Calculo Integral 10011_51

1

CÁLCULO INTEGRAL

METODOS DE INTEGRACION UNIDAD 2: TAREA 2_ Métodos de Integración

GRUPO: 100411_51

INTEGRANTES: ALEXANDER TIBATA MARIN - cód. 80 809 180 MILEIDY NATALY RAMOS - cód. 1121396483 LEIDY LUBIA FRANCO MARROQUIN - cód. 52338217 ERICSON ANTONIO RAMIREZ ALVIS – cód. MARTA CECILIA MORALES – cód. 1.002.621.608

TUTOR: EDGAR ANDRES SOSA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA ACACIAS META. ABRIL 2020

2

INTRODUCCION

Con esta actividad aplicaremos el conocimiento adquirido para los métodos de integración I Integración por sustitución, Método de integración II Integración por partes, método de integración ii sustitución trigonométrica y fracciones parciales, integrales impropias. En la solución de los ejercicios propuestos. Igualmente, aprenderemos a trabajar en equipo y a fomentar el aprendizaje por medio de aportes y puntos de vistas de los compañeros del grupo académico. El Cálculo Integral es la rama de las Matemáticas muy utilizadas en Ciencias, tecnología, Ingeniería e Investigación, que requiere un trabajo sistemático y planificado, para poder cumplir el proceso fundamental de técnicas que permiten solucionar problemas de estos campos. Por ello, la integración es necesaria para otras áreas matemáticas más avanzadas y tiene muchas aplicaciones prácticas en nuestra vida profesional.

En el Presente Trabajo vamos a poner en práctica los conocimientos adquiridos en la unidad 2 del curso de cálculo integral, para el desarrollo de problemas con integrales a través del uso de las técnicas antes mencionadas.

Nombre del estudiante

Rol a desarrollar

Alexander Tibata Marin

Entregas

Mileidy Nataly Ramos

Compilador

Leidy Lubia Franco Marroquin

Revisor

Ericson Antonio Ramirez Alvis

Evaluador

Marta Cecilia Morales

Alertas

Grupo de ejercicios a desarrollar El estudiante desarrolla el ejercicio a en todos los 4 Tipo de ejercicios. El estudiante desarrolla el ejercicio b en todos los 4 Tipo de ejercicios El estudiante desarrolla el ejercicio c en todos los 4 Tipo de ejercicios El estudiante desarrolla el ejercicio d en todos los 4 Tipo de ejercicios El estudiante desarrolla el ejercicio e en todos los 4 Tipo de ejercicios

TABLA LINKS VIDEOS EXPLICATIVOS. Nombre Estudiante

Alexander Tibata Marin

Mileidy Nataly Ramos

Ejercicios sustentados Ejercicio asignado por el tutor ejercicio 2 parte A.

Ejercicio por el tutor Leidy Lubia Franco Ejercicio Marroquin por el tutor Ericson Antonio Ejercicio Ramirez Alvis por el tutor Ejercicio Marta Cecilia Morales por el tutor

Link video explicativo Link. https://www.loom.com/share/7 f7e11212d1e45658a4e098a25f 96c37

asignado

Link.

asignado

Link.

asignado

Link.

asignado

Link.

ACTIVIDADES A DESARROLLAR

ESTUDIANTE ALEXANDER TIBATA MARIN EJERCICIOS LETRA A.

A continuación, se definen los 4 Tipos de ejercicios a desarrollar según las temáticas de la unidad.

Tipo de ejercicios 1 – Integración por sustitución.

Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: Velásquez, W. (2014). Cálculo Integral. Editorial Unimagdalena. (pp. 24 – 32).

Desarrollar los ejercicios seleccionado utilizando el método de integración por sustitución.

Ejercicio a.

6 ⅇ 1/ x ∫ x 2 ⅆx

u=

1 x

u=x−1

du=−1∗x−1−1 du=

−1 dx x2

−6 ∫ e u dx

−6 ∫ e u du+c −6 e 1/ x +c

TIPO DE EJERCICIOS 2 – INTEGRACIÓN POR PARTES.

Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: Rivera, F. (2014). Calculo integral: sucesiones y series de funciones. México: Larousse – Grupo Editorial Patria. (pp. 88 – 95).

Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de integración por partes.

Ejercicio a.

∫

ln (ln ( 3 x ) ) dx x

Z=ln (3 x ) 3x ’ 3 1 DZ = 3 x = 3 x = x dx=x∗dz

∫ ln ( z )∗dz

u=ln ⁡(z )dv=dz 1 du= dZ v=z z

u∗v −∫ v∗du

ln ⁡( z)∗z−∫

z∗1 dz z

ln ⁡( z)∗z−∫

z∗1 dz z

ln ⁡( z)∗z−∫ dz

ln ⁡( z)∗z−z +c

ln ⁡(ln ( 3 x ))∗¿ +c

TIPO DE EJERCICIOS 3 – SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA Y FRACCIONES PARCIALES.

Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: Velásquez, W. (2014). Cálculo Integral. Editorial Unimagdalena. (pp. 89 – 121). Recuperado de

Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de integración adecuado:

Ejercicio a.

∫

dx

( √ 9−x 2)

3

u=3 Sinσ

du=3 Cosσ dσ

a 2−u2=32 cos 2 σ

∫

3 sinσ 3

( 3 cos 2 σ )

3 sinσ

∫ 27 cos 2 σ 3 1 sinσ

∫ 9 cos 2 σ 1 Sec 2 σ 9∫

1 Tagσ + c 9

Integral

1 x +c 9 √ 9−x2

TIPO DE EJERCICIOS 4 – INTEGRAL IMPROPIAS.

Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: Aguayo, J. (2012). Cálculo integral y series. Editorial ebooks Patagonia - J.C. Sáez Editor. (pp. 98 – 106).

Según el ejercicio seleccionado, desarrollar la integral impropia.

Ejercicio a. Considerar la integral ∞

∫ 3

dx 3 x ( ln x )

Se resuelve así:

1 u=ln ( x ) du= dx x

x∗du=dx

b

lim ∫

b→∞ 3

x∗du ¿ x ¿¿

b

lim ∫

b→∞ 3

x∗du ¿ x ¿¿

b

du lim ∫ ¿ ¿ ¿

b→∞ 3

b

du lim ∫ ¿ ¿ ¿

b→∞ 3

b

lim ∫ u−3∗du

b→∞ 3

b

lim

u−3+1 ∫❑ 2 3 b →∞

lim

u−2 ∫❑ b →∞ 2 3

b

b

ln ⁡( x )−2 lim ∫❑ 2 b →∞ 3

b

1 lim ❑ 2∫ b →∞ 2 ln ⁡(x) 3

lim

1 1 − 2 b →∞ 2 ln ⁡(b) 2 ln ⁡(3)2

lim

−1 −1 − 2 b →∞ 2 ln ⁡(b) 2 ln ⁡(9)

lim

b →∞

0+

1 =0,41 Convergente 2 , 41

ESTUDIANTE MILEIDY NATALY RAMOS ORTIZ. EJERCICIOS LETRA B. A continuación, se definen los 4 Tipos de ejercicios a desarrollar según las temáticas de la unidad.

Tipo de ejercicios 1 – Integración por sustitución. Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: Velásquez, W. (2014). Cálculo Integral. Editorial Unimagdalena. (pp. 24 – 32).

Desarrollar los ejercicios seleccionado utilizando el método de integración por sustitución.

EJERCICIO B:

∫ x ¿¿¿ Podemosresolver laintegral aplicandoun cambio de variable . Seanu y du u=x2 +1 du=2 xdx Despejando dx de la ecuaciónanterior

du =dx 2x

Aplicamos la regla de integración por sustitucion u=x 2 +1 u5 du 2 Sacamosla cosntante ∫ a . f ( x ) dx

1 ¿ .∫ u 5 du 2 a

Aplicamos la regla de la potencia∫ x dx=¿

x a+1 , a≠−1¿ a+1

1 u 5+1 ¿ . 2 5+1

Sustituimosen la ecuaciónu=x 2+1

1 ¿ . ¿¿ 2

1 Simplificamos= .¿ ¿ 2

¿

1 ¿ 12

Por ultimo≤agregamos la constante+ c a la solución :

1 ¿ RESPUESTA 12

Tipo de ejercicios 2 – Integración por partes.

Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: Rivera, F. (2014). Calculo integral: sucesiones y series de funciones. México: Larousse – Grupo Editorial Patria. (pp. 88 – 95). Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de integración por partes.

EJERCICIO B:

∫ xe 5 X dx

Podemos utilizar el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, utilizando la siguiente fórmula

∫ u∗dv =u∗v−¿❑∫ v∗du formula de integración por partes .¿ relacionamos los terminos u=x dv =e5 x

para seguir con laintegracion necesitamos el valor de du y v por lo cual es necesario derivar u e integral dv du=1∗dx

∫ dv=∫ e 5 x 1 V = ∗e5 x 5

Reemplazando tenemos

∫ u∗dv =u∗v−∫ v∗du ∫ xe 5 x dx=¿

x∗1 5 x 1 ∗e −∫ ∗e 5 x∗dx ¿ 5 5

Organizamos : 5x

∫ x e dx=¿

e5 x 1 5x x− ∫ e ∗dx ¿ 5 5

Integramos: e 5 x 1

∫ x e 5 x∗dx =¿ 5 e5 x + c ¿ 5x

∫ x e 5 x∗dx =¿ e5 1

1 5x x− ∗e +c ¿ 5

1

∫ x e 5 x dx=¿ 5 e5 x x− 5 + c ¿ RESPUESTA

Tipo de ejercicios 3 – Sustitución Trigonométrica y Fracciones parciales. Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: Velásquez, W. (2014). Cálculo Integral. Editorial Unimagdalena. (pp. 89 – 121). Recuperado de

Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de integración adecuado:

EJERCICIO B: π 2

∫ 0

cos (t) dt

√ 1+ se n2 (t)

Aplicamos laintegración por sustitución : u=sin ( t ) du=costdt π Tenemos t=0 ,U =0 , T = ,u=1 2

[

π 2

1

∫ costdt2 =∫ du 2 0 √ 1+ si n t 0 √ 1+u Ahora queda

u=tan ∅ du=se c 2 ∅ d ∅

]

cuando u=0 , ∅=0 Y cuando π 4

u=1, ∅= luego π 2

π 4

costdt se c 2 ∅ d ∅ =∫ ∫ 2 2 0 √ 1+ si n t 0 √ 1+ta n ∅

π 4

¿∫ 0

se c2 ∅ d ∅ sec ∅

π 4

∫ sec ∅ d ∅ 0

cuando

[ t =0 ,u=0 , t= π ,u=1 ] 2

donde π 2

1

∫ costdt2 =∫ du 2 0 √ 1+ si n t 0 √ 1+u tenemos u=tan ∅ →du=sec 2 ∅ d ∅

donde u=0 , ∅=0 y donde u=1,0= Luego :

π 4

π 2

π 4

∫ 0

costdt sec 2 ∅ d ∅ = ∫ √ 1+ si n2 t 0 √1+ta n2 ∅ π 4

¿∫ 0

se c2 ∅ d ∅ sec ∅

π 4

¿ ∫ sec ∅ d ∅ 0

π 4

¿ [ ¿ |sec ∅+ tan ∅|∫ ❑ 0

|

¿ [ i n sec

( π4 )+ tan( π4 )|−[ ¿|sec ( 0) + tan(0)|] ¿[i n¿

¿∈¿

π 2

∫ 0

cos (t)

√ 1+ se n2 (t)

dt=¿ ( √2+1 ) ( decimal0.88137 …)

RESPUESTA

Tipo de ejercicios 4 – Integral Impropias. Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: Aguayo, J. (2012). Cá lculo integral y series. Editorial ebooks Patagonia - J.C. Sá ez Editor. (pp. 98 – 106).

Según el ejercicio seleccionado, desarrollar la integral impropia.

0

∫ ( 3 e x+2 e x ) dx −∞

Aplicamos esta formula a

a

lim ¿ ∫ f ( x ) dx= t →−∞ ∫ f ( x ) dx ¿ −t t

0

lim ¿ ¿ 3 e x +2 e x dx ¿ ∫ t →−∞ −t

u=3 e x

du =3 e x →du=dx dx

[ dv =[ 2 e x dx v=2 e x

0 x

x

x

x

3 e 2e −∫ 2 e dx=3 e −2 e

x

∫❑ t

02 e 0−e 0−(t 3 e 0−e t )=−2−t 3 e t +2 e t

¿−2−(−∞ ) 3 e−∞ +2 e−∞ ¿−2+

∞ 1 + −∞ −∞ 3e 2e

¿−2+

∞ 1 + 3e 2e

¿−2+3e+2 e ¿−2+3e+2 e ¿3 0

∫ 3 e x +2 e x dx=3 −∞

RESPUESTA

ESTUDIANTE LEIDY LUBIA FRANCO MARROQUIN EJERCICIOS LETRA C. Tipo de ejercicios 1 – Integración por sustitución Desarrollar los ejercicios seleccionado utilizando el método de integración por sustitución. Ejercicio c.

∫ √5 2 x−1 dx Solución. Se hace el cambio de variable adecuado, se deriva con implícitamente y se despeja el diferencial dx.

∫ √5 2 x−1 dx sea u5 =2 x−1 5 u4 du=2 dx 5 dx= u4 du 2 Se sustituyen los valores obtenidos en el paso anterior.

∫ √5 2 x−1 dx=∫ √ u5 ( 52 u4 ) du 5

Se aplican las propiedades de las integrales, sacando del diferencial la constante 5/2 y se suman las potencias de la base u. 5

∫ √5 2 x−1 dx= 2 ∫ u5 du Se sustituye por la primitiva correspondiente y se suma la constante de integración. 5

∫ √2 x−1 dx=

5 u6 +C 2 6

Se multiplica la primitiva por el valor de 5/2. 5

∫ √5 2 x−1 dx= 12 u6 +C Se deshace el cambio y se obtiene una primitiva para la función f(x) dada. 5

∫ √5 2 x−1 dx= 12 (2 x−1)6 / 5+C Se reorganiza haciendo uso de las propiedades de la radicación. 5

5

∫ √5 2 x−1 dx= 12 √(2 x −1)6 +C

Tipo de ejercicios 2 – Integración por partes. Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de integración por partes. Ejercicio c.

∫ x 2 sen (2 x )dx Solución.

Se establecen los valores correspondientes de u y v, los cuales hacen parte de la integración por partes. Se derivan respectivamente. dv=sen ( 2 x ) dx u=x 2 −1 du=2 xdx v = cos ⁡(2 x) 2 Se sustituyen los valores de u y v. x 2 cos ( 2 x ) −∫ ( 2 x ) ∫ x 2 sen ( 2 x ) dx= −1 2

[

−1 cos ( 2 x ) dx 2

]

Se reorganiza y se establecen los nuevos valores de u y v para la nueva integral. Se derivan respectivamente.

∫ x 2 sen ( 2 x ) dx= u=x du=dx

−1 2 x cos ( 2 x ) +∫ xcos (2 x )dx 2

dv=cos ( 2 x ) dx 1 v= sen ⁡(2 x) 2

Se sustituyen los valores de u y v.

∫ x 2 sen ( 2 x ) dx=

−1 2 1 1 x cos ( 2 x ) + xsen ( 2 x ) −∫ sen ( 2 x ) dx 2 2 2

Se reorganiza la integral

∫ x 2 sen ( 2 x ) dx=

−1 2 1 1 x cos ( 2 x ) + xsen ( 2 x ) − ∫ sen (2 x )dx 2 2 2

Se obtiene una primitiva para f(x) y se suma la constante de integración.

∫ x 2 sen ( 2 x ) dx=

−1 2 1 1 x cos ( 2 x ) + xsen ( 2 x ) + cos (2 x ) +C 2 2 4

Se factoriza 1/4 1

∫ x 2 sen ( 2 x ) dx= 4 [ cos ( 2 x ) +2 xsen ( 2 x )−2 x 2 cos ( 2 x ) ] +C Se agrupa términos semejantes. 1

∫ x 2 sen ( 2 x ) dx= 4 [ ( 1−2 x2 ) cos ( 2 x )+ 2 xsen ( 2 x ) ]+ C

Tipo de ejercicios 3 – Sustitución Trigonométrica y Fracciones parciales. Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de integración adecuado: Ejercicio c. 2

∫ √2

1 dt t √ t 2−1 3

Solución Se hace el cambio adecuado de variable y se deriva implícitamente. 2

∫ √2

dt t √ t 2−1 3

Sea t=secθ → θ=arcsec ⁡(t) dt=secθtanθdθ Se cambian los límites de integración, teniendo en cuenta el límite superior e inferior de la integral definida. t=2 →θ=arcsec ( 2 )=π /3 t=√ 2→ θ=arcsec ( √2 )=π /4 Se sustituyen los respectivos cambios. 2

→∫ √2

dt t

3

2

√t −1

π /3

=∫

π/4

tanθ 3

2

sec θ √ sec θ−1

dθ

Se aplican las respectivas identidades trigonométricas para un mejor manejo de la integral “sec 2 θ−1=tan 2 θ”.

π /3

¿∫

π /4

π /3

tanθ tanθ =∫ dθ 2 2 2 sec θ √ tan θ π /4 sec θ tanθ

Se eliminan términos semejantes en numerador y denominador. Posteriormente se aplican nuevas identidades trigonométricas, teniendo en cuenta que secante es el inverso del coseno. 2

∫ √2

dt t

3

√ t 2−1

π /3

=∫

π/4

π /3

dθ = ∫ cos 2 θdθ 2 sec θ π /4

Se aplica la identidad trigonométrica correspondiente al cos 2 θ . 2

∫ √2

dt t

3

2

√ t −1

π /3

=∫

π/4

1 (1+ cos 2θ)dθ 2

Se aplican las propiedades de las integrales, se saca del integrando la constante ½. 2

π/3

dt

∫ 3 2 = 12 ∫ (1+ cos 2θ)dθ π/4 √2 t √ t −1 Se encuentra una primitiva para la función f(t) dada. 2

∫ √2

dt 1 1 = (θ+ sen 2θ) π / 3 2 2 π/4 t √ t −1 2

|

3

Se evalúan los límites de integración. 2

∫ √2

dt t

3

2

√ t −1

=

[ ( √ )]

1 π 1 + 2 12 2

3 π 1 3 −1 = − + √ 2 24 4 8

Se obtiene una solución a la integral definida. 2

∫ √2

dt 1 = ( π−6+3 √ 3 ) 2 t √ t −1 24 3

Tipo de ejercicios 4 – Integral Impropias. Según el ejercicio seleccionado, desarrollar la integral impropia.

Ejercicio c. ∞

∫ 4 e(2 x−4 ) dx 3

Solución. Se establece la condición para evaluación de integrales impropias. ∞

∫4e

a (2 x−4 )

dx=lim ∫ 4 e(2 x−4) dx a→∞ 3

3

Se evalúa la integral de manera indefinida.

∫ 4 e(2 x−4 ) dx=4 ∫ e2 x e−4 dx Se extraen las constantes del integrando.

∫ 4 e (2 x−4 ) dx=4 e−4∫ e 2 x dx Se hace el cambio de variable adecuado y se deriva implícitamente. 4

u=2 x ∫ 4 e(2 x−4 ) dx= e−4 ∫ e 2 x dx du=2 dx Se sustituye la nueva variable. 4

∫ 4 e(2 x−4 ) dx= 2e 4 ∫ eu du Se encuentra una primitiva para la función f(u) dada y se rehace el cambio para obtener una primitiva para la función f(x) dada.

∫4e

(2 x−4 )

dx=

4 u 4 e2 x e= 4 2e 4 2e

Se sustituye la integral en el límite y se extraen las constantes. ∞

e2 x a ∫ 4 e(2 x−4 ) dx= 2e4 4 alim 3 →∞ 3

|

Se evalúan los límites de integración. ∞

(e 2 a−e 6 ) ∫ 4 e(2 x−4 ) dx= 2e4 4 alim →∞ 3

∞

∫ 4 e (2 x−4 ) dx= e24 ( ∞−e6 ) 3

Debido a que la integral no converge en el intervalo dado, se concluye que esta diverge. ∞

∫ 4 e (2 x−4 ) dx=∞ Laintegral diverge 3

ESTUDIANTE ERICSON ANTONIO RAMIREZ ALVIS EJERCICIOS LETRA D. PARTE 1

∫ (1−cos 3 θ)10 cos2 θ sen θ dθ  Realizamos una sustitución simple. u=1−( cos θ)3;

du=3(cos θ)2 sen θ dθ

 Reescribiendo la integral

10

∫ u3  Solucionando la integral.

du

u11 +C (3)(11)

 Dejando la respuesta en función de θ. (1−(cos θ)3 )11 +C 33

PARTE 2

ln (x )

∫ 2( x )3 dx o Realizando el debido calculo para la integración por partes.

u=ln ⁡(x ); du=dx / x ;

dv =

dx −1 ;v= 3 4 ¿¿ 2( x )

o Remplazando los valores anteriormente calculados. −ln ⁡( x) 4¿¿

o Resolviendo la integral.

−ln ( x ) 4¿¿

PARTE 3

2 x+ 5

∫ x 3−x 2−12 x dx o Se factoriza el denominador.

2 x +5

∫ x (x−4 )(x+3) dx o Realizando fracciones parciales para separar la fracción.

−5

13

1

∫ 12( x) + 28 ( x−4 )− 21( x +3) dx o Resolviendo las integrales.

−5 ln |x| 13 ln |x−4| ln |x +3| + − +C 12 28 21

PARTE 4 ∞

(5 x−3)3 ∫ x 3 dx 1 o Teniendo en cuenta la propiedad de las integrales impropias obtenemos.

m

lim ∫

m→ ∞ 1

(5 x−3)3 dx ( x)3 o Se descompone el paréntesis en sus respectivos 4 términos.

m

lim ∫ 125 ¿ ¿ ¿ ¿

m→ ∞ 1

o Se efectúan las integrales

135 27 lim 125 x−225 ln| x|− + 2

m→ ∞

(

x

2( x)

m

)

1

o Se evalúa el límite y obtenemos que la integral diverge.

ESTUDIANTE MARTA CECILIA MORALES EJERCICIOS LETRA E.

Tipo de ejercicios 1 – Integración por sustitución.

Desarrollar los ejercicios seleccionado utilizando el método de integració n por sustitució n.

Ejercicio e.

∫ 2−√ x√ x dx 1

∫

2−x 2 x

1

1 2

dx

−1

∫ (2−x 2 )(x 2 )dx

Integració n por sustitució n.

1

u=2−x 2

du 1 12−1 =- x dx 2

du 1 −1 =- x 2 dx 2

1 du =- x 2

−1 2

dx

−1

-2· du = x 2 dx

Remplazando

∫ u (−2) du −2∫ udu

-2

1 u1+1 u2 = -2 =-(2- x 2 ¿2 du 1+ 1 2

=-(4 - 4√ x+x)

=-4+4√ x−x+ c

Tipo de ejercicios 2 – Integración por partes.

Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: Rivera, F. (2014). Calculo integral: sucesiones y series de funciones. México: Larousse – Grupo Editorial Patria. (pp. 88 – 95).

Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de integració n por partes.

Ejercicio e.

∫ (cos x )(ln ( sen x ) )dx ILATE

U=ln ( sen x )

cos x

du= senx dx

v=(cos x )

v=∫ (cos x )

v= sen x

formula

∫ u · dv =u·v−∫ v · du ¿ ln ( sen x ) · sen x -∫ sen x ·

¿ ln ( sen x ) · sen x -∫ sen x ·

¿ ln ( sen x ) · sen x-cos x dx

cos x dx senx

cos x dx senx

Tipo de ejercicios 3 – Sustitución Trigonométrica y Fracciones parciales.

Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: Velá squez, W. (2014). Cálculo Integral. Editorial Unimagdalena. (pp. 89 – 121). Recuperado de

Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de integració n adecuado:

Ejercicio e.

∫

x4 dx 2 ( x+ 1 ) ( x 4 −1 )

x4 dx ∫ 2 ( x+ 1 ) ( x 4 −1 )

x4 2 ( x+1 ) ( x 4−1 )

x4 3 ( x+1 ) ( x 2+1 ) ( x−1)

x4 ( x+1 ) ¿ ¿

a f b dx +e + + + ( x+1 ) ¿ ¿ (x 2 +1) (c )

a¿¿

X=1

X=1 F ¿ ¿1)

=¿(2) 1=16 1

F= 16

X=-1

C=¿

C=2· (-2) =-4 -1=-4 1

C=- 4

X=0

−1 1 0=-a -b-( 4 ¿ - e + 16

−1

1

0 + 4 - 16 =−a-b -e 15

- 16 =-a-b-e

X=2

5

135

16= 45 a +15b - 4 + 54 d +27e + 16 5

135

16+ 4 - 16 =45 a +15b+54d + 27e 141 =45 a +15b+54d + 27e 16

X=-2

x4 =a ¿ ¿ p

16=-15a + 15b -15c+ (-2d+e)-5f

15 5 16=-15a + 15b + 4 −6 d +3e-- 16

15 5 16-- 4 + 16 =-15a + 15b-6d+3e

201 =15a + 15b-6d+3e 16

X=3

x4 =a ¿ ¿ p

81=320 a + 80b +20c+(3d+e)(128)+640f

81=320a+ 80b-5+384d+128e+40

81+5-40 =320ª+80b+384d+128e

46=320 a + 80b+384d +128e 201 =-15a + 15b-6d+3e 16

141 =45 a +15b+54d + 27e 16

15

- 16 =-a-b-e

Se realiza esta operación

141/16=45a+15b+54d+27p;\:201/16=-15a+15b6d+3p;\:46=320a+80b+384d+128p;\:-5/16=-a-b-p

−5

5

∫ 16 ( x+ 1 ) + 8 ¿ ¿ ¿ dx

Realizamos las respectivas integrales

−5

∫ 16 ( x+ 1 ) dx

u=x+1 du=1dx

−5 1 5 −5 du = - ln |u|+ c = ln |x +1|+ c ∫ 16 u 16 16

5

∫ 8¿¿ ¿ u = x +1 du = dx

5 1 5 ¿ du = ∫ 8 ¿¿ 8

∫ u−2du =

5 5 u−1 5 +c= +c = +c 8 −1 8u 8(x +1)

−−1

∫ 4¿¿ ¿ u = x +1 du = dx

−1 1 1 ¿ du =∫ ¿¿ 4 4

1 5 1 u−2 1 −2 +c= 8 u +c = 2 +c = 8 ¿ ¿ +c −2 8u

∫ u−3du=- 4

x

∫ 4 (x ¿¿ 2+1) dx ¿ u = x 2+ 1 du = 2 xdx

du =dx 2x

1 x du 1 1 1 du=ln |u|+ c = ln |x 2 +1|+ c = ∫ ∫ 4 u 2x 8 u 8

1

∫ 16( x−1) dx u = x−1 du = 1dx

1 1 1 1 du = ln |u|+ c = ln |x−1|+ c ∫ 16 u 16 16

Tipo de ejercicios 4 – Integral Impropias.

Segú n el ejercicio seleccionado, desarrollar la integral impropia.

Ejercicio e.

1

ln (x )

∫ √x 0 1

ln (x )

∫ √x 0

dx

dx

La indeterminació n se da por el 0. Cambio de variable

1

1

ln (x ) ln ( x) dx ∫ √ x dx =lim ∫ z→0 z √x 0

1

¿ lim ∫ z→0 z

1 ln ( x) dx =ln ( x)· x 2 √x

Integració n por partes.

. u= ln (x) 1

du = x dx 1

v= x 2 v=∫ x

−1 2

1

v=2 x 2

formula

∫ u · dv =u·v−∫ v · du 1

lim ¿ ln ( x) · 2 12 - 2 x 2 · 1 dx x ∫ z→0 x

1

1

lim ¿ ln ( x ) · 2 x 2 −2−∫ x 2 · 1 dx z→0 x

lim ¿ ln ( x ) · 2 z→0

1

1 2

1

x −2−¿ 2 x 2

lim ¿ ¿ · 2 x 2 ¿ 1 z→0 z

|

lim ¿ ¿ · 2 12 -2 (1) ¿ z→1

lim ¿ ¿ · 2 12 -2 (0) ¿ z→0

=0-4-(- ∞·0) =-4 convergente.

CONCLUSIONES Se identificó el proceso de la evaluación de integrales impropias y su forma de resolverlas identificando la propiedad utilizada.

La estrategia permanente de aprendizaje basado en problemas nos permite adquirir Conocimientos para resolver situaciones en nuestro contexto social y económico, Comprendiendo la fundamentación de la integral definida.

El trabajo en equipo permite afianzar, aprender y comprender los conceptos y herramientas del cálculo integral para poder así aplicarlos en la solución de problemas en diferentes disciplinas. El cálculo consiste en un procedimiento mecánico, o algoritmo, mediante el cual podemos conocer las consecuencias que se derivan de unos datos previamente conocidos debidamente formalizados y simbolizados.

Identificamos, interpretamos de manera apropiada las diferentes teorías, definiciones y teoremas del cálculo integral para lograr resolver los ejercicios propuestos.

Se logra fortalecer conocimientos del proceso de cálculo integral.

BIBLIOGRAFIA

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