Indices De Capacidad De Procesos

Índices de Capacidad de Procesos Clase 5 y 6

Capacidad de un proceso • Consiste en conocer la amplitud de la variación natural del proceso para una característica de calidad dada, ya que esto permitirá saber en qué medida tal característica de calidad es satisfactoria (cumple especificaciones). • Para considerar que hay calidad las mediciones deben ser iguales a cierto valor nominal o ideal (N), o al menos tienen que estar con holgura dentro de las especificaciones inferior (EI) y superior (ES).

Ejemplo

Ejemplo

Índices de Capacidad • Índice Cp (Índice de capacidad potencial) se define como:

• Decimos que 6σ (seis veces la desviación estándar) es la variación real, debido a las propiedades de la distribución normal (capítulo 3), en donde se afirma que entre μ ± 3σ se encuentra 99.73% de los valores de una variable con distribución normal.

Interpretación del índice de capacidad potencial Cp

Índices de Capacidad • En el caso del ejemplo 5.1 de la longitud de capa para las llantas, el índice Cp está dado por:

• La variación tolerada es de 20 y la variación real es ligeramente menor ya que es de 18. De acuerdo con la tabla 5.1, el proceso tiene una capacidad potencial parcialmente adecuada y requiere de un control estricto. • En función de la tabla 5.2 se espera que si el proceso estuviera centrado arrojaría aproximadamente 0.0967% de las capas fuera de especificaciones, lo cual corresponde a 967 PPM y se considera parcialmente adecuado.

Índice Cr • Índice Cr: Indicador de la capacidad potencial del proceso que divide la amplitud de la variación natural de éste entre la variación tolerada. Representa la proporción de la banda de especificaciones que es cubierta por el proceso.

• Como se puede apreciar, el índice Cr es el inverso del Cp, ya que compara la variación real frente a la variación tolerada. • Con este índice se pretende que el numerador sea menor que el denominador, es decir, lo deseable son valores de Cr pequeños (menores que 1). • El Cr para el ejemplo de la longitud de las capas de las llantas, es:

Índices Cpi , Cps y Cpk • La desventaja de los índices Cp y Cr es que no toman en cuenta el centrado del proceso, • Se puede corregir esto evaluando por separado el cumplimiento de la especificación inferior y superior, a través del índice de capacidad para la especificación inferior, Cpi, y índice de capacidad para la especificación superior, Cps, respectivamente:

• Para considerar que el proceso es adecuado, el valor de Cpi o Cps debe ser mayor que 1.25

Índices Cpi , Cps y Cpk • En el ejemplo 5.1, de la longitud de las capas de las llantas, tenemos que:

• Como el índice para la especificación superior, Cps, es el más pequeño y es menor que uno, entonces se tienen problemas por la parte superior • Cps = 0.78, entonces el porcentaje de producto que es más grande que la especificación superior está entre 0.82% y 1.79% • No hay problema con la especificación inferior, ya que Cpi = 1.44, al ser mayor que 1.25

Índices Cpi , Cps y Cpk • Por su parte el índice Cpk, que se conoce como índice de capacidad real del proceso, es considerado una versión corregida del Cp que sí toma en cuenta el centrado del proceso.

• El índice Cpk es igual al valor más pequeño de entre Cpi y Cps, por lo que si el valor del índice Cpk es satisfactorio (mayor que 1.25), eso indica que el proceso en realidad es capaz.

Índices Cpi , Cps y Cpk • Algunos elementos adicionales para la interpretación del índice Cpk son los siguientes: • El valor del índice Cpk es satisfactorio si es mayor que 1.25

• Si Cpk < 1, entonces el proceso no cumple con por lo menos una de las especificaciones • El índice Cpk siempre va a ser menor o igual que el índice Cp. Cuando son muy próximos, la capacidad potencial y real son similares • Si el valor del índice Cpk es mucho más pequeño que el Cp, significa que la media del proceso está alejada del centro de las especificaciones • Cuando el valor del índice Cpk sea mayor a 1.25 en un proceso ya existente, se considerará que se tiene un proceso con capacidad satisfactoria. Mientras que para procesos nuevos se pide que Cpk > 1.45 • Es posible tener valores del índice Cpk iguales a cero o negativos, e indican que la media del proceso está fuera de las especificaciones.

Índices Cpi , Cps y Cpk • En el ejemplo 5.1, de la longitud de las capas de las llantas, tenemos que:

• Lo cual, indica una capacidad no satisfactoria y cierta proporción de las capas para las llantas no tiene una longitud adecuada • Con Cpk = 0.78 el porcentaje de capas que exceden los 790 mm se encuentra entre 0.82 y 1.79%. • La primera recomendación de mejora para ese proceso es que se optimice su centrado, con lo cual alcanzaría su mejor potencial actual que indica el valor de Cp = 1.11.

Índice K • Un aspecto importante en el estudio de la capacidad de un proceso es evaluar si la distribución de la característica de calidad está centrada con respecto a las especificaciones • Índice K Es un indicador de qué tan centrada está la distribución de un proceso con respecto a las especificaciones de una característica de calidad dada.

• µ es la media del proceso • N es el valor objetivo o nominal

Índice K • La interpretación usual de los valores de K es como sigue: • Si el signo del valor de K es positivo significa que la media del proceso es mayor al valor nominal y será negativo cuando μ < N. • Valores de K menores a 20% en términos absolutos se consideran aceptables, pero valores absolutos de K más grandes que 20%, indica un proceso muy descentrado, lo cual contribuye a que la capacidad del proceso sea inadecuada • El valor nominal, N, es la calidad objetivo y óptima; cualquier desviación con respecto a este valor lleva un detrimento en la calidad. se deben hacer esfuerzos serios para centrarlo

• En el ejemplo 5.1 de la longitud de la capa para llantas, si se considera que el valor nominal para esta longitud es N = 780, entonces el índice K es:

Índice Cpm (índice de Taguchi) • La mejora de un proceso según Taguchi debe estar orientada a reducir su variabilidad alrededor del valor nominal, N, y no sólo para cumplir con especificaciones. Propone que la capacidad del proceso se mida con el índice Cpm:

• Si el proceso está centrado, es decir, si μ = N, entonces Cp, Cpk y Cpm son iguales. • En el caso del ejemplo 5.1 acerca de la longitud de capa para llantas:

Interpretación Índice Cpm (índice de Taguchi) • Cuando el índice Cpm es menor que uno significa que el proceso no cumple con especificaciones, ya sea por problemas de centrado o por exceso de variabilidad • Cuando el índice Cpm es mayor que uno, eso quiere decir que el proceso cumple con especificaciones, y en particular que la media del proceso está dentro de la tercera parte central de la banda de las especificaciones • Si Cpm es mayor que 1.33, entonces el proceso cumple con especificaciones, pero además la media del proceso está dentro de la quinta parte central del rango de especificaciones • Cual sería la interpretación para el ejemplo?

Generalidades sobre interpretación de los Índices de capacidad • Es necesario recordar que para que los índices vistos sean aplicables como pronósticos del desempeño del proceso en el futuro inmediato (corto plazo), es importante que: • Los procesos sean estables • La característica de calidad se distribuya en forma normal o por lo menos de una manera no tan diferente de ésta • Que los cálculos de los índices estén basados en los parámetros poblacionales del proceso μ y σ • Si los cálculos están basados en una muestra pequeña, la interpretación cambia (se verá más adelante)

Capacidad de largo plazo e índices Pp y Ppk • La capacidad de un proceso puede tener dos perspectivas: • Perspectiva de corto plazo • Perspectiva de largo plazo.

• Capacidad de corto plazo Se calcula a partir de muchos datos tomados durante un período corto para que no haya influencias externas en el proceso, o con muchos datos de un periodo largo, pero calculando σ con el rango promedio (σ=Rpromedio/d2). • Capacidad de largo plazo Se calcula con muchos datos tomados de un periodo de tiempo suficientemente largo como para que los factores externos influyan en el desempeño del proceso.

Índice Pp • Indicador del desempeño potencial del proceso, que se calcula en forma similar al índice Cp pero usando la desviación estándar de largo plazo.

donde σL es la desviación estándar de largo plazo

Índice Ppk • Indicador del desempeño real del proceso, que se calcula en forma similar al índice Cpk pero usando la desviación estándar de largo plazo.

Métricas Seis Sigma • Calidad Seis Sigma o los procesos Seis Sigma se refieren a un concepto que plantea una aspiración o meta común en calidad para todos los procesos de una organización, expresando el nivel de calidad en términos del número de sigmas (Índice Z) • Índice Z: Es la métrica de capacidad de procesos de mayor uso en Seis Sigma. Se obtiene calculando la distancia entre la media y las especificaciones, y esta distancia se divide entre la desviación estándar.

• Donde: Zs, Z superior y Zi, Z inferior

Ejemplo

La capacidad de un proceso medida en términos del índice Z es igual al valor más pequeño de entre Zs y Zi, es decir:

el proceso del ejemplo tiene una calidad de Z = 2.95 sigmas.

Métricas Seis Sigma • Índice ZC

• Valor del índice Z en el cual se emplea la desviación estándar de corto plazo.

• Índice ZL

• Valor del índice Z que utiliza la desviación estándar de largo plazo.

• Índice Zm

• La diferencia entre la capacidad de corto y largo plazo se conoce como desplazamiento o movimiento del proceso y se mide a través del índice Z de la siguiente manera:

• De la forma que se obtiene el índice Z, es posible ver que:

Métricas Seis Sigma • Proceso Tres Sigma • Proceso cuya capacidad para cumplir especificaciones a corto plazo es igual a Zc = 3 y el índice es Cpk = 1. • En el caso del proceso del ejemplo de envasado de cemento prácticamente tiene una calidad Tres Sigma porque Z = 2.95. • Se espera que el porcentaje de costales envasados que cumplen con especificaciones sea de 99.73% y sólo 0.27% no, lo cual corresponde a 2 700 partes por millón (PPM) fuera de especificaciones.

Métricas Seis Sigma • De acuerdo con el ejemplo, a primera vista un proceso Tres Sigma parece que tiene un nivel de calidad adecuado. Sin embargo, para las exigencias actuales, tal calidad por lo general no es suficiente por dos razones: • Un porcentaje de 0.27% de artículos defectuosos implica 2700 partes defectuosas por cada millón (PPM) producidas. Por ejemplo, una sola empresa que fabrica 10 millones de teléfonos por año, implica que 27000 consumidores tuvieron problemas con su aparato nuevo. • Lo anterior se agrava si consideramos la diferencia entre la capacidad de corto y largo plazo, en donde los estudios indican que la media de un proceso puede desplazarse hasta 1.5 sigmas respecto al valor nominal (Zm= 1.5)

Métricas Seis Sigma • Para el ejemplo del peso de los costales, si μ de desplaza 1.5σ hacia la especificación superior, la media del proceso sería: • μ´ = μ + 1.5(σ) = 50.01 + 1.5(0.2) = 50.31

• Ahora el área de la curva dentro de especificaciones es sólo de 93.32%, lo cual implica una taza de defectos de 66 810 PPM y Zm = 1.5. • Esto hace a la calidad Tres Sigma poco satisfactoria, por eso se requiere una meta de calidad 6 sigma

Métricas Seis Sigma • Proceso Seis Sigma • Proceso cuya capacidad para cumplir especificaciones a corto plazo es igual a Zc = 6 o cuando es a largo plazo ZL = 4.5, lo cual, a corto plazo significa Cpk = 2 y a largo plazo Ppk = 1.5.

• En ese caso, a corto plazo se tendría una tasa de defectos de 0.002 PPM • En ese caso, a largo plazo (desplazamiento de 1.5σ) se tendría una tasa de defectos de 3.4 PPM

Métricas Seis Sigma • En el caso del peso de los costales de cemento, tener calidad Seis Sigma significa que en lugar de que la desviación estándar tenga un valor de 0.2, se requiere que σ = 0.1. Es decir, implica reducir la variación un 50% con respecto a la calidad 3σ. • Equivale a que el proceso en el corto plazo tenga un Cpk = 2.0. • Si a largo plazo ocurriera que la media del proceso se moviera hasta 1.5σ veces a partir del valor nominal, hacia la especificación superior por ejemplo, eso no generaría problemas, ya que la media del proceso sería: • μ´= μ + 1.5(σ) = 50.01 + 1.5(0.1) = 50.16 • El Ppk y ZL ahora sería de: • Sólo 3,4 PPM defectuosas

Métricas Seis Sigma

Métricas Seis Sigma

Métrica Seis Sigma para atributos (DPMO) • Muchas características de calidad son de atributos. En este caso se utilizará como métrica a los Defectos por millón de oportunidades de error (DPMO). Ejemplo:

• Unidad

• Es la parte o producto que se elabora mediante un proceso. En el caso del ejemplo serían las sillas

• Oportunidad de error

• Cualquier parte de la unidad que puede medirse o probarse si es adecuada.

Figura 5.3

Métrica Seis Sigma para atributos (DPMO) • Índice DPU (defectos por unidad) • Métrica de calidad que es igual al número de defectos encontrados entre el número de unidades inspeccionadas. No toma en cuenta las oportunidades de error. • U es el número de unidades inspeccionadas en las cuales se observaron d defectos

• Para el ejemplo: • Esto significa que, en promedio, cada silla tiene 0.06 ensambles defectuosos (en 100 sillas se esperarían seis ensambles defectuosos). Es claro que una misma silla puede tener más de un ensamble defectuoso. No toma en cuenta el número de oportunidades de error en la unidad

Métrica Seis Sigma para atributos (DPMO) • Índice DPO (defectos por oportunidad) • Métrica de calidad que es igual al número de defectos encontrados entre el total de oportunidades de error al producir una cantidad específica de unidades.

• O es el número de oportunidades de error por unidad • En el caso de las sillas:

Métrica Seis Sigma para atributos (DPMO) • El índice DPMO (Defectos por millón de oportunidades) • Cuantifica los defectos del proceso en un millón de oportunidades de error, y se obtiene al multiplicar al DPO por un millón, por lo que para las sillas se tiene que: • Un millón de ensambles realizados (24 por silla) se espera tener 2 500 con algún tipo de defecto, lo cual habla de que no se tiene un proceso Seis Sigma, ya que la meta será tener 3.4 DPMO como máximo.

Métrica Seis Sigma para atributos (DPMO) • DPU frente a PPM y el nivel de sigmas • Tanto la métrica DPU como la DPMO se refieren a variables para atributos más cercanas a variables con distribución Poisson. Una pieza puede tener más de un defecto y no necesariamente debe rechazarse. • PPM se aplica cuando la parte cumple o no cumple (pasa o no pasa), y aquí más bien se aplica la distribución binomial y su aproximación a la normal

Métrica Seis Sigma para atributos (DPMO) • En el caso del ejemplo 5.3, donde el DPU = 0.06, se quiere saber cuál es el nivel de sigmas del proceso correspondiente. Distribución • Se calcula el rendimiento Y del proceso mediante la distribución de Poisson, como la probabilidad de cero defectos, donde λ=DPU, con la de Poisson siguiente fórmula:

• Es decir, la probabilidad de que una unidad esté libre de defectos es de 94.18%. • El nivel de sigma de largo plazo es el valor de ZY de una tabla de distribución normal estándar correspondiente a la probabilidad acumulada igual a Y

Métrica Seis Sigma para atributos (DPMO) • En el caso del ejemplo, y usando la siguiente función de Excel: • DISTR.NORM.ESTAND.INV(0.9418) = 1.57

• Se encuentra que el nivel de sigmas de largo plazo del proceso es igual a 1.57, así que suponiendo un desplazamiento de 1.5 sigmas, el número de sigmas del proceso estará dado por: • Zc = ZY + 1.5

• Por lo tanto, el nivel de sigmas del proceso de ensamble de sillas es 1.57 + 1.5 = 3.07 que, de acuerdo con la tabla 5.3, corresponde a un nivel de PPM cercano a 66 807. Es decir, está muy lejos de la meta de tener un proceso Seis Sigma.

Métrica Seis Sigma para atributos (DPMO) • Rendimiento combinado (Rolled Throughput Yield ) • Supongamos que un proceso tiene k etapas o subprocesos, y el rendimiento a la primera vez sin considerar retrabajos de cada uno de los subprocesos es Y1, Y2, ..., Yk; por lo tanto, el rendimiento combinado del proceso es el producto de los rendimientos de sus etapas, es decir: • YC = Y1 × Y2 × ... × Yk

• donde: • El índice YC se interpreta como la probabilidad de que una unidad esté libre de defectos desde la primera hasta la última etapa del proceso.

Métrica Seis Sigma para atributos (DPMO) • Ejemplo • Supongamos un proceso con cinco etapas y los rendimientos para cada una de ellas que se muestran en la figura. En la gráfica se aprecian: • El rendimiento por etapa son los que se muestran • La gráfica muestra la forma en la que va disminuyendo el rendimiento acumulado hasta que, al final, coincide con el rendimiento combinado YC = 60.8% • La probabilidad de que una unidad pase libre de defectos a lo largo de los cinco pasos es de 60.8%.

Métrica Seis Sigma para atributos (DPMO)

Procesos con solo una especificación • Existen procesos cuyas variables de salida tienen una sola especificación, ya sea que se trate de: • Variables del tipo entre más grande mejor, donde lo que interesa es que sean mayores a cierto valor mínimo (EI); • O de variables del tipo entre más pequeña mejor, donde lo que se quiere es que nunca excedan cierto valor máximo (ES).

• En casos como los anteriores, donde sólo se tiene una especificación, se debe tener cuidado de no caer en la mala práctica de fijar de manera artificial una especificación superior o inferior

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Estimación por intervalo de los índices de capacidad • Para calcular los índices de capacidad se necesita conocer la media, μ, y la desviación estándar, σ, del proceso con una buena aproximación. • Cuando no se conocen estos parámetros será necesario utilizar datos muestrales y estimar por intervalo a estos índices si la muestra es pequeña, de unas cuantas decenas (menor a 80 por ejemplo), • Sea x1, x2,..., xn una muestra aleatoria del proceso, y Xmedia y S la media y la desviación estándar de tal muestra. Si los índices se estiman usando Xmedia y S en lugar de μ y σ, respectivamente, entonces la estimación puntual de los índices estará dada por:

Estimación por intervalo de los índices de capacidad • Los intervalos de confianza para Cp, Cpk y Cpm están dados por:

• Donde: • n es el tamaño de muestra y • Zα/2 es el percentil de la distribución normal que determina la confianza de la estimación (si se quiere trabajar con 95% de confianza, el valor de Zα/2 es 1.96).

• De esta manera, el verdadero valor del índice de capacidad del proceso se encontrará entre el intervalo obtenido con las expresiones anteriores y con la confianza deseada.

Estimación por intervalo de los índices de capacidad • Si se toma una muestra pequeña de un proceso para evaluar su capacidad, entonces con base en los intervalos de confianza para los índices es posible encontrar tres tipos de procesos:

• 1. Proceso con muy buena capacidad. Se tiene este caso cuando el límite inferior de los intervalos de confianza para los índices es mayor que 1.33 (o por lo menos de 1.0). • 2. Proceso con muy mala capacidad. Se afirma esto cuando el límite superior de los intervalos de confianza para los índices es menor que 1.0. • 3. Proceso con una capacidad intermedia o incertidumbre sobre su capacidad real. Se presenta cuando no se está en ninguna de las dos situaciones anteriores, es decir, cuando el intervalo incluya al número uno o a 1.33, como en el caso del ejemplo que se mostrará a continuación. • En esta última situación se debe seguir monitoreando el proceso hasta tener un tamaño de muestra mayor, a fin de tener una mayor certidumbre sobre la capacidad del proceso correspondiente.

Ejemplo

Estudio real (integral) de capacidad. Ejemplo • Proceso descentrado. De manera similar al ejemplo 5.1, en otro modelo de llantas para automóvil se tiene que la longitud de la capa debe ser de 550 mm, con una tolerancia de ±8 mm. La longitud de la capa es el resultado de un proceso de corte de una tira de hule, el cual debe garantizar que la longitud este entre la especificación inferior EI = 542 y la superior ES = 558, con un valor ideal o nominal de N = 550. Para detectar la posible presencia de causas especiales de variación, y en general para monitorear el correcto funcionamiento del proceso de corte, cada hora se toman cinco capas y se miden. Los datos obtenidos en los últimos cuatro días se muestran en la siguiente tabla.

Estudio real (integral) de capacidad. Ejemplo

Estudio real (integral) de capacidad. Ejemplo

Estudio real (integral) de capacidad. Ejemplo

Estudio real (integral) de capacidad. Ejemplo

Gracias Hasta la próxima