Propedeutico 1

Prólogo

Esta es la 2da edición del Workbook de Basic Math Module el cual es una recopilación de temas selectos de matemática básica. Surge por la necesidad de hacer base en aquellas personas que van rumbo a una matemática superior. En este cuaderno de trabajo encontramos diversas actividades concernientes a cada unidad para seguir ampliando lo que es el historial de conocimientos de los estudiantes y del público en general interesado en las matemáticas. Se compone de 15 unidades de las cuales las primeras 5 se pueden utilizar como Matemática Básica y luego desde la 6 hasta la 10 para la asignatura de un programa de Precálculo y las unidades siguientes son optativas para impartirse según la necesidad del instructor o del estudiante. Este manual está diseñado para trabajarlo solo o en grupo pues contiene las técnicas didáctica pedagógicas que necesitan los individuos para un buen aprendizaje. Han sido muchas horas de dedicación para la realización y desarrollo de este con la visión de dar un aporte científico para la sociedad mundial y el mundo de las ciencias. Queremos agradecer a todos aquellos autores o personas que de una u otra forma han contribuido al desarrollo de este proyecto.

Wilton Oltmanns

~2~

PRESENTACION DEL ESTUDIANTE

Apellidos: ………………………………………………………………….………..…. Nombre (s): ……………………………………………………………………………… Matrícula: …………………………………………………………………..…………… Asignatura: …………………….………………………………………………………… Grupo o Sección:…………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………… Universidad o Instituto: …………………………………………………………………………….…. Fechas de Entrega: ……………………….

……………………….

~3~

……………………

INDICE Página Módulo 1.operaciones aritméticas algebraicas……………………………………..….5. Módulo 2. Factorización……………………………………………………………….14 Módulo 3. Ecuaciones lineales…………………………………………………………23 Módulo 4. Potenciación y radicación…………………………………………………...30 Módulo 5. Ecuaciones polinómicas…………………………………………………….35 Modulo 6. Funciones exponencial y logarítmica………………………………..………42 Modulo 7. Matrices……………………………………………………………………..57 Modulo 8. Sistema de ecuaciones……………………………………………………….64 Modulo 9. Trigonometría………………………………………………………….76 Modulo 10. Números complejos…………………………………………………..…….91 Módulo 11: coordenadas polares……………………………………………………….…110 Módulo 12. Sólidos de revolución……………………………………………………..…113 Modulo 13. Razonamientos lógicos matemáticos……………………………………….115 Modulo 14. Teoría de Conjuntos…………………………………………………Pendiente Modulo 15.Desigualdad y programación lineal ………..………..……………….pendiente Bibliografía:……………………………………………….……………………………121

~4~

ESTUDIOS MATEMATICOS ARGENTERA

Matemática Básica Practica # 1: Operaciones Aritméticas Algebraicas. Nombre: ___________________________Matrícula:__________________ Profesor: _______________Sección:_______________Fecha:___________

I.

Realiza las siguientes operaciones aritméticas.

a) Enuncie la regla de las leyes de los signos para las diferentes operaciones.

b) Defina los diferentes tipos de fracciones.

c) Que es una formula?

d) Que se entiende por lenguaje algebraico?

e) En qué consisten las matemáticas binarias?

f) Defina monomio:

g) Defina polinomio y clasificación.

h) Enuncie el proceso para sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones:

~5~

II. Realiza las siguientes operaciones aritméticas 1)

35 3 +  2 4

2)

28 1   7 2

 70 40 2   3  3)      35   6 3  8   9

4)

36 5   8 7

 5 2   30 3 7  5)          8 8  8 8 8 

3 1 3 6) 5  3   5 4 4

7)

1 1 3    8 2 2

 37   13  8)       9  7 

3 3 2     8 9 9 9)    1  2  5 3     2  3 

 1   30  10)  3      3  7 

~6~

11)

5 8 3 4(  )   6 2 2

12)

1 3 10   5 4

13)

6 4 10    8 8 12

14)

1 4 4 12 (  )(  )  5 6 4 3

15)

16)

+5=

17)

18)

=

~7~

III. Despejar la variable destacada en las siguientes fórmulas. 1) e 

vt d

despejar t

2) v= 2 gh

3) d=

despejar h

v f  vi

despejar vi

2

1 4) Ec= m  v 2 2

5) d=vi 

despejar

1 2 at 2

Despejar a

6)

2ad   v f    vi 

7)

T

8)

2x  3 y  5

9)

A

2

m  4 2 F

v f  vo t

m

2

despejar v f

despeje f

despeje x

despeje Vo

~8~

IV. Realiza las siguientes operaciones algebraicas. 1)

8m2  9m2  7m2 

2)

3 4 2 2 2 6 n m  n m  3n4 m2  4 3

3)

50w2 10w2 x3  5z 4  25w2 x3  5z 4 

4)

4 13a 2b2  a 2b2  7a 2b2  3

5)

(10a2b2 )(5a 2b2 )(13a 2b2 ) 

6)

3 5 ( w2b10 ) ( w5b7 )  2 2

7)

64 x10 y 8 z 4  8 xy 4 z

8)

100 a12e4  50a10e6  25a8e12  5a 4e3

~9~

9)

36m6 n2 48m2 n5  42m4  21m2 n2  6m5 n

10)

4ab  3b3  5ab  3b3 

11)

6 x(3x  y) 

12)

2 xy( x2  3xy  4 y 2 ) 

13)

3 (8 x 2  4 x  2)  8

14)

x3  x 2  2 x  2  ( x  1)

15)

16)

x3  2 x 2  x  2  ( x  2)

x2  7 x  5  ( x  3)

~ 10 ~

V. Reduce los signos de agrupación. 1) 8-  4  1  2   33   5  1  4   24 









2) 23  2  25  46  234  250  23  100 12  23  2   890  

3) x -4x 2 y 3  24 x3 y 2   2 x 2 y 3  9 x 3 y 2   3x 2 y 3   12 x 4 y 2 

4)

4(6 x  8 y  4 z)  (10 x  2 y  8z)  2  (3x  4m  2n) 

5)

5m  6  4(2m2  11n  2 p)  (6m  2m2  3) 

6)

2 ( 81n2  ( 9  3)  5n   =  

~ 11 ~





7)

4  5 x   6 x 2  3  x  =

8)

 2(3x  4)  5 

9)

1  4  3(8  2 x)  2

10)

3a  b  2  (a  b)  (b  1)  3 =

11)

2 x   y  (1  x)  1  ( y  3x 

12)

13)

3x2   4 x( x  3) 

[4x + 6 – 7x (10 + x – 3) + 3x + 5]=

~ 12 ~

14)

{3x – 20 + 8y [15 + 7y (-3 + y) + 3y] -10y – 3}=

15)

{4m – 3 + 6m+[-7m (4 – m) + 2m] – 1}

16)

{3m + 4 (7 – m) + 3m}

17)

10n – 6 (10 + n) – 3

18)

15z + 4 (-2 + z) – 2z=

La voluntad necesita ser más fuerte que la habilidad.

~ 13 ~

--Muhammad Alí

ESTUDIOS MATEMATICOS ARGENTERA

Matemática Básica Practica # 2: Factorización. Nombre: ___________________________Matrícula:_____________________ Profesor: _______________Sección: _______________Fecha:_____________

I. Defina las siguientes expresiones: a) Factorización

b) Diferencia de cuadrados

c) Suma de cubos

d) Factor común

e) Trinomio cuadrado perfecto

II.

Factoriza (Factor Común) :

1) am-bm+4m= 2) 4x12 y 3  8 x8 y 5 z 4  12 x 4 y 5  3)32a 3b 2c-1616a 5 b 2c 4  4)14x 7 y 9 z 6  21x 5 y 5 z 4  28 x 3 y 6 z 9  5)ax 2  5bx 3  6 

~ 14 ~

III.

Factoriza (Diferencia de cuadrados)

1) x 2  36  2)4 x 2  1  3)25  x 5 

4)

1 2 2 2 a b c  100

5)81a 2b 4 c16  z 2 

IV.

Descomponer las siguientes expresiones en dos factores.

a) x 2  6x  8 

b) x 2 – 16x  63 

c) x 2  10x – 56 

d) x 2 –13x – 48 

e) y 2 – 7y – 30 

f ) x 2 – 14x  48 

g) x 2 – 5x – 84 

h) x 2  27x  180 

i) x 2  7x – 120 

j) x 2 – 30x  216 

k )-n-1+m(1+n)= m)4a(b-4)-3c(b-4)=

l)5-y+2k(5-y)= n)  a 2  3   n  k   3( n  k ) 

o)mx 2  5m  3x 2  15

~ 15 ~

V.

Verifique cual de las siguientes expresiones son Trinomio cuadrado perfecto y Justifique su respuesta.

a ) m 2  8m  16  60 x  b) m 2  12m  36  c) x 2  13 x  81  d )1  2   2 

e)  mn  n 2 

VI.

m2  2

Factoriza los siguientes polinomios en dos factores:

a ) x  7 x  10  2

b) x 2  8  9 x  c)  17 y  y 2  60  d )k 2  30  k  e) 2  10  21 

VII.

Factoriza los siguientes polinomios y los que sean tcp expréselo como el cuadrado de dos cantidades.

a )n 2  132  n  b) y 2  14 y  49  c) y 2  8 y  1008  d )k 2  10k  25  e)k 2  20k  100 

~ 16 ~

VIII. Descomponer las siguientes expresiones en dos factores a) 2x 2  3x -2 8  b) 4x 2 +x-33  c) 12u 2 -19u+ 5  e) 4n 2 – 6n +1  f ) 3x 2 – 2x - 7  g) 5x 2 +13x – 6 

IX.

Completar el desarrollo con el término que falta.

a) x2 + 10x +.........

b) y2 –18y +...........

c) m2 –......... + 36n2

d) p2 +............ + 64p2

e) ......... + 42x + 49

f) .......... – 390y + 225

g) 289z2 + 340 z +...........

h) 64x2 – 80xy +............

X.

Factoriza las siguientes diferencias de cubos a ) x 3  64  b) y 3  1  c) 512+27a 3  d )8m3  n3 

e)

1 3 3 x y 8  1000

~ 17 ~

Realiza la siguiente complexión de cuadrados.

XI. 1)

5x2  60 x 

2)

w2  30 

3)

k2  9 

5) 6x 2 +5x-6 =

6) n 2  4  10n 

XII. Expresar como un cuadrado de binomio: a) g2 + 2gh + h2 =

b) 225 – 30b + b2 =

c) x2 + 2xy + y2 =

d) p2 – 2pq + q2 =

e) a2 – 2a + 1 =

f) m2 – 6m + 9=

~ 18 ~

XIII.

Simplificar las siguientes expresiones, aplicando los criterios de factorización que corresponda:

48a a)  72ab

b)

c)

f)

25a 2b = 75ab 2

g)

24 x  18 y  44 x  33 y

x 2  16 = x 2  8 x  16

96m3 n 2  32m 4 n 3

9 x 2  30 x  25 h)  6 x  10

d)

3( a  b)  5( a  b)

i)

e) 9x2 –12xy + 4y2 =

x 2  25  x 2  x  20

j) 36n2 + 84pn + 49p2 =

~ 19 ~

k)

4 y2  4 y 1  6x  3

s)

a2  9  3(a  3)

t)

m2  n2  2n  2m

u)

y 2  y  12  y 2  2 y  15

x2  6 x  8 l) 2 = x  7 x  12

x 2  4 x  12 m) 2  x  8 x  12

64  u 2 n) 2  u  13u  40

o)

x2  5x  6 v) 2  x  8 x  15

b a  w) a b  1 1  b a

( a  b) 2  c 2  a 2  (b  c) 2

1 a -1  x) 1 1 a 1

1  64c 6 p)  1  4c 2

q)

1+

x 2  7 x  10  x 2  25

x+ y x  y  x- y x y y)  x+ y x  2y  x x y

x2  x  2 r) 2  x  3x  2

~ 20 ~

XIV.

Expresa como un producto de tantos factores como sea posible:

a) 3b – 6x =

b) 5x – 5 =

c) 20u2 – 55u =

d) 16x – 12 =

e) 6x –12y + 18=

f) 15x + 20y – 30=

g) 14c – 21d – 30=

h) 152x2yz – 114xyz2=

i) 30m2n2 + 75mn2 – 105mn3 =

j) 28pq3x + 20p2qx2 – 44p3qx + 4pqx=

k) 14mp + 14mq – 9np – 9nq =

l) 21ax + 35ay + 20y + 12x =

m) 175ax + 75ay – 25bx – 15by=

n) 20abc – 30abd – 60b2c + 90b2d =

~ 21 ~

ñ) 10abx2 + 4ab2x2 – 40aby2 – 16ab2y2 =

o) 4g2 + 2gh =

p) 25a – 30ab + 15ab2 =

q) m2 – 64 =

r) 144y2 – 256 =

s) 144 – 9x2=

v) 25x6 – 4y4 =

w) ap + aq + bm + bn=

x) xy – x + 3z – 6 =

y) x2 + xy + xz + yz=

z) 15 + 5x + 3b + xb =

z’) ab + a – b – 1 =

Auto disciplina es cuando nuestra conciencia nos pide hacer algo y no le contestamos. W.K. Hope

~ 22 ~

ESTUDIOS MATEMATICOS ARGENTERA

Matemática Básica Práctica # 3: Ecuaciones Lineales Nombre: ___________________________Matrícula:_____________________ Profesor: _______________Sección: _______________Fecha:_____________

1. Define las siguientes expresiones: a) Ecuación:

b) Hable sobre los diferentes tipos de ecuaciones

c) Hable sobre la importancia de las ecuaciones lineales.

~ 23 ~

II.

Resuelva las siguientes ecuaciones lineales

1) x  4  28

2) y  65  31

3) 8z  40  3z

4) 10x  5x  60

5) 3 x  5  3  2 x

5)  15y  3   36  18y

7) 2x  4   3x  4   3x  12

8) 3 x  2( x  1)  2(3 x  1)  4

9) 4  3x  2   8  5  2x  3   5

10) 15x  40  5x  20  0

~ 24 ~

11) 16   2x  4    5x  3x  2   4x   8x  2 

12) 8  5 x  8  2 x

13)

2x  5 x  4 x 1   8x   5x 5 2 2

14)

2( x  2) 3(1  x)  1 3 2

15)

5x  2 4 x  3 1   2 4 8

16)

2 x 3x   x  2(1  2 x)  x 3 2

17) 2(2  x) 

18)

x x 3( x  2)   3 2 2

3m  11 5m  1 m  7 5m  6    2 5 10 5

~ 25 ~

19)

5 9 x  8   5x 2 4

2 20) 12  8 x  78 5

21)13m  8  12 m

22)

1 x  9 5

23)3(8 y  2)  3(4  2 y )

24)

3w  13  7 4

25) 2 w  4( w  2) 

26) 5( w  4)  3 w

~ 26 ~





28)

 3 x 815 6 x (3 x  2) (55 x  4)  29  5

29)

30 x  (  x  6)  ( 5 x  4)   (5 x  6)  ( 8  3 x )

30) ax  b

2

 a

2

 bx

31)

2x  3  6  x

32)

2x  6

33)

2  2x  3   6  x

34)

4  x  10    6  2  x   6x

35)

2  x  1 – 3  x  2   x  6

36) x

– 15   27

37)

 8x  15  111

~ 27 ~

38) 8x

– 5   109

39) 2x

 6   12

40)

 13x  6   97

41)

3 3  0 5 2 z 1

42)

34 2 y 1   0 5 3 5

III.

Resolver los siguientes problemas con ecuaciones lineales.

1) Un padre tiene 35 años y su hijo 5. ¿Al cabo de cuántos años será la edad del padre tres veces mayor que la edad del hijo?

2) Si al doble de un número se le resta su mitad resulta 54. ¿Cuál es el número?

~ 28 ~

3) La base de un rectángulo es doble que su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones si el perímetro mide 30 cm?

4) En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay si la reunión la componen 96 personas?

No podemos tener un mejor mañana si seguimos pensando acerca del ayer todo el tiempo. -Charles F. Kettering

~ 29 ~

ESTUDIOS MATEMATICOS ARGENTERA

Matemática Básica Práctica # 4: Potenciación y Radicación. Nombre: ___________________________Matrícula:_____________________ Profesor: _______________Sección: _______________Fecha:_____________ I.

Ponga el nombre de cada una de las partes de la potenciación:

an  p

II.

En cada enuncie el procedimiento: a) Multiplicación de potencias de iguales bases.

b) División de potencias de iguales bases

c) Potencia de potencia

d) Racionalizacion:

e) Binomio de newton

f) Triangulo de tartaglia

~ 30 ~

III.

Resuelve las siguientes operaciones:

1)52 

2)7 0 

3

3 3)    4

2 4)   5

5



5)2 4 

6)7 1 

7) 4-5

8) (3/2)4

9) (1/2)-4

~ 31 ~

IV.

Desarrolla:

1)6 7  4 28  7 

2) 3 54  2 3 16  3 3 8 

3) 2  2 2 8 

4)  3 27  3 81  3 3 

5)

81x 4 y  100 x 4 y 

V.

Racionaliza el denominador de las siguientes expresiones:

1)

y  x

2)

7  3 5

3)

1 7

4)

5)

2



1 2  3 3 5

x x

y 5



~ 32 ~

VI.

Racionaliza el numerador de las siguientes expresiones:

1)

=

2)

=

3)

=

4)

=

5)

=

~ 33 ~

VII.

Desarrolla las siguientes potencias.

1)  x  y   3

2)  2 x  3   4

3)  y 3  4   7

2

7  4)   9m 4   3 

5)  2m  y 2   5

6)  x  1  10

“La Matemática entra por los dedos: esta se aprende por el arte de practicar los ejercicios de nuevos conocimientos adquiridos”. Aristóteles

~ 34 ~

ESTUDIOS MATEMATICOS ARGENTERA

Matemática Básica Práctica # 5: Ecuaciones Polinómicas. Nombre: ___________________________Matrícula:________________________ Profesor: ___________________Sección: _______________Fecha:_____________

I.

Contesta correctamente:

1. Que es una ecuación:

2. Que es una igualdad:

3. Que es una ecuación polinómica:

4. Como obtener la solución por el método gráfico de una ecuación cuadrática

5. Cuál es la forma estándar de una ecuación cuadrática

6. Explique en que consiste el método de Ruffini para ecuaciones polinómicas.

~ 35 ~

I.

Resolver las siguientes ecuaciones por el método de factorización.

1.

2.

3.

4.

5. x2 -5x-36= 0

6. 25x2 + 3x – 40

7. 5x2 – 3/5x – 4/5=0

~ 36 ~

II.

Suministradas las siguientes ecuaciones buscar:

a) Abertura

c) Raíces

e) Vértice

b) Factores

d) Forma estándar

f) Gráfic

1) x2 – 3x – 4 =0

2) 3x2 – 5x – 2 = 0

~ 37 ~

3) -x2 - x + 2 = 0

4) x2 – 4x + 3 = 0

~ 38 ~

III.

En las siguientes ecuaciones busque su naturaleza y raíces por fórmula general.

1) x2 - 10 x + 24 = 0

2) x2 - 6x + 9 = 0

3) x2 +x-30 = 0

4) x2 -2x-35 = 0

Resuelva las siguientes ecuaciones por la forma estándar y además buscar Factores y vértice.

IV. 1.

2.

3.

4.

~ 40 ~

Encontrar las raíces posibles de las siguientes ecuaciones por el método de Ruffini.

V. 1.

2.

3.

~ 41 ~

ESTUDIOS MATEMATICOS ARGENTERA

Matemática Básica Práctica # 6: Funciones Exponenciales y Logarítmicas. Nombre: ___________________________Matrícula:________________________ Profesor: ___________________Sección: _______________Fecha:_____________

1. Hable sobre la importancia de las ecuaciones exponenciales.

2. Que es una función exponencial.

3. Exponga las propiedades de las ecuaciones exponenciales.

4. Defina logaritmo.

5. De la definición anterior saque algunas deducciones.

6. Cuáles son los tipos de logaritmos.

7. Exponga las propiedades de las funciones logarítmicas.

~ 42 ~

8. Cuáles son las partes de un logaritmo.

9. Que es un antilogaritmo.

10. Defina cambio de base logaritmo.

11. Que es una ecuación exponencial.

12. Que es una ecuación logarítmica.

13. Enuncie las leyes logarítmicas y ponga ejemplos.

~ 43 ~

II. Graficar las siguientes funciones exponenciales . 1)

f ( x)  2 x  2

2)

g ( x)  3 x

1 2) g ( x)    4

3 x2

6 3) Q( x)    5

x

~ 44 ~

II.

Graficar las siguientes funciones logarítmicas en el intervalo deseado

2) y  log3 x

3) y  log10 ( x  3)

4) y  log 3 x 5

~ 45 ~

III.

Buscar con la calculadora los logaritmos siguientes. Dejar cuatro cifras

signficativas despues del punto.

1) log 5  2) log179632 

3) log 4 649  4) log9 765 

5) log 6 36  6)log 0.0000000000000089 

7) log34 7000 

8) log8 0.25 

9) log 49 7 =

~ 46 ~

IV.

Sabiendo que potenciacion y la Radicación son operaciones inversas, Cambiar de una función a otra en las siguientes expresiones.

1) log 2 25  2  2)53  125 

3) log R P  N  4) log5 1  0  5)W K  Z 

V.

Busque el valor de x en las siguientes expresiones.

1)log 2 x  5

2) log x 8  3

~ 47 ~

3)log3 243  x

4)log 4 2  x

5)log10 x  2

6) log x 81  3

~ 48 ~

VI.

Aplicar las propiedades logarítmicas en:

x3 w 1) loga y 2 z 4

3

2) log

z x y

3) ln 4

x7 y5 z

4) ln 3 y 2 / z

~ 49 ~

 20  80   30  3     65  3   10  5 

5) log 3 

6) log

3  3 80 5 100

3 2 2 5  3  4   2  3   log 7)  2   2 4    5   9  2  

  4 365  202  32   80  25    8) log    3 3 5  80 3      

~ 50 ~

VII. Expresar como un solo logarítmo:

1) log 2 a  log 2 b 

2) log y x  log y n 

3)  log n  log b   log c 

4) og3 m  log3 x  log3 b  log3 a  

5) log 2 A  log 2 B  2log 2 C 

6) 2(log5 x  2log5 y  3log5 z) 

~ 51 ~

VIII. Busca el antilogaritmo de :

1) 2.74973632=

2) 0.602060=

3)5.3254647483 

4) -10.39794=

5).000000000000000000034 

IX.

Realizar las siguientes ecuaciones exponenciales:

1)72 x 1  765 x

2)34 x2  92 x3

~ 52 ~

3)252 x 3  55 x  5x 2

4) 4 x

2

15 x 30

 16

5) 27(32 x1  935 x )  32 x

6) 27

(9 x 3)

9

1 (4 x  ) 4

~ 53 ~

7) 2-(x+2) = 16-x+10

8) 32x-1= 243-x-1

9) 6 x-5= 36(x+1)/2

10) 7x+2 = 343

11) ex ex+28 = e6

~ 54 ~

X.

Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas.

1)log3 81  x

2) Ln 1  x 2   Ln 1  2 x   2

3)

Log2  x  6  Log2 x  Log2  x  14

4) Log4 (2 x  3)  Log4  x  5  1

5) Log (2 x  1)  Log  x  3  2

~ 55 ~

 10 x    2 

6) Ln5 (4 x  5)  Ln5 

7)

Log2  x  8  Log2 ( x  4)  Log2  x  10  Log2 ( x  2)

Bienaventurado el hombre que puso en jehova su confianza, y no mira a los soberbios, ni a los que se desvian tras la mentira.(Salmos; 40:4)

~ 56 ~

ESTUDIOS MATEMATICOS ARGENTERA Matemática Básica Práctica # 7: Matrices

Nombre: ___________________________Matrícula:________________________ Profesor: ___________________Sección: _______________Fecha:_____________

I.

Defina correctamente los siguientes conceptos y ponga ejmplos:

a)

Vector fila:

b)

Vector columna:

c)

Matriz:

d)

Matriz simetrica:

e)

Matriz antisimetrica:

f)

Determinante:

~ 57 ~

II.

Establezca la deiferencia entre los siguientes conceptos:

a)

Matriz diagonal y escalar:

b)

Matriz escalar y diagonal:

c)

Matriz cuadrada y rectangular:

d)

Hable sobre el proceso para multiplicar dos matrices:

I.

Resuelve las siguientes operaciones matriciales.

1)

2)

-

=

~ 58 ~

3)

4)

+

-

=

+

=

5)

6)

=

~ 59 ~

7)

=

II. Dada las matrices: A=

B=

C=

Hallar

8) 2A+B

9)

3A-2B

~ 60 ~

III. Calcular el determinante de las siguientes matrices. Usar Zarrus para las matrices 3x3. 1) A=

2) B=

3) C=

4) D=

~ 61 ~

IV. Buscar la determinante por el método triangular.

1) A=

=

2) B=

3) C=

=

~ 62 ~

V. Calcular la matriz inversa de las matrices dadas.

b

3 15 2 4 7 9 8 31 5

“

Sé sabio, hijo mío, y regocija mi corazón, para que pueda responder al que me está desafiando con escarnio.” (Proverbios 27:11).

~ 63 ~

ESTUDIOS MATEMATICOS ARGENTERA

Matemática Básica Práctica # 8 : Sistema de Ecuaciones. Nombre: ___________________________Matrícula:________________________ Profesor: ___________________Sección: _______________Fecha:_____________

I.

Realiza todo lo pedido.

a) Establezca la diferencia entre matemática pura y aplicada.

b) Hable brevemente sobre la importancia de los sistemas de ecuaciones.

c) Defina sistema de ecuaciones.

d) Cuando un sistema de ecuaciones es compatible.

e) Cuando un sistema de ecuaciones es incompatible.

f) Cuando un sistema de ecuaciones es compatible determinado.

g) Cuando un sistema de ecuaciones es compatible indeterminado.

~ 64 ~

II-Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de sustitución.  x  3 y  13  x  y  3

a- 

2 x  3 y  20  x  3 y  13

b- 

 x  2 y  4w  15  c) 5 x  y  w  1  x  y  2w  8 

~ 65 ~

III-Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones usando el método de reducción.

5 x  3 y  8 a)  7 x  3 y  10

6 x  4 y  2  b) 8 x  2 z  56 2 x  4 y  6 z  86 

9k  5 z  6 c)  k  11z  34

~ 66 ~

IV-Resuelve los sistemas de ecuaciones utilizando el método de igualación. 5 x  y  9 a)  3x  2 y  11

 x  5 y  13z  18  b)  x  5 y  z  10 9 x  5 z  37 

 x  5 y  13 c)  9 x  3 y  27

~ 67 ~

V-Resuelve por el método de Gabriel Crammer. 3x  2 y  11 4 x  3 y  26

a) 

20 x  30  9 y 25  10 x  5 y  0

c) 

~ 68 ~

VI-Realiza los siguientes ejercicios utilizando el método de Gauss. 4 x  13 y  34 5 x  y  8

a) 

2 x  y  z  11  b)  x  y  2 z  9 5 x  y  z  10 

~ 69 ~

 x  2 y  3z  1  C) 3x  y  2 z  4 2 x  3 y  z  5 

~ 70 ~

VII. Resuelve por el método de Gauss Jordan.

~ 71 ~

VIII. Resolver por el método gráfico.

2 x  y  z  6  b)  x  y  2 z  3 5 x  y  z  8 

~ 72 ~

IX. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones exponenciales:

~ 73 ~

 Log x  Log y  5 e)   Log x  5Log y  1

~ 74 ~

X- Resuelve los siguientes problemas a) La suma de 2 números es igual a 3 y la diferencia entre ambas cantidades es igual a 5. Hallar los números.

b) El doble de un número más otro es igual a 7, y la suma del primero con el doble del segundo es igual a 5. ¿Cuáles son estos números?

c) Una guagua con capacidad de 60 pasajeros realiza el viaje desde Santo Domingo a Santiago y Puerto Plata. Los que viajan a Santiago pagan 60$RD y los que viajan a Puerto Plata pagan 80$RD. Al término del viaje el dinero obtenido es 3,600$RD. ¿Cuántos pasajeros eran de Santiago y cuántos eran de Puerto Plata?

La habilidad podrá llevarnos a la cima, pero se necesita carácter para permanecer allí. John Wooden.

~ 75 ~

ESTUDIOS MATEMATICOS ARGENTERA

Matemática Básica Práctica # 9: Trigonometría. Nombre: ___________________________Matrícula:________________________ Profesor: ___________________Sección: _______________Fecha:_____________

I.

Resolver los siguientes problemas por medio del teorema de Pitágoras. a) Una cerámica de porcelanato es un cuadrado con catetos de longitudes de 50 cm. Usar el teorema de Pitágoras para determinar la longitud de la cerámica.

b) Un joven de 1.7 m de alturas se encuentra a una distancia de 5 metros de una pelota. Que distancia recorre su mirada para poder ver la pelota diagonalmente, quedándose en posición firme.

c) La pantalla de la laptop de Luisito se ha roto a la mitad y de largo mide 8 pulg. y de ancho solo 6 pulg. ¿Que longitud la mitad de pantalla rota?.

~ 76 ~

d) Él bebe de Mauricio quiere subirse a la mesa, pero su salto no se lo permite y decidió colocar una barra, pero él está a 80 cm de la mesa y del suelo a la mesa hay 125 cm. ¿Qué tamaño debe tener la barra para que esté totalmente diagonal?

II.

Convertir los siguientes ángulos de grados a radianes a) 90°

b) 145°

c) 75°

III.

Convertir los siguientes ángulos de radianes a grados a)

 6

b)

13 2

c)

4 3

~ 77 ~

IV.

Calcular los valores de las funciones trigonométricas del ángulo agudo sabiendo que: a) sin  

3 7

b)  an 

12 13

c) Sec 

V.

17 5

Buscar las funciones trigonométricas del ángulo  .

Sen 

2

C os  

2 T an  

4

Co sec   S ec   C ot  

~ 78 ~



Racionaliza el denominador:

VI.

2

a)

b)

c)

3 2



2  5 3 34  8 6

VII.

Encontrar el valor numérico de las siguientes expresiones trigonométricas a- Sen30* Co tan 45 

 Tan45 * Sen90   5Cos180  b-     Cos90   Tan45    Sen270 

c-  Sen30  Cos180 Sen90 

      Sen  Tan   6Cos 2  4 2  d-    Cos 2  Sen  5Tan 2 4

~ 79 ~

2    e-  Tan  Co tan   2Cos 2  3  4 

f-

VIII.

cos 60.tan 45  sen60 cos 45

Resolución de triángulos rectángulos. Ilustre con un bosquejo. a) Resolver un triángulo rectángulo donde la hipotenusa a= 50cm y uno de sus catetos es c= 27 cm

b) Resolver el triángulo rectángulo donde un cateto es b= 5cm y B=50°20`

c) Una torre de 205 pies de altura proyecta una sombra de 183 pies. Calcule el ángulo de elevación del sol

d) Un poste de luz de 15 m de altura proyecta una sombra de 10 m. calcula el ángulo de elevación del sol.

~ 80 ~

IX.

Aplicar ley de los senos para resolver los siguientes ejercicios a- Resuelva el triángulo ABC, donde A=35°, B=49° y a=8

b- Resuelva el triángulo HIJ, donde H=60°, I=45° y j=3.7

c- Resuelva el triángulo OPQ, donde O=100°, Q=35° y o=22

~ 81 ~

X.

Aplicar ley de los cosenos para resolver los siguientes ejercicios a- Resuelva el triángulo ABC, donde B=131°, c=8 y a=13

b- Resuelva el triángulo HIJ, donde a=11, b=5 y J=20°

c- Resuelva el triángulo OPQ, donde o=28, p=35 y q=17

~ 82 ~

XI.

Hallar las funciones trigonométricas de los siguientes ángulos a través de la suma o diferencia. a- 150°

b- 60°

c- 155°

~ 83 ~

XII.

Hallar las funciones trigonométricas a través del ángulo duplo. a) 30°

b) 90°

c) 150°

d) 180

~ 84 ~

XIII.

Buscar las funciones trigonométricas a través del ángulo mitad. a) 90°

b) 60°

c) 150°

~ 85 ~

XIV.

Hacer uso de las identidades producto – suma para resolver los siguientes ejercicios a) Cos10x Cos6x 

b) Sen9 x Cos10 x 

c) Sen7 x Sen3x 

XV.

Hacer uso de las identidades suma- producto para resolver los siguientes ejercicios a- Cos60  Cos30 

b- Sen90  Sen40 

c- Cos70  Cos30 

~ 86 ~

XVI.

Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas a) 2CosxSenx  Cosx  0

b)

2 Tanx Cosx  Tanx  0

c) Tan2 x  3

d) Tan4  1





e) 2sen2  2  3 Sen  3 

~ 87 ~

XVII.

Calcular el valor de x.

~ 88 ~

XVIII.

Resuelva los siguientes problemas con aplicación de triangulo rectángulos a) Parado a 85 pulgadas del edificio #1, el ángulo de elevación del lugar en cual estoy hasta el punto más alto del edifico es de 60°. Encuentre la altura del edificio.

b) Henry coloca su cámara en un trípode para poder fotografiar la bandera. El está alejado 120 pies de la misma, pero el trípode está a 5 pies por arriba del suelo. Mide un ángulo de elevación de 15° sobre la horizontal a lo alto de la bandera. ¿Cuál es la altura de la bandera?

c) Una chichigua se queda atorada en un árbol. Si el hilo de 90 pies forma un ángulo de 22° con el suelo. ¿A qué altura estará la chichigua del suelo?

~ 89 ~

d) Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa copa bajo un ángulo de 30° y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°.

e) Un poste está amarrado al suelo por dos cuerdas de 4 y 5 metros cada una, ubicadas en sentido contrario una de la otra. Si las bases de las cuerdas están colineales con la base del poste, y se encuentran a 7 m de distancia entre ellas: a) ¿Qué ángulo forma cada cuerda con el piso? b) ¿Cuál es la altura del poste?

La belleza de una flor depende del jardinero que tenga atrás. Wilton Oltmanns

~ 90 ~

ESTUDIOS MATEMATICOS ARGENTERA

Matemática Básica Práctica # 10: Números Complejos. Nombre: ___________________________Matrícula:________________________ Profesor: ___________________Sección: _______________Fecha:_____________

I.

Descomponer las siguientes raíces: 9  9· 1  3i

Ej.:

a)

36 

b) 2 16 

c)

81 

d)

(23  39) 

e)

144 

f)

(117  139) 

g)

8 

~ 91 ~

II.

Exprese en su forma equivalente más simple las siguientes potencias de i. 4 Ej.: i 24  i 0  1 es que se coge el residuo y en este caso es cero 24 24 0

a) i153 

b) i 264 

c) i 519 

d) i 30 

e) i 384 

f) i85  a)

~ 92 ~

6

III. Encuentra el opuesto de:

(27  5i )  (27  5i ) a) (

2  3i )  2

b) (17  15i )  c) ( 3  5i )  d ) (  3  5i )  e

(1  3i ) 

IV- Encuentra el cojugado de:

1)5  9i  2)1  1i  3)40 - 25i  7 6 4) - i  2 2 5)8  41i  6)53 - i 

~ 93 ~

v. Encuentra el reciproco: Observar los siguientes ejemplos:

3  5i  (-3+5i) 1 

3  5i 3  5i 3  5i 3  5i  -3-5i      34  -3+5i   -3-5i  9  15i  15i  25i 9  25i 9  25

6  10i  (6  10i ) 1 

 6  10i   1 6  10i 6  10i 6  10i 6  10i .    2 2  6  10i   6  10i  36  60i  60i  100i 36  100i 36  100 136

1

.

2

a ) 10  3i 

b)  12  75i 

c)  28  40i 

d ) 7i  4 

e) 1  i 

~ 94 ~

2

VI. Representa en forma binómica los siguientess pares ordenados.

1) (4,3i ) = 4+3i 2) (8,-2i ) = 8-2i 3) (-31,-7i ) = 4) (-2,4i ) = 1 1 5) ( , i ) = 5 3 6) (-41,19i ) = 7) (1,-3i ) = 8) (9,-6i ) = 2 3 9) (- ,- i ) = 3 2 10) (2,5i ) = VII. Realiza las siguientes operaciones.

3  5i 

  7  3i   3  7   5i  3i   (10  8i) (5  6i)(4  3i)  (20  18)  (15  24)i  38  39i

Ej.:

a)

 5  6i 

  4  2i  

b)

 22  6i 

c)

 25  3i 

d)

84  22i 

e)

 4  7i 

f)

 9  7i    9  7i    5  4 

 17  30i  

 13  6i    11  7i  

 12  9i  

~ 95 ~

g) (10  5i)  (14  8i) 

h) (8 19i)  (19  3i) 

a) (3  2i)(2  i) 

b) (2  2i)(2  2i) 

c) (6  i)(4  6i) 

d) (4  2i)(5  3i) 

e) (5  15i)(10  9i) 

 3  1    i   i    4  4 

~ 96 ~

VIII. Realiza las siguientes divisiones de complejos: 2  5i  1  2i  (2  10)  (4i  5i) 8  9i 8 9 Ej.:   ó  i   2 2 1 2 5 5 5  1  2i  1  2i 

a)

5  3  i

b)

2  3i  3  2i

c)

10  i  1 i

d)

7  3i  5i

e)

2  3i  4  6i

IX.

Escribe el reciproco de los siguientes números complejos:

a) (2  3i) 

b) (6  15i) 

2 c) (  12i)  3

~ 97 ~

d) (5  7i) 

e) (9  2i) 

f)

X.

2 3 (  i)  5 2

Encuentra el recíproco de:

a ) 1  8i  b) 6  i  c) 7  6i  d ) 7  4i  e) -4  7i ) 

XI.

Calcule el módulo y argumento de los siguientes números complejos

Ej.: (3  4i)  3  4i  32  42  9  16  25  5 4 arg.  tan 1 ( )  tan 1 (1.3333)  53.1294 3

M y ARG. =

1. (8  5i)

~ 98 ~

553.1294

2. (3  15i)

3. (2  8i)

4. (6  3i)

5)  5  5i 

6)

3 i 

7)1  6i 

~ 99 ~

XII. Use el teorema de De Moivre para efectuar los siguientes cálculos y exprese los resultados en forma bionomía:

3 3   a) 5(cos  isen )  2 2  

b)

2

(3  4i)4

c) (1  i 3)3

    d)  2(cos  isen )  3 3  

3

~ 100 ~

  3 3   isen e) 3  cos  2 2    

f)

 2  6  i  2  

4

5

~ 101 ~

XIII. Grafica los siguientes números complejos.

a ) 4  3i 

b) 13  3i 

c)  1  i 

1 5 d)   i  2 8

X

~ 102 ~

XIV. Expresa en forma trigométrica:

Ejemplo : 5  6i  52  62  25  36  61  7.81 6 tan  i ( )  50.19  7.81(cos 50.19  isen50.19) 5 a) 4  i 

b) 2  5i 

c) -6  6i 

d )  3  3i 

e) 8  4i 

1 f ) 5 i  2

~ 103 ~

XV. Representa en forma binómica los siguientes pares ordenados: a ) 2  Cos 45o  iSen 45o  

b) 5  Cos180o  iSen180o  

c) 4  Cos 60o  iSen60o  

c) 2 3  Cos 60o  iSen90o  

d ) 2  Cos90o  iSen900  

~ 104 ~

XVI Gráfica los siguientes complejos : a  1, 4i  

b  5, i  

c





3, 4i 

d  1, 0  

 1 e  0,    4i 

~ 105 ~

XVII Determinar el Argumento de los siguientes números complejos :





a ) 3 3, i 





b) 1, 3i 

c)  2, 2i  

d )  0,5i  

e)  3, 0i  

~ 106 ~

XVIII. Expresa en forma trigonométrica : a ) 590 

b ) 3  6

c)





3  i 

d )  3,3i  





e) 3,3 3i 

~ 107 ~

XIX. Expresar En Forma Polar : a ) 3  Cos30o  iSen30 o  

b )  1  i  

c) 5  Cos180o  iSen180o  

d )  3, 5  

~ 108 ~

XX. Determine cada potencia indicada usando el método De Moivre y exprese en Forma Polar : a

 8  5i 

b

 2  4i 

c

1  3i 

d



2

5





3

25  9i





7



e  ( 81  i )6 

La lectura hace al hombre completo. La conversación lo hace ágil. La escritura lo hace preciso. Francis Bacon

~ 109 ~

ESTUDIOS MATEMATICOS ARGENTERA

Matemática Básica Práctica # 11: Coordenadas Polares. Nombre: ___________________________Matrícula:________________________ Profesor: ___________________Sección: _______________Fecha:_____________

I . Construya un plano polar y marque los puntos cuyas coordenadas polares son dadas. a)  2,  

b)  3,  2 

c)  1, 2 

 3  d)  4,    2 

~ 110 ~

II . Convierta de coordenadas polares a rectangulares. 1)  8,  

 2  2)  1,    3 

 3  3)  5,    4 

4)  4, 3 

~ 111 ~

III . Convierta a coordenadas polares. a)  0,5 

b)  2, 4 

c)  1, 7 



d) 2, 5



IV . Graficar. 1) R  3

2 2) R=  cos B 3

3) R=2senB

~ 112 ~

ESTUDIOS MATEMATICOS ARGENTERA

Matemática Básica Práctica # 12: Sólidos de Revolución. Nombre: ___________________________Matrícula:________________________ Profesor: ___________________Sección: _______________Fecha:_____________

1. Hallar el volumen de un cono de 9cm de radio y 25 de altura

2. El radio y la altura de un cono miden 7 y 15 cm respectivamente.

3. Calcule el volumen de un cilindro, cuyo diámetro mide 10m si su altura es de 26m.

4. Halle el volumen de un cilindro de 10m de altura si el radio es igual a 1/2 de la altura.

~ 113 ~

5. La altura de un cilindro mide 4cm y el radio de su base es igual al triple 3 de la altura disminuida en 5. ¿Calcule su volumen?

6. El diámetro de una esfera, es igual al duplo del valor de   pi disminuido en 3, Determine su volumen.

7. El volumen de una esfera mide 66,96cm3, ¿Calcule su radio?

8. Calcular la superficie de un cono de 15cm de generatriz si el diámetro de la base mide 4/5 de ella.

9. L a superficie de un cono recto es 678.24cm2. Calcular la generatriz si es igual a 5/3 del radio de la base.

Gastar dinero en los libros es una inversión que rinde buen interés. Benjamín Franklin

~ 114 ~

ESTUDIOS MATEMATICOS ARGENTERA

Matemática Básica Práctica # 13: Razonamientos Lógicos Matemáticos. I.

Indique el valor de verdad de cada una de las proposiciones siguientes:

p:

2 es un número impar.

v(p)=

q:

7 es un número primo.

v(q)

r:

5/7 no es un número entero. v(q)=

s:

Santo Domingo es un país. v(s)=

t:

La tierra gira alrededor del sol. v(t)=

II. A continuación se presentan una serie de proposiciones. Indique con una C las que son compuestas y con una S las que son simples. 1.___ Carlos es un nombre de persona. 2.___ El invierno es una estación del año y Juan Pablo Duarte descubrió a América 3.___ Venezuela es uno de los países de mayor producción petrolera. 4.___ 3+2 =5 y 5 es un número primo. 5.___ 6 es un número positivo si y solo si es mayor que cero.

III. Dados p: El invierno es frío; q: Diana es estudiosa, r: La salamandra es un animal vertebrado. Escriba en lenguaje coloquial: a) ~p b) ~q c) ~r d) p  ~q e) ~q  ~r

~ 115 ~

f) (p  q) r g) (p  ~q])  ~r h) ~r  (p  q) i) (q  ~r) (~p  q) j) ~s  ~ q k) q  ~r l) ~p  [(p  q)  (~q  r)

2. Exprese en lenguaje matematico cada una de las siguientes proposiciones: a) _________ El invierno es frío y Diana es estudiosa. b) _________ (La salamandra no es un animal vertebrado y Diana no es inteligente) o el invierno no es frío. c) _________ El invierno es frío o la salamandra es un animal vertebrado. d) _________ Diana no es estudiosa y (el invierno es frío o la salamandra es un animal vertebrado). e) _________ (Diana es estudiosa y el invierno es frío) y (la salamandra es un animal vertebrado o el invierno no es frío). f) _________ Si el invierno es frío y Diana es estudiosa entonces la salamandra es un animal vertebrado. g) ________ Si la salamandra no es un animal vertebrado si y solo si Diana es estudiosa. h) ________ El invierno no es frío y Diana es estudiosa y solo si la salamandra es un animal vertebrado. i) _________ Si el invierno no es frío o la salamandra es un animal vertebrado, entonces Diana no es estudiosa.

~ 116 ~

IV.

Construye la tabla de verdad de cada una de las proposiciones siguientes: 1) p  ~q 2) (p  q)  r 3) ~p  ~q 4) (~p  ~q)  ~r 5) (p  q)  (p  r) 6) ~p  [q  (r  s)] 7) (~p  ~q)  (~p  s) 8) ~p  s 9) (p  ~r)  q 10) [(~p  ~r)  (q  ~p)]  (~r  ~p)

V.

1. 2. 3. 4. 5.

Dadas las proposiciones siguientes realice la tabla de verdad de cada una de ella e indique cuales son tautología, contradicciones o contingencias. [p  (p  q)]  q (p  q)  (p  ~q) ~p  (p  q) (~p  ~q)  (~p  q) [q  (~p  q)]  q

VI. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

     

Si A= {0, 1, 2, 3, 4, 5} determine el valor de verdad de cada una de las proposiciones siguientes: x  A; 4 x < 20 x  A; x 2 - 1 ≥ 0 x  A; 3x + 6 > 4 x x  A; x 2 + 2x = 0 x  A; 4x + 1 > 20 x  A; x 2 - 2x > 5

~ 117 ~

VII.

Resolver los siguientes problemas lógicos:

1. Un pastor tiene que pasar un lobo, una cabra y una lechuga a la otra orilla de un río, dispone de una barca en la que sólo caben él y una de las otras tres cosas. Si el lobo se queda solo con la cabra se la come, si la cabra se queda sola con la lechuga se la come, ¿Cómo debe hacerlo?

2. Un hombre tiene RD$100.00 con los cuales debe comprar 100 animales de tres variedades. Solo que el precio es el siguiente, vaca a RD$10.00, chivo a RD$ 5.00 y pollos a 0.50 centavos. Como lo haría el hombre para con los 100 pesos comprar 100 animales.

3. Un oso camina 10 Km. Hacia el sur, 10 hacia el este y 10 hacia el norte, volviendo al punto del que partió. ¿De que color es el oso?

4. Un hombre está al principio de un largo pasillo que tiene tres interruptores, al final hay una habitación con la puerta cerrada. Uno de estos tres interruptores enciende la luz de esa habitación, que está inicialmente apagada. ¿Cómo lo hizo para conocer que interruptor enciende la luz recorriendo una sola vez el trayecto del pasillo? Pista: El hombre tiene una linterna.

~ 118 ~

5. Un prisionero está encerrado en una celda que tiene dos puertas, una conduce a la muerte y la otra a la libertad. Cada puerta está custodiada por un vigilante, el prisionero sabe que uno de ellos siempre dice la verdad, y el otro siempre miente. Para elegir la puerta por la que pasara solo puede hacer una pregunta a un solo de los vigilantes. ¿Cómo puede salvarse?

6. Tenemos doce monedas aparentemente iguales, pero una de ellas tiene un peso ligeramente superior. Usando una balanza de platillos y con solo tres pesadas encontrar la moneda diferente.

7. Tres amigos con dificultades económicas comparten un café que les cuesta 30 pesos, por lo que cada uno pone 10. Cuando van a pagar piden un descuento y el dueño les rebaja 5 pesos tomando cada uno un peso y dejando dos en un fondo común. Más tarde hacen cuentas y dicen: Cada uno ha pagado 9 pesos asi que hemos pagado 9x3=27 pesos que con los dos del fondo hacen 29 ¿Dónde está el peso que falta?

8. Un encuestador se dirige a una casa donde es atendido por una mujer: ¿cantidad de hijos? Tres dice ella. ¿edades?, El producto de las edades es 36 y la suma es igual al número de la casa, responde. El encuestador se va pero al rato vuelve y le dice a la mujer que los datos que le dio no son suficientes; la mujer piensa y le dice: tiene razón, la mayor estudia piano. Esto es suficiente para que el encuestador sepa las edades de los hijos. ¿Cuáles son?

~ 119 ~

9. El alcaide de una cárcel informa que dejara salir de la prisión a una persona al azar para celebrar que hace 25 años que es alcaide. Eligen a un hombre y le dicen que quedará libre si saca de dentro de una caja una bola blanca, habiendo dentro 9 bolas negras y solo 1 blanca. El prisionero se entera por un chivatazo que el alcaide pondrá todas las bolas de color negro, al día siguiente le hace el juego, y el prisionero sale en libertad. ¿Cómo ha conseguido salir de la cárcel si todas las bolas eran negras?

10. Un excursionista es capturado por caníbales y le dicen: Si dices una mentira te matamos lentamente y si dices una verdad te matamos rápidamente. ¿Qué dice para que no lo maten?

Son nuestras escogencias y no la suerte la que determinan nuestro destino. Jean Nidetch

~ 120 ~

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Santana, J. E., & Herrera Acebedo, R. (1985). Lógica y Geometría Moderna (novena ed.). Santo Domingo: Talleres de impresora Teófilo.

~ 121 ~

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Revisado el 30 de Agosto 2012. Prof. Wilton Oltmanns

~ 122 ~