Primer Parcial.pdf

5.- Para el campo magnético en un medio lineal de permitividad ξ y permeabilidad u determine la densidad de carga, el campo eléctrico y la densidad de corriente. ⃗

⃗

⃗

⃗ ⃗ ⃗



⃗

⃗

1)

Propagación en el eje Z: H2=E2=0 Ix ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

d/dx Ex

iy

iz

d/dy Ey

d/dz 0 (

⃗

⃗

)

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

⃗

( ⃗)

⃗

⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗

Ix ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

iy

iz

d/dx

d/dy

d/dz

Hx

Hy

0

⃗

(

)

⃗ Porque se tiene que derivar con respecto a z y H no depende de z

⃗

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

6.9 Determine la frecuencia a la cual la intensidad de un campo eléctrico con dependencia armónica con el tiempo causa una densidad de corriente de conducción y una densidad de corriente de desplazamiento de igual magnitud en: a) El agua de mar con ε r = 72 y σ = 4 [S m] . b) La tierra húmeda con ε r = 2.5 y σ = 10 −3 [S m] . Desarrollo: La densidad de corriente de conducción está dada por la siguiente ecuación: J = σE

Mientras que la densidad de corriente de desplazamiento en magnitud está dada por:

ωεE Por enunciado, ambas densidad deben ser iguales, por lo que igualando tenemos lo siguiente:

σE = ωεE Simplificando:

σ = ωε Despejamos ω

ω=

σ ε

Sabemos que:

ω = 2πf Reemplazamos y despejamos f :

f =

σ 2πε

Además, debemos considerar que:

ε = ε rε 0

y

ε0 = Por lo que tenemos:

f =

10 −9 36π

σ 2πε r ε 0

Por lo tanto, reemplazando los datos de los incisos (a ) y (b) obtenemos la frecuencia pedida.

a)

f =

4 10 −9 2π ⋅ 72 ⋅ 36π

⇒ f = 1[GHz ]

b)

f =

10 −3 10 −9 2π ⋅ 2.5 ⋅ 36π

⇒ f = 7.2[MHz ]

6.9 Una lámina infinita con corriente J = a x 5 [ A m] , coincidente con el plano xy , separa el aire (región 1, z > 0 ) de un medio con µ r 2 = 2 (región 2, z < 0 ). Si H 1 = a x 30 + a y 40 + a z 20 [A m] , calcule: a) b) c) d)

H2 B2 El ángulo α 1 que forma B1 con el eje z. El ángulo α 2 que forma B2 con el eje z.

Desarrollo: Al ser dos medios sin pérdidas, ya que la conductividad se asume cero para ambos medios, se pueden aplicar las condiciones de fronteras entre dos medios sin pérdidas. Por lo que:

a) H 1t = H 2t , como se puede observar, la componente tangencial está en el sentido a x , ya que éste es la única posibilidad de ser tangente a la dirección en que fluctúa la corriente. Por lo tanto: H 2t = a x 30[ A m] Por otra parte, a z es la componente normal de H , ya que z es normal al plano xy . Por consiguiente:

µ1 H 1n = µ 2 H 2 n con

µ 2 = 2 µ 0 , µ1 = µ 0 y H 1n = 20[A m] . Reemplazando:

µ 0 20a z = 2µ 0 H 2 n Simplificando, tenemos: H 2 n = a z 10[A m]

Para determinar la otra componente, utilizaremos la siguiente ecuación: a n 2 × ( H 1 − H 2 ) = J s (1) donde

H 1 = a x 30 + a y 40 + a z 20 [A m] y

H 2 = a x 30 + H 2 y + a z 10 [A m] entonces

H 1 − H 2 = a y 40 − H 2 y Ahora, realizaremos el producto cruz de la ecuación (1) : ax

ay

az

0

0

1 = ax 5

0

40 − H 2 y

10

⇒ − (40 − H 2 y )a x = a x 5 Simplificando: ⇒ H 2 y = 45 en dirección a y . Por lo tanto:

H 2 y = a y 45 Entonces:

H 2 = a x 30 + a y 45 + a z 10 [ A m]

b) Para determinar B2 , nuevamente utilizamos las condiciones de fronteras entre dos medios sin pérdidas: B1n = B2 n → µ1 H 1n = µ 2 H 2 n Entonces, tenemos lo siguiente: B2 = µ1 H 1 = µ 2 H 2

Como podemos ver, podemos determinar B2 de dos formas, en este caso lo haremos de la siguiente manera: B2 = µ 2 H 2 Sabemos que µ 2 = 2 µ 0 , por lo que reemplazando: B2 = 2 µ 0 H 2

c) Primero, se determina B1 y se realiza de igual manera como se determinó B2 . Por lo tanto: B1 = µ 0 H 1 Reemplazando H 1 :

B1 = µ 0 (a x 30 + a y 40 + a z 20 ) Ahora, se mostrará un diagrama es donde se puede apreciar claramente el vector B1 :

Se muestran los ángulos α1 y β1 , que corresponden al ángulo que forma B1 con el eje z y el que forma con el plano xy , respectivamente. Entonces, geométricamente tenemos que:

α 1 + β1 = 90º (2) Determinaremos el ángulo β1 , a través del triángulo rectángulo OPQ : - Podemos determinar el trazo OP mediante el Teorema de Pitágoras:

OP = µ 0

(30)2 + (40)2

⇒ OP = µ 0 50 - Conocemos la altura de este triángulo rectángulo que es el trazo PQ : PQ = µ 0 20 - Ahora, determinamos, mediante Pitágoras, el trazo OQ :

OQ = µ 0

(20)2 + (50)2

⇒ OQ = µ 0 53.85 - Sabemos que:

cos β1 =

50 53.85

Aplicamos arccos y obtenemos: ⇒ β1 = 21.79º Reemplazamos este valor en (2) :

α 1 + 21.79º = 90 Despejamos:

⇒ α 1 = 68.2º

d) Este punto no se desarrollará, ya que se hace de igual manera que el punto anterior.

7.5 El campo E de una onda plana que se propaga en un medio dieléctrico está dado por E ( z , t ) = a x 2 cos(10 8 t − z

a) b) c) d)

(

3 ) − a y sen 10 8 t − z

3

) [V m]

Determine la frecuencia y la longitud de onda de la onda. ¿Cuál es la constante dieléctrica del medio? Describa la polarización de la onda. Encuentre el campo H correspondiente.

Desarrollo:

a) El vector de campo eléctrico tiene la siguiente forma: Eo = Eo cos(ωt − kz )

[V m] (1)

Por lo que podemos desprender del dato dado por el enunciado que, la velocidad angular (ω ) es 108 y el número de onda (k ) es 1 3 . Para determinar la frecuencia de la onda, sabemos que ω = 2πf , despejando, tenemos:

f =

ω 2π

f =

108 2π

Reemplazando, queda:

⇒ f = 1.59 ⋅10 7 [Hz ] Además, conocemos el número de onda y la siguiente relación, k = longitud de onda y obtenemos:

λ=

2π k

Reemplazando, tenemos:

λ=

2π 1 3

⇒ λ = 10.88[m]

2π

λ

, despejamos la

b) Sabemos que:

ω k

=

1

µ 0ε 0ε r

En donde conocemos la velocidad angular y el número de onda, también conocemos los 1 , respectivamente. valores de µ 0 y ε 0 , que son 4π ⋅10 −7 y 36π ⋅10 −9 Despejamos la ecuación anterior y obtenemos la constante dieléctrica del medio:

εr =

k2

ω µ 0ε 0 2

⇒ εr =

13 36π ⋅ −9 −7 10 ⋅ 4π ⋅ 10 10 16

⇒ εr = 3

c) En el fasor de campo eléctrico podemos apreciar claramente que las amplitudes y fases son distintas, por lo tanto la polarización de la onda es elíptica. d) El campo H se relaciona con el campo E a través de la impedancia intrínseca, de la siguiente manera: H=

1

η

E

donde

η=

µ0 µ ⇒η = ε ε 0ε r

Reemplazando:

η=

4π ⋅10 −7 120π ⇒η = −9 10 3 ⋅3 36π

Debemos recordar, que la dirección de propagación está dada por la relación E ⊗ H , por lo tanto, la expresión de campo H debe cumplir lo dicho anteriormente. Por lo tanto, el campo H tiene la siguiente forma: H ( z, t ) =

[

120π a x sen(10 8 t − z 3

(

3 ) + a y 2 cos 108 t − z

3

)] [A m]

7.7 Una onda plana uniforme de 3 [GHz ] , polarizada en y , se propaga en la dirección + x en un medio no magnético con constante dieléctrica de 2.5 y tangente de pérdidas de 0.05. a) Determine la distancia a la cual se reducirá a la mitad la amplitud de la onda viajera. b) Determine la impedancia intrínseca, la longitud de onda, la velocidad de fase y la velocidad de grupo de la onda en el medio. c) Suponiendo E = a y 50 sen(6π 10 9 t + π 3) [V m] en x = 0 , escriba la expresión de H instantáneo para todo t y x . Desarrollo:

Datos del problema:

f = 3[GHz ] ε r = 2.5 tan (δ ) = 0.05

a) Tenemos que, tan(δ ) =

También se sabe que,

σ , y este valor es menor que 1, entonces es un dieléctrico. ωε

σ ε '' = , donde ε ' ' es la parte imaginaria de la permitividad y ε ωε ε

corresponde a la parte real. Despejando ε ' ' y reemplazando, tenemos que:

ε ''=

σ σ 10 −9 ⋅ε ⇒ ε ''= ⋅ ε r ε o ⇒ ε ' ' = 0.05 ⋅ 2.5 ⋅ 36π ωε ωε ⇒ ε ' ' = 1.105 ⋅10 −12

Al ser un dieléctrico, la constante de atenuación, α , está dada por:

α=

ωε ' ' µ 2 ε

Reemplazando: 2π ⋅ 3 ⋅10 9 ⋅1.105 ⋅10 −12 4π ⋅10 −7 α= 2 10 −9 36π ⋅ 2.5

⇒ α = 2.481[neper m]

Ahora, con E x = E0 e −αz , así E x disminuye a medida que avanza en dirección z . Por lo tanto:

Ex =

E0 2

donde E0 es la amplitud original. Entonces,

E0 1 = E0 e −αz ⇒ = e −2.481⋅z 2 2 Aplicamos logaritmo natural y obtenemos lo siguiente:

− 0.693 = −2.481 ⋅ z Ahora, despejamos y obtenemos la distancia a la cual se reducirá a la mitad la amplitud de la onda viajera: z = 0.279[m]

b) •

La impedancia intrínseca de un dieléctrico está determinada por la siguiente expresión:

η=

µ⎛ ε '' ⎞ ⎜1 + j ⎟ ε⎝ 2ε ⎠

Reemplazamos:

η = 120π

1 1 ⎛ 1.1058 ⋅10 −12 ⎞ ⎟⎟ ⇒ η = 120π ⎜⎜1 + j (1 + j 0.025) −9 2 .5 ⎝ 2.5 2 ⋅10 36π ⋅ 2.5 ⎠ ⇒ η = 238.31(1 + j 0.025) ⇒ η = 238.31 + j 5.958

∴ η = 238.38∠1.43º

•

Para determinar la longitud de onda, debemos determinar primero la constante de fase.

Sabemos que la constante de fase está dada por la siguiente expresión: ⎡ 1 ⎛ ε '' ⎞2 ⎤ β = ω µε ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣ 8 ⎝ ε ⎠ ⎥⎦ Reemplazamos:

β = 2π ⋅ 3 ⋅10

9

10 −9 ⎡ 1 2⎤ ⋅ 2.5 ⎢1 + (0.05) ⎥ 4π ⋅10 36π ⎣ 8 ⎦ −7

⇒ β = 6π ⋅10 −9 ⋅ 5.27 ⋅10 −9 ⋅1.0003125

⎡ rad ⎤ ⇒ β = 99.33⎢ ⎣ m ⎥⎦ Ahora, sabemos que:

β =k =

2π

λ

Despejando, tenemos:

λ=

2π

β

Reemplazando:

λ=

2π 99.33

∴ λ = 6.32 ⋅10 −2 [m]

•

La velocidad de fase está dada por: up =

ω β

Reemplazando: up =

2π ⋅ 3 ⋅10 9 99.33

⎡m⎤ ∴ u p = 1.897 ⋅108 ⎢ ⎥ ⎣s⎦

c) La expresión de H está dada por la siguiente expresión, recordando que la dirección de propagación está dada por la relación de E ⊗ H , por lo tanto el campo H está polarizado en dirección z: H ( x, t ) = a z

E

η

e −αx sen(ωt − βx + π 3) [ A m]

donde los valores son conocidos. Reemplazando:

H ( x, t ) = a z

50 e − 2.481x sen(2π ⋅ 3 ⋅ 10 9 t − 6.32 ⋅10 − 2 x + π 3) [ A m] 238.38∠1.43º

Ahora, debemos introducir el ángulo de la impedancia intrínseca en la expresión, por lo tanto se transforma 1.43º en radianes y se le restan al desfase de la expresión, quedando de esta forma.

H ( x, t ) = a z

50 e −2.481x sen(2π ⋅ 3 ⋅10 9 t − 6.32 ⋅10 −2 x + 0.325π ) [A m] 238.38

7.9 Si la profundidad de penetración del grafito a 100 [MHz ] es 0.16 [mm] , determine: a) La conductividad del grafito b) La distancia que se propaga una onda de 4 [GHz ] en el grafito antes de que su intensidad de campo se reduzca en 30 [dB ] . Desarrollo:

a) Sabemos que la profundidad de penetración es igual a

1

α

y esto es igual a

1 , πfµσ

es decir: 1

α

=

1 πfµσ

donde σ es la conductividad, en este caso del grafito. Si reemplazamos la profundidad de penetración, queda: 0.16 ⋅10 −3 =

1 πfµσ

Ahora, despejamos la conductividad:

σ=

1

(0.16 ⋅10 ) πfµ −3 2

Como dato del problema, tenemos que la frecuencia, f , es 100 [MHz ] y conocemos el valor de µ que es 4π ⋅10 −7 . Por lo tanto, si reemplazamos estos valores en la expresión anterior, tenemos la conductividad del grafito:

⎡S ⎤ ⇒ σ = 99046.87 ⎢ ⎥ ⎣m⎦

b) Veamos ahora la constante α con la nueva frecuencia ( 4 [GHz ] ), recordando que la constante de atenuación de la frecuencia, no así la conductividad, ya que es “algo” propio de cada material.

Sabemos que:

α = πfµσ Reemplazamos:

α = π ⋅ 4 ⋅10 9 ⋅ 4 ⋅ π ⋅10 −7 ⋅ 99046.87 ⎡ Np ⎤ ⇒ α = 39519.117 ⎢ ⎥ ⎣m⎦ Para saber como ha disminuido la amplitud del campo en el punto x de una onda que viaja en un medio con pérdidas, recordamos que debemos utilizar la siguiente expresión:

E x = E 0 e −α x donde: E x : Valor de E en el punto x E0 : Valor original de campo E Ahora, 30[dB ] por debajo equivale a 1000 veces . Por lo que:

Ex =

E0 1000

Por lo tanto:

E0 = E0 e −αx ⇒ E0 ⋅10 −3 = E0 e −αx 1000 Simplificando y aplicando logaritmo natural, la expresión anterior nos queda de la siguiente manera: − 6.907 = −αx Reemplazando y despejando, tenemos: x = 0.175 ⋅10 −3 [m]

7.11 Demuestre que el vector de Poynting instantáneo de una onda plana con polarización circular que se propaga en un medio sin pérdidas es una constante independiente del tiempo y de la distancia. Desarrollo: Como sabemos, una onda plana con polarización circular tiene la siguiente forma:

E = a x E0 cos(ωt − kz ) + a y E0 sen(ωt − kz )

(1)

ya que tenemos igual amplitud y están en fase. Recordemos ahora, que en un medio sin pérdidas tenemos: H=

E

η

Además, el vector de Poynting está dado por: P= E⊗H o también, P=E⊗

E

η

Reemplazando (1) en la última ecuación y desarrollando el producto cruz como se detalla en el apéndice C del libro guía, obtenemos lo siguientes: P = az

E02

η

⇒ P = az

cos 2 (ωt − kz ) + a z E02

η

E02

η

sen 2 (ωt − kz )

[cos (ωt − kz) + sen (ωt − kz)] 2

∴ P = az

2

E02

η

Por lo que se demuestra que en este caso particular el vector de Poynting es una constante independiente del tiempo y la distancia.

7.15 Una onda plana uniforme se propaga en la dirección + z (hacia abajo) hacia el océano (ε r = 72, µ r = 1, σ = 4 S m ). El campo magnético en la superficie del océano ( z = 0) es H (0, t ) = a y 0.3 cos 10 8 t [ A m]. a) Determine la profundidad de penetración y la impedancia intrínseca del agua del océano. b) Determine la expresiones de E ( z , t ) y H ( z , t ) en el océano. Desarrollo:

a) Como parte del enunciado tenemos conocimiento de la frecuencia angular, que es ⎡ rad ⎤ ω = 108 ⎢ , por lo que podemos determinar la frecuencia: ⎣ s ⎥⎦ f =

108 [Hz ] 2π

Además, sabemos que:

δ=

1

α

donde δ : profundidad de penetración También tenemos que:

α = πfµσ Reemplazando, queda de la siguiente manera:

α= π

108 ⎡ Np ⎤ 4π ⋅10 −7 ⋅ 4 ⇒ α = 15.85⎢ ⎥ 2π ⎣m⎦

Por lo tanto, la profundidad de penetración es:

δ = 6.31 ⋅10 −2 [m] Para determinar la impedancia intrínseca, utilizaremos la siguiente fórmula:

η = (1 + j )

α σ

Reemplazando:

η = 3.96 + j 3.96[Ω] b) Sabemos que H (0, t ) = a y 0.3 cos 108 t [A m] con z = 0 y también que se propaga en dirección + z . Por lo tanto, la expresión para H ( z , t ) en el aire, queda de la siguiente manera:

H ( z, t ) = a y 0.3 cos(ωt − βz ) [A m] El agua de mar es un buen conductor, por lo tanto β = α . Entonces, en el océano, tenemos que: H ( z, t ) = a y 0.3e −15.85 z cos(ωt − 15.85 z ) [A m] ya que a medida que avance en + z su amplitud decaerá. Ahora, con H =

E

η

, tenemos:

E ( z, t ) = a x 0.3(3.96 + j 3.96)e −15.85 z cos(ωt − 15.85 z ) [V m] Recordando que es a x , para que se cumpla con que P = E ⊗ H apunte en dirección +z.

E ( z, t ) = a x 0.3 ⋅ 5.6∠45º⋅e −15.85 z cos(ωt − 15.85 z ) [V m] E ( z, t ) = a x 1.68e −15.85 z cos(ωt − 15.85 z + π 4) [V m]

7.17 Una onda plana con polarización circular de mano derecha, representada por el fasor E ( Z ) = E 0 (a x − ja y )e − jβz incide normalmente sobre una pared conductora perfecta en z = 0. a) Determine la polarización de la onda reflejada. b) Calcule la corriente inducida sobre la pared conductora. Desarrollo: Frente a ondas incidentes es fundamental saber que existen las siguientes razones: •

Coeficiente de Reflexión = Γ =

η 2 − η1 η 2 + η1

(incidencia normal)

Esto debido a que habrá una onda reflejada al medio 1.

2η 2 (incidencia normal) η 2 + η1 Ya que puede existir una onda transmitida en el medio 2.

•

Coeficiente de Transmisión = τ =

•

1+ Γ = τ

(incidencia normal)

En este caso, al ser una incidencia normal, podemos ocupar las razones recientemente descritas. Además, por enunciado tenemos que el medio 2 es un conductor perfecto, por lo que:

η2 = 0

(impedancia intrínseca de un conductor perfecto)

Entonces:

Γ = −1

τ =0 Por lo tanto, no hay transmisión, por lo que toda la onda se refleja, pero con la fase invertida (causa del signo -). Onda incidente

E ( z ) = E0 (a x − ja y )e − jβz

⇒ E ( z ) = E0 a x e − jβz − E0 ja y e − jβz

(dirección + z )

Onda reflejada E ( z ) = − E0 a x e jβz + E0 ja y e jβz

(la misma, pero en contrafase y dirección − z )

Onda transmitida

E ( z) = 0

7.19 Una onda plana uniforme en el aire con Ei ( z ) = a x 10e − j 6 z [V m] incide normalmente sobre una superficie de separación en z = 0 con un medio con pérdidas que tiene constante dieléctrica de 2.25 y tangente de pérdidas de 0.3. Encuentre lo siguiente: a) Las expresiones fasoriales de E r ( z ), H r ( z ), E t ( z ) y H t ( z ). b) La razón de onda estacionaria para la onda en el aire. Desarrollo:

Datos del problema:

Ei ( z ) = a x 10e − j 6 z [V m] Incidencia normal ε r = 2.25 tan (δ ) = 0.3

(dir. + z )

a) Medio 2 Tenemos que:

tan (δ ) = 0.3 =

ε'' ε

ε c = ε − jε ' '

(1)

con

Al ser un medio con pérdidas, ε c , tiene un valor complejo. Obtenemos ε ' ' :

ε ' ' = 0.3 ⋅ ε ⇒ ε ' ' = 0.3 ⋅ 2.25 ⋅

10 −9 36π

⇒ ε ' ' = 5.97 ⋅10 −12 Reemplazamos este valor en (1) :

ε c = 2.25 ⋅

10 −9 − j 5.97 ⋅10 −12 36π

⇒ ε c = 2 ⋅10 −11 − j 5.97 ⋅10 −12

Como es un medio con pérdidas, debemos saber si es un buen conductor o un buen dieléctrico, y esto se determina con la tangente de pérdidas, en este caso NO es >> 1 ni << 1 , por lo tanto, no se pueden ocupar las aproximaciones para ambos casos; ocuparemos las fórmulas general para determinar η y γ . Primero determinaremos la impedancia intrínseca del medio 2:

η2 =

µ εc

Reemplazando:

η2 =

4π ⋅10 −7 ⎛ 10 −9 ⎞ ⎜⎜ ⋅ 2.25 − j 5.97 ⋅10 −12 ⎟⎟ ⎝ 36π ⎠ ⇒ η 2 = 242 + j 36 [Ω]

Ahora, para determinar la constante de propagación γ , utilizaremos la siguiente ecuación:

ε '' ⎞ ⎛ γ = jω µε ⎜1 − j ⎟ ε ⎠ ⎝

1

2

( 2)

donde todas las incógnitas son conocidas menos la velocidad angular ω , que la determinaremos a continuación. Sabemos que β = 6 en el aire, por lo que:

β=

2π

λ

(esta fórmula solo es válida para el aire o vacío)

Reemplazando: ⇒λ=

π 3

Sabemos que:

f = y

c

λ

(velocidad de la luz, ya que el medio 1 es el aire)

ω = 2πf

Reemplazando:

ω = 18 ⋅10 8 [rad sg ] La frecuencia es independiente del medio, lo que cambia es la longitud de onda y la velocidad de propagación. Ahora, reemplazamos el valor de la frecuencia angular recién obtenido en la ecuación ( 2) :

γ = 1.335 + j 9.1 ⇒ α = 1.335 [Np m] β = 9.1 [rad m] Medio1

Podemos obtener de los datos del enunciado que:

α =0 β =6 y

η1 = 377 [Ω]

(es la impedancia característica del aire, ya que el medio de propagación es el aire)

Por lo tanto, tenemos que para ondas incidentes es fundamental conocer los siguientes parámetros: •

Coeficiente de Reflexión = Γ =

η 2 − η1 η 2 + η1

ya que E r = Ei ⋅ Γ

•

Coeficiente de Transmisión = τ =

ya que

•

1+ Γ = τ

2η 2 η 2 + η1 ET = Ei ⋅τ

Sacamos el Coeficiente de Reflexión y Transmisión: Γ=

242 + j 36 − 377 ⇒ Γ = 0.2∠162º ⇒ Γ = 0.2e j162 º 242 + j 36 + 377

τ=

2(242 + j 36 ) ⇒ τ = 0.8∠5º ⇒ τ = 0.8e j 5 º 242 + j 36 + 377

Con estos datos, podemos obtener las expresiones de campo pedidas:

Er = a x 2e j ( 6 z +162 º)

Et = a x 8e −1.335 z e − j ( 9.1z −5º) A través de la relación entre E y H , antes estudiada, es simple llegar a H r y H t .

Hr =

Ht =

Er

η2

Er

η1

= −a y 5.3 ⋅ 10 −3 e j ( 6 z +162 º)

= a y 32 ⋅ 10 −3 e −1.335 z e − j (9.1z +3.4 º)

b) La razón de onda estacionaria, SWR , la determinamos a través de la siguiente fórmula:

S=

1+ Γ 1− Γ

siendo Γ la magnitud de Γ . Por lo tanto:

S=

1 + 0 .2 1 − 0 .2

⇒ S = 1 .5

7.21 Una onda plana uniforme con polarización perpendicular incide oblicuamente sobre una frontera plana con ε 1 = ε 0 , ε 2 = 2.25ε 0 , µ1 = µ 2 = µ 0 , como se ilustra en la Figura 7-14. Suponga E 0 = 20 [V m], f = 100 [MHz ] y θ i = 30º. a) Calcule los coeficientes de reflexión y transmisión. Desarrollo:

Datos del problema:

ε1 = ε 0 ε 2 = 2.25ε 0

E0 = 20 [V m]

f = 100 ⋅10 6 [MHz ] θ i = 30º

Debemos recordar que la onda incidente es polarización perpendicular, por lo que se debe ocupar las herramientas para este caso. Además, el ángulo de incidencia es con respecto a la normal del plano de incidencia. Por lo tanto, utilizaremos:

η 2 cosθ i − η1 cosθ t η 2 cosθ i + η1 cosθ t

(1)

2η 2 cosθ i η 2 cosθ i + η1 cosθ t

( 2)

Γ= y

τ=

El problema es que no conocemos el valor de θ t , pero sabemos que:

θi = θr y

senθ t η 2 = senθ i η1

(3)

Con η1 =

µ1 µ2 y η2 = , reemplazamos: ε2 ε1 4π ⋅10 −7 η1 = ⇒ η1 = 377 [Ω] 10 −9 36π 4π ⋅ 10 −7 ⇒ η 2 = 251.2 [Ω] 10 −9 2.25 36π

η2 =

Despejamos senθ t de la ecuación (3) y reemplazamos:

senθ t =

sen30º⋅251.2 377

senθ t = 0.3331

Aplicamos arcsen y obtenemos: ⇒ θ t = 19.46º

Ahora, conocemos todas las incógnitas de las ecuaciones (1) y (2) , por lo tanto, sólo reemplazamos:

Γ=

251.2 ⋅ cos 30º −377 ⋅ cos19.46º 251.2 ⋅ cos 30º +377 ⋅ cos19.46º ⇒ Γ = −0.241

τ=

2 ⋅ cos 30º⋅251.2 251.2 ⋅ cos 30º +377 ⋅ cos19.46º ⇒ τ = 0.759

8.5 En una línea de transmisión con pérdidas a 100 [MHz] se midieron las siguientes características: Z0 = 50 + j0

α = 0.01[dB / m] β = 0.8π [rad / m] Determine R, L, G y C para la línea. Desarrollo:

Sabemos que:

γ = α + jβ

(1)

Para una Línea de transmisión con pérdidas, tenemos:

γ =

C ( R + jω L ) L

(2)

y Z 0 = R0 + jX 0 =

L C

R G = L C

(4)

Además, tenemos la siguiente relación:

(3)

⎡ dB ⎤ ⎡ Neper ⎤ Como dato α está en ⎢ ⎥ , pero para poder ser ocupado debe estar en ⎢ ⎥ , por ⎣m⎦ ⎣ m ⎦ lo tanto debemos hacer esa transformación. ⎡ dB ⎤ ⎡ Neper ⎤ 8.69 ⎢ ⎥ 1⎢ ⎥ ⎣m⎦= ⎣ m ⎦ ⎡ dB ⎤ ⎡ Neper ⎤ 0.01⎢ ⎥ X ⎢ ⎥ ⎣m⎦ ⎣ m ⎦

⎡ Neper ⎤ Por lo tanto, X = 1.151 ⋅ 10− 3 ⎢ ⎥. ⎣ m ⎦

De (1) y (2 ) , α = R

C y β = ω CL L

Despejamos

R

de

α quedando la siguiente expresión:

R=

α C

. Ahora, L

reemplazando R con los valores obtenidos anteriormente:

R=

1.151 ⋅ 10 −3 0.02

⎡Ω ⎤ ⇒ R = 0.058⎢ ⎥ ⎣m⎦ Reemplazando Z 0 = 50 en (3) tenemos que: C = 0.02 ⇒ L = 2500C L

⎡ rad ⎤ Ahora, reemplazamos L en la ecuación de β e igualamos a 0.8π ⎢ , lo que nos ⎣ m ⎥⎦ queda de la siguiente forma: β = ω 2500 ⋅ C 2 = 0.8π . Sabemos que ω = 2 ⋅ π ⋅ f , donde f = 100[MHz ] , por lo que la relación anterior queda: 2πf 2500 ⋅ C 2 = 0.8π

⎡ pF ⎤ ⇒ C = 80⎢ ⎥ ⎣ m ⎦ ⎡ µH ⎤ ⇒ L = 0 .2 ⎢ ⎥ ⎣ m ⎦ Reemplazando R, C y L en (4) , G =

⎡ µS ⎤ ⇒ G = 23.2 ⎢ ⎥ ⎣m⎦

0.058 ⋅ 80 ⋅ 10 −12 0.2 ⋅ 10 − 6

8.9

Un generador con voltaje en circuito abierto vg (t ) = 10 ⋅ sen(8000π ⋅ t ) [V ] e

impedancia interna Z g = 40 + j 30 [Ω] se conecta a una línea sin distorsión de

⎡Ω⎤ 50[Ω ]. La línea tiene una resistencia de 0.5⎢ ⎥ y su medio dieléctrico con ⎣m⎦ pérdidas tiene una tangente de pérdidas de 0.18% . La línea tiene 50[m] de longitud y termina en una carga adaptada. Determine: a) Las expresiones instantáneas de voltaje y la corriente en un lugar arbitrario de la línea. b) Las expresiones instantáneas del voltaje y la corriente en la carga. c) La potencia media transmitida a la carga. Desarrollo: Datos del problema:

vg (t ) = 10 ⋅ sen(8000π ⋅ t ) = 10 ⋅ cos(8000π ⋅ t − π / 2) = 10∠ − 90º

⇒ f = 4000[Hz ] Z g = 40 + j 30 Sin distorsión Z 0 = 50[Ω]

[ m]

R = 0 .5 Ω

tan (δ ) = 0.18% l = 50[m] Z0 = Zi Se tiene: Vi =

Zi Vg Zi + Z g

(1)

y Ii =

Vg Zi + Z g

( 2)

Reemplazando los datos en (1) y (2) :

Vi =

50 ⋅ 10∠ − 90º ⇒ Vi = 5.27∠ − 108.43º 90 + j 30

Ii =

10∠ − 90º ⇒ I i = 0.105∠ − 108.43º 90 + j 30

Sabemos que:

V ( z ) = Vi ⋅ e − (α + jβ ) z = Vi ⋅ e −α ⋅ z cos(8000π ⋅ t − βz ) (3)

I ( z) =

Vi − (α + jβ ) z Vi −α ⋅ z ⋅e = ⋅ e cos(8000π ⋅ t − βz ) (4) Zi Zi

Conocemos lo siguiente: Z0 =

L C

α=R

C L

y

Por lo tanto:

α=

0 .5 R ⎡ neper ⎤ ⇒α = = 0.01⎢ ⎥ 50 Zo ⎣ m ⎦

También sabemos que:

tan(δ ) =

σ σ σ = 0.0018 ⇒ = 0.0018 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 4000 ⇒ = 45.216 ωε ε ε

y

0.5 R σ G R ⎡H ⎤ ⇒L= ⇒L= ⇒ L = 1.106 ⋅ 10 − 2 ⎢ ⎥ = = G 45.216 ε C L ⎣m⎦ C

Con Z0 =

L C

Tenemos: C=

1.106 ⋅ 10 −2 L ⎡F ⎤ ⇒ = ⇒ C = 4.42 ⋅ 10 − 6 ⎢ ⎥ C 2 2500 Z0 ⎣m⎦

Con los valores de L y C obtenemos β :

⎡ rad ⎤ ⎣ m ⎥⎦

β = ω LC ⇒ β = 2 ⋅ π ⋅ 4000 1.106 ⋅ 10− 2 ⋅ 4.42 ⋅ 10− 6 ⇒ β = 5.55⎢

a) Reemplazando Vi , Z i , α y β en (3) y (4) obtenemos las expresiones instantáneas de voltaje y corriente en un lugar arbitrario de la línea: V ( z , t ) = 5.27 ⋅ e −0.01⋅ z cos(8000π ⋅ t − 5.55 z − 108.43º ) ⇒ V ( z , t ) = 5.27 ⋅ e −0.01⋅ z cos(8000π ⋅ t − 5.55 z − 1.89 ) [V ] I (z , t ) = 0.105 ⋅ e −0.01⋅ z cos(8000π ⋅ t − 5.55 z − 108.43º ) ⇒ I (z , t ) = 0.105 ⋅ e −0.01⋅ z cos(8000π ⋅ t − 5.55 z − 1.89)

[A]

b) Si la línea tiene un largo l = 50[m] , entonces basta reemplazar z = 50[m] en las dos expresiones anteriores, con lo que se obtiene: V (50, t ) = 5.27 ⋅ e −0.5 cos(8000π ⋅ t − 277.5 − 1.89 ) ⇒ V (50, t ) = 3.196 cos(8000π ⋅ t − 277.5 − 1.89) [V ] I (50, t ) = 0.105 ⋅ e −0.5 cos(8000π ⋅ t − 277.5 − 1.89 ) ⇒

I (50, t ) = 6.369 ⋅ 10−2 cos(8000π ⋅ t − 277.5 − 1.89)

[A]

c) Tenemos que:

P=

1 V ⋅ I* 2

En la carga tenemos que V = 3.196 e I = 6.369 ⋅ 10 −2 . Entonces la Potencia media transmitida será: 1 P = 3.196 ⋅ 6.369 ⋅ 10− 2 2 ⇒ P = 0.102

[W ]

8.11 Una línea de transmisión sin pérdidas de 2[m], espaciada por aire y con impedancia característica de 50[Ω ], está terminada en una impedancia de 40 + j 30[Ω ] a una frecuencia de operación de 200[MHz ] . Calcule la impedancia de entrada. Desarrollo: Datos del problema:

l = 2[m] Aire Z 0 = 50[Ω] Z L = 40 + j 30 f = 200[MHz ]

Si es una línea de transmisión sin pérdidas, entonces α = 0 . Tenemos la siguiente relación:

Zi = Z0

Z L + Z 0 ⋅ tanh( βl ) Z 0 + Z l ⋅ tanh( βl )

(1)

Ahora, calculamos el valor de β :

β =

ω c

⇒β =

2 ⋅ π ⋅ 200 ⋅ 106 3 ⋅ 108

⎡ rad ⎤ ⇒ β = 4.19⎢ ⎥ ⎣ m ⎦ Reemplazamos β en la ecuación (1) y obtenemos Z i :

Z i = 50

(40 +

j 30 ) + j 50 tan(4.19 ⋅ 2) 40 − j 56.6 = 50 50 + j (40 + j 30) tan(4.19 ⋅ 2) 101.17 − j 68.23 ⇒ Z i = 26.56 − j10.06 [Ω]

8.13 Las mediciones realizadas en un cable coaxial sin pérdidas de 0.6[m] a 100[KHz ] indican una capacitancia de 54[ pF ] cuando el cable está en circuito abierto y una inductancia de 0.3[µH ] cuando está en cortocircuito. a) Determine Z 0 y la constante dieléctrica de su medio aislante. b) Calcule X io y X is a 10[MHz ] . Desarrollo: Datos del problema: Cable Coaxial sin pérdidas. l = 0.6[m] f = 100[KHz ] Cl = 54[ pF ] en circuito abierto. (1) Fl = 0.3[µH ] en cortocircuito. (2) Podemos calcular tanto los valores de C y F despejando las ecuaciones (1) y (2) , quedando: 54 ⋅ 10−12 ⎡ F ⎤ ⎡F ⎤ ⇒ C = 90 ⋅ 10 −12 ⎢ ⎥ C= ⎢ ⎥ 0 .6 ⎣ m ⎦ ⎣m⎦ L=

0.3 ⋅ 10−6 0 .6

⎡H ⎤ −6 ⎡ H ⎤ ⎢ m ⎥ ⇒ L = 0.5 ⋅ 10 ⎢ m ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Ahora, obtenemos el valor de β :

β = ω LC = 2π ⋅ 100 ⋅ 103 90 ⋅ 10 −12 ⋅ 0.5 ⋅ 10 −6 ⎡ rad ⎤ ⇒ β = 4.21 ⋅ 10−3 ⎢ ⎥ ⎣ m ⎦ a) Tenemos que la siguiente relación se cumple: Z 0 = Z io Z is (3) , donde Z io es la impedancia de entrada de una línea sin pérdidas terminada en circuito abierto y Z is es la impedancia de entrada de una línea sin pérdidas en cortocircuito. En Circuito Abierto 1 Z is = − j ωCl

En Cortocircuito Z is = jωLl

Reemplazamos Z io y Z is en (3) , entonces: Z0 = − j

1 ⋅ jωLl ωCl

simplificando, llegamos a la siguiente expresión: L C

Z0 =

ahora, reemplazamos los valores de C y L en la ecuación anterior, quedando lo siguiente: 0.5 ⋅10 −6 Z0 = 90 ⋅10 −12 ⇒ Z 0 = 74.5

[Ω]

Para una línea de transmisión coaxial, tenemos las siguientes expresiones:

C

=

2 πε ln (b / a

y L=

)

µ ⎛b⎞ ln⎜ ⎟ 2π ⎝ a ⎠

Sabemos que:

µ = 4π ⋅ 10 −7 , ε 0 =

10 −9 y ε = ε 0ε r . 36π

Si multiplicamos L y C , entonces podremos determinar el valor de ε del medio aislante. LC =

( )

µ b 2πε ⋅ ⇒ LC = εµ ln a ln (b / a ) 2π

Despejamos ε de la ecuación anterior:

ε=

LC

µ

( 4)

Reemplazamos ε = ε 0ε r en la ecuación (4) :

ε 0ε r =

LC

µ

Ahora, despejando y reemplazando en la ecuación anterior:

εr =

LC

µε

⇒ εr =

0.5 ⋅ 10 −6 ⋅ 90 ⋅ 10−12 −9 4π ⋅ 10 − 7 ⋅ 10 36π

⇒ ε r = 4.05

b) Tenemos que:

Z io = jX io = − j

1 ωCl

y Z is = jX is = jωLl Por lo que X io y X is están dadas por las siguientes expresiones:

X io = −

1 ωCl

X is = jωLl

(5)

(6)

⎡ rad ⎤ Para una frecuencia f = 10[MHz ] tenemos que ω = 2π ⋅ 107 ⎢ ⎥. ⎣ s ⎦ Ahora, reemplazamos los valores de ω , l , C y L en las ecuaciones (5) y (6) :

X io = −

1 2π ⋅10 7 ⋅ 54 ⋅10 − 12

⇒ X io = −294.88[Ω]

y

X is = 2π ⋅ 107 ⋅ 0.3 ⋅ 10−6 ⇒ X is = 18.84[Ω]

8.15 Considere una línea de transmisión sin pérdidas. a) Determine la resistencia característica de la línea necesaria para que tenga la menor razón de onda estacionaria posible con una impedancia de carga 40 + j 30[Ω] . b) Calcule esta razón de onda estacionaria mínima y el coeficiente de reflexión de voltaje correspondiente. Desarrollo: Datos del problema: Línea de transmisión sin pérdidas. Z L = 40 + j 30[Ω]

a) Sabemos que la razón de onda estacionaria (S), está dada por:

S=

1+ Γ 1− Γ

(1)

A su vez, sabemos que:

Γ=

Z L − Z0 Z L + Z0

(2)

Si reemplazamos la ecuación (2) en (1) obtenemos lo siguiente:

1+

Z L − Z0 Z L + Z0

1−

Z L − Z0 Z L + Z0

S=

Ahora, si desarrollamos la expresión anterior podremos encontrar la resistencia característica de la línea ( Z 0 ):

S=

Z L + Z0 + Z L − Z0 Z L + Z0 − Z L + Z0

⇒S=

⇒ Z 0 = 50 [Ω]

ZL Z0

b) Con el valor de Z 0 calculado anteriormente podemos determinar la razón de onda estacionaria mínima y el coeficiente de reflexión de voltaje de la siguiente manera: -

Reemplazamos los valores de Z 0 y Z L en la ecuación (2) :

Γ=

40 + j 30 − 50 − 10 + j 30 = 40 + j 30 + 50 90 + j 30 1 ⇒ Γ = ∠90º 3

-

Reemplazamos Γ en la ecuación (1) :

S=

1+ 1 1− 1

3 3

⇒ S=2

8.19 Un generador de voltaje senoidal con Vg = 0.1∠0º [V ] e impedancia interna

de 50[Ω] se conecta a una línea de transmisión sin pérdidas con impedancia característica R0 = 50[Ω] . La línea mide λ

8 resistencia de carga RL = 25[Ω] . Encuentre:

de longitud y está terminada en una

a) Vi , I i , VL e I L b) La razón de onda estacionaria en la línea. c) La potencia media suministrada a la carga. Compare los resultados del apartado c) con el caso en el que RL = 50[Ω] Desarrollo: Datos del problema: Línea de transmisión sin pérdidas. Vg = 0.1∠0º

Z g = 50[Ω] R0 = 50[Ω]

l=λ

8 RL = 25[Ω]

a) Conocemos las siguientes relaciones:

V ( z' ) =

I ( z' ) =

[

]

(1)

[

]

( 2)

IL ( Z L + Z 0 ) eγ ⋅ z ' 1 + Γ e − 2 γ ⋅ z ' 2

IL ( Z L + Z 0 ) eγ ⋅ z ' 1 − Γ e − 2 γ ⋅ z ' 2Z 0

Vi = Vg − I i ⋅ Z g (3) Si reemplazamos la ecuación (2) en la ecuación (3) , obtenemos lo siguiente: Vg = I L ( Z L + Z 0 ) e γ ⋅ l

Ahora, despejamos I L , lo que nos queda de la siguiente forma: IL =

Vg ( Z L + Z 0 ) eγ ⋅ l

(4)

Para el voltaje, reemplazamos la expresión (4) en la ecuación (1) y tenemos que: V ( z' ) =

Vg 2( Z L + Z 0 )eγ ⋅l

[

( Z L + Z 0 ) eγ ⋅ z ' 1 + Γ e − 2 γ ⋅ z '

]

Simplificando: V ( z' ) =

Vg 2e

γ ⋅l

[

]

eγ ⋅ z ' 1 + Γe − 2γ ⋅ z ' (5)

Reemplazamos Z ' = l − Z en la ecuación (5) Vg

V ( z) =

2e

γ ⋅l

[

eγ ⋅( l −Z ) 1 + Γe −2γ ⋅( l −Z )

]

Simplificando: V ( z) =

Vg 2

[

]

e −γ ⋅Z 1 + Γe −2γ ⋅( l −Z ) (6)

Calculamos ahora Γ : Γ=

Z L − Z 0 25 − 50 25 1 = =− ⇒ Γ = ∠180º Z L + Z 0 25 + 50 75 3

Si es una línea de transmisión sin pérdidas, entonces α = 0 ⇒ γ = jβ y a su vez 2π β=

λ

Reemplazando Γ y γ en la ecuación (6) , llegamos a la siguiente expresión:

V ( z) = Con Z = 0 , l = λ

Vi =

8

Vg 2

e

−j

2π

λ

⋅Z

2π − 2 j ⋅( l − Z ) ⎤ ⎡ 1 λ 1 180 º e + ∠ ⋅ ⎢ ⎥ 3 ⎣ ⎦

y Vg = 0.1∠0º podemos obtener Vi :

2π ⎛ λ ⎞ − 2 j ⋅⎜ ⎟ ⎤ 0.1∠0º ⎡ 1 0.1∠0º ⎡ 1 ⎤ 1 + ∠180º⋅1∠ − 90º ⎥ ⎢1 + ∠180º⋅e λ ⎝ 8 ⎠ ⎥ ⇒ Vi = ⎢ 2 ⎢⎣ 3 2 ⎣ 3 ⎦ ⎥⎦

⇒ Vi = 5.27 ⋅ 10 −2 ∠18.42º [V ]

Con Z = l =

λ 8

y Vg = 0.1∠0º podemos obtener Vz : 2π λ

0.1∠0º − j λ ⋅ 8 ⎡ 1 0.1∠0º ⎤ ⎡ 1 ⎤ VL = e 1 + ∠180º ⎥ ⇒ VL = 1∠ − 45º ⎢1 + ∠180º ⎥ ⎢ 2 2 ⎣ 3 ⎦ ⎣ 3 ⎦ ⇒ VL = 3.33 ⋅ 10 −2 ∠ − 45º [V ] Ahora, para la corriente, reemplazamos la expresión (4) en la ecuación (2) y tenemos que: Vg I ( z' ) = ( Z L + Z 0 ) eγ ⋅ z ' 1 − Γ e − 2 γ ⋅ z ' γ ⋅l 2 Z 0 ( Z L + Z 0 )e

[

]

Simplificando: I ( z' ) =

Vg 2Z 0e

γ ⋅l

[

]

eγ ⋅ z ' 1 − Γ e − 2 γ ⋅ z ' ( 7 )

Reemplazamos Z ' = l − Z en la ecuación (7) I ( z) =

Vg 2Z 0 e

γ ⋅l

[

e γ ⋅( l − Z ) 1 − Γe − 2γ ⋅( l − Z )

]

Simplificando: I ( z) =

Vg 2Z 0

[

]

e −γ ⋅Z 1 − Γe − 2γ ⋅(l − Z ) (8)

Reemplazando Γ y γ en la ecuación (8) , llegamos a la siguiente expresión:

I ( z) = Con Z = 0 , l = λ

8

Vg 2Z 0

e

−j

2π

λ

⋅Z

2π − 2 j ⋅( l − Z ) ⎤ ⎡ 1 λ ⎢1 − ∠180º⋅e ⎥ 3 ⎣ ⎦

y Vg = 0.1∠0º podemos obtener I i :

2π λ −2 j ⋅ ⎤ 0.1∠0º ⎡ 1 0.1∠0º ⎡ 1 ⎤ λ 8 Ii = 1 − ∠180º⋅1∠ − 90º ⎥ ⎢1 − ∠180º e ⎥ ⇒ Ii = ⎢ 2 ⋅ 50 ⎣ 3 100 ⎣ 3 ⎦ ⎦

⇒ I i = 1.05 ⋅ 10 −3 ∠ − 18.42º [ A]

Con Z = l =

λ 8

y Vg = 0.1∠0º podemos obtener I z : 2π λ

0.1∠0º − j λ ⋅ 8 ⎡ 1 0.1∠0º ⎤ ⎡ 1 ⎤ IL = e 1 − ∠180º ⎥ ⇒ I L = 1∠ − 45º ⎢1 − ∠180º ⎥ ⎢ 2 ⋅ 50 100 ⎣ 3 ⎦ ⎣ 3 ⎦ ⇒ I L = 1.33 ⋅ 10 −3 ∠ − 45º [A ]

b) Como sabemos la razón de onda estacionaria está dada por:

S=

1+ Γ 1− Γ

1 Con Γ = ∠180º , tenemos que: 3

S=

1+ 1 1− 1

3

3

⇒ S=2

c.1) La expresión para la potencia media suministrada a la carga es:

P=

1 VL ⋅ I L* 2

Reemplazando con los valores obtenidos anteriormente, la potencia media nos queda de la siguiente forma: 1 P = ⋅ 3.33 ⋅ 10 − 2 ⋅ 1.33 ⋅ 10 −3 2 ⇒ P = 0.022 [mW ]

c.2) Ahora si R L = 50[Ω] , los valores de V L y I L son: V L = 0.05∠ − 45º [V ] I L = 0.001∠ − 45º [V ] Entonces, la potencia media suministrada a la carga será: 1 P = ⋅ 0.05 ⋅ 0.001 2 ⇒ P = 0.025 [mW ]

Uso de carta Smith 1. Una línea de 50 [Ω] está terminada por una resistencia de 30 [Ω] en serie con una reactancia capacitiva de 40 [Ω] . Encontrar: a) Γ y ROE . b) La impedancia de entrada si la longitud de la línea es l = 0.1λ . c) Los valores de longitud de la línea que llevan a una impedancia de entrada puramente resistiva y los valores de estas impedancias. Desarrollo: Primero, expresamos la impedancia normalizada:

zL =

Z L 30 − j 40 = = 0.6 − j 0.8 50 Z0

Entonces, marcamos en la carta Smith este punto, que lo llamaremos punto A.

a) La distancia desde A al centro del diagrama da Γ = 0.5 y la prolongación de este segmento hasta el círculo de ángulos de coeficiente de reflexión da θ Γ = 90º . Además, ROE =

1+ Γ 1− Γ

=

1 + 0.5 =3 1 − 0.5

Para obtener el ROE directamente de la carta de Smtih, se traza una circunferencia centrada en el centro del diagrama hasta el punto A.

b) Para calcular la impedancia de entrada buscamos la posición donde el radio del diagrama que pasa por A corta al círculo perimetral marcado “hacia el generador”. Resulta:

l0

λ

= 0.375 . Este es un valor de partida arbitrario. Si ahora nos desplazamos

hacia el generador (en el sentido horario) sobre el círculo de Γ = cte. ( Γ depende solamente de la carga y Z 0 ) en 0.1λ , de acuerdo al enunciado del problema, tendremos:

(l0 − l ) = 0.375 + 0.1 = 0.475 λ

Así, obtenemos un punto B, que corresponde a: Z in = 17 − j 7 [Ω]

c) Finalmente, las longitudes de las líneas con impedancia de entrada resistivas corresponden a los puntos de intersección sobre el eje real (x = 0) de la circunferencia que pasa por A, recorrida en el sentido horario. El primer punto de cruce es el que llamaremos punto C (separado del A en λ 4 )y luego el punto D (separado del C en λ 4 ).

2. Usar la carta de Smith para diseñar un stub de adaptación entre una línea de Z 0 = 100 [Ω] y una carga real Z L = 500 [Ω] . Desarrollo: Vamos a usar la carta de Smith de impedancias. La impedancia de carga normalizada es:

zL =

ZL =5 Z0

Ingresamos este punto a la carta como A. Se traza un círculo auxiliar concéntrico con la carta que pasa por A. Este círculo es la curva de Γ y ROE constantes. Para adaptación debemos pasar de A al centro de la carta, que la llamaremos O, el centro del diagrama, donde Γ = 0 . Como vamos a colocar un stub en paralelo con la línea principal, nos conviene trabajar con admitancias. Pasamos entonces de A al punto correspondiente B (a 180°), donde la admitancia normalizada es y L = 0.2 . Para ubicar el stub nos movemos por el círculo de Γ constante en sentido horario (hacia el generador) hasta llegar al círculo de admitancia real normalizada igual a 1 (que coincide con el círculo de impedancia normalizada igual a 1, al cual lo llamaremos punto C). Para adaptación sólo se requiere agregar una susceptancia en paralelo de valor opuesto a la susceptancia de C. La distancia d s = 0.183λ (en longitudes de onda) medida sobre el círculo exterior de la carta entre los radios que pasan por B y C es la distancia desde la carga a la que hay que poner el stub. Para hallar la longitud del stub, se observa que la impedancia normalizada en C es yc = 1 + j1.79 , de manera que el stub debe presentar una admitancia de entrada que anule la parte imaginaria: y S = - j1.79 . El lugar geométrico de esta impedancia (a medida que cambia ls es el círculo exterior de radio unitario que corresponde a r = 0). Ubicamos entonces el punto D que define la admitancia de entrada del stub sobre el cruce del círculo de susceptancia b S = - j1.79 con el círculo exterior, y midiendo sobre el círculo exterior la distancia desde el punto de admitancia normalizada infinita (condición de cortocircuito - eje real positivo) se obtiene ls = 0.08λ . que es la longitud (mínima) requerida del stub. Si se trabaja con la carta de admitancias se parte desde el punto B ( y L = 0.2 ) y se gira a Γ constante hasta alcanzar el círculo de conductancia normalizada unitaria (C). Se

mide sobre la escala de longitudes de onda la posición del stub, como antes. Luego se ubica el punto D, que neutraliza la impedancia de entrada de la línea en el punto de conexión del stub y se mide la longitud necesaria del stub. Naturalmente los valores obtenidos son los mismos que en la construcción previa.

9.5 La longitud de onda de la guía y la impedancia se pueden medir mediante un detector conectado a una prueba que se mueve por una sección ranurada de guía de ondas. Suponga que al colocar un plano conductor en cortocircuito en el extremo de carga de una guía de ondas rectangular hueca sin pérdidas de 2.50 [cm] por 1.25 [cm] , que soporta el modo TE10 , los mínimos de voltajes adyacentes están a una distancia de 2.65 [cm] . Al reemplazar el cortocircuito por una carga, la razón de onda estacionaria es 2.0 y los mínimos de voltaje se han desplazado 0.80 [cm] hacia la carga. Calcule: a) La frecuencia de operación. b) La impedancia de carga. c) La potencia suministrada a la carga por una potencia de entrada de 10 [W ]. Desarrollo: Datos del problema:

a = 2.5 [cm] b = 1.25 [cm] Cortocircuito: TE10 Mínimos de Voltaje Adyacentes:

λ 2

= 2.65 [cm]

Carga: S =2 Mínimos de Voltaje se desplazaron 0.80 [cm] hacia la carga.

a) Dos mínimos de voltajes consecutivos están separados

λ

, por lo tanto, podemos 2 determinar la longitud de onda correspondiente en la guía, de la siguiente manera:

λ 2

= 2.65 [cm] ⇒ λ g = 5.3[cm] = 0.053[m]

La longitud de onda de corte para el modo TE10 , lo podemos determinar como sigue:

λc =

donde m = 1 y n = 0 , entonces:

2 2

⎛m⎞ ⎛n⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎝ a ⎠ ⎝b⎠

2

λc =

2 1 ⎛ ⎞ ⎜ −2 ⎟ ⎝ 2.5 ⋅10 ⎠

2

=

2 1

2.5 ⋅10 −2

⇒ λc = 0.05[m] Una forma sencilla de obtener la longitud de onda, λ , es a través de la siguiente expresión: 1

λ

2

=

1

λ

2 g

+

1

λ2c

Ahora, reemplazamos los valores obtenidos anteriormente de λ g y λc :

1

λ

2

=

1 1 1 + ⇒ 2 = 755.996 2 2 λ (0.053) (0.05) ⇒ λ = 3.64 ⋅10 −2 [m]

Sabemos que f =

c

λ

, por lo tanto, ahora podemos calcular la frecuencia de operación: 3 ⋅10 8 f = 3.64 ⋅10 − 2 ⇒ f = 8.24 [GHz ]

b) Para obtener Z L debemos determinar tanto Γ y Z 0 . Primero, calcularemos Γ de la siguiente manera:

β=

2π

λg

En el inciso anterior se obtuvo que λ g = 0.053 [m] . Reemplazando, tenemos que:

β=

2π ⎡ rad ⎤ ⇒ β = 118.5 ⎢ 0.053 ⎣ m ⎥⎦

Como se desprende del capítulo 8, el primer mínimo de voltaje ocurre cuando Φ Γ = −π + 2 β z' m . El enunciado del problema nos dice que los mínimos de voltajes se

han desplazado 0.80 [cm] hacia la carga. Entonces, tenemos que:

Z '=

λ 2

− 0.8 ⇒ Z ' = 2.65 ⋅ 10 −2 − 0.8 ⋅ 10 −2 ⇒ Z '= 0.0185 [m]

Ahora, reemplazando podemos calcular Φ Γ : Φ Γ = −π + 2 ⋅118.5 ⋅ 0.0185 ⇒ Φ Γ = 1.2445 [rad ] = 71.34º Sabemos que Γ =

S −1 , donde S = 2 , si reemplazamos tenemos que: S +1

Γ =

1 3

Por lo tanto:

1 Γ = ∠71.34º 3 Para calcular Z 0 , se debe utilizar la siguiente expresión: Z TE =

η f 1 − ⎛⎜ c ⎞⎟ ⎝ f⎠

2

donde η es la impedancia intrínseca del medio dieléctrico, f c es la frecuencia de corte y f es la frecuencia de operación. En la primera parte de este programa se obtuvo que λc = 0.05[m] , con esto, se puede calcular la frecuencia de corte:

fc =

c

λc

⇒ f c = 6 [GHz ]

La frecuencia de operación es f = 8.29 [GHz ] . La impedancia intrínseca en este caso (aire) tiene un valor de η = 377 [Ω ] Reemplazando,

Z0 =

377 ⎛ 6 ⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝ 8.29 ⎠

2

⇒ Z 0 = 550.03 [Ω] Con los valores de Z 0 y Γ podemos calcular Z L , despejando y reemplazando los valores en la siguiente ecuación:

Γ=

ZL =

Z L − Z0 Z L + Z0

Z 0 (Γ + 1) 550.03(1 3 ∠71.34º +1) ⇒ ZL = (1 − Γ ) (1 − 1 3 ∠71.34º ) ⇒ Z L = 544.58 + j 386.94 [Ω ]

c) La Potencia incidente menos la Potencia reflejada es igual a la Potencia transmitida. La Potencia reflejada se relaciona con la Potencia incidente según:

Pref = Γ Pinc ⇒ PTx = Pinc − Γ Pinc 2

2

Del enunciado, tenemos que Pinc = 10 [W ] , reemplazando en la expresión anterior:

⎛1⎞ PTx = 10 − 10⎜ ⎟ ⎝ 3⎠

2

⇒ PTx = 8.89 [W ]

9.7 Un guía de ondas rectangular estándar de banda S, rellena de aire, tiene dimensiones a = 7.21 [cm] y b = 3.40 [cm] . ¿Qué tipos de modos pueden usarse para transmitir ondas electromagnéticas que tienen las siguientes longitudes de onda? a) λ = 10 [cm] b) λ = 5 [cm] Desarrollo:

Para saber que tipos de modos se pueden transmitir, primero es necesario determinar cual es la frecuencia de operación para ambas longitudes de ondas y luego determinar distintas frecuencias de corte, y así encontraremos los modos que se propagan. •

Frecuencias de operación:

f =

λ = 10 [cm] ⇒ f λ = 1

λ = 5 [cm] ⇒ f λ = 2

•

c

λ

3 ⋅10 ⇒ f λ1 = 3 [GHz ] 10 ⋅10 −2 8

3 ⋅10 8 ⇒ f λ2 = 6 [GHz ] 5 ⋅10 −2

Frecuencias de corte:

Las frecuencias de corte están dadas por la siguiente expresión: 2

c ⎛m⎞ ⎛n⎞ fc = ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ 2 ⎝ a ⎠ ⎝b⎠ Modos

TE10 TE01 TE11 TM 11 TE 20 TE02 TE 21 TE30

Frecuencias de Corte

2

2.08 [GHz ]

Frecuencia de Operación 1 3 [GHz ]

Frecuencia de Operación 2 6 [GHz ]

4.88 [GHz ] 4.88 [GHz ] 4.16 [GHz ]

3 [GHz ] 3 [GHz ] 3 [GHz ]

6 [GHz ] 6 [GHz ] 6 [GHz ]

6.06 [GHz ] 6.24 [GHz ]

3 [GHz ] 3 [GHz ]

4.41 [GHz ]

8.82 [GHz ]

3 [GHz ]

3 [GHz ]

6 [GHz ]

6 [GHz ] 6 [GHz ] 6 [GHz ]

λ1

λ2

Por lo tanto:

a) Para esta longitud de onda sólo se propaga el modo TE10 . b) Para esta longitud de onda los modos que se propagan son: TE10 , TE11 , TE11 , TM 11 , TE 20 .

9.9 Hay que construir una guía de ondas rectangular de a × b (b < a < 2b ) , rellena de aire, que opere a 3[GHz ] en el modo dominante. Deseamos que la frecuencia de operación sea al menos un 20% mayor que la frecuencia de corte del modo dominante y también un 20% menor que la frecuencia de corte del siguiente modo de orden mayor. a) Presente un diseño genérico para las dimensiones a y b . b) Calcule β , u p , λ g y la impedancia de la onda a la frecuencia de operación de su diseño. Desarrollo: Datos del problema:

f = 3[GHz ] en el modo dominante TE10 .

Rellena de aire ⇒ c = 3⋅108 [m s ] a × b (b < a < 2b ) (1) (la frecuencia de operación sea al menos un 20% f ≥ 1.2 f c10 mayor que la frecuencia de corte del modo dominante)

a) De la ecuación (1) tenemos que:

f c10 ≤

f ⇒ f c10 ≤ 2.5 [GHz ] 1 .2

Como sabemos, la frecuencia de corte está dada por: 2

c ⎛m⎞ ⎛n⎞ fc = ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ 2 ⎝ a ⎠ ⎝b⎠

2

( 2)

Para el modo dominante ( TE10 ), tenemos que m = 1 y n = 0 , por lo tanto despejando a de la ecuación (2) , tenemos:

a ≥

c ⋅m 2 ⋅ f c 10

Reemplazando 3 ⋅10 8 ⋅1 a≥ ⇒ a ≥ 0.06 [m] 2 ⋅ 2.5 ⋅10 9

Elegimos un valor de a que cumpla con la restricción recién encontrada, entonces tomamos a = 6.5 [cm]. Ahora, utilizando la condición dada en el enunciado, b < a < 2b , elegimos un b que cumpla dicha condición, entonces tomamos b = 3.5 [cm] . a y b , pero deben cumplir con las

Nota: Se pueden obtener distintos valores de restricciones dadas y obtenidas.

b) Primero calculamos λ g . Como dato del problema tenemos que f = 3[GHz ] , con esto podemos calcular la longitud de onda asociada a esta frecuencia: 3 ⋅108 λ= ⇒ λ = 0.1 [m] 3 ⋅10 9 Del inciso (a) tenemos que a = 6.5 [cm], con este valor podemos determinar la frecuencia de corte del modo dominante: f c10

3 ⋅10 8 ⋅1 ⇒ f c10 = 2.31 [GHz ] = 2 ⋅ 6.5 ⋅10 −2

Con esta frecuencia podemos determinar la longitud de onda:

λc =

3 ⋅108 ⇒ λc = 0.13 [m] 2.31 ⋅10 9

Ahora, podemos determinar la longitud de onda correspondiente a la guía, λ g : 1

λ 1

λg 2

2

=

1

λ

2 g

+

1

λ2c

= 40.83 ⇒ λ g = 0.157 [m]

Conocemos la siguiente expresión, para calcular β :

β=

2π

λg

⎡ rad ⎤ ⇒ β = 40.13 ⎢ ⎣ m ⎥⎦

La velocidad de fase de la onda que se propaga en la guía está dada por:

up =

up =

ω = β

c ⎛f ⎞ 1 − ⎜⎜ c ⎟⎟ ⎝ f ⎠

2

2π ⋅ 3 ⋅10 9 ⎡m⎤ ⇒ u p = 4.7 ⋅108 ⎢ ⎥ 40.13 ⎣s⎦

Se puede determinar la impedancia de la onda para el modo dominante, utilizando:

η

Z TE10 =

⎛f ⎞ 1 − ⎜⎜ c ⎟⎟ ⎝ f ⎠

2

Reemplazando:

Z TE10 =

377 ⎛ 2.31 ⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠

2

⇒ Z TE10 = 590.87 [Ω]

9.13 La expresión instantánea para H z de un modo TE en una guía de ondas cuadrada rellena de aire de 2.5 [cm] por 2.5 [cm] es H = 0.3cos(80πy) cos( ωt - 280z) [A m] a) ¿Cuál es el modo de operación? b) Calcule f c , f , Z TE y λ g . Desarrollo: Datos del Problema:

a = 2.5 [cm] b = 2.5 [cm] H = 0.3cos(80πy) cos( ωt - 280z) [A m]

a) En el caso de ondas transversales eléctricas (TE), debemos resolver: H z ( x, y, z ) = H z0 ( x, y )e −γz por lo que se debe cumplir:

⎛ mπ ⎞ ⎛ nπ ⎞ H z0 (x, y ) = H 0 cos⎜ x ⎟ cos⎜ y⎟ ⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ Escribiendo la expresión de campo dada en el enunciado de otra forma: H = 0.3 cos(80πy )e j (ωt − βz ) donde β = 280[rad m] y vemos que: m=0

⎛ mπ Por lo tanto, cos⎜ ⎝ a

⎞ x⎟ =1 ⎠

Entonces, nos queda lo siguiente:

⎛ nπ ⎞ H z0 (x, y ) = H 0 cos⎜ y⎟ ⎝ b ⎠

Igualando, tenemos:

nπ = 80π b

Ahora, despejamos n :

n = 80 ⋅ 2.5 ⋅10 −2 ⇒ n=2 Por lo tanto, el modo de operación es TE02 .

b) Ahora que sabemos cual es el modo de operación, podemos determinar fácilmente el valor de la frecuencia de corte. En este caso, al ser una guía rellena de aire, la velocidad de propagación será la velocidad de la luz, c = 3 ⋅108 [m s ] . Al igual que en las preguntas anteriores, la frecuencia de corte está dada por: 2

c ⎛m⎞ ⎛n⎞ fc = ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ 2 ⎝ a ⎠ ⎝b⎠

2

con m = 0 , n = 2 y a = b = 2.5 ⋅10 −2 [m] . Reemplazando: 3 ⋅ 108 2 fc = 2 2.5 ⋅ 10 −2 ⇒ f c 02 = 12[GHz ] Calculemos, ahora, la longitud de onda asociada a: •

La frecuencia de corte:

λc =

c 3 ⋅108 ⇒ λc = fc 12 ⋅10 9

⇒ λc = 0.025 [m]

•

La guía:

λg =

2π

β

⇒ λg =

2π 280

⇒ λ g = 2.24 ⋅10 −2 [m] Entonces: 1

λ

2

=

1

λ

+

2 g

1

λ2c

Reemplazando: 1

λ

=

2

1

(2.24 ⋅10 )

−2 2

+

1 (0.025)2

Despejando:

λ = 1.67 ⋅10−2 [m] Por lo tanto,

f =

c

λ

⇒ f =

3 ⋅108 1.67 ⋅10 −2

⇒ f ≈ 17.98 [GHz ]

Tal como se hizo anteriormente, la impedancia asociada al modo TE02 , estará dada por la siguiente expresión: Z TE02 =

η

⎛f ⎞ 1 − ⎜⎜ c ⎟⎟ ⎝ f ⎠

2

Reemplazando, tenemos que:

Z TE02 =

377 ⎛ 12 ⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝ 18 ⎠

2

⇒ Z TE02 =

Z TE02 = 505.8 [Ω]

377 0.745

9.15 Una onda electromagnética se propaga por una guía de ondas rectangular rellena de aire, de dimensiones a × b , en el modo dominante. Suponga que a = 2.50 [cm] y que el ancho de banda utilizable está entre 1.15( f c )10 y un 15% por debajo de la frecuencia de corte del siguiente modo más alto. a) Calcule y compare el ancho de banda permitido para b = 0.25a , b = 0.5a y b = 0.75a . b) Calcule y compare la potencia media transmitida en las tres guía del apartado ⎡ KV ⎤ (a) a 7 [GHz ] si la intensidad eléctrica máxima es de 10 ⎢ . Ignore las pérdidas. ⎣ m ⎥⎦ Desarrollo: Primero calculamos la frecuencia de corte expresión:

( f c )10 ,

2

fc =

f c10

c ⎛m⎞ ⎛n⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ 2 ⎝ a ⎠ ⎝b⎠

3 ⋅ 108 ⎛ 1 ⎞ = ⎜ −2 ⎟ 2 ⎝ 2.5 ⋅ 10 ⎠

2

para ello utilizamos la siguiente

2

(1)

⇒ f c10 = 6 [GHz ]

Luego, determinamos la frecuencia de corte ( f c )20 que es el modo siguiente más alto, utilizando (1) :

f c20

3 ⋅ 108 ⎛ 2 ⎞ = ⎜ −2 ⎟ 2 ⎝ 2.5 ⋅ 10 ⎠

2

⇒ f c20 = 12 [GHz ]

Por enunciado sabemos que el ancho de banda está entre 1.15( f c )10 y un 15% por

debajo de la frecuencia ( f c )20 , lo que significa: 1.15 ⋅ f c 10 = 6.9 [GHz ]

15% por debajo f c20 = 10.2 [GHz ] Por lo tanto, el ancho de banda es igual a 3.3 [GHz ] .

a) b = 0.25a Reemplazando en la ecuación (1) :

3 ⋅10 8 ⎛ 1 1 ⎞ ⎞ ⎛ +⎜ ⎜ −2 ⎟ −2 ⎟ 2 ⎝ 2.5 ⋅10 ⎠ ⎝ 0.625 ⋅10 ⎠ 2

f c11 =

2

f c11 = 24.7 [GHz ] > f c20

Por lo tanto, el ancho de banda es 3.3 [GHz ] b = 0 .5 a

Al igual que el caso anterior, se determina la frecuencia de corte:

3 ⋅ 108 ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ ⎞ +⎜ ⎜ −2 ⎟ −2 ⎟ 2 ⎝ 2.5 ⋅ 10 ⎠ ⎝ 1.25 ⋅ 10 ⎠ 2

f c11 =

2

f c11 = 13.4 [GHz ] > f c20 Al comprobar que el 15% por debajo de la frecuencia de corte del modo dominante superior, es mayor a la restricción dada, se afirma que el ancho de banda utilizable sigue siendo 3.3 [GHz ] . b = 0.75a

Nuevamente, se calcula la frecuencia de corte del modo superior, con la salvedad que en este caso el valor de b es cercano al valor de a, por lo que se calculará f c01 (este paso se recomienda efectuarlo en los valores de b anteriores).

3 ⋅10 8 ⎛ 1 1 ⎞ ⎞ ⎛ +⎜ ⎜ −2 ⎟ −2 ⎟ 2 ⎝ 2.5 ⋅10 ⎠ ⎝ 1.875 ⋅10 ⎠ 2

f c11 =

2

f c11 = 10 [GHz ]

f c01 = 8 [GHz ] Entonces, se concluye, que en este caso el modo dominante superior es TE 01 , cumpliendo con la condición establecida en el problema, el 15% debajo de la frecuencia de corte del siguiente modo mas alto es: 6.8 [GHz ] . Por lo tanto, el piso de la frecuencia es mayor al techo permitido, por lo que se determina que no existe ancho de banda utilizable.

10.1 Determine los valores máximos de las intensidades de campo eléctrico y magnético a una distancia de 10 [Km] de un dipolo hertziano para una potencia de entrada de 15 [Km] que radia con una eficiencia del 70%. Desarrollo: Datos del problema:

R = 10[Km] Pi = 15[KW ] ξ r = 70% Sabemos que la eficiencia de radiación ξ r está relacionada con la potencia total de entrada Pi y la potencia radiada Pr , mediante la siguiente expresión:

ξr =

Pr (1) Pi

Ahora, podemos calcular el valor de la potencia radiada:

Pr = 0.7 ⋅ 15 ⇒ Pr = 10.5 [KW ] Por otro lado, sabemos que la potencia radiada también está dada por: I 2 (dl ) η0 β 2 Pr = 12π 2

Esta expresión la despejaremos de tal forma que nos sea útil más adelante.

I 2 (dl ) η 0 β 2 = Pr ⋅ 12π ⇒ I 2 ( dl ) 2 η 0 β 2 = 10500 ⋅ 12π 2

2 2 ⇒ I (dl ) η 0 β = 126000π ( 2) 2

Ahora, determinaremos la intensidad de radiación, utilizando la siguiente expresión: U=

( I dl ) 2 η 0 β 2 sen 2θ (3) 2 32π

Por enunciado, debemos considerar el valor máximo de la intensidad, por lo tanto, el valor sen 2θ debe tender a 1. Reemplazando ( 2) en (3) , tenemos:

U=

[ ]

126000π ⇒ U ≈ 1253,98 W sr 32π 2

Sabemos que, la intensidad de radiación es igual a R 2 veces la magnitud del vector de Poynting medio temporal, por lo tanto: U = R 2 Pav

Despejando y reemplazando, obtenemos el valor del vector de Poynting: Pav =

1253,98

(10000 )

2

⇒ Pav = 1.254 ⋅ 10 −5 [W ]

CAPÍTULO 3. INCIDENCIA OBLICUA DE LAS ONDAS PLANAS UNIFORMES

Este tipo de incidencia se da gracias a que al momento de que la onda incide, tiene un ángulo con respecto a su plano de incidencia, en la incidencia normal no se daba esto, ya que la onda incidía en forma normal al plano.

θi

θt

θr

Figura 3.1. Incidencia Oblicua de las Ondas Planas Uniformes.

24

3.1 Incidencia oblicua en medios sin pérdidas.

Existen dos tipos de polarización para este tipo de incidencia, la polarización paralela que nos dice que el campo eléctrico es paralelo al plano de incidencia, y la polarización perpendicular que nos dice, que el campo eléctrico es perpendicular al plano de incidencia [6].

3.1.1 Leyes de Snell.

Antes de comenzar a conocer las formas de onda, tenemos que saber dos leyes fundamentales, la primera ley de snell o ley de reflexión de snell, nos dice que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión.

θi = θ r

Ecuación 3.1

En la segunda ley de snell o ley de transmisión de snell nos dice que ( σ 1 = σ 2 = 0 ):

senθ i = senθ t

µ 2ε 2 µ1ε 1

Ecuación 3.2

Gracias a estas dos leyes podemos encontrar los ángulos de reflexión y de transmisión [3].

3.1.2 Polarización perpendicular.

Las ecuaciones en el dominio del tiempo para la polarización perpendicular son las siguientes, nótese que estamos hablando de medios sin pérdidas.

25

Para la onda incidente:

Ei = Ei cos(ωt − β 1 xsen(θ i ) − β 1 z cos(θ i ))ay Ecuación 3.3a

Hi =

Ei

η1

(cos(θ i )ax + sen(θ i )az )cos(ωt − β1 xsen(θ i ) − β1 z cos(θ i ))

Ecuación 3.3b

Para la onda reflejada:

E r = Er cos(ωt − β1 xsen(θ i ) + β1 z cos(θ i ))ay Ecuación 3.4a Hr =

Er

η1

(cos(θ i )ax + sen(θ i )az ) cos(ωt − β1 xsen(θ i ) + β1 z cos(θ i ))

Ecuación 3.4b

Para la onda transmitida:

Et = Et cos(ωt − β 2 xsen(θ t ) + β 2 z cos(θ t ))ay Ecuación 3.5a Ht =

Et

η2

(− cos(θ t )ax + sen(θ t )az ) cos(ωt − β 2 xsen(θ t ) − β 2 z cos(θ t ))

Ecuación 3.5b

Las ecuaciones están dadas para cada uno de los distintos casos, que son la onda incidente, transmitida y reflejada.

Los coeficientes de reflexión y transmisión se calculan por medio de las ecuaciones 3.6 y 3.7.

Γ⊥ =

η 2 cos(θ i ) − η1 cos(θ t ) η 2 cos(θ i ) + η1 cos(θ t )

Ecuación 3.6

26

Τ⊥ =

2η 2 cos(θ i ) Ecuación 3.7 η 2 cos(θ i ) + η1 cos(θ t )

Las ecuaciones para el cálculo de la densidad de potencia promedio son las siguientes:

Para la potencia incidente: Savi =

2 Em 2

η1

sen(θ i ) sen 2 ( zβ 1 cos(θ i ))ax Ecuación 3.8

Para la potencia transmitida:

Savt =

2 Em 2

η2

sen(θ t ) sen 2 ( zβ 2 cos(θ t ))ax Ecuación 3.9

3.1.3 Polarización paralela.

Ahora veamos como se comporta esta polarización para medios sin pérdidas, esto gracias a las ecuaciones en el dominio del tiempo.

Para la onda incidente:

Ei = Ei(cos(θ i )ax − sen(θ i )az ) cos(ωt − β 1 xsen(θ i ) − β 1 z cos(θ i )) Ecuación 3.10a Hi =

Ei

η1

cos(ωt − β 1 xsen(θ i ) − β 1 z cos(θ i ))ay Ecuación 3.10b

Para la onda reflejada:

E r = − Er (cos(θ i )ax + sen(θ i )az ) cos(ωt − β 1 xsen(θ i ) + β 1 z cos(θ i )) Ecuación 3.11a 27

Hr =

Er

cos(ωt − β1 xsen(θ i ) + β 1 z cos(θ i ))ay Ecuación 3.11b

η1

Para la onda transmitida:

Et = Et (cos(θ t )ax − sen(θ t )az ) cos(ωt − β 2 xsen(θ t ) − β 2 z cos(θ t )) Ecuación 3.12a Ht =

Et

η2

cos(ωt − β 2 xsen(θ t ) + β 2 z cos(θ t ))ay Ecuación 3.12b

Los coeficientes de reflexión y transmisión se calculan como nos muestran las ecuaciones 3.13 y 3.14 respectivamente:

ΓΙΙ =

η1 cos(θ i ) − η 2 cos(θ t ) η1 cos(θ i ) + η 2 cos(θ t )

ΤΙΙ =

2η 2 cos(θ i ) Ecuación 3.14 η1 cos(θ i ) + η 2 cos(θ t )

Ecuación 3.13

Ahora tenemos la densidad de potencia promedio para la onda incidente y la onda transmitida y éstas se muestran en las ecuaciones 3.15 y 3.16 [7].

Para la potencia incidente:

Savi =

2 Em 2

η1

sen(θ i ) cos 2 ( zβ 1 cos(θ i ))ax Ecuación 3.15

28

Para la potencia transmitida:

Savt =

2 Em 2

η2

sen(θ t ) cos 2 ( zβ 2 cos(θ t ))ax Ecuación 3.16

3.2 Incidencia oblicua en conductores perfectos.

Ahora consideremos que la onda viaja y entra de un medio sin pérdidas (σ 1 = 0) a un conductor perfecto ( σ 2 = ∞ ) y veamos que es lo que sucede en este caso. Igual que en el capítulo anterior consideremos dos polarizaciones, la perpendicular y la paralela.

3.2.1 Polarización perpendicular.

Como se puede notar, en los conductores perfectos, al momento de que la onda quiere incidir, se reflejará completamente y esto es lo que nos están diciendo los coeficientes de transmisión y de reflexión. Γ⊥ = −1 Ecuación 3.17

Τ⊥ = 0 Ecuación 3.18

Los campos eléctricos y magnéticos se pueden expresar de la siguiente manera: Eˆ1 = Eˆ i + Eˆ r Ecuación 3.19

Hˆ 1 = Hˆ i + Hˆ r Ecuación 3.20 Dadas las condiciones actuales las ecuaciones en el dominio del tiempo son de la siguiente manera:

29

E1 = 2 Emsen( β 1 cos(θ i ) z ) sen(ωt − β1 sen(θ i ) x)ay Ecuación 3.21a − 2 Em

H1 =

+

η1

2 Em

η1

cos(θ i ) cos( β 1 cos(θ i ) z ) cos(ωt − β 1 sen(θ i ) x)ax Ecuación 3.21b

sen(θ i ) sen( β 1 cos(θ i ) z ) sen(ωt − β 1 sen(θ i ) x)az

3.2.2 Polarización paralela.

Ahora tenemos que el coeficiente de reflexión se comporta como se muestra en la ecuación 3.22 y el de transmisión como se muestra en la ecuación 3.23:

ΓΙΙ = 1 Ecuación 3.22 ΤΙΙ = 0 Ecuación 3.23

De igual manera podemos expresar los campos como se muestra:

Eˆ1 = Eˆ i + Eˆ r Ecuación 3.24 Hˆ 1 = Hˆ i + Hˆ r Ecuación 3.25

Ahora los campos eléctrico y magnético se comportan de la siguiente manera [8]:

E1 = 2 Em cos(θ i ) cos( β 1 cos(θ i ) z ) sen(ωt − β 1 sen(θ i ) x)ax

− 2 Emsen(θ i ) cos( β 1 cos(θ i ) z ) cos(ωt − β 1 sen(θ i ) x)az

H1 =

2 Em

η1

Ecuación 3.26

cos( β 1 cos(θ i ) z ) cos(ωt − β 1 sen(θ i ) x)ay Ecuación 3.27

30

1. Determinar la energía almacenada en un condensador cilíndrico de radio interno a y externo b, al cual se le aplica una diferencia de potencial Vo.

0=A+ A=Vr =

Condiciones de Borde: r=a

V = Vo

r=b

V=0

Condición 1; r=a

V = Vo

Vo = A + B ln(a) Condición 2; 0 = A + B ln(b) (1) - (2): Vo = A + B ln(a) 0 = -A - B ln(b) Vo = Bln (a) - B ln(b)

Vo = B ln B= Reemplazo B en (2):

ln (b) ln(b) ln(b) +

ln(r)

2. Calcular la energía almacenada en un condensador esférico de radio interno a y externo b. Si se le aplica un voltaje Vo

Condiciones de Borde: r=a

V = Vo

r=b

V=0

Condición (1): Reemplazando B en A Condición (2):

(1) - (2): Vr =

Entonces:

=

3. Determinar la energía almacenada en una bobina circular de radio r

-

N= N= N= N=

4. Calcular la potencia y resistencia de un conductor cilíndrico de radio interno a, externo b y longitud l y de conductividad σ si el cilindro interior es hueco. Se aplica una diferencia de potencial Vo y circula una corriente Io.

Condiciones de Borde: z= 0

V=0

z=l

V = Vo

Condición (1): 0= A + B (z) A=0 Condición 2; Vo = A + B l B= B=

I = Io

5. El SWR de una línea de transmisión de 100Ω es 3. La distancia entre voltajes mínimos sucesivos es de 50cm, mientras que la distancia desde la carga hasta el primer mínimo es de 20cm. Cuál es el coeficiente de reflexión?

Γ=

SWR − 1 SWR + 1

6. Considere un medio con pérdidas de permeabilidad

y

permeabilidad y una conductividad óhmica de , calcular la atenuación, fase de profundidad de penetración e impedancia del medio para una onda que se propaga con una frecuencia de Datos:

Β=α= = 1.51*

δ=

.

7. Un campo eléctrico de la forma: Eejwte-jkr Se propaga en un conductor con pérdidas, tiene permitividad ξ, permeabilidad µ y conductividad σ. Si k=β+iα. ¿Determinar las igualdades para β, α y de la impedancia característica?   Ecuaciones  de  MAXWELL  

∇xE = −

∇.E =

∂B     ∂t

 

ρ ξ  

∂E = iwE   ∂t

∇xB = µ J + µξ ∇.B = 0

 

 

∂E   ∂t

 

∂B = iwB   ∂t

 

∇ = ik  

 

Remplazando  y  Utilizando  la  primera  ecuación  de  Maxwell  

ikxE = −iwB  

kx(ikxE ) = kx(−iwB)   k (ik.E ) − (ik.k ) E = −w(ikxB)   k (ik.E ) − (ik.k ) E = −w( µσ E + iwµξ E )   k(

ρ ) − (ik 2 ) E = − w( µσ E + iwµξ E )   ξ

−ik 2 = wµσ − iw2 µξ   k2 =

wµσ − iw2 µξ   i

k 2 = −iwµσ − i 2 w2 µξ  

k = w µξ

k 2 = −iwµσ + w2 µξ   iσ k = w µξ (1 − )   wξ 2

2

´1

⎛ iσ ⎞ 2 k = w µξ ⎜1 − ⎟   ⎝ wξ ⎠ Conductor  

σ ≥ 100   wξ ´1

⎛ iσ ⎞ 2 k = w µξ ⎜ − ⎟   ⎝ wξ ⎠

k=w

µξσ wξ

σ −i   wξ i ⎤ ⎡ 1 + ⎢ − ⎥   2 ⎦ ⎣ 2

i ⎤ ⎡ 1   k = wµξ ⎢ − + 2 ⎥⎦ ⎣ 2

k =−

wµξ wµξ   +i 2 2

 

k = β + iα  

β =−

wµξ wµξ               α = −i   2 2

i kxE = − i wB   kxE = − wB  

kE sin 270 = − wµ H   −kE = − wµ H   E wµ    Impedancia  característica   = H k

8. Una onda plana uniforme con las componentes Ex y Hy de campo tiene una amplitud de campo eléctrico de 100 y se propaga a una frecuencia de 106 Hz en una región conductora cuyos parámetros son µo, 9ξo y ( /ωξ)=0.5. Cuál es la profundidad de penetración de esta onda en la región disipadora. Determinar la longitud de onda y la velocidad de fase de esta onda.   F=106  Hz   µ=µo=4πx10-­‐7     ξ=9ξo  

     

     

 

 

 

9. Una onda plana uniforme con campo eléctrico en la dirección del eje y, E=EOcosw(t-z/c) incide normalmente sobre un plano conductor perfecto que se esta moviendo con velocidad constante v, donde v <
=0 Plano conductor perfecto

è Campo Eléctrico Incidente è Campo Eléctrico Reflejado Campo Total

è Campo Magnético Incidente è Campo Magnético Reflejado Campo Total

Para la frecuencia de la onda reflejada

10. Un campo eléctrico tiene la forma . Cual es la frecuencia, la longitud de onda y velocidad de la luz en el medio.                      è                      

 

                           è                    

 

                                   è                      

 

                           è                      

 

                                     è                    

 

 

               è                        

 

11. Un pez debajo de la superficie del agua que tiene índice de refracción n=1.33 observa una estrella que para él está a de la normal. ¿Cuál es el ángulo real de la estrella respecto de la normal?  

                     

    Sabiendo  que:     Por  lo  tanto:     =  Permisividad  relativa  del  agua    

12. En muchos casos sucede que la permeabilidad de los medios dieléctricos es igual a la del espacio libre. En este limite demuestre que los coeficientes de reflexión y de transmisión para ondas que inciden en forma oblicua sobre medios dieléctricos son:

                                         

 

 

Solución:    

               Coeficiente  de  reflexión                    Coeficiente  de  Transmisión  

Condiciones:   1.-­‐    

       

2.-­‐  

 

   

3.-­‐    

 

4.-­‐     Divido  todo  3  para  

       

Divido  todo  4  para  

Ecuación  5         Ecuación  6  

Despejo  de  5  Br  y  reemplazo  en  6  

 

  De  donde  

 

 

 

             

 

    1.-­‐    

 

2.-­‐     Divido  todo  1  para  

           

Divido  todo  2  para  

 

 

Ecuacio3  

     

Ecuacio4  

3  en  4  

 

 

 

 

 

         

                                           

13. Un conductor óhmico de forma arbitraria tiene una distribución inicial de

carga en t=0 Cual es la distribución de carga en cualquier tiempo. Si la distribución inicial de carga es uniforme y esta confina da entre los electrodos de placas paralelas separadas una distancia d. Cuales son los campos eléctrico y magnético cuando los electrodos están a circuito abierto o corto circuito.            

 

                                                                                                                                                           

  )    

                                                                                                                                           

 

 

         

Velocidades de grupo y de fase en la teoría R de ondas de materia: condiciones para una señalización supralumínica. por M. W. Evans, H. M. Civil List (www.webarchive.org.uk, www.aias.us, www.atomicprecision.com, www.et3m.net, www.upitec.org) y H. Eckardt, AIAS /UPITEC (www.upitec.org, www.aias.us)

Traducción:Alex Hill (www.et3m.net)

Resumen La relación de de Broglie entre las velocidades de grupo y de fase para ondas de materia constituye un producto de la relatividad restringida, la cual hoy sabemos que resulta válida sólo en el marco de contextos estrechos, y que indica la necesidad para el empleo de la relatividad general corregida por la teoría ECE. Se corrige la relación de de Broglie mediante la teoría R, y se obtiene una expresión para la velocidad de grupo de una onda de materia en términos de R. Se presentan las condiciones y ejemplos de soluciones para señalización supraluminal.

Palabras clave: Teoría ECE, teoría R, velocidad de grupo y de fase en la teoría R, señalización supraluminal.

1

1. Introducción. El concepto de velocidad de grupo en fenómenos ondulatorios fue introducido por Hamilton a fines de la década de 1830 y publicado en resúmenes en 1841. Estos resúmenes recibieron poca atención hasta que el concepto fue desarrollado en forma independiente por Stokes y por Rayleigh. La velocidad del grupo difiere de la velocidad de fase. Para una onda de materia, de Broglie [1, 2] obtuvo una relación entre las dos utilizando los conceptos básicos de relatividad restringida y teoría cuántica, reunidos en la ecuación de de Broglie Einstein de 1922 a 1924. En el documento UFT 158 y siguientes de esta serie [3–12] se ha demostrado que la teoría de de Broglie Einstein se torna inutilizable y severamente inconsistente en el contexto de la relatividad restringida. Este desastre de la vieja física del siglo XX ha sido evitado a través del desarrollo del concepto de masa como masa covariante definida por el parámetro R de la teoría ECE [3–12]. En la Sección 2 se desarrolla la teoría de de Broglie de la velocidad grupal de una onda de materia según la relatividad general, utilizando la teoría R. Se define la velocidad de grupo como la derivada parcial de la energía total relativista con respecto al momento relativista. En relatividad restringida, este procedimiento genera una velocidad de grupo igual a la velocidad de partícula
, y la velocidad de grupo no puede exceder c, la máxima velocidad permitida en la teoría de la relatividad restringida. En la teoría R, sin embargo, la velocidad de grupo se define a través de R y puede exceder la velocidad c. Bajo condiciones bien definidas, la señalización supraluminal se vuelve posible utilizando la velocidad de grupo. Tal como se ha observado experimentalmente, la velocidad de grupo puede exceder el valor de c, puede ser igual a cero, o puede tener la dirección opuesta a la velocidad de fase. En la Sección 2 se desarrollan los resultados para su empleo con la teoría de refracción. En la Sección 3 se calculan soluciones numéricas para la dispersión utilizando una ecuación diferencial obtenida en la Sección 2.

2. Velocidad de grupo de una onda de materia en la teoría R. La velocidad de grupo fue definida por de Broglie para cualquier onda / partícula mediante:
g =

 

=

(/ћ) ( /ћ)

=



(1)



donde la energía total relativista E y el momento relativista p están definidos por la ecuación de energía de Einstein:

E 2= c2p2 + m02c4

(2)

donde la masa m0 es la masa convencional de la relatividad restringida, es decir una constante. En el documento UFT 158 y siguientes de esta serie se encontró que la masa de la partícula varía en experimentos tales como la dispersión inelástica. Esto indica la necesidad de generalizar la masa de la partícula de la teoría de la relatividad restringida a la masa covariante, definida como:

R=

  ћ



(3)

donde c y ћ son la velocidad de la luz y la constante reducida de Planck, respectivamente. La velocidad de grupo de de Broglie es, por lo tanto:


g = =





(( c 2p 2 + m02c4 )½ =

  = =
  





((





)2 + 1)-½ (4) 2

donde el factor de Lorentz es:

γ=(1–

 )½ 

(5)

y donde  es la velocidad de la partícula. Por lo tanto, la velocidad de grupo es igual que la velocidad de la partícula: g =  .

(6)

La velocidad de fase de la onda es:
p

=



(7)



donde las relaciones de de Broglie [1, 2] vienen dadas por:

E = ћ ω = γ !"  ,

(8)

p = ћ κ = γ !

(9)

.

Por lo tanto, la velocidad de grupo puede definirse mediante: g =

 

= c2



(10)



de donde resulta la relación de de Broglie entre las velocidades de grupo y de fase:
g
p = c2 .

(11)

La generalización de estas ecuaciones se basa en la ecuación de onda de la teoría ECE [3-12]: (

+ R ) $%& = 0

(12)

cuyo equivalente clásico es: E 2 = c2 ( p 2 + ћ2 R )

(13)

Aquí, $%& es la tétrada de Cartan. En consecuencia se define el factor R mediante: R=



ћ

'% '% =

 

– (2

(14)

y la velocidad de grupo se define mediante:
g =

 

.

(15)

La relación entre la frecuencia angular y el vector de onda es una relación de dispersión, y viene dada por la Ec. (14) como: ω = c ( R + (2 ) ½ .

(16)

Por lo tanto:
g =

 *

(( +

 +  

).

(17)

Otra ecuación para la velocidad de partícula puede obtenerse directamente a partir de la ecuación: 3

γ ! " = ( 1 –

 )½ћω 

(18)

)2)½ .

(19)

dando:
=c(1–R(



*

Se observa experimentalmente [13-15] que la velocidad de grupo puede ser igual a cero, mayor que c o negativa. En relatividad restringida se supone a menudo que el fotón no posee masa, a pesar del hecho de que la masa del fotón fue supuesta por de Broglie como diferente de cero. Esta suposición significa que la velocidad de grupo en relatividad restringida siempre es: 


g =

(20)

*

y también para cualquier tipo de onda de materia considerada por de Broglie. En otras palabras, en relatividad restringida la derivada de R con respecto de ( desaparece en la teoría de de Broglie porque:

R=

  



ћ

(21)

y !, es una constante. En teoría R esto deja de ser el caso, porque R se define mediante geometría como sigue:

R=

 

& & – 0%/ )  = $%& -% (.%/

ћ

(22)

y el concepto de masa covariante m sale como resultado de esta geometría. Es posible definir la condición supraluminal mediante:
g > c

(23)

donde c es la velocidad máxima de la relatividad restringida. Para el hipotético fotón sin masa, c es la velocidad de la luz en el vacío. La condición supraluminal (23) significa a partir de la Ec. (17) que

(+

 +  

>



.



(24)

En relatividad restringida y en la teoría de de Broglie no se permite la condición (24) porque: .2 = "  ( + 

  



ћ

(25)

y

(2 =

 

–

   ћ



(26)

La masa fija m0 de la relatividad restringida es siempre mayor que cero, de manera que la Ec. (24) nunca aplica. En la teoría R, m2 en la Ec. (22) es un factor de proporcionalidad con un valor positivo ubicado entre R y la constante fundamental (c/ ћ)2. Esto provoca una profunda diferencia porque R puede ser una variable que da origen a nueva información en absorción y teoría de dispersión, tal como se explicó en los documentos UFT 158 a UFT 165 en el portal www.aias.us . El hecho de que R sea una variable vuelve posible la señalización supraluminal porque -1⁄-( es diferente de cero. Por lo tanto, a partir de la Ec. (24) la condición supraluminal es: 4

+ 

.

> 2 ( " – ()

(27)

es decir: + 

>2(

3 

– 1) ( .

(28)

También se observa experimentalmente [13-15] que la velocidad de grupo puede ser igual a cero en tanto que la velocidad de fase permanece finita. Para que desaparezca la velocidad de grupo, la Ec. (17) significa:

.

∞ .

(29)

Por lo tanto, a partir de la Ec. (17):

(+

 +

<< .

 

(30)

y así: + 

<<


(31)

y a partir de la Ec. (17):

(+

 +

>0 .

 

(32)

En este caso la velocidad de fase se va al infinito:


=



∞



(33)

Finalmente también se observa experimentalmente [13-15] que la velocidad de grupo puede volverse negativa, es decir de dirección opuesta a la velocidad de fase. A partir de la Ec. (17) la condición para que esto suceda es: + 

<0

(34)

y a partir de la Ec. (17) se requiere que:

|

+ 

|>2κ

(35)

es decir, -1/-( debe de ser negativa. Es posible obtener la siguiente relación entre R, la velocidad de grupo y la velocidad de fase:
g =



3

+

  

  

& & ($/& -% (.%/ – 0%/ ))

.

(36)

Esto da origen a una relación entre la definición geométrica de R en la Ec. (22) y la derivada parcial -./-( que define la velocidad de grupo:  





–

 +  

=( .

(37)

Es bien sabido que los cuatro momentos contravariantes y covariantes son: 5



'% = (



,p) ,

'% = (

 

,–p)

(38)

de manera que el factor R es: 

R=

'% '%

ћ 

=



– ( .

(39)

A partir de las Ecs. (17) y (39): 





=



=

 

 

(40)

que relaciona la derivada -./-( con E y p. Para la partícula hipotética sin masa que se mueve a una velocidad c: 





=



=c=

 

(41)

de manera que  

= 2 " (

(42)

y a partir de la Ec. (40) se obtiene el siguiente resultado consistente:  

=

 

 

=c

(43)

con  

= 2.

 

(44)

QED. En este casp, la Ec. (39) da: R=

 

– ( = 0

(45)

es decir & & .%/ = 0%/

(46)

y $%& = 0 .

(47)

Utilizando la hipótesis de la teoría ECE: 5%& = 5(,) $%&

(48)

obtenemos la ecuación de onda de d´Alembert para un fotón sin masa, consistentemente para cada sentido de polarización rotulado como 6 : 5% = 0

(49) 6

QED. Esto a su vez significa que la ecuación de Proca para el fotón con masa es: + R ) 5%& = 0

(

(50)

y cuando desaparece la masa covariante R desaparece en forma consistente: 5% = 0 ,

R = 0 , m0 = 0

(51)

QED. Para una onda plana monocromática que atraviesa un material dieléctrico [16] sin una densidad de corriente de carga, la ecuación de onda de Helmholtz da: 


=



=



7

=



(%8)½

(52)

donde : es el índice de refracción, ; es la permeabilidad y < es la permitividad del dieléctrico. De manera que en este caso R puede expresarse sencillamente en términos del índice de refracción:


= = n c +

  +

(53)

 

y el índice de refracción viene dado por:

n=

> 

–

 +

.

 

(54)

En la interface entre dos dieléctricos, la ley de Snell viene dada por [16]: ?@A B

?@A C

=

´ 

=

7´ 7

=

3 ´ 3

(55)

por lo tanto: 7´ 7

=

E

(56)

F

donde A=

´>

–



 +´

(57)

 ´

y donde: B=

> 

–

 +

 

.

(58)

Por lo tanto, la ley de Snell es: ?@A B

?@A C

= f (-1´/ -(´ ) / f (-1/ -( )

(59)

y el espectro R de cualquier proceso de refracción es: 7´ 7

= A´

(60)

con A´ definida a partir de la ley de Snell como: 7

A´= (

´> 

–

 +´

)/(  ´

> 

 +

–

 

).

(61)

La teoría R de la refracción puede expresarse en términos de la teoría R del proceso de dispersión definido por: . + .0 = .´ + .´´

(62)

y κ´´2 = κ 2 + κ´2 – 2 κ κ´ cos θ .

(63)

Esta es la dispersión de una partícula con una frecuencia angular inicial . a partir de una partícula en reposo con una frecuencia angular en reposo .0 . La frecuencia angular de dispersión de la partícula entrante es .´ y la frecuencia angular de dispersión de la partícula inicialmente en reposo es .´´. La Ec. (63) es la conservación del momento que acompaña el proceso cuando el ángulo de dispersión es: θ=r–i

(64)

tal como viene definido en términos de r e i de la ley de Snell (ver nota de acompañamiento 165(4) para más detalles). Tal como en el documento UFT 158 y sigs., la solución de las Ecs. (62) y (63) da: .0 = c R2½ =



( – ´)

(. .´ – (c 2R1 + ( . 2 – c 2R1)½ ( .´ 2 – c 2R1)½ cos θ ))

(65)

donde R2 es el factor R de la partícula inicialmente estática, y R1 es el factor R de la partícula una vez dispersa. Resolviendo la Ec. (65) da:

R1 =



& 

(– b

± (b2 – 4 6c´)½ )

(66)

donde: 6 = 1 – cos2θ

,

b = (.´2 + .2 ) cos2θ – 2 A , c´ = A2 – 2 .2 .´2cos θ

,

A = . .´ – (. – . ´ ) .0

.

(67)

Por lo tanto, a partir de las Ecs. (61) y (67): 7´ 7

= f (R1)

(68)

que unifica la teoría macroscópica de la refracción con la teoría de partícula de la refracción considerada como una dispersión a partir de un valor efectivo de R2.

3. Solución numérica para la dependencia dispersiva. La relación general dispersiva entre la frecuencia ω y el número de onda κ viene dada por la Ec. (16): . = " (1 + (  )/

(69) 8

donde el parámetro de curvatura R, el cual posee también una dependencia hacia κ, participa en el cálculo. La velocidad de grupo se determina mediante R, . y ( a través de la Ec. (17):  +

"2


= = . (( + ).  

(70)

Para obtener una ecuación para R, la Ec. (69) puede insertarse en la Ec. (70), lo cual conduce a + 

=2

> 

L√1 + (  − (O.

(71)

Esto constituye una ecuación diferencial de primer orden en R. La relación de

> 

debe estar pre

definida para obtener una solución. En particular, pueden considerarse casos supraluminales de
= > ". La Ec. (71) debe resolverse numéricamente debido a que el término de la raíz cuadrada prohíbe una solución analítica. Habiendo obtenido R(κ), puede calcularse la relación de dispersión (69), y a partir de ella el índice de refracción óptico n(κ) utilizando la Ec. (54):

:=

> 

−

  +   

.

(72)

La solución numérica requiere un valor inicial para R(0). El cálculo demuestra que sólo existe una solución para valores iniciales positivos. No se consideraron soluciones con valores complejos. Todos los cálculos numéricos se llevaron a cabo para tres valores de > 

=

> 

.

0.5 1 1.5

La solución R(κ) para estos casos se muestra en la Fig. 1. Para
= = " la solución es lineal, en tanto que en los otros casos disminuye o aumenta, respectivamente. A partir de la Fig. 2 , donde se muestra la derivada de R, se vuelve claro que las derivadas son líneas rectas, es decir que R es una función cuadrática de κ en todos los casos. Resulta un hecho interesante que también la relación dispersiva ω(κ) (Fig. 3) sea lineal tal como puede concluirse a partir de la Ec. (69) porque R es cuadrática. Finalmente, el índice de refracción óptico n(κ) puede observarse en la Fig. 4. Este es asintóticamente constante para grandes números de onda. El comportamiento es exactamente igual al observado en óptica clásica, es decir que para
= = " es exactamente igual a la unidad, para
= < " es : > 1, y para
= > " (caso supraluminario tenemos : < 1, como también se conoce a partir de la óptica). Concluimos que la teoría R de la relatividad general reproduce los resultados de la óptica clásica. Estos se obtuvieron a partir de suponer que la velocidad grupal no depende de la frecuencia. El método numérico desarrollado puede extenderse fácilmente a dependencias predefinidas arbitrariamente para
= ((). Es así que materiales especiales pueden diseñarse con ciertas propiedades. El método descrito también es aplicable a la óptica cuántica y a frecuencias de de Broglie de partículas, de manera que estos “principios de diseño” aún resultan válidos en el régimen microscópico.

9

Figura 1. Solución numérica de R(κ) con R(0)=1.

Figura 2. Derivada de R(κ).

10

Figura 3. Relación de frecuencia dispersiva ω(κ).

Figura 4. Indice de refracción óptico n(κ).

11

Agradecimientos. Se agradece al Gobierno Británico por la Pensión Civil vitalicia y otros altos honores, en reconocimiento por la teoría ECE y otros trabajos. Se agradece al grupo de trabajo de AIAS por muchas discusiones interesantes. Se agradece a Alex Hill y colegas por sus exitosas traducciones al castellano y divulgaciones. Se agradece a David Burleigh por la publicación y a Simon Clifford por su ayuda para la divulgación a través de www.aias.us.

Referencias. [1] L. de Broglie, Comptes Rendues, 177, 507 (1923). [2] L. de Broglie, Phil. Mag., 47, 446 (1924). [3] M. W. Evans, “Generally Covariant Unified Field Theory” (Abramis 2005 al presente), en siete volúmenes a la fecha. [4] M. W. Evans, S. Crothers, H. Eckardt y K. Pendergast, “Criticisms of the Einstein Field Equation” (Abramis en prensa, preimpresión en www.aias.us). [5] M. W. Evans, H. Eckardt y D. Lindstrom, “ECE Theory applied to H Bonding” (Academia de Ciencias de Serbia, 2010). [6] L. Felker, “The Evans Equations of Unified Field Theory” (Abramis 2007). [7] K. Pendergast, “The Life of Myron Evans” (Abramis en prensa). [8]

Los

portales

acerca

de

la

teoría

ECE:

www.aias.us

(www.webarchive.org.uk),

www.atomicprecision.com, www.et3m.net, www.upitec.org. [9] M. W. Evans y J-P. Vigier, “The Enigmatic Photon” (Kluwer 1994 a 2002), en cinco volúmenes. [10] M. W. Evans and L. B. Crowell, “Classical and Quantum Electrodynamics and the B(3) Field” (World Scientific, 2001). [11] M. W. Evans y S. Kielich (eds.), “Modern Nonlinear Optics” (Wiley, 1992, 1993, 1997, 2001 y e libro, primera y segunda eduiciones). [12] M. W. Evans y A. A. Hasanein, “The Photomagneton in Quantum Field Theory” (World Scientific, 1994). [13] G. M. Gehring, A. Schweinsburg, C. Barsi, N. Kistinksi y R. W. Boyd, Science, 312, 895 (2006). [14] G. Dolling, C. Enkrich, M .Wegener, C. M. Soukoulis y S. Linden, Science, 312, 892 (2006).

12

[15] A. Schweinsberg, N. N. Lepishkin, M. S. Bigelow, R. W. Boyd y S. Jarabo, Europhysics Letters, 73, 218 (2005). [16] J. D. Jackson, “Classical Electrodynamics” (Wiley, 1999, tercera edición).

13

Determinar el valor de la constante k para que la siguiente función sea la solución de la ecuación homogénea de coordenadas esféricas. Y (r, 1) =

Reemplazo en la ecuación inicial

(

)

(

)

√

5. Una línea de transmisión de esta excitada por una fuente de voltaje en . La línea de transmisión esta terminada en una carga puramente reactiva en . Determine la distribución de voltaje y corriente a lo largo de la línea. Repita el ejercicio si la línea de transmisión se excita por una fuente de corriente en .

2. Una onda plana uniforme con las componentes Ex y Hy de campo tiene una amplitud de campo eléctrico de 100 y se propaga a una frecuencia de106 Hz en una región conductora cuyos parámetros son , , . Cual es la profundidad de penetración de esta onda en la región disipadora. Determinar la longitud de onda y la velocidad de fase de esta onda.

√

√

(

)(

)

3.- Un conductor óhmico de forma arbitraria tiene una distribución inicial de carga en t=0. Cual es la distribución de carga en cualquier tiempo. Si la distribución inicial de carga es uniforme y esta confinada entre los electrodos de placas paralelas separadas una distancia d. Cuales son los campo eléctrico y magnético cuando los electrodos están a circuito abierto o en cortocircuito. → →

→ →

→

→ →

∫

→

∫

=∫

Para t=0

→

→

→

→

7. Un campo eléctrico de la forma: Eejwte-jkr Se propaga en un conductor con pérdidas, tiene permitividad ξ, permeabilidad μ y conductividad σ. Si k=β+iα. ¿Determinar las igualdades para β, α y de la impedancia característica? Ecuaciones de MAXWELL B xE   t

xB   J  

.E 

.B  0

 

E t

E B  iwE  iwB   ik t t Remplazando y Utilizando la primera ecuación de Maxwell ikxE  iwB kx(ikxE)  kx(iwB) k (ik.E)  (ik.k ) E  w(ikxB) k (ik.E)  (ik.k ) E  w( E  iw E) k(

 )  (ik 2 ) E   w(  E  iw E ) 

ik 2  w  iw2 

w  iw2  i 2 k  iw  i 2 w2  k 2  iw  w2  i k 2  w2  (1  ) w

k2 

´1

 i  k  w  1    w 

2

Conductor ´1

 i  k  w      w 

k  w 

 w

2

 i w

i   1    2  2 i   1 k  w    2   2 kw

  100 w

k 

w w i 2 2 k    i

 

w 2

  i

w 2

i kxE   i wB kxE  wB kE sin 270  w H kE  w H E w Impedancia característica  H k

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO Facultad de Ingeniería en Sistemas, Electrónica e Industrial Teoría Electromagnética I TEMA:

“Ejercicios”

Integrantes: Carvajal Paola Izurieta Milton Jácome Angel Laura Javier Laura Paulina Medina Jeaneth Medina Tannia Molina Roberto Santiana Jairo Villalba Mario

Profesor de la materia: Ing. Julio Cuji

Semestre:

Quinto Electrónica AMBATO, 07 DE MAYO DE 2008

1. Para un capacitor plano de superficie S; separación d y tensión V Calcule la capacidad; densidad superficial de la carga y campo eléctrico.





Eds   dr

0



    0 Eds  q

Para

 









  0 E (ix )ds ix    0 E ( ix )ds( ix )  q 



 0  Eds   0  Eds  q 

2 0 E S  q q

E

2 0 S

0 xd q  s q  S Et  Et 

q 2 0 S



q 2 0 S



 0 d



d

V    E dl  E  dx 0

V  Ed V E d q 0S  V d  S c 0 d Et 

 0

Et 

V d

V   d 0



V 0 d

0

q 0S

2. Para dos esferas conductoras concéntricas de radios a > b y diferencia de tensión V, calcule la capacidad, densidad de superficial de carga, campo eléctrico.  

 

  0 E.ds   dv   0  E.ds  q v

s

s

 2

 0 E   r 2 sin  .d .d 0 0

 0 Er 2  cos  0  02  q  0 Er 2 22   q Er 

q 4 0 r

2

 ir

    v   E.dl  dl  dr.i r s

a

v b

q 4 0 r

2

  i r.dr.i r 

q 4 0

a

dr

r

2

b

a

q  1 q  1 1 q 1 1 v        v     4 0  r  b 4 0  a b  4 0  b a 

c



4 0 4 0 q  c 1 v 1 1 1 b a    b a





q q  s  4r 2     q   4r 2 2 s 4r

 F  qE   q   F  q 2   4 0 r  2  q2  4r 2 F  4 0 r 2 4 0 r 2   2 4r 2 F



0



1 n  0E2 2  1  q2  n   0  2 2  16 2 0 r 4  1  16 2 2 r 4   n   2  16 2 0 2 r 4  n

12 2 0

4. Dos pequeñas esferas conductoras cada una de masa m están suspendidas de los

extremos de dos hilos aisladores de longitud l unidos en un punto. Se depositan cargas sobre las esferas de modo que se separan una distancia d. Una carga Q1 se coloca en la esfera 1. ¿Cuál es la carga Q2 en la esfera 2?

T

l

Ty

h Q1

Ө

Ө

Ө

Q2 Tx

d

Fr mg

(2) en (1)

(3)

(3) = (4)

5. Una pequeña esfera de masa M esta en un campo gravitacional g, y tiene una carga Q. Mediante una cuerda de masa despreciable se conecta a una lámina de caga superficial e la misma polaridad y con densidad σ. Cual e el ángulo entre la lamina y la carga?

 2 o  .Q Flam  2 o E

Fx  0

(1)

Fe  sen  0 (2) F  sen e

(2)

Fe 

y (3)

Mg.sen cos 

Fe  MgTang

Igualando (1) y (4)

 .Q  Mg.Tang 2. 0 Tang 

 .Q 2. 0 .Mg   .Q   2 .  . Mg  0 

  Tang 1 

(4)

Fy  0 . cos   Mg  0 

Mg cos 

(3)

6. Deduzca la inducción magnética que genera una línea recta de corriente

1



o



 

B .dL   I . ds 

    E . ds t  o

    o  E . ds  0  Ca r ga Neta t 1   B .dL  I

o

       o B i . dr ir  rd i  dz iz    I 1  B rd  I

1

 

o

1

o

2

B r  d  I 0

B r 2   o I B

o I 2r

9. Una esfera tiene una carga q uniformemente distribuida en todo su volumen, calcular el campo y el potencial eléctrico en el interior y exterior de la esfera y realizar un grafico de E y V en función de la distancia (radio) de la esfera. Є0

E.ds = q

Є0

Eds = q

x x a x x x x x x x

Є0 E.S = q => S = 4πr2 E=

=

ρ=

=> q1 = ρ Volumen

Vesfera = πr3 E= E= E= En el Interior

ρ= VT = π Eint = Vint. =

=+

Vint. = Vint. =

( (

En el exterior

Si r = a Eext. = Eext. =

=+

=

Vext. =

= -

Vext. = -

Vext. = Eext. =

Gráfica: r 0 a

E inter. 0

E exter.

0

E

0

r

V inter. 0

V exter.

0

10. Un cable coaxial esta lleno de un dieléctrico de campo eléctrico de distribución de 20000V/cm. Calcular la máxima energía que podría transportar este cable si tiene una longitud de 50m, un radio exterior de 2cm y un radio interior de 1cm.

1. Determinar la energía almacenada en un condensador cilíndrico de radio interno a y externo b, al cual se le aplica una diferencia de potencial Vo.

Reemplazo B en (2): 0=A+ A=Vr =

Condiciones de Borde: r=a

V = Vo

r=b

V=0

Condición 1; r=a

V = Vo

Vo = A + B ln(a) Condición 2; 0 = A + B ln(b) (1) - (2): Vo = A + B ln(a) 0 = -A - B ln(b) Vo = Bln (a) - B ln(b)

Vo = B ln B=

ln (b) ln(b) ln(b) +

ln(r)

2. Calcular la energía almacenada en un condensador esférico de radio interno a y externo b. Si se le aplica un voltaje Vo

Condiciones de Borde: r=a

V = Vo

r=b

V=0

Condición (1): Reemplazando B en A Condición (2):

(1) - (2): Vr =

Entonces:

=

3. Determinar la energía almacenada en una bobina circular de radio r

-

N= N= N= N=

4. Calcular la potencia y resistencia de un conductor cilíndrico de radio interno a, externo b y longitud l y de conductividad  si el cilindro interior es hueco. Se aplica una diferencia de potencial Vo y circula una corriente Io.

Condiciones de Borde: z= 0

V=0

z=l

V = Vo

Condición (1): 0= A + B (z) A=0 Condición 2; Vo = A + B l B= B=

I = Io

5. El SWR de una línea de transmisión de 100Ω es 3. La distancia entre voltajes mínimos sucesivos es de 50cm, mientras que la distancia desde la carga hasta el primer mínimo es de 20cm. Cuál es el coeficiente de reflexión? 

SWR  1 SWR  1

6.

Considere un medio con pérdidas de permeabilidad

y permeabilidad

y una conductividad óhmica de , calcular la atenuación, fase de profundidad de penetración e impedancia del medio para una onda que se propaga con una frecuencia de

.

Datos:

Β=α= = 1.51*

δ=

7.

Un campo eléctrico de la forma: Eejwte-jkr Se propaga en un conductor con pérdidas, tiene permitividad ξ, permeabilidad μ y conductividad σ. Si k=β+iα. ¿Determinar las igualdades para β, α y de la impedancia característica? Ecuaciones de MAXWELL

xE  

.E 

B t

xB   J  

 

E t

.B  0

E  iwE t

B  iwB t

  ik

Remplazando y Utilizando la primera ecuación de Maxwell

ikxE  iwB kx(ikxE)  kx(iwB) k (ik.E)  (ik.k ) E  w(ikxB)

k (ik.E)  (ik.k ) E  w( E  iw E) k(

 )  (ik 2 ) E   w(  E  iw E ) 

ik 2  w  iw2 

k2 

w  iw2  i

k 2  iw  i 2 w2 

k  w 

k 2  iw  w2 

i k  w  (1  ) w 2

kw

2

´1

 i  k  w  1    w 

 Conductor  100 w ´1

 i  k  w      w 

2

2

 w

 i w i   1    2  2

i   1 k  w    2   2 k 

w w i 2 2

k    i

 

w 2

  i

w 2

i kxE   i wB kxE  wB

kE sin 270  w H kE  w H

E w Impedancia característica  H k

8. Una onda plana uniforme con las componentes Ex y Hy de campo tiene una amplitud de campo eléctrico de 100 y se propaga a una frecuencia de 106 Hz en una región conductora cuyos parámetros son µo, 9ξo y ( /ωξ)=0.5. Cuál es la profundidad de penetración de esta onda en la región disipadora. Determinar la longitud de onda y la velocidad de fase de esta onda. F=106 Hz µ=µo=4πx10-7 ξ=9ξo

9. Una onda plana uniforme con campo eléctrico en la dirección del eje y, E=EOcosw(t-z/c) incide normalmente sobre un plano conductor perfecto que se esta moviendo con velocidad constante v, donde v <
=0 Plano conductor perfecto

 Campo Eléctrico Incidente  Campo Eléctrico Reflejado Campo Total

 Campo Magnético Incidente  Campo Magnético Reflejado Campo Total

Para la frecuencia de la onda reflejada

10. Un campo eléctrico tiene la forma . Cual es la frecuencia, la longitud de onda y velocidad de la luz en el medio.













11. Un pez debajo de la superficie del agua que tiene índice de refracción

n=1.33 observa una estrella que para él está a de la normal. ¿Cuál es el ángulo real de la estrella respecto de la normal?

Sabiendo que:

Por lo tanto: = Permisividad relativa del agua

12. En muchos casos sucede que la permeabilidad de los medios dieléctricos es igual a la del espacio libre. En este limite demuestre que los coeficientes de reflexión y de transmisión para ondas que inciden en forma oblicua sobre medios dieléctricos son:

Solución: Coeficiente de reflexión Coeficiente de Transmisión Condiciones: 1.2.3.4.Divido todo 3 para Ecuación 5 Divido todo 4 para Ecuación 6 Despejo de 5 Br y reemplazo en 6

De donde

1.2.Divido todo 1 para Ecuacio3 Divido todo 2 para Ecuacio4 3 en 4

13. Un conductor óhmico de forma arbitraria tiene una distribución inicial de carga en t=0 Cual es la distribución de carga en cualquier tiempo. Si la distribución inicial de carga es uniforme y esta confina da entre los electrodos de placas paralelas separadas una distancia d. Cuales son los campos eléctrico y magnético cuando los electrodos están a circuito abierto o corto circuito.

)

F.I.S.E.I TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA II EJERCICIOS RESUELTOS 6º “ELECTRÓNICA”

Ing. Julio Cuji

ING. JULIO CUJÍ

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO Facultad de Ingeniería en Sistemas, Electrónica e Industrial Teoría Electromagnética II TEMA:

Polarización y Magnetización

Integrantes: Jácome Angel Molina Roberto Villena Mauricio

Profesor de la materia: Ing. Julio Cuji Semestre: Sexto Electrónica

AMBATO, 09 DE MAYO DE 2008

(1) y (2) Vo  A  B ln a  0   A  B ln b  Vo  B ln a   B ln b  b Vo  B ln( ) Ejercicios: a Vo B b ln( ) 1. Determinar la energía almacenada en un condensador cilíndrico de radio a interno a y externo b, al cual se le aplica una diferencia de potencial Vo. Vo 0  A ln b  b ln( ) a Vo A ln b  a ln( ) b Vo Vo V (r )   ln b   ln r  a b ln( ) ln( ) b a E  V V E ir r V r   A  B r  Vo E ir oE a WE  r. ln( ) 2 b Vo E  V E ir b condicione s  de  borde r. ln( ) a r  a V  Vo oE r  b V  0 WE  2 condicion (1) 2 r  a V  Vo   Vo  A  B ln a  o  Vo   WE   condicion (2) 2   b  r. ln    r  b V  0  a   0  A  B ln b  E E  WE *Vol 2 (1) y (2)   Vo  A  B ln a  o  Vo     r 2l E  E 0   A  B ln b  2   b  r. ln   Vo  B ln a   B ln b    a   b Vo  B ln( ) o.Vo 2l a EE  b Vo 2 ln 2   B a b ln( ) a Vo 0  A ln b  b ln( ) a Vo A ln b  a ln( ) b Vo Vo V (r )   ln b   ln r  a b ln( ) ln( ) b a

2. Calcule la energía almacenada en un condensador esférico de radio interno  . y externo  . si se aplica un voltaje Vo.

Condiciones de borde

Aplicando las condiciones tenemos

Entonces

Reemplazando e en a

Reemplazando A y B en la ecuación principal

3.- Determinar la energía almacenada en una bobina circular de radio r Z P



B

r R Y r1

X

Io dl



r  ziz

r  r1  ziz  Rir

r1  Rir

r  r1  ( R  z )



B  Io 

B  Io 

B

2

o 4



o 4



2

1 2

dlx (r  rl ) r  rl

3

( Rdi ) x( Rir  ziz ) (R  z ) 2

I o o 4 ( R  z ) 2

2

3 2

2

3 2

 ( Rdi ) x( Rir  ziz) 





i xi yi z

( Rdi ) x( Rir  ziz )  0 Rd 0 R0 z

( Rdi ) x( Rir  ziz)  zRdir  R 2 diiz



B

2

I o o 4 ( R 2  z 2 )



B

3 2

I o o 4 ( R  z ) 2

2

3 2

( zR  ( zRdir  R 2 diz ) 0

2

2

0

0

( zR  dir  R 2  diz

I o o



B

4 ( R 2  z 2 )

3 2

( zR2r  R 2 2iz )

Para el entro de la espira z = 0

I o o



B

4 ( R 2  z 2 )

3 2

I o o



B

4 ( R  z ) 2

2

3 2

(2R 2 iz )

iz  para una espira



B bobina  NBespira 

BN

H

I o o 2R

H

n = Densidad de energía U = Energía

n=

1 0 H 2 2

1  NI  n = 0  0  2  2R 

2

2 2 1  N I 0 n = 0 2  2 2 R 2

2 1 0 I 0 N n= 8 R2 2

H

   

2

1

0 1

0

Bbobina

N

NI 0 2R

I 0 0 2R

4.- Calcular el potencial y la resistencia de un conductor cilíndrico de radio interno a y externo b y longitud l y conductividad σ si el cilindro interior es hueco. se aplica una diferencia de potencial Vo y circula una corriente Io.

Condiciones de borde

condición 1

condición 2

7.- Un cilindro de radio de radio a esta colocado dentro de un campo magnético uniforme Hoix . Encuentre el campo magnético magnético si el cilindro tiene una permeabilidad 2 y esta rodado por medio cuya permeabilidad es 1.

2

2 1

1

condicione s r  0  B2  finito r    B1  Bext r  a  n1.B1  n 2 B 2  0 r  a  n1x n 2  ir n1  ir

1 1 B1  n 2 x B2  0 1 2

 1a 2 Ho1   2   cos  ir  sen i B1   1Ho     2   1    a 2 1   2   cos  ir  sen i B1  1Ho1     2   1  





 1   2    cos  ir  sen i B 2  1Ho1    2  1 









9.-Determinar el potencial vectorial magnético y el campo para la siguiente distribución de corriente. Cilindro infinitamente largo de radio a que transporta una corriente superficial k 0 i . 

n1

2 1



k 0 i .





n2



n ir 



n 2  i r

a

Condiciones:

1) r = 0

1 = finito

2) r = a

2 = 0

3) r = a 4) r = a













n 1 B1  n 2 B 2  0



n1*

1

0

B n 2 *

1

0



B 2  kt

   Ar  B2  cos    r    2  Cr  D2  cos    r  1) r = 0

1  finito

2) r =  2 = 0

B=0

C=0

1 = Ar cos 

1 =

D cos  r2

  

d  1 d  d  i r i iz dr r d dz

B  

 B1  A cos r r  Asen i  B   D  D   B  r 3 cos  i r  r 3 sen i  







n 1 B1  n 2 B 2  0

3) r = a

    D  i r * A cos i r  3 seni r   0  r 



4) r = a n 1 *

ktx  



1

0

A

0 A

0

1

0





1

0

( Asenii )  i r x 

seni z  



B n 2 *

D r 0 3

D r 30



B 2  kt

  1  D   sen  i    k sen  i z 0   0  r 3  



seni z  k 0 seni z

 k0

D D 2D   k 0 ;  k 0 3  0 a3  0 a3 0a

 k0 0 a3 D 2    k    B1  02 0 (cos i r  sen i  ) B    k  a3   B  0 30 (cos i r  sen i  )  2r 

10.-Cuales son los campos B y H para una corriente volumetrica distribuida uniformemente Jo iz atravez de un cilindro de radio a y permeabilidad  limitada por el espacio libre.

A=r2

q   oE.ds

ds r   rddz l 2

q    oErddz 0

q  oErl 2 q E orl 2 q  l E

 r 2o

V    Edr

 dr r 2o  V  ln r  2o   a 2  V 

a 2  V  ln r  2o a 2 V  ln r  2o J  2 C

o 

Az 

o

 Joa 2 ln r 2 0C 2

 Joa 2  0 ln r 2 B  x A Az 

    Joa 2  0  ln r i r  2  Joa 2  0 B 2r Jo.a. 0 B 2 1 H B B



H

Jo.a 2

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO Facultad de Ingeniería en Sistemas, Electrónica e Industrial Teoría Electromagnética II TEMA:

Polarización y Magnetización

Integrantes: Jácome Angel Molina Roberto Villena Mauricio

Profesor de la materia: Ing. Julio Cuji Semestre: Sexto Electrónica AMBATO, 09 DE MAYO DE 2008

Vo = A + B ln(a ) 0 = − A − B ln(b ) Vo = B ln(a ) + B ln(b ) b Vo = B ln( ) Ejercicios: a Vo B= b ln( ) 1. Determinar la energía almacenada en un condensador cilíndrico de radio a interno a y externo b, al cual se le aplica una diferencia de potencial Vo. Vo 0 = A+ ln(b ) b ln( ) a Vo A=− ln(b ) a ln( ) b Vo Vo V (r ) = − ln(b ) + ln(r ) a b ln( ) ln( ) b a E = −∇V ∂V ir ∂r Vo E=− ir a r. ln( ) b Vo E= ir b r. ln( ) a εoE WE = 2 E=

V (r ) = A + B(r ) εoE WE = 2 E = −∇V condiciones − de − borde r = a ∴V = Vo r = b ∴V = 0 condicion (1) r = a ∴V = Vo Vo = A + B ln(a ) condicion (2) r = b ∴V = 0 0 = A + B ln(b ) (1) y (2) Vo = A + B ln(a ) 0 = − A − B ln(b ) Vo = B ln(a ) + B ln(b ) b Vo = B ln( ) a Vo B= b ln( ) a Vo 0 = A+ ln(b ) b ln( ) a Vo A=− ln(b ) a ln( ) b Vo Vo V (r ) = − ln(b ) + ln(r ) a b ln( ) ln( ) b a

⎡ ⎤ ⎢ εo Vo ⎥ ⎥ WE = ⎢ 2 ⎢ ⎛ b ⎞ ⎥ r. ln⎜ ⎟ ⎢⎣ ⎝ a ⎠ ⎥⎦ E E = WE *Vol

2

2

⎡ ⎤ ⎢ εo Vo ⎥ ⎥ Π r 2l E E = ⎢ b 2 ⎢ ⎛ ⎞ r. ln⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ a ⎠ ⎥⎦ εo.Vo 2lΠ EE = ⎛ b ⎞ 2 ln 2 ⎜ ⎟ ⎝ a ⎠

2. Calcule la energía almacenada en un condensador esférico de radio interno α . y externo β . si se aplica un voltaje Vo.

Condiciones de borde

Aplicando las condiciones tenemos

Entonces

Reemplazando e en a

Reemplazando A y B en la ecuación principal

3.- Determinar la energía almacenada en una bobina circular de radio r Z →

B

•P

r

R Y r1 X

Io dl

→

r = ziz

r − r1 = ziz − Rir

r1 = Rir

r − r1 = ( R 2 + z 2 ) 2

1

→

B = Io →

B = Io

→

B=

µo 4π

∫

µo 4π

∫

dlx(r − rl ) r − rl

3

( Rdφiφ ) x(− Rir + ziz ) 2

(R + z )

I o µo 2

2

2

4π ( R + z )

3 2

3 2

∫ ( Rdφiφ ) x(− Rir + ziz ) →

→

→

i xi yi z

( Rdφiφ ) x(− Rir + ziz ) = 0 Rdφ 0 −R0 z

( Rdφiφ ) x(− Rir + ziz ) = zRdφir + R 2 dφiiz

→

B=

2π

I o µo 4π ( R 2 + z 2 )

→

B=

3 2

0

2π

I o µo 2

( zR ∫ ( zRdφir + R 2 dφiz)

2

4π ( R + z )

3 2

( zR ∫ dφir + R 0

2

2π

∫ dφiz 0

I o µo

→

B=

4π ( R 2 + z 2 )

3 2

( zR2πr + R 2 2πiz)

Para el entro de la espira z = 0

I o µo

→

B=

4π ( R 2 + z 2 )

3 2

I o µo

→

B=

4π ( R 2 + z 2 )

3 2

(2πR 2 iz)

iz ⇒ para una espira

→

B bobina = NB espira →

B=N

H=

H=

I o µo 2R

H=

1

µ0 1

µ0

Bbobina

N

I 0 µ0 2R

NI 0 2R

n = Densidad de energía U = Energía

n=

1 µ0 H 2 2

1 ⎛ NI ⎞ n = µ 0 ⎜ 0 ⎟ 2 ⎝ 2 R ⎠

2

2 2 1 ⎛ N I n = µ 0 ⎜ 2 02 2 ⎜⎝ 2 R

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

2

2

2 1 µ0 I 0 N n= 8 R2

4.- Calcular el potencial y la resistencia de un conductor cilíndrico de radio interno a y externo b y longitud l y conductividad σ si el cilindro interior es hueco. se aplica una diferencia de potencial Vo y circula una corriente Io.

Condiciones de borde condición 1

condición 2

7.- Un cilindro de radio de radio a esta colocado dentro de un campo magnético uniforme Hoix . Encuentre el campo magnético magnético si el cilindro tiene una permeabilidad µ2 y esta rodado por medio cuya permeabilidad es µ1.

φ2

µ2 µ1 φ1

condiciones r = 0 ∴ B2 = finito r → ∞ ∴ B1 = Bext r = a ∴ n1.B1 + n 2 B 2 = 0 1 1 r = a ∴ n1x B1 + n 2 x B2 = 0 µ1 µ2 n 2 = ir n1 = −ir

⎛ µ1a 2 Ho(µ1 − µ 2 ) ⎞ ⎟⎟ cosφ ir − senφ iφ B1 = ⎜⎜ µ1Ho − ( ) µ 2 + µ 1 ⎝ ⎠

(

⎛ a 2 (µ1 − µ 2 ) ⎞ ⎟ cosφ ir − senφ iφ B1 = µ1Ho⎜⎜1 − (µ 2 + µ1) ⎟⎠ ⎝

(

⎛ (µ1 − µ 2 ) ⎞ ⎟⎟ cosφ ir − senφ iφ B 2 = µ1Ho⎜⎜1 − ( ) µ 2 + µ 1 ⎝ ⎠

(

)

)

)

9.-Determinar el potencial vectorial magnético y el campo para la siguiente distribución de corriente. Cilindro infinitamente largo de radio a que transporta una corriente superficial k 0 iφ . →

n1

2 1 →

k 0 iφ .

→

→

n2

→

n =i r →

→

n 2 = −i r

a

Condiciones: 1) r = 0

φ1 = finito

2) r = a

φ2 = 0

3) r = a 4) r = a

→

→

→

→

→

→

n 1 B1 + n 2 B 2 = 0

→

n1*

1

µ0

B+ n 2 *

1

µ0

→

B 2 = −kt

⎧ φ =⎛⎜ Ar + B2 ⎞⎟ cos φ ⎪ ⎝ r ⎠ φ = ⎨ ⎪φ2 =⎛⎜ Cr + D2 ⎞⎟ cos φ ⎩ ⎝ r ⎠ 1) r = 0

φ1 = finito

2) r = ∞ φ2 = 0

B=0

C=0

φ1 = Ar cos φ

φ1 =

D cos φ r2

∇φ = →

dφ → 1 dφ → dφ → i r+ iφ+ iz dr r dφ dz

B = ∇φ

⎧⎪ →B1 = A cos φr →r − Asenφ i →φ B = ⎨ → D → D → ⎪⎩ B = r 3 cos φ i r − r 3 senφ i φ →

3) r = a

→

→

→

n 1 B1 + n 2 B 2 = 0

→ → → ⎡ D ⎤ i r * A cos φi r ⎢− 3 senφi r ⎥ = 0 ⎣ r ⎦

1

→

4) r = a n 1 *

ktx − − −

1

µ0

A

µ0 A

µ0

µ0

→

→

1

µ0

(− Asenφiiφ ) − i r x →

senφi z + +

→

B+ n 2 *

D 3

r µ0

D r 3µ0

→

B 2 = −kt

→ → 1 ⎡ D ⎤ − sen φ i φ = − k sen φ i z 0 ⎥ µ 0 ⎢⎣ r 3 ⎦ →

→

senφi z = −k 0 senφi z

= k0

D D 2D + = −k 0 ; = −k 0 3 µ 0 a3 µ 0 a µ 0 a3

− k0 µ0a3 D= 2

⎧⎪ →B1 = k 0 µ 0 (cos φi →r − senφ i →φ ) B = ⎨ → − k 2µ a 3 → → 0 0 ⎪⎩ B = 2 r 3 (cos φi r − senφ i φ )

10.-Cuales son los campos B y H para una corriente volumetrica distribuida uniformemente Jo iz atravez de un cilindro de radio a y permeabilidad µ limitada por el espacio libre.

A=∏r2

µo µ

µo

− Joa 2 ln r 2ε 0C 2

q = ∫ εoE .ds

Az =

ds (r ) = rdφdz

− Joa 2 µ 0 Az = ln r 2 B = ∇x A

l 2Π

q = ∫ ∫ εoErdφdz 0

q = εoErl 2Π q εorl 2Π q λ= l E=

E=

λ r 2εoΠ

V = − ∫ Edr

λ V =∫ dr r 2εoΠ λ V = ln(r ) 2εoΠ λ = a 2Π φ a 2Π φ ln(r ) 2εoΠ a 2φ V =− ln(r ) 2εo J φ= 2 C V =−

⎞ ∂ ⎛ − Joa 2 µ 0 B = − ⎜⎜ ln r ⎟⎟iφ ∂r ⎝ 2 ⎠ 2 Joa µ 0 B= 2r Jo.a.µ 0 B= 2 1 H= B

µ

H=

Jo.a 2

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO Facultad de Ingeniería en Sistemas, Electrónica e Industrial Teoría Electromagnética II TEMA:

Polarización y Magnetización

Integrantes: Jácome Angel Molina Roberto Villena Mauricio

Profesor de la materia: Ing. Julio Cuji Semestre: Sexto Electrónica AMBATO, 09 DE MAYO DE 2008

Vo = A + B ln(a ) 0 = − A − B ln(b ) Vo = B ln(a ) + B ln(b ) b Vo = B ln( ) Ejercicios: a Vo B= b ln( ) 1. Determinar la energía almacenada en un condensador cilíndrico de radio a interno a y externo b, al cual se le aplica una diferencia de potencial Vo. Vo 0 = A+ ln(b ) b ln( ) a Vo A=− ln(b ) a ln( ) b Vo Vo V (r ) = − ln(b ) + ln(r ) a b ln( ) ln( ) b a E = −∇V ∂V ir ∂r Vo E=− ir a r. ln( ) b Vo E= ir b r. ln( ) a εoE WE = 2 E=

V (r ) = A + B(r ) εoE WE = 2 E = −∇V condiciones − de − borde r = a ∴V = Vo r = b ∴V = 0 condicion (1) r = a ∴V = Vo Vo = A + B ln(a ) condicion (2) r = b ∴V = 0 0 = A + B ln(b ) (1) y (2) Vo = A + B ln(a )

⎡ ⎤ ⎢ εo Vo ⎥ ⎥ WE = ⎢ 2 ⎢ ⎛ b ⎞ ⎥ r. ln⎜ ⎟ ⎢⎣ ⎝ a ⎠ ⎥⎦ E E = WE *Vol

2

2

⎡ ⎤ ⎢ εo Vo ⎥ ⎥ Π r 2l E E = ⎢ b 2 ⎢ ⎛ ⎞ r. ln⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ a ⎠ ⎥⎦ εo.Vo 2lΠ EE = ⎛ b ⎞ 2 ln 2 ⎜ ⎟ ⎝ a ⎠

0 = − A − B ln(b ) Vo = B ln(a ) + B ln(b ) b Vo = B ln( ) a Vo B= b ln( ) a Vo 0 = A+ ln(b ) b ln( ) a 3.- Determinar Vo la energía almacenada en una bobina circular de radio r A=− ln(b ) a Z ln( ) b Vo Vo V (r ) = − ln(b ) + ln(r ) a b ln( ) ln( ) b a

→

B

•P

r

R

Y

r1 X

Io dl

→

r − r1 = ziz − Rir

r = ziz

r1 = Rir

→

B = Io →

B = Io

→

B=

1 2 2

2

r − r1 = ( R + z )

µo 4π

∫

µo 4π

∫

dlx(r − rl ) r − rl

3

( Rdφiφ ) x(− Rir + ziz ) 3

(R 2 + z 2 ) 2

I o µo 4π ( R 2 + z 2 )

3 2

∫ ( Rdφiφ ) x(− Rir + ziz ) →

→

→

i xi yi z

( Rdφiφ ) x(− Rir + ziz ) = 0 Rdφ 0 −R0 z

( Rdφiφ ) x(− Rir + ziz ) = zRdφir + R 2 dφiiz

→

B=

2π

I o µo 2

2

4π ( R + z ) →

B=

2

4π ( R + z ) →

0

2π

I o µo 2

B=

3 2

( zR ∫ ( zRdφir + R 2 dφiz)

3 2

I o µo 4π ( R 2 + z 2 )

3 2

( zR ∫ dφir + R 0

2

2π

∫ dφiz 0

( zR2πr + R 2 2πiz)

Para el entro de la espira z = 0

I o µo

→

B=

4π ( R 2 + z 2 )

3 2

I o µo

→

B=

4π ( R 2 + z 2 )

3 2

(2πR 2 iz)

iz ⇒ para una espira

→

B bobina = NB espira →

B=N

H=

H=

I o µo 2R

H=

1

µ0 1

µ0

Bbobina

N

I 0 µ0 2R

NI 0 2R

n = Densidad de energía U = Energía

n=

1 µ0 H 2 2

n=

1 ⎛ NI 0 ⎞ µ 0 ⎜ ⎟ 2 ⎝ 2 R ⎠

2

2 2 1 ⎛⎜ N I 0 n = µ0 2 ⎜⎝ 2 2 R 2

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

2

2

2 1 µ0 I 0 N n= 8 R2

4.- Calcular el potencial y la resistencia de un conductor cilíndrico de radio interno a y externo b y longitud l y conductividad σ si el cilindro interior es hueco. se aplica una diferencia de potencial Vo y circula una corriente Io.

Condiciones de borde condición 1

condición 2

→

6.-Una corriente contante Ko iφ fluye sobre la superficie de una esfera de radio R. Cuál es el campo magnético en el centro de la esfera?

→

→

n1 = ir →

→

n 2 = − ir

⎛ ⎝ Condiciones:

ϕ (r , φ , z ) = ⎜ Ar +

B ⎞ ⎟ cosθ r 2 ⎠

→

1. − r = 0........ B1 = finito →

→

→

→

2. − r = R........ n1 . B1 + n2 . B2 = 0 →

3. − r = R........ n1 x

1

µ0

→

→

. B1 + n2 x

1

µ0

→

. B2

→

4. − r → ∞....... B2 = 0 → → → 2 B ⎞ B ⎞ ⎛ ⎛ B1 = ∇.ϕ1 = ⎜ A − 3 ⎟ cosθ . ir + ⎜ A + 3 ⎟ senθ . iθ r ⎠ r ⎠ ⎝ ⎝ → → → 2 D ⎞ D ⎞ ⎛ ⎛ B 2 = ∇.ϕ 2 = ⎜ C − 3 ⎟ cosθ . ir + ⎜ C + 3 ⎟ senθ . iθ r ⎠ r ⎠ ⎝ ⎝

B ⎞ ⎟ cosθ r 2 ⎠ D ⎞ ⎛ ϕ 2 = ⎜ C r + 2 ⎟ cosθ r ⎠ ⎝ ⎛ ⎝

ϕ1 = ⎜ Ar +

Condición 1: →

r = 0........ B1 = finito →

→

→

B → 0...... B1 = A cosθ ir + Asenθ iθ Condición 4: → → → → 2D D r → ∞....... B2 = 0....... B2 = − 3 cosθ ir − 3 senθ iθ r r Condición 2: →

→

→

→

r = R.......... n1 . B1 + n2 . B2 = 0 → → → → → D ⎞ ⎛ ⎞ → ⎛ 2 D ir .⎜ A cosθ .ir − Asenθ . iθ ⎟ + ir .⎜ 3 cosθ . ir + 3 senθ . iθ ⎟ R ⎝ ⎠ ⎝ R ⎠ 2D A cosθ + 3 cosθ = 0 R 2D A=− 3 R Condición 3:

→

r = R........ n1 x

1

µ0

→

1

→

. B1 + n 2 x

µ0

→

. B2 = − µ 0 .k

→ → → → → → D ⎞ ⎛ ⎞ → ⎛ 2 D ir .⎜ A cos θ .ir − Asenθ . iθ ⎟ + ir .⎜ 3 cosθ . ir + 3 senθ . iθ ⎟ = − µ 0 .k 0 . iθ R ⎝ ⎠ ⎝ R ⎠ → → → D − Asenθ . iθ + 3 senθ . iθ = − µ 0 .k 0 . iθ R D − Asenθ + 3 senθ . = − µ 0 .k 0 . R 2D D senθ + 3 senθ = − µ 0 .k 0 3 R R 3D senθ = − µ 0 .k 0 R3 − µ 0 .k 0 R 3 D= 3senθ π π − µ 0 .k 0 R 3 D . sen θ . d θ = − ∫0 ∫0 3 dθ

π

µ 0 .k 0 R 3π

0

3

− D cos θ Ι = −

D (cos π − cos 0) =

µ 0 .k 0 R 3π 3 3

D (−1 − 1) =

µ 0 .k 0 R π 3 3

− 2D =

µ 0 .k 0 R π 3 3

D=

µ 0 .k 0 R π 6

2D R3 µ .k R 3π A= 0 03 3R µ .k π A= 0 0 3 → → → µ 0 .k 0π ⎛ ⎞ B1 = ⎜ cosθ ir + rsenθ iθ ⎟ 3 ⎝ ⎠ → → µ .k π B1 = 0 0 iz 3 A=

7.- Un cilindro de radio de radio a esta colocado dentro de un campo magnético uniforme Hoix . Encuentre el campo magnético magnético si el cilindro tiene una permeabilidad µ2 y esta rodado por medio cuya permeabilidad es µ1.

φ2

µ2 µ1 φ1

condiciones r = 0 ∴ B2 = finito r → ∞ ∴ B1 = Bext r = a ∴ n1.B1 + n 2 B 2 = 0 1 1 r = a ∴ n1x B1 + n 2 x B2 = 0 µ1 µ2 n 2 = ir n1 = −ir

⎛ µ1a 2 Ho(µ1 − µ 2 ) ⎞ ⎟⎟ cosφ ir − senφ iφ B1 = ⎜⎜ µ1Ho − ( ) µ 2 + µ 1 ⎝ ⎠

(

⎛ a 2 (µ1 − µ 2 ) ⎞ ⎟ cosφ ir − senφ iφ B1 = µ1Ho⎜⎜1 − (µ 2 + µ1) ⎟⎠ ⎝

(

⎛ (µ1 − µ 2 ) ⎞ ⎟⎟ cosφ ir − senφ iφ B 2 = µ1Ho⎜⎜1 − ( ) µ 2 + µ 1 ⎝ ⎠

(

)

)

)

9.-Determinar el potencial vectorial magnético y el campo para la siguiente distribución de corriente. Cilindro infinitamente largo de radio a que transporta una corriente superficial k 0 iφ . →

n1

2 1 →

k 0 iφ .

→

→

n2

→

n =i r →

→

n 2 = −i r

a

Condiciones: 1) r = 0

φ1 = finito

2) r = a

φ2 = 0

3) r = a 4) r = a

→

→

→

→

→

→

n 1 B1 + n 2 B 2 = 0

→

n1*

1

µ0

B+ n 2 *

1

µ0

→

B 2 = −kt

⎧ φ =⎛⎜ Ar + B2 ⎞⎟ cos φ ⎪ ⎝ r ⎠ φ = ⎨ ⎪φ2 =⎛⎜ Cr + D2 ⎞⎟ cos φ ⎩ ⎝ r ⎠ 1) r = 0

φ1 = finito

2) r = ∞ φ2 = 0

B=0

C=0

φ1 = Ar cos φ

φ1 =

D cos φ r2

∇φ = →

dφ → 1 dφ → dφ → i r+ iφ+ iz dr r dφ dz

B = ∇φ

⎧⎪ →B1 = A cos φr →r − Asenφ i →φ B = ⎨ → D → D → ⎪⎩ B = r 3 cos φ i r − r 3 senφ i φ →

3) r = a

→

→

→

n 1 B1 + n 2 B 2 = 0

→ → → ⎡ D ⎤ i r * A cos φi r ⎢− 3 senφi r ⎥ = 0 ⎣ r ⎦

1

→

4) r = a n 1 *

ktx − − −

1

µ0

A

µ0 A

µ0

µ0

→

→

1

µ0

(− Asenφiiφ ) − i r x →

senφi z + +

→

B+ n 2 *

D 3

r µ0

D r 3µ0

→

B 2 = −kt

→ → 1 ⎡ D ⎤ − sen φ i φ = − k sen φ i z 0 ⎥ µ 0 ⎢⎣ r 3 ⎦ →

→

senφi z = −k 0 senφi z

= k0

D D 2D + = −k 0 ; = −k 0 3 µ 0 a3 µ 0 a µ 0 a3

− k0 µ0a3 D= 2

⎧⎪ →B1 = k 0 µ 0 (cos φi →r − senφ i →φ ) B = ⎨ → − k 2µ a 3 → → 0 0 ⎪⎩ B = 2 r 3 (cos φi r − senφ i φ )

10.-Cuales son los campos B y H para una corriente volumetrica distribuida uniformemente Jo iz atravez de un cilindro de radio a y permeabilidad µ limitada por el espacio libre.

A=∏r2

µo µ

µo

− Joa 2 ln r 2ε 0C 2

q = ∫ εoE .ds

Az =

ds (r ) = rdφdz

− Joa 2 µ 0 Az = ln r 2 B = ∇x A

l 2Π

q = ∫ ∫ εoErdφdz 0

q = εoErl 2Π q εorl 2Π q λ= l E=

E=

λ r 2εoΠ

V = − ∫ Edr

λ V =∫ dr r 2εoΠ λ V = ln(r ) 2εoΠ λ = a 2Π φ a 2Π φ ln(r ) 2εoΠ a 2φ V =− ln(r ) 2εo J φ= 2 C V =−

⎞ ∂ ⎛ − Joa 2 µ 0 B = − ⎜⎜ ln r ⎟⎟iφ ∂r ⎝ 2 ⎠ 2 Joa µ 0 B= 2r Jo.a.µ 0 B= 2 1 H= B

µ

H=

Jo.a 2

3.- Un conductor óhmico de forma arbitraria tiene una distribución inicial de carga en t=0. Cual es la distribución de carga en cualquier tiempo. Si la distribución inicial de carga es uniforme y esta confinada entre los electrodos de placas paralelas separadas una distancia d. Cuales son los campo eléctrico y magnético cuando los electrodos están a circuito abierto o en cortocircuito. → →

→

∫ →

→

→

→

→

→

→

→ →

∫

=∫

Para t=0

5.- Para el campo magnético en un medio lineal de permitividad ξ y permeabilidad u determine la densidad de carga, el campo eléctrico y la densidad de corriente. ⃗

⃗

⃗

⃗ ⃗ ⃗



⃗

⃗

1) Propagación en el eje Z: H2=E2=0 Ix ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

iy

d/dx Ex

d/dy Ey

iz d/dz 0 (

⃗

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

)

⃗

( ⃗)

⃗

⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗

Ix ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

d/dx

iy

iz

d/dy Hx

d/dz Hy

0

⃗

(

)

⃗ Porque se tiene que derivar con respecto a z y H no depende de z

⃗

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

Determinar el valor de la constante k para que la siguiente función sea la solución de la ecuación homogénea de coordenadas esféricas. Y (r, 1) =

Reemplazo en la ecuación inicial

(

)

(

)

√

7.- Determinar el valor de la constante k para que la siguiente función sea solución de la ecuación homogénea de coordenadas esféricas.

(r)

Reemplazo en (1)

[

1.

]

*

+

Considere un medio con pérdidas de permeabilidad y permeabilidad y una conductividad óhmica de , calcular la atenuación, fase de profundidad de penetración e impedancia del medio para una onda que se propaga con una frecuencia de .

Datos:

→ →

Β=α= √ √

= 1.51*

δ=√

√

2.

Un campo eléctrico de la forma: Eejwte-jkr Se propaga en un conductor con pérdidas, tiene permitividad ξ, permeabilidad μ y conductividad σ. Si k=β+iα. ¿Determinar las igualdades para β, α y de la impedancia característica? Ecuaciones de MAXWELL

xE   .E 

B t

 

E  iwE t

xB   J  

E t

.B  0

B  iwB t

Remplazando y Utilizando la primera ecuación de Maxwell

ikxE  iwB kx(ikxE)  kx(iwB) k (ik.E)  (ik.k ) E  w(ikxB) k (ik.E)  (ik.k ) E  w( E  iw E)

k(

 )  (ik 2 ) E   w(  E  iw E ) 

ik 2  w  iw2 

  ik

k2 

w  iw2  i

k 2  iw  i 2 w2  k 2  iw  w2  k 2  w2  (1 

i ) w ´1

 i  k  w  1    w  Conductor

  100 w ´1

 i  k  w      w  k  w 

kw

2

 w

2

 i w i   1    2  2

i   1 k  w    2   2

k 

w w i 2 2

k    i

 

w 2

  i

w 2

i kxE   i wB

kxE  wB kE sin 270  w H kE  w H

E w  Impedancia característica H k

1. Una onda plana uniforme con campo eléctrico en la dirección del eje y, E=EOcosw(t-z/c) incide normalmente sobre un plano conductor perfecto que se esta moviendo con velocidad constante v, donde v <
⃗ ⃗ =0 Plano conductor perfecto

⃗

⃗⃗⃗  Campo Eléctrico Incidente

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗  Campo Eléctrico Reflejado

Campo Total ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

(

⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

(

) ⃗⃗⃗  Campo Magnético Incidente

⃗⃗⃗⃗

(

) ⃗⃗⃗  Campo Magnético Reflejado

Campo Total ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

(

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

) ⃗⃗⃗

(

) ⃗⃗⃗

Para la frecuencia de la onda reflejada

2. Una onda plana uniforme con las componentes Ex y Hy de campo tiene una amplitud de campo eléctrico de 100 y se propaga a una frecuencia de106 Hz en una región conductora cuyos parámetros son , , . Cual es la profundidad de penetración de esta onda en la región disipadora. Determinar la longitud de onda y la velocidad de fase de esta onda.

√

√

(

)(

)

7. Un campo eléctrico de la forma: Eejwte-jkr Se propaga en un conductor con pérdidas, tiene permitividad ξ, permeabilidad μ y conductividad σ. Si k=β+iα. ¿Determinar las igualdades para β, α y de la impedancia característica?

Ecuaciones de MAXWELL

xE   .E 

B t

 

E  iwE t

xB   J  

E t

.B  0

B  iwB t

  ik

Remplazando y Utilizando la primera ecuación de Maxwell

ikxE  iwB kx(ikxE)  kx(iwB) k (ik.E)  (ik.k ) E  w(ikxB) k (ik.E)  (ik.k ) E  w( E  iw E)

k(

 )  (ik 2 ) E   w(  E  iw E ) 

ik 2  w  iw2  k2 

w  iw2  i

k 2  iw  i 2 w2  k 2  iw  w2  k 2  w2  (1 

i ) w ´1

 i  k  w  1    w 

2

Conductor ´1

 i  k  w      w  k  w 

kw

 w

2

 i w i   1    2  2

i   1 k  w    2   2

k 

w w i 2 2

  100 w

k    i

 

w 2

  i

w 2

i kxE   i wB

kxE  wB kE sin 270  w H kE  w H

E w  Impedancia característica H k

PRUEBA # 1 1. Considere un medio con pérdidas de permitividad 1.3 y permeabilidad  y una conductividad óhmica de 5.8  105 / cm , calcular la atenuación , fase, profundidad de penetración, e impedancia del medio para una onda que se propaga con una frecuencia de 108 Hz .

DATOS :   1.3     4  10 7 H

  m   5.8  10 5 / cm  5.8  10 3 / m

f  10 8 Hz   8.85  10 12 F

  m   2 f  2  10 8

DESARROLLO :  5.8  10 3 / m   0.8023  2  10 8  1.3 Podemos trabajar como dieléctrico o como conductor . Esta vez voy asumir la primera opción : 

Atenuación    

1 2

1   2

   4  10 7 5.8  10 3  1.3 m

  0.958 rad 

m

Fase     1 2      1   8  2 2  

  2.382 1  0.080    2.382 1.080    2.57 rad

m

 K    j

K   2.57  j 0.958  rad m 

Profundidad de Penetración    

1



1 0.958 rad m   1.044m 



Impedancia    K 4  10 7  2  10 8  2.57  j 0.958 



789.57 2.752 |20.44

  286.90 |20.44    268.83  j 100.19   

2. La densidad de flujo de potencia electromagnética promedio en el tiempo que llega a la Tierra desde el sol, es aproximadamente 1340W 2 . Esta potencia esta formada

por

muchos

componentes

de

frecuencia,

m

que

van

desde

las

radiofrecuencias hasta la región ultravioleta y más allá de esta última. Si la radiación electromagnética llegara mediante una onda plana uniforme a una sola frecuencia sinusoidal. ¿Qué amplitudes de campo eléctrico y magnético necesitarían asociarse con esta onda para suministrar esta densidad de potencia?

DATOS : S  1340 W m 2  c  3  10 8 m seg    4  10 7 H m  DESARROLLO : S  E H

1

S  E .H

H 

2

E  c .B

H 

1

 1



B B



Reemplazo  3  en  2  y obtengo  4  E  c .H 

4

Amplitud del Campo Magnético H  Reemplazo  4  en 1 S  c .H .H S  c .H 2 Despejo H

 H2 

H  H 

S c . S c .



1340 3  10 8 4  10 7



H  1.88 A m  

Amplitud del Campo Eléctrico E



Despejo E de 1 y reemplazo S y H E 

S H

1340 1.88 E  712.76 V m 

E 



 3

B  H

3. Calcular la potencia y resistencia de un conductor cilíndrico de radio interno a, externo b y longitud l, de conductividad  si el cilindro interior es hueco. Se aplica una diferencia de potencial V  y circula una corriente I  .

DATOS : r1  a r2b V  Vo I  Io  

DESARROLLO : Solución Trivial : V  z

  A  B z 

Condiciones : 1 z  0

V 0

2

V  Vo

Z l

Con 1 :

A0

Con  2  : Vo  Bl B 

Vo l

Vo l Sabemos que :

 V 

E  .V

Reemplazando tenemos : 

Potencia P

Vo E  iz l



P   E .Jl .v V

Jl   .E



v  r dr d  dz

Jl  

Vo iz l

 Vo   Vo  P   iz    iz  .r dr d  dz l l   v 

Vo 2 P  l2

b 2 l

Vo 2 P  l2

r 2  2    0  z  2 a

P  P  

a   r dr d  dz 0 0

b

0 l

Vo 2  b 2  a 2     2  l l2  2 



Vo 2  b 2  a 2  l

Resistencia R  V2 P  R



V2 R  P

Vo 2 R  Vo 2  b 2  a 2  l l R  2  b  a 2  4. Consideremos una nube cargada uniformemente con una densidad volumétrica  r2  de carga   O 1  2  , la nube tiene forma esférica y radio R, calcular la R   energía en el interior de la nube.

DATOS :  r2    o 1  2  R  

DESARROLLO :

1

E 

1 E 2

2

2

WE   E v v

 E .ds  v  v 2 

2  R

 r2  2 E   r sen d  d      o 1  2  r sen dr d  d   R  0 0 0 0 0 2

E r 2   cos  0  0  o   cos  0  0 

2



2

R

r 3 r 5    2  3 5R 0

R3 R5  E r 1  1 2   o 1  1 2    2   3 5R   5R 3  3R 3  2 Er 4  4 o   15   2

 2R 3  Er  o    15  2 o R 3 E  15r 2 2

E

en 1

2 o R 3 1  E   . 2 15r 2

o R 3 E  15r 2 E en  2 

2  R

o R 3 2  WE     .r sen dr d  d  2 15 r 0 0 0 WE  o R 3   cos  0  0 r 0 

2

WE  o R 3 1  1 2 R  WE  4o R 4

R

7.- Determinar el valor de la constante k para que la siguiente función sea solución de la ecuación homogénea de coordenadas esféricas. ( (

)

)

( ) (

(r) ( )

)( )(

(

)

)

(

(

(

)

)

(

)

)

( )

(

( )

)(

)

(

)

Reemplazo en (1) (

)

( [

)

(

)( )( (

[ (

(

)

(

)

)

(

)

)]

(

)( )(

(

(

(

)] )

(

)

)

)

) (

)

(

(

)

)

1

Tema 5: Reflexión y transmisión de ondas planas

Electrodinámica

TEMA 5

REFLEXIÓN Y TRANSMISIÓN DE ONDAS PLANAS

Miguel Ángel Solano Vérez

Electrodinámica

2

Tema 4: reflexión y transmisión de ondas planas

TEMA 5: REFLEXIÓN Y TRANSMISIÓN DE ONDAS PLANAS 5.1

Introducción

5.2

Incidencia normal

En el capítulo anterior se ha estudiado la solución de las ecuaciones de Maxwell en el caso más simple en el que la propagación se realiza en un medio infinito. Ello da lugar a una solución que es una onda plana. El siguiente paso es analizar qué sucede cuando existen diferentes medios por los que se propaga una onda plana. Estudiaremos primeramente la situación cuando tenemos dos medios semiinfinitos en el caso de incidencia normal de la onda sobre la superficie de separación y luego para incidencia oblicua. Finalmente se analizará el caso de incidencia normal en múltiples medios. Es conveniente recordar que las supercicies de separación entre los diferentes medios son infinitas.

Consideremos el caso en que tenemos dos medios semiinfinitos caracterizados por su permitividad ε, su permeabilidad µ y su conductividad σ y una onda plana polarizada según el eje X incide desde el medio 1 en el 2, como indica la figura 5.1. La interfase de separación está colocada en el plano XY y es de extensión infinita. X

r

Medio 2 ε2, µ2, σ2

Medio 1 ε1, µ1, σ1

Ei

Y

r

Et

r

Hi

r

Er

r

Ht r

Hr

Figura 5.1.- Reflexión y transmisión en incidencia normal

Z

3

Tema 5: Reflexión y transmisión de ondas planas

Electrodinámica

Los campos en el medio 1 para la onda incidente son

r

r

Ei = E 0 e −γ z ax 1

(5.1)

E 0 −γ z r e ay Z1

r

Hi =

1

donde

γ 1 = α1 + j β1 = j ωµ1 (σ 1 + j ωε1 )

; Z1 =

j ωµ1 σ 1 + j ωε1

y para la onda reflejada r

Er = Er e γ r

Hr = −

1

z r ax

Er γ e Z1

1

(5.2)

z r ay

Análogamente para el medio 2 r

Et = Et e −γ r

Ht =

2

Et −γ e Z2

z r ax

2

(5.3)

z r ay

donde

γ 2 = α2 + j β2 = j ωµ2 (σ 2 + j ωε2 )

; Z2 =

j ωµ2 σ 2 + j ωε2

Sobre la superficie de separación, que supongamos que está colocada en z=0, se cumplen las condiciones de contorno r

r

r

Ei + Er = Et

;

r

r

r

Hi + Hr = Ht

en z = 0

Sustituyendo se obtiene

E 0 + Er = Et

;

1

Z1

(E 0 − E r ) =

1

Z2

Et

(5.4)

Electrodinámica

Tema 4: reflexión y transmisión de ondas planas

y despejando

Γ=

Er E0

=

Z 2 − Z1 Z 2 + Z1

T =

;

Et E0

=

2 Z2 Z 2 + Z1

4

(5.5)

siendo Γ y T los coeficientes de reflexión y transmisión, respectivamente, en z=0. Si los medios se consideran sin pérdidas los coeficientes de reflexión y transmisión son reales. Puede calcularse un coeficiente de reflexión visto a una distancia “d1” de z=0 que es donde realmente se produce la reflexión de la onda como

Γ ( z = −d1 ) =

E r (z ) Ei (z )

=

Γ(z = 0) Ei e j β1z − j β1z

Ei e

z = −d1

= Γ(z = 0) e −2 j β1d1

(5.6)

z = −d1

De la misma forma se puede calcular un coeficiente de transmisión referido a unos planos alejados de z=-d1 y z=d2 como − j β 2d2 ⎛ z = −d1 ⎞ Et (z = d2 ) T (z = 0) Ei e −j β d + β d T⎜ = =T (z = 0) e ( 1 1 2 2 ) ⎟= β j d Ei e 1 1 ⎝ z = d2 ⎠ Ei (z = −d1 )

(5.7)

Estas expresiones valen para medios sin pérdidas. En el caso de medios con pérdidas hay que cambiar las constantes de fase β por sus correspondientes constantes de propagación. Las densidades de potencia asociadas, para el caso de medios sin pérdidas son 2 r r* r E0 r i 1 Sav = Re Ei × Hi = az = az Sav 2 2Z1

{

ri

}

⎛w ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ m2 ⎠

2 r r* r r 1 2 E0 i Sav = Re Er × Hr = −az Γ = −az Γ 2 Sav 2 2Z1

rr

{

}

r

t Sav =

(

r r r 1 Re Et × Ht* = az T 2

{

}

)

r i = az 1 − Γ 2 Sav

2

⎛w ⎞ ⎜ 2⎟ ⎝ m ⎠

⎧ ⎨nota : comprobar que T ⎩

2

⇒ onda incidente

⎛w ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ m2 ⎠

2

E0 r = az T 2Z 2

2

⇒ onda reflejada 2

Z1 E 0 = Z 2 2Z1

⇒ onda transmitida ⎫ Z1 = 1 − Γ2 ⎬ Z2 ⎭

5

Tema 5: Reflexión y transmisión de ondas planas

Electrodinámica

Ejemplo: Consideremos el caso en el que el medio 2 es un conductor perfecto.

Sobre su superficie, el campo eléctrico tangencial debe anularse ya que el campo electromagnético en su interior es nulo. Por tanto r

r

Ei + Er = 0

en z = 0

⇒ Ei + Er = Ei + ΓEr = 0 ⇒ Γ = −1

lo que indica que el coeficiente de reflexión de un conductor perfecto es –1, es decir, que el campo eléctrico reflejado invierte la polaridad respecto al campo eléctrico incidente. El campo total en el medio 1 es r

r

r

r

r

r

E1 = Ei + Er = −ax j 2E 0 sen β1z r

r

H1 = Hi + Hr = ay 2

E0 cos β1z Z1

Estos campos muestran que no hay potencia media asociada en el medio 1. El campo en el dominio del tiempo es r

r

r

r

E1 (z ,t ) = ax 2E 0 sen β1z sen ωt H1 (z ,t ) = ay 2

E0 cos β1z cos ωt Z1

de forma que para un valor de ωt fijo, el campo eléctrico tiene un nulo donde el magnético un máximo y viceversa y se producen en

Nulos de E Maximos de H

β1z = −n π , z = −n λ 2

Maximos de E Nulos de H

β1z = − (2n + 1 ) π 2 , z = − (2n + 1 ) λ 4

como se ve en la figura 5.2

(n

= 0,1,2,... )

(n

= 0,1,2,... )

Electrodinámica

Tema 4: reflexión y transmisión de ondas planas

6

Conductor perfecto

λ

Conductor perfecto

Figura 5.2.- Campos eléctrico y magnético reflejados por un conductor perfecto

5.3

Incidencia oblicua

Vamos a considerar propagándose por un medio incidencia oblicua. Debido a general, vamos a dividir el

ahora el caso en que una onda plana uniforme choca contra otro (ambos medios sin pérdidas) en la complejidad que entrañaría analizar un caso tan problema en dos situaciones que podríamos llamar

7

Tema 5: Reflexión y transmisión de ondas planas

Electrodinámica

canónicas. Para ello, lo primero que hay que hacer es definir el plano de incidencia como aquel plano que contienen a la dirección perpendicular a la interfase y a la dirección en la que se propaga la onda incidente. Una vez hecho eso, una onda con un campo eléctrico polarizado según cualquier dirección, podrá siempre descomponerse como un vector perpendicular al plano de incidencia y otro contenido en el plano de incidencia. Al primer caso se le denomina polarización perpendicular y al segundo paralela.

5.3.1 Polarización perpendicular Medio 1 ε1, µ1 θi

r

kr

Medio 2 ε2, µ2

X

r

H ⊥r

r

kt

r

E ⊥t

r

E ⊥r

r

r

n

r

an 2

θr

an 3

r

H ⊥t

θt

ri

θi

Z

Y

k

r

E ⊥i

r

H ⊥i

r

an 1 θi

Figura 5.3.- Esquema de incidencia oblicua con polarización perpendicular El campo eléctrico de la onda incidente correspondiente a la figura 5.3 es r

r

r

E ⊥i = E 0 e

por lo tanto

r r − jki ⋅r

r

⎫ ⎪ r r r r ⎪ ki = kx ax + kz az = an 1 ki ⎬ r r r an 1 = ax sen θi + az cos θi ⎪ ⎪⎭

E 0 = ay E 0

donde

Electrodinámica

Tema 4: reflexión y transmisión de ondas planas

r

r

E ⊥i = ay E 0 e

− jki ( xsen θi + z cos θi

)

8

(5.8)

De la misma forma el campo magnético incidente es r

r

r

H ⊥i = ( −ax cos θi + az sen θi

)

E 0 − jki ( xsen θi + z cos θi ) e Z1

(5.9)

Igualmente para el campo reflejado y transmitido

r

r

E ⊥r = ay E ⊥r e

− jkr ( xsen θ r − z cos θ r )

(5.10) r

r

r

H ⊥r = ( ax cos θr + az sen θr )

E ⊥r − jkr ( xsen θ r − z cos θ r ) e Z1

donde E ⊥r = Γb⊥E 0 y, lógicamente, kr=ki. r

r

E ⊥t = ay E ⊥t e

− jkt ( xsen θt + z cos θt

) (5.11)

r

r

r

H ⊥t = ( −ax cos θt + az sen θt

)

E ⊥t − jkt ( xsen θt + z cos θt ) e Z2

donde E ⊥t =T⊥b E 0 .

Para obtener los coeficientes de reflexión Γb⊥ y transmisión T⊥b en z=0

debemos aplicar las condiciones de contorno, que para dos medios dieléctricos son r

r

E ⊥i + E ⊥r

tan z =0

r = E ⊥t

tan z =0

r

r

y H ⊥i + H ⊥r

tan z =0

r = H ⊥t

tan

z =0

(5.12)

lo que da lugar a

e − jki xsen θ + Γb⊥ e − jki xsen θ r =T⊥b e − jkt xsen θt 1

Z1

( − cos θi e

− jki xsen θ

)

+ Γb⊥ cos θr e − jki xsen θ r = −

1

Z2

T⊥b cos θ2 e − jkt xsen θt

ecuaciones que son válidas para todos los valores de x. Por lo tanto, podemos escribir que ki sen θi = ki sen θr = kt sen θt de donde se deduce que

9

Tema 5: Reflexión y transmisión de ondas planas

θi = θr

Electrodinámica

⇒ Ley de Snell de la reflexion

ki sen θi = kt sen θt

⇒ Ley de Snell de la refraccion

y por tanto 1 + Γb⊥ =T⊥b − cos θi

( 1 − Γb⊥ ) = − cosZ2θ2 T⊥b

Z1

de donde despejando se obtiene

E ⊥r Z2 cos θi − Z1 cos θt Γ⊥ = = E 0 Z2 cos θi + Z1 cos θt b

T⊥b =

siendo Z1 =

µ1

(5.13)

2 Z2 cos θi E ⊥t = E 0 Z2 cos θi + Z1 cos θt

µ2 ε1 y Z 2 = ε2 . Para el caso habitual de medios dieléctricos no

magnéticos (µ1=µ2=µ0)

ε2 ε 1 − 2 sen 2 θi ε1 ε1 Γb⊥ = ε ε cos θi + 2 1 − 2 sen 2 θi ε1 ε1 cos θi −

T⊥b =

(5.14)

2 cos θi

cos θi +

ε2 ε 1 − 2 sen 2 θi ε1 ε1

En las figuras 5.4 y 5.5 se muestran los módulos de los coeficientes de reflexión y transmisión para los casos en que εr2/εr1>1 y εr1/εr2>1 respectivamente.

Electrodinámica

Tema 4: reflexión y transmisión de ondas planas

Notación: er Æ εr

Notación: er Æ εr

Figura 5.4.- Módulos de Γb⊥ y T⊥b para incidencia perpendicular y εr2/εr1>1.

10

11

Tema 5: Reflexión y transmisión de ondas planas

Electrodinámica

Notación: er Æ εr

Notación: er Æ εr

Figura 5.5.- Módulos de Γb⊥ y T⊥b para incidencia perpendicular y εr2/εr1<1. De las ecuaciones (5.14) y examinando las figuras anteriores, se deduce que

Electrodinámica

12

Tema 4: reflexión y transmisión de ondas planas

9 Los coeficientes de reflexión y transmisión son siempre reales (el primero negativo y el segundo positivo) siempre que εr2>εr1 . 9 Si las permitividades de ambos medios son iguales el coeficiente de reflexión es cero. 9 Si εr2<εr1 , Γb⊥ y T⊥b son reales hasta un cierto ángulo de incidencia θi=θc

(llamado ángulo crítico). Por encima de él Γb⊥ = 1 , y toda la onda incidente es reflejada, produciéndose el fenómeno de reflexión total.

5.3.1 Polarización paralela

En este caso el campo eléctrico está contenido en el plano de incidencia. La situación se ve en la figura 5.6.

r

Er

Medio 1 ε1, µ1

Medio 2 ε2, µ2

X

r

Et

r

kr

r

kt r

Hr

r

n

r

r

an 2

θr

r

an 3 θt

θi

r

ri

Ht

Z

Y

k

Ei r

an 1

r

Hi

Figura 5.6.- Esquema de incidencia oblicua con polarización paralela

Siguiendo el mismo proceso que para el caso de polarización perpendicular, los campos incidente, reflejado y transmitido son

13

Tema 5: Reflexión y transmisión de ondas planas

r

r

r

E i = ( ax cos θi − az sen θi ) E 0 e r E0

r

H i = ay r

Z1

r

e

− jki ( xsen θi + z cos θi

− jki ( xsen θi + z cos θi

r

E r = ( ax cos θr + az sen θr ) E r e r r E

r

H r = ay

Z1

e

Electrodinámica

)

(5.15)

)

(5.16)

− jkr ( xsen θ r − z cos θ r )

(5.17)

− jkr ( xsen θ r − z cos θ r )

donde E r = Γb E 0 y, lógicamente, kr=ki. r

r

r

E t = ( ax cos θt − az sen θt ) E t e t r E

r

H t = ay

Z2

e

− jkt ( xsen θt + z cos θt

) (5.18)

− jkt ( xsen θt + z cos θt

)

donde E t =T b E 0 . De las condiciones de contorno se obtiene

cos θi e − jki xsen θ + Γb cos θr e − jki xsen θr =T b cos θt e − jkt xsen θt 1

Z1

( −e

− jki xsen θ

)

− Γb e − jki xsen θ r =

1

Z2

T b e − jkt xsen θt

de donde se obtienen las leyes de Snell y las relaciones 1 + Γb =T b 1

Z1

cos θt cos θi

( 1 − Γb ) = Z12 T b

de donde despejando se obtiene

E r −Z1 cos θi + Z2 cos θt Γ = = E0 Z1 cos θi + Z2 cos θt b

Tb =

Et 2 Z2 cos θi = E 0 Z1 cos θi + Z2 cos θt

(5.19)

Electrodinámica

Tema 4: reflexión y transmisión de ondas planas

14

µ1 y Z = µ2 siendo Z1 = 2 ε1 ε2 . Para el caso habitual de medios dieléctricos no magnéticos (µ1=µ2=µ0)

ε1 ε 1 − 1 sen 2 θi ε2 ε2 Γb = ε ε cos θi + 1 1 − 1 sen 2 θi ε2 ε2 − cos θi +

Tb

(5.20)

ε1 cos θi ε2 = ε ε cos θi + 1 1 − 1 sen 2 θi ε2 ε2 2

En las gráficas 5.7 se muestran los módulos de los coeficientes de reflexión y transmisión obtenidos de las expresiones 20, en función del ángulo de incidencia tomando como parámetro la relación εr2/εr1.

Notación: er Æ εr

15

Tema 5: Reflexión y transmisión de ondas planas

Electrodinámica

Notación: er Æ εr

Figura 5.7.- Módulos de Γb y T b para incidencia paralela y εr2/εr1>1. De las expresiones (5.20) y de las figuras anteriores se deduce que 9 Existe un ángulo de incidencia θi=θB , llamado ángulo de Brewster, para el cual el coeficiente de reflexión se anula. 9 A medida que la relación εr2/εr1 aumenta el ángulo de Brewster tiende a 90 grados. 9 Cuando εr2/εr1>1 los coeficientes de reflexión y transmisión son reales y además si θi<θB Γb < 0 y si θi>θB Γb > 0 . Por otro lado T b > 0 .

9

5.4

En el caso en que εr2/εr1<1 se produce de nuevo el fenómeno de reflexión total al igual que sucede en el caso de polarización perpendicular. Esto indica que el ángulo crítico es independiente de la polarización y se produce siempre que el primer medio sea más denso que el segundo, es decir, siempre que εr2/εr1<1 .

Transmisión total: ángulo de Brewster

Los coeficientes de reflexión y transmisión son función de los parámetros constitutivos de los dos medios que forman la interfase de separación, del ángulo de incidencia (y también del ángulo de refracción o

Electrodinámica

16

Tema 4: reflexión y transmisión de ondas planas

transmisión que es a su vez función del ángulo de incidencia). La pregunta que nos hacemos es: ¿existe algún ángulo de incidencia para el que el coeficiente de reflexión sea cero, es decir, toda la potencia pase el medio 2?. Veamos cómo podemos contestar a esta pregunta para cada una de las dos polarizaciones. 5.4.1

Polarización perpendicular

Necesitamos que el numerador de la ecuación (5.13) correspondiente al coeficiente de reflexión se anule, lo que se produce cuando Γb⊥ =

Z2 cos θi − Z1 cos θt = 0 ⇒ cos θi = Z2 cos θi + Z1 cos θt ⇒ 1 − sen 2θi =

µ1 ε2 cos θt µ2 ε1

⇒

µ1 ε2 cos2 θt µ2 ε1

Utilizando la ley de Snell

ki sen θi = kt sen θt

⇒ sen 2 θt =

µ1 ε2 sen 2θi µ2 ε1

podemos poner la ecuación anterior como 1 − sen 2θi =

⎞ µ1 ε2 ⎛ µ1 ε2 sen 2θi ⎟ ⎜1 − µ2 ε1 ⎝ µ2 ε1 ⎠

y despejando se obtiene

senθi =

como

senθi ≤ 1 ⇒

ε2 µ2 − ε1 µ1 µ1 µ2 − µ2 µ1

(5.21)

ε2 µ2 µ1 µ2 ε µ − ≤ − ⇒ 2 ≤ 1 que es la condición para la ε1 µ1 µ2 µ1 ε1 µ2

existencia de ángulo de Brewster. Para el caso muy habitual de medios no magnéticos µ1=µ2=µ0, entonces de (5.21) se deduce que senθi = ∞ , es decir, que no existe ningún ángulo de incidencia real que produzca que el coeficiente de reflexión sea cero para el caso de polarización perpendicular.

17

Tema 5: Reflexión y transmisión de ondas planas

Electrodinámica

5.4.2 Polarización paralela Realizando el mismo proceso que para el caso anterior se obtiene

senθi =

como

senθi ≤ 1 ⇒

ε2 µ2 − ε1 µ1 ε 2 ε1 − ε1 ε 2

(5.22)

ε2 µ2 ε2 ε1 ε µ − ≤ − ⇒ 1 ≤ 2 que es la condición para la ε1 µ1 ε1 ε2 ε2 µ1

existencia de ángulo de Brewster. Para el caso muy habitual de medios no magnéticos µ1=µ2=µ0, entonces de (5.22) se deduce que

θi = θB = sen −1

ε2 ε1 ε = cos −1 = tan −1 2 ε1 + ε 2 ε1 + ε 2 ε1

(5.23)

que son expresiones válidas para obtener el ángulo de Brewster.

5.5

Reflexión total: ángulo crítico

Hemos visto que tanto para la polarización perpendicular como paralela es posible que toda la potencia incidente se refleje en la interfase, es decir, que se produzca que Γ = 1 . Veamos cuando se produce esto para ambas polarizaciones

5.5.1

Polarización perpendicular

Para determinar bajo qué condiciones se produce reflexión total se debe de cumplir la relación

Γb⊥ = 1 =

Z2 cos θi − Z1 cos θt Z2 cos θi + Z1 cos θt

que se cumplirá siempre que los segundos sumando del numerador y del denominador sean imaginarios puros. Utilizando la ley de Snell esto será así cuando cos θt = 1 − sen 2θt = 1 − lo que se cumplirá siempre que

µ1ε1 µ1ε1 sen 2θi = j sen 2θi − 1 µ2ε2 µ2ε2

Electrodinámica

Tema 4: reflexión y transmisión de ondas planas

18

µ1ε1 sen 2θi ≥ 1 µ2ε2 de donde se deduce el ángulo crítico como

θc = sen −1

µ2ε2 µ1ε1

(5.24)

que es el ángulo a partir del cual se produce reflexión total. Ya que la función seno no puede ser mayor que la unidad se debe cumplir, para que exista ángulo crítico, que µ2ε2 ≤ µ1ε1 . Para el caso habitual de medios no magnéticos, el ángulo crítico es

θc = sen −1

ε2 ε1

(5.25)

que existirá siempre que se cumpla la condición ε2 ≤ ε1 . Por tanto, para medios no magnéticos (que es el caso de la mayoría de los dieléctricos) existirá ángulo crítico sólo si la incidencia se produce desde un medio más denso en otro menos denso. Cuando el ángulo de incidencia es igual al ángulo crítico, entonces el ángulo de transmisión es

θt = sen −1

µ1ε1 sen θi µ2ε2

⎛ µ1ε1 = sen −1 ⎜⎜ ⎝ µ2ε2 θ1 =θc

µ2ε2 µ1ε1

⎞ −1 ⎟⎟ = sen (1 ) = 90º ⎠

Los coeficientes de reflexión y transmisión se reducen a

Γb⊥

θi =θc

=1

;

T⊥b

θi =θc

=2

Los campos transmitidos son

r

r

r

r 2E 0

E ⊥t = ay 2E 0 e − jkt x H ⊥t = az

Z2

e − jkt x

que representan una onda plana que viaja paralela a la interfase en el sentido +x como se ve en la figura 5.7. Los planos de fase constante de la onda son paralelos al eje z. A esta onda se le denomina onda superficial.

19

Tema 5: Reflexión y transmisión de ondas planas

Electrodinámica

X Planos de fase constante θr

θt Y

θi=θc

Z

Planos de amplitud constante X β2

Planos de Fase constante

θr α2 θc

Y

θi

Z

Figura 5.8.- Planos de fase y amplitud constante para el caso de incidencia con ángulo crítico y superior al ángulo crítico.

La densidad de potencia media asociada con la onda transmitida es

r

t Sav =

2 r r r 2 E0 1 Re E ⊥t × H⊥*t = ax 2 Z2 θi =θc

{

}

⎛w ⎞ ⎜ 2⎟ m ⎝ ⎠

(5.26)

que no contiene ninguna componente normal en la dirección normal a la interfase, por lo que no hay transferencia de potencia al medio 2 y toda la potencia es reflejada hacia el medio 1. Examinando las densidades de potencia asociadas a las ondas reflejadas y transmitidas vemos que ambas coinciden

Electrodinámica

r

i = Sav

2 2 r r 2 E0 r 2 E0 r 1 Re E ⊥i × H ⊥*i = ax sen θi + az cos θi = 2 Z1 Z1 θi =θc

{

}

⎛w ⎞ ⎜ 2⎟ ⎝ m ⎠

2 2 r r *r 2 E0 r 2 E0 r 1 r = Sav = Re E ⊥ × H ⊥ ax sen θi − az cos θi = 2 Z1 Z1 θi =θc

rr

20

Tema 4: reflexión y transmisión de ondas planas

{

}

⎛w ⎞ ⎜ 2⎟ ⎝ m ⎠

Cuando el ángulo de incidencia es mayor que el ángulo crítico (θi>θc), la ley de Snell puede escribirse como

sen θt

θi >θc

k = i sen θi θ >θ = i c k t

µ1ε1 sen θi µ2ε2

>1 θi >θc

⇒ θt = θR + j θ X

es decir, el ángulo de transmisión es un número complejo. Además,

µε

cos θt θ >θ = 1 − sen 2 θt = 1 − 1 1 sen 2 θi = ±j i c µ2ε2 θi >θc θi >θc

µ1ε1 sen 2 θi − 1 µ2ε2 θ

i

>θc

Por lo tanto, cuando θi>θc el ángulo de transmisión θt no es “físicamente realizable” ya que es un ángulo complejo y por tanto no es el ángulo con el que la onda transmitida se refracta. De hecho, lo que sucede, como se puede deducir de las figuras 5.6, es que por encima del ángulo crítico, el módulo del coeficiente de reflexión sigue siendo la unidad, es decir, no hay onda transmitida hacia el medio 2, o dicho con otras palabras, en el medio 2 habrá una onda superficial. Para demostrarlo veamos el campo y las densidades de potencia asociadas a cada onda. El campo eléctrico transmitido es r

r

E ⊥t = ay E ⊥t e

− jkt ( xsen θt + z cos θt

) = ar E Γt e −αe z e − j βe x y 0 ⊥

(5.27)

donde

αe = kt

βe = kt

µ1ε1 sen 2 θi − 1 µ2ε2 θ µ1ε1 sen θi µ2ε2

θi >θc

i

>θc

= ω µ1ε1sen 2 θi − µ2ε2

= ω µ1ε1sen 2 θi − µ2ε2

θi >θc

θi >θc

La expresión (5.27) muestra que la onda transmitida es se propaga paralela a la interfase y sus planos de fase constante son paralelos al eje z como muestra la figura 5.8. Además, los planos de amplitud constante son planos paralelos a la

21

Tema 5: Reflexión y transmisión de ondas planas

Electrodinámica

interfase de forma que la amplitud de la onda decae rápidamente a medida que nos alejamos de la interfase de separación. Este es el caso de una onda de superficie, es decir, se propaga sobre una superficie y su amplitud disminuye rápidamente cuando se aleja de ella. Además, esta onda es también una onda plana no uniforme porque los planos de fase constante y los planos de amplitud constante no coinciden. Por otro lado, la velocidad de fase de esta onda es

v pe =

ω = βe

kt

ω µ1ε1 sen θi µ2ε2

= θi >θc

vp2 µ1ε1 sen θi µ2ε2

< vp2 θi >θc

que es una velocidad de fase menor que la correspondiente a una onda plana uniforme que se propagase por el medio 2. Esta onda se propaga paralelamente a la interfase con planos de fase constante que son paralelos al eje z. Esta onda tiene también planos de amplitud constante paralelos al eje x dados por la expresión para αe. Su valor es tal que la onda decrece muy rápidamente a medida que nos alejamos de la interfase, y prácticamente en unas pocas longitudes de onda la energía es prácticamente nula. La onda es por tanto también una onda superficial. Puesto que su velocidad de fase es menor que la velocidad de la luz en el medio, también se la denomina onda lenta. Normalmente, velocidades de fase mayores que la propia intrínseca de una onda plana ordinaria se pueden conseguir en ondas con ángulos de incidencia reales, como sucede en la velocidad de fase en una dirección que no coincida con la dirección de propagación. Velocidades de fase menores que las intrínsecas pueden conseguirse con ondas planas viajando con ángulos de propagación “ complejos”. Estas ondas son ondas planas no uniformes. Bajo condiciones de ángulo de incidencia igual o mayor al ángulo crítico los coeficientes de reflexión y transmisión se reducen a Γb⊥

T⊥b

⎛X ⎞ = Γb⊥ e − j 2ΨT = e − j 2ΨT ; ΨT = tg −1 ⎜ ⊥ ⎟ θi ≥θc ⎝ R⊥ ⎠

θi ≥θc

X⊥ =

= T⊥b e −ΨT = e − j 2ΨT ; T⊥b =

µ1 ε1

µ1ε1 sen 2θi − 1 µ2ε2

;

R⊥ =

y la densidad de potencia media asociada a la onda es

2 R⊥

R⊥2 + X ⊥2 µ2 cos θi ε2

Electrodinámica

Tema 4: reflexión y transmisión de ondas planas

2

t Sav

r

θi ≥θc

= ax

T⊥b E 0 µ1ε1 senθt 2Z2 µ2ε2

22

2

e −2αe z θi ≥θc

que de nuevo muestra que no hay señal transmitiéndose en la dirección normal a la interfase y, por tanto, toda la potencia debe reflejarse hacia el medio 1. Como resumen podemos indicar que cuando una onda incide (incidencia oblicua) desde un medio más denso en uno menos denso (ε2<ε1 si µ1=µ2) 9 Cuando el ángulo de incidencia es menor que el ángulo crítico la onda se transmite al segundo medio con un ángulo de transmisión θt que es mayor que el ángulo de incidencia θi. Al medio 2 se transmite una potencia real dirigida según el ángulo de transmisión. 9 A medida que el ángulo de incidencia crece y se hace igual al ángulo crítico el ángulo de transmisión crece más rápidamente y se hace igual a 90º. Aunque en el medio 2 existe una onda (necesaria para que las condiciones de contorno se cumplan) con campos formando una onda superficial a lo largo del eje x (paralelo a la interfase). No hay potencia real transmitida al medio 2 y toda la potencia se refleja al medio 1. Los planos de fase constante son paralelos al eje z. 9 Cuando el ángulo de incidencia es mayor que el ángulo crítico en el medio 2 existe una onda que viaja en la dirección x (paralela a la interfase) y que simultáneamente se atenúa fuertemente en la dirección z (normal a la interfase). No existe potencia real transmitiéndose en la dirección normal a la interfase y toda la potencia se refleja hacia el medio 1. Sin embargo, existe una onda en el medio 2 pues es necesaria para que se cumplan las condiciones de contorno. La onda en el medio 2 viaja con una constante de fase menor que la correspondiente a una onda ordinaria que viajase por el mismo medio.

5.5.2 Polarización paralela

El procedimiento para obtener el ángulo crítico y todas sus propiedades y características es idéntico al seguido para el caso de polarización perpendicular. Se puede demostrar que el ángulo crítico no es función de la polarización.

23

5.6

Tema 5: Reflexión y transmisión de ondas planas

Electrodinámica

Incidencia oblicua: medio sin pérdias – medio con pérdidas

Consideremos ahora el caso en el que la incidencia se hace desde un medio sin pérdidas en otro con pérdidas como muestra la figura Planos de amplitud constante X

ε1, µ1

ε2, µ2, σ

nΨ=β2 θr Y

θi

Ψ2=ξ2

Z

Planos de fase constante

Figura 5.9.- Incidencia oblicua entre un medio sin pérdidas y otro con pérdidas

El campo eléctrico en el medio 2 es (en forma genérica para cualquier polarización) r

r

E t = E2 e

−γ 2 ( xsen θt + z cos θt

) = Er e − (α 2

2

+ j β 2 )( xsen θt + z cos θt

)

(5.28)

De la ley de Snell γ i sen θi = γt sen θt se puede escribir

sen θt =

j β1 γi sen θ = sen θ γt α 2 + j β2 2

⎛ j β1 ⎞ sen θ i ⎟ = s e j ξ = s ( cos ξ + jsen ξ ) cos θt = 1 − sen θt = 1 − ⎜ ⎝ α 2 + j β2 ⎠ 2

Electrodinámica

Tema 4: reflexión y transmisión de ondas planas

24

Sustituyendo en (5.28)

r

E

t

r

= E2

⎛ ⎞ j β1 sen θi + z s ( cos ξ + jsen ξ ) ⎟ − (α 2 + j β 2 ) ⎜ x α j β + 2 2 ⎝ ⎠ e

=

r −zs (α cos ξ − β sen ξ ) − j ⎡ β xsen θ + zs (α sen ξ + β cos ξ )⎤ i 2 2 2 2 ⎦ = E2 e e ⎣ 1 y que abreviadamente se puede escribir como

r

r

E t = E 2 e −z p e

− j [ β1 xsen θi + z q ]

(5.29)

donde

p = s (α2 cos ξ − β2sen ξ ) q = s (α2sen ξ + β2 cos ξ ) La expresión (5.29) indica que la onda en el medio 2 es una onda plana no uniforme. El campo eléctrico instantáneo es

r

(

r

E t (x , z ,t ) = Re E2 e −z p e

− j [ β1 xsen θi + z q ]

)

r

e j ωt = E2 e −z p cos (ωt − ⎡⎣β1xsen θi + z q ⎤⎦) (5.30)

que indica que los planos de amplitud constante (z=cte.) son paralelos a la interfase y los planos de fase constante ( β1xsen θi + z q = cte . ) están inclinadas un ángulo Ψ2 (que no es el ángulo θt). Para obtener este ángulo

ωt − ( β1 xsen θi + z q ) = ωt − ⎡ ×⎢ ⎢ ⎢⎣

( β1sen θi ) x

+

( β1sen θi )2 + q 2

( β1sen θi )2 + q 2 qz

( β1sen θi )2

⎤ ⎥ 2⎥ + q ⎥⎦

Si definimos el ángulo Ψ2 de forma que

sen Ψ2 = cos Ψ2 =

β1sen θi 2

( β1sen θi )

+ q2

q

( β1sen θi )2 + q 2

= =

u 2

u + q2 q u2 + q2

(5.31)

25

Tema 5: Reflexión y transmisión de ondas planas

Electrodinámica

donde u = β1sen θi . Por lo tanto Ψ2 = tg −1

β1sen θi u = tg −1 q q

con lo que podemos poner el campo eléctrico en el medio 2 como ⎡ ⎛ ux ⎛ 2 2 ⎜ r j ⎢⎢ωt − u + q ⎜⎜ 2 2 ⎝ u +q E t (x , z ,t ) = Re ⎜ E2 e ⎣ ⎜ ⎜⎜ ⎝

r

+

⎞⎤ ⎟⎥ u + q ⎟⎠ ⎥⎦

qz 2

2

⎛ r j ⎡ωt − u 2 + q 2 ( x sen Ψ 2 + z cos Ψ 2 ) ⎤ ⎦ = Re ⎜ E2 e ⎣ ⎜ ⎝ ⎛ r j ⎡ωt − u 2 + q 2 (nrΨ rr ) ⎤ ⎦ = Re ⎜ E2 e ⎣ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟= ⎟ ⎟⎟ ⎠

⎞ ⎟⎟ = ⎠

⎞ ⎟⎟ ⎠

r r r donde nΨ = ax sen Ψ2 + az cos Ψ2 . De estas ecuaciones se deduce que 9 El verdadero ángulo de refracción es Ψ2 y no θt (que es complejo). 9 La onda en el medio 2 viaje según la dirección dada por el vector unitario r nΨ . r 9 Los planos de fase constante son perpendiculares al vector unitario nΨ

como se muestra en la figura 5.9. La velocidad de fase de la onda en el medio 2 se obtiene de la forma habitual, es decir, igualando la fase de la onda a una constante y diferenciando respecto al tiempo, r ⎡ωt − u 2 + q 2 (nr rr ) ⎤ = cte ⇒ ω − u 2 + q 2 ⎛ nr dr ⎞ = 0 ⇒ Ψ ⎜ Ψ dt ⎟ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎝ ⎠

(

)

r r ⇒ ω − u 2 + q 2 nΨ v p = 0

de donde se obtiene que

vp =

ω u2 + q2

=

ω

( β1 sen θi )2 + q 2

(5.32)

Electrodinámica

Tema 4: reflexión y transmisión de ondas planas

26

que muestra que la velocidad de fase es función del ángulo de incidencia y de los parámetros constitutivos de los dos medios.

5.8 Reflexión y transmisión de múltiples interfases Para conseguir ciertos comportamientos especiales, muchas veces es necesario disponer de múltiples interfases. En esta sección vamos a analizar el comportamiento de una onda plana cuando incide sobre diferentes medios que forman múltiples interfases. Consideraremos sólo el caso de incidencia normal empezando por el denominado problema de los tres medios y acabaremos con el problema genérico de múltiples interfases.

4.8.1 El problema de los tres medios

El problema que se va a analizar se muestra en la figura 5.10. d

ε1, µ1, σ1

ε3, µ3, σ3

ε2, µ2, σ2 Γ12 =

Z 2 − Z1 Z 2 + Z1

Γ21 =

Z1 − Z 2 Z1 + Z 2

Γ23 =

Z3 − Z2 Z3 + Z2

z=0- z=0+

z=-d- z=-d+

z=0

z=-d

z

Figura 5.10.- El problema de los tres medios

Según vimos anteriormente, el coeficiente de reflexión para incidencia normal entre dos medios seminfinitos es Γb =

Z 2 − Z1 Z 2 + Z1

A una distancia z=-l de la interfase, y supuestos los medios sin pérdidas, el coeficiente de reflexión que se “ve” es

27

Tema 5: Reflexión y transmisión de ondas planas

Electrodinámica

Γin ( z = −l ) = Γb e − j 2 β1l

Justamente a la derecha de la interfase, la impedancia de entrada en la dirección +z es igual a la impedancia intrínseca del medio 2, es decir

(

)

Zin z = 0 + = Z 2 =

µ2 ε2

Por definición la impedancia de entrada en z=-l es

Zin

z =−l

=

E total H

total

z =−l z =−l

donde

E total H total

z =−l

(

) z =−l

(

) z =−l

= Ei +E r

z =−l

= Hi −Hr

)

(

= E 0e j β1l 1 + Γb e − j 2 β1l = E 0e j β1l (1 + Γin ( z = −l ) )

(

)

E0 j β l E e 1 − Γb e − j 2 β l = 0 e j β l (1 − Γin ( z = −l ) ) Z1 Z1

=

1

1

1

por lo tanto

Zin

⎛ 1 + Γb e − j 2 β1l = ⎜ Z 1⎜ z =−l b − j 2 β1l ⎝1 + Γ e

⎞ ⎛ 1 + Γin ( z = −l ) ⎞ ⎛ Z2 + jZ1tg β1l ⎞ ⎟ = Z1 ⎜ ⎟⎟ = Z1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ Z1 + jZ2tg β1l ⎠ ⎝ 1 − Γin ( z = −l ) ⎠ ⎠

(5.33)

Siguiendo el proceso descrito, se puede obtener el coeficiente de reflexión para el caso de múltiples interfases y, en particular, del problema de los tres medios. La impedancia de entrada en z=0+ es la impedancia intrínseca del medio 3, es decir

(

)

Zin z = 0 + = Z 3 =

µ3 ε3

El coeficiente de reflexión en la misma interfase es

(

Γin z = 0

−

( ) = Z3 − Z2 + Z3 + Z2 in ( z = 0 ) + Z 2

Zin z = 0 + − Z2

)=Z

Electrodinámica

28

Tema 4: reflexión y transmisión de ondas planas

En z=-d+ la impedancia de entrada se puede poner como

(

Zin z = −d

+

)

( (

) )

⎛ 1 + Γin z = 0 − e − j 2 β2d = Z2 ⎜ ⎜ 1 − Γ z = 0 − e − j 2 β2d in ⎝

− j 2 β2d ⎞ ⎛ ⎟ = Z ⎜ ( Z3 + Z2 ) + ( Z3 − Z2 ) e 2 ⎟ ⎜ ( Z + Z ) − ( Z − Z ) e − j 2 β2d 2 3 2 ⎝ 3 ⎠

⎞ ⎟= ⎟ ⎠

⎛ Z cos β2d + jZ2 sen β2d ⎞ = Z2 ⎜ 3 ⎟ ⎝ Z 2 cos β2d + jZ 3 sen β2d ⎠

y el coeficiente de reflexión en z=-d- es

(

Γin z = −d

−

( ) = Γ12 + Γ23 e − j 2β d + 1 + Γ12 Γ23 e − j 2 β d in ( z = −d ) + Z1

Zin z = −d + − Z1

)=Z

2

(5.34)

2

donde los coeficientes Γ12, Γ12 y Γ23 se muestran en la figura 5.10. Con esta expresión hemos sido capaces de calcular el coeficiente de reflexión pero no el de transmisión al medio 3. En los casos en los que sólo es necesario conocer la potencia reflejada es suficiente; además, si los medios no tienen pérdidas, con el coeficiente de reflexión es suficiente para obtener la potencia que pasa al medio 3. Pero si los medios tienen pérdidas o si lo que se necesita es obtener el campo electromagnético en cada uno de los medios es necesario conocer sus amplitudes. Ello puede hacerse a través de un proceso que consiste en aplicar las condiciones de contorno en cada interfase. Para ello, supongamos que los medios tienen pérdidas y que el campo eléctrico está polarizado según el eje x; entonces

E x 1 (z ) = E1+e −γ z + E1−e γ z 1

Hy 1 (z ) =

1

Z1

1

(E1+e −γ z − E1−e γ z ) 1

1

es el campo en el medio 1. Análogamente para los otros medios

E x 2 (z ) = E2+e −γ Hy 2 (z ) =

1

Z2

2

z

+ E2−e γ 2 z

(E2+e −γ z − E2−e γ z ) 2

2

29

Tema 5: Reflexión y transmisión de ondas planas

E x 3 (z ) = E3+e −γ Hy 3 (z ) =

1

Z3

3

Electrodinámica

z

E3+e −γ

3

z

pues en el medio 3 no hay onda viajando en la dirección z-. Aplicando las condiciones de contorno en las dos interfases se obtiene (nota: para este caso tomaremos z=0 en la primera interfase y z=d en la segunda de la figura 5.10) ⎧ ⎪E + + E − = E + + E − 1 2 2 ⎪⎪ 1 en z = 0 ⎨ ⎪ 1 1 ⎪ E1+ − E1− = E2+ − E2− Z2 ⎪⎩ Z1

(

)

(

)

⎧ ⎪E +e −γ 2d + E −e γ 2d = E +e −γ 3d 2 3 ⎪⎪ 2 en z = d ⎨ ⎪ 1 1 ⎪ E2+e −γ 2d − E2−e γ 2d = E +e −γ 3d Z3 3 ⎪⎩ Z2

(

)

que es un sistema de lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas E1− , E2+ , E2− y E3+ que se pueden expresar en función de E1+ , que es la amplitud de la onda incidente y que

suponemos conocida. Obviamente, cuando el número de medios crece también lo hace el número de ecuaciones del sistema anterior, de manera que su resolución a mano se complica y debe emplearse un proceso sistemático que tiene necesariamente que ser implementado en ordenador. En el apartado siguiente vamos a ver un método sistemático que permite la resolución “manual” del caso de múltiples discontinuidades, sin importar su número.

4.8.2 El problema de los múltiples medios

En un medio dado “i” el campo eléctrico, supuesto que está polarizado en el eje x se puede escribir como ⎛

E xi (z ) = Ei +e −γ i z + Ei −e γ i z = Ei +e −γ i z ⎜⎜ 1 + ⎝

Ei − 2γ i z e Ei +

⎞ + −γ z ⎟⎟ = Ei e i (1 + Γi ( z ) ) ⎠

(5.35)

donde Γi(z) es el coeficiente de reflexión en la posición z. El campo magnético correspondiente es

Electrodinámica

Hyi (z ) =

Tema 4: reflexión y transmisión de ondas planas

+

E Ei +e −γ z − Ei −e γ z ) = i ( ηi ηi 1

i

i

⎛

e −γ i z ⎜⎜ 1 − ⎝

Ei − 2γ i z e Ei +

30

⎞ Ei + −γ z e i (1 − Γi ( z ) ) ⎟⎟ = η i ⎠ (5.36)

donde ηi es la impedancia de onda en el medio. Se define la impedancia de onda correspondiente al campo electromagnético en un punto z como

Zi ( z ) =

E xi ( z ) 1 + Γi ( z ) = ηi 1 − Γi ( z ) Hyi ( z )

(5.37)

de donde se obtiene el coeficiente de reflexión en el punto z como Γi ( z ) =

Zi ( z ) − ηi Zi (z ) + ηi

(5.38)

Con estas expresiones es posible calcular el coeficiente de reflexión en una posición z=l1 conocido en otra posición z=l2,

E − 2γ z =l E− Γi ( z = l1 ) = i + e i ( 1 ) = i + e 2γ i l1 Ei

Ei

E − 2γ z =l E− Γi ( z = l2 ) = i + e i ( 2 ) = i + e 2γ i l2 Ei

Ei

dividiendo se tiene Γi ( z = l1 ) = Γi ( z = l2 ) e

2γ i (l1 −l2 )

(5.39)

Como ejemplo, podemos conocer el coeficiente de reflexión en z=-l conocido en z=0. En este caso (l1=-l y l2=0) Γi ( z = −l ) = Γi ( z = 0 ) e −2γ i l

(5.40)

Dos propiedades esenciales verifican el coeficiente de reflexión y la impedancia de onda: 1. La impedancia de onda es continua sobre la superficie de separación de dos medios. 2. El coeficiente de reflexión sobre la superficie de separación de dos medios es una función discontinua.

31

Tema 5: Reflexión y transmisión de ondas planas

Electrodinámica

Supongamos que una onda plana incide, con incidencia normal, sobre una serie de láminas dieléctricas diferentes (figura 5.11). Con todo esto podemos obtener las amplitudes del campo en cada zona. El proceso es el siguiente

Medio 1 E1

Medio 2 Medio 3 E2+

+

E1-

Medio n-1

....

E3+

En-1+

E2-

E3-

En-1-

d2

d3

dn-1

z=-d2

z=-d4

z=-d3

z=0

z=-dn-1

En+

z=0

z=0

z=0

z=0

Medio n

Figura 5.11.- El problema de múltiples medios

1.

El coeficiente de reflexión en z=0 mirando por la derecha (es decir, en z=0+) es nulo pues en el último medio (medio n) sólo hay onda viajando en el sentido

(

)

de z+: Γn z = 0 + = 0 2.

La impedancia de onda mirando en z=0+ hacia la derecha es

( ) =η 1+0 =η n n + 1−0 i (0 )

1 + Γn 0 +

( ) = ηn 1 − Γ

Zn 0

+

que es la impedancia de onda del medio n. 3.

Como la impedancia es una función continua, su valor en z=0+ (por la derecha) y z=0- son iguales. Por tanto, el coeficiente de reflexión en z=0- (en el medio n-1) es

η − ηn −1 Γn −1 0 − = n ηn + ηn −1

( )

4.

Se traslada este coeficiente de reflexión hasta z=-dn-1 empleando

(

)

(

)

Γn −1 z = −dn+−1 = Γn −1 z = 0 − e −2γ n −1dn −1

Electrodinámica

5.

Tema 4: reflexión y transmisión de ondas planas

32

con lo que conocemos el coeficiente de reflexión una interfase más a la izquierda que al principio. Podemos reasignar el origen y llamar z=0 a z=-dn-1. A partir de ahora se repite el proceso desde el punto 1 hasta llegar a la primera interfase, hasta obtener el coeficiente de reflexión. Entonces

E1− = Γ1 (z = −d2 ) E1+ que es la amplitud de la onda reflejada en el medio 1 (notemos, que podemos reasignar el origen z=0 a la interfase z=-d2). El resto de las amplitudes se calculan como sigue. A partir del campo eléctrico en el medio 1

E x 1 (z ) = E1+e −γ i z + E1−e γ i z donde z=0 es la interfase entre el medio 1 y el 2, tenemos que

E x 1 (0) = E1+ + E1− Por otro lado sobre la interfase z=0, que recordemos es también z=-d2 en lo que respecta al medio 2, el campo eléctrico por su derecha, es decir, en el medio 2 es

E x 2 (z = −d2 ) = E2+ e γ

2

d2

⎡⎣1 + Γ2 ( z = −d2 ) ⎤⎦

y por la condición de continuidad E x 1 (0) = E x 2 (z = −d2 ) , lo que produce

E2+ =

eγ

E x 1 (0)

d2 ⎡ ⎣1 + Γ2

2

(z

= −d2 ) ⎤⎦

=

eγ

E1+ + E1−

d2 ⎡ ⎣1 + Γ2

2

(z

= −d2 ) ⎤⎦

que es la amplitud de la onda que viaja en el medio 2 en el sentido z positivo. Respecto a los orígenes, por tanto, para cada medio z=0 será siempre la interfase de su derecha y z=-di su interfase de la izquierda. La amplitud de la onda que viaja en el medio 2 hacia la izquierda es

E2− (z ) = Γ2 (z ) E2+ (z ) e −2γ que particularizada en la interfase z=0 da

E2− = Γ2 (0) E2+

2

z

33

Tema 5: Reflexión y transmisión de ondas planas

Electrodinámica

El proceso se repite sistemáticamente hasta alcanzar la última interfase que produce directamente la amplitud de la onda que emerger por el medio n como

En+ = En+−1 + En−−1

5.8 [1] [2] [3] [4] [5]

Referencias Constantine A. Balanis: “Advanced Engineering Electromagnetics”, John Wiley & Sons, Cap.5, 1989. M. F. Iskander: "Electromagnetic Field and Waves", Prentice Hall, 1992. C.T.A Johnk: "Teoría Electromagnética, principios y aplicaciones", Ed. Limusa, 1992. C. Paul & S. Nasar: "Introduction to electromagnetic fields", McGraw-Hill, 1987. M. N. O. Sadiku: "Elements of Electromagnetics", second edition, Oxford University Press, 1995.

PRUEBA # 2 1. La constante ξr de un gas varía con una frecuencia angular ω de la siguiente forma ξr =

A + 1 , donde A es constante. Calcular la velocidad de ω2

grupo de la onda en este gas.

DATOS : ξ = ξoξ r A ξr = 2 + 1 ω ⎛ A ⎞ ξ = ξ o ⎜ 2 + 1 ⎟ ⎝ ω ⎠ DESARROLLO :

β =ω

⎛

µξ ⎜ 1 + ⎝

β =ω

µξ +

1 σ 2 ⎞ ⎟ 8 ω 2ξ 2 ⎠

1 σ 2 µξ 8 ωξ 2

σ2

µξ ω 2ξ 4

β =

ω 2 µξ +

β =

σ2 ⎛ A ⎞ ω µξ o ⎜ 2 + 1 ⎟ + 8 ⎝ ω ⎠

vg = ∂β = ∂ω

8

2

µ 3 ⎛ A ⎞ ω 2ξ o 3 ⎜ 2 + 1 ⎟ ⎝ ω ⎠

1 ∂β ∂ω

ωµ ξ o

(µ A + ω 2µ )

+

σ2

µ

1

16

×

1 ⎛ A ⎞ + 1 ⎟ 2 ⎝ ω ⎠

ω 2ξ o 3 ⎜

⎛ ⎜ 1 × ⎜ 2 3 ⎜ 3A ⎞ ⎞ 3 ⎛ A 3 ⎛ A ⎜ ωξ o + 1 + 2 ωξ o + 1 ⎜ ω 2 ⎟ ⎜ ω 2 ⎟ ⎜ 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

3

ω µξ o σ2 µ ∂β = + ∂ω 16 A + ω2

(

1 1

)

×

1

⎛ A ⎞ ⎛ A ⎞ + 1 ⎟ ξ o ⎜ 2 + 1 ⎟ 2 ⎝ ω ⎠ ⎝ ω ⎠

ωξ o ⎜

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ × 2 ⎜ ⎡ 3A A ⎛ A ⎞ ⎤ ⎟⎟ ⎜ ωξ o 3 ⎛⎜ 2 + 1 ⎞⎟ ⎢ + 2 ⎜ 2 + 1 ⎟ ⎥ ⎟ ⎜ ⎝ ω ⎠ ⎣ 2 ⎝ ω ⎠ ⎦ ⎠ ⎝

ω µξ o σ2 µ ∂β = + ∂ω 16 A + ω2

(

)

⎛ ⎜ ⎜ × ⎜ ⎜ ξ o 3 2 ⎜ 3 A + ω ⎜ ω ⎝

(

1 1

ωξ o ( A + ω 2 ) ξ o ( A + ω 2 )

1 2

)

⎡ 3Aω 3 + 4 A + ω 2 ⎢ 2ω 3 ⎢⎣

(

)

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎤ ⎟ ⎥ ⎟ ⎥⎦ ⎟⎠

⎛ ω µξ o σ 2ω 7 µξ o ⎜ ∂β = + × ⎜ 2 ∂ω 8 A + ω2 ⎜ ξ o ⎝

(

×

)

⎞ ⎟ ⎡3Aω 3 + 4 A + ω 2 ⎤ ⎟⎟ ⎣ ⎦ ⎠ 1

(

A + ω2

)

(

)

⎞ ω µξ o ⎛⎜ ∂β σ 2ω 6 ⎟ = × 1+ 2 3 2 2 ⎜ ⎟ ∂ω ⎡ ⎤ 8 ξ o 3 A ω + 4 A + ω A +ω ⎣ ⎦ ⎠ ⎝

(

vg =

1 ∂β ∂ω

⇒ vg =

)

1 ⎛ ⎞ σ 2ω 6 ⎟ × ⎜1 + 2 3 2 2 ⎜ ⎟ ⎡ ⎤ 8 ξ o 3 A ω + 4 A + ω A +ω ⎣ ⎦ ⎠ ⎝

ω µξ o

(

vg =

{

)

}

A + ω 2 8ξ o 2 ⎡⎣3Aω 3 + 4 ( A + ω 2 )⎤⎦

(

ω µξ o 8ξ o 2 ⎡⎣3Aω 3 + 4 ( A + ω 2 )⎤⎦ + σ 2ω 6

)

2. Una onda plana uniforme con las componentes E x y H y de campo tienen una amplitud de campo eléctrico de 100 y se propaga a una frecuencia de en una región conductora cuyos parámetros son 10 6 Hz µO , 9ξO y (σ ωξ ) = 0, 5 . Cuál es la frecuencia crítica, la distancia a la cual la onda tiene una amplitud de 100e −1 de la amplitud inicial en la región disipadora y la velocidad de grupo de esta onda.

DATOS : f = 106 Hz µ = µo ξ = 9ξ o σ = 0, 5 ⇒ ωξ ω = 2π f

σ = 0 , 5ωξ ω = 2π × 106

⇒

DESARROLLO : • Frecuencia Crítica (fc

σ = 2π fc ξ

⇒

)

fc =

σ 2πξ

fc =

0 , 5ωξ 2πξ

0 , 5 × 2π × 106 × 9ξ o fc = 2π 9ξ o

fc = 0 , 5 × 106 Hz •

Velocidad de grupo (vg )

(1) β =

vg =

1 ∂β ∂ω

µωσ 2

∂β 1 ⎛ µωσ ⎞ = ⎜ ∂ω 2 ⎝ 2 ⎟⎠

−1

2

⎛ µσ ⎞ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠

∂β ⎛ µσ ⎞ = ⎜ ⎟ ∂ω ⎝ 4 ⎠

1 ⎛ µωσ ⎞ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠

∂β ⎛ µ × 0.5ωξ ⎞ = ⎜ ⎟ ∂ω 4 ⎝ ⎠ ∂β ⎛ µ × 0.5ωξ ⎞ = ⎜ ⎟ ∂ω 4 ⎝ ⎠

1 ⎛ µω × 0.5ωξ ⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ 1 ⎛ µ × 0.5ξ ⎞ ⎟ 2 ⎝ ⎠

ω ⎜

∂β ⎛ µ × 0.5 × 9ξ o ⎞ = ⎜ ⎟ ∂ω 4 ⎝ ⎠

1 ⎛ µ × 0.5 × 9ξ o ⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠

∂β ⎛ µ × 0.5 × 9ξ o ⎞ = ⎜ ⎟ ∂ω 4 ⎝ ⎠

1 ⎛ µ × 0.5 × 9ξ o ⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠

∂β 1, 25 × 10 −17 = = 2 , 5 × 10 −9 −9 ∂ω 5 × 10 ∂β ∂ω

vg =

•

en

(1)

1 2 , 5 × 10 −9

vg = 400 × 106 m / seg

⇒

Distancia ( ∂ ) α =β ∴

(2 )

∂ =

1

β

∂β = 2 , 5 × 10 −9 ∂ω ∂β = 2 , 5 × 10 −9 ∂ω

∫ ∂β

=

∫ 2, 5 × 10

−9

∂ω

β = 2, 5 × 10 −9 ω β = 2, 5 × 10 −9 × 2π × 106 Hz β = 0 , 0157 β en ∂=

(2 )

1 0 , 0157

⇒

∂ = 63, 69m .

3. Una guía de onda metálica rectangular está llena de plasma de ley constitutiva:

dJ f = ω 2pξE dt a. Cuál es la impedancia asociada a este plasma. b. Cuáles son las velocidades de fase y de grupo de las ondas.

DESARROLLO : ur

J = Jo .e

(

uur r

i K r −ωt

) ur

iW p ξ E ∂J = −i ω Jo ⇒ J = ∂t ω ur ur ur i k × B = µ J − i ωµξ E ur ur ur ur ur i k × i k × E = i k × −i ω B ur ur ur ur ur ur 2 i k i k .E − (ik ) E = −i ω i k × B ur ur ur i k i k .E = 0 ur ur ur k 2 E = −i ω i k × B 2

(

( (

)

(

) )

)

(

(

)

)

ur

ur

k 2 E = −i ω µ J − i ωµξ E

(

)

ur ⎞ ⎛ ⎛ iW p 2ξ E ⎞ k E = −i ω ⎜ µ ⎜ − i ωµξ E ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ω ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ur ur ⎛ W 2 ⎛ ⎞ ⎞ k 2 E = −i ω ⎜ i µξ E ⎜ p − ω ⎟ ⎟ ⎜ ω ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ur ur ⎛ W p 2 ⎞ 2 2 k E = −i ωµξ E ⎜ − ω ⎟ ⎜ ω ⎟ ⎝ ⎠ 2 ⎛ W ⎞ k 2 = ωµξ ⎜ p − ω ⎟ ⎜ ω ⎟ ⎝ ⎠ 2

•

ur

k =

⎛ W p 2 − ω 2 ωµξ ⎜ ⎜ ω ⎝

k =

µξ (W p 2 − ω 2 )

Impedancia

η =

µω µξ (W p 2 − ω 2 )

Velocidad de Fase (vf vf = vf =

•

(η )

µω k

η =

•

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

ω β

⇒

)

k =β

ω µξ (W p 2 − ω 2 )

Velocidad de Grupo (vg ) vg =

1 ∂β ∂ω

⇒

∂β 1 = µξ W p 2 − ω 2 ∂ω 2

(

(

))

−1

2

( 2µξω )

∂β = ∂ω

vg =

2 µξω 2 µξ W p 2 − ω 2

(

)

1

µξω µξ (W p 2 − ω 2 )

vg =

 

µξ (W p 2 − ω 2 ) µξω

1. Determinar la energía almacenada en un condensador cilíndrico de radio interno a y externo b, al cual se le aplica una diferencia de potencial Vo. !"

0=A+ A=-

! ln !" !  

!" ! !" !  

Vr = −  

ln(b)

!" !"

(b)

! !

 

ln(b) +

!"

ln(r)

! !" !  

  ! =   −  ∇  . 𝑉 𝑉 𝑟 = 𝐴 + 𝐵(𝑟)   ! =   −  

Condiciones de Borde: r=a r=b

V = Vo

∴ ∴

  ! =   −

V=0

Condición 1; r=a

∴

  ! =  

𝑊𝐸 =  

0 = A + B ln(b)

𝑟  . 𝑙𝑛

!"

!

! !  .!" !  

! !

 

    !"

    !"

𝜀! 𝐸 2

2    

𝐸! = 𝑊𝐸 ∗ 𝑉𝑜𝑙

Vo = A + B ln(a) 0 = -A - B ln(b)

𝐸! =  

Vo = Bln (a) - B ln(b)

Vo = B ln

 

𝑉𝑜

!!

(1) - (2):

! !

𝑟  . 𝑙𝑛

𝑊𝐸 =  

Condición 2;

! !

!!

!"

!

! !  .!" !  

2   . 𝜋𝑟 ! 𝑙  

𝐸! =  

!" ! !" !  

Reemplazo B en (2):

 

𝑉𝑜

V = Vo

Vo = A + B ln(a)

B=

𝜕𝑉     !" 𝜕𝑟

1  

𝜀!.!"  !  ! 2𝑙𝑛!

! !

2.  Calcule  la  energía  almacenada  en  un  condensador  esférico  de  radio  interno   α .  y  externo β .  si  se  aplica  un   voltaje  Vo.    

  Condiciones  de  borde  

  Aplicando  las  condiciones  tenemos

  Entonces    

2  

        Reemplazando  e  en  a    

  Reemplazando  A  y  B  en  la  ecuación  principal  

   

 

3  

2. Determinar la energía almacenada en una bobina circular de radio r

  ! =  𝑍  !" 𝑟1 =  𝑅   !"   ! − 𝑟1 =  𝑍  !" -  𝑅   !" !

  ! − 𝑟1 =   𝑅 ! + 𝑍 !  !   ! = 𝐼!

  ! = 𝐼!   ! = 𝐼!

𝜇! 4𝜋

 

𝜇! 4𝜋

 

4𝜋

+

  ! − 𝑟1

!

(𝑅𝑑𝛷  !" )𝑥(−  𝑅   !" + 𝑍  !" )   ! − 𝑟1

𝜇! 𝑅!

𝑑𝑙𝑥(𝑟 − 𝑟𝑙)

!

  (𝑅𝑑𝛷  !" )𝑥(−  𝑅   !" + 𝑍  !" )

! 𝑍 !  !

𝑅𝑑𝛷  !" 𝑥 −  𝑅   !" + 𝑍  !"

 !" = 0  

 !" 𝑅𝑑𝛷 – 𝑅0𝑧

  !" 0    

𝑅𝑑𝛷  !" 𝑥 −  𝑅   !" + 𝑍  !" = 𝑧𝑅𝑑𝛷   !" +   𝑅 ! 𝑑𝛷   !"

 

4  

  !

  !

= 𝐼!

= 𝐼!

!!

𝜇! 4𝜋 𝑅 ! +

! 𝑍 !  ! !

!!

𝜇! 4𝜋 𝑅 ! +

  (𝑧𝑅𝑑𝛷   !" +   𝑅 ! 𝑑𝛷   !" )

! 𝑍 !  !

(𝑧𝑅

  𝑑𝛷   +   𝑅 !"

!

𝐼!    𝜇!

  ! =

4𝜋 𝑅 ! +

! 𝑍 !  !

!!

!

  𝑑𝛷   !" ) !

(𝑧𝑅2𝜋𝑟 +   𝑅 ! 2𝜋   !" )

𝑝𝑎𝑟𝑎  𝑒𝑙  𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜  𝑑𝑒  𝑙𝑎  𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎  𝑧 = 0: 𝐼!    𝜇!

  ! =

4𝜋 𝑅 ! +   ! =

𝐼!    𝜇! 4𝜋 𝑅 ! +

! 𝑍 !  !

! 𝑍 !  !

(2𝜋𝑅 !   !" )

  !" → 𝑝𝑎𝑟𝑎  𝑢𝑛𝑎  𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎

  ! 𝑏𝑜𝑏𝑖𝑛𝑎 = 𝑁𝐵!"#$%&   !

𝑁  𝐼!  𝜇! = 2𝑅

!

1  ! =  𝐵!"!#$% 𝜇!

N=  𝜇!

1 𝑁  𝐼!  𝜇! =   𝜇!   2𝑅

N=!  𝜇!

 !

 ! =

 

!

N=!  𝜇! 𝐻 ! ! !

N=

𝑁  𝐼! 2𝑅

5  

 !!!!  ! !! !

!  !! ! !! ! !  !!  ! !! ! !  !

 

3. Calcular la potencia y resistencia de un conductor cilíndrico de radio interno a, externo b y longitud l y de conductividad σ si el cilindro interior es hueco. Se aplica una diferencia de potencial Vo y circula una corriente Io.

  ! =   −     ! =    

𝑉𝑜(−   !" ) 𝑙   𝑉𝑜(   !" ) 𝑙  

  ! =  𝜎  .     !

𝑉 𝑧 = 𝐴 + 𝐵(𝑧)

  ! =  𝜎

𝑉𝑜(   !" ) 𝑙  

  ! =  

  ! 𝑑𝑠

Condiciones de Borde: z= 0 ∴ V = 0

!!

z = l ∴ V = Vo

  ! =  

  !

0= A + B (z) A=0

!"

 !!

!  

2𝜋  𝑉𝑜  𝑟 ! =  𝜎 2  𝑙  

𝜋  𝑉𝑜 𝑏 ! − 𝑎! =  𝜎  𝑙   𝑅 =    

!  

𝑉 𝑧 =

𝑉𝑜(𝑧) 𝑙  

𝑅 =    

  ! =   −  ∇  . 𝑉

 

!

𝑉𝑜(   !" ) 𝑟𝑑𝑟𝑑Φ 𝑙  

I = Io

Vo = A + B l

B=

𝜎

𝜋  𝑉𝑜 𝑏 ! − 𝑎!   ! =  𝜎  𝑙  

Condición 2;

!"!!

  !

Condición (1):

B=

!

6  

𝐼𝑜 𝐼    𝑙

 𝜎𝜋   𝑏 ! − 𝑎!  

4. El SWR de una línea de transmisión de 100Ω es 3. La distancia entre voltajes mínimos sucesivos es de 50cm, mientras que la distancia desde la carga hasta el primer mínimo es de 20cm. Cuál es el coeficiente de reflexión?

Γ=

SWR − 1 SWR + 1 !!!

Γ = (!!!) !

Γ=! !

Γ=! 5. Considere un medio con pérdidas de permeabilidad 1.3  𝓔𝟎   y !"! permeabilidad µμ!   y una conductividad óhmica de 5.8 ∗ Ω!", calcular la atenuación, fase de profundidad de penetración e impedancia del medio para una onda que se propaga con una frecuencia de 10!   𝐻𝑧. Datos: ℰ =   1.3ℰ! µμ =   µμ! 𝜎 = 5.8 ∗  

!"! Ω!"

∗  

!""!"   !!

= 5.8 ∗  

!"! Ω!

10! 𝜎 Ω𝑚 > 100   →   ! 𝑤ℰ 2𝜋 ∗ 10 𝐻𝑧 ∗ 1.3 ∗ 3.35 ∗ 10!!"   5.8 ∗  

100 → 8.023 ∗ 10!! ≥ 100   𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑟 !

Β = α =    ! 2𝑤µμ𝜎 𝛽 =  

δ=

! !

2.∗ 2𝜋 ∗ 10! ∗ 4𝜋 ∗ 10!! ∗ 5.8 ∗   10! = 1.51*10!  

!"# !

! !!!

𝛿 =  

2𝜋 ∗

10!

2 ∗ 4𝜋 ∗ 10!! ∗ 5.8 ∗   10!

𝛿 = 6.61 ∗   10!  𝑚 𝑘 =  𝛽 + 𝑗𝛼 𝑘 = 1.51 ∗ 10!   +  𝑗1.51 ∗ 10!    

 

7  

𝑟𝑎𝑑   𝑚

𝑛 =  

µμ  𝑤 𝑘

4𝜋 ∗ 10!! ∗ 2𝜋 ∗ 10! 𝑛 =   1.51 ∗ 10!   +  𝑗1.51 ∗ 10!   ∗ 𝑛 = 2.61 ∗ 10!! −  𝑗  2.61 ∗ 10!!

6. Un campo eléctrico de la forma: Eejwte-jkr Se propaga en un conductor con pérdidas, tiene permitividad ξ, permeabilidad µ y conductividad σ. Si k=β+iα. ¿Determinar las igualdades para β, α y de la impedancia característica?   Ecuaciones  de  MAXWELL  

∇xE = −

∇.E =

∂B     ∂t

 

ρ ξ  

∂E = iwE   ∂t

∇xB = µ J + µξ ∇.B = 0

 

 

∂E   ∂t

 

∂B = iwB   ∂t

 

 

Remplazando  y  Utilizando  la  primera  ecuación  de  Maxwell  

ikxE = −iwB  

kx(ikxE ) = kx(−iwB)   k (ik.E ) − (ik.k ) E = −w(ikxB)   k (ik.E ) − (ik.k ) E = −w( µσ E + iwµξ E )   k(

ρ ) − (ik 2 ) E = − w( µσ E + iwµξ E )   ξ

−ik 2 = wµσ − iw2 µξ   k2 =

wµσ − iw2 µξ   i

k 2 = −iwµσ − i 2 w2 µξ   k 2 = −iwµσ + w2 µξ   k 2 = w2 µξ (1 −

 

iσ )   wξ 8  

∇ = ik  

´1

⎛ iσ ⎞ 2 k = w µξ ⎜1 − ⎟   w ξ ⎝ ⎠ Conductor  

σ ≥ 100   wξ ´1

⎛ iσ ⎞ 2 k = w µξ ⎜ − ⎟   ⎝ wξ ⎠ k = w µξ

k=w

µξσ wξ

σ −i   wξ i ⎤ ⎡ 1 + ⎢ − ⎥   2 ⎦ ⎣ 2

i ⎤ ⎡ 1   k = wµξ ⎢ − + 2 ⎥⎦ ⎣ 2

k =−

wµξ wµξ   +i 2 2

 

k = β + iα  

β =−

wµξ wµξ               α = −i   2 2

i kxE = − i wB   kxE = − wB  

kE sin 270 = − wµ H   −kE = − wµ H   E wµ    Impedancia  característica   = H k 7. Una onda plana uniforme con las componentes Ex y Hy de campo tiene una amplitud de campo eléctrico de 100 y se propaga a una frecuencia de 106 Hz en una región conductora cuyos parámetros son µo, 9ξo y (𝝈/ωξ)=0.5. Cuál es la profundidad de penetración de esta onda en la región disipadora. Determinar la longitud de onda y la velocidad de fase de esta onda.  

 

9  

F=106  Hz   µ=µo=4πx10-­‐7     ξ=9ξo   𝜎 = 0.5   𝜔𝜉 𝜎 = 0.5𝜔𝜉 = 0.5 2𝜋𝐹 = 0.5 2𝜋 ∗ 10! 8.85 ∗ 10!!"   𝜎 = 2.5 ∗ 10!!  

𝛿=

1 = 𝜇𝜋𝑓 𝛽=

6.2 ∗

10!

1 = ∗ 4𝜋 ∗ 10!! ∗ 2.5 ∗ 10!!

1 = 32.62   1.91 ∗ 10!!

2𝜋 1 1 = 2𝜔𝜇𝜎 = 2 ∗ 6.2 ∗ 10! ∗ 4𝜋 ∗ 10!! ∗ 2.5 ∗ 10!!   𝜆 2 2 𝛽 = 31.42 ∗ 10!!   𝜆=

𝑉𝐹 =

𝜂=

2𝜋 2𝜋 =𝜆= = 199.97  𝑚   𝛽 31.42 ∗ 10!! 𝜔 6.2 ∗ 10! 𝑚 !! = = 199.97 ∗ 10   𝛽 31.42 ∗ 10!! 𝑠

𝜇𝜔 4𝜋 ∗ 10!! ∗ 6.2 ∗ 10! = = 247.96   𝛽 31.42 ∗ 10!!

8. Una onda plana uniforme con campo eléctrico en la dirección del eje y, E=EOcosw(t-z/c) incide normalmente sobre un plano conductor perfecto que se esta moviendo con velocidad constante v, donde v <
𝐸=0 𝐵=0 Plano conductor perfecto

𝐸𝑖 = 𝐸𝑜𝐶𝑜𝑠𝑤(𝑡 − 𝑧/𝑐)𝚤𝑦  Campo Eléctrico Incidente 𝐸𝑟 = EoCosw(t + z/c)ıy  Campo Eléctrico Reflejado

 

10  

Campo Total 𝐸! = 𝐸! + 𝐸! 𝐸! = 𝐸𝑜𝐶𝑜𝑠𝑤 𝑡 −

𝑧 𝚤𝑦 + EoCosw(t + z/c)ıy 𝑐 𝐸   = 𝑛 𝐻 𝐻=

𝐻! =

!"

𝐻! =

!"

!

𝐶𝑜𝑠𝑤 𝑡 −

!

𝐶𝑜𝑠𝑤 𝑡 +

!

!

!

!

𝐸 𝑛

𝚤𝑥  Campo Magnético Incidente 𝚤𝑥  Campo Magnético Reflejado

Campo Total 𝐻! = 𝐻! + 𝐻! 𝐻! =

𝐸𝑜 𝑧 𝐸𝑜 𝑧 𝐶𝑜𝑠𝑤 𝑡 − 𝚤𝑥 − 𝐶𝑜𝑠𝑤 𝑡 + 𝚤𝑥 𝑛 𝑐 𝑛 𝑐

Para la frecuencia de la onda reflejada 𝑉 = 𝑉𝑜𝑆𝑒𝑛𝑤𝑡 𝑤 = 2𝜋𝑓

9. Un campo eléctrico tiene la forma 𝐸 = 100𝑒 ! !!∗!"∗!!!!∗!"∗! (𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠/𝑚). Cual es la frecuencia, la longitud de onda y velocidad de la luz en el medio. 𝜔 = 2𝜋 ∗ 10   𝐾 = 2𝜋 ∗ 10   𝜔   = 2𝜋 ∗ 𝑓                                        𝑓 =

! !!

 

  𝑓=

  𝐾=

  𝜆=

!!∗!" !!

!! !

                                             𝒇 = 𝟏𝟎𝑯𝒛  

                                                       𝜆 =

!! !!∗!"

!! !

 

                                               𝝀 = 𝟎. 𝟏  𝒎  

 

 

11  

𝜆=

!" !

                                                         𝑉𝑝 = 𝜆 ∗ 𝑓  

  𝑉𝑝 =

! !"

𝒎

∗ 10                                      𝑽𝒑 = 𝟏     𝒔

10. Un pez debajo de la superficie del agua que tiene índice de refracción n=1.33 observa una estrella que para él está a 𝟑𝟎° de la normal. ¿Cuál es el ángulo real de la estrella respecto de la normal?

  𝑛=

𝑐   𝑉𝑝

𝑛 = 1               𝑛! = 1.33   𝑛! ∗ 𝑠𝑒𝑛  𝜃𝑖 = 𝑛2 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑡   𝜃𝑡 = sen!! (

1.33 ∗ 𝑠𝑒𝑛  30 )   𝑛!

𝜃 = 41.68   Sabiendo  que:   𝑛! =

𝜀!  

Por  lo  tanto:     𝜀! =  Permisividad  relativa  del  agua    

11. En muchos casos sucede que la permeabilidad de los medios dieléctricos es igual a la del espacio libre. En este limite demuestre que los coeficientes de reflexión y de transmisión para ondas que inciden en forma oblicua sobre medios dieléctricos son:

 

12  

𝑅=

!!"#(!!!!!) !"#(!!!!!)

                                         

𝑇=

 

!!"#$!!"#$! !"#(!!!!!)

 

Solución:    𝜌 =

!"

𝑇=

!"

!"

!"

               Coeficiente  de  reflexión  

                 Coeficiente  de  Transmisión  

Condiciones:   1.-­‐    

       𝐵𝑛1 = 𝐵𝑛2  

2.-­‐  

 

3.-­‐    

𝐵𝑖𝑆𝑒𝑛𝜃𝑖 + 𝐵𝑟𝑆𝑒𝑛𝜃𝑟 = 𝐵𝑡𝑆𝑒𝑛𝜃𝑡  

4.-­‐    

−

! !!

!

𝐵−1=

! !!

!!

𝐵  

𝐵𝑖𝐶𝑜𝑠𝜃𝑖 +

! !!

𝐵𝑟𝐶𝑜𝑠𝜃𝑟 = −

! !!

𝐵𝑡𝐶𝑜𝑠𝜃𝑡  

Divido  todo  3  para  𝑆𝑒𝑛𝜃𝑟   𝐵𝑖

!"#$% !"#

%$+ 𝐵𝑟 = 𝐵𝑡

!"#$% !"#

%$Divido  todo  4  para   −𝐵𝑖

!"# !" !"# !"

! !!

+ Br   = −

   

Ecuación  5  

𝐶𝑜𝑠𝜃𝑟  

!" !"

Bt

!"# !" !"# !"

    Ecuación  6  

Despejo  de  5  Br  y  reemplazo  en  6   −𝐵𝑖

cos 𝜃𝑖 Sen 𝜃𝑖 µμ1 cos 𝜃𝑡 Sen 𝜃𝑡 − −𝐵𝑖   = − Bt − 𝐵𝑡   cos 𝜃𝑟 Sen 𝜃𝑟 µμ2 cos 𝜃𝑟 Sen 𝜃𝑟

−𝐵𝑖

cos 𝜃𝑖 Sen 𝜃𝑖 Sen 𝜃𝑡 µμ1 cos 𝜃𝑡 +   = −Bt +   cos 𝜃𝑟 Sen 𝜃𝑟 Sen 𝜃𝑟 µμ2 cos 𝜃𝑟

De  donde  𝜃𝑖 = 𝜃𝑟                              𝜇1 = 𝜇2 = 𝜇0}   −𝐵𝑖

cos 𝜃𝑟 Sen 𝜃𝑟 Sen 𝜃𝑡 µμ0 cos 𝜃𝑡 +   = −Bt +   cos 𝜃𝑟 Sen 𝜃𝑟 Sen 𝜃𝑟 µμ0 cos 𝜃𝑟 2𝐵𝑖 = Bt

Sen 𝜃𝑡 cos 𝜃𝑡 +   Sen 𝜃𝑟 cos 𝜃𝑟

𝐵𝑡 2 =   Sen 𝜃𝑡 cos 𝜃𝑡 𝐵𝑖 + Sen 𝜃𝑟 cos 𝜃𝑟 𝐵𝑡 2 Sen 𝜃𝑟 cos 𝜃𝑟 =                                    𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒    𝜃𝑟 = 𝜃1                  𝜃𝑡 = 𝜃2   𝐵𝑖 cos 𝜃𝑟 Sen 𝜃𝑡 + cos 𝜃𝑡 Sen 𝜃𝑟 𝐵 = 𝐸 𝜇𝜀   𝐵𝑡 = 𝐸𝑡 𝜇2𝜀2                                                                                                                  𝐵𝑖 = 𝐸𝑖 𝜇1𝜀1  

 

13  

𝐵𝑡 𝐸𝑡𝑆𝑒𝑛𝜃𝑖 =   𝐵𝑖 𝐸𝑖𝑆𝑒𝑛𝜃𝑡 𝐸𝑡𝑆𝑒𝑛𝜃𝑖 2 Sen 𝜃𝑖 cos 𝜃𝑖 =                                         𝐸𝑖𝑆𝑒𝑛𝜃𝑡 cos 𝜃𝑖 Sen 𝜃𝑡 + cos 𝜃𝑡 Sen 𝜃𝑖 𝐸𝑡 2 Sen 𝜃𝑖 cos 𝜃𝑖 𝑆𝑒𝑛𝜃𝑡 =     𝐸𝑖 cos 𝜃𝑖 Sen 𝜃𝑡 𝑆𝑒𝑛𝜃𝑖 + cos 𝜃𝑡 Sen 𝜃𝑖 𝑆𝑒𝑛𝜃𝑖 𝐸𝑡 2𝑆𝑒𝑛𝜃𝑡𝐶𝑜𝑠𝜃𝑖 =     𝐸𝑖 cos 𝜃𝑖 Sen 𝜃𝑡 + cos 𝜃𝑡 Sen 𝜃𝑖 𝐸𝑡 2𝑆𝑒𝑛𝜃𝑡𝐶𝑜𝑠𝜃𝑖 =                                                        𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛   𝐸𝑖 𝑆𝑒𝑛 𝜃𝑡 + 𝜃𝑖   1.-­‐    

𝐵𝑖𝑆𝑒𝑛𝜃𝑖 + 𝐵𝑟𝑆𝑒𝑛𝜃𝑟 = 𝐵𝑡𝑆𝑒𝑛𝜃𝑡  

2.-­‐    

−

! !!

𝐵𝑖𝐶𝑜𝑠𝜃𝑖 +

! !!

𝐵𝑟𝐶𝑜𝑠𝜃𝑟 = −

! !!

𝐵𝑡𝐶𝑜𝑠𝜃𝑡  

Divido  todo  1  para  𝑆𝑒𝑛𝜃𝑡   𝐵𝑖

!"#$% !"#

%$+ 𝐵𝑟

!"#$% !"#

%$= 𝐵𝑡        

Divido  todo  2  para   −

!! !!

𝐵𝑖

!"# !" !"# !"

−

!" !"

! !!

Br

 

 

Ecuacio3  

𝐶𝑜𝑠𝜃𝑡  

!"# !" !"# !"

  = −Bt    

Ecuacio4  

3  en  4   𝜇2 𝐵𝑖𝐶𝑜𝑠𝜃𝑖 𝜇2 𝐵𝑟𝐶𝑜𝑠𝜃𝑟 Senθi Senθr − = −Bi − Br   𝜇1 𝐶𝑜𝑠𝜃𝑡 𝜇1 𝐶𝑜𝑠𝜃𝑡 Senθt Senθt −

𝜇2 𝐵𝑖𝐶𝑜𝑠𝜃𝑖 Senθi Senθr 𝜇2 𝐵𝑟𝐶𝑜𝑠𝜃𝑟 + Bi = −Br +                            𝜇2 = 𝜇1                                  𝜃𝑖 = 𝜃𝑟   𝜇1 𝐶𝑜𝑠𝜃𝑡 Senθt Senθt 𝜇1 𝐶𝑜𝑠𝜃𝑡 𝐵𝑖 − 𝐵𝑖

𝐶𝑜𝑠𝜃𝑖 Senθi 𝐶𝑜𝑠𝜃𝑟 Senθr + = Br −   𝐶𝑜𝑠𝜃𝑡 Senθt 𝐶𝑜𝑠𝜃𝑡 Senθt

−Senθt  𝐶𝑜𝑠𝜃𝑖 + Senθi𝐶𝑜𝑠𝜃𝑡 Senθt𝐶𝑜𝑠𝜃𝑟 − Senθr𝐶𝑜𝑠𝜃𝑡 = Br   Senθt𝐶𝑜𝑠𝜃𝑡 Senθt𝐶𝑜𝑠𝜃𝑡 𝐵𝑟 −Senθt  𝐶𝑜𝑠𝜃𝑖 + Senθi𝐶𝑜𝑠𝜃𝑡 =   𝐵𝑖 Senθt𝐶𝑜𝑠𝜃𝑟 − Senθr𝐶𝑜𝑠𝜃𝑡 𝐸𝑟𝑆𝑒𝑛𝜃𝑟 −Senθt  𝐶𝑜𝑠𝜃𝑖 + Senθi𝐶𝑜𝑠𝜃𝑡 =   𝐸𝑖𝑆𝑒𝑛𝜃𝑖 Senθt𝐶𝑜𝑠𝜃𝑟 − Senθr𝐶𝑜𝑠𝜃𝑡 𝐸𝑟 −𝑆𝑒𝑛𝜃𝑖Senθt  𝐶𝑜𝑠𝜃𝑖 + 𝑆𝑒𝑛𝜃𝑖Senθi𝐶𝑜𝑠𝜃𝑡 =   𝐸𝑖 𝑆𝑒𝑛𝜃𝑟Senθt𝐶𝑜𝑠𝜃𝑟 − 𝑆𝑒𝑛𝜃𝑟Senθr𝐶𝑜𝑠𝜃𝑡 𝐸𝑟 −Senθt  𝐶𝑜𝑠𝜃𝑖 + 𝑆𝑒𝑛𝜃𝑖𝐶𝑜𝑠𝜃𝑡 =   𝐸𝑖 Senθt𝐶𝑜𝑠𝜃𝑟 − 𝑆𝑒𝑛𝜃𝑟𝐶𝑜𝑠𝜃𝑡 𝐸𝑟 −Senθt  𝐶𝑜𝑠𝜃𝑟 + 𝑆𝑒𝑛𝜃𝑟𝐶𝑜𝑠𝜃𝑡 =   𝐸𝑖 Senθt𝐶𝑜𝑠𝜃𝑟 − 𝑆𝑒𝑛𝜃𝑟𝐶𝑜𝑠𝜃𝑡

 

14  

  𝐸𝑟 −𝑆𝑒𝑛 𝜃𝑡 − 𝜃𝑟 =   𝐸𝑖 𝑆𝑒𝑛(𝜃𝑡 + 𝜃𝑟)

12. Un conductor óhmico de forma arbitraria tiene una distribución inicial de carga 𝜌! (𝑟) en t=0 Cual es la distribución de carga en cualquier

tiempo. Si la distribución inicial de carga es uniforme y esta confina da entre los electrodos de placas paralelas separadas una distancia d. Cuales son los campos eléctrico y magnético cuando los electrodos están a circuito abierto o corto circuito.   ∇𝐸 =

𝜑   ∈!

𝐽 =   ∇𝐸   ∇. 𝐽 = 𝜎 ∗   ∇𝐸   𝜑   ∈!

∇. 𝐽 = 𝜎 ∗

𝜕𝜑   𝜕𝑡

∇. 𝐽 = −

𝜎𝜑 𝜕𝜑 = −   ∈! 𝜕𝑡 − 𝑘−

𝜎𝜕𝑡 = ∈!

𝜕𝜑   𝜑

𝜎  𝑡 = ln 𝜑(!)   ∈!

  𝑝𝑎𝑟𝑎  𝑡 = 0                𝜑

! ! 𝜑!  

                                                                                                                                                   𝑘 = ln 𝜑!                                                                                                                                                    ln 𝜑! −                                                                                                                                                  −                                                                                                                                            −

!  ! ∈!

!  ! ∈!

!  ! ∈!

= ln 𝜑(!) −  ln 𝜑!  

=   ln

𝜑(!) 𝜑!

= ln(𝜑! )  

=𝑒

!(!) !! !

!  ! ∈!  

𝝋(𝒕) = 𝝋𝟎  𝒆

 

15  

 

!

𝝈  𝒕 ∈𝟎  

Para  el  campo  magnético    𝐻 = 𝐻𝑜(𝑥𝑖 − 𝑦𝑗)𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡  en  un  medio  lineal  de  permitividad  ξ  y   permeabilidad  u  determine  la  densidad  de  carga,  el  campo  eléctrico  y  la  densidad  de   corriente.   1)  ∇𝑥𝐸 = −

𝑑𝐵   𝑑𝑡

2)  ∇𝑥𝐵 = 𝑢𝐽 + 𝑢𝐸

𝑑𝐸   𝑑𝑡

3)  ∇. 𝐵 = 0   𝜌 4)  ∇. 𝐸 =   𝜉

1) ∇𝑥𝐸 = −𝑢 •

!! !"

 

Propagación  en  el  eje  Z:  H2=E2=0     Ix                              iy                                  iz                                                              ∇xE =                d/dx                  d/dy                    d/dz                                                                                                            Ex                            Ey                            0     𝑑𝐸𝑦 𝑑𝐸𝑥 𝑑𝐸𝑥 𝑑𝐸𝑦 =   − 𝑖𝑥 + 𝑖𝑦 − − 𝑖𝑍   𝑑𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥   𝑑𝐻 𝑊𝐻𝑜 𝑥𝑖𝑦 − 𝑦𝑖𝑥   𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡   𝑑𝑡   𝑑𝐸𝑦 𝑑𝐸𝑥 − 𝑖𝑥 + 𝑖𝑦 = −𝑢𝑤𝐻𝑜𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡𝑖𝑦 + 𝑢𝑤𝐻𝑜𝑦𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡𝑖𝑥   𝑑𝑧 𝑑𝑧   𝑑𝐸𝑦 − = 𝑢𝑤𝐻𝑜𝑦𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡   𝑑𝑧   𝑑𝐸𝑦 = −𝑢𝑤𝐻𝑜𝑦𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡𝑑𝑧     𝐸𝑦 = −𝑢𝑤𝐻𝑜𝑦𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡     𝑑𝐸𝑥 = −𝑢𝑤𝐻𝑜𝑥𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡   𝑑𝑧   𝑑𝐸𝑥 = −𝑢𝑤𝐻𝑜𝑥𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡𝑑𝑧     𝐸𝑥 = −𝑢𝑤𝐻𝑜𝑥𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡     𝐸 = −𝑢𝑤𝐻𝑜𝑧 𝑥𝑖𝑥 + 𝑦𝑖𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡    

 

16  

∇. 𝐸 =

𝑑𝐸𝑥 𝑑𝐸𝑦 𝑑𝐸𝑧 + +   𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧  

∇. 𝐸 = −𝑢𝑤𝐻𝑜𝑧𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 − 𝑢𝑤𝐻𝑜𝑧𝑤𝑡     ∇. 𝐸 = −2𝑢𝑤𝐻𝑜𝑧𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡     𝜌 ∇. 𝐸 =   𝜉   𝜌 = −2𝑢𝜉𝑤𝐻𝑜𝑧𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡     ∇𝑥 𝑢𝐻 = 𝑢𝚥 + 𝑢𝜉

𝑑𝐸   𝑑𝑡

  ∇𝑥𝐻 = 𝐽 + 𝜉

𝑑𝐸   𝑑𝑡

𝚥 = ∇𝑥𝐻 − 𝜉

𝑑𝐸   𝑑𝑡

 

  Ix                        iy                                    iz                                                                                    ∇𝑥𝐻 =                      d/dx                    d/dy                d/dz   Hx                            Hy                            0     ∇𝑥𝐻 =

𝑑𝐻𝑦 𝑓𝐻𝑥 𝑑𝐻𝑦 𝑑𝐻𝑧 𝑖𝑧 + 𝑖𝑦 + − 𝑖𝑧   𝑑𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦   ∇𝑥𝐻 = 0  

Porque  se  tiene  que  derivar  con  respecto  a  z  y  H  no  depende  de  z     𝐽 = −𝜉

𝑑𝐸   𝑑𝑡

𝐽 = −𝜉𝑢𝑤 ! 𝐻𝑜𝑧(𝑥𝚤𝑥 + 𝑦𝚤𝑦)𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡  

   

17  

Determinar   el   valor   de   la   constante   k   para   que   la   siguiente   función   sea   la   solución  de  la  ecuación  homogénea  de  coordenadas  esféricas.   Y  (r,  1)  =  

!! !(!"!!") !

+

!! !(!"!!") !

 

  𝑌∅ 𝑎𝑝 1 + 𝑎𝑝! + + = ∅   𝜕𝑟 𝑎𝑟 𝑎 𝑎∅ 𝐴𝑒 !(!"!!") 𝑗𝑘 𝐴𝑒 !(!"!!") 𝐵𝑒 !! + +𝑗 + 𝑎𝑟 𝑟 𝑟!

!"!!"

(−𝑗𝑘)

𝑟

𝐵𝑒 !!(!"!!") −   𝑟!

  𝑎∅ 𝐴𝑒 ! + 𝑎𝑟 +

𝐵𝑒 !!

!"!!"

𝑟

!"!!"

𝑟

𝑗𝑘 𝑗𝑘

−

𝐵𝑒 !!

−

𝐴𝑒 !

!!!!"

!"!!"

𝑗𝑘

𝑟! − −𝑗𝑘

𝑟!

−

−

𝐵𝑒 !

𝐴𝑒 !! !"!!" 2𝐴𝑒 ! !"!!" +   𝑟! 𝑟! !"!!"

−𝑗𝑘

𝑟!

+

2𝐵𝑒 !!

!"!!"

−𝑗𝑘

𝑟!

2𝐵𝑒 !!(!"!!") +   𝑟! 𝑎∅ 𝐴𝑒 !(!"!!") − 𝑗𝑤 𝐵𝑒 !! + + 𝑎𝑟 𝑟 𝑎∅ 𝐴𝑒 ! + 𝑎𝑟

!"!!"

!"!!"

(−𝑗𝑤)

𝑟

−𝑗𝑤 (−𝑗𝑤) 𝐵𝑒 !! + 𝑟

 

!"!!"

𝑟

−𝑗𝑤 (𝑗𝑤)

−

𝐾 ! 𝐴𝑒 !!(!"!!")   𝑟!

Reemplazo  en  la  ecuación  inicial   2𝐴𝑗𝑒 !(!"!!") 2𝐴𝑒 !(!"!!") 𝐾 ! 𝐵𝑒 !! !"!!" 2𝐵𝑗𝑘𝑒 !!(!"!!") 2𝐵𝑒 !(!"!!") + + − +   𝑟 𝑟! 𝑟 𝑟! 𝑟! +

2𝐴𝑗𝑘 !(!"!!") 2𝐴𝑒 !(!"!!") 2𝐵𝑒 !! !"!!" 2𝐵𝑒 !!(!"!!") 𝑤 ! 𝐵𝑒 !(!"!!") + − − +   𝑟! 𝑟! 𝑟! 𝑟! 𝑟𝑐 !

𝑤 ! 𝐵𝑒 !(!"!!") + = 𝜑   𝑟𝑐 ! 1𝑘 !

 

𝐴𝑒 !(!"!!") 𝐵𝑒 !(!"!!") 𝑤 ! 𝐴𝑒 !(!"!!") 𝐵𝑒 !(!"!!") + =− ! +   𝑟 𝑟 𝑐 𝑟 𝑟

18  

 

𝐾!

𝑤!   𝑐! 𝑤!   𝑐!

𝐾! = 𝑤   𝑐

𝐾=

5.  Una  línea  de  transmisión  de  esta  excitada  por  una  fuente  de  voltaje  𝑽𝒐𝑪𝒐𝒔𝝎𝒕  en   𝒙 = 𝒍.  La  línea  de  transmisión  esta  terminada  en  una  carga  puramente  reactiva  𝒋𝑿  en   𝒙 = 𝟎  .  Determine  la  distribución  de  voltaje  y  corriente  a  lo  largo  de  la  línea.  Repita   el  ejercicio  si  la  línea  de  transmisión  se  excita  por  una  fuente  de    corriente  𝑰𝒐𝑪𝒐𝒔𝝎𝒕   en  𝒙 = 𝒍.       𝑥 = 𝑙    

 

 

 

 

 

𝑉𝑎 = 𝑉𝑜𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡   𝑉𝑎 = 2𝑉! 𝑆𝑒𝑛ℎγl   𝑉𝑎 = 𝑉𝑎   2𝑉! 𝑆𝑒𝑛ℎγl = 𝑉𝑜𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡   𝑉𝑜𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡   2𝑆𝑒𝑛ℎγl

𝑉! =

𝑥 = 0   𝑉! = −𝑉!   𝑉! = −

𝑉𝑜𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡   2𝑆𝑒𝑛ℎγl

𝑉𝑥 = 𝑉! 𝑒 !! + 𝑉! 𝑒 !!!   𝑉𝑥 =

𝑉𝑜𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 !" 𝑉𝑜𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 !!" 𝑒 − 𝑒   2𝑆𝑒𝑛ℎγl 2𝑆𝑒𝑛ℎ𝜔γ

𝑉𝑥 =

𝑉𝑜𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 𝑉𝑜𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 −   2𝑆𝑒𝑛ℎγl 2𝑆𝑒𝑛ℎ𝜔γ

  𝐼𝑥 = 𝐼! 𝑒 !! + 𝐼! 𝑒 !!!   𝐼! =

 

𝑉!   𝑍!

19  

𝐼! =

𝑉𝑜𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡   2𝑍! 𝑆𝑒𝑛ℎγl

𝑥 = 0   𝐼! = −𝐼!   𝐼! = −

𝑉𝑜𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡   2𝑍! 𝑆𝑒𝑛ℎγl

𝐼𝑥 =

𝑉𝑜𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 !" 𝑉𝑜𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 !!" 𝑒 − 𝑒   2𝑍! 𝑆𝑒𝑛ℎγl 2𝑍! 𝑆𝑒𝑛ℎγl

𝐼𝑥 =

𝑉𝑜𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 𝑉𝑜𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 −   2𝑍! 𝑆𝑒𝑛ℎγl 2𝑍! 𝑆𝑒𝑛ℎγl

  2.   Una   onda   plana   uniforme   con   las   componentes   Ex   y   Hy   de   campo   tiene   una   amplitud  de  campo  eléctrico  de  100  y  se  propaga  a  una  frecuencia  de106  Hz  en  una   región   conductora   cuyos   parámetros   son   𝝁𝟎 ,   𝟗𝝃𝟎 ,   (𝝈/𝝎𝝃) = 𝟎. 𝟓  .   Cual   es   la   profundidad   de   penetración   de   esta   onda   en   la   región   disipadora.   Determinar   la   longitud  de  onda  y  la  velocidad  de  fase  de  esta  onda.   𝜎 = 0.5   𝜔𝜉 𝜎 = 0.5  𝜔𝜉   𝜎 = 0.5  2𝜋𝑓(9𝜉! )   𝜎 = 0.5  2𝜋(10! 𝐻𝑧)(9)(8.85𝑥10!!" )   𝜎 = 2.50𝑥10!!      

1   Ω𝑚

  𝛼 = 𝛽   𝛽=

𝛽=

𝜇𝜔𝜎   2 2𝜋𝑥10! 𝐻𝑧

4𝜋𝑥10!! 2

𝛽 = 0.0314

𝐻 𝑚

2.50𝑥10!!      

1 Ω𝑚  

𝑟𝑎𝑑   𝑚

  𝑣𝑓 =

 

𝜔   𝛽

20  

𝑣𝑓 =

2𝜋(10! 𝐻𝑧)   0.0314

𝒗𝒇 = 𝟐𝟎𝟎𝒙𝟏𝟎𝟔  

𝒎   𝒔

  1 𝛿 =   𝛼 𝛿=

1   0.0314      𝑁𝑒𝑝𝑝𝑒𝑟/𝑚

𝜹 = 𝟑𝟏. 𝟖𝟑  𝒎     𝜆=

2𝜋   𝛽 2𝜋

𝜆=

0.0314

𝑟𝑎𝑑 𝑚

 

𝝀 = 𝟐𝟎𝟎. 𝟏  𝒎    

3.- Un conductor óhmico de forma arbitraria tiene una distribución inicial de carga 𝜌𝑜(𝑟) en t=0. Cual es la distribución de carga en cualquier tiempo. Si la distribución inicial de carga es uniforme y esta confinada entre los electrodos de placas paralelas separadas una distancia d. Cuales son los campo eléctrico y magnético cuando los electrodos están a circuito abierto o en cortocircuito. 𝝆

 𝛥  

!

𝛥 𝛥 𝛥

!

=!

= 𝝈.

!

!

!

!

!

= 𝝈.

! 𝝆(𝒕) 𝑑𝑧 ! !!

  = − !

= 𝝈𝛥  

=

𝐸! =

𝝆𝒐 𝒅   !! 𝝆

!

!

!

𝙚

!

= − ! 𝒐 𝑑𝙚 !

𝝈𝒕 !!

= 𝒊

𝝈𝒕 !!

𝒊

𝝆(𝒕) !!

𝒛

𝒛

𝝆 𝜀!

𝜕𝝆 𝜕𝑡

𝝈𝑙 𝜕𝝆 = 𝜀! 𝜕𝑡

 

21  

𝑧

! !" !"

=

𝝆(𝒕) !!

𝝈!" !!

𝒌−

!𝝆

=

𝝆

𝝈𝜕𝑡 = 𝑙𝑛𝝆(𝒕) 𝜀!

Para t=0 𝝆 𝒕 = 𝝆𝒐 𝑘 = 𝑙𝑛𝝆𝒐 𝑙𝑛𝝆𝒐 −

𝝈𝒕 =  ln  (𝝆𝒕) 𝜀!

−

𝝈𝒕 = ln 𝝆𝒕 − 𝑙𝑛𝝆𝒐 𝜀!

−

𝝈𝒕 𝝆𝒕 = 𝒍𝒏( ) 𝜀! 𝝆𝒐

𝝈𝒕 𝝆𝒕 ! = 𝙚 !! 𝝆𝒐 !

𝝆𝒕 = 𝝆𝒐 𝙚

𝝈𝒕 !!

7.  Un  campo  eléctrico  de  la  forma:  Eejwte-­‐jkr  Se  propaga  en  un  conductor  con  pérdidas,   tiene  permitividad  ξ,  permeabilidad  μ  y  conductividad  σ.  Si  k=β+iα.  ¿Determinar  las   igualdades  para  β,  α  y  de  la  impedancia  característica?     Ecuaciones  de  MAXWELL  

∇xE = −

∇.E =

∂B     ∂t

 

ρ ξ  

∂E = iwE   ∂t

∇xB = µ J + µξ ∇.B = 0

 

 

∂E   ∂t

 

∂B = iwB   ∂t

 

 

Remplazando  y  Utilizando  la  primera  ecuación  de  Maxwell  

ikxE = −iwB  

kx(ikxE ) = kx(−iwB)   k (ik.E ) − (ik.k ) E = −w(ikxB)  

 

22  

∇ = ik  

k (ik.E ) − (ik.k ) E = −w( µσ E + iwµξ E )   k(

ρ ) − (ik 2 ) E = − w( µσ E + iwµξ E )   ξ

−ik 2 = wµσ − iw2 µξ   k2 =

wµσ − iw2 µξ   i

k 2 = −iwµσ − i 2 w2 µξ   k 2 = −iwµσ + w2 µξ   k 2 = w2 µξ (1 −

iσ )   wξ ´1

⎛ iσ ⎞ 2 k = w µξ ⎜1 − ⎟   ⎝ wξ ⎠ Conductor  

σ ≥ 100   wξ

´1

⎛ iσ ⎞ 2 k = w µξ ⎜ − ⎟   ⎝ wξ ⎠ k = w µξ

k=w

µξσ wξ

σ −i   wξ i ⎤ ⎡ 1 + ⎢ − ⎥   2 ⎦ ⎣ 2

i ⎤ ⎡ 1   k = wµξ ⎢ − + 2 ⎥⎦ ⎣ 2

k =−

wµξ wµξ   +i 2 2

 

k = β + iα  

β =−

 

wµξ wµξ               α = −i   2 2

23  

i kxE = − i wB   kxE = − wB  

kE sin 270 = − wµ H   −kE = − wµ H   E wµ    Impedancia  característica   = H k Un cilindro de radio de radio a esta colocado dentro de un campo magnético uniforme Hoix . Encuentre el campo magnético magnético si el cilindro tiene una permeabilidad µ2 y esta rodado por medio cuya permeabilidad es µ1.

φ2  

µ2   µ1   φ1  

condiciones r = 0 ∴ B2 = finito r → ∞ ∴ B1 = Bext r = a ∴ n1.B1 + n 2 B 2 = 0 1 1 r = a ∴ n1x B1 + n 2 x B2 = 0 µ1 µ2 n 2 = ir n1 = −ir

 

24  

 

25  

⎛ µ1a 2 Ho(µ1 − µ 2 ) ⎞ ⎟ cosφ ir − senφ iφ B1 = ⎜⎜ µ1Ho − (µ 2 + µ1) ⎟⎠ ⎝

(

⎛ a 2 (µ1 − µ 2 ) ⎞ ⎟⎟ cosφ ir − senφ iφ B1 = µ1Ho⎜⎜1 − ( ) µ 2 + µ 1 ⎝ ⎠

(

⎛ (µ1 − µ 2 ) ⎞ ⎟⎟ cosφ ir − senφ iφ B 2 = µ1Ho⎜⎜1 − ⎝ (µ 2 + µ1) ⎠

(

 

26  

)

)

)

9.-Determinar el potencial vectorial magnético y el campo para la siguiente distribución de corriente. Cilindro infinitamente largo de radio a que transporta una corriente superficial k 0 iφ .

 

2  

1   k

.  

 

 

 

a  

Condiciones: 1) r = 0 φ1 = finito 2) r = a φ2 = 0 →

→

→

→

n 1 B1 + n 2 B 2 = 0

3) r = a

1

→

4) r = a n 1 *

µ0

→

→

B+ n 2 *

1

µ0

→

B 2 = −kt

⎧ φ =⎛⎜ Ar + B2 ⎞⎟ cos φ ⎪ ⎝ r ⎠ φ = ⎨ ⎪φ2 =⎛⎜ Cr + D2 ⎞⎟ cos φ ⎩ ⎝ r ⎠ 1) r = 0 φ1 = finito

2) r = ∞ φ2 = 0

B=0

C=0

φ1 = Ar cos φ

φ1 =

D cos φ r2

∇φ =

 

dφ → 1 dφ → dφ → i r+ iφ+ iz dr r dφ dz

27  

→

B = ∇φ

⎧⎪ →B1 = A cos φr →r − Asenφ i →φ B = ⎨ → D → D → ⎪⎩ B = r 3 cos φ i r − r 3 senφ i φ →

→

→

→

3) r = a n 1 B 1 + n 2 B 2 = 0 → → → ⎡ D ⎤ i r * A cos φi r ⎢− 3 senφi r ⎥ = 0 ⎣ r ⎦

1

→

4) r = a n 1 *

ktx

−

−

−

1

µ0

A

µ0 A

µ0

µ0

1

→

µ0

→

(− Asenφiiφ ) − i r x →

senφi z +

+

→

B+ n 2 *

D r 3 µ0

D r 3µ0

→

B 2 = −kt → → 1 ⎡ D ⎤ − sen φ i φ = − k sen φ i z 0 ⎥ µ 0 ⎢⎣ r 3 ⎦

→

→

senφi z = −k 0 senφi z

= k0

D D 2D + = − k ; = −k 0 0 µ 0 a3 µ 0 a 3 µ 0 a3

− k0 µ0a3 D= 2

⎧⎪ →B1 = k 0 µ 0 (cos φi →r − senφ i →φ ) B = ⎨ → − k 2µ a 3 → → 0 0 ⎪⎩ B = 2 r 3 (cos φi r − senφ i φ )

 

28  

10.-Cuales son los campos B y H para una corriente volumetrica distribuida uniformemente Jo iz atravez de un cilindro de radio a y permeabilidad µ limitada por el espacio libre.

A=∏r2  

q = ∫ εoE .ds

µo   µ  

µo  

− Joa 2 Az = ln r 2ε 0C 2

q = ∫ ∫ εoErdφdz

− Joa 2 µ 0 Az = ln r 2 B = ∇x A

q = εoErl 2Π

B=−

ds (r ) = rdφdz l 2Π

0

q εorl 2Π q λ= l E=

E=

λ r 2εoΠ

V = − ∫ Edr

λ dr r 2εoΠ λ V = ln(r ) 2εoΠ λ = a 2Π φ V =∫

⎞ ∂ ⎛ − Joa 2 µ 0 ⎜⎜ ln r ⎟⎟iφ ∂r ⎝ 2 ⎠ 2 Joa µ 0 B= 2r Jo.a.µ 0 B= 2 1 H= B

µ

H=

a 2Π φ V =− ln(r ) 2εoΠ a 2φ V =− ln(r ) 2εo J φ= 2 C  

29  

Jo.a 2

1. Considere un medio con pérdidas de permitividad 1.3ξο y permeabilidad µο y una conductividad óhmica de 5.8 × 10−5 / Ωcm , calcular la atenuación , fase, profundidad de penetración, e impedancia del medio para una onda que se propaga con una frecuencia de 108 Hz .

DATOS : ξ = 1.3ξο µ = µο = 4π × 10 −7 ⎡H

⎤ ⎣ m ⎦ σ = 5.8 × 10 −5 / Ωcm = 5.8 × 10 −3 / Ωm

f = 10 8 Hz ξο = 8.85 × 10 −12 ⎡F

⎤ ⎣ m ⎦ ω = 2π f = 2π × 10 8

DESARROLLO : σ 5.8 × 10 −3 / Ωm = = 0.8023 ωξ 2π × 10 8 × 1.3ξο Podemos trabajar como dieléctrico o como conductor . Esta vez voy asumir la primera opción : β = 2.382 (1 + 0.080 ) β = 2.382 (1.080 ) • Atenuación (α ) β = 2.57 rad m

α= α=

1 2 1 2

µ σ ξ

∴ K = β + jα

4π × 10 1.3ξο

α = 0.958 rad

−7

×

5.8 × 10 Ωm

K = ( 2.57 + j 0.958 ) rad m

−3

•

Profundidad de Penetración ( ∂ ) ∂=

m

1

α

1 0.958 rad m ∂ = 1.044m ∂=

•

Fase ( β ) ⎛

β = ω µξ ⎜1 + ⎝

 

1 σ 2 ⎞ ⎟ 8 ω 2ξ 2 ⎠

•

Impedancia (η ) µω K 4π × 10 −7 × 2π × 10 8 η= 2.57 + j 0.958 η=

30  

η=

789.57 2.752 |20.44°

η = 286.90 |−20.44°

2.  La  densidad  de  flujo  de  potencia  electromagnética  promedio  en  el  tiempo  que  llega  a  la   Tierra  desde  el  sol,  es  aproximadamente   1340W

m2

.  Esta  potencia  esta  formada  por  

muchos  componentes  de  frecuencia,  que  van  desde  las  radiofrecuencias  hasta  la  región   ultravioleta  y  más  allá  de  esta  última.  Si  la  radiación  electromagnética  llegara  mediante   una  onda  plana  uniforme  a  una  sola  frecuencia  sinusoidal.  ¿Qué  amplitudes  de  campo   eléctrico  y  magnético  necesitarían  asociarse  con  esta  onda  para  suministrar  esta  densidad   de  potencia?    

DATOS : S = 1340 !"W m 2 #$   c = 3 ×108 !"m seg #$ µο = 4π ×10−7 !"H m #$ DESARROLLO :    S = E ×H

  1 H= B µο 1 H= B ⇒ µο

()

1 S = E .H

()

2 E = c .B

() () ( 4)

()

Reemplazo 3 en 2 y obtengo 4 E = c .µοH •

( )

Amplitud del Campo Magnético H

() ()

Reemplazo 4 en 1 S = c .µοH .H S = c .µοH 2

Despejo H ⇒ H 2 = H= H=

S c .µο

 

S c .µο 1340

(3 ×10 ) (4π ×10 ) 8

−7

H = 1.88 $% A m &'

 

31  

()

3 B = µοH

 

•

Amplitud del Campo Eléctrico E

( )

Despejo E de 1 y reemplazo S y H

()

S H 1340 E = 1.88 E = 712.76 !"V m #$ E =

 

3. Calcular la potencia y resistencia de un conductor cilíndrico de radio interno a, externo b y longitud l, de conductividad σ si el cilindro interior es hueco. Se aplica una diferencia de potencial V ο y circula una corriente I ο .

DESARROLLO : Solución Trivial : V z = A + B z

( )

( )

Condiciones :

(1) (2 ) DATOS : r1 = a r2=b V = Vo I = Io σ =σ

z =0

V =0

Z =l

V = Vo

Con 1 :

() Con (2) :

A=0 Vo = Bl B =

Vo l

Vo l Sabemos que :

∴

V =

  E = −∇.V

Reemplazando tenemos :

•

  Vo E =− iz l

Potencia P

( )

P =

  

∫ E .Jl .∂v

V

   Jl = σ .E

⇒

   σVo Jl = − iz l

∂v = r dr d φ dz ' Vo  * ' σVo  * P = ∫ )) − iz ,, )) − iz ,, .r dr d φ dz l l +( + v (

 

32  

P =

σVo 2 l2

b 2π l

∫a ∫ ∫ r dr d φ dz 0 0

b

σVo ⎛ r 2 ⎞ 2π l P = ⎜ ⎟ (φ )0 ( z )0 2 l ⎝ 2 ⎠a σVo 2 ⎛ b 2 − a 2 ⎞ P = ⎜ ⎟ ( 2π )(l l 2 ⎝ 2 ⎠ 2

P = •

)

σVo 2 (b 2 − a 2 ) l

Resistencia (R ) P =

V2 R

⇒

R =

V2 P

Vo 2 σVo 2 (b 2 − a 2 ) l l R = 2 σ (b − a 2 ) R =

4. Consideremos una nube cargada uniformemente con una densidad ⎛ r 2 ⎞ volumétrica de carga ρ = ρO ⎜1 − 2 ⎟ , la nube tiene forma esférica y radio R, R ⎠ ⎝ calcular la energía en el interior de la nube. DATOS : ⎛

ρ = ρo ⎜1 − ⎝

r 2 ⎞ ⎟ R 2 ⎠

DESARROLLO :

(1)

ηE =

  ∫ ξοE .ds = 2π π

ξοE

∫ ∫r

2

1 ξοE 2

2

(2 )

WE = ∫ ηE ∂v v

∫ ρ ∂v

v

senθ dθ d φ =

0 0

2π π R

$ r2 ' 2 & ) r senθ dr dθ d φ 1 − o& 2) % R (

∫ ∫ ∫ρ 0 0 0

R

$r 3 r 5 ' ξοE r − cos θ φ = ρo − cos θ φ && − 2 )) 0 0 0 0 % 3 5R (0 $R3 R5 ' ξοE r 2 1 + 1 2π = ρo 1 + 1 2π && − 2 )) % 3 5R ( 2

(

π

)()

( )( )

 

2π

(

π

)()

( )( )

33  

2π

 

" 5R 3 − 3R 3 % '' ξοEr 2 4π = 4π ρo $$ # 15 & " 2R 3 % '' ξοEr 2 = ρo $$ # 15 & 2ρ R 3 E= o 2 15ξοr

E

()

en 1

2ρ R 3 1 ⇒ ηE = ξο . o 2 2 15ξοr

ηE =

()

ηE en 2

ρoR 3 15r 2

⇒ WE =

2π π R

ρoR 3

∫ ∫ ∫ 15r 0 0 0

2

.r 2senθ dr dθ d φ

WE

π

2π

R

0

0

0

( ) (φ ) (r ) = ρ R (1 +1) (2π ) (R )

WE = ρoR 3 − cos θ 3

o

WE = 4πρoR 4

1. La constante ξr de un gas varía con una frecuencia angular ω de la siguiente forma ξr =

A + 1 , donde A es constante. Calcular la velocidad de ω2

grupo de la onda en este gas.

 

DESARROLLO :

DATOS : ξ = ξoξr A ξr = 2 + 1   ω !A $ ξ = ξo ## 2 + 1&& "ω %

 

! 1 σ2 $ & β = ω µξ ##1 + 2 2& " 8ω ξ %

β = ω µξ +

1 σ 2 µξ 8 ωξ 2

σ µξ 8 ω 2ξ 4 !A $ σ2 β = ω 2µξo ## 2 + 1&& + "ω % 8 β = ω 2µξ +

34  

 

2

µ 3

!A $ ω ξo ## 2 + 1&& "ω % 2

3

vg =

1 ∂β ∂ω

∂β = ∂ω

ωµ ξo

(

µA + ω 2µ

)

+

σ2

1

µ

16

×

1 3

" A % ω ξo $$ 2 + 1'' #ω & " % $ ' $ ' 1 ' ×$ 2 3 $ 3A ' " % " % A A 3 3 ωξo + 1 + 2 ωξo + 1 $ ' $ ' $ $ 2 ' $ 2 ' ' $ 2 ' #ω & #ω & & # 2

' ω µξo σ ω µξo ) ∂β = + ×) 2 ∂ω 8 ) ξo 2 A +ω ( 2

(

∂β = ∂ω

vg =

7

)

(

* , 1 , 2 # 3 2 %, A + ω $3Aω + 4 A + ω & +

)

' ) σ 2ω 6 × )1 + A + ω 2 ) 8ξo 2 #$3Aω 3 + 4 A + ω 2 (

ω µξo

(

1 ∂β ∂ω

⇒

3

)

* , % ,, &+

)

1

vg =

' * ) , σ 2ω 6 × )1 + , A + ω 2 ) 8ξo 2 #$3Aω 3 + 4 A + ω 2 %& , ( + A + ω 2 8ξo 2 #$3Aω 3 + 4 A + ω 2 %& vg = ω µξo 8ξo 2 #$3Aω 3 + 4 A + ω 2 %& + σ 2ω 6

ω µξo

(

{

(

 

(

35  

)

)}

(

(

)

)

2. Una onda plana uniforme con las componentes E x y H y de campo tienen una amplitud de campo eléctrico de 100 y se propaga a una frecuencia de 10 6 Hz en una región conductora cuyos parámetros son µO , 9ξO y (σ ωξ ) = 0, 5 . Cuál es la frecuencia crítica, la distancia a la cual la onda tiene una amplitud de 100e −1 de la amplitud inicial en la región disipadora y la velocidad de grupo de esta onda.

DATOS : f = 106 Hz µ = µo ξ = 9ξ o σ = 0, 5 ⇒ ωξ ω = 2π f

σ = 0 , 5ωξ ω = 2π × 106

⇒

DESARROLLO : • Frecuencia Crítica (fc

σ = 2π fc ξ

⇒

)

fc =

σ 2πξ

fc =

0 , 5ωξ 2πξ

0 , 5 × 2π × 106 × 9ξ o fc = 2π 9ξ o

fc = 0 , 5 × 106 Hz •

Velocidad de grupo (vg )

(1) β =

vg =

1 ∂β ∂ω

µωσ 2

∂β 1 ⎛ µωσ ⎞ = ⎜ ∂ω 2 ⎝ 2 ⎟⎠

 

−1

2

⎛ µσ ⎞ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠

36  

∂β ⎛ µσ ⎞ = ⎜ ⎟ ∂ω ⎝ 4 ⎠

1 ⎛ µωσ ⎞ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠

∂β ⎛ µ × 0.5ωξ ⎞ = ⎜ ⎟ ∂ω 4 ⎝ ⎠ ∂β ⎛ µ × 0.5ωξ ⎞ = ⎜ ⎟ ∂ω 4 ⎝ ⎠

1 ⎛ µω × 0.5ωξ ⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ 1 ⎛ µ × 0.5ξ ⎞ ⎟ 2 ⎝ ⎠

ω ⎜

∂β ⎛ µ × 0.5 × 9ξ o ⎞ = ⎜ ⎟ ∂ω 4 ⎝ ⎠

1 ⎛ µ × 0.5 × 9ξ o ⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠

∂β ⎛ µ × 0.5 × 9ξ o ⎞ = ⎜ ⎟ ∂ω 4 ⎝ ⎠

1 ⎛ µ × 0.5 × 9ξ o ⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠

∂β 1, 25 × 10 −17 = = 2 , 5 × 10 −9 −9 ∂ω 5 × 10 ∂β ∂ω

vg =

•

en

(1)

1 2 , 5 × 10 −9

vg = 400 × 106 m / seg

⇒

Distancia ( ∂ ) α =β ∴

(2 )

∂ =

1

β

∂β = 2 , 5 × 10 −9 ∂ω ∂β = 2 , 5 × 10 −9 ∂ω

∫ ∂β  

=

∫ 2, 5 × 10

−9

∂ω

37  

β = 2, 5 × 10 −9 ω β = 2, 5 × 10 −9 × 2π × 106 Hz β = 0 , 0157 β en ∂=

(2 )

1 0 , 0157

⇒

∂ = 63, 69m .

3. Una guía de onda metálica rectangular está llena de plasma de ley constitutiva:

dJ f = ω 2pξE dt a. Cuál es la impedancia asociada a este plasma. b. Cuáles son las velocidades de fase y de grupo de las ondas.

DESARROLLO : ur

J = Jo .e

(

uur r

i K r −ωt

) ur

iW p ξ E ∂J = −i ω Jo ⇒ J = ∂t ω ur ur ur i k × B = µ J − i ωµξ E ur ur ur ur ur i k × i k × E = i k × −i ω B ur ur ur ur ur ur 2 i k i k .E − (ik ) E = −i ω i k × B ur ur ur i k i k .E = 0 ur ur ur 2 k E = −i ω i k × B 2

(

( (

)

) )

)

(

(

 

(

)

38  

)

ur

ur

k 2 E = −i ω µ J − i ωµξ E

(

)

ur ⎞ ⎛ ⎛ iW p 2ξ E ⎞ k E = −i ω ⎜ µ ⎜ − i ωµξ E ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ω ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ur ur ⎛ W 2 ⎛ ⎞ ⎞ k 2 E = −i ω ⎜ i µξ E ⎜ p − ω ⎟ ⎟ ⎜ ω ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ur ur ⎛ W p 2 ⎞ 2 2 k E = −i ωµξ E ⎜ − ω ⎟ ⎜ ω ⎟ ⎝ ⎠ 2 ⎛ W ⎞ k 2 = ωµξ ⎜ p − ω ⎟ ⎜ ω ⎟ ⎝ ⎠ 2

•

ur

k =

⎛ W p 2 − ω 2 ωµξ ⎜ ⎜ ω ⎝

k =

µξ (W p 2 − ω 2 )

Impedancia

η =

vf =

µξ (W p 2 − ω 2 )

ω β

⇒

)

k =β

ω µξ (W p 2 − ω 2 )

Velocidad de Grupo (vg ) vg =

 

µω

Velocidad de Fase (vf vf =

•

(η )

µω k

η =

•

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

1 ∂β ∂ω

⇒

∂β 1 = µξ W p 2 − ω 2 ∂ω 2

(

39  

(

))

−1

2

( 2µξω )

2 µξω 2 µξ W p 2 − ω 2

∂β = ∂ω

(

)

1

vg =

µξω µξ (W p 2 − ω 2 ) µξ (W p 2 − ω 2 )

vg =

µξω

En  una  línea  de  transmisión  de  longitud  100  millas,  𝑍𝑜 = 685 −  𝑗92, 𝛿 = 0.00497 + 𝑗0.0352  para  una  frecuencia  de  1Khz,  si  la  línea  esta  terminada  en   Z1=2000  y  el  generador  es  de  10  voltios  con  una  impedancia  de  700Ω.  Determinar   Zs,  V,I,P  y  𝜌  en  las  terminales.      

  !"

ZG= !"    

!"

IG=!"    

  !"

IG=!"" = 14.285𝑚𝐴    

  Circuito  abierto   !"#$  !"

L  =  100  millas   !  !"##$    =    160.9  Km   I(x)    =  I1  𝑒 !" +  I2  𝑒 !!"   V(x)    =  V1  𝑒 !" +  V2  𝑒 !!"   X=0  ;  V1  =  Vr  =  10    

 

40  

!

Z0= !!    

I1=!

!!

! !!

!

!"  !°

=

!"  !°

= !"#$  –!!"   !"#!!!" !!""Ω

  I1=  7.3  x  10!!  −4°   Ps=I  x  V  x  cos 𝜃   Ps=I  x  V  x  cos 𝜃   Ps  =  71.82  mw   10  0° =V1𝑒 !"   !"  !°

!"  !°

V1=! !"#(!.!!"#$!!.!"#$) = !.!!      !.!!"  !"#   !"  !°

V1  =  !.!!      !"#.!" = 4.50     − 160.23°   Ir  =  !

!!

! !!!!

=  

!.!"    !!"#.!" !"#!!!" !!"""

 =  1.67  x  10!!    -­‐160.27°  

Pr  =  I  x  V  x  cos 𝜃   Pr  =  7.51  x  10!!    w   ! !!

!"""! !"#!!!"

𝜌  r  =  ! !!! !       𝜌  =  !"""! !

!!

!""! !"#!!!"

Pz=!""!

 

   = !"#!!!"

      !"#!!!"

!"!!!" !"#$!!!"

!"!# !!!"

𝜌  =  !"#$

   =0.067    -­‐84.54°  

41  

!".!"        !°

 =    =0.49+j0.051   !!!" !"#$      !!.!"°

5.-­‐  Para  el  campo  magnético    𝐻 = 𝐻𝑜(𝑥𝑖 − 𝑦𝑗)𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡  en  un  medio  lineal  de  permitividad  ξ   y  permeabilidad  u  determine  la  densidad  de  carga,  el  campo  eléctrico  y  la  densidad  de   corriente.   1)  ∇𝑥𝐸 = −

𝑑𝐵   𝑑𝑡

2)  ∇𝑥𝐵 = 𝑢𝐽 + 𝑢𝐸

𝑑𝐸   𝑑𝑡

3)  ∇. 𝐵 = 0   𝜌 4)  ∇. 𝐸 =   𝜉

1) ∇𝑥𝐸 = −𝑢 •

!! !"

 

Propagación  en  el  eje  Z:  H2=E2=0     Ix                              iy                                  iz                                                              ∇xE =                d/dx                  d/dy                    d/dz                                                                                                            Ex                            Ey                            0     𝑑𝐸𝑦 𝑑𝐸𝑥 𝑑𝐸𝑥 𝑑𝐸𝑦 =   − 𝑖𝑥 + 𝑖𝑦 − − 𝑖𝑍   𝑑𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥   𝑑𝐻 𝑊𝐻𝑜 𝑥𝑖𝑦 − 𝑦𝑖𝑥   𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡   𝑑𝑡   𝑑𝐸𝑦 𝑑𝐸𝑥 − 𝑖𝑥 + 𝑖𝑦 = −𝑢𝑤𝐻𝑜𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡𝑖𝑦 + 𝑢𝑤𝐻𝑜𝑦𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡𝑖𝑥   𝑑𝑧 𝑑𝑧   𝑑𝐸𝑦 − = 𝑢𝑤𝐻𝑜𝑦𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡   𝑑𝑧   𝑑𝐸𝑦 = −𝑢𝑤𝐻𝑜𝑦𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡𝑑𝑧     𝐸𝑦 = −𝑢𝑤𝐻𝑜𝑦𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡     𝑑𝐸𝑥 = −𝑢𝑤𝐻𝑜𝑥𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡   𝑑𝑧   𝑑𝐸𝑥 = −𝑢𝑤𝐻𝑜𝑥𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡𝑑𝑧     𝐸𝑥 = −𝑢𝑤𝐻𝑜𝑥𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡     𝐸 = −𝑢𝑤𝐻𝑜𝑧 𝑥𝑖𝑥 + 𝑦𝑖𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡    

∇. 𝐸 =

𝑑𝐸𝑥 𝑑𝐸𝑦 𝑑𝐸𝑧 + +   𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧  

∇. 𝐸 = −𝑢𝑤𝐻𝑜𝑧𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 − 𝑢𝑤𝐻𝑜𝑧𝑤𝑡     ∇. 𝐸 = −2𝑢𝑤𝐻𝑜𝑧𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡     𝜌 ∇. 𝐸 =   𝜉   𝜌 = −2𝑢𝜉𝑤𝐻𝑜𝑧𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡     ∇𝑥 𝑢𝐻 = 𝑢𝚥 + 𝑢𝜉

𝑑𝐸   𝑑𝑡

  ∇𝑥𝐻 = 𝐽 + 𝜉

𝑑𝐸   𝑑𝑡

𝚥 = ∇𝑥𝐻 − 𝜉

𝑑𝐸   𝑑𝑡

 

  Ix                        iy                                    iz                                                                                    ∇𝑥𝐻 =                      d/dx                    d/dy                d/dz   Hx                            Hy                            0     ∇𝑥𝐻 =

𝑑𝐻𝑦 𝑓𝐻𝑥 𝑑𝐻𝑦 𝑑𝐻𝑧 𝑖𝑧 + 𝑖𝑦 + − 𝑖𝑧   𝑑𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦   ∇𝑥𝐻 = 0  

Porque  se  tiene  que  derivar  con  respecto  a  z  y  H  no  depende  de  z     𝐽 = −𝜉

𝑑𝐸   𝑑𝑡

𝐽 = −𝜉𝑢𝑤 ! 𝐻𝑜𝑧(𝑥𝚤𝑥 + 𝑦𝚤𝑦)𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡    

5.  Una  línea  de  transmisión  de  esta  excitada  por  una  fuente  de  voltaje  𝑉𝑜𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡  en  𝑥 = 𝑙.   La  línea  de  transmisión  esta  terminada  en  una  carga  puramente  reactiva  𝑗𝑋  en  𝑥 = 0  .   Determine  la  distribución  de  voltaje  y  corriente  a  lo  largo  de  la  línea.  Repita  el  ejercicio  si   la  línea  de  transmisión  se  excita  por  una  fuente  de    corriente  𝐼𝑜𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡  en  𝑥 = 𝑙.       𝑥 = 𝑙    

 

 

 

 

𝑉𝑎 = 𝑉𝑜𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡   𝑉𝑎 = 2𝑉! 𝑆𝑒𝑛ℎγl   𝑉𝑎 = 𝑉𝑎   2𝑉! 𝑆𝑒𝑛ℎγl = 𝑉𝑜𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡   𝑉𝑜𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡   2𝑆𝑒𝑛ℎγl

𝑉! =

𝑥 = 0   𝑉! = −𝑉!   𝑉! = −

𝑉𝑜𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡   2𝑆𝑒𝑛ℎγl

𝑉𝑥 = 𝑉! 𝑒 !! + 𝑉! 𝑒 !!!   𝑉𝑥 =

𝑉𝑜𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 !" 𝑉𝑜𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 !!" 𝑒 − 𝑒   2𝑆𝑒𝑛ℎγl 2𝑆𝑒𝑛ℎ𝜔γ

𝑉𝑥 =

𝑉𝑜𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 𝑉𝑜𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 −   2𝑆𝑒𝑛ℎγl 2𝑆𝑒𝑛ℎ𝜔γ

  𝐼𝑥 = 𝐼! 𝑒 !! + 𝐼! 𝑒 !!!   𝐼! =

𝑉!   𝑍!

𝐼! =

𝑉𝑜𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡   2𝑍! 𝑆𝑒𝑛ℎγl

𝑥 = 0   𝐼! = −𝐼!   𝐼! = − 𝐼𝑥 =

𝑉𝑜𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡   2𝑍! 𝑆𝑒𝑛ℎγl

𝑉𝑜𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 !" 𝑉𝑜𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 !!" 𝑒 − 𝑒   2𝑍! 𝑆𝑒𝑛ℎγl 2𝑍! 𝑆𝑒𝑛ℎγl

 

𝐼𝑥 =

𝑉𝑜𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 𝑉𝑜𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 −   2𝑍! 𝑆𝑒𝑛ℎγl 2𝑍! 𝑆𝑒𝑛ℎγl

  2.   Una   onda   plana   uniforme   con   las   componentes   Ex   y   Hy   de   campo   tiene   una   amplitud  de  campo  eléctrico  de  100  y  se  propaga  a  una  frecuencia  de106  Hz  en  una   región   conductora   cuyos   parámetros   son   𝝁𝟎 ,   𝟗𝝃𝟎 ,   (𝝈/𝝎𝝃) = 𝟎. 𝟓  .   Cual   es   la   profundidad   de   penetración   de   esta   onda   en   la   región   disipadora.   Determinar   la   longitud  de  onda  y  la  velocidad  de  fase  de  esta  onda.   𝜎 = 0.5   𝜔𝜉 𝜎 = 0.5  𝜔𝜉   𝜎 = 0.5  2𝜋𝑓(9𝜉! )   𝜎 = 0.5  2𝜋(10! 𝐻𝑧)(9)(8.85𝑥10!!" )   𝜎 = 2.50𝑥10!!      

1   Ω𝑚

  𝛼 = 𝛽   𝜇𝜔𝜎   2

𝛽=

2𝜋𝑥10! 𝐻𝑧

𝛽=

4𝜋𝑥10!! 2

𝛽 = 0.0314

𝑟𝑎𝑑   𝑚

  𝑣𝑓 =

𝜔   𝛽

𝑣𝑓 =

2𝜋(10! 𝐻𝑧)   0.0314

𝒗𝒇 = 𝟐𝟎𝟎𝒙𝟏𝟎𝟔  

𝒎   𝒔

  1 𝛿 =   𝛼 𝛿=

1   0.0314      𝑁𝑒𝑝𝑝𝑒𝑟/𝑚

𝐻 𝑚

2.50𝑥10!!      

1 Ω𝑚  

𝜹 = 𝟑𝟏. 𝟖𝟑  𝒎     2𝜋   𝛽

𝜆=

2𝜋

𝜆=

0.0314

𝑟𝑎𝑑 𝑚

 

𝝀 = 𝟐𝟎𝟎. 𝟏  𝒎  

3.- Un conductor óhmico de forma arbitraria tiene una distribución inicial de carga 𝜌𝑜(𝑟) en t=0. Cual es la distribución de carga en cualquier tiempo. Si la distribución inicial de carga es uniforme y esta confinada entre los electrodos de placas paralelas separadas una distancia d. Cuales son los campo eléctrico y magnético cuando los electrodos están a circuito abierto o en cortocircuito. 𝝆

 𝛥  

!

𝛥 𝛥 𝛥

!

=!

= 𝝈.

!

!

!

!

!

= 𝝈.

!!

!

𝝆 𝜀!

𝜕𝝆 𝜕𝑡

𝒌−

=

!𝝆 𝝆

𝝈𝜕𝑡 = 𝑙𝑛𝝆(𝒕) 𝜀!

Para t=0 𝝆 𝒕 = 𝝆𝒐 𝑘 = 𝑙𝑛𝝆𝒐 𝑙𝑛𝝆𝒐 − −

𝝆𝒐 𝒅   !! 𝝆

𝝈𝑙 𝜕𝝆 = 𝜀! 𝜕𝑡 𝝈!"

! 𝝆(𝒕) 𝑑𝑧 ! !!

  = −

= 𝝈𝛥  

=

𝐸! =

!

𝝈𝒕 =  ln  (𝝆𝒕) 𝜀!

𝝈𝒕 = ln 𝝆𝒕 − 𝑙𝑛𝝆𝒐 𝜀!

!

!

𝙚

!

= − ! 𝒐 𝑑𝙚 !

𝝈𝒕 !!

= 𝒊

𝝈𝒕 !!

𝒊

𝝆(𝒕) !!

𝒛

𝒛

𝑧

! !" !"

=

𝝆(𝒕) !!

−

𝝈𝒕 𝝆𝒕 = 𝒍𝒏( ) 𝜀! 𝝆𝒐

𝝈𝒕 𝝆𝒕 ! = 𝙚 !! 𝝆𝒐 !

𝝆𝒕 = 𝝆𝒐 𝙚

𝝈𝒕 !!

7.  Un  campo  eléctrico  de  la  forma:  Eejwte-­‐jkr  Se  propaga  en  un  conductor  con  pérdidas,   tiene  permitividad  ξ,  permeabilidad  μ  y  conductividad  σ.  Si  k=β+iα.  ¿Determinar  las   igualdades  para  β,  α  y  de  la  impedancia  característica?     Ecuaciones  de  MAXWELL  

∇xE = −

∇.E =

∂B     ∂t

 

ρ ξ  

∂E = iwE   ∂t

∇xB = µ J + µξ ∇.B = 0

 

 

∂E   ∂t

 

∂B = iwB   ∂t

 

 

Remplazando  y  Utilizando  la  primera  ecuación  de  Maxwell  

ikxE = −iwB  

kx(ikxE ) = kx(−iwB)   k (ik.E ) − (ik.k ) E = −w(ikxB)   k (ik.E ) − (ik.k ) E = −w( µσ E + iwµξ E )   k(

ρ ) − (ik 2 ) E = − w( µσ E + iwµξ E )   ξ

−ik 2 = wµσ − iw2 µξ   k2 =

wµσ − iw2 µξ   i

k 2 = −iwµσ − i 2 w2 µξ   k 2 = −iwµσ + w2 µξ  

∇ = ik  

k 2 = w2 µξ (1 −

iσ )   wξ ´1

⎛ iσ ⎞ 2 k = w µξ ⎜1 − ⎟   ⎝ wξ ⎠ Conductor  

σ ≥ 100   wξ

´1

⎛ iσ ⎞ 2 k = w µξ ⎜ − ⎟   ⎝ wξ ⎠ k = w µξ

k=w

µξσ wξ

σ −i   wξ i ⎤ ⎡ 1 + ⎢ − ⎥   2 ⎦ ⎣ 2

i ⎤ ⎡ 1   k = wµξ ⎢ − + 2 ⎥⎦ ⎣ 2

k =−

wµξ wµξ   +i 2 2

 

k = β + iα  

β =−

wµξ wµξ               α = −i   2 2

i kxE = − i wB   kxE = − wB  

kE sin 270 = − wµ H   −kE = − wµ H   E wµ    Impedancia  característica   = H k En  una  línea  de  transmisión  de  longitud  100  millas,  𝑍𝑜 = 685 −  𝑗92, 𝛿 = 0.00497 + 𝑗0.0352  para  una  frecuencia  de  1Khz,  si  la  línea  esta  terminada  en  

Z1=2000  y  el  generador  es  de  10  voltios  con  una  impedancia  de  700Ω.  Determinar   Zs,  V,I,P  y  𝜌  en  las  terminales.      

  !"

ZG= !"    

!"

  !"

IG=!"    

IG=!"" = 14.285𝑚𝐴    

  Circuito  abierto   !"#$  !"

L  =  100  millas   !  !"##$    =    160.9  Km     I(x)    =  I1  𝑒 !" +  I2  𝑒 !!"   V(x)    =  V1  𝑒 !" +  V2  𝑒 !!"   X=0  ;  V1  =  Vr  =  10     !

Z0= !!     !

I1=!

!!

! !!

  I1=  7.3  x  10!!  −4°     Ps=I  x  V  x  cos 𝜃   Ps=I  x  V  x  cos 𝜃   Ps  =  71.82  mw     10  0° =V1𝑒 !"  

=

!"  !°

!"  !°

= !"#$  –!!"   !"#!!!" !!""Ω

!"  !°

!"  !°

V1=! !"#(!.!!"#$!!.!"#$) = !.!!      !.!!"  !"#   !"  !°

V1  =  !.!!      !"#.!" = 4.50     − 160.23°   Ir  =  !

!!

! !!!!

=  

!.!"    !!"#.!" !"#!!!" !!"""

 =  1.67  x  10!!    -­‐160.27°  

Pr  =  I  x  V  x  cos 𝜃   Pr  =  7.51  x  10!!    w     ! !!

!"""! !"#!!!"

𝜌  r  =  ! !!! !       𝜌  =  !"""! !

!!

      !"#!!!"

!"!# !!!"

𝜌  =  !"#$

!".!"        !°

 =    =0.49+j0.051   !!!" !"#$      !!.!"°

  !""! !"#!!!"

Pz=!""!    

       

!"#!!!"

   =

!"!!!" !"#$!!!"

   =0.067    -­‐84.54°    

En una línea de transmisión de longitud 100 millas, para una frecuencia de 1Khz, si la línea esta terminada en Z1=2000 y el generador es de 10 voltios con una impedancia de 700Ω. Determinar Zs, V,I,P y en las terminales.

ZG=

IG=

IG=

Circuito abierto L = 100 millas

I(x) = I1 V(x) = V1

= 160.9 Km

+ I2 + V2

X=0 ; V1 = Vr = 10

Z 0=

I1= 7.3 x

Ps=I x V x Ps=I x V x Ps = 71.82 mw

I1=

(

)

–

10 V 1=

=V1 (

)

V1 = Ir =

(

)

= 1.67 x

-160.27

Pr = I x V x Pr = 7.51 x

r=

Pz=

w

=

=

=

=0.067 -

=

=0.49+j0.051