão entre os módulos S vale: D

EMI-15-10

1 221 Física Ciências da Natureza e suas Tecnologias 114

Exercícios Propostos

b. 1 7

( −F1 + F3 ⋅cos θ)2 + (F2 + F3 ⋅senθ)2

1

02. Para θ = π , a intensidade da força resultante será 2

d. 3 16. UEPG-PR Na figura a seguir, três forças de mesma intensidade agem sobre uma partícula. F1 e F2 têm orientações fixas, enquanto a orientação de F3 é definida segundo um ângulo formado com a direção horizontal. Com relação à força resultante sobre a partícula, assinale o que for correto.

04. Para θ = π, a intensidade da força resultante será dada por: FR = 5 ⋅F . 08. Para θ = 3π , a intensidade da força resultante será 2 dada por: FR = F.

 F2

 F3 θ

16. Para θ = 2π, a intensidade da força resultante será dada por FR = F. Dê a soma dos números dos itens corretos.

EMI-15-10

115

 F1

dada por: FR = 5 ⋅F .

Física

c.

FR =

221

01. Para qualquer valor de θ, a intensidade da força resultante será dada por:

21 3

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

a.

1. Introdução à dinâmica 118 2. Primeira Lei de Newton 120 3. Segunda Lei de Newton 122 Módulo 5 – Introdução à dinâmica e Primeira Lei de Newton 124 Módulo 6 – Segunda Lei de Newton 128

WARNER BROS. PICTURES / EVERETT COLLECTION / GLOW IMAGES

• Reconhecer causas da variação de movimentos associadas a forças. • Identificar ação e reação como pares de forças de interação, na interpretação de situações reais. • Calcular a resultante das forças e aplicar a Segunda Lei de Newton, relacionando aceleração e força na interpretação de movimentos. • Prever e avaliar, utilizando as leis de Newton, situações cotidianas que envolvem movimentos. • Aplicar as leis de Newton a situações diversas. • Avaliar os efeitos da inércia no movimento ou no repouso.

Leis de Newton I

2

Provavelmente, um dos primeiros fenômenos naturais que atraíram a atenção dos homens foi o movimento dos corpos. Com os conhecimentos adquiridos ao longo dos anos, atualmente o movimento de um corpo pode ser analisado sob dois aspectos: o primeiro diz respeito ao movimento em si, que abrange o estudo das grandezas deslocamento, velocidade e aceleração. Esse estudo compreende o ramo da mecânica denominado Cinemática. O segundo aspecto está relacionado às causas do movimento de um corpo, ou seja, quem provoca o movimento e como ele pode ser alterado. Esse estudo é denominado Dinâmica.

117

Como seria se, por algum motivo, algumas leis da física não funcionassem para você? Com certeza, você teria superpoderes, uma vez que a maioria dos super-heróis viola indiscriminadamente as leis da física. Podemos citar como exemplo o filme “Homem de aço”, de Zack Snyder. Nele, observamos o super-homem voando e fazendo manobras no ar que só seriam possíveis se as leis de Newton não o afetassem. De acordo com a Primeira Lei de Newton, para que o Super-Homem pudesse se manter em repouso no ar, seria necessária uma força vertical para cima de modo a equilibrar seu peso. Agora, imagine uma situação em que o Super-Homem se move no espaço, em movimento uniforme, e logo percebe que esqueceu algo na Terra. Ele simplesmente inverte o sentido de seu movimento e retorna. Se Newton pudesse visualizar essa cena, diria: corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare. Ou “Todo corpo continua em seu estado de repouso ou de movimento uniforme em uma linha reta, a menos que seja forçado a mudar aquele estado por forças aplicadas sobre ele". Isso significa que ele não poderia realizar esse feito sem que existisse nele algum tipo de propulsor. Ele poderia dizer também: mutationem motis proportionalem esse vi motrici impressae. Ou “A mudança de movimento é proporcional à força motora impressa”. Sendo a velocidade do herói muito grande, seria necessária uma força também muito grande para fazê-lo parar em um curto intervalo de tempo.

2

1. Introdução à dinâmica

ALEXANDRE FAGUNDES DE FAGUNDES / DREAMSTIME.COM

A dinâmica explica como os carros podem fazer essa curva em alta velocidade.

As mudanças são muitas. Na cinemática, por exemplo, se o referencial é o Sol, a Terra gira ao redor dele. Se o referencial é a Terra, o Sol é que gira ao redor dela. Na dinâmica, o fato é que apenas podemos dizer que a Terra gira ao redor do Sol. Portanto, na dinâmica, nem todos os referenciais são aceitos. Na dinâmica, trabalhamos apenas com referenciais inerciais, que são os que não possuem aceleração, ou seja, são referenciais em repouso ou em movimento retilíneo com velocidade constante. Num primeiro momento, deveríamos adotar as estrelas como referenciais. Por exemplo, o Sol. Nessa linha de raciocínio, rigorosamente a Terra não é um referencial inercial, pois apresenta inúmeras acelerações, como, por exemplo, a de rotação e a de translação. Contudo, para as situações que envolvem o estudo da Física no Ensino Médio, podemos considerar a Terra como sendo um referencial inercial. No estudo dos movimentos, um nome que merece destaque é o de Galileu Galilei. Ao analisar seus experimentos, Galileu registrou situações que contribuíram para a criação das bases da dinâmica. Embora não tenha conseguido equacionar corretamente as relações entre força e velocidade, o legado de Galileu foi significativo para que Isaac Newton, com a obra Princípios matemáticos da filosofia natural, publicada em 1687, apresentasse as três leis para os movimentos dos corpos, denominadas leis de Newton.

Isaac Newton (1642-1727): físico, matemático, astrônomo, alquimista, filósofo e teólogo inglês.

Um dos famosos experimentos de Galileu consistia em observar o movimento de uma bolinha em dois trilhos inclinados e um horizontal, conforme a figura a seguir.

Na ausência de atrito, a bolinha atinge a mesma altura na rampa oposta à do lançamento.

EMI-15-10

118

Galileu Galilei (1564-1642): físico, matemático, astrônomo e filósofo italiano. MONTAGEM SOBRE FOTOS PHOTOS.COM; GEORGIOS KOLLIDAS / ISTOCK / GETTY IMAGES

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Física

221

A dinâmica é a parte da mecânica que estuda as causas dos movimentos dos corpos. Para tanto, ela exige muito mais rigor que a cinemática. Por exemplo, na cinemática, a velocidade e a aceleração, para facilitar o estudo, são tratadas como grandezas escalares. Entretanto, no estudo da dinâmica, tanto a velocidade como a aceleração serão tratadas como grandezas vetoriais.

2

sa 100 g. Então, quando sustentamos em nossas mãos uma embalagem que contém um kilograma de massa, estamos aplicando na embalagem a força equivalente a 10 N. SAULO MICHELIN

Física

Na ausência de atrito, a bolinha rola pela rampa até atingir, do outro lado, uma altura idêntica àquela do lançamento.

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

A seguir, Galileu colocou a segunda rampa praticamente na horizontal e abandonou a bolinha. Teoricamente, ela seguiria infinitamente rolando na horizontal. Todavia, na prática, a resistência oferecida pelo ar diminui a sua velocidade, até parar.

Na ausência de atrito, a bolinha movimenta-se com velocidade constante na pista horizontal.

A. Força

SAULO MICHELIN

Normalmente, o conceito de força é associado ao ato de puxar ou empurrar um objeto. Na Física, esse conceito é um pouco mais amplo. A força corresponde ao fruto da interação entre dois corpos, ou seja, o resultado da interação entre eles. De acordo com esse conceito físico, entendemos que um corpo isolado não sofre efeitos de forças. Em resumo, para a existência de uma força, devemos ter dois corpos interagindo. Na figura seguinte, temos a ilustração de uma pessoa puxando uma caixa apoiada no solo por meio de uma corda.

Existe uma outra unidade de medida da força que ainda é usada, o kilograma-força (kgf). A relação entre essas unidades é: 1 kgf = 9,8 N Para facilitar os cálculos, podemos aproximar para 1 kgf = 10 N. Um dos aparelhos usados para medir a força é o dinamômetro, constituído de uma mola que sofre deformação ao ser puxada (tracionada).

 F Dinamômetro: medidor de força

EMI-15-10

O ato de a pessoa puxar a corda para arrastar a caixa representa uma troca de forças – uma interação.

Como a força é uma grandeza vetorial, para ser caracterizada, ela necessita da intensidade, da direção e do sentido. E, como se trata de uma grandeza física, ela necessita de uma unidade de medida. No Sistema Internacional de unidades (SI), a força é medida em newton (N). Para se ter ideia da magnitude dessa unidade, 1 N (um newton) equivale à força necessária para sustentar, em repouso, em uma das mãos, um corpo de mas-

119

Para esse caso, Galileu concluiu que, na ausência de resistências oferecidas ao movimento, a bolinha seguiria em movimento para sempre. Com base nessa experiência e na conclusão a que chegou Galileu, Newton, cerca de cem anos mais tarde, enunciou a sua primeira lei – a lei da inércia – que veremos ainda neste capítulo.

221

Galileu observou que, quanto menor fosse a inclinação da segunda rampa, maior seria a distância percorrida pela bolinha. No entanto, ela parava numa altura próxima à da partida.

B. Resultante das forças (força resultante) Um único corpo pode, em um dado momento, interagir simultaneamente com vários outros corpos. Nessas condições, ele pode ficar sob a ação de um sistema de forças. A soma vetorial dessas forças determina o vetor soma, a que damos o nome de resultante das forças, ou força resultante, aplicadas no corpo. A resultante das forças não é mais uma força aplicada no corpo, mas, sim, a soma vetorial de todas as forças nele aplicadas. Dessa forma, a resultante das forças é a única que

120

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Física

    FR = F1 + F2 + ... + Fn

APRENDER SEMPRE

21

01. Um ponto material recebe a ação de um sistema de forças, representado na figura. Calcular o módulo da resultante das forças aplicadas nesse ponto material, considerando que o lado de cada quadrado vale 1 N.  F2

 F3

Repouso e parado têm o mesmo significado? O equilíbrio estático ocorre quando os corpos estão em repouso, e não necessariamente parados. Um corpo em repouso está parado. Nem todo corpo parado estará em repouso. Por exemplo, quando um automóvel encontra-se estacionado na garagem, ele está parado e em repouso em relação à terra. Uma bola lançada verticalmente para cima, no ponto mais alto da sua trajetória, estará momentaneamente parada, mas não em repouso. Nesse ponto, ela para e retorna, pois apresenta aceleração gravitacional. O equilíbrio dinâmico ocorre quando o corpo está em movimento, mas sem aceleração. Isso acontece quando o movimento realiza-se em uma trajetória retilínea e com velocidade constante (movimento retilíneo e uniforme).  v

 F1

 F4

Se o vetor velocidade for constante e diferente de zero, o corpo estará em equilíbrio dinâmico.

A. Inércia

Resolução Efetuando a soma por eixos: FRx = F1x + F2x + F3x + F4x = 6 + 2 – 3 – 1 = 4 N FRy = F1y + F2y + F3y + F4y = 0 + 3 + 3 – 3 = 3 N Como as direções x e y são perpendiculares entre si, então: F2R = F2Rx + F2Ry ⇒ F2R = 42 + 32 ⇒ F2R = 16 + 9 = 25 FR = 5 N

2. Primeira Lei de Newton

Vimos que um corpo pode receber a ação simultânea de várias forças e que a força resultante realiza o mesmo efeito que todas as forças aplicadas no corpo. Essa força resultante pode ser nula ou diferente de zero. Se a resultante das forças aplicadas num corpo é nula, dizemos que ele está em equilíbrio. Isso significa que o vetor velocidade é constante, ou seja, a aceleração do corpo é nula. A resultante das forças aplicadas em um corpo será nula em duas situações: • primeira: o corpo encontra-se num local muito distante de qualquer astro e outros corpos, de modo a não interagir com nenhum deles; • segunda: o corpo recebe ação de forças, porém a soma vetorial delas é zero. Dependendo do vetor velocidade do corpo, o equilíbrio pode ser de dois tipos: estático ou dinâmico. O equilíbrio é dito estático quando o corpo se encontra em repouso em relação ao referencial inercial: v = 0 (em relação à terra) Corpo em equilíbrio estático

Um automóvel em repouso, num trecho plano e horizontal, permanecerá em repouso mesmo se o freio de mão não estiver acionado. Um automóvel em movimento, também num trecho plano e horizontal, ao ser desligado o motor, e não se acionar o freio, seguirá em movimento e, dependendo da velocidade, percorrerá um longo trecho até parar. Neste caso, o automóvel para em razão dos atritos. Na ausência do atrito, o automóvel seguiria indefinidamente em movimento retilíneo e com velocidade constante. Associamos a essas duas situações o termo inércia. Inércia é a tendência dos corpos de permanecerem nos seus estados naturais de equilíbrio. Todo corpo em repouso tende a permanecer em repouso e todo o corpo em movimento tende a permanecer em movimento retilíneo e uniforme (MRU). Para vencer a inércia dos corpos, é necessário que eles recebam a ação de forças que modifiquem seus estados naturais (repouso ou movimento). Por exemplo, para frear um automóvel, o motorista aciona o pedal do freio. Nesse caso, forças de atrito atuarão nas rodas e nos pneus para vencerem a inércia do carro, ou seja, a tendência dele de seguir em movimento retilíneo e uniforme. Motorista e passageiros de um automóvel devem usar o cinto de segurança. A função desse acessório é inercial, ou seja, vencer a inércia dos corpos. Numa frenagem brusca, ou numa colisão, todos os ocupantes do carro tendem, em razão da inércia, a seguir em movimento retilíneo e uniforme. Sendo assim, se não estiverem utilizando o cinto de segurança, os passageiros, inclusive crianças, na situação mencionada, chocar-se-ão contra o para-brisa, ou serão lançados para fora do carro. Já se estiverem utilizando o equipamento, permanecerão dentro do veículo, pois esse acessório vence a inércia dos corpos.

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2 221

substitui o sistema de forças aplicadas no corpo. Ela exerce uma importância muito grande no estudo da dinâmica, pois podemos substituir o sistema de forças por uma única força, que proporciona o mesmo efeito que todas as forças juntas. Em símbolos, escrevemos:

Nas curvas, também temos a tendência de seguir em movimento retilíneo e uniforme. Por exemplo, a derrapagem de um carro numa curva ocorre em razão da propensão de ele seguir em movimento retilíneo e uniforme. Nas curvas, para velocidades dentro do limite de segurança, a força que os pneus trocam com o solo (atrito) vence a inércia do carro, e ele consegue descrevê-la. Velocidades acima da máxima permitida podem propiciar a derrapagem, ou seja, se os pneus não conseguirem trocar forças suficientes para vencer a inércia do carro, ele seguirá em movimento retilíneo e uniforme. LUCIANO OLIVEIRA

As curvas devem ser percorridas com velocidades dentro do limite de segurança indicado pelas placas sinalizadoras.

EMI-15-10

LUCIANO OLIVEIRA

Em velocidades acima do limite permitido, o atrito dos pneus com o solo pode não ser suficiente para que o carro descreva a curva.

2 121

LUCIANO OLIVEIRA

O cinto de segurança vence a inércia dos corpos.

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Física

221

LUCIANO OLIVEIRA

A falta do uso do cinto de segurança, em um acidente, pode ser fatal.

Sobre a Primeira Lei de Newton Acesse: .

122

B. Lei da inércia

Até o momento, sabemos que a soma vetorial de todas as forças aplicadas em um corpo determina a força resultante (vetor soma), que pode ou não ser nula. Temos, então, dois casos a considerar: • se a força resultante é nula, dizemos que o corpo se encontra em equilíbrio (o corpo pode estar em repouso ou em movimento retilíneo e uniforme); • se a força resultante é diferente de zero, então o corpo se encontra em movimento acelerado. A Primeira Lei de Newton – a lei da inércia – vale para os corpos em equilíbrio. De acordo com Newton:

Portanto, a força resultante sobre o corpo é nula. Como FR = 0, o corpo está em equilíbrio, podendo estar em repouso ou em movimento retilíneo e uniforme.

Curiosidade: força centrífuga Para um referencial inercial não existe resultante das forças centrífugas. A força centrífuga é usada como explicação, muito embora não exista para um corpo que não consiga fazer uma curva, desde que esteja se tratando de um referencial não inercial. Tomemos como exemplo uma máquina de lavar roupas durante o processo de centrifugação (retirar água da roupa). Para um referencial inercial (terra), a água sai da roupa devido à inércia, ou tendência de seguir em movimento retilíneo uniforme. Para um referencial não inercial (cilindro girando), a água sai afastando-se do centro da curva, daí a centrifugação. SADDOGGDESIGN / SHUTTERSTOCK

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Acesse: .

FR(y) = F1(xy) + F2(y) – F3 ⇒ FR(y) = 20 + 20 – 40 ⇒ FR(y) = 0

Num referencial inercial, um ponto material encontra-se em equilíbrio quando a resultante das forças aplicadas nele é nula. Assim, temos: FR = 0 ⇒ ponto material em equilíbrio (repouso ou movimento retilíneo e uniforme). Exercício resolvido Um corpo de pequenas dimensões encontra-se sob a ação de três forças, conforme indicação na figura seguinte. Cada lado do quadriculado corresponde a uma força de 10 N.   F1 F2

Na centrifugação, a água sai pelos furos devido à sua inércia.

3. Segunda Lei de Newton  F3 Explique se o corpo encontra-se em repouso, em movimento retilíneo e uniforme, ou em movimento acelerado. Resolução Inicialmente, vamos determinar a força resultante: FR(x) = F2(x) – F1(x) ⇒ FR(x) = 30 – 30 ⇒ FR(x) = 0

A segunda Lei de Newton está associada às situações em que um corpo não está em equilíbrio, ou seja, está dotado de aceleração. Newton observou que, para um mesmo corpo, a resultante das forças aplicadas nele é diretamente proporcional à aceleração adquirida, ou seja: FR1 FR2 FR3 = = = ... = cons tan te a1 a2 a3

EMI-15-10

2 221 Física

A charge apresentada anteriormente ilustra o que pode ocorrer com um automóvel, com velocidade acima do limite máximo, na tentativa de realizar uma curva. Em momento algum ele é arremessado para fora da curva. Se o atrito for suficiente, o carro faz a curva e, caso contrário, ele segue em movimento retilíneo e uniforme.

m

 FR  a

Um corpo de massa m, sob a ação de uma força resultante diferente de zero, apresenta movimento acelerado.

No Sistema Internacional de Unidades, temos: FR → N (newton) m → kg (quilograma) a → m/s2

2

Sobre a segunda Lei de Newton Disponível em: . Acesso em: 28 maio 2014.

A. Massa

A massa é uma grandeza física e sempre positiva.   escalar Nessas condições, os vetores F R e a possuem a mesma direção e o mesmo sentido. A massa é uma característica de cada corpo e pode ser definida como:

De um modo mais fácil para entender, podemos dizer que a massa mede a dificuldade que encontramos para vencer a inércia de um corpo. Por exemplo, o módulo da força para frear uma bicicleta é muito menor que o módulo da força para frear um caminhão carregado. Por isso, dizemos que a inércia do caminhão é muito maior, ou seja, sua massa é muito maior que a da bicicleta. No estudo da Física newtoniana, consideramos a massa de um corpo como sendo constante, qualquer que seja o lugar em que esse corpo se encontra e qualquer que seja a sua velocidade.

123

MAXIMILIEN BRICE, CERN / SCIENCE PHOTO LIBRARY / SPL DC / LATINSTOCK

Massa é uma medida quantitativa da inércia de um corpo.

APRENDER SEMPRE

22

01. A velocidade de um pequeno corpo de massa 4 kg aumenta uniformemente de 36 km/h para 72 km/h em 5 segundos. Calcule a intensidade da resultante das forças aplicadas nesse corpo. Resolução vo = 36 km/h = 10 m/s v = 72 km/h = 20 m/s m = 4 kg ∆t = 5 s A aceleração do movimento é dada por: v − v 0 20 − 10 10 = = = 2 m / s2 ∆t 5 5 E a intensidade da força resultante vale: FR = m · a = 4 · 2 ⇒ FR = 8 N a=

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221

Curiosidade No estudo da Física moderna, aquela desenvolvida a partir de 1905, a massa de um corpo não é constante, ou seja, ela varia conforme a variação da sua velocidade. Porém, a variação da massa do corpo só é percebida para velocidades extremamente altas, da ordem da velocidade da luz no vácuo. O estudo das partículas subatômicas acontece nos grandes aceleradores de partículas, como no LHC (Grande Colisor de Hádrons), que são túneis de vários quilômetros de comprimento, onde campos elétrico e magnético aceleram as partículas. Nesses aceleradores de partículas, é sentido o aumento das suas massas. À medida que aumenta a velocidade de uma partícula, sua massa também aumenta. Teoricamente, se a velocidade de uma partícula atingisse a velocidade da luz, sua massa seria infinita. Por isso, é impossível um corpo viajar com a velocidade da luz no vácuo (3 · 108 m/s).

Física

FR = m ⇒ FR = m⋅a a

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

A constante dessa relação é denominada massa (m) do corpo. Então:

2

Módulo 5

221

Introdução à dinâmica e Primeira Lei de Newton

01. PUC-MG Duas forças, de 5 N e 7 N, atuam no mesmo ponto de um corpo. Se o ângulo entre as forças variar de 0 grau a 180 graus, nessa ordem, o módulo da força resultante irá variar de: a. 0 a 12 N. b. 12 N a 2 N. c. 2 N a 12 N. d. 12 N a 0. Resolução Para um ângulo de 0º: FR = F1 + F2 ⇒ FR = 5 + 7 ⇒ FR = 12 N E para um ângulo de 180º: FR = F2 – F1 ⇒ FR = 7 – 5 ⇒ FR = 2 N Alternativa correta: B

03. FASM-SP Ao contrário do que julga o nosso senso comum, o deslocamento de um objeto no espaço não exige necessariamente a ação de uma força resultante. Se ele estiver, por exemplo, em um plano horizontal, sem atrito e/ou resistência de qualquer espécie, em movimento retilíneo e com velocidade constante, seu movimento continuará sem ação de força resultante. Essa característica dos corpos materiais é chamada de: a. dualidade. b. viscosidade. c. inércia. d. uniformidade. e. impenetrabilidade. Resolução A característica citada é denominada inércia. Alternativa correta: C Habilidade Avaliar os efeitos da inércia no movimento ou no repouso.

02. Duas forças, F1 = F2 = 100 N, agem simultaneamente em um corpo. Se elas possuem a mesma direção, mas sentidos contrários, podemos afirmar que o corpo: a. está em equilíbrio. b. apresenta movimento retilíneo e uniforme. c. está em repouso. d. apresenta movimento acelerado. e. está em equilíbrio dinâmico. Resolução A força resultante no corpo é zero, pois as forças aplicadas possuem o mesmo módulo, a mesma direção, mas sentidos contrários. Sendo FR = 0, o corpo estará em equilíbrio, podendo estar em repouso ou em movimento retilíneo e uniforme. Alternativa correta: A

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124

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Física

Exercícios de Aplicação

Seu espaço

EMI-15-10

Orientações ao professor Sobre o módulo Neste módulo sobre a primeira Lei de Newton, uma das dificuldades encontradas pelos alunos é aceitar a inércia no movimento. É preciso trabalhar vários exemplos para mudar a concepção espontânea dos alunos de que força constante produz velocidade constante e que força nula implica objeto parado. Usar o exemplo de uma pessoa em pé em um ônibus urbano em movimento. Se o motorista breca o veículo, o que acontecerá com esse passageiro vai depender de duas situações: 1) ele está segurando na alça que existe no teto do ônibus? Ou 2) ele não está segurando em nenhuma parte fixa do ônibus? Na web Link sugerido: http://www.enciga.org/taylor/temas/planos.jar Essa simulação mostra os planos de Galileu. Ela pode ser usada durante a explicação da teoria, em substituição aos desenhos estáticos na lousa.

Experimentos

FÍSICA 1 – Forças 2 – Primeira Lei de Newton http://vimeo.com/35605267

221 Física Ciências da Natureza e suas Tecnologias

05. Um corpo se move com velocidade constante sobre uma superfície retilínea em um referencial inercial. A esse respeito, são feitas as seguintes afirmações: I. Não há forças atuando sobre o corpo. II. Uma única força constante atua sobre o corpo. III. A resultante das forças que atuam no corpo é nula. IV. O movimento do corpo é retilíneo e uniforme. V. O corpo encontra-se em equilíbrio. Assinale a alternativa correta. a. Somente I, III e IV estão corretas. b. Somente II e IV estão corretas. c. Somente III, IV e V estão corretas. d. Todas as afirmações estão corretas. e. Todas as afirmações estão incorretas.

125

04. PUC-RJ Considere as seguintes afirmações a respeito de um passageiro de um ônibus que segura um balão amarrado por um barbante. I. Quando o ônibus freia, o balão se desloca para trás. II. Quando o ônibus acelera para frente, o balão fica para trás. III. Quando o ônibus acelera para frente, o barbante permanece na vertical. IV. Quando o ônibus freia, o barbante permanece na vertical. Assinale a opção que indica a(s) alternativa(s) correta(s). a. Somente III e IV. b. Somente I e II. c. Somente I. d. Somente II. e. Nenhuma das afirmações é correta.

2

Exercícios Extras

Da teoria, leia os tópicos 1 e 2. tarefa

Exercícios de

reforço

aprofundamento

Física

06. Vunesp   A figura mostra, em escala, duas forças, a e b, atuando num ponto material P.

 a

Escala 1N 1N

 b

 a. Represente,  na figura reproduzida, a força R, resultante das forças a e b, e determine o valor de seu módulo, em newtons.  b. Represente, também,    na mesma figura, a força c, de tal modo que a + b+ c = 0. 07. Mackenzie-SP A figura mostra 5 forças representadas por vetores de origem comum, dirigidas aos vértices de um hexágono regular.  FA

 FB

126

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

P

 FC

 FE

 FD

 Sendo 10 N o módulo da força F c, a intensidade da resultante dessas 5 forças é: a. 50 N. b. 45 N. c. 40 N.

d. 35 N. e. 30 N.

08. UFMG Pedro viaja em uma moto, com velocidade constante de 80 km/h, em um trecho retilíneo de estrada. É correto afirmar que, nessa situação, a resultante das forças que agem sobre a moto de Pedro: a. é diretamente proporcional à sua velocidade ao quadrado. b. é igual à força de atrito que age sobre ela.

c. é igual ao peso da moto. d. é nula. 09. Unicid-SP O personagem fictício de nossa prova, um entregador de pizzas, tinha um imprudente costume: ultrapassava veículos e, ao fim da manobra, colocava sua moto logo à frente do veículo ultrapassado, tão perto dele, que, via de regra, assustava o condutor. Certo dia, avistou uma enorme carreta e, como sempre, iniciou sua manobra. A carreta seguia com velocidade constante de 72 km/h, igual a velocidade que possuía sua moto no início da ultrapassagem. Decidido, imprimiu a máxima aceleração que a moto podia sustentar, porém calculou mal. Quando achava que já era possível colocar-se à frente do caminhão, esbarrou em seu pára-choques, perdendo o controle. Sua moto bateu violentamente contra um carro estacionado, nele ficando presa, enquanto o rapaz sobrevoou o veículo atingido, batendo com seu capacete contra um muro. De acordo com a mecânica clássica, o sobrevoo do motociclista se deu por meio: a. da força que o cairo estacionado imprimiu ao seu corpo. b. do trabalho realizado pelo carro ao absorver o movimento da moto. c. da tendência a perpetuar o estado de movimento de seu corpo. d. do impulso recebido de sua moto. e. do impulso recebido pelo carro atingido. 10. Uma mala é colocada solta no bagageiro instalado na capota de um ônibus, que se movimenta com velocidade vetorial constante. Em um determinado instante, o ônibus faz uma curva plana e horizontal para a direita, mantendo constante o módulo da velocidade. Nessas condições, assinale a alternativa correta. a. A mala não se movimenta em relação ao ônibus, pois este é um referencial inercial. b. A mala tende, por inércia, a permanecer com a mesma velocidade que tinha antes da curva e a se movimentar em relação ao ônibus. c. A tendência da mala é efetuar a curva juntamente com o ônibus, pois ela está presa a ele. d. O ônibus é um referencial não inercial e, portanto, nada se pode afirmar sobre o movimento da mala. e. A mala segue por inércia em um movimento circular uniforme. 11. De acordo com a primeira Lei de Newton, julgue as afirmativas a seguir e dê como resposta a soma dos números dos itens corretos. 01. Um corpo em repouso sempre permanecerá em repouso. 02. Um corpo em movimento sempre permanecerá em movimento. 04. Um corpo em repouso está em equilíbrio estático e um corpo em movimento, em equilíbrio dinâmico.

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2 221

Exercícios Propostos

12. Cederj Observe atentamente a tira de humor:

02. Para θ = π , a intensidade da força resultante será 2 dada por: FR = 5 ⋅F.

FR = (−F1 + F3 ⋅cos θ)2 + (F2 + F3 ⋅sen θ)2

2

01. Para qualquer valor de θ, a intensidade da força resultante será dada por:

221

08. Um corpo em equilíbrio (estático ou dinâmico) pode estar sob a ação de forças. 16. Se a força resultante em um corpo é nula, ele está, obrigatoriamente, em repouso.

dada por: FR = 5 ⋅F. 08. Para θ = 3π , a intensidade da força resultante será 2 dada por: FR = F.

14. UEPG-PR Na figura a seguir, três forças de mesma intensidade agem sobre uma partícula. F1 e F2 têm orientações fixas, enquanto que a orientação de F3 é definida segundo um ângulo θ formado com a direção horizontal. Com relação à força resultante sobre a partícula, assinale o que for correto.

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 F2  F1

θ

 F3

15. UEPA Na parte final de seu livro Discursos e demonstrações concernentes a duas novas ciências, publicado em 1638, Galileu Galilei trata do movimento do projétil da seguinte maneira: "Suponhamos um corpo qualquer, lançado ao longo de um plano horizontal, sem atrito; sabemos [...] que esse corpo se moverá indefinidamente ao longo desse mesmo plano, com um movimento uniforme e perpétuo, se tal plano for ilimitado". O princípio físico com o qual se pode relacionar o trecho destacado acima é: a. o princípio da inércia ou primeira Lei de Newton. b. o princípio fundamental da Dinâmica ou segunda Lei de Newton. c. o princípio da ação-e-reação ou terceira Lei de Newton. d. a Lei da Gravitação Universal. e. o princípio das proporções de Galileu. 16. UEPA O gráfico a seguir apresenta os valores da velocidade, em m/s, de um carro de corrida em função do tempo, em segundos, em uma trajetória retilínea. 100

v (m/s)

80 60 40 20 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 t (s)

Com base no gráfico, assinale a alternativa que apresenta o intervalo de tempo em que a força resultante no carro é nula. a. De 0 a 8 s b. Entre 8 e 10 s c. Entre 10 s e 12 s d. Entre 12 s e 13 s e. Entre 0 e 13 s

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

13. UFRN Considere um grande navio, tipo transatlântico, movendo-se em linha reta e com velocidade constante (velocidade de cruzeiro). Em seu interior, existe um salão de jogos climatizado e nele uma mesa de pingue-pongue orientada paralelamente ao comprimento do navio. Dois jovens resolvem jogar pingue-pongue, mas discordam sobre quem deve ficar de frente ou de costas para o sentido do deslocamento do navio. Segundo um deles, tal escolha influenciaria no resultado do jogo, pois o movimento do navio afetaria o movimento relativo da bolinha de pingue-pongue. Nesse contexto, de acordo com as Leis da Física, pode-se afirmar que: a. a discussão não é pertinente, pois, no caso, o navio se comporta como um referencial não inercial, não afetando o movimento da bola. b. a discussão é pertinente, pois, no caso, o navio se comporta como um referencial não inercial, não afetando o movimento da bola. c. a discussão é pertinente, pois, no caso, o navio se comporta como um referencial inercial, afetando o movimento da bola. d. a discussão não é pertinente, pois, no caso, o navio se comporta como um referencial inercial, não afetando o movimento da bola.

16. Para θ = 2π, a intensidade da força resultante será dada por FR = F. Dê a soma dos números dos itens corretos.

127

A situação ilustrada na tira de humor é devidamente explicada pela: a. primeira Lei de Newton. b. segunda Lei de Newton. c. terceira Lei de Newton. d. lei de Hooke. e. primeira Lei de Kepler.

Física

04. Para θ = π, a intensidade da força resultante será

2

Módulo 6

221

Segunda Lei de Newton

01. A força resultante sobre um corpo de massa 70 kg é 280 N. A aceleração desse corpo vale: a. 1,0 m/s² b. 2,0 m/s² c. 3,0 m/s² d. 4,0 m/s² e. 5,0 m/s² Resolução FR = m · a ⇒ 280 = 70 · a ⇒ a = 4,0 m/s² Alternativa correta: D

03. UERJ Um corpo de massa igual a 6,0 kg move-se com velocidade constante de 0,4 m/s, no intervalo de 0 s a 0,5 s. Considere que, a partir de 0,5 s, esse corpo é impulsionado por uma força de módulo constante e de mesmo sentido que a velocidade, durante 1,0 s. O gráfico abaixo ilustra o comportamento da força em função do tempo. F (N) 12,0

0

0,5

1,5

t(s)

Calcule a velocidade do corpo no instante t = 1,5 s.

02. Um automóvel acelera de 0 a 108 km/h em 10 s. Sendo a aceleração constante e a massa do automóvel igual a 1 200 kg, determine a força resultante no automóvel nesse intervalo de tempo.

Resolução No intervalo de 0,5 s a 1,5 s, a aceleração do corpo vale: F = m · a ⇒ 12 = 6,0 · a ⇒ a = 2,0 m/s² E a velocidade do corpo no instante t = 1,5 s é dada por: v − 0,4 ∆v a= ⇒ 2,0 = ⇒ v = 2,4 m / s ∆t 1,5 − 0,5 Habilidade Aplicar as leis de Newton a situações diversas.

Resolução A aceleração do automóvel é dada por: 108 − 0 3,6 ∆v a= ⇒a= ⇒ a = 3,0 m / s2 ∆t 10 E a força resultante no automóvel é: FR = m · a ⇒ FR = 1 200 · 3,0 ⇒ FR = 3 600 N

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128

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Física

Exercícios de Aplicação

Seu espaço

EMI-15-10

Orientações ao Professor Sobre o módulo Neste módulo sobre a Segunda Lei de Newton, enfatizar que, na expressão F = m · a, F representa a força resultante obtida pelos métodos de adição vetorial, vistos no capítulo 1. Se possível, evitar a utilização das equações do MUV: função horária do espaço, função horária da velocidade e equação de Torricelli, que serão vistas mais adiante, no módulo sobre cinemática. Normalmente, os alunos têm dificuldades em entender o conceito de massa: quantidade de matéria e medida da inércia. Nesse caso, se necessário, comentar sobre as massas inercial e gravitacional. Na web Links sugeridos: Esse texto mostra como construir um simples equipamento para demonstrar as leis de Newton. http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/8225/LeisdeNewton.pdf?sequence=1

Esse link traz uma simulação que pode ser usada em aula para demonstrar a aplicação da Segunda Lei de Newton. http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/19199/5.2.2.zip?sequence=1 Experimentos

FÍSICA Atividade: 8 – Segunda Lei de Newton

221 Física Ciências da Natureza e suas Tecnologias

05. UCPel-RS Uma partícula move-se sob a ação de uma força resultante constante na mesma direção e sentido da velocidade da partícula. O movimento descrito pela partícula é: a. variado. b. uniformemente retardado. c. uniforme. d. curvilíneo. e. uniformemente acelarado.

129

04. Um automóvel desloca-se com velocidade constante em uma pista horizontal. Em determinado instante, o motorista aciona os freios e o automóvel desloca-se até parar. Durante o intervalo de aplicação dos freios, podemos afirmar que os vetores velocidade e força resultante possuem: a. mesma direção e mesmo sentido. b. mesma direção e sentidos contrários. c. direções perpendiculares entre si. d. direções que formam entre si um ângulo de 60º. e. direções que formam entre si um ângulo de 120º.

2

Exercícios Extras

Da teoria, leia o tópico 3. Exercícios de

tarefa

reforço

aprofundamento

06. UECE Uma única força agindo sobre uma massa de 2,0 kg fornece a esta uma aceleração de 3,0 m/s2. A aceleração, em m/s2, produzida pela mesma força agindo sobre uma massa de 1 kg, é: a. zero. b. 1,5. c. 3,0. d. 6,0. 07. UFSJ-MG Imagine que, em um bloco de massa 100 kg localizado em uma superfície horizontal (sem atrito), atuem duas forças, uma na horizontal, de valor 3,0 N, e outra perpendicular à superfície, de valor 4,0 N. Se no momento em que essas forças começaram a atuar no bloco este estava com uma velocidade de 2m/s, após 10 segundos de atuação das forças mencionadas anteriormente, a velocidade do bloco, em m/s, será de: a. 2,50 b. 5,0 c. 8,0 d. 20,0 08. FEI-SP Um foguete de massa igual a 65 toneladas possui motores que imprimem uma força resultante máxima de 910 kN. Desconsiderando a variação na massa do foguete, qual é a máxima aceleração do foguete? a. 13 m/s2 b. 18 m/s2 c. 15 m/s2 d. 16 m/s2 e. 14 m/s2 09. UFG-GO Um jogador de hockey no gelo consegue imprimir uma velocidade de 162 km/h ao puck (disco), cuja massa é de 170 g. Considerando-se que o tempo de contato entre o puck e o stick (taco) é da ordem de um centésimo de segundo, a força impulsiva média, em newton, é de: a. 7,65 b. 7,65 · 102 c. 2,75 · 103 d. 7,65 · 103 e. 2,75 · 104 10. UFSC modificado Um homem empurra uma mesa, da esquerda para a direita, movimentando-a nesse sentido. Um livro solto sobre a mesa permanece em repouso em relação a ela, durante o movimento. Com base nessas informações, podemos afirmar: 01. Se a mesa movimenta-se com velocidade constante, a força resultante sobre o livro é nula.

02. Se a mesa movimenta-se com aceleração constante, a força resultante sobre o livro é nula, pois ele permanece em repouso sobre ela. 04. Devido à inércia, em hipótese alguma o livro permanecerá em repouso sobre a mesa. 08. Se a mesa movimenta-se com aceleração constante, o sentido da força resultante sobre o livro será da esquerda para a direita. 16. Para qualquer movimento da mesa, a força resultante sobre o livro será nula. Dê a soma dos números dos itens corretos. 11. PUC-SP Certo carro nacional demora 30 s para acelerar de 0 a 108 km/h. Supondo sua massa igual a 1 200 kg, o módulo da força resultante que atua no veículo durante esse intervalo de tempo é, em newton, igual a: a. zero. b. 1 200 c. 3 600 d. 4 320 e. 36 000 12. USF-SP Em 2011 completou-se 10 anos da queda das “torres gêmeas” em Nova York, num ataque terrorista que nem os mais criativos diretores da indústria do cinema seriam capazes de imaginar. Foram dois aviões que colidiram nos edifícios num intervalo de tempo de 15 minutos.

O primeiro deles, um Boeing 767-223, que é capaz de apresentar na decolagem uma massa de 180 toneladas, apresentava uma velocidade aproximada de 720 km/h no momento do impacto e, num intervalo de tempo de 1,5 s, foi desacelerado até parar completamente e se alojar no edifício. Supondo que ele apresentasse a massa acima mencionada, a força média no impacto do avião com o prédio é da ordem de: a. 104 N. b. 105 N. c. 106 N. d. 107 N. e. 108 N.

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2 221 Física Ciências da Natureza e suas Tecnologias 130

Exercícios Propostos

Bote

θ θ

Correnteza



F

Pessoa

a. 18 N b. 24 N c. 62 N

d. 116 N e. 138 N

14. UEA-AM Um automóvel de 800 kg de massa desenvolve uma aceleração de 2,0 m/s² quando submetido a um conjunto de forças de resultante F. A esse automóvel atrelamos um reboque de massa 200 kg. Nesse caso, se mantido o conjunto de forças anteriormente citado, qual a nova aceleração do automóvel? a. 2,0 m/s² b. 1,6 m/s² c. 1,2 m/s² d. 0,8 m/s² e. 0,5 m/s²

EMI-15-10

15. UPE Uma pedra de 2,0 kg está deslizando a 5 m/s da esquerda para a direita sobre uma superfície horizontal sem atrito, quando é repentinamente atingida por um objeto que exerce uma grande força horizontal sobre ela, na mesma direção e sentido da velocidade, por um curto intervalo de tempo.

2 221

F (kN)

4

15

16

t (m/s)

Imediatamente após a força cessar, o módulo da velocidade da pedra vale, em m/s: a. 4 b. 5 c. 7 d. 9 e. 3 16. Unemat-MT A velocidade no Movimento Retilíneo Uniforme (MRU) não varia no decorrer do tempo, ou seja, ela permanece constante  em módulo, direção e sentido. Logo, o ∆v será nulo para qualquer intervalo de tempo e a aceleração será zero. No Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV), a aceleração é constante, o que significa que a variação da velocidade no decorrer do tempo é uniforme em módulo, dire ção e sentido, sendo que ∆v será diferente de zero. A respeito das forças F que atuam no MRU e MRUV, pode-se afirmar que: (Obs.: os termos destacados em negrito são vetores.) a. as forças que atuam nos dois movimentos são diferentes de zero. b. as forças que atuam nos dois movimentos são iguais a zero. c. a resultante das forças que atuam no MRU é igual a zero e a resultante das forças que atuam no MRUV é diferente de zero. d. a resultante das forças que atuam no MRU é diferente de zero e a resultante das forças que atuam no MRUV é igual a zero. e. não existem forças atuando no MRU e no MRUV.

Física

0

Ciências da Natureza e suas Tecnologias



F

Pessoa

O gráfico a seguir representa o módulo dessa força em função do tempo.

131

13. UESPI A figura a seguir ilustra duas pessoas (representadas por círculos), uma em cada margem de um rio, puxando um bote de massa 600 kg por meio de cordas ideais paralelas ao solo. Neste instante, o ângulo que cada corda faz com a direção da correnteza do rio vale θ = 37º, o módulo da força de tensão em cada corda é F = 80 N, e o bote possui aceleração de módulo 0,02 m/s2, no sentido contrário ao da correnteza (o sentido da correnteza está indicado por setas tracejadas). Considerando sen(37º) = 0,6 e cos(37º) = 0,8, qual é o módulo da força que a correnteza exerce no bote?

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132

Ciências da Natureza e suas Tecnologias Física

221

2

Anotações

222

Capítulo 1.................134 Módulo 1 ..............149 Módulo 2 ..............152 Módulo 3 ..............156

FÍ S

RE

S

SO

C

FI GEO L

H

IS

LP O

BI

O

Q

UÍ

Fí

sic a

M AT

221

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

136 136 136 137 142 142 143

Côvado

143 144

10. 145 11. 12. 146 13. 147 14. 147 M dulo 1 149 M dulo 2

145

152 M dulo 3 156

1 polegada

Largura do polegar

anthropos metrikos

1 pé = 12 pol.

12 m

ammâ 70 m

Bíblia

135 m

Seria poss vel estimar quantos animais cabiam na arca?

1

Física

23

01.

222

1

APRENDER SEMPRE

1. Potência de dez

a. b. c. d. Resolu ªo a. b. c. d.

⋅ D = 1 496 ⋅ 10 m

d = 8,407 ⋅ 10

15

m

n

a

Exemplos a. b.

3. Operações com potência de dez Para soma e subtra ªo Exemplos Para multiplica ªo e divisªo Exemplos

2. Notação científica nota ªo cient fica

APRENDER SEMPRE 01.

a ∙10

⋅ ⋅

24 − −

Resolu ªo D = 1,496 • 10 m 11

⋅ ⋅ · 10–2

− −

=

⋅

− −

= 2,0 · 10(–8–(–6)) = 2,0 · 10(–8+6) = 2,0 EMI-15-10

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

=

1

4. Grandezas físicas

A. Medidas de comprimento

A.1. Física e a escala do Universo

10 m

105 m = 100 km

106 m = 1 000 km

Edifício comum

Quadra de cidade

Cidade grande

Estado

10  m = 10 mil km

10 m = 1 milhªo de km

10 m = 100 milhıes de km

10 m = 10 bilhıes de km

≈ diâmetro da Terra (12 700 km)

≈ diâmetro da órbita da Lua (764 000 km)

≈ distância entre a Terra e o Sol

≈ diâmetro do sistema planetÆrio do Sol.

1016m = 10 trilhıes de km

1021m = 100 mil AL

1025m = 1 bilhªo de AL

1026m = 10 bilhıes AL

≈ limite do Sistema Solar (um ano luz AL)

≈ tamanho da nossa galáxia, a Via Láctea

≈ distância dos quasares.

≈ tamanho do nosso Universo

7

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102 m = 100 m

9

11

13

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Física

222

grandeza

1 222

B. Medidas de tempo 1 ano

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Física

1 dia

Rel gio at mico de cØsio: 133 erros de 1 segundo por 1 milhªo de anos. Hist ria digital.

C. Sistemas de unidades

Rel gio convencional erro de 1 segundo por dia.

Unidade

S mbolo

Comprimento

metro

m

Massa

kilograma

kg

Tempo

segundo

s

Grandeza f sica

Unidade

S mbolo

Comprimento

centímetro

cm

Massa

grama

g

Tempo

segundo

s EMI-15-10

Grandeza f sica

Ex.: metro

Ex.: grama

Ex.: litro

tera

T

Tm

Tg

TL

10

giga

G

Gm

Gg

GL

10

mega

M

Mm

Mg

ML

10

quilo

k

km

kg

kL

10

hecto

h

hm

hg

hL

10

deca

da

dam

dag

daL

10

Unidade

m

g

L

10

deci

d

dm

dg

dL

10

centi

c

cm

cg

cL

10

mili

m

mm

mg

mL

10

micro

µ

µm

µg

µL

10

nano

n

nm

ng

nL

10

pico

p

pm

pg

pL

9 6 3 2 1 0 –1 –2 –3 –6 –9 –12

Física e tecnologia Hoje vivemos num mundo cada vez mais digital, e um dos fatores responsáveis por esse boom foi a capacidade de armazenamento de dados. Imagine o que você poderia fazer, hoje, com um computador com memória de 5 megabytes? Difícil imaginar nossa vida atualmente sem gigabytes e terabytes. Mas, há 50 anos, espaço em disco dos melhores computadores não passava de 5 MB. Vejamos como a história do armazenamento de dados está intimamente ligada aos múltiplos das unidades. Antes do armazenamento digital, em 1890, usava-se um cartão perfurado para armazenar dados do Censo dos Estados Unidos, os quais eram lidos por uma máquina da IBM, que se tornou o que conhecemos como computador.

222

S mbolo

Física

Nome

10

12

Em 1956, foi lançado o 305 RAMAC pela IBM, um disco com mais de uma tonelada e com capacidade de 5 megabytes.

305 RAMAC

Em 1973, surgiu o Winchester, com 30 megabytes; em seguida vieram os HDs com 500 megabytes, 1 gigabyte, 10 GB, 100 GB, até os atuais, que estão na ordem dos terabytes.

Cartªo perfurado

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Em 1946, foi desenvolvido o Selectron, com capacidade de 32 a 512 bytes (0,512 quilobytes).

Selectron

3340 Winchester



HD

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Fator

1

Mœltiplos e submœltiplos

1 222

Em 1982, foram lançados pela Sony e Philips o Compact Disk (CD), com capacidade inicial de 550 megabytes; logo vieram os CD-ROMs com 700 megabytes, os DVDs com 4,7 gigabytes e os Blu-rays com 50 gigabytes.

Física

Hoje, um dos principais substitutos do HD são as Unidades de Estado Sólido − SSD (sigla do inglês  solid-state drive). Lançado pela IBM, tem capacidade de até 4 terabytes.

SSD

Em 1971, surgiram as primeiras memórias portáteis, conhecidas como disquetes. Primeiro, os disquetes de 8'' da IBM tinham 80 quilobytes. Por serem muito grandes, foram sendo reduzidos até 3 ½'', fabricados a partir de 1981 pela empresa Sony, que chegou a ter 1,44 megabytes.







Blu-ray

Em 2000, começaram a ser vendidos os pen drives, dispositivos que usam memória flash. Inicialmente com 8 megabytes, já ultrapassam, hoje, os 100 gibabytes.

Disquetes

Em 1978, foi lançado pela Philips um dos primeiros meios ópticos para armazenamento de dados: o Laserdisc, com cerca de 6 megabytes.

Pen drive Tecmundo



Laserdisc

APRENDER SEMPRE

25

01. b. a. b. c. d. Resolu ªo a.

c. d.

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Ciências da Natureza e suas Tecnologias



1

02. a. b. c. d. Resolu ªo a.

c.

= =

A Física na História Leitura complementar

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Breve história A necessidade de medir é muito antiga e remonta à origem das civilizações. Por longo tempo, cada país, cada região teve seu próprio sistema de medidas. Essas unidades de medidas, entretanto, eram, geralmente, arbitrárias e imprecisas, como, por exemplo, aquelas baseadas no corpo humano: palmo, pé, polegada, braça, côvado. Isso criava muitos problemas para o comércio, porque as pessoas de uma região não estavam familiarizadas com o sistema de medir das outras regiões, e também porque os padrões adotados eram, muitas vezes, subjetivos. As quantidades eram expressas em unidades de medir pouco confiáveis, diferentes umas das outras e que não tinham correspondência entre si. A necessidade de converter uma medida em outra era tão importante quanto a necessidade de converter uma moeda em outra. Na verdade, em muitos países, inclusive no Brasil dos tempos do Império, a instituição que cuidava da moeda também cuidava do sistema de medidas. O sistema métrico decimal Em 1789, numa tentativa de resolver esse problema, o governo republicano francês pediu à Academia de Ciência da França que criasse um sistema de medidas baseado numa “constante natural”, ou seja, não arbitrária. Assim foi criado o sistema métrico decimal, constituído inicialmente de três unidades básicas: o metro, que deu nome ao sistema, o litro e o kilograma. (Posteriormente, esse sistema seria substituído pelo Sistema Internacional de Unidades – SI). Metro Dentro do sistema métrico decimal, a unidade de medir a grandeza comprimento foi

denominada metro e definida como “a décima milionésima parte da quarta parte do meridiano terrestre” (dividiu-se o comprimento do meridiano por 4 000 000). Para materializar o metro, construiu-se uma barra de platina de secção retangular, com 25,3 mm de espessura e com 1 m de comprimento de lado a lado. Essa medida materializada, datada de 1799, conhecida como o “metro do arquivo”, não é mais utilizada como padrão internacional desde a nova definição do metro feita em 1983 pela 17ª Conferência Geral de Pesos e Medidas. Litro A unidade de medir a grandeza volume, no sistema métrico decimal, foi chamada de litro e definida como “volume de um decimetro cúbico”. O litro permanece como uma das unidades em uso paralelamente com o SI, entretanto recomenda-se a utilização da nova unidade de volume definida como metro cúbico. Kilograma Definido para medir a grandeza massa, o kilograma passou a ser a “massa de um decimetro cúbico de água na temperatura de maior massa específica, ou seja, a 4,44 ºC”. Para materializá-lo, foi construído um cilindro de platina iridiada, com diâmetro e altura iguais a 39 milimetros. Muitos países adotaram o sistema métrico, inclusive o Brasil, aderindo à Convenção do Metro. Entretanto, apesar das qualidades inegáveis do sistema métrico decimal – simplicidade, coerência e harmonia –, não foi possível torná-lo universal. Além disso, o desenvolvimento científico e tecnológico passou a exigir medições cada vez mais precisas e diversificadas. Em 1960, o sistema métrico decimal foi substituído pelo Sistema Internacional de Unidades – SI, mais complexo e sofisticado que o anterior.

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Física

d.

222

b.

1 222 Física

O Brasil adotou o Sistema Internacional de Unidades – SI – em 1962. A Resolução nº 12, de 1988, do Conselho Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial – CONMETRO, ratificou a adoção do SI no país e tornou seu uso obrigatório em todo o território nacional.

Departamento Internacional de Pesos e Medidas Prot tipo Internacional do Metro de 1889 (1a CGPM) a 1960, quando a defini ªo da unidade metro foi alterada, e desde entªo pode ser reproduzido em laborat rio; desde 1983, o metro Ø obtido por meio de um equipamento que utiliza um laser estabilizado.

O Sistema Internacional de Unidades – SI O Sistema Internacional de Unidades – SI – foi sancionado em 1960 pela Conferência Geral de Pesos e Medidas e constitui a expressão moderna e atualizada do antigo sistema métrico decimal, ampliado de modo a abranger os diversos tipos de grandezas físicas, compreendendo não somente as medições que ordinariamente interessam ao comércio e à indústria (domínio da metrologia legal), mas estendendo-se completamente a tudo o que diz respeito à ciência da medição.

Departamento Internacional de Pesos e Medidas Prot tipo internacional do kilograma, padrªo de referŒncia mundial desde o sØculo XIX cilindro maci o de platina iridiada com 39 mm de altura e 39 mm de di metro. Dispon vel em: . Acesso em: 5 ago. 2014.

5. Referencial

referencial Terra

Referencial: Sol Sol

6. Movimento e repouso

Sol

movimento

repouso Referencial: Terra

repousomovimentoconceitos relativos

Terra

1 222

ponto material.

Física

Maria

Paulo

João

f

d

g h

a b

e

Leia- o texto sobre ponto:

f ⇒

c

d

g

a b

h

e

Folha de S.Paulo

c

7. Ponto material e corpo extenso ponto materialpart cula

8. Trajetória Trajet ria

corpo extenso

300 m 200 m

200 m

corpo extenso A foto mostra a trajet ria de um atleta.

222

1

9. Deslocamento escalar e distância percorrida

origem

Física

dos espa os

P s s

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

0

espa o inicial (s0)

varia ªo de espa o (Ds)

deslocamento

escalar. D positiva negativa

BUM!

curvil nea Marco quilomØtrico

EMI-15-10

retil nea

1 rapidez

D

D D

D

D

⇒

∆s

+

s0

D

t=0s –2 –1

0

1

2

3

4

5

s

⇒

6 s(m)

∆s

+

s

D

s0

⇒

D

+ s0 s

Deslocamento na ida D D Deslocamento na volta D D D

11. Rapidez Rapidez (R)

D =

D

10. Velocidade escalar média Velocidade escalar mØdia D

∆ = ∆

D

∆

⇒ ⇒ x 3,6

EMI-15-10

m/s

km/h 3,6

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

D

+

222

Chegada s2 t2

Física

Saída s1 t1

b. =

222

1

Exemplos 1.

∆

=

=

12. Velocidade escalar instantânea Velocidade escalar instant nea

→→

b.

→→ →

A

B

C

D

E

F

–2

0

2

4

6

8

Tempo (s)

Ponto

10

s(m)

Posi ªo (m)

0

C

2

2

E

6

3

D

4

4

C

2

a →→ =

∆ = ∆

− −

− = −

=

→→

=

∆

=

=

−

b =

− −

∆ = ∆

=

∆

=

− = −

=

−

= L3

2.

a. =

∆ = ∆

=

L2

L1

HTTP://REVISTAGALILEU.GLOBO.COM/ GALILEU/0,6993,ECT816469-1716-2,00.HTML

Física

a.

∆ ≈

1

∆ ∆ =

∆

222

=

v1

v2

t1

instante de tempo define-se a velocidade escalar instant nea como a velocidade escalar mØdia calculada em um instante de tempo

t2

− −

=

=

∆ ∆

13. Aceleração escalar média =

=

⋅

=

14. Organizador gráfico A. Grandezas e unidades

Grandezas Fisicas e tudo que pode ser medido. deve

ter

Unidade de Medida

Na mecânica são

Múltiplos

Submúltiplos

k (103) M (106) G (109) T (1012)

C (10-2) m (10-3) µ (10-6) n (10-4) *p (10-12)

comprimento

massa

Sl

metro (M)

milimetro (mm) centimetro (cm) kilômetro (km)

Tempo

Usual

kilograma (kg)

Tema

SI

Usual

Subtópico

minuto (min) hora (h) dia

grama (g) tonelada (t)

Tópico

Subtópico

Subtópico destaque

Apenas texto Características

Física

+

1 222

B. Conceitos básicos de cinemática

Física

Conceitos relativos Trajetória

Movimento Repouso Quando a posição varia no decorrer do tempo. Quando não há variação de posição.

Tema

Tópico

Ponto material

Possui dimensões desprezíveis.

Subtópico

Corpo extenso

É a curva formada pelas posições ocupadas pelo corpo.

Quando levamos em consideração o tamanho do corpo.

Apenas texto Características

Subtópico destaque

C. Velocidade e aceleração

Movimento

Tema

Velocidade média

Rapidez

Velocidade média

vm = ∆s/∆t

R = d/∆t

a = ∆v/∆t

Unidade SI

Unidade SI

Unidade SI

m/s

m/s

m/s

Tópico

Subtópico

Subtópico destaque

Apenas texto Características

1

Módulo 1

222

Grandezas e unidades Exercícios de Aplicação 01.

Física

c.

a. ⋅ ⋅ ⋅

⋅⋅

d.

b. ⋅

⋅⋅

⋅ ⋅ c.

e.

⋅

⋅

−

f.

⋅ ⋅ d.

⋅ ⋅

03.

⋅ ⋅

elemento qu mico

e. ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ estado s lido

⋅

f. ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

a. b. c. d. e. Habilidade

02. a.

b.

Resolu ªo a. b. c. d. e.

1 222

Exercícios Extras 04. Fuvest-SP

c. d. e.

Física

05. Fuvest-SP → → → a. b.

a. b. c. d.

Seu espaço Sobre o m dulo

Na web Link

1

Exercícios Propostos tarefa

Exerc cios de

refor o

222

12. UEL-PR

Da teoria, leia os t picos de 1 a 4. aprofundamento

a. b. c. d. e. f.

a. b.

c. d.

e.

TrŒs Gargantas 

Itaipu

13.

07. Sistema COC

a. b. c. d.

⋅

−

⋅ ⋅

08. Sistema COC a. b. c. d. e. f. g. h.

⋅ −

Quantidade de concreto utilizado na construção

28 milhões de m3 

14 milhões de m3

Potência instalada

22,4 mil MW

14 milhões de kW

Turbinas

32

20

Vazão média

7 mil m3/s

8 mil m3/s

a.

09. Sistema COC

a ∙ 10

b. c. d. e. 14.

a. b.

a. b.

c. c. d. d. e. 10. Sistema COC

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

−

e. f. 15.

11. Sistema COC a. b. c.

16. a.

b.

Física

06. Sistema COC

1

Módulo 2

222

Conceitos básicos de cinemática Exercícios de Aplicação 03. ENEM modificado No seu livro Diálogo, sobre os dois principais sistemas do mundo, o ptolomaico e o copernicano, publicado em 1632, Galileu Galilei (15641642) analisou a queda de um corpo em um navio parado e em movimento, discutiu a queda de um corpo do alto de uma torre, o movimento dos projéteis e o voo das aves na Terra em movimento. Em toda essa discussão, Galileu utilizou o princípio da relatividade do movimento ou princípio da independência dos movimentos. Esse mesmo princípio seria utilizado por Galileu para demonstrar a trajetória parabólica dos corpos lançados horizontalmente ou obliquamente de uma superfície acima do solo, conforme registrou no livro Discursos e demonstrações matemáticas em torno de duas novas ciências, publicado em 1638.

Física

01.

a.

b.

Revista Brasileira de Ensino de Física

02. I.

be Ri

+

0

95

153

227

309

(km)

a.

III.

irã

re Po r

to

Lim

eir

a

Fe r

as Ca m

pin

lo Sã

oP au

oP re

ira

to

II.

a. b. c. d. e. I.

b.

Habilidade

a.

a. b.

222

04. Fuvest-SP

1

Exercícios Extras

Física

Fim

c. d. e. Início

05. Fuvest-SP b.

Seu espaço Sobre o m dulo

1 222

Exercícios Propostos Da teoria, leia os t picos de 5 a 9. tarefa

Exerc cios de

refor o

aprofundamento

a.

Física

06. Sistema COC

b. a. b. c. d. e.

c.

07. Sistema COC

d. a. b. c.

d. e.

08. Sistema COC

e.

st s (cm) 8,0 6,0

10. Sistema COC

4,0 2,0 0

t(s)

1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0

a. b. 09. Sistema COC

Sol

 v

a. b. c. d. e.

11. Unimontes-MG

1

I.

222

II. III.

a. b. c.

d. e.

Física

a. b. c. 15.

d. 12. IFSC São Paulo

Bauru

0

325

Lins Araçatuba 445

535

s (km)

a. b. 16. PUC-SP

a. b. c. d. e. 13. Sistema COC

CASCÃO! VOCÊ NÃO SABE QUE É PLOIBIDO ANDAR DE SKATE AQUI NO PALQUE?

LÁ VAI O ÁS DO SKATE!

MAS EU ESTOU PARADO! QUEM ESTÁ ANDANDO É O SKATE!

BUM!

a. b. c. d.

I.

e.

III.

skate II. skate

14. UFSM-RS a. b. c.

d. e.

1

Módulo 3

222

Velocidade e aceleração Exercícios de Aplicação

Física

01.

03. ENEM

a. VejaSão Paulo

= =

∆ = ∆ a. b. c. d. e.

b.

Resolu ªo

=

∆ =

=

=

02.

≅ =

∆ = ∆

−

Habilidade

=

 = 

 −  

  = 

  − ⋅ 

= 

− ⋅ 

1 222

04. Encceja-SP

Física

Exercícios Extras

1 222

Exercícios Propostos 09.

Da teoria, leia os t picos de 10 a 13. Exerc cios de

tarefa

refor o

aprofundamento

01. 02. 04. a. b. c. 08.

d. e.

10.

07.

11. 08.

12. Sistema COC

Tempo do percurso (minutos)

Física

06. UEM modificado

11:00 10:50 10:40 10:30 10:20 10:10 10:00 9:50 9:40 9:30 9:20 9:10 9:00 8:50 8:40 8:30 8:20 8:10 8:00 7:50 7:40 7:30 7:20 7:10 7:00 6:50 6:40 6:30 6:20 6:10 6:00

120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Horário de saída

a. b. c. d. e.

a. b. c. d. e.

1

16. Enceja

14. Enceja

15. Enceja

222

a. b. c. d. e.

Física

13. Enceja

a. b. c. d. e.

EMI-15-10

Ciências da Natureza e suas Tecnologias Física

222

1

Anotações