Modulo 2 Esfuerzo Y Deformacion

Contenido Introducción Deformación Unitaria Prueba de Esfuerzo-Deformación Diagrama de Esfuerzo-Deformación: Materiales Dúctiles Diagrama de Esfuerzo-Deformación: Materiales Frágiles Ley de Hooke: Módulo de Elasticidad Comportamiento Elástico vs. Plástico Fatiga Deformaciones bajo Carga Axial Ejemplos Indeterminación Estática Ejemplo Esfuerzos Térmicos Relación de Poisson

Ley de Hooke Generalizada Dilatación: Módulo Volumétrico Deformación unitaria cortante Ejemplo Relación entre E, ν, y G Ejemplo Materiales Compuestos Principio de Saint-Venant Concentración de Esfuerzos Ejemplo

Introducción • La adecuación de una estructura puede depender de las deformaciones de la misma, así como también de los esfuerzos inducidos bajo las cargas. Los análisis de equilibrio por sí solos no son suficientes. • Considerar las estructuras como deformables permite la determinación de fuerzas en los miembros y reacciones cuando las mismas son estáticamente indeterminadas. • La determinación de la distribución de esfuerzos dentro de un miembro también requiere de la consideración de las deformaciones en el miembro. • Este módulo estudia la deformación de un miembro estructural bajo cargas axiales. Los módulos siguientes tratarán las cargas torsionales y flexión pura.

Deformación Unitaria

σ= ε=

P = esfuerzo A

δ

L

= deformación unitaria

2P P σ= = 2A A

ε=

δ

L

P σ= A 2δ δ ε= = 2L L

Prueba de Esfuerzo-Deformación

Diagrama de Esfuerzo-Deformación: Materiales Dúctiles

Diagrama de Esfuerzo-Deformación: Materiales Frágiles

Ley de Hooke: Módulo de Elasticidad

• Debajo del Esfuerzo de cedencia σ = Eε E = Módulo de Youngs ó Módulo de Elasticidad • La resistencia se afecta por la aleación, tratamiento térmico, y procesos de fabricación. Sin embargo la rigidez (Módulo de Elasticidad) no se afecta.

Comportamiento Elástico vs. Plástico • Si la deformación desaparece cuando el material es descargado, se dice que el comportamiento es elástico. • El máximo esfuerzo para el cuel esto ocurre es conocido como límite elástico. • Cuando las deformaciones no regresan a cero luego de descargar el material, se dice que el comportamiento es plástico.

Fatiga • Las propiedades de fatiga se muestran en los diagramas de σ-N. • Un miembro puede fallar debido a fatiga a niveles de esfuerzo significativamente menores que la resistencia última, si es sometido a ciclos de carga y descarga.. • Cuando los esfuerzos son reducidos por debajo del límite de fatiga, la falla frágil por fatiga no ocurre para ningún número de ciclos.

Deformaciones bajo Carga Axial • De la Ley de Hooke:

σ = Eε

ε=

σ E

=

P AE

• De la definición de deformación unitaria:

ε=

δ

L

• Igualando y resolviendo para la deformación, PL δ = AE • Cuando hay variaciones en la carga, sección transversal, o propiedades de los materiales, PL δ =∑ i i i Ai Ei

Ejemplo 2.01

E = 29 × 10 − 6 psi D = 1.07 in. d = 0.618 in.

Determine la deformación de la barra de acero bajo las cargas mostradas.

SOLUCIÓN: • Dividir la barra en componentes en los puntos de aplicación de las cargas. • Aplicar un análisis de cuerpo libre en cada componente para determinar las fuerzas internas. • Evaluar la deformación total de cada componente.

SOLUCIÓN: • Dividir la barra en tres componentes:

• Aplicar un análisis de cuerpo libre en cada componente, P1 = 60 × 103 lb P2 = −15 × 103 lb P3 = 30 × 103 lb

• Evaluar la deformación total, Pi Li 1 ⎛ P1L1 P2 L2 P3 L3 ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ + + A E E A A A i i i ⎝ 1 2 3 ⎠

δ =∑

(

) (

) (

)

⎡ 60 × 103 12 − 15 × 103 12 30 × 103 16 ⎤ = + + ⎥ 6⎢ 0.9 0 .9 0 .3 29 × 10 ⎣⎢ ⎦⎥ 1

= 75.9 × 10−3 in.

L1 = L2 = 12 in.

L3 = 16 in.

A1 = A2 = 0.9 in 2

A3 = 0.3 in 2

δ = 75.9 × 10−3 in.

Indeterminación Estática • Las estructuras para las cuales las fuerzas internas y las reacciones no se pueden determinar solamente con estática, se dicen que son estáticamente indeterminadas. • Un estructura estará estáticamente indeterminada cuando es soportada por más apoyo que los requeridos para mantener su equilibrio. • Las reacciones redundantes son incógnitas que junto a las demás cargas deben producir deformaciones compatibles.

• Las deformaciones debido a las cargas y a las reacciones redundantes se determinan por separado y luego son sumadas o superpuestas.

δ = δL +δR = 0

Ejemplo 2.04 Determine las reacciones en A y B para la barra de acero y las cargas mostradas.

SOLUCIÓN: • Considere la reacción en B como la redundante, elimine la reacción, y resuelva para el desplazamiento en B debido a las cargas aplicadas. • Resuelva para el desplazamiento en B debido a la reacción redundante en B. • Los desplazamientos debido a las cargas y debido a la redundante deben ser compatibles, i.e., su suma debe ser cero. • Resolver para la reacción en A debido a las cargas aplicadas y a la reacción en B.

Example 2.04 SOLUCIÓN: • Resolver para el desplazamiento en B debido a las cargas aplicadas sin la redundante, P1 = 0 P2 = P3 = 600 × 103 N A1 = A2 = 400 × 10− 6 m 2

P4 = 900 × 103 N

A3 = A4 = 250 × 10− 6 m 2

L1 = L2 = L3 = L4 = 0.150 m Pi Li 1.125 × 109 δL = ∑ = A E E i i i

• Resuelva para el desplazamiento en B debido a la reacción redundante en B, P1 = P2 = − RB A1 = 400 × 10 − 6 m 2 L1 = L2 = 0.300 m

(

A2 = 250 × 10 − 6 m 2

)

Pi Li 1.95 × 103 RB =− δR = ∑ A E E i i i

Example 2.04 • Los desplazamientos debido a las cargas y debido a la redundante deben ser compatibles, δ = δL +δR = 0

(

)

1.125 × 109 1.95 × 103 RB − =0 δ = E E RB = 577 × 103 N = 577 kN

• Resolver para la reacción en A debido a las cargas aplicadas y a la reacción en B ∑ Fy = 0 = R A − 300 kN − 600 kN + 577 kN R A = 323 kN R A = 323 kN RB = 577 kN

Esfuerzos Térmicos • Un cambio de temperatura resulta en un cambio de longitud o deformación térmica. No hay esfuerzos asociados con las deformaciones térmicas, a menos que la elongación sea restringida por los apoyos. • Considerar el apoyo adicional como redundante y aplicar el principio de superposición. δ T = α (ΔT )L α = coef. de expansión térmica

δP =

PL AE

• La deformación térmica y la deformación del apoyo redundante deben ser compatibles. δ = δT + δ P = 0

PL =0 AE P = − AEα (ΔT ) P σ = = − Eα (ΔT ) A

α (ΔT )L +

Relación de Poisson • Para una barra sujeta a carga axial:

εx =

σx E

σy =σz = 0

• La elongación en la dirección x es acompañada por una contracción en las otras direcciones. Asumiendo que el material es isotrópico (no hay dependencia direccional),

εy = εz ≠ 0 • La relación de Poisson se define como

εy def. lateral ε ν= =− =− z def. axial εx εx

Ley de Hooke Generalizada • Para un elemento sujeto a múltiples cargas axiales, las componentes de deformación normal que resultan de los esfuerzos se pueden determinar mediante el principio de superposición. Esto requiere: 1) La relación entre esfuerzo y deformación es lineal 2) Las deformaciones son pequeñas • Con estas restricciones:

σ x νσ y νσ z

εx = +

E

εy = − εz = −

−

νσ x E

+

E

−

σ y νσ z E

νσ x νσ y E

−

E

−

E

σ + z E E

Dilatación: Módulo Volumétrico • Relativo al estado sin esfuerzo, el cambio en el volumen es e = 1 − [(1 + ε x )(1 + ε y )(1 + ε z )] = 1 − [1 + ε x + ε y + ε z ] = εx +εy +εz 1 − 2ν (σ x + σ y + σ z ) E = dilatación (cambio en el volumen / volumen unitario) =

• Para un elemento sujeto a presión hidrostática uniforme, 3(1 − 2ν ) p =− E k E = módulo volumétri co k= 3(1 − 2ν )

e = −p

• Sujeto a presión uniforme la dilatación debe ser negativa, por lo tanto 0 < ν < 12

Deformación Unitaria Cortante • Un elemento cúbico sujeto a esfuerzos cortantes se deformará en un romboide. La correspondiente deformación en cortante se cuantifica en términos del cambio de ángulo entre los lados,

τ xy = f (γ xy )

• Una gráfica de esfuerzos cortantes vs deformación cortante es similar a las gráficas de esfuerzo normal vs deformación normal, solo que los valores de resistencia son aproximadamente la mitad. Para deformaciones pequeñas, τ xy = G γ xy τ yz = G γ yz τ zx = G γ zx donde G es el módulo de rigidez o módulo de cortante.

Ejemplo 2.10 SOLUCIÓN: • Determine la deformación angular promedio o la deformación cortante del bloque.

Un bloque rectangular de material con un módulo de cortante de G = 90 ksi se une a dos placas rígidas horizontales. La placa inferior es fija, mientras que la placa superior se somete a una fuerza horizontal P. Sabiendo que la placa superior se mueve 0.04 in. bajo la acción de la fuerza, determine a) la deformación unitaria cortante promedio del material, y b) la fuerza P ejercida sobre la placa.

• Aplicar la ley de Hooke para esfuerzo y deformación cortante para encontrar el correspondiente esfuerzo cortante. • Mediante la definición de esfuerzo cortante encontrar la fuerza P.

• Determine la deformación angular promedio o la deformación cortante del bloque. γ xy ≈ tan γ xy =

0.04 in. 2 in.

γ xy = 0.020 rad

• Aplicar la ley de Hooke para esfuerzo y deformación cortante para encontrar el correspondiente esfuerzo cortante.

(

)

τ xy = Gγ xy = 90 ×103 psi (0.020 rad ) = 1800 psi

• Mediante la definición de esfuerzo cortante encontrar la fuerza P. P = τ xy A = (1800 psi )(8 in.)(2.5 in.) = 36 × 103 lb P = 36.0 kips

Relación entre E, ν, y G • Una barra cargada axialmente se elongará en la dirección axial y se contraerá en las direcciones transversales. • Un elemento inicialmente cúbico orientado como se muestra en la figura superior se deformará en un paralelepípedo rectangular. La carga axial produce una deformación normal. • Si el elemento cúbico es orientado según la figura inferior, se deformará en un rombo. La carga axial también resulta en deformación cortante. • Las componentes de deformación normal y cortante están relacionadas por, E = (1 + ν ) 2G

Ejemplo. Problema 2.5 Un círculo de diámetro d = 9 in. cuyo espesor es t = 3/4 in. se marca en una placa de aluminio sin esforzar. Las fuerzas que actúan después en el plano de la placa causan esfuerzos normales σx = 12 ksi and σz = 20 ksi. Para E = 10x106 psi y ν = 1/3, determine el cambio en: a) la longitud del diámetro AB, b) la longitud del diámetro CD, c) el espesor de la placa, y d) el volumen de la placa.

SOLUCIÓN: • Aplicar la ley de Hooke generalizada • Evaluar las componentes de deformación para encontrar las tres componentes δ B A = ε x d = + 0.533 × 10 −3 in./in. (9 in.) de la deformación normal.

(

εx = + =

σ x νσ y νσ z E

−

E

−

E

1 ⎡ ⎤ ( ) ( ) − − 20 ksi 12 ksi 0 ⎥⎦ 3 10 × 106 psi ⎢⎣ 1

= +0.533 × 10−3 in./in.

εy = −

νσ x σ y νσ z E

+

E

−

E

δC

D

(

)

δB

A

= +4.8 × 10 −3 in.

)

= ε z d = + 1.600 × 10 −3 in./in. (9 in.)

(

δC

D

= +14.4 × 10 −3 in.

)

δ t = ε y t = − 1.067 × 10 −3 in./in. (0.75 in.)

δ t = −0.800 × 10 −3 in.

= −1.067 × 10−3 in./in.

εz = −

νσ x νσ y E

−

σ + z E E

= +1.600 × 10 −3 in./in.

• Encontrar el cambio de volumen e = ε x + ε y + ε z = 1.067 × 10−3 in 3/in 3

ΔV = eV = 1.067 × 10−3 (15 × 15 × 0.75)in 3 ΔV = +0.187 in 3

Materiales Compuestos • Materiales compuestos de fibra reforzada se forman de láminas o fibras de grafito, vidrio, o polímeros embebidos en una resina. • Los esfuerzos normales y las deformaciones se relacionan por la ley de Hooke pero con módulos de elasticidad direccionalmente dependientes,

σ Ex = x εx

Ey =

σy εy

Ez =

σz εz

• Las contracciones transversales están relacionadas por los valores de la relación de Poisson direccionalmente dependientes, e.g., ν xy = −

εy ε ν xz = − z εx εx

• A los materiales con propiedades mecánicas direccionalmente dependientes se les conoce como anisotrópicos.

Principio de Saint-Venant • Las cargas transmitidas por medio de placas rígidas resultan en una distribución uniforme de esfuerzo y deformación. • Las cargas concentradas resultan en grandes esfuerzos en la vecindad del punto de aplicación de la carga. • Las distribuciones de esfuerzo y deformación llegan a ser uniformes a una distancia relativamente pequeña del punto de aplicación de la carga. • Principio de Saint-Venant: La distribución de esfuerzo se puede asumir independiente del modo de aplicación de la carga, excepto en la inmediata vecindad del punto de aplicación de la misma.

Concentración de Esfuerzos: Agujeros

Discontinuidades en la sección transversal puede resultar en una alta concentración de esfuerzos.

K=

σ max σ ave

Concentración de Esfuerzos: Filete

Ejemplo 2.12 SOLUCIÓN:

Determine la máxima carga axial P que se puede aplicar a una barra de acero plana la cual consiste en dos porciones, ambas de10 mm de espesor, con anchos de 40 and 60 mm respectivamente, conectadas por filetes de radio r = 8 mm. Asumir un esfuerzo normal permisible de of 165 MPa.

• Determine las relaciones geométricas y encuentre el factor de concentración de esfuerzos de la Fig. 2.64b. • Encuentre el esfuerzo normal promedio permisible usando el esfuerzo normal permisible del material y el factor de concentración de esfuerzo. • Aplicar la definición de esfuerzo normal para encontrar la carga permisible.

• Determine las relaciones geométricas y encuentre el factor de concentración de esfuerzos de la Fig. 2.64b. D 60 mm = = 1.50 d 40 mm

r 8 mm = = 0.20 d 40 mm

K = 1.82

• Encuentre el esfuerzo normal promedio permisible usando el esfuerzo normal permisible del material y el factor de concentración de esfuerzo. σ ave =

σ max K

=

165 MPa = 90 .7 MPa 1 .82

• Aplicar la definición de esfuerzo normal para encontrar la carga permisible. P = A σ ave = (40 mm )(10 mm )(90 .7 MPa ) = 36 .3 × 10 3 N P = 36 .3 kN