Modul Pembelajaran Matematika Peminatan

MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN KELAS XII IPA TP 2019/2020 SEMESTER 2 Kopetensi Dasar : 3.5 : Menjelaskan dan menentukan distribusi peluang binomial berkaitan dengan fungsi binomial 4.5 :

Menyelesaikan masalah berkaitan dengan ditribusi binomial suatu percobaan (acak) dan

penarikan kesimpulan

Bagan Materi Pembelajaran

Created By : Alfi Nur Rahmi, S.Si,Gr

1

A. Ruang Sampel dan Kejadian Kalian pasti pernah mengikuti jalannya pemilihan ketua OSIS di sekolahmu. Dapatkah kalian menyebutkan nama-nama calon ketua OSIS yang pernah dicalonkan dalam pemilihan ketua OSIS di sekolahmu? Nama-nama calon ketua OSIS dalam suatu pemilihan ketua OSIS dapat dinyatakan sebagai himpunan calon ketua OSIS. Dalam statistic dan peluang, himpunan tersebut dikenal dengan ruang sampel. Sedangkan terpilihnya seorang siswa yang menjadi ketua OSIS tersebut disebut dengan suatu kejadian.

1. Ruang Sampel Dalam kajian matematika, himpunan nama-nama calon ketua OSIS dikenal sebagai ruang sampel. Mengapa demikian? Untuk memahami ruang sampel dari kejadian sehari-hari coba lakukan kegiatan berikut!

Kegiatan 4.1 Judul

: Mengenali Ruang Sampel dari Kejadian sehari-hari

Jenis

: Pengamatan mandiri

Tujuan

: Pesrta didik dapat menentukan ruang sampel dan anggota ruang sampel setelah melakukan pengamatan terhadap berbagai kejadian nyata disekitar.

Ilustrasi Permasalahan : Pada pemilihan ketua dan wakil ketua OSIS di SMA “JUARA” terdapat 5 kandidat. Mereka Adalah Randi, Rudi, Redi, Ridho, dan Rendi. Dari 5 orang kandidat akan dipilih 2 orang sebagai ketua dan wakil ketua. Tentukan banyaknya pasangan yang mungkin dibentuk dari kelima kandidat ketua OSIS. Tentukan pula pasangan-pasangan yang mungkin terbentuk. Langkah Keiatan : 1. Bacalah ilustrasi permasalahan diatas dengan cermat 2. Bertanyalah kepada gurumu jika terdapat bagian yang tidak kamu mengerti dari ilustrasi permasalahan diatas. 3. Setelah memahami permasalahan tersebut, cobalah untuk mengisi table berikut!

2

Nama Kandidat

Ketua

Wakil Ketua

Pasangan yg terbentuk

………

….. Dan …..

………

….. Dan …..

………

….. Dan …..

………

….. Dan …..

………

….. Dan …..

………

….. Dan …..

………

….. Dan …..

………

….. Dan …..

………

….. Dan …..

………

….. Dan …..

………

….. Dan …..

………

….. Dan …..

………

….. Dan …..

………

….. Dan …..

………

….. Dan …..

………

….. Dan …..

………

….. Dan …..

………

….. Dan …..

…………….

……………

Isikan

kolom

ini

dengan

nama-nama yang telah kalian tentukan berdasarkan realita.

3

………

….. Dan …..

………

….. Dan …..

4. Dari table diatas , simpulkanlah beberapa hal berikut! a. Himpunan seluruh pasangan yang terbentuk adalah merupakan ruang sampel, jadi apa yang dimaksud dengan ruang sampel? b. Masing-masing pasangan yang terbentuk adalah titik sampel. Lalu apa yang dimaksud dengan titik sampel? 5. Susunlah kesimpulan dari hasil kegiatanmu dalam bentuk laporan. 6. Presentasikan hasil laporanmu didepan kelas.

Berdasarkan kegiatan diatas, kamu dapat menentukn ruang sampel dari kejadian dalam kehidupan sehari-hari. Lakukanlah pelemparan dadu sebanyak 20 kali. Bagaimana kemunculan mata dadu pada pelemparan sebuah dadu sebanyak 20 kali tersebut? Apakah mata dadu yang muncul selalu sama? Jika tidak coba daftarkan mata dadu yang mungkin muncul! Mata dadu yang mungkin muncul :……; ……; ……; ……; ……; ……… Himpunan mata dadu yang mungkin muncul pada pelemparan sebuah dadu sebanyak 20 kali disebut dengan ruang sampel. Sedangkan mata dadu yang muncul disebut titik sampel. Setelah kalian memahami 2 buah kejadian diatas buatlah definisi secara umum apa yang dimaksud dengan ruang sampel dan titik sampel!

Soal Latihan 1. Carilah ruang sampel dan titik sampel dari beberapa percobaan berikut! a. Tiga keeping uang logam dilempar bersama sekaligus. b. Sebuah uang logam dan sebuah dadu dilempar bersama.

4

2.

Kejadian Pernahkah kalian mendengan istilah suatu kejadian? Misalnya kejadian meletusnya gunung

berapi, kejadian jatuhnya pesawat Lion Air, Kejadian terpilihnya seseorang menjadi Presiden RI dan lain-lain. Dalam dunia matematika kalian juga akan familiar dengan istilah kejadian. Misalnya kejadian munculnya angka genap pada pelemparan sebuah dadu, kejadian munulnya gambar pada pelemparan sebuah uang logam dan lain-lain. Menurut kalian ada gak kaitan antara kejadian dengan ruang sampel? Dalam percobaan melempar sebuah dadu, mungkin kalian hanya tertarik dengan kejadian tertentu saja. Misalkan kalian hanya tertarik pada kejadian munculnya mata dadu prima saja. Kalian telah mengetahui ruang sampel dari percobaan melempar sebuah dadu adalah S = { 1,2,3,4,5,6}. Bila mata dadu proma dinyatakan dalam himpunan A, maka A = { 2,3,5} dan n(A) menyatakan banyak anggota pada kejadian A yaitu n(A) = 3. Himpunan A ini adalah himpunan bagian dari S yang diperoleh dari pelemparan sebuah dadu. Berikan contoh kejadian lain pada suatu percobaan dan daftarkan kemungkinan nya dalam sebuah himpunan! Setelah kalian dapat memberikan contoh lainnya, sekarang tuliskan definisi apa yang dimaksud dengan kejadian? Contoh kasus pembuatan Nomor Polisi pada kendaraan Nomor polisi mobil-mobil di Indonesia selalu terdiri dari 4 angka. Mungkinkah jumlah ke empat angka pada setiap nomor adalah genap dan dapat berulang? Jika mungkin berapa banyak plat mobil yang dapat di daftarkan? Pembahasan Angka yang mungkin untuk palt nomor tersebut adalah 0,1,2,3,4,5,6,7,8 dan 9. Untuk angka pertama tidak boleh 0. Kejadian untuk jumlah ke empat angka adalah bilangan genap mungkin terjadi. Agar jumlah ke empat angka menjadi genap, maka ke empat angka harus genap semua atau ganjil semua, atau 2 genap dan 2 ganjil. *jika ke empat angka bilangan genap semua Angka yang memenuhi Banyak angka

2,4,6,8

0,2,4,6,8

0,2,4,6,8

0,2,4,6,8

4

5

5

5

Dengan demikian banyaknya ada = 4 x 5 x 5 x 5 = 500

5

* jika ke empat angka bilangan ganjil semua Angka yang memenuhi Banyak angka

1, 3, 5, 7, 9

1, 3, 5, 7, 9

1, 3, 5, 7, 9

1, 3, 5, 7, 9

5

5

5

5

Dengan demikian banyaknya ada = 5 x 5 x 5 x 5 x = 625 * jika 2 ganjil dan 2 genap. Misalkan genap = p dan ganjil = l maka banyaknya susunan angka ganjil dan genap yaitu ppll, plpl, pllp, llpp, lplp, dan lppl. Untuk susunan ppll, plpl, dan pllp (diawali dengan angka genap) ada sebanyak 4 x 5 x 5 x 5 = 500 dan untuk llpp, lplp, lppl (diawali dengan angka ganjil) ada sebanyak 5 x 5 x 5 x 5 = 652. Jadi total kemungkinan agar plat nomor yang terbentuk jumlahnya genap ada sebanyak 500 + 625 + 500 + 625 = 4500

PR (Project di Rumah) 1. Pada kegiatan bakti social anak-anak kelas XII akan menyumbangkan beberapa barang sebagai berikut : a. Sembako : -

Mie instan

- Kopi

-

Susu kaleng

- Teh

-

Minyak goreng

- Beras

-

Gula pasir

- telur

b. Peralatan sekolah -

Buku tulis

-

Buku gambar

-

Buku pelajaran

c. Alat tulis -

Pensil

-

Penghapus

-

Pulpen

6

Barang-barang tersebut kemudian dikemas dalam plastic masing-masing berisi 3 jenis barang. Tentukan jumlah kantong plastic yang berisi pensil serta sebutkan isi yang mungkin dari kantung tersebut. 2.

Diberikan angka 1, 2, 3, 4 dan 5 yang akan disusun menjadi bilangan ratusan. Analisis lah berapa banyak bilangan genap yang dapat disusun!

3.

Suatu restoran memiliki 5 menu makanan pembuka, 10 menu utama dan 15 menu penutup serta 20 jenis minuman. Tentukan berapa banyak hidangan berbeda yang mungkin dipesan oleh tamu restoran tersebut?

B.

Peluang dan Frekuensi Harapan Setelah kalian mempelajari tentang ruang sampel dan kejadian pada sub bab A, pada bab ini kalian

akan dikenalkan dengan konsep peluang dan frekuensi harapan suatu kejadian.

1. Peluang Kejadian Sederhana Untuk dapat memahami kejadian sederhana dan dapat menentukan peluangnya lakukan kegiatan berikut.

Kegiatan 4.2 Judul

: Merumuskan Peluang Kejadian Sederhana

Tujuan

: Peserta didik dapat menentukan rumus peluang suatu kejadian sederhana yang terdapat di sekitar

Langkah kegiatan : 1. Lakukan percobaan melempar sekeping uang logam! Kemudian amatilah ruang sampelnya. 2. Lakukan pelemparan sekeping uang logam sebanyak beberapa kali dan catatlah munculnya angka (A) atau gambar (G) pada table dibawah ini. No

Banyaknya lemparan

1

10

Banyaknya muncul

7

Angka (A)

Gambar (G)

…

…

2

16

4

19

…

Dst

…

…

3. Tentukan frekuensi relative kejadian muncul angka (A) serta besarnya frekuensi relative kejadian munculnya gambar (G). berdiskusilah dengan teman sebangku mu untuk merumuskan nilai kejadian munculnya angka serta peluang kejadian munculnya gambar dengan menganalisis nilai pendekatan dari frekuensi relative. 4. Susunlah suatu kesimpulan dari hasil pengamatanmu dan tulislah dalam bentuk laporan. 5. Setelah melakukan kegiatan diatas kalian tau ru,usan untuk menentukan besarnya peluang suatu kejadian yaitu :

Ket : P(A) = peluang kejadian A … … Soal latihan 1. Diketahui kejadian A, B, C dan D dari pelemparan sebuah dadu tentukan besarnya peluang kejadian A, B, C dan D dengan teliti. a. A adalah munculnya mata dadu ganjil b. B adalah munculnya mata dadu prima c. C adalah munculnya mata dadu tidak kurang dari 3 d. D adalah munculnya mata dadu kurang dari 7 2. Lima buah dadu bersisi 6 akan dilempar satu demi satu, lalu hasil kelima angka angka akan dihitung. Manakah yang lebih besar peluang terjadinya hasil kali kelima angka mata dadu sama dengan 180 atau hasil kali kelima mata dadu yang hasilnya 144? (SERI HOTS) 3. Dalam suatu kelas yang memiliki 120 anak, 60 anak diantaranya belajar matematika, 50 anak belajar fisika dan 20 anak belajar keduanya. Jika dari dalam kelas itu dipilih seorang anak secara acak. Tentukan peluang yang terpilih adalah anak yang sama sekali tidak belajar matematika atau fisika (SERI HOTS)

8

2. Peluang Kejadian Majemuk Selain kejadian yang sederhana, kalian juga pasti akan menemui kejadian-kejadian majemuk. Misalnya pada pelemparan dua buah dadu, kejadian muncul nya mata dadu genap pada pelemparan dadu pertama dan mata dadu ganjil pada pelemparan dadu yang kedua. Ini adalah salah sau contoh kasus kejadian majemuk. Dapatkah kalian menentukan peluangnya???

Kegiatan 4.3 Judul

: Merumuskan peluang kejadian Majemuk

Tujuan

: Peserta didik dapat menemukan rumus peluang kejadian majemuk

Langkah kegiatan : 1. Lakukan percobaan melempar dua buah dadu secara bersamaan. Amatilah ruang sampel dari masing-masing percobaan dengan cermat. 2. Misalkan A adalah kejadian munculnya jumlah mata dadu berupa bilangan genap, kejadian B adalah munculnya mata dadu genap pada dadu pertama dan mata dadu prima pada dadu ke dua, dan C adalah kejadian munculnya mata dadu ganjil pada dadu pertama atau mata dadu kelipatan 3 pada dadu kedua. D adalah kejadian muncul mata dadu Prima. E adalah kejadian muncul mata dadu kelipatan 2. Hitunglah banyaknya anggota kejadian A, B C, D dan E 3. Tanyakan kepada gurumu jika ada yang belum dimengerti atau carilah informasi dari media internet atau referensi dari buku yang kalian miliki mengenai peluang kejadian majemuk. 4. Analisis lah kejadian A, B, C, D dan E secara kritis dan logis. Bekerjasamalah dengan teman sebangkumu untuk menentukan besarnya kejadian A, B, C, D dan E. bagaimana hasil yang kalian dapatkan? 5. Dari kegiatan 4.3 yang telah kalian lakukan Tulislah kesimpulanmu dengan rapi :

9

a. Peluang gabungan dua kejadian Misalkan dari suatu percobaan terdapat kejadia A dan B dengan ruang sampel S. dari kejadian A dan B tersebut ada kemungkinan kedua kejadian terjadi bersama-sama, sehingga Peluang kejadian A dan B dapat dinotasikan dengan

.

. Peluang gabungan 2 kejadian A

dan B dalam ruang sampel S dapat ditentukan dengan memanfaatkan gabungan dua himpunan yang dirumuskan dengan :

b. Peluang kejadian saling lepas Misalkan dari suatu percobaan terdapat kejadian A dan B dengan ruang sampel S. dua kejadian A dan B dikatakan kejadian yang saling lepas jika kejadian A dan B tidak mungkin terjadi secara bersama-sama, sehingga

. Dengan demikian peluang dua kejadian saling lepas

dirumuskan dengan :

c. Peluang kejadian saling bebas Misalkan dari suatu percobaan terdapat kejadian A dan B dengan ruang sampel S. dua kejadian A dan B disebut kejadian yang saling bebas jika terjadinya kejadian A tidak dipengaruhi oleh kejadian B atau sebalinya. Dengan demikian peluang dua kejadian yang saling bebas dirumuskan dengan :

d. Peluang kejadian bersyarat (tidak saling bebas) Misalkan dari suatu percobaan terdapat kejadian A dan B dengan ruang sampel S dan Peluang terjadinya kejadian A dan B dinotasikan sebagai kejadian A dengan syarat B dirumuskan dengan : | Dan peluang kejadian B dengan syarat A adalah |

10

.

. Dengan demikian peluang

Soal latihan. 1.

Stelah kalian memahami macam-macam kejadian majemuk, berilah masing-masing 1 contoh dan tentukan peluangnya untuk :

2.

a.

Peluang gabungan dua kejadian

b.

Peluang dua kejadian saling lepas

c.

Peluang kejadian saling bebas

d.

Peluang kejadian bersyarap

Sebuah kartu akan diambil secara acak dari 1 set kartu bridge (remi. Tentukan peluang terambilnya kartu AS atau kartu king. Tentukan pula ini termasuk kejadian apa?

3.

Tentukan peluang munculnya mata dadu genap atau munculnya mata dadu kelipatan 3 dari pelemparan sebuah dadu! Tentukan pula ini termasuk kejadian apa?

4.

Dua buah dadu dilempar secara bersama-sama. Tentukan peluang munculnya mata dadu genap pada dadu pertama dan mata dadu ganjil pada dadu ke dua. Tentukan pula ini termasuk kejadian apa?

5.

Sebuah dadu dilempar 1 kali dan diketahui bahwa yang muncul adalah mata dadu genap. Tentukan peluang akan muncul mata dadu lebih dari 3. Tentukan pulan ini termasuk kejadian apa?

6.

Untuk merayakan hari kemerdekaan RI, SMAN 8 BU akan mengadakan pentas seni. Untuk mendekorasi panggung seni dibutuhkan beberapa lampion warna warni. Misalkan terdapat 3 kotak berisi lampion warna warni. Kotak A berisi 20 lampion dan 4 diantara nya lampunya tidak menyala. Kotak B berisi 10 lampion dan 1 diantara nya lampunya tidak menyala. Kotak C berisi 15 lampion dan 2 diantaranya lampunya tidak dapat menyala. Apabila seseorng mengambil secara acak dari ketiga kotak tersebut dan dari kotak diambil sebuah lampu secara acsak berapakah lampion yang terambil lampunya dapat menyala (SERI HOTS)

11

C.

Variabel Random

Kegiatan 4.4 Judul

: Mengenali Variabel random dari berbagai percobaan

Tujuan

: Peserta didik dapat menjelaskan pengertian dan menentukan variable random dari berbagai percobaan

Ilustrasi Permasalahan Kania, Argha, Beta dan Yudha mewakili sekolah untuk mengikti olimpiade matematika tingkat provinsi. Pada seleksi olimpiade tingkat provinsi tersebut semua peserta yang memenuhi batas nilai minimum akan lolos ke olimpiade matematika tingkat nasional. Susunlah sebuah diagram panah yang memetakkan titik-tittik sampel dari ruang sampel “siswa yang lolos ke olimpiade nasional”dengan “jumlah siswa yang lolos” Langkah kegiatan 1. Baca dan cermatilah ilustrasi permasalahan diatas. 2. Berdiskusilah dengan teman-temanmu untuk lebih memahami permasalahan diatas. 3. Tentukan ruang sampel tersebut secara cermat dan teliti. Tulislah ruang sampel yang didapatkan 4. Berdasarkan ruang sampel tersebut, susunlah diagram panah yang menguhubungkan titiktitik sampel dengan himpunan {1, 2, 3, 4} yang menunjukkan banyaknya siswa yang lolos 5.

Berdiskusilah bersama teman-temanmu, apakah relasi antara titik sampel merupakan sebuah fungsi? (ingat kembali definisi fungsi dikelas X)

6. Berdasarkan kegiatan diatas tulislah sebuah kesimpulan tentang pengertian dari variable random!

Setelah melakukan kegiatan diatas, kalian dapat menentukan variable random dari suatu percobaan. Tahukah kamu bahwa setiap anggota variable random memiliki peluang ? Dalam suatu percobaan, terdapat kemungkinan bahwa ruang sampel merupakan himpunan bagian dari bilangan real. Sebagai conoh adalah ruang sampel dari percobaan pelemparan sebuah dadu S = { 1, 2, 3, 44, 5, 6}. Tapi bagaimana dengan percobaan melempar 3 keping uang logam secara bersamasama?

12

Missal dilakukan suatu percobaan melempar 3 keping uang logam secara bersamaan. Dengan demikian, diperoleh ruang sampel S = {AAG, AGA, GAA, GAG, GGA, GGG, AAA, AGG}. Jika kalian amati banyaknya gambar (G) yang muncul, maka setiap titik sampel dapat dipasangkan dengan bilangan real. S AAA

X

AAG

R

AGA

0

GAA

1

AGG

2

GAG

3

GGA GGG Pada diagram panah diatas terlihat bahwa suatu fungsi X memasangkan setiap tiitik sampel dalam suatu ruang himpunan S dengan suatu bilangan real. Domain dari fungsi X tersebut adalah ruang sampel S sedangkan kodomain nya adala {0, 1, 2, 3}. Fungsi X tersebut disebut dengan variable random (peubah acak). Dalam matematika, untuk menentukan besar peluang suatu kejadian perlu diketahui ruang sampel S ddari kejadian tersebut. Setiap titik sampel mempunyai nilai peluang. Oleh sebab itu, peluang pada variable random dapat didefinisikan sebagai berikut :

Misalkan X adalah variable random, maka peluangnya dapat didefinisikan dengan : {

|

{

|

{

|

} } }

Untuk lebih memahami definisi diatas, perhatikan contoh berikut. Contoh soal Pada pelemparan 3 uang logam secara bersamaan, didefinisikan variable random X yang ditentukan oleh X = banyaknya gambar yang ,uncul. Tentukan beberapa hal berikut.

13

a. b. c. d. Penyelesaian Pada pelemparan 3 keping uang logam secara bersamaan, diperoleh ruang sampel S = { AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG} dengan n(S) = 8 a. X(S) = {0, 1, 2, 3} {

b.

}

{ {

} }

c. d.

Soal latihan : 1. Dua buah kartu dipilih secara acak dari dalam kotak yang berisi lima kartu bernomor 1, 1, 2, 2, dan 3. Jika X adalah variable random yang didevinisikan sebagai jumlah nomor kartu yang terambil. Tentukan beberapa hal berikut a. b. c. d. 2. Diketahui suatu percobaan pelemparan 7 keping uang logam. Jika X adalah variable random yang didefinisikan sebagai banyaknya angka yang muncul. Tentukan hal-hal berikut : a. b. c. d. e.

14

Setelah kalian menyelesaikan soal latihan diatas tanpa mencontek hasil kerjaan teman, dipastikan kalian telah memahami tentang variable random ( variable acak / peubah acak). Tahukah kalian variable random dibedakan enjadi 2 yaitu variable acak kontunu dan variable acak diskrit. Misalkan variable acak X, Y dan Z dinyatakan sebagai X(S) = {1, 2, 3, …}; Y(S) = {1/2, 1/3, 1/4 …} dan Z(S) = {x I

}. Jika diamati dengan cermat maka X dan Y adalah variable acak diskrit dan Z

adalah variable acak kontinu. Untuk lebih memahami dan dapat membedakan variable acak diskrit dan variable acak kontinu lakukan unjuk kerja berikut! Tugas Unjuk Kerja… 1. Carilah artikel mengenai variable acak kontinu dan variable acak diskrit melalui media internet. Bacalah atrtiket tersebut dengan penuh pemahaman, kemudian cetaklah artiket tersebut di kertas A4 dengan rapi. 2. Berilah contoh percobaan yang dapat menghasilkan variable acak diskrit dan kontinu. 3. Buatlah ringkasan materi terkait variable acak.

D.

Fungsi Peluang Dan Fungsi Distribusi Kumulatif

1. Fungsi Peluang Dalam suatu variable acak diskrit nilai-nilai yang mungkin dari variable acaknya merupakan bilangan bulat. Sebagai contoh pada pelemparan 3 buah uang logam diketahui variable random X dinyatakan dengan 0, 1, 2 atau 3. Nilai peluang dari variable acak tertentu diperoleh berdasarkan nilai peluang dari titik-titik sampel nya. Jika nilai peluang dari variable acak tersebut memenuhi persyaratan tertentu, maka nilai peluang tersebut dinamakan fungsi peluang. Apa yang dimaksud dengan fungsi peluang?? Untuk mengetahui definisinya lakukan kegiatan berikut!

Kegiatan 4.5 Judul

: Mengeksplorasi Pengertian dari Fungsi Peluang

Tujuan

: Peserta didik dapat menjelaskan yang dimaksud dengan fungsi peluang dan dapat

menunjukkan fungsi peluang dari sebuah kejadian yang ada di kehidupan sehari-hari Langkah kegiatan :

15

1. Carilah informasi terkait dengan fungsi peluang melalui media internet atau mencari referensi di buku. 2. Catat dan ajukan pertanyaan jika ada yang tidak kalian pahami maksud dari bacaan yang kalian temui di internet atau dibuku 3. Susunlah berbagai informasi dari literature yang telah kalian kumpulkan kemudian susunlah sebuah rangkuman tentang fungsi peluang 4. Setelah melakukan langkah 1-4 dan telah memahami tentang fungsi peluang, perhatikan ilustrasi permasalahan berikut. Bu nita membeli 5 buah durian disalah satu kios pedagang buah. Jika variable random X menunjukkan jumlah buah durian yang manis tentukan nilai peluang dari : a. 2 buah durian tidak manis b. Tidak ada buah durian yang manis c. 3 buah durian yang manis 5. Diskusikan bersama teman-temanmu untuk menganalisis permasalahan diatas.

Setelah kalian melakukan rangkaian kegiatan diatas kalian dapat menyimpulkan bahwa definisi fungsi peluang secara statistic dapat dinyatakan sebagai “ Jika X adalah variable acak diskrit, maka disebut fungsi peluang jika memenuhi syarat-syarat sebagai berikut: 1.

untuk setiap x

2. ∑ Soal Latihan Dua keeping uang logam dilempar bersama-sama. Missal didefinisikan variable acak X yang ditentukan oleh X = banyaknya gambar yang muncul. a. Tentukan fungsi peluang dari X dengan tepat b. Gambarkan grafik fungsi peluangnya secara teliti dan rapi dikertas berpetak 2. Fungsi distribusi kumulatif Fungsi peluang yang telah kalian pelajari sebelumnya juga disebut sebagai fungsi distribusi untuk variable random diskrit atau sering disingkat sebagai fungsi distribusi. Dalam matematika, fungsi distribusi dapat diakumulasikan sehingga membentuk suatu fungsi distribusi yang dikenal sebagai fungsi distribusi kumulatif.

16

Untuk mengetahui lebih mendalam mengenai fungsi fungsi distribusi kumulatif dan fungsi distribusi binomial baca materi berikut dengan penuh pemahaman dan sungguh-sungguh!!!! Jika kalian mempunyai fungsi peluang dari suatu variable random diskrit, maka kalian akan dapat menghitung peluang dari variable random tersebut yang bernilai tertentu. Nilai peluang dari variable random tersebut mempunyai beberapa kemungkinan, antara lain sebagai berikut : -

-

-

-

-

-

-

-

Dengan s dan b adalah konstanta. Perhatikan bahwa bentuk matematika bentuk

dapat ditulis menjadi bentuk umum

. Dalam

menjadi notasi dari fungsi distribusi kumulatif atau fungsi distribusi.

Agar kalian mengetahui lebih jauh tentang fungsi distribusi kumulatif lakukan kegiatan berikut!

Kegiatan 4.6 Judul

: Mengenali fungsi distribusi dari suatu percobaan

Tujuan

: Peserta didik dapat mendefinisikan fungsi distribusi dan menentukan fungsi distribusi kumulatif dengan tepat setelah melakukan pengamatan dari suatu percobaan dengan variable random tertentu.

Langkah kegiatan : 1. Lakukan percobaan melempar dua buah dadu. 2. Tentukan ruang sampel dari percobaan tersebut. Misalkan variable acak X ditentukan oleh X = Jumlah kedua mata dadu 3. Tentukan nilai fungsi peluang dari masing-masing variable random dengan teliti. Setelah itu catatlah hasilnya pada table berikut : 4. Amati nilai fungsi peluang masing-masing variable random pada table diatas. X

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

f(x) 5. Lakukan Tanya jawab dan diskusi terkait nilai fungsi peluang f(x) yang kamu dapatkan 6. Carilah referensi lain mengenai fungsi distribusi di internet atau buku.

17

∑

7. Analisislah fungsi distribusi dari X dengan menen tukan F(x) mulai dari

hingga

. Tentukan nilai fungsi distribusi F(x) dalam interval tertentu. 8. Gambarlah dengan tepat dalam koordinat cartecius grafik fungsi distribusi F(x) tersebut dengan sumbu horizontal menyatakan nilai x dan sumbu vertical menyatakan nilai F(x). apa yang dapat kamu simpulkan. 9. Tulislah hasil kesimpulanmu dalam bentuk laporan.

Dalam statistika, fungsi distribusi didefinisikan sebagai berikut : Misalkan X adalah variable random diskrit, fungsi distribusi dari X berbentuk : ∑ Dengan f(t) adalah fungsi peluang diskrit dari X di t. Contoh soal Dua keeping uang logam dilempar bersama-sama. Missal didefinisikan variable acak X yang ditentukan oleh X = banyaknya gambar yang muncul. Tentukan fungsi distribusi X dan grafik fungsinya ! Penyelesaian Diketahui S = {AA, AG, GA, GG} sehingga X(S) = {0, 1, 2}

Terlihat bahwa :

Dengan demikian fungsi distribusi F(x) dapat dinyatakan sebagai berikut: 0 ; untuk ¼ ; untuk F(X) =

¾ ; untuk 1

; untuk

18

Grafiknya :

F(X)

1

3/4

1/2

1/4 x 0

E.

1

2

Distribusi Binomial Suatu percobaan kadang dilakukan secara berulang-ulang dengan kondisi yang sama dan hanya

menghasilkan 2 macam kejadian yaiu gagal atau berhasil. Contohnya percobaan menendang bola ke gawang. Kemungkinan yang terjadi hanya 2, yaitu goal (berhasil) atau tidak goal (gagal). Peluang Kejadian berhasil sering dinotasikan dengan p, sedangkan peluang kejadian gagal dinotasikan dengan (1-p) atau q. jika percobaab tersebut diulang sampai n kali maka p pada percobaan pertama, kedua, sampai ke n. percobaan pertama, kedua dan seterusnya bersifat bebas. Percobaan semacam ini disebut sebagai percobaab binomial. Agar kalian lebih memahami tentang peluang binomial, lakukan kegiatan berikut!

Kegiatan 4.7 Judul

: Merumuskan Fungsi Distribusi Binomial

Tujuan

: Peserta didik dapat merumuskan dan menggunakan fungsi distribusi binomial untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan percobaan binomial.

Ilustrasi permasalahan : Farad an Nisa melakukan percobaan melempar koin. Hasil percobaan mereka disajikan pada table berikut :

19

Percobaan ke

Jumlah pelemparan

hasil

1

3

AGG

2

3

AGA

3

3

AAG

4

3

GGA

5

3

GAG

6

3

AAA

7

3

GAA

8

3

GGG

Berdasarkan percobaan yang dilakukan oleh fara dan nisa, dapatkah kalian menyimpulkan fungsi distribusi munculnya angka dari pelemparan koin sebanyak 3 kali? Langkah kegiatan : 1. Bacalah ilustrasi permasalahn diatas 2. Amati table diatas dengan teliti. Ingat kembali materi dua kejadian yang saling bebas yang dipelajari sebelumnya. 3. Berdasarkan rumus peluang dua kejadian yang saling bebas, analisis lah peluang munculnya angka dari masing-masing hasil prhitunganmu pada table berikut! Hasil

Banyak angka yg muncul

Peluang

AGG

…

…

AGA

…

…

AAG

…

…

GGA

…

…

GAG

…

…

AAA

…

…

GAA

…

…

GGG

…

…

4. Berdasarkan table diatas analisislah fungsi distribusi munculnya angka pada pelemparan koin sebanyak 3 kali 5. Tulislah hasil kesimpulanmu dengan rapid an benar.

20

Soal latihan 1. Sebuah dadu dilempar sebanyak 5 kali. Dalam 5 kali pelemparan tersebut berapakah peluang munculnya mata dadu 2 sebanyak 3 kali? 2. Data dari perusahaan travel PT Visit Indonesia yang khusus menangani perjalanan wisata touris mancanegara menunjukkan 20 % dari turis menyatakan sangat puas berkunjung ke Indonesia, 40% menyatakan puas, 25% menyatakan biasa saja dan sisanya menyatakan kurang puas. Apabila kita menemui 10 orang turis, berapakah peluang separuh dari turis-turis tersebut yang menyatakan puas setelah berkunjung ke Indonesia> tentukan pula peluang paling tidak 1 turis merasa tidak puang berkunjung ke Indonesia?

F.

Pendekatan distribusi normal terhadap distribusi binomial

Pada bab ini kalian akan mempelajari tentang distribusi normal dan pendekatannya terhadap distribusi binomial. Distribusi normal merupakan distribusi dari variable acak kontinu yang paling banyak dipakai sebagai pendekatan distribusi lainnya termasuk distribusi binomial. Untuk lebih mengetahui karakteristik distribusi normal baca dan pahami materi berikut! 1. Distribusi Normal Distribusi probabilitas normal merupakan distribusi variable acak kontinu yang mempunyai nilai tak terbatas dalam skala atau jarak tertentu. Distribusi normal mempunyai nilai sepanjang interval, biasanya berupa bilangan pecahan dan datanya dihasilkan dari pengukuran. Beberapa karakteristik dari kurva normal adalah : a. Kurva berbentuk genta atau lonceng dan memiliki 1 titik puncak yang tepat berada di tengah. Nilai rata-rata hinting (Mo). Nilai yaitu 50% dibawah nilai

sama dengan median (Me) dan sama dengan modus

yang berada ditengah membelah kurva menjadi dua bagian dan 50% diatas

.

b. Bila kurva dilipat menjadi dua bagian dengan nilai rata-rata menjadi pusat lipatan maka kurva menjadi dua bagian yang sama dan saling menutupi satu sama lain. c. Kurva norma bersifat asimptotis yaitu menurun ke arah kiri namun tidak pernah menyentuh 0, hanya mendekati titik nol.

21

dank e arat kanan

d. Modus pada sumbu mendatar membuat fungsi mencapai puncak atau maksimumnya pada e. Luas daerah dibawah kurva normal tetapi diatas sumbu mendatar = 1, ½ disebelah kiri dan ½ disebelah kanan Distribusi probabiliytas normal sangat dipengaruhi oleh nilai rata-rata hitung standar deviasinya semakin kecil nilai

. Semakin besar nilai

dan

kurva semakin rendah dan tumpul. Sebaliknya,

maka kurva semakin runcing dan tinggi.

Fungsi kepekatan peluang (FKP) atau fungsi densitas dari distribusi normal adalah sebagai berikut: “variable acak X dikatakan berdistribusi normal jika dan hanya jika FKP nya berbentuk : √

+ ; untuk

*

Variable acak yang berdistribusi normal disebut variable acak normal. Dalam statistika dinotasikan dengan Perhitungan peluang dari variable random berdistribusi normal dapat dicari dengan menggunakan distribusi normal standar. Distribusi normal setandar merupakan distribusi normal dengan nilai rata-rata

dan standar deviasi

.

Langkah-langkah mengubah distribusi normal menjadi distribusi normal setandar adalah sebagai berikut : Jika X merupakan variable acak berdistribusi normal dengan rata-rata dan standar deviasi

maka :

-

Ubah X kedalam Z yang berdistribusi Normal setandar dengan rumus :

-

Menggambar kurva berdistribusi normal baku

-

Meletakkan nilai Z yang dicapai pada kurva

-

Menandai daerah pada kurva

-

Menggunakan table distribusi normal baku (table Z) untuk mencari luas daerah yang telah ditandai

Contoh soal

22

Sebuah perusahaan lampu mengetahui bahwa umur lampunya terdistribusi secara normal dengan rata-rata umurnya 500 jam dan standar deviasinya 40 jam. Carilah probabilitas / peluang bahwa sebuah lampu yang diproduksi akan : a. Berumur antara 475 jam sampai 550 jam b. Berumur kurang dari 426 jam atau lebih dari 610 jam Penyelesaian : a. Dari ilustrasi permasalahan diatas, diperoleh : dan

Dengan menggunakan table distribusi normal standar diperoleh peluang sebagai berikut :

Jadi peluang sebuah lampu berumur 475 sampai 550 jam adalah 0,6301 b.

dan

Dengan menggunakan table distribusi normal standar diperoleh peluang sebagai berikut :

Jadi peluang lampu berumur kurang dari 426 jam atau lebih dari 610 jam adalah 0,0322+0,003=0,0325 2. Pendekatan distribusi normal terhadap distribusi binomial Perhatikan grafik fungsi peluang munculnya angka pada pelemparan koin sebanyak 2,3, dan 4 kali berikut

23

F(x)

F(x)

0

1

2

0

F(x)

1

2

3

0

1

2

3

4

Gambar 4.1 Fungsi peluang munculnya angka pada pelemparan koin 2,3, dan 4 kali Dari gambar diatas terlihat bahwa semakin banyak percobaan yang dilakukan maka grafik yang terbentuk semakin menyerupai kurva distribusi normal. Misalkan X variable acak yang berdistribusi binomial dengan nilai rata-rata , maka nilai Z untuk distribusi normal

√

√

dengan

dan standar deviasi dan

Soal latihan 1. Adi dan siswa kelas XII lainnya sedang menjalani ujian tengah semester. Pada ujian matematika diberikan soal pilihan ganda sebanyak 25 buah. Setiap soal memiliki 5 buah pilihan jawaban. Setiap jawaban benar bernilai 4 dan setiap soal salah bernilai 0. Apabila setiap pilihan jawaban memiliki peluang yang sama untuk bernilai benar, tentukan : a. Peluang adi menjawab benar lebih dari 10 soal b. Peluang nilai adi tidak mengikuti remedial apabila batas KKM nya adalah 44 2. Jumlah siswa kelas XII SMAN 8 BU yang mengikuti UTBK dan mendaftar di “universitas +62” adalah 565 siswa. Setiap siswa yang mengikuti seleksi mempunyai peluang lolos yang sama yaitu 50%. Apabila siswa yang tidak lolos seleksi dapat mengikuti ujian jalur mandiri, maka tentukan : a.

Peluang siswa SMAN 8 BU yang lolos seleksi lebih dari 250 orang.

b. Peluang 275 hingga 300 siswa tidak lolos seleksi c. Peluang jumlah siswa yang mengikuti ujian jalur umum kurang dari 50 siswa

24

Evaluasi Akhir 1.

Banyaknya ruang sampel dari pelemparan dua buah dadu dan dua keeping uang logam adalah …

2.

Ria memiliki 3 buah bolpoin A, B, dan C dan 5 buah pensil, 1, 2, 3, 4, dan 5. Banyaknya ruang sampel apabila ria akan memilih sebuah bolpoint dan sebuah pensil adalah …

3.

Pada sebuah pameran terlihat dari absen daftar hadir ada sebanyak 416 orang. Akan dipilih 3 pengunjung secara acak. Ketiga pengunjung tersebut ditanyai apakah mereka akan membeli buku atau hanya membaca saja. Jumlah ruang sampel dari permasalahan tersebut adalah …

4.

Lima kartu diambil secara acak sekaligus dari setumpumpuk kartu bridge. Peluang yang terambil adalah 4 kartu AS dan satu kartu king adalah …

5.

Diketahui suatu percobaan dengan 5 kejadian A dan B. percobaan dilakukan sebanyak 10o kali. Jika P(A) = 0,4 ; P(B) = 0,5 dan

, maka frekuensi harapan terjadinya

adalah sebanyak … 6.

Banyaknya pelamar dari suatu perusahaan adalah 50 orang. Para pelamar tersebut dijelompokkan berdasarkan kemampuan mereka berbahasa inggris dengan tingkat pendidikan sebagai berikut Kemampuang

Tingkat Pendidikan

Bahasa Inggris

Sarjana

SMA

Aktif

16

4

Pasif

10

20

Jika seorang pelamar diambil secara acak, peluang yang terpilih adalah pelamar dengan kemampuan bahasa inggris aktif dan tingkat pendidikan sarjana adalah sebesar … 7.

Dari soal no 6, peluang yang terpilih adalah pelamar dengan kemampuan berbahasa inggris pasif jika diketahui bahwa yang terpilih adalah pelamar dengan tingkat pendidikan SMA adalah …

8.

Diketahui kejadian A dan B adalah kejadian yang saling bebas. Jika P(A) = ½ dan maka nilai dari P(B) adalah …

9.

Diketahui fungsi distribusi dari suatu variable acak Y adalah sebagai berikut F(Y)

:0

; untuk

3/28 ; untuk 9/14 ; untuk 1

; untuk

25

Nilai

(

) adalah …

10. Sekeping uang logam dilempar sebanyak 3 kali dan X adalah variable acak yang menyatakan banyaknya gambar yang muncul, maka nilai dari

adalah …

11. Pada sebuah perusahaan, peluang barang yang diproduksi rusak adalah 0,007. Jika bulan ini perusahaan memproduksi barang sebanyak 20.000 baran, maka frekuensi harapan barang yang diproduksi akan rusak adalah … 12. Peluang seseorang dapat lulus tes CPNS adalah 0,05. Apabila terdapa 750.000 peserta tes CPNS, jumlah peserta yang akan diterima adalah … 13. Misalkan variable acak X menunjukkan banyaknya kejadian sukses dari percobaan yang dilakukan sebanyak 3 kali. Peluang kejadian sukses sebesar 2/3 dan bersifat tetap untuk setiap pengulangan percobaan. Jika dihitung secara teliti maka nilai

adalah sebesar …

14. Misalkan Nadien mengundi dua buah dadu dan X adalah variable acak yang menunjukkan jumlah data angka yang muncul, maka nilai P(X=6) adalah … 15. Diketahui

; untuk 0

; untuk x yang lain

Nilai k agar f adalah fungsi densitas adalah … 16. Peluang seorang mahasiswa lulus pada siding skripsi adalah 0,7. jika hari ini terdapat 5 orang yang mengikuti siding skripsi, maka peluang 4 orang harus mengulang siding skripsi adalah … 17. Probabilitas seorang bayi terlahir prematur adalah 0,02. Jika terdapat 14 bayi yang lahir, maka peluang 2 diantaranya terlahir premature adalah … 18. Rata-rata nilai ujian matematika siswa kelas XII adalah 75 jika standar deviasinya adalah 15. Maka peluang siswa memperoleh nilai kurang dari 78 adalah …

Untuk soal no 19 dan 20 pilihlah jawaban A, B, C, D atau E dengan menggunakan petunjuk berikut A. Jika pernyataan benar, alasan benar dan memiliki hubungan sebab akibat B. Jika pernyataan benar, alasan benar tapi tidak memiliki hubungan sebab akibat C. Jika pernyataan benar dan alasan salah D. Jika pernyataan salah dan alasan salah E. Jika pernyataan maupun alasan salah semua.

26

19. Peluang seorang siswa menjawab 5 jawaban benar dari 10 soal pilihan ganda dengan 5 alternatif pilihan adalah 0, 0264 Sebab ( ) ( ) 20. Pada percobaan pelemparan dua buak dadu, variable Y yang menunjukkan jumlah dua buah mata dadu yang muncul merupakan variable acak diskrit. Sebab Jumlah mata dadu yang muncul dapat dihitung

SELAMAT MENGERJAKAN

27