Teoría De Números

kt I p(p - t)(p - 2). ..(p - (k - t )) y como,

(kt,p ): r entonces,

'

ktl (p -1 ).'.(p -(k-t)) es decir, (p - L)(p - 2).. .(p - (k - r)) : ktt para algún entero t y en consecuencia,

: o!!,':0, l?) kl \k) 2.2LTeorerna. Si,alc, bl" A (o,b) : t entoncesablc. Demostrac'ión. Puesto que ¿ | c y b I c existen enteros u y u tales que c: aLL: bu, de donde b I au. Como (a,b) :1 entoncesb I z, es decir, u : br para algún r. En consecuencia,c : au, : a(br) : (ab)r es decir ablc. tr 2.22 Corolario. Si a1,a2t...1o,nson enterosprimos relat'íuosd,osa dos y para cada'i, i:1r2,...fl, ai, I c entoncesaLa2...anl c. Demostrac'ión. La demostración es por inducción. 2.23 Teorema. ,92k I 0 entonces(ka, kb) : lkl (o,b).

n

36

CAPITULO2. DIVISIBILIDAD

Demostrac'ión. Basta probar el resultado para /c > 0. Supongamos que d : (a,b) entonceskd, I ka y kd I kb y por Io tanto kd | (ka,kb). Por otra parte, d,: ar lby para algún par de enterosr,y ltego kd,: kar * kby y por lo tanto (ka,kb) | kd, luego kd: k(a,b) : (ka,kb). n 2.24 Ejernplo. Si (a,b) : 1 entonces(3a - b,4a + b) : I o 7. Supongamosque d: por lo tanto,

(3o -b,4a * b), entoncesd | 3a-b

y d | 4a-fb;

d l l (3 a - b )+ (4 a +b )l :7q

v d | [(-a)(sa- b)+ 3(4a+ b)]: 7b; Iuego d | (7a,7b): 77o,b): (7)(7) : 7, y finalmented,: I o d:

7.

2.25 Ejemplo (Los números de Fibonacci). Los números de Fibonacc'l , descubiertos por Leonardo Fibonaccil (1170-1240) se definen por las condicionessiguientes: 'ttrt: l, U2:1y

para n ) 2, UnlI : Un l'Lln-t.

Veamos,por inducción, que para n ) I, (un,un*r): (1,11: 1.

1. Si n : t, (ut,uz) :

. Supongamos que (un,un+t) : 1 y sea d : (un+t,un+2), entonces por lotanto d I [(r"+r ¡un)-un+r]: dlun+t y dlun+z:rln-rr*unY un. Así, d l r, y d I un+t. Luego d | (u",un+L) : 1, y claramented, : Entoncespor PlM, para todo n ) I, (un,un¡1) : L 2.26 Ejemplo.

I.

Sean rn,n errterospositivos primos relativos. Veamos que q-

(m*n-I)l mtn!

es un entero. 'Fibonácci fue quien introdujo al mundo occidental los números indu-arábigos, que hoy usamos, después de viajarrcon su padre a Bougie, una ciudad entre Argel y T\rnez.

DEL MAXIMO COMÚN DIVISOR 2.4. PROPIEDADES

37

Si utilizamos el ejemplo 2.2 de este capítulo tenemos'

*t Q " + L )Q"+ 2 )" ' 0 " + " ) ^ :-G q

- .I) l - t - t' ( n n n!

para algún entero t. Similarmente' 't -

nt(n* 1)(n,+ 2)--9Ü-)-mlnl.

s(rn - 1)! - s n'L nXl

para algún entero s. decirtm: srl' Así,ml tny como (rn'n):7 Por lo tanto 1:9 n'L ", n n-Lr s :'' entoncesrn I s es decir s :'tr¿r con r entero y q: *: ^

2,1 Ejercicios 1. Probar que si alb y c I d entoncesaclbd' por 6' 2. Probar que el producto de tres enteros consecutivos es divisible Si además el primero es par eI producto es múltiplo de 24' 3. Probar que 100 I (1110- 1). 4. Probar que para todo r¿> 1, 30 | n' - n' ó. Probar que si n : rscon r > 0 y s ) 0 entonces(r!)" I n'!' 6. Seanny nL enterospositivos y a> 1' Probar que, (o" - 1) l(o* - 1) si solo sinlm' T.Probarquetodocuadradoperfectoesdelaforma4ko alguo entero k'

klFlpara

cuadrado 3. Probar que si a y b son-impares entonces a2 +b2 no es un perfecto.

38

CAPITULO2. DIVISIBILIDAD

9. Use él PBO para probar que todo entero mayor que uno tiene un factor primo. 10. Hallar el MCD de cada par de números y expresarlo como combinación lineal de ellos. y - 3997.

382 y 26, -275 y 726, IL37 y 4L9, -2947

11. Usar el algoritmo extendido de Euclides para encontrar enteros tales que: 7426r * 343a -- 3 g36z * 6669 : 13

630r I I32y : l) 400Ir * 2689Y: [.

12. Probar que si (a,b) : c entonces(a2,b2¡: ¿2. 13. Probar que si (a,b): l entonces(a-lb,ab):1. 14. Probar que si (a,b) : I y cl b entonces(a,c) :1. 15. ProbLr que si (a,b): l entonces(2aIb,a+2b):1o 16. Probar que si (b,c) :1 17. Probar que si (a,b) : (an,bn) : 1.

3.

entonces(a,bc) : (a,b)(a,c) 1 entonces para todo n y m enteros positivos,

18. Probar que si d I nm y (n,m) : 1 entonces d : d,1d,2donde dt | ?, dzlny(dt,dz):I. 19. Probar que no existen enteros z,gr tales que rlY:200

Y (r,Y):7'

20. Probar que existe un número infinito de pares de enteros :x)y qne satisfacen r * y : 203 y (r,ú : 7. 21. Probar que si ad - bc: irreducible.

*1 entoncesIa fracción (a + b)l@ * d) es

22. Eval:urar(ob,pa) y (a -l b,pa) si p es primo, (o,p') : p y (b,p3) : p2. n.

(E Si p es un primo impar y (a,b): , , aP+W (alb,-) ' a*b

1 probar que :l

o p.

39

2 .5. MíNI M O CO M ÚN M ÚLTI PLOY G ENER A L I Z A C I O N E S

24. Probar que para todo enteropositivo n,(un+B,un):1o 25. Probar que si m:

igüal 2.

efr * r entonces(u*,u".) : (u.u"-).

26. Probar que (u,r, urr):u@,rn) para todo par de enterospositivosn,rn' 27. Para todo par d9 entero positivos rn y n probar que

unlu,.,siysolosinlm .

28. rh

Sean a, m,n enterospositivos con n

( o'' +7, a2^* rl : {1 [2

+ rrl. Probar que, si a es par si ¿ es impar.

2g,) fr Sea,9 :: 1* á + á + "' + +donde n > 7' Probar que,9 no es un entero. ' Sugerenci,¿:Sea k el mayor entero tal que 2k 1n y sea P el producto de todos los números impares menores o iguales a n. Probar que 2k-1 .P ' ,9 es una suma cuyos términos a excepción de 2k-r P

+

son enteros.

2.5

Mínimo Común Múltiplo y generalizaciones

2.27 Definición. El menor múltiplo común positivo de dos enteros a y b no nulos se denomina el Mínimo Común MúIti'plo de a y b y se denota MCM(a, b) o simplemente[o, b]. Puesto que dados a y b enteros cualesquierano nulos, los números ab y -ab son ambos múltiplos comunes de a 7r de b y uno de ellos es positivo, entoncesel PBO garantiza la existencia y unicidad de [4, b]. En Io que sigue cuando mencionemosel [4, b] supondremos o y b diferentes de cero. Es inmediato deducir de Ia definición que,

la,b): [-o,b] : la, -b] : [-a, -b). 2.28 Teorema. Seana,b son enterosno nulos. Entonces* : solo s'i,

lo,bl si' y

40

CAPíTULO2. DIVISIBILIDAD

(i) zn > 0. (ii) a,lmyblm. (iii) Si r¿es un enterotal que alny Demostrac'ión. supongamos que

^:

Paraprobar (iii) supongamosn€z entte m, entonces n:

b ln entoncesmln. lo,ó]. Entonces r¿ satisface (i) y (ii). talque alnyblny

effi * r donde 0 1r

dividamosrz

1m.

Si r ) 0 entonces r sería un múltiplo común de a y ó, positivo y menor que rn, lo que niega la minimalidad de m. Luego r :0 y por tanto m n. I Supongamosahora que zn satisface (i), (ii), (iii) y supongamosque r¿es un múltiplo común de a y b. Entonces por (iii) rn I n y en consecuencia *: l*l <,In I es decir que rn es el menor de los múItiplos comunespositivos deayb. ! EI siguiente resultado proporciona un método para calcular el MCM. 2.29 Teorerna. Sean a y b enteros no nulos. Entonces,

l a,bl : L"b)' ( o, b) ' L* ' - r

Demostrac,ión.sea *

:

,loulr. veamos que rn satisfaceIas condiciones

(i), (ii), (iii) del teoremaiͿ:Jt.r. Evidentemenrern ) 0. Sea d : (a,b) entoncesa; Ad y b : Bd, donde (A, B) : 1 y por Io tanto

^

: @ )._ | "l l l dl :l a | | B l: a ( t B ) , dd

\uego a I rn y en forma similar se muestra que b I m. sea ahora n un entero tal que a I n y b I n, entonces existen enteros r y s tales que n: ar: bs. En consecuenóiaAdr : Bd,s y por Io tanto Ar : Bs. Así, B I A, y como (,4, B) : t entonces B I r es decir r - Bt,para algún entero ú.

2,5 . MíNI M o c oM ÚN M ÚLTI PLoY G ENE R A L I Z A C I o N E S

Reemplazandotenemos rL : ar : a(Bt) : (aB)t - Imt, -; :e completa la demostración. 2"3O Ejemplo.

Ya obtuvimos que (687, -234):

47

es decir m I n

3, por lo tanto,

: gryqq:53586.

K{54 1687,-2341:

'2-31 Corolario. Sean a y b enteros no nulos. Entonces a y b son prímos -:;;Íilos si.y solamente si,[a,b] : I ab l. -

2.32 Ejemplo.

Si se sabe que (a,,b) : 1g y la,b) : 1572 encontremosa y b.

Si ta.b) :18 entoncesa: I8A y b:188 donde (A,B): 1. Por el - Terrema 2.29, (18)(1512): (LS)2AB luego AB :84,y salvo por el orden -1. posibilidades son, -1:4

B:?L,

A:72

B:7,

A:28

B:3,

A:84

B:!.

-L.. los números buscadosson, salvo por el orden,

a :72 b:378 a :50 4 b:54

a:2 1 6

b:L26

a:75 L 2 ó : 1 8 .

fl

4E-3! Ejemplo. sean ¿ y ó enteros positivos. EI número de múltiplos de b tr -"asucesióna,2a,3a, . . . ,ba es precisamente(a, ó).

'

Flepresentemospor N dicho número. si ko es uno de los múltiplos de b iL; sucesión,entoncesla,b]lka y por lo tanto existe ú entero tal que, ab.

\t " ' - (\(" ,u) )

ko:lo,blt=

rr i'-,-deO: ( +), \ (¿' 0,),/

"o-o

k ( b tenemosú ( (o,b) ypor lo tanto; N < (o,b).

lq .c:a par-te.si 1 ( t 1 (a,b) entoncesf-+)

\(a ,ó )/

(

bt \

\GDi

o:

/

(2.2) t 1 - b y así

at \,

\@a )o

42

CAPI TULO2. DI VI SI BI L I D A D

es un elemento de Ia sucesiónque es múltiplo de b, en consecuencia ll > (a, b).

(2.3)

De (2.2) y (2.3), N : (o,b) como queríamosdemostrar. Las nociones de máximo común divisor y mínimo común múltiplo pueden extenderse de manera natural a más de dos números. Así por ejemplo, si a1.ra2,...,dn son enteros no todos nulos, ellos tienen un máximo común divisor que representamospor MCD(arta2t...,an) o simplemente (ar,a2,...,an). En forma análoga a los casos correspondientespara dos enteros se pueden demostrar Ios siguientes teoremas. 2.34 Teorema. Sean a1ra2r...r(Ln números enteros no todos nulos. Si, d,: (ot,oz,...,an) entoncesd es el rnenor entero posi,tiuoque puede escri,bi,rseen la forma at r t I o ' 2 r2 * " ' Í a n n n c o n trL ) fr2,... )rn enteros.

Demostrac'ión. Ejercicio

n

2.35 Teorema. Sean a1,a2¡...)an enteros no todos nulos. Entonces d: (ot,a2¡. .. ,an) s,iy solo si,d satisface:

( i ) d> 0, ( i i ) d I at, dl a 2 ;...,d I on, ( i i ü Si f e stalq uef lar¡...,f lan,entonc e s fld . D emostrac'ión.Ejercicio

¡<

Los enteroset,&2,...,en se denominanprimos relatiuossi su MCD es 1, o sea si (41,...,an):1; en este casotambién los denominamospTimos entre sí. Es claro que si los enteros ctrLrctr2r...r&n son primos relativos dos a dos, también son primos entre sí, pero el recíproco no siempre es cierto. Por ejemplo (2,4,5) - I y sin embargo (2,4) :2. El mismo argumento del Teorema2.TL nos permite afirmar que (a1,a2, ... ra.,.): 1 si y solo si existenenterosfrt,r2,. .., frn,tales que atrt l "' I anfrn: l,

2. 5. M íN IMoc o MÚ N MÚ L T IPLY o GE N E R A LIZA C ION E S

43

De otra parte, si a1,a2, . . . , an son enteros todos diferentes de cero ellos poseenun mínimo común múltiplo que notamos MCM(a1,a2¡ . .., arr) o simplemente lot,or,...,an]. También tenemos el siguiente teorema cuya demostración es enteramente análoga a la del Teorema 2.28. 2.36 Teorerna. Sean ar,a2,...,an enteros diferentesde cero. Entonces: fot,&2¡...,ar] si y solo si m satisface: -: ii) m)0, ii) a1 | TrL)a2 |

. . . ,an 1m, ^, iii) Sin es tal que o,rlr, ozlr,...,anIn

entoncesmIn.

n

D emostrac'ión. Ejercicio

Para efectos del cálculo del MCD y el MCM de más de dos enteros poiemos hacer uso de la formulas de recurrencia que nos proporcionan los =-cuientesteoremas. 2.37 Teorerna. Si al¡ cL2¡ . . . , an son enterosno nulos donden ) ,3 entonces, (ot,oz,. . . ,an) : ((ar, . . . ,an_1),an) J"-mostrac,ión. Supongamosque d : (or,a2t...,ar)

y d,': ((at,...,an-1)i,an).

Cirno d I oo para cada 'i : I,...,2 entoncesd | (or,..., an-r) y también i q-n.Porlo tanto d I d'. Por otra parte, d'l(or,..., an-7) y dl lanluego 1 ai para cada i - 1,.. .)ny en consecuenciadtld. Por lo tanto d,: dt.

tr -{nálogamente se demuestra el resultado siguiente. 2-3t Teorema. ,5i er, a2, . . . , an son.enteros no nulos, con n ) '3. Entonces fot, oz,. . .,an) : [[ar,. . ., an-tJ,anf. i,e-,: :trución. Ejercicio.

¡

CAPíTULO2. DIVISIBILIDAD

2.39 Ejemplo. Encontremos(3081882,}pf/..)V expresémoslo como combinación lineal de los enterosdados. 882: (308)(2)+266 308: (266)(r)+42 266: (42)(6)+ L4

a2: g4)(B) : 14. luego(308,882) Ahora,

: (r4)(2n) ft,; ?s67 s:

(T)(2)

luego (14,2961): 7 y enconsecuencia (308,882,2967): (L4,296L):7. Además.

(14)(211) i ,, !:2e6r,,L4:266- (42)(6),' :266-(308-266)(6) : (7)('266) - (6)(308) : (7)[882- (308)(2)] - (6)(308) : (7)(882)- (20X308) luego, - (20)(3 0 8 )] (2 1 1 ) 7 :2e6r - [7(882) : 7 2e6I + (882)(-1477)+ (308)(4220). Podemoscalculartambién [308,882,296L]:

: P(=8=? - (308)(882) :re4o4. [808,882] (30s,882) 14 Puesto que (19404,296L): 63 tenemos:

2s61]: (19404) (2e61) [7e404, / (63): e11e88

2. 5. M íN IMoc o MÚ N MÚ L T IPL Y o GE N E R A LIZA C IoN E s

40

es decir,

296r]: [[308,8S2], 29611 [308,882, :119404,296I) : 911988.

Ejercic tos2.2 1. Probarque ¿ | b si y solosi fa,b): lbl. 2 . Pr ob a rqu esi fa,b]:(o,b) y a ) 0, b> 0 e n t o n c e¿s: b . 3 . P r o b a rqu e ( a,b): (a-lb,[a,b]). 4. Probarque [ka,kb]:l k | [o,b],k+ 0. 5. Si fr es un múltiplo común de a y b, probar que

6 . Sea d un entero positivo tal que dl o y d I b. Probar que,

| " bl

lo,bl

la'¿): d '

7. sean d y g enteros positivos. Probar que existen enteros a y ó tales que (a, b): dy la,bl - 9 si y solo si dl g. 8. Probar que Ia ecuación ar -l by : c tiene solucionesenteras r,y si y solo si (a,b) | c.

9 . Probar que (a, b) : (a,b,ar * Ay) para todo z, grenteros. 1 0 . Hallar enteros a y b tales que o I b : 276 y la,b] : 480. 1 1 . Hallar todos los números o y b que satisfacen(a,b) : 24 y la,b] : 1440.

46

CAPITULO2

'12. Hallar (20n2+r9nt4,4nrJ) un entero positivo.

DIVISIBILIDAD

y 120n21_r9nr4,4n*31

donde n es

13. calcular (4410,1404,8712) y expresarlo como combinación lineal de los números dados. 14. Hallar (rr2,240,L92,760) y expresarlo como combinación lineal de los números dados. 15' Hallar enterosr,u, z,t¿ tales que 75r r rrrg -l gTz r r20w :6. 16. si p y q son primos impares diferentes y n:pg, cuántos enteros en el conjunto 2,3,. .. , r¿son primos relativos con n? 17. Probar que labcl: (ab,ac,bc)la,b,c]. 18. Probar que labcl) (a,b,c)[a,b,c]. 19. Dar un ejemplo para ilustrar que (a, b,c)[a,b,c] no siemprees abc. 20. Demostrarlos teoremas2.84,2.85,2.J6y 2.Jg.

2.6

Teoremafundamentalde la aritmética

La propiedad más importante de los números primos es la posibilidad de factorizar todo entero n t r como producto de ellos y esta factor ización resulta esencialmenteúnica. Esta propiedad fue descubierta por los griegos hace más de dos milenios 2.40 Teorema (F\rndamental de la Aritmética, TFA). Tod,oentero n > 7 o es prirno, o se pued,efactori,zar como prod,ucto de p,imos. Este producto es único saluo por el orden d,e los factores. Demostración. En el Teorema 1.20 ya probamos la primera parte. Basta ahora probar la unicidad de la factorización salvo el orden. usargmos inducción sobre n. Para n : 2 claramente la representaciónes únical suponganlos ahora que para todo entero k con 2 < k 1 n la representacióir única y supongamosque,

47

2 6. TEOREMA FUNDAMENTALDE LA ARITMETICA

donde pi y qison primos con p1 1 pz < "' 1 p" Y h 1 Qz1 "' 1 qt. Así,p1 lqrqz...qti entoncespr:qj paraalgúnj por lotanto q1 (p1. Análogamenteq1 lprpr...Ps Y entoncesqr: pi para algún i y por 1otanto h 1 qt. Lo anterior demuestra eue pr : q7 y cancelandotenemos, L : oror...Ps: PT

q2q'...qt.

Como L a n la hipótesis de inducción garantiza que estas dos represenPT taciones ¿e L son idénticas (hemos escogido un orden) y en consecuencia Pt n s : t y para cada i, pi: q¿.Por el PIM la prueba queda completa. 2.4L Ejernplo. No existen dos enteros positivos tales que rn2 :2n7. 1. nL + 7 pues de otra forma tendríamos I :'2n2-,lo que es imposible. 2. n I \, puesto que si n :.7 entoncesrn2.= 2 y si la representaciónde rTLcomo producto de primbs es n'L: ptpz . .. pk entonces z:

(ppt)(pzPz) .. .@npn)

que contradice el TFA pues en un miembro hay un número par de factores primos y en el otro un número impar de tales factores. de rrLy n en Seanm : prp2.. .pk y n: qtqz... q¿las factorizaciones factores primos. Si m2 :2n2 entonces, (ppt)(pzpz) ' ' ' (pnpn) : 2(qtqt)(qzaz) ' ' ' (qrqt) que contradice el TFA porque el factor dos apareceun número impar de vecesen la factorización de la derechay un número par en Ia izquierda. Es decir, NO existen enteros positivos m,n tales que m2 :2n2. Agrupando los primos iguales en Ia factorización de n debida al TFA obtenemos la siguiente forma, ; \i 1f,r)i"' l¡ k i,l 'l

.)

TL:

l-f n' I lA.:L

L

L-

'

'n

(2.4)

donde n¿ ) 0 y pi + p¡ si i I j. Esta escritura la denominamos l¿ forma canón'ica,natural o normal del entero n.

48

CAPI TULO2. DI VI SI BI LI D A D

En las pruebas de algunos resultados intervienen varios enteros diferentes, sin embargo es convenienteadoptar representacionessimilares a la forma canónica donde en algunos casosaceptamosexponentescero a fin de utilizar el mismo conjunto de primos en las factorizaciones. Así por ejemplo escribimos, 6o :22. 3 . b,

45 :20 .82 '5,

2b :20'Bo . b2

donde en todos Ios casoshemos utilizado los primos 2,3,5 en la factorización. 2.42 Teorerna. Sea n: llf:tpT".tta representac'ióncanóni,cade un entero n A sea d un entero posi,ti.uo.Entonces d I n si,y solo s'i k

a:fn!, i,:r donde0 1 d,¿1n¿ para cada i,I < i, < k.

Demostración.Supongamos que d : lIf:rrfo

donde0 < d¿( n¿entonces,

k

n: I r)

T- T..

| | D'."" rr'¿ i:r

í) .r- -

K

-

a

:flpPrd;+dt

al-\

;-1

kk

:n p7"-o'lIol' i.:t

i:I

: (")(d) donde c:lI!:tp\í-di

es un entero. Luego d I n,.

Recíprocamentesupongamos que d I n. Por definición, existe un entero c, positivo en este caso, tal q.:uen: cd,. La unicidad de la representación canónica de n nos garantiza que los primos que aparecen en la factorización de c y d son los mismos que aparecen en la de n. Así, kkk

¿: [ n l , j i :I

c:n pí,, á :I

n :[n T , i :7

2.6. TEOREMAFUNDAMENTALDE LA ARITMÉTICA

49

j,rnde d,¿) 0, c¿) 0 TLi: d,¿I c¿y entoncesd tiene la forma mencionada. V !

El TFA nos proporciona otra manera de calcular el MCD y el MCM de j,-rso más enteros. Veamos el caso de dos enteros. 2.-13 Teorerna. Sean a:f[f:tp?n, b: flf:, nln d,onilepi es prirno po,ra :,:"lo i. A a¿ ) 0, b¿) 0 para todo i,. Entonces:

: Iloít a [a,b] :n rl,' (a,b) i:I

i .:1

it'nde s¿: min{¿¿,b¿}A t¿ : n1ax{a¿,b¿}. Demostrac'ión. Sea'd : llf:rpi'. Lt. (2), (3) del Teorema2.6.

Veamos que d satisface las condiciones

Claramente satisface (1). Además, como 0 ( s¿ ( a,.ty 0 ( s¿ ( b¿ para cada'i,.por el teorema a¡rterior d I o y d I b, así d satisface (2). Finalmente si f I a y f I bentonces l/l : lllrrfo donde 0 . fo < &i y r-t1 f¿ ( b¿para cada'i,y entonceslflld,.Luego f ldV así d satisface(3). En forma similar, usando el Teorema 2.28, se demuestra el correspondiente resultado para eI MCM . tr 2.44 Ejemplo. 1800:f.22.52 3780: 22 .33 .5.7 4'900: 22 . 52 .72. Entonces, : 22'34' 5' 70 : 2o (1800,3780,4900) [1800,3780,4900]:'23 .33 . 52 ' 72 : 264600.

50

CAPI TULO2. DI VI SI BI L I D A D

Ejercicios 2.3

1. Sea n : lIf:tpf,o n¿ ) 0la representacióncanónica de n. Demos"o, trar que r¿ es un cuadrado perfecto si y solamente si ?¿ies par para cadai,7 < i, < k. 2. Sean a :l[f:tp?n y b: llf:, plo con a¿ 2 0 y b¿ 20. Demostrar que (a,b):1 si y solo si a¿b¿:0 para todo i, L
b : f ". 4. Si (a, b) : p con p primo. ¿Cuálesson los posibles valores de (a2,b) y de (a2,b3)? 5. Probar que Ia ecuación m2 : I2n2 no admite solución en los.ertteros. 6. Probar que Ia ecuación rnj :4nB no admite solución en los enteros. 7. Hallar el MCD y el MCM de 1485, 5445 y 12375. 8. Hallar el MCD y el MCM de 392, 1764,2646y 8820. 9. Demostrar el resultado similar al de el Teorema 2.43 para tres enteros. Supongamosque a,,b, c son enteros positivos, probar que: 10. abc : (ab,ac,bc)la,b,c]. L7. abc : (a, b, c)[ab,ac, bc]. 12. (a, [b,c]) : l(o,b),(o, 13. Si (a,b,c).la,b,c]:

")1.

abc entonces(o,b) - (o,"):

(b,c):1.

2 .7. A LG UNASPRO PI EDADES DE LO S N U M E R O SP R I M O S

2.7

51

Algunas propiedadesde los númerosprimos

Dada la importancia de los números primos, nos gustaría poder determinar rápidamente si un entero positivo es o no un número primo. Desafortunadamente no existen métodos generales que permitan decidir si un entero positivo es o no un primo y solo en casosespecialesconocemos su naturaleza. En el Apéndice A al final del libro se encuentra un listado de los números primos menores que 10.000. Un método simple y eficiente para enteros positivos relativamente pequeños es verificar si el entero dado tiene o no divisores primos menores que é1. Puesto que si n: ab entoncesa < 1/n o b < \n es suficiente determinar si algún primo menor o igual a Jñ es divisor de n.

2.41 Ejernplo. Veamos si 239 es o no un número primo. La raíz cuadrada de 239 esta entre 15 y 16 pues 152 : 225 y 162 :256, luego basta ver si alguno de los primos 2, 3, 5,7, 71, o 13 son divisores de 239 y como ninguno de ellos lo es entonces239 es primo.

Una técnica llamada criba de Eratóstenes en honor del matemático griego Eratóstenes (276-194 A.C.) proporciona un método eficiente aplicable a números relativamente pequeños para encontrar todos los primos menores o iguales a un entero n dado. La técnica consisteen escribir la lista de todos los enteros desde 2 hasta n y comerrzar a tachar todos los múltiplos de 2 mayores que 2; al terminar, el primer número no tachado distinto de 2 es 3 que es un número primo; luego tachamos todos los múltiplos de 3 mayores de 3; al terminar, el menor número no tachado mayor que 3 es 5 que es un número primo; tachamos enseguida todos los múltiplos de 5 mayores que 5 y continuamos el proceso hasta tachar todos los múltiplos de p mayoresque p para todo primo p < \n. Los enteros no tachados al terminar este procedimiento son Ios números primos menores o iguales a n. La siguiente tabla muestra la criba para n:

90 (.reO < 10)

52

CAPI TULO2- DI VI SI BI L I D A D

2345fi Tp pl o11 13 /,4 1.5 po p,r ig 2,5 2,6 27 p2 p3 31 p8 pe 37 43 A4 A5 Ae F0 Fr b5 b6 F7 61 fr2 fr3 67 fr8 fr8 73 /74 15 pL 7e F0 p5 fr6 fr7

/,6 p2 2,8 B4 A0 A6 F2 b8 fi4 I0 16 p2 B8

77 2J 2s ts5 4r 47 53 5e fi5 7r 17 83 8e

1.2 1.8 p4 po p6 A2 A8 F4 fio fi6 12 18 p4 po

Observamosentoncesque los números primos menoreso iguales que 90 son: 2, 3, 5, 7, lL) 73, 77, Lg, 23, 29, 31, 37, 4r, 43,47, 53, 59, 61, 67, 7L, 73, 79, 83, 89. Una observacióndetenida de Ia criba permite ver que Ia distribución de Ios primos decrecede manera constante, lo que nos podría inducir a pensar que el número de primos es finito. Sin embargo Euclides demostró,que el número de primos es infinito. 2.46 Teorerna.

El número de primos es i,nfini,to.

Demostración. -Dadapor finito de primos,

Euclides-. Supongamosque solo hay un número

PrP2r...,Pn Y sea N:pIp2...PnlI. Como N ) 1, entonces Il es primo o se expresa como producto de primos. Ya que ll es mayor que cada uno de los primos pi entonces ly' no es primo. Además ningún primo p¿ divide a ly' pues si p¿ | N entonces po | (N - PtPz. . .Pn) :1 Io que es imposible. Esto contradice el TFA y por tanto el número de primos es infinito.

n

2.7. ALGUNASPROPIEDADES DE LOS NUMEROSPRIMOS

53

Observamostambién en Ia criba que todos Ios números primos diferentes
de esta fbrma y

- 7.

C.,arno-Y > p¿ para 1 < i < n y N es de Ia forma 6k - L, entonces ltr debe ff compuesto y debe tener factores primos de la forma 6t + L o 6t - I y prnc*toque el producto de dos números de la forma 6ú+ 1 es de esta forma, f debe tener al menos un factor primo de la forma 6t - I, es decir, existe r tal que pr I N y en consecuencia p¿ | 7lo que es imposible. Luego hay ;m-ni¡5 primos de Ia forma 6t - I como queríamos demostrar. ! Aún con las observacionesanteriores la disposición de los primos en la m¡=:ión natural es bastante irregular. El siguiente teorema demuestra que hlal- separacionesarbitrariamente grandes entre números primos. 2-49 Teorem,a. Para cada entero posi,ti,uon, eristen n enteros consecutiuos tuMfu*tflmp¡te.stos.

54

CAPI TULO2. DI VI SI BI L I D A D

Demostración.Los enteros (n + 7)l + 2, (n + 1)! + 3, (n + 1)! * 4,. .. , (n + L)t + n, (n+ 1)! + (n + 1) son n enterosconsecutivos,ademáspara cadaj, n 2 < i < (n-17), j l((n+ 1)!+ j). Luegotodos son compuestos.

Otra observación sobre las tablas de números primos es Ia existencia de muchas parejas de primos gemeloses decir parejas de la forma p,p + 2 donde ambos números son primos. Por ejemplo: 3,5; 5,7; 11,13; 29,3I; 100000000006 1, 1000000000063 ; L40737 488353507,140737488353509. Todavía no hay respuestasobre la existencia de finitas o infinitas parejas de primos gemelos. Si hubiese un número finito de primos gemelos la serie I j donde q toma valores en el conjunto de los primos gemelos seria una suma finita y por Io tanto convergente. Viggo Brun (1885-1978) demostró en 1921 que efectivamente esta serie es convergente. De otra parte Ia serie ! | donde p toma valores en el conjunto de todos Ios números primos es una serie divergenteJLa primera prueba de este resultado fue dada por Euler (77071783) en 1737 y la prueba que aquí presentamosse debe a J. A. Clarkson quien la dió en 1966. 2.50 Teorerna. La serie \-1 -p, dr,uergente.

donde pn es el n-észmo número primo, es

Demostración. Supongamosque la seriedada es convergente,entoncesexiste un entero positivo k tal que

311 ) -
.i i - l

Á \^?*tP ^ /

1)'

2. 7. A L GU N ApSR o p tE D A D EDSE L o s ru úvenospR tMos

55

]'a que cada término de la suma del lado izquierdo esta contenido en la suma del lado derecho. Además

*)"=r(i)':,, ñ(-t, es decir todas las sumas parciares de ra serie son acotadas y por D # lo tanto ella converge, pero el criterio du po. paso ar límite "orrparróiZ" muestra que,

t=-f

zr|*ne

\_1 ^ rv /¿n

son asintóticamente iguales, luego

l+nQ En consecuencia!

A

divergepues I

j otrr"r*" .

es dirrergente.

n

un problema planteado con frecuencia es la necesidadde encontrar ex_ presiones a partir de las cuales obtengamos números primos mediante la asignación de enteros positivos a cada una de las variables. por ejemplo la fórmula n2 + n + 41 -dada por Euler- da un número primo po,;J; asignación que demos a n entre 1 y 39, sin embargo para n': 40 resulta 402+ 40 + 4r :

402+ 2(40)* 1 : (40 + 1)2

que obviamente no es primo. Mostramos ahora que ningún polinomio en una variable con coeficientesenteros es útil a este propósiio, es decir: 2'51 Teorema. ,9¿f (r) es un por'inomzono constante con coefic,ientesenteros, entoncesf (n) es un número cotnpuestopara i,nfini,tos uaroresd,elentero n. Demostrac'ión. claramente el teorema es cierto si /(n) es compuesto para todo n ) 1. Supongamosque existe no t ltal que /(no) : pcon p primo. Como lim,,-oo lf (")l: oo existe n tal que si n ) ??1entonce" If @ll > p. Consideremosh tal que zz0-f ph > r¿1entonces

f (no + ph) : f @o)+ (múltiptosde p) : p + (múltiplosde p) :Y .p r- así /(n6 Iph) es compuesto.

n

ob

CAPíTULO2

DIVISIBILIDAD

Nota. un problema que ha concentrado la atención de los matemáticos desde tiempos inmemoriales, es el d.eencontrar formulas que generen todos los números primos. sobre este tema hay una literatura extensa y soro mencionaremos el hecho notable de que se ha encontrado un polinomio de grado 25 con 26 variablesy coeficientesenterosp(nt,. . .,rza) tal que cada vez que rrt... son enterosno negativosyp(q,r2t...rza) ) 0 entonces 'Í26 p(rt,...,rza) es primo, y más aún todos los números primos se obtienen como valores de este polinomio. sin embargo, observamos que este polinomio no es una formula mágica para calcular números primos. un problema famoso relacionado con los números primos, muy sencillo de enunciar pero no resuelto hasta la fecha (como es común en la teoría de números), es el conocido como la conjetura de Goldbach . cristian Goldbach (1690-1764) fue un matemático ruso quien a mediados del siglo XVIII en una carta a Euler, le preguntó si era cierto o no, que tod.o entero positivo , mayor que 1 se podía expresar como suma de a lo más tres números primos. Euler le respondió que el problema era muy difícil y que era equivalente al siguiente enunciado, conocido hoy día como la conjetura de Goldbach: Todo enteropositivopar mayorque 2 se puedeexpresarcomo la suma de dos números primos. En 1997, Jean-Marc Deshouillers,yannik saouter y Hermann Riele probaron que la conjetura es verdadera parar todo entero positivo menor que 1014. recientemente, en 2003 el matemático portugués Tomas oliveira la validez de la conjetura para los enteros poritirro, menores que I*il:i o x tu".

Finalmente enunciaremos el denominado Teorema d,e los números 7t,irnost vno de los más famosos de la teoría avanzad,ade números, que nos proporciona un estimativo sobre la distribución de los primos en la sucesión natural. Definimos primero la función n(r) que asigna a cada entero positivo r el número de primos menores o iguales a r, n(1) : g,

r(2) :1,

n(3) :2,

r(tO) : 4.

como ya hemos observado que la distribución de los primos es muy irregular, no existe una fórmula sencilla que defina r(n). El reorema d,e la números primos estableceuna aproximación asintótica de rh).

DE LO S N Ú M E R O SP R I M O S 2 .7. AL G UNASPRO PI EDADES

ot

2.52 Teorema (de los números primos). Iim :

rr+oo

!\"),

:1

I _g_ I \Ios )

La afirmación del teorema fue conjeturada de manera independientepor Gaussen 1792y Legendreen 1798 pero sólo hasta 1896 J. Hadamard y C. de .a \ allee Poussin demostraron el Teorema por primera vez utilizando teoría de funciones de variable compleja. En 1949 A. Selberg y P. Erdós dieron ''rna demostración más elemental sin usar análisis complejo pero aún muy üficil para presentarla en estas notas. En 1997, D. Zagier presentó una prueba mas corta, dada por Newmann [13].

Ejercicios 2.4

1. Probar que todo primo de la forma 3k + 1 es de la forma 6t + l. 2. Probar que todo primo diferentede 2 o 3 es de la forma 6k+1, o 6k-L. 3. Probar que todo entero de Ia forma 3k+2 tiene un factor primo de Ia misma forma. -1. Probar que todo entero de Ia forma 4k + 3 tiene un factor primo de la misma forma. 5. Demostrar que existen infinitos primos de Ia forma 4k + 3. 6. Si p, q son primos tales que p ) q> 5 entonces24|p2 - q2. i. Demostrar que 3,5,7 son los únicos primos triples. (Los únicos tales pf 4sontodosprimos). euep, pi2y !. Si 2" - 1 es primo probar que n es primo.

58

CAPI TULO2. DI VI SI BI LI D A D

9 . Si 2" + 1 es primo, probar que n es una potencia de dos. Sugerencia:Si k es impar (r + 1) | (rk + t).

1 0 . Seanpy q primos diferentesde 2 y 3. Probar que si p-q

es una

potencia de dos entoncesp + q es divisible por tres. 11. Hallar un sucesión de veinte enteros consecutivos y compuestos.

2.8

Algunas ecuac¡onesdiofánticas

Una ecuaciónde la forma p(rt,rz,.. .,r"): 0 dondep(rt,rz,. . ., err) es un polinomio con coeficientes enteros y con las variables restringidas a tomar únicamente valores enteros se denomina una Ecuación Diofántica en honor aI matemático griego Diofanto de Alejandría (200-284) quien por primera vez las estudió detalladamente en su libro Ari,thmeti,ca. El ejercicio 8 de Ia sección 2.2 nos da una condición necesaria y suficiente para que la ecuación ar -lby : c tenga una solución en Z. Estas ecuaciones Ias estudiaremosdetalladamente en el capitulo 4. Estudiaremos en esta sección dos casos pa.rticulares de la ecuación de Fermat, rn +y8:

rn

(2.5)

Fermat afirmó haber demostrado que para n ) 3 esta ecuación no tiene solución en Z - {0}, sin emba"rgosu demostración nunca fue conocida. Nota. Muchos matemáticos estudiaron intensamente este problema, que se denominó el último Teorema de Ferrnat, dando origen a diferentes teorías matemáticas en su intento por resolverlo. En junio de 1993 el matemático inglés Andrew Wiles anuncio la demostracióndel teorema como consecuencia de su prueba de la conjetura de Taniyama-Shimura para curvas elípticas semiestables. Durante Ia revisión de la demostración de Wiles surgieron algunos problemas que finalmente fueron resueltos por el mismo Wiles y el matemático Richard Taylor, quienes en mayo de 1995 publicaron en los Annals of Mathemat'ics los resultados que llevaron a la demostración definitiva del último Teorema de Fermat.

28

ALG UNASECUACI O NES DI O FÁ N T I C A S

59

Para n:2la ecuación(2.5) tiene soluciónen los enterospositivos, por -"tnrplo I :3, a : 4, z :5. Daremosenseguidauna descripcióncompleta :: la solución en este caso. Observamosprimero que si (r,A,") es una solución de (2.5) entonces i:r.ky,kz) donde k es un entero cualquiera,también lo es. En consecuenEstas soluciones -á es suficienteencontrarsolucionestales que (r, A,z):1. pri,mi,ti,u¿s. Más aún, es suficiente encontrar solu=¿denominan soluc'iones - -'nesprimitivas de enteros positivos pues las demás se obtienen de estas *-:diante cambios de signos. También es fácil observar que si (r,g,z) es -:-a solución primitiva de la ecuación (2.5), con z¿: 2, entoncesIos enteros ¡.,7.3 sotr primos relativos dos a dos. En efecto,si por ejemplo (r,A) : d > 7 y p es un primo tal que p I d, :-:onces p I r yp ¡ gr luego p l 12 y p I A2 y por lo tanto p | (*2 + A2) : :- ]- como p es primo p I z, en contradicción con el hecho (r,g,z) : 1. S-rrilarmentese verifica que (r, z) : (A,z) : L. Finalmente observemosque exactamente uno de los números r o y de la debe ser impar, pues si los dos Io fueran, 12 +A2 sería de Ia forma ---ución l;: -2 y por un ejercicio anterior ningún cuadrado perfecto tiene esa forma.

2.53 Teorerna. Los enterosÍ,A,2 con rimpar son una soluci,ónpri,mi,ti,; g poszti,ua de la ecuaci,ón12 * A2 : z2 sz y solamente s'i etisten enteros :,,-,tiuosa y b tales que, ,:o2-b2, i-',de a)

z:a2+b2,

a:2ab,

b, (a,b) : t con a y b de distintapari,dad,.

-''-,¡tostrac'ión.Un cálculo directo muestra que las fórmulas dadas propor- - nan una solución primitiva y positiva de Ia ecuación 12 +Y2:

¿2'

i.= íprocamente, supongamos que (2, y,z) es una solución primitiva y po.-:-ia. donde r es impar. Como (A,r) :1 entonces(, - A,z -f ü :1 o 2 -,'truestoque g es par y z es impar (" 1; por lo tanto de la A,z *A): :--;ación ,2:"2-a2:(z-y)(z+g)

60

CAPI TULO2, DI VI SI BI L I D A D

concluimos que (z - a) v Q + a) deben ser números impares y cuadrados perfectos, puesto que son positivos. Supongamosentonces(r-A) - r2 y ("+ü: y positivos y definamos

s*r o: -z, Seobserva fácilmente eü€r:

s2 donde r y s son impares s -r

tr -

a-by

--

2

s: al b. Por lo tanto,

z-A :@ -b)',

zlU:@ + b )2

de donde, ((" - b)'+ (a + b)2) : a2 +b2 2 ((a+b)2 - ("-b)') :2ab

v-

,:(o-b)("+b):

a2-b2.

Puesto que g > 0, ay b tienen el mismo signo y como s : &lb entoncesa y bresultanpositivos.Como r:a-b > 0entonces¿ ) bycomo s:¿*bes impar entoncesa y b tienen distinta paridad. Finalmente (a,b) :1 pues si p es un primo tal que pl ay p I b entoncespl r, plA, p I z lo que contrad.ice que (2, U,z) : l. n usando el teorema podemos construir la siguiente tabla pequeña de so-, luciones primitivas y positivas de la ecuación 12 I y2 : 22.

2 3

I 2

4

f I

4

3 2 4 1 5

r

d

tr rJ

6 6

3 15 7 2I I 35 11

A

L2 8 24 20 40 L2 60

5 13 T7 25 29 4I 37 61

Las solucionesenterasy positivas de la ecuación 12+A2 : 22 se conocentambién con el nombre de Ternas Pi,tagóri,casen una clara alusión al conocid.o Teorema de Pitágoras.

2.8. ALGUNASECUACIONES DIOFÁNTICAS

61

Estudiemos ahora la ecuación x4 +a4:

z2

(2.6)

2-54 Teorema. Ly ecua-ción,a + Aa : z2 no tiene solución en el conjunto de los números enteros d,i,ferentes d,ecero. Demostrac'ión. Es suficiente probar que no existen solucionesprimitivas po_ :-itir-as. Como en el casodela ecuación(2.5) con r¿: 2 se que ve si (r,A, r)es una solución primitiva de (2.6) entonces los enteros r¡u,z son primos rerativos dos a dos. supongamos entonces que (2, y,z) es uíá *l,r"ion primitiva tal quez ) 0,a )0, z > 0yz es mínimoaAdemás, sinperdergeneralidad, podemos suponer que ,r es impar y g es par. Escribiendo za + oZ:;; ;;i; forma

(*')'+ (a')' : por aplicación del Teorema 2.58 tenemos: fr2 : e,2-b2,

u2 :2ab,

"r, z : a2 +b2

donde a> b> 0, ary ó de paridad opuestay (a,b):1. Si ¿ fuesepar y ó impar, el número tr2: o,2-b2 sería de la forma +te_t:4,(k_ fl ig h > 0. lo que es imposible. Luego a es impar y.ó """ es par. Aplicando nuevamenteer reorema 2.5J ara ecuación x? +b2: ¿2 tenemG que , : u2 _ ,2, b:2uu, a: u2 + u2 donde u >^o > 0, (u,u) : L con u y u dedistinta paridad. Como Uz : 2ab entoncesA2 : uu(u, +or). Puesto que LL,a y (u2 + u2) son primos relativos dos a dos (pruébero), cada uno de estos números debe ser un cuadrado purfu"it; ,"" po, ::T: eJ€mpro 'tL:12,,n

: s2,

u2 +a2 :t2

donde podemos asumir que r, s y ú son positivos. Además tenemos (r, s,t) : l. f >1y 'n+s4:t2 J como z : a2 Ib2 : t4 +b2 > ú4,entoncesz ) t.

62

CAPí TULO 2 DI VI SI BI LI D A D

De esta forma hemos encontrado una solución primitiva y positiva de (2.6) a saber (r, s, ú) donde t < z Io que contradice la minimalidad de z, con Io cual queda demostrado el teorema. n Una ligera variación de la demostración consisteen construir a partir de una solución primitiva y positiva de (2.6) una sucesión (rn,an, zr) de solucionesde dicha ecuación donde la sucesión(zn) es estrictamente decreciente, Io cual es absurdo. Este procedimiento es denominado método del descenso i,nfini,toy es debido a Fermat. 2.55 Corolario. La ecuac'ión14 + A4 : 24 no t'iene soluci,ónen el conjunto de los enteros diferentes de cero. Demostración. Es suficiente observar que Ia ecuación puede escribirseen la forma 14+a4:Q2)2

n

y aplicar el,teorema.

2.5 Ejercicios 1. Probar que si r¿es una potencia de 2 mayor que 2, la ecuaciónan+An : z' tto tiene solución en el conjunto de los enteros diferentes de cero.

2 . Encontrar todas las ternas pitagóricas (r,A,r) tales que 1< z < 30. 3 . Probar que Ia conjetura de Fermat es cierta si y solo si para todo primo impar p, Ia ecuación rp * Ap : zp no tiene solución en el conjunto de los enteros diferentes de cero. /1

Hallar todas las ternas pitagóricas que estén en progresión aritmética.

5 . Probar que (3,4,5) es Ia única terna pitagórica formada por enteros consecutivos. 6. Hallar todas las ternas pitagóricas que estén en progresión geométrica. 7. Probar que no existen enteros diferentes de cero tales que ,n -An :

"'

2.8. ALGUNASECUACIONES DIOFÁNTICAS

63

8. Proba,r que toda solución primitiva (, , A,,,) de Ia ecuación ra ¡ ya : 22 es tal que fr,U,2 son primos relativos dos a dos. 9. Probar que el radio del circulo inscrito en un triángulo pitagórico es siempre un entero. Sugerenc'ia; Calcular el á¡ea del triríngulo de dos formas diferentes.

cAPíruLo 3

Aritméticas Funciones

3.1

La función parte entera

3.1- Definición. Sea z un número real. Existe un único entero que representamos por [z] que satisface la desigualdad

l rl r entoncesm > [r] + 1. d) Si r 1 y entonces lrl < lyl.

64

65

3.1, LA FUNCIONPARTEENTERA

e) Si, z : ix - lr] entonces0 1 z 1 1. f) Si,n es un enteroy r:nlz

con0l

g) Para todo entero n, lr I nl:

lr] + n.

z 1I

entonceslrl:n.

h) l"l+ [s/] < l"+al < ["]+ [s]+t. i)

l zl +f-rl :{"

(o

si, r €2, si, r eZ.

l -1 j) Si.a :bq]_r

con0 ( r ( b

lol "nton"",

l u ):

q

k) Paratod,oenteropositiuon, ill : fl4l Lnr

ln )

Demostrac'ión. a) Es consecuenciainmediata de la definición. b) Sinz+1> z entoncesm 1r <ml7ym: [z] por definición. Si mI L ( z, entoncesm ( r - I < [r] por Ia parte (a). c) Tenemos [r] < r. Luego si m ) z entonces m > lrly m > lnl f 1 puesto que r¿ y [r] son enteros.

en consecuencia

d) Ya que [r] ( z obtenemos [z] < a y por (b), l"l < lal. e) Es consecuenciainmediata de la definición. f) Como 012:r-n

l l entoncesn1r

g) Por(e),r:lrl+z

con0(

z<7.

lr + nl: lrl + n.


ypor definiciónlrl:r.

Luego rIn:[r]

f nlz!

por(f)

h ) Cl ar a m e n te [z] +[y] < r+y ypor (b) [ " ] + [ g / ] < lr+ a l. A d e má s ,: y a: lA ]*u donde01 z,t t < I . L u e g oa p lic a n d o(g ) z l ") +

tenemos [" + a]: [[r]+ [a]+, t u) : ["] + [a]+ lz + wl a lrl+ [s]+ r

i) Sir e Zentonces(-r) e Zy porlotanto [z] +[-"] :lxt (-r):0. Si r 4Zentonces [*] < * < ["] +1 y por lo tanto -(["] +1) < (-") < -l"l que signifrcal-r]: -[r] - 1. En consecuencia[r] + [-r] : -t. j) Se deduce inmediatamente de (f).

66

CAPíTULO3. FUNCIONESARITMÉTICAS

k) Si dividimos [z] porr¿ obtenemoslx]:qn*r donde 0 ( r( n yporlo : q : tanto ll"1l"l. De otra parte r [r] * z con 0 1 z < 1 y entonces * : (qn+ r) * z con 0 1 r * z < n. Por Io tanto (rfn) : q + (r + z)/n con 0 ( (r + z)/n ( 1 y en consecuenciafrln]: q. n 3.3 Ejemplo. Sea r un número real cualquiera. Veamos que [z + (L/2)] es el entero más próximo a n. En efecto, sea n el entero más próximo a rj donde escogemos el mayor cuando hay dos enteros igualmente próximos. Tenemos entoncesn: :L+ z con-(rl2) 1 z 1 (Ll2). Luegor+(Ll2) : n+(rl2)-z con} < (Il2)-z < | y por (f) del teorema anterior, lx + (Ll2)]: n. 3.4 Ejemplo. Veamos que,

Sean p y q enteros positivos, impares y primos relativos.

t

0(z(

p- Lq- r

"li"]*,p,li,]:

Observemos la figura,

y : E, (*

P*\

El número + + representa el número de puntos con coordenadas enteras en el interior del rectángulo. Sobre la diagonal no hay puntos de esta clase, pues si existieran r y y enteros tales que A : (plú* entonces qA: pir es decir q lpr y como (q,p):7 entoncesqlrlo que es imposiblepues r < fi. De otra parte, para cada eniero r el número de puntos en la región triangular fi1 con primera coordenada r y coordenadasenteras es [f r]. Por

3.1 LA FUNCIONPARTEENTERA

67

lo tanto el número de puntos en la región R1 con coordenadasenteras es

\ly--l .L lo*l'

,
'

Similarmente, el número de puntos con coordenadasenteras en Ia región R2 ES

fq I o
l¡'l

¡- por Io tanto obtenemos,

( p - t) . (q-t) 22

t l'r"l+ t

_

O < x < q/ 2 ' -

r

o
lgol Lpl

como queríamos probar. 3.5 Teorema. sean n un entero posi,tiuoa p un número prirno. Entonces p apareceen Ia representación canónica d,en! con erponente

l"/pl + l"l p'l + l"/ psl+. . . + l"l p,l donde r es tal que p' < n < p'+1 Demostración. Para todo entero positivo k, Ios enteros positivos menores o iguales que n y divisibles por pk son p&, 2pk, . .. , úpft donde ú es el mayor entero tal que t < (n/pk) o sea ú : [r/pk). Luego hay exactamente l"lpr] múltiplo de pk menores o iguales que ?2. , Si observamosque cada múltiplo de pk lo es también de p, p2, p3,p4, . . ., pk-| y contamos su contribución k al exponente de p en la representación canónica de nl, ]urravezcomo múItiplo de p, otra vez como múltiplo de p2 y Así sucesivamentehasta contarla una vez como múltiplo d" pk, encontramos que el exponente de p en la representacióncanónica de n! es

["]p] + l"/ p,l + ["1p3]+. . . + ["1p,] donde r es tal qrrep' 1 n < p'*\.

!

Además si k ) r entonces l"lprl - 0 y podemos decir que el exponente con que aparecep en la representacióncanónica de n! es oo

I ,c:

I

68

CAPí TULO3. FUNCI O NES ARI T M É T I C A S

Podemos entonces escribir la siguiente fórmula notable para la representación canónica de n!

nt:lIoD-r' lÉ] p

donde p varía sobre todos Ios números primos. 3.6 Ejemplo. de 500! es

El exponentecon el cual apareceT en Ia factorización canónica

: 7t+ 10+ | : 82. + [500/343] l500l7l+[500/4e] El exponente con el cual 3 aparece en la representacióncanónica de 500! es

+150012431 [500/3]+ [500/e]+15001271+ [500/81] : 1 6 6 +5 5 +1 8 +6 1 2 :2 4 7 . De lo anterior podemos deducir que la mayor potencia de 21 que divide a 500!es min(82,247):32. Cuando los números son grandes la propiedad (k) del Teorema 3.2 permite simplificar los cálculos, ya que con base en ella tenemos

3.7 Ejemplo. Veamosquesi atlaz+..'+ el coeficientemultinomial

ar:rL

donde a¿)0 entonces

nl aLla2layl.. .ar! es entero. Es suficiente probar que todo primo p apareceen el denominador con un exponente menor que aquel con el cual aparece en el numerador. EI exponente con que p aparece en el numerador es @Tl

r t3l) filnr

3,].. LA FUNCIÓNPARTEENTERA

El exponente con que p aparece en el denominad.or es

a i,'l *$ iorl,_...+$ Io'l

?{i,-í.'it. .i¿11' A \L F J -L F I

Lp*r)

"' +-lo')l: S frl = i l@t+ oz+ pk frL kL¡l donde la desigualdadse tiene por la parte h) del reorema 8.2. De esta forma queda probada nuestra afirmación.

Ejercicios 3.1

1' sean n y a enteros positivos. probBr q,ru f3] es el número de enteros de la sucesiónI,2,. .. n que son , divisiblespor ¿. 2' Sea r un número real que no es punto medio de dos enteros probar que -[-z + es el entero mrís proxim o a r. ]] 3. Sean n,y ntimeros reales positivos. probar qr." kl[y] l[rA]. 4. Hallar todos los números reales que satisfacen:

(") bl + [r]: [zr] (b) [" + i] + t" _ +l: [2n]. 5. Probarqueparatodo númerorealr,

[r] + t, + trl: [2r]. y co n si der0ar{ z 1LV i Sz
70

CAPíTULO3. FUNCIONES ARITMÉTICAS

7. Probar que para todo número real r j y pata todo entero positivo k,

lrl + fr+ *l + l" + 1l+ . . . + Í" + #l : fkrl. 8' ¿cuál es el exponente de 5 en la representación canónica de 83b!? ¿Cuál el de 15? 9. ¿Con cuántos ceros termina la expansión decimal de 120!? 10. ¿Con cuántos ceros termina el desarrollo en base 3 de 100!? Sugerenc'ia;Escribir 100! : 3-b donde (b,3) : 1 y luego expresar b en la forma b : 3kf r con r : 1 o r :2.

11.probar o* st' f?1)

u0/

12. Si ?zes un entero positivo, probar q""

ffi

es un número par.

13. Para todo entero positivo n, probar que n!(n - 1)! divide a (Zn- Z¡t 14. Sea n : po donde p es primo y ¿ un entero positivo. Probar que: n | (n- 1)! si y solamentesi p es impar y a rel="nofollow"> I, ó, p - 2 y a > 2.

3.2

Las funcionesnúmero y suma de divisores

Las funciones que tienen como dominio el conjunto de los enteros positivos con valores en C se denominan func'iones ari,tméti,caso func'ionesnumér,icas. En esta sección estudiaremosdos de ellas muy conocidas. Si n es un entero positivo definimos las funciones r(n) y o(n) así: o r(n) es el número de divisores positivos de n. o o(n) es la suma de los divisores positivos de n. Por ejemplo,r(1) : o(1) :1,

r(10) - 4y o(fO) : L+2+

5* 10:18.

Como consecuenciadel reorema Fundamental de la Aritmética obtenemos los resultados siguientes.

3.2 . LAS FUNCI O NES NUM EROY SU M A D E D I V I S O R E S

71

3.8 Teorema. Si n : fIf:tfrn donden¿-) 0 para cadai, es la representaci,óncanóni,ca de un enteropositi,uo n, entonces k

te

1

^ n ¡ +l

r(n): f[(", + r; a o(n):I7"# i: t

i:l

Demostración. Por el Teorema 2.43, d es un divisor positivo de n, si y solo Si, d : llf:rp!'donde 0 < d¿ 1n¿ para cad,ai,:1,2,...,k. Por el principio fundamental de conteo, podemos construir eiactamente (r¿r+ l)(n, + 1)'''(nn + 1) de tales divisores.Es decir k t--f

, r(n): ll(u + t¡'

i: T

De otra pa,rte, si observamos que cada divisor positivo de n aparece una y solamente :ur;.avez como sumando en el producto

(1+p r + p?+ ... + pT')..'(1+ pn* p ?+, . . . + p ? o ) concluimos que k

o(n):flft

+ p¿+ p?+ ... + pT),

i:l

y puesto que

r,-po+p?+..-+pT':ffi, tenemos también que k

o(n\:fI

^n¿tI Pi

_ I

Lt P¿-L

¿

En el teorema anterior si p es un número primo tenemos,

r( p ) : 1 + 1 : 2 y o ( p ) : 1 * e :e # Miás generalmente, si p es primo y ¿ es un entero positivo tenemos, ' r(p") : a I r y o(p") : 1 * p * p * "' I p"

'a I 7

-1

p- r

72

ARITMÉTICAS CAPíTULO3. FUNCIONES

3.9 Ejemplo. positivos.

Encontremos el menor entero positivo que tiene 21 divisores

Como 2l : 3 x 7, el número buscado tiene la forma p2q6 con p y q primos diferentes, o la forma p2o con p primo. Los números miís pequeños que tienen estas formas son: 22 x36:29L6 32 x26:576 22o: L048576 Por lo tanto 576 es el número buscado. s

Busquemos una fórmula para el producto de los divisores positivos de un entero positivo n. Supongamos que los divisores positivos de r¿ son dt,dz,...,dr(n) y su producto es P : d,i,2...d"@).

(3.1)

Como los divisores positivos de n son también nnn ü' dr'"''

(3'2) ü@)

de (3.1) y (3.2) obtenemos P2 - n"@)' Luego el producto buscado es P: 3.10 Definición. la condición: f (*")

n9

Una función aritmética se llama multiplicatiu¿ si satisface

: f (m)f (n), para todo m,n enterospositivos tales que (m,n) :1.

Si f (rnn): f (m)f (n) para todom,r¿ enteros positivos, entonces/ se Ilama comp Ietament e multip li m,tiua. 3.L1- Teorerna. Las funciones r A o son multiplicatiaas.

3.2. LAS FUNCIONESNÚMEROY SUMA DE DIVISORES

73

Demostraci,ón. Supongamos que rrl y n son enteros positivos y primos rela;ivm. Podemos escribir n, n: T-T IIp;"" y

m: fTIIe¡rn;" j:7

i:l

donde los p¿ y los q¡ son primos distintos. Tenemos, rk

r(mn):fl@i + t) .fl(rzi + 1): r(m)r(n) ;-1

i-

,

;-1

n T i * r_ 1

: ll }-'i o(m n) qi-L

;J como queríamosprobar. \iiguna plo.

.

k

p ? o + r_ l

fI'o_ . P i-r

^ : o(m)o(n)

;J

fl

de estas funciones es completamente multiplicativq, por ejem-

3: r(4 ) I r(z)r(2 ): (2 )( 2):4, 7 : o (4 )I o (z)o (2 ): (3 )(3): e. Como ejemplos de funciones completamente multiplicativas podemos citar ,a-. definidas por la ecuación f (r) : nk con k fijo.

Ejercicios 3.2 1- Hallar el número de divisores positivos de 4320 y calcular su suma. 2- Probar que si r(n) :2,

entonces7¿es un número primo.

3- Halla¡ el menor entero positivo con 15 divisores positivos.

74

ARITMÉTICAS CAPíTULO3. FUNCIONES

4.

Hallar el menor entero positivo con 24 divisores positivos.

tr

Si n es un entero positivo mayor que 1, probar que la ecuaciónr(r) : 2 tiene infinitas soluciones.

6. Si r¿ y n son enteros positivos tales que (^,n) r(mn) < r(m)r(n).

)

1, probar que

7. Resolverla ecuacióno(n) :36. Sugerencia.'Descomponer36 en factores que se puedan expresar en la forma l+p-lp2 *' ' '-fpk con p primo y usar una fórmula conveniente.

8. Hallar dos enteros positivos ??que cumplan Ia condición o(n) :2n. 9. Si n es un entero positivo probar que la ecuación o(r) : n tiene un número finito de soluciones.

1 0 . Probar que el número de divisores positivos de un entero positivo n es impar si y solo si n es un cuadrado perfecto. lIl:tpT'es la representacióncanónica de un entero positivo n, hallar una fórmula para calcular Da¡nd'

1 1 . Si rr:

3.3

Números perfectos,de Mersenney de Fermat

3.12 Definición. Un enteropositivon se de denominaun númeroperfecto si o(n) :2n, es decir si es igual a la sumade todos sus divisorespropios.

33550336, 85'8986905 Losprimerosnúmerosperfectos son6, 28,496,8128, que se puedenfactorizarcomosigue 137438691328, 2305843008139952128, a :2 (2 2 - 7 ) 28:22 (2 3 - L ) .

496:2 4 (2 5- r) 8129:2 6 (2 7 -t ) -r) 3455ffi36:212(213

(2r7- L) s589869056 .: 216 : 218 (2Ln- t) 137438691328 : 230(2sL- t) dgo58¿soogugg52J28

75

3,3 NUMEROSPERFECTOS, DE MERSENNEY DE FERMAT

La lista anterior nos sugiere que todo número perfecto par es de forma )p-r(2p - 1) donde ambos p y 2p - 1 son números primos. Euclides en su li,bro IX de los Elemenúosdemostró que todo número de esta forma es efectivamente un número perfecto, y Euler 2000 años más tarde demostró que todo número perfecto par tiene la forma mencionada. 3.13 Teorema. ^9¿2p - 7 es un número primo, entonces el número n : )e-r(2p - 1) es perfecto. Demostrac'ión. Sea n : 2p-r (2e - 1) donde 2p - L es primo. Entonces o(n):oQe-L(2e-D) : 6(2n-r)oQe - L) : (2P- I) I Q - L).(2o- 1 + 1) :2e(2e _ l) - 2n, por lo tanto n es un número perfecto.

¡

Demostremos ahora el recíproco. 3.14 Teorerna. Si, n es rrn número perfecto par, entoncesn es de Ia forma )e-r(2p - I) donde2p - | es primo. Demostrac'ión. Supongamos que n es un número perfecto par. Podemos escribir n2p-rr conp > l yrimparpositivo. Comonesperfecto tenemos

2n:2P r : o(n) : o(2e-r)o(r) _ (2 p _ 1 )

Q - iolr)

: (2e_ 1)o(r). Por lo tanto

o(r\:2P

r" n-7

:rr

r z p -l

(3.3)

Como 2Pr : (Zn-l)o(r), entonces(2e -L) | 2or, y puesto que (!r - I,2n) : 1 renemos que (2e - 1) I r y en consecuencia# | r. como o(r) es la suma

76

CAPÍ TULO3. FUNCI O NES ARI T M É T I C A S

de todos los divisores positivos de r, se sigue de (3.3) que r tiene únicamente dos divisores positivos y que

r

_1

2p-\ Luegor:2P-lesprimoy queríamos probar. 3.1-5 Teorema. przmo.

n es de la forma n :

2p_r(2p _ 1), como

tr

,9i un número d,ela forma 2p - L es primo, entoncesp es

Demostrac'ión. Supongamosque p no es primo es decir p: p. Por lo tanto

rs con 1 < r, s (

2p - | : 2'" - | : (2')" - 1 - (2' - t)Q'(s-l) + 2r(s-2)+... + 1) de donde se deduce qlue2p- 1 no es primo. Esto contradice nuestra hipótesis, luego p debe ser primo. n Los números de la forma 2p - | donde p es primo se llaman nurheros de Mersenne y se representan por Mp, en honor al monje francés Marin Mersenne (1588,1648)quien los estudió detalladamente en 1644 en su libro Cogi,tata P hyszca-M athematica. Los números de Mersenne que son primos se denominan primos de Mersenne y los primeros treinte y ochol ocurren para p : 2, 3, 5, 7, 13, L7, lg, 3 1, 6 1, 89, 107, L27,52r, 607, r27g, 2203,2291,32L7, 4253,4423,96g9,gg4l, II2t3, 19937, 2I7 0t, 23209, 44497, 96243, 110503, 132049, 2 16091,756939, 859433, L257787,1398269,2976227,3021377,6972593.Éste último con más de dos millones de dígitos. Un problema abierto es determinar si existen o no infinitos primos de Mersenne y por lo tanto infinitos números perfectos. Los dos últimos primos de Mersenne conocidos hasta la fecha son 213466917 - 1. fueron - I y )2099a011 encontradospor Michael Cameron, ell4 de noviembre de 2001 y por Michael Shafer,el 17 de noviembre de 2003, respectivamente,en su trabajo dentro del proyecto de investigación GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search). EI último de estos números tiene 6329430dígitos y su escritura ocuparía un texto similar aI que Ud. está leyendo. ia

abril de 2004.

DE MERSENNEY DE FERMAT 3.3. NUMEROSPERFECTOS,

tl

Otro problema abierto es determinar si existe algún número perfecto impar. Todo lo que se sabe sobre este problema es que si existe algún número perfecto impar este debe ser mayor que 10300. Fermat estudió los números de la forma 22" + 1 para n : 0,L,2,. .. llamados números de Fermat y conjeturó en 1650 que siempre eran primos. La conjetura resulta cierta para los cinco primeros números de Fermat que son 3, 5, 77, 257 y 65537, sin embargo Euler demostró en L732 que el sexto número de Fermat no es primo y se puede factorizar como 22u+ I : 232+1 : (641)(6TO04LT). Hasta la fecha, no se conoce ningún primo de Fermat mayor que 65537. ¿Sólo hay cinco números primos de Fermat 3, 5, 17, 257 y 65537? ¿Existen infinitos primos de Fermat? Es interesante mencionar que Gauss demostró que si p es un primo de Fermat entonces se puede construir con regla y compás un polígono regular de p lados. Miís generalmente en un curso de Algebra Abstracta, se demuestra el siguiente resultado: "Se puede construir con regla y compás un polígono regular de n lad,ossi, y solo si todos los pri,mos 'i;mparesque di,ui,den a n son primos de Fermat cuyos cuadrados no d'iu'idena n."

Ejercicios 3.3

1. Probar que todo número perfecto par termina en 6 o en 8. 2. Probar que ninguna potencia de un número primo es un número perfecto.

3. Probar que todo número perfecto par se puede escribir en la forma I + 2 +3 + .. . * n para algún entero positivo n.

4. Probar que un cuadrado perfecto no puede ser un número perfecto.

78

cRpírulo¡. ruruc¡orues nR¡rn¿ÉrrcRs

5. Sean a y n enteros oositivos mayores que 1. probar que si an _ I es primo entoncesa :2 y n e, p.iáo. 6. Sean a y n enteros positivos mayores que 1. probar que si oz + 1 es primo entonces¿ es par y h:2, paraalgún entero positivo r. 7. Si Fn representael n_ésimo número de Fermat paran: 0, 1,. . . probar que FoFl ...Fn_t 1-2: Fn.

t i#};i:

3.4

r".t

* v r¿son enterosno negativos diferenres,entonces

La función O de Euter

3.16 Definición. Para cada entero positivo n, definimos O(n) como el número de enteros positivos menores o iguales que ?? y frimos relativos con n.

Comoejemplotenemosla siguiente tabla de valoresde O(n) n:7 O ( n):1

2 J 4 5 6 T 8 9 10 r 2 2 4 2 6 4 6 4

Algunas vecesse designaa (D(n) con el nombre de znd,icad,or de ny con menosfrecuenciacon el ae totil¿zado, d" n.

100 FrcuRe 8.1. La función O de Euler.

3 4. LA FUNCI O NO DE E U L E R

79

3.17 Teorerna. Si p es un número primo A a es un entero positiuo entonces a@\:po-po-r. Demostrac'ión. Los enteros positivos menores o iguales que p" que no son primos relativos con p son precisamenteIos po-l múltiplos de p, L.p,2.p,3.p,. . ., po-t .p Por lo tanto Q(p"):p?-p"-t' En particula"r, cuando ¿:

1 obtenemos Ia fórmula

a@ ):P -r para cada primo p. 3.18 Teorema. ,5i (^,r)

n :1. entoncesQ(rnn): O(rr¿)O(rz).

Demostración. Si m: I o n : 1 el resultado es evidente. Luego podemos suponer que ?1,y rr¿son mayores que 1. Por lotanto (*,*) - 1y Supongamosque 1 1r 1n'Lncorr(r,mn):1. (*,n) :1 y por el algoritmo de la división podemosescribir : D:q rm+ 7 1

l1r<m

g: q tn l s l

1(s
(r,m) - 1y (r,n): (t,t):1según Como (r,*): el Teorema2.7, con cada r tal que I < r 3 rnn y (r,mn) : 1 podemos asociar una pareja (r, s) (r,m):1; tal que L 1r 1my 1( s ( ny (s,n):L. En consecuencia por definición de (Dtenemos

a(mn) I o(rn)o(n).

(3.4)

Recíprocamente, supongamos que (r, s) es una pareja de números tales que 1m, (r,m):1y I1r 1 < s 1n, (s,n) : 1. Como por hipótesis : (*,n) 1 existen enteros zg, grgtales que I:|nfro

* nyo

80

CAPíTULO3. FUNCIONESARITMÉTICAS

Iuego T-S:mulnu donde u)'u son enteros. Dividiendo -?¿ por r¿ tenemos -u:arl*et

Q1q1n

y por Io tanto r-s:(-nt)(-u)+nu : (-m)(an * q) + nu : -qrn + (u - am)n : _qrn I q.,n, de donde qmrr

-

qtn-.s

Si Ilamamos r : effi I r : qtn * s tenemos: l-. 1 < * l rrlrlt ya que claramente n ) I y como q < n-1, entoncesqm * r < (n - I)m -l m : nn';. 2. Por el Teorema2.18, (r,rnn) - 1 ya que (*,^) (",n) :1 segúnel Teorema 2'7'

r 1m

: (r,m) : L y (t,n) :

De esta forma, con cada pareja de números (r, s) tales que 1 1 r 1 m, (r,^) - 1 y 1 ( s ( n, (s,n) : l,podemos asociar un número r tal que L 1 r 1mn y (n,mn) :1. En consecuenciase sigue que

o(rn)o(rz)3 a@n)

(3.5)

De (3.a) y (3.5) concluimosque A (mn): é(rn)O(n )' ! La aplicacióndel teorema anterior nos permite calcular O(rz) a partir de la descomposicióncanónicade r¿como producto de primos.

3.4. LA FUNCIóN O DE EULER

3.19 Teorema. ,gzn: positi,aon, entonces

fIf:túo

",

la representaci,ón canónicad,eun entero

k

o(n):fIw-úu-r) i= l

o bien, k

o(n):

_ "üi:I (, *)

Demostración. como o es una función multiplicativa tenemos que k

o(rz):fI*W,) i: L k-

:nW' _pT,-r). i= L

De otra parte, k¡/

IItú,- ú,-r):fLú, (t -;) i:, :\ftn, (,_;) ú k/

:n.fi( , _ ; ) luego también

o(n):

-; ) "ú ('

tr 3.20 Ejemplo. Como 18900:22 . BB. b2.Z, tenemos

= 4320.

82

CAPiTULO3. FUNCI O NES ARI T M É T I C A S

3.21 Ejemplo.

Veamos que si 3 | n entonces O(Brz): giD(n).

Enefecto, como 3ln,, 1. Luego

tienelaforma n:Ba,nl, dondea)

Ly (m,Z):

O(3n) : iD(3"+1rn)

: o(3'+1)o(rn) :(3o+t_3")O(nz)

¡

: 3(3o- 3"-1)o(rn) :3(D(3")(D(rn) :30(3"m) : 3O(r¿). 3.22 Teotema. ,9i n ) L, la suma d,elos enterospositiuos nlenores o iguales que n A primos relati,uoscon n es |nD(n). Demostraeión. sean TTL1,TrL2,nls¡. . . ,rne@) Ios enteros positivos menores o iguales que n y primos relativos con n. Su suma es S : mt -f mz + mz I ... + mo@).

(3.6)

Como (*,n) : 1 si y solo si (n - m,n) :1, podemos expresar también todos los enteros positivos menores o iguales que ?¿y primos relativos cor_n en la forma n - Ttrtn - TL2t.. . )n - rnO6¡ry por lo tanto su SumaeS

S : (n -

^ r)

+ (, - mz)+ ...+ ( n - m a@) )

Sumando (3.6) V (3.7) tenemos, 25:ntnl...In

( O(") veces)

: nQ(n) de donde

s : |no@).n 3.23 Teore rna. Para

"od,o"nt"rlo

posi,ti,uon, tenemos

: I o1a¡ ". dln

( B.Z)

83

3, 4. LA FUNCI O NO DE EU L E R

Demostración. Consideremosprimero el número pft cuyos divisores son 1, p, p2, . . . ,pk. Por el Teorema 3.17 tenemosque,

o(1 )+ o (p )+ a@ \ +..'+ o(pft) :1+

-pk-\ + (p k

( p - t) t(p'-p)+...-r(pn-r

Por lo tanto, si n:

-p k -t ): p k .

pT'p\' ...p7, donde los primos son distintos, renemos r,

: o(p¿) + ...+a@T)). " i:Iff {t + Desarrollando el producto y aplicando el Teorema 3.18, vemos que el producto consiste en la suma de todos los términos de la forma

a@\,)a @';). . . o(ph : o(d) pTpti...pt; con 0 < t¿ 3 ni recorre precisamentetodos los donde a: divisores de n, en virtud del Teorema 2.43. De esta forma hemos probado la fórmula deseada. ¡ Veamos como resolver la ecuación O(r) : rn. Si rn : l, las soluciones de la ecuación O(r) : ?rtrson precisamentetr : L y r :2. Por el ejercicio 4 de la sección3.4, si 17¿ es un número impar mayor que 1 la ecuación no tiene solución. Estudiemos el caso cuando ?7¿es un entero par. Supongamosque r : llrrlr pf,ueslarepresentacióncanónica de un entero positivo z que satisfacela ecuación é(z) : rr¿.Por el Teorema 3.19 tenemos, K 1-T t

r,

r;-l

ffWz'-P ¿'

r -):m,

i,:r K T-T

r.-l

l l p ' ,'L-l D ;-| :m.

L

1,: '-I'

Por lo tanto si establecemosque d,¿:p¿-I,

(3.8)

tenemos que K T-T

_

-._1 -d; : rn | L|- p',' L

L

(3.e)

84

CAPíTULO3. FUNCIONES ARITMÉTICAS

Podemos escribir (3.9) en la forma

fioT"fr:*' o sea lc

t- d¿ xll-:mt i:r Pi de donde

*:

rn+

(3'10)

ffi ' IL P *

Las ecuaciones(3.8), (3.9) V (3.10) establecenlas condicionessiguientessobre los d,¿,que nos permiten determinar los valores del entero z:

1. Cada d¿* 1,es un número primo. 2. Cada d¿ es un divisor de m.

3. El númer .

- debe ser un entero cuya representación canónica " -P flf:'d¿

solo puede contener primos que aparezcan en el producto l[i:rp¿. 3.24 Ejemplo.

Resolvamosla ecuación O(z) :36.

Los divisores positivos de 36 son I, 2, 3, 4, 6, 9, L2, 18 y 36. Los posibles . \., valores de d¿ son aquellos para los cuales d¿* L es un primo, es decir L, 2, "'..4,6,1.2,L8 y 36. Formamoslos productos fld¿ eue sean menoreso iguales que 36 y obtenemosI,2, 4,6, L2,18,I.2, I.4, l-6,1.12, 1.18,I.36,2.4,2.6, 2.I2,2.L8, 4.6, I.2.4, 7.2.6,7.2.12,I.2.Lg, 7.4.6 ' Eliminamos de esta lista aquellos números para los c uates

n'L

:

36

¡a4 nd" no es un entero, es decir eliminamos2.4, 2-12,4.6, 1.2.4,L.2.12y 1.4.6. Con

85

3.4. LA FUNCIóNO DE EULER

los productos restantes hacemosuna tabla en la forma siguiente:

lld¿

36

I 22.92 2 292 4 32 2.3 6 L2 3 18 2 36 1 L ,2 292 t.4 32 1 .6 2.3 L.12 3 1.18 2 1.36 1 2 .6 3 2.L8 1 7 .2.6 3 1.2.18 1

llpo: ll(d¿+ 1)

,: #. nro

2 3 5 7 13 19 37 2.3 2.5 2.7 2.13 2.t9 2.37 3.7 3.19 2.3.7 2.3.L9

No No No No No No 37 108 No No No 76 74 63 57 126 IL4

En la tabla eliminamos aquellos númer<)s oonoe

36

contrene prrmos que 11¿, no aparecen en flp¿, los hemos marcado con la palabra No. Los demás valores de u son las solucionesde la ecuación O(r) : 36. Según la tabla las solucionesson 37, 108, 76, 74,63,57, 126 y L14.

Ejercicios 3.4

1. Probar que (D(n2): n@(n) para todo entero positivo n.

2. Probar que si n es impar O(2n): O(n) y si n es par O(2n) : ZQ(n).

86

CAPíTULO3. FUNCIONESARITMÉTICAS

3 . Hallar todos los enterospositivos rL,que satisfacenla condición ó(2n) >

o(n). A

Probar que si n > 2 entoncesO(n) es par.

5 . Probar que si 3 { n entoncesO(3n) : ZA(n). 6 . Hallar todos los enteros positivos n que satisfacenla condición O(n) :

nl2. v

Hallar el número de enteros menores que 8400 y primos relativos con 4200.

8 . Hallar una fórmula para calcular O(n) cuando n es un número perfecto par. q

Probar que el número de fraccionesirreducibles, positivas, menores o iguales que 1 y con denominador menor o igual que r¿es O(1) + O(2) +

o( 3 )+...+ o (n). 1 0 . Si todo primo que divide an,también divide am,probar que O(nm) : nQ(m).

1 1 . Probar el Teorema 3.23 usando inducción sobre el número de factores primos que aparecen en la representación canónica de n.

L 2 . Probar que existen infinitos primos utilizando el Teorema 3.19. 1 3 . Sid:

: queO(rnn) (*,n) probar

O'?rlo?r'"' .

L4. Resolverlas ecuacionesO(r) : t8, O(z) :24,

Q(r) :72,

y O(z) :

90. 15. Probar que O(r) : compuesto.

3.5

2p no tiene solución si p es primo y 2p 1- 1 es

Funcionesmult¡plicativas

Recordemos que una función aritmética se llama multiplicativa si f (m"): f (m)f (n) para cada par de enterospositivostalesque (m,n):1. Estudiemos ahora alguna propiedad comunes a todas las funciones multiplicativas.

87

3.5 FUNCIONESMULTIPLICATIVAS

3.25 Teorema. ,9i f es una función multi,pli,cati,ua di,ferentede la funci,ón .:ero,entoncesf (I) :1. Demostración. Como / es diferente de la función cero, existe un entero positivo n tal que f (") # 0. Como / es multiplicativa y (n,7): 1 entonces tr fln} : f0."): /(1) . f(") v por lo tanto /(1) : 1. El producto f g y cociente f /g de dos funciones aritméticas se definen "l mediante las fórmulas

Us)("): f (n)s(n) )-

Uls)(n): f(n)ls(n),si s(n)l0 Es evidente que si f V g son funciones multiplicativas entonces f g V f lS también lo son. que f es una función aritméti,catal que /(1) : 3.26 Teorerna. Supongo,n¿os l. Entonces f es multipli,catiaa si y solamente s'i /k

ic

\

r lffn1'l: fl r@T) \¿:r / ¿:t para todoslos primos p¿ y todoslos enterosn¿2 L. Dernostrac'ión.La demostración se sigue directamente de las definiciones usando el PIM y Ia dejamos como ejercicio. ¡ La utilidad del teorema anterior es que?reduce el cálculo del valor de una función multiplicativa en un número n arbitrario, al problema de calcularlo en las potencias de sus factores primos. 3.27 Ejernplo. Si sabemos de antemano que Ia función o e.smultiplicativa, usando el teorema anterior tenemos que su valor en n:lli:tpf,u es, k

o(n):fI"@|,) ;-1

\- como n?¿* l p ? u: tt _ o ( p T ): 1 + P t.+ p l + ... + tL ' P ¿-r

7

88

CAPíTULO3. FUNCIONESARITMÉTICAS

obtenemosque L ^",o+r_ I o(n):fl uooo _, i:7

r

corno habíamos demostrado anteriormente. 3.2E Teorema. ,Si f A g son funciones multi,plicat'iaas,tambi,én lo es la funci,ón F defi,ni,dapor

- F("):t f@s(:) dln

Demostración. Sean m y n enteros positivos tales que (m,n) : 1. Por el ejercicio 18 de la sección de ejercicios 2.L, sabemos que d I mn si y solamente si d : d1d2 donde dt I m y dz ln, donde además, (ú,dz) - 1 y

( * lú , n l d 2 ) : 1 . Por lo tanto tenemos,

'

:t f@),(ry) F(*',) d,lrnn

:'

\-y1a1az)r(ffi) d,1lrnd2ln

: t \-/(d1)/( *rr(fr)rG)

:

dllm d,zln

@,)g (fr) nf (fr)nra,,ts

: F(rn)F(n).

Así, .F'es una función multiplicativa. Un caso especial e importante del teorema anterior se obtiene cuando g es la función constante 1, es decir cuando g(n) :1 para todo entero positivo n. Concretamente tenemos: 3.29 Corolario. definid,a por

Si f es una función multipli,catiua entoncesla funci'ón F

F(n):Dft¿l dl" es tambi,én una funci,ón multi,pli,catiua.

89

3.5. FUNCIONESMULTIPLICATIVAS

3.30 Ejemplo. Como la función definida por /(d) : dft donde k es un entero positivo es multiplicativa, por el corolario, Ia función definida por .l_ o*\n) : ) . dk d ln

es también multiplicativa. o¡(n) representala suma de las potencias k ésima de los divisores posio(n). Por el Teorema3.26 si n:lIT:rp?o tivos de n. Enparticular o{n): entonces,

o¡(n): T-T I,_\"rtoT'¡ Y co mo

(n;+ tl k

k: p i' " " ' -^ ' ' "ok( ú ') :1k * pf +n?r + "'+ pTu ' L p r -l

|

concluimosque pl*n*')r - t 'í \ l' ok\n):II"pf _r i:r

Ejercicios 3.5

1. Demostrar eI Teorema 3.26. 2. Si / y g son funciones multiplicativas, probar que /g V f lg son funciones multiplicativas. Suponga que el cociente esta bien definido. 3. Si / es multiplicativa y m I n, y (*, h) : t. Probar que

f(L\:fln),

" \m/

.f(*)

90

CAPI TULO3. FUNCI O NES ARI T M É T I C A S

4. Si / es multiplicativay n:lIf:tpf,,,

probarque

+ f@)+...+ f(ú,) D,¡fal: fl(t + f@¿) dln

i.:1

5. ProbarqueD¿1", f (d):Da6f Pa) 6. Probar que D¿1,(*) : +

para todo enteropositivo n.

7. Si n es un número perfecto par, probar que D¿lr(ol) :2. 8. si k > 1. Probar qre o¡(n) es impar si y solo si n es un cuadrad.o perfecto o el doble de un cuadrado perfecto. 9. Para n ) I, sear2(n) : Dalnr@,).- Probar qte r2(n) es multiplicativa y encontrar una fórmula para r2(n) en términos de la representación canónica de n. 10. Demostrarque dln y bl ft siy solo si b I n y d,l t. 11. Probar que

td l n D r@)s(u):t\ilass{u) bl\ bl, dl|

1 2 . S e a nA: {( d,c): dl ny a}v B : { (t c , c ) : c l n y t "l Probar queA: B.

| (" 1 4 } .

Sugerencia:Hacerd,: tc.

3.6

La fórmula de inversiónde Móbius

3.31 Definición. La función ¡; de Móbius (fue introducida por Móbius (1832), y el primero en usar la notación p fue Mertens (1874)) se define mediante las ecuaciones, tt(\) : L, . /_\ : 1f 'eD* u(n,l [0

si r¿: prp2...p¿ donde los p¿ son primos dif'erentes, si p2 | n para algún primo p.

3. 6. LA FÓ RM ULADE I NVERSI Ó ND E M Ó B I U S

91

FlcunR 3.2. La función p.

Como ejemplo tenemosla siguientetabla: n :1.234567 p( n ) : 1 -1 -1

0 -1

1 -1

89 00

10 1 1 1 -1

3.32 Teorerna. La función p, es multiplicati,ua A para tod,on 2 I se tiene que l-r'l

(

Ln)

¡.o

f ¡,(¿):lll : It -o¡n

s ' in: r ' si' n > 7'

(3 . 1 1 )

Demostración. Si rn : 7 o n : 1 se tiene inmediatamente que p(mn) : ¡r(m).p,(n). Sean rn y n enteros positivos tales que (*,n) : 1 con representaciónescanónicas kt

*:flnTn y n:I1ü' i: L

j: r

La representación canónica de n1n es

n L n : p T , ...p T oq T ,...sT,. p(m)p(n).Si todos Si algún m¿) L o algún n¡)l entoncesp(mn):0: : (-1)ft, p(n) : (-1)' V los m¿y todos los n¡ son igualesa 1 entoncesp(m) p(mn): (-1)k+¿' Así nuevamente¡1,(mn): ¡r(m)p,(n). Por lo tanto hemos demostrado que p es una función multiplicativa.

CAPí TULO3. FUNc I oNESARIT M É T I c A S

La fórmula (3.11) es evidente si n : 1. Supongamos que n > 7 y que la representacióncanónicade n es n: pT'p\" ...p\o. Los únicos términos no nulos en la suma ocurren cuando d, : I o cuando d es un producto de primos diferentes. Por Io tanto,

+ "'+ ulpn-pt)-r D,p@): p(r)+ t'@) + "' + u(pü+ p@tpz) dln

+ "'+

tt(ppz...pk)

: 1+(f) t-'r. (i) (-1)'+ . (f) (-1)ft :(1-l)k:0.

n Como consecuenciade este teorema, podemos expresar una función multiplicativa / en términos de la función f'definida en el Corolario 3.29, de la siguiente forma: 3.33 Tebrema (Fórmula de inversión de Móbius). Sz f es una funci,ón numér'ica a F(n) : Da6 f @) para todo n ) I, entonces \-

,-.-/n\

. Í\n) : Lu@ l t 1\ d/ ¡ dln

D emostrac'ión. Tenemos,

ft

(:):D lrtaltrrar Dp@)r I dln dln blz L

I

: t\,u@)f (u) d]n blft

: t

DP@f (u)

qué?) (¿Por

b l n d ]i

: t ft l r tad ll +tr t all b l nL I : f(n ), ya que por el teorema anterior, la suma interior en la última expresión es igual a cero, excepto en el caso en el cual b: TL,cuando vale 1. n

3. 6. LA FÓ RM ULADE I NVERS I Ó ND E M Ó B I U S

93

Es interesanteobservarque el recíprocode esteteorematambién es cierto. Concretamente tenemos: 3.34 Teorema. ^9if a F son funciones numéricastales que

n) L, Í@): I-P(¿)r (1) o*" tod'o dln

entonces F(n) : Do,- f @). D ernostraci,ón.Tenemos

,,..l f :I D¡t¿ ld ]n lDrr u l' " ( ;) l dln lbld.

' I

:t [-r l)-¡,l\c/ a ) ""J r"ll. ñ\fr Haciendo d: igual a,

tc y usando el ejercicio 12 de Ia sección3.5, la última suma es

r r-"n,(!:\ea¡ \c / ffi.

: D lu(Drk) tcln "ln

t

.l n

t P'(t)F(c) tl \

ft : t lr(")DPt¿ll tl? "1" L F(").

I (porel Teorema 3.32) !

En los dos últimos teoremas no se requiere que f V F sean funciones multiplicativas, sin embargo tenemos 3.35 Teorerna. Supongarnos que f U F son funciones numéricas tales que F(n):D¿t,-f @) Tenemos:

94

C APí TULO3. FUNCI O NES ARI TM É T I c A s

1. Si F es multiplicat'iua entoncesf tambi,énes multiplzcati,ua. 2. Si f es multi,plicat'iuaentoncesF tambi,énes multipltcati,ua. Demostraci,ón.

1. Por Ia fórmula de inversión de Móbius tenemos

f h\ : \-

J\''l;á-,.,_\d)

"f¿lr

13)

y como p y F son multiplicativas, se sigue del Teorema 3.28 que "f también es multiplicativa. 2. Es precisamenteel Corolario 3.29.

!

Como aplicación de los resultados anteriores, vamos a deducir nuevamente las propiedades de Ia función de Euler. 3.36 Lema. Si,m I n el número de enterosen el conjunto : {1, 2,3,. . .,n} ^9 que t'ienen,conn conxomóri.mo común dzuzsora rn es O (#). Demostraci,ón. Los enteros en el conjunto ,9 que son divisibles por rr¿ son precisamente (L\ *. m,2rrr,. ..,'\rn/ De otra parte sabemosque

( k m,n): (k m,( L\ * l : m ( k' , lf ) I ' \m/ \m/' luego (krn, n) : m si y solamentesi (k,(h)): 1. Por Io tanto el número de enteros es ,9 que tienen con r¿ como máximo común divisor a rn, es el número de enterosen el conjunto {1,2,...,(#)} q"" son primos relativos

conft, esdecirO (#,).

n

A continuación, daremos una demostración del Teorema 3.23 sin usar que O es una función multiplicativa. 3.37 Teorerna. Para todo entero posi,tiuon, tenemos

: ! o1a; ". dl,

3.6. LA FÓRMULADE INVERSIÓNDE MÓBIUS

95

Demostrac'ión.Sean dt,dz,...,dr(n) los divisores positivos de n, y sean TnttTfL2¡... ,ffir(n) enterospositivostales que n : d,tml : d2rn2:'

" : dr(n)mr(n).

Cada entero en el conjunto ,9 : {1, 2,.. . ,n} tiene con z¿un único máximo común divisor que es alguno de los m¿. Por el lema anterior, el número de enteros en el conjunto que tienen con n como máximo común divisor a m,: ^9 es Q(nlm¿). Por lo tanto f (n)

,(n)

,:Da@lrn¿): o@i):3.,r, tr I Veamos ahora una nueva demostración del Teorema 8.18. 3.38 Teorerna.

La función Q es multipli,cati,ua.

Demostrac'ión.Sabemosque Ia función F(n):n teorema anterior tenemos que

es multiplicativa. por el

F(n):rr:fO1a ¡ , y por el Teorema 3.8b, concluimos que á'i, ,rnu función mültiplicativa. Si aplicamos Ia fórmula de inversión de Móbius a la fórmula

F (n ) :

" :\O1 a¡

obtenemos que,

: f r,(¿)r o(n) (:) :\-¡,(d) (:) : "D,+ dln

dl"

dh

I

En particular si n - po con p primo tenemos,

: o">,# o(p") dlP"

--v^" I uQ) , p(p) , p,(p\- r " ' - r - p(p\1 p" I L 1 - p --F: o" (t 1) p/ \ = po - po-I.

(por definiciónde p)

96

CAPíTULO3. FUNCIONES ARITMÉTICAS

Si la representacióncanónica de un entero positivo n es n: O es multiplicativa, por el Teorema 3.26, tenemos que

llf:r pf,o, como

k

o(n): fI *1pf') i.:L K

:fl{rnT' - pln-r) i:r y hemos obtenido una nueva demostración del Teorema 3.19.

tr

Ejercicios 3.6

1. Si n es un enteropositivo probar que lll:o p@ -l i) : 0. 2. Sin:

canónicade n, probar que llf:r pf,ues Ia representación

L,p@)"(¿): (-1)k. dln

3. Hallar una fórmula para evaluar Da6U(d)o(d) presentacióncanónica de n.

en término de Ia re-

. Si f(n) : Da6p,@)A@), hallar una fórmula para evaluar f(n) en términos de la representación canónica de n. 5. Probar que para todo entero positivo n, se tiene que rL

s- p2(d)

o('r):+dln a@ Sugerenc'ia:Aplicar el Teorema 3.26 a Ia función multiplicativa f (n) : I"'@') F. z-dln 6(d .

3.6. LA FÓRMULADE INVERSIÓNDE MóBIUS

6. Si n : lllr

97

pf,nes la representacióncanónicade n, probar que

D,l prall:2k. d ln

7. Si / es una funciónmultiplicativayn:

lllrplo,

probarque

k

Dp@f(¿):f[ir -f@¿)]. d.ln

i:l

8. Deduciruna fórmulapara calcularDa6U@)/d,. .7

9. Probar que para todo entero positivo n se tiene que

: t. D, p@)"("ld) d ln

10. si para todo entero positivo n se tiene que n2 : Dau*g(d), halar una fórmula para evaluar g(n) en términos de la repreJ""ta"io" canónica de n. 11. Si *:D01./(d), hallar una fórmula para evaluar f(n) en términos de Ia representacióncanónica de n.

Lo4 cAPíru

Congruencias

l

4.1 '

Definicióny prop¡e¿'a¿ed básicas

4.1. Definición. Sean a y b enteros cualesquieray n un entero positivo. Si nl(ob) decimosque o y b son congruentesmódulon y escribimos a:

b (mod n).

si ¿ no es congruente con b módulo n, escribimos alb(modn). 4rB Ejemplo. 2. I:

7. 23:11

(mod 12).

-1 (mod 2).

- 3. Para todo par de enterosay b, tenemosa,: b (mod 1). - 4. SiO!"t

a:b(modn)

entoncesa:b(modd).

5. L7 # 10 (mod 4).

98

4 .1. DEFI NI CI Ó N Y PRO PI EDADES BÁSICAS

99

6. Si n I a entonceso : 0 (mod n) y recíprocamente. En lo que sigue del capítulo, n representa un entero positivo fijo. si a es un entero, el residuo de divldirlo por ?zcaracteriza el comportamiento de a módulo ??en el siguiente sentido. 4.3 Teorerna. Dos enteros a y b son congruentes módulo n si, y solo s,i t'ienen el m'ismo res,iduo al di,ui,dirlospor n. Demostracidn. Supongamosque a = b (mod n) y sea r el residuo de dividir b por n. Entonces, existe un entero k tal que a-b : kn y además[ : qn*r con 0 ( r < n. En consecuencia, a:btkn:(qn*r)+kn

(q-r k)n + r. como (o + tt¡ es un entero observamos que a y b tienen el mismo residuo al dividirlos por n. Recíprocamente, supongamos que a y ó tienen el mismo residuo al dividirlos por n. Tenemos entonces a:

qynl r

b: q2nI r, con 0 ( r < n. En consecuencia,restando término a término tenemos a-b:(qtqz)n,es decir a= b (mod n).

n

Directamente de la definición tenemos el resultado siguiente. 4.4 Teorerna. La congruenc'iamód,ulon es una reraci.ónd,,eesu,iualencia sobreZ.

Demostración. 7. Refl,eriu¿. Para cualquier entero a, n | (a - ¿) : 0 es decira:o(modn). 2. Si,métri,ca.Si¿: b (modn) entoncesnl (a-b) = -(a n | b) b o, Iuego b : a (mod n).

Vporlotanto

100

CAPI TULO4. CO NG RUEN C I A S

3. Tfansi,ti,u¿. (mod n) yb= c (mod n) entoncesnl(a-b) Si e:b V nl (b- c), por lotanto c, esdecir a:c +(b-")}:a"l{(a-b) (mod 7¿). ! /1

El comportamiento de la congruenciarespecto de las operacionesdefinidás en Z se concreta en el siguiente teorema. 4.5 Teorema. Si a:

b (mod n) A c:

d (mod n) entonces

1. Para todo par de enteros r A E, ar * cs: 2. a*c:b+d

(modn).

3. a-c=b-d,

(mod,n)'

br I ds (rnod n).

l. a¿: bd,.(modn). -

5. Para todo entero positi,uok, ak : bk (mod n). 6. Paratodo enteror, alr:b+r

(modn).

'1. Para todo entero r') o,r : br (mod n). Demostrac,ión. 1. La hipótesis dice que ??| (" - b) y n | (c- d) luego, por el Teorema 2.1 tenemosque n l{r("-b)+s(c-d)}: (ar+cs)-(br+ds) ypor lo : (mod tanto ¿r * cs br * ds n). 2. Se sigue de (1) tomando r : s : I. 3. Se siguede (1) tomando r : I ys : -1. 4. Basta observar que oc - bd,: (a - b)c + b(c - d). 5. La demostración es por inducción sobre k. Para k: 1 la afirmación es obvia. Además, si suponemos que ak : bfr (mod n), puesto que o = b (mod n) obtenemos aplicando 4) que atr+r - bk+l (mod n). Por el PIM el resultado es cierto para todo entero positivo k. 6. Es suficienteaplicar (2) a las congruenciaso: (mod n).

b (mod n)..y r:

r

4.1 DEFINICIóNY PROPIEDADES BÁSICAS

7: Se siguede (1) tomando s:0. 4.6 corolario. ,9¿a: b (mod n) y p(r) enteros,entoncesP(a) = P(b) (mod n).

101 !

es un pori,nom,iocon coefici,entes

4.7 Ejernplo. Hallemos el residuo obtenido al dividir 7135por g. observemos que 72 = I (mod 8), luego por el Teorema 4.5 tenemos 7135- Q")u' .T : l.T : T (mod g), y por el reorema 4.3 el residuo de dividir 7135por g es el mismo de dividir 7 por 8, es decir 7. 4-8 Ejemplo. En el capítulo 3 afi.rmamos que el sexto número de Fermat 22u+ 7 no es primo pues se puede factorizar en la forma 2,u + L : (641)(6700417). Veamos.queefectivamente 225* 1 : 0 (mod 641). puesto que, 276- 6bb36: (102)(641)+ 1b4 tenerhos 216:754(mod 641), y por lo tanto 232: pero (154)2:23776:

eS4)2(mod 641),

(36)(641)+ 640 y en consecuencia 2'u +7=O(mod641).

4.9 Ejemplo. que

sean a y b enieros cualesquieray p un número primo. veamos (a+b)e:aP*V

(modp).

En efecto, por el Teorema del Binomio tenemos. p

,\

(a1-b)e:: (l)

"-ru: * e\ ap-rb+...+ (^o .\ ow-r+,w, "? \1/ \p - r/

102

CAPITULO4. CONGRUENCIAS

por Io tanto

( a +b )e -( o,+rl :(í)

ap-,b+... + Clr )

."" k : I,2,...,p-

puestoque los coeficientes binomialesll) sibles por p. En consecuencia

av-l :tp, 1 son divi-

\,c/

(a + b)e : aP* be(modP)' 4.10 Teorerna, Sean rLt,TL2,.. . ,flr enteros posit'iuos. St para cada 'i : 1,...,r, a:b (modn¿) entonces a:

b (mod lu,...,nr)).

Demostración. Por hipótesis,para cada'i : L,... i r r, | (o - b) V por (3) del Teorema 2.37, lrr, . . . ,n,] | (a - b) es decir, a : b(mod lnt,...,nrl).

n

primos relat'iuosdos 4.1L Corolario. S'in1,TL2t...)nr son enterospos'iti,uos y para (mod n¿) entonces a dos cad,ai: I,...,r, a: b T

a: b(mod,¡fnr). Es necesariotener sumo cuidado cuando se trata de cancelar factores en las congruencias. !No siempreac=bc (mod n) implicaa,: b (mod n)! Por ejemplo, (6)(4) : (3X4) (mod 6) pero 6 I 3 (mod 6). El siguiente resultado nos indica como proceder en estos casos. 4.12 Teorema. 5i ac-- bc (mod n) y d,: (c,n) entonces a:u(rnod,]).

103

SÁ S I C A S Y PRO PI EDA D E B 4. 1, DEFI NI CI Ó N

: kn, con /c entero' Demostración. Por hipótesis n | (ac-bc) es decir c(a-b) : dc Ee otra parte como d, : (c,n) tenemos por eI corolario 2.I2 q,üec : kdN y dlf donde (C,Al¡ : 1' Por lo tanto tenemos dC(a - b) y n: : entonces 1 (C'll) LntoncesC(o - b) : kN' Luego N I C(a- b) v como D N | (o-b). Enotrostérminos d,:b (mod l/) oseaa=b (mod i)' 4.1-3Corolario. Si,ac=bc (modn) y (c,n):L

entoncesa=b

(modn)'

4.1 Ejercicios

1 . Probar que si a = b (mod n) entonces(o,n) : (b,n)' : 2 . Probar que si ac = bc (mod cn) entoncesa b (mod n)'

3 . probar que para todo entero positivo n, 32n+r¡2n+2 es divisible por 7. 4 . Probar que 3105* 41os= 0 (mod 13). 5 . Probar que para todo entero a, a5 : a' (mod 30)' 6 . Si p es un primo imPar Probar que: (a) 1 + 2+3+"'

+ (p- 1) = 0 (modP)'

(b) 12+22 +32 +... + (p -1)2 = 0 (mod p). (") 13 +23 +33 + "' + (p -l)t : 0 (mod p).

7 . Si p es primo y n2 = 1 (mod p), probar que rz = tl

(mod p)'

8 . Si /(r) es un polinomio con coeficientesenteros V f @): probar que para todo entero t, f (a*tn):

q

k (mod n'),

k (mod n)'

Probar que si 2nl7 es un primo entonceslos números !2 ,22,32 , ' " ,n2 tienen residuos diferentes cuando los dividimos por 2n * L' Sugerenc'ia: La diferencia de dos de estos números no es divisible por 2n*I.

r04

CAPI TULO4. CO NG RU E N C I A S

10. Hallar el dígito de las unidadesde los números1313y (5)(7)2e+(8)(9)72 11. Hallar eI residuo obtenido al dividir 62aLpor 7 y eI obtenido al dividir 15168por 13.

4.2

Criteriosde Divisibilidad

Como una aplicación de las propiedades de las congruenciasestudiadas en la sección anterior, vamos a deducir algunos de los criterios de divisibilidad de enteros, que conocemosdesde Ia escuelaelemental. 4.L4 Teorerna. Un entero positiuo erpresado en forrna deci.males diui,sible por 3 si y solo s'i la surna de sus dígi,toses di,uisiblepor 3. Demostrac'ión. Todo entero positivo n Io podemos expresar en la forma n :

ao+ ¿110+ a2702+ . . . + a¡L}k,

donde 0 1 a¿ ( 10 para cada i y k es un entero no negativo. Si consideramosel polinomio con coeficientesenteros P(r) : ao I atr I a2r2 t '''*

a¡rk,

observamos que P(L}) : n,

P(1) : as * a,* az + "' I an.

Como 10 : 1(mod 3), por el corolario 4.6 tenemosque 'n = clol at + az I .. . * a¿(mod 3). Luego n - (ao * at I ... ¡ an) : 3ú para algún entero ú, y_,4"esta igualdad concluimosque 3 | n si y solo si 3 | (o6|at+... ¡an). Si notamosque todas Ias congruenciasen Ia demostración anterior son válidas cuando el módulo es 9, tenemos.también el criterio siguiente. n 4.15 Teorerna. Un entero pos'it'iuoerpresado'enforma dec'irnales di,ui,sible por 9 si, y solo s'i la suma de sus dígitos es d,iuisi,ble por 9.

4.2 CRITERIOSDE DIVISIBILIDAD

105

4.16 Ejemplo. El número 8b.747.826es divisible por 3 pues la suma de sus dígitos es

3 +5 +7 +4 +7 +8 +2 I6:42 y 42 es divisible por 3. sin embargo, como g 42 el número no es divisible | por 9. Como otra aplicación consideremosel siguiente criterio de divisibilidad por 4. 4.17 Teorema. un entero posi,ti,uocon mós de un d,ígi,to,erpresad,o en fonna decimal es diaisi,blepor"4, si y soros,i, el número fármado por susd,os últi,mo dígi,toses di.ui,s'ible por 1r. Dernostrac'ión. supongamos que la representaciónen base 10 del entero positivo n es n: anl}k + .. .+ atL} I ao, entoncesel número formado por sus dos últimos dígitos es ¿r10 * ¿0. Como 102 : 0 (mod 4), por aplicación repetida de la propiedad Z) del Teorema4.5 con r: 10, tenemosque 103 :O(mod a),1g+-: o(moá a), . . . ,10k : 0(mod 4). Por lo tanto n:

a1I0 * a¡(mod 4).

Luego n-(at10+¿0) : 4k paraalgún entero k, y deesta ecuación concluimos que 4 l n si y solo si 4l (al} * ¿o), como queríamoscomprobar. D 4.L8 Ejemplo. EI número 624.746.972es divisible por 4 pues 4 | 72, en cambio el número 3210b8no es divisible por 4 pues 415g. .

106

CAPITULO4. CONGRUENCIAS

Ejercicios 4.2

1 . Sea n : ¿0 * a110 * a2I02 I ... I anl}k la representación decimal del entero positivo n. Probar que n es divisible por 11, si y solo si, es divisible por 11. Dlo(-l)'o¿

2. A partir de Ia relación 103 : -1(mod 7), deducir un criterio de divisibilidad por 7.

3 . Probar que 6 | n si y solo si 2 | n y B I n. 4. Con las notaciones del ejercicio 1, probar que 8 l'n 8l(100a2*10a1+oo).

si y solo si

5. Expresando los enteros positivos en el sistema de numeración con base 100, deducir un criterio de divisibilidad por L01.

4.3

Aritmética módulo n

En el Teorema 4.4 vimos que la congruencia módulo r¿ es una relación de equivalencia en el conjunto Z de ros números enteros. para cada a e z, representamos su clase de equivalencia por d. Recordamos que ¿ esta definida Port

' :Í::2":-_:y;:,1'J.".,*0" kez,j Estas clasesse llaman también clases residuales módulo n y sabemos que constituyen una partición del conjunto Z de todos los enteros. veamos ahora que el conjunto cociente de z por esta relación esta formado precisamentepor las clases0,1,2,... )n - 1. En efecto,si a es un entero arbitrario, por el algoritmo de Ia división podemos representarlo en la forma a: efr *r con 0 ( r ( n, luegoa: r (mod n) y en consecuencia a:7.

r07

4 .3 . ARITMETICAMODULON

Se acostumbra a representar por Z, a esteconjunto cociente y se le llama el conjunto d,elos enteros módulo n. Tenemos por lo tanto que

Zn: {0,1,2,...,1 = a } . Sobre Zn podemos definir una adición y una multiplicación mediante las fórmulas siguientes:

r+A :r-lU,

ra: ra. Es decir, para sumar las clasesresidualesde r y de y tomamos un elemento de la clase de e, un elemento de la clase de g, los sumamos y tomamos la clase residual de esta suma. Similarmente se procede con la multiplicación. Estas operacionesresultan bien definidas en virtud de las propiedades2 y 4 del Teorema 4.5. I 4.1-9 Ejemplo.

0 1 2 3

Las tablas de adición y multiplicación módulo 4 son:

01 L2 23 30

2 3 0 1

3 0 1 2

0 1 2 3

00 01 02 03

0 2 0 2

0 3 2 1

donde por comodidad hemos eliminado las barras. 4.2O Teorerna.

1,

d + ( b+ z) :

La ad,i,ci,ónen Z, tiene las propiedad,essi,guientes:

( d+b) +¿

d *0:0+d ,:a 201,, Para ?,4.

cadcia erister tal qued + r : n i a : 0

o ,+o :o+a

Demostración. Las propiedades i, ii y iv son consecuenciadirecta de las propiedadescorrespondientespara la adición ordinaria de enteros; por ejemplo

108

CAPí TULO4. CO NG RUE N C I A S

la propiedadasociativase demuestraen la forma siguiente: d+(b+¿):a*b-fc =a+(b*c ) =(a*b)+c =a+b+c

=(a+b) + ¿ . De manera similar se demuestran ii y iv. Para probar iii, es suficiente tomar tr : rL- ¿, pues en tal caso tenemos a*n-a:a-l(n-a):n:6, .v n-a*a:(n-o)Ia:ñ:0.

¡

El teorema anterior nos indica qlueZn con la adición es un grupo conmutativo de acuerdo a las definiciones siguientes: 4.2L Defrnición. Un grupo (G, *) es un conjunto G provisto de una operación binaria x que satisface los axiomas siguientes: G-l La operación * as asociativa, es decir para todo a, b,c en G se tiene que a+(b*c):(axb)xc. G-2 Existe un elementoe en G tal que a* e:

e*a:

o,para todo ¿ en G.

G-3 Para cadaa en G existe un elementoa' en G tal que a+at : at*a:

e.

El elemento e del axioma G-2 es único y se llama la identidad del grupo. Para cada a e G el elemento ¿/ del axioma 3 es también único y se llama el inverso de ¿ con respecto a Ia operación x. 4,22 Definición. un grupo G se llama abeli,anoo conmutat'iuosi satisface la condición a * b : b * a patatodo ¿ y b en G. 4.23 Ejemplo. 1. De acuerdo al Teorema 4.20, el conjunto Zn con la adición que hemos definido entre clases residuales módulo r¿, es un grupo conmutativo donde la operación se representa por *, la identidad es 0 y para cada ¿ € Zn stt inverso es n - a.

4.3. ARITMETICAMODULON

109

2. El conjunto Z con la adición es un grupo conmutativo, donde la identidad es el 0 y el in',¡ersode cada n € Z es -r¿. 3. EI conjunto IR* de todos los números reales diferentes de cero, con la multiplicación usual como operación, es un grupo conmutativo, donde la identidad es el número 1y para cada número real o,+0, su inverso es If a. 4.24 Teorerna. La multi,pli,caciónen Zn t'iene las propi,edadessiguzentes:

1 . AO:

OA,

2. a\oc) : \ary)c. 3. a\o + c) : ao -f ac A \o i c¡a : oa + c a. -/r

4. aI:

/r

-\

Ia:

.

-\-

a.

Demostrac'ión. De nuevo, las propiedades son consecuenciadirecta de las propiedades correspondientespara la multiplicación usual en los enteros. Como ejemplo demostremos la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición. Tenemos

d(b+e.) : abI c :a(b+c) : ab* ac : AO + AC : -ot ,o+| -ac.

¡

Los dos últimos teoremas, nos dicen qtrc Zn con la adición y la multiplicación entre clasesresiduales módulo r¿, es un ani,llo conmutat'iuo con i,denti,d,ad,de acuerdo a Ias definiciones siguientes. 4.26 Definición. Un ani,llo(4,1,.) es un conjunto A provisto de dos operaciones * y ., llamadas adición y multiplicación que satisface los axiomas siguientes: A-1 (,4, *) es un grupo abeliano. A-2 La multiplicación es asociativa.

110

CAPI TULO 4 CO NG RUE N C I A S

A-3 Las dos operacionesestán relación dadas por las propiedades distribu_ tivas a(b+c):abtac (b + c)a: ba * ca, para todo a,b,c e A. 4'26 Definición. Un anillo donde la multiplicación es conmutativa se dice un antllo conmutat'iuo. un anillo que tiene una identidad para la multipli_ cación, que se representa usualmente por 1, es tn ani,llo con id,entidad,. Ya hemos verificado q.oe(zr,*,.) es un anilro conmutativo con identidad. La identidad de este anillo es precisamenteT. Este anillo se llama el ani,llo de los enteros módulo n. como otro ejemplo de anillo, consideremosel conjunto A: adición y multiplicación definidas por, (a,b) t (c,d) : (o +

",b (o,b).(c,d):(ac,bd).

IR x IR con

+ d),

una verificación directa nos muestra que (A, *,.) es un anillo conmutativo con identidad (1, 1). El elementocero de este anillo es (0,0). Observamos que en este anillo (1,0) . (0, 1) : (0,0) aunque (1,0) y (0, 1) son distintos de cero. Esta situación también se pre_ senta en anillos tales como (Za,*,.) donde tenemos que 2.3:0 y ambos elementos 2 v 3 son diferentes de 0. Establecemos la definición siguiente. 4.27 Deftnición. Decimos que un anillo (A, *,.) tiene d,i,ui,sores d,ecero si existen elementosa,b € A distintos de cero pero tales que ab: 0. Acabamos de ver que el anillo z6 tiene divisores de cero. También observamos que en este anillo no se cumple la ley cancelativa para la multipli_ cación,ya que tenemospor ejemplo: 3.2: 3.4 pero Z +4. Este resultado no es casual, sino consecuenciad.elteorema siguiente.

4 3. ARI TM ÉTI CAM Ó DUL ON

111

4.28 Teorerna. Un ani,Ilo A satisface la ley cancelatiaapara Ia multi,pli,caci,ón a izquierda y a derecha, s'iy solo s'i, A no tiene diui,soresde cero. Demostración. Supongamos que A es un anillo sin divisores de cero. Si ab: ac entoncesa(b-c):0. Como a * 0y el anillo a,b,ce Acona*0y no tiene divisores de cero, concluimos que b - c : 0, es decir que b : c. Luego se cumple la ley cancelativa a izquierda. Similarmente se demuestra que se cumple la ley cancelativa a derecha. Supongamos ahora que -4 satisface la ley cancelativa para la multiplicación. Si ¿b : 0 con a * 0, tenemos ab : a0 y cancelando a, obtenemos b:0. Similarmentesi ¿b:0 con b+0 tenemosab:0b ycancelando b tenemos a : 0. Luego A no tiene divisores de cero. n 4.29 Defrnición. Un domi,nio de i,ntegridades un anillo conmutativo, con identidad y sin divisores de cero. 4.30 Deffnición. Un cuerpo es un anillo conmutativo con identidad en el cual todo elemento distinto de cero tiene un inverso para la multiplicación. Los elementos inversibles para Ia multiplicación en un anillo con identidad se llaman las unidades del ani,llo. Por ejemplo en el anillo Z de los números enteros, las unidades son 1 y -1. En un cuerpo Ias unidades son todos los elementosdistintos de cero. 4.31 Teorerna. Todo cuerpo es un domin'io de i,ntegridad. Demostrac'ión. Corno un cuerpo es un anillo conmutativo con identidad, de acuerdo al Teorema 4.28, solo falta por demostrar que en un cuerpo es válida la ley cancelativa para la multiplicación. Supongamos que o # 0 y que a,b: ac. Sea ¿' el inverso multiplicativo de ¿. Tenemosa/(ab) : a'(ac) es decir (a'a)b: (ata)c luego lb : lc con lo cual b : c. ¡ Volviendo a nuestro estudio de los enterosmódulo n, tenemosel resultado siguiente. 4.32 Teorerna. En eI ani,llo Zn los d'iu'isoresde cero son precisamente los elementosTñ + 0 tales que rn A n no son primos relatiuos.

r72

CAPI TULO4. CO NG RUENC I A S

Demostrac'ión. Seañ, + 0 y supongamos que rn y n no son primos relativos. Entonces (m,r) : d con d > L y tenemos -m(nld) : m(nld) :n(m/d) Como ñ,+0 cero en Zn.

V (n/d) l0

pues d)

:4.

L, concluimosque rn es un divisor de

Supongamos ahora que rn e Zn con rn y n primos relativos. Si r¿lc : 0 entoncesink :0 o sea mk :0 (mod n). Luego n I mk y como (n,m) : 1 entoncesnlky asi k:0 (mod n), o seak:0. Por lo tantoñ, no es divisor de cero. tr 4.33 Corolario. przrno.

Zn es un dom'in'iode i,ntegri,d,ad si,y solo s'in es un número

Demostración. Yeamos primero que si r¿ no es primo entonces Zn no es tn dominio de integridad. Supongamosque n : abcon 1 < a < n y | < b < n. Tenemos entonces -ab: ab : ñ :0, con ¿ + 0,6 + O. Luego Zn tiene divisores de cero y no es dominio de integridad. Supongamosahora que r¿es un número primo. Como n es primo relativo con cada uno de Ios enteros7r2r. . . rfl - l, por el Teorema4.32, V,nno tiene divisores de cero y en consecuenciaes un dominio de integridad. n 4.34 Teorerna. Zn es un cuerpo si, y solo s'in es un número primo. Demostrac'ión. Si 7¿no es primo, por el corolario anterior Zn no es un dominio de integridad y por el Teorema 4.3I V," no es un campo. Supongamos ahora que n es un número primo. Para probar qtueZn es un campo, es suficiente probar que todo elemento distinto de cero en Zn es una unidad. Para ello, sea rn € V,ncon 0 ( nx < n. Como rn y n son primos relativos, por el Teorema 2.11 existen enteros r y s tales que mrlns:L. Por lo tanto tenemos rnV +ñs:

\,

113

4. 3. ARI TM ÉTI CAM Ó DUL O¡ /

y como ñ:0,

nos queda I T¿T :

L.

De esta forma vemos que F es el inverso multiplicativo cuerpo como queríamos demostrar.

de m y Zn es un n

Ejercicios 4.3

1. construir las tablas de adición y multiplicación, módulo 1, módulo 2, módulo 5, módulo 6, y módulo 7. 2. EnZT resolverlas ecuaciones3r * 4 : ! y 12 + 2r*

6 : 0.

3. En un anillo con identidad, ¿esel producto de dos unidades también una unidad?, ¿esla suma de dos unidades de nuevo una unidad? 4. Demostrar que el conjunto de las unidades de un anillo con identidad es un grupo, con Ia multiplicación del anillo como operación. 5. Sean a y n enterospositivos tales que n: ab. Probar que el conjunto A: {0,a,2a,. .. ,(b - I)a} con la adicióny la multiplicaciónde clases residuales módulo 7?.,es un anillo. sugerenc'ia: Hay que demostrar primero que A es cerrado para estas operaciones, es decir que Ia suma y la multiplicación módulo n de elementos de A es también un elemento de ,4. un conjunto C se llama un s'isternacompleto de res'iduosmódulo n, si C contiene exactamente un elemento de cada clase residual módulo n. 6. Construir cuatro sistemascompletos de residuos módulo 8. 7. construir un sistema completo de residuos módulo 7 formado por números primos.

rt4

CAPITULO4. CONGRUENCIAS

8 . Probar que un conjunto C de enteros es un sistema completo de residuos módulo n si y solo si dos elementos cualesquiera de C no son congruentesmódulo n y C tiene n elementos.

9 . Probar que si C es un sistema completo de residuosmódulo ny (a,n) : 1 entonces,para todo ó el conjunto C' : {ar -f b I r e C} también es un sistema completo de residuos módulo r¿.

t 0. Probar que si n ) 2, el conjunto de enteros!2,22,...,fr2 no es un sistema completo de residuos módulo n.

4.4

Los Teoremasde Euler y Fermat

4.35 Definición. Un subconjunto ,R del conjunto de los enteros se llama un sistema reduci,dode res'iduosmódulo n si satisface las condiciones siguientes: 1. .R tiene O(n) elementos. 2. Para cada r € R se tiene que (r,n) :7, 3. Los elementosde R son incongruentes módulo n. 4.36 Ejemplo. Si n : 8,los conjuntos{1, 3,5,7} y {9, 3, -3,23} son sistemas reducidos de residuos módulo 8. Si p es primo, el conjunto {7,2,3,. . . ,p - 1} es un sistema reducido de residuos módulo p. A partir de un sistema reducido de residuos módulo n, podemos construir una infinidad de tales sistemas aplicando el teorema siguiente. 4.37 Teorema. ,5'i{rt,rz,...,ro(,")} es un sisterna reducido de residuos rr¿ódulo n y si,(k,n):7 entonces{kr1,kr2,...,kro.,"\} también es un s,istema reduci,d,od,eres'iduosmódulo n. Demostrac'ión. La condición 1 de la definición de sistema reducido es evidente. Como (r¿,n) : 1 para cada i, y (k,n) : 1, por el Teorema 2.18 se tiene que (kr¿,n): 1 para cada i y se cumple la condición 2. Finalmente, no puede tenerse que dos de Ios números kr¿ seancongruentes módulo ?2,ya que si kr¿ = kr¡ (mod n) entonces r¿ = r j (mod n) por

4.4, LOS TEOREMASDE EULERY FERMAT

115

el Corolario 4.13, lo que contradicelahipótesis de que {r1,...,161rr;} es un sistema reducido de residuos módulo n. Por lo tanto, también se cumple la condición 3 de la definición y se tiene el teorema. n La consecuenciamás importante del teorema anterior es un resultado muy importante debido a Euler. 4.38 Teorema (Teorema de Euler). Si, (a,n) : I entonces aQ(')-r

ftnod,n).

Demostrac'ión. Sea{rt,rz,. . . , ro(",)} un sistema reducido de residuosmódulo n. Por el teorema anterior el conjunto {ar1,ar2,..., aro@)) es también un sistema reducido de residuos módulo n. Por lo tanto eI producto de los enteros del primer conjunto es congruente al producto de los enteros del segundo conjunto. Luego rrr2. . 'ro@) - oQ(')rrrr. . .ro(",) (mod n). Como cadar¿ es primo relativo conn) por el Corolario 4.13 podemos cancelar cada uno de los r¿ y obtenemos 1_ oa(n)

(mod n)

como queríamos probar.

¡

4.39 Corolario (Teorema de Fermat). Só p es ltn número primo y (o'p) : r' entonces oP-r : L @od,p). Demostrac'ión. Es consecuenciainmediata del Teorema de Euler. va que O(p): p-L. n una forma equivalentedel reorema de Fermat es el enunciado siguiente. 4.4O Teorema. ^9ip es un número primo, entonces aP =a

para cualqu'ierentero a.

(mo d p ),

CAPí TULO 4, CO NG RUEN C I A S

11 6

Demostración' Si p { o entonces (o' P) : L y por eI corolario anterior (modp).

oP-r-1 Por 7 del Teorema 4'5, tenemos que

(modP)'

aP=a Si p I a, tenemos que a = 0(mod P)

Y

aP : O(modP),

y por las propiedades de Ia congruencia -

4.41 Ejempto.

aP: o(mod p).

Si p y g son primos diferentes veamos que pq-r + qP-L = l(mod Pq).

Por el Teorema de Fermat tenemos pq-r = l(mod q) y qp-r: l(mod p). De otra parte tenemos pq-r = 0 (mo.dp) y qP-I= O(modg), luego pq-r ¡ nn-r = 1(mod q) y pq-r + {-'=

1(mod p)

que y como p y g son primos relativos, por el Corolario 4'11, concluimos pq-r + q?-r = 1(mod Pq). del 4.42 Ejernplo. Hallemos las dos últimas cifras en el desarrollo decimal número 27t23. Si escribimos 27123: a¡lok + "' + orlo * ¿o con01a¿ll0,setratadeencontrarelnúmeroly'formadoporlosdos único últimos dígitos, es decir N : a(ro. Es claro que este número N es el que satisface 27123- lf(mod 1oo) Y o < ¡ü < 100'

4.4. LOS TEOREMASDE EULERY FERMAT

IL7

Por el Teorema de Euler tenemos que 27o(roo):1

(mod100).

Como 0(100) : O(S2)O(Z'): (5'-5)(2'-2):40,

Ia congruenciaanterior

ES

27ao:1

(mod 100).

Por lo tanto 27t23- (2740)3273:273

(mod 1oo),

y como 273 :19.683, tenemos que 273:83(mod

100).

Luego el desa¡rollo decimal de 27123termina en 83. EI Teorema de Euler puede utiliza¡se también para resolver ciertas congruencias lineales. Tenemos el resultado siguiente. 4.43 Teorema. ,Sz(o,n) : l, Ia solución de la congruencia I'ineal ax=b

(mod,n),

es a - oo(n)-tb (mod n).

Demostrac'ión. Por el Teorema de Euler tenemos aa(n)-1(modn,), y por Io tanto aa(n)b: b (mod n). Luego la congruencia lineal toma Ia forma a* = ao(n)b (mod n), de donde a - oo(n)-rb (mod n), ya que (a,n) :1.

!

118

CAPITULO4. CONGRUENCIAS

En la sección siguiente demostraremos que esta es la única solución incongruente de la congruencia lineal considerada. si G es un grupo fi.nito, se llama ord,ende G al número de elementosde G. Se demuestra en teoría de grupos el resultado siguiente: Si G es un grupo finito de orden n y a e G, entoncesan : an : a+ a + ... + a, nveces,siendox la operaciónen G.

e, donde

Utilizando el resultado anterior y el ejercicio 4 de la secciónprecedente, obtenemos otras demostraciones de los teoremas de Fermat y Euler, que presentamos a continuación. 4.44Teorema entonces

(Teorema de Fermat).

Si,p es un número pri,mo y (a,p) : L,

aP-7 : I(mod p). Demostración. Como Zo es tn cuerpo cuando p es primo, entoncesel grupo de las unidades de Z, esta formado por todos los elementosno nulos de z, y tiene por lo tanto orden p - I. si (a'p) : 1 entoncesa l0 y en consecuencia¿ es una unidad dezo. Luego por el resultado mencionado a?-r :1, o equivalentemente aP-r :1(mod p). Para demostrar el reorema de Euler, necesitamosun lema previo.

!

4.45 Lerna. El grupo de las uni,dadesdel ani,Ilo zn esta forrnad,opor tod,as las clasesa tales que (a,n) : I y tiene ord,en@(n). Demostración. supongamos que ¿ es una unidad dezn. Luego existe b e zn talque ab:L Porlo tantoab:1 (mod n) ytenemos que ab-I:en para algún entero q. Luego ab - qn - 1 y por el reorema 2.11 concluimos que (4, n) : L Recíprocamente, si (a,n) : 1 por el Teorema 2.11 existe enteros b y q tales que ab - qn: 1. Luego ab =r (mod n), o sea¿ó - 1 y por lo tanto ¿ es una unidad de 2,,.

4.4. LOS TEOREMASDE EULERY FERMAT

119

De esta forma hemos probado que en el anillo

Zn: {0,1,2,...,1- " ¡ 1 Ias unidades son precisamente las clases ¿ con (a,n) : número es O(n). 4.46 Teorema (Teorema de Euler).

1, por lo tanto su tr

Si, (a,n) : I entonces

a@(n)- L (mod,n). Demostrac'ión.Como (o,n) :1, por el Lema 4.45 , a es una unidad d.eZn, y como eI orden de:|,grupo de unidades de este anillo es O(n), renemos

(a)o(")- 1' o equivalentemente aQ(n)-1

(modn). ¡

Ejercicios 4.4 1. Probar que para todo entero h, flr2 es de la forma 13k o de la forma I3k + 1, para algún entero k. 2. Probar que para todo entero n, n8 es de la forma ITk o l7k t 1, para algún entero k. 3. Probar que para todo entero d, a567: a, (mod b61). 4. Probar que si p es un número primo, entonces 1p-1+ 2p-r +3p-1 + ... + (p- l)r-t * 1 : 0(modp). 5. Hallar en su desarrollo decimal

I20

CAPí TULO4. CO NG RUE N C I A S

(a) la última cifra de 131275. (b) Ias dos últimas cifras de 3aoo. (c) Ias tres últimas cifras ¿" 72407 . 6. Probar que para cualquier entero fl, fr37- r¿es divisible por 383838. Sugerenci,a.'Descomponer 383838 en factores primos. 7. Si p y q son primos diferentes, probar que pq + qP = (p + q) (mod pq). 8. Probar que los números5,52,53,54,55y 56 forman un sistemareducido de residuos módulo 18. 9. Si p es un número primo y oP = be (mod p) probar que ap:F(modp2). 10. Probar que a42+1- ¿ es divisible por 30 pará todo entero a y todo entero positivo zz. 11. Si p es un número primo y a,b son enteros positivos menores eue p, probar que ap-2 + ap-\b ¡ on-462+ . . . + w-2 : 0 (mod p/. 12. Si p es un primo impar y p I a, probar que p- 7

a-a- : tl

(mod p).

13. Si R es un anillo finito con identidad y a e R, proba,r que a es una unidad de R o a, es un divisor de cero. Sugerencia; Si ,R : {rt,T'2¡. . . ,rr} y ¿ no es divisor de cero demuestre que R : {artraT2¡....,arn} 14. Utilice el ejercicio 13 para determinar las unidades de Zn.

CO NG RUENCI AS LI NEA L E S

4.5

t27

lineales Congruencias

En Álgebra se estudian detalladamente las ecuacionespolinómicas y sus soluciones. En forma análoga podemos estudiar las congruenciaspolinómicas. En este estudio consideramosúnicamente polinomios /(c) con coeficientes enteros. Si ¿ un entero tal que f (") = 0 (mod n), decimos que ¿ es una solución de la congruencia polinómica f (r) = 0 (mod n). Por el Corolario 4.6, si a: b (mod n) también f (") = /(b) (mod n), sin embargono consideramos diferentes a estas solucionesque pertenecen a una misma clase de residuos módulo n. Cuando hablamos del número de soluciones de una congruencia polinómica nos referimos al número de soluciones incongruentes, es decir al número de solucionesobtenidas en el conjunto {0,1,2,. . . )n - 1} o en cualquier otro sistema completo de residuos módulo r¿. La congruencia /(r) : 0 (mod n) se llama linealcuando /(r) es un polinomio de grado uno. Toda congruencia lineal se puede escribir en la forma an: b (mod n). Tenemos el resultado siguiente. 4.47 Teorerna. La congruenc'iali,nealar : b (mod n) tiene solución si y solo s'id lb, donde¿: (a,n). Si, la congruenc'iat'iene soluc,ión, entonces t'iene eractamente d soluc,iones 'incongruentes. Demostrac'ión. Dividimos la demostración en 5 partes:

1 . Si d I b, hay una solución. 2 . Si hay.solución,d I b. 3 . Si r¡ es una soluciónentoncesro+k3

es soluciónparatodo entero k.

4 . Todas las solüciones se encuentran entre Ias soluciones rnencionadas en 3.

5 . Las soluciones incongruentes son precisamente to,ro *

n 2n * ¿,ro 7i...,r0

*

(d- I\n É

r22

CAPiTULO4. CONGRUENCIAS

Prueba de 1. Supongamos de d | ó, Iuego b : cd, para algún c. Como d : (o,n) por el Teorema 2.5 podemos expresar d en la forma d,: ar I sn. Multiplicando por c obtenemosb: cd,: co,rI csn. Por lo tanto acr : b (mod n) y cr es una solución de Ia congruencia lineal ¿z : b (mod n). Prueba de 2. Supongamos que r0 es una solución de la congruencia lineal. Luego afro : b (mod n) y por lo tanto existe un entero k tal que o,rs-b : kn. Como dloy dln,s e sigueque d lb como habíamosmencionado. Prueba de 3. supongamos que ,r0 es una solución de la congruencia dada. Para todo entero k tenemos o ("0 +

: aro: b (mod n), /t1) : arnt nn (9\ ,,;,) d/

puestoquedla. Prueba de 4. Supongamos que ,r1 es otra solución de la congruencia dada. Tenemos entonces arr: b: arg (mod n), y por el Teorema 4.12

rr: ro(moa ld,).' Luego existe un entero k tal que :X 7 :tr' + k :. Prueba de 5. Claramente

d,

Ias soluciones

n o ,ro * 1, * o* r:,...,ro + @- ¡ ] , son incongruentesmódulo n, puesto que dos cualesquierade ellas no pueden diferir por un múltiplo de n. Además cada solución de la forma ro1_ knld es congruente módulo n cor alguna de estas d soluciones, ya que por el algoritmo de la división podemos expresar a k en la forma k : ed * r con 0 ( r ( d, y enconsecuencia

_n ro-tkd:ro*lqd+r)¿

,n

:ro*On+r] : rolrj n (rn o d n ).

!

4.5. CONGRUENCIAS LINEALES

4.48 Ejemplo.

I23

Resolvamosla congruencia lineal J2r:2g

(mod 36).

como (32, 36) : 4y 4 | 28, la congruenciatiene 4 solucionesinconqruentes. utilizando propiedadesde las congruencias,la congruenciadada es equivalente a cada una de las congruencias siguientes 32r = 28

(mod 36)

8r:7

(mod 9)

-r:7

(mod 9)

r = -7 x:2

(mod 9) (mod 9).

Por lo tanto las solucionesincongruentesson 2,II,20

y 2g.

4.49 Ejernplo. Resolvamosla congruencia 54r :168

(mod 30).

como (54,30) : gruentes. Tenemos

6 y 6 | 168, la congruencia tiene 6 soluciones incon-

54r:768 gr: 18

(mod 30) (mod b)

4n:3

(mod 5)

-r:3

(mod 5)

n = -3 r:2

(mod b) (mod 5).

Luego las solucionesde la congruenciason 2, 7,12,17,22 y 2g. El teorema siguiente nos permite reducir una congruencia lineal con módulo grande a una congruencia lineal con módulo más pequeño. 4.50 Teorerna. cons'iderernos la congruencia li,nearar: b (mod,n). si,ys es una soluci,ónde la congruenciany : -b (mod a), entoncesel número rO:

nUolb a

es una, solución de la congruenc'ia origi,nal.

t24

CAPI TULO 4. CO NG RUEN C I A S

Dernostración. Como gfges solución de la congruencia ng : entonces ro es un entero y además

-$ (mod a),

nUolb u :nYglb

d ü g :6 -

: b (mod n). Luego ,r0 es solución de afr = b (mod n). 4.51 Ejemplo. Resolvamosla congruencia 245n:64 el teorema anterior.

¡ (mod 9923), usando

Por el teorema nos reducimos a resolver la congruencia 9923Y: -64(mod 245), o sea

r23v: -64(mod2a5)' Nuevamente por el teorema, nos reducimos a resolver la congruencia 2452:64(mod 123), o sea

I22z :64(mod 123) -z:64(mod 123) z: -64: -LuegoUo:

59(mod1 2 3 ).

(245)(5e)- 64 .j. _ -aI( Y fii-

(ss2u(117) ! 64:47ss.

^. _ --nEr0:

Cuando apliquemos eI teorema anterior a una congruencia ar: b (mod n) donde (o,n) I b, es claro que el proceso nos conduce a una congruencia que no tiene solución.

4.6. ECUACIONES DIOFÁNTICASLINEALES

L25

4.6. EcuacionesDiofánticaslineales Una ecuación d,i,ofdnticali,nealen 2 variables tiene la forma ár*bY:¿, donde a,b y c son enteros con ab f 0. Determinar las soluciones de esta ecuación diofántica es equivalente a determinar las soluciones de alguna de las congruencias lineales ar:

c (mod b) o bA: c (mod a).

Según el Teorema 4.47, sabemosque existe solución si y solo si d I c donde d : (a,b). Además.si rs es una solución de ar: c (mod b), sabemosque todas las demás soluciones de esta congruencia son de la forma

r:fro*fI A partir de Ia ecuación ar * by : c, podemos obtener los valores correspondientes de y. Cuando z: ro obtenemos

a o :9 -,o 'o y cuando tr:

no * k$ obtenemos

- a(ro* kh) b

a:-

c-

a frO

ka

bd ka :uo--d'' Por lo tanto hemos demostrado el resultado siguiente. 4.52 Teorerna. La ecuación di,ofdnticaarlby si, d I c donde¿: (a,b).

: c t'iene solución, si,y solo

Ad,emds,si ns y lg es una solución particular d,ela ecuac,ión,entonces todas las soluc'ionesestán dadas por las ecuacuones r:frl+fA

b

donde k es un entero arbi,trari,o.

y

,a g:Ao-k¿,

t26

CAPíTULO4. CONGRUENCIAS

4.53 Ejemplo.

Resolvamosla ecuación diofántica 256r - 36y :64.

La ecuación es equivalente a la congruencia

z_s01=64(mod36) o sea, 4z :28(mod 36) r +-7(mod 9). L u e g oro:7 y go : ((256)(7)-64)136:48. ' solucióngenerales

Co mo(2 5 6 , -3 6 ): 4 , \ a

r :7 + k(-3614) :7'- 9 le 4) : 48 - 64k, a : 48 - k(2561 donde ,k es un entero arbitrario. 4.64 Ejernplo. Un comerciantecomprólápicesy borradorespor $2.490.Si cadalápiz costo $29 y cada borrador costó $33, ¿cuántoslápicesy cuántos borradorescompró? Solución: Llamemosr al número de lápicesy A al número de borradores que el comerciantecompró. Tenemosque resolverla ecuación Zgn+S S Y :2.490, sujetaa las condicionesz, > 0 y y > 0. La ecuaciónes equivalentea 29r:2.490 (mod33) , , osea

\ -4r :l:5(rnod 33) -32r:120(mod 33) .z :21(mod 33).

Luegoro:2L y ao:'Jf!-P!JJ: generalde la ecuaciónes

b7. Como (29,38): 1, la sotución

r=2L+33/r U :57 - 29k,

4. 7 SI STEM ASDE CO NG RUEN C I ALSI N E A L E S

727

donde k es un entero arbitrario. Si queremos que z > 0 y y ) 0 tenemos

2 7 +3 3 k> 0 Luegok,

y

57-29 k > 0 .

y k < #. Losvalores enterosde k que cumplen ambas

#

condiciones son k:0

y k:

1.

Si k : 0 obtenemosr : 2I,U : 57. Si k : 1 obtenemosr : b4,U : 29. Por lo tanto el comerciante compró 21 lápicesy 57 borradores, o 54 lápices y 28 borradores.

4.7

Sistemasde congruenc¡aslineales

Los sistemasformados por varias congruenciaslinealesse resuelven en forma similar a la utilizada en álgebra elemental para resolver sistemas de ecuacio_ nes lineales. Nos vamos a limitar a estudiar el caso en que tenemos el mismo número de congruenciasy de incógnitas, donde todas las congruencias tienen el mismo módulo. El caso más frecuente se presenta cuando tenemos un sistema formado por dos congruencias con dos incógnitas de la forma ar t by: e(mod m) ' 'donde

cr * dy:

(4 . 1 )

/(mod m),

o,,b,c,d," y f son enterosarbitrarios y rn es un entero positivo.

El siguiente resultado nos presenta una condición suficiente para poder resolver un sistema de la forma anterior. 4.55 Teorema. ,9dlos enteros a,b,c,d,e,f y m sati,sfacen la cond,i,ci,ón (D,m):r, dondeD: ad,-bc, entoncesel sistemad,eLongruenci.as (1.1), tiene soluc,iónúni,camódulo m dada por

.

r : D'(de - bf) (mod m) -ce)(mod,m), A=n'@f

dondeDt es el,inuersode D mód,ulom.

L28

CAPITULO4. CONGRUENCIAS

Demostrac'ión. Multiplicando Ia primera congruencia del sistema por d y la segunda por b obtenemos adr * bdy = de (rnod rn) bcr I bda : bf (mod, m).

/ l.

Restando la segunda congruencia de Ia primera encontramos (ad - bc)r:

de - bf (mod m),

O SEA

Dr = de - bf (mod rn), p u e s t oqu e D:ad ,- bc. Multiplicando por el inversoD' de D módulo rn, obtenemos r:

D'(de- bf) (modm).

En forma siinilar podemosver que a = D ("f - ce)(mod m).

!

4.56 Ejemplo. Resolvamos el sistema

_ lL = ti" .,,,*_J

' Ilr * 8g = ? (mod 14) 3n*5y:8 (mod 14 ). Como 11 .5 8.3 : 31 y (31, 14) : 1, el sistematiene solución. En lugar de aplicar directamente las fórmulas obtenidas en el teorema, aplicamos el procedimiento utilizado en su demostración. Multiplicando Ia primera congruencia por 5 y Ia segunda por 8 tenemos 55r -f40A :15

(mod 14)

24r -l40y = 64 (mod 14). Restando la segunda congruencia de Ia primera nos queda 31r:

-49 (mod 14),

t

I29

4.7. SISTEMASDE CONGRUENCIAS LINEALES

y reduciendo módulo L4 obtenemos

.: :- a !

Br: T (mod 14).

'

')

'-'"

Multiplicando por 5 que es el inverso de 3 módulo 14 tenemos ,t :

5.3r:5.7

=_. . - l

(mod14),

r

o sea

r:7

(mod 1 ).

Similarmente si multiplicamos la primera congruencia por 3 y la segunda por 11 tenemos 33r -l24y : 9 (mod 14) 332 * 55y = 88 (mod 1a). Restando Ia primera congruencia de la segunda nos queda 3Ly:79(modL4), y reduciendo módulo 14 obtenemos 3y :9(modL4). Multiplicando por 5 que es el inverso de 3 módulo 14 tenemos 5.3y=

5.9 (mod 14),

o sea g:3

(mod 14).

Por lo tanto la solución del sistema esta dada por todas las parejas (2, g) que satisfacen r:T

(mod 14), y = B (mod 14).

La solución de sistemas de n congruencias cor' n incógnitas , se puede efectuar por eliminación sucesiva de las incógnitas, como en el caso de los sistemas de ecuacioneslineales. Sin embargo, esta teoría se pude tratar de una manera más adecuada utilizando el concepto de matrices. Un estudio detallado de estos temas se puede consultar en la referencia bibliográfr,ca fl1l.

. ,,

,

130

CAPI TULO 4. CO NG RUEN C I A S

Ejercicios 4.5 Resolvercada una de las congruenciassiguientes: 1 . 3n :15 ( m o d 18). 2. 24r: 62(mod110). 3. 16r = 43(mod71). 4 . 3 2 n : 64 ( m o d36). 5 . 5 r :8 ( m o d 30). 6. 70r: 30(mod 182). 7. 126r:38(mod 12575). 8. 425r = 846(mod863). 9. 723r: 318(mod146I). 10. 561¿= 407(mod901). Hallar la solucióngeneralde las ecuacionesdiofánticassiguientes: 11. 102I L4y: g. L 2 . I 8 r - 4 2 a :57 . 13. 209- l5r:

100.

14. I2r * 279: !,4. 15. 64r -f I3y : 907. 16. Un hombrecambióun chequepor cierta cantidad de dinero. El cajero /' equivocadamenteintercambio el número de peqoscon el número de

-

centavos.Al revisar la cantidad recibida el hombre observóque tenía el doble de la cantidad por la cual había girado el chequemas dos centavos.Por que valor fue girado el cheque?

131

4. 8. EL TEO REM ACHI NODEL R E S I D U O

17. Una señora compró 100 frutas poi' $5.000. Las ciruelas Ie costaron a $25',las manzanas a $150 y las pitahayas a $500. Cuántas frutas de cada clase compró? 18. La entrada a cierto museo vale $900 para adultos y $37b para niños. Cierto díd en que asistieron más adultos que niños se recaudaron $45.000. Cuántos adultos y cuántos niños asistieron al museo? 1üoú¿: Hay variaq respuestas posibles. Resolver cada unf de los siguientes sistemas de congruencias lineales:

19. 4r -l\y : 7 (mod 17) 7 r i 12 y:4

( mod17).

20. 7r -l Lly: 5 (mod 24) L6t * I\Y :16 (mod 24) . 2L.

r'_

(,,t a _t2 -\; /

r * 2y -l 16z: 4 (mod 19) n * 39 lz:11

(mod19)

2n -t 5y I l5z: 13 (mod 19) . 22. Consideremos el sistema de congruencias lineales ar * by -- e (mod rn) cr I dy: yseanD: o, e

cf

/ (mod rn), ab cd

:ad,-b9,

Dr:

eb fd

: e d -b f y D2 :

:a f- ec.

Probar que si (D,*) | Dt y (D,*) | D2, entoncesel sistemade tiene (D,^) solucionesincongruentes módulo rn.

4.8

El Teorema chino del res¡duo

vamos a estudiar cierta clase de sistemas de congruencias lineales, que fueron conocidos desde la antigüedad por los Chinos, y que nos servirán más adelante para resolver congruencias de grado mayor que uno.

r32

CAPiTULO4. CONGRUENCIAS

],1

4.57 Teorema (Teorema Chino flel residuo). Seanrr11,,12,...1rn.r en_ teros pos'itiuosprimos relat'iuosdos a dos, y seanartctr2t...rar enterosarb'itrarios. Entonces eI s,istemade congruenci,alzneales fr:

&r(mo d m 1 )

tr:

a 2 (m o d m 2 )

r:

a r(m o d mr),

tiene soluciónúni,camód,ulom : lIf,:t*¿. D e mo str ac,i ón Pa. ra ,i : L,2,...rr seaM¿ : (M¿,m¿): 1 paratodo i.

ffi

: lIt¡¡*¡'

Entonces

Por el Teorema 4.47 existen solucionesúnicas para las congruencialineales M¿r = l(mod rz¿), para i, : L,2r. . . )r. Es decir existen enterosbtrbz, . . . ,b, tales que Y:!rr=

1(mod m1), M2b2: l(mod m2),. . . , M,b,:

1(mod rn,).

Por lo tanto, M1b1a1: o1(mod m1),M2b2a2: a2(mod,mz),...,Mrbrar:

ar(mod,mr)

y si establecemos T

*o :

F-"

L

M¿b¿a¿,

tenemosque r0: a¿ (mod m¿) para todo i, puesto qlueM¿:0 (mod rn¡) para j f i'. En consecuencia,rg es una solución del sistema de congruencias. supongamos ahora que z1 y z0 son dos sslucionesdel sistema. Entonces frI : ai : rO (mod rni)) para'i: I,2,. ..,r y por el Corolario4.11 concluimosque 11= rs (mod zn) donde m: lIi:tm¿. Por consiguiente,la solución es única módulo rn. n

4.8. EL TEOREMACHINO DEL RESIDUO

4.58 Ejemplo.

133

Resolvamosel sistema fle congruenciaslineales r:2

(mod 3)

r:6

(mod 5)

r=7(mod7) l0 (mod 8).

r: En este caso tenemos: mL:3

Mt:280

ar:2,

TrL2:5

Mz:168

a2:6,'

rÍtg:7

Mt:L20

&J:7,

rn4:8

Mt:105

ú+: L0.

Debemos resolver las congruenciasM¿r: 1 (mod m¿), es decir las congruencias 280r = 1 (mod 3), 168r : 1 (mod 5), L20r : 1 (mod 7) y (mod 8)u.,.Laprimera congruenciase reduce a ü = 1 (mod 3), L05r':1 Iuego fu : 1. La segúndacongruenciase reduce a 3fr:1 (mod 5) y b2:2' la tercera se reduce a tr : 1 (mod 7) y bz: 1. Finalmente la cua,rta congruenciase reduce a tr:1 (mod 8) y ba : 1. Por Io tanto la solución deseadaes

,'0: t

: (280) (i) (7)+(105) (1)(10): 4466. (2)(6)+(120) (1x2)+(168) M¿b¿a¿

i:I

Esta solución es única módulo (3)(5)(7)(8) : 840, luego la menor solución del sistemaes 4466-(5)(840) : 266. EI método anterior no es el rnás práctico para resolver sistemas de congruencias, Ia manera más fácil de proceder es como sigue. Como r = 2 (mod 3), entoncesr:2 * 3a donde o es un entero. Sustituyendo en la segunda congruencia tenemos, 2I3a:

6(mod 5)

3a = 4(mod 5) 2La:28(mod 5) o : 3(mod.5).

:

134

CAPITULO4. CONGRUENCIAS

y r:2*3a: 2*3(3*5b) : 1141t, Si a:3 (mod 5), entonces¿:3fbb donde b es un entero. Sustituyendo en Ia tercera congruencia del sistema tenemos 11 + 15b: 7(mod 7) 15b: -4(mod 7) b: 3(mod 7). II + 15(3*7c):56+ 105c, Si b:3 (mod 7), entoncesb:3 *7cy r: donde c es un entero. Sustituyendo en la cuarta congruencia del sistema tenemos 56 + 105c: 10 (mod 8) 105c: -46(mod 8) c: Si c:2 (mod 8), entoncesc:2 donde d es un entero.

2(mod 8).

*8d y r:56

+ 105(2+8d) :266+840d,

Por lo t'anto la úolución del sistema es u : 266(mod 840). 4.59 Ejemplo. Una banda de 13 piratas encontró cierto número de monedas de oro. Al distribuirlas equitativamente les sobraron 8 mopedas. Debido a una fiebre murieron dos de los piratas y al hacer un nuevo reparto de monedas, les sobraron 3. Por peleas entre ellos murieron 3 más y en un último reparto Ie sobra¡on 5 monedas. Hallar el menor número de monedas' que encontraron. Soluci,ón. Representemos por z el número de monedas encontradas. Tenemos el sistema, r : 8(mod 13) r :3[mod 11) z:5(mod (mod 13), entoncesx:8 Como r:8 congruencia tenernos,

8).

* 134. Reemplazandoen la segunda

8 * 13¿= 3(mod 11) 13¿: -5(mod 11) o' ,2a: g(mod 11) ¿:3(mod 11).

4 . 8 EL TEO REM ACHI NODEL R E S I D U O

135

Como a : 3 (mod 11), entonces¿ : 3+1lb y tr : 8+13(3+11b) : 47+t+gb. Sustituyendo en Ia tercera congruencia tenemos 47 + l43b: t41b:

5(mod 8) -

2(mod Q)

7b: 6(mod 8) -b:6(mod b:

8)

-6(mod 8)

b: 2(mod 8). Como b: 2 (mod 8), entoncesb:2 * 8c y por Io tanto z :47 *I43b: 77 + L43(2 * 8c) : 333 + II44c. Luego el número mínimo de monedas que encontraron los piratas fue 333. El teorema siguiente es una generalizacióndel Teorema Chino del Residuo. su dernostración la dejamos como ejercicio. .1.60Teorerna. SeanrU)Tn2)...rffir enterospositiuosA seandrra2, .. .r&r enteros arb'itrari,os.Entonces el s'istemade congruenciasl,ineales, r = a L (mo d my ) n = a2(mod m2)

Í:

a r(m o d , m r),

tíene solución si, y solo si,

(*¿ ,*¡)l @¿ -o ¡\, paratodoi,j coni,+ j. Ademáscuand,o hay solución,estaes únicamódulol*t,*z,...,rnrf .

Ejercicios 4.6 Resolver los siguientessistemas de congruenciaslineales

136

CAPíTULO4. CONGRUENCIAS

1 . r : 2( m od 3 ) ,r : c(mod /J r:

5 ( m o d8 ) .

2 . r :3( m o d 5) z :6( m o d 7) z :4 ( m o d 9 ) z :8 ( m o d 1 1 ) . 3 . r : 2( m od 7 ) r : ' 6( m o d 9) r : 9(mod 14).

4. Hallar el menor entero positivo que deja restos 2, 7 y 10 cuando se divide por 3, 10 y 13.

5 . Un niño recogió en una piñata cierto número de dulces. AI contarlos de tres en tres le sobraron 2. Al contarlos de cuatro en cuatro le sobraron 3 y al contarlos de a cinco Ie sobró 1. Si el niño recogió menos de 20 dulces, ¿cuántos dulces recogió? o . Hay una pila de ladrillos. Si se divide la pila en dos partes sobra un

Iadrillo, si se divide en tres partes sobran 2 ladrillos, cuando se divide en 4 partes sobran 3 ladrillos, si se divide en doce partes sobran 11 ladrillos, pero cuando se divide en trece partes no sobran ladrillos. ¿Cuál es el menor número de ladrillos que puede haber en la pila?

7. Probar que para todo entero positivo n, existen z¿enteros consecutivos art a2¡ . . . , an tales que p¿ | a¿ donde p¿ representa el z ésimo primo. 8. Demostrar que para cada entero positivo n, se pueden encontrar n enteros consecutivosdivisibles por cuadrados perfectos.

DE G RADOS U P E R I O R 4 , 9. CO NG RUENCI AS

4,9

r37

Congruenciasde grado superior

Como una aplicación del teorema chino del residuo tenemos la siguiente simplificación para resolver congruenciaspolinómicas con módulo compuesto. . . . ,ffir enterospositi,uosprimos relattaos dos 4.61 Teorerna. Sean rrl1,TrL2, a dos y sea rn : IIT:tm¿. Entonces toda soluci'ón de la congruenci'apoli,nómzcaf (") =0 (modm) es una soluc'ióndel sistema de congruenc'ias, f (n) = 0 (mod m1) f (") = 0 (mod m2)

f (r) = 0 (mod,m,), y recíprocamente.Ad,ernássi N es el número d,esoluc'ionesd'e la "ongrr"nci,a f (n) : 0 (mod m) A N¿ es el núrnero de soluc'ionesde la congruencia entonces f (")=0 (modm¿) para'i:L,2,...,r, ll:l/rNz...^t.

Demostrac'ión.Supongamosque f (") = 0 (mod rn). Como m¿lm, tenemos que /(a) = 0 (mod m¿) pa.racadai,. Así, toda solución de /(r) : 0 (mod rn) es tambiéü solución del sistema. Supongamosahora que ¿ es una solución del sistema. Entonces /(a) : 0 (mod rn¿) para cada z y puesto que los m¿ soÍr primos relativos dos a dos, por el Corolario 4.11 tenemos que f (") = 0 (mod rn). Luego ¿ es solución de Ia congruencia f (") = 0 (mod rn), Supongamosque para cada i, : L,2,. . .,r ai, es una solución de Ia congruencia f (") = 0 (mod m¿). Por el Teorema Chino del residuo, existe un entero ¿ tal oue a:

a L (rn o d mr)

a ,: a 2 (m o d m2 )

a:

ar(mod,mr),

138

CAPI TULO4. CO NG RUE N C I A S

y ¿ es único módulo rn. Por Io tanto para cada i:

I,2,. .. ,r tenemos

f(")=f(o)=0(modrn¿), y por Ia primera parte del teorema, a es solución de la congruencia f (*) : 0 (mod rn). Como de esta forma podemos construir todas las solucionesde f (") = 0 (mod m), y podemos elegir a1 de l/r formas, a2 de N2 formas y así sucesivamente el número N de soluciones de la congruencia polinómica es precisamente N : NrN¿. .. ¡¡', como queríamos probar. .Si rn tiene la representacióncanónica

* :pl rptr...p7" , podemos tomar n'Li : pfu en el teorema anterior y vemos que el problema de resolver una congruencia polinómica con módulo compuesto, se reduce a resolver congruencias cuyos módulos son potencias de números primos. n 4.62 Ejernplo. Resolvamosla congruencia 3r2 + 4r * 5:

0 (mod 60).

Como 60 : 3 . 4. 5, resolvemosprimero cada una de las congruencias 3r2 + 4r * 5:

0 (mod 3)

3r2 + 4r * 5:

0 (mod 4)

3r2 + 4r * 5:

0 (mod 5).

Por verificación directa vemos que la solución de la primera congruenciaes 1, que las solucionesde la segundacongruenciason 1 y 3, y que las solucionesde Ia tercer congruenciason 0 y 2. Por lo tanto las solucionesde la congruencia original son las soluciones de los 4 sistemas r=l(mod3) r : 1(mod 4)

r=l(mod3) r : l(mod 4)

z:l(mod3) z :3(mod 4)

r:l(mod3) z :3(mod 4)

r=O(mod

r:2(mod5)

x=0(mod5)

r:2(mod5).

5)

Resolviendo cada uno de estos sistemas por el método de la sección anterior, encontramos que las solucionesbuscadasson 25, 37,55 y 7. El Teorema Chino del residuo y su generalización también nos ofrecen un métodorpara resolver sistemas arbitra,rios de congruenciassimultáneas.

4 . 9. CO NG RUENCI AS DE G RADOS U P E R I O R

139

EI método consiste en resolver por separado cada una de las congruencias del sistema y Iuego mediante utilización de estos teoremas construir las soluciones del sistema como en el caso previamente estudiado. Veamos unos ejemplos. 4.63 Ejemplo.

Resolver el sistema 2r = 5(mod 7) 2r:4(mod 6) z :6(mod 8).

Solución: Si resolvemos separadamente cada una de las congruencias del sisfema obtenemos 6 como solución de la primera congruencia,2 y 5 como soluciones incongruentes de la segunda congruencia y 6 como solueióf de la tercera. Consideremos ahora cada uno de los sistemas r :6(mod 7)

z = 6(mod 7) r:

2(mod 6) z :6(mod 8)

A

z:

5(mod 6)

r : 6(mod 8).

Por el Teorema 4.60 el primer sistema tiene solución y al resolverlo obtenemos Í :62 (mod 168). Por el mismo teorema el segundo sistema no tiene solución. Luego la única solucióndel sistema en consideraciónes r:62 (mod 168). 4.64 Ejernplo.

Resolvamos el sistema 2r2+32*1:0(mod5) 3r * 4:

0 (mod 14).

Por verificación directa tenemos que 2 y 4 son las soluciones incongruentes de Ia primera congruencia. Resolviendo la segunda congruencia, obtenemos 8 como solución. Consideremos ahora los sistemas e:

2(mod 5)

z = 8(mod 14)

z :4(mod 5) r :8(mod 14).

Resolviéndolos, obtenemos para el sistema original las soluciones 22 y 64 módulo 70.

t40

CAPI TULO 4 CO NG RUE N C I A S

Ejercicios 4.7 Resolver cada una de las congruenciassiguientes: I. 12 + Jr -t 2 = 0 (mod 1b). 2. 2r3 -f 3r2 I r *30 : 0 (mod 42). J. ra + 12 + 40: 0 (mod 105). Resolver cada uno de los sistemas de congruencias siguientes, ,

4.2r2+4r+4:0(mod5) 2rt6=0(mod11). -.-=) 5. 13 + :xt 2:0 (mod L0)./ 5q t- 2: 0 (mod 9) 6.

3r: 2r I2: 4r -l3:

5 (mod 8) 0 (mod 4) 0 (mod 7).

4.1-0 Congruenc¡ascon módulo una potencia de un prrmo Hemos visto que el problema de resolver la congruencia polinómica f (q) = 0 (mod rn) se reduce al problema de resolver el sistema de congruencias f (") = 0 (mod pf") Q,: I,2,. . . ,r), donde la representacióncanónica de rL es rn : IIT¿p|, . veremos ahora que el problema puede reducirse aun más, a la solución de congruencias con módulo primo, junto con Ia solución de algunas congruencias lineales. Empezamos con un resultado preliminar

CON MÓDULO UNA POTENCIADE UN PRIMO 4.10. CONGRUENCIAS

147

4.65 Lema. Sl, f (n) es un polinom'io con coefici,entesenteros entonces f (a + h) : f (a) + hft (a) + h2q dondea,h U q son enteros,A f'(a) es la deriuadade f (r) eaaluadaena. Demostración. Supongarnos que

.

f (*):i"rrr. ft:0

Entonces, T¿

f ("+ h) : t

c¡,(a+h)k

k:0 T¿

= co + c1(a* h) + t

c¡(a -f h)k

k:2

=co+ c1(a -rD *L"r(f, (X)*-t nt, 'lI

= co+ c1(a*h) + t

¿

c¡(ak+ kak-rh + hzqrc)

k:2

donde

rrr qk: 3 L l\ ) ak-ini-z, j-2 '" ',

en un entero. Por lo tanto

f (a+ h):iq"ak + nf t "oor-r+ h2i"uno k--I k--2 &:0 : f(o)+hft(a)*h2q, n

donde g es un entero. Consideremos ahora Ia congruencia polinómica f (") = 0 (mod po) donde a)

2.

(4.2)

142

CAPÍ TULO4. CO NG RUEN C I A S

Supongamosque o es una solución de la congruencia (4.1) tal que e 1a 1pd. Esta solución también satisfacela congruencia

Í@ )=0(mod p"-\.

(4.3)

Si dividimos a por po-l podemos escribir a:qpo

r

+r, con01r<po-[.

como r = a (mod p'-1), entoncesr es también solución de la congruencia (4.2). Decimos que Ia solución r es generada por Ia solución ¿. Hemos visto que toda solución a de Ia congruencia (4.1) en el intervalo ( 0 ¿ ( po genera una solución r de la congruencia (4.2) en el intervalo 01r 1po-l. supongamos ahora que empezamos con una solución r de la congruencia (a.\ en el intervalo 0 ( r ( po-r y nos preguntamos si es posible encontrar una solución a de la congruencia (4.1) en el intervalo 0 ( a 1 po, que genere a r. Cuando esto es posible decimos que r se puede levantar de po-| a po. El teorema siguiente nos indica que la posibilidad de levantar r de po-7 a po depende de /(r) módulo po y de //(r) módulo p. 4.66 Teorerna. supongarnos que a > z. a que r es una solución de ra congTuencza f (") = 0 (mod po-r ) tal queO ( r < po-r. Tenemos: 1. Si, ft(r) I 0 (rnod p), r puede leuantarse de manera úni,ca de po-r a po, €s decir eriste un único entero a en el interualo 0 ( ¿ 1 pa que genera ar y sati,sfacela congruenu,a f (") = 0 (mod p').

2. Si,f'(r):0

(modp) y f (r):0 a po de p formas d'iferentes.

a

Si ft(r):0 po-r a po.

(modp) a f ?) l0

(modpo).r puedeleuantarse dep"-r

(modpo), r no pued,eleuantarsed,e

4 .10 . CONG RUENCI AS CO N M óDULO UNA P O T E N C I AD E U N P R I M O

Demostrac'ión. Aplicando el lema corr a entero que vamos a determinan, tenemos

r y h :

143

tpo-r donde ú es un

f (, + tpo-L) : f (r) + tpo-| f' (r) + trpro-t q = f (r) + tp"-' /'(r) (mod p'), ya que 2a - 2 ) a puesto que a ) 2. Como r es solución de Ia congruencia f(") = 0 (mod po-r), podemos escribir f(r) : kpa-| y la congruencia se convierte en f (, + tpo-r) : (k + tf' (r)) po-r (mod p"), o sea r/,(r)) po-1 (mod po), f (, +tpo-r) = (9+ \Po-' / Por lo tanto el número a: r I tpo-1 es solución de la congruencia f (") = 0 (mod po) si y solo si ú es solución de la congruencia lineal

(4.4) Si //(r) I 0 (mod p), por el Teorema 4.47la congruencia (4.3) tiene solución (tnica t módulo p y si escogemosú tal que 0 < ú < p entonces el número a es una solución de /(r) : 0 (mod fi') tal que 0 ( a 1 po. Esto demuestra la parte 1. Si /'(r) = 0 (mod p), la congruencia (4.3) tiene solución si y solo si = 0 (mod p'). (r) f Si /(r) : 0 (mod po) los p valorest:0,I,...,p - 1 dan origen a p soluciones¿ de lacongruenciaf(")= 0 (modpo) quegeneranarytales que 0 ( a < po. Esto demuestra la parte 2. Si /(r) I 0 (mod p*) la congruencia (4.3) no tiene solución y no se pueden encontrar ningún valor de ú que conviertaaa en solución de /(z) : 0 (mod po), quedando así demostrado 3 y el teorema. ! EI teorema anterior proporciona un método para resolver congruencias polinómicas con módulo una potencia de un primo, reduciendo el problema

744

CAPíTULO4, CONGRUENCIAS

a la solución de congruencias de la forma f (") = 0 (mod p). A partir de Ias soluciones de esta última congruencia, construimos como se indica en la demostración del teorema las soluciones de Ia congruencia Í@)=0(modp2). Luego, a partir de las soluciones de esta congruencia construimos las soluciones de la congruencia f (") = 0 (mod p3), y así sucesivamente. 4.67 Ejernplo.

Usemos el teorema anterior para resolver la congruencia 7ra+lgr*25:O(mod27).

En este caso /(z) : 7r4 * L9r * 25 y f'(r)

: 2813+ 79.

1. Comenzamosresolviendo la congruencia Í@) = 0 (mod 3). Por verificación directa vemos que su única solución es r : l. 2. Pala encontrar las solucionesde /(r) :0 (mod 9) usamos el teorema COrIP:3,¿y:2yr:I. - 1+3ú es soluciónde f (n):0 (mod 9) si EI número a:r+tpa-r ú es solución de la congruencia lineal

tf'(r) + pory:t " '

p). o (mod

Como/(1) :51 y //(1) :47,Ia congruencia anteriortoma Ia forma 47t+ 17: 0 (mod3) Resolviéndolatenemos 2t + 2: 0 (mod3) 2t: -2(mod 3 ) -¿:

-2(mod 3 )

ú: 2(mod3) Luegoa : L *(3)(2) : 7 es la soluciónde /(r) : 0 (mod 9).

4.10. CONGRUENCIAS CON MODULO UNA POTENCIADE UN PRIMO

L45

3. Para encontrar las soluciones de /(z) = 0 (mod 2z) aplicamos nuevamente el teoremacon p : Sra,:3 y r :7. Tenemos que ¿ :7 i ú(32) es solución de Ia congruencia f(r) = 0 (mod 27) si ú es solución de la congruencia lineal

tf' (7)+ f (Dft2 : 0 (mod3). Como Í Q) : 16965 y Í'3) : 9623,la congruencia lineal se convierte en 9623t+1885:0 (mod3) Resolviendo tenemos, 2t + l:

0 (mod 3)

2t:

-I

-t:

-L (mod 3)

(mod 3)

ú: 1 (mod 3) Por lo tanto la solución de la congruencia f (") = 0 (mod 2T) es a:7 t (1)(32):16. Veamos otro ejemplo. 4.68 Ejemplo.

Resolvamosla congruencia n2 *2r

En este caso/(r) : x2 I2x i 2 y f'(r) :2r

12 : 0 (mod 2b).

t 2.

L. Por verificación directa vemos que las solucionesde n2 + 2n l2 (mod 5) son 1 y 2.

: 0

2. Aplicandoel teoremaconp:5,d:2y r: l tenemosque ¿:1*úb es una solución de /(z) : 0 (mod 25) si ú es solución de la congruencia

tf' (I) + f (I) 15: 0 (modb). Como /(1) : 5 V f 'Q) : 4 esta congruencia toma la forma 4t + I:

0 (mod 5)

Resolviéndola tenemos 4ú = -l(mod -ú:

5)

-l(mod 5)

ú: 1(mod 5).

r46

CAPíTULO4. CONGRUENCIAS

Por lo tanto una soluciónde /(r) : 0 (mod 25) es a:

I i-1(5) : 6.

Aplicando ahora el teorema corrp : 5,d - 2 y r : 2, tenemos que a:2* ú5 es soluciónde f (r)= 0 (mod 25) si ú es soluciónde

tf' (2) + f (2)15 : 0 (mod5). Como f (2) : r0 y ft(2):

6, estacongruenciase convierteen 6t + 2: 0 (mod5 ).

Resolviéndola 6ú: -2(mod 5) t = -2: 3(mod5 ). L ue g oo tr aso lución (mod 25) e s a : 2 + 3 (5 ) : 1 7 . E n de /(r):0 total las solucionesincongruentes de 12 * 2r i 2 : 0 (mod 25) son 6 v 17 .

Ejercicios 4.8

Resolvercada una de las congruenciassiguientes: 1. 2r3 I I2r2 -l gr -t 90 : 0 (mod 125). 2. 6ra * 7r3 i 2Ir * 16 : 0 (mod 2b). 3. 2r3 I 12 - Tr * B: 0 (mod2Z). 4. 13 + 12 - 5: 0 (mod843). 5 . r s + 1 2 - r + 15 : 0(mod 200).

4,IT

TEOREMASDE LAGRANGEY WILSON

L47

4.11 Teoremasde Lagrangey Wilson En la sección anterior vimos que el problema de resolver una congruencia polinómica de Ia forma f (") = 0 (mod po), con p primo, se reduce en últimas a resolver la congruencia f (r) = 0 (mod p) Veamos ahora algunas propiedades de estas congruencias. Una primera simplificación nos indica que el polinomio /(r) puede remplazarsepor un polinomio de grado a lo miís p - l, de acuerdo con el teorema siguiente. 4.69 Teorema. ,52el grad,on de f (r) es rnayor o i,gualap, entonceseriste un poli,nomi,or(r) de grado a lo más p-L, d,etal fortna que r(r) = 0 (mod p) A f @) :0 (mod p) ti,enen las mismas soluc'iones. Demostraci,ón. Diviendo f (r) por rp - z obtenemospolinomios q(z) y r(r) con coeficientesenteros y con r(c) de grado a lo más p-1, tales que f (r) : q(r)(rP - r) + r(n). Por el Teorema de Fermat, se tiene qlueap : o (mod p), para todo entero a. Por lo tanto se sigue que f (") = r(a)(mod p), para todo entero ¿. En consecuencia,f (") = 0 (mod p) si y solo si r(a) = 0 (mod p), y las congruencias/(z) = 0 (mod p) y r(n) : 0 (mod p) tienen las mismas soluciones. ¡ 4.7O Ejernplo.

Reduzcamos Ia congruencia gzlo + 2re - 4¡.6- n5 + 2r2 - ü :0

(mod b),

a una congruencia polinómica equivalente de grado a lo más 4. Dividiendo el polinomio dado por z5 - r tenemos,

148

CAPíTULO 4. CONGRUENCIAS

3r1o+ 2rs - 416- rB 2r2 _ + r r5-r -3e10

* SrG

3r5¡2ra -r* 7

2ns- *e -# +2 r2 -r -2rs

I 2r5

-¿6+*5+2r2-, *16

- 12

1 5 + 1 2 -r

-r:

----t

s-

*n2

como el residuo es r2,la congruencia dada es equivalente

a la congruencia

12 =0(mod b).

congruentes no sobrepasa el grado de siguiente. 4.71 Teorema (Teorema de Lagrange). ^gzp es un número primo y f (r): aoiarr*...f u, pltiromio d"e giad,on) I con coefic,ientes ?,!" ", enteros y tal que an 0 (mod,p), # potinómi,ca ""t1,"""r"ti"":;;";;, f (") = 0 (mod p) t'iene a Io mds n soluciones ,incongruentes mód,ulop.

sobre ergrado n der(r) 3:::;:':':i, ,1""3i1T"'i:;T;i#iinducción ao I atr:

;3,Tff"O.!T"iuf]

0 (mod p),

, o* el Teorema 4.47,estacongruencia rieneexacra_

Y WI L S O N 4 . 11. TEO REM ASDE LAG RANG E

t49

Supongamos que el teorema es cierto para polinomios de grado n - L. Consideremosun polinomio /(z) de grado n y escojamosuna solución ¿ de Ia congruencia f (r): 0 (mod p). Podemos escribir

f(r):(r-a )s(r)+r, con r constante y g(r) un polinomio de grado n - 1 con coeficientesenteros y coeficienteprincipal a,r. r y como f(") = 0 (modp), De Iaecuación anterior tenemosf(o): entoncesr : 0 (mod p) y para todo z tenemos que

f (r) = (r - a)g(r)(modp).

(4.5)

Por la hipótesis de inducción de inducción la congruencia g(r): 0 (mod p) I soluciones incongruentes. Supongamos que ellas son tiene a lo más n crt... j cr corLr 1n-L. Si c es un número tal que f(") = 0 (modp), entoncesde @.a) (c - a)s(c): 0 (mod p), así que c:

a(mod p),

o g(c)=0(modp). Enelúltimocaso c: ci paraalgúni con 1 1i 1r ylacongruencia/(r):0 (mod p) tiene a Io más r * L 1n soluciones. Luego el teorema es verdadero por el principio de inducción matemática. n 4.72 Corolario. S¡,f (r): a0 * a1r *--.i anr' es un pol'inom'iode grado n con coefici,entesenteros, y si la congruenc'ia f (") = 0 (mod p), con p primo, t'iene mds de n soluc'iones,entonces todos los coefic'ientesde por p. f (r) son di,ui,si,bles Demostrac'i,ón.Supongamosque no todos los coeficientesson divisibles por p. Sea k el mayor índice tal que p I an. Luego k 1n y la congruencia f (") = 0 (mod p) se reduce a

aoI arr+ ... + ann! =0 (mo dp ).

150

CAPITULO4. CONGRUENCIAS

Como esta última congruencia tiene más de k soluciones, se contradice el Teorema de Lagrange. Por lo tanto todos los coeficientes de f (r) deben ser divisibles por p. n Otro corolario importante del Teorema de Lagrange es el Teorema de Wilson que proporciona una condición necesaria para que un número sea primo. 4.73 Teorema (Teorema de Wilson). que (p-1)!*1:0

Para tod,onúmero prtmo p se t'iene (modp).

Demostrac'ión. Consideremosel polinomio de grado p - 2 defrnido por f (*):

(r - 1)(z -2)...(*

-p+

1) - @e-r -I).

Por el Teorema de Fermat, cada uno de los números 7,2,. ..,p - L es una solución de la congruencia f (") = 0 (mod p). Por el corolario anterior los coeficientesde /(z) son divisibles por p, en particular el término constante /(0) : (-r)o-r(p - 1)!+ 1, es divisible por p, o sea (-t)o-t(p - 1)! + 1 :0 Si p es impar (-f;o-t en cualquier caso

: 1, y sip: (p-t)!

(mod p).

2, (-t1n-r:

f1:0(modp).

-1 : 1 (mod p). Luego n

El reciproco del Teorema de Wilson también es cierto y dejamos su demostración como ejercicio. 4.74 Ejernplo. Seap un número primo y a,b enterosno negativos tales que a I b : p - L. Veamosque a!b! = (-t¡a+t (mod p). Tenemos p-7=-1(modp) p- 2

-2(mod p) .=

p-b=-b(modp).

4.11. TEOREMASDE LAGRANGE Y WILSON

15i

por lo tanto

( p_ t)(p_ 2 )...@ _ u ¡: ( m odp) . 1_r ¡ ba! Multiplicandopor lp - (b+ 1)J!: a!, nos queda (p - t)t: (-r)ba!b!(modp), que por el Teorema de Wilson se convierte en -r : (-1)batb! (mod p), multiplicando por (-1)ó obtenemos finalmente (-r¡u*t

:

atb!(mod p).

Ejercicios 4.9

En los ejercicio 1 y 2.reducir ra congruencia polinómica a una congruencia de grado menor que el módulo. I.

4r8l

Jr6* 3zEi Sra ¡ 4n2 + r = O(mod b).

2. 4rr2 *6110*bz8 *6rat5rB*5:0 3. Demostrar que si (an,p):

(mod 7).

1, la congruencia polinómica

ao * atr +...+

anrn :0 (mod p),

es equivalente a una congruencia polinómica de grado n con coeficiente principal igual a 1. 4. Demostrar el recíproco del Teorema de Wilson.

r52

CAPíTULO4. CONGRUENCIAS

5. Demostrar eI Teorema de Wilson pata p ) 5 considerando los pares de números k, j de la sucesión 2,3, . . . ,p - 2 que satisfacen la condición kj=L(modp) . Sugerencia.'Demostrar que para todo k en dicha sucesiónla congruencia kr: 1 (mod p) tiene exactamente una solución incongruente j en la sucesión. 6. Si p es un primo probar que . (p - t)! - p-

t

/ ,(p-t)p\ mod t-;-" (

7. Si p es un primo impar tal que p : n2 : -l (mod p) tiene solución.

)

1 (mod 4), probar que

Sugerencia: Use eI resultado del último ejemplo. 8. Demostrar que si p es primo V d | (p - 1) entonces la congruencia rd = I (mod p) tiene exactamente d soluciones incongruentes.

cAPíruLo 5

Resid uoscuadráticos

En este capítulo estudiaremos las congruencias de segundo grado con módulo primo, analizaremosla noción de residuo cuadrático y demostraremosIa conocida ley de Ia reciprocidad cuadrática de Gauss. También estudiaremos las nociones de orden módulo un entero positivo y de raiz primitiva. Finalmente ilustraremos como se puede deducir resultados importantes de teoría de números utilizando nociones de Algebra Abstracta.

5.1

de segundogrado con módulo primo Congruenc¡as

Vimos en el capítulo anterior que la solución de congruencias polinómicas se reduce a la solución de congruencias con módulo primo; por tal razón en el estudio que vamos a realizar de las congruencias de segundo grado o cuadráticas, nos limitaremos al caso en que el módulo es un número primo. Una congruencia cuadrótica con módulo primo p tiene la forma, o*2 + br I c:

0 (mod p), con (a,p) : 7

153

(5 . 1 )

r54

CAPíTULO5. RESIDUOSCUADRÁTICOS

Si p : 2, la congruencia toma alguna de Ias formas, 12 + L:

12= 0( m o d 2 ), 12 + r : 0

(m o d 2 ),

0 (mod 2),

,2+r*1:o(mod2),

y la solución de cada una de estas congruenciasse puede encontrar inmediatamente por inspección. Supondremos por Io tanto que p es un primo impar. Puesto qre (4a,p) : 1, la congruencia (5.1) es equivalente con Ia congruencia 4a2r2* 4abr l4ac: 0 (mod p) y por Io tanto con la congruencia (2ar * b)2 : b2 - Aac(mod P). Hagamosb2-4ac: dy X:2arlb. congruencia anterior en la forma

Entoncespodemosescribirla

X2 : d,(modp).

(5 . 2 )

Si Ia congruencia (5.2) no tiene solución, la congruencia (5.1) tampoco tiene solución. Si z es una solución de la congruencia (5.2), es decir si z satisface u2 : d (mod p) entonces el entero ,t0 que es una solución de la congruencia lineal (5.3) 2ar I b: z (mod p) es una solución de la congruencia (5.1). Recíprocamente, si zs es una sG Iución de la congruencia (5.1), entonces 2ars I b : z (mod p) donde z es una solución de la congruencia (5.2). Como la congruencialineal (5.3) tiene exactamente una solución para cada valor de z en virtud del Teorema4.47, vemos que hay una correspondenciabiyectiva entre las solucionesde (5.1) y las solucionesde (5.2). Por Io tanto el problema de resolver congruenciasde grado dos se reduce aI problema de resolver congruencias de Ia forma 12 : o(mod p). Por el Teorema de Lagrange, la congruencia anterior tiene a Io más dos soluciones incongruentes módulo p. Además, si rs es una solución de la congruencia, entonces la otra solución es p - r0 ya que

(p- ,ú':

rfr(modp).

DE SEG UNDOG RADOC O N M Ó D U L OP R I M O 5 .1. CONGRUENCI AS

5.1 Ejemplo.

155

Resolvamosla congruencia cuadrática 5r2 - 6r * 2:

0 (mod 13).

La congruencia dada es equivalente a la congruencia 40 : 0 (mod L3),

L00r2 - r20rf es decir a Ia congruencia (10r - 6)' :

-

(mod 13).

Si hacemosX : l0r - 6, tenemos la congruencia X2:

-A(mod 13).

Por verificación directa, encontramos que 3 y 13 - 3 : 10 son las soluciones de esta congruencia. Ahora, resolvemos las congruencias I0r -6 : 3(mod 13)

y

I0r -6 : l-0 (mod 13).

Tenemos y

IDn-6:3(mod13) 70r :9 (mod 13) -3r :9 (mod 13) r:

t}r-$-10(mod13) 10r : 16 (mod 13) 5r : 8 (mod 13) -8r :8 (mod 13)

-r:3

(mod 13)

-3:

10 (mod 13) r:

-r:

L (mod 13)

-1:

12 (mod 13).

Por Io tanto las soluciones de las congruencias dadas son u : 10 (mod 13) y r = 12 (mod 13). Continuando con el estudio de la congruencia de la forma 12 : a(mod p), observamos primero que si a : 0 (mod p), esta congruencia tiene como única solución, la solución trivial r :0; por tal razón nos interesamosúnicamente en el casoen que a I 0 (mod p). Si la congruenciatiene solución deberíamos decir que el número ¿ es un cuadrado módulo p, pero históricamente se ha dicho es que el número ¿ es un residuo cuadrático módulo p. Establezcamos de manera precisa Ia definición.

15 6

CAPITULO5. RESIDUOSCUADRATICOS

5.2 Definición. la congruencia

Seap un primo impar y o un entero tal que (¿,p) : 1. Si ,2 : a(mod p)

tiene solución, decimos que ¿ es w res,iduocuadráti,comódttlo p. 5.3 Ejemplo. Como Ios residuos cuadráticos módulo p, son precisamente los cuadradosmódulo p, vemos que si p :7,los residuoscuadráticos módulo 7 son 1, 4y 2yaqte, 12:62:1(mod

22:52:4(mod

Z),

En general si (a,p) : cuadrático módulo p.

7)

y

82:42:2(mod

Z).

1, se sigue de la definición que ¿2 es un residuo

Para facilitar el estudio de los residuoscuadráticos introducimos eI símbolo d,eLegendremediante la definición siguiente 5.4 Definición. Si p es un primo impar y (a,p): de Legendre (alp) mediante las ecuaciones

t

1, definimosel símbolo

si ¿ es un residuocuadrático módulo p

, | \ I lalpl : I |.-1

si a no es un residuo cuadrático módulo p

El símbolo de Legendre se representa con frecuencia por la notación 5.5 Ejemplo.

1. (117): (217): (417): L.

2. (3 1 7 ) :( 5 1 7:) (6 1 7-) -1 . 3. Si (a,p) :1

entonces(a2lp):1.

En particular (1lp):1.

5.6 Teorema. Sea p un primo irnpar. Entonces, Si,(a,p):

(b,p) - | y a=b p|

2. Hay eractament;e

(mod,p) entonces("lp):

(blp).

,"rmuos cuad,rtíticosmód,ulop incongruentes.

Demostración. I Es evidente. Además por 1, para determinar los residuos cuadráticos incongruentes nos podemos limitar al conjunto 1,2,. . . ,p - I. La demostración de 2 consiste en probar que cada residuo cuadrático en el

DE SEG UNDOG RADOCO N M O D U L O P R I M O 5 .1. CONGRU ENCI AS

r57

conjunto 7,2, . . . ,p - I es congruente módulo p con exactamente uno de los números _) 12.22.22.....(e=\'. _1_, . . . , \ 2 )

Primero que todo observamos que los números en la colección anterior son todos diferentes módulo p. En efecto, si 12 : 92 (mod p) con 7 < r 1 |, 11A
@-a )@+y)= o (mo dp) y por Io tanto, r-A=

0 (modp) ,o,

x)+y=

0 (modp),

pero como p > r I y, la segunda probabilidad no se presenta y en consecuencia r=A(modp). Además, como (P - k)' : k2 (mod P), los cuadrados de los números lr2r..

,on congruentescon los cuadra-

-1. P; Io tanto todo residuo cuadrático dos de los número " +,...,p en L,2,. . .,p - 1 es con-gruentemódulo p a exactamente uno de los números / P - r\2 completala demostración. en la colección 12,22 (', ),r"que "...' EI Teorema de Fermat nos dice que si (o,p) :1 entoncestenemos oP-r : 1 (mod p), o sea av-r - 1:0 (mod p). Como

aP-t- L: ("+ - r) ("+ * t) , tenemos que o*

: t1(mod p).

tr EI criterio siguiente debido a Euler, nos dice que el valor obtenido en la congruencia anterior es 1 cuando (olp) :1 y es -1 cuando (olp) : -t.

15 8

CAPíTULO 5. RESIDUoS CUADRÁTIcos

5.7 Teorema (Criterio entonces

de Euler).

Si,p es un primo i,mpar y (a,p) : I,

p- l

/ | \ a 2 : (alp) (mod p).

Demostrac'ión. Acabamos de ver que todo entero a satisface alguna de las congruencias ñ- l

a-2 :1(mod

p)

o,

on] : -1(mod p).

Además no puede satisfacer simultáneamente las dos, pues en tal caso se tendría que p I 2, lo cual es imposible ya que p es un primo impar. Si (alp) :

1, entonces existe un& zs tal que ,3 : o (mod p) y por lo

ta nt o

p- t

a2

,

c,p - |

=\16)'

-r'o

n - -':l(modp), l

Iuego en este caso tenemos qr" o# = @lp) (mod p). El razonamiento anterior también nos muestra que todo residuo cuadrático módulo p es solución de la congruencia ,#

:1(mod

p),

y por el Teorema de Lagrange, concluimos que fo,

resid.uoscuadráticos # son precisamentetodas las solucionesde esta congrlencia. Por Io tanto, si un número ¿ no es residuo cuadrático, es decir si (alp) - -1, entonces ¿ satisfaceIa congruencia

o#

: -1 (modp),

y tambiénen estecasotenemosque o#

: (alp)(mod p)

n

En el teorema siguiente,resumimos las propiedadesprincipales del símbolo de Legendre. 5.8 Teorema. Seap un primo i,mpar A sean a y b enteros primos relat'iuos con p. Entonces:

f.

6)

S'ia : b (mod p) entonces("lp) : (blp).

(o'lp): t'

DE SEGUNDOGRADOCON MÓDULO PRIMO 5.1. CONGRUENCIAS

159

s. (tlP):1' p). 4. @lp)= oE @od, s. (ald@le¡:@blp). o. (-tlp): (-1)¿+. Demostración. I es la parte 1 del Teorema 5.6, 2 y 3 son evidentes, 4 es el criterio de Euler. Una prueba de 5 es Ia siguiente: aplicando el criterio de Euler tenemos

("lp)(blp): o#64

: @b)# : @blp)(modp),

y como("lp)(blp) - *1, ("blp): +1 y p > 2 sesigueque (alp)(blp): ("blp). Finalmente6 se deducede 4 cuandoa: -1. ! 5.9 Corolario. Si p es un primo impar tal que(o,p) : L y la representac'ión canón'icade a comoproductode primos es a:lIf:tpi', entonces k

/ ^. \ on

(otp):Il? Demostrac'ión. El resultado es consecuenciadirecta de la propiedad 5 del teorema. n

Ejercicios 5.L 1. Resolver cada una de las siguientes congruencias: (a) 5r2 Irl-1=0(mod11). (b) 6z'2I7r - 15 : 0 (mod 23). (c) 4r2 * 4r i 18 : 0 (mod 19). (d) 3r2 - 4r * 10 : 0 (mod 13).

CAPíTULO5. RESIDUOSCUADRÁTICOS

160

(e) 3r2 * 9r * 20 : 0 (mod 28)'

2 . Hallar todos los residuos cuadráticos módulo 13' 3 . Hallar (alp) cuandoa:

+1,+2,t3

Y P:

11'

que (a'p) : (b'p):L' 4. Seapunprimo impar y seanay benterostales probar que si las coojrrrencias z2 = o (mod p) y n2 = b (mod p) no p) tiene solución tienen solución, entonJes la congruencia'.2 = ab (mod (mod )' Probar que ¿-es un residuo 5. Seap un primo tal que p=L cuadráticomódulopsiysolosip_aesunresiduocuadráticomódulo pque o'.es un residuo 6. Sea p un primo tal que p = 3 (mod )' Probar cuadráticomódulopsiysolosop_0noesresiduocuadráticomódulo p' :1' Probar que Ia congruencia 7. Sea p un primo impar tal que (o,p) ninguna soluciones'según o una ax2 { br * c= 0 (mod p) tiett"'dos, ceto' o no sea que b2 -4acseaun residuo cuadrático, sea congruente a un residuo cuadrático módulo P' : p) tiene solución si y solo 8. Probar que Ia congruencia 12 + 1 0 (mod si p es un primo de Ia forma 4m l l' 4m * l' 9. Probar que hay infinitos primos de Ia forma finlto pt,pz, "', Pk de Sugerenci,a:Suponer que solo hay un número : ap?pZ "'P2¡ * L y primos de esta forma, considerar el número ¡V aplicar el ejercicio 8. Probar que para todo entero positivo n' la 10. ^" Sea p un primo impar. según *, : p lmod p') tiene dos o ninguna soluciones, ;;;ó" el usar " "iu p' Sugerenc'i'a: a, sea o no sea un residuo cuadrático módulo Teorema 4.64.

5.2

Ley de la reciprocidadcuadrática

notable que propolclona La ley de la reciprocidad cuadrática es un resultado cuadrático de un número' un método practico para determinar el carácter

161

5.2. LEY DE LA RECIPROCIDAD CUADRATICA

Esta ley fue establecida por primera vez por Euler en una forma muy com-' plicada y redescubierta por Legendre, quien Ia demostró parcialmente en 1785. Gauss descubrió esta ley independientementea Ia edad de 18 años en 1796, y presentó su primera demostración completa. Empezaremos desarrollando unos resultados preliminares. 5.1-OTeorema (Lema de Gauss) . Seap un primo i,mpar A seaa un entero tal que (a,p) : L. Sea S el conjunto formado por los nxenoresres'iduos , posi,ti,uosmódulo p de los números

o ,r2 a r3 a r...,

p-I

z o'

que son nlayores que E, entonces Si, k representa eI número de resi,d,uos

(olp): (-1)k

Demostrac'íór¿.Definimos ú por k+t: E V representemosIos elementos de,S por a\,d2,...,&t,bt,bz,...,bk donde ooaE paracada i,y b¡> Epuru cada j. Veamos primero dos observaciones.La primera es que todos los elementos de ,S son incongruentesmódulo p y por lo tanto diferentes. En efecto, si mtf mzV rnta:TrL2a (modp) entoncespl(mt-*z)o y como (a,p):l entoncesp | (mt - *r)

lo cual es imposible porque Q 1 m7t *,

= #.

La segunda es que a¿ f p - b¡ paratodo z y todo j. Er, .i "f"]to, aá : p- b¡ entonces ¿¿* b¡ = 0 (mod p), y como o,¿: rnia) b¡ : m¡a para ciertos enteros mi y rnj con rrli I mj, entonces tendríamos m¿a * rm¡a : 0 (modp). Luegopl(m¿+n'Lj)a ycomo (o,p):7,p1(*¿+*¡) lo quees imposible porque 2 1m¿ -l m¡ S p - 7. (psetieneque


laUt

0
b2,...,p-bk, ar,a2,...,o4 son todos diferentes,luegoellosson simplemente

L62

CAPíTULO5. RESIDUOSCUADRÁTICOS

los números L,2,. . . ,o ;'

r. 2. .

en algún orden. por lo tanto tenemos,

: r, - b)(p- bz)... (p- b¡,)ap2... at(mod p)

+

: (-b1)(-óz) ' ' '(-b*)arú2. ..a¿ (mod p) :

. . a,¿(mod p), 1-t¡fró1b2..' b¡ra1a2.

y como

bú2"'bnat"' at : 7' 2 " +

.o#,

tenemos P- I tt: 2

P t! r--, (_ 1 ¡k P - I,^ .., ,o 2 (mod p), \-rl 2

multiplicando por (-1)k y canceland" +l (-1)k : o*

obtenemos

(mod p),

que por el criterio de Euler se puede escribir en la forma (-1)k = @lp) (mod p). como (-1)k v @lp) toman solo los valores t1, se sigue de ra congruencia anterior que (olp) : (-1)k, como queríamos probar.

!

5.11- Teorerna. Seap un primo i,mpar A sea a un entero tal que (a,p) : I. Sea

M :lll + 14]+ .+ fl tp-p tl,1 Lpl tp)

12

l'

entonces 1. Si.a es 'impar,(olp) : (-DM . .

o2-t

2. (Zlp) : (- 1)'T- . Demostración. sean r'r¡r2,...,r4 p de los números

los menores residuos positivos mód.,¡lo

ar2ar3a,...,O =r'o.

5.2. LEY DE LA RECIPROCIDAD CUADRÁTICA

Por el Teorema3.2 -parte j-

163

tenemos

a: plafpl + 11, 2a p[2afp] + rz, .:

p-r

ft b-L\af 2 o: o lt--;l+'+'

Sumando estas ecuaciones y teniendo en cuenta que

P2- L L +2 +3 +.. .+P -r 2 -g ' obtenemos t

,'

:

o : pM*rr

ó2

+ rz t...

I

re-t.

Con las notaciones del lema de Gauss podemos escribir la ecuación anterior en la forma P ' 2 -L

* jurt"

/ . \ , /, a :pMr¡, * ( ar+azt"'¡or)+(br+bz-1" ' + b * ).

(5 . 4 )

De otra lri-os en la demostracióndel lema de Gaussque los números p - b t , ...,p - bk, a t,...,at son simplemente lo s n ú me ro sI , 2 , . . . , # "o algún orden, por lo tanto

: k p-ór.-.. . _ b x + a t r . . . * a t

. ++

L +2 + o sea

kp_ b1-...-bx+at*...*at.

'=:8

(b.b)

Restando (5.5) de (5.4) obtenemos o'

. 8

t

(o- 1) : p(M - k) +2b1 t ... t2b¡,

y como p es impar

'^ 2

-1

E -:("

- 1) = (M - k) (mod 2). .

(5.6)

164

cuADRATlcos 5. REslDUos cAPíTULo

Si a es impar, la congruencia anterior implica que M: el Lema de Gauss tenemos,

k (mod 2) y por

eD M:(-1)k :@ l p). s :}puesto q"" [?] :0 paraL < j < # Si o : 2 e n ton ceM tales casos2 < 2i < p. Luegode (5.6) tenemos t=

8

: -k:k

t " q u e p a ra

(mod2)

y comoantes,por el Lema de Gauss

(2lp):(-1)+ ¡

Estamos listos para demostrar el resultado principai' 5.12 Teorema (Ley de Ia reciprocidad 'impares diferentes, entonces

cuadrática)'

S¿p Y q son primos

(s-t) (plq)(qlp): (-1) á{r-t) i

Demostración. Sean

, M:lsl*i4 l * ' -'1ft(P-l)ql e l tp) tpJ

v

¡,,: fr-l* l"l * Lql

Lq)

"+l tft(q-t)Pl q )'

Por el teorema anterior tenemos que (plq)(qlp): (-1)M (-1)N : (-l)t*t, y es suficientedemostrar que M + N : L@- t)' i(q - t)' (B 0)' ConsideremoseI rectángulo ,R en el plano cuyos vértices son (0, 0), '

(0,g), (fi' !) sin incluirsu frontera,

5.2 LEY DE LA RECIPROCIDAD CUADRATICA

165

(0,g)

( 0, 0)

(t, o)

(t,0)

Si llamamos punto reti,culara un punto (z, gr)que tiene ambas coordenadas enteras,vemos que el rectángulo contiene i(p-t)i@1) puntos reticulares. Observamostambién que sobre la diagonal que une (0,0) con (1,$) nohay puntos reticulares. En efecto, como Ia ecuación de la recta que une estos puntos es pA : qr) si hubiera un punto reticular sobre la recta tendríamos que p I qz y como (p,q) :1 entoncesp I r, pero esto es imposible porque r < fi. De otra parte, para todo entero positivo n, el número de puntos reticulares sobre la recta verticgl que pasa por (r,0) y que se encuentran por lo tanto, el número de puntos reticulares Lffl "en el rectángulo R que están por debajo de Ia diagonal es precisamenteM. Similarmente, el número de puntos reticulares en el rectángulo R que están por encimade la diagonales ll, y por Io tanto N +M : i@-1).+hD, como oueríamos demostrar. n debajo de la diagonal es

Como (qlp) : *1, entonces (qlp)2 - 1 y podemos expresar Ia ley de la reciprocidad cuadrática en Ia forma

(Plq): (qlP)(-r)i@-t)L@*r) , que es más conveniente para estudiar el carácter cuadrático de un entero. 5.1-3 Ejemplo.

Determinar si 60 es un residuo cuadrático módulo 239.

Como 60 :22. 3 . 5. entonces

: (2l'3q2€l23e)(5123e) : (3123e)(5123e) (60123e)

166

CAPíTULo5. REsIDUoS cUADRÁTIcos

pero

: (23e13)(: -(23e13) (3123e) D+@8)+(2) : _(213) : _(_1): 1 v : (23e15)(-1)+(%8)á(4) : (23e15) (5123e) : (415) : (215)2 : 1. Por lo tanto, (601239): 1 y así, 60 es un residuo cuadrático módulo 239. 5.1-4 Ejemplo. primo impar p.

Determinemos el carácter cuadrático de (3lp) para todo

Tenemos

'

: (e13)(-1)L@+@-r): (slp) @la)(-r¡"#,

además

:r (pls): f1r¡s¡

\{rlr¡ : -t

si

p = 1(mod 3)

si

p=2(mod3),

si P =1 (mod 4)

r - r t+:[t [-1

si p:3(mod

4).

Por lo tanto

Usando el Teorema Chino del Residuo, tenemos finalmente que

( 3 b):{1|.-1

p:tl(mod '] si p:t5(mod

12) 12).

5. 3. EL SI M BO LODE J ACOB I

5.3

167

El símbolode Jacobi

Para simplificar los cálculos necesariospara determinar si un número compuesto es un residuo cuadrático, utilizamos una extensión del símbolo de Legendre introducida por Jacobi. Recordemos que Ia segunda entrada p en el símbolo de Legendre (alp) debe ser un primo impar. Jacobi generalizó este símbolo a fin de permitir entradas que sean números impares pero no necesariamenteprimos. 5.15 Definición. canónica es,

Si P es un entero positivo impar cuya representación K

e:[n7' i:l

definimos el símbolo de Jacobi,(alP) para todo entero a tal que (a, P) : I, mediante Ia ecuación lr

(alP):fr@ln)"' l,:l

donde (alp¿) es el símbolo de Legendre. Además definimos (ol1) : 1. Observamos que el símbolo de Jacobi coincide con eI símbolo de Legendre cuando P es un número primo, Io que justifica el uso de la misma notación para ambos símbolos. También es claro que (alP) - t1, pero no es cierto en general que si (olP) :1 entonces a es un residuo cuadrático módulo P, en el sentido de que la congruencia 12: a (mod P) tiene solución. Por ejemplo (519): 1 pero 12 :5

(mod 9) no tiene solución.

El símbolo de Jacobi tiene propiedades similares al símbolo de Legendre como veremos en los teoremas siguientes. 5.1-6 Teorerna. SeaP un entero positi,uo'impar y sean a y b enterosprimos relatiuos con P. Entonces 1. Si. a : b (mod P) entonces(alP) : (blP).

2. @2le): t. e. (1 l P): 1 . [ @le)(ule): (ablP).

168

CAPíTULO5, RESIDUOSCUADRÁTICOS

5. Si ta representac'ión canón'ica d,e a es o, :

(alP): ll!:r@,lP)"..

lIf:rpi'

entonces

Dernostración. Las propiedadesmencionadasson consecuenciadirecta de la propiedad del símbolo de Legendre demostradasen el Teorema 5.8. Dejamos su verificación al lector. n 5.17 Teorerna. Sea P un entero posi,ti,uo'impar. Entonces,

l. (-1lP): (- 1 ) ¿+ 2. (2lP): (-1)+ Demostrac,ión.Sea P : ptpz...p" donde Ios p¿ son primos no necesariamente diferentes. Tenemos,

( - 1 l P) : (-1 l p r)(-L l p z) .. . (-1 |p ")

: (-1)'+eD"'+. (-1)"+: (-1)k dondek:Di:tf

. eoa"mosescribir

P : ( 1 + (pt - 1))(1+ (pz- t))... (1 + (p " - 1 ))

:1*i,o,-1) +Ib, i:r :1 f 2k+4t,

-t)(p¡-1)+...

ó+i

porquecada una de las sumasdespuésde la primera es divisiblepor 4, en virtud de que cadafactor p¿- L es par. Luego P : I -f2k (mod 4)

v P-1

: k (mod 2).

Por Io tanto

(-l l P ) : (-1 )k: (-1 )"+ .

169

5 3. EL SIMBOLODE JACOBI

Similarmente, tenemos

(2lP) : (zlpt)(2lpz). . . (21p") p?- t

p?- t

: (-1)'t-(-1)=t-

.

,7 -t

(-1)' f

- (-1 )h ,

conh: Di:r &fr. Porlo tanto p 2 : ( 7+ (p?-1))(1+ (p3- t)).. . ( 1+ ( p 3- r ) ) -2t

: 1+ DOr- 1)+ lrn? - t)(p?-1)+ ... i:t

:1

á+i

* 8h+64t,

porque cada una de Ias sumas despuésde la primera es divisible por 64, ya que cada factor p? - I es divisible por 8. Luego P2:I+8h(mod64)

v P2-I R

h(mod 8).

Por lo tanto (zlP):

(-1)h:

(-1)t=.

n 5.1-8 Teorema (Ley de la reciprocidad para el símbolo de Jacobi). Sean P y Q enteros 'imparesposit'iuostales que (P,Q) : I. Entonces

e@)@lP): (-1)" co nr: t f P- D+ @ - \ . Demostraci¡n. Sean p : ptpz...ps y e : qtqz...q¿ donde los p¿ y los q3 son primos no necesariamente diferentes. Tenemos

(-1)', eQ)@14: flfl@,lo)@ilp¿): ?,J

donde

" : I Dlr t oo- t . i@ ¡-t), xJ

L70

CAPíTULO5. RESIDUOSCUADRÁTICOS

en virtud de la ley de la reciprocidad cuadrática aplicada a cada factor. En la demostración del teorema anterior, vimos que

ia= 'u i:l

2

= ltp -2 ''

- 1)(mod 2)

y se tiene una congruenciasimilar para fj:, Por lo tanto

r=

11

5@

+

- r);@ - 1 )(m od2) ,

lo que implica que

(-1 )' : (-t¡i rr-t¡ L@- t) , como queríamos demostrar.

!

La ventaja principal del símbolo de Jacobi es que permite evaluar fácilmente el símbolo de Legendre como se ilustra en los ejemplos siguientes 5.19 Ejemplo.

: ( 1051631) . ( 4 2 0 1 6 3: 1(4 ) 1 6 3 1 )(1 0 51631) Para evaluar (1051631)usando el símbolo de Legendre debemos escribir

: (31631) (71631) (51631) (1051631) y aplicar la ley de la reciprocidad cuadrática a cada factor de la derecha. Usando el símbolo de Jacobi los cálculos son más simples pues tenemos

:1 ) (1 0 5 1 6 3:(6 1 )3 1 1 1 0 5:(11105) 5.2O Ejemplo. 839.

Determinemos el carácter de -216 con respecto al primo

Tenemos

(27183e) (2ls3e) (4183e) (-216ls3e):(- 1l83e) : -L : (2127) : (83e127) : -(27183e)

77L

5.3. EL SíMBOLODE JACOBI

Ejercicios 5.2 1. Hallar todos los primos p tales que (t0lp) : 1. 2. Hallar todos los primos p tales que (7lp) - -1. 3. Para que primos impares p es (-3lp) : t 4. Probar que 2 es un residuo cuadrático módulo eI primo impar p si y solo si p = ll (mod 8) y 2 no es un residuo cuadrático módulo p si y solo si p: +3 (mod 8). 5. ¿Cuáles de las congruencias siguientes tienen solución? (u) *' : 7 (mod 257). (b) *' = 2Ig (mod 383). (") ,':

-10 (mod 191).

(d) *':

5 (mod 1231).

6. Determinar el carácter cuadrático de los números 327 v -532 módulo eI primo 977. 7. Sea rn un entero positivo impar y sea pr,p2, . . .ps los divisores primos 1. Probar que 12 : a (mod de m. Sea a un entero tal que (o,*): rn) tiene soluciónsi y solo si (alp¿): 1 para 'i:1,2,... ,s. 8. Determinar si la congruencia 12 = 327 (mod 2821) tiene solución. Sugerenc'ia:282I : 7. 13' 31 9. Evaluar usando el símbolo de Legendre (1291283)y (6a01277). 10. Evaluar usando el símbolo de Jacobi (2261563)V e4I61977). 11. SeaP un entero positivo impar. Sean¿ y b enterostales que (a, P) : 7 y (b,P):1. Probar las siguientespropiedadesdel símbolo de Jacobi: (a) (-tlr)

: 1 si v solo si P:

(b) (2lP) : 1 si v solo si P: (c) (ab2lP): (alP).

1 (mod a). +1 (mod 8).

172

CAPÍTULO5. RESIDUOSCUADRÁTICOS

12. SeanP y Q enterospositivosimparestales que (P,Q): que:

1. Probar

(u) (plQ) : eQP) si y solosi P : Q =B (mod4) ( b ) ( alr ) ( a lQ) : @ lpQ) donde(o,P ) : (a , Q ) : 7 . ( c) ( PlQ 2):1.

5.4

Potenciasmódulo n y raícespr¡mit¡vas

En las seccionesanteriores estudiamos detalladamente las congruencias cuadráticas de Ia forma tr2 : a (mod p) con p un número primo y o un entero tal que (o,p) : 1. En esta sección estudiaremos algunos resultados sobre Ias congruenciasmás generalesde la forma tr* = a (mod p). 5.21 Definición. Sean p un primo impar, a un entero tal que (o,p) : I y r¿ un entero'positivo. Si la congruencia tr^:a(modp) tiene solución, decimos que a es una potenc'iam-és,ima módulo p. 5.22 Ejernplo. Sea p : 7. Como (+1)4 : 1(mod 7), (+2)4 : 2 (mod 7) y (+3)4 : 4 (mod 7), entonces las potencias cuartas módulo 7 son precisamente 7,2 y 4. Del criterio de Euler se deduce que una condición necesaria y suficiente para que la congruencia cuadrática 12 : a (mod p) tenga solución es que oT :1 (mod p). Es natural buscar una condición similar para que una congruencia de la forma am : a (mod p) tenga solución. Para encontrar esta condición debemosprimero estudiar las congruenciasde la forma ak : I (mod n) con (a, n) : L. Por el Teorema de Euler, sabemosque si (a,n) :1 entoncesa@@): I (mod n) y por Io tanto podemos establecerla definición siguiente. 5.23 Definición. Sean un entero positivo y a un entero tal que (a,n) :1. El menor entero positivo /c tal que ak : L (mod n) se llama ord,en d,ea rnódulo n y Io representamospor la notación ordra.

5.4. POTENCIASMODULO N Y RAICESPRIMITIVAS

L73

Si ordn&: k, también se acostumbra a dech que a pertenece al exponente k módulo n. Si ah : 1 (mod n) con h un entero positivo entonces ah - I : tn para algún entero ú, luego ah -tn - 1y por el Teorema2.LL, (a,n) :1. Esta observación nos indica que la definición anterior solo tiene sentido cuando a y nson primos relativos. Observamostambién que si (o,n) : I y a : b (mod n) entoncesordna: ord,nb. 5.24 Ejernplo. Si n : L0los enteros primos relativos con 10 y menores que 10 son I,3,7 y 9. TenemosIa tabla siguientede potencias: aa2a3e4 1 397r 79 31 91 Por lo tanto ordrc1 : 1, ordasS: ord,rc7 - 4 y ord,ng : 2. Observamos que en cada caso ord,lsa | 4 : O(10). En general ord,na I O(r), como se deduce del teorema siguiente. 5.25 Teorema. ^9iat =L (modn) entoncesordna lt Demostraci,ón. Supongamosque ordna: podemosescribir ú en Ia forma t:ek *r

,k. Por el algoritmo de la división con 0 ( r < k. Por lo tanto

ot - oQk+r: (ak¡to' : s,r =1 (mod n), puesto que afr : 1 (mod n). Si r fuera diferente de 0, se tendría una contradicción con la minimalidad de /c. En consecuenciar :0 V k | ú como queríamos demostrar. n 5.26 Corolario.

Si, a es un entero primo relati,uocon n, entonces ordna I O(").

Demostración. Por el Teorema de Euler aa(n) :1 tado es consecuencia directa del teorema. 5.27 Corolario. Supongamosque ordna: a' = o,r (mod n)

(mod n), luego el resuln

k. Entonces

si y solo si 'i: j (mod k).

174

CAPíTULO5. RESIDUOSCUADRÁTICOS

Demostrac'ión. si z: por lo tanto

j (mod k) entoncesi,: j * qk para algún entero q y ai _ oi+at" : ai qok¡o: a, (mod n)

puesto que a,ft: 1 (mod n). Recíprocamente, supongamos que a¿ : ai (mod n). Sin perder gene_ ralidad podemos asumir qtrc i > j. Como (a,n) : í podemos cancelar repetidamente ¿ hasta obtener ai- j :1 (mod n). por el teorema k I i, - j o seai:j(modk). n El teorema siguiente nos relaciona el orden de una potencia positiva de o módulo nl con el orden de ¿ módulo n. 5.28 Teorema. ,9¿ordra:

k entoncesparo, tod,oentero posi,ti,uo m k.,. , (*,k)'

ord-a*:

Demostración. Sean d : tenemos

(*,k)

V h :

ordnam. Como ak :

L (mod n)

("*)* : 1ak¡T: 1 (mod n), luego por el Teorema 5.25

,rl3 Como (o*)h:

{,o./ J

1 (mod n) entoncesk I rnh y en consecuencia

kl m.

Al dn' Por el Corolario2.t2 sabemos (!,ry\: que ' \d'a/

1, luegoconcluimos que

kl , A l r. De (5.7) y (5.8) obtenemosh:

Ique

es el resultadodeseado.

(b.8) f

5.4. POTENCIASMóDULO ¡'¡ Y RAíCESPRIMITIVAS

L75

5.29 Ejemplo. Comoord¡¡3:4 entonces ,

o r dro32:-!-:*:z' \zt+)

ord1s7: ordro33:

'

,=4,, :1 : +. (3,4) 1

5.30 Teorena. Sea p un número primo. Si eriste un entero a tal que ordoa : h, entonceseristen eractamenteO(h) enterosincongruentesmód,ulo p que tienen orden h módulo p. Demostrac'ión. Qomo ah = I (mod p) entonceslos números a, a2,. . . , ah son soluciones de la congruencia rh = | (mod p). Además estos números son módulop, yaque si ¿': aJ (modp) con 1< i < j th,por incongruentes (mod h) V hl(¿- i); pero esto es una el corolario5.27 se tendría que i:7 j porque h. i < 0< contradicción Por el Teorema de Lagrange concluimos que los números a,a2,...,ah son todas las solucionesincongruentes de Ia congruencia nh: 1 (mod p). y en consecuenciaordoa* : h si y Por el Teorema 5.28, ord,a* : éñ 1. Por Io tanto hay exactamente O(h) enteros inpongruentes solo si (*,h): que tienen orden h módulo p, eue son precisamente las potencias ¿- con

(h , m ): 1 .

n

5.31 Ejemplo. Si p:17, ord'yL:4. Como O(4) : 2 y los númerosprimos relativos con 4 y menores que 4 son 1 y 3 entonces los enteros incongruentes módulo 17, de orden 4 módulo 17 son 4L y 43, es decir 4 y 13 puesto que 43 : 13 (mod 17). 5.32 Teorema. ,Sip es un número primo A h I p - I, entonceshay eractamente Q(h) enteros 'incongruentesmód,ulop que tienen orden h módulop. Demostrac'ión. Representemospor ,n[(h) el número de enteros positivos a ( p-L tales qrueordoa: h. Por el teorema anterior ¡{(h) :0 o lf(h) : O(h), y este último caso se presenta únicamente cuando n I O(p) - p - 1. Por lo tanto

D. ( n) . I r t nl< hlp-I hlp-t

(5.e)

Como cada entero positivo ¿ con a < p - 1 tiene algún orden h 1 p - l, entoncesDnto-r¡/(h) : p-I.

176

CAPíTULO5. RESIDUOSCUADRÁTICOS

También por el Teorema 3.23, Dhto_r O(h) - p - 1, luego

D rl¿l : t

hlp-t

o (h): p- r .

hlp-t

Deducimos de la última ecuación que ll(h.) : O(h), para cada ft, tal que h I p - 1, ya que de otra forma la desigualdad (5.9) sería estricta lo que es imposible. Por lo tanto si h I p - t hay exactamente N(h) : O(h) enteros incongruentes módulo p, gue tienen orden h módulo p. !

Por el Corolario 5.26, sabemosque si a es un entero primo relativo con r¿ entonces ordna divide a O(n). Para algunos valores de n hay enteros ¿ tales que ordna: O(n). Estos casosson importantes y en consecuenciales damos un nombre especial. 5.33 Definición. módulo n.

Si ord,ra :

5.34 Ejemplo.

1. Las raíces primitivas módulo 10 son 3y 7.

O(n), decimos que a es una raíz prim,itiua

2. No hay raíces primitivas módulo 12 pues O(12) - 4 y la tabla de potencias para los números a 112 y primos relativos con 12 es aa2

I 51 77 t-l 1

Como consecuencia directa del último teorema tenemos 5.35 Corolario (de 5.32). Si p es un núrnero primo, hay eractamente O(p - I) raíces primitiuas mód,ulop. A partir de una raíz primitiva módulo n, podemos construir un sistema reducido de residuos módulo n, de acuerdo al resultado siguiente. pri,mi,ti,uamódulo n, entonceslos números 5.36 Teorema. ^9ia es una raíz d, &2, .. . , ao(') forman un s'istemared,uc'idode res,iduosmód,ulon.

5 4. POTENCIASMóDULO N Y RAíCESPRIMITIVAS

177

Demostración. Como tenemos iD(n) números y cada uno de ellos es primo relativo corr n) únicamente hay que demostrar que ellos son incongruentes módulo n. Supongamos lo contrario, es decir supongamos que existen i, y j conl
178

CAPíTULO5. RESIDUOSCUADRÁTICOS

Demostración. Si r* = a (mod p) tiene una solución u, entonces A

p -t d,

*( p- D d ' Itr

:

:I.Lv

t^_l\g 't a

:

I (mOCl

p) ,

por el Teorema de Fermat, puesto que (2, p) : 7 y ft es entero. Recíprocamente,supongamosqr" o? = 1 (mod p). Como en la demostración del lema 5.37, tenemos que d = b¿(mod p) donde b es una raíz primitiva módulo p. Por lo tanto t( e- r \

0

d.

:A

( p- l)

¿

: L( m odp)

y por el Teorema 5.25, p - | | t(e/). Luego \ : t resulta entero y a : bkd "d (mod p). Por el Lema 5.37 concluimos que la congruencia r^ : a (mod p) tiene solución. Adem¡ís, una revisión cuidadosade la demostración del lema anterior, nos indica que hay exactamente d soluciones incongruentes módulo p de esta congruencia. n También, de los resultados anteriores se deduce que hay exactamente (p-t) potencias rn-ésimas módulo p, donde p es un primo impar. ConcreT tamente tenemos: 5.39 Teorerna. Seanp un prirno 'irnpar,m un entero positiuo y d,: (m,pl). Sib es una raíz primi,tiua módulo p, entonces las potenci,asm-és'imas mód,ulop, incongruentes mód,ulop son prec'isamentebd,b2d,. . . ,b#a . Demostración. Por el Lema 5.37, Ios número bd, b'd, . . . ,b#a son potencias r¿-ésimas módulo p. También se verifica inmediatamente que estos números son incongruentes módulo p. Finalmente, si a es cualquier potencia rn-ésima módulo p, por el lema mencionad.o , a: bkd (mod p) para algún entero k. Si tomamos ú : t + modificamos ligeramente el algoritmo de Ia división, podemos escribir /c en Ia forma k: et * r con 0 < r ( ú. Por Io tanto tenemos a:

bkd- 6@t+r)d : $(n-r)u6rd' : b'd (mod p),

5.4. POTENCIASMÓDULO¡r Y RAíCESPRIMITIVAS

179

puesto que ó es :urr'araíz primitiva módulo p. L_uego¿ es congruente con uno de los números de la colecciónbd,b2d,...,bTa lo que completa la demostración. n 5.40 Ejemplo.

Determinemos las potencias octavas módulo 13.

Po¡ verificación directa vemos que 2 es una raíz primitiva módulo 13. Como m : 8 y p - I: 12 entoncesd: (*,p -1) : (9, 12) : 4. Luego, por el teorema anterior las potencias octavas móduro 13, incongruentes módulo 13, son_24,28y 2r2 es decir B, 9 y 1 ya que 2a : 3 (mod 13), 28 : 9 (mod 73) y 212: 1 (mod 13).

Ejercicios 5.3 1. Hallar los órdenesde l, 2, 3, 4, 5,6, 8 y 11 módulo 13. 2. Probar que si ordra:

t, ordnó : s y (t, s; : 1, entoncesord,nab: ts.

3. Probar que si ordna: gruentes módulo n.

ú entonceslos númerosaro,2,...,at son incon_

4. sea p un número primo. Probar que si ordoa : t y t es par entonces a2 : -l (mod p). 5. Hallar la menor raíz primitiva positiva de cada uno de los números primos menores que 30. 6. Hallar todas las raíces primitivas módulo 11 y todas las raíces primitivas módulo 13. 7. sea p un número primo. Probar que si o es una raíz primitiva módulo p entoncesa- z : -1 (mod p). ,P-

8. sea p un número primo. Probar que ¿ es una raíz primitiva módulo pj_iry solo si (o,p) : 1 y a no satisface ninguna de las congruencias ¿'o - 1 (mod p), donde g recorre los divisores primos de p - 1.

180

CAPíTULO5. RESIDUOSCUADRÁTICOS

9 . Demostrar el Teorema de Wilson usando el resultado del Teorema 5.36. 1 0 . Hallar las potencias sextas módulo 11. 1 1 . Hallar las potencias undécimas módulo 23. 12. Cuántas soluciones incongruentes tiene cada una de las congruencias (u)

"t* (b) ,'n: (") *'u:

: 15 (mod 17). 8 (mod 13). 10 (mod 11).

1 3 . Sea g un número que tiene raíces primitivas y sea a una de ellas. Si o,' : n (mod q), decimosque r es un índice de n en base ¿ con respecto al módulo q y escribimosr : indon. Los índicesse comportan en forma similar a los logaritmos y son de interés práctico y teórico. Demostrar las siguientespropiedades: (a) Si (n,q) :1,

existe indon con respectoal módulo q.

(b) El indon con respecto al módulo q es único módulo O(q). (c) n = rn (mod q) si y solo si indon : indom (mod O(q)). (d) ind"l :0

(mod O(q)), indoa: 1 (mod O(q)). : (e) ind"(mn) indom-t indon (mod O(q)). (f) ind,n¿ : t indon (mod O(q)).

14. Construir una tabla de índice en base 2 con respecto al módulo 11. Sugerenc'ia:Calcular las potencias2,22,. . . ,210 módulo 11. Usando las propiedadesde los índicesresolverlas congruencias323 : 7 (mod 11) y 7r:9 (mod 11).

16. Sea p un primo impar y o un entero tal que (o,p) :1.

Probar que o, es un residuo cuadrático si indra es par, donde g es una raíz primitiva módulo p.

5.5

Algebra y teoría de números

En el capítulo 4 mencionamos brevemente los conceptos de grupo y de anillo, y los utilizamos para presentar demostracionesalgebraicasde los teoremas

181

5 5. ÁLGEBRAY TEORíA DE NÚMEROS

de Fermat y Euler. En esta sección vamos a desarrollar otros conceptos algebraicos que nos llevarán a obtener demostraciones más sencillas de algunos teoremas importantes en Teoría de Números y nos permitirán completar nuestro estudio de las raíces primitivas módulo un entero positivo. Supongamosque (G, +) es un grupo con identidad e y que ¿ € G. Definimos las potenc'ias enteras del elemento ¿ mediante (r¿veces)

an:a+c,+...*a, oo:". A

' ' : \ A ' ) -z:A-lrn

-l

)(A

-l

tr "' *A

-l

-,

/

\

(f¿V eC eS /|

donde n ) 0 y a-t representa el inverso del elemento a. Si el grupo se nota aditivamente, el producto abstracto ¿ x a + ...+ a, (n veces).Se acostumbra (n veces)es sencillamentela suma o *a1..'la a representar esta suma por la notación na. Por lo tanto en este caso, las potenc'iasde ¿ son precisamente, na:

a-fal...*a,

(n veces)

0¿:0, (-n)o:

n(-a,):

(-¿) + (-o) * ... * (-a),

(n,veces)

representa el inverso de a. donde n t 0 ;r -o 5.41 Definición. Un subconjunto fI de un grupo G se llama w subgrupo de G si 11 es a la vez un grupo, con Ia misma operación que hay en G. 5.42 Ejemplo. 1. Si consideramosel grupo (2,+) de los números enteros con la adición y Ilamamos IF al conjunto de Ios enteros pares e JI al conjunto de los enteros impares, entonces (P, +) es un subgrupo de (2,+) pero (ll,*) no es subgrupo de (2,+). 2. Consideremosel grupo aditivo Zs de los enteros módulo g. Si fI : {0,3,6} entoncesfI es un subgrupo de Zs. 5.43 Definición. Sea G un grupo y a e G. Definimos el subgrupo de G generado por d, como el conjunto formado por todas las potencias enteras de ¿. Se acostumbra a representar este subgrupo por Ia notación (a). Por lo tanto tenemos (a) ::{a"lneZ}

CAPíTULO5. RESIDUOSCUADRÁTICOS

L82

: \a) para algún Decimos que un grupo G es cícli'co con generador a si G aeG. 5.44 Ejemplo.

En el grupo aditivo zn de los enteros módulo 12 tenemos (3) : {0,3,6,9}, (4): {0,4,8}, (8) : (4), (L) : ZP'

Vemos que V'p es un grupo cíclico generado por 1' En general, para todo entero positivo n el grupo Zn es'ulr-grupo cíclico con generador 1' En el capítulo 4 vimos que el grupo multiplicativo de Ias unidades del : I y que su anillo Zn está formado por todas las clases d tales que (4, n) orden es é(n). En adelante vamos a representar este grupo por un y como es usual, eliminaremos las barras en la representación de sus elementos' 5.45 Ejer-nplo.

1. En el grupo urr de las unidades del anillo z¡tenemos (1) : {1}, (3) : {3,9,5,4,1}, (2) : Un'

Vemos Que (/rr es cíclico y que un generador es 2' 2. En el grupo (h2:

{1,5,7,11} tenemos (1) : {1}, (5) : {5,1}, (7) : {7,1}, (11) : {11,1}.

Por lo tanto (Jp no es un grupo cíclico' si a es un elemento de un grupo G, se llama ord,en de a al menor entero positivo k tal que ak : e. Si no existe tal entero positivo, decimos que ¿ es de orden infi,nito. Representamosel orden de a por la notación o(a). Si n es un entero que positivo y o un entero tal que (o'n) : 1' eI orden de ¿ módulo n

5.5. ÁLGEBRAY TEORíA DE NÚMEROS

183

estudiamos en la secciónanterior es precisamenteel orden de a considerado como elemento del grupo [/,". Además un entero a es una raíz primitiva módulo n si y solo si a es un generador del grupo [/". El Teorema 5.25 es un caso particular del resultado más general siguiente. 5.46 Teorerna. Sea G un grupo A a € G con o(a) : k. Entonces at : e s'i y solo si,k I t. Demostración. Si k | ú entoncesú : kq y por Io tanto at : úk Q : ( ak ) e: "k : ".

Recíprocamente, si at : e podemos escribir ú en la forma f :qklrcon 0(r(k, luego e:

y r :0

at -

oule+ r :

gQ k gr :

qr,

por la minimalidad de k. Por lo tanto ú : qk y k I t.

n

Recordamos que si G es un grupo finito, se llama orden de G al número de elementos de G. Representamosel orden del grupo G por la notación o(G). 5.47 Teorerna. Sea G un grupo y a € G con o(a) : k. Entonces o(a) : ,((o)). Es decir el orden de un elemento a es'igual al orden del subgrupo generad,opor a. Demostración. Yeamos primero que los elementos€,,a,...rak-r son todos diferentes.Enefecto, si d,":¿" con o1r ( s ( k-l entoncesa"-': e con 0 < s - r 1 k- 1 lo que contradice que o(a) : /c. Veamos ahora que todo elementode (o) se encuentraen la lista €,a,...,ak-7.Si ¿¿e (a), por el algoritmo de la división podemos escribir ú en la forma t : ek * r con 0 ( r ( k. Por Io tanto ot _ oaktr : (ak¡eo,,: ¿sr : sr, y en consecuencia (a) : {e,a,. . .ak-r}. Luego ,((o)) : k : o(a). 5.48 Corolario. Entonces

n

Sea G : (a) un grupo cíclico de orden k con generad,ora. G : {erar... rok-'}.

184

CAPíTULO5. RESIDUOSCUADRÁTICOS

Sean G el grupo multiplicativo [/3 : {1,2} de las unidades del anillo Zt y H : Zz el grupo aditivo de los enteros módulo 2. Las tablas de multiplicación de estos grupos son:

Aunque G y H son grupos diferentes, no hay ninguna diferencia significativa entre ellos, ya que si reemplazamos 1 por 0 y 2 por 1 en Ia primera tabla obtenemos la segunda. Es decir estos grupos se diferencian únicamente por el nombre de sus elementos. Formalizamos esta idea mediante Ia definición siguiente. 5.49 Definición. Decimos que los grupos (G, *) y (H,o) son'isomorfos si existe una función f : G ------fl tal que: 1 r.

/ es uno a uno,

2 . / es sobre, 3 . f (a + b) : f (a) f (b), para todo a,b e G. " . La función / se Ilama rn 'isomorfismo de G sobre H. Para indicar que los grupos son isomorfos escribimos G - H. Un isomorfismo entre los grupos G y H anteriormente mencionados es la función f :G------ fI definidapor /(1) :0 y f (2):I. 5.50 Ejemplo. ConsideremosIos grupos Ue y Un de Ias unidades de los anillos Ze y Zj.z. Sus tablas de multiplicación son:

1 3 5 7

13 31 OI

75

5 7 1 3

7 5 3 1

1 5 Fl I

11

I 5 7 11

5 1 11 a I

717 11 15 51

7

Si estudiamos por un momento estas tablas, nos damos cuenta que estos grupos son isomorfos y que un isomorfo de [/s sobre [!2 es la función

5.5, ÁLGEBRAY TEoRíA DE NÚMERoS

f , Ue --

185

Utz definida por /(1) :1 /(3) :5

l (5 ) :7 f (7) : 11'' f/P\

Es claro que la función / es uno a uno y sobre. para verifi.carque cumple / la condición 3 de la definición de isomorfismo hay que comprobar los 16 casosposibles. Verifiquemos algunos de ellos f(5' 7) : /(3) : 5 : 7 . II : f(5) . ÍQ), /(3.5) : f (7): 11,: 5.7: /(3) ./(b), :5:1.5:/(1) ./(3) /(1 .3):/(3) 5.51 Teorema. ,92G es un grupo cícl'icode ordenn, entoncesG es,isomorfo al grupo aditi,uo Zn. Demostración. Supongamos que C : (a) y que o(G) : y¿. por el co_ rolario del reorema 5.47, G : {",a,.. .,o"-7}. consideremosla función Z, definidapor f (ak): E. Veamos que / es un isomorfismo. f : G ------+ 1. / es uno a uno. En efecto, si /(ok) : f(ai) entonces[ : 7, luego k : j (mod n), o sea k - j : qn y porlo tanto ok - oiton : ai 1s"¡o : ¿is _ ¿i, ya que an:

e.

2. f es sobre. Esto es evidente pues si E ezn, k es imagen de ak por /. J. f(akai¡ : at e G. 5.52 corolario.

f@k+i) :

k+ j :E

+ j :

f("k) + f(oj),para todo aft, n

Dos grupos cícli,cosder mismo ord,enson ,isomorfos.

Demostrac'ión. Este resultado se sigue del hecho de que la relación seriso_ morfo o es una relación de equivalencia entre grupos, en particular es transitiva.

186

CAPíTULO5. RESIDUOSCUADRÁTICOS

Sean G y Il dos grupos que por comodidad notamos multiplicativamente. SobreeI producto cartes'ianoGxH : {(g,h) | g e G y h € fI} definimos una operación que es una multiplicación por componentes,mediante Ia fórmula siguiente, (g, h)(g', ht) : (ggt, hht). Es fácil de verificar que G x fI con esta operación es un grupo cuya identidad es (e6',e¡7) donde ec y en son Ias identidades de G y fI respectivamente. Además si G y ff son grupos finitos se tiene que o(G x H) : o(G)o(H). El grupo que acabamosde definir se llama el producto d'irectode G y H. 5.53 Ejemplo. El producto directo de los grupos aditivos Z2 : Zz: {0,1,2} es el conjunto 22 x Zs:

{0,1} y

{(0,0), (0, 1), (0,2),(7,0), (1,1), (1,2)},

con la operación, notada aditivamente, definida por (a, b) + (c, d) : c,b + d). Algunas muestras de la adición en Z2 x Zz sorr

'

(a *

( 0 ,1 )+ (0 ,2 ): (0+ 0 ,1+ 2 ) : ( 0,0) , ( 1 ,1 )+ (t,2 ¡ : (1+ 1 ,| + 2 ): ( 0,0) , ( 1 ,0 )+ (t, 1 ¡ : (1+ 1 ,0 + 1 ) : ( 0,1) .

5.54 Ejemplo. El producto directo de Ios grupos Uz : {I,2} y Zz : {0, 1} es Us x Z2: {(1, 0), (1, I), (2,0), (2,1)} con Ia operacióndefinidapor (a,b)(c,d) : (a.c,b + d). Algunos productos son

(1 ,1 )(2 ,0:) (1 .21, +0 ) : ( 2,r ) , (2 ,1 )(2 ,7 ):(2 .2 ,1 +1 ): ( 1,0) , (1 ,0 )(11,) : (1 .1 ,0 + 1 ) : ( 1,1) . La noción de producto directo se puede extender en forma natural a más de dos grupos. Dejamos los detalles al lector. El teorema siguiente nos conduce a una demostración sencilla del Teorema Chino del residuo. 5.55 Teorerna. Sea n : mLTr¿2coTLrn1 A rn2 enteros pos'itiuostales que rel="nofollow"> Z^t v Z^z definida por (mt,mz) : L. Entonces la función f t Z,

f (z): (*',r') donde r, rr A 12 representan las clasesres'idualesde r móduloEn,n\ respectiaamente,es un isomorfi,smode grupos.

! rm2

5.5. ÁLGEBRAY TEORíA DE NÚMERoS

r87

Demostración. Tenemos que verifi.car primero que Ia función está bien defi,n'ida, es decir que distintas elecciones del representante de una clase en Zn conducen al mismo valor de /. Supongamos que Z : g. Entonces r : A (mod n) y nl(r -s). Luegomtl(r-A)y rn2l(*-ü, o seaÍ:g (mod r'r,n)y r=A (mod rn2). Por Io tantoDl :Ar y 12:A2 y en consecuencia

f (¡): f (s).

Veamos ahora que "f es uno a uno. En efecto, si /(z) : f (g) entonces (z',*'): (gr,!2) o searr :Ar y 12:92. Ltego r =A (mod rn1) y rx=A (mod rn2) y por el Corolario 4.71, r: y (mod n). Por Io tanto r : A. Como Zn y Z^, y Z*z tienen igual número de elementos y / es uno a uno, entoncesnecesariamentees sobre. Finalmente tenemos

f (T+ú) : f (r + y) : (r + yt,ln') t-1 -9r -2 - (n-t u+ -1a-,fr) : (rr,E 2 + ) (g t,g '): Í@) + f ( g) .

n

Por inducción matemática o mediante una demostración similar a la del teorema, tenemos: 5.56 Corolario. Sea n: rmrrm2...mr d,ond,elos m¿ ,on "it"ro, primos relati,uosdos a d,os.Entonces la funci,ón f,Zn

positi,uos

,Z*txZ*rx...xZ^,

definida por

f(¡):(r.r,ñ r,...,8 ,), dondeÍ, Ír,82,...1rr representanlas clasesresidualesd,er módulos n, TTL1, Tf12,...)n'¿r respectiuamente,es un isomorfismo de grupos. 5.57 Teorema (Chino del residuo). Seanm1,m2)...,n1, enterosposi,ti,uosprimos relat'iuosdos a dos, y s€afi,&1ra2¡...ra, enteros arbitrarios. Entonces eI si,stemade congruencia lineales tr:

ar (mod my)

r:

a2 (mod m2)

r:

ar (mod mr)

188

CAPíTULO5, RESIDUOSCUADRÁTICOS

tiene soluc'iónúni,camódulo n:lIT:tm¿. Dernostración.Consideremosel elemento (a1,a7,... ,4) de Z,n, x Z*" x .. - v Z*.. Como la función / del corolario anterior es un isomorfismo, existeun único r €.V"ntal que rr : al, 12 : a7,...,fl :f,, es decir un entero r, único módulo n, tal que Í : a1 (mod mt), r : a2 (mod m2), ...,r z a, (mod mr). ! Los conceptosde isomorfismo y de producto directo de grupos pueden extenderse inmediatamente a conceptos similares para anillos. Concretamente tenemos las definicionessiguientes. 5.58 Definición. Decimosque los anillos (At,*,.) y (Az,*,.) son isomor/os si existe un isomorfismo de grupos / entre el grupo aditivo de A1 y el grupo aditivo de A2, con Ia propiedad adicional f (ab): f (a)f (t) para todo a,b e A1. 5.59 Definición. El producto di,rectode los anillos At y Az es eI producto cartesiano A1 x A2 con las operacionesdefinidas por (ot,oz) * (br, b2): (a1*b1,a2 l-bz),

v (a1, a2)(fu , b2) : (a1b1,azbz). Es fácil verificar que efectivamente(At* Az,l,.) con las operacionesque acabamosde definir es un anillo. Además, la noción de producto directo de anillos, se puede extender en forma natural a más de dos anillos. 5.60 Ejemplo. El producto directo de los anillos Z¿ y Zt es el producto cartesiano Za x Zs con la suma y la multiplicación definidas por (a,b) 1(c,d) : (a t c,b + d) y (a,b)(c,d) : (ac,bd). Algunos ejemplosde la suma y la multiplicación son (3,2) + (2,2) : (L,I)

(3,2)(2,2) : (2,I)

( 3 ,1)+ (3 ,2 ): (2 ,0 ) ( 0 , 1 )+ (2 ,0 ): (2 ,I)

(3 ,1 )( 3,2) : ( r ,2) : ( 0,0) . (0 ,1 )( 2,0)

5.61 Teorerna. Los'i,somorfismosconstru'idosen el Teorema 5.55 y su corolario son i,somorfi,smode anillos.

189

5 5. ÁLGEBRAY TEORíA DE NÚMEROS

Demostración. Para ver que el isomorfismo de grupos Z,nt 7 Z*z definido por /(r) f , Z, -------

:

7z1,r2),

es un isomorfismo de anillos, solo falta por comprobar que se cumple la condición adicional f (rT) : f (")f (g) para todo 7, A e Zú pero esto se tiene porque, /-1 t-1-1 -)\ -)-2t Í \r a) : \ra -,ry-) : \r-a -,r - a-) : (*L ,r\(g r,a 2 )

: f (")f(s). En forma similar se demuestra que el isomorfismo del corolario, es un isomorfismo de anillos. ¡ 5.62 Teorema. 5i At y Az son an'illos 'isomorfos, sus grupos de uni,d,ades tambi,énson isomorfos. Az un isomorfismo de anillos y sean Ai V Aü Demostrac'íón. Sea f t At los grupos de las unidades de A1 y A2 respectivamente. La demostración AI es un del teorema consiste en verificar que la restricción / la¡ de f " isomorfismo de grupos de Aj sobre A|. Dejamos los detalles como ejercicio.

n 5.63 Teorerna. Sea n : rmrrn2 con rnL y rn2 enteros posit'iuostales que (m1,m2) : I. Entonces Un - U^, x U^r. En fomna mds general si n : rmtrn2. . .Trtrrdonde los m¿ son enteros positi,uosprimos relat'iuos dos a dos, entoncesUn = Urn, v Urnz x .. - x U*,. Demostrac'ión. Por el Teorema 5.61 sabemosque los anillos Zn y Z^, xZ*z son isomorfos. Por lo tanto sus grupos de unidades son isomorfos. Luego [/,, es isomorfo al grupo de las unidades de Z*, x Z^2. Pero el grupo de las unidades de Z*, v Zrnz es precisamente el producto directo Urn, X Un de los grupos de las unidades de Zrn, y Z^2, puesto que " de Zrn, v Zrnz si y solo si existe (o',b') en Z^, x Z^z (a, b) es una unidad tal que (a,b)(at,bt) : (1,1), es decir si y solo si aat : L y bbt: 1, o en otras palabras si y solo si ¿ € U*, y b €Urn". Usando un razonamiento similar, se demuestra Ia afirmación más general.

190

CAP|TULO5. RESIDUOSCUADRÁTICOS

Para terminar esta sección vamos a estudiar Ia existencia de raíces primitivas módulo n. Como mencionamos anteriormente, un entero a es una raíz primitiva módulo n si y solo si o, es un generador del grupo (Jn. Por lo tanto solo existen raíces primitivas módulo n para aquellos enteros positivos n tales que Un es un grupo cíclico. 5.64 Teorema. ,9i Un es cícli,coentoncesn es alguno d,elos números 2,4,pk o 2pk con p un primo ,irnpar, /c e N.

Demostración. Supongamos que ??no es de ninguna de las formas mencionadas. Podemos considerar dos casos: 1. n : 2rllftpi'

con k ) 2 o con k : L y r 2 2.

2 . n : 2 kco n k) 3 . Veamosque en ninguno de estoscasosU' es cíclico. En el primer casolos números ni' y

son mayoresque 2 y por el ft ejercicio4 de la sección3.4 sabemosque O(pit) V O("lpi') son pares. Además si (a, n) : 1 por el Teorema de Euler aÓ(pl'):t : 1 (mod pi') V

ao("lpl'): 1 (mod nlpir). Luego,*t("i')o(+)

escongruente con 1 módulopfl y módurc ft

v

por lo tanto rnódulon en virtud del Corolario 4.11. Luego si a e (Jn,

o ( a )< (tl z)o (p i l )a (" l p í'):a (n ) 12< Q( r ) , y Un no puede ser cíclico. En el segundo caso, si (a, n) : 1 donde n : 2k entonces a es impar de Ia forma a: I i 2b y tenemos

a2 : L + 4b+ 4b2: 7 + 4b(l+ b) : 1 * 8c : L i 23c, oa : (L * 8c)2: 1 * I6cl 64c2: 1 -l- l6d,: I + 24d, a8 : (1 + 24d)2: L * 25d,+ 28d2: I + 25e,

5.5. ÁLGEBRAY TEoRíA DE NÚMERoS

191

y en general por un argumento inductivo, si j > 3 (r2t-' : 7 + 2i g : 1 (mod 2r). Por Io tanto, a2*-' :1

(mod 2k) y si a e (J2n,entonces o(a) <2k-2 <2k-7 - AQ\,

Io que implica que U2¡,no es cíclico. Veamos ahora que el recíproco del teorema anterior también es cierto. Necesitamosun lema previo. 5.65 Lema. Si p es un prímo 'impar y n un entero positiuo, el orden de I I p en Ur*+t €s pn. Demostrac'ión. Si probamos que: 1. (1+ p)o"-' : 1f p' (mod p"+r) y 2. (l+P)P" :1

(mod Pn+r),

por el Teorema 5.46 podemos concluir que o(1 + p) : pi fJpn+t. La "o prueba de 1 es por inducción sobre n. Si n: 1 Ia congruencia es evidente. Supongamos que la congruencia es válida para n y veamos que es válida para n * 1. Por hipótesis de inducción (1 +'p¡n"-' : 1 * p" + tpn+L : 1 * (r + tp)p", Iuego

( L + , p' ¡ n:* (G+p )r^ -'\o : (1 + (L+tp) f) e

\' / y por el Teorema del binomio tenemos

(r +'p¡n^:1* (.í) tt *tp)p*. l:) (g +tp)p')2+ \r'l \z/ /n\

..

-rtp)p")o , +...+ l - I ((1 \p/ " :1 + (t+tp)p"+'+ tpn*', :1 + pntr +hpn*', : 1 t p'+1 (modp"+2).

r92

CAPITULO5. RESIDUOSCUADRÁTICOS

Por lo tanto por el principio de inducción matemática, 1 es cierta para todo entero positivo n. como la congruencia en 1 es cierta para todo entero positivo, en particular tenemos (t + O¡n^: 1 *p'+1 (mod p"+2), luego (7 + o¡n" : 1 * p"iL + kp"+2 : 1 (mod p"+r) que es precisamentela condición 2.

fl 5.66 Teorema. ,9i n es alguno d,e los números 2,4,pk o 2pk con p pri,mo ?,nxpo,T', entonces Un es cícli,co. Demostrac,ión. Claramente [J2 : {1} y [J¿,: {1,8} son grupos cíclicos. También, por el 5.25, Ue es ciclico. V"u,-o. uhor" qu" tlro es cíclico "or?lTi? si k > 1. Por comodidad representamosk en la forma k : n* 1. Debemos encontrar en U_on+run elemento de orden o((Io^+,,) : O(pr+t). Nuestro candidato es dp(1 * p) donde a es un generador'de t/o. Seai : o(ap(I + p))

en Upn+l .

Por el corolario 5.26, t O(p"+l) : p"(p - I). I Como on(7-lp) = ae: a (mod p), entoncesan(I+p) y a tienen el . mismo orden módulo p, eue de acuerdo a la elección'de 'es _ p L o Teniendo en cuenta que (ae(1 + p))t : 1 (mod p"+L): 1 (mod p ), de la observaciónanterior y el Teore^u I'.ZS deducimos _ que p 1 | ú. Puesto que ú | p"(p-I) y p-I I t, entoncest: pk(p_ 1) para algún k : 7,2,...,n. Nuestro objetivo es probar que ,k : ,, du"i, qr" t: p*(p _ I). ", Como (ae(I + ,¡¡n*-r (n-r) - on^(n-r) (I + ,p)p^-l(p-r) : (1 + p)p^-'(p-t) (mod p"+1), entonces (ae(7 + o¡¡n^-t@-t I 1 (mod p"+t) ya que por el lema, 1 * p tiene orden pn en (Jon+l. Por lo tanto ú I pn-I@-L) probar.

y necesariamentet:

p"(p_I) como queríamos

5.5 . ALG EBRAY TEO RI ADE NUM E R O S

193

Finalmente,si p es un primo impar, por el Teorema5.63, Uzo*-U2xUou=U¡" y también U2ebresultacíclicosi k > 1.

n

Podemos resumir los dos últimos teoremas en uno solo estableciendolo siguiente. 5.67 Teorerna. El grupo Un es cícl'icosi y solo s'in es alguno de los números 2,4,pk o2pk conp pri,mo'impar. Usando el concepto de raíces primitivas tenemos: 5.68 Corolario. Un entero n t'ieneraícespri,mi,ti,uas si y solo si n es alguno de los números 2,4,pk o 2pk con p pri,mo xrnpar.

Ejercicios 5.4 1. Construir un isomorfismo de Us sobre [!s. 2. Si g : (a,b) es un elemento del producto directo G x H, probar que eI orden de g es el mínimo común múltiplo de los ordenes de a y b. 3. Hallar generadorespara Uz1, Utz;, y Uazs. 4. Hallar unaraíz primitiva módulo 19.683. 5. Si a es una raíz primitiva módulo p, probar que el número que sea impar entre ¿ y a +pk es una raíz primitiva módulo 2pft. 6. Hallar raíces primitivas módulos 250 y L62.

cAPíruLo 6

Criptografía

6.1

Nocionesbásicas

Los orígenes de la criptografía se remontan al comienzo de nuestra civiIización. En la antigüedad se usó principalmente para el intercambio de información secreta en los campos político y militar, hoy en día su aplicación es fundamental en la transmisión segura de información confidencial a través de las redes de computadores. La criptografía es la parte de la criptología (del griego leripto y logos, estudio de Io oculto) que trata del diseño e implementación de los sistemas secretos. La otra parte de la criptología es el criptoaniílisis que consiste en el estudio de los métodos para descifrar estos sistemas. Los mensajes que un emisor quiere enviar a un determinado receptor son llamados textos planos y los mensajes secretos que son enviados son Ilamados textos cifrados. Los textos planos y los textos cifrados se escriben utilizando w alfabeto que consiste de letras, números, signos de puntuación o cualquier otro símbolo. El proceso de convertir textos planos en textos

194

6. 2. CI FRADO SM O NO G RÁFIC O S

195

cifrados se llama cifrado o encriptación, y el proceso inverso de convertir textos cifrados en textos planos, se llama desci,framiento o desencriptación. Usualmente los textos planos y los textos cifrados se dividen en unidades de mensaje. Una unidad de mensajes puede esta¡ formada por una único elemento del alfabeto o por bloques de dos o mas símbolos del mismo. Las transformaciones que se aplican a Ias unidades de mensaje para convertir textos planos en textos cifrados se conocen con el nombre de transformaci,ones o func'iones de ci,fradoy las transformaciones utilizadas para recuperar los textos planos a partir de los textos cifrados se llaman las transforrnaciones o funciones de d,esciframiento. Se conoce con el nombre de claues a ciertas informaciones que permiten determinar las funciones de cifrado y descifrado. Un sistema criptográfico o criptos'istemaesta formado por un alfabeto, un conjunto de transformacionesde cifrado, un conjunto de transformaciones de desciframiento y un conjunto de claves. Un buen sistema criptográfico es aquél en el que los algoritmos de cifrado y descifrado son sencillos de aplicar conocidas las claves, pero que resulte imposible o muy difícil de desencriptar sin conocer las mismas.

6.2

Cifradosmonográficos

Los cifrados monográficos o de caracteres son aquellos que están basados en Ia'sustitución de cada símbolo del alfabeto por otro símbolo. Los criptosistemas más sencillos de esta clase están basados en Ia aritmética módulo n. La historia afirma que el emperador Julio Cesar utilizó un sistema de estos que consistía en reemplazar cada letra del alfabeto por Ia letra que se encontraba tres posiciones adelante. Usa¡rdo como alfabeto, el alfabeto españolusual, formado por las 2T letras de la A alaZ, donde hemos excluidos las letras CH y LL, vamos a describir como funciona este sistema. Empezamos asignando a cada letra un número que llamaremos su eqziualentenumérico, como se indica en la tabla (6.1).

196

CAPI TULO6

B 1

A

0

C

D

,)

E 4

a

R 18

t7

G 6

F

19

I

H

7 T 20

S

CRI PTO G RA F I A

8

v

U 2l

,,

K 10

L l1

M L2

w

X

Y

23

,A

'¿5

N

N

13

1A

o

P

16

Z 2t)

Teel,a 6.1. Equivalentenumérico Si representamospor P el equivalente numérico de una Ietra en el texto plano y por C el equivalentenumérico de la correspondienteletra en el texto cifrado, para el sistema del Cesar, tenemos la transformación de cifrado, C:P*3(mod27). Para facilidad reunamos los textos planos y los textos cifrados en la siguiente tabla: Texto

A

B

Plano

0

I

Texto

"ó

4

D

E

Cifrado Texto Plano Texto Cifrado

C 2 F

D

tr

3

4

o

7

G

H

F

(i

o

8 I

I J

H

I

,7

8

10 K

J I

K

L

M

10

11

L2

12 M

13 N

T4

l5

L

N

o

l1

N 13

N

o

P

a

X

Y

17

T 20

w

IO

S 19

V

15

R 18

U

I4

21

zz

23

24

OK

16 P

t7

18

19

20

2I

22

23

,A

zh

0

a

R

S

T

TT

V

w

X

Y

26 Z

A

Z 26 2

B

C

Taela 6.2. CifradoC = P * 3(mod 27).

Para cifrar un mensaje usando esta transformación, primero cambiamos cada letra por su equivalente numérico, Iuego cambiamos cada uno de estos números sumándole 3 y tomando el resultado módulo 27, y por último transformamos nuevamentelos números así obtenidos a letras, para obtener el mensaje cifrado que será enviado. 6.L Ejemplo. de Cesar.

Cifremos Ia palabra YACIMIENTO usando Ia transformación

Primero, utilizando los equivalentesnuméricos, convertimos la palabra en números, obteniendo

25 02

8 128

4 132 0

15

197

6.2. CIFRADOSMONOGRÁFICOS

luego cambiamos cada número sumándole 3 y tomando el resultado módulo 27. Este trabajo ya esta resumido en Ia tabla anterior. Como resultado obtenemos t 3 5 11 15 117 L6 23 18 Finalmente el texto cifrado es, BDFLOLHPWR. Para evitar que un criptoanal'isúa descifre fácilmente los mensajes al reconocer ciertas palabras de uso frecuente, es aconsejableagrupar las letras en bloques de un tamaño determinado. 6.2 Ejemplo. Cifremosel mensajeNOS VEMOS MAÑANA EN EL PUERTO usando bloques de tamaño 4. Si escribimos el mensaje usando bloques de cuatro letras, obtenemos, NOSV EMOS MAÑA NAEN ELPU ERTO Convirtiendo las letras en su equivalente numérico tenemos, 13L5t922

412L519

L20L40

Aplicando Ia transformación C : P l3 16L82225

7151822

153173

130413

4L7t621

41820L5

(mod 27), obtenemos 163776

714t924

7272378

Usando la Tabla 6.2 de textos planos y textos cifrados, convertimos Ios bloques anteriores en letras para obtener el mensaje cifrado que se envía PRVY HORV ODQD PDHP HÑSX HUWR Si el número de letras en el mensaje que se quiere enviar no es múltiplo de 4, se añade, cuantas vecesse necesite,una letra arbitraria por ejemplo X para completar el último bloque, o algunos prefieren dejar el último bloque con menos letras que los restantes. 6.3 Ejemplo. Ilustremos ahora como se descifra un mensaje recibido si sabemos que el cifrado utilizado es el de Julio Cesar. Supongamos que el mensaje recibido es KRBH VHÑG LDHV FRJL GRAA Primero convertimos las letras en números usando el equivalente numérico. el resultado es

198

CAPíTULO6 CRIPTOGRAFíA

'101817

227146

113722

518911

61800

Luego aplicamos a cada uno de estos números la transformación : P C - 3 (mod 27) qte es la inversa de la transformación del Cesar. Obtenemosj 7t5254

r94113

80419

21568

i

3152424.

Finalmente escribiendo las letras correspondientesencontramos el mensaje HOYE SELD IAES COGI DOXX que leído adecuadamentese convierte en HOY ES EL DIA ESCOGIDO. Hacemos notar que todo el trabajo anterior se puede leer directamente de la tabla de textos planos y textos cifrados. El cifrado de Julio Cesar es un caso especial de unalransformación Ia forma C:P-fk(mod27),

de

con 0 ( k < 26. Estas transformaciones se llaman translaciones. La correspondiente transformación para descifrar los mensajes cifrados es P : C - k (mod 27). Hay 27 posibles translaciones, Las translacionesson un caso especialde las transformaciones afines q:ue son de la forma c : aP * b (mod.27), donde 0 1 a,b < 26 y (a,27) : 1. Se escogea primo relativo con27 para que cuando P recorra un sistema completo de residuos módulo 27, C también lo recorra. Hay QQ7): 18 eleccionespara a y 27 eleccionespara b, luego hay 486 posibles transformaciones afines. La transformación de desciframiento para una transformación afín es P : a-t(c - b) (mod 27), donde 0
y aa-T =1 (mod27).

La tabla 6.3 da los inversosmódulo 27 de los números positivos menores qre 27 y primos relativos pon 27. 6.4 Ejemplo. Cifremosel texto plano NO TENGO DINEROusandola transformación afín C :'4P * 9 (mod 27).

62

a

1

z

A

a

1

I4

7

7

10 19

8 L7

11

199

CI FRADO SM O NO G RAFI C O S

11 5

13

t4

oÉ

z

16 22

17 8

19 10

22 16

20 23

23 20

T¡gI-a 6.3. Los inversosmódulo 27 de los númerospositivosmenoreseue 27 v primosrelativoscon 27 tltilizando aritmética módulo 27, construimos la tabla correspondiente de textos planos y textos cifrados para esta transformación. Por ejemplo, el equivalente numérico de la letra M es 12 en el texto plano, y aplicando a este número la transformación C : 4P f 9 (mod 27), obtenemosel número 4. 72 + 9 : 57 = 3 (mod 27), que correspondea la letra D, como se aprecia en la columna encabezadapor M de la tabla resultante siguiente. B

Texto

ti

D

I-

J

4

G 6

F

Plano

0

Texto

I

13

17

21

25

2

o

Cifrado

J

N

a

TT

Y

L,

G

I

a

15

P 16

15

19

Texto

o

Plano Texto Cifrado

o

H

I

J

7

8

q

K 10

L

M

N

N

11

I2

13

L4

10 K

L4 N

18

22

26

J

7

11

R

V

Z

D

H

L

w

X

Y

Z

22

23

NA

25

26

16

20 T

,A

I

X

B

S 19

T

TT

17

R 18

20

2I

23

0

4

12

w

A

tr

8 I

M

P

F

Tesla 6.4. UsandoIa transformaciónafín C : 4P * 9 (mod 27). Dividiendo el mensaje en bloques de longitud 4 y procediendo como en el ejemplo 2, encontramos usando la tabla anterior ,que el criptograma o texto cifrado que debemos enviar es HOIY HGOU ÑHYN OXXX La gran desventaja de los sistemasde cifrado que usan transformaciones afines, es la facilidad conque se pueden descifrar analizando la frecuencia conque aparecen las letras en el texto. La tabla 6.5 muestra en porcentaje la frecuencia de ocurrencia de las letras más usadas en Español, en orden descendente. 6.5 Ejemplo. Supongamosque deseamosdescifrar el siguiente texto, suponiendo que fue cifrado usando una transformación afín

RPGNRHPGTG NHZGH E JHODX QRHT I HP J G P DE

200

CAPíTULO6. CRIPTOGRAFíA

E A o 16 ,7 8 1 1, 96 8,69 P 2, 78

L S 8 ,3 7 7,88 M ,1)

Y I,5 4

D R U 7,0r 6,87 4,94 4,80 4,t5

N

a

B 1 ,5 3 0,92

T

C

3,31

,q,

H G F 0,89 0,73 0,52

Teel,e 6.5. Fbecuenciade ocurrenciade las letras más usadasen Español,en orden descendente Las letras que aparecen con más frecuencia en el mensaje son la H que aparece 6 veces y la G que aparece 5 veces. Por lo tanto podemos pensar que Ia E se transforma en H y la A se transforma en G. Como el equivalente numérico de la E es 4 y esta letra se transforma en H cuyo equivalente numérico es 7, tenemos Ia relación 7:4a+b(mod27). Similarmente,tenemosla relación 6:0a

+ b (mod 27).

Resolviendo las conqruenciasanteriores tenemos

b: 6 ( mod27)

y

4a: | (mod 27).

Multiplicando la última congruencia por 7, que es el inverso de 4 módulo 27, obtenemos finalmente a:7

(mod 27)

y

b:

6 (rnod 27).

Concluimos que la transformación afín usada fue C : 7P + 6 (mod 27). Procediendo como en los ejemplos anteriores, encontramos que el mensaje cifrado es UNA BUENACABEZAES MEJORQUECIENMANOS. Es conveniente anotar que dependiendo del módulo n) Lo siempre las congruenciasanteriores tienen solución única. En este caso se escogenlas solucionesque proporcionan mensajesintelegibles, o se utiliza alguna información adicional. Hay otros métodos de cifrado por sustitución más eficaces.Por ejemplo, algunos sistemas usan Ia sustituci,ón poli,alfabéti,ca)en Ia cual se usan varios alfabetos para cifrar los mensajes. El sistema polialfabético más conocido es el de Vigenére, creado por el criptógrafo francés Blaise de Vigenére en 1586. El principal elemento de este sistema es la tabla 6.6, llamada Tabla de Vigenére.

62

s

l3

S

ñ

)

{

añ

S

=

¡ '¡

¡

N

s

>a

=

-{

t

É

3 3 fr

f

)

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J

f.

=

-5

¡r

r

n

n

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I

'n F

3

¡a a

fr

z

7.

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l

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I

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f.

li

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11

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.l

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7

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) I

-

¡

O l

:t)

F

f

-l)

I

¡r

Tael-a 6.6. Tabla de Vieenére

!

)

N

!

\ )

= X

n

m

B

)

r¿. 'n g

.^

s

=

'n F D

ct

J

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i

\

Y,

1

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-

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l

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T1

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-

z

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l

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.l1

207

CI FRADO SM O NO G RAFI COS

S

l

)

¡.1

=

N

202

CAPíTULO6. CRIPTOGRAFíA

En este sistema los distintos alfabetos están formados por las columnas. Para cifrar un mensaje se usa repetidamente una palabra clave, como ilustraremos en el siguiente ejemplo. 6.6 Ejemplo.

Cifremos el siguiente texto

MEDIOCRE ES EL DISCIPULO QUENO SUPERAA SU MAESTRO usando la palabra clave EXITO. Como Ia clave tiene cinco Ietras descomponemosel texto plano en bloques de longitud cinco y lo escribimos debajo de Ia palabra clave, que se repite tantas veces como sea necesario. Para este caso tenemos,

EXITO EXITOEXITOEXITO EXITOEXITOEXITO EXITOEX MEDIO CREESELDIS CIPUL OQUEN OSUPERAASU MAEST RO Enseguida cada letra del texto plano con el alfabeto de la "oáifi"u-o. tabla marcado por la letra de la clave situada en su parte superior. Por ejemplo, en el primer bloque Ia M se codifica como Q usando el alfabetq que empieza por E (la letra-Q está en la intersección de la columna E y lá fila M), la E se codifica como B usando el alfabeto que empieza por X y así sucesivamente.EI texto cifrado'completo es QBLBC GOMXGIILBG GFXNZ SNCXBSPCISVXILI QXMLH VL. Vigenére desarrolló otras clases.decifrado basadas en su tabla, dos de ellos merecen mencionarse. En el primero de ellos la clave es el texto plano y en el otro la clave es el texto cifrado^ Además en ambos casosse conoce la primera letra d{ la clave. 6.7 Ejemplo. Descifremosel mensaje GBDDRUVMZsi sabemosque se utilizó el texto plano comó clave, y gue la primera letra de la clave es T. Con Ia información suministrada, usando la matriz de Vigenére vemos que la primera letra del texto plano es N. Puesto que la clave es el texto plano, N es la segunda letra do la clave y utilizando la matriz de Vigenére, encontramos que O es la segunda letra del texto plano y por lo tanto la tercera letra de l{c\ave, P es la tercera letra del texto plano y en consecuencia Ia cuarta letra de la clave, etc. Continuando este proceso completamos Ia tabla 6.7 donde vemos que el mensaje es NO PODRE lR.

203

6. 2 CI FRADO SM O NO G RAFI C O S

Clave Texto piano Texto cifrado

T

N

N G

(]

o

B

P

P

o

D

D

O D R

D R

U

R

\/

E I M

I R Z

Taela 6.7. Ejemplo6.7 6.8 Ejemplo. Supongamosque conocemosel texto cifrado UIYSAEVJEIZSW y sabemosque H es la primera letra de Ia clave y el texto cifrado se ha utilizado como clave. Para descifrar el mensaje, usamos Ia matriz de Vigenére para construir Ia tabla siguiente que nos revela el mensaje Clave Texto piano Texto cifrado

U

I

Y

H N

o a

U

T]

I

S

Y

S

A

A

E

V

E

_ff

o

tr

V

J

V E

E E

I R Z

I

Z T S

S E

w

Taela 6.8. Ejemplo6.8

Con el fin de evitar el criptoanálisis basado en la frecuenciade las letras, se utiliza el cifrado por transposición que bonsiste en la alteración del orden de las letras del texto original, usualmente de acuerdo a una clave o conveAcióndeterminados. 6.9 Ejemplo. EI caso más sencillo es el de Ia transposición simple de las letras. Por ejemplo, el mensaje ESTE JUEGOES DIVERTIDOIo podemos t dividir en la sieuiente forma

T

OSIET GEDVRI

D

o

y enviar como texto cifrado el mensaje ETJEOSIETDSEUGEDVRIO 6.10 Ejemplo. Si utilizamos como clave Ia palabra TÉATRO, podemos cifrar el mensaje del ejemplo anterior utilizando una matriz,que construimos de la siguiente forma: Primero construimos una matriz c;.tyaprimera fila esta formada por las letras no repetidas de la palabra clave , y cuyas filas siguientes se obtienen escribiendo de izquierda a derecha las letras que forman el texto plano. Luego construimos una nueva matriz permutando las columnas de la matriz

204

CAPíTULO6

CRIPTOGRAFíA

anterior de tal forma que las Ietras de la palabra clave queden ordenadas en orden alfabético. Finalmente el texto cifrado que enviamos se forma con las letras de las columnas de esta última matr\z,leídas de abajo hacia arriba. En este caso Ia primera matr\z que obtenemos es T E

U S R

E S E D T

A

o

T

R E

G

o

J E E

D

o

Despuésde ordenar las columnas obtenemos A

E

o

T G I i

¡i

J E E

R E

T E

o

U

V

o

D

S R

E D T

EI texto cifrado que enviamos es IIGT TDES OEEJ DVOE RSUE.

Ejercicios 6.1

1. Usar el cifrado del Cesar para encriptar los siguientesmensajes: (a) NOSVEREMOS EN ROMA. (b) DE POCOSTRVE DONDEFALTALA PRUDENCIA. LA CIENCIA 2. Descifrar los siguientes mensajes si se sabe que fueron encriptados usando la transformación C : P + 13 (mod 27): (a) ruxoH erNF peolrt FGUs NEoB zBÑE NFZB GENG QFYN XOBZ CNXN ÑTruT.

6 2. CI FRADO SM O NO G RAF I C O S

205

(b) FQNY BPQE NPBG HFHQ ABDH QQXD HQZB YNPE HSNO BZQX FBXZ BSBM NPQX PUNK.

3 . Mediante un análisis de frecuencia descifrar el siguiente texto que fue cifrado usando una translación de Ia forma C : P * k. (mod 27). SIBMW ZPILM UCTMZ WAMAP TXWZB IUBMM UMSMA BCLPW LMSIK ZPXBW SWÑPI. 4. Usar la transformación afín C : I\P * 20 (mod 27) para cifrar el mensajeNo DEJESPARA MAÑANA LO QUE PUEDESHACERHOY.

5 . Descifrar el mensaje EDK BFL EQV DLB LPL FZQ EKZ ZQZ KBB QFQ que fue encriptado usando Ia transformación afín C : 5P i 17 (mod 27). 6. Mediante un análisis de frecuencia desencriptar el siguiente texto que fue encriptado usando una transformación afín TFVS FMKK BUKB CKÑL BFSK MFGL KTFM CKUO ÑvTv DOBOKNMF vilt.

7. Usando la tabla de Vigenére y Ia palabra clave SISTEMA, cifrar el texto NO BEBASAGUA QUE NO VEAS. 8. Descifrar el mensajeVZZOX SFWSP EGSTZ CCZAN VHGDZ TCFRP WZWXT FB que fue encriptado usando la tabla de Vigenére y la palabra clave ROSAL. 9. Descifrar el texto BLRVYHVWBRWWRPCRKTGKRN, si se sabe que fue plano, que primera cifrado usando como clave el texto la letra de la clave es Q y Ia primera letra del texto plano es L.

1 0 . Descifrar el texto RVILLWWOOQSAOBFXW, si se sabe que fue cifrado usando como clave el texto cifrado y que la primera letra de la clave es W. 11. Encriptar los siguientesmensajesusando una transposición simple (a) ESTASAPLICACIONES SONMUY IMPORTANTES. (b) EL DELOrDOES EL SENTTDO MAS FACTL DE ENGAÑAR.

72. CifTaTeI mensaJeUN BUENSUEÑOVALEMASQUECUALQUIER REMEDIO usando una matriz v la palabra clave CARRETA.

206

CAPITULO6

CRIPTOGRAFIA

1 3 . Descifrar el mensaje AOAAUHRZNEUVHRHYNOIOTNEO si se sabe que fue cifrado usando una transposición simple.

14. Descifrarel texto cifrado ITRESORAEACURADITSSEDOMSESEADDMÑN VOUOOLC LNROEEsi se sabe que fue cifrado usando una matriz y la palabra clave PELIGRO.

1 5 . ¿Quétransformación de cifrado seobtiene si se aplica la transformación C : 4P * 11 (mod 27) seguida de la transformación C : (mod 27)?

6.3

70P I20

Cifrado en Bloques

Como los cifrados monográficos o de carácter son relativamente fáciles de descifrar mediante análisis estadísticos, en 7929 el matemático Lister Hill, desarrolló el cifrado en bloques. Este cifrado opera sobre bloques de n letras transformándolos en bloques del mismo tamaño. Para empezar, supongamos que nuestras unidades de mensajes, tanto de texto plano como de texto cifrado, están formadas por bloques de dos letras que llamamos dígrafos. A cada dígrafo le asignamos un vector (i) donde x) y A son enteros módulo 27 cuando usamos el alfabeto español, o más generalmente, son enteros módulo n si el alfabeto en consideración tiene n letras. Por ejemplo si usamos el alfabeto español, al dígrafo ES le correspondeel vector (rf). Antes de dar un ejemplo, recordemosalgunas nocionesbásicasde álgebra , b\ /r\ lineal. SiA: yP: l1',¡ d'/ [ | esun "rnnumatnzdetamaño2x2 \c \a / vector con componentesen un anillo conmutativo con identidad R, definimos el producto AP mediante

o':(z D0:(xi:í) El producto de dos matrices de tamaño 2 x 2 Io definimos como

(z

,r) ( \z

r

s ):

w)

( a r-rb z a y + b w \ \cr*dz

c y * d w )'

207

6. 3 CI FRADOEN BLO Q UE S

si existe otra matriz B tal que Decimosque una matriz A es 'inuersi,ble matrizidentidaId: (I

A B : BA:r ,d o n d e le sla

? ). No t o d a s

I / \U puede demostrar fácilmente que la matriz las matrices son inversibles. Se ( 0 b\ ^ detA: D:ad,-bc A: | , | €slnversiblesiysolosisttdeterm'inante \c

d/

es una unidad del anillo B, es decir D es un elemento inversible para la multiplicación en -R. En tal caso Ia inversa de A, que se nota A-1, está dada oor

¡ - r _ D- '

d

( -c

-b \ o ):

o-Ld -n-'" \ /

-l_,':, )

donde D-r es el inverso del determinante D en el anillo fi. Para cifrar un texto plano usando el sistema de Hill, Io dividimos en bloques de dos letras, añadiendo si es necesario al final una letra X para que todos los bloques tengan el mismo tamaño. Luego hallamos los vectores correspondientesa cada bloque, Ies aplicamos a estos vectores una transformación de Ia forma C = AP (mod n) tomand.o los resultados módulo n, d.ondeA:

( i \c

i )

d '/

es una matriz de

tamaño 2 x 2 corrcomponentes en Zn y tal que (det A, n) : I. Finalmente con los nuevos vectores así obtenidos formamos el texto cifrado. 6.11 Ejemplo. Usando el alfabeto español, cifremos el mensaje YA ENTENDI, aplicando una transformación de la forma C : AP (mod 27 ) con

A : l;

/,)

\o

l\

:t I /

Dividimos el mensaje en bloques de longitud dos, obteniendo YA EN TE ND IX donde la X al final se añadió para que todos los bloques tengan el mismo tamaño. Hallamos los vectores correspondientea cada bloque, estos son

208

CAPITULO6. CRIPTOGRAFíA

(T)(,1)(?)(T)(;.) Aplicamos la transformación c : Ap (mod,2T a estosvectores,obteniendo )

:(?;) G+)(T) :(',;) G;)(,1)

(mod 27)

(mod 27)

:(lt (;l)(?) :(;') (z;)(1i)

(mod 27)

(mod 27)

(z+)(;):(',')

(mod 27).

Escribiendo los dígrafos correspondientes a los vectores encontrados, obtenemos el texto cifrado WO

UH

QN CR NA.

f0t\ t p :- (P'\ observamosque la ecuación ma' \Cr) " \p;/ tricial C : AP (mod n ) es equivalenie al sistema de consruencias Si llamamosC: -

,-'

Cy = aP1+ bP2 (mod n ), C2=cPlId,P2(modn).

Para descifrar un mensaje cifrado mediante una transformación de la forma c : AP (mod n ), hallamos ramatriz inversa A-r y murtipricamos la transformación anterior a la izquierda por A-1 obteniendo la transformación de desciframiento P = A-Ic (mod n ). Lu matriz,4,-l existe puesto que estamossuponiendoque (det A,n) - I. 6.12 Ejemplo. Descifremosel texto sñ RT Bñ ls TJ si sabemosque fue encriptado usando una transformación de la forma c : Ap (mod zi ) . / 4 b\ conA:\a 2)'

6.3. CIFRADOEN BLOQUES

Primero encontramos la inversa de ,4,módulo 27. Sabemosque det A : (mod27); de Ia tabla de inversosmódulo 27,y de 4x23 x 5: -7:20 la fórmula para calcular la inversa de una matriz tenemos

:(:2 ?9 A 4 : n ( ' o -4,t): r n :^-llt ) i-"azz; e 2 )/ \12 r r /' \-6 e \-d ) Enseguida aplicamos la transformación P : A-LC (mod n ) a cada uno de los vectores que representan los dígrafos que forman el texto cifrado, obteniendo:

(13 ?? )(ii):(?)

(mod 27)

:(T) (u?? )(;;) :(?) (u?? )(¿) :(T) (i3?? )(,x)

(mod 27)

(mod 27)

(mod 27)

(re \12

27) ??) (?) : (?:)(m'd

Finalmente interpretando los vectores encontrados como dígrafos, vemos que el texto cifrado correspondeal texto plano: TE NECESITO. Los cifrados por bloques de tamaño dos de la forma C : AP (mod n ) son vulnerables al criptoanálisis basado en la frecuencia conque se presentan los dígrafos en un alfabeto, como veremos en eI siguiente ejemplo. 6.13 Ejemplo. Descifremosel siguiente mensaje si sabemosque los dígrafos que se presentan con mayor frecuencia en Español son ES y LA. MN RX MN XV OU PN BL EH VJ EH DE QF AM EH ND BC KÑ FF RG. Los dígrafos que se presentan en el texto cifrado con mayor frecuencia son EH, que aparece tres veces y MN que aparece dos veces. Por lo tanto EH correspondea ES y MN correspondea LA.

270

CAPíTULO6. CRIPTOGRAFíA

Si suponemosque A:

( " \c

dado que los vectores asociadosa EH, I d/') ,

ES,MNy LAsonrespectivam*," (1), (i) /4\

b\/4 \

/o

(;,) =(;;) \'n ) (m od27)

(il) r (tJ), tenemos

/tz\_(a

Y (;J =(;

b \ / 1 ] )(mo d 2 7 ).

o)\,,

Desarrollando, obtenemos las cuatro congruencias 4: 4a + 19b(mod 27) 7 : 4c + Lgd(mod 27) 12:7Ia (mod 27) 13 : 11c(mod 27). ResolviendoIa tercera congruenciatenemos a : 6 y reemplazandoeste valor en Ia primera encontramos que b : 16. Similarmente de la cuarta y la segundacóngruenciasencontramosque c: 11 y d:8. / 6 16\ -i t procediendo como en el ejemplo ante( ú ), rior, vemos que el mensaje original es Porlo tantoA= =

LA MALA IMAGENDE ESTEESCRITOR ES INMERECIDA. Como en el casode cifrado de caracteres,una forma más general de cifrar por bloques, es aplicando a los vectores :una transformación afín de Ia forma

C:A P *B (modn), /

dondeA:

( i \c

t'

i ) esuna matrizdetamaño2x2 talque(detA,n):1

d/

/ e\ un vector fijo, ambos con componentes en Zn. Puesto que [ I \ J"/ "r A resulta inversible, podemos descifrar los mensajes cifrados mediante una transformación afín, aplicando la transformación inversa

y B :

P:

A -rC - A -rB (modn ).

2rl

6.3. CIFRADOEN BLOQUES

6.14 Ejemplo. Cifremos el texto, LA DESCONFIANZA ES LA MADREDE LA SEGURIDAD,

usandola transformación afínc -= ( 9 -t. ) lÍ) + f21\ ( m od27) ' \ 5 M ) \a) * \tr / Dividimos el texto en unidades de tamaño dos, encontramoslos vectores correspondientesa cada dígrafo, Ies aplicamos la transformacion afín y con los vectores obtenidos construimos el texto cifrado. Los resultad.osson los siguientes: Los vectores originales son

Aplicando la transformación afín a estos vectores obtenemos:

Luego el texto cifrado es BN AC CA OZ YÑ DF NH IB BN JR RJ ZT QX DI ZI AR EN UA Ilustremos como se encontraron los dos primeros vectores del último grupo. Aplicando la transformación afín al vector l1])

\ u/

o¡tur,"rrro,

( ? 14)\o/ : f,f)(mod (mod27 .1) f'l). (?i) 27) ):-\s¡/'\tz) f::). f?1)-\.-, \5 \Lz/ Aplicando la transformación afín al vector 13) o¡t"n"*o, \4/

2z) ( ; ¿ ) (;) . (?;)(m.d2.,: (;?). (?;): (!)(m.d

2r2

CAPíTULO6

CRIPTOGRAFíA

Continuando de esta forma se obtuvieron los demás vectores. Para dar más seguridad a los cifrados en bloques, podemos aumentar el tamaño de éstos. La teoría desarrollada para dígrafos y vectores de dos componentes, puede extendersede manera natural para el caso de unidades de mensaje de tamaño mayor de dos, trabajando con vectores de n componentes y matrices de tamaño n x n que tengan un determinante primo relativo con el módulo n.

Ejercicios 6.2 ( g 13 \ -' (mod rcd,27 )) encriotar encriPtar el mensaje ( ; ;ó ) ' MIENTRAS VAMOSEN POSDE LO INCIERTO PERDEMOS LO SEGURO.

1. Usando el cifrado C =

2 . Hallar la inversa módulo 30 de la matr¡, ( ? \5

.'g ) . 14)'

3 . Descifrar eI texto ÑN rru AM JM BO JH AE ÑK XB DP ES EN JG VL AW ÑA si se sabe que fue cifrado usando el cifrado de Hill, Ct:7Pt

+ 3P2 (mod 27 )

C2 = 6P1-f4P2(mod 27 ).

4. Mediante un cifrado de Ia forma C :

AP (mod 27 ), los dígrafos en español EN y LO se transformaron en NR y KH respectivamente. Encontrar la transformación de cifrado.

f

o.

Mediante un análisis de frecuencia, descifrar el siguiente texto que fue encriptado usando un cifrado digráfico de Hill usando el alfabeto español,QP QF QP lW ZW AN ZT DR QP YQ UD MU SE RR lW JI TY KG LL ES.

b.

Cifrar el texto LA FRASE ES NUEVA PERO LA IDEA NO, usando una transformación afín de la forma C : AP * B (mod 27 ) con

A: (3

\7

3) Y B:fu). 5 /" U1/

64

213

CI FRADO SEXPO NENCI A L E S

7 . Descifrar el mensaje GE QY HJ OE El GE SN AM FQ CH ÑÑ CV zÑ NN UH GH tv xA NF GE cQ Ñr x: KV, si se sabe que fue encriptado usando una transformación afín donde los dígrafos EL, OD y Tl se transformaron en GE, El y XJ respectivamente. 8. Hallar las transformaciones de cifrado y de desciframiento que se utilizan en un sistema donde los textos se cifran aplicando primero la transformaciónC= ( :

i ) l

\d

t] c--\ =1 ( 0 ?^ )t s )-

/

"

(mod27 ) yluego latransformación

(mo d ,2 l ).

9 . Cifrar el mensajeRETIRATE PRONTOusandouna transformaciónde /t 2 5 \ : la forma C AP (mod 27 ) dondeA: 3 4 10 | I \8 4 0 /

CifradosExponenciales

6.4

Los cifrados exponenciales,queson relativamente resistentesal criptoanálisis, fueron desarrolladosen 1978 por Martin Hellman. Expliquemos como funcionan estos sistemas. Primero hallamos el equivalente numérico de las letras que forman el mensaje de acuerdo con la siguiente tabla para el idioma Esoañol. A

B

00

01. : fiz

C

o Iil

D

E

F

03

04

05

P

()

16

17

R 18

G tro S 19

T 20

K

H

I

J

07

08

CIs 1$

U 2l

V 22

L

M

N

N

11

L2

13

14

w

X

Y

Z

23

OA

25

26

TeeI,a 6.9. Equivalentenuméricopara el idioma Español.

Luego agrupamos los números resultantes en bloques de tamaño 2n y escogemosun número primo p de tal forma que el mayor entero que se obtiene escribiendolos equivalentesnuméricos correspondientesa una palabra de n letras sea menor que el primo p. Por ejemplo, en el caso más frecuente, que es el que vamos a considerar, usamos n:2, obtenemos bloques de tamaño 4 y escogemosel número primo p tal que 2626 < p < 262626.

214

CAPíTULO6

CRIPTOGRAFíA

Enseguida escogemosun entero positivo e, llamado la claue de enci'framiento, tal que (",p- 1) : 1, y a cada bloque P de texto plano Ie aplicamos Ia transformación C=P'(modp),0
6.4.1

Algoritmo para calcular P'módulo

p.

1. Encontramos la representaciónde e en base 2, supongamos que esta representaciónes s: (rtrr¡-t" 'r0)2. 2. Calculamos los menores residuos positivos de P,P2,PL,P8,' ' ',P'* módulo p. Esto lo hacemoselevandoal cuadrado y reduciendo módulo p en forma sucesiva. 3. Por último multiplicamos los menoresresiduospositivos de P2'módulo p para aquellos 'i tales que r¿ f 0' reduciendo cada vez el resultado módulo p, paxa obtener el valor de P" módulo p' 6.15 Ejemplo. Calculemos27432r(mod 2897 ). La representaciónde 21 en base 2 es 2I: 2743 = 2743 (mod 2897) 27432:540

(mod 2897)

27434: 1900 (mod 2897) 27438: 338 (mod 2897) 274316= 1267 (mod 2897). Por último tenemos

(1, 0, 1,0, 1)2. Luego tenemos

215

6.4. CIFRADOSEXPONENCIALES

= 2743t6.27434 .2743 : 274g21: 274324+22+20 8r .2743 = 207r (mod 2897 ). 6.16 Ejemplo.

1261. 1900 .2743 :

Cifremos exponencialmenteel texto ESSIEMPRE EQUIVOCARSE GENERALIZAR

usando como número primo p : 2707 y como clave de enciframiento e : 77. Convertimos las letras del texto en su equivalente numérico y formamos bloques de longitud cuatro obteniendo 0604

1304

1800

1108

2600

1804

1919

0804

t2t6

1804

0417

2108

2215

0200

1819

0424

donde adicionamos al final los dos dígitos 24, correspondientesa la letra X, para que todos los bloques tengan cuatro dígitos. Enseguida aplicamos a cada bloque P la transformación Q : Pr7 (mod 2707). Despuésde algún trabajo obtenemos, usando el algoritmo anterior, el texto cifrado que es 0185

2343

1853

09L2

1316 2524

2653

2524

L325

2rLI

1615

0084

2645

1781

1543 0504

Para descifrar un mensaje cifrado exponencialmente, observamos que, como (",p - 1) : 1, existe un entero d talque ed : I (mod p - 1 ); por lo tanto para algún entero ,k tenemos qrrc ed : k(p - 1) + 1 y aplicando el Teorema de Fermat 4.39. tenemos Cd : (P')d : ped : pk(p-r)+L : P(Pp-I)k = P (mod p ). En consecuencia, la función de desciframiento para este cifrado exponencial esta dada por

276

cnpírulo o. cRlprocRnrín P=Cd(modp),

donde d es el inverso de e módulo p _ 7. En general el proceso de cifrar y descifrar mensajes usando exponencia_ .. ción modular puede efectuarse rapidamente utilizanáo el algoritmo mencio_ nado' Sinembargo para que un criptoanalista descifre un rierrsu.¡enecesita una gran cantidad de tiempo de computación para determinar el número primo y la clave utilizados. Aún conoclendo el pri-o p, se pued.ennecesitar muchos años para determinar la cravede enciframiento, cuando p tiene más de 100 dígitos y p es de la forma p:2q* 1 con q primo. Diffie y Hellman desarrolaron un mecanismo para que dos individuos que utilizan cifrados exponenciares puedan compartir la tirma clave. su_ pongamos que para realizar el cifrado se esta utilizando el primo p. se elige un entero a menor que p tal que (o,p - 1) : 1, y cada irrdirri¿uo elige su clave k¿ donde &¿€s ün número pri-o rerativo conp- 1. Luego, el primer individuo eomunica al segundo individuo el entero Ut = akt (mod p), y el segundo individuo comunica al primer individuo el número A2 = akz (mod p), Para encontrar la clave común el primer individuo calcula

l< = y!, = aktkz (mod p), y el segundo individuo calcula Y = Uf, = aktt z (mod p). Aunque una tercera persona conorca ak, y ak2 no puede conocer akrk, sin tener que utilizar un tiempo de computador muy considerable. En forma similar, con un poco de trabajo se puede probar que un grupo de n individuos pueden utilizar como clave común el númercr

2r7

6 5, SISTEMASDE CLAVEPUBLICA

l{ : ¡rk1tc2...t. 1¡¡od tr ).

Ejercicios 6.3 I.

Usando un cifrado exponencial con p : 3253, e: el mensaje NECESITO AYUDA.

35 y n :2,

crfrar

2 . Usandoun cifradoexponencialconp:5209,

e:5y n:2, cifrar el mensajeES MEJORVOLVER ATRASQUEPERDERSE EN EL CAMINO.

3 . Descifrar el mensaje 1359 2666 1617 2169 L2I2 2303 2846 2737 2336 2183 2164 1391 0791, si sabemos que fue encriptado usando un cifradoexponencialcon p :2897, e:2L y n:2. 4. Descifrar el texto clfrado 2147 4620 3987 0775 4346 3888 1538 4620, qluefue encriptado digráficamente usando un cifrado exponencial conp-732Lye:79.

5 . ¿Cuál es la clave común que deben usar dos individuos que han escogido como claveslos númerosk1 : 2L y k2: 38, si el módulo es p : 7Lg y a:5?

6 . Si p : 6833, a : 15 y tres individuos escogencomo claves k1 - 3, kz:25

6.5

y ks:

45, ¿qté número pueden usar como clave común?

Sistemasde Clave Pública

Supongamos que un grupo de personas tienen que comunicarse entre sí en forma secreta y que para hacerlo todos utilizan un mismo tipo de funciones de cifrado. Cada par de personas que desean comunicarse deben utilizar claves de enciframiento que se mantienen secretaspara el resto de los individuos del grupo. Desafortunadamenteen la mayoría de los sistemascriptográficos conocidos, con poco trabajo de computador, se pueden encontrar las claves de enciframiento, Io que hace imperativo cambiarlas frecuentemente. Estos

218

CAPíTULO6. CRIPTOGRAFíA

cifrados donde la seguridad depende de clavessecretascompartidas exclusivamente por el emisor y el receptor, se llaman cifrados de claue secreta. Para evitar los problemas de seguridad que se presentan con los cifrados de clave secreta, se han desarrollado los llamados ci,fradosde clauepúbli,ca. En estos cifrados es prácticamente imposible calcular las claves de desciframiento a partir de las claves de enciframiento. Estos sistemas han adquirido una gran importancia ante las necesidadesmodernas de transmisión de datos confidenciales,transaccioneselectrónicasy otras aplicaciones. En un sistema de clave pública, las funciones de cifrado deben ser fáciles de calcular, pero sus inversas deben ser computacionalmente imposibles de calcular sin la información adicional proporcionada por las claves de desciframiento, que se mantienen secretas. En estos sistemas las claves de enciframiento se publican en un libro de claves, Io que permite que cualquier usuario pueda cifrar mensajes usando las claves públicas, pero solo aquellos que conozcan las claves secretaspuedan descifrarlos. Supongarñosque un grupo de individuos se comunican entre sí usando un sistema de cifrado de clave pública. Cada persona tiene una clave de enciframiento E que es pública y una clave de desciframiento D que es secreta. Sean A y B dos individuos del grupo que se quieren comunicar. Puesto que las clavesE¿, y Ee son conocidaspor todos los usuarios, si A quiere enviarle un mensaje M a B, le envia En(M).El individuo B, que es el único que conoce la clave de desciframiento Dg, recupera el mensaje aplicando Ds a En(M), ya que DB(EB(M)):

M.

Los sistemas de clave pública pueden usarse también para enviar mensajes fi,rmados. Cuando se usan mensajesfirmados, el receptor no solo esta seguro de que el mensaje fue enviado por el emisor, sino que además debe ser capaz de demostrar ante un juez que este mensaje procede efectivamente del mencionado emisor. Si el individuo A deseaenviar un mensaje firmado M, al individuo B, le envía EB(D¿(M)). Para descifrar el mensaje B calcula : Dt(M) y luego EA(DA(M)) : M. Como B primero D7(EB(D¿W))) obtiene un mensaje legible, el sabe que solo puede proceder de una persona que conocela clave de desciframientoD¡, es decir el mensaje ha sido enviado por el usuario A. Este proceso no afecta la seguridad del sistema puesto que solo A conoce D¿ y solo B conoce Dg.

65

SISTEMASDE CLAVEPUBLICA

2I9

6 . 5 . 1 Si s t e m aR S A En 1976 Ronald Rivest, Adi Shamir y Leonard Adleman desarrollaron un sistema de clave pública basado en la exponenciaciónmodular y cuya seguridad depende del hecho de que no existen algoritmos efi.cientesque permitan factorizar un número que es producto de dos grandes primos. EI nombre del sistema RSA proviene de las iniciales de los apellidos de quienes lo desarrollaron. Los autores de este sistema fueron galardonadoscon el premio A. M. Turing en el año 2002. Este premio que se considera equivalente al premio Nobel en computación, fue creado en honor del matemático Británico Alan. M. Turing, por la Association for Computing Machinery (A. C. M.). Veamos como trabaja el sistema RSA. Cada usuario escogedos números primos muy grandes p y q, de aproximadamente 100 dígitos cada uno y calculael número n:pe. Luego escogeun enteroe tal que (",p(")):l,y calcula el inverso d de e módulo g(n). Se publica la clave de enciframiento que esta formada por la pareja de números (n,") y se guarda en secreto la clave de desciframiento que es el número d. Para cifrar un mensaje, transformamos las letras en su equivalente numérico, formamos bloques P de longitud par como en el cifrado exponencial y aplicamos la transformación C:P"(modn),0 7 es prácticamente cero.) En Ia eleccióndel número e tal que (",p(n)): 1 se acostumbraa escoger e tal que 2' > n : pq) para que sea imposible recuperar el texto plano P calculando la raíz e-ésimade C : P" (mod n ). La seguridad del sistema se basa en que el conocimiento de Ia clave de enciframiento (e,n) no permite calcular la clave de desciframiento d, pues para encontrar d tal que de : 1 (mod 9(n) ), huy necesidadde calcular p(n) : (p-t)(q1), para Io cual se

220

CAPíTULO6

CRIPTOGRAFíA

requiere conocer la factorización de n lo que es virtualmente imposible sin conocerp y q.Se sabe que usando el algoritmo de factorización más rápido conocido, cuando p y q tienen 100 dígitos, se requieren 3.8 x 109 años de computador para factorizat el entero n: pq. Sin embargo al escogerp y q debe tenerse cierto cuidado para que no se puedan aplicar algunas técnicas rápidas que se conocen para factorizar un entero positivo n. Las precaucionesmás importantes son: que los dos números primos no seanmuy próximos, uno de ellos debe tener unos cuantos dígitos más que el otro; y que el máximo común divisor (p - t,q - 1) sea pequeño. Observamosque tratar de encontrar g(n) es tan difícil como factorizar n, puesto que si conocemosg(n) entonceslas identidades I.P*Q:n-9(n)+I 2.p-q:

3. p:

@+ q ¡ + ( p-q )

4. q:

@+ q¡ - (p-q)

2

nos indican que a partir del conocimiento de n y g(n) conocemosla factorización de n: pe. En cuanto a la seguridad de este sistema es convenienteseñalar que esta basado en la suposición que no hay un procedimiento computacionalmente eficiente para factorizar eI entero n, si este se escoge adecuadamente. No obstanteTcon el desarrollo aceleradode Ia computación, es posible que algún día existan estos procedimientos y el sistema RSA sea vulnerable al criptoanálisis. 6.1-7Ejemplo. Usemosel sistemaRSA cot n: para cifrar el mensaje

47 x 6L :2867

y e:7

LA SABIDURIA NO LLEGAPORLA EDADSINOPORLA EXPERIENCIA. Primero convertimos las letras en sus equivalentesnuméricosy formamos grupos de longitud cuatro, obteniendo

SISTEMASDE CLAVEPUBLICA

65

227

1100 1900 01 0 8 0321 1808 0013 1511 1104 0600 1615 1811 0004 0300 0319 0813 1 516 1518 1100 0424 1604 1808 0413 0208 0024 donde al final como de costumbre añadimos el número 24 correspondientea la letra X para igualar el tamaño de los bloques. Luego, aplicamos a cada bloque P la transformación C : P7 (mod 2867 ) para obtener el mensaje cifrado que es

2568 2094 2609 2750 2323 L355 0291 0922 ul -b/ 0520 1 1 5 5 2049 0382 1600 0400 2298 2092 2568 2022 2072 2323 1694 0073 2509

6.5.2 Sistemade Rabin En esta secciónpresentaremosun criptosistema inventado por el matemático Michael Rabin, cuya seguridad también esta basada en la dificultad para factorizar grandes números. La función de cifrado es muy sencilla y esta dada por la congruencia C:P(P

+b) (modn)

donde n : pq es el producto de dos números primos impares p y q mlry grandestales que p= q:3 (mod 4),y b es un entero positivo menor que r¿. Como tenemos la siguiente cadena de congruenciasequivalentes C : P(P + b) (mod n) C:P2*Pb(modn) C:

P2 +22-1Pb (mod n), donde 2-1 es el inversode 2 módulo n.

C : (p + 2-rb)2 - (z-t6¡z (mod n) C + (z-rb)2 : (P + 2-1b)2 (mod n)

222

CAPíTULO6. CRIPTOGRAFíA

C + a = (P * d)2 (mod n), con a: Q=Pl

(2-1b)2 y d:2-rb y Pt:Pld,

(modn), donde Ct:Cla

nos podemos limitar a estudiar solo el caso donde la transformación de cifiado es de la forma (6 . 1 ) C : P2 (mod n) Para descifrar un mensaje encriptado usando la transformación anterior, tenemos que resolver la congruencia, considerando a P como Ia incognita. Puesto que n - pq con p y q primos impares, según el Teorema 4.59 resolver la congruencia es equivalente a resolver el sistema C : p2 (mod p) C : p2 (mod q) lo que hace necesario conocer la factorización del número n. Consideremosla primera de Ias congruenciasdel sistema. Supongamos que P es'una solución de ella ) como p = 3 (mod 4 ) tenemos /

o + r \2

/.

^ .e ll¡ 2 (C-n ) = ((P') , n I ./ \ \. ) = PP+r : PPP

:PP :P2 : C (mod p), ya que por el Teorema de Fermat Pp : P (mod p). El cálculo anterior nos muestra que una solución de la primera congruen(mod p ). Obviamente otra solución de la primera cia es precisamente6? (mod p). En virtud del Teorema de Lagrange, la concongruenciae -CT gruencia no tiene más soluciones. Similarmente, las solucionesde Ia segunda (mod q). congruencia del sistema son C# (mod q) y -C+ Por lo tanto, si suponemosque las solucionesde la primera congruencia son o y b, y las de la segunda son c y d entonceslas solucionesde la congruencia (6.1) son las que resultan de resolver los siguientescuatro sistemas de congruencias

6,5, SISTEMASDE CLAVEPÚBLICA

I. r: r: 2. r: r: 3. r: r: 4. r:

223

a (mod p) c (mod q), a (modp) d (mod q), b (mod p) c (mod q), b (mod p)

r=d(modq), La solución de esta clase de sistemasse estudió en la sección4.g. Desafortunadamenteencontramoscuatro valoresposiblesde p para cada texto cifrado usando una transformación de Rabin esto complica bastante la , tarea de desciframiento de un mensaje y se considera una de las debilidades de este sistema. 6.18 Ejemplo. Descifremos el mensaje 0553 1-17gque nos fue enviado usando una transformación de la forma c : p2 (mod n) col n: 4T . 5g : 2773. Para descifrar el primer bloque 0b53, tenemos que resolver el sistema de congruencias 553 : P2 (mod 4T) 553 = P2 (mod b9) De acuerdo con la teoría desarrollad.a,las solucionesde la primera congruencia del sistemason 55312(mod a7) y -bb3iz (mod,4T y las soluciones de ), la segundacongruenciason bb315(mod bg y -b5815 (mod b9 usando el ) ). algoritmo estudiado en la sección 6.4 para calcular potencias de un número módulo p, obtenemos que las soluciones de la primera congruencia son 6 (mod 47 ) v ar (mod 47), y las sorucionesde la segunda congruencia son 9 (mod 59) y 50 (mod b9). Enseguida, tenemos que resolver los cuatro sistemas de conqruencias I. r:6

(mod 47)

r=9(modb9),

224

CAPITULO6. CRIPTOGRAFIA

2 . r:6

(mod 47)

r : 50 (mod 59),

3 . r:

4I (mod 47) (mod 59),

r:9 4. r:

4I (mod 47)

n:50

(mod 59).

Utilizando los métodos estudiados en Ia sección4.8, Ias solucionesmenores que n : 2773 de estos sistemasson respectivamente2074,0758,2015y 0699. De acuerdo a Ia tabla 6.9, la única solución que tiene sentido es 2015 que correspondeal dígrafo TO. En forma similar para descifrar el bloque 1178, tenemos que resolver el sistema de congruencias 1178: P2 (mod 47) 1178= P2 (mod 59). Las soluciones de la primera congruencia son 117812 (mod 47) y -t17812 (mod 47), y las solucionesde la segundacongruenciason 117815(mod 59) y -777815(mod 59). Usando el algoritmo estudiado en la sección6.4 para calcular potencias de un número módulo p, obtenemos que las soluciones de Ia primera congruencia son 12 (mod a7) y 35 (mod a7) ,y las soluciones de Ia segunda congruencia son 36 (mod 59) y 23 (mod 59). Resolviendo los cuatro sistemas de congruencias 1. r :1 2

( m od47)

n = 36 (mod59), 2. r:

1 2 ( m o d47)

r :2 3

( m od5 9),

3 . r :3 5 (mod 47) r :36 (mod 59), 4. r :3 5

r :2 3

(mod 47) (mod 5e),

6.5. SISTEMASDE CLAVEPÚBLICA

225

obtenemos, las solucionesmenores que n :2773 de estos sistemas,que son respectivamente2691,0200,2573y 0082. De acuerdo a la tabla 6.9, la única solución que tiene sentido es 0200 que correspondeal dígrafo CA. Por lo tanto el mensaje que nos enviaron esta formado por la palabra TOCA.

6.5.3 Sistemade la mochila Este es un criptosistema de clave pública que esta basado en el llamado "Problema de la mochila". Se trata de un antiguo problema que consisteen llenar una gran mochila con cierto número de artículos de tal forma que escogiendoen cada caso, uno o ninguno de los artículos, se cubra exactamente el volumen de la mochila. Matemáticamente podemos describir el problema de Ia siguiente forma: Dado un número positivo V y tn conjunto de enteros positivosclr¡a2¡...r&n buscamostodos los valoresfrrtr2t.. .,frn con Í¿ : Q o fri - 1 que satisfagan la ecuación V : atrL I a2r2 I ... I annn. Observamosque el problema puede no tener solución , tener solución única o tener varias soluciones.Como conjunto de números ctrrtd2¡...,an se acostumbra a escoger wa suces'iónsupercrec'iente,es decir una sucesión que satisfaceIa relaciónak+t ) Df:to¿ para todo k : I,2,.. . ,n- 1. Por ejemplo, Ia sucesión4,7,L5,32,68 es una sucesiónsupercrecientepues 7 > 4,L5 >

4 + 7 , 3 2 > 4 + 7 + 1 5y 6 8> 4 +7 +L 5 +3 2 . Si elegimosa V como la suma de algunos o todos los números de una sucesión supercrecientea1, a2t . . . , o,n,el problema de la mochila tiene solución única que puede encontrarse utilizando el siguiente algoritmo: Primero elegimos rn como

, " , : t f tsivla,. 0siV2a, y luego para i : rL- 7,h - 2,. . .,1 elegimos

_ _ I 1 si v -Dl:o*ra¡,r¡a) a¿ -' I o si Iz -DT:.. rakr,k< ai

226

CAPITULO6. CRIPTOGRAFIA

6.19 Ejemplo. Consideremosla sucesiónsupercreciente4,7,15,32,68 y resolvamos el problema de la mochila con V - 90, es decir resolvamos la ecuación90: 4rtI7r2 * 1523l32ra* 6815,dondelos r¿ debenser 0 o 1. Siguiendoel algoritmo, como 90 > 68, tomamos fr;:7. Como 90 - 68 . 1 : 22 < 32, tomamos 14 : 0. Como 90 - 68 .L - 32.0 : 22 ) 15, tomamos 13 : I. Como 90-68 .L-32.0- 15'1 : 7 ) 7, tomamosfr2 : 1 y finalmente como 90- 68. 1 -32-0- 15. 1 -7'l - 0 < 4, tomamosfrt : 0.Por lo tanto la solucióndel problema es 90 :7 * 15 + 68. Expliquemos como funciona el sistema de cifrado de la mochila. Primero, cada usuario escogeuna sucesiónsupercrecientede enteros positivos (ot,a2,-..,an) de una longitud previamenteacordada,usualmentela longitud es un múltiplo de 5. Luego escogeun entero m tal qrte m ) 2an y :urr enterotr tal que (.,*): 1, y forma la sucesión(.r,.2, . . . ,w,") de menores residuos positivos módulo rn, donde u)7: u)a1 (mod rn, ), utz = ua2 (rnod m ), ..., un: uan (mod rn ). Esta sucesión,que ya no es una sucesiónsupercreciente,se comunica como la clave pública, en tanto que se guarda secreta la clave de desciframiento que es la pareja de números (^,r-') donde t¿-l es el inverso de t¿ módulo rn. Para cifrar un mensaje agrupamos las letras consecut"ivasen parejas, ternas etc. de acuerdo con la longitud de las sucesionessupercrecientesy usamos la tabla 6.10 la cual se obtiene al escribir los equivalentesnuméricos de las letras en base dos, para así dividir el mensaje en bloques de longitud 5, 10,15,etc, segúnel caso. Luego efectuamosel producto punto de los vectores cuyas componentes son estassucesiones de cerosy unos,y el vector (rt,.2,...,wn).El mensaje que enviamos es el conjunto de los productos así definidos. Recordamosque el productopunto de dos vectoresa : (ar,a2,. . . ,an) y b : (h,bz,. . . ,bn), se define como el número a .b :

a tb t I a z b z I ... I anbn.

6.20 Ejemplo. Cifremos el mensaje SIEMPREHAY ESPERANZA, usando la sucesiónsupercreciente (3, 8,15,29,58,117,240,475,952,1-901), y escogiendo m:3852 > 2.1901 y lJr:875, donde (3852,875):1.

6.5 SISTEMASDE CLAVEPUBLICA

A B C D E F

G H I

00000 00001 00010 00011 00100 00101 00110

J

K L

M N N

o

00111 P

01000

a

01001-R 01010 S 01011 T 01100 U 01101 V 01110 W 01111 X 10000 Y 10001 Z

227

10010 10011 10100 10101 10110 10111 11000 11001 11010

T¡,eLA.6.10. Equivalentesnuméricosen base2 Multiplicando cada número de la sucesiónsupercrecientepor ?r;y tomando el resultado módulo rn, obtenemos la sucesión (2625,3149,1569,2263,674, 2223,L992,3461, 968,3163). Dividiendo el mensaje en bloques de dos letras y tomando los equivalentes numéricos de acuerdo con la tabla 6.10, tenemos los siguientes bloques de diez dígitos de unos y ceros, cada uno 1001101000. 0010001100 1000010010 0010000111" 0000011001 0010010011 1000000100 1001000000 0110111010 0000011000 Ef'ectuandolos producto, prrrrto de cada uno de los vectores que tienen como componenteslos bloques anteriores, con el vector cuyas componentes son la sucesión antes obtenida, encontramos el conjunto de números que enviamos como mensaje cifrado. El resultado es '

7554,7022,5816,9161,7378,7923,6086,4888,9606,4275.

Para ilustrar como se obtuvo el primero de los núr4erosanteriores,evaluamos el producto punto 1569,2263,674,2223,1992,3461,968, 1561): ,t,,0,0,1,1,0,1,0,0,0). (2625,3148, :2625 + 2263+ 674+ 7992:7554 Los demás números se calculan en forma similar. Para descifrar un mensaje, primero hallamos el inverso de t¿ : 875 módulo 3852, este es u-l : 383. Luego, multiplicamos eada número del

228

CAPíTULO6. CRIPTOGRAFÍA

mensaje recibido por ?r-1 - 383, tomando el resultado módulo 3852, y resolvemoslos problemas de la mochila resultantes con respectoa la sucesión supercreciente original (3,8, L5,29,58,177,240,475,952,1901). Por ejemplo para el primer número tenemos 7554 .383 : 330 (mod 3852) y resolviendo eI problema de Ia mochila para V : 330, con respecto a la sucesiónoriginal obtenemos 330 : 3 + 29 + 58 + 240. Esto nos indica que el primer número correspondeal bloque 1001101000,que representa el diagrama SI. Dado que en 1982 Shamir encontró un algoritmo para resolver el problema de la mochila en tiempo relativamente corto, estos sistemas ,aunque se han modificado para mejorar su seguridad, no son confiables como sistemas de clave pública. Para finalizar este capítulo, queremos señalar que el objetivo que nos propusimos fue interesar al estudiante en el conocimiento básico de estos temas, ya que el estudio de la Criptología es hoy en día una de las ramas de mayor desarrollo, con métodos basados en matemáticas avanzadasy en teoría de la computación.

Ejercicios 6.4 1. Cifrar el mensajeEL FINALESTAPROXIMOusandoel sistemaRSA con n:37.73y e:17.

2 . Un texto cifrado usandoel sistemaRSA con (",n) : (5,7663) es 5033 6283 5033 1458 5927 2550 6616. Hallar el texto plano correspondiente.

3 . Hallar los primos p y q úilizados en un cifrado RSA, si se conoce que n:3L62I

v ó@) :3L212.

4 . En un sistema RSA se sabe que n : 153863,ó@) : 153000y que la clave de enciframiento es e : 19. Hallar la clave de desciframiento.

5 . Probar que si un criptoanalista descubreun mensaje P que no es primo relativo con el módulo fl : pe, usado en un cifrado RSA, entonces puede factorizar n.

6.5 SISTEMASDE CLAVEPUBLICA

229

6. Probar que Ia probabilidad de que un mensaje P cifrado con un sistema 1 + 1 - 1. RSA, no sea primo relativo con el módulo , ", pqpq 7. Usando un cifrado de Rabin de Ia forma C : P(P * 9) (mod 9379 ), cifrar el mensajeTODO SE PAGAMENOSLA SALUD.

8 , Descifrar el siguiente mensaje 0009 1460 3224, qluefue encriptado usando una transformación de la forma C : P2 (mod3233). q

Determinar cuáles de las siguientessucesionesson suDercrecientes: (") (2,7,20,35,62) (b) (5, 12,25,43,90,178) (") (a,9,L6,32,61,160)

1 0 . Usando la sucesiónsupercreciente(2, 3, 7, 14, 3A,57, 115, 230,472, 940) corrm : 2712 y u :595 encriptar el mensaje EL PRECIOSE OLVIDA LA CALIDADPERMANECE. 11. Descifrar el mensaje 561 168 220 613 573 348 168 170 220 052 495 000 393 613, que fue encriptado usando la sucesión supercreciente , (L2,20,36,74,163)con m:372y u:77.

Lo7 cAPíru

Fracciones continuas

En este capítulo vamos a estudiar las fracci,oness'imples,sus propiedades más importantes y algunas de sus aplicaciones. Una fracción cont'inua es una expresión de la forma, b1

at+

b2

az* o3t

bs . a¿+ "'

donde los a¿y b¿son números reales o complejos. Si todos los b¿son 1, o1 es un entero arbitrario y todos los a¿ con i ) 2 son enteros positivos, decimos que la fracción es una fracción cont'inua si,mple. Por lo tanto una fracción continua simple tiene la forma, at+ a2+

7.1, FRACCIONES CONTINUASFINITAS

23r

donde los a¿ son enteros y a¿ ) 0 para i > 2. Los números ¿i en una fracción simple se llaman los términos de la fracción. Si el número de términos de una fracción continua simple es finito, decimos que Ia fracción es una fracción continua simple finita y claramente representa un número racional. Si el número de términos es infinito, decimos que la fracción es rna fracción conti,nuasi,mplei,nfinita y en este caso, hay que precisar su significado matemático. Únicamente vamos a estudiar fracciones continuas simples, por Io tanto cuando hablemos de fraccionescontinuas, asumirernosque ellas son simples aunque no Io mencionemos explícitamente.

7.t

Fraccionescont¡nuasfinitas

La fracción continua finita,

a t*

az*

az+

se representapor la notación lot,oz,...,an) y es simplementeun número racional que se obtiene efectuando las operacionesindicadas. EI recíproco de esta afirmación también es cierto es decir tenemos el siguiente resultado. 7.1- Teorema. Todo número racional pued,eerpresarse conxouna fracción cont'inua si,mplefi,ni,ta.

Demostrac'ión. Sea r :

p q

un número racional con q > 0. Aplicando repeti-

232

CONTINUAS CAPITULO7. FRACCIONES

damente el algoritmo de Ia división tenemos

.

p:qat+rI)

0
q:

r1a2I 12,

0112111

rt:

T2az* rz¡

01rs112

T n- 2a n -l * T n -7 ,

0 1 r' r,-t 1 rn-2

r n- 3: Tn-2

:

Tn-lan

*

Corl f7, :

Tn

Q.

Como los residuos rr,r2,.. . forman una sucesióndecrecientede enteros positivos menores eue Q, el proceso debe terminarse en un número finito de pasos con un residuo rn :0 como se ha indicado. Las ecuacionesanteriores pueden escribirse en la forma Prl '--o,r+ qq^

1 o

- -at*

q12

1

' -a 2 --:A2 r* T trl _ rr1 3 1 - - aS + 1212ñ

: A3 -T :

T_'-t: an-r *U:L : o^-, + # Tn-2 Tn-2

;*,

rn-2 't'n-l

- cr'n

y por sustituciones sucesivasobtenemos

? :at1. q

azl

oB + a++

' . +- L

:l a tra z r...ra n ]'

n

7.1, FRACCIONES CONTINUASFINITAS

7.2 Ejemplo. Exprese-o,

f

233

comofraccióncontinuasimple.

Tenemos, -63:11 '(-6)+3 11 :3.3+2 3:2.1*1 2:I.2+0, Iuego

-63 11

1

:-6*i:-u*

11 3

1

: -6*

t*d

2

1

:_6+_

1

3+_

3 2 1

:_6+_

1

,*

,

,+, : [_6,3,I,2].

Escribiendo el último término en la forma 2 : I a 1, observamostambién Qü€t

-6 3 :-6 + tt '

3* 1 +-

t

1 +1 1

: [-6, 3, 1, 1, 1]. En geheral, todo número racional puede expresarse como una fracción continua simple finita de dos formas diferentes. En efecto, si 4 : fot,oz,...anl q

234

CA PI TULO7. FRACCI O NES CO NTIN U A S

con an ) 1, escribiendo el último termino o,nen la forma an : (an - 1) + 1 tenemos pl - IrIf, ., q_: latra2¡. ,an]: lolrozr...ran-l,an y si ar:

1, podemosescribir an-rI

!: anr

an-t+ +:

an-1lI

y por Io tanto pr : lat, a2t. , . , an] : lot, oz, . . . ¡ an-2tan: I 7]. qEI razonamiento anterior también nos muestra que si una representación de un número racional como fracción continua finita tiene un número par de términos, su otra representacióntiene un número impar de términos.

Ejercicios 7.1 Expresar cada uno de los siguientesnúmerosracionalescomo una fracción continua simple finita. 7. L28143.

2. rr21253. 3. 302153. 4. -72123. 5 . -lo0 1 3 7 . 6. -4261107. 7. Expresar como fracción continua simple los números racionales3,14159 y 3.1416. ¿Qué se puede conjeturar sobre la representaciónde 7r como una fracción continua simple? En los ejercicios 8 al 11 determinar el número racional representado por cada fracción continua simple.

7.2. CONVERGENTES

235

g. [ 1 ,3 ,1 ,2 ] . 9 . l-4,2 , 3 , 5 1 . 1 0. [ 0 , 3 , 2 , r ] . 1 1. [ -1 , 2 , r , 2 , L , 2 ] . 12. A partir del Teorema 7.1 deducir un método rápido para expresar un número racional positivo como fracción continua simple. 13. Para 2 < k ( n, probar que la1,a2,...,an]: donderk : lak,ak+t¡.. .,anf.

lot,or,..., ak-t,rkf

de I 14. Si p> q > 0 y o¿:[aua2,...,orr], encontraruna representación como fracción continua simple finita.

7.2

Convergentes

Dada una fracción continua simple lor,or,...], eue puede ser finita o infinita, definimos sus conuergentes o red,ucid¿scomo los números racionales C¿: lat,a2t...,a¿-r,a¿] donde'i : I,2,3,.. 7.3 Ejemplo. Consideremosla fracción continua finita [2,4, 1,6]. Sus convergentes son

cr: l 2l :2 -1 9 C,2 L:1 ,r ' 42 4 .4 1:2 *

Ce:12,4,1]:, * +: + n+ 1

: )2 1 -l Ca : 1 2 ,4 ,L ,6 4 +-

1 1* 6

34 queen el casode una fraccióncontinuasimplefinita [a1,a2,. . . , an] Observamos su última convergenteCn es simplementeel número racional representado por dicha fracción.

236

CAPíTULO7. FRACCIONES CONTINUAS

7.4 Ejemplo. Consideremosla fracción continua simple infinita [3,2-,6] donde Ia barra sobre los enteros 2 y 6 indica que ellos se repiten indefinidamente. Una fracción de esta clase se llama peri,ódi,ca,lostérminos 2, 6 forman el periodo. Las convergentesquinta y sexta de esta fracción son

r

C5 :[3 ,2,6,2,6] :3f---

:-

-1

2+6+_

627 181

1 1

,J- -

-'6

1

C6 :[3 ,2,6,2,6,2] :3a

tgst 1

2+

390

EI teorema siguiente nos permite calcular fácilmente el valor ¿" ttu, convergentes de una fracción continua. 7.5 Teorem a. Sea Cn :

p-n Qn

Ia conuergenten-ésdma d,euna fracc'ión con-

ti,nuasimple layor,...]. Defi,nam,os ademásp0 : l, Q0 : L. Entonces se tienen las fórmulas de recurrenc'ia Q-r: pn:

clnpn-t* pn-2,

Qn :

a n Qn - L

I

0, p_t :0

y

(7.1)

Qn - 2 t

para todo n ) L. uóIi.d,as

Demostrac'ión. La demostración es por inducción sobre n. fórmulas (7.1) se transforman en Pr:ar'1+0:ar, Qr:&r'0f1:1, Th

luego C1 : a : a1 : la1] como se requiere. Qt

Si r¿ :

1 las

237

7.2 CONVERGENTES

Supongamos ahora que el resultado es cierto para n fracción continua. Tenemos Ck+t : lor, or, . . ., dk, a*+t] :

k y cualquier

1l

I l o r,o r,...,ak- r ,ate" * t)

y por la hipótesis de inducción /.\

+ #*..)Po-t+ Pu-' cn+t: \or l\ a *+;i- 6+r l w -tl q n -z / an+t (anPn-t -t pn-z) * P*-t ax+t(anen-t -f qn-z) I qrc-t at+tPn -f Pt -t _ a*+tQtcI qt"-t' En consecuencia pk+t:a¡¡tFI"tpk_t¡ qk+r: ak+LqkI qnt. Por lo tanto, las fórmulas (7.1) son válidas para todo entero n)

l.

!

Para calcular las convergentesde una fracción continua usamos las fórmulas de recurrencia, elaborando una tabla como en el ejemplo siguiente. 7.6 Ejemplo.

EvaluemosIas convergentesde Ia fracción continua 13,4,I,2,2].

Elaboramos la tabla siguiente: 101 a'¿ D; Q¿

C¿

1 0

3 3 I 3

4r22 13 16 45 106 451433 13l4 16/5 45114 106/33

En particular, el valor de la fracción continua es la última convergente C5, es decir [3,4,1,2,2]: 10613l. Vamos a deducir algunas propiedades de las convergentes que nos permitan precisar el significado de una fracción continua infinita y nos mostraran como se pueden usar las convergentes de una fracción para encontrar aproximaciones de un número irracional.

238

CAPíTULO7. FRACCIONES CONTINUAS

7.7 Teorem a. Sea Cn :

p-2 Qn

la conuergenten-ésima d,ela fracci,ón continua

si,mplelot,oz,...f , entonces - pn_ren: (-1)" pnen_1.

(7.2)

paratod,on)1.

Demostrac'ión. La demostración es por inducción sobre n. Si n: pteo- poqr:¿r

1 tenemos

. 0 - 1 . 1 : (-1) : (-1)1

puesto eue pr : ar y por definicióo po - 1 y go : 0. Supongamosque el resultado es cierto paran: tenemos

k. Por las fórmulas (7.1)

Pn+tQte- pkqk+r : (an+tpx -l pn-r)qx - Pn(an+tqn-f qn-t) : -(PnQn-t - Pt"_tQn) : _(_1)k : (_l¡t+t y por el principio de inducción matemática, (7.2) es cierta para todo n) I. ! 7.8 Corolario.

Para todo n ) 2

cn - cn -t-

(-1 )"

.

( z.g)

Qn Qn - l

Demostrac'ión. Dividiendo (7.2) por enen-r tenemos eI resultado deseado. ¡ 7.9 Corolario. Para todo n ) I, (pn,er) : I.

Demostración. De (7.2) se sigue que P'

Qn-1

¡1Y

+ Qn

y por el Teorema 2.lL (pn,e",.): I.

Pn-7

: I

Ct)*t

n

239

7, 2 CO NVERG ENTES

7.10 Teorerna. SeaCn : H Ia conuergenten-és'irna de la fracczón continua si,mplelor, or, . . .), entoncei p n Q n _ 2_ p n _ 2 e n :

¡_ I)-ra n

paratodon)7. Demostrac'ión. Para n ) I, por las fórmulas de recurrencia y eI Teorema 7.7 tenemos PnQn-2 - Pn-2Qn:

(arpn-t :

I

an(Pn-tQr-2

pn-z)qn-2

- Pn-z(anQn-t

-f qn-2)

- Pn-2Qn-t)

: on(-r)-7.

tr

Dividiendo por enen-2 tenemos el siguiente corolario. 7.11 Corolario. Para todo n > 3, Cn - Cn-z:

( -l\n-L an l---:l--.

(7.4)

QnQn-2

7.L2 Teorema. ,SzCn : H es la conuergenten-és'ima de lh fracción conti,nua si,mplela1,a2, . . .), eñtoncesp&r'atodo n ) L Qn )

Qn - t

y la desi,gualdades estricta para n > L. Demostrac'ión. La demostración es por inducción sobre n. Si n : 1 la desigualdad se reduce a qt ) eo : I que es verdadera puesto que q1 es un entero positivo. Supongamos que Ia desigualdad es cierta para n : k. Usando el Teorema 7.5 y observando que o/r+1) 1, tenemos qk+I: au+tQte I qn¿ ) qu + qk4 > qk. Por Io tanto el resultado es cierto para todo entero positivo n ) I.

n

7.13 Corolario. Para todo n ) 7, en ) n. Demostrac'ión. Corno e0 : 1, el resultado es consecuenciade Ia desigualdad estricta. n

240

CAPITULO7. FRACCIONES CONTINUAS

7.L4 Teorerna. Las conuergentesCn de una fracci,ón continua simple sati,sfacenlas desi,gualdades Ct1Cs1C51"., Cz> C+) C6)... Ademd,stoda conuergente¿m,pares menor que toda conuergentepar.

Demostrac'ión. Si n ) 3 y 7? es un entero impar, el lado derecho de la ecuación (7.4) es positivo y por Io tanto Ias convergentesimpares forman una sucesión creciente. En forma similar se ve que las convergentespares forman una sucesióndecreciente. Por el Corolario 7.8 tenemos que Cn-Cn--t:[,

( -1\n

paran>.2.

Qn Qn - l

Tomando n:2k

tenemos Czt"-Cn"'.t-

1

t0, QznQzn-t

luego Cn" 2 Cz*-t para todo k > L.

(7.5)

Sean ahora r y s dos enteros positivos arbitrarios. Se pueden presentar 3 casos:T)srT:So r<s. 1. Sir)sentonces Cz"-t l Czr-t pues las convergentesimpares forman una sucesióncreciente. Además por (7.5) Czr-t 1C2,, por lo tanto Cz"-t 1Czr. 2. Si r:

s por (7.5) Cz"-t 1Czr.

247

7.2 CONVERGENTES

3. Sir(sentonces C2" 1C2, pues las convergentespares forman una sucesióndecreciente. Además por (7.5) Cz"-t 1C2", por lo tanto Cz"-t 1Czr. De (1), (z) v (g) concluimos que toda convergenteimpar es menor que toda ! convergentepar.

Ejercicios 7.2 de cadauna de las siguientesfraccionescontinuas Encontrar las convergentes y verifrcar que satisfacenel Teorema7.14. L . [ 1 , 3 ,2,7,2]

2 . 13, r,4 ,5 ,6 ,2 f 3 . l-2,3 1 , ,1 ,3 ] Elaborando una tabla apropiada encontrar las primera 7 convergentesde cada una de las siguientesfraccionescontinuas: 4. [3,7,L5,1,292,1,1]

5. [3,8]

rFl 6. 14,IJ, 7. Si ¿r > 0 y pnlqn:

fat,...,anl probar que para n)

7, pn/pn-t:

lan,'.',at] 8. Si p.f q. : lat,. . .,an] probar que para n ) 2, enl en-t : farí,. . .,azl '

9. Probar que las convergentesde Ia fracción continua periódica [1,T] son Cn: Fn+tlFn donde las fl,, son los números de Fibonacci.

242

7.3

CAPITULO7. FRACCIONES CONTINUAS

Fraccionescontinuasinfinitas

El teorema siguiente nos permite darle significado preciso a una fracción continua simple infinita. 7.15 Teorema. 5¿ fot,oz,ot,...l es una fracci,óncont'inuas'implei,nfini,ta e; es su n-és'ima conuergente,entoncesetiste un número real r tal U Cn: que

r : ]\c.. Dernostrac'ión. Por el Teorema 7.14 las convergentes impares forman una sucesióncreciente y acotada superiormente de números reales, por lo tanto forman una sucesiónconvergente. Similarmente las convergentespares son una sucesión convergente ya que forman una sucesión decreciente y acotada inferiormente. Supongamos que

t'

)\cz" t: .l

.-r\czn:

M'

Veamos que -L : M,Io cual implica que

)*c":

t''

En efecto,por los Corolarios 7.8 y 7.1.3tenemos

(t -r12" -'

1

( -, - L) QznQzn-t Znlzn

01Czn-Czn-t: luego ]y.¿(Cz"

- Czn-t) :0,

y por lo tanto

)*c"

-,\g

c2 n -r:0,

es decir M:L, comoqueríamosprobar.

n

CONTINUASINFINITAS 7 3. FRACCIONES

243

ia fracción continua simple El teorema anterior nos sugiere que definamos Por Io tanto definimos infinita for,oz,or,..'] como eI número real z' lotror,as,...]

::x:

lim Cn

donde Cn -- QnlQnes Ia r¿-ésima convergente' 7.16Teorerna.Elnúmerorealrd'elteoremaanterioresunnúmeroirra. c'ional. que Demostraci,ón. Pot los teoremas anteriores tenemos Ct 1 Cs < Cs 1 "' < r 1 "'Ca 1 Ca 1 C2' entre cn y cn+r, por Io tanto ruegopara cualquier valor de rz, a siempre esta

o
p.l

t con b > 0'

de la

1

^l' ^**' 0
QnIT

que b 1 qn+t,lo cual es posible Escogiendo rz suficientementegrande para que el entero I oq'-bp"l porque los enteros qn creceÍrcorrni tertd'ríamos necesariamenter es un Lstaría entre 0 y 1 lo cual es imposible' Luego número irracional. Veamosahoraquetodonúmeroirracionalsepuedeexplesarcomouna ¡ fracción continua simple infinita' entoncesr puede erpresarse 7.I7 Teoterna. sea r un número irracional infini'ta' d,emanera única como una fracción continua si,mple podemos expresar el número r Demostración. sear un número irracional, en Ia forma I tr:al-;,

244

CAPITULO7. FRACCIONES CONTINUAS

co n ¿1: [r ] y 0 . + . 1 . como r es irracional se tiene que 11 es irracional y como 0 < f tiene que n1 ) L. Podemos expresar rD1en la forma

rt:

d o n d e a z :lr iy0 <

az+

< t se

7 I2

*.t.

Resulta qtJea2 es un enteropositivo y 12 es un número irracional mayor que 1. Procediendoen forma recursiva,podemosexpresax el número c¿ en la forma ri:

ei+t+

1 a¿+t

donde a¿+L: [z¿]es un entero positivo y fr¿+t es un número irracionar mayor que 1. Por lo tanto tenemos la representación

fr-at+:a t*

t Í1 1

1

a2¡ r2

: fatra2ragl...1.

Finalmente, como a1 : [r] y para cada i, ) 1 tenemos ai+r : [x¿1,la representación de u como fracción continua simple infinita es única. !

7.18 Ejemplo.

Expresemos rá0 como una fracción continua simple infini-

245

7.3 FRACCI O NES CO NTI NUASI NF I N I T A S

ta. Como 3 < /m

( 4, entonces [[10] - 3 y por lo tanto,

, / L o:3 +(/1 0 -B )

:t*=-

(./to- s;

- 2 T- | _d-

6 +(/1 0 -3 ) -!) -d-T-

|

I

t/to - s Puesto que la expresión -:

v 10-3^

vuelve a aparecer tenemos,

rÁ o:3* 6+

u*

I

, ,/to - z

y continuando sí, obtenemos t/I0 : [8,6, 6, 6,6, . ..] : [3,6].

Algunas vecesse puede utilizar la técnica ilustrada en el siguiente ejemplo: 7.19 Ejemplo.

Expresemost/fi

comouna fracción continua simple infinita.

Sear : rÁ7 entoncesfr2 : LT, 12 - 16 : I y (, - 4@*4)

: 1.

246

cApíTULo7. FRAcctoNES coNTtNUAS

Por Io tanto,

1 rl4

tr-4: tr-A

1

I

' 4 +r A

I

--

++(+-#, '1 - - A.+ - |L-

I

8+

1

4*r -----

Continuando este proceso obtenemos que

* : [4 ,88, ,8 ,.. .] : [4 ,-E.

7.20 Ejemplo. Determinemos el número irracional representadopor la fracción periodica infinita [3,1;E']. Sea z: [3,1;6]. Entonces

L- - ¿ q -T

I

i+ 6+

1

1 1 +_ 6 +...

7.3. FRACCIONES CONTINUASINFINITAS

247

luego,

1+-

1 rf-3

1 r -14 r -13 r -13 r+4' de donde, (r-3)(r+4):r+3 ,2+r-!2:r*J 12 : I5. Por lo tanto

r : l3,T3l: tní observamos que n + -t/15 porque el primer término de la fracción continua simple es positivo.

Ejercicios 7.3 Expresar como fracción continua simple infinita cada uno de los números irracionales siguientes:

L' \/E' Z-

'/8'

248

CO NTI N U A S CA PI TULO7. FRACCI O NES

3. \/14.

4. \8. 5. 3 ¡ 1/26. 6. ú7. En cada uno de los ejercicios del 7 al 10, hallar el número irracional representado por la fracción continua

7.[1,1]. 8. [5,5;10]. 9. [-7,3-6-].

10.tTp,Tl. 11. Hallar los cuatro primeros términos de Ia fracción continua que representa al número n. 12. Para r ) I, probar que la convergente n-ésima de la fracción que representa a7f r es el inverso multiplicativo de la convergente(n - 1) ésima de la fracción que representa a r.

7.4

Fraccionescont¡nuasper¡ódicas

Una fracción continua periódi,ca es una fracción continua de la forma lot, or, . . . antbtrbzr.. .b*l donde r¿es un entero no negativo y m es un entero positivo. EI peri,odode la fracción cont'inuaes la sucesiónde términos que se repiten bt,bz, ...b*. Yamos a demostrar que toda fracción continua periódica representaun número 'irraci,onal cuadrdt'ico, es decir un número que es raíz de una ecuación de la forma ar2 +br+c: 0 con coeficientesenterosa,b, c. De acuerdo a la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado, los irracionales cuadráticos son números de Ia forma r+st/á donde r y s son números racionales con sf 0 y d es un número entero positivo que no es un cuadrado perfecto. 7.21 Teorema. ,9i , : latra2¡...ranrbrrbzr...,b*f, entoncesr es un número'irrac'ionalcuadrót'ico.

7.4. FRACCIONES CONTINUASPERIODICAS

249

Demostrac'ión.SeaU : lbt,bz,. . . ,brr). Por el Teorema7.76 y es un número irracional. v tenemos

u :l b t,b z,..-,b rn u ,l pl*-t ap'* + donde p;|d," y ph¡1d,"-1 son las dos últimas convergentes de [b1,b2, ...,b^]. De Ia ecuaciónanterior tenemosque

q!^a2+ (q|,"-t- p'^)a- Pk::

o,

luego gr es un número irracional cuadrático. Supongamos que U : r + st/d, con r y s números racionales, s + 0 y d un entero positivo que no es un cuadrado perfecto. Si p"/qn y pn-t/en-l son las últimas convergentesde la fracción la1,a2, . . ., ar] tenemos r :

l a t,a 2 ¡...ra n ,A f APn I Pn-t UQ" * Q"-t (r+ s t/á )p n tp n -t

?+s\/A )q.tqn-t

A + B\/A C + D\/A donde A, B,C y D son números racionales. Por lo tanto

@+ B\/4Q - D\/A) Q+D \/ú(C -D \/a) (BC - AD\/á c2 - dD2

donde r' y s' son números racionales. De esta forma queda demostrado que z es un irracional cuadrático, como queríamos probar. n

El recíproco del teorema anterior es cierto, pero su demostración es muy complicada para presentarla en un primer curso de teoría de números.

250

CAPíTULO7. FRACCIONES CONTINUAS

7.22 Ejernplo. Encontremos el número irracional cuadrático representado por Ia fracción periódica 14,2,5,r3]. Procediendo como en la demostración del teorema tenemos r : f4,2, 5,gr]donde A:83i1. Entonces A : [2,3,g]. Las últimas convergentesde :2 :7 son y Ct Cz [2,3] f 3, por lo tanto

7y-t2 1 ': -

"

3'+7 3a'-6y -2:o J+ \ffi u:-3 L o s ú l t im o sco n ve r gentes de [4,2,5]son Cz:912 y Cs : 4 9 1 1 1 . P o r Io tanto

4s+s

("#)

Í+2

(=")

774+ 49\/75

3e+ thlG _ 4 3 3* ! u 98

98

7.23 Ejemplo. Encontremos el irracional cuadrático representado por la fracción periódica [4, 6 ]. Sear:

[4,6]. Tenemos*:l4,gr]

cong:

u:l 6,ti :6+1: a2-6a-1:0 a :3 + t/Lo

[6].Luego 6yÍL

a

25L

7.4 , FRACCI O NES CO NTI NUASPER I O D I C A S

por lo tanto

*:l4,ul:4*

I

4y-lI

r:

4 (3 +/1 0 ) +1

s+/to tS+ +rh}

s +.^o : 1* rÁ 0. Usando los números:ri y a¿ definidos en la prueba del Teorema 7.L7 se puede demostrar, con cierta dificultad, que: "si x:: r * st/d es un número irracional cuadrático tal que r > I y -1 < T < 0 donde tr: r - tt/á, entonces la fracción continua que representa a r es una fracción cont'inua periódi,capuro\ es decir una fracción de la forma r: [a¡,6*,an]". Como consecuencia directa de este resultado tenemos el teorema siguiente. 7.24Teorerna. Si, d es un entero positi,uo que no es un cuadrado perfecto, entonces{d, tiur" unl, representación como fracc'ión continua simple d,ela forrna t/á:

[ot,arñ;..,a;n].

Demostrac'ión.Supongamosque t/A : lor,oz,os,...]. Como a1 : lt/á] Porlotanto a1+r,/Zesuna tenemoseueol +\/¿> 1y -1 1at-t/á<0. fracción continua periódica pura. Luego, existe un entero positivo n tal que at -f t/d : aL I lot,oz,o¡, . . .] : Qa1,a2,as-,

a^],

y en consecuencia -o , * f2 a 1 ,a 2 ,a 3 ,...,a n ) - -a I I [2 a 1 ,a r, a g - - , a" ,2a1]

, /á :

: lar,a%as-:anal. 7.25 Ejernplo.

Veamos que

Ja'z=:

la- t,t,4" - t¡1

!

CAPITULO7. FRACCIONES CONTINUAS

donde o es un entero positivo mayor que 1. En efecto,

ltar=:

(a - t) + (az - t - (o - r)) :(c-1)*

J P =T-(o-1) 1

:(a-1)*

J P =+(a-1) 2(a - 1) :(a-1)*

2 (a -r)+(\/F --(o - t) ) 2(a- 1)

:(a-1)*

1+ :(a-1)*

1+

J F=-

("- 1 )

2(a- t) 1

2 (a- r)

JF=1- (" - t) 1

:(a-1)*

1+

!/P=+

(o - 1) 1

:(o-1)*

1+

2(a-L)+(\/P =-(o -t ))

Como la expresión t/a2 - 1- (o - 1) aparece otra vez, concluimos que t/o2 - t : [(a - 1), 1, 2(a - t)).

7 5.

APROXIMACIóNDE NÚMEROSIRRACIONALES

253

Ejercicios 7.4 Cada uno de los ejercicios del 1 al 4, hallar el número irracional cuadrático representadopor la fracción continua

r. 11,2,3,92J) 2. l',3,zJAl 3. [2,5] 4 . [ 4 ,1 , 3 ,1 ,g ] 5. Hallar la fraccióncontinuaperiódicaque representaa t/d. cuandod : 5 , 10 ,15y 2 0 . 6. Si ¿ es un entero positivo, probar que la fracción continua periódica que representaal número \/FTI es 1a,fi. 7. Si a es un enteropositivo, probar la fraccióncontinuaperiódicaque representa t/F+ z" es la,T,2,-al " 8. Si ¿ es un entero mayor que 2, probar que

lú -r:fa- r,I,a-2,I,2(a-I)]. 7.5

Aproximaciónde números¡rracionales

Veamosahora como utilizar las convergentesde una fracción continua simple para encontrar aproximaciones racionales para un número irracional z. Empezaremos probando que las convergentesde la fracción continua simple cuyo valor es r son sucesivamentemás próximas al número r. p-2

7.26 Teorerna. Sea Cn:

la conuergenten ési,mad,ela fracci,ón conti-

Qn

nua s'implelot,o2,...l qu" representaal número r. Entonces

I

p"l .l P ,-rl
I

Qnl

lr-'-l

I

Qn -rl

l.

254

CAPíTULO7

FRACCIONES CONTINUAS

Demostrac'ión. Escribamos n en la forma,: ant2¡ .. .]. Entonces lon+r,

lot,a2t...,an,Afdondeg:

,-?!!"IP '-t u(rqn - Pn) :

AQn-t Qn-t -tQn-t I Pn-t

( :-Qn-rlr--1, P",-r \ Qn-r /

\ y dividiendo por Aqn Pn

Qn -t I

Pn-l \

lL- -

Qn

UQ"

|

Qn-t /

\

q"-tll -l lr aQn | |

P n-t l Q n -rl

Como A > 7 y en ) en-t para n > 1, tenemos que

tl . l"-P"l,-"1 Qn-t I Qnl I

l

n

como queríamos probar.

El teorema siguiente nos proporciona una medida de la exactitud obtenida al aproximar z por su convergenten-ésima. 7.27 Teorerna. Sea Cn:p-Z

h conuergenten-ésima d,ela fracción conti-

Qn

nua s'imple que representa al número real r, entonces p.l I I l"r-'-lq n l < -q Z

I

Demostraci,ón. Como las convergentes de la fracción continua simple que representa al número c satisfacen las desigualdades Ct
l , - C nl
+

QnQnIT

255

7,5 , APR O XI M ACI óNDE NÚM ERO SI RRA C I O N A L E S

Por el Teorema 7.12, sabemosque en+r ) q"-paratodo n 2 1, luego enen*r ) qZ y por lo tanto concluimos que

l , - c .l . i . n En el ejemplo que sigue ilustramos como se utiliza este teorema para calcular aproximaciones racionales del número real r. 7.28 Ejemplo. Encontremos una aproximación racional del número r : 12,7,4,2A que se correcta a Ia milésima. Para que Ia aproximación tenga el grado de exactitud requerido, necesitamos qrc llq!, < 0,0005. Por Io tanto q!, > 2000, o sea qn > 44. En consecuencia,toda convergente Cn: pnlez¿con en ) /,4 nos proporciona una aproximación racional de r, correcta a la milésima. Si elaboramos una tabla de convergentesobtenemos

A¿

P¿ Q¿

1 0

2 2 1

1 3 1

4 t4

2 31 11

1 45 16

1 76 27

4 349 724

Como qz ) 44, la séptima convergente es una de las aproximaciones buscadas. Por Io tanto r-3491724-2,814 Si calculamosel valor exacto de r:12,L,4,2A

procediendocomo en la de-

mostración del Teorem aT.2L,encontramosque Í : {#

- 2, 8145396 y observamos que la aproximación encontrada es correcta a la milésima. Para terminar, queremos mencionar que hay numerosos e importantes resultadospara aproximar un número irracional que hacen uso de la teoría de las fracciones continuas, y que se pueden investigar en textos mas avanzados de Teoría de Números.

256

CAPITULO7. FRACCIONES CONTINUAS

Ejercicios 7.5 Encontrar una aproximación correcta a la diezmilésima del número irracional representadopor cada una de las fraccionescontinuas siguientes:

1. 12,11. 2. I4,T3JA. 3. 1-2,TJa. 4. [0,3,TzJ-A En los ejercicios 5 al 8 encontrar una aproximación correcta a la milésima de los números dados.

5. J48. 6. \/r5. 7. 4L 8. 2 + \/7. 9. Hallar una aproximación correcta a la cienmilésima del número zr, donde n : 13,7,L5,L,292,l, . . .]. 10. Hallar una aproximación correcta a la diezmilésima del número e, donde e : l2rLr2rrrLr4rLrl,6, 1, 1,8, . . .]. 11. Si Cn: pr/en es la convergenten-ésima de Ia fraccióir continua simple que representa al número teal r, probar que se tiene alguna de las desigualdades

l-

-

Pnl-

1

^ l-

-

p n +tl-

r

l" * lt ,ú 'o l" t* tl.. , A; '

que10.000 primosmenores Números

257

258

CAPITULO7. FRACCIONES CONTINUAS

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 77 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 L27 131 L37 139 749 151 157 163 167

L73 r79 181 r91, 193 r97 199 2L1 223 227 229 233 239 247 25r 257 263 269 27r 277 287 283 293 307 311 313 377 331 337 34i 349 353 359 367 373 379 383 389 397

40I 409 479 42r 43r 433 439 443 449 457 467 463 467 479 487 491 499 503 509 52r 523 54r 547 557 563 569 577 577 587 593 599 601 607 613 6t7 619 631 641 643

647 653 659 661 673 677 683 691 70r 709 7I9 727 733 739 743 751 757 761, 769 773 787 797 809 811 82r 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911

919 929 937 94r 947 953 967 97r 977 983

1 1 9 3 1483 r20r L487 r2r3 1489 r2L7 1493 1223 7499 1229 1511 L23r 7523 t237 1531 L249 1543 L259 L549

991 1277 997 1279 1009 1283 1013 1289 1019 t29r L027 1297 1031 1301 1033. 1303 1039 1307 1049 1319 1051 r32r 1061 1327 1063 1361 1069 7367 1087 1373 1091 1381 1093 1399 1097 1409 1103 1423 1109 7427 rL77 7429 rr23 1433 tr29 1439 1151 1447 1153 745r 1163 L453 7777 7459 1181 1477 1187 1481

1553 1559 L567 r57I 1579 1583 1597 1601 1607 1609 1613 1619 1621 1627 1637 1657 1663 7667 1669 1693 7697 1699 1709 7727 7723 1733 r74r 1747 1753

1759 L777 1783 L787 1789 1801 1811 1823 1831 1847 1861 1867 1871 1873 1877 1879 1889 1901 1907 1913 1931 1933 7949 1951 7973 1979 1987 1993 1997 1999 2003 20L7 2077 2027 2029 2039 2053 2063 2069

2081 2083 2087 2089 2099 27tr 2713 2129 2L3r 2137 2147 2743 2t53 2L67 2L79 2203 2207 2213 222L 2237 2239 2243 225r 2267 2269 2273 228r 2287 2293 2297 2309 23rr 2333 2339 234r 2347 235r 2357 2377

259

7 .5. AP RO XI M ACI O N DE NUM ERO SI RR A C I O N A L E S

2377 2381 2383 2389 2393 2399 2477 2477 2423 2437 2447 2447 2459 2467 2473 2477 2503 252L 2531 2539 2543 2549 255t 2557 2579 2591 2593 2609 2677 2627 2633 2647 2657 2659 2663 267L 2677 2683 2687

2689 2693 2699 2707 2777 2773 2779 2729 2737 2741 2749 2753 2767 2777 2789 279L 2797 2801 2803 2819 2833 2837 2843 285L 2857 2861 2879 2887 2897 2903 2909 2917 2927 2939 2953 2957 2963 2969 297r

2999 3001 3011 3019 3023 3037 3041 3049 3061 3067 3079 3083 3089 3109 3119 3L27 3137 3163 3167 3169 3181 31 87 3191 3203 3209 3217 322L 3229 3251 3253 3257 3259 3271 3299 3301 3307 33 13 3319 3323

3329 3331 3343 3347 3359 3361 337r 3373 3389 3391 3407 3413 3433 3449 3457 346r 3463 3467 3469 3491 3499 3511 3577 3527 3529 3533 3539 3541 3547 3557 3559 357r 3581 3583 3593 3607 3613 3617 3623

3631 3943 3637 3947 3643 3967 3659 3989 3671 4001 3673 4003 3677 4007 3691 4013 3697 4019 3701 4027 3709 ,4027 3719 4049 3727 4051 3733 4057 3739 4073 3761 4079 3767 4091 3769 4093 3779 4099 3793 4t7r 3797 4727 3803 4129 3821 4733 3823 4739 3833 4153 3847 4757 3851 4159 3853 4177 3863 420r 3877 42Lr 3881 42L7 3889 42t9 3907 4229 3911 4237 39L7 4247 3919 4243 3923 4253 3929 4259 3931 426L

427L 4273 4283 4289 4297 4327 4337 4339 4349 4357 4363 4373 4397 4397 4409 4427 4423 4441 4447 4451 4457 4463 4481 4483 4493 4507 45L3 4517 4519 4523 4547 4549 4561 4567 4583 4597 4597 4603 462L

4637 4639 4643 4649 4657 4657 4663 4673 4679 4691 4703 472L 4723 4729 4733 4757 4759 4783 4787 4789 4793 4799 4801 4813 4817 4831 4861 4877 4877 4889 4903 4909 4919 4931 4933 4937 4943 495L 4957

4967 4969 4973 4987 4993 4999 5003 5009 5011 5027 5023 5039 5051 5059 5077 5081 5087 5099 5101 5107 5113 5119 5L47 5153 5167 577r 5t79 5189 5797 5209 5227 5237 5233 5237 5267 5273 5279 5281 5297

260

CA PÍ TULO7

5303 5309 5323 5333 5347 5351 5381 5387 5393 5399 5407 5413 5417 5419 5431 5437 544L 5443 5449 547L 5477 5479 5483 5501 5503 5507 5519 5521 5527 5531 5557 5563 5569 5573 5581 5591 5623 5639 5641

5647 5651 5653 5657 5659 5669 5683 5689 5693 5701 57rI 5717 5737 574r 5743 5749 5779 5783 579r 5801 5807 5813 582L 5827 5839 5843 5849 5851 5857 5861 5867 5869 5879 5881 5897 5903 5923 5927 5939

5953 5981 5987 6007 6011 6029 6037 6043 6047 6053 6067 6073 6079 6089 6091 6101 6113 6727 6131 6133 6143 6151 6163 6173 6197 6199 6203 6 2 11 6217 622L 6229 6247 6257 6263 6269 6277 6277 6287 6299

6301 6311 6317 6323 6329 6337 6343 6353 6359 6361 6367 6373 6379 6389 6397 6427 6427 6449 6457 6469 6473 6481 6497 652r 6529 6547 6551 6553 6563 6569 657L 6577 6581 6599 6607 6619 6637 6653 6659

FRACCI O NES CO NTIN U A S

6661 6673 6679 6689 6691 6707 6703 6709 6719 6733 6737 6767 6763 6779 6781 6791 6793 6803 6823 6827 6829 6833 6841 6857 6863 6869 6871 6883 6899 6907 6911 69L7 6947 6949 6959 6961 6967 6971 6977

6983 6991 6997 7001 7013 7019 7027 7039 7043 7057 7069 7079 7103 7L09 7L27 7L27 7129 7757 7159 7777 7787 7193 7207 721r 7273 7279 7229 7237 7243 7247 7253 7283 7297 7307 7309 7327 7331 7333 7349

735L 7369 7393 74rr 74L7 7433 7451 7457 7459 7477 748L 7487 7489 7499 7507 7117 7523 7529 7537 7547 7547 7549 7559 7567 7573 7577 7583 7589 7591 7603 7607 762L 7639 7643 7649 7669 7673 7681 7687

769L 7699 7703 7717 7723 7727 7741 7753 7757 7759 7789 7793 781,7 7823 7829 7841 7853 7867 7873 7877 7879 7883 790L 7907 79t9 7927 7933 7937 7949 7951 7963 7993 8009 8011 8017 8039 8053 8059 8069

8081 8087 8089 8093 8101 8111 8117 8123 8L47 8161 8167 8171 8179 8191 8209 82t9 8221 8231 8233 8237 8243 8263 8269 8273 8287 829r 8293 8297 8311 8317 8329 8353 8363 8369 8377 8387 8389 8419 8423

7.5

DE NÚMEROSIRRACIONALES APROXIMACTóN

8429 8431 8443 8447 8461 8467 8501 8513 8521 8527 8537 8539 8543 8563 8573 8581 8597 8599 8609 8623 8627 8629 8641 8647 8663 8669 8677 8681 8689 8693 8699 8707 8713 8719 8731 8737 8741 8747 8753

8761 8779 8783 8803 8807 8819 8821 8831 8837 8839 8849 8861 8863 8867 8887 8893 8923 8929 8933 8941 8951 8963 8969 8971 8999 9001 9007 9011 9013 9029 9041 9043 9049 9059 9067 9091 9103 9109 9L27

9133 9137 9151 9157 9161 9173 9181 9187 9199 9203 9209 9221 9227 9239 9241 9257 9277 9281 9283 9293 9311 9319 9323 9337 9341 9343 9349 937L 9377 9391 9397 9403 9413 9419 9421 9431 9433 9437 9439

9461 9463 9467 9473 9479 949t 9497 9511 9521 9533 9539 9547 9551 9587 9601 9613 9619 9623 9629 9631 9643 9649 9661 9677 9679 9689 9697 9719 972r 9733 9739 9743 9749 9767 9769 9781 9787 979r 9803

9811 9817 9829 9833 9839 9851 9857 9859 9871 9883 9887 9901 9907 9923 9929 9931 9941 9949 9967 9973

26r

y sugerencias Respuestas

E.lpncrcros1.1 1. Aplique el axioma A - 5 al conjunto S : {0} U {n 9N I paraalgúnm e N,n : m}}. 3. Supongaquenx I 0 ó n * 0 V useel ejercicio1. 4. Para m frjo considerelos conjuntos,g : T : { ne Nlr n n e N}. 5. Supongaque rn l0V

{n e N I m + n e N} y

n+0 y luegouseel ejercicio1. E;pRclcros 1.2

1. Uselos ejerciciosL y 2 del grupo L.1. 2. Comop + 0 asumaque p : ú* con ¿ € N. 8. Use el ejercicio5. 9. Para rn € N[fijo considereel conjunto S :{neNln
7,5,

APROXIMACIóNDE NÚMEROSIRRACIONALES

263

E;pncrcros 1.3 -9(k+1)2 +3(k+ 1)- 2 en Ia formaa(22k+t-gtf2 + 6. Exprese2z(h#)+L 3k - 2) f ó con b divisiblepor 54. 11.

t

j: t

i",u,:nl?"r')

: kl''L",) : (É.,) (i-)

15. Considerecuatro casos: i . k:0. i i . k:n* 1. i i i . /c<0 ó k>n*L. i v. 1( k1 n . 16. Useel ejercicio15. 2l-. Analicecuidadosamente el pasode Pt a Pz. 22. P'azonepor contradicción. 23. Considere el conjuntofI : {n eN I n *o € S}. : Untm+! I Un-r+m+r. 25. Use PlM2 y,param fijo escribaUn+r+m1-r 26. Para n fijo, hagainducciónsobrern. Use el ejercicioanterior. 27. (4685)s(3483)e: (L7832126)s. : (30034342)5. 28. (400803)e 2 9 . b :7 . 30. Base11.

CAPITULO7. FRACCIONES CONTINUAS

E.rnncrclos 2.1 5. Haga inducción sobre s. 6. Si r¿ | rn seve fácilmenteque a'-1 | a*-l.suponga que a'-1 | a^-I, entoncesn1m y escribiendom: enlr con 0 ( r 1 entonces7 < a' ( a', Iuego ar - I 1 an -1 lo cual es una contradicción.Luego r :0 y nlm. 8. Use el ejercicio7. 9. Para cada entero n ) 1 sea T : {al o > 1 y a ln} 10. (382,26) :2

: (382)(3)+ (20)(-a,\.

(-275,726) :11: (1137,4Le):1

(-275)(2e) + (726)(11).

: (1137)(206) + (41e)(_559)

l-2947,-3997) : 7 : (-2947)(-118) + (_3997)(87). 11. 3:

(1426)(324)+ (343)(-1347)

12: (630)(-18) + (132)(86) 4:

(4001)(-4468)+ (268e)(6648).

12. Considereprimero el caso c:7. 13. Sea d:

(a*b,ab).

15. Sead:(a,ó).

Pruebe que d I o', d, | ó2 y use el ejercicio12.

PruebequedlSay

16. Seandt-- (a,b) y dz:

dlJb.

(a,c). Pruebeque (d1,dz):1.

18. Tome d,1: (d,m). 20. EI miáximo común divisor de dos números se puede expresar de infinitas formas como combinación lineal de los dos números. 22. (ab,pa): p3, (a I b,p4): 'p. 24. Use que (zrr,un+t):1para

n)

L. Sid:

(un+z,zrr)pruebe qluedl2.

7.5

APROXIMACIóNDE NÚMEROSIRRACIONALES

265

25. Sean d : (u^,ur) y dt - (u,,un). Use Ios ejercicios 25 y 26 deI grupo 1.3 para probar que d I uruqn-t y d I uruqn Luego use que (uqn-ttuq) : L' 26. Use el ejercicio anterior y el algoritomo Euclideano. 27. Piazone por contradicción, en algún momento puede que necesite probar que (un,unn-1) : L.

E.lpncrclos2.2 2. Si d: (a,b)pruebeque¿ : b : d,. 3. Escribaa : Ad,y b : Bd,con (,4,B) : t. : (bk,ak). 5. Use I ab | (kla,klb) : (ab.kla,ab.klb) 7 . a : d ,r b:g. 10. 96 y 120. lI. 24 y 1440,96y 360, 72 y 480,L20y 288. L2. El MCDes 1. 13. (4410,1404,8712): 18 : (-7) (4410)+ (22) (1404)+ (0) (8712). 14. (r12,240,re2,768):16 ¡ (1) (112)+ (-2) (240)+ (2) (1e2)+ (0) (768). \5. r : 6, g : -4, z :0,

u): 0. Hay otrasrespuestas'

16. (p - t)(q - t). 17. Utilice la,b,cl:

y el teorema2.2grepetidamente. lla,bl,cl: -ilgl]:lol,c)

18. Use el ejercicio anterior. L9. a:2,

b:4,

c:I0.

\laj

266

CAPITULO7

FRACCIONES CONTINUAS

E;pncrcros 2.3 4 . (o ' , b) : p o p2, (a 2 ,b 3 ) : p 2 o p 3 .

7. (1485,5445,12375): 495, [1485,5445,12375]: 408375. 8. (392, 1764,2646,8820):98'

: 52920. [392,1.764,2646,8820]

10. Use el teorema 2.43 junto con la relación min(z * A,r I z,a + z) +max(r, A,z) : r I y I z. 73. Sugerenci,a: Si r, A, z son números naturales entonces : min(r,A,z) +max(r,A,z) r + A * z siy solo si a lo miís uno de los números es diferente de cero.

E;pncrcros 2.4

1. k debe ser par. 2. Use el Teorema1.16con b:6. 4. Todo primo impar tiene la forma 4lc + I o la forma 4k + 3. 5. Observe primero que todo número de la forma 4k+3 se puede escribir en la forma 4t - 7. Suponga que los únicos primos de esta forma son Pt,Pz,...,Pk y consideren : 4Ptpz...Pn - 7. IL. 271+2, 2l! + 3,.. .,211.+2I.

E;pncrcros 2.5 2. Las ternas primitivas con r impar y 1 < z ( 30 son (3,4,5), (5,t2,13), (15,8,17),(7,24,25)y (2t,20,29). 3. Si r¿no es una potencia de dos escriba n : kp con p primo impar. 4. (3k,4k,5k) con k 2 1.

75

APROXIMACIóNDE NÚMEROSIRRACIONALES

267

6 . No hay. 7. Escriba la ecuación en Ia forma 14 - ya + 22.

E;pncrcros3.1 2. Sines el enteromáspróximoa r, entonces Í : nl9 con0 f ldl < 712

y -r + I f 2 : - n - 0 +1 1 2 co n0 ( 7 1 2- 0 < I.

4. a) Para los números reales r que cumplen , - [r] < b) Para los números reales r Que cumplen r - l*l >

rl2. 1/,

8.207. 9. 28. 10. 48. 1,2. El exponente con que 2 apareceen la representacióncanónica de (2n)l I q-1 es DLr l# | V el exponente con que 2 aparece en la representación L. "')

pruebe que de(n!)2 DÉr l#].2 (Dp, l#]) ", z (DL, l#l) usando el teorema 3.2(h).

L3. Para cada primo p comparar el exponente con que p aparece en Ia representacióncanónica de (2n-2)! con el exponente con que p aparece en Ia representaciónde n!(n - 1)! 14. Es similar a los dos ejercicios anteriores.

E.lpRcrcros3.2 I. r(a320):48, o(4320): I5L20. 3. t44. 4. 864. 5. Considere r:

pn-r conp primo.

268

CAPITULO7. FRACCIONES CONTINUAS

7. 22. 11. Si n:flf=tpf,i

entonces k

2( n¿+ I \

t. )-¿r:fipi''""_'-'_ p í-I ? ++ dln

x: I

E.lpncrcros3.3 1. Useel Teorema3.I4y considerequep esde algunade las formas4k+l o 4 k* 3. 3. UseIa formulaL + 2 + ... * n : /n(n + I). 4. Si n es un cuadradoperfectopruebeque o(n) es impar. 6. Pruebe que ?uno tiene factoresprimos impares.

E.lsncrcros3.4 3. Cuando n es par. 6. n:2o

con a)

7.

7. 1920. 8. Si n es un número perfecto par, entonces O(n) :2n-r12n-t -t). 12. Suponga que hay solo un número finito de primos pL,pz¡.. .t pk y considereel número N : ptpz. . .pt 14. Si O(z) : 18, r : L9,27,38,54. Si O(z) : 24, r:

35, 39, 45, 52, 56, 70, 72, 78,84, 90

Si O(z) :72, r : 73,9L,95, 111, 117, 135, 146, I48, 152, I82, lg0, 216, 222, 229, 234, 252, 270. Si O(z) : 90, no hay soluciones.

7.5

DE NÚMEROSIRRACIONALES APROXTMACIÓN

269

E;pncrcros 3.5 6. Use el ejercicio 4. 7. Use el ejercicio 6.

r2(n) : lIl:, ("t') 9. Si n : llf:r pf,nentonces E"lpncrcros 3.6

2. Aplique el Teorema 3.26 a la función multiplicativa

f ( n ) : l u ( @ ) " @) dln

3. (-l)k lI!:tp¿

a' lI!:'Q - P¿)' 6. La funciónS(n) : D¿1" lp(d)l es multiplicativa.

o(n)

^ ó, -. n

10. Usando la fórmula de inversión de Móbius y el Teorema 3.35 se obtiene k

1\

r^ /, gl n): ,-=l I IIpí''"(\ 1- pí "_1

,t.

1

;llf:,(1

-p). E¡pncrcros 4.1

3. Use 32n*r - 3.9n :3.2"

(mod 7).

4. Use 33 : 1 (mod 13) y 43 = !2:- -I 5. Use el Corolario 4.11.

(mod 13).

270

CAPITULO7

FRACCIONES CONTINUAS

10.3y3. 11.6y1.

E.lpRcrclos 4.2 2. n: ao+arl}+...+ a¡r1.0k es divisiblepor 7 si y solo si (a6f 10¿rf r02a2)- (os + r}a¿+.102a5)*... es divisible por 7. 5. n : o0 + o1100+ ¿2(100)2+ ...+ a¡(100)ftes divisiblepor 101 si y solo si ao - ar I az :. . . es divisible por 101.

E"lpRclclos 4.3 2. En 27 la sohtciónde 3r I4 : 1 es 6 y las solucionesde z2 *2n -t6 : 0 son2y3. S. la+i6: (¿+ sE. Escriba ú*s en la forma ú*s : qblr con0 ( r ( b. Luego (f + s)a : qb&* ra: qn I ra: ra (mod zz). Similarmentese razona con el producto. 6. Un sistemacompletode residuosmódulo 8 es: {0, I,2,2,4,5,6,7}. 7. {7,11, 13,17,L9,23,29}.

E.lpncrclos4.4 :o (mod1 1 )y a 5 6 1: o (mo d1 Z ). 3 . P r u eb e q u e a s6 l:a (mod3),¿561 5. a) 7, b) 01, c) 542. 10. Pruebequea4n+1- ¿ esdivisiblepor 2,3 y b. 11. U s eap - r _ 6 n - r _ (an-z+ap-B b+...+ W _2 )(a _ b ). 12. Use ap-r - @*)r. 14. como zn es un anillo finito con identidad el resultado se sigue del Teorema4.32.

7.5. APROXIMACIÓNDE NÚMEROSIRRACIONALES

E.lpncrcros 4.5 L. 5, ll, L7. 2. 53, 108. 3. 16.

4. 2,r r,2 0 ,2 9 . 5. No tiene solución.. 6. No tiene solución. 7. 6188. 8. 69. 9. 55, 542,t029.

.

l-0. No tiene solución.

\

I I . n : 5+7 lr ,A:- 3- 5k. 12. No tiene solución. L 3 . x : 4 1 e , y:5

+ 3/c

14. No tiene solución. I5. r :3 + l-3/c,U : 55 - 64k. 1 6 . $ 3 2 ,65 . 17. 94 ciruelas,t manzanay 5 pitahayas. 18. 40 adultosy 24 niños,45 adultosy 12 niños. L 9 .r : 1 20. r:19

( m od L T) ,A :4

(mod17),

( m o d2 4 ),A : 16 (mod24),

2L. r : [ (mod L9),A: 3 (mód l9), z:

1 (mod 19).

27L

272

7. FRAccroNEs coNTtNUAs cApíTULo

E"lpncrcros4.6 I. r:5

( m o d16 8 ).

2 . r : 1 27 3 ( m o d3465). 3. r:51

( m od1 2 6).

4 . 2 5 7. 5.11. 6. 299. 7.y 8. Aplique el TeoremaChino del residuoa un sistemaconveniente de congruenciaslineales.

E¡pncrcros 4.7 l . 4 , 8 , L3 ,t4. 2 . 4 , LL ,1 8 ,25 ,32,39. 3. g, 13, 20, 22, 43, 50, 55, 62,83, 85, 92, 97. 4 . r : 41

( m od 55 ),r:

52 (mod55).

5 . r : 14

( m o d90 ),r : 59 (mod90).

6. r = 15 (mod 56).

E.lpncrcros4.8 L r:65 2. r:1

( m o d 12 5). ( m od25 ) .

3 . 5 , 14 ,2r r 2 3 . 4 . r : 23

( m od34 3).

7 5.

DE NÚM ERO SI RR A C I O N A L E S APRO XI M ACI Ó N

273

5. La congruenciatiene 24 soluciones.Algunas de ellas son 17, 27,57, 65, 97, 107, 115, r47, 187.

E;pRcrcros 4.9 I. 2ra l2r2 * 4r :0 2.416*5ra

(mod 5).

*523 t5r2 *5:o

(mod7).

3. Multiplique el polinomio por a donde o, es un entero tal que aan = I (mod p). 8. rp-r - 1 - (nd -t)q(r) donde q(r) es un polinomio de grado p-l-d. Aplique el teorema de Lagrange a q(r) y el teorema de Fermat para deducir el resultado. E;pncrcros 5.1

1. (u) ,:6

(mod 17) y r:7

(mod 23) y r: ":2 (c) No tiene solución.

(b)

(mod 11). 16 (mod 23).

(d) ,:5 (mod 13). (") , : 5,72,13,20 (mod 28).

2 . r, 4 , 3 , 9 , r 0 , 1 2. ) . 3 . (1 1 1 1: ) ( 3 1 1 1: ) (-2 1 1 1:1 (2 1 1 1: ) ( - 1 1 1 1:) (-3 1 1 1-) -1 . :1. ¿. ("lp)- -1, (blp): -1, luego(oblp): (alp)(blp) 8. Todo primo impar es de la forma 4m I I o de Ia forma 4rn - I.

E"lnRcrcros 5.2 l. p = + 1 ,+ 3 ,+ 9 ,+1 3 (mo da 0 ). 2 . p = 5 , 1 1 ,1 3 ,1 5 ,L 7 ,2 3(mo d2 8 ).

274

CAPíTULO7. FRACCIONES CONTINUAS

3 . p = 1 ( m o d L2 ),p: -5 (mod12). 5. b) y d). 6. 327 y -532 no son residuoscuadráticosmódulo 977. 8. No tiene solución. : 1, (6401277) :1. 9. (12e1283) : -1, (-41619e7) - -1. 10. (2261563)

E"lpRcrcros5.3

r. L , L 2 , 3 , 6 , 4 ,L 2 ,4 ,1 2 . 19 23 29 252

5.

6 . Módulo 11 son 2,6,7 y 8. Módulo13 son2,6,7 y IL 1 0 . 1 , 3,4, 5 , g . 1 1 . L , 22 . 72. a) 2. b) No tiene. c) 5. Use propiedadesde los índicesy el Teorema 4.47. 14. 1 5 . Tomando índice en base 2 con respecto al módulo 11, tenemos ind23*3i.nd,2r: ind,27(mod 10), o sea 3ind2r - 7 - 8:9 10). Luego ind2r:3 (mod L0) y r = 8 (mod 11).

(mod

E.lpncrcros 5.4 1. f , Us -'---+UB definida por:

/ ( 1 ) : r , f ( 2 ) :5 , Í(4 ) :7 , f(5 ) :7 7 , f( 7) : 13y f( 8) : L7. 3 . 17,67,rg2.

DE NÚM ERO SI RRA C I O N A L E S 7 .5, APRO XI M ACI Ó N

275

4. 32. 6 . 6 7 , 11 3 .

E;pRcrcros 6.1

1. (a) PRVY HUHO RVHP UROD. (b) GHSRFRVLUYHÑDFLHPFLDGRPGHIDÑNDÑDSUXGHPFLD 2.

(a) AI que has de castigar con obras no trates mal con palabras. (b) Sea moderado tu sueño que el que no madruga con el sol no goza del día.

3. La teoría de números es importante en la criptología. 4. OIWG CGURTSTF TYTO TVIB ÑGRÑ GWGUJTNG SJIA. 5. Siendo sabio no podrás errar en nada. 6. Más vale encender una vela que maldecir las tinieblas. 7. FWTXFMS SOMTUGEFWQXEE 8. EI hombre sensatolo hace todo con reflexión. 9. La reunión es en Cartagena. 10. Venda Ias accionesya. 11. (a) ETSP lAlN SOMY MOTN ESAA LCCO ESNU IPRA TS. (b) EDL|O SLETD MSA|D EGÑRLEODEESN|OA FCLENAA. 12. OEUCAVSNEEAQZEUIRQEMONUMIUSAUBDRLUEÑE. 13. Ahora hay un horizonte nuevo. 14. Creer en los sueñoses como estar durmiendo toda Ia vida. $. C :13P +22 (mod 27).

276

CAP I TULO7. FRACCI O NES CO NTI N U A S

E;pRcrcros6.2 1 . W N PV JH EC JÑ GR HP B S E Ñ Y W X K Y A ÑH A Ñ X B HS MO DC e Ñ xx H P D J G M / r¡r\ clL¿ \

\25

14)'

3. La verdad no siemore es verosímil. / e, rr \ -; 4.C=1"* = / )P(mod27). \" 5. Esta es la cantidad estimada para la inversión. 6. BH PB JY 7F CT GP WD WI GW BH EB ÑV WO. 7. El secreto del éxito está en Ia persistencia del objetivo.

8 .c=( l! ?l)"r(e) mo d 2 7 ) . - '--\13 9. RAYQOB ATÑ FBO IJE. E.lpRcrcros6.3 1. 0694072002621710101604470802. 2. 4221285804947367297725447997167218240218391908603676 4792 423126262684400915810455. 3. Escuchapero no siemprecreas. 4. te esperoel martes. 5. k : 5 88. 6 . k : 7 765 .

E.lpncrcros6.4 1. Esto es.lo mejor.

7.5.

APROXIMACIóNDE NÚMEROSIRRACIONALES

277

2 . p : 1 03 ,9:30 7 . 3 . d , : 88 5 7 9 . 4. Adios. 5. 6682 40874r0g 80965820 Lr4L5 60782948 4733rgg4 55742948307r 423238386474 3676. 6. Hemosterminado.

E"lpncrcros 7.1 7. 1 2 , L , 4 2 1 . 2 . 1 0 , 2 , 3 , L , 6 , 4 ]. 3 . [ 9 , 1L, , r , 2 , 4 ] . 4 . l-4 , L , 6 , 1 , 2 ) . 5 . [ -3 , 3 , 2 , 1 , 3 ] . 6 . l-4 , 5 3 , 2 1 . 7 . 3, I 4 I 5 9: 1 3 , 7,1 5 ,L ,2 5 ,I,7 ,4 3 ,L Luegozr : ];4 1 6- 13,7,16,11]. [3,7,15,1,...]. 8. r4l11. 9. -r32137. 10.3/ 1 0 . 1,L.-r9/LL. 1 4 . [0 , a r ¡ a2t az ) . . . ) a n ].

E.lnncrcros7.2 L . c y : L, c2 : 4 f3, cs:9/7, c¿: I3lI0, cs: 3 5 1 2 7 . 2 . c 1 :3, c2 : 4 , cs: 19f5, ca:99126, cs:6 L 3 ll6 L , c 6 : 1 3 2 5 1 3 4 8 .

278

CAPITULO7. FRACCIONES CONTINUAS

3 . c r - - 2 , c2 : - 5 /3, cz: -T14: -l2f7, cs : -4 J / 2 5 . 4. c5:103993/33102,c6: 104348133215, c7:20834L166JtT. 5. cs:13395/4289,c6:108309/34840,c7:88886T/288009.

E;pncrcros 7.3

r. \/5: 12, 41. 2. \/B: l2,T:41. 3 . \ / 1 4: [3,1,2J,6].

4. ,/n:

[4,T;f, ;], 1,8-1.

5 . 3+ \/2 6 : [8 ,m . 6. ,/zT: [6,12. 7. [1,1]: (1+ \/5)12 8. [5,5J0]: t/27. 9. l-7,3-, 6l : -10 + /11. 10.[I2;I] : (1+ ,/g/3, 11 . 3 ,7 , 1 5 ,7.

E;pncrcros7.4 1. (308+ \/37)l2re. 2. (165+ \/2n)ft4. 3. (\/2e- L)12.

4. '/n 5. \/E: [2,4],\h0: [3,6],ú5 : [3,ffi, \/20: [4,?2;g].

7.5.

APROXIMACIóNDE NÚMEROSIRRACIONALES

E.lpRcrcros 7.5

1. [2,1]- 3771144. 2. l4,I3]-1bl - 7e|lr65. 3. l-2,T-,lA - -27Ilt9r' 4. [0,3,TZJA

= 651243.

5. \R - L254118L. 6. \h5 - 2LJl55. 7. \/l.e-z:,5l4s. 8. 2+ ^/ 7 - 6 5 5 1 L 4 r. 9. r - 103993/33102. 10. e - 12641465.

279

Bibliografía

[1] T. M. Aposror, Verlag, 1976.

Introducti,on to analytic Number Theory, Springer-

f2] D. M. BunroN, Elementary Number Theory,Allyn and Bacon, 1976. [3] A. DoxrAoIS, El tío Petros y la conjetura de Goldbach,Ediciones B. Colección Tiempos Modernos, Barcelona, 2000. [4] D. E. Kxuru, 1973,2, lggr.

Art of computer programm'ing, Addisson-Wesley, 1,

[5] C. T. LoNc, Elementary Introducti,on to Number Theory, Heath, Lexington,1972. [6] W. J. Lnvoquu, Fundamentals of Number Theory, Addisson-Wesley, 7977. [7] C. J. MonnNo, Fermat's Last Theorem: From Fetm,at to Wiles,Rev. Col. de Mat. 29 (1995),49-88 [8] I. NweN AND H. S. ZucxpRrrreN, An introduction to the theory of Numbers, Wiley, 1980. [9] A. J. PprtopREZZo v D. R. ByRxIt, Introd,ucción a la teoría de Números. Prentice-Hall Internacional. 1972.

280

BIBLIOGRAFÍA

287

[10] P. RIspNeoIN,{,My nurnbers,my fri,end,s:Popular Lectureson Number Theory, Springer-Verlag, New York, 2000. 2nd [11] K. H. RosnN, Elementary Number Theory and i,ts appli,cati,ons, 1988. ed. Addisson-Wesley, [12] B. M. Srpw¿wr, The Theory of Numbers,Macmillan,1964. [13] M. R. Scsnopour", Number Theory in Sci,enceand communicat'ion with applications'in Criptography, Physics, Di'gi'tal Information, Computing and Self-Si,mi,lari,ty,Springer-Verlag, 1986. [14] J. J. TITTBRSALL. Elen'¿entaryNumber Theory in Nine Chapters, Cambridge, University press, 2001. [15] D. ZAlcER, A sltort proof of the Pri,me Number Theorem,Amer. Math. Monthly 104 (1967), 705-708 [16] trttp ; / /primes. utrn. edu

Índicede Materias

congruentesmódulo n, 98 conjetura de Goldbach, 56 de Taniyama-Shimura, 58 convergentes,235 criba de Eratóstenes, 51 criptoanálisis, 194 criptografía, 194 criterio de Euler, 158 criterios de divisibilidad, 104 cuerpo, 11-2

adición de números enteros, 10 de números naturales, 2 algoritmo de Euclides, 29 de Ia división, 13 extendido de Euclides, 31 anillo, 109 con identidad, 110 conmutativo, 110 aritmética módulo n,706 axiomas de Peano, 2 base del sistema, 17 Brun Viggo, 54

dígitos, 17 dígrafos, 206 desencriptación, 195 divide a, 15

cirrado enbloques, 206

Íil[*|t:tjl"?,

cifrado por transposición, 203 cifrados exponenciales,2l3 claves, 195 coeficientebinomial, 22 congruencia de grado superior, 137 de segundo grado con módulo primo, 153 lineal, 121

,ro

dominio de integrid ad,,II2 ecuación de Fermat, 58 diofántica, 58 diofántica lineal, 125 encriptación, 195 V'n, L07 enterosmódulo n,I07 equivalente numérico, 195

282

INDICEDE MATERIAS

283

Eratóstenes, 51 Erdós, P.,57 Euclides, 29 Euler L., 54

índice de n, 180

factorial,22 Fibonacci L., 36 forma canónica,47 formula de inversión de Móbius, 90 fracción continua simple inflnita, 242 continua, 230 continua finita, 231 continua periódica, 248 continua simple, 230 periódica, 236 función

Legendre, 57 lema de Gauss,161 Iey de la reciprocidad cuadrática, 160 la tricotomía, 8

frl,64 O de Euler, 78 lt',90 o(n),70 r(n),70 aritmética multiplicat iva, 72 de Euler, 94 multiplicativa, 86 número, 70 parte entera, 64 suma de divisores, 70 funciones aritméticas, 70 Gauss F., 57 grupo,108 abeliano, 108 cíclico, 185 isomorfismo, 184 Hadamard, 57 Hellman M., 213 hipótesis de inducción, 2

Jacobi,167 Julio Cesar, 195

Máximo Común Divisor, 27 método del descensoinfinito, 62 Mínimo Común Múltiplo, 39 MC D,27 MCM, 40 Mersenne M., 76 multiplicación de números enteros, 11 de números naturales, 5 número compuesto, 15 de Fermat, 2I,77 de Fibonacci, 36 de Mersenne, 76 pefieclo,74 primo, 15 números enteros, 10 naturales, 1 orden de ¿ módulo n, L72 entre números naturales, 7 PBO, 13 Peano, Giuseppe, 1 n(r),56 PIM, 2 potenciasmódulo n,772

284

I NDI CEDE M ATERI AS

primo, 15 de Mersenne, 76 primos gemelos,54 primos relativos, 33, 42 principio de buena ordenación, 13 producto directo, 186 proporción áurea,24 raíces primitivas, 172 Rabin M.,22I relación de equivalencia, 99 residuos cuadráticos, 153 símbolo de Jacobi, 167 de Legendre,156, L67 sistema de clave plública,2IT de Ia mochila,225 de Rabin, 221 hexadecimal, 17 RSA, 219 subgrupo,18L generado,181 sucesiónde Fibonacci, 24 sustitución polialfabéti ca, 200 teorema chino del residuo, 131 de Euler, 114 de Fermat, L14 de Lagrange,L47,148 de Wilson, L47, L50 del Binomio, 101 fundamental de la aritmética, 46 teorema de Dirichlet; 53 Teorema de los números primos, 56 ternas Pitagóricas, 60

TFA,46 transformaciones afines, 198 translaciones, 198 triángulo de Pascal, 23 Vallee de Ia, P' , 57 Vigenére B', 200 zagier D.,57