Ejercicio Con Lineas De Influencia Y Peralte Minimo

HORMIGON ARMADO I - CIV 209

| UATF 1/2020 LINEAS DE INFLUENCIA

En una estructura sometida a cargas moviles, genera diferentes solicitaciones segun su posicion. Un procedimiento para realizar el analisis estructural es, la aplicacion de lineas de influencia, para poder determinar la distancia maxima de la linea de influencia aplicaremos el teorema de Barre, donde indica que la distancia maxima de la linea de influencia se ubica directamente sobre un punto medio entre la resultante de las cargas y la carga maxima mas proxima a la misma. Donde R es la carga resultante de q1 y q2 Para hallar la distancia "a" haremos una sumatoria de momentos en el punto 2 q1 ⋅ a ＝ q2 ⋅ b

Si:

Entonces:

b＝l − a

q1 ⋅ a ＝ q2 ⋅ (l − a)

De donde despejaremos "a" Luego la ordenada maxima de la linea de influencia estara a "a/2" de la carga maxima. Ejemplo.

En una viga simplemente apoyada se tiene el siguiente tren de cargas, mas una carga muerta de 1.85 T/m. que incluye el peso propio de la viga. Determinar la altura minima de la viga. Datos

kgf Resistencia del hormigon f'c ≔ 280 ―― 2 cm kgf Fluencia del acero fy ≔ 5200 ―― 2 cm 2 ‾‾‾‾‾‾‾ cm kgf kgf Ec ≔ 15000 ⋅ f'c ⋅ ―― ⋅ ―― = 250998.01 ―― Modulo de elasticidad del Hormigon 2 2 kgf cm cm kgf Modulo de elasticidad del Acero Es ≔ 2100000 ―― 2 cm rec ≔ 2.5 cm ϕe ≔ 8 mm ϕp ≔ 16 mm ϕf ≔ 0.9 b ≔ 30 cm

Recubrimiento Diametro de estribo Diametro principal Factor de redusccion por flexion

Base de la viga kgf g ≔ 1.85 ⋅ 10 ―― m 3

Tren de cargas 3

q1 ≔ 10 ⋅ 10 kgf

3

q2 ≔ 2.5 ⋅ 10 kgf

L ≔ 10 m

Mayorando cargas 3 kgf G ≔ 1.4 ⋅ g = ⎛⎝2.59 ⋅ 10 ⎞⎠ ―― m 4 Q1 ≔ 1.7 ⋅ q1 = ⎛⎝1.7 ⋅ 10 ⎞⎠ kgf

l ≔ 4.2 m

3 Q2 ≔ 1.7 ⋅ q2 = ⎛⎝4.25 ⋅ 10 ⎞⎠ kgf

Analizando el tren de cargas para hallar la maxima ordenada.

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Analizando el tren de cargas para hallar la maxima ordenada. Smatoria de momentos en el punto 2. Q1 ⋅ a ＝ Q2 ⋅ b

Entonces: Q1 ⋅ a ＝ Q2 ⋅ (l − a)

Despejando "a"

Q2 ⋅ l = 0.84 m a ≔ ――― Q1 + Q2

0

Ordenada maxima " 0 " estara a: a ―= 0.42 m del punto 1 2

Sabiendo que para una viga simplemente apoyada el punto critico o donde se presenta el maximo momento de halla en la mitad de la viga. Entonces procedemos a colocar el tren de cargas desde el punto " 0 " a la mitad de la viga

0

l1

l2

l1 ≔ 4.58 m l2 ≔ 5.42 m

L

sabiendo que para una viga simplemente apoyada la ecuacion del momento maximo positivo es: P ⋅ l1 ⋅ l2 M ＝ ――― L

Donde P sera igual a una carga unitaria P ≔ 1 , para realizar las lineas de influencia, de esta manera remplazando tenemos: P ⋅ l1 ⋅ l2 M ≔ ―――= 2.482 m L

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Calculo del momento ultimo debido a las cargas puntuales (tren de cargas) Para hallar el mometo ultimo debido a las cargas puntuales se debera multiplicar la carga por la ordenada donde se halle, respecto a la linea de influencia. Para la carga de 10 ton su ordenada sera: y1 ≔ 2.482 m

y2 y1 = 2.482 m

Para la carga de 2.5 ton su ordenada se obtendra de una relacion de triangulos que sera: y1 ⋅ 1.22 m = 0.559 m y2 ≔ ―――― l2

Entonces el mometo ultimo estara dado por: 3 M'u ≔ Q1 ⋅ y1 + Q2 ⋅ y2 = ⎛⎝44.57 ⋅ 10 ⎞⎠ kgf ⋅ m

Como el analisis se lo hizo para una carga estatica asumiendo un coeficiente de impacto del 15% a ese resultado para que se asemeje al producido por la misma carga aplicada de forma dinámica. 3 Mu1 ≔ M'u ⋅ 1.15 = ⎛⎝51.254 ⋅ 10 ⎞⎠ kgf ⋅ m

Calculo del momento ultimo debido a la carga distribuida g 3 kgf G = ⎛⎝2.59 ⋅ 10 ⎞⎠ ―― m

se hallara el momento donde se situa el momento maximo del tren de cargas, para ello usaremos la misma linea de influencia solo que en este caso al tratarse de una carga distribuida, el momento sera igual a la multiplicacion entre la carga distribuida y el area donde este en la linea de influencia.

⎛ ⎛ y1 ⋅ l1 ⎞ ⎛ y1 ⋅ l2 ⎞⎞ Mu2 ≔ ⎜G ⋅ ⎜――⎟ + G ⋅ ⎜――⎟⎟ ⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎠

3 Mu2 = ⎛⎝32.142 ⋅ 10 ⎞⎠ kgf ⋅ m

Por ultimo el momento maximo a usar sera la suma del momento debido al tren de cargas mas el momento debido a la carga distribuida: 3 Mu ≔ Mu1 + Mu2 = ⎛⎝83.4 ⋅ 10 ⎞⎠ kgf ⋅ m

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CALCULO DEL PERALTE MINIMO el peralte efectivo minimo solicitado se sacara en funcion del momento solicitante y de a max que genera un μmax Despejando dmin :

Mu ＝ ϕf ⋅ μmax ⋅ f'c ⋅ b ⋅ dmin

2

‾‾‾‾‾‾‾‾ 1 Mu dmin ＝ ―――⋅ ――― ϕf ⋅ f'c ⋅ b ‾‾‾‾‾ μmax

Para el calculo de μmax que es independiente de la seccion de la viga se calculara primero la altura maxima de los esfuerzos a compresion: amax ＝ β1 ⋅ cmax Donde β1 :

‖ || kgf β1 ≔ ‖ if f'c ≤ 280 ―― | | = 0.85 2 cm ‖ || ‖ ‖ 0.85 || ‖ ‖ || ‖ else || ⎛ ⎞|| kgf ‖ ‖ ⎜ f'c − 280 ―― ⎟|| 2 ‖ ‖ cm ‖ ‖ 0.85 − ⎜――――― ⋅ 0.05⎟ | | kgf ⎜ ⎟|| ‖ ‖ 70 ―― ‖ 2 ⎜ ⎟|| ‖ cm ⎝ ⎠| | ‖ ‖ Luego cmax: ⎛ 0.003 ⎞ ⋅d cmax ＝ ⎜―――― fy ⎟ ⎜ 0.006 + ―⎟ Es ⎠ ⎝ Por ultimo a max: amax ＝ β1 ⋅ cmax1 ⎛ 0.003 ⎞ ⋅d amax ＝ β1 ⋅ ⎜―――― fy ⎟ ⎜ 0.006 + ―⎟ Es ⎠ ⎝ Calculo de ω max: ⎛ 0.85 ⎞ ωmax ＝ amax1 ⋅ ⎜―― ⎟ ⎝ d1 ⎠ ⎛ 0.003 ⎞ ⎛ 0.85 ⎞ ⋅ ⋅ ωmax ＝ β1 ⋅ ⎜―――― d Se simplifica d ⎜―― ⎟ fy ⎟ ⎝ d ⎠ ⎜ 0.006 + ―⎟ Es ⎠ ⎝ ⎛ 0.003 ⎞ ⋅ ⎛⎝0.85⎞⎠ = 0.256 ωmax ≔ β1 ⋅ ⎜―――― fy ⎟ ⎜ 0.006 + ―⎟ Es ⎠ ⎝ Calculo de μ max: 2 ωmax μmax = 0.217 μmax ≔ ωmax − ――― 1.7

Por ultimo remplazando en la ecuacion de peralte efectivo minimo:

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Por ultimo remplazando en la ecuacion de peralte efectivo minimo: ‾‾‾‾‾‾‾‾ 1 Mu dmin ≔ ―――⋅ ――― = 71.3 cm ϕf ⋅ f'c ⋅ b ‾‾‾‾‾ μmax

Hallando la haltura minima de la viga:

h ≔ dmin + rec + ϕe + 0.5 ⋅ ϕp = 75.357 cm Asuminos

h ≔ 80 cm

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