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Objetivos  Motivar el estudio de la Física como ciencia fundamental dentro de las ciencias naturales.  Conocer la relación que existe entre la Física y otras ciencias.  Establecer la importancia de la Física para el fortalecimiento de una concepción científica del mundo  Conocer la relación de la Física con la tecnología y su importancia en la producción y progreso social.  Deducir y fijar algunos conceptos básicos para iniciar el estudio de la Física.  Entender cómo se lleva a cabo la investigación científica aplicando el método científico

Las ciencias estudian las leyes del desarrollo del mundo material, pero cada una de ellas abarca un determinado campo de la realidad. El primer campo lo constituye la naturaleza, formada por los objetos inanimados y los organismos vivos cuyas leyes y fenómenos son estudiados por las ciencias naturales como la Física, la Química, la Biología, la Geología, la Astronomía, etc. Estas ciencias son experimentales y están relacionadas con la tecnología y la producción material, contribuyendo tanto al progreso como al desarrollo del hombre. El segundo campo de la realidad lo constituyen los objetos y sistemas de la sociedad humana, formado por las personas con todos sus productos de su actividad laboral; las leyes y fenómenos que en ella se presentan son estudiados por las ciencias sociales, que se caracterizan por no ser experimentales y son históricamente muy importantes para entender a la sociedad en la que nos desenvolvemos. Por último, las ciencias del pensamiento, tratan de explicar cómo la inteligencia le permite al hombre aprender e interpretar la realidad y a la vez plantear alternativas para transformarla; se caracterizan por ser teóricas y no experimentales. Estos tres campos de la realidad están estrechamente ligados entre sí, y en su conjunto constituye la ciencia. Dentro de las ciencias naturales contemporáneas se halla la Física. Si bien es cierto que las ciencias naturales están muy relacionadas, también es cierto que cada ciencia tiene objetivos y características diferentes; por ello es necesario definir el objetivo de la Física, es decir, delimitar el círculo de problemas que actualmente estudia y aclarar en qué se distingue de las otras ciencias naturales. CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC)

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Nuestros conocimientos de la naturaleza han aumentado progresivamente lo que paralelamente ha desarrollado ciertas técnicas de producción así como su continuo perfeccionamiento en bien del desarrollo de la sociedad, allí tenemos los vehículos de transporte, los radares, submarinos, los diferentes artefactos electrodomésticos, los teléfonos celulares, etc. Todos estos van generando a su vez nuevas necesidades, permiten desarrollar nuevas técnicas y a su vez adquirir nuevos conocimientos de la naturaleza, ello finalmente permite la evolución de nuestro pensamiento y criterio científico. La ciencia apareció en forma incipiente (conocimiento precientífico), desde el momento en que el hombre empezó a sistematizar sus conocimientos alcanzados. Inicialmente, esta sistematización estaba compuesta de datos obtenidos a través de los sentidos (sensaciones), llamado “conocimiento empírico”, característico del mundo Antiguo (sociedad esclavista) y de la edad media (sociedad feudal). En esta etapa del conocimiento y de la sociedad germinaron algunas ciencias tales como: La Matemática Las primeras referencias de matemática avanzada y organizada datan del tercer milenio a.n.e., en Babilonia y Egipto. Esta matemática estaba dominada por la aritmética, con cierto interés en medidas y cálculos geométricos relacionados con la agricultura y la ganadería. La Astronomía Se inicia con la descripción del movimiento de los astros y la construcción de mapas estelares y calendarios. La astronomía solucionó los problemas que inquietaron a las primeras civilizaciones (Egipto, Mesopotamia), acerca de la necesidad de establecer con precisión las épocas adecuadas para sembrar, cosechar, realizar las celebraciones, así como para orientarse en los viajes. La Mecánica Actualmente forma parte de la Física. Nace con la construcción de grandes estructuras y canales para el regadío (Egipto, Mesopotamia). Asimismo se hizo necesaria para la navegación y la guerra. El problema del movimiento ya ocupaba a los antiguos filósofos de Grecia. Por ejemplo, el filósofo griego Aristóteles pensaba que una piedra cae porque su posición natural está en el suelo; el Sol la Luna y las estrellas describen circunferencias alrededor de la Tierra, porque los cuerpos celestes se mueven por naturaleza. Arquímedes realizó estudios de hidrostática y descubrió el principio de flotación de los cuerpos, además fue inventor de numerosos ingenios mecánicos. La Biología Aunque el término Biología apareció a principios del siglo XIX, el estudio de los seres vivos es muy anterior. Comienza con la descripción de plantas y animales, y rudimentos de fisiología humana que se remontan a la antigua Grecia. Surgió de manos de naturalistas como Hipócrates, Aristóteles, Galeno y Teofrasto. La Geografía Se inicia la descripción de la forma de la superficie de la Tierra. Fue una importante fuente de información para lo jefes militares y los administradores públicos del imperio grecorromano.

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La Química Desde los primeros tiempos, y más aun luego de descubrir el fuego, los seres humanos observaron la transformación de las sustancias: la carne cocinándose, la madera quemándose, la obtención de los metales a partir de la fundición de minerales, la preparación de tintes para los distintos tipos de tejidos, los alfareros aprendieron a preparar barnices y más tarde a fabricar vidrio. Siguiendo la tradición aristotélica, los artesanos pensaban que los metales de la Tierra tendían a ser cada vez más perfectos y a convertirse gradualmente en oro, esta idea dominaba la mente de los filósofos y los trabajadores del metal, y se escribió un gran número de tratados sobre el arte de la transmutación que empezaba a conocerse como alquimia (precursora de la química actual). Aunque nadie consiguió hacer oro, en la búsqueda de la perfección de los metales se descubrieron muchos procesos químicos.

La Física ¿Qué es la física? La física es la rama de las ciencias naturales que estudia entre otras cosas: el equilibrio, el movimiento, el calor, la electricidad, el magnetismo, la luz, el micro y el macrocosmos; con el propósito de comprenderlos y aplicarlos en beneficio del hombre. En forma general, puede decirse que la física permite comprender, emplear, transformar y pronosticar los fenómenos de la naturaleza Física Clásica y Moderna Se denomina Física Clásica a las pautas y conceptos básicos desarrollados en esta ciencia hasta antes del año 1900, porque este es el año en el que se postulan la Teoría de la Relatividad y la Teoría Cuántica, estas ideas dieron lugar a cambios profundos en los conceptos tradicionales denominándose a esta parte “Física Moderna”. La Física Moderna no invalida de ningún modo a la Física Clásica, sino que demuestra que la Física Clásica tiene límites, por ejemplo en la Mecánica Clásica las leyes conocidas hasta antes del año 1900 no pueden describir los fenómenos cuando las velocidades de las partículas son cercanas a la velocidad de la luz. En conclusión: La Física Moderna es la Física de las altas velocidades, mientras que la Física Clásica es aplicable a las partículas cuyas velocidades son pequeñas en comparación con la velocidad de la luz. Ramas de la Física: Para su mejor estudio de los fenómenos físicos la física se divide en ramas:  Mecánica: Estudia el movimiento  Acústica: Estudia el sonido  Calor: Estudia los fenómenos térmicos CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC)

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 Electricidad: Estudia los fenómenos eléctricos  Magnetismo: Estudia los fenómenos magnéticos  Electromagnetismo: Estudia la interacción entre la electricidad y el magnetismo.  Óptica: Estudia la luz y sus fenómenos.  Física nuclear: Estudia el átomo.  Física moderna: Estudia la teoría de la relatividad y las características ondulatorias de las características subatómicas. ¿De qué se ocupa la Física? La Física estudia los fenómenos mecánicos, acústicos, térmicos, electromagnéticos, luminosos, etc. en resumen a todos aquellos que son considerados fenómenos físicos, los cuales se llevan a cabo en la naturaleza, descubriendo las leyes que los rigen, a fin de utilizarlas en aplicaciones prácticas para que éstas, luego satisfagan las necesidades del hombre y la sociedad. Pues bien, siendo amplio el espectro de los fenómenos físicos, el contenido lo podemos fraccionar y resumir en las siguientes partes: Mecánica Estudia el movimiento mecánico de una partícula, de los cuerpos rígidos y de los fluidos (sobre todo los líquidos), incluye el estudio de las ondas mecánicas, como el sonido, que es una parte de la acústica y el análisis de las condiciones de equilibrio, etc. Termodinámica Estudia el calor y las leyes que gobiernan los procesos de transformación de la energía de una forma a otra. Física Molecular Estudia las propiedades de los cuerpos considerando que están formados por una gran cantidad de moléculas en movimiento e interacción. Mecánica Estadística Explica y predice teóricamente las propiedades macroscópicas y el comportamiento de un sistema de muchos componentes como es el caso de cualquier sustancia, cuando se le analiza a nivel molecular, para ello se basa en las características ya conocidas de la forma cómo interactúan sus componentes microscópicos. Electromagnetismo y Óptica Estudia y describe los fenómenos eléctricos y magnéticos, demostrando que son fenómenos de una misma naturaleza así como también estudia el comportamiento de las ondas electromagnéticas, usadas actualmente en un sinnúmero de aplicaciones como las telecomunicaciones, mientras que la óptica estudia la propagación, el comportamiento y los fenómenos que experimenta la luz.

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Campos de estudio de la Física Actual Dos importantes avances producidos durante el primer tercio del siglo XX, la Teoría Cuántica y la Teoría de la Relatividad, explicaron estos hallazgos, llevaron a nuevos descubrimientos y cambiaron el modo de comprender la Física, así como también de la realidad; obligaron a replantear muchas de las concepciones dando lugar al surgimiento de nuevas ramas, agrupadas usualmente bajo el nombre genérico de Física Moderna. Estas ramas son: 

Mecánica Cuántica Estudia el comportamiento de sistemas extremadamente pequeños (moléculas, átomos, núcleos, etc.) y establece las propiedades que caracterizan el comportamiento del micromundo.



Física Atómica Estudia la estructura y las propiedades del átomo, las características de los electrones y otras partículas elementales de que se compone el átomo. Asimismo establece la disposición de los estados de energía del átomo y los procesos de transición electrónica implicados en la radiación de la luz y de los rayos X.



Física Nuclear Analiza las propiedades y estructura del núcleo atómico. Nos permite comprender los fenómenos de fisión y fusión nuclear, así como también la radiactividad natural y artificial. Asimismo el desarrollo de la Física nuclear hace que hoy en día tenga múltiples aplicaciones, más allá del uso bélico, como por ejemplo en medicina, ingeniería, agricultura, etc.



Física de Partículas Se dedica a la investigación de las propiedades, comportamiento y estructura de las partículas a nivel subatómico, especialmente mediante el estudio de las colisiones o desintegraciones acompañadas de una liberación de una gran cantidad de energía. Para ello se hace uso de los llamados aceleradores de partículas, cámaras de niebla que no sólo han permitido conocer más de las partículas ya conocidas sino también mediante él se han descubierto nuevas partículas.



Física del estado sólido Estudia las propiedades físicas de los materiales sólidos; trata usualmente de las propiedades de los materiales cristalinos, pero algunas veces se extiende para que incluya las propiedades de los polímeros. La física del estado sólido ha permitido la mejora de las propiedades de los materiales ya conocidos y el descubrimiento de nuevos materiales que han sido la base para el vertiginoso desarrollo de la tecnología actual. Esto permitió el descubrimiento de los denominados materiales semiconductores como son: el silicio, germanio, etc. que dieron el impulso en la construcción de transistores, diodos, chips, microchips, etc. los cuales son usados en las computadoras, celulares, etc.



Criogenia Estudia el comportamiento de la materia a temperaturas extremadamente bajas, e incluso actualmente se investiga la posibilidad de conservar seres vivos mediante esta técnica para luego revivirlos en un futuro, al cual no podrían llegar de forma natural (aunque esto presenta ciertas limitaciones).

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Física del Plasma Estudia el comportamiento de los gases altamente ionizados (con carga eléctrica), tener en cuenta que como plasma, es como más abunda la sustancia en el universo (sol, estrellas, etc.). Los campos de actividad de la física actual, se puede ampliar aun más, por ejemplo podemos mencionar a la astrofísica, la relatividad, la óptica no lineal, etc. Como vemos los campos de estudio son diversos y dentro de ellos mismos el contenido es cada vez más amplio. Esto es consecuencia de nuestro acelerado desarrollo y cambiante conocimiento sobre la naturaleza.

IMPORTANCIA DE LA FÍSICA Y SU RELACIÓN CON OTRAS CIENCIAS Los conocimientos adquiridos en el campo de la Física son tan amplios que los físicos llegan a entrar en contacto con temas tan disímiles como: los organismos vivos o partes de ellos y con la estructura del universo. En este siglo ya se avizora una ciencia Física en contacto con problemas provenientes de la Química, la Biología, la Astronomía, las ciencias de la salud, etc. por ello la importancia de la Física se comprende con respecto a su relación con otras ciencias y su aporte a la actividad práctica del hombre. Su desarrollo continuo le proporciona su base conceptual y su estructura teórica y experimental; la Física está estrechamente relacionada con las demás ciencias naturales, y en cierto modo las engloba a todas. Tal como veremos en una breve sinopsis: Con la Química La química se ocupa dentro de muchos temas, de la interacción de los átomos para formar moléculas; está muy relacionada con la Física y ambas se han desarrollado y correspondido mutuamente; por ejemplo, son de interés común para estas dos ciencias la estructura atómica y molecular; la termodinámica y las propiedades de los gases, líquidos y sólidos. Actualmente la fisicoquímica abarca todas estas relaciones estudiando las propiedades químicas de los átomos y moléculas en función de su estructura; estudia el enlace químico, la estructura de los cristales, de los metales, etc. Con la Biología y la Medicina La Biología Molecular, que comprende la biofísica y la bioquímica, ha constituido un gran aporte a la biología moderna. La biofísica estudia los fenómenos físicos que tienen lugar en los seres vivos. Los sistemas vivos están constituidos por partículas fundamentales que siguen el mismo tipo de leyes que las partículas más sencillas estudiadas tradicionalmente por los físicos. Por ello, cada vez más, el estudiar la estructura de las moléculas en los seres vivos requiere de técnicas de análisis físico como la difracción con rayos X; donde a partir de los datos obtenidos se formuló el modelo del ADN que es el material que contiene la información genética. El estudio de las enzimas, los ácidos nucleicos y en general el estudio físico de las macromoléculas de realizan mejor con las leyes y las técnicas de la Física actual. A nivel celular, con la ayuda de la Física se estudia las membranas, los mecanismos de obtención de energía, intercambios energéticos, mecanismos de autorregulación, etc. y a nivel de los organismos pluricelulares, estudia la transformación de la energía a través de la actividad muscular y la transmisión de información en forma de impulsos en las células nerviosas mediante una acertada combinación de la electroquímica, la electrónica moderna y los modelos matemáticos.

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Por otro lado, también se aplica la Física nuclear en los sistemas biológicos, incluyendo la investigación de los efectos de la radiación sobre la materia viva. Entre los diversos instrumentos utilizados en las investigaciones biológicas cabe citar el uso del microscopio y también electrónico, centrifugadora y ultracentrifugadora, la radiografía con rayos X y los isótopos radiactivos. Con la Geología Gran parte de la Geología moderna es en esencia un estudio de la Física de la Tierra y se conoce como Geofísica; en ella se aplican los principios físicos al estudio de la Tierra. Los geofísicos examinan los fenómenos naturales y sus relaciones con el interior terrestre; entre ellos se encuentran el campo magnético terrestre, los flujos de calor, la vulcanología, la propagación de ondas sísmicas y la fuerza de la gravedad. El campo de la Geofísica, tomada en un sentido amplio, estudia también los fenómenos extraterrestres que influyen sobre la Tierra como las manifestaciones de la radiación cósmica y del viento solar. Con la Astronomía La astronomía es la ciencia que trata de las estrellas y del espacio exterior. Debido a los adelantos de la Física moderna, la Astrofísica es actualmente la parte más importante de la Astronomía, ya que busca la comprensión del nacimiento, evolución y destino final de los objetos y sistemas cósmicos, basándose en las leyes físicas que los rigen. En cada objeto o sistema cósmico estudiado, los astrofísicos miden las radiaciones electromagnéticas emitidas y las variaciones de éstas a través del tiempo. Las medidas se utilizan para valorar la distribución y condiciones de la energía de los átomos, así como las clases de átomos que componen el objeto. La temperatura y presión del objeto se pueden evaluar utilizando las leyes de la radiación térmica. Con la Matemática El desarrollo de la Matemática y la Física están muy vinculados entre sí. Sin conocer las matemáticas hay limitaciones para profundizar el estudio de la Física, al menos porque casi todas las leyes físicas se expresan por medio de ecuaciones. Con ayuda de los medios matemáticos pueden comprenderse mejor las leyes que se descubren en los fenómenos físicos. Galileo Galilei, señaló con acierto la importancia de la Matemática en el estudio de la Física. La Matemática es una herramienta fundamental de la Física. Otras ciencias también la utilizan en menor grado. Sin embargo la Física destaca notoriamente, pues un nuevo avance en la Física implica la aparición de nuevos problemas matemáticos, que en el mejor de los casos origina nuevas teorías matemáticas. Por ejemplo, la descripción de algunos movimientos mecánicos iniciado por Galileo fue mejor estudiada aplicando la geometría analítica creada por René Descartes, sin embargo quedaba el problema de crear una matemática que permitiera describir en forma general cualquier tipo de movimiento mecánico, este problema fue resuelto por Isaac Newton y Leibniz al sistematizar cada uno por su parte lo mejor de su entorno y época en el Cálculo diferencial e Integral. Así, hoy en día apreciamos que las matemáticas más abstractas encuentran aplicación en la Física como lo muestran las teorías modernas de la relatividad y la mecánica cuántica.

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LA MATERIA Es la realidad primaria de la que están hechas las cosas. Realidad espacial y perceptible por los sentidos, que con la energía, constituye el mundo físico. Materia, es pues, todo lo que ocupa un lugar en el Universo. Por tanto, la principal característica de la materia es que tiene volumen. La famosa ecuación de Albert Einstein relaciona la materia y la energía, de tal modo que podríamos decir en sus propias palabras que Materia es Energía superconcentrada y que Energía es Materia superdiluida. Y puede transformarse de energía a materia y viceversa conservando la energía total que es indestructible. Estructura de la materia La materia es todo lo que existe en el universo y está compuesto por partículas elementales. La materia se organiza jerárquicamente en varios niveles. El nivel más complejo es la agrupación en moléculas y éstas a su vez son agrupaciones de átomos. Los constituyentes de los átomos, que sería el siguiente nivel son:  Protones: partículas cargadas de electricidad positiva.  Electrones: partículas cargadas de electricidad negativa.  Neutrones: partículas sin carga eléctrica. A partir de aquí hay todo un conjunto de partículas subatómicas que acaban finalmente en los quarks o constituyentes últimos de la materia. Partículas subatómicas El término partícula engloba desde los constituyentes elementales de los átomos, es decir, electrones, protones y neutrones, hasta elementos que sólo pueden ser encontrados en los rayos cósmicos, o los grandes aceleradores de partículas, como los piones, los muones y otras. También entrarían dentro de esta categoría los neutrinos, entidades que comenzaron su existencia como artificios matemáticos, y ya han sido detectados y forman parte de todas las teorías físicas de la composición de la materia, de la cosmología, astrofísica y otras disciplinas. Los neutrinos pueden presentar diferentes variedades o sabores (así llamadas). Las entidades que no entran en la categoría de partículas, ya que no pueden encontrarse libres en la naturaleza, son los quarks, que se cree son el elemento más pequeño constituyente de la naturaleza. La Física de Partículas o Física de Altas Energías es la parte de la Física que estudia los componentes elementales de la materia y las interacciones entre ellos. Las partículas fundamentales se subdividen en bosones (partículas de espín entero como por ejemplo 0, 1, 2...) y fermiones (partículas de espín semientero como por ejemplo 1/2 ó 3/2). Las fuerzas fundamentales de la naturaleza son transmitidas por bosones. Se consideran 4 tipos de fuerzas o interacciones fundamentales:

 Electromagnética: Transmitida por fotones la sufren todas las partículas con carga eléctrica. -16-

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 Nuclear débil: Transmitida por los bosones vectoriales W  y Z 0 es la responsable, por ejemplo, de la desintegración b.

 Nuclear fuerte: Transmitida por los gluones es la que hace que los quarks se unan para formar mesones y bariones (nucleones). Solo la sufren los hadrones.

 Gravitación: Transmitida por el gravitón (partícula no descubierta aún). Al nivel de partículas fundamentales esta fuerza es de escasa importancia y difícil de incluir en las teorías.

Algunas teorías fundamentales predicen la existencia de otros bosones más pesados como el bosón de Higgs (a veces varios) que dotaría de masa a las partículas fundamentales. Los componentes básicos de la materia son fermiones, incluyendo los bien conocidos protón, neutrón, y electrón. De éstos, solamente el electrón es realmente elemental. Los otros dos son agregados de partículas más pequeñas (quarks) unidos por la interacción fuerte. Los fermiones elementales existen en cuatro variedades básicas, cada una de las cuales se clasifica en tres generaciones con diversas masas: Tipo de fermión

Leptón

Quark

Símbolo

Carga Electromag.

Carga débil*

Carga fuerte (color)

Electrón

e

–1

–1/2

0

0,511 MeV/c

2

Muón

m

–1

–1/2

0

105,6 MeV/c

2

Tauón

–1

–1/2

0

1,784 GeV/c

2

Neutrino electrón

t ne

0

+1/2

0

< 50 eV/c

Neutrino muón

nm

0

+1/2

0

< 0,5 MeV/c

Neutrino tauón

nt

0

+1/2

0

< 70 MeV/c

Up

u

+2/3

+1/2

R/G/B

~5 MeV/c

charm (encanto)

c

+2/3

+1/2

R/G/B

~1.5 GeV/c

Top

t

+2/3

+1/2

R/G/B

>30 GeV/c

2

down

d

–1/3

–1/2

R/G/B

~10 MeV/c

2

strange (extraño)

s

–1/3

–1/2

R/G/B

~100 MeV/c

bottom

b

–1/3

–1/2

R/G/B

~4,7 GeV/c

Nombre

Masa

2 2

2

2 2

2

2

* Las partículas de la tabla solo tienen carga débil si son levógiras o, para las antipartículas, si son dextrógiras. Las partículas se agrupan en generaciones. Existen tres generaciones. La primera está compuesta por el electrón, su neutrino y los quarks up y down. La materia ordinaria está compuesta por CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC)

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partículas de esta primera generación. Las partículas de otras generaciones se desintegran en partículas de las generaciones inferiores. Los leptones existen libres. Sin embargo los quarks solo existen en grupos sin color debido a que los gluones poseen carga de color. Estos grupos están formados por dos (mesones) o tres (bariones) quarks. El protón y el neutrón son algunos de los bariones existentes. El pión es uno de los mesones más importantes. La interacción nuclear fuerte Es una fuerza de corto alcance (del orden de 1 fm), despreciable para distancias mayores a

10 15 m . Es la fuerza que mantiene unidos a los nucleones (partículas nucleares, protón y neutrón) a pesar de la repulsión electromagnética entre partículas cargadas. Algunas partículas, como por ejemplo los quarks y gluones, a parte de tener carga electromagnética, tienen una carga denominada carga de color. La fuerza entre partículas con carga de color es muy fuerte, más fuerte que la electromagnética (por eso llamada fuerza nuclear fuerte). Esto es lo que hace que en los núcleos de un átomo, los protones no se repelan los unos a los otros aún teniendo la misma carga (positiva). Los protones no tienen carga de color, sino que son los quarks de los que están formados (up y down) los que la tienen (y la carga de color entre los quarks de un protón y de otro es lo que los hace estar juntos), al igual que los gluones, que son las partículas portadoras de la fuerza nuclear fuerte que mantienen unidos a los quarks para formar otras partículas, en este caso a los protones. Los gluones también tienen carga de color.

El Universo El Universo es el continuo espacio–tiempo en que nos encontramos, junto con toda la materia y energía existentes en él. Su estudio, en las mayores escalas, es el objeto de la cosmología, disciplina basada en la astronomía y la física.  Edad: El Universo tiene 13 700 millones de años (margen de error cercano al 1%).  Forma Geométrica: Plana (no significa un universo bidimensional, sino plano en el sentido de no–curvo, de geometría euclídea).  Destino final: La evidencia apoya la Teoría de la expansión permanente del Universo. Hay muchas teorías sobre su origen y destino final, una de las más importantes es la teoría del Big Bang. La Teoría del Big Bang En cosmología, la teoría del Big Bang, o de la gran explosión, es la teoría científica que describe el desarrollo del universo temprano y su forma. La idea central es que la teoría de la relatividad general puede ser combinada con las observaciones a gran escala de galaxias y cambios de posición entre ellas, permitiendo extrapolar las condiciones del universo antes o después en el tiempo. Una consecuencia natural del Big Bang es que en el pasado el universo tenía una temperatura más alta y

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una mayor densidad. El término Big Bang se utiliza tanto para referirse específicamente al momento en el tiempo en el que se inició la expansión observable del universo (Ley de Hubble), como en un sentido más general para referirse al paradigma cosmológico que explica el origen y la evolución del mismo. Curiosamente, fue uno de los detractores de esta teoría, el astrofísico inglés Fred Hoyle quien, en 1950 y para mofarse, caricaturizó esta explicación con la expresión big bang ("gran explosión", "gran boom" en el inicio del universo), nombre con el que hoy se conoce dicha teoría. Una consecuencia del Big Bang es que las condiciones del universo actual son diferentes de sus condiciones en el pasado o en el futuro. A partir de este modelo abstracto, George Gamow en 1948 pudo predecir que debería haber evidencia de un Big Bang en un fenómeno más tarde bautizado como radiación de fondo de microondas cósmicas (CMB). El CMB fue descubierto en la década de los 60 y se utiliza como confirmación de la teoría del Big Bang sobre su más importante alternativa que es la Teoría del Estado Estacionario. Para llegar a esta explicación, diversos científicos, con sus estudios, han ido construyendo el camino que lleva a la génesis del modelo del Big Bang. Los trabajos de Alexander Friedman, del año 1922, y de Georges Lemaître, de 1927, utilizaron la teoría de la relatividad de Albert Einstein para demostrar que el universo estaba en movimiento constante. Poco después, en 1929, el astrónomo estadounidense Edwin Hubble (1889–1953), descubrió galaxias más allá de la Vía Láctea que se alejaban de nosotros, como si el universo se dilatara constantemente. En 1948, el físico ruso nacionalizado estadounidense, George Gamow (1904–1968), planteó que el universo se creó a partir de una gran explosión (Big Bang). Recientemente, ingenios espaciales puestos en órbita (COBE) han conseguido "oír" el eco de esta gigantesca explosión primigenia. El universo puede expandirse infinitamente o parar lentamente esa expansión e invertirse en una contracción. El fin de esa contracción se conoce con un término contrario al Big Bang: el Big Crunch o 'Gran Colapso'. Según la teoría del Big Bang, el universo se originó en una singularidad de densidad infinita y físicamente paradójica. El espacio se ha expandido desde entonces por lo que los objetos astrofísicos se han alejado unos respecto a otros. Basándose en medidas de la expansión del universo utilizando observaciones de las supernovas tipo 1a, en medidas de la variación de temperatura en diferentes escalas en la radiación de fondo de microondas y en medidas de la función de correlación de las galaxias, la edad del universo es de 13,7  0, 2 millones de años. Es remarcable el hecho de que tres medidas independientes sean consistentes, por lo que se consideran como una fuerte evidencia del llamado modelo de concordancia que describe la naturaleza detallada del universo. CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC)

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El universo en sus primeros momentos estaba lleno homogénea e isotrópicamente con una energía muy densa y tenía una temperatura y presión concomitante. Se expandió y se enfrió, experimentando unos cambios de fase análogos a la condensación de vapor o la congelación de agua, pero relacionados con las partículas elementales. Datos importantes sobre el universo Estrella Sol Sirio A Canopus Alfa Centauro Arturo Vega Cabra (Capella) Rigel Proción Achernar

Constelación Can Mayor Quilla Centauro Boyero Lira Cochero Orión Can Menor Eridano

Distancia (A. Luz) 0,000015 8,6 1 200 4,3 37 27 45 540 – 900 11,3 85

Tipo de estrella Amarilla, secuencia principal Blanca, secuencia principal Supergigante blanca Amarilla secuencia principal Gigante roja Blanca, secuencia principal Gigante amarilla Supergigante blanca Amarilla, secuencia principal Blanca, secuencia principal

¿Qué es la antimateria? Como la misma palabra dice, es lo opuesto de la materia, es decir: una materia cuyas partículas elementales tienen carga eléctrica opuesta a la normal. Así, en un átomo de antimateria encontramos en lugar de protones (positivos), antiprotones (negativos) y, en lugar de electrones (negativos), antielectrones o positrones (positivos). Cuando una partícula y una anti–partícula entran en contacto, se produce el fenómeno de la aniquilación o sea de la transformación de la materia en energía. La antimateria, prevista teóricamente por los físicos de los años 30, ha sido producida en laboratorios desde mediados los años 50, gracias a los potentes aceleradores de partículas. Según una teoría cosmológica, en el Universo existen cantidades iguales de materia y de antimateria confinada, obviamente, en regiones distantes entre sí. Sin embargo, en los puntos de encuentro, se producirían grandes fenómenos de aniquilación. Los rayos Gamma, que se observar como radiación de fondo del Universo, son interpretados por algunos como el producto secundario de esta aniquilación. Según otra teoría, en cambio, materia y antimateria existían por partes iguales en él origen del Universo pero con un leve excedente de la primera sobre la segunda. Por consiguiente, la antimateria habría sido totalmente destruida por la aniquilación y el Universo actual estaría constituido por el residuo de materia superviviente. En el estado actual de los conocimientos físicos resulta imposible determinar, a través de observaciones astronómicas a distancia, si una lejana galaxia está hecha de materia o de antimateria, debido a que ambas producen emisiones electromagnéticas idénticas.

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Objetivos       

Reconocer, diferenciar e interrelacionar las diferentes clases de magnitudes físicas. Definir y diferenciar una magnitud física escalar y vectorial Escribir las unidades de las magnitudes fundamentales en el Sistema Internacional (SI). Reconocer las reglas básicas del Análisis Dimensional y sus principales aplicaciones. Comprobar si una fórmula física es dimensionalmente correcta. Analizar los distintos tipos de errores cometidos en las mediciones Conocer las relaciones que permiten manipular datos estadísticos para el cálculo de errores

Introducción Cualquier número o conjunto de números que se utilizan para describir cuantitativamente un fenómeno físico recibe el nombre de cantidad física. Para definir una cantidad física debemos especificar un procedimiento de medición de esa cantidad, o bien una manera de calcular a partir de otras cantidades mesurables. La definición de una cantidad, expresada en función del procedimiento utilizado para medirla, se denomina definición operacional. Algunas cantidades solo pueden precisarse mediante definiciones operacionales. En mecánica se emplean como cantidades fundamentales la masa, la longitud y el tiempo, en otras áreas de la física se emplean otras cantidades fundamentales como la temperatura, la carga eléctrica y la intensidad luminosa. Magnitud: Es todo aquello susceptible a ser medido, que se puede representar por un número y puede ser estudiado en las ciencias experimentales. Cuando una magnitud se puede medir a través de un instrumento de medida, se dice que dicha magnitud es una magnitud física. Ejemplos de magnitudes: velocidad, fuerza, temperatura, energía física, etc. CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC)

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Cantidad: Se define así a una porción de una magnitud, es el número que resulta de una medición o una operación. Unidad: Es la cantidad elegida para medir por comparación todas las de su especie. Las leyes de la Física y la Química expresan relaciones entre magnitudes, como, por ejemplo, longitud, tiempo, fuerza, temperatura o cantidad de sustancia, y la medida de una magnitud como éstas exige compararla con cierto valor unidad de la misma. Las unidades de todas las magnitudes físicas y químicas se pueden expresar en función de estas siete unidades: metro, kilogramo, segundo, kelvin, amperio, candela y mol, unidades fundamentales 2 del Sistema Internacional de unidades (SI). Así, la unidad de aceleración m/s se expresa en función de las de longitud (m) y tiempo (s). Algunas combinaciones de unidades reciben nombres

especiales, como la unidad de trabajo kg m2/s 2 , que se denomina Joule (J), o la unidad de fuerza

kg m/s 2 , denominada newton (N).

Errores en las mediciones ¿Que es la medición? Es el resultado de calcular, es decir, de comparar la cantidad de magnitud que queremos medir con una unidad patrón de esa magnitud. Este resultado se expresará mediante un número seguido de la unidad que hemos utilizado: 4 m (longitud), 20 kg (masa), 5 s (tiempo). Los valores obtenidos en las observaciones experimentales inevitablemente contienen errores debido a diversas causas, concretamente cuando se trata de mediciones con instrumentos que contienen escalas. Error

 (x)  :

Toda medición realizada siempre está acompañada por un margen de error o

incertidumbre. Se denomina error a la incertidumbre de una medida, que se manifiesta durante una experiencia. También se define como fluctuación de la medida realizada con relación al valor verdadero. (x)  Vreal  Vmed

Vreal : Valor real Vmed : Valor medido El valor verdadero o real se encuentra dentro de los intervalos indicados: x  (x)  x  x  (x) Límite inferior: x  (x) y Límite superior: x  (x)

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Exactitud Es la aproximación al valor verdadero o es el grado de conformidad que se da con un patrón de medida. Precisión Es el grado de refinamiento para ejecutar una operación o para dar un resultado. Entre otras palabras la precisión nos define la incertidumbre de una magnitud física. Causas que originan un error a) b) c) d)

Error en la lectura Error debido a la mala calibración de instrumentos de medida Error debido al mal uso de instrumentos de medida Error debido a las influencias de agentes externos

Clases de errores I.

Errores de escala en un instrumento (  esc. inst. ) Está referida al poder resolutivo de la escala del aparato de medida, se caracteriza por el valor más pequeño de la escala de medida del aparato, esto para instrumentos digitales. Cuando el instrumento tiene una escala de medida o cuando se trata de instrumentos analógicos, es error está dado por:

 esc. inst. 

1 (mínima división de la esc. del instrumento de medida) 2

II. Errores sistemáticos (  sist. ) Son aquellos que afectan de igual modo cada resultado de la medición dando lugar a una desviación constante, las fuentes más comunes son: a) Errores instrumentales originados por defectos o fallas en la construcción de los instrumentos de medida. b) Errores vinculados con el estado del medio ambiente en el que se realizan los experimentos. c) Errores debido a las particularidades del experimentador (errores subjetivos o personales). III. Errores accidentales ( acc. ) Llamadas también casuales son aquellas vinculadas a pequeñas variaciones imprescindibles en cada medida, pero pueden ser tratadas en conjunto por las leyes de probabilidad, es decir como variable aleatoria. Si se conoce la fuente de los errores de escala y sistemático, en principio se pueden considerar su influencia sobre la magnitud que se mide y en una serie de casos, se puede eliminar total o parcialmente anulando la fuente que provoca o introduciendo las correcciones apropiadas. CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC)

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CORRELACIÓN DE ERRORES En las mediciones realizadas el poder resolutivo, del aparato de medida y los errores sistemáticos actúan como magnitudes independientes del número de mediciones, el error accidental puede hacerse tan pequeño como quisiera, esta correlación entre los errores podemos observar en el siguiente gráfico:

  (acc.) 

 acc. 2   esc. inst. 2   sist. 2

 (sist.) (esc. inst.) n CÁLCULO DE ERRORES A) PARA MEDIDAS DIRECTAS: Medidas directas Son aquellas medidas que sólo necesitan de una sola observación, dentro de ellas se tiene: longitud, masa, temperatura, tiempo, etc. y se tienen los siguientes casos: I.

Primer caso Cuando realizamos una sola medición de una cierta magnitud física “X” el valor verdadero estará expresado por:

X  X  esc. inst. Donde:

 esc. inst. 

1 (mínima división de la esc. del instrumento de medida) 2

II. Segundo caso Cuando realizamos más de una medición y menores que 30 recurrimos al procedimiento estadístico para hallar el valor verdadero de cierta magnitud física. Pasos a seguir para calcular el verdadero valor de una magnitud Supongamos que tenemos: X1, X 2, X 3, ... X n mediciones donde n  30 , para determinar el valor verdadero se siguen los siguientes pasos:

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Se determina la media aritmética (Valor más probable): n

X b)

X1  X 2  X 3  ...  X n  n

 Xi

i 1

n

Se hallan las desviaciones:

i  X  X i c)

Suma de los cuadrados de las desviaciones: n

 i

2

i 1

d)

 1 2   2 2   3 2  ...   n 2

Cálculo del error estándar: n

x 

 i

2

i 1

n1

e)

Cálculo del error probable:  ep  x n

f)

Valor verdadero:

X  X  ep

B) PARA MEDIDAS INDIRECTAS: Medidas indirectas Son aquellas medidas definidas en base a las medidas directas. Dentro de ellas tenemos: peso, área, volumen, trabajo, impulso, etc. Para su determinación se requiere del empleo de una fórmula y además de la ley de propagación de errores. Propagación de errores Es la difusión que experimentan los errores de un conjunto de datos a través de un proceso de cálculo. Se manifiestan en mediciones indirectas (para lo cual se utilizan modelos matemáticos), como por ejemplo para hallar el área de un rectángulo necesitamos la base y la altura, pero debemos notar que cada medida tiene su margen de error, por lo cual el resultado de calcular el área significa agrandar en cierta magnitud dichos errores, la finalidad de la propagación de errores es pues calcular los errores que se arrastran al realizar dichos cálculos. CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC)

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Casos de Propagación de Errores Dadas las magnitudes:

A  A  (A)

B  B  (B) Adición:

A  B  A  B    A    B  

Diferencia:

A  B  A  B    A    B  

Producto:

  A   B   AB  AB AB   B   A

Cociente:

A A A   A   B       B B B  A B 

Ejemplo Ilustrativo 01 Dadas las magnitudes: X  12,45  0,03m Y  4,26  0,02m Hallar el valor de la adición, sustracción, producto y cociente: Solución: a) la adición

X  Y  (12,45  4, 26)  (0,03  0,02) X  Y  16,71  0,05

b) la diferencia

X  Y  (12,45  4, 26)  (0,03  0,02) X  Y  8,19  0,05

c) el producto

 0, 03 0, 02  XY  12, 45  4, 26  12, 45  4, 26     12, 45 4, 26  XY  53,037  53,037(0,0024  0.0046)

XY  53,037  0.371 d) el cociente

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X 12, 45 12, 45  0, 03 0, 02     Y 4, 26 4, 26  12, 45 4, 26  X  2,923  2,923(0,0024  0.0046) Y X  2,923  0,02 Y

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Ejemplo Ilustrativo 02 Hallar perímetro de un rectángulo de base “X” y altura “Y”: X  (24,38  0,03) m ; Y  (16, 24  0,02) m Solución: Recuerde que para la suma: A  B  A  B     A     B   Por propagación de errores:

P  2X  2Y  2X  2Y  2 (x)  (y)  Reemplazando en la fórmula:

P  2(24,38) + 2(16,24)  2  0,03  0,02 

P  48,76+32,48  2  0,05 P  (81, 24  0,1) m

Rpta.

Ejemplo Ilustrativo 03 Un observador nota que el velocímetro de su automóvil registra V  (120  0,6) m/s , cuando ha recorrido una determinada distancia y el tiempo que registro por ello es de t  (80  0, 2) s . El error absoluto de la distancia recorrida por el automóvil es: Solución: Recuerde que para el producto:

  A   B   AB  AB AB   B   A

Se sabe que: d  Vt Entonces se tendrá que realizar una multiplicación por lo tanto V  (120  0,6) m/s t  (80  0, 2) s

 (V) (t)  d  Vt  Vt  t   V Reemplazando en la fórmula:

 0,6 0, 2  d  120  80  120  80    120 80  d  9600  9600  7, 5  10 3

d  (9600  72) m

Rpta.

Otras Definiciones de Errores Error Absoluto  a  : El error absoluto de una magnitud física “X” es su alejamiento respecto al valor más probable, es decir:

a(X) 

X  X1

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Error Relativo  r  : El error relativo de una magnitud física “X” es la relación entre el error absoluto y el valor más probable, es decir: a  X  r X



Error Porcentual  % : Está dado por el error relativo multiplicado por 100. a  X   100 %  X   X OJO: Suele llamarse incertidumbre al error cometido en una medición y viene a ser la cantidad Incertidumbre que viene después del signo más menos (  ) X  X

a

Cifras significativas Es el número de dígitos con que se da un resultado de una medición, también podemos definir como los números correctos y el primer número dudoso de una medida. Así por ejemplo cuando realizamos una medición con una regla graduada en milímetros, está claro que si somos cuidadosos, podemos asegurar nuestro resultado hasta la cifra de los milímetros o en el mejor de los casos, con una fracción de milímetro. De este modo nuestro resultado podría ser L  (25,4  0,5) mm o bien L  (25,4  1) mm . En el primer caso decimos que nuestra medición tiene tres cifras significativas y en el segundo caso sólo dos. Redondeo de cifras Las reglas de redondeo se aplican al decimal situado en la siguiente posición al número de decimales que se quiere transformar, es decir, si tenemos un número de 7 decimales y queremos redondear a 3, se aplicará las reglas de redondeo al cuarto decimal.

 Dígito menor que 5: Si el siguiente decimal es menor que 5, el anterior no se modifica. Ejemplo: 12,6523443. Redondeando a 3 decimales deberemos tener en cuenta el cuarto decimal: 12,6523443 = 12,652.

 Dígito mayor que 5: Si el siguiente decimal es mayor que 5, el anterior se incrementa en una

unidad. Ejemplo: 12,6527443. Redondeando a 3 decimales deberemos tener en cuenta el cuarto decimal: 12,6527443 = 12,653.

 Dígito igual a 5. Si el siguiente decimal es igual a 5, se deberá examinar otro decimal posterior para realizar el redondeo. Ejemplo 1: 12,6525443. Redondeando a 3 decimales deberemos tener en cuenta el cuarto decimal: 12,6525443. Como es un 5 hay que examinar el siguiente: 12,6525443. Al ser menor que 5 se aplica la regla 1.

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Ejemplo 2: 12,6525743. Redondeando a 3 decimales deberemos tener en cuenta el cuarto decimal: 12,6525743. Como es un 5 hay que examinar el siguiente: 12,6525743. Al ser mayor que 5 se aplica la regla 2. Ejemplo 3: 12,6525543. En este caso al ser el siguiente decimal también igual a 5, se debe aplicar nuevamente la regla 3 sobre el siguiente decimal. Notación científica Es la forma de expresar un número mediante la cual se aprecia, de un golpe de vista, el orden de magnitud del mismo. Un número escrito en notación científica consta de un decimal con una única cifra distinta de cero en su parte entera, multiplicado por una potencia entera de 10: a, bcdef......  10 n

con a  0 , por lo que el número a, bcdef...... es mayor o igual a 1 y menor que 10. El exponente “n” es un número entero, positivo o negativo. La notación científica es muy útil para manejar números muy grandes o muy pequeños. Por 13

ejemplo: 3, 458  10 es un número grande, que puesto en la forma habitual debería escribirse como: 34 580 000 000 000. Para interpretarlo habría que contar sus cifras, tarea que se da hecha en la expresión científica. 20  0, 000000000000000000055491 es un número muy pequeño. Es El número 5, 5491  10 clara la ventaja que supone la notación científica sobre la habitual para interpretar su valor.

Sistema Legal de Unidades de Medida del Perú (SLUMP) – Ley Nº 23560 EL SLUMP establece en el Perú el Sistema de Unidades (SI), tal como es aceptado en casi todos los países del mundo. El SLUMP comprende:  Unidades de medida, sus definiciones y símbolos.  Prefijos, sus equivalencias y símbolos.  Reglas de uso y escritura de unidades, múltiplos, submúltiplos y símbolos.  Reglas de presentación de valores numéricos, de fechas y del tiempo.  Reglas de uso de unidades, prefijos y valores numéricos en cálculos, conversión y redondeo. El Sistema Internacional de unidades (S.I.) Establece siete unidades básicas con sus múltiplos y submúltiplos (Sistema Internacional ampliado) correspondientes a siete magnitudes fundamentales. Además, en la XI conferencia Internacional de Pesos y Medidas celebrada en París en 1960, por sugerencia de Alemania, se establece un tercer grupo de unidades complementarias o auxiliares (radián y estereorradián). A las unidades fundamentales le corresponden las Magnitudes fundamentales siguientes: CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC)

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Longitud, Masa, Tiempo, Intensidad de corriente eléctrica, Temperatura absoluta, Intensidad luminosa y Cantidad de materia o sustancia. Múltiplos y submúltiplos de unidades en el S.I. Múltiplos Factor

Submúltiplos:

Prefijo

Símbolo

24

Yotta

Y

21

Zeta

Z

18

Exa

15

10

1012

Prefijo

Símbolo

–1

deci

d

–2

10

centi

c

E

10–3

mili

m

Peta

P

10–6

micro



Tera

T

10–9

9

Giga

G

6

Mega

M

3

kilo

2

10

101

10 10 10

10 10 10

Factor 10

nano

n

–12

pico

p

–15

10

femto

f

k

10–18

atto

a

hecto

h

10–21

zepto

z

deca

da

–24

docto

y

10

10

Definición de Unidades de Base del Sistema Internacional de Unidades LONGITUD Unidad: metro (m) Un metro se define como la distancia que viaja la luz en el vacío en 1/299 792 458 segundos. Esta norma fue adoptada en 1983 cuando la velocidad de la luz en el vacío fue definida exactamente como 299 792 458 m/s. MASA Unidad: kilogramo (kg) Un kilogramo se define como la masa que tiene un cilindro compuesto de una aleación de platino–iridio que se guarda en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas en Sevres, cerca de París. Actualmente es la única que se define por un objeto patrón. TIEMPO Unidad: segundo (s) Un segundo es el tiempo requerido por 9 192 631 770 ciclos de una transición hiperfina en el cesio 133. Esta definición fue adoptada en 1967.

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INTENSIDAD DE CORRIENTE ELÉCTRICA Unidad: amperio (A) El amperio es la corriente eléctrica constante que, mantenida en dos conductores paralelos de longitud infinita, de sección circular despreciable y ubicados a una distancia de 1 metro en el vacío, produce una fuerza entre ellos igual a 2  10 7 newton por metro de longitud. TEMPERATURA Unidad: kelvin (K) El kelvin se define como la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua. CANTIDAD DE SUSTANCIA Unidad: mol (mol) Un mol es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012 kg de carbono 12. Cuando se usa el mol, las entidades elementales deben ser especificadas y pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones, otras partículas o grupos específicos de tales partículas. INTENSIDAD LUMINOSA Unidad: candela (cd) Una candela es la intensidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente que emite radiación monocromática con frecuencia de 540×1012 Hz de forma que la intensidad de radiación emitida, en la dirección indicada, es de 1/683 W por estereorradián.

Apéndice 1: Nociones Fundamentales de Geometría Analítica Gráfica de Funciones

Función identidad

Función constante Y

Y

yx

yk k O

X

45º

O

X

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Función cuadrática

Función lineal (Magnitudes directamente proporcionales)

Y

Y

y  mx  b

y  ax 2

16a

m  tan 

9a b



X

O

Función exponencial

ya

4

X

Función hiperbólica equilátera (Magnitudes inversamente proporcionales)

Y x

3

O

ya

Y xy  k

x

(x  0)

(x  0)

(0, 1) X

O

X

Apéndice 2: Triángulos Notables 60º

45º

53º

2a

3a

a

5a

30º

37º

a 3

5a

13a

4a

74º

a

82º

25a

7a

a

16º 12a

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a 2

a

24a

45º

5a 2

8º 7a

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Magnitudes Físicas Magnitud: Es todo aquello que sea susceptible de aceptar una comparación con otra de la misma especie. Clasificación de las magnitudes: Se clasifica en dos grupos: 1. Por su origen: a) Magnitudes Fundamentales b) Magnitudes Derivadas c) Magnitudes Auxiliares Magnitudes Fundamentales: Son aquellas que sirven de base para escribir las demás magnitudes, en mecánica tres magnitudes fundamentales son suficientes: Longitud (L), masa (M) y tiempo (T). Las magnitudes fundamentales son: Magnitud

Nombre

Símbolo

E. dim

Longitud

metro

m

L

Masa

kilogramo

kg

M

Tiempo

segundo

s

T

Temperatura termodinámica

kelvin

K



Intensidad de corriente eléctrica

ampere

A

I

Intensidad luminosa

candela

cd

J

Cantidad de sustancia

mol

mol

N

Magnitudes Derivadas: Son aquellas magnitudes que están expresadas en función de las magnitudes fundamentales. Ejemplos: Magnitud

UNIDAD

SÍMBOLO

Frecuencia

Hertz

Hz

Fuerza

Newton

N

Presión

Pascal

Pa

Trabajo, Energía

Joule

J

Potencia

Watt

W

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Carga eléctrica

Coulomb

C

Potencial eléctrico

Voltio

V

Conductancia eléctrica

Siemens

S

Actividad radiactiva

Becquerel

Bq

Carga magnética

Weber

Wb

Flujo magnético

Tesla

T

Intensidad del flujo magnético

Henry

H

Temperatura

grado Celsius

ºC

Flujo luminoso

lumen

Lm

Iluminancia

lux

Lx

Capacidad eléctrica

faradio

F

Radiación ionizante

Gray

Gy

Dosis de radiación

sievert

Sv

Magnitudes suplementarias: Realmente no son ni fundamentales ni derivadas, sin embargo se les considera como magnitudes fundamentales. El radián es considerado unidad de medida de ángulos planos y el estereorradián se utiliza para medir ángulos sólidos.

Unidades Suplementarias

UNIDAD radián estereorradián

SÍMBOLO rad sr

2. Por su naturaleza: a) Magnitudes escalares b) Magnitudes vectoriales c) Magnitudes tensoriales Magnitudes Escalares: Son aquellas magnitudes que están perfectamente determinadas con sólo conocer su valor numérico y su respectiva unidad. Ejemplos: Volumen, temperatura, tiempo, etc. Magnitudes Vectoriales: Son aquellas magnitudes que además de conocerse su valor numérico y su unidad, se necesitan su dirección y su sentido para que dicha magnitud quede perfectamente determinada. Ejemplos: Velocidad, aceleración, fuerza, peso, impulso, campo eléctrico, etc.

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Análisis Dimensional Es la parte de la Física que estudia la forma cómo se relacionan las magnitudes derivadas con las fundamentales. Finalidades del Análisis Dimensional: 1. Sirve para expresar las magnitudes derivadas en términos de las fundamentales 2. Sirven para comprobar la veracidad de las fórmulas físicas haciendo uso del Principio del Homogeneidad Dimensional. 3. Sirven para deducir fórmulas a partir de datos experimentales Ecuaciones Dimensionales: Son expresiones matemáticas que relacionan las magnitudes fundamentales, utilizando para ello las reglas básicas del álgebra, excepto las de suma y resta. Estas ecuaciones se diferencian de las algebraicas porque sólo operan en las magnitudes. Una ecuación dimensional se denota por:   Ejemplo:  A  : se lee ecuación dimensional de A. Principio de Homogeneidad Si una expresión es correcta en una fórmula, se debe cumplir que todos sus miembros deben ser dimensionalmente homogéneos. Así: A  B  C  D  E   A    B    C    D   E  Propiedades: 1. En el análisis dimensional se cumplen las leyes del álgebra a excepción de la adición y diferencia. 2. La ecuación dimensional de todo número es la unidad, llamadas también magnitudes adimensionales. 3. En toda ecuación adimensionalmente correcta, los términos de su ecuación deberán de ser iguales (principio de homogeneidad). Ecuaciones algebraicas 4M  3M  7M 3L  3L  0

Ecuaciones dimensionales 4M  3M  M 3L  3L  L

LT 1  5LT 1  6LT 1 1 sen30º  2 log 2  0,301030

LT 1  5LT 1  LT 1

3e    ln b

2

 sen30º   1

 log 2   1  3e    ln b 2   1

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Historia del Sistema Internacional El Sistema Internacional de Unidades (SI) proviene del Sistema Métrico Decimal, este último fue adoptado en la 1ra. Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM) y ratificado en 1875 por 15 naciones. Para ese entonces se organizó la Convención del Metro, a la que asistieron representantes de 8 países, y en la que se nombró un Comité Internacional de Pesas y Medidas (CIPM), con la finalidad de:  Estudiar el establecimiento de un conjunto completo de reglas para las unidades de medida.  Conocer la opinión de los círculos científicos, técnicos y educativos en todos los países.  Brindar recomendaciones para el establecimiento de un sistema práctico de unidades de medida adecuado para ser adoptado por todos los firmantes de la Convención del Metro. Con el transcurso del tiempo se desarrollaron otros sistemas de unidades como fueron, el Sistema CGS (centímetro–gramo–segundo) o sistema absoluto de unidades, utilizado por los físicos de todo el mundo y el sistema Giorgi conocido como el Sistema MKSA de unidades (metro–kilogramo–segundo–ampere). En el Siglo XIX se desarrollaron las llamadas unidades eléctricas "absolutas": el ohm, el volt y el ampere, impulsadas por el crecimiento constante de la industria electrotécnica, la cual buscaba la unificación internacional de las unidades eléctricas y magnéticas. A mediados del siglo XX, después de diversos intercambios entre los medios científicos y técnicos del mundo, la 10a CGPM adoptó como unidades de base, el metro, el kilogramo, el segundo, el ampere, el kelvin y la candela. Finalmente, en el año 1960 la Resolución 12 de la 11a. CGPM adoptó el nombre de Sistema Internacional de Unidades, cuya abreviatura es SI. Además, se establecieron reglas para los prefijos, unidades derivadas y unidades suplementarias. A partir de entonces, a través de las reuniones del CGPM y CIPM se le han añadido modificaciones de acuerdo con los avances de la ciencia y las necesidades de los usuarios. Las ventajas que ofrece el SI, sobre todos los demás sistemas de unidades, son múltiples. Entre ellas podemos citar las siguientes:  Es universal, porque abarca todos los campos de la ciencia, la técnica, la economía y el comercio.  Es coherente, porque no necesita de coeficientes de conversión y todas sus unidades guardan proporcionalidad entre sí, simplificando la estructura de las unidades de medida y sus cálculos, lo que evita errores en su interpretación.  Al igual que el Sistema Métrico Decimal, utiliza prefijos para la determinación de los múltiplos y submúltiplos de la unidad básica de cada magnitud física; elimina así la multiplicidad de nombres muy diferentes para una misma magnitud física. También permite formar unidades derivadas con mayor facilidad.  Establece una clara delimitación en los conceptos de masa y fuerza (peso).  Integra en uno solo, varios subsistemas de medidas y facilita así el proceso de enseñanza – aprendizaje

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Problemas Resueltos 1. El período de un péndulo simple está dado por la siguiente ecuación: T  KLa g b



LT 1   LMT 2 

1

V  F 2

T  La  bT 2b Dando forma y comparando exponentes: a  b  0 L0T  La  bT 2b     2b  1

1 2 ab 0

y b Rpta.

VF  F : Tensión en la cuerda (fuerza)  : Densidad lineal de la cuerda (kg/m) Hallar la fórmula física.

F

b)

F 

d) F 

e)

F

c)

 L1M  y

1 2

F 

Rpta.

3. Hallar la ecuación dimensional magnitud “C” en la expresión:  mV 2    P  P0  e 2CE  1 

1 2

x y

1 



V

2. La velocidad de una onda transversal en una cuerda elástica se establece con:

a)

x

LM0T 1  Lx  yM x  y T 2x Igualando exponentes: 1 2x  1  x  2 1 xy 0  y   2 La fórmula de la velocidad será:

b

De las ecuaciones: a 

 L1M

 V    F x   y

 g b

T   1  .La .  LT 2 



La velocidad será:

Solución: Usando las ecuaciones dimensionales:  T    KLag b  a

m L

     m L

En donde: K : constante numérica L : longitud g : aceleración de la gravedad a y b : exponentes Hallar el valor de “ a  b ” a) 2 b) 3 c) 1 d) –1 e) 0

T   K  L 



 F

Solución: La densidad lineal (  ) es el cociente entre la masa y la longitud.

a) M

2 b) 

1 d) 

1 e) L

de

la

3 c) 

Solución: Recuerde que la ecuación dimensional de un exponente es uno.  exponente   1 Luego:  mV 2    1  2CE   mV 2    2  C      E  Energía

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-37-

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La energía tiene la misma ecuación dimensional que el trabajo.

M(LT 1)2  (1) C    L2MT 2  1  C  

1

senx V 2  A 3 10V  R 3  r 3  3  F xs a) LMT 2 b) LM 2T 2 c) L2MT 2

d) L MT

1

2

e) L MT

a) L T d) M

Rpta.

4. En la ecuación de dimensiones correctas F es fuerza. Hallar las dimensiones de “s”. R: radio.

2

3 2

2

Solución: En la raíz cuadrada se cumple que:  V 2  A 3    V  2   A  3 … (1)

3 2

3 2

3  2

T



b) L T 3 2

e) L

3  2

M

3 2



c) L

3 2

T

3 2

3 2

Solución: En la raíz cuadrada se cumple:  A  B 2  C 3    B  2 … (1) En la raíz cúbica se cumple:  B  D   B  … (2) Principio de homogeneidad en la ecuación general:     A  B 2  C 3   A V  log 20  … (3) 3 B  D Reemplazando (1) y (2) en (3):

  2     B 2  B V 1 3  B

En la raíz cúbica se cumple que:  R 3  r 3    R  3   r  3 … (2) La ecuación dimensional de una suma es igual a la ecuación dimensional de cada sumando:  A  B 2  C 3    A    B  2   C  3

 B  B  2  B 3



1 2  B  2

 V

 LT 1

1



 senx   V 2  A 3   10V   R 3  r 3  3  F  x  s 

3 2

 B  L T

3 2

Rpta.

Reemplazando (1) y (2) en la ecuación: 1

6. Si la ecuación es homogénea y contiene volúmenes ( V1, V2 ), masa (M), trabajos

 senx   V  2  V   R 3  3  F  x  s   V   V  R    F   x  s   s    F  R   s   LMT 2.L

 s   L2MT 2

( W1, W2 ) y aceleración (a) encuentre  y  .

 W1  W2  a  4

Rpta.

5. En la expresión correctamente dimensional, V: velocidad, hallar  B  . AV log 20 2 3 AB C  3 BD

-38-

a) T d) MT 4

 V1  V2  M y log x

2

b) T e) LT 3

c) MT 4

Solución: Por la ley de homogeneidad:  W1  W2    Trabajo    W 

 V1  V2    Volumen    V 

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La ecuación se reduce a: VM Wa  y log x  VM  W  a    y  log x 

 L2MT 2  LT 2    y 

8. La ley de Ohm establece que: V  IR Encontrar la ecuación dimensional de la resistencia eléctrica “R” si se sabe que: I : intensidad de corriente V : diferencia de potencial; equivale al trabajo por unidad de carga

L3M  y  1

a) LMT 3I 2 c) L2M 2TI 2 e) L2MT 3I 2

L3M L3MT 4

y 

T4

Rpta.

7. Si en la ecuación, las dimensiones están correctamente expresadas, hallar “  ” . 3

a) 30º d) 120º

A 2  B 3  AB cos  tan  b) 150º c) 90º e) 53º

Solución: Elevando al cubo:

Por el principio de homogeneidad:

 A  2   B  3   tan   3  A  3  B  3 cos  3 2

 A  2   B  3   A    B  … (1)  B  3   tan   3  A  3  B  3 cos  … (2)

3 2

 B    B   B  cos  3  cos  2

Igualando exponentes: 3 1   cos  2 1    120º cos    2

La carga se deduce de: Q   Q   IT I t Reemplazando (2) en (1):

… (2)

IT En la Ley de Ohm: V  IR  V    I  R  … (4) Reemplazando (3) en (4):

I  R   L2MT 3I 1

 R   L2MT 3I 2 9. El efecto Joule establece que si por una resistencia eléctrica “R” circula una corriente “I” durante un tiempo “t”, el calor desprendido de la resistencia se puede expresar como energía. Hallar la fórmula que nos permite confirmar dicha afirmación.

Reemplazando (1) en (2):

B  B

Solución: La diferencia de potencial es entonces: W W … (1) V  V  Q Q

2 2 2 3  1  V   L MT   V   L MT I … (3)

A 2  B 3  A 3B 3 cos  tan 3 

 B    A  B  cos 

b) L2MT 3I d) L3MT 3I 2

a) I 2Rt d)

Rpta.

2

I R t

3

b) IRt e)

c) I 2R 2t

2

I R t2

Solución: Del enunciado se deduce que el calor tiene la siguiente fórmula: Q  I xR yt z

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Recuerde del problema 8:  R   L2MT 3I 2 Aplicando ecuaciones dimensionales:

11. Hallar la ecuación dimensional de l nombre del tu profesor  MARCO  si la siguiente

 Q    Energía    I x  R  y  t  z

expresión es homogénea

y

L2MT 2  I x  L2MT 3I 2  T z

L2MT 2I 0  L2y .M y .T z  3yI x  2y  2y  2 y 1 z 1 z  3y  2  x2  x  2y La fórmula para expresar el efecto Joule es: 2 Q  I Rt

Rpta.

10. En un proceso termodinámico isotérmico, le trabajo de expansión de un gas ideal se calcula con la fórmula: V  W  nRT ln  1   V2  En donde:

n : número de moles T : temperatura ln : logaritmo neperiano V1 y V1 : volúmenes Hallar la ecuación dimensional de la constante universal de los gases  R  . 2 1 1 a) LMT  N 2

2 1

c) L MT  N

2 2 1 b) L MT N 2 2 1 1 d) L MT  N

2 2 1 1 e) L MT  N

Donde:

A M O   M 2 C C 2  aL a = aceleración, L = longitud M = masa , R = resistencia eléctrica

a) M7L4 T 5I 2 c) M 3L4 T 5I 3 e) MLT 8I 2

b) M 4L5T 7I 4 d) MLTI 1

Solución Por el principio de homogeneidad dimensional se tiene que sus términos son iguales

A M O   M 2 C C 2  aL Igualando el último término se tiene  C 2   LT 2.L  C 2  aL  

  C   LT 1 Por otro lado igualando los 2 anteriores obtendremos  A   M3 = L1M 3T   1 C LT  



 A   M

3

Ahora nos faltara el valor de  O  igualando con el termino central y despejando  O 

Solución: Aplicando ecuaciones dimensionales:  W    n  R  T   ln V2  … (1)  V1 

n : cantidad de sustancia   n   N T : Temperatura   T     V2   ln V   1 1 

M O  2  O  MC   O   M 2L2T 2 C C Recuerde que la ecuación dimensional de la resistencia eléctrica es L2MT 3I 2

 MARCO   M.M3L1T.L2MT 3I 2.LT 1.M 2L2T 2 4 7 5 2  MARCO   L M T I

Rpta.

Reemplazando en (1): L2MT 2  N  R  (1) 2 2 1 1  R   L MT  N

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Problemas Propuestos 1. Dadas las siguientes magnitudes: x  (8,75  0, 25) m ; y  (2, 25  0,03) m y z  (4,5  0,04) m . El valor de " x  y  z " es: a) (15,75  0, 2) m b) (16,45  0,3) m c) (15,5  0,32) m d) (16,5  0,32) m e) (15,5  0,35) m 2. Al leer un amperímetro de aguja y escala se evaluó visualmente el margen de incertidumbre, la lectura del amperímetro esta entre 3,2 y 3,4 amperios. La incertidumbre porcentual es: a) 4% b) 5% c) 6% d) 3% e) 2,5% 3. Un alumno de la Raimondi al medir la longitud de su carpeta 5 veces obtuvo los siguientes valores: X 1  2,05m ; X 2  2,03m ; X 3  2,04 m ; X 4  2,06m y X 5  2,07m . Hallar el error porcentual. a) 0,42% b) 0,34% c) 0,46% d) 0,50% e) 0,52% 4. Un reloj digital de una lectura de la hora de 09:46. ¿Cuál es la incertidumbre absoluta de la medida? a) 0,25 min b) 0,5 min c) 0,60 min d) 0,05 min e) 1 min 5. Si se puede leer un metro de madera con una incertidumbre absoluta de 1 mm . ¿Cuál es la distancia más corta que puede medir para que la incertidumbre relativa no exceda el 1%? a) 5 cm b) 10 cm c) 6 cm d) 15 cm e) 20 cm 6. El voltaje de un resistor es de 200 V con un error probable de  2% y la intensidad de corriente eléctrica es de 5 Ampere con un error probable de  2% calcular: a) La potencia disipada en el resistor b) El error porcentual de la potencia Rpta: ………..

7. Al medir la masa de un cuerpo se obtiene el valor de 490 g si el error cometido en la mediad es del 2%. ¿Cuál es el valor real de la masa del cuerpo? a) 1000 g b) 900 g c) 600 g d) 500 g e) 850 g 8. Dados los valores de los lados de una figura geométrica sólida largo L  (40  0,3) cm , ancho a  (20  0,4) cm . el error absoluto del área es: a) 20cm b) 25 cm c) 30 cm d) 22 cm e) 33 cm 9. Al medir la resistencia de un resistor Marquito observa la lectura del voltímetro es de (20  0, 2) V y la lectura del amperímetro es de (10  0,1) A . la incertidumbre absoluta de la resistencia es: a) 0,04  b) 0,05  c) 0,06  d) 0,4  e) 0,5  10. Marquito desea calcular el error porcentual del trabajo realizado por la fuerza F  (15  0,5) N si avanzó una distancia de d  (20  0,4) m : a) 10% b) 12% c) 14% d) 16% e) 18% 11. Si

el

volumen

de

un

cuerpo

es

3

V  (40  0, 2) cm y su masa m  (160  0,4) g . El error porcentual de la densidad del cuerpo es: a) 0,25% b) 0,3% c) 0,6% d) 0,75% e) 0,85%

12. Marquito realiza un experimento sobre la medición de las temperaturas de los ambientes de la academia y registró los siguientes datos: T1  15,4º C ; T2  15,6º C ; T3  15, 2º C ; T4  15,0º C . El error porcentual es: a) 0,84% b) 0,82 % c) 0,80% d) 0,70% e) 0,65%

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13. En el yacimiento minero de Tintaya, se hizo el muestreo para poder determinar la densidad que tiene el yacimiento para lo cual se tienen los siguientes datos de la tabla: Nº V(cm3) 1 5 2 10 3 15 4 20 5 25 a) 8,30  0,014 b) c) 8, 289  0,015 d) e) 8,350  0,05 14. Si

el

volumen

de

cuerpo

Donde: A  aceleración C  velocidad 3

es

c) 24cm2

b) MLT

d) ML3

e) LT 4

c) L M

1

17. Si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea, determine la ecuación dimensional de “k”. siendo: a  aceleración ; p  tiempo

-42-

e : espacio

t : tiempo Y  XPe

5 4

b) L5 T 5

a) L T

4 4

d) L T

3Xmt

e) LT

c) L3T 3

2

20. Si la siguiente expresión es dimensionalmente homogénea, determine la ecuación dimensional de “E”

a) LT 1 d) T

KX2  Y KY2 X

, siendo: X  velocidad

b) L e) LT

dimensionalmente correcta. 4

c) 3

19. Halle las dimensiones de “Y”, sabiendo que el coeficiente de  X  es la unidad, siendo: m : masa p : Potencia

21. Hallar  D  , si la fórmula: D 

B  densidad

a) L M

c) LT 2

F  K Ax B C z b) 2 e) 5

E

C 2 Tan   t  A B log 

2

e) LT

a) 1 d) 4

16. En la siguiente fórmula física, encontrar las dimensiones de “p” P

3

y

15. Los valores de los lados de un rectángulo son respectivamente: L  (40  0,3) cm y A  (20  0,4) cm . El error absoluto del área es: b) 22cm2 e) 28cm2

b) LT 4

5

18. En la expresión mostrada, determine el valor de: “ x  y  z ”, siendo: F  fuerza , K  número , A  densidad , B  velocidad , C  área

V  (40  0, 2) cm 3 y su masa (160  0,4) g , el error porcentual de la densidad del cuerpo es: a) 0,75% b) 0,80% c) 0,70% d) 0,65% e) 0,60%

a) 20cm2 d) 26cm2

46sen30º a  42  2  p

a) LT 1 d) LT

m(g) 41,25 83,00 124,65 166,48 207,62 8, 298  0,014 8, 298  0,08

un

k

a) ML

b) MT

d) 1

e) MT 3

c) 1

AB 4  C 2 AC 4  B 2

es

c) MLT 1

22. Si la siguiente expresión es dimensionalmente homogénea, determine la ecuación dimensional de “P”. Siendo: m: masa, V: velocidad

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1 5 2 2 3 KX  TgYZ  mv 2 4 4 b) ML2T 1

c) ML2T 2 e) MLT

 Q

C HB donde: B  fuerza ; C  aceleración . d) M

b) M e) M

sen  L     g a) 37º d) 45º

c) M

2

24. En la ecuación homogénea: sen 37º   BK  CK 2   W    D  EK  F    E  fuerza

d) L2T

e) LT 1

c) LT 2

d

distancia

expresión: E 

viene dada

por

la

2

d cos  I: Intensidad luminosa, hallar la ecuación dimensional de: 2 b) JL

d) J 1L2

e) J 1L2

c) JL2

26. La ecuación:

P  k1v 2  0, 2mg v n  k 3

Es dimensionalmente correcta, además m  masa V  velocidad ; P  potencia ; g  aceleración de la gravedad . Hallar:  2n k 1.k 3   

c) 60º

a) ML2T 2I 1

b) MLT 2I 1

c) MT 2I 1

d) MT 2I 2

e) MLT I

I

a) JL1

b) 53º e) 30º

2 2

25. La ecuación de D’Alembert de la iluminación  E  de una lámpara luminosa a cierta

.

28. La fuerza magnética “F” sobre una carga móvil “q”, en presencia de un campo magnético “B”, se expresa por la ecuación: F  qVsen . ¿Cuál es la ecuación de la inducción magnética “B” ?

Hallar  F  , si B  altura , C  masa , b) L2T 2

 sen

f

3

a) LT

d) M 2L4 T 4

27. Determine la medida de  para que la expresión mostrada sea dimensionalmente correcta, donde f  frecuencia , L  longitud , g  aceleración de la gravedad.

PQ 

2

d) M 2L2T 4 e) M L T

23. En la siguiente fórmula física, calcular

a) M

b) MLT 2

2 2 4

d) M 2LT

1

a) M 2L2T 2

29. Halle  K  en la ecuación homogénea



CA

 K  PS    A  B  2

 P log x 2 donde:   densidad ; P  potencia  sen

a) L5 T 3 d) L3 T 8

b) L3T 5

c) L T  3

e) L3 / 2T 5 / 2

30. Determinar  E  si la ecuación dimensionalmente correcta: además potencia. N 2 AE    P  D DC a) ML2T 3 3 4 5

c) M L T

es C:

b) M 2L4 T 6 d) MLT 1

e) M 2L3T 2

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31. En la siguiente expresión: 3R  2F Tg   2 MT Donde: R  radio T  tiempo F  fuerza M  masa Hallar las dimensiones de   .   b) ML2T 6

a) ML4 T 5 3 4

35. Determinar las dimensiones de P y N para que la siguiente expresión sea dimensionalmente correcta R  radio .

PQ 3 

c) M 2L2T 2

5

d) ML T

e) MLT

32. Hallar la  MALU  . Si homogénea

ecuación dimensional la siguiente expresión

A M2



a) M LT

1

de es

M U  B B 2  aL

6 2 2

b) M L T

d) M 4L6 T 3

c) M 6L2T 1 e) MLT 4

33. En la siguiente ecuación física:

 C2  3mv  2A  4g Tan    A  2

c) LMT

2

b) L1/ 2M 1/ 2T d) L1M 1T 2

e) L1/ 2MT 1 34. En el efecto Joule se establece que si por una resistencia eléctrica “R” circula una corriente “I” durante un tiempo “T” el calor x y z desprendido está dado por: Q  I . R . T Hallar: “x+y+z” a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

-44-

 5m / s 2  Q 2  R

1 / 2 2 T ; L1/2T 3/2 a) L

3 / 2T ; L1/2 T 3/2 b) L

1/ 2 c) L T ; T

3 / 2 T ; LT d) L

36. En la ecuación adimensionalmente correcta, halle  B  :

vt

2

 a 2  a1 



2g  p1  p 2 

a Sen  4  2x a, a1, a 2  aceleraciones



3kB   w  1  6 C  Bt

v  velocidad

p1 , p 2  presiones

w  trabajo t  tiempo g : aceleración de la gravedad a) MLT 2

b) L3T 1

d) MLT

e) T 3L1

c) ML

37. Hallar: “x+y+z”, si:

2

Donde: m : masa ; v : velocidad . Establecer la fórmula dimensional de “C” en el sistema internacional. a) LM1 / 2T 1

N



3 / 2 T ; L3/2 T e) L

donde: a  aceleración ; M  masa ; L  longitud 3

 4m / s  A 1 / 2

7

 0, 25 10 ergios  x

1

A . By . Cz

Donde se conoce que: A : aceleración ; B : masa ; C : velocidad a) 2 b) –1 c) –2 d) 0 e) 4 38. Hallar las dimensiones de “x” en la ecuación dada, si ésta es correcta dimensionalmente.

kx  y  5 3cm  2A Sen  2ky  a) L

b) L2

d) L1

e) absurdo

c) L3

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Y B A

C O



Z

X

Objetivos  Definir un vector como elemento matemático y establecer su importancia en la descripción de los fenómenos físicos y el establecimiento de leyes físicas.  Diferenciar las operaciones matemáticas ordinarias (operaciones escalares) respecto de las operaciones vectoriales.  Dar a conocer las propiedades de los vectores con uso del método inductivo – deductivo para ir explicando y comprendiendo las operaciones de adición, sustracción y multiplicación de vectores.  Generalizar las reglas o leyes de las operaciones con vectores.  Entender que la descripción de ciertos fenómenos físicos se hace utilizando vectores.  Aprender la descomposición y composición rectangular de vectores.

Introducción El estudio de los vectores que desarrollaremos es una parte del álgebra vectorial y nos ayudará a explicar, comprender y evaluar algunos fenómenos físicos que requieren para su descripción, del uso de magnitudes vectoriales como el desplazamiento de un automóvil, la velocidad de un avión, la fuerza aplicada a un ladrillo, la cantidad de movimiento de una bola de billar, la velocidad angular del eje de una cassetera, etc. Galileo Galilei (1564 – 1642) fue uno de los primeros científicos que al estudiar el movimiento de los proyectiles, tuvo la necesidad de usar vectores con el fin de determinar para un instante, la velocidad del proyectil, la composición de sus velocidades en la dirección horizontal y en la dirección vertical. La importancia que tienen los vectores para la Física es que a través de ellos se representan las magnitudes vectoriales; lo cual permite una mejor descripción de los fenómenos físicos. Las cantidades físicas por su forma geométrica o naturaleza pueden ser clasificadas como “escalares” o “vectoriales”.

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DEFINICIÓN DE VECTOR Es un ente matemático que sirve para representar a las magnitudes de carácter vectorial. Se trata de segmentos de recta con orientación; si se dibujan a escala se representa la medida de la cantidad. Para representar la dirección de las cantidades vectoriales se han ideado a los VECTORES. Ejemplos: Desplazamiento, velocidad, fuerza, impulso, aceleración, campo eléctrico, etc. ELEMENTOS DE UN VECTOR

M

u ód

Línea de acción

lo

Sentido

A



Dirección

Línea horizontal

Ejemplo práctico vectores concurrentes  Módulo: Llamado también NORMA o TAMAÑO, es la medida de la longitud del vector, el módulo se representará mediante la notación: A : se lee “Módulo de A ”; si un vector no aparece con flecha encima se sobreentiende que se

refiere al módulo, es decir: A  A  Dirección: Es el ángulo que forma el vector con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas (por lo general se toma la orientación con respecto al semieje positivo de las abscisas).  Sentido: Representado por la flecha del vector.  Línea de Acción: Es aquella línea donde se encuentra contenido el vector a través de la cual puede deslizarse. Representación Analítica de un Vector Dados dos puntos A y B que determinan un vector sobre el plano, la forma vectorial se define por: V  BA

o también

V  Punto final  Punto inicial

Ejemplo Ilustrativo 1: Un vector B en el plano pasa por los puntos P(3, 5) y Q(7, 2) determinar su módulo: Solución: La expresión vectorial está dada por: B  Q  P B  (7, 2)  (3, 5)  B  4i  3j Cálculo del módulo del vector:

B 

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4 2  (3)2



B 

5

Rpta.

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Ejemplo Ilustrativo 2: Un vector C en el espacio pasa por los puntos R(3, 5,  7) y S(7, 1,  5) determinar su módulo: Solución: La expresión vectorial está dada por: C  S  R C  (7, 1,  5)  (3, 5,  7)  C  4i  4 j  2k Cálculo del módulo:

C 

4 2  ( 4) 2  2 2

C 

16  16  4



C  6

Rpta.

CLASIFICACIÓN DE LOS VECTORES: 1. Vectores colineales: Son aquellos que se encuentran contenidos en una misma línea de acción. A

B

C

2. Vectores iguales: Dos vectores serán iguales cuando tienen la misma dirección, módulo y sentido. L 1 // L 2 A

//

B

L1

//

L2

3. Vector unitario: Es aquel cuyo módulo es la unidad y tiene por misión indicar la dirección y sentido de un determinado vector. A A u



A

u

A

4. Vectores paralelos: Son aquellos que tienen sus líneas de acción paralelas entre sí. L1

L2

A



L3

B



C



En la figura:      Dadas las rectas paralelas: L1 // L 2 // L 3 Los vectores: A // B // C también son paralelos Por consiguiente se cumple también:

A A



B B



C C

vectores unitarios iguales

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5. Vectores coplanares: Son aquellos que se encuentran contenidos en un mismo plano. B

C

A

P

6. Vectores opuestos: Dos vectores serán opuestos cuando tienen igual dirección, módulo pero sentido contrario. L 1 // L 2 L1

A



L2 B



7. Vectores concurrentes: Son aquellos que sus líneas de acción se cortan entre sí, en un mismo punto. C O

A

B

Se observa que las líneas de acción de los vectores A , B y C concurren en el punto “O” OPERACIONES CON VECTORES ADICIÓN: Al vector “suma” también se le llama resultante. La resultante produce el mismo efecto que los sumandos. 1. MÉTODO DEL TRIÁNGULO Este método es válido sólo para dos vectores coplanares y concurrentes

 b

a



 R ab S Pasos a seguir:  Se forma el triángulo, cuando son “SÓLO” 2 vectores 

Para hallar el valor de R se aplica la Ley de Lamy o de senos: R a b   sen  sen  sen 

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2. MÉTODO DEL PARALELOGRAMO Pasos a seguir: 

S

//

R

//

A





La suma ( S ) o resultante ( R ) es la diagonal del paralelogramo formado. La suma o resultante se denota:

AB  R

B



ANALÍTICAMENTE: R

A 2  B 2  2AB cos  ; Ley del paralelogramo

3. MÉTODO DEL POLÍGONO 3.1 Método del Polígono Abierto: Se usa generalmente para sumar más de dos vectores. Se colocan uno a continuación del otro, manteniendo constante su VALOR, DIRECCIÓN y SENTIDO. La resultante es el vector que parte del origen del primero y llega al extremo del último. Ejemplo: a

1

2

b

d

3

c

4

Construyendo el polígono: 2

a

b

1

3

R

c

La resultante es: R  a  b  c  d

4

d

3.2 Polígono Cerrado: En este caso todos tienen la misma secuencia (horario). El extremo del último llega al origen del primero. B A La Resultante es:

R0

F

E

C

R  ABCDEF  0

D

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DIFERENCIA ( D ) La diferencia de vectores es llamada también resultante diferencia. Vectorialmente: D  A  ( B)  D  A  B Por la Ley de cosenos: Pero se sabe que: cos(180º )   cos 

//

//

180  

A 2  B 2  2AB cos(180º  )

D

A

D

D



A 2  B 2  2AB cos 

B

B

CASOS PARTICULARES Y POSICIONES RELATIVAS DE LOS VECTORES: 1. Cuando   0 y los vectores A y B son paralelos y del mismo sentido.

A

A

B

B

R máx  A  B

R  AB

2. Cuando   180 y los vectores A y B son paralelos y de sentidos opuestos.

A

A

R mín  A  B

B

B

R  AB

3. Cuando   90 , los vectores A y B son perpendiculares. B

R

R

A2  B2

A

4. Cuando dos vectores tienen el mismo módulo y forman 60°. A  X y B  X

A X

R

R X 3

60

B X

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5. Cuando dos vectores tienen el mismo módulo y forman 120°. A  X y B  X

R X

A X

12 0 B X

6. Cuando dos vectores tienen el mismo módulo y forman 90°. A  X y B  X

B X

R X 2

R

A X

DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR DE UN VECTOR

Y

Expresión vectorial de A :

A  A xi  A y j A  A cos i  Asenj

A A y  Asen

A  A(cos i  senj)

 A x  A cos 

Como par ordenado: A  A(cos , sen)

X

Componentes rectangulares de un vector en el plano: Las componentes rectangulares están dadas por:  A x  A cos   A  Asen  y Módulo del vector A : A 

Ax2  Ay2

Dirección del vector A respecto al eje X:

tan 

Ay Ax

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Vectores en el Espacio Análogamente a los puntos del plano cartesiano que están representados por un par ordenado, los puntos del espacio se representan mediante ternas de números o coordenadas espaciales. Puntos en el espacio: (x, y, z) Y X: eje de abscisas Y Y: eje de ordenadas Z: eje de cotas a2 cota

P(x,y,z) ordenada

O

a3

Z

Z abscisa

O

A

A(a1,a 2,a 3 )

a1

X

X

Componentes de un vector en R 3

Expresión vectorial de un vector en R 3 Un vector A  (a1, a 2, a 3 ) , se puede escribir como combinación lineal de sus vectores unitarios canónicos, así:

A  a1i  a 2 j  a 3k Dados dos puntos en el espacio, se puede hallar el vector que dichos puntos determinan, aplicando:

V  Pfinal  Pinicial Módulo de un vector en R 3 El módulo de un vector A  a1i  a 2 j  a 3k ; está dado por:

A Del gráfico:

Y

Vector Unitario Dado un vector: A  (a1, a 2, a 3) , se define como

a2

a3 Z

O

vector unitario en la dirección de A , a la expresión:

A

U a1 X

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a1 2  a 2 2  a 3 2

U

A

A

 

A A a1i  a 2 j  a 3k a1 2  a 2 2  a 3 2

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Dirección de un vector en R 3 : La dirección de un vector en R 3 , está dada por sus ángulos de orientación con respecto a los 3 ejes coordenados. Y a los cosenos de dichos ángulos se denominan cosenos directores. Cosenos directores: Las direcciones del vector con respecto a los ejes coordenados están dados por: Y

 :  :  :

a2

a3

O

 

Z



A

ángulo de inclinación con respecto al eje X ángulo de inclinación con respecto al eje Y ángulo de inclinación con respecto al eje Z

a1 X

Dirección con el eje X: Dirección con el eje Y: Dirección con el eje Z:

a1 A a2 cos   A a3 cos   A cos  

Propiedad:

Cosenos directores

cos 2   cos 2   cos 2   1

OPERACIONES CON VECTORES EN R 3 a) SUMA Y DIFERENCIA DE VECTORES: Dados dos vectores: A  a1i  a 2 j  a 3k y B  b1i  b 2 j  b 3k Se define como vectores suma y diferencia, respectivamente:

S  (a1  b1)i  (a 2  b 2)j  (a 3  b3)k D  (a1  b1)i  (a 2  b 2)j  (a 3  b3)k b) MULTIPLICACIÓN POR ESCALAR EN R 3 Dado el vector: A  a1i  a 2 j  a 3k y un escalar “r” se define como producto por escalar a la operación:

rA  r(a1i  a 2 j  a 3k)  rA  ra1i  ra 2 j  ra 3k Donde el vector rA , es múltiplo y necesariamente paralelo al vector A . CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC)

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Propiedades de la Multiplicación por escalar: 3 Dado los vectores A y B  R y los escalares r, s  R , se cumple:

1. rA // A 2. (r  s)A  rA  sA 3. r(A  B)  rA  rB 4. r(sA)  s(rA)  (rs)A c) PRODUCTO INTERNO O PRODUCTO PUNTO EN R 3 : Dados dos vectores: A  a1i  a 2 j  a 3k y B  b1i  b 2 j  b 3k Se define como producto interno A .B de vectores a la expresión dada por:

A  B  a1b1  a 2b 2  a 3b3 Observe que: En R 2 , para un vector A  a1i  a 2 j ; se cumple que:

A  A  a1 2  a 2 2  A 2 En R 3 , para un vector A  a1i  a 2 j  a 3k ; se cumple que:

A  A  a12  a 2 2  a 3 2  A 2 Otra definición: Es posible también definir el producto interno mediante la relación:

A  B  ABcos  Donde:

A : módulo del vector A

B : módulo del vector B  : ángulo formado por los vectores A y B

Propiedades del Producto Interno: 3 Dado los vectores A, B y C  R y los escalares r, s  R , se cumple:

1. A  B  B 2. A



AA



A

2

3. (rA)  B  r(A  B) 4. A  (B  C)  A  B  A  C

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5. (A  B)  (A  B)  A 2  B 2 6. Si A  B  A  B  0 Importante: Del vector suma, de acuerdo a las propiedades:

S AB

S  S  (A  B)  (A  B)

S 2  A 2  2A  B  B 2 Por definición de producto interno: S 2  A 2  B 2  2AB cos 

Análogamente, para el vector diferencia: D 2  A 2  B 2  2AB cos 

Observe: ¡Esta es la ley del coseno! d) PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ EN R 3 Dados dos vectores: A  a1i  a 2 j  a 3k y B  b1i  b 2 j  b 3k ; se define como producto vectorial

A  B , a la expresión definida por el determinante:

i j k A  B  a1 a 2 a 3  (a 2b 3  a 3 b 2 )i  (a1b 3  a 3b1)j  (a1b 2  a 2b1)k b1 b 2 b 3 Propiedades del Producto Vectorial 3 Dado los vectores A, B y C  R y los escalares r, s  R , se cumple:

1. A  B  B  A 2. A  (B  C)  (A  B)  C

AB

3. r(A)  B  r(A  B) A

4. (A  B)  C  A  C  B  C 5. A  B  ABsen



6. Si: A // B  A  B  0 7. Si A  B 

A  B  AB

B

Representación gráfica del producto vectorial

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Producto de vectores canónicos: Puesto que un vector siempre es paralelo a sí mismo: i  i  j  j  k  k  0 Además: j i j  k j k  i i k ki  j F

Regla de la mano derecha: Sirve para determinar la dirección del vector A  B ¡Observe! AB A

Fuerza aplicada

r

Dirección del torque

B

F

r 

  rFsen

  rF El momento de fuerza es un ejemplo práctico del producto vectorial

Interpretación Geométrica del vector A×B El vector A  B , está representado por un vector perpendicular, tanto al vector A como al vector

B . Su módulo es igual al área del paralelogramo formado.

AB

Triángulo 1 AB 2

A O

h



b

b  B Observe: A  bh ; Además   h  Asen Luego: A  bh  ABsen

A  A  B  ABsen Para el triángulo: A 

B

1 1 A  B  ABsen 2 2

DOBLE PRODUCTO VECTORIAL

A  (B  C)  (A C)B  (A B)C F) PRODUCTO TRIPLE EN R 3 3 Dado los vectores A, B y C  R , se define como producto triple A (B  C) a la expresión definida por un determinante de la forma:

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Ax

Ay

Az

A (B  C)  B x

By

B z  A x (B y C z  B zC y )  A y (B x C z  B z C x )  A z (B x C y  B y C x )

Cx

Cy

Cz

Interpretación geométrica de A (B  C) : El producto triple A (B  C) de los vectores A, B y C es igual al volumen del paralelepípedo formado por dichos vectores. V  A (B  C)

A

Vparalelepípedo  A (B  C)

B

C

Ejemplo Ilustrativo 01 Dados los vectores A  2i  2j  k y B   4i  2j  4k . Calcular: a) El producto escalar A  B b) El coseno del ángulo que forman los vectores A y B c) El producto vectorial A  B Solución: a) A  B  (2, 2, 1)  (4, 2,  4)

A  B  8  4  4 b) cos  

c)

AB A

B



8

AB 

 cos  

(2, 2, 1)  (4, 2,  4) 2

2  22  12

cos  

8  4  4 3(6)

cos  

8 18

 cos  

(4)2  22  (4)2



4 9

i j k A  B  2 2 1  (8  2)i  (8  4)j  (4  8)k  4 2 4

 10i  4j  12k Rpta.

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Ejemplo Ilustrativo 02 Determinar el área limitada por los puntos (1, 2, 3) ; (2, 0, 4) y (1, 0, 1) . Solución: Graficando: P

P  B  A   3i  2j  k

B(2, 0, 4)

A(1, 2, 3)

Q  C  A   2j  2k Se sabe que: 1 S  PQ 2 i j k P  Q  3 2 1  2i  6j  6k 0 2 2

Q

C(1, 0, 1)

1 2 2 2 P  Q  (2)  6  (6) 2 1 Rpta. S   2 19  S  19 2

S 

Ejemplo Ilustrativo 03 Hallar el volumen del tetraedro que forman los vectores: A  i  j  2k ; B  2i  3j  k ; C   i  j  3k Solución: El volumen del tetraedro es la tercera parte del volumen del paralelepípedo. Entonces por el producto triple: 1 1 V  A (B  C) V  A.(B  C) 3 3 Aplicando la solución del determinante: A 1 1 2 B 1 1 V 2 3 1   1(8)  1(5)  2(5)  3 3 1 1 3

V  1 u3

C

Rpta. P

Ejemplo Ilustrativo 04 En la figura OPQR es un cuadrado, T es punto de tangencia a la semicircunferencia, expresar el vector

S

Q T

B

A

A en función de los vectores B y C . O

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C

R

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Solución: P

x S

Lx x

A

T

En el  RSQ por el Teorema de Pitágoras:

Q

 L  x  2   L  x  2  L2 L 4xL  L2  x  4 En el triángulo vectorial RQS:

B L

L

3 4B  3C C 4 4 4 Además: RS  RT 5 4 4B  3C 4 4B  3C RT  RS  ( )  RT  5 5 5 4 RS  B 

C

O

R

L

Luego en el triángulo vectorial RTQ

RT  A  B A  B

4B  3C 5



A

B  3C 5

Rpta. Z

Ejemplo Ilustrativo 04

C

De acuerdo al gráfico, un vector P tiene una dirección perpendicular al triángulo ABC, y posee

4

P

un módulo de 8 61 . Encontrar una expresión 3

vectorial cartesiana para P . X

B

A

Solución: Coordenadas y vectores direccionales en el gráfico: A  (3, 0, 0) Expresiones vectoriales B  (0, 2, 0) BA  3i  2j C  (0, 0, 4) BC   2j  4k

C(0, 0, 4) 4

BC  AB  0 2 4  8i  12j  6k 3 2 0 2(4i  6j  3k)

 U

4i  6j  3k

2 4 2  62  32 Luego:  4i  6j  3k P  P U  8 61   61 

3 Z

A(3, 0, 0)

61

    

Y

Z

Vector unitario perpendicular al plano ABC. i j k

U

2

O

O

P

2

B(0, 2, 0) Y

P  8(4i  6 j  3k) Rpta.

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La Trigonometría y los Vectores Trigonometría La trigonometría la inventó Hiparco hacia el año 150 antes de J.C. Pero el primer tratado sistemático se debe a Regiomontanus en 1464. Su obra Triangulis emplea solamente las funciones seno y coseno. La trigonometría, como su nombre indica, ha tenido por objeto fundamental, el calculo de todos los elementos de un triangulo (alturas, bisectrices, área…) con ayuda de datos suficientes para determinarlos, algunos de ellos angulares. Así, la introducción de los ángulos en los cálculos relativos al triángulo, completa la geometría que establece solamente relaciones métricas. Hoy, la trigonometría se utiliza fuera de toda consideración de triangulo y es absolutamente necesaria para entender la física más elemental. La mayoría de sus relaciones pueden ser deducidas del cálculo vectorial. Como vimos en este capítulo. Vectores Las nociones de vectores están implícitamente contenidas en las reglas de composición de las fuerzas y de las velocidades, conocidas hacia el fin de siglo XVII. Es con relación a la representación geométrica de los números llamados imaginarios como las operaciones vectoriales se encuentran por primera vez implícitamente analizadas, sin que el concepto de vector esté aún claramente definido. Fue mucho más tarde y gracias al desarrollo de la geometría moderna y de la mecánica, cuando la noción de vector y de operaciones vectoriales se concretaron. El alemán Grossman, en 1844, por métodos geométricos, introdujo formalmente las bases del cálculo vectorial (suma, producto escalar y vectorial). El ingles Hamilton, por cálculos algebraicos llego a las mismas conclusiones que Grossman; empleó por primera vez los términos escalar y vectorial. Hacia el final del siglo XIX, el empleo de los vectores se generalizo a toda la física. Bajo la influencia de los ingleses Hamilton, Stokes, Maxwell, Heaviside y del americano Gibas (quien utilizó la notación del punto para el producto escalar y del X para el producto vectorial) se amplió el cálculo vectorial, introduciendo nociones más complejas, como los operadores vectoriales gradiente, divergencia y rotacional.

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Problemas Resueltos 1. Hallar el coseno del ángulo que forman los vectores A  12i  5j y B  3i  4 j

16 25 16 d) 65

16 45 8 e) 65

a)

b)

c)

A  B  0  3(2a)  (a  2)(a  1)  0

16 55

6a  a 2  3a  2  0 a 2  3a  2  0 a 2  a  2 a 1  a  1

Solución:

cos  

cos   cos  

Solución: Por propiedad de perpendicularidad:

1y 2

AB A

B (12, 5)  (3,  4)

4. Dados los vectores: A  2i  3j , B  i  2j y C   4i  j . Hallar el valor de m  n , de tal forma que sea posible expresar la combinación

122  5 2 3 2  (4)2 36  20 13(5) cos  

16 65

2. Si se sabe que:

lineal: mA  nB  C a) 8 b) 7 d) 5 e) 4

Rpta. A  (x  2)i  (4  x)j

y

B   4i  xj son vectores paralelos. Hallar el valor positivo de “x” a) 12 b) 10 c) 9 d) 8 e) 6

Solución: Las componentes de ambos vectores deben ser proporcionales debido a que son múltiplos: x  2 4  x  4 x 2

x  2x  16  4x x  6x  12  0 x 8 x 2

c) 6

Solución: m(2, 3)  n(1,  2)  (4, 1) Igualando componentes:  2m  n   4   3m  2n  1 Resolviendo el sistema:  2  2m  n   4   3m  2n  1 7m  7



m  1

Sustituyendo:

2(1)  n  4 

n6

Luego: m  n  5

2

x

Rpta.

Rpta.

5. En la figura, calcular el módulo de la resultante del sistema de vectores:

8

Rpta.

3. Si se sabe: A  3i  (a  2)j ; B  2ai  (a  1)j son perpendiculares determinar los valores de “a”. a) 1 y 2 b) 1 y 3 c) 2 y 3 d) 1 y –2 e) –2 y 3

A  12 u

C 60º B  16 u

CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC)

-61-

PROYECTO INGENIERÍA a) 6 11

b) 5 13

d) 6 13

e) 5 10

ESPECIALISTAS EN INGENIERÍAS

c) 4 13

Solución: Resultante total: R  3C 

AB AB

… (1)

2

 A 2  B 2  2AB cos 

2

 12 2  16 2  2(12)(16)cos120º

2

AB

3 AB 2

S  X 2  X 2  2X 2 cos   2X 2 (1  cos )

D  X 2  X 2  2X 2 cos   2X 2(1  cos ) Dividiendo:  2 cos 2   S 1  cos   2 r   D 1  cos  2   2sen    2 r

 144  256  192

A  B  4 13 Sustituyendo en (1): 3 R  (4 13)  R  2

6 13

a) 18 u 2

b) 20 u 2

2

2

e) 25 u

función de los vectores A y B . Rpta.

c) 22 u 2

Solución: S

1 2

Rpta.

8. En la figura expresar el vector X  Y en Y A

6. Hallar la superficie del triángulo formado por los puntos A(3, 4) , B(2, 5) y C(5,  6) . d) 24 u

2   cot    2

3 4 2 5 1  (15  12  20  8  25  18) 5 6 2 3 4

2 1 S  (48)  S  24 u 2

Rpta.

7. Dados dos vectores A y B de igual magnitud forman un ángulo  . ¿En qué relación están los módulos de los vectores

AB y AB?   a) sen 2   b) cos 2    2  2 2   2   d) cot   e) sec    2  2

 c) tan 2    2

X

B

11B  3A a) 12 d)

14B  5A 12

b)

13B  3A 12

e)

14B  3A 12

c)

11B  A 12

Solución: Utilizando A y B como ejes coordenados: 3 1 1 1 X  B A  A B 6 4 4 2 4 2 1 2 Y   B A  A B 6 4 2 3 Restando los vectores: 1 7 XY   A B 4 6

XY 

14B  3A 12

Rpta.

9. En la figura OPQR es un cuadrado, expresar el vector X como combinación lineal de los

Solución: Se sabe que:

-62-

vectores A y B .

CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS ---  FONO: 630439

ACADEMIA ALFA a)

2A  3B 4

b)

3A  2B 4

c)

3A  B 2

d)

3A  2B 4

EXCLUSIVA PARA INGENIERÍAS

P

P

Q

N

M O

O

U OS 

Solución: Por la ley del triángulo:

Luego:

P

Q

AB

A B 2 A 2

A B 2 X  AB 2 X  AB

X

N

B

2

c)

22 2 A B 2 2

2

AB 2



2 (A  B) 2

2 (A  B)  C  A 2 2 2 2 A B 2 2

a) 3A  2B Rpta.

Rpta.

P

Q

C

A

S

c)

2

Solución: Sea “L” lado del cuadrado:

B

A

3A  2B 4

Q

X N

B

2A  3B d) 4

e)

3A  2B 5

R

O

Solución: En el gráfico: M

P

O

M

P

b) 4A  3B

2

e) 4  2 A  2 B



combinación lineal de los vectores A y B .

d) 2  2 A  2 B 2

2

11. En la figura OPQR expresar el vector X como

el vector C en función de los vectores A y B . 2

L

R

10. En la figura OPQR es un cuadrado. Expresar

b) 2  2 B  2 A 2 2

AB

C

O

3A  2B 4

a) 2  2 A  2 B

L 2

En el triángulo OSP: OS  C  A

M

A  2B 4

X

AB

OS  L .

OM  X  A  B Pero observe que:

R

B

Vector unitario en la dirección de OS :

R

B

e) 3A  2B

2OM 

S

C

A

X

A

Q

R

A

Q

P

L 2

M

Q

A 2

X

N

L

m

B

O

R

Fig. 1

O

Fig. 2

CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC)

R

-63-

PROYECTO INGENIERÍA

ESPECIALISTAS EN INGENIERÍAS

A A  2B  2 2 A  2B A A  OQ 2 OM   2 2

A   3i  3j  ( 3, 3)

OQ  B 

OM 

B  5i  2j  (5, 2) El producto escalar será: A  B  (3, 3)  (5, 2)   15  6

L2 L L   5 4 2 En la figura 2 (  OPM) por relaciones métricas: 2 L  L2  m  5  m X  L 5 2  5 Igualando vectores unitarios: 2

Además: OM 

9

AB 

3A  2B 4

C

13. Hallar

Rpta.

en el paralelepípedo mostrado,

si (A  B)  C  6 29 . Y

8

B

X OM  m OM

C 4

3A  2B X 4  2 L L 5 5 5 2

Z

A

10

X

Solución: Ubicando coordenadas:

5X 3A  2B  2 2

X

6

3A  2B 5

Y (0, 8, 0)

Rpta.

(0, 8, 6)

(0, 4, 0)

12. Utilizando los datos de la figura hallar el

B

(10, 8, 0)

C

producto escalar de los vectores A y B . Y

3

Z

B

A

(10, 0, 0) X

(10, 0, 6)

A

A  10i  8 j  6k

B  10i  6k 0

a) 0 d) 9

5

b) 3 e) –9

Solución: Hallando los vectores A y B :

-64-

X

c) –3

Vector unitario en la dirección de C : 10i  4j U  C 10 2  (4)2 U

C



1 29

(5i  2j)

Expresión vectorial de C : CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS ---  FONO: 630439

ACADEMIA ALFA C C U

C



C

29

EXCLUSIVA PARA INGENIERÍAS

a) 7 d) 40

(5i  2j)

En la condición:

29

(20i  8 j)  (5i  2j)  6 29

4a  a  3b 2  0  a  b 2 Sustituyendo con la condición a  b  6 :

C (100  16)  6(29)

24

C 

b  6  b2

Rpta.

14. Hallar el vector paralelo a A  4i  5j  3k ; cuyo módulo es 3 2 . 2 a) (4i  5j  3k) 5 5 c) (4i  5j  3k) 3 1 e) (4i  5j  3k) 5

3 (4i  5j  3k) 5 3 d) (4i  5j  3k) 4 b)

U

A

 

c) 16 d) 18

X A(8, 0, 0)

(4i  5j  3k)

B

Y

AB  8i  10j

BC  10j  6k

El vector paralelo B , será: B  3 2 U    A

B(0, 10, 0)

Solución: Restando coordenadas:

50 1

O

e) 20

4i  5j  3k

5 2

C(0, 0, 6)

b) 15

Vector unitario en la dirección de A : 4i  5j  3k U  A 4 2  (5)2  3 2 A

b2  b  6  0 b 3  b  3  a  9 b  2  b  2  a  4 Finalmente de acuerdo a las alternativas: Rpta. ab  27 16. Hallar el módulo de la resultante del siguiente conjunto de vectores. a) 12 Z

Solución:

U

c) 27

Solución: Por condición de perpendicularidad: (2, a,  3b) (2a,  1, b)  0

(A  B)  C  6 29

C

b) 16 e) 36

3

2

5

2

AC  8i  6j

(4i  5j  3k)

R  16i  12k

3 (4i  5j  3k) 5

15. Dados los vectores:

R  AB  BC  AC R 

Rpta.

A  2i  aj  3bk

R 

y

B  2ai  j  bk ; hallar el valor de “ ab ”. Si

A  B . Además: a  b  6 .

( 16)2  12 2

20

Rpta.

17. Hallar el vector F , si F  T  P sabiendo además que: T  50 N . P  52 N .

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-65-

PROYECTO INGENIERÍA

ESPECIALISTAS EN INGENIERÍAS

18. Hallar el módulo de la fuerza resultante de

Z

F y T , si: F  25 N y T  30 N . a) 42 Z b) 44

P 12

d) 48

Y

T

X

3

c) 45 e) 50

4

3

a) 24i  18j  48k

b) 24i  18j  48k

c) 24i  18j  48k

d) 12i  18j  48k

e) 24i  18j  48k

AB  4i  3j

6

X

T

Y

10

Solución: De acuerdo al gráfico: AB  3i  6j  6k BC  3i  4 j

Solución: Ubicando las coordenadas:

4

F

Z 3

C(3, 0, 6)

Z

F

4

B(0, 4, 6)

6

BC  4i  3j  12k

X

C(4, 0, 12)

T

P

A(3, 10, 0)

U

12

A(4, 0, 0)

X

U

AB

BC

B(0, 3, 0)

T 4

3

Y

Por definición de vector unitario:  4i  3j  T T U  50   AB  (4)2  3 2    4i  3j  T  40i  30j T  50 5 4i  3j  12k   P P U  52   BC  4 2  (3)2  12 2    4i  3j  12k P  52  P  16i  12j  48k 13 Como: F  T  P F   24i  18j  48k

Rpta.

Expresión vectorial de T : 3i  6j  6k  T T U  30  AB  (3)2  (6)2  6 2   3i  6j  6k  T  30   9  

   

T  10i  20j  20k

Expresión vectorial de F : 3i  4j F F U  25 BC 3 2  (4)2

 3i  4j  F  25    F  15i  20j  5  De donde la resultante: R  F  T R  5i  40j  20k R 

5 2  ( 40)2  20 2

R 

-66-

Y

10

45 N

Rpta.

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ACADEMIA ALFA

EXCLUSIVA PARA INGENIERÍAS

Problemas Propuestos 1. Hallar el módulo del vector resultante. a) 1u

segmento BC, determinar el valor del ángulo "  " tal que el módulo de la resultante vectorial

b) 3u

sea igual a a) 16º

c) 2u 1u

1u

e) 6u

1u

2. Dado el conjunto de vectores mostrados en la siguiente figura. a) 6 c) 3 d) 5 e) 4

3

4

2

3

3. Dado el siguiente paralelogramo indicado, hallar la resultante de los vectores mostrados: a) 8 u B C b) 12 u

c) 37º d) 45º e) 60º



A

D

d) 20 u A

c) 14 d) 10 e) 8

e

c

d 7. Se tiene dos vectores A y B , hallar el vector X , sabiendo que su extremo divide a A en dos

4u

c) 16 u

3,5u

D

4. En el trapecio mostrado “M” es punto medio, hallar el módulo de la resultante de los vectores mostrados. 4u a) 12 u b) 18 u M

d) 20 u e) 15 u

C

6. Dar el valor de la resultante: a) 16 b  10 b) 12 a6

b) 9

c) 6 u

M

b) 30º

d) 5u

e) 0 u

221 cm. B

8u

5. La figura muestra un cuadrado ABCD de 4 cm de lado, donde M es el punto medio del

vectores iguales y su origen divide a B como 2 es a 1. A 3A  2B a) 6 X b)

4A  5B 2

c)

3A  B 6

B d)

3A  B 3

e) 2A  B

8. En el hexágono regular de lado “a”. Hallar el módulo de la resultante. e a) a b) 4a c) 2a d f d) 3a a c 3a e) 2 b

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-67-

PROYECTO INGENIERÍA

ESPECIALISTAS EN INGENIERÍAS

9. En el cuadrado se halla contenido un cuarto de circunferencia; determine X en términos del vector resultante.

 2  1 X b)  2  3  X c)  2  3  X d)  5  1  X a)

e)

a) 0,5 b) –0,5 c) 1

X

A

a)

b) 10 13

de circunferencia y los vectores A , B y X . Halle el vector resultante.

c) 6 2

a)  3  2 2  X

d)  5 

X

3X

B

b) 80 c) 16 2

B  2u , C  3u , módulo de la resultante.

d) 25

D  5u . Hallar el

B

D

C

A

º

e) 2 5

30

50

46º

28º

X

9º

32

15. Si la resultante esta en el eje “X” y mide 10 u . Hallar "  " . Y a) 18,5º b) 30º

15

25

c) 37º

12. En la figura mostrada, ABC es un triángulo equilátero, si M, R, S son puntos medios de los



d) 26,5º e) 70º

X  ma  rb  sc , hallar " m  r  s " .



X



lados AB , BC y AC respectivamente, donde

-68-

X

20

70º

10

d) 5 3

22º 15º

e) 30

a) 2 19

5

68º

14. Hallar el módulo del vector resultante. a) 112 Y

11. En el siguiente conjunto de vectores si:

c)

50

e) 2 26

A

e)  4  2 2  X

b) 2 17

Y

50

d) 10 26

3X

C

S

26

10. En un cuadrado de lado “a” hay un cuarto

c)  4 

b

13. En el sistema mostrado, hallar el módulo el vector resultante.

B

3X

R

X

a

e) 0,75

A

c

M

d) –1

3X 2

b)  3 

B

30

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ACADEMIA ALFA

EXCLUSIVA PARA INGENIERÍAS

16. En el sistema de vectores, determinar el módulo de la resultante. a) 7 3

10 4

23º

b) 8 3

7º

q  7 y p  q  19 . Hallar

p  3;

20. Si

p q . a) 4 5

b) 6 7

d) 3 17

e) 4 6

c) 8 5

5 3

c) 9 3 3

d) 15 3

5

21.

Se tiene los

vectores

A

y

si

B

B  2i  2j  k , el módulo de A es 4 y el

e) 5 3

A  B  6 . Hallar el módulo del producto vectorial A  B

17. Se tiene dos vectores a  5 N , b  3N ;

a) 6

b) 4 3

Calcular: a  2b .

d) 8 3

e) 3 6

22. Cuáles son las componentes de la F  2 600N mostrada, a lo largo de las direcciones coordenadas que se indican. Z

a b 63º

a) 4 N d) 7 N

10º

b) 5 N e) 8 N

c) 6 N

F

18. Si S  A  B  C , obtener el vector P cuya

d)

1 ,5 26

 5,1  26

b) e)

 1 , 5  26

 1 ,  5  26

c)

4u

Y

X

Rpta: …………… 23. X

Hallar

el

valor

A  2i  aj  k y perpendiculares. a) 3 b) 4 d) 6 e) 8

“a”

de

forma

que

B  4i  2j  2k , sean

c) 5

24. Dado los siguientes vectores:

19. Hallar el vector unitario paralelo a la recta cuya ecuación es y  15  5x . a)

12u

3u

magnitud es 8 y es paralelo al vector S . 8 a)  3i  4j  Y 5 35 24 b) i j 5 5 C 24 32 A c) i j 5 5 32 24 d) i j B 5 5 32 24 e) i j 5 5

c) 6 3

 5 , 1  26

A  10i  6j ; B  3i  5j  10k ; C  i  j  3k . Determinar:

a)  A  B   C Rpta. a): ……………

b)

 ABC

Rpta. b): ……………

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-69-

PROYECTO INGENIERÍA

ESPECIALISTAS EN INGENIERÍAS

25. Se tiene dos vectores de módulo constante dispuestos sobre un plano, se sabe que el mayor y el menor valor de su resultante es 32u y 6u, respectivamente. ¿Qué módulo tiene A  B ,

a) 50 17 N

cuando A y B forman 60º?

c) 30 17 N

a) 2 38 u

b) 3 76 u

d) 120 N

c) 1,5 76 u

d) 1,5 76 u

e) 20 N

e)

50 N

b) 40 17 N

15 N





5 5N

283 u

26. En la figura que se muestra, M es punto medio de AB, AC  CD  10 u . Si la resultante de los vectores P y Q tiene un valor de 26 u, determine la medida del ángulo MAD. ( AB  28 u ). D

29. La figura que se muestra es un rectángulo. Determine el módulo de la resultante del sistema de vectores mostrados. 6u a) 8 u 2u

b) 10 u

8u

c) 12 u C

d) 15 u

Q

A

B

M

a) 60º d) 50º

b) 37º e) 40º

c) 53º

27. Al realizar algunas operaciones con los vectores A y B se logró obtener los vectores siguientes: A  2B

8u

e) 18 u

P

80 2 N

4A  B

30º

Donde los módulos de los vectores son: 4A  B  10 u y A  2B  10 3 u

Determine el módulo de 7A  5B

30. En la figura dos vectores dados están relacionados entre sí por C  mA  nB , donde m y n son números reales. Determine m y n. 3 2 a)  ;  11 11 4 2 A b)  ;  5 15 C 5 3 c)  ;  11 11 8 2 d)  ;  B 5 15 8 5 e)  ;  15 8

a) 10 19 u

b) 9 7 u

31. Si la resultante del sistema de vectores

c) 7 5 u

d) 3 14 u

mostrados

e) 5 51 u 28. La figura representa una placa sobre la cual actúan cuatro fuerzas coplanares. Determine el módulo de la resultante de estas cuatro fuerzas.

-70-

es

2  3  1  j ,

determine

el

módulo del vector D , si verifica la siguiente igualdad:  3 1  D  C P  5 

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ACADEMIA ALFA a) 2 u

34. En la figura se muestra dos vectores dispuestos sobre un cubo. Determine en qué relación se encuentran los módulos de los

Y

b) 4 u

16 u

10 u

c) 2 5 u

37º

60º

d) 4 5 u e)

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C

5u

X

P

32. Se muestra tres vectores A , B y C que verifican 2 A  2 B  C . Si la resultante de los tres vectores toma su menor valor, determine el valor del ángulo "  " y el valor de la resultante. Y(cm) A

 24;7  B

44º

X(cm)

O

 C

b)

2

c)

2 3

d)

3 2

B

A

e) 3 35. Se tiene un hexágono regular de lado 4 u. Si de uno de sus vértices se empieza a trazar vectores dirigidos a cada uno de los vértices restantes, ¿qué módulo tiene la resultante del sistema de vectores? a) 12 u b) 18 u c) 21 u d) 24 u e) 20 u 36. A partir del gráfico, determine el vector B si

a) 16º y 24 cm c) 14º y 20 cm e) 14º y 50 cm

b) 14º y 25 cm d) 16º y 25 cm

17 u. 2

su módulo es

Z

a) i  3j  k

33. En la figura se muestra a tres vectores P ,

P  3 u y Q  2 10 u . Determine el valor de m si se verifica Q y S ; donde

mP  3Q  nS (m y n son números reales).

Considere: tan  

14 3 b) 5 11 c) 3 16 d) 3 17 e) 3

vectores A  B y A  B . 1 a) 3

1 . 3

Y

4

B

X

6 Y

O

4

37. A partir del gráfico, determine el módulo de la resultante del sistema de vectores mostrados,

S

a)

3 jk 2 c) 3i  j  k d) i  j  k 1 e) 3i  j  k 3 b) i 

siendo A  5 u y E  6 u .  

Q

a) 12 u P

X

B

b) 13 u c) 14u

G

d) 15 u e) 18 u

F

C A E

D

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PROYECTO INGENIERÍA

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38. Se muestra un conjunto de vectores dispuesto sobre un cuadrado. Si OA es de 3 2 u, determine el módulo de la resultante de dichos vectores. a) 6 u A b) 6 2 u

a) 30º d) 53º

b) 37º e) 60º

43. Determinar el vector unitario que sea paralelo a la suma de los vectores: A  3i  2j  7k ; B  9i  5j  3k

O

d) 9 2 u e) 12 u 39. Se muestra un sistema de vectores que

A  B  D  6u ;

verifican que

C  6 3u

Z

H  8 u . Determine el módulo de la resultante. E a) 5 u D

b) 5 3 u

C

c) 10 u

150º

F

 0, 3,0 

60º

K

L

X G

J

e) 6 3 u

H

40. Se tienen dos vectores a y b donde: a  2i  3j  k y b  i  3k . Hallar el valor de:

a  b a  b

a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

41. Se tienen tres vectores a , b y c : si a  (2 , 3 , 0) ; b  ( 2 , 1 , 0) y c  2i  2j  2k .

.

Hallar:  a  b  c a) 10 b) 12 d) 16 e) 18

 0,0, 2 

B B

I

d) 10 3 u

b)

44. La figura muestra un paralelepípedo, hallase el vector resultante.

y

c) 14

42. El producto escalar de dos vectores es igual a 12, si el módulo de su producto vectorial es igual a 16; hallar el ángulo que forman dichos vectores.

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12 i j k 13 12 2 4 d) i j k 13 13 13

2 3 4 i j k 13 13 13 12i  3j  4k c) 13 12 3 4 e) i j k 13 13 13 a)

c) 9 u

c) 45º

Y

 2,0,0 

a) 6  i  j 

b) 6  i  j 

c) 4  i  j  k  e) i  3j  5k

d) 2i  j

45. Hallar el vector ( X  Y ) en términos del vector A y del vector B , sabiendo que PQRSTU es un hexágono regular y N es punto medio de OB. a) b) c) d) e)

5A  2B 2 2A  5B 3 3A  4B 4 5A  2B 2 A  2B 2

P

A

Q X

Y

U

N R

O

B T

S

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Objetivos  Establecer lo que viene a ser el movimiento mecánico y su relatividad.  Describir matemáticamente el movimiento mecánico de los objetos sin considerar las causas que lo originan o modifican.  Establecer los elementos del movimiento mecánico y su relación en diversas aplicaciones.  Analizar el movimiento rectilíneo uniforme y uniformemente variado Introducción: El movimiento ha sido tema de estudio durante casi toda la historia de la humanidad, por ejemplo en la antigüedad el hombre observaba el movimiento de los cuerpos celestes, en el siglo XVIII se estudiaba el movimiento de las moléculas en un gas, en el siglo XX se estudiaba el movimiento de los electrones alrededor del núcleo atómico, y en la actualidad se estudia el movimiento existente en el interior del núcleo.Observador En este capítulo estudiaremos el “movimiento mecánico” pero sin considerar las causas, del porqué se origina tal o cual movimiento mecánico, tan sólo lo describiremos; para ello es necesario establecer elementos y medidas para que la descripción de realice en forma objetiva. Concepto.- Es aquella parte de la mecánica que se encarga de estudiar, el movimiento de los cuerpos sin considerar las causas que lo originan o modifican. El movimiento Consiste en el cambio de posición que efectúa un cuerpo con respecto a un sistema de referencia al cual se considera fijo. Si un cuerpo permanece en el mismo lugar decimos que no se mueve o está en reposo; pero, si cambia de lugar se dice que el cuerpo se mueve. El movimiento es relativo Un objeto puede estar moviéndose para un observador pero no para otro observador. Si cerca de nosotros pasa un automóvil, al ver que se aleja diremos que se mueve, pero el piloto ve que el automóvil siempre está junto a él, luego para el piloto el automóvil estará en reposo relativo. Observador

Conductor

El camión se mueve con relación al observador (O); pero está en reposo con respecto al conductor. CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC)

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Movimiento Mecánico Para comprenderlo, examinemos el siguiente acontecimiento: “un observador observa a un avión que avanza en línea recta y desde cierta altura se deja en libertad a un proyectil”. Y(m)

Para poder examinar lo que acontece, al observador (A) se le debe asociar un sistema de ejes coordenados y un sistema temporal (reloj). A todo este conjunto se le denomina: “Sistema de referencia” (S.R.).

Reloj r0

r

O

X(m) Observador

Para ubicar al cuerpo en estudio (proyectil), se traza un vector que parte del origen de coordenadas y se dirige hacia el cuerpo; a este vector se le denomina “vector posición r ”.

Nota: El vector posición puede ser expresado de la siguiente forma: r  (x, y) o también r  xi  yj ; donde i, j son los vectores unitarios en la dirección de los ejes coordenados:

Examinemos el movimiento del proyectil

r 0 : Vector posición inicial

Y(m)

r f : Vector posición final Reloj r0

r0 rf O

X(m)

El observador nota que el proyectil cambia continuamente de posición, entonces para él, el proyectil se encuentra en “movimiento” o experimenta movimiento mecánico.

Observador

En conclusión: El “movimiento mecánico” es un fenómeno que consiste en el cambio continuo de posición de un cuerpo con respecto a un sistema de referencia. Para poder describir el movimiento mecánico necesitamos conocer ciertos conceptos previos: Elementos del movimiento: 1. Móvil: Se denomina así a todo cuerpo o punto en movimiento mecánico respecto aún sistema referencia

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2. Sistema de Referencia: Es el lugar desde el cual el observador aprecia el movimiento. Se representa mediante un sistema de ejes coordenados 3. Trayectoria: Es la línea geométrica que describe el móvil, puede ser rectilínea o curvilínea. A

Mov. rectilíneo

A

Mov. circunferencial

Mov. parabólico

A

B

B

B

4. Vector posición o radio vector la posición instantánea del móvil.

 r  : Es el vector trazado desde el origen de coordenadas a

5. Desplazamiento  D  : Es el vector que une la posición inicial y la posición final entre los dos puntos de la trayectoria. Y

Posición inicial

Donde:

e

D

r0

Posición final

rf

r0 :

Vector posición inicial

rf :

Vector posición final

D : e :

Vector desplazamiento espacio recorrido

X

6. Distancia (d): Es la medida o módulo del vector desplazamiento. D o en otras palabras “la medida de la longitud del segmento de recta que une la posición inicial y la posición final” A

A

d =5 m

A B

B

d =12 m

B d ABA = 0 m

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7. Espacio Recorrido (e): Es la medida de la longitud de la trayectoria descrita por el móvil. A 20 m

5m

B

A

B

A

e AB = 20 m

B

e ABA = 0 m

e AB = 5 m

Clasificación del Movimiento: 1. De acuerdo a su trayectoria: a) Movimiento Rectilíneo b) Movimientos Curvilíneos:  Movimiento Circunferencial  Movimiento Parabólico  Movimiento Elíptico  Movimiento Ondulatorio 2. De acuerdo a su rapidez:  

Uniformes Variables

Velocidad  V  : Magnitud vectorial que se define como el cambio que experimenta el vector de posición en un determinado intervalo de tiempo cuyo valor indica el espacio recorrido por unidad de tiempo. Características:  Ser tangente a la trayectoria en todos los puntos.  Definir el sentido de la velocidad.  En cinemática se acostumbra llamar “rapidez” al módulo de la velocidad

V

V

V

Unidades de velocidad: En el S.I.: m/s Otras unidades: km/h , pies/s, cm/s, millas/h, etc.

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Velocidad Media ( V m ): Es la relación entre el desplazamiento del móvil con respecto al tiempo empleado. Y

e

Inicial

Definimos el vector velocidad media: r r0 D = f t t Calculamos el módulo: Vm 

Vm

D

D 1 = rf r0 t t Observe: La velocidad media dirección que el desplazamiento

Final

Vm 

X

tiene

la

misma

Rapidez Media o promedio (V): Es la relación entre el espacio recorrido por el móvil con respecto al tiempo que emplea. La rapidez media es una cantidad escalar y se expresa de la siguiente manera:

e t La rapidez media es la rapidez uniforme con la cual, en el mismo tiempo, el móvil haría el mismo recorrido. V

Velocidad Instantánea: Es la velocidad que tiene un cuerpo en cada instante de su movimiento “es la velocidad propiamente dicha”. Recta tangente

r

P

V

C B

r



Trayectoria

Si disminuimos progresivamente el tiempo de recorrido, la dirección secante ( OA ) del desplazamiento se va acercando a la dirección de la recta tangente. Para un tiempo muy pequeño (instante o diferencial de tiempo) el desplazamiento y la velocidad resultan ser tangentes a la trayectoria.

A t

O

En el siguiente gráfico de muestra la velocidad instantánea en distintos puntos de una trayectoria curvilínea. VB

B

r  f(t) VD

C

D

A

VC VA

Analizando el movimiento se puede apreciar que:  El vector velocidad instantánea siempre es tangente a la trayectoria del móvil CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC)

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PROYECTO INGENIERÍA   

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La velocidad en el punto A es horizontal debido a que se trata de un “extremo relativo” (mínimo). En el trayecto BC se presenta un cambio de curvatura en la trayectoria, así mismo un cambio en la dirección de la velocidad. En el punto D la velocidad es otra vez ascendente.

Cálculo de la velocidad instantánea Para este efecto será necesario conocer la ecuación de la trayectoria del móvil expresada en términos del tiempo, es decir: r  f(t) ; de donde se puede calcular la velocidad instantánea mediante un operador diferencial denominado “derivada”.

Recta tangente

Y

Trayectoria

P



V

r  f(t)

Dada la trayectoria curva de la figura, es posible calcular la velocidad instantánea en el punto P, este valor resulta ser la pendiente de la recta tangente a dicha trayectoria, es decir: V  m  tan 

Otra manera de realizar dicho cálculo es hallando la derivada del vector posición en el punto P. O

X

dr dt Matemáticamente la velocidad (V) es la derivada de la posición (r) con respecto al tiempo. V

Apéndice Cálculo de derivadas n Dado un término monomio: y  ax Se define como derivada con respecto a la variable “x” a la expresión:

dy n 1  anx dx La cual representa el valor de la pendiente de la recta tangente a la trayectoria. Ejemplo Ilustrativo 1: Dado un polinomio: x  2t 2  3t  5 . Hallar la derivada con respecto a “t”. Solución: El polinomio se puede escribir: x  2t 2  3t  5t 0

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Aplicando la fórmula: dx 21 11 01   2(2)t  3(1)t  5(0)t dt

dx  4t  3 dt

Ejemplo Ilustrativo 2: La posición de una partícula está dada por la ecuación: r  2t 3  4t 2  3t  5 (r en metros), hallar su velocidad instantánea cuando t  2 s . Solución: Hallando la derivada: dr 2  V  6t  8t  3 dt Evaluando en t  2 V  6(2)2  8(2)  3  V  11 m/s Rpta. Ejemplo Ilustrativo 3: La posición de un móvil (en m) con respecto al tiempo (en s) se expresa según la siguiente ecuación: r  t 2  8t  20 . Calcular la velocidad del móvil en el instante en que pasa por el origen. Solución: El móvil pasa por el origen cuando r  0

t 2  8t  20  0  t  10 s (Única solución)   t  2 s Recuerde que el tiempo nunca es negativo Hallamos la derivada de la posición: dr  V  2t  8 dt Rpta. V  2(10)  8  V  12 m/s t t

 10  2

Aceleración  a  .- Magnitud vectorial cuyo valor nos indica el cambio de velocidad que experimenta un móvil por unidad de tiempo, también nos indica la rapidez con que cambia la velocidad. Unidades: 2 En el S.I.: m/s 2 2 2 Otras unidades: km/h , pies/s , cm/s , etc.

Aceleración Media  a m  .- Un móvil acelera cuando cambia el módulo y/o dirección de su velocidad con respecto al tiempo.

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Es el vector que se define como el vector cambio de velocidad (diferencia de vectores). am 

V t



am 

Vf  V0 t

Para calcular el módulo de la aceleración media se debe hallar previamente el módulo de la diferencia de velocidades  V  V f  V 0 r





V0

r  f(t)

Vf Vf  V0

V0

Vf

O

t

Se sugiere utilizar el siguiente método: Invertir la velocidad inicial obteniéndose  V 0 y a continuación aplicar el método del paralelogramo para hallar el vector diferencia.

Vf  V0 

Vf 2  V0 2  2Vf V0 cos 

Posteriormente el módulo de la aceleración media se hallará aplicando la relación: a 

Vf  V0 t

Aceleración Instantánea.- Es la aceleración que tiene el móvil en cada instante de su movimiento, también se llama aceleración lineal o simplemente aceleración. Es un vector cuyo sentido siempre señala la parte cóncava de la curva y su dirección depende de las características del movimiento; pero en general es distinto al vector velocidad. V

at

a ac

ac

a

at

V

En el movimiento curvilíneo la aceleración se puede presentar de tres maneras generales:

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1. Si la rapidez del móvil aumenta, la aceleración y la velocidad forman un ángulo agudo. 2. Si la rapidez del móvil permanece constante; la aceleración es perpendicular a la velocidad del móvil. 3. Si la rapidez del móvil disminuye; la aceleración y la velocidad forman un ángulo obtuso.



V

V

V a

a

a



Cálculo de la aceleración instantánea De acuerdo a los anteriores gráficos, la aceleración a puede formar un ángulo agudo, obtuso o recto con la velocidad V . Matemáticamente, la aceleración ( a ) es la derivada de la velocidad ( V ) con respecto al tiempo:

Y

r

a



dV dt Como la velocidad (V) es la derivada de la posición (r) con respecto al tiempo se tendrá que: a

V

X

a

d 2r

dt 2 La aceleración es la segunda derivada de la posición ( r ) Ejemplo Ilustrativo 1: En un movimiento la posición (en m) con respecto al tiempo (en s) se da según la siguiente ley

r  2t 3  4t  3 . Hallar la velocidad del móvil en t  1 s y su aceleración en t  2 s . Solución: La posición está dada por: r  2t 3  4t  3 Con la primera derivada de la posición se halla la velocidad:

V  6t 2  4 V  6(1)2  4

 V  2 m/s

Rpta

Con la segunda derivada de la posición se halla la aceleración: dV a  12t dt 2 a  12(2)  a  24 m/s

Rpta

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Ejemplo Ilustrativo 2:

En un plano una partícula se mueve según la ecuación r   4  3t  3t 2; 5t  t 3  . Hallar el módulo de la aceleración para t  1,5 s . Solución: En el plano la posición está dada por:

r   4  3t  3t ; 5t  t 2

3



La primera derivada es la velocidad: dr   3  6t; 5  3t 2  dt La segunda derivada es la aceleración: V

d2r

  6; 6t  dt 2 3  a   6; 6    a   6; 9  2  Para hallar el módulo del vector aceleración aplicamos el Teorema de Pitágoras: a

a

( 6)2  9 2

2  a  3 13 m/s

Rpta

Ejemplo Ilustrativo 3: Un movimiento unidimensional está dado por la ley: r  t 3  3t 2  2t  6 , donde la posición está dada en metros y el tiempo en segundos. Hallar la aceleración en el instante en que el móvil pasa por el origen. Solución: El móvil pasa por el origen cuando r  0

t 3  3t 2  2t  6  0 t 2 (t  3)  2(t  3)  0 (t  3)(t 2  2)  0 

t3s

La velocidad es la primera derivada de r: V  La segunda derivada es la aceleración: a 

dr 2  3t  6t  2 dt

d 2r dt 2

 6t  6

Evaluando para t  3 s 2 Tenemos: a  6(3)  6  12 m/s

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Rpta

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Movimiento Rectilíneo Uniforme El movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.) es el más simple de la cinemática, su característica principal es que la velocidad del móvil permanece constante, es decir el móvil avanza distancias iguales en tiempos iguales. Consecuencias de una velocidad constante 

Un móvil con M.R.U. no debe cambiar la dirección de su velocidad; por lo tanto, la trayectoria debe ser necesariamente una recta. Una velocidad constante solamente se puede dar en una trayectoria recta.



Un móvil con M.R.U. no debe cambiar el módulo de su velocidad; o sea su rapidez debe ser constante. Un movimiento con rapidez constante es denominado uniforme



Un móvil con M.R.U. no cambia la dirección ni el módulo de la velocidad, o sea no acelera. Si un móvil no acelera su trayectoria es una recta y su rapidez permanece constante



Si el móvil tiene velocidad constante su rapidez también será constante y el móvil recorrerá distancias iguales en tiempos iguales t t t

d Características: Trayectoria : recta Velocidad Aceleración

V

V

V

: constante : cero

d

d

d v t

V

d  vt

MOVIMIENTOS SIMULTÁNEOS.- Dos móviles tendrán movimientos simultáneos si empiezan y terminan sus movimientos al mismo tiempo. Los tiempos empleados por cada móvil serán iguales. t1  t 2  t MOVIMIENTOS NO SIMULTÁNEOS.- Dos móviles tendrán movimientos no simultáneos cuando uno de ellos se adelanta en la partida o el otro tarda en partir, los tiempos empleados por cada móvil serán diferentes. t1  tiempo del primer móvil que partió

t 2  tiempo del móvil que partió rezagado

t  tiempo de adelanto del primero o de atraso del segundo t1  t 2  t CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC)

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1. CRUCE O ENCUENTRO DE DOS MÓVILES El movimiento se da en direcciones opuestas. Cuando están separados una distancia “d”, la posición de los móviles es la siguiente: VB VA

d

A

B

Transcurrido un tiempo “t”, el auto y el camión se encuentran VB VA

dB

dA

d

Se sabe que: t A  t B Del gráfico se deduce: d  d A  dB

d  VA t  VBt  d  t(VA  VB ) Luego el tiempo de encuentro estará dado por: t encuentro 

d VA  VB

2. ALCANCE DE DOS MÓVILES El movimiento se da en la misma dirección. Cuando están separados una distancia “d” VA VB

B

d

A

x

E

dA

E

Transcurrido un tiempo “t”, el auto alcanza al camión

B

d

A

Se sabe que: t A  t B

dB

Del gráfico se deduce: dB  d  d A

dB  d A  d

VBt  VA t  d  d  t(VB  VA )

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Luego el tiempo de alcance estará dado por: t alcance 

d VB  VA

EL SONIDO COMO (MRU) El sonido es producido por la vibración de los objetos. Para transmitirse se requiere de un medio elástico que puede ser sólido, liquido o gaseoso. En el vacío el sonido  Aire (20°)  Hidrogeno (0°)  Oxigeno (0°)  Agua de mar  Agua dulce

no se propaga (V = 0) = 340 m/s = 1286 m/s = 317 m/s = 1500 m/s = 1435 m/s

Ejemplo Ilustrativo 01 Un gato ve a un ratón a 4 m de distancia y corre en su persecución al mismo tiempo que huye el ratón. Si la velocidad del gato es a la velocidad del ratón como 3 es a 2. ¿Qué distancia total debe recorrer el gato para atrapar al ratón? (Suponga rectilínea la trayectoria del movimiento). Solución:

Los tiempos que demoran el gato y el ratón, en llegar al punto “E” son los mismos:

Velocidad del ratón: V 3 Velocidad del ratón: V 2

t gato  t ratón

4x x  3 V V 2 E x

4m



3x  8  2x 

3 x  4x 2

x8

Distancia recorrida por el gato: 4  x  4  8  12 m

Rpta.

Ejemplo ilustrativo 02 Un tren experimenta un MRU avanza con una rapidez de 54 km/h. Si tarda 20 s en atravezar completamente un túnel de 200 m de longitud, determine la longitud del tren. Solución: V  54 km/h

200 m

L

Nos piden la longitud del tren, podemos notar que en 20 s la parte delantera del tren recorre la distancia (200+L)

Para la parte delantera del tren: km 1000 m 200  L 54  54   15 m/s V h 3600 s 20 200  L 15  20 L  100 m Rpta.

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Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado Una partícula tendrá un movimiento rectilíneo uniformemente variado (M.R.U.V.) si al desplazarse su trayectoria es una recta y su rapidez aumenta o disminuye uniformemente. Características  Trayectoria  Velocidad  Aceleración

: recta : variable : constante 12 m/s

8 m/s

2 m/s

Debido a la trayectoria recta se puede decir que la dirección de la velocidad no cambia. 1. La aceleración es colineal con la velocidad 

Si la rapidez aumenta se dice que el móvil está acelerando. La aceleración tiene el mismo sentido que la velocidad.



Si la rapidez del móvil disminuye se dice que el móvil está desacelerando. La aceleración tiene sentido contrario a la velocidad. a

a

V

movimiento acelerado Aceleración positiva

V

movimiento retardado Aceleración negativa

2. La aceleración es constante 

En el siguiente diagrama la aceleración es constante porque cada 4 s la velocidad varía en 3 m/s. 4s 4s 4s 4 m/s

7 m/s

10 m/s

13 m/s

Ecuaciones del MRUV En el MRUV la aceleración es el cambio de velocidad por cada unidad de tiempo: V0 : Velocidad inicial

Vf :

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Velocidad final CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS ---  FONO: 630439

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Luego:

Vf  V0 V  V0 V ó también: a  f ; para el tiempo t  a t t V  V  at Se deduce que: … (2) f 0

a

… (1)

Se empleará: (  a ) si el móvil acelera (  a ) si el móvil desacelera En el M.R.U.V. la rapidez varía uniformemente y por esto la rapidez media equivale a la media aritmética entre la velocidad inicial (V0 ) y la velocidad final (V0 ) .

Vf  V0 … (3) 2 Para calcular la distancia (d) que recorre el móvil se emplea la rapidez media: d  Vmt … (4) Vm 

 Vf  V0  t Reemplazando (3) en (4): d   2   Considerando la relación (1) para el tiempo:  V  V0   Vf  V0  d f   2 a    Vf 2  V0 2 2 2 ; Linealizando: Vf  V0  2ad 2a Reemplazando (2) en (4): d

… (4)

(V0  at)2  V0 2  2ad 2V0t  at 2  2d 

d  V0 t 

1 2 at … (5) 2

RESUMEN DE FÓRMULAS: Retardado (a)

Acelerado (a) 1 2

Vf  V0  at

3

Vf 2  V0 2  2ad

4 5

1 2 at 2 1 d n  V 0  a(2n  1) 2

d  V0 t 

 V  V0  d f t 2   Vf  V0  at

Vf 2  V0 2  2ad 1 2 at 2 1 d n  V 0  a(2n  1) 2

d  V0t 

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Ejemplo Ilustrativo 01 Calcular la aceleración de un móvil que tarde 10 s en cambiar su velocidad de 12 m/s a 32 m/s. Solución:

La aceleración es igual a la variación de la velocidad en un determinado tiempo: V  V0 a f t

10 s 12 m/s

32 m/s

Reemplazando datos: 32  12 a 10 2 20  a  2 m/s a 10

Rpta.

Ejemplo Ilustrativo 02 Dos móviles parten del reposo simultáneamente, se mueven en vías paralelas avanzando en el 2 mismo sentido con aceleraciones de 2 y 8 m/s . ¿Qué tiempo después estarán separados 300 m?

Solución: a1  2 m/s 2

d1

Como parten del reposo ambos móviles V0  0 , debemos tomar en

300 m

cuenta que:

a 2  8 m/s 2

d

d2

1 2 at 2

El tiempo es el mismo para ambos móviles, luego de la figura se deduce: d 2  d1  300

1 2 1 2 a 2t  a1t  300  2 2

8t 2  2t 2  600 6t 2  600 

t  10 s

Rpta.

Ejemplo ilustrativo 03 Un móvil se desplaza con M.R.U.V. y recorre en el tercer segundo recorre 16 m menos que el que recorre en el séptimo segundo. Entonces su aceleración será: Solución: d7  d 3  16

1 1 a  2(7)  1   a  2(3)  1   16 2 2 2 13 5 a  a  16  a  4 m/s 2 2

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Re cuerde que: dn  Rpta.

1 a(2n  1) 2

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Problemas Resueltos 1. Un automovilista observa en un momento determinado que 1/5 de lo recorrido equivale a 3/5 de lo que falta por recorrer. ¿Cuántas horas habrá empleado hasta ese momento, si todo el viaje lo hace en 12 horas? a) 9 h b) 4 h c) 7 h d) 3 h e) 5 h Solución: Sea “V” la velocidad del automovilista Falta recorrer

recorrido

12V  x

x

12V Del dato: 1 3 x  (12V  x) 5 5

x 9 V Tiempo de recorrido hasta el momento: x Rpta. t  9h V x  36V  3x



2. Un tren tarda 70 s atravesar un túnel de 1200 m de longitud, y al pasar delante de una persona demora 20 s. ¿Cuál es la velocidad del tren? a) 24 m/s b) 30 m/s c) 48 m/s d) 20 m/s e) 16 m/s Solución: Cuando pasa el túnel:

x

dx    t  20 

1200 m

V

x  1200 … (1) 70

V

x 20

… (2)

Recuerde que la velocidad es constante: Igualando (1) y (2): x  1200 x  70 20 2x  2400  7x  x  480 m Cálculo de la velocidad y reemplazando en 2 x 480 V   24 m/s Rpta. 20 20 3. En cierto instante la separación entre dos móviles, que se acercan rectilíneamente con velocidades opuestas de 9 m/s y 6 m/s, es 150 m . Hállese el tiempo adicional para el cruce. a) 8 s b) 9 s c) 10 s d) 12 s e) 15 s Solución d

V1

d1

V2

d2

Del gráfico: d  d1  d 2

d  V1t  V2t 

t

x

d  x  1200    t  70 

Pasa frente a la persona:

t

d V1  V2

150  t  10 s 96

Rpta.

4. Un auto viaja a velocidad constante de 9 m/s hacia una montaña, toca el claxon y el conductor escucha el eco después de 4 segundos. ¿A qué distancia de la montaña se encontraba el auto antes de tocar su claxon? a) 690 m b) 698 m c) 670 m d) 650 m e) 700 m

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Solución:

Aplicando semejanza base – altura: x 3 … (1)  y 5 Pero: … (2) x  d s  d 2  (Vs  3)t

x

d En un mismo tiempo se da lo siguiente: La distancia recorrida por el auto es “x”, mientras que el sonido recorre “ 2d  x ”.   x  9(4)  x  36 m    2d  x  340(4) 2d  36  1360  d  698 m Rpta. 5. Se muestran dos velas y una pared, al encenderlas, la primera se desgasta con velocidad 1 cm/min y la segunda con 3 cm/min, ¿Con qué velocidad decrece la sombra de la vela más cercana a la pared, proyectada sobre dicha pared? 1º 1 cm/min

2º

3 cm/min

5Vs  15  3Vs  3  2Vs  12 Vs  6 cm/min

a) 2 cm/min c) 4 cm/min e) 6 cm/min

Solución: El gráfico representa la posición después de que los móviles se cruzan:

9t

b) 3 cm/min c) 5 cm/min

Por Pitágoras: d2

y

ds

x

2 cm

Desgaste de las velas: d 1  (1)t  t d 2  3(t)  3t Decrecimiento de la sombra: d s  Vs t

3 cm

900 m 12t

Solución: d1

Rpta.

6. Dos móviles cuyas velocidades son 12 m/s y 9 m/s viajan sobre vías perpendiculares, después de cuánto tiempo de haberse cruzado distarán de 900 m. a) 1 s b) 2 s c) 3 s d) 1,5 s e) 2,5 s

3 cm

2 cm

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… (3) y  d s  d1  (Vs  1)t Reemplazando (2) y (3) en (1) (Vs  3)t 3  (Vs  1)t 5

 9t  2   12t  2  900

81t 2  144t 2  900 Rpta. 225t  900  t  2 s 2

7. Un avión se acerca a una vía de aterrizaje de 100 m de largo con una rapidez de 40 m/s, si el sistema hidráulico permite que el avión vaya deteniéndose uniformemente. Calcular la desaceleración suficiente que debe tener el avión. 2 a) 5 m/s

2 b) 6 m/s

2 d) 10 m/s

2 e) 12 m/s

2 c) 8 m/s

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Solución: Datos: V0  10 m/s

Solución: 5s

d  100 m Vf  0 (el avión debe detenerse)

VA A

t? Se sabe que:

B

d

C

Tramo AB: V0  VA

0  (40)2  2a(100)

200a  1600 a  8 m/s

frenar

100 m

VA  20

Trabajando por tramos:

Vf 2  V0 2  2ad

8. Al

2s

un

2

VB  VA  20

Rpta.

auto,

se

produce

una

2 desaceleración de 10 m/s . ¿Qué distancia recorrerá en el último segundo de su trayecto? a) 4 m b) 5 m c) 6 m d) 8 m e) 10 m

Solución: 2 Datos: a  10 m/s (desacelerado) t  1 s (último segundo) Vf  0

d? Vf  V0  at 0  V0  10 (1)

V0  10 m / s Reemplazando en la formula  V  V0  d f  t    10  0  d De la fórmula: 1  2 

d 5m

Rpta.

9. En un movimiento con aceleración constante, en 5 s la velocidad de la partícula aumenta en 20 m/s mientras recorre 100 m. Hallar la distancia que recorrerá la partícula en los dos segundos siguientes. a) 62 m b) 64 m c) 66 m d) 68 m e) 72 m

Por la fórmula de distancia:  V  VA  d B t 2    VA  20  VA  100   t 2   100  (VA  10)5

100  5VA  50 VA  10 m/s , de donde: VB  30 m/s

Cálculo de la aceleración: V  VA a B t 30  10  a  4 m/s 2 a 5

Rpta.

Tramo BC: Distancia en los dos segundos adicionales: 1 2 d  V0 t  at 2 1 2 d  30(2)  (4)(2) 2 d  60  8  d  68 m Rpta. 10. Con una aceleración constante “a”, en un segundo, un móvil recorre una distancia “d”. ¿Qué distancia recorrerá el móvil en el segundo siguiente? a) d  2a b) d  3a c) 2d  a d) d  a e) d  a

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Solución:

Solución: t2

1s

1s

t1

VB

VA A

d

B

A

C

x

B

x

Condición: t 3  t 2  n

t 1s AB  d BC  x Utilizando la fórmula de distancia: 1 2 d  V0 t  at 2 1 2 d  VA t  a(1) 2 a a  VA  d  2 2 Tramo AC: V0  VA

d  VA 

C

x

Tramo AD:

V0  VA  0 t  t3

d  3x Aplicando fórmula de distancia:

1 6x at 3 2  t 3  2 a Tramo AC: V0  VA  0 3x  0 

d  2x Aplicando fórmula de distancia:

Sustituyendo (1) en (2): a  d  x  2  d    2a 2 

Tramo AB:

2x  0  6x  a

n

da

Rpta.

11. La partida de un móvil se da desde el reposo y que este debe recorrer cierto trayecto rectilíneo con aceleración constante. ¿En cuánto tiempo el móvil recorrerá la primera tercera parte, si la última tercera parte del trayecto la recorre en “n” segundos?

e) (3 

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2)n 2)n

… (3)

4x n a

2x ( 3 a

2) … (4)

V0  VA  0

t  t1

d  x  2d  a  2a  x 

c) ( 3 

… (2)

t  t2

… (1)

1 4x at 2 2  t 2  2 a Reemplazando (2) y (3) en (1):

2)n

D

… (1)

t2s 1 2 d  x  VA t  at 2 1 2 d  x  VA (2)  a(2) 2 d  x  2VA  2a … (2)

a) ( 3 

x

t3

V0  VA

Tramo AB:

n

b) ( 5 

2)n

d) ( 5 

2)n

dx Aplicando fórmula de distancia:

1 at12  t 1  2 Sustituyendo (5) en (4):

2x a

x  0

n  t1( 3  2)  t 1 

… (5) n 3

2

Racionalizando: t1 

n( 3  2) 32

t1  n( 3 

2)

Rpta.

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Problemas Propuestos 1. Si la posición “x” de una partícula es descrita por la relación x  5t 2  20t ,donde x esta en m, t en s ; entonces su velocidad media entre los instantes t  3 s y t  4s ; en m/s es: a) 320 m b) 160 m c) 95 m d) 55 m e) 16 m 2. Una persona avanza con una velocidad constante de 5 m / s en dirección este y después corre en dirección 37º al noroeste para un tiempo de 5 s ¿Cuál fue el modulo de su velocidad media? (en m/s). a) 5 b) 2,5 c) 3,37 d) 3,5 e) 4,12 3. Un móvil se encuentra en la posición

r 1   2i  5j  m en el instante t1  2s .y en la

r 2   6i  3j  m en el instante t 2  4s .Siendo su movimiento rectilíneo uniforme. Hallar el desplazamiento desde t  4s a t  8s (en m) posición

a) 5 3

b) 6 2

d) 10 2

e) 8 5

t  0 en la posición r 0   3i  4j  m .Si tiene una velocidad constante V  5j m/s , determinar la posición (en m) en el instante t2 s.

b) 3i  6j e) 3i  10j

c) 3i

a) 20 m/s

d) 180 m/s

b) 50 m/s 2

Y

A

B

X

a) 12 2 d) 6

c) 6 2

b) 3 2 e) 12

7. Una partícula realizó el movimiento que se indica en la figura; demorándose de “A” a “B” 2 s, si se conservó su rapidez de 6 m/s el módulo de la aceleración media fue: 2 a) 1 m/s

B

2 b) 2 m/s 2 c) 3 m/s 2 d) 3 3 m/s

60º A

8. Un insecto logra desplazarse por el cilindro desde “A” hasta “B” siguiendo la trayectoria indicada con una rapidez constante de 10 cm/s. Si el módulo de la velocidad media fue de 2 cm/s , calcular la longitud de la espiral que describió al moverse. B a) 100 cm b) 500 cm

80 cm

c) 50 cm

5. Evalué el modulo de la aceleración media que experimenta una partícula que choca frontalmente contra una pared con una velocidad de 10m/s y rebota con 8m/s, el choque dura 0,1 seg. 2

media (en m/s 2 ) entre los puntos “A” y “B” si demora 2 s en recorrerlo. 5 m/s V  (15i  8j) m/s 53º

2 e) 3 2 m/s

c) 4 10

4. Una partícula se encuentra inicialmente

a) 3i  j d) 5j

6. Un objeto resbala por el tobogán que se muestra. Evalué el modulo de la aceleración

2

e) 150 m/s

c) 100 m/s 2

2

d) 200 cm e) 565 cm

A 60 cm

9. Un móvil con MRU. Se mueve a 72 km/h. Determine que distancia avanzara en 1 min. a) 300 m b) 600 m c) 900 m d) 1000 m e) 1200 m

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10. Un tren de 80 m de longitud viaja a 72 km/h ¿Qué tiempo empleara en pasar completamente un túnel de 120 m de largo? a) 2 s b) 8 s c) 4 s d) 10 s e) 6 s

16. Un tren cruza un poste en 10 s, y un túnel en 15 s. ¿En cuanto tiempo el tren cruzaría un túnel si el tamaño de este fuese el triple? a) 15 s b) 20 s c) 25 s d) 30 s e) 35 s

11. Dos móviles separados por 300 m se dirigen al encuentro con velocidades constantes de 72 y 36 km/h. Hallar el tiempo de encuentro. a) 5 s b) 20 s c) 25 s d) 10 s e) 15 s

17. La sirena de una fábrica suena en forma continua durante 9 seg. un obrero se dirige hacia la fábrica en un autobús con una rapidez constante de 72 km/h. ¿Cuánto tiempo escucha dicho obrero la sirena? a) 5,5 s b) 6,5 s c) 7,5 s d) 8,5 s e) 9,5 s

12. Un automóvil recorre la distancia AB a 20 m/s y luego la distancia BC a 30 m/s. Si AB=BC, hallar la velocidad media de todo el recorrido, si se efectúa en una sola dirección. a) 21 m/s b) 24 m/s c) 25 m/s d) 22 m/s e) 23 m/s 13. Un estudiante desea calcular la distancia que hay entre su casa y la academia. Si observa que caminando a razón de 80 cm/s tarda 25 min más que caminando a 95 cm/s ¿Cuál es la distancia entre su casa y la academia? a) 1,5 km b) 3,6 km c) 5,6 km d) 7,6 km e) 9,6 km 14. Desde el instante mostrado. ¿Qué distancia separa a la persona del móvil “N” cuando los móviles M y N están en el momento del cruce? 3 m/s 8 m/s

6 m/s

M

a) 8 m d) 24 m

36m

N

6m

b) 9 m e) 15 m

c) 18 m

15. La ecuación del movimiento de una partícula en el sistema internacional de unidades es x  2t  10 determinar su posición 2 s después de pasar por el origen de coordenadas. a) +1m b) +2 m c) +3m d) +4m e) +5 m

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18. En el instante mostrado, desde el automóvil se toca el claxon y la persona escucha el eco, cuando el automóvil se encuentra en la mitad de su camino. ¿Qué velocidad tiene el automóvil? v 8x

a) 17m/s d) 47m/s

b) 27m/s e) 57m/s

x

c) 37m/s

19. Dos móviles A y B , separados por 50 m, se mueven en la misma dirección con rapidez constante de 40 m/s y 15 m/s, respectivamente ,señale al cabo de cuanto tiempo mínimo, A estará 150 m delante de B a) 6 s b) 8 s c) 10 s d) 2 s e) 12 s 20. Un roedor se encuentra a 20 m debajo de un halcón y al observarlo huye rectilíneamente hacia un agujero, que se encuentra a 15 m delante de él, con una rapidez constante de 3 m/s . Determine la rapidez media del halcón, si este caza al roedor justo cuando ingresa al agujero. a) 3 m/s b) 4 m/s c) 5 m/s d) 6 m/s e) 8 m/s

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21. Un hombre de 1,70 m de altura pasa junto a un poste de 3,40 m de altura, con una velocidad de 2 m/s en el preciso momento en que a 100 s de él, viene un niño (Marquito) al encuentro con una velocidad de 1 m/s Determine el tiempo que tardará el niño en pisar el extremo de la sombra del hombre. a) 20 s b) 21 s c) 22 s d) 25 s e) 30 s 22. Dos móviles, A y B pasan simultáneamente por un mismo lugar experimentando un M.R.U. En la misma dirección con rapidez de 10 m/s y 5 m/s respectivamente. ¿Luego de cuanto tiempo los móviles equidistaran de tu profesor marquito Yllanes que se encuentra a 300 m delante de él por el cual pasaron simultáneamente? a) 30 s b) 40 s c) 35 s d) 25 s e) 50 s 23. Un tren, que se desplaza con la velocidad constante, cruza un túnel de 120 m en 8 s. Si una persona sentada al lado de una de las ventanas del tren nota que permanece 4 s dentro del túnel , determine la longitud del tren a) 120 m b) 180 m c) 200 m d) 110 m e) 240 m 24. Una persona al encontrarse a orillas del mar se percata de que mar adentro se produjo una explosión y reconoce que la diferencia de los tiempos de llegada de los sonidos por el aire y por el agua es de 11 s. ¿A qué distancia de la persona se produjo la explosión. Si La rapidez del sonido en el aire y el agua es de 340 m/s y 1440 m/s respectivamente? a) 3935 m b) 3824 m c) 4920 m d) 5100 m e) 4896 m 25. Un tren de 60 m de longitud se desplaza en línea recta con una rapidez constante de 40 m/s y demora en cruzar un puente “t” segundos .Si hubiese duplicado su rapidez, habría empleado 2 s menos en cruzarlo. Determine la longitud del puente (en km).

a) 0,2 d) 0,1

b) 0,15 e) 0,08

c) 0,12

26. Un automóvil se va alejando en línea recta y perpendicular al muro con rapidez de 20 m/s . Si acierta distancia de este el conductor toca la bocina, y escucha el eco después de 4 s. ¿A qué distancia del muro se encontrara el conductor cuando escucha el eco? a) 640 m b) 320 m c) 720 m d) 600 m e) 520 m 27. Frente a una estación A pasan 2 móviles que Se desplazan en línea recta con rapidez constante den 5 m/s y 20 m/s, para dirigirse hacia otra estación B. En ese instante por la estación B pasa otro móvil se dirige hacia A con 30 m/s y se cruza con los anteriores, con un intervalo de tiempo de 1 min. ¿Qué distancia hay entre las estaciones A y B? a) 5 km b) 6 km c) 6,5 km d) 7 km e) 7,5 km 28. Un insecto realiza un M.R.U. y se desplaza a lo largo de la recta “L”. Si el área A 1 es de

40 m 2 y fue barrido en 5 s; indique cuanto es el área A 2 dado que se barrio en 8 s y además con qué rapidez vuela el insecto. Z

L A2 A1

Y

8m

X

a) 60 m 2 ; 2 m/s

b) 56 m 2 ; 4 m/s

c) 64 m 2 ; 4 m/s

d) 64 m 2 ; 2 m/s

2

e) 60 m ; 1 m/s

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29. Marquito se encuentra a 3 m del centro de una ventana de 1 m de ancho y un bus, que experimenta M.R.U., se mueven por una pista paralela a la ventana con una distancia de 87 m . Si el bus de 10 m de longitud fue observado por el profesor Marquito durante 8 s , ¿Qué valor tiene la velocidad del bus (en km/h)? a) 10 b) 15 c) 12 d) 18 e) 20 30. Un móvil parte del reposo y adquiere un 2

MRUV con aceleración de 2 m/s . ¿Qué distancia recorre el móvil en los 5 s iniciales de su movimiento? a) 2 m b) 5 m c) 15 m d) 25 m e) 50 m 31. Un móvil con MRUV. Tiene la velocidad 2 inicial de 6 m/s y acelera a 0, 5 m/s durante 10 s . ¿Qué velocidad final adquiere? a) 5 m/s b) 6 m/s c) 7 m/s d) 9 m/s e) 11 m/s

32. Un móvil con MRUV, posee la velocidad 2 inicial de 10 m/s y acelera a 4 m/s . Determine la distancia que recorre durante el 5to segundo de su movimiento. a) 10 m b) 12 m c)14 m d) 19 m e) 28 m

33. Un móvil aumenta su velocidad desde 72 km/h hasta 180 km/h durante 1min. ¿Cuál es su aceleración? 2 a) 0,1 m/s

2 b) 0, 2 m/s

2 d) 0, 4 m/s

2 e) 0, 5 m/s

2 c) 0, 3 m/s

34. Dos coches separados por 300 m partiendo del reposo se dirigen al encuentro con 2 2 aceleración constante de 2 m/s y 4 m/s . Halle el tiempo de encuentro. a) 5 s b) 8 s c) 10 s d) 12 s e) 15 s

-96-

35. Un automóvil parte del reposo y avanza dos tramos consecutivos ,el primero acelerando a 6 m / s 2 y el segundo retardado a 3 m/s 2 .Si el tiempo total empleado es de 15 s, halle la máxima velocidad alcanzada en todo el movimiento a) 10 m/s b) 20 m/s c) 30 m/s d) 40 m/s e) 50 m/s 36. Un móvil con MRUV recorre en

3s

consecutivos 30 m. ¿Cuánto recorrerá en los 3 s consecutivos?. Considere que la velocidad inicial es nula. a) 30 m d) 120 m

b) 60 m e) 150 m

c) 90 m

37. Un móvil parte del reposo y recorre dos tramos consecutivos, el primero acelerando a 4 m/s 2 y el segundo desacelerando a 2 m/s 2 , hasta detenerse. Si la distancia total que recorre es 600 m indique el tiempo que estuvo en movimiento. a) 10 s b) 20 s c) 30 s d) 40 s e) 50 s

38. Un auto que parte del reposo y se mueve 2 con MRUV, acelera a 4 m/s y debe recorrer 1200 m para llegar a su destino ¿Qué tiempo empleo el auto para llegar a su destino? a) 20 s b) 25 s c) 30 s d) 35 s e) 40 s

39. Un atleta inician su movimiento desde el reposo con una aceleración constante de 0, 4 m/s 2 . Si luego de 10 s adquiere su velocidad máxima. ¿Qué distancia recorre luego de medio minuto de haber iniciado su movimiento? a) 70 m b) 80 m c) 42 m d) 100 m e) 96 m

40. Un auto inicia su movimiento desde el reposo experimentando un MRUV, recorriendo

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5 m en los primeros “t” segundos de su movimiento, determine el recorrido para los “2t” segundos siguientes. a) 30 m b) 40 m c) 50 m d) 60 m e) 70 m 41. Un automóvil que realiza un MRUV, inicia su movimiento con una aceleración de 2 m/s 2 ; determine su rapidez su rapidez en t  4 s , y el

45. Un móvil tiene un movimiento rectilíneo representado por la ecuación x  4t 2  4t  1 (“x” esta en m y “t” esta en s). Halle la posición “x” del móvil (en m) cuando su velocidad es 8 m/s . a) 0,7 m b) 0,8 m c) 3 m d) 4 m e) 5 m 46. Un móvil avanza 60 m en 5 s, con una

recorrido durante el 4to segundo de su movimiento. a) 8 m/s; 14 m d) 16 m/s; 8 m b) 9 m/s; 5 m e) 6 m/s; 6 m c) 8 m/s; 7 m

2 aceleración constante de 2 m/s , determinar la velocidad final a) 7 m/s b) 10 m/s c) 12 m/s d) 17 m/s e) 24 m/s

42. Un automóvil que experimenta un MRUV

47. Dos autos se encuentran frente a frente y separados por 240 m si parten simultáneamente al encuentro con velocidades iniciales de 4 m/s y

2

con una aceleración de 0, 25 m/s se dirige hacia una fabrica; si cuando tiene una rapidez de 8 m/s, empieza a escuchar el sonido de la sirena de la fabrica ,el cual dura 4 s, determine el tiempo durante el cual se emitió el sonido . a) 3,1 s b) 4,1 s c) 7,7 s d) 6,3 s e) 9,1 s

2 2 6 m/s y con aceleraciones de 2 m/s y 3 m/s respectivamente, hallar las velocidades de cada uno en el momento del choque. (en m/s). a) 10 y 20 b) 15 y 30 c) 20 y 30 d) 16 y 24 e) 20 y 40

43. Las ecuaciones de movimiento para dos móviles A y B , vienen dadas por

48. Un móvil parte con una velocidad de 5m/s avanzando una distancia de 14m y con una

A: x  4t 2  5t  1

aceleración de transcurrido. a) 1 s d) 4 s

B: x  3t 2  5t  3 Donde x esta en metros y “t” en segundos. Halle la rapidez de A en el instante que se cruzan los móviles. a) 17 m/s b) 18 m/s c) 19 m/s d) 20 m/s e) 21 m/s 44. Un hombre adquiere una rapidez máxima de 6 m/s, en muy corto tiempo tratando de alcanzar un tren que esta a punto de partir. Cuando se encuentra detrás del tren, a 32 m de la escalerilla del ultimo vagón , el tren arranca 2 con una aceleración de 0, 5 m/s y la mantiene constante. ¿Dentro de qué tiempo, el hombre alcanza al tren? a) 14 s b) 15 s c) 12 s d) 10 s e) 8 s

2 m/s 2 . Hallar el tiempo

b) 2 s e) 5 s

c) 3 s

49. Un móvil partió con una velocidad inicial de 10 m/s. Si en el tercer segundo avanzo 20m, determine el valor de su aceleración. 2 a) 1 m/s

2 b) 2 m/s

2 d) 4 m/s

2 e) 5 m/s

2 c) 3 m/s

50. Calcular la rapidez inicial de un móvil que recorre 40 m durante el tercer segundo de su movimiento y 60 m en el quinto segundo a) 10 m/s b) 12 m/s c) 15 m/s d) 18 m/s e) 20 m/s

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-97-

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Gráficos del Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado La velocidad de un móvil, en un movimiento rectilíneo, puede estar variando al transcurrir el tiempo. En cierto instante la velocidad del móvil pierde ser alta mientras que en otros momentos las velocidades pueden ser bajas. Estas variaciones de velocidad se representan mediante una gráfica VELOCIDAD – TIEMPO (V – t). En la siguiente gráfica v – t se puede observar que: V(m/s) 10

a. Para t  0 la velocidad es 6 m/s b. Hasta t  8 s la velocidad permanece en 6 m/s c. Desde t = 8 s hasta t = 18 s la velocidad crece desde 6 m/s hasta 10 m/s

6

O

t(s)

18

8

La posición (x) es otro parámetro que puede estar variando durante el movimiento, algunas veces el móvil está alejándose del punto de partida mientras que otras veces está acercándose. En una gráfica x – t, se muestran estas variaciones. En esta gráfica x – t se observa que: x(m)

a. En el instante t  0 el móvil está en el origen x0 b. En el instante t  4 s el móvil está a x  10 m del origen c. En el instante t  14 s el móvil está a x  12 m del origen

12 10

0

4

14

t(s)

La aceleración (a) en un movimiento rectilíneo también puede variar en un movimiento rectilíneo. En la gráfica a – t se muestra estas variaciones al transcurrir el tiempo. 2

a(m/s )

a. Cuando

10

el

movimiento,

t0

la

t4s

la

2

aceleración del móvil es de 4 ms . b. En el intervalo de t  2 s hasta

2 aceleración permanece constante a  10 m/s . c. En el instante t  7 s la aceleración se hace cero.

4 0

empieza

2

4

7

t(s)

En una gráfica se muestra las variaciones de V, a ó x con respecto al tiempo t.

-98-

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Gráfica Velocidad – Tiempo (V – t) Características:  La gráfica es una línea recta horizontal paralela al eje del tiempo.  El área A debajo de la gráfica nos da el valor de la distancia recorrida d. dA

V

V1 A

t1 2.

 Si la gráfica está en el cuarto cuadrante la velocidad es negativa entonces el móvil se desplaza en dirección negativa.

t

Gráfica Posición – Tiempo (x – t)

X

Características:  La gráfica es una línea recta oblicua que parte desde la posición inicial x 0 .

x



x0

t

t

 La pendiente (tangente trigonometriíta) de la gráfica nos da la velocidad constante. V  tg 

Observación:

X

 Cuando el móvil se desplaza en el sentido negativo (hacia la izquierda), la gráfica posee pendiente negativa. V  tg    tg 

x0





o

t

t0

EN EL MRUV 1. Gráfica Aceleración – Tiempo (a – t) a

a1 A

t1

t

Características:  La gráfica es una línea recta horizontal paralela al eje del tiempo.  El área A debajo de la gráfica nos da el cambio de la velocidad. V  Vf  Vi  A

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-99-

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2. Gráfico Velocidad – Tiempo (V – t)

V

Características:  La gráfica es una línea recta oblicua que parte desde la velocidad inicial Vi .

Vf



V0

 El área A debajo de la gráfica nos da la distancia recorrida d. dA

A

t

tf

 La pendiente de la gráfica nos da la aceleración constante. a  tg 

Observación:

V

 Cuando el móvil se desplaza disminuyendo su velocidad, la gráfica posee pendientes negativas. a  tg    tg 

V0





o

t

t0

3. Gráfica Posición Tiempo (X – t) X xf

P



x0 O

tf

t

Características:  La gráfica es un arco de parábola que parte desde la posición inicial X 0 .  Si el móvil parte del reposo, la gráfica es una semiparábola.  La pendiente de la recta tangente en un punto P de la gráfica nos da la velocidad instantánea. V  tg 

Nota:  En las gráficas velocidad – tiempo y aceleración – tiempo en donde la gráfica esta ubicada en el primer y cuarto cuadrante, entonces en el primer cuadrante es positiva y la del cuarto cuadrante es negativa.

Área

() : I cuadrante (): IV cuadrante

D   Áreas

Desplazamiento

d   Áreas

Distancia recorrida

 En toda gráfica velocidad – tiempo se cumple que:

-100-

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Problemas Resueltos 1. En la siguiente gráfica V – t halle la distancia que recorre el móvil. a) 110 m V  m/s  b) 115m c) 108 m d) 105 m

10

4

6

2 A1

0

e) 100 m 0

10

t  s

16

Solución: La distancia recorrida (d) es el área debajo de la V  m/s  gráfica. 10 6

0

Cálculo de las áreas: A 1   10   6   60

10

16

(2)(4) 4 2 (1)(2) A2  1 2 El módulo del desplazamiento (r) es: r  A1  A 2  4  1 Cálculo de las áreas:

A1 

Rpta.

c) 1,2 m/s d) 1,4 m/s Rpta.

8

2

0

t(s)

3

1

e) 3 m/s

2. Hállese el módulo del desplazamiento para el intervalo de 2 s a 5 s, empleando la siguiente gráfica V – t. V  m/s  a) 6 m

Solución: Graficamos las áreas del intervalo [1; 6] segundos. V(m/s) 3

c) 4m

1

d) 3 m 0

t(s)

b) 2 m/s

d  60  48

e) 2 m

A3

3. Mostrada la gráfica V – t halle: a. El módulo de la velocidad media. b. La rapidez media. En el intervalo [1; 6] segundos a) 1 m/s V(m/s)

ts

La distancia total será: d  A1  A 2

b) 5 m

6

3

A2

r  3m

 10  6   6   48 2

d  108 m

2

1

2

A2

A1

A2 

Solución: Las áreas correspondientes al intervalo de 2 s a 5 s son: V(m/s)

4

ts

0

A3

2 A1

A2

3

6

t(s)

1

Cálculo de las áreas: CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC)

-101-

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A1  (1)(1)  1

(4  2)  8  24 2 3 2 A2   4  10 2 El módulo de la velocidad media será: r A1  A 2  A 3 V   t T 24  10  12 V  10 V  2,6 km/h Rpta. A1 

(1)(1) A2   0,5 2 (3)(3) A3   4,5 2 El módulo del desplazamiento será: r   A1  A 2  A 3

r  1  0,5  4,5  3 m El módulo de la velocidad media es: r 3 V  0,6 m/s  V   t 6 1 La distancia recorrida es: d  A1  A 2  A 3

5. Dos partículas parten desde el mismo punto en la misma dirección, sus velocidades varían como se muestra en el siguiente diagrama. Halle el instante en que el móvil A estará 70 km delante de B. V(m/s) a) 10 h

d  1  0,5  4,5  6 m La rapidez media es: d 6m V  t 6s  1s V  1, 2 m/s Rpta.

8 4

c) 6,4 km/h d) 6 km/h

0

e) 2,2 km/h

2

4

7

10

t(h)

B

d) 2 h 45º

e) 8 h

0

Solución: Si los móviles parten juntos, el móvil A estará 70 km delante de B cuando: A1  A 2  70 …(1) V(km/h) A

V(km/h)

0 4

A3

A1 2 4

Cálculo de las áreas:

A2

7

10

t(h)

3 t 4

A2

37º

8

t2 A1

45º 0

8 4

t(s)

2

4

Solución: Para todo el recorrido t = 10 h representamos las áreas:

-102-

37º

8

c) 4 h

4. En la gráfica V–t que se muestra a continuación, halle el módulo de la velocidad media y la rapidez media para todo el recorrido. V(km/h) a) 4 km/h b) 4,6 km/h

A

b) 6 h

2

t2

t

t(h)

Reemplazando en (1):   3    8  4 t   8    t   t  2   t  2   70   2 2

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7. Dada la gráfica V – t halle el instante en que

2

3 2 t  4t  4 t   70 8 2 2

la aceleración del móvil es 75 km/h a) 25 h V(km/h)

2

64t  3t  4t  16t  16  8(70)

b) 16 h

2

80t  t  8(2)  8(70)

t  80t  8(72)  0

c) 10 h

(t  8)(t  72)  0

d) 14 h

2

Tomamos: t  8 h

Rpta.

b) 6,54 h d) 6,35 h

45º 37º

0

20

e) 12 h

6. Dos partículas están separadas en 49 km y simultáneamente parten desde el reposo hacia el encuentro en direcciones opuestas manteniendo aceleraciones constantes como se puede ver en la siguiente gráfica V – t. Halle el instante en que se encontrarán. a) 7,48 h V(m/s) c) 7,02 h

t(h)

0

10

tan   

3    143º 4

Este ángulo indica que existe una tangente a la gráfica (semicircunferencia) que forma 143º con el eje del tiempo; graficando:

Solución: Los móviles se encontrarán cuando la suma de sus distancias recorridas sea 49 km. V(km/h) t

t(h) 2

3t 4

ng

en

te

10 53º

O

45º 37º A

t(h)

Solución: Este problema es inverso al anterior, la aceleración es la pendiente: a  tan   0,75

ta

A1

20

V(km/h)

e) 8,25 h

0

2

37º

t

10

Cálculo del instante t: t  10  10 cos 53º t  16 h

20

143º

t(h)

Rpta.

8. Usando la gráfica V – t halle la aceleración de la motocicleta si el auto acelera con

t

2

A1  A 2  49

1, 3 m/s .

 3 t t (t)(t) 4     49 2 2

a) 0, 6 m/s

2

b) 0, 4 m/s

2

2

d) 0, 2 m/s Rpta.

o ot m

2

e) 0,1 m/s

2

au

c) 0, 8 m/s

2

7t  49 8 t  7,48 h

V(m/s)

to

8t 

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0

8

20

t(s)

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Solución: Usando la pendiente de cada gráfica.

V(m/s) tan ge nt e

V(m/s) V

V

o ot m

 



Aceleración del auto: a A  tan 

  53º

16  aM  20 a M  0, 8 m/s

2

a) 5,7 m/s

2

b) 7, 2 m/s

2

c) 5, 5 m/s

2

d) 7, 5 m/s

Rpta.

2

e) 6, 5 m/s 9. La gráfica V – t muestra las velocidades de dos partículas A y B. La aceleración de A es 2

3/3 m/s . Halle la aceleración del móvil B en el instante en que ambos tienen la misma rapidez. V(m/s)

3 2 m/s 3

b)

2 m/s 2

c)

3 m/s

2

d)

5 m/s 2

-104-

2

B

t(s)

3 2 m/s 3

Rpta.

   30º

t(s)

3

2

10

V(m/s)

20

1

2 3

5

t(s)

10 t(s)

O

3 3

P

Solución: En la gráfica observamos Vf y V0 :

A

Solución: Del dato, la aceleración del móvil A. a A  tan  

O

0

2 e) 3 3 m/s

150º

10. Calcule el módulo de la aceleración media en la siguiente gráfica V – t, en el intervalo de V(m/s) 1 s hasta 5 s.

Aceleración de la motocicleta: a M  tan

a) 



a B  tan150º  a B 

2

1, 3 m/s  tan 

4 2 m/s  tan   3 Luego: V  16 m/s

30º

t

En el punto M (instante t) ambos móviles tiene igual rapidez, por M se traza la tangente PM, la aceleración del móvil B en el punto M será:

t(s)

20

8

B

60º

0

to au



0

V aM  20

A M

* Para t 0  1 s  V0  10 m/s * Para t f  5 s  V0  20 m/s * El módulo de la aceleración media será: V  V0 20  ( 10) a  f  a  tf  t0 5 1 a  7, 5 m/s

2

Rpta.

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Problemas Propuestos 1. De la gráfica mostrada hallar la distancia recorrida durante los 30 s iniciales de movimiento. a) 800m V(m / s) b) 700m

20

c) 600m

5. La gráfica corresponde a la posición de un automóvil en función del tiempo ¿Qué velocidad tiene el automóvil al regresar a la x(km) posición inicial? a) +50 km/h b) +40 km/h

120

c) – 40 km/h

d) 500m e) 400m

o

d) – 60 km/h

t(s)

40

50

e) 0 km/h

0

1

4 t(s)

2

2. De la gráfica hallar la longitud recorrida y el desplazamiento efectuado en los 50s iniciales de V(m / s) movimiento. a) 100 m; +120 m

6. Si la velocidad inicial del móvil es 10m/s. ¿Qué velocidad posee al cabo de 5s? a) 30 m/s 2

b) 120 m; +100 m

b) 40 m/s

3

c) 140 m; +80 m 50

40

e) 160m; +80m

t(s)

3. De la siguiente gráfica hallar la velocidad del móvil X(m) a) 4,50 m/s 45

5

e) 2 m/s

o

O

c) – 3m d) – 4m e) – 5m

t(s)

7. De la gráfica hallar la aceleración y el espacio recorrido durante los 20 s de movimiento. V(m / s) a) 8 m/s2; 1000 m 50 b) 1 m/s2; 1200 m 20

d) 1,5 m/s ; 700 m 10

t(s)

20

6

t(s)

o

e) 1,5 m/s2; 500 m

20

t(s)

8. De la gráfica hallar “x” y la aceleración del X(m) móvil. a) 18m; 2 m/s2 x Semi parábola b) 20m; 4 m/s2 c) 22m; 4 m/s2

 30

10

5

2

4. Para el siguiente gráfico, determine la posición del móvil para t = 5s. a) – 1m X(m) b) – 2m

0

c) 1 m/s2; 1000 m

x

d) 1 m/s

d) 60 m/s e) 70 m/s

2

c) 0,50 m/s

4

c) 50 m/s

d) 140 m; +100 m

b) 2,25 m/s

a(m / s )

d) 22m; 8 m/s2 e) 24m; 8 m/s2

12 4 o

2

3 t(s)

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I. Su aceleración II. Su posición en t  4 s a) 2 m/s2; 41m

x(m)

c) 2 s

Parábola

e) 5 s

2

d) 2 m/s ; 15m

5 o

2

e) 4 m/s ; 15m

t(s)

2

10. El gráfico “ x 2 ” en función del tiempo indica el MRUV de una partícula. Hallar su velocidad en el instante t  3 s . a) 2,5 m/s X(m) b) 1 m/s d) 1,5 m/s o

8

4

t(s)

11. La gráfica x – t representa el MRU de una partícula. Halle la velocidad del móvil. X(m) a) 5 m/s

t(s)

3

t0

b) 5,1 m/s c) 1,3 m/s

8

0

2

5

4

t(s)

15. En un movimiento rectilíneo se observa, de acuerdo a la gráfica a – t, que la velocidad del móvil es 2 m/s a los 4 s. ¿Qué velocidad tendrá el móvil a los 8 s? 2 a) 25 m/s a(m/s ) b) 36 m/s c) 48 m/s

40

c) 3 m/s e) 6 m/s



0

14. En la dependencia x – t halle la velocidad media para el intervalo [1 s; 4 s]. a) 1,5 m/s x(m)

e) 2 m/s

c) 3,5 m/s

d) 2 m/s

9

d) 2,1 m/s

4

e) 0,5 m/s

x(m)

d) 1,5 s

c) 2 m/s2; 27m

b) 4 m/s

a) 1 s b) 1,2 s

19

b) 3 m/s2; 41m

13. Una partícula inicia su movimiento desde el reposo y mantiene una aceleración constante según la siguiente gráfica x – y. Halle t 0 . e nte

9. Una partícula se mueve a lo largo del eje “x” y su posición varia con el tiempo de acuerdo a la gráfica que se adjunta si en t  0 , V0  5 m/s . determine:

t ang

PROYECTO INGENIERÍA

7

37º

d) 52 m/s e) 60 m/s

10 0

10

t(s)

0

t(s)

12. En la dependencia x – t la velocidad del auto es de 10 km/h. Halle la velocidad del bus. X(km) a) 7 km/h

16. Halle la velocidad del móvil al cabo de 10 s, si en la partida ( t  0 ) el móvil inicia del reposo. a) 20 m/s a(m/s 2 )

b) 6 km/h

10

b) 15 m/s

c) 5 km/h

6

d) 4 km/h e) 3 km/h

-106-

bus au

c) 13 m/s

to

d) 9 m/s

2

0

t(h)

e) 11 m/s

2 0

4

8

t(s)

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17. De la siguiente gráfica podemos deducir que: I. La velocidad del móvil es constante. II. El móvil no acelera. III. El móvil está en reposo. a) I y II V

b) II y III c) Sólo III d) Sólo I

d) va hacia la derecha e) va hacia la izquierda 21. Las afirmaciones correctas con respecto a la siguiente gráfica x – t son: I. El móvil parte desde el reposo. II. En ningún momento el móvil acelera. III. El móvil se detiene a los 4 s. a) Sólo I x(m) b) Sólo II

t

0

e) Sólo II

8

c) Sólo III

18. En la siguiente gráfica se puede afirmar que la aceleración del móvil es: a) cero V

d) I y II

b) positiva

22. Usando la siguiente gráfica afirmar que el móvil más veloz es: a) la motocicleta b) el auto c) no se sabe d) ambos reposan e) ambos tienen igual velocidad

c) negativa d) igual a x

t

0

e) no existe

19. Deduzca la aceleración del móvil en la siguiente gráfica V – t. a) 1 m/s

2

x(m)

V(m/s)

b) 0,75 m/s c) 0,50 m/s

0

4

t(s)

10

podemos

mo toc icli sta

x

e) II y III

a u to

P

2

2

d) 0,25 m/s e) no tiene

37º

2

t(s)

0 t(s)

0

20. La siguiente gráfica x  t indica que el móvil.

23. ¿Qué se puede afirmar de la siguiente gráfica? a

x

0

0

a) acelera b) su velocidad es constante c) está en reposo

t

t

a) el móvil parte desde el reposo b) el móvil acelera c) la aceleración del móvil es constante d) el móvil está frenando e) la velocidad del móvil disminuye

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La contribución de Galileo Galileo Galilei (Pisa, 15 de febrero de 1564 – Florencia, 8 de enero de 1642), fue un astrónomo, filósofo, matemático y físico que estuvo relacionado estrechamente con la revolución científica. Eminente hombre del Renacimiento, mostró interés por casi todas las ciencias y artes (música, literatura, pintura). Sus logros incluyen la mejora del telescopio, gran variedad de observaciones astronómicas, la primera ley del movimiento, y apoyar el copernicanismo eficazmente. Ha sido considerado como el "padre de la astronomía moderna", el "padre de la física moderna", y el "padre de la ciencia". En esta época comenzó su estudio del péndulo, y descubrió la isocronía de las oscilaciones (la ley del péndulo), que sería la primera etapa de una nueva ciencia, la mecánica. Progresivamente fue perdiendo el interés por la carrera de medicina y dedicando más tiempo al estudio de las matemáticas y la filosofía, hasta que en 1585 abandonó definitivamente la medicina y regresó a Florencia sin título pero con gran curiosidad científica. Cuenta la historia que en una ocasión subió a lo alto de la torre de Pisa y para demostrar en forma experimental sus afirmaciones dejó caer varias esferas de distinto peso, los cuales llegaron al suelo simultáneamente a pesar de las evidencia proporcionada por los experimentos realizados por él muchos continuaban dando crédito al pensamiento aristotélico y no se dejaron convencer, siendo a raíz de ello perseguido por la Santa Inquisición por sus ideas que iban en contra del régimen de esa época. En 1595 desarrolló, basándose en los movimientos circulares de la Tierra propuestos por Copérnico, una explicación de las mareas, siendo ésta la primera vez que mostró interés claro por la astronomía. En 1604 comprobó que una nova que apareció ese año pertenecía a la esfera celeste y no a la terrestre, en contradicción con la postura del aristotelismo de una quinta esencia perfecta e inmutable. En 1609 diseñó y construyó un telescopio adaptando un catalejo. Hizo grandes descubrimientos en astronomía, de entre los que destaca la observación el 7 de enero de 1610 de cuatro de las lunas de Júpiter, girando en torno a este planeta. Este descubrimiento daba la razón a Copérnico y cuestionaba la postura de que la Tierra era el centro de todos los movimientos celestes. Además observó que la Luna no era una esfera perfecta sino que poseía montañas y cráteres. Estos y otros descubrimientos los publicó en su obra Sidereus Nuncius. Pero la ciencia oficial se negó a creerle alegando que no había demostrado que lo observado al otro lado de los cristales curvos existiese realmente, y lo observado podrían ser errores del aparato. Últimos años y muerte En 1637 publicó su obra Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze. Ésta y el Diálogo son sus obras más importantes. En 1638 perdió la visión y en 1641 enfermó de gota. Murió el 8 de enero de 1642 en Arcetri. El 9 de enero su cuerpo fue inhumado en Florencia. El 13 de marzo de 1736 se erige un mausoleo en su honor en la iglesia de Santa– Croce de Florencia.

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Y

V y

X

d x



Objetivos  Comprender porqué al movimiento vertical se le califica como caída libre.  Deducir la trayectoria de los objetos a partir de la dirección de la velocidad inicial y la dirección de la aceleración de la gravedad.  Establecer las características del movimiento vertical y parabólico de caída libre de los cuerpos.  Describir el movimiento circunferencial.  Establecer los conceptos de velocidad angular y aceleración angular.  Establecer los conceptos de aceleración tangencial, aceleración centrípeta y aceleración total.

Movimiento Vertical Atracción terrestre Experimentalmente es fácil comprobar que si soltamos una piedra ésta siempre caerá hasta estrellarse contra la superficie de la Tierra. La atracción gravitacional hace que la piedra caiga una vez que la hemos soltado. Todas las masas que están cerca a la superficie de la Tierra son atraídas hacia su centro mediante una fuerza llamada peso. “El movimiento en el cual actúa solamente el peso del cuerpo (atracción terrestre) se denomina caída libre”. piedra luna peso

Tierra

P

Tierra

P : Peso de la Luna o atracción terrestre

La caída libre de la Luna se prolonga indefinidamente hacia la Tierra debido a su trayectoria circular. CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC) -109-

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Al disparar una bala de cañón, ésta sigue una trayectoria parabólica, despreciando la fricción del aire, la única fuerza sobre la bala durante el vuelo será su peso o sea la atracción terrestre. Luego el movimiento parabólico de una bala es también de caída libre.

Y La bala sigue un movimiento parabólico de caída libre

P

X “La caída libre no necesariamente es vertical” La aceleración de la gravedad (g) Se denomina así a la aceleración que adquieren los cuerpos a causa de la atracción terrestre. Es sabido por ejemplo que una piedra dejada en libertad cae hacia el centro de la tierra y acelera mientras cae, debido a la atracción terrestre. GRAVEDAD Propiedad universal de los cuerpos que se manifiesta mediante dos fuerzas de atracción entre dos cuerpos cualesquiera del Universo. Durante su caída un cuerpo mantiene su aceleración constante (a  g) durante toda la trayectoria. g  9, 8 m/s 2

g  32 pies/s

(S. I.) 2

(S. Inglés)

2 Para casos prácticos utilizaremos el valor de la gravedad como: 10 m/s La aceleración de la gravedad tiene las siguientes características:

g P  9,83 m/s 2

g N  9,81 m/s 2

45º

g E  9,79 m/s 2

“g” tiene un valor diferente en cada lugar de la Tierra.  En los polos, debido al achatamiento de la Tierra, la aceleración de la gravedad alcanza su mayor valor: g P  9, 83 m/s 2



En el Ecuador, a causa del ensanchamiento y rotación de la Tierra; la gravedad alcanza su menor valor: g E  9,79 m/s 2



A latitud 45ºN y al nivel del mar se llama aceleración normal de la gravedad y tiene valor de: g N  9, 81 m/s 2

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En el vacío todos los cuerpos, grandes o pequeños, pesados o ligeros, caen a la tierra con la misma rapidez. (A) (B) vacío

aire

Figura A: La fricción del aire retarda la caída de la pluma Figura B: En el vacío la piedra y la pluma caen juntas

Los cuerpos caen con la misma aceleración En la antigüedad se creía que los cuerpos más pesados caían más rápido que los ligeros. En la actualidad se ha demostrado que los pesos de los objetos pueden ser diferentes; pero al caer se observa que lo hacen con la misma aceleración. Galileo Galilei fue el primero en demostrar que todos los objetos caen con la misma aceleración sin importar su masa. También es conocido que una hoja que cae de un árbol se demora en el aire mucho más tiempo que la fruta que cae con la misma rama. La resistencia del aire retrasa la caída de los cuerpos más ligeros, más que las de los más pesados. Los cuerpos ligeros tardan más en caer a causa de la resistencia del aire Semejanza entre el MRUV y la Caida libre Vertical (CLV) Si la altura desde la cual caen los cuerpos es pequeña comparada con el radio terrestre (6400 km) y no consideramos la fricción del aire se aprecia que la aceleración de la gravedad permanece prácticamente constante; entonces: La caída libre vertical para alturas pequeñas viene a ser un MRUV y cumple sus mismas leyes RESUMEN DE FÓRMULAS: Mov. vertical hacia abajo (g)

Mov. vertical hacia arriba (g)

1

Vf  V0  gt

Vf  V0  gt

2

Vf 2  V0 2  2gh

Vf 2  V0 2  2gh

3 4

1 2 gt 2 1 h n  V 0  a(2n  1) 2

h  V0t 

1 2 gt 2 1 d n  V 0  g(2n  1) 2

d  V0t 

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Tiro vertical Es el movimiento efectuado por un proyectil que es lanzado hacia arriba en contra de la gravedad. Si experimentamos lanzando una piedra hacia arriba notaremos que ésta llega a un punto donde su velocidad se anula y luego vuelve a caer. Esto lo explicamos mediante el siguiente esquema: Este movimiento tiene las siguientes características:  La velocidad en el punto “C” (punto de altura máxima) es cero  La rapidez de subida y la rapidez de bajada a un mismo nivel son iguales: VB  VD

C

VB H máx B

D



El tiempo que demora el proyectil en llegar al punto “C” es el mismo que demora en caer de “C” a “E”. V Tmáx  0 g



La altura máxima está dada por la expresión:

VD

V0 A

E

VE

H máx 

V0 2 2g

Ejemplo ilustrativo 01 Se dispara un cuerpo verticalmente hacia arriba a razón de 100 m/s. Calcular la altura que alcanza. 2 (Utilice: g  10 m/s ).

Solución: Reemplazando en la relación:

H máx 

V0 2 2g

H máx 

(100)2 2(10)

H máx 

10 4 20

 H máx  500 m

Rpta.

Ejemplo ilustrativo 02 En el mismo instante que un cuerpo es dejado caer desde la altura de 84 m, una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 12 m/s. Calcular el tiempo que demoran en encontrarse. Considere: g = 10 m/s2. Solución: Previo al lanzamiento

Momento del encuentro

A

h A B

84 m

12 m/s B

-112-

84  h

Para el cuerpo A: 1 2 h  (10)t  h  5t 2 … (1) 2 Para el cuerpo B: 1 2 84  h  12t  (10)t 2

84  h  12t  5t 2 … (2) Sumando (1) y (2): 84  12t  t  7 s Rpta.

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Problemas Propuestos 1. Una partícula, en caída libre vertical, aumenta su velocidad en 20 m/s, en 4s, a la vez que recorre 80 m. Hallar la aceleración de la gravedad en este lugar y su velocidad inicial. a) 7 m/s

2

b) 5 m/s

2

d) 9 m/s

2

e) 2 m/s

2

Solución: Datos: V0  V

c) 3 m/s

2

h  80m

t  4s Vf  V  20 m/s Usamos fórmula de espacio – velocidad media V  (V  20) 80  4 2 V  10 m/s (Velocidad inicial) Hallamos “g” usando la fórmula: Vf  V0  gt

10  20  10  g(4) g  5 m/s

2

Rpta.

2. ¿Qué altura descenderá una piedra, en 1 s en las cercanías de la superficie de la tierra, si el segundo anterior, la piedra descendió 10,2 m? a) 10 m b) 20 m c) 30 m d) 40 m e) 50 m Solución: En el diagrama, desde el segundo anterior, debemos hallar: H  h  x Tramo AB A 1 2 V h  V(1)  g(1) h 1s 2 g h V H 2 B g V  h  …(1) x 1s 2 Tramo AC

1 2 H  V(2)  g(2) 2

C

V

H g 2

…(2)

g H  g 2 2 H  2h  g x  Hh x   2h  g   h

Igualando (1) y (2): h  De donde Cálculo de x

x  hg Reemplazando… x  10, 2  9,8 x

20 m

Rpta.

3. ¿Desde qué altura se debe soltar un cuerpo para que recorra la mitad de dicha altura en el último segundo de su caída? a) 50,3 m b) 52,3 m c) 54,3 m d) 56,3 m e) 58,3 m Solución: Tramo AB H 1 2  0  t   gt 2 2 t

H 2

t

H …(1) g

B

Tramo AC

H 2

1s

1 2 H  0  t  1  g  t  1 2 2

A

C

H  t  1 …(2) g

Reemplazando (1) en (2) 2

H  g

H 1 g

H  2  1 g H



1

g

2  1

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Racionalizando:

H

Solución: En un movimiento vertical no hay desplazamiento cuando para los instantes dados el proyectil está en la misma posición (igual altura). En el mismo nivel, los módulos de velocidad son iguales VB  VD  V .

g  2  1

H  10  2  1 

2

H  58,3 m

Rpta.

4. Se deja caer un objeto desde la azotea de un edificio, cuando pasa junto a una ventana de 2,2 m de altura se observa que el objeto invierte 0,2 segundos en recorrer la altura de la ventana. ¿Qué distancia existe entre la cima del edificio y 2 la parte superior de la ventana? (g  10 m/s ) . a) 5 m b) 7 m c) 9 m d) 11 m e) 13 m

Solución: Este problema se resolverá utilizando dos tramos de recorrido: Tramo AB A 1 2 … (1) h  gt 2 B

2, 2 m

C

5. Desde el suelo un proyectil se lanza verticalmente hacia arriba, halle esta velocidad de lanzamiento tal que entre los instantes t  4s t  10 s , y no haya desplazamiento.

 g  10 m/s 2  .

a) 60 m/s c) 40 m/s e) 30 m/s

-114-

VD  VC  gt VD  30 m/s

b) 50 m/s d) 70 m/s

V t4 B

Pero: VD  VB

Tramo AB (t = 4s) Vf  V0  gt

VB  VA  gt

t  10 D

Luego: VB  30 m/s

V

t0

A

30  VA   10   4 

VA  70 m/s

Rpta.

6. Desde lo alto de un acantilado de 40 m de altura, se lanza verticalmente hacia abajo una piedra con una velocidad “V”, si la piedra llega al mar con una velocidad cuyo módulo es “3V”. Halle el tiempo necesario para este trayecto. 2 ( g  10 m/s ). a) 2 s d) 8 s

Rpta.

t7 C

VD  0  10(3)

h

0, 2s

Tramo AC Definimos la altura total:  h  2, 2   1 g  t  0, 2  2 2 Utilizando la igualdad (1) se Puede simplificar: 1 2 h  2, 2  gt  0, 2gt  0,02g 2 Luego: 2, 2  0, 2gt  0,02g 2, 2  0, 2(10)t  0,02(10) t  1s Reemplazando en (1): h  5 m

Tramo CD (t = 3s) Vf  V0  gt

Solución: Vf  Vo  gt

3V  V  gt De donde: 2V t …(1) g

b) 4 s e) 10 s

c) 6 s

V

40 m

V12  V02  2gh

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ACADEMIA ALFA 3V  V 2  2(10)(40) 

2(10) Luego: t  10

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V  10 m/s

 t 2s

Rpta.

7. Desde la cima de un acantilado de 105 m de altura se lanza verticalmente hacia abajo una piedra con una velocidad de 20 m/s, hallar el tiempo para que la piedra llegue al mar. (g  10 m/s 2 ) . a) 4 s d) 6 s

b) 3 s e) 8 s

c) 2 s

80 m

(t CD  2)(t CD  8)  0

D

Rpta.

9. Un trozo de madera se suelta a 1 m de la superficie libre de un estanque, si el agua del Rpta.

c) 2 s

Solución: Este tipo de problema, se resuelve por partes empleando el método escalar. VA  VC  30 m/s

t AB  3 s

C

2 t CD  6t CD  16  0

t 8s

2 la base del edificio. (g  10 m/s ) . a) 4 s b) 3 s d) 6 s e) 8 s

VB  VA  gt AB

80 

A

2 30t CD  5t CD

t  3 3 2

8. Con una velocidad de 30 m/s desde la azotea de un edificio de 80 m de alto se lanzó verticalmente hacia arriba una piedra. Hállese el tiempo que empleará la piedra para llegar hasta

0  30  10t AB

1 2 gt CD 2 Reemplazando datos: CD  V0 t CD 

Cálculo del tiempo total: t  t AB  t BC  t CD

t 2  4t  21  0 (t  3)(t  7)  0

Tramo AB Fórmula (1) Vf  V0  gt

B

t CD  2s

Solución: 1 2 h  V0t  gt 2 1 2 105  20t   10  t 2 Simplificando:

t 3s

Tramo CD Fórmula (3) 1 2 h  V0t  gt 2

2 estanque provoca un desaceleración de 4 m/s sobre la madera, ¿qué profundidad máxima alcanza la madera en el estanque?

(g  10 m/s 2 ) . a) 2,2 m d) 2,5 m

b) 2,3 m e) 2,6 m

c) 2,4 m

Solución: Para la profundidad máxima, la velocidad en el punto “C” será cero. A Tramo AB (caída libre)

Vf2  Vo2  2gH VB2  0 2  2gH

VB2  2gH

… (1)

Tramo BC: (MRUV desacel.) Usemos: Vf2  Vo2  2ad

VC2  VB2  2ad 2

0 

VB2

g

H

 2(4)d

B d

a

C

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Solución: Tramo AB:

VB2  8d … (2) Igualando (1) y (2): 2gH  8d

2(10)(1)  8d  d  2,5 m

g*  g sen … h 

Rpta.

10. Determinar la distancia AB, si el objeto es lanzado en “A” con una rapidez de 20 m/s, paralelamente al plano inclinado liso y llega al

Fórmula (4)

 H  2 VB  0  2  g sen     sen 

g*  gsen … h '  B

e) 250 m

Fórmula (4)

30º

VC2  2gH  gH VC  ¡Ahora, intenta problema!

d) 2 gH e)

gH

-116-

A

Rpta.

resolver

el

siguiente

2 “B”? (g  10 m/s ) . a) 60 m/s

A

b) 50 m/s c) 40 m/s

C

H 



gH

12. En el punto “A”, una partícula se lanza hacia abajo paralelamente al plano inclinado liso con una velocidad de 10 m/s. ¿Qué velocidad tendrá la partícula al pasar por punto

11. El diagrama muestra la juntura, en curvatura suave, de dos planos inclinados lisos, si la esfera se suelta en “A”. ¿Con qué velocidad la esfera se desprende del plano ascendente?

2gH

V12  Vo2  2g * h'

VC2  VB2  gH …(2) Reemplazando: (1) en (2) …

2 1 g*  10    g*  5 m/s  2 Cálculo de la distancia AB: 1 2 h  Vo t  g * t 2 1 2 AB  V0 t  g * t 2 1 2 AB  20(6)  (5)(6) 2 AB  210 m Rpta.

c)

H  BC 2sen

 H  2 2 VC  VB  2  gsen     2sen 

Solución: Hallamos la intensidad del campo: g*  gsen30º

3Hg

… (1)

Tramo BC:

A

d) 240 m

b)

2

VB2  2gH

c) 230 m

a) 3 gH

2

V1  V o  2g * h

VB2  0 2  2g * h

2 punto “B” en 6 s. (g  10 m/s ) . a) 210 m

b) 220 m

H  AB sen

H 2

d) 30 m/s e) 20 m/s

15 m 

B

B

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Problemas Propuestos 1. Indique la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones I. La velocidad y la aceleración tienen igual dirección II. Si una partícula experimenta aceleración, entonces su velocidad es siempre no nula III. Si la velocidad es constante entonces la trayectoria es rectilínea IV. Si la trayectoria es curvilínea necesariamente existe aceleración a) FVVV b) VFVF c) VVVV d) FFVV e) FVFV 2. Con respecto a las proposiciones, afirmamos: I. La velocidad media en un movimiento completo de caída libre es cero. II. En movimiento acelerado la velocidad puede ser cero. III. Duplicando la aceleración de la gravedad, la altura maxima alcanzada disminuye hasta la mitad. a) FVF b) FVV c) VFV d) VFF e) VVV 3. Desde una altura de 60 m se lanza verticalmente hacia arriba un proyectil con velocidad “V” llegando a la tierra con velocidad “2V”. Halle el tiempo de vuelo en s. (g  10 m/s 2 ) . a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 4. Desde el suelo se lanza un proyectil verticalmente hacia arriba; halle esta velocidad tal que entre los instantes t  4 s y t  7 s no 2 haya desplazamiento (g  10 m/s ) . a) 60 m/s b) 55 m/s c) 60 m/s d) 65 m/s e) 70 m/s

5. Un cuerpo es abandonado desde una altura de 4,9 m cayendo a 16 m de la base de un poste, si Andrecito situado en el extremo superior del poste escucha el impacto después

de 18/17 segundos de haber sido soltada la piedra. Calcular la longitud de dicho poste. (considerar Vsonido  340 m/s ) a) 11 m b) 12 m c) 13 m d) 14 m e) 15 m 6. De la llave de un caño malogrado que está a 7,2 m de altura cae una gota de agua cada 0,1s cuando está por caer la 3ra gota se termina de malograr el caño el caño y sale un chorro grande de agua. ¿Cuál deberá de ser la velocidad con la que sale el chorro para que alcance a la 1ra gota en el preciso instante en que esta choca con el piso? (g  10 m/s 2) . a) 4 m/s b) 3,4 c) 3,0 d) 2,8 e) 2,2 7. Un suicida se deja caer desde la azotea de un edificio de 180 m de altura. A 36 m de distancia del posible punto de impacto sobre el pavimento, se encuentra un grupo de bomberos con una red de salvamento. ¿Qué aceleración 2

constante (en m/s ) deben tener los bomberos para salvar al suicida, si inicialmente estaban parados? (g  10 m/s 2) . a) 10 b) 5 d) 1 e) 2

c) 3

8. Una pelota que se deja caer desde la cornisa de un edificio tarda 0,25s en pasar delante de una ventana de 4m de altura. ¿A qué distancia (en m) por debajo de la cornisa se encuentra la parte superior de la ventana? (g  10 m/s 2) . a) 10,88 b) 5,78 c) 7,20 d) 4,36 e) 3,72 9. Un cuerpo cae libremente desde el reposo. La mitad de la caída lo realiza en el último segundo. El tiempo total, en segundos, de la caída es aproximadamente: a) 3,4 b) 1,2 c) 4,0 d) 2,0 e) 3,0

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10. Una pelota cae verticalmente al piso y rebota de él. La velocidad justo antes del choque es “V” y justo después del choque es “0,9V” si la pelota se deja caer desde un metro de altura, ¿a qué altura llegará después del primer rebote? a) 0,90m b) 1,00m c) 0,96m d) 0,85m e) 0,81m 11. Empleando un dinamómetro, dentro de un ascensor, un hombre pesa un cuerpo observandose que el dinamómetro no marca peso alguno, luego lo más probable que suceda es: a) El ascensor esta detenido. b) Esta subiendo con velocidad constante de 9,8 m/s . 2 c) El ascensor baja con aceleración 9, 8 m/s d) El ascensor sube con aceleración de

9,8 m/s 2 e) El ascensor baja a velocidad constante de 9,8 m/s

12. Del techo de un ascensor de 2,5m de altura sube con velocidad constante de 8 m/s, se desprende un clavo. Determinar el tiempo que tarda el clavo en chocar con el piso del 2 ascensor. (g  10 m/s ) . 1 1 a) s b) s 2 2

1 d) 3

e)

c)

1 3

2s

13. Dentro de ascensor un hombre no sabe si el ascensor esta detenido, se mueve hacia arriba, se mueve hacia abajo, para tratar de averiguarlo deja caer una moneda desde una altura de 1,5m demorándose 0,5 s para caer al piso del ascensor, luego el ascensor: a) Acelera hacia arriba. b) Acelera hacia abajo. c) No se mueve. d) Se mueve con V constante hacia arriba. e) Se mueve con V constante hacia abajo.

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14. En cierto planeta, cerca de la superficie una partícula cae a partir del reposo, si durante el enésimo segundo recorre 2 m. el recorrido total al finalizar el enésimo segundo será: g: aceleración de la gravedad en el mencionado planeta. a) d)

1  g 2 8g

4g 8g

b)

2

e)

 3  g 2 8g

5g

c)

 2  g 2 8g

2

8g

15. Cuando un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba permanece en el aire durante “t”. Halle la velocidad del siguiente lanzamiento de manera que alcance una altura máxima nueve veces mayor que la altura máxima anterior. a) 3gt b) 2,5gt c) 2gt d) 1,5gt e) gt 16. Un cuerpo que es soltado del reposo al cabo de “t” segundos ha recorrido la enésima parte de su altura total de caída libre. ¿Luego de qué tiempo de soltado hace impacto con el piso? a) nt d)

nt 3 e) 3 nt b)

nt

c)

n t 3

17. Una persona viaja en un globo aerostático que asciende verticalmente a rapidez constante de 30 m/s. En un determinado instante la persona deja caer libremente, con respecto al globo, un objeto. Dos segundos después lanza un segundo objeto hacia debajo de modo que choca con el primero en el mismo punto en que fue dejado, ¿con que rapidez (en m/s) respecto del globo fue lanzado el segundo objeto? a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 35 18. Un cuerpo que ha sido soltado recorre en sus primeros 3 s igual distancia que en el último segundo antes de caer al suelo. Halle la altura de caida (g=10m/s2) a) 100 m b) 125 m c) 150 m d) 175 m e) 200 m

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19. Una pelota es lanzada hacia arriba y luego de 1s se lanza una segunda pelota con la misma velocidad que la primera, observándose que las pelotas colisionan 0,4 s después que se lanzó la segunda, ¿a qué altura sucedió el choque? 2

(g  10 m/s ) . a) 2,2m d) 2,8m

b) 2,4m e) 3,0m

c) 2,6m

20. Un cuerpo que asciende verticalmente se encuentra a 60 m cuando le faltan dos segundos para llegar a su altura máxima. ¿con qué velocidad se lanzó el cuerpo desde el piso? 2

(g  10 m/s ) . a) 100 m/s d) 70 m/s

b) 95 m/s e) 40 m/s

c) 68 m/s

21. ¿Cuánto tiempo empleará en llegar al recinto circunferencial una esferita dejada libre en la boca del tubo liso? g a) 2

R g

b)

R g

c)

2R g

d) 4

R g

R

2 del suelo, la piedra fue soltada? (g  10 m/s ) . a) 180 m b) 160 m c) 150 m d) 140 m e) 120 m

25. En la misma vertical son lanzadas hacia arriba dos partículas, con velocidades de 80 m/s cada una, pero desfasadas en 2 s. ¿A qué altura, con respecto al suelo colisionarán estas 2 partículas? (g  10 m/s ) . a) 300 m b) 310 m d) 320 m e) 325 m

c) 315 m

26. Una piedra es soltada a 10 m sobre un charco de lodo, ésta penetra 0,49 m en el charco. ¿Qué desaceleración provoca el lodo del charco? 2 a) 200 m/s

2 b) 190 m/s

2 d) 210 m/s

2 e) 215 m/s

c) 90 m/s

2

27. Muy cerca a un edificio una piedra se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad de de 40 m/s, ésta pasa delante de una ventana de 3,75 m de alto en 0,5 s. Hallar la altura a la que está ubicada el marco inferior de la ventana.

R

(g  10 m/s 2 ) . a) 90 m d) 72 m

e) Faltan datos

22. ¿Cuánto tiempo se mantendrá en el aire una piedra cuando es lanzada con una velocidad de 2 50 m/s, verticalmente hacia arriba? (g  10 m/s ) . a) 12 s b) 15 s c) 10 s d) 9 s e) 8 s 23. Muy pegado al borde de un acantilado se lanzó un cuerpo con una velocidad de 40 m/s verticalmente hacia arriba la cual llegó al fondo del acantilado en 12 s. Hallar la altura del 2 acantilado. (g  10 m/s ) . a) 180 m b) 200 m d) 220 m e) 240 m

24. Una piedra soltada desde un globo, que baja verticalmente con una velocidad constante de 20 m/s, llega hasta la superficie de la Tierra 4 segundos antes que el globo. ¿A qué distancia

c) 210 m

b) 80 m e) 75 m

c) 70 m

28. Una esfera pequeña es lanzada desde el pie de un edificio verticalmente hacia arriba con una rapidez de 30 m/s .Si demora 0,2 s en pasar por el costado de una ventana de 1,8 m de altura; determine a que distancia del suelo está el borde inferior de la ventana. a) 10 m b) 40 m c) 30 m d) 50 m e) 60 m 29. Un cuerpo es soltado desde lo alto de una torre de 20 m. Luego que ha descendido 5 m, se suelta otro cuerpo .Determine el recorrido que le falta al segundo cuando el primero haya 2 llagado al piso (g  10 m/s )

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PROYECTO INGENIERÍA a) 14 m d) 17 m

b) 15 m e) 20 m

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c) 16 m

30. Una teja debe lanzarse paralelamente al plano inclinado liso con una velocidad inicial de 48 m/s. ¿En cuánto tiempo la teja regresará hasta el lugar de lanzamiento?. Utilice: 2

g  10 m/s . a) 10 s b) 12 s c) 14 s d) 16 s

m 48

/s

31. Un paracaidista desciende verticalmente con una velocidad constante de 5 m/s, frente a él pasa verticalmente hacia arriba una piedra con una rapidez de 50 m/s. ¿Cuánto más descenderá el paracaidista hasta ser alcanzado por la misma piedra que viene de regreso? b) 45 m e) 36 m

c) 42 m

32. Desde un mismo lugar a cierta altura, se lanzan con velocidades verticales y opuestas dos partículas, estas velocidades son de 30 m/s y 20 m/s. ¿Qué distancia las separa al cabo de 10 s? (g  10 m/s 2 ) a) 600 m d) 540 m

b) 500 m e) 560 m

c) 550 m

33. Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad de 25 m/s. ¿A que distancia del punto de lanzamiento, el cuerpo presentara una velocidad de 45 m/s y hacia 2 abajo? (g  10 m/s ) . a) 60 m b) 70 m d) 90 m e) 100 m

c) 80 m

c) 6 s

35. Del borde de un edificio, se lanza verticalmente hacia arriba dos piedras con igual rapidez , de tal manera que la segunda piedra es lanzada cuando la primera alcanza su altura máxima y llega a la base del edificio 1 s después que la primera; determine el tiempo que tarda cada piedra en llegar a la base del edificio de c) 8 s

36. Desde lo alto de una torre de 180 m de altura se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad de 45 m/s, al cabo de 2 qué tiempo el cuerpo llega al suelo (g  10 m/s ) . a) 6 s b) 8 s c) 10 s d) 12 s e) 14 s 37. Marquito sostiene una moneda en la mano, que esta parado sobre una plataforma que sube 2 con una aceleración constante de 1, 2 m/s . Si lanza la moneda verticalmente hacia arriba con una velocidad de 22 m/s. ¿Qué tiempo debe esperar para volver a tener la piedra entre sus manos? a) 2 s b) 3 s c) 4 s d) 5 s e) 6 s 38. La figura muestra el lanzamiento hacia arriba de una partícula sobre una inclinación lisa, halle el tiempo desde el lanzamiento a 10 m/s hasta que la partícula pase por B. 2 AB  8 m . (g  10 m/s ) . a) 6 s b) 5 s

34. Marquito lanza una moneda desde el borde superior de un edificio verticalmente hacia abajo con una velocidad de 25m/s tardando 4 s en impactar en el piso. ¿Cuánto tardaría en llegar al

-120-

2 misma altura? (g  10 m/s ) . a) 4 s b) 5 s d) 7 s e) 8 s

2 75 m de altura (g  10 m/s ) . a) 2 s b) 9 s d) 5 s c) 7 s

37º

e) 18 s

(g  10 m/s 2 ) . a) 48 m d) 55,5 m

piso si en lugar de lanzarlo lo deja caer de la

c) 4 s d) 8 s e) 3 s

A

37º

B

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Movimiento Compuesto Considerando el caso de una partícula que se mueve sobre una superficie horizontal y que abandona dicha superficie en el punto P, tal como se muestra en la figura, se cumple: P A

C"

B"

A"

V0

A'

B

B'

C'

C

 El tiempo en caída libre de P hasta C es el mismo que ha transcurrido al recorrer con velocidad constante de P a C” y es el mismo que ha transcurrido en recorrer la trayectoria curva real PC’.  A partir del momento en que la partícula abandona la superficie horizontal, el movimiento es compuesto, horizontal con MRU y vertical con MRUV.  La velocidad horizontal es constante e igual a la velocidad inicial durante todo el movimiento, mientras que la velocidad vertical aumenta.  La velocidad total en cualquier punto de la trayectoria es: V

Vx 2  Vy 2 ó también: V 

V0 2  g 2t 2

Fórmulas del movimiento compuesto semiparabólico: Del movimiento horizontal: x … (1) x  V0 t  t  V 0 V P 0

Del movimiento vertical:

2h 1 2 … (2) gt  t  g 2 Sustituyendo con (1):

Vx  V0 h

Vy

h

V

C x

h

1 x2 g 2 2 V0

… (3)

Igualando (1) y (2): x  V0

2h g

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Movimiento Parabólico Este movimiento resulta de la composición de un movimiento horizontal rectilíneo uniforme (MRU) y un movimiento de caída libre vertical (MCLV). Mov. Parabólico

Y

M Vx P Vx

M.R.U.V.

V0y

M.R.U.

V0

H

V0x

Vy

D

V

X

Restricciones para el análisis del movimiento parabólico:  Se desprecia la fricción del aire.  Aplicable sólo para alturas pequeñas, ya que se considera constante la aceleración de la gravedad  Los alcances serán pequeños de tal manera que nos permitan no tomar en cuenta la forma de la Tierra.  Las velocidades de disparo no deben ser muy grandes porque el móvil podría adquirir trayectorias elípticas y rotar alrededor de la Tierra. Características:  Su trayectoria es una parábola.  Por ser movimiento compuesto, se descompone en dos movimiento simples a) En el eje horizontal se tiene un MRU b) En el eje Y se tiene un movimiento vertical ascendente y luego descendente. c) La velocidad de disparo se descompone en dos ejes "X" e "Y". Vy  V0sen ; Vx  V0 cos  d) Para un mismo nivel de referencia los módulos de las velocidades son iguales, lo mismo sucede con los ángulos. Y

M Vx P Vx

V0y

V0

V0x

H

D

Vy

Descomponiendo la velocidad inicial:  V0x  V0 cos   V  V sen 0  0y

V

X

Dado que se trata de un movimiento compuesto, es posible definir los dos tipos de movimiento involucrados:

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Horizontal con MRU Desplazamiento: x  V0 cos t

… (1)

Velocidad horizontal: Vx  V0x  V0 cos  (Constante durante todo el movimiento) Vertical con MRUV Desplazamiento: Velocidad vertical:

1 2 gt 2 Vy  V0sen  gt

y  V0sent  2

… (2) … (3)

2

Vy  (V0sen)  2gh

… (4)

Observe que en el punto “M” (la mitad del recorrido) la velocidad vertical es nula, luego de la relación (3) se deduce que: V sen 0  V0sen  gt  t  0 g De donde el tiempo total de vuelo será: T 

2V0 sen g

La velocidad total en un punto “P” cualquiera de la trayectoria estará dada por: V

2

Vx  Vy

2

Analizando otra vez el punto “M”, en la relación (4) se tiene: 0  V0 2sen2  2gH A partir de esto podemos definir la altura máxima alcanzada en un movimiento parabólico:

H

V0 2sen 2 2g

Se sabe que: x  V0 cos t ; entonces para determinar el máximo alcance horizontal utilizaremos la relación (1) reemplazando el tiempo con el tiempo total de vuelo: 2V0 sen 2V0 2sen cos   D g g Por identidad de ángulo doble se sabe que: sen2  2sen cos  , entonces: D  V0 cos  

D

V0 2sen2 g

Alcance máximo: Analizando el numerador de la relación anterior podemos apreciar que el valor máximo para “D” se da cuando sen2  1 , por lo cual 2  90º ; luego:

D máx 

V0 2 g

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De lo expuesto se deduce que el ángulo de tiro para lograr máximo alcance horizontal es 45º. Importante: Observe que al dividir miembro a miembro las ecuaciones de la altura máxima y alcance máximo obtenemos: V0 2sen 2 2g

H sen 2   2 D V0 sen2 2sen2 g



H sen 2  D 4sen cos 

Finalmente:

H  tan  4D

Posición de la partícula: La posición o coordenadas de la partícula estarán dadas por las ecuaciones paramétricas: ... (1)  x  V0 cos t  La posición transcurrido un tiempo “t”  1 2 ... (2)  y  V0 sent  2 gt Ecuación de la trayectoria del movimiento parabólico: x De (1) se tiene que: t  V0 cos  Sustituyendo en (2):

y  V0sen 

x 1  x   g V0 cos  2  V0sen 

2



y  x tan  

gx 2 2V0 2sen 2

RESUMEN DE FÓRMULAS Tiempo de vuelo 2V0 sen TV  g Alcance horizontal 2

V sen2 D 0 g

Posición – partícula  x  V0 cos .t  1 2   y  V0 sen.t  2 gt Ángulo de tiro 4H tan   D

Los satélites son lanzados con una velocidad tal que logren describir una elipse y empiecen a girar alrededor de la tierra, su velocidad aproximadamente es 9,7 km/s

-124-

Altura máxima

H

V0 2sen 2 2g

Relación de H y TV H

gTV 2 8

Si un cuerpo es lanzado con una velocidad grande puede salir del campo gravitatorio de la tierra y no regresar jamás esta velocidad se llama velocidad de escape su valor es aproximadamente mayor a 11,2 km/s.

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Problemas Resueltos 1. Una pelota se lanza con una velocidad inicial de 100 m/s con un ángulo de inclinación con la horizontal de 37º. Calcular que velocidad lleva 2

la pelota transcurridos 4 s. (g  10 m/s ) . a) 46,82 m/s b) 82,46 m/s c) 80,42 m/s d) 42,86 m/s e) 86,42 m/s Solución:

V0y

Vfy

 60 m/s 100 m/s 37º

V



2 Vfy

El alcance horizontal: D 

gD  Sen 30º

V

80 m/s

Vx  80 m/s

Solución: …(1) V

2

 V  82,46 m/s

D

Rpta.

2. Calcular la mínima velocidad que puede tener un motociclista para lograr pasar el 2

obstáculo mostrado en la figura. (g  10 m/s ) . a) 20 m/s b) 30 m/s c) 40 m/s d) 50 m/s e) 60 m/s Solución:

H



Reemplazando (2) y Vx en (1) 2

Rpta.

3. ¿Con qué inclinación se debe lanzar un cuerpo para que su alcance horizontal sea igual al triple de su altura máxima? a) 50º b) 51º c) 53º d) 55º e) 60º

Vfy  20 m/s …(2)

80  20

10(20) 1/2

V  20 m/s

V

Luego: Vfy  V0y  gt  60  10(4)

V

2

V Sen2 g

Luego:

Sabemos que: 2 Vx

Sen2  Sen2(15º )  Sen30º

Por condición del problema: D  3H 2V

2

sen  cos g

tg  

4 3



3V

2

2

sen 

2g

   53º

Rpta.

4. Desde la parte superior de un edificio de 45 m de altura, se dispara una pelota con una velocidad de 50 m/s y formando un ángulo de 53º de elevación con respecto a la horizontal. Calcular el desplazamiento horizontal de la pelota hasta impactar con la tierra, usar

V0

15º

2

20 m

g  10 m/s . a) 250 m d) 280 m

b) 260 m e) 290 m

c) 270 m

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-125-

PROYECTO INGENIERÍA Solución: Nos piden calcular el tiempo:

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Solución:

T  TABCD ,

primero calculamos el tiempo ABC. 2V sen53º t ABC  g

t ABC

4 2(50)   5  10

37º

B

C

30 m/s

40 m/s

30 m/s 53º

h  45 m

D

d

Seguidamente calculamos

" t CD "

usando la

ecuación: 1 2 h  V0 t  gt 2

45  40t 

4H D 4 4H  H  3m  3 9 3 4(3)  x  16 m  4 x

Para A:

30 m/s

53º

x

Aplicando: tg  

40 m/s

A

B H

A

H

9m

 t ABC  8s

50 m/s

53º

Para B:

Rpta.

6. Un bombardero vuela horizontalmente a una altura de 500 m con una velocidad de 100 m/s. desde él se suelta su proyectil, ¿en qué tiempo el proyectil dará en el blanco y con qué velocidad llegará (en m/s)? (g  10 m/s 2) . a) 100 2

b) 110 2

d) 105 2

e) 125 2

c) 120 2

Solución: y x

100 m/s

2

10t 2  9  8t  t 2

500 m

2

0  t  8t  9

0  (t  1)(t  8)  t  1 s El desplazamiento de la pelota es: d  30(9) m d  270 m

Rpta.

5. Dos proyectiles “A” y “B” lanzados con inclinaciones de 53º y 37º respectivamente alcanzan iguales alturas máximas. El proyectil “A” experimenta un alcance horizontal de 9 m. ¿Qué alcance horizontal experimenta B? a) 12 m b) 15 m c) 16 m d) 18 m e) 20 m

-126-

100 m/s

Datos: Vx  100 m/s (constante)

Vf

V

V0  0 (velocidad inicial en el eje Y)

1 2 gt 2 1 2 500  0   10  t  t  10 s 2 Cálculo de la velocidad de llegada (V) Vf  V0  gt h  V0 t 

Vf  0  10(10) 

Vf  100 m/s

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2

2

2

V  Vx  Vf  100  100

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Solución:

2

V  100 2 m/s

X

Rpta.

20 m/s

Y

7. Con una inclinación de 45º una piedra es lanzada con 60 2 m/s de velocidad. Para qué tiempo la velocidad de la piedra tendrá una

d

y

2

inclinación de 37º al subir. (g  10 m/s ) . a) 1,2 s b) 1,4 s c) 1,5 s d) 1,6 s e) 1,7 s

Vx  20 m/s ; V0  0

Solución: y

En el eje Y: En el eje X:

Vf

37º

x

Vx  60 2 cos45º  60 m/s

V0  60 2 sen45º  60 m/s En el eje Y: Vf  V0  gt (sube: –g) …(1) Vf  60  10t En el punto final: V 3 60  10t tan 37º  f   Vx 4 60 180  240  40t Rpta. t  1,5 s

d

… (2)

60 2  45 2

x2  y2

 d  75 m

Rpta.

9. Se lanza un proyectil con una velocidad inicial de 90 m/s y ángulo de elevación de 60º contra un plano inclinado que hace un ángulo de 30º con el horizonte. Hallar el alcance a lo 2

2

(g  10 m/s ) .

largo del plano inclinado. (g  10 m/s ) . a) 420 m b) 400 m c) 520 m d) 540 m e) 600 m Solución:

Y

A

d

V0

b) 45 m

60º 30º Vx

c) 35 m d) 65 m e) 75 m

… (1)

x  Vx t

Por Pitágoras: d 

8. Una esquiadora abandona el llano con una velocidad de 20 m/s en el punto “A”. ¿A qué distancia de “A” aterrizará sobre la pendiente?

a) 55 m

2

37º

y Del diagrama: tan 37º  x 2 3 5t   t3 4 20t   x  20(3)  60 De (1) y (2):  2   y  5(3)  45

V0 Vx

y  5t

x  20t

Vx

45º

x

37º

B

y

x

X

Vx  90cos 60º  45 m/s

V0  90sen60º  45 3 m/s

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-127-

PROYECTO INGENIERÍA En el eje Y: 1 2 2 y  V0 t  gt  y  45 3t  5t 2 En el eje X: …(2) x  Vx t  x  45t

tan 30º 

y x

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Dist. horizontal: …(1)

(del diagrama)

3 45 3t  5t  3 45t

12  Vcos   1 V cos   12 …(4) Dividiendo (3) por (4): tan   1   45º Rpta. 11. ¿Con qué velocidad mínima debe salir un motociclista de la rampa, para que pueda cruzar

2

2

45 3 t  3  45 3 t  15t 2

15t  2(45 3)t

el obstáculo? (g  10 m/s ) . a) 10 m/s

2

53º

b) 20 m/s

 t  6 3s

80 m

c) 30 m/s

y  270 m

En (1):

d sen30º  y (del diagrama)

d  540 m

d) 40 m/s

Rpta.

e) 50 m/s

10. Dos cuerpos lanzados simultáneamente desde los puntos “A” y “B” chocan en el punto “P” tal como se muestra. Hallar

320 m

Solución: Y V0

37º Vx

2

“”. (g  10 m/s ) . 20 m/s

P

V

37º



h

B

320 m

12m

16 m

a) 45º d) 30º

b) 40º e) 25º

Solución: Primer proyectil:

Vx  20 cos 37º  16 m/s

c) 35º

Altura vectorial:

h  V 0t 

1 2 gt 2

3 2 Vt  5t …(1) 5 Desplazamiento horizontal: x  Vx t 80 

V0  20sen37º  12 m/s

1 2 2 h  V0 t  gt  h  12t  5t 2 16  16t  t  1 s h  7m En (1) 2do. proyectil: Vx  V cos 

…(1)

V0  Vsen

1 2 7  Vsen(1)  (10)(1) 2 Vsen  12 …(3)

-128-

X

80 m

h A

x  Vx t

400 4 Vt  t  V 5 Sustituyendo (2) en (1): 320 

80 

… (2)

3  400   400  V   5   5  V  V  

2

2

 400  80  240  5    V  400  8  V  50 m/s V

Rpta.

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Problemas Propuestos 1. Desde lo alto de un edificio se lanza horizontalmente una partícula con una rapidez de 8 m/s. Si la azotea está a 80 m del piso. ¿A qué distancia del pie del edificio logra caer la 2 piedra? (g  10 m/s ) . a) 18 m b) 32 m d) 50 m e) 80 m

c) 40 m

2. Con una inclinación de 30º se lanza un proyectil con una velocidad de 20 m/s sobre el horizonte. Hallar el tiempo que debe transcurrir 2 para impacte en el piso. (g  10 m/s ) . a) 6 s b) 5 s c) 4 s d) 3 s e) 2 s

3. El alcance horizontal de un proyectil disparado por un cañón , con una velocidad de 75 m/s y un ángulo de inclinación de 37º sobre 2 la horizontal es de: (g  10 m/s ) a) 520 m b) 530 m d) 560 m e) 580 m

c) 540 m

4. Desde un gran edificio se lanza horizontalmente a 30 m/s un objeto y se pide determinar el ángulo que formara su velocidad instantánea con la vertical al cabo de 4 s (g  10 m/s 2 ) a) 53º d) 60º

b) 37º e) 45º

c) 30º

5. Determinar la altura de un edificio, si al lanzar desde su azotea horizontalmente un proyectil, con una velocidad de 10 m/s, éste cae a 20 m del pie del edificio. a) 18 m b) 18,6 m c) 19,6 m d) 20,2 m e) 22,5 m 6. Un helicóptero vuela horizontalmente con una velocidad de 72 km/h a una altura de 200 m , si desde el helicóptero se dejara caer una bomba, ¿con qué velocidad (en m/s) la bomba tocará el piso?

a) 20 7

b) 20 11

d) 20 15

e) 15 11

c) 20 13

7. Desde A se lanza un proyectil con dirección al punto “P” cual debe ser la velocidad inicial “ V0 ” (en m/s) para que el proyectil impacte en 2 el punto “B” (g  10 m/s )

a) 20 /

P

3

b) 10 /

3

c) 25 /

3

15m

V0

d) 25 3 e) 15 /

3

A

B

20m

8. En un partido de fútbol, Marquito le comunica a una pelota la velocidad de 90 km/h con un ángulo de 16º con la horizontal, si se encuentra en ese instante a 24 m de distancia del arco contrario. ¿Hay posibilidad de gol? la 2 altura del arco 2,5 m (g  10 m/s ) a) la pelota sale fuera del arco b) faltan datos c) si hay gol d) choca con el madero superior e) la pelota no llega al arco

9. A partir del siguiente esquema. ¿Qué medida tiene “L” en metros? (g  10 m/s 2) . V  70 m/s

L

37º L

a) 160 m d) 240 m

b) 220 m e) 200 m

c) 180 m

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10. Con un ángulo de elevación de 53º, cierto misil es lanzado con una velocidad de 200 m/s ¿Qué velocidad tendrá el misil al cabo de 10 s? (g  10 m/s 2 )

a) 60 5 m/s

b) 30 5 m/s

c) 40 5 m/s

d) 25 5 m/s

e) 50 5 m/s

14. En la figura mostrada en el mismo instante que se abandona la esferita “A” se lanza la esferita “B” con una velocidad “ V0 ” determine el ángulo “  ” de lanzamiento, tal que las esferitas A y B colisionen en el punto “P” 2 ( g  10 m/s ). a) 16º

b) 30º

11. Una avioneta vuela horizontalmente a una altura de 720 m. Divisa un objetivo a 480 m de distancia, medidos horizontalmente. ¿A qué velocidad debe desplazarse para que al soltar una caja de víveres, ésta logre llegar al punto 2 deseado? ( g  10 m/s ). a) 40 m/s b) 38 m/s d) 32 m/s e) 30 m/s

c) 36 m/s

12. Calcular la velocidad del móvil en el punto “P” el cuerpo es lanzado horizontalmente desde el punto “A” y llega al punto “B” como indica la

40m

c) 45º

P

V0

d) 53º



e) 60º 15. Un motociclista asciende por una rampa, con una rapidez constante de 20 m/s, desprendiéndose de ella al final. ¿Cuánto tiempo el motociclista estará en el aire? (g  10 m/s 2 ) además tg   0,5 . V0  20 m/s

2 figura ( g  10 m/s ). a) 15 m/s

b) 20 m/s c) 25 m/s d) 30 m/s

20 m P

a) 3 s d) 6 s

e) 35 m/s



37º

80 m

b) 4 s e) 7 s

c) 5 s

16. Si t AB  3 s y t BC  2 s . Hallar la velocidad (en m/s) de llegada al punto “C”

60 m

13. Hallar la velocidad de lanzamiento (en m/s) considerando que la altura máxima alcanzada fue de 20 m y que la partícula entró sin dificultad en el hoyo practicado en el piso.

(g  10 m/s 2 ) . V0

A

37º

B

(g  10 m/s 2 ) . a) 28

b) 26

C

c) 25 d) 24 e) 20

-130-

60 m

53º

a) 5 55

b) 4 65

d) 3 29

e) 4 15

c) 5 65

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17. En el punto más alto de una trayectoria parabólica, la velocidad del móvil es: a) nada b) máxima c) igual a la velocidad inicial V0 d) igual a la componente vertical de V0 e) igual a la componente horizontal de V0 18. En la figura el proyectil es lanzado con velocidad V. El tiempo que tarda el proyectil en ir del punto A al punto C, es: Y

B A

21. Desde una altura de 280 m se lanza un cuerpo con velocidad de 5 2 m/s, según la figura. ¿Qué tiempo después llega al suelo? (g  10 m/s 2 ) . a) 5 s b) 6 s c) 7 s d) 9 s e) 12 s

280 m

45º V0

22. El proyectil es disparado con velocidad de 20 m/s y un ángulo de 37º. ¿Cuál es el valor de 2 “x”? (g  10 m/s ) .

C

V0

37º

O

 a

a

a

a

a) igual al tiempo entre O y A b) la mitad del tiempo entre O y B c) la mitad del tiempo entre B y D d) igual al tiempo entre B y D 2V0 sen e) t AC  g

X D x

19. Una pelota es lanzada desde “A” con velocidad de 50 m/s. ¿A qué altura “h” impacta 2 en la pared? (g  10 m/s ) . a) 35 m

b) 40 m c) 45 m d) 50 m e) 60 m

2x b) 12 m e) 40 m

a) 4 m d) 32 m

c) 24 m

23. Un cañón dispara un proyectil según la figura. ¿En qué tiempo el proyectil llega al 2 suelo? (g  10 m/s ) .

V0  100 m/s

V0

h

75º

53º d  30 m

20. ¿Con qué ángulo debe ser lanzado un cuerpo de peso P para que su altura máxima sea igual a su alcance horizontal, si sobre el cuerpo actúa a favor del movimiento una fuerza horizontal constante igual a P/8 debido al viento? a) arc tan 1/8 b) arc tan 8 c) arc tan 4 d) arc cot 6 e) arc cot 1/4

375 m 45º

a) 20 s d) 10 s

b) 15 s e) 8 s

c) 12 s

24. Una pelota es impulsada desde A con velocidad V. Si choca en la pared en B justo cuando alcanza su altura máxima, ¿con qué 2 ángulo fue lanzado? (g  10 m/s ) .

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a) 15º B

b) 30º c) 37º

V

d) 53º



A

e) 74º

2,5 m



5 3

b) 20 3 m/s

B

V0

d) 20 m/s e) 30 m/s

A

15 m

60º

(g  10m / s 2 ) .

A

b) 355 m e) 652 m

c) 475 m 37º

26. Determinar la distancia “d” si los cuerpos son lanzados con la misma velocidad V y chocan en el mismo punto P. a) 10 m V c) 20 m

B

V

c) 10 m/s

29. Una piedra se lanza de un edificio a otro con la velocidad de 10 m/s, logrando impactar, formando un ángulo de 45º con la horizontal. halle la separación entre los edificios

16º 37º

b) 15 m



Desprecie la resistencia del aire g  10m / s 2 . a) 10 3 m/s

25. Un cuerpo es lanzado desde A con velocidad de 100 m/s. ¿A qué distancia del punto de partida, sobre el plano inclinado, impacta el cuerpo?

a) 245 m d) 525 m

28. En la figura mostrada, determinar con qué velocidad V se debe lanzar la esfera, si debe ingresar horizontalmente por el canal B.

20 m

V

d) 25 m

20 m

e) 30 m d

a) 8,4 m d) 16,1 m

b) 11,2 m e) 6,4 m

c) 14,6 m

30. Una partícula es lanzada perpendicularmente a un plano inclinado tal como se muestra. Determine el tiempo que debe pasar para que impacte en el plano no considere la

27. Hallar la velocidad del lanzamiento de la bolita para que pueda ingresar justamente por el estrecho canal. a) 45 m/s

2 resistencia del aire (g  10 m/s ) . a) 6,5 s 25 m/s

b) 50 m/s

c) 6,25 s

c) 55 m/s d) 60 m/s e) 72 m/s

-132-

V 60º 37º

b) 6 s d) 7 s

55 m

e) 5,6 s

37º

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Movimiento Circunferencial Es aquel movimiento que se caracteriza por que su trayectoria es una circunferencia y de acuerdo a su velocidad angular se pueden clasificar en: 

Movimiento Circunferencial Uniforme (MCU) La velocidad angular es constante.



Movimiento Circunferencial Uniformemente Variado (MCUV) La velocidad angular es variable y además posee aceleración angular. Definiciones: 

B

R 

L A

V

1. DESPLAZAMIENTO ANGULAR (): Es ángulo que se describe en el centro de trayectoria correspondiente a un arco circunferencia, se le expresa generalmente radianes.

el la de en

2. DESPLAZAMIENTO LINEAL (L): Es la longitud de arco de la circunferencial recorrido por un cuerpo con movimiento circunferencial.

3. PERIODO (T): Es el tiempo que demora un cuerpo con movimiento circunferencial en dar una vuelta completa. tiempo T o Unidades: segundos (s) N de vueltas 4. FRECUENCIA (f): Es el número de vueltas que efectúa el móvil con movimiento circunferencial en cada unidad de tiempo. También se define como la inversa del periodo.

f UNIDADES: rev/s = (R.P.S.) rev/min = (R.P.M.) rev/hora = (R.P.H.)

N o de vueltas tiempo

= 1/s = Hertz (Hz)

5. VELOCIDAD TANGENCIAL ( V ): Es una magnitud vectorial cuyo módulo mide el arco recorrido por el móvil en la unidad de tiempo. Se caracteriza por ser tangente a la trayectoria. UNIDADES: m/s, cm/s, etc.

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6. VELOCIDAD ANGULAR (): Es una magnitud vectorial cuyo módulo mide el ángulo barrido por el móvil en la unidad de tiempo. Se caracteriza por ser perpendicular al plano de rotación. Unidades: rad/s, rev/min (R.P.M.) 8. ACELERACIÓN ANGULAR (): Es aquella magnitud vectorial que nos indica cuanto aumenta o disminuye la velocidad angular en cada unidad de tiempo. Unidades: rad/s 2 , rad/min 2, rad/h 2, etc.

9. ACELERACIÓN TANGENCIAL ( a T ) Es aquella magnitud vectorial que nos indica cuanto cambia la velocidad tangencial en cada unidad de tiempo. 2 2 Unidades: m/s , cm/s

10. ACELERACIÓN CENTRÍPETA ( a c ) Es la magnitud vectorial cuyo punto de aplicación es el móvil su dirección radial y sentido siempre señalan hacia la parte central de la circunferencia. 2 2 Unidades: m/s , cm/s

at ac ac

a

a

a c : aceleración centrípeta a t : aceleración tangencial a : aceleración total

at

Movimiento Circunferencial Uniforme En un movimiento circunferencial que se caracteriza porque su velocidad angular permanece constante durante todo el movimiento, esto significa que en tiempos iguales barre ángulos iguales. Velocidad angular (): En general se define como velocidad angular a la razón que existe entre el ángulo descrito por unidad de tiempo: ángulo     tiempo t

 t

Unidades: rad/s; R.P.M. En función del período y la frecuencia:



-134-

2  2f T

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Velocidad tangencial ( V ) V  R

V

2R  2Rf T

Movimiento Circunferencial Uniformemente Variado Es aquel movimiento que se caracteriza por que su trayectoria es una circunferencia y su velocidad varía uniformemente conforme transcurre el tiempo esto significa que su aceleración angular permanece constante. Las ecuaciones del movimiento son las mismas del movimiento rectilíneo uniformemente variado. Además algunas ecuaciones esenciales: La aceleración en el Movimiento Circular Uniformemente Variado Aceleración centrípeta Es la magnitud vectorial cuyo punto de aplicación es el móvil su dirección radial y sentido siempre señalan hacia la parte central de la circunferencia. ac 

V2 R

a c  2R

2 Unidades: m/s

Aceleración Tangencial: Se define como el producto de la velocidad angular por el radio de curvatura de la trayectoria: a  R Si representamos un movimiento curvilíneo en general: De acuerdo al diagrama se puede definir la aceleración total en cualquier punto mediante el Teorema de Pitágoras: a

Fórmulas del MCUV S  R V  R a  R

f  0  t



  0 t 

1 2 t 2

2

Propiedades del MCU Todos los puntos de un cuerpo En discos unidos por una faja de transmisión o en contacto rígido, en rotación, poseen la tangencial, todos los puntos de la periferie de los discos tienen misma "velocidad angular", no igual "velocidad tangencial". depende del radio de giro.

1

2

f  0 t

f 2  0 2  2

2

a t  ac

1

2

4

3

5 4 1   2   3   4

3 V1  V2  V3  V4  V5

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Problemas Resueltos 1. La luna hace una revolución completa en 28 días, si la distancia promedio entre la Luna y la 7

Tierra es de 38, 4  10 m, aproximadamente, halle la velocidad tangencial de la Luna con respecto a la Tierra. a) 990 m/s b) 987 m/s c) 992 m/s d) 997 m/s e) 1000 m/s Solución: El período de la Luna es 28 días T  28  24  3600 s La velocidad tangencial se define como: 2R V  R  V  T Sustituyendo variables: V

7

2(38, 4  10 ) 28  24  3600 V  997 m/s

Rpta.

2. Considerando un radio ecuatorial de 6400 km, determine la velocidad tangencial, con respecto al eje terrestre, en un punto ecuatorial en km/h. 1600 1400 a) b)  km/h  km/h 3 3 1700 1600 c) d)  km/h km/h 3 3 1600 e)  km/h 5 Solución: Dadas las condiciones, el periodo de un punto de la superficie terrestre es 24 horas. T  24  3600 s 2R Se sabe que: V  T Sustituyendo: 2(6400 km) V 24 h

-136-

V

1600  km/h 3

Rpta.

3. Halle la velocidad tangencial alrededor del eje terrestre de un punto en la superficie terrestre a una latitud de 60º N en km/h. 800 500 a) b)  rad/h  rad/h 3 3 750 505 d) d)  rad/h  rad/h 3 3 e) 500 rad/h Solución: La velocidad angular en cualquier punto de la Tierra es la misma, pero la velocidad tangencial varía de acuerdo al radio de la trayectoria de  dicho punto de la Tierra. r 2  R T V 2 rad 60º  24 h   rad/h 12 Cálculo del radio de curvatura a latitud 60º N: r  R cos 60º 1 r  6400    r  3200 km  2 Velocidad tangencial: V  R  V rad/h  3200 km 12 800  rad/h Rpta. V 3 4. ¿Cuánto dura el día de un planeta “saturno” cuyo radio promedio es 10000 km; si un punto superficial a latitud 37º N (medido desde su línea ecuatorial) tiene una velocidad lineal de 400 km/h ?

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b) 32 h e) 50 h

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c)

40 h

Solución: Ubicamos un punto de latitud 37º N y hallamos su radio de giro (r) N  r  1000 cos 37º r P 4 r  10000   R 5 37º r  8000 km La velocidad lineal: 2r V T 2(8000) 400  T 2(8000) T  T  40 horas 400 El día en el planeta “saturno” dura: 40 h Rpta. 5. En una pista circular se cruzan dos partículas  con velocidades angulares de rad/s y 10  rad/s . Si estas velocidades angulares son 20 mantenidas constantes, hallar el tiempo adicional suficiente para que los vectores velocidad de estas partículas formen 90º. a) Solución:

V1

Se sabe que:    t Del diagrama:  1   2  2

 2 1

O

V2

1t  t 2 

 2

 t(1  2) 

 2

     Reemplazando: t     10 20  2  3   t  t  3, 33 s Rpta.   20  2 6. Sobre dos vías circulares tangentes se desplazan dos móviles, tal como se muestra en la figura, con velocidades angulares constantes (B  2A ) . Determinar el valor del ángulo "  " si se sabe que los móviles colisionan en “O” antes de completar la primera vuelta. B A



 O

a) 25º d) 45º

b) 30º e) 53º

c) 37º

Solución: Para que “A” y “B” colisionen en “O” es necesario que ambos lleguen a “O” y en el mismo tiempo, es decir: A   B t A  tB   A B  3   2  2 A 2 A

3  2 2  4   3  2     30º  6

  2 

Rpta.

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-137-

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7. En el instante se muestra la posición de las partículas que viajan circularmente por pistas tangentes exteriormente, si la velocidad angular de “A” es  rad/min , hallar la velocidad angular de “B” (en rad/min) para que las partículas se encuentren en “O” sin dar más B vueltas.

 4  d) 5 a)

O

b) e)

Solución:

 3 2 5

c)

 2



f 2  0 2 2

(100)2    250 rad 2(20) Cálculo del número de vueltas: 250 Nº vueltas  2 Nº vueltas  40 Rpta. 9. Hallar la velocidad angular (en rad/s) del tambor de 60 m de radio en el momento en

2R

R

c) 24

 B 

60 cm

d) 25

B

O

e) 28

   300º Del diagrama:  A   B  60º Los móviles se encuentren en “O”, llegan a dicho punto al mismo tiempo, luego: A   B t A  tB   A B

 rad/min 5

Rpta.

8. Al desconectarse un ventilador se genera rad/s 2 , si una desaceleración de 20 inicialmente el ventilador gira a razón de 100 rad/s . Hallar el número de vueltas que darán las aspas del ventilador hasta detenerse.

-138-

Solución:

b) 20

A

300º 60º   B

c) 40

que la carga desciende a razón de 6 m/s. Los tambores de radios “R” y “2R” son solidarios. a) 18

B

60º 30º A

b) 36 e) 48



A

30º

a) 32 d) 45

Solución: Seleccionemos un par adecuado de tambores: B

1

2

C

A

60 cm

3

V1

1  2 

V1 V2  R1 R 2

6 V2  V2  6 m/s  R 2R En los tambores B y C: V3  V2  3R 3  12 3 

12  20 rad/s 0, 6

Rpta.

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Problemas Propuestos 1. Señale con V (verdadero) o F (falso) según sea de acuerdo al Movimiento Circunferencial Uniforme. I. Posee aceleración. II. Su velocidad es constante, en módulo y dirección. III. Es un movimiento periódico. a) VFV b) VFF c) FVV d) VVV e) FFF 2. Señale con V (verdadero) o F (falso) según sea respecto a la aceleración centrípeta. I. Es constante su módulo en el MCU. II. Modifica la dirección de la velocidad tangencial. III. Siempre es perpendicular a la velocidad tangencial. a) FFV b) FVV c) VVF d) VFV e) VVV 3. Indique la proposición incorrecta respecto al MCUV. a) Su aceleración angular es constante sólo en módulo. b) Posee aceleración tangencial constante. c) Su velocidad angular varía uniformemente en módulo. d) No es un movimiento periódico. e) Posee aceleración centrípeta variable. 4. Señale con V (verdadero) o F (falso), respecto de la aceleración tangencial. I. Puede ser opuesta a la velocidad tangencial. II. Es constante en dirección. III. Modifica el módulo de la velocidad tangencial únicamente. a) VVF b) VFV c) FVV d) VVV e) FFF

5. Señale en la figura la expresión correcta que relaciona a los vectores mostrados. a)   V  r



b)   V  r

 r 90º

c) V    r d) V    r



V

e) V    r 6. Cinco ruedas se encuentran conectadas como se muestra en la figura. Halle la velocidad del bloque “Q” si se sabe que: R A  5m ,

R B  10m , R D  6m y R E  12m. a) 2 m/s b) 3 m/s

B

A

E

C

D

c) 4 m/s d) 5 m/s e) 10 m/s

Q Vp  10 m/s

7. Marquito observa el paso de un meteoro fugaz el 14 de febrero durante 3,14 s en el cielo y describe en ese tiempo un arco de 9°. ¿Cuál fue la velocidad media expresada en (km/s) si la distancia media al observador fue de 80 km? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 8. Si las partículas simultáneamente con B  2 rad/s . ¿Qué encontrarse? a) 0,2 s b) 0,3 s c) 0,4 s d) 0,5 s

 A

A y B parten y A  3 rad/s tiempo tardan en

E  



B

e) 0,1 s CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC)

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9. Determine el tiempo mínimo que tardan en encontrarse los móviles 1 y 2, si 1   rad / s y 2  2 rad / s . a) 0,6 s E b) 0,5 s   1 c) 0,4 s

13. Una rueda de 2,5 m de radio gira a razón de 120/ R.P.M. respecto a un eje fijo que pasa por su centro, una partícula se suelta del punto “A” halle el desplazamiento horizontal “x”

d) 0,2 s

c) 4 m

 2

e) 0,1 s

C

2m

b) 6 m/s c) 4 m/s

3m

B

1m

A

d) 2 m/s e) 1 m/s

A



11. Dos cuerpos en una trayectoria circunferencial parten desde un mismo punto con velocidades de 8  y 2 m/s en sentidos contrarios. ¿Al cabo de cuánto tiempo se encontraran? (R  10m) . a) 1 s b) 2 s c) 3 s d) 4 s e) 5 s 12. Dos pelotas atadas a una cuerda giran en un plano con M.C.U. Si la velocidad tangencial de “A” es de 20 cm/s. ¿Cuál es la velocidad angular del conjunto y la velocidad tangencial correspondiente de “B” en rad/s y cm/s respectivamente? A a) 0 y 8 b) 1 y 62 c) 33 y 5

B

-140-

O

e) 15m



x

14. A 1,25m del piso, en un plano horizontal, un depósito de arena gira con una velocidad angular de 4 rad/s y con 2 m de radio mientras va dejando caer gránulos de arena por un orificio practicando en el fondo del deposito halle el radio de la circunferencia de arena que 2 se forma en el piso (g  10 m/s ) . a) 2m b) 3m

d) 2 5m

c) 4m

e) 4 2m

15. Las partículas parten simultáneamente con periodos de 20 y 30 segundos. ¿Al cabo de que tiempo logran cruzarse por segunda vez? a) 6 s b) 12 s c) 18 s d) 21 s e) 25 s 16. Se muestra en el instante en que un móvil en trayecto curvilíneo tiene una velocidad de 10 m/s y describe un radio de curvatura de 20 m . Halle la aceleración lineal (total) cuya orientación se gráfica con respecto a la línea tangente. 30º

a

15 cm

10 cm

d) 7 y 1 e) 2 y 50

b) 10 m d) 5 m

10. En el sistema mostrado se sabe que A  12 rad/s , hallar la velocidad tangencial en el borde de la rueda C. a) 8 m/s

(g  10 m/s 2 ) . a) 8 m

2 a) 5 m/s

2 b) 15 m/s

2 d) 20 m/s

2 e) 25 m/s

c) 10 m/s 2

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17. En MCUV se puede afirmar: I.  y  son colineales. II.  y a son ortogonales. III.  y v son colineales. a) I b) II c) III d) IV

e) todas

18. Una partícula de MCUV partió desde el reposo con aceleración de 6 rad/s2, al cabo de los 10s su aceleración centrípeta es m/s2 es: el radio de giro es de 1m. a) 3000 b) 3200 c) 3400 d) 3600 e) 3800 19. Una partícula describe una trayectoria circular de radio 0,5 m con aceleración angular 2

constante   5 rad/ s Si parte del reposo, hallar el módulo de la aceleración normal dos segundos después de su partida en m/s2. a) 100 b) 50 c) 25 d) 10 e) 5 20. Halle “” en un MCUV, sie en 3 segundos el disco gira 180 rad siendo 108 rad/s su velocidad angular al cabo de este tiempo. a) 32 rad/s2 b) 34 rad/s2 c) 36 rad/s2 2 2 d) 38 rad/s e) 40 rad/s 21. En un MCUV se obeserva que en 2s triplica su velocidad con desplazamiento angular de 4 rad. Halle el desplazamiento angular para el siguiente segundo. a) 3 rad b) 3,5 rad c) 4 rad d) 4,5 rad e) 5 rad 22. Con MCUV en 1s una particular gira 42 rad, en el siguiente segundo gira 54 rad, halle la aceleración angular en rad/s2. a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16 23. Una partícula describe una trayectoria circular de 6m de radio, halle la velocidad para cierto instante en que su aceleración mide 15 m/s2 y forma 37° con la velocidad.

a) 6 m/s

b) 3 6

d) 12 2

e) 15

c) 12

24. Una hélice parte con velocidad inicial de 4 rad/s. ¿Cuántas vueltas dará en el tercer segundo?. Su aceleración es de 6 rad/s2. a) 6,5 b) 7,5 c) 8,5 d) 9,5 e) 10,5 25. Un tocadisco gira a 33 rpm al cortar la corriente la fricción hace que el tocadisco se frene con desaceleración constante, observándose que luego de 3s gira a 32,5 rpm. ¿Qué tiempo, en segundos, tarda el tocadisco para detenerse? a) 250 b) 89 c) 180 d) 198 e) 195 26. Un cilindro de 1m de diámetro que se encuentra rotando a razón de 30 rpm es desacelerado uniformemente hasta 15 rpm. Si durante este tiempo se han enrollado 90m de cuerda sobre el cilindro la aceleración angular (en rad/s2) es: a) 0,011 b) 0,021 c) 0,041 d) 0,051 e) 0,031 27. La velocidad de un automóvil aumenta uniformemente en 10s de 19 km/h a 55 km/h. El diámetro de sus ruedas es 50 cm, la aceleración angular de las mismas en rad/s2. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 28. Hallar la velocidad angular inicial MCUV si su aceleración angular es /9 rad/s2 y en el quinto segundo recorre un cuarto de vuelta. (Dar la respuesta en rad/s). a) /2 b)  c) 2 d) /4 e) 0 29. Una partícula recorre una circunferencia de 20 cm de radio con una aceleración tangencial 2

cuyo módulo siempre es de 5 cm/s . ¿Cuánto tiempo después de haber partido desde el

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reposo la aceleración lineal de la partícula forma 45º con su respectiva velocidad? a) 1 s b) 2 s c) 3 s d) 4 s e) 5 s 30. Desde el reposo una partícula parte con aceleración angular constante de /2 rad/s2, luego de uns instante “t” la partícula pasa por un punto “A” y en un segundo más gira un cuarto de vuelta. Hallar “t” (en s). a) 0,3 b) 0,4 c) 0,5 d) 0,6 e) 0,7 31. Cuando un ventilador es apagado, debido a la fricción, desacelera uniformemente recorriendo 80 rad en los 4 primeros segundos, si la desaceleración angular es de 4 rad/s2 encuentre el tiempo que demora la fricción en detener al ventilador. a) 7s b) 8s c) 9s d) 10s e) 11s 32. Un disco que parte desde el reposo con aceleración angular constante empleó “n” segundos en su segunda vuelta, ¿Cuántos segundos emplearía en la primera vuelta? a) n

b)

c) n  2  1 

2

d) n 

2  2

e) n 3 33. Un móvil parte desde el reposo con MCUV, halle el ángulo que formará su aceleración con su velocidad cuando el móvil se haya desplazado en “”. 1 c) tg 

a) 

b) 2

1 d) tan (2)

1 e) cot 

34. La velocidad angular de un disco aumenta a razón constante de 2400 RPM a 4800 RPM en 30 s. Hallar la aceleración angular. a) 2,45 rad/s 2

b) 3, 4 rad/s 2

c) 2,67 rad/s 2

d) 2, 4 rad/s 2

e) 2,8 rad/s 2

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35. Transcurrido un tiempo “t” de haber partido un auto con aceleración constante, las ruedas disponen de una velocidad angular de 10 rad/s, si en 2s más las ruedas giran a razón de 15 rad/s; encuentre “t”. a) 1s b) 4s c) 7s d) 10s e) 13s 36. En la correspondencia  – vs – t. Halle el desplazamiento angular hasta t  6 s , desde que se inició el movimiento. a) 60 rad (rad/ s) b) 22 rad c) 33 rad d) 66 rad e) 132 rad

8

45º

t(s)

0

37. Anulada la corriente que alimenta a una hélice, este gira “n” vueltas en el último segundo, halle la velocidad angular de la hélice a 3s antes de detenerse suponiendo una desaceleración uniforme. a) 10 n rad/s b) 11 n rad/s c) 12 n rad/s d) 13 n rad/s e) 14 n rad/s 38. Un disco delgado de radio “R” soldado perpendicularmente a un eje de longitud “H” gira sobre un plano rugoso, sin deslizar, debido a que el alambre gira con una velocidad angular constante “  ”. ¿Cada cuánto tiempo el disco describe una circunferencia sobre el piso? a)

2 R 2  H 2 R

b)

2 R  H R

c)

2 R 2  H 2 R

d)

2 H 2  R 2 R

e)

 R 2  H2 R

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Objetivos  Establecer una nueva forma de medir el movimiento mecánico de traslación mediante la magnitud y cantidad de movimiento.  Conocer otra forma de medir la transmisión de movimiento, el impulso.  Establecer la relación entre el impulso y la cantidad de movimiento.  Conocer las diversas aplicaciones que tiene el principio de conservación de la cantidad de movimiento.  Establecer lo que es centro de masa (C.M.) y conocer sus diversas aplicaciones en un sistema. Introducción Cuando se patea un balón de fútbol, este experimenta un cambio en su velocidad, para cuando, se golpea con la varilla a la bola de billar, ésta sale con cierta energía cinética y va a chocar contra otras bolas transfiriendo parte de la energía hasta detenerse. También se ha observado que cuando se dispara un revólver, se origina un retroceso de la persona y así podemos mencionar otros casos donde se originan en los cuerpos cambios de velocidad (aceleración), transferencia de energía cinética, fuerza de acción y reacción. De todo esto, vemos la importancia que tienen las interacciones y su medida, las fuerzas y su efecto, los cambios de velocidad, ¿cómo cambian durante las colisiones y lanzamientos?, ¿cómo evaluar en el proceso la fuerza y velocidad? esto, usando las leyes anteriores de la mecánica resulta complicado y complejo, ¿qué hacer entonces? En esta parte nuestro objetivo será desarrollar una técnica adicional a partir de la segunda ley de Newton, deduciendo sencillos corolarios de esta ley que nos permitan simplificar el análisis; al enfocar y examinar las interacciones que suceden en un sistema de dos o más cuerpos. Reacción

Acción

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Reacción

A

Acción

A

B

B

Con los conceptos de trabajo y energía se ha podido analizar y simplificar el estudio del movimiento mecánico, sin embargo por ser magnitudes escalares no se toma en cuenta o se da poca importancia a la dirección del movimiento o a la dirección de transferencia del movimiento mecánico, estos son esenciales para definir la dirección del movimiento de los cuerpos que interactúan. Plano horizontal liso

m

V0

m

V0

La esfera al chocar con el bloque con igual energía cinética, sin embargo como se mueve en una dirección diferente en el segundo caso, la dirección de movimiento final de la esfera después del choque y la transferencia de movimiento hacia el bloque es diferente. Por ello, es necesario realizar un estudio vectorial del movimiento mecánico con magnitudes que midan sus efectos y su transferencia. Estas magnitudes son justamente la cantidad de movimiento o momentum lineal (P) y el impulso (I). Muchos fenómenos se pueden explicar, estudiar y analizar de forma más simple utilizando estos conceptos como por ejemplo, los choques. Concluiremos entonces que la cantidad de movimiento mide lo mismo que la energía cinética sólo que vectorialmente y el impulso mide lo mismo que el trabajo mecánico sólo que vectorialmente y así; como hay una relación entre el trabajo y la energía, también hay una relación entre el impulsoy la cantidad de movimiento.

Cantidad de Movimiento o Momentum Lineal La capacidad de un cuerpo para transferir movimiento mecánico depende de la masa y la velocidad, por ejemplo si la esfera de la figura anterior tuviera mayor masa o mayor velocidad, le transferiría al bloque más movimiento mecánico. Escalarmente la energía cinética mide esta capacidad y como sabemos de pende de la masa y la 1 velocidad ( E C  mV 2 ). 2 Vectorialmente se mide como la cantidad de movimiento “ P ” que en consecuencia también debe depender de la masa y la velocidad. Por ello:

P  mV

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Unidad: kg m/s

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A diferencia de la energía cinética, P tiene una dirección igual que la velocidad. V0

P0

Vf

Pf

Impulso ( I ) Se llama también ímpetu o impulsión y es una magnitud física vectorial que mide el efecto de una fuerza que actúa sobre el cuerpo durante un tiempo muy pequeño denominado instante, produciéndole un desplazamiento del cuerpo en la dirección de la fuerza promedio (F) por el lapso de tiempo (  t ) es igual al impulso (I).

I  F t Donde: F : Fuerza que actúa sobre el cuerpo (en N)  t : Lapso o intervalo que dura la acción de la fuerza (en s) Unidades: Sistema Internacional:

Ns

Otras unidades:

kg  s , dina  s

El deportista golpea con la raqueta a una pelota, tal como se indica en la figura. ¿Qué sucede durante el golpe de la raqueta? Ocurre una interacción física entre la raqueta y la pelota, el deportista le transfiere movimiento mecánico a la pelota. En consecuencia podemos afirmar que:  La raqueta transmitió energía cinética a la pelota, es decir realizó un trabajo mecánico.  La raqueta transmitió al balón cierta cantidad de movimiento, durante un breve intervalo de tiempo, desde este punto de vista se dice que la pelota recibió un impulso. En consecuencia podemos afirmar que también hay dos formas de medir la transferencia de movimiento; en forma escalar como cantidad de trabajo mecánico (W) y en forma vectorial como impulso. CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC) -145-

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Ahora podemos plantear el siguiente esquema: Medida escalar : Trabajo mecánico

Dos medidas de de transferencia de movimiento mecánico

Medida vectorial : Impulso

Relación entre el impulso y la cantidad de movimiento Consideremos el caso de una partícula con aceleración en un movimiento rectilíneo.

V0 F

m

Vf F

a

m

t Por la 2ª ley de Newton:

F  ma

 V  V0  F  m f   Ft  mVf  mV0 t  

I  Pf  P0 

I  P

El impulso es igual a la variación de la cantidad de movimiento. Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento Si el impulso sobre una partícula es cero, la cantidad de movimiento se conserva: Una partícula conserva su cantidad de movimiento si su rapidez no cambia. En un sistema aislado en el cual las fuerzas externas son cero, el momentum lineal total se conserva. Por la Segunda Ley de Newton, tenemos: F  ma dV Pero como la aceleración es: a  dt dP Entonces, la fuerza la podemos escribir como: F  dt Como las fuerzas externas son 0: P  constante dP Dado que la derivada de una constante es 0: F  0 dt Sin utilizar calculo diferencial La Segunda Ley de Newton puede ser planteada en términos de cantidad de movimiento: De la segunda Ley de Newton obtenemos que: F  ma

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ACADEMIA ALFA Como la aceleración es: a 

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V t

Reemplazando con la aceleración: F  m

V t

mVf  mV0  P  mV t Reemplazando con la cantidad de movimiento: P  P0 P ; si: F  0  F F f t t Entonces la cantidad de movimiento final será igual al inicial. A esto se le conoce como conservación de momento. F

B) Para un sistema de partículas: Inicialmente

Finalmente

m1

m1

V1 m3

m3

V1

V3

V3 m2

m2

V2

V2

P 0  m1 V1  m2 V 2  m3 V 3

P f  m1 V1  m2 V 2  m3 V 3

INTERPRETACIÓN DE LAS LEYES DE NEWTON Primera Ley de Newton Si la masa es constante esto implica que: V  constante Esto es equivalente a la primera ley de Newton o ley de la inercia, que establece que "en ausencia de fuerzas aplicadas un cuerpo se moverá con velocidad constante". Segunda Ley de Newton La segunda ley de Newton explica que cuando un cuerpo es sometido a una fuerza adquirirá una aceleración y que la fuerza es igual al producto de la masa por la aceleración, es decir: F  ma De acuerdo a la definición de aceleración esta expresión también puede escribirse como: dV Fm dt dP Si la masa es constante esto es equivalente a: F  dt Este enunciado puede considerarse como una definición de fuerza: "fuerza es la razón de cambio del momentum lineal con respecto al tiempo". CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC)

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Hay que resaltar que cuando Newton describió su Segunda Ley, en la que se describe qué es una fuerza, lo hizo derivando el momento lineal. Llegó a la conclusión de que para variar el momento lineal de una partícula, habría que aplicarle una fuerza. Por tanto la definición correcta de Fuerza es dP . Y, sólo en el muy probable caso de que la masa permanezca constante en dt, se puede F dt dV transformar en F  m . Lo normal es que al aplicarle una fuerza a un cuerpo, su masa dt permanezca constante; pero por ejemplo, en el caso de un cohete, esto no es así, pues va perdiendo masa según avanza. Tercera Ley de Newton Finalmente, en la interacción entre dos cuerpos, si el momentum lineal ha de conservarse el cambio de momentum lineal de uno de los cuerpos debe ser el negativo del cambio de momentum lineal del otro. dP1 dP  2 dt dt lo que de acuerdo a la definición de fuerza, puede expresarse como: F1  F2 Esto equivale al enunciado "a toda fuerza de acción le corresponde una fuerza de reacción igual y opuesta". Representación gráfica del Impulso de una fuerza Fuerza constante

Fuerza variable

F(N)

F(N)

F  f(t)

F

I = Área

t1 I = F(t 2  t 1 )

I = Área t2

t(s)

t0

t1

t(s)

I =  f(t)dt

Nota: El símbolo  representa un operador de suma infinitesimal, que permite hallar el área determinada por una curva definida por una función f(t) y el eje “t”. Este tema es materia de un curso de matemática avanzada, que para nuestro estudio aún no es concerniente. Durante el desarrollo de la asignatura encontraremos algunos problemas donde la fuerza se halla expresada en función del tiempo, como por ejemplo: F  3t  2 (Recuerde: Esta función representa la ecuación de una recta).

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Ejemplo Ilustrativo 1 Una bola de billar de 0,5 kg choca contra la banda como indica la figura de manera que su rapidez cambia de 8 m/s a 6 m/s. Determine el módulo del impulso resultante que recibió la bola durante el impacto y su expresión vectorial. Vf

Y

Solución: Durante el impacto sobre la bola actúa la fuerza de gravedad y la reacción de la banda en un pequeño intervalo de tiempo, lo cual altera la cantidad de movimiento horizontal de la bola y rebota verticalmente, tal como mostramos en el diagrama a continuación:

X

V0

P f  mV f

Y

La bola antes del impacto posee P 0 ; durante el choque recibe el impulso resultante y después del impacto posee P f , entonces:

X

I res  P f  P 0 Por lo tanto con los tres vectores construimos:

p0  mV 0

I res 2  (mVf )2  (mV0 )2 I res

mV f

I res

I res 2  (0,5  8)2  (0,5  6)2 I res  5 N.s

mV 0

Vectorialmente:

I res  4i  3j

Rpta.

Ejercicio Ilustrativo 2 Una esfera de 2 kg de masa se desplaza a razón de 5 m/s, formando 37º con la horizontal, ¿cuál es la expresión vectorial de su momentum lineal?

V m

37º

Solución: Aprovechamos el ángulo de 37º y descomponemos la velocidad en las direcciones mencionadas, así: Vsen37º m

V 37º V cos 37º

La cantidad de movimiento se puede expresar como: P  m( V cos 37º i  Vsen37º j)

 4  3  P  25  i  5  j 5   5  

P  (8i  6j) kg  m/s

Rpta.

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Ejemplo Ilustrativo 3 Dado el sistema mostrado en la figura, determinar la expresión vectorial de la cantidad de movimiento y su magnitud: Solución:

6 m/s

P sist  P1  P 2

m1  2 kg 2 m/s

P sist  m1 V1  m 2 V 2 P sist  2( 6i)  4(2j)

m2  4 kg

P sist  4(3i  2j) kg  m/s

P2  8

Psist

Psist  P12  P2 2  122  8 2 Psist  4 3 kg  m/s

Rpta.

P1  12

Ejemplo Ilustrativo 4 Una granada de masa “5m” se desplaza con 10 m/s sobre una superficie horizontal lisa en cierto instante estalla y se fracciona en dos fragmentos de masas “2m” y “3m”. Si la rapidez de “2m” es 20 m/s y es perpendicular a la velocidad del otro fragmento, calcule la rapidez del fragmento. Solución: 5m

V1  20 m/s 2m

5m V  10 m/s

90º

3m

V2

Inicialmente la granada se desplaza y debido a las fuerzas internas (producto de reacciones químicas) se fragmenta (estalla) así tenemos que, al explotar. Por ser la superficie lisa, sobre la granada externamente no hay influencia de fuerzas, entonces la fuerza resultante es nula.

Por lo tanto, se conserva la cantidad de movimiento, antes y después del fraccionamiento se verifica: P 0  P f  P 5m  P 2m  P 3m Formamos un triángulo con las cantidades de movimiento: P2m  2mV1  40 m

P3m  3mV2

Por tratarse de un triángulo rectángulo notable: Rpta. V2  10 m/s

P5m  5mV  50 m

Ejemplo Ilustrativo 5 En la figura se muestra cómo una esfera impacta y rebota sobre una superficie horizontal lisa. ¿Cuánta energía mecánica perdió la esfera?

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Solución: Para poder determinar la energía mecánica perdida por la esfera, se requiere comparar su energía cinética antes y después de chocar. Para esto también se necesita la rapidez después del impacto. Analizando la esfera durante el impacto, notamos que sobre ella sólo hay fuerzas verticales y en la dirección horizontal la fuerza resultante es nula. La cantidad de movimiento se conserva, en consecuencia la componente horizontal de la velocidad no cambiará.

8 2 m/s

2 kg 45º 53º

8 m/s

8 m/s

Vf  ?

Fg

Q

VH

45º 53º

'

VH '  VH  8 m/s Con esto se deduce que: Vf  10 m/s

R

Si hacemos el cálculo de la energía cinética: 2

2

Por balance de energía se establece que:

E C0 

mV0 2(8 2)   128 J 2 2

E C0  E Cf  Q

E Cf 

mVf 2 2(10)2   100 J 2 2

Q  128  100 

28 J

Rpta.

Choques y Colisiones Se llama choque o colisión a aquella interacción violenta cuyo tiempo de duración es pequeño. Durante el choque

Antes del choque

V1

V2

Durante el choque los cuerpos que interactúan se deforman debido a las enormes fuerzas que surgen. Conservación de la Cantidad de Movimiento en los Choques En todo choque, en el instante de la colisión, aparecen fuerzas de acción y reacción, las cuales, para el sistema de las dos partículas que chocan, son fuerzas internas que se anulan, por tanto “en todo choque se conserva la cantidad de movimiento”, o sea: Cantidad de mov. = Cantidad de mov. Antes del choque

Después del choque

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Coeficiente de Restitución (e) Es un factor adimensional que nos permite comparar el impulso de recuperación con respecto a la deformación y de esta manera caracterizar el grado de recuperación después del choque y precisar el tipo de choque que sucedió. Clasificación de los choques según el coeficiente de restitución (e): 1. Choque elástico: ( e  1 ) En este choque el impulso deformador y recuperador sobre los cuerpos son iguales en módulo, esto trae como consecuencia que los cuerpos después del choque recuperen toda su forma y quedan sin deformar, por otro lado la energía disipada es nula, y por lo tanto se debe cumplir: a) Como: I deformador  I recuperador



e

I recuperador I deformador

1

sistema sistema b) Como: Qdis  0  E Cantes choque  E Cdespués choque

Observaciones: No hay deformación  E C(Antes) = E C(Después) 

P(antes) = P(después)

 Coeficiente de restitución:

e1

2. Choques inelásticos: ( 0  e  1 ) Para este tipo de choque, el impulso en la etapa de recuperación es menor que el de la etapa de deformación, esto trae como consecuencia que los cuerpos después del choque no recuperen su forma inicial y quedan parcialmente deformados. Por otro lado durante la etapa de deformación hay disipación de energía en forma de calor principalmente aunque también en forma de sonido, este último por lo general no se considera, de ahí que: a) Como: I deformador  I recuperador

 e

I recuperador I deformador

1

sistema sistema b) Como: Qdis  0  E Cantes choque  E Cdespués choque  Q dis

Observaciones: Hay deformación parcial 

E C(antes)  E C(después)



P(antes) = P(después)

 Coeficiente de restitución: 0  e  1

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3. Choques completamente inelásticos: Se llaman también choques plásticos y son aquéllos en que la deformación de los cuerpos es total y la energía cinética no es constante. Observaciones: Hay deformación total (explosión, etc.).  E C(antes)  E C(después) 

P(antes) = P(después)

 Coeficiente de restitución:

e0

Características particulares al evaluar el coeficiente de restitución (e) Planteamos a continuación una serie de ejemplos prácticos que servirán para analizar y evaluar choques. Caso I: Utilizando la gráfica F vs. t Podemos poner como ejemplo un choque frontal de una esfera contra una pared y consideraremos que la fuerza de reacción de la pared viene dada por la gráfica adjunta. Calcular el coeficiente de restitución. Solución:

R

En la gráfica R  t

R máx

Comparando los impulsos mediante áreas, planteamos que: I recuperador A 2 e  … (1) I deformador A1

R R máx

0

2t

3t

t

A1 0

A2 2t

3t

t

t 2t Los triángulos de áreas A 1 y A 2 al tener igual altura, sus áreas resultan proporcionales a sus bases.

R máx (t)   2  R máx (2t)  A1   2

A2 



A2 1  A1 2

1  0,5 2 Por lo tanto, el choque es inelástico y después del choque la esfera queda parcialmente deformada y disipa energía en forma de calor durante la colisión. Reemplazando en (1): e1 

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-153-

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Caso II: Choque entre una pared fija y una partícula móvil Un cuerpo impacta frontalmente con una rapidez V1 contra una superficie rígida y rebota con una rapidez V2 . Si el coeficiente de restitución es “e” demostraremos que:

V1  eV2 Donde: : V1 : V2

Rapidez de incidencia o de acercamiento a la superficie Rapidez de rebote o alejamiento de la superficie Después del choque

Antes del choque

V2

V1

Demostración: Es conveniente que para demostrar la relación, plantear los procesos que ocurren durante el choque y calcular los impulsos respectivos. Representemos gráficamente lo que acontece. Examinemos lo acontecido: V1 Etapa de deformación de A  B m

I deformador   pesfera

A

I deformador  p(B)  p(A)  0  ( mV1)

Proceso de deformación



V0

B

I deformador  mV1 … (1)

Etapa de recuperación de B  C I recuperador   p esfera

Proceso de recuperación

V2

m

C

I recuperador  p(C)  p(B)  ( mV2 )  0



I recuperador  mV2 … (2)

Por definición de coeficiente de restitución (e) tenemos:

e De donde, deducimos que: V1  eV2

I recuperador I deformador



mV1 mV2

( V 1 y V 2 son perpendiculares a la superficie)

Caso III: Choque central entre una pared fija y una partícula móvil en forma oblicua La relación anterior para un cuerpo que impacta oblicuamente sobre una superficie lisa en reposo también es válida, pero se debe considerar las componentes de las velocidades que definen el acercamiento o alejamiento perpendicular a la superficie. Según esto, planteamos:

-154-

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De acuerdo al gráfico que muestra las componentes de V1 y V2 se observa que: V1 cos  define la rapidez de acercamiento (Vacerc ) a la superficie de incidencia.

Linea de choque

V1

V2

V2 cos define la rapidez de alejamiento (Valej )

 

Liso

respecto de la superficie. Ahora podemos usar la expresión anteriormente demostrada: Valej  eVacerc

Descomponiendo las velocidades V1sen Vacerc  V1 cos 

Linea de choque

En este caso sería: V2 cos   e(V1 cos ) De donde se obtiene: V  cos   e 2  V1  cos  





Liso

Valej  V2 cos

V2sen

 

Muy importante: Cuando la superficie es rugosa, se utiliza la siguiente relación, para cálculos más directos: tan    Linea de e choque tan    V 1



V2

Cuando:   0 (superficie lisa), la relación se reduce a: e

 

tan  tan 

Caso IV: Choque frontal entre dos cuerpos móviles Cuando dos cuerpos (esferas) chocan frontalmente, el coeficiente de restitución (e) se puede evaluar a partir de la velocidad relativa de acercamiento antes del choque y la velocidad relativa de alejamiento después del choque según la siguiente relación: alej

e

U R.(d.ch.) acerc

… (1)

V R.(a.ch.) Donde: alej

U R.(d.ch.) : acerc

V R.(a.ch.) :

Velocidad relativa de alejamiento después del choque Velocidad relativa del acercamiento antes del choque

Demostración: Consideremos el choque central y frontal entre dos esferas tal como lo indicamos. CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC)

-155-

PROYECTO INGENIERÍA V1

m1



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V2

U1

m2

m1

U2 m2

Después del choque

Durante el choque

Antes del choque



Para llegar a establecer la expresión (1) debemos partir de la ecuación general:

e

I recuperador I deformador

Será suficiente analizar sólo la acción de una de ellas sobre la otra. Esto se hará en forma análoga al análisis del choque frontal de una esfera contra una pared rígida. Examinemos lo que sucede con la fuerza (acción) de parte de m1 sobre m 2 . V t 0 Durante la colisión de las esferas se presentan dos etapas: la etapa de deformación y la de recuperación. En la primera de ellas, el módulo de la fuerza impulsiva aumenta con el tiempo, mientras que en la segunda etapa esta fuerza decrece con el tiempo, mientras que en la segunda etapa esta fuerza decrece con el tiempo hasta hacerse nula. En el instante en que la fuerza entre ellos es máxima (Fmáx ) , la velocidad relativa entre ellas es nula, lo que significa que tienen una velocidad común ( V ).

Instante antes del choque

2

F0

m1 m2

0

F m 2 F Deformación máxima

V

Fmáx F

m2 t  t1 m2

m2 F m 2

Instante después del choque

F0

Deformación

Recuperación

U2 m1 m2 t  t2

En el gráfico F  t muestra cómo varía la fuerza impulsiva sobre m 2 con el tiempo. El área bajo la curva representa el impulso de “A” Impulso de A sobre B sobre “B”. Etapa de F recuperación En el intervalo  0, t  : 1 F máx

I deformador   p deformador

Etapa de deformación

0

 Fmáx

-156-

m2 V  m2 V 2  m2(V  V 2)

A2

A1

t2

t1

t

En el intervalo  t 1, t 2  :

I recuperador   p recuperador

m2 U  m2 V  m 2(U 2  V) Reemplazando en el coeficiente de restitución: Impulso de B sobre A

e

m 2 (U 2  V) m 2 (V  V 2 )

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Como V 2 , V y U 2 están dirigidos hacia la derecha, entonces son positivos, por lo que se tiene: U V e 2 … (I) V  V2 Si en forma análoga se estudia m1 , el coeficiente de restitución será: e

Igualando (I) y (II): e 

V  U1 V1  V

… (II)

U 2  V V  U1  V  V2 V1  V

Por propiedad de proporciones: e

(U 2  V)  (V  U1) U 2  U1  (V  V2 )  (V1  V) V1  V2

El numerador expresa el módulo de la velocidad relativa de alejamiento de un objeto respecto del otro después del choque, mientras que el denominador viene a ser el módulo de la velocidad relativa de acercamiento de un objeto respecto a otro. Por lo tanto el coeficiente de restitución para el choque frontal entre m1 y m 2 viene dado por: alej

U R.(d.ch.) velocidad relativa después del choque e  acerc velocidad relativa antes del choque V R.(a.ch.)

Estos son algunos casos que se pueden presentar: Antes del choque: V2  0

V1

acerc

V R(a.ch.)  V1

V1

V2  V1

acerc

V R(a.ch.)  V1  V2

V1

acerc

V2

V R(a.ch.)  V1  V2

Después del choque: U1  0

U2

alej

U R(d.ch.)  U 2

U1

U 2  U1

alej

U R(d.ch.)  U 2  U1

U1

U2

alej

U R(d.ch.)  U1  U 2

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PROYECTO INGENIERÍA

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Ejemplo Ilustrativo 1 Dos esferas idénticas van a chocar frontal y elásticamente, calcule la rapidez de las esferas después del choque (m A  2mB ) . 12 m/s

V0

liso

Como el choque es frontal, las velocidades de los cuerpos antes y después del choque son paralelas. Entonces: Después del choque

Antes del choque

V1  12 m/s

V2  0

U1

U 2  U1

A

B

A

B

Considerando la conservación de la cantidad de movimiento:

pa.ch.  pd.ch.  m A V1  m AU1  mBU 2 2U1  U 2  24

(2m)(12)  (2m)U1  mU 2 

… (a)

Para encontrar otra relación entre U1 y U 2 podemos hacer uso del coeficiente de restitución ( e  1 ), aunque también se puede hacer uso de un balance de energía cinética para el sistema, pero resultaría algo operativo. Entonces plantearemos. e

U R(d.ch) V R(a.ch)

=1 

U 2  U1 1  12

U 2  U1  12 … (b)

Resolviendo (a) y (b):

U1  4 m/s y U 2  16 m/s

Rpta.

Ejemplo Ilustrativo 2 El collarín A se mueve con una rapidez de 20 m/s y si choca inelásticamente con el collarín B de igual masa, que se hallaba en reposo; determine la rapidez de los collarines después del choque ( e  0,5 ). V liso A

B

Solución: Según las condiciones del problema, el choque será frontal inelástico y como sabemos se dará cierta disipación de energía durante el choque. Antes del choque

-158-

Después del choque

VA  20 m/s

VB  0

UA

UB  U A

A

B

A

B

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Luego del choque suponemos que A y B se mueven en la misma dirección. Ahora para calcular U A y UB , utilizamos el principio de conservación de la cantidad de movimiento.

I a.ch  pd.ch

(m A  mB )

m A VA  m AU A  mBUB U A  U B  20

… (a)

Luego de encontrar otra relación entre U A y UB consideremos el coeficiente de restitución: e

U R(d.ch) V R(a.ch)

=

1 2



UB  U A 1  ; de aquí se deduce: U B  U A  10 20 2

Resolviendo (a) y (b): U A  5 m/s

y U B  15 m/s

… (b)

Rpta.

Ejemplo Ilustrativo 3 En la figura se muestra una bala de 0,1 kg que se incrusta en un madero de 1,9 kg determinar la rapidez del bloque después del choque y la energía disipada. 100 m/s

V0

liso

Solución: Como después del choque se incrusta en el bloque, entonces los cuerpos se moverán con la misma rapidez experimentando así un choque plástico, por ello planteamos:

Instante después del choque

Instante antes del choque VA  100 m/s

V

VB  0

5m

(A  B)

B

Para determinar “V” sólo es necesario aplicar conservación de la cantidad de movimiento para el sistema:

p(antes del choque)  p(después del choque)

mVA  (m A  mB )V

0,1(100)  2V 

V  5 m/s

Ahora, para determinar la energía disipada planteamos un balance de energía para el sistema. E c(antes del choque)  E c(después del choque)  Q disipada

1 1 2 2 m A VA  (m A  mB )V  Qdisipada 2 2 1 1 2 2 (0,1)(100)  (2)(5)  Qdisipada 2 2 500  25  Qdisipada  Q disipada  475 J

Rpta.

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Ejemplo Ilustrativo 4 Una locomotora de 10 000 kg se dirige hacia un vagón de 40 000 kg en reposo para acoplarse a él, a una velocidad de 0,5 m/s. Calcular la velocidad común después del choque. Solución: Sea “V” la velocidad común después del acoplamiento, entonces: Del principio de conservación de movimiento: mVL  MVV  (m  M)V

mVL  MVV Mm 10000(0,5)  0 V 10000  40000 V

 V  0,1 m/s

Rpta.

Ejemplo Ilustrativo 5 Un bloque “A” de masa 2 kg se desliza sobre una superficie horizontal sin rozamiento con una velocidad de 10 m/s directamente y frente a él se mueve un bloque “B” de masa 5 kg con una velocidad de 3 m/s, en la dirección y sentido. Si un resorte de masa despreciable y coeficiente de elasticidad K  1120 N/m va fijo en la parte superior de “B”, tal como indica la figura. Hallar la máxima deformación del resorte cuando chocan los bloques.

VB

VA A

K

Solución: Los bloques se juntan y el sistema se mueve a una misma velocidad, entonces: V V

B

Del principio de conservación de movimiento:

K

A

B

 Pantes   Pdespués En form explícita:

m A VA  m A VA  (m A  mB )V V

m A VA  m A VA m A  mB

2(10)  5(3)  V  5 m/s 2 5 E M inicial  E M final Por conservación de energía: Sustituyendo valores: V 

1 1 1 2 2 1 2 m A VA  m A VA  (m A  mB )  Kx 2 2 2 2

-160-

x

m A VA 2  mB VB 2  (m A  mB )V 2 K

x

(2)(10)2  (5)(3)2  (2  5)(5)2 1120

 x

0, 25 m

Rpta.

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Problemas Resueltos 1. Una fuerza actúa sobre un bloque de 5 kg durante 6 s y le transmite una aceleración de 3 m/s 2 . Hallar la variación de la cantidad de movimiento (en kg m/s) de dicho bloque. a) 60 b) 70 c) 72 d) 80 e) 90

Solución: Por definición de aceleración: V  V0 a f t Vf  V0  at … (1) Variación de la cantidad de movimiento: p  p f  p0 p  mVf  mV0 p  m(Vf  V0 ) … (2) Reemplazando (1) en (2): p  mat p  5(3)(6)

p  90 kg m/s

Rpta.

4(6)  12 kN.ms 2 I  12  10 3 N.10 3s

F(kN)

A

4

I  12i N.s t(ms)

0

4

6

Deseamos conocer la velocidad de la barra después del choque, analizamos el choque: p0  mV0

m

I

m p f  mVf

m

El impulso transferido al bloque es:

2. Un bloque de 1 kg se aproxima a una pared con una rapidez de 8 m/s. Durante el choque la fuerza que ejerce la pared sobre el bloque varía linealmente con el tiempo, tal como se indica en la gráfica F vs. t . ¿Qué impulso recibió el bloque? ¿Qué velocidad tendrá el bloque inmediatamente después del choque con la pared?. Desprecie la fricción. a) 4i m/s F(kN) b) 5i m/s 4 c) 6i m/s

I  p I  p f  p0 12i  mV f  mV 0 12i  1V f  1( 8i)

De donde: Vf  4i m/s

Rpta.

3. Se impulsa el bloque de 2 kg con velocidad V  30 m/s (el piso es liso). Determinar la máxima deformación del resorte; donde K  200 N/m . V

d) 3i m/s e) 2i m/s 0

t(ms) 4

6

Solución: La gráfica nos ayudará a calcular el impulso transferido por la fuerza normal de la pared sobre el bloque, ello lo hacemos mediante el cálculo del área.

m a) 1 m b) 2 m c) 3 m d) 4 m e) 5 m Solución: Por conservación de energía mecánica:

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EM A  EMB

3 4  e  4 3

E c A  E PA  E Pe A  E C B  E PB  E Pe A

m

2 VA 2 x K 2 2

2(30)2  200x 2

1800  200x 2 x

3m

Rpta.

impacto

sólo

actúan

fuerzas

verticales, la reacción del piso liso ( R ) y la fuerza de gravedad ( F g ), y como horizontalmente no hay fuerzas, la componente horizontal de la velocidad no se modifica, entonces al descomponer la velocidad tendremos: línea de choque

VH

Vacerc  VH cot 37º liso

Valej  eVacerc

37º

VH

53º

1

2

a) 0,8 d) 0,5

b) 0,9 e) 0,6

c) 0,7

Solución: Antes y después del choque: V1  18 m/s

V2  2 m/s

U1

U2

1

2

1

2

No es posible precisar la dirección en que se moverán las esferas, asumimos una dirección arbitraria. Como U1 y U 2 son módulos de velocidad son positivos. Nos piden evaluar: alej

e

U R.(d.ch.) acerc

V R.(a.ch.)



U1  U 2 V1  V2

U1  U 2 U1  U 2 … (1)  82 10 El sistema conserva su cantidad de movimiento,

P 0(a.ch.)  P f(d.ch.) m1( V1)  m1( V2)  m1(U1)  m2(U 2)

3(8)  13(2)  3U1  13U 2 13U 2  3U1  2

R

Reemplazando valores tenemos: VH cot 53º  e(VH cot 37º )

-162-

2 m/s

debido a que pesa el sistema: F R  0

53º

Fg

liso

8 m/s

e

Valej  VH cot 53º

Vacerc 37º

Rpta.

5. Las esferas mostradas chocan frontalmente, determine el coeficiente de restitución de la colisión, si durante el choque se disipa 78 J de energía.

4. Se muestra una esfera antes y después de impactar sobre un piso horizontal liso, determine el coeficiente de restitución para este choque. a) 1 1 g b) 4 1 c) 2 37º 53º 9 d) liso 16 4 e) 5 Solución: Durante el

9 16

e

… (2)

Hagamos un balance de energía para el sistema, ya que durante la colisión se disipó calor:

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E C 0  E C f  Q dis

alej

1 1 2 1 2 2 1 2 m1V1  m 2V2  m1U1  m 2U 2  Qdis 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 (3)(8)  (13)(2)  (3)U1  (13)U 2  78 2 2 2 2 3 2 13 2 96  26  U1  U 2  78 2 2

3U12  13U 2 2  88

… (3)

Resolviendo (2) y (3): U 1  5 m/s y U 2  1 m/s

Reemplazando en (1): 51 e  0,6 10

Rpta.

6. Una esfera se desplaza sobre el tablero horizontal de una mesa de billar y colisiona con la banda tal como se muestra. Despreciando el 3 rozamiento, determine  cuando e  . 4 a) 37º b) 30º

V0

c) 45º 37º 

d) 53º e) 60º

e

U R.(d.ch.)



acerc

V R.(a.ch.)

U cot  U cot 37º

Simplificando: cot   e cot 37º De donde: tan 37º (Relación de choque oblicuo) tan   e 3 tan 37º 4 tan    1 3 3 4 4   45º Rpta. 7. El sistema mostrado es un péndulo balístico cuya masa es M  1 kg , si el bloque logra elevarse como máximo 20 cm determine la rapidez del 2 proyectil de masa m  10 g ( g  10 m/s ). a) 210 m/s

g

b) 220 m/s c) 202 m/s d) 180 m/s

V

e) 204 m/s

m

V0

M

Solución: Antes del choque

Solución: Como se trata de un choque oblicuo de modo que no hay rozamiento, entonces en la horizontal la componente de la velocidad no varía ( U  cte ).

V0

línea de choque

U

U cot   37º 

Sobre la línea de choque definimos:

M

m

V

U cot  

V0

g

Después del choque

U

g

UB  0

(M  m)

U

h  20 cm N.R.

A

Qdis

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En el sistema no hay fuerzas horizontales ni antes ni después del choque, además como el proyectil se inscrusta en el bloque por lo cual se trata de un choque plástico. La rapidez común (U) se anulará cuando el bloque alcance su altura máxima. Es conveniente considerar la conservación de la cantidad de movimiento en la dirección horizontal puesto que:

 Mm mV  (M  m)U  V    U … (1)  m  La energía cinética del sistema de A a B se transforma en energía potencial gravitatoria. E c A  E pB 2

(M  m)U  (M  m)gH  U  2gh 2 Reemplazando este valor en (1):  Mm V  2gh  m   1  0, 01  V  2(10)(0, 2)  0, 01  Rpta. V  202 m/s

8. Entre los bloques de la figura se da un choque frontal plástico, determine la máxima deformación del resorte de K  200 N/m ( m  0,1 kg ). 10 m/s

V0

m

4m

b) 0,2 cm e) 0,1 cm

-164-

V0

4m

Al instante del choque: x0 V0

m

4m

Un instante antes e inmediatamente después del choque, el sistema conserva la cantidad de movimiento.

p(a.ch.)  p(d.ch.)

m( V)  5m(U) 5U  10 

U  2 m/s

Con una rapidez de 2 m/s los bloques inmediatamente después del choque empiezan a comprimir al resorte; la máxima deformación de resorte ( x máx ) se tendrá cuando los bloques ya no puedan seguir avanzando, es decir cuando Vf  0 x0

U  2 m/s

liso

m

K 4m x máx Uf  0

liso

c) 0,15 cm

Solución: Después del choque frontal plástico los bloques se mueven pegados con una rapidez con una rapidez común (U). Analicemos el fenómeno:

x0

m

liso

p(a.ch.)  p(d.ch.)

a) 0,25 cm d) 0,18 cm

V  10 m/s

liso

U

F R(Horiz)  0

liso

Antes del choque

m

K

4m

Balance de energía después del choque, como no hay rozamiento establecemos que: bloque

resorte

E c(d.ch)  E pe

1 1 2 2 (5m)U  Kx máx 2 2 2 2 5(0,1)(2)  200x máx x máx  0,1

Rpta.

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Problemas Propuestos 1. Una esfera de 2 kg se lanza verticalmente hacia arriba con 40 m/s. Determine la variación de cantidad de movimiento que experimenta desde el momento que es lanzado hasta que alcanza su altura máxima.

Y

4. La esfera de 1 kg gira a rapidez constante. Determine el módulo de la variación de cantidad de movimiento que experimenta la esfera de A hasta B. B a) 10 N.s b) 20 N.s

g

c) 10 2 N.s

V0

d) 5 2 N.s

X a) 80 N.s j d) –100 N.s j

b) 40 N.s j e) 100 N.s j

40 m/s

c

b) 2 800 N e) 4 500 N

c) 3 500 N

3. Una esfera de 1 kg es lanzada tal como se muestra. Determine el impulso que experimenta en un intervalo de tiempo de 4 s. Desprecie la

5. Al bloque de 2 kg, en reposo se le aplica una fuerza constante de 30 N, hacia arriba. Determine el impulso resultante sobre el bloque 2

en 5 s ( g  10 m/s ).

j

F

i

a) 20 N.s j d) 50 N.s j

b) 50 N.s j e) 30 N.s j

gráfica se muestra cómo varía F , con el tiempo.

g  10 m/s 2 ,  c  0,1 . F(N)

2

20 t0

g

j

b) 40 N.s j e) 30 N.s j

F

 c 10 t(s)

i

a) 20 N.s j d)  40 N.s j

c) 40 N.s j

6. Determine el impulso resultante sobre el bloque de 4 kg desde t  0 hasta t  4 s . En la

resistencia del aire. ( g  10 m/s ).

V

A

c) –80 N.s j

2. La esfera de 1 kg impacta frontalmente con la pared con una rapidez de 40 m/s y rebota con una rapidez de 30 m/s. Si la esfera estuvo en contacto con la pared 0,025 s. Determine el módulo de la fuerza media que ejerce la pared a la esfera.

a) 1500 N d) 4 000 N

10 m/s

e) 20 2 N.s

c) 50 N.s j

0

a) +30 N.s d) +20 N.s

b) –20 N.s e) +44 N.s

4

c) –22 N.s

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7. Un joven de 40 kg en reposo, sobre una pista de hielo, tiene en sus manos una esfera de 4 kg. Si lanza a al esfera en dirección horizontal con 10 m/s. Determine la rapidez que adquiere el joven en ese momento. a) 0,5 m/s b) 1 m/s

11. Los bloques unidos por un resorte, se mantienen en reposo mediante las fuerzas mostradas, encontrándose el resorte deformado. Si quitamos las fuerzas, determine la rapidez del bloque A, en el momento que B tiene una rapidez de 20 m/s. V0 2m

F

c) 2 m/s d) 2,5 m/s

A

a) 5 m/s d) 20 m/s

e) 3 m/s 8. Un joven se lanza horizontalmente sobre el coche con 6 m/s, para luego quedar de pie sobre el coche. Determine la rapidez que adquiere el coche. 6 m/s a) 1 m/s

V0 m

K

b) 10 m/s e) 8 m/s

liso

F

B

c) 15 m/s

12. La rapidez de un bloque de 2 kg en A es de 14 m/s y en B su rapidez es de 4 m/s. Determine el impulso resultante que experimenta de A hasta B. 14 m/s

4 m/s

A

B

j

b) 2 m/s c) 3 m/s

m

5m

d) 4 m/s

V=0

e) 5 m/s 9. Si la esfera A de 100 gramos choca con la esfera B de 200 g. adquiriendo B una rapidez de 4 m/s. Determine la rapidez que adquiere A. 10 m/s

V=0 A

a) 1 m/s d) 4 m/s

B

b) 2 m/s e) 5 m/s

liso

c) 3 m/s

-166-

b) 10 N.s i e) 60 N.s i

i

c) 20 N.s i

13. Determine la rapidez que adquiere el bloque en el instante de tiempo t  4s . Si se le ejerce una fuerza, que varía con el tiempo tal como se muestra en la gráfica. F(N) 40

V0 t0

F

liso

t(s) 0

a) 20 m/s d) 15 m/s

b) 10 m/s e) 30 m/s

4

c) 40 m/s

20 m/s

A

a) 11 m/s d) 12 m/s

a) 10 N.s i d) 20 N.s i

2 kg

10. Si luego del choque entre las esferas mostradas, la esfera B queda en reposo. Determine la rapidez que adquiere A, m A  mB . 10 m/s

k

B

b) 10 m/s e) 20 m/s

liso

14. Un bloque de masa M, que realiza un M.R.U. con velocidad V0 , experimenta un

c) 5 m/s

impulso I en la dirección de su movimiento. Determine que rapidez final tendrá el bloque.

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(V0M  I) M I  V0M d) M

I  V0M M (I  V0M) c) M e) I  V0M a)

b)

15. Una granada tipo piña es lanzada verticalmente hacia arriba y explota cuando alcanza su altura máxima, dividiéndose en 2 fragmentos de masa m y 3m. Si instante después de la explosión el fragmento pequeño adquiere una rapidez horizontal de 30 m/s. Determine en ese instante la rapidez del otro fragmento. a) 2 m/s b) 8 m/s c) 10 m/s d) 12 m/s e) 15 m/s 16. El bloque de masa m es soltado en la superficie del coche. Determine la rapidez del coche en el momento que el bloque abandona al coche horizontalmente con una rapidez de 20 m/s . Desprecie el rozamiento. a) 0,5 m/s mV 0 b) 4 m/s c) 2 m/s 5m

d) 2,5 m/s e) 3 m/s

17. El proyectil instante antes de impactar con la cuña tiene una rapidez de 100 m/s. Si al impactar queda incrustado en la cuña, determine la rapidez que adquiere el conjunto. a) 2 m/s V0 b) 6 m/s c) 1 m/s d) 3 m/s

m

liso 99m

e) 4 m/s 18. Una esfera pequeña impacta con la pared con 4 m/s y rebota con 6 m/s. Determine la

variación de cantidad de movimiento que experimenta la esfera ( m  0,1 kg ). V

liso

j

m

a) 1 N.s i d) 1 N.s i

i c) 3 N.s i

b) 2 N.s i e) 2,5 N.s j

19. Sobre el bloque de 2 kg Empieza a actuar una fuerza que depende del tiempo, según:

F(t)   30  2t  j N ; t en segundos, si el aire ofrece una resistencia de 5 N, ¿Qué rapidez adquiere el bloque para el instante t  20 s ? (g) a) 1000 m/s

F

b) 450 m/s c) 500 m/s

V0

d) 900 m/s e) 400 m/s

20. Una esfera describe la trayectoria que se muestra, en dos segundo. Determine el modulo del impulso que se experimenta y además el valor de la fuerza resultante media. Considere que la esfera se muestra en un plano horizontal. a) 24; 12 10 m/s b) 12,6

2 kg

74º

c) 36; 18 d) 6; 3

10 m/s

e) 0; 0 21. Se muestra dos cuerpos que se desplazan sobre una superficie horizontal lisa. ¿Qué velocidad debe tener la esfera “2”, para que después de su choque plástico con la esfera “1” pueda pasar por el punto P(8, 6) ? ( m1  2 kg ;

m 2  3 kg ).

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-167-

PROYECTO INGENIERÍA a) 1 m/s

Y

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P

b) 2 m/s c) 3 m/s

4 m/s

d) 4 m/s

(1)

X V

e) 5 m/s

(2)

22. A partir del instante mostrado el muchacho de 40 kg corre respecto del tablón homogéneo con 2 m/s. Cuando el muchacho llega al otro extremo, ¿a que distancia se halla de la posición A? M tablón  20 kg . a) 4 m V0

c) 12 m

A

8m

e) 2 m 23. Una granada es activada y simultáneamente es lanzada verticalmente hacia arriba, si en su punto más alto exploto y se divide en dos fragmentos y sigue el trayecto mostrado. Desprecie la resistencia del aire, y determine el alcance horizontal del fragmento M. (considere 2 M  1 kg ; g  10 m/s ). a) 2 m

b) 12 m

M

3M

d) 18 m 6m

24. Un hombre de 60 kg esta de pie sobre una superficie horizontal de fricción despreciable y le da un puntapié a una piedra dura de 30 g que

-168-

4 kg

2 kg a) 2,5 m

2 15 m 3

b) 2 7 m e)

c) 3,0 m

5 m 3

26. Un bloque rígido es lanzado sobre una superficie horizontal   K  0,1  con una rapidez de 10 m/s. Si luego de 5 s impacta frontalmente con un muro, el cual le ejerce una fuerza cuyo valor se comporta según la grafica adjunta. (determine el recorrido total del bloque) a) 35 m b) 37,5 m

F(N)

c) 38 m d) 42 m

c) 13 m

e) 36 m

25. A partir del grafico mostrado, determine la máxima deformación que experimenta el resorte de 1000 N/m . (desprecie todo tipo de rozamiento). 10 m/s

d)

b) 8 m d) 16 m

tiene junto a sus pies arrojándola con una rapidez de 3 m/s. ¿Qué rapidez adquiere el hombre como resultado de ello? a) 0,50 cm/s b) 2,50 cm/s c) 4,05 cm/s d) 0,25 cm/s e) 0,15 cm/s

e) 42,5 m

5

6

t(ms)

27. La plataforma mostrada en la figura tienen masa 120 kg, puede rodar sin fricción la vía recta horizontal. Inicialmente el hombre de 60 kg está detenido respecto a la plataforma que se mueve hacia ala izquierda con rapidez V0 . ¿Cuál es el cambio de velocidad de la plataforma si el hombre corre hacia ala derecha, de modo que su rapidez respecto a la plataforma es de 15 m/s cuando esta a punto de saltar en el extremo derecho?

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15 m/s

V

4m s

6m s

6m s

U2  ?

m

2m

m

2m

ANTES

a) 1 m/s d) 4 m/s

b) 2 m/s e) 5 m/s

c) 3 m/s

28. Para el instante mostrado las muchachas de 40 kg cada una, lanzan simultáneamente un bloque de 5 kg con velocidad V 1  5i m/s y

V 2   10i  5j  m/s que rapidez inmediatamente el tablón de 20 kg.

adquiere

liso

(2)

(1)

DESPUES

a) 0,5 m/s y 0,5 c) 1,5 m/s y 0,8 e) 0,5 m/s y 1

b) 1 m/s y 0,5 d) 2 m/s y 0,5

31. Se proyecta una partícula con un ángulo de incidencia de 45º sobre una superficie horizontal 2  cuyo coeficiente de fricción es igual a     . 9  Calcular la medida del ángulo “” de rebote, si el coeficiente de restitución de choque es 0,8. V2 a) 16º b) 30º c) 37º

V1



45º

d) 45º a) 0,25 m/s d) 1,25 m/s

b) 0,40 m/s e) 2,25 m/s

c) 0,80 m/s

29. Hallar la suma de los coeficientes de restitución en los 2 ejemplos: Ejemplo 1: 6m s

3m s

2

1

ANTES

Ejemplo 2:

6m s

1

2m s

2

ANTES

2 3 3 d) 5 a)

4m s

5m s

1

2

5m s

1

2

1 kg 13 m/s

DESPUES

4 3 3 e) 2 b)

c)

32. Sobre una superficie horizontal lisa descansa una esfera de goma, otra esfera que es idéntica a la primera le choca central y oblicuamente. Si después de chocar la cantidad de movimiento de la primera esfera es (3i+4j) kg.m/s , determine el modulo del impulso que experimenta la segunda esfera y su cantidad de movimiento (no hay perdidas de energía en el choque).

DESPUES 3m s

e) 53º

5 3

30. En el gráfico se muestran 2 esferas antes y después del choque. Halle la rapidez de la esfera de masa “2m” después del choque, así como el coeficiente de restitución.

a) 5 N.s; (10;  44) kg.m/s b) 5 N.s; (10; –4) kg.m/s c) 7,5 N.s; (4; –4) kg.m/s d) 7,5 N.s; (–10; –4) kg.m/s e) 10 N.s; (4; 4) kg.m/s 33. Un proyectil se dispara con un cañón con el objetivo que tenga el máximo alcance horizontal con rapidez de 300 2 m/s. En el punto más

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alto en su trayectoria, el proyectil explota en dos fragmentos de igual masa. Un fragmenta cae verticalmente. ¿A que distancia del punto de lanzamiento cae el otro fragmento al suelo, suponiendo el piso horizontal despreciando el 2

rozamiento del aire? ( g  10 m/s ). a) 9 km b) 18 km c) 21 km d) 27 km e) 30 km 34. En la proa y en la popa de un bote de masa m  85 kg , están sentadas dos personas A  70 kg y B  45 kg respectivamente. Despreciando la resistencia del agua. Determinar en que dirección se desplazara el bote si las personas cambian de asiento.

A

V0

B

a) b) c) d)

de derecha a izquierda de izquierda a derecha no se mueve depende de la velocidad con la que se mueven e) a la derecha i a la izquierda 35. Si el sistema mostrado se deja en libertad, con   53º . Determinando que no existe rozamiento, determine el desplazamiento del coche cuando la barra forma 37º con la horizontal. Masa de la barra: m Masa del coche: M  7 m Longitud de la barra: L  100 cm a) 1,25 cm

36. Un balde vacío de masa 0,5 kg se suelta en A con el objetivo de coger agua del pozo. Sabiendo que coge 2 kg de agua, determine hasta que altura máxima ascenderá el balde con 2 agua. ( g  10 m/s ). A a) 1 cm

b) 2 cm c) 4 cm

L 1m

d) 6 cm e) 12 cm 37. Una esfera de masa 1 kg que se mueve en la superficie horizontal lisa con rapidez 6 m/s, ingresa en el carrito de superficie cilíndrica lisa de masa 5 kg, que inicialmente esta en reposo. Determine la rapidez de la esfera en el momento de abandonar la superficie del carrito 2 ( R  1,05 m ; g  10 m/s ).

R

a) 1 m/s d) 4 m/s

b) 2 m/s e) 5 m/s

c) 3 m/s

38. Una cuña triangular “A” de masa 4 kg se deja en libertad en la parte más alta de otra cuña triangular de masa 5 kg. Determine la rapidez de la cuña “B” justo en el instante en que “A” lo abandona, considere todas las 2 superficies lisas. ( g  10 m/s ).

b) 10,5 cm c) 12,5 cm

A

d) 15 cm e) 7,5 cm

L

V0



2m B

30º

-170-

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8 2 m/s 3

d)

15 m/s

b) 4 m/s

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c) 3 m/s

a) 1m b) 1,5 m c) 1,25 m

e) 3 5 m/s

d) 1,2 m 39. Un carrito con arena de masa total 4 kg, se mueve con una velocidad V C  5i m / s , en el mismo instante en que una esfera de 0,5 kg llega al carro con una velocidad VE  (4i  3i) m/s . Determine la velocidad del carro cuando la esfera se detienen en la arena.

b) 0,8 Y

VC

a)  i m/s

b) 4i m/s

d) 6i m/s

e) 5i m/s

c) 0,6 X

c) 4i m/s

2 curvatura R  0,3 m . Considere: g  10 m/s . m a) 5 m/s

g

d) 0,75 45º

e) 0,9

40. Una esfera de masa m  0,1 kg se abandona en la parte superior de un bloque de masa M  2 kg que se encuentra en reposo, como indica la figura. Despreciando toda forma de rozamiento hallar la velocidad de la esfera cuando abandona la superficie de radio de

R

c) 2 m/s d) 1 m/s

42. Si el coeficiente de restitución “e” es el mismo en todas las colisiones. Hallar “e” para la trayectoria seguida por la esfera en un plano horizontal. (No existe rozamiento). a) 0,5 37º

VE

b) 3 m/s

e) 0,5 m

M

e) 0,8 m/s

43. Una bala de masa 20 g se dispara contra un péndulo balístico de 4,98 kg. El centro de gravedad del péndulo se eleva 20 cm después del impacto, calcular la rapidez inicial 2 ( g  10 m/s ). a) 350 m/s b) 380 m/s c) 30m/s d) 360 m/s e) 500 m/s

2

( g  10 m/s ).

M

40. Si la esfera es lanzada verticalmente hacia abajo con una rapidez de 10 m/s, determine la rapidez que experimenta la pelota después del choque. Si la gráfica muestra cómo varía la fuerza que ejerce la superficie a la pelota conforme transcurre el tiempo. ( A1  3A 2 ). a) 6 m/s

41. Si se suelta la esfera en la posición mostrada. Determine hasta que altura se elevará dicha esfera respecto del punto de choque ( e  0,5 ). La longitud de la cuerda es 5 m

g

F(N)

b) 8 m/s c) 10 m/s d) 12 m/s

40 m

A1

A2

e) 14 m/s

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t(s)

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El Descubrimiento del Neutrón Exponiendo un diagrama simplificado del aparato que James Chadwick utilizó en uno de sus experimentos que lo condujeron al descubrimiento del neutrón en 1932. Las partículas alfa emitidas por el Polonio (Po) radiactivo, luego de chocar contra una muestra de Berilio (Be), daban lugar a partículas invisibles.

Po

Be

isibles las inv Partícu

Partículas 

Hidrógeno u otros átomos en reposo H

Protones u otros núcleos

Diagrama del aparato de Chadwick

Estas partículas posteriormente incidían sobre átomos de hidrógeno o nitrógeno en reposo. Como resultado de las colisiones, eran emitidos protones o núcleos de nitrógeno y Chadwick medía su rapidez. Luego supuso en la región H (ver diagrama) colisiones frontales elásticas. Llamando “m” a la '

masa de la partícula invisible y “V” a su rapidez; así como m p a la masa del protón y Vp a su rapidez. Después de plantear leyes de conservación resultó que: 2m Vp '  V m  mp Del mismo modo, llamamos m N y VN a la masa y la rapidez del nitrógeno respectivamente, luego de plantear las leyes de conservación resulta que:

VN ' 

2m V m  mN

En esta ecuación podemos reemplazar m N por 14m p , ya que, como sabemos, la masa del nitrógeno es igual a 14 unidades de masa atómica (uma) y la del hidrógeno equivale a 1 uma. Reemplazando m N por 14m p y dividiendo la primera ecuación por la segunda se elimina la rapidez “V” de la partícula invisible y resulta:

Vp ' VN



m  14m p m  mp

En sus experiencias, Chadwick midió Vp ' y VN ' y encontró que la relación

Vp ' VN '

valía

aproximadamente 7,5. Por lo tanto:

m  14m p m  mp

 7,5

osea: m  1,00m p

Chadwick repitió sus experiencias con sustancias distintas al hidrógeno o nitrógeno y encontró de nuevo que la masa de la partícula invisible era aproximadamente igual a la de un protón. El error con que se determinó la masa en una de las experiencias era menor del 1 por cien. Había comprobado la existencia del neutrón.

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h

Satélite

Tierra RT

Objetivos  Conocer algunos aspectos históricos sobre cómo evolucionó la Teoría de la gravitación.  Conocer las leyes de Kepler para el movimiento planetario y cómo estas fueron deducidas.  Conocer la ley Universal de la gravitación y todos los argumentos que permitieron establecerla.  Establecer qué es el campo gravitatorio como ente responsable de la interacción gravitacional, así también las magnitudes que lo caracterizan su intensidad y la energía potencial gravitatoria.  Ver que la ley Universal de la gravitación encuentra aplicación en el movimiento satelital y en el cálculo de las velocidades cósmicas. A través de la historia de la humanidad, el avance de las diferentes áreas del conocimiento se debe a la contribución de muchas personas que se han dedicado a observar, comparar, buscar relaciones básicas, y analizar las causas de determinados fenómenos y luego proponer hipótesis o leyes para explicarlos. Hablar de gravitación implica referirnos indudablemente a T. Brahe, J. Kepler, Isaac Newton, debido a que este gran matemático y filósofo de la naturaleza, le dio forma y comprensión a algo, que para su época era incomprensible: El movimiento de los planetas. Sin embargo el estudio del movimiento planetario no se inicia con Newton, sino mas bien data desde que el hombre se percató de que los eventos desarrollados en la Tierra guardaban cierta relación con la posición de los astros, es decir a fenómenos periódicos como las estaciones que se vinculaban con las cosechas. La investigación del universo ha rebasado las fronteras de la Tierra, para ir más allá del espacio inmediato que la rodea, con el creciente avance tecnológico, el hombre es capaz de explorar y descubrir cuerpos que se encuentran a distancias tales que ningún hombre hubiese podido alcanzar, aun viajando a la velocidad de la luz. CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC)

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Ley de Gravitación Universal Según la famosa leyenda, Isaac Newton, sentado bajo un manzano, meditaba sobre la fuerza que mueve a los astros en el cielo, cuando vio caer una manzana al suelo. Este suceso tan trivial fue para él la clave del Ejemplo Ilustrativo que le intrigaba: se dio cuenta de que el movimiento de los cuerpos celestes es regido por la misma fuerza que atrae una manzana al suelo: la fuerza de gravedad. Newton descubrió que la gravitación es un fenómeno universal que no se restringe a nuestro planeta. Aun siendo poco veraz, está leyenda ilustra uno de los acontecimientos que señalan el nacimiento de la ciencia moderna: la unión de la física celeste con la física terrestre. Es justo mencionar que, antes de Newton, el intento más serio que hubo para explicar el movimiento de los planetas se debe al científico inglés Robert Hooke, contemporáneo de Newton, En 1674, Hooke ya había escrito: … todos los cuerpos celestes ejercen una atracción o poder gravitacional hacia sus centros; que atraen, no sólo, sus propias partes evitando que se escapen de ellos, como vemos la Tierra, sino también atraen todos los cuerpos celestes que se encuentran dentro de su actividad. Sin esa atracción, prosigue Hooke, los cuerpos celestes se moverían en línea recta, pero ese poder gravitacional curva sus trayectorias y los fuerza a moverse en círculos, elipses o alguna otra curva. Tal era el panorama de la mecánica celeste cuando Newton, alrededor de 1685, decidió atacar el ejemplo Ilustrativo del movimiento de los planetas utilizando un poderosísimo formalismo matemático que él mismo había inventado en su juventud; el cálculo diferencial e integral. Logró demostrar que las tres leyes de Kepler son consecuencias de una atracción gravitacional entre el sol y los planetas. Todos lo cuerpos en el Universo se atraen gravitacionalmente. Newton descubrió que la fuerza de atracción entre dos cuerpos es proporcional a sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. Así, si m1 y m 2 son las masas de los cuerpos y “d” la distancia entre ellos, la fuerza F con la que atraen está dada por la siguiente ecuación:

m2

m1 F

F d Donde:

FG

m1m 2 2

d m1, m 2 : masas

G: constante de gravitación universal

G  6,67x10 11

Nm 2 kg 2

; en el S.I.

D: distancias de separación entre sus centros de masas. Nota: la fuerza como es de suponer; pasa desapercibida cuando las masas tienen magnitudes pequeñas. En caso de los cuerpos celestes está se hace considerable, por la magnitud de las masas.

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CAMPO GRAVITATORIO Como se sabe, la materia en la naturaleza se presenta de dos maneras: como sustancia o como campo. Esta teoría sirve para explicar la razón de las interacciones gravitacionales entre las masas; comportándose entonces el campo gravitacional como el agente transmisor de interacciones.



Intensidad de campo gravitatorio E g ; g



Esta magnitud física vectorial está definida como la razón de la fuerza que ejerce el campo sobre un punto material que se encuentran en él; por unidad de masa de dicho punto. m

F M

Eg  g 

Eg

F m

… (1)

Unidad (S.I.) N 2  m/s kg

d Mm

Si reemplazamos:

FG

Entonces queda:

Eg  g  G

Nota:

d2

M d

2

… (2)

1. De (I) se deduce: F  m  g 2. De la ecuación (II) se deduce que la intensidad del campo sólo depende de la masa M “generación de campo” 3. A la intensidad de campo  E g  también llamaremos líneas adelante: aceleración de gravedad; por tanto “g” es la aceleración producida por la interacción gravitatoria (F) sobre la masa “m”. Energía potencial gravitacional ( Ep g ) Esta magnitud física escalar puede definirse como e trabajo que desarrolla una fuerza externa “ Fext. ” cuando hipotéticamente una masa “m” es atraída lentamente desde el infinito (donde teóricamente el campo es nulo) hasta cierta distancia “d” de otra masa M; donde exista campo gravitacional. 

M

m

d

A

Fext. Fg

F

Ep g 

Wext A m

… (I)

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*) Si se trae lentamente (proceso cuasiestático), se consigue demostrar: F

F

g Wext A   W A

Y también:

F

WgA  Fg' x d

Siendo: Fg' : la fuerza gravitacional entre las masas cuando “m” se encuentra en “A”. Reemplazando Fg  G

Mm d2

, se consigue demostrar:

Ep g  G

Mm d

Unidad S.I.: Joule

(*) El signo (–) es porque (observe el gráfico de líneas arriba) “ Fext ” desarrolla trabajo negativo. Potencial gravitatorio

 VG 

Tomando la definición anterior, el potencial gravitatorio por unidad de masa “M” se define como la energía potencial gravitatoria por unidad de masa “m”, en un punto donde existe campo gravitacional. Fg

M

d

m

A

Reemplazando en la expresión Ep g , se obtiene: VGA  G Nota:

VG A 

Ep g

Unidad:

m Joule  J/kg kg

M d

– Tanto “ Ep g ” como “ VG ” como puede notarse, tienen signo negativo. – El potencial de “M” en un punto solo depende de la masa “M” en mención de la distancia a la cual se mide. Líneas de fuerza equipotenciales

y

superficies equipotenciales

superficies

Las líneas de fuerza sirven para indicar la dirección de la intensidad de campo gravitacional en un punto; y las superficies equipotenciales son aquellos lugares geométricos en las cuales el potencial gravitatorio toma el mismo valor.

M

Líneas de fuerza del campo gravitacional

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Movimiento Circunferencial de un Satélite Cuando un satélite esta orbitando circunferencialmente alrededor de un planeta podemos realizar el V siguiente análisis:

F

Si el satélite describe una trayectoria circunferencial; es porque existe la fuerza centrípeta. Concluimos que la fuerza gravitacional es esa fuerza centrípeta que hemos definido.

F M

V

R

1. Por dinámica circunferencial Fcp  F 

m

V2 Mm G 2 R R

2. Por conservación de la energía E total  E C  Ep g



E total 

1 Mm 2 mV  G 2 R

3. Conservación del momento cinético de rotación ( L )

L  r x P  r  (mV) (Producto vectorial)

Notamos que r y V forman 90º entre sí; luego desarrollando el producto vectorial y siendo r  R ; queda: 4. Satélite geoestacionario Es aquel satélite que orbita alrededor de la Tierra, de modo que su periodo de rotación es el mismo que el de la Tierra cuando gira sobre su propio eje; Es decir: T  24 horas N m

Cálculo de la aceleración de gravedad en un planeta Si ubicamos una partícula en la superficie de un planeta. Del D.C.L. a “m”. N  FG peso  FG m gP  G

MP x m R P2

 gP  G

MP RP

2

… (1)

FG

Mp

Rp

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-177-

PROYECTO INGENIERÍA Para la Tierra:

gG

Datos útiles:

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MT

RT2

M T  6019,6 x 10 21 kg R T  6400km



Masa de la Tierra:



Radio de la Tierra:



Aceleración de la gravedad en la superficie:

g  9, 81 m/s 2



Volumen de la Tierra:

VT  1,09 x 10 21 m3



Densidad de la Tierra

 T  5,5kg / m3

Observaciones: 1. Hemos supuesto para los cálculos que el planeta no gira alrededor de su eje. 2. En la expresión (1), si se conociera g p y R p ; se podrían calcular parámetros como:   

Masa del planeta Volumen del planeta Densidad del planeta, etc.

Variación de “g” con la altura Si colocamos un cuerpo en la superficie terrestre, su peso toma un valor; si se sube el cuerpo con respecto a la Tierra, ese valor disminuye. Esto significa que a mayor altura, el peso disminuye; pero la masa “m” es constante, quien disminuye es “g” (aceleración de la gravedad). Esto no sólo sucede en la Tierra sino en cualquier cuerpo celeste. A partir de: FG  mg A G A

h

m

FG RT

gA

M Tm

(R T  h)2

gA  G

 mg A

MT

(R T  h)2

… (1)

Observe que “gA” no depende de la masa del cuerpo, sino de la masa y el radio del planeta que atrae y por supuesto de la altura “h”. En la superficie de la Tierra: g  G M T … (2) 2 RT

De (1) y (2): 2

MT

-178-

 RT  gA  g    RT  h  g  gA  2 h    1 R  T  

*g  9, 81 m/s 2

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Variación de “g” debido a la rotación de la tierra Por dinámica circunferencial:



FG

O

 F rad  ma cp

Se sabe:

N

2 FG  N  m2R  N  mg  m R Si denominamos: P  mg , entonces:

   2R   2R  N  P1   mg '  mg  1   g  g   

acp

g '  g   2R

(g’ : gravedad en la línea ecuatorial)

Intensidad de campo gravitatorio en el interior de una esfera hueca homogénea Colocamos una masa “m” en el interior. Se toman dos porciones M1 y M 2 de la cáscara esférica, r2 F2

a

F1  G

r1

a M1 a a

M1m

y

F2  G

M 2m

r2 2 r1 La fuerza gravitacional resultante sobre “m” es: FG  F1  F2

m

F1

M2 b b

colineales con “m”. En la figura “m” interactúa con una porción esférica de masa M1 y se establece dos fuerzas gravitacionales dadas por: 2

 M1 M 2  Reemplazando: FG  Gm  2  2  r2   r1

… (1)

Por tratarse de regiones pequeñas podemos considerar a M1 y M 2 como regiones planas. r2

r1



b/



m

2

Por semejanza de triángulos: a/2 b/2  r1 r2



a b a2 b2  ; Elevando al cuadrado: 2  2 r1 r2 r1 r2 2

a/

r  De aquí se deduce que: a 2  b 2  1  … (2)  r2  La esfera tiene densidad superficial constante: M M masa    21  22  cte Densidad superficial  área a b M1 M 2 M1 M2 Reemplazamos (2) en la densidad superficial:   2  2 r12 r2 2 b 2  r1  b    r2  2

Finalmente sustituyendo en (1): FG  0 CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC)

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Podemos afirmar: “La intensidad del campo gravitatorio en puntos interiores a la cáscara es nulo.” Intensidad de campo gravitatorio en el interior de una esfera homogénea compacta Análogamente a la esfera hueca podemos aplicar el análisis a una esfera maciza homogénea compacta, para cualquier punto “P” del interior. S Sea  la densidad uniforme de la esfera: H La intensidad de campo gravitacional en “P” es: P m 4 m(R  H) FG 3 gP   r m m O

gP 

R

4 G(R  H) 3

Observe que si: H  R , se tiene: g centro  0

Movimiento Planetario Históricamente fue estudiado por la Astronomía a partir de una serie de observaciones de fenómenos como el día y la noche, los climas, las estaciones, etc. y sus efectos que ejercieron y ejercen sobre las diversas actividades de los pueblos. ¿Qué tan importante era definir la época de siembra y cosecha? La importancia de la posición del Sol, la Luna y las estrellas motivó la investigación y elaboración de teorías que explicaron dichos fenómenos y sus respectivos movimientos. El Sistema Solar

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TEORÍAS ACERCA DEL MOVIMIENTO PLANETARIO El pensamiento griego Los griegos, que consideraban al hombre como el centro del Universo, suponían que la Tierra era el centro geométrico del Universo y que los cuerpos celestes se movían alrededor de la Tierra. Los cuerpos conocidos en aquel tiempo fueron ordenados de acuerdo con la distancia promedio a la Tierra, la Luna, Mercurio, Venus, el Sol, Marte, Júpiter y Saturno. Los filósofos griegos suponían que los planetas, la Luna y las estrellas estaban incrustadas en esferas que giraban en torno a la Tierra. A pesar de conseguir, con este modelo una reproducción razonable de los movimientos observados, la necesidad de ajustarlo del modo conveniente a los hechos, obligó a los griegos a usar a veces un gran número de esferas para explicar el movimiento de un único planeta, con lo cual el “Universo griego” resultó muy complicado. Teoría Geocéntrica En el siglo segundo de la Era cristiana, el astrónomo Claudio Ptolomeo de Alejandría, estructuró un modelo planetario que tendría gran aceptación, que prevalecería durante la edad media. Ptolomeo postuló que la Tierra era el centro del Universo y que a su alrededor giraban en órbitas circunferenciales los demás planetas, incluso el Sol.

Júpiter

Saturno

En la Edad Media esta Teoría tuvo gran aceptación, no obstante su complicada sustentación; el desarrollo e invención de nuevos instrumentos de observación modificaron estos planteamientos y se dio inicio a un nuevo planteamiento, la teoría heliocéntrica.

Marte

Luna

Sol Tierra Venus

Sistema de Ptolomeo

Nicolás Copérnico y la Teoría Heliocéntrica (Torum, Polonia, 19 de febrero de 1473 - Frauenburg, 24 de mayo de 1543), astrónomo polaco (Mikolaj Kopernik) que desarrolló el primer modelo matemático heliocéntrico del sistema solar. Estudió en la Universidad de Cracovia (1491–1494) bajo las directrices del matemático Wojciech Brudzewski. Viajó por Italia y se inscribió en la Universidad de Bolonia, (1496–1499), donde estudió Derecho, Medicina, Griego y Filosofía, y trabajó como asistente del astrónomo Domenico da Novara. En 1500 fue a Roma, donde tomó un curso de matemáticas y astronomía, y en 1501 volvió a su patria y se posesionó como canónigo en la Catedral de Frauenburg, cargo obtenido merced a la ayuda de su tío Lucas Watzenrode. Pese a su cargo, volvió a Italia, esta vez a Padua (1501–1506), para estudiar Derecho y Medicina, haciendo una breve estancia en Ferrara (1503), donde obtuvo el grado de Doctor en Derecho Canónico. Reinstalado definitivamente en su país (1512), se dedicó a la administración de la diócesis de Warmia (alemán Ermland), ejerció la Medicina, ocupó ciertos cargos administrativos y llevó a cabo su inmenso y primordial trabajo en el campo de la Astronomía. CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC)

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Teoría Heliocéntrica En 1543 se publicó la nueva teoría acerca del movimiento planetario, desarrollada por el polaco Nicolás Copérnico. Según esta teoría, la Tierra no se encontraría en el centro del universo, así como los planetas y el Sol no girarían en torno a ella. De acuerdo a sus observaciones Copérnico estableció que era la Tierra la que se movía y no el Sol, éste está fijo y la Tierra con los demás planetas describían trayectorias circunferenciales en torno al Sol. Esta teoría, mucho más sencilla que la de Ptolomeo, permitía una explicación más satisfactoria, pero que cuestionaba la creencia de aquel entonces las creencias religiosas, de gran arraigo se respaldaban en que la Tierra era el centro del Universo y esta teoría tuvo que prohibirse por la iglesia en su época.

Saturno Marte Venus Mercurio Sol Júpiter

Luna Tierra

Sistema de Copérnico

El error del Copérnico El orden de los planetas hasta ese entonces conocidos, establecido por Copérnico era correcto, pero su error fue considerar órbitas circunferenciales en lugar de elípticas.

El sistema de Copérnico fue presentado como un problema matemático para que así el santo oficio no tomara represalias contra el autor, debido a que dicho sistema estaba en contra del dogma que protegía la iglesia: el hombre, la creación divina, debe estar en el centro del universo, la Tierra. Actualmente, sabemos que es completamente falso. Las observaciones de Tycho Brahe Años más tarde un astrónomo danés, Tycho Brahe (1546 – 1601), propuso un sistema planetario muy peculiar. Éste consideraba a la Tierra como el centro del Universo, mientras que los planetas sólo giraban en torno al Sol, el cual a su vez giraba en torno a ésta. En 1572 un objeto luminoso surgió repentinamente en la constelación de Casiopea para que después de dos años desapareciera. Este hecho dio un fuerte golpe al dogma que pregonaba la iglesia acerca de la inmutabilidad de los cielos. Así mismo marcó un interés de Tycho Brahe por hacer observaciones al firmamento; lo cual posteriormente lo convertiría en uno de los mejores observadores de los cielos sin hacer uso de un telescopio (este recién se inventó en 1609). En el segundo mes de 1600, Tycho Brahe conoce a Johannes Kepler (1571–1630), destacado matemático y astrólogo alemán, contratándolo para trabajar en un gran proyecto: ajustar su voluminosa información (producto de 20 años de observaciones) con el sistema copernicano. A la muerte de Brahe, Kepler recopiló datos precisos y luego de laboriosos cálculos y observaciones, determinó que se debía abandonar la teoría de las órbitas circunferenciales y reemplazarlas por órbitas elípticas. Luego generalizó a todos los planetas; sus estudios se resumen en tres enunciados.

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LEYES DE KEPLER 1. Primera Ley de Kepler Todos los planetas del sistema solar, se mueven en órbitas elípticas en uno de cuyos focos se encuentra el Sol. Perihelio

B

R mín

Sol

Apohelio (Afelio)

R máx

A

Segunda Ley de Kepler El radio que une el Sol y el planeta, barre áreas iguales en intervalos de tiempo iguales. A1 A 2   cte t1 t2 Sol Si A T : Área total de la elipse A1 A2 t2 : Periodo T A T A1 A 2    cte T t1 t2

t1

Tercera Ley de Kepler Los cuadrados de los periodos de revolución de los planetas alrededor del Sol, son proporcionales a los cubos de los radios medios de estos planetas.

T12 R1

3

 2

También:

T2 2

R 23

 cte

 T1   R1      T  2  R2 

(1) 3

T1

R2

R1

M

(2) T2

Johannes Kepler (Weil der Stadt 27 de diciembre, 1571 – Ratisbona 15 de noviembre, 1630), figura clave en la revolución científica, astrónomo y matemático alemán; fundamentalmente conocido por sus leyes sobre el movimiento de los planetas. En Praga llegó a ser amigo íntimo de Tycho Brahe y le prometió a este gran hombre tabular y publicar las observaciones registradas durante 20 años. Se enfrentó con el hecho inexplicable de que para la órbita circular de Marte le faltaban 8 minuto de arco y necesitó 5 años de estudio para obtener la solución del enigma: Las órbitas planetarias no eran circulares sino elípticas y el Sol no se hallaba en su centro sino en uno de los focos de la elipse. En 1609 publicó dos voluminosos libros de astronomía sus comentarios sobre Marte en los cuales aparecen sus dos primeras leyes del movimiento planetario. La tercera ley se publicó un poco más tarde. Murió a lo 59 años sin dejar descendencia en 1630. CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC)

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Velocidades Cósmicas ms

V

Primera Velocidad Cósmica

FG

Es la mínima velocidad que hay que comunicar a un cuerpo para que pueda ser satélite de la Tierra, el orbitar circularmente cerca de su superficie. Para colocar en órbita un satélite, se elevan mediante poderosos cohetes hasta una altura no menor a 160 km. Una vez alcanzada la altura deseada, son lanzados horizontalmente y el satélite por inercia se moverá en línea recta, pero como es atraído por la Tierra cambia la dirección de su velocidad para describir una trayectoria circunferencial como indica la figura siguiente:

RT  h RT

M

h

Si el satélite realiza movimiento circunferencial, entonces sobre él actúa una fuerza centrípeta: Fcp  m sa cp 2

FG  m s

V r

V

M  RT  h

G



GM1m s

 RT  h2

 ms

V

2

(R T  h)

2

gs RT  gs   V  RT R RT  h T h

Con esta fórmula podemos calcular la velocidad de un satélite artificial que orbita circunferencialmente a la altura h respecto de la superficie terrestre. Aquí g s

Tierra

viene a ser la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre.

r  RT

V1

Para el cálculo de la primera velocidad cósmica hacemos R T  h , entonces R T  h  R T Luego: V1 

g sR T

… (I) 2

Si reemplazamos g s  9,8 m/s y R T  6400 km en la fórmula se obtiene aproximadamente. 1ra. Velocidad Cósmica: V1  7,9 km/s Segunda Velocidad Cósmica Denominamos así al velocidad que le debemos comunicar a un cuerpo, que es lanzado perpendicular a la superficie terrestre y luego se pueda alejar de manera definitiva de la Tierra. ¿Cómo calculamos la velocidad de lanzamiento de un cuerpo para que escape de la atracción terrestre? Para esto el satélite debe vencer la atracción terrestre, es decir debe vencer la energía potencial gravitatoria en valor absoluto.

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 Mm s  G R  T   Pero esta energía de atracción gravitacional debe ser superada con la energía cinética de lanzamiento del cuerpo, es decir: m M 1 2 m s V2  G s 2 RT

V2 

G

M 2  R 2 R T  2 T  RT

 V2 

  

2G

M RT

 g   V2  R T 2  s   RT 

Por lo tanto la velocidad que le permitiría escapar al cuerpo del influjo terrestre sería:

V2  2g sR T

… (II)

2

Al reemplazar g s  9,8 m/s y R T  6400 km se obtiene: 2da. Velocidad Cósmica: V2  11, 2 km/s Aquí para la reflexión debe quedar que este resultado de la primera y segunda velocidad cósmica es debido a que se considera a la Tierra en reposo. Queda para la reflexión lo siguiente, sabiendo que la Tierra se traslada y rota a la vez. ¿Qué velocidades deben ser realmente? Nota: Si comparamos las fórmulas obtenidas (I) y (II) se puede deducir que:

V2  V1 2 Esta sería la relación que existe entre la primera y segunda velocidad cósmica para un cuerpo lanzado desde la superficie terrestre. Diagrama de Trayectorias Los satélites lanzados desde h  160 km con diferente rapidez en P. P

HI

h V3

V2

RT  h

PÉ

Donde: V2  R T RB

OL

A

2g s RT  h

La mínima rapidez de lanzamiento para que el satélite venza la atracción terrestre es: V2 min   11, 03 km/s (Despreciando la resistencia de la atmósfera)

V1

ELIPSE

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En esta rapidez el satélite describe una trayectoria parabólica, y la Tierra lo deja escapar, sin alejarse demasiado ¿Porqué? Porque el Sol lo atrae gravitacionalmente y el cuerpo se convierte en un satélite del Sol. Esto sucede cuando los lanzamientos se efectúan con rapideces comprendidas entre 11,03 km/s  V  16, 2 km/s .

Lanzamiento oblicuo de un satélite

Nota: Cuando un cuerpo es lanzado oblicuamente respecto de la superficie terrestre, con una rapidez pequeña, asumimos que su trayectoria es una parábola, más esto no es cierto, debido a que la trayectoria que sigue el cuerpo en estas condiciones es una elipse en donde el centro de la figura es uno de los focos de dicha elipse.

elipse

O

Diagrama original de Newton para el lanzamiento de satélites

Tercera Velocidad Cósmica ¿Con qué rapidez mínima se debe lanzar un satélite hacia las estrellas lejanas? Para esto es necesario que abandone el sistema planetario solar; y así vencer la atracción gravitacional terrestre solar. Para evaluar esta rapidez, vamos a utilizar los siguientes segmentos: La primera velocidad cósmica es:

V1 

GMR T

La segunda velocidad cósmica es:

V2 

2GMR T

A

B

C

Interpretando, V1 es la rapidez orbital del satélite sobre la superficie de la Tierra y V2 es la rapidez de lanzamiento para vencer la atracción gravitacional terrestre, ambas verifican: V2 

2 V1

Usando la interpretación anterior y considerando a la Tierra como un satélite del Sol esta rapidez es aproximadamente V1  30 km/s y para que pueda vencer a la atracción solar en la analogía anterior de los casos 1 y 2 debe desplazarse con V2 

2 V1  42 km/s

Al ser esta una gran rapidez tendremos que aprovechar el movimiento de la Tierra para mandar un proyectil a las estrellas lejanas V1  30 km/s De esta manera, únicamente le transmitiremos una rapidez de: 42  30  12 km/s La energía cinética que se debe transferir para vencer la atracción terrestre es: 1 1 2 2 mVmin  m(11,03) 2 2 La energía cinética mínima para lanzar un satélite hacia las estrellas lejanas que supere la atracción terrestre y solar es: E C  EC  EC entregada vence atracc. vence atracc.

 al satélite 

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 terrestre 

 solar



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1 1 2 2 1 2 2 2 mV3  m(11,03)  m(12)  V3  11  12 2 2 2 3ra. Velocidad Cósmica: V3  16, 2 km/s En consecuencia, el cohete con 11,03 km/s abandona a al Tierra, pero no va muy lejos ¿por qué? si la Tierra lo deja escapar el Sol no lo va a dejar en libertad ya que lo atraerá y convertirá el cohete en un satélite de la gran masa solar. El cohete emplea la tercera rapidez cósmica ( V3 ) y sale con una trayectoria hiperbólica tal como se muestra.

V3

HI

P

B ÉR

OL

A

P h

RT

Con esta rapidez el cohete logra escapar de la atracción solar, y viaja por el espacio estelar. No obstante, requiere prácticamente duplicar la primera rapidez cósmica. 16, 2 2 7,9 Esta situación implica un gran incremento de la potencia de los motores del cohete y sus limitaciones técnicas.

Luna 2,4

Velocidades de escape para astros del Sistema Solar (en km/s) Mercurio Venus Tierra Marte Júpiter Saturno Urano Neptuno 4,3 10,3 11,2 5,0 59,5 35,4 21,6 22,8

Sol 620,0

La excentricidad de las órbitas elípticas La mayoría de los objetos en órbitas se desplazan a lo largo de una trayectoria elíptica. Una elipse es una forma que puede ser vista como un círculo u óvalo "estirado hacia afuera". Una elipse en muy larga y delgada, también puede ser bastante redonda (casi un círculo), para describir cuán circular (o no) es una elipse, los matemáticos y astrónomos usan medición llamada, "excentricidad". Una elipse con pequeña excentricidad, como 0,1 ó 0,2 es casi un círculo perfecto. Una elipse larga y delgada puede tener una excentricidad de 0,8 ó 0,9. La excentricidad de una elipse ha de ser siempre menor a 1, pero puede estar bastante aproximada a 1, como 0,99; 0,999, ¡y hasta mayor! Un círculo tiene una excentricidad de cero. Un círculo se considera un tipo de elipse especial, al igual que un cuadrado se considera un tipo especial de rectángulo. La excentricidad de la órbita de la Tierra es muy pequeña, de manera que la órbita es prácticamente circular. La excentricidad de la órbita de la Tierra tiene sólo 0,0167. De alguna manera, Marte tiene una mayor excentricidad de órbita de 0,0935. Las órbitas de Mercurio y Plutón tienen la más grande excentricidad de las órbitas planetarias de nuestro sistema solar; Mercurio tiene 0,2056 y Plutón 0,2488. Por lo general, los cometas tienen órbitas de excentricidad extrema. Por ejemplo, el cometa Halley tiene una excentricidad de órbita de 0,967.

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Ejemplo ilustrativo 1 Considere una masa “M” fija y otra masa “m” que se puede deslizar sin fricción sobre una superficie horizontal. Halle el cociente de las magnitudes de las aceleraciones de “m” cuando la distancia entre las masas es R 0 y 3R 0 , respectivamente. Solución: Grafiquemos a las masas “M” y “m” en las situaciones indicadas en el problema.

M

Nos piden:

a1

m

a1 a2

R0

a2

m

F1 A

F2 B

3R 0

M F1 G 2 a1 R 0 Por 2da. Ley de Newton:  m  a 2 F2 G M m  3R 0  2

Simplificando:

a1  a2

9

Rpta.

Ejemplo Ilustrativo 2 Dos esferas: una maciza de 2cm de radio y 15kg y otra membrana esférica de 5cm de radio y 20kg están ubicadas según indica la figura. Calcule el potencial gravitatorio (en J/kg) en el punto “A”. Considere: G  6,67 x1011 Nm2/kg 2 A

50 cm

Solución: El potencial gravitatorio es una magnitud escalar. El potencial en “A” será la suma escalar de los resultados 30 cm parciales. Como los centros de masa de ambas esferas están en su punto medio, es fácil evaluar:

40 cm

VA  V1  V2 m1 m G 2 0, 3 0,5 15 20 VA   G G 0, 3 0,5

5 cm

VA   G

A

50 cm

30 cm

m2 40 cm

-188-

VA 

 90G

J kg

Rpta.

m1

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Ejemplo Ilustrativo 3 Dos partículas de 2 kg y 4 kg están separadas 2m Calcular el trabajo necesario (en unidades de

10 11 J) realizado por una fuerza externa para quitar uno de ellos de la influencia del otro, considerado fijo. Solución:



m1  4kg

m2

Fext

FG E

2m

Como puede verse FG desarrolla trabajo positivo y Fext. trabajo negativo. Por el teorema trabajo – energía se puede deducir: WFG  Ep g f  Ep g o WFG   E  m m  WFG  0    G 1 2 d  m1m 2  WFG  G d Reemplazando valores:

WFext.  6,67  10 WFext 

11



  

Como: WFext   WFG

2 4 2

 26,68 x 10 11 J

Rpta.

Ejemplo Ilustrativo 4 Se tiene 2 satélites A y B separados una distancia de 1km. La masa A es 18 veces la masa de B. ¿Aproximadamente a que distancia (en km) del satélite A, sobre la recta que los une, la aceleración creada por él será el triple de la aceleración creada por el satélite “B”? mA

m

FA

mB

FB

x

d  1km

a A  3a B

Dato:

Solución: Graficando los satélites según las condiciones del problema. Ubicamos una masa “m” sobre la cual mediremos la aceleración producida por las fuerzas gravitacionales.

m mB FA F  3 B  G 2A  3G m m  d  x 2 x Pero m A  18mB ; reemplazando: 18 x2



3

 d  x 2

2

 x  ; Sacando raíz cuadrada:  6   1 x 

6

x 1 x

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PROYECTO INGENIERÍA Resolviendo:

 6 6  x   x  5 

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0,71 km

Rpta.

Ejemplo Ilustrativo 5 22 24 La luna ( m  7, 35  10 kg ) orbita casi circularmente alrededor de la tierra ( M  5, 98  10 kg ). Si para un observador en la tierra (supuesta estática) la luna barre un área de

9, 31 x 1018 m 2 cuando el ángulo medido es 1º, halle la fuerza que ejerce la tierra sobre la luna cuando este recorre un ángulo de 90º (suponga al observador en el centro de la tierra). Solución:

Datos:

m

m  7,35  10 22 kg

F m luna

F

F

M  5, 98  10 24 kg F

S

r

S  9, 31  1018 m2 F  ??

M tierra

Del dato:

1º 18  9, 31  10 360º R  5,7893  1010 2

S  R x

Cálculo de F: FG

Mm R

2



F  6,67  10 11

5,98  10 24  7, 35  10 22

15 F  8,747  10 N

 5,789  1010 

2

Rpta.

Ejemplo Ilustrativo 6 Marte posee un satélite con un periodo de 460 minutos que describe una órbita de radio medio 9, 4  10 6 m ; ¿Cuál es la masa (en kg) de Marte?

Solución:

m

 Sea:

FG

 La fuerza gravitacional será la fuerza centrípeta que produce la rotación

FG M

-190-

M: masa de Marte m: masa del satélite

R

FG  Fcp

 G

Mm

R2 2 Como se sabe:   T

 m 2  R

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Entonces:

G

M 2



 2  2

R T Reemplazando valores:

M

2

 2  2  R 2

R  M 

G T2

(2)2(9, 4  10 6 )3 6,67  10 11  (460  60)2

23 M  6, 45  10 kg

Rpta.

Ejemplo Ilustrativo 7 Calcular el radio de la órbita circunferencial terrestre respecto al sol considerando que la masa de 33 éste es M  2, 0  10 kg .

Solución: m FG

R

Tierra

FG

M

La fuerza gravitacional será la fuerza centrípeta cuyo efecto produce la rotación de la Tierra. El periodo de rotación de la Tierra es: T  365 días FG  Fcp

S

G

M R

2



 G

 2  2 T

2

Mm R

2

2

 m  R

 R  R3 

GMT 2 (2)2

Reemplazando valores:

R3 

6,67  10 11  2,0  10 33(365  24  3600)2 (2  3,1416)2

R  1, 497  1012 m

9  R  1, 5  10 km

Rpta.

Ejemplo Ilustrativo 8 Un satélite gira con un periodo T y radio R alrededor de un planeta. Si el radio de giro del planeta 2 se aumenta en H   x

3

 1  R de manera que el nuevo período es 1,5 T, encuentre el valor de x.

Solución: Graficando la condición inicial del problema. V R M

m

FG

Periodo Radio

:T :R

La fuerza gravitacional será la fuerza centrípeta. Por dinámica circunferencial:

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-191-

PROYECTO INGENIERÍA FG  Fcp

Mm

 G

m

Mm R

2

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2

 m R

42

… (I) R T2 Si aumentamos el radio en:

G

3

Rf  R  H  R  x 2 3  R  R

Rf  R  x 2 3 El periodo final será (por analogía con el resultado anterior)  42  3 Tf2    Rf  GM  2    1,5T  2   4    R 3  x 2  GM  Observando la relación (I)  1,5  2  x 2  x  1,5 Rpta. Ejemplo Ilustrativo 9 Un planeta X tiene dos satélites Y y Z orbitando como se indica en la figura. Si la fuerza 5 gravitacional sobre Y es de 10 N y su periodo orbital es de 20 h, determinar m y y su periodo

orbital es Z. Considerar mx  10 20 kg y despreciable la interacción gravitacional entre Z é Y. Solución: El valor de la fuerza entre X e Y se calcula: mx  my … (I) FG  G  10 5 2 R Pero también (por dinámica circunferencial): mx  my FG  G  M y 2  R R2

Z

2R X R Y

G Reemplazando sus valores:

6,67  10

11

 10

mx R3



 2  2 T2

3  R G

mx T 2 4 2

20

2   20  3600  2 4  3,1416  R  956774,7 m Luego: 2R  1913,5 km Rpta. (II) (Radio de Z) Luego en (I):

R3 

10 5  6,67  10 11 

-192-

10 20  m y

 956774,7 

2

7  m y  1, 37  10 kg

Rpta.

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Problemas Resueltos 1. En el gráfico. ¿Cuál de los siguientes planetas tiene mayor aceleración de la gravedad en la superficie? 3M M

Según la condición del problema: M

FG FG

M

2M

2R

R

3R

2a

Sustituyendo en (1): (I) a) Sólo I d) I y II

(II) b) Sólo II e) II y III

(III) c) Sólo III

Solución: La aceleración de la gravedad en la superficie, es directamente proporcional a la masa del planeta e inversamente proporcional al cuadrado de su radio de curvatura. M I. g 1  G 2 R 2M 1 M II. g 2  G  G (2R)2 2 R 2

FG  G

MM (2a)2

a) b)

3 G 2 5 G 2 7 G 2 1 G 2 2 G 5

2m

2. Se tienen dos esferas uniformes de igual masa “M” y radio “a”; si ambas masas se ponen en contacto, ¿cuál es el módulo de la fuerza de atracción gravitacional entre ellas?

Solución:

d)

GM 2 4a 2

GM 2 a2

b) e)

GM 2 2a 2

c)

GM 2 9a 2

G 2M

d) e)

A

m

2m

Por definición: E g  G

M 2

d El campo resultante en “A” será la suma vectorial de cada campo parcial. m1 

2m

1 E1

A

E 2 45º

4a 2

Solución: Por la ley de gravitación universal se sabe que: m m FG  G 1 2 2 … (1) d

Rpta.

11 Nm 2 /kg 2 Considere: m  1kg ; G  6, 67  10

c)

a)

1 M2 G 4 a2

3. En la figura mostrada, se ubican 3 esferitas en los vértices del cuadrado de 1m de lado evalué el campo gravitacional (en unidades S.I.) en el punto A.

3M 1 M  G (3R)2 3 R 2 De aquí se observa que I tiene la mayor aceleración de la gravedad en la superficie. Sólo I Rpta. III. g 3  G

 FG 

1

m3  m

E1

2

m2 

2m

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-193-

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Podemos notar que el campo de m1 y m 2 es el mismo: E 1 La resultante vectorial de estos campos será:

E1 2 El campo producido por m3 es: E 2 Finalmente; la resultante vectorial de los 3 campos será: m



G

2 Gm 2Gm ER   2 1 2

2m 12



2

5 G 2

m  1  ER 

Si

E total 

3

Gm L

2

Rpta.

22 5. La masa de un planeta es 7,35  10 km . Calcule el periodo de un satélite en órbita circular a 100 km por encima de la superficie del planeta. (  3,1416) a) 2 h b) 3 h c) 4 h d) 6 h e) 5 h

E R  E 2  E1 2 ER  G

En el sistema mostrado: mm m m mm E total  G 1 2  G 2 3  G 1 3 L L L Como: m1  m 2  m3  m , entonces:

Solución:

Rpta.

V

Nota: 2 Las unidad de “ E R ” son m/s , porque es la aceleración que tendría una masa ubicada en ese lugar debido a la presencia de las tres masas.

4. Se tiene 3 masas “m” ubicadas en los vértices de un triángulo equilátero de lado L. Calcule la energía potencial gravitacional almacenada por el sistema. G: Constante de gravitación universal Gm a)  2 L

d) 

2

Gm 2 L

Gm b)  4 L

2

Gm L

2

e)  3

Gm c) 3 L

Solución: Según el problema:

m1  m

-194-

L

L

Mp

Según el problema: M p  7, 35  10 22 kg La fuerza gravitacional será la fuerza centrípeta: M pm s FG  Fcp  G 2  m s  2  r r M p  2  2 G 2  r r T2

6,67  10 11  7, 35  10 22

m2  m

L

2

Para dos masas: mm Epg  G 1 2 d

m3  m

ms

FG

 1840  10 3  3



4

2

T2

T  7082,73 s

T  1,967 h  2 h

Rpta.

6. La elipse de la figura muestra la trayectoria de un cometa alrededor del Sol. Si el tiempo de viaje entre A y B es 4 meses y el área A 1 es 8 CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS ---  FONO: 630439

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veces el área A 2 . ¿Cuál es el periodo (en años terrestres) del cometa? A

B

A2 A1

a) 2 d) 8

b) 4 e) 1

c) 6

Solución: En los puntos A y B, la velocidad hace 90º con la fuerza gravitacional, por tanto la fuerza que actúa sobre el satélite será una fuerza radial o normal. Podemos notar también, que el radio de curvatura del movimiento en A y B es el mismo.

m

A1

A2

A1

D

La figura ofrece simetría: Por la segunda ley de Kepler: A1 A 8A 2 A 2  2   t DA t AB t 4

G

rB 2 rA

2

m

VA 2 

… (I)

Mm

m

VB 2 

… (II)

rapideces del satélite en las posiciones A y B?

4r

B

c) 1

2



VA 2 VB

2

 VB  VA

7. Un satélite orbita un planeta P, describiendo una trayectoria elíptica, tal como se muestra en la figura. ¿Cuál será la relación VA / VB de las

b) 2 e) 1/4

Mm

rB 2 Dividiendo (I) y (II):

t  32 meses El periodo será: T  2(t  4)  T  12 meses 72 Rpta. T  6 años 12

a) 4 d) 1/2

G

rA En B: FB  Fcp B

C

P

O ' FB rB  4r

VA

A2

r

M

FA O

VB m

Por dinámica circular: En A: FA  Fcp A

A

B

A



rA  r

Solución: De acuerdo al problema: 4 meses

P



VA rB 4r   VB rA r

4

Rpta.

8. El planeta XY que gira alrededor del Sol tiene una velocidad angular de 9 rad/s cuando se encuentra a una distancia “r” del Sol. Hallar su velocidad angular (en rad/s) cuando se 3 3r encuentre a una distancia de . (r y r están 4 4 medidos en el eje principal de la elipse). a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20 Solución: Si consideramos como sistema: Sol–Planeta XY, entonces, la fuerza gravitacional será fuerza interna del sistema aislado.

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La fuerza gravitacional siempre está dirigida al foco (donde está ubicado el Sol).

V

La magnitud vectorial “ L ” permanece constante. L : Momento angular o momento cinético de rotación o momento de impulso

A

L

t1

L  r  p  r  mV

a) 2 d) 8

Producto vectorial

rB 

m

B

rA  r Sol

VB

En

VA

3 r 4

“A”

y

“B”

las

velocidades

A m

son

perpendiculares a r . En el movimiento planetario (elíptico), se

b) 4 e) 10

c) 6

Solución: El satélite realiza un movimiento circunferencial y luego elíptico, en ambos casos podemos aplicar la 3ra. Ley de Kepler. Para el movimiento elíptico, el radio a considerar debe ser medio radio medio ( R m ). V2  V

conserva el momento cinético de rotación ( L ). L  rmVsen90º

R

C

Tierra

L A  LB

rA mVA  rBmVB 

VA rB  VB rA

4L

r  0,5L ; R  3,5L Rr  R m  2L Rm  2 Por la 3ra. Ley de Kepler:

Pero: V  r Reemplazando:  A rA rB   B rB rA



Luego:

A rB 2  B rA 2

2

2

3 2   r 9 4   2 B r

 B  16 rad/s

Rpta.

9. Un satélite geoestacionario tiene órbita circunferencial. De pronto en el punto A se le cambia instantáneamente el módulo de su velocidad. Pero se mantiene la dirección de tal modo que su trayectoria ahora será la elipse. Hallar su periodo (en días) en la trayectoria elíptica.

-196-

3

 T1   R1  T  R   2  2 Si inicialmente el satélite era geoestacionario, entonces T1  1 día Reemplazando: 2

 1   r  T  R   2  m 2

3

 1   0,5L   T    2L   2 2

 1  1  T    4   2

3

3

 T2  8

Rpta.

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10. En la figura se muestra a la Tierra, alrededor de la cual giran dos satélites de masas M1 y

M 2 ; si R 2  4R1 , calcular el periodo de M 2 si el de M1 es de 36 días. a) 230 días b) 288 días M1

c) 228 días

R2

R1

M2

d) 164 días e) 144 días

GM R Recordemos que en la superficie:

m

V

Solución: Por la 3ra. Ley de Kepler 2

 T1   R1  T  R   2  2 2

2

T2  36  4

3

2

 R1   36       4R  T 1  2 

3

288 días Rpta.

11. Un cuerpo es soltado desde una altura sobre la superficie terrestre, equivalente al radio terrestre “R”, ¿con qué velocidad el cuerpo tocará la superficie terrestre? Desprecie la fricción de la atmósfera. a) R g

b)

d)

e) 2 gR

3gR

Solución:

c)

gR

V

gR

Rpta.

2gR

4 a) 1, 33  10 m/s

4 b) 1, 03  10 m/s

3 c) 1,13  10 m/s

4 d) 1,13  10 m/s

2 e) 1,13  10 m/s

Solución:

M

V m

R

m

R Fig. 2

Fig. 1

R M

GM  gR 2 

12. Un planeta de masa “M” tiene un radio “R” hallar la mínima velocidad de lanzamiento desde la superficie del planeta de un cohete tal que pueda abandonar el planeta (velocidad de escape).

3

T2 

GMm … (1) 2R Energía Final (Fig. 2): 1 2 GMm … (2) E  mV  2 R Como se desprecia la fricción de la atmósfera, la energía total se conserva: Igualando (1) y (2): GMm 1 2  mV 2R 2 E  0

m

V

M

Como M  m podemos utilizar: 1 2 GMm E  mV  2 r Energía inicial (Fig. 1):

R

E

1 2 GMm mV  0 2 R

2GM 1 GMm 2  V mV  R 2 R En la superficie del planeta: GM  gR 2 

V

2gR

2 Para la Tierra: R  6400 km ; g  9, 8 m/s

4 V  1,13  10 m/s

Rpta.

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Las Mareas y los Agujeros Negros Mareas oceánicas Desde hace mucho tiempo se sabía que existía una relación entre las mareas y la Luna, pero no con exactitud, Newton mostró que se deben a diferencias de atracción gravitacional de la Luna sobre caras opuestas de la Tierra. Esta atracción es mas intensa en la cara de la Tierra que el lado opuesto que da hacia la Luna. Y esto se debe a la distancia, la cara mas cercana a la Luna presenta una fuerza mayor y una aceleración mayor hacia la Luna, por lo tanto, la forma de la Tierra es alargada. La Luna y la Tierra experimentan una aceleración centrípeta al girar alrededor del centro de masa común. La Marea baja se define cuando la tierra da un cuarto de vuelta. Unas seis horas después, el nivel del agua en el mismo lugar del océano es alrededor de un metro mas abajo que el nivel promedio del mar. El agua que no está ahí, está debajo de los abultamientos que producen mareas altas en algún otro lugar. El sol también contribuye en las mareas, pero en menos de la mitad de las que produce la Luna. Por mas que el Sol sea ciento ochenta veces mayor que la Tierra, no produce mareas mayores que la Luna , porque la diferencia entre la distancia de la parte del Sol que está mas cerca y la parte que está mas alejada, es menos significativa. Las mareas vivas se dan cuando el Sol, la Luna, y la tierra están alineadas (eclipse); pero, no se da perfectamente, debido a que el plano de la órbita de la Luna está ligeramente inclinada respecto de la Tierra alrededor del Sol. Todos los meses cuando la Tierra esté entre el Sol y la Luna (luna llena) y cuando la Luna esté entre el Sol y la Tierra (luna nueva) tendremos mareas vivas. Las mareas muertas, ocurren cuando las atracciones del Sol y de la Luna se ejercen en direcciones perpendiculares, (media Luna). En otro aspecto tenemos que, la inclinación del eje de la Tierra, hace que las dos mareas altas diarias de un mismo lugar sean desiguales. Mareas terrestres y atmosféricas Las mareas terrestres se dan por las fuerzas de marea ejercidas por el Sol y la Luna, debido a que, la corteza es delgada y flexible, sufriendo en la superficie sólida de la Tierra, un incremento y disminución de veinticinco centímetros dos veces al día, por eso ocurren terremotos y erupciones volcánicas. Las mareas atmosféricas son pequeñas, debido a la reducida masa de atmósfera que tenemos. Estas mareas, se dan en la ionosfera, las mareas que suceden ahí, alteran el campo magnético que rodea a la Tierra (marea magnética), éstas a su vez, regulan en la atmósfera baja, la penetración de rayos cósmicos. Esta penetración de rayos a la atmósfera afecta su composición iónica, que a su vez produce cambios en los seres vivos. Agujeros negros Devienen de procesos que se llevan a cabo en las estrellas, específicamente se trata del Sol, el mismo que de un tiempo a esta parte, es decir en cinco millones de años, se convertirá finalmente en una "enana negra", como consecuencia de su cesación de calor y Luz, la misma que tendrá una configuración de densidad comprimida donde ni siquiera la Luz podrá escapar, a ello se le denomina agujeros negros. Cabe agregar también que los agujeros negros no son más masivos que las estrellas de la que se forman. Es posible que el campo gravitacional de los agujeros negros sea enorme, no alterándose por la contracción el campo gravitacional de las estrellas más cercanas. Los agujeros negros serán una pesadilla para los astronautas del futuro, pues la configuración del campo gravitacional en la vecindad de un agujero negro representa el colapso del propio espacio.

-198-

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Problemas Propuestos 1. ¿En cuánto variará la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra, si su radio disminuye a la mitad manteniendo su masa constante? a) g b) 2g c) 3g d) 4g e) 5g

5. Un cuerpo ubicado sobre la superficie de la Tierra pesa 20 N. Si la masa y el radio terrestre fuesen el cuádruple de sus valores normales. ¿Cuál sería el peso del cuerpo? a) 12 N b) 15 N c) 10 N d) 8 N e) 5 N

2. Determinar la aceleración de la gravedad

6. Suponga que la siguiente figura representa la órbita de la Tierra alrededor del Sol, si para ir de A hacia B la Tierra demora 3,6 meses. ¿Qué parte del área total de la elipse es la zona achurada? (exprese la respuesta en fracción).

2

(en m/s ) en un punto situado a 6400 km sobre la superficie de la Tierra. R T  6400 km 2 y gravedad en la superficie: g  10 m/s . a) 4 b) 5 c) 3,5 d) 2,5 e) 2

B V

3. En la figura, el planeta tiene masa “4M” el satélite masa “M”; hallar la intensidad del 2 campo gravitatorio (en m/s ) resultante en el punto “A”, siendo “G” la constante gravitatoria. a) 3

Órbita satélite

c) 2 d) 1

Planeta

A

d

2d

e) 75 días

b)

c)

4 5

2

4. Determinar el periodo de un satélite artificial que gira alrededor de la Tierra en una órbita cuyo radio es el doble de la órbita lunar. El periodo de la Luna es 28 días. a) 60 días Satélite Luna (1) b) 65 días (2)

d) 79 días

3 5 7 e) 10

2 5 3 d) 10

7. En la figura, en los puntos A y B la

e) 0

c) 70 días

Sol

S

A

a)

b) 2,5

Tierra

2R

R Tierra

aceleración vale 4, 9 m/s . Si el radio terrestre es de 6400 km y asumiendo que la masa de la Tierra es homogénea. Hallar la distancia en km entre los puntos A y B.

RT A x

B

y

Tierra a) 5850,96 d) 5892,90

b) 5880,92 e) 5860,96

c) 5868,25

8. Las masas de la Luna y la Tierra están en la relación de 1/81 y la distancia que las separa es

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de 3 844,105 km. Determinar la distancia a la Tierra de un punto situado en la línea de centros, tal que si en él se coloca un cuerpo, ésta se mantenga en equilibrio. x

dx B

Luna

Tierra

a) 340 960 km c) 345 960 km e) 355 960 km

b) 342 960 km d) 245 960 km

9. Un satélite artificial de la Tierra gira circularmente a una altitud de de 630 km. Calcular la velocidad lineal del satélite. Satélite

V

FG

h

Tierra

RT

a) 7,90 km/h d) 7,82 km/h

b) 6 km/h e) 8,75 km/h

cada una satélites de masas m1 y m 2 , que giran alrededor de ellas con el mismo radio orbital R. El periodo de m1 es el triple del satélite m1 , ¿cuál es la relación entre las masas de las estrellas? a) 18 b) 16 c) 12 d) 14 e) 10

ML

P

MT

11. Dos estrellas de masas M1 y M 2 tienen

12. Un atleta en la Tierra (T) salta una altura de 2,45 m. Si saltaría en la superficie de otro planeta (P), ¿qué altura alcanzaría?, M T  54M P , R T  3R P . a) 14,7 m d) 9,85 m

b) 12,5 m e) 15,7 m

c) 10,5 m

13. Un planeta tiene 2 satélites “1” y “2” girando en órbitas circulares de radios R 1 y

R 2 , si el periodo T2 es 8 veces el periodo T1 , ¿Cuál es el valor de la razón R 2/R1 ? a) 6 d) 3

b) 5 e) 2

c) 4

c) 12 km/h

14. La energía potencial gravitatoria de dos partículas de masas m1 y m 2 es U1 para una

10. Hallar la aceleración centrípeta con que se moverá un satélite artificial de la Tierra por una órbita circular que se encuentra a 230 km de altura sobre la superficie del planeta. ( R T  6370 km ).

separación d 1 . Si se aumenta la distancia de

Satélite

V

FG

h

Tierra

RT

separación en un 20%. Expresar la nueva energía potencial U 2 en función de U1 .

5 U1 6 2 d) U1 5

2 U1 3 4 e) U1 3

a)

b)

2 b) 9, 4 m/s

2 a) 260 m/s

2 c) 9,13 m/s

2 d) 8,13 m/s

c) 142 m/s

-200-

7 U1 6

15. Calcular la aceleración de la gravedad en la superficie del Sol, considerando el radio del Sol 100 veces el radio terrestre y que la densidad media del Sol es el 25% de la terrestre.

2 a) 9, 5 m/s

2 e) 6, 32 m/s

c)

2

2 b) 160 m/s 2 d) 250 m/s

2 e) 245 m/s

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16. ¿Qué rapidez debe presentar una satélite para que éste orbite cerca de la superficie terrestre? R tierra  6400 km .  h  R T  a)

7 RT

b)

3 RT

c)

9 RT

d)

5 RT

e)

10 R T

2 tierra es 9, 8 m/s ?

Satélite Tierra

2 a) 0, 6 m/s

2 b) 0, 98 m/s

2 c) 1, 08 m/s

2 d) 1,18 m/s

2 e) 1, 24 m/s

RT

h

17. Dos asteroides en reposo se atraen con una fuerza de 120MN. Si uno de ellos duplica su masa y el otro lo cuadruplica. ¿Qué valor tendría la fuerza de atracción entre los nuevos asteroides? a) 960 MN b) 108 MN c) 120 MN d) 140 MN e) 150 MN 18. Dos cuerpos puntuales se atraen con una fuerza de 48 GN. ¿Qué valor tendrá la fuerza de atracción gravitatoria entre ellos si se sabe que estas triplican sus masas y duplican la distancia que las separaba? a) 960 GN b) 108 GN c) 120 GN d) 140 GN e) 150 GN 19. La distancia entre la tierra y la luna es 60R (R: radio terrestre) ¿a que distancia del centro de la tierra un cuerpo colocado en la línea que une la luna y la tierra estará en equilibrio? Se sabe además que (m terrestre  81mlunar ) a) 27R d) 42R

21. Suponiendo que el radio de la luna es 1/6 del radio de la tierra, y que la densidad de la tierra es 1,5 veces mayor que el de la luna. ¿Cuánto vale la gravedad en la luna, si en la

b) 54R e) 78R

c) 36R

20. ¿A que altura respecto de la superficie terrestre el peso de una persona se hará la cuarta parte? R: radio terrestre. a) R/2 b) R c) 2R d) 3R e) 5R

22. Determinar la aceleración centrípeta en un punto de la línea ecuatorial, si el radio terrestre es ahí 6400 km. Así mismo encontrar la gravedad efectiva en dicho lugar

g s  9,8 m/s 2 . 2 a) 9,766 m/s

2 b) 9,776 m/s

2 c) 9,786 m/s

2 d) 9,786 m/s

2 e) 9,796 m/s

23. ¿A qué altura de la superficie terrestre la velocidad de un satélite es 1/3 de la primera velocidad cósmica? R: radio terrestre. a) 5R b) 6R c) 7R d) 8R e) 9R 24. Un satélite orbita la Tierra con una velocidad igual a la mitad de la primera velocidad cósmica. ¿Qué valor tiene la aceleración de la gravedad de dicha orbita g  10 m/s 2 (en la superficie terrestre) 2 a) 0, 325 m/s

2 b) 0, 425 m/s

2 c) 0, 525 m/s

2 d) 0, 625 m/s

2 e) 0,725 m/s

25. Un satélite gira en una orbita circular alrededor del tierra a una altura donde la aceleración de la gravedad es la cuarta parte del gravedad en la superficie de la tierra. Evaluar el periodo de revolución del satélite (Considere:

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“R” el radio de tierra y “g” la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre). 2R a) 2 g

R b) 4  g

R d) 4  2g

2R e)  g

2R c) 4  g

26. Determine el tiempo que debería durar el día para que un sujeto colocado en el ecuador reduzca su peso normal en 25%. a)  d) 2

R 3g

b) 4 

R g

R g

e) 4 

R 3g

c) 4 

2R 3g

27. Si una de dos masas se triplica y la distancia entre ellas se triplica, ¿en qué razón se encuentran las fuerzas de atracción gravitacional inicial y final entre dichos cuerpos? a) 3 a 6 b) 4 a 3 c) 5 a 2 d) 7 a 4 e) 1 a 2 28. Determinar la intensidad del campo gravitacional en P, si al colocar ahí una masa puntual m  6 kg experimenta una fuerza

F  60 N , tal como se indica. a) (–6; –8) N/kg b) (3; –9) N/kg c) (12; 4) N/kg d) (–9; 21) N/kg e) (–5; –1) N/kg

Y

F

2 d) 0, 02 m/s

2 e) 0, 03 m/s

2 c) 0,01 m/s

30. Si el cuerpo de masa “m”, se deja caer en A, ¿Cual es la energía mecánica total del sistema cuando llegue a B? (G: constante de gravitación universal). GMm a)  7R A GMm R b) B 3R GMm R c)  5R O GMm d) M 2R GMm e) R 31. Un satélite artificial gira alrededor de la tierra a una distancia R de su superficie. Encontrar su rapidez de traslación (en km/s), si:

g S  10 m/s 2 y R  6400 km . a) 4 2

b)

2

9 2 2

e)

3 2 2

d)

1

X

29. Por mediciones realizadas en la línea ecuatorial, se sabe que la aceleración de la 2 gravedad efectiva es g  9,78 m/s . Sabiendo que por efectos únicos de gravedad, el valor

debería ser g 0  9,81 m/s 2 , ¿Cuál es el valor de la aceleración centrípeta (aC) de los puntos del ecuador?

-202-

2 b) 0, 08 m/s

c) 3 2

32. Si “D” es la densidad de un planeta y “R” es su radio, ¿cuál es la expresión que le corresponde a la gravedad en su superficie. G es constante de gravitación Universal?

P

53º

2 a) 0, 05 m/s

3 a) GD 2 R 4 d) GDR 2 3

2 b) GDR 4 e) GDR 3

c) 4 GDR

2

33. ¿A qué distancia del centro de la tierra una nave girará con la mitad de la primera velocidad cósmica alrededor de ella? R: radio terrestre. a) 2R b) 4R c) 3R d) 5R e) 3R/2

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34. Un satélite artificial de la tierra ha sido lanzado desde el ecuador, y se mueve por una orbita circular en el plano de este y en el sentido de la rotación de la tierra. Si el radio de la orbita es R  4R T , siendo R T  6400 km (radio terrestre), al cabo de que tiempo pasara el satélite por primera vez por el punto de lanzamiento. a) 18 h, 45 min, 36 s b) 21 h, 38 min, 2 s c) 23 h, 40 min, 48 s d) 1 día, 2 h, 38 min e) 1 día, 5 h, 55 min 35. En el sistema mostrado A y B se atraen con una fuerza de 60 N. ¿Cuál será el valor del a fuerza entre B y C? ( m A  2M , mC  3M ).

A

B

C 3x

2x

a) 40 N d) 100 N

b) 60 N e) 120 N

c) 80 N

36. Sabiendo que la aceleración de la gravedad en x es de 6,4 m/s2, ¿Cuál es el valor de dicha aceleración en y? A x y k

3k

2 a) 0, 04 m/s

2 b) 0, 08 m/s

2 c) 0, 01 m/s

2 d) 0, 20 m/s

2 e) 0, 40 m/s

37. Un planeta emplea 180 días para hacer la mitad de su recorrido. ¿Qué área de la elipse barrera el radio del planeta en 30 días? 1 1 1 a) b) c) 12 6 5 2 5 d) e) 3 6

38. Alrededor de la tierra giran dos satélites cuyos radios están en la proporción de 4 : 9. si el de menor radio emplea 32 horas en dar un vuelta alrededor de la tierra, ¿Qué tiempo empleara el segundo para hacer lo mismo? a) 96h b) 100h c) 108h d) 112h e) 124h 39. Encontrar en que relación están los periodos de traslación T1 y T2 de los satélites mostrados. Además se sabe que: R1  16a y

R 2  18a . 64 27 45 b) 19 8 c) 3 a)

2

1 d)

16 9

e)

25 27

40. Del ejercicio anterior, se pide determinar en que relación se encuentran las áreas de las elipses descritas por los satélites. a) 64/27 b) 45/19 c) 8/3 d) 16/9 e) 25/27 41. Un satélite gira alrededor de la tierra con un periodo T1  16 días y un segundo satélite lo hace con un periodo

T2  2 días . Si la

velocidad de este ultimo satélite es la mitad de la primera velocidad cósmica. ¿Cuál es el radio de giro del primer satélite? R: radio terrestre. a) 7R b) 9R c) 12R d) 16R e) 18R 42. Dos satélites S1 y S 2 orbitan circularmente alrededor de un mismo planeta. El primero barre en 144 h las 2/3 partes del área total de su orbita. El segundo satélite tienen un periodo igual a 27 h encontrar las razón de los radios de sus orbitas R1/R 2 . a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

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43. Un satélite gira en torno al planeta M ubicado en el polo F1 , empleando 18 meses. Si el tiempo para ir de A a B es de 1 mes, y de C hasta D es de 3 meses. ¿Qué parte de toda la elipse es la región sombreada? F1 y F2 focos. a) 1/9 b) 1/3 c) 1/5 d) 2/7 e) 4/9

D A

45. En la figura mostrada, un planeta se demora 3 meses en hacer el recorrido AB. ¿Qué tiempo en meses empleará en el tramo CD? S: Área. D

Sol S A

a) 1,5 d) 6

C

B

b) 3 e) 7,5

c) 4,5

C

sol

5S B

b) 120 días e) 300 días

c) 180 días

48. Determine el área, en m2 barrida de A a B, si el área total es de 80 000 m2 y demora 320 días el planeta en barrer dicha área. A t AB  8dias a) 2000 B b) 4000 c) 1000 O sol d) 8000 e) 16000 49. Hallar el tiempo en días de M a N si el tiempo de P a Q es de 40 días. El movimiento es de un planeta alrededor del sol. Q a) 10 P 4S b) 20 c) 30 sol d) 40 2S e) 80 M

N

  en el grafico  t AB  de un planeta.  t CD 

B

4S A

sol

3S

D

a) 60 días d) 240 días

50. Determinar la relación de tiempos recorridos

46. Si en un planeta que gira alrededor del Sol demora 9 días en trasladarse de A hasta B, determine el periodo de orbita.

-204-

A

B

2S

c) 15 días

47. Determine el periodo de rotación, si un planeta demora en ir de B a C un tiempo de 60 días.

C

44. La trayectoria de un planeta, cuyo año consta de 200 días, encierra un área total “P”. Halle “S” si en la traslación de “A” hasta “B” se emplean 40 días y de “B” hasta “C” se emplean 20 días. “O”: centro elíptico. a) P/9 C B b) P/10 S c) P/11 A O Sol d) P/12 e) P/13

A

b) 24 días e) 20 días

B

F2

F1

a) 48 días d) 18 días

a) 7/4 d) 4/7

C 7S

sol

b) 3/7 e) 11/4

D

c) 11/7

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Fc



mg

Objetivos  Conocer el concepto y manifestación de la inercia como propiedad de los cuerpos (propiedad de la materia) y su síntesis en la Primera Ley de Newton.  Establezca la relación entre el movimiento que desarrolla un cuerpo y las fuerzas que sobre él actúan y su síntesis en la Segunda Ley de Newton.  Aplicar estas dos leyes al análisis del movimiento rectilíneo y curvilíneo y. en este último caso, en forma particular al movimiento circunferencial.  Conocer la forma en que se analiza un movimiento respecto de un observador que acelera (sistema de referencia no inercial), como un método que permite enfocar el análisis de un problema de manera sencilla y simplificada. Introducción: En el estudio del movimiento mecánico de un cuerpo o partícula realizado anteriormente en Cinemática, hemos puesto nuestra atención en las características de dicho movimiento, por ejemplo: qué velocidad tiene, cuál es su aceleración, cuánto ha recorrido, etc. Pero, no hemos analizado cuáles fueron o son las causas de dicho movimiento, pues es momento de hacer que nuestro estudio acerca del movimiento mecánico sea más completo, más profundo, que nos lleva a determinar las causas y los responsables del cambio en el movimiento de un cuerpo. Para lograr una plena comprensión del movimiento mecánico, el estudiante debe comprender que tanto la Cinemática como la Dinámica son complementarias y no son disciplinas aisladas. En el estudio de la Dinámica sucede que consideramos simplemente una ciencia sencilla y casual, esto produce concepciones erróneas. La experiencia afirma que un cuerpo afectado de una fuerza debe moverse siempre con la misma velocidad, es decir, continuamente y de manera uniforme. La dinámica sin embargo afirma un cuadro totalmente diferente, dice que las fuerzas constantes no producen movimientos iguales, sino cada vez más acelerados, porque la velocidad prematuramente acumulada de las fuerzas, produce ininterrumpidamente un aumento en el valor de la velocidad. En el caso de un movimiento uniforme el cuerpo en general no se encuentra bajo el efecto de fuerzas externas o en todo caso, equilibradas, pues de otro modo no se movería igual o uniforme. El estudio de la Dinámica está enmarcado en dos leyes fundamentales de la mecánica (Leyes de Newton), la primera que es la ley de inercia y que pone de manifiesto una propiedad innata de los cuerpos físicos y la segunda ley de Newton que relaciona las fuerzas y la aceleración causada en un cuerpo. CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC) -205-

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Dinámica CONCEPTO: Parte de la Mecánica de sólidos que estudia el movimiento teniendo en cuenta las causas que lo producen. Las velocidades son pequeñas en comparación a la velocidad de la luz. La velocidad y la aceleración se miden con respecto a un sistema inercial de referencia. Ley de inercia de Newton Desde siempre, el problema del movimiento fue para el hombre un tema fascinante. Los filósofos griegos se admiraban y no ocultaban su sorpresa al ver como una flecha podía seguir en movimiento después de haber abandonado el arco que la había arrojado, ¿cómo es posible que siga moviéndose, si nadie la impulsa?, se cuestionaban. Para Aristóteles el movimiento estaba condicionado a la acción de una fuerza, pues sostuvo que: “Se necesita siempre una fuerza neta para que un objeto se mantenga en movimiento continuo.” Las ideas de Aristóteles prevalecieron por espacio de 2000 años, durante todo este tiempo tuvo el apoyo incondicional de la iglesia, puesto que sus ideas no se contraponían a las leyes de Dios. Se le acredita a Galileo ser el principal gestor en el derrumbamiento de las ideas de Aristóteles sobre el movimiento, fue necesario abandonar ciertos prejuicios para llegar finalmente a La ley de la inercia, que entre otras cosas afirma: La naturaleza está hecha de tal manera, que los cuerpos que están en movimiento siguen en movimiento por sí solos, sin que nadie tenga que ir empujándolos. Antes de que hubiese trascurrido un año de la muerte de Galileo, nació Isaac Newton, quien en 1665, a la edad de 23 años planteó sus célebres leyes del movimiento. Estas leyes reemplazaron las ideas aristotélicas que habían dominado el pensamiento de los científicos durante 20 siglos. La primera ley del movimiento de Newton, que se conoce como ley de inercia, es otra forma de expresar la idea de Galileo: Todo objeto persiste en su estado de reposo, o de movimiento en línea recta con rapidez constante, a menos que se le apliquen fuerzas que lo obliguen a cambiar dicho estado.

Dicho de manera más sencilla, las cosas tienden a seguir haciendo lo que ya estaban haciendo, por ejemplo, unos platos sobre la mesa están en estado de reposo y tienden a mantenerse en reposo, como se observa, si tiras repentinamente del mantel sobre el que descansan. (Si quieres probar este experimento ¡comienza con platos irrompibles!, si lo haces correctamente verás que la breve y pequeña fuerza de fricción entre los platos y el mantel no basta para mover los platos en forma apreciable). Sólo una fuerza es capaz de cambiar el estado de reposo de un objeto que se encontraba en reposo.

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Consideramos ahora un objeto en movimiento: Si lanzas un disco de jockey sobre la superficie de una calle, alcanzará el reposo en poco tiempo. Si se desliza sobre una superficie de hielo, recorrerá una distancia mayor. Esto se debe a que la fuerza de fricción sobre el hielo es muy pequeña. Si el disco se mueve en el aire, donde la fricción es prácticamente nula, se deslizará sin pérdida de rapidez aparente. Vemos pues que en ausencia de fuerzas, los objetos en movimiento tienden a moverse indefinidamente en línea recta. Ahora podemos comprender el movimiento de los satélites artificiales, un objeto lanzado desde una estación espacial situada en el vacío del espacio exterior, se moverá para siempre. La propiedad de todo cuerpo, de mantener su reposo o movimiento (mantener su velocidad) recibe el nombre de inercia. Vemos entonces que la ley de la inercia permite apreciar el movimiento desde un punto de vista totalmente distinto. Nuestros antepasados pensaban que el movimiento se debía a la acción de alguna fuerza, pero hoy sabemos que los objetos pueden seguir moviéndose por sí mismos. Se requiere una fuerza para superar la fricción y para poner los objetos en movimiento en el instante inicial. Una vez que un objeto se halla en movimiento en un entorno libre de fuerzas, seguirá moviéndose en línea recta por un tiempo indefinido. La masa: una medida de la inercia Si pateas una lata vacía, la lata se mueve con mucha facilidad, en cambio si está llena de arena no lo hará con tanta facilidad, y si está llena de plomo además de hacerte daño no se moverá. Una lata llena de plomo tiene más inercia que una lata llena de arena y esta a su vez tiene más inercia que una vacía. Para cuantificar la inercia de los cuerpos introducimos una magnitud llamada masa (m). La cantidad de inercia de un objeto, tanto mayor será la fuerza necesaria para cambiar su estado de movimiento. Ya sabemos que por inercia, todo cuerpo tiende a mantener su velocidad, queda pues la pregunta, ¿quién causa los cambios de velocidad en los cuerpos? Consideremos un pequeño ladrillo que es lanzado sobre una superficie horizontal áspera:

10 m/s

A

V0

A

Notamos que el ladrillo después de recorrer cierto tramo, se detiene ( V  0 ), esto se debe a la fuerza de rozamiento cinético (opuesta a la traslación del ladrillo) que causa la disminución de su velocidad; pero si el piso fuese liso, mantendría su velocidad hasta que alguien o algo trate de modificarlo. CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC) -207-

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En piso áspero Fg

En piso liso Fg

a

V  cte

fk

FN

FN

Por consiguiente: un cuerpo cambia su velocidad debido a las fuerzas externas que lo afectan. La conclusión que anteriormente hemos logrado fue planteada por Isaac Newton en su segunda ley del movimiento. La segunda ley de Newton dice: La aceleración que adquiere un objeto por efecto de una resultante, es directamente proporcional al módulo de la fuerza resultante e inversamente proporcional a la masa del cuerpo. Matemáticamente:

a Donde: : FR m : a

:

FR m

FR  ma o también



 F  ma a

Fuerza resultante (N)

FR

masa (kg) 2

aceleración del cuerpo ( m/s )

La aceleración ( a ) de un cuerpo tiene igual dirección que la fuerza resultante ( F R ) sobre él.

F1 m

Fn

F2

m

a

F3

FR

Si sobre el cuerpo hubiera varias aceleraciones y es factible descomponerlos en los ejes cartesianos, entonces conviene aplicar:

 F x  ma x -208-

 F y  ma y

 F z  ma z

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Observaciones y Conclusiones I. En el estudio de la mecánica clásica, donde la velocidad que alcanzan los cuerpos es pequeña en comparación con la velocidad de la luz, la masa es constante. Pero en mecánica relativista, donde la velocidad del cuerpo es próxima a la velocidad de la luz, la masa varía. Nuestro estudio está enmarcado en la mecánica clásica; en consecuencia: la masa se considera constante. II. Para que un cuerpo experimente una aceleración, es necesario que sobre él exista una fuerza resultante. Si: FR  0  No existe aceleración (a  0)

FR  0  Existe aceleración (a  0) III. Si la fuerza resultante sobre el cuerpo es constante, su aceleración también lo será; pero, si la fuerza resultante varía, la aceleración también varía. Si: F R  cte  a  cte F R  cte

 a  cte

IV. Si hay dos cuerpos interactuando entre sí por medio de cuerdas o apoyados uno en el otro, de modo que no hay movimiento relativo entre ellos; entonces: la aceleración del sistema es la misma para cada componente del conjunto. Por ejemplo: D.C.L. del bloque "A"  R B

A

a

a

mg El bloque "A" acelera horizontalmente

Sistema inercial de referencia Un sistema inercial es aquel que cumple con las leyes de Newton, lo que significa que un cuerpo sobre el cual no actúan fuerzas esta o bien en reposo (velocidad = 0), o bien en movimiento rectilíneo uniforme (velocidad = constante y aceleración = 0). El movimiento uniforme es movimiento no acelerado, es decir velocidad constante. Un caso particular es cuando la velocidad es cero, decimos que el sistema está en reposo. En cualquiera de estas condiciones el sistema es un sistema inercial. Supongamos que nos encontramos dentro de un avión, se mueve con velocidad constante, (sistema inercial) entonces dentro de éste podemos poner en marcha un sistema mecánico, tal como jugar tenis de mesa, o billar, del mismo modo que lo hacemos en la Tierra. Independientemente de la velocidad que tenga el avión, no hay efecto perceptible sobre los objetos, y estos seguirán sujetos a las leyes de la mecánica. CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC) -209-

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Podemos resumir diciendo que un sistema mecánico es bastante independiente del movimiento uniforme del marco en el que se encuentra. Por lo tanto siempre que un sistema mecánico se halle dentro de un marco que se mueve con velocidad constante (sistema inercial) el comportamiento del sistema mecánico obedecerá las leyes de la mecánica. a

O' O

A

B

Sistemas acelerados O : O’ :

Observador inercial Observador no inercial

Para el observador O el péndulo se encuentran en movimiento, pero para el observador O’ el péndulo se encuentra en reposo.

Con cierta certeza podemos decir que un marco de referencia inercial o sistema inercial, no tiene ningún efecto perceptible sobre los sistemas mecánicos. Galileo y después Newton habían reconocido esta propiedad de los sistemas inerciales. “Las leyes de Newton valen en un sistema con movimiento uniforme”. Newton se preguntaba si en el universo existe algo que fuera completamente estacionario, a partir de lo cual todo movimiento pudiera ser reconocido de forma absoluta. Newton suponía que ningún cuerpo del universo se hallaría realmente en reposo. Este es el principio clásico de relatividad, conocido como relatividad newtoniana. Relatividad newtoniana La Física newtoniana se basa en las leyes de Newton. La más importante es la primera, conocida como ley de inercia. Un marco de referencia inercial dejará de serlo si sobre él actúa una fuerza. Por lo tanto un marco inercial de referencia es un sistema "no acelerado". Dicho de otro modo; un marco inercial se define como aquél en el cual es valida la primera ley de Newton. Un cuerpo en reposo no experimenta aceleración. Por lo tanto las leyes de Newton son válidas en todos los marcos de referencia inerciales. La tierra no es un marco de referencia porque debido a su movimiento de translación alrededor del Sol, y a su movimiento de rotación alrededor de su propio eje, experimenta aceleraciones. La mejor aproximación de un marco inercial de referencia es aquél que se mueve con velocidad constante respecto de las estrellas distantes. No hay un marco de referencia privilegiado. Esto significa que los resultados de un experimento efectuado en un marco inercial serían idénticos a los resultados del mismo experimento efectuado en otro con movimiento relativo. El enunciado formal de este fenómeno se denomina principio de relatividad newtoniana, o Física newtoniana.

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Sistema de Referencia no Inercial Las leyes de Newton presentan limitaciones cuando el análisis del fenómeno físico se realiza desde un S.R.N.I. (sistema acelerado). El criterio de D’Alembert, consiste en agregar una fuerza al D.C.L. del cuerpo, para que las leyes de la mecánica cumplan para dicho observador no inercial. Usualmente denominan a esta fuerza: Fuerza Inercial, y se grafica en dirección opuesta a la que se encuentra el observador no inercial, respecto de otro inercial (el que por comodidad puede ser uno fijo a tierra). El valor de esta fuerza será: F '  ma F ' : Fuerza inercial m : Masa del cuerpo en análisis a : Aceleración del observador respecto de un S.R.I. Vectorialmente: F '  m( a) . Observe, el siguiente ejemplo el bloque no se mueve: N Observador no inercial

m



F '  ma

N 

a



mg 

Fig. 3

Fig. 2

Fig. 1

mg

Fig. 1: Esquema original Fig. 2: Para el observador no inercial, el bloque no se mueve y al hacer el D.C.L. del bloque se nota que las fuerzas no cumplen con el equilibrio. Fig 3: Por el criterio de D’Alembert agregamos al D.C.L. del bloque una fuerza (fuerza inercial), dirigida en sentido contrario al movimiento, para lograr el equilibrio, cuyo valor es: F '  ma Note que el observador y el bloque tienen la misma aceleración “a” con respecto a la Tierra. Ahora es posible construir un triángulo vectorial:

N

 mg

ma

Dinámica Lineal Es la parte de la física que estudia el movimiento en una recta considerando las causas que lo producen. Definiciones:  Masa: Magnitud física escalar que mide la cantidad de materia que posee un cuerpo.  Es una medida de la inercia de los cuerpos (masa inercial).  Está asociado a la fuerza de atracción (gravitacional). CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC)

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 Gravedad: Propiedad universal de los cuerpos que se manifiesta mediante dos fuerzas de atracción entre dos cuerpos cualesquiera del Universo.  Inercia: Propiedad inherente de un cuerpo por medio de la cual trata de mantener su estado de reposo o movimiento uniforme.  Peso (W): Es la fuerza que la Tierra ejerce (Fuerza gravitacional) sobre los cuerpos que le rodean. Su valor es igual a la masa por la aceleración de la gravedad. Unidades: 

Sistema Internacional: La unidad es el Newton (N).



Equivalencia Fuerza 1 N  10 dinas

Masa 1 kg  1000 g

1 N  0,102 kg

1 kg  2,2 lb

1 kg  9, 8 N

1 U.T.M.  9,8 kg

1 g  980 dinas

1 kg  0,102 U.T.M.

1 kg  2, 2 lb

1 lb  454 g

5

Dinámica Circunferencial Es la parte de la mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos, cuya trayectoria es una circunferencia y las causas o efectos que la producen. Consideremos el movimiento de un satélite alrededor de la tierra. V Fg

V Fg

Fg

Tierra

Tierra V

Fg

V

Diagrama de fuerzas

Observe que el satélite describe una trayectoria curvilínea alrededor de la Tierra. Si despreciamos la influencia de los otros planetas, podríamos considerar a la trayectoria como una circunferencia, pero, ¿qué sucede con la velocidad?

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Como en la dirección tangencial no hay fuerzas, la velocidad se mantiene constante en módulo, pero cambia continuamente de dirección, entonces como la velocidad cambia, el satélite experimenta aceleración, la cual debe ser causada por una fuerza resultante no nula. Si analizamos el diagrama de fuerzas, notaremos que la fuerza resultante es la fuerza gravitatoria, la cual en todo instante apunta hacia el centro de la trayectoria que describe el satélite (centro de la Tierra). En general, para que un cuerpo describa un movimiento circunferencial, debe ser afectado por una fuerza resultante no nula dirigida hacia el centro de la circunferencia a la que denominamos “Fuerza centrípeta ( Fc )”, la misma que provoca una aceleración (dirigida hacia el centro de la trayectoria circunferencial) denominada “aceleración centrípeta ( a c )” o normal. De la 2da. Ley de Newton:

FR  ma

Fc  ma c



La aceleración centrípeta mide el cambio de dirección y sentido de la velocidad tangencial a través del tiempo y se calcula así: ac 

2

V R

pero: V  R



a c  2R

Donde: V : rapidez tangencial o lineal (m/s)  : rapidez angular (rad/s) R : radio de la circunferencia (m) 2

mV R Pero cuando existe más de una fuerza radial actuando en el cuerpo, se aplica:

Ahora es posible definir la fuerza centrípeta: Fc 

que Fuerzas que Fc   Fuerzas van al centro   salen del centro

En un movimiento circunferencial, se tiene:

Fcf

mgsen T

Fc

Fuerza Centrípeta y Fuerza Centrífuga

V

 mg cos 

mg

Fuerza centrípeta: Fc  T  mgsen

Fuerza centrípeta Fuerza centrífuga

Fuerza centrífuga: Fcf  Fc CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC)

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PROYECTO INGENIERÍA

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Recomendaciones para adquirir dominio en Dinámica 1. Elabore los diagramas de cuerpo libre de todo el conjunto si fuera posible o por separado para cada bloque. 2. Utilice un sistema de coordenadas de tal modo que el eje “X” sea paralelo al sentido de la aceleración (sentido del movimiento) y un eje “Y” perpendicular al sentido de la aceleración. 3. Descomponga toda fuerza oblicua en componentes rectangulares, en el sentido de los ejes coordenados “X” e “Y”. 4. Asuma signo positivo al sentido del movimiento.  En el sentido del movimiento (eje “X”), utilice la 2da. Ley de Newton:

 F  ma 

En sentido perpendicular al movimiento (eje “Y”), utilice generalmente:

F  0

(Condición de equilibrio)

5. En dinámica circunferencial, lo más importante es definir la fuerza centrípeta, la cual es en realidad una fuerza resultante de todas las fuerzas centrales, (fuerzas que pasan por el centro de curvatura) debido a lo cual no tiene representación en un D.C.L. Por ejemplo cuando atamos una piedra a una cuerda de longitud “R” y la giramos en un plano vertical, tenemos lo siguiente:

piedra cuerda

mgsen R

T

ac mg

at 

mg cos 

Por la 2da. Ley de Newton: Fc  ma c

La fuerza centrípeta es la sumatoria de las fuerzas radiales, luego en el D.C.L. V2 R En todo movimiento circunferencial, se puede notar la presencia de los siguientes elementos:

T  mgsen  ma c 

T  mgsen  m

Aceleración centrípeta, normal o radial ( a c ): es la magnitud vectorial cuyo punto de aplicación es el móvil, su dirección es radial y su sentido hacia el centro de la circunferencia. Fuerza centrípeta ( Fc ): es la fuerza resultante de las fuerzas con dirección radial que actúan sobre un cuerpo en movimiento circunferencial. Dicha fuerza centrípeta es la constante de la aceleración centrípeta y es debido a ella que existe el movimiento circunferencial. Fuerza centrífuga ( Fcf ): es la fuerza ficticia o inercial, que agregada al diagrama de cuerpo libre de un cuerpo en movimiento circunferencial, hace que la resultante de fuerzas actúan en dirección radial sobre dicho cuerpo, sea cero nula. En consecuencia dicha fuerza deberá estar dirigida radialmente hacia fuera del centro de curvatura y tener el mismo valor que la fuerza centrípeta.

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ESTABILIDAD DE UN AUTOMÓVIL

Y N cos 

FN 

Fc

Nsen

mgsen 

O

O





X

mg cos 

mg

El estudio de la polea móvil Existe una gran variedad de problemas en dinámica donde resulta muy útil conocer la aceleración de una polea móvil; para ello examinemos una polea que asciende con a p como indica la figura. ap

aA  ap

aA

A

A

B

aB

B

aB  a p

Fig. (2)

Fig. (1)

Los puntos A y B pertenecen a la misma cuerda, pero desde la Tierra se mueven con aceleraciones a A y a B (como muestra la figura 1).

¿Cómo relacionamos entre sí a las aceleraciones a A y a B con a p ? Para esto trataremos de analizar los puntos A y B de la cuerda, ubicándonos sobre la polea (figura 2). Para el observador la polea no se mueve, el punto A de la cuerda se le acerca con a A/p  a A  a B y para él mismo el punto B de la misma cuerda se le aleja con a B/p  a B  a p . El punto A, para el observador situado en la polea, supongamos que se le acercó 1 m; entonces el punto B, como pertenece a la misma cuerda, se alejará también un metro en el mismo intervalo de tiempo, esto nos lleva a plantear que: acercamiento

a de A

a

alejamiento de B

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PROYECTO INGENIERÍA

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Vectorialmente, para que a A/p() sea igual a a B/p() , hacemos a A/p  ()a B/p . Reemplazando:

a A  a p  (a B  a p ) De esta igualdad deducimos que: ap 

a A  aB 2

Esta es la ecuación para la polea móvil. Ejemplo Ilustrativo 1 Un ladrillo de masa “m” es lanzado horizontalmente sobre una superficie horizontal con una rapidez de 10 m/s. Si el coeficiente de rozamiento cinético es 0,4. Determinar el módulo de la aceleración y 2 el tiempo de movimiento de dicho ladrillo ( g  10 m/s ).

Solución: Graficamos lo que sucede: t

10 m/s

a

V0

B

A

El ladrillo experimenta un movimiento desacelerado debido a las asperezas. Luego, graficando las fuerzas sobre el ladrillo, durante el movimiento tenemos: Como el cuerpo se traslada horizontalmente, las fuerzas verticales se equilibran entre sí: FN  Fg  mg Entonces la “ fk ” es la fuerza resultante sobre el cuerpo y ella causará la aceleración. Fg

a

Usando la segunda ley de Newton: fk  ma

 k FN  ma  k mg  ma

FN

fk

a   k g  a  0, 4(10) a  4 m/s 2

Como la fuerza resultante ( FR  fk ) es constante, la aceleración también lo es, además la trayectoria es una recta, por consiguiente se trata de un MRUV, entonces: En el tramo AB:

Vf  V0  at ; de donde: 0  10  4t 

-216-

t  2, 5 m/s 2

Rpta.

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Ejemplo Ilustrativo 2 Sobre un bloque de 2 kg que se encuentra en reposo en una superficie horizontal, se ejerce una fuerza F también horizontal cuyo módulo depende del tiempo, según: F  (4t  20) N (t en segundos). Determine el módulo de la aceleración del bloque cuando ha transcurrido 5 s de actuar 2 la fuerza. Considere:  k  0,5 , ( g  10 m/s ).

Solución: Ilustrando el suceso: t a

V0

F  4t  20

F

A

Calculemos la aceleración del bloque cuando han trascurrido “t” segundos. Por la 2da. Ley de Newton: Fg  20 N FR  ma a F  4t  20

fk

FN

(4t  20)  fk  ma

4t  20   kFk  ma

4t  20  0,5(20)  2a a  2t  5

La aceleración es variable, depende del tiempo, cuando t  5 s : 2 a  2(5)  5  15 m/s

Ejercicio Ilustrativo 3 En el esquema mostrado el coeficiente de rozamiento entre la superficie horizontal y el bloque “A” es 0,2. Hallar la aceleración del sistema, si se sabe: m A  4 kg , mB  6 kg . Solución: D.C.L. de los bloques “A” y “B” N

f  N

A

T T

B

Rpta.   0, 2

m Ag

B

En el bloque “A”: T  N  m Aa

D.C.L. del bloque “B”: mBg  T  mBa

T  m Ag  m Aa

6(10)  T  6a

T  0, 2(4)(10)  4a

m Bg

A

60  T  6a … (2)

T  8  4a … (1)

Sumando (1) y (2): 2 68  10a  a  6, 8 m/s

Rpta.

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Ejemplo Ilustrativo 4 Una masa puntual de 0,5 kg gira sin fricción sobre una superficie horizontal, describiendo un círculo de radio 0,8 m con un período de 0,4 s. La fuerza que lo mantiene girando en N, es: Solución: La masa describe una circunferencia debido a la fuerza centrípeta. “La fuerza centrípeta modifica la dirección de la velocidad”. Luego: La partícula realiza un M.C.U. donde: 2 2   rad/s Plano T 0, 4 horizontal Por definición de fuerza centrípeta:

R

O

Fc  m2R A

 2 Fc  0, 5   0, 4

m

  0, 8 

2 Fc  10 N

Rpta.

Ejemplo Ilustrativo 5 Una motocicleta de 500 kg se mueve en una pista circular de 5 m de radio en un plano vertical con una rapidez de 10 m/s. Determine la reacción (en N) de la pista sobre la motocicleta en el punto más alto de su trayectoria. ( g  10 m/s 2 ). Solución: “La fuerza centrípeta es la sumatoria de todas las fuerzas centrales” R  Frad  ma c V  10 m/s

mg

ac r5m

V2 R  V2  R  m g R   R  mg  m

 10 2  R  500   10   5 



R

F

Ejemplo Ilustrativo 6 Las masas de los bloques “A” y “B” son 4 kg y 1 kg respectivamente. Sobre la polea se aplica una fuerza F  100 N . Calcular la aceleración (en m/s 2 ) de los bloques A y B respectivamente considerando que la cuerda y polea tienen masa despreciable.

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5000 N Rpta.

A

B

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ACADEMIA ALFA Solución:

La polea tiene peso despreciable, por lo tanto: F  2T

F a

100  2T

T

T

D.C.L. de los bloques “A” y “B” T

T

aB

aA

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A

B m Bg

m Ag



T  50 N

Para el bloque “A” T  m Ag  m Aa A

Para el bloque “B” T  mBg  mBa B

50  4(10)  4a A

50  1(10)  1(a A )

a A  2, 5 m/s

2

40 m/s 2

aB 

Ejemplo Ilustrativo 7 En el péndulo cónico de la figura;   37º y R  0,3 . Hallar la velocidad angular del movimiento de “m”.

Rpta.



( g  10 m/s 2 ). m

Solución:

D.C.L. de la bolita: La bolita realiza un M.C.U. Las dos fuerzas: “T” y “mg” tienen una resultante que será la fuerza centrípeta ( Fc ).



T

Fc apunta hacia el centro de la circunferencia. En el triángulo



Fc

rectángulo sombreado: R

tan 37º 

T 

mg

R

Fc

2

mg

Ejemplo Ilustrativo 08 En la figura, el bloque liso no se mueve respecto a la cuña, la que se traslada con una aceleración constante. 2

¿Qué valor tiene dicha aceleración? (g  10 m/s ) .

Fc ma c 2R   mg mg g

3  (0, 3)  4 10

   5 rad/s

Rpta.

a

F 16º

Solución: Ayudados de un Observador No Inercial (O.N.I.), analizamos el bloque: Note que respecto del O.N.I. es necesario graficar la fuerza inercial ( F1 ) la cual es contraria a la aceleración del sistema ( a cuña  a bloque ). CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC) -219-

PROYECTO INGENIERÍA

Para el O.N.I. sobre el bloque en reposo actúan tres fuerzas con las cuales se puede formar un triángulo vectorial.

Bloque en reposo

(O.N.I.)

Fg m

R 16º

F1

F

F1

a cuña

R 16º

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mg

16º

Se deduce que: F ma cuña tan16º  1  mg mg

a cuña 7  a cuña   10 24

35 2 m/s 12

Rpta.

Ejemplo Ilustrativo 9 Dos bloques A y B, de 3 kg y 5 kg respectivamente están unidos por medio de un resorte ideal que se encuentra estirado. Luego de que los bloques son abandonados en las posiciones mostradas. ¿Cuánto será la aceleración del bloque A para el instante en que B tiene una aceleración de módulo 9 m/s 2 ?

liso

K

A

B

Solución: En el instante de ser soltados, los bloques empiezan a resbalar, pues el resorte estirado trata de recuperar su longitud natural. V0(A)  0

V0(B)  0

A

B

Realizando el diagrama de fuerzas de cada bloque se puede observar que sobre cada bloque la fuerza resultante es la fuerza elástica ( FE ), la

D.C.L. de cada bloque m Ag A

a B  9 m/s 2

aA  ?

FE

FE

m Bg B

RB

RA

cual estará disminuyendo debido a que al acercarse los bloques la deformación del resorte disminuye, la cual ocasionará que los bloques tengan aceleraciones que también estarán disminuyendo y cuyos módulos instantáneos los llamaremos a A y a B respectivamente. Para el instante mostrado en el D.C.L. individual sobre el bloque A planteamos: F F F aA  R  E  E … (1) mA mA 3

Análogamente, sobre el bloque B se calcula FE : aB 

FR F  E mB mB

 FE  mBa B  5(9)  45 N

Reemplazando en (1): a A 

-220-

45 15

2  a A  3 m/s

Rpta.

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Problemas Resueltos 1. Los bloques son jalados por la fuerza “F” a través de una superficie lisa, tal como muestra la figura, hallar la tensión en el cable, si se sabe 2 que: m1  4 kg , m 2  2 kg . Use: g  10 m/s .

m1

m2

a) 30 N d) 15 N

b) 20 N e) 12 N

F  30 N

c) 18 N

a

m1g m1  m 2

a

3m 2 4m 2

 a

0,75 m/s 2

Rpta.

3. En el sistema dinámico mostrado, determinar la masa de “B” si se sabe que los bloques se mueven con una aceleración de 2 4 m/s 2 . m A  12 kg , ( g  10 m/s ).

  0, 25

Solución: Cálculo de la aceleración: F  m total a

A

B

30  (4  2)a 30  6a 

a  5 m/s 2

D.C.L. de m1 N

T  m1a T

m1

T  4(5) T

20 N

Rpta.

m1g

b) 14 kg

d) 14 kg

e) 18 kg

2 Utilice g  10 m/s .

2 b) 1, 0 m/s

m1

2 c) 0, 8 m/s

2

m2

Solución: Cálculo de la aceleración: La fuerza que mueve el sistema es m1g

F  m total a m1g  (m1  m 2)a

T

A

T  m Ag  m Aa … (1)

T

m Ag

B

D.C.L. del bloque “B”: mBg  T  mBa … (2)

2 a) 1, 5 m/s

2 d) 0,75 m/s

c) 13 kg

Solución: D.C.L. del bloque “A”: T  N  m Aa N f  N

2. Hallar la aceleración del sistema, m1  3m 2 .

e) 0, 6 m/s

a) 15 kg

m Bg

Sumando (1) y (2): mBg  m Ag  a(m A  mB )

10mB  0, 25(12)(10)  4(12  mB ) 6mB  48  30

m B  13 kg

Rpta.

4. En el sistema hallar la fuerza de contacto entre los bloques. m1  10 kg , m 2  6 kg . El coeficiente

de

fricción

con

la

superficie

2

horizontal es 0,6, ( g  10 m/s ).

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-221-

PROYECTO INGENIERÍA m1

  0,6

m2

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F  80 N

Solución: D.C.L. del bloque “1”:

T a) 36 N d) 48 N

b) 40 N e) 50 N

Solución: D.C.L. del bloque “1”

N1

Fc

m1 N1

6(10)  T  6(2)

Fc  N1  m1a Fc  m1g  m1a Fc  0,6(10)(10)  10a

D.C.L. del bloque “2”: Y FN

m 2gsen37º

D.C.L. del bloque “2” 80  Fc  N 2  m2a N 2

Fc

m2

N 2

80 N

80  Fc  0,6(6)(10)  6a

80  Fc  36  6a Fc  6a  44

m 2g

… (2)

Sustituyendo (1) en (2):  F  60  Fc  6  c   44  10  10Fc  6Fc  360  440

Fc 

800  Fc  50 N 16

Rpta.

2

aceleración del sistema es 2 m/s ; y además 2 m1  6 kg , m2  4 kg . Utilice g  10 m/s .

a) 0,6

FN En el eje Y: FN  m 2g cos 37º

e) 0,3

-222-

37º

m 2g cos 37º

m 2g

4  FN  32 N 5 En el eje X: T  m2gsen37º FN  m 2a FN  4(10)

32  16    0,5

Rpta.

6. El cochecito de la figura se mueve con 2

aceleración de 7,5 m/s . En su superficie de forma semicilíndrica descansa una esferita. "" . Despreciando toda fricción hallar

g  10 m/s2 . 

b) 0,5 d) 0,4

X

T

3 48  4(10)  (32)  4(2) 5 48  24  32  8

5. En la figura, determinar el coeficiente de rozamiento en el plano inclinado si la

c) 0,45

T  48 N

m1g

Fc  60  10a … (1)

m1g

m1g  T  m1a

c) 45 N

1

a

2 37º

a) 30º d) 53º

b) 37º e) 60º

c) 45º

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Solución: D.C.L. a la esferita La esferita tiene aceleración horizontal, por tanto la fuerza resultante está en esa dirección. 

R a

R

R



 FR

FR

mg

mg

mg

Por la 2da. Ley de Newton:

FR  ma

10 4  7,5 3

0:

4 R 2    100  5 F  x  ma :

R 2  125 N

R1  R 2sen37º  ma  3 R1  125    10(15) 5 R1  75 N

Rpta.

8. En la figura el coeficiente de rozamiento cinético entre los bloques de 2 kg y 3 kg es 0,3. No hay rozamiento en la superficie horizontal y las poleas. Hallar la magnitud de la aceleración con que se desplaza el bloque de 2 kg.

Por trigonometría: mg mg tan   FR ma tan 

 Fy

R 2 cos 37º  100

   53º

Rpta.

2 7. Si el sistema se mueve con a  15 m/s , determinar la acción ejercida por la pared sobre la esfera de peso 100 N. Considere superficies 2 lisas y g  10 m/s . a) 25 N

a

37º

d) 150 N

2 b) 2,3 m/s

c) 8,8 m/s

2kg

2

3 kg

2 d) 5,86 m/s

2 e) 9,2 m/s

b) 50 N c) 125 N

2 a) 7,5 m/s

e) 75 N

10 kg

Solución: Podemos notar que los tres bloques tienen la misma aceleración (para un mismo intervalo de tiempo el desplazamiento es el mismo). Grafiquemos sólo las fuerzas que ayudan o se oponen al movimiento. a

Solución: D.C.L. de la esfera

T

FN T

100 N

3 kg

FN a

a

R1 R 2sen37º 37º

R2

2kg

R 2 cos 37º

10 kg

Luego: 100  FN  FN … (1) a 2  3  10 D.C.L. del bloque de 2 kg:

100 N

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PROYECTO INGENIERÍA  Fy

20 a

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Cálculo de la velocidad (V)  Fradiales  ma c

0

FN  20  0

T1

FN  20 N

fr

N

T  mg cos 60º  m

Del dato:

Reemplazando en (1): 100  2(0, 3)20 a 2  3  10 2 88  a  5, 86 m/s a 15

V2 R

3 1 V2 T  mg   m 2 2 R V 2  gR

Rpta.

V  10(1,6)  V  4 m/s

9. Un extremo de una cuerda de 1,6 m está fijo en el punto O y al otro extremo está atada una esfera de masa “m” la cual se suelta cuando la cuerda está horizontal. Hallar la aceleración

Rpta.

2 tangencial del cuerpo (en m/s ) y su velocidad en (m/s), cuando la cuerda forma 60º con la vertical, sabiendo además que en dicha posición la tensión de la cuerda es los 3/2 del peso de la esfera.

10. Sobre un riel en forma de semicircunferencia que se encuentra en un plano vertical, puede deslizarse una partícula de masa “m”. Hasta qué altura h, subirá la masa cuando el riel gire con una rapidez angular de 5 rad/s. a) 1,6 m  0 b) 1,8 m 2m c) 1,2 m

a) 5 3; 4

d) 2,2 m O

b) 5 3; 2

h

e) 3,2 m

60º

c) 5; 4 3

Solución: D.C.L. de la partícula

d) 5 3; 16 e) 10 3; 4

O

Solución: D.C.L. a la esfera

R R  1,6 m

r

O

60º mg cos 60º 60º

mg

3  at 2

-224-



Nsen

 N cos 

ac

A mg

h

La esferita gira tomando de centro el punto O’. En sentido vertical se sabe que: … (1) Nsen  mg En la dirección radial:  Frad  ma c

mgsen60º

at

En dirección tangencial: mgsen60º  ma t 10 

O'

N

a t  5 3 m/s 2

N cos   m2r Pero: r  R cos  N cos   m2R cos  

N  m2R

… (2)

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Dividiendo (1) y (2): g 10 1 sen  2  2  sen  5  R 5 (2) Graficando un triángulo geométrico, tenemos: Igualando senos: R Rh 1 Rh  sen  R 5  r 4 5R  5h  R  h  R 5 4 h  (2)  1,6 m Rpta. 5 11. En la figura se pide calcular la mínima aceleración de B, para que el bloque A no resbale sobre B, el coeficiente de fricción

12. En la figura se muestra un coche, que por medio de la fuerza F se traslada con una aceleración constante. Si la esfera no se mueve respecto del coche. ¿Qué módulo tiene la aceleración del coche? F 2 a) 14/3 m/s

b) 14/3 m/s

2 c) 14/3 m/s 2 d) 14/3 m/s 2 e) 14/3 m/s

37º

Solución: Analizamos la esfera desde el coche el cual experimenta aceleración (O.N.I.). a

2

estático es 0,2 (Considere g  10 m/s ). a) 42 m/s b) 45 m/s F A B c) 48 m/s d) 50 m/s e) 54 m/s

16º

2

T

F1

N

m Ag

El bloque está en equilibrio:  Fy  0 : N  m Ag … (1)

 Fx

 0:

N  m Aa

… (2)

Sustituyendo (2) en (1):

m Aa  m Ag a

 a

g 

2 10  a  50 m/s 0, 2

37º

F

16º

T mg

37º

Solución: La mínima aceleración de B será cuando A está a punto de resbalar respecto de B. La fuerza de rozamiento es: f  N . Suponiendo un Observador no inercial en B y hacemos el D.C.L. al bloque A. m Aa N

16º

mg

37º F 1 37º

Observe que al realizar el D.C.L. de la esfera, el O.N.I. debe agregar la fuerza inercial de módulo F1  ma , que es opuesta a la aceleración del coche (sistema). Para el observador no inercial (ubicado en el coche) la esfera siempre forma con la vertical un ángulo de 16º, la esfera se encuentra en reposo. En el triángulo vectorial, por ley de senos: ma mg  sen16º sen37º 7 14 2 25 m/s a  10  a  Rpta. 3 3 5

Rpta.

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Isaac Newton Nació el 25 de diciembre de 1642 (correspondiente al 4 de enero de 1643 del nuevo calendario) en Woolsthorpe, Lincolnshire, Inglaterra; fue hijo de dos campesinos puritanos, aunque nunca llegó a conocer a su padre, pues había muerto en octubre de 1642. Cuando su madre volvió a casarse, lo dejó a cargo de su abuela, con quien vivió hasta la muerte de su padrastro en 1653. Realizó estudios en la Free Grammar School en Grantham y a los dieciocho años ingresó en la Universidad de Cambridge para continuar sus estudios. Su primer tutor oficial fue Benjamín Pulleyn. Newton nunca asistió regularmente a sus clases, ya que su principal interés era la biblioteca. Newton se graduó en el Trinity College como un estudiante mediocre debido a su formación principalmente autodidacta, leyendo algunos de los libros más importantes de matemáticas y filosofía natural de la época. En 1663 Newton leyó la Clavis mathematicae de William Oughtred, la Geometria de Descartes, de Frans van Schooten, la Óptica de Kepler, la Opera mathematica de Viète, editadas por Van Schooten y, en 1644, la Aritmética de Wallis, que le serviría como introducción a sus investigaciones sobre las series infinitas, el teorema del binomio y ciertas cuadraturas. En 1663 conoció a Isaac Barrow, quien le dio clase como primer profesor Lucasiano de matemáticas. En la misma época entró en contacto con los trabajos de Galileo, Fermat, Christiaan Huygens y otros a partir, probablemente, de la edición de 1659 de la Geometría de Descartes por Van Schooten. Newton superó rápidamente a Isaac Barrow quien solicitaba su ayuda frecuentemente en problemas matemáticos. En esta época la geometría y la óptica ya jugaban un papel escencial en la vida de Newton. Fue en este momento en que la fama de Newton comenzó a crecer ya que inició una correspondencia con la Royal Society (Sociedad Real). Newton les envió algunos de sus descubrimientos y un telescopio que suscitó un gran interés por parte de los miembros de la Sociedad, aunque también las críticas de algunos de sus miembros, principalmente Robert Hooke. Esto fue el comienzo de una de la muchas disputas que tuvo Newton en su carrera científica. Se considera que Newton demostró una importante agresividad ante sus contrincantes, que fueron principalmente, (pero no únicamente) Robert Hooke, Gottfried Leibniz y, a un nivel religioso, la Iglesia de Roma. Cuando fue presidente de la Royal Society, fue descrito como un dictador cruel, vengativo y busca-pleitos. Sin embargo, fue una carta de Robert Hooke en la que éste comentaba sus ideas intuitivas acerca de la gravedad la que hizo que Newton iniciara de lleno sus estudios sobre la mecánica y la gravedad. Newton resolvió el problema con el que Hooke no había podido y sus resultado los escribió en lo que muchos científicos creen que es el libro más importante de la historia de la ciencia, el Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. En 1693 sufrió una gran crisis psicológica, causante de largos periodos en los que permaneció aislado, durante los que se sabe que no comía ni dormía. En esta época sufrió depresión y arranques de paranoia. Mantuvo correspondencia con su amigo el filósofo John Locke, en la que, además de contarle su mal estado, lo acusó en varias ocasiones de cosas que nunca hizo. Algunos historiadores creen que la crisis fue causada por la ruptura de su relación con su discípulo Nicolás Fatio de Duillier; la mayoría, sin embargo, cree que en esta época Newton se había envenenado al hacer sus experimentos alquímicos. Después de escribir los Principia abandonó Cambridge mudándose a Londres donde ocupó diferentes puestos públicos de prestigio siendo nombrado Preboste del Rey, magistrado de Charterhouse y director de la Casa de Moneda.

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Problemas Propuestos 1. A una placa de masa 5 kg se le aplica una fuerza F  80 N . Si el cuerpo está en el aire, 2 ¿Con qué aceleración se moverá?. ( g  10 m/s )

a) 6 m/s 2 c) 5 m/s

2

F

b) 4 m/s 2

5. El bloque de 2,5 kg inicia su movimiento al ejercerle una fuerza constante F  12 N y paralela al plano inclinado. ¿Qué rapidez presentará dicho bloque al pasar por B?

d AB  9m . ( g  10 m/s ).

Liso

B

2

V

d) 3 m/s 2 e) 8 m/s 2

16º

A

2. Si el sistema es soltado en la posición mostrada, determine el módulo de la aceleración que experimenta el bloque B.

m A  8 kg ; mB  2 kg ; g  10 m/s a) 4 m/s

2

b) 2,5 m/s c) 3 m/s

2

d) 1 m/s

2

e) 2 m/s

2

F

0

2

A

Liso

a) 3,2 m/s d) 4 m/s

b) 3 m/s e) 2 m/s

c) 6 m/s

6. La esfera de 1 kg solamente logra sumergirse 9 m en el estanque mostrado, determine el módulo de la fuerza de resistencia 2

2

constante de parte del agua. ( g  10 m/s ). a) 36 N V  18 m/s

B

b) 28 N H 2O

c) 18 N d) 32 N

3. El bloque es abandonado en “A” y pasa por “B” luego de 3 s, considerando las superficies

7. La pequeña esfera de 1 kg es soltada en la posición mostrada. Si al pasar por la posición “A”, el dinamómetro indica 25 N y al pasar por “B” indica 15 N, determine el módulo de la aceleración centrípeta en dichas posiciones.

2

lisas, determine “d” ( g  10 m/s ). a) 12 m b) 27 m

A

c) 18 m

d

d) 24 m e) 9 m

B

e) 24 N

2

( g  10 m/s ).

37º

dinamómetro g

4. Un ladrillo es lanzado con 12 m/s sobre una pista horizontal (c  0, 3) ; determine el recorrido

que

logra

hasta

detenerse

2

( g  10 m/s ). a) 21 m d) 2 m

37º

B

b) 27 m e) 18 m

c) 24 m

2 2 a) 15 m/s ; 7 m/s

A 2 2 b) 12 m/s ; 7 m/s

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2 2 d) 5 m/s ; 4 m/s

2 2 c) 15 m/s ; 8 m/s

11. El

ascensor

desciende

acelerando

2

uniformemente con a  2 m/s ; ¿cuánto es la

2 2 e) 5 m/s ; 8 m/s

2

8. La esfera de 2 kg es lanzada tal como se muestra, si al pasar por “M” experimenta una rapidez de 8 m/s. Determine el módulo de la fuerza de reacción de la superficie lisa, sobre la 2

esfera ( g  10 m/s ). a) 64 N R  2m b) 72 N

tensión en la cuerda? ( g  10 m/s ). a) 36 N b) 40 N c) 24 N d) 32 N

4 kg

e) 30 N

37º

2

c) 76 N

M

d) 96 N

12. La camioneta acelera con 7,5 m/s y el bloque de 4 kg no desliza; determine la fuerza que ejerce la plataforma sobre el bloque. 2

e) 84 N 9. El sistema formado por una varilla lisa, un resorte de rigidez K  150 N/m , de longitud natural 0,5 m y un collarín de 1 kg, se encuentra rotando con rapidez angular constante   5 rad/s . Determine la deformación que experimenta el resorte. a) 0,3 m b) 0,15 m c) 0,2 m



( g  10 m/s ). a) 30 N b) 50 N c) 70 N d) 60 N e) 72 N

a

13. El bloque de 5 kg se lanza cuando el resorte de rigidez K  100 N/m no está deformado; determine el módulo de la aceleración del bloque cuando el resorte se ha comprimido 40 cm 2

( g  10 m/s ).

d) 0,1 m e) 0,12 m 10. Mediante un hilo de 0,5 m de longitud y una esfera pequeña, se construye el péndulo mostrado. ¿Cuál es la rapidez angular que experimenta la esfera en la situación mostrada?

2

a) 8 m/s

2

b) 6 m/s

d) 9 m/s

2

e) 7,5 m/s

c) 4 m/s

2

2

2

( g  10 m/s ). a) 4,5 rad/s b) 1,5 rad/s c) 2,5 rad/s d) 4 rad/s e) 5 rad/s

-228-

g 37º

14. Sobre un cuerpo “A” actúa una fuerza 2 produciendo una aceleración de 4 m/s . La misma fuerza actúa sobre un cuerpo B 2 produciendo una aceleración de 6 m/s . ¿Qué 2 aceleración en m/s se producirá si la misma fuerza actúa sobre los dos cuerpos unidos? a) 2,4 b) 1,2 c) 2,8 d) 1,5 e) 2,1

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15. Un ladrillo de 4 kg impacta en el piso con una rapidez V  5 m/s . Determine el módulo de la reacción de la superficie en el punto “B”.



Desprecie el rozamiento g  10 m/s A

2

.

2m

a) 64 N

18. Dos bloques idénticos de 2 kg cada uno se encuentra girando con una rapidez angular constante de 2 rad/s y unidos por una cuerda “1”. Determine el módulo de la fuerza de tensión en la cuerda “1”. a) 5 N 

b) 10 N

1

c) 8 N

2m

b) 84 N

d) 9 N

c) 72 N

0,5 m

e) 6 N

B

0,5 m

d) 60 N e) 81 N d

C

37º

V

19. Un patinador pasa por una superficie convexa, ¿con qué rapidez máxima “V” pasa por el punto “P” tal que logre el recorrido 2

indicado. ( g  10 m/s ).

16. El sistema mostrado está en reposo; de pronto en “P” suspendemos la esfera de 2 kg y P

2

el sistema acelera con 2,5 m/s ; ¿cuál es la

R  10m

2

masa del bloque A? ( g  10 m/s ). a) 2 kg

a) 6 m/s d) 10 m/s

b) 3 kg c) 4 kg d) 1,5 kg

A

e) 3,6 kg

B

2

K  100 N/m . ( g  10 m/s ). a) 20 cm

17. La esfera mostrada no se mueve respecto al coche, ¿cuánto es la aceleración del coche? ( g  10 m/s ). a) 12 m/s b) 9 m/s

3L

2

g

2

c) 15 m/s

2

d) 18 m/s

2

e) 7,5 m/s

2

b) 10 cm c) 15 cm

60º

d) 16 cm



2L

c) 5 m/s

20. Un objeto pequeño de 0,5 kg gira con una rapidez angular constante “  ”. Determine la deformación del resorte cuya rigidez es

P

2

b) 4 m/s e) 8 m/s

a

e) 12 cm 21. Una esfera de 1 kg pasa por el punto más bajo con una rapidez de 4 m/s, en ese instante. Determine el módulo de la reacción del piso 2

sobre la caja de 10 kg. ( g  10 m/s ).

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a) 100 N

25. Un pintor con una masa de 72 kg trabaja en una plataforma colgante. Desea elevarse; para lo cual comienza a tirar de la cuerda con una fuerza que su presión sobre la plataforma disminuye hasta 400 N. La masa de la plataforma es de 12 kg. ¿Qué aceleración tendrán el pintor y la plataforma?

b) 90 N 0,5 m

c) 136 N d) 142 N e) 130 N

2 a) 3, 2 m/s

22. La esfera unida de la varilla de masa despreciable, gira en un plano vertical con rapidez angular constante; si la diferencia entre la tracción máxima y mínima es 5 N. Determine 2

la masa de la esfera ( g  10 m/s ). a) 0,18 kg

2 e) 2, 5 m/s



d) 0,3 kg e) 0,4 kg 23. Un hombre sobre la superficie de la tierra puede levantarse como máximo una masa de 80 kg se tiene un ascensor que baja con 2 aceleración constante de 9 m/s . ¿Puede una persona dentro del ascensor levantar una masa de 700 kg sin ser aplastada? a) No puede b) Si puede c) Faltan datos d) Absurdo e) No se puede afirmar nada

24. Un hombre está parado sobre una balanza de resorte en el piso de un ascensor. Cuando el ascensor está en reposo, la balanza marca 60 kg . Cuando el ascensor se mueve, la balanza

marca

90 kg . El ascensor tiene 2

aceleración de: (g  10 m / s ) . 2 a) 6 m/s

2 b) 5 m/s

2

2

d) 3 m/s

-230-

e) 2 m/s

2 c) 3, 3 m/s

2 d) 5 m/s

b) 0,2 kg c) 0,25 kg

2 b) 4, 2 m/s

2 c) 4 m/s

26. Un hombre está parado sobre una balanza de resorte en el piso de un ascensor. Cuando el ascensor está en reposo, la balanza marca 80 kg , cuando el ascensor se mueve, la balanza marca 50 kg . El ascensor tiene: a) aceleración variable b) aceleración nula c) aceleración centrípeta d) M.R.U. e) aceleración constante hacia abajo 27. Sobre un cuerpo de masa 3M actúa una fuerza F1 produciendo una aceleración de 2 m/s 2 . La fuerza F2 actuando sobre la masa 2 2M produce una aceleración de 4 m/s . ¿Qué aceleración producirá F1 y F2 actuando perpendicularmente sobre la masa 5M?

a) 2 m / s 2 b) 3 m/s 2

5M

F1

c) 5 m/s 2 d) 4 m/s 2 e) 1,5 m/s 2

F2

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28. Sabiendo que no existe rozamiento, determinar la aceleración de los bloques. 2 A  3 kg , B  1 kg y C  1 kg (g  10 m/s ) .

a) 12 m/s

2

b) 4 m/s 2 c) 5 m/s

30º

C A

29. En el sistema, determinar la aceleración del bloque A. No hay rozamiento. A  B  1 kg , (g  10 m/s 2) . La polea móvil tiene masa despreciable.

a) 5 m/s 2

A

b) 2 m/s 2 c) 3 m/s 2 d) 6 m/s 2 e) 4 m/s

B

2

30. En el sistema físico mostrado determinar la aceleración del bloque A. No hay rozamiento A  B  1 kg . La polea móvil tiene 2 masa despreciable. (g  10 m / s )

a) 1 m/s 2 b) 2 m/s 2

A

e) 4 m/s

(1)



(2)

32. Un automóvil de masa 1000 kg circula con una rapidez de 10 m/s por un puente que tiene la forma de un arco circular vertical de radio 50 m. Entonces, el valor de la fuerza de reacción del puente sobre el automóvil en el punto más 2 alto de la trayectoria (g  10 m/s ) . a) 6 kN b) 12 kN c) 8 kN d) 9 kN e) 10 kN

33. Un automóvil se desplaza sobre un puente que tiene la forma de un arco circular vertical de radio 64 m. Entonces, el valor de la fuerza de reacción del puente sobre el automóvil es el 60% del peso del auto, cuando pasa por el límite superior del puente. Hallar la velocidad. (g  10 m/s 2 ) . a) 24 m/s d) 16 m/s

b) 25 m/s e) 10 m/s

c) 12 m/s

34. La figura muestra un pequeño bloque de masa “m” sobre un disco a una distancia R  1 m del eje de rotación. Si el coeficiente de rozamiento estático entre bloque y disco es 0,2. Determinar la máxima velocidad angular del disco, tal que, el bloque permanezca en reposo 2

c) 3 m/s 2 d) 5 m/s 2

c) 2 rad/s e) 1 rad/s

2 d) 2 m/s

2 e) 6 m/s

b) 3 rad/s d) 5 rad/s

B

2

a) 4 rad/s

B

2

31. Determinar la velocidad angular con la que gira el sistema, sabiendo que la tensión en las cuerdas (1) y (2) son iguales. La cuerda (2)

relativo sin resbalar ( g  10 m/s ). a) 1,8 m/s b) 1,4 m/s c) 2,4 m/s

R

d) 4,2 m/s e) 1,9 m/s

2 mide 0,4 m (g  10 m / s ) .

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35. Un automóvil se desplaza por una carretera curvilínea de radio de curvatura R  180 m , sabiendo que el coeficiente de rozamiento estático entre las llantas y la pista horizontal es 0,5. Hallar la máxima velocidad del automóvil, tal que el auto no resbale. La pista se encuentra 2 en un plano horizontal (g  10 m / s ) . a) 20 m/s b) 12 m/s c) 15 m/s d) 45 m/s e) 30 m/s

36. Un cuerpo es girado en un plano vertical mediante una cuerda de 0,9 m de longitud. ¿Cuál es la mínima velocidad en m/s a la que podrá pasar por la parte más alta? a) 3 b) 5 c) 6 d) 4 e) 10 37. Una piedra es atada a una cuerda y gira uniformemente en un plano vertical. Hallar la masa de la piedra en kg, sabiendo que la diferencia entre la tensión máxima y mínima de la cuerda es igual a 9,8 N. a) 0,5 b) 1,2 c) 1 d) 0,8 e) 1,6 38. Un péndulo cónico de masa “m” gira en un plano horizontal. Si la altura del cono es 0,2 m. Determinar la velocidad angular de la partícula

40. Un cuerpo de masa m  2 kg es suspendida de un hilo vertical y se pone en movimiento oscilatorio alrededor de la vertical. Cuando la inclinación del hilo con la vertical es 60º, la tensión en la cuerda es 50 N. Hallar la 2 fuerza centrípeta en ese punto. (g  10 m / s ) . a) 50 N b) 60 N c) 25 N d) 40 N e) 45 N

41. En un péndulo cónico de altura H, su periodo es 0,8 segundos. Si se duplica su velocidad angular su nueva altura es: ( g  10 N/kg ). a) H/3 

b) H/2

H

c) H/5 d) H/4 e) H/6

42. El cono de la figura es liso y gira alrededor de un eje vertical con velocidad angular constante de 5 rad/s. La masa del bloque es 1 kg sabiendo que el coeficiente de elasticidad es K  370 N/m , determinar cuánto se estira o 2 se comprime el resorte. (g  10 m / s ;   37º )

2

( g  9, 8 m/s ). a) 4 rad/s





b) 7 rad/s



c) 8 rad/s

5m

d) 5 rad/s e) 4 rad/s 39. Un automóvil ingresa en una curva de 30 m de radio y 37° de ángulo de peralte. Determinar la velocidad del auto, en m/s, tal que la fuerza de rozamiento sobre las llantas sea igual a 0,3 2 ( g  10 m/s ). a) 10 d) 30

-232-

b) 20 e) 50

a) Se comprime 2 cm b) Se comprime 4 cm c) Se estira 4 cm d) Se comprime 10 cm e) Se estira 10 cm

c) 15 CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS ---  FONO: 630439

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1

2 

Objetivos:  Entender adecuadamente los conceptos de interacción fuerza y momento de fuerza.  Dar a conocer las diversas interacciones que se dan en la naturaleza y algunas de las fuerzas más importantes sobre todo aquellas que se presentan en la mecánica.  Deducir lo que es el estado de equilibrio mecánico.  Establecer las condiciones que se deben cumplir para que un cuerpo o un conjunto de cuerpos (sistemas) se encuentren en estado de equilibrio mecánico.  Conocer lo que viene a ser centro de gravedad (C.G.) y sus aplicaciones para resolver problemas concretos de equilibrio mecánico.  Construir un diagrama de cuerpo libre que representa todas las fuerzas que actúan en un objeto en equilibrio. Introducción En la práctica concreta, el conocimiento de la estática es de suma importancia, esto se hace notorio en algunos ejemplos en la construcción de casas, edificios, puentes, etc. así mismo en el diseño de ciertos aparatos como palancas, balanzas, dinamómetros, etc. Aunque empírico al inicio el conocimiento de la estática le ha permitido al ser humano desde ya hace mucho tiempo atrás, lograr un desarrollo importante en lo que a construcciones y edificaciones se refiere. El legado que antiguas civilizaciones nos muestran como los egipcios con sus pirámides, los incas y sus fortalezas son la mejor prueba de que la estática ha sido y seguirá siendo de gran utilidad e importancia para el hombre. Estas estructuras reflejan que nuestros antepasados tenían conocimientos empíricos sobre el equilibrio y la estabilidad de cuerpos, prueba de ello tenemos las colosales construcciones realizadas en esa época, tales como Sacsayhuamán, Ollantaytambo, Tambomachay, etc. CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC) -233-

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DEFINICIÓN DE ESTÁTICA Es una rama de la mecánica, cuyo objetivo es el estudio de las condiciones que debe cumplir un conjunto de fuerzas que actúan sobre un cuerpo o un sistema rígido para que este se encuentre en equilibrio mecánico. Equilibrio Mecánico Un cuerpo se halla en equilibrio cuando se halla en reposo (equilibrio estático); o en movimiento rectilíneo uniforme (equilibrio cinético). Equilibrio estático

Equilibrio cinético

Polea

V  0; a  0;   cte

V  cte; a  0;   0

V  0; a  0



FUERZA Magnitud física vectorial bastante utilizada en la estática y dinámica que viene a ser el resultado de la interacción (la acción mutua de dos cuerpos) de dos o más cuerpos. Una fuerza tiende a desplazar un cuerpo en la dirección de su acción sobre dicho cuerpo.  

También es todo agente capaz de modificar el estado de movimiento o reposo de un cuerpo. La acción de una fuerza sobre un cuerpo produce deformaciones sobre él.

Unidades (S.I.) Newton (N) 

La fuerza se representa por medio de un segmento dirigido (vector) línea de acción

F  : medida o módulo de F F

 : dirección de la fuerza

De acuerdo a su origen las fuerzas se caracterizan en: Fuerzas débiles Fuerzas gravitacionales Fuerzas mecánicas Fuerzas electromagnéticas Fuerzas nucleares

-234-

F



Se lee fuerza "F "

x

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FUERZAS MÁS USUALES EN MECÁNICA TENSIÓN O TRACCIÓN Son aquellas fuerzas que aparecen en el interior de los cuerpos (cables, sogas, hilos, cadenas, vigas o barras).  Para graficar esta fuerza se debe hacer un corte imaginario sobre el cuerpo.  La tensión se caracteriza por apuntar al punto de corte. D.C.L.

Barra sometida a Tracción

T

T

COMPRESIÓN.- Es aquella fuerza interna que se manifiesta en los cuerpos cuando son comprimidos o aplastados por fuerzas externas  Para graficar esta fuerza se debe efectuar un corte imaginario sobre el cuerpo.  La compresión se caracteriza por alejarse del punto de corte. D.C.L.

C

Barra sometida a Compresión

C

FUERZA ELÁSTICA ( F e ).- Es aquella fuerza externa que se manifiesta en los cuerpos elásticos, cuando son estirados o comprimidos por fuerzas externas. Esta fuerza se opone a las fuerzas externas y trata que el cuerpo elástico recupere su longitud original. La fuerza elástica es directamente proporcional a la deformación longitudinal. LEY DE HOOKE

Resorte sin deformar

Fe Resorte sin deformar

F

Fe

Fe

K

x0

F

Fe

x

F M

V0

K=Constante de elasticidad o rigidez : x  Elongación o estiramiento:m ó cm

N N ó m cm

Fe

F

Fe  Kx

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FUERZA NORMAL ( F N ).- Es una fuerza externa que se encuentra en el contacto de 2 cuerpos o superficies, surge debido a la presión que un cuerpo ejerce sobre otro. 

La fuerza normal siempre es perpendicular a la superficie donde se apoya un cuerpo. Bloque Bloque

FN FN Piso

FUERZAS DISTRIBUIDAS De manera ideal las cargas sobre un cuerpo se suponen puntuales, pero en realidad se aplican sobre una superficie o una línea. A partir de esto se definen nuevos conceptos denominados densidad lineal y densidad superficial, dependiendo sobre que actúan las fuerzas. La finalidad es la reducción de un sistema distribuido de fuerzas a una sola fuerza puntual, la cual es aplicada en el centro de gravedad de la figura geométrica que forman las líneas de fuerza. Transformación de fuerzas distribuidas a sistemas equivalentes Distribución

Representación

Equivalente R

q

Rectangular

L 2

L q

q

Triangular

R

L 3

L

q1

q1

q2

Trapezoidal L

-236-

R  qL

R

L 3

R1 L 2

1 qL 2

q2 R2 R  R1  R 2

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LEYES DE NEWTON: Las leyes de newton constituyen verdaderos pilares de la mecánica, fueron enunciadas en la famosa obra de Newton “Principios matemáticos de la filosofía natural” publicada en 1686 y de ellas son conocidas como la 1ra. 2da. y 3ra. Ley de Newton, de acuerdo al orden que aparecen en la obra citada en este capítulo estudiaremos la primera y la tercera ley que nos permiten analizar el equilibrio del cuerpo dentro del estudio de la estática; la segunda ley será estudiada en el capítulo de dinámica.

1era LEY DE NEWTON (LEY DE INERCIA) Todo cuerpo trata de mantener su estado de reposo o movimiento rectilíneo a no ser que un agente exterior le obligue a cambiar su estado de reposo. 3era LEY DE NEWTON (LEY DE ACCIÓN Y REACCIÓN) Cuando dos cuerpos "A" y "B" interactúan, a la ACCIÓN de "A" se opone una REACCIÓN de "B" en la misma dirección, con la misma intensidad pero de sentido opuesto. CONDICIONES DE EQUILIBRIO PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO MECÁNICO (para una partícula) Un cuerpo se encuentra en equilibrio cuando la fuerza resultante que actúa sobre él, es igual a cero; para esto las fuerzas componentes deben ser necesariamente coplanares y concurrentes, esto implica que en cada eje, la sumatoria de fuerzas también debe ser cero. Condición Algebraica

F4

R  F1  F 2  F 3  F 4  R X  0 R  0  R Y  0  R Z  0 F  0

F1

F3

Método Práctico

En el eje X:

 F()   F()

En el eje Y:

 F()   F()

F2

CONDICIONES GRAFICAS.- Se sabe que si la resultante de un sistema de vectores forma un polígono cerrado entonces la resultante es cero. F1 F4

F2 F3

F1  F 2  F 3  F 4  0

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TEOREMA DE LAMY.- Si un sólido se encuentra en equilibrio bajo la acción de tres fuerzas coplanares y concurrentes en un plano el valor de cada una de estas fuerzas es directamente proporcional al seno del ángulo que se le opone. F1





      360

F2



F1 F F  2  3 sen sen sen

F3 F

MOMENTO DE UNA FUERZA O TORQUE ( M 0 ).- Siempre que abres una puerta o un grifo o que ajustes una tuerca con una llave, ejercerás una fuerza de giro que produzca un torque. El torque no es lo mismo que la fuerza, si quieres que un objeto se desplace le aplicaras una fuerza, la fuerza tiende a acelerar los objetos. Si quieres que un objeto gire o de vueltas le aplicaras un torque, los torques producen giros alrededor de un punto o eje de rotación. El momento o torque de una fuerza es una magnitud vectorial. Cabeza hexagonal de un perno

¡Observe!

F  10 N

Al observar los ejemplos gráficos y notamos que el momento de una fuerza (capacidad de producir giro) depende del valor de la fuerza aplicada y la distancia al centro o eje de giro, luego: Punto de giro

5 cm

F  10 N

¡El perno no gira!

10 cm F  10 N ¡El perno gira lentamente!

10 cm

¡El perno gira!

10 cm F  30 N ¡El perno gira rápidamente!

Si se expresa en forma matemática este fenómeno, podemos representar el momento de fuerza mediante un esquema que nos ayudará a comprender mejor su significado.

M  rxF Línea de acción de F

O Eje de giro

-238-

r d



P

F

La distancia del punto “O” a la línea de acción de “F” es:

d  rsen El módulo del Momento de la fuerza “F” con respecto al punto “O” será: M0  Frsen

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Nota: Un mismo momento de fuerza puede ser causado por una fuerza de módulo pequeño, cuyo brazo es grande y por una fuerza de módulo grande cuyo brazo es pequeño.

Qué fácil

Qué dificil

F

F

¡El brazo de palanca es más largo!

¡El brazo de palanca es más corto!

Nota curiosa: El hombre ya tenia conocimientos de las propiedades de la palanca y fue Arquímedes, uno de los sabios de la Grecia antigua, quien enunció la ley del equilibrio de la palanca, tal como hoy se conoce y a él se le atribuye la curiosa frase universal: “Dadme un punto de apoyo y moveré la tierra” según describe Pierre Varignon en su famosa obra “Proyecto de una Nueva Mecánica”. CONVENCIÓN DE SIGNOS Momento Positivo

Momento Negativo

O d

O d

Antihorario



F

Horario



M0F  ()

F

M0F  ()

SEGUNDA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO.– Para que un cuerpo mantenga su estado de equilibrio, no debe rotar por lo tanto, el momento resultante que actúa sobre el debe ser cero, respecto a cualquier punto (centro de giro). EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO Cuando un grupo de fuerzas externas, están actuando sobre un cuerpo rígido, es necesario considerar: 1ra. condición: 2da. condición:

 F i  0 : es decir:  Fx  0

;

 Fy  0

;

 Fz  0

 M0 = 0

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MOMENTO RESULTANTE.- Si sobre un cuerpo actúan varias fuerzas externas entonces el momento resultante será igual a la suma algebraica de los vectores del momento, generado por cada fuerza externa. TEOREMA DE VARIGNON.- El momento resultante de un grupo de fuerzas respecto de un punto arbitrario es siempre igual a la suma algebraica de los momentos de las fuerzas componentes respecto del mismo punto. F4

F3

FR =F1 +F2 +F3 +F4 F1

r3 O r2

“El momento de la resultante es igual a la suma de los momentos de cada una de las fuerzas componentes”

r4 r1

MR   Mi r×F R = r1 ×F1 + r 2 ×F 2 + r 3 ×F 3 + r 4 ×F 4

F2

Diversas reacciones en sistemas estáticos Denominación

Detalle

Diagrama

Apoyo de rodillo Ry

Ax

Apoyo simple o pasador

Ay

Rugoso

Ax

A

Ay

Superficie lisa y rugosa Liso B

-240-

By

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N Plano inclinado liso

mg cos   mg

mgsen 

Fc : Fuerza de contacto

Fc

Fc

Bx

Cuña

Ax Wc

Wb

FUERZAS DE ROZAMIENTO: Un cuerpo sometido a fuerzas externas se mantiene en equilibrio o se mueve dependiendo de la intensidad de dichas fuerzas, pero se podrá notar la existencia de otras fuerzas que impiden el movimiento libre de dicho cuerpo, debido generalmente al contacto entre el cuerpo y la superficie sobre la cual se apoya, a dichas fuerzas internas se denominan fuerzas de fricción o rozamiento. Más adelante en el capítulo de Energía se enfocará este fenómeno como un disipador de energía, puesto que el rozamiento produce calor y dicho calor representa la energía disipada por un cuerpo. Las fuerzas de rozamiento se presentan en la superficie de contacto de los cuerpos en movimiento relativo, la característica más resaltante es que siempre se oponen al movimiento. Las fuerzas de rozamiento se clasifican en convenientes y nocivas. CONVENIENTES:  Nos permite caminar, montar bicicleta, conducir autos o recoger objetos.  Se aplica en la maquinaria como los frenos y las correas de transmisión. NOCIVAS:  Se producen en las maquinarias, y originan, pérdida de energía y desgaste de las superficies en contacto que se deslizan una sobre otra.

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CLASIFICACIÓN:    En sólidos    En fluidos  En gases o líquidos

 - Cinético Por deslizamiento  - Estático Cuando un cuerpo se  desliza sobre otro. Por rodadura Cuando un cuerpo rueda sobre otro Viscosidad

ROZAMIENTO POR DESLIZAMIENTO: Llamado rozamiento seco o rozamiento de “Coulomb” describe la componente tangencial de la fuerza de contacto que existe cuando dos superficies secas se deslizan o tienden a deslizarse una respecto a la otra. Rugosidad

F

Bloque

fR Suelo

mg



R

Bloque

Suelo

N

R  fR  N

R

fR 2  N 2

Análisis de las superficies de contacto y la rugosidad Bloque

R n Suelo

Rozamiento por contacto

Rozamiento por deslizamiento

V

R 3 R 2 R1

COEFICIENTE DE ROZAMIENTO (): Es una magnitud adimensional definida como la tangente trigonométrica del ángulo máximo de rozamiento. CLASES DE ROZAMIENTO POR DESLIZAMIENTO:  Rozamiento estático ( f e ): Es aquella fuerza que se opone al posible movimiento relativo del cuerpo respecto a la superficie de contacto. Su módulo es variable desde cero hasta un valor

-242-

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máximo, justo cuando el cuerpo se encuentra en movimiento inminente; es decir, está a punto de deslizarse.

mg

mg

mg

F'

F ''

fe

N

N

Reposo fe  0

No hay movimiento F '  fe

fe

N Movimiento inminente F ''  f e máx  eN

F” viene a ser la mínima fuerza que se requiere para que el cuerpo inicie su movimiento. fe   eN 0  fc  fe   eN  Rozamiento cinético o dinámico ( f c ): Es aquella fuerza de rozamiento que se opone al movimiento relativo del cuerpo respecto a la superficie en contacto. Para movimientos lentos y uniformes su módulo se considera constante.

mg

V mov.

fc  c N

F

fR

N Determinación experimental del coeficiente de rozamiento estático (  e ) En equilibrio:  fe máx  mgsen   N  mgcos f  e máx   e N

N x

fe má

mgsen



mgcos

mg



Igualando fuerzas en el eje Y:

mgsen  emg cos 

 e  tan 

Grafica de la fuerza de rozamiento vs. la fuerza externa Fuerza de Rozamiento fe

fc

o ti c tá Es

2 1 45

1

2

F(exterior)

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LEYES DEL ROZAMIENTO POR DESLIZAMIENTO: Los coeficientes de rozamiento dependen de la naturaleza de la sustancias en contacto. 1. Los coeficientes de rozamiento también dependen del grado de pulimentación de las superficies. 2. Las fuerzas de rozamiento son independientes de las áreas de la superficie en contacto. 3. La fuerza de fricción es independiente de las velocidades de los cuerpos en movimiento. 4. Las fuerzas de rozamiento siempre son opuestas al deslizamiento y tangente a las superficies en contacto. DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE (D.C.L.) Consiste en la elaboración de un esquema que debe mostrar al cuerpo totalmente aislado con todas las fuerzas que lo afectan, las cuales deben estar orientadas siguiendo algunas reglas que se exponen a continuación. ¿Como debo realizar un diagrama de cuerpo libre? Seguir estrictamente las reglas: 1. Representar el peso vertical y hacia abajo. 2. En toda cuerda (o cuerpo tenso) representar una tensión que sale del D.C.L. siguiendo la dirección de la cuerda. 3. A lo largo de una misma cuerda existe una misma tensión. 4. En todo contacto entre superficies sólidas hay una fuerza que se representar entrando al (D.C.L.) en forma perpendicular a la superficie de contacto, llamada fuerza normal (N). 5. En apoyos lisos o perfectamente pulidos hay una solo reacción vertical u horizontal. 6. En apoyos ásperos o rugosos hay dos reacciones, vertical y horizontal. Ejemplo Ilustrativo 01 En la figura el bloque tiene 10 kg de masa, hallar la fuerza en N horizontal mínima para iniciar el movimiento. e  0.8 ; c  0,7 ;

mg

g  10 m/s2 .

F

e, c

Solución: Cuando el cuerpo está a punto de moverse aparece la fuerza de rozamiento estático máxima ( fe máx ); para ese instante la fuerza será mínima para iniciar el movimiento.

-244-

e fe máx

Fmín

Igualando fuerzas:

N

Fmín  fe máx

Fmín   eN Fmín   emg Fmín  0,8(10)(10)

Fmín  80 N No se utiliza  c porque el bloque no está en movimiento sino a punto de moverse

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Luego de analizar los siguientes sistemas, realice los diagramas de cuerpo libre. 1)

2)

3)

A

A

4)

A

5)

6) Liso



 Áspero

7)

8)

B

C

9) A

A





10)

37º

4L

3L

11)

12)



13) 

g



Collarín Liso Esfera fija

14)

15) 1

 2

A

B

 CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC) -245-

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Problemas Resueltos 1. En el sistema determinar la tensión en el cable A, si se sabe que W  100 N . a) 150 N 53º b) 140 N

D.C.L. de uno de los bloques: Y

T  mg

A

c) 130 N

mgsen

d) 125 N

 mg cos 

f  N

e) 120 N

mg

W

Solución: D.C.L.

X

N

Por condición de equilibrio:  Fy  0 : N  mg cos   0

Asen53º

 Fx  0 :

53º A cos 53º

T

N  mg cos  mg  f  mgsen  0 N  mg  mgsen  mg cos   mg (1  sen)

W

 Fy  0

Asen53º  W  0 Asen53º  W 100 100 A  4 sen53º 5 A  125 N

1  sen cos  sec   tan 





Rpta.

3. Un hombre ayudado por una polea jala una cuerda en forma horizontal, los pesos mostrados son W  400 N y P  300 N . Si el sistema está en equilibrio hallar el ángulo “  ”.

Rpta.

2. En el esquema las masas son iguales, determinar el coeficiente de rozamiento necesario para que los bloques se muevan con M.R.U.

53º



B P

m

m

a) tan   sec  c) sec   cos  e) sec   cot  Solución:

-246-

W 1 a) t g (0, 2)

 b) sec   tan  d) tan   cot 

A

1

d) t g (1, 2)

b) t g 1 e) t g

1

16 33

c) t g

1 16

37

(0, 4)

Solución: D.C.L. del nudo “A” CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS ---  FONO: 630439

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A

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T1 37º

53º

400 N  5k

4. El peso de la viga en la figura es 40 N y los valores de los pesos son P  15 N y Q  18 N . Hallar las reacciones en “A” y “B” (en newtons) respectivamente son.

k  80

400 N

T2

53º

P 53º

T1  4k  320 N T2  3k  240 N D.C.L. del nudo “B” T3

T3  B 53º

T3sen

T2

T3 cos  

BY T2 cos 53º

200 N

T2sen53º T2

300 N

En el eje “X”:  Fx  0 : T3sen  240sen53º  0

T3sen  240sen53º

T3sen  240  T3sen  192

4 5

4m

A

3 13 y 46

3 13 y 36

c)

12 N

40 N

P 53º 9N

Ay

T3 cos   240 cos 53º 300

2m

Solución: D.C.L. de la viga:

… (1)

 Fy  0 : T3 cos   240 cos 53º 300  0

B 4m

 Fx  Fy

 0 : 9  Ax  0 

Ax  9 N

 0 : A y  12  40  14  B y  0

A y  B y  42

Dividiendo (1) entre (2): T3 sen 192 16   tan   T3 cos  444 37

Sustituyendo en (1): A y  6 N

37

   23, 38º

C

Por condiciones de equilibrio:

 M0  0 :

  tg

2m

2m B y 14 N

3 T3 cos   240   300 5 … (2) T3 cos   444

1 16

C

d) 3 13 y 56

Ax

En el eje “Y”:  Fx  0 : T3sen  240sen53º  0

2m

b) 3 13 y 16

a) 2 13 y 36 c)

B

Q

… (1)

4(54)  6B y  0

B y  36 N

Las reacciones totales en “A” y “B” son:

RA 

92  62

RA 

81  36

 R A  3 13 N   Rpta. R B  36 N  

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5. Hallar el módulo del momento generado por la fuerza F  60i  80k y el vector de posición r  2i  2j  k . Solución: i j k M  r  F  60 0 80  160i  100j  120k 2 2 1 M  20( 8i  5j  6k)

M  20 ( 8) 2  ( 5) 2  6 2

M  100 5

Rpta.

6. Una barra de peso despreciable, soporta el peso de un bloque de 20 N en la posición indicada, si está sostenida por un cable en el punto “B”. Hallar la tensión en el cable. 121 B a) N 6 127 b) N 6L 6 133 A c) N C 6 5L 3L 125 d) N 6 20 N e) 20 N Solución: Cálculo de “  ” 6L 3   arctan  arctan 8L 4

Ax



  37º

T 3L 5L

20

4 T0 5 3  Fy  0 : A y  5 T  20  0

 Fx  0 :

-248-

Ax 

3 T(8L)  0 5 24T  500 125 N T 6

20(5L) 

4 T 5

3 T 5

Rpta.

7. Una barra que pesa 120 N soporta dos cargas P  60 N y Q  20 N , tal como se indica en la figura. Determinar la reacción en el apoyo A. L

3L

53º

A

L

L

Q

P

a) 30 17

b) 40 13

d) 40 17

e) 40 5

c) 40 15

Solución: Diagrama de cuerpo libre de la barra: Tsen53º

Ax Ay

Elaborando el D.C.L. de la barra: Ay

Aplicando momentos de fuerza en el punto “A”:  MA  0

L

3L

60 N

120 N

T T cos 53º

L 20 N

L

2da. condición de equilibrio:  MA  0 :

L(60)  3L(100)  4L(Tsen53º)  5L(20)  0  3 4T    60  300  120 5

12T  5(480)  T  200 N 1ra. condición de equilibrio:  Fx  0 : A x  T cos 53º 4 A x  200    A x  160 N 5  Fy  0 : A y  Tsen53º  200

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9. En la figura el sistema se encuentra en equilibrio. Hallar la tensión en la cuerda si el coeficiente de rozamiento entre las superficies es el mismo WA  10 N y WB  15 N . a) 11,12 N

4 A y  200    200 5 A y  160  200



A y  40 N

La reacción total en A es: R R

b) 9,02 N

(160)2  (40)2 2

2

(40) (4)  (40)

B

d) 10,12 N

40 17

R

A

c) 8,02 N

2

Rpta.

e) 15,02 N

8. Hallar el coeficiente de fricción del bloque con el plano inclinado, si el sistema se encuentra en equilibrio. WA  40 N y WB  50 N .

37º

Solución: D.C.L. bloque “A” T

Y

NA

10 cos 37º 37º A

B

40

X

 3 4 T  10    (10)   5 5 … (1) T  6  8 D.C.L. bloque “B”

N A

50sen37º

N

 Fy

 0:

37º

50 cos 37º

50

N B 15 cos 37º 37º

Y

NB 15sen37º

X

N  50 cos 37º  0 4 N  50    N  40 5  Fx  0 :

40  50sen37º N  0  3 40  50    40  0 5 40  30  40 1    0, 25 4

X

T  10sen37º N A  0

Y N

N A

10

37º

Solución: D.C.L. bloque “B”

10sen37º

15

15sen37º N A  N B  0 15sen37º  10(cos 37º sen37º)  3  4 3 15    10    5  5 5

45  70  Rpta.

  0, 64

Reemplazando en (1): T  6  8(0,64)

T  11,12 N

Rpta.

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10. En la figura hallar el coeficiente de rozamiento con los planos inclinados tiene el mismo valor, si el sistema se encuentra en equilibrio, 3m A  2mB . Hallar dicho coeficiente. a) 0,05

Igualando (1) y (2): 12n  16n  18n  24n

b) 0,04

11. La tensión máxima que puede soportar el cable “P” es 120 N. Cuál es la reacción en el punto “A” para que el sistema se encuentre en equilibrio y el cable “P” a punto de arrancarse, después de colocar el bloque de 75 N de peso, si se sabe que el peso de la barra es 20 N.

B

c) 0,06 d) 0,5

A

37º

e) 0,4

53º

Solución: De los datos: m A mB  m  2n  n   A 2 3  m B  3n D.C.L. bloque “A”: T

N A

2ng cos 53º 53º

2m

Q 74º

2m

2m

NA

a) 8,2 N d) 8,77 N

2ng sen53º

Solución: D.C.L. de la barra:

b) 8,12 N e) 6,45 N

120 N

T  (2ng cos 53º)  2ngsen53º  3 4 T  2n(10)    2n(10)   5 5 … (1) T  12n  16n N

T

N B

3ngsen37º 37º

3ng T  N B  3ngsen37º  0  3 4 T  3ng    3ng   5 5 … (2) T  18n  24n

2m

Ax

T  N A  2ngsen53º  0

-250-

Rpta.

P

A

2ng

D.C.L. bloque “B”

1 18

36  2   

3ng cos 37º

c) 6,85 N

Tsen74º T

2m 1m

Ay

B

2m

74º T cos 74º

75 N

20 N

 MA  0 : 2(120)  3(20)  4(75)  6(Tsen74º)  0 6(Tsen74º)  120  24  6  T  120   25 

 Fy

T

125 N 6

 0:

T cos74º  A x  0

Ax 

125 7  6 25

 Fx

 0:



A x  7, 2 N

120  Tsen74º  A y  20  75  0

A y  25 

125 24  6 25



Ay  5 N

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Finalmente: 2

1 sen  1  cos  3 1 2 2 sen   1  2cos   cos  9 1  cos 2   9  18 cos   9 cos 2 

2

RA 

Ax  Ay

RA 

(7, 2) 2  5 2

R A  8,77 N

Rpta.

10 cos 2   18 cos   8  0

12. En la figura, determinar al ángulo de equilibrio, el sistema se encuentra en equilibrio. a) 30º b) 45º c) 37º



d) 53º

1 3



6W

e) 60º

W

Solución: D.C.L. del bloque en el piso: N

f  N

1

F2

1

F1 A

 0:

N  Wsen  6W  0 N  6W  Wsen N  W(6  sen) … (1)

F3

a) 12k d) 18k

b) 10k e) 15k

 0:

W  Wcos   N  0 W  Wcos   W(6  sen)  0 1 1  cos   (6  sen)  0 3 1 1  cos   2  sen  0 3 1 cos   sen  1 3 Aplicando método trigonométrico:

c) 15k

Solución: Representando los vectores de posición: 1

F2

1

 Fx

F4

 W cos  W

Ax

Rpta.

12. En el gráfico hallar el módulo del momento resultante, con respecto al punto A:

Wsen

1  3

 Fy

W

5 cos 2   9 cos   4  0 5 cos  4 cos  1 Se deduce que: 4    37º cos   5

r4

F1 A

r1

r3

F4

r2 F3

r1  3i  2j  F1  2i  4j

r2  i  F2  2i  3j r3  3i  j  F3  3i  j

r4  2i  2j  r1  3i  2j

M  r1  F1  r2  F2  r3  F3  r4  F4 CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC)

-251-

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i j k i j k i j k i j k M   3 2 0  1 0 0  3 1 0  2 2 0 2 4 0 2 3 0 3 1 0 3 2 0

M  (16  3  6  2)k

13. En el gráfico, determinar el módulo del momento total (en N.m) generado por las fuerzas con respecto al origen de coordenadas.

F1  3 5 N; F2  10 N; F 3  2 61 N Y

a) 10 6 b) 8 6

O

e) 12 6

  (6)  4  (3)  2

2

2

2 61

(6i  4 j  3k)  12i  8j  6k 61 El momento total es:

M 0  r1  F1  r 2  F 2  r 3  F 3

i j k i j k i j k M0  0 4 3  6 4 0  6 0 3 8 0 3 0 8 6 12 8 6 M O   12i  12j  24k  12( i  j  2k) Módulo del momento:

F1

d) 12 3

6i  4 j  3k

M O  12i  24 j  24k  24i  36j  48k  24i  48k

6

c) 14 6

 F 3  2 61    F3 

 15k Rpta.

M

F 3  F 3 UF3

F3 F2

Z

M 0  12 ( 1)2  ( 1)2  ( 2) 2

4

X

M 0  12 6 N.m

Rpta.

3

Solución:

Y

(0, 4, 3)

La cuña

(0, 4, 0) 6 F1

O F3

Z

(6, 4, 0)

F2

4

(6, 0, 0) 3

X

(6, 0, 3)

Cálculo de los vectores de posición: r 1  4 j  3k ; r 2  6i  4 j ; r 3  6i  3k

Cálculo de las fuerzas: F 1  F 1 U F1  6i  3k F1  4 5   2 2  6 3

 4 5 (6i  3k)  8i  3k    3 5

F 2  F 2 UF 2  F 2  10   

-252-

4 j  3k

 10   5 (4 j  3k)  8j  6k (4)  3  2

2

Es una máquina simple consistente en una pieza de madera o de metal terminada en ángulo diedro muy agudo. Técnicamente es un doble plano inclinado portátil. Sirve para hender o dividir cuerpos sólidos, para ajustar o apretar uno con otro, para calzarlos o para llenar alguna raja o hueco. El funcionamiento de la cuña responde al mismo principio que el del plano inclinado. Al moverse en la dirección de su extremo afilado, la cuña genera grandes fuerzas en sentido perpendicular a la dirección del movimiento. Estas son las fuerzas que se aprovechan para separar objetos, o para generar fricción y mantener la cuña fija a los objetos con los que está en contacto. La ventaja mecánica de una cuña es la relación entre su longitud y su ancho. Por ejemplo, una cuña de 10 cm de largo por 2 cm de ancho tiene una ventaja mecánica de 5.

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Problemas Propuestos 1. Determine la deformación en el resorte ideal cuya constante de rigidez es K  10 N/cm .

 m bloque  3kg, m polea  0, 5kg  ; g  10 m/s2 .

El sistema se encuentra en equilibrio. a) 3,5 cm

4. En la figura se muestra una barra homogénea de 8kg y 14m de longitud. Determine el momento resultante (en N.m.)





2 respecto de A. g  10 m/s .

37º

b) 7 cm

9m

100 N



c) 7,5 cm d) 3 cm

40 m

A

c) 130

e) 6,5 cm

a) 100 d) 140

2. Determine el módulo de la tensión en la cuerda, si el resorte  K  180 N/m  . Se

5. Se muestra una viga homogénea de 20 kg y un bloque de 5 kg en reposo, si las reacciones en A y B son R A y R B . Determine: R A /R B

encuentra deformada 20 cm y el sistema





b) 120 e) 220

 g  10 m/s 2  .

2 permanece en reposo g  10 m/s .



b) 33 N

B

A

Polea lisa

c) 20 N

7b

d) 66 N

1 4 1 d) 5 a)

e) 36 N

3kg

3. Los bloques A y B de 2kg y 3kg respectivamente están en equilibrio. Determine la deformación en el resorte de rigidez K  200 N/m . Desprecie el rozamiento



m polea  1kg ; g  10 m/s

a) 20 cm c) 25 cm e) 40 cm

2



B 

b) 10 cm d) 35 cm

5b

4b

a) 30 N



A

b)

1 3

c)

1 2

e) 1

6. Determine la diferencia en las lecturas de los dinamómetros ideales D1 y D 2 si la barra homogénea

de

12

kg

2 horizontalmente  g  10 m/s 

permanece

a) 20 N b) 24 N c) 12 N

D2

D1

d) 48 N e) 60 N

5L

L

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7. ¿Cuánto registra el dinamómetro ideal? Si la barra es homogénea de 200 N y el bloque es de 50 N. a) 100 N L b) 200 N c) 300 N

L

d) 400 N

y

la barra vertical despreciable. a) 50 N A

c) 35 N

8. Las fuerzas F1 , F2 , F3 del diagrama actúan sobre una partícula en equilibrio. Si

F2   10 3 i  10 i 

necesaria; que permita desplazar uniformemente a los bloques A y B de 75 N cada uno, si ellos experimentan la acción de la fuerza elástica igual a 10 N    0, 2  y considere la masa de

b) 40 N

45º

e) 500 N

10. Calcule el módulo de la fuerza “F”

el

módulo



d) 30 N



e) 100 N

F B

de

F1  20N determine el ángulo “” y el módulo de F3 . a) 60º y 20N b) 30º y 10N

y

F1



F2 30º

c) 30º y 20N

x

11. Si el joven de 60 kg comprime lentamente el resorte ideal  K  900 N/m  ; determine la mayor



deformación

resorte g  10 m/s 2



que

experimentará

d) 60º y 10N e) 30º y 60N

 0, 5   0, 6

F3

9. Sabiendo que la barra mostrada pasa 120N y la tensión en la cuerda horizontal es 90N. a) ¿Cuál es la reacción en el apoyo A? b) ¿Cuál es el valor de ?

b) 33 cm e) 24 cm

c) 40 cm



2 50 kg no pierda el equilibrio g  10 m/s



1  1 

   3 1  1  c) 180N ; Tg    3 1  4  e) 160N ; Tg    3

-254-

a) 20 cm d) 50 cm

12. Determine el mayor número de ladrillos de 2 kg, que puede colocar el joven sobre la plataforma de 4 kg, de modo que el bloque de

A

a) 150N ; Tg

el



a) 20 b) 150N ; Tg

1  2 

   3 1  2  d) 180N ; Tg    3

b) 22 c) 18

e  0,8 

d) 16 e) 25

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13. El bloque A es de 5 kg, si las poleas son lisas y de 2 kg determine la masa de B para que el sistema se encuentre en equilibrio.

16. El cilindro homogéneo de 8 kg se encuentra en reposo. Determine el módulo de las reacciones en los puntos A y B. (Considere:

2 ( g  10 m/s ). a) 2 kg

g  10 m/s 2 ).

a) 80 3 N y 160

b) 3 kg

b) 40 N y 40 N

c) 2,5 kg

c)

d) 3,5 kg e) 5,5 kg

40 3 N y 80 N

A

B

d) 50 N y 30 N

F

60º

e) 40 N y 40 3 N A

14. En la figura se muestra a un joven de 70 kg elevando lentamente a un bloque de 25 kg con ayuda del sistema de poleas, si las poleas son cada una de 1 kg. ¿Cuánto indica la báscula?. 2 (Considere: g  10 m/s ). a) 630 N

d) 60º e) 30º

c) 700 N d) 130 N

Báscula

e) 470 N 15. Si la varilla de masa despreciable se encuentra en equilibrio y la reacción de la pared lisa es 10 5 N; determine el módulo de la tensión en la cuerda 1. (Considere: g  10 m/s 2 ). a) 30 N

e) 25 N

m1 m2 

30º

18. El sistema mostrado se encuentra en reposo, si la barra es de 3 kg. ¿Qué valor tiene la 2 reacción en A? . ( g  10 m/s ). a) 40 N

1 kg

b) 20 5 N c)

40 2 N

d) 50 N e) 30 2 N

2 kg

A

(1)

c) 10 N d) 15 N

b) 53º c) 45º

b) 570 N

b) 50 N

17. Determine el ángulo  , si los bloques de masas m1  2 kg y m 2  1, 25 kg se mueven con rapidez constante. No hay rozamiento. a) 37º mov.

2 kg

19. En la figura se muestra a un bloque liso en reposo unido a un resorte de rigidez K  600 N/m , si F1  F5  30 N , F2  F4  40 N y F3  50 N . ¿Qué longitud se ha deformado el resorte?

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PROYECTO INGENIERÍA a) 10 cm

F1

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F2

b) 15 cm K

c) 20 cm

F3

d) 25 cm Circunferencia

e) 60 cm

F4

F5

23. Se muestra un cilindro homogéneo apoyado sobre una placa de masa despreciable, si el dinamómetro indica 125 N y la reacción en la articulación tiene el mismo valor. ¿Qué masa 2 tiene el cilindro? ( g  10 m/s ). a) 10 kg

b) 12 kg

20. Determine la masa necesaria que debe tener la esfera, para mantener el equilibrio del sistema. Desprecie todo rozamiento. 2 ( g  10 m/s ). a) 8 kg

53º

c) 15 kg Gancho

d) 18 kg e) 20 kg

b) 10 kg c) 5 kg d) 6 kg

53º

6 kg

e) 4 kg

21. Se muestra una barra de 9,6 kg en reposo apoyada sobre superficies lisas. ¿Qué módulo 2 tiene la reacción en B?. ( g  10 m/s ).

g

A

76º

B

30º

a) 40 N d) 56 N

b) 50 N e) 60 N

c) 48 N

22. En al figura mostrada, el joven tira de la cuerda en forma horizontal para mantener en reposo el sistema. ¿Qué módulo tiene la fuerza de tensión en la cuerda (1)? a) 60 N 37º

b) 60 2 N

(1)

c) 75 N 2 kg

d) 45 N e) 30 2 N

-256-

6 kg

24. Se muestra un bloque de 10 kg en reposo, si se quiere que dicho bloque deslice. ¿Cuál sería el menor valor de la fuerza que hay que 2 ejercerle?. ( g  10 m/s ). a) 50 N b) 60 N c) 75 N d) 80 N e) 100 N

 0, 5   0,75

25. En la figura se muestra a un bloque en reposo. ¿Entre qué valores debe estar la fuerza “F” para que el bloque quede en reposo?. 2 ( g  10 m/s ). a) 30 N  F  50 N

b) 40 N  F  65 N

1/6   1/3 

3 kg

c) 50 N  F  80 N d) 50 N  F  75 N

37º

F

e) 30 N  F  65 N 26. Determine el coeficiente de rozamiento entre el piso y la barra homogénea de 3 kg. Si esta se 2 encuentra a punto de deslizar. ( g  10 m/s ).

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c) d) e)

23º

3 4

b)

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m A  2 kg m B  8 kg

3

1 4

A

53º

2 2 1 2

2 kg

28. Determine el mayor valor de F, si la cuña B está a punto de deslizar m A  15 kg ; 2 m A  15 kg ; m A  15 kg ; g  10 m/s .

Liso

c) 240 N d) 160 N

1 2 1 d) 5

A

e) 50 N

c)

1 4

30. Se muestra una placa rectangular homogénea de 6 kg en reposo. ¿Qué valor tiene la fuerza de rozamiento sobre el vértice B? 2 ( g  10 m/s ) a) 30 N

b) 35 N

C.G.

c) 40 N

B

d) 45 N

4 kg 53º

e) 50 N

31. Dos cadenas de 5 kg cada una, sostienen horizontalmente a un tablón homogéneo de 12 kg. Determine el mayor valor de la tensión en

B

g

c) 90 N e  0, 2

29. El sistema que se muestra está en reposo y el bloque A está a punto de deslizar, determine el coeficiente de rozamiento estático entre los 2 bloques ( g  10 m/s ).

e)

1 3 1 6

b) 40 N

37º

F

b)

2 una de las cadenas ( AB  3BC ; g  10 m/s ). a) 80 N

a) 200 N b) 300 N

Liso

53º

a)

27. Se muestra una barra homogénea a punto de resbalar, determine el coeficiente de rozamiento entre la barra y la superficie. 10 a) 41 12 b) 41 12 c) 31 37º 11 d) 37 11 e) 40

B

d) 130 N e) 120 N

C

B

A

32. A partir de la figura, ¿qué masa debe tener el bloque, para que el disco homogéneo de masa M quede en reposo?

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PROYECTO INGENIERÍA  a)    b)    c)   d)    e)  

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a) 56,5 N

R  M Rr  r  M Rr  Rr  M R  r  M Rr  Rr  M Rr 

b) 57,5 N g

R

d) 60,5 N

r

8b

10 cm

b) 12 cm

d) 15 cm

e) 16 cm

B

c) 14 cm

34. Se muestra la sección hexagonal de un lápiz homogéneo que está a punto de deslizar y volcar simultáneamente. Calcúlese  e .

b)

3 2

c)

3 3

d) 3 3 e)

e

b) 15 cm

b

53º

c) 18 cm

5b

d) 20 cm

37. El sistema mostrado está en reposo, si la barra homogénea y el bloque son de 10 kg cada uno. ¿Qué valor tiene la tensión en la cuerda? g  10 m/s 2 ; AB  BC ). a) 120 N

b) 150 N

C g 53º

c) 180 N

B

d) 190 N A

e) 200 N

38. En la figura se muestra una barra homogénea de 4 kg apoyada sobre un bloque de 0,5 a punto de resbalar, si la barra es lisa, 

3 3 2

2 determina  s ( g  10 m/s ).

a) 0,8

g

b) 0,75

35. En el gráfico se muestra una barra homogénea de 2,8 kg y un bloque de 10 kg en reposo. ¿Qué valor tiene la reacción entre dichos cuerpos?

-258-

2 deformación presenta? ( g  10 m/s ). a) 12 cm b

e) 10 cm

40 cm

C.G.

a) 10 cm

3

2b

36. En el gráfico se muestra una barra homogénea de 14 kg en reposo, si el resorte tiene una rigidez de 1700 N/m. ¿Qué

(1)

a)

37º

e) 52 N

33. El sistema que se muestra está formado por la barra homogénea de 2 kg y un bloque (1) de 5 kg, si a 20 cm del extremo B se coloca un bloque de 2 kg. ¿Cuánto hay que desplazar al bloque (1) para que siga habiendo equilibrio?

A

g

c) 40 N

45º

e

c) 0,5 d) 0,25 e) 0,15

A

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39. Se muestra dos barras homogéneas de 4,8 kg cada una unidas por su punto medio de una cuerda ideal. ¿Qué valor tiene la fuerza de 2

tensión en dicha cuerda? ( g  10 m/s ). a) 7 N

c) 60 N d) 80 N

d) 16 N

40. En la figura se muestra una barra homogénea de 5 kg. Determine la tensión en la 2 cuerda. ( g  10 m/s ). AB  3,6 m ; CD  2,5 m a) 395 N

C

b) 390 N

e) 195 N

37º

g

4 kg B

41. Hallar el peso W en el sistema mostrado en equilibrio, sabiendo que el peso de “A” es 20N, el peso de “B” es 40N y el coeficiente de rozamiento en todas las superficies es   0, 2 a) 12 N A

c) 16 N





W

2 su masa (no hay fricción), g  10m / s . B a) 5 kg

e) 18 kg



e) 22º

45. La viga de masa “m” se encuentra en reposo, el dinamómetro ideal indica 300 N. Determine el número de pescados de 0,2 kg que se encuentra en ese instante, (Considere masa del platillo de 0,2 kg y g  10 m/s 2 ). M: punto medio de la viga. a) 28 b) 30

42. La viga AB se encuentra en equilibrio. Hallar

d) 15 kg

c) 16º

dinamómetro

e) 20 N

c) 10 kg

b) 8º

B

d) 18 N

b) 8 kg

44. El diagrama muestra el equilibrio de una placa cuadrada homogénea apoyada en un horizonte rugoso, si el peso de la placa es a la tensión horizontal como 8 es a 3, hallar "  " a) 5º 

d) 30º

D A

b) 14 N

60º

e) 100 N

74º 74º

e) 24 N

d) 232 N

30º

Polea lisa

c) 14 N

c) 200 N

2 de la esfera (g  10 m/s ) . a) 20 N

b) 40 N

Articulación

b) 12 N

43. Si el sistema se encuentra en reposo y la barra homogénea es de 8 kg, determine el peso

37º

M

c) 32 d) 34 e) 36

74º

Platillo

3b

b

50 N

53º

A

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La Polea La polea es una máquina simple que consiste en una rueda con un canal en el borde, por el cual se hace pasar una cuerda o cable. Las poleas se utilizan para cambiar la dirección de una fuerza, para amplificar una fuerza, o para transmitir el movimiento de rotación a otras poleas, posiblemente variando la velocidad angular a la que gira cada una. POLEAS SIMPLES Existen muchas maneras de utilizar las poleas. Cuando se emplea una sola polea para hacer un trabajo, se dice que se tiene una configuración de polea simple. Polea simple fija (Fig. 1) La manera más sencilla de utilizar una polea es anclarla en un soporte, colgar un peso en un extremo de la cuerda, y tirar del otro extremo para levantar el peso. A esta configuración se le llama polea simple fija. Una polea simple fija no produce una ventaja mecánica: la fuerza que debe aplicarse es la misma que se habría requerido para levantar el objeto sin la polea. La polea, sin embargo, permite aplicar la fuerza en una dirección más conveniente. Polea simple móvil (Fig. 2) Una forma alternativa de utilizar la polea es fijarla a la carga, fijar un extremo de la cuerda al soporte, y tirar del otro extremo para levantar a la polea y la carga. A esta configuración se le llama polea simple móvil. La polea simple móvil produce una ventaja mecánica: la fuerza necesaria para levantar la carga es justamente la mitad de la fuerza que habría sido requerida para levantar la carga sin la polea. Por el contrario, la longitud de la cuerda que debe jalarse es el doble de la distancia que se desea hacer subir a la carga. POLEAS COMPUESTAS Cuando se utilizan sistemas de varias poleas que trabajan en conjunto, se dice que se tiene una configuración de polea compuesta. Polipastos (Fig. 3 y 4) El polipasto, es la configuración más común de polea compuesta. En un polispasto, las poleas se distribuyen en dos grupos, uno fijo y uno móvil. En cada grupo se instala un número arbitrario de poleas. La carga se une al grupo móvil. La ventaja mecánica del polipasto puede determinarse contando el número de segmentos de cuerda que llegan a las poleas móviles que soportan la carga. Fig. 1

-260-

Fig. 2

Fig. 3

Fig. 4

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A

V0

R

Objetivos:  Valorar el trabajo como fuente de desarrollo integral y transformador  Conocer el proceso mediante el cual se da la transmisión de movimiento mecánico.  Comprender que cuando existe desplazamiento de un cuerpo, siempre hay trabajo mecánico.  Comprender la definición vectorial del trabajo mecánico, como el resultado del producto escalar del vector fuerza y el vector desplazamiento.  Interpretar el significado del trabajo realizado por las fuerzas de fricción.  Entender el significado de los conceptos de potencia mecánica, potencia entregada y potencia útil; así como el significado de eficiencia de una máquina.  Definir y evaluar la energía, además establecer los conceptos de energía cinética, potencial, potencial elástica y energía mecánica en forma global.  Aprender a relacionar el trabajo mecánico realizado con la cantidad de energía transferida de un cuerpo a otro.  Diferenciar un sistema conservativo de un sistema no conservativo.  Definir el trabajo realizado por las fuerzas de fricción en un sistema no conservativo, así como su transformación en calor. Introducción: Todos conocemos la palabra “trabajo” y generalmente diferenciamos el trabajo corporal (por ejemplo, el de un albañil, el cargador o el carpintero) e intelectual (el del científico, el escritor, el estudiante); en esta parte se estudia el trabajo mecánico el cual se refiere a la transmisión de movimiento mecánico. Veamos algunos ejemplos de trabajo mecánico: Un niño saca del pozo un cubo con agua, ejerciendo una fuerza vence la atracción de la tierra sobre el cubo y el agua que contiene. Cuando tiramos de un carrito, la fuerza que ejercemos supera la fuerza de rozamiento. Al aserrar madera rompemos con el esfuerzo de nuestros brazos la cohesión entre sus partículas.

Realizamos trabajo al empujar el coche montacargas

En todos estos casos. El cuerpo (cubo, carrito, sierra) se mueve bajo la acción de la fuerza aplicada sobre él “le transmitimos movimiento mecánico” y de esa manera se realiza trabajo. CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC) -261-

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Si no hay movimiento transmitido, tampoco hay trabajo. El muelle de un reloj al que se le ha dado cuerda, no realiza trabajo si las agujas no se mueven. En un reloj en marcha, la fuerza de elasticidad del muelle mueve el mecanismo y, por consiguiente, realiza trabajo. Al querer trasladar una mesa o un armario, los empujamos ejerciendo una fuerza: pero no realizamos trabajo si a pesar de todo, no logramos moverlo. Conclusión: “Se realiza trabajo mecánico cuando aplicando una fuerza transmitimos movimiento mecánico a un cuerpo”

V

No realiza trabajo

Sí realiza trabajo

La cantidad de trabajo desarrollado, depende del valor de la fuerza aplicada y de la distancia que recorre bajo la acción de dicha fuerza. Cada vez que contemplamos y examinamos la naturaleza, apreciamos distintos fenómenos como la lluvia, los vientos, los eclipses, el vuelo de los pájaros, los relámpagos, el arco iris, los diversos colores y variedades de la fauna silvestre y marina. En el largo proceso histórico, el hombre ha ido descubriendo las causas de los fenómenos, efectos y leyes de la naturaleza. En el capítulo de trabajo hablamos de la transferencia de movimiento mecánico de un cuerpo sobre otro, es decir del trabajo mecánico, pero ahora se formula una interrogante, ¿será esa la única manera de interpretar el trabajo mecánico?, es una forma útil y necesaria para ciertos casos, pero no para todos ya que en la práctica nos encontraremos con situaciones físicas en donde el aspecto cualitativo y cuantitativo del trabajo mecánico tiene limitaciones. Es oportuno entonces conocer otra manera de interpretar el trabajo mecánico desarrollado por un cuerpo sobre otro. Además, si no podemos evaluar la cantidad con los procedimientos señalados, entonces debemos de tener otra herramienta matemática (fórmulas) que nos permitan evaluar la cantidad de trabajo mecánico realizado. Ahora, para salir de este problema introducimos el concepto de Energía que dentro de la Física, inclusive en todas las ciencias naturales, tiene una gran importancia, ya que nos permite hacer una buena descripción de los diferentes procesos que se desarrollan en nuestro entorno, entenderemos además los distintos tipos de energía que se presentan en la naturaleza.

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Trabajo Mecánico El trabajo es la transmisión del movimiento ordenado, de un participante a otro con superación de resistencia. Matemáticamente podemos decir: “El trabajo es igual al producto del desplazamiento por la componente de la fuerza, a lo largo del desplazamiento”. El trabajo es una magnitud escalar. Trabajo mecánico de una fuerza constante no paralela al desplazamiento Fsen

F



F cos 

A

d

WAB = F cos  d

B

Casos particulares: a) El trabajo es positivo ( 0º    90º ) Cuando sobre el cuerpo se tienen fuerzas a favor del movimiento. V2  V1

V1 F

F

A

WAB  0

B

Estas fuerzas incrementan la rapidez, por este motivo decimos que la cantidad de trabajo es positivo: WAB  0 b) El trabajo es cero (   90º ) Las fuerzas que son perpendiculares a la dirección del movimiento, es decir a la velocidad, no incrementan ni disminuyen la rapidez del cuerpo, es por ello que decimos que su cantidad de trabajo es nula. F

F

F

WAB  0 A

B

c) El trabajo es negativo ( 90º    180º ) Para el caso en que la fuerza esté en contra del movimiento V2  V1

V1 F A

F

WAB  0

B

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El Trabajo es una cantidad escalar Y

B

r

A

Definición vectorial: El trabajo es el resultado del producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento:



WAB  F  (B  A)  F  r F

Z

X

W  N  m  Joule W  dina  cm  ergio

Unidades:

(S.I.) (C.G.S)

Trabajo Neto o Resultante Es igual a la suma algebraica de todos los trabajos parciales efectuados por las fuerzas exteriores que actúan sobre el cuerpo.

Wneto 

n

 Wi

i 1

o también Wneto  FRd

Wneto  W1  W2  W3  W4  FR  d Importante:

Si: V  cte  FR  0 Luego: Wneto  0

Interpretación vectorial del trabajo Y

El trabajo mecánico se define más propiamente mediante el concepto vectorial.

Fy

Consideremos una fuerza constante F que actúa Fx

F

r

sobre un cuerpo, el cual logra desplazarse r .

dy



De acuerdo al gráfico tenemos los vectores:

F  Fx i  Fy j

dx X

y

r  rx i  ry j

A partir de esto se define el trabajo realizado por la fuerza F , como:

WF r Producto escalar

Expresado en pares ordenados sería: W  (Fx , Fy ) (rx , ry ) 

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W  Fx rx  Fy ry

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Además se sabe que: W F

r cos 

Donde “  ” es el ángulo formado por la fuerza y el vector posición. Consecuencia Importante: Consideremos una partícula que se mueve entre los puntos A y B, sobre la cual actúan fuerzas que conservan su dirección, entonces: Los trabajos parciales son: Y

F2

F3 F2

A

W1  F 1  b

B

F1

W2  F 2  a

a

W3   F 3  a

F1

De tal modo que:

Wneto  F1  b  F 2  a  F 3  a

b

F3

Wneto  W1  W2  W3

Esta consecuencia es útil cuando se calcula el trabajo de fuerzas conservativas, como la fuerza de gravedad. Fuerzas Conservativas Son fuerzas cuyo trabajo desarrollado entre dos puntos no depende de la trayectoria seguida; solamente depende de los puntos o niveles inicial y final. En una trayectoria cerrada, el trabajo que realiza una fuerza conservativa es nulo. Son ejemplos de fuerzas conservativas: la fuerza de gravedad, la fuerza elástica, las fuerzas eléctricas, etc. Trabajo realizado por la fuerza gravitatoria Este trabajo sólo depende del desplazamiento vertical (h). Observando los ejemplos se puede apreciar que el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria es el mismo en todos los casos, y no depende de la trayectoria que sigue el móvil. Caída Libre mg

h

mg

Sobre un plano inclinado mg

h

mg

Sobre superficie curva mg

h

mg

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En todos los casos, el trabajo está dado por: W  mgh Recomendaciones para la resolución de problemas 1. Haga el D.C.L. del cuerpo o partícula en análisis. 2. Ubicar la dirección del desplazamiento del cuerpo o partícula. 3. Descomponer las fuerzas en la dirección del desplazamiento, esas componentes son las que realizan trabajo mecánico. 4. Utilice la definición del trabajo de una fuerza o del trabajo neto. 5. Si se trata de ejemplos vectoriales utilice la definición correspondiente. 6. Cuando las fuerzas son variables durante el desplazamiento; lo recomendable es realizar una gráfica “F” vs. “x”. 7. Recuerde que los temas aprendidos en Cinemática y Dinámica son herramientas muy útiles para la resolución de problemas. 8. Recuerde que las fuerzas de rozamiento desarrollan siempre un trabajo negativo. 9. Algunos problemas se resuelven utilizando los conceptos de energía mecánica; esto porque más adelante veremos la relación que existe entre la energía mecánica y el trabajo mecánico.

Representación Gráfica del Trabajo Al igual que en el movimiento, es también posible hacer gráficas de la fuerza F y el desplazamiento ( x ) realizado por el cuerpo. Caso I:

Cuando la fuerza es constante F4N

F4N

x0

2m

F(N) F4N

4 A

x4

x2

4m

F

X(m)

d

W  Área  A Caso II: Cuando la fuerza es variable

F(N) 8

5 F8N

F3N

x0

x2

F5N

x4

A

3 2

4

X(m)

W  Área  A

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1. Si la fuerza varía linealmente:

El trabajo desde x 0  0 hasta x 2 será:

F

W  Área del trapecio

F2 F1

 F  F2  W 1  x2 2  

A

X

x2

2. Si la fuerza “F” varía del modo indicado: F

A1

X

A2

Se observa: A 1 : Trabajo positivo

A 2 : Trabajo negativo Luego: Wtotal  Wneto  A1  A 2

3. El trabajo entre las posiciones x 0 y x f cuando la fuerza está dada por una función F  f(x) : Cuando la fuerza está dada por una función: F F  f(x) , el área bajo la curva se calcula utilizando F  f(x) sumas infinitesimales (Cálculo Integral), de la siguiente forma: A

x0

W  Área  A dx

xf

X

ó W

xf

x 0 f(x)dx

Donde: dx (diferencial de x) representa una distancia infinitesimal.

El alumno podrá notar que este tipo de expresión implica conocer otras disciplinas de Cálculo Superior, las cuales se desarrollarán en cursos más avanzados de Física. F

Trabajo realizado por una fuerza elástica Sin deformar x

Kx A

F

Fe

Por la Ley de Hooke: Fe  Kx Donde:

x

Fe

W  área 

X

1 2 Kx 2

K : constante de rigidez del resorte (N/m) x : deformación o elongación del resorte

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Unidades y Equivalencias 7

1 Joule  10 ergios 7

1 kg  m  9, 8 Joules  9, 8  10 ergios

g  cm  980 ergios

Potencia Mecánica En la actualidad, para efectuar un trabajo mecánico, como por ejemplo la excavación de una zanja o de un pozo, puede participar una cuadrilla de obreros o también los tractores excavadores ya que ambos podrían realizar el mismo trabajo. La diferencia está en la rapidez con la que se realiza, es decir el factor tiempo. En la práctica los tractores en mínimo tiempo realizan la obra, mientras que la cuadrilla de obreros demora más tiempo. Definimos ahora una nueva magnitud física denominada “Potencia”. Con respecto al ejemplo anterior podemos afirmar que los tractores desarrollan mayor potencia que los obreros y esta nueva magnitud nos ayuda a caracterizar la rapidez con la cual realizan trabajo mecánico específicamente una pala mecánica, motor eléctrico, bomba hidráulica, etc. La Potencia Es una magnitud física escalar, que nos expresa la rapidez con la cual se desarrolla trabajo. También se le puede definir como la energía que se transmite por unidad de tiempo. Matemáticamente la potencia media desarrollada se determina así: P

Trabajo Energía  ; es decir: Tiempo Tiempo

En función de la velocidad, tenemos: P = F

P : F :

Potencia (en W) Fuerza (en N)

W : V :

d  P  FV t Trabajo (en J) Velocidad (en m/s)

P

W t

t

:

Tiempo (en s)

Unidades:

W P t

J   SI : s (watt ó vatio)   CGS : ergio  s

Abreviaturas de las unidades comerciales C.V. : Caballo vapor H.P. : Caballo de fuerza, (Horse Power) kW : Kilowatts ó kilovatio

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Equivalencias:

James Watt (1736 – 1819)

1 C.V.  736 watts  75 kg  m/s 1 H.P.  746 watts  76 kg  m/s

1 watt  0,102 kg  m/s 1 kW  1000 watts

Unidad Especial: Kilowatthora: 1 kw  h  3,6  10

6

Joules

Ahora podemos interpretar el hecho que un motor tenga una potencia de 300 W por ejemplo. Este valor indica que el motor es capaz de desarrollar un trabajo de 400 J en 1 segundo o también que transfiere 400 J de energía cada 1 segundo que funciona. Las lanchas, los buques, los aviones, cohetes, automóviles y otros vehículos se desplazan con rapidez constante. ¿Qué implica esto?, que la fuerza que actúa sobre estas máquinas es la fuerza de impulsión del motor y la fuerza de resistencia opuesta, ambas tienen igual módulo y se encuentran en equilibrio cinético. 1. Si el cuerpo se mueve con M.R.U. P  F.V V: Velocidad constante 2. Si el cuerpo se mueve con M.R.U.  Vf  V0   Pmedia  F.Vmedia ; Pmedia  F  2  

3. Potencia Instantánea (Pi )

Pi  F.Vi

Máquina de vapor inventada por James Watt

Nacido en Birmingham (Gran Bretaña), el 19 de enero de 1736, su padre era armador de origen escocés y le enseñó la fabricación y uso de las herramientas y útiles náuticos. Desde joven se interesa por las Matemáticas y los aparatos de medición, conocimientos que incrementa tras viajar a Londres y contactar con Morgan de Cornhill. Tras volver a su lugar de origen, participa en varios trabajos para el Colegio de Glasgow, lo que le vale ser nombrado maestro dedicado a la fabricación de instrumentos matemáticos en su Universidad. Aprovechando el único precedente de Papin, en el siglo XVII, Watt estudió los usos y aprovechamientos que pudieran ser derivados del vapor, hasta ese momento poco aprovechados. Así, inventó un prototipo que lograba reducir en gran medida el aporte de combustible, aplicando la presión del vapor para mover el pistón de un cilindro. El éxito conseguido hace que su modelo se expanda rápidamente por Londres, Manchester y Birmingham, ciudades en las que empiezan a experimentarse los inicios de la revolución industrial, y en las regiones donde el carbón, la energía más utilizada del momento, resulta más caro. Su invención se traslada algo más tarde a Francia, siendo usada en París para el abastecimiento de agua y el bombeo del Sena. Proyectada usarla en Versalles, no llegó a realizarse su instalación. La importancia de su invento radica en que es una de las claves de la Revolución Industrial, al conseguir multiplicar el aporte de fuerza reduciendo el gasto de energía. Su aplicación, la máquina de vapor, se dio en minería y comunicaciones, especialmente. La aparición de la energía eléctrica no desbancó al uso del vapor hasta muchos años después. La importancia de su invención le hizo ser premiado por la Real Sociedad londinense y la Academia de Ciencias de Francia. Además, ve multiplicarse el número de máquinas de vapor en Inglaterra, que serán ya en 1830 unas 10.000. al reconocimiento intelectual le acompaña el éxito económico, pues, junto a su socio Boulton, se encarga de la fabricación y distribución de sus máquinas y la comercialización de sus patentes. Falleció en Birmingham el 5 de agosto de 1819.

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Potencia Instalada en una central hidroeléctrica En nuestro país la central hidroeléctrica que proporciona la mayor cantidad de potencia eléctrica es la Central Hidroléctrica del Mantaro (Santiago Antúnez de Mayolo), que aprovecha la altura de las aguas del río Mantaro. El flujo de este río cae sobre los álabes de un grupo de turbinas acopladas a grandes alternadores que transforman la energía mecánica de rotación en energía eléctrica. ¿Qué potencia reciben las turbinas debido a la caída de las aguas? Esta potencia se denomina potencia hidráulica instalada y nos expresa la rapidez con la cual reciben energía potencial gravitatoria los álabes de la turbina. La cual se calcula así: W E pg m H 2Ogh P   t t t  H 2O Vgh En (I): P  t Definimos entonces:

… (I)

Se sabe que: m H 2O   H 2O V

… (II) V Volumen de agua   Caudal  Q t Intervalo de tiempo Hidráulico

De donde: P   H 2O Qgh

PH :

Potencia hidráulica (en W)

 :

3 Peso específico del líquido (en N/m )

 : h :

3 Densidad del líquido (en kg/m ) Altura o caída (en m)

Q :

3 Caudal hidráulico (en m /s )

Potencia Hidráulica El cálculo de este tipo de potencia es común en las bombas centrífugas, cuando elevan líquido a determinadas alturas o en el caso de centrales hidroeléctricas cuando hay caídas de agua, usadas para la generación de energía eléctrica. La potencia que se produce en la turbina debido a la caída del agua será: PH  Qh h

Peléctrica

PH Turbina

Motor

Generador

Siendo:   g Y el gasto o caudal: volumen Q tiempo Análogamente: PH  gQh

Eficiencia o rendimiento de una Máquina () Se sabe que un motor de automóvil al funcionar transforma la energía interna de los combustibles en energía calorífica y esta a su vez en energía mecánica. También un motor de licuadora

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transforma la energía eléctrica que recibe en energía mecánica para que la cuchilla gire y además disipe calor y la hornilla de una cocina eléctrica transforma la energía eléctrica en energía calorífica. A partir de estos casos afirmaremos que toda máquina transforma la energía de una forma a otra. No crea una forma de energía. Sin embargo debido a la fricción entre piezas de la máquina e interacción de la máquina con el medio ambiente hay una forma de energía que se disipa (se pierde, no es útil) y no la podemos aprovechar. Por tal razón, las máquinas jamás han llegado a tener 100% de rendimiento. Citemos algunos ejemplos: Motor eléctrico : 98% Motor térmico (automóvil) : 42% Motor hidráulico (turbina) : 86% En conclusión podemos decir que la eficiencia es aquel factor que nos indica el grado de rendimiento de una máquina, para lo cual se relaciona la potencia de salida con la potencia de entrada. También se define eficiencia a aquel índice o grado de perfección alcanzado por una máquina. ¿Cómo evaluamos el rendimiento de una máquina? En un esquema de una máquina donde se tenga en cuenta el tipo de potencia que absorbe y además el tipo de potencia que arroja o entrega dicha máquina. Se nota que durante el proceso las máquinas experimentan debido a la fricción interna, una disipación de potencia térmica (potencia disipada) hacia el medio ambiente que muchas veces no es aprovechada. Potencia Entregada P.E.

MOTOR H.P.

Potencia Útil (P.U.)

Potencia Perdida (P.P.)

Rendimiento 

Potencia útil que entrega Potencia absorbida por máquina



P.U. P.E.

… 0 1



P.U.  100% P.E.

… 0    100

Además: P.E.  P.P.  P.U.

1. La eficiencia también se calcula relacionando sus energías de salida y entrada. E   salida E entrada 2. Para varias máquinas conectadas en serie y con sus eficiencias respectivas se cumple: Sistema P.U. sistema  P.E. P.U. P.E. M1 M2 Mn P.U. 1  2  3...n  1 2 n P.E. CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC)

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Energía Mecánica Es una magnitud física escalar que representa la capacidad que tiene un cuerpo para poder realizar un trabajo. Es la medida de todas las diferentes formas de movimiento existentes. Anteriormente hablamos de la transferencia de movimiento mecánico de un cuerpo sobre otro, es decir del trabajo mecánico el cual es posible sintetizar así: Cualitativamente

Es un proceso de transferencia de movimiento mecánico de un cuerpo hacia otro mediante la aplicación de una fuerza

Cuantitativamente

W F  Fd; F  cte. W F  Área debajo de la gráfica F vs. x

Trabajo mecánico

Existen diversas formas de energía asociadas a las formas de movimiento, así tenemos:  Cinética La bomba atómica  Energía Mecánica  Potencial gravitatoria La energía nuclear se libera como resultado de una reacción nuclear,   Potencial elástica por un proceso de Fisión Nuclear Energía Interna (división de núcleos atómicos pesados) o bien por Fusión Nuclear Energía Química (unión de núcleos atómicos muy Energía Nuclear livianos). Se libera una gran cantidad de energía debido a que parte de la Energía Atómica masa de las partículas involucradas en el proceso, se transforma directamente en energía.

Unidades:

La energía en el Sistema Internacional (S.I.) se mide en Joules (J); al igual que el trabajo mecánico. Podemos conceptuar el trabajo mecánico como la transferencia de energía de un cuerpo hacia otro, en forma básica la energía es aquello que nos expresa la capacidad de un cuerpo o sistema para realizar trabajo. Continuando el análisis podemos establecer que: Trabajo Mecánico

En lo cualitativo

Proceso de transferencia de movimiento mecánico mediante una fuerza

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En lo cuantitativo

Proceso de transferencia de energía o variación de energía

W  Fd W  área debajo de la gráfica F vs. x

W  E  E F  E 0

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Ahora podemos afirmar que la energía es la medida escalar del movimiento y las interacciones, entendiendo aquí como medida de las diversas formas de movimiento e interacciones de la materia. Para dicho propósito podemos resumir: Medida del movimiento

Energía Cinética

Medida de las interacciones

Energía Potencial

Medida escalar de las diversas formas de movimiento y las interacciones de la materia

Energía

Clases de Energía Energía Cinética (E c ) : Es una magnitud física que nos expresa la medida escalar del movimiento de un cuerpo o una partícula. Matemáticamente se define por:

V m

Unidades : m: masa (en kg) E c : Energía Cinética (en J) V: Velocidad (en m/s)

1 2 E C  mV 2

A) Energía Potencial Gravitatoria (E pg ) : Cuando un cuerpo se encuentra a una determinada altura respecto a un nivel de referencia y mantiene latente su capacidad de realizar trabajo debido a su peso. La energía potencial gravitatoria de un cuerpo depende del nivel de referencia (N.R.), lo cual determina que dicha energía es relativa. E Pg  mgh

m g

E Pg : Energía potencial gravitatoria (J)

h

N.R.

m :

masa (kg)

g : h :

aceleración de la gravedad ( m/s ) altura (m)

2

En la relación anterior, “h” es la distancia que se mide desde el nivel de referencia (N.R.) hacia donde está concentrada la fuerza de gravedad del cuerpo (C.G.). CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC) -273-

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B) Energía Potencial Elástica (EPE ) : Es la energía que tienen los resortes o muelles cuando están estirados o comprimidos una distancia “x” hay energía almacenada, expresada por:

E Pe 

1 2 Kx 2

E Pe : Energía potencial elástica (en J)

K : x :

Constante de elasticidad (en N/m) Elongación (en m) Resorte sin deformar En este caso el valor de “x” es nulo (x  0) , el resorte no tiene capacidad de transmitir movimiento al bloque entendemos así que el resorte sin deformar no le asociamos energía potencial elástica.

a) Sin deformar x0

K

b) Deformado x

K

Resorte deformado Ahora si al bloque lo vamos empujando hacia la izquierda se irá comprimiendo el resorte.

F

c) En libertad K

x

Bloque en libertad El bloque al ser soltado inicia su movimiento gracias a la energía almacenada por el resorte comprimido.

V

V0

x1

Principio de la Conservación de la Energía Mecánica Si sólo fuerzas conservativas actúan sobre un cuerpo en movimiento, su energía mecánica total permanece constante, para cualquier punto de su trayectoria, o sea, que la energía mecánica del cuerpo se conserva. Cualquier forma de energía se transforma en otra porque: “La energía no se crea ni se destruye, sólo se transforma.” A este fenómeno se denomina "Ley de la conservación de la energía". A VA Si no hay rozamiento: EM A  EMB

h

0

VB

E C A  E PA  E C B  E PB

N.R.

B

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Teorema del Trabajo Total o Neto y la Energía Cinética El siguiente teorema representa una de las generalizaciones más importantes que tratan cuantitativamente los procesos de trabajo con variación de energía. Se sabe que: WAB  Fd  mad

… (1)

Pero por cinemática se sabe que: VB 2  VA 2  2ad VB 2  VA 2 2 Reemplazando (2) en (1):  V 2V 2  A  WAB  m  B  2  

De donde: ad 

A WAB 

a

m

… (2)

1 2 1 2 mVB  mVA 2 2

WAB  E C B  E C A

Finalmente:

VA

VB m

d

B

WAB  E C final  E Cinicial

WAB  Wneto   E C

“El trabajo neto realizado por un cuerpo entre los puntos “A” y “B” es igual al incremento de energía cinética que experimenta en ese trayecto.”

Relación entre el Trabajo Total o Neto y la Energía Potencial Consideremos un bloque que desciende sobre una superficie, tal como se muestra en la figura: De A hacia B la cantidad de trabajo de la fuerza de gravedad está dada por: WAB  mgh Pero: h  h A  hB F  mg A De donde: WAB  mg(h A  hB ) m WAB  mgh A  mghB h hA

WAB  E Pinicial  E Pfinal B

N.R.

hB

WAB  E PA  E PB  (E PB  E PA )

WAB  Wneto  E P

Teorema del trabajo de las fuerzas no conservativas (WFNC ) y la energía mecánica Cuando sobre un cuerpo durante una situación inicial y final actuaron fuerzas no conservativas que realizaron trabajo; entonces la variación de su energía mecánica se debe al trabajo de estas fuerzas. CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC) -275-

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A

Hay rozamiento por lo tanto hay fuerzas no conservativas (FNC). EM  WFNC

h

EMB  EM A  WFNC

0

(E C B  E PB )  (E C A  E PA )  WFNC

N.R.

B El trabajo realizado por las fuerzas no conservativas diferentes al peso (fuerzas elásticas y eléctricas) sobre un cuerpo o sistema es igual a la variación de la energía mecánica. WFNC  EM final  EMinicial

Además:  El trabajo de las fuerzas de fricción está dado por: Wfr = f  d ó también: Wfr = Nd  Recuerde que las fuerzas de rozamiento realizan trabajo negativo.

Energía cinética de rotación Este tipo de energía mide escalarmente el movimiento de rotación de un cuerpo físico (barra, disco, lámina, etc.). Examinemos el caso siguiente: Una barra rota uniformemente alrededor de un eje pasa por uno de sus extremos. Para determinar la energía cinética de la barra que está rotando no podemos usar directamente la fórmula de  energía cinética, pues ésta es válida para la traslación de un cuerpo o partícula; lo que se puede hacer es dividir a la barra en pequeñas porciones, las cuales si experimentan traslación, y mientras que la energía V1 V cinética de la barra estaría expresada por la suma de la 2 V 3 m1 energía cinética de todas las porciones. m2 m3 En la figura la energía cinética de la barra se expresaría: r1 E C  E C1  E C 2  E C 3  ...  E C n r Eje

2

m1V1 2 m 2V2 2 m 3 V3 2 m V 2    ...  n n 2 2 2 2 Para cada porción es válido que: V  r , entonces:

r3

EC 

EC 

m1(r1)2 m 2(r2 ) 2 m 3 (r3 ) 2 m (r ) 2    ...  n n 2 2 2 2

EC 

 2

2

 m1r12  m 2r2 2  m 3r3 2  ...  m nrn 2 

Donde: I  m1r12  m2r2 2  m3r3 2  ...  mnrn 2 ; se denomina momento de inercia

EC 

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1 2 I 2 CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS ---  FONO: 630439

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Esta expresión nos permite calcular la energía de rotación de la barra y de cualquier otro cuerpo. : Energía cinética de la rotación (en J) EC

I 

: :

2 Momento de inercia de la barra con respecto al eje de rotación (en kg.m ) Velocidad angular (en rad/s)

El momento de inercia (I) en la rotación es análogo a la masa (m) en la traslación, es decir nos mide la inercia de rotación de un cuerpo. El momento de inercia es una magnitud escalar que depende de la masa de un cuerpo y de cómo ella está distribuida, depende mucho de la geometría del cuerpo y del eje respecto al cual se dé la rotación.

Energía cinética de traslación y rotación Cuando un cuerpo experimenta movimiento de traslación y rotación a la vez, tal como es el caso de las llantas de un automóvil, entonces posee energía cinética de traslación y energía cinética de rotación (respecto del centro de masa), con esto se demuestra que:



V

EC 

1 2 1 2 mV  I 2 2

Donde: : V : 

Es la rapidez de traslación del centro de masa de la llanta (en m/s) Es la rapidez angular de la llanta (en rad/s)

I Ec

Momento de inercia de la llanta con respecto a su centro de masa ( kg.m ) Energía cinética total

: :

2

Ejemplo Ilustrativo de energía cinética en la rotación Un aro homogéneo de 200 g y 50 cm de radio rueda sin deslizar sobre una superficie horizontal. Si para un determinado instante su rapidez angular es de 10 rad/s, en dicho instante hallar su energía cinética. Solución: Según el enunciado planteamos:

  10 rad/s R  0,5 m

O

La energía cinética del aro vendría dada por: E C  E C(traslación)  E C(rotación) 2

MV I  2 2

EC 

M(R) (MR ) 2   2 2

M  0, 2 kg V0

2

EC 

2

I circulo  MR 2 2

E C  M2R 2

E C  (0, 2)(10)2(0,5)2  E C  10 J

Rpta.

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Ejemplo Ilustrativo 1 Hallar el trabajo realizado por una fuerza de 25 N que forma 37º con la horizontal que es aplicada sobre un bloque, el cual, por acción de dicha fuerza avanza 12 m. Solución: Ilustramos el suceso: 25 N

25sen37º

37º

25 N

25sen37º

37º

25 cos 37º

25 cos 37º

12 m

W  Fd cos  W  25(12)cos 37º 4 W  25 (12) 5

W

240 J

Rpta.

Ejemplo Ilustrativo 2 Un bloque de 2 kg está inicialmente en reposo sobre una superficie horizontal (sin fricción). Al aplicar una fuerza constante alcanza una velocidad de 4 m/s, luego de recorrer 8 m. Hallar el trabajo realizado por la fuerza durante este periodo. Solución: Vf  4 m/s Por cinemática: V 0 0

2 kg

F

2 kg

Vf 2  V0 2  2ad

4 m/s

4 2  0 2  2a(8)

8m

a  1 m/s 2

Por definición de trabajo mecánico: W  Fd

Análogamente, por conservación de energía: W  E Cf  E C0

W  mad

W

1 2 1 2 (2)(4)  (2)(0) 2 2 W  16 J Rpta.

W  2(1)(8)  W  16 J

Ejemplo Ilustrativo 3 Un bloque de 5 kg resbala por un plano inclinado, logrando descender una altura de 2 m. Si durante el trayecto su velocidad fue constante, hallar el trabajo realizado por la fricción 2 ( g  10 m/s ).

V

2m  Solución: El bloque baja a velocidad constante por lo tanto está en equilibrio. D.C.L. del bloque:  Fx  0

-278-

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f  mgsen Trabajo de la fuerza de fricción: W   fd h W   mg sen  sen

N

f mg cos  

mgsen

W  5(10)(2)

mg

W

 100 J

Rpta.

Ejemplo Ilustrativo 4 ¿Cuál es el trabajo en (J) que realiza un helicóptero de rescate para levantar a un bañista de 71 kg 2 hasta una altura de 15 m con una aceleración de 0,1 g? ( g  10 m/s ).

Solución: Elaboramos un gráfico de acuerdo a las condiciones del problema: D.C.L. de la persona rescatada: T

Por la 2da Ley de Newton: T  mg  ma T  71(10)  71(0,1)(10)

a  0,1g

T  781

mg

a

El trabajo del helicóptero es el trabajo de la tensión y ésta es positiva: W  Td W  781(15)  W  11715 J Rpta.

15 m

Ejemplo Ilustrativo 5 En el gráfico se muestra una masa ubicada en el punto “A”, ¿cuál es el trabajo desarrollado por la fuerza “F”, para que la masa sea trasladada hasta el punto “B” (coordenadas en m).

F  40 N

B

Solución: Ubicación de coordenadas, tomando el punto “O” como origen de coordenadas: V F  40 N

A

1

(8, 4) r

B

(2, 2)

1

Vector direccional en dirección de F : V  (6, 5)  (2, 2)  4i  3j

(6, 5)

O

A (2, 1)

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Vector unitario en la dirección de F : 4i  3j 1 UF   (4i  3j) 5 2 2 4 3 Expresión vectorial de la fuerza y el vector desplazamiento: 1 F  F U F ; Luego: F  40  (4i  3j)  F  8(4i  3j) 5 r  6i  3j Por la definición vectorial de trabajo:

WAB  F  r WAB  8(4i  3j)  (6i  3j) WAB  8(24  9) 

WAB  264 J

Rpta.

Ejemplo Ilustrativo 6 Un cuerpo cuya masa es 120 kg, en un trayecto aumenta su velocidad de 12 m/s a 15 m/s en 30 s. ¿Cuál es la potencia desarrollada en dicho trayecto? Solución: Por definición de potencia: W Fd  P  FVmedia … (1) P  t t Cálculo de la fuerza aplicada:

F  ma  V  V0  F  m f  t   15  12   F  120    30 



F  12 N

Reemplazando en (1)  V  V0   15  12  P  F f   P  12    162 W 2   2   Análogamente, por conservación de energía: 1 2 2 W  m Vf  V0 2 1 2 2 W  (120)  15  12   W  4860 J 2 W 4860 P   162 N Rpta. t 30





Ejemplo Ilustrativo 7 Un automóvil de masa 800 kg asciende por una rampa cuya inclinación con la horizontal es 37º. Si el coeficiente de fricción entre las ruedas y la pista es 0,4. Cuál es el trabajo que efectúa el automóvil para recorrer 200 m. Solución: N Fuerza efectiva que produce trabajo: mgsen37º N  F N

mgsen37º

37º mg cos 37º 37º

mg

3 4  0, 4  800  5 5 F  480  256  F  736 N F  800 

Trabajo total:

W  Fd  736(200)  W  147200 J

-280-

Rpta.

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Ejemplo Ilustrativo 8 La fuerza “F” aplicada sobre un bloque se comporta según se muestra en la figura. Calcular el trabajo sobre el bloque cuando es llevado desde x1  0,1 m hasta x1  0,15 m . Solución:

F(N)

F(N) 20

20

15 10

0, 2

X(m)

A

0,1 0,15 0, 2

X(m)

Se puede concluir que: Si: x  0,1  F  10 N x  0,15  F  15 N Trabajo total:  15  10  WA  0,05 2  

W

0,625 J

Rpta.

Ejemplo Ilustrativo 9 Un móvil cuya masa es 8 kg, aumenta su velocidad de 10 m/s a 16 m/s. Determinar el trabajo neto realizado en ese tramo. Solución: Por el teorema de la conservación de la energía se sabe que: Wneto  E c  E c final  E c inicial

1 2 1 2 mVf  mV0 2 2 1 2 1 2  (8)(16)  (8)(10)  Wneto  624 J 2 2

Wneto  Wneto

Rpta.

Ejemplo Ilustrativo 10 Se lanza una esfera como muestra la figura. ¿A qué altura respecto del N.R. su rapidez inicial se 2 triplicará? Desprecie la resistencia del aire y utilice: g  10 m/s .

Solución: La única fuerza que realiza trabajo sobre la esfera es la fuerza de gravedad, al ser esta conservativa, la energía mecánica debe permanecer constante, es decir, Energía Mecánica  cte . VA  2,5 m/s

A

Hagamos uso de la ley de la conservación de la energía: E A  EB

g

VB  3VA  7,5 m/s

B

hA  5 m hB  ?

N.R.

1 1 2 2 mVA  mgh A  mVB  mghB 2 2 Reemplazando valores: 1 1 2 2 (2,5)  10(5)  (1,5)  10hB 2 2 Rpta. hB  2,5 m

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-281-

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Ejemplo Ilustrativo 11 Se suelta un pequeño bloque sobre la superficie curva. Determine el valor de “d”. (desprecie todo 2 tipo de resistencia y g  10 m/s ).

Solución: Conforme el bloque desciende, el valor de su velocidad se incrementa.

A

A

10 m

B

VA  0 mg

Vx

R

10 m

5m

B Vy  0

t

5m

d

N.R.

d

C

En el punto B, su velocidad es horizontal y a partir de dicho instante, su movimiento es compuesto. En la horizontal se verifica: d  vt … (1) Note que es el tiempo que emplea el bloque en llegar al suelo a partir de B. En ese mismo intervalo de tiempo el bloque ha descendido 5 m. 1 2 En la vertical: h  V0t  gt 2 1 2 5  (10)t  t  1 s 2 Aplicando conservación de la energía: EMB  EM A Respecto al N.R. tenemos: 1 1 2 2 mVB  mghB  mVA  mgh A 2 2 1 2 V  10(5)  10(10)  V  10 m/s 2 Reemplazando los datos obtenidos en (1): Rpta. d  10 m Ejemplo Ilustrativo 12 Una esfera de masa “m” está suspendida en un hilo ideal de longitud “L”. A la esfera con el hilo se le desvía 90º y se suelta. Debajo del punto de suspensión del hilo, a L/2, hay un clavo perpendicular al plano donde se mueve la esfera. ¿Qué valor tendrá la aceleración de la esfera, cuando parte del hilo se coloque en posición horizontal? Solución: De acuerdo al enunciado, tenemos:

-282-

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Al ser soltada

Antes de ser soltada

P

clavo

L

L 2

V0

V0 A

P

g

VB B

O

h A  L/2

clavo N.R.

O

C

Nos piden la aceleración de la esfera en la posición B, el problema se refiere a la aceleración instantánea o total, la cual viene dada por:

aB 

a t 2  a c 2 ; donde: a t y a c son la aceleración tangencial y centrípeta de la esfera en la

posición B. Calculemos a t consideremos sobre la esfera la segunda ley de Newton en la dirección tangente. Usamos: a t 

Fg

B tan

centro T

O

FR(tan)

m Del gráfico: FR(tan)  Fg  mg  Ahora calculamos a c utilizamos:

r  L/2

at  g

… ()

para la esfera en la posición B,

VB 2 L , como r  r 2 2 2VB ac  … (1) L Ahora aplicamos la ley de conservación de energía mecánica entre los puntos A y B. EM A  EMB  E P(A)  E C(B) ac 

L 1 2 mVB ; pero: h A  2 2  gL

mgh A 

VB 2

2(gL)  L La aceleración total en el punto B es: Reemplazando en (1): a c  aB 

(g) 2  (2g) 2

a c  2g

2  a B  g 5 m/s

… ()

Rpta.

Ejemplo Ilustrativo 13 Se muestra el instante en que se abandona a una esfera de masa “m”, despreciando toda resistencia. ¿Qué rapidez tendrá la esfera cuando pase por B y qué valor tiene la reacción de la superficie? AC  2,5 r . CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC) -283-

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Solución: A partir del punto C la esfera empieza a describir un trayecto circunferencial como consecuencia de la reacción de la superficie semicilíndrica, tal como lo mostramos: A V0

A

g

B

30º r

O

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g

C VB

superficie semicilíndrica

30º r

N.R.

2,5r

O

h A  3r

C

0,5r

B

Por la ley de la conservación de la energía: EM A  EMB

liso R 1 2 … (1) mgh A  mVB ; pero: h A  3r  VB  6gr 2 Determinemos la reacción de la superficie semicilíndrica sobre la esfera cuando pasa por B; para ello utilizamos en dicha posición. Aplicamos la segunda ley de Newton a lo largo del radio. En B usamos: Fc  ma c 30º

mg 3 mg 2 VB

60º

r

mg 2

B

RB

2

mg mVB  2 r 1 2 … (2) mgh A  mVB 2 Reemplazando (1) en (2): 2 mg m RB   6gr 2 r Rpta. R B  6,5mg RB 



liso



Ejemplo Ilustrativo 14 Determine la rapidez y la aceleración tangencial del cuerpo mostrado en la figura, si este experimenta un 2 movimiento circunferencial en un plano vertical y m  2 kg , además R  2 m ( g  10 m/s ).

Solución:

V

m

La fuerza centrípeta se define por:

100N

Fc  ma c  Fc  m R2m

O

 V2  100  2    V  10 m/s  2  Cálculo de la aceleración centrípeta: ac 

-284-

2

V R

2

V ; R

 ac 

2

2 10  50 m/s 2

Rpta.

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Problemas Resueltos 1. Se traslada un cuerpo desde A(2, 5) hasta B(–6, 4) (en m) mediante una fuerza de 100 N que forma un ángulo de 164º con la horizontal. ¿Cuál es el trabajo realizado por dicha fuerza? a) 700 J b) 740 J c) 750 J d) 760 J e) 800 J Solución:

100 N

P

A(2, 5)

r

d

5m

y  3m

37º x  4m

164º

16º

El

peso

P

tiene

dirección

opuesta

al

desplazamiento d . WP  Pd

B(6, 4)

r  (6, 4)  (2, 5) 

P

WP  mgd r  8i  j

F  100(cos164º i  sen164ºj)

7   24 F  100   i j   F  96i  28 j 25   25 Por definición vectorial de trabajo:

WAB  F  r WAB  (96i  28j)  (8i  j)

 1500 J

Rpta.

3. El bloque de 2 kg y el bloque de 8 kg se encuentran conectados mediante una cuerda inextensible. Despreciando todo tipo de fricción, calcule el trabajo (en J) que realiza la fuerza F horizontal de 75 N, durante los 8 primeros segundos de movimiento de m 2 . a) 1200

WAB  768  28 WAB  740 J

WP  50(10)3  WP 

Rpta.

2. Un joven de masa 50 kg sube por una escalera de longitud 5 m. ¿Qué trabajo realiza su peso hasta llegar a la parte más alta? a) 2500 J b) –1500 J c) 1500 J

b) 1600 c) –1200 d) –1500 e) –1800

75 N

m1 8 kg

2kg m2

Solución: Cálculo de la aceleración del sistema:

d) –2000 J e) 2000 J

37º

Solución: El peso es una fuerza conservativa, el trabajo depende de la altura que se desplace entre los niveles inicial y final:

a

F  75 N

m2

m1

a

80 N

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80  75 5 2  a  0,5 m/s  82 10 Distancia recorrida por m 2 : a

d  V0 t 

1 2 at 2

1 2 (0,5)8  d  16 m 2 El trabajo realizado por “F” es negativo por tener dirección contraria al movimiento: WF  Fd d  0

WF  75(16) 

WF  1200 J

Rpta.

4. El bloque mostrado de 10 kg es jalado por “F” una distancia de 5 m. ¿Cuál es el trabajo realizado por el rozamiento?.  k  0,5 .

5. Un atleta de masa “m”, sube con rapidez constante por un plano inclinado con un ángulo  respecto de la horizontal. Si alcanza una altura “h” en un tiempo “t”, la potencia desarrollada por el atleta será: (no considere rozamiento). 2mgh cos  mghsen a) b) t 2t mgh mgh tan  c) d) t 2t mgh e) tsen Solución: mgsen

2

( g  10 m/s ). a) –200 J

V  cte

F

d) –100 J

k

e) –150 J

Además:

 P

mg .sen .

P

N V  cte

10 kg mg

F k

Por definición de fuerza de rozamiento: 5 .100  50 N f  N  f  10 Luego: Wf   f  d

Wf  50(5)

-286-

 F  m.a

 250 J

Rpta.

h sen

F  mg. sen   0 F  mg .sen F. d P t

Solución: En el gráfico:

Wf 

m.g

Distancia que recorre: d 

10 kg

N

h



b) –250 J c) –50 J

F

t

m.g h t

h sen 

Rpta.

6. La fuerza “F” actúa sobre un cuerpo está descrita según se muestra en la figura. Si el trabajo total realizado por “F” fue de 4500 J, determine el valor de F0 . F(N)

a) 50 N b) 40 N

100

c) 30 N d) 500 N

F0

e) 400 N 20

40

60

X(m)

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Solución: El área bajo la curva F–x mide el trabajo realizado: Wtotal  área  4500 J F(N) 100

A

F0

20

 100  F2 A  100  20   2  A  3000  30F0

X(m)

60

40

  20  20F0 

Luego: 4500  3000  30F0

F0  50 N

Rpta.

7. Una fuerza varía con la posición como se muestra en la figura. Determine el trabajo realizado por la fuerza desde: x  10 , hasta x  10 . F(N)

30

10

25

a) 300 J d) 480 J

b) 390 J e) 630 J

X(m)

c) 400 J

Cálculo de “ F1 ” En la figura: F 30 tan   1  15 25 F1  18 N El trabajo en: 10  x  10 será: W  área 10(30)  30  18  W   10 2 2   W  150  240 Rpta. W  390 J 8. Si para levantar verticalmente el bloque “m” se requiere de una fuerza F  50y  100 (F en Newton, “y” en metros), determínese el trabajo realizado por F para elevar el bloque una altura de 10 m. F a) 1,5 kJ y b) 2,5 kJ m c) 3,5 kJ d) 5 kJ e) 7 kJ Solución: Según la condición del problema, la fuerza “F” para vencer la gravedad y la fuerza elástica, varía en su desplazamiento vertical según la ecuación: F  50y  100 Graficando la función: F(N) 600

Solución: F(N) 100

30

0

F1 

10

10

y(m)

 600  100  W  área    10 2  

A 10

A

25

X(m)

W  3500 J

 W

3,5 kJ

Rpta.

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9. Un cuerpo de 5 kg se mueve sobre una superficie horizontal sin rozamiento, sujeto a una fuerza, la cual depende de la posición como se muestra en la figura. El trabajo (en J) que realiza la fuerza al desplazar el cuerpo desde x  0 hasta , será: F(N) 10

6 2

8

4

X(m)

5

a) 20 J d) 35 J

b) 25 J e) 40 J

c) 30 J

Solución: Según la condición del problema: F  10 N

F5N

x4 x

x0

x8

Si la fuerza está en dirección horizontal el trabajo es positivo, en caso contrario será negativo. Luego: F(N) 10

6 4

8

c) 25 kW

Solución: El caudal es el volumen desalojado por unidad de tiempo. Calculamos la masa de agua que envía la bomba en un segundo ( t  1 s ). m  V

m  1000(0,1) 

m  100 kg

La fuerza ejercida será igual al peso del agua, el trabajo que realiza la bomba es:

W  Fd  (1000)(15)  W  15000 J Finalmente la potencia será: W 15000 J P  t 1s P  15000 J/s P  15 kW Rpta. 11. Un bloque de 5 kg parte del reposo desde una altura de 12 m y desliza con rozamiento sobre un plano inclinado 37º. ¿Cuál es su energía mecánica cuando ha adquirido una 2 velocidad de 4 m/s? ( g  10 m/s ). a) 480 J b) 500 J c) 490 J d) 520 J e) 540 J

A2

g cos 37º

12  h B

Wneto  A1  A 2 2(5)  42 Wneto    10  2  2  Wneto  30  5  25 J

VA  0

X(m)

5

N.R.

Rpta.

10. Una bomba hidráulica tiene un caudal de 3 0,1 m /s , debe levantar agua hasta una altura

-288-

2 bomba ( g  10 m/s ). a) 15 kW b) 30 kW d) 18 kW e) 16 kW

Solución:

A1 2

de 15 m, hallar la potencia que desarrolla la

20 m

gsen37º

A

g

d

VB  4 m/s

B

hB

37º

16 m

Aceleración efectiva del bloque:  3 a  gsen  10    a  6 m/s 2 5

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Por cinemática:

Pu  33, 3 W

Vf 2  V0 2  2ad

Luego: P  u Pe

4 2  2(6)d

 d4m Cálculo de la altura: 12  hB 12  d 20 60  5hB  3d 60  5hB  3(4) 

0, 8 

h B  9, 6 m

Energía en el punto B: EM B  E PB  E PB

1 2 mVB 2 1 2 EM B  5(10)(9,6)  (5)(4) 2 EM B  480  40

EM B  mghB 

EMB  520 J

Rpta.

12. Encuentre la potencia que debe desarrollar una bomba hidráulica (   80% ) para que pueda llenar una cisterna de 100 L de capacidad completamente con agua, se sabe que la cisterna se ubica a 10 m de alto y que se 2 dispone solamente de 5 minutos. (g  10 m/s ) . a) 40,2 W b) 45,3 W c) 41,6 W d) 40,1 W e) 41,5 W

Solución: Calculamos la masa de agua: m  V  1 kg/L(100 L) m  100 kg La fuerza que ejerce la bomba es igual al peso del agua, calculamos el trabajo útil: Wu  Fd  mgh

Wu  100(10)(10) Wu  10 000 J

La potencia útil es: W 10000 J Pu  u  t 5(60 s)

33, 3 Pe

 Pe  41,6 W

Rpta.

13. El motor de grúa tiene una eficiencia del 75% y una potencia nominal de 30 kW. Calcule la máxima velocidad a la que podrá levantar una carga de 15 kN. a) 1,8 m/s b) 2,1 m/s c) 3,2 m/s d) 1,5 m/s e) 1,8 m/s Solución: Calculamos la potencia útil: P Pu   u  0,75  Pe 30 kW

Pu  22,5 kW Se sabe que: Pu  FV

22,5  15V  V  1,5 m/s

Rpta.

14. Cuando un auto de simple tracción sube por una pendiente al 2% con rapidez de 10 m/s, la fricción por rodadura en las ruedas es de 1000 N. Si la masa del carro es de 3000 kg hallar la potencia que consume el motor del auto si su rendimiento es del 80%. a) 40 kW b) 30 kW c) 35 kW d) 20 kW e) 24 kW Solución:

N



f



fR

30000 N

Como el auto sube a velocidad constante: … (1) f  fR  30 000sen

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PROYECTO INGENIERÍA Para ángulos pequeños: sen  tan  

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2 100

 2  f  1000  30000    100 

En (1):

f  1600 N La potencia del motor es: Pe  fV

0,8Pe  1600(10) Pe  20 000 W  Pe  20 kW

Rpta.

15. Sobre un plano horizontal rugoso (  k  0, 2 ) se lanza horizontalmente una teja con una velocidad de 10 m/s, al final del tramo rugoso se ubica una concavidad lisa. Hallar la altura máxima que alcanza la teja sobre la concavidad. R R

V

10 m

a) 1 m d) 3 m

b) 2 m e) 3,2 m

c) 2,5 m

Solución: D.C.L. en cada zona, en la rugosa y en la lisa, luego se observa las fuerzas no conservativas que hacen trabajo. En la zona lisa WFNC  0 R N

R

f

H

W

fc W

Del D.C.L.

WFNC  Wfc

WFNC  E f  E 0

mgd  (mgH  0  0)  (0  0  H

V2  d 2g

H

(10)2  0, 2(10)  H  2(10)

1 2 mV ) 2

3m

Rpta.

16. Una partícula de masa 1 kg, está sujeta al extremo de un resorte y vibra armónicamente con una frecuencia f  (2/) Hz . Si la ecuación de las vibraciones es x  4 cos(t) , en la que “x” está en metros y “t” en segundos. Hallar la energía potencial elástica de la partícula cuando  s. t 12 a) 25 J b) 32 J c) 40 J d) 50 J e) 3,2 J Solución: 2  Para: t  s. y f  Hz 12  Por definición de velocidad angular:  2    2f  2    4 rad/s       x  4 cos  t   4 cos  4.   12 

x  4 cos

m   2m ; T  2 K 3

 1 2  k  16 2 k Hallando la energía potencial elástica: 1 2 1 2 E e  kx   16  2  2 2 Rpta. E e  32 J

WFNC  mgd Por la ley de conservación de energía, en punto inicial y punto final tenemos:

-290-

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Problemas Propuestos 1. Un bloque de 4 kg se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal rugosa, si se le aplica una fuerza F = 50 N, tal como se indica en la figura. Determine: a) El trabajo realizado por “F” cuando el bloque es desplazado 4 m. b) El trabajo neto realizado sobre el bloque cuando éste se desplaza 4 m. F

a) 160 J ; 140 J c) 20 J ; 60 J e) 160 J ; 180 J

2

4 m ( g  10 m/s ). a) 120 J b) –72J c) 72 J

liso

d) 96 J e) –96 J

37º

  0,5

5. El bloque de 3 kg, sube lentamente jalado por marquito; determine el trabajo realizado por el joven cuando el bloque se desplaza

6. Un bloque de 2 kg es trasladado lentamente por medio de una fuerza de 20 N en un tramo de 10 m tal como se muestra. Determine la cantidad de trabajo que se realiza por medio de la fuerza de rozamiento.

b) 200 J ; 140 J d) 120 J ; 180 J

F  20 N

2. Un bloque de 2 kg se ubica en el piso de un ascensor que sube con una rapidez constante de 2 m/s, determine el trabajo realizado por el ascensor sobre el bloque cuando transcurren 6 s 2

( g  10 m/s ). a) 120 J d) 40 J

b) 240 J e) 20 J

c) 245 J

3. Hallar el trabajo realizado por la fuerza F  8i  4 j (en N) que traslada un cuerpo desde el punto A(1, 3) hasta B(2, 6) (en m). a) 12 J b) 15 J c) 18 J d) 16 J e) 18 J

4. Determine el trabajo que desarrolla la fuerza de gravedad sobre el bloque de 2 kg, cuando 2

desliza de “A” hacia “B” ( g  10 m/s ). a) 20 J A

b) 100 J c) 40 J

37º

10 m

a) 200 J d) –160 J

b) –200J e) –40 J

c) 160 J

7. ¿Qué potencia utiliza una máquina perforadora cuya eficiencia es del 75%, si absorbe una potencia de 6 kW? a) 3,0 kW b) 3,5 kW c) 4,0 kW d) 4,5 kW e) 5,0 kW 8. Qué potencia (en watts) debe desarrollar una grúa para levantar una carga de 100 kg con 2 una rapidez de 3,8 m/s ( g  10 m/s ). a) 1750 b) 3 800 c) 380 d) 38 e) 30

9. ¿Qué potencia debe tener el motor de una bomba hidráulica para elevar 6 m 3 de agua, por cada hora, hasta una altura de 12 m?

h  4m

d) 60 e) 80 J

37º

B

2 ( g  10 m/s ).

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PROYECTO INGENIERÍA a) 100 W d) 250 W

b) 150 W e) 300 W

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c) 200 W

b) 60% e) 75%

c) 24%

11. Cuál es la potencia desarrollada por una fuerza F que actúa sobre un cuerpo de 50 kg, que le hace variar su velocidad de 16 m/s a 20 m/s en 10 s. a) 160 W b) 320 W c) 180 W d) 360 W e) 500 W 12. Calcular la máxima velocidad con que un auto puede viajar en una pista, sabiendo que el aire y la pista ejercen una resistencia de 2 kN y que el motor tiene una potencia de 150 H.P. con una eficiencia del 80% (Dato 1 H.P.  746 W ). a) 52,28 m/s b) 41, 76 m/s c) 45,66 m/s d) 44,76 m/s e) 38,46 m/s 13. Un ascensor tiene un peso de 500 N cuando está vacío y puede transportar hasta 10 pasajeros desde el primer piso al 15avo piso de un edificio, en un intervalo de 20 s. Si el peso promedio de una persona es de 700 N y la distancia entre pisos es 3,5 m ¿Cuál es la potencia mínima (en H.P.) que debe proporcionar el motor del ascensor? a) 16,56 b) 16,81 c) 24,63 d) 8,82 e) 8,80 14. El bloque es soltado en la posición “A” sobre la superficie inclinada lisa, determine su rapidez al pasar por la posición “B” 2 ( g  10 m/s ).

-292-

A

b) 4 m/s

10. Determinar la eficiencia que debe tener un motor que acciona un ascensor de 500 kg, si en cada minuto eleva una carga de 500 kg aun altura de 6 m y con rapidez constante, la potencia que recibe es de 2000 W. 2 ( g  10 m/s ). a) 50% d) 80%

a) 3 m/s c) 5 m/s

h  1,8 m

d) 6 m/s e) 7 m/s

B

15. Determine la rapidez con la que debe ser lanzado el bloque de 2 kg, desde la posición “A”, para pasar por la posición “B” con una rapidez de 2 m/s, considere superficies lisas 2 ( g  10 m/s ). a) 2 m/s

B

b) 4 m/s c) 6 m/s d) 8 m/s e) 10 m/s

h  3m V A

16. Cuál debe ser la menor rapidez que debe tener el carrito en “A” para poder llegar al punto 2

“B”, considere superficies lisas ( g  10 m/s ). B A

15 m

a) 6 m/s d) 9 m/s

b) 7 m/s e) 10 m/s

10 m

c) 8 m/s

17. Determine la rapidez de la esfera al pasar por su posición más baja, si fue lanzada desde “A” con una rapidez de 4 m/s, desprecie la 2

resistencia del aire ( g  10 m/s ). a) 2 m/s b) 4 m/s c) 6 m/s

37º 5 m

d) 8 m/s

A

e) 10 m/s

V  4 m/s

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18. Marquito lanza la pelota con una rapidez de 12 m/s, si llega a impactar el arco con una rapidez de 10 m/s, determine la altura del arco. 2

Desprecie la resistencia del aire ( g  10 m/s ). a) 2,2 m b) 2,4 m c) 3,2 m d) 3,6 m e) 4 m 19. Se impulsa el bloque de 2 kg con velocidad V 30 m/s (y el piso es liso). Determinar la máxima deformación del resorte donde K 200 N/m . a) 1 m b) 2 m V c) 3 m K m d) 4 m e) 5 m 20. El bloque de 2 kg se mueve sobre una superficie horizontal lisa. Determine la deformación del resorte cuando el bloque tenga una rapidez de 6 m/s, K  495 N/m . a) 10 cm b) 20 cm 10 m/s c) 30 cm K m d) 40 cm e) 50 cm 21. Una piedra lanzada sobre una superficie horizontal de hielo con una velocidad de 2 m/s y recorre 20 m, hasta detenerse. Hallar el coeficiente de rozamiento entre la piedra y el 2

hielo ( g  10 m/s ). a) 0,10 b) 0,05 d) 0,04 e) 0,01

c) 0,08

22. Un bloque es lanzado sobre una superficie rugosa (   0,5 ) con una velocidad de 5 m/s. Calcular qué distancia recorrerá hasta detenerse

a) 5 m d) 1 m

b) 4 m e) 3 m

c) 2,5 m

23. Si un bloque es liberado en “A”, se observa que esta se detiene en P. Determine la altura H, si el tramo AB es liso y BP es rugoso. a) 3 m A  0, 5 b) 4 m   0, 6 H c) 5 m d) 6 m

B

e) 8 m

P

10 m

24. Una bala de 300 g penetra 12 cm en un bloque de madera. La fuerza promedio que 3 ejerce el bloque sobre la bala es de 32  10 N . ¿Cuál fue la velocidad de impacto de la bala? a) 320 m/s b) 160 m/s c) 120 m/s d) 260 m/s e) 80 m/s

25. Con que velocidad mínima se debe impulsar la esfera desde “A” para que pueda elevarse justo hasta “C”. AB es rugoso C liso A

H

B 2H

a) 2gH

b)

g H

c)

2gH

d)

gH(1  )

e)

2gH(1  2)

26. Se lanza verticalmente hacia arriba un cuerpo de 1 kg con una rapidez de 10 m/s; determine el trabajo que desarrolla sobre dicho cuerpo la fuerza de gravedad durante todo el 2

ascenso ( g  10 m/s ). a) 50 J b) –10 J d) 100 J e) 20 J

c) –50J

( g  10 m/s 2 ). CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC) -293-

PROYECTO INGENIERÍA 27. Una

esfera

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de

es lanzada 200 g horizontalmente tal como se muestra. Determine la cantidad de trabajo que realiza la fuerza de gravedad durante 2 s, luego de ser lanzada 2

( g  10 m/s ). a) 40 J

V

b) 50 J c) 20 J

25 m

d) 4000 J e) 200 J 28. Cuánto trabajo se desarrolla sobre el bloque de 2 kg por acción de F para un tramo de 4 m, si el bloque asciende verticalmente con una aceleraron constante de 2,5 m/s a) 20 J

2

Sobre (A), la fuerza de gravedad desarrolla trabajo positivo. II. Sobre (B) la tensión de la cuerda desarrolla trabajo negativo. III. La cuerda desarrolla trabajo negativo sobre ambos bloques. a) VVV d) VVF

2

 0,8   0,5

F

29. Determine “h”, si el trabajo realizado por la persona al levantar lentamente el bloque desde “A” hacia “B”, es 120 J. Considere las poleas lisas de masa despreciable y la fuerza que ejerce el joven a la cuerda, de 120 N. a) 1 m g

b) 180 J e) 40 J

c) 90 J

32. Una persona desplaza un bloque de 50 kg sobre una superficie horizontal ejerciéndole una fuerza horizontal constante. Si el coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y el piso es 0,6; determine el trabajo realizado por la persona sobre el bloque al ser desplazado 5 m 2

B h

A

-294-

a) 144 J d) 100 J

con rapidez constante ( g  10 m/s ). a) 1200 J

d) 1,5 m e) 2,5 m

c) VFF

31. El ladrillo que se muestra desliza como una velocidad constante de 0,5 m/s por acción de

e) 100 J

c) 2 m

B

b) VFV e) FFF

d) 60 J

b) 0,5 m

A

( g  10 m/s )masa del bloque 6 kg?

a

c) 80 J

I.

F . ¿Cuánto trabajo se desarrolla mediante esta fuerza, en un intervalo de tiempo de 6 s

F

b) 40 J

30. El sistema mostrado se deja en libertad; en relación a ello indique la veracidad o falsedad de las proposiciones  m A  m B  .

b) 1500 J c) 150 J d) 26500 J e) 1000 J CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS ---  FONO: 630439

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33. Determine la cantidad de trabajo realizado mediante la fuerza F constante de módulo 10 N al trasladar al collarín de la posición A hasta B. a) 18 J B

b) 20 J

3m F

4m

c) 21 J

37. Una moneda se lanza con una velocidad de 10 m/s sobre una mesa áspera ( c  0,8 ).

A

d) 24 J

Hallar la máxima distancia que la moneda

e) 25 J 34. Una esfera de 2 kg atada a un hilo describe un movimiento de trayectoria circunferencial. Si el aire ejerce una fuerza de resistencia de módulo constante igual a (10/) N ; determine la cantidad de trabajo neto realizado (en J) sobre la esfera desde la posición A hasta la 2 posición B (g  10 m/s ) . a) –12

b) –10 c) –9

L 1 m

37º

resbalará sobre la mesa ( g  10 m/s 2 ). a) 8 m d) 6,25 m

b) 7 m e) 5,4 m

c) 6 m

38. Se suelta una partícula sobre un plano inclinado en 37º, el cual es áspero (  c  0,125 ), hallar la velocidad de la partícula cuando se haya desplazado en 10 m, ( g  10 m/s 2 ). a) 8 m/s d) 12 m/s

g

B

A

d) –8

50 kg el bloque se mueve con una rapidez constante de 10 m/s hacia arriba del plano, una distancia de 20 m. El coeficiente de roce cinético entre el bloque y el plano inclinado es 0,2. Calcular el trabajo efectuado sobre el bloque por las fuerzas de rozamiento. a) –1,8 kJ b) –1.6 kJ c) –6 kJ d) –1,5 kJ e) –2,4 kJ

c) 9 m/s e) 15 m/s

c) 10 m/s

39. Una particular se lanza hacia arriba, paralelamente a un plano inclinado rugoso ( c  0,5 ), con una velocidad de 20 m/s. Hallar

e) –6

la altura máxima que ascenderá la partícula

35. Una camioneta inicialmente en reposo, debe transportar en el menor tiempo una caja de 200 kg entre dos lugares que se encuentran separados en línea recta una distancia de 1 km. Determine la cantidad de trabajo realizado sobre la caja, sabiendo que los coeficientes de rozamiento entre la caja y la camioneta son 0,4 y 0,5. Considere que la caja en ningún momento desliza por la plataforma de la camioneta.

40. Hallar la velocidad de lanzamiento (V) de una partícula de 0.1 kg de masa, sobre un piso áspero ( c  0,5125 ) de manera que el muelle

a) 10 5 J 7

d) 10 J

b) 10 4 J

c) 10 3 J

6

e) 10 J

36. Una fuerza F paralela a un plano inclinado en 37º, se aplica sobre un bloque de masa

sobre el plano inclinado de 45º ( g  10 m/s 2 ). a) 15 m b) 12 m c) 10 m d) 13,3 m e) 15,2 m

( K  1000 N/m ) tenga una deformación máxima de 0,2 m debido a la incidencia de la partícula lanzada ( g  10 m/s 2 ). a) 24 m/s b) 25 m/s c) 21 m/s d) 26 m/s e) 28 m/s

V

3,8 m

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41. Se muestra una pendiente lisa y otra rugosa (  ) unidas por una curva suave, a una altura “H” un cuerpo se suelta desde la pendiente lisa. ¿Qué altura máxima alcanzará el cuerpo sobre la pendiente rugosa?

H  a)

H 1   tan 

b)

H 1   sec 

c)

2H 1   cot 

d)

H 2   cot 

e)

H 1   cot 

42. Cuál debe ser la potencia de una pistola de resorte que dispara proyectiles de 50 g, los cuales alcanzan una rapidez de 100 m/s, al salir del cañón en un intervalo de 0,1 s. a) 1000 W b) 1500 W c) 2000 W d) 2200 W e) 2500 W 43. Un bloque de 20 kg se desplaza 16 m a partir del reposo, debido a la acción de una fuerza horizontal constante de 200 N en un piso horizontal rugoso que produce una fuerza de fricción de 40 N. Calcule la potencia utilizada para mover el bloque. a) 3,6 kW b) 1,8 kW c) 3,2 kW d) 1,5 kW e) 1,6 kW 44. El corazón humano es una bomba potente, cada día admite y descarga unos 7500 L de sangre. Suponga que el trabajo que realiza es igual al requerido para levantar esa cantidad de sangre a la altura media de tu profesor marquito (1,65 m). La densidad de la sangre es de 1, 05  10 3 kg/m 3 . ¿Qué potencia desarrolla el corazón? a) 2,5 W b) 1,5 W c) 0,5 W d) 2,25 W e) 3 W

-296-

45. Un bloque de 10 kg inicialmente en reposo se pone en movimiento bajo la acción de una fuerza de 80 N. Hallar la potencia desarrollada después de recorrer 100 m sobre la superficie lisa. a) 5200 W b) 3200 W c) 1600 W d) 1800 W e) 800 W 46. Un trabajador levanta cajas de 42 kg, una distancia vertical de 1 m desde el suelo hasta un camión. ¿Cuántas cajas tendría que cargar en el camión en 1 minuto para que su gasto medio de potencia invertido en levantar las cajas sea de 140 W? a) 10 b) 12 c) 15 d) 20 e) 40 47. ¿Qué potencia en watts tiene el motor de una bomba que eleva 18 000 L de agua por hora de un pozo que tiene 30 m de profundidad 2 ( g  10 m/s )? a) 600 d) 1200

b) 750 e) 1500

c) 900

48. Un motor cuya eficiencia es del 45% está conectado a un sistema de poleas cuya eficiencia es de 60%. ¿Qué potencia habrá que suministrar al motor para que el sistema de poleas levante un bloque de 27 kg con 2 velocidad constante de 18 km/h ( g  10 m/s )? a) 1 kW b) 2 kW c) 3 kW d) 4 kW e) 5 kW

49. Un volumen de 1200 m3 de agua cae cada segundo de una altura de 100 m. Si las 3/4 partes de la energía cinética ganada por el agua en la caída se convierte en energía eléctrica por un generador hidroeléctrico. ¿Qué potencia proporciona el generador? a) 600 MW b) 900 MW c) 600 MW d) 900 kW e) 1200 kW 50. Sobre un bloque de 5 kg inicialmente en reposo sobre una superficie horizontal lisa se

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aplica una fuerza también horizontal de 10 N. Hallar la potencia media desarrollada por la fuerza durante los 3 primeros segundos y la potencia instantánea en t  2 s . a) 10 W ; 20 W b) 20 W ; 30 W c) 30 W ; 40 W d) 30 W ; 60 W e) 25 W ; 50W 51. El bloque de 10 kg se encuentra en reposo al pie del plano inclinado liso de 10 m de longitud. ¿Qué potencia media (en W) desarrollará la fuerza F  100 N , paralela al plano, para desplazar al bloque hasta la parte 2 alta del plano ( g  10 m/s )? a) 50

F

d) 250

30º

e) 500

52. En el centro minero de Orcopampa cuya bocamina se ubica a 4250 m.s.n.m. se desea extraer el agua que se acumuló en el nivel 3746 m.s.n.m. cuya cantidad aproximadamente es de

400 m3 .

Si

la

bomba

debe

sacar

3

aproximadamente 4 m cada 5 minutos, además se sabe que 10 % de la potencia de la bomba se pierde en rozamiento. ¿Cuál debe ser la potencia de la bomba que se requiere en 2 H.P.? ( g  10 m/s ). a) 90 b) 95 d) 105 e) 110

c) 100

53. Una piedra es lanzada sobre una superficie horizontal de hielo con una velocidad de 2 m/s y recorre 20 m, hasta detenerse. Hallar el coeficiente de rozamiento entre la piedra y el 2 hielo? ( g  10 m/s ). a) 0,10 b) 0,05 d) 0,04 e) 0,01

55. Un bloque es lanzado sobre una superficie rugosa (  0,5) con una velocidad de 5 m/s. Calcular que distancia recorrerá hasta detenerse 2 ( g  10 m/s ). a) 5 m d) 1 m

b) 100 c) 200

54. Determine la cantidad de trabajo que realiza el joven para comprimir lentamente en 10 cm a un resorte de rigidez K  1000 N/m tal como se muestra. a) 10 J b) 20 J c) 5 J d) 100 J e) 50 J

c) 0,08

b) 4 m e) 3 m

c) 2,5 m

56. Se suelta desde una altura de 1,8 m un cuerpo de 10 g de masa sobre un montículo de arena, si el cuerpo penetra una profundidad de 6 cm en la arena hasta detenerse. Calcular la fuerza en N promedio ejercida por la arena 2 sobre el cuerpo. ( g  10 m/s ) a) 6,4 b) 5,2 c) 3,1 d) 4,5 e) 5,4

57. Un ladrillo cuyo peso es de 10 N, se suelta desde una altura de 5 m sobre un pantano. La resistencia que ofrece el hundimiento del ladrillo es de 20 N. ¿Hasta qué profundidad logrará llegar el ladrillo? Nota: Considere constante la resistencia que ofrece el pantano al desplazamiento del ladrillo. a) 5 m b) 4 m c) 1 m d) 3 m e) 2 m 58. La velocidad (horizontal) de una bala de 50 g de masa cambia de 500 m/s a 100 m/s al atravesar una tabla de 20 cm de ancho. Determinar la fuerza de resistencia media que ejerció la tabla sobre la bala. a) 24 kN b) 12 kN c) 60 kN d) 30 kN e) 25 kN

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59. Determine el módulo de la fuerza de rozamiento que actúa sobre el bloque en reposo, cuando la esfera de 1 kg que fue soltada en “A” pasa por su posición más baja 2

( g  10 m/s ). V0

62. El bloque de 4 kg es lanzado en “A” con una rapidez de 2 m/s sobre la superficie horizontal lisa, determine la máxima deformación del resorte de rigidez k  100 N/m a) 0,2 m b) 0,4 m

A

c) 0,6 m

K

V

d) 0,8 m

a) 30 N d) 60 N

b) 40 N e) 70 N

c) 50 N

60. Determine el módulo de la fuerza que ejerce la superficie semicilíndrica lisa al bloque de 3 kg cuando pasa por la posición “B” si este fue 2

soltado en la posición “A” ( g  10 m/s ). A a) 110 N b) 120 N

R

c) 130 N

2

e) 150 N B

2

considere superficies lisas ( g  10 m/s ). B a) 16º b) 30º

e) 74º

-298-

 R  15m

V0

b) 20 cm

61. Determine la medida del ángulo “”, si la esfera llega como máximo al punto “B”

d) 53º

determine la deformación del resorte cuando la rapidez del bloque sea de 3 m/s, desprecie el rozamiento. a) 10 cm b) 20 cm N K  100 V0 c) 30 cm m d) 40 cm e) 50 cm

( g  10 m/s ). a) 10 cm

R

V  20 m/s

63. Un bloque de 1 kg es lanzado con una rapidez V0  5 m/s tal como se muestra,

64. Determine la máxima deformación del resorte de rigidez K  5000 N/m , si el bloque de 2 kg se suelta en la posición mostrada

R

d) 140 N

c) 37º

A

e) 0,9 m

2m

c) 25 cm

h  5m

d) 30 cm e) 35 cm 65. Una bala atraviesa un bloque de madera de 10 cm de espesor ingresando horizontalmente a 100 m/s y saliendo a 50 m/s. Determinar la fuerza de resistencia promedio de la madera. m bala  20 g . a) 6,4 kN d) 7,5 kN

b) 5,3 kN e) 1,5 kN

c) 2,3 kN

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66. Determine con qué rapidez fue lanzado el collarín de 0,5 kg en la posición “A”, si pasa por la posición “B” con una rapidez de 2 m/s. El resorte es de rigidez K  750 N/m y longitud natural 30 cm, considere superficies lisas. a) 1 m/s V

semicilíndrica y le produce al resorte de rigidez K  140 N/m una deformación máxima de

b) 2 m/s

c) 6 m/s

B

A

c) 3 m/s d) 6 m/s

30 cm

A

R V0

e) 3 m/s 53º

67. El collarín liso de 2 kg es lanzado hacia abajo en “A”, con una rapidez de 2 m/s. Determine la rapidez con la cual llega a “B”. La rigidez del resorte es K  200 N/m y su 2

longitud natural es de 30 cm ( g  10 m/s ). a) 1 m/s b) 2 m/s d) 4 m/s

b) 4 m/s d) 8 m/s

e) 8 m/s

c) 3 m/s

2

10 cm. Hallar V0 , ( g  10 m/s ). a) 2 m/s

Y

2

( g  10 m/s ). a) 100 N/m

X

b) 150 N/m

V

A

70. Determine la rigidez “K” del resorte, si cuando mediante el bloque de 100g se le comprime 10 cm y luego se le suelta, lanza al bloque hasta el punto “B”, considere superficies lisas y desprecie la resistencia del aire

c) 200 N/m

40 cm

20 m

d) 250 N/m

e) 5 m/s 30 cm

B

68. Determine la máxima deformación del resorte de rigidez K  50 N/m , si el collarín de 0,5 kg es soltado cuando el resorte está sin 2

deformar ( g  10 m/s ). a) 10 cm

e) 300 N/m

B

10 m

71. Un proyectil es lanzado con una rapidez de 10 m/s desde una torre de 60 m. Determine la rapidez del proyectil cuando se encuentra a una 2

b) 20 cm

altura de 20 m respecto al piso ( g  10 m/s ). a) 10 m/s V=10 m/s

c) 25 cm

b) 20 m/s

d) 30 cm e) 35 cm 69. Una esfera de 0,1 kg es lanzado con una rapidez “ V0 ” hacia abajo y desde el punto “A”, la esfera desliza sin fricción por la superficie

c) 30 m/s d) 40 m/s e) 50 m/s

60 m

V

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James Prescott Joule (Salford, Reino Unido, 1818 – Sale, id., 1889). Físico británico, a quien se le debe la teoría mecánica del calor, y en cuyo honor la unidad de la energía en el sistema internacional recibe el nombre de Joule. James Prescott Joule nació en el seno de una familia dedicada a la fabricación de cervezas. De carácter tímido y humilde, recibió clases particulares de Física y matemáticas en su propio hogar, siendo su profesor el químico británico John Dalton; compaginaba estas clases con su actividad profesional, trabajando junto a su padre en la destilería, la cual llegó a dirigir.

James Prescott Joule

Dalton le alentó hacia la investigación científica y realizó sus primeros experimentos en un laboratorio cercano a la fábrica de cervezas, formándose a la vez en la Universidad de Manchester. Joule estudió aspectos relativos al magnetismo, especialmente los relativos a la imantación del hierro por la acción de corrientes eléctricas, que le llevaron a la invención del motor eléctrico. Descubrió también el fenómeno de magnetostricción, que aparece en los materiales ferromagnéticos, en los que su longitud depende de su estado de magnetización. Pero el área de investigación más fructífera de Joule es la relativa a las distintas formas de energía: con sus experimentos verifica que al fluir una corriente eléctrica a través de un conductor, éste experimenta un incremento de temperatura; a partir de ahí dedujo que si la fuente de energía eléctrica es una pila electroquímica, la energía habría de proceder de la transformación llevada a cabo por las reacciones químicas, que la convertirían en energía eléctrica y de esta se transformaría en calor. Si en el circuito se introduce un nuevo elemento, el motor eléctrico, se origina energía mecánica. Ello le lleva a la enunciación del principio de conservación de la energía, y aunque hubo otros físicos de renombre que contribuyeron al establecimiento de este principio como Meyer, Thomson y Helmholtz, fue Joule quien le proporcionó una mayor solidez.

-300-

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Objetivos      

Describir los conceptos básicos de la hidrostática. Definir hidrostática como parte de la mecánica. Explicar el concepto de densidad. Realizar el análisis y utilizar las unidades correspondientes en los diferentes sistemas de unidades. Explicar el concepto de presión y presión hidrostática. Realizar el análisis y utilizar las unidades correspondientes en los diferentes sistemas de unidades. Enunciar los principios de Arquímedes y Pascal. Resolver ejercicios relacionados con la hidrostática.

Introducción El comportamiento y las características tan peculiares que poseen los fluidos y en especial el agua. Constituyen una de las mayores preocupaciones del hombre a través de la historia, el hombre del paleolítico construía sus casas en medio de un lago para evitar ser presa de los animales salvajes, por lo cual este tipo de casas estaban diseñadas de tal manera que debían resistir la presión y fuerza hidrostáticas en vista de ello es bastante comprensible que se tenga que lograr bastante estabilidad mediante el uso de material y estructuras apropiadas. El comportamiento de los fluidos ha sido enfocado de una manera algo empírica por el hombre desde tiempos inmemoriales, inclusive desde épocas bíblicas conocemos historias sobre inundaciones y sobre técnicas de riego, en campos dedicados a la agricultura. El hombre para lograr esos conocimientos tuvo que valerse de muchas observaciones durante prolongados periodos de tiempo y así poder comprender algunas propiedades de los líquidos. Podemos también citar como un ejemplo del mundo antiguo las experiencias de los egipcios, quienes anualmente se veían en la obligación de lidiar con las crecidas del Nilo, que inundaba las zonas agrícolas durante las épocas de crecida, dejando territorios anegados ricos en limo, los cuales debían ser repartidos en forma proporcional, desarrollando de esta manera conocimientos tanto en mecánica de fluidos como en geometría (que se utilizaba para la parcelación posterior de los terrenos inundados). Es notable el avance en ingeniería hidráulica logrado por los egipcios, una muestra es la construcción del lago Moeris, un lago artificial en el desierto, para el riego de zonas áridas que eran destinadas a la agricultura. CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC) -301-

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El hombre de la antigüedad con sólo una rudimentaria apreciación de la física de los fluidos, cavó pozos, construyó canales, operó ruedas hidráulicas y dispositivos de bombeo rudimentarios y, al aumentar el tamaño de sus ciudades, construyó acueductos cada vez más grandes, los que alcanzaron su mayor dimensión y grandeza en el Imperio Romano. Pese a todo ello a excepción de las ideas de Arquímedes (287 – 212 a. de C.) sobre los principios de empuje y flotación, en la mecánica de fluidos moderna aparece muy poco sobre el conocimiento de los antiguos. Después de la caída del Imperio Romano (476 D. de J.C.) no existe, hasta la época de Leonardo da Vinci (1452 – 1519), registro alguno de progreso en la mecánica de fluidos. Este gran genio proyectó y construyó la primera esclusa de cámaras para un canal, cerca de Milán, e introdujo una nueva era en la ingeniería hidráulica; estudió también el vuelo de las aves y desarrolló algunas ideas sobre el origen de las fuerzas que soportaban a éstas en el aire. Sin embargo, hasta la época de Leonardo, los conceptos sobre el movimiento de los fluidos deben considerarse más como un arte que como una ciencia. Después de la época de Leonardo, la acumulación de conocimiento sobre hidráulica ganó momentum rápidamente, siendo sobresalientes las contribuciones de Galileo, Torricelli, Mariotte, Pascal, Newton, Pitot, Bernoulli, Euler, y D'Alembert a los principios básicos de la ciencia. Aunque las teorías propuestas por estos científicos se confirmaban en general por experimentos rudimentarios, las divergencias entre la teoría y la realidad condujeron a D'Alembert a declarar en 1744, "La teoría de los fluidos deberá basarse necesariamente en la experimentación". D'Alembert demostró que no existe resistencia al movimiento de un cuerpo cuando éste se mueve a través de un fluido ideal (no viscoso o invíscido), pero es obvio que esta conclusión no puede aplicarse a los cuerpos que se mueven a través de fluidos reales. En 1646 Blaise Pascal empezó sus experimentos barométricos, los cuales continuó durante 8 años. En 1654 completó un trabajo dedicado a las leyes de la hidrostática y a la demostración y descripción de los efectos del peso del aire. Terminados estos experimentos realizó estudios de aritmética, destacando en el análisis y cálculo de probabilidades. Blaise Pascal inventó la prensa hidráulica y es considerado el padre y creador de la hidrostática. Es preciso apuntar que en el antiguo Perú los nasquenses, construyeron acueductos para poder tener agua todo el año; obras que por otro lado debieron significar un gran esfuerzo físico, organizado y dirección técnica de ingenieros hidráulicos. Son notables las innumerables aplicaciones y mecanismos de ingeniería que utilizan fluidos, es fundamental en campos tan diversos como la aeronáutica, la ingeniería química, civil e industrial, la meteorología, las construcciones navales y la oceanografía. La mecánica de fluidos puede subdividirse en dos campos principales: la estática de fluidos, y la dinámica de fluidos. El término de hidrodinámica se aplica al flujo de líquidos o al flujo de los gases a baja velocidad, en el que puede considerarse que el gas es esencialmente incompresible. La aerodinámica, o dinámica de gases, se ocupa del comportamiento de los gases cuando los cambios de velocidad y presión son lo suficientemente grandes para que sea necesario incluir los efectos de la compresibilidad. Entre las aplicaciones de la mecánica de fluidos están la propulsión a chorro, las turbinas, los compresores y las bombas. La hidráulica estudia la utilización en ingeniería de la presión del agua o del aceite.

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Mecánica de Fluidos Es la parte de la Física que estudia el movimiento de los fluidos (líquidos y gases), y que tiene la finalidad de analizar el comportamiento y efectos físicos que originan los fluidos en el estado de reposo y en el estado dinámico. Fluido Es toda sustancia que se deforma continuamente cuando se le somete a un esfuerzo cortante o tangencial, aun por muy pequeño que sea éste. Los fluidos pueden dividirse en líquidos y gases: Diferencias entre líquidos y gases Líquidos Las

fuerzas

de

Gases

cohesión entre

sus

Las fuerzas de cohesión entre sus moléculas

moléculas son intensas

son casi nulas

Son prácticamente incompresibles

Son compresibles

Ocupan un volumen definido

No tienen volumen definido

Tienen superficie libre (limitatoria)

No tienen superficie libre (limitatoria)

Adquieren la forma del recipiente que los

No tienen forma definida y tratan de ocupar

contiene

la totalidad del recipiente que los contiene

Ramas de la Mecánica de Fluidos La mecánica de fluidos se puede clasificar de la siguiente manera:

MECÁNICA DE FLUIDOS

         

Estática  - Hidrostática de  - Neumostática Fluidos  Dinámica  - Hidrodinámica de  - Neumodinámica Fluidos 

La Hidrostática: Es la parte la mecánica de fluidos que estudio a los cuerpos en reposo. La Hidrodinámica: Es la rama de la mecánica de fluidos que se encarga de estudiar los líquidos en movimiento. Cuando los líquidos fluyen, sus moléculas componentes se mueven describiendo curvas llamadas líneas de corriente. CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC) -303-

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Fuerza concentrada

F

Es una fuerza resultantes ideal, la cual se supone que actúan en un solo punto, cuando se trata del peso se ubica generalmente en el centro de gravedad del cuerpo.

q

Fuerzas distribuidas Son fuerzas que actúan en toda una superficie o a lo largo de una recta. Las fuerzas distribuidas son las que más se aproximan a las fuerzas reales.

L

PRESIÓN Es una magnitud física tensorial que expresa la distribución normal de una fuerza sobre una superficie. Magnitud tensorial implica que la presión tiene infinitos puntos de aplicación y manifestación normal sobre todas las superficies.

Presión =

Fuerza Normal Área

Unidades de Presión: N Pascal  1 2  1Pa S.I. m Otras:

g/cm 2 ; lb/ft 2 etc.

Equivalencias:

1 bar  105 Pa 1 torricelli  1torr  1atm

La experiencia de los ladrillos Pregunta: ¿Porqué al colocar dos ladrillos idénticos sobre una superficie de aserrín, podemos notar que el ladrillo vertical se hunde, mientras que el horizontal se mantiene? Respuesta: Porque la presión en ladrillo vertical es mayor que la presión el horizontal. Esto se debe a que superficie en el primer caso es menor, donde podemos plantear: W W P1  y P2  A1 A2

el en la de

La presión es directamente proporcional a la fuerza e inversamente proporcional a la superficie.

P2 A2  A1 P1

A1

A2

Se deduce que: P2  P1

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Hidrostática Introducción: Los estados o fases estables de la materia son tres: sólido, líquido y gaseoso. El estado sólido se caracteriza por tener una forma definida o propia, si se les aplica una fuerza no cambian su forma ni su volumen. Esto se debe a que las fuerzas moleculares son muy fuertes, impidiendo cualquier movimiento intermolecular. En cambio en los líquidos y gases, las fuerzas intermoleculares son débiles, las moléculas pueden resbalar o deslizar unas sobre otras, decimos que fluyen y de ahí el nombre de fluidos. En los líquidos, las moléculas están en contacto, pero pueden deslizarse. Los líquidos tienen un volumen determinado son incompresibles y adoptan la forma del recipiente que los contiene; cuando su volumen es menor que el del recipiente, el líquido presenta una superficie libre que lo limita. En los gases, las moléculas están muy separadas, por lo tanto son fácilmente compresibles, adoptan la forma del recipiente que los contiene ocupando completamente el depósito, su volumen no es determinado.

Sólido

Líquido

Gaseoso

Los fluidos (líquidos y gases), son perfectos si rápidamente adoptan la forma del recipiente que los contiene y poseen gran movilidad, siendo perturbados por la mínima acción ejercida sobre ellos (en caso contrario se llama viscosos). El fluido perfecto, es ideal. Sin embargo el agua, el bisulfuro de carbono (líquido) y el hidrógeno (gas) poseen una viscosidad muy reducida y se pueden considerar como perfectos, por ésta razón se toma el agua como modelo para el estudio de los fluidos. Así tenemos que a la Estática de los Fluidos se le llama Hidrostática y a la Dinámica de los fluidos se le denomina Hidrodinámica, etc. En resumen vamos a estudiar la aplicación de las leyes y principios de la mecánica estudiada, llamada Mecánica de Newton, a los fluidos, para lo cual hemos dividido el estudio en. a) b) c)

Hidrostática Neumostática Hidrodinámica

: Estudia los líquidos en equilibrio (reposo). : Estudia a los gases en reposo. : Estudia a los fluidos en movimiento.

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Definición de Hidrostática: Es la parte de la Mecánica de Fluidos que estudia a los líquidos en reposo. Nota: La Hidráulica es una rama de la ingeniería que estudia las aplicaciones industriales y técnicas para aprovechar el movimiento de los líquidos en especial del agua. CONCEPTOS FUNDAMENTALES Densidad (  ) Se le llama también densidad absoluta, es una magnitud escalar que mide la masa por unidad de volumen que posee un cuerpo. Se determina por la relación entre la masa de un cuerpo y su volumen. Es una magnitud escalar cuyo valor nos indica la masa por unidad de volumen que posee un cuerpo:

= Donde:

m : V :

m V

Masa de la sustancia Volumen del cuerpo

Unidades: S.I.:

kg/m 3

3 3 3 Otras: g/cm ; lb/pulg ; lb/pie ; etc.

Densidad Relativa (  r ) Es la relación entre la densidad de cualquier cuerpo y la densidad del agua, es una cantidad adimensional.   r = sustancia  H 2O

 r : es adimensional Peso Especifico (  ) Magnitud escalar que se define como el cociente del peso de un cuerpo entre su volumen.

= Donde:

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W : V :

W V

Peso del cuerpo Volumen del cuerpo CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS ---  FONO: 630439

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Unidades: S.I:

N/m 3

Otras:

kg/m 3 ; kg/lt ; g/cm 3 ; etc.

Gravedad Específica (S) Es un peso específico relativo, respecto al agua para los sólidos y líquidos.

Scuerpo 

 cuerpo  H 2O

Relación entre el peso específico y la densidad Se sabe que: Entonces:

W mg m ; y   V V V   g



Presión Hidrostática Es la presión que soporta todo cuerpo sumergido en forma parcial o total en un líquido en reposo relativo. La presión hidrostática se debe a la acción de la gravedad sobre el líquido.

líquido

P

Presión =

Fuerza W gV g A h = = = Area A A A

P  gh

h

Área Principio Fundamental de la Hidrostática “La diferencia de presiones hidrostáticas entre los puntos situados en un mismo líquido en reposo relativo es igual al producto de la densidad del líquido por la altura entre dichos puntos por la gravedad”. P2  P1   liqg(h 2  h1) P2  liqgh 2 P2  P1   liqgH P1  liqgh1 P   liqgH h1 Nivel 1 Donde: H  h  h h

Nivel 2

h2

2

1

Nota: Si: h1  h 2 (a un mismo nivel)

P2  P1  0 

P2  P1

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Este último resultado indica que las presiones hidrostáticas son iguales a una misma profundidad. Vasos comunicantes Son recipientes de diversas formas, comunicados entre sí por su base. Si por una de las ramas se vierte un solo líquido, la altura que alcanza dicho líquido en todas las ramas del recipiente es la misma. Esto es debido a que si un líquido se halla en reposo, las presiones en todos los puntos correspondientes a un mismo nivel es la misma. Como: h1  h 2  h3 P1  P2  P3  P4

h2

h1 1

2

h3 3

4

 En el caso de tener un tubo inclinado con cierto líquido, la presión se determina tomando la altura vertical. Presión en el fondo P  H

P   h sen  H

h

 Se denominan líquidos inmiscibles a aquellos que cuando se juntan no llegan a mezclarse. Los menos densos tienden a subir a la superficie y los demás tratan de quedarse en el fondo.

C

hC

B

hB

A

hA

Si:  A  B  C

P   Ah A   BhB   ChC

Vasos comunicantes con dos líquidos inmiscibles Sea un tubo en U nuestro vaso comunicante. Si en una de sus ramas echamos mercurio (Hg), entonces alcanzará el mismo nivel. Si a continuación echamos agua en una de sus ramas, las superficies de mercurio quedan a distintos niveles.

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H 2O

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h2

h1

1

Hg

2

Las presiones son iguales en líneas isobáricas En el gráfico: P1  P2   H 2Oh1   Hg h 2 Línea isobárica

Hg

Nota: ¿Para otro nivel encima del elegido, se cumplirá la misma relación? La respuesta es NO “Pues las presiones son iguales a un mismo nivel solo cuando se tiene un mismo líquido” Principio de Arquímedes “Todo cuerpo sumergido parcial o totalmente en un líquido recibe una fuerza vertical de abajo hacia arriba, denominada empuje cuyo valor es igual al peso del líquido desalojado”. E   líq gVS ó E   líq VS

E Nota: Todo cuerpo totalmente sumergido desaloja un volumen de líquido exactamente igual al suyo.

V cuerpo

sumergido

= Vlíquido

desalojado

FLOTACIÓN Se dice que un cuerpo está en flotación cuando está en contacto únicamente con fluidos y además está en reposo. Centro de Flotación Se llama así al centro de gravedad de la parte sumergida del cuerpo. En este punto se supone que actúa el EMPUJE. CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC) -309-

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Leyes de Flotación 1ª Ley: “Si el peso específico del cuerpo es mayor que el del líquido en el cual se sumerge, entonces el cuerpo se hunde hasta el fondo, con una aceleración a ”.

a

E

C VC W

L

líq  a   1  cuerpo 

  g 

2ª Ley: “Si el peso específico del cuerpo es igual a la del líquido en el que se sumerge, entonces el cuerpo flota entre dos aguas.  C   líq 3ª Ley: “Si el peso específico del cuerpo es menor que el peso específico del líquido, entonces el cuerpo se sumerge con una aceleración a ” E

L

 líq  a 1g  cuerpo   

C

VC a W

PESO APARENTE Se llama así a la diferencia entre el peso real de un cuerpo, (peso medido en el vacío) y el empuje del fluido en el que se encuentra el cuerpo.

W

V1

1

V2

2

V3

Wa  Wr  E

3

En el caso de un cuerpo sumergido en líquidos inmiscibles, el empuje se obtiene de la siguiente manera: E T  E1  E 2  E 3  E T  1V1   2V2   3V3 El empuje hidrostático en recipientes acelerados, es perpendicular a la superficie libre de líquido y dicha superficie se inclina tal como se muestra.

a  g tan 

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PRINCIPIO DE PASCAL “Un líquido transmite en todas direcciones, la presión que ejerce sobre él, sin disminuir su valor” F

P0

PRENSA HIDRÁULICA Es una máquina simple que tiene por objetivo multiplicar la fuerza que se le comunica. Sus aplicaciones se dan para levantar cargas pesadas. F1

Area  A1

Area  A 2

F1 F  2 A1 A 2

F2

Desplazamiento de émbolos F1

h2

V2

Area  A 2

h1

V1

F2

Area  A1

Los volúmenes de líquido desplazado son iguales, de donde se establece que: V1  V2  A1h1  A 2h 2 A1 h 2  A 2 h1

Presión Atmosférica La presión atmosférica se ejerce en todas direcciones y con igual intensidad, en un mismo punto. Densidad del aire: aire  1,3 g/cm3 Experiencia de Torricelli Llenó de mercurio un tubo delgado de 1 m de largo, tapó uno de sus extremos y luego lo invirtió, sobre el recipiente que contenía también mercurio. Entonces pudo notar que el mercurio no se vació completamente. Si esta experiencia se realiza a nivel del mar se observa que la altura del mercurio que queda en el tubo es de 76 cm. Luego: Patm  76 cm  13,6 g/cm3 CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC)

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Hidrodinámica Introducción: La discrepancia entre la teoría y experimentación, a la que se denominó la paradoja de D'Alembert, ha sido en la actualidad ya resuelta. No obstante se demuestra con claridad las limitaciones de la teoría de esa época para la resolución de problemas sobre fluidos. Con motivo del conflicto entre la teoría y la experimentación, surgieron dos escuelas de pensamiento para el estudio de la mecánica de los fluidos, una que trataba acerca de los aspectos teóricos y otra acerca de los aspectos prácticos del flujo de los fluidos. En cierto sentido, estas escuelas de pensamiento han subsistido hasta la actualidad, lo que ha tenido como resultado el campo matemático de la hidrodinámica, y la ciencia práctica de la hidráulica. Antes del principio de siglo XX, se hicieron notables contribuciones a la hidrodinámica teórica, por Euler, D'Alembert, Navier, Coriolis, Lagrange, Saint–Venant, Stokes, Helmholtz, Kirchhoff, Rayleigh, Rankine, Kelvin y Lamb. En un sentido amplio, la hidráulica experimental llegó a ser el estudio de los fenómenos de flujo ocurrentes en orificios, tubos y canales abiertos. Entre los muchos investigadores precursores que dedicaron sus energías a la iniciación de este campo. A mediados del sigo anterior, Navier y Stokes tuvieron éxito al modificar las ecuaciones generales del movimiento de un fluido ideal para adaptarlas a las de un fluido viscoso y, al hacerlo así, demostraron la posibilidad de explicar las diferencias entre la hidráulica y la hidrodinámica. Casi al mismo tiempo, los estudios teóricos y experimentales sobre el movimiento de vórtice y sobre el flujo separado, hechos por Helmholtz y Kirchhoff, ayudaban a explicar muchos de los resultados divergentes entre la teoría y el experimento. Mientras tanto, continuaba progresando la investigación hidráulica y se acumularon grandes cantidades de excelente información o se propusieron fórmulas. Infortunadamente, las investigaciones conducían con frecuencia a fórmulas empíricas obtenidas por el sólo ajuste entre gráficas e información experimental, o por la sola presentación de los resultados en forma tabular, y en muchos casos, no era aparente la relación entre los hechos físicos y la fórmula resultante. Hacia fines del siglo pasado, surgieron nuevas industrias que demandaron información sobre el flujo de fluidos diferentes al agua; este hecho, aunado a los muchos adelantos significativos en el conocimiento, tendió a detener el empirismo en la hidráulica. Estos adelantos fueron: (1) las investigaciones teóricas y experimentales de Reynolds; (2) el desarrollo, por Rayleigh, del análisis dimensional; (3) el uso de modelos en la solución de problemas sobre fluidos, por Froude, Reynolds, Vernon–Harcourt, Fargue y Engels; y (4) el rápido progreso de la aeronáutica teórica y experimental, debido a los estudios de Lanchester, Lilienthal, Kutta, Joukowsky, Betz y Prandtl. Estos adelantos proporcionaron nuevas herramientas para la solución de problemas, y dieron nacimiento a la moderna mecánica de fluidos. La contribución singular más importante fue hecha por Prandtl, cuando en 1904 introdujo el concepto de la capa límite. En su corto pero descriptivo documento, Prandtl proporcionó, de una sola vez, un eslabón esencial entre los movimientos ideal y real de los fluidos de baja viscosidad (por ejemplo, el agua), y suministró la base de una gran parte de la mecánica de fluidos moderna. En el siglo XX ha decaído el empirismo puro, y los problemas sobre fluidos se han resuelto

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mejorando constantemente los métodos racionales; estos métodos han producido muchos resultados fructíferos y han colaborado al conocimiento creciente de los detalles de los fenómenos en los fluidos. Esta tendencia, ciertamente tendrá que continuar. Otra tendencia persistente es la del surgimiento de complejidades cada vez mayores y de más grandes desafíos en los problemas sobre fluidos. Subsisten los problemas sobre suministro de agua, irrigación, navegación y energía hidráulica, pero ahora a una escala nunca imaginada por los ciudadanos de Roma precristiana. La gama de nuevos problemas aparecidos en los tiempos modernos es virtualmente infinita, incluyendo el estampido sónico del aeroplano supersónico, la dispersión de los desechos de la humanidad en los lagos, ríos y océanos, el flujo de la sangre en las venas, arterias, riñones, corazones y aparatos de corazón y de riñón artificiales, el flujo de bombeo de combustible y de escape en los cohetes lunares, el diseño de superbarcos – tanque petroleros de una megatonelada, en lo relativo a velocidad, eficiencia del bombeo de la carga y seguridad; y el análisis y simulación del clima de la Tierra y de las corrientes oceánicas. Así, la mecánica de fluidos ha llegado a ser parte esencial de campos tan diversos como la medicina, la meteorología, la astronáutica y la oceanografía, así como el de las disciplinas tradicionales de la ingeniería. FLUIDO Definición.- Es toda sustancia que se deforma continuamente cuando se le comete a un esfuerzo cortante. Se diferencia de u sólido debido a que cuando un sólido es empujado por una fuerza, ésta tendrá que ser no tan pequeña para empezar a deformarlo, pues habrá que vencer a una determinada resistencia, es más, si la fuerza no es tan grande, el sólido puede recuperar su forma original. En cambio en el fluido, por más pequeña que sea la fuerza (esfuerzo cortante), éste empezará a deformarse.

Viscosidad Es el rozamiento interno entre las capas de fluido. A causa de la viscosidad, es necesario ejercer una fuerza para obligar a una capa de fluido a deslizar sobre otra. En la figura, se representa un fluido comprendido entre una lámina inferior fija y una lámina superior móvil. Lámina móvil

C

C'

D

D'

Fluido

Lámina fija

A

F

d

B

La capa de fluido en contacto con la lámina móvil tiene la misma velocidad que ella, mientras que la adyacente a la pared fija está en reposo. La velocidad de las distintas capas intermedias aumenta uniformemente entre ambas láminas tal como sugieren las flechas. Un flujo de este tipo se denomina laminar. CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC)

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Como consecuencia de este movimiento, una porción de líquido que en un determinado instante tiene la forma ABCD, al cabo de un cierto tiempo se deformará y se transformará en la porción ABC’D’. Sean dos capas de fluido de área “A” que distan x y entre las cuales existe una diferencia de velocidad V .

A

V  V V

x  x x

La fuerza por unidad de área que hay que aplicar es proporcional al gradiente de velocidad. La constante de proporcionalidad se denomina viscosidad  .

F V  A x

… (1)

En el caso particular, de que la velocidad aumente uniformemente, como se indicó en la primera figura, la expresión (1) se escribe: F V  A d En la figura, se representan dos ejemplos de movimiento de un fluido a lo largo de una tubería horizontal alimentada por un depósito grande que contiene líquido a nivel constante. Cuando el tubo horizontal está cerrado todos los tubos manométricos dispuestos a lo largo de la tubería marcan la misma presión P  P0  gh . Al abrir el tubo de salida los manómetros registran distinta presión según sea el tipo de fluido.

 Fluido Ideal Un fluido ideal (figura de la izquierda) sale por la tubería con una velocidad, V  2gh , de acuerdo con el teorema de Torricelli. Toda la energía potencial disponible (debido a la altura h) se transforma en energía cinética. Aplicando la ecuación de Bernoulli podemos fácilmente comprobar que la altura del líquido en los manómetros debe ser cero.

h

d

-314-

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 Fluido Viscoso En un fluido viscoso (figura de la derecha) el balance de energía es muy diferente. Al abrir el extremo del tubo, sale fluido con una velocidad bastante más pequeña. Los tubos manométricos marcan alturas decrecientes, informándonos de las pérdidas de energía por rozamiento viscoso. En la salida, una parte de la energía potencial que tiene cualquier elemento de fluido al iniciar el movimiento se ha transformado íntegramente en calor. El hecho de que los manómetros marquen presiones sucesivamente decrecientes nos indica que la pérdida de energía en forma de calor es uniforme a lo largo del tubo. Viscosidad de algunos líquidos Líquido Aceite de ricino Agua Alcohol etílico Glicerina Mercurio

.10 2 kg/(ms)

120,00 0,105 0,122 139,3 0,159

Ley de Poiseuille Consideremos ahora un fluido viscoso que circula en régimen laminar por una tubería de radio interior R, y de longitud “L”, bajo la acción de una fuerza debida a la diferencia de presión existente en los extremos del tubo.

F  (P1  P2)r 2 Capa de fluido comprendida entre r y r+dr

p 1 r

2

p 2 r

2

r

dr R

Sustituyendo F en la fórmula (1) y teniendo en cuenta que el área A de la capa es ahora el área lateral de un cilindro de longitud L y radio r. P1  P2 dV   2L dr El signo negativo se debe a que V disminuye al aumentar “r”. El flujo tiene por tanto un perfil de velocidades parabólico, siendo la velocidad máxima en el centro del tubo. CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC)

-315-

PROYECTO INGENIERÍA r

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R

V

r



X

Vmáx

Fluido Unidimensional

Fórmula de Stokes Cuando un cuerpo se mueve en el seno de un fluido viscoso la resistencia que presenta el medio depende de la velocidad relativa y de la forma del cuerpo. El régimen de flujo es laminar cuando la velocidad relativa es inferior a cierto valor crítico, la resistencia que ofrece el medio es debida casi exclusivamente a las fuerzas de rozamiento que se oponen al resbalamiento de unas capas de fluido sobre otras, a partir de la capa límite adherida al cuerpo. Se ha comprobado experimentalmente, que la resultante de estas fuerzas es una función de la primera potencia de la velocidad relativa. Para el caso de una esfera, la expresión de dicha fuerza se conoce como la fórmula de Stokes. Fr  6 RV Donde R es el radio de la esfera, V su velocidad y  la viscosidad del fluido. Una aplicación práctica de la fórmula de Stokes es la medida de la viscosidad de un fluido. Flujo Es el movimiento de un fluido. El flujo de un fluido puede clasificarse de muchas maneras, tales como de: régimen establecido, régimen variable o régimen turbulento, real, ideal, compresible e incompresible, rotacional o irrotacional. a) Flujo de régimen estable: Cuando en cualquier punto del fluido el vector velocidad es idéntico (en módulo y en dirección). b) Flujo de régimen variable: Cuando el vector velocidad varía con el tiempo. c) Flujo de régimen turbulento: Es el más frecuente de los casos prácticos. Se trata cuando las partículas del fluido se mueven siguiendo trayectorias muy irregulares. d) Flujo real o viscoso: Cuando se considera el rozamiento o viscosidad. e) Flujo ideal o no viscoso: Es cuando se supone sin rozamiento o sea, viscosidad nula y que no es turbulento. f) Flujo compresible: Cuando la densidad del fluido es función de la posición en el espacio y del tiempo ( x; y; z; t ). g) Flujo Incompresible: Cuando la densidad es constante. h) Flujo rotacional: Cuando las partículas del fluido en cada punto, tienen una velocidad angular neta con respecto a ese punto. i) Flujo irrotacional: Cuando se tiene el caso contrario al flujo rotacional.

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Líneas de corriente Son líneas dibujadas en el campo de flujo de tal manera que en un instante dado se encuentran siempre tangentes a la dirección del flujo en cada punto del campo de flujo. La forma de las líneas de corriente puede cambiar de un instante a otro si la velocidad del flujo es una función del tiempo, es decir, si se trata de un flujo no estacionario. Dado que las líneas de corriente son tangentes al vector velocidad de cada punto del flujo, el fluido nunca puede cruzar una línea de corriente.

V1 A

B

V2

Líneas de corriente Observe que las velocidades siempre son tangentes a las líneas de corriente.

Ecuación de continuidad Es un enunciado de la conservación de la masa. A1V1  A 2V2 Esta ecuación se deduce primeramente para flujo permanente de un fluido compresible. En efecto, consideremos el flujo permanente de un fluido compresible a través de tubo de corriente. A2

A1

Flujo y líneas de corriente a través de un tubo. Observe que las secciones en el tubo tienen superficies distintas.

1

2

Ecuación de Bernoulli Expresa la conservación de la energía en el fluido. Consideremos un fluido compresible y no viscoso y de régimen estable. Para trasladar el flujo de la posición (a) a la (b), se hace necesario realizar un trabajo por un agente exterior (una bomba, el peso, etc.) y éste es igual a:

V1

A1 F1 z1 N.R.

V2 F2

A2 z2

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-317-

PROYECTO INGENIERÍA Wext = F1d1  F2d 2 

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Wext = P1A1I1  P2A 2I 2 … (1)

Donde los volúmenes V1 y V2 de la parte rayada son iguales:

V1  A1I1 y V2  A 2I 2 Reemplazando en (1) (V1  V2  V)

Wext = P1V1  P2V2 

Wext = P1V  P2V

Wext =(P1  P2)V … (2) Se sabe:

=

m m y V=  v

… (3)

m  Este trabajo debe ser igual a la ganancia neta de la energía mecánica (cinética y potencial), es decir: Wext = E c + E p Reemplazando (3) en (2): Wext = (P1  P2 )

 P1  P2 

2 2 m  mV2 mV1  =  + mgz 2  mgz1   2 2   

P1  P2 =

V2 V1  + gz1 2 2

2

2

2



P1 +

2

V1 V + gz1 = P2 + 2 + gz 2 = cte 2 2

La ecuación de Bernoulli, nos dice que la suma de la presión (P), de la energía cinética por unidad V 2 y la energía potencial por unidad de volumen (gz) tiene el mismo valor a lo 2 largo de una misma línea de corriente.

de volumen

Teorema de Torricelli Se tiene un depósito muy grande lleno de líquido con su superficie libre a la P0 (presión atmosférica) con orificio pequeño en la unidad h. El punto 1 está en presión P0 , la velocidad es 0 (cero) y su altura es h, con respecto al punto 2, que tiene la presión P0 su velocidad V y su altura 0 (cero).

h H

V y

Por el Teorema de Bernoulli:

P0  0  gh  P0 

V

1 2 V  0 2

x

2gh

Donde: V : Velocidad de salida h : Profundidad del orificio

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Problemas Resueltos 1. Un vaso de boca ancha y fondo angosto 2

cuya sección es de 50 cm se halla parcialmente lleno con aceite cuya densidad es 3

de 0, 8 g/cm , halle la fuerza hidrostática en el fondo del vaso si el aceite tiene una profundidad de 15 cm. a) 600 g

b) 400 g

d) 800 g

e) 100 g

c) 200 g

a) 55 g y 40 g

b) 42 g y 24 g

c) 24 g y 42 g

d) 40 g y 55 g

e) 48 g y 52 g Solución: a) Fuerza hidrostática en el fondo  F1 

Solución: * Cálculo de la presión hidrostática: Esta presión depende solamente de la profundidad del aceite, más no de la forma del vaso. Ph   L H 3 Ph   0,8 g/cm   15 cm 

FH

Ph  12 g/cm p Cálculo de la fuerza hidrostática: Fh  600 g

2

P1

Presión en el fondo: P1  1H

2

Fh  Ph A  Fh   12 g/cm

F1

3

P1  (1, 2 g/cm )(7 cm)

  50 cm 2 

P1  8, 4 g/cm

2

Fuerza en el fondo  F1 

Rpta.

* No debe confundirse, “fuerza sobre el fondo” con “fuerza total hacia abajo”.

F1  P1A

F1   8, 4 g/cm

2. Se muestra la vista frontal de un tintero cuyo fondo tiene una sección de 5 cm

2

2

y su

boca 2 cm . Si la densidad de la tinta es

2

  5 cm 2 

F1 

42 g

Rpta.

b) Fuerza hidrostática total hacia abajo  F1 

3

1, 2 g/cm , hallar: a) La fuerza hidrostática sobre el fondo. b) La fuerza hidrostática total hacia abajo. F1

B

P2

5 cm

P2   L h 2 cm

P2   1, 2 g/cm

3

C P1

  5 cm 

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-319-

PROYECTO INGENIERÍA P2  6 g/cm

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* Diagrama de presiones sobre el tapón. * Sobre la base superior actúan la presión atmosférica y la presión hidrostática, luego: PT  P0  Ph

2

Área neta en el contrafondo BC: 2

2

2

A  5 cm  2 cm  3 cm Fuerza en el contrafondo BC: FBC  P2A



FBC  6 g/cm

2

* Sobre la base inferior actúa solamente la presión atmosférica.

  3 cm  2

P0

FBC  18 g

Luego, la fuerza total hacia abajo  F1  será:

* Diagrama de fuerzas sobre el tapón.

FT  F1  FBC

* fS : fricción total en torno al tapón

FT   42 g    18 g 

Luego: F0  fS  FT  w

3. El Siguiente diagrama hace ver un tapón cilíndrico de 100 gr de peso, ajustado a un orificio circular en el fondo del recipiente de 2

4 cm . Encuentre la fricción en torno al tapón si se sabe que el agua no escapa por el hoyo.

8 cm

b) 125 g

d) 146 g

e) 152 g

fS

fS  Ph  A  W

fS    L H  A  w

fS   1 g/cm

3

F0 W

  8 cm   4 cm 2   100 g/cm 2

fS  132 g

a) 120 g

FT

 P0 A   fS   PT A   W P0 A  fS   P0  Ph  A  W

FT  24 g

c) 132 g

Solución: Cuando sobre el cuerpo (tapón) o no hay presencia de líquido, no existe empuje hidrostático (se detallará posteriormente) solamente hay fuerza vertical hacia abajo. * El equilibrio de un cuerpo sumergido en un fluido (líquido) debe analizarse considerándose la presión atmosférica siempre que el recipiente esté abierto a la atmósfera.

-320-

PT

Rpta.

4. Dos émbolos ingrávidos, de secciones 2

2

transversales de 6 cm y 4 cm están unidos por un alambre fino de 20 cm de longitud, de modo que se impide el escape del agua. Hallar la tensión en el alambre. Despréciese el rozamiento. Los extremos del recipiente están abiertos a la atmósfera. a) 200 gr

b) 220 gr

d) 260 gr

e) 280 gr

c) 240 gr

Solución: * Diagrama de presiones (tapa superior) P0

A1

P1

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* La tensión hacia abajo hace que exista presión  PT  en la tapa superior. * Diagrama de fuerzas (tapa superior) F0

5. ¿En qué parte de la varilla AB, a partir de “A”, será necesario aplicar la fuerza vertical “F” para que la varilla de longitud “a”, unida (rígidamente a émbolos ingrávidos permanezca horizontal? La sección transversal de un émbolo es el doble que la sección del otro.

F B

A F1

F0  T  F1

T

T  P1A1  P0 A1 P1  P0  T … (1) A1

* Diagrama de presiones (tapa inferior) Del diagrama: P2  P1   L H …(2) * Diagrama de fuerzas (tapa inferior) Fo  T  F2

Solución: Para que la varilla permanezca horizontal, en los tanques debe haber igual nivel de líquido, luego sobre cada émbolo actúa igual presión (P). Diagrama de la Varilla:

T  P2 A 2  Po A 2

T   P1A 2   L H  A 2  Po A 2

T  P1A 2   LHA 2  Po A 2

F

x

B

A

T   L HA 2   P1  Po  A 2

T   L HA 2  P1  P0 …(3) A2 Comparando (1) = (3) T  T   L HA 2 A1 A2 TA 2  TA1   L HA 2 A1

a

PA1

 MA  0

 L HA 2 A 1 A1  A 2 Reemplazando:      T  1 20 6 4 64 T

T  240 g

PA 2

Fx   PA 2  a …(1)

Rpta.

F  0 F  PA1  PA 2 …(2) (2) en (1):  PA 1  PA 2  x   PA 2  a

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-321-

PROYECTO INGENIERÍA A2 A1  A 2 Pero: A 2  2A1 (4) en (3) xa

x

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* Paso b: Igualamos presiones absolutas: P1  P2 …(1)

… (3)

* Del diagrama: Sobre “1”: Líquido “A” y atmósfera. Luego: P1  PA  Po

… (4)

2a 3

Rpta.

6. En un tubo en “U” se vierten 3 líquidos: A, B y C, quedando en equilibrio en la forma mostrada. Si los pesos específicos de A y C son 3

5 y 3 g/cm respectivamente. Hallar el peso específico del líquido B.

Sobre “2”: Líquido B y C, y atmósfera Luego: P2  PB  PC  Po Reemplazando en (1): PA  P0  PB  PC  P0

 Ah A   BhB   ChC

 5 g/cm   25 cm    B  5 cm    3 g/cm 3  15 cm  3

 B  16 g/cm

3

Rpta.

7. Dos cilindros comunicantes se hallan llenos de agua y tapados con lisos émbolos cuyos pesos son de 100 g y 300 g y sus respectivas 25 cm

A

C

15 cm 5 cm

B

secciones son de 5 cm a) 10 cm

b) 12 gr/cc

c) 14 gr/cc

d) 16 gr/cc

H

e) 5 cm Solución: * Paso a: Trazamos la isóbara más alta

Solución: Paso a: Trazamos la isobara

b

P0

a

H

1 25 cm A

C

5 B

-322-

2

15

2 1

H

d) 9 cm

e) 18 gr/cc

P0

2

y 20 cm . Halle “H”.

b) 8 cm d) 7 cm

a) 10 gr/cc

2

* Paso b: Igualamos presiones absolutas: P1  P2 …(1) Sean a y b; las tapas

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* Sobre “1” presionan: la tapa “a” y la atmósfera. * Sobre “2” presiona: una columna “H” de agua, la tapa “b” y la atmósfera. En (1): Pa  P0  Pagua  Pb  P0 Pa  Pagua  Pb

Pa  H  Pb * Para hallar la presión de las tapas debe dividirse su peso entre su área:

100 g 5 cm

2



 1 g/cm

3

H

300 g 20 cm

H  5 cm

P0

H

Po A

h

2

B

Paso a: P1  P2

2

PB  P0  PA  P0

Rpta.

8. Se muestra el equilibrio de dos líquidos A y B, considerando que la tapa y el tubo tienen pesos despreciables. Si en lugar del líquido A se colocara en el tubo un nuevo líquido cuya densidad fuera la semisuma de las densidades de los líquidos A y B, la nueva relación (H/h) cuando la tapa delgada está apunto de caer será:

 Bh B   A h A … ( H  h )  Bh   A  H  h    B  2 A … (1)

Cuando en el tubo se coloca otro líquido “C”.

H

C h

Inicialmente H = h.

H

1

2

B

Dato:

A

h

1

 A  B …(2) 2 P1  P2 C 

B

PB  P0  PC  P0  Bh   C  x  h 

2 5 3 d) 2 a)

1 3 1 e) 2 b)

c)

2 3

Solución: La tapa delgada estará a punto de caer cuando soporte igual presión en las caras.

De donde: x B  C  …(3) h C (2) en (3): x B   A  …(4) h B   A x 2 A   A x    h 2 A   A h

1 3

Rpta.

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9. Despreciando el espesor de las paredes del tubo “T”, halle su peso si se encuentra en flotación en el agua. El tubo tiene un diámetro de 1 m.

2

A  0, 25 m

2

2

 W  (400 kg/m )(0, 25 m ) 314 kg

W

Rpta.

10. La presión manométrica registrada en el 2

0,4 m

recipiente “A” es 50 gr/cm , halle la presión manométrica del gas “B”, si el tubo comunicador contiene aceite  0,8 gr/cc  .

A a) 314 kg

b) 310 kg

d) 300 kg

e) 290 kg

c) 312 kg

B 20 cm

Solución:

Po 0,4 m

1

2

a) 60 gr/cm

2

b) 62 gr/cm

c) 64 gr/cm

2

d) 66 gr/cm

e) 68 gr/cm

P1  P2 Paire  H  P0



2

2

Solución: * Paso a: Trazamos la isóbara más alta.

Paire  Pagua  P0 Paire  1000 kg/m

2

3

 0, 4 m  P0 F0

2

Paire  400 kg/m  P0 * Diagrama de fuerzas y presiones del tubo: Faire  F0  W

P0

A B

P

Faire

Paire A  P0 A  W

20 cm

1

2

(400 kg/m  P0 )A  P0 A  W

W

2

W  (400 kg/m )A 2

Pero: A  R  (0,5 m)

-324-

2

W

P1  P2

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Pac  PA  PB …(1)

PHg  Pac  PN2  Pagua  Paire

* Pac : Presión del aceite

 Hg h Hg   ac h ac  PN2  H  Paire

 achac  PA  PB

En (1):

 0,8 g/cm   20 cm   50 g/cm 3

PB  66 g/cm

2

 13,6   5    0,6   15   PN2  1  10   100 2

 PB

Rpta.

11. El diagrama muestra los niveles de los líquidos equilibrados. Halle la presión del nitrógeno si la presión del aire en el manómetro 2

registra 100 g/cm . La densidad del aceite 3 empleado es 0, 6 g/cm .

AIRE ACEITE

40 cm

AGUA

a) 1 cm3

b) 2 cm3

3

3

e) 5 cm

Hg



Pf  H  P0

Pf  1 g/cm

b) 35 g/cm

2

2

d) 39 g/cm

2

a) 33 g/cm c) 37 g/cm

e) 41 g/cm

3

  1033 cm    1033 g/cm 2 

Pf  2066 g/cm

2

* En la superficie: PS  P0

2

PS  1033 g/cm

2

Reemplazando en (1):

Solución:

 2066 g/cm2  1 cm3   1033 g/cm3  VS

N2

VS  2 cm

AIRE 15 cm

c) 3 cm3

Pf  PH  P0

30 cm

2

Rpta.

Solución: Ley de Boyle: En el fondo y en la superficie: Pf Vf  Ps Vs …(1) * En el fondo:

35 cm

2

12. En el fondo de un lago de 10,33 m de profundidades se produce una burbuja de 1 cc que asciende hasta la superficie libre del lago. ¿Qué volumen tendrá la burbuja al emerger del lago? d) 4 cm

N2

50 cm

33 g/cm

PN 2 

ACEITE

AGUA

1

2

Rpta.

13. Un trozo de metal de 20 g tiene una 10 cm

5 cm

3

3 densidad de 4 g/cm y está colgado en un

3 cilindro de aceite (1,5 g/cm ) por medio de una cuerda, ¿cuándo ale la tensión en la

2

P1  P2

cuerda? ( g  9,8 m/s ).

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a) 12350 dinas b) 12455 dinas c) 12550 dinas d) 12650 dinas e) 13000 dinas Solución: Paso a: Hacemos el D.C.L. Paso b:  F  0 T  E  WC

T E

a) 1,12 cm d) 1,18 cm

T  WC   L VS …(1) Hallamos el volumen del cuerpo reemplazarlo en (1): W C  C V 20 g 3 4 g/cm  V

para

3

V  5 cm … (2) Como todo el cuerpo está sumergido:

V  VS  5 cm Reemplazando en (1): 3

K  9,8 N/cm

…

K  1 kg/cm

V  50 cc

…

V  0,00005 m

T  0, 0125 Kg Expresamos “T” en N (Newtons) T  0,0125  9,8 N 

T  0,1225 N T  0,1225  105 dinas  T  12250 dinas Rpta.

14. Una pesa de 1,2 kg reposa dentro de un fluido    0,8 gr/cc  y ocupa un volumen de 3

50 cm . Halle la deformación del muelle

 K  9,8 N/cm  . -326-

3

T

Kx  E  W Kx   L VS  W Reemplazamos datos.

E

3

  5 cm 3 

3

 L  800 kg/m

W

 1 kg/cm  x   800 kg/m3   0,00005m3   1,2 kg x

T  12, 5 gr

A dinas:

3

…

 L  0,8 g/cm

W



c) 1,16 cm

Solución: Previamente arreglamos datos:

T  WC  E

T   20 g   1,5 g/cm

b) 1,14 cm e) 1,20 cm

1,16 cm

Rpta.

15. Un oso que pesa 550 kg flota sobre un trozo de hielo, conforme el hielo se derrite, ¿cuál será el volumen mínimo de hielo a fin de que el oso polar no se moje las garras? * Densidad relativa del agua salada: 1,03 * Densidad relativa del hielo: 0,92 a) 8 m

3

b) 7 m

3

d) 5 m

3

e) 4 m

3

c) 6 m

3

Solución: El volumen mínimo de hielo será aquel cuando las garras del oso estarán a punto de mojarse.

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* Paso a: Hacemos el D.C.L. de todo el sistema:

T 3a Cos

E

W0

o

3a Cos

2a a

E  WH  W0

a

WH

 L VH   H VH  W0

VH   L   H   W0 …(1)

* Paso b: Tomamos momentos en “O”  M0  0

Arreglando datos:

 L  1030 kg/m  H  920 kg/m

3

Luego:

3 3

VH  5 m

3

3

Rpta.

16. Una varilla de peso homogéneo y uniforme se halla lastrada con el 50% de su volumen hundida en agua. Encuentre la densidad de la varilla. 3 3 a) g/cm 4

2 3 g/cm 3

c)

4 3 g/cm 3

d)

1 3 g/cm 2

e)

2 3 g/cm 2

E

W

M0  M0

Ed E  Wd W

En (1): VH (1030 kg/m  920 kg/m )  550 kg

b)

W

Solución: Hacemos el D.C.L. de la varilla (observe que el empuje hidrostático se ubica en el centro de gravedad del volumen sumergido).

E  3a Cos   W  2a Cos  3E  2W 3   1VS   2  V  …(1) * Como el 50% del volumen está sumergido. V Luego: VS  … (2) 2   V  (2) en (1): 3   1     2V   2  3 L   4 3

Para el agua:  L  1 g/cm   



3 3 g/cm 4

3 3 g/cm 4

Rpta.

17. Una tubería de 20 cm de diámetro, por la cual circula el agua llenándola completamente, tiene un estrechamiento de 10 cm de diámetro. Si la velocidad en la parte ancha es de 4 m/s. Hallar: I. La velocidad en el estechamiento II. El caudal 3 a) 16 m/s y 12, 56 m 3 b) 16 m/s y 1, 256 m

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Por la ecuación de continuidad entre los puntos mencionados: A1V1  A 2V2

3 c) 16 m/s y 0,1256 m

d) 18 m/s y 0,1256 m

3

3 e) 12 m/s y 0,1256 m

A V2  V2  8 m/s 4 Por la ecuación de Bernoulli: 2A 

Solución: I. De la ecuación de continuidad:

A1V1  A 2V2 

2

V1 2 V 2  gz1  P2   2  gz 2 2 2 z1  z 2  0 (Por coincidir con el N.R.)

P1  

2

d 1 d 2 .V1  .V2 4 4

(20  102)(4)  (10  102)2 V2 4

Sustituyendo datos:

4

(400  10 )4  (100  10 )V2

4

4, 5  10 

V2  16 m/s

4 P2  1, 5  10 Pa

d 2  Q  1 (4) 4

3 Q  0,1256 m /s

Rpta.

19. En el recipiente de la figura. Hallar la velocidad de salida (en m/s) por la boquilla. a) 16 2

Q  (20  10 2 )2

g  10 m/s

Rpta.

b) 18

18. Por una tubería horizontal que tiene una contracción fluye agua. La presión es 4, 5  10 4 Pa en un punto donde la rapidez es 2 m/s y el área es “A”. Encuentre la presión en un punto donde el área es “A/4”.

( agua  1000 kg/m 3 ). 4 a) 1, 8  10 Pa

4 b) 2, 5  10 Pa

4 c) 1, 2  10 Pa

4 d) 1, 5  10 Pa

H  20

D  0,1 m

c) 20 d) 25 e) 24

x

Solución: Aplicando la ecuación de Bernoulli entre 1 y 2: 1 H  20

3 e) 1, 5  10 Pa

N.R.

2

Solución: Trabajando en la tubería

x

(V1  2 m/s; P1  4,5  10 4 Pa) P1   V1 A

-328-

2

4,5  10 4  0, 2  10 4  P2  3, 2  10 4

II. Cálculo del caudal “Q”:

Q  A1V1

2

1000(2) 1000(8)  P2  2 2

V2

N.R.

A 4

2

2

V1 V  gz1  P2   2  gz 2 2 2 V2 2 0 2 V2  20 m/s

0  0  gH  0  

V2 

2gH 

Rpta.

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Problemas Propuestos 1. Se muestra una caja cúbica de 50 kg y de 50 cm de arista, qué presión (en Pa) ejerce dicha caja sobre la superficie inclinada, g  10 m/s 2 . a) 1200 b) 1600 c) 1800 d) 2000 e) 2400

g 37º

a) 150 kPa; 300 kPa c) 100 kPa; 200 kPa e) 200 kPa; 400 kPa

b) 300 kPa; 600 kPa d) 200 kPa; 300 kPa

5. En la figura se muestra un recipiente conteniendo 2 líquidos de densidades

1  1,5 g/m 3 y  2  2,5 g/m 3 . Si el recipiente esta abierto, determine la presión total en A y en B. ( Patm  105 Pa )

2. Se tiene un ladrillo de 2 kg y de 20 cm de ancho por 10 cm de largo, que reposa sobre una superficie horizontal, si se encuentra unido a una cuerda que se jala de un extremo con una fuerza de 5N. Determine la presión que el piso ejerce sobre la base del ladrillo,

A

8 cm

2 ( g  10 m/s ).

a) 250 N/m

2

b) 500 N/m

2

g  10 m/s 2

10 cm B

g

a) 10 4 Pa ; 103,7 kPa

2 c) 750 N/m

b) 10 5 Pa ; 103,7 kPa

2 d) 1000 N/m

c) 10 5 Pa ; 100 kPa

2 e) 1250 N/m

d) 10 4 Pa ; 100 kPa

3. Se tiene una lámina cuadrada de 1 m de lado colocada en 4 soportes se muestra. Determine el módulo de que ejerce la atmósfera a la

vidrio de tal como la fuerza cara A,

Patm  105 Pa . ¿Por qué el vidrio no se rompe? 3

a) 10 N

Cara "A"

4 b) 10 N

5

c) 10 N

e) 10 5 Pa ; 110 kPa 6. Un cubo de 1m de arista se encuentra sumergido en agua ¿Cuál es la fuerza que 2 soporta la cara inferior del cubo?; g  10m/s . a) 50 kN

b) 80 kN

1m

c) 100 kN

6 d) 10 N

d) 120 kN

7 e) 10 N

e) 150 kN

4. Un hombre de 80 kg se encuentra en pie. Las suelas de sus zapatos cubre cada una un 3

2

área igual a 2  10 m . ¿Qué presión ejerce sobre el piso? ¿Cuál será la presión si se para en 2 un solo pie? g  10m/s .

7. La gráfica presión Vs. Profundidad corresponde a puntos pertenecientes a un líquido. Calcule la densidad del líquido de kg/m 3 ( g  10m/s 2 ).

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P(bar)

a) 200 b) 400 c) 600

3A

e) 1000

50

0

h(m)

Agua

8. En la figura mostrada el tubo en U de igual sección contiene 2 líquidos no miscibles en

a) 1

equilibrio. Determine 1 .( 2  10g/cm3 )

d)

3 a) 5 g/cm

b) 6 g/cm

3

1

3

d) 11 g/cm

3

e) 12 g/cm

3

10 cm

8 cm

2

g  10m/s 2 .

a) 1 atm

d) 14 N

GAS

b) 2 atm

V

g

c) 3 atm Hg

10. Un cuerpo de 30N, se sumerge totalmente 3

en un líquido de densidad 2g/cm y la lectura de un dinamómetro acoplado al cuerpo indica 20N. ¿Qué lectura indicará el dinamómetro al 2 sumergir dicho cuerpo en agua? ( g  10m/s ) a) 15N b) 20N c) 25N d) 30N e) 35N

11. En que relación están las masas de los émbolos si se encuentran en reposo; considere superficies lisas.

-330-

c)

2 5

12. Si un bloque de 3kg se coloca cuidadosamente sobre la superficie de un pistón, tal como se muestra. Determine en cuanto aumenta la lectura del dinamómetro. a) 8 N

e) 5 atm

1 3 4 e) 5 b)

3 2

9. En la figura se muestra un tanque compresor de gas. ¿Qué presión ejerce este gas a la válvula? Patm  1atm  76 cm Hg y R  38 cm

d) 4 atm

2A

1

d) 800

c) 8 g/cm

(2)

(1)

5

Liso A

b) 10 N 3A c) 12 N e) 16 N

Agua

D

13. Un bloque de 400 cm3 se coloca lentamente en un recipiente lleno de aceite. ¿Qué volumen de aceite se derramará, si la densidad

del

bloque

es

250

kg/m 3 ?

( aceite  0,8 g/cm3 ) b) 50 cm3

a) 25 cm3 d) 100 cm

3

e) 125 cm

c) 75 cm3 3

14. En la figura determine la deformación del resorte de K=500 N/m, si el émbolo de la masa 2 despreciable esta en reposo. ( g  10 m/s ).

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a) 20 N

Liso 10cm

A  0, 25m 2

b) 40 N c) 60 N d) 80 N e) 100 N

Agua

a) 50 cm d) 75 cm

b) 60 cm e) 80 cm

c) 70 cm

15. Si el dinamómetro indica 50N, y luego se introduce lentamente el bloque hasta sumergirlo completamente sin tocar el fondo, se observa que la balanza indica 20N. ¿Cuánto indica en ese instante el dinamómetro? (la masa del recipiente A es despreciable). g  10m/s a) 10 N b) 20 N

2

18. Determine el módulo de la fuerza de tensión del hilo que sostiene al globo de 4 litros lleno de 2 aire; ( g  10m/s , aire  0,5g/cm3 ) a) 20 N

b) 25 N

H 2O

c) 30 N d) 35 N e) 40 N 19. La figura muestra un tanque con agua. Calcule el volumen de la parte sumergida del globo muy liviano; ( g  10 m/s 2 , m var illa  0,5 kg ;

Dinamómetro

L  4r ). a) 100 cm3

c) 30 N

L

b) 200 cm3

d) 40 N e) 50 N

H 2O

H 2O

A

c) 300 cm3

BALANZA

d) 400 cm3

16. Inicialmente una pelota de plástico de 18N flota con la tercera parte de su volumen sumergido en agua. ¿Cuál es el módulo de la fuerza vertical que debe aplicarse para mantenerla totalmente sumergida? 2 ( g  10 m/s ). a) 18 N d) 45 N

b) 27 N e) 54 N

c) 36 N

17. Calcule el menor valor de la fuerza de tensión que puede soportar la cuerda que 2 sostiene al bloque de 80 N; ( g  10 m/s ,

3

 bloque  2 g/cm ).

r

e) 500 cm3 20. Un tronco cilíndrico homogénea es mantenido en equilibrio mediante la fuerza F  6 N , si lentamente esta fuerza disminuye hasta cero. Indique cuanto es la longitud del 2 tronco que queda sumergida; g  10m/s F a) 2,5 cm

A  80cm 2

b) 7,5 cm c) 10 cm d) 12,5 cm e) 15 cm

20 cm H 2O

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-331-

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21. Determine el intervalo de tiempo que

a) 5 m

3 emplea la esfera de densidad 400kg/m , en llegar a la superficie libre de líquido de densidad

b) 6 m

600 kg/m 3 , cuando se corta la cuerda que lo

5m

c) 7 m

2

mantiene en reposo ( g  10m/s ) a) 0,6 s

d) 8 m

b) 0,8 s

e) 9 m

c) 1 s

1,6 m

d) 1,2 s e) 1,4 s 22. Un buzo suelta una pelota cuya densidad es 2 líquido con la intención de indicar su 3 posición. Determine luego de que tiempo 2 llegará a su altura máxima ( g  10m/s ). a) 1 s

b) 2 s

26. Halle la fuerza hidrostática sobre el fondo de una piscina de 30m×10m cuya profundidad es de 6 m.

10m

c) 3 s

25. En un vaso lleno de con agua, se encuentra flotando un cubo de hielo, cuando este se derrita, determine lo que suceda con el agua. a) Se derrama b) Disminuye el nivel de agua c) Ni se derrama agua, ni se disminuye el nivel de agua. d) No se puede determinar e) Depende del volumen de hielo

5

4

b) 1834  10 N

3

d) 1153  10 N

a) 1784  10 N

d) 4 s

c) 2547  10 N

e) 5 s

e) 1657  10 N

4

5

27. Un tintero de cuello angosto tiene 10 cm de 23. Se sabe que en el mar, la presión 5

hidrostática aumenta en 10 Pa por cada 10m de profundidad. ¿Después de que tiempo una 3 piedra de densidad 2,55 g/cm soltada en la superficie del mar soportara una presión de 2 3 4  105 Pa ? ( g  10 m/s , agua  1,02 g/cm )

a) 2 2 s

b) 2 5 s

d) 3 10 s

e) 5 2 s

c)

10 s

500 kg/m 3 .

Determine

hasta

que

2 profundidad ingresa en el agua; g  10 m/s .

-332-

3

Hallándose lleno de tinta ( 1, 2 g/cm ). ¿Qué fuerza hidrostática actuará sobre el fondo del tintero? a) 40 g

b) 50 g

d) 70 g

e) 80 g

c) 60 g

28. En la representación equilibrada, la sección transversal del tubo es 5 cm2 , un sólido “S” de

24. Al soltar una pequeña esfera cuya densidad es

2

alto y un fondo cuya sección es de 5 cm .

100 gr de peso tiene sin rozar uno de los ramales presionado sobre el agua. Calcule “H” 3 constituida por aceite ( 0, 8 g/cm ).

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a) 35,7 cm b) 15,4 cm c) 38,2 cm d) 37,5 cm

S

H

10 cm

e) 39,6 cm

A

29. Hallar la presión de gas en el tanque “B”, sabiendo que la presión del gas en el tanque 2 “A” es 100 g/cm y que el tubo que los comunica contiene mercurio.

a) 35,6 g / cm 2

B

A

b) 45,6 g / cm 2

40 cm

37º

10

d) 65,6 g / cm2

cm

c) 55,6 g / cm 2 e) 75,6 g / cm 2

respectivas son de 0,2 y 0,4 m2 . Halle la altura “H” de equilibrio cuando en el émbolo mayor se coloca una pesa de 300 kg. El líquido que usa esta prensa es agua.

a) 1,5 m

b) 2,5 m H

d) 4,5 m e) 5,3 m 31. Un tubo en “U” consta de dos ramales verticales, uno de doble sección transversal que el otro ramal. Inicialmente los 8 cm de aceite se hallan separados del agua mediante una válvula cerrada ubicada en “A”. ¿Cuánto descenderá el nivel del agua cuando lentamente la válvula se va abriendo? La densidad del aceite es 0, 6 g/cm 3 .

a) 4,64 cm d) 8,54 cm

b) 5,65 cm e) 7,24 cm

c) 3,87cm

32. Para averiguar la magnitud de la presión atmosférica al nivel del mar, en el barómetro rústico de Torricelli se emplea un líquido que 3 tiene una densidad de 10 g/cm . ¿Qué altura trepará el líquido por el interior del tubo? a) 103,3 cm

b) 104,4 cm

Vacío

c) 105,5 cm d) 106,6 cm

30. Los émbolos lisos de una prensa hidrostática pesan 100 y 500 kg, sus secciones

c) 3,5 m

15 cm

8 cm

e) 107,7 cm 33. cerrado, en él se aísla una columna de aire de 20 cm. ¿Qué altura adicional de mercurio se debe derramar por el ramal abierto de modo que la columna de aire se reduzca a 10 cm? La sección transversal del tubo es uniforme. a) 170 cm b) 171 cm c) 172 cm

20 cm

76 cm

d) 173 cm e) 174 cm 34. Una esferita pesa 10 g en el aire, pero solamente 6 g cuando la esferilla se sumerge totalmente en agua. Encuentre el volumen de la esfera. a) 4 cm3

b) 5 cm3

d) 7 cm3

e) 8 cm3

c) 6 cm3

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35. Una pieza metálica pesa 30 N en el aire, sumergida totalmente en agua pesa solamente 18 N. Hallar la densidad de cierto líquido en donde la pieza metálica sumergida pesa 12 N. 3 a) 1 g/cm

3 b) 1,5 g/cm

3 d) 3,5 g/cm

3 e) 4,2 g/cm

3 c) 2 g/cm

36. Midiendo el peso aparente de un cuerpo, éste resulta ser cuatro veces menos pesado en agua que en el aire. ¿Qué densidad tiene el cuerpo? 3 a) 2,55 g/cm

3 b) 1,33 g/cm

3 c) 1,44 g/cm

3 d) 7,35 g/cm

3 e) 2,75 g/cm

37. Sumergido en aceite, un cuerpo “pierde” 100 g de peso, pero sumergido en aceite de oliva la pérdida de peso es de 80 g. ¿Cuál será la pérdida de peso cuando el cuerpo se sumerja en el aceite que resulta de mezclar 2 volúmenes del primer aceite con un volumen de aceite de oliva? a) 93, 3 g

b) 92, 3 g

d) 96, 3 g

e) 90, 3 g

c) 94, 3 g

38. Encuéntrese el volumen de una esfera si sumergida en agua pesa 80 g y sumergida en 3 aceite ( 0,8 g/cm ) pesa 100 g.

a) 90 cm3

b) 100 cm3

d) 120 cm3

e) 130 cm3

c) 110 cm3

( 0, 6 g/cm ) la mayor pesa el doble que la menor. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

-334-

3

(1,2 g/cm ) puede navegar con el 40% de su volumen fuera del agua. 3 a) 0,56 g/cm

3 b) 0,72 g/cm

3 c) 0,24 g/cm

3 d) 0,65 g/cm

3 e) 0,75 g/cm

41. Un trozo de plomo flota reposadamente en mercurio. Si la densidad del plomo es 10, 2 g/cm 3 y la del mercurio es 13, 5 g/cm 3 . Hallar la fracción del trozo que se sumerge. a) 0,75 b) 0,85 c) 0,95 d) 0,74 e) 0,84

42. Calcule la máxima carga que puede colocarse sobre una balsa de madera de 20 kg de peso de modo que ésta no se hunda. El volumen de la balsa es de 1 m3 . a) 960 kg b) 970 kg d) 990 kg e) 1000 kg 43. Determine

la

elongación

c) 980 kg del

muelle

(K  1 kg / cm) , si el cuerpo esférico de 400 cc pesa 1 kg y se jala totalmente bañado en agua. a) 0,32 cm

b) 0,33 cm c) 0,34 cm d) 0,35 cm e) 0,36 cm

39. Hallar la relación entre los volúmenes de dos esferas, si en el aire la mayor pesa el triple que la menor, sumergidas totalmente en agua “pesan” iguales y sumergidas en aceite 3

40. Encuentre la densidad promedio de un barco sabiendo que en aguas tranquilas del mar

37º

44. Para que un bote de 500 kg de peso permanezca estable en un lago. Se emplea un 3 lastre de 50 kg, cuyo volumen es de 0, 02 m , que estado mediante un cabo al bote se logra la estabilidad. Encuentre el volumen del bote que sumerge en el agua. 3 3 3 a) 0, 51 m b) 0, 52 m c) 0,53 m 3 d) 0, 54 m

3 e) 0, 55 m

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45. El peso total de un recipiente que contiene 3 aceite ( 0,7 g/cm ) es 150 g, en él se suelta una esferilla metálica de 4 cc de volumen, antes que la esferilla toque el fondo, con qué fuerza el recipiente presiona el piso horizontal sobre el que se ubica.

a) 151, 5 g

b) 132,7 g

d) 163,7 g

e) 152, 8 g

c) 176, 4 g

a) 20 cm 3

b) 30 cm 3

3

3

d) 50 cm

e) 60 cm

c) 40 cm 3

49. Un trozo de metal, suspendido en un techo, está sumergido en 100 cc de agua contenida en un recipiente de peso despreciable. Determine el volumen del metal si la lectura del dinamómetro es 10 g y la lectura de la balanza es 130 g.

46. Sobre una mesa se ubica un vaso que contiene agua haciendo una mesa total de 100 g , si de pronto emerge a la superficie una

a) 60 cm3

3 burbuja de 0, 4 cm . Hallar la fuerza de presión que ejerce el vaso sobre la mesa mientras la burbuja asciende. a) 102,5 g b) 100,4 g c) 101,7g d) 157,4 g e) 164,4 g

c) 40 cm 3

47. En el instante mostrado, halle la lectura de la balanza, si se considera que el recipiente de peso despreciable contiene 1 litro de agua y que en tal momento una esferilla de acero de 10 gr

50. ¿Con qué aceleración descenderá una gatita de mercurio al ser liberada en un estanque con agua?

2

desciende con una aceleración de 2, 8 m / s .

a) 987000 dinas b) 958000 dinas c) 943200 dinas d) 968500 dinas e) 967000 dinas 48. La siguiente experiencia emplea un recipiente con agua y una esfera cuya densidad 3 es de 1, 5 g/cm . En la primera ubicación la lectura de la balanza es de 400 g, mientras que en la segunda la lectura es 380 g. Hállese el volumen de la esfera.

b) 50 cm3

d) 30 cm3 e) 20 cm 3

2 a) 8, 08 m/s

2 b) 9, 08 m/s

2 c) 10, 08 m/s

2 d) 6, 08 m/s

2 e) 5, 08 m/s

51. Una esferita de madera, cuya densidad es 0, 6 g/cm 3 , se ata a un lastre metálico de 2, 8 g/cm 3 de densidad. ¿Con qué aceleración 2

(en m/s ) descenderá el conjunto al soltarse en agua? El volumen de la esferita es el doble que el volumen del lastre. a) 2,41 b) 2,42 c) 2,43 d) 2,44 e) 2,45 52. Desde la superficie de una piscina se deja 3

caer una bolilla de 2 g/cm de densidad. ¿En cuánto tiempo la bolilla tocará el fondo de la piscina? La profundidad de la piscina es 2,45 m . a) 1 s b) 2 s c) 3s d) 4 s e) 5 s CONSORCIO DE ACADEMIAS DE INGENIERÍAS -- AV. DE LA CULTURA 1002 (FRENTE A LA UNSAAC) -335-

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53. Un depósito lleno de agua tiene una profundidad de 0,8 m, si desde el fondo se 3

libera un corcho de 0,5 g/cm de densidad, éste asciende y emerge impulsado por el empuje hidrostático. ¿Qué altura máxima alcanzará el corcho sobre el nivel del agua? a) 0,7 m b) 0,8 m c) 0,9 m d) 0,10 m e) 0,11 m 54. Un avión vuela horizontalmente, a 125 m sobre el mar, con una velocidad de 20 m/s. Con el objeto de destruir un barco, desde el avión se suelta un proyectil cuya constitución tiene una densidad de gr/cc, errado el bombardeo, el proyectil ingresa al mar sin estallar, si en ese lugar la profundidad de las aguas es de m, ¿con qué velocidad el proyectil tocará el fondo? Aproxime a gr/cc la densidad del agua del mar 2 ese lugar. No existen fricciones. (g  10 m/s )

a)

37 m/s

b)

10 m/s

d) 5 37 m/s

c) 5 10 m/s e) 10 37 m/s

55. La bolita liberada sobre el plano inclinado liso, ingresa en una pileta que contiene agua, si 3 la densidad de la bolita es 0, 5 g/cm , ¿qué profundidad máxima alcanzará la bolita dentro de la pileta? Desprecie la viscosidad del agua. a) 2,5 m

b) 3,5 m c) 4,5 m

lago, halle la densidad del agua del lago. No 2 hay rozamiento (g  10 m/s ) . 3 a) 1,1 g/cm

3 b) 2,3 g/cm

3 c) 3,5 g/cm

3 d) 4,5 g/cm

3 e) 7,6 g/cm

57. Un depósito lleno de agua mantiene en su seno a un corcho de 5 cc de volumen, sujeto al fondo mediante un cabo. ¿Cuál será el módulo de empuje hidrostático efectivo cuando el depósito acelera horizontalmente a razón de 2 5 m/s 2 ? (g  10 m / s ) a) 2000 dinas

b) 2500 dinas c) 3000 dinas d) 3500 dinas e) 3550 dinas 58. Una esfera de 400 g está unida a una varilla homogénea de 80 g de masa la cual está sumergida en aceite hasta la mitad. Si la varilla y la esfera tienen igual volumen, y la longitud de la varilla es 12 veces el radio de la esfera. Halle la fuerza con que la esfera presiona sobre el fondo del recipiente.

a) 20 g

b) 30 g

5m

c) 40 g

45º

d) 5,5 m

d) 50 g

e) 6,5 m

e) 60 g

56. Un helicóptero se estabiliza a 80 m sobre la superficie de un lago cuya profundidad de 21 m . Si al cabo de 4,5 s de haber soltado, desde el helicóptero, un cuerpo metálico de 5, 5 g/cm 3 de densidad, éste toca el fondo del

-336-

a

59. En el siguiente diagrama, la esfera y la varilla tienen igual peso y volumen, y están sumergidas en aceite. Halle la relación entre las fuerzas de presión que sobre el fondo ejercen la esfera y el extremo derecho de la varilla homogénea y uniforme. La longitud de la varilla es 6 veces el radio de la esfera.

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EXCLUSIVA PARA INGENIERÍAS 3 a) 1 g/cm 3 b) 2 g/cm

a a

3 c) 3 g/cm

3 2 6 d) 2 a)

4 2 7 e) 2 b)

c)

5 2

60. El diagrama muestra el estado equilibrado de una varilla homogénea y uniforme de 40 kg de peso adicionado en su extremo con una carga de 10 kg determinar el volumen de la varilla sumergida en agua. a a) 0,10 m 3

b) 0, 09 m 3 3 c) 0, 08 m

2a

3 d) 0, 07 m

3 e) 0, 06 m

61. Un palillo homogéneo y uniforme sumergido en agua hasta la mitad, se apoyo en una pared vertical lisa y un fundo rugoso ( s  0,5) , si en la posición mostrada, el palillo esta a punto de resbalar, halle la densidad de la 3 varilla (en g/cm ).

37º

3 d) 4 g/cm 3 e) 5 g/cm

63. Hallar la densidad de la esfera de radio “R”, sabiendo que está pegada a una varilla de madera de “8R” de longitud cuyo peso es igual que de la esfera. No hay fricción, la varilla es uniforme y la esfera se halla sumergida en agua hasta la mitad. 4 a) g/cm 3 37 37º 8 b) g/cm 3 37 2 c) g/cm 3 37 37 d) g/cm 3 8 37 e) g/cm 3 15 64. Se tiene una manguera de jardín de 2 cm de diámetro por la cual fluye agua con una rapidez de 0,1 m/s. En el extremo se adapta una llave de 1 mm de diámetro. ¿Cuál es la velocidad, en m/s, de salida del agua? a) 40 b) 16 c) 4 d) 20 e) 50 65. El caudal de un fluido que circula por una tubería es de 18 litros/segundo. La velocidad, en m/s, del fluido en un punto en el que la

a) 2,31 d) 1,25

b) 3,47 e) 1,38

c) 4,54

62. Una varilla puede reposar sumergida en agua hasta la mitad y apoyada en un borde rugoso. Hallar la densidad de la varilla.

2

sección transversal es de 200 cm es: a) 0,6 b) 1,2 c) 0,9 d) 1,8 e) 3,6 66. La velocidad del agua en una tubería es de 2 m/s. Hallar la velocidad (en m/s) que adquiere

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si circula por una sección de la tubería de la mitad del diámetro. a) 8 b) 4 c) 1 d) 10 e) 1/2 67. Marquito desea calcular, ¿en cuántas horas un caño de 1 cm de radio llenará con agua un cisterna de  m

3

de capacidad? La velocidad

del chorro es de 4 m/s . a) 0,89 h b) 0,79 h d) 0,69 h e) 0,62 h

c) 0,48 h

68. El radio del émbolo de una jeringa hipodérmica es de 0,5 cm y el de una aguja es de 0,1 mm. ¿Con qué velocidad sale el chorro por la aguja cuando el émbolo avanza con una velocidad de 1 cm/s? a) 20 m/s b) 25 m/s c) 28 m/s d) 29 m/s e) 30 m/s 69. La velocidad de la glicerina en un tubo de 5 cm de diámetro es de 0,54 m/s . Encuéntrese la velocidad en un tubo de 3 cm de diámetro que se une a él. El fluido llena ambos tubos. a) 1 m/s b) 2 m/s c) 3 m/s d) 2,5 m/s e) 1,5 m/s 70. Un ducto de refrigeración rectangular de 30  40 cm lleva aire para la ventilación en una de las galerías de la mina, San Rafael cuyo 3 caudal es de 1, 5 m /s . Determinar la velocidad en el ducto y si este disminuye hasta 15  40 cm . ¿Cuál es la velocidad en esta última sección? (en m/s). a) 25 y 50 b) 35 y 70 c) 12,5 y 25 d) 14,5 y 29 e) 12,5 y 20

3 71. Hallar el volumen en (m ) de agua que fluye, por minuto, de un tanque a través de un orificio de 2 cm de diámetro situado 5 m por

2

debajo del nivel libre del agua ( g  10 m/s ).

-338-

a) 0,216 b) 0,152

5m

c) 0,166 d) 0,188 e) 0,144

72. En un tubería horizontal fluye agua con una velocidad de 2 m/s bajo una presión 5

2

de 2,3  10 N/m . La tubería se estrecha hasta la mitad de su diámetro. ¿Cuál es la presión, en kPa, del agua en este caso? a) 230 b) 220 c) 180 d) 300 e) 200 73. En un depósito de gran capacidad, lleno de agua, se tiene un orificio situado a 8 m por debajo de la superficie libre del líquido. Sabiendo que en dicha superficie se ejerce una presión de 208 kPa, determinar la velocidad, en m/s, del chorro de agua que sale por el orificio. 2

( g  10 m/s ). a) 8 d) 24

b) 12 e) 20

c) 16

74. Un depósito cerrado lleno de agua, tiene una presión manométrica 80 kPa a 2 m por debajo de la tapa. Si se hace un agujero en la tapa del tanque, sale un chorro verticalmente hacia arriba. La altura, en m, que alcanza el 2

chorro por encima de la tapa es: ( g  10 m/s ) a) 4 b) 8

Tapa

2m

c) 6 d) 10 e) 2

75. Calcular el trabajo, en kJ, necesario para bombear 100 litros de agua a un depósito en el 5

que la presión es de 5  10 Pa .

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ACADEMIA ALFA a) 50 d) 250

b) 100 e) 5

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c) 500

76. Por una tubería horizontal de sección variable circula agua en régimen permanente. En un punto en que la presión es de 200 kPa la velocidad es de 10 m/s. Hallar la presión en kPa, en otro punto del conducto en el que la velocidad es de 20 m/s. a) 100 b) 50 c) 200 d) 250 e) 80 77. La tubería que se representa en la figura, tiene 50 cm de diámetro en la sección 1 y 25 cm en la sección 2. La presión en 1 es de 170 kPa y la diferencia de alturas entre ambas secciones es de 10 m. Si la densidad del fluido 3

que circula es de 800 kg/m , a razón de 3

0,1 m /s . Calcular la presión, en kPa, en la

unidad de peso (J/N ó m) necesaria para el movimiento entre 1 y 2. a) 1,21 b) 1,41 c) 1,31 d) 1,51 e) 1,61 80. ¿Cuál es la velocidad del gas de densidad 3

1, 36 g/dm , que fluye por el tubo en A, si la altura del mercurio es de 16 cm? 2

( g  10 m/s ). a) 10 2 cm

b) 15 c) 12

B

A

d) 20 e) 25

C

6 cm

6 cm

Hg

16 cm

2

sección 2, ( g  10 m/s ). a) 58,4 2

b) 68,4 c) 78,4 d) 98,4 e) 88,4

V2

25 cm

V1

81. En la figura se muestra un esquema de un pulverizador (spray) de un líquido de densidad . Si las presiones en los puntos 1 y 2 son P0 y

2P0 respectivamente el valor de h para que la

1

50 cm

velocidad de salida sea

2gh es:

a) P0 78. Hallar la potencia, en kW necesaria para bombear a un tanque situado a 8 m de altura, un caudal de agua de 1 m3 /min , que llegue a él con una presión de 10 a) 3 b) 4 d) 6 e) 2

5

2

Pa ( g  10 m/s ). c) 5

79. Una tubería conduce agua y es de diámetro variable. En la sección 1 de 20 cm de diámetro, la presión es de 170 kPa. La sección 2 situada 4 m por encima de la 1, tiene 30 cm de diámetro y la presión es de 120 kPa. Si el caudal vale 6 m3/min. Hallar la energía por

1

b) P0 / g

h

c) P0 g d) P0 /2  g 2

e) 2P0 / g

82. En la figura se muestra una caldera en la que se ha practicado una pequeña abertura. Si el agua dentro de la caldera se encuentra a una 5

2

presión de 2  10 N/m por encima de la atmosférica, la velocidad de salida en m/s, del agua por el orificio es:

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Caldera

b) 30

P

c) 40 d) 15

Orificio

Agua

87. Hallar la velocidad en la boquilla A considerando que la presión absoluta del aire encerrado en el cilindro es 3P0 y la 2 profundidad del agua h  5 m ( g  10 m/s ).

a) 5 5 m/s

e) 20

AIRE

b) 7 5 m/s

Los problemas 83 al 86 se refieren a la siguiente información: La sección transversal del tubo de 2

la figura tiene 8 cm en las estrechas. Cada segundo salen del tubo 4 litros de agua la atmósfera. B

c) 10 5 m/s d)

e) 15 5 m/s

recipiente

el

caudal

mostrado

 H 2O  1000 N/m h

83. ¿Cuál es la velocidad, en m/s del agua en A? a) 5 b) 10 c) 20 d) 40 e) 80 84. Si el agua proviene de un gran depósito abierto. ¿A qué altura, en m se encuentra el nivel libre del agua? a) 1,25 b) 2,50 c) 5,00 d) 7,50 e) 10,00 85. ¿Cuál es la diferencia de presión, en kPa, entre B y A? a) 100 b) 75 c) 150 d) 37,5 e) 50 86. ¿Cuál es aproximadamente la diferencia de alturas (h) en cm, entre las columnas de mercurio en el tubo en U? a) 28 b) 20 c) 14 d) 24 e) 10

-340-

3

 3 m /s 20 2m  3 b) m /s 30 3, 4 m  3 c) m /s 40  3 d) m /s 50 3 e) 40 m /s a)

Hg

A

5 m/s

88. Calcular

A

h

H 2O

en

el

 aceite  800 N/m3

desaguado

y

2

( g  10 m/s ). ACEITE A

d  10cm

AGUA

89. La base de un tanque muy ancho se halla a 1, 25 m del suelo. El tanque contiene agua con una profundidad de 0,8 m si se produce un pequeño hoyo como se muestra en el diagrama. ¿Qué alcance horizontal x tendrá el chorro? a) 1 m H O b) 2 m

0,8 m

2

c) 2,5 m d) 3 m

1, 25 m

e) 3,5 m x

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