Analisis Dan Perhitungan Defleksi Beban Terdistribusi Pada Setengah Pelat Tipis Dengan Metode Navier

ANALISIS DAN PERHITUNGAN DEFLEKSI BEBAN TERDISTRIBUSI PADA SETENGAH PELAT TIPIS DENGAN METODE NAVIER Tugas Kelompok – Teori Pelat dan Cangkang

Dosen pengampu:

Yoyok Setyo Hadiwidodo, S.T., M.T., Ph.D. Disusun oleh:

Dimas Maulana Rachman

4313100082

Jamhari Hidayat B. M.

4313100149

Jurusan Teknik Kelautan Fakultas Teknologi Kelautan Institut Teknologi Sepuluh Nopember 2016 1

Permasalahan Pelat Tipis dengan Beban Terdistribusi Merata pada Setengah Pelat

Gambar 1. Beban Terdistribusi Merata pada Setengah Pelat

Navier memperkenalkan suatu cara untuk menentukan defleksi yang terjadi pada pelat tipis persegi panjang. Secara umum, Navier menerangkan bahwa penyelesaian permasalahan pelat tipis yang mengalami lenturan (bending, flexure) memuat deret Fourier untuk beban (𝑝) dan defleksinya (𝑤). Deret Fourier ini dapat dituliskan sebagai berikut, ∞

∞

𝒑(𝒙, 𝒚) = ∑ ∑ 𝒑𝒎𝒏 𝐬𝐢𝐧 𝒎=𝟏 𝒏=𝟏 ∞

∞

𝒘(𝒙, 𝒚) = ∑ ∑ 𝒂𝒎𝒏 𝐬𝐢𝐧 𝒎=𝟏 𝒏=𝟏

𝒎𝝅𝒙 𝒏𝝅𝒚 𝐬𝐢𝐧 𝒂 𝒃

(Pers. 1)

𝒎𝝅𝒙 𝒏𝝅𝒚 𝐬𝐢𝐧 𝒂 𝒃

(Pers. 2)

dengan 𝑝𝑚𝑛 dan 𝑎𝑚𝑛 adalah koefisien Fourier yang akan ditentukan selanjutnya. Perhatikan, defleksi diasumsikan merupakan superposisi dari kurva defleksi sinusoidal yang jumlahnya m pada sumbu x dan n pada sumbu y (perhatikan suku sin pada dua persamaan di atas). Semakin banyak jumlahnya (menuju tak terhingga) maka semakin akurat pula solusi yang dihasilkan.

Kemudian kita telah mengerti tentang persamaan umum yang mengatur defleksi pada sebuah plat sebagai berikut,

2

𝝏𝟒 𝒘 𝝏𝟒 𝒘 𝝏𝟒 𝒘 𝒑 + 𝟐 + = 𝝏𝒙𝟒 𝝏𝒙𝟐 𝝏𝒚𝟐 𝝏𝒚𝟒 𝑫

(Pers. 3)

Namun perhatikan, untuk kali ini plat diasumsikan memiliki tumpuan sederhana (simply support). Karena tumpuan sederhana, maka pada tumpuan tadi tidak terjadi defleksi 𝜕2 𝑤

𝜕2 𝑤

(𝑤 = 0) dan tidak terdapat momen lentur (𝑀𝑥 = −𝐷 ( 2 + 𝜈 2 ) = 0) pada tumpuan tadi. 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Batasan ini dapat dituliskan sebagai berikut,

𝒘=𝟎

𝝏𝟐 𝒘 =𝟎 𝝏𝒙𝟐

(𝐩𝐚𝐝𝐚 𝒙 = 𝟎 𝐝𝐚𝐧 𝒙 = 𝒂)

(Pers. 4.a)

𝒘=𝟎

𝝏𝟐 𝒘 =𝟎 𝝏𝒚𝟐

(𝐩𝐚𝐝𝐚 𝒚 = 𝟎 𝐝𝐚𝐧 𝒚 = 𝒃)

(Pers. 4.b)

Secara umum, solusi untuk koefisien 𝑝𝑚𝑛 dapat dituliskan sebagai berikut, 𝒑𝒎𝒏 =

𝟒 𝒃 𝒂 𝒎𝝅𝒙 𝒏𝝅𝒚 ∫ ∫ 𝒑(𝒙, 𝒚) 𝐬𝐢𝐧 𝐬𝐢𝐧 𝒅𝒙 𝒅𝒚 𝒂𝒃 𝟎 𝟎 𝒂 𝒃

(Pers. 5.a)

Untuk kasus yang sedang dikerjakan, beban p tidak sepenuhnya terdistribusi merata (𝑝0 ) di pelat, namun hanya setengah a dari pelat, sehingga batas integralnya harus diubah menjadi,

𝒑𝒎𝒏

𝟒 𝒃 𝒂/𝟐 𝒎𝝅𝒙 𝒏𝝅𝒚 = ∫ ∫ 𝒑𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝐬𝐢𝐧 𝒅𝒙 𝒅𝒚 𝒂𝒃 𝟎 𝟎 𝒂 𝒃

(Pers. 5.a)

Yang apabila diintegralkan akan didapatkan harga koefisien Fourier untuk beban (𝑝𝑚𝑛 ) sebagai berikut, 𝒃 𝟒𝒑𝟎 𝒂/𝟐 𝒎𝝅𝒙 𝒏𝝅𝒚 = ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝒅𝒙 × ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝒅𝒚 𝒂𝒃 𝟎 𝒂 𝒃 𝟎

𝒑𝒎𝒏

Integral dilakukan sebagai berikut, 𝒂/𝟐

∫ 𝟎

𝐬𝐢𝐧

𝒎𝝅𝒙 𝒂 𝒎𝝅𝒙 𝒂/𝟐 𝒅𝒙 = − × [𝐜𝐨𝐬 ] 𝒂 𝒎𝝅 𝒂 𝟎 =

𝒂 𝒎𝝅 × [𝟏 − (𝐜𝐨𝐬 )] 𝒎𝝅 𝟐

(Pers. 6.a)

3

Dan dengan cara yang sama, 𝒃

∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟎

𝒏𝝅𝒚 𝒃 𝒎𝝅𝒙 𝒃 𝒅𝒚 = − × [𝐜𝐨𝐬 ] 𝒃 𝒏𝝅 𝒃 𝟎 =

𝒃 ×[𝟏 − (𝐜𝐨𝐬 𝒏𝝅)] 𝒏𝝅

(Pers. 6.b)

Dengan demikian, didapatkan koefisien 𝑝𝑚𝑛 nya sebagai berikut,

𝒑𝒎𝒏 =

𝟒𝒑𝟎 𝒂 𝒎𝝅 𝒃 ×[ × [𝟏 − (𝐜𝐨𝐬 )]] × [ ×[𝟏 − (𝐜𝐨𝐬 𝒏𝝅)]] 𝒂𝒃 𝒎𝝅 𝟐 𝒏𝝅

(Pers. 6.c)

𝒑𝒎𝒏 =

𝟒𝒑𝟎 𝒂𝒃 𝒎𝝅 × × [𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 ( )] ×[𝟏 − 𝐜𝐨𝐬(𝒏𝝅)] 𝒂𝒃 𝒎𝒏𝝅𝟐 𝟐

(Pers. 6.d)

𝒑𝒎𝒏 =

𝟒𝒑𝟎 𝒎𝝅 × [𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 ( )] ×[𝟏 − 𝐜𝐨𝐬(𝒏𝝅)] 𝟐 𝒎𝒏𝝅 𝟐

(Pers. 6.e)

Agar koefisien 𝑝𝑚𝑛 bernilai sesuatu dan tidak nol, maka harga suku cos yang ada pada persamaan 6.e di atas haruslah bernilai maksimum -1. Fungsi cos akan bernilai maksimum -1 pada sudut 180 (𝜋), 540 (3𝜋), 900 (5𝜋), dst. Sehingga nilai m dan n adalah sebagai berikut, 𝒎𝝅 ) = −𝟏 𝟐

𝐜𝐨𝐬 (

𝐜𝐨𝐬(𝒏𝝅) = −𝟏

𝒎 = 𝟐, 𝟔, 𝟏𝟎, …

(Pers. 7.a)

𝒏 = 𝟏, 𝟑, 𝟓, …

(Pers. 7.b)

Dengan demikian, koefisien 𝑝𝑚𝑛 dapat dituliskan kembali menjadi, 𝒑𝒎𝒏 =

𝟏𝟔𝒑𝟎 𝒎𝒏𝝅𝟐

𝒎 = 𝟐, 𝟔, 𝟏𝟎, …

𝒏 = 𝟏, 𝟑, 𝟓, …

(Pers. 8)

Koefisien selanjutnya (𝑎𝑚𝑛 ) ditentukan dengan mensubtitusikan persamaan 2 ke persamaan 3, sehingga, ∞

∞

𝒎𝝅 𝟒 𝒎𝝅 𝟐 𝒏𝝅 𝟐 𝒏𝝅 𝟒 𝒑𝒎𝒏 𝒎𝝅𝒙 𝒏𝝅𝒚 ) +𝟐( ) ( ) +( ) ]− } 𝐬𝐢𝐧 𝐬𝐢𝐧 =𝟎 𝒂 𝒂 𝒃 𝒃 𝑫 𝒂 𝒃

∑ ∑ {𝒂𝒎𝒏 [( 𝒎=𝟏 𝒏=𝟏

Salah satu solusi trivianya adalah apabila suku yang ada di dalam kurung kurawal adalah sama dengan nol, atau, 4

𝟐

𝒎𝟐 𝒏𝟐 𝒑𝒎𝒏 𝒂𝒎𝒏 𝝅 ( 𝟐 + 𝟐 ) − =𝟎 𝒂 𝒃 𝑫 𝟒

𝒂𝒎𝒏 =

(Pers. 9.a)

𝒑𝒎𝒏 𝒎 𝟐 𝒏 𝟐 𝝅𝟒 𝑫 [( 𝒂 ) + ( ) ] 𝒃

𝟐

(Pers. 9.b)

Dengan D (flexural rigidity) diberikan sebagai berikut, (E adalah modulus Young, 𝜐 adalah poisson ratio dari material pelat, dan t adalah ketebalan pelat)

𝑫=

𝑬𝒕𝟑 𝟏𝟐(𝟏 − 𝝊𝟐 )

(Pers. 9.c)

Kemudian, substitusikan persamaan 8 dan persamaan 9.b ke persamaan 2, maka didapatkan persamaan defleksinya sebagai berikut, ∞

∞

𝒘(𝒙, 𝒚) = ∑ ∑ 𝒂𝒎𝒏 𝐬𝐢𝐧 𝒎=𝟏 𝒏=𝟏 ∞

∞

𝒘(𝒙, 𝒚) = ∑ ∑ 𝒎=𝟏 𝒏=𝟏

𝒎𝝅𝒙 𝒏𝝅𝒚 𝐬𝐢𝐧 𝒂 𝒃 𝒑𝒎𝒏

𝒎 𝟐 𝒏 𝟐 𝝅𝟒 𝑫 [( 𝒂 ) + ( ) ] 𝒃

𝟐

× 𝐬𝐢𝐧

𝒎𝝅𝒙 𝒏𝝅𝒚 𝐬𝐢𝐧 𝒂 𝒃

𝟏𝟔𝒑𝟎 𝟐 𝒎𝝅𝒙 𝒏𝝅𝒚 𝒎𝒏𝝅 𝒘(𝒙, 𝒚) = ∑ ∑ × 𝐬𝐢𝐧 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝒂 𝒃 𝒎 𝟐 𝒏 𝟐 𝒎=𝟏 𝒏=𝟏 𝝅𝟒 𝑫 [( ) + ( ) ] 𝒂 𝒃 ∞

∞

∞

∞

𝒘(𝒙, 𝒚) = ∑ ∑ 𝒎=𝟏 𝒏=𝟏

𝟏𝟔𝒑𝟎 𝟐 𝟐

𝒎 𝟐 𝒏 𝒎𝒏𝝅𝟔 𝑫 [( 𝒂 ) + ( ) ] 𝒃 ∞

∞

𝟏𝟔𝒑𝟎 𝒘(𝒙, 𝒚) = 𝟔 ∑∑ 𝝅 𝑫

𝒎=𝟏 𝒏=𝟏

× 𝐬𝐢𝐧

𝒎𝝅𝒙 𝒏𝝅𝒚 𝐬𝐢𝐧 𝒂 𝒃

𝒎𝝅𝒙 𝒏𝝅𝒚 𝐬𝐢𝐧 𝒂 𝐬𝐢𝐧 𝒃 𝟐 𝒎 𝟐 𝒏 𝟐 𝒎𝒏 [( 𝒂 ) + ( ) ] 𝒃

(Pers. 10)

5

Persamaan di atas untuk 𝒎 = 𝟐, 𝟔, 𝟏𝟎, … dan 𝒏 = 𝟏, 𝟑, 𝟓, … Perhatikan dari gambar yang diberikan, untuk kasus pelat yang dibebani hanya separuh bagian (penuh sepanjang sumbu y, namun separuh pada sumbu x). Persamaan di atas diplotkan dengan variabel yang diubah adalah perbandingan panjang dan lebar pelat, atau a/b. Plotting dilakukan untuk x dan y mulai 0 hingga a dan b, dan untuk tiga suku pertama dalam superposisi di atas, yaitu ketika 𝑚 = 2, 6, 10 dan 𝑛 = 1, 3, 5. Hasil plotting dapat dilihat pada halaman selanjutnya (untuk asumsi baja A36 dengan nilai poisson ratio 𝜐 = 0.26, modulus Young 𝐸 = 200 GPa, dan ketebalan 𝑡 = 5 mm). Seluruh hasil plotting diperlihatkan pada lampiran.

Referensi: Ugural, Ansel C. Stresses in Beams, Plates, and Shells, 3rd ed. CRC/Taylor & Francis, Boca Raton, Fla., 2007.

6

LAMPIRAN

PERHITUNGAN UNTUK GRAFIK PERBANDINGAN PANJANG DAN LEBAR PADA DEFLEKSI BEBAN TERDISTRIBUSI PADA SETENGAH PELAT TIPIS DENGAN METODE NAVIER (Microsoft Office Excel)

STRUCTURAL DATA Material = ASTM A36 Poisson Ratio = 0.26 n Young's Modulus E = 2.10E+11 Thickness t = 0.005 Flexural Rigidity

D

=

2346.096

IMPORTANT EQUATIONS

Dimas Maulana Rachman Jamhari Hidayat Bin Mustofa Ocean Engineering Department

4313100082 4313100149

Pa m Pa-m3

0.2

2 0.2

mπ/a = 6.2832 nπ/b = 0.6283

x (a) 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00

2nd term m = 6 n = 3 mn = 18 m/a = n/b =

Parameters

m/a = n/b =

Parameters

1st term m = 2 n = 1 mn = 2

CALCULATION TABLES

Parameters

Untuk, a/b =

6 1.885

mπ/a = 18.850 nπ/b = 5.922

y (b) 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 3.00 3.25 3.50 3.75 4.00 4.25 4.50 4.75 5.00

st

1 0.00E+00 1.05E-11 3.95E-11 7.98E-11 1.21E-10 1.54E-10 1.67E-10 1.57E-10 1.21E-10 6.63E-11 2.66E-26 -6.63E-11 -1.21E-10 -1.57E-10 -1.67E-10 -1.54E-10 -1.21E-10 -7.98E-11 -3.95E-11 -1.05E-11 -6.52E-42

nd

2 0.00E+00 2.03E-13 4.31E-14 -7.50E-14 5.24E-14 -2.27E-13 -7.64E-14 -6.28E-14 -1.58E-13 1.40E-13 7.27E-29 1.11E-13 2.12E-13 -3.00E-14 1.41E-13 -5.39E-14 -1.47E-13 -2.70E-15 -2.39E-13 -2.96E-14 1.80E-28

rd

3 0.00E+00 -1.42E-16 1.05E-32 -8.99E-17 3.43E-32 -5.15E-18 5.26E-32 8.15E-17 4.60E-32 1.38E-16 6.30E-33 1.45E-16 -5.67E-32 9.79E-17 -1.17E-31 1.54E-17 -1.43E-31 -7.27E-17 -1.12E-31 -1.34E-16 -2.51E-32

m n mn

3rd term = 10 = 5 = 50

m/a n/b

= =

10 29.6088

mπ/a = nπ/b =

31.4159 93.0188

w/p0 (mm/Pa) 0.00E+00 1.07E-11 3.95E-11 7.97E-11 1.22E-10 1.53E-10 1.67E-10 1.57E-10 1.21E-10 6.65E-11 2.67E-26 -6.62E-11 -1.21E-10 -1.57E-10 -1.67E-10 -1.54E-10 -1.22E-10 -7.98E-11 -3.97E-11 -1.05E-11 1.80E-28

Notes: - x and y are in terms of a and b - deflection (w) and orders are calculated in terms per 1 unit pressure (p0) is the color of maximum deflection -

Deflection Half Loaded Plate (a/b = 0.20) 2.0E-10 1.5E-10

Orde 1 Orde 2 Orde 3

w/p0 (mm/Pa)

1.0E-10 5.0E-11

0.0E+00 0.0

0.2

0.4

0.6

-5.0E-11 -1.0E-10 -1.5E-10 -2.0E-10

x (a)

0.8

1.0

1.2

0.5

2 0.5

mπ/a = 6.2832 nπ/b = 1.5708

x (a) 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00

2nd term m = 6 n = 3 mn = 18 m/a = n/b =

Parameters

m/a = n/b =

Parameters

1st term m = 2 n = 1 mn = 2

CALCULATION TABLES

Parameters

Untuk, a/b =

6 4.712

mπ/a = 18.850 nπ/b = 14.804

y (b) 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00

st

1 0.00E+00 9.49E-12 3.57E-11 7.21E-11 1.10E-10 1.39E-10 1.51E-10 1.42E-10 1.10E-10 5.99E-11 2.41E-26 -5.99E-11 -1.10E-10 -1.42E-10 -1.51E-10 -1.39E-10 -1.10E-10 -7.21E-11 -3.57E-11 -9.49E-12 -5.89E-42

nd

2 0.00E+00 9.37E-14 1.99E-14 -3.46E-14 2.42E-14 -1.05E-13 -3.53E-14 -2.90E-14 -7.32E-14 6.47E-14 3.36E-29 5.13E-14 9.78E-14 -1.39E-14 6.52E-14 -2.49E-14 -6.78E-14 -1.25E-15 -1.10E-13 -1.37E-14 8.31E-29

rd

3 0.00E+00 -4.34E-18 3.22E-34 -2.75E-18 1.05E-33 -1.58E-19 1.61E-33 2.50E-18 1.41E-33 4.24E-18 1.93E-34 4.43E-18 -1.74E-33 3.00E-18 -3.58E-33 4.72E-19 -4.38E-33 -2.23E-18 -3.44E-33 -4.11E-18 -7.71E-34

Notes: - x and y are in terms of a and b - deflection (w) calculated in terms of 1 unit pressure (p0) is the color of maximum deflection -

3rd term m = 10 n = 5 mn = 50 m/a n/b

= =

10 74.022

mπ/a nπ/b

= 31.4159 = 232.547

w/p0 (mm/Pa) 0.00E+00 9.59E-12 3.57E-11 7.21E-11 1.10E-10 1.39E-10 1.51E-10 1.42E-10 1.10E-10 6.00E-11 2.41E-26 -5.99E-11 -1.10E-10 -1.42E-10 -1.51E-10 -1.39E-10 -1.10E-10 -7.21E-11 -3.58E-11 -9.51E-12 8.31E-29

Deflection Half Loaded Plate (a/b = 0.50) 2.0E-10 1.5E-10

Orde 1 Orde 2 Orde 3

w/p0 (mm/Pa)

1.0E-10 5.0E-11

0.0E+00 0.0

0.2

0.4

0.6

-5.0E-11 -1.0E-10 -1.5E-10 -2.0E-10

x (a)

0.8

1.0

1.2

1

2 1

mπ/a = 6.2832 nπ/b = 3.1416

x (a) 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00

2nd term m = 6 n = 3 mn = 18 m/a = n/b =

Parameters

m/a = n/b =

Parameters

1st term m = 2 n = 1 mn = 2

CALCULATION TABLES

Parameters

Untuk, a/b =

6 9.425

mπ/a = 18.850 nπ/b = 29.609

y (b) 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00

st

1 0.00E+00 6.86E-12 2.58E-11 5.21E-11 7.93E-11 1.00E-10 1.09E-10 1.02E-10 7.93E-11 4.33E-11 1.74E-26 -4.33E-11 -7.93E-11 -1.02E-10 -1.09E-10 -1.00E-10 -7.93E-11 -5.21E-11 -2.58E-11 -6.86E-12 -4.26E-42

nd

2 0.00E+00 2.04E-14 4.32E-15 -7.53E-15 5.26E-15 -2.28E-14 -7.67E-15 -6.30E-15 -1.59E-14 1.41E-14 7.30E-30 1.12E-14 2.13E-14 -3.02E-15 1.42E-14 -5.41E-15 -1.48E-14 -2.72E-16 -2.40E-14 -2.98E-15 1.81E-29

rd

3 0.00E+00 -2.79E-19 2.07E-35 -1.77E-19 6.76E-35 -1.01E-20 1.04E-34 1.60E-19 9.06E-35 2.72E-19 1.24E-35 2.84E-19 -1.12E-34 1.93E-19 -2.30E-34 3.03E-20 -2.81E-34 -1.43E-19 -2.21E-34 -2.64E-19 -4.95E-35

Notes: - x and y are in terms of a and b - deflection (w) calculated in terms of 1 unit pressure (p0) is the color of maximum deflection -

3rd term m = 10 n = 5 mn = 50 m/a n/b

= 10 = 148.044

mπ/a nπ/b

= 31.4159 = 465.094

w/p0 (mm/Pa) 0.00E+00 6.88E-12 2.58E-11 5.21E-11 7.93E-11 1.00E-10 1.09E-10 1.02E-10 7.93E-11 4.33E-11 1.74E-26 -4.33E-11 -7.93E-11 -1.02E-10 -1.09E-10 -1.00E-10 -7.93E-11 -5.21E-11 -2.58E-11 -6.86E-12 1.81E-29

Deflection Half Loaded Plate (a/b = 1) 1.5E-10 Orde 1 Orde 2 Orde 3

w/p0 (mm/Pa)

1.0E-10

5.0E-11

0.0E+00 0.0

0.2

0.4

0.6

-5.0E-11

-1.0E-10

-1.5E-10

x (a)

0.8

1.0

1.2

2

2 2

mπ/a = 6.2832 nπ/b = 6.2832

x (a) 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00

2nd term m = 6 n = 3 mn = 18

Parameters

m/a = n/b =

Parameters

1st term m = 2 n = 1 mn = 2

CALCULATION TABLES

Parameters

Untuk, a/b =

m/a = 6 n/b = 18.850 mπ/a = 18.850 nπ/b = 59.218

y (b) 0.00 0.03 0.05 0.08 0.10 0.13 0.15 0.18 0.20 0.23 0.25 0.28 0.30 0.33 0.35 0.38 0.40 0.43 0.45 0.48 0.50

st

1 0.00E+00 2.68E-12 1.01E-11 2.04E-11 3.10E-11 3.92E-11 4.26E-11 3.99E-11 3.10E-11 1.69E-11 6.79E-27 -1.69E-11 -3.10E-11 -3.99E-11 -4.26E-11 -3.92E-11 -3.10E-11 -2.04E-11 -1.01E-11 -2.68E-12 -1.66E-42

nd

2 0.00E+00 2.07E-15 4.40E-16 -7.66E-16 5.35E-16 -2.32E-15 -7.81E-16 -6.41E-16 -1.62E-15 1.43E-15 7.43E-31 1.14E-15 2.16E-15 -3.07E-16 1.44E-15 -5.50E-16 -1.50E-15 -2.76E-17 -2.44E-15 -3.03E-16 1.84E-30

rd

3 0.00E+00 -1.76E-20 1.30E-36 -1.11E-20 4.25E-36 -6.37E-22 6.52E-36 1.01E-20 5.70E-36 1.71E-20 7.80E-37 1.79E-20 -7.02E-36 1.21E-20 -1.45E-35 1.91E-21 -1.77E-35 -9.00E-21 -1.39E-35 -1.66E-20 -3.11E-36

Notes: - x and y are in terms of a and b - deflection (w) calculated in terms of 1 unit pressure (p0) is the color of maximum deflection -

3rd term m = 10 n = 5 mn = 50 m/a n/b

= 10 = 296.088

mπ/a nπ/b

= 31.4159 = 930.188

w/p0 (mm/Pa) 0.00E+00 2.68E-12 1.01E-11 2.04E-11 3.10E-11 3.92E-11 4.26E-11 3.99E-11 3.10E-11 1.69E-11 6.79E-27 -1.69E-11 -3.10E-11 -3.99E-11 -4.26E-11 -3.92E-11 -3.10E-11 -2.04E-11 -1.01E-11 -2.68E-12 1.84E-30

Deflection Half Loaded Plate (a/b = 2) 5.0E-11 4.0E-11

Orde 1 Orde 2 Orde 3

3.0E-11

w/p0 (mm/Pa)

2.0E-11 1.0E-11

0.0E+00 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

-1.0E-11 -2.0E-11 -3.0E-11 -4.0E-11 -5.0E-11

x (a)

Deflection Half Loaded Plate Comparison per a/b 2.0E-10 1.5E-10

a/b = 0.2 a/b = 0.5 a/b = 1

w/p0 (mm/Pa)

1.0E-10 5.0E-11

0.0E+00 0.0

0.2

0.4

0.6

-5.0E-11 -1.0E-10 -1.5E-10 -2.0E-10

x (a)

0.8

1.0

1.2