S04.s2 - Material Prueba De Hipotesis

ESTADÍSTICA INFERENCIAL SEMANA 4 SESIÓN 8 – CONCEPTOS BÁSICOS DE LA ESTADÍSTICA

ESTADÍSTICA INFERENCIAL

1. Prueba de Hipótesis para la media poblacional con varianza conocida. 2. Prueba de Hipótesis para la media poblacional con varianza desconocida.

LOGRO Al finalizar la clase, el estudiante estará en la capacidad de formular hipótesis para la media poblacional con varianza conocida y desconocida.

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA POBLACIONAL Paso 1: Planteamiento de la hipótesis H0: 𝜃 = 𝜃𝑜 H1: 𝜃 ≠ 𝜃𝑜

H0: 𝜃 ≤ 𝜃𝑜 H1: 𝜃 > 𝜃𝑜

𝑹𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝒉𝟎

𝛼/2

𝑹𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝒉𝟎

𝛼

𝛼/2

𝑵𝒐 𝑹𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝒉𝟎 𝛼 2

1−𝛼

𝛼 1− 2

𝜽 = varianza (𝜎2 ) proporción (𝜋)

La posición de la región Sombreada depende de la hipótesis alternativa

𝛼

𝑵𝒐 𝑹𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝒉𝟎 𝛼 2

H0: 𝜃 ≥ 𝜃𝑜 H1: 𝜃 < 𝜃𝑜 𝑹𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝒉𝟎

media (µ),

𝑹𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝒉𝟎

𝛼

1−𝛼 𝑵𝒐 𝑹𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝒉𝟎

𝛼

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA POBLACIONAL Paso 2: Establecer el nivel de significancia (α). El cual puede ser: 0.01, 0.05, 0.10, etc.

Paso 3: Estadístico de prueba:

Caso 1: Varianza poblacional conocida 𝑍𝐶 =

𝑋 − 𝜇ℎ𝑖𝑝 𝜎 𝑛

Si la Varianza poblacional desconocida y tamaño de muestra grande (n ≥ 30) (TLC)

𝑋 − 𝜇ℎ𝑖𝑝 𝑍𝐶 = 𝑆 𝑛

Caso 2: Varianza poblacional desconocida y tamaño de muestra pequeño (n < 30) 𝑋 − 𝜇ℎ𝑖𝑝 𝑇𝐶 = 𝑆 𝑛

Grado de libertad: 𝑛 −1

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA POBLACIONAL Paso 4: Región de Rechazo de H0 (RH0) y región de No Rechazo de la H0 (NRH0)

𝑹𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝒉𝟎 𝛼/2

𝛼

1−𝛼 2

𝑹𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝒉𝟎

𝛼

𝑵𝒐 𝑹𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝒉𝟎

𝛼/2

𝑵𝒐 𝑹𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝒉𝟎 𝛼 2

1−𝛼

𝑹𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝒉𝟎

𝛼 2

𝑹𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝒉𝟎 𝛼

1−𝛼 𝑵𝒐 𝑹𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝒉𝟎

Paso 5: Decisión Estadística 𝛼

Con los valores de la muestra hallar el valor de la estadística de prueba Z o t, llamado Zcal o tcal ▪ Rechazar H0 si Zcal o tcal se encuentra en la región de rechazo ▪ No Rechazar H0 si Zcal o tcal se encuentra en la región de no rechazo.

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA POBLACIONAL PROBLEMA 1: Una máquina está calibrada para embolsar cereales a un peso promedio de 500 g. Cada cierto tiempo el jefe de control de calidad realiza una inspección para determinar si debe mandar a calibrar la máquina. Para tomar una decisión toma una muestra aleatoria de 36 bolsas y encuentra un promedio de 496.5 g. ¿A que conclusión llegará el jefe de control de calidad, si suponemos que el peso se distribuye normalmente con una desviación estándar de 9 g? Use un 5% de significancia.

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA POBLACIONAL SOLUCIÓN: Paso 1:

H0: μ = 500 g (Las bolsas de cereal pesan en promedio 500 g) H1: μ ≠ 500 g (Las bolsas de cereal no pesan en promedio 500 g) X: peso de la bolsa de cereal, la cual tiene una distribución normal. Paso 2: Nivel de significancia: 𝛼 = 0.05 Paso 3: Estadístico de prueba: (𝜎: conocida, n>30) 𝑋 − 𝜇ℎ𝑖𝑝 𝑍𝐶 = 𝜎 𝑛

Datos población 𝜎=9

Datos Muestra 𝑛 = 36 𝑋 = 496.5 g

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA POBLACIONAL Ho: μ = 500 g

SOLUCIÓN:

𝑍𝐶 = −2.33

𝐻1: μ ≠ 500 g

Paso 4: Región crítica para α dado: Se rechaza Ho si: −∞ ; −1.96 𝑜 1.96 ; ∞ Paso 5: Decisión con estadístico de prueba: Cálculo de 𝑍𝑐𝑎𝑙 : → 𝑍𝐶𝑎𝑙 =

496.5 − 500 = −2.33 9 36

𝑹𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝒉𝟎

𝛼/2 𝑍

1- 𝛼

𝑹𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝒉𝟎 𝛼/2

𝑵𝒐 𝑹𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝒉𝟎 𝛼 2

= −1.96

Paso 6: Conclusiones: Con un nivel de significación del 5% existe evidencia estadística para concluir que el peso promedio de las bolsas de cereal no pesan 500 gramos. Se justifica enviar a calibrar la máquina.

𝑍

𝛼 1− 2

= 1.96

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA POBLACIONAL PROBLEMA 2: En estudios previos se ha determinado que el nivel de colesterol promedio de pacientes con problemas cardíacos es 220. Un cardiólogo piensa que en realidad el nivel es más alto y para probar su afirmación usa la muestra: 217 223 225

245

238

216

217

226

202

233

235 242 219

221

234

199

236

248

218

224

¿Habrá suficiente evidencia estadística para apoyar la afirmación del cardiólogo? Justificar su respuesta con un α = 0.05.

fuente: http://academic.uprm.edu/eacuna/miniman7sl.pdf

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA POBLACIONAL SOLUCIÓN: Paso 1: Plantear Hipótesis

H0: μ ≤ 120 (El nivel promedio de colesterol es 220) H1: μ > 120 (El nivel promedio de colesterol es mayor que 220)

X: El nivel de colesterol de los pacientes, el cual tiene una distribución normal. Paso 2: Nivel de significancia: 𝛼 = 0.05 Paso 3: Estadístico de prueba: (𝜎: conocida, n < 30) 𝑋 − 𝜇ℎ𝑖𝑝 𝑇𝐶 = 𝜎 𝑛

Datos población No hay datos

Datos Muestra 𝑛 = 20 𝑋 = 225.9 S = 13.09

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA POBLACIONAL SOLUCIÓN:

𝑇 𝐶 = 2.02

Paso 4: Región crítica para α dado: Si: 𝑇𝑐𝑎𝑙 > 𝑇𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 se rechaza 𝐻0 .

Paso 5:Decisión → 𝑍𝐶𝑎𝑙 =

225.90−220 13.09 20

H0: 𝜃 ≤ 𝜃𝑜 H1: 𝜃 > 𝜃𝑜 1−𝛼

=2.02

𝑵𝒐 𝑹𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝒉𝟎

𝑹𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝒉𝟎 𝛼

𝑇 1−𝛼 ;𝑛−1 = 𝑇 0.95;19 = 1.729

Paso 6: Conclusiones Con un nivel de significación del 5% existe evidencia estadística de que el nivel de colesterol promedio de los pacientes con problemas cardíacos es mayor a 220.

EJERCICIOS INDIVIDUALES

Resolveremos el siguiente ejercicio de manera individual

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA POBLACIONAL Se realiza un control a los conductores, deteniendo a los autos que circulan a altas horas de la noche, midiendo a sus conductores el grado de alcohol consumido en decigramos de alcohol por litro de sangre. Se muestra a continuación el resultado contenido en 12 conductores tomados aleatoriamente. Resultados obtenidos en el dosaje etílico

0.4

0.3

0.5

0.6

0.7

0.2

0.4

0.3

0.6

0.2

0.1

0.1

Suponiendo que los resultados en dosaje etílico se distribuyen normalmente. Pruebe usted la hipótesis que sostiene que el grado medio de alcohol consumido por los conductores es menor a 0.6 decigramos de alcohol por litro de sangre. Use ∝ =0.05. Calculadora: muestra: 𝑋 = 0.37, 𝑆 = 0.2

CIERRE

¿QUÉ HEMOS APRENDIDO? 1. ¿Para qué sirve la prueba de hipótesis de la media poblacional? 2. ¿Cuál es la influencia de la varianza en la prueba de hipótesis de la media poblacional?