Velocidad De Infiltración
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PRUEBA DE VELOCIDAD DE INFILTRACIÓN “DATOS DE CAMPO” 1
2
3
4
5
6
7
TIEMPO
INTERVALO TIEMPO MUERTO
INTERVALO ENTRE LECTURAS
TIEMPO ACUMULADO
LECTURA
DIFERENCIA DE LECTURA
INFILTRACION
min
min
min
cm
cm/h
1 1 1 2 2 2 3 3 3 5
1 2 3 5 7 9 12 15 18 23 24 29 34 41 51 61 76 77 92 117 142 172 202 232 233 263 293 323
1 0.35 0.2 0.35 0.5 0.2 0.4 0.2 0.4 0.4
60 21 12 10.5 15 6 8 4 8 4.8
0.4 0.3 0.35 0.55 0.4 0.4
4.8 3.6 3 3.3 2.4 1.6
0.3 1 0.7 0.8 0.8 0.7
1.2 2.4 1.68 1.6 1.6 1.4
0.65 0.75 0.7
1.3 1.5 1.4
h:min 09:16 09:17 09:18 09:19 09:21 09:23 09:25 09:28 09:31 09:34 09:39 09:40 09:45 09:50 09:57 10:07 10:17 10:32 10:33 10:48 11:13 11:38 12:08 12:38 01:08 01:09 01:39 02:09 02:39
1 5 5 7 10 10 15 1 15 25 25 30 30 30 1 30 30 30
cm 10.9 11.9 12.25 12.45 12.8 13.3 13.5 13.9 14.1 14.5 14.9 10.8 11.2 11.5 11.85 12.4 12.8 13.2 10.4 10.7 11.7 12.4 13.2 14 14.7 11.2 11.85 12.6 13.3
Para el cálculo de la velocidad de infiltración (7), se multiplica la columna (6) x 60 y el producto se divide entre la columna (3). Tomando los resultados de la columna (4), para el eje de las abscisas y la columna (7), para las ordenadas, se puede graficar y observar el comportamiento de la velocidad de infiltración. La curva de la velocidad de infiltración seria del tipo exponencial.
Para obtener los coeficientes k y n del modelo de Kostiakov- Lewis, podemos utilizar diversos métodos, el método de regresión lineal simple, el método grafico o el método de los promedios. Por ser el más preciso, explicaremos el primero más ampliamente.
Método de regresión lineal simple Necesitamos linealizar la ecuación aplicando logaritmos a ambos términos de esta forma se obtiene:
que corresponde una ecuación del tipo de una recta:
Donde
Además Y= velocidad de infiltración X= tiempo
se calcula como: ∑
∑ ∑
∑
∑
Para encontrar la solución del problema, se puede construir una tabla con los valores que se obtienen aplicando logaritmos y elevando al cuadrado a los valores de las columnas de tiempo acumulado e infiltración calculada respectivamente.
CALCULOS PARA OBTENER EL MODELO DE VELOCIDAD DE INFILTRACIÓN Tiempo Acumulado (min) t 1
Velocidad de Infiltración (cm/hr) I 60
Log I
0.0000
1.7782
0.0000
3.1618
0.0000
2
21
0.3010
1.3222
0.0906
1.7483
0.3980
3
12
0.4771
1.0792
0.2276
1.1646
0.5149
5
10.5
0.6990
1.0212
0.4886
1.0428
0.7138
7
15
0.8451
1.1761
0.7142
1.3832
0.9939
9
6
0.9542
0.7782
0.9106
0.6055
0.7425
12
8
1.0792
0.9031
1.1646
0.8156
0.9746
15
4
1.1761
0.6021
1.3832
0.3625
0.7081
18
8
1.2553
0.9031
1.5757
0.8156
1.1336
23
4.8
1.3617
0.6812
1.8543
0.4641
0.9277
29
4.8
1.4624
0.6812
2.1386
0.4641
0.9962
34
3.6
1.5315
0.5563
2.3454
0.3095
0.8520
41
3
1.6128
0.4771
2.6011
0.2276
0.7695
51
3.3
1.7076
0.5185
2.9158
0.2689
0.8854
61
2.4
1.7853
0.3802
3.1874
0.1446
0.6788
76
1.6
1.8808
0.2041
3.5375
0.0417
0.3839
92
1.2
1.9638
0.0792
3.8565
0.0063
0.1555
117
2.4
2.0682
0.3802
4.2774
0.1446
0.7863
142
1.68
2.1523
0.2253
4.6323
0.0508
0.4849
172
1.6
2.2355
0.2041
4.9976
0.0417
0.4563
202
1.6
2.3054
0.2041
5.3146
0.0417
0.4706
232
1.4
2.3655
0.1461
5.5955
0.0214
0.3457
263
1.3
2.4200
0.1139
5.8562
0.0130
0.2757
293
1.5
2.4669
0.1761
6.0854
0.0310
0.4344
323
1.4
2.5092
0.1461
6.2961
0.0214
0.3667
SUMA
182.08
38.6158
14.7372
72.0469
13.3919
15.4491
Log t
Aplicación Se tiene la ecuación: ̅
̅
Despejando: ̅
̅
Podemos encontrar la media como: ̅ ̅
∑ ∑
Además si sabemos que: ∑
∑ ∑
∑
Sustituyendo:
Sustituyendo para ̅
̅
Ahora bien, si se considera la ecuación linealizada:
Y como ya sabemos:
∑
Por lo tanto:
Además:
Por lo tanto:
Finalmente el modelo de Kostiakov- Lewis será:
Para determinar ahora el coeficiente de correlación (r) del modelo obtenido, que es la medida del grado de asociación entre variables, se tiene: ∑
∑ √[∑
∑
∑
] [∑
∑
]
Sustituyendo:
√(
)(
Se calcula además el coeficiente de determinación (
)
), que está relacionado con (r) y
significa que la variación de Y es explicada por el modelo linealizado propuesto, de acuerdo al valor obtenido de ( ):
Se señala que para este caso, se considera un valor bajo de r y
.
Finalmente el modelo obtenido de Kostiakov- Lewis, se puede calcular la velocidad de infiltración en un tiempo determinado y obtener valores ajustados:
Tiempo Acumulado (min)
Infiltración Ajustada (cm/hr)
t 1 2 3 5 7 9 12 15 18 23 29 34 41 51 61 76 92 117 142 172 202 232 263 293 323
31.6665 21.0389 16.5633 12.2540 10.0479 8.6635 7.3112 6.4095 5.7559 4.9810 4.3444 3.9553 3.5418 3.1139 2.8018 2.4610 2.1987 1.9080 1.7020 1.5201 1.3825 1.2741 1.1832 1.1102 1.0481
Con estos valores corregidos y ajustados al modelo obtenido, se puede graficar para observar el comportamiento de la velocidad de infiltración. Utilizando los valores no ajustados y ajustados, tenemos:
METODO DEL TANQUE INFILTROMETRO
Velocidad de Infiltración (cm/hr)
Infiltración Obsevada
Infiltración Ajustada
60 50 40 30 20 10 0 0
50
100
150
200
Tiempo (min)
250
300
350
Infiltración Acumulada Es importante señalar que con el método del doble cilindro o el de entradas y salidas, puede obtenerse la ecuación de la infiltración a acumulada que se deriva de la integración de la ecuación de kostiakov-(Lewis entre los límites de t=o y t=t) ∫
∫
La ecuación tendrá la misma forma que el siguiente modelo:
Dónde: Z= infiltración acumulada (cm) K y n = coeficiente de la fórmula de kostiakov- Lewis El valor de 60 dado por la fórmula es un factor para expresar Z en cm y t en min.
Aplicaciones de la Infiltración Una de las aplicaciones que puede darse al modelo obtenido, es que se puede inferir resultados sobre tiempo de riego y lamina Infiltrada a partir de las formulas: ⁄
[ Dónde: T= tiempo de riego en minutos (min). La= lamina infiltrada (cm) n=coeficiente de la fórmula de kostiakov- Lewis k= coeficiente de la fórmula de kostiakov- Lewis}
]
Finalmente podemos deducir que:
Utilizando los datos de las pruebas de entradas y salidas, podemos ilustrar el caso de la infiltración acumulada (Lamina Infiltrada). Con los valores corregidos y ajustados del modelo obtenido, graficamos los puntos para observar la velocidad de infiltración acumulada. Si la ecuación tiene la forma de:
Entonces la infiltración acumulada será:
TIEMPO (min)
INFILTRACIÓN AJUSTADA (cm/hr)
INFILTRACIÓN ACUMULADA (cm)
t 1
31.6665
1.2869
2
21.0389
1.7100
3
16.5633
2.0194
5
12.2540
2.4900
7
10.0479
2.8584
9
8.6635
3.1687
12
7.3112
3.5655
15
6.4095
3.9071
18
5.7559
4.2105
23
4.9810
4.6557
29
4.3444
5.1201
34
3.9553
5.4652
41
3.5418
5.9013
51
3.1139
6.4539
61
2.8018
6.9456
76
2.4610
7.6009
92
2.1987
8.2204
117
1.9080
9.0721
142
1.7020
9.8220
172
1.5201
10.6251
202
1.3825
11.3493
232
1.2741
12.0124
263
1.1832
12.6465
293
1.1102
13.2193
323
1.0481
13.7584
Infiltración Ajustada
infiltracion acumulada
Velocidad de Infiltración (cm/hr)
35.0 30.0 25.0 20.0 15.0 10.0 5.0 0.0 0
50
100
150
200
Tiempo (min)
250
300
350
2
3
4
5
6
7
TIEMPO
INTERVALO TIEMPO MUERTO
INTERVALO ENTRE LECTURAS
TIEMPO ACUMULADO
LECTURA
DIFERENCIA DE LECTURA
INFILTRACION
min
min
min
cm
cm/h
1 1 1 2 2 2 3 3 3 5
1 2 3 5 7 9 12 15 18 23 24 29 34 41 51 61 76 77 92 117 142 172 202 232 233 263 293 323
1 0.35 0.2 0.35 0.5 0.2 0.4 0.2 0.4 0.4
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0.65 0.75 0.7
1.3 1.5 1.4
h:min 09:16 09:17 09:18 09:19 09:21 09:23 09:25 09:28 09:31 09:34 09:39 09:40 09:45 09:50 09:57 10:07 10:17 10:32 10:33 10:48 11:13 11:38 12:08 12:38 01:08 01:09 01:39 02:09 02:39
1 5 5 7 10 10 15 1 15 25 25 30 30 30 1 30 30 30
cm 10.9 11.9 12.25 12.45 12.8 13.3 13.5 13.9 14.1 14.5 14.9 10.8 11.2 11.5 11.85 12.4 12.8 13.2 10.4 10.7 11.7 12.4 13.2 14 14.7 11.2 11.85 12.6 13.3
Para el cálculo de la velocidad de infiltración (7), se multiplica la columna (6) x 60 y el producto se divide entre la columna (3). Tomando los resultados de la columna (4), para el eje de las abscisas y la columna (7), para las ordenadas, se puede graficar y observar el comportamiento de la velocidad de infiltración. La curva de la velocidad de infiltración seria del tipo exponencial.
Para obtener los coeficientes k y n del modelo de Kostiakov- Lewis, podemos utilizar diversos métodos, el método de regresión lineal simple, el método grafico o el método de los promedios. Por ser el más preciso, explicaremos el primero más ampliamente.
Método de regresión lineal simple Necesitamos linealizar la ecuación aplicando logaritmos a ambos términos de esta forma se obtiene:
que corresponde una ecuación del tipo de una recta:
Donde
Además Y= velocidad de infiltración X= tiempo
se calcula como: ∑
∑ ∑
∑
∑
Para encontrar la solución del problema, se puede construir una tabla con los valores que se obtienen aplicando logaritmos y elevando al cuadrado a los valores de las columnas de tiempo acumulado e infiltración calculada respectivamente.
CALCULOS PARA OBTENER EL MODELO DE VELOCIDAD DE INFILTRACIÓN Tiempo Acumulado (min) t 1
Velocidad de Infiltración (cm/hr) I 60
Log I
0.0000
1.7782
0.0000
3.1618
0.0000
2
21
0.3010
1.3222
0.0906
1.7483
0.3980
3
12
0.4771
1.0792
0.2276
1.1646
0.5149
5
10.5
0.6990
1.0212
0.4886
1.0428
0.7138
7
15
0.8451
1.1761
0.7142
1.3832
0.9939
9
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0.9542
0.7782
0.9106
0.6055
0.7425
12
8
1.0792
0.9031
1.1646
0.8156
0.9746
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1.1761
0.6021
1.3832
0.3625
0.7081
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0.9031
1.5757
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0.9277
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1.4
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5.5955
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2.4200
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5.8562
0.0130
0.2757
293
1.5
2.4669
0.1761
6.0854
0.0310
0.4344
323
1.4
2.5092
0.1461
6.2961
0.0214
0.3667
SUMA
182.08
38.6158
14.7372
72.0469
13.3919
15.4491
Log t
Aplicación Se tiene la ecuación: ̅
̅
Despejando: ̅
̅
Podemos encontrar la media como: ̅ ̅
∑ ∑
Además si sabemos que: ∑
∑ ∑
∑
Sustituyendo:
Sustituyendo para ̅
̅
Ahora bien, si se considera la ecuación linealizada:
Y como ya sabemos:
∑
Por lo tanto:
Además:
Por lo tanto:
Finalmente el modelo de Kostiakov- Lewis será:
Para determinar ahora el coeficiente de correlación (r) del modelo obtenido, que es la medida del grado de asociación entre variables, se tiene: ∑
∑ √[∑
∑
∑
] [∑
∑
]
Sustituyendo:
√(
)(
Se calcula además el coeficiente de determinación (
)
), que está relacionado con (r) y
significa que la variación de Y es explicada por el modelo linealizado propuesto, de acuerdo al valor obtenido de ( ):
Se señala que para este caso, se considera un valor bajo de r y
.
Finalmente el modelo obtenido de Kostiakov- Lewis, se puede calcular la velocidad de infiltración en un tiempo determinado y obtener valores ajustados:
Tiempo Acumulado (min)
Infiltración Ajustada (cm/hr)
t 1 2 3 5 7 9 12 15 18 23 29 34 41 51 61 76 92 117 142 172 202 232 263 293 323
31.6665 21.0389 16.5633 12.2540 10.0479 8.6635 7.3112 6.4095 5.7559 4.9810 4.3444 3.9553 3.5418 3.1139 2.8018 2.4610 2.1987 1.9080 1.7020 1.5201 1.3825 1.2741 1.1832 1.1102 1.0481
Con estos valores corregidos y ajustados al modelo obtenido, se puede graficar para observar el comportamiento de la velocidad de infiltración. Utilizando los valores no ajustados y ajustados, tenemos:
METODO DEL TANQUE INFILTROMETRO
Velocidad de Infiltración (cm/hr)
Infiltración Obsevada
Infiltración Ajustada
60 50 40 30 20 10 0 0
50
100
150
200
Tiempo (min)
250
300
350
Infiltración Acumulada Es importante señalar que con el método del doble cilindro o el de entradas y salidas, puede obtenerse la ecuación de la infiltración a acumulada que se deriva de la integración de la ecuación de kostiakov-(Lewis entre los límites de t=o y t=t) ∫
∫
La ecuación tendrá la misma forma que el siguiente modelo:
Dónde: Z= infiltración acumulada (cm) K y n = coeficiente de la fórmula de kostiakov- Lewis El valor de 60 dado por la fórmula es un factor para expresar Z en cm y t en min.
Aplicaciones de la Infiltración Una de las aplicaciones que puede darse al modelo obtenido, es que se puede inferir resultados sobre tiempo de riego y lamina Infiltrada a partir de las formulas: ⁄
[ Dónde: T= tiempo de riego en minutos (min). La= lamina infiltrada (cm) n=coeficiente de la fórmula de kostiakov- Lewis k= coeficiente de la fórmula de kostiakov- Lewis}
]
Finalmente podemos deducir que:
Utilizando los datos de las pruebas de entradas y salidas, podemos ilustrar el caso de la infiltración acumulada (Lamina Infiltrada). Con los valores corregidos y ajustados del modelo obtenido, graficamos los puntos para observar la velocidad de infiltración acumulada. Si la ecuación tiene la forma de:
Entonces la infiltración acumulada será:
TIEMPO (min)
INFILTRACIÓN AJUSTADA (cm/hr)
INFILTRACIÓN ACUMULADA (cm)
t 1
31.6665
1.2869
2
21.0389
1.7100
3
16.5633
2.0194
5
12.2540
2.4900
7
10.0479
2.8584
9
8.6635
3.1687
12
7.3112
3.5655
15
6.4095
3.9071
18
5.7559
4.2105
23
4.9810
4.6557
29
4.3444
5.1201
34
3.9553
5.4652
41
3.5418
5.9013
51
3.1139
6.4539
61
2.8018
6.9456
76
2.4610
7.6009
92
2.1987
8.2204
117
1.9080
9.0721
142
1.7020
9.8220
172
1.5201
10.6251
202
1.3825
11.3493
232
1.2741
12.0124
263
1.1832
12.6465
293
1.1102
13.2193
323
1.0481
13.7584
Infiltración Ajustada
infiltracion acumulada
Velocidad de Infiltración (cm/hr)
35.0 30.0 25.0 20.0 15.0 10.0 5.0 0.0 0
50
100
150
200
Tiempo (min)
250
300
350
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