Leyes De Kirchoff

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LEYES DE KIRCHOFF 1.1 OBJETIVOS 

Comprobar experimentalmente las leyes de Kirchoff.

1.2 FUNDAMENTO TEÓRICO Existen circuitos complejos que no pueden reducirse o combinaciones sencillas de conexiones en serie y paralelo de resistencias. Por ejemplo la figura 1-a se muestra un circuito de resistencias complejo con una conexión transversal, el circuito de la figura 1-b incluye generadores en paralelo.

FIGURA 1-A

FIGURA 1-b

Para resolver este tipo de circuitos, es decir calcular las intensidades de corriente que circulan por cada ramal existen varias técnicas que emplean precisamente las leyes de Kirchoff. A continuación se definen los térmicos que serán empleados en nuestros análisis: Nudo.- Punto donde se unen tres o más conductores.

1

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Malla.- Cualquier trayectoria conductora cerrada es un circuito. En la figura 1-a, son nudos de los puntos a,d,b,e En la figura 1-b, son nudos de los puntos a y b En la figura 1-a, son mallas las trayectorias cerradas aceda, defbd, hadefbgh En la figura 1-b, son mallas las trayectorias cerradas abcda , aefba Primera ley de Kirchoff (ley de nudos ) La suma algebraica de las intensidades de corriente que concurren en un nudo es iguala cero. Esta ley pone de manifiesto únicamente el principio de la conservación de la carga.

(  I ) nudo = 0

(1)

Como se trata de una suma algebraica se deben considerar signos: I es (+) cuando entra al nudo I es (-) cuando sale del nudo Segunda ley de Kirchoff ( ley de las mallas ) En un contorno cerrado (malla), la suma algebraica de las fuerzas electromotrices (f.e.m.) es igual a la suma algebraica de las “caídas de tensión” en cada resistencia. Siempre debe tenerse en cuenta que ésta ley es simplemente una manera particular de enunciar el principio de la conservación de la energía en circuitos eléctricos.

 .e.m. =  VR

(2)

VR = I R

(3)

 e.m.=  I R

(4)

Por ley de ohm:

Entonces:

La dificultad de la aplicación de las leyes de Kirchoff se presenta en la elección adecuada de los signos algebraicos y no en la comprensión de los conceptos físicos que son elementales.

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I)

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Aplicaremos las leyes de Kirchoff el circuito mostrado en la figura 2.

FIGURA 2.

V = Voltaje entregado por la fuente (f.e.m.) (V) I = Intensidad de corriente (A) R1,R2, R3, R4 =Resistencia () Por convención se adopta que la intensidad de corriente “I” sale del borne positivo de la fuente y entra al negativo de la misma. Con las resistencias del circuito esta conectadas en serie, la intensidad de corriente que circulan por todo el circuito es la misma. Para aplicar las leyes de Kirchoff, previamente se deben asignar las corrientes de la malla, la intensidad de corriente de malla es la intensidad de corriente “1” que suministra al circuito. Se debe notar que en el circuito no existen nudos, por lo tanto no será necesario aplicar la ley de los nudos. Al aplicar al circuito la ley de mallas, se obtiene:

 e.m.=  I R V = I R1 + I R2 + I R3 + I R4

3

(5)

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V I



R1 + R 2 + R 3 + R 4

(6)

Se define la resistencia equivalente (R eq) como la única resistencia capaz de remplazar a los componentes produciendo el mismo efecto. Req = R1 + R2 + R3 + R4

(7)

Además: R eq 

V

(8)

I

La potencia eléctrica que se disipa en las resistencias se puede calcular por: P= I2 Req (W)

(9)

La potencia eléctrica que se suministra al círculo es: P= V I II)

(W)

(10)

Aplicaremos las leyes de Kirchoff al circuito mostrando en la figura 3.

I

II

III

IV

FIGURA 3.

V= Voltaje entregado por la fuente ( f.e.m.) (V) I = Intensidad de corriente (A) R1, R2, R3, R4 = Resistencia () 4

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En el circuito mostrado en la figura las resistencias están acopladas en paralelo, por lo tanto el voltaje que cae en cada resistencia es el mismo que el que proporciona la fuente. Aplicando al circuito la ley de los nudos, se obtiene: Nudo a:

I -I5-I1 = 0

(11)

Nudo b:

I5-I6-I2 = 0

(12)

Nudo c:

I6-I4-I3 = 0

(13)

Combinando (12) y (13): I5= I4 + I3 + I2 Reemplazando (14) en (11)

(14)

I = I1+I2+I3+I4

(15)

Además para este tipo de conexión se tiene: V V V V I1  ; I2  ; I3  ; I4  R1 R2 R3 R4

(16)

Reemplazando (16) en (15) V I

1



1 R1



1 R2



1 R3



1

(17)

R4

Comparando (17) con (8), concluimos que para una conexión en paralelo: 1 R eq



1 R1



1 R2



1 R3



1 R4

(18)

La potencia disipada por las resistencias y la suministrada al circuito, se las puede determinar también mediante las ecuaciones (9) y (10) respectivamente. III)

Aplicaremos las leyes de Kirchoff al círcuito mostrado en la figura 4

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Con el propósito de hallar los valores de las intensidades de corriente que circulan por cada ramal del circuito.

FIGURA 4.

V= Voltaje entregado al circuito (v) I1,I2, I3 = Intensidad de corriente a y b = nudos I y II = mallas Como primer paso asignamos las corrientes de la malla I: Malla 1: Malla 2:

V = I1 R1 + I1R2 – I2R2 0 = I2R2 + I2R3 + I2R4 - I1R2 

  2  ( R1  R 2 )(R 2  R 3  R 4 )  R 2 

I1  V 

R 2  R3  R 4



   ( R  R )(R  R  R )  R 2   1 2 2 3 4 2  R2

I 2  V

(19) (20)

(21)

(22)

I1 Circula por el ramal izquierdo del circuito. I2 Circula por el ramal derecho del circuito.

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Para determinar el valor de la intensidad de corriente que circula por el ramal central aplicaremos la ley de nudos al nudo “a”.

( I)a = 0 I1 – I2 – I3 = 0 I3 = I 1 - I 2

(23)

Análisis de errores Los posibles errores que se pueden comentar en el estudio del circuito mostrado en la figura 2 se pueden deber al grado de precisión de los instrumentos empleados (voltímetro y amperímetro).  Error relativo que se comete al medir Req: R eq 

V I

Se midieron los valores: V = V V I = I I ln Req = ln V – ln I R eq R eq



V V



I I

 Error relativo en la aplicación de la ley de las mallas: Se midieron los valores: V 1 = I1 R1

V 2 = I2 R2

V 3 = I3 R3

V 4 = I4 R4

V = V1 + V2 + V3 + V4 V = V V

V1 = V1  V1

V2 = V2  V2

V3 = V3  V3

V4 = V4  V4

Entonces: V = (V1 + V2 + V3 + V4)  (V1 + V2 +V + V4)

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Si se efectuaron todas las mediciones con el mismo instrumento: V = V1 = V2 = V3 = V4 V = (V 1 + V2+ V3 +V4)  4 V El error relativo:  rv 

4V V1  V2  V3  V4

A continuación se analizan los posibles errores que se puedan haber cometido al efectuar las mediciones en el circuito de figura 3.  Error relativo en la aplicación de la ley de los nudos: I = I1 + I2+ I3 +I4 Se midieron los valores: I = I  I

I1 = I1  I1

I2 = I2  I2

I3 = I3  I3

Si efectuaron todas las medidas con el mismo instrumento: I = I1 =I2 =I3 =I4 En error relativo:  rv 

1.3 MATERIAL Y EQUIPO 

Tablero de resistencia



Cables de conexión largos



Voltímetro



Cables de conexión cortos



Amperímetro



Tester



Fuente de voltaje

8

4I I1  I 2  I 3  I 4

I4 = I4  I4

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1.4 PROCEDIMIENTO Primera ley de Kirchoff (Ley de los nudos) a) Mediante el código de colores, determinar el valor de cada resistencia y compararlo con el que proporciona el Tester. Anotar los valores con su respectivo error. b) Armar el circuito de la figura 5, pedir la autorización del docente o ayudante antes de encender la fuente del voltaje.

I

II

III

IV

FIGURA 5.

c) Medir las intensidades de corriente I,I1,I2,I3,I4 con sus respectivos errores colocando el amperímetro en las posiciones mostradas en la figura. d) Medir el voltaje que entrega la fuente con su respectivo error. Segunda ley de Kirchoff (Ley de las mallas) a) Conectar el circuito de la figura 6, pedir la autorización del docente o ayudante antes de encender la fuente. 9

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FIGURA 6.

b) Medir el voltaje que entrega la fuente y las caídas de tensión en cada resistencia colocando el voltímetro en las distintas posiciones como se muestra en la figura. Medir cada valor con su respectivo error. c) Medir la intensidad de corriente que se suministra al circuito con su respectivo error. Aplicaciones de las leyes de Kirchoff a) Instalar el circuito de la figura 4, encender la fuente previa autorización del docente o ayudante. b) Medir la caída de tensión en cada resistencia. c) Medir el voltaje que suministra la fuente. d) Medir las intensidades de corriente que circulan por cada ramal del circuito.

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1.5 HOJA DE DATOS Primera ley de Kirchoff Voltaje que entrega la fuente: Intensidad de corriente suministrada

R1 R2 R3 R4

CODIGO DE COLORES () 180  5 % 390  5 % 910  5 % 62  5 %

V = 7.15 v I = 185 * 10-3 A

TESTER ()

Ii (A)

178.4 383.0 903.0 62.0

0.0401 0.0186 0.0079 0.1153

Resistencia equivalente: (Tester o ley de Ohm):

Req = 39.2 

Segunda ley de Kirchoff Voltaje que entrega la fuente: Intensidad de corriente suministrada

V = 14.68 v I = 9.3 * 10-3 A

CODIGO DE COLORES () 180  5 % 390  5 % 910  5 % 62  5 %

TESTER ()

Vi (v)

178.4 383.0 903.0 62.0

1.69 3.64 8.66 0.58

R1 R2 R3 R4

Resistencia equivalente: (Tester o ley de Ohm):

Req = 1539 

Aplicaciones de las leyes de Kirchoff

R1 R2

CODIGO DE COLORES () 1800  10 % 910  5 % 11

Vi (v)

Ii (A)

7.30 2.70

6 * 10-3 5 * 10-3

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R3 R4

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1200  10 % 1900  5 %

1.17 1.54

1 * 10-3 1 * 10-3

1.6 CALCULOS Primera ley de Kirchoff (Ley de los nudos) a) Calcular los errores relativos de cada una de las intensidades de corriente por efecto de la resistencias. I I



V V



R R

PARA I1: 0.1    0.01 v    7.15 v 178.4  

I1  0.0401 A 

I1 = 0.0001 A Hallamos el error relativo: r I1 =

0.0001 A



0.0401 A

r I1 = 0.0025

El valor medido de R1 medido será: I1 = 0.0401  0.0001 (A) I1 = 0.0401  0.2494 % r I1 = 0.0025 PARA I2: 0.1    0.01 v    7.15 v 383.0  

I 2  0.0186 A 

I2 = 0.0001 A Hallamos el error relativo:

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r I2 =

0.0001 A



0.0186 A

r I2 = 0.0054

El valor medido de R2 medido será: I2 = 0.0186  0.0001 (A) I2 = 0.0186  0.5376 % r I2 = 0.0054 PARA I3: 0.1    0.01 v    7.15 v 903.0  

I 3  0.0079 A 

I3 = 0.0001 A Hallamos el error relativo: r I3 =

0.0001 A



0.0079 A

r I3 = 0.0126

El valor medido de R3 medido será: I3 = 0.0079  0.0001 (A) I3 = 0.0079  1.2658 % r I3 = 0.0126 PARA I4: 0.1    0.01 v    7.15 v 62.0  

I 4  0.1153 A 

I4 = 0.0003 A Hallamos el error relativo:

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r I4 =

0.0003 A 0.1153 A



r I4 = 0.0026

El valor medido de R4 medido será: I4 = 0.1153  0.0003 (A) I4 = 0.1153  0.2602 % r I4 = 0.0026 b) Calcular el valor de la corriente “I” con su respectivo error, utilizando los valores medidos I1, I2, I3, I3. Comparar con el valor obtenido experimentalmente. Comentar al respecto. Hallamos I: I = I 1 + I2 + I 3 + I4 I = 0.0401 A + 0.0186 A + 0.0079 A + 0.1153 A I = 0.1819 A Hallamos su error: I = I1 + I2 + I3 + I4 I = 0.0001 A + 0.0001 A + 0.0001 A + 0.0003 A I = 0.0006 A Hallamos su error relativo: r I =

0.0006 A 0.1819 A



r I = 0.0003

El valor medido de R4 medido será: I = 0.1819  0.0006 (A) I = 0.1819  0.3299 % r I = 0.0003 es: El valor encontrado experimentalmente I = 0.1850 A

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Comentario: Los datos obtenidos verifican la primera ley de Kirchoff (ley de nudos), ya que se observa que los datos obtenidos experimentalmente, o sea midiendo la intensidad de corriente que circula por cada resistencia es la misma que la se obtiene midiendo la intensidad antes de que entre al primer nudo, como consecuencia se demuestra la conservación de carga. 0.1850 A  0.1819 A c) Calcular la resistencia equivalente teórica y compararla con el valor medido experimentalmente. Elaborar comentarios al respecto. Hallamos la Req: Re q 

Re q 

V I

7.15 v 0.1850 A

Req = 38.65  El valor encontrado con el tester directamente es: Req = 39.20  Hallamos el valor de la Req con la resistencias medidas con el tester (en papalelo): 1 1 1 1 1     Re q 178.4 383 903 62

Req = 39.29  Comentario: La realización de este paso confirma la ecuación de resistencia equivalente para una conexión en paralelo, ya que los valores se acercan de gran manera, la pequeña variación que existe se debe a los errores cometidos al medir con amperímetro y variación en la fuente de voltaje. 38.65   39.20   39.29

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Segunda ley de Kirchoff (Ley de mallas) a) Calcular “V” con su respectivo error, utilizando los valores medidos V1, V2, V3, V4. Comparar con el valor medido directamente. Comentar al respecto. Hallamos V: V = V1 + V2 + V3 + V4 V = 1.69 v + 3.64 v + 8.66 v + 0.58 v V = 14.57 v Como la mínima apreciación del voltímetro es V = 0.01 v. Y todas la mediciones se realizaron con este instrumento, entonces: V = 4 Vi V = 4 (0.01 v.) V = 0.04 v. El valor medido de V medido será: V = 14.57  0.04 (v) V = 14.57  0.58 %

b) Calcular la resistencia equivalente teórica y compararla con el valor medido experimentalmente. Elaborar comentarios al respecto. Hallamos la Req: Re q  Re q 

V

I 14.68 v

0.0093 A

Req = 1578.49  El valor encontrado con el tester es: Req = 1529.0 

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Hallamos el valor de la Req con la resistencias medidas con el tester (en serie): Req = 178.4  + 383  + 903  + 62  Req = 1526.4  Comentario: La realización de este paso confirma la ecuación de resistencia equivalente para una conexión en serie, ya que los valores se acercan de gran manera excepto el calculo realizado por medio de la ley de Ohm, ya que la fuente de voltaje no se encontraba en perfecto estado y variaba mucho, las mediciones realizadas con el tester son bastante próximas 1578.49   1529.0   1526.4 Aplicación de la leyes de Kirchoff. a) Con los valores de las resistencias, calcular I1, I2, I3 empleando la ecuaciones (21), (22) y (23). Comparar con el valor medido directamente. Comentar al respecto. Hallamos I1: 

  2  ( R1  R 2 )( R 2  R 3  R 4 )  R 2 

I1  V 



R 2  R3  R 4

910   1200   1900 

I1  15.4 v  

 (1800Ω  910Ω)(910 Ω  1200Ω  1900Ω)  (910 Ω)

I1 = 6.15 * 10 –3 A

Hallamos I2: 

   (R  R )(R  R  R )  R 2   1 2 2 3 4 2  R2

I 2  V

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  

2 

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 910   (1800 Ω  910Ω)(910 Ω  1200Ω  1900Ω)  (910Ω) 2 

I 2  15.4 v 

   

I2 = 1.40 * 10 –3 A Hallamos I3: I3 = I 1 – I2 I3 = 6.15 * 10-3 A - 1.40 * 10-3 A

I3 = 4.75 * 10 –3 A Comparación: INTENSIDAD I1 I2 I3

TEORICO 6.15 * 10-3 1.40 * 10-3 4.75 * 10-3

PRACTICO 6.00 * 10-3 1.00 * 10-3 5.00 * 10-3

b) Calcular la potencia total disipada. P = R I2 P = R1 I1 + R2 I32 + (R3 + R4) I22 P = [1800  * (6.15*10-3 A)2] + [910  * (4.75*10-3 A)2] + [(1200 + 1900)  * (1.40*10-3 A)2] 2

P = 0.09 (W)

c) Recolectar los valores teóricos y experimentales en un cuadro resumen. Discutir las posibles diferencias.

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TEORICO

PRACTICO

Intensidad Resistencia equivalente

0.1819 A 39.20 

0.1850 A 38.65 

Voltaje Resistencia equivalente

14.57 v 1529.0 

14.68 v 1578.49  (*)

I1 I2 I3

6.15 * 10-3 1.40 * 10-3 4.75 * 10-3

6.00 * 10-3 1.00 * 10-3 5.00 * 10-3

1ra. LEY

2da. LEY

Aplicación de la leyes

Los datos mostrados nos indican que los datos teóricos se complementan con los prácticos, excepto en el caso (*), en el que existe mucha diferencia entre el valor teórico y el práctico, esto se debe a que la fuente no se encontraba en buen estado, y se tomó un valor aproximado, que no fue necesariamente el correcto. En lo que respecta a los demás datos la pequeña variación que existe se debe a los errores que se cometen al medir con el tester y amperímetro. 1.7 CUESTIONARIO 1) Explicar de qué manera podrían influir en el experimento las resistencias internas de los instrumentos. RESPUESTA. En el caso del experimento realizado no afecta de gran manera ya que las mediciones en su mayoría se realizaron con el tester y este instrumento presenta un error muy pequeño, en el caso de utilizarse el voltímetro y el amperímetro se debe cuidar que sus resistencias sean lo bastante grandes o pequeñas respectivamente con respecto a la resistencia a ser medida, esto para que no afecte de manera considerable la medición de esta. 2) A que se denomina conductancia y cuales son sus unidades. RESPUESTA.

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Es la capacidad que tienen los materiales de conducir electricidad a través de su superficie. Es el valor recíproco al de la resistencia de un circuito o conductor. G= UNIDAD:

1 R

Siemens [S]

— también [mho]

3) Como es la resistencia interna de un voltímetro y cómo la de un amperímetro. RESPUESTA. La resistencia interna de un voltímetro tiende al infinito y la resistencia de un amperímetro tiende a cero 4) Calcular las intensidades de corriente en cada ramal y la potencia total disipada del circuito mostrado en la figura. RESPUESTA. Aplicando ley de nudos. I1 = I 2 + I 3



I3 = I 1 + I 2

(1)

V1 = 30 v. V2 = 10 v. R1 = 50  R2 = 20 R3 = 40 

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Aplicando ley de mallas: Malla I: 30 = 40 I1 + 50 I3 30 = 40 I1 + 50 I1 – 50 I2 30 = 90 I1 – 50 I2

(2)

-10 + 50 I3 = 20 I2 -10 = -50 I1 + 50 I2 + 20 I2 -10 = -50 I1 + 70 I2

(3)

Malla II:

Se forman las siguientes ecuaciones: 30 = 90 I1 – 50 I2 -10 = -50 I1 + 70 I2 Resolviendo el sistema: I1 = 0.42 A I2 = 0.16 A

Los valores de las resistencias son: I1 = 0.42 A I2 = 0.16 A I3 = 0.26 A

I3 = I 1 – I2 I3 = 0.26 A

1.8 OBSERVACIONES  Los errores existentes en esta práctica se deben esencialmente al mal funcionamiento de la fuente ya que no proporcionaba un voltaje constante sino variaba, lo cual no podía dar un valor constante. En la práctica se tomó un valor promedio, que en el primer caso resultó ser un buen parámetro y n el segundo no.  No se realizó el tercer experimento, debido a una causa no determinada hasta el final de la práctica, motivo por el cual se tubo que copiar datos de este experimento de otro grupo, los cuales resultan estar en un marco aceptable.  No se utilizaron voltímetros, en cambio utilizó sólo un amperímetro que midió la corriente que salía de la fuente.

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 Para realizar la medición de las intensidades, se utilizó un tester, que midió el voltaje y con la ayuda de la ley de Ohm (demostrada en la práctica del mismo nombre) se determino las intensidades.

1.9 CONCLUSIONES  Se cumplió las leyes de Kirchoff, ya que los datos teóricos son respaldados con los prácticos.  Se confirmó las ecuaciones de resistencia equivalente, tanto para conexiones en serie como en paralelo.  La ley de Ohm es válida para este tipo de circuitos.  Los errores de esta práctica se encuentran en un margen de error aceptable, excepto uno. 1.10 BIBLIOGRAFIA



FISICA UNIVERSITARIA. SEAR, ZEMANSKI, YOUNG.



FISICA II. RESNICK-HALLIDAY.



FISICA II. FREDERICK BUECHE.

22