Academia Alfa

ACADEMIA ALFA

EXCLUSIVA PARA INGENIERÍAS

Objetivos  Reconocer, diferenciar e interrelacionar las diferentes clases de magnitudes físicas.  Definir y diferenciar una magnitud física escalar y vectorial  Escribir las unidades de las magnitudes fundamentales en el Sistema Internacional (SI).  Reconocer las reglas básicas del Análisis Dimensional y sus principales aplicaciones.  Comprobar si una fórmula física es dimensionalmente correcta.  Analizar los distintos tipos de errores cometidos en las mediciones  Conocer las relaciones que permiten manipular datos estadísticos para el cálculo de errores Introducción Cualquier número o conjunto de números que se utilizan para describir cuantitativamente un fenómeno físico recibe el nombre de cantidad física. Para definir una cantidad física debemos especificar un procedimiento de medición de esa cantidad, o bien una manera de calcular a partir de otras cantidades mesurables. La definición de una cantidad, expresada en función del procedimiento utilizado para medirla, se denomina definición operacional. Algunas cantidades solo pueden precisarse mediante definiciones operacionales. En mecánica se emplean como cantidades fundamentales la masa, la longitud y el tiempo, en otras áreas de la física se emplean otras cantidades fundamentales como la temperatura, la carga eléctrica y la intensidad luminosa. Magnitud: Es todo aquello susceptible a ser medido, que se puede representar por un número y puede ser estudiado en las ciencias experimentales.

CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC) -21-

PÁG. 21

PROYECTO INGENIERÍA

ESPECIALISTAS EN INGENIERÍAS

Cuando una magnitud se puede medir a través de un instrumento de medida, se dice que dicha magnitud es una magnitud física. Ejemplos de magnitudes: velocidad, fuerza, temperatura, energía física, etc. Cantidad: Se define así a una porción de una magnitud, es el número que resulta de una medición o una operación. Unidad: Es la cantidad elegida para medir por comparación todas las de su especie. Las leyes de la Física y la Química expresan relaciones entre magnitudes, como, por ejemplo, longitud, tiempo, fuerza, temperatura o cantidad de sustancia, y la medida de una magnitud como éstas exige compararla con cierto valor unidad de la misma. Las unidades de todas las magnitudes físicas y químicas se pueden expresar en función de estas siete unidades: metro, kilogramo, segundo, kelvin, amperio, candela y mol, unidades fundamentales del Sistema Internacional de unidades (SI). Así, la unidad de aceleración m/s2 se expresa en función de las de longitud (m) y tiempo (s). Algunas combinaciones de unidades reciben nombres especiales, como la unidad de trabajo kgm2/s2 , que se denomina Joule (J), o la unidad de fuerza kgm/s2 , denominada newton (N).

Errores en las mediciones ¿Que es la medición? Es el resultado de calcular, es decir, de comparar la cantidad de magnitud que queremos medir con una unidad patrón de esa magnitud. Este resultado se expresará mediante un número seguido de la unidad que hemos utilizado: 4 m (longitud), 20 kg (masa), 5 s (tiempo). Los valores obtenidos en las observaciones experimentales inevitablemente contienen errores debido a diversas causas, concretamente cuando se trata de mediciones con instrumentos que contienen escalas. Error [ e(x)] : Toda medición realizada siempre está acompañada por un margen de error o incertidumbre. Se denomina error a la incertidumbre de una medida, que se manifiesta durante una experiencia. También se define como fluctuación de la medida realizada con relación al valor verdadero. e(x) = Vreal - Vmed Vreal : Valor real Vmed : Valor medido

-22-

CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS ---  FONO: 630439

ACADEMIA ALFA

EXCLUSIVA PARA INGENIERÍAS

El valor verdadero o real se encuentra dentro de los intervalos indicados: x - e(x) < x < x + e(x)

Límite inferior: x - e(x) y Límite superior: x + e(x) Exactitud Es la aproximación al valor verdadero o es el grado de conformidad que se da con un patrón de medida. Precisión Es el grado de refinamiento para ejecutar una operación o para dar un resultado. Entre otras palabras la precisión nos define la incertidumbre de una magnitud física. Causas que originan un error a) b) c) d)

Error Error Error Error

en la lectura debido a la mala calibración de instrumentos de medida debido al mal uso de instrumentos de medida debido a las influencias de agentes externos

Clases de errores I.

Errores de escala en un instrumento ( e esc. inst. ) Está referida al poder resolutivo de la escala del aparato de medida, se caracteriza por el valor más pequeño de la escala de medida del aparato, esto para instrumentos digitales. Cuando el instrumento tiene una escala de medida o cuando se trata de instrumentos analógicos, es error está dado por: e esc. inst. =

1 (mínima división de la esc. del instrumento de medida) 2

II. Errores sistemáticos ( e sist. ) Son aquellos que afectan de igual modo cada resultado de la medición dando lugar a una desviación constante, las fuentes más comunes son: a) Errores instrumentales originados por defectos o fallas en la construcción de los instrumentos de medida. b) Errores vinculados con el estado del medio ambiente en el que se realizan los experimentos. c) Errores debido a las particularidades del experimentador (errores subjetivos o personales). III. Errores accidentales ( e acc. ) Llamadas también casuales son aquellas vinculadas a pequeñas variaciones imprescindibles en cada medida, pero pueden ser tratadas en conjunto por las leyes de probabilidad, es decir como variable aleatoria. CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC) -23-

PÁG. 21

PROYECTO INGENIERÍA

ESPECIALISTAS EN INGENIERÍAS

Si se conoce la fuente de los errores de escala y sistemático, en principio se pueden considerar su influencia sobre la magnitud que se mide y en una serie de casos, se puede eliminar total o parcialmente anulando la fuente que provoca o introduciendo las correcciones apropiadas. CORRELACIÓN DE ERRORES En las mediciones realizadas el poder resolutivo, del aparato de medida y los errores sistemáticos actúan como magnitudes independientes del número de mediciones, el error accidental puede hacerse tan pequeño como quisiera, esta correlación entre los errores podemos observar en el siguiente gráfico:

e e(acc.) e=

e acc.2 + e esc. inst.2 + e sist.2

e(sist.) e(esc. inst.) n CÁLCULO DE ERRORES A) PARA MEDIDAS DIRECTAS: Medidas directas Son aquellas medidas que sólo necesitan de una sola observación, dentro de ellas se tiene: longitud, masa, temperatura, tiempo, etc. y se tienen los siguientes casos: I.

Primer caso Cuando realizamos una sola medición de una cierta magnitud física “X” el valor verdadero estará expresado por: X = X �e esc. inst.

Donde: e esc. inst. =

1 (mínima división de la esc. del instrumento de medida) 2

II. Segundo caso Cuando realizamos más de una medición y menores que 30 recurrimos al procedimiento estadístico para hallar el valor verdadero de cierta magnitud física.

-24-

CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS ---  FONO: 630439

ACADEMIA ALFA

EXCLUSIVA PARA INGENIERÍAS

Pasos a seguir para calcular el verdadero valor de una magnitud Supongamos que tenemos: X1, X 2, X 3, ... X n mediciones donde n < 30 , para determinar el valor verdadero se siguen los siguientes pasos: a) Se determina la media aritmética (Valor más probable): n

X=

X1 + X 2 + X 3 + ... + X n = n

�X i

i=1

n

b) Se hallan las desviaciones: di = X - Xi c)

Suma de los cuadrados de las desviaciones: n

�d i

i= 1

2

= d12 + d 22 + d 32 + ... + d n2

d) Cálculo del error estándar: n

sx =

�d i 2

i =1

n-1

e) Cálculo del error probable: s ep = x n f)

Valor verdadero: X = X �ep

B) PARA MEDIDAS INDIRECTAS: Medidas indirectas Son aquellas medidas definidas en base a las medidas directas. Dentro de ellas tenemos: peso, área, volumen, trabajo, impulso, etc. Para su determinación se requiere del empleo de una fórmula y además de la ley de propagación de errores. Propagación de errores Es la difusión que experimentan los errores de un conjunto de datos a través de un proceso de cálculo. Se manifiestan en mediciones indirectas (para lo cual se utilizan modelos matemáticos), como por ejemplo para hallar el área de un rectángulo necesitamos la base y la altura, pero debemos notar que cada medida tiene su CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC) -25-

PÁG. 21

PROYECTO INGENIERÍA

ESPECIALISTAS EN INGENIERÍAS

margen de error, por lo cual el resultado de calcular el área significa agrandar en cierta magnitud dichos errores, la finalidad de la propagación de errores es pues calcular los errores que se arrastran al realizar dichos cálculos. Casos de Propagación de Errores Dadas las magnitudes: A = A �e(A)

B = B �e(B) A + B = A + B �[ e ( A ) + e ( B ) ]

Adición:

A - B = A - B �[ e ( A ) + e ( B ) ]

Diferencia:

A +B �‫ױ‬A =�B

Producto:

�e ( A ) A B� �A

e( B ) � B

� �

A A A �e ( A ) e ( B ) � = � + � B B B� �A B �

Cociente:

Ejemplo Ilustrativo 01 Dadas las magnitudes: X = 12,45 �0,03m Y = 4,26 �0,02m Hallar el valor de la adición, sustracción, producto y cociente: Solución: a) la adición

X + Y = (12,45 + 4,26) �(0,03 + 0,02) X + Y = 16,71 �0,05

b) la diferencia

X - Y = (12,45 - 4,26) �(0,03 + 0,02) X - Y = 8,19 �0,05

c) el producto

�0,03 0,02 � XY = 12,45 �4,26 �12,45 �4,26 � + � �12,45 4,26 � XY = 53,037 �53,037(0,0024 + 0.0046) XY = 53,037 �0.371

d) el cociente

X 12,45 12,45 �0,03 0,02 � = � + � Y 4,26 4,26 � �12,45 4,26 � X = 2,923 �2,923(0,0024 + 0.0046) Y

-26-

CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS ---  FONO: 630439

ACADEMIA ALFA Ejemplo Ilustrativo 02

X = Y

EXCLUSIVA PARA INGENIERÍAS

2,923 �0,02

Hallar perímetro de un rectángulo de base “X” y altura “Y”: X = (24,38 �0,03) m ; Y = (16,24 �0,02) m Solución: Recuerde que para la suma: A + B = A + B �[ e ( A ) + e ( B ) ] Por propagación de errores: P = 2X + 2Y = 2X + 2Y �2[ e(x) + e(y)] P = 2(24,38) + 2(16,24) �2[ 0,03 + 0,02] Reemplazando en la fórmula: P = 48,76+32,48 �2�0,05 Rpta. P = (81, 24 �0,1) m Ejemplo Ilustrativo 03 Un observador nota que el velocímetro de su automóvil registra V = (120 �0,6) m/s , cuando ha recorrido una determinada distancia y el tiempo que registro por ello es de t = (80 �0,2) s . El error absoluto de la distancia recorrida por el automóvil es: Solución: Recuerde que para el producto:

A +B �‫ױ‬A = �B

�e ( A ) A B� �A

e( B ) � B

� �

Se sabe que: d = Vt Entonces se tendrá que realizar una multiplicación por lo tanto V = (120 �0,6) m/s t = (80 �0,2) s e(V) � d + �‫ױ‬ V t= V t � �V

e(t) � t � �

Reemplazando en la fórmula:

�0,6 0,2 � d = 120 �80 �120 �80 � + 120 80 � � �

d = 9600 �9600 �7,5 �10-3 Rpta. d = (9600 �72) m Otras Definiciones de Errores Error Absoluto ( ea ) : El error absoluto de una magnitud física “X” es su alejamiento respecto al valor más probable, es decir: CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC) -27-

PÁG. 21

PROYECTO INGENIERÍA

ESPECIALISTAS EN INGENIERÍAS

e a(X) =

X - X1

Error Relativo ( e r ) : El error relativo de una magnitud física “X” es la relación entre el error absoluto y el valor más probable, es decir:

e r = ea ( X ) X

Error Porcentual ( %e ) : Está dado por el error relativo multiplicado por 100. %e ( X ) =

ea ( X ) �100 X

OJO: Suele llamarse incertidumbre al error cometido en una medición y viene a ser la cantidad que viene después del signo más menosIncertidumbre ( �) X = X �e a

Cifras significativas Es el número de dígitos con que se da un resultado de una medición, también podemos definir como los números correctos y el primer número dudoso de una medida. Así por ejemplo cuando realizamos una medición con una regla graduada en milímetros, está claro que si somos cuidadosos, podemos asegurar nuestro resultado hasta la cifra de los milímetros o en el mejor de los casos, con una fracción de milímetro. De este modo nuestro resultado podría ser L = (25,4 �0,5) mm o bien L = (25,4 �1) mm . En el primer caso decimos que nuestra medición tiene tres cifras significativas y en el segundo caso sólo dos. Redondeo de cifras Las reglas de redondeo se aplican al decimal situado en la siguiente posición al número de decimales que se quiere transformar, es decir, si tenemos un número de 7 decimales y queremos redondear a 3, se aplicará las reglas de redondeo al cuarto decimal.

 Dígito menor que 5: Si el siguiente decimal es menor que 5, el anterior no se modifica.

Ejemplo: 12,6523443. Redondeando a 3 decimales deberemos tener en cuenta el cuarto decimal: 12,6523443 = 12,652.

 Dígito mayor que 5: Si el siguiente decimal es mayor que 5, el anterior se incrementa en una unidad. Ejemplo: 12,6527443. Redondeando a 3 decimales deberemos tener en cuenta el cuarto decimal: 12,6527443 = 12,653.

 Dígito igual a 5. Si el siguiente decimal es igual a 5, se deberá examinar otro decimal posterior para realizar el redondeo.

-28-

CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS ---  FONO: 630439

ACADEMIA ALFA

EXCLUSIVA PARA INGENIERÍAS

Ejemplo 1: 12,6525443. Redondeando a 3 decimales el cuarto decimal: 12,6525443. Como es un 5 hay 12,6525443. Al ser menor que 5 se aplica la regla 1. Ejemplo 2: 12,6525743. Redondeando a 3 decimales el cuarto decimal: 12,6525743. Como es un 5 hay 12,6525743. Al ser mayor que 5 se aplica la regla 2.

deberemos tener en cuenta que examinar el siguiente: deberemos tener en cuenta que examinar el siguiente:

Ejemplo 3: 12,6525543. En este caso al ser el siguiente decimal también igual a 5, se debe aplicar nuevamente la regla 3 sobre el siguiente decimal. Notación científica Es la forma de expresar un número mediante la cual se aprecia, de un golpe de vista, el orden de magnitud del mismo. Un número escrito en notación científica consta de un decimal con una única cifra distinta de cero en su parte entera, multiplicado por una potencia entera de 10: a,bcdef...... �10n con a �0 , por lo que el número a,bcdef...... es mayor o igual a 1 y menor que 10. El exponente “n” es un número entero, positivo o negativo. La notación científica es muy útil para manejar números muy grandes o muy pequeños. Por ejemplo: 3,458 �1013 es un número grande, que puesto en la forma habitual debería escribirse como: 34 580 000 000 000. Para interpretarlo habría que contar sus cifras, tarea que se da hecha en la expresión científica. -20 = 0,000000000000000000055491 es un número muy pequeño. El número 5,5491�10 Es clara la ventaja que supone la notación científica sobre la habitual para interpretar su valor.

Sistema Legal de Unidades de Medida del Perú (SLUMP) – Ley Nº 23560 EL SLUMP establece en el Perú el Sistema de Unidades (SI), tal como es aceptado en casi todos los países del mundo. El SLUMP comprende:  Unidades de medida, sus definiciones y símbolos.  Prefijos, sus equivalencias y símbolos.  Reglas de uso y escritura de unidades, múltiplos, submúltiplos y símbolos.  Reglas de presentación de valores numéricos, de fechas y del tiempo.  Reglas de uso de unidades, prefijos y valores numéricos en cálculos, conversión y redondeo. El Sistema Internacional de unidades (S.I.) Establece siete unidades básicas con sus múltiplos y submúltiplos (Sistema Internacional ampliado) correspondientes a siete magnitudes fundamentales. CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC) -29-

PÁG. 21

PROYECTO INGENIERÍA

ESPECIALISTAS EN INGENIERÍAS

Además, en la XI conferencia Internacional de Pesos y Medidas celebrada en París en 1960, por sugerencia de Alemania, se establece un tercer grupo de unidades complementarias o auxiliares (radián y estereorradián). A las unidades fundamentales le corresponden las Magnitudes fundamentales siguientes: Longitud, Masa, Tiempo, Intensidad de corriente eléctrica, Temperatura absoluta, Intensidad luminosa y Cantidad de materia o sustancia. Múltiplos y submúltiplos de unidades en el S.I. Múltiplos Factor 1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101

Prefijo Yotta Zeta Exa Peta Tera Giga Mega kilo hecto deca

Submúltiplos: Símbolo Y Z E P T G M k h da

Factor 10–1 10–2 10–3 10–6 10–9 10–12 10–15 10–18 10–21 10–24

Prefijo deci centi mili micro nano pico femto atto zepto docto

Símbolo d c m m n p f a z y

Definición de Unidades de Base del Sistema Internacional de Unidades LONGITUD Unidad: metro (m) Un metro se define como la distancia que viaja la luz en el vacío en 1/299 792 458 segundos. Esta norma fue adoptada en 1983 cuando la velocidad de la luz en el vacío fue definida exactamente como 299 792 458 m/s. MASA Unidad: kilogramo (kg) Un kilogramo se define como la masa que tiene un cilindro compuesto de una aleación de platino–iridio que se guarda en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas en Sevres, cerca de París. Actualmente es la única que se define por un objeto patrón. TIEMPO Unidad: segundo (s) Un segundo es el tiempo requerido por 9 192 631 770 ciclos de una transición hiperfina en el cesio 133. Esta definición fue adoptada en 1967.

-30-

CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS ---  FONO: 630439

ACADEMIA ALFA

EXCLUSIVA PARA INGENIERÍAS

INTENSIDAD DE CORRIENTE ELÉCTRICA Unidad: amperio (A) El amperio es la corriente eléctrica constante que, mantenida en dos conductores paralelos de longitud infinita, de sección circular despreciable y ubicados a una distancia de 1 metro en el vacío, produce una fuerza entre ellos igual a 2�10-7 newton por metro de longitud. TEMPERATURA Unidad: kelvin (K) El kelvin se define como la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua. CANTIDAD DE SUSTANCIA Unidad: mol (mol) Un mol es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012 kg de carbono 12. Cuando se usa el mol, las entidades elementales deben ser especificadas y pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones, otras partículas o grupos específicos de tales partículas. INTENSIDAD LUMINOSA Unidad: candela (cd) Una candela es la intensidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente que emite radiación monocromática con frecuencia de 540×1012 Hz de forma que la intensidad de radiación emitida, en la dirección indicada, es de 1/683 W por estereorradián.

Apéndice 1: Nociones Fundamentales de Geometría Analítica Gráfica de Funciones

Función constante

Función identidad

Y

Y y= x y= k

k O

X

45º

O

X

CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC) -31-

PÁG. 21

PROYECTO INGENIERÍA

ESPECIALISTAS EN INGENIERÍAS

Función lineal (Magnitudes directamente proporcionales)

Función cuadrática Y

Y y = mx + b

y = ax

2

16a

m = tanq

9a b

q

X

O

Función exponencial

y= a

(x < 0)

X

Y xy = k

x

y= a

4

Función hiperbólica equilátera (Magnitudes inversamente proporcionales)

Y x

3

O

(x > 0)

(0, 1)

X

O

Apéndice 2: 60º

X

Triángulos Notables

45º

53º 2a

3a

a

5a

30º

37º

a 3

5a

13a

a

4a

74º

82º

25a

7a

a

16º

12a

-32-

a 2

a

Magnitudes Físicas 24a

45º

5a 2 8º 7a

CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS ---  FONO: 630439

ACADEMIA ALFA

EXCLUSIVA PARA INGENIERÍAS

Magnitud: Es todo aquello que sea susceptible de aceptar una comparación con otra de la misma especie. Clasificación de las magnitudes: Se clasifica en dos grupos: 1. Por su origen: a) Magnitudes Fundamentales b) Magnitudes Derivadas c) Magnitudes Auxiliares Magnitudes Fundamentales: Son aquellas que sirven de base para escribir las demás magnitudes, en mecánica tres magnitudes fundamentales son suficientes: Longitud (L), masa (M) y tiempo (T). Las magnitudes fundamentales son: Magnitud Longitud Masa Tiempo Temperatura termodinámica Intensidad de corriente eléctrica Intensidad luminosa Cantidad de sustancia

Nombre metro kilogramo segundo kelvin

Símbolo m kg s K

E. dim L M T q

ampere

A

I

candela mol

cd mol

J N

Magnitudes Derivadas: Son aquellas magnitudes que están expresadas en función de las magnitudes fundamentales. Ejemplos:

Magnitud Frecuencia Fuerza Presión Trabajo, Energía Potencia Carga eléctrica Potencial eléctrico Conductancia eléctrica Actividad radiactiva Carga magnética Flujo magnético Intensidad del flujo

UNIDAD Hertz Newton Pascal Joule Watt Coulomb Voltio Siemens Becquerel Weber Tesla Henry

SÍMBOLO Hz N Pa J W C V S Bq Wb T H

CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC) -33-

PÁG. 21

PROYECTO INGENIERÍA magnético Temperatura Flujo luminoso Iluminancia Capacidad eléctrica Radiación ionizante Dosis de radiación

ESPECIALISTAS EN INGENIERÍAS

grado Celsius lumen lux faradio Gray sievert

ºC Lm Lx F Gy Sv

Magnitudes suplementarias: Realmente no son ni fundamentales ni derivadas, sin embargo se les considera como magnitudes fundamentales. El radián es considerado unidad de medida de ángulos planos y el estereorradián se utiliza para medir ángulos sólidos.

Unidades Suplementarias

UNIDAD radián estereorradián

SÍMBOLO rad sr

2. Por su naturaleza: a) Magnitudes escalares b) Magnitudes vectoriales c) Magnitudes tensoriales Magnitudes Escalares: Son aquellas magnitudes que están perfectamente determinadas con sólo conocer su valor numérico y su respectiva unidad. Ejemplos: Volumen, temperatura, tiempo, etc. Magnitudes Vectoriales: Son aquellas magnitudes que además de conocerse su valor numérico y su unidad, se necesitan su dirección y su sentido para que dicha magnitud quede perfectamente determinada. Ejemplos: Velocidad, aceleración, fuerza, peso, impulso, campo eléctrico, etc.

Análisis Dimensional Es la parte de la Física que estudia la forma cómo se relacionan las magnitudes derivadas con las fundamentales. Finalidades del Análisis Dimensional: 1. Sirve para expresar las magnitudes derivadas en términos de las fundamentales 2. Sirven para comprobar la veracidad de las fórmulas físicas haciendo uso del Principio del Homogeneidad Dimensional. 3. Sirven para deducir fórmulas a partir de datos experimentales

-34-

CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS ---  FONO: 630439

ACADEMIA ALFA

EXCLUSIVA PARA INGENIERÍAS

Ecuaciones Dimensionales: Son expresiones matemáticas que relacionan las magnitudes fundamentales, utilizando para ello las reglas básicas del álgebra, excepto las de suma y resta. Estas ecuaciones se diferencian de las algebraicas porque sólo operan en las magnitudes. Una ecuación dimensional se denota por: [ ] Ejemplo: [ A ] : se lee ecuación dimensional de A. Principio de Homogeneidad Si una expresión es correcta en una fórmula, se debe cumplir que todos sus miembros deben ser dimensionalmente homogéneos. Así: A + B + C - D = E � [ A ] = [ B ] = [ C ] = [ D] = [ E ] Propiedades: 1. En el análisis dimensional se cumplen las leyes del álgebra a excepción de la adición y diferencia. 2. La ecuación dimensional de todo número es la unidad, llamadas también magnitudes adimensionales. 3. En toda ecuación adimensionalmente correcta, los términos de su ecuación deberán de ser iguales (principio de homogeneidad). Ecuaciones algebraicas 4M + 3M = 7M 3L - 3L = 0 -1

-1

+ 5LT = 6LT 1 sen30º = 2 log2 = 0,301030 LT

2

3e + p + lnb

-1

Ecuaciones dimensionales 4M + 3M = M 3L - 3L = L LT

-1

+ 5LT

-1

= LT

-1

[ sen30º ] = 1

[ log2] = 1 � �= 1 3e + p + lnb2 � �

Historia del Sistema Internacional El Sistema Internacional de Unidades (SI) proviene del Sistema Métrico Decimal, este último fue adoptado en la 1ra. Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM) y ratificado en 1875 por 15 naciones. Para ese entonces se organizó la Convención del Metro, a la que asistieron representantes de 8 países, y en la que se nombró un Comité Internacional de Pesas y Medidas (CIPM), con la finalidad de: CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC) -35-

PÁG. 21

PROYECTO INGENIERÍA   

ESPECIALISTAS EN INGENIERÍAS

Estudiar el establecimiento de un conjunto completo de reglas para las unidades de medida. Conocer la opinión de los círculos científicos, técnicos y educativos en todos los países. Brindar recomendaciones para el establecimiento de un sistema práctico de unidades de medida adecuado para ser adoptado por todos los firmantes de la Convención del Metro.

Con el transcurso del tiempo se desarrollaron otros sistemas de unidades como fueron, el Sistema CGS (centímetro–gramo–segundo) o sistema absoluto de unidades, utilizado por los físicos de todo el mundo y el sistema Giorgi conocido como el Sistema MKSA de unidades (metro–kilogramo– segundo–ampere). En el Siglo XIX se desarrollaron las llamadas unidades eléctricas "absolutas": el ohm, el volt y el ampere, impulsadas por el crecimiento constante de la industria electrotécnica, la cual buscaba la unificación internacional de las unidades eléctricas y magnéticas. A mediados del siglo XX, después de diversos intercambios entre los medios científicos y técnicos del mundo, la 10a CGPM adoptó como unidades de base, el metro, el kilogramo, el segundo, el ampere, el kelvin y la candela. Finalmente, en el año 1960 la Resolución 12 de la 11a. CGPM adoptó el nombre de Sistema Internacional de Unidades, cuya abreviatura es SI. Además, se establecieron reglas para los prefijos, unidades derivadas y unidades suplementarias. A partir de entonces, a través de las reuniones del CGPM y CIPM se le han añadido modificaciones de acuerdo con los avances de la ciencia y las necesidades de los usuarios. Las ventajas que ofrece el SI, sobre todos los demás sistemas de unidades, son múltiples. Entre ellas podemos citar las siguientes:  Es universal, porque abarca todos los campos de la ciencia, la técnica, la economía y el comercio.  Es coherente, porque no necesita de coeficientes de conversión y todas sus unidades guardan proporcionalidad entre sí, simplificando la estructura de las unidades de medida y sus cálculos, lo que evita errores en su interpretación.  Al igual que el Sistema Métrico Decimal, utiliza prefijos para la determinación de los múltiplos y submúltiplos de la unidad básica de cada magnitud física; elimina así la multiplicidad de nombres muy diferentes para una misma magnitud física. También permite formar unidades derivadas con mayor facilidad.  Establece una clara delimitación en los conceptos de masa y fuerza (peso).  Integra en uno solo, varios subsistemas de medidas y facilita así el proceso de enseñanza – aprendizaje

Problemas Resueltos 1. El período de un péndulo simple está dado por la siguiente ecuación:

-36-

T = KLagb En donde:

CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS ---  FONO: 630439

ACADEMIA ALFA K L g ayb Hallar el a) 2 d) –1

EXCLUSIVA PARA INGENIERÍAS

: constante numérica : longitud : aceleración de la gravedad : exponentes valor de “ a + b ” b) 3 c) 1 e) 0

Solución: Usando las ecuaciones dimensionales: [ T] = � KLagb � � � T = [ K][ L ]

a

[ g] b

T = ( 1) .L . ( LT a

2. La velocidad de una onda transversal en una cuerda elástica se establece con: x y

V=F m F : Tensión en la cuerda (fuerza) m : Densidad lineal de la cuerda (kg/m) Hallar la fórmula física. 1 F m F a) m b) m c) F mF

Solución: La densidad lineal ( m ) es el cociente entre la masa y la longitud. m m= L [ ] [ m ] = [ m] = L-1M L La velocidad será:

[ V] = [ F]

[ m]

1

V = F 2m

)

e)

y

( L-1M ) y

-

1 2

F m

V=

a+ b -2b

d) F m

x

0 -1 x- y x+ y -2x LM T = L M T Igualando exponentes: 1 -2x = - 1 � x = 2 1 x+ y = 0 � y = 2 La fórmula de la velocidad será:

-2 b

T=L T Dando forma y comparando exponentes: a+ b = 0 0 a+ b - 2b � � � L T=L T �- 2b = 1 1 1 De las ecuaciones: a = 2 y b = - 2 a+ b = 0 Rpta.

x

LT -1 = ( LMT -2 )

Rpta.

3. Hallar la ecuación dimensional de la magnitud “C” en la expresión: � mV 2 � � 2CqE � P = P0 � e - 1� b) q -2

a) Mq d) q -1

c) q -3

e) Lq -1

Solución: Recuerde que la ecuación dimensional de un exponente es uno. [ exponente] = 1 Luego: �mV 2 � � �= 1 �2CqE � 2� � � 14mV 2 43�= [ 2] [ C ] [ q ] [ E ] Energía

La energía tiene la misma ecuación dimensional que el trabajo. M(LT -1)2 = (1)[ C ] q ( L 2MT -2 )

[ C] =

q -1

Rpta.

4. En la ecuación de dimensiones correctas F es fuerza. Hallar las dimensiones de “s”. R: radio. 2

senx V + A F

3

10V ( R + r = xs 3

1 3 3

)

CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC) -37-

PÁG. 21

PROYECTO INGENIERÍA -2

a) LMT L 2MT 2 d) L 2MT -1

2 -2

b) LM T

ESPECIALISTAS EN INGENIERÍAS

c)

Principio de homogeneidad ecuación general: [ A ] [ V ] [ log20] � � A + B2 + C3 � �= 3[ B + D]

e) L 2MT -2

Solución: En la raíz cuadrada se cumple que: � �= [ V ] 2 = [ A ] 3 … (1) � V2 + A3 � En la raíz cúbica se cumple que: � �= [ R ] 3 = [ r ] 3 … (2) � R 3 + r3 �

d) M

1 2[

3 2

3 2

T

b) L T e) L

3 2

M

-2

= [ V]

= LT -1

[ B] =

-

L

3 2

T

3 2

c) L

-

3 2

T

3 2

3 2

Rpta.

6. Si la ecuación es homogénea y contiene volúmenes ( V1, V2 ), masa (M), trabajos ( W1, W2 ) y aceleración (a) encuentre [ y ] .

( V1 - V2 ) M ylogx

2

a) T d) MT 4

Rpta.

3 3 2 2

3 2

B]

4

Solución: En la raíz cuadrada se cumple: � �= [ B ] 2 … (1) � A + B2 + C3 � En la raíz cúbica se cumple: [ B + D] = [ B] … (2)

-38-

[

2 B] 3

-

( W1 - W2 ) a =

5. En la expresión correctamente dimensional, V: velocidad, hallar [ B ] . AV log20 A + B2 + C3 = 3 B+ D

a) L T

[ B] [ B]

1

1 3 � � � R3 �

3 2

… (3)

[ ] 2 [ V ] [ 1] [ B] 2 = B 3[ ] B

3 � V2 + A3 � R 3 + r3 � � � [ 10V ] � � � = [ F] [ x ] [ s] Reemplazando (1) y (2) en la ecuación:

[ senx ] [ V ] 2 [ V ] = [ F] [ x ] [ s] [ V] [ V] [ R] = [ F] [ x ] [ s] [ s] = [ F ] [ R ] [ s] = LMT -2.L [ s] = L 2MT -2

la

Reemplazando (1) y (2) en (3):

La ecuación dimensional de una suma es igual a la ecuación dimensional de cada sumando: � �= [ A ] = [ B ] 2 = [ C ] 3 � A + B2 - C3 �

[ senx ]

en

b) T e) LT 3

c) MT -4

Solución: Por la ley de homogeneidad: [ W1 - W2 ] = [ Trabajo ] = [ W ]

[ V1 - V2 ] = [ Volumen] = [ V ]

La ecuación se reduce a: VM Wa = ylogx [ V] M [ W ] [ a] = [ y ] [ logx ]

( L2MT -2 ) ( LT -2 ) [ y]

=

=

[

L3M y ] ( 1)

3

L M L MT -4 3

CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS ---  FONO: 630439

ACADEMIA ALFA [ y]

= T4

EXCLUSIVA PARA INGENIERÍAS

Rpta.

7. Si en la ecuación, las dimensiones están correctamente expresadas, hallar “a ” . 3

a) 30º d) 120º

A 2 - B 3 = AB cosa tan a b) 150º c) 90º e) 53º

A 2 - B 3 = A 3B 3cosa tan3 a

Por el principio de homogeneidad:

[ A ] 2 = [ B ] 3 = [ tan a ] 3 [ A ] 3 [ B ] 3cosa [ A] = [ B]

3

3 2

�

[ A ] = [ B ] … (1) 3 3 [ B ] = [ tan a ] [ A ] 3 [ B ] 3cosa [ B ] = [ A ] [ B ] cosa

La carga se deduce de: Q � [ Q ] = IT I= … (2) t Reemplazando (2) en (1): 2 -2 [ V ] = L MT

Solución: Elevando al cubo:

2

Solución: La diferencia de potencial es entonces: [ W] W V= � [ V] = [ Q ] … (1) Q

… (2)

Reemplazando (1) en (2): 3 2

[ B ] = [ B ] [ B ] cosa 3 + cos a 2

[ B] = [ B] Igualando exponentes: 3 1 = + cos a 2 1 � a= 120º cosa = 2

� [ V ] = L 2MT -3I - 1 … (3) IT En la Ley de Ohm: V = IR [ V] = [ I] [ R] … (4) Reemplazando (3) en (4): I [ R ] = L 2MT -3I - 1

[ R] =

9. El efecto Joule establece que si por una resistencia eléctrica “R” circula una corriente “I” durante un tiempo “t”, el calor desprendido de la resistencia se puede expresar como energía. Hallar la fórmula que nos permite confirmar dicha afirmación. a) I 2Rt b) IRt c) I 2R 2t I 2R d) t3

Rpta.

8. La ley de Ohm establece que: V = IR Encontrar la ecuación dimensional de la resistencia eléctrica “R” si se sabe que: I : intensidad de corriente V : diferencia de potencial; equivale al trabajo por unidad de carga a) LMT -3I -2 b) L 2MT -3I 2 2 2 c) L M TI d) L3MT -3I -2 e) L 2MT - 3I -2

L2MT -3I -2

I 2R e) t2

Solución: Del enunciado se deduce que el calor tiene la siguiente fórmula: Q = I xR ytz del problema

Recuerde 8: [ R ] = L2MT -3I -2 Aplicando ecuaciones dimensionales:

[ Q ] = [ Energía ] = [ I ] x [ R ] y [ t ] z L 2MT - 2 = I x ( L2MT -3I -2 ) T z y

2

-2 0

L MT I = L 2y = 2 z - 3y = -2 x = 2y

2y

y

z- 3y x- 2y

.M .T I � y=1 � z= 1 � x= 2

CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC) -39-

PÁG. 21

PROYECTO INGENIERÍA

ESPECIALISTAS EN INGENIERÍAS

La fórmula para expresar el efecto Joule es: Q = I 2Rt Rpta. 10. En un proceso termodinámico isotérmico, le trabajo de expansión de un gas ideal se calcula con la fórmula: �V � W = nRT ln � 1 � �V2 � En donde: n : número de moles T : temperatura ln : logaritmo neperiano V1 y V1 : volúmenes Hallar la ecuación dimensional de la constante universal de los gases [ R ] . a) LMT -2q -1N -1 2

-2 -1

2

2 -1 -1

b) L 2MT -2qN -1 d) L 2MT -2q -1N -1

c) L MT q N e) L MT q N

M = masa eléctrica a) M 7L 4T -5I -2 c) M 3L4T -5I -3 e) MLT 8I -2

L 2MT - 2 = N [ R ] q(1)

b) M 4L5T -7I 4 d) MLTI -1

Solución Por el principio de homogeneidad dimensional se tiene que sus términos son iguales A

M O = 2 C C + aL M Igualando el último término se tiene � � C 2 �= LT - 2.L C 2 = aL � � � [ C ] = LT -1 2

=

Por otro lado igualando los 2 anteriores obtendremos [ A ] �

Solución: Aplicando ecuaciones dimensionales: V � [ W ] = [ n] [ R ] [ T ] � ln 2 � � … (1) � V1 � � n : cantidad de sustancia [ n] = N T : Temperatura � [ T ] = q � V2 � ln � �= 1 � V1 � Reemplazando en (1):

, R = resistencia

3

� M3 �� L-1M 3T �C � LT - 1 =

[ A ] = �M

Ahora nos faltara el valor de [ O ] igualando con el termino central y despejando [ O ] M O = 2 � O = MC � [ O ] = M 2L 2T -2 C C Recuerde que la ecuación dimensional de la resistencia eléctrica es L 2MT - 3I -2

[ MARCO ] = M.M 3L-1T.L2MT -3I -2.LT -1.M 2L 2T -2 [ MARCO ] = L4M7T -5I -2 Rpta.

[ R ] = L MT q N Rpta. 11. Hallar la ecuación dimensional de l nombre del tu profesor [ MARCO ] si la siguiente expresión es homogénea A M O + = 2 2 C M C + aL Donde: a = aceleración, L = longitud Problemas Propuestos 2

-2 -1

-1

1. Dadas las siguientes magnitudes: x = (8,75 �0,25) m ; y = (2,25 �0,03) m y

-40-

z = (4,5 �0,04) m . El valor de "x + y + z" es:

CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS ---  FONO: 630439

ACADEMIA ALFA a) (15,75 �0,2) m c) (15,5 �0,32) m e) (15,5 �0,35) m

EXCLUSIVA PARA INGENIERÍAS

b) (16,45 �0,3) m d) (16,5 �0,32) m

2. Al leer un amperímetro de aguja y escala se evaluó visualmente el margen de incertidumbre, la lectura del amperímetro esta entre 3,2 y 3,4 amperios. La incertidumbre porcentual es: a) 4% b) 5% c) 6% d) 3% e) 2,5% 3. Un alumno de la Raimondi al medir la longitud de su carpeta 5 veces obtuvo los siguientes valores: X 1 = 2,05m ; X 2 = 2,03m ; X 3 = 2,04m ; X 4 = 2,06m y X 5 = 2,07m . Hallar el error porcentual. a) 0,42% b) 0,34% c) 0,46% d) 0,50% e) 0,52% 4. Un reloj digital de una lectura de la hora de 09:46. ¿Cuál es la incertidumbre absoluta de la medida? a) 0,25 min b) 0,5 min c) 0,60 min d) 0,05 min e) 1 min 5. Si se puede leer un metro de madera con una incertidumbre absoluta de � 1 mm . ¿Cuál es la distancia más corta que puede medir para que la incertidumbre relativa no exceda el 1%? a) 5 cm b) 10 cm c) 6 cm d) 15 cm e) 20 cm 6. El voltaje de un resistor es de 200 V 2% y la con un error probable de � intensidad de corriente eléctrica es de 5 2% Ampere con un error probable de � calcular: a) La potencia disipada en el resistor b) El error porcentual de la potencia Rpta: ………..

7. Al medir la masa de un cuerpo se obtiene el valor de 490 g si el error cometido en la mediad es del 2%. ¿Cuál es el valor real de la masa del cuerpo? a) 1000 g b) 900 g c) 600 g d) 500 g e) 850 g 8. Dados los valores de los lados de una figura geométrica sólida largo L = (40 �0,3) cm , ancho a = (20 �0,4) cm . el error absoluto del área es: a) 20cm b) 25 cm c) 30 cm d) 22 cm e) 33 cm 9. Al medir la resistencia de un resistor Marquito observa la lectura del voltímetro es de (20 �0,2) V y la lectura del amperímetro es de (10 �0,1) A . la incertidumbre absoluta de la resistencia es: a) 0,04  b) 0,05  c) 0,06  d) 0,4  e) 0,5  10. Marquito desea calcular el error porcentual del trabajo realizado por la fuerza F = (15 �0,5) N si avanzó una distancia de d = (20 �0,4) m : a) 10% b) 12% c) 14% d) 16% e) 18% 11. Si el volumen de un cuerpo es y su masa V = (40 �0,2) cm3 m = (160 �0,4) g . El error porcentual de la densidad del cuerpo es: a) 0,25% b) 0,3% c) 0,6% d) 0,75% e) 0,85% 12. Marquito realiza un experimento sobre la medición de las temperaturas de los ambientes de la academia y registró los siguientes datos: T1 = 15,4º C

CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC) -41-

PÁG. 21

PROYECTO INGENIERÍA

ESPECIALISTAS EN INGENIERÍAS

; T2 = 15,6º C ; T3 = 15,2º C ; T4 = 15,0º C . El error porcentual es: a) 0,84% b) 0,82 % c) 0,80% d) 0,70% e) 0,65% 13. En el yacimiento minero de Tintaya, se hizo el muestreo para poder determinar la densidad que tiene el yacimiento para lo cual se tienen los siguientes datos de la tabla: N º 1 2

V(cm3 ) 5 10

3

15

4

20

5

25

a) 8,30 �0,014 c) 8,289 �0,015 e) 8,350 �0,05

m(g) 41,25 83,00 124,6 5 166,4 8 207,6 2 b) 8,298 �0,014 d) 8,298 �0,08

14. Si el volumen de un cuerpo es V = (40 �0,2) cm3 y su masa (160 �0,4) g , el error porcentual de la densidad del cuerpo es: a) 0,75% b) 0,80% c) 0,70% d) 0,65% e) 0,60% 15. Los valores de los lados de un rectángulo son respectivamente: L = (40 �0,3) cm y A = (20 �0,4) cm . El error absoluto del área es: a) 20cm2 b) 22cm2 c) 24cm2 d) 26cm2

e) 28cm2

16. En la siguiente fórmula física, encontrar las dimensiones de “p” C 2 Tan ( w t ) P= A B logp Donde:

-42-

A = aceleración B = densidad C = velocidad a) L3M b) MLT -2

c)

-1

4

L M d) ML-3

e) LT -4

17. Si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea, determine la ecuación dimensional de “k”. siendo: a = aceleración ; p = tiempo 46sen30º a k= ( 42 - 2) p a) LT -1 d) LT -5

b) LT -4 e) LT -3

c) LT -2

18. En la expresión mostrada, determine el valor de: “ x + y + z ”, siendo: K = número , A = densidad , F = fuerza , B = velocidad , C = área F = K Ax B C z b) 2 e) 5

y

a) 1 d) 4

c) 3

19. Halle las dimensiones de “Y”, sabiendo que el coeficiente de [ X ] es la unidad, siendo: p : Potencia m: masa e: espacio t : tiempo a) L5T -4 d) L4T -4

Y = XPe3Xmt b) L5T -5 e) LT -2

c) L3T -3

20. Si la siguiente expresión es dimensionalmente homogénea, determine la ecuación dimensional de “E” E=

KX2 - Y KY2 -X

a) LT -1 d) T

, siendo: X = velocidad b) L e) LT

c) 1

CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS ---  FONO: 630439

ACADEMIA ALFA 21. D=

Hallar 4

AB - C

2

AC 4 - B 2 correcta. a) ML MLT -1 d) 1

[ D] , es

si

la

EXCLUSIVA PARA INGENIERÍAS

fórmula:

dimensionalmente

b) MT

c)

e) MT -3

22. Si la siguiente expresión es dimensionalmente homogénea, determine la ecuación dimensional de “P”. Siendo: m: masa, V: velocidad 1 3 5 2 P = KX 2 + TgqYZ + mv 2 4 4 a) MLT -1 b) ML 2T -1 c) ML 2T -2 e) MLT

d) M 2LT

viene

I

dada por la expresión: E =

d 2 cosq I: Intensidad luminosa, hallar la ecuación dimensional de: a) J L-1 b) J L-2 c) J L 2 d) J -1L-2 26.

e) J -1L2

La ecuación:

P = k1v2 + 0,2mgv n + k 3 Es dimensionalmente correcta, además P = potencia ; m = masa V = velocidad ; g = aceleración de la gravedad . 2n k .k � Hallar: � � 1 3� a) M 2L 2T -2 b) MLT -2 2 2 4 d) M L T d) M 2L4T -4

e) M 2L 2T -4

23. En la siguiente fórmula física, calcular [ Q ] C H+B donde: B = fuerza ; C = aceleración . a) M b) M -1 c) M -2 d) M 2 e) M 3 P-Q =

24.

( d)

luminosa a cierta distancia

En la ecuación homogénea: sen37º � �BK - CK 2 � � W=� � �D ( EK - F ) �

27. Determine la medida de q para que la expresión mostrada sea dimensionalmente correcta, donde L = longitud , ff= recuencia , g = aceleración de la gravedad . - senq

senq �L � � � p �g � a) 37º d) 45º f=

. b) 53º e) 30º

c) 60º

Hallar [ F ] , si B = altura , C = masa , E = fuerza a) LT b) L 2T -2 c) LT -2 d) L-2T e) LT -1

28. La fuerza magnética “F” sobre una carga móvil “q”, en presencia de un campo magnético “B”, se expresa por la F = qVsenq . ¿Cuál es la ecuación: ecuación de la inducción magnética “B” ? a) ML2T - 2I - 1 b) MLT -2I -1

25. La ecuación de D’Alembert de la ( E ) de una lámpara iluminación

c) MT - 2I -1 e) MLT -2I -2 29. Halle homogénea

d) MT -2I -2

[ K]

en

la

ecuación

CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC) -43-

PÁG. 21

PROYECTO INGENIERÍA

(

C+A

ESPECIALISTAS EN INGENIERÍAS

) K + PS = r ( A + B )

p P logx 2 donde: r = densidad ; P = potencia a) L-5T 3 b) L-3T -5 c) L T - 3 d) L-3T 8 e) L-3/ 2T -5 / 2 p sen

30. Determinar [ E ] si la ecuación es dimensionalmente correcta: además C: potencia. N 2 A+E = + ( P + D) D+ C a) ML 2T -3 c) M 3L4T -5

b) M 2L4T -6 d) MLT -1

e) M 2L-3T 2 31. En la siguiente expresión: 3Rb + 2Fa Tg q = MT 2 Donde: T = tiempo R = radio F = fuerza M = masa Hallar las dimensiones de [ a . b ] b) ML-2T 6

a) ML4T 5

c)

e) MLT -5

A

M U + = M 2 B B 2 + aL donde: a = aceleración ; M = masa ; L = longitud a) M 3LT -1 b) M 6L 2T -2 6 2 1 c) M L T d) M 4L6T -3 e) MLT -4

-44-

c) LMT -2 e) L1/ 2MT -1

d) L-1M -1T 2

34. En el efecto Joule se establece que si por una resistencia eléctrica “R” circula una corriente “I” durante un tiempo “T” el calor desprendido está dado por: Q = I x . R y . T z Hallar: “x+y+z” a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

PQ 3 =

32. Hallar la ecuación dimensional de [ MALU ] . Si la siguiente expresión es homogénea

33.

Donde: m: masa ; v : velocidad . Establecer la fórmula dimensional de “C” en el sistema internacional. a) LM1/ 2T -1 b) L-1/ 2M -1/ 2T

35. Determinar las dimensiones de P y N para que la siguiente expresión sea dimensionalmente correcta R = radio .

2 -2 2

M L T d) ML -3T 4

�C 2 � 3mv 2 - 2A = 4g2Tan � � �A �

2

En la siguiente ecuación física:

( 4m/ s - A ) 1/ 2 N

+

a) L-1/ 2T 2 ; L1/2T 3/2 L

-3/ 2T

R b)

1/2 3/2

;L

T

d) L-3/ 2T ; LT

1/ 2

c) L

( 5m/ s2 - Q 2 )

T ;T

e) L-3/ 2T ; L3/2T 36. En la ecuación adimensionalmente correcta, halle [ B ] : vt2 ( a2 - a1 )

-

2g( p1 - p2 )

ap Sen q 4p 2x a, a1, a2 = aceleraciones

=

� 3kB � w 1- 6 C � � Bt

p1 , p2 = presiones

v = velocidad w = trabajo t = tiempo g : aceleración de la gravedad a) MLT -2 d) MLT

b) L3T -1

c) ML

3 -1

e) T L

CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS ---  FONO: 630439

ACADEMIA ALFA 37.

EXCLUSIVA PARA INGENIERÍAS

Hallar: “x+y+z”, si: 7

( 0,25 ) 10 ergios = x

-1

A . By . C z

Donde se conoce que: A : aceleración ; B : masa ; C : velocidad a) 2 b) –1 c) –2 d) 0 e) 4 38. Hallar las dimensiones de “x” en la ecuación dada, si ésta es correcta dimensionalmente. kx + y + 5 3cm = 2pA Sen ( 2pky ) a) L d) L-1

b) L 2 c) L3 e) absurdo

CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC) -45-

PÁG. 21