Diseño De Esperimentos Cap 5

Análisis y diseño de experimentos 137196

Capítulo 5. Diseños factoriales Preguntas y ejercicios 1. ¿Qué es un experimento factorial completo? Un experimento factorial completo es un diseño en el que se corren aleatoriamente todas las posibles combinaciones que pueden formarse con los niveles de los factores a investigar, dichos factores pueden ser de tipo cualitativo (máquinas, tipos de material, operador, presencia o ausencia de una operación previa), o de tipo cuantitativo (temperatura, humedad, velocidad, presión, cantidad de cierto material, etc.) 2. ¿Cuántos efectos se pueden estudiar con un factorial 4 x 3 x 2? Bosqueje su tabla de análisis de varianza. Se pueden estudiar siete efectos los cuales son: A, B, C, AB, AC, BC y ABC. FV Efecto A

SC SCA

GL a-1

CM CMA

F0 CMA/CME

Valor -p P(F>F F0A )

Efecto B

SCB

b-1

CMB

CMB/CME

P(F>F F0B )

Efecto C

SCC

c-1

CMC

CMC/CME

P(F>F C

F0 ) Efecto AB

SCAB

(a-1)(b-1)

CMAB

CMAB/CME

P(F>F F0AB )

Efecto AC

SCAC

(a-1)(c-1)

CMAC

CMBC/CME

P(F>F F0AC )

Efecto BC

SCBC

(b-1)(c-1)

CMBC

CMABC/CME

P(F>F BC

F0 Efecto ABC

SCABC

(a-1)(b-1)(c-1)

CMABC

)

P(F>F F0ABC )

Error Total

SEE SCT

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abc(n-1) abcn-1

CME

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1

Análisis y diseño de experimentos 137196 3. En la experimentación empírica es frecuente usar la estrategia de mover un factor a la vez. Suponiendo cuatro factores con dos niveles cada uno, describa en qué consiste dicha estrategia. Consiste en estudiar un procedimiento que tiene cuatro factores: A, B, C y D. Y cada factor se estudiará a dos niveles: - y +, solamente se moverá el nivel de un solo factor en cada experimento, dejando el resto de los factores igual. 4. Mencione al menos tres ventajas de la experimentación factorial sobre la estrategia de mover un factor a la vez.  Permiten estudiar el efecto individual y de interacción de los distintos factores.  Son diseños que se pueden aumentar para formar diseños compuestos en caso de que se requiera una exploración más completa.  Se pueden correr fracciones de diseños factoriales, las cuales son de gran utilidad en las primeras etapas de una investigación que involucra a muchos factores, cuando interesa descartar de manera económica los que no son importantes. 5. En una investigación experimental se tienen factores con dos niveles cada uno, pero surge la propuesta de usar tres niveles. ¿Cuál es la implicación práctica de utilizar tres niveles de prueba en un lugar de dos en un factor dado? Si un factor se prueba en dos niveles, todo su efecto marginal (individual) es lineal, o sea que su efecto individual no se puede descomponer, pero si tuviera tres niveles su efecto marginal se puede descomponer en una parte lineal y otra cuadrática pura. 6. Obtenga de manera manual la gráfica de interacción AB y BA para el ejemplo 5.1 al inicio del presente capítulo e interprete ambas con detalle. Pag. 119 7. ¿Cuáles son los supuestos del modelo en un diseño factorial y con cuáles gráficas de residuos se puede verificar cada uno de estos supuestos? Los supuestos del modelo son los supuestos de normalidad, varianza constante e independencia de los residuos y se pueden verificar graficando los residuos contra los predichos en una gráfica de normalidad y se observa que si se cumple el supuesto de varianza constante todos los puntos caerán dentro de una banda

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2

Análisis y diseño de experimentos 137196 horizontal, asimismo se cumple la normalidad al caer los residuos alineados en la gráfica. 8. ¿Cuándo es necesario verificar los supuestos del modelo? Principalmente es necesario verificar los supuestos de normalidad, varianza constante e independencia de los residuos en diseño factorial cuando se trabaja con los métodos para diseños de un solo factor. 9. De los tres supuestos del modelo, ¿cuál puede afectar más el análisis en caso de no cumplirse? Los supuestos que pueden afectar más el análisis en caso de no cumplirse son los supuestos de normalidad y varianza constante. 10. En caso de no cumplirse los supuestos de normalidad y varianza constante, ¿qué se puede hacer para evitar los problemas con el análisis y los resultados obtenidos?  Utilizar métodos de análisis no paramétricos.  Hacer el análisis mediante modelos lineales generalizados.  Hacer el análisis sobre la respuesta transformada a una escala en la que los supuestos se cumplan. 11. ¿Con base en qué se puede encontrar una transformación adecuada de la respuesta cuando no se cumplen los supuestos? Con base al tipo de relación que existe entre la media y la varianza de Y se puede encontrar una transformación adecuada de la respuesta cuando no se cumplen los supuestos. 12. ¿Qué significa que el modelo estadístico sea de efectos aleatorios? ¿En que cambian las hipótesis de interés en factor aleatorio con respecto de uno fijo? Que un modelo sea de efectos aleatorios significa que los niveles de prueba son una muestra aleatoria de la población de niveles posibles. Las hipótesis de interés en factor aleatorio con respecto de uno fijo cambian en que la hipótesis de interés de un factor fijo se basa en el efecto sobre la variabilidad de respuesta, mientras la hipótesis de interés de un factor aleatorio se basa en la varianza. 137196

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Análisis y diseño de experimentos 137196 13. Represente en el plano cartesiano un plano 4 x 4.

Velocidad

.35 .30 .25 .20 .15

.21 .24 .18 Profundidad 14. A continuación se muestra parte del ANOVA para un diseño factorial 3 x 5 con dos réplicas, el factor A con tres niveles y B con cinco. Factores de variación A B AB Error Total

Suma de cuadrados 800 900 300 400

Grados de libertad

Cuadrado medio

Razón F

a) Suponga efectos fijos, anote el modelo estadístico apropiado y formule las hipótesis a probar para este experimento. b) Agregue en esta tabla los grados de libertad, el cuadrado medio y la razón F para cada una de las fuentes de variación. c) Con la ayuda de un software calcule el valor –p para los efectos. Por ejemplo en Excel puede usar la función DISTR.F.INV(α,gl1,gl2) *No se hace* d) ¿Cuáles de las fuentes de variación son significativas estadísticamente? Argumente su respuesta. 15. Conteste todo el ejercicio anterior, pero ahora suponiendo que ambos factores son aleatorios. 16. Conteste todos los incisos del ejercicio 14, pero ahora suponga que el factor A es fijo y el factor B es aleatorio. 17. Cuando se hace un ANOVA de un diseño factorial del tipo a x b con n réplicas, se detecta que ambos factores influyen sobre la variable de respuesta, entonces surge la necesidad de comparar las medias de los niveles de cada factor para ver cuáles de ellas son diferentes entre sí. Conteste: 137196

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Análisis y diseño de experimentos 137196 a) ¿Cuál es la expresión para la diferencia mínima significativa (LDS) para comparar los niveles de factor B, sin tomar en cuenta el posible efecto de interacción? b) Conteste el inciso anterior para ahora para el factor A. c) Conteste los dos incisos anteriores, pero ahora tome en cuenta el efecto de interacción. d) ¿Cuándo se espera que ambas formas de proceder arrojen conclusiones similares?

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Conceptos Clave Diseño factorial. Diseño experimental que sirve para estudiar el efecto individual y de interacción de varios factores sobre una o varias respuestas. Factor cualitativo. Sus niveles toman valores discretos o de tipo nominal. Ejemplos: máquinas, lotes, marcas, etc. Factor cuantitativo. Sus niveles de prueba pueden tomar cualquier valor dentro de cierto intervalo. La escala es continua, como por ejemplo: temperatura, velocidad, presión, etc. Arreglo factorial. Conjunto de puntos experimentales o tratamientos que pueden formarse al considerar todas las posibilidades de combinación de los niveles de los factores. Efecto de un factor. Es el cambio observado en la variable de respuesta debido a un cambio de nivel en el factor. Efecto principal. Es igual a la respuesta promedio observada en el nivel alto de un factor, menos la respuesta promedio en el nivel bajo. Efecto de interacción. Dos factores interactúan de manera significativa sobre la variable de respuesta cuando el efecto de uno depende del nivel en que está el otro. Réplica. Es cada corrida de todos los tratamientos del arreglo factorial. Cuadrados medios. Las sumas correspondientes grados de libertad.

de

cuadrados

divididos

entre

sus

Comparaciones de medias. Procedimiento mediante el cual se identifican a las medias que causan las diferencias detectadas en el ANOVA. Principio de Pareto. Se refiere a que la mayoría de la variabilidad observada se debe a unos pocos de los efectos posibles. Factor fijo. Se refiere a que los niveles de prueba en un factor son todos los niveles disponibles para éste. Factor aleatorio. Cuando los niveles de prueba utilizados en un factor son una muestra aleatoria de la población de niveles para ese factor. Componentes de varianza. Son las contribuciones de cada efecto a la variación total en el modo de efectos aleatorios. Modelo de efectos mixtos. Son experimentos en los que se consideran factores aleatorios y factores fijos.

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Ejercicios 18. En la siguiente tabla están los datos de un diseño factorial 2 x 3 con tres réplicas, conteste: Nivel de B B1

A1 Niveles de A A2 Total Y ∙

j

44 34 30 62 56 58

B2 49 48 43 68 70 58

Y11

Y21

Y12

Y22

B3 52 58 62 69 75 65

Total Yi ∙∙

Y13

Y323

∙

a) Complete los totales que se piden en la tabla anterior. b) Calcule las sumas de cuadrados correspondientes: SCA, SCB, SCAB, SCT y SCE. c) Obtenga la tabla de análisis de varianza y anote las principales conclusiones. d) Sin tomar en cuenta el posible efecto de interacción, obtenga la diferencia mínima significativa (LSD) para comparar las medias en los niveles de factor A la LSD para comparar las medias de Y en los niveles del factor B. e) ¿Cuál sería la LSD exacta tomando en cuenta la interacción? 19. Se corre un diseño factorial 3 x 2 con 10 réplicas para investigar el hinchamiento del catalizador después de la extrusión en la fabricación de botellas de polietileno de alta densidad. El catalizador se utiliza en la obtención de dicho polietileno. Los factores investigados son: molde (con dos niveles) y B: catalizador (con tres niveles). Los datos obtenidos se muestran en la siguiente tabla:

A1 Molde

A2

93 92 90 91 88 88 87 87 137196

B1 92 91 90 91 88 87 87 87

93 90

87 88

92 94 90 91 90 88 88 88

Catalizador B2 90 91 92 92 89 90 89 88

92 91

88 89

95 94 94 94 91 90 92 90

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B3 94 97 95 96 97 89 90 91

94 96

91 91

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Análisis y diseño de experimentos 137196 a) Plantee las hipótesis de interés en este problema y el modelo estadístico Y ijk=μ+ α i + β j + ( αβ )ij + ε ijk correspondiente. i=1,2 … .a ; j=1,2 … .b ; k=1,2, … , n

H 0 : α 1=α 2=…=α a=0 H A :α i ≠ 0 para algúni H 0 : β 1=β 2=…=β b =0 H A : β j ≠0 para algún i H 0 :(αβ )ij =0 para todo ij H A :(αβ)ij ≠ 0 para algúnij

b) Construya la tabla de análisis de varianza y determine cuáles efectos están activos.

c) Dibuje las gráficas de medias para los dos efectos principales con los métodos LSD y de Tukey. Compare los resultados de ambos métodos. d) Haga la gráfica de interacción con intervalos de confianza sobrepuestos. e) Determine cuál es el mejor tratamiento. ¿Cuál es el hinchamiento predicho en el mejor tratamiento? f) Verifique los supuestos de normalidad y varianza constante. g) Utilice la gráfica de residuos contra factores para detectar posibles efectos sobre la dispersión del hinchamiento. ¿En cuál molde parece que es menor la dispersión? 20. Para mejorar la resistencia a la torsión de las adhesiones de componentes electrónicos sobre placas, se estudiaron dos tipos de pegamentos (A1, A2) y tres temperaturas de curado (60, 80 y 100°C). En cada combinación se analizaron dos componentes y los resultados obtenidos son los siguientes: 60 137196

Curado 80

100

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8

Análisis y diseño de experimentos 137196 Pegamento A1 Pegamento A2

2.5 2.8

3.8 3.4

4.0 4.2

1.6 1.22

3.2 2.8

4.3 4.7

a) Plantee las hipótesis de interés en este problema y el modelo estadístico correspondiente. b) Construya el ANOVA y decida cuáles efectos están activos. c) Dibuje las gráficas de efectos y determine con ellas el mejor tratamiento. d) Estime la resistencia a la torsión en el mejor tratamiento. e) Verifique residuos. 21. Se desea investigar de qué manera afecta el tiempo de curado y el tipo del acelerante a la resistencia de caucho vulcanizado. Se realiza una experimento y se obtienen los siguientes datos. Tiempo de cura a 14°C (minutos) 40 60 80

A 3900 4100 4000

3600 3500 3800

Acelerante B 4300 3700 4200 3900 4300 3600

C 3700 3900 3600

4100 4000 3800

a) Señale el nombre del diseño de experimento utilizado y su modelo estadístico. b) Formule claramente todas las hipótesis que se pueden probar. c) Realice el análisis estadístico apropiado para probar las hipótesis que formuló. d) ¿Hay algún tiempo de cura que es mejor para aumentar la resistencia? Argumente su respuesta. e) ¿Algún acelerante es mejor? Explique f) ¿Hay alguna combinación de tiempo y acelerante que sea mejor? g) Explique de manera gráfica cómo se obtuvo en la computadora el valor-p para tiempo de cura. h) Verifique que se cumplan los supuestos. En caso de que no se cumpliera el supuesto de varianza constante para el tiempo de cura, ¿qué significaría eso y cómo pudiera corregirse? 22. En una fábrica de aceites vegetales comestibles, la calidad resulta afectada por la cantidad de impurezas dentro del aceite, ya que éstas causan oxidación, y ello repercute a su vez en las características de sabor y color del producto final. El proceso de “blanqueo” es el responsable de eliminar tales impurezas, y una forma de medir su eficacia es midiendo el color del aceite. Para generar una primera aproximación a la solución del problema se decide estudiar el efecto de la temperatura y el porcentaje de arcilla en el color del aceite inicialmente a nivel

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Análisis y diseño de experimentos 137196 laboratorio. El diseño y los datos de las pruebas experimentales se muestran a continuación: Temperatura 90 100 110

5.8 5.0 4.7

0.8 5.9 4.9 4.6

Porcentaje de arcilla 0.9 1.0 5.4 5.5 4.9 5.1 4.8 4.7 4.6 4.4 4.4 4.4 4.1 4.0

4.5 4.1 3.7

1.1 4.4 4.3 3.6

a) Construya el modelo estadístico y formule las hipótesis pertinentes. b) ¿Cuál es el nombre del diseño utilizado? c) Por lo general, en condiciones reales se utiliza 1.1% de arcilla y 100 grados de temperatura. ¿Por qué cree que se eligieron precisamente esos niveles de prueba para el experimento? d) Realice un análisis de varianza para probar las hipótesis y obtenga conclusiones. e) Apoyándose en las gráficas de efectos, ¿cuál es la relación general entre el color y los factores controlados en su rango de experimentación? f) A partir de la gráfica de interacciones, ¿cree que haya un efecto no lineal? g) Considerando que el nivel mínimo aceptable de blancura es 4.8, ¿qué tratamiento utilizaría? h) ¿Valdría la pena plantear el estudio a nivel planta? i) ¿Qué cambio le haría al experimento si lo corriera a nivel planta? 24. Para el problema anterior: a) Transforme los datos con logaritmos y haga el análisis de varianza. b) Verifique supuestos. c) ¿Cuáles son las diferencias más importantes que encontró en los dos análisis? ¿Por qué? d) Con los datos transformados, y en caso de que haya alguna interacción relevante, interprétela con detalle. 25. Con el objetivo de estudiar la producción de huitlacoche (hongo comestible del maíz) se decide correr un experimento con tres variedades de maíz en dos localidades maiceras. Las variables de interés fueron: el porcentaje de cobertura de la mazorca por el hongo, el peso total de la mazorca y el peso del huitlacoche. Se hicieron cuatro réplicas. Los datos obtenidos que representan promedios de 20 mazorcas infectadas se muestran en la siguiente tabla. Variedad A A A A A

Localidad A A A A B 137196

Cobertura 74.5 49.5 75.5 74.4 41.3

Peso T 353.3 239.2 358.9 310.8 295.1

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Peso H 145.9 119.4 121.8 121.6 192.2

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Análisis y diseño de experimentos 137196 A A A B B B B B B B B C C C C C C C C

B B B A A A A B B B B A A A A B B B B

39.4 40.6 22.9 67.1 62.9 57.1 66.3 35.0 22.3 30.0 39.6 72.7 72.6 64.8 70.6 32.0 31.9 35.7 21.7

282.2 240.1 191.7 386.3 231.0 264.8 180.8 255.8 230.2 242.4 224.7 320.0 277.1 306.4 327.8 281.2 220.0 265.5 2020.5

195.0 177.0 142.3 175.1 138.0 116.4 73.9 169.6 180.0 168.8 163.0 139.1 150.0 120.4 110.0 182.7 198.1 205.6 150.0

a) Escriba el nombre y modelo estadístico del diseño que está empleando. Se usa un modelo de 3 factores de diseño factorial general b) ¿Hay un efecto significativo de los factores variedad y localidad en las tres variables de respuesta?

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Como se puede notar en esta graficas de efectos se puede notar el la variadad A,B Y C hay una mayor media en la localidad A en comparación con localidad B donde se puede notar que hay una menor media

c) ¿Existe claramente una localidad y variedad de maíz a las que se produzca más huitlacoche? Apóyese en gráficas y pruebas estadísticas. Si Existe claramente una localidad donde se produzca mas que seria la localidad B como se muestra en la tercer grafica, sin embargo no existe una variedad de maíz que produzca mas ya que las medias de los 3 tipos están casi al mismo nivel como se muestra en la segunda grafica d) ¿El hecho de que haya mayor cobertura del hongo garantiza mayor producción de huitlacoche? Vea de manera simultánea las gráficas de interacción para ambas variables de respuesta y/o haga un análisis de correlación entre estas dos variables.

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no ya que como se muestra en la grafica la variedad A tiene mayor porcentaje de cobertura sin embargo su media de peso de huitlacoche se

encuentra en segundo lugar. e) ¿Cuánto huitlacoche se deja de producir en promedio en la localidad A?

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en la localidad A se produce un peso medio 177 f) Haga los análisis de residuos para verificar los supuestos del modelo.

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Análisis y diseño de experimentos 137196 El modelo cumple con el supuesto de normalidad debido a que se aprecia una espiral alrededor de la media, además que cumple con el supuesto de igualdad de varianzas debido a que no se aprecia un patrón de puntos.

26. Los siguientes datos corresponden a diseño 3 x 3 con tres réplicas. Interesa investigar el efecto de ambos factores sobre Y, para encontrar las condiciones adecuadas para maximizar. A A1 A2 A3

B1 10 6 14 3 60 73 79 88 44 35 28 38

B B2 5 1 1 70 76 71 22 26 29

B3 2 71 20

1 69 22

a) Especifique el modelo estadístico para el problema y las hipótesis pertinentes. b) Haga un análisis de varianza y obtenga conclusiones. c) Interprete con detalle el efecto de interacción, si es significado. d) Verifique supuestos. e) ¿Hay algún tratamiento mejor? Argumente con pruebas estadísticas. 27. En una empresa alimentaria se desean evaluar cuatro antioxidantes, a través de su efecto en un aceite vegetal. El propósito es seleccionar el producto que retrase más la oxidación. Las pruebas se hacen en condiciones de estrés, midiendo como variable de respuesta el índice de peróxidos. Se evalúan diferentes unidades experimentales a diferentes tiempos. Los datos obtenidos se muestran a continuación (en el control no se agrega ningún antioxidante). Dado que uno de los factores es el tiempo, y éste no se puede aleatorizar, entonces se le puede ver como un factor de bloques. Proucto Control A B C D

4 horas 3.84, 3.72 4.00, 3.91 3.61, 3.61 3.57, 3.50 3.64, 3.61

Tiempo 8 horas 27.63, 27.58 22.00, 21.83 21.94, 21.85 20.50, 20.32 20.30, 20.19

12 horas 39.95, 39.00 46.20, 45.60 46.38, 42.98 45.14, 44.89 44.36, 44.02

a) Señale los factores controlados y la variable de respuesta. b) Formule el modelo estadístico más apropiado al problema y las hipótesis estadísticos que se pueden probar. c) Haga un análisis de varianza y observe los aspectos más relevantes. 137196

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Análisis y diseño de experimentos 137196 d) ¿Los supuestos del modelo se cumplen? e) Considerando que a menor índice de peróxidos mejor es el producto, ¿hay algún producto que sea mejor estadísticamente?. 28. Se cree que la adhesividad de un pegamento depende de la presión y temperatura al ser aplicado. Se realiza un experimento factorial con ambos factores fijos. Presión (lb/pulg 120 130 140 150 a) b) c) d)

2)

Temperatura (°F) 250 260 270 9.60 11.28 9.00 9.69 10.10 9.57 8.43 11.01 9.03 9.98 10.44 9.80

Formule las hipótesis y el modelo estadístico que se desea probar. Analice los datos y obtenga las conclusiones apropiadas. ¿Se puede analizar si hay interacción entre los dos factores controlados? Verifique residuos.

29. Vuelva a analizar los datos del ejemplo 5.4 considerando los inspectores como fijos. Plantee las hipótesis de interés en este caso y pruébelas. Estime los componentes de varianza. Por último, saque conclusiones en el contexto del problema. 30. Realice un estudio R&R para el proceso de medición del ancho de película blanco y negro, el cual se hace con una regleta digital capaz de medir hasta diezmilésimas de pulgada. El ancho de la tolerancia para esta medición es de 0.04 pulgadas. Se utilizaron dos operadores que midieron 10 partes (muestras de los rollos de película) en dos repeticiones y los datos obtenidos se muestran a continuación. Parte 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Operador A Ensayo 1 Ensayo 2 14.027 14.024 14.028 14.025 14.028 14.027 14.029 14.025 14.028 14.026 14.028 14.025 14.027 14.025 14.027 14.026 14.028 14.027 14.028 14.025 137196

Operador B Ensayo 1 Ensayo 2 14.034 14.035 14.033 14.034 14.032 14.035 14.034 14.033 14.032 14.034 14.032 14.033 14.033 14.034 14.032 14.035 14.033 14.034 14.033 14.035

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Análisis y diseño de experimentos 137196 a) Considerando que tanto los operadores como las piezas se eligieron al azar, plantee y pruebe las hipótesis de interés. Y ijk=μ+ α i + β j + ( αβ )ij + ε ijk i=1,2 … .a ; j=1,2 … .b ; k=1,2, … , n

H 0 : α 1=α 2=…=α a=0 H A :α i ≠ 0 para algúni H 0 : β 1=β 2=…=β b =0 H A : β j ≠0 para algún i H 0 :(αβ )ij =0 para todo ij H A :(αβ)ij ≠ 0 para algúnij

b) Estime los componentes de varianza. Si se desea que la variación tanto del instrumento como la de los operadores, expresadas como 5.15 veces la desviación estándar, sea menor que 30% de la tolerancia. ¿se satisface este requerimiento? Análisis de varianza para resultados, utilizando SC ajustada para pruebas Fuente Bloques Parte Operador Parte*Operador Error Total

GL 1 9 1 9 19 39

S = 0.00154707

SC Sec. 0.0000020 0.0000035 0.0004692 0.0000085 0.0000455 0.0005288

SC Ajust. 0.0000020 0.0000035 0.0004692 0.0000085 0.0000455

R-cuad. = 91.40%

CM Ajust. 0.0000020 0.0000004 0.0004692 0.0000009 0.0000024

F 0.85 0.16 196.05 0.40

P 0.369 0.996 0.000 0.922

R-cuad.(ajustado) = 82.35%

c) Considerando los operadores fijos y las piezas aleatorias, plantee y pruebe las hipótesis de interés. ¿Hay diferencia entre los operadores? ¿Cuál es la contribución del instrumento en términos de la tolerancia? 137196

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Análisis y diseño de experimentos 137196

Como se puede notar aun usando el mismo intrumento por diferente operadores, si hay una diferencia notrable entre medias de ambos donde el operador 2 toma unos valores mas altos que el operador 1 de las partes

31. Se realiza un experimento para estudiar los efectos de A: volumen de la muestra, B: operador sobre la variable, Y: porcentaje de nitroglicerina en una determinación química. Se utilizaron 3 operadores y cinco volúmenes, como se muestra en la siguiente tabla Volumen V1 V2 V3 V4 V5

O1 4 1 6 7 2

Operador O2 0 2 3 0 9

O3 7 1 8 6 8

a) Haga el análisis de varianza para estos datos. Plantee las hipótesis que se están probando. Análisis de varianza para Resultados, utilizando SC ajustada para pruebas Fuente Volumen Operado Error

GL 4 2 8

SC Sec. 45.600 26.133 69.200

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SC Ajust. 45.600 26.133 69.200

CM Ajust. 11.400 13.067 8.650

F 1.32 1.51

P 0.342 0.278

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Análisis y diseño de experimentos 137196 Total

14

S = 2.94109

140.933 R-cuad. = 50.90%

R-cuad.(ajustado) = 14.07%

Y ijk=μ+ α i + β j + ( αβ )ij + ε ijk i=1,2 … .a ; j=1,2 … .b ; k=1,2, … , n

H 0 : α 1=α 2=…=α a=0 H A :α i ≠ 0 para algúni H 0 : β 1=β 2=…=β b =0 H A : β j ≠0 para algún i H 0 :(αβ )ij =0 para todo ij H A :(αβ)ij ≠ 0 para algúnij

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Análisis y diseño de experimentos 137196

La hipótesis nula se acepta debido a que el valor del estadístico de prueba F se encuentra en la región de no rechazo.

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Análisis y diseño de experimentos 137196 La hipótesis nula se acepta debido a que el valor del estadístico de prueba F se encuentra en la región de no rechazo.

b) Aunque se ven diferencias importantes entre las medias estimadas, ¿a qué atribuye que no se detecten como significativas?

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Análisis y diseño de experimentos 137196

No se detectan como significativas ya que los valores son muy bajos, esto es asi ya que al manejar los operadores se encuentran muy próximos a la media general donde son analizados los datos completos, entre los 3 operadores no varian mucho aun que tengan resultados distintos en cada prueba

c) Verifique los supuestos del modelo.

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Análisis y diseño de experimentos 137196

El modelo cumple con el supuesto de normalidad debido a que se aprecia una espiral alrededor de la media, además que cumple con el supuesto de igualdad de varianzas debido a que no se aprecia un patrón de puntos.

32. Se corre un experimento casero para estudiar el tiempo que toma hervir una cierta cantidad de agua en las cuatro diferentes posiciones (quemadores) de la estufa, considerando 0, 2, 4 o 6 cucharadas de sal en el agua. Se obtuvieron tres réplicas en cada combinación de quemador-sal y los resultados (en minutos) se muestran en la siguiente tabla, en la que el dato entre paréntesis es el orden de la corrida. Quemador Derecho-trasero

Derecho-frontal

Izquierdo-trasero

Izquiero-frontal 137196

0 7 (7) 8 (21) 7 (30) 4 (6) 4 (20) 4 (27) 6 (9) 7(16) 6 (22) 9 (29)

Cucharadas de sal 2 4 4 (13) 7 (24) 7 (25) 7 (34) 7 (26) 7 (41) 4 (36) 4 (1) 5 (44) 4 (14) 4 (45) 5 (18) 6 (46) 7 (8) 6 (47) 6 (12) 5 (48) 7 (43) 8 (5) 8 (3)

6 5 (15) 7 (33) 7 (37) 4 (28) 4 (31) 4 (38) 5 (35) 6 (39) 6 (40) 8 (2)

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Análisis y diseño de experimentos 137196 9 (32) 9 (42)

8 (10) 8 (11)

9 (19) 10 (23)

8 (4) 7 (17)

a) Señale el diseño que se está empleando, escriba su modelo estadístico y plantee las hipótesis de interés. Se esta empleado un diseño factorial general de 4x4 personalizado en el orden de de corrida Factor quemador cucharadas de sal

Tipo fijo fijo

Niveles 4 4

Valores 1, 2, 3, 4 1, 2, 3, 4

Y ijk=μ+ α i + β j + ( αβ )ij + ε ijk i=1,2 … .a ; j=1,2 … .b ; k=1,2, … , n H 0 : α 1=α 2=…=α a=0 H A :α i ≠ 0 para algúni H 0 : β 1=β 2=…=β b =0 H A : β j ≠0 para algún i H 0 :(αβ )ij =0 para todoij H A :(αβ)ij ≠ 0 para algún ij

b) Obtenga el análisis de varianza. ¿Cuáles efectos resultan significativos? Análisis de varianza para respuestas, utilizando SC ajustada para pruebas Fuente quemador cucharadas de sal quemador*cucharadas de sal Error Total

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GL 3 3 9 32 47

SC Sec. 21.667 3.833 25.833 85.333 136.667

SC Ajust. 21.667 3.833 25.833 85.333

CM Ajust. 7.222 1.278 2.870 2.667

F 2.71 0.48 1.08

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P 0.062 0.699 0.406

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Análisis y diseño de experimentos 137196 c) Compruebe los tres supuestos del modelo. Para la independencia considere el orden de las corridas.

d) Si se esperaba que los quemadores frontales fueran más tardados, ¿qué otros aspectos pueden estar influyendo en el resultado de esta comparación?

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Análisis y diseño de experimentos 137196

Se puede notar que el quemador frontal derecho es el que toma mas tiempo en calentar tomando el puesto de 4 de 4 sin embargo el quemador Fontal izquierdo toma el puesto numero 2 en medias por lo tanto no hay una relación clara para decir que los quemadores frontales tomarían mas tiempo, se podría tomar el aspecto de si es el derecho o izquierdo para decir cual calienta mas rápido o mas lento, pero aun no se puede hacer una aclaración ya que el derecho trasero es el que calienta mas rápido con puesto 1 de 4 y el frontal derecho con 4 de 4.

e) ¿Habría evidencia suficiente para afirmar que a mayor cantidad de sal el agua hierve más pronto?

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No ya que como se puede notar en esta grafica, los que el tiemo de hervido varian mucho aun con mas curachadas, en algunos de los caso ya con 4 cucharadas aumenta mas que con solo 3 esto dice que no hay evidencia suficiente para hacer tal declaracion

f) Rehaga el análisis considerando la decimotercera corrida como punto aberrante (outlier). ¿Cambian en algo las principales conclusiones? Ni idea de como se hace preguntar a mestro 33. Se corre un experimento para investigar el efecto de la velocidad y del tipo de aditivo para gasolina en el millaje recorrido por un auto deportivo utilitario. Los resultados obtenidos se muestran a continuación: Velocidad 1 2 3

Porcentaje de arcilla Tipo 1 Tipo 2 17.3, 17.8, 17.6 18.7, 18.2, 18.9 18.9, 18.2, 18.7 19.1, 19.4, 19.6 17.1, 17.0, 17.3 18.8, 18.3, 18.3

a) Plantee las hipótesis de interés en este experimento. Y ijk=μ+ α i + β j + ( αβ )ij + ε ijk

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Análisis y diseño de experimentos 137196 i=1,2 … .a ; j=1,2 … .b ; k=1,2, … , n

H 0 : α 1=α 2=…=α a=0 H A :α i ≠ 0 para algúni H 0 : β 1=β 2=…=β b =0 H A : β j ≠0 para algún i H 0 :(αβ )ij =0 para todo ij H A :(αβ)ij ≠ 0 para algúnij

b) Obtenga el análisis de varianza e interprételo.

Análisis de varianza para respuestas, utilizando SC ajustada para pruebas Fuente Bloques velocidad aditivo velocidad*aditivo Error Total S = 0.281464

GL 2 2 1 2 10 17

SC Sec. 0.1944 4.5811 4.9089 0.2411 0.7922 10.7178

R-cuad. = 92.61%

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SC Ajust. 0.1944 4.5811 4.9089 0.2411 0.7922

CM Ajust. 0.0972 2.2906 4.9089 0.1206 0.0792

F 1.23 28.91 61.96 1.52

P 0.334 0.000 0.000 0.265

R-cuad.(ajustado) = 87.43%

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Análisis y diseño de experimentos 137196

El factor de tratamiento tiene un efecto en el modelo debido a que el valor del estadístico de prueba F (28.91) se encuentra en la región de rechazo. Por lo que se puede concluir que el aditivo si tuvo un efecto significativo en el millaje

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Análisis y diseño de experimentos 137196

El factor de tratamiento tiene un efecto en el modelo debido a que el valor del estadístico de prueba F (61.96) se encuentra en la región de rechazo. Por lo que se puede concluir que el aditivo si tuvo un efecto significativo en el millaje

c) Calcule el millaje estimado en la mejor combinación y dé un intervalo al 95% de confianza.

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Como se puede notar el aditivo 2 tuvo un mejor rendimeitno en el millaje en las 3 velocidades d) Verifique los supuestos de normalidad y varianza constante.

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Análisis y diseño de experimentos 137196

El modelo si cumple con el supuesto de normalidad debido a que se forma una espiral alrededor de la media y si cumple con el supuesto de igualdad de varianzas debido a que no se forma un patrón en los puntos de la grafica.

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