D. Sucesiones De Funciones

Cap´ıtulo IV: Sucesiones de Funciones Profesor:

1.

Ra´ ul Fierro P.

Convergencia puntual y uniforme

Definici´ on 1 Sean D ⊆ R y F(D, R) el conjunto de todas las funciones de D en R. Una sucesi´on de funciones sobre D, es una funci´on f : N → F(D, R). Anotaremos en este caso, fn = f (n) y f = (fn ; n ∈ N). Ejemplos 2 (2.1)

Para cada x ∈ [0, 1], sea fn (x) = nx(1−x)n , (n ∈ N). Luego, (fn ; n ∈ N)

es una sucesi´on de funciones sobre D = [0, 1]. N´otese que para cada x ∈ [0, 1], l´ımn→∞ fn (x) = 0. (2.2)

Sea (fn ; n ∈ N) la sucesi´on de funciones sobre [0, 1] definida por fn (x) =

xn . Luego, para cada x ∈ [0, 1], l´ımn→∞ fn (x) = f (x), donde ( 0 si x ∈ [0, 1) f (x) = 1 si x = 1. N´otese que para cada n ∈ N, fn es continua, sin embargo, f no es continua. √ (2.3) Para cada n ∈ N\{0}, sea fn (x) = sen(nx)/ n , (x ∈ R). Luego, (fn ; n ∈ N \ {0}) es una sucesi´on de funciones sobre R, y para cada x ∈ R, l´ımn→∞ fn (x) = 0. Aun m´as, l´ımn→∞ supx∈R |fn (x)| = 0. Definiciones 3 Sean (fn ; n ∈ N) una sucesi´on de funciones sobre D ⊆ R y f : D → R. Se dice que (3.1)

(fn ; n ∈ N) converge puntualmente hacia f , si y s´olo si, para todo x ∈ D,

l´ımn→∞ fn (x) = f (x). (3.2)

(fn ; n ∈ N) converge uniformemente hacia f , si y s´olo si, l´ım sup |fn (x) − f (x)| = 0.

n→∞ x∈D

2

Fierro

Ejemplos 4 Las sucesiones de funciones definidas en (2.1) y (2.2) convergen puntualmente, pero no uniformemente sobre [0, 1]. En efecto, en (2.1) se tiene l´ım sup |fn (x) − 0| = e−1 ,

n→∞ x→[0,1]

mientras que en (2.2), l´ımn→∞ supx→[0,1] |fn (x) − f (x)| = 1. Observaciones 5 Sean (fn ; n ∈ N) una sucesi´on de funciones sobre D ⊆ R y f : D → R. Puesto que para todo x ∈ D, |fn (x)−f (x)| ≤ supx∈D |fn (x)−f (x)|, la convergencia uniforme de (fn ; n ∈ N) hacia una funci´on f , implica la convergencia puntual de esta sucesi´on hacia la misma funci´on f . La convergencia puntual de (fn ; n ∈ N) hacia f es equivalente a la proposici´on siguiente: (∀ > 0)(∀x ∈ D)(∃N ∈ N)(n ≥ N ⇒ |fn (x) − f (x)| < ).

(5.1)

Por otra parte, la convergencia uniforme de (fn ; n ∈ N) hacia f equivale a la proposici´on: (∀ > 0)(∃N ∈ N)(∀x ∈ D)(n ≥ N ⇒ |fn (x) − f (x)| < ). P Ejemplo 6 Sea fn (x) = nk=0 xk , (n ∈ N, x ∈ R). (5.2)

(6.1)

¿Sobre qu´e conjunto (fn ; n ∈ N) converge puntualmente?

(6.2)

Verificar que (fn ; n ∈ N) converge uniformemente sobre todo intervalo

cerrado contenido en ] − 1, 1[. P k Soluci´on. Sabemos que ∞ k=0 x converge absolutamente, a 1/(1 − x), si |x| < 1 y si P k |x| ≥ 1, entonces la sucesi´on (xk ; k ∈ N) no converge a cero, por consiguiente ∞ k=0 x diverge. Luego (fn (x); n ∈ N) converge puntualmente hacia 1/(1 − x), si y s´olo si, x ∈] − 1, 1[. Esto responde a la pregunta formulada en (6.1). Ahora bien, 1 1 − xn+1 1 xn+1 |fn (x) − |=| − |=| |. 1−x 1−x 1−x 1−x Luego, sup |fn (x) − x∈]−1,1[

1 | 1−x

= ∞.

3 Por lo tanto, (fn ; n ∈ N) no converge uniformemente hacia f (x) =

1 1−x

en ] − 1, 1[.

Se verifica sin embargo (Ejercicio) que si [a, b] ⊆] − 1, 1[, entonces, n+1 x |b|n+1 = . sup 1−b x∈[a,b] 1 − x En consecuencia, (fn ; n ∈ N) converge uniformemente en [a, b] hacia f . Teorema 7 Sean (fn ; n ∈ N) una sucesi´on de funciones sobre D ⊆ R y f : D → R. Supongamos adem´as que las dos condiciones siguientes se satisfacen: (7.1)

Para todo n ∈ N, fn es continua.

(7.2)

(fn ; n ∈ N) converge uniformemente hacia f .

Entonces, f es continua. Demostraci´on. Sean x0 ∈ D y  > 0. Luego, |f (x) − f (x0 )| ≤ |f (x) − fn (x)| + |fn (x) − fn (x0 )| + |fn (x0 ) − f (x0 )| ≤ 2 sup |fn (x) − f (x)| + |fn (x) − fn (x0 )|. x∈D

Por (7.1), existe N ∈ N tal que si n ≥ N entonces sup |fn (x) − f (x)| < /4. x∈D

Luego, |f (x) − f (x0 )| ≤ /2 + |fN (x) − fN (x0 )|. Como fN es continua en x0 , existe δ > 0 tal que |x − x0 | < δ ⇒ |fN (x) − fN (x0 )|/2. Por lo tanto, |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < . En consecuencia, f es continua en x0 , para todo x0 ∈ D. Teorema 8 Sean (fn ; n ∈ N) una sucesi´on de funciones continuas en [a, b] y f : [a, b] → R. Supongamos adem´as que (8.1) (fn ; n ∈ N) converge uniformemente hacia f . Entonces,

4

Fierro (8.2)

l´ımn→∞

Rb a

|fn (x) − f (x)| dx = 0.

En particular, (8.3) l´ımn→∞

Rb a

fn (x) dx =

Rb a

f (x) dx.

Demostraci´on. b

Z

Z

b

|fn (x) − f (x)| dx ≤

sup |fn (x) − f (x)| dx a x∈[a,b]

a

= (b − a) sup |fn (x) − f (x)|. x∈[a,b]

Por consiguiente, de (8.1) se obtiene de (8.2) y, por lo tanto, (8.3) tambi´en se satisface. Esto concluye la demostraci´on. 2

Ejemplo 9 Sea fn (x) = nx e−nx (0 < x < 1). Verificar que Z 1 Z 1 l´ım fn (x) dx 6= l´ım fn (x) dx. n→∞

0 n→∞

0

Soluci´on. Para todo x ∈ [0, 1], fn (x) → 0. Luego, Z 1 l´ım fn (x) dx = 0. 0 n→∞

Pero, 1

Z 0

1 2 fn (x) dx = − 12 e−nx 0

1 (1 2

= Z y entonces, l´ım

n→∞

−e

−n

),

1

fn (x) dx = 1/2. 0

Por lo tanto, 1 = l´ım 2 n→∞

Z

1

Z fn (x) dx 6=

0

1

l´ım fn (x) dx = 0.

0 n→∞

Teorema 10 Sea (fn ; n ∈ N) una sucesi´on de funciones sobre un intervalo [a, b] y supongamos adem´as que las tres condiciones siguientes se satisfacen: (10.1) Para todo n ∈ N, fn tiene derivada continua en ]a, b[. (10.2) Para alg´ un x0 ∈ [a, b], existe l´ımn→∞ fn (x0 ).

5 (10.3) (fn0 ; n ∈ N) converge uniformemente sobre cualquier intervalo cerrado contenido en ]a, b[. Entonces, sobre cualquier intervalo cerrado contenido en ]a, b[, (fn ; n ∈ N) converge uniformemente hacia una funci´on f derivable. Adem´as, para todo x ∈]a, b[, f 0 (x) = l´ımn→∞ fn0 (x). Demostraci´on. Sean [u, v] ⊆]a, b[ con u < x0 < v, g : [u, v] → R tal que (fn0 ; n ∈ N) converge uniformemente a g sobre [u, v], c = l´ımn→∞ fn (x0 ) y f : [u, v] → R tal que Rx f (x) = x0 g(s) ds + c. Luego, para todo x ∈ [u, v], |fn (x) − f (x)| ≤ |fn (x0 ) − c| + supu≤x≤v |

Rx x0

(fn0 (s) − g(s)) ds|

≤ |fn (x0 ) − c| + (v − u) supu≤s≤v |fn0 (s) − g(s)|. As´ı, l´ım sup |fn (x) − f (x)| = 0.

n→∞ u≤x≤v

De modo que (fn ; n ∈ N) converge uniformemente a f . Como g es continua en [u, v] (¿Por qu´e?), el Teorema Fundamental del C´alculo implica que f es derivable y f 0 = g sobre [u, v]. Esto concluye la demostraci´on. √ Ejemplo 11 Para cada n ∈ N\{0}, sea fn (x) = sen(nx)/ n, (x ∈ [−π, π]). Notar que (fn ; n ∈ N) satisface (10.1), (10.2) y converge uniformemente hacia 0. Sin embargo, para ning´ un x ∈ [−π, π] existe l´ımn→∞ fn0 (x). Definiciones y notaci´ on 12 Sean (un ; n ∈ N) una sucesi´on de funciones sobre Pn D ⊆ R y fn (x) = k=0 uk (x), (n ∈ N, x ∈ D). P Anotaremos ∞ ımn→∞ fn (x), (x ∈ D), cuando este limite exista. k=0 uk (x) = l´ Se dice que P∞ (12.1) olo si, (fn ; n ∈ N) k=0 uk (x) converge puntualmente sobre D, si y s´ converge puntualmente sobre D. P∞ (12.2) olo si, (fn ; n ∈ N) k=0 uk (x) converge uniformemente sobre D, si y s´ converge uniformemente sobre D. Observaci´ on 13 Con las notaciones de la definici´on precedente, supongamos que las dos condiciones siguientes se satisfacen:

6

Fierro (13.1) Para todo k ∈ N, uk es continua sobre un intervalo [a, b]. P∞ (13.2) k=0 uk (x) converge uniformemente sobre [a, b]. P Entonces, ∞ as k=0 uk es continua en [a, b] y adem´ RbP P∞ R b (13.3) a ∞ k=0 uk (x) dx = k=0 a uk (x) dx.

Teorema 14 Sea (uk ; k ∈ N) una sucesi´on de funciones sobre un intervalo [a, b] y supongamos adem´as que las tres condiciones siguientes se satisfacen: (14.1) Para todo k ∈ N, uk tiene derivada continua en ]a, b[. P (14.2) Para alg´ un x0 ∈ [a, b], la serie ∞ k=0 uk (x0 ) converge. P∞ 0 (14.3) k=0 uk (x) converge uniformemente sobre cualquier intervalo cerrado contenido en ]a, b[. Entonces, sobre cualquier intervalo cerrado contenido en ]a, b[,

P∞

k=0

uk (x) con-

verge uniformemente hacia una funci´on f derivable. Adem´as, para todo x ∈]a, b[, P f 0 (x) = ∞ k=0 uk (x). Demostraci´on. Es consecuencia inmediata de Teorema 10. Teorema 15 (Criterio M de Weierstrass.) Sean (uk , k ∈ N) una sucesi´on de funciones sobre D ⊆ R y (Mk , ; k ∈ N) una sucesi´on en R. Supongamos adem´as que las dos condiciones siguientes se satisfacen: Para todo k ∈ N, supx∈D |uk (x)| ≤ Mk . P∞ (15.2) k=0 Mk converge. P Entonces, ∞ k=0 uk (x) converge uniformemente. (15.1)

Demostraci´on. Como |uk (x)| ≤ Mk , para cada x ∈ D, ∞ P

tambi´en converge

k=0

uk (x).

k=0

Sea f (x) =

∞ P k=0

∞ P

uk (x), (x ∈ D). Luego,

|uk (x)| converge y entonces,

7

|f (x) −

n P

∞ P

uk (x)| ≤

k=0

k=n+1 ∞ P

≤

|uk (x)| Mk .

k=n+1

Por lo tanto, l´ım sup |f (x) − n→∞ x∈D

n P

uk (x)| = 0, concluyendo la demostraci´on.

k=0

Ejemplo 16 Demostrar que la serie

P∞

k=1

x(1 − x)k converge uniformemente sobre

[0, 1]. Demostraci´on. Notamos que sup x(1 − x)k = x∈[0,1]

ra´ız,

∞ P k=1

1 (1 k+1

−

1 k ) k+1

converge. Por lo tanto,

1 (1 k+1 ∞ P

−

1 k ) , k+1

y por el criterio de la

x(1 − x)k converge uniformemente

k=1

sobre [0, 1]. Ejercicios propuestos 1. Sea fn (x) =

1 x

+

1 n

1 sen( nx ). ¿Converge (fn ; n ∈ N) uniformemente?

Respuesta: S´ı. 2. Sea fn (x) = xn . Demuestre que (fn ; n ∈ N) converge uniformemente sobre todo intervalo cerrado contenido en ] − 1, 1[. 2

3. Sea fn (x) = nx e−nx . Analice la convegencia puntual y uniforme de (fn ; n ∈ N) en [0, 1] y [1, ∞[. Respuesta: La sucesi´on converge puntualmente a cero en R, no converge uniformemente en [0, 1] y converge uniformemente en [1, ∞[. 4. Sea fn (x) =

n2 x 1+n3 x2

. Analice la convegencia puntual y uniforme de (fn ; n ∈ N) en

[−1, 1], [0, ∞[ y [1, ∞[. Respuesta: La sucesi´on converge puntualmente a cero en R, no converge uniformemente en [−1, 1] y en [0, ∞[, sin embargo, converge uniformemente [1, ∞[.

8

Fierro P∞

xk k=0 k!

converge uniformemente en todo intervalo cerrado. P k 6. Analice la convergencia uniforme de la serie ∞ e k=1 (x ln(x)) en ]0, 1]. ¿Para qu´ P∞ valores de a k=1 (x ln(x))k converge uniformemente en ]0, a]?

5. Demuestre que

Respuesta: Converge uniformemente en ]0, a], para todo a ∈]0, a∗ [, donde a∗ = sup{a ∈ R : a ln(a) < 1}. 7. Sea fn (x) =

nx . 1+nx

(7.1) Calcular el l´ımite puntual de (fn ; n ∈ N) en [0, 1]. ¿Es uniforme la convergencia? (7.2) Calcular l´ımn→∞

R1 0

fn (x) dx y

R1 0

l´ımn→∞ fn (x) dx. Respuesta: S´ı.

( Respuestas:

(7.1) f (x) =

0 si x = 0. La convergencia no es uniforme.

(7.2) P∞

1 si 0 < x ≤ 1

1 y 1.

P sen(nx) Verificar que para todo x ∈ R, f 0 (x) = − ∞ n=1 n4/3 . P P −x −x ln(n)? 9. Sea f :]1, ∞[→ R tal que f (x) = ∞ . ¿D´onde es f 0 (x) = − ∞ n=1 n n=1 n 8. Sea f (x) =

n=1

cos(nx) . n7/3

Respuesta: En todo el dominio de f . 10. Sea f (x) =

P∞

n=1

n e−nx . ¿D´onde es f continua? Respuesta: En ]0, ∞[.

11. Analice la convergencia uniforme de la serie

P∞

x2k −1 k=1 k2 (x2k +1) .

Respuesta: Converge uniformemente en R.

9 12. Sea f (x) =

P∞

n=1

cos(nx) . n7/3

Calcule una serie para

Rx 0

f (t) dt.

Respuesta:

13. Sean a ∈]0, 1[ y S(x) =

P∞

n=0


n 2x 2 1+x

P∞

sen(nx) n=1 n10/3 .

(x ∈ R).

(13.1) Demuestre que la serie converge uniformemente sobre [−a, a]. (Indicaci´on: Verifique que

|x| 1+x2

(13.2) Calcule 2x 1+x2

R 1/2 0

a 1+a2

=

si |x| ≤ a).

(1−x2 ) S(x) dx. (1+x2 )2

(Indicaci´on: Considere la sustituci´on: u =

).

Respuesta:

(13.2) ln(5)/2.

14. Sean F : R → R una funci´on continua y para cada n ∈ N, un y u funciones reales definidas sobre un conjunto no vac´ıo X. Demuestre que si u es acotada y (un ; n ∈ N) converge uniformemente a u, entonces (F ◦un ; n ∈ N) converge uniformemente a F ◦u.

2.

Polinomio de Taylor

Definiciones 1 Sean a ∈ R y f : R → R tal que existen las primeras n derivadas de f en a. El polinomio de Taylor de f en torno de a est´a definido por P (k) (1.1) Tn (x) = f (a) + nk=1 f k!(a) (x − a)k . El resto de Tn se define como (1.2) Rn (x) = f (x) − Tn (x). Teorema 2 Sean a ∈ R y f : R → R tal que existe f (n) (a). Entonces, (2.1)

Rn (x) n (x−a) x→a

l´ım

= 0.

Demostraci´on. Procederemos por inducci´on. Para n = 1 se tiene   R1 (x) f (x) − f (a) 0 l´ım = l´ım − f (a) = f 0 (a) − f 0 (a) = 0. x→a (x − a) x→a x−a

10

Fierro

Supongamos que el enunciado es verdadero cuando n = m. Puesto que Rm+1 (a) = 0, para demostrar que Rm+1 (x) = 0, x→a (x − a)m+1 l´ım

aplicaremos la Regla de l’Hopital. Sea g = f 0 . Luego, 0 0 (x) (x) = f 0 (x) − Tm+1 Rm+1 P (k) m+1 = f 0 (x) − k=1 kf k! (a) (x − a)k−1   P g (j) (a) j = g(x) − g(a) + m . (x − a) j=1 k!

Luego, por la hip´otesis de inducci´on se tiene 0 (x) Rm+1 l´ım = 0. x→a (m + 1)(x − a)m

Sigue entonces de la Regla de l’Hopital que l´ım

x→a

Rm+1 (x) = 0, (x − a)m+1

lo cual concluye la demostraci´on. Teorema 3 Sean a ∈ R y f : R → R. Sup´ongase que existe δ > 0 tal que f es derivable en ]a − δ, a + δ[. Entonces, para todo x ∈]a, a + δ[, existe β ∈]a, x[, tal que Rn (x) =

f (n+1) (β) (x − a)n+1 . (n + 1)!

Demostraci´on. Sean x ∈]a, a + δ[ y F : [a, x] → R tal que, F (t) = f (x) − f (t) −

n X f k (t) k=1

k!

(x − t)k − A

(x − t)n+1 , (n + 1)!

donde A es tal que F (a) = 0; es decir, n X (n + 1)! f (k) (a) A= [f (x) − f (a) − (x − a)k ]. n+1 (x − a) k! k=1

Tenemos as´ı que F (x) = F (a) = 0 y por Teorema de Rolle, existe β ∈]a, x[ tal que F 0 (β) = 0.

11 Calculemos la derivada de F respecto de t. n P (k+1) (t)(x−t)k k−1 F 0 (t) = −f 0 (t) − [f − f (k) (t) (x−t) ]+ k! (k−1)! k=1

= −f 0 (t) − [ f

(n+1) (t)(x−t)n

n! n

= −f (n+1) (t) (x−t) + n!

− f 0 (t) +

(x−t)n A. n!

(x−t)n A. n!

(x−t)n A. n!

Como F 0 (β) = 0, A = f (n+1) (β), y entonces, f (x) = f (a) +

n X f (k) (a) k=1

Por lo tanto, Rn =

f (n+1) (β) (x (n+1)!

k!

(x − a)k +

f (n+1) (β) (x − a)n+1 . (n + 1)!

− a)n+1 , concluyendo la demostraci´on.

Observaciones 4 Notamos que si (Rn ; n ∈ N) converge hacia 0, entonces el polinomio de Taylor Tn (x) puede usarse para aproximar la funci´on f , y el resto de esta aproximaci´on est´a dado por (4.1)

Rn+1 (x) =

f (n+1) (β) (x − a)n+1 , (n + 1)!

donde β es el valor mencionado en el teorema precedente. Ejemplo 5 Sea f (x) = ex . Calcular el polinomio de Taylor de f en 0 y usar esta f´ormula para aproximar e con un error menor que 1/100. Ejercicios propuestos 1. Escriba la f´ormula de Taylor con resto para cada una de las siguientes funciones en torno de los puntos que se indica. Haciendo n = 6 y considerando a cercano a x, estime la magnitud del resto en cada caso. (1.1) sen(x) en a = π/4.

(1.2) cos(x) en a = π/3.

(1.3) ln(1 + x) en a = 0.

Respuestas: Los valores de θ indicados a continuaci´on representan, cada caso, un valor entre x y a. Pn (−1)[k/2] √2 (1.1) (x − π/4)k + k=0 2k!

sen(n+1) (θ) (x (n+1)!

− π/4)n+1 .

|x−π/4|7

|R7 (x)| ≤ . 7! √ Pn (−1)[(k+1)/2] 2−(−1)k (1.2) (x − π/3)k + k=0 2k! |x−π/3|7

. |R7 (x)| ≤ Pn 7!(−1)k−1 k (1.3) x + k=1 k

(−1)n xn+1 . (n+1)(1+θ)n 7

|R7 (x)| ≤ |x/7 m´ın{1, 1 + x}| .

cos(n+1) (θ) (x (n+1)!

− π/3)n+1 .

12

Fierro

2. Escriba los primeros tres t´erminos no nulos en la f´ormula de Taylor para las siguientes funciones en torno de los puntos que se indica: (2.1) sen(x2 ) en a = 0.

(2.2) sec(x) en a = 0.

Respuestas:

2

(2.3) ex en a = 0. (2.1) x2 , −x6 /3! y x10 /5!. (2.2) 1, x2 /2 y 5x4 /24. (2.3) 1, x2 y x4 /2.

3. En las siguientes funciones, demostrar que en el intervalo dado, el resto en el desarrollo de Taylor en torno de cero converge uniformemente hacia cero.

3.

(3.1)

sen(x) en [0, π/2].

(3.2) ex en ] − a, a[, (a > 0).

(3.3)

cos(x) en ] − π, π[.

(3.4) ln(1 + x) en ] − 1/2, 1/2[.

Series de potencias

Definici´ on 1 Una serie de potencias en torno de a ∈ R es una serie de funciones de P k on en R. El primer t´ermino la forma ∞ k=0 αk (x − a) , donde (αk ; k ∈ N) es una sucesi´ de esta serie (correspondiente a k = 0) es por definici´on α0 . p Observaci´ on 2 Sean (αk ; k ∈ N) una sucesi´on en R y ρ = l´ım sup k |αk |. Entonces, P∞ k (2.1) k=0 αk (x − a) converge absolutamente si ρ|x − a| < 1, y P∞ k (2.2) k=0 αk (x − a) diverge si ρ|x − a| > 1. P k El radio de convergencia de la serie ∞ k=0 αk (x − a) se define como   ρ=∞   0 si r= 1/ρ si 0 < ρ < ∞    ∞ si ρ = 0. Por lo tanto, si |x−a| < r la serie converge absolutamente y si |x−a| > r, entonces la serie diverge. Ejemplos 3 Determinar el radio de convergencia de las series siguientes:

13 (3.1)

P∞

xk .

(3.2)

P∞

(x−a)k . k!

k=0 k=0

Soluci´on. Todos los coeficientes de la serie

P∞

k=0

xk son iguales a 1. Por consiguiente,

el radio de convergencia de esta serie es 1. El radio de convergencia de la serie en (3.2) es √ n r = l´ım n!. n→∞

√ n

Sea γn = ln( n!). Luego,

n

γn =

1X ln(k) n k=1

y ya que ln(k) ↑ ∞ cuando k → ∞, entonces γn ↑ ∞ cuando n → ∞. Por consiguiente, r = ∞. Teorema 4 Sea r el radio de convergencia de la serie de potencias ∞ X

αk (x − a)k ,

k=0

y supongamos que r > 0. Entonces, la serie converge absolutamente en cada punto de ]a − r, a + r[ y converge uniformemente sobre todo intervalo cerrado [u, v] contenido en ]a − r, a + r[. Demostraci´on. Puesto que l´ım sup

p 1 n |αn (x − a)n | = |x − a|, r

por el criterio de la ra´ız se tiene que la serie en x converge absolutamente si |x−a| < r. Sea [u, v] un intervalo cerrado contenido en ]a − r, a + r[. Puesto que la funci´on h(x) = |x−a| alcanza su m´aximo en [u, v], existe c ∈ [u, v] tal que |x−a| ≤ |c−a| < r, para todo x ∈ [u, v]. As´ı se tiene que supu≤x≤v |αn (x − a)| ≤ |αn (c − a)|, y ya que P∞ k=0 |αn (c − a)| converge, sigue del criterio M de Weierstrass que la serie converge uniformemente en [u, v], complet´andose la demostraci´on. Teorema 5 Sea r el radio de convergencia de la serie de potencias ∞ X k=0

αk (x − a)k .

14

Fierro

Supongamos que r > 0 y sea f : ]a − r, a + r[→ R tal que f (x) =

P∞

k=0

αk (x − a)k .

Entonces, f admite derivadas de todos los ´ordenes y P k−m (5.1) f (m) (x) = ∞ . k=m αk k(k − 1) · · · (k − m + 1)(x − a) En particular, (5.2)

f (m) (a) = m!αm .

p p Demostraci´on. Puesto que l´ım sup n |k(x − a)k−1 | = l´ım sup n |(x − a)k | = 1/r, el P k−1 radio de convergencia de ∞ es r. Por el teorema precedente, esta serie k=1 k(x − a) converge uniformemente sobre todo intervalo cerrado [u, v] contenido en ]a − r, a + r[. Luego, definiendo uk (x) = αk (x − a)k y aplicando a estas funciones Teorema 14 en Secci´on 1, se tiene que f es derivable en ]a − δ, a + δ[ y que para todo x ∈]a − δ, a + δ[, f 0 (x) =

∞ X

k(x − a)k−1 .

k=1

Sigue entonces por inducci´on que (5.1) se satisface, y (5.2) es consecuencia de evaluar f (m) (x) en (0.1) para x = a. Esto completa la demostraci´on. Teorema 6 Sean (αk , k ∈ N) y (βk , k ∈ N) sucesiones en R y a ∈ R. Supongamos adem´as que existe r > 0 tal que para todo x ∈]a − r, a + r[, ∞ X

k

αk (x − a) =

∞ X

βk (x − a)k .

k=0

k=0

Entonces, para todo k ∈ N, αk = βk . Demostraci´on. Es una consecuencia inmediata del teorema precedente, porque para P P∞ k k todo k ∈ N, αk = f (k) /k! = βk , donde f (x) = ∞ k=0 αk (x − a) = k=0 βk (x − a) . P∞

αk (x − a)k una serie de potencias con radio de convergencia P k r > 0 y f : ]a − r, a + r[→ R tal que f (x) = ∞ k=0 αk (x − a) . Entonces, f admite Corolario 7 Sean

k=0

derivadas de todos los o´rdenes y (7.1) f (x) =

∞ X f (k) (a) k=0

k!

(x − a)k , (x ∈]a − r, a + r[).

La serie precedente se conoce como Serie de Taylor de f . Si a = 0, esta serie recibe el nombre Serie de McLaurin.

15 Teorema 8 Sean a ∈ R y f : R → R. Supongamos que f admite derivadas de todos los o´rdenes en una vecindad V de a y que para todo x ∈ V , (Rn (x); n ∈ N) converge a cero, donde Rn (x) es el resto de la aproximaci´on de f por su polinomio de Taylor. Entonces, para todo x ∈ V , (8.1) f (x) =

∞ X f (k) (a)

k!

k=0

(x − a)k .

Demostraci´on. Para todo n ∈ N y todo x ∈ V , se tiene f (x) =

n X f (k) (a)

k!

k=0

(x − a)k + Rn (x).

Tomando l´ımite en n se obtiene (8.1), concluyendo la demostraci´on. Observaci´ on 9 Por Teorema 3 en Secci´on 2, y con las notaciones del teorema precedente, una condici´on suficiente para que (Rn (x); n ∈ N) converja a cero, es que exista una constante M > 0 tal que para todo n ∈ N, supx∈V |f (n) (x)| ≤ M . Ejemplos 10 (10.1)

Determinar la serie de McLaurin de f (x) = ex y demostrar que para

todo x ∈ R, f (x) es igual a su serie de Taylor. Verificar adem´as que ∞ X (x − a)k

k!

k=0

es la serie de Taylor de f en torno de a y que su radio de convergencia es ∞. Soluci´on. Puesto que para todo k ∈ N, f (k) (0) = 1, la serie de McLaurin de f es, P∞ xk k=0 k! . θ

n+1

x Como Rn (x) = e(n+1)! con θ entre 0 y x y l´ımn→∞ Rn (x) = 0, entonces para todo ∞ P xk x ∈ R, ex = . Luego, k! k=0

e

x−a

=

∞ X (x − a)k k=0

k!

,

y entonces, x

e =

∞ X k=0

ea

(x − a)k . k!

16

Fierro Puesto que l´ım sup (10.2)

P∞

k=0

k! = ∞, el radio de convergencia de esta serie es ∞.

Verificar que la serie de McLaurin de f (x) = sen(x) est´a dada por

(−1)k x2k+1 (2k+1)!

√ k

y que el radio de convergencia de esta serie es ∞.

Soluci´on. Notamos en primer lugar que f 0 (x) = cos(x), f 00 (x) = − sen(x), f 000 (x) = − cos(x) y f (iv) (x) = sen(x). Por consiguiente, para todo k ∈ N, f (4k) (x) = sen(x), f (4k+1) (x) = cos(x), f (4k+2) (x) = − sen(x) y f (4k+3) (x) = − cos(x). Evaluando en x = 0, se obtiene ( f (n) (0) =

0

si n es par

(−1)k si n = 2k + 1 par alg´ un k ∈ N.

Puesto que las derivadas de todos los o´rdenes de f son acotadas por 1, f es igual a su serie de McLaurin

∞ X (−1)k x2k+1 k=0

(2k + 1)!

.

Se verifica f´acilmente que el radio de convergencia de esta serie es ∞. P (10.3) La serie de McLaurin de f (x) = cos(x) est´a dada por ∞ k=0

(−1)k x2k , (2k)!

f

es igual a su serie de McLaurin y el radio de convergencia de esta serie es ∞. Soluci´on. Se deja como ejercicio la verificaci´on de este ejemplo, dado que es muy similar al ejemplo anterior. (10.4) P∞

k=0

Como

1 1−x

=

P∞

k=0

xk , entonces la serie de McLaurin de f (x) =

1 1−x

es

xk y su radio de convergencia es 1.

Ejercicio 11 Sea f : R → R tal que f (x) =

1 . 1+x2

(11.1)

Determinar la serie de McLaurin de f y calcular f (101) (0).

(11.2)

Determinar la serie de McLaurin de arctan.

Ejercicios propuestos 1. Encuentre el dominio de convergencia de las series siguientes: P∞ P∞ (−1)k k k xk k (1.1) (1.2) k=1 (−1) k2k . k=1 k2 +1 (x + 2) . Respuestas:

(1.1)

] − 2, 2[. (1.2) ] − 3, −1].

17 2. Sea f : ] − 1, 1[→ R tal que f (x) = (2.1)

1 . 1−x

Determine la serie de Taylor de f en torno de a = 1/3 e indique el radio

de convegencia de la serie. (2.2)

Calcule

(2/3)100 f (100) (1/3) . 100!

Respuestas:

(2.1) (2.2)

P∞

k=0 (3/2)

k+1

(x − 1/3)k y 2/3, respectivamente.

3/2.

3. Sea f : ] − 1, 1[→ R tal que f (x) = 1/x. (3.1)

Determine la serie de Taylor de f en torno de a = 1, indicando su radio

de convergencia. P (−1/2)k+1 Demuestre que ln(3/2) = − ∞ . k=0 k+1 P∞ k k Respuesta: (3.1) k=0 (−1) (x − 1) y 1 respectivamente. (3.2)

4. Sea f : R → R la funci´on definida por ( 2 (e−x −1)/x2 si x 6= 0 f (x) = −1 si x = 0. (4.1) (4.2)

Determine la serie de McLaurin de f y su radio de convergencia. P (−1)k+1 Calcule ∞ k=0 (k+1)! .

(4.3)

Calcule f (n) (0) para n par. Respuestas:

(4.1)

P∞

(4.2) e (4.3)

k=0 −1

(−1)k+1 x2k (k+1)!

−1.

n!(−1)1+n/2 . (1+n/2)!

5. Sea f : R → R la funci´on definida por ( (ex −1)/x si x 6= 0 f (x) = 1 si x = 0. (5.1)

Determine la serie de McLaurin de f .

e ∞, respectivamente.

18

Fierro (5.2)

Dados a, b ∈ R, tales que a < b, demuestre que la serie de MacLaurin

de f converge uniformemente sobre [a, b]. (5.3)

Calcule f (n) (0) para todo n ∈ N. Respuestas:

6. Sea f : R → R tal que f (x) = (6.1)

(5.1) 1 +

P∞

xk k=1 (k+1)! .

(5.2) 1/(n + 1).

1 x2 −2x+3

Encuentre el desarrollo en serie de Taylor de f en torno de 1 y su radio

de convergencia. (6.2)

Calcule f (50) (1). Respuestas:

(6.1)

1 2

P∞

k 2k y k=1 (−1/2) (x − 1)

√

2, respectivamente.

26

(6.2) −50!/2 . 7. Sea f : R → R tal que f (x) = cos(x) (7.1)

Encuentre el desarrollo en serie de Taylor de f en torno de π/2.

(7.2)

Calcule f (n) (π/4) para todo n ∈ N. √

Respuestas:

(7.1)

2 2

P

∞ (−1)k k=0 (2k)! (x

− π/4)2k −

(−1)k k=0 (2k+1)! (x

P∞

 − π/4)2k+1 .

√ √ (7.2) (−1)n/2 2/2 si n es par y (−1)(n+1)/2 2/2 si n es impar.

8. Sea f : ]0, ∞[→ R tal que f (x) =

3 . 3+2x

Determine (8.1)

la serie de Taylor de f en torno de 1,

(8.2)

f (n) (1) para todo n ∈ N, y P k k k el valor de ∞ k=0 (−1) (2/5) (x − 1) .

(8.3)

Respuestas:

(8.1)

3 5

P∞

k k=0 (−2/5) (x n n

− 1)k .

(8.2) 3(−1) (2/5) n!/5. (8.3) 4/35.