Aproximación De La Binomial Por La Normal

Aproximación de la binomial por la normal 13.5 Distribución Binomial

Ejemplos

Aproximación de la distribución binomial por la normal Vamos a representar en un sistema de referencia distribuciones binomiales para distintos valores de n y p=0,3.

Queremos aproximar estas distribuciones a una distribución normal estándar :

Se puede apreciar en los gráficos anteriores como a medida que aumenta n mejora el parecido de las gráficas de barras de las distribuciones binomiales (discretas) a la gráfica de la distribución normal estándar (continua), pero con el inconveniente de que se produce un desplazamiento hacia la derecha de la distribución binomial a medida que aumenta n. Este inconveniente se evita, corrigiendo la variable aleatoria, Sj, restando la media (para corregir el desplazamiento) y dividiendo por la desviación típica(para ajustar la dispersión) :

A la nueva variable, xj le asignamos b(n,p,j). La representación, para el caso, n = 270 y p=0,3 , del diagrama de barras de la binomial corregida y de la función de densidad de la distribución normal estándar es :

Cuando n aumenta, la longitud de las barras disminuye, cosa lógica, porque la suma de las longitudes de todas las barras es 1 (función de probabilidad definida sobre una variable aleatoria discreta) ; mientras que el área bajo la función de densidad (definida sobre una variable aleatoria continua) de la distribución normal estandar, también es 1. Para ajustar ambas funciones, tendríamos que conseguir que la suma de las áreas de los rectángulos que forman el diagrama de barras fuera 1. Como la distancia entre las barras es constante y la suma de las alturas de todas las barras es 1, el área bajo los rectángulos del diagrama de barras es igual a la distancia entre barras consecutivas. La distancia entre barras consecutivas es :

Por tanto, para que la suma de las áreas de los ractángulos entre barras consecutivas sea 1, es suficiente multiplicar por la inversa de la distancia entre barras consecutivas ; es decir, a cada x j , le asignamos :

Si la representamos para el caso n=270 y p=0,3, junto con la función de densidad de la distribución normal estándar, tenemos :

Como se puede apreciar en la gráfica se ajustan bien ambas funciones. En resumen: Aproximación de la distribución binomial por la normal Una dstribución binomial B(n,p) se puede aproximar por una distribución normal, siempre que n sea grande y p no esté muy próxima a 0 o a 1. La aproximación consiste en utilizar una distribución normal con la misma media y desviación típica que la distribución binomial.

En la practica se utiliza la aproximación cuando : En cuyo caso : Y tipificando se obtiene la normal estándar correspondiente:

DISTRIBUCIÓN NORMAL o campana de Gauss-Laplace

Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas. Su propio nombre indica su extendida utilización, justificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribución. Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya gráfica tiene forma de campana. En otras ocasiones, al considerar distribuciones binomiales, tipo B(n,p), para un mismo valor de p y valores de n cada vez mayores, se ve que sus polígonos de frecuencias se aproximan a una curva en "forma de campana". En resumen, la importancia de la distribución normal se debe principalmente a que hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal 

Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie, p.ejm. tallas, pesos, envergaduras, diámetros, perímetros,...



Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco, o de una misma cantidad de abono.



Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen.



Caracteres psicológicos, por ejemplo: cociente intelectual, grado de adaptación a un medio,...



Errores cometidos al medir ciertas magnitudes.



Valores estadísticos muestrales, por ejemplo : la media.



Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones normales, ...

Y en general cualquier característica que se obtenga como suma de muchos factores. FUNCIÓN DE DENSIDAD Empleando cálculos bastante laboriosos, puede demostrarse que el modelo de la función de densidad que corresponde a tales distribuciones viene dado por la fórmula

Representación gráfica de esta función de densidad

La distribución normal queda definida por dos parámetros, su media y su desviación típica y la representamos así

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN 

Puede tomar cualquier valor (- , + )



Son más probables los valores cercanos a uno central que llamamos media 



Conforme nos separamos de ese valor , la probabilidad va decreciendo de igual forma a derecha e izquierda (es simétrica).



Conforme nos separamos de ese valor , la probabilidad va decreciendo de forma más o menos rápida dependiendo de un parámetro , que es la desviación típica.

F(x) es el área sombreada de esta gráfica

TIPIFICACIÓN

Por tanto su función de densidad es

y su función de distribución es

siendo la representación gráfica de esta función

a la variable Z se la denomina variable tipificada de X, y a la curva de su función de densidad curva normal tipificada. Característica de la distribución normal tipificada (reducida, estándar) 

No depende de ningún parámetro



Su media es 0, su varianza es 1 y su desviación típica es 1.



La curva f(x) es simétrica respecto del eje OY



Tiene un máximo en este eje



Tiene dos puntos de inflexión en z =1 y z = -1

Aproximación de la Binomial por la Normal (Teorema de De Moivre) : Demostró que bajo determinadas condiciones (para n grande y tanto p como q no estén próximos a cero) la distribución Binomial B(n, p) se puede aproximar mediante una distribución normal

Debemos tener en cuenta que cuanto mayor sea el valor de n, y cuanto más próximo sea p a 0.5, tanto mejor será la aproximación realizada. Es decir, basta con que se verifique

gracias a esta aproximación es fácil hallar probabilidades binomiales, que para valores grandes de n resulten muy laboriosos de calcular. Hay que tener en cuenta que para realizar correctamente esta transformación de una variable discreta (binomial) en una variable continua (normal) es necesario hacer una corrección de continuidad.

MANEJO DE TABLAS. CASOS MÁS FRECUENTES. La distribución de la variable Z se encuentra tabulada

Caso 2: Aproximación de la Poisson a la Normal

Anteriormente se ha indicado que:

Aunque para n finito las distribuciones de Poisson y Normal no coinciden, es posible aproximar la primera por la segunda, de acuerdo a la regla siguiente:

λ ≥ 10

aproximar a la Normal de media λ, varianza λ

λ < 10

no aproximar, calcular con la variable original

Por ejemplo una Poisson (16) es aproximadamente una Normal (16, 4). En el cuadro siguiente se puede explorar de nuevo el error numérico cometido al aproximar una Poisson mediante una Normal. Se calcula la discrepancia máxima a lo largo de todo el soporte. Para valores individuales se puede recurrir a la calculadora estadística.

1) Desplazar la barra del parámetro λ. 2) Comparar el comportamiento con y sin el reescalado. 3) Comparar la desviación máxima al aumentar λ.

Distribución de probabilidad De Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a navegación, búsqueda

La distribución Normal suele conocerse como la "campana de gauss".

En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los eventos rango de valores de la variable aleatoria. Cuando la variable aleatoria toma valores en el conjunto de los números reales, la distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de distribución, cuyo valor en cada real x es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x. Contenido [ocultar] 

1 Definición de función de distribución



2 Propiedades



3 Distribuciones de variable discreta o



4 Distribuciones de variable continua o



3.1 Distribuciones de variable discreta más importantes

4.1 Distribuciones de variable continua más importantes

5 Enlaces externos

[editar] Definición de función de distribución

Dada una variable aleatoria todos son puntos

, su función de distribución,

Por simplicidad, cuando no hay lugar a confusión, suele omitirse el subíndice escribe, simplemente, . [editar] Propiedades

Como consecuencia casi inmediata de la definición, la función de distribución: 

Es una función continua por la derecha.



Es una función monótona no decreciente.

Además, cumple

, es

y se

y

Para dos números reales cualesquiera a y b tal que (a < b), los sucesos son mutuamente excluyentes y su unión es el suceso que tenemos entonces que:

y , por lo

y finalmente

Por lo tanto una vez conocida la función de distribución F(x) para todos los valores de la variable aleatoria x conoceremos completamente la distribución de probabilidad de la variable. Para realizar cálculos es más cómodo conocer la distribución de probabilidad, y sin embargo para ver una representación gráfica de la probabilidad es más práctico el uso de la función de densidad. [editar] Distribuciones de variable discreta

Distribución binomial.

Se denomina distribución de variable discreta a aquella cuya función de probabilidad sólo toma valores positivos en un conjunto de valores de X finito o infinito numerable. A dicha función se le llama función de masa de probabilidad. En este caso la

distribución de probabilidad es el sumatorio de la función de masa, por lo que tenemos entonces que:

Y, tal como corresponde a la definición de distribución de probabilidad, esta expresión representa la suma de todas las probabilidades desde hasta el valor x. [editar] Distribuciones de variable discreta más importantes

Las distribuciones de variable discreta más importantes son las siguientes: 

Distribución binomial



Distribución binomial negativa



Distribución Poisson



Distribución geométrica



Distribución hipergeométrica



Distribución de Bernoulli



Distribución Rademacher, que toma el valor 1 con probabilidad 1 / 2 y el valor -1 con probabilidad 1 / 2.



Distribución uniforme discreta, donde todos los elementos de un conjunto finito son equiprobables.

[editar] Distribuciones de variable continua

Distribución normal.

Se denomina variable continua a aquella que puede tomar cualquiera de los infinitos valores existentes dentro de un intervalo. En el caso de variable continua la distribución

de probabilidad es la integral de la función de densidad, por lo que tenemos entonces que:

[editar] Distribuciones de variable continua más importantes

Las distribuciones de variable continua más importantes son las siguientes: 

Distribución ji cuadrado



Distribución exponencial



Distribución t de Student



Distribución normal



Distribución Gamma



Distribución Beta



Distribución F



Distribución uniforme (continua)

28

DISTRIBUCION NORMAL

Uso de la tabla de distribución de probabilidad normal estándar Para cualquier distribución normal de probabilidad, todos los intervalos que contienen el mismo número de desviaciones estándar a partir de la media contendrán la misma fracción del área total bajo la curva para cualquier distribución

de probabilidad normal. Esto hace que sea posible usar solamente una tabla (Apéndice Tabla 1) de la distribución de probabilidad normal estándar. 28

29

El valor de z está derivado de la fórmula: En la que: • x = valor de la variable aleatoria que nos preocupa.

• µ = media de la distribución de la variable aleatoria. • σ = desviación estándar de la distribución. • z = número de desviaciones estándar que hay desde x a la media de la distribución. (el uso de z es solamente un cambio de escala de medición del eje horizontal)

DISTRIBUCION NORMAL Z =x - µ σ

Distribución normal que ilustra la comparación de los valores de z y las desviaciones estándar.

29

30

DISTRIBUCION NORMAL / EJEMPLO

Ejemplo 1: Hay un programa de entrenamiento diseñado para mejorar la calidad de las habilidades de supervisión de los supervisores de la línea de producción. Debido a que el programa es autoadministrado, los supervisores requieren un número diferente de horas para terminarlo. Un estudio

de los participantes anteriores indica que el tiempo medio que se lleva completar el programa es de 500 horas, y que esta variable aleatoria normalmente distribuida tiene una desviación estándar de 100 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que un candidato elegido al azar requiera más de 500 horas para completar el programa de entrenamiento? 30

De la gráfica podemos observar que la mitad del área bajo la curva está localizada a ambos lados de la media de 500 horas. Por tanto, podemos deducir que la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor mayor a 500 es el área sombreada, es decir, 0.5

31

DISTRIBUCION NORMAL / MINITAB EJEMPLO 1

Para obtener la gráfica en minitab seleccionamos: Graph / Probability Distribution Plot… En seguida aparecerá una ventana “Probability Distribution Plot” (“Gráfica de Distribución de Probabilidad”) con el puntero seleccionamos

“View Probability” (Vista de Probabilidad) y una vez seleccionado presionamos OK.

32 En seguida aparecerá otra una ventana “Probability Distribution Plot – View Probability” (“Gráfica de Distribución de Probabilidad – Vista de Probabilidad”).

• En la pestaña de Distribution: •En el campo de “Distribution:” seleccionar “Normal” •En el campo de “Mean” (media =λ ) colocamos 500 (promedio de horas que se lleva completar el programa) •En el campo de “Standar deviation” colocamos 100 (desviación estándar de la variable) • Seleccionamos ahora la pestaña de Shaded Area: •Con el puntero seleccionamos “Probability” •Con el punetro seleccionamos el “Right Tail” or “Left Tail” (trabajaremos con right Tail) •En el campo de Probability: colocamos 0.5 (ya que para este caso la media ocupa exactamente el punto más alto de la curva por tanto la probabilidad es de 0.5) • Una vez alimentado los datos presionamos “OK” .

DISTRIBUCION NORMAL / MINITAB EJEMPLO 1

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

INTRODUCCIÓN Las variables aleatorias están ligadas a experimentos aleatorios. Y se dice que se ha definido una variable aleatoria cuando a cada elemento del espacio muestral se le ha asociado un número. Si una variable real, X, es una variable aleatoria sus valores dependen del azar. Por ejemplo, si se lanzan dos dados y X es el número de veces que sale un 6, entonces X es una variable aleatoria, y toma, al azar, uno de los valores 0, 1 ó 2. El estudio de las distribuciones de probabilidad es similar al de la variable estadística, el equivalente de la frecuencia relativa en la variable aleatoria es la probabilidad. 1. Variables aleatorias Consideremos un experimento aleatorio y sea E el espacio muestral asociado, S = conjunto de sucesos p = probabilidad asociada a cada suceso, a la terna (E, S, p) le llamamos espacio probabilístico Definición 1. Llamamos variable aleatoria o variable estocástica, X, a toda aplicación que asocia a cada elemento del espacio muestral, E, un número real x. Dicho de manera informal: es el valor numérico que “de alguna manera” se asigna a un suceso. El conjunto imagen de la aplicación se llama recorrido de la variable. Suele confundirse variable aleatoria con recorrido. Ejemplo 1. Si lanzamos tres monedas al aire y X es el número de caras que salen, los valores que toma X son 0, 1, 2 y 3. Ejemplo 2. Si de una camada de 6 cachorros se cuenta el nº de hembras que se “obtienen” la variable aleatoria toma los valores x =0, x=1,....x =6Ejemplo 3. Al extraer una bombilla de una población y observar si es o no defectuosa, X tomaría los valores 1 y 0 según sea o no defectuosa. En los ejemplos anteriores se habla de variable aleatoria discreta (toma valores discretos) Ejemplo 4. Si se toma como X la estatura de los soldados de un reemplazo X puede tomar todos los valores, (dentro de unos límites) Ejemplo 5. Si se toma como variable la longitud de un tornillo X puede tomar todos los valores de un intervalo. En estos casos últimos se hablará de variable aleatoria continua. Estudiaremos dos modelos de variable aleatoria: uno discreto la binomial otro continuo la normal Estudiaremos en primer lugar las distribuciones discretas de probabilidad.

2. Función de probabilidad y de distribución Una función de probabilidad no es más que la asignación a cada valor de la variable de la probabilidad que le corresponde. Es decir: Definición 2. La función de probabilidad, f, se define así: f(x i)= P(X=xi) Ejemplo 6. En el ejemplo de la introducción:

f(0)=P(X =0)=p(no salga ningún 6)=

, f(1)=P(X =1)=

, f(2)=P(X

=2)= .Observación: Se verifica, al igual que con la probabilidad, que f(0)+f(1)+f(2)= 1 Propiedades Por ser una probabilidad se verifica : 1) f(xi) >0; 2) la suma de todas las f(xi) es 1, es decir Definición 3. Sea X una variable aleatoria. Se llama función de distribución, F, a la función definida por F(x)= P(X x) En el caso de que X sea una variable discreta se tiene: F(x)= F está comprendido entre 0 y 1. Ejemplo 7. En el ejemplo anterior F(1)=P(X 1)= P(no salga ningún seis, o salga un seis)= P(X=0)+P(X=1) 3. Media o esperanza de una variable aleatoria Sea X una variable aleatoria discreta, que toma los valores x 1, x2, x3.....xn con función de probabilidad f. Definición 4. Se llama media o esperanza (o valor esperado) de X a: E(X)=x1f(x1)+x2f(x2)+......+xnf(xn)

Observación. Es análoga a la definición de la media para una distribución de frecuencias. Ejemplo 8. Un jugador lanza un dado corriente. Si sale un número impar gana dicho número de euros, pero si sale par entonces pierde esa cantidad en euros. Estudiar si el juego es equitativo. Solución Los resultados posibles xi (euros que gana o pierde al lanzar el dado) y sus respectivas probabilidades son: xi

1

3

5

-2

-4

-6

f(xi)

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

Los número negativos indican el hecho de perder cuando sale par. E(X) =

luego no es equitativo.

Nota. Se dice que un juego de dinero es legal o equitativo si E =0 y desfavorable si E<0 Propiedades. Si X e Y son variables aleatorias, del mismo espacio muestral, y k un número real 1) E(X +k)=E(X)+k 2) E(kX)= kE(X) 3) E(X +Y)= E(X)+E(Y) (la esperanza de la suma es la suma de las esperanzas) 4. Varianza y desviación estándar (o típica) Al igual que para las variables estadísticas la esperanza mide, en cierto sentido, el “valor promedio”de X. El concepto siguiente, el de la varianza, va a medir la dispersión o distanciamiento de X, respecto de la media. Definición 5. Sea X una variable discreta que toma los valores, x1, x2, ......xn con función de probabilidad f. Se llama varianza de X y se designa por var(X) a: =E(X2)-E(X)2 Es decir, la media de la variable al cuadrado menos el cuadrado de la media. La desviación estándar o típica se define como la raíz cuadrada de la varianza. Ejemplo 9. Consideremos la variable X que asigna la suma de dos números que se muestran en un par de dados. La distribución de X es: xi f(xi )

2 1/3 6

3 2/3 6 xi 2 3 4 5 6

4 3/3 6

5 4/3 6 f(xi) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36

6 5/3 6

7 6/3 6 xif(xi) 2/36 6/36 12/36 20/36 30/36

8 5/3 6

9 4/3 6 xi 2 4 9 16 25 36

10 3/3 6 xi2f(xi) 4/36 18/36 48/36 100/36 180/36

11 2/3 6

12 1/3 6

7 8 9 10 11 12

6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 1

La varianza, Var (X)= E(X2)-E(X)2=

42/36 40/36 36/36 30/36 22/36 12/36 7

49 64 81 100 121 144

=

294/36 320/36 324/36 300/36 242/36 144/36 1974/36

=54,83-49=5,83

La desviación típica Propiedades. Si X es una variable aleatoria y k un número real 1) Var(X +k)=Var(X) 2) Var(kX)=k2Var(X) Consecuencia:

y

Observación 1. Hay una interpretación física de la media y la varianza. Supóngase que para cada punto xi sobre el eje X se coloca con una unidad con masa f(xi). Entonces la media es el centro de gravedad y la varianza es el momento de inercia del sistema. Observación 2. Muchas variables aleatorias dan origen a la misma distribución, de ahí que se hable de la media y desviación típica de una distribución, en vez de una v.a. 5. Normalización o tipificación de una variable aleatoria Sea X una variable aleatoria con media, la variable aleatoria X* normalizada que corresponde a X se define por: Se verifica E(X*)=0y Var(X*)=1 6. Distribución binomial Partimos de una experiencia en la que sólo consideramos dos sucesos A y su contrario Ac. Sus probabilidades son P(A)= p y P(Ac)= q=1-p El suceso A es el suceso favorable, se le suele llamar éxito, al contrario fracaso. Si repetimos n veces la experiencia, y estamos interesados en e número de éxitos, la variable aleatoria X indicará éstos y tomará los valores 0, 1, 2, ...n. Se trata de una distribución de probabilidad discreta, que se llama

distribución binomial de parámetros n (nº de repeticiones) y p 8probabilidad del éxito). Se designa B(n, p) La probabilidad de obtener k éxitos es p(X= k)=

pk qn-k

Ejemplo 10. Un jugador de tenis tiene una probabilidad de ganar una partida de 0,25. Si juega 4 partidas, calcula la probabilidad de que gane mas de la mitad. Solución Es una binomial con n=4 y p=0,25, lo que piden es que calculemos P(X=3)+P(X=4) donde:

P(X=3)=

, P(X=4)=

(terminarle)

Ejemplo 11. Una máquina fabrica tornillos y se ha comprobado que el 2% de los mismos son defectuosos. Si se vende en paquetes de de 29, se pide: a) ¿Cuál es la función de probabilidad de la variable aleatoria nº de tornillos defectuosos en un paquete? b) ¿Cuál es la probabilidad de que al comprar un paquete haya en el mismo 2 defectuosos? Solución a) Es una binomial de parámetros n = 20 y q = 0, 02. Su función de probabilidad es p(X =k)= b) P(X =2)= PARÁMETROS

k

(0,02) (0,98)

20-k

(comprobarlo)

La media es , la varianza y la desviación típica Observación: Cuando n. p>5 se puede considerar que la distribución es normal (la vemos después). Ejemplo 12. La probabilidad de que en una empresa haya un empleado enfermo es de 0,02. Sabiendo que hay 300 empleados hallar la esperanza matemática y la varianza de la distribución correspondiente. Solución Como se trata de una distribución binomial de parámetros n= 300 y p= 0,02, se verifica: E(X)= n.p = 300.(0,02) =6, Var(X)= n.p.q= 300.(0,02).(0,98)= 5,88

Distribución de probabilidades Enviado por Raúl Castro Vidal Anuncios Google: Gestión del Mantenimiento Crea y Gestiona un plan de mantenimiento para tu empresa | www.seas.es MBA´s Politécnica Madrid Mejor relación calidad-precio MBA Internacional y MBA Tecnologías | www.ienpolitecnica.es "Master Recursos Humanos" Doble Titulación Europea Becas hasta el 75%. Ultimas Plazas! | www.eude.es

1.

Resumen

2. 3.

Teoría

4.

Aplicación

5.

Conclusiones

6.

Bibliografía

RESUMEN En este trabajo se realiza la aplicación de las distribuciones discretas, para realizar el cálculo y análisis correspondientes se ha tomado como datos algunos sucesos que ocurren dentro del quehacer académico en los laboratorios de la FIEE de la UNAC, reportados por el personal encargado. 1 INTRODUCCIÓN. Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden representarse como resultado de un experimento. Una distribución de probabilidad es similar al distribución de frecuencias relativas .Si embargo, en vez de describir el pasado, describe la probabilidad que un evento se realice en el futuro, constituye una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de diversos fenómenos naturales. Las decisiones estadísticas basadas en la estadística inferencial son fundamentales en la investigación que son evaluadas en términos de distribución de probabilidades. En el presente trabajo, se estudia de manera ágil los diverso tipos de distribución probabilística, caracterizaremos cada distribución, la fundamentación matemática de los diversos resultados no se enfocaran en el presente trabajo; sólo me limitaré al estudio descriptivo de la distribución de probabilidades discretas. 2 TEORIA ¿Qué es una distribución de probabilidad?

Muestra todos los resultados posibles de un experimento y la probabilidad de cada resultado. ¿Cómo generamos una distribución de probabilidad? Supongamos que se quiere saber el numero de caras que se obtienen al lanzar cuatro veces una moneda al aire? Es obvio que, el hecho de que la modena caiga de costado se descarta. Los posibles resultados son: cero caras, una cara, dos caras, tres caras y cuatro caras. Si realizamos el experimento obtenemos el siguiente espacio muestral:

NUMERO DE CARA 0 1 2 3 4



OBSERVACION 1.

La probabilidad de cada resultado especifico va desde cero hasta uno inclusive 2 VARIABLE ALEATORIA.-Cantidad que es resultado de un experimento y debido al azar, puede tomar valores diferentes. Variable aleatoria discreta:- Toma valores claramente separados, generalmente se produce por conteo. 2.1Variable aleatoria continua:-Cantidades que toman infinitos valores, dentro de un rango permitido, generándose una distribución de probabilidades continuas. 2.2Media de una Distribución de Probabilidades.-Valor promedio a largo plazo de la variable aleatoria, también es conocido como valor esperado. Esta media es un promedio ponderado, en el que los valores posibles se ponderan mediante sus probabilidades correspondientes de ocurrencia, se calcula con la formula:

Donde P(X) es la probabilidad que puede tomar la variable aleatoria X. 2.3Varianza.- Mide el grado de dispersión de la distribución de probabilidades, siendo la formula: ...............................................(2)

También se aplica la fórmula: ................................................. (3) Desviación Estándar.-Es la raíz cuadrad del varianza, luego: ..................................... (4) 3 DISTRIBUCIÓN DE LA PROBABILIDAD BINOMIAL Esta distribución es la que mejor se ajusta a la distribución de probabilidades de variable discreta. Si lanzamos dos monedas al aire, se tiene el siguiente espacio maestral:

Si p es la probabilidad de obtener una cara(c) al considerar una sola moneda y q la probabilidad de que salga sello(s); entonces p=q= ½; luego:

2

Con el binomio de Newton deducimos lo siguiente:

………………………………………………………………(5) Luego, la distribución de probabilidad binimial esta dada por: …………………………………….. (6) Donde: p: Probabilidad de éxito de cada ensayo. n: Número de ensayos. x: Número de exitos. OBSERVACIÓN

(1) (2)Si p=q=1/2, el histograma de las distribuciones binomiales son simétricas.

2. 3.

Si el experimento se repite r veces con n ensayos ; entonces se tiene:

……………………………. (7) Luego se deduce que: ………………………………. (8) 3.1 MEDIA DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Esta dada por: ………………………………………. (9) 3.2VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL ………………………………………………. (10) 4DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD ACUMULADA Estos son similares a las distribuciones acumuladas, así aplicamos para las distribuciones binomiales.

P(x<=2)=P(x=0)+P(x=1)+P(x=2) 5 DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD HIPERGEOMETRICA Esta distribución se aplica cuando el muestreo se realiza sin repetición y la probabilidad de éxito no permanece constante de un ensayo a otros calcula mediante la fórmula:

………………………… (12) Donde: N: Tamaño de la población S: Cantidad de éxitos en la población

X: Número de éxitos en la muestra. n : Tamaño de la muestra. n>=0.05N 6 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE POISSON Describe la cantidad de veces que ocurre un evento en un intervalo determinado (tiempo, volumen, temperatura, etc...).La distribución se basa en dos supuestos: 1°) La probabilidad es proporcional a la extensión del intervalo. 2°) Los intervalos son independientes. Esta distribución es una forma límite de la distribución binomial,cuando la probabilidad de éxito es bien pequeña y n es grande ,a esta distribución se llama "Ley de eventos improbables", lo cual significa que la probabilidad de p es bien pequeña .La probabilidad de Poisson es una probabilidad discreta; puesto que se forma por conteo ………………………. (13)

………………………………(14) Donde: Media del número de ocurrencias. : Constante de Euler. x : Número de ocurrencias 6.1Media:-Esta dado por:

. 7 APLICACIÓN DE LA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD. En el Laboratorio de Control y Automatización de la FIEE de la UNAC se tiene 16 computadoras, el Jefe de dicho laboratorio reporta el siguiente informe:

El jefe de laboratorio desea saber cual es la distribución de probabilidad de falla de las máquinas, para tomar acciones de mantenimiento. Nº de

Distrib. Pr

máquina 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12 13 14 15 16

7.1 CONCLUSIONES El jefe del laboratorio, según la distribución de probabilidades que tienden a cero solo hará algunos ajustes. 8 APLICACION DE LA DISTRIBUSION BINOMIAL. El almacenero del laboratorio de Ingeniería Electrónica reporta que de las treinta puntas de prueba de osciloscopios el 20% están malogradas, él desea saber la distribución de probabilidad de que estén malogradas 4 puntas de prueba. Se aplica la fórmula (6). P(x=4) =0.13252245. BIBLIOGRAFIA 1.

2.

Probabilidad y Estadistica para Ingenieria, William W, Douglas C, David M, CECSA, 1. Mexico 2005 Probabilidad, Elizabeth Meza,del Castillo, CONCYTEC, Lima Peru, 1984

Proporciones: intervalo de probabilidad Distribución para proporciones

12.4

Recuerda

Ejemplo

Distribución binomial

Aproximación binomial normal

Tabla normal N(0,1)

Intervalo de probabilidad para la proporción muestral

Ejemplos