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Capítulo 7

LEY DE KIRCHHOFF DEL VOLTAJE (LlCV) La ley de Kirchhoff del voltaje afirma que el voltaje aplicado a un circuiro cerrado es igual a la suma de las caídas de voltaje en ese circuito. Este hecho se usó en el estudio de los circuitos serie y se expresó como sigue: Voltaje aplicado = suma de caídas de voltaje

V...,= V¡+ V2 + VJ

(7-1)

en la cual VA es el voltaje aplicado y V¡, ~ y ~ son caídas de voltaje. Otra manera de expresar la LKV es que la suma algebraica de las subidas de voltaje y las caídas de voltaje debe ser igual a cero. Una fuente de voltaje o fem se considera una subida de voltaje; el voltaje entre los extremos de un resistor se considera una caída de voltaje. A menudo resulta conveniente identificar las fuentes de voltaje con subíndic~s literales y las caídas de voltaje con subíndices numéricos. Esta forma de la ley puede escripirse transponiendo el segundo miembro de la ecuación (7-1) al primer miembro. Voltaje aplicado - suma de las caídas de voltaje = O En símbolos:

v. . -

V¡- V2- v3 = o V...,- (V¡ + V2 + V3j =O

o bien

Usando un nuevo símbolo, E, la letra griega sÍgma mayúscula, tenemos

(7-2)

.IV= VA-_ V¡- V2- VJ =O

";

en la cual E V, la suma algebraica de todos los voltajes en cualquier circuito cerrado es igual a cero. ~significa "la suma de". En la fórmula E V = Oasignamos un signo + a una subida de voltaje y un signo - a una caída de voltaje (Fig. 7-1). Al rastrear las caídas de voltaje en un circuito, iníciese en la terminal negativa de la fuente de voltaje. El cam)lo de la terminal negativa a la terminal positiva a través de la fuente es una subida de voltaje. Continuamos recorriendo el circuito desde la terminal positiva por todos los resistores hasta regresar a la terminal negativa de la fuente. Si en la· figura 7-1 comenzamos en el punto a, la terminal negativa de la batería, y recorremos el circuito en la dirección abeda, pasamos por VA de - a + y VA = + 100 V. Si comenzamos en el punto by nos movemos en la dirección contraria bodcb, pasamos por VA de + a - y VA = - 100 V. La caída de voltaje en cualquier resistencia será negativa (-)si la recorremos en la dirección de + a -. Por lo tanto, si recorremos el circuito de la figura 7-1 en la dirección abcda, V1 = -SO V, V2 = -30 V y ~ = -20 V. La caída de voltaje será positiva si recorremos una resistencia en la dirección de - a +.

b

v1

= 50

v

e

!: V

+ 100 V-_: -

-:.-

=

~~~ -· V1 - V~ ·· v, 100 - 50 -- JO - 20 100 - 100

o' R~ +

a

d

Flg. 7-1.

Ilustración de I: V

=O

102

• ;

LEYES DE KIRCHHOFF

[CAP. 7

Por consiguiente, al recorrer el ci· cuito en la dirección abcda tenemos

IV=O

vA- v.-

V2- vl = o 100- 50 -·30- 20 = o

0=0 Ejemplo 7.1 Determínese la dirección del voltaje al recorrer el circuito abcda (Fig. 7-2) y luego escríbase la expresión para los voltajes del circuito. Supóngase que la dirección de la corriente es la indicada. Márquense las polaridades + y - de cada resistor. V:~ es una fuente de voltaje ( + ). (Es una subida de voltaje en la dirección supuesta de la corriente.) V1 es una caída de voltaje (- ). (Es una disminución en la dirección supuesta.) V2 es una caída de voltaje (- ). (Es una disminución en la dirección supuesta.) V8 es una fuente de voltaje (- ). (Es una disminución del voltaje en la dirección supuesta de la corriente.) V1 es una caída de voltaje (- ). (Es una disminución en la dirección supuesta.)

.IV=O +VA-

v.- vl- Vs-

V]=

o

Agrúpense las subidas y las caídas de voltaje.

•

Nótese que las caídas de voltaje incluyen una fuente de voltaje Vw Normalmente las fuentes son positivas. En este caso, la polaridad de la fuente actúa contra la dirección supuesta de la corriente, por lo que su efecto es disminuir el volraje.

Vz

b

1

+

+

r-

+ W:v

t'ig. 7-2

~

vl

r· -

+ V2

+

+

a

+

1

v.

v,

v. = 3 V

e

V

VA

!SV.~

-I

+ '\Nw V3 2 V

=

u

d

Ilustración de la LKV con dos fuentes

Fla. 7-3

=6 V

r··'

Determinación del voltaje de una fuenie

Ejemplo 7.2 Determínese el voltaje V8 (fig. 7-3). ·· , La dirección del nujo de la corriente está indicada por la flecha. Márquese la polaridad de las caídas de voltaje de los resistores. Recórrase el circuito en la dirección del flujo de la corriente a partir del punto u. Escríb¡¡sc la ecuación de los voltajes en el circuito.

(7-2)

.IV= O Úsense las reglas + y - para las subidas y las caídas de voltaje.

•

VA- V,-

v2-

Va -

v~

=o

Resuélvase para V8 .

Vs == VA -

v. - v2-

V)= 15- 3- 6- 2 = 4 V

Respu!'sfu

Como se encontró que VH es positiv(l, la dirección supuesta de la corriente es efectivamente su tlirccciún reéll.

······-·····---

--

.

--·------·- --·---------- ...,

i LEYES DE KIRCHHOFF

CAP. 7]

103

LEY DE KIRCHHOFF DE LA CORRIENTE (LKC) La ley de Kirchhoff de la corriente afirma que la suma de las corrientes que entran a un nodo es igual a la suma de las corrientes que salen del nodo. Supóngase que tenemos seis corrientes que salen o entran a un punto común o nodo, indicado por P (Fig. 7-4). ·

.

.~..

punto C!lmím, unión, junta o-nodo

Fig. 7-4 ·corrientes que c~inciden en un punto común

Suma de todas las corrientes entrantes = suma de todas las corrientes salientes ..

Sustitúyanse por los simbol<Js:

1• + 13 + 14 + 16 = 1z + 1, Si consideramos que las corrientes que fluyen hacia un nodo son positivas ( + ) y que las corrientes que salen del mismo nodo son negativas (-)~ entonces esta ley afirma que la suma algebraica de todas las corrientes que se encuentran en un punto común es cero. Usando el símbolo E, tenemos

.I1 =O en la que E /, la suma algebraica de todas las corrientes en el punto común,' es cero.

1• - 12 + 13 + 14 - 1, + 16 - O Si se trasoonen los términos negativos al primer miembro, obtendríamos la ecuación original.

Ejemplo 7.3

Escríbase la ecu.aci6n para la corriente / 1 de la parte a y la parte b de la figura 7-5.

--~M--QP

{a)

Fig. 7-S ·Ilustración de la LKC

{b)

La suma algebraica de todas las corrientes en el nodo es cero. Las corr-ientes que. e.ntran son que salen del·nodo son -. (a). '+'11 - 12 - 13 = O

Respuesta 1, = 12 + 13 (b) +I, - 12- 13- 14 = o Respuesta I, = 12 + 13 + 14

+ ; las corrientes ¡ . i

.,

1

• !

LEYES DE KIRCHHOFF

104

[CAP. 7

Ejemplo 7.4 Encuéntrense las corrientes desconocidas de las partes a y b de la figura 7-6. /1

=?

13

p

12 = 3 A

=3A ~

o(:--

i

12

=7A

(b)

(a)

Flg. 7-6 Determinación de la corriente

La suma algebraica de todas las corrientes en el. nodo es cero. Las corrientes que entran son +; las corrientes que salen son - . · (a) -1. + I2- 13 = O 1. = 12 - 13 = 7 - 3 = 4 A Respuesta (b) +1.+12-13+1.. =0 Respuesta 14 = -1.- 12 + 13 = -2- 3 + 4 = -1 A El signo negativo de / 4 significa que la dirección supuesta para / 4 es incorrecta y que / 4 realmente está fluyendo hacia afuera del punto P .

•

CORRIENTES DE MALLA Una simplificación de las leyes de Kirchhoff es el método que hace uso de corrientes de malla o de circuito. Una malla es cualquier trayectoria cerrada en un circuito. No importa que el recorrido contenga una fuente de voltaje. Al resolver un circuito mediante corrientes de malla, primero debemos decidir las trayectorias que serán las mallas. Luego se asigna una corriente de malla a cada una. P.or conveniencia, generalmente se suponen las corrientes de malla en la dirección de las manecillas del reloj. Esta dirección es arbitraria, pero la dirección de las manecillas del reloj es la usada con mayor frecuencia. Luego la ley de Kirchhoff del voltaje se aplica al recorrido de cada malla. Las ecuaciones que resultan determinan las corrientes de malla desconocidas. De éstas, se puede encontrar la corriente o el voltaje de cualquier resistor. e

+ Rl

~

VI

+

+ Rl

d

07

v3

---·v +

+

V-,: A7

e

v2

R2

-:-

B

+

Malla 1

b

1,l i

12

Malla 2

Q

f

Flg. 7-7 Circuito de dos mallas

En la figura 7-7 tenemos un circuito de dos mallas, marcadas como malla 1 y malla 2. La malla 1 es la trayectoria abcda y la malla 2 es el recorrido adeja. Se conocen todas las fuentes de voltaje y todas las resistencias. Un procedimiento para obtener las corrientes de malla / 1 e /2 es el siguiente: Paso 1.

Después de elegir las mallas, muéstrese la dirección de las corrientes de malla/1 e / 2 en la dirección de las manecillas del reloj. Márquese la polaridad del voltaje entre los extremos de cada resistor de acuerdo con

105

LEYES DE KIRCHHOFF

CAP. 7]

la corriente supuesta. Recuérdese que el flujo convencional de corriente en un resistor produce una polaridad positiva en donde entra la corriente. Paso 2.

Aplíquese la ley de Kirchhoff del voltaje, I: V = O, al recorrido de cada malla, recorriendo cada una en la dirección de la corriente de malla. Nótese que hay dos corrientes diferentes (/1 , / 2) que fluyen en direcciones opuestas por el mismo resistor, R2 , el cual es común en ambas mallas. Por esta razón se indican dos gr_upos de polaridades junto a~ (Fig. 7-7). Recórrase la malla 1 en la dirección abcda.

+VA- IIRI- IIR2 + I2R2 =o +VA.- 11(R 1 + R:z) + I2R2 =O + l¡(R¡ + R2)- I2R2 = VA·

•

(1)

Nótese que en la primera expresión /2 R2 es + porque pasamos una caída de voltaje de - a + . Recórrase la malla 2 en la dirección adeja.

-I2R2 + l;R2- I2R3- Va =O +I1R2- I2(R2 + R3) = Va Nótese que / 1R2 es una caída de voltaje + porque pasamos una caída de voltaje de - a +.

(2)

Paso 3.

Encuéntrense / 1 e 12 resolviendo simultáneamente las ecuaciones (1) y (2).

Paso 4.

Cuando se conozcan las corrientes de malla, encuéntrense todas las caídas de voltaje en los resistores mediante la ley de Ohm.

Paso 5.

Compruébese la solución de las corrientes de malla recorriendo la malla abcdeja.

VA- I1R1 - IzR3- Va

=O

Ejemplo-7.5 Dados VA= 58 V, V:.; = 10 V, R 1 = 4 O, R2 = 3 O y R 3 = 2 O (Fig. 7-8a), encuéntrense todas las corrientes de malla y las caídas de vc...dje en el circuito. e

+

.r~

Rl

+ R3 -

d

.AA

VI

+

~ =58 V "':'::"'

vl -

malla 1

b

~R

d

e

v3 o

07

40

2

1

+

2

-..:-V -,:-B

3o

/1

= 10 V

Q

lOA

1

A

l/2 = 4 A 1 /1 - 12 = 6 A

R2

1

"'

+

lll i/2

•

malla 2

1

Q

(b)

(a)

Fig. 7-8 Obtención de las corrientes de malla y de las caídas de voltaje

Paso 1.

Elijanse los dos circuitos cerrados o mallas que se indican. Muéstrese la corriente de malla ·en la dirección de las manecillas del reloj. Indíquense los signos de polaridad en los extremos de cada resistor.

Paso 2. . Aplíquese I: V = O en la malla 1 y en la malla 2 y recórrase cada malla en la dirección de la corriente de malla. · · Malla 1, abcda:

+58- 411 - 31, + 312 =

o

+711- 312 =58 Malla 2, adefa:

311 - 312- 212- lO = 311- 512

(I)

o

= 10

Nótese que las corrientes.de malla / 1 e / 2 fluyen por el resistor común R2 •

(2)

•

•

106

Paso 3.

LEYES DE KIRCHHOFF

[CAP. 7

Encuéntrense ¡; e /2 resolviendo las ecuaciones (J) y (2) simultáneamente. 71. - 312 ·= 58

(1)

= 10

(2)

31.- 512

Multipllquese la ecuación (J) por S y multiplíquese la ecuación·(2) por 3, para obtener las ecuaciones (/a) y (2a). Luego réstese la ecuación (2o) de la ecuación (la). 351• - 15Iz 91. - 1512

261.

= 290 = 30 =

(la)

(2a)

260

=

lOA

Respuesta

58 = 12 = 4 A

Respuesto

I.

Sustitúyase ¡; = 10 A en la ecuación(/) pata encontrar /2 • 71.- 31z =58 7(10) - 312

= 58

-3!2 =58 ...... 70

¡2

= 70 -

3

3

La corriente por la rama da es 1•·

•

= I. -

Iz

= 10- 4 = 6 A

Respuesta

En este caso, la dirección supuesta de las corrientes de malla fue correcta porque los valores de. la corriente son positivos. Si el valor de la .corriente fuese negativo, la dirección correcta sería opuesta a la dirección supuesta de la corriente. (Véase la figura 7-8b.) Paso 4.

Encuéntrense todas las caídas de voltaje.

= 40V Vz ={l. -IJR2 = 6(3) = 18V V1

Paso S.

= I.R

1 ""'

Respuesta Respuesta Respuesta

10(4)

Compruébese la solución con las corrientes de malla recorriendo el circuito cerrado abcdefa y aplicando la LKV.

VA -

v. - vl-

=o 10 = o

Vs

58 - 40 - 8 58-58=

o

0=0

Comprobación

VOLTAJES DE NODO

•

Otro método para la solución de un circuito con corrientes de malla emplea ias c~ídas de voltaje para especificar las corrientes en un nodo. Se escriben las ecuaciones de las corrientes en los nodos para satisfacer la ley de Kirchhoff de las corrientes. Al resolver las ecuaciones de los nodos podemos calcular los voltajes desconocidos de l<;>s nodos. Un nodo es una conexión común de dos o más componentes. Un nodo principal tiene tres o más conexiones. A cada nodo de un circuito se le asigna una letra o un n~mero. A, B, G y N son nodos, mientras que G y N son nodos principales o juntas (Fig. 7-9). Un voltaje de nodo o nodal es el voltaje de cierto nodo con Tespecto a un nodo especial llamado nodo de rererencia. Elijase el nodo G conectado a tierra en el chasis como el nodo de referencia. Entonces, VAa es el voltaje entre los nodos A y G, V80 es el voltaje entre los nodos B y G y finalmente, VNa es el voltaje entre los nodos N y G. Como el voltaje de nodo está siempre determinado con respecto a un nodo de referencia especifico, se usa la notación VA para VAa• V8 para V80 y VN para VNG. Con excepción del nodo.de referencia, en cada nodo principal se pueden escribir ecuaciones usando la LKC. Por consiguiente, el número necesario de ecuaciones es menor en uno al número de nodos principales. Como el cir-

.---------·---- ---------

CAP. 7]

LEYES DE KIRCHHOFF

A

+ R,

107

•

B

N

+

+ v.O:: A-

OO::v. -rs

Malla 1

Malla 2

G

__._

Fig. 7-9 Nodos de un circuito de dos mallas cuito indicado (Fig. 7-9) tiene dos nodos principales (N y C), sólo se requiere escribir una ecuación en el nodo N para encontrar todas las caidas de voltaje y corrientes en el circuito. Supóngase que las corrientes de rama / 1 e /2 entran al nodo N y que / 3 sale del nodo (Fig. 7-9). La selección de la dirección de las corrientes es arbitraria. De la LKC,

I1 =O 11 + 12- 13 =o 13 = 1t + 12

(1)

Por la ley de Ohm, (la)

(lb)

•

(1c}

Sustitúyanse estas expresiones en la ecuación (/).

(2) Si VA, V8 , ~ 1 , R2 y R3 se conocen, VN puede calcularse por medio de la ecuación (27). Posteriormente se pueden determinar todas las caídas de voltaje y las <;orrientes del circuito. Ejemplo 7.6 En la figura 7-10 se repite el circuito de la figura 7-8 (ejemplo 7.5), el cual se había ya resuelto con el método de las corrientes de rama. Resuélvase mediante el análisis del voltaje de nodos. A

+ Rl

-

-

N

R3 +

B

y

v,

~

40

/1

/2

V~

20

+

+

R2

V= 58 V-_:A

~

~

v2 Malla 1

l/3 G

+ -..:- V

30

-

,8

lO V

Malla 2

~

Flg. 7·10 Análisis del voltaje de los nodos para el mismo circuito de la figura 7-8

~ 1 !

1

-----.---- - - - - ~

[CAP. 7

LEYES DE KIRCHHOFF

108

Paso l.

S~póngase

Paso 2.

Apliquese la LKC en el nodo principal N y resuélvase para VN.

la dirección de las corrientes que se indica (Fig. 7-10). Márquense los nodos A, B, N y G. Márquese la polaridad del voltaje en cada resistor de acuerdo con la dirección supuesta para la corr.iente.

13 VN

= 11 + 12 = VA - VN + Vs -

R2

R1

VN

58 - VN

3=

VN

R3

4

10- VN

+

2

Elimínense las fracciones multiplicando cada término por 12. 4VN

= 3(58-

VN)

+ 6(10-

VN)

4VN .,. 174- 3VN + 60- 6VN 13VN VN

Paso 3.

= 234 = 18V

Encuéntrense todas las caídas de voltaje y las corrientes.

vl

=

vA - vN = 58 - ts

v2 = VN = 18 V V3

= Vs-

VN

= 40 v

Respuesta

Respuesta

= 10- 18 = -8V

Respuesta

El valor negativo de ~ significa que ~ fluye en la dirección opuesta a la supuesta y que la polaridad de V3 es la opuesta a los signos indicados en R3 (Fig. 7-10) .

•

1.

V = 40 = --l -4 = 10 A R1

Respuesta

-8 = RV3 = T = -4 A Respuesta 13 = 1. + 1z = 10-4 = 6A Respuesta

12

3

Comprobación

Todos los valores calculados concuerdan con los del ejemplo 7.5.

Problemas resUBeDtos 7.1

Encuéntrense los signos de los voltajes al recorrer la malla afedcba y escríbase la expresión para la LKV (Fig. 7-11). a

+

Vl

-

+

1

+

•

l V~ i

:i 1

VA

l'ig. 7-11

v2

E--

cE--

l 1· -

+

l

+

+

f!

~

-

e

b

-

-!ll

~

VI

Ve

e

-

'11 VB

+

Recorrido de dos mallas

d

109

LEYES DE KIRCHHOFF

CAP. 7]

Su pónganse las direcciones del flujo de corriente que se indican. Márquense las polaridades en cada resistor. es - porque pasamos una caída de voltaje de + a - . Ve es - porque pasamos una subida de voltaje de + a -. V2 es - porque pasamos una caída de voltaje de + a - . V8 es - porque pasamos una subida de voltaje de + a - . VA es + porque pasamos una subida de voltaje de - a + . es - porque pasamos una caída de voltaje de + a - . ~

•

v;

.IV=O - v3- Ve- v2- Va+ VA- v. =o VA- Va- Ve- v.- vl- VJ =o (VA- Va- Ve)- {V.+ Voz+ V:¡)= 0 Subida de voltaje 7.1

Respuesta

Caída de voltaje

Encuéntrense/3 e,/4 (Fig. 7-12). a

b

V

-r ~--------4---------~--------~

Fig. 7-12 Determinación de corrientes mediante la LKC Apliquese la LKC, E 1 = Oen el nodo a. 30- 12- 14

•

=o Respuesta

14 = 30 - 12 = 18 A Aplíquese la LKC, E 1 = O en el nodo b. 18 - 10 --13

=o

13 = 18 - 10 = 8 A

Respuesta

Compruébese la solución.

h

= 1.

+ I2 + l_,

30 = 12

+ 10 + 8 Comprobación

30 = 30 7.3

Resuélvase el circuito de dos mallas para todas las corrientes de malla (Fig. 7-13).

+ ~~

+

= 85 V ..:..

..:,. V 8 = 45 V

Malla 1

Malla 2

a }'ig. 7-13

Dos mallas con la fuente· de voltaje en la rama central

•

110

•

LEYES DE KIRCHHOFF

[CAP. 7

1

Paso 1.

Indiquense las corrientes de malla con la dirección de las manecillas del reloj.

Paso 2.

Apliquese E V = Oa la malla 1 y a la malla 2 y recórrase cada malla a partir de a en la dirección de la corriente de malla. 8S - lOI, - 4S = O Malla 1: 101, = 40 Respuesta I, = 4A

4S- Slz =O Slz = 4S I2 = 9A

Malla 2:

Paso 3.

Respuesta

Compruébese recorriendo el circuito cerrado de la malla 1 y 2 y usando E V = O.

VA- I,R,- I2R2 =o 8S - 4(10)- 9(S) = o 8S- 40- 4S =o 8S-8S=O 7.4

Encuéntrense todas las corrientes ele malla y las caídas de voltaje para el circuito de dos mallas mostrado en la figura 7-14. ' R,

e:

r;

•

Comprobación

+ ~ = 110 V

50

+

VB =

R3

d

190 V __._

07

15

e

o

_-:-

:;::t

R4

R2 ~so

r,~

Fig. 7-14

20

o

i /2

b a f Dos mallas con una fuente de voltaje y un resistor en la rama central

Paso 1.

Muéstrese la dirección de las corrientes de malla como se indican.

Paso 2.

ApUquese E V = O a las mallas 1 y 2, en la dirección de la corriente de la malla. 110. - SI. - 190 - Sit + SI2 = O -10I1 + SI2 - 80 = O -10r. + Siz = 80

Malla 1, abcda:

Malla 2, adeja: Paso 3.

=O SI,- 40I2 = -190

(l)

Sit - SI2 + 190 - 1SI2 - 20I2

(2)

Encuéntrense / 1 e / 2 resolviendo las ecuaciones (1) y (2) simultáneamente.

-101. + SI2 SI. - 40I2

= 80

(1)

= -190

(2)

Multiplíquese la ecuación (2) por 2 para obtener la ecuación (2a); luego súmese.

•

-10It + SI2 = 80 IOI.- 80I2 = -380 -7SI2 = -300 I2 =

300 75 =

4A

Respuesta

(J)

(2a)

l

CAP. 7]

111

LEYES DE KIRCHHOFF

•

Sustitúyase / 2 = 4 A en la ecuación (1) para encontrar /t.

-101 1 + 5(4) = 80 -101.

= 60

r. = -6A

·Respuesta

El signo negativo indica que la dirección supuesta de la corriente / 1, no era la correcta. En realidad, / 1 circula en dirección contraria a las manecillas del reloj. En-la rama ad, / 1 e /2 tienen la misma dirección. Por consiguiente, Iad

Paso 4.

= I. + Iz = 6 + 4 =

10 A

Respuesta

Encuéntrense las taídas de voltaje.

v. = I.R. = 6(5) = 30 V

Paso S.

Respuesta V 2 = (l.+ 1-z)Rz = 10(5) = 50 V Respuesta V3 = IzR3 = 4(15) = 60 V Respuesta V4 = IzR4 = 4(20} = 80 V Respuesta Compruébese el cálculo. Recórrase el circuito cerrado abcdefa (úsese la dirección supuesta originalmente para J. e / 2).

+VA - I.R. - IzR3 - IzR4 = O 110- (-6}(5}- 4(15) - 4(20) = o

110 + 30 - 60 - 80 140- 140 7.5

=o =o

Comprobación

Encuéntrese el voltaje V2 entre los extremos de R2 mediante el método de análisis del voltaje de nodos (Fig. 7-15a). A

8

N

/J +

V. "

= 12 V-...:-

v2

"":":""

R4

20

+ 20

Rz

-=..v -'7- M

-8 20

•

+

+

¡/]

VB

¡Mr ..

=6V

+

G

~ {a)

Esquema del circuito

{b)

Trayectoria cerrada GBG

Flg. 7-15 Obtención de V2 mediante el método del voltaje de nodos Paso l.

Supónganse las djrecciones de .las corrientes que se indican. Márquense las polaridades de los voltajes. ldentifiquense los nodos A, B, N, G.

Paso l.

Apliquese E 1 = O al nodo principal N. I) = I. Iz Vz

VN

Rz

2

(1)

(la)

13 = - = -

r. =.Y!= vA- vN = 12- vN ·

Iz

R1

= v3 = Va RJ

R.

- VN

R3

8

= Va

- VN 4

(lb)

!

(le)

No es posible determinar por inspección V8 de la ecuación (le) porque ~ po es un dato (Fig. 7-15a). Por consiguiente, usamos la LKV para encontrar Va al recorrer él circuito completo de G aBen la dirección de 11 (Fig. 7-15b). GBG es una trayectoria completa porque V8 es el voltaje de B con respecto a tierra.

i

• 1

1

·- ---- -- __j

•

112

LEYES DE KIRCHHOFF

-6- 212 - Va

[CAP. 7

=O

Va= -6- 212 Sustitúyase la expresión para V8 en la ecuación {le),

I2 =

-6-

2I~-

-

VN

4

de la cual obtenemos

I2 =

-6- VN 6

Sustitúyanse las tres expresiones para la corriente en la ecuación {1). VN

2=

12- VN

s

+

-6- VN 6

(2)

Ahora la ecuación (2) sólo tiene una incógnita, VN. Paso 3.

Encuéntrese

Jl2
= VN). Multiplíquese cada miembro de la ecuación (2) por 24. I2VN = (36- 3VN)

+ (-24- 4VN)

19VN = 12 VN

= ~ = 0.632 V

V~ =

•

7.6

Respuesta

V N = 0.632 V

Escríbanse las ecuaciones de malla para el circuito de tres mallas (Fig. 7-16). No se resuelva al circuito .

....

+

-..:20 V -¡:-

60

40

20

~

07

f/7 \so

30

-":'- SV +

Malla 1

Malla 2

Malla 3

Fig. 7-16 Un circuito de tres mallas

Muéstrense las corrientes de malla con la direcci6n de las manecillas del reloj. Rec6rranse los circuitos cerrados en la dirección supuesta de la corriente, usando la LKV, E V= O. · Malla 1: Malla2: Malla 3:

20 - 2I, - 31 1 + 312 = O

(J)

-412 - SI2 + 513 - 312 + 31. = O -613 + 5 - 513 + 512 = o

(3)

(2)

Agrúpense los términos semejantes y redistribúyanse los términos de cada ecuación. Malla 1: Malla2: Malla 3:

•

20 = SI, - 31~ Respuesta O = -31, + 1212- 51) Respuesta 5 = - SI2 + lli) Respuesta

(la) (2a) (Ja)

Para cualquier número de mallas, se puede resolver por determinantes un sistema de cualquier número de ecuaciones simultáneas. El procedimiento se explica en los textos de matemáticas. ·

113

LEYES DE KIRCHHOFF

CAP. 7]

•

Problemas complementarios Encuéntrense las cantidades desconocidas que se indican en la figura 7-1 7a y b. Respuesta (a) 1 = 8 A; (b) V8 = 10 V

7.7

2V

--7 20 A

+1,...---w.

12A

..j,

1+

v: ~'----~--~~ ~ ~

20 1

(al

= ?

(b}

Fig. 7-17

Encuéntrese la corriente en serie y las caídas de voltaje en R 1 y R1 (Fig. 7-18). Respuesta 1 = 1 A; v; = 10 V; V2 20 V

7.8

10 V

4 O

15 V

,.....--tjl~ltl-+----. R = ?

6!1

+

~--------~G 1---------~

V 8 = 20 V

VG=IISV

Fig. 7-18

Fig. 7-19

7.9

En el circuito (Fig. 7-19) fluye una corriente de 6 A. Encuéntrese el valor de R.

7.10

Encuéntrense / 2 ,

/

3

y VA (Fig. 7-20).

Respuesta

12 6 A: ~1 = 2 A;

V:~ =

Respuesta R

R2

+

20

n

120 V-~

= 5n

152 V

6!1

V

•

2{!

V

2

> 15

{!

-_:-

A-

12

Fig. 7-20

n

;n Fig. 7-21

7.11

Encuéntrense las corrientes de malla / 1 e / 2 y todas las caidas de voltaje pór medio del método de las corrientes de malla (Fig. 7-21). Respuesta / 1 = 5 A; / 2 = 3 A; V1 = 30 V; V, = 30 V; V3 = 60 V; V~ = 6 V; V~ = 9 V; V6 = 15 V ... .

7.12

Encuéntrense ladas las corrientes que pasan por los resistores mediante el método de las corrientes de malla (Fig. 7-22). Respuesta / 1 = 3 A; / 2 = l A; / 1 - / 2 = 2 A (fluyendo de a hacia b)

•

[CAP. 7

LEYES DE KIRCHHOFF

114

•

40

1o

Q

a

1

1

/1

/2

25V~

1/2

1/1

=4 o

20

.~ 2

~60 ~

50

.~

+

o +

~IOV

!OV~

-

1o

-

30

b

b flg •.7-23

Fig. 7-22

7.13

Encuéntrese la corriente en cada resistor, usando el método de las corrientes de malla (Fig. 7-23). Respuesta ~ = 2 A; 4 = - 1 A (la dirección supuesta de la corriente fue incorrecta), o 12 = 1 A en la dirección contraria a las manecillas del reloj;~ + /2 = 3 A (circulando de a a b)

7.14

Encuéntrense ias corrientes / 1 e / 2 y la corriente que pasa por la batería de 20 V usando el método de las corrientes de malla (Fig. 7-24). Respuesta / 1 = 2 A; / 2 = 5 A; 4 - ~ = 3 A (fluyendo de b a a) 30

Q

•

o

1 (}

20

+

~20V

+

• 4

o

10

'

o

+ ~20V -:-

22 V --•

-:;:-

b

o

=~ 10 V +

b Fig. 7-25

Fig. 7-24

7.15

Encuéntrense las corrientes J1 e 4 y la corriente que pasa por el resistor en serie con la batería de 20 V (Fig. 7-25). Úsese el método de las corrientes de malla. Respuesta 11 = -0.1 A (la dirección supues.ta es incorrecta; en realidad,~ va en la dirección contraria a las manecillas del reloj); / 2 = 0.7 A; J 1 + /2 = 0.8 A (fluyendo deba a)

7.16

Encuéntrense las corrientes / 1 e Iz y la corriente que pasa por el resistor de 20 O común a las mallas 1 y 2 . _. (Fig. 7-2~). Úsese el método de las corrientes de malla. Respuesta 11 = 0.6 A; / 2 = 0.4 A; / 1 - 4 = 0.2 A (fluyendo de a a b) a

10 O

~ 20 V=:=:

lS O

07 20

...

•

Q

u

3O

1/2

~~~

/

n

40

2(}

+ +

=9= 10 V

20

o

28 V-=-.

+

...:... 8 V

-1 ~

b Fig. 7-26

1

o

-r b Fig. 7-27

JIOV

.------·--.-- - ·-

-

115

LEYES DE KIRCHHOFF

CAP. 7]

En el circuito mostrado, encuéntrense todas las corrientes por medio del método de la corriente de malla (Fig. 7-27). Respuesta 11 = 6 A; / 2 = 7 A; 12 - / 1 = 1 A (fluyendo de b a a) Encuéntrense todas las corrientes y todas las caídas de voltaje por _medio del método de análisis del voltaje de los nodos (Fig. 7-28). Respuesta / 1 = 5 A; / 2 = - 1 A (contraria a la dirección indicada); i3 = 4 A; V. = 60 V; V2 = 24 V: J..:, =3V

7.17 7.18

R,

R3

v,

v·3 o

~

----';

12 O 1,

+ 84 V-:;--

/2

R,

~20

I,

:::t 21

60

v2

V

80~

+

R2

R3

....

3

/2

R4

+ 12 V--¡:-

V

40

20

R2

l/3

l/3

Fig. 7-28

_.t6v

+

}'ig. 7-29

7.19

Mediante el método del voltaje de los nodos, encuéntrense todas las corrientes y caídas de vollaje (Fig. 7-29). Respuesta / 1 = 1.42 A; /2 = - 1.10 A (opuesta a la direcci6n indicada); / 3 = 0.32 A; V1 = 1.1.4 V; ~ = 0.64 V; V3 .= 2.2 v; V4 = 4.4 v·

7.20

Escríbanse las ecuaciones de malla para e! circuito (Fig. 7-30). No se resuelva el sistema. Respuesta 611 - 212 = lO; -2/1 + 8/2 '--- 2~1 = O; 212 + 6~ = -4 20

2-n _...

.

--- ~

~ o

-:-

+

20

•

-..:-¡::- 4V

~2

20

20

7.il

20

~

+ lO V

•

20

Fig. 7-30 Verifíquense los valores de las corrientes en el circuito que se muestran en la figura 7-23 (problema 7 .13) por medio del método del voltaje de los nodos.

Verifíquense los valores de las corrientes en el circuito de la figura 7-25 (problema 7.15) mediante el método del voltaje de los nodos. 7.23 Encuéntrese la magnitud de todas las 15 o N 50 corrientes y muéstrense sus direcciones en el nodoN(Fig. 7-31). (Sugerencia:~"= 1.67 V.) Respuesta o. 94 A N 0.11 A ts n 20 o 7.22

T

0.83 A

7 24

Si el resistor de 20 n (Fig. 7-31) se sustituye por un resistor de 30 O, ¡,cuál es el voltaje nodal V:v? Respuesta ~" = 3.75 V

+ 30 V--.'-

~15V + G

Fig. 7-31

•