Solucionario De Lomeli

Manual de soluciones del libro "Métodos dinámicos en economía" Versión 0.4 Héctor Lomelí Ortega Beatriz Rumbos Pellicer Lorena Zogaib Achcar 1 de septiembre de 2004

Índice General

2 Ecuaciones diferenciales lineales

3

3

Ecuaciones no lineales de primer orden

7

4

Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

11

5

Análisis cualitativo

15

6

Conceptos básicos de dinámica discreta

20

9

Optimización estática

22

11 Introducción al cálculo en variaciones

1

39

Nota para el lector

La presente es una versión preliminar de las soluciones del libro Métodos dinámicos en economía. Estamos conscientes de que, a pesar del esfuerzo y cuidado puestos en este trabajo, es probable que existan errores involuntarios en las respuestas que aquí presentamos. Agradeceremos sus comentarios y correcciones al presente documento a las siguientes direcciones electrónicas: [email protected] [email protected] Con cierta frecuencia aparecerán nuevas versiones en la página del departamento de Matemáticas del ITAM, en: http://matematicas.itam.mx Gracias por leer nuestro libro.

Los autores

2

Cap´ıtulo

2

Ecuaciones diferenciales lineales 2.2 b = −3, c = 6, x0 = 5. 2.3 α = 3, β = − 19 , A =

1 = 18 . Por lo tanto la solución para las condiciones 1 1 1 iniciales dadas es x(t) = − + e3t + e−3t . 9 18 18 2.4 α = 0, β = 7. Por lo tanto la solución para las condiciones dadas se puede escribir como y(v) = 7e−v sin v.

2.5

1 18 , B

a) x(t) = ke5t , la solución no converge a su estado estacionario. b) x(t) = ke− 2 , la solución sí converge a su estado estacionario. t

c) x(t) = 8 + ke−t , la solución sí converge a su estado estacionario. d) x(t) = 2 + ke5t , la solución no converge a su estado estacionario. 2.6 P(t) = 5 + ke−6t , el estado estacionario es P∗ = 5. La solución sí converge a su estado estacionario. 2.7

a) P(t) = P0 eat . ln 2 . b) t∗ = a c) lim P(t) = 0. t→∞

2.8 P(t) = P0 e(α−β)t . Si α > β, lim P(t) = ∞, es decir que P crece indefinidamente. t→∞

Si α = β, lim P(t) = P0 , es decir que P es siempre constante. Si α < β, t→∞

lim → ∞P(t) = 0, es decir que P se extingue. t


 E E at E E e . Si P0 = , entonces P(t) = , por lo tanto lim P(t) = 2.9 P(t) = + P0 − t→∞ a a a a E E es decir, la población es constante. Si P0 > , entonces lim P(t) = ∞, es t→∞ a a 3

4 E decir la población es creciente. Si P0 < , entonces lim P(t) = −∞, es decir t→∞ a la población es decreciente. T

2.10 Factor de integración µ(t) = e t r(s)ds . Interpretación: Y(t) es la inversión, B(t)  t YT + δ(s )ds es la cantidad de bonos que se tienen es el precio del bono y BT T en la inversión. 2.11

a) r(t) = r0 − b) B(t) = e

1 . t+1


r0 (t−T)

T+1 t+1

 .

c) δ(t) = −er0 (T−t) . Si δ < 0 tenemos retiros.  1  r0 (T−t) d) Z(T) = − 1 + 1. e r0   1  −r0 (t−T) T + 1 r0 (t−T) e −1 = B(t)Z(t). Simplificando e 1+ e) Y(t) = t + 1 
 r0  1 1 T+1 1− er0 (t−T) + . Y(t) = t+1 r0 r0 2.12

a) Y˙ es el cambio en la inversión. Se debe a las ganancias rY generadas por invertir a una tasa Y menos las perdidas −X(t) debidas al flujo de inversión.  T e−rs X(s)ds. En el límite T → ∞, Y(t) = b) Y(t) = er(t−T)Y(T) + ert t  ∞ rt −rs e (s)ds. e t  ∞ e−rτ X(τ + t)dτ. c) Cambio de variable τ = s − t. Por lo tanto Y(t) = 0



∞

2.13 L {a f (t) + bg(t)} =

e−st [a f (t) + bg(t)] dt

0



∞

e



−st

(a f (t)) dt + 0   ∞ −st e f (t)dt + b =a

=

0

2.14

∞ 0 ∞

0

1 + ce−2 sin t . 2 2 1 b) x(t) = + ce−t . 2

a) x(t) =

t3

c) x(t) = 5 + e− 3 .

e−st (bg(t)) dt

e−st g(t)dt = aL { f (t)} + bL {g(t)} .

5

2.15

1 d) x(t) = − et + e−6t . 7 1 2 −u3 e) y(u) = + e . 3 3 
αr dα e pe = . Resolviendo encontramos que a) p˙ + r−α r−α
 d d −( αr )t e e p (t) = + p0 − e r−α r r .  b  ∞

d d −rt de dt = lim de−rt dt = − lim e−rb − 1 = . b) r b→∞ r b→∞ 0 0
 αr d d d c) lim pe (t) = + p0e − lim e−( r−α )t = = p∗ ya queα, r > 0 y r > α. t→∞ r r t→∞ r d α d) Sustituyendo (2.29) en (2.28) se tiene que p = + (p − pe ) . Por lo tanr r ∗α e to p = p (p − p ) . Ahora bien, usando la solución para pe se obtiene r que  

α r ∗ p − pe . p(t) = r−α r−α   


r α r p∗ − y lim pe = p∗ − Por lo tanto lim p(t) = t→∞ t→∞ r − α r − α r − α 
α p∗ = p∗ . r−α 
αr αr ∗ (p0e − p∗ ) e−( r−α )t , con r > α. Además e) p(t) = p − r−α αr

pe (t) = p∗ + (p0e − p∗ ) e−( r−α )t , con r > α. 2.16 Sea v = ln y, entonces ev = y y y = ev Q(t)ev v. Por lo tanto v − Q(t)v = −P(t).

dv dv . Sustituyendo ev + P(t)ev = dt dt

2.17 Sea v = ln y, resolviendo para v se obtiene v(t) = − t3

entonces y(t) = e− 4 + t . c

t3 c + . Como y(t) = ev(t) 4 t

2.18 Sea A x¨ + B x˙ + Cx = 0 una ecuación diferencial homogénea con coeficientes constantes, donde A = 0, B, C ∈ R. Sean x1 , x2 dos soluciones de la ecuación, es decir: A x¨ 1 + B x˙ 1 + Cx1 = 0 yA x¨ 2 + B x˙ 2 + Cx2 = 0. Sea x3 = ax1 + bx2 . Entonces A x¨ 3 + B x˙ 3 + Cx3 = A (a x¨1 + b x¨2 ) + B (a x˙ 1 + b x˙ 2 ) + C (ax1 + bx2 ) = a (A x¨ 1 + B x˙ 1 + Cx1 ) + b (A x¨ 2 + B x˙ 2 + Cx2 ) = 0. Por lo tanto x3 = ax1 + bx2 es solución de la ecuación A x¨ + B x˙ + Cx = 0.

6

2.19

˙ a) x¨ = −1, x(0) = 2, x(0) = 4. b) x¨ − 3x˙ + 2x = 6t − 7. c) x¨ + 4x˙ + 5x = 0.

2.20

a) x(t) = et . b) x(t) = e

5 4t



√ 13 23 23 t + √ sin t . 3 cos 4 4 23 √

c) x(t) = e−t [cos t + sin t] . d) x(t) = (1 − 3t)e3t . 2.21

a) x(t) = k1 e(1+

√ 2) t

+ k2 e(1−

√ 2) t

− 7.

b) x(t) = c1 cos t − c2 sin t + 1.  √ √ 5 23 23 t − c2 sin t + 3. c) x(t) = e 4 t c1 cos 4 4 d) x(t) = A + Be3t − 4t. 1 e) x(t) = c1 e−t + c2 e2t − . 2 1 f) x(t) = c1 e−3t + c2 te−3t + . 9 β

¯ + e− 2 t (A cos δt − B sin δt) , con β > 0, δ
0. 2.22 p(t) = m β

e− 2 t u(t) = u¯ − γ





  −βA βB − Bδ cos δt + − Aδ sin δt . 2 2

¯ y lim u(t) = u, ¯ lo que quiere decir que se satisface el Además lim p(t) = m t→∞ t→∞ mismo comportamiento asintótico que en el caso β > 4αγ. 2.23

t cos 2t. 4 14 = c1 e−t + c2 e3t − 3t2 + 4t − . 3 4 = c1 e−t + c2 e2t − te−t . 3 1 = c1 e3t + c2 e−t − et − cos t + 2 sin t. 2 
4 1 cos 2t + sin 2t . = e−3t (c1 cos 2t − c2 sin 2t) + e−2t 17 17

a) x(t) = c1 cos 2t − c2 sin 2t − b) x(t) c) x(t) d) x(t) e) x(t)

2.24 x(t) = k1 et + k2 e2t + k3 e−t .

Cap´ıtulo

3

Ecuaciones no lineales de primer orden 3.1

3.2

3.3

a) x(t) = |t| o x(t) = t si t > 0. b) x(t) = |t| o x(t) = t si t > 0. 1 . c) x(t) = 2−t  π . d) x(t) = tan t − 1 + 4  71 3 e) x(t) = 2 (t + 1)3/2 + . 27  2 . a) y(x) = sin−1 2 x +1 b) y(x) − 2 ln |y(x) + 2| = − ln |x + y| − 1.  1 t 1 3t e + e . c) y(x) = − 2 2 

a) N(t) = 1+ ∗

N∗ N∗ N0

−1



e N ∗ kt

para N ∗ = N0 . Si N ∗ = N0 entonces N(t) =

N . b) lim N(t) = N ∗ , es decir que el número de personas que habrá oído el t→∞ rumor cuando t sea muy grande tenderá al número total de personas del pueblito. s . Por lo tanto 3.4 Sea w = k1−α . Resolviendo se obtiene w(t) = ce−(1−α)(n+δ)t + n+δ 1  1−α  1 s −(1−α)(n+δ)t 1−α = ce + . la solución para k es de la formak(t) = w n+δ 7

8 

s Además lim k(t) = t→∞ n+δ 3.5

3.6

1  1−α

= k∗ .

L L L˙ 1 = α − β = α − β γ 1−γ = α − β γ 1−γ = L Υ K L K L γ+1 L Lγ α − β γ . Por lo tanto L˙ = αL − β γ , donde K es constante. K K
 1 β β −γ . e−αγt + b) Sea w = L . Resolviendo se obtiene w(t) = γ − γ αK αK γ L0 
  1 1 β β −γ − γ1 −αγt Por lo tanto L(t) = w(t) = + . e γ − αK γ αK γ L0

 γ1  1 β −γ α . Por lo tanto lim L(t) = K. c) lim L(t) = γ t→∞ t→∞ αK β

a) Sea Υ = K γ L1−γ . Entonces

1 a) Sea w = y1−n . Su solución está dada por w(t) = keαt − . Por lo tanto α C 1 . Como P = y + L, entonces y(t) = αt ke − 1/α r P(t) =   b) lim P(t) = t→∞

1 1 P0 −L

+

r αC



eαt −

r αC

+ L.

L, P0 = C − L . P0 , P0 = C − L

1 . 2t − 2 + ce−t 1 1 b) Sea w = 2 , cuya solución es w(x) = x + + ce2x . Por lo tanto y(x) = y 2 − 21
1 . ± x + + ce2x 2 x+c x 1 . Por lo tanto y(x) = . c) Sea w = , cuya solución es w(x) = y x x+c   1 d) Sea w = 3 , cuya solución es w(x) = x3 2x3 + c . Por lo tanto y(x) = y 1 . 1 x [2x3 + c] 3

3.7

a) x(t) =

3.8

a) Sea w = x−6 , entonces la tenemos la solución w(t) = 1 + ce6t . Por lo tanto x(t) = 1. c 4 + 44 . Por lo b) Sea w = x−4 , entonces la tenemos la solución w(t) = − 43t t 1 . tanto x(t) =  47 4 4 − 44 43t 43t

9 c 1 c) Sea w = y−2 , entonces la tenemos la solución w(t) = + √ . Por lo t t √ tanto y(t) = t, con t > 0. 3.9

a) x = 0 equilibrio inestable; x = 2 equilibrio estable. b) x = 0, x = 12 equilibrios inestables; x = 3 equilibrio estable. c) x = 2nπ equilibrio inestable; x = (2n + 1) π equilibrio estable. d) x = k equilibrio estable.

3.10

a) Si x0 < 2 entonces x(t) converge a 2. Si x0 > 2 entonces x(t) diverge. b) Si x0 < 0 entonces x(t) converge a 0. Si 0 < x0 < 1 entonces x(t) converge a 1. Si x = 1 es un punto de equilibrio estable.

3.11

c) Si x0 < 0 entonces x(t) converge a 0. Si x0 > 0 entonces x(t) diverge.
 u u u u u (u ) (u ) − u u d = 1 − . Entonces = = a) Como  2 dw u (u )2 (u )2

 (u ) u u d d = k. De esta manera = 1 − k. Lo que implica 1−  dw u dw u u u  = (1 − k)w + A . Donde A es continua. Por lo que se tiene = u u  u 1 1 . Sea A = −A entonces −  = .  A + (1 − k)w u A + (k − 1)w b) A + (k − 1) w > 0 con w > 0. u 1 w2 c) Si k = 0 entonces u = k2 + k1 Aw − k1 . Si k = 1 entonces −  = , 2 u A la cual es una función CARA (aversión relativa al riesgo constante). Si 1 u y se parece al caso k = 0. k > 1 entonces −  = u A + (k − 1)w

3.12

1 [(αm0 + µ + αµt) − αp] . Por lo que la solución para esta ecuaa) p˙ = 1 − αλ ción es α p(t) = (m0 + µλ + µt) + (p0 − m0 − λµ) e− 1−α t . Además lim p(t) = ∞, y t→∞

˙ ˙ = µ = m. lim p(t)

t→∞

1 b) p˙ = (p − m0 − µt) . Cuya solución, para las condiciones iniciales daλ das, es: t p(t) = (m0 + µλ + µt) + (p0 − m0 − λµ) e λ . ˙ = ∞. Además lim p(t) = ∞, y lim p(t) t→∞

t→∞

10

3.13

(1 − τ)dα a) Sea p˙ = r−α e




αr r−α

 pe . Resolviendo se obtiene αr

pe (t) = p∗ + (p0e − p∗ ) e−( r−α )t y p(t) = p∗ −

αr α (p0e − p∗ ) e−( r−α )t . r−α

(1 − τ) d ≡ p∗ . t→∞ t→∞ r b) Si τ aumenta a τ¯ > τ entonces en el momento del cambio, el cambio en el precio p˙ pasa de un valor cero a un valor negativo (el precio tiende a disminuir) correspondiente a la condición pe = p∗ . Después p˙ aumenta en el tiempo y el sistema procede asintóticamente hacia un nuevo valor de equilibrio, pe = p¯ ∗ < p∗ .   (1 − τ) d rt (1 − τ) d e + . c) p(t) = p0 − r r ¯ d (1 − τ) , con τ¯ > τ. d) El nivel del precio diverge, a menos que p0 = r Además lim pe (t) = lim p(t) =

Cap´ıtulo

4

Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales  4.1

4.2

4.3

a) X(t) = c1

1 1 



 e−2t + c2

1 −1

 e−4t .

   √ √ 1 1 √ e(2+ 3)t + c2 e(2− 3)t . b) X(t) = c1 √ 3 − 3     1 1 + c2 e−4t . c) X(t) = c1 0 −4     2 3 + c2 et . d) X(t) = c1 1 1     e−t cos t e−t sin t + c2 . a) X(t) = c1 −e−t sin t e−t cos t     4 4t e3t + c2 e3t . b) X(t) = c1 −2 1 − 2t     cos 2t sin 2t t e + c2 et . c) X(t) = c1 sin 2t − cos 2t     −1 −t e t + c2 et . d) X(t) = c1 −2 1 − 2t       1 1 1 1 2t 3t . e + c2 e − a) X(t) = c1 2 1 1 2

11

12  b) X(t) = c1

− cos

3 2 t+

 +c2  c) X(t) = c1 

4.4



√

2 cos √

1 1 

3 t √2

√

3 2 t

3 sin

e− 2 t 3



√

2 sin

− sin



√

3 2 t−

 e2t + c2

1 2

3 t √2



√

3 cos

1 e3t − 2

e

3 2 t





5 4

t −1 a) X(t) = e− 2 . Por lo tanto lim X(t) = t→∞ 10   cos βt b) X(t) = eαt . sin βt     5 5 cos t + 15 sin t     c) X(t) =  0  +  20 cos t + 10 sin t  et .

− 32 t

+

2 5

 .

 et . 

0 0

 .

30 cos t − 10 sin t     1 1 e−2t . a) X(t) = (2 + w) et + (1 − w) −2 1 0

4.5

b) w = −2. 4.6

4.7

a) Se necesita que trA = a + d = 0 y que det A = ad − bc < 0. En este caso   λ1 = bc − ad > 0 y λ2 = − bc − ad < 0.       b b x(t) e λ1 t + c2 e−λ1 t . b) = c1 λ1 − a −λ1 − a y(t)     3 1 + c2 e−4t . a) X(t) = c1 1 −1     3 3c1 = . b) lim X(t) = c1 t→∞ c1 1

     5 cos t + sin t 5 sin t − cos t 1       4.8 X(t) =  3  e2t + c1  12 cos t + 2 sin t  et + c2  12 sin t − 2 cos t  et . 4 cos t 4 sin t 1 



 −2 −7 −2   4.9 A =  0 1 0 . 3 7 3

13

a) Como el conjunto {w1 , w2 , w3 , . . . , wn } es l.i. para todo t, por lo tanto las columnas de Φ(t) son l.i. de modo que existe la inversa Φ−1 (t).

4.10

b) Sabemos que cada wi con i = 1, . . . n es solución de la ecuación X˙ = AX, por lo que se tiene que w ˙ i = Awi para i = 1 . . . n. Así   ˙ Φ(t) = w ˙ 2 ... w ˙n ˙1 w     = Aw1 Aw2 . . . Awn = A w1 w2 . . . wn = AΦ(t). 

t

c) Sea Υ(t) = Φ(t)

Φ−1 (s) f (s)ds. Por lo tanto

0



t

Φ−1 (s) f (s)ds = Φ−1 (t)Υ(t).

0

Por otra parte  ˙ ˙ Υ(t) = Φ(t) ˙ = Φ(t)Φ

t

0 −1

Φ−1 (s) f (s)ds + Φ(t)Φ−1 (t) f (t) (t)Υ(t) + f (t) = AΦ(t)Φ−1 (t)Υ(t) + f (t)

= AΥ(t) + f (t). Por lo tanto Υ es una solución particular a la ecuación X˙ = AX + f (t).         4 2500 4 1 x(t) 1 − 10 t − 11 t . + c2 e e 10 + = c1 a) 11 1625 3 −1 y(t)         17 4 t 4 1 x(t) 1 − 10 t − 11 t e 10 . + c2 e e 10 + b) = c1 6 19 3 −1 y(t)

4.13

a) x˙ = f (x, y), y˙ = 1. 1 1 b) x(t) = c2 e2t − t − . 2 4

4.14

4.15 El sistema lineal con coeficientes constantes es  4.16 4.18

x(t) y(t)



 = c1

1 1



 2

t + c2

1 3

x (w) = a1 x(w) + b1 y (w) . y (w) = a2 x (w) + b2 y (w)

 t4 .

a) x(t) = (cos t + sin t) e−t . Además lim x(t) = 0. t→∞

1 5 3t + e .Además lim x(t) = ∞. t→∞ 3 3 19 44 −5t 6 − e + t.Además lim x(t) = ∞. c) x(t) = t→∞ 25 25 5

b) x(t) =

14 d) x(t) = (1 + 2t) e−t .Además lim x(t) = 0. t→∞

2t

e) x(t) = (1 − 2t) e .Además lim x(t) = −∞. t→∞

4.19

8 1 1 f) x(t) = −4e−2t + e−3t + .Además lim x(t) = . t→∞ 3 3 3
 

u + w −x u + 2v + w u−w a) y(x) = e + cos x + sin x. 2 2 2 b) w = u y v = −u. Con esto se tiene y(x) = ue−x . Por lo tanto lim y(x) = 0. x→∞

4 2 1 4.20 y(t) = e−2t + et cos t − et sin t. Además lim y(t) no está definido ya que la t→∞ 5 5 5 función oscila.
 2v − 2u − 1 −x 4.21 a) y(x) = e −5  

2v + 3u − 1 x 2v − 2u + 4 x e cos x + e sin x. + 5 10 b) u = 1 y v = −1. Con esto se tiene y(x) = e−x . Por lo tanto lim y(x) = 0. x→∞

4.22 y(t) =

1 t 1 −t 1 e − e − sin t. 4 4 2

Cap´ıtulo

5

Análisis cualitativo  5.1

0 0 

a) P∗ = b) P∗ =

 ∗

c) P =  d) P∗ =  ∗

e) P =  5.2

a) P∗ =

0 0 

∗

b) P =  c) P∗ = 

 es un punto silla. 

0 0

es un espiral atractora. 

0 0

es un espiral repulsora. 

0 0

es un nodo repulsor.

− 53 1 3

 es un punto silla.

 es un punto silla. 

0 0

es degenerado inestable. 

0 0

es degenerado.

 −3b es un punto fijo para cada b. Por lo tanto hay una infinid) P = b dad de puntos fijos, cada uno de ellos degenerado.   ∗

e) P∗ =

9 4

− 92

es un espiral repulsora.

15

16 

5.3

 0   a) P∗ =  0  es degenerado. 0   0   ∗ b) P =  0  es nodo repulsor. 

0

 0   c) P∗ =  0  es degenerado. 0   −4   d) P∗ =  1  es nodo repulsor. 1  5.4

0 0





0 6





2 0



a) Existen cuatro puntos fijos: P1∗ = , P2∗ = , P3∗ = ,y   4 ∗ . El punto P1∗ es un nodo repulsor, P2∗ un nodo atractor, P3∗ P4 = −2   x(t) un punto silla y P4∗ una espiral atractora. Se tiene que lim = t→∞ y(t)   0 es decir que la población de x se extinguirá y la de y tenderá a 6, 6 no es posible que las dos poblaciones coexistan en el largo plazo.       0 0 3 ∗ ∗ ∗ , P2 = , P3 = ,y b) Existen cuatro puntos fijos: P1 = 0 2 0   4 . El punto P1∗ es un nodo repulsor, P2∗ un punto silla, P3∗ un P4∗ = −2     x(t) 3 ∗ = nodo atractor y P4 un punto silla. Se tiene que lim t→∞ y(t) 0 es decir que la población de x tenderá a 3 y la de y se extinguirá, no es posible que las dos poblaciones coexistan en el largo plazo.       0 0 1 , P2∗ = , P3∗ = ,y c) Existen cuatro puntos fijos: P1∗ = 0 3 0   P4∗ =

10 3 14 3

. El punto P1∗ es un nodo repulsor, P2∗ un punto silla, P3∗ un     10 x(t) 3 = punto silla y P4∗ un nodo atractor. Se tiene que lim 14 t→∞ y(t) 3

17

5.5

es decir que la población de la especie x se estabilice en 10 3 y la de y en 14 3 . Se espera que las poblaciones coexistan en el largo plazo.     0 P∗ = ,se tiene la dirección estable dada por a) Para el punto fijo ∗ N 0   0 λ = −1 que es U = , y la dirección inestable dada por λ = 1 que 1   1 es V = . 0 b) Como γNP es el número de encuentros Depredador-Presa por unidad de tiempo, entonces γ representa la frecuencia de encuentros entre las especies.

5.6

a) Se obtiene un comportamiento cíclico si 0 < a < 1 y b = a.

b) El sistema es estable si a < 1, b > a y ab < 1.     a w∗ ∗ =p . La solución del sistema es 5.7 El punto fijo está dado por ∗ p 1       a 1 w + c2 e−|λ2 |t , = c1 AB+C 1 p A     w a = c1 . Por lo tanto, donde λ2 = A − a (AB + C) . Además lim t→∞ p 1   a los puntos fijos son múltiplos del vector y son puntos de equilibrio 1 estables. 5.8

a) P∗ = (0, 0) es un punto silla porque λ1 = α + β > 0 y λ2 = α − β < 0.   1 con λ2 < 0 y b) Para el punto fijo P∗ se tiene Es = gen α+β   1 con λ1 > 0. Eu = gen α−β

5.9 El punto P∗ = (0, 0, 0) es un punto silla porque det A = −6 < 0. El espacio li    1     s ¯ neal estable es E (0) = gen  −1  que representa una recta. El espacio     1      1   5      u ¯ lineal inestable es E (0) = gen  0  ,  0  que representa un plano.     2 0

18 

5.11

   ∗ k 1 a) El punto fijo es P∗ = = y es un punto silla porque para 4 c∗ 5 ese punto se obtiene λ1 = − 12 < 0 y λ2 = 45 > 0. b) En P∗ la recta tangente que aproxima la variedad estable Ws (P∗ ) es c = 4 k. Similarmente, la recta tangente que aproxima la variedad inestable 5 13 1 Wu (P∗ ) es c = − k + . 2 10 4 ∗ c) c0 ≈ (1.1) = 0.88 > c . 5

5.12 v = −2u. 5.13

1 a) Los puntos fijos son cuatro: P1∗ = (0, 1), P2∗ = (0, −1), P3∗ = ( √ , 0), y 3 1 P4∗ = (− √ , 0). Los puntos P1∗ y P2∗ son los únicos puntos silla. Los 3 puntos P3∗ y P4∗ dan soluciones cíclicas. Para P1∗ se tiene   % & 0 = (x, y) ∈ R2 | x = 0 , Es (P1∗ ) = gen 1  E

u

(P1∗ )

1 0

= gen

Para P2∗ se tiene



Es (P2∗ ) = gen

1 0

 Eu (P1∗ ) = gen

0 1





% & = (x, y) ∈ R2 | y = 1 .

% & = (x, y) ∈ R2 | y = −1 ,



% & = (x, y) ∈ R2 | x = 0 .

b) Por regla de la cadena dy dt dy dy/dt y˙ = = . = dx/dt dt dx dx x˙ Entonces

Por lo tanto

y˙ 1 − 3x2 y2 1 − 3x2 − y2 dy = = = − . dx 2xy 2xy 2xy x˙ dy = dx




1 − 3x2 2xy



y−1 −

que es una ecuación de Bernoulli con n = −1.

1 y, 2x

19

c)

% & Ws (P1∗ ) = Wu (P2∗ ) = (x, y) ∈ R2 | x = 0 y

% & Wu (P1∗ ) = Ws (P2∗ ) = (x, y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1 .     0 3 ∗ ∗ y P2 = . El punto P1∗ 5.14 a) Hay dos puntos de equilibrio: P1 = 4 0 3 es un nodo repulsor y P2∗ es un punto silla.     1 0 − 3 b) Existen dos puntos de equilibrio: P1∗ = y P2∗ = . El − 13 0 punto P1∗ es un punto silla y P2∗ es un centro (soluciones cíclicas).    I(p∗ )  k∗ δ 5.15 El punto fijo = es un punto silla. f  (k∗) p∗ r+δ 

r2 − 4 det J ∗ < 0, dona) La tasa de convergencia está dada por λ = 2 de det J ∗ = −δ(r + δ) + f  (k∗ )I  (p∗ ). r−

Se tiene además que lim λ = −δ. r>>1

 5.17

a) El único punto fijo del sistema es P∗ =  b) Para

P∗

s

∗

se tiene E (P ) = gen  Eu (P∗ ) = gen

1 e

0 1





1 e

 y es un punto silla.

% & = (x, y) ∈ R2 | x = 1 y

% & = (x, y) ∈ R2 | y = ex .

c . x−1 d) Para P∗ se tiene c) y(x) = ex +

% & Ws (P∗ ) = (x, y) ∈ R2 | x = 1 y

% & Wu (P∗ ) = (x, y) ∈ R2 | y = ex .

Cap´ıtulo

6

Conceptos básicos de dinámica discreta  1 t a) xt = − (x0 − 2) + 2. Además lim xt = 2, es decir que es asintóticat→∞ 2 mente estable.
t 3 (x0 + 4) − 4. Además lim xt = ∞, es decir que es asintóticab) xt = t→∞ 2 mente inestable. 
5 5 + . Además lim xt no está definido es decir que c) xt = (−1)t x0 − t→∞ 2 2 diverge. 
1 t x0 . Ademáslim xt = 0, es decir que es asintóticamente estad) xt = − t→∞ 3 ble.


6.4

6.5 La ecuación en diferencia para el ingreso es Yt+1 = mYt + (c + I) . Tiene como c+I . Por lo tanto, la solución de la ecuación es Yt = punto fijo a y∗ =  1−m  c+I c+ I c+I + . Además lim Yt = 1−m > 0, es decir que el punto mt Y0 − t→∞ 1−m 1−m fijo es asintóticamente estable. 6.8

a) Puntos fijos: x1∗ = −1 el cual es asintóticamente inestable y x2∗ = 1 el cual es un punto silla. b) Puntos fijos: x1∗ = 1 el cual es asintóticamente inestable y x2∗ = 3 el cual es asintóticamente estable.

6.10

1 8 a) pt = − pt−1 + . El punto fijo es p∗ = 2 el cual es asintóticamente esta3 3 ble, ya que lim pt = 2. t→∞

20

21 11 11 el cual es inestable, se tiene b) pt = −pt−1 + . El punto fijo es p∗ = 2 4 que lim pt no existe. t→∞

c) pt = −3pt−1 + 16. El punto fijo es p∗ = 4 el cual es asintóticamente inestable.

Cap´ıtulo

9

Optimización estática 9.1 Sean A y B subconjuntos convexos de R n . a) Sea A + B = {a + b|a ∈ A y b ∈ B} y sean c1 , c2 ∈ A + B. Entonces c1 = a1 + b1 , c2 = a2 + b2 donde a1 , a2 ∈ A y b1 , b2 ∈ B. Como a1 , a2 ∈ A y b1 , b2 ∈ B con A y B convexos, entonces ∀λ ∈ (0, 1) se tiene que λa1 + (1 − λ) a2 ∈ A y λb1 + (1 − λ) b2 ∈ B. Por lo tanto, [λa1 + (1 − λ) a2 ] + [λb1 + (1 − λ) b2 ] ∈ A + B. De donde λ (a1 + b1 ) + (1 − λ) (a2 + b2 ) ∈ A + B. Entonces λc1 + (1 − λ) c2 ∈ A + B. Por lo tanto A + B es convexo. b) Sea kA = {ka|a ∈ A} para k ∈ R y sean c1 , c2 ∈ kA.Entonces c1 = ka1 , c2 = ka2 donde a1 , a2 ∈ A. Como a1 , a2 ∈ A y A es convexo, entonces ∀λ ∈ (0, 1) se tiene que λa1 + (1 − λ) a2 ∈ A. Por lo tanto, k [λa1 + (1 − λ) a2 ] ∈ kA. De donde λ [ka1 ] + (1 − λ) [ka2 ] ∈ kA. Entonces λc1 + (1 − λ) c2 ∈ kA. Por lo tanto kA es convexo. 9.2 Sea X ⊂R n un conjunto convexo y sean f , g : X →R dos funciones cóncavas. a) Sea α ∈ R + y sean x¯1 , x¯2 ∈ X. Como f es cóncava, entonces f (λ x¯1 + (1 − λ) x¯ 2 )
λ f ( x¯1 ) + (1 − λ) f ( x¯ 2 ) , ∀λ ∈ (0, 1) . Como α > 0, entonces α f (λ x¯1 + (1 − λ) x¯ 2 )
α [λ f ( x¯ 1 ) + (1 − λ) f ( x¯ 2 )] = λ [α f ( x¯ 1 )] + (1 − λ) [α f ( x¯2 )] . Por lo tanto α f es cóncava.

22

23 b) Sea α ∈ R − y sean x¯1 , x¯2 ∈ X. Como f es cóncava, entonces f (λ x¯1 + (1 − λ) x¯ 2 )
λ f ( x¯1 ) + (1 − λ) f ( x¯ 2 ) , ∀λ ∈ (0, 1) . Como α < 0, entonces α f (λ x¯1 + (1 − λ) x¯ 2 )  α [λ f ( x¯ 1 ) + (1 − λ) f ( x¯ 2 )] = λ [α f ( x¯ 1 )] + (1 − λ) [α f ( x¯2 )] . Por lo tanto α f es convexa. c) Como f y g son cóncavas, entonces ∀λ ∈ (0, 1) se tiene que f (λ x¯ 1 + (1 − λ) x¯2 )
λ f ( x¯1 ) + (1 − λ) f ( x¯2 ) , g (λ x¯ 1 + (1 − λ) x¯2 )
λg ( x¯1 ) + (1 − λ) g ( x¯2 ) . Por lo tanto, f (λ x¯1 + (1 − λ) x¯2 ) + g (λ x¯1 + (1 − λ) x¯2 )


[λ f ( x¯1 ) + (1 − λ) f ( x¯2 )] + [λg ( x¯1 ) + (1 − λ) g ( x¯2 )] . Entonces ( f + g) (λ x¯1 + (1 − λ) x¯2 )
[( f + g) ( x¯1 )] + (1 − λ) [( f + g) ( x¯2 )] . Por lo tanto, f + g es cóncava. ¯ ⊂ Y ⊂ R y sea h : Y → R una función cóncava y creciente. d) Sea g ( x) Como g es cóncava, entonces ∀λ ∈ (0, 1) se tiene que g (λ x¯ 1 + (1 − λ) x¯2 )
λg ( x¯1 ) + (1 − λ) g ( x¯2 ) . Como h es creciente, entonces h (g (λ x¯1 + (1 − λ) x¯2 ))
h (λg ( x¯ 1 ) + (1 − λ) g ( x¯2 )) . De donde (h ◦ g) (λ x¯1 + (1 − λ) x¯ 2 ) = h (g (λ x¯1 + (1 − λ) x¯ 2 ))


h (λg ( x¯1 ) + (1 − λ) g ( x¯2 ))
λh [g ( x¯1 )] + (1 − λ) h [g ( x¯2 )] = λ (h ◦ g) ( x¯1 ) + (1 − λ) (h ◦ g) ( x¯ 2 ) . Por lo tanto, h ◦ g es cóncava.

24

9.3

a) Conjunto convexo. b) No es conjunto convexo. c) Conjunto convexo.

9.4

a) Si x = 0 o y = 0, entonces f (x, y) = 0, que es un plano en R3 (z = 0), y sabemos que toda función que represente un plano es cuasicóncava en particular (también es cuasiconvexa, cóncava y convexa). Si suponemos que x, y > 0, queremos demostrar que para toda k ∈ R + , el contorno superior de f en k, CS f (k) = {(x, y) ∈ R2++ |xy
k} es un conjunto convexo. Sean x1 = (x1 , y1 ) , x2 = (x2 , y2 ) ∈ CS f (k) , de modo que x1 y1
k y x2 y2
k. Sea x = ˘x1 + (1 − λ) x2 = (λx1 + (1 − λ) x2 , λy1 + (1 − λ) y2 ) , con λ ∈ (0, 1) . Debemos demostrar que (λx1 + (1 − λ) x2 ) (λy1 + (1 − λ) y2 )
k. Así, (λx1 + (1 − λ) x2 ) (λy1 + (1 − λ) y2 ) = λ2 (x1 y1 ) + (1 − λ)2 (x2 y2 ) + λ (1 − λ) (x2 y1 + x1 y2 )
 x2 x1 2 2
kλ + k (1 − λ) + kλ (1 − λ) + x1 x2
   x2 x1 2 2 + −2 = k λ + (1 − λ) + 2λ (1 − λ) + kλ (1 − λ) x1 x2
2  x1 + x22 − 2x1 x2 2 = k (λ + (1 − λ)) + kλ (1 − λ) x1 x2 (x2 − x1 )2 = k + kλ (1 − λ) x1 x2  (x2 − x1 )2 = k 1 + (1 − λ)
k. x1 x2 Por lo tanto, x ∈ CS f (k) . Lo que implica que CS f (k) es convexo, ∀k ∈ R2+ . Por lo tanto, f (x, y) = xy es cuasicóncava en R2+ . b) Como f es doblemente diferenciable, analizamos simplemente el signo de le matriz hessiana H :     2 2 f xx f xy = . H= f yx f yy 2 2

25

2 Como f xx = 2 > 0, f yy = 2 > 0 y |H| = f xx f yy − f xy = 0. Entonces H es positiva semidefinida. Por lo tanto, f es convexa (no estricta).

c) Como f es doblemente diferenciable, analizamos simplemente el signo de le matriz hessiana H :     2 0 f xx f xy = . H= f yx f yy 0 2 2 = 4 > 0. Entonces H Como f xx = 2 > 0, f yy = 2 > 0 y |H| = f xx f yy − f xy es positiva definida. Por lo tanto, f es estrictamente convexa.

9.5 f es una función cóncava para a  0 y b  0. 9.6

a) Si el dominio de la función se restringe a R2++ entonces f es cuasicóncava y además estrictamente cóncava. Si el dominio incluye x, y < 0 entonces f no es cuasicóncava, ni se aplica la definición de función cóncava al no ser el dominio convexo. b) f es cuasicóncava y además estrictamente cóncava. c) f es cuasiconvexa y además convexa (no estricta).

9.7 Sea g : R n++ → R, dada por   ¯ = ln Πnk=1 xkαk g ( x) con α1 , . . . , αn > 0. Entonces   ¯ = ln x1α1 x2α2 . . . xnαn g ( x) = α1 ln x1 + α2 ln x2 + · · · + αn ln xn . Por lo tanto



− αx12

1   0  H=  ...  0

0 − αx22 2

... 0

...

0

...

0



   . ... ...   αn . . . − x2 n

α1 α1 α2 α1 α2 α3 Como |H1 | = − 2 < 0, |H2 | = 2 2 > 0, |H3 | = − 2 2 2 < 0, . . . , (−1)k x1 x1 x2 x1 x2 x3 |Hk | > 0 con 1  k  n. Entonces H es definida negativa. Por lo tanto f es estrictamente cóncava.

26

9.8 Por el ejercicio anterior tenemos que la función   ¯ ¯ = ln Πnk=1 xkαk = ln (h ( x)) g ( x) es estrictamente cóncava y, por lo tanto, cóncava. Existe un teorema que establece que si f es creciente y h es cuasicóncava entonces f ◦ h también es cuasicóncava. Entonces, como g es cuasicóncava y ex es una función creciente, α se tiene que h = eg = Πnk=1 xk k es cuasicóncava. 9.9

a) Sean a˜ =

b¯   . Entonces b¯ 

1 a¯ = f a¯ f (a˜ ) = f f (a¯ ) f ( a¯ ) 
f (a¯ ) 1 f ( a¯ ) = = f ( a¯ ) f (a¯ )

a¯ y b˜ = f (a¯ ) f

= 1.   ¯ = 1} y como Similarmente f b˜ = 1. Como CS f (1) = { x¯ ∈ X| f ( x)   ˜ ˜ f ( a˜ ) = f b = 1, por lo tanto a˜ , b ∈ CS f (1) .   λ f b¯   . Como f : X → (0, ∞) , entonces f (a¯ ) > 0 b) Sea µ = ¯ (1 − λ) f ( a ) + λ f b¯   ¯ y f b > 0. Además, como 0 < λ < 1 se tiene que λ > 0 y (1 − λ) > 0, por lo tanto µ > 0. Por otra parte, reescribamos µ como   λ f b¯ + (1 − λ) f ( a¯ ) − (1 − λ) f (a¯ )   µ= (1 − λ) f (a¯ ) + λ f b¯ (1 − λ) f (a¯ )   < 1, = 1− (1 − λ) f (a¯ ) + λ f b¯ (1 − λ) f ( a¯ )   > 0. Por lo tanto µ < 1. Se concluye que (1 − λ) f (a¯ ) + λ f b¯ 0 < µ < 1.

ya que

c) Como a˜ , b˜ ∈ CS f (1) , 0 < µ < 1 y CS f (1) es convexo, entonces (1 − µ) a˜ + µb˜ ∈ CS f (1) .   Por lo tanto, f (1 − µ) a˜ + µb˜
1. d) De la definición de µ se tiene   λ f b¯ (1 − λ) f (a¯ )   =  . 1−µ = 1− (1 − λ) f (a¯ ) + λ f b¯ (1 − λ) f ( a¯ ) + λ f b¯

27

Entonces   1  f (1 − µ) a˜ + µb˜ 
      λ f b¯ a¯ (1 − λ) f (a¯ )     = f + f ( a¯ ) (1 − λ) f (a¯ ) + λ f b¯ (1 − λ) f ( a¯ ) + λ f b¯ f   ' ( 1   (1 − λ) a¯ + λb¯ = f (1 − λ) f ( a¯ ) + λ f b¯   1   f (1 − λ) a¯ + λb¯ . = ¯ (1 − λ) f ( a¯ ) + λ f b  Es decir, 1 

1   (1 − λ) f (a¯ ) + λ f b¯



  f (1 − λ) a¯ + λb¯ . Por lo tanto

    (1 − λ) f ( a¯ ) + λ f b¯  f (1 − λ) a¯ + λb¯ . Por lo tanto f es cóncava. α

9.10 Sea f (x1 , . . . , xn ) = x1α1 . . . xnαn = Πnk=1 xk k una función Cobb-Douglas y x ∈ R n++ . Es claro que f es cuasicóncava siempre, ya que es una transformación   creciente de la función cóncava ln x1α1 x2α2 . . . xnαn , y es por lo tanto cuasicóncava. Si α1 + · · · + αn = 1, entonces f es homogénea de grado 1, cuasicóncava y positiva, por lo tanto, por el problema 9.9, f es cóncava. Si α1 + · · · + αn = 1, entonces el hessiano de f es   α (α −1) f α1 α2 f α1 α n f 1 1 . . . 2 x x x x x1 1 2 1 n   . H= . . . . . . . . . . . .   α1 α n f α1 αn−1 f αn (αn −1) f . . . x1 x n x1 xn−1 x2 n

Por lo tanto, sus menores principales dominantes son:  α1 α1 − 1 α1 . . . α1 α2 . . . α k k   f  ... |Hk | = ... ... ...  2 (x1 . . . xk ) αk . . . αk − 1 αk    k α1 α2 . . . α k k k f . = (−1) 1 − ∑ αi (x1 . . . xk )2 i=1 

Por lo tanto, (−1)k |Hk | > 0. Entonces, H es definida negativa. Por lo tanto, f n

es estrictamente cóncava. Si 0 <

∑ αk  1, entonces f es cóncava.

k=1

b¯   b¯



28

9.11

 1 a) w (λx1 , . . . , λxn ) = δ1 (λx1 )ρ + · · · + δn (λxn )ρ ρ   ρ ρ  1 = λρ δ1 x1 + · · · + δn xn ρ  ρ ρ 1 = λ δ1 x1 + · · · + δn xn ρ = λw (x1 , . . . , xn ) . Por lo tanto, w es homogénea de grado 1. 




b) Como limw = lim eln w = e ρ→0

lim (ln w)

ρ→0

ρ→0



. Además 

ρ 1 δn xn ρ

ρ δ1 x1



+···+ lim (ln w) = lim ln ρ→0 ρ→0   ρ ρ ln δ1 x1 + · · · + δn xn = lim . ρ→0 ρ Cuando δ1 + · · · + δn = 1, este limite es del tipo 00 , ya que  ρ ρ ln δ1 x1 + · · · + δn xn → ln (δ1 + · · · + δn ) = ln 1 = 0. ρ→0

Así, usando la regla de L’Hôpital se tiene que (δ1 x1ρ +···+δn xnρ ) (δ1 x1ρ +···+δn xnρ ) lim (ln w) = lim ρ→0 ρ→0 1  ρ ρ δ1 x1 ln x1 + · · · + δn xn ln xn = lim ρ ρ ρ→0 δ1 x1 + · · · + δn xn d dρ

δ1 ln x1 + · · · + δn ln xn δ + · · · + δn  1  ln x1δ1 x2δ2 ...xnδn . = 1

=

Por lo tanto, lim w (x1 , . . . , xn ) = e ρ→0

 δ  δ ln x11 x22 ...xnδn

. Es decir,

lim w (x1 , . . . , xn ) = x1δ1 x2δ2 ...xnδn

ρ→0

y corresponde a la familia de funciones Cobb-Douglas. c) Es claro que si ρ = 1 entonces w (x1 , . . . , xn ) = δ1 x1 + · · · + δn xn , que es una ecuación lineal (hiperplano en R n+1 ).

29 n

d) Sea g (x1 , . . . , xn ) = 

ρ

ρ

ρ

∑ δk xk = δ1 x1 + · · · + δn xn . Entonces,

k=1

ρ−2

δ1 ρ (ρ − 1) x1  H= 0 0

 0 ... 0  ρ−2 δ2 ρ (ρ − 1) x2 ... 0 . ρ−2 0 ... δn ρ (ρ − 1) xn

Por lo tanto, si 0 < ρ < 1, entonces ρ (ρ − 1) < 0. Lo que implica que |H1 | < 0, |H2 | > 0, |H3 | < 0, . . . , (−1)k |Hk | > 0, . . . , (−1)n |Hn | > 0. Por lo tanto, H es negativa definida. Por lo tanto, si 0 < ρ < 1, entonces g es cóncava. 1

e) Con la definición del inciso anterior, se tiene que w = g ρ . Si ρ = 1, entonces w es lineal (inciso c), de modo que es cuasicóncava. Si 0 < ρ < 1, 1 entonces g es cóncava (inciso d) y, como g ρ es una función creciente, en1 tonces w = g ρ es cuasicóncava también. Como w es cuasicóncava para toda 0 < ρ  1, sólo toma valores positivos y como además es homogénea de grado 1 (inciso a), por el teorema del problema 9.9 concluimos que w es cóncava. Por lo tanto, si 0 < ρ  1, entonces w es cóncava. b¯ a¯ y b˜ =  ¯  . Como f f ( a¯ ) f b   es homogénea de grado 1, se obtiene que f ( a˜ ) = f b˜ = 1. Además

9.12 Suponemos que CI f (1) es convexo, se definen a˜ ≡

¯  1}. CI f (1) = { x¯ ∈ X| f ( x) Por lo tanto, a˜ , b˜ ∈ CI f (1) . Luego se define   λ f b¯  , µ= (1 − λ) f ( a¯ ) + λ f b¯ con a¯ , b¯ ∈ X y 0 < λ < 1. De modo que (problema 9.9), nuevamente 0 < µ < 1. Como a˜ , b˜ ∈ CI f (1), 0 < µ < 1 y CI f (1) es convexo (ya que f es   cuasiconvexa), entonces f (1 − µ) a˜ + µb˜  1. Finalmente, sustituyendo a˜ , b˜ y µ en esta desigualdad y, viendo que f es homogénea de grado 1, se obtiene que     (1 − λ) f ( a¯ ) + λ f b¯
f (1 − λ) a¯ + λb¯ . Por lo tanto, f es convexa. Ahora, apliquemos este resultado a la función CES,  ρ ρ 1 w (λx1 , . . . , λxn ) = δ1 x1 + · · · + δn xn ρ . Es claro que w es homogénea de grado 1 (problema 9.11.a) y positiva. Falta ver que w sea cuasicóncava cuando ρ > 1, para aplicar el teorema recién

30

demostrado. De acuerdo con el problema 9.11 inciso d, cuando ρ > 1 el hessiano de g es positivo definido (|H1 | > 0, |H2 | > 0, . . . , |Hn | > 0), de modo 1 que g es convexa y, por lo tanto, cuasiconvexa. Como w = g ρ con ρ > 0, es decir, w es una función creciente de g, con g cuasiconvexa, por lo tanto w es cuasiconvexa. Por lo tanto, por el teorema recién demostrado, w es convexa si ρ > 1. Por lo tanto, si ρ > 0, entonces una función CES es convexa. 9.13 Sea Ω = (a, b) un conjunto convexo y abierto de R y sea y = f (z) una función cóncava en Ω. a) Sean a < z1 < z2 < z3 < b con z2 = λz1 + (1 − λ) z3 , 0 < λ < 1. Como f es cóncava en Ω, entonces f (z2 )
λ f (z1 ) + (1 − λ) f (z3 ) . Por lo tanto, y2
λy1 + (1 − λ) y3 ....... (1) . Como z2 = λz1 + (1 − λ) z3 = λz1 + z3 − λz3 . Por lo tanto, λ (z3 − z1 ) = z3 − z2 . Lo que implica que λ=

z2 − z1 z3 − z2 y, 1 − λ = ....... (2) . z3 − z1 z3 − z1

Por último, se reescribe y2 como
 z3 − z1 y2 y2 = 1 ∗ y2 = z3 − z1
 z3 − z2 + z2 − z1 = y2 z3 − z1

  z3 − z2 z2 − z1 = y2 + y2 ....... (3) . z3 − z1 z3 − z1 Por lo tanto, sustituyendo (2) , (3) en (1) se obtiene

 
 
z2 − z1 z2 − z1 z3 − z2 z3 − z2 y2 + y2
y1 + y3 . z3 − z1 z3 − z1 z3 − z1 z3 − z1 Multiplicando por z3 − z1 > 0 se tiene (z3 − z2 ) y2 + (z2 − z1 ) y2
(z3 − z2 ) y1 + (z2 − z1 ) y3 . Por lo tanto, (z3 − z2 ) (y2 − y1 )
(z2 − z1 ) (y3 − y2 ) .

31

Como z3 − z2 > 0 y z2 − z1 > 0, entonces tanto

(y2 − y1 ) (y − y2 ) . Por lo
3 (z2 − z1 ) (z3 − z2 )

f (z2 ) − f (z1 ) f (z3 ) − f (z2 )
....... (4) . z2 − z1 z3 − z2 b) Como Ω es convexo y por la densidad de los reales, siempre se pueden escoger números r, s, t, u tales que a < r < s < x < y < t < u < b, para cada x ∈ (a, b) . c) Sean a < r < s < x < t < u < b. Podemos aplicar la ecuación (4) en cada trío de puntos en r < s < x < y < t < u, obteniendo f (x) − f (s) f (s) − f (r)

s−r x−s f (y) − f (x) f (t) − f (y) f (u) − f (t) ....... (5) ,

y−x t−y u−t con s, r, u y t fijos. Así, se definen las constantes c1 y c2 como: c1 =

f (s) − f (r) f (u) − f (t) , c2 = ....... (6) . s−r u−t

De (5) y (6) se obtiene c1


f (y) − f (x)
c2 ....... (7) . y−x

d) Por último, como y − x > 0 entonces lim+ c1 (y − x)
f (y) − f (x)
y→x

c2 (y − x) . Por lo tanto,

lim [c1 (y − x)]
lim+ [ f (y) − f (x)]
lim+ [c2 (y − x)] .

y→x +

y→x

y→x

Como lim [c1 (y − x)] = lim+ [c2 (y − x)] = 0,

y→x +

y→x

entonces lim [ f (y) − f (x)] = 0.

y→x +

Por lo tanto, lim f (y) = f (x) .

y→x +

Procediendo de modo similar, pero ahora con y < x se tiene que lim f (y) = f (x) .

y→x −

Por lo tanto, lim f (y) = f (x) .

y→x

Es decir, f es continua en x. Por lo tanto, f es continua en Ω = (a, b) .

32

9.14 Sea x ∈ X y sea y ∈ X un punto en la vecindad de x. Por lo tanto, 1 T T f (y) ∼ = f (x) + (y − x) ∇ f + (y − x) [H f (x)] (y − x) , 2 donde H f (x) es el hessiano de f evaluado en x. a) Sabemos que f es cóncava si y sólo si f (y)  f (x) + (y − x) T ∇ f . Por lo tanto, f (x) + (y − x)T ∇ f +

1 (y − x) T [H f (x)] (y − x)  f (x) + (y − x)T ∇ f . 2

Entonces (y − x) T [H f (x)] (y − x)  0. Por lo tanto, H f (x) es negativo semidefinido. b) Sabemos que f es convexa si y sólo si f (y)
f (x) + (y − x)T ∇ f . Así, procediendo análogamente al inciso anterior, se tiene: (y − x) T [H f (x)] (y − x)
0. Por lo tanto, H f (x) es positivo semidefinido. c) Suponemos que H f (x) es negativa definida, es decir, (y − x) T [H f (x)] (y − x) < 0. Por lo tanto, f (y) < f (x) + (y − x) T ∇ f . Por lo tanto, f es estrictamente cóncava. d) Suponemos que la matriz H f (x) es positiva definida, es decir, (y − x) T [H f (x)] (y − x) > 0. Por lo tanto, f (y) > f (x) + (y − x) T ∇ f . Por lo tanto, f es estrictamente convexa. 9.15 Sea X ⊂ R y sean f , g : X → R de clase C 1 . Supongamos que x∗ = (x∗ , y∗ ) es una solución del problema. Se quiere mostrar que existe λ ∈ R tal que ∇ f (x∗ ) = λ∇g (x∗ ) , con g (x∗ ) = 0. Los puntos que satisfacen la restricción están dados por g (x, y) = 0. Supongamos que ∇g = 0, de modo que gx (x, y) = 0 o gy (x, y) = 0. Sin pérdida de generalidad supongamos que gy (x, y) = 0. Por el teorema de la función implícita, la ecuación g (x, y) = 0

33

define a y como función implícita diferenciable de x, es decir, y = y (x) si gy (x, y) = 0. En ese caso, gx dy = − , gy = 0. dx gy Por lo tanto, y = y (x) en f (x, y) , el problema de optimización se reduce al siguiente problema de optimización en 1 variable: max F (x) ≡ f (x, y (x)) . Entonces, dF (x) = f x∗ + f y∗ dx Lo que implica f x∗

+

f y∗







gx − gy

dy dx

∗ = 0.

∗ = 0.

De donde f x∗ gy∗ − f y∗ g∗x = 0. Por lo tanto, ) ) f∗ ) x ) ∗ ) gx

f y∗ gy∗

) ) ) ) = 0, )

donde los renglones de este determinante son linealmente   dependientes. Por  ∗ ∗ ∗ ∗ lo tanto, existe λ ∈ R− {0} tal que f x , f y = λ gx , gy , o sea, ∇ f ∗ = λ∇g∗ , con g (x∗ , y∗ ) = 0. 9.16 Como f : R n++ → R es una función de producción homogénea, continua y cuasicóncava, entonces CS f (q) es convexo. Además, sea x∗ (w, q) una solución al problema, por lo tanto, el costo mínimo C (w, q) está dado por C (w, q) = w · x∗ (w, q) . Por lo tanto, por el teorema de la envolvente, se obtiene el lema de Shepard: ∂C = x∗j (w, q) , ∂w j para j = 1, . . . , n. a) Se quiere demostrar que C es una función creciente de w j , j = 1, . . . , n. ∂C = x∗j (w, q) , entonces Como x ∈ R2++ , entonces x j > 0 y como ∂w j ∂C > 0. Por lo tanto, C es creciente con respecto a w j , para j = 1, . . . , n. ∂w j

34

b) Se quiere demostrar que C es homogénea de grado 1 en w. Para ello, utilizamos el teorema de Euler. Sea C = C (w, q) , entonces w1

∂C ∂C ∂C + w2 + · · · + wn = ∂w1 ∂w2 ∂wn

n

∂C

∑ w j ∂w j

j=1 n

=

∑ w j x∗j (w, q)

j=1

= C (w, q) . Por lo tanto, w · ∇w C (w, q) = (1) C (w, q) . Por lo tanto, C es homogénea de grado 1. c) Se quiere demostrar que C es cóncava en w, es decir, que ∀λ ∈ (0, 1) se cumple C (λw1 + (1 − λ) w2 , q)
λC (w1 , q) + (1 − λ) C (w2 , q) . Se tiene que C (λw1 + (1 − λ) w2 , q) = (λw1 + (1 − λ) w2 , q) · X∗ (λw1 + (1 − λ) w2 , q) = λ [w1 · X∗ (λw1 + (1 − λ) w2 , q)] + (1 − λ) [w2 · X∗ (λw1 + (1 − λ) w2 , q)]


λ [w1 · X∗ (w1 , q)] + (1 − λ) [w2 · X∗ (w2 , q)] = λC (w1 , q) + (1 − λ) C (w2 , q) . Por lo tanto, C es cóncava en w. 9.17

a) f se optimiza en x = 16000 y y = 64000. Por lo tanto, se tiene que fmax = 1 50 (16000) 2 (64000) 2 .  x2 + y2 , entonces d2 (x, y) se minimiza en los puntos b) Sea d2 (x, y) =    √  √ √ − 1.1 1.1 √ √ y P1 = . Además dmin = 2.2. P1 = 1.1 − 1.1 c) Sea f (x, y) = ln x + ln (y + 5) = ln [x (y + 5)] . Entonces fmax ocurre en (x, y) = (0, 4) con f max = f (4, 0) = ln 20. d) Sea f (x, y) = x2 + y2 . Entonces fmin ocurre en (x, y) = (5, 5) con fmin = f (5, 5) = 50. e) Sea f (x, y, z) = xyz. Entonces f max ocurre en x = 43 , y = 64 . f max = 27

4 3

y z = 43 , con

35

9.18

a) Las condiciones de Kuhn-Tucker están dadas por: 1 − 3λ1 − λ2 = 0, 3x 1 − λ1 − λ2 = 0, Ly = 3y

Lx =

Lλ1 = A − (3x + y)
0, λ1
0, λ1 (3x + y − A) = 0, Lλ2 = 40 − (x + y)
0, λ2
0, λ2 (x + y − 40) = 0. El ingreso se tiene que restringir al intervalo (40, 120) porque si A  40 entonces la primera restricción del problema será inútil. De la misma manera si A
120, entonces la segunda restricción del problema será inútil. i) Si A ∈ (40, 60) , entonces sólo la primera restricción está activa (λ1
A A 0, λ2 = 0) y la solución del problema es x∗ = , y∗ = . 6 2 ii) Si A ∈ [60, 80] , entonces ambas restricciones están activas (λ1
0, A − 40 ∗ 120 − A ,y = . λ2
0) y la solución del problema es x∗ = 2 2 iii) Si A ∈ (80, 120) , entonces sólo la segunda restricción está activa (λ1 = 0, λ2
0) y la solución del problema es x∗ = 20, y∗ = 20. 9.19 Sea

  L (x, q, λ; w, p) = pq − w T x − λ [ f (x) − q] .

Entonces por las condiciones de primer orden, se tiene que la solución es del tipo x∗ = x∗ (w, p) , q∗ = q∗ (w, p) = f (x∗ (w, p)) , λ∗ = λ∗ (w, p) . La función de máxima ganancia es Π (w, p) = L (x∗ , q∗ , λ∗ ; w, p) = pq∗ (w, p) − w T x∗ (w, p) − λ∗ 0. Entonces por el teorema de la envolvente: ∂L ∂Π = = −x∗j (w, p) , j = 1, ...n. ∂w j ∂w j ∂L ∂Π = = q∗ (w, p) . ∂p ∂p

36

9.20 Se tiene que

  ' ( ¯ = px − λ U (x) − U ¯ . L x, λ; p, U

Por las condiciones de primer orden se tiene que   ¯ , xh = xh p, U   ¯ . λh = λh p, U La función de gasto es       ¯ = pxh p, U ¯ − λ ∗ 0. ¯ = L xh , λh ; p, U E p, U Por lo tanto, por el teorema de la envolvente   ∂L ∂E ¯ , = = xhj p, U ∂p j ∂p j para j = 1, . . . , n. 9.21

a) El problema min p T x , s.a U (x) = V (p, m) implica que L (x; p, V (p, m)) = p T x − λ [U (x) − V (p, m)] . Por lo tanto, xh = xh (p, V (p, m)) . En el óptimo se cumple la restricción, es decir:   h U x (p, V (p, m)) = V (p, m) = U (x∗ (p, m)) . Supongamos que U es monótona creciente, además de cóncava, entonces existe U −1 y es posible cancelar U de ambas expresiones. Por lo tanto, xh (p, V (p, m)) = x∗ (p, m) . b) El problema max U (x)   , ¯ s.a p T x = E p, U implica que  

   ¯ . ¯ = U (x) − λ p T x − E p, U L x; p, E p, U

37

Por lo tanto,

   ¯ . x∗ = x∗ p, E p, U

En el óptimo se cumple la restricción, es decir:        ¯ = E p, U ¯ = p T xh p, U ¯ . p T x∗ p, E p, U Como esto vale para p arbitraria, entonces      ¯ = xh p, U ¯ . x∗ p, E p, U c) Por el inciso anterior y porque se cumple la restricción de Hicks se tiene que           ¯ ¯ ¯ ¯ = U x∗ p, E p, U = U xh p, U = U. V p, E p, U d) Por el inciso a) y porque se cumple la restricción de Marshall se tiene que E (p, V (p, m)) = p T xh (p, V (p, m)) = p T x∗ (p, m) = m. 9.22

αm ∗ βm , y (p, m) = . p1 p2 

 α α β β m . b) V (p, m) = ln p1 p2
    p1 α p2 β U¯ ¯ e . c) E p, U = α β

β α     ¯ ¯ ¯ = αp2 ¯ = βp1 eU , yh p, U eU . d) xh p, U βp1 αp2

a) x∗ (p, m) =

1

9.23

∗

a) x (p, m) = m

p1r−1

1

∗

p2r−1

r r , y y (p, m) = m r r . p1r−1 + p2r−1 p1r−1 + p2r−1 1−r r r r . b) V (p, m) = m p1r−1 + p2r−1

r r r−1   ¯ =U ¯ p r−1 + p r−1 r . c) E p, U 2 1 1 1 r r −   ¯ =U ¯ p r−1 p r−1 + p r−1 r , y d) xh p, U 2 1 1 1 r r − 1   ¯ =U ¯ p r−1 p r−1 + p r−1 r . yh p, U 2 2 1

38      ¯ = xh p, U ¯ . Entonces 9.24 Se tiene x∗ p, E p, U     ¯ ¯   ∂xi∗    ∂E p, U ∂xih p, U ∂xi∗  ¯ + ¯ = . p, E p, U p, E p, U ∂p j ∂m ∂p j ∂p j   ∂E ¯ = V (p, m) , m = E p, U ¯ y = xhj , y como U ∂p j h ∗ x j (p, V (p, m)) = x j (p, m) . Por lo tanto

Por el Lema de Shepard

∂x∗ (p, m) ∂xih (p, V (p, m)) ∂xi∗ (p, m) = + x∗j (p, m) i . ∂p j ∂m ∂p j

Cap´ıtulo

11

Introducción al cálculo en variaciones 11.1

a) Por demostrar que x =

n

∑ |xi | es una norma.

i=1

i) ∀i = 1, ..n se tiene que |xi |
0. Por lo tanto,

n

∑ |xi |
0. Entonces

i=1

x1
0.

n

ii) |xi | = 0 si y sólo si xi = 0. Entonces ∑ |xi | = 0 si y sólo si x = 0. Por lo tanto, x1 = 0 si y sólo si x = 0. iii) cx1 = (cx1 , . . . , cxn )1 =

i=1

n

∑ |cxi | =

i=1

|c| x1 .

n

n

i=1

i=1

∑ |c| |xi | = |c| ∑ |xi | =

iv) x + y1 = (x1 + y1 , . . . , xn + yn )1 n

= =

n

∑ |xi + yi |  ∑ (|xi | + |yi |)

i=1 n

n

i=1

i=1

i=1

∑ |xi | + ∑ |yi | = x1 + y1 .

b) Por demostrar que x∞ = sup{|xi | , i = 1, . . . , n} es una norma. i) ∀i = 1, ..n se tiene que |xi |
0. Por lo tanto, sup{|xi |}
0. Entonces x ∞
0. ii) x ∞ = 0 si y sólo si sup{|xi |} = 0. Esto sólo se cumple si y sólo si |xi | = 0, que a su vez se cumple si y sólo si xi = 0. Es decir, si y sólo si x = 0. 39

40

iii) cx ∞ = sup{|cxi |} = sup{|c| |xi |} = |c| sup{|xi |} = |c| x∞ . iv) x + y∞ = sup{|xi + yi |}  sup {|xi | + |yi |}

 sup {|xi |} + sup {|yi |} = x∞ + y∞ .  11.2 Por demostrar que  f  p =

b

 1p | f | p dt

es una norma.

a

a) Es claro que  f  p es no negativa. b) Además  f  p sólo vale cero cuando f = 0.   1p   1p  c) c f  p =

b

|c f | p dt

=

b

|c| p

a

| f | p dt

= |c|  f  p .

a

d) Si p = 1, entonces   f + g1 = 

b a b

=

 | f + g| dt  

b

| f | dt +

a

a

b

(| f | + |g|) dt

a

|g| dt =  f 1 + g1 .

Si p = 2, como | f + g|  | f | + |g| , entonces (| f + g|)2  (| f | + |g|)2 = | f |2 + |g|2 + 2 | f | |g| . Además, utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwartz, se tiene que 

b a



b

2

| f + g| dt  



 | f | dt +

a b



b

2

a

 2

|g| dt + 2

a

| f | dt +

* =

b

2

*a 

b

| f | |g| dt * b

2

|g| dt + 2

a



b

*



b

| f | dt +

a

a

2 |g|2 dt  .

a

Por lo tanto, *



b

*



b

| f + g|2 dt 

a

Es decir,  f + g2 =  f 2 + g2 .

a

*



b

| f |2 dt + a

b

| f | dt

a

2



2

|g|2 dt.

|g|2 dt

41

11.3 Sea V = { f : [0, 1] → R| f es continua}. a) Por demostrar que V es un espacio vectorial sobre R. i) Sean f , g ∈ V. Como f , g son continuas en [0, 1] . Entonces, f + g es continua en [0, 1] . Por lo tanto, f + g ∈ V. ii) Sean f , g, h ∈ V. Como la suma de funciones es asociativa, entonces ( f + g) + h = f + (g + h) . iii) Sea f : [0, 1] → R, f (x) = 0. Claramente f es continua en [0, 1] , por lo tanto, f (x) = 0 ∈ V. iv) Sea f ∈ V. Como f es continua en [0, 1] entonces − f es continua en [0, 1] . Por lo tanto, − f ∈ V. Además, f + (− f ) = 0. v) Sean f , g ∈ V. Como la suma de funciones es conmutativa, entonces f + g = g + f. vi) Sea f ∈ V y sea α ∈ R. Como f es continua en [0, 1] , entonces α f es continua en [0, 1] . Por lo tanto, α f ∈ V. vii) Sean f , g ∈ V y sea α ∈ R. Claramente α ( f + g) = α f + αg. viii) Sea f ∈ V y sean α, β ∈ R. Claramente (α + β) f = α f + β f . ix) Sea f ∈ V y sean α, β ∈ R. Claramente α (β f ) = (αβ) f . b) Dos posibles ejemplos de funcionales lineales sobre V son:  1 f (t) dt J1 [ f ] = 0

y J2 [ f ] = f (0) . c) Dos posibles ejemplos de funcionales no lineales sobre V son:  1 f 2 (t) dt J1 [ f ] = 0

 y J2 [ f ] =

11.4

2

1

f (t) dt

.

0

1 a) x (t) = − t + 20. Por lo tanto, J [x] = −5. 2 b) x (t) = 9t + 10. Por lo tanto, J [x] = −10710. 1912 . c) x (t) = t3 + 4t + 1. Por lo tanto, J [x] = 5 154 t2 . d) x (t) = + 4t + 1. Por lo tanto, J [x] = 4 3

42

e) x (t) = t. Por lo tanto, J [x] =

16 . 3

f) Se tiene que x¨ = 2x − y . y¨ = x Por lo tanto, x (t) = [(c1 + 2c2 ) + c2 t] et + [(c3 − 2c4 ) + c4 t] e−t , y (t) = (c1 + c2 t) et + (c3 + c4 t) e−t . 2 11 t y y (t) = t + 2. 10 5 h) Se tiene que g) x (t) =

x¨ = y . y¨ = x  t  1 −t − e e . π e − e− 2 i) x (t) = t. Por lo tanto, J [x] = 1.
 1 t2 t. 11.5 x (t) = + N − 2 2 Por lo tanto, x (t) = y (t) =

11.6

π 2

˙ , entonces se trata de un mínimo. a) x (t) = 4. Como f es convexa en (x, x) ˙ , b) x (t) = −t + 4, o x (t) = t + 4 y T = 1.Como f es convexa en (x, x) entonces se trata de un mínimo.

11.7

1 ˙ , entonces se trata de un a) x (t) = t2 − t + 1. Como f es convexa en (x, x) 4 mínimo. 1 ˙ , entonces se trata b) x (t) = t2 − 4t y T = 16. Como f es convexa en (x, x) 4 de un mínimo.

11.8 Teniendo el modelo de inversión de la sección 11.7.1 como base, entonces sus˙ tituyendo k(t) y su demanda k(t) en la condición de transversalidad se tiene     2 0 = lim e−ρT α k1 r1 er1 T + k2 r2 er2 T + A k1 er1 T + k2 er2 T + kρ t→∞   2  −ρT r1 T r2 T B k1 e + k2 e + kρ − lim e t→∞ + ( (, ' ' = lim e(2r1 −ρ)T k21 αr12 − B + e(2r2 −ρ)T k22 αr22 − B t→∞ , + + lim e(r1 +r2 −ρ)T 2k1 k2 [αr1 r2 − B] + e(r1 −ρ)T k1 [A − 2Bkρ] t→∞ + ' (, + lim e(r2 −ρ)T k2 [A − 2Bkρ] + e−ρT Akρ − Bkρ2 . t→∞

43

Para que este límite converja es necesario que no aparezcan aquí los términos e(2r1 −ρ)T y e(r1 −ρ)T que son divergentes, y esto se logra pidiendo que k1 = 0. En este caso, + ( ' 2 ' (, (2r2 −ρ)T 2 (r2 −ρ)T −ρT 2 k2 αr2 − B + e k2 [A − 2Bkρ] + e Akρ − Bkρ = 0, lim e t→∞

se verifica automáticamente. √ t2 y T = 2N. 11.9 x (t) = 2

  1 1 −ρt . Pero como c = x − e , entonces 11.10 a) x (t) = c2 e−t + 2 0 2 1 − ρ2
1 − ρ
  1 1 e−t + e−ρt . x (t) = x0 − 2 1−ρ 1 − ρ2 ˙ lo que implica que f xx = −1 < 0, b) Se tiene que f x = e−ρt − x y f x˙ = − x, f x x˙ = 0 y f x˙ = −1. Por lo tanto,   −1 0 H= . 0 −1 ˙ , es decir que De donde |H| = 1 > 1. Por lo tanto, f es cóncava en (x, x) se trata de un máximo. c) Al imponer la condición c1 = 0, y dado que ρ > 0, entonces

   1 1 −t −ρt x0 − e + e = 0. lim x (t) = lim t→∞ t→∞ 1 − ρ2 1 − ρ2 Por lo tanto, sí es cierto que lim x (t) = 0.

t→∞

11.11 La trayectoria óptima de consumo es: 
  ρ−r (ρ − r) − t. c(t) = rc1 + w + βr β Es decir que el consumo decrece linealmente
cont. Según las condiciones de ρ−r t. Es decir que el nivel de transversalidad tenemos que a(t) = a0 − βr activos decrece linealmente con t. Para verificar la concavidad de f se tiene   −β2 r2 e−ρt e−βc −β2 re−ρt e−βc . H= −β2 re−ρt e−βc −β2 e−ρt e−βc Como f aa = −β2 r2 e−ρt e−βc < 0, f a˙ a˙ = −β2 e−ρt e−βc < 0 y

|H| = e−2ρt e−2βc β4 r2 − β4 r2 = 0, entonces, H es negativa semidefinida. Por lo tanto, f es cóncava.

44

11.12

a) Se debe cumplir el sistema de ecuaciones k˙ = (A − δ) k − c, c˙ = (A − δ − ρ) c. Resolviendo se tiene,       1 1 k (A−δ)t + c2 e e(A−δ−ρ)t . = c1 0 ρ c Usando las condiciones de transversalidad se obtiene k(t) = k0 e(A−δ−ρ)t , con A − δ − ρ < 0, c(t) = k0 ρe(A−δ−ρ)t . b) El único punto de equilibrio es el origen (k∗ , c∗ ) = (0, 0) , lo cual es una consecuencia de la linealidad del sistema. Como el determinante del sistema es negativo (λ1 = A − δ > 0, λ2 = A − δ − ρ < 0), por lo tanto, se trata de un punto silla.   1 . c) La variedad estable Ws es el espacio generado por el vector v2 = ρ   % & 1 = (k, c) ∈ R2 | c = ρk . Por lo tanto la Es decir, Ws = gen ρ variedad estable es la recta c = ρk. Debido a las condiciones de transversalidad (lim k(T) = k∗ ) cualquier condición inicial tal que c0 = ρk0, t→∞

llevará al sistema al punto (k∗ , c∗ ) = (0, 0) .