1 Form Matrices

ÁLGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL – MAT 103.

Formulario 1

MAT 103 3. Tipos de Matrices.

Álgebra Lineal 1. 2. 3. 4.

Contenido: Teoría Matricial. Determinantes. Inversión de Matrices. Sistemas de Ec. Lineales 12 p. por: J. Jaime Apaza M.

1. Teoría Matricial. 1. Concepto. Matriz es un arreglo rectangular de números ordenados en filas y columnas encerrados entre dos corchetes. Matemáticamente: 𝑎11 𝑎12 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛 𝐴𝑚×𝑛 = [ ⋮ ⋱ ⋮ ] 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚∙𝑛 Donde: A = nombre de la matriz. m×n = tamaño de la matriz. m = filas. n = columnas. aij = elemento genérico de la matriz y significa que está ubicado en fila “i” y la columna “j”. 2. Propiedades de las Matrices. 1. Propiedades de la Suma. 1. 𝐴𝑚×𝑛 + 𝐴𝑚×𝑛 = 𝐴𝑚×𝑛 2. 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 3. 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) = (𝐴 + 𝐵) + 𝐶 Propiedades de la Matriz Cero. 1. 𝐴 + 𝜃 = 𝜃 + 𝐴 = 𝐴 2. 𝜃 − 𝐴 = −𝐴 3. 𝐴 + (−𝐴) = 𝐴 − 𝐴 = 𝜃 4. 𝐴𝜃 = 𝜃 ; 𝜃𝐴 = 𝜃 Donde: 𝜃 = matriz cero (nulo). (−𝐴) = inverso aditivo. 2. Propiedades del Producto. 1. 𝐴𝒎×𝑛 × 𝐵𝑝×𝒒 = 𝐶𝒎×𝒒 Donde: 𝑛 = 𝑝 𝐴(𝐵 + 𝐶) = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 (𝐴 + 𝐵)𝐶 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶 𝐴(𝐵𝐶) = (𝐴𝐵)𝐶 𝐴𝐼 = 𝐴 ; 𝐼 = matriz indentidad. 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴 en el producto. 𝑘 ∙ 𝐴𝑚×𝑛 = [𝑘 ∙ 𝑎𝑖𝑗 ] 𝑎 𝑏 𝑘𝑎 𝑘𝑏 𝑘[ ]=[ ] 𝑘 = escalar. 𝑐 𝑑 𝑘𝑐 𝑘𝑑 8. 𝑘(𝐴 + 𝐵) = 𝑘𝐴 + 𝑘𝐵 9. 𝑘1 (𝑘2 𝐴) = (𝑘1 𝑘2 )𝐴 10. (𝐴 + 𝐵)2 ≠ 𝐴2 + 2𝐴𝐵 + 𝐵2 ya que el producto no es conmutativo. 11. No cumple la propiedad cancelativa: 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 ? ? 3. Propiedades de la Potencia. 1. 𝐴0 = 𝐼 2. 𝐴𝑛 = ⏟ 𝐴𝐴𝐴 ⋯ 𝐴 (𝑛 > 0) 2. 3. 4. 5. 6. 7.

𝑛 factores

3. 𝐴𝑟 𝐴𝑠 = 𝐴𝑟+𝑠 4. (𝐴𝑟 )𝑠 = 𝐴𝑟𝑠 4. Matriz Polinomial. 𝑃(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 Si 𝐴 = matriz, entonces se define: 𝑃(𝐴) = 𝑎0 𝐼 + 𝑎1 𝐴 + 𝑎2 𝐴2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝐴𝑛

1. Matriz Cuadrada. Si el número de filas es igual al número de columnas. 𝐴𝑛×𝑛 = 𝐴𝑛 = [𝑎𝑖𝑗 ] ∈ 𝐼𝑅𝑛 1≤𝑖≤𝑛 1≤𝑗≤𝑛 2. Matriz Nula. Si todos los elementos 𝑎𝑖𝑗 son cero: 0 ⋯ 0 𝐴𝑚×𝑛 = 𝜃 = [𝑎𝑖𝑗 = 0] = [ ⋮ ⋱ ⋮ ] 0 ⋯ 0 3. Matriz Identidad. La matriz identidad siempre es cuadrada. 1 0 0 𝑎𝑖𝑗 = 1 𝑖 = 𝑗 𝐼𝑛×𝑛 = [0 1 0] 𝐼𝑛×𝑛 = { 𝑎𝑖𝑗 = 0 𝑖 ≠ 𝑗 0 0 1 4. Matriz Fila. Es una matriz que consta de una única fila. 𝐴1×𝑛 = [𝑎1𝑗 ] ∈ 𝐼𝑅1×𝑛 𝐴1×𝑛 = [𝑎11 𝑎12 𝑎13 … 𝑎1𝑛 ] ∈ 𝐼𝑅1×𝑛 5. Matriz Columna. Matriz que tiene una única columna. 𝑎11 𝑎 21 𝐴𝑚×1 = [𝑎𝑖1 ] ∈ 𝐼𝑅𝑚×1 𝐴𝑚×1 = [ ⋮ ] 𝑎𝑚1 6. Matriz Traspuesta. Si 𝐴𝑚×𝑛 entonces 𝐴𝑡 = 𝐴𝑛×𝑚 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗 ] → 𝐴𝑡 = [𝑎𝑗𝑖 ] 𝑎1 𝐴 = [𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ] → 𝐴𝑡 = [𝑎2 ] 𝑎3 Propiedades: 1. (𝐴𝑡 )𝑡 = 𝐴 2. (𝐴 + 𝐵)𝑡 = 𝐴𝑡 + 𝐵𝑡 3. (𝐴𝐵)𝑡 = 𝐴𝑡 𝐵𝑡 4. (𝑘𝐴)𝑡 = 𝑘𝐴𝑡 7. Matriz Triangular ( ó Escalonada) 0 2 0 1 0 0 Si 𝐴𝐵 = 𝜃 → [ ][ ]=[ ] 1 0 2 0 0 0 No implica que 𝐴 = 𝜃; 𝐵 = 𝜃 es decir 𝐴, 𝐵 no necesariamente tiene que ser cero. 8. Matriz Triangular Superior (Upper). Matriz cuadrada cuyos elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos. 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎𝑖𝑗 ≠ 0 𝑖 < 𝑗 𝐴𝑛×𝑛 = { [ 0 𝑎22 𝑎23 ] 𝑎𝑖𝑗 = 0 𝑖 > 𝑗 0 0 𝑎33 9. Matriz Triangular Inferior (Lower). Es una matriz cuadrada cuyos elementos 𝑎11 0 0 𝑎𝑖𝑗 ≠ 0 𝑖 < 𝑗 𝐴𝑛×𝑛 = { [𝑎21 𝑎22 0 ] 𝑎𝑖𝑗 = 0 𝑖 > 𝑗 𝑎31 𝑎32 𝑎33 10. Matriz Diagonal. Es una matriz que al mismo tiempo es triangular superior e inferior y es cuadrada. 𝑑1 0 0 ⋯ 0 𝑑2 0 𝐷𝑛×𝑛 = [ ] ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 𝑑𝑛

Matriz Diagonal Inversa: 1/𝑑1 0 0 ⋯ 0 1/𝑑2 0 −1 −1 𝐷𝑛×𝑛 = 𝐷 = [ ] ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ 1/𝑑𝑛 0 0 11. Matriz Conjugado. −𝑖 1 + 𝑖 𝑖 1−𝑖 𝐴=[ ] 𝐴=[ ] 3 1 + 2𝑖 3 1 − 2𝑖 Propiedades: 4. 𝐴 + 𝐵 = 𝐴 + 𝐵 1. 𝐴 = 𝐴 𝑡 5. 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴 ∙ 𝐵 𝑡 2. 𝐴 = 𝐴 3. 𝑘 ∙ 𝐵 = 𝑘 ∙ 𝐵 4. Matrices Especiales: 1. Matriz Simétrica. Es Simétrica si solo si 𝑨 = 𝑨𝒕 y es una matriz cuadrada 𝐴𝑛×𝑛 = [𝑎𝑖𝑗 ]

2. Matriz Antisimétrica. También llamado Hemisimétrica. Es Antisimétrica si solo si 𝑨𝒕 = −𝑨 y es una matriz cuadrada 𝐴𝑛×𝑛 = [𝑎𝑖𝑗 ] 0 1 2 𝐴 = [−1 0 3] −2 −3 0 3. Matriz Normal. Es normal si conmuta con su transpuesta, esto es si: 𝑨 ∙ 𝑨𝒕 = 𝑨𝒕 ∙ 𝑨 4. Matriz Singular. Es Singular si: 𝑑𝑒𝑡(𝐴𝑛×𝑛 ) = 0 5. Matriz Regular. Es Regular si: 𝑑𝑒𝑡(𝐴𝑛×𝑛 ) ≠ 0 y si su rango 𝜌(𝐴𝑛×𝑛 ) = 𝑛 6. Matriz Periódica. Es periódica si 𝑨𝒌+𝟏 = 𝑨. Si 𝑘 ∈ 𝑍 + que satisface la condición 𝐴𝑘 = 𝐼 se dice que A es una matriz de periodo k donde: 𝐴𝑘+1 = 𝐴, 𝐴𝑘+2 = 𝐴2 , 𝐴𝑘+3 = 𝐴3 , … 7. Matriz Idempotente. Si: 𝐴𝑛×𝑛 Es Idempotente si cumple: 𝐴2 = 𝐴𝐴 = 𝐴 , 𝐴3 = 𝐴 , … 𝐴𝑘 = 𝐴 −1 3 5 𝐴 = [ 1 −3 −5] → 𝐴7 = 𝐴 −1 3 5 8. Matriz Nilpotente. (ó Nulpotente) Si 𝐴 = 𝐴𝑘−1 entonces 𝐴𝑘 = 𝐴2 = 𝜃 Otra forma: Si 𝑘 ≥ 2 ∈ 𝑍 + que satisface la condición 2 −1 𝐴𝑘 = 𝜃 donde 𝑘 = índice 𝐴2×2 = [ ] 4 −2 𝑘+1 𝑘+2 𝑛 𝐴 = 𝜃, 𝐴 = 𝜃, … 𝐴 = 𝜃 9. Matriz Involutiva. Una matriz cuadrada 𝐴 = 𝐴𝑛×𝑛 y 𝑘 = 2 Es Involutiva si cumple las dos condiciones: 1) 𝐴𝑘 = 𝐴 si 𝑘 es Impar. 2) 𝐴𝑘 = 𝐼 si 𝑘 es Par. 1 1 1 −1 0 𝐴2 = [ ] 𝐴2 = [0 −1 0 ] 𝑘 0 1 𝑑1 0 0 0 0 −1 ⋯ 𝑘 10. Matriz Ortogonal. 0 𝑘 𝐷𝑛×𝑛 = 𝐷𝑘 = 0 𝑑2 Una matriz cuadrada 𝐴 = 𝐴𝑛×𝑛 Es Ortogonal ⋮ ⋱ ⋮ si cumple: 𝑨 ∙ 𝑨𝒕 = 𝑨𝒕 ∙ 𝑨 = 𝑰 [ 0 0 ⋯ 𝑑𝑛𝑘 ] Es decir: 𝑨−𝟏 = 𝑨𝒕 −5 0 0 𝑎𝑖𝑗 ≠ 0 𝑖 = 𝑗 sin 𝑥 −cos 𝑥 sin 𝑥 cos 𝑥 1 0 𝐷𝑛×𝑛 = [ 0 3 0] 𝐷 = { [ ][ ]=[ ] 𝑎𝑖𝑗 = 0 𝑖 ≠ 𝑗 cos 𝑥 sin 𝑥 −cos 𝑥 sin 𝑥 0 1 0 0 7 2 2 Recuerda que: sin 𝑥 + cos 𝑥 = 1 © 01.10.18, Jabier Jaime Apaza Mamani, 73203246, pág. 1.

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11. Matriz Hermética. Una matriz cuadrada 𝐴 = 𝐴𝑛×𝑛 Es Hermética si 𝐴𝑛×𝑛 ∈ ₵ complejos. 𝑡

𝐴𝑛×𝑛 = ( 𝐴 ) 4 −𝑖 3 + 2𝑖 𝐴3×3 = [ 𝑖 −3 4 − 7𝑖] 3 − 2𝑖 4 + 7𝑖 6 Matriz Hermitania. 2 3+𝑖 𝑖 𝐴3×3 = [3 − 𝑖 5 4 − 3𝑖] −2𝑖 1 + 𝑖 7 12. Matriz Hemihermética. Una matriz cuadrada 𝐴 = 𝐴𝑛×𝑛 Es Hemihermética si 𝐴𝑛×𝑛 ∈ ₵ complejos. ̅̅̅𝑡 𝐴𝑛×𝑛 = −𝐴 0 1 − 𝑖 4 + 3𝑖 𝐴3×3 = [ −1 − 𝑖 𝑖 −3 ] −4 + 3𝑖 3 0 5. Operaciones y Matrices Elementales. 1. Operaciones Elementales. 1. 𝑘𝑓𝑖 → 𝑓𝑖 𝑘𝐶𝑗 → 𝐶𝑗 múltiplo. 2. 𝑓𝜌 ↔ 𝑓𝑖 𝐶𝜌 ↔ 𝐶𝑗 intercambiar. 3. 𝑘𝑓𝜌 + 𝑓𝑖 → 𝑓𝑖 𝑘𝐶𝜌 + 𝐶𝑗 → 𝐶𝑗 Suma de la fila o columna con el múltiplo escalar de otra fila o columna. 2. Matriz Elemental. 𝑎11 𝑎12 𝑎11 𝑎12 Sea: 𝐴 = [𝑎 ] [𝑎 ] = 𝐸1 21 𝑎22 21 𝑎22 𝑘𝑓𝜌 +𝑓𝑖 →𝑓𝑖

𝐸1

𝑘𝑓𝜌 +𝑓𝑖 →𝑓𝑖

= 𝐸2

𝐸2

𝑘𝑓𝜌 +𝑓𝑖 →𝑓𝑖

= 𝐸3

…

3. Matriz Elemental. 𝐴𝑚×𝑛 ≡ 𝐵𝑚×𝑛 si cumple: 𝐸𝑛 ⋯ 𝐸2 𝐸1 𝐴 = 𝐵 𝐴 ⏟ 𝐸1 𝐸2 ⋯ 𝐸𝑛 = 𝐵 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑃𝑎𝑠𝑜

6. Factorización L U = A : Toda matriz 𝐴𝑛×𝑛 puede escribirse como el producto de: 𝐿 ∙ 𝑈 = 𝐴 𝑈 = una Matriz Triangular Superior (Upper 𝐿 = una Matriz Triangular Inferior (Lower). 𝐴 =𝐿∙𝑈 1. Método de Tanteo para L U: Ejemplo 1: Para U: Comenzar escalonando la matriz A a una Matriz Triangular Superior (Upper): 2 5 2 5 7] 𝐴=[ ] →𝑈 = [ 0 −3 −4 3 2 𝑓1 +𝑓2 →𝑓2 2

para que 𝑎21 sea 0:

2𝑥 − 3 = 0

𝑥=

Para L: El factor que hace que se vuelva cero es 3

3 2 3 2

3 −1 2 3 −1 2 [0 −3 12 ] → 𝑈 = [0 −3 12 ] 0 0 −8 0 0 −8 1. Para L: El factor que hace que se vuelva cero es 1 . Trasladamos el factor −1 cambiado de signo, a la posición 𝑎21 . 2. El factor que hace que se vuelva cero es −3. Trasladamos el factor 3 cambiado de signo, a la posición 𝑎31 . 2 3. El factor que hace que se vuelva cero es − . 3

2

8. Factorización L D U = A : Si queremos expresar A en forma 𝐿𝐷𝑈 = 𝐴 con A y D como datos: 1. Para la forma: 𝑃𝐴𝑄 = 𝐷 𝐼𝐵 𝑄 (𝐴|𝐼𝐴 ) → (𝐵1 |𝑃) → ( ) → ( ) 𝐵1 𝐵 2. Partiendo de A llevaremos a D, haciendo op. elem.: 𝐹 ⏟𝑛 … 𝐹2 𝐹1 𝐴 𝐶 ⏟1 𝐶2 … 𝐶𝑛 = 𝐷 𝑃

𝑄

3. Finalmente: 𝐹1−1 𝐹2−1 … 𝐹𝑛−1 𝐷 ⏟ 𝐶𝑛−1 … 𝐶2−1 𝐶1−1 = 𝐴 ⏟

Trasladamos el factor cambiado de signo, a 3 la posición 𝑎32 . 𝐿 𝑈 1 0 0 𝐿 = [−1 12 0] Finalmente: 𝐴 = 𝐿 ∙ 𝑈 9. Características de una Matriz. 3 1 3 1. Diagonal Principal. 2. Método de Ecuaciones para L U: Se denomina a los elementos 𝑎𝑖𝑗 tal Ej.: La matriz 𝐴𝑛×𝑛 se puede descomponer que 𝑖 = 𝑗 y solo existe en matrices 𝑎11 𝑎12 𝑎13 cuadradas. (otro diagonal secundario). 𝑎 𝑎 𝑎 [ 21 Si: 𝐴 = 𝐿 ∙ 𝑈 22 23 ] = 𝐴 𝑑 0 𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝐴𝑚×𝑚 = [ 1 ] 0 𝑑2 1 0 0 𝑈11 𝑈12 𝑈13 2. Traza de una Matriz 𝐴 = 𝐿 ∙ 𝑈 = [𝐿21 1 0] [ 0 𝑈22 𝑈23 ] Es la suma de todos los elementos de la 𝐿31 𝐿32 1 0 0 𝑈33 diagonal principal, y solo existe en matrices Igualando componentes de la matriz A y el cuadradas. producto de 𝐿 ∙ 𝑈. Se tiene las ecuaciones: 𝑡𝑟(𝐴) = 𝑎11 + 𝑎22 + 𝑎33 + ⋯ + 𝑎𝑚×𝑚 𝑎11 = 𝑈11 𝑎22 = 𝐿21 𝑈12 + 𝑈22 𝑛 𝑎12 = 𝑈12 𝑎13 = 𝑈13 𝑡𝑟(𝐴) = ∑ 𝑎𝑖𝑗 si: 𝑖 = 𝑗 𝑎21 = 𝐿21 𝑈11 𝑎31 = 𝐿31 𝑈11 𝑖=𝑗=1 𝑎32 = 𝐿31 𝑈12 + 𝐿32 𝑈22 Propiedades: 𝑎23 = 𝐿21 𝑈13 + 𝑈23 1. 𝑡𝑟(𝐴 + 𝐵) = 𝑡𝑟(𝐴) + 𝑡𝑟(𝐵) 𝑎33 = 𝐿31 𝑈13 + 𝐿32 𝑈23 + 𝑈33 2. 𝑡𝑟(𝐴 + ⋯ + 𝑍) = 𝑡𝑟(𝑍 + ⋯ + 𝐴) Método L U para resolver Sis. Ec. Lineales: 3. 𝑡𝑟(𝐴𝑡 ) = 𝑡𝑟(𝐴) Si: [𝐴]{𝑥} = {𝑓} → [𝐿] [𝑈]{𝑥} = {𝑓} ⏟ 4. 𝑡𝑟(𝑘𝐴) = 𝑘 𝑡𝑟(𝐴) {𝑧} −1 −1 −1 5. 𝑡𝑟(𝐴−1 ) = 𝑎11 + 𝑎22 + ⋯ 𝑎𝑛𝑛 {𝑧} = matriz columna 𝑛 × 1 (vector) 3. Rango de una Matriz. {𝑧} = [𝑈]{𝑥} → [𝐿]{𝑧} = {𝑓} El rango de una matriz es igual al número de filas no nulas luego de realizar un 3. Método Operaciones Elementales: número finito de operaciones elementales. Ejemplo 1: Para U: Comenzar escalonando la Escalonar. matriz A a una Matriz Triangular Superior 𝜌(𝐴) = Rango de 𝐴𝑚×𝑛 = Nº filas no nulas (Upper), con operaciones elementales: 𝜌(𝐴) = 𝑛° de vectores. [𝐴] = [𝐴1 ] → 𝐸1−1 = [𝐼] 2𝑓1 +𝑓1 →𝑓1 −2𝑓1 +𝑓2 →𝑓2 ∴ los vectores son Lin. Indep. Ojo!! −2𝑓1 + 𝑓2 → 𝑓2 = 𝑓2 − 2𝑓1 → 𝑓2 1. Rango por Gauss: [𝐴1 ] = [𝐴2 ] → 𝐸2−1 = [ 𝐼 ] 1 6 9 1 3 5 9 2𝑓2 +𝑓3 →𝑓3 −2𝑓2 +𝑓3 →𝑓3 0 7 2 6] 0 5 8 −1 [ ] [ [𝐴2 ] = [𝐴3 ] → 𝐸3 = [ 𝐼 ] 1 1 0 0 1 0 0 6 7 𝑓2 +𝑓3 →𝑓3 − 𝑓2 +𝑓3 →𝑓3 2

3 ×3

2

[𝐴3 ] = [𝐴4 ] → 𝐸4−1 = [ 𝐼 ]

1 𝑓 →𝑓 2 3 3

[𝐴4 ] 1 − 𝑓3 →𝑓3 2

2𝑓3 →𝑓3

= [𝐴5 ] →

𝐸5−1

= [𝐼]

−2𝑓3 →𝑓3

Trasladamos el factor − cambiado de 1 𝑎 𝑏 2 𝑈 = [𝐴5 ] = [0 1 𝑐 ] = Trian. Sup. signo a la posición 𝑎21 : 1 0 0 0 1 𝐿 = [− 3 1] Finalmente: 𝐴 = 𝐿𝑈 𝑬𝒏 … 𝑬𝟑 𝑬𝟐 𝑬𝟏 𝑨 = 𝑼 𝐴 = ⏟ 𝐸1−1 𝐸2−1 … 𝐸𝑛−1 𝑈 2 𝐿 Ejemplo 2: Luego 𝐴 = 𝐿 𝑈 Para U: Comenzar escalonando la matriz A 7. Factorización P A Q = B : a una Matriz Triangular Superior (Upper): Si queremos expresar A en forma 𝑃𝐴𝑄 = 𝐵 3 −1 2 3 −1 2 con A y B como datos: 𝐴 = [−3 −2 10] → [0 −3 12] 1. Para la forma: 𝑃𝐴𝑄 = 𝐵 9 −5 6 0 −2 0 2 1𝑓1 +𝑓2 →𝑓2 𝐼𝐵 𝑄 − 𝑓2 +𝑓3 →𝑓3 3 −3𝑓1 +𝑓3 →𝑓3 (𝐴|𝐼𝐴 ) → (𝐵1 |𝑃) → ( ) → ( ) 𝐵 𝐵 1 para que 𝑎21 sea 0: 3𝑥 − 3 = 0 𝑥 = 1 2. Partiendo de A llevaremos a B, haciendo para que 𝑎31 sea 0: 3𝑥 + 9 = 0 𝑥 = −3 op. elem.: ⏟ 𝐹𝑛 … 𝐹2 𝐹1 𝐴 ⏟ 𝐶1 𝐶2 … 𝐶𝑛 = 𝐵 2 para que 𝑎32 sea 0: − 3𝑥 − 2 = 0 𝑥 = − 𝑃 𝑄 3

3 = rango max 3 Ejemplo 1: 1 1 4 −1 𝐴 = [0 7 1 ] → [0 0 0 −6 2 6𝑓2 +7𝑓3 →𝑓3

3 ×4

= rango max 4 7 0

−1 1] 18

∴ 𝜌(𝐴) = 3 ; 3vectores L. I. 2. Rango por Determinantes: Si: |𝐴| ≠ 0 → 𝜌(𝐴) = 3. Vectores L.I. Si: |𝐴| = 0 → 𝜌(𝐴) = 2 ó 1. Ejemplos: 1 2 3 |𝐴| = |2 −1 0| = 9 ∴ 3 Vectores 𝐿. 𝐼. 1 1 0 1 2 0 |𝐴| = |2 −1 0| = 0 ∴ 𝜌(𝐴) = 2 ó 1. 1 1 0 |𝐴| = |1 2 | = −5 ≠ 0 ∴ 𝜌(𝐴) ≥ 2 2 −1

© 01.10.18, Jabier Jaime Apaza Mamani, 73203246, pág. 2.

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3. Cálculo de Determinantes. 1. Regla de Sarrus para |𝑨|. 1. Concepto de Determinante. Primera Forma: Es una función que va de las Matrices de Determinantes de 3x3: Copear las 𝑀𝑛×𝑛 a los Reales. primeras Columnas a la derecha, 𝑓: 𝑀𝑛×𝑛 → 𝑅 ó 𝑓: 𝑅𝑛×𝑛 → 𝑅 multiplicar en diagonales. 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 Notación: 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = |𝐴| 𝑎11 𝑎12 |𝐴| = |𝑑 𝑒 𝑓 | |𝐴| = |𝑑 𝑒 𝑓| 𝑑 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = | 𝑎 | = 𝑎 𝑎 − 𝑎 𝑎 11 22 12 21 21 𝑎22 𝑔 ℎ 𝑖 𝑔 ℎ 𝑖 𝑔

2. Determinantes.

2. Propiedades de los Determinantes. 1.

| 𝐴−1 | =

1 |𝐴|

𝑑𝑒𝑡( 𝐴−1 ) =

1 𝑑𝑒𝑡(𝐴)

2. |𝐴 ∙ 𝐵| = |𝐴| ∙ |𝐵| 𝑘𝑎 𝑎12 𝑘 ∙ 𝑎11 𝑘𝑎12 3. 𝑘|𝐴| = | | = | 11 | 𝑎21 𝑎22 𝑘𝑎21 𝑎22 −1 −1 𝑛 4. | 𝐴 | = |𝐴| ; ||𝐴|| = |𝐴| |𝑘𝐴𝑛×𝑛 | = 𝑘 𝑛 |𝐴𝑛×𝑛 | 5. 𝑎11 𝑎12 𝑘𝑎 𝑘𝑎12 Ejemplo: | 11 | = 𝑘 2 |𝑎 | 𝑘𝑎21 𝑘𝑎22 21 𝑎22 𝑚 𝑚 𝑚 |𝐴 | = |𝐴| 6. 1ro |𝐴| luego |𝐴| . 𝑑𝑒𝑡(𝐴𝑡 ) = 𝑑𝑒𝑡(𝐴) 𝑓 ↔ 𝑓2 |𝐴| = −|𝐵| 8. Intercambiar { 1 𝑐1 ↔ 𝑐2 Si en un determinante se intercambian Filas o Columnas el nuevo determinante queda multiplicado por ( − ). 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑏 𝑎 𝑐 𝑑 | | = −| | ;| | = −| | 𝑐 𝑑 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑑 𝑐 7.

| 𝐴𝑡 | = |𝐴|

𝑓1 ↔𝑓2

𝑐1 ↔𝑐2

9. Si 𝐴𝑚×𝑛 tiene una Fila o una Columna compuestas por ceros, entonces |𝐴| = 0. 0 0 0 𝑎 | |=0 ; | |=0 𝑎 𝑏 0 𝑏 10. Si 𝐴𝑚×𝑛 tiene dos Filas o dos Columnas iguales, entones |𝐴| = 0. 𝑎 𝑎 𝑎 𝑏 | |=0 ; | |=0 𝑏 𝑏 𝑎 𝑏 11. Si 𝐴𝑛×𝑛 tiene una Fila o una Columna que es múltiplo del otro (L.D.) entones: 3 2∙3 5 |𝐴| = 0 ; | 3 | = 0 ;| |=0 2∙3 2∙5 5 2∙5 12. Si 𝐴𝑛×𝑛 tiene una Fila o una Columna que es una combinación de las demás filas o columnas, entones |𝐴| = 0. 𝑎 𝑏 𝑐 𝑒 𝑓 |=0 | 𝑑 𝑎+𝑑 𝑏+𝑒 𝑐+𝑓 13. Si una fila o una columna se multiplica por 𝑘, entonces el determinante de la matriz se multiplica por la inversa de 𝑘. 1 𝑘𝑎 𝑘𝑏 𝑎 𝑏 | |= | | 𝑐 𝑑 𝑑 𝑘 𝑐 14. La determinante de una Matriz Triangular Superior o Inferior es el Producto de los elementos de la diagonal 𝑎11 𝑎12 𝑎13 | 0 𝑎22 𝑎23 | = 𝑎11 𝑎22 𝑎33 0 0 𝑎33 15. Suma de determinantes: 𝑎+𝑐 𝑏+𝑑 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 | |=| |+| | 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 También cumple para determinantes de 3x3, 4x4, etc. 16. | 𝑎𝑑𝑗(𝐴𝑛×𝑛 ) | = |𝐴|𝑛−1 17.

𝑎𝑑𝑗( 𝑎𝑑𝑗(𝐴𝑛×𝑛 ) ) = |𝐴|𝑛−2 𝐴

2 y 𝑏 𝑒 ℎ

|𝐴| = (𝑎𝑒𝑖 + 𝑏𝑓𝑔 + 𝑐𝑑ℎ) − (𝑐𝑒𝑔 + 𝑎𝑓ℎ + 𝑏𝑑𝑖)

= (−1)1+3 |𝐴13 | 𝑐21 = (−1)2+1 |𝐴21 | = (−1)2+2 |𝐴22 | 𝑐23 = (−1)2+3 |𝐴23 | = (−1)3+1 |𝐴31 | 𝑐32 = (−1)3+2 |𝐴32 | = (−1)3+3 |𝐴33 | 𝑐11 𝑐12 𝑐13 𝑒 𝑓 𝑐𝑜𝑓(𝐴) = [𝑐21 𝑐22 𝑐23 ] |𝐴11 | = | | ℎ 𝑖 𝑐31 𝑐32 𝑐33 Para |𝐴| se debe multiplicar la fila 1 de 𝐴, con la misma fila 1 de 𝑐𝑜𝑓(𝐴). Para |𝐴| se debe multiplicar la columna 1 de 𝐴, con la misma columna 1 de 𝑐𝑜𝑓(𝐴). |𝐴| = 𝑎𝑐11 + 𝑑𝑐21 + 𝑔𝑐31 𝑐13 𝑐22 𝑐31 𝑐33

Determinantes de 4x4: Copear las 3 primeras Columnas a la derecha, y multiplicar en 6. Regla de Chío para |𝑨| de 3x3. diagonales. (ó Método del Pivote) Primero elegir una Fila Segunda Forma: o Columna para trabajar. Determinantes de 3x3: Copear las 2 primeras Mediante Gauss (Operaciones Elementales) Filas abajo, y multiplicar en diagonales. llegar a una Fila o Columna que tenga un 1 y 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 los demás elementos ceros. |𝐴| = |𝑑 𝑒 𝑓| |𝐴| = |𝑑 𝑒 𝑓| En este caso elegimos la columna 1. 𝑔 ℎ 𝑖 𝑔 ℎ 𝑖 𝑎11 𝑎12 𝑎13 1 𝑎12 𝑎13 𝑎 𝑏 𝑐 |𝐴| = |𝑎21 𝑎22 𝑎23 | → |0 𝑎22 𝑎23 | 𝑑 𝑒 𝑓 𝑎31 𝑎32 𝑎33 Op.Elem. 0 𝑎32 𝑎33 𝑘𝑓𝑖 +𝑓𝑗 →𝑓𝑛𝑗 |𝐴| = (𝑎𝑒𝑖 + 𝑑ℎ𝑐 + 𝑔𝑏𝑓) − (𝑐𝑒𝑔 + 𝑓ℎ𝑎 + 𝑖𝑏𝑑) 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 Determinantes de 4x4: Copear las 3 primeras |𝐴| = 1(−1)1+1 |𝑎22 𝑎23 | − 0 |𝑎12 𝑎13 | + 32 33 32 33 Filas abajo, y multiplicar en diagonales. 𝑎12 𝑎13 +0 |𝑎 | 22 𝑎23 2. Método de las Diagonales Paralelas 𝑎 𝑎 22 23 |𝐴| = 1 ∙ (−1)1+1 |𝑎 |+0+0 (Otra forma de Sarrus) 32 𝑎33 Valido solo para Determinantes de 3x3: 7. Regla de Chío para |𝑨| de 4x4. 𝑎 𝑏 𝑐 1 0 0 3 0 −1 0 4 |𝐴| = |𝑑 𝑒 𝑓 | formar:   |𝐴| = | Ejemplo: 0 0| 2 3 𝑔 ℎ 𝑖 −2 6 1 5 |𝐴| = (𝑎𝑒𝑖 + 𝑏𝑓𝑔 + 𝑐𝑑ℎ) − (𝑐𝑒𝑔 + 𝑎𝑓ℎ + 𝑏𝑑𝑖) Generalizando y comparando con |𝐴|: 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎14 3. Métodos Matriciales para |𝑨|. 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎24 Mediante Gauss (ó Operaciones |𝐴| = |𝑎 𝑎33 𝑎34 | 31 𝑎32 Elementales) llegar a una matriz triangular 𝑎43 𝑎44 𝑎 𝑎 41 42 superior o inferior, luego la determinante es el Trabajando en la tercera columna. Producto de los elementos de la diagonal. 4 𝑎11 𝑎12 𝑎13 | 0 𝑎22 𝑎23 | = 𝑎11 𝑎22 𝑎33 |𝐴| = ∑(−1)𝑖+𝑗 𝑎𝑖𝑗 |𝑀𝑖𝑗 | 0 0 𝑎33 𝑖=1 4 4. Método de Reducida o Menores |𝑨| 𝑛=4 𝑎 𝑏 𝑐 |𝐴| = ∑(−1)𝑖+3 𝑎𝑖3 |𝑀𝑖3 | 𝑗 = 3 columna Sea la Matriz: 𝐴 = [𝑑 𝑒 𝑓 ] 𝑖=1 𝑔 ℎ 𝑖 Desarrollando y reemplazando: 𝑎 𝑏 𝑐 |𝐴| = ⏟ (−1)1+3 𝑎13 |𝑀13 | + ⏟ (−1)2+3 𝑎23 |𝑀23 | + 𝑒 𝑓 |𝐴| = | 𝑑 𝑒 𝑓 | = 𝑎(−1)1+1 | |+ 3+3 + (−1) 𝑎33 |𝑀33 | + (−1) ⏟ ⏟ 4+3 𝑎43 |𝑀43 | ℎ 𝑖 𝑔 ℎ 𝑖 𝑑 𝑓 𝑑 𝑒 +𝑏(−1)1+2 | | + 𝑐(−1)1+1 | | |𝐴| = 0|𝑀13 | − 0|𝑀23 | + 0|𝑀33 | − (−2)|𝑀43 | 𝑔 ℎ 𝑔 𝑖 1 0 3 |𝐴| = 𝑎[𝑒𝑖 − 𝑓ℎ] − 𝑏[𝑑𝑖 − 𝑓𝑔] + 𝑐[𝑑ℎ − 𝑒𝑔] |𝐴| = 2|𝑀43 | |𝐴| = 2 |0 −1 4| ⏟ 2 3 0 5. Método de Cofactores para |𝑨|. |𝐵| 𝑎 𝑏 𝑐 Queda una Matriz de 3x3 : Sea la Matriz: 𝐴 = [𝑑 𝑒 𝑓 ] 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑔 ℎ 𝑖 |𝐴| = 2|𝐵| generalizando: |𝑎21 𝑎22 𝑎23 | La matriz de cofactores es: 𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑑 𝑓 𝑑 𝑒 3 𝑒 𝑓 +| | −| | +| | 𝑔 ℎ 𝑔 𝑖 ℎ 𝑖 |𝐵| = ∑(−1)𝑖+𝑗 𝑎𝑖𝑗 |𝑀𝑖𝑗 | 𝑎 𝑐 𝑎 𝑏 𝑏 𝑐 𝑖=1 𝑐𝑜𝑓(𝐴) = − | | + |𝑔 𝑖 | − | | 𝑔 ℎ 3 ℎ 𝑖 𝑛=3 𝑎 𝑐 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 |𝐵| = ∑(−1)𝑖+1 𝑎𝑖1 |𝑀𝑖1 | +| | − |𝑑 𝑓| + | | 𝑗 = 1 columna [ 𝑒 𝑓 𝑑 𝑒] 𝑖=1 |𝐴| = 𝑎𝑐11 + 𝑏𝑐12 + 𝑐𝑐13 |𝐵| = (−1) ⏟ 1+1 𝑎11 |𝑀11 | + (−1) ⏟ 2+1 𝑎21 |𝑀21 | 1+1 1+2 𝑐11 = (−1) |𝐴11 | 𝑐12 = (−1) |𝐴12 | (−1)3+1 𝑎31 |𝑀31 | +⏟ © 01.10.18, Jabier Jaime Apaza Mamani, 73203246, pág. 3.

ÁLGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL – MAT 103.

|𝐵| = 1|𝑀11 | − 0|𝑀21 | + 2|𝑀31 | |𝐵| = |𝑀11 | + 2|𝑀31 | |𝐵| = |−1 4| + 2 |0 −1| |𝐵| = −6 3 0 2 3 Finalmente: |𝐴| = 2|𝐵| |𝐴| = 2(−6) |𝐴| = −12 1ra Propiedad: si la matriz es simétrica con elementos únicos (una sola variable respecto a la diagonal principal). Para reducir el determinante, sumamos todas las (filas o columnas) a la primera. 2da Propiedad: si la matriz tiene elementos simétricos opuestos respecto a la diagonal principal, su |𝑨| = |𝑨𝒕 | → |𝐴||𝐴𝑡 | = |𝐴𝐴𝑡 | |𝐴||𝐴| = |𝐴𝐴𝑡 | → |𝐴| = √|𝐴𝐴𝑡 | esto lo realizamos para que al multiplicar solo genere la diagonal principal, ya que son opuestos, los demás elementos se anula.

3. Inversión de Matrices. 1. Generalidades. 1. Concepto de la Matriz Inversa. Sea A y B matrices cuadradas de orden “n” tal que 𝐵𝐴 = 𝐴𝐵 = 𝐼 en estas condiciones se dice que B es la matriz inversa de A o sea 𝐵 = 𝐴−1 y 𝐴𝐴−1 = 𝐴−1 𝐴 = 𝐼 2. Condiciones para Invertir: 1. Tiene que ser cuadrada 𝐴𝒏×𝒏 2. 𝐴𝒏×𝒏 debe ser No Singular, es decir el determinante de 𝐴 ≠ 0 3. Inversa de una Matriz 2×2 1 𝑎22 −𝑎12 𝑎11 𝑎12 𝐴 = [𝑎 ] 𝐴−1 = [ ] |𝐴| −𝑎21 𝑎11 21 𝑎22 |𝐴| = 𝑎11 𝑎22 − (𝑎12 𝑎21 ) ≠ 0 2. Propiedades de la Inversa. 1. 𝐴𝐴−1 = 𝐴−1 𝐴 = 𝐼 2. (𝐴−1 )−1 = 𝐴 3. (𝐴𝐵)−1 = 𝐵−1 𝐴−1 4. |𝐴−1 | = |𝐴|−1 1ro |𝐴| luego |𝐴|−1 1 −1 −1 5. (𝑘𝐴) = 𝐴 𝑘 6. 𝐴−𝑛 = (𝐴−1 )𝑛 = ⏟ 𝐴−1 𝐴−1 ⋯ 𝐴−1 𝑛 factores

(𝐴𝑛 )−1 = (𝐴−1 )𝑛 1ro 𝐴−1 (𝑛 ≥ 0) 7. (𝐴−1 )𝑡 = (𝐴𝑡 )−1 8. (𝐴−1 )𝑡 𝐴𝑡 = (𝐴𝐴−1 )𝑡 = 𝐼𝑡 = 𝐼 3. Inversión por Gauss – Jordán. También llamado método de las operaciones elementales. [𝐴] → [ 𝐴 | 𝐼 ] → [ 𝐼 | 𝐴−1 ] 𝑘𝑓𝑖 +𝑓𝑗 →𝑓𝑛𝑗Op.Elem.

4. Inversión por Fadevva. 𝑡𝑟(𝐴1 ) 𝐴1 = 𝐴𝑛 𝑎1 = 𝐵1 = 𝐴1 − 𝑎1 𝐼 1 𝑡𝑟(𝐴2 ) 𝐴2 = 𝐴𝐵1 𝑎2 = 𝐵2 = 𝐴2 − 𝑎2 𝐼 2 𝑡𝑟(𝐴3 ) 𝐴3 = 𝐴𝐵2 𝑎3 = 𝐵3 = 𝐴3 − 𝑎3 𝐼 3 Hasta: 𝐵𝑛 = 0 = 𝐴𝑛 − 𝑎𝑛 𝐼 𝐴𝑛 = 𝑎𝑛 𝐼 (1) Pero: 𝐴𝑛 = 𝐴𝐵𝑛−1 (2) −1 (1) en (2) 𝑎𝑛 𝐼 = 𝐴 ∙ 𝐵𝑛−1 // 𝐴 𝐵𝑛−1 𝐴−1 = 𝑎𝑛

5. Inversión por Cofactores ( ó adjunta) 1 𝐴−1 = 𝑎𝑑𝑗(𝐴) |𝐴|

4. Sistema de Ec. Lineales.

1. Concepto. Es un conjunto de 𝑛 ecuaciones, con 𝑛 incognitas. Las ecuaciones deben ser lineales 𝑎𝑑𝑗(𝐴) = [ 𝑐𝑜𝑓(𝐴) ]𝑡 es decir de primer grado. Y puede ser 1. Matriz de Cofactores. representado por la forma Matricial: 𝐴𝑋 = 𝐵. 𝑎 𝑏 𝑐 2. Soluciones a Sistema de Ec. Lineales Sea la Matriz: 𝐴 = [𝑑 𝑒 𝑓] Determinado: 𝑔 ℎ 𝑖 C Única Solución. La matriz de cofactores es: O # Ec. = # Incognits 𝑐11 𝑐12 𝑐13 𝑒 𝑓 N Si 𝐴𝑋 = 𝐵 |𝐴| ≠ 0 𝑐𝑜𝑓(𝐴) = [𝑐21 𝑐22 𝑐23 ] |𝐴11 | = | | ℎ 𝑖 S 𝑐31 𝑐32 𝑐33 𝝆(𝑨|𝑩) = 𝝆(𝑨) = Nº incógnitas I 𝑐11 = (−1)1+1 |𝐴11 | 𝑐12 = (−1)1+2 |𝐴12 | 1+3 2+1 Indeterminado: S 𝑐13 = (−1) |𝐴13 | 𝑐21 = (−1) |𝐴21 | T Infinitas Solucions 𝑐22 = (−1)2+2 |𝐴22 | 𝑐23 = (−1)2+3 |𝐴23 | E (varias o múltiples). 𝑐31 = (−1)3+1 |𝐴31 | 𝑐32 = (−1)3+2 |𝐴32 | Sol Paramétrik B=0 N 3+3 𝑐33 = (−1) |𝐴33 | # Ec. < # Incognits T 𝑑 𝑓 𝑑 𝑒 𝑒 𝑓 +| | −| | +| | E 𝑔 ℎ 𝑔 𝑖 ℎ 𝑖 𝝆(𝑨|𝑩) ≤ 𝝆(𝑨) < Nº incógnitas 𝑎 𝑐 𝑎 𝑏 𝑏 𝑐 𝑐𝑜𝑓(𝐴) = − | | + |𝑔 𝑖 | − | | 𝑔 ℎ ℎ 𝑖 INCONSISTENTES: 𝑎 𝑐 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 No existe Solución. +| | − |𝑑 𝑓 | + | | [ 𝑒 𝑓 𝑑 𝑒] # Ec. < # Incognits B≠0 1 1 𝝆(𝑨|𝑩) ≠ 𝝆(𝑨) [ 𝑐𝑜𝑓(𝐴) ]𝑡 𝐴−1 = 𝑎𝑑𝑗(𝐴) = # Ec. > # Incog. ÚnicaSol. ∞Sol. No tieneSol |𝐴| |𝐴| Sist. No Homogéneos: 𝐴𝑋 = 𝐵 ; 𝐵 ≠ 𝜃. 2. Inversión por Adjunta de una Matriz. Sist Equivalentes: # Ec. = # Incognits = Sol Sea 𝐴𝑛×𝑛 una matriz de 𝑐𝑜𝑓(𝐴), se defina la adjunta de la matriz 𝐴𝑛×𝑛 como: 3. Métodos de Solución a sist. Lineales: 1. Solución por la Inversa. 𝑎𝑑𝑗(𝐴) = [ 𝑐𝑜𝑓(𝐴) ]𝑡 = 𝑐𝑜𝑓(𝐴𝑡 ) Solo sirve para sistemas: Cuadrados, que Deducción: Si: |𝐴| ∙ 𝐼 = 𝐴 ∙ 𝑎𝑑𝑗(𝐴) (1) tienen única solución 𝐴𝑛×𝑛 𝑋𝑛×1 = 𝐵𝑛×1 . −1 Si pre multiplicamos por 𝐴 a (1): # Ec. = # Incognitas. El |𝐴| ≠ 0. 𝐴−1 |𝐴| ∙ 𝐼 = 𝐴−1 ∙ 𝐴 ∙ 𝑎𝑑𝑗(𝐴) 𝐴𝑋 = 𝐵 → 𝐴−1 𝐴𝑋 = 𝐴−1 𝐵 → 𝑋 = 𝐴−1 𝐵 𝑎𝑑𝑗(𝐴) 1 1 𝐴−1 = 𝐴−1 = 𝑎𝑑𝑗(𝐴) |𝐴| ≠ 0 𝐴−1 = 𝑎𝑑𝑗(𝐴) |𝐴| |𝐴| |𝐴| 2. Solución por Gauss – Jordán. 1 [ 𝑐𝑜𝑓(𝐴) ]𝑡 𝐴−1 = Aplicable a sist. tipo: 𝐴𝑚×𝑛 𝑋𝑛×1 = 𝐵𝑚×1 |𝐴| # Ec. < # Incognitas 3. Propiedades de la Adjunta: Matriz aumentada: [ 𝐴 | 𝐵 ] → [ 𝐴1 | 𝐵1 ] 1. 𝑎𝑑𝑗(𝐼𝑛 ) = 𝐼𝑛 Escalonar la matriz aumentada al máximo, 2. 𝑎𝑑𝑗(𝐴 ∙ 𝐵) = 𝑎𝑑𝑗(𝐵) ∙ 𝑎𝑑𝑗(𝐴) por Op. Elem. preferentemente en Filas. 3. 𝑎𝑑𝑗(𝐴𝑛 ) = [ 𝑎𝑑𝑗(𝐴) ]𝑛 3. Solución por el método de Cramer: 4. 𝑎𝑑𝑗(𝐴𝑡 ) = [ 𝑎𝑑𝑗(𝐴) ]𝑡 Solo sirve para sistemas: Cuadrados, que tienen única solución 𝐴𝑛×𝑛 𝑋𝑛×1 = 𝐵𝑛×1 . 5. 𝒂𝒅𝒋(𝑨−𝟏 ) = [ 𝒂𝒅𝒋(𝑨) ]−𝟏 # Ec. = # Incognitas. El |𝐴| ≠ 0. 𝐴 1 −1 −1 6. 𝑎𝑑𝑗(𝐴 ) = |𝐴| ; 𝐴 = |𝐴| 𝑎𝑑𝑗(𝐴) Algoritmo de Cramer: Si: 𝐴𝑛×𝑛 = [𝐶1 |𝐶2 |𝐶3 | … |𝐶𝑛 ] Si: 𝐵. 7. 𝐴 ∙ 𝑎𝑑𝑗(𝐴) = 𝑎𝑑𝑗(𝐴) ∙ 𝐴 = |𝐴| ∙ 𝐼𝑛 |𝐴1 | 𝐴1 = [𝐵|𝐶2 |𝐶3 | … |𝐶𝑛 ] 𝑥1 = [𝐶 |𝐵|𝐶 | |𝐶 ] 𝐴 = … |𝐴| 2 1 3 𝑛 8. 𝒂𝒅𝒋(𝒌𝑨𝒏 ) = 𝒌𝒏−𝟏 𝒂𝒅𝒋(𝑨𝒏 ) 𝐴3 = [𝐶1 |𝐶2 |𝐵| … |𝐶𝑛 ] |𝐴2 | 𝑥2 = 9. 𝑎𝑑𝑗(𝑘𝐴) = |𝑘𝐴|(𝑘𝐴)−1 ⋮ |𝐴| 𝑛−2 10. 𝑎𝑑𝑗[𝑎𝑑𝑗(𝐴𝑛 )] = |𝐴𝑛 | 𝐴𝑛 𝐴𝑛 = [𝐶1 |𝐶2 |𝐶3 | … |𝐵] |𝐴3 | 𝑥3 = … 11. 𝑎𝑑𝑗[𝑎𝑑𝑗(𝐴)] = |𝑎𝑑𝑗(𝐴)|[ 𝑎𝑑𝑗(𝐴) ]−1 |𝐴| )] 12. 𝑎𝑑𝑗[𝑎𝑑𝑗(𝐴2×2 = 𝐴2×2 4. Sistemas Lineales Homogéneos. Es cuando el vector columna de los términos 13. |𝒂𝒅𝒋(𝑨𝒏 )| = |𝑨𝒏 |𝒏−𝟏 independientes 𝐵 es nula. 𝐴𝑋 = 0 ; 𝐵 = 0. 𝑛−1 𝑛 𝑛−1 |𝑎𝑑𝑗(𝑘𝐴 )| (𝑘 ) |𝐴 | 14. 𝑛 = 𝑛 Un sistema homogéneo siempre tiene 𝟐 soluciones o siempre es consistente. 15. |𝒂𝒅𝒋(𝒂𝒅𝒋(𝑨𝒏 ))| = |𝑨𝒏 |(𝒏−𝟏) • Única Sol.: 𝑥1 = 𝑥2 = 𝑥3 = ⋯ = 0 Trivial. 𝑛 = orden de la matriz. • Infinitas Sol.: incluye solución Trivial. 𝑎 𝑏 16. Si: 𝑎𝑑𝑗(𝐴𝑛 ) = [ ] 1.Homogéneo Cuadrado: |𝐴| = 0 infinitas Sol. 𝑐 𝑑 |𝐴| ≠ 0 sol Trivial 𝑥1 = 𝑥2 = 𝑥3 = ⋯ = 0 se cumple: |𝐴𝑛 |2 = |𝑎𝑑𝑗(𝐴𝑛 )| −1 2. Homogéneo No Cuadrado: |𝐴 | [𝑎𝑑𝑗(𝐴 )] 17. 𝐴𝑛 = 𝑛 ∙ 𝑛 # Ec. < # Incognits → Infinitas sol. 𝑛 𝑛−1 𝑛 18. |𝑎𝑑𝑗(𝐴 )| = |𝐴 | # Ec. > # Incognits → Única sol. Infinitas sol. 19. ||𝐴|| = |𝐴|𝑛 © 01.10.18, Jabier Jaime Apaza Mamani, 73203246, pág. 4.