Kunci Jawaban, Silabus, Rpp Mat Xia Program Ipa 2011

Matematika Kelas XI Program IPA

1

1.1 Membaca data dalam bentuk tabel dan diagram batang, garis, lingkaran, dan ogive.

Statistika

Materi Pokok/ Pembelajaran

–

–

–

–

–

–

–

–

–

Menjelaskan pengertian istilahistilah dalam statistika. Membaca data tunggal dalam bentuk tabel. Membaca data tunggal dalam bentuk diagram batang. Membaca data tunggal dalam bentuk diagram garis. Membaca data tunggal dalam bentuk diagram lingkaran dan pastel. Membaca data berkelompok dalam bentuk tabel. Membaca data berkelompok dalam bentuk histogram. Membaca data berkelompok dalam bentuk poligon frekuensi. Membaca data berkelompok dalam bentuk ogive.

Kegiatan Pembelajaran

1.1.1 Mampu mendefinisikan statistika. 1.1.2 Mampu membaca data tunggal dalam bentuk tabel dan diagram. 1.1.3 Mampu membaca data berkelompok dalam bentuk tabel dan diagram.

Indikator Pencapaian Kompetensi

Tes tertulis

Teknik

Pilihan ganda

Bentuk Instrumen

Seri Memasak

diagram

20°

Ensiklopedi Tab 30° Ola loid hra 60° ga ° 50

Cerita Bergambar

Perhatikan berikut.

Contoh Instrumen

Penilaian

: 1. Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah.

Standar Kompetensi

Diagram tersebut menunjukkan koleksi bacaan sebuah perpustakaan. Koleksi cerita bergambar sebanyak 45 eksemplar. Jika 30 eksemplar buku Seri Keterampilan dipinjam, buku Seri Keterampilan yang tersisa di perpustakaan sebanyak . . . eksemplar. a. 125 d. 155 b. 135 e. 165 c. 145

Majalah Sains

Kompetensi Dasar

: .... : XI/1 : Matematika

Sekolah Kelas/Semester

Silabus Bab I Statistika

Se K ri e ter am pil an

4 jp

1. Buku PG Matematika Kelas XI Program IPA, Intan Pariwara, halaman 1–48 2. Buku PR Matematika Kelas XI Program IPA, Intan Pariwara, halaman 1–30 3. BSE Matematika untuk SMA/ MA Kelas XI Program IPA, Depdiknas

Alokasi Alat dan Sumber Belajar Waktu

Statistika

Statistika

1.2 M e n y a j i k a n data dalam bentuk tabel dan diagram batang, garis, lingkaran, ogive, serta penafsirannya.

1.3 M e n g h i t u n g ukuran pemusatan, ukuran letak, dan ukuran penyebaran data, serta penafsirannya. –

–

–

Tes tertulis

1.3.1 Mampu menentukan ukuran pemusatan data tunggal (rata-rata, modus, dan median). 1.3.2 Mampu menentukan ukuran pemusatan data berkelompok (mean, modus, dan median).

–

Menghitung rata-rata, modus, dan median data tunggal. Menghitung rata-rata, modus, dan median data berkelompok. Menghitung kuartil (pertama, kedua, ketiga), desil, dan persentil data tunggal. Menghitung kuartil (pertama, kedua, ketiga), desil, dan persentil data berkelompok.

Tes tertulis

1.2.1 Mampu menyajikan data tunggal dalam tabel dan diagram. 1.2.2 Mampu menyajikan data berkelompok dalam tabel dan diagram. 1.2.3 Mampu menafsirkan data tunggal dalam tabel dan diagram. 1.2.4 Mampu menafsirkan data berkelompok dalam tabel dan diagram.

Menyajikan data tunggal dalam bentuk tabel. – Menyajikan data tunggal dalam bentuk diagram batang. – Menyajikan data tunggal dalam bentuk diagram garis. – Menyajikan data tunggal dalam bentuk diagram lingkaran dan pastel. – Menafsirkan data tunggal dalam tabel. – Menafsirkan data tunggal dalam bentuk diagram batang, diagram garis, diagram lingkaran, dan diagram pastel. – Menyajikan data berkelompok dalam bentuk tabel. – Menyajikan data berkelompok dalam bentuk histogram. – Menyajikan data berkelompok dalam bentuk poligon frekuensi. – Menyajikan data berkelompok dalam bentuk ogive. – Menafsirkan data berkelompok dalam tabel. – Menafsirkan data berkelompok dalam bentuk histogram, poligon frekuensi, dan ogive.

–

Pilihan ganda

2. Diketahui data usia sekumpulan orang berikut.

Uraian

Banyak Siswa

1.

Nilai

Pilihan ganda 17 15 13 11 9 7 5 3 1 0

Contoh Instrumen

80 40 90 50 60

xi 2 3 4 5 6 7

Frekuensi 6 5 8 3 10 8

1. Rata-rata data pada tabel berikut adalah ....

a. Gambarlah diagram batang dari data tersebut. b. Tentukan banyak orang yang berusia kurang dari 19 tahun.

5–11 12–18 19–25 26–32 33–39

Usia (dalam tahun) Frekuensi

Histogram di atas menunjukkan bahwa siswa yang mendapat nilai lebih dari 60 sebanyak . . . anak. a. 11 d. 23 b. 16 e. 39 c. 22

31–40

Teknik

Bentuk Instrumen

Penilaian

41–50

Silabus 51–60

Indikator Pencapaian Kompetensi

61–70

Kegiatan Pembelajaran

71–80

Materi Pokok/ Pembelajaran

81–90

Kompetensi Dasar

91–100

2 8 jp

1. Buku PG Matematika Kelas XI Program IPA, Intan Pariwara, halaman 1–48 2. Buku PR Matematika Kelas XI Program IPA, Intan Pariwara, halaman 1–30

1. Buku PG Matematika Kelas XI Program IPA, Intan Pariwara, halaman 1–48 2. Buku PR Matematika Kelas XI Program IPA, Intan Pariwara, halaman 1–30 3. BSE Matematika untuk SMA/ MA Kelas XI Program IPA, Depdiknas

Alokasi Alat dan Sumber Belajar Waktu

Matematika Kelas XI Program IPA

3

Kompetensi Dasar

Materi Pokok/ Pembelajaran

–

–

Menghitung jangkauan, jangkauan antarkuartil, simpangan kuartil, simpangan rata-rata, ragam, dan simpangan baku data tunggal. Menghitung jangkauan, jangkauan antarkuartil, simpangan kuartil, simpangan rata-rata, ragam, dan simpangan baku data berkelompok.

Kegiatan Pembelajaran

1.3.3 Mampu menentukan ukuran letak data tunggal (kuartil, desil, dan persentil). 1.3.4 Mampu menentukan ukuran letak data berkelompok (kuartil, desil, dan persentil). 1.3.5 Mampu menentukan ukuran penyebaran data tunggal. 1.3.6 Mampu menentukan ukuran penyebaran data berkelompok.

Indikator Pencapaian Kompetensi Teknik

Uraian

Pilihan ganda

Bentuk Instrumen 4,5 4,725 4,75 4,85 4,925

1 2 3 4 5

2 5 8 3 1

Frekuensi

3 4 2 1 m 7 5

Jika median dari data tersebut 218,5 gram, tentukan: a. nilai m, b. berat rata-rata 1 apel.

200–203 204–207 208–211 212–215 216–219 220–223 224–227

Berat (gram) Frekuensi

3. Berikut data mengenai berat apel dalam satu kantong plastik.

Modus dari data pada tabel adalah . . . . a. 33,75 b. 34,00 c. 34,25 d. 34,50 e. 34,75

Nilai 11–20 21–30 31–40 41–50 51–60

No

2. Perhatikan tabel distribusi nilai ulangan Matematika berikut.

a. b. c. d. e.

Contoh Instrumen

Penilaian

3. BSE Matematika untuk SMA/ MA Kelas XI Program IPA, Depdiknas

Alokasi Alat dan Sumber Belajar Waktu

4

Silabus

1.4 Menggunakan aturan perkalian permutasi dan kombinasi dalam pemecahan masalah.

Peluang

Materi Pokok/ Pembelajaran

–

– –

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

Menjelaskan pengertian aturan perkalian. Menyebutkan rumus aturan perkalian. Menyelesaikan soal yang berhubungan dengan aturan perkalian. Menjelaskan pengertian faktorial. Menjelaskan pengertian permutasi. Membuktikan rumus permutasi menggunakan aturan perkalian. Menjelaskan pengertian permutasi dengan beberapa elemen yang sama. Menjelaskan pengertian permutasi siklis. Menyelesaikan soal yang berhubungan dengan permutasi. Menjelaskan pengertian kombinasi. Membuktikan rumus kombinasi. Menyelesaikan soal yang berhubungan dengan kombinasi. Menentukan banyak kemungkinan/ cara menggunakan aturan perkalian, permutasi, atau kombinasi.

Kegiatan Pembelajaran

1.4.1 Mampu menentukan banyak kemungkinan/ cara menggunakan aturan perkalian. 1.4.2 Mampu menentukan banyak kemungkinan/ cara menggunakan permutasi. 1.4.3 Mampu menentukan banyak kemungkinan/ cara menggunakan kombinasi.

Indikator Pencapaian Kompetensi

Tes tertulis

Teknik

Uraian

2. Tentukan nilai n dari setiap persamaan berikut. a. 2 · 2n + 1C2 = 3! · nP2 Uraian

9 Cn 10 Cn + 1

=

3 10

3. Dari 5 siswa kelas XII, 6 siswa kelas XI, dan 7 siswa kelas X akan dibentuk sebuah tim yang beranggotakan 5 siswa. Jika anggota tim harus memuat 1 siswa dari kelas X dan 1 siswa dari kelas XII, berapa banyak cara membentuk tim?

c.

b. n · 6P2 = nP3

1. Dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 akan disusun suatu bilangan terdiri atas empat angka. Banyak bilangan genap yang tersusun dan tidak ada angka yang berulang adalah . . . . a. 120 d. 480 b. 180 e. 648 c. 360

Contoh Instrumen

Pilihan ganda

Bentuk Instrumen

Penilaian

: 1. Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah.

Standar Kompetensi

Kompetensi Dasar

: .... : XI/1 : Matematika

Sekolah Kelas/Semester

Bab II Peluang

10 jp

1. Buku PG Matematika Kelas XI Program IPA, Intan Pariwara, halaman . . . . 2. Buku PR Matematika Kelas XI Program IPA, Intan Pariwara, halaman . . . . 3. BSE Matematika untuk SMA/ MA Kelas XI Program IPA, Depdiknas

Alokasi Alat dan Sumber Belajar Waktu

Matematika Kelas XI Program IPA

5

Peluang

Peluang

1.6 M e n e n t u k a n peluang suatu kejadian dan penafsirannya.

Materi Pokok/ Pembelajaran

1.5 M e n e n t u k a n ruang sampel suatu percobaan.

Kompetensi Dasar

Menghitung banyak kemungkinan muncul suatu kejadian. Menghitung banyak percobaan yang dilakukan. Menjelaskan pengertian frekuensi relatif suatu kejadian. Menentukan frekuensi relatif muncul suatu kejadian. Menjelaskan pengertian peluang suatu kejadian. Menghitung peluang suatu kejadian dengan menghitung banyak anggota kejadian tersebut dan banyak anggotaanggota ruang sampel terlebih dahulu. Menjelaskan pengertian peluang komplemen suatu kejadian. Menentukan peluang komplemen suatu kejadian.

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

Menjelaskan pengertian percobaan statistika. Menjelaskan pengertian ruang sampel. Menentukan ruang sampel suatu percobaan. Menjelaskan pengertian titik sampel. Menentukan banyak titik sampel suatu percobaan. Menjelaskan pengertian kejadian. Menentukan anggota himpunan suatu kejadian.

–

Kegiatan Pembelajaran

1.6.1 Mampu menentukan peluang suatu kejadian. 1.6.2 Mampu menentukan peluang komplemen suatu kejadian. 1.6.3 Mampu menentukan kisaran nilai peluang. 1.6.4 Mampu menentukan frekuensi harapan suatu kejadian. 1.6.5 Mampu menentukan peluang gabungan dua kejadian. 1.6.6 Mampu menentukan peluang dua kejadian saling asing. 1.6.7 Mampu menentukan peluang dua kejadian saling bebas. 1.6.8 Mampu menentukan peluang kejadian bersyarat.

1.6.1 Mampu menentukan ruang sampel suatu percobaan. 1.5.2 Mampu menentukan banyak titik sampel suatu percobaan. 1.5.3 Mampu menentukan anggota himpunan suatu kejadian.

Indikator Pencapaian Kompetensi

Tes tertulis

Tes tertulis

Teknik

Pilihan ganda

Uraian

Uraian

Bentuk Instrumen +

a. 665 b. 656 c. 655

15! 12!3!

10! 6!4!

=... d. 565 e. 556

21! 13!8! 21! 13!7! 21! 12!8!

c. d. e.

adalah

2 15 1 5 4 12

e.

d.

1 3 2 5

2. Sebuah kantong berisi 4 bola merah, 3 bola putih, dan 3 bola hitam. Diambil sebuah bola secara acak, peluang terambil bola merah atau hitam adalah . . . .

c.

b.

a.

1. Enam buku terdiri atas 4 kamus dan 2 ensiklopedi ditempatkan pada sebuah rak secara acak. Peluang buku-buku yang sejenis ditempatkan secara berdampingan ....

20! 12!8!

b.

20! 13!7!

20! 13!8!

+

a.

....

20! 12!8!

2. Bentuk sederhana dari

1.

Contoh Instrumen

Penilaian

6 jp

4 jp

1. Buku PG Matematika Kelas XI Program IPA, Intan Pariwara, halaman . . . . 2. Buku PR Matematika Kelas XI Program IPA, Intan Pariwara, halaman . . . . 3. BSE Matematika untuk SMA/ MA Kelas XI Program IPA, Depdiknas

1. Buku PG Matematika Kelas XI Program IPA, Intan Pariwara, halaman . . . . 2. Buku PR Matematika Kelas XI Program IPA, Intan Pariwara, halaman . . . . 3. BSE Matematika untuk SMA/ MA Kelas XI Program IPA, Depdiknas

Alokasi Alat dan Sumber Belajar Waktu

6

Silabus

Kompetensi Dasar

Materi Pokok/ Pembelajaran

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

Menjelaskan pengertian kisaran nilai peluang. Menyebutkan kejadian yang mustahil terjadi. Menyebutkan kejadian yang pasti terjadi. Menjelaskan pengertian frekuensi harapan. Menghitung frekuensi harapan suatu kejadian. Menjelaskan pengertian kejadian majemuk. Menjelaskan pengertian gabungan dua kejadian. Menjelaskan pengertian irisan dua kejadian. Menghitung peluang irisan dua kejadian. Membuktikan rumus peluang gabungan dua kejadian dengan diagram Venn. Menghitung peluang gabungan dua kejadian. Menjelaskan pengertian kejadian saling asing. Menghitung peluang kejadian saling asing. Menjelaskan pengertian kejadian saling bebas. Menghitung peluang kejadian saling bebas. Menjelaskan pengertian kejadian bersyarat. Menghitung peluang kejadian bersyarat.

Kegiatan Pembelajaran

Indikator Pencapaian Kompetensi Teknik

Uraian

Bentuk Instrumen

3 6

7 10

4 5

e.

d. 1 10

2 6

2. Pada suatu kotak terdapat 9 buah apel dan 6 buah jeruk. Tentukan peluang terambil dua buah dengan jenis yang sama, jika secara acak: a. diambil dua buah sekaligus; b. diambil dua buah satu per satu tanpa dikembalikan.

1. Dari 7 orang pengurus sebuah organisasi akan dipilih seorang ketua, sekretaris, dan bendahara. a. Berapa peluang seseorang tidak terpilih menjadi pengurus? b. Berapa peluang seseorang tidak terpilih menjadi sekretaris?

c.

b.

a.

Contoh Instrumen

Penilaian Alokasi Alat dan Sumber Belajar Waktu

Matematika Kelas XI Program IPA

7

Materi Pokok/ Pembelajaran

Trigonometri

2.1 Menggunakan rumus sinus dan kosinus jumlah dua sudut, selisih dua sudut, dan sudut ganda untuk menghitung sinus dan kosinus sudut tertentu.

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

Menurunkan rumus kosinus jumlah dan selisih dua sudut. Menghitung nilai kosinus jumlah dan selisih dua sudut. Menjelaskan cara menggunakan rumus kosinus jumlah dan selisih dua sudut untuk menghitung nilai kosinus sudut tertentu. Menghitung nilai kosinus sudut tertentu menggunakan rumus kosinus jumlah dan selisih dua sudut. Menurunkan rumus sinus jumlah dan selisih dua sudut. Menghitung nilai sinus jumlah dan selisih dua sudut. Menjelaskan cara menggunakan rumus sinus jumlah dan selisih dua sudut untuk menghitung nilai sinus sudut tertentu. Menghitung nilai sinus sudut tertentu menggunakan rumus sinus jumlah dan selisih dua sudut. Menurunkan rumus tangen jumlah dan selisih dua sudut. Menghitung nilai tangen jumlah dan selisih dua sudut. Menjelaskan cara menggunakan rumus tangen jumlah dan selisih dua sudut untuk menghitung nilai tangen sudut tertentu.

Kegiatan Pembelajaran

2.1.1 Mampu menentukan nilai kosinus sudut tertentu menggunakan rumus kosinus jumlah dan selisih dua sudut. 2.1.2 Mampu menentukan nilai sinus sudut tertentu menggunakan rumus sinus jumlah dan selisih dua sudut. 2.1.3 Mampu menentukan nilai tangen sudut tertentu menggunakan rumus tangen jumlah dan selisih dua sudut. 2.1.4 Mampu menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan a sin x + b cos x = c. 2.1.5 Mampu menentukan nilai sinus sudut tertentu menggunakan rumus sinus sudut rangkap. 2.1.6 Mampu menentukan nilai kosinus sudut tertentu menggunakan rumus kosinus sudut rangkap.

Indikator Pencapaian Kompetensi

: 2. Menurunkan rumus trigonometri dan penggunaannya.

Standar Kompetensi

Kompetensi Dasar

: .... : XI/1 : Matematika

Sekolah Kelas/Semester

Tes tertulis

Teknik

Bab III Trigonometri

Pilihan ganda

Bentuk Instrumen

dengan α dan

5

1 5 1 2

b. c.

e.

d.

1 5

2 5

dan cotan B = 7

e. 2 + 3

d. 2 – 3

c. –2 + 3

b. –1 + 3

a. 1 – 3

3. Nilai dari tan 165° = ....

maka ∠C = . . . . a. 30° d. 90° b. 45° e. 135° c. 60°

3 5

2. ABC adalah sebuah segitiga. Jika sin A =

5

2 3

a.

β sudut lancip maka sin (α – β) = . . . .

β=

1 3

1. Jika tan α = 1 dan tan

Contoh Instrumen

Penilaian

8 jp

1. Buku PG Matematika Kelas XI Program IPA, Intan Pariwara, halaman 101– 144 2. Buku PR Matematika Kelas XI Program IPA, Intan Pariwara, halaman 55– 72 3. BSE Matematika untuk SMA/ MA Kelas XI Program IPA, Depdiknas

Alokasi Alat dan Sumber Belajar Waktu

8

Silabus

Kompetensi Dasar

Materi Pokok/ Pembelajaran

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

Menghitung nilai tangen sudut tertentu menggunakan rumus tangen jumlah dan selisih dua sudut. Menjelaskan cara mengubah bentuk a cos x + b sin x menjadi bentuk k cos (x – α). Mengubah bentuk a cos x + b sin x menjadi bentuk k cos (x – α). Menjelaskan cara menyelesaikan persamaan a cos x + b sin x = c. Menentukan himpunan penyelesaian yang memenuhi a cos x + b sin x = c. Menjelaskan pengertian sudut rangkap. Menurunkan rumus sinus sudut rangkap. Menghitung nilai sinus sudut rangkap. Menghitung nilai sinus sudut tertentu menggunakan rumus sinus sudut rangkap. Menurunkan rumus kosinus sudut rangkap. Menghitung nilai kosinus sudut rangkap. Menghitung nilai kosinus sudut tertentu menggunakan rumus kosinus sudut rangkap. Menurunkan rumus tangen sudut rangkap. Menghitung nilai tangen sudut rangkap. Menghitung nilai tangen sudut tertentu menggunakan rumus tangen sudut rangkap. Menurunkan rumus sinus jika diketahui rumus sinus sudut rangkap.

Kegiatan Pembelajaran

2.1.7 Mampu menentukan nilai tangen sudut tertentu menggunakan rumus tangen sudut rangkap.

Indikator Pencapaian Kompetensi

Tes tertulis

Teknik

Uraian

Pilihan ganda

Bentuk Instrumen

. Nilai

1 2

e. 7

25 7

c.

7 25

dengan

3. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut untuk 0 ≤ x ≤ 360°. a. 2 cos (30° + x) = cos (30° – x) b. sin (x + 30°) + cos (x + 60°) = –1

sudut α di kuadran III dan sudut β di kuadran IV, tentukan: a. cos (α + β), b. sin (α – β).

cos β =

2. Jika sin α = – 5 dan

3

1. Menggunakan rumus jumlah dan selisih dua sudut, tunjukkan kebenaran sifat berikut. a. sin (90° + α) = cos α b. cos (270° – α) = –sin α c. tan (180° – α) = –tan α

d. 6

7 6

b.

adalah . . . .

1 3

a. 1

tan (A + B) tan (A − B)

dan tan B =

4. Diketahui tan A =

Contoh Instrumen

Penilaian Alokasi Alat dan Sumber Belajar Waktu

–

–

–

–

–

–

Menurunkan rumus untuk mengubah bentuk perkalian kosinus dan kosinus dapat diubah menjadi bentuk penjumlahan kosinus. Menurunkan rumus untuk mengubah bentuk perkalian sinus dan sinus menjadi bentuk selisih kosinus. Menurunkan rumus untuk mengubah bentuk perkalian sinus dan kosinus menjadi bentuk penjumlahan sinus. Menurunkan rumus untuk mengubah bentuk perkalian kosinus dan sinus menjadi bentuk selisih sinus. Menurunkan rumus untuk mengubah bentuk penjumlahan kosinus menjadi bentuk perkalian kosinus. Menurunkan rumus untuk mengubah bentuk selisih kosinus menjadi bentuk perkalian sinus. Menurunkan rumus untuk mengubah bentuk penjumlahan sinus menjadi bentuk perkalian sinus dan kosinus. Menurunkan rumus untuk mengubah bentuk selisih sinus menjadi bentuk perkalian kosinus dan sinus.

Menurunkan rumus kosinus jika diketahui rumus kosinus sudut rangkap. Menurunkan rumus tangen jika diketahui rumus kosinus sudut rangkap. 2.2.1 Mampu menentukan perubahan bentuk perkalian kosinus dan kosinus. 2.2.2 Mampu menentukan perubahan bentuk perkalian sinus dan sinus. 2.2.3 Mampu menentukan perubahan bentuk perkalian sinus dan kosinus. 2.2.4 Mampu menentukan perubahan bentuk perkalian kosinus dan sinus. 2.2.5 Mampu menentukan perubahan bentuk penjumlahan kosinus. 2.2.6 Mampu menentukan perubahan bentuk selisih kosinus. 2.2.7 Mampu menentukan perubahan bentuk penjumlahan sinus. 2.2.8 Mampu menentukan perubahan bentuk selisih sinus.

Indikator Pencapaian Kompetensi

Tes tertulis

Teknik

)

) sin (x

(2 cos x – cos 3x – cos 5x) b. 1 + cos 2x + cos 4x + cos 6x = 4 cos x cos 2x cos 3x

1 16

2. Buktikan identitas berikut. a. cos 3 x sin 2 x =

–

π 3

π 3

1. Sederhanakan bentukbentuk berikut ini. a. 2 sin (x + y) sin (x – y)

Uraian

b. cos (x +

1. Nilai dari sin 58° + sin 62° – sin 178° = . . . . a. –2 sin 58° b. cos 58° – sin 58° c. 0 d. sin 58° + cos 58° e. 2 sin 58°

Contoh Instrumen

Pilihan ganda

Bentuk Instrumen

Penilaian

–

x y

= tan 2q

3. Jika x = sin 3q + sin q dan y = cos 3q + cos q, buktikan identitas berikut. a. x + y = 2 cos q (sin 2q + cos 2q)

9

–

c. x2 + y2 = 2 + 2 cos 2q

Trigonometri

2.2 M e n u r u n k a n rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus.

–

–

Kegiatan Pembelajaran

b.

Materi Pokok/ Pembelajaran

Kompetensi Dasar

Matematika Kelas XI Program IPA

4 jp

1. Buku PG Matematika Kelas XI Program IPA, Intan Pariwara, halaman 101– 144 2. Buku PR Matematika Kelas XI Program IPA, Intan Pariwara, halaman 55– 72 3. BSE Matematika untuk SMA/ MA Kelas XI Program IPA, Depdiknas

Alokasi Alat dan Sumber Belajar Waktu

10

Silabus

Materi Pokok/ Pembelajaran

Trigonometri

Kompetensi Dasar

2.3 Menggunakan rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus.

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

Menjelaskan cara menentukan hasil perkalian kosinus dan kosinus dua sudut. Menghitung perkalian kosinus dan kosinus dua sudut. Menjelaskan cara menentukan hasil perkalian sinus dan sinus dua sudut. Menghtiung perkalian sinus dan sinus dua sudut. Menjelaskan cara menentukan hasil perkalian sinus dan kosinus dua sudut. Menghitung perkalian sinus dan kosinus dua sudut. Menjelaskan cara menentukan hasil perkalian kosinus dan sinus dua sudut. Menghitung perkalian kosinus dan sinus dua sudut. Menjelaskan cara menentukan hasil penjumlahan kosinus dua sudut. Menghitung penjumlahan kosinus dua sudut. Menjelaskan cara menentukan hasil selisih kosinus dua sudut. Menghitung selisih kosinus dua sudut. Menjelaskan cara menentukan hasil penjumlahan sinus dua sudut. Menghitung penjumlahan sinus dua sudut. Menjelaskan cara menentukan hasil selisih sinus dua sudut. Menghitung selisih sinus dua sudut.

Kegiatan Pembelajaran

2.3.1 Mampu menentukan hasil perkalian kosinus dan kosinus. 2.3.2 Mampu menentukan hasil perkalian sinus dan sinus. 2.3.3 Mampu menentukan hasil perkalian sinus dan kosinus. 2.3.4 Mampu menentukan hasil perkalian kosinus dan sinus. 2.3.5 Mampu menentukan hasil penjumlahan kosinus dua sudut. 2.3.6 Mampu menentukan hasil selisih kosinus dua sudut. 2.3.7 Mampu menentukan hasil penjumlahan sinus dua sudut. 2.3.8 Mampu menentukan hasil selisih dua sudut.

Indikator Pencapaian Kompetensi

Tes tertulis

Teknik

Uraian

Pilihan ganda

Bentuk Instrumen

2–2 –2 + 2 4–2 –4 + 2 3

3

3

3

1 2 1

3

2

adalah

1 2

6,

tentukan nilai sin (a + b).

1 2

2 dan cos

a + cos b =

sin b =

2. Diketahui bahwa a dan b adalah dua sudut pada sebuah segitiga. Jika sin a +

hitunglah hasil operasi trigonometri berikut. a. 4 sin 20° sin 40° sin 80° b. 4 sin 10° sin 50° sin 70°

1. Tanpa kalkulator,

e. –1

d. – 2

c. 0

b.

.... a. 1

cos 50° + cos 40° sin 50° + sin 40°

2. Nilai dari

b. c. d. e.

1. Nilai 8 cos 75° sin 165° = . . . . a. 2 + 2 3

Contoh Instrumen

Penilaian

4 jp

1. Buku PG Matematika Kelas XI Program IPA, Intan Pariwara, halaman 101– 144 2. Buku PR Matematika Kelas XI Program IPA, Intan Pariwara, halaman 55– 72 3. BSE Matematika untuk SMA/ MA Kelas XI Program IPA, Depdiknas

Alokasi Alat dan Sumber Belajar Waktu

Matematika Kelas XI Program IPA

11

3.1 M e n y u s u n persamaan lingkaran yang memenuhi persyaratan yang ditentukan.

Persamaan Lingkaran

Materi Pokok/ Pembelajaran

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

Menentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik O(0, 0) dan berjari-jari r. Menentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(a, b) dan berjari-jari r. Menentukan bentuk umum persamaan lingkaran. Menentukan titik pusat dan jarijari lingkaran jika diketahui persamaan lingkarannya. Menyebutkan syarat suatu titik di dalam lingkaran, pada lingkaran, dan di luar lingkaran. Menghitung jarak suatu titik terhadap titik pusat lingkaran. Membandingkan jarak suatu titik terhadap titik pusat lingkaran dengan jari-jari lingkaran. Menyebutkan syarat suatu garis memotong, menyinggung, dan tidak memotong lingkaran. Menghitung jarak titik pusat lingkaran terhadap suatu garis. Membandingkan jarak titik pusat lingkaran terhadap suatu garis dengan jari-jari lingkaran. Menentukan persamaan garis singgung lingkaran di suatu titik pada lingkaran yang berpusat di O(0, 0).

Kegiatan Pembelajaran

3.1.1 Mampu menentukan persamaan lingkaran yang diketahui titik pusat dan jari-jarinya. 3.1.2 Mampu menentukan kedudukan titik terhadap lingkaran. 3.1.3 Mampu menentukan kedudukan garis terhadap lingkaran.

Indikator Pencapaian Kompetensi

: 3. Menyusun persamaan lingkaran dan garis singgungnya.

Standar Kompetensi

Kompetensi Dasar

: .... : XI/1 : Matematika

Sekolah Kelas/Semester

Tes tertulis

Teknik

Uraian

Pilihan ganda

Bentuk Instrumen 1. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik O(0, 0) dan berjarijari 4 adalah . . . . a. x2 + y2 = 2 b. x2 + y2 = 4 c. x2 + y2 = 8 d. x2 + y2 = 16 e. x2 + y2 = 64 2. Lingkaran L berpusat di titik (4, –3) dan menyinggung sumbu X. Persamaan lingkaran L adalah . . . . a. x2 + y2 – 8x + 6y + 16 = 0 b. x2 + y2 + 8x – 6y + 16 = 0 c. x2 + y2 + 8x – 6y – 16 = 0 d. x2 + y2 – 8x + 6y +9=0 e. x2 + y2 + 8x – 6y +9=0 1. Tentukan persamaan lingkaran dengan ketentuan berikut. a. Berpusat di O(0, 0) dan berdiameter 10. b. Berpusat di titik (2, 1) dan melalui titik (0, 4).

Contoh Instrumen

Penilaian

Bab IV Persamaan Lingkaran dan Garis Singgung

4 jp

1. Buku PG Matematika Kelas XI Program IPA, Intan Pariwara, halaman 145– 174 2. Buku PR Matematika Kelas XI Program IPA, Intan Pariwara, halaman 73– 86 3. BSE Matematika untuk SMA/ MA Kelas XI Program IPA, Depdiknas

Alokasi Alat dan Sumber Belajar Waktu

12

Silabus

Materi Pokok/ Pembelajaran

Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Kompetensi Dasar

3.2 M e n e n t u k a n persaman garis singgung pada lingkaran dalam berbagai situasi.

– Menentukan persamaan garis singgung lingkaran yang bergradien m pada lingkaran yang berpusat di titik P(a, b).

– Menentukan persamaan garis singgung lingkaran yang sejajar atau tegak lurus suatu garis pada lingkaran yang berpusat di titik O(0, 0).

– Menentukan persamaan garis singgung lingkaran yang bergradien m pada lingkaran yang berpusat di titik O(0, 0).

– Menentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik potong garis kutub dengan lingkaran yang berpusat di titik P(a, b).

– Menentukan titik potong garis kutub dengan lingkaran yang berpusat di titik P(a, b).

– Menentukan persamaan garis kutub suatu titik terhadap lingkaran yang berpusat di titik P(a, b).

– Menentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik potong garis kutub dengan lingkaran yang berpusat di titik O(0, 0).

– Menentukan titik potong garis kutub dengan lingkarannya berpusat di titik O(0, 0).

– Menentukan persamaan garis kutub suatu titik terhadap lingkaran yang berpusat di titik O(0, 0).

– Menentukan persamaan garis singgung lingkaran di suatu titik pada lingkaran yang berpusat di P(a, b).

Kegiatan Pembelajaran

3.2.1 Mampu menentukan persamaan garis singgung lingkaran di suatu titik pada lingkaran. 3.2.2 Mampu menentukan persamaan garis singgung lingkaran di suatu titik di luar lingkaran. 3.2.3 Mampu menentukan persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien tertentu.

Indikator Pencapaian Kompetensi Bentuk Instrumen Pilihan ganda

Teknik Tes tertulis 1. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 20 di titik (–2, 4) adalah . . . . a. 2x – 4y + 10 = 0 b. 2x – 4y – 10 = 0 c. x – 2y + 10 = 0 d. x – 2y – 10 = 0 e. x + 2y – 10 = 0 2. Persamaan garis singgung yang melalui titik (5, 1) pada lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 adalah .... a. 3x + 4y – 19 = 0 b. 3x – 4y – 19 = 0 c. 4x – 3y + 19 = 0 d. x + 7y – 26 = 0 e. x – 7y – 26 = 0 3. Persamaan garis singgung lingkaran (x – 3)2 + (y + 5)2 = 80 yang sejajar dengan garis y – 2x + 5 = 0 adalah . . . . a. y = 2x – 11 ± 20 b. y = 2x – 8 ± 20 c. y = 2x – 6 ± 15 d. y = 2x – 8 ± 15 e. y = 2x – 6 ± 25 4. Lingkaran L: (x + 1)2 + (y – 3)2 = 9 memotong garis y = 3. Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah . . . . a. x = 2 dan x = –4 b. x = 2 dan x = –2 c. x = –2 dan x = 4 d. x = –2 dan x = –4 e. x = 8 dan x = –10

Contoh Instrumen

Penilaian

8 jp

1. Buku PG Matematika Kelas XI Program IPA, Intan Pariwara, halaman 145– 174 2. Buku PR Matematika Kelas XI Program IPA, Intan Pariwara, halaman 73– 86 3. BSE Matematika untuk SMA/ MA Kelas XI Program IPA, Depdiknas

Alokasi Alat dan Sumber Belajar Waktu

Matematika Kelas XI Program IPA

13

Kompetensi Dasar

Materi Pokok/ Pembelajaran

– Menentukan gradien garis singgung lingkaran di suatu titik pada suatu lingkaran.

– Menentukan persamaan garis singgung lingkaran yang sejajar atau tegak lurus suatu garis pada lingkaran yang berpusat di titik P(a, b).

Kegiatan Pembelajaran

Indikator Pencapaian Kompetensi Teknik Uraian

Bentuk Instrumen

4 3

.

6. Diketahui lingkaran L dengan persamaan x2 + y2 + 4x – 2y – 8 = 0 dan garis g: 2x + y = 5 berpotongan di titik A dan B. a. Tentukan koordinat titik A dan B. b. Tentukan persamaan garis singgung di titik A dan B. c. Tentukan koordinat titik potong kedua garis tersebut.

bergradien m =

5. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 10x + 6y – 66 = 0 dengan ketentuan berikut. a. Garis singgung di titik (–1, 5) b. Garis singgung

Contoh Instrumen

Penilaian Alokasi Alat dan Sumber Belajar Waktu

Rencana Pelaksanaan Pembelajaran Bab I Statistika Sekolah Kelas/Semester Mata Pelajaran Alokasi Waktu

: : : :

.......... XI/1 Matematika 12 × 45 menit

Standar Kompetensi : 1. Kompetensi Dasar

Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah.

: 1.1 Membaca data dalam bentuk tabel dan diagram batang, garis, lingkaran, dan dan ogive. 1.2 Menyajikan data dalam bentuk tabel dan diagram batang, garis, lingkaran, ogive, serta penafsirannya. 1.3 Menghitung ukuran pemusatan, ukuran letak, dan ukuran penyebaran data, serta penafsirannya.

Indikator Pencapaian Kompetensi: • Mengamati proses pencarian data. • Mengamati dan membaca data. • Menyajikan data. • Melakukan proses menentukan ukuran pemusatan data. • Melakukan proses menentukan ukuran letak data. • Melakukan proses menentukan ukuran penyebaran data. Tujuan Pembelajaran: Peserta didik mampu 1. menjelaskan cara mencari suatu data; 2. menjelaskan dan menafsirkan data yang disajikan; 3. menyajikan data dalam bentuk diagram batang, diagram garis, dan diagram lingkaran; 4. menentukan nilai rata-rata (mean) suatu data; 5. menentukan nilai median suatu data; 6. menentukan nilai modus suatu data; 7. menentukan kuartil suatu data; 8. menentukan desil suatu data; 9. menentukan persentil suatu data; 10. menentukan simpangan baku suatu data; 11. menentukan varian suatu data. Nilai pendidikan karakter yang ditanamkan kepada siswa: Kritis dan Cermat Materi Pembelajaran Statistika Metode Pembelajaran 1. Model Pembelajaran a. Cooperative Learning (CL) b. Direct Instruction (DI) 2. Metode a. Tanya jawab b. Diskusi c. Tugas

14

Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP)

Langkah-Langkah Kegiatan Pertemuan Pertama 1.

Kegiatan Pendahuluan (5 menit) a. Motivasi Menyajikan beberapa data dalam bentuk gambar/diagram, kemudian siswa disuruh membaca dan memberikan deskripsi diagram tersebut. b. Prasyarat Pengetahuan Siswa mengetahui tentang data dan cara membaca data.

2.

Kegiatan Inti (75 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan tentang arti data dan jenis-jenis data. • Guru menjelaskan tentang statistik dan statistika. • Guru menjelaskan sampel dan populasi. • Guru menjelaskan tentang cara mengumpulkan data. • Guru dan siswa melakukan cara menyajikan data tunggal dalam bentuk diagram batang, diagram garis, dan diagram lingkaran. • Guru memberikan penafsiran suatu data tunggal yang telah disajikan. b. Elaborasi Guru dan siswa membuat data dalam bentuk diagram dari data yang berbentuk tabel kemudian menafsirkannya. c. Konfirmasi Guru menanyakan tentang hasil yang dibuat siswa dalam membuat diagram.

3.

Kegiatan Penutup (10 menit) Guru menyuruh siswa untuk mengerjakan soal-soal latihan. Pertemuan Kedua

1.

Kegiatan Pendahuluan (5 menit) a. Motivasi Guru memberikan permasalahan bari tentang data kumulatif dari suatu data berkelompok. b. Prasyarat Pengetahuan Siswa memahami cara membaca data dan menyajikan data dalam bentuk ogive.

2.

Kegiatan Inti (75 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan tentang tabel di stribusi frekuensi data berkelompok. • Guru menjelaskan tentang histogram dan poligon frekuensi. • Guru menjelaskan tentang penyajian data. b. Elaborasi Guru bersama siswa mendemonstrasikan cara membuat penyajian data dalam bentuk histogram, poligon frekuensi, dan ogive. Guru menyuruh siswa mengerjakan soal-soal latihan. c. Konfirmasi Guru menanyakan hasil yang diperoleh siswa dari menggambar diagram-diagram tersebut.

3.

Kegiatan Penutup (5 menit) • Guru meminta siswa untuk membuat penyajian data dalam bentuk histogram, poligon frekuensi, dan ogive. • Guru menyuruh siswa mengerjakan soal-soal latihan. Pertemuan Ketiga

1.

Kegiatan Pendahuluan (5 menit) a. Motivasi Guru menjelaskan tentang manfaat mempelajari ukuran pemusatan data (mean, median, modus) dalam suatu penelitian. Matematika Kelas XI Program IPA

15

b.

Prasyarat Pengetahuan Siswa mengetahui tentang data tunggal dan data berkelompok.

2.

Kegiatan Inti (75 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan tentang rata-rata (rataan) data tunggal. • Guru menjelaskan tentang median data tunggal. • Guru menjelaskan tentang modus data tunggal. • Guru mendemonstrasikan cara menentukan rata-rata, median, dan modus suatu data tunggal. b. Elaborasi Guru bersama-sama siswa melakukan penghitungan dan menentukan mean, median, dan modus dari suatu data tunggal. c. Konfirmasi Guru menanyakan tentang hasil penghitungan yang telah dilakukan.

3.

Kegiatan Penutup (10 menit) Guru menyuruh siswa untuk mengerjakan soal-soal latihan sebagai evaluasi belajar. Pertemuan Keempat

1.

Kegiatan Pendahuluan (5 menit) a. Motivasi Guru memberikan manfaat dari mempelajari suatu data, terutama mean, median, dan modus pada data berkelompok. b. Prasyarat Pengetahuan Siswa mengetahui tentang mean, median, dan modus suatu data tunggal.

2.

Kegiatan Inti (75 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan tentang rata-rata (mean, dari data berkelompok. • Guru menjelaskan tentang median dari data berkelompok. • Guru menjelaskan tentang modus dari data berkelompok. • Guru mendemonstrasikan cara menentukan rata-rata, median, dan modus pada data berkelompok. b. Elaborasi Guru bersama-sama siswa melakukan cara menghitung rata-rata, median, dan modus pada suatu data berkelompok. c. Konfirmasi Guru mengevaluasi hasil pembelajaran siswa dengan memberikan soal-soal latihan untuk dikerjakan siswa.

3.

Kegiatan Penutup (10 menit) Guru mengevaluasi hasil pembelajaran siswa dengan memberikan soal-soal latihan untuk dikerjakan siswa. Pertemuan Kelima

1.

Kegiatan Pendahuluan (5 menit) a. Motivasi Guru memberikan contoh fakta/kejadian tentang pemanfaatan suatu ilmu statistik terutama ukuran letak. b. Prasyarat Pengetahuan Siswa mengetahui tentang urutan data dan cara mengurutkan data.

2.

Kegiatan Inti (75 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan tentang arti ukuran letak suatu data. • Guru menjelaskan tentang kuartil suatu data tunggal. • Guru menjelaskan tentang kuartil suatu data berkelompok. • Guru menjelaskan tentang desil suatu data tunggal dan data berkelompok.

16

Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP)

b. c. 3.

• Guru menjelaskan tentang persentil suatu data tunggal dan data berkelompok. • Guru mendemonstrasikan cara menghitung dan menentukan kuartil, desil, dan persentil. Elaborasi Guru bersama-sama siswa menghitung nilai kuartil, desil, atau persentil secara tertuntun. Konfirmasi Guru menanyakan tentang kepemahaman siswa terhadap materi yang diajarkan.

Kegiatan Penutup (10 menit) Guru mengevaluasi hasil pembelajaran siswa dengan memberikan soal-soal latihan. Pertemuan Keenam

1.

Kegiatan Pendahuluan (5 menit) a. Motivasi Guru menjelaskan tentang ukuran penyebaran suatu data dan manfaat ukuran penyebaran data dalam penelitian. b. Prasyarat Pengetahuan Siswa mengetahui tentang kuartil dan rata-rata.

2.

Kegiatan Inti (75 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan tentang jangkauan pada data tunggal. • Guru menjelaskan tentang jangkauan antarkuartil dan simpangan kuartil pada data tunggal. • Guru menjelaskan tentang langkah, pagar dalam, dan pagar luar pada data tunggal. • Guru menjelaskan tentang simpangan rata-rata pada data tunggal dan data berkelompok. • Guru menjelaskan tentang ragam pada data tunggal dan data berkelompok. • Guru menjelaskan tentang simpangan baku pada data tunggal dan data berkelompok. • Guru mendemonstrasikan cara menentukan nilai-nilai ukuran penyebaran pada data tunggal maupun data berkelompok. b. Elaborasi Guru bersama-sama siswa menghitung nilai-nilai ukuran penyebaran suatu data berbentuk diagram secara tertuntun. c. Konfirmasi Guru mendiskusikan hasil yang diperoleh dari kegiatan tersebut.

3.

Kegiatan Penutup (10 menit) Guru mengevaluasi hasil pembelajaran dengan memberikan soal-soal latihan untuk dikerjakan siswa.

Alat Sumber Belajar 1. Buku PG Matematika Kelas XI Program IPA, Intan Pariwara, 2011 2. Buku PR Kimia Kelas XI Program IPA, Intan Pariwara, 2011 3. BSE Matematika Kelas XI Program IPA, Depdikas, 2009 Penilaian Hasil Belajar 1. Teknik Penilaian dan Bentuk Instrumen a. Teknik Penilaian Tes tertulis b. Bentuk Instrumen 1) Pilihan ganda 2) Uraian

Matematika Kelas XI Program IPA

17

Contoh Instrumen a. Pilihan ganda 1) Rata-rata data pada tabel berikut adalah ....

b.

9 7 5

4,85 4,925

91–100

d. e.

3 1 0

81–90

4,5 4,725 4,75

13 11

71–80

2 3 4 5 6 7

61–70

6 5 8 3 10 8

15

51–60

xi

17 Banyak Siswa

41–50

a. b. c.

Frekuensi

2)

31–40

2.

Nilai

Histogram di atas menunjukkan bahwa siswa yang mendapat nilai lebih dari 60 sebanyak . . . anak. a. 11 d. 23 b. 16 e. 39 c. 22

Uraian 1) Diagram berikut menunjukkan populasi burung elang di beberapa lokasi yang berbeda. Jika seluruh burung elang di lima lokasi tersebut 358 ekor, tentukan: a. banyak burung elang di lokasi 2; b. persentase burung elang di tiga lokasi awal.

Banyak Burung Elang 80 78 75 70 64 61 60

? 1

2)

Diameter Pipa (cm)

Frekuensi (f)

5–9 10–14 15–19 20–24 25–29 30–34

10 12 20 24 26 18

2

3

Mengetahui, Kepala SMA ______________

Guru Mata Pelajaran

........................ ___________________________ NIP _______________________

........................ ___________________________ NIP _______________________

Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP)

5

Lokasi

Distribusi frekuensi diameter sejumlah pipa (dalam cm) sebagai berikut. Buatlah poligon untuk data tersebut (sumbu mendatar menyatakan tepi kelas interval, sedangkan sumbu tegak menyatakan frekuensi).

________, ______________

18

4

Rencana Pelaksanaan Pembelajaran Bab II Peluang Sekolah Kelas/Semester Mata Pelajaran Alokasi Waktu

: : : :

.......... XI/1 Matematika 8 × 45 menit

Standar Kompetensi : 1. Kompetensi Dasar

Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah. : 1.4 Menggunakan aturan perkalian permutasi dan kombinasi dalam pemecahan masalah. 1.5 Menentukan ruang sampel suatu percobaan. 1.6 Menentukan peluang suatu kejadian dan penafsirannya.

Indikator Pencapaian Kompetensi: • Menjelaskan dan menggunakan aturan perkalian untuk penghitungan. • Menjelaskan dan menggunakan aturan permutasi untuk penghitungan. • Menjelaskan dan menggunakan aturan kombinasi untuk penghitungan. • Menentukan ruang sampel dan titik sampel suatu kejadian. • Menentukan peluang suatu kejadian. • Menentukan frekuensi harapan suatu kejadian. • Menentukan peluang kejadian majemuk. Tujuan Pembelajaran: Peserta didik mampu 1. menentukan banyak cara kemungkinan menggunakan aturan perkalian; 2. menentukan banyak cara kemungkinan menggunakan aturan permutasi; 3. menentukan banyak cara kemungkinan menggunakan aturan kombinasi; 4. menentukan ruang sampel dan titik sampel suatu percobaan; 5. menentukan peluang suatu kejadian; 6. menentukan kisaran nilai peluang; 7. menentukan frekuensi harapan; 8. menentukan peluang gabungan dua kejadian saling asing; 9. menentukan peluang gabungan dua kejadian saling bebas. Nilai pendidikan karakter yang ditanamkan kepada siswa: Rasa Ingin Tahu Materi Pembelajaran Peluang Metode Pembelajaran 1. Model Pembelajaran a. Cooperative Learning (CL) b. Direct Instruction (DI) 2. Metode a. Tanya jawab b. Diskusi Langkah-Langkah Kegiatan 1.

Pertemuan Pertama Kegiatan Pendahuluan (5 menit) a. Motivasi Guru memberikan contoh permasalahan kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi. b. Prasyarat Pengetahuan Siswa mengetahui dan menguasai konsep faktorial.

Matematika Kelas XI Program IPA

19

2.

Kegiatan Inti (2 × 40 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan tentang konsep aturan perkalian. • Guru menjelaskan tentang konsep faktorial. • Guru menjelaskan tentang aturan permutasi dan memberikan contoh-contohnya. • Guru menjelaskan tentang aturan kombinasi dan memberikan contoh-contohnya. • Guru melakukan penghitungan yang berkaitan dengan permutasi dan kombinasi. b. Elaborasi Guru bersama-sama siswa menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang berkaitan dengan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi. Kejadian ini dilakukan secara tertuntun. c. Konfirmasi Guru menanyakan kepada siswa tentang hasil kegiatan yang telah dilakukan tersebut.

3.

Kegiatan Penutup (5 menit) Guru mengevaluasi hasil pembelajaran siswa dengan memberikan latihan soal untuk dikerjakan siswa. Pertemuan Kedua

1.

Kegiatan Pendahuluan (5 menit) a. Motivasi Guru memberikan beberapa contoh kejadian, kemudian siswa ditunjuk untuk menentukan titik sampul dan ruang sampul. b. Prasyarat Pengetahuan Siswa mengetahui titik sampel dan ruang sampel.

2.

Kegiatan Inti (2 × 40 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan tentang percobaan statistika. • Guru menjelaskan tentang pengertian ruang sampel. • Guru menjelaskan tentang pengertian titik sampel. • Guru melakukan penghitungan terhadap titik sampel suatu kejadian. • Guru menentukan anggota himpunan suatu kejadian. b. Elaborasi Guru bersama-sama siswa menyebutkan titik sampel dari suatu kejadian. c. Konfirmasi Guru menanyakan tentang hasil yang diperoleh dalam kegiatan tersebut.

3.

Kegiatan Penutup (5 menit) Guru mengevaluasi tentang hasil pembelajaran siswa dengan memberikan soal-soal latihan. Pertemuan Ketiga

1.

Kegiatan Pendahuluan (5 menit) a. Motivasi Guru menjelaskan tentang gambaran peluang dalam kehidupan sehari-hari dan menyebutkan manfaat mempelajari peluang. b. Prasyarat Pengetahuan Siswa mengetahui titik sampel dan ruang sampel suatu kejadian.

2.

Kegiatan Inti (2 × 40 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan tentang kejadian dalam suatu percobaan. • Guru menjelaskan tentang peluang kejadian. • Guru menjelaskan tentang kisaran nilai peluang dan memberikan contoh-contohnya. • Guru menjelaskan tentang hubungan frekuensi harapan dan peluang. • Guru melakukan penghitungan cara menentukan nilai peluang dan frekuensi harapan.

20

Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP)

b. c.

3.

Elaborasi Guru bersama-sama siswa menyelesaikan masalah untuk menentukan nilai peluang. Konfirmasi Guru menanyakan kepada siswa tentang kepemahamannya dalam menentukan nilai peluang suatu kejadian.

Kegiatan Penutup (5 menit) Guru menyuruh siswa untuk mengerjakan soal-soal latihan. Pertemuan Keempat

1.

Kegiatan Pendahuluan (5 menit) a. Motivasi Guru memberikan gambaran-gambaran atau contoh-contoh kejadian yang berkaitan dengan kejadian majemuk. Kemudian guru memberi pertanyaan kepada siswa tentang cara menentukan peluang kejadiannya. b. Prasyarat Pengetahuan Siswa mengetahui tentang peluang kejadian tunggal.

2.

Kegiatan Inti (2 × 40 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan tentang peluang gabungan dua kejadian. • Guru menjelaskan tentang peluang gabungan dua kejadian saling asing dan menjelaskan syaratsyaratnya. • Guru menjelaskan tentang peluang gabungan dua kejadian saling bebas dan menjelaskan syaratsyaratnya. • Guru menjelaskan tentang peluang gabungan dua kejadian bersyarat. • Guru melakukan penghitungan nilai peluang dua kejadian majemuk di berbagai situasi. b. Elaborasi Guru bersama-sama siswa melakukan penghitungan nilai peluang kejadian majemuk secara tertuntun. c. Konfirmasi Guru menanyakan kepada siswa tentang hasil kegiatan tersebut.

3.

Kegiatan Penutup (5 menit) Guru mengevaluasi hasil pembelajaran siswa dengan menyuruh siswa untuk mengerjakan soal-soal latihan. Guru bisa memberi tugas kepada siswa.

Alat Sumber Belajar 1. Buku PG Matematika Kelas XI Program IPA, Intan Pariwara, 2011 2. Buku PR Matematika Kelas XI Program IPA, Intan Pariwara, 2011 3. BSE Matematika Kelas XI Program IPA, Depdiknas, 2009 Penilaian Hasil Belajar 1. Teknik Penilaian dan Bentuk Instrumen a. Teknik Penilaian Tes tertulis b. Bentuk Instrumen 1) Pilihan ganda 2) Uraian 2.

Contoh Instrumen a. Pilihan ganda 1) Dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 akan disusun suatu bilangan terdiri atas empat angka. Banyak bilangan genap yang tersusun dan tidak ada angka yang berulang adalah . . . . a. 120 d. 480 b. 180 e. 648 c. 360 Matematika Kelas XI Program IPA

21

2)

15! 12!3!

a. b. c. 3)

b.

10!

+ 6!4! = . . . 665 d. 656 e. 655

565 556

Enam buku terdiri atas 4 kamus dan 2 ensiklopedi ditempatkan pada sebuah rak secara acak. Peluang buku-buku yang sejenis ditempatkan secara berdampingan . . . . a.

2 15

d.

1 3

b.

1 5

e.

2 5

c.

4 12

Uraian 1) Tentukan nilai n dari setiap persamaan berikut. a. 2 · 2n + 1C2 = 3! · nP2 b. n · 6P2 = nP3 c.

9 Cn 10 Cn + 1

3

= 10

2)

Dari 7 orang pengurus sebuah organisasi akan dipilih seorang ketua, sekretaris, dan bendahara. a. Berapa peluang seseorang tidak terpilih menjadi pengurus? b. Berapa peluang seseorang tidak terpilih menjadi sekretaris?

3)

Sebuah kantong berisi 6 kelereng putih, 4 kelereng hijau, dan 8 kelereng kuning. Dari kantong tersebut diambil 3 kelereng secara acak dan setiap kali kelereng yang diambil akan dikembalikan lagi ke dalam kantong. Proses pengambilan seperti itu dilakukan sebanyak 612 kali. Tentukan frekuensi harapan yang terambil: a. semua kelereng hijau, b. 2 kelereng putih dan 1 kelereng hijau, dan c. semua kelereng berbeda warna.

________, ______________ Mengetahui, Kepala SMA ________________

Guru Mata Pelajaran

........................ ___________________________ NIP _______________________

........................ ___________________________ NIP _______________________

22

Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP)

Bab I

Statistika

Tahun 2007: 1.000 + 5.500 = 6.500 Tahun 2008: 1.500 + 5.000 = 6.500 Tahun 2009: 2.000 + 4.000 = 6.000 Jadi, jumlah itik dan ayam terbanyak ada pada tahun 2006, yaitu sebesar 7.000 ekor. 7. Jawaban: d

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: d Tepi bawah kelas interval = 113 – 0,5 = 112,5 2. Jawaban: c Cara yang tepat adalah melalui sensus, yaitu dengan meneliti dan mendata tingkat pendidikan setiap warga Desa Mekarsari. 3. Jawaban: b 1

1

Titik tengah = 2 × (83 + 90) = 2 × 173 = 86,5 4. Jawaban: d Peningkatan hasil pada periode 2 yaitu: 16 – 12 = 4 kuintal Peningkatan hasil pada periode 4 yaitu: 12 – 8 = 4 kuintal Peningkatan hasil pada periode 5 yaitu: 20 – 12 = 8 kuintal Jadi, peningkatan hasil ikan terbesar terjadi pada periode ke-5. 5. Jawaban: b Besar sudut buku seri keterampilan yaitu: x° = 360° – (50° + 60° + 30° + 90° + 20°) = 360° – 250° = 110°

⇔

30° Cerita Bergambar

= Seri Keterampilan

110°

30° 45

= Seri Keterampilan

⇔ Seri Keterampilan =

72°

Banyak pedagang = 360° × 45.000 orang 1

= 5 × 45.000 orang = 9.000 orang 8. Jawaban: e Penjualan sepeda motor pada bulan pertama 290 unit. Penjualan sepeda motor pada bulan terakhir 335 unit. Total penjualan selama 2 bulan tersebut = 290 + 335 = 625 unit 9. Jawaban: e Nilai

Banyak Siswa

61–70 71–80 81–90 91–100

16 13 9 1

Jumlah

39

Jadi, siswa yang mendapat nilai lebih dari 60 sebanyak 39 anak. 10. Jawaban: c Ogive di atas merupakan ogive positif (kurang dari). Banyak kardus yang beratnya kurang dari 71 kg adalah 13 buah.

110°

45 × 110° 30°

= 165

B. Uraian 1. a.

Buku Seri Keterampilan yang tersisa yaitu: 165 – 30 = 135 eksemplar 6. Jawaban: b Jumlah itik dan ayam: Tahun 2005: 2.000 + 3.500 = 5.500 Tahun 2006: 2.500 + 4.500 = 7.000

b.

Banyak burung elang di lokasi 2 = 358 – (64 + 75 + 78 + 61) = 358 – 278 = 80 ekor Misalkan x = burung elang di lokasi 1, 2, dan 3. x = 64 + 80 + 75 = 219

Matematika Kelas XI Program IPA

23

219

Persentase = 358 × 100% = 61,173% Jadi, persentase banyak burung elang di 3 lokasi awal 61,173%. 2. a.

Besar sudut desa E = 360° – (151,2° + 90° + 36° + 72°) = 360° – 349,2° = 10,8° Persentase produksi padi yang dihasilkan desa E =

b.

1)

90D 360D

4.

36D 360D

2 5–2=3 10 – 5 = 5 12 – 10 = 2 19 – 12 = 7

Tabel data distribusi frekuensi: Skor

fi

41–45 46–50 51–55 56–60 61–65

2 3 5 2 7

xx =

× 180

72D 360D

× 180

10,8D 360D

× 180 = 5,4 ton

∑ fi ⋅ xi

i=1 n

∑ fi

i=1

= = =

(6 × 2) + (5 × 3) + (8 × 4) + (3 × 5) + (10 × 6) + (8 × 7) 6 + 5 + 8 + 3 + 10 + 8

12 + 15 + 32 + 15 + 60 + 56 40 190 = 4,75 40

Jadi, rata-rata data tersebut 4,75. 2. Jawaban: a Data yang telah diurutkan sebagai berikut. 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20 xx =

10 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 20 9 135

= 9 = 15

Median = data ke-

26 24

= data ke-

20 18

n+1 2 10 2

= data ke-5 = 15 xx – median = 15 – 15 =0 30–34

25–29

20–24

15–19

10–14

5–9

12 10

Diameter Pipa (dalam cm)

24

2 5 10 12 19

n

Frekuensi

0

41–45 46–50 51–55 56–60 61–65

1. Jawaban: c

Penurunan angka inflasi paling tajam terjadi pada Januari 2003. Angka inflasi tertinggi = 1,99 Angka inflasi terendah = 0,57 Selisih = 1,99 – 0,57 = 1,42 Jadi, selisih angka inflasi tertinggi dan terendah 1,42.

b.

fi

A. Pilihan Ganda

× 180

= 36 ton Produksi padi di desa E =

3. a.

fk

× 180

= 18 ton Produksi padi di desa D =

5)

151,2D 360D

= 45 ton Produksi padi di desa C =

4)

× 100%

Skor

= 75,6 ton Produksi padi di desa B =

3)

10,8 360D

= 3% Produksi padi di desa A =

2)

D

5.

Kunci Jawaban dan Pembahasan

3. Jawaban: c Data terurut: 1 1 3 4 5 5 6 7 ↓ Me

Me =

4+5 2

9

= 2 = 4,5 Jadi, mediannya adalah 4,5.

data ke-25 + data ke-26 2

Me =

Median terletak di kelas interval 17–19.

4. Jawaban: c

Median =

n

xx =

∑ fi ⋅ xi

i=1 n

=

∑ fi

 1 n − fk  Me  2 L +   · p  f Me    25 − 20  16,5 +  6  ·

i=1

5

=

(8 × 4) + (9 × 5) + (8 × 6) + (9 × 7) + (6 × 8) 8+9+8+9+6

=

32 + 45 + 48 + 63 + 48 40

5. Jawaban: d n = 20, xx = 36,5 Misalkan m = berat total kedelai

Nilai

fi

xi

fi · xi

40–44 45–49 50–54 55–59 60–64 65–69 70–74 75–79

1 2 3 6 7 5 7 9

42 47 52 57 62 67 72 77

42 94 156 342 434 335 504 693

n

∑

m n

40

i=1

⇔ m = 36,5 × 20 = 730 kg n1 = banyak karung yang tersisa di dalam truk = 20 – 5 = 15 n2 = banyak karung yang diturunkan =5 x x1 =

m1 n1

⇔ 34 =

m1 15

⇔ m1 = 510 kg Berat seluruh kedelai yang diturunkan = m – m1 ⇔ m2 = 730 – 510 = 220 kg x x2 =

= 16,5 + 6 · 3 = 16,5 + 2,5 = 19 Jadi, median dari data tersebut 19. 7. Jawaban: e

236

= 40 = 5,9 n1 = anak yang lebih muda dari rata-rata usia yaitu anak yang berusia 4 atau 5 tahun = 17 anak

x x1 =

m2 n2

3

=

220 5

n

xx– =

∑ f i ⋅ xi

i=1 n

6. Jawaban: b Panjang Tubuh

fi

fk

8 – 10 11 – 13 14 – 16 17 – 19 20 – 22 23 – 25 26 – 28

5 3 12 6 9 7 8

5 8 20 26 35 42 50

Jumlah

50

2.600 40

=

∑ fi

= 65

i=1

Jadi, nilai rataan dari data pada tabel adalah 65. 8. Jawaban: d Nilai

fi

fk

10–19 20–29

2 8

2 10

30–39

12

22

40–49 50–59

7 3

29 32

Jumlah

32

= 44 kg

Jadi, rata-rata berat sekarung kedelai yang diturunkan 44 kg.

2.600

Me =

data ke-16 + data ke-17 2

Me terletak pada kelas interval 30–39 Me = L +

 1 ⋅ n − fk Me 2  fMe 

   

·p

 32



16 − 10 12

· 10

− 10 = 29,5 +  2 12  · 10  

= 29,5 +

Matematika Kelas XI Program IPA

25

9. Jawaban: c Nilai

Frekuensi

11–20 21–30

2 5

31–40

8

41–50 51–60

3 1

Banyak siswa laki-laki = n – n1 = 40 – 18 = 22 orang Jadi, banyak siswa laki-laki 22 orang. 2. a



d





⇔ 218,5 = 215,5 +



Mo = L +  1  · p  d1 + d2  = 30,5 +

 3  3+5  

· 10

= 30,5 + 3,75 = 34,25 Jadi, modus dari data pada tabel adalah 34,25. 10. Jawaban: a Tinggi Gedung (m)

fi

xi

fi · x i

4–10 11–17 18–24 25–31 32–38 39–45

10 22 18 24 18 8

7 14 21 28 35 42

70 308 378 672 630 336

⇔

3=

⇔

3 4

=

⇔

3 4

=

 1 n − 10  2   m   

 1 n − 10  2   m    1 (22 2

·4

·4

+ m) − 10 m

·4

1

11 + 2 m − 10 m

⇔ 3m = 44 + 2m – 40 ⇔ m=4 Jadi, nilai m = 4. b.

Berat (gram)

fi

xi

fi · xi

∑ f i ⋅ xi

200–203 204–207 208–211 212–215 216–219 220–223 224–227

3 4 2 1 4 7 5

201,5 205,5 209,5 213,5 217,5 221,5 225,5

604,5 822 419 213,5 870 1.550,5 1.127,5

∑ fi

Σ

26

n

∑ fi = 100

i =1

n

∑ fi ⋅ xi = 2.394

i =1

n

Rata-rata tinggi gedung =



1

n − fkM e  Me = L +  2  · p  fM e

d1 = 8 – 5 = 3 d2 = 8 – 3 = 5 Modus terletak di kelas interval 31–40. 

Median = 218,5 sehingga median terletak di kelas interval 216–219. n = 3 + 4 + 2 + 1 + m + 7 + 5 = 22 + m

i=1 n

5.607

i=1

n

2.394

= 100 = 23,94 m

xx =

∑ fi ⋅ xi

i=1 n

=

∑ fi

Jadi, berat rata-rata sebuah apel 215,65 gram.

n

xx =

∑ fi ⋅ xi

i=1 n

∑ fi

i=1

= = = b.

26

= 215,65 gram

i=1

B. Uraian 1. a.

5.607 26

(3 × 35) + (7 × 36) + (6 × 37) + (2 × 38) + (9 × 39) + (11 × 40) + (2 × 41) 3 + 7 + 6 + 2 + 9 + 11 + 2

105 + 252 + 222 + 76 + 351 + 440 + 82 40 1.528 = 38,2 40

Jadi, ukuran rata-rata sepatu siswa 38,2. xx = 38,2 sehingga ukuran sepatu siswa perempuan yaitu 35, 36, 37, dan 38. n1 = banyak siswa perempuan = f1 + f2 + f3 + f4 =3+7+6+2 = 18 Kunci Jawaban dan Pembahasan

3. Median = 163,5; berarti median terletak pada kelas interval 161–165. n



− fk Me = L +  2 Me  · p  

fM e

 

⇒ 163,5 = 160,5 + ⇔

3=

 1 (m + 58) − (5 + 20)  2    m  

1 2

5( m + 29 − 25) m

5 2

⇔ 3m = m + 20 ⇔ 6m = 5m + 40 ⇔ m = 40 Jadi, nilai m = 40.

·5

4.

Tinggi Pohon (m)

Banyak Pohon

xi

fi · xi

30–33 34–37 38–41 42–45 46–49 50–53 54–57

32 23 25 42 33 36 26

31,5 35,5 39,5 43,5 47,5 51,5 55,5

1.008 816,5 987,5 1.827 1.567,5 1.854 1.443

Σ

217

2. Jawaban: d

9.503,5

Berat Badan

fi

fk

30 31 32 33 34 35

10 8 9 12 8 6

10 18 27 39 47 53

Jumlah

53

n

xx =

∑ fi ⋅ xi

i=1 n

9.503,5 217

=

∑ fi

= 43,79

n+1

Q1 = data ke- 4

i=1

Jadi, rata-rata tinggi pohon 43,79 m. 5.

Nilai

fi

fk

1–10 11–20 21–30 31–40 41–50 51–60 61–70

6 3 8 4 2 10 7

6 9 17 21 23 33 40

Jumlah

40

Me =

data ke-20 + data ke-21 2

Me terletak pada kelas interval 31–40 

Me = L +  

1 n − fkM 2 e

fM e



= 30,5 +

   

·p

 1 ⋅ 40 − 17  2    4  

· 10

  = 30,5 +  20 − 17  · 10 

4



30

= 30,5 + 4 = 38 Jadi, median dari data tersebut 38.

54

= data ke- 4

= data ke-13,5 = 31 3(n + 1) 4

Q3 = data ke-

= data ke-40,5 = 34 1

Rk = 2 (Q1 + Q3) 1

= 2 (31 + 34) 1

= 2 (65) = 32,5 Jadi, rataan kuartil data tersebut 32,5. 3. Jawaban: e Data tersebut diurutkan sebagai berikut. 1 2 3 3 3 4 5 5 6 6 7 7 8 9 n = 14 8

D8 = data ke- 10 (14 + 1) 4

= data ke- 5 × 15 = data ke-12 =7 Jadi, desil ke-8 data tersebut 7.

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: c 30 32 33 34 35 35 36 37 37 38 38 39 40 40 41 n = 15 Q3 = data

3(n + 1) ke- 4

= data ke-12 = 39 Jadi, kuartil atas data tersebut 39.

4. Jawaban: d xx =

7+7+8+6+7 5

35

= 5 =7

n

S= =

∑ (x − x)2

i=1

n

(7 − 7)2 + (7 − 7)2 + (8 − 7)2 + (6 − 7)2 + (7 − 7)2 5

Matematika Kelas XI Program IPA

27

=

0 + 0 + 1+ 1+ 0 5

=

2 5

1

= 5

7. Jawaban: d

5 5

× 10

1 5

Jadi, simpangan bakunya

10 .

Berat Badan (kg)

fi

fk

50–52 53–55

4 5

4 9

56–58

3

12

59–61 62–64

2 6

14 20

Jumlah

20

 1n − f kQ 2 2  fQ 2 

   

→ Kelas Q2

 20



·p

10

39

71–80

1

40

Jumlah

40

Waktu (dalam menit)

fi

fk

45–47

1

1

48–50

6

7

51–53 54–56 57–59

8 3 2

15 18 20

Jumlah

20

→ Kelas Q1

1

Q1 terletak di kelas interval 48–50. ·p

 20   4 − 1  6   

·3

fQ 1

Q3 terletak pada kelas interval 61–70  3n− f kQ 4 3  fQ 3 

   

·p

 3 ⋅ 40 − 29  4    10  

Nilai

fi

fk

1–20 21–40 41–60 61–80 81–100

5 4 11 15 5

5 9 20 35 40

Jumlah

40

Q3 = data ke= data ke-

· 10

= 47,5 + 2 = 49,5 Jadi, kuartil bawah data tersebut 49,5.

Kunci Jawaban dan Pembahasan

3n + 2 4 3 × 40 + 2 4

= data ke-30,5 Q3 teletak di kelas interval 61–80. 



1

n − fkQ  3 Q3 = L3 +  4  ·p  

= data ke-5 2

   

3 ⋅ 40 + 2 4

n = 40

1

1 n − fkQ 4 1

→ Kelas Q3

8. Jawaban: a

Q1 = data ke- 4 (20 + 2)

28

61–70

= 60,5 + 1 = 61,5 Jadi, kuartil atas data pada tabel adalah 61,5.

6. Jawaban: d

= 47,5 +

5 14 29

= 60,5 +

= 55,5 + 1 = 56,5 Jadi, kuartil keduanya 56,5.



5 9 15

Q 3 = L3 +

−9 2 = 55,5 +  3  · 3  

 

31–40 41–50 51–60

1

Q2 terletak di kelas interval 56–58

Q1 = L1 + 

fk

= data ke-30 2

data ke-10 + data ke-11 2

Q2 = L 2 +

Frekuensi

Q3 = data ke-

5. Jawaban: e

Q2 =

Nilai

fQ 3

 

 10 − 20   

= 60,5 +  15

· 20

 10 

= 60,5 +  15  · 20 = 60,5 + 13,3 = 73,8 Jadi, kuartil atas data tersebut 73,8.

9. Jawaban: a Banyak Pengunjung

fi

fk

1–8 9–16 17–24 25–32 33–40 41–48

3 11 15 7 1 2

3 14 29 36 37 39

Jumlah

39

Q3 = data ke-

92

= data ke- 4

= data ke-23 = 19 Jadi, kuartil ketiga data tersebut 19. b.

n = 39

Q1 = data ke-

= data ke- 4 = data ke-8 = 15

6

= data ke- 10 × 40 = data ke-24 D6 terletak di kelas interval 17–24.

1

Qd = 2 (Q3 – Q1) 1



6

= 2 (19 – 15) =2 Jadi, simpangan kuartil data tersebut 2.

⋅ 39 − fk D6  10 D6 = L +   ·p f

 

   23,4 − 14      15 D6

= 16,5 + = 16,5 +

 9,4     15 

·8

2.

Skor

fi

fk

5 10 15 20 25 30

4 6 20 13 7 10

4 10 30 43 50 60

Jumlah

60

·8

= 16,5 + 5,01 = 21,51 Jadi, desil ke-6 data tersebut 21,51. 10. Jawaban: a 35

P35 = data ke- 100 (20 + 1)

a.

= data ke-7,35 P35 terletak di kelas interval 31–40 

⋅ n − fk P35  100 P35 = L +   ·p f

 

= 30,5 +

P35

· (20,5 – 10,5)

b.

15 + 20 2

B. Uraian

= data ke-15 4

= 15 Jadi, kuartil pertama data di atas 15. 3. a.

Banyak Pengunjung

fi

fk

15 16 17 18 19 20

8 5 3 6 1 7

8 13 16 22 23 30

Jumlah

30

1

Q1 = data ke- 4 (60 + 1) 1

= 30,5 + 0,5 · 10 = 30,5 + 5 = 35,5 Jadi, persentil ke-35 data tersebut 35,5.

1. a.

data ke-30 + data ke-31 2

= 17,5 Jadi, kuartil kedua data di atas 17,5.

 

 35 ⋅ 20 − 5   100    9−5  

Q2 = =



35

n+2 4 32

6

D6 = data ke- 10 (39 + 1)



3n + 2 4

Q3 = data ke-

3 ⋅ 60 + 2 4 1

= data ke-45 2

= 25 Statistika lima serangkai: Q2 = 17,5 Q1 = 15

Q3 = 25

xmin = 5

xmaks = 30

Matematika Kelas XI Program IPA

29

= 33n ∑ fi (xi − x)2 i=1 2 S = n ∑ fi

1

b.

Rataan tiga kuartil = 4 (Q1 + 2Q2 + Q3) 1

= 4 (15 + 2 · 17,5 + 25)

i=1

=

1

= 4 · 75 = 18,75

= 50 Jadi, variansi data tersebut 50.

4. Panjang (cm)

fi

xi

fi · xi

xi – xx

fi(xi – xx)2

45–54 55–64 65–74 75–84 85–94 95–104 105–114

2 2 3 4 3 4 2

49,5 59,5 69,5 79,5 89,5 99,5 109,5

99 119 208,5 318 268,5 398 219

–32 –22 –12 –2 8 18 28

2.048 968 432 16 192 1.296 1.568

n

∑

20

i=1

1.630

b.

S =

s2

=

50

=5 2 Jadi, simpangan baku data tersebut 5 2 . Nilai Data

fi

xi

xi – xx

fi(xi – xx)2

20–24 25–29 30–34 35–39 40–44 45–49

5 14 10 12 5 4

22 27 32 37 42 47

–11 –6 –1 4 9 14

605 504 10 192 405 784

6.520

n

a.

xx =

∑ fi ⋅ xi

i=1 n

∑ fi

n

∑

i=1

=

2.500 50

50

2.500

i=1

1.630 20

= 81,5 n

S2 =

∑ fi (xi − x)2

i=1

n

∑ fi

i=1

=

A. Pilihan Ganda

6.520 20

= 326 Jadi, variansi data tersebut 326. b. 5. a.

S = S2 = 326 ≈ 18,1 Jadi, simpangan baku data tersebut ≈ 18,1. Nilai Data

fi

xi

fi · xi

20–24 25–29 30–34 35–39 40–44 45–49

5 14 10 12 5 4

22 27 32 37 42 47

110 378 320 444 210 188

n

∑

50

i=1 n

xx =

∑ fi ⋅ xi

i=1 n

∑ fi

i=1

=

1.650 50

1.650

1. Jawaban: e Populasi penelitian tersebut yaitu seluruh susu formula dari setiap merek susu formula yang beredar di Indonesia. Sampel penelitian tersebut misalnya satu sendok susu formula dari setiap merek yang beredar di Indonesia. 2. Jawaban: c Data kontinu merupakan data yang diperoleh dengan cara mengukur (pilihan c). Pilihan a, b, d, dan e diperoleh dengan cara menghitung atau mencacah (data diskrit). 3. Jawaban: d Merek D= 360° – (72° + 57,6° + 64,8° + 86,4°) = 360° – 280,8° = 79,2° 79,2° 360°

=

merek D 500

⇔ merek D = =

500 × 79,2° 360° 39.600 360

= 110 unit 30

Kunci Jawaban dan Pembahasan

4. Jawaban: d Penjualan minyak = 100% – (39% + 6% + 21% + 14%) = 100% – 80% = 20% Minyak = 1.260.000 + beras ⇔ minyak – beras = 1.260.000 ⇔ 20% – 6% = 1.260.000 ⇔ 14% = 1.260.000 100

Total penjualan = 14 × 1.260.000 = Rp9.000.000,00 Penjualan alat tulis = 21% × total penjualan 21

= 100 × 9.000.000 = Rp1.890.000,00 Jadi, hasil penjualan alat tulis sebanyak Rp1.890.000,00. 5. Jawaban: b Penurunan terendah yaitu: 2,7% – 0,9% = 1,8% Kenaikan tertinggi yaitu: 3,3 – 0,9% = 2,4%

× 100%

15.806

= 40.667 × 100% = 38,87%

fk

41–50 51–60 61–70 71–80 81–90 91–100

4 2 9 10 8 7

4 6 15 25 33 40

Jumlah

40

Persentase banyaknya siswa yang mempunyai nilai tidak lebih dari 80 25

= 40 × 100% = 62,5% 10. Jawaban: c Frekuensi kumulatif kurang dari 164,5 = 65. Frekuensi kumulatif kurang dari 159,5 = 25. Dari grafik terlihat selisih kedua frekuensi kumulatif ini paling besar, yaitu 65–25 = 40. Jadi, intervalnya 160–164.

xx =

∑ xi

i=1

n

= 10.000 + 15.000 + 25.000 + 40.000 + 10.000 5

=

7. Jawaban: e Lulusan yang belum bekerja berarti lulusan tersebut melanjutkan kuliah atau menempuh kursus. Misalkan banyak lulusan tersebut = x. x = (150 + 50) + (130 + 60) + (125 + 80) + (90 + 100) + (80 + 110) = 200 + 190 + 205 + 190 + 190 = 975 Jadi, lulusan yang belum bekerja selama tahun 2006–2010 sebanyak 975 orang. 8. Jawaban: c Jarak per Liter Bensin

fi

fk

40–45 46–51 52–57 58–63 64–69

8 12 20 11 9

8 20 40 51 60

Jumlah

60

Banyak sepeda motor yang tidak tergolong irit ada 40 unit. Persentase =

fi

n

15.806 11.869 + 408 + 2.192 + 15.806 + 10.392

40 n

Nilai

11. Jawaban: d

6. Jawaban: b Persentase banyak kambing =

9. Jawaban: c

× 100%

100.000 5

= 20.000

Jadi, nilai rata-rata hasil panen selama 5 bulan adalah 20.000 ton. 12. Jawaban: b Data

fi

fk

25 26 27 28 29 30

20 14 21 30 6 9

20 34 55 85 91 100

Jumlah

100

50 + 51

Me = data ke- 2

1

= data ke-50 2

= 27 Jadi, median data tersebut 27. 13. Jawaban: c Misalkan x–i = rata-rata sumbangan kelompok i, dengan i = 1, 2, 3, 4, 5

40

= 60 × 100% = 66,67% Matematika Kelas XI Program IPA

31

Sumbangan kelompok I= n1 × x–1 ⇔ x1 = 6 × 5.000 = Rp30.000,00 Sumbangan kelompok II = n2 × x–2 ⇔ x2 = 8 × 4.500 = Rp36.000,00 Sumbangan kelompok III= n3 × x–3 ⇔ x3 = 10 × 3.500 = Rp35.000,00 Sumbangan kelompok IV = n4 × x–4 ⇔ x4 = 11 × 4.000 = Rp44.000,00 Sumbangan kelompok V = n5 × x–5 ⇔ x5 = 15 × 2.000 = Rp30.000,00 Misalkan rata-rata sumbangan seluruh kelompok =– x. x– =

x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 n1 + n2 + n3 + n4 + n5

=

30.000 + 36.000 + 35.000 + 44.000 + 30.000 6 + 8 + 10 + 11 + 15

=

175.000 50

Jadi, rata-rata sumbangan seluruh kelompok Rp3.500,00. 14. Jawaban: a Banyak siswa kelas A = nA = 15 Banyak siswa kelas B = nB = 10 Banyak siswa kelas C = nC = 25 Rata-rata nilai gabungan = x– gabungan = 58,6 Rata-rata nilai kelas A = – x A = 62 Rata-rata nilai kelas C = x–C = 60 nA ⋅ x A + nB ⋅ xB + nC ⋅ xC nA + nB + nC

⇔

58,6 =

15 ⋅ 62 + 10 ⋅ xB + 25 ⋅ 60 15 + 10 + 25

⇔

58,6 =

10xB + 2 ⋅ 430 50

⇔ 2.930 = 10x–B + 2.430 ⇔ 10x–B = 500 ⇔ x–B = 50 Jadi, rata-rata nilai kelas B adalah 50. 15. Jawaban: a Poin

fi

xi

fi · xi

8–12 13–17 18–22 23–27 28–32

12 8 7 10 13

10 15 20 25 30

120 120 140 250 390

n

∑

i=1

32

50

i=1 n

Mean: xx =

∑ fi

i=1

1.020 50

=

= 20,4 16. Jawaban: c Nilai

fi

fk

1–5 6–10 11–15 16–20 21–25

4 5 9 7 5

4 9 18 → Kelas Me 25 30

Jumlah

30

Me =

data ke-15 + data ke-16 2

Me terletak di kelas interval 11–15. 

1.020

Kunci Jawaban dan Pembahasan



1

n − fkM e  Me = L +  2  ·p  

= 3.500

– x gabungan =

n

∑ fi ⋅ xi

= 10,5 +

fMe

 

 1 ⋅ 30 − 9  2    9  

·5

6

= 10,5 + 9 · 5 = 10,5 + 3,33 = 13,83 Jadi, mediannya adalah 13,83. 17. Jawaban: b M o terletak di kelas interval 58–63 karena frekuensinya paling besar. 

d



Mo = L +  d +1d  · p 2  1 

12 − 9



= 57,5 +   ·6  (12 − 9) + (12 − 7)   3 

= 57,5 +   ·6  3 + 5 18

= 57,5 + 8 Jadi, modus dari data pada tabel adalah 57,5 + 18 . 8

18. Jawaban: e

1

Skor

fi

xi

fi · x i

2–4 5–7 8–10 11–13 14–16

2 5 6 4 3

3 6 9 12 15

6 30 54 48 45

n

∑

1

= 2 (8 – 4) = 2 Jadi, jangkauan dan simpangan kuartil berturutturut 9 dan 2. 22. Jawaban: d

183

20

i=1

Simpangan kuartil = 2 (Q3 – Q1)

Berat Badan

fi

fk

50–54 55–59 60–64 65–69 70–74 75–79

4 6 8 10 8 4

4 10 18 28 36 40

Jumlah

40

n

x– =

∑ fi ⋅ xi

i=1 n

∑ fi

i=1

183

= 20

= 9,15 Jadi, rata-rata skor tersebut 9,15. 19. Jawaban: e

Q3 = data ke-

Median = data ke-

15 + 16 2 1

Median terletak di kelas interval 32–37.

=

 1n − f  kM L +  2 f e  · p   Me   31,5 +  15 − 10  ·  17 − 10 

6

·5

2



Mo = L +  1  · p  d1 + d2  = 109,5 +

·p

= 69,5 +  8  · 5 = 69,5 + 1,25 = 70,75 Jadi, kuartil atas data tersebut 70,75.

20. Jawaban: c Mo terletak pada kelas interval 110–119

  35 − 14    (35 − 14) + (35 − 21) 

   

 30 − 28    8

5

d

Q3 = L 3 +

 3n − f kQ 4 3  fQ 3 

= 69,5 + 

= 31,5 + 7 · 6 = 31,5 + 4,29 = 35,79



3n + 2 4

= data ke-30,5 Q1 terletak di kelas interval 70–74.

= data ke-15 2

Me =

Kuartil atas = Q3

· 10

21

= 109,5 + 35 · 10 = 109,5 + 6 = 115,5 Jadi, ukuran berat karung pasir yang terbanyak 115,5 kg. 21. Jawaban: d Data setelah diurutkan: 1 2 3 4 5 6 6 6 7 7 7 8 8 9 10 ↓ ↓ ↓ Q1 Q2 Q3 Jangkauan = xmaks – xmin = 10 – 1 = 9

23. Jawaban: b Nilai

fi

fk

20 25 30 35 40 45 50

2 5 9 13 11 7 3

2 7 16 29 40 47 50

Jumlah

50

→ Kelas Q1 → Kelas Q3

1

Q1 = data ke- 4 (50 + 2) = data ke-13 = 30. Q3 = data ke-

3 ⋅ 50 + 2 4

= data ke-38 = 40.

1

Rataan kuartil = 2 (Q1 + Q3) 1

= 2 (30 + 40) 1

= 2 · 70 = 35 Matematika Kelas XI Program IPA

33

24. Jawaban: e Tabel dari diagram tersebut sebagai berikut.

6

3n + 2 4

Q3 = data ke-

= data ke-18 10

152

= data ke- 4 = data ke-38 Q3 terletak pada kelas interval 12–14. Q3 = L 3 +

 3 ⋅n − f kQ 4 3 fQ3  

6

D6 = data ke- 10 (30 + 1)

   

 3 ⋅ 50 − 31 4    9  

= 11,5 +

 37,5 − 31     9



fD6

 

10



= 24,5 + 2 = 26,5 Jadi, desil ke-6 data di atas = 26,5. ·3

27. Jawaban: d Tinggi (Meter)

fi

xi

fi · xi

xi – – x

fi(xi – – x)2

19–21 22–24 25–27 28–30

9 4 5 2

20 23 26 29

180 92 130 58

–3 0 3 6

81 0 45 72

·3

6,5

n

∑

20

i=1

460

n

xx =

25. Jawaban: c

∑ fi ⋅ xi

460

i=1 n

= 20 = 23

∑ fi

Nilai

Frekuensi

fk

i=1

40–49 50–59 60–69

7 6 10

7 13 23

∑ fi (xi − x)2

70–79

8

31

80–89

9

40

Jumlah

40

Q3 = data

3 ⋅ 40 + 2 ke- 4

n

S2 =

i=1

n

∑ fi

→ Kelas Q3

198

= 20 = 9,9

i =1

Jadi, ragam data tersebut 9,9. 28. Jawaban: b

= data

1 ke-30 2

Q3 terletak pada kelas interval 70–79 3



⋅ n − fk Q3  Q3 = L3 +  4 ·p 

fQ3

 

 

18 − 14  = 24,5 +   ·5

= 11,5 + 3 = 11,5 + 2,167 = 13,667 Jadi, kuartil ketiga 13,667.

 

= 69,5 +

 3 ⋅ 40 − 23  4    8  

= 69,5 +

7 8

· 10

Nilai

fi

fk

63–67 68–72 73–77

3 5 10

3 8 18

78–82

8

26

83–87 88–92

9 5

35 40

Jumlah

40

Q2 =

· 10

= 69,5 + 8,75 = 78,25 Jadi, kuartil atas dari data pada tabel adalah 78,25.

Nilai

fi

fk

10–14 15–19 20–24

2 5 7

2 7 14

25–29

10

24

30–34

6

30

Jumlah

30

Kunci Jawaban dan Pembahasan

→ Kelas Q2

data ke-20 + data ke-21 2

Q2 terletak pada kelas interval 78–82 n



− fk Q2 = L2 +  2 Q2  · p  

26. Jawaban: a

34



6

⋅ 30 − fk D6  D6 = L +  10 ·p 



·p

= 11,5 +

D6 terletak pada kelas interval 25–29

fQ2

 40 − 18   2   8  2 ·5 8

= 77,5 +  = 77,5 +

 

·5

= 77,5 + 1,25 = 78,75 Jadi, kuartil kedua data tersebut 78,75.

198

29. Jawaban: d Q1 = data

b.

45 + 1 ke- 4

= data

1 ke-11 2

Q1 terletak pada interval 80–84    

Q1 = L 1 + = 79,5

− fkQ  1  fQ 1  

n 4

·p 2.

 45 − 8   +  4 15 − 8   

≈ 79,5 + 2,3 ≈ 81,8 30. Jawaban: a fi

fk

10–14 15–19 20–24 25–29 30–34 35–39

20 17 14 18 20 10

20 37 51 69 89 99

Jumlah

99

a.

b.

5

5

78 79 80 81 82

12 10 5 10 3

17 27 32 42 45

Jumlah

45

→ Kelas P30 → Kelas Me

1

Me = data ke- 2 (45 + 1)

30

P30 = data ke- 100 (45 + 1) 4

= 78 Jadi, persentil ke-30 data tersebut 78.

P15 terletak di kelas interval 10–14.

 15 ⋅ n − f kP15 P15 = L +  100 f  P15 

 · p  

 14,85 − 0    20   14,85 4

3. a.

Jumlah orang = 48 + 100 + 104 + 72 + 36 = 360 48

Ukuran sepatu 34–35 → 360 × 360° = 48°

·5

100

Ukuran sepatu 36–37 → 360 × 360° = 100°

= 9,5 + 3,7125 = 13,2125 Jadi, persentil ke-15 data tersebut 13,2125.

104

Ukuran sepatu 38–39 → 360 × 360° = 104° 72

Ukuran sepatu 40–41 → 360 × 360° = 72°

B. Uraian 1. a.

77

= data ke-13 5

15

= 9,5 +

fk

= data ke-23 = 79 Jadi, median data tersebut 79.

P15 = data ke- 100 (99 + 1) = data ke-15

= 9,5 +

fi

Skor

·5

Nilai

Banyak orang yang berusia kurang dari 19 tahun = x. x = 80 + 40 = 120 Jadi, banyak orang yang berusia kurang dari 19 tahun adalah 120.

36

Ukuran sepatu 42–43 → 360 × 360° = 36°

Frekuensi 90 80

Ukuran sepatu 40–41 72°

70

Ukuran sepatu 42–43 36° 48°

60 Ukuran sepatu 38–39

50 40 5–11

12–18

19–25

26–32

Ukuran sepatu 34–35

104° 100° Ukuran sepatu 36–37

33–39

Usia (dalam tahun)

Matematika Kelas XI Program IPA

35

b.

Ukuran Sepatu

fi

fk

34–35 36–37 38–39 40–41 42–43

48 100 104 72 36

48 148 252 324 360

Jumlah

360

5. a.

data ke-180 + data ke-181 2

Me =

Me terletak pada kelas interval 38–39. n −f k Me = L +  2 Me  fM e 

104

fi

fi · x i

2 3 4 5 6

3 4 5 6 2

6 12 20 30 12

20

80

Nilai (xi)

fi

xi – xx

2 3 4 5 6

3 4 5 6 2

–2 –1 0 1 2

data ke-30 + data ke-31 2



1

   30 − 22   10    fMe

20

24 10

·3

= 25,9

Jadi, median data tersebut 25,9. Modus terletak pada kelas interval 30–32. 



d

Mo = L +  1  · p  d1 + d2  



11 − 7

= 29,5 +   ·3  (11 − 7) + (11 − 10)  4

= 29,5 + 5 · 3 = 29,5 + 2,4 = 31,9

fi (xi –

Jadi, modus data tersebut 31,9. 6. xx)2

12 4 0 6 8

n

i=1

60

= 23,5 + b.

Σf i ⋅ x i 80 = 20 = 4 Σf Jadi, rata-rata data tersebut 4.

∑

Jumlah

 



xx =

b.

7 11 16 22 32 39 50 60

= 23,5 +

Nilai (xi)

n

7 4 5 6 10 7 11 10



= 37,5 + 0,615 = 38,115 Jadi, median data tersebut 38,115.

∑

12–14 15–17 18–20 21–23 24–26 27–29 30–32 33–35

n − fkM e  ·p Me = L +  2

 32    52 

i=1

fk

Me terletak pada kelas interval 24–26.

= 37,5 + 

4. a.

fi

Me =

  ·p  

180 − 148  = 37,5 +   ·2 

Nilai

30

Upah (dalam puluhan ribu rupiah)

fi

fk

80–90 91–101 102–112 113–123 124–134 135–145 146–156

12 15 22 58 28 12 13

12 27 49 107 135 147 160

Jumlah

160

n

Ragam:

S2

=

2 ∑ fi (xi − x)

i=1

n

∑ fi

i =1

30

= 20 = 1,5 Jadi, ragam data tersebut 1,5.

36

Kunci Jawaban dan Pembahasan

a.

Mo terletak pada kelas interval 113–123 



d

Mo = L +  1  · p  d1 + d2  

36



= 112,5 +   · 11  36 + 30  = 112,5 + 6 = 118,5 Jadi, nilai upah yang diterima mayoritas karyawan Rp1.185.000,00.

b.

160 + 2 4

Q1 = data ke-

a.

1 4

Q1 = data ke- (40 + 2)

1

= data ke-40 2

1

= data ke-10 2

Q1 terletak pada kelas interval 102–112  1n − f  kQ1  4  f  Q1  

Q1 = L1 +

   

= 101,5 +

·p

⋅ 160 − 27   22 

1 4

Q1 terletak di kelas interval 28–32 Q 1 = L1 +

· 11 = 27,5 +

= 101,5 + 6,5 = 108 Jadi, upah tertinggi dari 25% kelompok karyawan yang terendah upahnya Rp1.080.000,00. 35 + 1

7. Me = data ke- 2 = data ke-18 Me terletak pada kelas interval 65–69 Me = L +

n −f  2 kMe  f  Me

= 64,5 +

   

b.

Q3 terletak di kelas interval 43–47 3



⋅ n − fkQ 3  Q3 = L3 +  4  ·p fQ 3

 

· (69,5 – 64,5) = 42,5 +

8

10. a.

= data ke-28 10

 3 ⋅ 40 − 23  4    10  

·5

Tinggi Badan (cm)

fi

xi

fi · xi

150–156 157–163 164–170 171–177 178–184

16 10 16 x 20

153 160 167 174 181

2.448 1.600 2.672 174x 3.620

D8 terletak pada kelas interval 75–79 ·p

4   5 ⋅ 35 − 25   30 − 25   

 

= 42,5 + 3,5 = 46 Jangkauan antarkuartil = Q3 – Q1 = 46 – 28,5 = 17,5

8

= 74,5 +

3 ⋅ 40 + 2 4 1

8. D8 = data ke- 10 (35 + 1)

   

·5

= data ke-30 2

= 64,5 + 10 · 5 = 64,5 + 2,25 = 66,75 Jadi, median data di atas adalah 66,75 .

 8 n−f kD  10 8 fD 8 

·p

 1 ⋅ 40 − 9  4    5  

Q3 = data ke-

9 2

D8 = L + 

   

= 27,5 + 1 = 28,5 Jadi, kuartil pertama data tersebut 28,5.

·p

 35   2 − 13   23 − 13   

 1 ⋅n − f kQ 4 1 fQ 1  

n

∑

·5

3

= 74,5 + 5 · 5 = 74,5 + 3 = 77,5 Jadi, desil ke-8 data tersebut 77,5. 9.

10.340 + 174x

60 + x

i=1

n

xx =

∑ ⋅ xi

fi i=1 n

∑ fi

i=1

Berat Karung (dalam kg)

fi

fk

23–27

9

9

28–32

5

14

33–37 38–42

4 5

18 23

43–47

10

33

48–52

7

40

Jumlah

40

⇔ → Kelas Q1

→ Kelas Q3

168,4 =

10.340 + 174x 62 + x

⇔ 10.440,8 + 168,4x = 10.340 + 174x ⇔ 100,8 = 5,6x ⇔ x = 18 Jadi, banyak orang bertinggi badan antara 171 dan 177 cm ada 18 orang.

Matematika Kelas XI Program IPA

37

b.

Misalkan y = banyak orang yang bertinggi badan lebih dari 163 cm y = 16 + 18 + 20 = 54 orang Jadi, ada 54 orang yang bertinggi badan lebih dari 163.

Bab II

Peluang

4. Jawaban: e Banyak pasangan sepatu dan kaos kaki yang dapat dipakai Agung = 2 × 3 =6 5. Jawaban: a Cara 1 menggunakan permutasi. Penyusunan pengurus kelas memperhatikan urutan, sehingga digunakan permutasi. Banyak cara memilih 3 pengurus kelas dari 30 siswa. = 30P3 =

1. Jawaban: eJawaban: a 15 × 14 × 13 × 12!

10!

10 × 9 × 8 × 7 × 6!

+ 6!4! = 12! × 3 × 2 × 1 + 6! × 4 × 3 × 2 × 1 = 455 + 210 = 665

2. Jawaban: c 20! 12!8!

20!

20!

13

20!

8

+ 13!7! = 12!8! × 13 + 13!7! × 8 20! × 13

20! × 8

= 13!8! + 13!8! =

20!(13 + 8) 13!8! 20! × 21

= 13!8! 21!

= 13!8! 3. Jawaban: e 3n+1C2 = 2n+2C4

30 × 29 × 28 × 27! 27!

= 24.360

Ketua

Wakil ketua

Sekretaris

30 cara

29 cara

28 cara

Ketua dapat dipilih dengan 30 cara. Wakil ketua dapat dipilih dengan 29 cara. Sekretaris dapat dipilih dengan 28 cara. Banyak cara memilin 3 pengurus = 30 × 29 × 28 = 24.360. 6. Jawaban: d Segitiga dapat dibentuk dengan menghubungkan 3 titik yang tidak segaris. Banyak segitiga yang dapat dibentuk dari 7 titik = 7C3 = 35 buah. 7. Jawaban: d Banyak cara memilih jenis bibit mangga tidak memperhatikan urutan sehingga digunakan kombinasi. Dua jenis bibit sudah pasti terpilih, sehingga permasalahan menjadi memilih (8 – 2) bibit dari (15 – 2). Banyak cara pemilihan jenis bibit mangga

⇔

3(n + 1)! 2!(n + 1− 2)!

=

2(n + 2)! 4!(n + 2 − 4)!

= 13C6 =

⇔

3(n + 1)! 2(n − 1)!

=

2(n + 2)! 24(n − 2)!

=

⇔

3(n + 1)! (n − 1)(n − 2)!

=

(n + 2)(n + 1)! 6(n − 2)!

⇔ 18 = (n – 1)(n + 2) ⇔ n2 + n – 2 = 18 ⇔ n2 + n – 20 = 0 ⇔ (n + 5)(n – 4) = 0 ⇔ n + 5 = 0 atau n – 4 = 0 ⇔ n = –5 atau n=4 n+1C2 mempunyai syarat n + 1 ≥ 2 atau n ≥ 1. n+2C4 mempunyai syarat n + 2 ≥ 4 atau n ≥ 2. Jadi, nilai n yang memenuhi adalah 4.

38

=

Cara 2 menggunakan kaidah pengisian tempat.

A. Pilihan Ganda 15! 12!3!

30! (30 − 3)!

Kunci Jawaban dan Pembahasan

13! (13 − 6)! 6!

13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7! 7! × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

= 1.716

8. Jawaban: b Agar menjadi bilangan genap, tempat satuan hanya dapat diisi angka genap yaitu 2, 4, dan 6 sehingga ada 3 cara untuk menyusun angka satuan. Oleh karena tidak ada angka yang berulang, ketiga tempat yang lain dapat disusun dari 6 – 1 = 5 angka yang lain sehingga ada 5P3 cara untuk menyusun 5 angka yang lain. Banyak bilangan genap yang tersusun = 5P3 × 3 = 60 × 3 = 180 Jadi, ada 180 bilangan genap yang tersusun.

9. Jawaban: c Banyak cara memilih 3 huruf dari 5 huruf hidup ada 5C3. Banyak cara memilih 3 angka dari 10 angka ada 10C3. Banyak cara menyusun 3 angka dan 3 huruf yang sudah terpilih ada 6P6 = 6!. Banyak kata sandi yang dapat disusun = 5C3 × 10C3 × 6! 10. Jawaban: a Kamar 1

Kamar 2

Kamar 3

15. Jawaban: a Ketua, wakil ketua, dan dua sekretaris dipandang sebagai 1 unsur sehingga permasalahan menjadi permutasi siklis dari 6 unsur. Banyak susunan duduk 2 sekretaris = 2P2 = 2! Banyak susunan duduk ketua dan wakil ketua = 2P2 = 2! Banyak susunan duduk dari kesembilan orang tersebut = (6 – 1)! 2P2 · 2P2 = 5!2!2! = 480 B. Uraian

8C2

cara

6C3

cara

3C3

cara

1. a.

Banyak cara penempatan peserta wisata = 8C2 × 6C3 × 3C3 = 28 × 20 x 1 = 560 cara

⇔

b.

7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2! 2!

= 2.520

11!

c.

11× 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4! 4! × 3 × 2 × 1× 4 × 3 × 2 × 1

6n(n − 1)(n − 2)! (n − 2)!

n ⋅ 6! (6 − 2)!

n!

= (n − 3)!

30n =

n(n − 1)(n − 2)(n − 3)! (n − 3)!

9 Cn

3

10 Cn + 1

= 10

⇔ 10 · 9Cn = 3 · 10Cn + 1

= 11.550 14. Jawaban: e Pada penyusunan objek yang berupa benda mati (misalnya: manik-manik), arah penyusunan tidak diperhatikan. Manik-manik yang berwarna sama dipandang 1 unsur. Oleh karena manik-manik terdiri atas 4 warna maka banyak manik-manik ada 4. Soal ini merupakan masalah permutasi siklis dari 4 objek. Hasil dari permutasi siklis tersebut dibagi dua karena arah penyusunan tidak diperhatikan. Banyak cara menyusun manik-manik menjadi (4 − 1)! 2

=

⇔ 30 = (n – 1)(n – 2) ⇔ n2 – 3n + 2 = 30 ⇔ n2 – 3n– 28 = 0 ⇔ (n – 7)(n + 4) = 0 ⇔ n – 7= 0 atau n + 4 = 0 ⇔ n = 7 atau n = –4 P mempunyai syarat n ≥ 3. n 3 Jadi, nilai n yang memenuhi 7.

= 4!3!4!

sebuah gelang =

3!n!

= (n − 2)!

⇔ (2n + 1) · 2n = 6n(n –1) ⇔ 2n + 1 = 3n – 3 ⇔ n=4 Jadi, nilai n = 4. n · 6P2 = nP3

⇔

13. Jawaban: e Banyak buku = 4 + 3 + 4 = 11. Banyak cara menyusun ketiga jenis buku

=

(2n + 1)(2n + 1− 1)(2n + 1− 2)! (2n + 1− 2)!

⇔

12. Jawaban: a Banyak huruf = 7. Banyak huruf A = 2 Banyak susunan huruf yang dapat dibentuk 7!

2 ⋅ (2n + 1)! 2!(2n + 1− 2)!

⇔

11. Jawaban: d Banyak cara menyusun ketiga merek motor = 3! Banyak cara menyusun motor Honda = 4! Banyak cara menyusun motor Yamaha = 3! Banyak cara menyusun motor Suzuki = 2! Banyak penyusunan barisan dengan setiap merek tidak boleh terpisah = 3! 4! 3! 2! = 1.728

= 2! =

2 · 2n + 1C2 = 3! · nP2

3!

= 2 = 3.

⇔

10 ⋅ 9! n!(9 − n)!

⇔

10! n!(9 − n)!

3 ⋅ 10!

= (n + 1)!(10 − n − 1)! 3 ⋅ 10!

= (n + 1)n!(9 − n)! ⇔ n+1=3 ⇔ n=2 Jadi, nilai n = 2. 2.

Banyak huruf konsonan berbeda yang dapat dipilih = 6C3 6!

= 3!(6 − 3)! = 20

Matematika Kelas XI Program IPA

39

Banyak huruf vokal berbeda yang dapat dipilih = 4C2 4!

= 2!(4 − 2)! = 6 Banyak cara menyusun 3 konsonan dan 2 vokal = 5P5 = 5! = 120. Banyak susunan huruf yang dapat dibentuk = 20 × 6 × 120 = 14.400 3.

4.

Anggota tim terdiri atas 1 siswa dari kelas X, 3 siswa dari kelas XI, dan 1 siswa dari kelas XII. Banyak cara memilih 1 siswa dari kelas X = 7C1 = 7 Banyak cara memilih 3 siswa dari kelas XI = 6C3 = 20 Banyak cara memilih 1 siswa dari kelas XII = 5C1 = 5 Banyak cara membentuk tim = 7 × 20 × 5 = 700. Jumlah buku = 3 × 4 = 12 Unsur yang sama: n1 = 3, n2 = 3, n3 = 3, dan n4 = 3. Banyak cara menyusun buku dalam rak: 12!

12!

= 3!3!3!3! = 1.296 = 369.600 cara. 5.

a.

(2x + 3y)7 =

7

∑ 7 Cr (2x)7−r (3y)r

r=0

x4y3

merupakan suku keempat dan r = 3 Suku keempat = 7C3(2x)7 – 3(3y)3 = 7C3(2x)4(3y)3 = 7C3 × 24 × 33 × x4y3 = 35 × 16 × 27 × x4y3 = 15.120x4y3 Jadi, koefisien x4y3 adalah 15.120. 7

b.

(x – 2y)7 =

∑ 7 Cr x 7−r (−2y)r

r=0

x4y3

merupakan suku keempat dan r = 3 Suku keempat = 7C3 x7 – 3(–2y)3 = 7C3 x4(–2)3y3 = 7C3 × (–2)3 × x4y3 = 35 × (–8) × x4y3 = –280x4y3 Jadi, koefisien x4y3 adalah –280.

40

Kunci Jawaban dan Pembahasan

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: e Banyak anggota ruang sampel pelemparan dua dadu = 6 × 6 = 36. Banyak anggota ruang sampel pelemparan satu keping uang logam = 2. Banyak anggota ruang sampel pelemparan dua dadu dan satu keping uang logam secara bersamaan = 36 × 2 = 72. 2. Jawaban: e Banyaknya hasil yang mungkin: lemparan 1

lemparan 2

lemparan 3

6 cara

6 cara

6 cara

Jadi, hasil yang mungkin ada 63 = 216. 3. Jawaban: e Frekuensi muncul gambar = 30 – 21 = 9. 9

Frekuensi relatif muncul gambar = 30 = 0,3. 4. Jawaban: b S = {(1, A), (2, A), (3, A), (4, A), (5, A), (6, A), (1, G), (2, G), (3, G), (4, G), (5, G), (6, G)} n(S) = 12 A = kejadian muncul mata dadu genap dan angka pada mata uang logam = {(2, A), (4, A), (6, A)} n(A) = 3 n(A)

3

1

P(A) = n(S) = 12 = 4 Jadi, peluang muncul mata dadu genap dan angka 1

pada mata uang logam adalah 4 . 5. Jawaban: a Jika buku sejenis diatur secara berdampingan maka kamus diatur dalam 4P4 cara dan ensiklopedi diatur dalam 2P2 cara. Banyak cara mengatur 2 kelompok buku = 2P2. Banyak cara mengatur 6 buku = 6P6. Peluang buku-buku yang sejenis ditempatkan secara berdampingan = =

4 P4

⋅ 2P2 ⋅ 2P2 6 P6

24 ⋅ 2 ⋅ 2 720

2

= 15

6. Jawaban: b A = kejadian terambil 1 ikan mas dari 12 ikan mas n(A) = 12C1 = 12 S = kejadian terambil 1 ikan dari jumlah ikan n(S) = 60C1 = 60

n(A)

12

1

P(A) = n(S) = 60 = 5 Jadi, peluang terambil ikan mas dalam satu kali 1

pemancingan adalah 5 .

6

1

P(A) = n(S) = 1.326 = 221 Jadi, peluang terambil dua kartu king 1 . 221

8. Jawaban: d Bilangan ratusan terdiri atas 3 angka, angka ratusan, puluhan, dan satuan. Banyak nomor undian yang terbentuk merupakan permutasi 3 dari 5. n(S) = banyak nomor undian yang terbentuk = 5P3 = 60 n(A) = banyak susunan nomor undian kurang dari 400 ratusan

puluhan

satuan

3 cara

4 cara

3 cara

Oleh karena nomor undian kurang dari 400 maka angka ratusan dapat diisi oleh angka 1, 2, dan 3 sehingga angka ratusan dapat diisi dengan 3 cara. Angka puluhan dapat diisi dengan 4 cara setelah 1 angka dipakai angka ratusan. Angka satuan dapat diisi dengan 3 cara setelah 1 angka dipakai angka ratusan dan 1 angka dipakai angka puluhan. n(A) = 3 × 4 × 3 = 36 n(A)

36

n(A)

P(A) = n(S) 10

7. Jawaban: a A = kejadian terambil dua kartu king n(A) = 4C2 = 6 S = kejadian terambil dua kartu dari 52 kartu n(S) = 52C2 = 1.326 n(A)

A = kejadian terpilih kedua angka ganjil n(A) = 5C2 = 10

3

P(A) = n(S) = 60 = 5 Jadi, peluang muncul nomor undian kurang dari 3

400 adalah 5 . 9. Jawaban: c Dua angka berjumlah genap jika terdiri atas angka ganjil-ganjil atau genap-genap. Banyak angka berjumlah genap = banyak angka ganjil-ganjil + banyak angka genap-genap = 5C2 + 4C2 = 10 + 6 = 16 Diperoleh n(S) = 16

= 16 5

= 8

5

Jadi, peluang kedua angka bilangan ganjil 8 . 10. Jawaban: e A = kejadian terambil dua barang rusak n(A) = 20C2 = 190 n(S) = 120C2 = 7.140 n(A)

P(A) = n(S)

190

19

= 7.140 = 714 Peluang terambil barang yang tidak rusak: P(A′) = 1 – P(A) 19

695

= 1 – 714 = 714 11. Jawaban: e Banyak ruang sampel: n(S) = 2 × 2 × 6 = 24. A = kejadian muncul angka paling sedikit 1 kali A′ = kejadian tidak muncul angka = {GG1, GG2, GG3, GG4, GG5, GG6} n(A′) = 6 n(A)

6

1

P(A′) = n(S) = 24 = 4

1

3

P(A) = 1 – P(A′) = 1 – 4 = 4 Jadi, peluang muncul angka paling sedikit satu 3

kali 4 . 12. Jawaban: c Percobaan melempar dua mata uang maka n(S) = 4 A = kejadian muncul 1 angka dan 1 gambar = {(A, G), (G, A)} n(A) = 2 n(A)

P(A) = n(S) 2

1

= 4 = 2 Frekuensi harapan muncul 1 angka dan 1 gambar: Fh(A) = n × P(A) 1

= 90 × 2 = 45 kali 13. Jawaban: a S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} n(S) = 8

Matematika Kelas XI Program IPA

41

A = kejadian jarum penunjuk menunjuk nomor prima = {2, 3, 5, 7} n(A) = 4 n(A)

2.

Ruang sampel merupakan permutasi 4 unsur dari 7 unsur. 7!

n(S) = 7P4 = (7 − 4)! = 840 Banyak kartu bernomor ganjil = 4 banyak kartu bernomor genap = 3 A = kejadian muncul 4 kartu bernomor ganjil, genap, ganjil, ganjil

4

P(A) = n(S) = 8 Fh(A) = n × P(A) 4

= 120 × 8 = 60 Jadi, frekuensi harapan jarum penunjuk menunjuk nomor bilangan prima 60 kali. 14. Jawaban: d A = kejadian tidak terambil bola putih = kejadian terambil 3 bola hijau n(A) = 4C3 = 4 Banyak bola = 5 + 4 = 9 n(S) = 9C3 = 84 n(A)

4

1

kartu 2 genap

kartu 3 ganjil

kartu 4 ganjil

4 cara

3 cara

3 cara

2 cara

n(A) = 4 × 3 × 3 × 2 = 72 P(A) =

n(A) n(S)

=

72 840

=

3 35

Jadi, peluang terambil keempat kartu bernomor 3

ganjil, genap, ganjil, ganjil 35 .

1

P(A) = n(S) = 84 = 21 A′ = kejadian terambil sekurang-kurangnya 1 bola putih Peluang terambil sekurang-kurangnya satu bola putih:

kartu 1 ganjil

3.

a.

Angka ke-10

10 cara

Angka ke-11

10 cara

Angka ke-12

10 cara

n(S) = 10 × 10 × 10 = 1.000 A = kejadian Aksin menjadi pemenang

20

1

P(A′) = 1 – P(A) = 1 – 21 = 21

P(A) = 1.000 1

20

Fh(A′) = n × P(A′) = 147 × 21 = 140 Jadi, frekuensi harapan terambil sekurangkurangnya satu bola putih adalah 140 kali.

b.

15. Jawaban: c Bibit yang hidup = 75 – 4 = 71 A = kejadian bibit yang disemai hidup

Jadi, peluang Aksin menjadi pemenang 1.000 . Angka ke-10

Angka ke-11

Angka ke-12

10 cara

10 cara

5 cara

n(S1) = 10 × 10 × 5 = 500 B = kejadian pemilik nomor hand phone yang ketiga angka terakhirnya bilangan genap menjadi pemenang

71

P(A) = 75

71

Fh(A) = n × P(A) = 4.500 × 75 = 4.260 Jadi, ada 4.260 bibit yang diharapkan hidup.

Angka ke-10

Angka ke-11

Angka ke-12

5 cara

5 cara

5 cara

n(B) = 5 × 5 × 5 = 125 B. Uraian

n(A)

1. Ruang sampel S = {AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG} n(S) = 8 A = kejadian muncul sekurang-kurangnya dua gambar = {AGG, GAG, GGA, GGG} n(A) = 4 n(A)

4

1

P(A) = n(S) = 8 = 2 Jadi, peluang muncul sekurang-kurangnya dua 1

gambar 2 .

42

Kunci Jawaban dan Pembahasan

125

1

P(B) = n(S) = 500 = 4 Jadi, peluang pemilik nomor hand phone yang ketiga angka terakhirnya bilangan genap 1

4.

menjadi pemenang 4 . S = kejadian menyusun 3 orang dari 7 orang menjadi pengurus n(S) = 7P3 = 210 a. A = kejadian seseorang tidak terpilih menjadi pengurus = kejadian menyusun 3 orang dari (7 – 1) orang menjadi pengurus n(A) = 6P3 = 120

n(B)

120

4

P(A) = n(S) = 210 = 7 b.

B = kejadian seseorang terpilih menjadi sekretaris = kejadian seseorang terpilih menjadi sekretaris dan 2 orang dari 6 orang terpilih menjadi ketua dan bendahara n(B) = 1P1 × 6P2 = 1 × 30 = 30 n(B)

30

1

P(B) = n(S) = 210 = 7

1

6

P(B′) = 1 – P(B) = 1 – 7 = 7 Jadi, peluang seseorang tidak terpilih menjadi 6

sekretaris 7 . 5.

Jumlah kelereng = 6 + 4 + 8 = 18 S = kejadian terambil 3 kelereng dari 18 kelereng n(S) = 18C3 = 816 a. A = kejadian terambil 3 kelereng hijau n(A) = 4C3 = 4 4

1

P(A) = 816 = 204 1

b.

Fh(A) = n × P(A) = 612 × 204 = 3 Jadi, frekuensi harapan terambil semua kelereng hijau 3 kali. B = kejadian terambil 2 kelereng putih dan 1 kelereng hijau n(B) = 6C2 × 4C1 = 15 × 4 = 60 60

5

P(B) = 816 = 68 5

c.

Fh(B) = n × P(B) = 612 × 68 = 45 Jadi, frekuensi harapan terambil 2 kelereng putih dan 1 kelereng hijau 45 kali. C = kejadian terambil 1 kelereng putih, 1 kelereng hijau, dan 1 kelereng kuning n(C) = 6C1 × 4C1 × 8C1 =6×4×8 = 192

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: d Dua kejadian pada pilihan a, b, dan e tidak saling asing dan tidak saling bebas. Dua kejadian pada pilihan c saling asing. Dua kejadian pada pilihan d saling bebas. 2. Jawaban: b Misal: S = kejadian terambil 1 bola dari (4 + 3 + 3) 10 bola n(S) = 10C1 = 10 A = kejadian terambil 1 bola merah dari 4 bola merah n(A) = 4C1 = 4 B = kejadian terambil 1 bola hitam dari 3 bola hitam n(B) = 3C1 = 3 A dan B merupakan dua kejadian saling asing.

4

= 17 Fh(C) = n × P(C) 4

= 612 × 17 = 144 Jadi, frekuensi harapan terambil ketiga kelereng berbeda warna 144 kali.

n(B)

4

3

7

= 10 + 10 = 10 Jadi, peluang terambil bola merah atau hitam 7

adalah 10 . 3. Jawaban: d Misal: A = {penduduk berpenghasilan rendah} B = {penduduk berpenghasilan sedang} C = {penduduk berpenghasilan lebih} n(S) = 100% n(B) = 20% n(A) = 40% n(C) = 15% Kejadian A dan B merupakan dua kejadian saling asing sehingga n(A ∩ B) = 0. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) n(A)

n(B)

= n(S) + n(S) 40%

20%

= 100% + 100% 4

192

P(C) = 816

n(A)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = n(S) + n(S)

2

6

= 10 + 10 = 10 = 0,6 Jadi, peluang terpilih warga yang berpenghasilan rendah atau sedang 0,6. 4. Jawaban: a Kemungkinan pasangan kelereng yang terambil adalah KKH atau KKB. n(S) = banyak cara mengambil 3 kelereng dari 12 kelereng = 12C3 = 220

Matematika Kelas XI Program IPA

43

n(KKH) = banyak cara mengambil 2 kelereng kuning dan 1 kelereng hijau = 4C2 × 3C1 = 6 × 3 = 18 n(KKB) = banyak cara mengambil 2 kelereng kuning dan 1 kelereng biru = 4C2 × 5C1 = 6 × 5 = 30 Peluang terambil 2 kelereng kuning = P(KKH) + P(KKB) =

n(KKH) n(S)

+ n(S)

n(KKB)

18

30

48

12

= 220 = 55 5. Jawaban: b S = {satu set kartu remi}, n(S) = 52 A = {kartu As}, n(A) = 4 B = {kartu hitam}, n(B) = 26 A ∩ B = { kartu As hitam}, n(A ∩ B) = 2 Peluang terambil kartu As atau kartu hitam = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

=

n(B) n(A) n(A ∩ B) + – n(S) n(S) n(S) 4 26 2 + 52 – 52 52

28

Murid Laki-Laki

Jumlah

Berambut keriting

10

5

15

Berambut lurus

10

5

15

Jumlah

20

10

30

n(B)

15

5

20

A

B 7 5

2 3

x

8 C

P(A) = n(S) = 30 B = kejadian terpilih 1 murid berambut keriting dari 15 murid berambut keriting n(B) = 15C1 = 15 P(B) = n(S) = 30 A ∩ B = kejadian terpilih 1 murid laki-laki dan berambut keriting dari 5 murid laki-laki dan berambut keriting n(A ∩ B) = 5C1 = 5 Kunci Jawaban dan Pembahasan

15

= 30

4 Murid Perempuan

S = kejadian terpilih 1 murid dari 30 murid n(S) = 30C1 = 30 A = kejadian terpilih 1 murid laki-laki dari 10 murid laki-laki n(A) = 10C1 = 10

44

10

= 30 + 30 – 30

6

6. Jawaban: e

10

5

= 30 Peluang terpilih murid laki-laki atau berambut keriting: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

S

7

= 52 = 13

n(A)

n(A ∩ B) n(S)

7. Jawaban: c Misalkan: A = himpunan murid yang mengikuti IMO B = himpunan murid yang mengikuti IBO C = himpunan murid yang mengikuti IChO x = banyak murid yang tidak mengikuti IMO, IBO, maupun IChO n(S) = 40 n(A) = 22 n(B) = 17 n(C) = 20 n(A ∩ B) = 12 n(A ∩ C) = 9 n(B ∩ C) = 8 n(A ∩ B ∩ C) = 5 Diagram Venn:

= 220 + 220

=

P(A ∩ B) =

n(S) = 6 + 7 + 2 + 4 + 5 + 3 + 8 + x ⇔ 40 = 35 + x ⇔ x = 40 – 35 = 5 n(x) = 5 n(x)

5

P(x) = n(S) = 40 Jadi, peluang terpilih seorang anak yang tidak mengikuti IMO, IBO, maupun IChO adalah 5 . 40

8. Jawaban: a Misal: A = kejadian harga sembako naik P(A) = 0,92 B = kejadian gaji pegawai negeri naik P(B) = 1 – P(B′) = 1 – 0,15 = 0,85 A dan B merupakan dua kejadian saling bebas P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = 0,92 × 0,85 ≈ 0,78 Jadi, peluang gaji pegawai negeri dan harga sembako naik 0,78.

9. Jawaban: d n(S) = jumlah kelereng = 5 + 3 = 8 n(M) = banyak kelereng merah = 5 n(K) = banyak kelereng kuning = 3 Kemungkinan kelereng yang terambil merah, kuning, merah (MKM) atau merah, kuning, kuning(MKK) A1 = peluang terambil pertama kelereng merah n(M)

5

3 8 −1

=

3 7

A3 = peluang terambil ketiga kelereng merah n(M) − 1

5 −1

4

2

P(A3) = n(S) − 2 = 8 − 1 = 6 = 3 Peluang terambil kelereng MKM: P1 = P(A1) × P(A2) × P(A3) 5

3

2

3 −1

2

1

P(B) = n(S) − 2 = 8 − 2 = 6 = 3 Peluang terambil kelereng MKK: P2 = P(A1) × P(A2) × P(B)

5

= 56 Peluang terambil pertama kelereng merah dan kedua kelereng kuning: P = P1 + P2 5

11. Jawaban: d 3

3

3

2

18

3

2

3

18

2

3

3

18

P(G, G, T) = 5 × 5 × 5 = 125

P(T, G, G) = 5 × 5 × 5 = 125 Peluang terjadi 2 tendangan penalti gol = P(G, G, T) + P(G, T, G) + P(T, G, G) 18

18

18

= 125 + 125 + 125 54

54

tendangan penalti adalah 125 . 12. Jawaban: b Oleh karena A dan B kejadian saling bebas maka P(A ∩ B) = P(A) × P(B) 1

= 3 × 6

15

1

= 56

= 18

10. Jawaban: b S1 = kejadian terambil 1 bola dari 5 bola di kotak A K = kejadian terambil 1 bola merah dari 2 bola merah di kotak A P(K) =

2

P(T) = P(tidak gol) = 1 – P(gol) = 1 – 5 = 5 A = kejadian terjadi 3 kali tendangan penalti dengan 2 tendangan gol = {(G, G, T), (G, T, G), (T, G, G)} Kejadian tendangan penalti 3 kali merupakan kejadian saling bebas.

1

= 28 + 56

n(K) n(S1)

3

= 125 Jadi, peluang untuk membuat 2 gol dalam 3 kali

1

= 8 × 7 × 3

5

3

= 5 × 8 = 20 Jadi, peluang terambil 1 bola merah dari kotak A

5

3

3 8

P(G, T, G) = 5 × 5 × 5 = 125

= 28 B = peluang terambil ketiga kelereng kuning

5

=

8 C1

K dan L merupakan dua kejadian yang saling bebas. P(K ∩ L) = P(K) × P(L)

2

= 8 × 7 × 3

n(K) − 1

3 C1

=

dan 1 bola biru dari kotak B adalah 20 .

A2 = peluang terambil kedua kelereng kuning pengambilan II =

n(K) n(S2 )

3

P(A1) = n(S) = 8

n(K) P(A2) = n(S) − 1

P(L) =

=

2 C1 5 C1

=

2 5

S2 = kejadian terambil 1 bola dari 8 bola di kotak B L = kejadian terambil 1 bola putih dari 3 bola putih di kotak B

Peluang kejadian A atau B: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) 1

1

1

= 3 + 6 – 18 4

= 9

13. Jawaban: c Jumlah buku di rak = 6 + 3 + 4 = 13 n(S) = 13C3 = 286 Kemungkinan buku yang terambil (2M, 1F), (2M, 1B), atau 3M. Matematika Kelas XI Program IPA

45

A = kejadian terambil (2M, 1F) n(A) = 6C2 × 3C1 = 15 × 3 = 45 B = kejadian terambil (2M, 1B) n(B) = 6C2 × 4C1 = 15 × 4 = 60 C = kejadian terambil 3 M n(C) = 6C3 = 20 Peluang terambil paling sedikit 2 buku matematika: P = P(A) + P(B) + P(C) n(A)

n(C)

n(B)

= n(S) + + n(S) n(S) =

45 286

=

125 286

+

60 286

20 286

+

18

1

P(A) = n(S) = 36 = 2 B = kejadian muncul mata dadu berjumlah lebih dari 8 = {(3,6), (4,5), (4,6), (5,4), (5,5), (5,6), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} A ∩ B = kejadian muncul angka prima pada mata dadu pertama dan jumlah kedua mata dadu lebih dari 8 = {(3,6), (5,4), (5,5), (5,6)} n(A ∩ B) = 4 P(A ∩ B) =

n(A ∩ B) n(S)

=

4 36

=

1 9

B|A = kejadian muncul angka prima pada dadu pertama yang berjumlah lebih dari 8 P(B|A)=

P(A ∩ B) P(A)

1 9 1 2

=

2

= 9

n(M) n(S)

×

n(K) n(S)

4

2

2

×

n(K) n(S)

2

= 6 × 6 × 6 = 27 46

Kunci Jawaban dan Pembahasan

n(K) n(S)

×

n(M) n(S)

2

4

2

n(K) n(S)

×

n(K) n(S)

2

2

4

n(K) n(S)

×

2

= 6 × 6 × 6 = 27 K1K2M3 = kejadian terambil pertama kartu kuning, kedua kartu kuning, ketiga kartu merah P(K1K2M3) = P(K1) × P(K2) × P(M3) ×

n(M) n(S)

2

= 6 × 6 × 6 = 27 Peluang terambil satu kartu merah: P = P(M1K2K3) + P(K1M2K3) + P(K1K2M3) 2

2

2

2

= 27 + 27 + 27 = 9 B. Uraian

1. Banyak anggota ruang sampel: n(S) = 2 × 2 × 6 = 24 A = kejadian muncul satu angka = {AG1, AG2, AG3, AG4, AG5, AG6, GA1, GA2, GA3, GA4, GA5, GA6} n(A) = 12 n(A)

12

1

n(B)

12

1

P(A) = n(S) = 24 = 2 B = kejadian muncul mata dadu genap = {AG2, AG4, AG6, AA2, AA4, AA6, GA2, GA4, GA6, GG2, GG4, GG6) n(B) = 12 P(B) = n(S) = 24 = 2 A ∩ B = kejadian muncul satu angka dan mata dadu genap = {AG2, AG4, AG6, GA2, GA4, GA6} n(A ∩ B) = 6 P(A ∩ B) =

15. Jawaban: b Banyak kartu kuning: n(K) = 2 Banyak kartu merah: n(M) = 4 Banyak anggota ruang sampel: n(S) = 6 Kemungkinan kartu yang terambil M 1 K 2 K 3 , K1M2K3, atau K1K2M3. M1K2K3 = kejadian terambil pertama kartu merah, kedua kartu kuning, ketiga kartu kuning P(M1K2K3) = P(M1) × P(K2) × P(K3) =

=

=

14. Jawaban: e Banyak anggota ruang sampel: n(S) = 36 A = kejadian muncul angka prima pada dadu pertama = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)} n(A) = 18 n(A)

K1M2K3 = kejadian terambil pertama kartu kuning, kedua kartu merah, ketiga kartu kuning P(K1M2K3) = P(K1) × P(M2) × P(K3)

a.

n(B ∩ B) n(S)

6

1

= 24 = 4 Peluang muncul satu angka atau mata dadu genap: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) 1

1

1

= 2 + 2 – 4 3

b.

= 4 A|B = kejadian muncul satu angka jika muncul mata dadu genap P(A|B) = =

P(A ∩ B) P(B) 1 4 1 2

1

= 2

Jadi, peluang muncul satu angka jika muncul mata dadu genap 2.

Banyak buah = 9 + 6 = 15 buah A = kejadian terambil 2 jeruk

1 . 2

=

P(B) =

b.

3

3C1 × 3C1

=

9

= 28 = 28 Peluang terambil satu kubus dari kotak A: P(A) = P(A1) × P(A2) 3

9

27

=

2

2 ×1

2

= 15 = 15 Peluang terambil satu kubus dari kotak B: P(B) = P(B1) × P(B2) =

2 5

=

4 75

×

27

= 392 ×

4 75

9

= 2.450 a.

72

6 C1 15 C1

×

5 C1 14 C1

5

30

30

72

102

17

= 210 = 35 Diagram Venn: S

T

V

15

7

10

2 15

Peluang terambil sebuah kubus = P(A) × P(B)

3.

14 C1

= 210 + 210

4.

n(SB )

17

8 C1

× 8

6

n(SB )

2C1 × 1C1

51

= 15 × 14 = 210 Peluang terambil dua buah dengan jenis yang sama = P(Q) + P(R)

= 15 = 5 P(B2) = peluang terambil satu kubus dan satu limas dari kotak B =

9 C1 15 C1

9

2C1 × 3C1

2× 3

36

= 15 × 14 = 210 Peluang terambil dua apel P(R) = P (apel pada pengambilan I) × P (apel pada pengambilan II)

= 14 × 28 = 392 Banyak anggota ruang sampel pada kotak B: n(SB) = 6C2 = 15 P(B1) = peluang terambil satu kubus dan satu kerucut dari kotak B =

36

15 C2

= P(A) + P(B) = 105 + 105 = 105 = 35 Pengambilan dilakukan satu per satu tanpa pengembalian. Peluang terambil dua jeruk P(Q) = P (jeruk pada pengambilan I) × P (jeruk pada pengambilan II)

n(SA )

3× 3

9 C2

15

n(SA )

= 28 = 14 P(A2) = peluang terambil satu kubus dan satu limas dari kotak A =

15

15 C2

= 105 Peluang terambil dua buah dengan jenis yang sama

3C1 × 2C1

3× 2

6 C2

= 105 B = kejadian terambil 2 apel

P(A) =

Kemungkinan bangun yang terambil (kubus, kurucut), atau (kubus, limas). Banyak anggota ruang sampel pada kotak A: n(SA) = 8C2 = 28 P(A1) = peluang terambil satu kubus dan satu kerucut dari kotak A

Pengambilan dilakukan secara acak dua sekaligus. Kemungkinan buah yang terambil 2 apel atau 2 jeruk.

S = kejadian terpilih 3 siswa dari 32 siswa n(S) = 32C3 = 4.960 Kemungkinan siswa yang terpilih 2 siswa hanya gemar tenis dan 1 siswa gemar voli atau 2 siswa hanya gemar tenis dan 1 siswa hanya gemar voli atau 2 siswa hanya gemar tenis dan 1 siswa gemar voli dan tenis. P(A) = peluang terpilih 2 siswa hanya gemar tenis dan 1 siswa gemar voli =

× 22C1 n(S)

10C2

45 × 22

990

= 4.960 = 4.960

Matematika Kelas XI Program IPA

47

P(B) = peluang terpilih 2 siswa hanya gemar tenis dan 1 siswa hanya gemar voli =

10 C2 × 15C1

45 × 15

675

= 4.960 = 4.960 P(C) = peluang terpilih 2 siswa hanya gemar tenis dan 1 siswa gemar voli dan tenis =

n(S)

10 C2 × 7C1

45 × 7

315

= 4.960 = 4.960 Peluang terpilih 2 siswa hanya gemar tenis = P(A) + P(B) + P(C) n(S)

990

675

315

1.980

99

= 4.960 + 4.960 + 4.960 = 4.960 = 248 5.

Kemungkinan hasil pelemparan yang mungkin: B = kejadian tidak pernah terjadi pelemparan dadu = kejadian selalu muncul gambar = {Gambar, Gambar, Gambar} 1

1

1

1

P(B) = 2 × 2 × 2 = 8 Jadi, peluang kejadian tidak pernah terjadi 1

pelemparan dadu 8 .

3. Jawaban: b Tempat juara I sudah terisi, sehingga ada 2 tempat yang tersisa. Banyak cara menempatkan 4 anak pada 2 tempat yang tersisa = 4P2 = 12. Jadi, ada 12 foto berbeda yang mungkin tercetak. 4 Jawaban: d Misal: A = {P, E, L, U, A, N, G} ⇒ n(A) = 7 B = himpunan bagian dari A yang memiliki anggota 3 unsur n(B) = 7C3 = 35 Jadi, ada 35 himpunan bagian dari A yang memiliki anggota 3 unsur. 5. Jawaban: c Anggap 4 pemuda sebagai satu kelompok dan 3 pemudi sebagai satu kelompok. Banyak cara duduk 4 pemuda dalam satu kelompok adalah 4P4. Banyak cara duduk 3 pemudi dalam satu kelompok adalah 3P3. Banyak cara duduk selang-seling pemuda dan pemudi. = 4P4 × 3P3 = pemuda = 4! cara = 4! × 3! = 144 = pemudi = 3! cara

6. Jawaban: e Banyak cara menyusun 2 huruf berlainan dari 24 huruf = 24P2 = 552. Banyak cara menyusun 4 angka berlainan dari 10 angka = 10P4. Banyak cara menyusun pelat nomor = 552 × 10P4.

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: c A → B → C A ← B ← C Banyak cara mengadakan perjalanan dari A ke C melalui B = 4 × 5 = 20. Banyak cara mengadakan perjalanan dari C ke A melalui B dengan jalur yang berbeda = 4 × 3 = 12. Banyak cara pulang–pergi dari A ke C melalui B dengan jalur bus yang berbeda = 20 × 12 = 240. 2. Jawaban: c Angka I

Angka II

Angka III

5 cara

10 cara

9 cara

Angka I dapat ditempati angka 5, 6, 7, 8, 9 sehingga ada 5 cara. Angka II dapat ditempati semua angka sehingga ada 10 cara. Angka III dapat ditempati semua angka kecuali 0 sehingga ada 9 cara. Banyak cara menyusun nomor lebih dari 500 = 5 × 10 × 9 = 450 cara Jadi, ada 450 peserta ujian bernomor ganjil. 48

Kunci Jawaban dan Pembahasan

7. Jawaban: d Bilangan yang kurang dari 1.000 terdiri atas 3 angka dengan urutan diperhatikan sehingga digunakan permutasi. Banyak bilangan yang dapat disusun dari angka: a. b. c. d.

3!

0, 0, dan 6 ada 2!1! = 3 bilangan 0, 1, dan 5 ada 3! = 6 bilangan 0, 2, dan 4 ada 3! = 6 bilangan 3!

e.

0, 3, dan 3 ada 2!1! = 3 bilangan 1, 2, dan 3 ada 3! = 6 bilangan

f.

1, 4, dan 1 ada 2!1! = 3 bilangan

g.

2, 2, dan 2 ada 3!

3!

3!

= 1 bilangan ––––––––––– + 28 bilangan

Jadi, ada 28 bilangan. 8. Jawaban: b Kemungkinan susunan pimpinan ketua dari kelas XII, wakil ketua dan sekretaris dari kelas XI dan X atau ketua dari kelas XI, wakil ketua dan sekretaris dari kelas X.

Kasus I Ketua dari kelas XII, wakil ketua dan sekretaris dari kelas XI dan X. Jumlah anak kelas X dan XI = 4 + 5 = 9 Banyak susunan yang mungkin: = 6P1 × 9P2 Kasus II Ketua dari kelas XI, wakil ketua dan sekretaris dari kelas X Banyak susunan yang mungkin: = 5P1 × 4P2 Jumlah banyak kemungkinan susunan pimpinan: = 6P1 × 9P2 + 5P1 × 4P2 = 6 × 72 + 5 × 12 = 432 + 60 = 492 Jadi, banyak kemungkinan susunan pimpinan dengan kelas asal ketua harus lebih tinggi dari kelas asal wakil ketua dan sekretaris ada 492 cara. 9. Jawaban: a P

L

P L

L P

P P

L

P

6

1

1

35

P(A) = 1 – P(A′) = 1 – 36 = 36 Jadi, peluang ketiga mata dadu yang muncul tidak 35

ada angka yang sama 36 . 12. Jawaban: b Banyak bola lampu cacat = 3 Banyak bola lampu hidup = 7 A = kejadian terpilih satu bola lampu cacat = kejadian terpilih satu bola lampu cacat dan 2 bola lampu hidup Peluang terpilih satu bola lampu cacat: P(A) =

3 C1 × 7C2 10 C3

3 × 21

63

21

= 120 = 120 = 40

21

Jadi, peluang terpilih satu bola lampu cacat 40 .

n(A)

1

P (semuanya laki-laki) = P(LL) = n(S) = 3

Banyak cara duduk 4 laki-laki mengelilingi meja bundar (4 – 1)! = 3! Banyak cara duduk 8 perempuan mengelilingi meja bundar (8 – 1)! = 8! Banyak cara duduk 4 laki-laki dan 8 perempuan mengelilingi meja bundar dengan setiap dua orang perempuan duduk di antara dua laki-laki: = 3! × 8! = 6 × 8! 10. Jawaban: a A = kejadian terpilih 2 tiket dari 3 tiket yang dimiliki wanita tersebut menjadi pemenang n(A) = 3C2 = 3 n(S) = 25C2 = 300 n(A)

n(A′)

P(A′) = n(S) = 216 = 36

13. Jawaban: c Ruang sampel urutan dua anak dengan satu anak laki-laki S = {LP, PL, LL} ⇒ n(S) = 3 A = kejadian 2 anak berjenis kelamin laki-laki n(A) = 1

P

P

n(A′) = 6

3

1

P(A) = n(S) = 300 = 100 Jadi, peluang kedua tiket wanita tersebut menang 1

adalah 100 . 11. Jawaban: e S = pelemparan 3 dadu n(S) = 6 × 6 × 6 = 216 A = kejadian ketiga mata dadu muncul tidak ada angka yang sama A′ = kejadian ketiga mata dadu muncul angka yang sama = {(1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3), (4, 4, 4), (5, 5, 5), (6, 6, 6)}

1

Jadi, peluang semuanya anak laki-laki 3 . 14. Jawaban: a A = kejadian terpilih dua orang merupakan suami istri n(A) = 6C1 = 6 n(S) = banyak kemungkinan terpilih dua orang dari 6 pasangan (12 orang) = 12C2 = 66 Peluang terpilih pasangan suami istri dari 6 pasangan yang ada: n(A)

6

1

P(A) = n(S) = 66 = 11 15. Jawaban: d Kemungkinan panitia yang terbentuk 2 putri, 2 putra), (1 putri, 3 putra) atau 4 putra. Jumlah siswa = 5 + 5 = 10. Banyak anggota ruang sampel: n(S) = 10C4 = 210 P(A) = peluang panitia yang terbentuk 2 putri dan 2 putra = =

× 5C2 n(S)

5C2

10 × 10 210 10

= 21

Matematika Kelas XI Program IPA

49

P(B) = peluang panitia yang terbentuk 1 putri dan 3 putra =

5C1 × 5C3

n(A)

n(S)

5 × 10

5

= 210 = 21 P(C) = peluang panitia yang terbentuk 4 putra 5C4

= n(S) =

5 210

=

n(S) = permutasi siklis 6 elemen = (6 – 1)! = 5! = 120

1 42

Peluang panitia yang terbentuk memuat paling banyak 2 siwa putri = P(A) + P(B) + P(C) 10

5

1

= 21 + 21 + 42 31

3

18. Jawaban: c 1) Jumlah buah di keranjang pertama = 10 + 8 = 18 buah n(S1) = 18C3 = 816 A = kejadian terambil 2 buah rambutan dan 1 jeruk dari keranjang pertama n(A) = 10C2 × 8C1 = 45 × 8 = 360

2) Pelajar Pria

Pelajar Wanita

Jumlah

Memakai arloji

5

10

15

Tidak memakai arloji

5

10

15

Jumlah

10

20

30

S = kejadian terpilih dua pelajar dari 30 pelajar n(S) = 30C2 = 435 A = kejadian terpilih dua pelajar wanita dari 20 pelajar wanita n(A) = 20C2 = 190 B = kejadian terpilih dua pelajar yang memakai arloji dari 15 pelajar yang memakai arloji N(B) = 15C2 = 105 A ∩ B = kejadian terpilih dua pelajar wantia dan memakai arloji n(A ∩ B) = 10C2 = 45 Peluang terpilih pelajar wanita atau memakai arloji: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) =

n(A) n(S)

+

n(B) n(S)

–

n(A ∩ B) n(S)

=

190 435 250 435

+

105 435

–

45 435

=

50

= 87

17. Jawaban: a Lisa, Tera, dan Wisnu dipandang sebagai 1 elemen, maka permasalahan menjadi permutasi siklis 4 elemen, sedangkan cara duduk Lisa, Tera, dan Wisnu ada 3! cara. A = kejadian Lisa, Tera, dan Wisnu duduk bersebelahan n(A) = 3! × permutasi siklis 4 elemen = 3!(4 – 1)! = 36

50

Kunci Jawaban dan Pembahasan

3

sebelahan 10 .

= 42 16. Jawaban: a

36

P(S) = n(S) = 120 = 10 Jadi, peluang Lisa, Tera, dan Wisnu duduk ber-

P(A) =

n(A) n(S1)

P(B) =

n(B) n(S2 )

360

15

= 816 = 34 Jumlah buah di keranjang kedua = 5 + 4 = 9 buah n(S2) = 9C2 = 36 B = kejadian terambil 1 buah salak dan 1 buah kedondong dari keranjang kedua n(B) = 5C1 × 4C1 = 5 × 4 = 20 20

5

= 36 = 9 Peluang terambil 2 buah rambutan dan 1 buah salak: P(A ∩ B) = P(A) × P(B) 15

5

= 34 × 9 25

= 102 Jadi, peluang terambil dua buah rambutan dan 25

satu buah mangga adalah 102 . 19. Jawaban: b Banyak baju putih: n(P) = 5 Banyak baju biru : n(B) = 3 Banyak anggota ruang sampel: n(S) = 5 + 3 = 8 Kemungkinan baju yang terambil pertama putih– kedua biru–ketiga biru atau pertama biru–kedua putih–ketiga biru atau pertama biru–kedua biru– ketiga putih. P(A) = kejadian terambil baju pertama putih– kedua biru–ketiga biru n(P)

n(B)

n(B) − 1

= n(S) × × n(S) − 1 n(S) − 2 5

3

2

= 8 × 7 × 6 5

= 56 P(B) = kejadian terambil baju pertama biru–kedua putih–ketiga biru

n(B)

n(B) − 1

n(P)

= n(S) × × n(S) − 1 n(S) − 2 3

5

2

= 8 × 7 × 6 5

= 56 P(C) = kejadian terambil baju pertama biru–kedua biru–ketiga putih n(B) − 1

n(B)

n(P)

= n(S) × × n(S) − 1 n(S) − 2 3

3

5

5

= 8 × 7 × 6 = 56 Peluang terambil satu baju putih = P(A) + P(B) + P(C) 5

5

5

= 56 + 56 + 56 =

15 56

20. Jawaban: e Banyak kelereng merah = 7 Banyak kelereng putih = 3 Jumlah kelereng = 10 Banyak anggota ruang sampel: n(S) = 10C3 = 120 Kemungkinan kelereng yang terambil (3 merah) atau (1 putih, 2 merah). P(A) = peluang terambil 3 kelereng merah C

35

7 3 = n(S) = 120 P(B) = peluang terambil 1 kelereng putih dan 2 kelereng merah

= =

3C1 × 7C2

n(S)

3 × 21 120

=

63 120

Peluang terambil paling banyak 1 kelereng putih = P(A) + P(B) 35

63

98

49

= 120 + 120 = 120 = 60

Cara 2 A ∩ B = kejadian terambil kartu king hitam = {king keriting, king daun hitam} n(A ∩ B) = 2 (A ∩ B) =

n(A ∩ B) n(S)

n(A)

n(B)

26

4

= n(S) × n(S) 1

= 52 × 52 = 26

1

22. Jawaban: a Banyak percobaan: N = 165 Jumlah uang logam dalam mangkuk = 8 + 3 = 11 Banyak anggota ruang sampel: n(S) = 11C2 = 55 Kemungkinan uang logam yang terambil 2 uang logam seribuan atau 1 uang logam seribuan dan 1 uang logam lima ratusan. A = kejadian terambil 2 uang logam seribuan n(A) = 8C2 = 28 n(A)

28

n(B)

24

P(A) = n(S) = 55 B = kejadian terambil 1 uang logam seribuan dan 1 uang logam lima ratusan n(B) = 8C1 × 3C1 = 8 × 3 = 24 P(B) = n(S) = 55 Peluang terambil uang logam seribuan: 28

24

52

P = P(A) + P(B) = 55 + 55 = 55 Frekuensi harapan terambil uang logam seribuan: Fh = P × N 52

= 55 × 165 = 156 23. Jawaban: b A = kejadian jumlah mata dadu yang muncul kurang dari 10 = {(1, 1), (2, 1), (1, 2), (3, 1), (2, 2), (1, 3), (4, 1), (3, 2), (2, 3), (1, 4), (5, 1), (4, 2), (3, 3), (2, 4), (1, 5), (6, 1), (5, 2), (4, 3), (3, 4), (2, 5), (1, 6), (6, 2), (5, 3), (4, 4), (3, 5), (2, 6), (6, 3), (5, 4), (4, 5), (3, 6)} n(A)

21. Jawaban: a Cara 1 Banyak anggota ruang sampel: n(S) = 52 A = kejadian terambil kartu hitam n(A) = 26 B = kejadian terambil kartu king n(B) = 4 A dan B merupakan kejadian saling bebas. Peluang terambil satu kartu king hitam: P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

2

= 52 = 26

30

P(A) = n(S) = 36 B = kejadian jumlah mata dadu yang muncul bilangan prima (2, 3, 5, 7, atau 11) = {(1, 1), (2, 1), (1, 2), (4, 1), (3, 2), (2, 3), (1, 4), (6, 1), (5, 2), (4, 3), (3, 4), (2, 5), (1, 6), (6, 5), (5, 6)} P(A)

n(B)

15

= n(S) = 36

A ∩ B = {(1, 1), (2, 1), (1, 2), (4, 1), (3, 2), (2, 3), (1, 4), (6, 1), (5, 2), (4, 3), (3, 4), (2, 5), (1, 6)} P(A ∩ B) =

n(A ∩ B) n(S)

13

= 36

Matematika Kelas XI Program IPA

51

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) =

30 36

+

15 36

–

n(A ∪ B) = (25 – x) + x + (21 – x) = 40 – 3 ⇔ 46 – x = 37 ⇔ x =9

13 36

32

P(A ∩ B) =

8

= 9 Jadi, peluang jumlah mata dadu yang muncul 8

kurang dari 10 atau bilangan prima 9 . 24. Jawaban: c Banyak bola = 3 + 2 = 5. S = kejadian terambil 2 bola dari 5 bola n(S) = 5C2 = 10 Kemungkinan bola yang terambil 2 putih atau 2 hitam. A = kejadian terambil 2 bola putih dari 3 bola putih n(A) = 3C2 = 3 n(A)

3

n(B)

1

P(A) = n(S) = 10 B = kejadian terambil 2 bola hitam dari 2 bola hitam n(B) = 2C2 = 1 P(B) = n(S) = 10 Peluang bola yang terambil berwarna sama = P (2 putih) + P (2 hitam) = P(A) + P(B) 3

1

4

2

= 10 + 10 = 10 = 5 2 Jadi, peluang bola yang terambil berwarna sama 5 . 25. Jawaban: b P(B) = 1 – P(Bc) = 1 – 0,45 = 0,55 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) ⇔ 0,85 = P(A) + 0,55 – 0,45 ⇔ P(A) = 0,85 – 0,55 + 0,45 = 0,75 P(Ac) = 1 – P(A) = 1 – 0,75 = 0,25 26. Jawaban: e Misal: A = himpunan siswa gemar Matematika B = himpunan siswa gemar Fisika n(A ∩ B) = banyak siswa yang gemar Matematika dan Fisika = x Diagram Venn: S

A

36

3

3

27. Jawaban: d Misal: S1 = kejadian terambil 1 kelereng dari 8 kelereng n(S1) = 8C1 = 8 A = kejadian terambil 1 kelereng putih dari 2 kelereng putih n(A) = 2C1 = 2 2

1

P(A) = 8 = 4 Setelah terambil kelereng putih, kelereng putih tidak dikembalikan. Kelereng yang tersisa dalam kotak ada 7. S2 = kejadian terambil 1 kelereng dari 7 kelereng yang tersisa n(S2) = 7C1 = 7 B = kejadian terambil 1 kelereng putih dari 1 kelereng putih yang tersisa n(B) = 1C1 = 1 1

P(B) = 7 Peluang terambil 2 kelereng putih: P(A ∩ B) = P(A) × P(B) 1

1

= 4 × 7 1

= 28 Jadi, peluang terambil dua-duanya berwarna putih 1 28

.

28. Jawaban: a Banyak percobaan: N = 144 Banyak anggota ruang sampel: n(S) = 6 × 6 × 2 = 72. A = kejadian muncul mata dadu berjumlah 10 = {(A,4,6), (G,4,6), (A,5,5), (G,5,5), (A,6,4), (G,6,4)} n(A) = 6 n(A)

1

= 72 = 12 Frekuensi harapan muncul mata dadu berjumlah 10:

21 – x 3

52

9C2

dan Fisika 65 .

6

25 – x

n(x)

P(A) = n(S)

B x

n(A ∩ B) n(S)

= n(S) = C = 780 = 65 40 2 Jadi, peluang terpilih dua siswa gemar Matematika

= 36

Kunci Jawaban dan Pembahasan

⇔ 2n – 5 = 0

Fh(A) = P(A) × N =

1 12

⇔

× 144 = 12

3

P(A) = n(S) = 8

3

Fh(A) = n × P(A) ⇔ 27 = n × 8

8

30. Jawaban: c Dalam kotak terdapat 4 bola lampu mati dan 16 bola lampu hidup. Peluang pengambilan pertama mendapat dua bola lampu mati: 4 C2

6

3

= 190 = 95 Dua bola lampu mati yang telah terambil tidak dikembalikan. Sekarang dalam kotak terdapat 2 bola lampu mati dan 16 bola lampu hidup. Peluang pengambilan kedua mendapat dua bola lampu hidup: P(B) =

20 C2

16 C2 18 C2

=

120 153

=

40 51

Peluang pengambilan pertama mendapat dua bola lampu mati dan pengambilan kedua mendapat dua bola lampu hidup: 3

40

8

P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = 95 × 50 = 323 B. Uraian 1. a.

b.

(n + 3)! = 6(n + 2)! ⇔ (n + 3) (n + 2)! = 6(n + 2)! ⇔ n+3=6 ⇔ n =3 Jadi, nilai n yang memenuhi 3. 7 nP2 = 4 n + 2C3

(n + 2)!

n!

⇔

7 · (n − 2)! = 4 · 3!(n − 1)!

⇔

7n(n – 1) = 3 (n + 2)(n + 1)n 21(n – 1) = 2(n2 + 3n +2) 21n – 21 = 2n2 + 6n + 4 2 2n – 15n + 25 = 0 (2n – 5)(n – 5) = 0

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

2

n=5

3. Bentuk taman yang diinginkan I

n = 27 × 3 = 72 Jadi, percobaan melempar tiga uang logam dilakukan sebanyak 72 kali.

P(A) =

atau

2. Ada 10 siswa (7 putra dan 3 putri). Kemungkinan tim yang terbentuk (1 siswa putra, 3 siswa putri), (2 siswa putra, 2 siswa putri), atau (3 siswa putra, 1 siswa putri). Banyak cara membentuk tim = 7C1 × 3C3 + 7C2 × 3C2 + 7C3 × 3C1 = 7 × 1 + 21 × 3 + 35 × 3 = 175

29. Jawaban: d A = kejadian keluar satu angka = {(AGG), (GAG), (GGA)} n(A) = 3 n(S) = 8

⇔

atau n – 5 = 0

Oleh karena n ∈ bilangan bulat maka n = 5. Jadi, nilai n yang memenuhi 5.

Jadi, mata dadu berjumlah 10 diharapkan keluar sebanyak 12 kali.

n(A)

n=

1 22

II

II

II I

II II

II

I

Banyak cara menanam pohon I = (3 – 1)! = 2 Banyak cara menanam pohon II = (6 – 1)! = 5! = 120 Banyak cara menanam pohon-pohon itu: = 2 × 120 = 240 cara. 4. Banyak cara memajang bendera 8!

= 3!5! = 56 5. Banyak huruf konsonan berbeda yang dapat dipilih: = 6C2 = 15 cara Banyak huruf vokal berbeda yang dapat dipilih: = 5C3 = 10 cara. Banyak susunan kata sandi yang dapat dibentuk dari ke-5 huruf terpilih: = 5P5 = 5! = 120 cara. Banyak kata sandi yang dapat dibentuk: = 15 × 10 × 120 = 18.000 6. Banyak bola seluruhnya = 8 + 6 = 14 bola. a. Misal A′ = kejadian terambil 4 bola putih dari 6 bola putih P(A′) =

6 C4 14 C4

15

= 1001

A′ = kejadian terambil paling banyak 3 bola putih 15

986

P(A) = 1 – P(A′) = 1 – 1001 = 1001 Jadi, peluang yang terambil paling banyak 986

3 bola putih 1001 . Matematika Kelas XI Program IPA

53

b.

B′ = kejadian terambil semuanya bola merah P(B′) =

× 6C0 14 C4

8 C4

=

=

70 1001

B′ = kejadian terambil sekurang-kurangnya 1 bola putih P(B) = 1 – P(B′) =1–

133

= 1001 = 143 Jadi, peluang yang terambil sekurang133

7. Banyak anggota ruang sampel: n(S) = 15 A = kejadian terambil kartu berwarna putih = {7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15} n(A) = 9 B = kejadian terambil kartu bernomor genap = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} A ∩ B = kejadian terambil kartu berwarna putih dan bernomor genap = {8, 10, 12, 14} n(A ∩ B) = 4 B|A = kejadian terambil kartu putih bernomor genap jika kartu berwarna putih P(A ∩ B P(A)

=

n(A ∩ B) n(S) n(A) n(S)

=

4 15 9 15

4

= 9

Jadi, peluang terambil kartu bernomor genap jika 4

kartu berwarna putih 9 . 8. a.

b.

A = kejadian nasabah tidak bermasalah dalam angsuran kreditnya A′ = kejadian nasabah yang macet angsurannya P(A) = 0,82 P(A′) = 1 – P(A) = 1 – 0,82 = 0,18 Jadi, peluang kejadian nasabah macet angsurannya 0,18. Fh(A) = n × P(A) = 20.000 × 0,82 = 16.400 Jadi, 16.400 nasabah akan tepat waktu dalam membayar angsuran.

9. S = kejadian A memperoleh 13 kartu dari 52 kartu n(S) = 52C13 R = kejadian A memperoleh 4 kartu Jack = kejadian A memperoleh 4 kartu Jack dan 9 kartu sembarang dari48 kartu selain Jack n(R) = 4C4 × 48C9 P(R) =

54

n(R) n(S)

=

13!

13 × 12 × 11 × 10

11

= 52 × 51 × 50 × 49 = 4.165 11

10. A = {pengendara memiliki SIM A} C = {pengendara memiliki SIM C} S

× 48C9 52 C13

4 C4

Kunci Jawaban dan Pembahasan

C

A

kuranganya 1 bola putih 143 .

P(B|A) =

48!

= 9! × 52!

Jadi, peluang A memperoleh 4 kartu Jack 4.165 .

70 1001

931

48! 39! 9! 52! 39!13!

1×

25 – 12

12 30 – 12

17

n(S) = (25 – 12) + 12 + (30 – 12) + 17 = 60 A ∪ C = n(S) – 17 = 43 Banyak pengendara yang memiliki SIM A atau SIM C ada 43 orang. Misal: S1 = kejadian terpilih 2 pengendara kendaraan bermotor dari 60 pengendara kendaraan bermotor n(S1) = 60C2 = 1.770 K = kejadian terpilih 2 pengendara kendaraan bermotor memiliki SIM A atau SIM C dari 43 pengendara kendaraan bermotor yang memiliki SIM A atau SIM C n(K) = 43C2 = 903 P(K) =

n(K) n(S1)

903

= 1.770 Jadi, peluang terpilih 2 pengendara kendaraan 903

bermotor memiliki SIM A atau SIM C 1.770 .

Latihan Ulangan Tengah Semester A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: c Banyak peternak =

persentase peternak 100%

× jumlah penduduk

Jumlah penduduk 100%

= persentase peternak × banyak peternak 100%

= 15% × 150 = 1.000 orang

Anak yang memilih sepak bola 3x° = 150°

2. Jawaban: b Banyak nelayan =

persentase nelayan 100%

28 70°

× jumlah penduduk

10%

⇔

= 100% × 1.000 orang = 100 orang

=

(2 × 50) + (7 × 60) + (10 × 70) + (15 × 80) + (4 × 90) + (2 × 100) 2 + 7 + 10 + 15 + 4 + 2 100 + 420 + 700 + 1.200 + 360 + 200 40

= 2.980 = 74,5 40

4. Jawaban: a Mean = rata-rata = x

x =

n ∑ xi ⋅ fi i=1 Σfi

= 2,5×41+ 7,5×22 +12,5×19 +17,5×8 + 22,5×3 + 27,5×5 + 32,5×2

Jadi, jumlah anak yang memilih sepak bola 60 orang. 8. Jawaban: e Misalkan y = jumlah data yang dihasilkan pelambungan dadu sebanyak 29 kali y =1×8+2×7+3×5+4×2+5×3+6×4 = 8 + 14 + 15 + 8 + 15 + 24 = 84 Misalkan: x = rata-rata data dari pelambungan dadu sebanyak 30 kali x30 = mata dadu yang muncul pada pelambungan ke-30

100

= 102,5 + 165 + 237,5 + 140 + 67,5 + 137,5 + 65 100

=

915 100

Jadi, mean dari data tersebut 9,15. 5. Jawaban: b Setelah data diurutkan diperoleh:

x1 =

⇔

Jumlah Anak dalam Keluarga (x1)

Frekuensi (fi)

fi · xi

0 1 2 3 4

42 92 98 104 60

0 92 196 312 240

396

840

n

n

x =

⋅ xi

Σ fi

= 840 = 2,12 396

i =1

7. Jawaban: b x° + 3x° = 360° – (90° + 70°) ⇔ 4x° = 360° – 160° ⇔ 4x° = 200° ⇔ x = 50

3=

8

6. Jawaban: d

Σ fi i =1 n

⇔

9. Jawaban: c

26

Median = data ke- 2 = data ke-13 = $33.45 Modus = $12.500

Σ

y + x 30 30 84 + x 30 30

x =

⇔ 90 – 84 = x30 ⇔ x30 = 6 Jadi, mata dadu yang muncul pada pelambungan ke-30 adalah mata dadu 6.

= 9,15

i =1

150° × 28 70° 4.200 = 60 70

y= =

3. Jawaban: b x =

y

= 150°

Σ xi

i =1

8

8

Σ xi = 8 × x1

i =1

= 8 × 94 = 752 kg 8

x2 =

⇔ 92 =

Σ xi + x 9

i =1

9

752 + x9 9

⇔

x9 = 9 × 92 – 752 = 828 – 752 = 76 Jadi, berat badan pemain cadangan tersebut 76 kg. 10. Jawaban: c Kuartil pertama (Q1) Q1 terletak pada interval 55 – 59

Matematika Kelas XI Program IPA

55

Q1 = L +

 1 n − fkQ 1 4  fQ1 

= 54,5 +

   

n

·p

x =

i =1

·5

=

11. Jawaban: e Kuartil tengah (Q2) terletak pada interval 55 – 59 Q2 terletak pada interval 55 – 59 Q2 = L +

·p

 1 × 30 − 6     9  

= 54,5 +  2

·5

= 54,5 + 5 = 59,5 Jadi, kuartil tengahnya 59,5.

 3 n − fkQ  3   fQ 3   

= 64,5 +

·5

3 9 20 44 54 58 60

Jumlah

60

Q1 terletak di kelas interval 61 – 70.  1 n − fkQ  1  ·p  fQ 1     15 − 9  60,5 +   · 10  11 

Q1 = L +  4

3 × 60 4

= data ke-45 Q3 terletak di kelas interval 81 – 90.  3 n − fkQ  3   fQ 3   

Q3 = L +  4

1

·p

 45 − 44    10 

= 80,5 + 

(66,58 – 55,33)

= 5,625 14. Jawaban: d Banyak Rumah Sakit (dalam ribuan)

fi

xi

fi · xi

0 – 49 50 – 99 100 – 149 150 – 199 200 – 249

17 13 13 3 4

24,5 74,5 124,5 174,5 224,5

416,5 968,5 1.618,5 523,5 898

n

56

3 6 11 24 10 4 2

Q3 = data ke-

Qd = 2 (Q3 – Q1)

i =1

41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100 101 – 110

6

13. Jawaban: a Jangkauan semi antarkuartil

Σ

fk

= 60,5 + 11 × 10 = 60,5 + 5,455 = 65,955

= 66,58 Jadi, kuartil atasnya 66,58.

=

fi

=

= 64,5 + 2,08

1 2

xi

60

·p

 3 × 30 − 20  4    6  

15. Jawaban: d

Q1 = data ke- 4 = data ke-15

12. Jawaban: d Kuartil atas (Q3) terletak pada kelas interval 65 – 69 Q3 = L +  4

4.425 50

= 88,5 Jadi, rata-rata dari data tersebut 88,5.

= 54,5 + 0,833 = 55,33 Jadi, kuartil bawahnya 55,33.

   

⋅ xi

Σ fi

 1 × 30 − 6  4    9  

 1 n − fkQ 2 2  fQ 2 

Σ fi i =1 n

50

Kunci Jawaban dan Pembahasan

4425

· 10

= 80,5 + 1 = 81,5 Jangkauan antarkuartil = Q3 – Q1 = 81,5 – 65,955 = 15,545 16. Jawaban: a Diperoleh tabel berikut. Tinggi Tumbuhan

fk

0 – 10 11 – 20 21 – 30 31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70

29 75 148 270 395 458 500

fi 29 75 – 29 = 46 148 – 75 = 73 270 – 148 = 122 395 – 270 = 125 458 – 395 = 63 500 – 458 = 42

Q3 = data ke-

20. Jawaban: d

3 × 500 4

= data ke-375 Q3 terletak di kelas interval 41 – 50.  3 ⋅ 500 − fkQ  3    fQ 3  

Q3 = L +  4

·p

 375 − 270   125  

= 40,5 + 

 105   125   

= 40,5 +

Waktu 09.24 09.27 09.30 09.33 09.36 09.39

· 10

· 10

= 40,5 + 8,4 = 48, 9 Jadi, kuartil atas data tersebut 48,5.

– – – – – –

09.26 09.29 09.32 09.35 09.38 09.41

1

Me = data ke-

Q1 = L 1 +

 1 n − fkQ  1  4  fQ 1   

·p

6 − 3

= 38,5 +  4  · 5   = 38,5 + 3,75 = 42,25 18. Jawaban: a 1

1

Letak Q2 = 2 n = 2 · 24 = 12 Jadi Q2 terletak pada interval 44 – 48 L2 = 43,5; fQ2 = 9; fkQ2 = 7, dan p = 5  1n − f







kQ 2 2  Q2 = L2 +  f  ·p Q2

 12 − 7    9 

= 43,5 + 

·5

= 43,5 + 2,78 = 46,28 19. Jawaban: c 3

3

Letak Q3 = 4 n = 4 · 24 = 18 Jadi Q2 terletak pada interval 49 – 53 L2 = 48,5; fQ3 = 6; fkQ3 = 16, dan p = 5 Q3 = L 3 + = L3 +

 3 n − fkQ 3 4  fQ3   18 − 16   6   2

   

= 48,5 +  6  · 5   = 48,5 + 1,67 = 50,17

·p

·5

2 13 20 32 27 6

2 15 35 67 94 100

50 + 51 2

Me terletak di kelas interval 09.33 – 09.35.  n − fkM  e   fM e   

Me = L2 +  2

·p

 50 − 35    32 

= 09.32'30'' + 

1

L1 = 38,5; fQ1 = 4; fkQ1 = 3, dan p = 5

fk

100

Jumlah

17. Jawaban: d Letak Q1 = 4 n = 4 · 24 = 6 Jadi Q1 terletak pada interval 39 – 43.

fi

·3

 15 

= 09.32'30'' +   · 3  32  = 09.32'30'' + 1,4 = 09.32'.30'' + 1'.24'' = 09.33'.54'' Jadi, median dari waktu kedatangan bus tersebut 09.33'.54''. 21. Jawaban: c Angka terakhir harus genap (2, 4, 6, dan 8) sehingga ada 4 pilihan. Dengan demikian masih sisa 8 angka untuk dipilih. Banyak pilihan untuk 4 angka yang lain ada 8P4 cara. 8P4

=

8! 4!

=

8 × 7 × 6 × 5 × 4! 4!

= 8 × 7 × 6 × 5 = 1.680 Banyak pilihan bilangan yang dapat disusun = 8P4 × 4 = 1.680 × 4 = 6.720 22. Jawaban: b Banyak cara memilih 3 anak laki-laki dan 2 anak perempuan. = 10C3 × 4C2 =

10! 7! 3!

=

10 × 9 × 8 × 7! 7! × 3 × 2 × 1

×

4! 2! 2!

×

4 × 3 × 2! 2! × 2 × 1

= 120 × 6 = 720 Banyak cara memilih 4 anak laki-laki dan 1 anak perempuan = 10C4 × 4C1 =

10! 6! 4!

×

4! 3! 1!

Matematika Kelas XI Program IPA

57

=

10 × 9 × 8 × 7 × 6! 6! × 4 × 3 × 2 × 1

×

M = kejadian muncul bilangan genap pada dadu pertama dan bilangan ganjil pada dadu kedua = {(2, 1), (2, 3), (2, 5), (4, 1), (4, 3), (4, 5), (6, 1), (6, 3), (6, 5)} n(M) = 9

4 × 3! 3! × 1

= 10 × 3 × 7 × 4 = 840 Banyak cara memilih 5 anak laki-laki = 10C5 =

10! 5! 5!

=

10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5! 5! 5 × 4 × 3 × 2 × 1

P(M) =

= 3 × 2 × 7 × 6 = 252 Jadi, banyaknya cara memilih paling sedikit 3 anak laki-laki disertakan adalah 720 + 840 + 252 = 1.812 cara. 23. Jawaban: b Misal: A = kejadian muncul jumlah kedua mata dadu 6 B = kejadian muncul jumlah kedua mata dadu 10 A = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)} B = {(4, 6), (5, 5), (6, 4)} n(A) = 5 n(B) = 3 A dan B kejadian saling lepas maka: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) =

n(A) n(S)

5

+

n(B) n(S)

3

8

4

2

= =

n(A) n(B) n(A ∩ B) + – n(S) n(S) n(S) 6 6 1 + 36 – 36 36

=

P(A) =

4 C1

4

= 9 27. Jawaban: a M = kejadian terambil kelereng merah pada pengambilan pertama P(M) =

9 C1

3 C1 12 C1

3

1

= 12 = 4

N = kejadian terambil kelereng putih pada pengambilan kedua 4 C1 11C1

4

= 11

P( M ∩ N) = P(M) × P(N) 1

4

1

= 4 × 11 = 11 28. Jawaban: c Misal: A = kejadian terambil bola pertama merah B = kejadian terambil bola kedua putih Diperoleh: 6 C1

n(A)

11

n(B)

P(B) = n(S) =

6

5 C1

5

10 C1

= 10

Peluang terambil bola pertama merah dan bola kedua putih P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

1

2

3

4

5

6

1

(1, 1)

(1, 2)

(1, 3)

(1, 4)

(1, 5)

(1, 6)

2

(2, 1)

(2, 2)

(2, 3)

(2, 4)

(2, 5)

(2, 6)

= 11 × 10

3

(3, 1)

(3, 2)

(3, 3)

(3, 4)

(3, 5)

(3, 6)

= 11 × 2

4

(4, 1)

(4, 2)

(4, 3)

(4, 4)

(4, 5)

(4, 6)

= 11

5

(5, 1)

(5, 2)

(5, 3)

(5, 4)

(5, 5)

(5, 6)

6

(6, 1)

(6, 2)

(6, 3)

(6, 4)

(6, 5)

(6,6)

Kunci Jawaban dan Pembahasan

1 4

P(A) = n(S) = C = 11 11 1 Anggota ruang sampel berkurang satu karena bola sudah terambil satu.

= 36 25. Jawaban: c

58

9 36

=

26. Jawaban: d Pada pengambilan pertama terambil kelereng biru, sehingga tersisa 2 kelereng merah, 3 kelereng putih, dan 4 kelereng hijau. A = kejadian terambil kelereng hijau jika pada pengambilan pertama terambil kelereng biru

P(N) =

= 36 + 36 = 36 = 18 = 9 24. Jawaban: d A = kejadian muncul angka 6 pada dadu pertama = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} B = kejadian muncul angka 4 pada dadu kedua = {(1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 4), (5, 4), (6, 4)} n(A) = 6, n(B) = 6, n(A ∩ B) = 1 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

n(M) n(S)

6

5

6

1

3

29. Jawaban: e n(S) = banyak cara mengambil 4 kelereng dari 12 kelereng = 12C4 12!

= 8! 4! =

12 × 11 × 10 × 9 × 8! 8! 4 × 2 × 3 × 1

= 11 × 5 × 9 = 495 A = kejadian terambil 3 kelereng merah dan 1 hijau n(A) = banyak cara mengambil 3 kelereng merah dan 1 hijau n(A) = 4C3 × 4C1 =

4! 1! 3!

=

4 × 3! 3!

×4 × 4 = 16

n(A)

P(A) = n(S)

33. Jawaban: b Misal B kejadian muncul mata dadu bilangan kelipatan 2. B = {2, 4, 6} ⇒ n(B) = 3 Frekuensi harapan = P(B) × n n(B)

34. Jawaban: d A = bilangan tidak ganjil maupun prima = {bilangan genap} – {2} = {4, 6, 8, . . . , 50} n(A) = 25 – 1 = 24 P(A) =

30. Jawaban: a Banyak bola = 5 + 8 + 7 + 4 = 24 Banyak bola merah dan bola putih = 5 + 8 = 13 A = kejadikan terambil baik bola merah atau bola putih 13 C1 24 C1

13

= 24

31. Jawaban: d Banyak bola selain bola kuning = 8 + 3 + 4 = 15 A = kejadikan terambil bola selain bola kuning 20 C1

15

= 20 32. Jawaban: a Banyak cara memilih 2 anak laki-laki dan 2 anak perempuan. = 6C2 × 9C2 9!

= 4! 2! × 7! 2! 6 × 5 × 4!

24 50

12 25

=

26

4

28

7

2

= 52 = 13 36. Jawaban: e Pada pengambilan pertama terambil kartu 10. Pada pengambilan kedua diperoleh: n2 = n – 1 = 51 A = kejadian terambil kartu angka lebih dari 5 pada pengambilan kedua n(A) = 4 × 5 – 1 = 19 P(A) =

n(A) n2

9 × 8 × 7!

= 4! × 2 × 1 × 7! × 2 × 1 = 3 × 5 × 9 × 4 = 540 cara

=

19 51

37. Jawaban: c A

G

A

(A, A)

(A, G)

G

(G, A)

(G, G)

15 C1

6!

=

= 52 + 52 – 52

16

P(A) =

n(A) n(S)

35. Jawaban: c A = kejadian terambil kartu berwarna hitam n(A) = 26 B = kejadian terambil kartu berangka 10 n(B) = 4 n(A ∩ B) = 2 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

= 495

P(A) =

3

= n(S) × 200 = 6 × 200 = 100

B = kejadian tidak muncul gambar atau angka pada kedua uang logam = {(A, A), (G, G)} n(B) = 2 n(B)

2

1

P(B) = n = 4 = 2

38. Jawaban: d Misal: A = kejadian muncul mata dadu bilangan prima B = kejadian muncul mata dadu bilangan ganjil

Matematika Kelas XI Program IPA

59

Diperoleh: A = {2, 3, 5} ⇒ n(A) = 3 B = {1, 3, 5} ⇒ n(B) = 3 Peluang kejadian muncul mata dadu bilangan prima atau ganjil: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) n(A)

n(B)

= n(S) + n(S) – 3

3

4

2

⇔ Merek C =

2. Frekuensi modus data = frekuensi nilai 80 = k

⇔ 74,5 =

2

3.

6!

= 5!3! × 3!3! 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3!

Nilai

fi

fk

3–7 8 – 12 13 – 17 18 – 22 23 – 27 28 – 32

5 10 15 25 30 15

5 15 30 55 85 100

= 5! 3 ⋅ 2 ⋅ 1 × 3!3 ⋅ 2 ⋅ 1

n

Σ

Me = data ke-

1

B. Uraian 1. Akan dicari nilai x. x° + (x + 10)° + (4x + 25)° + (2x – 10)° + (2x + 25)° + (2x + 10)° = 360° ⇔ 12x° + 60° = 360° ⇔ 12x° = 300° ⇔ x = 25° Besar sudut pada merek E: (2x + 25)° = 50° + 25° = 75° Besar sudut pada merek C: (4x + 25)° = 125

⇔ 60

Merek E 75° 150 75°

= =

Merek C 125° Merek C 125°

Kunci Jawaban dan Pembahasan

 n − fkM  e  ·p  fM e     50 − 30  +   ·  25 

Me = L2 +  2 = 17,5

5

20

= 17,5 + 25 · 5 = 17,5 + 4 = 21,5 Jadi, median data tersebut 21,5.

1

fh = P(A) × N = 4 × 28 = 7

50 + 51 2

Median terletak di kelas interval 18 – 22.

40. Dua uang logam dilempar bersama-sama maka n(S) = 22 = 4. Pelemparan sebanyak 28 kali maka: N = 24 A = kejadian muncul 2 angka = {(A, A)} n(A) = 1 n(A)

100

i =1

= 56 × 20 = 1.120 cara Jadi, banyak cara memilih 3 anak laki-laki dan 3 anak perempuan adalah 1.120 cara.

P(A) = n(S) = 4 Frekuensi muncul dua sisi angka:

100 + 420 + 700 + 80k + 360 + 200 25 + k

⇔ 1.862,5 + 74,5 k = 1.780 + 80 k ⇔ 5,5 k = 82,5 ⇔ k = 15 Jadi, frekuensi modus data = 15.

= 6 = 3

8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5!

2 ⋅ 50 + 7 ⋅ 60 + 10 ⋅ 70 + k ⋅ 80 + 4 ⋅ 90 + 2 ⋅ 100 2 + 7 + 10 + k + 4 + 2

x =

= 6 + 6 – 6

8!

= 250

Jadi, komputer merek C yang terjual 250 unit.

n(A ∩ B) n(S)

39. Jawaban: a Banyak cara memilih 3 anak laki-laki dan 3 anak perempuan = 8C3 × 6C3

150 × 125 75

4.

Ukuran 135 140 145 150 155 160

– – – – – –

139 144 149 154 159 164

Σ

f

fk

9 12 20 14 9 6

9 21 41 55 64 70

70

3 ⋅ 70

Q3 terletak pada data urutan ke- 4 pada interval 150 – 154. 3

Q3 = L +

4

n − fkQ3 fQ 3

⋅p

 52,5 − 41  14  

= 149,5 + 

5

= 149,5 + 4,11 = 153,61

= 52,5, yaitu

5.

1

2

3

4

5

6

1

(1, 1)

(1, 2)

(1, 3)

(1, 4)

(1, 5)

(1, 6)

2

(2, 1)

(2, 2)

(2, 3)

(2, 4)

(2, 5)

(2, 6)

3

(3, 1)

(3, 2)

(3, 3)

(3, 4)

(3, 5)

(3, 6)

4

(4, 1)

(4, 2)

(4, 3)

(4, 4)

(4, 5)

(4, 6)

5

(5, 1)

(5, 2)

(5, 3)

(5, 4)

(5, 5)

(5, 6)

6

(6, 1)

(6, 2)

(6, 3)

(6, 4)

(6, 5)

(6,6)

M = kejadian muncul bilangan kelipatan 2 dan kelipatan 3 pada dadu pertama = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} n(M) = 6 n(M)

6

1

P(M) = 36 = 36 = 6

6. n2 = banyak kelereng setelah diambil 1 kelereng = 8 + 5 + 2 + 4 = 19 A = kejadian terambil kelereng putih 4 C1

4

= 19 Jadi, peluang terambil kelereng putih pada pengP(A) =

19 C1

Q dan R kejadian saling lepas, maka: P(Q ∪ R) = P(Q) + P(R) n(Q)

n(R)

= n(S) + n(S) 4

5

9

1

= 36 + 36 = 36 = 4 Jadi, peluang muncul kedua mata dadu berjumlah 1

5 atau 8 adalah 4 . 10. Kotak I = 4 merah, 3 biru Kotak II = 7 merah, 3 putih Peluang terambilnya 1 bola merah dari kotak I dan 1 bola putih dari kotak II 4

3

= 7 × 10 12

6

= 70 = 35 Jadi, peluang terambil 1 bola merah dari kotak I 6

dan 1 bola putih dari kota II adalah 35 .

Bab III

Trigonometri

4

ambilan kedua 19 . 7.

A

G

A

(A, A)

(A, G)

G

(G, A)

(G, G)

x = kejadian muncul paling sedikit 1 gambar = {(A, G), (G, A), (G, G)} n(x) = 3 P(x) =

n(x) n(S)

=

3 4

Jadi, peluang muncul paling sedikit 1 gambar adalah

3 4

.

8. Jumlah kartu bridge = 52. Jumlah kartu hati = 13. Jumlah bukan bergambar kartu hati = 52 – 13 = 39 Banyak kali pengambilan = 52 kali. Frekuensi harapan = Fh 39

Fh = 52 × 52 = 39 kali 9. Q kejadian muncul kedua mata dadu berjumlah 5 R kejadian muncul kedua mata dadu berjumlah 8 Diperoleh: Q = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} → n(Q) = 4 R = {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)} → n(R) = 5

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: d cos 25° cos 20° – sin 25° sin 20° = cos (25° + 20°) = cos 45° 1

= 2 2 2. Jawaban: c sin (–315°) = sin (45° – 360°) = sin 45° cos 360° – cos 45° sin 360° 1

1

= 2 2 ×1– 2 2 ×0 =

1 2

2

3. Jawaban: a cos 465° = cos (360° + 105°) = cos 105° = cos (60° + 45°) = cos 60° cos 45° – sin 60° sin 45° 1

1

1

= 2 × 2 2 – 2 1

= 4

1

1

2 – 4

= 4( 2 –

1 2 3 × 2

6 6)

Matematika Kelas XI Program IPA

61

4. Jawaban: b

2

sin α =

=

3 5

cos α =

5

sin (60° + α) = sin 60° cos α + cos 60° sin α =

1 2

=

3 10

3 ×

3 5

3 +

4 10

+

1 2

×

4

sin x =

sin A = 5

3

4 5

cos A =

5

tumpul)

cos y =

5

y 12

4

12

3

=–

5

=  − 5  × 13 + 5 × 13   48

7

 28

sin y = 13 cos (x – y) = cos x cos y + sin x sin y  4

4

= –  5 × 5 = –  25

5

cos x = – 5

B

2

2

−

3   25 2 

−

1 2

=–

1 2

2

Oleh karena cos C negatif berarti sudut C merupakan sudut tumpul. Jadi, besar sudut C = 135°.

15

33

8. Jawaban: b tan 165° = tan (120° + 45°)

= – 65

tan 120° + tan 45°

6. Jawaban: b tan α = 1

= 1 − tan 120° tan 45°

1 2 1 2

− 3 +1

2

= 1 − (− 3) × 1

1

1− 3

1

=

1− 2 3 + 3 1− 3

=

4−2 3 −2

1

tan β = 3 1

sin β =

3

cos β =

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β =

1 2

=

3 20

=

2 20

× –

3 10

–

1 2

1 20

Kunci Jawaban dan Pembahasan

1− 3

= 1+ 3 × 1− 3

α

β

3 1  × 5 5 2 

25 25 2

=–

= – 65 + 65

10

1

7

cos C = cos (180° – (A + B)) = –cos (A + B) = –(cos A cos B – sin A sin B)

13

3

4 5 2

7

4

62

A

1 5 2

cos B = 5 2

12 13

3

4 5

cotan B = 7

x

cos α =

5

7. Jawaban: e

sin B =

5

sin α =

1 5

3

α

5. Jawaban: b 3 (x 5

5 5

= 2 5 ×

4 5

×

1 10

1 10 3 10

= –2 +

3

9. Jawaban: b tan 40° = tan (45° – 5) tan 45° − tan 5°

= 1 + tan 45° tan 5° 1− a

= 1 + 1× a 1− a

= 1+ a

10. Jawaban: e tan (A + B) tan (A − B)

=

tan A + tan B 1 − tan A tan B tan A − tan B 1 + tan A tan B

=

1 1 + 2 3 1 1 −  1     2  3  1 1 − 2 3 1 1 +  1     2  3 

5 6 5 6

=

= = =

sin A sin B

sin A sin B

⇔ cos A cos B = tan A tan B =

1 6

sin 30° = sin p cos q –

cos (A − B) cos (A + B)

1

⇔ sin p cos q = sin 30° + 6 1

=

M

75° 60° B 300 cm

A

sin 75° = sin (30° + 45°) = sin 30° cos 45° + cos 30° sin 45°

AM sin 75°

= =

1 4

=

AB sin 45°

×

2 +

2 + 1 4

1 2

3 ×

1 2

2

6 sin 75° sin 45°

⇔ AM =

1 4

= =

1 (2

2+

× AB 1 4

1 2

2

+

1 2

6

=

2 2 + 3 9 2 2 − 3 9

=

8 9 4 9

8

= 4 =2

15. Jawaban: c sin A = 2 cos A ⇔ tan A = 2

5

1 5

⇔ cos A =

3 ) × 300

3 ) cm

3 ) cm.

1

sin (a − b) tan a − tan b

16. Jawaban: d a sin x + b cos x = sin (30° + x) = sin 30° cos x + cos 30° sin x

=

1 2

= 2 cos x +

tan a − tan b 1 + tan a tan b sin (a − b) tan (a − b)(1 + tan a tan b)

B

4

1

⇔ tan a – tan b = tan (a – b) (1 + tan a tan b)

x

= 4( 5 )2 = 5

13. Jawaban: a tan (a – b) =

2

A

Perhatikan ∆ABC C C = 180° – (A + B) = 180° – 2A sin C = sin (180 – 2A) x = sin 2A A = sin (A + A) = sin A cos A + cos A sin A = (2 cos A) cos A + cos A (2 cos A) = 4 cos2 A 1

= 150(1 + Jadi, panjang AM = 150(1 +

× 300

2

= 3

cos A cos B + sin A sin B

4 6

12. Jawaban: a ∠AMB = 180° – (60° + 75°) = 45°

2 9 1 3

= cos A cos B − sin A sin B

1

= 2 + 6

1 2

1 cos a cos b

tan A tan B = cos A cos B

11. Jawaban: d sin (p – q) = sin p cos q – cos p sin q

1 2

1

14. Jawaban: e

=1×7 =7

⇒

1 1  cos (a − b)    cos (a − b)  cos a cos b 

= cos a cos b

7 6 1 6

×

sin (a − b) sin (a − b)  cos a cos b + sin a sin b)    cos (a − b)  cos a cos b 

= Diperoleh a = a 3 +b=

1 2

1 2

1 2

3 sin x 1

3 sin x + cos x 2 1

3 dan b = . 2 1

3

1

3( 3)+ = 2 + 2 =2 2 Matematika Kelas XI Program IPA

63

17. Jawaban: b

20. Jawaban: d

a = 1; b = – 3 k= =

6 sin x –

12 + (− 3)2

a = – 2 dan b =

1+ 3

k=

= 4 =2 Jadi, nilai k = 2. 18. Jawaban: a a sin x + b cos x

2+6

=

8 =2 2

⇔

1

6 2

2)

6 2

π

6

π

3

cos (x – 4 ) = 2

23

) = cos

b.

sin (90° + α) = sin 90° cos α + cos 90° sin α = 1 · cos α + 0 · sin α = cos α + 0 = cos α cos (270° – α) = cos 270° cos α + sin 270° sin α = 0 · cos α + (–1) · sin α = 0 – sin α = –sin α

c.

tan (180° – α) =

1. a.

5

5

k = 0 → x = 12 π π

= – 6 + k · 2π π + k · 2π 1 12

23

B. Uraian

π 6

π

k=0→x=

1

x = – 12 π + k · 2π

17

x1 – 4 = 6 + k · 2π

1 12

3

Jadi, himpunan penyelesaiannya { 12 π, 12 π}.

⇔ x1 = 12 π + k · 2π

π

Jadi, nilai-nilai x yang memenuhi

64

2

x – 3 π = – 4 π + k · 2π

1

⇔

⇔ x =

17

x = 12 π + k · 2π

k = 1 → x = – 12 π + 2π = 12 π

2 cos (x – 4 ) = 2

π

3

x – 3 π = 4 π + k · 2π

⇔

⇔

π

2

3

17

π

x– 4

2

k = 0 → x = 12 π

π

cos (x –

1

cos (x – 3 π) = cos 4 π

⇔ α= 4

2)

2

⇔

2

1

1)

2

2 2 cos (x – 3 π) = –2

⇔

π 4

6 sin x = –2

cos (x – 3 π) = – 2 2

1)

tan α = 1 = 1 = tan 4

⇔

2

⇔

a = 1 dan b = 1

cos x + sin x =

= – 3 (α dikuadran II)

α= 3π

⇔

19. Jawaban: c

12 + 12 =

6 − 2

⇔ – 2 cos x +

1

= 2 2 ( 2 2 cos x + 2 2 sin x) = 2 cos x + 2 sin x = 2 sin x + 2 cos x Jadi, a = 2 dan b = 2.

cos x + sin x =

=

b

= 2 2 (cos x cos 45° + sin x sin 45°)

6

(− 2)2 + ( 6)2

tan α = a =

= 2 2 cos (x – 45°)

k=

2 cos x = –2

Kunci Jawaban dan Pembahasan

5 12

π dan

1 12

π.

tan 180° − tan α 1 + tan 180° tan α

=

0 − tan α 1 + 0 ⋅ tan α

=

− tan α 1

= –tan α

2. a.

d.

sin 86° cos 26° − cos 86° sin 26° sin 49° sin 86° − cos 49° cos 86°

sin 350° = sin (330° + 20°) = sin 330° cos 20° +cos 330° sin 20° 1 2

sin 86° cos 26° − cos 86° sin 26°

= (– ) ×

sin (86° − 26°)

=

= −(cos 49° cos 86° − sin 49° sin 86°) sin 60°

= −(cos (49° + 86°)) = −cos 135° 1 2

3

b.

tan 25° − tan 85° 1 + tan 25° tan 85°

= tan (25° – 85°)

cos A =

5

4 5

t

5

−5

tan B = 12 a.

tan A − tan B

tan (A – B) = 1 + tan A tan B

sin 130° = sin (150° – 20°) = sin 150° cos 20° –cos 150° sin 20° 1

1− t2 – (– 2

1

b.

1−

(−1) +

1− t 2 t

1 − (−1)

=

1− t 2

t − 1− t

2

t + 1− t

2

×

1 − t2



1 − t2 + t

t − 1− t

t − 1 − t2

56

= 33

3 4

1−

 1  3 –  21   16 

cos 230°= cos (210° + 20°) = cos 210° cos 20° –sin 210° sin 20°     =  − 2 3  1− t2 –  − 2  × t 1

1 t 2

16

= – 63

5. Oleh karena α di kuadran III maka:

= – 1− (

1

−5  ) 12  3 −5 ×( ) 4 12 

+(

cos α = – 1 − sin2 α

2

1− t +

=

2

2t 2 − 1

3

7 6 11 16





= – 

1 − t2

2

×

=

5 12



t 2 − (1 − t 2 )

1 – 2

3 4

5 12

 tan A + tan B 

t 2 − 2t 1 − t 2 + (1 − t 2 )

1 − 2t 1 − t

+

= –  1 − tan A tan B 

− 1 − t2 + t

t

−5 ) 12 3 −5 ×( ) 4 12

−(

tan C = tan (180° – (A + B)) = –tan (A + B)

tan 135° + tan 20°

=

3 4

=

= 1 − tan 135° tan 20°

=

1+

1

tan 155° = tan (135° + 20°)

=

3 4

=

3)t

1− t2 + 2 t 3

= 2

12

4

sin B = 13

1− t 2

1− t 2

=

13

A

−12

20°

t

=

3

cos B = 13 B di kuadran II 1

1− t2

1

c.

B

5

= 2 ×

b.

2

sin A = 5

t

a.

3 t – 1 1− t2

3

3. sin 20° = t = 1

tan 20° =

3 ×t

4. tan A = 4

6

= tan (–60°) = –tan 60° =– 3

cos 20° =

1 2

3

1 2

3

= − −1 2 = ( 2 ) 2 =

1 2

1− t2 +

=–

25 25

=–

16 25

−3 2 ) 5

− 9

25

4

=–5

Oleh karena β di kuadran IV maka: sin β = – 1 − cos2 β = – 1− ( =–

625 625

7 2 ) 25

− 49

625

Matematika Kelas XI Program IPA

65

=–

576 625

⇔

24

= – 25 a.

tan x = 3 3 ⇔ tan x = tan 30° ⇔ x = 30° + k · 180° k = 0 → x = 30° k = 1 → x = 210° Jadi, nilai x yang memenuhi 30° dan 210°.

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β  −4 

7

−28

72

 −3 

 −24 

= 125 – 125

b.

−100

= 125 −4

1

 −3 

7

−21

96

 −4 

 −24 

−117

= 125 sin (A + B) cos (A − B)

8. a.

=

sin A cos B + cos A sin B cos A cos B + sin A sin B

=

sin A cos B cos A sin B + cos A cos B cos A cos B cos A cos B sin A sin B + cos A cos B cos A cos B

=

sin A + cos A sin A 1+ cos A

=

tan A + tan B 1 + tan A tan B

×

1 cos A cos B 1 cos A cos B

sin B cos B sin B ⋅ cos B

cos A cos B + sin A sin B − (cos A cos B − sin A sin B) sin A cos B + cos A sin B + sin A cos B − cos A sin B

=

2 sin A sin B 2 sin A cos B sin B

= cos B = tan B

66

=

1 1 + 1− p 1 + p 1 1 1− 1− p × 1 + p

=

(1+ p) + (1 − p) (1 − p)(1 + p) (1 − p)(1+ p) − 1 (1 − p)(1 + p)

(1 + p) + (1 − p)

=

2 cos (30° + x) = cos (30° – x) ⇔ 2 cos 30° cos x – 2 sin 30° sin x = cos 30° cos x + sin 30° sin x ⇔ cos 30° cos x= 3 sin 30° sin x sin x cos x

tan α + tan β

tan (α + β) = 1 − tan α tan β

= (1 − p)(1 + p) − 1

cos (A − B) − cos (A + B) sin (A + B) + sin (A − B)

⇔

1

1

= 125 – 125

7. a.

1

– sin x × 2 3 = –1 ⇔ cos x = –1 ⇔ cos x = cos 180° 1) x = 180° + k · 360° k = 0 → x = 180° 2) x = –180° + k · 360° k = 0 → x = 180° Jadi, nilai x yang memenuhi 180°.

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β =  5  × 25 –  5  ×  25       

b.

sin (x + 30)° + cos (x + 60°) = –1 ⇔ sin x cos 30° + cos x sin 30° + cos x cos 60° – sin x sin 60° = –1 ⇔ sin x ( 2 3 ) + cos x × 2 + cos x × 2

= 5

6. a.

3

1

⇔

=  5  × 25 –  5  ×  25       

b.

1 2

tan x = 3 × 1 2

cos 30°

= 3 sin 30°

Kunci Jawaban dan Pembahasan

b.

=

1 + p + 1− p 1 − p2 − 1

=

2 −p2

= –2p–2 sin b cos(B – a) = sin a cos (b – B) ⇔ sin b (cos B cos a + sin B sin a) = sin a (cos b cos B + sin b sin B) ⇔ cos a sin b cos B + sin a sin b sin B = sin a cos b cos B + sin a sin b sin B ⇔ sin a cos b cos B – cos a sin b cos B = 0 ⇔ (sin a cos b – cos a sin b) cos B = 0 ⇔ sin (a – b) cos B = 0

1

9. sin A = 2

3 2

cos A = sin B =

12

1

A

5 13

cos B =

13

2

12 13

β 5

2

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B 1

5

12

3

= 2 × 13 – × 13 2 =

5 + 12 3 26

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B =

5

3 2

1

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: e cos 2x = 2 cos2 x – 1 cos 2x = 1 – 2 sin2 x = –2 sin2 x + 1 cos 2x = cos2 x – sin2 x = (cos x + sin x) (cos x – sin x) Jadi, bentuk trigonometri yang ekuivalen dengan cos 2x adalah II dan IV. 2. Jawaban: a 1

sin 15° cos 15° = 2 × (2 sin 15° cos 15°)

5 3 − 12

12

× 13 – 2 × 13 = 26 tan C = tan (180° – (A + B) = –tan (A + B) =

1

= 2 sin 30°

sin (A + B) – cos (A + B)

=–

1

1

= 4 12 + 5 3 12 + 5 3

=

5 + 12 3 12 − 5 3

=

60 + 169 3 + 180 144 − 75

=

240 + 169 3 69

80

×

169

3. Jawaban: d sin α =

= 1 – 25

25 − 16 =

9 = 3 cm

3

4

3

2 + 10

1+

−1 4 3

⋅1

=

1 3 7 3

1

= 7 7

1 25

4. Jawaban: b 3

tan α = 0,75 = 4 3

4

7

2 = 10 2

tan α − tan β 1 + tan α tan β 4 3

=–

sin α = 5 = 0,6

4

= 5 · + 5 · 4 2 4 2

=

2

26

3

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

2

13 5

 5 

BC = DB2 + DC2 = 16 + 16 = 16 ⋅ 2 = 4 2

= 5

13 =

cos 2α = 1 – 2 sin2 α

DB = AB – AD = 7 – 3 = 4 cm

4

1 5

  = 1 – 2 ×  13 

AC2 − CD2 =

tan (α – β) =

1

= 2 × 2

5 + 12 3 26 5 3 − 12 26

= 23 + 69 10. AD =

1

= 2 × (sin (2 × 15°))

cos α = 5 = 0,8 cos 2α = cos2 α – sin2 α = (0,8)2 – (0,6)2 = 0,64 – 0,36 = 0,28

1

sin (α + β) + tan (α – β) = 10 2 + 7

Matematika Kelas XI Program IPA

67

5. Jawaban: a

8. Jawaban: c α

a 1

sin 17° = a =

1

a

tan 17° =

1 − a2

( = 1− (

a

2

1 − a2 1 − a2

1− a

) )

α

2a 1 − a 2

= (1 − a2 ) − a2 1 − a2

:

2

(1 − a ) 2a 1 − a 2 (1 − a )

1

1 4x 2 − 1

5

1

2θ

tan 2θ = 2

2

1 5

dan cos 2θ =

2 5

Oleh karena θ sudut lancip maka tan θ bernilai positif.

1

= 3 1

2 tan x 1 − tan2 x

1

2 ( 3)

= 1 − ( 1 )2 = 3

2 3 8 9

tan θ = 3

1 − cos 2θ 1 + cos 2θ

=

= 4 5 −2

7. Jawaban: d

=

1

3 sin α = 2 3 = 2

1 1

cos α = 1 – 2 sin2 ( 2 α) 1

⇔ sin ( 2 α) = =

= =

1 − cos α 2 1− 2

1+

2 5 2 5

5 −2 5 −2 × 5+2 5 −2

=

2

=

1 2

Kunci Jawaban dan Pembahasan

=

( 5 − 2)2 5−4

=

5 –2

=

( 5 − 2)2

10. Jawaban: e 1

sin x – cos x = 2 ⇔

1 2

1 2

1 4

5 5+2

1−

5

cos α = 2

68

1

4x 2 − 1

Diperoleh sin 2θ =

⇔ tan x = 3 tan 2x =

2x

– 2x = 2x

1

⇔

6. Jawaban: c cos x = 3 sin x sin x cos x

2x + 1 2x

9. Jawaban: d 2 cos2 θ = 1 + 2 sin 2θ ⇔ 2 cos2 θ – 1 = 2 sin 2θ ⇔ cos 2θ = 2 sin 2θ

1 − a2 1

×

2

–1=

1

cotan α =

1 − a2

= 2a 1 − a2

⇔

2x + 1 4x

4x 2 − 1

a2 1 − a2

1−

=

=2·

2

2x

1 − a2

×

1 − a2

=

α

cos α = 2 cos2 2 – 1

2

a

2a

=

a

17°

2 tan 17° 1 − tan2 17°

tan 34° =

2x + 1 4x

cos 2 =

1

(sin x – cos x)2 = ( 2 )2 1

⇔

sin2 x – 2 sin x cos x + cos2 x = 4

⇔

1 – 2 sin x cos x = 4

⇔ ⇔

1 1

2 sin x cos x = 1 – 4 3

sin 2x = 4

11. Jawaban: a 2 tan A + tan B = 4

× 1 2 tan A + tan B = 4

17

tan A – 3 tan B = – 2

× 2 2 tan A – 6 tan B = –17 ––––––––––––––––– – 7 tan B = 21 ⇔ tan B = 3

2 tan A + tan B = 4 ⇒ 2 tan A + 3 = 4 ⇔ 2 tan A = 1 1

⇔ tan 2A =

tan A = 2

2 tan A 1− tan2 A 1

2× 2

=

1−  1 

2

 2

=

1

1

=

1

1− 4

3 4

4

= 3

tan 2A + tan B

tan (2A + B) = 1− tan 2A tan B 4 3

=

+3 4

1− 3 × 3 13

13

12. Jawaban: c

1

= 2 ⇔ 6 – 2 tan b = 1 + 3 tan b ⇔ –5 tan b = –5 ⇔ tan b = 1 Nilai tan2 a – tan2 b = (3)2 – (1)2 = 8. 14. Jawaban: d sin2 2x – 2 sin x cos x – 2 = 0 ⇔ (sin 2x)2 – sin 2x – 2 = 0 ⇔ (sin 2x + 1)(sin 2x – 2) = 0 ⇔ sin 2x = –1 atau sin 2x = 2 1) sin 2x = –1 = sin 270° ⇔ 2x = 270° + k · 360° ⇔ x = 135° + k · 180° k = 0 → x = 135° k = 1 → x = 315° 2) sin 2x = 2 (tidak ada x yang memenuhi) Jadi, himpunan penyelesaiannya {135°, 315°}.

1

π

1

5π

cos θ (− sin (θ)) − tan θ

sin x = 2 berlaku untuk x = 6 dan x = 6

− sin θ cos θ

sin x = –1 berlaku untuk x = 2

3π

− sin θ cos θ

π

2

a

1. tan 25° = a = 1

13. Jawaban: c 3 –4

sin 25° = 3

⇔

2 tan a 1 − tan2 a

⇔ ⇔ ⇔

8 tan a = –3 + 3 tan2 a 3 tan2 a – 8 tan a – 3 = 0 (3 tan a + 1) (tan a – 3) = 0

=–4

cos 25° = a.

a a2 + 1 1 a2 + 1

Oleh karena tan a > 0 maka nilai yang memenuhi tan a = 3. 1 2

b.

a2 + 1

a

25° 1

tan 25° = tan (2 × 25°) =

2 tan 25° 1 − tan2 25

=

2a 1 − a2

1

tan a = – 3 atau tan a = 3

tan (a – b) =

3π

B. Uraian

= 1 + cos 2θ

tan 2a =

5π

Jadi, himpunan penyelesaiannya { 6 , 6 , 2 }.

= cos2 θ

⇔

3 − tan b 1 + 3 tan b

1

= 2

sin x = 2 atau sin x = –1 Pada interval 0 ≤ x ≤ 2π:

tan (π − θ)

=

⇔

⇔

1

sin ( 2 π − θ) cos ( 2 π + θ)

=

tan a − tan b 1 + tan a tan b

15. Jawaban: b cos 2x – sin x = 0 ⇔ 1 – 2 sin2 x – sin x = 0 ⇔ 2 sin2 x + sin x – 1 = 0 ⇔ (2 sin x – 1)(sin x + 1) = 0

= −33 = – 9

1

⇔

sin 50° = sin (2 × 25°) = 2 sin 25° cos 25°

Matematika Kelas XI Program IPA

69

=2 = c.

a 2

a +1

1

·

2

a +1

2a a2 + 1

= =

2 a2 + 1

2

–1

–1

1

= –(cos2 75° – sin2 75)(1)(12 – 2 (2 sin 75° cos 75°)2)

1 − a2 a2 + 1

1

= –(cos 2 × 75°)(1 – 2 (sin 2 × 75°)2)

2. cos 2a = 2 cos2 a – 1 = 1 – 2 sin2 a a. 2 cos2 67,5° – 1 = cos (2 × 67,5°) = cos 135° = cos (90 + 45)°

1

= – cos 150° (1 – 2 sin2 150°) = –(–

= –sin 45°

=

1

=–2 2

cos (2 × 52,5°) cos 105° cos (60° + 45°) cos 60° cos 45° – sin 60° sin 45° 1

= 2

1

× 2 1

= 4 3. a.

1 2

×

2 (1 –

= =

2 sin α cos α 2 sin2 α

=

cos α sin α

= cotan α b.

1 + sin 2α − cos 2α 1 + sin 2α + cos 2α

=

70

1 + 2 sin α cos α − (1 − 2 sin2 α) 1 + 2 sin α cos α + (2 cos2 α − 1)

Kunci Jawaban dan Pembahasan

1 2

1

× 4)

7

3 × 8

2

–

1 2

5. sin 4x – cos 2x = 0 ⇔ 2 sin 2x cos 2x – cos 2x = 0 ⇔ cos 2x (2 sin 2x – 1) = 0 ⇔ 1)

3

2

2 sin α cos α 1 − (1 − 2 sin2 α)

3 )(1 –

7

1

1 – 2 sin2 52,5°= = = =

1 2

1 2

= 16 3

Jadi, nilai dari 2 cos2 67,5° – 1 = – 2 2 .

sin 2α 1 − cos 2α

2 sin α (cos α + sin α) 2 cos α (sin α + cos α)

4. sin8 75° – cos8 75° = (sin4 75°)2 – (cos4 75°)2 = (sin4 75° – cos4 75°)(sin4 75° + cos4 75°) = (sin2 75° – cos2 75°)(sin2 75° + cos2 75°) ((sin2 75° + cos2 75°)2 – 2 sin2 75° cos2 75°)

a +1

b.

=

= cos α = tan α

2 + 1) = 2 − (a 2

=

2 sin α cos α + 2 sin2 α 2 sin α cos α + 2 cos2 α

sin α

cos 50° = cos (2 × 25°) = 2 cos2 25° – 1 1   2  a2 + 1)   

=

1

cos 2x = 0 atau sin 2x = 2 cos 2x = 0 = cos 90° a) 2x = 90° + k · 360° ⇔ x = 45° + k · 180° ⇔ x = 45°; 225° b)

3)

2)

2x = –90° + k · 360° ⇔ x = –45° + k · 180° ⇔ x = 135°; 315° 1

sin 2x = 2 = sin 30° a) 2x = 30° + k · 360° ⇔ x = 15° + k · 180° ⇔ x = 15°; 195° b) 2x = 150° + k · 360° ⇔ x = 75° + k · 180° ⇔ x = 75°; 255°

Jadi, himpunan penyelesaiannya {15°, 45°, 75°, 135°, 195°, 225°, 255°, 315°}

5. Jawaban: a cos 50° + cos 40° sin 50° + sin 40°

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: d 8 cos 75° sin 165° = 4 · 2 sin 165° cos 75° = 4(sin (165° + 75°) + sin (165° – 75°)) = 4(sin 240° + sin 90°)

=

=4–2 3

3π ( 8

(cos

1

2 cos 45° cos 5° 2 sin 45° cos 5°

=

cos 45° sin 45°

=

1 2 1 2

+

π 8

1

1

1

=

1 4

) + cos

3π ( 8

–

π 8

))

1

2)

3

1

y

x

12

4

1

4. Jawaban: a

2 cos

= 2 sin

sin 27° + sin 63° cos 138° + cos 102°

2 sin

= 2 cos 1 (138° 2

1 + 63°) cos 2 (27° − 1 + 102°) cos 2 (138°

2 sin 45° cos ( −18°) 2 cos 120° cos 18° sin 45°

= cos 120°

6

= – 13 cos (45 − a)° + cos (45 + a)° sin (45 + a)° + sin (45 − a)°

1

1 (27° 2

5

= –2 ( 5 )( 13 )

7. Jawaban: d

=–2 6

=– 2

5

= –2 sin x sin y 1

1

2

tan y =

1

= 2 × (– 2 3 ) × 2 2

1

5 12

13

3

= –2 sin 2 (x + y + x – y) sin 2 (x + y – x + y)

1

−2

5

5

2

1 2

sin x = 5

sin y = 13 cos (x + y) – cos (x – y)

= 2 cos 2 (195° + 105°) cos 2 (195° – 105°) = 2 cos 150° cos 45°

=

=1

2

3

3. Jawaban: e cos 195° + cos 105°

=

2

− 40°)

cos x = 5

= 2 (cos 2 π + cos 4 π) = 2 (0 + 2

+ 40°) cos

4

π

3π

cos ( 8 ) cos ( 8 ) =

1 2 1 (50° 2

6. Jawaban: c

2. Jawaban: d

1 2

2 sin

=

1

= 4(– 2 3 + 1)

1 2 1 (50° 2

2 cos (50° + 40°) cos (50° − 40°)

63°) − 102°)

1 ((45 − a)°+ 2 1 ((45 + a)° + 2

(45 + a)°) cos (45 − a)°) cos

1 ((45 − a)° − (45 + a)°) 2 1 ((45 + a)° − (45 − a)°) 2

= cos 45° cos ( − a) sin 45° cos a

=

1 2 1 2

2 cos a 2 cos a

=1

8. Jawaban: b sin 270° cos 135° tan 135° 1

= ( 2 (sin (270° + 135°) + sin (270° – 135°)) tan 135° 1

= 2 (sin 405° + sin 135°) tan 135° 1

= 2 (sin (360° + 45°) + sin (180° – 45°)) tan (180° – 45°) 1

= 2 (sin 45° + sin 45°) (–tan 45°)

Matematika Kelas XI Program IPA

71

1

1

= 2 (2 × 2 1

=–2

2 sin 60

2 )(–1)

= cos 60° + cos 90°

2

2×

=

9. Jawaban: e sin 58° + sin 62° – sin 178° 1

= sin 58° + 2

1 (– 2

π

1

1

= 2 sin 2 (x + 30° + 30° – x) cos 2 (x + 30° – 30° + x) = 2 sin 30° cos x 1

= 2 × 2 × cos x = cos x

cos (x +

−

1 2 1 (x 2

4π sin (x − 3 ) 4π cos (x − 3 )

2 cos (x +

=

2 sin

+

1 2 1 sin (2x 2

4π 1 4π π π + x − ) sin (x + − x + ) 3 3 2 3 3 π 4π 1 π 4π + x − ) sin (x + − x + ) 3 3 2 3 3 1 5 π) 2 3 1 5 sin ( π) 2 3

2 cos (2x − π) sin (

=

−2

− π)

=

1 2 1 − sin (2x 2

=

π cos (−( − x)) 2 π − sin (−( − x)) 2

cos (2x − π)

=

π − x) 2 π sin ( − x) 2

=

sin x cos x

π

=

π

=

=

= =

π 3

π 3

2 sin [( + A) – ( – A)] π 3

π 3

π 3

π 3

cos [( + A) − ( − A)] + cos [( + A) + ( – A)]

2 sin 2A cos 2A + cos

2π 3

2 ⋅ 2 sin A cos A (2 cos2 A – 1) + –

1 2

4 sin A cos A –

3 2

+ 2 cos2 A

4× –

3 2

–3 2

+

48 25

+

4 5

3 5 3 2 × ( )2 5

×

50

18 25

× 50 96

96

= −75 + 36 = – 39 14. Jawaban: b 2 cos α cos β = cos (α + β) + cos (α – β) 3

⇔

− π)

1

2 × 4 = 2 + cos (α – β) 3

1

⇔ cos (α – β) = 2 – 2 = 1 ⇔ α – β = 0° Jadi, tan (α – β) = tan 0° = 0. 15. Jawaban: e

cos (

1

cos α cos β = 2 ⇔

= tan x

⇔

12. Jawaban: c tan 75° – tan 15° = tan 75° + tan (–15°) =

72

π

= tan ( 3 + A) + tan (–( 3 – A)

=

11. Jawaban: d −

3

tan ( 3 + A) – tan ( 3 – A)

10. Jawaban: b sin (x + 30°) + cos (x + 60°) = sin (x + 30°) + sin (90° – (x + 60°)) = sin (x + 30°) + sin (30° – x)

sin (x +

13. Jawaban: a sin A = 5 ⇔ cos A = 5

= sin 58° + sin 58° = 2 sin 58°

π ) 3 π ) 3

=2 3

1 2

4

) (–sin 58°)

3

+0

3

=

1

= sin 58° + 2 cos 2 (62° + 178°) sin 2 (62° – 178°) = sin 58° + 2 cos 120° sin (–58°)

1 2

1 2

2 sin (75D + (− 15D )) D cos (75 + (−15D )) + cos (75D − (− 15D ))

Kunci Jawaban dan Pembahasan

⇔ ⇔

1 2

1

(cos (α + β) + cos ((α – β)) = 2 cos (α + β) + cos (α – β) = 1 1

cos (α + β) + 2 3 = 1 1

cos (α + β) = 1 – 2 3 =

2− 3 2

cos (α + β) cos (α − β)

=

2− 3 2 3 2

2 3

=

=

2− 3 3

2

–1= 3

3 –1

16. Jawaban: c Diketahui α + β = 90° maka sin α = cos β dan cos α = sin β. cos 2α − cos 2β sin 2α

= =

1 (2α 2

−2 sin

+ 2β) sin

1 2

⇔

( ) cos ( )

=

1 3

⇔

tan  2  =

1 3

A +B

A +B

2 sin α cos α

A +B    2 

A +B

=

− sin α cos β sin α cos α

⇔

cos  2 

=

− cos β cos α

+

sin β sin α

=

− sin α cos α

+

sin β cos β

cos α sin β sin α cos α

= =

1 2 1

A −B

1

= 2( 2 2 )2 – 1 = 0 2

1

1

1

1 2

1

1

4

1

1

= –2 ×

×

19. Jawaban: c

=

4 –5

2

1

⇔

–2 sin x × 2

1

3 3

1

3 = 2

3 1

⇔

sin x = – 2

⇔

sin x = sin  − 6 π   

1)

cos A – cos B = –2 sin 2 (A + B) sin 2 (A – B) 1 2

1

–2 sin x sin 3 π = 2

1

cos 2 (A – B) = 2 3 maka sin 2 (A – B) = 2 1

2

⇔

)

1

4 5

1

3

⇔ –2 sin 2 (2x) sin 2 (2 × 3 π) = 2

maka sin 2 (A + B) = 5 cos 2 (A + B) = 5

=

2

cos (x + 3 π) – cos (x – 3 π) = 2

18. Jawaban: d

1

  A − B   2   2 

= 2 cos2  2  – 1

= 2 (6 – 2 )= 6 3

1

= 2 2

20. Jawaban: a

(sin C –

1

1

= 2 2

A −B

cos (A + B) = cos

(sin (180° – C) – sin 30°)

5

1

A −B

1

2 ( 2 ) cos  2 

1 2

3

A −B

⇔

1

⇔

1

−1(sin α cos β − cos α sin β) sin α cos α

cos A sin B = 2 (sin (A + B) – sin (A – B))

 1 

1

x = – 6 π + k · 2π 11

k = 1 → x= 6 π 2)

1

x = (π – (– 6 π)) + k · 2π 7

⇔ x = 6 π + k · 2π

1 2 2 1 6 2

7

( ) cos ( ) 2 cos ( ) cos ( ) A+B 2 A +B 2

A +B 2

=

+

1

    2 sin  2  cos  2  = 2 2

sin 90° sin (α − β) sin α cos α

17. Jawaban: c A + B + C = 180° ⇔ A + B = 180° – C

2 sin

=

2

3 2

A +B

= – tan α + tan β = tan β – tan α

sin A + sin B cos A + cos B

1

Substitusi sin  2  = 2

−2 sin (α + β) sin (α − β) 2 sin α cos α

=–

A +B 2 A+B 2

sin  2  = 2 cos

(2α − 2β)

sin

A −B 2 A −B 2

k = 0 → x= 6 π =

2 6

7

11

Jadi, nilai x yang memenuhi 6 π dan 6 π .

Matematika Kelas XI Program IPA

73

B. Uraian 1. a.

= sin (180 + 2a)° + sin 90° = –sin 2a° + 1 = 1 – sin 2a°

2 sin 75° cos 15° – 2 cos 105° sin 75° = (sin 90° + sin 60°) – (sin 180° – sin 30°) 1

b.

1

= (1 + 2 3 ) – (0 – 2 ) 3

1

= 2 + 2 3 b.

1

1

1

1

2 sin 82 2 ° cos 37 2 ° + 2 sin 127 2 ° sin 97 2 °

= (sin 120° + sin 45°) – (cos 225° – cos 30°) = sin 120° + sin 45° – cos 225° + cos 30° 1

1

1

5. a.

1

= 2 3 + 2 2 – (– 2 2 ) + 2 3

2. a.

b.

1

1

2 sin (x + y) sin (x – y) = –cos ((x + y) + (x – y)) + cos ((x + y) – (x – y)) = –cos 2x + cos 2y π

1

1

– sin 30°) – 2 (cos 146° + cos 16°)

π

π

1

1

1

π

1

2π

 1

1

1

3 – sin 80° =

1 2

4 sin 10° sin 50° sin 70° = 4 sin 70° sin 50° sin 10° = 2 (2 sin 70° sin 50°) sin 10° = 2(cos 20° – cos 120°) sin 10° )) sin 10°

= 2 cos 20° sin 10° + sin 10° = (sin 30° – sin 10°) + sin 10° = sin 30° = 4. a.

74

1 2

2 sin (135 + a)° cos (45 + a)° = sin ((135 + a)° + (45 + a)°) + sin ((135 + a)° – (45 + a)°)

Kunci Jawaban dan Pembahasan

3

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

= 2 – 2 sin (180° – 56°) – 2 cos (90° + 56°) = 2 – 2 sin 56° – 2 (–sin 56°)

1

= 2 (cos 20° –

1

= 4 + 4 – 2 sin 124° – 2 cos 146°

4 sin 20° sin 40° sin 80° = 2 (2 sin 20° sin 40°) sin 80° = 2 (cos 20° – cos 60°) sin 80° = 2 cos 20° sin 80° – 2 cos 60° sin 80° = 2 sin 80° cos 20° – 2 cos 60° sin 80°

1 (– 2

1

1

= 2 – 2 sin 56° + 2 sin 56°

= (sin 100° + sin 60°) – 2 · 2 sin 80° = sin (180° – 80°) + sin 60° – sin 80°

b.

1

– 2 cos 146

= 2 sin 2x – 4 3

1 2

 1

=  − 2  ×  − 2  – 2 sin 124° + 2 × 2

= 2 (sin 2x – 2 3 ) 1

1

– 2 cos 16°

= 2 (sin 2x – sin 3 ) 1

1

– 2 sin 124° + 2 sin 30° – 2 cos 146°

– sin ((x + 3 ) – (x – 3 ))) 1

1

= – 2 cos 120° + 2 cos 16°

π

π

1

= – 2 (cos 120° – cos 16°) – 2 (sin 124°

cos (x + 3 ) sin (x – 3 )

= sin 80° +

1

+ sin (–30°)) – 2 (cos 146° + cos (–16°))

= 2 (sin ((x + 3 ) + (x – 3 ))

3. a.

sin 52° sin 68° – sin 47° cos 77° – cos 65° cos 81° = – 2 (cos 120° – cos (–16°)) – 2 (sin 124°

2

3 +

=

2 cos (135 + a)° cos (45 + a)° = cos ((135 + a)° + (45 + a)°) + cos ((135 + a)° – (45 + a)°) = cos (180 + 2a)° + cos 90° = – cos 2a° + 0 = – cos 2a°

1

b.

= 2 sin2 195° sin 75° cos 75° = (sin 195° sin 75°)(sin 195° cos 75°) 1

= – 2 (cos (195 + 75)° – cos (195 – 75)°) 1

× 2 (sin (195 + 75)° + sin (195 – 75)°) 1

= – 4 (cos 270° – cos 120°) (sin 270° + sin 120°) 1

1

1

= – 4 (0 – (– 2 )) (–1 + 2 1

1

= – 8 (–1 + 2 1

1

= 8 (1 – 2

3)

3)

3)

6. a.

π

π

cos (x + 2 ) – cos (x – 2 ) π

B

⇔

–2 sin x sin 2 =

2

⇔

–2 sin x × 1 =

2

1)

2

sin x = sin

1 (– 4

π)

1

8. a.

1

x = (π – (– 4 π)) + k · 2π 5

7

3

3

sin (x + 4 π) – sin (x – 4 π) = – 2 ⇔

2 cos x sin

⇔

1 2

3 4

C

cos

B 2 B 2

B

C

B

C 2 C cos 2

= 3

C

1

sin

1

tan 2 tan 2 = 3

cos3 x sin2 x = (cos2 x sin2 x) cos x = (cos x sin x)2 cos x

1

B+C 2

A

B−C 2

1

1

1

– 2 (cos 3x – cos x)) 1

= – 16 (cos 5x – cos x + cos 3x – cos x) 1

= – 16 (–2 cos x + cos 3x + cos 5x) 1

b.

= 16 (2 cos x – cos 3x – cos 5x) 1 + cos 2x + cos 4x + cos 6x = (1 + cos 6x) + (cos 2x + cos 4x) 1

1

= 2 cos2 3x + (2 cos 2 (6x) cos 2 (–2x)) = 2 cos2 3x + 2 cos 3x cos x = 2 cos 3x (cos 3x + cos x) = 2 cos 3x (2 cos 2x cos x) = 4 cos x cos 2x cos 3x

A

B+C 2( 2 )

1

= 8 (– 2 (cos 5x – cos (–x))

= 90° – ( 2 + C)

B−C 2 sin cos ( 2 ) = 2 sin B−C 2 sin cos ( 2 ) B+C B+C = 2 × 2 sin ( 2 ) cos ( 2 ) B−C B+C cos ( 2 ) = 2 cos ( 2 ) B C B C cos 2 cos 2 + sin 2 sin 2

1

= 8 (sin 2x sin 3x + sin 2x sin x)

2 =– 2

sin B + sin C = 2 sin A ⇔ sin B + sin C = 2 sin (180° – (B + C)) ⇔ sin B + sin C = 2 sin (B + C)

⇔

B

= 4 sin 2x ( 2 (sin 3x + sin x))

π =– 2

= 90° – 2 A + B + C = 180° ⇔ B + C – 2C = 180° – A – 2C ⇔ B – C = 180° – (A + 2C)

⇔

C

1

7. Jumlah besar sudut segitiga = 180° A + B + C = 180° ⇔ B + C = 180° – A

⇔

B

= 4 sin 2x (sin 2x cos x)

⇔ cos x = –1 ⇔ cos x = cos π 1) x = π + k · 2π k = 0 → x= π 2) x = –π + k · 2π k = 1 → x= π Jadi, himpunan penyelesaiannya {π}.

⇔

C

1

5

B+C ( 2 ) B+C ( 2 )

B

= 4 sin2 2x cos x

Jadi, himpunan penyelesaiannya { 4 π, 4 π}.

⇔

C

= ( 2 sin 2x)2 cos x

k = 0 → x= 4 π

⇔

B

1

5

⇔ x = 4 π + k · 2π

2 cos x ×

C

sin

⇔ ⇔

x = – 4 π + k · 2π 7

b.

C

⇔ 3 sin 2 sin 2 = cos 2 cos 2

k = 1 → x= 4 π 2)

B

+ sin 2 sin 2 + 2 sin 2 sin 2 = 0

sin x × 1 = – 2

⇔

C

⇔ cos 2 cos 2 – 2 cos 2 cos 2

1

⇔

B

= 2 (cos 2 cos 2 – sin 2 sin 2 )

2

=

9. x

= sin 3q + sin q 1

1

= 2 sin 2 (3θ + θ) cos 2 (3θ – θ) = 2 sin 2θ cos θ y = cos 3θ + cos θ 1

1

= 2 cos 2 (3θ + θ) cos 2 (3θ – θ) = 2 cos 2θ cos θ

Matematika Kelas XI Program IPA

75

x + y = 2 sin 2θ cos θ + 2 cos 2θ cos θ = 2 cos θ (sin 2θ + cos 2θ)

a.

x y

b.

x2

c.

2 sin 2θ cos θ 2 cos 2θ cos θ

= +

=

sin 2θ cos 2θ

θ)2

 1 + cos 2θ    2  

= 2 + 2 cos 2θ 10.

cos a + cos b sin a + sin b 2 cos

⇔

2 sin

1 2 1 2

=

=

cos

1 (a + b) 2 1 (a + b) 2

=

⇔

sin

⇔

1

1 (a − b) 2 1 (a − b) 2

cotan

⇔ ⇔

3 3

1 (a 2

+ b) = cotan 30°

1 (a 2

+ b) = 30° 1 2

3.

1

) + (– 2 1

1

=–2

1

3) 2

3

3 tan A + tan B

tan (A + B) = 1 − tan A tan B 5 3

+4

= 1− 5 × 4 3 2

53

= −5 2 3 = –1 = tan (–45) (A + B) = (–45°) + k · 180° k = 1 → (A + B) = 135° Jadi, besar sudut (A + B) = 135°. 4

1. Jawaban: c sin 72° cos 27° – cos 72° sin 27° = sin (72° – 27°) = sin 45°

7

sin A = 5

sin B = 25 25

5

4

2

2. Jawaban: c tan (–15°) = tan (45° – 60°) tan 45° − tan 60°

= 1 + tan 45° tan 60° =

3

5. Jawaban: d

A. Pilihan Ganda

1− 3 1 + 1× 3 1− 3

1− 3

= 1+ 3 × 1− 3

A

B

3

24

B sudut tumpul (kuadran II) maka cos B = – 25 . cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B 3

24

4

7

= 5 × (– 25 ) + 5 × 25 72

28

= – 125 + 125

=

4−2 3 −2

= – 125

44

Kunci Jawaban dan Pembahasan

24

A sudut lancip (kuadran I) maka cos A = 5 .

1− 2 3 + 3 1− 3

3

7

3

=

= –2 + 76

3 2

3 – 4

a + b = 60°

1 2

x – 15°

4. Jawaban: d

Jadi, sin (a + b) = sin 60° =

=

1

cos (255° – x) = cos (240° – (x – 15°)) = cos 240° cos (x – 15°) + sin 240° sin (x – 15°)

=–4

1 (a + b) cos 2 1 (a + b) cos 2

2

3 2

cos (x – 15°) =

1

2

1 3

sin (x – 15°) = 2

= (– 2 ) (

6

=

1

(2 sin 2θ cos + (2 cos 2θ cos = 4 sin2 2θ cos2 θ + 4 cos2 2θ cos2 θ = 4 cos2 θ (sin2 2θ + cos2 2θ) = 4 cos2 θ · 1 =4

3 3

tan (x – 15°) =

= tan 2θ

θ)2

y2 =

3. Jawaban: b

6. Jawaban: b sin α = tumpul)

9. Jawaban: d

12 13

cos β = –

5

12

13

3 5

4

(β

1

tan A = 2 sin A =

1 5

cos A=

2 5

3

5

4

3

5

2

11. Jawaban: e sin x cos x = a ⇔ 2 sin x cos x = 2a

4

⇔

20

= – 65 + 65

1 − 4a2

1 − 4a 2

–

sin β cos β

⇔

sin α cos β − sin β cos α 48 65

12

cos 2 α = 13

⇔

=

1 3

=

1 3

tan

5

1 2

5 12

α=

tan α =

1

= 3

1

1

sin 2 α = 13

48

⇔ sin α cos β – sin β cos α = 3 × 65

sin (α – β) =

16 65

8. Jawaban: c cos a + cos b = 1 ⇒ (cos a + cos b)2 = 12 ⇔ cos2 a + 2 cos a cos b + cos2 b = 1 sin a + sin b = 2 ⇒ (sin a + sin b)2 = ( 2 )2 ⇔ sin2 a + 2 sin a sin b + sin2 b = 2 Dari kedua persamaan diperoleh: cos2 a + 2 cos a cos b + cos2 b = 1 sin2 a + 2 sin a sin b + sin2 b = 2 ––––––––––––––––––––––––––––––––– + 1 + 2(cos a cos b + sin a sin b) + 1 = 3 ⇔ 2 cos (a – b) + 2 = 3 ⇔ 2 cos (a – b) = 1 1

cos (a – b) = 2

13 1 2

2 tan

1 2

1 − tan2

=

5 12 5 1 − ( )2 12

=

10 12 119 144

16

⇔ sin α cos β – cos α sin β = 65

⇔

2a

2x

2a

1

1 3 sin α cos α

sin α cos β − sin β cos α cos α cos β

⇔

1

2a 1

12. Jawaban: a

7. Jawaban: e

⇔

sin 2x =

tan 2x =

16 – 65

tan α – tan β =

4

= 5

= cos 30° = 1 3

= 13 × (– 5 ) + 13 × 5

=

2 5

×

10. Jawaban: c cos 2α = cos2 α – sin2 α cos2 15° – sin2 15° = cos (2 × 15°)

sin β = 5 cos α = 13 sin λ = sin (180° – (α + β)) = sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β 36

1 5

=2×

5

12

A 2

sin 2A= 2 sin A cos A

β α

5

1

5

α 12

α 1 α 2

2×

120

= 119

13. Jawaban: b cos 2α = 2 cos2 α – 1 ⇔

cos α =

⇔ cos 157,5° =

cos 2α + 1 2 cos 315° + 1 2 cos 314° + 1 2

⇔ cos 157,7° =

1 2

=

2 +1 2

2+2 4

= 1

= 2

2+ 2

Matematika Kelas XI Program IPA

77

14. Jawaban: a sin α =

−12 13

cos α =

−5 13

17. Jawaban: a 3π 2

,π<α<

cos α = 1 – 2

3

= ± 13 3π

1

sin 2 α =

π

α

3

⇔ 2 < 2 < 4 π maka

tan

α=

1

13

1 α 2 1 cos 2 α

1 2

sin

13 −2 13

3

α

2

1 4

cos 105° cos 75°

1

P A

B

20. Jawaban: a f(x) = 2 – 8 sin (2x – 60°) sin 2x = 2 + 4 (–2 sin (2x – 60°) sin 2x) = 2 + 4 (cos (4x – 60°) – cos (–60°)) 1

= 2 + 4 (cos (4x – 60°) – 2 ) = 2 + 4 cos (4x – 60°) – 2 = 4 cos (4x – 60°) 21. Jawaban: c π

3

2 cos (α + 4 ) cos ( 4 π – α) + 1 π

tan 72° =

π

3

3

= cos (α + 4 + 4 π – α) + cos (α + 4 – 4 π + α) + 1

2 tan 36 1− tan2 36

p=2×

tan 36 1− tan2 36

1

= 2p

π

= cos π + cos (2α – 2 ) + 1 π

= –1 + cos (2α – 2 ) + 1 π

= cos (2α – 2 ) π

Kunci Jawaban dan Pembahasan

π

= cos 2α cos 2 + sin 2α sin 2 = cos 2α · 0 + sin 2α · 1 = sin 2α

78

1

19. Jawaban: d 2 sin (x + y) cos (x – y) = sin ((x + y) + (x – y)) + sin ((x + y) – (x – y)) = sin 2x + sin 2y

C

2 tan α 1− tan2 α

tan 36 1− tan2 36

= 2 ( 3 – 2)

1

16. Jawaban: d

⇔

3 –1

= 8 × 2 ( 3 – 2) = 16 ( 3 – 2)

= 2a 1 − a2

⇔

3

1

3

cos ∠C = 1 − a2 sin (∠APB) = sin (2 ∠ACB) = 2 sin ∠ACB cos ∠ACB = 2 sin ∠C cos ∠C

⇒

cos2 a

= 8 (2 cos 105° cos 75°)

=–2

15. Jawaban: c ∠APB merupakan sudut pusat dan ∠ACB merupakan sudut keliling lingkaran yang menghadap busur sama. ∠APB = 2 ∠ACB sin ∠C = a

tan 2α =

cos2 a 1

1

3

=

1

= 2

cos 2 α = – 13 1 2

cos2 a

18. Jawaban: a 2 cos 105° cos 75 = cos (105° + 75°) + cos (105° – 75°) = cos 180° + cos 30° = –1 + 2

.

2

1

cos2 a + sin2 a

= 2 sin a cos a = sin 2a

2

Oleh karena π < α < 2

cos2 a 2 sin a cos a

=

 13 

9 13

sin a cos a sin2 a

2 sin a cos a

1 −  −5 

=±

= 1+ =

1 − cos α 2

=±

3 13 3 13

2

α

2

1

1

3

2

α

1 sin2

⇔ sin 2 α = ±

sin 2 α =

13

2 tan a 1 + tan2 a

22. Jawaban: a

26. Jawaban: b

sin 48° + sin 12° cos 78° + cos 42°

2 sin

=

2 cos

1 1 (48° + 12°) cos (48° − 12°) 2 2 1 1 (78° + 42°) cos (78° − 42°) 2 2

sin 30° cos 18° cos 60° cos 18°

=

sin 30°

= cos 60° =

1 2 1 2

5

5

sin C = 6 ⇔ sin (180° – (A + B)) = 6

1

1

=1

sin A cos B = 2 (sin (A + B) + sin (A – B)) 1 5

2 sin (195° + 105°) cos (195° + 105°) + cos (195° − 105°)

=

2 sin 300° cos 300° + cos 90°

=

1 2 × (− 2 1 +0 2

1

2

= 3 27. Jawaban: b 1 3

24. Jawaban: d

=

−2 sin

1 2

(2x + 4x) sin

1 2

1 3

2 2 3

=

1 3

6

=

− 2

6 −3 2

6 sin 2x –

k =

5

3 5

1

1

= 2 cos 2 (3α + α) cos 2 (3α – α) = 2 cos 2α cos α = 2 (2 cos2 α – 1) cos α

= 5 ( 25 – 1)

4

α

cos 3α + cos α

– 1)

=

2 6 3

2+

2 3

=

2 3

6

1

=–3 3

2 cos 2x =

3 cos x – 3 sin x =

4

−42

6)2 =

2 3

6 cos (2x – 150°)

28. Jawaban: b

sin α = 5

= 125

1 3

tan α = tan 150° ⇒ α = 150° Jadi,

4 3

18

8 3

=

tan α =

25. Jawaban: a

6

6

(a negatif dan b positif maka α terletak di kuadran II)

−2 (− sin x) sin 2x

1

= 2 (2

8 3

=

−2 sin 3x sin ( −x) sin 2x sin 3x

= cos x = cosec x

3 ( 5 )2

1 3

sin 2x sin 3x

2 sin x

cos α =

2 cos 2x

( − 2)2 + (

k=

(2x − 4x)

= 2 sin x cos x

tan α =

6 sin 2x –

a=– 2;b=

=

8

= 2 × 6

= –2 3

=

1

= 2(6 + 2)

=

cos 2x − cos 4x sin 2x sin 3x

sin (A + B) = 6

sin (A – B) = sin 30° = 2

23. Jawaban: e tan 195° + tan 105°

3)

5

⇔

3 (5

)

3

( 3)2 + (−3)2

=

3+9

=

12 = 2 3

3

tan α =

−3 3

=– 3

⇔ α = 300° 3 cos x – 3 sin x =

3 3

⇔ 2 3 cos (x – 300°) = ⇔

1

cos (x – 300°) = 2 ⇔ cos (x – 300°) = cos 60° 1) x – 300° = 60° + k · 360° ⇔ x = 360° + k · 360° k = 1 → x = 0°

Matematika Kelas XI Program IPA

79

2)

x2 – 300° = –60° + k · 360° ⇔ x2 = 240° + k · 360° k = 0 → x = 240° Jadi, himpunan penyelesaiannya = {0°, 240°).

29. Jawaban: d cos 4x + cos 2x = 0 ⇔ 2 cos 3x cos x = 0 ⇔ cos 3x = 0 atau cos x = 0 a.

Untuk cos 3x = 0 π

⇔ 1)

cos 3x = cos 2 π

3x = 2 + k · 2π π

2

⇔ x= 6 +k· 3π

B. Uraian

5

1. a.

k=1→x= 6π

2)

3x =

π –2

⇔ x=

sin (2x + 50)° = 2 = sin 30° 1) 2x + 50 = 30 + k · 360 ⇔ 2x = –20 + k · 360 ⇔ x = –10 + k · 180 k = 1 ⇒ x = 170 k = 2 ⇒ x = 350 2) 2x + 50 = (180 – 30) + k · 360 ⇔ 2x = 100 + k · 360 ⇔ x = 50 + k · 180 k = 0 ⇒ x = 50 k = 1 ⇒ x = 230 Jadi, himpunan penyelesaiannya {50, 170, 230, 350}.

π

k=0→x= 6π

k=2→x=

3 2

cos (67° − 22°)

π

+k·

cos 45°

= sin 240° 2 3

=

π

1

b.

k=1 →x= 2π

11

cos x = cos

1)

x = 2 + k · 2π

π

2. a.

π

x = 2 + k · 2π

⇔

3

⇔ π

π

5

7

Jadi, himpunan penyelesaiannya { 6 , 2 , 6 π, 6 π, 11

π, 6 π,}.

sin (2x + 110)° + sin (2x – 10)° = 1

1

=–3

6

3 (–1)

⇔ ⇔

1

sin a° × 2 1 2 1 2

(2 –

1

⇔ 2 sin 2 (4x + 100)° cos 2 (120°) = 1

2 sin (2x + 50)° × 2 =

Kunci Jawaban dan Pembahasan

1 2 1 2 1 2

1

3 + cos a° × 2 = sin a° 1

3 sin a° + 2 cos a° = sin a° 1

cos a° = sin a° – 2 3 sin a° cos a° = (2 – 3 ) sin a° 3 ) sin a° = cos a° sin a° cos a°

⇔

30. Jawaban: c

80

2 − 3

sin (a + 30)° = sin a° ⇔ sin a° cos 30° + cos a° sin 30° = sin a° ⇔

k=1→x= 2π

⇔

=

=– 3

π

3 2

3

tan2 187,5° − tan2 52,5° 1 − (tan 187,5 tan 52,5°)2

=

π 2

k=0→x= 2 2)

2

= (1 − tan 187,5 tan 52,5°)(1 + tan 187,5° tan 52,5°) = tan (187,5° + 52,5°) tan (187,5° – 52,5°) = tan 240° tan 135°

k=3→x= 6 π Untuk cos x = 0 ⇔

1 2 1 −2

(tan 187,5° + tan 52,5°)(tan 187,5° − tan 52,5°)

7

k=2→x= 6π

b.

cos 67° cos 22° + sin 67° sin 22° sin 130° cos 110° + cos 130° sin 110°

= sin (130° + 110°)

+ k · 2π π –6

1

⇔

⇔ tan a° = =

1 (2 − 3)

= ×

1 (2 − 3)

2+ 3 2+ 3

2+ 3 4−3

=2+ Jadi, tan a° = 2 +

3 3 (terbukti).

b.

sin (b + 30)° = cos b° ⇔ sin b° cos 30° + cos b° sin 30° = cos b° 1

⇔

1 2 1 2

⇔

1

3 sin b° + 2 cos b° = cos b°

3 sin b° = cos b° –

⇔

cos b° = sin b° cos b°

⇔

1 2

cos b°

=–

a a +1

1 3

=

3 3

×

sin x =

1 a +1

tan x =

sin x cos x

=

1 3

3

5. a.

tan b° = 3 3

=

a +1 −

a a +1

cos 135° + cos 15° sin 135° − sin 15°

132 − 52

=

= 144 = 12 cm

13 cm

12

= =

C

AC2 − AD2

=–

cos α =

12

b.

5

α 5 cm

B

=

( ) = 1− ( ) 12 5

12 5

24

2

= tan 45° = 1

tan 105° + tan 15°

=

6. a.

3

=–

a −1 +1 a +1

2

2×1

1

= 2

3

1

1

1

= 2 sin 3α (2 cos 2 (3α + α) cos 2 (3α – α)) = 4 sin 3α cos 2α cos α sin 6α − sin 4α + sin 2α cos 6α − cos 4α + cos 2α

= = 7. a. 3

cos 2x + 1 2

3

= 2 sin 3α cos 3α + 2 sin 3α cos α = 2 sin 3α (cos 3α + cos α)

Oleh karena 2 π < 2x < 2π ⇔ 4 < x < π maka cos x bernilai negatif. ⇔ cos x = –

1 2

1

24 5 −119 25

120

2×

= 2 sin 3α cos 3α + 2 sin 2 (4α + 2α) cos 2 (4α – 2α)

−

25

2 sin 120° cos 120° + cos 90° 2 sin 90° cos 120° + cos 90°

sin 6α + sin 4α + sin 2α = sin 6α + (sin 4α + sin 2α)

=

= 5 × 119 = 119 4. cos 2x = 2 cos2 x – 1

3

= tan 105° – tan (−15°)

=

=

2 cos 75° cos 60° 2 cos 75° sin 60° 1 cotan 60° = 3 2 sin 45° cos 25° 2 cos 45° cos 25°

c.

−2 tan α 1 − tan2 α

−2

a

tan 105° + tan 15° tan 105° – tan 15°

b.

120

= 2 ( 13 )( 13 ) = 169 tan (180° – 2α) = –tan 2α

1

=

13 cm

α

tan α = 5 A 5 cm D ∠A + ∠B + ∠C = 180° ⇔ ∠C = 180° – (∠A + ∠B) ⇔ ∠C = 180° – (∠A + ∠B) ⇔ ∠C = 180° – 2α a. sin C = sin (180° – 2α) = sin (2α) = 2 sin α cos α

1

=– a =–a

sin 70° + sin 20° cos 70° + cos 20°

=

12

x

b.

sin α = 13 5 13

1

a

1

Jadi, tan b° = 3 3 (terbukti). 3. CD =

a +1

a a +1

1

3 sin b°

1

⇔

a − 1+ a + 1 2(a + 1)

1

sin b° × 2 3 + cos b° × 2 = cos b°

⇔

=–

(sin 6α + sin 2α) − sin 4α (cos 6α + cos 2α) − cos 4α 1 1 2 sin 2 (6α + 2α) cos 2 (6α − 2α) − sin 4α 2 cos

1 (6α + 2

2α ) cos

− 2α ) − cos 4α

2 sin 4α cos 2α − sin 4α 2 cos 4α cos 2α − cos 4α sin 4α (2 cos 2α − 1) sin 4α = cos 4α (2 cos 2α − 1) cos 4α

= tan 4α

6 cos 75° cos 15° = 3 · 2 cos 75° cos 15° = 3 (cos (75° + 15°) + cos (75° – 15°)) = 3 (cos 90° + cos 60°) 1

b.

1 (6α 2

3

= 3 (0 + 2 ) = 2 cos 55° sin 25° – cos 35° cos 25° 1

1

= 2 (sin 80° – sin 30°) – 2 (cos 60° + cos 10°) 1

1

1

1

= 2 sin 80° – 2 sin 30° – 2 cos 60o + – 2 sin 80° Matematika Kelas XI Program IPA

81

1

1

sin x – 3 cos = 1 ⇔ 2 cos (x – 150°) = 1

= – 2 sin 30° – 2 cos 60° 1

1

1

1

=–2 × 2 – 2 × 2

cos (x – 150°) = 2 ⇔ cos (x – 150°) = cos 60° 1) x – 150° = 60° + k · 360° ⇔ x = 210° + k · 360° k = 0 → x = 210° 2) x – 150° = –60° + k · 360° ⇔ x = 90° + k · 360° k = 0 → x = 90° Jadi, himpunan penyelesaiannya {90°, 210°}.

1

=–2 8. a.

cos 15° – cos 75° 1

1

= –2 sin 2 (15 + 75)° sin 2 (15 – 75)° = –2 sin 45 sin (–30°) 1

1

1

= –2 × 2 2 × (– 2 ) = 2 2 b.

sin 195° + sin 75° 1

1

= 2 sin 2 (195° + 75°) cos 2 (195° – 75°) = 2 sin 135° cos 60° 1

1

1

=2× 2 2 × 2 = 2 2 c.

tan = = =

1 67 2

° + tan

1 22 2

cos

+

1 22 °) 2

°

1 2

1 2

1 2

1 2

+ cos (67 ° – 22 °)

2 sin 90° cos 90° + cos 45°

2×1 0+

1 2

×

2

2 2

=2 2 9. cos 2θ –

cos (75° – x) – cos (15° – x) = 0 ⇔ ⇔

1

1

–2 sin 2 (90° – 2x) sin 2 (60°) = 0 –2 sin (45° – x) sin 30° = 0

⇔ –2 sin (45° – x) × 2 = 0 ⇔ sin (45° – x) = 0 ⇔ sin (45° – x) = sin 0° 1) 45° – x = 0° + k · 360° ⇔ –x = –45° + k · 360° ⇔ x= 45° – k · 360° k = 0 → x = 45° 2) 45° – x = 180° + k · 360° ⇔ –x = 135° + k · 360° ⇔ x= –135° – k · 360° k = –1 → x = 225° Jadi, himpunan penyelesaiannya {45°, 225°}.

3 sin 2θ = –1

⇔ cos2 θ – sin2 θ – 3 · 2 sin θ cos θ = –(cos2 θ + sin2 θ) ⇔

2 cos2 θ – 2 3 sin θ cos θ = 0

⇔

Bab IV

Persamaan Lingkaran dan Garis Singgung

2 cos θ (cos θ –

3 sin θ) = 0

⇔ 2 cos θ = 0 atau (cos θ –

3 sin θ) = 0

⇔

cos θ = 0 atau cos θ =

3 sin θ

A. Pilihan Ganda

⇔

cos θ = 0 atau sin θ =

3

⇔

cos θ = 0 atau cotan θ =

1. Jawaban: d Persamaan lingkaran berpusat di O(0, 0) dengan r = 4 adalah: x2 + y2 = r2 ⇒ x2 + y2 = 42 ⇔ x2 + y2 = 16

cos θ

Jadi, nilai cotan θ = 10. a.

sin x –

3

3.

3 cos x = 1

⇔ – 3 cos x + sin x = 1 a = – 3 , b = 1, k = tan α =

b a

,

1 − 3

=

1 –3

(− 3)2 + 12 = 2 3 (α di kuadran II)

⇔ α = 150° 82

b.

1

2 sin (67 ° + 22 °) 1 (67 ° 2

1

⇔

Kunci Jawaban dan Pembahasan

2. Jawaban: e x2 + y2 – 4x + 2y – 15 = 0 ⇔ x2 – 4x + 4 + y2 + 2y + 1 = 15 + 4 + 1 ⇔ (x – 2)2 + (x + 1)2 = 20 Diperoleh: r2 = 20 ⇔ r = 20 = 2 5 Jadi, jari-jari lingkaran 2 5 .

3. Jawaban: a Y O

X

4 3

–3

Pusat: P(4, –3) Jari-jari: r = 3

Persamaan lingkaran L: (x – 4)2 + (y + 3)2 = 32 ⇔ x2 – 8x + 16 + y2 + 6y + 9 = 9 ⇔ x2 + y2 – 8x + 6y + 16 = 0 4. Jawaban: b Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (–2, 4) adalah (x + 2)2 + (y – 4)2 = r2. Oleh karena lingkaran melalui titik O(0, 0) maka: (0 + 2)2 + (0 – 4)2 = r2 ⇔ r2 = 4 + 16 = 20 Jadi, persamaan lingkarannya (x + 2)2 + (y – 4)2 = 20. 5. Jawaban: a Titik pusat lingkaran tepat di tengah diameter, koordinatnya:  −4 + 6 −3 + 1   ,  2 2 

⇔ 3=

s1 = =

b.

s2 =

15

3 2

Diperoleh: A = – ; B = 2; C = –

c.

145 16

Luas lingkaran: 145

L = πr2 = π  16  = 16 π satuan luas.   7. Jawaban: c Lingkaran x2 + y2 – 8x + 2y + p = 0. Diperoleh A = –8, B = 2, dan C = p

26

(2 − 1)2 + (−1 − (−1))2 12 + 02

(2 − (−2))2 + (−1 − 1)2

=

42 + (−2)2

=

20 20 > r = 2 maka titik R di

Jarak titik N(1, 2) ke titik P(2, –1):

= (−1)2 + 22 =

1 3   1   15  Jari-jari: r =  −  −   +  − (2)  −  −    2  2  2   2

 145 

(−1)2 + (−5)2 =

2 2 s4 = (2 − 1) + (−1 − 2)

15 . 2 2

=

(2 − 3)2 + (−1 − 4)2

Jarak titik R(–2, 1) ke titik P(2, –1): s3 =

d.

2

9 15 +1+ 16 2

42 + (−1)2 − p

Oleh karena s3 = luar lingkaran L.

⇔ x2 + y2 – 2 x + 2y – 2 = 0

=

 2 

=1 Oleh karena s2 = 1 < r = 2 maka titik Q di dalam lingkaran L.

6. Jawaban: e 2x2 + 2y2 – 3x + 4y – 15 = 0



2

+  − 1 B  – C

Oleh karena s1 = 26 > r = 2 maka titik M di luar lingkaran L. Jarak titik Q(1, –1) ke titik P(2, –1):

=

Persamaan lingkaran: (x – 1)2 + (y + 1)2 = r2 Lingkaran melalui titik (6, 1), berarti: (6 – 1)2 + (1 + 1)2 = r2 ⇔ r2 = 25 + 4 = 29 Persamaan lingkaran: (x – 1)2 + (y + 1)2 = r2 ⇔ x2 – 2x + 1 + y2 + 2y + 1 = 29 ⇔ x2 + y2 – 2x + 2y – 27 = 0



2

8. Jawaban: b Kedudukan titik-titik di atas dapat ditentukan dengan cara membandingkan antara jarak titiktitik tersebut ke pusat lingkaran dengan panjang jari-jari lingkaran. a. Jarak titik M(3, 4) ke titik P(2, –1):

= (1, –1)

3

 1  − 2 A  

⇔ 32 = 16 + 1 – p ⇔ 9 = 17 – p ⇔ p = 17 – 9 = 8

L

P

r =

Oleh karena s4 = luar lingkaran L. e.

5 5 > r = 2 maka titik N di

Jarak titik T(2, 1) ke titik P(2, –1): s5 = =

(2 − 2)2 + (−1 − 1)2 02 + (−2)2 = 2

Oleh karena s5 = 2 = r = 2 maka titik T terletak pada lingkaran L. Jadi, titik Q(1, –1) terletak di dalam lingkaran L.

Matematika Kelas XI Program IPA

83

9. Jawaban: e Titik pusat lingkaran: P(–2, 1). 2

Diperoleh: 2

(−2) + 1 + 4 = 3

Jari-jari lingkaran: r =

Jarak titik P(–2, 1) ke garis g1: x + y – 2 = 0:

a.

d1 =

−2 + 1 − 2

=

12 + 12

3 2

< r = 3 maka garis g1

memotong lingkaran L. Jarak titik P(–2, 1) ke garis g2: x + 2y + 2 = 0:

b.

d2 =

−2 + 2 ⋅ 1 + 2 12 + 22

=

2 5 2 5

Oleh karena d1 =

< r = 3 maka garis g2

memotong lingkaran L. c.

Jarak titik P(–2, 1) ke garis g3: 2x – y + 1 = 0: d3 =

2 ⋅ (−2) − 1 + 1 2

2

2 + (−1)

4 5

= 4 5

Oleh karena d1 =

2 ⋅ (−2) + 2 ⋅ 1 − 1 22 + 22

Oleh karena d4 =

=

3 2 2

3 2 2

< r = 3 maka garis g4

memotong lingkaran L. e.

Jarak titik P(–2, 1) ke garis g5: 3x – 4y – 5 = 0: d5 =

3 ⋅ (−2) − 4 ⋅ 1 − 5 32 + (−4)2

=3

Oleh karena d 5 = r = 3 maka garis g 5 menyinggung lingkaran L. 10. Jawaban: c Lingkaran x2 + y2 + px + 8y + 9 = 0 berpusat di

r =



=

( 21 p)

2

1 2 p 4

+ 42 – 9

+ 16 – 9 =

1 p2 4

+7

Lingkaran menyinggung sumbu X maka r = | ordinat pusat |

84

p2 + 7 = 16 1 4

⇔

p2 = 9

⇔ p2 = 36 ⇔ p =±6 Jadi, pusat lingkaran adalah (3, –4) atau (–3, –4). 11. Jawaban: d Lingkaran menyinggung garis g: 2x – 3y + 1 = 0 maka r = jarak titik pusat (2, 1) ke garis g r =

2 ⋅ 2 − 3 ⋅ 1+ 1

=

22 + (−3)2

2 13

jari 13 adalah: (x – 2)2 + (y – 1)2 =

Kunci Jawaban dan Pembahasan

 2     13 

2

4

⇔

x2 – 4x + 4 + y2 – 2y + 1 = 13 ⇔ 13x2 + 13y2 – 52x – 26y + 52 + 13 = 4 ⇔ 13x2 + 13y2 – 52x – 26y + 61 = 0 12. Jawaban: b Persamaan lingkaran: x2 + y2 + py + q = 0. Diperoleh A = 0 dan B = p. 1 1  1  Pusat lingkaran: – 2 A, – 2 B = 0, – 2 p .    

Lingkaran menyinggung garis A: 3x + 4y – 2 = 0 maka r = jarak titik pusat ke garis A. r= 2=

1  titik – 2 p, –4 .



1 4

2

< r = 3 maka garis g3

Jarak titik P(–2, 1) ke garis g4: 2x + 2y – 1 = 0: d4 =

2

Persamaan lingkaran berpusat di (2, 1) dan berjari-

memotong lingkaran L. d.

+ 7 = |–4|

 1 2  ⇔  4 p + 7  = |–4|2  

⇔

3 2

Oleh karena d1 =

1 p2 4

(

)

1

3⋅0 + 4⋅ − 2p − 2 2

2

3 + (4) −2p − 2 5

2

⇔ 22 =

−2p − 2 5

⇔ 4=

4p2 + 8p + 4 25

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

4p2 + 8p + 4 = 100 4p2 + 8p – 96 = 0 p2 + 2p – 24 = 0 (p + 6)(p – 4) = 0 p + 6 = 0 atau p – 4 = 0 p = –6 atau p = 4

13. Jawaban: b x – 2y = 5 ⇔ x = 5 + 2y Substitusi x = 5 + 2y ke persamaan lingkaran x2 + y2 – 4x + 8y + 10 = 0 diperoleh: (5 + 2y)2 + y2 – 4(5 + 2y) + 8y + 10 = 0 ⇔ 25 + 20y + 4y2 + y2 – 20 – 8y + 8y + 10 = 0 ⇔ 5y2 + 20y + 15 = 0 ⇔ y2 + 4y + 3 = 0 ⇔ (y + 3)(y + 1) = 0 ⇔ y1 = –3 atau y2 = –1 y1 = –3 ⇒ x1 = 5 + 2(–3) = –1 ⇒ A(–1, –3) y2 = –1 ⇒ x2 = 5 + 2(–1) = 3 ⇒ B(3, –1) Panjang ruas garis AB =

(3 – (–1))2 + (–1– (–3))2

=

42 + 22 =

16 + 4 =

r2 r 2

r1

α

y=

b.

3

(x –

+ (y –

3

)2

=

3

3 ) dan per-

r2

Lingkaran juga menyinggung garis y = 1

3 ) dan P2(1,

3 ).

(1 − (−3))2 + ( 3 − 3)2 42 + 02

Pusat O(0, 0) Jari-jari: r = 2 × 10 = 5 Persamaan lingkaran: x2 + y2 = 52 ⇔ x2 + y2 = 25 Pusat (2, 1): (x – 2)2 + (y – 1)2 = r2 Melalui (0, 4): (0 – 2)2 + (4 – 1)2 = r2 ⇔ r2 = (–2)2 + 32 = 4 + 9 = 13 Persamaan lingkaran: (x – 2)2 + (y – 1)2 = 13 ⇔ x2 – 4x + 4 + y2 – 2y + 1 – 13 = 0 ⇔ x2 + y2 – 4x – 2y – 8 = 0

2. L: x2 + y2 + 4x – 6y – 35 = 0 a. A = 4; B = –6; C = –35

berarti ordinat titik pusat adalah 3 . Kedua lingkaran menyinggung sumbu Y (x = 0), maka absis pusatnya sama dengan jari-jari (r).

r)2

4

b2 – 4ac = 0 ⇒ (2r + 2)2 – 4 · 3 · 3 = 0 ⇔ 4r2 + 8r + 4 – 16 = 0 ⇔ 4r2 + 8r – 12 = 0 ⇔ r2 + 2r – 3 = 0 ⇔ (r + 3)(r – 1) = 0 ⇔ r = –3 atau r = 1

1

Titik pusat kedua lingkaran pada garis y =

Diperoleh pusat lingkaran adalah (r, samaannya:

– (2r + 2)x + 3 = 0

Oleh karena lingkaran menyinggung garis, maka diskriminan (D) = 0, yaitu

1. a.

X

X

O

– 2x + 3 = r2

B. Uraian

y= 3x 3 T2



=4

------------

P

4 2 x 3

=

1

r1

⇔

1 2 x 3

y = 2x

Y

P2

⇔ x2 – 2rx + r2 +

P1P2 =

15. Jawaban: c

P1



2

3  = r2

Diperoleh titik pusat P1(–3, Jarak kedua titik pusat:

20 = 2 5

14. Jawaban: e Y Lingkaran L menyinggung sumbu Y di titik (0, 6) dan pusatnya di r garis y = 2x. 6 ------- P y = 6 ⇔ 2x = 6 ⇔ x=3 Pusat lingkaran P(3, 6) 0 3 dan jari-jari 3. Jadi, persamaan lingkaran L adalah (x – 3)2 + (y – 6)2 = 32 ⇔ x2 – 6x + 9 + y2 – 12y + 36 = 9 ⇔ x2 + y2 – 6x – 12y + 36 = 0

1

(x – r)2 + –  3 x 3 –

1 1  Pusat: – 2 (4), – 2 (–6) = (–2, 3)





Jari-jari: r =

(−2)2 + (3)2 − (−35)

=

4 + 9 + 35

=

48

= 4 3 satuan 1 x 3

3.

Jadi, koordinat pusat (–2, 3) dan jari-jari 4 3 satuan.

Substitusi y = 3 x 3 ke persamaan lingkaran: Matematika Kelas XI Program IPA

85

b.

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik

+

1

3.

x2 a.

b.

+

+

–

(–2, 3) dan berjari-jari r = 2 × 8 = 4 adalah: (x + 2)2 + (y – 3)2 = 42 ⇔ x2 + 4x + 4 + y2 – 6y + 9 = 16 ⇔ x2 + y2 + 4x – 6y – 3 = 0

⇔ k < –2 5 atau k > 2 5

y2

k>2 5.

– 8x – 12y + n = 0 Lingkaran melalui titik (–1, 3) berarti: (–1)2 + 32 – 8(–1) – 12(3) + n = 0 ⇔ 1 + 9 + 8 – 36 + n = 0 ⇔ n = 18 x2 + y2 – 8x – 12y + 18 = 0 Pusat:

 1 – 2 

(–8), –

1 2

 (–12) 

Jari-jari: r =

42 + 62 − 18

=

16 + 36 − 18

=

34

2 5

–2 5

Jadi, batas-batas nilai k adalah k < –2 5 atau 5.

Y

3 2 1 –2 –1 0 –1

= (4, 6)

1

2

3 4

5

6 7

8

X

–2 –3 –4 –5 –6

r

r

•

P(r, –5)

3x + 4y = 0

Jarak titik O(0, 0) ke titik pusat lingkaran (4, 6). d=

42 + 62 =

16 + 36 =

52

Oleh karena d > r maka titik O(0, 0) berada di luar lingkaran. Jarak garis y = 2x – 5 ⇔ 2x – y – 5 = 0 ke titik pusat lingkaran (4, 6) adalah:

c.

s = =

22 + ( − 1)2 8−6−5 4+1

=

−3 5

3 5

=

3 5

×

5 5

=

3 5

5

5 ≈ 1,34 < r = 34 ≈ 5,83

4. A: 2x + y = k ⇔ y = k – 2x Substitusi A ke persamaan lingkaran L: x2 + (k – 2x)2 = 4 ⇔ x2 + k2 – 4kx + 4x2 = 4 ⇔ 5x2 – 4kx + k2 – 4 = 0 Syarat garis A tidak memotong lingkaran L yaitu D < 0. ⇒ (–4k)2 – 4 · 5 · (k2 – 4) < 0 ⇔ 16k2 – 20k2 + 80 < 0 ⇔ –4k2 + 80 < 0 ⇔ k2 – 20 > 0 20 )(k +

20 ) > 0

⇔ (k – 2 5 )(k + 2 5 ) > 0

86

3r + 4 ⋅ (−5) 32 + 42

⇔ r2 =

maka garis y = 2x – 5 memotong lingkaran di dua titik.

(k –

r =

2(4) − (6) − 5

Oleh karena s =

⇔

Titik pusat lingkaran: P(r, –5). Panjang jari-jari lingkaran = jarak titik P ke garis 3x + 4y = 0.

Kunci Jawaban dan Pembahasan

3r − 20 5

2

(3r − 20)2 25

⇔ r2 =

⇔ 25r2 = 9r2 – 120r + 400 ⇔ 16r2 + 120 r – 400 = 0 ⇔ 2r2 + 15r – 50 = 0 ⇔ (2r – 5)(r + 10) = 0 5

⇔

r = 2 atau r = –10 5 Oleh karena r > 0 maka r = 2 .

5

Persamaan lingkaran berpusat di P( 2 , 5) dan 5 berjari-jari 2 :   

x–

5  2

2

+ (y – 5)2 =

 5    2

2

25

25

⇔ x2 – 5x + 4 + y2 – 10y + 25 = 4 ⇔ x2 + y2 – 5x – 10y + 25 = 0 Jadi, persamaan lingkarannya: x2 + y2 – 5x – 10y + 25 = 0.

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: c x2 + y2 = 20 (–2, 4) ⇒ (–2)2 + 42 = 4 + 16 = 20 Titik (–2, 4) terletak pada lingkaran. Persamaan garis singgungnya: –2x + 4y = 20 ⇔ 2x – 4y + 20 = 0 ⇔ x – 2y + 10 = 0 2. Jawaban: e (x + 2)2 + (y – 3)2 = 40 (4, 1) → (4 + 2)2 + (1 – 3)2 = 40 62 + (–2)2 = 40 36 + 4 = 40 Titik (4, 1) terletak pada lingkaran. Persamaan garis singgungnya: (4 + 2)(x + 2) + (1 – 3)(y – 3) = 40 ⇔ 6(x + 2) – 2(y – 3) = 40 ⇔ 6x + 12 – 2y + 6 = 40 ⇔ 6x – 2y = 22 ⇔ 3x – y = 11 x = 0 ⇒ 0 – y = 11 ⇔ y = –11 Jadi, koordinat A(0, –11). 3. Jawaban: a Titik (5, 1) terletak pada lingkaran L karena 52 + 12 – 4 · 5 + 6 · 1 – 12 = 0. Persamaan garis singgung pada lingkaran L di titik (5, 1): 5x + y – 2(x + 5) + 3(y + 1) – 12 = 0 ⇔ 5x + y – 2x – 10 + 3y + 3 – 12 = 0 ⇔ 3x + 4y – 19 = 0 4. Jawaban: a Lingkaran berpusat di titik (3, 5) dan berjari-jari 5. Persamaan lingkaran: (x – 3)2 + (y – 5)2 = 25 Lingkaran memotong sumbu Y, berarti: x = 0 ⇒ (–3)2 + (y – 5)2 = 25 ⇔ 9 + (y – 5)2 = 25 ⇔ (y – 5)2 = 16 ⇔ y – 5 = ±4 ⇔ y=5±4 ⇔ y = 5 + 4 = 9 atau y = 5 – 4 = 1 Diperoleh koordinat A(0, 1). Persamaan garis singgung di titik A: (0 – 3)(x – 3) + (1 – 5)(y – 5) = 25 ⇔ –3(x – 3) + (–4)(y – 5) = 25 ⇔ –3x + 9 – 4y + 20 = 25 ⇔ 3x + 4y – 4 = 0

5. Jawaban: a Persamaan lingkaran: x2 + y2 = 10. Titik (4, 2) terletak di luar lingkaran. Persamaan garis kutub: 4x + 2y = 10 ⇔ y = 5 – 2x Substitusi y = 5 – 2x ke persamaan lingkaran: x2 + (5 – 2x)2 = 10 ⇔ x2 + 25 – 20x + 4x2 – 10 = 0 ⇔ 5x2 – 20x + 15 = 0 ⇔ x2 – 4x + 3 = 0 ⇔ (x – 1)(x – 3) = 0 ⇔ x = 1 atau x = 3 Untuk x1 = 1 maka y1 = 5 – 2 · 1 = 3 Untuk x2 = 3 maka y2 = 5 – 2 · 3 = –1 Diperoleh titik singgung (1, 3) dan (3, –1). Persamaan garis singgung lingkaran di titik (1, 3) adalah x + 3y = 10. Persamaan garis singgung lingkaran di titik (3, –1) adalah 3x – y = 10. Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 10 yang ditarik dari titik (4, 2) adalah x + 3y = 10 atau 3x – y = 10. 6. Jawaban: e Titik A(0, 1) terletak di luar lingkaran L karena (0 – 2)2 + (1 + 1)2 > 4. Persamaan garis kutub titik A(0, 1) terhadap lingkaran L: (0 – 2)(x – 2) + (1 + 1)(y + 1)= 4 ⇔ –2x + 4 + 2y + 2 = 4 ⇔ –2x + 2y = –2 ⇔ x–y=1 ⇔ y=x–1 Substitusi y = x – 1 ke persamaan lingkaran L: (x – 2)2 + (x – 1 + 1)2 = 4 ⇔ x2 – 4x + 4 + x2 – 4 = 0 ⇔ 2x2 – 4x = 0 ⇔ 2x(x – 2) = 0 ⇔ x = 0 atau x = 2 Untuk x1 = 0 maka y1 = 0 – 1 = –1. Untuk x2 = 2 maka y2 = 2 – 1 = 1 Diperoleh titik singgung (0, –1) dan (2, 1). 7. Jawaban: d x2 + y2 = 45 Persamaan garis singgung yang bergradien m = 2: y = 2x ±

45 22 + 1

⇔ y = 2x ± 45 ⋅ 5 ⇔ y = 2x ± 15 Jadi, persamaan garis singgungnya y = 2x + 15 atau y = 2x – 15. Matematika Kelas XI Program IPA

87

8. Jawaban: b x2 + y2 – 4x + 3y – 23 = 0 (–1, 3) ⇒ (–1)2 + 32 – 4(–1) + 3 · 3 – 23 = 1 + 9 + 4 + 9 – 23 = 0 Diperoleh (–1, 3) terletak pada lingkaran. Persamaan garis singgung di titik (–1, 3): 4

3

–1x + 3y – 2 (x – 1) + 2 (y + 3) – 23 = 0 ⇔ ⇔ ⇔

3

9

–x + 3y – 2x + 2 + 2 y + 2 – 23 = 0 –6x + 9y – 33 = 0 9y = 6x + 33

⇔

y=

Jadi, gradiennya

2 . 3

2 x 3

+

11 3

9. Jawaban: a Garis y – 2x + 5 = 0 mempunyai gradien m = 2. Titik pusat lingkaran: P(3, –5). Jari-jari lingkaran: r = 80 Misalkan gradien garis singgung lingkaran adalah m1. Oleh karena garis singgung lingkaran sejajar garis y – 2x + 5 = 0 maka m = m1 = 2. Persamaan garis singgung lingkaran: y – yP = m(x – xP) ± r 1 + m2 ⇔ y – (–5) = 2(x – 3) ± ⇔ ⇔ ⇔

y + 5 = 2x – 6 ±

80 ·

1 + 22

80 ⋅ 5

y = 2x – 11 ± 400 y = 2x – 11 ± 20

10. Jawaban: a Substitusi y = 3 ke persamaan garis L: (x + 1)2 + (3 – 3)2 = 9 ⇔ (x + 1)2 – 9 = 0 ⇔ (x + 1 – 3)(x + 1 + 3) = 0 ⇔ (x – 2)(x + 4) = 0 ⇔ x – 2 = 0 atau x + 4 = 0 ⇔ x = 2 atau x = –4 Diperoleh titik potong A(2, 3) dan B(–4, 3). Persamaan garis singgung di titik A(2, 3) pada lingkaran L: (2 + 1)(x + 1) + (3 – 3)(y – 3) = 9 ⇔ 3x + 3 = 9 ⇔ x =2 Persamaan garis singgung di titik B(–4, 3) pada lingkaran L: (–4 + 1)(x + 1) + (3 – 3)(y – 3) = 9 ⇔ –3x – 3 = 9 ⇔ x = –4

88

Kunci Jawaban dan Pembahasan

11. Jawaban: d Titik (2, –1) terletak pada lingkaran L1. Garis singgung lingkaran L1 di titik (2, –1): A: (2 – 1)(x – 1) + (–1 + 0)(y + 0) = 2 ⇔ x–1–y–2 =0 ⇔ x–y–3 =0 Garis A menyinggung lingkaran L2 maka jari-jari lingkaran L2 sama dengan jarak titik pusat R(3, 2) ke garis A. r2 =

1⋅ 3 − 1⋅ 2 − 3 2

2

1 + (−1)

=

−2 2

2 2

=

=

2

Persamaan lingkaran L2: (x – 3)2 + (y – 2)2 = r22 ⇔ x2 – 6x + 9 + y2 – 4y + 4 = ( 2 )2 ⇔ x2 + y2 – 6x – 4y + 11 = 0 12. Jawaban: e Misal titik singgung lingkaran L: (x – 2)2 + (y + 1)2 = 13 adalah T(–1, b) maka: (–1 – 2)2 + (b + 1)2 = 13 ⇔ 9 + b2 + 2b + 1 – 13 = 0 ⇔ b2 + 2b – 3 = 0 ⇔ (b + 3)(b – 1) = 0 ⇔ b + 3 = 0 atau b – 1 = 0 ⇔ b = –3 atau b=1 Diperoleh titik singgung T1(–1, –3) dan T2(–1, 1). Persamaan garis singgung di titik T1(–1, –3) pada lingkaran L: (–1 – 2)(x – 2) + (–3 + 1)(y + 1) = 13 ⇔ –3x + 6 – 2y – 2 = 13 ⇔ –3x – 2y – 9 = 0 ⇔ 3x + 2y + 9 = 0 Persamaan garis singgung di titik T2(–1, 1) pada lingkaran L: (–1 – 2)(x – 2) + (1 + 1)(y + 1) = 13 ⇔ –3x + 6 + 2y + 2 = 13 ⇔ –3x + 2y – 5 = 0 ⇔ 3x – 2y + 5 = 0 13. Jawaban: c Misalkan L: x2 + y2 + 3x – 4y = 0. 3



Titik pusat lingkaran L: P – 2 , 2 . 



Jari-jari lingkaran L: r =

 3 − 2  

=

9 4

=

25 4

2

+ 22 − 0

+4 5

= 2 Titik A(1, –2) di luar lingkaran L. Garis AB merupakan garis singgung lingkaran L yang ditarik dari titik A.

Y

⇔

4 P B2

r

3 2 1

r

B1

1

1 2 3 4 5

X

A

B. Uraian 1. x2 + y2 – 10x + 6y – 66 = 0 ⇔ x2 – 10x + 25 + y2 + 6y + 9 = 66 + 25 + 9 ⇔ (x – 5)2 + (y + 3)2 = 100 a.

(–1, 5) → (–1 – 5)2 + (5 + 3)2 = 100 Titik (–1, 5) terletak pada lingkaran. Persamaan garis singgung di titik (–1, 5) (–1 – 5)(x – 5) + (5 + 3)(y + 3) = 100 ⇔ –6x + 30 + 8y + 24 – 100 = 0 ⇔ –6x + 8y – 46 = 0 ⇔ 3x – 4y + 23 = 0

b.

Garis singgung dengan m = 3

(AP)2 − r 2 (x A − xP )2 + (y A − yP )2 − r 2 2

5 5 =   + ( − 4)2 −   2 2

2

=

16 = 4

Jadi, panjang garis AB adalah 4. 14. Jawaban: c Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = r2 dengan gradien m = 4

 4 y = – 3 x ± r 1+  −   3

⇔

4 16 y=–3x±r 1 +

⇔

y=–3x±r

⇔

4

⇔

24 ± 5

4

4 –3:

⇔

2

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

25 9

r=

⇔

5r

y=–3x± 3 ⇔ 3y = –4x ± 5r Titik M(9, –4) terletak pada garis singgung maka: 3 · (–4) = –4 · 9 ± 5r ⇔ –12 = –36 ± 5r ⇔ 24 = ± 5r = ±4,8 Jadi, nilai r = 4,8 atau r = –4,8. 15. Jawaban: d x2 + y2 – 6x + 2y + 5 = 0 Garis melalui O(0, 0): y = mx Substitusi ke persamaan lingkaran: x2 + (mx)2 – 6x + 2(mx) + 5 = 0 ⇔ (1 + m2)x2 + 2(m – 6)x + 5 = 0 Garis y = mx menyinggung lingkaran, berarti: D=0 ⇒ (2m – 6)2 – 4(1 + m2) · 5 = 0 ⇔ 4m2 – 24m + 36 – 20 – 20m2 = 0 ⇔ –16m2 – 24m + 16 = 0 ⇔ 2m2 + 3m – 2 = 0

4

y + 3 = 3 (x – 5) ±

9

4

m = 2 atau m = –2

Jadi, gradiennya 2 dan –2.

Garis singgung dari titik A menyinggung lingkaran L di titik B1 dan B2. Panjang garis AB1 = AB2 = s.

=

1

⇔

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2

s =

(2m – 1)(m + 2) = 0

2. a.

b. c.

100

4   3

4

2

+1

25

y + 3 = 3 (x – 5) ± 10 9 4

20

50

y+3 = 3x– 3 ± 3 3y + 9 = 4x – 20 ± 50 4x – 3y – 29 ± 50 = 0 4x – 3y – 29 + 50 = 0 atau 4x – 3y – 29 – 50 = 0 4x – 3y + 21 = 0 atau 4x – 3y – 79 = 0

Lingkaran berpusat di titik O(0, 0): x2 + y2 = r2 (4, 8) ⇒ 42 + 82 = r2 ⇔ r2 = 16 + 64 = 80 Persamaan lingkaran: x2 + y2 = 80 Garis singgung di titik A(4, 8) x1x + y1y = 80 ⇒ 4x + 8y = 80 ⇔ x + 2y = 20 x + 2y = 20 ⇔ 2y = –x + 20 1

⇔ y = – 2 x + 10 1

Diperoleh gradien garis singgung: m = – 2

Persamaan garis singgung yang bergradien 1

m = – 2 adalah: 1

y=–2x± 1

2

1 80   + 1

⇔ y= –2x±

 2

80

5 4

1

⇔ y = – 2 x ± 10

Matematika Kelas XI Program IPA

89

Diperoleh persamaan garis singgung y=

1 – x 2

+ 10 dan y =

1 – x 2

– 10.

Persamaan garis singgung yang sejajar garis 1 2

x + 2y = 20 adalah y = – x + 10. 3. L: x2 + y2 + 4x – 2y – 8 = 0 g: 2x + y = 5 ⇔ y = 5 – 2x a. Substitusi y = 5 – 2x ke persamaan lingkaran L. x2 + (5 – 2x)2 + 4x – 2(5 – 2x) – 8 = 0 ⇔ 5x2 – 12x + 7 = 0 ⇔ (x – 1)(5x – 7) = 0 7

⇔ x = 1 atau x = 5 x = 1 ⇒ y = 5 – 2(1) = 3 7

25

7

14

11

x = 5 ⇒ y = 5 – 2   = 5 – 5 = 5  5 Jadi, koordinat titik potongnya A(1, 3) dan 7

b.

11

B( 5 , 5 ). Garis singgung di titik A(1, –3). x1x + y1y + 2(x + x1) – (y + y1) – 8 = 0 ⇒ 1x + 3y + 2(x + 1) – (y + 3) – 8 = 0 ⇔ x + 3y + 2x + 2 – y – 3 – 8 = 0 ⇔ 3x + 2y – 9 = 0 7

11

Garis singgung di titik B( 5 , 5 ). x1x + y1y + 2(x + x1) – (y + y1) – 8 = 0 ⇒

7 x 5

7

11

14

11

+ 5 y + 2x + 5 – y – 5 – 8 = 0 ⇔ 7x + 11y + 10x + 14 – 5y – 11 – 40 = 0 ⇔ 17x + 69 – 37 = 0 c.

Eliminasi y pada kedua garis singgung: 3x + 2y – 9 = 0 × 3 9x + 6y = 27 17x + 6y – 37 = 0 × 1 17x + 6y = 37 –––––––––––– – –12x = –10 ⇔ 5

Substitusi x = 6 3x + 2y – 9 = 0 ⇒

5

x= 6

5

3( 6 ) + 2y – 9 = 0

⇔ ⇔ ⇔

5 2

+ 2y – 9 = 0 13

2y = 2 y=

13 4

Jadi, koordinat titik potong garis singgung 5

90

Kunci Jawaban dan Pembahasan

68  67 maka y1 = –8 · –  – 47 = – .

68 13

 13 

13

Untuk x2 = –6 maka y2 = –8 · (–6) – 47 = 1. 67 

68

, –  dan Diperoleh titik singgung A  – 13   13 B(–6, 1). Persamaan garis singgung lingkaran L1 di titik A: 68 13

⇔ –

x–

68 13

67 13

x–

y + 5 x –

67 13



68  13 

+ 2 y – 

340

67  13 

+ 19 = 0

134

y + 5x – 13 + 2y – 13 + 19 = 0

⇔ –68x – 67y + 65x – 340 + 26y – 134 + 247 = 0 ⇔ –3x – 41y – 227 = 0 ⇔ 3x + 41y + 227 = 0 Persamaan garis singgung lingkaran L1 di titik B: g2: –6x + y + 5(x – 6) + 2(y + 1) + 19 = 0 ⇔ –6x + y + 5x – 30 + 2y + 2 + 19 = 0 ⇔ –x + 3y – 9 = 0 ⇔ x – 3y + 9 = 0 Jari-jari lingkaran L 2 sama dengan jarak titik P(4, –1) ke garis singgung g1 atau g2. Jari-jari lingkaran L2: r2 =

4 − 3 ⋅ (−1) + 9 12 + (−3)2

=

16 10

Persamaan lingkaran L2: (x – 4)2 + (y + 1)2 = r22 256

⇔ x2 – 8x + 16 + y2 + 2y + 1 = 10

13

( 6 , 4 ).

x = – 13 atau x = –6

Untuk x1 = –

g1: –

11

68

⇔

+ 5 y + 2(x + 5 ) – (y + 5 ) – 8 = 0

7 x 5

⇔

11

4. Titik T(–21, –4) di luar lingkaran L 1 karena (–21)2 + (–4)2 + 10 · (–21) + 4(–4) + 19 = 250 > 0. Persamaan garis kutub di titik T(–21, –4) terhadap lingkaran L1: –21x – 4y + 5(x – 21) + 2(y – 4) + 19 = 0 ⇔ –21x – 4y + 5x – 105 + 2y – 8 + 19 = 0 ⇔ –16x – 2y – 94 = 0 ⇔ 8x + y + 47 = 0 ⇔ y = –8x – 47 Menentukan titik singgung pada L1. Substitusi y = –8x – 47 ke persamaan L1: x2 + (–8x – 47)2 + 10x + 4(–8x – 47) + 19 = 0 ⇔ x2 + 64x2 + 752x + 2.209 + 10x – 32x – 188 + 19 = 0 ⇔ 65x2 + 730x + 2.040 = 0 ⇔ 13x2 + 146x + 408 = 0 ⇔ (13x + 68)(x + 6) = 0

⇔

43

x2 + y2 – 8x + 2y – 5 = 0

5. Titik pusat lingkaran L1: P1(–2, 2). Jari-jari lingkaran: r1 = 5. Titik pusat lingkaran L2: P2(10, –7). Jari-jari lingkaran: r2 = 10.

4

y + 1 = 3 (x – 2) ⇔ 3y + 3 = 4x – 8 ⇔ 4x – 3y – 11 = 0 Jadi, persamaan garis singgung di titik singgung lingkaran L1 dan L2 adalah 4x – 3y – 11 = 0.

A

Y P1 2 –2

X

10

Q

–7

P2

A. Pilihan Ganda Lingkaran L1 dan L2 bersinggungan di titik Q. Garis A adalah garis singgung persekutuan lingkaran L1 dan L2. Gradien garis P1P2. yP1 − yP2

2 − (−7)

9

3

2. Jawaban: d Persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0): x2 + y2 = r2 (–4, 7) ⇒ (–4)2 + 72 = r2 ⇔ r2 = 16 + 49 = 65 Jadi, persamaan lingkaran: x2 + y2 = 65.

m1 = x − x = −2 − 10 = – 12 = – 4 P1 P2 Misalkan gradien garis A adalah m. Garis A tegak lurus garis P1P2 maka 3

4

m1m = –1 ⇒ – 4 m = –1 ⇔ m = 3 Menentukan koordinat titik Q. L1: x2 + y2 + 4x – 4y – 17 = 0 2 L2: x + y2 – 20x + 14y + 49 = 0 ––––––––––––––––––––––––– – 24x – 18y – 66 = 0 ⇔ 4x – 3y – 11 = 0 ⇔

y =

Substitusi y =

4x − 11 3

3. Jawaban: b Pusat A(–2, 1) dan r = 4. Persamaan lingkaran: (x + 2)2 + (y – 1)2 = 42 ⇔ x2 + 4x + 4 + y2 – 2y + 1 = 16 ⇔ x2 + y2 + 4x – 2y – 11 = 0

4x − 11 3

ke persamaan L1:

4x − 11  2 4x − 11  x2 +  3  + 4x – 4  3  – 17 = 0 

⇔

x2

⇔

9x2

+

   16 44 16x 2 − 88x + 121 + 4x – 3 x + 3 9

– 17 = 0

16x2

+ – 88x + 121 + 36x – 48x + 132 – 153 = 0 ⇔ 25x2 – 100x + 100 = 0 ⇔ x2 – 4x + 4 = 0 ⇔ (x – 2)2 = 0 ⇔ x=2 Substitusi x = 2 ke y = y=

4 ⋅ 2 − 11 3

4x − 11 : 3

= –1

Diperoleh koordinat titik Q(2, –1). Persamaan garis yang bergradien m dan melalui titik (x1, y1): y – y1 = m(x – x1) Garis A bergradien

4 3

1. Jawaban: c Lingkaran dengan pusat (a, b) dan berjari-jari r adalah (x – a)2 + (y – b)2 = r2. Koordinat titik pusat lingkaran (x + 5)2 + (y – 3)2 = 18 adalah (–5, 3).

dan melalui titik Q(2, –1)

4. Jawaban: e Dari gambar diperoleh titik pusat lingkaran (2, 1) dan jari-jarinya r = 3. Persamaan lingkaran: (x – 2)2 + (y – 1)2 = 32 ⇔ (x – 2)2 + (y – 1)2 = 9 5. Jawaban: e x2 + y2 + 8x – 12y + 3 = 0 Jari-jari lingkaran: r = =

 1   − (8)   2 

2

+

 1   − (−12)   2 

16 + 36 − 3 =

2

−3

49 = 7

6. Jawaban: c 1 

Titik pusat lingkaran: P 2, – 2 p . 



Lingkaran menyingung sumbu Y maka r = |absis titik pusat|| ⇒

2

22 +  − 1 p  − 25 = 2  2 

maka persamaan garis A:

Matematika Kelas XI Program IPA

91

2

4 + p − 25 = 2

⇔

4

p2 4

⇔

– 21 = 22

⇔

p2 4

= 25

⇔

p2

= 100

⇔

p = ± 100 = ±10

Jadi, titik pusat lingkaran P1(2, –5) atau P2(2, 5). 7. Jawaban: e Pusat lingkaran:

  1 – 2 p, –2 .  

Lingkaran menyinggung sumbu X maka r = | ordinat titik pusat | = | –2 | = 2 2

 1  2  − 2 p  + (−2)  

r= ⇒

1 2 p 4

2 =

−9

+4−9

1

⇔

22 = 4 p2 – 5

1

r=

8. Jawaban: d Jari-jari lingkaran sama dengan jarak titik pusat R(3, 0) ke garis 2x – y + 9 = 0. r =

22 + (−1)2

=

10 5

=2 5 1



Titik pusat lingkaran: Q – 2 p, –2 . 



⇔

2

r=

 1  2  − 2 p  + (−2)  

4=

1 2 p 4

42 =

1 2 p + 4

+3

+4+3 7

1

⇔ 4 p2 = 16 – 7 ⇔ p2 = 9 · 4 ⇔ p=±6 Jadi, titik pusat lingkaran (–3, –2) atau (3, –2). 10. Jawaban: a x2 + y2 – 7x + 3y + a = 0 (2, –7) ⇒ 22 + (–7)2 – 7(2) + 3(–7) + a = 0 ⇔ 4 + 49 – 14 – 21 + a = 0 ⇔ a = –18

92

4(−2) − 3(3) + 7 42 + (−3)2

Kunci Jawaban dan Pembahasan

=

−8 − 9 + 7 25

=

−10 5

= |–2| = 2

Jadi, diameter lingkaran: d = 2r = 2 × 2 = 4. 14. Jawaban: b 2x + 3y = 9 ⇔ 3y = 9 – 2x 2

⇔

9. Jawaban: d

⇒

12. Jawaban: d 2x – y + 5 = 0 ⇔ y = 2x + 5 x2 + (2x + 5)2 = p x2 + y2 = p ⇒ 2 2 ⇔ x + 4x + 20x + 25 – p = 0 ⇔ 5x2 + 20x + 25 – p = 0 Garis menyinggung lingkaran, berarti: D = 0 ⇒ 202 – 4 · 5(25 – p) = 0 ⇔ 400 – 500 + 20p = 0 ⇔ 20p = 100 ⇔ p=5 13. Jawaban: c Jari-jari lingkaran merupakan jarak titik pusat (–2, 3) dengan garis singgungnya 4x – 3y + 7 = 0.

⇔ 4 p2 = 9 ⇔ p2 = 4 · 9 ⇔ p =±6 Jadi, nilai p = –6 atau p = 6.

2 ⋅ 0 − (−1) + 9

11. Jawaban: c x2 + y2 – 8x + 5y – 17 = 0 (0, 0) ⇒ 0 + 0 – 0 + 0 – 17 = –17 < 0 (4, 1) ⇒ 16 + 1 – 32 + 5 – 17 = –27 < 0 (–4, 2) ⇒ 16 + 4 + 32 + 10 – 17 = 45 > 0 (4, –2) ⇒ 16 + 4 – 32 – 10 – 17 = –39 < 0 (–2, –2) ⇒ 4 + 4 + 16 – 10 – 17 = –3 < 0 Diperoleh titik (0, 0), (4, 1), (4, –2), dan (–2, –2) berada di dalam lingkaran serta titik (–4, 2) di luar lingkaran.

y=3– 3x Substitusi ke persamaan lingkaran: 2 2 2 x2 +  3 – 3 x  + 3x – 3  3 – 3 x  – 16 = 0 



⇔

x2

⇔

13 2 x 9

+ 9 – 4x +



4 2 x 9



+ 3x – 9 + 2x – 16 = 0

+ x – 16 = 0

⇔ 13x2 + 9x – 144 = 0 ⇔ (13x + 48)(x – 3) = 0 ⇔ x=–

48 13

atau x = 3 2

x = 3 ⇒ y = 3 – 3 (3) = 3 – 2 = 1 Koordinat salah satu titik potongnya (3, 1). 15. Jawaban: b Lingkaran menyinggung sumbu X dan sumbu Y maka panjang jari-jari: r = |absis titik pusat| atau = |ordinat titik pusat|

Misalkan koordinat titik pusat lingkaran adalah P(x1, y1) maka x1 = y1 dan jari-jari lingkaran: r = |y1|. Persamaan lingkaran: (x – x1)2 + (y – y1)2 = r2 ⇔ (x – x1)2 + (y – y1)2 = y12 Lingkaran melalui titik T(–1, –2) maka: (–1 – y1)2 + (–2 – y1)2 = y12 ⇔ 1 + 2y1 + y12 + 4 + 4y1 + y12 = y12 ⇔ y12 + 6y1 + 5 = 0 ⇔ (y1 + 5)(y1 + 1) = 0 ⇔ y1 + 5 = 0 atau y1 + 1 = 0 y1 = –1 ⇔ y1 = –5 atau Diperoleh koordinat titik pusat P1(–5, –5) dan P2(–1, –1). Persamaan lingkaran yang berpusat di P1(–5, – 5): (x + 5)2 + (y + 5)2 = 52 ⇔ x2 + 10x + 25 + y2 + 10y + 25 = 25 ⇔ x2 + y2 + 10x + 10y + 25 = 0 Persamaan lingkaran yang berpusat di P2(–1, – 1): (x + 1)2 + (y + 1)2 = 12 ⇔ x2 + 2x + 1 + y2 + 2y + 1 = 1 ⇔ x2 + y2 + 2x + 2y + 1 = 0 16. Jawaban: e Lingkaran yang menyinggung sumbu X dan sumbu Y berpusat di titik (a, a) atau (a, –a) dan berjarijari a. 1) Misalkan titik pusat (a, a) terletak pada garis 4x – 2y = 8, maka: 4a – 2a = 8 ⇔ 2a = 8 ⇔ a=4 Persamaan lingkaran dengan pusat (4, 4) dan berjari-jari 4 adalah (x – 4)2 + (y – 4)2 = 42. 2) Misalkan titik pusatnya (a, –a) terletak pada garis 4x – 2y = 8, maka: 4a – 2(–a) = 8 ⇔ 4a + 2a = 8 ⇔ 6a = 8 4

⇔

a= 3 4

4

Persamaan lingkaran dengan pusat ( 3 , – 3 ) 4

dan berjari-jari 3 adalah: 4

4

4

2

(x – 3 )2 + (y + 3 )2 =   . 3 Jadi, persamaan lingkaran yang dimaksud 4

adalah (x – 4)2 + (y – 4)2 = 42 dan (x – 3 )2 + 4

(y + 3 )2 =

4   3

2

17. Jawaban: c Titik pusat L1: P1(5, –1)

52 + (−1)2 + 10 =

Jari-jari L1: r1 =

36 = 6

Titik pusat L2: P2(–4, 11)

(−4)2 + 112 + 7 =

Jari-jari L2: r2 =

144 = 12

Jarak kedua titik pusat: d = |P1P2| =

(xP1 − xP2 )2 + (yP1 − yP2 )2

=

(5 − (−4))2 + (−1 − 11)2

= 225 = 15 r1 + r2 = 6 + 12 = 18 |r1 – r2| = |6 – 12| = 6 Oleh karena r1 – r2 < d < r1 + r2 maka kedua lingkaran saling berpotongan. 18. Jawaban: d Misalkan lingkaran L1 di kuadran I maka titik pusatnya: P(2, 2). Y

2 O

r1

r1 P r1

A L1

X

2 L2

Lingkaran L2 bersinggungan di dalam dengan L1 di titik A. Jari-jari L2: r2 = OP + PA =

(2 − 0)2 + (2 − 0)2 + r1

= 8 +2=2 2 +2 Persamaan L2: x2 + y2 = r22 ⇔ x2 + y2 = (2 2 + 2)2 ⇔ x2 + y2 = 8 + 8 2 + 4 ⇔ x2 + y2 = 12 + 8 2 19. Jawaban: c (x – 2)2 + (y + 4)2 = 50 (1, 3) ⇒ (1 – 2)2 + (3 + 4)2 = 1 + 49 = 50 Diperoleh titik (1, 3) terletak pada lingkaran. Persamaan garis singgung di titik (1, 3):

. Matematika Kelas XI Program IPA

93

(x1 – 2)(x – 2) + (y1 + 4)(y + 4) = 50 ⇒ (1 – 2)(x – 2) + (3 + 4)(y + 4) = 50 ⇔ –1(x – 2) + 7(y + 4) = 50 ⇔ –x + 2 + 7y + 28 – 50 = 0 ⇔ –x + 7y – 20 = 0 ⇔ x – 7y + 20 = 0

Pusat: (0, 0) dan jari-jari r = 3x + y – 12 = 0 ⇔ y = –3x + 12 Diperoleh gradien m = –3. Persamaan garis singgung:

40

40 (−3)2 + 1

⇔ y = –3x ±

40 10

⇔ y = –3x ± 400 ⇔ y = –3x ± 20 Salah satu persamaan garis singgungnya: y = –3x – 20 ⇔ 3x + y + 20 = 0 21. Jawaban: c Misal titik singgung lingkaran L: x2 + y2 – 4x + 8y + 15 = 0 adalah T(a, –2) maka a2 + (–2)2 – 4a + 8 · (–2) + 15= 0 ⇔ a2 + 4 – 4a – 16 + 15 = 0 ⇔ a2 – 4a + 3 = 0 ⇔ (a – 3)(a – 1) = 0 ⇔ a = 3 atau a = 1 Diperoleh titik singgung T1(1, –2) dan T2(3, –2). Persamaan garis singgung di T1 pada lingkaran L: x – 2y –

4 (x 2

+ 1) +

8 (y 2

– 2) + 15 = 0

⇔ x – 2y – 2x – 2 + 4y – 8 + 15 = 0 ⇔ –x + 2y + 5 = 0 ⇔ x – 2y – 5 = 0 Persamaan garis singgung di T2 pada lingkaran L: 4

8

3x – 2y – 2 (x + 3) + 2 (y – 2) + 15 = 0 ⇔ 3x – 2y – 2x – 6 + 4y – 8 + 15 = 0 ⇔ x + 2y + 1 = 0 22. Jawaban: e Selidiki kedudukan titik (0, 0) terhadap lingkaran L: x2 + y2 – 6x – 8y + 20 = 0. Substitusi titik (0, 0) ke persamaan lingkaran L: 02 + 02 – 6 · 0 – 8 · 0 + 20 = 0 + 0 – 0 – 0 + 20 = 20 > 0 Oleh karena hasil substitusi titik (0, 0) ke persamaan lingkaran L lebih dari nol maka titik (0, 0) terletak di luar lingkaran L. 94

6

Kunci Jawaban dan Pembahasan

8

0 · x + 0 · y – 2 (x + 0) – 2 (y + 0) + 20 = 0 ⇔ –3x – 4y + 20 = 0 ⇔

20. Jawaban: a Lingkaran: x2 + y2 = 40

y = –3x ±

Terlebih dahulu menentukan persamaan garis kutub titik (0, 0) terhadap lingkaran L:

y=

20 − 3x 4

Substitusi y =

20 − 3x 4

ke persamaan lingkaran L:

20 − 3x  2  20 − 3x  x2 +   – 6x – 8   + 20 = 0 4



⇔

x2

+

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

4   2 400 − 120x + 9x – 6x 16

16x2



– 40 + 6x + 20 = 0

+ 400 – 120x + 9x2 – 320 = 0 25x2 – 120x + 80 = 0 5x2 – 24x + 16 = 0 (5x – 4)(x – 4) = 0 5x – 4 = 0 atau x – 4 = 0 4

⇔

x= 5 4

Untuk x1 = 5 maka y1 = Untuk x2 = 4 maka y2 =

20 − 3 ⋅ 4

20 − 3 ⋅ 4 4

atau 4 5

x=4 3

22

=5– 5 = 5

=2

4 22  Diperoleh titik singgung  5 , 5  dan (4, 2).   Persamaan garis singgung pada lingkaran L:

(i)

22 

4

Di titik  5 , 5  :   4 x 5

⇔

6 

22

4

8 

22 

+ 5 y – 2 x + 5  – 2 y + 5  + 20 = 0     4 x 5

22

12

88

+ 5 y – 3x – 5 – 4y – 5 + 20 = 0 ⇔ 4x + 22y – 15x – 20y = 0 ⇔ –11x + 2y = 0 ⇔ 11x – 2y = 0 (ii) Di titik (4, 2): 6

8

4x + 2y – 2 (x + 4) – 2 (y + 2) + 20 = 0 ⇔ 4x + 2y – 3x – 12 – 4y – 8 + 20 = 0 ⇔ x – 2y = 0 Jadi, persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 6x – 8y + 20 = 0 di titik (0, 0) adalah 11x – 2y = 0 atau x – 2y = 0. 23. Jawaban: c Misalkan koordinat titik P(x1, y1). Titik P di luar lingkaran L. Garis singgung di titik A melalui AP dan garis singgung di titik B melalui BP. Garis g: 7x – y = 25 merupakan garis kutub dari titik P pada lingkaran L.

Persamaan garis kutub dari titik P pada lingkaran L: x1x + y1y = 25. Sehingga diperoleh x1 = 7 dan y1 = –1. Jadi, koordinat titik P(7, –1). 24. Jawaban: b Lingkaran L berpusat di titik (2, –2), yaitu: (x – 2)2 + (y + 2)2 = r2 Lingkaran L melalui titik (3, –1) berarti: (3 – 2)2 + (–1 + 2)2 = r2 ⇔ r2 = 12 + 12 = 2 Persamaan lingkaran L: (x – 2)2 + (y + 2)2 = 2. Persamaan garis singgung di titik (3, –1): (x1 – 2)(x – 2) + (y1 + 2)(y + 2) = 2 ⇔ (3 – 2)(x – 2) + (–1 + 2)(y + 2) = 2 ⇔ x–2+y+2–2=0 ⇔ x+y–2=0 25. Jawaban: d

Q (– 2, 5)

Y 7

4 P(5, b) r B2

O

A2

X

Garis singgung A1 tegak lurus PB1 dan garis singgung A2 tegak lurus PB2. Jarak PQ =

PB12 + QB12

(x Q − xP )2 + (yQ − yP )2 =

⇔

(−2 − 5)2 + (5 − b)2 =

42 + 72 65

⇔ + (5 – = 65 ⇔ 49 + 25 – 10b + b2 = 65 ⇔ b2 – 10b + 9 = 0 ⇔ (b – 1)(b – 9) = 0 ⇔ b = 1 atau b = 9 Jadi, nilai b = 1 atau b = 9. (–7)2

27. Jawaban: d Dari persamaan lingkaran x2 + y2 + 2x – 6y + 6 = 0 diperoleh: Titik pusat lingkaran: P(–1, 3). Jari-jari lingkaran: r = 2. Garis yang sejajar sumbu Y mempunyai persamaan x = a atau x – a = 0. Jari-jari lingkaran sama dengan jarak titik P(–1, 3) ke garis x – a = 0. r =

A1

B1

0 + 1 · y – 3(x + 0) + 2(y + 1) – 5 = 0 ⇔ y – 3x + 2y+ 2 – 5 = 0 ⇔ –3x + 3y – 3 = 0 ⇔ x–y+1=0 Persamaan garis singgung di titik B: 0 – 5 · y – 3(x + 0) + 2(y – 5) – 5 = 0 ⇔ –5y – 3x + 2y – 10 – 5 = 0 ⇔ –3x – 3y – 15 = 0 ⇔ x+y+5=0

b)2

26. Jawaban: d Titik pusat lingkaran: (3, –2). Jari-jari lingkaran: r = 3 2 .

−1 − a

= | –1 – a |

12

⇔ r2 ⇔ 22 2 ⇔ a + 2a – 3 ⇔ (a + 3)(a – 1) ⇔ a+3 ⇔ a Jadi, persamaan x = 1.

= | –1 – a |2 = 1 + 2a + a2 =0 =0 = 0 atau a – 1 = 0 = –3 atau a=1 garis singgungnya x = –3 atau

28. Jawaban: d g: x + y + c = 0 ⇔ y = –x – c Garis g mempunyai gradien m = –1. Lingkaran L: x2 + y2 = 9 mempunyai jari-jari r = 3. Persamaan garis singgung pada lingkaran L dengan gradien m: A: y = mx ± r 1 + m2 Garis g menyinggung lingkaran L maka garis g dan A identik sehingga diperoleh: m = –1 dan c = ± r 1 + m2 c = ± 3 1 + (−1)2 = ± 3 2 Jadi, nilai c = 3 2 atau c = –3 2 . 29. Jawaban: b Misalkan garis singgung lingkaran L di titik A 1

Lingkaran memotong sumbu Y maka x = 0. 02 + y2 – 6 · 0 + 4y – 5 = 0 ⇔ y2 + 4y – 5 = 0 ⇔ (y + 5)(y – 1) = 0 ⇔ y + 5 = 0 atau y – 1 = 0 ⇔ y = –5 atau y=1 Diperoleh titik A(0, 1) dan B(0, –5).

adalah g dan gradiennya mg = – 2 . OA merupakan jari-jari lingkaran L. Persamaan garis yang melalui OA:

Persamaan garis singgung di titik A:

y−0 yA − 0

=

x−0 xA − 0

⇔

y 2

=

x a

⇔

y=

2 a

x Matematika Kelas XI Program IPA

95

Persamaan lingkaran dengan pusat (1, 4) dan r = 3 adalah: (x – 1)2 + (y – 4)2 = 32 ⇔ x2 – 2x + 1 + y2 – 8y + 16 = 9 ⇔ x2 + y2 – 2x – 8y + 8 = 0

2

Gradien garis yang melalui OA: m = a Garis g tegak lurus garis yang melalui OA maka mg · m = –1 ⇒ –

2

1 2

· a = –1 ⇔ a=1 Jadi, nilai a = 1.

2. L: x2 + y2 + 6x – 14y + 9 = 0 a.

30. Jawaban: a Gradien garis g: m =

yK − yM xK − xM

=

5 −1 1− 4

=

Jari-jari: r =

4 – . 3

Misal gradien garis singgung lingkaran adalah m1. Garis singgung lingkaran sejajar garis g maka

= b.

4

m1 = m = – 3 . Jari-jari lingkaran sama dengan jarak titik pusat Q(–1, –2) ke titik A(–4, 1). r =

(xQ − x A )2 + (yQ − y A )2

=

(−1 − (−4))2 + (−2 − 1)2

=

32 + (−3)2

⇔ y+2

4  4 = – 3 (x + 1) ± 3 2 1 +  − 

Persamaan lingkaran L dengan pusat (–3, 7) dan r = 5. (x + 3)2 + (y – 7)2 = 52 ⇔ x2 + 6x + 9 + y2 – 14y + 49 – 25 = 0 ⇔ x2 + y2 + 6x – 14y + 33 = 0

3. Titik pusat L1: P1(0, –4).

13 . Oleh karena jari-jari r1 = r2 maka titik P3 merupakan titik tengah garis P1P2. 2

Koordinat titik pusat: P3 

4 – 3 (x

+ 1) ± 3 2 ·

xP1 + xP2 2



,

0+4

= P3  2 ,  = P3(2, –1)

 3

=

49 = 7

Jari-jari L2: r2 =

5 3

⇔ 3y + 6 = –4x – 4 ± 15 2

Jari-jari L3: r3 = 2r1 = 2r2 = 2 13 .

⇔ 4x + 3y + 10 ± 15 2 = 0

Persamaan lingkaran L3: (x – xP )2 + (y – yP )2 = r32

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran 4x + 3y + 10 + 15 2 = 0 atau 4x + 3y + 10 – 15 2 = 0. B. Uraian 1. a.

b.

Lingkaran dengan pusat O(0, 0): x2 + y2 = r2 (–2, 5) ⇒ (–2)2 + 52 = r2 ⇔ r2 = 4 + 25 = 29 Dari gambar diperoleh r = 3.

Y

3

4

O

96

9 + 49 − 9 =

13 . Titik pusat L2: P2(4, 2).

2 y – yQ = m1(x – xQ) ± r 1 + m1

y+2

(−3)2 + 72 − 9

Jari-jari L1: r1 =

=3 2 Persamaan garis singgung lingkaran:

⇒

1 1 Pusat:  – 2 (6), – (–14)  = (–3, 7) 2  

1

4

X

Kunci Jawaban dan Pembahasan

3

yP1 + yP2   2 

−4 + 2  2 

3

⇒ (x – 2)2 + (y + 1)2 = (2 13 )2 ⇔ x2 – 4x + 4 + y2 + 2y + 1 = 52 ⇔ x2 + y2 – 4x + 2y – 47 = 0 Jadi, persamaan lingkaran L3: x2 + y2 – 4x + 2y – 47 = 0 4. Titik pusat: P(2, –2). Persamaan garis g yang melalui titik A(5, –6) dan B(6, 1): y − yA yB − y A

x − xA xB − x A

y+6

x−5

⇒ 1+ 6 = 6 − 5 ⇔ y + 6 = 7x – 35 ⇔ 7x – y – 41 = 0 Jari-jari lingkaran sama dengan jarak titik P ke garis g. Jari-jari lingkaran: r=

=

7 ⋅ 2 − (−2) − 41 72 + (−1)2

=

−25 50

=

5 2

Persamaan lingkaran: (x – xP)2 + (y – yP)2 = r2 ⇒

r = 5 2 ) 2 25 2

(x – 2)2 + (y + 2)2 = (

⇔ x2 – 4x + 4 + y2 + 4y + 4 = 9

⇔ x2 + y2 – 4x + 4y – 2 = 0 Jadi, persamaan lingkaran:

6. x2 + y2 = 25 a. (–3, 4) ⇒ (–3)2 + 42 = 9 + 16 = 25 Titik (–3, 4) terletak pada lingkaran. Persamaan garis singgung di titik (–3, 4) x1x + y1y = 25 ⇒ –3x + 4y = 25 b. Persamaan garis singgung dengan m = 2 25 22 + 1

⇔ y = 2x ± 5 5 Diperoleh persamaan garis singgung y = 2x + 5 5 dan y = 2x – 5 5 . Y

A1

A2

2

–2

0

P 2

=

42 + (−2)2

=

20 = 2 5

X

–2 R

Jari-jari lingkaran sama dengan jarak titik P(2, 0) ke titik Q(–2, 2).

yP − y Q xP − x Q

0 − (−2) 2−0

=

=1

Garis A1 dan A2 adalah garis singgung lingkaran yang tegak lurus garis g. Misal gradien garis A1 dan A2 adalah m1 maka m1m = –1. m1 · 1 = –1 ⇔ m1 = –1 Persamaan garis A1 dan A2: 2 y – yP = m1(x – xP) ± r 1 + m1

⇒

y – 0 = –1(x – 2) ± 2 5 ·

1 + (−1)2

⇔ y = –x + 2 ± 2 10 Diperoleh persamaan: A1: y = –x + 2 + 2 10 ⇔ x + y – 2 – 2 10 = 0 A2: y = –x + 2 – 2 10 ⇔ x + y – 2 + 2 10 = 0 Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang tegak lurus garis g adalah x + y – 2 – 2 10 = 0 atau x + y – 2 + 2 10 = 0. 8. Ordinat titik pusat = 2. Misalkan koordinat titik pusat lingkaran P(a, 2). Garis g: x – 3y + 5 = 0 melalui titik pusat lingkaran berarti titik P(a, 2) terletak pada garis g. Sehingga: a–3·2+5=0⇔a=1 Diperoleh titik pusat: P(1, 2). Jari-jari lingkaran sama dengan jarak titik P(1, 2) ke titik A(0, –1): r =

g Q

(2 − (−2))2 + (0 − 2)2

m=

5. L: x2 + y2 – 2x + py – 12 = 0 a. Titik A(2, –3) terletak pada lingkaran L, berarti: 22 + (–3)2 – 2(2) + p(–3) – 12= 0 ⇔ 4 + 9 – 4 – 3p – 12 = 0 ⇔ 3p = –3 ⇔ p = –1 2 2 b. L: x + y – 2x – y – 12 = 0 B(–4, 0) ⇒ (–4)2 + 02 – 2(–4) – 0 – 12 = 16 + 0 + 8 – 12 = 12 > 0 Sehingga kedudukan titik B di luar lingkaran. C(2, 3) ⇒ 22 + 32 – 2(2) – 3 – 12 = 4 + 9 – 4 – 3 – 12 = –6 < 0 Sehingga kedudukan titik C di dalam lingkaran.

7.

=

Gradien garis g :

9

x2 + y2 – 4x + 4y – 2 = 0

y = 2x ±

(xP − x Q )2 + (yP − yQ )2

(xP − x A )2 + (yP − y A )2

=

(1 − 0)2 + (2 − (−1))2

=

12 + 32 =

1+ 9 =

10

⇔ r2 = 10 Persamaan lingkaran: (x – xP)2 + (y – yP)2 = r2 ⇔ (x – 1)2 + (y – 2)2 = 10 Persamaan garis singgung di titik A(0, –1): (0 – 1)(x – 1) + (–1 – 2)(y – 2) = 10 ⇔ –x + 1 – 3y + 6 = 10 ⇔ –x – 3y – 3 = 0 ⇔ x + 3y + 3 = 0 Matematika Kelas XI Program IPA

97

Jadi, persamaan garis singgung di titik A x + 3y + 3 = 0. 9. a.

Jarak garis g dari titik pusat P(2, –4) adalah 2 5 maka:

Bentuk umum persamaan lingkaran: x2 + y2 + Ax + By + C = 0 1

2⋅2− 4 − c

2 5 =

22 + 12

1 

Titik pusat lingkaran: P(1, –1) = P – 2 A, – 2 B   Diperoleh:

⇔

1

–1= – 2 B ⇔ B = 2

b.

Diperoleh titik singgung M(2, 0) dan N(2, – 2). Persamaan garis singgung di titik M(2, 0): 2x + 0 – (x + 2) + (y + 0) = 0 ⇔ x + y – 2 = 0 Persamaan garis singgung di titik N(2, –2): 2x – 2y – (x + 2) + (y – 2) = 0 ⇔ x – y – 4 = 0 Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik K(3, –1) adalah x + y – 2 = 0 atau x – y – 4 = 0. x2

y2

10. L: + – 4x + 8y – 4 = 0 Titik pusat: P(2, –4) a. A: x – 2y + 6 = 0 ⇔ 2y = x + 6 ⇔

1

1

Gradien garis A: m = 2 Garis g tegak lurus garis A maka gradien garis g adalah m1 = –2. Persamaan garis g: y = –2x + c dengan c > 0 karena memotong sumbu Y positif. Persamaan garis g menjadi 2x + y – c = 0. 98

b.

Kunci Jawaban dan Pembahasan

2

c2 5

c.

Mencari koordinat titik potong M dan N. Substitusi y = –2x + 10 ke persamaan L: x2 + (–2x + 10)2 – 4x + 8(–2x + 10) – 5 = 0 ⇔ x2 + 4x2 – 40x + 100 – 4x – 16x + 80 – 5 = 0 ⇔ 5x2 – 60x + 175 = 0 ⇔ x2 – 12x + 35 = 0 ⇔ (x – 7)(x – 5) = 0 ⇔ x = 7 atau x = 5 Untuk x1 = 7 maka y1 = –2 · 7 + 10 = –4 Untuk x2 = 5 maka y2 = –2 · 5 + 10 = 0 Diperoleh titik M(7, –4) dan N(5, 0). Persamaan garis singgung L di titik M(7, –4): 7x – 4y – 2(x + 7) + 4(y – 4) – 5 = 0 ⇔ 7x – 4y – 2x – 14 + 4y – 16 – 5 = 0 ⇔ 5x – 35 = 0 ⇔ x=7 Persamaan garis singgung L di titik N(5, 0): 5x – 0 – 2(x + 5) + 4(y + 0) – 5 = 0 ⇔ 5x – 2x – 10 + 4y – 5 = 0 ⇔ 3x + 4y – 15 = 0 Jadi, persamaan garis singgungnya x = 7 dan 3x + 4y – 15 = 0.

Latihan Ulangan Akhir Semester A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: c Q1 terletak pada kelas interval 45 – 49. L1 = 44,5; fQ = 5; fk = 6; dan p = 5. 1

Q 1 = L1 +

y = 2x + 3

20 =

−c 5

⇔ c2 = 100 ⇔ c = ± 10 Oleh karena c > 0 maka c = 10. Persamaan garis g: 2x + y – 10 = 0 ⇔ y = –2x + 10

1

1 = – 2 A ⇔ A = –2 Persamaan lingkaran menjadi: x2 + y2 – 2x + 2y + C = 0 Substitusi y = x ke persamaan lingkaran: x2 + x2 – 2x + 2x + C = 0 ⇔ 2x2 + C = 0 Garis y = x menyinggung lingkaran maka D = 0: b2 – 4ac = 0 → 0 – 4 · 2 · C = 0 ⇔ C = 0 Diperoleh persamaan lingkaran: x2 + y2 – 2x + 2y = 0 Titik (3, –1) di luar lingkaran karena 32 + (–1)2 – 2 · 3 + 2 · (–1) = 2 > 0 Persamaan garis kutub titik K(3, –1) terhadap lingkaran: 3x – y – (x + 3) + (y – 1) = 0 ⇔ 2x – 4 = 0 ⇔ x=2 Substitusi x = 2 ke persamaan lingkaran: 22 + y2 – 2 · 2 + 2y = 0 ⇔ 4 + y2 – 4 + 2y = 0 ⇔ y(y + 2) = 0 ⇔ y = 0 atau y = –2

⇔ (2 5 )2 =

 1 n − fk Q1 4  fQ 1 

   

Q1

·p

 1 ⋅ 25 − 6     5  

= 44,5 +  4

·5

= 44,5 + 0,25 = 44,75 Q3 terletak pada kelas interval 55 – 59. L3 = 54,5; fQ = 3; fk = 18; dan p = 5. 3

Q3

 3n − f

6. Jawaban: c Simpangan rata-rata (mean deviation) adalah jumlah mutlak setiap simpangan dibagi banyak data. n = 10 4 + 6 +... + 8 + 9 – x= = 6,6



kQ 4 Q3 = L3 +  f 3  · p Q3  

 3 ⋅ 25 − 18   3  

= 54,5 +  4

·5

= 54,5 + 1,25 = 55,75 Jangkauan semi antarkuartil: Qd =

1 (Q3 2

– Q1) =

1 (55,75 2

10

10

∑

– 44,75) = 5,5

2. Jawaban: a fi

xi

fixi

2 n 30 36 18 14 6

52 57 62 67 72 77 82

104 57n 1.860 2.412 1.296 1.078 492

Σf i x i Σ fi

SR =

7.242 + 57n 106 + n

67 =

⇔ 7.102 + 67n = 7.242 + 57n ⇔ 10n = 140 ⇔ n = 14 Jadi, banyak mobil yang berkecepatan 55 – 59 km/jam ada 14. 3. Jawaban: d x1 = 6,5 n1 = 46 → – n2 = 4 → – x2 = 7 n1 + n2

4.

46(6,5) + 4(7) 46 + 4

327 50

=

= 6,54

 d1  d + d  2   1

= 154,5 +

=

14,0 10

= 1,4

7. Jawaban: b n1 = 20 → – x1 = 6,50 – n2 = n → x2 = 9 – x = 7,0 n x +n x – x= 1 1 2 2 ⇔

 2  2 + 2  

7,0 =

n1 + n2

20(6,5) + n ⋅ 9 20 + n

⇔ 140 + 7n = 130 + 9n ⇔ 2n = 10 ⇔ n=5 Jadi, banyak siswa yang nilainya disusulkan ada 5 anak. 8. Jawaban: c Median terletak pada kelas interval 30 – 34. L2 = 29,5; fQ = 10; fk = 15; dan p = 5. Q2

Median: Me = L2 +

 1 n − fk Q2 2 fQ2  

   

·p

 1 ⋅ 40 − 15     10  

= 29,5 +  2

·p

·5

= 29,5 + 2,5 = 32

·5

9. Jawaban: c 2n + 2n + 1 + 3n − 2 + n + 1 x– =

= 154,5 + 2,5 = 157

4

5. Jawaban: b 5 + 8 + 4 + 6 + 10 + 9 – x= =7 6 Σ(x – – x)2 = (5 – 7)2 + (8 – 7)2 + (4 – 7)2 + (6 – 7)2 i

n

2

Jawaban: c Modus terletak pada kelas interval 155 – 159. Lo = 154,5; d1 = 2; d2 = 2; p = 5 Modus: Mo = Lo +

∑ | xi – x |

i=1

Jadi, simpangan rata-rata data tersebut 1,4.

⇒

n x +n x – x= 1 1 2 2 =

= |4 – 6,6| + |6 – 6,6| + |7 – 6,6| + |7 – 6,6| + |5 – 6,6| + |6 – 6,6| + |5 – 6,6| + |9 – 6,6| + |8 – 6,6| + |9 – 6,6| = 2,6 + 0,6 + 0,4 + 0,4 + 1,6 + 0,6 + 1,6 + 2,4 + 1,4 + 2,4 = 14,0 n

Σfi = 106 + n Σfixi = 7.242 + 57n – x=

| xi – x |

i=1

+ (10 – 7)2 + (9 – 7)2 = 4 + 1 + 9 + 1 + 9 + 4 = 28

Simpangan baku: s = =

Σ(x1 − x)2 n 28 6

=

14 3

=

1 3

42

⇔

8=

8n 4

⇔ 8n = 32 ⇔ n=4 Data menjadi: 8, 9, 10, 5 Σ(xi – – x )2 = (8 – 8)2 + (9 – 8)2 + (10 – 8)2 + (5 – 8)2 =0+1+4+9 = 14 Variansi: S2 =

Σ(xi − x)2 n

14

= 4 = 3,5

Matematika Kelas XI Program IPA

99

10. Jawaban: a Kuartil atas (Q3) terletak pada kelas interval 24 – 25. L3 = 23,5; fQ = 55 – 40 = 15; fk = 40; p = 2; 3 Q3 n = 60.  3 n − fk

4 Q3 = L3 + 

fQ3

 

= 23,5 +

Q3

   

=

·p

 3 ⋅ 60 − 40  4    15  

2

=

·2

1

= 23,5 + 3 = 24 6

12. Jawaban: a Bilangan genap lebih dari 4.000 terdiri atas 4 angka tanpa pengulangan. Angka I dapat diisi 4, 5, 6, 7, atau 8 Angka II dapat diisi 2, 4, 6, atau 8 II

III

4 5 6 7 8

... ... ... ... ...

... ... ... ... ...

IV 2, 2, 2, 2, 2,

6, 4, 4, 4, 4,

atau 8 6, atau 8 atau 8 6, atau 8 atau 6

 

5 P2

Banyak bilangan genap lebih dari 4.000 yang dapat dibentuk = 5P2 × 3 + 5P2 × 4 + 5P2 × 3 + 5P2 × 4 + 5P2 × 3 = 5P2 (3 + 4 + 3 + 4 + 3) = 20 × 17 = 340 13. Jawaban: b Kemungkinan kelompok yang terbentuk (3 anak perempuan, 2 anak laki-laki) atau (4 anak perempuan, 1 anak laki-laki). Banyak cara membentuk kelompok = 4C3 × 5C2 + 4C4 × 5C1 = 4 × 10 + 1 × 5 = 45 14. Jawaban: b Kemungkinan kelereng yang terambil (1 biru, 1 kuning, 1 merah) atau (1 biru, 2 kuning) atau (1 biru, 2 merah).

100

Kunci Jawaban dan Pembahasan

4 C1 × 3C1 × 5C1

n(S)

4×3×5 220

60

= 220 P(B) = peluang terambil 1 kelereng biru dan 2 kelereng kuning =

11. Jawaban: d Tiga orang selalu duduk berdampingan dipandang sebagai satu orang. Berarti terdapat 8 orang yang duduk melingkar. Banyak cara duduk 8 orang = (8 – 1)! = 7! Banyak cara duduk 3 orang yang selalu berdampingan = 3! Jadi, banyak cara duduk 10 siswa = 7! × 3! = 5.040 × 6 = 30.240.

I

Jumlah kelereng dalam kotak = 3 + 5 + 4 = 12. Banyak anggota ruang sampel: n(S) = 12C3 = 220 P(A) = peluang terambil 1 kelereng biru, 1 kelereng kuning, dan 1 kelereng merah

4 C1 × 3C2

4×3

12

= 220 = 220 P(C) = peluang terambil 1 kelereng biru dan 2 kelereng merah =

n(S)

4 C1 × 5C2

4 × 10

40

= 220 = 220 Peluang terambil 1 kelereng biru = P(A) + P(B) + P(C) 60

n(S)

12

40

112

28

= 220 + 220 + 220 = 220 = 55 15. Jawaban: a Ternak yang tidak dapat disembuhkan = (1 – 0,95) × 500 = 25 ekor 16. Jawaban: a Banyak anak yang masih harus dipilih = 5 – (1 + 2) = 2 anak Kemungkinan 2 anak yang terpilih 2 anak laki-laki atau 1 anak laki-laki dan 1 anak perempuan atau 2 anak perempuan. Banyak cara memilih 2 anak laki-laki 7!

7 ⋅ 6 ⋅ 5!

4!

4 ⋅ 3 ⋅ 2!

= 7C2 = 5! 21 = 5! 2! = 21 Banyak cara memilih 1 anak laki-laki dan 1 anak perempuan= 7C1 × 4C1 = 7 × 4 = 28 Banyak cara memilih 2 anak perempuan = 4C2 = 2! 2! = 2! 2! = 6 Jadi, banyak cara memilih = 21 + 28 + 6 = 55 cara. 17. Jawaban: e A = kejadian terambil kedua kartu bernomor kuadrat sempurna = {1, 4, 9, 16) A′ = kejadian terambil kedua kartu tidak bernomor kuadrat sempurna Banyak anggota ruang sampel: n(S) = 20C2 = 190 n(A)

C

6

4 2 P(A) = n(S) = 190 = 190

6

184

92

P(A′) = 1 – P(A) = 1 – 190 = 190 = 95 Jadi, peluang terambil kedua kartu tidak bernomor 92

kuadrat sempurna 95 .

18. Jawaban: b Kemungkinan bola yang terambil (pertama kuning, kedua kuning, ketiga kuning) atau (pertama kuning, kedua kuning, ketiga merah) atau (pertama kuning, kedua merah, ketiga kuning) atau (pertama kuning, kedua merah, ketiga merah). P(A) = kejadian terambil bola pertama kuning, kedua kuning, dan ketiga kuning 4

3

2

1

= 9 × 8 × 7 = 21 P(B) = kejadian terambil bola pertama kuning, kedua kuning, dan ketiga merah =

4 9

×

3 8

5 7

×

P(C) = kejadian terambil bola pertama kuning, kedua merah, dan ketiga kuning 4

5

3

5

= 9 × 8 × 7 = 42 P(D) = kejadian terambil bola pertama kuning, kedua merah, dan ketiga merah 4

5

4

10

A ∩ B = kejadian muncul kedua mata dadu sama dan hasil kalinya kedua angka lebih dari 20 = {(5, 5)}

5

10

6

6

4

19. Jawaban: c Banyak percobaan: n = 72 Banyak anggota ruang sampel: n(S) = 2 × 2 × 6 = 24 A = kejadian muncul satu angka dan mata dadu prima = {(A, G, 2), (A, G, 3), (A, G, 5), (G, A, 2), (G, A, 3), (G, A, 5)} 6

1

P(A) = n(S) = 24 = 4 Fh(A) = P(A) × n =

1 4

P(A) =

=

11

21. Jawaban: a Sudut P di kuadran II maka nilai cos P negatif. 4

3

sin P = 5 maka cos P = – 5 Sudut Q di kuadran III maka nilai sin Q negatif. 5

12

cos Q = – 13 maka sin Q = – 13

6 36

B = kejadian muncul hasil kedua angka mata dadu lebih dari 20 = {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

5

3

12

= 5 · (– 13 ) – (– 5 ) · (– 13 ) 20

36

56

= – 65 – 65 = – 65 22. Jawaban: c 8

15

cos A = 17 maka sin A = 17 5

12

sin B = 13 dan B sudut tumpul maka cos B = – 13 Jumlah sudut dalam segitiga = 180° ⇒ A + B + C = 180° ⇔ C = 180° – (A + B) ⇔ cos C = cos (180° – (A + B) = cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B 8

12

15

5

= 17 · (– 13 ) – 17 · 13

× 72 = 18

20. Jawaban: a Banyak anggota ruang sampel: n(S) = 36 A = kejadian muncul angka kedua mata dadu sama = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} n(A) n(S)

1

4

= 21 + 42 + 42 + 63 = 9

n(A)

1

= 36 Peluang muncul angka kedua mata dadu sama atau hasil kali kedua angka mata dadu lebih dari 20: P = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Peluang terambil bola pertama kuning: P = P(A) + P(B) + P(C) + P(D) 5

n(A ∩ B) n(S)

P(A ∩ B) =

sin (P – Q) = sin P cos Q – cos P sin Q

= 9 × 8 × 7 = 63

1

6

= 36 + 36 – 36 = 36

5 42

=

n(B)

P(B) = n(S) = 36

171

= – 221 23. Jawaban: b 1 2

tan 2x = = =

1 2

⋅ 2 tan x

1 − tan2 x 2 3

1−

()

2 3

×

2 3

2

9 5

=

2 3 5 9

=

6 5

= 1,2

Matematika Kelas XI Program IPA

101

24. Jawaban: d cos 37,5° cos 7,5°

1

3 − 2

1

= 3 3

=

1 (cos 2

(37,5° + 7,5°) + cos (37,5° – 7,5°))

a negatif dan b negatif (di kuadran III) maka

=

1 (cos 2

45° + cos 30°)

α = 6 π.

=

1 1 ( 2 2

=

1 4

7

1 2

2 +

( 2 +

Jadi, –

3)

–2 sin 2 cos

k=

1 (75° + 15°) 2 1 (75 ° + 15°) 2

sin sin

1 (75° – 15°) 2 1 (75 ° – 15°) 2

− sin 45° 1

2

= –1

26. Jawaban: b 2(cos θ + sin θ) sin 2θ + cos 2θ + 1

= = =

⇔ cos (x + 30°) = –

1

cos θ = – 2

Untuk sin θ = 0 maka θ = 0°, 180°, 360° 1

Untuk cos θ = – 2 maka θ = 120°, 240° Oleh karena 0° ≤ θ ≤ 180° maka himpunan penyelesaiannya {0°, 120°, 180°). 28. Jawaban: b

3 2

a=– ,b=– k = =

 3 −   2 9 4

+

2

3 4

+

1 2

3 sin 5x = k cos (5x – α)

1 2

3

 1 −  2

=

3+1 =2

3

2(sin θ + cos θ) 2 cos θ (sin θ + cos θ) 1 = sec θ cos θ

⇔ sin θ = 0 atau

cos 5x –

1

=–3

⇔ 2 cos (x + 30°) +

sin 2θ + sin θ = 0 ⇔ 2 sin θ cos θ + sin θ = 0 ⇔ sin θ (2 cos θ + 1) = 0 ⇔ sin θ = 0 atau 2 cos θ + 1 = 0

3 2

−1 3

2(cos θ + sin θ) 2 sin θ cos θ + 2 cos 2 θ − 1 + 1

27. Jawaban: c

–

7

3 cos ( 5x – 6 π)

Oleh karena koefisien cos x positif dan koefisien sin x negatif (di kuadran IV) maka α = 330°. 3 cos x – sin x = 2 cos (x – 330°) = 2 cos (x – 360° + 30°) = 2 cos (–360° + x + 30°) = 2 cos (–(360° – (x + 30°)) = 2 cos (x + 30°) 3 cos x – sin x + 3 = 0

= cos 45° 1 2

3 sin 5x

( 3)2 + (−1)2 =

tan α =

–2 sin 45° sin 30°

–2 2

1 2

3 cos x – sin x = k cos (x – α)

= 2 cos 45° sin 30°

=

cos 5x –

29. Jawaban: c

cos 75° – cos 15° sin 75° – sin 15°

=

3 2

=

3)

25. Jawaban: a

102

−2 3

tan α =

3  

2

3

Kunci Jawaban dan Pembahasan

(i)

3 =0 1 2

3 = cos 150°

x + 30° = 150° + k · 360° ⇔ x = 120° + k · 360° k = –1 ⇒ x = 120° – 360° = –240° (TM) k = 0 ⇒ x = 120° + 0° = 120° k = 1 ⇒ x = 120° + 360° = 480° (TM)

(ii) x + 30° = –150° + k · 360° ⇔ x = –180° + k · 360° k = 0 ⇒ x = –180° + 0° = –180° (TM) k = 1 ⇒ x = –180° + 360° = 180° k = 2 ⇒ x = –180° + 720° = 540° (TM) Oleh karena 0° ≤ x ≤ 360° maka nilai x yang memenuhi 120° dan 180°. Jadi, himpunan penyelesaiannya {120°, 180°}. 30. Jawaban: c sin α cos β + cos α sin β = sin (α + β) 8 sin 27,5° cos 32,5 + 8 sin 32,5° cos 27,5° = 8(sin 27,5° cos 32,5° + cos 27,5° sin 32,5°) = 8 sin (27,5° + 32,5°) = 8 sin 60° 1

=8× 2 3 =4 3 31. Jawaban: c Suatu garis g dikatakan menyinggung lingkaran L jika jarak titik pusat lingkaran ke garis g sama dengan panjang jari-jari lingkaran L.

Titik pusat lingkaran L: P(4, 1) Jari-jari lingkaran L:

42 + 12 − 1 = 4 Jarak titik pusat P(4, 1) ke garis pada pilihan c: r=

d=

3 ⋅ 4 + 4 ⋅ 1+ 4 2

3 +4

2

=

20 5

=4

Oleh karena d = r maka garis 3x + 4y + 4 = 0 menyinggung lingkaran L. Jadi, pilihan yang sesuai c. 32. Jawaban: d 1

y= 2x+3 ⇔ 2y = x + 6 ⇔ x – 2y + 6 = 0 Jari-jari lingkaran sama dengan jarak pusat lingkaran ke garis singgungnya yaitu r=

4 − 2·2 + 6 1+ 4

=

6 5

Jadi, persamaan lingkarannya:  6 

2

(x – 4)2 + (y – 2)2 =    5 ⇔ x2 – 8x + 16 + y2 – 4y + 4

=

36 5

⇔ 5x2 + 5y2 – 40x – 20y + 64 = 0.

33. Jawaban: a Jarak titik pusat kedua lingkaran: d = 8 d2 = (p – 1)2 + (q + 4)2 ⇔ 82 = p2 – 2p + 1 + q2 + 8q + 16 ⇔ p2 + q2 – 2p + 8q – 47 = 0 . . . (1) Panjang jari-jari lingkaran L2: r=d–5=8–5=3 r2 = (p – 6)2 + (q + 4)2 ⇔ 32 = p2 – 12p + 36 + q2 + 8q + 16 . . . (2) ⇔ p2 + q2 – 12p + 8q + 43 = 0 Eliminasi p2, q2, dan q dari persamaan (1) dan (2). p2 + q2 – 2p + 8q – 47 = 0 2 p + q2 – 12p + 8q + 43 = 0 –––––––––––––––––––––– – 10p – 90 = 0 ⇔ p=9 Substitusi p = 9 ke persamaan (2). p2 + q2 – 12p + 8q + 43 = 0 2 ⇒ 9 + q2 – 12 · 9 + 8q + 43 = 0 ⇔ q2 + 8q + 16 = 0 ⇔ (q + 4)2 = 0 ⇔ q = –4 Diperoleh pusat lingkaran L2: (9, –4). Persamaan lingkaran L2: (x – 9)2 + (y + 4)2 = 32 2 ⇔ x – 18x + 81 + y2 + 8y + 16 – 9 = 0 ⇔ x2 + y2 – 18x + 8y + 88 = 0

34. Jawaban: d Substitusi y = –2x + 10 ke persamaan lingkaran L: x2 + y2 + px – 2y – 35 = 0 ⇒ x2 + (–2x + 10)2 + px – 2(–2x + 10) – 35 = 0 ⇔ x2 + 4x2 – 40x + 100 + px + 4x – 20 – 35 = 0 ⇔ 5x2 + (p – 36)x + 45 = 0 Oleh karena garis menyinggung lingkaran maka D = 0. b2 – 4ac = 0 2 ⇒ (p – 36) – 4 · 5 · 45 = 0 ⇔ (p – 36)2 – 302 = 0 ⇔ (p – 36 – 30)(p – 36 + 30) = 0 ⇔ (p – 46)(p – 6) = 0 ⇔ p – 46 = 0 atau p – 6 = 0 ⇔ p = 46 atau p=6 Persamaan lingkaran menjadi L1: x2 + y2 + 66x – 2y – 35 = 0 atau L2: x2 + y2 + 6x – 2y – 35 = 0 Pusat lingkaran L1: (–33, 1) Pusat lingkaran L2: (–3, 1) Jari-jari lingkaran L1: r1 = =

(−33)2 + 12 + 35 1.125 = 15 5

Jari-jari lingkaran L2: r2 = =

(−3)2 + 1 + 35 45 = 3 5

Jadi, jari-jari lingkaran 15 5 atau 3 5 . 35. Jawaban: d Jari-jari lingkaran L sama dengan AP atau BP. r = AP ⇒ ⇔

r=

(xP − x A )2 + (yP − y A )2

17 =

(a − 3)2 + (−2 −2)2

⇔ 17 = (a – 3)2 + 16 ⇔ (a – 3)2 – 1 = 0 ⇔ (a – 3 – 1)(a – 3 + 1) = 0 ⇔ (a – 4)(a – 2) = 0 ⇔ (a – 4) = 0 atau (a – 2) = 0 ⇔ a = 4 atau a=2 Diperoleh pusat lingkaran L: P1(4, –2) atau P2(2, –2) Persamaan lingkaran L berpusat di P1(4, –2): (x – 4)2 + (y + 2)2 = 17 2 ⇔ x – 8x + 16 + y2 + 4y + 4 – 17 = 0 ⇔ x2 + y2 – 8x + 4y + 3 = 0

Matematika Kelas XI Program IPA

103

Persamaan lingkaran L berpusat di P2(2, –2): (x – 2)2 + (y + 2)2 = 17 ⇔ x2 – 4x + 4 + y2 + 4y + 4 – 17 = 0 ⇔ x2 + y2 – 4x + 4y – 9 = 0 Jadi, persamaan lingkaran L adalah x2 + y2 – 8x + 4y + 3 = 0 atau x2 + y2 – 4x + 4y – 9 = 0. 36. Jawaban: e Garis A: 3x – 2y – 22 = 0 mempunyai gradien 3

mA = 2 . 3

Garis g sejajar garis A maka mg = mA = 2 Persamaan garis g: y + 4 = mg(x – 2) 3

⇔

y + 4 = 2 (x – 2) ⇔ 2y + 8 = 3x – 6 ⇔ 3x – 2y – 14 = 0 Jari-jari lingkaran r sama dengan jarak titik pusat lingkaran ke garis g. r=

3 ⋅ 1 − 2 ⋅ 1 − 14 32 + ( −2)2

=

−13 13

=

13

Persamaan lingkaran L: (x – 1)2 + (y – 1)2 = ( 13 )2 ⇔ x2 – 2x + 1 + y2 – 2y + 1 – 13 = 0 ⇔ x2 + y2 – 2x – 2y – 11 = 0 37. Jawaban: e L: x2 + y2 – 6x + 4y – 7 = 0 P(1, 2) ⇒ 1 + 4 – 6 + 8 – 7 = 0 Titik P pada lingkaran L. Persamaan garis singgung lingkaran L di titik P(1, 2) adalah g: 1 · x + 2 · y – 3(x + 1) + 2(y + 2) – 7 = 0 ⇔ x + 2y – 3x – 3 + 2y + 4 – 7 = 0 ⇔ –2x + 4y – 6 = 0 ⇔ y=

1 2

(x + 3)

⇔ x2 – 6x + 9 +

1 4

(x + 7)2 = 40

⇔ 4x2 – 24x + 36 + x2 + 14x + 49 – 160 = 0 ⇔ 5x2 – 10x – 75 = 0 ⇔ x2 – 2x – 15 = 0 ⇔ (x – 5)(x + 3) = 0 ⇔ x = 5 atau x = –3 Jadi, absis titik potong garis singgung lingkaran L di titik P(1, 2) dengan lingkaran C adalah –3 atau 5. 38. Jawaban: b x + 2y = 10 ⇔ x = 10 – 2y Substitusi x = 10 – 2y ke persamaan lingkaran L. (10 – 2y)2 + y2 – 4(10 – 2y) + 2y – 15 = 0 ⇔ 100 – 40y + 4y2 + y2 – 40 + 8y + 2y – 15 = 0 ⇔ 5y2 – 30y + 45 = 0 ⇔ y2 – 6y + 9 = 0 ⇔ (y – 3)2 = 0 ⇔ y=3 Substitusi y = 3 ke persamaan x = 10 – 2y. x = 10 – 2 · 3 = 4 Diperoleh koordinat titik A(4, 3). Persamaan garis singgung lingkaran L di titik A(4, 3): 4x + 3y – 2(x + 4) + (y + 3) – 15 = 0 ⇔ 4x + 3y – 2x – 8 + y + 3 – 15 = 0 ⇔ 2x + 4y = 20 39. Jawaban: d Titik pusat lingkaran: P(1, 0) Jari-jari lingkaran L: r = = Gradien garis g: m =

12 + 02 + 35 36 = 6

1 2

Garis singgung lingkaran tegak lurus garis g maka gradiennya m1 = –2. Persamaan garis singgung lingkaran:

4  −6  Pusat lingkaran L: –   , – 2  = (3, –2). 2    

y – yP = m1(x – xP) ± r 1 + m12

Jari-jari lingkaran L: r1 =

⇒ y – 0 = –2(x – 1) ± 6 1 + (−2)2

32 + (−2)2 − (−7)

= 20 Lingkaran C konsentris (sepusat) dengan lingkaran L, maka pusat lingkaran C adalah (3, –2) dan jarijarinya: r = 2 r1 = 2 · 20 = 40 Persamaan lingkaran C: (x – 3)2 + (y + 2)2 = 40. Substitusi persamaan garis y = persamaan lingkaran C, diperoleh: 104

1

(x – 3)2 + ( 2 (x + 3) + 2)2 = 40

Kunci Jawaban dan Pembahasan

1 (x 2

+ 3) ke

⇔ y = –2x + 2 ± 6 5 ⇔ 2x + y – 2 ± 6 5 = 0 Jadi, persamaan garis singgungnya 2x + y – 2 + 6 5 = 0 atau 2x + y – 2 – 6 5 = 0

40. Jawaban: d Titik pusat lingkaran: P(–1, 3). 2

2. • 2

Jari-jari lingkaran: r = (−1) + 3 − 6 = 4 = 2 Garis yang sejajar sumbu X mempunyai gradien m = 0. Persamaan garis singgung: y – yP = m(x – xP) ± r 1 + m2 2

⇔ y – 3 = 0(x + 1) ± 2 1 + 0 ⇔ y – 3 = ±2 ⇔ y=3±2 ⇔ y = 3 + 2 atau y = 3 – 2 ⇔ y=5 atau y = 1 Jadi, persamaan garis singgung lingkaran y = 5 atau y = 1.

Sajian data dalam bentuk tabel Nilai

fk ≥

≥ 21,5

60

≥ 26,5

42

≥ 31,5

29

≥ 36,5

18

≥ 41,5

13

≥ 46,5

6

≥ 51,5

0

= 54,5 +

 1  1+ 5   

46 – 48 49 – 51 52 – 54 55 – 57 58 – 60 61 – 63

47 50 51 56 59 62

3 6 10 11 6 4

141 300 510 616 354 248

40

2.169

= 54,225

Median terletak pada kelas interval 55– 57. L2 = 54,5; ; fQ = 11; fk = 19; p = 3 2

Median: Me = L2 +

42 – 46

13 – 6 = 7

47 – 51

6–0=6

Q1

   

·p

·5

2

Q3 terletak pada kelas interval 37 – 41. L3 = 36,5; fQ = 5; fk = 42; p = 5 Q3

 3 ⋅ n − fk Q3 4  fQ3 

   

·p

 3 ⋅ 60 − 42     5  

= 36,5 +  4

Jadi, mean data 54,225. c.

18 – 13 = 5

 1 ⋅ n − fk Q1 4  fQ1 

Q3 = L 3 +

fi · xi

2.169 40

37 – 41

1

·3

fi

=

29 – 18 = 11

3

xi

Σfi ⋅ xi Σfi

42 – 29 = 13

32 – 36

= 21,5 + 4 6 = 25 3

·p

Ukuran

– x=

27 – 31

= 21,5 +  4

= 54,5 + 0,5 = 55 Jadi, modus data 55. b.

60 – 42 = 18

 1 ⋅ 60 − 0     18  

Modus terletak pada interval dengan frekuensi terbesar, yaitu pada interval 55–57. Lo = 54,5 d1 = 11 – 10 = 1 d2 = 11 – 6 = 5 Mo = Lo +

22 – 26

1

B. Uraian

 d1     d1 + d2 

f

Q1 terletak pada kelas interval 22 – 26. L1 = 21,5; fQ = 18; fk = 0; p = 5 Q1 = L 1 +

1. a.

Kelas Interval

Q2

 1 ⋅ n − fk Q2 2 fQ2  

   

 1 ⋅ 40 − 19     11  

= 54,5 +  2 3

1

= 36,5 + 3 = 39 2

Jangkauan antarkuartil 1

•

17

= 54,5 + 11 = 54 22

5

fi

xi

fixi

(xi – x )2

fi (xi – x )2

18 13 11 5 7 6

24 29 34 39 44 49

432 377 374 195 308 294

81 16 1 36 121 256

1.458 208 11 180 847 1.536

Σfi x i Σfi

Ragam: ·3

2

= Q3 – Q1 = 39 2 – 25 3 = 13 6

x =

·p

·5

1.980 = 33 60 Σf (x − x)2 S2 = i i Σfi

=

=

4.240 60

2 3 5 13 6

= 70

Jadi, jangkauan antarkuartil data

dan

2 3

ragam data 70 .

Matematika Kelas XI Program IPA

105

3. Bilangan kelipatan 5 mempunyai satuan 0 atau 5. Bilangan 4 angka yang satuannya 0.

6. Kemungkinan kartu yang terambil bertuliskan 2 huruf vokal atau 3 huruf vokal.

9 8 7 1 angka 0 Ada (10 – 3) angka yang mungkin.

V 5 10

Ada (10 – 2) angka yang mungkin. Ada (10 – 1) angka yang mungkin.

Bilangan 4 angka yang satuannya 5.

4V 5K

5V 5K 5 10

8 8 7 1 angka 5

3 8

3V 5K

4 9

V

5 9

4V K 4K

5 9

4V 4K

V

5 8 4 8 4 8 4 8 4 8

5V 4K

K

Ada (10 – 3) angka yang mungkin.

4 9

Ada (10 – 2) angka yang mungkin.

5 8

5V 3K

K

3 8

Tidak boleh dimulai angka 0 dan angka 5 sudah diisikan ke satuan.

Banyak bilangan kelipatan 5 yang dapat dibentuk =9×8×7×1+8×8×7×1 = 504 + 448 = 952 4. Kemungkinan susunan 5 anggota yang lain: a. 4 siswa laki-laki dan 1 siswa perempuan b. 3 siswa laki-laki dan 2 siswa perempuan c. 2 siswa laki-laki dan 3 siswa perempuan d. 1 siswa laki-laki dan 4 siswa perempuan Banyak cara membentuk tim = 3C1 × 4C2 (5C4 × 6C1 + 5C3 × 6C2 + 5C2 × 6C3 + 5C1 × 6C4) = 3 × 6(5 × 6 + 10 × 15 + 10 × 20 + 5 × 15) = 12(30 + 150 + 200 + 75) = 5.460 5.

Kotak B 3 7

Kotak A

3M 5K

M

3M 4K

Kotak B 4 7

2M 6K

K

5 8

V – VVV K – VVK V – VKV K – VKK V – KVV K – KVK V – KKV K – KKK

Pengambilan I Pengambilan II Pengambilan III 5 4 3 3 P(VVV) = 10 × 9 × 8 = 36 5 4 5 5 P(VVK) = 10 × 9 × 8 = 36 5 5 4 5 P(VKV) = 10 × 9 × 8 = 36 5 5 4 5 P(KVV) = 10 × 9 × 8 = 36

Peluang terambil paling sedikit 2 kartu bertuliskan huruf vokal: P = P(VVV) + P(VVK) + P(VKV) + P(KVV) 3

5

18

1

5

5

= 36 + 36 + 36 + 36 = 36 = 2

7. cos 150° + sin 45° + K – (MK)

1 2

cotan (–330°) 1

= cos (180° – 30°) + sin 45° + 2 cotan 30° 6 8

1

= –cos 30° + sin 45° + 2 cotan 30° M – (KM)

1

1

1

=–2 3 + 2 2 + 2 3 1

Peluang pengambilan I

Peluang pengambilan II

P1 = peluang terambil bola merah dari kotak A dan bola kuning dari kotak B =

3 7

×

5 8

=

15 56

6

24

= 7 × 8 = 56 Peluang terambil satu bola kuning = P1 + P2 = 106

15 56

+

8. α + β = 90° ⇔ β = 90° – α tan α =

24 56

=

39 56

Kunci Jawaban dan Pembahasan

2 sin β

⇔

sin α cos α sin α cos α

=

2 cos α

⇔

sin α =

2 cos2 α

⇔

sin α =

2 (1 – sin2 α)

⇔

P2 = peluang terambil bola kuning dari kotak A dan bola merah dari kotak B 4

= 2 2

⇔

2 sin2 α + sin α –

=

2 sin (90° – α)

2 =0

⇔ ( 2 sin α – 1)(sin α + ⇔

sin α =

1 2

Y

10.

2) = 0

atau sin α = – 2 (TM)

⇔

sin2 =

 1     2

2

1

= 2

2

9. Misalkan titik pusat lingkaran L: P(1, n). Jari-jari lingkaran: r = jarak titik P(1, n) dan A(0, –2) atau r = jarak titik P(1, n) ke garis y = x Sehingga diperoleh: 2

2

(x A − xP ) + (y A − yP )

⇔

(

2

2

(0 − 1) + (−2 − n)

⇔

)

2

=

=

12 + 4 + 4n + n2 =

–4

0

X

5

2

–3 –4 –7

1− n 12 + (−1)2

 1− n  2  1 + (−1)2 

   

2

(1 − n)2 2

⇔ 2 + 8 + 8n + 2n2 = 1 – 2n + n2 ⇔ n2 + 10n + 9 = 0 ⇔ (n + 1)(n + 9) = 0 ⇔ n + 1 = 0 atau n + 9 = 0 ⇔ n = –1 atau n = –9 Diperoleh titik pusat P1(1, –1) atau P2(1, –9). Untuk P1(1, –1) maka

Titik pusat L1: P(–4, 2). 6

Jari-jari L1: r1 = 5 5 Persamaan L1: (x – xP)2 + (y – yP)2 = r12   ⇔ (x + 4)2 + (y – 2)2 =  5  5  6

2

36

⇔ (x + 4)2 + (y – 2)2 = 5 Titik T(2, –4) di luar lingkaran L1. Persamaan garis kutub dari titik T terhadap lingkaran L1: 36

(0 − 1)2 + (−2 − (−1))2

(x + 4)(2 + 4) + (y – 2)(–4 – 2) = 5

=

1+ 1

⇔

6(x + 4) – 6(y – 2) = 5

=

2

⇔

x+4–y+2 = 5

r1 =

Untuk P2(1, –9) maka

(0 − 1)2 + (−2 − (−9))2

r2 =

1 + 49 =

=

50

Persamaan lingkaran berpusat di P1(1, –1) dan jari-jari r1 = (x –

1)2

2:

+ (y +

1)2

=( 2

)2

⇔ x2 – 2x + 1 + y2 + 2y + 1 = 2 ⇔ x2 + y2 – 2x + 2y = 0 Persamaan lingkaran berpusat di P2(1, –9) dan jari-jari r2 =

50 :

(x – 1)2 + (y + 9)2 = ( 50 )2 ⇔ – 2x + 1 + y2 + 18y + 81= 50 ⇔ x2 + y2 – 2x + 18y + 32 = 0 Jadi, persamaan lingkarannya x2 + y2 – 2x + 2y = 0 atau x2 + y2 – 2x + 18y + 32 = 0. x2

36

6 24

⇔

x–y =– 5

24

⇔

y =x+ 5

⇔

y =

Substitusi y =

5x + 24 5

5x + 24 5

ke persamaan L1: 2

36 5x + 24 − 2  = (x + 4)2 +  5 5  

⇔ 25(x2 + 8x + 16) + (5x + 14)2 = 180 2 ⇔25x + 200x + 400 + 25x2 + 140x + 196 = 180 ⇔ 50x2 + 340x + 416 = 0 ⇔ 25x2 + 170x + 208 = 0 ⇔ (5x + 8)(5x + 26) = 0 ⇔ 5x + 8 = 0 atau 5x + 26 = 0 8

⇔

26

x =− 5

x = – 5 atau 8

Untuk x1 = – 5 maka y1 =

5  − 8  + 24  5

5

16

= 5

Matematika Kelas XI Program IPA

107

Untuk x2 =

26 – 5

maka y2 =

5  − 26  + 24 

2

5 

=–5

5

8

16 5

Diperoleh titik singgung A(– 5 , B(–

26 5

,

2 –5

r2 =

).

8

16

⇔ ⇔ ⇔

6

(x + 4) + 5 (y – 2) 2(x + 4) + (y – 2) 2x + 8 + y – 2 2x + y 2

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

108

6

12

36 36

– 5 (x + 4) – 5 (y – 2) = 5 –(x + 4) – 2(y – 2) = 6 –x – 4 – 2y + 4 = 6 –x – 2y = 6 x + 2y + 6 = 0

Kunci Jawaban dan Pembahasan

3 5

36

= 5 =6 =6 =0

(x + 4)(– 5 + 4) + (y – 2)(– 5 – 2) = 5 ⇔

=

⇔ (x – 5)2 + (y + 7)2 =

Persamaan garis singgung L1 di titik B: 26

22 + 12

36

(x + 4)(– 5 + 4) + (y – 2)( 5 – 2) = 5 12 5

2⋅5−7

Persamaan L2: (x – xQ)2 + (y – yQ)2 = r22

Persamaan garis singgung L1 di titik A:

⇔

) dan

Panjang jari-jari L2 sama dengan jarak titik pusat Q(5, –7) ke garis 2x + y = 0 atau x + 2y + 6 = 0. Panjang jari-jari L2:

 3     5

2

9

⇔ (x – 5)2 + (y + 7)2 = 5 Jadi, persamaan lingkaran 9

(x – 5)2 + (y + 7)2 = 5 .

L2

adalah