Lab10 Modulacion Fm 2018

TELECOMUNICACIONES I

PRÁCTICA DE LABORATORIO N° 10 “MODULACION ANGULAR”

Ing. Alejandro Martin León Cerna

TELECOMUNICACIONES I

PRÁCTICA DE LABORATORIO N° 10 I.

II.

TITULO:

“MODULACION ANGULAR”

OBJETIVOS: 

Familiarizarse y dominar los dos tipos de modulación angular analógica existentes: “Modulación en Frecuencia (FM)” y “Modulación en Fase (PM)”



Obtener, con la herramienta de simulación “Simulink”, una señal u onda con modulación angular, variando la frecuencia o fase de una señal portadora, en función de la amplitud de una señal moduladora.



Analizar la forma de onda de una señal con modulación angular en el dominio del tiempo y frecuencia, con la herramienta de simulación “Simulink”.

III.

INTRODUCCION: Existen tres propiedades de una señal analógica que se pueden variar, o modular, mediante la señal de información o inteligente (señal moduladora). Estas propiedades son la amplitud, la frecuencia y la fase. Esta práctica de laboratorio describe la modulación en frecuencia (FM) y la modulación de fase (PM), dos formas de modulación angular o modulación de ángulo. Muchas veces, incorrectamente y con frecuencia, se llama a ambas FM, aunque hay diferencias reales entre las dos. La modulación angular tiene varias ventajas sobre la modulación en amplitud (AM), como la reducción de ruido, mejor fidelidad del sistema y uso más eficiente de la potencia. Sin embargo, también la modulación angular tiene varias desventajas en comparación con la AM, que incluye la necesidad de mayor ancho de banda y el uso de circuitos más complicados tanto en los transmisores como en los receptores. La modulación angular se introdujo por primera vez en 1931, como alternativa a la modulación de amplitud. Se sugería que una onda con modulación angular es menos susceptible al ruido que una onda de AM y, en consecuencia, podría mejorar el desempeño de las radiocomunicaciones. Hoy en día, la modulación angular se usa en forma extensa para la radioemisión comercial, televisión y transmisión de sonido, radio teléfonos, radios celulares y sistemas de comunicaciones por microondas y satélites. Los objetivos de esta práctica de laboratorio son presentar al alumno los conceptos básicos teóricos y prácticos de la modulación de frecuencia y fase, y la forma en que se relacionan entre sí, usando la herramienta de simulación “Simulink” de MatLab y comparar el funcionamiento de la modulación angular con la modulación de amplitud.

INGENIERÍA ELECTRÓNICA

UPAO 2018 - 10

1

TELECOMUNICACIONES I

IV.

MARCO TEORICO: 4.1. Modulación Angular: La modulación angular se produce siempre que se varia el ángulo de fase “θ”, de una onda senoidal, con respecto al tiempo. Una onda con modulación angular se describe matemáticamente como sigue: 𝑚(𝑡) = 𝑉𝑝 cos⁡[𝜔𝑝 𝑡 + 𝜃(𝑡)] En donde: 𝑚(𝑡) = 𝑂𝑛𝑑𝑎⁡𝑜⁡𝑠𝑒ñ𝑎𝑙⁡𝑐𝑜𝑛⁡𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛⁡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟. 𝑉𝑝 = 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒⁡𝑜⁡𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑⁡𝑝𝑖𝑐𝑜⁡𝑑𝑒⁡𝑙𝑎⁡𝑠𝑒ñ𝑎𝑙⁡𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎⁡(𝑉𝑜𝑙𝑡𝑖𝑜𝑠) 𝜔𝑝 = 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎⁡𝑜⁡𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑⁡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟⁡𝑑𝑒⁡𝑙𝑎⁡𝑠𝑒ñ𝑎𝑙⁡𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎⁡(𝑟𝑎𝑑/𝑠) 𝜃(𝑡) = 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛⁡𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎𝑛𝑒𝑎⁡𝑑𝑒⁡𝑓𝑎𝑠𝑒⁡⁡(𝑟𝑎𝑑) Con la modulación angular es necesario que 𝜃(𝑡) sea una función directa y predeterminada de la señal moduladora. Por lo tanto, si consideramos una señal moduladora 𝑣𝑚 (𝑡), la modulación angular se expresa como sigue: 𝜃(𝑡) = 𝑓[𝑣𝑚 (𝑡)] De esta última expresión podemos decir que: “La desviación instantánea de fase está en relación directa a la señal moduladora”, en donde: 𝑣𝑚 (𝑡) = 𝑉𝑚 sen⁡(𝜔𝑚 𝑡) 𝑉𝑚 = 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒⁡𝑜⁡𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑⁡𝑝𝑖𝑐𝑜⁡𝑑𝑒⁡𝑙𝑎⁡𝑠𝑒ñ𝑎𝑙⁡𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎⁡(𝑉𝑜𝑙𝑡𝑖𝑜𝑠) 𝜔𝑚 = 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎⁡𝑜⁡𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑⁡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟⁡𝑑𝑒⁡𝑙𝑎⁡𝑠𝑒ñ𝑎𝑙⁡𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎⁡(𝑟𝑎𝑑/𝑠) La diferencia entre modulación en frecuencia y modulación de fase es, en esencia, cual propiedad de la portadora se hace variar en forma directa con la señal moduladora: La frecuencia o la fase, y cual se hace variar en forma indirecta. Siempre que se varia la frecuencia de una portadora también varía la fase, y viceversa. Por consiguiente, la FM y PM deben estar presentes al mismo tiempo siempre que se hace cualquier forma de modulación angular. Si la frecuencia de la señal portadora se hace variar directamente de acuerdo con la señal moduladora se obtiene la FM. Si se varia la fase de la portadora en forma directa por la señal moduladora, resulta la PM. Por consiguiente, la FM directa es PM indirecta, y la PM directa es la FM indirecta. Se puede definir las modulaciones de frecuencia y fase como sigue: 

Modulación Directa de Frecuencia (FM): Variar la frecuencia de una portadora de amplitud constante en proporción directa a la amplitud de la señal moduladora, con una rapidez igual a la frecuencia de la señal moduladora.

INGENIERÍA ELECTRÓNICA

UPAO 2018 - 10

2

TELECOMUNICACIONES I



Modulación Directa de Fase (PM): Variar la fase de una portadora de amplitud constante en proporción directa a la amplitud de la señal moduladora, con una rapidez igual a la frecuencia de la señal moduladora.

4.2. Análisis Matemático: La diferencia entre FM y PM se comprende con más facilidad si se definen los cuatro términos siguientes: a) Desviación Instantánea de Fase: Es el cambio instantáneo de fase de la portadora, en determinado momento, e indica cuanto está cambiando la fase de la portadora con respecto a su fase de referencia. La desviación instantánea de fase se escribe matemáticamente como sigue: 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛⁡𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎𝑛𝑒𝑎⁡𝑑𝑒⁡𝑓𝑎𝑠𝑒 = ⁡𝜃(𝑡)⁡⁡⁡𝑟𝑎𝑑⁡

b) Fase Instantánea: Es la fase precisa de la portadora en un momento dado y se describe matemáticamente como sigue: 𝐹𝑎𝑠𝑒⁡𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎𝑛𝑒𝑎 = ⁡ 𝜔𝑝 𝑡 + 𝜃(𝑡)⁡⁡⁡𝑟𝑎𝑑⁡ Donde: 𝜔𝑝 𝑡 = 𝐹𝑎𝑠𝑒⁡𝑑𝑒⁡𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎⁡𝑑𝑒⁡𝑙𝑎⁡𝑠𝑒ñ𝑎𝑙⁡𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎⁡(𝑟𝑎𝑑) 𝑓𝑝 = 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎⁡𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙⁡𝑑𝑒⁡𝑙𝑎⁡𝑠𝑒ñ𝑎𝑙⁡𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎⁡(ℎ𝑒𝑟𝑡𝑧) 𝜃(𝑡) = 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛⁡𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎𝑛𝑒𝑎⁡𝑑𝑒⁡𝑓𝑎𝑠𝑒⁡⁡(𝑟𝑎𝑑)

c) Desviación Instantánea de Frecuencia: Es el cambio instantáneo en la frecuencia de la portadora, en determinado momento, y se define como la primera derivada de la desviación instantánea de fase con respecto al tiempo. Por consiguiente, la desviación instantánea de fase es la primera integral de la desviación instantánea de frecuencia. La desviación instantánea de frecuencia se escribe matemáticamente como sigue: 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛⁡𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎𝑛𝑒𝑎⁡𝑑𝑒⁡𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = ⁡𝜃´(𝑡)⁡⁡⁡𝑟𝑎𝑑/𝑠⁡

d) Frecuencia Instantánea: Es la frecuencia precisa de la portadora en un momento dado y se define como la primera derivada de la fase instantánea respecto al tiempo. Se describe matemáticamente como sigue: 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎⁡𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎𝑛𝑒𝑎 = 𝜔𝑖 (𝑡) = ⁡

INGENIERÍA ELECTRÓNICA

𝑑 [𝜔 𝑡 + 𝜃(𝑡)] = 𝜔𝑝 + 𝜃´(𝑡) 𝑑𝑡 𝑝

UPAO 2018 - 10

3

TELECOMUNICACIONES I

4.3. Sensibilidad a la desviación: Se puede definir la modulación de fase como un tipo de modulación angular en la que la desviación instantánea de fase, 𝜃(𝑡), es proporcional a la amplitud del voltaje de la señal moduladora, y la desviación instantánea de frecuencia es proporcional a la pendiente, es decir, a la primera derivada de la señal moduladora. En forma parecida, la modulación de frecuencia, es un tipo de modulación angular en la que la desviación instantánea a de frecuencia, 𝜃´(𝑡), es proporcional a la amplitud de la señal moduladora, y la desviación instantánea de fase, es proporcional, a la integral del voltaje de la señal moduladora. Lo anterior mencionado se puede demostrar de la siguiente manera. En la figura n°1, se muestra una señal con modulación angular, [𝑚(𝑡)], en el dominio de la frecuencia, siendo más preciso, una señal con modulación directa de frecuencia (FM). Se ve en ella como cambia la frecuencia de la señal portadora 𝑓𝑐 (carrier), cuando actúa sobre ella una señal moduladora [𝑣𝑚 (𝑡)]. La magnitud y la dirección del desplazamiento de frecuencia, 𝛥𝑓, es proporcional a la amplitud y polaridad de la señal moduladora, 𝑉𝑚 , y la rapidez con la que suceden los cambios de frecuencia es igual a la frecuencia 𝑓𝑚 de la señal moduladora.

Figura n°1: Señal con modulación angular en el dominio de la frecuencia.

Así, de la figura n°1, se puede observar que, una señal moduladora positiva produce un aumente de frecuencia, y una señal moduladora negativa produce una disminución de frecuencia, aunque se podría tener la relación inversa, según el tipo de circuito modulador que se use.

En la figura n°2, se muestra la forma de onda, en el dominio del tiempo, de una portadora senoidal en la que hay modulación angular, siendo más preciso, una señal con modulación directa de fase (PM).

INGENIERÍA ELECTRÓNICA

UPAO 2018 - 10

4

TELECOMUNICACIONES I

Figura n°2: Señal con modulación angular en el dominio del tiempo (cambio de fase)

Como se ve en la figura n°2, la fase θ de la portadora cambia en forma proporcional a la amplitud, 𝑉𝑚 (𝑡), de la señal moduladora. El desplazamiento angular relativo de la fase de la portadora, en radianes, con respecto a la fase de referencia, se llama desviación de fase, 𝛥𝜃, El cambio de fase de la portadora produce un cambio correspondiente de frecuencia, es por eso que se dice que una modulación en fase directa produce una modulación de frecuencia indirecta. El desplazamiento relativo de la frecuencia de la portadora, en hertz, con respecto a su valor no modulado, se llama desviación de frecuencia, 𝛥𝑓. Tal como se mencionó anteriormente, la magnitud de la desviación de frecuencia y fase es proporcional a la amplitud 𝑉𝑚 de la señal moduladora, y la rapidez con que se efectúan los cambios es igual a la frecuencia 𝑓𝑚 de la señal moduladora. Entonces, se puede expresar matemáticamente estos cambios de frecuencia y fase de la señal portadora con respecto a la amplitud de la señal moduladora. Para una señal moduladora 𝑣𝑚 (𝑡), la modulación de fase y la de frecuencia son: 𝑀𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛⁡𝑑𝑒⁡𝐹𝑎𝑠𝑒 = ⁡𝜃(𝑡) = 𝐾𝑣𝑚 (𝑡)⁡⁡⁡𝑟𝑎𝑑 𝑀𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛⁡𝑑𝑒⁡𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = ⁡𝜃´(𝑡) = 𝐾1 𝑣𝑚 (𝑡)⁡⁡⁡𝑟𝑎𝑑/s Siendo 𝐾⁡𝑦⁡𝐾1 constantes, y son las sensibilidades a la desviacion de los moduladres de fase y frecuencia, respectivamente.

INGENIERÍA ELECTRÓNICA

UPAO 2018 - 10

5

TELECOMUNICACIONES I

Las sensibilidades a las desviaciones son las funciones de transferencia de la salida en función de la entrada de los moduladores, que producen la relación entre que parámetro de salida cambia con respecto a los cambios específicos de la señal de entrada. Para un modulador de frecuencia, los cambios serian en la frecuencia de la señal de salida con respecto a cambios en la amplitud del voltaje de entrada. Para un modulador de fase, los cambios serian en la fase de la señal de salida con respecto a los cambios de amplitud del voltaje de la señal de entrada. La sensibilidad a la desviación de un modulador de fase es la función de transferencia del modulador, así se tiene:

𝐹. 𝑇. = 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛⁡𝑑𝑒⁡𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝐾 =

𝛥𝜃 𝑟𝑎𝑑 ⁡⁡[ ] 𝛥𝑉 𝑉

Figura n°3: Sensibilidad a la desviación (función de trasferencia) del modulador PM.

Y para un modulador de frecuencia es:

𝐹. 𝑇. = 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛⁡𝑑𝑒⁡𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝐾1 =

𝛥𝜔 𝑟𝑎𝑑/𝑠 ⁡⁡[ ] 𝛥𝑉 𝑉

Figura n°4: Sensibilidad a la desviación (función de trasferencia) del modulador FM.

La modulación de fase es la primera integral de la modulación en frecuencia. Por consiguiente, se puede decir: 𝑀𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛⁡𝑑𝑒⁡𝐹𝑎𝑠𝑒 = ⁡𝜃(𝑡) = ∫ 𝜃′(𝑡) 𝑑𝑡 = ⁡ ∫ 𝐾1 𝑣𝑚 (𝑡) 𝑑𝑡 = ⁡ 𝐾1 ∫ 𝑣𝑚 (𝑡) 𝑑𝑡 Por consiguiente, sustituyendo ahora una señal moduladora 𝑣𝑚 (𝑡) = 𝑉𝑚 cos⁡(𝜔𝑚 𝑡) en la ecuación anterior se obtiene: 

Para modulación de Fase: 𝑚(𝑡) = 𝑉𝑝 cos⁡[𝜔𝑝 𝑡 + 𝜃(𝑡)] 𝒎(𝒕) = 𝑽𝒑 𝐜𝐨𝐬[𝝎𝒑 𝒕 + 𝑲⁡𝑽𝒎 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒎 𝒕)] = 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏⁡𝑪𝒂𝒓𝒂𝒄𝒕𝒆𝒓𝒊𝒔𝒊𝒕𝒄𝒂⁡𝒅𝒆⁡𝑷𝑴

INGENIERÍA ELECTRÓNICA

UPAO 2018 - 10

6

TELECOMUNICACIONES I



Para modulación de Frecuencia: 𝑚(𝑡) = 𝑉𝑝 cos⁡[𝜔𝑝 𝑡 + ∫ 𝜃′(𝑡) 𝑑𝑡] 𝑚(𝑡) = 𝑉𝑝 cos⁡[𝜔𝑝 𝑡 + ∫ 𝐾1 𝑣𝑚 (𝑡) 𝑑𝑡] 𝑚(𝑡) = 𝑉𝑝 cos⁡[𝜔𝑝 𝑡 + 𝐾1 ∫ 𝑉𝑚 cos⁡(𝜔𝑚 𝑡)⁡ 𝑑𝑡] 𝒎(𝒕) = 𝑽𝒑 𝒄𝒐𝒔 [𝝎𝒑 𝒕 +

𝑲 𝟏 𝑽𝒎 𝒔𝒆𝒏(𝝎𝒎 𝒕)] = 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏⁡𝑪𝒂𝒓𝒂𝒄𝒕𝒆𝒓𝒊𝒔𝒕𝒊𝒄𝒂⁡𝒅𝒆⁡𝑭𝑴 𝝎𝒎

Las ecuaciones anteriores, se resumen en la tabla n°1. También se presentan las ecuaciones de las ondas FM y PM que resulta cuando la señal moduladora es una señal senoidal de frecuencia única.

Señal moduladora

Onda con modulación angular, 𝒎(𝒕)

(a) Fase

𝑣𝑚 (𝑡)

𝑉𝑝 cos⁡[𝜔𝑝 𝑡 + 𝐾𝑣𝑚 (𝑡)]

(b) Frecuencia

𝑣𝑚 (𝑡)

Tipo de modulación

(c) Fase

𝑉𝑚 cos⁡(𝜔𝑚 𝑡)

(d) Frecuencia

𝑉𝑚 cos⁡(𝜔𝑚 𝑡)

𝑉𝑝 cos⁡[𝜔𝑝 𝑡 + 𝐾1 ∫ 𝑣𝑚 (𝑡) 𝑑𝑡] 𝑉𝑝 cos⁡[𝜔𝑝 𝑡 + 𝐾𝑉𝑚 cos⁡(𝜔𝑚 𝑡)⁡] 𝑉𝑝 𝑐𝑜𝑠 [𝜔𝑝 𝑡 +

𝐾1 𝑉𝑚 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑚 𝑡)] 𝜔𝑚

Tabla n°1: Ecuaciones para portadoras de fase y frecuencia modulada

4.4. Formas de onda de FM y PM: En la figura n°5 se ilustra la modulación de frecuencia y fase de una portadora senoidal, mediante una señal moduladora de frecuencia única. Se ve que las formas de onda FM y PM son idénticas, a excepción de su relación temporal (fase). Así, es imposible distinguir una forma de onda de FM de una PM, sin conocer las características dinámicas de la señal moduladora, en otras palabras, el conocimiento de la señal moduladora permite hacer la identificación correcta. Con FM, la desviación máxima de frecuencia (cambio de frecuencia de la portadora) se efectúa durante los picos máximos positivos y negativos de la señal moduladora; es decir, la deviación de frecuencia es proporcional a la amplitud de la señal moduladora. Con la PM, la desviación máxima de frecuencia se efectúa durante los cruces de la señal moduladora por cero; es decir, la desviación de frecuencia es proporcional a la pendiente de la primera derivada de la señal moduladora. Tanto para la modulación de fase como la de frecuencia, la rapidez con que cambia la frecuencia, es igual a la frecuencia de la señal moduladora. En conclusión si 𝜃(𝑡) = 𝐾𝑣𝑚 (𝑡), es

INGENIERÍA ELECTRÓNICA

UPAO 2018 - 10

7

TELECOMUNICACIONES I

modulación de fase, y si 𝜃´(𝑡) = 𝐾1 𝑣𝑚 (𝑡), es modulación de frecuencia. Si la frecuencia instantánea es directamente proporcional a la amplitud de la señal moduladora, es modulación en frecuencia, y si la fase instantánea es directamente proporcional a la amplitud de la señal moduladora, es modulación de fase.

Figura n°5: Modulación de fase y frecuencia de una onda portadoras senoidal, por una señal senoidal frecuencia única.

4.5. Relación entre el índice de modulación y la desviación de fase: Al comparar las ecuaciones (c) y (d) de la portadora con modulación angular en la tabla n°1, se ve que la ecuación de una portadora que se va a modular tanto en fase como en frecuencia, mediante una señal moduladora de frecuencia única, se puede generalizar de la siguiente manera: 𝑚(𝑡) = 𝑉𝑝 cos⁡[𝜔𝑝 𝑡 + 𝑚⁡𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑚 𝑡)] En donde el termino 𝑚⁡𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑚 𝑡), es la desviación instantánea de fase, 𝜃(𝑡). Cuando la señal moduladora es una senoidal de frecuencia única, se ve, en la anterior ecuación, que el ángulo de fase de la portadora varia en forma sencilla respecto a su valor no modulado. En la anterior ecuación "𝑚", representa la desviación máxima de fase, en radianes, de una portadora con fase modulada. Esta desviación máxima de fase se llama índice de modulación.

INGENIERÍA ELECTRÓNICA

UPAO 2018 - 10

8

TELECOMUNICACIONES I

Una diferencia primaria y esencial entre modulación de frecuencia y fase es la forma en que se define el índice de modulación. Para PM, el índice de modulación es proporcional a la amplitud la señal moduladora e independiente de se frecuencia. El índice de modulación de una portadora con fase modulada se define como sigue: 𝑚 = 𝐾𝑉𝑚 ⁡⁡⁡(𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠) En donde: 𝑚 = 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒⁡𝑑𝑒⁡𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛⁡𝑦⁡𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛⁡𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑎⁡𝑑𝑒⁡𝑓𝑎𝑠𝑒⁡(𝛥𝜃, 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠) 𝐾 = 𝑆𝑒𝑛𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑⁡𝑎⁡𝑙𝑎⁡𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛⁡(𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠⁡𝑝𝑜𝑟⁡𝑣𝑜𝑙𝑡) 𝑉𝑚 = 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒⁡𝑜⁡𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑⁡𝑝𝑖𝑐𝑜⁡𝑑𝑒⁡𝑙𝑎⁡𝑠𝑒ñ𝑎𝑙⁡𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎⁡(𝑉𝑜𝑙𝑡𝑖𝑜𝑠) 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 ) 𝑉𝑚 (𝑣𝑜𝑙𝑡𝑖𝑜𝑠) 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑖𝑜𝑠

Y entonces, 𝑚 = 𝐾 (

= 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠

Por consiguiente, para PM, se puede escribir como sigue: 𝑚(𝑡) = 𝑉𝑝 cos⁡[𝜔𝑝 𝑡 + 𝐾𝑉𝑚 cos⁡(𝜔𝑚 𝑡)⁡] O bien: 𝑚(𝑡) = 𝑉𝑝 cos⁡[𝜔𝑝 𝑡 + 𝛥𝜃⁡cos⁡(𝜔𝑚 𝑡)⁡] O también: 𝑚(𝑡) = 𝑉𝑝 cos⁡[𝜔𝑝 𝑡 + 𝑚⁡cos⁡(𝜔𝑚 𝑡)⁡]

Para una portadora con frecuencia modulada, el índice de modulación es directamente proporcional a la amplitud de la señal moduladora, e inversamente proporcional a la frecuencia de la señal moduladora. Así el índice de modulación para FM es: 𝑚=

𝐾1 𝑉𝑚 ⁡⁡⁡(𝑎𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙) 𝜔𝑚

Donde: 𝑚 = 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒⁡𝑑𝑒⁡𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛⁡(𝑎𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑎𝑛𝑙) 𝐾1 = 𝑆𝑒𝑛𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑⁡𝑎⁡𝑙𝑎⁡𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛⁡(𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠⁡𝑝𝑜𝑟⁡𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜⁡𝑝𝑜𝑟⁡𝑣𝑜𝑙𝑡𝑖𝑜𝑠) 𝑉𝑚 = 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒⁡𝑜⁡𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑⁡𝑝𝑖𝑐𝑜⁡𝑑𝑒⁡𝑙𝑎⁡𝑠𝑒ñ𝑎𝑙⁡𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎⁡(𝑉𝑜𝑙𝑡𝑖𝑜𝑠) 𝜔𝑚 = 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎⁡𝑜⁡𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑⁡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟⁡𝑑𝑒⁡𝑙𝑎⁡𝑠𝑒ñ𝑎𝑙⁡𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎⁡(𝑟𝑎𝑑/𝑠) Por consiguiente, 𝑚 =

𝐾(

𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 )𝑉 (𝑣𝑜𝑙𝑡𝑖𝑜𝑠) 𝑠⁡−⁡𝑣𝑜𝑙𝑡𝑖𝑜𝑠 𝑚

𝜔𝑚 ⁡(𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠/𝑠)

= (𝑎𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙)

Tal como se demuestra, el índice de modulación es una relación adimensional para la FM, y solo se usa para describir la profundidad de modulación lograda en una señal moduladora con terminada amplitud máxima y frecuencia en radianes. La sensibilidad a la desviación también se puede expresar en hertz por volt, y la frecuencia de la señal moduladora en hertz para anular unidades y obtener también una magnitud adimensional.

INGENIERÍA ELECTRÓNICA

UPAO 2018 - 10

9

TELECOMUNICACIONES I

Dicho esto, el índice de modulación para una señal FM también se puede expresar de la siguiente manera: 𝑚=

𝐾1 𝑉𝑚 ⁡⁡⁡(𝑎𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙) 𝑓𝑚

4.6. Relación entre el índice de modulación y la desviación de frecuencia: La desviación de frecuencia es el cambio de frecuencia que sucede en la portadora cuando sobre ella actúa la amplitud de la señal moduladora. Se expresa normalmente como un desplazamiento máximo de frecuencia, Δf, en hertz. La desviación de frecuencia pico a pico, 2Δf, se llama a veces variación de frecuencia. Para una FM, la sensibilidad a la desviación se suele expresar en hertz por voltios. Por consiguiente, la desviación máxima de frecuencia no es más que el producto de la sensibilidad a la desviación y el voltaje máximo de la señal moduladora, y se expresa como sigue: 𝛥𝑓 = 𝐾1 𝑉𝑚 (𝐻𝑧) Se puede sustituir la anterior ecuación, en la ecuación que define el índice de modulación para una señal FM, teniendo lo siguiente: 𝑚=

𝛥𝑓(𝐻𝑧) ⁡⁡(𝑎𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙) 𝑓𝑚 (𝐻𝑧)

Por consiguiente, la ecuación característica de una señal u onda con modulación FM, se puede expresar finalmente como: 𝑚(𝑡) = 𝑉𝑝 𝑐𝑜𝑠 [𝜔𝑝 𝑡 +

𝐾1 𝑉𝑚 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑚 𝑡)] 𝑓𝑚

O bien: 𝑚(𝑡) = 𝑉𝑝 𝑐𝑜𝑠 [𝜔𝑝 𝑡 +

𝛥𝑓 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑚 𝑡)] 𝑓𝑚

Finalmente: 𝑚(𝑡) = 𝑉𝑝 𝑐𝑜𝑠[𝜔𝑝 𝑡 + m 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑚 𝑡)]

Se puede ver, al examinar las ecuaciones de los índices de modulación de las señales moduladas en frecuencia y fase, se relacionan de forma distinta con la señal moduladora. En PM, tanto el índice de modulación como la desviación máxima de fase son directamente proporcionales a la amplitud de la señal moduladora, y no son afectadas por su frecuencia. Sin embargo, en la FM el índice de modulación y la desviación máxima de frecuencia son directamente proporcionales a la amplitud de la señal moduladora, y el índice de modulación es inversamente proporcional a su frecuencia. En la tabla n°2 se presenta el resumen de las ecuaciones características de cada para parámetro de la modulación angular.

INGENIERÍA ELECTRÓNICA

UPAO 2018 - 10

10

TELECOMUNICACIONES I

FM Onda modulada

𝑚(𝑡) = 𝑉𝑝 𝑐𝑜𝑠 [𝜔𝑝 𝑡 +

Onda modulada (índice de modulación ) Onda modulada (desviación)

PM 𝐾1 𝑉𝑚 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑚 𝑡)] 𝑓𝑚

𝑚(𝑡) = 𝑉𝑝 cos⁡[𝜔𝑝 𝑡 + 𝐾𝑉𝑚 cos⁡(𝜔𝑚 𝑡)⁡]

𝑚(𝑡) = 𝑉𝑝 𝑐𝑜𝑠[𝜔𝑝 𝑡 + 𝑚 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑚 𝑡)]

𝑚(𝑡) = 𝑉𝑝 cos⁡[𝜔𝑝 𝑡 + 𝑚⁡cos⁡(𝜔𝑚 𝑡)⁡]

𝛥𝑓 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑚 𝑡)] 𝑓𝑚

𝑚(𝑡) = 𝑉𝑝 cos⁡[𝜔𝑝 𝑡 + 𝛥𝜃⁡cos⁡(𝜔𝑚 𝑡)⁡]

𝑚(𝑡) = 𝑉𝑝 𝑐𝑜𝑠 [𝜔𝑝 𝑡 +

Sensibilidad a la deviación

𝐾1 (Hz/V)

𝐾 (rad/V)

Desviación

𝛥𝑓 = 𝐾1 𝑉𝑚 (𝐻𝑧)

𝛥𝜃 = 𝐾𝑉𝑚 (rad)

Índice de modulación Índice de modulación (desviación)

𝑚=

𝐾1 𝑉𝑚 ⁡(𝑎𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙) 𝑓𝑚

𝑚 = 𝐾𝑉𝑚

𝑚=

𝛥𝑓 ⁡(𝑎𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙) 𝑓𝑚

𝑚 = 𝛥𝜃

Señal moduladora

𝑣𝑚 (𝑡) = 𝑉𝑚 𝑠𝑒𝑛⁡(𝜔𝑚 𝑡)

𝑣𝑚 (𝑡) = 𝑉𝑚 𝑐𝑜𝑠⁡(𝜔𝑚 𝑡)

Frecuencia moduladora (angular)

𝜔𝑚 = 2𝜋𝑓𝑚 ⁡𝑟𝑎𝑑/𝑠

𝜔𝑚 = 2𝜋𝑓𝑚 ⁡𝑟𝑎𝑑/𝑠

Frecuencia moduladora (lineal)

𝜔𝑚 /2𝜋 = 𝑓𝑚 ⁡(𝐻𝑧)

𝜔𝑚 /2𝜋 = 𝑓𝑚 ⁡⁡(𝐻𝑧)

Señal portadora

𝑣𝑝 (𝑡) = 𝑉𝑝 𝑐𝑜𝑠⁡(𝜔𝑝 𝑡)

𝑣𝑝 (𝑡) = 𝑉𝑝 𝑐𝑜𝑠⁡(𝜔𝑝 𝑡)

Frecuencia portadora (angular)

𝜔𝑝 = 2𝜋𝑓𝑝 ⁡𝑟𝑎𝑑/𝑠

𝜔𝑝 = 2𝜋𝑓𝑝 ⁡𝑟𝑎𝑑/𝑠

Frecuencia portadora (lineal)

𝜔𝑝 /2𝜋 = 𝑓𝑝 ⁡(𝐻𝑧)

𝜔𝑝 /2𝜋 = 𝑓𝑝 ⁡(𝐻𝑧)

Tabla n°2: Resumen de modulación angular.

4.7. Análisis en frecuencia de las ondas con modulación angular: Cualquier proceso de modulación produce bandas laterales. Cuando una onda senoidal de frecuencia constante modula una portadora, se producen dos frecuencias laterales. Estas frecuencias son la suma y diferencia de la frecuencia portadora y la frecuencia moduladora. En FM y PM, así como en AM, se producen bandas laterales con la suma y diferencia de frecuencias. Sin embargo, en la modulación angular, los componentes de frecuencia de la onda modulada tienen una relación mucho más compleja con los componentes de la frecuencia de la señal moduladora que en el caso de la modulación en amplitud. En un modulador de frecuencia o fase, una señal moduladora de una sola frecuencia produce una cantidad teórica infinita de pares de frecuencias laterales y, por lo mismo, tiene un ancho de banda infinito teórico. Cada frecuencia lateral esta desplazada respecto a la portadora por un múltiplo entero de la frecuencia de señal modeladora. Sin embargo, en general la mayoría de las frecuencias laterales tienen una amplitud insignificante, y se pueden ignorar. El análisis matemático espectral se puede obtener a partir de la siguiente ecuación generalizada, obtenida anteriormente para una onda modulada angular (ya sea FM o PM): 𝑚(𝑡) = 𝑉𝑝 cos⁡[𝜔𝑝 𝑡 + 𝑚⁡𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑚 𝑡)]

INGENIERÍA ELECTRÓNICA

11

UPAO 2018 - 10

TELECOMUNICACIONES I

12

Aplicando la siguiente propiedad trigonométrica a la ecuación general de modulación angular: cos(𝐴 + 𝐵) = 𝑐𝑜𝑠𝐴⁡𝑐𝑜𝑠𝐵 − 𝑠𝑒𝑛𝐴⁡𝑠𝑒𝑛𝐵 Se obtiene la siguiente expresión: 𝑚(𝑡) = 𝑉𝑝 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑝 𝑡) cos(𝑚⁡𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑚 𝑡)) − 𝑉𝑝 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑝 𝑡) sen(𝑚⁡𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑚 𝑡)) En el caso de AM es fácil ver que el espectro de la señal modulada contiene dos bandas laterales. En el caso de FM la situación es más compleja desde el punto de vista matemático, ya que la anterior expresión contiene funciones del tipo sen(senx) y cos(senx) y la solución puede darse solo en términos de una serie infinita de funciones de Bessel. En realidad, aquí no es importante entrar en el tratamiento de estas funciones, ya que no es el objetivo del tema, basta decir que el desarrollo de la expresión anterior puede expresarse como: 𝑚(𝑡) = 𝑉𝑝 {𝐽0 (𝑚)[𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑝 𝑡)] + 𝐽1 (𝑚)[𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑝 + 𝜔𝑚 )𝑡 − 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑝 − 𝜔𝑚 )𝑡] +𝐽2 (𝑚)[𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑝 + 2𝜔𝑚 )𝑡 + 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑝 − 2𝜔𝑚 )𝑡] +𝐽3 (𝑚)[𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑝 + 3𝜔𝑚 )𝑡 − 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑝 − 3𝜔𝑚 )𝑡] +𝐽4 (𝑚)[𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑝 + 4𝜔𝑚 )𝑡 + 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑝 − 4𝜔𝑚 )𝑡] ⁡⁡⁡⁡+𝐽5 (𝑚)[𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑝 + 5𝜔𝑚 )𝑡 − 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑝 − 5𝜔𝑚 )𝑡] … Donde: 𝑚(𝑡) = 𝑜𝑛𝑑𝑎⁡𝑐𝑜𝑛⁡𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛⁡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑚 = 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒⁡𝑑𝑒⁡𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑉𝑝 = 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒⁡𝑜⁡𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑⁡𝑝𝑖𝑐𝑜⁡𝑑𝑒⁡𝑙𝑎⁡𝑠𝑒ñ𝑎𝑙⁡𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎 𝐽0 (𝑚) = 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒⁡𝑑𝑒⁡𝑙𝑎⁡𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎 𝐽1 (𝑚) = 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟⁡𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜⁡𝑑𝑒⁡𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠⁡𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠, 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑑𝑎𝑠⁡𝜔𝑚 ⁡𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜⁡𝑎⁡𝑙𝑎 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎. 𝐽2 (𝑚) = 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜⁡𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜⁡𝑑𝑒⁡𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠⁡𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠, 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑑𝑎𝑠⁡2𝜔𝑚 ⁡𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜⁡𝑎⁡𝑙𝑎 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎. 𝐽𝑛 (𝑚) = 𝑛 − 𝑒𝑠𝑖𝑚𝑜⁡𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜⁡𝑑𝑒⁡𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠⁡𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠, 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑑𝑎𝑠⁡𝑛𝜔𝑚 ⁡𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜⁡𝑎⁡𝑙𝑎 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎. De la anterior expresión, se puede obtener otra forma de ecuación generalizada según Bessel, la cual sería: ∞

𝑚(𝑡) = 𝑉𝑝 ∑ 𝐽𝑛 (𝑚). cos⁡[𝜔𝑝 ⁡ + ⁡𝑛𝜔𝑚 ]𝑡 𝑛=−∞

Donde: 𝐽𝑛 (𝑚) = 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠⁡𝑑𝑒⁡𝐵𝑒𝑠𝑠𝑒𝑙⁡𝑑𝑒⁡𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎⁡𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒, 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛⁡𝑛⁡𝑦⁡𝑎𝑟𝑔𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜⁡𝑚. 𝑛 = 𝑛°⁡𝑑𝑒⁡𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠⁡𝑑𝑒⁡𝐵𝑒𝑠𝑠𝑒𝑙⁡𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜⁡𝑑𝑒⁡𝑎𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑜⁡𝑎⁡𝑚

INGENIERÍA ELECTRÓNICA

UPAO 2018 - 10

TELECOMUNICACIONES I

Las funciones 𝐽0 (𝑚), 𝐽1 (𝑚), 𝐽2 (𝑚), …⁡𝐽𝑛 (𝑚), son funciones de Bessel de primera clase, orden n y argumento m. La ecuación anterior muestra que, en la modulación angular, una señal moduladora de una sola frecuencia produce una cantidad infinita de conjuntos de frecuencias laterales, cada uno desplazado de la señal portadora en un múltiplo entero de la frecuencia de la señal moduladora. Un conjunto de bandas laterales incluye una frecuencia lateral superior e inferior (𝑓𝑝 ± 𝑓𝑚 , 𝑓𝑝 ± 2𝑓𝑚 , 𝑓𝑝 ± 3𝑓𝑚 , 𝑓𝑝 ± 𝑛𝑓𝑚 , 𝑒𝑡𝑐). Los conjuntos sucesivos de bandas laterales se llaman bandas laterales de primer orden, bandas laterales de segundo orden, y así sucesivamente; sus magnitudes están determinadas por los coeficientes 𝐽1 (𝑚), 𝐽2 (𝑚), etc. respectivamente. La onda FM se expresa como una composición de ondas senoidales de frecuencias y amplitudes diferentes que al sumarse dan una señal de FM o PM en el dominio del tiempo. El primer término es la portadora con una amplitud dada por el coeficiente 𝐽n , en este caso 𝐽0 . El siguiente termino representa un par de frecuencia laterales superior e inferior iguales a la suma y diferencia de la frecuencia portadora y la frecuencia de la señal moduladora. La amplitud de estas frecuencias laterales es 𝐽1 . El término que sigue es otro par de frecuencias laterales igual a la frecuencia portadora ± 2 veces la frecuencia de la señal moduladora. Los otros términos representan frecuencias laterales adicionales espaciadas entre ellas por un valor igual a la frecuencia de la señal moduladora. Las amplitudes de las bandas laterales están determinadas por los coeficientes 𝐽n , que a su vez se establecen por el valor del índice de modulación.

En la práctica no es necesario conocer o calcular estos coeficientes ya que se dispone de tablas para obtenerlos. La tabla n°3 se dan los valores de los coeficientes de Bessel para un intervalo de índices de modulación. La columna más a la izquierda, presenta el índice de modulación 𝑚; las columnas restantes indican las amplitudes relativas y de varios pares de bandas laterales Se ha eliminado cualquier banda lateral con una amplitud relativa de la portadora de menos de 1% (0.01). Observe además que algunas de las amplitudes de las portadoras y bandas laterales, tienen signos negativos, lo cual significa que la señal representada por esa amplitud, solo está desfasada 180° (inversión de fase).

INGENIERÍA ELECTRÓNICA

UPAO 2018 - 10

13

TELECOMUNICACIONES I

Tabla n°3: Portadora y amplitudes de las bandas laterales para diferentes índices de modulación de señales de FM basados en las funciones de Bessel (de primera clase y de orden del 0 al 10)

Analizando la tabla n°3, se ve que, un índice de modulación de 0 (sin modulación) produce ceo frecuencias laterales, y mientras mayor sea el índice de modulación, se producirán más conjuntos de frecuencias laterales. Los valores indicados de 𝐽n son en relación con la amplitud de la portadora no modulada. Por ejemplo, 𝐽2 = 0.35, indica que la amplitud del segundo conjunto de frecuencias laterales es igual a 35% de la amplitud de la portadora no modulada (0.35𝑉𝑐 ). Se puede ver que la amplitud de las frecuencias laterales se vuelve insignificante con rapidez, a medida que el índice de modulación baja de la unidad. Para valores mayores de 𝑚, el valor de 𝐽n (𝑚), comienza a decrecer con rapidez tan pronto como 𝑛 = 𝑚. Al aumentar el índice de modulación respecto a cero, la magnitud de 𝐽0 (𝑚) de portadora decrece. Cuando 𝑚 es igual a aproximadamente 2.4, entonces 𝐽0 (𝑚) = 0 y el componente de la portadora es cero (esto se llama el primer cero de portadora). Esta propiedad se usa con frecuencia para determinar el índice de modulación, o establecer la sensibilidad a la desviación de un modulador de FM. La portadora vuelve a aparecer cuando 𝑚 aumenta respecto a 2.4. Cuando 𝑚 llega aproximadamente a 5.4, la componente de la portadora vuelve a desaparecer (esto se llama segundo cero de portadora). Los aumentos posteriores del índice de modulación producen más ceros de portadora, a intervalos periódicos.

En la tabla n°3 sólo se mencionan las frecuencias laterales significativas. Como se mencionó antes, se considera que una frecuencia lateral es no significativa, a menos que su amplitud sea igual o mayor a 1% de la amplitud de la portadora no modulada (𝐽n ≥ 0.01). Se ve en esa tabla que cuando aumenta 𝑚, aumenta la cantidad de frecuencias

INGENIERÍA ELECTRÓNICA

UPAO 2018 - 10

14

TELECOMUNICACIONES I

laterales importantes o significativas. Por consiguiente, el ancho de banda de una onda con modulación angular es función del índice de modulación.

La figura n°6, muestra las curvas de las amplitudes relativas de la portadora y de varios conjuntos de frecuencias laterales, para valores de 𝑚 hasta 10. Se puede ver que las amplitudes de la portadora y de las frecuencias laterales varían con una rapidez periódica que se asemeja a la de una senoidal amortiguada. Los valores negativos para 𝐽(𝑚) indican simplemente la fase relativa de este conjunto de frecuencias laterales.

Figura n°5: 𝑱𝒏 [𝒎]𝒆𝒏⁡𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏⁡𝒅𝒆⁡𝒎

4.8. Estimación del ancho de banda para ondas con modulación angular: Se sabe que, para determinada frecuencia de señal moduladora, una onda de frecuencia modulada no puede caber en una banda más angosta que una onda de amplitud modulada (demostrado por J.R. Carson, en 1922). Se demostró en apartados anteriores, que el ancho de banda de una onda con modulación angular es una función de la frecuencia de la señal moduladora y del índice de modulación. En la modulación de ángulo se produce varios conjuntos de bandas laterales y, en consecuencia, el ancho de banda pude ser bastante mayor que el de una onda de amplitud modulada con la misma señal moduladora. En general una onda con modulación angular pude ocupar el doble o hasta el triple en espectro, de lo que ocuparía una onda con modulación de amplitud, doble banda lateral o banda lateral única.

INGENIERÍA ELECTRÓNICA

UPAO 2018 - 10

15

TELECOMUNICACIONES I

En general, las formas de onda con modulación angular se clasifican como de índice bajo, medio o alto. Para el caso de bajo índice, el índice de modulación es menor que 1 (si queremos mayor exactitud, menor que 0.3), y el caso de índice alto se da, cuando el índice de modulación es mayor que 10. Los índices de modulación mayores que 1 y menores que 10 se clasifican como índice medio.

Se ve en la tabla n°3, que, con modulación angular de bajo índice, la mayor parte de la información de la señal está contenida en el primer conjunto de bandas laterales, y que el ancho de banda mínimo requerido, es aproximadamente igual a dos veces la frecuencia máxima de la señal moduladora. Por esta razón, a estos sistemas FM de bajo índice se les llama: FM de Banda Angosta (NBFM: Narrow Band FM) (con un espectro muy similar a la de una onda con modulación AM de doble banda lateral). Para una onda con modulación angular, con índice alto se les conoce como: FM de Banda Ancha (WBFM: Wide Band FM). Para este tipo de señales, la señal moduladora cambia con mucha lentitud, por lo que, si la frecuencia de la señal moduladora es muy baja, el ancho de banda queda determinado por la desviación de frecuencia pico a pico. Por consiguiente, para grandes índices de modulación, el ancho de banda mínimo requerido para propagar una onda de frecuencia modulada, es aproximadamente igual a la desviación de frecuencia pico a pico: 2𝛥𝑓.

Resumiendo, para una modulación de bajo índice, el espectro de frecuencias se asemeja al de la AM de banda lateral doble, y el ancho mínimo de banda es aproximadamente igual a: 𝐵𝑊 = 2𝑓𝑚 ⁡⁡𝐻𝑧 Y para modulación de índice alto, el ancho de banda mínimo aproximado es: 𝐵𝑊 = 2𝛥𝑓⁡⁡𝐻𝑧

4.9. Regla de Bessel y Carson para la estimación del BW en modulación angular: Las formulas vistas en el apartado anterior para el cálculo del BW de una onda con modulación angular, son solo aproximaciones que, en cierto modo, son muy aceptables, sin embargo, el ancho de banda real, necesario para pasar todas las bandas laterales significativas para una onda con modulación angular es igual a dos por el producto de la máxima frecuencia de la señal moduladora, por la cantidad de bandas laterales significativas determinadas con la tabla de funciones de Bessel. La expresión mencionada anteriormente, es conocida como la “Regla de Bessel”, y es la que usa justamente las tablas de Bessel para el cálculo del BW según la siguiente ecuación:

INGENIERÍA ELECTRÓNICA

UPAO 2018 - 10

16

TELECOMUNICACIONES I

𝐵𝑊 = 2 ∗ 𝑓𝑚 ∗ 𝑁⁡⁡⁡[𝐻𝑧] Donde: 𝑁 = 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑⁡𝑑𝑒⁡𝑏𝑎𝑛𝑑𝑎𝑠⁡𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠⁡𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 𝑓𝑚 = 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎⁡𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑎⁡𝑑𝑒⁡𝑙𝑎⁡𝑠𝑒ñ𝑎𝑙⁡𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎⁡(𝐻𝑧) Por otro lado, Carson estableció una regla general para estimar el ancho de banda de todos los sistemas con modulación angular, independiente del índice de modulación. A esto se llama “Regla de Carson”. Enunciada de forma sencilla, esta regla establece el ancho de banda necesario para transmitir una onda con modulación angular, como igual a dos veces la suma de la desviación máxima de frecuencia por la frecuencia máxima de la señal moduladora. Es decir: 𝐵𝑊 = 2(𝛥𝑓 + 𝑓𝑚 )⁡⁡⁡[𝐻𝑧] 𝛥𝑓

Pero sabemos que el índice de modulación se puede expresar como: 𝑚 = 𝑓 , por lo 𝑚

que la anterior ecuación también puede expresarse de la siguiente manera: 𝐵𝑊 = 2(𝑚 + 1)𝑓𝑚 ⁡⁡⁡[𝐻𝑧] Para bajos índices de modulación, 𝑓𝑚 es mucho mayor que 𝛥𝑓 (𝑓𝑚 >> 𝛥𝑓), y la anterior ecuación se reduce a la ecuación de: 𝐵𝑊 = 2𝑓𝑚 . Para grandes índices de modulación, 𝛥𝑓 es mucho mayor que 𝑓𝑚 (𝛥𝑓 >> 𝑓𝑚 ), y la ecuación se reduce a: 𝐵𝑊 = 2𝛥𝑓.

La Regla de Carson es una aproximación que da como resultado, anchos de banda un poco menores que los determinados por la Regla de Bessel con la tabla de funciones de Bessel. Esto es porque la Regla de Carson define un ancho de banda que abarca aproximadamente el 98% de la potencia total de la onda modulada. En ancho real de banda necesario es una función de la forma de onda de la señal moduladora y de la calidad de transmisión deseada. Es importante recalcar que la Regla de Carson proporciona el ancho de banda de la señal modulada en frecuencia con razonable exactitud cuándo 𝑚 es mucho mayor que 1, pero falla cuando 𝑚 es cercano a 1 o menor. Por ejemplo, la Regla de Carson no es válida en el caso de FM de Banda Angosta. Por último, es de suma importancia decir que, en teoría, el ancho debanda de una señal con modulación angular es infinito y que los anchos de banda calculados anteriormente corresponden a un contenido de energía de 98% a 99% de la energía total de la señal.

INGENIERÍA ELECTRÓNICA

UPAO 2018 - 10

17

TELECOMUNICACIONES I

4.10. Casos especiales: NBFM y WBFM  NBFM: Como se había mencionado en el apartado 4.8, cuando el índice de modulación es pequeño (𝑚 ≪ 1), el ancho de banda es, en este caso para la modulación en frecuencia, el mismo que en AM completa, es decir, el doble del ancho de banda de la señal moduladora: 𝐵𝑊𝑁𝐵𝐹𝑀 = 2𝑓𝑚 ⁡⁡[𝐻𝑧]. Es decir, solo un par de bandas laterales tienen magnitud significativa y, por lo tanto, en cuanto al BW necesario para transmisión, existe una similitud con AM. A continuación, se presenta el análisis y la demostración matemática. Partimos de la siguiente ecuación: 𝑚(𝑡) = 𝑉𝑝 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑝 𝑡) cos(𝑚⁡𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑚 𝑡)) − 𝑉𝑝 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑝 𝑡) sen(𝑚⁡𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑚 𝑡)) Para 𝑚 ≪ 1, puede aproximarse por: cos(𝑚⁡𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑚 𝑡)) ≈ 1⁡⁡⁡⁡𝑦⁡⁡⁡ sen(𝑚⁡𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑚 𝑡)) ≈ 𝑚⁡𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑚 𝑡) Que puede escribirse como: 𝑚𝑁𝐵𝐹𝑀 (𝑡) = 𝑉𝑝 [𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑝 𝑡) − 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑝 𝑡). 𝑚⁡𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑚 𝑡)] 𝑚𝑁𝐵𝐹𝑀 (𝑡) = 𝑉𝑝 [𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑓𝑝 𝑡) − 𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑓𝑝 𝑡). 𝑚⁡𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑓𝑚 𝑡)] 𝑚𝑁𝐵𝐹𝑀 (𝑡) = 𝑉𝑝 {𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑓𝑝 𝑡) −

𝑚 𝑚 cos⁡[2𝜋(𝑓𝑝 − 𝑓𝑚 )𝑡] + cos⁡[2𝜋(𝑓𝑝 + 𝑓𝑚 )𝑡]} 2 2

La anterior expresión equivale a una señal de AM completa, con un desfase de 180° en la banda lateral inferior. Este tipo de modulación se designa como FM de banda angosta o Narrow Band Frequency Modulation (NBFM). A pesar de la similitud de las expresiones, y de los espectros, es posible apreciar claramente las diferencias entre AM y NBFM: 1) En AM se obtenían variaciones de amplitud de la portadora, permaneciendo su frecuencia constante. En NBFM, en cambio, la envolvente de amplitud es constante. 2) En AM, la portadora y las bandas laterales están en fase; en NBFM, las bandas laterales están en cuadratura con la portadora.  WBFM: Según aumenta el valor del índice de modulación, 𝑚, aumenta también el número de bandas laterales, lo que es resultado de que la modulación en frecuencia no es un proceso lineal, es decir, no hay una relación lineal entre el dominio del tiempo y el de la frecuencia. Las amplitudes de las portadora y de las bandas laterales, en número infinito, dependen del valor de 𝑚, que es la que determina el valor de la función de Bessel, que expresa la amplitud correspondiente. La WBFM o también denominada simplemente FM se utiliza en las aplicaciones más conocidas de FM, radio, sonido de TV, enlaces de microondas, etc. Para 𝑚 ≫ 1: 𝐵𝑊𝑊𝐵𝐹𝑀 = 2𝑚𝑓𝑚 = 2𝛥𝑓⁡[𝐻𝑧]. La posibilidad de utilizar 𝑚 ≫ 1, permite un mayor nivel de la señal recuperada. Utilizar la modulación WBFM, incrementa el ancho de banda, lo que obliga a limitar el índice de modulación, compromiso que fija finalmente la máxima desviación 𝛥𝑓 como norma general. INGENIERÍA ELECTRÓNICA

UPAO 2018 - 10

18

TELECOMUNICACIONES I

4.11. Porcentaje de Modulación: El porcentaje de modulación, o modulación porcentual, para una onda con modulación angular, se calcula en forma distinta que en la onda de amplitud modulada. Con la modulación angular, el porcentaje de modulación es tan solo la relación de desviación de frecuencia producida realmente, entre la desviación máxima de frecuencia permitida, expresada en forma porcentual. La ecuación correspondiente es: %⁡𝑑𝑒⁡𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 =

𝛥𝑓(𝑟𝑒𝑎𝑙) ∗ 100 𝛥𝑓(𝑚𝑎𝑥)

4.12. Relación de Desviación: Por definición, la relación de desviación (DR, de deviation ratio), es el índice de modulación en el peor de los casos, y es igual a la desviación máxima de frecuencia dividida entre la frecuencia máxima de señal moduladora. El índice de modulación en el peor de los casos produce el espectro más amplio de frecuencias de salida. Es, por lo anterior: 𝐷𝑅 =

𝛥𝑓(𝑚𝑎𝑥) 𝑓𝑚(𝑚𝑎𝑥)

Donde: 𝐷𝑅 = 𝑅𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛⁡𝑑𝑒⁡𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛⁡(𝑎𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙) 𝛥𝑓(𝑚𝑎𝑥) = 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛⁡𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑎⁡𝑑𝑒⁡𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎⁡(𝐻𝑧) 𝑓𝑚(𝑚𝑎𝑥) = 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎⁡𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑎⁡𝑑𝑒⁡𝑙𝑎⁡𝑠𝑒ñ𝑎𝑙⁡𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎⁡(𝐻𝑧)

4.13. Potencia en modulación angular: Para el cálculo de la potencia total, media y de portadora en una onda o señal con modulación angular, se debe primero recordar y analizar que: 

En la modulación angular, la envolvente de la señal modulada es constante, en tanto que en AM la envolvente es variable. En FM la información está contenida en la desviación de frecuencia, que depende de la amplitud la señal moduladora, y en la rapidez de dicha desviación, que a su vez depende de la frecuencia de la señal moduladora.



La amplitud de la portadora varía de acuerdo a 𝐽0 (𝑚) y, a diferencia de AM, la amplitud de la portadora en modulación angular, depende del índice de modulación 𝑚. La explicación física de esta propiedad estriba en el hecho de que la amplitud de la señal FM es constante, de modo que la potencia promedio de una señal e FM también es constante.

INGENIERÍA ELECTRÓNICA

UPAO 2018 - 10

19

TELECOMUNICACIONES I



Cuando se modula en frecuencia a la portadora, la potencia de las bandas laterales se obtiene a expensas de la potencia original de la portadora, haciendo, por consecuencia, que la amplitud de la portadora varíe en función de 𝑚 y pudiendo, incluso, ser cero para ciertos valores de 𝑚. Dicho esto, el cálculo de potencias en modulación angular se obtiene mediante las siguientes formulas:

 Potencia de Portadora: 𝑃𝑝 =

[𝑉𝑝 ⁡𝐽0 (𝑚)]2 2⁡𝑅𝐿

El valor de 𝑅𝐿 en la anterior formula y en las futuras formulas en donde se involucre este parámetro, es en el caso si existiría alguna carga, caso contrario, suponer que esta normalizado a 1Ω.  Potencia Media o Promedio: 2 [𝑉𝑝 ⁡∑∞ 𝑛=−∞ 𝐽n (𝑚)] 𝑃𝑚 = 2⁡𝑅𝐿

 Potencia Total: 𝑃𝑇 =

2 𝑉𝑝2 ⁡∑∞ 𝑛=−∞[𝐽𝑛 (𝑚)] 2⁡𝑅𝐿

Por propiedades de las funciones de Bessel, se sabe que: 𝐽𝑛 (𝑚) → 𝑆𝑜𝑛⁡𝑑𝑒⁡𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟⁡𝑟𝑒𝑎𝑙 𝐽𝑛 (𝑚) = 𝐽−𝑛 (𝑚) ⁡ → 𝑃𝑎𝑟𝑎⁡𝑛⁡𝑃𝐴𝑅 𝐽𝑛 (𝑚) = −𝐽−𝑛 (𝑚) ⁡ → 𝑃𝑎𝑟𝑎⁡𝑛⁡𝐼𝑀𝑃𝐴𝑅 ∞

∑ [𝐽𝑛 (𝑚)]2 = 1 𝑛=−∞ ∞ 2

[𝐽0 (𝑚)] + 2 ∗ ∑ [𝐽𝑛 (𝑚)]2 = 1 𝑛=−∞

Por lo tanto, la potencia total queda reducida a la siguiente expresión: 𝑉𝑃2 𝑃𝑇 = 2𝑅𝐿 Otra forma entonces de calcular la potencia media es: 𝑃𝑇 = 𝑃𝑃 + 𝑃𝑚 𝑃𝑚 = 𝑃𝑇 − 𝑃𝑃 2

𝑉𝑃2 [𝑉𝑝 ⁡𝐽0 (𝑚)] 𝑉𝑃2 𝑃𝑚 = ⁡ − = [1 − 𝐽02 (𝑚)] 2𝑅𝐿 2⁡𝑅𝐿 2𝑅𝐿

INGENIERÍA ELECTRÓNICA

UPAO 2018 - 10

20

TELECOMUNICACIONES I

4.14. Banda Comercial de Emisión en FM: Según las Normas Técnicas del Servicio de Radiodifusión, se ha asignado una banda de frecuencias de 20 MHz al servicio de emisiones de FM, que va de los 88 a los 108 MHz. Esta banda de 20 MHz se divide en canales de 200 kHz de ancho que comienzan en 88.1 MHz; es decir, 88.3 MHz, 88.5 MHz y así sucesivamente hasta los 107.9 MHz y con una separación entre canales de frecuencia mínima de 600KHz en una misma zona. Para obtener una música de alta calidad y confiable, la desviación máxima de frecuencia permitida es 75 kHz con una frecuencia máxima de señal moduladora de 15 kHz.

El índice de modulación en el peor de los casos, es decir, la relación de desviación, para un canal comercial es

75𝐾𝐻𝑧 15𝐾𝐻𝑧

= 5. De acuerdo con la tabla de funciones de

Bessel, se producen ocho pares de frecuencias laterales significativas cuando el índice de modulación es 5. Por consiguiente, de acuerdo a la Regla de Bessel, el ancho de banda mínimo y necesario para pasar todas las frecuencias laterales significativas es 𝐵𝑊 = 2 ∗ 8 ∗ 15𝐾𝐻𝑧 = 240𝐾𝐻𝑧, que es 40 KHz mayor que el ancho de banda asignado por la Norma Técnica del Servicio de Radiodifusión. En esencia, esto quiere decir que se permite que las frecuencias laterales máximas de un canal entren a canales adyacentes, produciendo una interferencia llamada interferencia por canal adyacente. En general eso no constituye un problema, porque históricamente la FCC sólo ha asignado uno de cada dos canales, es decir, un canal sí y uno no, en un área geográfica dada. Por consiguiente, hay casi siempre una banda de protección de 200 KHz a cada lado de cada canal asignado. Además, el séptimo y octavo conjuntos de frecuencias laterales tienen poca potencia, y también es muy improbable obtener alguna vez la máxima desviación de frecuencia a la frecuencia máxima de señal moduladora. Es irónico que, si se usa la aproximación por la Regla de Carson, el ancho de banda para los canales comerciales es 𝐵𝑊 = 2(75𝐾𝐻𝑧 + 15𝐾𝐻𝑧) = 180𝐾𝐻𝑧, bastante bien dentro de los límites de banda asignados por la Norma Técnica del Servicio de Radiodifusión

INGENIERÍA ELECTRÓNICA

UPAO 2018 - 10

21

TELECOMUNICACIONES I

V.

VI.

VII.

MATERIALES Y EQUIPOS / INSTRUMENTOS:

PROCEDIMIENTO:

CUESTIONARIO:

El docente Ing. Alejandro Martin León Cerna

INGENIERÍA ELECTRÓNICA

UPAO 2018 - 10

22