Módulo: Projeto De Estruturas I: Especialização Em Estruturas De Concreto E Fundações

ESPECIALIZAÇÃO EM ESTRUTURAS DE CONCRETO E FUNDAÇÕES

Módulo: PROJETO DE ESTRUTURAS I

Parâmetros de Estabilidade e Efeitos de Segunda Ordem: Coeficientes z e FAVt e Processo P- Prof. Marcos Alberto Ferreira da Silva Belo Horizonte-MG, 2018

Exemplos de Aplicação • Exemplo 1: Calcular os momentos na base engastada do pilar submetido às ações horizontal e vertical indicadas na figura abaixo, levando em conta os efeitos de segunda ordem pelo processo P- e pelo método simplificado do gama-Z;

Resolução Análise pelo processo P-Delta Módulo de Elasticidade tangente inicial:

Eci  αe  5600. fck  1,0  5600  25  28.000 MPa Módulo de Elasticidade secante: fck  25    Ecs  αi  Eci   0,8  0,2    Eci   0,8  0,2    28.000 MPa 80  80   

Ecs  αi  Eci  0,8625  28000  24.150 MPa Inércia do Pilar

b  h 3 0,50 1,03 Ic, pilar    0,041667 m 4 12 12 Deslocamento horizontal devido à ação horizontal

 Fd  L3 50 1,4   53   3  E  I  sec 3  0,8  24150000  0,041667    0,003623 m

Resolução Momento Fletor na base do pilar

M0  Fd . L  50.1,4 .5  350 kN.m M1  M1  Pd.

M1  350  10000 1,4   0,003623 M1  400,724 kN.m Primeira força horizontal fictícia

Ff1, d  L  Pd  Δ Ff1 1,4  5  10000 1,4  0,003623 Ff1  7,25 kN

Deslocamento horizontal devido à primeira força horizontal fictícia

 Ff1, d  L3 7,25 1,4   53 Δ1   3  0,8  Ecs  Ic, pil  3  0,8  24150000  0,041667  Δ1  0,0005251 m Novo Momento Fletor na base do pilar

M2  M1  Pd  1

M2  400,724  10000 1,4   0,0005251 M2  408,075 kN  m

Erro para esta iteração é calculado por:

e  M2 - M1  408,075 - 400,724  7,351 kN  m (1,834%)

Resolução Segunda força horizontal fictícia

Ff2, d  L  Pd .  Δ1 Ff2 1,4  5  10000 1,4  0,0005251 10000 1,4  0,0005251 Ff2  1,4  5 Ff2  1,0502 kN

Resolução Deslocamento horizontal devido à segunda força horizontal fictícia

 Ff2, d  L3 1,0502 1,4   53 Δ2   3  0,8  Ecs  Ic, pil  3  0,8  24150000  0,041667  Δ  0,0000761 m Novo Momento Fletor na base do pilar

M3  M2  P d   2

M3  408,075  10000 1,4   0,0000761 M3  409,140 kN.m

Erro para esta iteração é calculado por:

e  M3 - M2  409,140 - 408,075  1,065 kN  m (0,261%)

Resolução Terceira força horizontal fictícia

Ff3, d .  L  Pd   2 Ff3 1,4.5  10000 1,4  0,0000761 10000 1,4  0,0000488 Ff3  1,4  5 Ff3  0,1522 kN

Resolução Deslocamento horizontal devido à terceira força horizontal fictícia

 Ff3, d  L3 0,1522 1,4   53 Δ3   3.0,8  Ecs  Ic, pil  3  0,8  24150000  0,041667  Δ3  0,000011 m Novo Momento Fletor na base do pilar

M4  M3  P d   3

M4  409,140  10000 1,4   0,000011 M4  409,294 kN.m

Erro para esta iteração é calculado por:

e  M4 - M3  409,294 - 409,140  0,1544 kN.m (0,0377%)

Resolução Quarta força horizontal fictícia

Ff 4, d .  L  Pd .   3 Ff 4 1,4  5  10000 1,4  0,000011 10000 1,4  0,000011 Ff4  1,4  5 Ff4  0,022 kN

Resolução Deslocamento horizontal devido à quarta força horizontal fictícia

 Ff4, d  L3 0,022 1,4   53 Δ4   3  0,8  Ecs  Ic, pil  3  0,8  24150000  0,041667  Δ4  0,0000016 m Novo Momento Fletor na base do pilar

M5  M4  P d   4

M5  409,294  10000 1,4   0,0000016 M5  409,318 kN.m Erro para esta iteração é calculado por:

e  M5 - M4  409,318 - 409,294  0,024 kN  m (0,00586%)

Resolução • As iterações foram realizadas até que o valor do erro fosse em torno de 0,01% do momento de iteração anterior; • A última iteração na qual se tem um erro de apenas 0,00586%, sendo assim, considera-se M5 = 409,318 kN.m, o valor final do momento na base do pilar, obtido pelo processo P-Delta;

Análise pelo Método Simplificado do Gama-z Cálculo do z

Deslocamento horizontal devido à ação horizontal

Fd.L3  3.E.I  sec 

50 1,4  53

3  0,8  24150000  0,041667    0,003623 m

1 1 1 1 γz      ΔMtot, d Pd.Δ 10000 1,4   0,003623 1 - 0,145 11150 1,4  5 M1, tot, d Fd.L γz  1,169

Análise pelo Método Simplificado do Gama-z • Majoração do esforço horizontal com 0,95.z • Segundo o item 15.7.2 da NBR 6118:2014, uma solução aproximada para a determinação dos esforços finais (1ª ordem + 2ª ordem) consiste em multiplicar os esforços horizontais da combinação de carregamento considerada por 0,95.z , sendo esse processo válido somente para z ≤ 1,3; • Para este caso, será majorada diretamente a ação F, por ser a única ação horizontal; Fmaj  F  0,95  γz 

Fmaj  50  0,95 1,169  Fmaj  55,55 kN

Análise pelo Método Simplificado do Gama-z • Após majorar a ação horizontal, calcula-se o momento na base do pilar em sua posição indeformada, ou seja, em sua posição original, sem consideração dos deslocamentos horizontais, como mostrado na figura a seguir; • É importante lembrar que esse momento na base já considera os efeitos de segunda ordem; Momento na base do pilar obtido com 0,95.z

M  Fmaj, d  L

M  55,55 1,4   5 Fmaj  388,85 kN.m

Resolução • Se em vez de 0,95.z fosse utilizado o valor integral .z para majorar a ação horizontal, obter-se-ia: Fmaj  F  γz

Fmaj  50  1,169  Fmaj  58,45 kN.m

Momento na base do pilar obtido com z

M  Fmaj, d  L

M  58,45 1,4   5 Fmaj  409,15 kN  m

Comparação entre o processo P- e o Gama-z • Este exemplo foi utilizado apenas para mostrar os conceitos do processo P-Delta e do Gama-z, de forma simples e didática; • Não se pode esquecer que a NBR 6118:2014 prescreve que, para utilização do coeficiente Gama-z em edificações, são necessários no mínimo quatro pavimentos; • No exemplo, pode-se observar que o momento obtido na base do pilar utilizando-se o P-Delta (409,3 kN.m) ficou bem próximo do relativo ao valor integral do Gama-z (409,2 kN.m);

Comparação entre o processo P- e o Gama-z • O resultado correspondente a 0,95.z (388,9 kN.m), como permite a NBR 6118:2014, foi aproximadamente 5,0% menor que o obtido pelo processo P-Delta; • Vale ressaltar que para a dedução do coeficiente Gama-z, que se considera que os acréscimos de momento fletor a cada iteração diminuem segundo uma progressão geométrica de razão r; • Com este simples exemplo calculado pelo P-Delta, pode-se perceber que realmente essa hipótese se verifica; • A partir da tabela abaixo, verifica-se que os acréscimos de momento fletor constituem uma progressão geométrica de razão r = 0,143;

Comparação entre o processo P- e o Gama-z Momentos Fletores em kN.m obtidos pelo processo P-Delta M0

M1

M2

M3

M4

M5

350,000 400,725 408,076 409,141 409,296 409,318

M1 M1 - M0 400,725 - 350,000 50,725     0,145 M1 M1 350,000 350 M2 M2 - M1 408,076 - 400,725 7,351 r     0,145 M1 M1 - M0 400,725 - 350,000 50,725 M3 M3 - M2 409,141 - 408,076 1,065 r     0,145 M2 M2 - M1 408,076 - 400,725 7,351 M4 M4 - M3 409,295 - 409,141 0,154 r     0,145 M3 M3 - M2 409,141 - 408,076 1,065 M5 M5 - M4 409,318 - 409,295 0,023 r     0,145 M4 M4 - M3 409,295 - 409,141 0,154

r

Exemplos de Aplicação • Exemplo 2: Calcular os valores dos coeficientes z e FAVt, para a estrutura mostrada na figura abaixo, sabendo-se que o concreto possui fck = 25,0 MPa e o peso próprio da estrutura foi desprezado;

Resolução Módulo de Elasticidade tangente inicial:

Eci  αe  5600. fck  1,0  5600  25  28.000 MPa Módulo de Elasticidade secante:

fck  25    Ecs  αi  Eci   0,8  0,2    Eci   0,8  0,2    28.000 MPa 80  80    Ecs  αi  Eci  0,8625  28000  24.150 MPa Inércia do Pilar

b  h 3 0,50 1,03 Ic, pilar    0,04166 m 4 12 12

Resolução Deslocamento horizontal devido à ação horizontal

 Fd  L3 50 1,4   53 uh, h    0,0036 m 3  E  I  sec 3  0,8  24150000  0,04166  Cálculo do z

1 1 1 1 γz      ΔMtot, d Pd.uh, h 600 1,4   0,0036 3,044 111150 1,4  5 M1, tot, d Fd.L 350 γz  1,0088

Resolução Deslocamento horizontal devido à ação vertical

 Md  L2 900 1,4   52 uh, v    0,0196 m 2  E  I  sec 2  0,8  24150000  0,04166 

Resolução Cálculo de FAVt

1 1 1 FAVt  FAVt   Pd  uh, h  uh, v  Mtot, d Pd  uh, tot  111Fd  L M1, tot, d Fd  L 1 1 FAVt       600 1,4  0,0036  0,0196 19,5 FAVt  1,059 1150 1,4  5 350

γz  1,009 e FAVt  1,059

FAVt - γz 1,059 - 1,009  100  4,96% γz 1,009