Apuntes De Diédrico

E.T.S. INGENIEROS DE MINAS

UNIDAD DOCENTE DE SISTEMAS DE REPRESENTACION y PROYECTOS DE INGENIERIA

APUNTES DE PROYECCION DIEDRICA

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GUILLERMO LLOPIS TRILLO

" Madrid, 1993

ÍNDICE EXPRESIÓN GRÁFICA 1. INTRODUCCIÓN 1 1.1. Proyecciones. 1 1.2. Sistemas de representación 4 1.2.1 . Sistema Diédrico 5 1.2.2. Sistema Axonométrico 6 1.2.3 . Sistema de Perspectiva Caballera 8 1.2.4. Sistema de Planos Acotados . 10 1.2.5. Sistema Ele PersfleeÜva Céaiea 11 1.2.6. Sistema Ele Preyeeeiéa Bstereegráfiea 12 1.2.7. Sistema Ele Preyeeeiéa Gaeméaiea 13 2. PROYECCIÓN DIÉDRlCA 14 2.1. Introducción 14 2.2. Representación de puntos. 16 2.2.1 . Posiciones relativas de un punto. 17 2.3 Representación de rectas 19 2.4. Rectas en posiciones particulares. 23 2.4.1. Rectas horizontales 23 2.4.2. Rectas frontales. 24 2.4.3. Rectas verticales 24 2.4.4. Rectas de punta. 25 2.4.5. Rectas en el plano horizontal de proyección 25 2.4.6. Rectas en el plano vertical de proyección 26 2.4.7. Rectas paralelas a la línea de tierra. 26 2.4.8. Rectas contenidas en el primer bisector 27 2.4.9. Rectas paralelas al primer bisector 27 2.4.10. Rectas contenidas en el segundo bisector 28 2.4.11 . Rectas paralelas al segundo bisector 28 2.4.12. Rectas de perfil 29 (Ejercicios básicos RECTAS) 2. 5. Representación de planos: Trazas. 33 2.6. Planos en posiciones particulares. 35 2.6.1. Planos horizontales 35 2.6.2. Planos frontales. 35 2.6.3. Planos verticales. 36 2.6.4. Planos de canto. 36 2.6.5. Planos de perfil. 37 2.6.6. Planos paralelos a la línea de tierra. 37 2.6.7. Planos linea de tierra-punto 37 2.6.8. Planos perpendiculares al primer bisector 38 2.6.9. Planos perpendiculares al segundo bisector 38 2.7. Rectas contenidas en un plano. 39 2.7.1. Rectas horizontales de un plano. 39 2.7.2. Rectas frontales de un plano. 39 2.7.3. Rectas de perfil en un plano. 40

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2.7.4. Línea de máxima pendiente. 41 2.7.5. Línea de máxima inclinación 43 2.8. Punto situado en un plano 44 2.9. Planos no definidos por sus trazas 44 2.9. 1. Plano definido por dos rectas que se cortan 45 2.9.2. Plano definido por dos rectas paralelas 45 2.9.3. Plano definido por una recta y un punto. 46 2.9.4. Plano definido por tres puntos. 47 2.9.5. Horizontales y frontales de un plano no definido por sus trazas 47 (Ejercicios básicos PLANOS) 2.10. Planos pasando por una recta 49 2.11. Intersección de planos 52 2.11.1 . Intersección de dos planos cualesqui era. 53 2. 11.2. Intersección de un plano cualquiera con un plano de perfil. 54 2.11.3. Intersección de un plano cualquiera con un plano frontal. .55 2.11.4. Intersección de dos planos cuyas trazas horizontales son paralelas. 56 2.l1.5 . Intersección de dos planos cuyas trazas se cortan fuera del dibujo 57 2.11 .6. Intersección de un plano definido por sus trazas con un plano linea de tierra-punto 58 2.11.7. Intersección de un plano con el segundo bisector 60 2.11.8. Intersección de dos planos paralelos a la línea de tierra .. .61 (Ejercicios básicos INTERSECCIÓN ENTRE PLANOS) 2.l2. Intersección de recta y plano 62 2.l2.1. Intersección de una recta vertical con un plano. 63 2.12.2. Intersección de una recta con un plano no definido por sus trazas 64 2.l2.3. Partes vistas y ocultas en la intersección de recta y plano. 66 2.12.3. 1 Posiciones relativas de dos rectas que se cruzan ... 66 2. 12.3 .2. Intersección de una recta con un plano cuyas trazas se cortan formando un ángulo agudo. 68 2.12.3.3. Intersección de una recta con un plano de canto ... 70 2.1 2.3.4. Intersección de una recta con un plano cuyas trazas se cortan formando un ángulo obtuso. 71 (Ejercicios básicos INTERSECCIÓN ENTRE RECTA Y PLANO) 2.13. Paralelismo. 72 2.l3.1. Rectas paralelas 72 2.13.2. Planos paralelos 74 2.13.3. Recta paralela a un plano. 76 2.13.4. Plano paralelo a una recta. 76 2.l3.5. Plano paralelo a dos rectas 78 2.13.6. Plano paralelo a un plano. 78 (Ejercicios básicos PLANOS PARALELOS) 2.14. Perpendicularidad 80 2.14.1. Teoremas de perpendicularidad 80 2.14.2. Recta perpendicular a un plano. 81 2.14.3 . Plano perpendicular a una recta. 82 2.14.4. Plano perpendicular a un plano por una recta. 83 2. 14.5. Proyección cilindrica ortogonal de una recta sobre un plano. 84

(Ejercicios básicos ORTOGONALIDAD)

2.15 . Distancias 85 2.15 .1. Distancia entre dos puntos. 86 2.1 5.2. Distancia de un punto a un plano. 90 2.15.3. Distancia de un punto a una recta. 91 2.15.4. Distancia entre dos rectas paralelas 92 2.15.5. Distancia entre dos planos paralelos 93 2.15 .6. Mínima distancia entre dos rectas 95 2.16. CamBios ee plano ee pfoyeeeiéH 98 2.16.1. CamBio ee plano vertieal ee pf9yeeeiéH 98 2.16.2. CamBio ee plano flOAZOHtal ee pfoyeeeiéH 103 2.17. Giros 106 2.18. Abatimientos. 111 2.19. Ángulos 117 2. 19.1. Ángulo de dos rectas 117 2.19.2.

2.19.3. 2.19.4. 2.19.5.

2.19.1.2. Ángulo de las trazas de un plano. 119 Ángulo de recta y plano. 121 Ángulo de una recta con los planos de proyección 122 Ángulo de dos planos 125 Ángulo de un plano con los planos de proyección 128

2.20. Figuras planas 135 2.20. 1. Elementos de un triángulo a partir de sus proyecciones. 135 2.20.2. Relaciones de afinidad en una figura plana. 137 2.20.3. Proyecciones de un triángulo equilátero 138 2.20.4. Pro)'eeeioHes ee tilla eifetlllrereHeia. 14 1 2.21. Poliedros 146 2.21.1. Representación 146 2.21.2. Prisma. 148 2.21.2.1. SeeeioHes planas 151 2.21 .2.2. IflterseeeiéH ee reela y llrisma. 156 2.2 1.2.3. DesOFfollo 159 2.21.3. Pirámide. 164 2.21.3.1. SeeeioHes planas 167 2.21.3.2. IHlerseeeiéB ee reela y pirámiee. 172 2.21.3 .3. DesOFfollo 175 2.21 o4. Polieeros regtllares eOH'>'eJ{8s. 179 2 .2 lA .1. Tetfaeefo 181 2.21.4 .2. Oetaeero 184 2.21.0. CHBO 187 2.21.404. Ieesaeero 192 2.21.4 .5. Doeeeaeero 198

ÍNDICE DIBUJO I 1. INTRODUCCIÓN 1 1.1. Proyecciones. 1 1.2. Sistemas de representación 4 1.2.1. Sistema Diédrico 5 1.2.2. Sistema Axonométrico 6 1.2.3. Sistema de Perspectiva Caballera 8 1.2.4. Sistema de Planos Acotados. 10 1.2.5. Sistema Ele Persjleetiva CÓfliea 11 1.2.6. Sistema Ele Preyeeeiófl estereegráfiea 12 1.2.7. Sistema Ele Preyeeeiófl Gflemóniea 13 2. PROYECCIÓN DIÉDRICA 14 2.1. Introducción 14 2.2. Representación de puntos. 16 2.2.1. Posiciones relativas de un punto. 17 2.3 Representación de rectas 19 2.4. Rectas en posiciones particulares. 23 2.4.1. Rectas horizontales 23 2.4.2. Rectas frontales. 24 2.4.3. Rectas verticales 24 2.4.4. Rectas de punta. 25 2.4.5. Rectas en el plano horizontal de proyección 25 2.4.6. Rectas en el plano vertical de proyección 26 2.4.7. Rectas paralelas a la línea de tierra. 26 2.4.8. Rectas contenidas en el primer bisector 27 2.4.9. Rectas paralelas al primer bisector 27 2.4.10. Rectas contenidas en el segundo bisector 28 2.4.11. Rectas paralelas al segundo bisector 28 2.4.12. Rectas de perfil 29 (Ejercicios básicos RECTAS) 2.5. Representación de planos: Trazas. 33 2.6. Planos en posiciones particulares. 35 2.6.1.Planos horizontales 35 2.6.2. Planos frontales. 35 2.6.3. Planos verticales. 36 2.6.4. Planos de canto. 36 2.6.5. Planos de perfil. 37 2.6.6. Planos paralelos a la línea de tierra. 37 2.6.7. Planos línea de tierra-punto 37 2.6.8. Planos perpendiculares al primer bisector 38 2.6.9. Planos perpendiculares al segundo bisector 38 2.7. Rectas contenidas en un plano. 39 2.7.1. Rectas horizontales de un plano. 39 2.7.2. Rectas frontales de un plano. 39

2.7.3. Rectas de perfil en un plano. 40 2.7.4. Línea de máxima pendiente. 41 2.7.5. Línea de máxima inclinación 43 2.8. Punto situado en un plano 44 2.9. Planos no definidos por sus trazas 44 2.9.1. Plano definido por dos rectas que se cortan 45 2.9.2. Plano definido por dos rectas paralelas 45 2.9.3. Plano definido por una recta y un punto. 46 2.9.4. Plano definido por tres puntos. 47 2.9.5. Horizontales y frontales de un plano no definido por sus trazas 47 (Ejercicios básicos PLANOS) 2.10. Planos pasando por una recta 49 2.1 1. Intersección de planos 52 2.11.1. Intersección de dos planos cualesquiera. 53 2.11.2. Intersección de un plano cualquiera con un plano de perfil. 54 2. 11.3. Intersección de un plano cualquiera con un plano frontal. .55 2.11.4. Intersección de dos planos cuyas trazas horizontales son paralelas. 56 2.1 1.5. Intersección de dos planos cuyas trazas se cortan fuera del dibujo 57 2.11 .6. Intersección de un plano definido por sus trazas con un plano línea de tierra-punto 58 2.11.7. Intersección de un plano con el segundo bisector 60 2.11.8. Intersección de dos planos paralelos a la línea de tierra ... 61 (Ejercicios básicos INTERSECCIÓN ENTRE PLANOS) 2. 12. Intersección de recta y plano 62 2.1 2. 1. Intersección de una recta vertical con un plano. 63 2.12.2. Intersección de una recta con un plano no definido por sus trazas 64 2.12.3. Partes vistas y ocultas en la intersección de recta y plano. 66 2.12.3.1 Posiciones relativas de dos rectas que se cruzan. .. 66 2.12.3.2. Intersección de una recta con un plano cuyas trazas se cortan formando un ángulo agudo. 68 2.12.3.3. Intersección de una recta con un plano de canto ... 70 2.12.3.4. Intersección de una recta con un plano cuyas trazas se cortan formando un ángulo obtuso. 71 (Ejercicios básicos INTERSECCIÓN ENTRE RECTA y PLANO) 2.13 . Paralelismo. 72 2. 13. 1. Rectas paralelas 72 2.13 .2. Planos paralelos 74 2.13.3. Recta paralela a un plano. 76 2.13.4. Plano paralelo a una recta. 76 2.13.5. Plano paralelo a dos rectas 78 2.13 .6. Plano paralelo a un plano. 78 (Ejercicios básicos PLANOS PARALELOS) 2. 14. Perpendicularidad 80 2.14.1. Teoremas de perpendicularidad 80 2.14.2. Recta perpendicular a un plano. 81 2.14.3. Plano perpendicular a una recta. 82 2. 14.4. Plano perpendicular a un plano por una recta. 83 2. 14.5. Proyección cilíndrica ortogonal de una recta sobre un plano. 84

(Ejercicios básicos ORTOGONALIDAD)

ÍNDICE DIBUJO 11 2.15. Distancias 85 2.15.1. Distancia entre dos puntos. 86 2.15.2. Distancia de un punto a un plano. 90 2.15.3. Distancia de un punto a una recta. 91 2.15.4. Distancia entre dos rectas paralelas 92 2.15.5. Distancia entre dos planos paralelos 93 2.15.6. Mínima distancia entre dos rectas 95 2.16. CamBies ae l"18fle ae l"reyeeeiéR 98 2.16.1. CamBie ae l"18fle vertieal ae l"reyeeeiéR 98 2.16.2. CamBie ae pIaRe l18riz8Iltal ae preyeeeiéR 103 2.17. Gires 106 2.18. Abatimientos. 111 2.19. Ángulos 117 2.19.1. Ángulo de dos rectas 117 2.19.1.2. Ángulo de las trazas de un plano. 119 2.19.2. Ángulo de recta y plano. 121 2.19.3. Ángulo de una recta con los planos de proyección 122 2.19.4. Ángulo de dos planos 125 2.19.5. Ángulo de un plano con los planos de proyección 128 2.20. Figuras planas 135 2.20.1. Elementos de un triángulo a partir de sus proyecciones. 135 2.20.2. Relaciones de afinidad en una figura plana. 137 2.20.3. Proyecciones de un triángulo equilátero 138 2.20.4. PreyeeeieRes ae HIla eireHllfereReia. 141 2.21. Poliedros 146 2.21.1. Representación 146 2.21.2. Prisma. 148 2.21.2.1. SeeeieRes pl8flas 151 2.21.2.2. IRterseeeiéR ae reeta)' prisma. 156 2.21.2.3. Desarrelle 159 2.21.3. Pirámide. 164 2.21.3.1. SeeeieRes pl8flas 167 2.21.3.2. IRterseeeiéR ae reeta y pirámiae. 172 2.21.3.3. Desarrelle 175 2.21.4. Pelieares regulares eeRvexes. 179 2.21.4.1. Tetraeare 1g 1 2.2l.4 .2. Oetaeare 184 2.2l.4.3. CHIle 187 2.2l.4.4.Ieesaeare 192 2.2l.4.5. Deaeeaeare 198

1 1. INTRODUCCION La Geometría Descriptiva tiene por objeto representar sobre un plano cuerpos, figuras

u objetos del espacio empleando proyecciones centrales o proyecciones paralelas. Los objetos se observan desde una distancia finita, y es por ello que se obtiene una representación mas natural de los mismos con ayuda de una proyección central, pero la relativa facilidad de construcción que tienen las proye~ciones paralelas, unido a la conservación de las relaciones dimensionales, explican la amplia utilización de Sistemas de Representación que utilizan estas últimas proyecciones. De los sistemas de representación basados en proyecciones paralelas, el desarrollado por el matemático, ingeniero y estadista francés Gaspar Monge (1746 - 1818), dado a conocer en su obra "Geometrie Descriptive" (1799), fue y sigue siendo el método principal para la realización de dibujos técnicos.

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A modo de introducción del Sistema de Proyección Diédrica o de Monge, que es el motivo principal de la presente publicación, en los apartados siguientes se hace una breve descripción de los diferentes tipos de proyecciones y de los sistemas de representación más importantes.

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1.1. Provecciones Proyectar un punto A del espacio sobre un plano de proyección P es hallar la intersección, a, de una recta R, que pase por el punto A, con el plano P. Para obtener la proyección del punto A sobre el plano, Fig.l, es preciso definir la recta R¡ llamada recta o rayo proyectante.

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Figura 1

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Figura 2

2 Un procedimiento consiste en obligar a que dicha recta R pase por un punto fijo y propio, 0, Fig. 2. La proyección de A sobre P será el punto a de intersección de la recta OA = R con el plano P. De la misma forma y sin cambiar de centro de proyección 0 , ni de plano de proyección P, se pueden obtener las proyecciones de otros puntos del espacio B, e, D, etc.. Un punto D situado en el plano de proyección se proyecta en d, coincidente con D. Tres puntos E, F, G, alineados con se proyectan en un mismo punto e=f=g, Fig.3.

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Figura 3

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Únicamente el punto no tiene una proyección definida, ya que por pasan infinitas rectas proyectantes, por lo que la proyección de puede ser cualquier punto del plano P. Si para un punto dado, M, la recta proyectante resulta ser paralela al plano de proyección, se considera que la recta y el plano se cortan en un punto impropio. El punto M tendrá su proyección en un punto del plano P infinitamente alejado, m.,. Dados un plano de proyección P y un centro de proyección 0, Fig. 2, se puede hallar la proyección a de un punto cualquiera del espacio A, pero conociendo la proyección a no se puede determinar la posición del punto A en el espacio, puesto que cualquier punto de la recta proyectante OA se proyecta en a. La proyección r de una recta R se obtiene proyectando dos cualesquiera de sus puntos A y B, hallando sus proyecciones a y b, y uniéndolas, Fig. 4. Las rectas proyectantes OA y OB definen un plano Q, plano proyectante, cuya intersección con el plano de proyección P es la recta r, proyección de R.

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Figura 4

Figura 5

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La proyección de una línea MINI se obtiene proyectando una serie de sus puntos, Fig. 5. Las rectas proyectantes OM¡, ..... , ON I forman una superficie proyectante o cónica, cuya intersección con el plano de proyección es la línea mn proyección de MINI' ; ,/

La proyección mn de una línea no determina a la linea que se quiere proyectar MIN¡, puesto que en la superficie proyectante puede existir todo un conjunto de líneas MiNi que tendrían por proyección mn. )

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En todos los casos anteriores las rectas o rayos proyectantes pasan por un punto fijo y propio O. La proyección se denomina central, cónica o perspectiva. Si se torna corno centro de proyección un punto infinitamente alejado del plano de proyección, un punto impropio, los rayos proyectantes son paralelos y la proyección se denomina paralela o cilíndrica. La proyección se efectuará mediante rectas paralelas a una dirección dada s, hallando los puntos de intersección con el plano de proyección. En el caso de la Fig. 6 la proyección es oblicua con relación la plano de proyección. Si la dirección de proyección definida por la recta s es perpendicular al plano de proyección, Fig. 7, la proyección que se obtiene se denomina ortogonal.

4

A

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Figura 6

Figura 7

1.2. Sistemas de representacion Sistemas de representación son los diferentes métodos que se utilizan en Geometría Descriptiva para representar o dibujar sobre un plano cualquier figura del espacio. Al pasar del espacio tridimensional al plano del dibujo bidimensional se pierde una

dimensión. Además deberá conseguirse que cada punto del espacio tenga un solo punto de representación en el plano y que cada punto del plano sea proyección de un único punto del espacio, es decir que debe establecerse una correspondencia biunívoca e inequívoca entre puntos del espacio y puntos del plano. La manera de conseguir dicha representación sobre un plano es utilizando proyecciones,

centrales o paralelas, sujetas a detenninadas normas, propias de cada sistema de representación. Los principales sistemas de representación agrupados por el tipo de proyección en que se basan son los que aparecen reflejados en el Cuadro 1. En los apartados siguientes se indican los fundamentos de cada uno de ellos. CUADRO 1. SISTEMAS DE REPRESENTACION PROYECCION

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PARALELA O CILINDRlCA ORTOGONAL

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CENTRAL

Diédrico

Perspectiva Caballera

Perspectiva Cónica

Axonométrico

Axonométrico

Perspectiva Estereográfica

Planos Acotados

Proyección Gnomónica

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5 1.2.1. Sistema Diédrico

Es una doble proyección cilíndrica ortogonal de los objetos sobre dos planos perpendiculares, uno horizontal y otro vertical, que se cortan según una recta denominada línea de tierra, Fig. 8.

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Figura 8

Figura 9

Un punto cualquiera del espacio A queda representado por su proyección sobre el plano horizontal a y por su proyección sobre el plano vertical a'.

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Se considera al plano horizontal como plano del dibujo o plano del cuadro. Como la proyección vertical a' está situada en un plano perpendicular al plano del dibujo, se hace un abatimiento o giro del plano vertical alrededor de la línea de tierra hasta hacerlo coincidir con el plano horizontal. Sobre el plano del dibujo, Fig. 9, el punto A del espacio quedará representado por a' y por a. La distancia de a' a la línea de tierra se denomina cota y la distancia de a a la línea de tierra alejamiento. En la Fig. 10 se ha representado un cubo ABCDEFGH en el espacio con sus caras paralelas a los planos de proyección y sus proyecciones diédricas. En proyección vertical las caras ABFE y DCGH aparecen superpuestas, en proyección horizontal las caras que se superponen son ABCD y EFGH.

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Figura 10 1.2.2. Sistema Axonométrico

Es una proyección cilíndrica, ortogonal u oblicua, de los objetos sobre un plano cualquiera denomina plano del cuadro, Un punto A' del espacio, junto con el sistema de ejes coordenados rectangulares O'X'y'Z' a los cuales está referido, se proyectan paralelamente a una dirección determinada D, sobre el plano del dibujo o plano del cuadro, Fig, 11. Z' "-

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Figura 11

x'

7

Sobre el papel del dibujo se tendrá: la proyección del origen de coordenadas O; las proyecciones de los ejes X, Y, Z; el punto A perspectiva directa del punto del espacio A'; y las perspectivas a" a2, a. de los puntos a'" a'2' a'3' respectivamente, que definían la posición del punto A' en el espacio. Si el plano del cuadro corta a los ejes en tres puntos M, N, P, tales que O'M =O'N =O'P, y la dirección de proyección D es perpendicular al plano del cuadro, Fig. 12, la proyección se denomina Isométrica, los ejes Ox, OY y OZ, en el papel del dibujo, se cortarán formando entre si ángulos de 120°.

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Figura U Los ejes OX', OY', OZ', en el espacio estaban graduados en unidades de dibujo (U.D.), al hacer la proyección sobre el plano del cuadro la graduación sobre los ejes Ox, OY, OZ resulta ser de magnitud más pequeña, viéndose afectada de un coeficiente de reducción igual a vTT3 pues, para el dibujo directo sobre el papel del dibujo, las unidades que se miden sobre los ejes OX, OY, OZ son vTT3 x (U.D.). La Fig. 13 es la perspectiva isométrica de un cubo A'B'C'D'E'F'G'H' que tiene las caras paralelas a los planos coordenados. ABCDEFGH es la perspectiva directa del cubo, y los tres rombos R¡, R 2, R 3, son las perspectivas de las proyecciones del cubo sobre los planos coordenados X'OY', X'O'Z' e Y'O'Z'.

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Figura 13

1.2.3. Sistema de Perspectiva Caballera

Es una proyección cilíndrica oblicua de los objetos sobre uno de los planos del triedro de referencia O'X'Y'Z', generalmente el plano definido por los ejes O'X' y O'Z', Fig. 14.

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DEL

CUADRO

Figura 14

9

Sobre el plano del cuadro o papel del dibujo, los ejes OX y OZ, coincidentes respectivamente con O'X' y O'Z', son perpendiculares. La posición del tercer eje OY dependerá de la dirección de proyección D, que queda definida mediante los ángulos o: y B. El ángulo B suele ser generalmente igual a 135°, y el ángulo 0:, que el rayo proyectante forma con el plano del dibujo, suele ser mayor de 45°, para que las magnitudes paralelas al eje OY resulten reducidas en lugar de ampliadas, a fin de que el dibujo resultante no tenga un aspecto excesivamente deformado. El valor de o: se suele expresar en forma numérica de arco cotangente de un ángulo, pues así, con multiplicar por él las dimensiones reales, se tendrán las dimensiones proyectadas. Un valor habitual suele ser

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En estas condiciones los ejes OX y OZ del papel del dibujo estarán graduados en U.D., y el eje OY, bisectriz del ángulo de 90° que forman los ejes OX y OZ, estará graduado en 2/3 x (U.D.).

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La Fig. 15 es la perspectiva caballera de un cubo A'B'C'D'E'F'G'H' que tiene las caras paralelas a los planos coordenados. ABCDEFGH es la perspectiva directa del cubo, el paralelogramo S, es la perspectiva de la proyección del cubo sobre el plano coordenado X'O'Y', el cuadrado S2 es la perspectiva de la proyección del cubo sobre el plano coordenado X'O'Z', y el paralelogramo 83 es la perspectiva de la proyección del cubo sobre el plano coordenado Y'O'Z'.

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Figura 15

10

1.2.4. Sistema de Planos Acotados Es una proyección cilíndrica ortogonal de los objetos sobre un plano horizontal denominado plano de comparación. Al carecer de la noción de relieve en sentido perpendicular al plano de comparación, las proyecciones de los puntos se complementan con unos números o cotas, cuyo valor depende de la altura a que están situados sobre el plano horizontal, Fig. 16.

P LANO DE t'OftlPtAffACJON

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DEL DISUJO

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Figura 16 Este sistema de representación es el que más se utili2a para la representación de superficies topográficas y para la resolución de problemas relativos a obras públicas y minería a cielo abierto. En la Fig. 17 se ha representado un cubo A'B'C'D'E'F'G'K' en el espacio y su proyección sobre el plano de comparación con las caras ABCD y EFGK superpuestas, la primera a cota H + h y la segunda a cota H. e' __- ._____ A~'------~

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G (H)

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Figura 17

11

1.2.5. Sistema de Perspectiva Cónica Es una proyección central de los objetos sobre un plano denominado plano del cuadro. El centro de proyección V se denomina punto de vista y representa al observador. El plano del cuadro es vertical y está situado por encima de un plano horizontal llamado plano geometral, Fig. 18.

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L.M.

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DE

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GEONETRAL

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Figura 18

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La perspectiva cónica del punto A del espacio es el punto Al de intersección del rayo proyectante AV con el plano del cuadro. La representación sobre el plano del dibujo se consigue abatiendo el plano geometral sobre el plano del cuadro. En el papel del dibujo se tendrá la recta de intersección de ambos planos o línea de tierra, las proyecciones sobre el plano del cuadro y el plano geometral de V, v'-(v), y de A, a'-(a), y la perspectiva cónica Al del punto del espacio. La Fig. 19 representa un cubo ABCDEFGH con dos caras paralelas al plano del cuadro y dos caras paralelas al plano geometral. La perspectiva cónica del cubo sobre el papel del dibujo, es la de la parte derecha de la figura.

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Figura 19

1.2.6. Sistema de Proyección Estereográfica Es una proyección cónica de puntos y líneas situados sobre la superficie de una esfera tomando como centro de proyección un punto V de la superficie esférica y como plano de proyección un plano P que pasa por el centro O de la esfera y es perpendicular al radio OVo La proyección estereográfica de un punto A' de la superficie esférica es el punto A situado en la intersección del rayo proyectante A'V con el plano diametral P, Fig. 20.

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Figura 20

Es un sistema de representación que encuentra gran aplicación en Cartografía, Mecánica de Rocas, Cristalografía y Geología Estructural. Las rectas y planos del espacio se trasladan paralelamente a sí mismos hasta que pasen por el centro O de la esfera y corten a la superficie esférica en puntos o según circunferencias, posteriormente se halla la proyección estereográfica de esos puntos o circunferencias. 1.2.7. Sistema de Proyección Gnomónica Es una proyección cónica de puntos y líneas situados sobre la superficie de una esfera utilizando corno centro de proyección el centro de la esfera y corno plano de proyección un plano tangente a la esfera, Fig. 21.

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PLANO DE PROYECCION

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Figura 21

Este sistema de representación tiene su mayor aplicación en Cartografía y en Astronomía.

14 2. PROYECCION DIEDRICA 2.1. Introduccion

La proyección diédrica o sistema de representación diédrico es una doble proyección cilíndrica ortogonal de los objetos sobre dos planos perpendiculares, uno horizontal H y otro vertical V que se cortan según una recta denominada línea de tierra, Fig. 22.

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Figura 22

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Figura 23

Un punto cualquiera del espacio A queda definido por su proyección sobre el plano horizontal a y por su proyección sobre el plano vertical a'. Se considera al plano horizontal H como plano del dibujo o plano del cuadro_ Como la proyección sobre el plano vertical a' está situada en un plano perpendicular al plano del dibujo, se hace un abatimiento o giro del plano vertical alrededor de la línea de tierra hasta hacerlo coincidir con el plano horizontal H. Sobre el plano del dibujo, Fig_ 23, el punto A del espacio está representado por (a') y por a. La distancia de (a') a la línea de tierra se denomina cota y la distancia de a a la línea de tierra se denomina alejamiento.

15 El punto A del espacio desaparece, pero se puede restituir, será suficiente deshacer el abatimiento, levantar por a una perpendicular al plano H y por a' una perpendicular al plano V para obtener el punto original A en la intersección de ambas perpendiculares, demostrando así la reversibilidad de este sistema de representación. El plano horizontal H y el plano vertical V se suponen ilimitados y dividen el espacio en cuatro regiones llamadas Primero, Segundo, Tercero y Cuarto Cuadrantes o diedros, Fig. 24. La persona que observa el objeto que se quiere representar se supone que está situada

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en el Primer Cuadrante. Como se trata de una doble proyección ortogonal, el efecto es como si el observador mirase al objeto desde el infinito, suponiendo que se encuentra infinitamente alejado del plano vertical de proyección para las proyecciones sobre dicho plano, e infinitamente alejado del plano horizontal de proyección para las proyecciones sobre el plano horizontal.

CUADRANTE

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CUADRANTE ~

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CUADRANTE

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Figura 24 )

Los planos de proyección V y H se suponen opacos, por lo cual los objetos situados en los cuadrantes 2°, 3° Y4° son ocultos para el observador y al dibujarlos sobre el papel del dibujo se representarán de trazos para diferenciarlos de los objetos situados en el Primer Cuadrante que se dibujarán de trazo continuo. En lo sucesivo, para simplificar los dibujos, la proyección vertical de un punto cualquiera se representará con una letra minúscula acentuada y sin paréntesis. Volviendo a la Fig. 23, la proyección vertical (a') del punto A pasará a ser a', y la proyección vertical (b') del punto b pasará a ser b', conservando para las proyecciones horizontales a y b las mismas notaciones.

16 2.2. Representación de puntos Los puntos -del espacio, tales como A y B de la Fig. 25, se considera que están referidos a un sistema de ejes coordenados rectangulares O'X'Y'Z'. Las proyecciones horizontales y verticales vienen definidas por tres coordenadas (x, y, z) réferidas al origen O situado sobre la línea de tierra, próximo al borde izquierdo del papel del dibujo.

ALEJ MIENTO

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DEL DIBUJO

Figura 25

x es la abscisa. Se mide sobre la línea de tierra y es siempre positiva, y es el alejamiento del plano vertical y determina la posición de la

proyección horizontal del punto. Se mide en dirección perpendicular a la línea de tierra, con valores positivos hacia el borde inferior del papel y negativos hacia el borde superior del papel. z es la cota o distancia al plano horizontal y determina la posición de la proyección vertical del punto. Se mide en dirección perpendicular a la línea 9Y'tierra, con valores positivos por encima de la línea de tierra y po< d,b.jo d, ,no

?""m,

17 En la figura anterior el punto A tiene mayor abscisa que el punto B, ambas son positivas. El punto A, situado en el primer cuadrante, tiene alejamiento positivo, la proyección horizontal a está situada por debajo de la línea de tierra, y cota también positiva, la proyección vertical a' está situada por encima de la línea de tierra. El punto B, situado en el tercer cuadrante, tiene alejamiento negativo, con respecto al observador que está situado en el primer cuadrante está situado por detrás del plano vertical de proyección, y su proyección horizontal b está situada por encima de la línea de tierra, según el sentido de los valores negativos de y. La cota del punto B también es negativa, el punto está situado por debajo del plano horizontal de proyección, su proyección vertical b' está situada por debajo de la línea de tierra, según el sentido de los valores negativos de z. 2.2.1. Posiciones relativas de un punto Los planos de proyección V y H dividen el espacio en cuatro regiones, cuadrantes o diedros. Dependiendo del cuadrante en que se halle ubicado un punto, las cotas y alejamientos tienen los siguientes signos:

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CUADRANTE

COTA

ALEJAMIENTO

1°

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+

2°

+

-

3°

-

-

4°

-

+

Los planos bisectores de esos diedros dividen el espacio en ocho diedros de 45". El plano bisector del primero y tercer cuadrantes se llama primer bisector y el plano bisector del segundo y cuarto cuadrantes se llama segundo bisector, Fig. 26.

;;

Figura 26

18 Los puntos situados en los planos de proyección o en los planos bisectores tienen las siguientes particularidades: ,:,,'" ' PLANO

. COTA

, Horizontal

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Vertical

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Figura 27

En la Fig. 27 se han dibujado dos secciones de los planos de proyección y de los planos bisectores por planos' perpendiculares a la línea de tierra. La de la parte izquierda contiene dos puntos A y B Y sus correspondientes proyecciones, y en la de la parte derecha se ha representado una serie de puntos numerados del 1 al 17. Haciendo abstracción de las abscisas respectivas de esos 17 puntos, en la Fig. 28 se han representado sus proyecciones horizontales y verticales, y se ha indicado el cuadrante a que pertenecen, CUADRANTE

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19 2.3. Representación de rectas Las proyecciones de una recta R se obtienen proyectando dos puntos cualesquiera de ella, A y B, Fig. 29. Uniendo las proyecciones de esos puntos sobre el plano vertical, a' y b', se obtiene la proyección vertical r' de la recta, y uniendo las proyecciones de los dos puntos sobre el plano horizontal, a y b, se obtiene la proyección horizontal r de la recta, Fig.30.

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Figura 29

Figura 30

Las proyecciones r y r' definen completamente la posición de la recta R en el espacio. Basta trazar por r un plano P perpendicular al plano H y por r' un plano Q perpendicular al plano V para obtener R corno recta de intersección de esos dos planos, Fig. 29.

Dos puntos importantes de una recta son sus trazas o puntos de intersección con los planos de proyección. La intersección de la recta con el .plano horizontal es un punto H, de proyecciones h-h', con cota 0, y la intersección de la recta con el plano vertical es un punto V, de proyecciones v-v, con alejamiento O. )

Si se conocen las proyecciones r' -r de una recta, Fig. 30, y se quieren hallar sus trazas, la forma de proceder sería la siguiente: Traza horizontal: Observar la proyección vertical r', seguirla hasta que encuentre a la línea de tierra en un punto que será acentuado h', por ese punto dibujar una perpendicular a la línea de tierra hasta que corte a la proyección horizontal r en un punto que será sin acentuar h. El punto h-h' es la traza de la recta con el plano horizontal de proyección.

20 Traza vertical: Observar la proyección horizontal r, seguirla hasta que encuentre a la línea de tierra en un punto que será sin acentuar v, desde ahí dibujar una perpendicular a la línea de tierra hasta cortar a la proyección vertical r' en un punto que será acentuado v'. El punto v'-v es la traza de la recta con el plano vertical de proyección. La recta representada en la Fig. 30 tiene la parte comprendida entre trazas en el primer cuadrante. A partir de h-h' y hacia la derecha, la recta pasa al cuarto cuadrante, sus

puntos tienen cota negativa y alejamiento positivo; las dos proyecciones están por debajo de la línea de tierra y se dibujan de trazos u ocultas. Desde v'-v y hacia la izquierda la recta se encuentra en el segundo cuadrante, sus puntos tienen cota positiva y alejamiento negativo; las dos proyecciones están por encima de la línea de tierra y se dibujan de trazas u ocultas. Otros puntos notables de una recta son los de intersección con los planos bisectores, Fig. 31.

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Figura 31 Al dibujar la simétrica de una de las proyecciones con respecto a la línea de tierra, (en la figura la simétrica de la proyección horizontal r), se obtiene un punto m'-m sobre las proyecciones de la recta, que por construcción tiene igual cota que alejamiento. Es el punto de intersección de la recta con el primer plano bisector, al que corta en el primer cuadrante. Si se prolongan las proyecciones de la recta hasta que se corten en un punto n' -o, de igual cota que alejamiento en valores absolutos, ese punto es el de intersección de la recta con el segundo plano bisector, al que corta en el segundo cuadrante, pues las dos proyecciones n' y n están por encima de la línea de tierra.

21 '.

En la Fig. 32 se ha r9presentado un punto a'-a en el segundo cuadrante, por a' se ha

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Figura 32

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Las trazas de la recta r' -r con los planos de proyección se hallan de igual manera que se ha hecho anteriormente: Se sigue la proyección vertical r' hasta encontrar a la línea de tierra en h', cuya proyección horizontal, situada sobre r, es h. Se sigue la proyección horizontal r hasta encontrar a la línea de tierra en v, cuya proyección vertical, sobre r', es v'. Entre trazas la recta está situada en el segundo cuadrante, al igual que el punto a' -a. A la derecha de v'-v la recta se encuentra en el primer cuadrante, un punto tal como b'-b tiene la proyección acentuada por encima de la línea de tierra y la proyección sin acentuar por debajo, es decir cota y alejamiento positivos. A la izquierda de h' -h la recta se encuentra en el tercer cuadrante, un punto como el c' -c tiene la proyección acentuada por debajo de la línea de tierra y la proyección sin acentuar por encima, cota y alejamientos negativos. La recta R en el espacio es como la representada en la Fig. 33, con la parte comprendida

entre trazas en el segundo cuadrante, oculta para el obserVador situado en el primer cuadrante, y por ello se dibuja en diédrica de trazos. A la derecha de su traza vertical, v' -v, la recta se encuentra en el primer cuadrante, es vista para el observador y por ello se dibuja en la Fig. 32 de trazo continuo desde v' -v hacia la derecha. A la izquierda de su traza horizontal h' -h la recta está situada en el tercer cuadrante, oculta para el observador, y se representa en diédrica de trazos a la izquierda de h' -h.

22 v

,0

Figura 33

De fonna análoga se procedería para hallar las trazas y las partes vistas y ocultas de una recta S con su porción entre trazas situada en el tercer cuadrante, Fig. 34, Yde una recta T con su porción entre trazas situada en el cuarto cuadrante, Fig. 35.

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Figura 34

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Figura 35 )

2.4. Rectas en posiciones particulares En el apartado anterior se ha visto la forma de hallar las trazas y de distinguir partes vistas y ocultas de una recta cualquiera con su porción entre trazas en el primero, segundo, tercero y cuarto cuadrantes. A continuación se va a comentar como son las proyecciones de rectas que ocupan posiciones particulares con respecto a los planos de proyección V y H. En todos los apartados se estudiará el caso más general, la parte de la recta situada en el primer cuadrante, con excepción de las rectas contenidas o paralelas al segundo plano bisector y de las rectas de perfil, que son las que presentan mayor dificultad de representación. 2.4.1. Rectas horizontales

)

Son rectas paralelas al plano horizontal de proyección. Todos los puntos de una recta horizontal tienen la misma cota, por lo que la proyección vertical r' es paralela a la línea de tierra, Fig. 36. Por ser paralelas al plano H sólo tienen traza con el plano vertical, v' -v.

24

v

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R

H

Figura 36

2.4.2. Rectas frontales Son rectas paralelas al plano vertical de proyección, Todos los puntos de una recta frontal tienen el mismo alejamiento del plano V, por lo que la proyección horizontal r es paralela a la línea de tierra, Fig. 37. Por ser paralelas al plano V sólo tienen traza con el plano horizontal, h-h',

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Figura 37

2.4.3. Rectas verticales Son rectas perpendiculares al plano horizontal de proyección. La proyección vertical r' es perpendicular a la línea de tierra. La proyección horizontal r queda reducida a un solo punto h, todos los puntos de la recta tienen la proyección horizontal coincidiendo con h, Fig. 38.

25

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PI: r

, -. Figura 38

Como las rectas frontales también son paralelas al plano V solo tienen traza con el plano horizontal, h-h' , 2.4.4. Rectas de punta Son rectas perpendiculares al plano vertical de proyección. La proyección horizontal r es perpendicular a la línea de tierra. la proyección vertical rO

queda reducida a un solo punto v', todos los puntos de la recta tienen su proyección vertical coincidiendo con v', Fig. 39. Como las rectas de punta también son paralelas al plano H sólo tienen traza con el plano V, v'-v.

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Figura 39

2.4.5. Rectas en el plano horizontal de proyección Los puntos de las rectas contenidas en el plano H tienen cota 0, por lo que la proyección vertical r' coincide con la línea de tierra, Fig. 40. El punto de intersección con el plano V, v' -v, está en la línea de tierra. ,o; .

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26 v

v-v·

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H

Figura 40 2.4.6. Rectas en el plano vertical de proyección Los puntos de las rectas conterudas en el plano V tienen alojamiento 0, por lo que la proyección horizontal r coincide con la línea de tierra, Fig. 41. El punto de intersección con el plano H, h-h', está en la línea de tierra.

v

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r

H

Figura 41 2.4.7. Rectas paralelas a la línea de tierra Son rectas paralelas a los planos H y V, por lo que sus puntos tienen cota constante y alejamiento también constante, Fig. 42. La proyección vertical r' y la proyección horizontal r son paralelas a la línea de tierra.

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Figura 42

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27

2.4.8. Rectas contenidas en el primer bisector La proyección vertical r' y la proyección horizontal r de una recta contenida en el primer plano bisector son simétricas respecto a la línea de tierra. Fig.43.

Cada punto de la recta tiene igual cota que alejamiento. Las trazas con el plano H y con el plano V están en la línea de tierra.

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Figura 43

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2.4.9. Rectas paralelas al primer bisector )

La proyección horizontal y la proyección vertical de las rectas paralelas al primer plano bisector forman el mismo ángulo con la línea de tierra, Fig. 44.

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Figura 44

28 Las rectas r' -r y s' -s son paralelas al primer bisector, la primera está situada por encima

del bisector y la segunda por debajo de él. Sus proyecciones verticales y horizontales forman ángulos iguales con la línea de tierra, y al trazar la simétrica de una de las proyecciones con respecto a la línea de tierra resulta ser paralela a la otra proyección, por lo que no tienen punto comunes de intersección con el primer bisector. 2.4.10. Rectas contenidas en el segundo bisector

Las rectas contenidas en el segundo plano bisector tienen sus proyecciones vertical r' y horizontal r superpuestas, Fig. 45.

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Figura 45

Cada punto de la recta r' -r tiene igual cota que alejamiento pero de signos opuestos por estar en el segundo o cuarto cuadrantes. Las trazas con los planos H y V están en la línea de tierra. 2.4.11. Rectas paralelas al segundo bisector

Las rectas paralelas al segundo plano bisector tienen su proyección horizontal y vertical paralelas, Fig.46.

La recta r' -r es una recta paralela al segundo plano bisector con su porción entre trazas situada en el primer cuadrante. La proyección horizontal r y la proyección vertical r' son paralelas por lo que no puede haber ningún punto que tenga sus proyecciones confundidas.

29

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Figura 46

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La recta s' -s es paralela al segundo plano bisector y tiene su porción entre trazas situada en el tercer cuadrante. 2.4.12. Rectas de perfil

Son rectas contenidas en planos de perfil, es decir en planos perpendiculares a la línea de tierra. Las proyecciones vertical r' y horizontal r son coincidentes y perpendiculares a la línea de tierra, Fig.47,

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Figura 47

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30 Conocidas las trazas y las proyecciones de una recta de perfil, si se quiere situar sobre ella las proyecciones de un punto A es necesario abatir la recta sobre uno de los planos de proyección. El abatimiento se suele hacer sobre el plano vertical de proyección, girando el plano de perfil y la recta contenida en él un ángulo de 90° alrededor del eje vertical v' -h', intersección del plano de perfil con el plano V. En la Fig. 47 se ha hecho el giro en sentido contrario al de las agujas del reloj. El punto H de intersección de la recta R con el plano horizontal describe un arco de circunferencia de centro h' y radio h'-h, alejamiento del punto H, hasta situarse sobre la línea de tierra en (h). El punto V de intersección de la recta con el plano vertical, por estar en el eje de giro no se desplaza. La recta abatida (R) se obtiene uniendo v' con (h). El punto A en el espacio describe un arco de circunferencia de centro a', proyección vertical del punto, radio a'A (alejamiento del punto A), hasta situarse en (A) sobre (R). La proyección vertical a' por estar en el eje de giro tampoco se desplaza, la proyección horizontal a describe un arco de circunferencia de centro h' y radio el alejamiento de a, hasta situarse en (a), pie de la perpendicular trazada por (A) a la línea de tierra.

El procedimiento para abatir una recta de perfil conocidas sus trazas, h-h' y v' -v, sería el siguiente, Fig. 48.

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Figura 49

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Figura 50

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31 1°.-

Con centro en h' y radio h-h' se describe un arco en sentido contrario al de las agujas del reloj hasta cortar a la línea de tierra en (h).

22.-

Se une (h) con v' y se obtiene la recta abatida (R).

Si se conoce la proyección horizontal a del punto A, Fig. 48, Y se quiere hallar la proyección vertical a', habría que describir un arco de centro h' y radio h'-a en sentido contrario al de las agujas del reloj hasta cortar a la línea de tierra en (a). Desde aquí se traza una perpendicular a la línea de tierra hasta cortar a (R) en (A) y por (A) se traza una paralela a la línea de tierra hasta cortar a la proyección vertical de la recta v' -h' en a', proyección vertical del punto A.

.j

,;

Si la proyección conocida es a' y se quiere hallar la proyección horizontal a, Fig. 49, habrá que dibujar por a' una paralela a la línea de tierra hasta cortar a (R) en (A). Por (A) dibujar una perpendicular a la línea de tierra hasta cortarla en (a), y después trazar un arco de centro en h', radio h'-(a), en el sentido de las agujas del reloj (contrario al de abatimiento) hasta cortar a la proyección horizontal de la recta v-h en a, proyección horizontal de A. Si se conocen las proyecciones de dos puntos, a' -a y b' -b, de una recta de perfil y se quieren determinar las trazas de la recta, el procedimiento a seguir sería el siguiente, Fig. 50:

12 .-

22 ._

Abatir A. Se dibuja un arco de centro en la intersección de la línea de tierra con la recta que une las proyecciones de los dos puntos, radio el alejamiento de a, en sentido contrario al de las agujas del reloj hasta cortar a la línea de tierra en (a). Por (a) se dibuja una perpendicular a la línea de tierra y por a' una paralela a la línea de tierra hasta que se corten en (A). .

Abatir B siguiendo pasos análogos a los anteriores hasta obtener (B).

32 .-

Se une (A) con (B) hasta cortar a la línea de tierra en (h) y a la línea de referencia de las proyecciones de los . puntos en v', cuya proyección horizontal es v en la línea de tierra. v' -ves la traza vertical de la recta.

42 .-

Se dibuja un arco de circunferencia de centro en la íntersección de la línea de tierra con las proyecciones de la recta, radio la distancia hasta (h), sobre la línea de tierra, y sentido el de tas agujas del reloj (para desabatir), hasta cortar a la proyección horizontal de la recta a-b en h, cuya proyección vertical es h' en la línea de tierra. h-h' es la traza horizontal de la recta.

En la Fig. 51 se ha dibujado una recta S de perfil, con su porción entre trazas situada en el segundo cuadrante, y se ha abatido sobre el plano vertical de proyección girando el plano de perfil 90° en sentido contrario al de las agujas del reloj, alrededor del eje vertical v' oh' hasta hacerlo coincidir con el plano V.

32

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Figura 51

Figura 52

En la Fig. 52 se ha abatido la recta y se ha hallado la proyección vertical e' del punto C, supuestas conocidas las trazas, h-h', v'-v, y la proyección horizontal c. Con centro en h' y radio h' -h se ha dibujado un arco en sentido contrario al de las agujas del reloj hasta cortar a la línea de tierra en (h). Se ha unido (h) con v', es la recta abatida (S). Con centro en h' y radio h'-c se ha dibujado otro arco, en el mismo sentido, hasta cortar a la línea de tierra en (e). Por (c) se ha dibujado una perpendicular a la línea de tierra hasta cortar a (S) en (C), y desde ese punto se dibujado una paralela a la línea de tierra hasta cortar a la proyección vertical de la recta v' -h' en c', proyección vertical del punto C. En la Fig. 53 se ha representado una recta de perfil T con su porción entre trazas en el tercer cuadrante, la recta abatida (T) y las proyecciones de un punto D de la recta. En la Fig. 54 se ha dibujado una recta U con su porción entre trazas en el tercer cuadrante, la recta abatida (U) y las proyecciones de un punto E de la misma. En ambos casos el sentido de giro seguido ha sido el contrario al de las agujas del reloj, corno en las Figs. 48 y 52, de forma que la parte anterior del plano de perfil que las contiene se pliegue hacia la derecha. Obsérvese las diferencias entre las partes vistas y ocultas de las rectas de perfil representadas en las Figs. 48, 52, 53 Y 54.

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33

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/ Figura 54

Figura 53 )

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2.5. Representación de. planos: Trazas

Un plano puede estar definido por tres puntos, por una recta y un punto, por dos rectas paralelas o por dos rectas que se cortan. La forma mas habitual de representar un plano en Diédrica es mediante dos rectas que

se cortan, particularmente cuando esas rectas son las intersecciones del plano con los planos de proyección V y H.

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Figura 55

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34 En la Fig. 55 se ha dibujado un plano P (transparente) que corta al plano V según la recta AB y al plano H según la recta eD. AB y eD son las trazas del plano P son los planos V y H respectivamente, ambas rectas se cortan en un mismo punto E de la línea de tierra. Una vez hecho el abatimiento del plano V sobre el plano H para poder hacer la representación sobre el papel del dibujo, Fig. 56, la recta AB queda definida por su proyección vertical a'-b' y por su proyección horizontal a-b, coincidente con la linea de tierra. La recta eD queda definida por su proyección vertical c'-d', coincidente con la línea de tierra, y por su proyección horizontal codo Ambas rectas se cortan en el punto e' -e de la línea de tierra.

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Figura 56

Figura 57

Figura 58

Para simplificar el dibujo, Fig. 57, esas rectas o trazas, exceptuando la línea de tierra, se nombran con dos letras mayúsculas iguales, acentuada la traza vertical P', y sin acentuar la traza horizontal P, de trazo continuo en la parte correspondiente al primer cuadrante, contándose en un mismo punto de la línea de tierra. En necesario tener presente que la traza vertical P' es una recta contenida en el plano V, de proyecciones r' -r, con la proyección horizontal r coincidente con la línea de tierra, y que la traza horizontal P es una recta contenida en el plano H, de proyecciones s'-s, con la proyección vertical s' coincidente con la línea de tierra, Fig. 58. Un punto situado en la traza vertical P' del plano, Figs. 55 y 56, como A, tiene su proyección vertical a' sobre P' y la proyección horizontal a en la línea de tierra. Un punto situado en la traza horizontal P del plano, como e, tiene su proyección horizontal c sobre P y la proyección vertical c' en la línea de tierra.

/ 35 2.6. Planos en posiciones particulares En los apartados siguientes se comentan corno son las trazas de determinados planos que ocupan posiciones particulares con respecto a los planos de proyección y que son de uso frecuente. 2.6.1. Planos horizontales Son planos paralelos al plano horizontal de proyección. Solo tienen una traza, P' con el plano V, paralela a la línea de tierra, Fig. 59.

v oÍ

p'

j

,, ) } 1,

Figura 59 )

2.6.2. Planos frontales Son planos paralelos al plano vertical de proyección. Solo tienen una traza, P con el plano H, paralela a la línea de tierra, Fig. 60. "

", )

p H

Figura 60

36 2.6.3. Planos verticales Son planos perpendiculares al plano H. La traza vertical P' es perpendicular a la línea de tierra, la traza horizontal P puede formar cualquier ángulo con la linea de tierra, Fig. 61.

VI

I

p'

p

H

Figura 61 Un plano vertical también se denomina plano proyectante sobre el plano H, pues cualquier punto del plano tiene su proyección horizontal sobre la traza horizontal P. 2.6.4. Planos de canto Son planos perpendiculares al plano V. La traza horizontal P es perpendicular a la línea de tierra, la traza vertical P' puede formar cualquier ángulo con la linea de tierra, figura 62.

V

p'

H

p

Figura 62 Un plano de canto también se denomina plano proyectante sobre el plano V, pues cualquier punto del plano tiene su proyección vertical sobre la traza vertical P'.

/ /

37 2.6.5. Planos de perfil

Son planos perpendiculares a la línea de tierra. Sus dos trazas P' y P están en prolongación y son perpendiculares a la línea de tierra, Fig. 63. v p'

p

Figura 63

¡

2.6.6. Planos paralelos a la línea de tierra

Las trazas vertical y horizontal son paralelas a la línea de tierra, Fig. 64.

p'

p

Figura 64

2.6.7. Planos línea de tierra-punto

Los planos que pasan por la línea de tierra tienen sus trazas confundidas con la propia línea de tierra, Fig. 65 .

.:;

r·' I

I

II

/

r

Figura 65

38 Para dibujarlos se recurre a representar un punto cualquiera del plano, por ejemplo A, ya ambos lados de la línea que une las proyecciones vertical a' y horizontal a, por debajo de la línea de tierra, se colocan dos pequeños trazos para indicar que se trata de un plano línea de tierra - punto. 2.6.8. Planos.perpendiculares al primer bisector Los planos perpendiculares al primer bisector tienen las trazas vertical y horizontal simétricas con relación a la línea de tierra. v p

Figura 66 El plano representado en la Fig. 66 contiene a la recta AB perpendicular a primer bisector y , -por consiguiente, es perpendicular a primer bisector. Las distancias AQ y BQ son iguales, los ángulos AMQ y BMQ son iguales, por lo que las dos trazas P' y P forman el mismo ángulo con la línea de tierra.

2.6.9. Planos perpendiculares al segundo bisector Los planos perpendiculares al segundo bisector tienen las trazas vertical y horizontal coincidentes.

H

Figura 67 El plano representado en la Fig. 67 contiene a la recta CD perpendicular al segundo bisector y, por consiguiente, es perpendicular al segundo bisector. Las distancias CL y DL son iguales, los ángulos CNL y DNL son iguales, por lo que las dos trazas P' y P quedan en prolongación en el dibujo diédrico.

39

2.7. Rectas contenidas en un plano Una recta está contenida en un plano cuando sus trazas están situadas sobre las trazas correspondientes del plano, Fig. 68. p'

r'

, v' r

p

Figura 68

)

) j

Dado un plano P-P', si se quiere situar en él una recta, deberá elegirse la traza vertical de la recta v' -v sobre P' y la traza horizontal h-h' sobre la traza P. Uniendo v' con h' se obtiene la proyección vertical r' de la recta y uniendo h con v se obtiene la proyección horizontal r. Entre las rectas que pueden estar contenidas en un plano existen algunas de uso bastante frecuente que se describen en los apartados siguientes. 2.7.1. Rectas horizontales de un plano Son rectas contenidas en un plano y paralelas al plano horizontal de proyección, Fig. 69.

p'

Figura 69

Tienen una sola traza, v' -v, situada sobre la traza vertical del plano. La proyección vertical r' es paralela a la línea de tierra y la proyección horizontal r es paralela a la traza horizontal P.

40 2.7.2. Rectas frontales de un plano Son rectas contenidas en un plano y paralelas al plano vertical de proyección, Fig. 70.

p'

h

Figura 70 Tienen una sola traza, h-h', situada sobre la traza horizontal del plano. La proyección vertical r' es paralela a la traza vertical P' y la proyección horizontal r es paralela a la línea de tierra. 2.7.3. Rectas de perfil en un plano Son rectas situadas en un plano que además están contenidas en un plano de perfil, Fig. 71.

Las proyecciones r' y r son perpendiculares a la línea de tierra y la trazas están situadas sobre las trazas correspondientes del plano, v' -v sobre P' y h-h' sobre P.

/

41

2.7.4. Línea de máxima pendiente Línea de máxima pendiente de un plano es toda recta del plano que forma con el plano horizontal de proyección el mayor ángulo posible. Sería el camino que seguirían las gotas de agua al resbalar por el plano. Las líneas de máxima pendiente de un plano son perpendiculares a las horizontales del plano y, por consiguiente, también son perpendiculares a la traza horizontal P, Fig. 72.

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p

Figura 72

,

La proyección horizontal r es perpendicular a la traza P, la proyección vertical resulta de unir h' con v'.

j

Una línea de máxima pendiente define completamente al plano que la contiene pues la traza horizontal P ha de pasar por h y ser perpendicular a r y la traza vertical P' ha de pasar por v' y por el punto de encuentro de la traza horizontal P con la línea de tierra. El ángulo que forma la línea de máxima pendiente con el plano H es el ángulo del diedro formado por los plano P y H, Fig. 73. v

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I

I

p

I

~:J:--rEr-""'(v') ... R)

Figura 73

42 Para hallar dicho ángulo se abate el triángulo rectángulo h v v' alrededor de hv sobre el plano H, para los cual se dibuja por v una perpendicular a la proyección horizontal r de la recta, y sobre ella se lleva la cota del punto v-v, obteniendo (v'). Uniendo (v') con h se tiene la recta abatida (R) sobre el plano H y se puede medir el ángulo a que forma con su proyección horizontal r. Una aplicación práctica, en Geología y Minería, de la lineas de máxima pendiente consiste en medir buzamientos de capas de terrenos. La.> dos observaciones geométricas que definen una capa o estrato, (paralelepípedo en el que una dimensión es mucho más pequeña que las otras dos), son la dirección o rumbo y el buzamiento, inclinación o pendiente. Dirección es la orientación, referida al Norte, de una línea horizontal trazada sobre el plano. Forma un ángulo recto con el buzamiento. Buzamiento es el ángulo y dirección de la línea de la línea de máxima pendiente,

medidos a partir de cualquier superficie horizontal. La.> direcciones de rumbo y buzamiento se determinan en el campo por medio de una brújula y se expresan generalmente en ángulos de 0° a 360° con relación al Norte verdadero, en el sentido de las agujas del reloj. El ángulo de buzamiento se mide por medio de clinómetros o de un péndulo, que al medir el ángulo con respecto a la vertical proporciona un ángulo complementario al de buzamiento.

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Figura 74 .

.

La Fig. 74 repres~a una capa, en perspectiva caballera, de dirección N-50° - E, la dirección de cuafquiera de las horizontales del plano superior, (techo), de la capa y buzamiento 20° al SE, valor del ángulo Ct y sentido que seguiría el agua al resbalar por el techo de la capa hacia el Sureste.

/ 43 2.7.5. Línea de máxima inclinación Línea de máxima inclinación de un plano es toda recta del plano que forma con el plano vertical de proyección el mayor ángulo posible. Las línea de máxima inclinación de un plano son perpendiculares a las frontales del

plano y, por consiguiente, también son perpendiculares a la traza vertical P', Fig. 75.

r'

H

, J

Figura 75

)

)

La proyección vertical r' es perpendicular a la traza P', la proyección horizontal resulta de unir h con v. Una línea de máxima inclinación define completamente al plano que la contiene pues la traza vertical P' ha de pasar por v' y ser perpendicular a r' y la traza horizontal P ha de pasar por h y por el punto de encuentro de la traza vertical P' con la línea de tierra. El ángulo que forma la línea de máxima inclinación con el plano V es el ángulo del diedro formado por los plano P y V, Fig. 76. p'

H

Figura 76

44

Para hallar dicho ángulo se abate el triángulo rectángulo v'h'h alrededor de v'h' sobre el plano V, para lo cual se dibuja por h' una perpendicular a la proyección vertical r' de la recta, y sobre ella se lleva el alejamiento del punto h-h', obteniendo (h). Uniendo (h) con v' se tiene la recta abatida (R) sobre el plano V y se puede medir el ángulo B que forma con su proyección vertical r'. 2.8. Punto situado en un plano Un punto está situado en un plano si sus proyecciones se encuentran sobre las proyecciones correspondientes de una recta cualquiera del plano.

P

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p'

R'

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a'

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h',

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h,

• d

Q

Figura 77 En la Fig. 77 se han dibujado: Un punto a'-a en un plano P'-P mediante una horizontal p'-p del plano. Un punto b'-b en un plano Q'-Q mediante una frontal q'-q del plano. Un punto c'-c en un plano R'-R, paralelo a la línea de tierra mediante una recta cualquiera r' -r del plano. Un punto d'-d en un plano S'-S, perpendicular al segundo bisector, mediante una recta cualquiera s' -s del plano. 2.9. Planos no definidos por sus trazas En el apartado 2.5 se ha explicado la representación de planos en el Sistema Diédrico utilizando sus trazas, como caso particular de plano definido por dos rectas que se cortan. También se ha visto que las trazas de un plano son los lugares geométricos de las trazas de todas las rectas contenidas en el plano. Aprovechando esta propiedad, en.los apartados siguientes se aborda la manera de hallar las trazas de un plano cuando dicho plano viene definido por dos rectas que se cortan, por dos rectas paralelas,por una recta y un punto o por tres puntos. También se indica una forma de proceder cuando las trazas de las rectas se salen de los límites de papel.

I

4S

2.9.1. Plano definido por dos rectas que se cortan

Se quiere hallar las trazas del plano definido por dos rectas, r' -r y s' -s, que se cortan en un punto a' -a, Fig. 78.

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Si

I

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Figura 78

Figura 79

Para ello, tal como se muestra en la Fig. 79, se determina en primer lugar las trazas de ambas rectas con los planos de proyección, v',-v, y h,-h'" de la recta r'-r y, V'2-V2 Y h2-h'" de la recta s'-s, de forma análoga a como se ha hecho en el apartado 2.3. (Fig. 30) . . Uniendo v" y V'2 se tiene la traza vertical P' del plano y uniendo h, y h, se tiene la traza horizontal P del plano, comprobando que ambas trazas se cortan en un mismo punto 1'-1 de la línea de tierra.

-,

Si las dos rectas no tienen su porción entre trazas en el primer cuadrante la construcción es semejante. Basta hallar las trazas de ambas rectas y unir h, con h2 para tener la traza horizontal del plano, y unir v', con v'2 para tener la traza vertical. 2.9.2. Plano definido por dos rectas paralelas

Se quiere hallar las trazas del plano que contiene a dos rectas paralelas r' -r y s' -s, Fig.

80. Para ello se prolongan las proyecciones de ambas rectas y se determinan sus trazas, v' ,-v, y h,-h'" de la recta r'-r y, V'2-V2 Y h,-h'2, de la recta 5'-5. Fig. 81.

46 La traza vertical P' del plano pasará por v', y por v'¡ y la traza horizontal P pasará con

h" por h¡ y por el punto de intersección de la traza P' con la línea de tierra.

p'

.' Yz

p

Figura 80

Figura 81

2.9.3. Plano definido por una recta y un punto Dada una recta r' -r y un punto a' -a exterior a ella, Fig. 82, si se quiere hallar las trazas del plano definido por ambos, basta unir el punto a' -a con un punto cualquiera, b' -b, de la recta, con lo cual el problema queda reducido a determinar las trazas del plano definido por dos rectas, la dada r' -r, y la nueva, a' -b, a-b, que se cortan en b' -b. El caso está resuelto en la Fig. 83 siguiendo pasos semejantes a los utilizados en le apartado 2.9.1.

r'

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,

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,

ba

Figura 82

\

Figura 83

47 2.9.4. Plano definido por tres puntos Sean a' -a, b' -b Y c' -c tres puntos dados, Fig. 84. Se quiere hallar las trazas del plano que los contiene.

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Figura 84

Figura 85

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"

Se elige uno cualquiera de esos puntos, por ejemplo a' -a, y se une con los otros dos, Fig. 85, con lo que al igual que en el caso anterior se trata de hallar el plano definido por dos rectas, r' -r y s' -s, que se cortan en a' -a, y se resuelve de igual manera a como se ha hecho en el apartado 2.9.1. 2.9.5. Horizontales y frontales de un plano no definido por sus trazas

j

) )

Habrá casos en que no todas las trazas de las dos rectas que definen un plano queden dentro de los límites del papel del dibujo y no puedan utilizarse para hallar las trazas del plano. En este supuesto se podrá determinar la dirección de las horizontales y de las frontales del plano que contiene a las rectas y con ello las direcciones de las trazas del plano, lo cual puede ser útil para la resolución de determinados problemas. Si se conoce al menos una traza horizontal y otra traza vertical, de las rectas dadas o de otras rectas del plano, se pueden dibujar por ellas paralelas a las horizontales y a las frontales para conocer la ubicación de las trazas del plano.

48

Figura 86

En la Fig. 86 se conocen las proyecciones de dos rectas r' -r y s' -s que se cortan en a' -a. se ha dibujado una paralela a la línea de tierra, por encima de ella, t', que corta a r' en c', cuya proyección horizontal situada sobre r es c, y corta a s' en d', cuya proyección horizontal situada sobre s es d. Uniendo c con d se tiene la proyección horizontal t de la recta l' -t, que es una horizontal del plano. También se ha dibujado una paralela a la línea de tierra, por debajo de ella, q, que corta a r en e, cuya proyección vertical situada sobre r' es e', y corta a s en f, cuya proyección vertical situada sobre r' es f. Uniendo e' con f se tiene la proyección vertical q' de la recta q' -q, que es una frontal del plano cuya traza horizontal es h3-h' 3' Si por h o por h3 , de dibuja una paralela a t, ésta será la traza horizontal P del plano, y si por"V'2 se dibuja una paralela a q', ésta será la traza vertical P' del plano que contiene a las rectas. Siguiendo un proceso similar al anteriormente descrito, en la Fig. 87 se ha dibujado una horizontal l' -t de un plano definido por dos rectas paralelas r' -r y s' -s. r'

s'

e'

"

r

Figura 87

49 2.10. Planos pasando por una recta Para que un plano pase por una recta, Fig. 88, basta con que la traza vertical del plano pase por v', la traza horizontal del plano pase por h y que las dos trazas se corten en un mismo punto de la línea de tierra. Los dos planos, P' -P y Q ' -Q, de la figura cumplen esas condiciones. p'

v

p'

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H

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Figura 88 Así pues, por una recta pasan infinitos planos, algunos de los cuales, como los representados en las figuras siguientes, ofrecen ciertas particularidades. De todos ellos los de mayor interés son los proyectantes, pues se utilizarán en desarrollos posteriores. El plano de la Fig. 89 es paralelo a la línea de tierra y contiene a la recta R. P' pasa por v', P pasa por h y ambas trazas cortan a la línea de tierra en un punto impropio.

v p'

H

P

Figura 89

h

50

El plano de la Fig. 90 es un plano vertical, proyectante de la recta R sobre el plano horizontal de proyección. La traza P' es perpendicular a la línea de tierra y la traza P coincide con la proyección horizontal r de la recta.

y

p' p'

v' v ~

h'

v

P

H

h

Figura 90

El plano de la Fig. 91 es un plano de canto, proyectante de la recta sobre el plano vertical de proyección. La traza P' coincide con la proyección vertical r' de la recta y la traza P es perpendicular a la línea de tierra.

y

p

Figura 91

51 El plano de la Fig. 92 tiene a la recta r'-r como línea de máxima pendiente. La traza P es perpendicular a r.

v p'

H

p

, )

, ," ;

Figura 92

El plano de la Fig. 93 tiene a la recta r'-r como línea de máxima inclinación. La traza P' es perpendicular a r'.

v

p'

H

..

'

Figura 93

52 2.11. Intersección de planos La intersección de dos planos es una recta que queda definida cuando se conocen dos

de sus puntos. Esos dos puntos de determinan ayudándose de dos planos auxiliares, mas sencillos en cuanto a posición, y cuyas intersecciones sean más fáciles de hallar. Sean P y Q dos planos situados de cualquier modo en el espacio, Fig. 94, cuya recta de intersección se quiere determinar, y sean My N dos planos auxiliares convenientemente elegidos.

Figura 94

El plano M corta al plano P según la recta R¡ y al plano Q según la recta R,; las rectas R¡ y R 2 se cortan en un punto A El plano N corta al plano P según la recta S¡ y al plano Q según la recta S2; las rectas S¡ y S2 se cortan en un punto B. A YB son dos puntos de la recta de intersección del plano P con el plano Q, uniéndolos

se obtiene la intersección buscada. Generalmente se usan como planos auxiliares los planos de proyección V y H, cuyas intersecciones con los planos dados son las trazas de esos planos, o planos paralelos a los de proyección que cortan a los planos dados según rectas horizontales o frontales.

53 En los apartados siguientes se explican varios procedimientos para hallar las proyecciones diédricas de intersecciones de planos, tanto en el caso general como en algunos casos particulares. 2.11.1. Intersección de dos planos cualesquiera

Sean P'-P y Q'-Q las trazas de los dos planos cuya recta de intersección se quiere hallar. Fig. 96.

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Q

Figura 95

Figura 96

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Haciendo un pequeño esquema de la disposición de ambos planos en el espacio, Fig. 95, se observa que la recta de intersección R de ambos planos pasa por los puntos A y B de intersección de las trazas verticales y de las trazas horizontales, respectivamente, de ambos planos. .

.,,

Volviendo a las proyecciones diédricas, Fig. 96, se va a obtener la recta de intersección aplicando el método general, indicado anteriormente, que ha sido esquematizado en la Fig.94. Como primer plano auxiliar se toma el plano vertical de proyección. El plano V corta al plano P'-P según una recta r"-r,, cuya proyección vertical r', coincide con P' y cuya proyección horizontal r1 coincide con la línea de tierra. El plano V corta al plano Q'-Q según una recta r'2-r2' cuya proyección vertical r'2 coincide con Q' y cuya proyección horizontal r2 coincide con la línea de tierra. Las rectas r\-r¡ y r' 2-r2 se cortan en el punto a'-a. El punto a'-a es un punto de la recta de intersección de los planos P'-P y Q'-Q.

54 Como segundo plano auxiliar se toma el plano horizontal de proyección. El plano H corta al plano P' -P según una recta s'¡-s" cuya proyección vertical s'¡ coincide con la línea de tierra. El plano H corta al plano Q' -Q según una recta s' 2-~' cuya proyección horizontal ~ coincide con Q y cuya proyección vertical s'2 coincide con la línea de tierra. Las rectas s' ,-s, y S' 2-S2 se cortan en el punto b' -b. El punto b' -b es otro punto de la recta de intersección de los planos P'-P y Q'-Q. Conocidas las proyecciones a' -a y b' -b de dos puntos de la recta de intersección, nada más hay que unirlas para tener las proyecciones r' -r de la recta. Uniendo a' con b' se tiene la proyección vertical r', y uniendo a con b se tiene la proyección horizontal r de la recta de intersección de ambos planos. 2.11.2. Intersección de un plano cualquiera con un plano de perfil

Se quiere hallar la intersección del plano P' -P con el plano horizontal H'¡. Fig. 98.

H'1

v'

r'

v

H p

Figura 97

Figura 98

La recta de intersección por pertenecer al plano horizontal H', tendrá que ser horizontal

y como además ha de estar contenida en el plano P'-P, será una recta horizontal del plano P'-P, Fig. 97. Así pues solo hace falta encontrar un punto de la recta de intersección por el cual dibujar una paralela a la línea de tierra en proyección vertical y en proyección horizontal una paralela a la traza P. Para ello se utiliza como plano auxiliar el plano vertical de proyección. El plano V corta al plano P'-P según una recta r',-r" cuya proyección vertical r', coincide con P' y cuya proyección horizontal r, coincide con la línea de tierra. El plano V corta al plano horizontal cuya traza vertical es H'¡, paralela a la línea de tierra, según una recta r'2-r2, paralela a la línea de tierra, cuya proyección vertical r' 2 coincide con la traza H'¡ y cuya proyección horizontal r2 coincide con la línea de tierra.

55 Las dos rectas, r',-r, Y r'2-r2 se cortan en el punto v-v, punto de la recta de intersección

H".

de los planos P'-P y

Como la recta de intersección ha de ser una horizontal del plano P'-P, bastará dibujar con v una paralela r' a la linea de tierra y por v una paralela r a la traza P. La horizontal r'-r, cuya traza es el punto v -v, es la recta de intersección del plano P'-P con el plano

H,,:

Si se hubiese continuado con el método general para hallar otro punto de la recta de intersección, como segundo plano auxiliar se hubiese utilizado el plano horizontal de proyección. El plano H corta al plano P'-P según una recta S',-S" cuya proyección horizontal s, coincide con P y cuya proyección vertical s" coincide con la linea de tierra. El plano H es paralelo al plano H'" lo corta según una recta impropia S'2-S2' cuya proyección horizontal están indeterminada, pero está contenida en el plano H, por lo que su proyección vertical s' 2 coincide con la linea de tierra. Las dos rectas S"-S, Y S'2-S2 se cortan en un punto impropio, o infinitamente alejado,

h'.-b.. , que por pertenecer a la recta S"-S, tendrá su proyección vertical sobre s'" coincidente con la linea de tierra, e infinitamente alejada, y su proyección horizontal sobre s,, coincidente con P, e infinitamente alejada. Por consiguiente habría que unir v' con el punto impropio de la linea de tierra, y v con el punto impropio de la traza P, o lo que es lo mismo, dibujar por v' una paralela a la línea de tierra y por v una paralela a la traza P, con lo cual el resultado es el mismo, la recta horizontal r'-r.

2.11.3. Intersección de un plano cualquiera con un plano frontal

La recta de intersección de un plano P'-P definido por sus trazas con un plano frontal F es una recta frontal, pues ha de estar contenida en el plano F, y como ha de pertenecer al plano P'-P, tiene que ser una recta frontal del plano P'-P, Fig. 99.

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Figura 99

56 De forma análoga al caso anterior, solo hace falta conocer un punto h'-h de la recta de intersección, dibujar por h' una paralela a P' y por h una paralela a la linea de tierra para tener las proyecciones r' -r de la recta de intersección. Para hallar ese punto h' -h se utiliza como plano auxiliar el plano horizontal de proyección. El plano H corta al plano P'-P según una recta S"-S1' cuya proyección horizontal S1 coincide con P y cuya proyección vertical s'1 coincide con la linea de tierra. El plano H corta al planto frontal cuya traza horizontal es F, paralela a la linea de tierra, según una recta s'2-S2, paralela a la línea de tierra, cuya proyección horizontal S2 coincide con la traza F y cuya proyección vertical S'2 coincide con la linea de tierra. Las rectas S'¡-S1 Y S'[S2 se cortan en el punto h'-h. Una vez determinado h'-h, como la recta de intersección ha de ser frontal, por h' se dibuja una paralela r' a P' y por h una paralela r a la linea de tierra. La recta r'-r es la recta de intersección del plano P'-P con el plano frontal F. Si se hubiese utilizado como segundo plano auxiliar, para hallar otro punto de la intersección, el plano vertical de proyección, se obtendria un punto impropio, v'.=v , cuya proyección vertical estaría sobre la traza P', infinitamente alejada, y cuya proyección horizontal estaría sobre la linea de tierra, también infinitamente alejada. El resultado que se obtendria al unir ese punto impropio con el punto h' -h seria la propia recta frontal r'-r. o

2.11.4.

Intersección de dos planos cuyas trazas horizontales son paralelas

La recta de intersección de dos planos P'-P y Q'-Q cuyas trazas horizontales son paralelas es una recta horizontal r' -r que pasa por el punto v' -v de intersección de las trazas verticales P' y Q', Fig. 100.

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Figura 100

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57

Según se ha explicado en el caso general de intersección de planos, (apartado 2.11.1, Fig. 96), un punto de la recta de intersección es el de encuentro de las trazas verticales P' y Q', en este caso el punto v' -v, y otro punto de la recta de intersección es el de encuentro de las trazas horizontales P y Q , que por ser paralelas es un punto impropio. Por consiguiente hay que unir v' con el punto impropio de la línea de tierra, y v con el punto impropio de las trazas P y Q, o lo que es lo mismo dibujar por v' una paralela a la línea de tierra y dibujar por v una paralela a las trazas P y Q.

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De forma semejante se puede comprobar que la recta de intersección de dos planos cuyas trazas verticales son paralelas es una recta frontal que pasa por el punto de intersección de las trazas horizontales de ambos planos. 2.11.5.

Intersección de dos planos cuyas trazas se cortan fuera del dibujo

Se quiere hallar la recta de intersección de dos planos P' -P y Q ' -Q cuya trazas verticales se cortan fuera de los límites del papel del dibujo, Fig. 101.

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Figura 101 Utilizando como primer plano auxiliar el plano horizontal de proyección se obtiene el punto h' -h, donde se cortan las trazas horizontales P y Q, como un punto de la recta de intersección de ambos planos, tal como se ha descrito en el caso general. Si se utiliza como segundo plano auxiliar un plano horizontal cualquiera H'" este plano corta al plano P'-P según una recta horizontal S' 2-S" (según se ha explicado en el apartado 2.11.2, Fig. 98). Las rectas s"-s, y 5'2-S2 se cortan en el punto m'-m.

58

Los puntos h'-h y m'-m son dos puntos de la recta de intersección de los planos P'-P y Q' -Q, uniendo h' con m' se tiene la proyección vertical r' de la recta de intersección y uniendo h con m se tiene la proyección horizontal r. Si las trazas que se cortan fuera de los límites del papel del dibujo son las horizontales, Fig. 102, la recta de intersección se obtendría de forma semejante utilizando como planos auxiliares el plano vertical de proyección, que proporciona un punto v-v, y un plano frontal cualquiera F.

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Figura 102

La recta de intersección del plano F con el plano P' -P es la frontal s'.-s¡ y con el plano Q'-Q es la frontal S'2-S2' Ambas rectas se cortan en el punto n'-n.

Uniendo v con n' y v con n se tienen las proyecciones, vertical r' y horizontal r, de la recta de intersección de los planos P'-P y Q'-Q. 2.11.6.

Intersección de un plano definido por sus trazas con un plano línea de. tierra-punto

Se quiere hallar la recta de intersección del piano P'-P con el plano línea de tierra-punto M, Fig. 103.

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Figura 103

3 El punto a'-a que está situado en la intersección de las trazas P'-P del plano con la línea de tierra, por pertenecer a la vez a ambos planos, es un punto de la recta de intersección. Solo queda por determinar otro punto para que uniéndolo con a'-a se obtengan las proyecciones de la recta.

)

Para hallar ese segundo punto se utiliza un plano auxiliar horizontal H' 1 que pase por el punto m'-m. El plano H'¡ corta al plano P'-P según una recta horizontal S'1-S1' cuya proyección vertical s' 1 es paralela a la línea de tierra y coincide con H'¡, y cuya proyección horizontal S1 pasa por V1 Yes paralela a la traza P. El plano H' 1 corta al plano línea de tierra-punto m'-m, según una recta S'2- S2' paralela a la línea de tierra, cuya proyección vertical s'2 pasa por m' y coincide con H'¡ y s'¡, y cuya proyección horizontal S2 pasa por m. Las rectas S'¡-S1 Y s' 2-S2 se cortan en proyección horizontal en b, cuya proyección vertical en b'. Uniendo a' con b' se tiene la proyección vertical r' de la recta de intersección, y uniendo a con b se tiene la proyección horizontal r.

60 2.11.7. Intersección de un plano con el segundo bisector Se quiere hallar la recta de intersección de un plano definido por sus trazas P'-P con el segundo bisector representado por la línea de tierra y el punto n' -o, situado en el segundo cuadrante con igual cota que alejamiento, Fig. 104.

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Figura 104

El punto a' -a de corte de las trazas P' -P del plano con la línea de tierra pertenece al segundo bisector, por tanto es un punto de la recta de intersección de ambos planos. Solo hace falta hallar otro punto de esa recta, al igual que en el apartado anterior (Fig. 103). Se toma como plano auxiliar un plano horizontal H'¡ que pase por el punto n'-n. El plano H'¡ corta al plano P'-P según una recta horizontal s'¡-s" cuya proyección vertical s', coincide con H', y cuya proyección horizontal s, pasa por v, y es paralela a la traza P. El plano H', corta al segundo bisector según una recta s'2-S" paralela a la línea de tierra, cuyas dos proyecciones S'2 Y S2 coinciden con H', y con s',. Las rectas s',-s, y S'2-S2 se cortan en b'-b, que es. otro punto de la recta de intersección del plano P'-P con el segundo bisector. Uruendo b' con a' y b con a se tienen las proyecciones r' y r de la recta de intersección. Ambas proyecciones son coincidentes por ser una recta conteruda en el segundo bisector.

61 2.11.8.

Intersección de dos planos paralelos a la línea de tierra

La recta de intersección de dos planos, P' -P y Q' -Q, paralelos a la línea de tierra es una recta paralela a la línea de tierra, Fig. 105. Para dibujar las proyecciones de esa recta basta conocer un punto de ella y por sus proyecciones trazar paralelas a la línea de tierra.

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Figura 105

Figura 106

En la Fig. 106 se ha hallado ese punto, a' -a, utilizando como plano auxiliar un plano de perfil cualquiera T-T. el plano T-T corta al plano P'-P según una recta r'¡-r¡ de perfil, cuyas trazas son v'¡-v¡ y h¡-h'¡. El plano T -T corta al plano Q'-Q según una recta r'2-r2' de perfil, cuyas trazas son v'2-V2 y h2-h'2' Para hallar el punto de intersección de las rectas r'¡-r¡ Yr'2-r2 se abate el plano de perfil que las contiene sobre el plano vertical de proyección. Las rectas abatidas (R¡) y (R2) se cortan en (A).

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Desabatiendo se hallan las proyecciones a'-a de (A). Por a' se dibuja una paralela r' a la línea de tierra y por a otra paralela r. La recta r' -r, paralela a la línea de tierra, es la recta de intersección de los planos P'-P y Q'-Q. Como plano auxiliar para hallar el punto a' -a podría haberse utilizado un plano auxiliar cualquiera, la construcción hubiese sido mas laboriosa.

62 2.U. Interseccjón de recta v plano

El punto de intersección 1 de una Recta R con un plano P, Fig. 107, se determina haciendo pasar por la recta un plano auxiliar Q, que corta al plano P según una recta S, y hallando el punto de intersección de ambas rectas que es el punto I buscado, Fig. 108.

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Figura 107

Figura 108

De los diferentes planos que pueden pasar por la recta R se escoge uno cuya intersección con el plano P sea fácil de determinar. Habitualmente se escogen planos proyectantes cuyas intersecciones con el plano P son evidentes. En la Fig. 109 se ha baIlado el punto de intersección i'-i de la recta r'-r con el plano P'-P haciendo pasar por la recta el plano Q' -Q proyectante de la recta sobre el plano vertical de proyección, (la traza vertical Q' coincide con r' y la traza horizontal Q es perpendicular a la línea de tierra). Tal como se ba visto en el método general de intersección de planos, (apartado 2.11, Fig. 96), los puntos v'¡-v I Y h'¡-h l son de la recta de intersección de ambos planos. Los planos P' -P y Q' -Q se cortan según la recta s' -s cuya proyección vertical s' coincide con la traza Q' y cuya proyección horizontal se obtiene uniendo VI y h l • Las rectas r'-r y s' -s en proyección vertical son coincidentes, en proyección horizontal r y s se cortan en i cuya proyección vertical es i'. El punto i'-i es el punto de intersección de la recta r'-r con el plano P'-P.

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Figura 109

Figura 110

En la Fig. 109 se han diferenciado las partes vistas y ocultas de la recta r'-r considerando que el plano P'-P es opaco. La forma de distinguir partes vistas y ocultas se explica mas adelante en el apartado 2.12.3. )

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En la Fig. 110 se ha hallado el punto de intersección i'-i de la recta r'-r con el plano P'-P utilizando como plano auxiliar el plano T-T proyectante de la recta sobre el plano horizontal de proyección. Los planos P'-P y T-T se cortan según la recta s'-s cuya proyección vertical resulta de unir v'z y h'z y cuya proyección horizontal coincide con la traza T.

Las rectas r' -r y s' -s tienen sus proyecciones horizontales coincidentes. En proyección vertical se cortan en i' cuya proyección horizontal es i. El punto i' -i es el punto de intersección de la recta r'-r con el plano P'-P, y al igual que antes se han diferenciado las partes vistas y ocultas suponiendo que el plano P'-P es opaco. 2.U.1. Intersección de una recta vertical con un plano )

Para hallar el punto de intersección de una recta perpendicular al plano horizontal de proyección con un plano P'-P definido por sus trazas se puede utilizar como plano auxiliar un plano vertical Q'-Q que pase por la traza de la recta con el plano H y cuya traza horizontal Q sea paralela a la traza P, Fig. 111.

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Figura 111 Dada la recta vertical r'-r, cuya traza con el plano H es el punto m'-m, se dibuja un plano auxiliar Q'-Q de acuerdo con las condiciones anteriores, (Q pasando por m y paralela a P). El plano P' -P y el plano Q' -Q se cortan según una recta horizontal s' -s cuya traza vertical es el punto v' -v. Las rectas s' -s y r' -r en proyección vertical se cortan en i' cuya proyección horizontal i coincide con m. Tal como se aprecia en el esquema de la parte izquierda de la Fig. 111, la recta R es vista, para un observador infinitamente alejado de los planos de proyección, por encima del plano P. Desde el punto 1, en que la recta atraviesa al plano P, hasta el punto M, en que corta el plano H, la recta es oculta. Por consiguiente en la representación diédrica la proyección vertical r' es vista desde la parte superior del papel hasta i', entre i' y la línea de tierra es oculta y se dibuja de trazos. La proyección horizontal r está reducida a un solo punto. 2.U.2.

Intersección de una recta con un plano no definido por sus trazas

Si un plano viene definido por dos rectas X e Y, paralelas o que se cortan, Fig. 112, la intersección con una recta R se halla haciendo pasar por R un plano auxiliar Q, que cortará a la recta X en un punto M y a la recta Y en un punto N. Uniendo M con N se obtiene una recta S que cortará a la recta R en un punto 1, que es el punto de intersección buscado.

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Figura 112 )

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En la Fig. 113 se ha hallado la intersección de la recta r' -r con el plano definido por dos rectas x'-x e y'-y que se cortan en a'-a. Como plano auxiliar se ha utilizado el plano Q'-Q proyectante de la recta r' -r sobre el plano H.

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Figura 113 La traza horizontal Q del plano encuentra a la proyección horizontal x de una de las rectas en m, cuya proyección vertical m' está sobre x', y encuentra a la proyección horizontal y de la otra recta en TI, cuya proyección vertical n' está sobre y'.

66 Se unen las proyecciones de ambos puntos para obtener las proyecciones s' -s de la recta que definen. En proyección horizontal m y n que determinan la proyección horizontal s están situados sobre r y sobre Q. En proyección vertical uniendo m' con n' se obtiene s' que encuentra a r' en el punto i' cuya proyección horizontal es i. El punto i' -i es el de intersección de la recta r' -r con el plano definido por las dos rectas que se cortañ en a' -a.

2.12.3.

Partes vistas y ocultas en la intersección de recta y plano

Una vez hallado el punto de intersección de una recta con un plano falta por determinar que porción de la recta queda encima o debajo del plano, así como la parte que es vista u oculta para el observador en el supuesto de que el plano sea opaco. En los apartados siguientes se resuelven tres casos diferentes y se explica la forma de llegar a conocer las posiciones relativas de dos rectas que se cruzan en el espacio a partir de sus proyecciones verticales y horizontales.

2.12.3.1 Posiciones relativas de dos rectas que se cruZan Si se consideran dos rectas r' -r y s' -s que se cruzan, Fig. 115, Yen ella dos puntos, m'.-m, sobre r'-r Ym'2-m2 sobre s'-s, que tengan la misma proyección vertical, m', =m'2' el punto cuya distancia desde la proyección horizontal a la línea de tierra es mayor, está mas alejado del plano vertical de proyección y por consiguiente mas próximo al observador que se supone infinitamente alejado del plano V para las proyecciones sobre dicho plano. Ese punto es m',-m2.

67

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De igual manera, dos puntos, n'¡-n l sobre la recta r' -r y n' 2-n2 sobre la recta s' -s, cuyas proyecciones horizontales ni Y n2 sean coincidentes, aquel cuya distancia desde la proyección vertical a la línea de tierra sea mayor, está a mayor cota, mas distanciado del plano horizontal de proyección y por consiguiente mas próximo al observador que se supone infinitamente alejado del plano H para las proyecciones sobre dicho plano. Ese punto es n'2-n2' Se puede decir que el punto m'2-m2 está delante del punto m'¡-m l Y que el punto n'2-n2 está encima del punto n' ,-n,.

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Las dos rectas R y S en el espacio ocuparían una posición como la esquematizada en la Fig. 114, con el punto M2 delante del MI y con el punto N2 situado por encima del punto N,. Así pues, cuando se tengan dos rectas r' -r y s' -s, Fig. 117, Y se quiera deducir cual de las dos queda por delante de la otra, (mas próxima al observador), se tomará una recta auxiliar de punta t'-t que se proyecte verticalmente en el punto m' de encuentro de las proyecciones verticales r' y s' de ambas rectas y se comparan los alejamientos de las proyecciones horizontales de ese punto como si perteneciese a la recta r' -r, cuya proyección horizontal sería m" o como si perteneciese a la recta s' -s, cuya proyección horizontal sería m 2. Como el punto m'-m2 está mas alejado del plano V que el punto m'-m" la recta s'-s pasa por delante de la recta r'-r.

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Figura 116

Figura 117

Las rectas R y S en el espacio ocuparían una posición como la que se observa en la Fig. 116, en la que también se ha representado la recta auxiliar de punta T.

68 Si lo que se quiere conocer es cual de las dos rectas está situada por encima de la otra, (mas próxima al observador), Fig. 119, habrá que auxiliarse de una recta vertical q'-q que se proyecte horizontalmente en el punto n de encuentro de las proyecciones horizontales r y s de ambas rectas y comparar las cotas respectivas de ese punto como si estuviese situado en la recta r' -r, cuya proyección vertical sería n' " o como si estuviese situado en la recta s'-s, cuya proyección vertical sería n',. Como el punto n',-n tiene mayor cota que el punto n',-n, la recta s'-s pasa por encima de la recta r' -ro

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Figura 118

Figura 119

La disposición en el espacio de las rectas R y S es la misma que la de la Fig. 116. Está representada en la Fig. 118, en la que además se ha dibujado la recta auxiliar vertical (2.

2.12.3.2.

.

Intersección de una recta con un plano cuyas trazas se cortan formando un ángulo agudo

Sea r'-r la recta cuyo punto de intersección i'-i con el plano P'-P, Fig. 121, se ha hallado utilizando como plano auxiliar un plano vertical (2'-(2, de igual manera a como ha sido explicado en el apartado 2.12, Fig. 110. Para llegar a representar de trazo continuo las partes de las proyecciones que son vistas y de trazos aquellas que son ocultas, supuesto opaco el plano, se procede a comparar la posición de la recta r' -r con respecto a rectas del plano, siendo las más apropiadas las trazas P' y P.

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Para conocer que parte de la proyección vertical r' de la recta es vista se utiliza una recta auxiliar de punta t'-t que se proyecte verticalmente en m' y se comparan los alejamientos de los puntos m' -mI de la traza P' del plano, m¡ en la lfuea de tierra, y m'-m1 de la recta r'-r. Como m¡ está en la lfuea de tierra su alejamiento es delante del punto m'-m¡ del plano,

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y el punto m'-m2 de la recta está

En proyección vertical r' es de trazo continuo, (vista), en su parte izquierdo hasta el punto de intersección i', y de trazos, (oculta), desde i' hacia la derecha, ] )

En proyección horizontal se utiliza una recta auxiliar vertical q' -q que se proyecte horizontalmente en n y se comparan las cotas de los puntos n'¡-n de la traza P del plano, n'¡ en la línea de tierra, y n'l-n de la recta, Como n'¡ está en la lfuea de tierra su cota es encima del punto n'¡-n del plano,

°y el punto n'l-n de la recta está por

La proyección horizontal r es de trazo continuo, (vista), en su parte izquierda hasta el

punto de intersección i, y de trazos, ( oculta), a la derecha de i, Al mismo resultado se hubiese llegado observando el esquema de la Fig, 120,

70

Para un observador infinitamente alejado del plano V, la recta es vista desde la parte izquierda hasta el punto de intersección l. Desde el punto I hacia la parte derecha el plano, opaco e ilimitado, impide ver la recta. Por consiguiente en proyección vertical la porción a' -i' de r' se dibuja de trazo continuo y a partir de i' hacia la derecha r' se dibuja de trazos. Para un observador infinitamente elevado sobre el plano H la porción de la recta R vista es la misma que para el observador anterior, a la derecha del punto 1 el plano, opaco e ilimitado, impide ver la recta. En proyección horizontal la porción a-i de r se dibuja de trazo continuo y la porción a la derecha de i se dibuja de trazos. 2.12.3.3. Intersección de una recta con un plano de canto El punto de intersección i' -i de la recta r' -r con el plano de canto P' -P se ha hallado haciendo pasar por la recta un plano auxiliar vertical Q'-Q, Fig. 123.

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I Figura U3

Para distinguir las partes vistas y ocultas de la proyección vertical r' de la recta se considera una recta auxiliar de punta l' -t que se proyecte verticalmente en m', punto de encuentro de r' y P', coincidente con la proyección vertical i' del punto de intersección y se comparan los alejamientos de los puntos m'-m, del plano y m'-m, de la recta. El alejamiento del punto m'-m, es O, el punto m'-m, tiene mayor alejamiento. Por consiguiente la recta pasa por delante del plano, la proyección vertical r' de la recta es toda de trazo continuo, (vista), a ambos lados de i', en todo el primer cuadrante.

71 Para la proyección horizontal se considera una recta auxiliar vertical q' -q que se proyecte sobre el plano H en el punto n de encuentro de r y P. El punto n' ¡-ni del plano tiene cota O, el punto n'2-n de la recta tienen mayor cota, la recta pasa por encima del plano y la proyección horizontal r es de trazo continuo, (vista), hasta el punto de intersección i, desde i hacia la derecha r es de trazos u oculta. A la misma conclusión se llega observando el esquema de la Fig. 122. ) )

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Para un observador infinitamente alejado del plano V, el plano P'-P, opaco e ilimitado, por ser de canto divide al primer cuadrante en dos regiones que son ambas vistas para el observador (una por cada ojo). La recta R en el espacio es vista a un lado ya otro del plano de canto y la proyección vertical r' se dibuja toda de trazo continuo. Para un observador infinitamente elevado sobre el plano H la recta R es vista entre el punto A y el punto de intersección 1, desde 1 hacia la derecha el plano opaco oculta la recta. En proyección horizontal la porción a-i de r es de trazo continuo y desde i hacia la derecha se dibuja de trazos. 2.12.3.4.

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Interseccjón de una recta con un plano ClIyas trazas se cortan fumando un ángulo obtuso

Al igual que en los casos anteriores el punto de intersección i' -i de la recta r' -r con el plano P'-P, cuyas trazas se cortan formando un ángulo obtuso, se ha hallado haciendo pasar por la recta un plano auxiliar Q' -Q vertical, Fig. 125.

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72

Mediante una recta auxiliar de punta t'-t que pase por el punto m' de encuentro de r' y P' se obtiene que el punto m'-m2 de la recta está mas alejado del plano V que el punto m'-m, del plano, que está en el propio plano V. La recta en esa región está delante del plano P'-P y r' es de trazo continuo hasta el punto de intersección i', que queda a la izquierda de la traza P'. Desde i' hacia la izquierda r' es de trazos. Con ayuda de una recta vertical q' -q que se proyecte sobre el plano H en n se comprueba que el punto n'2-n de la recta está a mayor cota que el punto n"-n del plano que está en el plano H. En esa región la recta está por encima del plano, r es de trazo continuo hasta i y desde ese punto hacia la derecha r es de trazos. En el esquema de la Fig. 124 para un observador infinitamente alejado del plano V es vista la porción del primer cuadrante situada a la derecha de las trazas P' -P del plano, la parte izquierda está tapada por el plano opaco e ilimitado. la recta R es oculta desde A hasta el punto de intersección 1 y vista desde 1 hasta el punto de corte con el plano Vacan el plano H. en proyección vertical a'-i' se dibuja de trazos y desde i' hacia la derecha r' se dibuja de trazo continuo. Si el observador está infinitamente elevado sobre el plano H solo se ve la porción de la recta R situada por encima del plano P'-P, la otra porción está tapada por el plano opaco e ilimitado. La proyección horizontal r es de trazo continuo desde a hasta i y de trazos desde ese punto hacia la derecha. 2.13. Paralelismo En los apartados siguientes se comentan una serie de consideraciones relativas a rectas y planos paralelos y se resuelven varios casos de paralelismo entre recta y plano. 2.13.1. Rectas paralelas Si dos rectas R y S son paralelas, sus proyecciones r y s sobre un plano que no sea perpendicular a las rectas son paralelas, Fig. 126.

R A

Figura 126

Figura 127

73

El que las proyecciones de dos rectas sobre un plano sean paralelas no significa que las rectas en el espacio sean paralelas. En la Fig. 127 las proyecciones ab y cd de dos rectas AB y CD son paralelas, pero las rectas en el espacio no son paralelas. Si dos rectas R y S son paralelas sus proyecciones r' y s' sobre el plano V son paralelas y sus proyecciones r y s sobre el plano H son paralelas, Fig. 128

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Figura U8 " I

Figura U9

Aprovechando esa propiedad en la Fig. 129 se ha dibujado por un punto a' -a una recta q' -q paralela a la recta t' -t. Por a' se traza una paralela a t' y por a una paralela a t para obtener las proyecciones de la recta q' -q. Si las proyecciones de dos rectas sobre el plano V y sobre el plano H son paralelas, las rectas son paralelas excepto en el caso de que las rectas sean de perfil.

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Figura 130

Figura 131

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74 En la Fig. 130 las rectas de perfil R y S no son paralelas, sus proyecciones, Fig. 131, resultan paralelas. Para dibujar por un punto una recta paralela a otra recta de perfil habrá que abatir el punto y la recta sobre el plano vertical de proyección, trazar por el punto abatido una recta paralela a la recta abatida y posteriormente hallar sus proyecciones desabatiendo. Si las proyecciones de dos rectas sobre uno de los planos de proyección son paralelas y las proyecciones sobre el otro plano de proyección se confunden, las rectas son paralelas.

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o Figura 132 Las dos rectas R y S del esquema de la Fig. 132 son paralelas y están contenidas en un

plano vertical Q' -Q. Las proyecciones verticales r' y s' de ambas rectas son paralelas, las proyecciones horizontales r y s aparecen superpuestas sobre la traza horizontal Q del plano proyectante sobre el plano H. 2.13.2. Planos paralelos Dos planos paralelos tienen sus trazas con los planos de proyección paralelas. Los planos de la Fig. 133 son paralelos, sus trazas verticales P' y Q' son paralelas y sus trazas horizontales P y Q también lo son, Fig. 134. Si no se conocen las trazas de los planos, la direcciones de las horizontales y de las frontales de ambos planos serán las mismas. En la Fig. 134 r y t son paralelas, s' y q' también son paralelas.

75

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Figura 134

Figura 133

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Si dos planos tienen sus trazas paralelas son paralelos, excepto en el caso de que los planos sean paralelos a la linea de tierra.

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Figura 135

Figura 136

En la Fig. 135 se han representado dos planos P'-P y Q'-Q paralelos a la linea de tierra, tienen sus trazas paralelas y son paralelos. Los planos T-T y U-U de la Fig. 136 son paralelos a la linea de tierra, tienen sus trazas paralelas y no son paralelos entre si pues se cortan según la recta R paralela a la línea de tierra.

76

2.13.3. Recta paralela a un plano Para que una recta sea paralela a un plano basta que sea paralela a una recta cualquiera del plano. Por un punto A del espacio, Fig. 137, pasan infinitas rectas paralelas a un plano PI' cada una de las cuales es paralela a una recta del plano. Esas rectas determinan un plano P2 paralelo a PI' p'I

Pí

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bY Figura 137

Figura 138

En la Fig. 138 por a'-a se han trazado las rectas r'2-r2' S'2-S2 Y 1'2-t2, paralelas respectivamente a las rectas r'¡-r¡, S'¡-Sl Yt'l-tl del plano P'¡-P I. Estas rectas que pasan por a'-a definen el plano P'2-P2 paralelo al plano p,¡-p¡. 2.13.4. Plano paralelo a una recta Por un punto A del espacio pasan infinitos planos paralelos a una recta R. Esos planos se cortan según la recta S que pasa por A y es paralela aR, Fig. 139. p.

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Figura 139

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Figura 140

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77 Por el punto a'-a de la Fig. 140 se pueden hacer pasar infinitos planos paralelos a la recta r' -r. Las trazas verticales de todos esos planos pasan por v' y las trazas horizontales pasan por h, siendo v' -v y h' -h las trazas con los planos de proyección de la recta s' -s que pasa por a' -a y es paralela a r' -ro Si se quiere hacer pasar por una recta S, Fig. 141, un plano paralelo a una recta R, habrá que tomar un punto cualquiera A de S y por él dibujar una recta R 2 paralela a R,. R, Y R 2 definen un plano P paralelo a R,.

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Figura 141

Figura 142

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Dadas dos rectas r"-r, y s'-s, Fig 142, para hacer pasar por s'-s un plano paralelo a r"-r, se toma un punto cualquiera a' -a de s' -s, por a' se dibuja una paralela r'2 a r', y por a una paralela r2 a r" y se hallan las trazas de las dos rectas r'2-r2 Y s'-s. J

Por v' 2 Y por v', pasa la traza vertical P' y por h, y por h2 pasa la traza horizontal P del plano que contiene a la recta 5' -5 y es paralelo a r',-r,.

78

2.13.5. Plano paralelo a dos rectas

Dadas dos rectas no coplanarias, R 1 y S" Yun punto A, si se quiere hacer pasar por el punto un plano paralelo a las rectas bastará trazar por A dos rectas, R, paralela a R 1 y S, paralela a S¡- El plano que definen R, y S, es paralelo a las rectas R 1 y S1' Fig. 143.

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~ Figura 143

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Figura 144

En la Fig. 144, dadas dos rectas que se cruzan, r'¡-r1 Y s'¡-s" Y el punto a'-a, se ha dibujado por a'-a una recta r',-r, paralela a la primera y una recta s',-s, paralela a la segunda y se han hallado sus trazas verticales, v'1-V1 y v',-v" y horizontales h'¡"h1 y h',-h,. Uniendo v'¡ y v', se tiene la traza vertical P', y uniendo h, y h, se tiene la traza horizontal P, del plano que pasa por a'-a y es paralelo a las rectas r',-r, y s',-s,. 2.13.6. Plano paralelo a un plano

Dado un plano P 1 y un punto A, el plano que pasa por A y es paralelo a P, se obtiene dibujando por a una recta R, paralela a una recta cualquiera R1 del plano, hallando sus trazas y haciendo pasar por ellas paralelas a las trazas del plano P1. En el esquema de la Fig. 145 Yen la Fig. 146 se ha tomado como recta del plano P'¡-P1 una horizontal cualquiera r'1-r1' Por a'-a se ha dibujado una paralela r',-r, y se ha hallado su traza v',-v, con el plano V. Por v'z se ha dibujado una paralela P', a P'¡ y por el punto de encuentro de P', con la línea de tierra se ha dibujado una paralela P, a P1. El plano P',-Pz es paralelo a P'¡-P1 y pasa por a'-a.

79

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Figura 145

Figura 146

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Si se quiere hacer pasar por un punto a'-a un plano paralelo a otro paralelo a la línea de tierra Q',-Q,se puede utilizar un plano auxiliar de perfil T-T que pase por a'-a y abatir el punto y la recta de intersección de los dos planos sobre el plano vertical de proyección, Fig. 147.

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Figura 147

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Figura 148

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80 El plano T-T y el plano Q'¡-Q, se cortan según una línea de máxima pendiente del plano Q'¡-Q, que abatida es (R,). Por (A) se dibuja una paralela (R2) a (R,) y se hallan sus trazas v'2 y (h2), que desabatidas son v'2-V2 y h'2-h2' Las trazas del plano Q'2-Q2 paralelo a Q',-Q, pasan por v'2 y por h2 y son paralelas a la

línea de tierra.

Un procedimiento mas corto es dibujar por a'-a una recta r'2-r2 paralela a una recta cualquiera r'¡-r , del plano Q'¡-Q" Fig. 148, hallar sus trazas h'2-h2 y v'2-V2' y dibujar por v'2 y por h2 paralelas a la línea de tierra. 2.14. Perpendicularidad La resolución de cuestiones relativas a perpendicularidad en el Sistema Diédrico se basa en dos teoremas que se enuncian en el apartado siguiente, como paso previo a la resolución de varios casos prácticos que se explican mas adelante.

2.14.1. Teoremas de perpendicularidad Si una recta es perpendicular a un plano, es perpendicular a todas las rectas contenidas en el plano, Fig. 149.

R

R

,

'

>L'l Figura 149

Figura 150

p

Figura 151

Recíprocamente, para que una recta sea perpendicular a un plano basta que sea perpendicular dos rectas cualesquiera del plano que no sean paralelas. Si dos rectas R y S son perpendiculares en el espacio y una de ellas, por ejemplo S, Fig. 150, es paralela a un plano, las proyecciones ortogonales r y s de ambas rectas sobre dicho plano son también perpendiculares.

81 Recíprocamente, si las proyecciones ortogonales, r y s, de dos rectas R y S 'del espacio son perpendiculares y una de ellas, S, es paralela al plano de proyección, ambas rectas son perpendiculares en el espacio. Este teorema se conoce como teorema de las tres perpendiculares y se cumple también en el caso de que una de las rectas paralelas al plano, por ejemplo S, Fig. 151, está contenida en el plano de proyección. 2.14.2. Recta perpendicular a un plano

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j ) )

Si una recta R es perpendicular a un plano, Fig. 152, será perpendicular a todas las rectas contenidas en él, y particularmente a su traza horizontal P con el plano H. Además, por el teorema de las tres perpendiculares, si R es perpendicular a la recta P contenida en el plano H, su proyección ortogonal r sobre el plano H también será perpendicular a la traza horizontal P. Lo mismo sucederá con respecto a la traza vertical P' del plano y por consiguiente la proyección vertical r' de la recta R será perpendicular a la traza vertical P'.

Luego la condición para que una recta sea perpendicular a un plano es que las proyecciones de la recta sean perpendiculares a las trazas correspondientes del plano.

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Figura 152

Figura 153

Si se quiere trazar por un punto a'-a una recta perpendicular a un plano P'-P, Fig. 153, bastará dibujar por a' la proyección vertical r' perpendicular a P' y por a la proyección horizontal r perpendicular a P.

82 Por ser r' perpendicular a P' también será perpendicular a las proyecciones verticales de todas las rectas frontales del plano. Análogamente por ser r perpendicular a P también será perpendicular a las proyecciones horizontales de todas las rectas horizontales del plano. Si el plano es paralelo a la línea de tierra o pasa por ella (plano línea de tierra-punto), la perpendicülar trazada por un punto no queda definida por ser una recta de perfil. Es preciso abatir el plano de perfil que la contiene y desde el punto abatido dibujar una perpendicular a la recta de intersección del plano dado con el de perfil para así poder hallar sus proyecciones y las del punto de intersección con el plano.

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Figura 154 En la Fig. 154 para trazar la perpendicular desde a' -a al plano Q' -Q paralelo a la línea de tierra, que es una recta de perfil, se ha tomado el plano auxiliar de perfil T -T que ' pasa por a' -a y se ha abatido el punto y la recta de intersección de los planos Q' -Q y T T, (línea de máxima pendiente del plano Q'-Q), sobre el plano vertical de proyección. Desde (A) se ha dibujado una perpendicular a (R), a la que corta en (1). Desabatiendo se obtienen las proyecciones i' -i del punto de intersección de la perpendicular con el plano Q'-Q y se pueden diferenciar las partes vistas y ocultas de la recta a'-i', a-i, en el supuesto de que el plano Q' -Q sea opaco. 2.14.3. Plano perpendicular a una recta Dado un punto a'-a y una recta r'-r, Fig. 155, se quiere hacer pasar por el punto un plano perpendicular a la recta.

83 p' v'

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Figura 155

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Por a' -a se dibuja una horizontal s' -s del plano perpendicular a r' -r, cuyas trazas todavía no se conocen, pero se sabe que la proyección horizontal s es perpendicular a r y que la proyección vertical s' es paralela a la línea de tierra.

)

Se halla la traza v' -v de la recta s' -s con el plano V. La traza vertical P' del plano para por v' y es perpendicular a r', la traza horizontal P pasa por el punto de encuentro de P' con la línea de tierra y es perpendicular a r. El plano así dibujado pasa por a' -a y es perpendicular a r' -ro .'

2.14.4. Plano perpendicular a un plano por una recta

.

Dada una recta R y un plano P, Fig. 156, si se quiere hacer pasar por la recta un plano perpendicular a P basta tornar un punto cualquiera A de R y desde él dibujar una recta S perpendicular al plano P. Las dos rectas detenninan el plano Q perpendicular al plano

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Figura 156

Figura 157

84 En la Fig. 157 dada la recta r'-r y el plano P'-P se ha tomado un punto cualquiera a'-a sobre la recta. Por a' se ha dibujado una perpendicular s' a P', por a una perpendicular s a P y se han hallado las trazas de las rectas r' -r y s' -s. La traza vertical Q' del plano perpendicular a P'-P pasa por v', y v'2 Yla traza horizontal Q pasa por h, y h2 • 2.14.5.

Proyección cilíndrica ortogonal de una recta sobre un plano

Se quiere determinar la proyección cilíndrica ortogonal de la recta r' -r sobre el plano P'P, Fig. 158.

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Figura 158 Se halla el punto de intersección m'-m de la recta con el plano utilizando un plano auxiliar Q' -Q proyectante sobre el plano H. Por un punto cualquiera a' -a de la recta r' -r se traza una perpendicular s' -s al plano P'-P y se halla el punto de intersección n'-n mediante un plano auxiliar T-T proyectante sobre el plano H. Uniendo m' con n' y m con n se tienen las proyecciones vertical y horizontal de la proyección cilíndrica ortogonal de la recta r' -r sobre el plano P' -P. El segmento cuyas proyecciones son m'-n', en la sombra del segmento a'-m', a-m sobre el plano P'-P con luz normal al plano.

85

2.15. Distancias

Las figuras del espacio se proyectan sobre un plano según otras figuras que generalmente son de distinta magnitud que ellas, pero entre unas y otras existe cierta relación, dependiendo de su posición en el espacio. Un segmento cualquiera AB, Fig. 159, se proyecta sobre un plano según un segmento ab de menor longitud que él, pero si el segmento es paralelo al plano de proyección, Fig. 160, se proyecta según otro segmento cd de la misma longitud que CD.

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Figura 159

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Figura 160

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7

Distancia entre dos puntos es la línea recta que los une. En el caso de la Fig. 160 la distancia entre dos ·puntos C y D del espacio, o lo que es lo mismo, la verdadera magnitud del segmento CD, se determina directamente sobre el plano de proyección, midiendo la distancia que existe entre las proyecciones c y d de ambos puntos. En el caso de la Fig. 159, la distancia entre A y B, o la verdadera magnitud del segmento AB, no coincide con la distancia entre las proyecciones a y b.

Los segmentos rectilíneos que unen dos puntos cualesquiera A y B, Fig. 159, forman con su proyección ab y las dos rectas proyectantes de sus extremos Aa y Bb, un trapecio rectángulo ABba que es el que va permitir hallar la distancia que separa a los puntos A Y B, conociendo su proyección ab y las longitudes de sus proyectantes Aa y Bb. En los apartados siguientes se explican varias formas de determinar distancias entre puntos, rectas y planos, que al fin y al cabo se reducen a hallar la distancia entre dos puntos convenientemente elegidos.

86 2.15.1. Distancia entre dos puntos Si dos puntos están situados sobre una recta paralela al plano horizontal de proyección, la distancia entre ambos es la misma que existe entre sus proyecciones horizontales. Si los puntos están sobre una recta paralela al plano vertical de proyección, la distancia que los separa es igual a la distancia entre las proyecciones verticales, Fig. 161.

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Figura 161

Los puntos A y B están situadO'S sobre una recta horizontal, la verdadera magnitud de la distancia que existe entre A y B es igual a la distancia que separa las proyecciones horizontales a y b. Los puntos C y D están sobre una recta frontal, la distancia que existe ambos es igual a la distancia que hay entre las proyecciones verticales c' y d'. Si los dos puntos están situados sobre una recta que no es paralela a ninguno de los planos de proyección, existen varios procedimientos para hallar la distancia entre ambos. El primero de ellos se apoya en lo explicado en el apartado 2.15 relativo a la Fig. 159. Consiste en abatir, o construir, sobre uno de los planos de proyección el trapecio rectángulo que determinan el segmento en el espacio, su proyección sobre el plano y las proyectantes de sus extremos. En la Fig. 162 el trapecio rectángulo ABba en el espacio y el trapecio AIB¡ba en el plano H son iguales. El lado ab es la proyección de AB sobre el plano H, a A, = aA es la cota del punto A y bB, = bB es la cota del punto B. A,B,ba se obtiene abatiendo el plano proyectante del trapecio ABba sobre el plano horizontal alrededor de su recta de intersección ab con el plano H.

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Figura 162

Figura 163

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Análogamente, el trapecio rectángulo ABb'a' es igual al trapecio A2B2b'a'. El lado a'b' es la proyección de AB sobre el plano V, a'A2 =a'A es el alejamiento del punto A y b'B,=b'B es el alejamiento del punto B.

'.:

A,B2b'a' se obtiene abatiendo el plano proyectante del trapecio ABb'a' sobre el plano V alrededor de a'b'.

) )

Por consiguiente, si se tienen las proyecciones a'-a y b'-b de dos puntos A y B, Fig. 163, Yse quiere hallar la distancia entre ambos puntos, o la verdadera magnitud del segmento AB, se pueden trazar perpendiculares aA, y bB, a la proyección horizontal ab del segmento, de tal forma que aA, sea igual a la cota del punto A y bB, sea igual a la cota del punto B. La distancia entre A, y B, es la verdadera magnitud de la distancia entre los puntos A y B. Si se mide la diferencia de cotas m'b' entre ambos puntos y se lleva sobre la perpendicular trazada por b, se obtiene un punto b, que unido con a es igual a la verdadera magnitud de Ab, ab, = A,B,. Una construcción semejante puede hacerse sobre la proyecclOn vertical a'b' del segmento. Por a' se dibuja una perpendicular a a'b', de longitud el alejamiento del punto A, por b' se dibuja una perpendicular a a'b', de longitud el alejamiento del punto B. El segmento A 2B2 es la verdadera magnitud de la distancia entre A y B.

88

Otro procedimiento se basa en lo expuesto anteriormente relativo a la Fig. 161. Consiste en girar la recta AB alrededor de una recta proyectante hasta que se sitúe paralela al plano V o al plano H.

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Figura 164

Figura 165

En la Fig. 164 se ha girado la recta AB alrededor de la recta proyectante Aa hasta situarla en la posición A(B), paralela al plano V. La proyección horizontal b describe un arco de circunferencia de centro a y radio ab hasta situarse en (b). La proyección vertical b' se desplaza paralelamente a la línea de tierra hasta situarse en (b'). Los puntos (b) Y (b') son las proyecciones horizontal y vertical de (B). Las nuevas proyecciones de la recta girada son a' -(b') y a-(b). Como a-(b) es paralela a la línea de tierra, a' -(b') es la verdadera magnitud de la distancia entre A y B. En la Fig. 165, dadas las proyecciones a'-a y b'-b de dos puntos, de dibuja un arco de circunferencia de centro a y radio ab hasta cortar a .la paralela a la línea de tierra trazada por a en (b). Por b' se dibuja una paralela a la línea de tierra, que encuentra a la perpendicular a la línea de tierra trazada por (b) en (b'). El segmento a' -(b') es la verdadera magnitud de la distancia entre A y B. Dadas las proyecciones r' y r de una recta y un punto de ella a'-a, Fig. 166, se quiere hallar las proyecciones e' y e de un punto de la recta que está situado a una distancia d de a'-a.

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Figura 166

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Se elige un punto cualquiera b'-b de la recta, por b' se traza una perpendicular a r' y sobre ella se dibuja un punto (b') tal que (b')b =bn, siendo bn la diferencia de alejamientos entre las proyecciones horizontales a y b. Sobre a -(b') se lleva la distancia d obteniendo un punto (c'). Desde (c') se dibuja una perpendicular a r' obteniendo sobre ella un punto c' cuya proyección horizontal es c.

)

El punto c' -c de la recta r' -r está situado a una distancia d del punto a' -a.

. )

2.15.2. Distancia de un punto a un plano La distancia de un punto A a un plano P'-P, Fig. 167, se mide por la longitud del segmento Al que determinan el punto dado y el pie de la perpendicular 1 trazada desde el punto A al plano.

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Dado el punto a'-a y el plano P'-P, Fig. 168, para hallar la distancia entre ambos, se traza por a' -a una perpendicular al plano y se halla el punto de intersección i' -i. Obtenido dicho punto se halla la verdadera magnitud del segmento a'-i', a-i girándolo alrededor de un eje vertical que pase por a' -a, hasta situarlo paralelo al plano vertical de proyección.

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Figura 167

Figura 168

Con centro en a y radio ai se ha descrito un arco de circunferencia hasta cortar a la paralela a la línea de tierra trazada por a en (i), desde (i) se ha levantado una perpendicular a la línea de tierra hasta encontrar a la paralela a la línea de tierra trazada por j' en (i'). La magnitud del segmento a'(i') es la distancia real que existe entre el punto a'-a y el plano P'-P. 2.15.3 Distancia de un punto a una recta Para hallar la distancia de un punto A a una recta R, Fig. 169, se traza por el punto un plano P perpendicular a la recta y se halla el punto de intersección 1 de la recta con el plano. La verdadera magnitud del segmento Al, perpendicular a R, es la distancia buscada. . En la Fig. 170, para hallar la distancia desde el punto a' -a a la recta r' -r se dibuja por a' -a un plano P' -P perpendicular a r' -r mediante una horizontal s' -s, cuya traza vertical es V'I-VI; se halla el punto de intersección i'-i de la recta r'-r con el plano P'-P y se unen las proyecciones verticales y horizontales de ambos puntos, a'-i', a-i.

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Figura 171

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92 La distancia AB, del punto A a la recta horizontal R, es la hipotenusa de un triángulo rectángulo uno de cuyos catetos es Am', diferencia de cotas entre la recta R y el punto A, y el otro cateto es m'B =ab, proyección sobre el plano H del segmento AB.

En la Fig. 172, dados a'-a y r'-r, por la proyección horizontal a se dibuja una perpendicular a r, obteniendo un punto b cuya proyección vertical es b', sobre r'. Las proyecciones de la distancia son a'-b', a-b, cuya verdadera magnitud (A)b se obtiene dibujando por a una perpendicular a a-b y llevando sobre ella la diferencia de cotas a'm' entre el punto y la recta. Si la recta es frontal las construcciones son semejantes, referidas al plano vertical de proyección. 2.15.4. Distancia entre dos rectas paralelas La distancia entre dos rectas paralela R y S, Fig. 173, se obtiene trazando un plano perpendicular a las rectas, hallando los puntos de intersección del plano con cada una de las rectas y uniéndolos. El segmento AB, perpendicular a ambas rectas, es la distancia buscada.

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93 En la Fig. 174, dadas r'-r y s'-s, se ha dibujado un plano P'-P perpendicular a ellas, se ha hallado el punto de intersección a'-a del plano con la recta r'-r, y el punto de intersección b'-b del plano con la recta s'-s, se ha unido a' con b' y a con b, y se ha determinado la verdadera magnitud b'(a') del segmento a'-b', a-b por giro alrededor de un eje vertical que pase por b'-b hasta situar el segmento paralelo al plano V. 2.15.5. Distancia entre dos planos paralelos

La distancia entre dos planos paralelos, P,,-P, y P'2-P2, Fig. 175, se obtiene trazando una recta R perpendicular a ambos, hallando los puntos de intersección A y B con cada uno de ellos y midiendo la distancia entre esos puntos.

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Figura 176

Dados dos planos paralelos, P',-P, y P'2-P2, Fig. 176, se dibuja una recta perpendicular r'-r y se hallan los puntos de intersección, a'-a con el plano P',-P" y b'-b con el plano P'2-P2'

94

El segmento cuyas proyecciones son a'-b', a-b es la distancia entre ambos planos. Su verdadera magnitud b(A) se ha determinado en proyección horizontal a partir de la diferencia de cotas a'm' entre los puntos de intersección. Si los planos son paralelos a la línea de tierra, Fig. 177, la distancia se determina trazando un plano de perfil 0'-0 que corta a los planos dados, p'¡-p¡ YP'2-P2, según dos rectas paralelas, que son líneas de máxima pendiente de cada uno de ellos, y midiendo la distancia entre esas dos rectas .

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Figura 178

En la Fig. 178 se ha utilizado un plano auxiliar O' -O de perfil y se han abatido las dos líneas de máxima pendiente, r' ¡-r¡ Y r'2-r2' sobre el plano vertical de proyección. La distancia d se mide perpendicularmente a ambas rectas abatidas (R¡) y (R,).

95

2.15.6. Mínima distancia entre dos rectas

La mínima distancia entre dos rectas que se cruzan R y S, Fig. 179, está determinada por la longitud del segmento MN, perpendicular común a ambas rectas.

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Figura 179 j

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El procedimiento para hallar la mínima distancia entre las dos rectas sería el siguiente: )

1º.-

Por un punto cualquiera A de una de las rectas, por ejemplo S, se traza una paralela R, a la otra recta. Las dos rectas S y R, determinan un plano P.

2º.-

Por un punto cualquiera B de la recta R se traza una perpendicular al plano P y se halla el punto de intersección l.

3º.-

Por el punto l se traza una paralela R2 a la recta R y se halla el punto de intersección M con la recta S.

4Q .-

Por M se traza una paralela a Bl que corta a la recta R en un punto N.

J

)

El segmento MN es la perpendicular común entre arribas rectas R y S; si se halla su verdadera magnitud se obtiene la minima distancia entre las rectas dadas. -'

Para hallar la mínima distancia entre dos rectas r'-r y 5'-5, Fig. 180, se toma un punto cualquiera a'-a sobre la recta s'-s, por él se dibuja una paralela r',-r, a la recta r'-r y se hallan las trazas P'-P del plano que definen las rectas s'-s y r',-r,. La traza horizontal P pasa por h, y h2 , la traza vertical P' pasa por el punto de encuentro de la traza P con la línea de tierra y por v'¡.

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Figura 180

Desde un punto cualquiera b'-b de la recta r'-r se dibuja una perpendicular al plano P'-P y se halla el punto de intersección i' -i utilizando como plano auxiliar el plano Q'-Q proyectante sobre el plano horizontal de proyección. Por i'-i se dibuja una paralela r'2-r2 a la recta r'-r y se determina el punto de intersección m'-m con la recta s'-s. Por m'-m se dibuja una paralela a b'-i', b-i que se encuentra a r'-r en el punto n'-n. El segmento que tiene por proyecciones m'-n', m-n es la rrúnima distancia entre las rectas r'-r y s'-s. Su verdadera magnitud m(n) se ha deteffiÚnado en proyección horizontal situando el segmento paralelo al plano horizontal de proyección, (n')-m', (n)-m, mediante giro alrededor de un eje horizontal, perpendicular al plano V, que pase por m'-m.

97 Si una de las rectas, por ejemplo R, Fig. 181, es perpendicular a uno de los planos de proyección, la mínima distancia MN es paralela a dicho plano, se proyecta sobre el plano en verdadera magnitud, y esa proyección mn es perpendicular a la proyección s de la otra recta.

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Figura 181

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Figura 182

En la Fig. 182, la recta r' -r es perpendicular al plano horizontal de proyección. Por la proyección horizontal del punto de intersección de la recta r'-r con el plano H se dibuja una perpendicular a la proyección horizontal s de la otra recta, a la que encuentra en n, cuya proyección vertical n' está sobre s'. Por n' se dibuja una paralela la línea de tierra que encuentra a r' en m', cuya proyección horizontal m coincide con r .

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La mínima distancia entre r'-r y s'-s es m'-n', m-n, paralela al plano horizontal de proyección, y por consiguiente, su verdadera magnitud es mn.

2.16. Cambios de plano de proyección

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Un cambio de plano de proyección consiste en sustituir uno de los planos de proyección, el horizontal o el vertical, por otro plano elegido arbitrariamente, pero que también sea perpendicular al plano de proyección que no se cambia, obteniendo así un nuevo sistema de planos ortogonales sobre los que se proyectan las figuras u objetos del espacio que permanecen fijos. El objeto de los cambios de plano de proyección es situar las proyecciones de las figuras en una posición adecuad
98 La operación de cambio de planos puede repetirse tantas veces como se quiera aunque la mayoría de las ocasiones basta con efectuar dos cambios de plano alternados y escalonados, es decir cambiar el plano vertical de proyección y posteriormente el plano horizontal de proyección, o viceversa, nunca de forma simultánea.

Una vez resuelto el problema planteado y obtenida la solución buscada se hallan sus proyecciones con relación la línea de tierra original, o lo que es lo mismo, con respecto a los planos de proyección V y H. En los apartados siguientes se resuelven algunos casos relativos a puntos, rectas y planos cuando se hace un cambio de plano vertical y un cambio de plano horizontal de proyección. 2.16.1. Cambio de plano vertical de proyección Sea A un punto cuyas proyecciones sobre los planos V y H son a' y a, Fig. 183. Si se cambia el plano vertical de proyección V por otro plano vertical V" perpendicular al plano H, habrá una nueva línea de tierra, que para diferenciarla de la original se señala con dos pequeños trazos, y las nuevas proyecciones del punto A pasarán a ser a y a'l' La proyección horizontal a no cambia, la proyecci(m vertical a'¡ tiene la misma cota c que a' pero está situada sobre la perpendicular a la nueva línea de tierra trazada por a.

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Figura 183

Figura 184

99 En la Fig. 184 se conocen las proyecciones a' -a de un punto y la posición de la nueva línea de tierra, que se distingue con dos pequeños trazos situados en el lado contrario al que queda el nuevo semiplano vertical superior V" La proyección horizontal a es la misma, desde ella se levanta una perpendicular a la nueva línea de tierra y desde su punto de encuentro se lleva el valor de la cota c, obteniendo la proyección vertical a' l ' Con respecto a los planos V, y H las proyecciones del punto son a' ,-a.

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Figura 185

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Figura 186

En el esquema de la Fig. 185 se indica como son las nuevas proyecciones de un punto B después de efectuar un cambio de plano vertical de proyección, en el supuesto de que quede en el segundo cuadrante. El nuevo plano vertical de proyección V2 se abate sobre el plano H en sentido contrario a como se ha hecho con el plano V, en la Fig. 183.

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Las dos proyecciones b', Yb del punto B, Fig. 186, están situadas del mismo lado de la nueva línea de tierra y ambas por encima (los dos trazos quedan del lado contrario a la región correspondiente al semiplano vertical superior V2 ). El alejamiento del punto B, indicado por la distancia de la proyección horizontal b, que no se ha movido, a la nueva línea de tierra, pasa a ser negativo y la cota del punto B, indicada por b' " es positiva, con lo que el punto b',-b pertenece al segundo cuadrante. Para bailar las proyecciones de una recta después de efectuar un cambio de plano vertical de proyección basta determinar las nuevas proyecciones de dos puntos cualesquiera de ella y unirlos.

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Figura 187

En la Fig. 187 se han utilizado las trazas v' -v y h' -h de la recta r' -r para hallar sus nuevas proyecciones después de efectuar el cambio de plano vertical de proyección indicado por la nueva línea de tierra señalada con dos trazos. Por h se ha dibujado una perpendicular a la nueva línea de tierra y sobre ella se ha situado la nueva proyección vertical h', (cota O). Desde el punto de intersección de la perpendicular trazada por v a la línea de tierra se ha llevado la cota c de ese punto obteniendo la nueva proyección vertical v' 1" La proyección horizontal de la recta es la misma, r=r" su proyección vertical r', se obtiene uniendo v\ con h',. La traza de la recta r',-r, con el plano vertical V, es el punto v' 2-V2 y la recta tiene su porción entre trazas en el cuarto cuadrante.

Dadas las proyecciones r'-r de una recta, Fig. 188, si se quiere transformarla en una recta frontal se elige una nueva línea de tierra paralela a la proyección horizontal r y se hallan las nuevas proyecciones verticales de dos de sus puntos, por ejemplo su traza h'-h con el plano H y un punto cualquiera a'-a. Uniendo h\ con a', se obtiene la proyección vertical r" de la recta, cuya proyección horizontal r, =r es paralela a la nueva línea de tierra, y por tanto, la recta r,,-r, es paralela al nuevo plano vertical V,.

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Figura 188

Figura 189

Si la recta es horizontal, Fig. 189, será suficiente hallar la nueva proyección vertical de uno solo de sus puntos, pues después de efectuar un cambio de plano vertical de proyección, la recta seguirá siendo paralela al plano H.

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Hallando la nueva proyección vertical a', de uno cualquiera de sus puntos, a' -a, o prolongando la proyección horizontal r hasta cortar a la nueva línea de tierra en v" cuya proyección vertical es v' " Y trazando una paralela r" a la línea de tierra, se obtienen las nuevas proyecciones r',-r, de la recta después del cambio de plano vertical de proyección. Para hallar la nueva traza vertical de un plano después de efectuar un cambio de plano vertical de proyección pueden seguirse dos procedimientos.

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102

El primero consiste en tomar una horizontal r'-r del plano, Fig. 190, hallar su nueva proyección vertical r', y su traza v'¡-v, con el plano V,. La nueva traza vertical P" pasa por el punto de encuentro de la traza horizontal P con la nueva línea de tierra y por v' ,. Otro procedimiento más sencillo se deduce del esquema de la Fig. 191. Por el punto A de la recta de intersección de los planos V, y V pasan las trazas verticales P" y P' del plano. Ese punto está situado en la perpendicular al plano H trazada por el punto de intersección de las dos líneas de tierra.

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Figura 191

Figura 192

En la Fig. 192 se ha levantado una perpendicular a la línea de tierra primitiva por el punto a de intersección de las dos líneas de tierra, que encuentra a la traza P' en a'. El punto a' -a es un punto de la traza vertical P' del plano. Por a se ha dibujado un perpendicular a la nueva línea de tierra y sobre ella se ha llevado la cota del punto a'-a, obteniendo su nueva proyección a". La nueva traza vertical Po, pasa por a', y por el punto de intersección de la traza horizontal P con la nueva línea de tierra.

103 2.16.2. Cambio de plano horizontal de proyección

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Sea M un punto cuyas proyecciones sobre los planos V y H son m' y ID, Fig. 193. Si se cambia el plano horizontal de proyección H por otro plano H perpendicular al plano V, sus nuevas proyecciones serán, m', proyección vertical que"no cambia, y m" nueva proyección sobre el plano H con el mismo alejamiento a de la linea de tierra que ID, " linea de tierra trazada por m' . en la perpendicular a la nueva

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Figura 193

Figura 194

Figura 195

Dependiendo del sentido en que se abata un plano de proyección sobre el otro alrededor de la nueva línea de tierra, la proyección sobre el plano H, se situará a uno u otro lado de ella. En la Fig. 194 la proyecclOn m, queda por debajo,del mismo lado que el nuevo semiplano anterior, por lo que el punto m'-m, es un punto del primer cuadrante. En la Fig. 195 m' Y m, quedan por encima de la nueva linea de tierra, las nuevas proyecciones de M corresponden a un punto del segundo cuadrante.

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Para hallar las proyecciones de una recta después de efectuar un cambio de plano horizontal de proyección, basta determinar las nuevas proyecciones de dos cualesquiera de sus puntos y unirlos. En la Fig. 196, dadas las proyecciones r' -r y la nueva linea de tierra, se han hallado las nuevas proyecciones de las trazas h'-h y v'-v de la recta. Por h' se ha dibujado una perpendicular a la nueva linea de tierra y desde su punto de intersección con ella se ha llevado el alejamiento a, obteniendo la nueva proyección h , sobre el plano H" Desde v' se ha dibujado una perpendicular a la nueva línea de tierra y sobre ella se ha situado la nueva proyección v, (alejamiento O). Uniendo b, Yv, se obtiene r la proyección vertical es la misma, r" =r'. "

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Si la recta es frontal, Fig. 197, bastará hallar la proyección sobre el nuevo plano H, de uno solo de sus puntos, pues después de efectuar el cambio de plano horizontal de proyección, la recta sigue siendo paralela al plano V. Hallando la nueva proyección m, de un punto cualquiera m' -m de la recta, o prolongando la proyección vertical r' hasta cortar a la nueva linea de tierra en h' " cuya proyección sobre el nuevo plano es h" y trazando una paralela r, a la nueva linea de tierra, se obtienen las proyecciones r',-r, de la recta después del cambio de plano. Para hallar las nuevas trazas de un plano después de efectuar un cambio de plano horizontal de proyección se pueden utilizar dos procedimientos.

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Figura 198

105

El primero consiste en tomar una frontal r'-r del plano, Figura 198, hallar su nueva proyección r¡ sobre el plano H¡ y su traza h'¡-h¡ con dicho plano. La traza vertical P' del plano es la misma, la traza p¡ con el plano H¡ pasa por h¡ y por el punto de encuentro de la traza P' con la nueva línea de tierra. Un procedimiento mas sencillo se deduce del esquema de la Fig. 199. La taza p¡ del plano con el plano H¡ y la traza horizontal P pasan por un mismo punto B situado sobre la perpendicular al plano V trazada por el punto de encuentro de las dos líneas de tierra. , '.

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Figura 199

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Figura 200

Por el punto de encuentro de las dos líneas de tierra, Fig. 200, se traza una perpendicular a la línea de tierra primitiva hasta encontrar a la traza horizontal P en b y se dibuja una perpendicular a la nueva línea de tierra de magnitud b'b¡ =b'b. La nueva traza P ¡ del plano con el plano H¡ pasa por b¡ y por el punto de intersección de la traza vertical P' con la nueva línea de tierra. Como la nueva línea de tierra se ha elegido perpendicular a P', el plano p'-p¡ es perpendicular al plano H¡.

106 2.17. !ZiJ:u.s

Si se gira una figura alrededor de un eje, sus puntos, líneas y planos cambian de posición con respecto a los elementos inmóviles del espacio, particularmente con respecto a los planos de proyección, pero no se alteran las relaciones recíprocas entre puntos, líneas y planos de la figura girada. De esta forma se puede conseguir que determinados elementos de una figura ocupen posiciones particulares respecto a los planos de proyección y que sea mas fácil la resolución de ciertos problemas. Los giros se hacen tomando como ejes de rotación, rectas perpendiculares a los planos de proyección, que permanecen inmóviles. Cada punto de la figura que se gira describe una circunferencia situada en un plano perpendicular al eje de giro, cuyo centro está en el punto de intersección del eje con el plano de la circunferencia y cuyo radio es la distancia entre el punto y el eje. Si se gira un punto A un determinado ángulo a alrededor de un eje vertical R, Fig. 201, ese punto describe un arco de circunferencia de centro O, situado en la intersección del eje de giro con el plano H' que pasa por a y es paralelo a H, y radio la distancia entre los puntos O y A, hasta situarse en Al' La proyección horizontal a del punto A describe un arco de circunferencia de centro o, proyección horizontal de O, y radio oa=OA, hasta situarse en al' La proyección vertical a' se traslada paralelamente a la línea de tierra hasta situarse en a'¡, de tal forma que a'¡ Y al son las proyecciones del punto Al'

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107 En la Fig. 202 se ha girado el punto a'-a alrededor de un eje vertical r'-r hasta situarlo en la posición a' ,-a, en la cual el plano vertical que contiene al eje y al punto a' -a es paralelo al plano vertical de proyección. Con centro en o y radio oa se ha descrito un arco de circunferencia hasta cortar a la paralela a la línea de tierra trazada por o en a" Desde a, se ha trazado una perpendicular a la línea de tierra que encuentra a la paralela a la línea de tierra trazado por a' en a' l' Las nuevas proyecciones del punto después del giro son a' ,-a" Si el eje del giro es de punta, Fig. 203, un punto B describe un arco de circunferencia cuyo centro está situado en la intersección del eje con el plano frontal F que pasa por B, y cuyo radio es la distancia entre el eje y el punto, hasta situarse en B,. La proyección vertical b' del punto B describe un arco de circunferencia de centro o' y radio o'b' =OB, hasta situarse en b". La proyección horizontal b se traslada

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Figura 203

Figura 204

En la Fig. 204 se ha girado el punto b'-b alrededor de un eje de punta s'-s hasta situarlo en la posición b',-b, en la cual el plano de canto que definen el punto b'-b y el eje es paralelo al plano horizontal de proyección, Para obtener las proyecciones de una recta después de haberla girado un ángulo determinado alrededor de un eje vertical o de punta bastará girar dos puntos de ella y unirlos, pero si la recta corta al eje será suficiente girar un solo punto,

108 Se quiere girar la recta R de la Fig. 205 hasta situarla paralela al plano V, alrededor de un eje de giro vertical S que corta a la recta R en el punto A Se elige como punto de la recta a girar su traza h'-h con el plano H .

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Figura 206

La proyección horizontal h describe un arco de circunferencia de centro en la intersección del eje con el plano H y radio la distancia ah, hasta situarse en h, sobre la paralela a la línea de tierra trazada por a. La proyección vertical h" de h, está en la línea de tierra.

La recta girada R, pasa por h, y por A, su proyección vertical r', pasa por h" y por a', su proyección horizontal r pasa por h, y por a, y es paralela a la línea de tierra.

En la Fig. 206, dadas las proyecciones r'-r de una recta que se quiere situar paralela al plano vertical de proyección, se ha elegido un eje de giro vertical s' -s que pasa por el punto a' -a de la recta. Con centro en a y radio ah se ha descrito un arco hasta cortar a la paralela a la línea de tierra trazada por a en h" cuya proyección vertical h', está en la línea de tierra. . Uniendo h" con a' y h, con a se obtienen las proyecciones r"-r, de la recta girada, que corresponden a una recta frontal. Si la recta es horizontal y el eje de giro vertical, o si la recta es frontal y el eje de giro de punta, es suficiente girar un solo punto, el pie de la núnima distancia de la reta al eje de giro.

109 En la Fig. 207 se ha girado la recta horizontal r' -r alrededor del eje vertical s' -s hasta situarla paralela a la línea de tierra. Desde el punto de intersección del eje con el plano H se ha trazado una perpendicular am a la proyección horizontal r y se ha girado el punto nl'-m hasta situarlo en m'l-ml' La proyección horizontal r l de la recta girada pasa por mi Y es perpendicular a ami; la proyección vertical r'¡ pasa por m'¡ y es paralela a la línea de tierra, por lo que coincide con r', r'1 = r',

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Figura 207

Figura 208

En la Fig. 208 se ha girado la recta frontal r' -r alrededor del eje de punta s' -s hasta situarla vertical. Desde el punto de intersección del eje con el plano V se ha trazado una perpendicular a'n' a la proyección vertical r', se ha girado el punto n'-n hasta situarlo en n'¡-n l, La proyección vertical r'¡ de la recta girada pasa por n'¡ y es perpendicular a a'n'l' La proyección horizontal r l queda reducida a un solo punto r, coincidente con n,. )

Para hallar la nueva posición de un plano después de haberlo girado un cierto ángulo alrededor de un eje, se pueden utilizar tres puntos, una recta y un punto o dos rectas del plano y hallar sus nuevas posiciones. El método más sencillo y rápido consiste en girar la traza horizontal y una horizontal del plano cuando el eje es vertical, y la traza vertical y una frontal del plano cuando el eje es de punta. '

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Figura 209

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Figura 210

En la Fig. 209 se ha girado el plano P'-P alrededor del eje vertical s'-s hasta convertirlo en un plano de canto. Desde el punto de intersección del eje con el plano H se dibuja una perpendicular a la traza P, que corta a r en m y a P en n. Se giran los puntos m'-m de la horizontal y n'-n de la traza P hasta cortar a la paralela a la línea de tierra trazada por a en m, Y en n " cuyas proyecciones verticales respectivas son m" y n". La horizontal girada es la recta de punta r"-r,. La nueva traza horizontal P, pasa por n, y es perpendicular a la línea de tierra. La traza vertical P" pasa por m' 1 y por el punto de intersección de la traza P con la línea de tierra. El plano P',-P, es un plano de canto.

De forma semejante, en la Fig. 210 se ha convertido un plano P'-P en un plano vertical P"-P,, por giro alrededor de un eje de punta s'-s, girando la traza vertical P' y una frontal r' -r del plano.

111 2.18. Abatimientos

Abatir un plano P sobre otro plano Q es girar el plano P, alrededor de la recta de intersección de ambos planos, hasta hacerlos coincidir. La recta alrededor de la cual se efectúa el giro de nomina eje de abatimiento o charnela. Si el plano contiene una figura F, por ejemplo un triángulo, Fig. 211, al abatir el plano se conseguirá situar la figura en el plano Q, el triángulo (F).

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Figura 211 Cada punto A; de la figura F describe un arco de circunferencia, situado en un plano perpendicular al eje de abatimiento, cuyo centro M; está situado en la intersección de la perpendicular al eje trazada por A; con el eje, y cuyo radio es la distancia A;M; del punto al eje de abatimiento.

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El término abatimiento se refiere exclusivamente al plano que gira alrededor del eje. Expresiones como "abatir un punto" o "abatir una recta" son incorrectas; lo que se abate es un plano y con él, los puntos, rectas o figuras que contiene el plano. Como un plano viene definido bien por puntos, o bien por rectas, siendo el caso más común las trazas del plano, habrá que recurrir a esos dementos para abatir el plano.

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Cuando se quiera conocer la posición de un punto o de una recta en un abatimiento habrá que hacer pasar por el punto o recta un plano, generalmente un plano proyectante, abatir ese plano, y con él, el elemento o elementos que interese. Como plano sobre el que se realiza el abatimiento se toma uno de los planos de proyección, o un plano paralelo a uno de ellos, para que así se pueda trabajar sobre el dibujo abatido con todos los elementos del plano en verdadera magnitud.

112 Si se considera un punto A en un plano P, que corta al plano Q según una recta E, Fig. 212, Y se quiere abatir el plano P sobre el plano Q, ese punto A describe un arco de circunferencia, situado en un plano perpendicular al eje E, de centro M y radio MA, distancia del punto A al eje de giro, hasta situarse en (A).

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Figura 212

La verdadera magnitud del radio

AM no se conoce, pero esa distancia es la hipotenusa

de un triángulo AaM uno de cuyos catetos es Aa, distancia del punto A al plano Q, y el otro cateto es aM, distancia desde la proyección a al eje E. De lo anterior se deduce que para hallar (A) sobre el plano Q, conocida la proyección a del punto A sobre dicho plano, es necesario: 1º.2º.3º.-

Trazar por a una perpendicular y una paralela al eje de abatimiento E. Llevar la distancia Aa del punto A al plano Q sobre la paralela al eje de abatimiento, marcando un punto (Al)' Describir un arco de circunferencia, de centro en el punto M de intersección de la perpendicular al eje trázada por a con el eje E, y radio M(A,), hasta cortar a la perpendicular al eje trazada por a en un punto que es (A).

Si el abatimiento del plano P, Fig. 212, se hace en lugar de en el sentido de las agujas del reloj, en sentido contrario, al punto A pasaría a ocupar la posición (A2) en lugar de (A). Para ello solo hubiese hecho falta, siguiendo los mismos pasos indicados anteriormente, dibujar un arco de circunferencia (A, )(A2) en sentido contrario a (A,)(A). Obsérvese que el triángulo rectángulo a(A,)M en el plano Q es igual al triángulo aAM. Se obtiene por abatimiento del plano proyectante que contiene al triángulo a AM alrededor de la recta aM de intersección con el plano Q.

113 En la Fig. 213, al abatir el plano P'-P sobre el plano horizontal de proyección, alrededor de la traza P, hacia la parte inferior de la figura, el punto a' -a se sitúa en (A) sobre el plano H. Para ello hay que dibujar por la proyección a una perpendicular y una paralela a la traza P, sobre la paralela llevar la cota h del punto a'-a, marcando un punto (a'), describir un arco de circunferencia de centro en m, donde la perpendicular corta a la traza P, y radio mea'), hasta cortar a la perpendicular en (A). (Á)

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Figura 213

Figura 214

Si el abatimiento del plano P'-P se hace sobre el plano vertical de proyección, alrededor de la traza P', Fig. 214, hacia la parte superior de la figura, el punto a'-a se sitúa en (A') sobre el plano V.

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Para ello hay que dibujar por a' una perpendicular y una paralela a la traza P', sobre la paralela llevar el alejamiento d del punto a'-a, marcando un punto (a), dibujar un arco de circunferencia de centro en n', donde la perpendicular corta a la traza P', y radio n'(a), hasta cortar ala perpendicular en (A'). Cuando el plano P se abate sobre un plano paralelo a uno de los planos de proyección, el proceso es el mismo que se ha indicado anteriormente. En el esquema de la Fig. 215, al abatir el plano P sobre el plano horizontal H" alrededor de su recta de intersección R, en el sentido de las agujas del reloj, un punto A pasa a ocupar la posición (A,). Para ello es necesario conocer las distancias Aa, y a,M, y seguir el procedimiento descrito anteriormente.

114

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Figura 215

Figura 216

Al proyectar sobre el plano H, paralelo al plano H" los elementos que intervienen en el abatimiento, el eje de abatimiento R se proyecta en r, A y a, se proyectan en un solo punto a, (a'), en (a'), M en ID, y la proyección de (A), es el punto (A). Así pues, el triángulo (a')am es igual al triángulo (a'),a,M, la distancia MA=M(A), es igual a meA), que a su vez es igual a mea'), hipotenusa del triángulo (a')am.

Si se considera un plano dado por sus trazas P'-P, Fig. 216, y se abate sobre un plano H" paralelo al plano horizontal de proyección, cuya traza vertical es H", el eje de abatimiento es la recta r' -r de intersección de ambos planos. La proyección del eje de abatimiento sobre el plano horizontal de proyección es r, y si el abatimiento del plano se hace hacia la parte inferior de la figura, un punto a' -a pasará a ocupar en el espacio una posición (A)" situada a cota h, sobre el plano H, cuya . proyección horizontal será (A).

Para llegar a obtener CA) hay que trazar por a una paralela y una perpendicular a la proyección horizontal r del eje de abatimiento, al que corta en ID, llevar la diferencia de cotas hA-h" entre a'-a y r'-r, sobre la paralela a r, marcando un punto (a'), y dibujar un arco de circunferencia de centro m y radio m(a') hasta cortar a la perpendicular a r trazada por a en (A). Después de efectuado el abatimiento de un plano sobre el plano H alrededor de su traza horizontal, la posición de una recta del plano queda determinada cuando se conoce la ubicación en el plano abatido de dos de sus puntos.

115

En la Fig. 217, al abatir el plano P'-P, alrededor de la traza P, sobre el plano H, un punto A de la traza vertical P' describe un arco de circunferencia, situado en un plano perpendicular a la traza P, de centro M y radio la distancia MA, hasta situarse en (A). El punto B. de intersección de las trazas del plano con la línea de tierra, por pertenecer al eje de giro P, no cambia de posición al efectuar el abatimiento. Por consiguiente uniendo B con (A) se obtiene la traza vertical abatida (P') sobre el plano H.

La distancia AM desde el punto A al eje de abatimiento P es la hipotenusa de un triángulo rectángulo MaA, que es igual al triángulo Ma(a'), la distancia AM es igual a la distancia M(a'), por lo que dibujando un arco de circunferencia de centro M y radio M(a'), hasta cortar a la perpendicular a P trazada por a, se obtiene igualmente el punto (A).

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Figura 217

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Figura 218

Por consiguiente, en la Fig. 218, al abatir el plano P'-P sobre el plano H alrededor de la traza P, para hallar (P'), habrá que tornar un punto cUalquiera a' -a de la traza vertical P', por a dibujar una perpendicular y una paralela a la traza horizontal P, llevar la cota o distancia a'a sobre la paralela, marcando un punto (a'), describir un arco de circunferencia de centro m y radio mea') hasta cortar a la perpendicular en (A), y unir (A) con b. La recta (A)b es la traza vertical abatida (P') sobre el plano horizontal de proyección. En la Fig. 217, dado que el triángulo BMA, rectángulo en M, y el triángulo BM(A) son iguales, el punto (A) se puede obtener describiendo un arco de circunferencia de centro B y radio BA hasta cortar a la perpendicular aM al eje de abatimiento. Es por eso que en la Fig. 218, si se dibuja un arco de circunferencia de centro b' y radio b'a', se corta a la perpendicular am a la traza horizontal P en el mismo punto A que se ha obtenido por el procedimiento explicado anteriormente.

116

Si se quiere abatir un plano P'-P sobre el plano vertical de proyección alrededor de la traza vertical P', Fig. 219, basta seguir un proceso similar al utilizado en la Fig. 218 para abatir un plano sobre el plano horizontal de proyección. Se toma un punto cualquiera c'-c de la traza horizontal P, por e' se dibuja una perpendicular y una paralela a la traza P', sobre la paralela se lleva el alejamiento e' e, marcando un punto (e), con centro en n' y radio n'(c) se describe un arco de circunferencia hasta cortar a la perpendicular en (C), y se une con b' con (C) para obtener la traza horizontal abatida (P) sobre el plano V. Si se dibuja un arco de circunferencia de centro b y radio be hasta cortar a la perpendicular c'n' a P', se obtiene también el punto (C).

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Figura 219

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Figura 220

En la Fig. 220 Se han representado las posiciones en el abatimiento sobre el plano H, (R) y (S), de una recta r'-r, y de una horizontal s'-s del plano P'-P, que pasan por el punto m'-m, una vez que se ha obtenido (M) de la misma forma a como se ha hecho en la Fig. 213 con (A).

117

Como el punto h'-h está situado en la traza horizontal P, eje de abatimiento, su posición después de abatir el plano es h. Uniendo h con (M) se obtiene la recta abatida (R) sobre el plano horizontal de proyección. La horizontal s'-s pasa por a'-a y por m'-m, que abatidos son, respectivamente, (A) y (M). Uniendp ambos puntos se obtiene la horizontal abatida (S), que resulta ser paralela a la traza horizontal P.

2.19. Angulos

En los apartados siguientes se explica una serie de conceptos básicos relativos a ángulos de rectas y planos, y se resuelven algunos caos de uso frecuente. Por una parte se describe la forma de medir ángulos entre dos rectas, ángulos entre recta y plano y entre dos planos, que en definitiva se reducen a hallar el ángulo que forman dos rectas, y por otra parte se indica la forma de dibujar las proyecciones de rectas y de planos que guarden determinadas relaciones angulares. 2.19.1. Angulo de dos rectas

El ángulo de dos rectas R] y S] que se cruzan es igual ángulo que forman dos rectas R y S, paralelas a ellas, trazadas por un punto cualquiera del espacio. De los dos ángulos suplementarios que forman dichas rectas, uno agudo y otro obtuso, se suele escoger el ángulo agudo para expresar el valor de dicho ángulo. Sean dos rectas R y S que se cortan en un punto A, Fig. 221. Esas dos rectas determinan un plano P'-P, que abatido sobre el plano horizontal de proyección permite medir el ángulo en verdadera magnitud, o o B, que forman ambas rectas abatidas (R) y (S), que se cortan en (A). Así pues el problema se reduce a hallar en el abatimiento la posición (A) del punto A de intersección de ambas rectas, de forma semejante a como se ha explicado en el apartado 2.18, Fig. 213, a unir (A) con las trazas h, y h2 de las rectas R y S con el plano horizontal de proyección para obtener (R) y (S), y a medir el menor de los ángulos o, B, que forman las rectas en el abatimiento. - .'

Dadas las proyecciones r' -r y s' -s de dos rectas que se cortan en a' -a, Fig. 222, se determinan las trazas h' ]-h] y h' 2-h2 de cada una de las rectas con el plano horizontal de proyección y se dibuja la traza horizontal P del plano que contiene a ambas rectas.

118

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Figura 221

Por la proyección horizontal a se dibuja una paralela y una perpendicular a la traza P, sobre la paralela se lleva la cota del punto a'-a, marcando un punto (a'). Con centro en el punto ID de intersección de la perpendicular con la traza P y radio m(a'} se describe un arco de circunferencia hasta cortar a la perpendicular trazada por a en (A). Se une (A) con h" obteniendo la recta abatida (R), se une (A) con h2, obteniendo la recta abatida (S), y se mide el ángulo oc que forman ambas rectas abatidas (R) y (S). En el esquema de la Fig. 223, el abatimiento del plano que determinan las dos rectas R y S que se cortan en A, se hace sobre un plano H, paralelo al plano horizontal del proyección, alrededor de la recta horizontal T de intersección del plano P' -P con el plano H" obteniendo la posición (A,) del punto A, abatido sobre el plano H,. Al unir (A,) con los puntos B Y C de intersección de las rectas R y S con el plano H, se obtiene el ángulo oc que forman ambas rectas en verdadera magnitud. Si se proyecta el triángulo B(A,)C sobre el plano horizontal de proyección se obtiene el triángulo b(A)c, que es igual al anterior, y se puede medir el ángulo oc que forman las proyecciones b(A) y c(A) de las rectas abatidas B(A,) y C(A,}. Dadas las proyecciones r' -r y s' -s de dos rectas que se cortan en a' -a, Fig. 224, se hallan las proyecciones l' -t de la recta horizontal de intersección del plano que definen las dos rectas con un plano horizontal, cuya traza vertical H', está situada a una cota arbitraria sobre la línea de tierra.

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Figura 223

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La traza vertical H\ encuentra a r' en b', cuya proyección horizontal es b, y a s' en e', cuya proyección horizontal es c. La proyección horizontal t resulta de unir b con c. Por a se dibuja una paralela y una perpendicular a la proyección horizontal t del eje de abatimiento, sobre la paralela se lleva la diferencia de cotas a'm' entre el punto a'-a y el plano H'r, marcando un punto (a'). Haciendo centro en n, proyección horizontal del punto de encuentro de la perpendicular con el eje de abatimiento, se describe un arco de circunferencia de radio n(a') hasta cortar a la perpendicular trazada por a en (A). Uniendo (A) con b y con e, situados en la proyección horizontal t del eje de abatimiento, se obtiene el ángulo CI que forman las rectas r'-r y s'-s en verdadera magnitud. 2.19.1.2. Angula de las trazas de un plano Un caso particular de ángulo de dos rectas es aquel en que esas rectas son las trazas, vertical P' y horizontal P, de un plano con los planos de proyección. Para hallar dicho ángulo hay que abatir el plano P'-P sobre el plano H alrededor de la traza horizontal P, y medir el ángulo CI que forman P y (P'), fig. 225. Se toma un punto cualquiera a' -a de la traza vertical P', por a se dibuja una perpendicular a la traza P. Haciendo centro en el punto b'-b, de intersección de las trazas con la linea de tierra, se describe un arco de circunferencia de radio b'a' hasta cortar a la perpendicular trazada por a en (A). Uniendo b con (A) se obtiene la traza vertical abatida (P') sobre el plano H y se mide el ángulo entre P y (P').

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Figura 225 ) )

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Si las trazas P' y P del plano forman un ángulo obtuso, Fig. 226, el procedimiento para abatir el plano sobre el plano H alrededor de la traza P y poder medir el ángulo entre P y (P') es el mismo, pudiendo seguir también dos caminos para obtener (A), de la misma forma a como se ha explicado en el apartado 2.18, Fig.218.

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121 Se toma un punto cualquiera a'-a de la traza vertical P', por a se dibuja una paralela y una perpendicular a la traza horizontal P, a la que encuentra en In, proyección horizontal de un punto del semiplano horizontal posterior. Sobre la paralela se lleva la cota del punto a'-a, marcando un punto (a'), haciendo centro en m se describe un arco de circunferencia de radio m(a') hasta cortar a la perpendicular trazada por a en (A). Se une (A) con b' =b, en la línea de tierra, obteniendo la traza vertical abatida (P') sobre el plano H, y se mide el ángulo que forman (P') y P. Si con centro en b' y radio b'a' se describe un arco de circunferencia hasta cortar a la perpendicular a la traza P dibujada por a, se obtiene el mismo punto (A) por el que pasa (P'). 2.19.2. Angulo de recta y plano

El ángulo que forma una recta R con un plano P, Fig. 227, es el ángulo agudo o que forma la recta con su proyección ortogonal R¡ sobre dicho plano. )

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De esa definición se infiere que para medir dicho ángulo hay que hallar el punto de intersección M de la recta R con el plano P, el punto de intersección N de una recta S perpendicular al plano, trazada por un punto cualquiera A de la recta R, unir los dos puntos M y N para obtener la proyección ortogonal R¡ de R sobre el plano P, y finalmente, abatir el plano que determinan las rectas R y R¡, (triángulo AMN), para medir la verdadera magnitud del ángulo o. Todas esas operaciones han sido ya descritas en el apartado 2.14.5. Proyección cilíndrica ortogonal de una recta sobre un plano y 2.19.1. Angulo de dos rectas.

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/ Figura 227

Figura 228

122 De la observación de la Fig. 227 se deduce un procedimiento mas corto para hallar el ángulo de una recta con un plano. El ángulo ex que forma la recta R con su proyección ortogonal R, sobre el plano es complementario del ángulo B que forma la recta R con la recta S perpendicular al plano, trazada por un punto cualquiera A de R, por lo que basta medir el ángulo B en verdadera magnitud para obtener el valor del ángulo ex = 90°_ B. En la Fig. 228, para hallar el ángulo que forma la recta r'-r con el plano P'-P se traza por un punto cualquiera a' -a de la recta una perpendicular s' -s al plano, se hallan las proyecciones t' -t de la recta horizontal de intersección del plano que definen las rectas r'-r y s'-s con un plano horizontal cualquiera H '" (la proyección horizontal t pasa por b y por c), por a se dibuja una paralela y una perpendicular a t, sobre la paralela se lleva la diferencia de cotas d entre el punto a'-a y el plano H'" marcando un punto (a'). Con centro en e, donde la perpendicular encuentra al eje de abatimiento, se describe un arco de circunferencia de radio e(a') hasta cortar a la perpendicular trazada por a en (A). Uniendo (A) con b y con c se obtiene el ángulo B que forman las rectas r'-r y s'-s. El ángulo en verdadera magnitud que forma la recta r'-r con el piano P'-P es ex = 90°- B. 2.19.3. Angulo de una recta con los planos de proyección El ángulo que forma una recta con el plano horizontal de proyección es el ángulo ex que forma la recta con su proyección horizontal r, Fig. 229. La verdadera magnitud de ese ángulo puede determinarse abatiendo el plano vertical que contiene el triángulo v'vh sobre el plano horizontal de proyección alrededor de la proyección horizontal r de la recta, o abatiendo ese mismo plano sobre el plano vertical de proyección alrededor de su recta de intersección con el plano V.

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Figura 229

Figura 230

123 En la Fig. 230 se traza por v una perpendicular a r, se lleva sobre ella la cota del punto v'-v, se une el extremo (v') con h y se obtiene el ángulo oc que forma la recta r'-r con el plano horizontal de proyección. Si con centro en v y radio vh se describe un arco de circunferencia hasta cortar a la línea de tierra en (h) y se une (h) con v', se obtiene igualmente el ángulo oc que forma la recta r' -r con el plano horizontal de proyección. El ángulo que forma una recta R con el plano vertical de proyección es el ángulo B que forma la recta con su proyección vertical r', Fig. 231. . La verdadera magnitud de ese ángulo puede determinarse abatiendo el plano de canto que contiene al triángulo v'h'h sobre el plano vertical de proyección alrededor de la proyección vertical r' de la recta, o abatiendo ese mismo plano sobre el plano horizontal de proyección alrededor de su recta de intersección con el plano H. ,

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En la Fig. 232, trazando por h' una perpendicular a r', llevando sobre ella el alejamiento del punto h'-h y uniendo el extremo (h) con v' se obtiene el ángulo B que forma la recta r' -r con el plano vertical de proyección. Describiendo un arco de circunferencia de centro h' y radio h'v' hasta cortar a la línea de tierra en (v') y uniendo (v') con h se obtiene también el ángulo B que forma la recta r' -r con el plano vertical de proyección. En las Figs. 233 y 234 se resuelve el problema inverso, es decir, como trazar por un punto a' -a una recta s' -s que forme un ángulo oc con el plano H y un ángulo B con el plano V. La resolución se apoya en las dos construcciones anteriores.

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Figura 233

Figura 234

Sea una recta cualquiera R que fonna un ángulo oc con el plano H y un ángulo B con el plano Y, Fig, 233. El triángulo v'vh es rectángulo en v y el triángulo v'h'h es rectángulo en h', ambos tienen como hipotenusa común la porción entre trazas hv' de la recta R. Como se ha visto en la Fig. 229, girando el plano que contiene el triángulo v'vh alrededor de su traza vertical se consigue situar dicho triángulo abatido sobre el plano Y. Sobre él, tomando (h)v' como hipotenusa, se construye un triángulo rectángulo mediante el arco capaz de 900 del segmento (h)v', cuyo ángulo en v' sea B, obteniendo sobre el plano vertical de proyección dos triángulos rectángulos cuya hipotenusa común es (h)v', verdadera magnitud del segmento R. Procediendo en sentido inverso se puede resolver en el Sistema Diédrico el problema planteado, Fig. 234. Por un punto cualquiera (h) de la línea de tierra se dibuja un segmento (h)v' que fonne un ángulo oc en la línea de tierra, (v' es un punto arbitrario). Con ese segmento como diámetro se dibuja una semicircunferencia en la que se inscribe un triángulo v'(h')(h), rectángulo en (h'), cuyo ángulo en v' sea B. Con centro en v' y radio v'(h') se describe un arco de circunferencia hasta cortar a la línea de tierra en h', por donde se dibuja una perpendicular a la línea de tierra. Con centro en v, sobre la línea de tierra, y radio v(h') se dibuja otro arco de circunferencia hasta cortar a la perpendicular a la línea de tierra trazada por h' en h. Uniendo h' con v' y h con v se tienen las proyecciones r'-r de una recta que fonna un ángulo oc con el plano H y un ángulo B con el plano y, Por a' -a se traza una recta s' -s paralela a r' -r y se tiene resuelto el problema.

125 Para que el problema tenga solución es necesario que 00$0+B$90°. Una recta que sea paralela a la línea de tierra forma ángulos de 0° con cada uno de los planos de proyección, pues es paralela a ambos. En el extremo opuesto se encontraría una recta perpendicular a uno de los planos de proyección que formaría 90° con el plano al cual es perpendicular y 0° con el otro plano de proyección. 2.19.4. Angulo de dos planos Dos planos que se cortan forman cuatro ángulos diedros que en conjunto suman 360°. En la Fig. 235 se ha representado el ángulo diedro formado por dos caras P y Q, y una arista AB, cuyo ángulo o se quiere determinar. Si se cortan ambos planos por un plano S perpendicular a la recta AB de intersección de ambos planos, el ángulo o que forman las rectas EC y ED de intersección del plano S con cada uno de los planos P y Q, es el ángulo de los planos P y Q.

s '.

A

A

,~

s H

Figura 235

Figura 236

)

Corno generalmente los planos serán oblicuos respecto a los planos de proyección V y H, para hallar la verdadera magnitud del ángulo o entre las rectas EC y ED, Fig. 236, será preciso abatir el plano auxiliar S, que contiene a las rectas, sobre el plano horizontal de proyección alrededor de la traza horizontal CD de dicho plano. Uniendo (E) con C y con D se obtiene el valor del ángulo o. En la Fig. 237 los planos P'-P y Q'-Q se cortan según la recta R que pasa por los puntos A Y B de intersección de las trazas verticales y de las trazas horizontales de ambos planos.

127

En la Fig. 238, para hallar el ángulo que forman los plano P'-P y Q'-Q hay que dibujar la proyección horizontal r de la recta de intersección de ambos planos, trazar por a una perpendicular a r, sobre ella llevar la cota del punto a' -a de intersección de las trazas verticales P' y Q ', obteniendo (A). Uniendo (A) con b se obtiene la recta de intersección abatida (R) sobre el plano horizontal de proyección.

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~

Por un punto cualquiera f de la proyección horizontal r se traza una perpendicular a r, que encuentra a P en c y a Q en d, y una perpendicular a (R), obteniendo un punto e. Con centro en f y radio fe se describe un arco de circunferencia hasta cortar a r en (E). Se une (E) con c y con d y se mide el valor del ángulo a, que es la verdadera magnitud del ángulo que forman los planos P'-P y Q'-Q.

"

Por el procedimiento anterior se obtiene el ángulo en posición y magnitud que forman dos planos. )

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Otros procedimiento que permite determinar la magnitud del ángulo, pero no su posición, consiste en elegir un punto M del espacio y trazar rectas R y S perpendiculares a cada uno de los planos, Fig. 239. El ángulo B que forman las rectas R y S es el complementario del ángulo a que forman los dos planos. En la Fig. 240 se ha hallado el ángulo de los planos P'-P y Q'-Q aplicando este procedimiento. .

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Figura 239

/

Figura 240

128 Por un punto cualquiera m'·m del espacio se dibuja una perpendicular r'·r al plano p'.p y una perpendicular s'·s al plano Q '.Q. Mediante un plano auxiliar horizontal cualquiera, cuya traza vertical es H' " se hallan las proyecciones t'·t de la recta horizontal de intersección del plano que definen r'·r y s'·s con el plano H',. La recta t'·t se va a utilizar para abatir el plano de la misma forma que se ha hecho en el apartado 2.19.1. Fig. 224. Por m se dibuja una perpendicular y una paralela a la proyección horizontal t del eje de abatimiento, sobre la paralela se lleva la diferencia de cotas d entre el punto m'·m y el plano H'¡, marcando un punto (m'). Haciendo centro en el punto n de encuentro de la perpendicular trazada por m con el eje de abatimiento se describe un arco de circunferencia de radio n(m') hasta cortar a la perpendicular en (M). Uniendo (M) con b y con e, situados en la proyección horizontal t del eje de abatimiento, se obtiene el ángulo o en verdadera magnitud que forman las rectas r'·r y s'·s. El ángulo que forman los planos p'.p y Q'.Q es 0=180°.8. 2.19.5. Angulo de un plano con los planos de proyección Un plano forma con los planos de proyección V y H dos ángulos cuya suma está comprendida entre 90° y 180°. En la Fig. 241 se ha representado un plano horizontal H'¡ que forma 90° con el plano Vy 0° con el plano H, un plano frontal F que forma 0° con el plano V y 90° con el plano H, un plano de perfil 1".T que forma 90° con cada uno de los planos de proyección, y un plano Q '.Q paralelo a la línea de tierra, cuyos ángulos o y 8 con los planos H y V son tales que 0+8 = 90°.

V

T'

ri

,1

o

H~

H~

F

F H

Figura 241

129

La verdadera magnitud de los ángulos que forma un plano Q' -Q paralelo a la línea de tierra con los planos de proyección se obtiene cortando el plano por un plano de perfil, abatiendo ese plano sobre el plano vertical de proyección alrededor de la traza vertical y midiendo los ángulos que forma la linea de máxima pendiente del plano Q' -Q con la línea de tierra y con la traza vertical del plano de perfil. Un plano vertical P'-P, Fig. 242, forma 90° con el plano H y un ángulo B, menor de 90°, con el plano V.

La verdadera magnitud del ángulo que forma un plano vertical P'-P con el plano vertical de proyección se obtiene rriidiendo el ángulo que forma la traza horizontal P con la línea de tierra, Fig. 243.

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V

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e

p

e

H

Figura 242

Figura 243

Un plano de canto C'-C, Fig. 242, forma 90° con el plano V y un ángulo a , menor de 90°, con el plano H. La verdadera magnitud del ángulo que forma un plano de canto C'-C con el plano

horizontal de proyección se obtiene midiendo el ángulo que forma la traza vertical C' con la línea de tierra, Fig. 243. Si el plano es oblicuo, los ángulos a y B que forma con los planos H y V pueden obtenerse siguiendo el método general explicado en el apartado 2.19.4, Fig. 235. :\

Para hallar el ángulo que forma el plano P'-P con el plano H, Fig. 244, habrá que cortar por un plano perpendicular a la recta de intersección del plano con el plano H, la traza P. Ese plano es un plano vertical Q'-Q cuya recta de intersección con el plano H es S, coincidente con la traza horizontal Q, y cuya recta de intersección con el plano P'-P es R, línea de máxima pendiente del plano P'-P, cuya proyección horizontal r es perpendicular a P y coincide con S y con Q.

130

El ángulo ex que forman las rectas R y S es el ángulo de los planos p'-P y H: Ese ángulo es el que forma la línea de máxima pendiente R con su proyección horizontal r.

p'

H

p

Figura 244

Figura 245

Así pues, la verdadera magnitud del ángulo ex que forma un plano P'-P con el plano H, Fig. 245, se obtiene dibujando las proyecciones r'-r de una línea de máxima pendiente, abatiendo el plano proyectante que contiene a esa recta sobre el plano H, hallando la recta abatida (R) y midiendo el ángulo ex que forman r y (R), de la misma forma a como se ha explicado en el apartado 2.7.4, Fig. 73.

p'

(h)

r'

v r

p h

Figura 246

Figura 247

131 Análogamente, el ángulo que forma un plano P'-P con el plano V, Fig. 246, se obtendría cortando por un plano perpendicular a la traza P'. Ese plano es un plano de canto T-T cuya recta de intersección con el plano V es S, coincidente con la traza vertical T, y cuya recta de intersección con el plano P'-P es R, que es una línea de máxima inclinación del plano P'-P, cuya proyección vertical r' es perpendicular a P' y coincide con S y con T. El ángulo B que forman las rectas R y S es el ángulo de los planos P'-P y V. Ese ángulo es el que forma la línea de máxima inclinación R con su proyección vertical r' .

..,. ' Por consiguiente, la verdadera magnitud del ángulo B que forma el plano P'-P con el plano V, Fig. 247, se obtiene dibujando las proyecciones r'-r de una línea de máxima inclinación, abatiendo el plano proyectante que contiene a esa recta sobre el plano V, hallando la recta abatida (R) y midiendo el ángulo B que forman r' y (R), de la misma forma a como se ha explicado en el apartado 2.7.5, Fig. 76. j

:; )

Por un punto cualquiera A del espacio pasan infinitos planos que formen un determinando ángulo ()( con el plano horizontal de proyección. Todos esos planos son tangentes a un cono de revolución de eje vertical, con vértice en el punto A y base en el plano H, cuyas generatrices forman ese ángulo ()( con el plano H. En la Fig. 248 el plano P,,-P, pasa por el punto A y forma un ángulo ()( con el plano horizontal de proyección.

) :)

.J .J H

Figura 248

Figura 249

132

En la Fig. 249, dado un punto a'-a, para trazar un plano que pase por ese punto y forme un ángulo a con el plano horizontal de proyección, se dibujan las generatrices del contorno aparente del cono en proyección vertical, pasando por a' y formando un ángulo a con la línea de tierra. En proyección horizontal se dibuja una circunferencia de centro a y radio la distancia que determinan sobre la línea de tierra la proyección vertical del eje del cono y una generatriz del contorno aparente. Por la proyección horizontal m de un punto cualquiera m'-m de la circunferencia base del cono se dibuja una tangente a la circunferencia. Es la traza horizontal p. del plano tangente al cono. La traza vertical p'. se obtiene dibujando una horizontal r' .-r. del plano que pase por a'-a y hallando su trazo vertical v' .-v•. La traza vertical p'. pasa por v'. Y por el punto de encuentro de la traza p. con la línea de tierra.

En la Fig. 249 también se han dibujado dos planos P'2-P2 y P\-P3 que forman el mismo ángulo a con el plano horizontal de proyección y son tangentes a la circunferencia base del cono en los puntos n'-n y c'-c, respectivamente. Por un punto cualquiera A del espacio pasan infinitos planos que formen un determinado ángulo B con el plano vertical de proyección. Todos esos planos son tangentes a un cono de revolución de eje horizontal, con vértice en el punto A y base en el plano V, cuyas generatrices forman un ángulo B con el plano V, En la Fig. 250 el plano p'.-p. pasa por el punto A y forma un ángulo /3 con el plano vertical de proyección.

H

Figura 250

Figura 251

133

En la Fig. 251, dado un punto a'-a, para trazar un plano que pase por ese punto y forme un ángulo J3 con el plano vertical de proyección, se dibujan las generatrices del contorno aparente de un cono en proyección horizontal, pasando por a y formando un ángulo J3 con la línea de tierra. En proyección vertical se dibuja una circunferencia de centro a' y radio la distancia que determinan sobre la línea de tierra la proyección horizontal del eje del cono y una generatriz del contorno aparente. Por la proyección vertical m' de un punto cualquiera m'-m de la circunferencia base del cono se dibuja una tangente a la circunferencia. Es la traza vertical P'I del plano tangente al cono. La traza horizontal PI se obtiene dibujando una frontal r'l-rl del plano, que pase por a'-a, y hallando su traza horizontal h'¡-h l. La traza horizontal PI pasa por h l y por el punto de

encuentro de la traza P'¡ con la línea de tierra.

)

J

,

En la Fig. 251 también se ha dibujado un plano P'2-P2 que forma el mismo ángulo J3 con el plano vertical de proyección y es tangente a la circunferencia base del cono en otro punto n'-n.

f

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Dada una recta cualquiera R, si se quiere hacer pasar por ella planos que formen un determinado ángulo con uno de los planos de proyección, existen dos, una o ninguna soluciones, dependiendo del ángulo que forme esa recta con el plano de proyección.

)

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)

En la Fig. 252, dada la recta R que forma un determinado ángulo y con el plano H, si se quiere dibujar un plano que contenga a la recta y forme un ángulo ex, (ex
j

H -Ji

h

Figura 252

Figura 253

134

En la Fig. 253, dadas las proyecciones r' -r de una recta se elige un punto cualquiera a'-a de ella y se toma como vértice de un cono de revolución, de eje vertical s' -s, cuyas generatrices forman un ángulo ex con el plano horizontal de proyección. Se halla la traza h' -h de la recta con el plano H y desde h se dibujan los dos tangentes a la circunferencia base del cono. Son las trazas horizontales T y Q horizontales T y Q de los dos planos que cumplen esa condición. Las trazas verticales T y Q' de cada uno de los planos, pasaran por v' y por el punto de encuentro de su correspondiente traza horizontal con la línea de tierra Si ex es menor que el ángulo y que forma la recta con el plano H, la proyección h de la traza horizontal de la recta es interior a la circunferencia base del cono y es imposible trazar tangentes a la circunferencia desde un punto interior. Si ex = y, la proyección h está en la circunferencia y solo hay una solución posible, puesto que en ese caso la recta es una generatriz del cono, Fig. 254.

H

p

Figura 254

Figura 255

En la Fig. 255 la recta r'-r forma un ángulo y con el plano horizontal de proyección. Se elige un punto cualquiera de ella, a' -a, y se dibujan las proyecciones de un cono de eje vertical, vértice en a' -a y base en el plano H , cuyas generatrices forman un ángulo ex =y. La proyección h de la traza de la recta r'-r con el plano H está situada en la circunferencia. La traza P del plano pasa por h y es perpendicular a r, la traza vertical P' pasa por v' y por el punto de encuentro de la traza P con la línea de tierra.

135

Si se quieren dibujar planos que pasen por un punto y que formen a la vez un ángulo ex con el plano H y un ángulo B con el plano V, habrá que considerar dos conos de revolución con sus bases en cada uno de los planos de proyección, cuyas generatrices formen respectivamente un ángulo ex con H y un ángulo B con V, y trazar los planos tangentes a esos conos. Esos conos han de ser tales que tengan una esfera inscrita común. La construcción se hace tomando como centro de la esfera inscrita y como centro de las circunferencias bases de ambos conos, un punto cualquiera de la línea de tierra, y posteriormente se trazan planos paralelos a los obtenidos que pasen por el punto dado, existiendo cuatro soluciones posibles.

2.20. Figuras planas

Las cuestiones relativas a figuras planas pueden clasificarse en dos grupos diferentes. Por un lado se encuentran aquellas en que a partir de las proyecciones de una figura se desea conocer la representación o dimensiones de determinados elementos de ella, y por otro el caso inverso, o aquellas ocasiones en que se conocen las dimensiones y posiciones de algunos elementos fundamentes de una figura y se quieren obtener las proyecciones de la misma.

Ambos casos se resuelven abatiendo el plano que contiene a la figura y haciendo en el abatimiento las construcciones geométricas necesarias que conduzcan a la obtención de la solución buscada. "

En los apartados siguientes se resuelva el problema directo e inverso para el caso de un polígono sencillo, un triángulo, y se indica la forma de hallar las proyecciones de una circunferencia de centro y radios conocidos. 2.20.1. Elementos de un triángulo a partir de sus proyecciones

Sean a'-b', a-b, b'-c', b-c, c'-a', c-a, Fig. 256, las proyecciones de los lados de un triángulo. Para hallar la verdadera magnitud de los lados, los valores de los ángulos en los vértices, las bisectrices, el ortocentro, y cualquier otro elemento de ese triángulo habrá que abatir el plano que lo contiene tal como se ha hecho en la Fig. 257. En primer lugar se hallan las trazas horizontales h"-h,, h'2-h2 Yh'3-b3 de las rectas sobre las que se encuentran los lados del triángulo y se dibuja la traza horizontal P del plano que contiene a la figura. P pasa por h" por b2 Y por b 3.

136

,

v,

e'

(B)

Figura 256

Figura 257

A continuación se abate el triángulo sobre el plano horizontal de proyección alrededor de la traza P. Por a, by c se dibujan perpendiculares y paralelas a la traza P, sobre las paralelas se llevan las cotas de los vértices del triángulo marcando los puntos (a'), (b') y (c'). Haciendo centro en los puntos 1, m y n, donde las perpendiculares trazadas respectivamente por a, b y c cortan a la traza P se dibujan arcos de circunferencia de radios lea'), m(b') y n( c'), que cortan a las perpendiculares en (A), (B) y (e) respectivamente. Uniendo los puntos (A), (B) y (e) se obtiene el triángulo abatido (A)(B)(e) sobre el plano horizontal de proyección y se puede hallar lo que miden los lados, los valores de los ángulos o cualquier otra magnitud que interese. La forina de proceder con cualquier otro tipo de polígono es semejante a la descrita. Consiste en hallar la traza horizontal del plano que lo contiene, abatir el plano sobre el plano horizontal de proyección y hallar la posición en el abatimiento de cada uno de los lados y vértices que integran dicho polígono.

137

2.20.2. Relaciones de afinidad en una figura plana.

Entre las proyecciones de cualquier figura plana y la propia figura abatida sobre el plano horizontal de proyección existen las siguientes relaciones de afinidad: 1.-

La figura abatida sobre el plano horizontal de proyección y la proyección horizontal de esa figura son afines, de eje la traza horizontal P del plano que contiene la figura y dirección de afinidad perpendicular a P.

2.-

La proyección vertical y la proyección horizontal son afines, de eje la recta de intersección del plano que contiene a la figura con el segundo plano bisector y dirección de afinidad perpendicular a la linea de tierra.

Para demostrarlo habrá que comprobar que las rectas que unen puntos afines son paralelas a la dirección de afinidad y que las rectas afines se cortan en puntos del eje de afinidad. La comprobación se va a realizar con el triángulo del apartado anterior y para ello se utiliza la Fig. 258 obtenida a partir de la Fig. 257.

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-

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J

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h.

.J -'

Figura 258

P

138

Dadas las proyecciones a' -a, b' -b Y c' -c de los vértices del triángulo y obtenido el triángulo abatido (A)(B)(C) como se ha explicado en el apartado anterior, se ha hallado la traza vertical del plano abatida (P'). Por el procedimiento utilizado para hallar (A), (B) Y (C) resulta que a (A), b(B) Y c(C) son paralelas entre sí y perpendiculares a la traza horizontal P. Además las rectas ab y (A)(B), ac y (A)(C), bc y (B)(C) se cortan respectivamente en punto hu h2 Y h3 situados sobre la traza horizontal P. Por consiguiente se cumplen las condiciones que caracterizan a una afinidad: las rectas que unen puntos afines son paralelas y las rectas afines se cortan en puntos del eje de afinidad. En esa afinidad, la traza vertical abatida (P') y la linea de tierra, (como lugar geométrico de las proyecciones horizontales de puntos de la traza vertical P'), son afines. Se prolongan las proyecciones r' -r de una horizontal del plano hasta que se encuentren en un punto d'=d y se hallan las proyecciones l'-d', l-d de la recta de intersección del plano P'-P con el segundo bisector, resultando que: Las rectas a'a, b'b y c'c que unen las proyecciones verticales y horizontales de los vértices del triángulo son paralelas entre sí y perpendiculares a la linea de tierra. Además las rectas a'b' y ab, a'c' y ac se cortan respectivamente en puntos f=f, g'=g de la recta de intersección del plano P'-P con el segundo plano bisector, y por consiguiente es el eje de afinidad.

En esa afinidad, la traza vertical P' y la linea de tierra, (como lugar geométrico de proyecciones horizontales de puntos de P'), son afines, y la traza horizontal P y la linea de tierra, (como lugar geométrico de proyecciones verticales de puntos de la traza P), también son afines. 2.20.3. Proyecciones de un triángulo equIlátero

Supongamos que se quieren hallar las proyecciones de un triángulo equilátero ABe, situado en el primer cuadrante, del que se conocen las proyecciones horizontales a y b de dos de sus vértices y las trazas P' y P del plano en el qUe está situado, Fig. 259. El primer paso, Fig. 260, será hallar las trazas h' ,-h, Yv' ,-v, de la recta r' -r que contiene a esos dos vértices y situar sobre la proyección vertical r' las proyecciones a' y b'. A continuación se abate el plano P'-P sobre el plano horizontal de proyección. Para ello se toma un punto cualquiera v'2-V2 de la traza P', por V2 se dibuja una perpendicular a P, con centro en l' y radio IV2 se describe un arco de circunferencia hasta cortar a la perpendicular en (v'2)' Uniendo 1 con (v'2) se obtiene la traza vertical abatida (P').

139

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p'

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p

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Figura 259

Figura 260

Seguidamente se halla (R) y sobre ella se sitúan (A) y (B). La proyección horizontal r corta a la traza P en h, y a la línea de tierra en v" por v, se dibuja una perpendicular a P hasta cortar a (P') en (v' ,). La recta abatida (R) se obtiene uniendo h, con (v' ,). Por a y b se dibujan perpendiculares a P que cortan a (R) en (A) y en (B). El segmento (A)(B) es la verdadera magnitud del lado del triángulo equilátero, a partir de él se construye el triángulo equilátero (A)(B)(C).

140 Posteriormente, desabatiendo, se halla la proyección horizontal c de (C). La recta (B)(C) corta a la traza P,eje de afinidad entre la proyección horizontal de una figura plana y su abatida sobre el plano horizontal de proyección, en h3, su afín pasa por h3 y por b, y sobre ella está situada la proyección c. En la intersección de h3b con la perpendicular a P trazada por (C) se obtiene c.

La proyección vertical c' se obtiene mediante una horizontal 1'-t. Por c se dibuja t paralela a P, encuentra a la línea de tierra en v., cuya proyección vertical es v'. sobre P'. Por v'. se dibuja una paralela t' a la línea de tierra, sobre ella está c'. Se unen las proyecciones verticales y horizontales de los tres vértices y se obtienen las proyecciones a'-b'-c' y a-b-c del triángulo equilátero que cumple las condiciones de partida. Si en el abatimiento, en lugar del triángulo equilátero (A)(B)(C) se hubiese construido el triángulo (A)(B)(C,), simétrico del anterior con respecto a (R), el triángulo ABe;, en el espacio, no estaría situado en el primer cuadrante. Su disposición espacial seria como la esquematizada en la Fig. 261, donde se han omitido las proyecciones verticales, en la que e; está situado en el segundo cuadrante.

v

p'

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I

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H

Figura 261

En el abatimiento de la Fig. 260, (C,)(A) corta a (P') en (M), cuya proyección vertical sobre P' es m', (c;)(B) corta a (P') en (N), cuya proyección vertical sobre P' es n'. Las proyecciones verticales a' -m' y b' -n' se cortan en c'" cuya proyección horizontal c,

está por encima de la linea de tierra. El punto c' ,-C, es un punto del segundo cuadrante.

141 2.20.4. Proyecciones de una circunferencia

Sea una circunferencia de centro O y radio OA=R,situada en un plano P, que se quiere proyectar ortogonalmente sobre un plano Q , Fig. 262.

p

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..

Figura 262

Cualquier diámetro de la circunferencia se proyectará según un segmento cuya longitud, variable, dependerá de la inclinación que tenga ese diámetro con respecto al plano de proyección Q.

)

El diámetro AB, paralelo al plano Q y por tanto paralelo a la recta E de intersección del plano P con el plano Q, se proyectará en ab, de la misma longitud que AB. El diámetro CD, de inclinación máxima, perpendicular al anterior y a la recta E, se proyectará en cd, que será el segmento de menor longitud de todos los que se pueden obtener proyectando diámetros de la circunferencia. Ambas proyecciones ab y cd son también perpendiculares entre sí. La proyección ortogonal de la circunferencia sobre el plano Q será una elipse de centro

o, proyección del centro O de la circunferencia, cuyo eje mayor ab es la proyección del diámetro AB, paralelo al plano de proyección, y cuyo eje menor es cd, proyección del diámetro CD, perpendicular a la recta de intersección del plano de la circunferencia con el plano de proyección.

142

Según sea el ángulo que forman los planos P y Q, la longitud del eje menor de la elipse será diferente. Si el ángulo es de 90°, P Y Q son perpendiculares, la longitud del eje menor es O y la elipse proyección queda reducida a un segmento de magnitud igual al diámetro de la circunferencia. Si el ángulo es de 0°, P y Q son paralelos, los dos ejes de la elipse proyección son iguales, por lo que se transforma en una circunferencia. Si en lugar de los dos diámetros AB y CD anteriores, se eligen para proyectar otros dos diámetros cualesquiera, con la condición de que sean perpendiculares entre si, sus proyecciones sobre el plano Q son dos diámetros conjugados de la elipse proyección, que se podrá dibujar a partir de ellos. Si el plano que contiene a la circunferencia es vertical, Fig. 263, la elipse proyección sobre el plano horizontal queda reducida al segmento ab, proyección horizontal del diámetro AB paralelo a la traza horizontal P del plano y por tanto de magnitud 2R. El diámetro CD, perpendicular a AB, se proyecta en cd, de magnitud O, confundido con o.

"

p'

p

Figura 263

Figura 264

La elipse proyección sobre el plano vertical tiene por eje mayor c'd'=2R, proyección vertical del diámetro CD paralelo al plano V y por eje menor a'b', proyección vertical del diámetro AB, línea de máxima inclinación del plano P'-P. Así pues, conocidas las trazas P' -P del plano, las proyecciones o' -o del centro de la circunferencia y el valor R del radio, Fig. 264, bastará llevar a ambos lados de o, sobre la traza P, la magnitud R para obtener la proyección horizontal ab de la circunferencia, hallar la proyecciones verticales a' y b', de los extremos a y b, situados en una paralela a la línea de tierra trazada por o', para obtener el eje menor de la elipse en proyección vertical y llevar a ambos lados de la perpendicular a la línea de tierra trazada por o' la magnitud R para tener los extremos c' y d' del eje mayor. Conocidos los ejes mayor y menor se dibuja la elipse proyección vertical de la circunferencia.

143 En el caso mas general, Fig. 265, se conocen las trazas P'-P del plano, las proyecciones o' -o del centro y la magnitud R del radio.

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Figura 265 ;

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Se abate el plano sobre el plano horizontal de proyección, se dibuja la circunferencia de centro (O) y radio R en el abatimiento. Se marcan los extremos (A) y (S) del diámetro paralelo a la traza P y los extremos (C) y (D) del diámetro perpendicular a la traza P. Desabatiendo se hallan la proyecciones a-b y c-d de los ejes mayor y menor, respectivamente de la elipse proyección horizontal. Si se hallan las correspondientes proyecciones verticales, a' y b' sobre la proyección vertical r' de la horizontal del plano que pasa por o' -o, y c' Y d' sobre la proyección vertical h'4-v'4 de la línea de máxima pendiente que pasa por 0'-0, los segmentos a'b' y c'd' son dos diámetros conjugados de la elipse proyección vertical de la circunferencia, a partir de los cuales se puede dibujar.

144 Los ejes mayor y menor, e'-f y g'-j', de la elipse proyección vertical pueden obtenerse abatiendo el plano sobre el plano vertical de proyección, dibujando la circunferencia abatida sobre el plano vertical de proyección y desabatiendo los extremos (E) y (F), (G) y (J) de los diámetros paralelo y perpendicular, respec;tivamente, a la traza vertical P'. Si se hallan las proyecciones horizontales de e' -f y g' -j' se obtiene e-f sobre la proyección horizontal s de la frontal del plano que pasa por o' -o, y g-j sobre la proyección horizontal v)-h) de la línea de máxima inclinación del plano que pasa por o' -o. Los segmentos ef y gj son dos diámetros conjugados. Otro procedimiento para hallar los ejes de la elipse proyección vertical de la circunferencia es el representado en la Fig. 266.

p'

(P')

Figura 266

Una vez abatido el plano sobre el plano horizontal de proyecclOn y dibujada la circunferencia abatida, se elige un diámetro (E)(F), paralelo a la traza vertical abatida (P') y otro diámetro (G)(J) perpendicular a (P').

145 La recta (E)(F), por ser paralela a (P'), es una frontal abatida cuyas proyecciones s'-s pasan por 0'-0. Sobre esas proyecciones se encuentran e'-e y f-f, pudiendo comprobar que e'f=2R. La recta (G)(J), por ser perpendicular a (P'), es una línea de máxima inclínación abatida cuyas proyecJ:iones v' rh' 3' v3-h3 pasan por o' -o. Sobre esas proyecciones se encuentran g'-g y j' -j, siendo g' y j' los extremos del eje menor de la elipse proyección vertical de la circunferencia. Otra construcción más corta es la de la Fig. 267. p'

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(J)

(O)

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)

p

Figura 267 Se lleva a ambos lados de o, sobre la proyección r de la horizontal del plano r' -r, la magnitud R del radio, obteniendo directamente los extremos a y b del eje mayor de la elipse proyección horizontal de la circunferencia. )

Se abate una línea de máxima pendiente del plano, en la figura 1'-t, a un lado y a otro del punto (V'¡), donde (T) encuentra a la proyección r de la horizontal del plano que pasa por 0'-0, se lleva la magnitud R. Por los extremos (C) y (D) se dibujan paralelas a la traza P que encuentran a la perpendicular a P trazada por o en c y d, respectivamente, extremos del eje menor de la elipse proyección horizontal. Se lleva a ambos lados de o', sobre la proyección vertical s' de la frontal del plano s'-s, la magnitud R, obteniendo los extremos e' y f del eje mayor de la elipse proyección vertical de la circunferencia.

146 Se abate una línea de máxima inclinación del plano, en la figura q' -q, a un lado y a otro del punto (M), donde (Q) encuentra a s', se lleva la magnitud R. Por los extremos (G) y (J) se dibujan paralelas a la traza P' que encuentran a q' en g' y j', respectivamente, extremos del eje menor de la elipse proyección vertical. 2.21. Poliedros Poliedro es todo cuerpo geométrico limitado por superficies planas poligonales, de tal forma que cada uno de sus lados pertenece a dos polígonos contiguos y dos polígonos cualesquiera con un lado común no estén situados en un mismo plano. Los polígonos que establecen la separación entre el sólido y el espacio se llaman caras del poliedro y forman lo que se denomina superficie poliédrica. Los lados de los polígonos son las aristas del poliedro y sus vértices son los vértices del poliedro. Las caras que concurren en un vértice forman un ángulo que se denomina ángulo poliedro. En los apartados siguientes se tratan diversos temas relativos a poliedros convexos, que son aquellos en que cada cara deja en un mismo semiespacio al resto de la figura. Se explica la forma de representarlos en el Sistema Diédrico, se describen algunos procedimientos para hallar secciones de primas y pirámides por planos, se comenta la forma de obtener el desarrollo y la transformada de la sección producida por un plano en superficies poliédricas y como se halla la intersección de prismas y pirámides con rectas. Para terminar se incluye un breve estudio de los poliedros regulares convexos, aquellos cuyas caras son polígonos regulares convexos e iguales entre si, en el cual se describe como se construyen sus secciones principales y la forma de hallar las proyecciones de los poliedros cuando ocupan ciertas posiciones particulares con relación a los planos de proyección. Todas estas materias se han agrupado en cuatro grandes apartados: representación de poliedros, prismas, pirámides y poliedros regulares convexos. 2.21.1. Representación Un poliedro se representa en el Sistema Diédrico por la proyecciones de sus aristas y vértices. Todas las proyectantes ortogonales sobre el plano H determinan un prisma cuya intersección con el plano H es la proyección horizontal del poliedro. De igual forma, todas las proyectantes ortogonales sobre el plano V determinan otro prisma cuya intersección con el plano V es la proyección vertical del poliedro.

147 Las proyecciones de las aristas que envuelven al resto de las proyecciones constituyen el contorno aparente. En la Fig. 268 se ha representado una pirámide ABCD cuyo contorno

aparente en proyección vertical es b'-d', d'-a', a'-c',c'-b', y en proyección horizontal es b-c, Coa, a-d, d-b.

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Figura 268

Figura 269

Las proyecciones horizontales de todos los vértices, aristas y caras de un poliedro se encuentran siempre en el interior de la proyección horizontal del contorno aparente y las proyecciones verticales en el interior de la proyección vertical de ese contorno.

..; ) )

El contorno aparente en cualquiera de las dos proyecciones es siempre visto y se dibuja de trazo continuo. No se puede pasar de un punto visto a uno oculto sin encontrar antes al contorno aparente .

De un vértice visto del interior del contorno aparente solo parten aristas vistas y de un vértice oculto solo parten aristas ocultas que se dibujan de trazos. Cuando las proyecciones de dos aristas se cruzan en el interior del contorno aparente, una es vista o de trazo continuo, y la otra es oculta o de trazos.

148 La Fig. 269 representa la proyección vertical y horizontal de la pirámide de la Fig. 268. Las proyecciones verticales b' -a' y c' -d' de las aristas BA y CD se cruzan en el interior del contorno aparente vertical. Para saber cuál está situada por delante de la otra y por consiguiente es vista o de trazo continuo, se utiliza el mismo procedimiento descrito en el apartado 2.12.3.1. Posiciones relativas de dos rectas que se cruzan, Figs. 114 a 119. Se considera una recta auxiliar de punta t'-t que se proyecte verticalmente en m', punto de encuentro de b'-a' y c'-d', y se comparan los alejamientos de las proyecciones horizontales de ese punto como si perteneciese a BA, cuya proyección horizontal seria m2, o como si perteneciese a CD, cuya proyección horizontal sería mI. Como el punto m'-m, está más alejado del plano V que el punto m'-m l , la arista BA pasa por delante de la arista CD, por consiguiente, en proyección vertical b' -a' se dibuja de trazo continuo y c'-d' se dibuja de trazos. Las proyecciones horizontales b-a y c-d de las aristas BA y CD se cruzan en el interior del contorno aparente horizontal. Para saber cuál está situada por encima de la otra y por consiguiente es vista o de trazo continuo, se utiliza una recta auxiliar vertical q' -q que se proyecte horizontalmente en n, punto de encuentro de b-a y c-d, y se comparan las cotas de las proyecciones verticales de ese punto como si estuviese situado en la arista BA, cuya proyección vertical sería n' l' o como si estuviese situado en la arista CD, cuya proyección vertical seria n',. Como el punto n',-n tiene mayor cota que el punto n'¡-n, la arista CD pasa por encima de la arista BA y en proyección horizontal c-d se dibuja d trazo continuo y b-a se dibuja de trazos. 2.21.2. Prisma Prisma es un poliedro limitado por una superficie prismática y dos planos secantes paralelos. La superficie prismática está constituida por un conjunto de planos limitados por sus rectas de intersección sucesivas, con la condición de que .tres de esos planos no se corten según una misma recta y que las rectas de intersección de esos planos, que se llaman aristas laterales, sean paralelas. Las caras laterales de un prisma son paralelogramos, de ahí que las proyecciones de los lados opuestos de esas caras sean paralelas. Las caras situadas en los planos secantes son polígonos iguales y se llaman bases. En la Fig. 270 se ha representado un prisma oblicuo, (las aristas laterales no son perpendiculares a las bases), de base un pentágono regular ABCD, situado en el plano H, y altura h.

149

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Figura 270

Las proyecciones de los lados opuestos de una cara cualquiera,por ejemplo la AEKF, resultan paralelas, En proyección horizontal a-e y f-k son paralelas entre si, y a-f y e-k también lo son, En proyección vertical a'-e' y f -k' son paralelas al igual que a'-f y e'-k'.

)

Las aristas laterales en proyección horizontal y en proyección vertical son paralelas, Las proyecciones horizontales de la base inferior ABCDE y de la base superior FGUK, situada en un plano horizontal H), son paralelas. Las proyecciones verticales también son paralelas, Así pues, conocida la proyección horizontal de la base inferior del prisma y la proyección vertical y horizontal de una cualquiera de las aristas laterales se pueden dibujar las proyecciones del prisma. .

En proyección horizontal el contorno aparente a-e-d-j-i-g-b-a es visto y se dibuja de trazo continuo, las aristas que se cruzan en el interior del contorno aparente, d-c con e-k, c-b con a-f y c-i con f-k, unas serán vistas y otras serán ocultas.

150 COIlSiderando el punto n de encuentro de las aristas d-c y e-k y comparando las cotas de los puntos n' 2 sobre e' -k' y n' ¡ sobre d' -c' en la línea de tierra, con cota O, resulta que e-k es vista y se dibuja de trazo continuo, y d-c es oculta y se dibuja de trazos. Por cOIlSiguiente el vértice c será oculto y las otras dos aristas que parten de él, c-b y c-i, también son ocultas. Como la arista e-k es vista, el vértice k es visto, las aristas k-f y k-j son vistas y se dibujan de trazo continuo. En proyección vertical el contorno aparente a' -f -g' -i' -c' -b' -a' se dibuja de trazo continuo por ser visto. Las aristas laterales situadas en el interior del contorno aparente, e'-k', b'-g' y d'-j', son paralelas, no se cruzan y no se puede aplicar la regla explicada en el apartado anterior. Observando el esquema en el espacio de la parte izquierda de la Fig. 270, resulta que las caras laterales AFGB y BGIJ ocultan las restantes caras laterales del prisma a un observador infinitamente alejado del plano vertical de proyección como lo corrobora el hecho de que a'-f y c'-i' son del contorno aparente en proyección vertical. la proyección vertical b' -g' de la arista BG, recta de intersección de esas dos caras laterales, es vista y las proyecciones verticales de las otras dos aristas laterales, e'-k' y d'-j', son ocultas y se dibujan de trazos. r'

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" Figura 271

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Figura 272

La Fig. 271 esquematiza un prisma recto, (aristas laterales perpendiculares a las bases), de base triangular ABC situada en un plano P' -P y altura h conocida.

151 En la Fig. 272, a partir de las trazas P' -P y de las proyecciones a' -a, b' -b Y c' -c de los vértices de la base inferior, situados sobre horizontales del plano, se han hallado las proyecciones del prisma siguiendo el procedimiento que se detalla a continuación. Por a'-a se traza una recta r'-r perpendicular al plano P'-P y sobre ella se toma un punto cualquiera d' ¡-dI. Por giro alrededor de un eje vertical que pase por a' -a se obtiene la recta abatida, (R)=(D¡)a', sobre un plano paralelo al plano V. A partir de a' se lleva la magnitud h de la altura del prisma sobre (R), marcando un punto (D) que desabatido proporciona las proyecciones d' -d del vértice D de la base superior del prisma. Por d' se traza una paralela a a'-b' que encuentra a la perpendicular a P' trazada por b' en e', cuya proyección horizontal es e. Por d' se traza una paralela a a'-c' que encuentra a la perpendicular a P' trazada por c' en f, cuya proyección horizontal es f.

)

,,

Obtenidas las proyecciones d' -d, e' -e y f -f de los tres vértices de la base superior del prisma se dibujan los contornos aparentes de trazo continuo, y aplicando la regla explicada en el apartado 2.21.1. se distinguen en ambas proyecciones las partes vistas y ocultas de las aristas y vértices que quedan en el interior de los contornos aparentes. 2.21.2.1. Secciones planas

.,

,

La intersección de un prisma con un plano es un polígono que se denomina sección plana. Si el plano es paralelo a las aristas laterales y corta a una de las bases, cortará también a la otra base según una recta paralela, y a la superficie lateral del prisma según dos rectas paralelas. La sección es un paralelogramo. Si el plano no es paralelo a las aristas laterales y corta a una de las bases, la sección es un polígono cuyo número de lados es distinto al de aristas laterales.

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Si el plano no es paralelo a las aristas laterales y no corta a las bases, la sección es un polígono cuyos vértices están situados sobre las aristas laterales, cuyos lados están sobre las caras laterales, y por consiguiente el número de vértices del polígono sección y el número de aristas es el mismo. La sección plana se obtiene hallando los puntos de intersección de cada una de las aristas del prisma, ya sean laterales o lados de las bases, con el plano y uniéndolos convenientemente de modo que cada par de puntos consecutivos pertenezcan a una misma cara del prisma, ya sea lateral o base. Las proyecciones de los lados del polígono sección se representan de trazo continuo o de trazos, en función de que la cara sobre la que están situados sea vista u oculta.

152

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Figura 273

Figura 274

La Fig. 273 esquematiza un prisma oblicuo de base triangular ABe, situada en el plano horizontal de proyección, cortado por un plano P' -P que no es paralelo a las aristas laterales y no corta a las bases. La sección que produce el plano P'-Pen el prisma es un triángulo cuyos vértices 1, 2 Y 3 están situados sobre las aristas laterales.

Dadas las proyecciones del prisma y las trazas del plano, Fig. 274, la intersección de cada una de las aristas laterales con el plano P' -P se obtiene utilizando planos auxiliares T ,-T" T 2-T2 , T 3-T3, proyectantes sobre el plano vertical de proyección. El plano T,-T" proyectante de la arista lateral a'-d', a-d, y el plano P'-P se cortan según la recta v',-b", v,-h,. Esa recta en proyección vertical coincide con a'-d', en proyección horizontal encuentra a a-d en 1, cuya proyección vertical es 1'. El punto 1'-1 es el vértice del polígono sección correspondiente a la arista lateral a'-d', a-d. El plano T 2-T2 , proyectante de la arista lateral c'-f, c-f, y el plano P'-P se cortan según la recta v'2-b'2' v2-h 2, que en proyección horizontal encuentra a c-f en 2, cuya proyección vertical es 2'. El punto 2'-2 es el vértice del polígono sección correspondiente a la arista lateral c' -f, c-f.

153

. ¡

La sección producida por el plano P'-P en el prisma es un triángulo cuya proyección vertical se obtiene uniendo l' con 2', 2' con 3' y 3' con 1', y cuya proyección horizontal . se obtiene uniendo 1 con 2, 2 con 3 y 3 con 1.

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..

El plano T 3-T" proyectante de la arista lateral b'-e', b-e, y el plano P'-P se cortan según la recta v' ,-h'" v,-h" que en proyección horizontal encuentra a b-e en 3, cuya proyección vertical es 3'. El punto 3'-3 es el vértice del polígono sección correspondiente a la arista lateral b' -e', b-e .

'

En proyección vertical los lados 1'-2' y 2'-3' del triángulo son vistos por estar situados en caras laterales vistas y el lado 3'-1' es ocuIto y se representa de trazos por estar situado en la cara b' e' d' a' que es ocuIta. En proyección horizontal los lados 1-2 y 1-3 del triángulo son vistos y el lado 2-3 es oculto por estar en la cara befe que es oculta.

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En la Fig. 275 se ha resulto el mismo problema efectuando un cambio de plano vertical de proyección. Se elige una nueva línea de tierra, señalada con dos trazos, con la condición de que sea perpendicular a la traza horizontal P del plano, y como nuevo semi plano vertical anterior V, se toma el que queda a la derecha de ella. La nueva traza vertical P" del plano pasa por el punto de intersección de la traza P con la nueva línea de tierra y por m'" nueva proyección vertical del punto m'-m de la traza vertical P'. La proyección horizontal del prisma no cambia por mantener el mismo plano H. Las nuevas proyecciones verticales de los vértices de la base inferior del prisma son a'" b", C'" sobre la nueva línea de tierra (cota O). Las proyecciones verticales d'" e", r de la base superior están situadas sobre las perpendiculares a la segunda línea de" tierra trazadas respectivamente por d, e y f, a cota h. Uniendo a" con d'" b" con e', Y c" con r 1 se tienen las nuevas proyecciones verticales del prisma. Como el plano P'¡-P es proyectante sobre el plano V" directamente en los puntos de encuentro de P', con a'¡-d'" b',-e" y C',-r, se obtienen las proyecciones 1',,3" Y 2', sobre el plano V, de los puntos de intersección.

)

Las proyecciones horizontales 1, 3, 2 se obtienen sobre las proyecciones horizontales de las aristas laterales respectivas, sin mas que trazar perpendiculares a la nueva línea de tierra. Las proyecciones verticales 1', 3', 2' de esos puntos se obtienen levantando perpendiculares a la línea de tierra primitiva, sobre las proyecciones verticales de las aristas correspondientes.

154

Figura 275 Uniendo las proyecciones de los vértices de la forma que se .ha hecho en la Fig. 274 se obtienen las proyecciones vertical y horizontal de la sección triangular que produce el plano P'-P en el prisma. Otro procedimiento para hallar secciones de prismas por planos es el que se ah utilizado en la Fig. 277 que se basa en la afinidad existente entre dos secciones planas de un prisma.

155

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Figura 276

Figura 277

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En el esquema de la Fig. 276, la base del prisma en el plano H, el paralelogramo ABCD, (sección producida en la superficie prismática por el plano H), y la sección que se busca, la producida por el plano P'-P, el paralelogramo 1234, son afines, de eje la recta de intersección del plano P'-P con el plano H, la traza P, y dirección de afinidad la de las aristas laterales del prisma, pues las rectas afines se cortan en puntos que están alineados y los puntos afines están situados sobre rectas paralelas.

-.

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j

Las rectas AB y 12, CD y 34, AD Y 14, BC y 23 son rectas afines pues se cortan respectivamente en puntos MI> M2, M3 Y M. que están situados sobre la traza horizontal P. Los puntos A y 1, B Y 2, C y 3, D Y 4 son pares de puntos afines pues están situados sobre rectas paralelas, las propias aristas laterales del prisma. Al pasar del esquema del espacio a las proyecciones, Fig. 277, la afinidad queda establecida entre la proyección horizontal de la base del prisma, el paralelogramo abcd, y la proyección horizontal de la sección que produce el plano P'-P, que es la que se quiere hallar.

156

El eje de afinidad es la traza horizontal P, la dirección de afinidad es la de la proyección horizontal de las aristas laterales del prisma, y se necesita conocer un par de puntos afines, para lo cual es preciso hallar en primer lugar un punto de la sección. Ese punto, que va a ser el 2'-2, se obtiene hallando la intersección de la arista lateral b'-f, b-f con el plano P'-P, utilizando como plano auxiliar el proyectante T-T sobre el plano V. Conocida la proyección horizontal 2 sobre la proyección b-f de la arista lateral, se prolonga el lado ab de la base hasta cortar a P en m,. Se une m, con 2, encontrando a la arista lateral a-e en 1, proyección horizontal del punto de intersección del plano P'-P con la arista AE. Se repite el proceso prolongando el lado de la base bc hasta cortar a P en m." se une m. con 2, en su intersección con la arista lateral c-g se encuentra 3. Se prolonga ad hasta cortar a P en m3, se une m3 con 1, en su intersección con d-j se encuentra 4. Se puede comprobar que cd y 34 se cortan en m2 • Las proyecciones horizontales 1, 2, 3, 4 Ysus correspondientes proyecciones verticales 1', 2', 3', 4', sobre las proyecciones verticales de las aristas laterales respectivas, son los vértices del paralelogramo sección. Uniéndolas de forma ordenada y diferenciando partes vistas y ocultas se tienen las proyecciones de la sección que produce en el prisma el plano P'-P. 2.21.2.2. Intersección de recta v prisma El procedimiento general para obtener la intersección de una recta con un prisma consiste en hacer pasar por la recta un plano, determinar la sección que produce el plano en el prisma y hallar los puntos donde la recta encuentra al perímetro de esa sección, que son los puntos de intersección buscados. Los puntos de intersección podrán ser dos, en el caso de que haya un punto de entrada y otro de salida, uno, si la recta encuentra al poliedro solo en una arista lateral, o ninguno, si la recta y el prisma no tienen ningún punto común. En cada caso se elige corno plano auxiliar que pase por la recta, uno cuya sección con el prisma sea fácil de hallar. Obtenidos los puntos de intersección se diferencian las correspondientes partes vista y ocultas de la recta de forma semejante a como se ha descrito en el apartado 2.12.3. Partes vistas y ocultas en la intersección de recta y plano.

157 -

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Figura 278

Figura 279

En la Fig. 278 se ha esquematizado un prisma oblicuo de base inferior un cuadrado ABCD, situado en el plano H, y una recta R cuya intersección con el prisma se quiere determinar. Como plano auxiliar que contenga a la recta se elige el plano P, paralelo a las aristas laterales del prisma, que queda definido por la propia recta R y por una recta S, paralela a las aristas laterales del prisma, trazada por un punto cualquiera de la recta R. Los puntos HI y H 2 de intersección de las rectas R y S con el plano H proporcionan la traza horizontal del plano P, que encuentra a la base inferior del prisma en los puntos 1 y 2, de donde arrancan las rectas 1-3 y 2-4 que forman la sección y son paralelas a las aristas laterales.

J

La recta R encuentra al perímetro de la sección 1-2-3-4-1 en los puntos 11 y 12, que son los de entrada y salida de la recta en el prisma. En la Fig. 279, la intersección de la recta r'-r con el prisma oblicuo de base el cuadrado a'-a, b'-b, c'-c, d'-d, situado en el plano H, y aristas laterales paralelas a a'-e', a-e, se halla tomando un punto cualquiera l' -1 de la recta, trazando por él una recta s' -s paralela a las aristas laterales, hallando las trazas h' ,-hl Y h' 2-h2 de ambas rectas con el plano H , uniendo h l con h2 para obtener la traza horizontal P del plano auxiliar que contiene a ambas rectas. La traza P encuentra a la base inferior del prisma en 1 y en 2, por donde se dibujan paralelas 1-3 y 2-4 a la dirección de las aristas laterales en proyección horizontal.

158 La recta 1-3 encuentra a r en il> cuya proyección vertical es i'l> y la recta 2-4 encuentra a r en i z, cuya proyección vertical es i'z. Ambos puntos i'¡-i l e i'z-iz son los de intersección

de la recta con el prisma. En proyección vertical la recta es vista desde la parte izquierda de la figura hasta m'. En ese punto la recta pasa por delante de a'-e', pues el alejamiento de m z, sobre r, es mayor que el alejamiento de mi' sobre a-e. Entre m' e i' I la recta es vista. En i'¡ la recta penetra en el prisma, entre i'¡ e i'zla recta está dentro del poliedro y es oculta. En i'zla recta sale del prisma pero se representa de trazos hasta n' pues es oculta, ya que el punto nz, sobre r, tiene menor alejamiento que el punto nI> sobre c-g. Desde n' hasta h' I la recta es vista. En proyección horizontal la recta es vista desde la parte izquierda de la figura hasta q. En ese punto la recta pasa por encima de b-f, pues la cota del punto q'z , sobre r', es mayor que la cota de q'¡, sobre b' -f. Entre q e il la recta es vista. En il la recta penetra en el prisma, entre i l e iz la recta está dentro del poliedro y es oculta. En iz la recta sale del prisma pero se representa de trazos hasta t pues es oculta, ya que el punto 1'z, sobre r', tiene menor cota que el punto t'l' sobre d'-j'. Desde t hasta h l la recta es vista.

Figura 280

En la Fig. 280 se ha resuelto el mismo problema anterior utilizando como plano auxiliar que contiene a la recta r' -r el plano 1"-T, proyectante de la recta sobre el plano V.

159 '.

)

La sección que produce el plano T-T en el prisma tiene por proyección vertical 1'2'4'3', sobre la traza T, y por proyección horizontal el paralelogramo 1234. El perímetro de este paralelogramo encuentra a r en il> cuya proyección vertical es i", y en i2, cuya proyección vertical es i'2' Los puntos i"-i¡ e i'2-i2 son los de intersección de la recta con el prisma.

2.21.2.3. Desarrollo

l

La superficie lateral de un prisma puede extenderse sobre un plano obteniendo una figura plana que es el desarrollo del prisma. Si se ha cortado el prisma por un plano, el perímetro de la sección producida, situado en la superficie lateral del prisma, se representa en el desarrollo y constituye la transformada de la sección.

Como las caras laterales de un prisma son paralelogramos, el desarrollo es una figura formada por tantos paralelogramos como casas laterales tenga el prisma. El lado común de dos paralelogramos contiguos coincide con la arista común a las dos caras correspondientes del prisma y los lados extremos del desarrollo son los que corresponden a la arista de apertura de la superficie prismática. )

Para obtener el desarrollo de un prisma se elige una arista, por la que se supone que se abre la superficie lateral, y se dibujan sobre un plano todas las caras del prisma, en verdadera magnitud y en el mismo orden en que se encuentran sobre éste, a partir de la arista de apertura. En la Fig. 281 se han dibujado las proyecciones de un prisma recto de base el trapecio a' -a, b' -b, c' -c, d' -d, situado en el plano horizontal de proyección, y altura h. La sección que produce el plano de canto P'-P en el prisma tiene por proyección vertical 1'4'2'3' y por proyección horizontal el trapecio 1234, superpuesto con la proyección horizontal abcd de la base. La verdadera magnitud (1)(2)(3)(4) de la sección se obtiene por abatimiento sobre el plano H.

) )

-'

Abriendo la superficie lateral por la arista que arranca del vértice A se obtienen los cuatro rectángulos de la parte derecha de la Fig. 281. Dos lados opuesto de uno se esos rectángulos son iguales a la arista lateral del prisma y los otros dos al correspondiente lado de la base. Trazando paralelas a la línea de tierra por 1', 2', 3', 4', en sus encuentros con las perpendiculares trazadas por (A), (E), (C), (D) se obtienen respectivamente los puntos (1), (2), (3), (4), que unidos constituyen las transformada de la sección.

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Figura 281 El camino mas corto, o línea geodésica, entre los puntos m' -m y n' -n situados en la superficie lateral del prisma se obtiene directamente en el desarrollo, uniendo los puntos (M,) y (N) o (M1 ) y (N) mediante una línea recta. Corno la distancia (M1)(N) es menor que la distancia (M,)(N), se lleva sobre la proyección vertical del prisma el punto (E) del desarrollo, obteniendo m'-e' sobre la cara a'fk'd' y e'-n' sobre la casa d'k'j'c'. Si el prisma es oblicuo, para obtener el desarrollo se puede recurrir a hallar la sección recta del prisma o a determinar la verdadera magnitud de cada una de las caras laterales del prisma, abatiendo el plano de cada una de ellas y midiendo las longitudes de los lados contíguos de cada cara y los ángulo que forman entre sí. Sección recta es la que produce en el prisma un plano perpendicular a las aristas. Para obtener el desarrollo se considera que el prisma oblicuo está formado por dos troncos de prisma recto, uno desde la sección recta hasta la base inferior y otro desde la sección recta hasta la base superior.

161 Para obtener el desarrollo del prisma oblicuo de base pentagonal a' -a, b' -b, c' ~c, d' -d, e' -e, aristas de dirección paralela a a' -f, a-f y altura h¡, Fig. 282, utilizando una sección recta, se empieza por dibujar las trazas P' -P de un plano cualquiera perpendicular a las aristas. Se dibuja la traza vertical P' perpendicular a la proyección vertical de las aristas y por el punto de encuentro de P' con la línea de tierra se dibuja la traza horizontal P perpendicular a la proyección horizontal de éstas. ") ) )

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Figura 282

162 La sección producida en el prisma por el plano P'-P se ha determinado mediante un cambio de plano vertical de proyección, de forma semejante a como se ha hecho en el apartado 2.21.2.1. Secciones planas, Fig. 275.

Se dibujan las proyecciones r' -r de una horizontal del plano, desde el punto de encuentro de r con la nueva línea de tierra, perpendicularmente a ella, se lleva la cota hz de la recta y se determina su nueva proyección vertical r'¡ y la traza con el plano VI' La traza vertical P'¡ pasa por ese punto y por el punto de encuentro de la traza P con la segunda línea de tierra. Se dibuja la proyección del prisma sobre el plano V, y directamente, en las intersecciones de P'¡ con las proyecciones de las aristas se obtiene 1'1' 2'¡, 5'1' 3'1 Y 4'1' Por abatimiento sobre el plano H, al igual que se ha hecho en el caso de la Fig. 281, se obtiene la verdadera magnitud (1)(2)(3)(4)(5) de la sección. Las a\ istas laterales del prisma con relación a los planos H y VI son rectas frontales,

paralelas al plano V" por lo que se encuentran en verdadera magnitud en sus proye biones sobre V"

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El desarrollo del prisma es el de la Fig. 283. Se elige una arista para hacer la apertura de la superficie lateral, en este caso la arista AF. Se dibuja una recta horizontal y sobre ella se marcan los puntos (1),(2),(3),(4),(5),(1) cuyas distancias se obtienen de la verdadera magnitud de la sección. Por esos puntos, hacia arriba de la horizontal y perpendicularmente, se llevan las distancias respectivas entre la sección y la base superior (1)(F) = 1"f I, (2)(G)=2"g", (3)(1) =3"i", (4)(J) =4'J'" (5)(K) =5"k'" (1)(F)=1"f!. Perpendicularmente hacia abajo de la horizontal se llevan las distancias comprendidas entre P" y la nueva línea de tierra (1)(A)= 1"a'!, (2)(B)=2"b", (3)(C) =3"c", (4)(D) =4'!d'!, (5)(E)=5'!e", (1)(A) = 1"a". Uniendo por un lado (A), (B), (C), (D), (E), (A) Ypor otro (F), (G), (1), (J), (K), (F) se completa la figura correspondiente al desarrollo del prisma. El desarrollo del prisma oblicuo de base el triángulo a'-a, b'-b, c'-c, en el plano H, aristas paralelas a a'-d', a-d y altura h, Fig. 284, se ha obtenido abatiendo cada una de las caras laterales sobre el plano horizontal de proyección.

J

Empezando por la cara ADEB, cuya traza con el plano H es ab, se dibuja por e una perpendicular a ab, a la que se encuentra en m" y una paralela sobre la que se lleva la altura h, marcando un punto (e'). Con centro en m! Y radio m!(e') se describe un arco de circunferencia hasta cortar a la perpendicular a ab en (E)!. Se une (E)! con b, por a se dibuja una paralela a (E)!b hasta encontrar a la paralela a ab trazada por (E)! en (D)!. La cara ADEB en verdadera magnitud es a(D)¡(E)!b. ) )

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Para obtener la cara BEFC en verdadera magnitud se dibuja por e una perpendicular a bc, ala que encl:lentra en m2. Con centro en b y radio b(E)! se describe un arco de circunferencia hasta cortar a la perpendicular a be en (E)2 y se construye el paralelogramo b(E),(F)!c. Para obtener la cara CFDA en verdadera magnitud se traza por f una perpendicular a ac, a la que encuentra en m,. Con centro en c y radio C(F)I se describe un arco de circunferencia hasta cortar a la perpendicular a ac en (F)2 y se construye el paralelogramo C(F)2(D )2a. El desarrollo del prisma, Fig. 285, se obtiene dibujando un segmento vertical de magnitud (A)(D) = a(D)!, trazando una paralela a (A)(D), a una distancia dI' que se limita en (E), mediante un arco de circunferencia de centro (D) y radio (D)(E)=ab, y en (B), dibujando por (A) una paralela a (D)(E). Repitiendo el proceso se completa el dibujo de los otros dos paralelogramos (B)(E)(F)(C) y (C)(F)(D)(A), que junto con el (A)(D)(E)(B) completan el desarrollo del prisma.

164

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Figura 284

Figura 285

2.21.3. Pirámide Pirámide es un poliedro en el cual todas las caras menos una concurren en un punto fijo llamado vértice, Las caras que concurren en el vértice se llaman caras laterales y son siempre triángulos, la cara que no pasa por el vértice es la base de la pirámide, Las aristas que pasan por el vértice se denominan aristas laterales. La perpendicular trazada desde el vértice al plano de la base es la altura de la pirámide.

(A)

165

Una pirámide se dice que es regular cuando la base es un polígono regular y las aristas laterales son iguales entre si. En esas condiciones el pie de la altura de la pirámide coincide con el centro de la base, los triángulo que forman la superficie lateral son iguales, por lo que la altura de todos ellos es la misma y se denomina apotema de la pirámide. En la Fig. 286 se ha representado una pirámide de base un pentágono regular ABCDE, situado en el plano horizontal de proyección, vértice V y altura h.

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Figura 286

Dadas las proyecciones a' -a, b' -b, e' -e, d' -d y e' -e de los vértices de la base y del vértice v' -v de la pirámide, la proyección horizontal de la pirámide se obtiene uniendo a,b,c,d y e entre si, de forma correlativa, y con la proyección v del vértice de la pirámide, dibujando de trazo continuo el contorno aparente v-b-a-e-d-v y las proyecciones e-v y a-v de las aristas laterales EV y AV, pues como DC y CB están en el plano H, (cota O), e-v pasa por encima de d-c y a-v pasa por encima de b-c. Las proyecciones d-c y c-b se dibujan de trazos por ser ocultas, y como el vértice e es oculto, la proyección c-v de la arista lateral CV también es oculta,

166

En proyección vertical el contorno aparente v' -a'-b' -c' -v' se dibuja de trazo continuo. Las aristas laterales e'-v', b'-v' y d'-v' no se cruzan y para saber cuales son vistas y ocultas hay que observar que las caras AVB Y BVC ocultan a las restantes caras laterales para un observador infinitamente alejado del plano vertical de proyección. Ello se comprueba por el hecho de que a' -v' y c' -v' son del contorno aparente en proyección vertical, y por tanto la proyección b' -v' de la arista lateral BV, recta de intersección de esas dos caras, es vista. Por consiguiente, las proyecciones e' -v' y d' -v' de las aristas EV y DV son ocultas y se dibujan de trazos. Supongamos que se quieren dibujar las proyecciones de una piránúde regular, de altura h, cuya base es un triángulo equilátero ABC situado en un plano P'-P. Para ello se va a aprovechar la Fig. 260 del apartado 2.20.3. Proyecciones de un triángulo equilátero.

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Figura 287

Figura 288

167

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Tal como se esquematiza en la Fig. 287, hay que conocer la posición del orto centro del triángulo ABC, trazar por él una perpendicular al plano P'-P y situar en ella, a una distancia h, el vértice V de la pirámide.

En la Fig. 288 se abate el plano P'-P sobre el plano H, se determina la posición en el abatimiento del triángulo (A)(B)(C) y del orto centro (O). Desabatiendo se obtiene la proyección horizontal o del punto 0, y mediante una horizontal s'-s del plano, su proyección vertical o'. '\

Por 0'-0 se traza una recta r'-r perpendicular al plano P'-P, en ella se toma un punto cualquiera d' -d. Por giro alrededor de un eje vertical que pase por o' -o se obtiene la recta abatida, (R) =(D,)o', sobre un plano paralelo al plano V. A partir de o' se lleva la magnitud h de la altura de la pirámide sobre (R), marcando un punto (V), que desabatido proporciona las proyecciones v' -v del vértice de la pirámide . . ) ) "

Se une v' con a', b' y c', se une v con a, b y c, se dibujan los contornos aparentes de trazo continuo, v' -a' -c' -b' -v' en proyección vertical y v-a-b-c-v en proyección horizontal. De las aristas que quedan en el interior de esos contornos, al comparar alejamientos en el punto donde se cruzan v'-c' y a'-b' resulta que VC pasa por delante de AB, por consiguiente v' -c' es de trazo continuo y a' -b' de trazos, y comparando cotas en el punto donde se cruzan b-v y a-c resulta que BV pasa por encima de AC, por consiguiente b-v es de trazo continuo y a -c es de trazos. 2.21.3.1. Secciones planas Al igual que en el prisma, sección plana de una pirámide es la intersección de la pirámide con un plano secante cualquiera. Si el plano pasa por el vértice y corta a la base, la sección plana es un triángulo, si el plano no pasa por el vértice y corta a la base, la sección es un polígono de distinto número de lados que la base. Si el plano no pasa por el vértice y no corta a la base, la sección es un polígono del mismo número de lados que la base, cuyos vértices están situados sobre las aristas laterales.

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La sección plana se obtiene hallando los puntos de intersección de cada una de las aristas, laterales o de la base, con el plano y uniéndolos de modo que cada par de puntos consecutivos estén sobre una misma cara.

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Las proyecciones de los lados del polígono sección se representan de trazo continuo o de trazos, en función de que la cara sobre la que están situados sea vista y oculta! La Fig. 289 esquematiza una pirámide de base triangular ABC, situada en el plano horizontal de proyección, cortada por un plano P' -P que no pasa por el vértice y no corta a la base. La sección es un polígono del mismo número de lados que la base, un triángulo, cuyos vértices 1,2,3 están situados sobre las aristas laterales.

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Figura 289

Figura 290

Dadas las proyecciones de la pirámide y las trazas del plano, Fig. 290, la intersección de cada una de las aristas laterales con el plano P' -P se obtiene utilizando planos auxiliares T ¡-T¡, T ,-T" T 3- T 3, proyectantes sobre el plano vertical de proyección. El plano TcT¡, proyectante de la arista lateral v'-a', v-a, y el plano P'-P se cortan según la recta v'¡-h'¡, v¡-h¡, que en proyección horizontal encuentra a v-a en 1, cuya proyección vertical es 1'. El punto 1'-1 es el vértice del polígono sección correspondiente a la arista lateral v'-a', v-a. De forma similar resulta que el punto 2'-2 es el vértice del polígono seCClOn correspondiente a la arista v-e', v-c y que el punto 3'-3 es el vértice del polígono sección correspondiente a la arista lateral v -b', v-b. La·.sección producida por el plano P'-P en la pirámide es un triángulo cuya proyección vertical se obtiene uniendo l' con 2', 2' con 3' y 3' con 1', y cuya proyección horizontal se obtiene uniendo 1 con 2, 2 con 3 y 3 con 1. En proyección vertical los lados 1'-2' y 2'-3' del triángulo son vistos por estar en caras laterales vistas y el lado 3'-1' es oculto y se representa de trazos por estar situado en la cara b'v'a' que es oculta.

169 En proyección horizontal los lados 1-2 y 1-3 del triángulo son vistos y el lado 2-3 es oculto por estar situado en la cara bvc que es oculta. En la Fig. 291 se ha resuelto el mismo problema efectuando un cambio de plano vertical . de proyección.

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Figura 291

170

Se elige una nueva línea de tierra, señalada con dos trazos, que sea perpendicular a la traza horizontal P clelplano y como nuevo semiplano vertical anterior V" se toma el que queda a la derecha de ella. La traza vertical P', del plano después de efectuar el cambio pasa por el punto de intersección de la traza P con la nueva línea de tierra y por m'" nueva proyección vertical del punto m' -m de la traza vertical P'. Las nuevas proyecciones verticales de los vértices de la base de la pirámide son a'¡, b'¡, c'" sobre la línea de tierra, la nueva proyección vertical del vértice es v'¡, a cota h, y las proyecciones verticales de las aristas laterales son a'¡-v'¡, b',-v'¡ y c'¡-v',.

Como el plano P',-P es proyectante sobre el plano VI> directamente en los puntos de encuentro de P'¡ con a'¡-v'" b'¡-v'¡ y c'¡-v' ¡ se obtienen las proyecciones l' ¡, 3', Y2'¡, sobre el plano V¡, de los puntos de intersección. Trazando perpendiculares a la nueva línea de tierra se obtienen las -proyecciones horizontales 1, 2, 3, y levantando perpendiculares a la línea de tierra original se obtienen sus correspondientes proyecciones verticales 1',2', 3' sobre las proyecciones de las aristas correspondientes. Uniendo adecuadamente las proyecciones de esos puntos se obtienen las proyecciones de la sección que produce el plano P'-P en la pirámide. Otro procedimiento para hallar la sección de una pirámide por un plano es el que se ha utilizado en la fig. 293, basado en la homología existente entre dos secciones planas de una pirámide.

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Figura 292

171 En el esquema de la Fig. 292 la base de la pirámide en el plano horizontal de proyección, el cuadrilátero ABCD, sección producida en la superficie lateral por el plano H, y la sección que se busca, la producida por el plano P' -P, el cuadrilátero 1234, son homológicas en una homología de eje la recta de intersección del plano P'-P con el plano H, la traza P, y centro de homología el vértice V de la pirámide, pues las rectas homólogas se cortan en puntos que están alineados y las rectas que unen puntos homólogos pasan por un punto fijo. Las rectas DA y 41, CB y 32, AB Y 12, CD y 43 son rectas homólogas pues se cortan respectivamente en puntos M" M 2, M3 , M. que están situados sobre la traza horizontal P. Los puntos A y 1, B Y 2, C y 3, D Y 4 son pares de puntos homólogos pues están situados sobre rectas, las aristas laterales, que pasan por el vértice V de la pirámide.

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Figura 293

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172 Al pasar del esquema del espacio a las proyecciones, Fig. 293, la homología queda establecida entre la proyección horizontal de la base de la pirámide, el cuadrilátero abcd, y la proyección horizontal de la sección que produce el plano P'-P, que es la que se quiere hallar. El eje de homología es la traza horizontal P, el centro de homología es la proyección horizontal v del vértice de la pirámide y la recta límite L es la traza horizontal del plano L'-L paralelo al plano P'-P, que pasa por el vértice de la pirámide. El primer paso es dibujar un plano paralelo al P'-P que pase por v-v. Se ha hecho mediante una recta horizontal r' -r cuya traza vertical es V ¡-vI' La traza vertical L' del plano pasa por v, Yes paralela a P', la traza horizontal L pasa por el punto de encuentro de L' con la línea de tierra y es paralela a P. Para hallar la figura homológica del cuadrilátero abcd se prolonga la recta ad hasta cortar al eje P en m, y a la recta límite L en nI' Su homóloga pasa por m, y es paralela a n,v. La paralela a n,v trazada por m, encuentra a av en 1, homólogo de a, y a dv en 4, homólogo de d. La recta ab corta al eje en m" su homóloga pasa por m, y por 1, y corta a bv en 2, homólogo de b. La recta dc corta al eje en m., su homóloga pasa por m. y por 4, y corta a cv en 3, homólogo de c.

Levantando perpendiculares a la línea de tierra, sobre las correspondientes proyecciones verticales de las aristas, se obtienen 1', 2', 3' Y 4'. Uniendo las proyecciones de los cuatro puntos de forma ordenada se obtienen las proyecciones vertical y horizontal de la sección que produce el plano P'-P en la pirámide. 2.21.3.2. Intersección de recta v pirámide El procedimiento general para hallar la íntersección de una recta con una pirámide es similar al utilizado en el apartado 2.21.2.2. Intersección de recta y prisma. Consiste en hacer pasar por la recta un plano, determinar la sección que produce el plano en la pirámide y hallar los puntos donde la recta encuentra al perímetro de esa sección, que son los puntos de intersección buscados. En cada caso se elige como plano auxiliar que pase por la recta uno cuya sección con la pirámide sea fácil de hallar, y una vez obtenidos los puntos de intersección se distinguen las partes vistas y ocultas correspondientes en ambas proyecciones de la recta.

173

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Figura 294 En la Fig. 294 se ha esquematizado una pirámide, de base el pentágono ABCD situado en el plano H y vértice V, y una recta R cuya intersección con la pirámide se quiere determinar. Corno plano auxiliar que contenga a la recta se elige el lana P que pasa por el vértice de la pirámide. La recta S que resulta de unir V con un punto cualquiera L de la recta R corta al plano H en un punto H 2. Uniendo H 2 con el punto H¡ de intersección de la recta R con el plano H se obtiene la traza horizontal P del plano que contiene a R y a V.

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La traza P corta al lado AB de la base en el punto 1 y al lado DE en el punto 2. La sección que produce el plano P en la pirámide es el triángulo 12V. La recta R encuentra al perímetro de la sección en los puntos 1¡ e 12, que son los de entrada y salida de la recta en la pirámide. En la Fig. 295 se ha hallado la intersección de la recta r' -r con la pirámide de base el pentágono a' -a, b' -b, e' -e, d' -d, e' -e, situado en el plano H, y vértice v' -v. Se torna un punto cualquiera 1'-1 de la recta r'-r, se une ese punto con v'-v y se halla la traza h' 2-h2 de la recta s' -s con el plano H. Se dibuja la traza horizontal P del plano que contiene a las dos rectas. La traza P encuentra a la base de la pirámide en 1 y en 2. La sección producida por el plano en la pirámide es el triángulo 1'-v'-2'-1', l-v-2-1.

174

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Figura 295 La recta r' -r encuentra al perímetro de ese triángulo en los puntos i'¡-i¡ e i'2-i2' que son los puntos de intersección buscados.

En proyección vertical la recta es vista desde la parte izquierda de la figura hasta m'. En ese punto la recta pasa por delante a'v' pues el alejamiento de m2, sobre r, es mayor que el de m¡ sobre ay. Entre m' e i'¡ la recta es vista. En i¡ la recta penetra en la pirámide, entre i'¡ e i'2 la recta está dentro de la pirámide y es oculta. En i'2 la recta sale de la pirámide pero se representa de trazos hasta n' pues es oculta, ya que el punto n2, sobre r, tiene menor alejamiento que el punto nI> sobre cv. Desde n' hasta h'¡ la recta es vista. En proyección horizontal la recta es vista desde la parte izquierda de la figura hasta il> pues ab está a cota O. Entre i¡ e i2 la recta está dentro de la pirámide y es oculta. En i2 la recta sale de la pirámide y es vista hasta h¡, pues ed está a cota O.

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Figura 296

En la Fig. 296 se ha resuelto el mismo problema utilizando como plano auxiliar que contiene a la recta r' -r el plano T -T, proyectante de la recta sobre el plano V.

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La sección que produce el plano T-T en la pirámide tiene por proyección vertical 1'2'5'4'3', sobre la traza r, y por proyección horizontal el pentágono 12345. La proyección r encuentra al perímetro de esta pentágono en i¡, cuya proyección vertical es i'¡, y en iz, cuya proyección vertical es i'z. Los puntos i'¡-i¡ e i'z-i z son los de intersección de la recta r'-r en la pirámide.

2.21.3.3. Desarrollo Para obtener el desarrollo de la superficie lateral de una pirámide hay que dibujar sobre un plano todos los triángulos que la integran en verdadera magnitud, de tal modo que cada triángulo tenga un lado común con el siguiente y estén colocados en el mismo sentido que tienen en la pirámide.

176

Si la pirámide tiene su base en el plano horizontal de proyección, el problema se reduce a determinar la longitud de las aristas laterales, ya que los lados que forman la base están en verdadera magnitud en proyección horizontal.

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Figura 297

Figura 298

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177

En la Fig. 297 se han dibujado las proyecciones de una pirámide de base el cuadrilátero a' -a, b' -b, c' -c, d' -d, situado en el plano H y vértice el punto v' -v. Se quiere obtener el desarrollo de su superficie lateral y la transformada de la sección que produce el plano de canto P'-P en la pirámide. El primer paso es hallar las proyecciones de la sección. Como el plano P'-P es proyectante sobre el plano vertical de proyección, en los puntos de encuentro de la traza P' con las proyecciones verticales de las aristas laterales se obtienen 1', 2', 4', 3' cuyas proyecciones horizontales respectivas son 1, 2, 4, 3.

El siguiente paso es hallar la verdadera magnitud de todos los elementos que van a formar parte del desarrollo y de la transformada, a excepción de los lados de la base, que por estar en el plano H se encuentran en verdadera magnitud en proyección horizontal, ab, bc, cd, da. La verdadera magnitud de las aristas laterales se halla por giro alrededor de un eje vertical que pase por el vértice v' -v de la pirámide. Con centro en v y radios va, vb, vc y vd se dibujan arcos de circunferencia hasta cortar a la paralela a la línea de tierra trazada por v en (a,), (b,), (c,) y (d,), respectivamente. Desde estos puntos se trazan perpendiculares a la línea de tierra hasta cortarla en (A), (B), (C) Y (D). ) ) )

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Los segmentos v'(A), v'(B), v'(C) y v'(D) son las verdaderas magnitudes de cada una de las aristas laterales. Por 1', 2', 3' Y4' se trazan paralelas a la línea de tierra hasta cortar a las aristas laterales abatidas en (1), (2), (3) Y(4), con lo que también se obtienen las verdaderas magnitudes de las distancias que existen entre los vértices del polígono sección y el vértice de la pirámide o los vértices de la base. Para iniciar el dibujo de la figura correspondiente al desarrollo de la pirámide, Fig. 298, se ha elegido la arista VA. Con centro en V y radio v'(B) se dibuja una arco de circunferencia que corta el arco de circunferencia de radio ab trazado desde (A) en (B). Con centro en V y radio v'(C) se dibuja un arco de circunferencia que encuentra al arco de radio bc trazado desde (B) en (C). Con centro en V y radio v'(D) se dibuja otro arco que encuentra al arco de radio cd trazado desde (C) en (D). Por último se traza un arco de circunferencia de radio da y centro (D) que corta al arco de centro V y radio v'(A) en (A) .

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Uniendo (A) con (B), (B) con (C), (C) con (D) y (D) con (A), se completa el desarrollo de la superficie lateral de la pirámide. A partir de V, sobre V(A), V(B), V(C), VeD) Y VeA) se llevan, respectivamente, las distancias v'(l), v'(2), v'(3), v'(4) Yv'(l), obteniendo los puntos (1), (2), (3), (4), (1), que una vez unidos constituyen la transformada de la sección producida por el plano P' -P.

178

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Figura 299

Figura 300

El desarrollo de la pirámide de base triangular a' -a, b' -b, c' -c y vértice v' -v de la Fig. 299 se ha obtenido abatiendo cada una de las caras laterales sobre el plano horizontal de proyección.

179 Empezando por la cara AVE, cuya traza con el plano H es ab, se dibuja por v una paralela y una perpendicular a ab, sobre la paralela se lleva la cota h de v'-v, marcando un punto (v'), con centro en m., donde la perpendicular trazada por v corta a ab, se traza un arco de circunferencia de radio m.v' hasta cortar a la perpendicular en (V.). El triángulo a(V.)b es la cara AVE en verdadera magnitud. Con centro en b y radio b(V.) se dibuja un arco de circunferencia que corta a la perpendicular a bc trazada por v en (V2). El triángulo b(V2 )c es la cara BVC en verdadera magnitud. Con centro en a y radio a(V,), o con centro en c y radio c(V2 ), se describe un arco de circunferencia hasta cortar a la perpendicular a ac trazada por v en (V3). El triángulo a(V3 )c es la cara A VC en verdadera magnitud. Mediante arcos de circunferencia, de forma análoga a como se ha hecho en la Fig. 298, se obtiene la Fig. 300 que es el desarrollo de la superficie lateral de la pirámide. )

2.21.4. Poliedros regulares convexos Poliedros regulares convexos son aquellos cuyas caras son polígonos regulares convexos e iguales y cuyos ángulos poliedros son iguales.

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Como en cada vértice concurren como mínimo tres caras y la suma de los ángulos de esas caras debe ser menor de 360°, solo pueden existir poliedros regulares convexos en cuyos vértices se reúnan:

:~

3 triángulos equiláteros : 3 x 60° 4 triángulos equiláteros : 4 x 60° 5 triángulos equiláteros: 5 x 60° 3 cuadrados : 3 x 90° 5 pentágonos regulares : 3 x 108°

: : : : :

180° 240° 300° 270° 324°

Llamando C al número de caras, A al número de aristas, V al número de vértices, m al número de lados de una cara y n al número de aristas de cada vértice, se tiene que cumplir que: m~3

3:m <6 Como cada arista pertenece a dos caras contíguas y cada arista contiene dos vértices, se verifica: m . C : 2A n . V : 2A

(1) (2)

180 Como todo poliedro convexo cumple el Teorema de Euler, se tendrá: C + V = A+2

(3)

De (1), (2) Y (3) se obtienen los valores de A, C y V en función de m y n. 2rnn A= 2 (m+n)-rnn 4n C= 2 (m+n)-rnn 4m V= 2 (m+n)-rnn

TETRAEDRO

OCTAEDRO

CUBO

ICOSAEDRO

DODECAEDRO

Figura 301

Así pues, solo existen 5 poliedros regulares convexos, los representados en la Fig. 301, cuyas características se resumen en el cuadro siguiente.

181 · . POLIEDROS .

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CARAS

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Tetraedro

Triángulos equiláteros

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3

4

4

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Octaedro

Triángulos equiláteros

3

4

8

6

12

Icosaedro

Triángulos equiláteros

3

5

20

12

30

Cubo

Cuadrados

4

3

6

8

12

Dodecaedro

Pentágonos regulares

5

3

12

20

30

La sección producida en un poliedro regular convexo por un plano de simetría se denomina sección principal, y en ella quedan definidas todas las magnitudes fundamentales del poliedro, como pueden ser:

J

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I = arista d = diagonal de cara D = diagonal del poliedro h = altura de cara H = altura del poliedro Re = radio de la esfera circunscrita r i = radio de la esfera inscrita, tangente a las caras r. = radio de la esfera tangente a las aristas Tal como se describe en los apartados siguientes, el conocimiento y construcción de la sección principal de cada poliedro regular convexo es fundamental para poder dibujar sus proyecciones en el Sistema Diédrico.

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2.21.4.1. Tetraedro

•7

Tetraedro es un poliedro formado por cuatro caras triángulos equiláteros, cuatro vértices y seis aristas, Fig. 302. En un tetraedro dos aristas opuestas, como AB y DC, se cruzan ortogonalmente. La mínima distancia entre dos aristas opuestas coincide con el segmento MN que une sus puntos medios. La altura H pasa por el baricentro O, de la cara opuesta BCD. Sección principal de un tetraedro es toda sección producida por un plano que pase por una arista y por el punto medio de la arista opuesta, existiendo seis secciones principales como la representada en la Fig. 302.

182

A

M

D

A~------~----~B

Figura 302

Figura 303

La construcción de la sección principal a partir de la verdadera magnitud de la arista peñnite determinar los valores de las restantes magnitudes fundamentales que se utilizan para dibujar las proyecciones del tetraedro. Si se desconoce el valor de la arista y es conocida una de esas magnitudes fundamentales, se puede construir una sección principal con un valor arbitrario de la arista y posteriormente reducir o ampliar la figura en la proporción que indique esa magnitud. La sección principal de un tetraedro, Fig. 303, es un triángulo isósceles formado por una arista AB, de magnitud 1, y dos alturas h de los triángulos equiláteros que forman las caras, AM = BM = h. La distancia entre dos aristas opuestas, MN = 2r., es el diámetro de la esfera tangente a las aristas. El orto centro del triángulo ABM es el centro O del tetraedro y la distancia desde O a ME y a MA es el radio r; de la esfera inscrita o tangente a las caras. La distancia OA=OB=R, es el radio de la esfera circunscrita. La distancia AO¡ =R,+r; es la altura H del tetraedro. La Figura 304 representa un tetraedro con una cara apoyada en el plano H. Se empieza por dibujar un triángulo equilátero de lado la magnitud de la arista, cuyos vértices b' -b, c'-c y d'-d estén en el plano H. Por el centro a del triángulo bcd se levanta una perpendicular a la línea de tierra y a una cota H = AO!> obtenida de la sección principal dibujada en la parte izquierda de la figura, se sitúa la proyección vertical a'.

El punto a' -a es el cuarto vértice del tetraedro, que unido a los otros tres permite obtener las proyecciones del mismo. En la orientación elegida todas las aristas del tetraedro son vistas.

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Figura 304 Si no se construye la sección principal, la altura H se obtiene de la proyección horizontal de la propia Fig. 304, pues H es el cateto de un triángulo rectángulo AO¡B en el que la hipotenusa es AB=I y el otro cateto es O¡B=2h/3. ;

Ese triángulo rectángulo en proyección horizontal es ab(A), en el cual b(A) = I Y ab=2h/ 3. La Fig. 305 representa un tetraedro con una arista vertical.

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Se dibuja una recta vertical a' -b', a-b de magnitud 1. La arista opuesta es horizontal, está situada a cota 1/2 y se proyecta en verdadera magnitud sobre el plano H. Por a=b se dibuja un segmento de magnitud 2r•. Por el extremo ID se dibuja una perpendicular, de magnitud 1/2 a un lado y a otro de m, en cuyos extremos están situadas las proyecciones horizontales c y d de los vértices e y D. Las proyecciones verticales c' y d' están a cota 1/2 sobre la línea de tierra. Uniendo las proyecciones verticales y horizontales de los cuatro vértices se obtienen las proyecciones del tetraedro. El contorno aparente en proyección horizontal es un triángulo isósceles de las mismas dimensiones que las sección principal.

184

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Figura 305

Figura 306

La Fig. 306 representa un tetraedro con dos aristas horizontales.

Se dibuja u!). segmento horizontal d'-c', d-c, de magnitud I y cota O. La arista opuesta AB está situada a cota 2r., es también horizontal y su proyección horizontal a-b es perpendicular a d-c, por lo que el contorno aparente en proyección horizontal es un cuadrado cuyas diagonales son d-c y a-b, esta última vista por estar a mayor cota. La proyección vertical del tetraedro se obtiene uniendo las proyecciones verticales de los cuatro vértices. En la orientación elegida a' -e' es oculta y d' -b' es vista.

2.21.4.2. Octaedro Octaedro es un poliedro formado por ocho caras triángulos equiláteros, seis vértices y doce aristas, Fig. 307.

185 E

E

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Figura 307

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Figura 308

Dos caras opuestas, como los triángulos ABE y CDF, están situadas en planos paralelos y giradas una respecto a otra un ángulo de 1800 alrededor de la recta que une sus centros. Esa recta es perpendicular a ambas caras. Sección principal de un octaedro es toda sección producida por un plano que pase por una diagonal y por los puntos medios de dos aristas opuestas, existiendo seis secciones principales como la EMFN representada en la Fig. 307. La sección principal, Fig. 308, es un rombo de lado h, igual a la altura de los triángulos equiláteros que constituyen las caras, cuyas diagonales son MN = 1, arista del octaedro, y EF=2Rc=l,fi. ,siendo Re el radio de la circunferencia circunscrita. El radio de la circunferencia tangente a las aristas es r.=1/2, el radio de la circunferencia tangente a las caras, 001 =r;, es perpendicular a ME y divide a ese segmento en dos partes tales que MOl =h/3 Y 0IE=2h/3. La Fig. 309 representa un octaedro con una diagonal vertical. Una vez construida la sección principal se dibuja una recta vertical e'-f, e-f de magnitud

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EF=l,fi. . Los cuatro vértices restantes A,B,C,D son los vértices de un cuadrado situado

en un plano perpendicular a EF y equidistante de E y de F.

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En proyección horizontal se dibuja un cuadrado abcd, de lado 1, cuyo centro sea e=f. Las proyecciones verticales se obtienen levantando perpendiculares a la línea de tierra y situando a', b', e', d' a una cota igual a la mitad de la diagonal. Uniendo las proyecciones de los vértices y diferenciando partes vistas y ocultas se obtienen las proyecciones vertical y horizontal del octaedro.

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Figura 309

La Fig. 310 representa un octaedro con una cara apoyada en el plano H. Se empieza dibujando las proyecciones e' -e, d' -d, r -f de un triángulo equilátero situado en el plano H, cuyo lado sea la magnitud I de la arista.

La cara opuesta ABE es paralela a la cara CDF. Se dibuja en proyección horizontal un triángulo equilátero abe, girando 60° respecto al triángulo cdf. La proyección vertical a'b'c' está situada a cota 2r¡ sobre la línea de tierra. Uniendo cada uno de los vértices de la cara superior con los dos mas próximos situados en el plano H se obtienen las proyecciones vertical y horizontal del octaedro. Las proyecciones horizontales de los seis vértices están situadas en una misma circunferencia. El contorno aparente en proyección horizontal es un exágono regular inscrito en una circunferencia de radio. 113{3

La Fig. 311 representa un octaedro con una arista en el plano H y un plano diagonal vertical. Suponiendo que el plano diagonal es el que contiene a los vértices A, E, C, F y que la arista CF es la que está situada en el plano H, los cuatro vértices A, E, C, F son los vértices de un cuadrado de lado la arista 1, cuya proyección horizontal, por estar en un plano vertical, serán dos segmentos a-e y f-c superpuestos. La proyección vertical r -c' está en la línea de tierra, mientras que a' -e' es paralela a la línea de tierra y tiene cota 1.

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Figura 310

Figura 311

Los dos vértices restante B y D están situados en una perpendicular al plano AECF, a uno y otro lado del plano, separados entre sí una distancia BD=20B=2R" (Fig.307), que se proyecta en verdadera magnitud sobre el plano H. En proyección horizontal, por el centro de a-e =f-c se traza una perpendicular ya un lado y a otro, a distancias R" se sitúan las proyecciones horizontales b y d de esos vértices. En proyección vertical b' y d' están situados a cota 1/2._ Uniendo de forma adecuada las proyecciones de los vértices se obtienen las proyecciones del octaedro. El contorno aparente en proyección horizontal resulta ser un rombo de las mismas dimensiones que la sección principal. 2.21.4,3. Cubo Cubo o exaedro es un poliedro formado por seis caras cuadrados, ocho vértices y doce aristas, Fig, 312.

Considerando una diagonal principal del cubo, en la figura la EC, los tres vértices J, F, A contiguos al vértice E, y los tres vértices G, D, B contiguos al vértice C, determinan dos planos perpendiculares a la diagonal EC, cuyos puntos de intersección M y N la dividen en tres partes iguales, EM = MN =NC.

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Figura 312

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Figura 313

Sección principal de un cubo es toda sección producida por un plano que pase por dos aristas opuestas, existiendo seis secciones principales como la ACGE de la Fig. 312. La sección principal, Fig. 313, es un rectángulo cuyos dos lados menores son iguales a

la arista I del cubo y cuyos dos lados mayores son de magnitud d, siendo d la diagonal de los cuadrados que constituyen las caras del cubo. La diagonal principal, EC o AG, es el diámetro de la esfera circunscrita,

(2R =1.,!3) , c

el diámetro 2ra de la esfera tangente a las aristas es igual a la diagonal de una cara, ( 2r.=d=l,fi ), y el diámetro 2r¡ de la esfera tangente a las aristas es igual a la arista 1. La distancia AM =GN es la distancia a la diagonal principal desde los tres vértices

contiguos a vértice E y desde los tres vértices contiguos al vértice C. La Fig. 314 representa un cubo con una cara apoyada en el plano H.

La proyección horizontal queda reducida a dos cuadrados abcd y efgj superpuestos. La proyección vertical de la cara ABCD, por estar en el plano H, es a'b'c'd', en la línea de tierra. La proyección vertical de la cara EFGJ es e'fg'j' a cota 1. Uniendo las proyecciones verticales de los vértices mediante perpendiculares a la línea de tierra se completa la proyección vertical del cubo.

189

En la orientación elegida, la proyección vertical c' -g' de la arista CG es oculta y la proyección vertical a'-e' de la arista A-E es vista .

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Figura 314 La Fig. 315 representa un cubo con una arista en el plano H y una sección principal vertical.

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Si la arista en el plano H es la AE y la sección principal vertical el rectángulo ACGE, en esa posición existe una sección principal, BFJD, en posición horizontal, situada a cota r. sobre el plano H, que se proyecta sobre dicho plano en verdadera magnitud. En proyección horizontal se dibuja un rectángulo bfjd, de la mismas dimensiones que la sección principal, que será el contorno aparente del cubo en proyección horizontal, y la paralela media a los lados bf y jd, que corresponderá a las proyecciones a-e y c-g de las aristas AE y eG, que por ser horizontales también se proyectan en verdadera magnitud. Se levantan perpendiculares a la línea de tierra por las proyecciones horizontales de los vértices del cubo, a' y e' se sitúan en la línea de tierra, c' y g' a cota 2r. = 1/2 ' Y b', r, d', j' a cota r,. Se unen las proyecciones de los vértices ordenadamente, se diferencian partes vistas y ocultas y se obtiene la proyección vertical del cubo.

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Figura 315 La Fig. 316 representa un cubo con una diagonal vertical.

Sea esa diagonal Ee, con el vértice E en el plano H. Los vértices A, J, F, contíguos al vértice E, están situados en un plano horizontal a cota 113/3 ,a igual distancia m de la diagonal Ee. Los vértices B,D,G, contíguos al vértice e, estarán situados en un plano horizontal a cota 2113/3 ,también a igual distancia m de la diagonal Ee, tal como se deduce de la sección principal con una diagonal vertical dibujada en la parte derecha de la figura. Dibujadas las proyecciones c'-e', c-e de la diagonal, con c y e coincidentes, se dibuja en proyección horizontal una circunferencia de centro c=e y radio m, deducido de la sección principal, sobre la que se sitúan las proyecciones horizontales de los vértices a, d, j, g, f, b, a intervalos de 60°.

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Figura 316

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Las proyecciones verticales se obtienen levantando perpendiculares a la línea de tierra, situando a', f y j' sobre la paralela a la línea de tierra de menor cota, b', d' Yg' se sitúan sobre la paralela a la línea de tierra más próxima al vértice mas alto. Uillendo ordenadamente las proyecciones verticales y las proyecciones horizontales, y diferenciando partes vistas y ocultas, se obtienen las proyecciones del cubo con una diagonal vertical. El contorno aparente en proyección horizontal es un exágono regular. Las proyecciones a-e, f-e y j-e de las aristas que arrancan de E son ocultas, las proyecciones b-c, d-c y g-c de las aristas que arrancan de e son vistas y se dibujan de trazo continuo.

192 2.21.4.4. Icosaedro Icosaedro es un poliedro formado por viente caras triángulos equiláteros, doce vértices y treinta aristas, Figs. 317 y 318.

A

B

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J

1 N

Figura 317

Figura 318

Sección principal de un icosaedro es la producida por un plano que pase por dos aristas opuestas. Es un exágono irregular, dos de cuyos lados opuestos son iguales a la arista I del icosaedro y los otros cuatro son alturas h de los triángulos equiláteros que constituyen sus caras. En un icosaedro existen quince secciones principales como la representada en la Fig. 317, en la cual se ha dibujado la sección principal BCPJKQ. Los lados BC y JK son aristas y los otros cuatro lados CP, PJ, KQ, QB son alturas de cara. La distancia entre dos aristas opuestas de una sección principal es la misma que existe entre dos vértices no contíguos de un pentágono regular. En la Fig. 318, la distancia entre las aristas CG y EK es igual a la distancia entre los vértices E y C del pentágono ABCDE y a la distancia entre los vértices K y G del pentágono FGIJK.

Por consiguiente, en un icosaedro la distancia entre aristas opuestas, o diámetro de la esfera tangente a las aristas (2r.), es igual a la diagonal de un pentágono regular de lado la arista del poliedro. En la Fig. 319 está indicada la construcción gráfica que permite obtener el valor <\. de la diagonal de un pentágono regular de lado 1. Se une el extremo M del segmento AM =1, perpendicular alIado AB, con el punto medio de AB y se prolonga hasta cortar a la semicircunferencia de diámetro AB en el punto N. La distancia MN es la magnitud <\. de la diagonal del pentágono.

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Figura 319

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Figura 320

El exágono de la Fig. 320 es la sección principal de un icosaedro de arista 1. A partir de un cuadrado de lado se construye el exágono BQKJPC, en el cual BC = KJ = 1, Y BQ=QK=JP=PC=h.

ct.

La distancia OC es el radio R, de la esfera circunscrita al icosaedro. La perpendicular trazada desde el centro O del exágono al lado PJ corta a este segmento en un punto T tal que PT =h/3 y TJ =2h/3. La distancia OT es el radio r¡ de la esfera inscrita o tangente a las caras. La distancia desde O a la arista BC o KJ es el radio r, de la esfera tangente a las aristas. La Fig. 321 representa un icosaedro con una cara apoyada en el plano H. La cara apoyada ABC y su opuesta DEF se proyectan sobre el plano H en verdadera magnitud corno dos triángulos equiláteros abc y def, de lado 1, concéntricos y girados 1800 respecto a su centro.

Los otros seis vértices G, 1, J, K, M Y N, en proyección horizontal están situados en los vértices de un exágono regular, concéntrico con los dos triángulos equiláteros, inscrito en una circunferencia de radio s, cuyo valor está indicado en la sección principal, con un lado h apoyado en la línea de tierra, dibujada en la parte izquierda de la figura. Las proyecciones g, i, j se corresponden respectivamente con a, b, c, y las proyecciones k, ID, n con d, e, f. En proyección vertical los vértices están situados, por grupos de tres, en cuatro planos horizontales cuyas cotas están indicadas en la sección principal.

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Figura 321 Sobre la línea de tierra se encuentran a', b' y c'; a cota 2r; están situados e', d' y f. Sobre la paralela a la línea de tierra trazada por la línea de referencia de G, 1, J se encuentran g', i' Yj', Y sobre la paralela a la línea de tierra trazada por la línea de referencia de K, M, N se sitúan las proyecciones k', m' y n'. Se unen las proyecciones de los vértices formando triángulos y ángulos poliedros de cinco aristas, se diferencian partes vistas y ocultas, y se obtienen las proyecciones vertical y horizontal del icosaedro con una cara apoyada en el plano H. La Fig. 322 representa un icosaedro con una arista en el plano H y la sección principal que pasa por ella vertical.

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Figura 322

Sea AB la arista situada en el plano H y la sección principal en posición vertical la que contiene a las aristas AB y CD, dibujada en la parte derecha de la figura. En esta posición el icosaedro tiene una sección principal en un plano horizontal, a cota ra> en la cual están situados cuatro vértices, J, K, M YN. Esta sección se proyecta sobre el plano H en verdadera magnitud, constituyendo el contorno aparente del poliedro en proyección horizontal. '

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En proyección horizontal se dibuja un exágono de las mismas dimensiones que la sección principal y en los vértices de los lados de magnitud I se sitúan las proyecciones j, k, m, n de cuatro vértices del icosaedro. Dos aristas, El y FG, son verticales y se proyectan en los dos vértices del exágono donde concurren los lados de magnitud h, con e coincidiendo con i y f superpuesto con g. Se une f=g con j con n, se une e=i con k y con m. En las intersecciones de estos segmentos se obtienen las proyecciones horizontales a'= c y b =d de los cuatro vértices restantes del icosaedro. Uniendo a con by c con d se tienen las proyecciones a-b y c-d, superpuestas, de las dos aristas horizontales AB y CD.

196

Las proyecciones verticales de los doce vértices están situadas en cinco planos horizontales tal como se indica en la sección principal. En la perpendicular a la línea de tierra trazada por a y por b, sobre la propia línea de tierra, se encuentra a' y b', Sobre una paralela a la línea de tierra trazada por la línea de referencia de Gel se sitúan las proyecciones i' y g', A cota r. se encuentran las proyecciones j', k', m' y n', sobre la línea de referencia de E y F se sitúan las proyecciones e' y f, Y por último c' Y d' están a cota 2r., Uniendo de forma ordenada las proyecciones de los vértices y diferenciando partes vistas y ocul tas se obtienen las proyecciones del icosaedro con una arista en el plano horizontal de proyección y la sección principal que pasa por ella vertical, La Fig, 323 representa un icosaedro con una diagonal vertical.

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Figura 323

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197 Si se considera que la diagonal principal vertical es la que pasa por los vértices M y N, las cinco aristas que parten del vértice superior M terminan en los vértices A, B, e, D y E de un pentágono regular y las cinco aristas que parten del vértice inferior N terminan en los vértices F, G, 1, J Y K de otro pentágono regular girado 1800 con respecto al anterior alrededor del eje común MN. Lo dicho anteriormente se puede apreciar en el esquema de la Fig. 324, en la que se ha descompuesto el icosaedro en un poliedro central y en dos pirámides de base pentagonal, por encima y por debajo del cuerpo central de icosaedro.

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Figura 324

Figura 325

Esos dos pentágonos están situados en dos planos horizontales y se proyectan sobre el plano H en verdadera magnitud, inscritos en una circunferencia de centro las proyecciones de los vértices M y N y radio r, cuya magnitud está indicada en la sección principal con la diagonal principal vertical dibujada en la parte derecha de la Fig. 323. En la Fig. 325 se muestran las construcciones que se emplean para dibujar un pentágono regular de lado 1 y para inscribir un pentágono regular en una circunferencia de radio r.

198 Volviendo a la Fig. 323, una vez dibujadas las proyecciones m'-n', m-n de la diagonal principal, con m y n coincidentes, de dibuja un pentágono regular abcde, de centro m = n y arista 1, o inscrito en una circunferencia de radio r indicado en la sección principal, y otro pentágono regular fgijk inscrito en la misma circunferencia, girado con respecto al anterior 180 Q

•

Se unen los vértices de los dos pentágonos con el centro de la circunferencia teniendo en cuenta que los vértices A, B, C, D YE están en el plano horizontal de mayor cota y que por tanto las proyecciones a-m, b-m, e-m, d-m, y e-m son de trazo continuo y las proyecciones f-n, g-n, i-n, j-n y k-n son de trazos. Posteriormente se unen las proyecciones dé los diez vértices situados en la circunferencia obteniendo como contorno aparente en proyección horizontal un decágono regular.

Las proyecciones verticales de los vértices se obtienen levantando perpendiculares a la línea de tierra por las proyecciones horizontales y situándolas, en dos grupos de cinco, a sus cotas correspondientes, ayudándose de dos paralelas a la línea de tierra trazadas por las líneas de referencia señaladas como ABCDE y FGDK en la sección principal. 2.21.4.5. Dodecaedro Dodecaedro es un poliedro formado por doce caras pentágonos regulares, veinte vértices y treinta aristas, Fig. 326.

13 13

Figura 326

Figura 327

199 Por cada cara existe otra opuesta, paralela a ella y girada 1800 respecto a la recta que une los centros de esas caras. Sección principal de un dodecaedro es la producida por un plano que pase por dos aristas opuestas. Es un exágono irregular en el que dos lados opuestos son iguales a la arista l del dodecaedro y los otros cuatro lados son iguales a la mediana m de los pentágonos regulares que constituyen sus caras. En un dodecaedro existen quince secciones principales como la representada en la Fig. 326. En esa figura se ha dibujado la sección principal A-19-10-B-12-2-A, en la cual los lados 19-10 y 12-2 son aristas, y los otros cuatro A-2, A-19, B-10 YB-12 son medianas de cara.

, La distancia entre dos aristas opuestas, diámetro de la esfera tangente a las aristas (2r.), es la diagonal de un pentágono regular cuyo lado es la diagonal de una de las caras.

En la Fig. 327, la distancia entre las dos aristas opuestas paralelas 20-15 y 17-13 es la misma que existe entre los vértices 20 y 17 del pentágono regular 20-19-18-17-16-20.

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Figura 329

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200 Se une el extremo M, del segmento AM, = 1, perpendicular al lado AB, con el punto medio de AB y se prolonga basta cortar a la semicircunferencia de diámetro AB en N" La distancia M,N, es la diagonal de un pentágono regular de lado AB=J. Se repite la misma construcción con M" N, YM2 Yse obtiene el valor M2N2 =dd de la diagonal de un pentágono regular de lado M,N, =
En esta posición, la cara superior y su opuesta se proyectan sobre el plano H en verdadera magnitud.

Figura 330

201 '.

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A la derecha de la figura se dibuja la sección principal con uno de sus lados de magnitud m adosado a la línea de tierra. En ella se encontrarán los cinco vértices 6, 7, 8, 9 Y 10 de la cara inferior, y por encima de la línea de tierra, a cota 2r¡, los cinco vértices 1, 2, 3, 4 Y 5 de la cara superior. Los diez vértices restantes, en dos grupos de cinco, estarán situados en dos planos intermedios. En proyección horizontal se dibuja un pentágono regular 1-2-3-4-5-1, de lado 1, que será la proyección de la cara superior, y otro pentágono 6-7-8-9-10-6, concéntrico con el anterior y girado 36°, que será la proyección de la cara inferior. Posteriormente se dibuja una circunferencia cuyo radio r se obtiene de la sección principal. Sobre esa circunferencia están situados los diez vértices restantes distribuidos según un decágono regular, con los vértices 11, 12, 13, 14 Y 15 situados en los extremos de los radios que pasan respectivamente por 1, 2, 3, 4 Y 5, Y los vértices 16, 17, 18, 19 Y 20, situados en los extremos de los radios que pasan respectivamente por 6, 7, 8, 9 Y 10.

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Los proyecciones verticales de los vértices se obtienen levantando perpendiculares a la línea de tierra por cada una de las proyecciones horizontales, ayudándose de la seccoón principal para situarlos en sus cotas respectivas. Uniendo adecuadamente las proyecciones de los vértices, formando pentágonos y triedros en cada vértice, y diferenciando partes vistas y ocultas, se obtienen las proyecciones del dodecaedro con una cara apoyada en el plano H .

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En la Fig. 331 se ha esquematizado un dodecaedro con una arista, 1-2, en el plano H, y la sección principal que para por ella, 1-2-A-20-1O-B-1, vertical. En esa posición el dodecaedro tiene una sección principal, 9-1O-D-11-12-C-9 horizontal, a cota r a, que se proyecta sobre el plano H en verdadera magnitud, constituyendo el contorno aparente del poliedro en proyección horizontal. Las dos aristas horizontales 1-2 y 19-20 se proyectan en verdadera magnitud, superpuestas en la parte central del exágono contorno aparente, perpendicularmente a las proyecciones de las aristas 9-10 y 11-12. Dos aristas, 7-14 y 8-13, son perpendiculares al plano Hy se proyectan respectivamente en los vértices d y c del exágono. Las proyecciones horizontales de los ocho vértices restantes se obtienen de la siguiente forma: Se une c con 1 = 19 hasta cortar a 10-d en un punto donde se proyectan los vértices 5 y 18. Se une c con 2-20 hasta cortar a d-11 en un punto donde se proyectan los vértices 6 y 15. Se une d con 1 = 19 hasta cortar a 9-c en un punto donde se proyectan los vértices 7 y 14. Se une d con 2=20 hasta cortar a c-12 en un punto donde se proyectan los vértices 3 y 16.

202

10

Figura 331 La Fig. 332 representa un dodecaedro con una arista en el plano H y la sección principal que pasa por ella vertical. Se empieza a dibujar en proyección horizontal una sección principal del dodecaedro y sobre ella se sitúan las proyecciones 9,10,11 y 12 de cuatro de los vértices del poliedro, numerando como 7 =14 Y 8 = 13 los otros dos vértices del exágono. Superpuestas, centradas y perpendicularmente a 9-10 y 11-12 se dibujan las proyecciones horizontales 1-2 de la arista situada en el plano H y 19-20 de la arista mas alta, a una cota igual a la distancia 2r. entre aristas opuestas del dodecaedro. Uniendo el vértice 7 del exágono con 1, en su intersección con el lado 8-9 se tienen las proyecciones 4 =17 de dos vértices, uniendo 7 con 2 se obtiene 3 =16 sobre el lado 8-19. Repitiendo un proceso análogo desde el vértice 8 del exágono se obtienen las proyecciones 5 = 18 Y6 =15, con lo que se completan las proyecciones horizontales de los veinte vértices del dodecaedro. Las proyecciones verticales de los vértices se obtienen trazando perpendiculares a la línea de tierra y ayudándose de la sección principal 1-2-A-20-19-B-1, con un lado de magnitud 1 en la línea de tierra, para obtener las correspondientes cotas. Uniendo ordenadamente las proyecciones de los vértices, formando pentágonos y triedros en cada vértice, y diferenciando partes vistas y ocultas, se obtienen las proyecciones del dodecaedro con una arista en el plano H y la sección principal que pasa por ella vertical.

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Figura 332

La Fig. 333 representa un dodecaedro con una diagonal vertical. En esta posición hay seis aristas, en dos grupos de tres, situadas en dos planos horizontales, que se proyectan sobre el plano H en verdadera magnitud. )

Para obtener las proyecciones del dodecaedro se dibuja una sección principal con la diagonal 1-20 en posición vertical a la derecha de la figura y sobre ella se indican las cotas de los viente vértices, que están situados en seis planos horizontales. Con centro en la proyección horizontal 1 =20 de la diagonal vertical 1'-20', 1-20 se dibujan dos circunferencias auxiliares de radios r1 y r2, cuyas magnitudes están indicadas en la sección principal.

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Figura 333

Sobre la circunferencia de radio rl se sitúan las proyecciones 2, 3 Y4 de los tres vértices más próximos a! mas bajo 1, y las proyecciones 17, 18 Y 19 de los tres vértices mas cercanos a! mas alto 20, a intervalos de 60° y alternados. En los puntos de intersección de los radios que pasan pqr los vértices anteriores con la circunferencia de radio r" se dibujan tangentes a la circunferencia de longitud el valor de la arista. Son las proyecciones horizontales 5-6, 7-8 Y 9-10 de las tres aristas horizontales mas próximas al vértice 1, y las proyecciones horizontales 11-12, 13-14 y 1516 de las tres aristas horizontales mas próximas al vértice 20. Con estas dos construcciones se tienen las proyecciones horizontales de los viente vértices del dodecaedro, solo queda unirlos de forma ordenada y diferenciar partes vistas y ocultas. Levantando perpendiculares a la línea de tierra, ayudándose de la sección principal con la diagonal vertical, se obtienen las proyecciones verticales de los veinte vértices, que unidos convenientemente proporcionan la proyección vertical del dodecaedro con una diagonal vertical.