Leccion 1.11

11.3 Vigas completamente esforzadas Como el momento en una viga suele variar en toda su longitud, por lo general la elección de una viga prismática es poco eficiente, ya que nunca esta completamente esforzada en los puntos donde el momento interno es menor que el momento máximo de la viga En la figura 11-10a se muestran dos ejemplos. En estructuras como las vigas pueden incluirse ”mensuales ” en sus extremos como se muestra en la figura 11-10b. Ademas las vigas pueden “construirse ” o fabricarse en un taller usando placas. Un ejemplo de esto es un larguero fabricado a partir de una viga I de ala ancha laminada, con placas soldadas a la viga en la region donde el momento es maximo, figura 11-10c

Ejemplo 11.4 Determine la forma de una viga totalmente esforzada y simplemente apoyada que soporta una fuerza concentrada en su centro, figura 11-11a. La viga tiene una sección transversal rectangular de anchura constante b, y el esfuerzo permisibles es σperm

solución El momento interno en la viga, figura 11-11b, expresado como una función de la posición, 0≤x≥L/2, es

Por lo tanto, el modulo de sección requerido es

Como S=I/c, entonces para un área transversal de h por b se tiene

Ejemplo 11.4 Determine la forma de una viga totalmente esforzada y simplemente apoyada que soporta una fuerza concentrada en su centro, figura 11-11a. La viga tiene una sección transversal rectangular de anchura constante b, y el esfuerzo permisibles es σperm

solución Si h=h0 en x =L/2, entonces

De modo que

Por inspección, el peralte h debe entonces variar de manera parabólica con la distancia x

Ejemplo 11.5 La viga en voladizo que se muestra en la figura 11-12(a) tiene una forma trapezoidal, con un peralte h0 en A y uno de 3h0 en B. Si soporta una carga P en su extremo, determine el esfuerzo normal máximo en la viga. Esta tiene una sección transversal rectangular de anchura constante b.

solución En cualquier sección transversal, el esfuerzo normal máximo se produce en la superficie superior e inferior de la viga. Sin embargo, como σmax=M/S y el modulo de sección S se incrementa a medida que aumenta x, el esfuerzo normal máximo absoluto no necesariamente ocurre en la pared B, donde el momento es máximo. Si se usa la formula de la flexión, es posible expresar el esfuerzo normal máximo en una sección arbitraria en términos de su posición x, figura 11-12b. Aquí el momento interno tiene una magnitud de M =Px. Como la pendiente de la parte inferior de la viga es 2h0/L, figura 11-12(a), el peralte de la viga en la posición x es

Ejemplo 11.5 La viga en voladizo que se muestra en la figura 11-12(a) tiene una forma trapezoidal, con un peralte h0 en A y uno de 3h0 en B. Si soporta una carga P en su extremo, determine el esfuerzo normal máximo en la viga. Esta tiene una sección transversal rectangular de anchura constante b.

solución Al aplicar la formula de la flexión, se tiene

Ejemplo 11.5 La viga en voladizo que se muestra en la figura 11-12(a) tiene una forma trapezoidal, con un peralte h0 en A y uno de 3h0 en B. Si soporta una carga P en su extremo, determine el esfuerzo normal máximo en la viga. Esta tiene una sección transversal rectangular de anchura constante b.

solución Para determinar la posición x donde se produce el esfuerzo normal máximo absoluto, es necesario obtener la derivada de σ con respecto a x e igualarla a cero. De esto se obtiene

Ejemplo 11.5 La viga en voladizo que se muestra en la figura 11-12(a) tiene una forma trapezoidal, con un peralte h0 en A y uno de 3h0 en B. Si soporta una carga P en su extremo, determine el esfuerzo normal máximo en la viga. Esta tiene una sección transversal rectangular de anchura constante b.

solución Por lo tanto

Ejemplo 11.5 La viga en voladizo que se muestra en la figura 11-12(a) tiene una forma trapezoidal, con un peralte h0 en A y uno de 3h0 en B. Si soporta una carga P en su extremo, determine el esfuerzo normal máximo en la viga. Esta tiene una sección transversal rectangular de anchura constante b.

solución Si se sustituye en la ecuación 1 y después se simplifica, el esfuerzo normal máximo absoluto es

Observe que en la pared, B, el esfuerzo normal máximo es

Que es 11.1 por ciento mas pequeño que σabs(max)

11.4 Diseño de ejes Los ejes que tienen secciones circulares se utilizan a menudo en el diseño de equipos mecánicos y maquinaria. Por ello, pueden estar sometidos a un esfuerzo o fatiga cíclica, la cual es causada por la flexión combinada y las cargas de torsión que deben transmitir o resistir En esta sección se analizara algunos de los aspectos mas importantes en el diseño de ejes, los cuales se requieren para transmitir potencia. Con frecuencia, estos ejes están sometidos a cargas aplicadas sobre las poleas y los engranajes a los que están unidos, como se muestra en la figura 11-13(a). Como las cargas se pueden aplicar al eje en varios ángulos, la flexión interna y los momentos de torsión pueden determinarse en cualquier sección transversal, en primer lugar al sustituir las cargas por sus contrapartes estáticamente equivalentes y, después, al descomponer estas cargas en sus componentes pertenecientes a dos planos perpendiculares figura 1113b. Entonces es posible trazar los diagramas de momento flexionante para las cargas en cada plano y se puede determinar el momento interno resultante en cualquier sección a lo largo del eje mediante una suma vectorial figura 11-13c

11.4 Diseño de ejes

Una vez que se han establecido los diagramas de momento y de par de torsión, es posible investigar ciertas secciones criticas a lo largo del eje donde la combinación de un momento resultante M y un par de torsión T crea la peor situación de esfuerzo . Como el momento de inercia del eje es el mismo respecto a cualquier eje diametral, se puede aplicar la formula de la flexión con el momento resultante para obtener el esfuerzo flexionante máximo

Ejemplo 11.6 El eje de la figura 11-14(a) se sostiene mediante chumaceras lisas en A y B. debido a la transmisión de potencia desde y hacia el eje, las bandas en las poleas están sometidas a las tensiones mostradas en al figura. Determine el menor diámetro posible del eje con base en al teoría del esfuerzo cortante máximo, con τperm=50 MPa

solución Se han calculado las reacciones en los apoyos que se muestran en el diagrama de cuerpo libre del eje, figura 11-14b. Los diagramas de momento flexionante para Mx y Mz se muestran en las figuras 11-14c y 11-14d, respectivamente. El diagrama de par de torsión se muestra en la figura 11-14e. Por inspección, los puntos críticos para el momento flexionante ocurren, ya sea en C, o en B. además, justo a la derecha de C y en B el momento de torsión es 7.5 N.m . En C, el momento resultante es

Ejemplo 11.6 El eje de la figura 11-14(a) se sostiene mediante chumaceras lisas en A y B. debido a la transmisión de potencia desde y hacia el eje, las bandas en las poleas están sometidas a las tensiones mostradas en al figura. Determine el menor diámetro posible del eje con base en al teoría del esfuerzo cortante máximo, con τperm=50 MPa

solución

Ejemplo 11.6 El eje de la figura 11-14(a) se sostiene mediante chumaceras lisas en A y B. debido a la transmisión de potencia desde y hacia el eje, las bandas en las poleas están sometidas a las tensiones mostradas en al figura. Determine el menor diámetro posible del eje con base en al teoría del esfuerzo cortante máximo, con τperm=50 MPa

solución

Ejemplo 11.6 El eje de la figura 11-14(a) se sostiene mediante chumaceras lisas en A y B. debido a la transmisión de potencia desde y hacia el eje, las bandas en las poleas están sometidas a las tensiones mostradas en al figura. Determine el menor diámetro posible del eje con base en al teoría del esfuerzo cortante máximo, con τperm=50 MPa

solución

Problema 11.31 La viga ahusada soporta una fuerza concentrada P en su centro. Si esta hecha con una placa que tiene una anchura b constante, determine el esfuerzo flexionante máximo absoluto en la viga.

Propiedades dela sección

Problema 11.31 La viga ahusada soporta una fuerza concentrada P en su centro. Si esta hecha con un aplaca que tiene una anchura b constante, determine el esfuerzo flexionante máximo absoluto en la viga.

Esfuerzo: aplicando la formula de la flexión

Con el fin de tener la máxima tensión de flexión absoluta

Problema 11.31 La viga ahusada soporta una fuerza concentrada P en su centro. Si esta hecha con un aplaca que tiene una anchura b constante, determine el esfuerzo flexionante máximo absoluto en la viga.

Sustituyendo

en eq. (1)

Problema 11.34 La viga esta fabricada de una placa que tiene un grosor b constante. Si esta simplemente apoyada y resiste la carga distribuida que se muestra en la figura, determine la variación de su peralte en función de x, de modo que mantenga un esfuerzo flexionante máximo constante σperm en toda su longitud

Problema 11.34 La viga esta fabricada de una placa que tiene un grosor b constante. Si esta simplemente apoyada y resiste la carga distribuida que se muestra en la figura, determine la variación de su peralte en función de x, de modo que mantenga un esfuerzo flexionante máximo constante σperm en toda su longitud

Reacciones en los apoyos: como se muestra en el diagrama de cuerpo libre de la viga entera Momento en función: la carga distribuida como una función de x es

Problema 11.34 La viga esta fabricada de una placa que tiene un grosor b constante. Si esta simplemente apoyada y resiste la carga distribuida que se muestra en al figura, determine la variación de su peralte en función de x, de modo que mantenga un esfuerzo flexionante máximo constante σperm en toda su longitud

El diagrama de cuerpo libre del segmento de la viga de corte izquierdo se muestra en al figura (b). Teniendo en cuenta el equilibrio de momentos del diagrama de cuerpo libre

Problema 11.34 La viga esta fabricada de una placa que tiene un grosor b constante. Si esta simplemente apoyada y resiste la carga distribuida que se muestra en al figura, determine la variación de su peralte en función de x , de modo que mantenga un esfuerzo flexionante máximo constante σperm en toda su longitud

Propiedades de la sección, en la posición x de la altura de las sección transversal de la viga es h. así

entonces

Problema 11.34 La viga esta fabricada de una placa que tiene un grosor b constante. Si esta simplemente apoyada y resiste la carga distribuida que se muestra en al figura, determine la variación de su peralte en función de x, de modo que mantenga un esfuerzo flexionante máximo constante σperm en toda su longitud

Esfuerzo de flexión

en

De Eq. (1)

Problema 11.34 La viga esta fabricada de una placa que tiene un grosor b constante. Si esta simplemente apoyada y resiste la carga distribuida que se muestra en al figura, determine la variación de su peralte en función de x, de modo que mantenga un esfuerzo flexionante máximo constante σperm en toda su longitud

Igualando Eq (1) en (2)

Problema 11.35 La viga esta hecha de una placa que tiene un grosor b constante. Si esta simplemente apoyada y resiste la carga distribuida que se muestra en la figura, determine el esfuerzo flexionante máximo en la viga.

Problema 11.35 La viga esta hecha de una placa que tiene un grosor b constante. Si esta simplemente apoyada y resiste la carga distribuida que se muestra en la figura, determine el esfuerzo flexionante máximo en la viga.

Reacciones en los apoyos: como se muestra en el diagrama de cuerpo libre de la viga entera Momento en función: la carga distribuida como una función de x es

El diagrama de cuerpo libre del segmento de la viga de corte izquierdo se muestra en al figura (b). Teniendo en cuenta el equilibrio de momentos del diagrama de cuerpo libre

Problema 11.35 La viga esta hecha de una placa que tiene un grosor b constante. Si esta simplemente apoyada y resiste la carga distribuida que se muestra en la figura, determine el esfuerzo flexionante máximo en la viga.

El diagrama de cuerpo libre del segmento de la viga de corte izquierdo se muestra en al figura (b). Teniendo en cuenta el equilibrio de momentos del diagrama de cuerpo libre

Problema 11.35 La viga esta hecha de una placa que tiene un grosor b constante. Si esta simplemente apoyada y resiste la carga distribuida que se muestra en la figura, determine el esfuerzo flexionante máximo en la viga.

Propiedades de la sección

Problema 11.35 La viga esta hecha de una placa que tiene un grosor b constante. Si esta simplemente apoyada y resiste la carga distribuida que se muestra en la figura, determine el esfuerzo flexionante máximo en la viga.

Esfuerzo de flexión

Problema 11.35 La viga esta hecha de una placa que tiene un grosor b constante. Si esta simplemente apoyada y resiste la carga distribuida que se muestra en la figura, determine el esfuerzo flexionante máximo en la viga.

Con el fin de tener la máxima tensión de flexión absoluta

Desde

Problema 11.35 La viga esta hecha de una placa que tiene un grosor b constante. Si esta simplemente apoyada y resiste la carga distribuida que se muestra en la figura, determine el esfuerzo flexionante máximo en la viga.

Resolver por ensayo y error

Sustituyendo en ecuación (1)

Problema 11.40 El eje se apoya en las chumaceras que no ofrecen resistencia a la carga axial. Si el esfuerzo cortante permisible para el eje es τperm=35 Mpa, determine con precisión de 1 mm el menor diámetro del eje que soportara la carga. Use la teoría de falla del esfuerzo cortante máximo

Problema 11.40 El eje se apoya en las chumaceras que no ofrecen resistencia a la carga axial. Si el esfuerzo cortante permisible para el eje es τperm=35 Mpa, determine con precisión de 1 mm el menor diámetro del eje que soportara la carga. Use la teoría de falla del esfuerzo cortante máximo

Problema 11.40 El eje se apoya en las chumaceras que no ofrecen resistencia a la carga axial. Si el esfuerzo cortante permisible para el eje es τperm=35 Mpa, determine con precisión de 1 mm el menor diámetro del eje que soportara la carga. Use la teoría de falla del esfuerzo cortante máximo

y

Problema 11.40 El eje se apoya en las chumaceras que no ofrecen resistencia a la carga axial. Si el esfuerzo cortante permisible para el eje es τperm=35 Mpa, determine con precisión de 1 mm el menor diámetro del eje que soportara la carga. Use la teoría de falla del esfuerzo cortante máximo

Eje de diseño: mediante la observación, la sección critica se encuentra justo a la izquierda del engranaje C, Donde y Usando la teoría de energía en distorsión máxima

use

Problema 11.39 El eje se apoya en las chumaceras que no ofrecen resistencia a la carga axial. Si el esfuerzo normal permisible para el eje es σperm=80 Mpa, determine con precisión de 1 mm el menor diámetro del eje que soportara la carga. Use la teoría de falla de la energía de distorsión máxima

Esfuerzo de torsión y diagramas de momento como se muestra. En el plano principal de tensiones, aplicamos la Eq. 9.5 con y

Problema 11.39 El eje se apoya en las chumaceras que no ofrecen resistencia a la carga axial. Si el esfuerzo normal permisible para el eje es σperm=80 Mpa, determine con precisión de 1 mm el menor diámetro del eje que soportara la carga. Use la teoría de falla de la energía de distorsión máxima

Distorsión máxima de la teoría de energía dejar y

entonces y

Problema 11.39 El eje se apoya en las chumaceras que no ofrecen resistencia a la carga axial. Si el esfuerzo normal permisible para el eje es σperm=80 Mpa, determine con precisión de 1 mm el menor diámetro del eje que soportara la carga. Use la teoría de falla de la energía de distorsión máxima

Eje de diseño: mediante la observación, la sección critica se encuentra justo a la izquierda del engranaje C, Donde y Usando la teoría de energía en distorsión máxima

use

Problema 11.42 El engranaje conectado al eje se somete a las cargas mostradas en la figura. Si los cojinetes en A y B solo ejercen componentes de fuerza en y y z sobre el eje, determine el par de torsión de equilibrio T en el engrane C y después determine, con precisión de 1mm, el menor diámetro del eje que soportara las cargas. Use la teoría de falla de la energía de distorsión máximo con σperm=80 Mpa.

A partir de los diagramas de cuerpo libre

Problema 11.42 El engranaje conectado al eje se somete a las cargas mostradas en la figura. Si los cojinetes en A y B solo ejercen componentes de fuerza en y y z sobre el eje, determine el par de torsión de equilibrio T en el engrane C y después determine, con precisión de 1mm, el menor diámetro del eje que soportara las cargas. Use la teoría de falla de la energía de distorsión máximo con σperm=80 Mpa.

Sección critica en el soporte A

Problema 11.42 El engranaje conectado al eje se somete a las cargas mostradas en la figura. Si los cojinetes en A y B solo ejercen componentes de fuerza en y y z sobre el eje, determine el par de torsión de equilibrio T en el engrane C y después determine, con precisión de 1mm, el menor diámetro del eje que soportara las cargas. Use la teoría de falla de la energía de distorsión máximo con σperm=80 Mpa. exigir

Problema 11.42 El engranaje conectado al eje se somete a las cargas mostradas en la figura. Si los cojinetes en A y B solo ejercen componentes de fuerza en y y z sobre el eje, determine el par de torsión de equilibrio T en el engrane C y después determine, con precisión de 1mm, el menor diámetro del eje que soportara las cargas. Use la teoría de falla de la energía de distorsión máximo con σperm=80 Mpa.

use

Problema 11.43 El eje esta soportado por los cojinetes en A y B que ejercen componentes sobre este, solo en las direcciones x y z. si el esfuerzo normal permisible para el eje es σperm= 15 ksi, determine con una precisión de 1/8 de pulg el menor diámetro del eje que soportara la carga. Use la teoría de falla de la energía de distorsión máxima

Momento critico esta justo ala derecha de D

En ambos estados de esfuerzo se produce el mismo resultado

Problema 11.43 El eje esta soportado por los cojinetes en A y B que ejercen componentes sobre este, solo en las direcciones x y z. si el esfuerzo normal permisible para el eje es σperm= 15 ksi, determine con una precisión de 1/8 de pulg el menor diámetro del eje que soportara la carga. Use la teoría de falla de la energía de distorsión máxima

dejar

y

Problema 11.43 El eje esta soportado por los cojinetes en A y B que ejercen componentes sobre este, solo en las direcciones x y z. si el esfuerzo normal permisible para el eje es σperm= 15 ksi, determine con una precisión de 1/8 de pulg el menor diámetro del eje que soportara la carga. Use la teoría de falla de la energía de distorsión máxima

Problema 11.43 El eje esta soportado por los cojinetes en A y B que ejercen componentes sobre este, solo en las direcciones x y z. si el esfuerzo normal permisible para el eje es σperm= 15 ksi, determine con una precisión de 1/8 de pulg el menor diámetro del eje que soportara la carga. Use la teoría de falla de la energía de distorsión máxima

De Eq(1)

use

Problema 11.46 Los cojinetes en A y D ejercen componentes de fuerza sobre el eje solo en y y z. si τperm= 60MPa, determine con precisión de 1 mm el menor diámetro dele je que soportara la carga. Use la teoría de falla de la energía de distorsión máxima.σperm= 130MPa.

Problema 11.46 Los cojinetes en A y D ejercen componentes de fuerza sobre el eje solo en y y z. si τperm= 60MPa, determine con precisión de 1 mm el menor diámetro dele je que soportara la carga. Use la teoría de falla de la energía de distorsión máxima.σperm= 130MPa.

Momento critico en B

Problema 11.46 Los cojinetes en A y D ejercen componentes de fuerza sobre el eje solo en y y z. si τperm= 60MPa, determine con precisión de 1 mm el menor diámetro dele je que soportara la carga. Use la teoría de falla de la energía de distorsión máxima.σperm= 130MPa. desde

dejar

y

Problema 11.46 Los cojinetes en A y D ejercen componentes de fuerza sobre el eje solo en y y z. si τperm= 60MPa, determine con precisión de 1 mm el menor diámetro dele je que soportara la carga. Use la teoría de falla de la energía de distorsión máxima.σperm= 130MPa.

De Eq(1)