Apuntes Cálculo Infinitesimal

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

1

´ 0. TEMAS BASICOS 0.1. CONJUNTOS 0.1.1. Definici´ on Un conjunto es una colecci´on bien definida de objetos, llamados elementos del conjunto. En general, los conjuntos se representan con letras may´ usculas y sus elementos con letras min´ usculas. Si el conjunto X est´a formado por los elementos a, b y c, se indica: X = {a, b, c} y se utiliza la notaci´on “a ∈ X” para indicar que “el elemento a pertenece al conjunto X”, y la notaci´on “p ∈ / X” para indicar que “el elemento p no pertenece al conjunto X”. Los conjuntos se pueden definir de dos maneras: • Por extensi´ on, nombrando a todos sus elementos: A = {a, b, c, d, e, . . .} • Por comprensi´ on, dando una propiedad que verifican todos y cada uno de sus elementos: A = {x : x verifica la propiedad P } Un conjunto sin elementos se llama conjunto vac´ıo y se representa por ∅. Una definici´on, por comprensi´on, del conjunto vac´ıo es: ∅ = {x : x 6= x} Se dice que el conjunto A es un subconjunto del conjunto B, o que A est´ a contenido en B, si todos los elementos de A son elementos de B, y se indica A ⊂ B. Obviamente: A = B ⇐⇒ A ⊂ B y B ⊂ A

0.1.2. Ejemplos 1. El conjunto de los n´ umeros naturales, definido por extensi´on, es: N = {1, 2, 3, . . . , n, . . .} Cuando al conjunto de los n´ umeros naturales se les a˜ nade el cero, se obtiene el conjunto: N∗ = {0, 1, 2, 3, . . . , n, . . .} 2. Dos subconjuntos de los n´ umeros naturales son los n´ umeros pares y los impares, cuya definici´on por extensi´on y por comprensi´on es: P = {2, 4, 6, 8, . . .} = {x : x = 2n, n ∈ N} I = {1, 3, 5, 7, . . .} = {x : x = 2n − 1, n ∈ N} umeros enteros, definido por extensi´on, es: 3. El conjunto de los n´ Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} = {0, ±1, ±2, ±3, . . .} 4. El conjunto de los n´ umeros racionales, definido por comprensi´on, es: ½ ¾ p Q= : p, q ∈ Z y q 6= 0 q

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

2

0.1.3. Operaciones con conjuntos • La uni´ on de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B formado por todos los elementos que est´an en A o en B (o en ambos a la vez): A ∪ B = {x : x ∈ A o x ∈ B} • La intersecci´ on de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B formado por todos los elementos que est´an en A y en B: A ∩ B = {x : x ∈ A y x ∈ B} Dos conjuntos se llaman disjuntos si su intersecci´ on es vac´ıa, es decir, si no tienen elementos comunes. • Dados dos conjuntos A y B, la diferencia A \ B es el conjunto formados por aquellos elementos de A que no est´an en B: A \ B = {x : x ∈ A y x ∈ / B} Tambi´en se puede considerar la diferencia B \ A. Los conjuntos A \ B y B \ A son disjuntos.

0.1.4. Ejemplo Dados los conjuntos: A = {a, b, c, d, e}

B = {d, e, f, g}

C = {a, b, c}

entonces: A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, g}

A ∪ C = {a, b, c, d, e} = A

B ∪ C = {a, b, c, d, e, f, g} = A ∪ B

A ∩ B = {d, e}

A ∩ C = {a, b, c} = C

B ∩ C = ∅ (son disjuntos)

A \ B = {a, b, c} = C

A \ C = {d, e}

B \ C = {d, e, f, g} = B

B \ A = {f, g}

C \A=∅

C \ B = {a, b, c} = C

0.1.5. Propiedades de las operaciones con conjuntos Conmutativa:

A∪B =B∪A

A∩B =B∩A

Idempotente:

A∪A=A

A∩A=A

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Asociativa: Distributiva:

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Si A ⊂ B:

A∪B =B

A∩B =A

Si A ⊂ B:

A\B =∅

Otras propiedades:

A⊂A∪B

A∩B ⊂A

B ⊂A∪B

A∩B ⊂B

A\B ⊂A

(A \ B) ∩ B = ∅

0.1.6. Cuantificadores l´ ogicos En matem´aticas se utilizan con frecuencia los llamados cuantificadores existencial y universal: “∃” que significa “existe”

“∀” que significa “para todo”

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

1

´ 0. TEMAS BASICOS ´ 0.2. EL PRINCIPIO DE INDUCCION 0.2.1. Definici´ on Sea N = {1, 2, 3, . . .} el conjunto de los n´ umeros naturales, y P (n) una cierta propiedad que puede ser o no cierta para cada n´ umero natural n. El principio de inducci´ on matem´ atica afirma que si: i) P (1) es cierta, es decir, el n´ umero natural 1 verifica la propiedad, y ii) suponiendo que P (k) es cierta se puede probar que P (k + 1) tambi´en es cierta, entonces, cualquier n´ umero natural verifica la propiedad.

0.2.2. Observaciones 1. El principio de inducci´on se basa en que los n´ umeros naturales forman un conjunto cuyo primer elemento es el 1 y que est´a bien ordenado (todo subconjunto suyo tiene un primer elemento). 2. Si la hip´otesis i), “P (1) es cierta”, se cambia por “P (n0 ) es cierta”, con n0 ∈ N, entonces el principio de inducci´on concluye que la propiedad es cierta para cualquier n´ umero natural n ≥ n0 .

0.2.3. Ejemplos 1. Demuestra que para cualquier n´ umero natural n se cumple que: 1 + 2 + 3 + ... + n =

n(n + 1) 2

Soluci´ on: En primer lugar, es f´acil comprobar que la propiedad es cierta para n = 1: 1=

1(1 + 1) 2

Ahora, suponiendo que la propiedad es cierta para n = k, es decir, que se cumple: 1 + 2 + 3 + ... + k =

k(k + 1) 2

hay que probar que se cumple para n = k + 1: k(k + 1) + (k + 1) = 2 k(k + 1) + 2(k + 1) (k + 1)(k + 2) (k + 1)[(k + 1) + 1] = = = 2 2 2

1 + 2 + 3 + . . . + k + (k + 1) = (1 + 2 + 3 + . . . + k) + (k + 1) =

lo que asegura que la propiedad es cierta para n = k + 1. Entonces, por el principio de inducci´on matem´atica, la propiedad es cierta para cualquier n´ umero natural. umero natural n se cumple que: 2. Demuestra que para cualquier n´ 12 + 22 + 32 + . . . + n2 =

n(n + 1)(2n + 1) 6

Soluci´ on: La propiedad es cierta para n = 1: 12 =

1(1 + 1)(2 · 1 + 1) 6

y, suponiendo que la propiedad es cierta para n = k, es decir, que se cumple: 12 + 22 + 32 + . . . + k 2 =

k(k + 1)(2k + 1) 6

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

2

hay que probar que se cumple para n = k + 1: ¡ ¢ 12 + 22 + 32 + . . . + k 2 + (k + 1)2 = 12 + 22 + 32 + . . . + k 2 + (k + 1)2 = k(k + 1)(2k + 1) k(k + 1)(2k + 1) + 6(k + 1)2 + (k + 1)2 = = ¡6 2 ¢ ¡ 2 6 ¢ (k + 1) 2k + k + 6k + 6 (k + 1) 2k + 7k + 6 = = = 6 6 (k + 1)(k + 2)(2k + 3) (k + 1)[(k + 1) + 1][2(k + 1) + 1] = = 6 6

=

lo que asegura que la propiedad es cierta para n = k + 1. Entonces, por el principio de inducci´on matem´atica, la propiedad es cierta para cualquier n´ umero natural. umero natural n se cumple que n3 − n es divisible por 6. 3. Demuestra que para cualquier n´ Soluci´ on: La propiedad es cierta para n = 1: 13 − 1 = 0

que es divisible por 6

y, suponiendo que la propiedad es cierta para n = k, es decir, que k 3 − k es divisible por 6: k 3 − k = 6p hay que probar que se cumple para n = k + 1. Operando: (k + 1)3 − (k + 1) = k 3 + 3k 2 + 3k + 1 − k − 1 = k 3 + 3k 2 + 2k = (k 3 − k) + 3k 2 + 3k = 6p + 3k(k + 1) y teniendo en cuenta que el producto de un n´ umero por su siguiente es m´ ultiplo de 2, ya que alguno de ellos es par, se cumple que: (k + 1)3 − (k + 1) = 6p + 3k(k + 1) = 6p + 3 · 2q = 6(p + q) de donde se concluye que es m´ ultiplo de 6 y la propiedad es cierta para n = k + 1. Entonces, por el principio de inducci´on matem´atica, la propiedad es cierta para cualquier n´ umero natural. umero natural n ≥ 4 se cumple que 2n < n!. 4. Demuestra que para cualquier n´ Soluci´ on: La propiedad es cierta para n = 4: ( 24 = 16 =⇒ 24 < 4! 4! = 24 Suponiendo que la propiedad es cierta para n = k: 2k < k! es decir, que 2k − k! < 0 hay que probar que se cumple para n = k + 1. Puesto que 2 < k + 1, para k ≥ 4, entonces: 2k+1 − (k + 1)! = 2 · 2k − (k + 1)k! < (k + 1)2k − (k + 1)k! = (k + 1)(2k − k!) < 0 de donde se deduce que 2k+1 < (k + 1)! y la propiedad es cierta para n = k + 1. Entonces, por el principio de inducci´on matem´atica, la propiedad es cierta para cualquier n´ umero natural n ≥ 4.

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

3

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Demuestra que para cualquier n´ umero natural n ∈ N se cumple que: µ ¶ n(n + 1) 2 3 3 3 3 1 + 2 + 3 + ... + n = 2 Soluci´ on: La propiedad es cierta para n = 1: µ 3

1 =

1·2 2

¶2

y, suponiendo que la propiedad es cierta para n = k, es decir, que se cumple: µ ¶ k(k + 1) 2 3 3 3 3 1 + 2 + 3 + ... + k = 2 hay que probar que se cumple para n = k + 1: ¡ ¢ 13 + 23 + 33 + . . . + k 3 + (k + 1)3 = 13 + 23 + 33 + . . . + k 3 + (k + 1)3 = µ ¶ k(k + 1) 2 k 2 (k + 1)2 + 4(k + 1)3 (k + 1)2 (k 2 + 4k + 4) + (k + 1)3 = = = = 2 4 4 µ ¶ (k + 1)2 (k + 2)2 (k + 1)[(k + 1) + 1] 2 = = 4 2 lo que asegura que la propiedad es cierta para n = k + 1. Entonces, por el principio de inducci´on matem´atica, la propiedad es cierta para cualquier n´ umero natural. umero n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 es divisible por 9. 2. Demuestra que para cualquier n ∈ N el n´ Soluci´ on: La propiedad es cierta para n = 1: 13 + 23 + 33 = 36 que es divisible por 9 y, suponiendo que la propiedad es cierta para n = k, es decir, que k 3 + (k + 1)3 + (k + 2)3 es divisible por 9: k 3 + (k + 1)3 + (k + 2)3 = 9p hay que probar que se cumple para n = k + 1. Operando: (k + 1)3 + (k + 2)3 + (k + 3)3 = (k + 1)3 + (k + 2)3 + k 3 + 9k 2 + 27k + 27 = = [k 3 + (k + 1)3 + (k + 2)3 ] + 9(k 2 + 3k + 3) = 9p + 9(k 2 + 3k + 3) que es m´ ultiplo de 9, y la propiedad es cierta para n = k +1. Entonces, por el principio de inducci´on matem´atica, la propiedad es cierta para cualquier n´ umero natural. 3. Demuestra que para cualquier n ∈ N el n´ umero 3 · 52n+1 + 23n+1 es m´ ultiplo de 17. Soluci´ on: La propiedad es cierta para n = 1: 3 · 52·1+1 + 23·1+1 = 3 · 53 + 24 = 391 = 23 · 17 y, suponiendo que la propiedad es cierta para n = k, es decir, que 3 · 52k+1 + 23k+1 es m´ ultiplo de 17: 3 · 52k+1 + 23k+1 = 17p (1) hay que probar que se cumple para n = k + 1. Operando: 3 · 52(k+1)+1 + 23(k+1)+1 = 3 · 52k+3 + 23k+4 = 25 · 3 · 52k+1 + 8 · 23k+1 y usando (??):

³ ´ 3 · 52(k+1)+1 + 23(k+1)+1 = 25 17p − 23k+1 + 8 · 23k+1 = 25 · 17p − 25 · 23k+1 + 8 · 23k+1 = ³ ´ = 25 · 17p − 17 · 23k+1 = 17 25p − 23k+1

que es m´ ultiplo de 17, y la propiedad es cierta para n = k + 1. Entonces, por el principio de inducci´on matem´atica, la propiedad es cierta para cualquier n´ umero natural.

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

4

4. Demuestra que, siendo a > 0, para cualquier n´ umero natural n ∈ N se cumple que: (1 + a)n ≥ 1 + an Soluci´ on: La propiedad es cierta para n = 1: (1 + a)1 ≥ 1 + a · 1 y, suponiendo que la propiedad es cierta para n = k, es decir, que: (1 + a)k ≥ 1 + ak hay que probar que se cumple para n = k + 1. Operando: (1 + a)k+1 = (1 + a)k (1 + a) ≥ (1 + ak)(1 + a) = 1 + ak + a + a2 k = 1 + a(k + 1) + a2 k ≥ 1 + a(k + 1) ya que a2 k ≥ 0, de donde se concluye que la propiedad es cierta para n = k + 1. Entonces, por el principio de inducci´on matem´atica, la propiedad es cierta para cualquier n´ umero natural. umero natural n ∈ N se cumple que: 5. Demuestra que para cualquier n´ µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ n n n n + + + ... + = 2n 0 1 2 n Soluci´ on: La propiedad es cierta para n = 1: µ ¶ µ ¶ 1 1 + = 21 0 1 y, suponiendo que la propiedad es cierta para n = k, es decir, que: µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ k k k k + + + ... + = 2k 0 1 2 k hay que probar que se cumple para n = k +1. Usando las propiedades de los n´ umeros combinatorios y operando: µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ k+1 k+1 k+1 k+1 k+1 + + + ... + + = 0 1 2 k k+1 µ ¶ ·µ ¶ µ ¶¸ ·µ ¶ µ ¶¸ ·µ ¶ µ ¶¸ µ ¶ k k k k k k k k = + + + + + ... + + + = 0 0 1 1 2 k−1 k k ·µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶¸ k k k k =2 + + + ... + = 2 · 2k = 2k+1 0 1 2 k de donde se concluye que la propiedad es cierta para n = k + 1. Entonces, por el principio de inducci´on matem´atica, la propiedad es cierta para cualquier n´ umero natural.

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Demuestra, usando el principio de inducci´on matem´atica, que para cualquier n´ umero natural n ∈ N se cumple cada una de las siguientes propiedades: n(n + 1)(6n3 + 9n2 + n − 1) 30 1 1 1 n 1 + + + ... + = (b) 1·2 2·3 3·4 n(n + 1) n+1 µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ n n n n (c) +2 +3 + ... + n = n2n−1 1 2 3 n (a) 14 + 24 + 34 + . . . + n4 =

(d) 7n − 1 es divisible por 6 (e) 22n + 15n − 1 es m´ ultiplo de 9 (f) 22n > n2

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

1

´ 0. TEMAS BASICOS ´ 0.3. NUMEROS COMBINATORIOS. EL BINOMIO DE NEWTON. 0.3.1. Definiciones • Se define el factorial de un n´ umero natural n ≥ 1 como el producto de todos los n´ umeros naturales no nulos menores o iguales que dicho n´ umero: n! = n · (n − 1) · . . . · 3 · 2 · 1 y el de cero como: 0! = 1. • Dados dos n´ umeros naturales n ≥ m ≥ 0 se define el n´ umero combinatorio n sobre m como µ ¶ n n! n(n − 1) . . . (n − m + 1) = = m m!(n − m)! m!

0.3.2. Interpretaci´ on y aplicaciones umero de ordenaciones distintas que se pueden hacer con n elementos. • El factorial de n es el n´ • El n´ umero combinatorio n sobre m es el n´ umero de elecciones distintas de m elementos que se pueden hacer de entre un conjunto de n elementos. En otras palabras, es el n´ umero de subconjuntos de m elementos que tiene un conjunto de n elementos.

0.3.3. Ejemplos 1. Algunos ejemplos de c´alculo de factoriales: 2! = 2 · 1 = 2

4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24

7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040

umeros combinatorios: 2. Algunos ejemplos de c´alculo de n´ µ ¶ µ ¶ 5 5! 5 · 4! 7 7! 7 · 6 · 5 · 4! 210 = == =5 = == = = 35 1 1! · 4! 4! 3 3! · 4! 3 · 2 · 1 · 4! 6

µ ¶ 7 = 35 4

0.3.4. Propiedades. El tri´ angulo de Tartaglia 1. Para cada cualquier n´ umero natural n: µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ n n n n = =1 y si n ≥ 1: = =n 0 n 1 n−1 umeros naturales n ≥ m: 2. Para cualesquiera n´ µ ¶ µ ¶ n n = m n−m 3. Para cualesquiera n´ umeros naturales n > m: µ ¶ µ ¶ µ ¶ n n n+1 + = m m+1 m+1 4. Usando la propiedad anterior, se construye el tri´ angulo de Tartaglia, donde cada n´ umero es la suma de los dos que est´an inmediatamente por encima, cuyas formas combinatoria y num´erica aparecen a continuaci´on:

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

2

¡0¢ ¡1¢ ¡2¢ ¡3¢ ¡4¢ ¡5¢ ¡6¢ ···

0

0

···

0

1

···

1

2

···

2

2

3

···

1

¡2¢ 2

3

3

4

···

1

¡4¢

¡5¢

¡6¢ 4

1

¡3¢

¡4¢

¡5¢

¡6¢ 3

1

¡3¢

¡4¢

¡5¢

¡6¢ 2

1

1

1

¡1¢

¡2¢

¡3¢

¡4¢

¡5¢

¡6¢ 1

0

0

0

0

4

¡6¢ 5

1

¡5¢ 5

···

1

¡6¢ 6

1 ···

···

2 3

4 5

6 ···

1 3

6 10

15 ···

1

4 10

20 ···

1 1 5 15

···

1 6

···

1 ···

···

El tri´angulo de Tartaglia resulta muy u ´til cuando hay que hallar todos los n´ umeros combinatorios del mismo orden.

0.3.5. El binomio de Newton Para hallar potencias naturales de un binomio se usa la siguiente f´ormula: µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ n µ ¶ n n n n−1 n n−2 2 n n n X n n−k k n−1 (a + b) = a + a b+ a b + ... + ab + b = a b 0 1 2 n−1 n k n

k=0

0.3.6. Ejemplos µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ 4 4 4 3 4 2 2 4 4 4 3 (3 + x) = 3 + 3 x+ 3 x + 3x + x = 81 + 108x + 54x2 + 12x3 + x4 0 1 2 3 4 µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ 5 5 5 4 5 3 5 2 5 5 5 2 3 (3 − 2x) = (3 + (−2x)) = 3 + 3 (−2x) + 3 (−2x) + 3 (−2x) + 3(−2x)4 + 0 1 2 3 4 µ ¶ 5 + (−2x)5 = 1 · 243 − 5 · 81 · 2x + 10 · 27 · 4x2 − 10 · 9 · 8x3 + 5 · 3 · 16x4 − 32x5 = 5 4

= 243 − 810x + 1080x2 − 720x3 + 240x4 − 32x5 ¶4 µ ¶ µ ¶ µ ¶2 µ ¶ µ ¶3 µ µ ¶ µ ¶ 4 2 −2 4 4 4 4 2 −2 2 2 −2 2 2 2 4 2 3 −2 + (x ) x − = x + = (x ) + (x ) + x + x x 0 1 x 2 x 3 x µ ¶ µ ¶4 4 −2 32 16 + 4 + = x8 − 8x5 + 24x2 − x x x 4

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

1

´ 1. CONJUNTOS DE NUMEROS ´ 1.1. NUMEROS REALES Cualquier n´ umero racional tiene una expresi´on decimal finita o peri´odica y viceversa, es decir, cualquier expresi´on decimal finita o peri´odica es un n´ umero racional: ½ ¾ p Q= : p, q ∈ Z y q 6= 0 = {n´ umeros cuya expresi´on decimal es finita o peri´odica} q Pero existen otros n´ umeros cuya expresi´on decimal es infinita no peri´odica: √ √ 1 3 e e2 3, 101001000100001 . . . 2 5 π π que forman el conjunto de los n´ umeros irracionales: I = {n´ umeros cuya expresi´on decimal es infinita no peri´odica} y que es disjunto con el anterior: Q ∩ I = ∅.

1.1.1. Definici´ on El conjunto R de los n´ umeros reales es la uni´on de los conjuntos de n´ umeros racionales e irracionales: R=Q∪I Su representaci´on gr´afica sobre una recta da lugar a la recta real: √ 2 −4

−3

−2

−1

0

1

?

e 2

π

? ?

3

4

A cada n´ umero real le corresponde un punto de la recta real y viceversa, cada punto de la recta real corresponde a un n´ umero real.

1.1.2. Orden en la recta real Dados dos n´ umeros reales a, b ∈ R se dice que a < b, que se lee a es menor que b, si b − a es positivo, es decir: a < b ⇐⇒ b − a es positivo La relaci´on a < b es equivalente a b > a, que se lee b es mayor que a. Las siguientes propiedades del orden son f´aciles de comprobar: 1. Tricotom´ıa: Para cada a, b ∈ R ocurre una y s´olo una de las afirmaciones: a < b o a = b o a > b 2. Transitiva:

a < b y b < c =⇒ a < c

3. Adici´ on:

a < b ⇐⇒ a + c < b + c ( ac < bc si c > 0 4. Producto: a < b ⇐⇒ ac > bc si c < 0 a a > 0 ⇐⇒ ab > 0 y < 0 ⇐⇒ ab < 0 b b 6. Densidad: Entre cada dos n´ umeros reales distintos hay infinitos n´ umeros racionales e infinitos n´ umeros irracionales.

5. Divisi´ on:

La relaci´on de orden a ≤ b, que se lee a es menor o igual que b, est´a definida por: a ≤ b ⇐⇒ b − a es positivo o cero Son equivalentes a ≤ b y b ≥ a. Si en las propiedades anteriores se cambian los s´ımbolos < y > por ≤ y ≥, respectivamente, se siguen cumpliendo 2, 3 y 4, y tambi´en 5 si se a˜ nade la condici´on (ya sobreentendida) de que b 6= 0.

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

2

1.1.3. Intervalos Se llaman intervalos a conjuntos de n´ umeros reales formados por todos aquellos que est´an comprendidos entre dos dados, llamados extremos del intervalo. Una lista completa de los distintos intervalos, con su definici´on conjuntista y representaci´on gr´afica (el punto ”hueco” indica que no pertenece al conjunto y el ”lleno” que s´ı pertenece), se puede ver en la siguiente tabla: r

cerrado

[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}

a

abierto

(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}

a

semiabierto o semicerrado

[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}

a

semiabierto o semicerrado

(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}

a

infinito cerrado

[a, +∞) = {x ∈ R : x ≥ a}

a

infinito abierto

(a, +∞) = {x ∈ R : x > a}

a

infinito cerrado

(−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}

infinito abierto

(−∞, b) = {x ∈ R : x < b}

recta real

(−∞, +∞) = R

b r b

r

b

b

b

b

b

r

b

r

-

b

-

¾ ¾ ¾

r

b

b

b

-

1.1.4. Valor absoluto El valor absoluto de un n´ umero real a, que se representa |a|, es dicho n´ umero cuando es mayor o igual que cero, y su opuesto cuando es negativo. Otras formas de definir el valor absoluto son: ( √ a si a ≥ 0 |a| = = max {a, −a} = a2 −a si a < 0 Por ejemplo: |3| = 3

|−5| = −(−5) = 5

|0| = 0

|−1, 3| = 1, 3

|−3| = max {−3, 3} = 3 p √ |−5| = (−5)2 = 25 = 5

Interpretaci´ on geom´ etrica: Sobre la recta real, la distancia de un n´ umero al origen (cero) es su valor absoluto, y la distancia entre dos n´ umeros reales es el valor absoluto de su diferencia: d(a, 0) = |a|

d(a, b) = |b − a|

Teniendo en cuenta la interpretaci´on geom´etrica, es f´acil comprobar una buena parte de las siguientes propiedades del valor absoluto: 1. |a| = |−a| 2. Si a ≥ 0: |x| = a ⇐⇒ x = ±a. En particular: |x| = 0 ⇐⇒ x = 0. 3. Si a ≥ 0: |x| < a ⇐⇒ −a < x < a ⇐⇒ x ∈ (−a, a) |x| ≤ a ⇐⇒ −a ≤ x ≤ a ⇐⇒ x ∈ [−a, a] 4. Si a ≥ 0: |x| > a ⇐⇒ x > a o x < −a ⇐⇒ x ∈ (−∞, −a) ∪ (a, +∞) |x| ≥ a ⇐⇒ x ≥ a o x ≤ −a ⇐⇒ x ∈ (−∞, −a] ∪ [a, +∞) 5. x > |a| ⇐⇒ x > max {−a, a} ⇐⇒ x > a y x > −a x ≥ |a| ⇐⇒ x ≥ max {−a, a} ⇐⇒ x ≥ a y x ≥ −a

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

3

6. |ab| = |a| |b| 7. |an | = |a|n ¯ a ¯ |a| ¯ ¯ 8. Si b 6= 0: ¯ ¯ = b |b| 9. Desigualdad triangular: |a ± b| ≤ |a| + |b| La demostraci´on para la suma se obtiene como sigue: ( − |a| ≤ a ≤ |a| =⇒ −(|a| + |b|) ≤ a + b ≤ |a| + |b| =⇒ |a + b| ≤ |a| + |b| sumando (3) − |b| ≤ b ≤ |b| y, a partir de esta, se obtiene para la diferencia: |a − b| = |a + (−b)| ≤ |a| + |−b| = |a| + |b| 10. |a ± b| ≥ ||a| − |b|| La demostraci´on para la diferencia se obtiene como sigue:   |b| = |(b − a) + a| ≤ |b − a| + |a| =⇒ |b − a| ≥ |b| − |a| = −(|a| − |b|) (9)

 |a| = |(a − b) + b| ≤ |a − b| + |b| =⇒ |a − b| ≥ |a| − |b|

=⇒ |a − b| ≥ ||a| − |b|| (5)

(9)

y, a partir de esta, se obtiene para la suma: |a + b| = |a − (−b)| ≥ ||a| − |−b|| = ||a| − |b||

1.1.5. Ejemplos Transforma las siguientes expresiones en otras equivalentes sin valores absolutos: 1. x + |x + |x||

2. |x + 2| − |x − 1|

Soluci´ on: 1. Se distinguen los casos en que x es positivo y negativo: ( x ≥ 0 =⇒ x + |x + |x|| = x + |x + x| = x + |2x| = x + 2 |x| = x + 2x = 3x x < 0 =⇒ x + |x + |x|| = x + |x − x| = x + |0| = x La expresi´on sin valores absolutos es: ( x + |x + |x|| =

3x si x ≥ 0 x si x < 0

2. La expresi´on x + 2 cambia de signo en x = −2, siendo negativa si x < −2 y positiva si x ≥ −2, mientras que la expresi´on x − 1 cambia de signo en x = 1, siendo negativa si x < 1 y positiva si x ≥ 1. Teniendo en cuenta esto, hay que distinguir tres casos:   x < −2 =⇒ |x + 2| − |x − 1| = −(x + 2) − [−(x − 1)] = −x − 2 + x − 1 = −3 −2 ≤ x < 1 =⇒ |x + 2| − |x − 1| = (x + 2) − [−(x − 1)] = x + 2 + x − 1 = 2x + 1   x ≥ 1 =⇒ |x + 2| − |x − 1| = (x + 2) − (x − 1) = x + 2 − x + 1 = 3 La expresi´on sin valores absolutos es:   si x < −2  −3 |x + 2| − |x − 1| = 2x + 1 si −2 ≤ x < 1   3 si x ≥ 1

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

4

1.1.6. Entornos Se llama entorno abierto de centro a ∈ R y radio r > 0 al intervalo abierto: (a − r, a + r) = {x : a − r < x < a + r} = {x : −r < x − a < r} = {x : |x − a| < r} que est´a formado por todos los n´ umeros reales cuya distancia a a es menor que r: r

b

a−r

a

b

a+r

An´alogamente, se llama entorno cerrado de centro a ∈ R y radio r > 0 al intervalo cerrado: [a − r, a + r] = {x : a − r ≤ x ≤ a + r} = {x : −r ≤ x − a ≤ r} = {x : |x − a| ≤ r} que est´a formado por todos los n´ umeros reales cuya distancia a a es menor o igual que r: r

r

a−r

a

r

a+r

1.1.7. Propiedad de los intervalos encajados Cualquier familia de intervalos cerrados encajados cuyas longitudes tienden a cero intersecan en un u ´nico punto: ( ∞ \ [a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ [a3 , b3 ] ⊃ . . . ⊃ [an , bn ] ⊃ . . . =⇒ [an , bn ] = {x} lim (bn − an ) = 0 n→∞

n=1

es decir, existe un u ´nico n´ umero real x que pertenece a todos los intervalos. Observaci´ on: La propiedad de los intervalos encajados no es cierta, en general, para intervalos no cerrados. Por ejemplo: ¶ ¸ ∞ µ ∞ µ \ \ 1 1 0, =∅ 0, =∅ n n n=1

n=1

1.1.8. Conjuntos acotados • Un conjunto A ⊂ R est´a acotado superiormente si existe un n´ umero real M , llamado cota superior, tal que a ≤ M para cualquier a ∈ A. La menor de las cotas superiores se llama supremo y, si pertenece al conjunto A, m´ aximo. • Un conjunto A ⊂ R est´a acotado inferiormente si existe un n´ umero real m, llamado cota inferior, tal que a ≥ m para cualquier a ∈ A. La mayor de las cotas inferiores se llama ´ınfimo y, si pertenece al conjunto A, m´ınimo. • Se dice que un conjunto A ⊂ R est´ a acotado cuando lo est´a superior e inferiormente, es decir, cuando existen m y M tales que m ≤ a ≤ M para cualquier a ∈ A.

1.1.9. Ejemplos 1. El conjunto A = (−1, 3] est´a acotado siendo: Cotas inferiores: −1, −3, −7, ...

´Infimo: −1

M´ınimo: no hay

Cotas superiores: 3, 5, π, ...

Supremo: 3

M´aximo: 3

2. El conjunto B = (−∞, 2) est´a acotado superiormente pero no lo est´a inferiormente, siendo: √ Cotas superiores: 2, 5, 7, ... Supremo: 2 M´aximo: no hay En consecuencia, el conjunto B no est´a acotado.

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

5

1.1.10. Inecuaciones. Conjuntos definidos por inecuaciones La soluci´on de una inecuaci´ on es, en general, un conjunto de n´ umeros reales. En matem´aticas aparecen con frecuencia conjuntos de n´ umeros reales definidos mediante inecuaciones o desigualdades.

1.1.11. Ejemplos Resuelve las siguientes inecuaciones expresando sus soluciones mediante intervalos: 1. x2 + 3x − 4 ≥ 0

(x + 3)5 (x − 4)2 <0 ¯ 2 x ¯− 1 4. ¯x − 2¯ ≤ 1 3.

2. (x + 3)5 (x − 1)(x − 4)2 < 0

5. |2x + 3| > 5 6. |x + 1| + |x − 2| < 7

Soluci´ on: 1. Se representa gr´aficamente la par´abola asociada, y = x2 + 3x − 4, que es una par´abola con sus ramas hacia arriba (el coeficiente de segundo grado es a = 1 > 0) y que corta al eje de abscisas en los puntos: y ½ √ 1 x2 + 3x − 4 = 0 =⇒ x = −3± 2 9+16 = −4 De la gr´afica se deduce que:

−4

O

1

x

x2 + 3x − 4 ≥ 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞, −4] ∪ [1, +∞)

Por tanto, es soluci´on cualquier n´ umero real x ∈ (−∞, −4] ∪ [1, +∞). 2. Puesto que las potencias pares son positivas y el signo de las impares coincide con el signo de la base, la inecuaci´on es equivalente a: (x + 3)5 (x − 1)(x − 4)2 < 0 ⇐⇒ (x + 3)(x − 1) < 0 que es la inecuaci´on asociada a la par´abola y = (x + 3)(x − 1), cuyas ramas van hacia arriba y corta al eje de abscisas en los puntos x = −3 y x = 1, de donde se deduce que: (x + 3)(x − 1) < 0 ⇐⇒ −3 < x < 1 ⇐⇒ x ∈ (−3, 1) Por tanto, su soluci´on es cualquier n´ umero real x ∈ (−3, 1). 3. Puesto que el signo de un cociente entre dos n´ umeros (no nulos) coincide con el signo de su producto: (x + 3)5 (x − 4)2 < 0 ⇐⇒ (x + 3)5 (x − 4)2 (x − 1) < 0 x−1 y esta inecuaci´on es la resuelta en el ejemplo anterior cuya soluci´on es cualquier n´ umero real x ∈ (−3, 1). 4. Usando las propiedades del valor absoluto y de las desigualdades: √ ¯ 2 ¯ ¯x − 2¯ ≤ 1 ⇐⇒ −1 ≤ x2 − 2 ≤ 1 ⇐⇒ 1 ≤ x2 ≤ 3 ⇐⇒ 1 ≤ |x| ≤ 3 Distinguiendo los casos en que x es positivo o negativo: ( ( √ √ √ 1≤x≤ 3 , si x ≥ 0 1≤x≤ 3 √ √ ⇐⇒ 1 ≤ |x| ≤ 3 ⇐⇒ 1 ≤ −x ≤ 3 , si x < 0 − 3 ≤ x ≤ −1 √ √ Por tanto, su soluci´on es cualquier n´ umero real x ∈ [− 3, −1] ∪ [1, 3].

, si x ≥ 0 , si x < 0

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

6

5. Usando las propiedades del valor absoluto y de las desigualdades:   2x + 3 > 5 ⇐⇒ 2x > 2 ⇐⇒ x > 1 |2x + 3| > 5 ⇐⇒ ´o ⇐⇒ x ∈ (−∞, −4) ∪ (1, +∞)   2x + 3 < −5 ⇐⇒ 2x < −8 ⇐⇒ x < −4 6. Puesto que x + 1 cambia de signo en x = −1 y x − 2 cambia de signo en x = 2, para quitar los valores absolutos se distinguen tres casos: • Si x < −1: |x + 1|+|x − 2| = −(x+1)−(x−2) = −2x+1 < 7 ⇐⇒ −2x < 6 ⇐⇒ x > −3 ⇐⇒ x ∈ (−3, −1) • Si −1 ≤ x < 2: |x + 1| + |x − 2| = (x + 1) − (x − 2) = 3 < 7 ⇐⇒ x ∈ [−1, 2) • Si x ≥ 2: |x + 1| + |x − 2| = (x + 1) + (x − 2) = 2x − 1 < 7 ⇐⇒ 2x < 8 ⇐⇒ x < 4 ⇐⇒ x ∈ [2, 4) Uniendo estos intervalos, (−3, −1) ∪ [−1, 2) ∪ [2, 4) = (−3, 4), se obtiene la soluci´on que es cualquier n´ umero real x ∈ (−3, 4), es decir, que verifique: −3 < x < 4.

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Para cada una de las siguientes sucesiones de intervalos, analiza si se cumplen las hip´otesis de la propiedad de los intervalos encajados y calcula la intersecci´ on: ¶ · ¶ µ ¶ · ¸ µ 1 1 1 2 −1 1 , (b) In = 0, (c) In = 0, (d) In = , (e) In = [n, +∞) (a) In = n n n n n n 2. Calcula: (a)

∞ · [ n=2

1 1 1 + ,2 − n n

¸ (b)

∞ · \ n=1

1 1 2 − ,2 + n n

¸

¶ ∞ µ \ 1 1 (c) 1 + ,2 + n n n=1

3. Calcula, si existen, cotas superiores e inferiores, supremo e ´ınfimo, y m´aximo y m´ınimo, de los siguientes conjuntos: ½ ¾ © ª 1 2 n (a) {1, 0.9, 1.1, 0.99, 1.11, . . .} (b) x ∈ R : x + x − 1 < 0 (c) + (−1) : n ∈ N n 4. Demuestra que para todo x ∈ R se cumple que: 0<

x2

1 1 7 + 2 ≤ +1 x −x+1 3

5. Resuelve las siguientes inecuaciones, representando su soluci´on en la recta real: (a) 0 < |x − 3| < 5

(c) (x + 2)2 ≥ 9

(b) |3x + 1| ≥ 1

(d) |2x + 5| > |3x + 1|

(e) |x + 3| + |x − 1| > 8

(g) ||x + 3| − |x − 1|| < 2 ¯ ¯ (f) |x + 3| + |x − 1| < 3 (h) ¯x2 − 2x¯ − x ≤ 0

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

7

CUESTIONES 1. Contesta razonadamente si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones: (a) No es posible encontrar un n´ umero irracional del que se conozcan todas sus cifras decimales. (b) La suma de un n´ umero racional con otro irracional es irracional. (c) La suma de dos n´ umeros irracionales es irracional. umeros irracionales es irracional. (d) El producto de dos n´ (e) El cuadrado de un n´ umero irracional puede ser racional. (f ) Si x < y entonces

1 x

> y1 .

(g) Entre cada dos n´ umeros reales distintos hay infinitos n´ umeros racionales e infinitos n´ umeros irracionales. 2. Encuentra un n´ umero irracional del que se conozcan todas sus cifras decimales. 3. Encuentra un n´ umero tal que su cuadrado sea irracional y su cubo racional. ¿Puede ser racional dicho n´ umero? 4. Encuentra dos n´ umeros irracionales tales que sean racionales su suma y su producto. √ √ 5. Encuentra dos n´ umeros racionales y otros dos irracionales entre 2 y 5. 6. Dados dos n´ umeros racionales a, b ∈ Q, a < b, encuentra un n´ umero irracional x ∈ I tal que a < x < b. 7. Encuentra, para dada uno de los intervalos: ¸ · ³ √ ´ 1 √ J = −∞, 5 I = − , 20 2

· ¶ 1 K = −7 − , 5 3

(a) El mayor y el menor n´ umero natural del intervalo. (b) El mayor y el menor n´ umero entero del intervalo. (c) El mayor y el menor n´ umero racional del intervalo. umero irracional del intervalo. (d) El mayor y el menor n´ (e) El mayor y el menor n´ umero real del intervalo. 8. Sean x e y dos n´ umeros reales positivos distintos tales que su producto y su cociente son racionales. ¿Han de ser x e y racionales? √ 9. Ordena, cuando x > 1 y cuando 0 < x < 1, los siguientes n´ umeros reales: 1, x, x, x2 , x1 , √1x y x12 .

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Dos personas que andan a la misma velocidad parten en el mismo instante de un punto P de una circunferencia de 1 km de di´ametro. Mientras que una de ellas recorre sin parar la circunferencia en el sentido contrario a las agujas del reloj, la otra recorre el di´ametro P Q en uno y otro sentidos. ¿Cu´ando volver´an a encontrarse? 2. Transforma las siguientes expresiones en otras equivalentes que no contengan valores absolutos: |x − 1| |x + 8|

(a) |x| + |x − 1|

(c)

(b) x − |x − |x||

(d) ||x| − 1|

¯ ¯ (e) ¯x2 − 2¯ + x (f) |x| − |x|2

¯ ¯ (g) ¯x2 − 3x − 4¯ ¯ ¯ (h) ¯x − 1 − x2 ¯

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

8

3. Calcula: (a)

∞ \

(−n, n)

n=1

¶ ∞ µ \ 1 1 (b) 2 − ,2 + n n n=1

¶ ∞ · [ 1 1 (c) 1 + ,2 + n n n=1

4. Calcula, si existen, cotas superiores e inferiores, supremo e ´ınfimo, y m´aximo y m´ınimo, de los siguientes conjuntos: ½ ¾ © ª 1 2 (a) {2, 2.2, 2.22, 2.222, . . .} (c) x ∈ R : x + x + 1 ≥ 0 (e) : n∈N n ½ ¾ © ª 1 (b) {±0.9, ±0.99, ±0.999, . . .} (d) x ∈ R : x2 + x − 1 ≤ 0 (f) : n ∈ Z \ {0} n 5. Demuestra que para todo x ∈ R se cumple que: ¯ ¯ ¯ 1 1 ¯¯ ¯ ¯ x2 + 2 + 2 + |x| ¯ ≤ 1 6. Demuestra que si |x| ≤ 1 entonces: ¯ 3 ¯ ¯x + x2 − 3x + 5¯ ≤ 10 7. Resuelve las siguientes ecuaciones: ¯ ¯ ¯ ¯ (a) ¯x2 + x − 6¯ = 2 (b) |x − 1| · ¯x2 + x + 1¯ = 0

(c) |x − 1| = |x − 4|

8. Resuelve las siguientes inecuaciones, representando su soluci´on en la recta real: x3 + 3x2 + 2x >0 x2 − 5x + 6 (b) |x + 4| < 2 (a)

(c) |9 − 2x| < 1

(e) |x + 1| < |x − 3|

(g) |x + 3| + |x − 1| < 6

(d) (x − 1)2 ≤ 4

(f) |2x − 1| < |x + 3|

(h) |x + 3| − |x − 1| < 2

9. Prueba que, para cualesquiera a, b ∈ R, se cumple que: ab ≤

a2 + b2 2

10. Usando la f´ormula obtenida en el problema anterior, prueba que si 0 ≤ a ≤ b, entonces: a≤

√ a+b ≤b ab ≤ 2

es decir, que la media aritm´etica de dos n´ umeros positivos es mayor o igual que su media geom´etrica, y que ambos valores est´an comprendidos entre ellos. q q x x+1 11. Si x > 0, determina cu´al de las siguientes expresiones es mayor: ´ o x+1 x+2 .

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

1

´ 1. CONJUNTOS DE NUMEROS ´ 1.2. NUMEROS COMPLEJOS 1.2.1. Definici´ on Se llama n´ umero complejo a cualquier expresi´on de la forma z = x + yi donde x e y son n´ umeros reales √ cualesquiera e i = −1 se llama unidad imaginaria. El conjunto de todos los n´ umeros complejos se representa por: C = {z = x + yi : x, y ∈ R} En la expresi´on z = x + yi, llamada forma bin´ omica del complejo z, los n´ umeros reales x e y se llaman, respectivamente, parte real y parte imaginaria de z, y se representan por: ( Re(z) = x z = x + yi =⇒ Im(z) = y Dos n´ umeros complejos son iguales s´ı y s´olo si son iguales sus partes reales y sus partes imaginarias: z = w ⇐⇒ Re(z) = Re(w) y

Im(z) = Im(w)

1.2.2. Observaciones • Cuando la parte imaginaria es cero, el n´ umero complejo x+0i = x es un n´ umero real y, como consecuencia, el conjunto de los n´ umeros reales est´a contenido en el conjunto de los n´ umeros complejos: R ⊂ C. umero complejo 0 + yi = yi se llama imaginario puro. • Cuando la parte real es cero, el n´ • En el conjunto de los n´ umeros complejos existen las ra´ıces cuadradas de los n´ umeros negativos, por ejemplo p √ √ √ −16 = 16(−1) = 16 −1 = 4i √ √ y, en general, −b = bi para todo b ≥ 0. • Como consecuencia de lo anterior, en el conjunto de los n´ umeros complejos todas las ecuaciones de segundo grado tienen soluci´on.

1.2.3. El plano complejo Los n´ umeros complejos tambi´en se pueden expresar como un par ordenado de n´ umeros: z = x + yi = (x, y) Esta expresi´on del n´ umero complejo, llamada forma cartesiana, permite identificar el conjunto de los n´ umeros complejos con el plano R2 . Al plano cartesiano en el que se representan gr´aficamente los n´ umeros complejos, se llama plano complejo. eje imaginario y

O

3 (x, y) ´´ ´ ´ ´ ´ ´z = x + yi ´ ´

x

eje real

El n´ umero complejo z = x + yi se representa en el plano complejo por el vector que va del origen al punto (x, y), que se llama afijo del n´ umero complejo.

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

2

1.2.4. Operaciones elementales en forma bin´ omica Dados dos n´ umeros complejos, z1 = x1 + y1 i y z2 = x2 + y2 i, su suma o diferencia es: z1 ± z2 = (x1 + y1 i) ± (x2 + y2 i) = (x1 ± x2 ) + (y1 ± y2 )i y, teniendo en cuenta que i2 = −1, su producto es: z1 z2 = (x1 + y1 i)(x2 + y2 i) = x1 x2 + x1 y2 i + y1 x2 i + y1 y2 i2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + (x1 y2 + y1 x2 )i Para obtener el cociente se multiplican numerador y denominador (no nulo) por la expresi´on conjugada del denominador: z1 x1 + y1 i x1 x2 + y1 y2 y1 x2 − x1 y2 (x1 + y1 i)(x2 − y2 i) (x1 x2 + y1 y2 ) + (y1 x2 − x1 y2 )i = = = = + i 2 2 2 z2 x2 + y2 i (x2 + y2 i)(x2 − y2 i) x2 − y2 i x22 + y22 x22 + y22 En particular, el inverso del n´ umero complejo z = x + yi 6= 0 es: 1 x y 1 x − yi x − yi = 2 − 2 i = = = 2 2 2 z x + yi (x + yi)(x − yi) x +y x +y x + y2 Teniendo en cuenta que: i0 = 1

i1 = i

i2 = −1

i3 = i2 i = −i

la potencia n de i coincide con la potencia de exponente igual al resto de la divisi´on de n por 4: ¡ ¢c in = i4c+r = i4 ir = 1c ir = ir con r = 0, 1, 2, 3 Para hallar potencias (de exponente natural) se utiliza el binomio de Newton: n µ ¶ n µ ¶ X X n n−k k k n n−k k n n x y i x (yi) = z = (x + yi) = k k k=0

k=0

sustituyendo ahora cada potencia de i por su valor y sumando. Estas operaciones en el conjunto de los n´ umeros complejos tienen las mismas propiedades que en el conjunto de los n´ umeros reales.

1.2.5. Ejemplos Calcula: (a) (2 − 3i)(1 + 2i) − (2 − i)2

(b)

(2 − 3i)i (1 + 2i)(3 + i)

(c) i3215

(d) (1 − 2i)5

1.2.6. Complejo conjugado Se llama complejo conjugado de z = x + yi al n´ umero complejo z = x − yi. Obviamente, de la propia definici´on, se tiene que: Re(z) = Re(z)

y

Im(z) = − Im(z)

y entonces: z = z ⇐⇒ Im(z) = 0 ⇐⇒ z ∈ R Se verifican las siguientes propiedades: 1. La operaci´on de conjugaci´on es involutiva: z = z. 2. El conjugado permuta con las operaciones elementales: z1 ± z2 = z1 ± z2 3. Para cada z ∈ C: Re(z) =

z+z 2

z1 z2 = z1 z2

y

z1 /z2 = z1 /z2

Im(z) =

z−z 2i

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

3

1.2.7. M´ odulo de un n´ umero complejo Se llama m´ odulo del n´ umero complejo z = x + yi al n´ umero real: p |z| = |x + yi| = x2 + y 2 que coincide con la distancia que hay entre el origen y el afijo del n´ umero complejo, as´ı como con la longitud el vector que lo representa. Si se define la distancia entre dos n´ umeros complejos como la distancia entre sus afijos, entonces la distancia entre dos n´ umeros complejos coincide con el m´odulo de su diferencia: d (z1 , z2 ) = |z1 − z2 | y

y

O

3 z = x + yi ´´ |z| ´´ ´ ´ ´ ´ ´

x

O

z1

­ Á ¡ µ ¡ ­ ¡­ ¡­ ¡ ­ |z − z | 1 2 ¡ ­ ¡ ­ ¡ ­ ¡ ­ * z2 ¡©©© ¡© © © ¡

x

Se verifican las siguientes propiedades: 1. |z| ≥ 0, para todo z ∈ C. 2. |z| = 0 si y s´olo si z = 0. 3. |z| = |z| = |−z|. 4. |Re(z)| ≤ |z| y |Im(z)| ≤ |z|. √ 5. zz = |z|2 , o tambi´en: |z| = zz. 6. |z1 z2 | = |z1 | |z2 | y |z1 /z2 | = |z1 | / |z2 |. 7. ||z1 | − |z2 || ≤ |z1 ± z2 | ≤ |z1 | + |z2 |.

1.2.8. Argumento de un n´ umero complejo Se llama argumento del n´ umero complejo z = x + yi 6= 0 a cualquier ´angulo θ que verifica: cos θ =

x |z|

y

sin θ =

y |z|

y se representa por arg(z). Cada n´ umero complejo tiene infinitos argumentos, pero s´olo uno en la primera circunferencia, θ ∈ [0, 2π), que se llama argumento principal y se representa por Arg(z).

y

O

´ 3 z = x + yi

´ ´ ´ |z|´ y ´ ´ ´ x ´θ

x

arg(z) = Arg(z) + 2kπ ,

k∈Z

El argumento principal θ de z = x + iy se puede determinar, a partir del signo de x e y, con la condici´on: tan θ =

y x

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

4

1.2.9. Formas polar y trigonom´ etrica de un n´ umero complejo Cada n´ umero complejo z = x + yi queda definido un´ıvocamente por su m´odulo |z| y cualquier argumento θ, pudi´endose expresar en funci´on de ellos en la llamada forma trigonom´ etrica: ( ( x cos θ = |z| x = |z| cos θ =⇒ =⇒ z = |z| (cos θ + i sin θ) y sin θ = |z| y = |z| sin θ La expresi´on simb´olica z = |z|θ se llama forma polar del n´ umero complejo. En forma polar o trigonom´etrica, es decir, en funci´on del m´odulo y del argumento, dos n´ umeros complejos son iguales s´ı y s´olo si tienen el mismo m´odulo y sus argumentos difieren en un n´ umero entero de circunferencias: |z|θ = |w|ϕ ⇐⇒ |z| = |w| y θ − ϕ = 2kπ , k ∈ Z

1.2.10. Ejemplos 1. Obt´en la forma polar y trigonom´etrica de los siguientes n´ umeros complejos: √ (a) z = 1+ 3i (b) z = 3−3i (c) z = a ∈ R (d) z = ai , a ∈ R 2. A partir del m´ odulo y argumento de z, obt´en la forma polar y trigonom´etrica de −z, z y 1/z.

1.2.11. Operaciones elementales en forma polar o trigonom´ etrica Operando a partir de la forma trigonom´etrica, el producto y cociente de n´ umeros complejos es: ( ( z1 z2 = |z1 | |z2 | [cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ1 + θ2 )] z1 = |z1 | (cos θ1 + i sin θ1 ) =⇒ z1 |z1 | z2 = |z2 | (cos θ2 + i sin θ2 ) z2 = |z2 | [cos(θ1 − θ2 ) + i sin(θ1 − θ2 )] y, en particular, la potencia de n´ umeros complejos es: [|z| (cos θ + i sin θ)]n = |z|n (cos nθ + i sin nθ)

(F´ ormula de Moivre)

Las operaciones anteriores, usando la forma polar, son: |z1 |θ1 |z2 |θ2 = (|z1 | |z2 |)θ1 +θ2

|z1 |θ1 = |z2 |θ2

µ

|z1 | |z2 |

¶ (|z|θ )n = (|z|n )nθ

θ1 −θ2

1.2.12. Observaciones • Del producto en forma trigonom´etrica se deduce que la suma de dos argumentos es un argumento del producto. Sin embargo, al sumar los argumentos principales no siempre se obtiene el argumento principal del producto, como se ilustra con el siguiente ejemplo: ( z1 = −i , Arg(z1 ) = 3π π 2 =⇒ z1 z2 = i con Arg(z1 z2 ) = 6= Arg(z1 ) + Arg(z2 ) 2 z2 = −1 , Arg(z2 ) = π Por tanto, en general: arg(z1 z2 ) = arg(z1 ) + arg(z2 )

pero

Arg(z1 z2 ) 6= Arg(z1 ) + Arg(z2 )

An´alogamente: µ arg

z1 z2

¶

µ = arg(z1 ) − arg(z2 )

pero

Arg

z1 z2

¶ 6= Arg(z1 ) − Arg(z2 )

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

5

• Al multiplicar un n´ umero complejo por otro de m´odulo unidad se obtiene el n´ umero complejo resultante de girar el primero, con centro en el origen, un ´angulo igual al argumento principal del segundo: |z|θ 1ϕ = |z|θ+ϕ • De la f´ormula de Moivre, en el caso particular |z| = 1, se obtienen f´ormulas para obtener el seno y coseno de nθ en funci´on del seno y coseno de θ: ( cos nθ = Re (cos θ + i sin θ)n n (cos θ + i sin θ) = cos nθ + i sin nθ =⇒ sin nθ = Im (cos θ + i sin θ)n

1.2.13. Ejemplos 1. Dos v´ertices consecutivos de un cuadrado son A(−2, 1) y B(3, 3). Sabiendo que el cuadrado est´ a en semiplano y ≥ 0, halla sus otros dos v´ertices. 2. Expresa sin 4x y cos 4x en funci´ on de sin x y cos x.

1.2.14. Forma exponencial de un n´ umero complejo Las propiedades de las operaciones de los n´ umeros complejos con respecto al m´odulo y argumento hacen que tenga sentido expresar los n´ umeros complejos como: z = |z| (cos θ + i sin θ) = |z| eiθ que se llama forma exponencial o forma de Euler. Propiedades de la forma exponencial: 1. Las operaciones producto, cociente y potencia se realizan en forma exponencial de forma natural: ³ ´³ ´ r1 eiθ1 r2 eiθ2 = r1 r2 ei(θ1 +θ2 )

³ ´n reiθ = rn einθ

r1 r1 eiθ1 = ei(θ1 −θ2 ) r2 eiθ2 r2

2. Si z = reiθ entonces: −z = rei(θ+π)

z = re−iθ

1 1 = e−iθ z r

3. Los n´ umeros complejos de m´odulo unidad son z = eiθ , donde θ ∈ R es uno de sus argumentos. 4. Para cualquier k ∈ Z: ei2kπ = 1

y en consecuencia

ei(θ+2kπ) = eiθ

5. Dos n´ umeros complejos en forma exponencial son iguales si tienen el mismo m´odulo y sus argumentos difieren en un n´ umero entero de circunferencias, es decir: ( r1 = r2 r1 eiθ1 = r2 eiθ2 ⇐⇒ θ1 − θ2 = 2kπ , k ∈ Z 6. Usando la forma exponencial, el seno y el coseno de un ´angulo se pueden expresar en funci´on de n´ umeros complejos como sigue: ( eiθ = cos θ + i sin θ eiθ + e−iθ eiθ − e−iθ =⇒ cos θ = y sin θ = 2 2i e−iθ = cos θ − i sin θ

1.2.15. Ejemplos

√ √ Si z = − 3 + i y w = 1 + 3i, usa la forma exponencial para calcular: (a) zw; (b)

z w;

y (c) z 10 .

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

6

1.2.16. Ra´ıces en´ esimas de n´ umeros complejos Se llama ra´ız en´esima de z a cualquier n´ umero complejo cuya potencia en´esima es z. Cualquier n´ umero complejo no nulo tiene exactamente n ra´ıces en´esimas distintas que se hallan recurriendo a la forma exponencial: √ √ √ θ+2kπ √ θ 2π n z = reiθ =⇒ n z = reiθ = n rei n = n rei( n + n k) = wk , k = 0, 1, 2, . . . , n − 1 Se puede observar que: • Todas las ra´ıces en´esimas tienen el mismo m´odulo: |wk | =

√ n r.

• La diferencia entre los argumentos de cada dos ra´ıces consecutivas es constante: wk − wk−1 =

2π n .

• Los afijos de las n ra´ıces en´esimas de un n´ umero complejo no nulo son los v´ertices de un pol´ıgono regular de n lados centrado en el origen.

1.2.17. Ejemplos Halla las siguientes ra´ıces de n´ umeros complejos: (a)

√ √ √ 3 −i; (b) 4 16; y (c) −4i.

1.2.18. Conjuntos geom´ etricos en forma compleja La identificaci´on del plano complejo C con el cartesiano R2 permite expresar muchos conjuntos del plano en forma compleja que es, en muchos casos, m´as sencilla. Algunos ejemplos son los siguientes: • Circunferencia de centro z0 y radio r > 0: |z − z0 | = r. • Interior de la circunferencia de centro z0 y radio r > 0: |z − z0 | < r. • Exterior de la circunferencia de centro z0 y radio r > 0: |z − z0 | > r. • Mediatriz del segmento de extremos z1 y z2 : |z − z1 | = |z − z2 |. • Elipse con focos en z1 y z2 : |z − z1 | + |z − z2 | = k, con k > |z1 − z2 |. • Hip´erbola con focos en z1 y z2 : ||z − z1 | − |z − z2 || = k, con 0 < k < |z1 − z2 |. La ecuaci´on cartesiana del conjunto se puede obtener sustituyendo z = x + iy y operando.

1.2.19. Polinomios. Teorema fundamental del ´ algebra Un polinomio de grado n es cualquier expresi´on de la forma: Pn (z) = an z n + an−1 z n−1 + . . . + a2 z 2 + a1 z + a0 , con an 6= 0 donde ai ∈ C, 0 ≤ i ≤ n, se llaman coeficientes. Se llama ra´ız del polinomio a cualquier valor de z que lo anula, es decir: z = z0 es ra´ız de Pn (z) ⇐⇒ Pn (z0 ) = 0 ⇐⇒ Pn (z) = (z − z0 )Pn−1 (z) Mientras el polinomio cociente se anule en z0 , se puede seguir dividiendo por z − z0 , y se dice que: z = z0 es ra´ız con multiplicidad m de Pn (z) ⇐⇒ Pn (z) = (z − z0 )m Pn−m (z) y Pn−m (z0 ) 6= 0 Tambi´en se llaman ra´ıces simples a las de multiplicidad 1, dobles a las de multiplicidad 2, y as´ı sucesivamente. El teorema fundamental del ´ algebra afirma que, si cada ra´ız se cuenta tantas veces como indica su multiplicidad, todo polinomio de grado n tiene exactamente n ra´ıces reales o complejas, es decir, que: m1

Pn (z) = an (z − z1 )

mp

. . . (z − zp )

, con

p X i=1

En particular:

mi = n

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

7

• Si los coeficientes son todos reales, cuando hay una ra´ız compleja tambi´en est´a su conjugada con la misma multiplicidad. • Todo polinomio de coeficientes reales y grado impar tiene, al menos, una ra´ız real.

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Opera y simplifica cada una de las siguientes expresiones complejas: (a) i−221

(b)

2i(3 + i) + (1 − i)(2 + i) i3 (1 + 2i)

2. Resuelve en C la ecuaci´on:

(c)

100 X

ik

(d)

√ 5 + 12i

k=0

z 3z − i + = 3. 2+i 2−i

3 + xi = y + 2i. 1 + 2i ¯ ¯ ¯ a + 2i ¯ ¯ = 2. 4. Halla a ∈ R para que: ¯¯ 1−i ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 ¯≤ . 5. Prueba que si |z| = 2 entonces: ¯¯ 4 z − 4z 2 + 3 ¯ 3 3. Halla x, y ∈ R para que:

√ 6. Prueba que, para cualquier z ∈ C, se cumple: |Re z| + |Im z| ≤ |z| 2. √ 7. Calcula: (a) (1 + i)20 ; (b) ( 3 − i)30 . 8. Halla la suma y el producto de las ra´ıces en´esimas de la unidad. 9. Halla todos los complejos z ∈ C tales que z 3 − |z|2 = 0. 10. Halla el lugar geom´etrico de todos los n´ umeros complejos de la forma: z=

a−i , 1+i

a∈R

Encuentra, si existen, los que se encuentran sobre la recta x + 2y − 1 = 0. 11. ¿Qu´e curva o conjunto geom´etrico representa cada una de las siguientes igualdades o desigualdades? (a) |z − 1 + 2i| = 3

(b) |z − i| < |z + i|

(c) 0 < |z − 1| < 2

(d) |z − 2| + |z + 2| = 6

Encuentra sus ecuaciones en forma cartesiana. 12. Sabiendo que 1 + i es soluci´on de z 4 − 4z 3 + 5z 2 − 2z − 2 = 0, calcula todas sus ra´ıces.

CUESTIONES 1. Contesta razonadamente si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones: (a) Los n´ umeros reales no son complejos. (b) Los n´ umeros complejos de m´odulo 1 son menores que los n´ umeros complejos de m´odulo 2. (c) El inverso de un n´ umero real es complejo.

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

8

(d) Si |z| < |w| entonces z < w. (e) Las ra´ıces en´esimas de un n´ umero complejo tienen todas el mismo m´odulo. (f ) Las ra´ıces de la ecuaci´on z 5 + 2i = 0 son los v´ertices de un pent´ agono regular. (g) Todo polinomio de grado impar tienen al menos una ra´ız real. 2. Demuestra que, para cualesquiera z, w ∈ C, se cumple que: |z + w|2 + |z − w|2 = 2 |z|2 + 2 |w|2 3. Demuestra que |z − 1| < |z + 1| si y s´olo si Re(z) > 0. 4. ¿Es cierto que las ra´ıces c´ ubicas de la unidad se pueden expresar como 1, w y w2 ? ¿Qui´en es w? 5. Justifica que existe w tal que las ra´ıces en´esimas de la unidad son: 1, w, w2 , ..., wn−1 . umero complejo forman una progresi´on geom´etrica. ¿Cu´ales 6. Justifica que las ra´ıces en´esimas de un n´ son el primer t´ermino y la raz´on?

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Opera y simplifica cada una de las siguientes expresiones complejas: (a) i2723

(c) (2 − 3i)(1 + i) − (1 + 2i)2

(b) i−1

(d) (3 − 2i)(1 + 3i)(2 − i)

1+i (1 − i)2 i + i2 + i3 + i4 + i5 (f ) 1+i

(e)

(g) (2 − i)5 (h)

(1 + i)3 (1 − i)3

2. Opera y simplifica cada una de las siguientes expresiones: (a) 1 + i + i2 + . . . + i57 3. Resuelve en C las ecuaciones: (a)

(b) (1 + 2i)4

(c) (3 − 2i)5

3−i = 4 + 2i; (b) x2 + 2x + 5 = 0. z

4. Halla, en cada caso, el valor de a ∈ R para que el n´ umero complejo z =

a+3i 1+i

(a) Sea imaginario puro. (b) Sea un n´ umero real. (c) Est´e sobre la bisectriz del segundo y cuarto cuadrantes. 5. Encuentra dos n´ umeros complejos tales que su suma es un n´ umero real, su diferencia y cociente sean imaginarios puros, y su producto sea igual a 2. 6. Halla z ∈ C si z + w = 2 + 3i y w = 3 + i. ¯ ¯ ¯ ¯ 7. Prueba que si |z| < 1 entonces: ¯Re(1 − z + z 2 )¯ < 3 y ¯Im(1 − z + z 2 )¯ < 2. 8. Expresa en forma polar y en forma exponencial los siguientes n´ umeros complejos: √ √ 3 + 3i − 1 + 3i −1 − 2i − 2 − 2 3i 9. Halla, usando la f´ormula de Moivre, sin 3x y cos 5x en funci´on de sin x y cos x. 10. Dos v´ertices consecutivos de un cuadrado son O(0, 0) y A(4, 1). Halla sus otros dos v´ertices. ¿Es u ´nico?

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

9

11. Halla los v´ertices de un hex´agono regular. 12. Halla las siguientes ra´ıces: √ 3 (a) 1

√ 3 (b) i

√ (c) 4 −1

√ (d) 1 − i

√ (e) 3 1 + i

q (f )

6

1−

√ 3i

13. Encuentra las soluciones de la ecuaci´on z 3 + 8 = 0 que caen dentro del recinto del plano complejo definido por |z + 1| < 2. 14. ¿Qu´e curva o conjunto geom´etrico representa cada una de las siguientes igualdades o desigualdades? (a) |z − i| = |z + i|

(b) |z − 1| = 2

(c) |z − i| + |z + i| = 4

(d) ||z − 2| − |z + 2|| = 2

Encuentra sus ecuaciones en forma cartesiana. 15. Sabiendo que z = i es soluci´on de z 7 + z 5 − z 2 − 1 = 0, calcula todas sus ra´ıces. 16. Estudia si la ecuaci´on ax5 + bx4 + cx3 − ix2 − i = 0, con a, b, c ∈ R, tiene soluciones reales.

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

1

2. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL 2.1. FUNCIONES ELEMENTALES 2.1.1. Definici´ on Se llama funci´ on real de una variable real a cualquier aplicaci´on f : D −→ R, D ⊂ R, que hace corresponder a cada x ∈ D uno y s´olo un valor f (x) ∈ R. La funci´on se suele representar por y = f (x) donde x se llama variable independiente e y se llama variable dependiente. Si f (x0 ) = y0 , se suele decir que y0 es la imagen de x0 por la funci´on f , o que x0 es un origen de y0 . La representaci´on en el plano cartesiano de todos estos pares ordenados (x0 , y0 ) se llama gr´ afica de la funci´on f . y f

y0

La gr´afica de la funci´on f : D −→ R es: G(f ) = {(x, f (x)) : x ∈ D}

O

x0

x

El conjunto D ⊂ R formado por todos los valores x ∈ R en los que la funci´on f est´ a definida se llama dominio de f , y se representa por D(f ). Cuando no se especifica el dominio de la funci´on, se entiende que es el conjunto de todos los n´ umeros reales para los que la funci´on est´a bien definida.

2.1.2. Ejemplos 1. El dominio de la funci´on y = x2 − 1 es D = R, y la image I = [−1, +∞). √ 2. El dominio de la funci´on y = x es D = [0, +∞), y la imagen es tambi´en I = [0, +∞). 3. Al estar especificado, el dominio de la funci´on: f (x) = 2x − 1 , 0 < x ≤ 3 es D(f ) = (0, 3], y la imagen I(f ) = (−1, 5].

2.1.3. Crecimiento local y global Sea f : D −→ R y x0 ∈ D. Se dice que la funci´on f es creciente en x0 si existe un δ > 0 tal que: ( x0 − δ < x < x0 =⇒ f (x) ≤ f (x0 ) x0 < x < x0 + δ =⇒ f (x0 ) ≤ f (x) An´alogamente, se dice que la funci´on f es decreciente en x0 si existe un δ > 0 tal que: ( x0 − δ < x < x0 =⇒ f (x) ≥ f (x0 ) x0 < x < x0 + δ =⇒ f (x0 ) ≥ f (x) Cuando, en las definiciones anteriores, las desigualdades entre los valores de la funci´on son estrictas, se dice que la funci´on es estrictamente creciente o estrictamente decreciente en x0 . Si la funci´on s´olo est´a definida a uno de los lados del punto, se dice que es (estrictamente) creciente o (estrictamente) decreciente si lo es por el lado en que est´a definida. Globalmente, se dice que f es creciente en un subconjunto del dominio A ⊂ D si para cualesquiera x1 , x2 ∈ A se cumple que: x1 < x2 =⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ) y, se dice que f es decreciente en A ⊂ D si para cualesquiera x1 , x2 ∈ A se cumple que: x1 < x2 =⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 ) Como en el caso local, si las desigualdades son estrictas el crecimiento o decrecimiento se dice estricto.

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

2

2.1.4. Ejemplo La funci´on cuya gr´afica aparecen en la figura es: y

O

a x0 b x1 c x2 d

e x

• • • • • • • • •

Creciente en a, x0 , x2 , d y e. Estrictamente creciente en a, x0 y x2 . Decreciente en x1 y e. Estrictamente decreciente en x1 . Creciente en el intervalo [a, b] y en [c, e]. Estrictamente creciente en [a, b] y en [c, d]. Decreciente en [b, c] y en [d, e]. Estrictamente decreciente en [b, c]. Constante en [d, e].

El crecimiento global en intervalos puede causar confusi´on con el crecimiento local en sus extremos: la funci´on de la figura es globalmente creciente en el intervalo cerrado [a, b], incluyendo al punto b, y no lo es localmente en b, ya que en el crecimiento local hay que mirar a los dos lados del punto.

2.1.5. Acotaci´ on y extremos Sea f : D −→ R una funci´on real de variable real. • Se dice que f est´a acotada superiormente si existe un n´ umero real M , llamado cota superior, tal que f (x) ≤ M para cualquier x ∈ D. La menor de las cotas superiores se llama supremo y, si se alcanza en alg´ un punto del dominio, m´ aximo. • Se dice que f est´a acotada inferiormente si existe un n´ umero real m, llamado cota inferior, tal que f (x) ≥ m para cualquier x ∈ D. La mayor de las cotas inferiores se llama ´ınfimo y, si se alcanza en alg´ un punto del dominio, m´ınimo. umeros • Se dice que f est´a acotada cuando lo est´a superior e inferiormente, es decir, cuando existen n´ reales m y M tales que m ≤ f (x) ≤ M para cualquier x ∈ D. y

O

y

x

y M x

O

O

m Funci´on no acotada, ni superior Funci´ on acotada inferiormente, ni inferiormente. con m´ınimo, pero no acotada superiormente.

x m

Funci´ on acotada con m´ınimo y supremo, pero no m´aximo.

2.1.6. Funciones peri´ odicas Una funci´on y = f (x) se llama funci´ on peri´ odica si existe un n´ umero T > 0, llamado periodo, tal que: f (x + T ) = f (x) Para representar gr´aficamente una funci´on peri´odica de periodo T , basta con hacerlo en el intervalo [0, T ] y extenderla peri´odicamente al resto de su dominio.

2.1.7. Funciones pares e impares Sea f : D −→ R una funci´on definida sobre un dominio D ⊂ R que es sim´etrico respecto del origen, es decir, tal que si x ∈ D entonces −x ∈ D. Se dice que: • f es una funci´ on par si se verifica que f (−x) = f (x), para todo x ∈ D. • f es una funci´ on impar si se verifica que f (−x) = −f (x), para todo x ∈ D.

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

3

De la propia definici´on se deduce que la gr´afica de una funci´on par es sim´etrica respecto del eje de abscisas, y la gr´afica de una funci´on impar es sim´etrica respecto del origen. y

−x

y

f

x

O

x

−x O

f x

f (−x) = f (x)

x f (−x) = −f (x)

Gr´afica de una funci´on par

Gr´afica de una funci´on impar

2.1.8. Ejemplo Decide cu´ ales de las siguientes funciones son pares o impares: (a) y = x2 − 1 (b) y = x3

x4 + x2 − 1 x2 + 3 (d) y = 2x

x2 x−1 (f ) y = sin x

(c) y =

x3 +x (h) y = cos x

(e) y =

(g) y =

x5

2.1.9. Operaciones algebraicas con funciones Dadas dos funciones y = f (x) e y = g(x), se definen las siguientes operaciones algebraicas: 1. Suma o diferencia: (f ± g) (x) = f (x) ± g(x), con dominio D(f ± g) = D(f ) ∩ D(g). 2. Producto por un n´ umero real: Si α ∈ R, (αf ) (x) = αf (x), con dominio D(αf ) = D(f ). 3. Producto: (f · g) (x) = f (x)g(x), con dominio D(f · g) = D(f ) ∩ D(g). 4. Cociente: (f /g) (x) = f (x)/g(x), con dominio D(f /g) = D(f ) ∩ D(g) \ {x : g(x) = 0}.

2.1.10. Ejemplos 1. Si f (x) = x2 − x + 1 y g(x) = x + 2, encuentra las expresiones algebraicas de f + g, f · g y f /g, especificando el dominio de cada una de ellas. 2. Encuentra las expresiones algebraicas de f − g y f · g, siendo: ( ( 1 − x2 , si x ≤ 0 −2x , si x < 1 f (x) = g(x) = x , si x > 0 1 − x , si x ≥ 1

2.1.11. Composici´ on de funciones Dadas dos funciones y = f (x) e y = g(x), se define la composici´ on g ◦ f , que se lee ”f compuesto con g”, como la funci´on: g◦f (g ◦ f ) (x) = g (f (x)) x

f f (x)

g g (f (x))

Para que un x pertenezca al dominio de la composici´on g ◦ f , es necesario que se le pueda aplicar f y que se pueda aplicar g a su imagen por f , es decir, que x pertenezca al dominio de f y que f (x) pertenezca al dominio de g. Por tanto D(g ◦ f ) = {x : x ∈ D(f ) y f (x) ∈ D(g)} La composici´on de funciones, en general, es no conmutativa: g ◦ f 6= f ◦ g. La composici´on de tres funciones es (h ◦ g ◦ f ) = h (g (f (x))), y as´ı sucesivamente.

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

4

2.1.12. Ejemplos Si f (x) = x + 1, g(x) = x2 y h(x) = 1/x, encuentra las expresiones algebraicas de las siguientes composiciones: g◦f

f ◦g

f ◦f

g◦g

f ◦g◦h

g◦h◦f

2.1.13. Funciones inyectivas Una funci´on y = f (x) se dice inyectiva o uno-a-uno si no hay dos or´ıgenes distintos con la misma imagen, es decir, si: f (x1 ) = f (x2 ) =⇒ x1 = x2 y

y

f

x

O

Gr´afica de una funci´on inyectiva

f

x1 x2 O

x3 x

Gr´afica de una funci´on no inyectiva

Gr´aficamente, para ver si una funci´on es inyectiva se la puede aplicar el siguiente: Test de la recta horizontal: Una funci´on es inyectiva o uno-a-uno si cada recta horizontal corta a su gr´afica en a no m´as de un punto.

2.1.14. Funci´ on inversa Si f : D −→ R es una funci´on inyectiva con imagen I = f (D), se llama funci´ on inversa a f −1 : I −→ R definida por: f −1 (x) = y si f (y) = x La funci´on inversa f −1 est´a bien definida ya que, al ser f inyectiva, para cada x existe un u ´nico y tal que f (y) = x. Por el contrario, las funciones que no son inyectivas no tienen funci´on inversa. Por la propia definici´on, es evidente que el dominio y la imagen de la funci´on inversa son, respectivamente, la imagen y el dominio de la funci´on: ¡ ¢ ¡ ¢ D f −1 = I(f ) I f −1 = D(f ) y tambi´en que la composici´on, en cualquier orden, de ambas es la identidad: ¡ ¢ ¡ −1 ¢ f ◦ f −1 (x) = x , ∀x ∈ I f ◦ f (x) = x , ∀x ∈ D Las gr´aficas de una funci´on inyectiva y de su funci´on inversa son sim´etricas respecto de la bisectriz y = x. f −1¡

y (a, b) ∈ G(f ) ⇐⇒ f (a) = b ⇐⇒

f −1 (b)

¡

¡ ¢ = a ⇐⇒ (b, a) ∈ G f −1 b

¡ ¡

f

¡

¡

a ¡

¡ O a ¡ ¡

¡

¡ ¡

¡

¡

b

x

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

5

Para hallar la expresi´on anal´ıtica de la funci´on inversa se puede proceder como indica el siguiente algoritmo: 1. Partiendo de y = f (x), se despeja x en funci´on de y: x = f −1 (y). 2. En la expresi´on obtenida, sustituir y por x y viceversa: y = f −1 (x). Usando este mismo algoritmo, la funci´on f es inyectiva o tiene inversa cuando se puede despejar de forma u ´nica x en la expresi´on y = f (x). ¡ ¢−1 Es f´acil observar que la funci´on inversa es una operaci´on involutiva: f −1 = f.

2.1.15. Ejemplos Determina si existe, y halla en su caso, la funci´ on inversa de cada una de las siguientes funciones: p 5 (a) f (x) = x3 (b) f (x) = x2 (c) f (x) = 2 + 1 − x3

2.1.16. Funciones polin´ omicas Son funciones polin´ omicas aquellas cuya expresi´on anal´ıtica es un polinomio: f (x) = Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 ,

ai ∈ R

El grado de la funci´on polin´omica es el grado del polinomio. El dominio de las funciones polin´omicas es toda la recta real y no est´an acotadas si su grado es distinto de cero: las funciones polin´omicas de grado impar no est´an acotadas ni superior ni inferiormente, y las de grado par o bien est´an acotadas inferiormente y no superiormente, o viceversa. y

y

x

O

O

Funci´on polin´omica de grado par. Acotada inferiormente y no superiormente.

y

x

Funci´ on polin´omica de grado par. Acotada superiormente y no inferiormente.

O

x

Funci´ on polin´omica de grado impar. No acotada ni superior ni inferiormente.

2.1.17. Funciones racionales Una funci´ on racional es el cociente entre dos funciones polin´omicas. Su dominio es la recta real sin las ra´ıces del denominador. f (x) =

P (x) Q(x)

D(f ) = R \ {x : Q(x) = 0}

2.1.18. Funciones exponenciales y logar´ıtmicas Se llama funci´ on exponencial a la funci´on: f (x) = ax

con a > 0 y a 6= 1

Su dominio es toda la recta real y su imagen los n´ umeros reales positivos: D(f ) = R e I(f ) = (0, +∞). La funci´on exponencial es creciente si a > 1, y es decreciente si 0 < a < 1.

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM. y

6 y

a 1

1 a

O

1

x

O

Funci´on exponencial y = ax con a > 1.

1

x

Funci´ on exponencial y = ax con 0 < a < 1.

Se llama funci´ on logar´ıtmica a la funci´on inversa de la funci´on exponencial, y se representa por: f (x) = loga x

con a > 0 y a 6= 1

Su dominio e imagen son, respectivamente, la imagen y el dominio de la funci´on exponencial, es decir: D(f ) = (0, +∞) e I(f ) = R. La funci´on logar´ıtmica es creciente si a > 1, y es decreciente si 0 < a < 1. y

y

1 1 O

1

x

a

O a

Funci´on logar´ıtmica y = loga x con a > 1.

1

x

Funci´ on logar´ıtmica y = loga x con 0 < a < 1.

2.1.19. Funciones trigonom´ etricas o circulares Las funciones trigonom´etricas o circulares son: Seno: f (x) = sin x

Tangente: f (x) = tan x

Secante: f (x) = sec x

Coseno: f (x) = cos x

Cotangente: f (x) = cot x

Cosecante: f (x) = csc x

1. Funci´ on seno: La funci´on f (x) = sin x verifica las siguientes propiedades: • Su dominio es toda la recta real: D = R. • Su imagen es el intervalo I = [−1, 1] y, por tanto, es una funci´on acotada. • Es una funci´on impar y, por tanto, su gr´afica es sim´etrica respecto del origen: f (−x) = sin(−x) = − sin x = −f (x) • Es peri´odica de periodo 2π: f (x + 2π) = sin(x + 2π) = sin x = f (x) Su representaci´on gr´afica es: y 1

O −1

π 2

π

2π

x

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

7

2. Funci´ on coseno: La funci´on f (x) = cos x verifica las siguientes propiedades: • Su dominio es toda la recta real: D = R. • Su imagen es el intervalo I = [−1, 1] y, por tanto, es una funci´on acotada. • Es una funci´on par y, por tanto, su gr´afica es sim´etrica respecto del eje de ordenadas: f (−x) = cos(−x) = cos x = f (x) • Es peri´odica de periodo 2π: f (x + 2π) = cos(x + 2π) = cos x = f (x) Su representaci´on gr´afica es: y 1

O

π 2

π

2π

x

−1 3. Funciones tangente y cotangente: Se definen a partir del seno y coseno como: sin x cos x Verifican las siguientes propiedades:

f (x) = cot x =

f (x) = tan x =

• Su dominio es: D(tan) = R \ {x : cos x = 0} = R \

nπ

1 cos x = tan x sin x

o + kπ : k ∈ Z

2 D(cot) = R \ {x : sin x = 0} = R \ {kπ : k ∈ Z}

• La imagen de ambas es I = R y, por tanto, son funciones no acotadas. • Las dos funciones son impares y, por tanto, sus gr´aficas son sim´etricas respecto del origen. tan(−x) =

− sin x sin(−x) = = − tan x cos(−x) cos x

y, an´alogamente:

cot(−x) = − cot x

• Son peri´odicas de periodo π: tan(x + π) =

sin(x + π) − sin x = = tan x cos(x + π) − cos x

y, an´alogamente:

cot(x + π) = cot x

Su representaci´on gr´afica es: y

−π

−π 2

O

y

π 2

π

Funci´on tangente

3π 2

x 2π

−π

−π 2

O

π 2

π

Funci´ on cotangente

3π 2

x 2π

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

8

4. Funciones secante y cosecante: Se definen a partir del seno y coseno como: f (x) = sec x =

1 cos x

f (x) = csc x =

1 sin x

Verifican las siguientes propiedades: • Su dominio es: D(sec) = R \ {x : cos x = 0} = R \

nπ

o + kπ : k ∈ Z

2 D(csc) = R \ {x : sin x = 0} = R \ {kπ : k ∈ Z}

• La imagen de ambas es I = (−∞, −1] ∪ [1, +∞) y, por tanto, son funciones no acotadas. • La funci´on secante es par y la cosecante impar. sec(−x) =

1 1 = = sec x cos(−x) cos x

csc(−x) =

1 1 = = − csc x sin(−x) − sin x

• Son peri´odicas de periodo 2π: sec(x + 2π) =

1 1 = = sec x cos(x + 2π) cos x

y, an´alogamente:

csc(x + 2π) = csc x

Su representaci´on gr´afica es:

−π

−π 2

y

y

1

1

O

π 2

π

3π 2

x 2π

−π 2

−π

−1

π 2

O

π

3π 2

x 2π

−1

Funci´on secante

Funci´ on cosecante

5. Algunas relaciones trigonom´ etricas: Es importante recordar las relaciones m´as importantes entre las funciones trigonom´etricas: • Relaciones fundamentales: sin2 x + cos2 x = 1 • Suma y diferencia de ´angulos: sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y

1 + tan2 x = sec2 x

tan(x ± y) =

tan x ± tan y 1 ∓ tan x tan y

´ doble: • Angulo sin 2x = 2 sin x cos x

cos 2x = cos2 x − sin2 x

tan 2x =

2 tan x 1 − tan2 x

• Otras relaciones importantes: 1 − cos 2x 2 1 + cos 2x cos2 x = 2 sin2 x =

cos(x + y) − cos(x − y) 2 sin(x + y) + sin(x − y) sin x cos y = 2 cos(x + y) + cos(x − y) cos x cos y = 2 sin x sin y = −

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

9

2.1.20. Funciones trigonom´ etricas inversas Como se ha visto, ninguna de las funciones trigonom´etricas es inyectiva y, por tanto, no pueden tener funciones inversas. Sin embargo, s´ı tienen funciones inversas cuando se restringen sus dominios a conjuntos sobre los que s´ı son inyectivas. h π πi 1. Funci´ on arcoseno: Es la funci´on inversa de la funci´on seno restringida al dominio D = − , . 2 2     y = sin x £ y = arcsin x ¤ π π −→ −→ −→ D(arcsin) = [−1, 1] D(sin) = − 2 , 2   Funci´ on inversa £ ¤   I(sin) = [−1, 1] I(arcsin) = − π2 , π2 £ ¤ Es decir, para cada x ∈ [−1, 1] se define su arcoseno como el u ´nico y ∈ − π2 , π2 tal que sin y = x. La funci´on arcoseno es impar y acotada. 2. Funci´ on arcocoseno: Es la funci´on inversa de la funci´on coseno restringida al dominio D = [0, π].     y = cos x  y = arccos x −→ −→ −→ D(arccos) = [−1, 1] D(cos) = [0, π]   Funci´ on inversa   I(cos) = [−1, 1] I(arccos) = [0, π] Es decir, para cada x ∈ [−1, 1] se define su arcocoseno como el u ´nico y ∈ [0, π] tal que cos y = x. La funci´on arcocoseno es acotada, y no es par ni impar. y π π 2

y

1

¡ ¡ y= arcsin x ¡ ¡ y = sin x

¡

−π 2

−1 ¡

¡

¡

O¡ ¡

¡

¡

1

π 2

−1 −π 2

Funci´on arcoseno

¡

y = arccos x π 2

¡

¡

¡

¡

−1 ¡ O ¡

¡

1

¡ −1

¡

Funci´ on arcocoseno

¡ ¡

¡

¡ ¡

¡

y = cos x π 2

y = tan x

π 2

¡ ¡

¡

1

x

y

¡ ¡

π

−π 2

x

π O ¡ 2 ¡y = arctan x ¡

¡

¡ ¡

¡ ¡

x

−π 2

¡

Funci´ on arcotangente

3. Funci´ Es la funci´on inversa de la funci´on tangente restringida al dominio h onπ arcotangente: πi D= − , . 2 2     y = tan x ¡ y = arctan x ¢ π π −→ −→ −→ D(arctan) = R D(tan) = − 2 , 2   Funci´ on inversa ¢ ¡   I(tan) = R I(arctan) = − π2 , π2 ¡ ¢ Es decir, para cada x ∈ R se define su arcotangente como el u ´nico y ∈ − π2 , π2 tal que tan y = x. La funci´on arcotangente es impar y acotada. 4. Otras funciones trigonom´ etricas inversas: Son las funciones inversas del resto de funciones trigonom´etricas: arcocotangente, arcosecante y arcocosecante. Sus expresiones, dominios e im´agenes son:     y = cot x ¡ y = arccot x ¢ ¡ π¤ π −→ −→ −→ D(arccot) = R D(cot) = − 2 , 0 ∪ 0, 2   Funci´ on inversa ¡ ¢ ¡ ¤   I(arccot) = − π2 , 0 ∪ 0, π2 I(cot) = R

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.   y = sec x £ ¢ ¡ ¤ D(sec) = 0, π2 ∪ π2 , π   I(sec) = (−∞, −1] ∪ [1, +∞)   y = csc x £ ¢ ¡ ¤ D(csc) = −π , 0 ∪ 0, π2 2   I(csc) = (−∞, −1] ∪ [1, +∞)

10

  y = arcsec x −→ −→ −→ D(arcsec) = (−∞, −1] ∪ [1, +∞)  Funci´ on inversa £ ¢ ¡ ¤  I(arcsec) = 0, π2 ∪ π2 , π   y = arccsc x −→ D(arccsc) = (−∞, −1] ∪ [1, +∞) −→ −→  Funci´ on inversa £ ¢ ¡ π¤  I(arccsc) = −π 2 , 0 ∪ 0, 2

2.1.21. Funciones hiperb´ olicas Son funciones que se definen a partir de la funci´on exponencial, cuya expresi´on anal´ıtica, dominio e imagen son los que siguen:

Seno hiperb´ olico Coseno hiperb´ olico Tangente hiperb´ olica Cotangente hiperb´ olica Secante hiperb´ olica Cosecante hiperb´ olica

Expresi´ on anal´ıtica ex − e−x sinh x = 2 ex + e−x cosh x = 2 x sinh x e − e−x tanh x = = x cosh x e + e−x 1 ex + e−x coth x = = x tanh x e − e−x 1 2 sech x = = x cosh x e + e−x 1 2 csch x = = x sinh x e − e−x

Dominio

Imagen

R

R

R

[1, +∞)

R

(−1, 1)

R \ {0}

(−∞, −1) ∪ (1, +∞)

R

(0, 1]

R \ {0}

R \ {0}

El c´alculo del dominio e imagen se deja como ejercicio, y su representaci´ on gr´afica se puede abordar en la secci´on 3.3 con las t´ecnicas adecuadas para la representaci´ on gr´afica de funciones. Algunas relaciones importantes: Las funciones hiperb´olicas reciben su nombre por verificar propiedades similares a las de las funciones trigonom´etricas: • Relaciones fundamentales:

cosh2 x − sinh2 x = 1

1 − tanh2 x = sech2 x

• Otras relaciones: sinh(x ± y) = sinh x cosh y ± cosh x sinh y cosh(x ± y) = cosh x cosh y ± sinh x sinh y

tanh(x ± y) =

tanh x ± tanh y 1 ± tanh x tanh y

y, en particular: sinh 2x = 2 sinh x cosh x cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x

tanh 2x =

2 tanh x 1 + tanh2 x

Para verificarlas, basta sustituir cada funci´on hiperb´olica por su expresi´on anal´ıtica correspondiente y, operando, verificar la identidad.

2.1.22. Funciones hiperb´ olicas inversas Para calcular la funci´on inversa del seno hiperb´olico se despeja x en su expresi´on anal´ıtica: y = sinh x =

ex − e−x =⇒ 2y = ex − e−x =⇒ 2yex = e2x − 1 =⇒ (ex )2 − 2yex − 1 = 0 2

que es una ecuaci´on de segundo grado en la variable ex . Se resuelve la ecuaci´on y se tiene en cuenta que la exponencial debe ser positiva: p ( p 2+4 p y 2 + 1 < 0 soluci´o³n no v´alida ´ y − 2y ± 4y p p ex = = y ± y2 + 1 = 2 y + y 2 + 1 =⇒ x = ln y + y 2 + 1

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

11

Intercambiando la x por la y, se obtiene la funci´on inversa del seno hiperb´olico: ³ ´ p sinh−1 x = ln x + x2 + 1 cuyo dominio e imagen son, respectivamente, la imagen y dominio del seno hiperb´olico. Lo mismo que el seno, la tangente, secante y cosecante hiperb´olicas son funciones inyectivas y tienen inversa. Sin embargo, el coseno y secante hiperb´olicos no son inyectivas, siendo necesario restringir su dominio a los n´ umeros reales no negativos para que lo sean y puedan tener inversa. La lista completa de las inversas de las funciones hiperb´olicas, con indicaci´on de su dominio e imagen, es: ³ ´ p sinh x = ln x + x2 + 1 ³ ´ p cosh−1 x = ln x + x2 − 1 1 1+x tanh−1 x = ln 2 1−x 1 x+1 −1 coth x = ln 2 x√ −1 1 + 1 − x2 sech−1 x = ln x√ Ã ! 2 1 1 + x csch−1 x = ln + x |x|

Dominio

Imagen

R

R

[1, +∞)

[0, +∞)

(−1, 1)

R

(−∞, −1) ∪ (1, +∞)

R \ {0}

(0, 1]

[0, +∞)

R \ {0}

R \ {0}

−1

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Halla el dominio de cada una de las siguientes funciones: x+1 (a) y = ln x−1

√ 3 x+1 (b) y = x 2 2 (x − 1)

q p (c) y = 1 − 4 − x2

r (d) y =

ln

5x − x2 4

2. Halla el dominio de cada una de las siguientes funciones: Ãr ! 2 x+1 5 x + x + 3 (a) y = arcsin 2 (b) y = log −1 x +1 x2 + 1 3. Halla el dominio y la imagen de cada una de las siguientes funciones. Estudia tambi´en su acotaci´on y calcula, si existen, el supremo, el ´ınfimo y sus extremos absolutos. (a) f (x) =

√ x−1

1 (b) f (x) = √ 1−x

(c) f (x) = |sin x|

4. Siendo f (x) = |x| + |x − 1| − |2x − 1|, x ∈ R, halla los conjuntos A = f ([0, 1]) y B = f −1 5. Halla el dominio, la imagen y la gr´afica de cada una de las siguientes funciones: (a) Parte entera: E(x) = f loor(x) = bxc = mayor entero menor o igual que x. (b) Parte fraccionaria: f rac(x) = x − bxc. 6. Encuentra las expresiones de las funciones f + g, f − g y f g, donde: ( ( 1 , si x ≤ 2 x2 , si x ≤ 0 f (x) = y g(x) = x , si x > 2 2 − x , si x > 0

¡£ 1

2, 1

¤¢ .

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

12

7. La expresi´on de una funci´on, definida en toda la recta real, en x ≥ 0 es: ( x , si 0 ≤ x ≤ 1 f (x) = 1 , si x > 1 ¿C´omo est´a definida en x < 0 si la funci´on es par? ¿Y si es impar? Dibuja sus gr´aficas. 8. Estudia si las siguientes funciones son pares o impares: (a) f (x) =

x + sin x 1 + cos x

(b) f (x) =

x sin x 2 x + cos 2x

(c) f (x) =

1 + x2 1 + sin x

9. Estudia si las siguientes funciones son peri´odicas y, en caso afirmativo, calcula su periodo: (a) f (x) = sin x + cos 2x

(b) f (x) = sin x cos 2x

(c) f (x) = sin x + cosh x

10. Expresa las funciones F (x) = (x + 1)3 y G(x) = sin (1 + |x|) como composici´on de funciones elementales. 11. Halla f ◦ g, g ◦ f , f ◦ f y g ◦ g, donde: ( 1 − x , si x ≤ 0 f (x) = x2 , si x > 0

( −x , si x < 1 g(x) = 1 + x , si x ≥ 1

12. Sea g(x) = 1+3x y f una funci´on tal que f (g(x)) = 1 − x. Encuentra una expresi´on para f (h(x)), 2 siendo h(x) = 2+5x 3 . 13. Estudia cu´ales de las siguientes funciones son uno-a-uno y, en caso de que exista, calcula su inversa. (a) f (x) =

x2

x +1

(b) f (x) =

x |x|

14. Dibuja la gr´afica y halla la funci´on inversa, si existe, de la funci´on: ( x3 − 1 , si x < 0 f (x) = x2 , si x ≥ 0 15. Halla el valor de: −1 (a) arcsin 2 −1 (b) arccos 2

√ (c) arctan(− 3) µ ¶ 1 (d) cos arccos 2

µ ¶ 1 (e) cos arcsin 2 µ ¶ 1 (f ) sin arccos 2

µ ¶ 5π (g) arctan tan 6 µ ¶ −7π (h) arcsin sin 4

16. Simplifica las siguientes expresiones: (a) y = sin(arccos x)

(b) y = sin(2 arccos x)

17. A partir de las gr´aficas de y = ex y de y = e−x , haz un esbozo de las gr´aficas de y = sinh x e y = cosh x. ¿Cu´al es su imagen? ¿Est´an acotadas? 18. Demuestra que: cosh2 x − sinh2 x = 1

sinh 2x = 2 sinh x cosh x

cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

13

CUESTIONES 1. Contesta razonadamente si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones: (a) El producto de dos funciones pares es una funci´on par. (b) El producto de dos funciones impares es una funci´on impar. (c) El producto de una funci´on par por otra impar es una funci´on impar. (d) La suma de dos funciones impares es una funci´on par. (e) La suma de una funci´on par con otra impar es una funci´on impar. (f ) La funci´on y = |f (x)| es siempre par. (g) La suma de dos funciones peri´odicas es una funci´on peri´odica. (h) El producto de dos funciones peri´odicas es una funci´on peri´odica. 2. (a) Si f es una funci´on definida sobre toda la recta real, demuestra que g(x) = f (x) + f (−x) es par y que h(x) = f (x) − f (−x) es impar. (b) Demuestra que toda funci´on definida sobre toda la recta real se puede expresar como la suma de una funci´on par y otra impar. (c) Expresa y = ex como suma de una funci´on par y otra impar. 3. ¿Qu´e funciones hiperb´olicas son pares y cu´ales impares? 4. Razona bajo qu´e condiciones las funci´on y = |f (x)| es par. 5. Si f es una funci´on par y decreciente en (−∞, 0), ¿es f creciente o decreciente en (0, +∞)? 6. Sea f una funci´on peri´odica de periodo T y a > 0. Estudia si son peri´odicas las funciones: (a) y = a + f (x)

(b) y = f (ax)

(c) y = af (x)

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Halla el dominio de cada una de las siguientes funciones: r p 1 x+1 (a) y = (b) y = x (c) y = x(x2 − 1) |x| − x x−1

(d) y =

√ sin x

2. Halla el dominio y la imagen de cada una de las siguientes funciones. Estudia tambi´en su acotaci´on y calcula, si existen, el supremo, el ´ınfimo y sus extremos absolutos. (a) f (x) = 2x − 1 (b) f (x) = |x|

(c) f (x) =

1 x2

(d) f (x) =

√ 1 − x (e) f (x) = 1 + tan2 x

3. Halla el dominio, la imagen y la gr´afica de cada una de las siguientes funciones: (a) E + (x) = ceil(x) = dxe = menor entero mayor o igual que x. (b) Funci´on redondeo: round(x) = entero m´as pr´oximo a x. (c) < x >= |x − round(x)| = distancia al entero m´as pr´oximo a x. 4. Se considera un c´ırculo de radio r. Expresa: (a) La longitud de una cuerda en funci´on de la distancia desde su punto medio al centro del c´ırculo. (b) El per´ımetro de un tri´angulo is´osceles inscrito en el c´ırculo en funci´on de la longitud del lado desigual (el tri´angulo debe contener al centro del c´ırculo en su interior).

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

14

Halla el dominio e imagen de cada una de las funciones obtenidas. 5. Sean f y g dos funciones peri´odicas. ¿Son peri´odicas las funciones f + g y f g? ³ ´ 1−x = x2 . Halla una expresi´on de f (x). 6. Sea f una funci´on tal que f 1+x 7. Sea f (x) =

3x−4 2x−1 .

Halla una expresi´on simplificada de f (f (2/x)).

8. Estudia cu´ales de las siguientes funciones son uno-a-uno y, en caso de que exista, calcula su inversa. (a) f (x) =

x+3 x+5

(b) f (x) =

x3

1 +1

9. Demuestra que la expresi´on a sin x + b cos x se puede escribir como A sin(x + B). 10. Halla el dominio y la imagen de las funciones y = cot x

y = sec x

y = csc x

Estudia su periodicidad, acotaci´on y simetr´ıas. Haz un esbozo de sus gr´aficas. 11. Halla el valor de: 1 (a) arccos 2

(b) arctan 0

µ ¶ 7π (c) arcsin sin 4

(d) arctan(cos 0)

12. Simplifica las siguientes expresiones: (a) y = cos(arcsin x)

(b) y = sin(2 arctan x)

13. Prueba que las funciones inversas de y = cosh x con x ≥ 0, y de y = tanh x son, respectivamente: ³ ´ p arccosh x = ln x + x2 − 1 , x ≥ 1

arctanh x =

1 1+x ln , −1 < x < 1 2 1−x

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

1

2. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL 2.2. L´IMITES 2.2.1. L´ımite de una funci´ on en un punto Sea y = f (x) una funci´on definida en un entorno del punto a ∈ R (aunque no, necesariamente, en el punto). Definici´ on intuitiva: Se dice que f tiene l´ımite l en el punto a si f (x) tiende a l cuando x tiende a a, y se indica: f (x) −→ l o ´ lim f (x) = l x→a

x→a

Como se ilustra en la siguiente figura, la existencia de l´ımite y su valor son independientes de que la funci´on est´e definida en el punto y de su valor en dicho punto. y

y f

y •

f (a)

l = f (a)

f

f

l x

a

O

l

lim f (x) = l = f (a)

x

a

O

lim f (x) = l 6= f (a)

x→a

x→a

O

a

x

lim f (x) = l y no existe f (a)

x→a

Definici´ on formal: Se dice que f tiene l´ımite l en el punto a si para cualquier ε > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < |x − a| < δ entonces |f (x) − l| < ε. Es decir: lim f (x) = l ⇐⇒ (∀ε > 0 ∃δ > 0 tal que: 0 < |x − a| < δ =⇒ |f (x) − l| < ε)

x→a

y f • Si x dista de a menos que δ, f (x) dista de l menos que ε.

l+ε l l−ε

O

µ a @ ¡ I ¡ @

a−δ

a+δ

x

• δ depende de ε: mientras m´as peque˜ no sea ε, m´as peque˜ no ser´a δ.

2.2.2. Ejemplos 1. Demuestra, intuitivamente y formalmente, los siguientes l´ımites: √ (a) lim (2x − 1) = 3 (b) lim x = 2 (c) lim x3 = 27 x→2

x→4

( 2. Demuestra que la funci´ on f (x) =

0 , si x ∈ Q 1 , si x ∈ /Q

x→3

no tiene l´ımite en ning´ un punto.

2.2.3. L´ımites laterales Sea y = f (x) una funci´on definida en un entorno del punto a ∈ R, aunque no necesariamente en el punto. Al hallar el l´ımite de f en a hay que considerar, si es posible, valores de x que tienden al punto a tanto por su derecha como por su izquierda. Existen muchas funciones, como las definidas a trozos, en que estos valores (por la derecha y por la izquierda) hay que considerarlos por separado, obteniendo lo que se conoce como l´ımites laterales:

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

2

• Se dice que l− es el l´ımite por la izquierda de f en el punto a si f (x) tiende a l− cuando x tiende a a por su izquierda (con valores menores que a). Formalmente: ¯ ¯ ¡ ¢ lim f (x) = l− ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃δ > 0 tal que: a − δ < x < a =⇒ ¯f (x) − l− ¯ < ε x→a−

• Se dice que l+ es el l´ımite por la derecha de f en el punto a si f (x) tiende a l+ cuando x tiende a a por su derecha (con valores mayores que a). Formalmente: ¯ ¯ ¡ ¢ lim f (x) = l+ ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃δ > 0 tal que: a < x < a + δ =⇒ ¯f (x) − l+ ¯ < ε x→a+

Obviamente, existe el l´ımite de una funci´on en un punto si y s´olo si existen los l´ımites laterales y coinciden. Cuando la funci´on s´olo est´a definida a uno de los lados del punto, se define el l´ımite como el l´ımite lateral correspondiente. y

y l+

f lim f (x) = l− = l+

l− = l+

f

lim f (x) = l−

x→a−

l−

x→a

lim f (x) = l+

x→a+

x

a

O

O

Los l´ımites laterales coinciden y, por tanto, existe el l´ımite de la funci´on en el punto.

x

a

Los l´ımites laterales son distintos y, por tanto, no existe el l´ımite de la funci´on en el punto.

2.2.4. L´ımites infinitos Sea y = f (x) una funci´on definida en un entorno del punto a ∈ R, aunque no necesariamente en el punto. • Se dice que f tiene l´ımite +∞ en el punto a si f (x) se hace mayor que cualquier n´ umero positivo cuando x tiende a a. Formalmente: lim f (x) = +∞ ⇐⇒ (∀M > 0 ∃δ > 0 tal que: 0 < |x − a| < δ =⇒ f (x) > M )

x→a

• Se dice que f tiene l´ımite −∞ en el punto a si f (x) se hace menor que cualquier n´ umero negativo cuando x tiende a a. Formalmente: lim f (x) = −∞ ⇐⇒ (∀M > 0 ∃δ > 0 tal que: 0 < |x − a| < δ =⇒ f (x) < −M )

x→a

An´alogamente, se definen los l´ımites laterales infinitos. Estos l´ımites infinitos se presentan con frecuencia en puntos donde la funci´on no est´a definida. y

y

y f

a

M

f

x

O

f

O

a

x

lim f (x) = +∞

x→a−

a

O

lim f (x) = +∞

x→a

x

lim f (x) = −∞

−M

x→a+

lim f (x) = −∞

x→a

2.2.5. Ejemplos Calcula y demuestra los siguientes l´ımites: (a) lim

x→0

1 1 ; (b) lim . x→0 x x2

@ lim f (x) x→a

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

3

2.2.6. L´ımites en el infinito Si y = f (x) es una funci´on definida en un entorno de +∞ (es decir, en un intervalo de la forma (R, +∞)), se define su l´ımite en +∞, seg´ un el caso, como: lim f (x) = l ⇐⇒ (∀ε > 0 ∃k > 0 tal que: x > k =⇒ |f (x) − l| < ε)

x→+∞

lim f (x) = +∞ ⇐⇒ (∀M > 0 ∃k > 0 tal que: x > k =⇒ f (x) > M )

x→+∞

lim f (x) = −∞ ⇐⇒ (∀M > 0 ∃k > 0 tal que: x > k =⇒ f (x) < −M )

x→+∞

An´alogamente, si y = f (x) es una funci´on definida en un entorno de −∞ (es decir, en un intervalo de la forma (−∞, R)), se define su l´ımite en −∞, seg´ un el caso, como: lim f (x) = l ⇐⇒ (∀ε > 0 ∃k > 0 tal que: x < −k =⇒ |f (x) − l| < ε)

x→−∞

lim f (x) = +∞ ⇐⇒ (∀M > 0 ∃k > 0 tal que: x < −k =⇒ f (x) > M )

x→−∞

lim f (x) = −∞ ⇐⇒ (∀M > 0 ∃k > 0 tal que: x < −k =⇒ f (x) < −M )

x→−∞

y

y 1

f

x

O f x

O lim f (x) = 0

x→−∞

lim f (x) = −∞

lim f (x) = +∞

x→−∞

x→+∞

lim f (x) = 1

x→+∞

2.2.7. Ejemplos Calcula y demuestra los siguientes l´ımites: (a) lim

x→+∞

2x ; (b) lim (x2 + 1). x→−∞ x+1

2.2.8. Propiedades de los l´ımites Si f y g son dos funciones definidas en un entorno de a (que puede ser un n´ umero real, +∞ o −∞), entonces: lim f (x) f (x) = x→a x→a g(x) lim g(x)

lim kf (x) = k lim f (x)

x→a

lim

x→a

x→a

³ ´ lim g(x) lim (f (x))g(x) = lim f (x) x→a

lim (f (x) ± g(x)) = lim f (x) ± lim g(x)

x→a

x→a

x→a

x→a

x→a

lim (f (x) · g(x)) = lim f (x) · lim g(x)

x→a

x→a

x→a

siempre que no se presente alguna de las siguientes indeterminaciones: ∞−∞

0·∞

0 0

∞ ∞

1∞

00

∞0

que, en cada caso, habr´a que resolver mediante t´ecnicas adecuadas de c´alculo de l´ımites. No son indeterminaciones, siendo su valor el indicado en cada caso, las siguientes: l+∞=∞

l · ∞ = ±∞ , si l 6= 0

∞+∞=∞

∞·∞=∞

l =0 ∞ ∞ = ±∞ l

l = ±∞ , si l 6= 0 0 0∞ = 0

l∞ = 0 , si 0 ≤ l < 1 l∞ = ∞ , si l > 1

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

4

2.2.9. Tres teoremas sobre l´ımites • Unicidad: Si existe el l´ımite de una funci´on en un punto (finito o infinito), su valor es u ´nico. • Regla del sandwich: El l´ımite de una funci´on comprendida entre dos que tienen el mismo l´ımite coincide con este, es decir: ( f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) en un entorno de a =⇒ lim g(x) = l x→a lim f (x) = lim h(x) = l x→a

x→a

• Teorema: El producto de una funci´on acotada por otra con l´ımite cero tambi´en tiene l´ımite cero, es decir: ( f acotada en un entorno de a =⇒ lim f (x)g(x) = 0 x→a lim g(x) = 0 x→a

En los tres resultados anteriores, a puede ser un n´ umero real, +∞ o −∞. Los dos primeros se pueden demostrar usando la definici´on formal de l´ımite, mientras que el tercero es una consecuencia de la regla del sandwich.

2.2.10. C´ alculo elemental de l´ımites Usando la definici´on formal de l´ımite se pueden demostrar los siguientes l´ımites: 1. Si P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 es un polinomio de grado n ≥ 1, entonces: lim P (x) = P (a)

x→a

y

lim P (x) = lim an xn = ±∞

x→±∞

x→±∞

xn

donde an es el sumando de mayor grado del polinomio, que se llama t´ ermino director. En los l´ımites en el infinito, el signo depende del signo del infinito, del signo de an y de que n sea par o impar. 2. El l´ımite de una funci´on racional es: lim

x→a

P (x) P (a) = , Q(x) Q(a)

si Q(a) 6= 0 xn

xn

P (x) an + . . . + a1 x + a0 an = lim = lim m x→±∞ Q(x) x→±∞ bm x + . . . + b1 x + b0 x→±∞ bm xm lim

3. El l´ımite de una funci´on exponencial es: ( +∞ , si a > 1 lim ax = ac lim ax = x→c x→+∞ 0 , si 0 < a < 1

  , si n < m  0 = an /bm , si n = m   ±∞ , si n > m (

lim ax =

x→−∞

0 , si a > 1 +∞ , si 0 < a < 1

4. El l´ımite de una funci´on logar´ıtmica es: lim loga x = loga c , si c > 0 ( +∞ , si a > 1 lim loga x = x→+∞ −∞ , si 0 < a < 1 x→c

( lim loga x =

x→0

−∞ , si a > 1 +∞ , si 0 < a < 1

5. L´ımites de la forma 1∞ y el n´ umero e: ¶ µ ¶α(x) µ 1 1 x =e lim 1 + = e , si α(x) −→ ±∞ lim 1+ x→a x→a x→±∞ x α(x) y como se justificar´a m´as adelante: ¡ ¢ lim f (x)g(x) = 1±∞ = eλ x→a

donde λ = lim g(x)[f (x) − 1] x→a

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

5

2.2.11. Ejemplos 1. Calcula los siguientes l´ımites: (a) (b) (c) (d)

µ

¶ x2 x3 (e) lim − 2 x→−∞ x + 1 x +1 ³p ´ (f ) lim x2 − 1 − x + 1

x2 − x − 6 lim x→3 x−3 x+1 lim x→−1 (2x2 + 7x + 5)2 √ 2− x+1 lim x→3 x−3 √ 3x4 − 3x + 1 lim x→+∞ 1 − x2

(i)

lim tanh x µ ¶ 1 x (j) lim 1− x→+∞ x µ ¶ 3x + 2 x (k) lim x→+∞ 3x + 1 µ 2 ¶ 1 x + 1 x−1 (l) lim x→1 x+1

x→+∞

(g) lim sinh x x→0

(h)

lim cosh x

x→−∞

x→+∞

2. Calcula los l´ımites: 2

(a) lim e1/x

(b) lim e1/x

x→0

(c) lim (1 + x)1/x

x→0

x→0

recurriendo, si es necesario, a los l´ımites laterales correspondientes.

2.2.12. L´ımites de funciones trigonom´ etricas Usando la regla del sandwich y las propiedades de los l´ımites, se puede probar que: ( tan a si a = 6 lim sin x = sin a lim cos x = cos a lim tan x = x→a x→a x→a no existe si a =

π 2 π 2

+ kπ + kπ

siendo distintos (−∞ y +∞) los l´ımites laterales de la tangente en los ´angulos π2 + kπ. Puesto que las funciones trigonom´etricas son peri´odicas y no constantes, al acercarse a infinito repiten un mismo ciclo de valores indefinidamente y no se acercan a un valor fijo. Por tanto, no existe el l´ımite en el infinito para ninguna de ellas. sin x Un l´ımite interesante es el de la funci´on y = en x = 0 que presenta una indeterminaci´on de la x forma 0/0. Si 0 < x < π/2, observando la figura: Q

½ P½½ ½B ½ B ½ ½ B x tan x ½ B ½ B ½ sin x ½ B ½ B ½ B ½ ½ x B

O

1

A

area(4OAP ) < ´ ´ area(^OAP ) < ´area(4OAQ) =⇒ =⇒

1 2

sin x < 12 x <

=⇒ 1 <

x sin x

y, en general:

tan x sin x

=

1 cos x

=⇒ 1 >

sin x =1 x→0 x

=⇒ lim

x→0

sin α(x) = 1 , si α(x) −→ 0 x→a α(x) x→a lim

tan x =⇒ sin x < x < tan x =⇒ sin x x

> cos x

siendo esta f´ormula tambi´en cierta para valores negativos de x.

Aplicando la regla del sandwich: ( cos x < sinx x < 1 , si 0 < |x| < π/2 lim 1 = lim cos x = 1 x→0

<

1 2

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

6

2.2.13. Ejemplos 1. Calcula los l´ımites: sin 2x x→0 x

(a) lim

tan x x→0 x

1 − cos x x→0 x

(b) lim

1 − cos x x→0 x2

(c) lim

(d) lim

2. Estudia la existencia y calcula el valor, si es posible, de los siguientes l´ımites: (a) lim cos x→0

1 x

(b) lim x cos x→0

1 x

(c) lim xp cos x→0

1 , p>0 x

2.2.14. Infinit´ esimos Se dice que una funci´on f es un infinit´ esimo en x = a si lim f (x) = 0. x→a Dos infinit´esimos, f y g, en un mismo punto se dicen comparables cuando existe el l´ımite de su cociente, y entonces si:  , se dice que f es un infinit´ esimo de orden mayor que g en x = a µ ¶   0 f (x) 0 lim = = l 6= 0 , se dice que f y g son infinit´ esimos del mismo orden en x = a x→a g(x)  0  ±∞ , se dice que f es un infinit´ esimo de orden menor que g en x = a En el caso particular de que el cociente sea 1 los infinit´esimos, que son del mismo orden, se llaman equivalentes: µ ¶ f (x) 0 f y g son infinit´ esimos equivalentes en x = a ⇐⇒ lim = =1 x→a g(x) 0 y se indica: f ∼ g. Es f´acil comprobar, hallando los l´ımites pertinentes, que los siguientes infinit´esimos son equivalentes:   sin α(x) ∼ α(x) ∼ arcsin α(x) sin x ∼ x ∼ arcsin x           tan α(x) ∼ α(x) ∼ arctan α(x) tan x ∼ x ∼ arctan x     2 2 α(x) x en x = 0 cuando α(x) → 0 1 − cos α(x) ∼ 1 − cos x ∼   2 2       ln(1 + α(x)) ∼ α(x) ln(1 + x) ∼ x       x α(x) a − 1 ∼ x ln a , a > 0, a 6= 1 a − 1 ∼ α(x) ln a , a > 0, a 6= 1 Haciendo un cambio de variable adecuado, se puede ver que tambi´en son equivalentes: ln x ∼ x − 1 en x = 1

ln α(x) ∼ α(x) − 1 cuando α(x) → 0

En el c´alculo de l´ımites, en productos y cocientes se pueden sustituir infinit´esimos por otros equivalentes.

2.2.15. Ejemplos 1. Calcula, usando infinit´esimos equivalentes, los siguientes l´ımites: µ ¶ √ n 2 x−1 tan x − sin x 1 √ (a) lim m (e) lim (c) lim − x→1 x→0 sin2 x x→0 x3 1 − cos x x−1 µ ¶ α 1 x −1 1 2 3 sin x (b) lim (cos x) (d) lim (f ) lim (x + x ) ln 1 + 3 x→∞ x→0 x→1 arcsin(x − 1) x 2. Demuestra que f (x) = x/2 y g(x) =

√ 1 + x − 1 son infinit´esimos equivalentes cuando x → 0.

3. Encuentra infinit´esimos equivalentes a: (a)

√ 3 x ln(1 + x) , en x = 0

(b)

1 1 − 2 , en +∞ 3 x x

(c)

√ √ x − a , en x = a

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

7

2.2.16. Infinitos Se dice que una funci´on f es un infinito en x = a si lim |f (x)| = +∞, lo que es equivalente a que 1/f x→a sea un infinit´esimo en dicho punto. Los polinomios y las funciones exponenciales y logar´ıtmicas, de base mayor que uno, son infinitos en +∞. Al compararlos, se obtiene: ax P (x) ax = lim = lim = +∞ x→+∞ P (x) x→+∞ logb x x→+∞ logb x lim

para cualesquiera a, b > 1, como m´as adelante se podr´a justificar f´acilmente.

2.2.17. As´ıntotas Se llama as´ıntota de una funci´on a cualquier recta a la que se acerca indefinidamente su gr´afica en el infinito. Las as´ıntotas, como las rectas, pueden ser verticales, horizontales u oblicuas. • La recta x = a es as´ıntota vertical de la funci´on f si alguno de sus l´ımites laterales en x = a es +∞ o −∞, es decir, si: lim f (x) = ±∞

o

x→a−

lim f (x) = ±∞

x→a+

• La recta y = l es as´ıntota horizontal de la funci´on f si alguno de sus l´ımites en el infinito es l, es decir, si: lim f (x) = l o lim f (x) = l x→−∞

x→+∞

• La recta y = mx + n, m 6= 0, es as´ıntota oblicua de la funci´on f si: lim [f (x) − (mx + n)] = 0

o

x→−∞

lim [f (x) − (mx + n)] = 0

x→+∞

Obviamente, una funci´on no puede tener en un mismo ”lado” (+∞ o −∞) as´ıntota horizontal y oblicua. Por tanto, s´olo se buscan as´ıntotas oblicuas cuando no las hay horizontales. Para hallar la as´ıntota oblicua y = mx + n en +∞ se procede como sigue: f (x) x→+∞ x

m = lim

=⇒

n = lim [f (x) − mx] x→+∞

siendo necesario, para que exista, que m, n ∈ R y m 6= 0. An´alogamente se procede en −∞. y ¡ ¡

¡

¡

1

¡

• La recta x = 0 es as´ıntota vertical por la izquierda.

¡

• La recta x = 1 es as´ıntota vertical por ambos lados.

¡

¡

O

¡

1

x

• La recta y = 1 es as´ıntota horizontal en −∞. • La recta y = x es as´ıntota oblicua en +∞.

2.2.18. Ejemplos 1. ¿Qu´e condiciones se deben verificar para que una funci´ on racional tenga as´ıntotas horizontales u oblicuas? ¿Cu´ ales son las as´ıntotas? 2. Encuentra las as´ıntotas de las siguientes funciones: (a) f (x) = ln(x2 − x)

(b) f (x) =

x+2 3 x + x2 − 2x

(c) f (x) =

x3 + 2 (x − 1)2

(d) f (x) = xe1/x

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

8

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Un operario trata de determinar el ´area de un cuadrado midiendo su lado. Si el lado mide 2m, ¿cu´al es el m´aximo error que puede cometer en su medici´on si quiere calcular el ´area con un error menor que 10−6 m2 ? 2. Se dispone de una jarra de forma cil´ındrica con dos litros de capacidad, cuya base es un c´ırculo de 6 cm de de radio, y se desea imprimir una marca en el lateral para medir un litro. ¿Cu´al debe ser el grosor de las marcas si se quiere medir el litro con un error inferior al 1%? 3. Halla el l´ımite de f (x) cuando x → 1 en cada uno de los dos casos siguientes: (a) lim

x→1

f (x) − 5 =1 x−3

(b) lim

x→1

xf (x) =1 (x − 1)2

4. Halla los valores de a y b para que existan los l´ımites en x = −1 y x = 1 de la funci´on:  2  , si x ≤ −1 ax − 2 f (x) = ax , si −1 < x < 1   x−1 be + 2 , si x > 1 5. Encuentra los valores de m para los que existe el l´ımite de la funci´on f (x) = x → 1. Halla el l´ımite en esos casos.

6x2 + mx − m2 cuando x2 − 2x + 1

6. Halla los l´ımites laterales, y el l´ımite si existe, de las siguientes funciones en los puntos que se indican: (a) y =

1 x(1 + x) 1 e1/x , a = 0 ; (b) y = e x−2 , a = 2 ; (c) y = sinh , a = 0 ; (d) y = , a=0 |x| x 1 + e1/x

7. Halla los siguientes l´ımites: tan2 3x x→0 4x2 1 − sec2 2x (d) lim x→0 x2

sin 3x x→0 2x sin x2 (b) lim x→0 x

(a) lim

tan 3x 2x2 + 5x sin x (f ) lim x→π x − π

(c) lim

(e) lim

x→0

sin(2x − 2) x3 − 1 sin(x + |x|) (h) lim x→0 x2 (g) lim

x→1

8. Halla los siguientes l´ımites: (a) lim x sin x→0

1 x

(b) lim (x − π) cos2 x→π

1 x−π

9. Halla los l´ımites en +∞ y en −∞ de la funci´on y = x + 10. Halla los siguientes l´ımites: ¶ µ 2x − 1 x (b) (a) lim x→+∞ 3x + 1

µ lim

x→+∞

x 2 x +1

¶x

(c) lim |x − 1| sin x→1

1 (x − 1)2

√ x2 + x.

µ ¶ 1 x (c) lim 1− x→−∞ x

µ (d)

lim

x→+∞

x2 + 1 x2 − 1

¶3x2

11. Halla los l´ımites en +∞ y en −∞ de la funci´on y = tanh x. 12. Halla los siguientes l´ımites: (a)

lim x sin

x→+∞

1 x

(b)

lim

x→+∞

sin x x2 sin x1

(c)

lim

x→−∞

sin 2x x

(d)

lim

x→−∞

13. Halla los siguientes l´ımites: x (a) lim x→0 2 + sin 1 x (b) lim

|x| +x

x→0 x2

√ √ x x−x+ x−1 (c) lim x→1 x−1 √ √ 2 x − 3x + 2 − 2x − 4 √ (d) lim x→3 x3 − 6x2 + 9x

¡ ¢1/x2 (e) lim cos x − x2 x→0

x − cos x x

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

9

CUESTIONES 1. Contesta razonadamente si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones: (a) El l´ımite de una funci´on en un punto es siempre el valor de la funci´on en el punto. (b) Si una funci´on no esta definida en un punto no puede existir el l´ımite en dicho punto. (c) El l´ımite de una funci´on en un punto no coincide necesariamente con el valor de la funci´on en el punto. (d) El l´ımite de una funci´on en un punto existe siempre que existan los l´ımites laterales. (e) Si no existen los l´ımites de f y g en un punto, no puede existir el l´ımite de f + g en dicho punto. (f ) El l´ımite del producto de una funci´on con l´ımite cero por otra con l´ımite infinito es un n´ umero distinto de cero e infinito. (g) Una funci´on con as´ıntota horizontal no puede tener as´ıntota oblicua. (h) Una funci´on no puede tener dos as´ıntotas horizontales. (i) Una funci´on no puede tener m´as de dos as´ıntotas horizontales u oblicuas. (j) Una funci´on puede tener cualquier n´ umero de as´ıntotas verticales (incluso infinitas). 2. Pon un ejemplo de una funci´on acotada sin l´ımite ni l´ımites laterales en un punto. 3. Justifica, mediante ejemplos adecuados, que 0 · ∞ es una indeterminaci´on. 4. Justifica, mediante ejemplos adecuados que 1∞ es una indeterminaci´on. 5. Demuestra la siguiente f´ormula para l´ımites de funciones exponenciales: ¡ ¢ lim f (x)g(x) = 1±∞ = eλ donde λ = lim g(x)[f (x) − 1] x→a

x→a

6. Si f (x) = x2 − x + 1, encuentra una expresi´on para g(x) de tal manera que, cuando x → +∞, f (x)/g(x) tenga l´ımite: (a) −3; (b) 0; (c) +∞; (d) carezca de l´ımite. 7. Si f y g son infinit´esimos en x = a, justifica razonadamente si tambi´en lo son las siguientes funciones: f + g, f · g, f /g y f g .

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Indica el margen de precisi´on con que se ha de medir la longitud del radio en un c´ırculo para que su ´area sea 16π ± 0.001. 2 = 1. x→1 x + 1

2. Usando la definici´on formal de l´ımite, prueba que: (a) lim (5 − 2x) = 3; (b) lim x→1

3. Usando la definici´on formal de l´ımite, prueba que: (a) lim x2 = c2 x→c

(b) lim

x→c

1 1 = , si c 6= 0 x c

(c) lim

x→c

√ √ x = c , si c > 0

4. Halla los l´ımites laterales, y el l´ımite si existe, de las siguientes funciones en los puntos que se indican: (a) y =

1 x 1 1 ,a=2 , a = 0 ; (b) y = e |x−2| , a = 2 ; (c) y = tanh , a = 0 ; (d) y = 1 |x| x 1 − 2 x−2

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

10

5. Halla los siguientes l´ımites: 2x x→0 sin x

(a) lim

sin x2 x→0 x2

2x2 + x x→0 sin x

(b) lim

(c) lim

6. Halla los l´ımites en +∞ y en −∞ de la funci´on y = x − 7. Halla los siguientes l´ımites: µ ¶ 3x + 1 x (a) lim (b) x→+∞ 2x − 3

µ lim

x→+∞

x2 x+1

x→0

1 − cos 4x 9x2

√ x2 + x.

¶x

µ (c)

(d) lim

lim

x→+∞

x+1 x−1

µ

¶x (d)

lim

x→+∞

x2 + x + 1 x2 − x + 1

¶x

8. Halla los l´ımites en +∞ y en −∞ de la funci´on y = cosh x. 1 9. Halla los siguientes l´ımites: (a) lim sin ; (d) lim x sin x. x→+∞ x→+∞ x 10. Encuentra infinit´esimos equivalentes, cuando x → 0, a f (x) =

p √ 2x + x y g(x) = tan x − sin x.

11. Halla todas las as´ıntotas de las siguientes funciones: 3x − 2 (a) y = √ 2x2 + 1

¡ ¢ (b) y = ln x2 + 3x + 2

(c) xy + |x| − 2y + 1 = 0

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

1

2. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL 2.3. CONTINUIDAD 2.3.1. Continuidad de una funci´ on en un punto Sea y = f (x) una funci´on definida en un entorno del punto a ∈ R. Se dice que f es continua en a si lim f (x) = f (a), lo que equivale a que se cumplan las tres condiciones siguientes: x→a

1. ∃ lim f (x) y es finito

2. ∃f (a)

x→a

3. lim f (x) = f (a) x→a

Intuitivamente, una funci´on es continua en un punto cuando su gr´afica se puede trazar alrededor del punto sin levantar el l´apiz del papel.

2.3.2. Tipos de discontinuidad Si una funci´on no es continua en un punto se dice que presenta una discontinuidad en el punto, que puede ser: • evitable si existe y es finito el l´ımite de la funci´on en el punto. • esencial si no existe o es infinito alguno de los l´ımites laterales de la funci´on en el punto. • de salto si existen y son finitos los dos l´ımites laterales de la funci´on en el punto. y

• Continua en a3 • • Discontinuidad evitable en a1 y a6

a1

a2

a3

a4

O

a5

a6

x

• Discontinuidad esencial en a4 y a5 • Discontinuidad de salto en a2

Cuando una funci´on presenta una discontinuidad evitable en un punto se puede redefinir en dicho punto para convertirla en una funci´on continua. Concretamente, si f tiene una discontinuidad evitable en a, la funci´on: ( f (x) , si x 6= a fe(x) = lim f (x) , si x = a x→a

es continua en a, y s´olo se diferencia de f por su valor en el punto. y y f

lim f (x) = fe(a)

lim f (x)

x→a

O

fe

x→a

a

x

O

a

x

fe es continua en a

f tiene una discontinuidad evitable en a

2.3.2. Ejemplos Estudia en qu´e puntos son continuas y en cu´ ales discontinuas cada una de las siguientes funciones: (a) f (x) = x2 − 1

(b) f (x) =

1 x

(c) f (x) = x sin

1 x

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

2

2.3.3. Continuidad lateral Cuando el l´ımite de la funci´on en el punto no existe, pero alguno de los l´ımites laterales coincide con el valor de la funci´on se obtiene lo que se llama continuidad lateral. • Se dice que f es continua por la izquierda en a si lim f (x) = f (a) x→a−

• Se dice que f es continua por la derecha en a si lim f (x) = f (a) x→a+

La continuidad lateral cobra especial significado en los extremos de los intervalos de definici´on y en los puntos donde cambian de expresi´on las funciones definas a trozos. Obviamente, una funci´on es continua en un punto si y s´olo si es continua por la derecha y por la izquierda. y

y f

f (a)

•

O

a

f

x

f es continua en a por la izquierda y no lo es por la derecha.

f (a)

•

O

a

x

f no es continua en a ni por la izquierda ni por la derecha.

2.3.4. Continuidad en intervalos Una funci´on es continua en un intervalo cuando lo es en cada uno de los puntos del intervalo, entendi´endose continuidad lateral en los extremos del mismo (por la derecha en el extremo de la izquierda y por la izquierda en el extremo de la derecha).

2.3.5. Ejemplo La funci´on parte entera: E(x) = bxc es continua en cada punto a 6∈ Z, y continua por la derecha en cada punto n ∈ Z. Globalmente, es continua en cada intervalo: [n, n + 1) , n ∈ Z

y 5 • 4 • 3 • 2 • 1 • −3−2−1 x • O 1 2 3 4 5 • −1 • −2 • −3

2.3.6. Propiedades de la continuidad 1. Si f y g son dos funciones continua en a, entonces las funciones f ± g y f · g son continuas en a. Adem´as, si g(a) 6= 0 la funci´on f /g es tambi´en continua en a. 2. Si f es continua en a y g es continua en f (a), entonces g ◦ f es continua en a. Demostraci´ on: 1. Se deducen f´acilmente a partir de las propiedades de los l´ımites: lim (f + g)(x) = lim f (x) + lim g(x) = f (a) + g(a) = (f + g)(a) =⇒ f + g es continua en a

x→a

x→a

y an´alogamente las otras.

x→a

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

3

2. Si f es continua en a, lim f (x) = f (a), lo que equivale a decir que si x → a entonces f (x) → f (a), x→a

y si g es continua en f (a), lim g(u) = g (f (a)). Entonces: u→f (a)

lim (g ◦ f )(x) = lim g (f (x)) =

x→a

x→a

lim

f (x)→f (a)

g (f (x)) = lim g(u) = g (f (a)) = (g ◦ f )(a) u→f (a)

es decir, g ◦ f es continua en a.

2.3.7. Continuidad de las funciones elementales De las propiedades de los l´ımites y de la continuidad, se puede deducir que todas las funciones elementales son continuas en su dominio de definici´on.

2.3.8. Ejemplos Estudia la continuidad (clasificando sus discontinuidades) de las siguientes funciones: √ ¶ µ −1 x + 3(x − 1) 1 1 sin x |x−1| ¡ ¢ (a) f (x) = (b) f (x) = − e x − 2 |x − 2| x2 + x 1 + 31/x (2x2 − 3x + 1)

2.3.9. Definici´ on ε−δ de continuidad Usando la definici´on formal de l´ımite para indicar que el l´ımite coincide con el valor de la funci´on, se obtiene la siguiente definici´on de continuidad: f es continua en a ⇐⇒ (∀ε > 0 ∃δ > 0 tal que: |x − a| < δ =⇒ |f (x) − f (a)| < ε) y f f (a)+ε

• Si x dista de a menos que δ, f (x) dista de f (a) menos que ε.

HH j

f (a) * ©©

f (a)−ε

O

µ a @ ¡ I ¡ @

a−δ

a+δ

x

• δ depende de ε: mientras m´as peque˜ no sea ε, m´as peque˜ no ser´a δ.

2.3.10. Teorema (signo de una funci´ on continua) Si f es una funci´on continua en a y f (a) 6= 0, entonces existe un entorno de a en el que el signo de f (x) coincide con el signo de f (a). Demostraci´ on: Supongamos que f (a) es positivo, y sea ε verificando que 0 < ε < f (a). Puesto que f es continua en a, existe δ > 0 tal que: |x − a| < δ =⇒ |f (x) − f (a)| < ε

y f

m f (a) − ε < f (x) < f (a) + ε ⇓

f (a)+ε HH j f (a) © ©* f (a)−ε O

µa@ ¡ I ¡ @ a−δ a+δ

x

f (x) > f (a) − ε > 0

es decir, f (x) es tambi´en positivo en el entorno (a − δ, a + δ). El caso f (a) negativo se demuestra de forma totalmente an´aloga. Una consecuencia inmediata de este teorema es el siguiente corolario.

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

4

Corolario Si f es una funci´on continua en a y en todo entorno de a hay puntos donde la funci´on toma signo contrario, entonces f (a) = 0.

2.3.11. Teorema de Bolzano Si f : [a, b] −→ R es continua con f (a)f (b) < 0 (signo contrario en los extremos del intervalo), entonces existe α ∈ (a, b) tal que f (α) ¡ a+b ¢ = 0. Demostraci´ on: Si f 2 = 0, entonces α = a+b demostrado. Si no es as´ı, en unos 2 y el teorema queda £ ¤ £ a+b ¤ de los intervalos en que el punto medio divide al intervalo original, a, a+b o 2 , b , la funci´on toma 2 signo contrario en sus extremos, y se llama [a1 , b1 ] a tal intervalo que verifica: f (a1 )f (b1 ) < 0. y

Repitiendo el razonamiento anterior sobre el intervalo [a1 , b1 ] se puede llegar, como antes, a la soluci´on α o a un nuevo intervalo [a2 , b2 ] que en el que la funci´on cambia de signo en sus extremos: f (a2 )f (b2 ) < 0. Y as´ı sucesivamente.

f a1 k a

O

¡ an +bn ¢ 2

= 0. En este caso, α =

6 b1

k b α k2 b3

Pueden ocurrir dos cosas: • Para alg´ un n ≥ 1, f

a2 a3

an +bn 2

b

x

y el teorema queda demostrado.

• Para todo n ≥ 1, f (an )f (bn ) < 0. En este caso se obtiene una sucesi´on de intervalos cerrados encajados con longitud tendiendo a cero: [a, b] ⊃ [a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ . . . ⊃ [an , bn ] ⊃ . . .

y

bn − an =

b−a −→ 0 2n n→∞

Aplicando la propiedad 1.1.7. de los intervalos encajados: ∞ \

[an , bn ] = {α}

n=1

La funci´on es continua en α y, puesto que an , bn → 0, en todo entorno suyo hay puntos donde toma signo contrario. Entonces, aplicando el corolario anterior, f (α) = 0 y el teorema queda probado.

Aplicaci´ on a la existencia y c´ alculo de ra´ıces de una ecuaci´ on: En las ecuaciones, el teorema de Bolzano se puede usar para conocer la existencia de alguna ra´ız que, aplicando el m´etodo de bipartici´on seguido en su demostraci´on, se puede hallar aproximadamente. Para esto, basta tener en cuenta que en la demostraci´on del teorema de Bolzano: αn =

bn − an b−a an + bn aproxima a α con un error menor que εn = = n+1 −→ 0 n→∞ 2 2 2

2.3.12. Ejemplo Demuestra que la ecuaci´ on x2 + x − 1 = 0 tiene al menos una ra´ız en el intervalo [0, 1]. H´ allala con un error menor que una cent´esima. Soluci´ on: Se considera la funci´on f (x) = x2 + x − 1 que es continua en el intervalo [0, 1] en cuyos extremos toma signo contrario: f (0)f (1) = (−1) · 1 = −1 < 0 Aplicando el teorema de Bolzano, existe α ∈ (0, 1) tal que f (α) = 0, y este alpha es una ra´ız de la ecuaci´on en el intervalo [0, 1]. Para aproximar la ra´ız, mediante el m´etodo de bipartici´on, se puede usar la siguiente tabla donde se llega a que la ra´ız es α ≈ αn = 0, 6171875 con un error menor que εn = 0, 0078125 < 0, 01.

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM. n 0 1 2 3 4 5 6

an (f < 0) 0 0, 5 0, 5 0, 5 0, 5625 0, 59375 0, 609375

bn (f > 0) 1 1 0, 75 0, 625 0, 625 0, 625 0, 625

n εn = bn −a 2 0, 5 0, 25 0, 125 0, 0625 0, 03125 0, 015625 0, 0078125

n αn = an +b 2 0, 5 0, 75 0, 625 0, 5625 0, 59375 0, 609375 0, 6171875

5 f (αn ) −0, 25 0, 3125 0, 015625 −0, 12109 −0, 05 −0, 0192

2.3.13. Teorema de Darboux (de los valores intermedios) Si f : [a, b] −→ R es continua, entonces toma todos los valores comprendidos entre f (a) y f (b), es decir, para cualquier β comprendido entre f (a) y f (b) existe α ∈ (a, b) tal que f (α) = β. Demostraci´ on: Si f (a) = f (b) el resultado es trivial. Supongamos que f (a) < f (b) y sea β arbitrario verificando que f (a) < β < f (b). y Se considera la funci´on g : [a, b] −→ R definida por: f f (b) g(x) = f (x) − β Esta funci´on es continua y toma valores de signo β contrario en sus extremos: a g(a) = f (a) − β < 0 y g(b) = f (b) − β > 0 O Aplicando a g el teorema de Bolzano, existe α ∈ (a, b) tal que g(α) = f (α) − β = 0, es decir, f (a) f (α) = β como se quer´ıa demostrar. En el caso f (a) > f (b) la demostraci´on es totalmente an´aloga.

α

b

x

2.3.14. Teorema de Weierstrass (del m´ aximo-m´ınimo) y M = f (x2 )

Toda funci´on continua f definida sobre un intervalo cerrado [a, b] alcanza su m´aximo y su m´ınimo, es decir, existen x1 , x2 ∈ [a, b] tales que:

f

m = f (x1 ) ≤ f (x) ≤ f (x2 ) = M O m = f (x1 )

para todo x ∈ [a, b].

a

x2

x1

b

x

2.3.15. Continuidad uniforme En la definici´on ε − δ de continuidad de una funci´on, el valor δ > 0 depende generalmente de ε y del punto. Cuando no depende del punto se obtiene la continuidad uniforme: f es uniformemente continua en [a, b] ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃δ > 0 tal que: |x1 − x2 | < δ =⇒ |f (x1 ) − f (x2 )| < ε y

ε

y=

Fijado ε > 0, δ → 0 cuando x → 0, es decir, no hay

1 x

un δ positivo que valga para todas las x. Por tanto, 1 la funci´on y = no es uniformemente continua en x el intervalo (0, +∞).

ε ε O δ

δ

δ

x

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

6

y

Fijado ε > 0, hay un δ > 0 m´ınimo que vale para y=

ε

todo x (el que en la figura est´a m´as pr´oximo a 1). 1 Por tanto, la funci´on y = es uniformemente x continua en el intervalo [1, +∞).

1 x

ε ε O

1δ

δ

x

δ

Teorema de Heine Toda funci´on continua en un intervalo cerrado y acotado es uniformemente continua.

2.3.16. Ejemplos Demuestra que la funci´ on f (x) = x2 es uniformemente continua en [0, 1] y, sin embargo, no lo es en R.

PROBLEMAS RESUELTOS 1. La tarifa de un parking p´ ublico es de 2 euros la primera hora o fracci´on y de 1.5 euros las restantes. Expresa el coste total del estacionamiento de un veh´ıculo en funci´on del tiempo de estancia, estudia la continuidad de esta funci´on e interpreta el resultado. 2. Estudia la continuidad de las siguientes funciones: ( ( 1 , si x < 0 sin x1 , si x < 0 2 (a) f (x) = (b) f (x) = x −1 x − 1 , si x > 0 0 , si x ≥ 0

(c) f (x) =

e1/x 1 + e1/x

3. Determina los valores de b y c para que sea continua en toda la recta real la funci´on: ( x+1 , si |x − 2| < 1 f (x) = 2 x + bx + c , si |x − 2| ≥ 1 4. Halla el dominio, estudia la continuidad y clasifica las discontinuidades de las funciones: ¡ ¢ 1 e x−3 log x3 − 4x2 + 4x 3 − 3x (a) f (x) = (b) f (x) = x−1 (1 + 21/x )(x2 − 3x + 2) 5. Estudia la continuidad de las funciones: (x + 1) |x − 2| e1/|x−1| f (x) = x3 − x2 − 2x

y

( f (x) , si x ∈ D(f ) g(x) = 1 , si x ∈ / D(f )

donde D(f ) es el dominio de f . 6. ¿Qu´e valores deben tomar a y b para que la siguiente funci´on sea continua en x = 1 y discontinua en x = 2?   ax − b , si x ≤ 1 f (x) = 3x , si 1 < x < 2   2 bx − a , si x ≥ 2 7. Demuestra que la ecuaci´on ex = 3x tiene al menos una ra´ız, y encuentra un intervalo de longitud 1 que la contenga.

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

7

8. Estudia la acotaci´on y calcula, si existen, los m´aximos y m´ınimos de las siguientes funciones en los intervalos que se indican: (a) f (x) =

3 en [−3, 2] x+2

(b) f (x) =

x en R 1 + |x|

2

(c) f (x) = e−1/x

en R

CUESTIONES 1. Contesta razonadamente si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones: (a) Una funci´on definida en toda la recta es siempre continua. (b) Si f es continua en [a, b] y f (a) < f (b) entonces su imagen es el intervalo [f (a), f (b)]. (c) Toda funci´on continua est´a acotada. (d) Toda funci´on continua definida en un intervalo acotado est´a acotada. 2. Se dice que una funci´on f : (a, b) −→ R es lipschitziana, o verifica la condici´ on de Lipschitz si existe una constante k > 0 tal que |f (x1 ) − f (x2 )| ≤ k |x1 − x2 |, ∀x1 , x2 ∈ (a, b). Demuestra que toda funci´on lipschitziana es continua. 3. Prueba que si f : [0, 1] −→ [0, 1] es continua, entonces existe un punto c ∈ [0, 1] tal que f (c) = c. 4. Prueba que todo polinomio de grado impar tiene al menos una ra´ız real. 5. Justifica, mediante ejemplos gr´aficos y anal´ıticos, que en el teorema de Weierstrass es fundamental que el intervalo sea cerrado y acotado.

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Representa gr´aficamente las siguientes funciones y clasifica sus discontinuidades: (a) y = b1/xc

(b) y = bx2 c

(c) y = bsin xc

1 1 2. Estudia la continuidad de las funciones: (a) y = cos ; (b) y = x cos . x x 3. Define en x = 1, cuando sea posible, las funciones siguientes para que sean continuas: (a) f (x) =

x2 − 1 x−1

(b) f (x) =

1 x−1

(c) f (x) =

x−1 |x − 1|

(d) f (x) =

(x − 1)2 |x − 1|

4. Halla el valor de a para que sea continua la funci´on: ( a2 x2 , si x ≤ 2 f (x) = (1 − a)x , si x > 2 5. Determina los valores de a para los que la funci´on f (x) = qu´e valores de a es continua en el intervalo [0, 1]?

ax2

1 es continua en R. ¿Para − 2ax + 1

6. Encuentra un intervalo de longitud uno en el que cada una de las siguientes ecuaciones tenga una ra´ız. (a) x3 − x + 5 = 0 (b) x5 + 4x3 − 2x + 2 = 0

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

8

7. Prueba que el polinomio P (x) = 2x4 − 14x2 + 14x − 1 tiene cuatro ra´ıces reales. 8. Un autom´ovil se desplaza de la ciudad A a la ciudad B, y al d´ıa siguiente hace el camino contrario saliendo y llegando ambos d´ıas a la misma hora. Prueba que existe un lugar en la carretera por el que ambos d´ıas pasa a la misma hora. 9. Un escalador comienza, desde el campamento base, la subida a una monta˜ na a las 8:00 horas; llega a la cima, pernocta en un refugio, y comienza a descender al d´ıa siguiente y a la misma hora, por el mismo sendero, hasta el campamento. ¿Hay alguna hora a la que estuvo los dos d´ıas a la misma altura? 10. Usa el m´etodo de bipartici´on para hallar, con un error menor que 0,01, una ra´ız de cada una de las ecuaciones (a) 2x3 + 5x − 13 = 0 (b) cos x = x 11. Estudia la acotaci´on y calcula, si existen, los m´aximos y m´ınimos de las siguientes funciones en los intervalos que se indican: (a) f (x) =

1 en [0, 5] 1 + x2

12. Comprueba que la funci´on f (x) = es en el intervalo (0, 1].

(b) f (x) = x + bxc en [−2, 2] 1 x

(c) f (x) = ex en R

es uniformemente continua en el intervalo [1, +∞) y que no lo

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

1

´ DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 3. DERIVACION 3.1. LA DERIVADA 3.1.1. Derivada de una funci´ on en un punto Sea y = f (x) una funci´on definida en un entorno del punto a ∈ R. Se dice que f es derivable en a si existe y es finito el l´ımite f (x) − f (a) lim x→a x−a que se llama derivada de f en a, y se representa por f 0 (a). Haciendo el cambio de variable x = a + h en el l´ımite, se obtiene otra expresi´on para la derivada: f (x) − f (a) f (a + h) − f (a) = lim x→a h→0 x−a h

f 0 (a) = lim

df dy Otras notaciones para la derivada de y = f (x) en a son: y 0 (a), Df (a), dx (a), dx (a), ... Intuitivamente, una funci´on es derivable en un punto si su gr´afica se traza alrededor del punto de forma suave, es decir, sin cambios bruscos de direcci´on.

3.1.2. Ejemplo Halla la derivada de la funci´ on y = 1/x en x = 1.

3.1.3. Derivada y continuidad Si una funci´on es derivable en un punto, entonces es continua en dicho punto. El rec´ıproco no es cierto, pues una funci´on puede ser continua y no derivable en un punto. f (x) − f (a) y, puesto que el deDemostraci´ on: Si f es derivable en a, entonces existe el l´ımite lim x→a x−a nominador tiende a cero tambi´en lo ha de hacer el numerador, en cuyo caso lim f (x) = f (a) y la funci´on x→a es continua en a. El rec´ıproco no es cierto pues, por ejemplo, la funci´on f (x) = |x| es continua en x = 0 y no es derivable: ( −1 , si x → 0− f (x) − f (0) |x| lim = lim = =⇒ no existe el l´ımite =⇒ no existe f 0 (0) + x→0 x→0 x x−0 1 , si x → 0 Observaci´ on: Como consecuencia de lo anterior, si una funci´on no es continua en un punto no puede ser derivable en dicho punto. Por tanto, antes de estudiar la derivabilidad de una funci´on, se debe estudiar la continuidad.

3.1.4. Interpretaci´ on geom´ etrica de la derivada La derivada de f en a es la pendiente de la recta tangente a la gr´afica de f en el punto a, que se conoce como pendiente de f en a. y

s¡ ¡

P¡

f (x) ¡ ¡

f (a)

y

f

¡

¡

x→a ⇓ P →A ⇓ secante s → tangente t x ⇓

f (x) − f (a)

A¡

¡ x−a ¡ ¡ a x O

Pendiente de la secante:

f (x) − f (a) x−a

­ t­

­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ A­ ­ ­ f (a) ­ ­ ­ ­ ­ ­ a O­ ­

−→−→−→ Pendiente de la tangente: lim

x→a

f

x

f (x) − f (a) = f 0 (a) x−a

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

2

3.1.5. Rectas tangente y normal a una curva Sea f una funci´on derivable en a. Puesto que la derivada coincide con la pendiente de la recta tangente a la gr´afica, y la recta normal a una curva es la perpendicular a la tangente, se tiene que: tangente

y

@

¡ ¡

@

@

f

@

y − f (a) = f 0 (a)(x − a)

Recta tangente a f en a:

¡

¡ @¡ ¡@ @ ¡ @ ¡ normal @ ¡ @

f (a)

¡

O

a

Recta normal a f en a: (si f 0 (a) 6= 0)

y − f (a) =

−1 (x − a) f 0 (a)

x

3.1.6. Ejemplo Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gr´ afica de la funci´ on y =

1 en x = −3. x+2

3.1.7. Derivadas laterales La no existencia de derivada, o del l´ımite que en ella aparece, se debe con frecuencia a que los l´ımites laterales son distintos. En estos casos, como en los que la funci´on s´olo est´a definida a uno de los lados del punto, tiene sentido definir: f (a + h) − f (a) f (x) − f (a) = lim + x−a h h→0 f (a + h) − f (a) f (x) − f (a) = lim Derivada lateral por la izquierda: f 0 (a− ) = lim − − x−a h h→0 x→a Derivada lateral por la derecha:

f 0 (a+ ) = lim

x→a+

Obviamente, una funci´on definida en un entorno de un punto es derivable si y s´olo si existen las derivadas laterales y ambas coinciden. y Cuando existen las derivadas laterales pero no coinciden, la funci´on no es derivable. En este caso, la gr´afica de la funci´on no tiene tangente en el punto, pero s´ı tiene tangentes laterales y se dice que presenta un punto anguloso.

A A

A

¡ ¡

A

¡

A

O

f

¡ A¡

a

x

Cuando la funci´on est´a definida en el extremo de su intervalo de definici´on, se llama derivada en ese punto a la derivada lateral correspondiente.

3.1.8. Derivada de una funci´ on definida a trozos en los puntos cambio Si g y h son derivables en a y g(a) = h(a), entonces: ( ( g(x) , si x ≤ a f 0 (a− ) = g 0 (a) f (x) = =⇒ h(x) , si x > a f 0 (a+ ) = h0 (a) como queda de manifiesto usando la definici´on: g(x) − g(a) f (x) − f (a) = lim = g 0 (a− ) = g 0 (a) x−a x−a x→a− x→a− f (x) − f (a) h(x) − h(a) f 0 (a+ ) = lim = lim = h0 (a+ ) = h0 (a) x−a x−a x→a+ x→a+ f 0 (a− ) = lim

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

3

3.1.9. Derivadas de operaciones con funciones Si f y g son derivables en a, entonces tambi´en son derivables en a, y su derivada es la que se indica, las siguientes funciones: (kf )0 (a) = kf 0 (a) , k ∈ R 0

0

0

(f ± g) (a) = f (a) ± g (a)

(f g))0 (a) = f 0 (a)g(a) + f (a)g 0 (a) µ ¶0 f f 0 (a)g(a) − f (a)g 0 (a) (a) = g g(a)2

µ ¶0 1 −g 0 (a) (a) = g g(a)2

siempre que, en el caso de los cocientes, g(a) 6= 0.

3.1.10. Derivada de la composici´ on de funciones. Regla de la cadena Si f es derivable en a y g es derivable en f (a), entonces g ◦ f es derivable en a y (g ◦ f )0 (a) = g 0 (f (a))f 0 (a)

(regla de la cadena)

Demostraci´ on: Al ser f derivable en a, f es continua en a y, por tanto, f (x) → f (a) cuando x → a. Entonces: ¶ µ (g ◦ f )(x) − (g ◦ f )(a) g(f (x)) − g(f (a)) f (x) − f (a) 0 (g ◦ f ) (a) = lim = lim · = x→a x→a x−a f (x) − f (a) x−a g(f (x)) − g(f (a)) f (x) − f (a) = lim · lim = g 0 (f (a))f 0 (a) x→a f (x) − f (a) x−a f (x)→f (a)

3.1.11. Derivada de la funci´ on inversa Si f es una funci´on invertible y derivable en a con f 0 (a) 6= 0, entonces su funci´on inversa f −1 es derivable en f (a) = b y su derivada es ¡ −1 ¢0 1 f (b) = 0 f (a)

3.1.12. Funci´ on derivada. Derivadas sucesivas Dada una funci´on f : D −→ R, se llama funci´ on derivada a aquella funci´on que en cada punto nos da, si existe, el valor de la derivada de f , y se representa por f 0 . f 0 : D0 −→ R

con D0 ⊂ D f (x + h) − f (x) x −→ f 0 (x) = lim h→0 h

Puesto que la funci´on derivada es una nueva funci´on, se puede volver a derivar para obtener la derivada segunda (o de orden 2) de f , y as´ı sucesivamente: ¡ ¢0 f 0 (x + h) − f 0 (x) f 00 (x) = f 0 (x) = lim ; h→0 h

¡ ¢0 f 000 = f 00 ;

¡ ¢0 f iv = f 000 ;

fv ;

f vi ; . . . ; f n) ; . . .

Se dice que f es una funci´ on de clase n en D si admite y son continuas hasta la derivada de orden n en D. El conjunto de todas las funciones de clase n en D se representa por C n (D).

3.1.13. Ejemplo Halla todas las funciones derivadas de y = x3 − 2x + 1.

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

4

3.1.14. Tabla de derivadas elementales A partir de la definici´on de derivada y de las derivadas de operaciones con funciones, regla de la cadena y funci´on inversa, se pueden hallar todas las derivadas que aparecen en la siguiente tabla de derivadas elementales: f (x) k p x (p 6= 0) √ n x x e ax

f 0 (x) 0 pxp−1 n

f (x) ln x loga x sin x cos x tan x

1 √ n n−1 x ex

ax ln a

f 0 (x)

f (x) arcsin x arccos x arctan x sinh x cosh x

1 x 1 x ln a

1 cos2 x

cos x − sin x = 1 + tan2 x

f 0 (x) √ 1 1−x2 √ −1 1−x2 1 1+x2

cosh x sinh x

3.1.15. Notaci´ on diferencial Otra notaci´on para las funciones derivadas, llamada notaci´ on diferencial, es la siguiente: µ ¶ dy d dy d2 y d3 y dn y 0 0 00 00 y = f (x) = ; y = f (x) = = 2 ; y 000 = f 000 (x) = 3 ; . . . ; y n) = f n) (x) = n ; . . . dx dx dx dx dx dx Esta notaci´on es muy u ´til al usar la regla de la cadena: dy dy du = · dx du dx dy dw du dy = · · y = h ◦ g ◦ f (x) =⇒ y = h(w) , y = g(u) , u = f (x) =⇒ dx dw du dx

y = g ◦ f (x) =⇒ y = g(u) , con u = f (x) =⇒

y tambi´en en el c´alculo de la derivada de la funci´on inversa: dy = dx

µ

dx dy

¶−1

3.1.16. Ejemplo 2

1. Usa la regla de la cadena para hallar las derivadas de las funciones: (a) y = sin x2 ; (b) y = esin x . 2. A partir de la derivada de y = sin x, obt´en la derivada de y = arcsin x.

3.1.17. Derivaci´ on impl´ıcita y logar´ıtmica • Cuando una funci´on viene definida impl´ıcitamente, por ejemplo: x2 y + 2xy 3 = 3x − 1 su derivada se puede obtener directamente derivando los dos miembros de la expresi´on anterior. Para ello se usa la regla de la cadena y se tiene en cuenta que, al ser y funci´on de x, su derivada es y 0 . En el ejemplo, al derivar se obtiene: 2xy + x2 y 0 + 2y 3 + 6xy 2 y 0 = 3 =⇒ (x2 + 6xy 2 )y 0 = 3 − 2xy − 2y 3 =⇒ y 0 = En general, se puede usar la siguiente f´ormula: f (x, y) = 0 =⇒

− df df df + y 0 = 0 =⇒ y 0 = dfdx dx dy dy

3 − 2xy − 2y 3 x(x + 6y 2 )

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

5

• Para hallar la derivada de una funci´on potencio-exponencial y = f (x)g(x) se procede as´ı: 1. Se toman logaritmos eliminando la potencia: ln y = g(x) ln f (x). 0

y0 y

(x) = g 0 (x) ln f (x) + g(x) ff (x) . h i 0 (x) 3. Se despeja la derivada: y 0 = g 0 (x) ln f (x) + g(x) ff (x) f (x)g(x) .

2. Se deriva impl´ıcitamente:

Esta t´ecnica, llamada derivaci´on logar´ıtmica, se usa tambi´en para hallar derivadas de ciertas expresiones muy complicadas.

3.1.18. Ejemplos on y 3 − x2 = 4 define impl´ıcitamente a la y como funci´ on de x. Halla sus dos primeras 1. La expresi´ derivadas. q x2 sin x 2. Halla las derivadas de las funciones: (a) y = x ; (b) y = 3 1−x .

3.1.19. F´ ormula de Leibniz Derivando sucesivamente el producto y = f (x)g(x) se obtiene: y 0 = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x) y 00 = f 00 (x)g(x) + 2f 0 (x)g 0 x) + f (x)g 00 (x) y 000 = f 000 (x)g(x) + 3f 00 (x)g 0 (x) + 3f 0 (x)g 00 (x) + f (x)g 000 (x) .. . µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ n n) n n−1) n n−2) n n) 0 00 y = f (x)g(x) + f (x)g (x) + f (x)g (x) + . . . + f (x)g n) (x) = 0 1 2 n n µ ¶ X n n−k) f (x)g k) (x) (f´ ormula de Leibniz) = k k=0

3.1.20. Ejemplo Calcula, usando la f´ ormula de Leibniz, las tres primeras derivadas de la funci´ on: y =

x4 1−x .

3.1.21. Interpretaci´ on f´ısica de la derivada. Aplicaciones Si x(t) representa el espacio recorrido por un m´ovil en el instante t, su derivada es, como conoces de F´ısica, la velocidad instant´anea del m´ovil en dicho instante: x(t + h) − x(t) = v(t) h→0 h

x0 (t) = lim

y la derivada de la velocidad es la aceleraci´on: a(t) = v 0 (t) = x00 (t). En general, la derivada de y = f (x) es la velocidad con que var´ıa y respecto de x.

3.1.22. Ejemplos 1. Un objeto se mueve sobre el eje de abscisas y su posici´ on en cada instante viene dada por x(t) = t3 − 12t2 + 36t − 27. Describe su movimiento en el intervalo de tiempo 0 ≤ t ≤ 9. 2. Un globo esf´erico se expande creciendo su radio a raz´ on de 2cm/min. ¿Con qu´e r´ apidez crece el volumen de globo cuando su radio es de 5cm?

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

6

3.1.23. Aproximaci´ on de una funci´ on. La diferencial y

d­

t­ ­ ­ ­ ­ f (a+h) ­ ­ ­ ­ ­ ­ f (a) ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ h ­ ­ a a+h O ­ ­

Si f es derivable en a, entonces: f (a + h) − f (a) f 0 (a) = lim h→0 h y, por tanto: f (a + h) − f (a) ' f 0 (a)h cuando h ' 0 de donde, llamando x a a + h, se obtiene la f´ormula para obtener valores aproximados: f (x) ' f (a) + f 0 (a)(x − a) cuando x ' a

f 0 (a)h

f

x

Se llama diferencial de la funci´on f en a a la funci´on lineal: df : R −→ R h −→ df (h) = f 0 (a)h cuya representaci´on gr´afica es la recta d que pasa por el origen y es paralela a la tangente a la gr´afica de f en a (v´ease figura).

3.1.24. Ejemplos 1. Usando la funci´ on f (x) =

√ √ x, halla un valor aproximado de 102.

2. Los beneficios acumulados por una empresa a los t a˜ nos de su fundaci´ on vienen dados por B(t) = 2t2 − 4, en miles de euros. Usa la derivada para hallar los beneficios aproximados de la empresa t+4 durante el a˜ no doceavo despu´es de su fundaci´ on.

3.1.25. El m´ etodo de Newton-Raphson para el c´ alculo de ra´ıces Es un m´etodo iterativo para el c´alculo aproximado de ra´ıces de una ecuaci´on f (x) = 0, y se ilustra en la figura: y y f ¿ f ¿ ¿ x1 x2 x3 ¿# # x O £ ¶ α £ ¶

O

¿# ¿# # #¿ ¿ α ## ¿

x3 x2

x1

£¶ £¶ ¶£ ¶£ ¶ £ £ £

x

Para aproximar la ra´ız α de la ecuaci´on f (x) = 0, se parte de un punto pr´oximo x1 y se construye la sucesi´on {x1 , x2 , x3 , . . .} donde xn+1 es el punto de corte con el eje de abscisas de la tangente a la gr´afica de f en x = xn , es decir: y − f (xn ) = f 0 (xn )(x − xn ) =⇒ xn+1 = xn − y=0

f (xn ) f 0 (xn )

La sucesi´on converge muy r´apidamente a la ra´ız siempre que, como en los casos de la figura, se cumpla que f (x)f 00 (x) > 0 en (α, x1 ) o en (x1 , α).

3.1.26. Ejemplo Usa el m´etodo de Newton-Raphson para hallar un valor aproximado de la ra´ız positiva de la ecuaci´ on x2 − 3 = 0.

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

7

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Estudia la derivabilidad en x = 0 de cada una de las siguientes funciones: ( √ ( 2 x , si x > 0 x2 + 1 , si x > 0 (a) f (x) = x |x| (b) f (x) = (c) f (x) = 2x3 , si x ≤ 0 x2 − 1 , si x ≤ 0 2. Estudia la continuidad y derivabilidad en x = 0 de las funciones: ( ( x2 sin x1 x sin x1 , si x 6= 0 g(x) = f (x) = 0 , si x = 0 0

, si x 6= 0 , si x = 0

Haz un esbozo de sus gr´aficas. 3. Calcula la derivada de las siguientes funciones: x2 (a) y = (2x − 1)3 (b) y = ln(ln x)

r

µ ¶ 1 (c) y = sin 2x (e) y = (g) y = ln arccos √ x ¡ ¡ 2 ¢ √ ¢ (d) y = ln 1 + x (f ) y = sin(sin(sin x)) (h) y = arctan tan x 2

3

4. Halla la funci´on derivada, y estudia su continuidad, de: ( x + x2 sin x1 , si x 6= 0 f (x) = 0 , si x = 0

1 + x3 1 − x3

¯ ¯ g(x) = ¯1 − x2 ¯

5. Determina a, b y c para que sea derivable la funci´on:   , si 0 < x ≤ 1 ln x 2 f (x) = ax + bx + c , si 1 < x ≤ 3   3−x , si x > 3 6. Calcula, mientras existan, las derivadas sucesivas de f (x) = |x|3 en x = 0. 7. Halla la derivada de y respecto de x en las siguientes expresiones impl´ıcitas: p y (a) x2 (x − y)2 = x2 − y 2 (b) arctan = ln x2 + y 2 x 8. Halla la derivada segunda de y respecto de x en cada una de las siguientes expresiones impl´ıcitas: (a) x2 − y 2 = 2

(b) xy = tan x2 y 2

9. Halla la ordenada y las dos primeras derivadas (de y respecto de x) en el punto de abscisa x = 2 de la curva de ecuaci´on x2 + 4xy + y 3 + 5 = 0. ¿Cu´al es la ecuaci´on de la recta tangente en dicho punto? 10. Halla la ecuaci´on de la recta normal a la curva x2 + 2xy = y 3 en el punto (1, −1). ¡ ¢3/2 p 11. Halla todos los puntos con tangente vertical de la cardioide: x2 + y 2 = x2 + y 2 + x. 12. Halla la derivada de la funci´on y = (1 + x)ln(1+x) . 13. Halla la derivada de orden 25 de la funci´on y = x2 e−x . sin x 14. Halla la funci´on derivada de f (x) = arctan 1+cos x , y las ecuaciones de las rectas tangente y normal en x = π/2.

15. Determina el ´angulo que forman las curvas y = x2 − 1 e y = x3 − 3 en sus puntos de corte.

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

8

16. Halla a, b y c para que sea m´aximo el orden de contacto de las funciones f (x) = x4 + 2x2 − x + 1 y g(x) = ax2 + bx + c en x = 0. ¿Cu´al es dicho orden? 17. Una explosi´on proyecta hacia arriba diversos escombros con una velocidad inicial de 25 metros por segundo. (a) ¿En cu´antos segundos alcanzar´an su altura m´axima? (b) ¿Cu´ al es esa altura m´axima? (c) ¿Cu´al es su aceleraci´on cuando alcanzan una altura, subiendo y bajando, de 10 metros? 18. Una copa en forma de cono invertido, de 12 cent´ımetros de di´ametro superior y 9 cent´ımetros de altura, est´a llena de agua. La copa pierde agua por el v´ertice inferior a raz´on de 2 cent´ımetros c´ ubicos por minuto. ¿A qu´e velocidad est´a bajando el nivel del agua en el instante en que tiene 4 cent´ımetros de profundidad? 19. Un barco navega por el oc´eano con rumbo sur y direcci´on hacia puerto a una velocidad de 40 km/h. Otro barco se aleja del puerto en direcci´on oeste a una velocidad de 20 km/h. Al mediod´ıa, el primer barco se halla a 150 km del puerto y el segundo a 65 km. ¿A qu´e ritmo cambia la distancia entre los dos barcos? Comprueba si se acercan o se alejan entre s´ı. 20. Una part´ıcula se mueve sobre la curva y = cos(1 + 2x), siendo su abscisa x(t) = t2 + 1 en el instante de tiempo t. ¿Con qu´e velocidad se desplaza en las direcciones horizontal y vertical en t = 2?

CUESTIONES 1. Contesta razonadamente si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones: (a) Una funci´on continua en un intervalo es derivable en todos sus puntos del interior. (b) Una funci´on es derivable en un punto si es continua y existen sus derivadas laterales en el punto. (c) Si una funci´on es continua en un punto, entonces es derivable en el punto. (d) Si una funci´on es derivable en un punto, entonces es continua en el punto. (e) La funci´on derivada es siempre continua. (f ) Los polinomios admiten infinitas derivadas. (g) Si una funci´on es derivable infinitas veces, entonces es un polinomio. 2. Demuestra que si (x − a)2 es un factor del polinomio p(x), entonces x − a es un factor de p0 (x). 3. Sea f una funci´on derivable en toda la recta real. Demuestra que si f es par (impar) entonces f 0 es impar (par). 4. Sea f una funci´on continua que verifica: |f (x) − f (y)| ≤ k |x − y|2 , para cualesquiera x, y ∈ R, con k > 0. Demuestra que f es constante. 5. Usando la f´ormula de la derivada de la funci´on inversa, halla la derivada de las siguientes funciones: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arcsinh x, y = arccosh x e y = arctanh x. 6. Sean f y g dos funciones derivables en R tales que f (0) = g(0) = 0. Demuestra que es imposible la igualdad f (x)g(x) = x, para todo x ∈ R.

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

9

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Estudia la derivabilidad de las siguientes funciones en el punto que se indica: ( p x2 , si x < 1 (a) f (x) = 3 |x| , en x = 0 (b) f (x) = , en x = 1 3x − 2 , si x ≥ 1 2. Halla las derivadas de las funciones hiperb´olicas (seno, coseno y tangente). 3. Halla las siguientes derivadas: · ¸ · ¸ d d d d2 2 2 −1 (a) x (x − x ) (b) 2 (x − 3x) (x + x ) dx dx dx dx

· ¸ d3 1 d2 4 2 (c) 3 (x − 5x ) dx x dx2

¯ ¯ 4. Halla la funci´on derivada, y estudia su continuidad, de f (x) = ¯x3 − 4x¯. 5. Halla a y b para que sea derivable la funci´on ( x2 , si 0 ≤ x ≤ 2 f (x) = ax + b , si 2 < x ≤ 4 6. Estudia la derivabilidad de la funci´on y =

√ x + 1 arccos(x + 1).

7. Halla la derivada de las siguientes funciones: p f (x) = u(x)2 + v(x)2 g(x) = u [v(x) sin v(x)]

h(x) = u [v(x) + w(v(x))]

8. Calcula, mientras existan, las derivadas sucesivas de f (x) = |x|3 en x = 0. 9. Calcula y simplifica la derivada de las siguientes funciones: p 1 + 2 tan x (a) y = 2x arctan x − ln 1 + 4x2 (b) y = ln 2 + tan x

(c) y = (1 + x)ln(1+x)

10. Halla la derivada de y respecto de x en las siguientes expresiones impl´ıcitas: √ √ (a) x2 + 2xy − y 2 = 2x (b) x + sin y = xy (b) x + y = 1 11. Halla la derivada segunda de y respecto de x en cada una de las siguientes expresiones impl´ıcitas: (a) 7x + 5y 2 = 1

(b) 4x2 − 3y 2 = 9

12. Halla la ecuaci´on de la recta tangente a las siguientes curvas en el punto que se indica: (a) x2 + y 2 = 13 , en (−2, 3) ¡ ¢2 (b) x2 + y 2 = 4x2 y , en (1, 1)

(c) sin(x − y) = xy , en (0, π) (d) 2x3 + 2y 3 − 9xy = 0 , en (2, 1)

13. Halla el ´angulo que forman las circunferencias x2 + y 2 = 1 y x2 + (y − 1)2 = 1 en sus puntos de intersecci´on. x

14. Halla la derivada de la funci´on y = x + xx + xx . ¡ ¢0 15. Sea f : [2, 4] −→ R definida por f (x) = xx . Halla f −1 (27). 16. Calcula el orden de contacto de las funciones f (x) = 3x − 1 y g(x) = x2 − x + 2 en x = 1. 17. Estudia el movimiento de un objeto que se mueve, a partir del instante t = 0, sobre un eje donde su posici´on viene dada en cada instante por la ecuaci´on: (a) x(t) = t3 − 3t2 + 3t

(b) x(t) = t4 − 4t3 + 6t2 − 6t − 5

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

10

18. Se deja caer una piedra desde una altura de 500 metros. ¿Cu´antos segundos tardar´a en alcanzar el suelo? ¿Cu´al es su velocidad en el momento del impacto? 19. La superficie total de un cilindro circular recto de radio r y altura h viene dada por la f´ormula A = 2πr(r + h). Halla la velocidad de variaci´ on de: (a) A respecto de h cuando r permanece constante; (b) A respecto de r cuando h permanece constante; y (c) de h respecto de r cuando A permanece constante. 20. La arista de un cubo decrece a una velocidad de 3 cent´ımetros por segundo. ¿C´omo cambia el volumen del cubo cuando la arista mide 10 cent´ımetros? 21. Un bal´on se infla de tal forma que su volumen crece a raz´on de 36π cm3 /seg. Halla la velocidad de crecimiento de radio cuando mide 3 cm. ³ √ ´ 22. Una part´ıcula se mueve en la ´orbita circular x2 + y 2 = 1. Cuando pasa por el punto 12 , 23 su ordenada disminuye a raz´on de 3 unidades por segundo. ¿Con qu´e rapidez var´ıa su abscisa? 23. Una nave espacial se lanza verticalmente, siendo h = 15t2 metros su altura a los t segundos del lanzamiento. Para un observador que se encuentra a un kil´ometro del lugar del lanzamiento, ¿a qu´e ritmo cambia el ´angulo de elevaci´ on de la nave 10 segundos despu´es del despegue? 24. Un dep´osito con forma de cono invertido se llena a raz´on de 250 l/min. La altura del dep´osito es de 7, 5 m y el radio de la parte superior de 3, 5 m ¿Con qu´e rapidez sube el nivel del agua cuando la profundidad es de 5 m? ¿Y cuando el agua se desborda? 25. La funci´on f (x) = x1 cambia de valor cuando x pasa de valer 0, 5 a valer 0, 6. Calcula: (a) el incremento exacto ∆f que se produce en el valor de la funci´on; (b) el valor de la diferencial df en 0, 5 con un incremento h = ∆x = 0, 1; (c) el error cometido al estimar ∆f mediante df . √ 26. Estima, mediante diferenciales, los valores de las siguientes expresiones: (a) 3 1010; (b) 333/5 . 27. El di´ametro de una bola de acero mide 16 cent´ımetros con un error m´aximo de 0, 3 cent´ımetros. Calcula mediante diferenciales el error m´aximo cometido en el c´alculo de su superficie (S = 4πr2 ) y en el c´alculo de su volumen (V = 43 πr3 ). 28. Un avi´on se desplaza en vuelo horizontal a 8 km de altura (se supone la Tierra plana). La ruta de vuelo pasa por la vertical de un punto P del suelo. La distancia entre el avi´ on y el punto P disminuye a raz´on de 4 km/min en el instante en que esta distancia es de 10 km. Calcula la velocidad del avi´on en ese instante (en km/h). √ 29. Halla la linealizaci´on de la funci´on f (x) = x + 1 √ + sin x alrededor del punto x = 0. ¿Qu´e relaci´on existe con las linealizaciones de las funciones y = x + 1 e y = sin x alrededor de dicho punto? 30. Aplicando el m´etodo de Newton-Raphson a partir del punto que se indica, halla una ra´ız aproximada de cada una de las siguientes ecuaciones, justificando la aproximaci´ on obtenida. (a) x3 − 4x + 1 = 0 , x1 = 2

(b) cos x = x , x1 = 1

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

1

´ DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 3. DERIVACION ´ 3.2. PROPIEDADES LOCALES Y OPTIMIZACION Si f es derivable en a, entonces: f (x) − f (a) f (a) = lim x→a x−a

(

0

> 0 =⇒ < 0 =⇒

f (x)−f (a) x−a f (x)−f (a) x−a

>0 <0

) en un entorno de a

de donde se deduce que: ½ ¾ > 0 =⇒ signo (f (x) − f (a)) = signo (x − a) 0 f (a) en un entorno de a < 0 =⇒ signo (f (x) − f (a)) 6= signo (x − a) con lo que se tiene el siguiente resultado:

3.2.1. Condiciones suficientes de crecimiento local Si f es una funci´on derivable en a, entonces: • f 0 (a) > 0 =⇒ f es creciente en a y

• f 0 (a) < 0 =⇒ f es decreciente en a

@

@

f ¿ ¿

¿

O

¿

¿ ¿f 0 (a) > 0

a

0 @f (b) < 0 @ @ @

¦ pendiente positiva =⇒ funci´ on creciente ¦ pendiente negativa =⇒ funci´ on decreciente

x

b

En los puntos donde la derivada se anula, llamados puntos cr´ıticos, la funci´on puede ser creciente, decreciente o presentar un extremo relativo (m´aximo o m´ınimo): y ¦ f 0 (a) = 0 y f tiene m´ınimo relativo en a

f

¦ f 0 (b) = 0 y f tiene m´aximo relativo en b ¦ f 0 (c) = 0 y f es decreciente en c O a

b

c

x

3.2.2. Criterio de la derivada primera para extremos relativos Sea f derivable en un entorno de a con f 0 (a) = 0, y sea δ > 0. Entonces: • f 0 (x) > 0 antes y despu´es de a (cuando 0 < |x − a| < δ) =⇒ f es creciente en a • f 0 (x) < 0 antes y despu´es de a (cuando 0 < |x − a| < δ) =⇒ f es decreciente en a ( f 0 (x) > 0 antes de a (cuando a − δ < x < a) • =⇒ f tiene un m´aximo relativo en a f 0 (x) < 0 despu´es de a (cuando a < x < a + δ) ( f 0 (x) < 0 antes de a (cuando a − δ < x < a) • =⇒ f tiene un m´ınimo relativo en a f 0 (x) > 0 despu´es de a (cuando a < x < a + δ)

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

2

Para que una funci´on f dos veces derivable tenga un m´aximo relativo en a es necesario que f 0 (a) = 0 y que f 0 (x) pase de ser positiva antes de a a ser negativa despu´es de a, es decir, es necesario que la funci´on derivada f 0 sea decreciente en a, lo que se asegura si f 00 (a) < 0. An´alogamente, la existencia de m´ınimo relativo se asegura si f 0 es creciente en a, lo que se asegura si f 00 (a) > 0.

3.2.3. Criterio de la derivada segunda para extremos relativos Si f es una funci´on dos veces derivable en a con f 0 (a) = 0, entonces: • f 00 (a) < 0 =⇒ f tiene m´aximo relativo en a

• f 00 (a) > 0 =⇒ f tiene m´ınimo relativo en a

3.2.4. Observaciones 1. Para saber si una funci´on derivable en un punto es creciente, decreciente o presenta extremo relativo (m´aximo o m´ınimo) basta con la derivada primera. S´olo se debe recurrir a la derivada segunda cuando sea muy f´acil de hallar. 2. Una funci´on tambi´en puede alcanzar extremos relativos en puntos donde no sea derivable. Por tanto, para hallar todos los extremos relativos de una funci´on hay que estudiar los puntos cr´ıticos (donde f 0 (x) = 0) y los puntos del dominio donde la funci´on no es derivable.

3.2.5. Intervalos de crecimiento Son los intervalos donde una funci´on es siempre creciente o siempre decreciente. Los intervalos de crecimiento son aquellos en que queda dividido el dominio de la funci´on por sus puntos cr´ıticos y los puntos donde no es derivable.

3.2.6. Extremos absolutos de una funci´ on Para hallar los extremos absolutos de una funci´on hay que comparar los extremos relativos con los valores de la funci´on en los puntos donde no es derivable y en los extremos del dominio (o su l´ımite cuando no est´a definida en ellos)

3.2.7. Ejemplos Estudia el crecimiento y halla los extremos relativos y absolutos de las siguientes funciones: ( p |x| , si −2 ≤ x ≤ 1 (a) f (x) = x3 + 3x2 − 1 (b) f (x) = ln 2x3 + 3x2 (c) f (x) = x + 3 , si 1 < x ≤ 2

3.2.8. Concavidad y convexidad Sea f una funci´on derivable en a. Se dice que la funci´on • es convexa en a si su gr´afica est´a por encima de la tangente en a en un entorno de dicho punto. • es c´ oncava en a si su gr´afica est´a por debajo de la tangente en a en un entorno de dicho punto. • tiene un punto de inflexi´ on en a si su gr´afica est´a por encima de la tangente en a a un lado del punto y por debajo al otro. y f @ ¦ f es convexa en a @ ¢ ¢

@ @

¢

¦ f tiene un punto de inflexi´on en b

¢

¢ ³³ ³ ³

O a

¦ f es c´oncava en c b

c

x

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

3

Es f´acil observar (v´ease la figura anterior) que, si f es derivable, en un punto de convexidad la funci´on derivada (pendiente) es creciente, en un punto de concavidad es decreciente y en un punto de inflexi´on pasa de creciente a decreciente o viceversa. Puesto que el crecimiento de la funci´on derivada se caracteriza con la derivada segunda, se tiene el siguiente resultado:

3.2.9. Criterio de la derivada segunda para la concavidad Si f es derivable dos veces en un entorno de a, entonces: • f 00 (a) > 0 =⇒ f es convexa en a • f 00 (a) < 0 =⇒ f es c´oncava en a  00  f (x) > 0 alrededor de a =⇒ f es convexa en a • f 00 (a) = 0 y f 00 (x) < 0 alrededor de a =⇒ f es c´oncava en a   00 f (x) cambia de signo al pasar por a =⇒ f tiene un punto de inflexi´on en a Cuando f 00 (a) = 0, el cambio de signo de f 00 (x) al pasar por a viene asegurado por su crecimiento o decrecimiento en dicho punto y, puesto que el crecimiento de la derivada segunda se caracteriza con la derivada tercera:

3.2.10. Condici´ on suficiente para punto de inflexi´ on Si f es una funci´on tres veces derivable en a con f 00 (a) = 0, entonces: f 000 (a) 6= 0 =⇒ f tiene un punto de inflexi´on en a

3.2.11. Observaci´ on Para saber si una funci´on derivable en un punto es convexa, c´oncava o tiene un punto de inflexi´on basta con la derivada segunda. S´olo se debe recurrir a la derivada tercera cuando sea muy f´acil de hallar.

3.2.12. Intervalos de concavidad Son los intervalos donde una funci´on es siempre convexa o siempre c´oncava. Los intervalos de concavidad son aquellos en que queda dividido el dominio de la funci´on por los puntos donde su derivada segunda se anula o no existe.

3.2.13. Ejemplos Estudia la concavidad y halla los puntos de inflexi´ on de las siguientes funciones: p (a) f (x) = x3 + 3x2 − 1 (b) f (x) = ln 2x3 + 3x2

3.2.14. Representaci´ on gr´ afica de funciones Para obtener una buena representaci´on gr´afica de una funci´on y = f (x) se deben estudiar todos o algunos de los siguientes ep´ıgrafes: 1. Dominio, periodicidad y simetr´ıas. 2. Puntos de corte con los ejes. 3. As´ıntotas. 4. Crecimiento y extremos relativos. 5. Concavidad y puntos de inflexi´on.

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

4

3.2.15. Ejemplos Representa gr´ aficamente las siguientes funciones: (a) f (x) = x3 + 3x2 − 1

(b) f (x) = ln

p 2x3 + 3x2

3.2.16. Problemas de optimizaci´ on Una aplicaci´on muy importante del c´alculo de derivadas es la resoluci´on de problemas de optimizaci´on, es decir, problemas relativos a hallar un extremo absoluto (m´aximo o m´ınimo) de una funci´on en un cierto dominio.

3.2.17. Ejemplos 1. Con una plancha de cart´ on rectangular de 3 metros de larga y 2 metros de ancha se desea construir una una caja sin tapa de volumen m´ aximo. Halla las dimensiones de la caja. 2. Se desea construir un recipiente cerrado en forma de cilindro con capacidad para un litro. Calcula las dimensiones del que tiene ´ area total m´ınima.

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Encuentra los extremos absolutos de las funciones: ( x+2 , si −1 ≤ x < 0 (a) f (x) = 3 x − 12x + 2 , si 0 ≤ x ≤ 3

(b) f (x) = x2/3 (x − 1)4 , 0 ≤ x ≤ 2

2. Representa gr´aficamente las siguientes funciones: x2 (x − 1) (x + 1)2 ¡ 2 ¢2/3 (b) y = x − 4 (a) y =

1

(c) y = xe x

(e) y = ln(x3 − 3x + 2)

(d) y = x2 e−x

(f ) y =

p 3 x2 (1 − x)

3. Determina las dimensiones del rect´angulo de ´area m´axima que puede inscribirse en un tri´angulo rect´angulo de lados 3, 4 y 5, con un lado apoyado sobre la hipotenusa. 4. Un faro est´a situado 3 km mar adentro, directamente enfrente de un punto A de la costa que es recta. En la costa, a 5 km del punto A, hay un almac´en. El farero puede remar en su bote a 4 km/h y puede caminar a 6 km/h. ¿Hacia qu´e punto de la costa debe el farero dirigir su bote para llegar al almac´en lo antes posible? 5. Determina la m´ınima distancia entre la recta y = x − 3 y la par´abola y = x2 . 6. La tangente por un punto P del primer cuadrante, a la gr´afica de la funci´on f (x) = e−x , determina un tri´angulo rect´angulo con los ejes coordenados. Halla el punto P para el cu´al el ´area del tri´angulo es m´axima. 7. Halla √ la altura y el radio del cilindro circular recto de mayor volumen contenido en la esfera de radio 3. 8. Halla la longitud de la escalera m´as larga que puede transportarse horizontalmente a trav´es de un pasillo en forma de ´angulo recto, si la anchura del pasillo a un lado del ´angulo es 1 metro y al otro 2 metros. 9. Una pista de atletismo se construye a˜ nadiendo semic´ırculos en dos lados opuestos de un rect´angulo. Encuentra las dimensiones de la pista de 400 metros que encierra ´area m´axima. umero real x. 10. Demuestra que ex ≥ 1 + x, para todo n´

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

5

CUESTIONES 1. Contesta razonadamente si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones sobre una funci´on f infinitamente derivable en un intervalo: (a) Entre dos intervalos sucesivos con crecimiento distinto hay un extremo relativo. (b) Si f es par, entonces f tiene un extremo relativo en x = 0. (c) Si f tiene un m´aximo relativo entonces alcanza el m´aximo absoluto en el intervalo. ´nico extremo relativo que es m´ınimo alcanza el m´ınimo absoluto en dicho (d) Si f tiene un u intervalo. (e) Si f alcanza un m´aximo relativo en a, entonces f 0 (a) = 0 y f 00 (a) < 0. (f ) Si f es convexa entonces f 0 es creciente. (g) Entre dos intervalos sucesivos con concavidad distinta hay un punto de inflexi´on. (h) Si f tiene un punto de inflexi´on en a, entonces f 00 (a) = 0 y f 000 (a) 6= 0. (i) Si f tiene un punto de inflexi´on en a, entonces f 0 (a) = f 00 (a) = 0.

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Halla los extremos locales de la funci´on f (x) = 2. Prueba que la funci´on f (x) = su gr´afica.

x , y prueba que son absolutos. 1 + x2

x+1 posee tres puntos de inflexi´on situados sobre una recta. Dibuja 1 + x2

3. Representa gr´aficamente las siguientes funciones: x − 4x + 3 x3 (b) y = 2 x −1 (a) y =

x2

(c) y = xe−x

2

(d) y = x2 e1/x

x−2 (e) y = √ x2 + 1 x (f ) y = ln x

(g) y = (h) y =

p

|x2 − 1|

1 1 − |x − 1| |x + 1|

4. La suma de dos n´ umeros no negativos es 36. Halla dichos n´ umeros si: (a) la diferencia entre sus ra´ıces cuadradas positivas es lo mayor posible; (b) la suma de sus ra´ıces cuadradas positivas es lo mayor posible. 5. Determina las dimensiones del bote cil´ındrico cerrado de volumen V cuya superficie lateral es m´ınima. 6. Determina las dimensiones del cilindro cerrado de ´area A cuyo volumen es m´aximo. 7. Se quiere construir una caja rectangular abierta a partir de una pieza de cart´on de dimensiones a y b, a ≤ b. Para ello se corta en cada una de las esquinas un cuadrado y se doblan hacia arriba las solapas resultantes. ¿Cu´al debe ser el lado del cuadrado que se corta para que la capacidad de la caja sea m´axima? 8. Demuestra que

x ≤ ln(1 + x) ≤ x, para todo x ≥ 0. 1+x

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

1

´ DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 3. DERIVACION 3.3. TEOREMAS DE VALOR MEDIO Y APLICACIONES 3.3.1. Teorema de Rolle Si f es continua en [a, b], derivable en (a, b) y f (a) = f (b), entonces existe α ∈ (a, b) tal que f 0 (α) = 0. Demostraci´ on: Puesto que f es continua en el intervalo cerrado [a, b], se puede aplicar el teorema de Weierstrass (2.3.14) y alcanza el m´aximo M y el m´ınimo m absolutos en dicho intervalo. Si M = m entonces f es constante en [a, b] y f 0 (x) = 0 para todo x ∈ (a, b). Si M 6= m, alguno de ellos lo alcanza en el interior del intervalo (a, b). Sea, por ejemplo, α ∈ (a, b) tal que f (α) = M . Puesto que este m´aximo absoluto, al alcanzarlo en el interior del intervalo, es tambi´en relativo, entonces f 0 (α) = 0.

y M f (a) = f (b) O

Interpretaci´ on geom´ etrica: El teorema de Rolle afirma que la gr´afica tiene un punto con tangente horizontal (derivada nula). Sin embargo, no asegura que sea u ´nico: la gr´afica de la figura tiene tres puntos con tangente horizontal (derivada nula).

f

a

α

b

x

y f f (a) = f (b)

O

a

α1

α2

α3

b

x

3.3.2. Ejemplos Aplica, si es posible, el teorema de Rolle a las siguientes funciones en el intervalo que se indica: (a) f (x) =

x2 − 4x en [0, 4] x+2

(b) f (x) =

p 3

(x − 1)2 en [0, 2]

3.3.3. Teorema de Cauchy Si f y g son funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b), entonces existe α ∈ (a, b) tal que: [f (b) − f (a)] g 0 (α) = [g(b) − g(a)] f 0 (α) Adem´as, si g(a) 6= g(b) y las derivadas de f y g no se anulan simult´ aneamente en ning´ un punto de (a, b), se puede escribir: f (b) − f (a) f 0 (α) = 0 g(b) − g(a) g (α) Demostraci´ on: Se considera la funci´on F definida por: F (x) = [f (b) − f (a)] g(x) − [g(b) − g(a)] f (x) que es continua en [a, b], derivable en (a, b) y tal que F (a) = F (b) = f (b)g(a) − f (a)g(b), por lo que se le puede aplicar el teorema de Rolle y existe α ∈ (a, b) tal que: F 0 (α) = [f (b) − f (a)] g 0 (α) − [g(b) − g(a)] f 0 (α) = 0 =⇒ [f (b) − f (a)] g 0 (α) = [g(b) − g(a)] f 0 (α) como se quer´ıa demostrar.

3.3.4. Ejemplo Aplica, si es posible, el teorema de Cauchy a f (x) = x2 − 1 y g(x) = x3 en el intervalo [1, 3].

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

2

3.3.5. Teorema de valor medio Si f es continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces existe α ∈ (a, b) tal que: f (b) − f (a) = f 0 (α)(b − a) y

Demostraci´ on: Basta aplicar el teorema de Cauchy a f y g(x) = x. Interpretaci´ on geom´ etrica: el teorema asegura que existe un punto de la gr´afica donde la pendiente de la tangente es: f (b) − f (a) f 0 (α) = = tan θ b−a

´´

´

´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´θ ´

a

O

α

f

b

x

es decir, donde la tangente es paralela a la secante que pasa por los extremos de la gr´afica.

3.3.6. Corolario 1 Si f es derivable en el intervalo I y f 0 (x) = 0 para todo x ∈ I, entonces f es constante en I. Demostraci´ on: Si x, y ∈ I, x < y, son dos puntos cualesquiera del intervalo, aplicando el teorema de valor medio a la funci´on f en el intervalo [x, y], existe α ∈ (x, y) tal que: f (y) − f (x) = f 0 (α)(y − x) = 0(y − x) = 0 es decir, f (x) = f (y), y esto para cualesquiera x, y ∈ I. Por tanto, f es constante en (a, b).

3.3.7. Corolario 2 Si f y g son derivables en I y f 0 (x) = g 0 (x) para todo x ∈ I, entonces f − g es constante en I. Demostraci´ on: La funci´on f − g es derivable en I y (f − g)0 (x) = f 0 (x) − g 0 (x) = 0, para todo x ∈ I. Por tanto, aplicando el corolario 1, f − g es constante en I.

3.3.8. Regla de L’Hˆ opital Sean f y g dos funciones derivables en un entorno reducido de a (que puede ser finito o infinito) con g 0 (x) 6= 0 cerca de a. Si lim f (x) y lim g(x) son simult´ aneamente 0 o ±∞, entonces, x→a

x→a

f (x) lim = x→a g(x)

µ

0 ∞ o 0 ∞

¶

f 0 (x) x→a g 0 (x)

= lim

siempre que este u ´ltimo l´ımite exista. Demostraci´ on: S´olo demostraremos el caso 0/0. Definiendo f (a) = g(a) = 0, las funciones f y g verifican las hip´otesis del teorema de Cauchy en el intervalo Ia = [a, x] o Ia = [x, a], seg´ un proceda, y aplic´andolo: µ ¶ f (x) 0 f (x) − f (a) f 0 (α) f 0 (α) f 0 (x) lim = = lim = x→a lim 0 = lim 0 = lim 0 x→a g(x) x→a g(x) − g(a) 0 g (α) α→a g (α) x→a g (x) α∈I a

ya que α → a cuando x → a.

3.3.9. Ejemplos opital, los siguiente l´ımites: 1. Halla, aplicando la regla de L’Hˆ x − tan x x→0 x3 ln tan 2x (b) lim x→0 ln tan x

(a) lim

x−1 (c) lim x ln x→∞ µ x+1 ¶ 1 (d) lim − cot x x→0 x

(e) lim (1 + x)1/x x→∞

(f ) lim xx x→0+

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

3

2. En el c´ alculo de los dos siguientes l´ımites se ha aplicado incorrectamente la regla de L’Hˆ opital: 2x − sin x ³ ∞ ´ H 2 − cos x H sin x lim = = lim = lim = −1 x→∞ 2x + sin x x→∞ 2 + cos x x→∞ − sin x ∞ µ ¶ x2 sin x1 2x sin x1 − cos x1 0 − cos x1 0 H 1 lim = = lim = lim = − lim cos no existe x→0 sin x x→0 x→0 x→0 0 cos x 1 x Encuentra el motivo de su mala aplicaci´ on, y h´ allalos correctamente sin aplicar la regla de L’Hˆ opital.

3.3.10. Aproximaci´ on de funciones por polinomios. Polinomio de Taylor Los polinomios son funciones muy sencillas y apropiadas para el c´alculo num´erico. Este es uno de los motivos por los que es interesante desarrollar m´etodos que permitan aproximar funciones arbitrarias mediante polinomios. Con el objetivo inicial de aproximar una funci´on f por un polinomio P alrededor de un punto a, parece l´ogico pedir que en el punto coincidan sus valores y los de sus primeras derivadas hasta el mayor orden posible. Se trata, por tanto, de encontrar el polinomio: P (x) = a0 + a1 (x − a) + a2 (x − a)2 + . . . + an (x − a)n que tenga el mayor n´ umero posible de derivadas iguales a las de f en a. Imponiendo estas condiciones se obtienen los coeficientes del polinomio: P (x) = a0 + a1 (x − a) + a2 (x − a)2 + a3 (x − a)3 + . . . + an (x − a)n 0

P (x) =

a1

2

=⇒ P (a) = a0 = f (a) n−1

+ 2a2 (x − a) + 3a3 (x − a) + . . . + nan (x − a)

P 00 (x) =

=⇒ P 0 (a) = a1 = f 0 (a)

2a2 + 3 · 2a3 (x − a) + . . . + n(n − 1)an (x − a)n−2 =⇒ P 00 (a) = 2a2 = f 00 (a)

P 000 (x) = .. .

3!a3 + . . . + n(n − 1)(n − 2)an (x − a)n−3 =⇒ P 000 (a) = 3!a3 = f 000 (a)

P n) (x) =

=⇒ P n) (a) = n!an = f n) (a)

n!an

de donde: a0 = f (a)

a1 = f 0 (a)

a2 =

f 00 (a) 2!

f 000 (a) 3!

a3 =

...

an =

f n) (a) n!

Si f es una funci´on derivable n veces en a, se llama polinomio de Taylor de orden n de la funci´on f en a al polinomio: n

Pna (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) +

X f k) (a) f n) (a) f 00 (a) (x − a)2 + . . . + (x − a)n = (x − a)k 2! n! k! k=0

La diferencia entre la funci´on y el polinomio se llama t´ermino complementario: Tn (x) = f (x) − Pna (x) que, obviamente, verifica: Tn (a) = Tn0 (a) = . . . = Tnn) (a) = 0

y

Tnn+1) (x) = f n+1) (x)

siempre que f sea derivable n + 1 veces en a. Aplicando reiteradamente el teorema de Cauchy a Tn (x) y g(x) = (x − a)n+1 , se obtiene: Tn (x) Tn (x) − Tn (a) Tn0 (α1 ) Tn0 (α1 ) − Tn0 (a) Tn00 (α2 ) = = = = = (x − a)n+1 g(x) − g(a) g 0 (α1 ) g 0 (α1 ) − g 0 (a) g 00 (α2 ) n)

= ... =

n)

n)

n+1)

Tn (αn ) Tn (αn ) − Tn (a) Tn (α) f n+1) (α) = = = (n + 1)! g n) (αn ) g n) (αn ) − g n) (a) g n+1) (α)

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

4

donde α est´a comprendido entre a y x. Despejando, se obtiene el t´ ermino complementario o resto de Lagrange: f n+1) (α) Tn (x) = (x − a)n+1 con α entre a y x (n + 1)! Al sumar el polinomio de Taylor con el t´ermino complementario, se obtiene la f´ ormula de Taylor: f (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) + |

f 00 (a) f n) (a) f n+1) (α) (x − a)2 + . . . + (x − a)n + (x − a)n+1 2! {z n! (n + 1)! } | {z }

polinomio de Taylor

resto de Lagrange

con α entre a y x. En el caso particular a = 0, la f´ormula de Taylor se llama f´ ormula de McLaurin: f (x) = f (0) + f 0 (0)x + |

f n+1) (α) n+1 f 00 (0) 2 f n) (0) n x + ... + x + x 2!{z n! (n + 1)! } {z } |

polinomio de McLaurin

resto de Lagrange

con α entre 0 y x. Observaci´ on: El polinomio de Taylor aproxima a la funci´on en un entorno del punto. La aproximaci´ on es mejor cu´anto m´as pr´oximos estemos del punto.

3.3.11. Ejemplos ´ 1. Halla el polinomio de Taylor de orden 2 de f (x) = tan x en x = π/4. Usalo para hallar un valor π aproximado de tan 3 y acota el error cometido. ´ para hallar un valor aproximado 2. Halla el polinomio de McLaurin de orden 3 de f (x) = ex . Usalo del n´ umero e y acota el error cometido.

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Estudia si se puede aplicar el teorema de Rolle a las siguientes funciones en los intervalos que se indican. En caso afirmativo, encuentra el punto cuya existencia asegura el teorema. ( h π πi −x si x ≤ 0 (a) f (x) = |x| , en [−1, 1] (b) f (x) = sin2 x , en − , (c) f (x) = , en [−1, 1] 2 2 x2 si x > 0 2. Demuestra que la ecuaci´on 3x4 − 24x + 1 = 0 no tiene m´as de dos ra´ıces reales distintas. 3. Comprueba que las siguientes funciones satisfacen las condiciones del teorema de valor medio en el intervalo que se indica, y encuentra el punto cuya existencia asegura el teorema: h πi √ 1 (a) f (x) = x , en [1, 4] (b) f (x) = , en [0, 2] (c) f (x) = cos x , en 0, x+1 2 4. Halla el l´ımite:

lim

x→+∞

h i 1 1 (1 + x)1+ x+1 − x1+ x

5. Halla los siguientes l´ımites: tan x − x x→0 x − sin x ln(ex − 1) (b) lim ln x x→0+

(a) lim

cosec 2x x→π/2 1 + tan x cosh x − cos x (d) lim x→0 x2 (c) lim

eαx − cos αx x→0 eβx − cos βx xx − x (f ) lim x→1 ln x − x + 1

(e) lim

(β 6= 0)

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

5

6. Halla los siguientes l´ımites: µ (a) lim

x→1

1 1 − ln x x − 1

¶

µ ¶ µ ¶ 2 1 a b arcsin x 1/x (b) lim x tan − tan (c) lim (1 + x) x (d) lim x→+∞ x→0 x→0 x x x

7. Para la funci´on

( 2 e−1/x f (x) = 0

, si x 6= 0 , si x = 0

(a) Obt´en f 0 y f 00 . (b) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f y f 0 . (c) Dibuja su gr´afica. 8. Obt´en el desarrollo de McLaurin de orden 3 de la funci´on f (x) = sin x. 9. Justifica y eval´ ua el error de la siguiente relaci´on: √ x x2 1+x≈1+ − , 2 8

para |x| < 1

10. Halla los tres primeros t´erminos del desarrollo de Taylor de: (a) f (x) =

1 , en x = −1 x

(b) g(x) = ln cos x , en x =

π 3

11. Halla el polinomio de Taylor de orden 4 de f (x) = ln x en un entorno del punto x = 1. Halla una cota del error cometido al hallar ln 32 usando dicho polinomio. 12. Halla el polinomio de Taylor de grado 4 en un entorno de x = 1 de la funci´on f (x) =

2x+1 x(x+1) .

CUESTIONES 1. Contesta razonadamente si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones: (a) Si f es continua en [a, b] y f (a) = f (b) entonces se anula su derivada en un punto interior del intervalo. (b) Si f es continua y derivable en (a, b) con f (a) = f (b), entonces su derivada se anula en un punto interior del intervalo. (c) Si f es continua en [a, b], derivable en (a, b), y su derivada se anula en un α ∈ (a, b), entonces f (a) = f (b). (d) Si f es continua en [a, b], derivable en (a, b) y f (a) 6= f (b), entonces f 0 (x) 6= 0 para todo x ∈ (a, b). (e) Si f es continua en [a, b], derivable en (a, b), y f 0 (x) 6= 0 para todo x ∈ (a, b), entonces f (a) 6= f (b). (f ) El l´ımite de una funci´on coincide con el l´ımite de su derivada. (g) Una funci´on coincide con su polinomio de Taylor en las proximidades del punto. 2. Sea f una funci´on dos veces derivable en [a, b] y tal que f (a) = f (c) = f (b) para cierto c ∈ (a, b). ¿Se puede asegurar que se anula su derivada segunda en dicho intervalo? 3. Demuestra que arctan

¡ ¢ sin x x = , para todo x ∈ − π2 , π2 . 1 + cos x 2

4. Siendo f (x) = x3 + ax2 + bx + c, halla el siguiente l´ımite:

lim

x→+∞

hp 3

f (x + 1) −

p 3

i f (x)

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

6

5. Demuestra que si f admite derivada segunda, entonces: f (x + h) − f (x − h) h→0 2h

f (x + h) + f (x − h) − 2f (x) h→0 h2

(a) f 0 (x) = lim

(b) f 00 (x) = lim

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Estudia si se puede aplicar el teorema de Rolle a las siguientes funciones en los intervalos que se indican. En caso afirmativo, encuentra el punto cuya existencia asegura el teorema. √ (a) f (x) = x , en [1, 2] (b) f (x) = 3 x − 1 , en [−8, 8] (c) f (x) = x2 − (a + b)x + ab , en [a, b] 2. Demuestra que la ecuaci´on x5 + 5x − 3 = 0 tiene exactamente una ra´ız real. 3. Encuentra valores de a, b y c para que la siguiente funci´on satisfaga el teorema de valor medio.   , si x = 0 3 2 f (x) = −x + 3x + a , si 0 < x < 1   bx + c , si 1 ≤ x ≤ 2 4. Comprueba que las siguientes funciones satisfacen las condiciones del teorema de valor medio en el intervalo que se indica, y encuentra el punto cuya existencia asegura el teorema: (a) f (x) = 2x2 + 1 , en [0, 2]

(b) f (x) = x3 + x , en [1, 2]

(c) f (x) = x4 + 2 , en [−1, 2]

5. Demuestra las desigualdades: (a) |cos x − cos y| ≤ |x − y|

(b) |tan x − tan y| ≥ |x − y| , con −

6. Demuestra que cuando x < 1 se cumple que:

arctan

π π < x, y < 2 2

1+x π − arctan x = 1−x 4

7. Halla los siguientes l´ımites: esin x − 1 x→0 x

(a) lim

(b) lim

x→0

sin ax sin bx

8. Halla los siguientes l´ımites: ¶ µ 1 1 1 (a) lim − (b) lim 1/ ln x + x→0 sin x x x→0 x 9. Halla valores de a y b para que:

tan 3x x→π/2 tan x

(c) lim

(c)

(d) lim

³ r ´x 1+ x→+∞ x lim

x→0

cos(sin x) − cos x x4

(d) lim (cotan x)sin x x→0

cos ax − b = −4 x→0 2x2 lim

10. Halla las dos primeras derivadas, en x = 0, de la funci´on: ( sin x , si x 6= 0 x f (x) = 1 , si x = 0 √ √ 11. Halla e a partir del polinomio de Taylor de orden 3 de la funci´on f (x) = x en x = 1, y acota el error cometido. √ √ 12. Halla 3 30 a partir del polinomio de Taylor de orden 2 de f (x) = 3 x en un entorno del punto x = 27, y acota el error cometido.

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

1

´ DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 4. INTEGRACION 4.1. LA INTEGRAL DE RIEMANN La integral de Riemann est´a motivada por el c´alculo de ´areas de regiones planas. Concretamente, se trata de hallar el ´area de la regi´on plana limitada por la gr´afica de una funci´on acotada positiva, sobre un intervalo del eje de abscisas. y Si f : [a, b] −→ R es una funci´on acotada f y positiva, la integral de Riemann calcula el ´area del recinto: R(f ; a, b) R(f ; a, b) = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)} a x b O

4.1.1. Particiones de un intervalo

Una partici´ on del intervalo cerrado y acotado [a, b] es cualquier colecci´on finita de puntos del intervalo que contenga a los extremos: P = (a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b) , que lo dividen en n subintervalos [xi−1 , xi ], 1 ≤ i ≤ n, y se llama di´ ametro de la partici´on a la longitud del mayor de ellos:

a x0 x1

n≥1

x2

x3 · · · xi−1 xi · · · xn−1

b xn

δ(P ) = max {x1 − x0 , x2 − x1 , . . . , xn − xn−1 } = max {xi − xi−1 } 1≤i≤n

Dadas dos particiones P y Q del mismo intervalo [a, b], se dice que Q es m´as fina que P si P ⊂ Q, es decir, si Q contiene todos los puntos de P . Obviamente, si Q es m´as fina que P , entonces δ(Q) ≤ δ(P ).

4.1.2. Sumas de Riemann Se definen las sumas inferior y superior de Riemann de una funci´on acotada f : [a, b] −→ R asociadas a la partici´on P = (a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b) como: s(f, P ) = m1 (x1 − x0 ) + m2 (x2 − x1 ) + . . . + mn (xn − xn−1 ) = S(f, P ) = M1 (x1 − x0 ) + M2 (x2 − x1 ) + . . . + Mn (xn − xn−1 ) =

n X

mi (xi − xi−1 )

i=1 n X

Mi (xi − xi−1 )

i=1

donde mi y Mi son, respectivamente, el ´ınfimo y el supremo de f en el subintervalo [xi−1 , xi ], 1 ≤ i ≤ n. y

O

a b x0 x1 x2 . . . xi−1 xi . . . xn x

Si f es positiva, la suma inferior de Riemann es la suma de las ´areas de los rect´angulos que tienen por base los subintervalos y altura el ´ınfimo de la funci´on en los mismos, que es menor o igual que el ´ area limitada por la gr´afica y el eje x.

y

O

a b x0 x1 x2 . . . xi−1 xi . . . xn x

Si f es positiva, la suma superior de Riemann es la suma de las ´areas de los rect´angulos que tienen por base los subintervalos y altura el supremo de la funci´on en los mismos, que es mayor o igual que el ´ area limitada por la gr´afica y el eje x.

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

2

Cuando en cada subintervalo, en lugar de tomar los valores ´ınfimo o supremo, se toma el valor de la funci´on en un punto intermedio αi ∈ [xi−1 , xi ], 1 ≤ i ≤ n, se obtiene la suma de Riemann asociada a dichos puntos: S (f, P, {αi }) = f (α1 )(x1 − x0 ) + f (α2 )(x2 − x1 ) + . . . + f (αn )(xn − xn−1 ) =

n X

f (αi )(xi − xi−1 )

i=1

Es f´acil comprobar que se verifican las siguientes propiedades: 1. Cualquier suma de Riemann est´a comprendida entre las sumas superior e inferior asociadas a la misma partici´on: s(f, P ) ≤ S (f, P, {αi }) ≤ S(f, P ) 2. Si Q es una partici´on m´as fina que P , entonces: s(f, P ) ≤ s(f, Q) ≤ S(f, Q) ≤ S(f, P ) 3. Cualquier suma inferior es menor o igual que cualquier suma superior, es decir, para cualesquiera particiones P y Q: s(f, P ) ≤ S(f, Q)

4.1.3. Integral de Riemann Se dice que una funci´on acotada f : [a, b] −→ R es integrable Riemann (o, simplemente, integrable) cuando el supremo de las sumas inferiores coincide con el ´ınfimo de las sumas superiores, y se representa por: Z b f (x) dx = sup {s(f, P ) : P es partici´on de [a, b]} = inf {S(f, P ) : P es partici´on de [a, b]} a

Puesto que las sumas de Riemann est´an comprendidas entre las sumas superiores e inferiores, cuando una funci´on es integrable se puede definir tambi´en su integral como el siguiente l´ımite de sumas: Z b n X f (x) dx = lim S (f, P, {αi }) = lim f (αi )(xi − xi−1 ) a

δ(P )→0

δ(P )→0

i=1

siendo este l´ımite independiente de la elecci´on de los {αi }.

4.1.4. Criterio de integrabilidad Riemann. Funciones integrables Si f : [a, b] −→ R es una funci´on acotada, entonces: f es integrable Riemann ⇐⇒ ∀ε > 0 existe P tal que S(f, P ) − s(f, P ) < ε Usando este criterio de integrabilidad, se puede probar que: 1. Todas las funciones mon´otonas en [a, b] son integrables en [a, b]. 2. Todas las funciones continuas en [a, b] son integrables en [a, b]. 3. Todas las funciones acotadas con un n´ umero finito (o incluso infinito numerable) de discontinuidades son integrables en [a, b].

4.1.5. Ejemplo Z 1. Usando sumas de Riemann, calcula:

1

x2 dx.

0

on: f (x) = 2. Demuestra que no es integrable sobre [0, 1] la funci´

(

1 , si x ∈ Q 0 , si x ∈ /Q

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

3

4.1.6. Propiedades de la integral Si f, g : [a, b] −→ R son dos funciones integrables, y λ, µ ∈ R, entonces: 1. λf + µg es integrable y Z

Z

b

(λf (x) + µg(x)) dx = λ a

Z

b

b

f (x) dx + µ a

g(x) dx a

2. Si f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a, b], entonces Z

Z

b

b

f (x) dx ≤ a

g(x) dx a

3. Si m ≤ f (x) ≤ M para todo x ∈ [a, b], entonces Z

b

m(b − a) ≤

f (x) dx ≤ M (b − a) a

4. |f | es integrable y

¯Z b ¯ Z b ¯ ¯ ¯ ¯≤ f (x) dx |f (x)| dx ¯ ¯ a

a

5. Si a < c < b, entonces f es integrable sobre [a, c] y sobre [c, b], siendo: Z

Z

b

a

Z

c

f (x) dx =

f (x) dx + a

b

f (x) dx c

Rb Observaci´ on: Seg´ un lo definido, la integral a f (x) dx requiere que a < b. Sin embargo, siendo compatibles con la u ´ltima propiedad de la integral, se puede extender a otros casos como sigue: Z

Z

a

f (x) dx = − b

Z

b

f (x) dx

a

f (x) dx = 0

a

a

4.1.7. Interpretaci´ on geom´ etrica de la integral La integral de una funci´on f : [a, b] −→ R integrable y positiva, es el ´area del recinto limitado por su gr´afica y el eje de abscisas entre las rectas x = a y x = b. Cuando la funci´on no es siempre positiva, recurriendo a las propiedades de la integral, se tiene: y

y

f

a Rb

f (x) dx = A(R) Rb A(R) = a f (x) dx a

a

O

R O

y b

f

x

R+

R f

b x

a

O

Rb

Rb

a

a

f (x) dx = −A(R) Rb A(R) = − a f (x) dx

c

b R−

x

f (x) dx = A(R+ ) − A(R− )

A(R) = A(R+ ) + A(R− ) = Rc Rb = a f (x) dx − c f (x) dx

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

4

4.1.8. Teorema fundamental del C´ alculo Sea f : [a, b] −→ R una funci´on continua y F : [a, b] −→ R la funci´ on ´ area barrida: Z

y

x

F (x) =

f (t) dt

f

a

Entonces, F es continua y derivable en [a, b] con F 0 (x)

F (x)

= f (x), para todo x ∈ [a, b]

O

Demostraci´ on: Si x ∈ [a, b) y h > 0, entonces: Z x+h Z x F (x + h) − F (x) = f (t) dt − f (t) dt = a a Z x+h = f (t) dt

a

y

x

f

b

© ©© ¼

t

F (x + h) − F (x)

x

Si mh y Mh son, respectivamente, el m´ınimo y el

O

a

x x+h b

t

m´aximo de f en [x, x + h], que se alcanzan por ser continua, entonces Z mh h ≤

x+h

x

f (t) dt ≤ Mh h =⇒ mh h ≤ F (x + h) − F (x) ≤ Mh h =⇒ mh ≤

F (x + h) − F (x) ≤ Mh h

Por la continuidad de f , lim mh = lim Mh = f (x), de donde se deduce que: h→0+

h→0+

F 0 (x+ ) = lim

h→0+

F (x + h) − F (x) = f (x) h

An´alogamente, se obtiene que F 0 (x− ) = f (x), para todo x ∈ (a, b], con lo que se concluye que F es derivable y F 0 (x) = f (x), para todo x ∈ [a, b].

4.1.9. Corolario Sean I y J intervalos, f : I −→ R una funci´on continua, y u, v : J −→ I dos funciones derivables. Entonces la funci´on Z v(x) F (x) = f (t) dt u(x)

es derivable y

F 0 (x)

=

f (v(x))v 0 (x)

−

f (u(x))u0 (x)

4.1.10. Ejemplo Z

sin x

Estudia la derivabilidad, y halla la derivada, de la funci´ on: F (x) = x2 +1

dt 1 + t2

4.1.11. Primitiva o antiderivada Una funci´on F se llama primitiva o antiderivada de f en D ⊂ R si F 0 (x) = f (x), para todo x ∈ D. Usando el corolario 3.3.7, dos primitivas de una misma funci´on en un intervalo se diferencian en una constante, es decir: F 0 (x) = G0 (x) para todo x ∈ I (intervalo) =⇒ F (x) − G(x) = c, c ∈ R, para todo x ∈ I

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

5

4.1.12. Regla de Barrow Si f : [a, b] −→ R es continua y Φ es una primitiva de f en [a, b], entonces Z b f (x) dx = [Φ(x)]ba = Φ(b) − Φ(a) a

Demostraci´ on: Puesto que, por el teorema fundamental del C´alculo, F (x) = primitiva de f en [a, b], entonces F y Φ se diferencian en una constante:

Rx a

f (t) dt es tambi´en

F (x) − Φ(x) = c , para todo x ∈ [a, b] Haciendo x = a se puede hallar la constante: F (x) − Φ(x) = c =⇒ F (a) − Φ(a) = c x=a

=⇒

F (a)=0

c = −Φ(a)

y entonces, F (x) = Φ(x) − Φ(a), para todo x ∈ [a, b]. En el caso particular de x = b, se obtiene el resultado: Z b F (x) = Φ(x) − Φ(a) =⇒ F (b) = Φ(b) − Φ(a) =⇒ F (b) = f (t) dt = Φ(b) − Φ(a) x=b

a

4.1.13. Ejemplos Halla las siguientes integrales e interpreta geom´etricamente el resultado obtenido: Z π Z 2 Z 2 (a) sin x dx (b) x(x − 2) dx (c) x3 dx 0

0

−1

4.1.14. Teorema de valor medio integral y

Si f : [a, b] −→ R es una funci´on continua, entonces existe α ∈ (a, b) tal que: Z b f (x) dx = f (α)(b − a)

f f (α) F (x)

a

El valor f (α) se llama valor medio de f en [a, b].

a

O

Demostraci´ on: Puesto que la funci´on ´area barrida Z F (x) =

α

b

x

x

f (t) dt

a

es continua en [a, b] y derivable en (a, b), se le puede aplicar el teorema de valor medio 3.3.5 y existe α ∈ (a, b) tal que: Z b Z b 0 F (b) − F (a) = F (α)(b − a) =⇒ f (t) dt − 0 = f (α)(b − a) =⇒ f (x) dx = f (α)(b − a) a

a

4.1.15. Valor medio de una funci´ on continua Se llaman valor medio y valor medio cuadr´ atico, respectivamente, de la funci´on f en el intervalo [a, b] a: 1 V M (f, [a, b]) = b−a

Z

µ

b

f (x) dx a

V M C(f, [a, b]) =

1 b−a

Z

b

¶1/2 f (x) dx 2

a

4.1.16. Ejemplo Halla el valor medio y el valor medio cuadr´ atico de la funci´ on f (x) = x2 en el intervalo [0, 2].

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

6

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Eval´ ua, mediante integrales, los siguientes l´ımites: µ ¶ µ ¶ 1 2 n−1 n n n (a) lim + 2 + ... + (b) lim + 2 + ... + 2 n→+∞ n2 n→+∞ n2 + 12 n n2 n + 22 n + n2 Z 2. Sea f una funci´on continua tal que

x

tf (t) dt = x sin x − cos x. Calcula f (π/2) y f 0 (π/2).

0

3. Sea F : [−1, 2] −→ R definida por F (x) =

(

Rx

−1 f (t) dt,

donde f (x) =

|x| si −1 ≤ x < 1 . 2 si 1 ≤ x ≤ 2

(a) ¿Es f (x) integrable? (b) ¿Es F (x) una primitiva de f (x)? (c) Estudia la continuidad y derivabilidad de F (x). 4. Halla los m´aximos y m´ınimos, relativos y absolutos, de la funci´on Z x 2 F (x) = t5 e−t dt , −1 ≤ x ≤ 1 0

5. Sea f una funci´on real derivable en R, estrictamente creciente y que se anula en el punto t = 0. Se considera la funci´on definida sobre R por Z

x2 −5x+6

F (x) =

f (t) dt 0

(a) Demuestra que F (x) admites derivadas primera y segunda, y h´allalas. (b) Estudia el crecimiento y decrecimiento de F (x), y determina sus extremos relativos. 6. Halla la derivada de las siguientes funciones: Z

Z

x2

(a) F (x) =

t sin 2t dt

sin x

(b) F (x) =

0

− sin x

1 √ dt 1 − t2

7. Halla los siguientes l´ımites: 1 (a) lim 3 x→0 x

Z

x

0

t2 dt 1 + t4

R x2 (b) lim

x→0

0

√ sin t dt x3

(c) lim

x−

x→0

Rx

sin t t x3

0

dt

8. Halla el valor medio de cada una de las siguientes funciones en el intervalo que se indica: (a) f (x) = x4 en [−1, 3]

(b) f (x) = sin x en [0, π]

9. La intensidad de cierta corriente alterna viene dada por la expresi´on I(t) = 2 sin t. (a) Halla la intensidad eficaz Ie , que es el valor medio cuadr´atico de I(t) en [0, 2π]. (b) Halla el valor medio de la intensidad en [0, 2π].

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

7

CUESTIONES 1. Contesta razonadamente si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones: (a) E(x) es integrable en [0, 3]. Rx (b) F (x) = 0 E(t) dt es una primitiva de E(x). (c) E(x) no admite primitivas.

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Eval´ ua, mediante integrales, los siguientes l´ımites: Ã ! √ √ √ 1 + 2 + ... + n 1 1 1 √ √ +√ (a) lim (b) lim + ... + p n→+∞ n→+∞ n n n2 − 1 n2 − (n − 1)2 n2 2. Decide cu´ales de las siguientes funciones son integrales (Riemann) en [0, 2]: ( ( 1 x + E(x) si x ∈ Q E(1/x) (a) f (x) = x + E(x) (b) f (x) = (c) f (x) = 0 si x ∈ /Q 0 3. Estudia la derivabilidad de la funci´on F (x) =

Rx 0

si 0 < x ≤ 1 en el resto

f (t) dt, donde:

  |x| , si x < 1 f (x) = x2 , si 1 ≤ x ≤ 2   ln x , si x > 2 4. Halla la derivada de las siguientes funciones: Z (a) F (x) =

Z

x2

2

sin t dt 0

(b) F (x) =

xp

1 + t2 dt

x2

5. Halla el valor medio de cada una de las siguientes funciones en el intervalo que se indica: (a) f (x) = 2x − x2 en [0, 2]

π (b) f (x) = f (x) = sin x + cos x en [0, ] 2

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

1

´ DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 4. INTEGRACION ´ 4.2. CALCULO DE PRIMITIVAS Por la regla de Barrow, el c´alculo de una integral (de Riemann) se reduce a hallar una primitiva de la funci´on y evaluarla en los extremos del intervalo de integraci´ on. Por este motivo, el c´alculo de primitivas cobra especial importancia, y aqu´ı nos dedicaremos a exponer sus reglas fundamentales.

4.2.1. Primitiva e integral indefinida Una funci´on F se llama primitiva o antiderivada de f en D ⊂ R si F 0 (x) = f (x), para todo x ∈ D. La primitiva de una funci´on no es u ´nica pues, si F (x) es una primitiva de f (x), tambi´en son primitivas todas las funciones de la forma F (x) + c, con c ∈ R constante. Se llama integral indefinida, o simplemente integral, de f al conjunto de todas sus primitivas, y se suele expresar: Z f (x) dx = F (x) + c con c ∈ R una constante arbitraria y F una primitiva de f .

4.2.2. Primitivas inmediatas Una primitiva o integral es inmediata si se reconoce f´acilmente como derivada de alguna funci´on, por tanto, dicho concepto es relativo. Puesto que la integraci´ on es la operaci´on inversa de la derivaci´ on, es f´acil obtener la siguiente tabla de primitivas inmediatas: Z Z

k dx = kx + c

(k ∈ R)

xp+1 + c (p 6= −1) x dx = p+1 Z dx = ln |x| + c Z x ex dx = ex + c Z ax + c (a > 0, a 6= 1) ax dx = ln a Z sin x dx = − cos x + c Z cos x dx = sin x + c Z Z ¡ ¢ dx = 1 + tan2 x dx = tan x + c 2 Z cos x Z ¡ ¢ dx 2 = 1 + cot x dx = − cot x + c 2 Z sin x dx √ = arcsin x + c 2 1 − x Z dx = arctan x + c 1 + x2 Z Z dx sec x dx = = ln |sec x + tan x| + c Z Z cos x dx csc x dx = = ln |csc x − cot x| + c sin x

Z

p

Z

up (x)u0 (x) dx = u0 (x)

up+1 (x) +c p+1

(p 6= −1)

dx = ln |u(x)| + c Z u(x) u0 (x)eu(x) dx = eu(x) + c Z au(x) + c (a > 0, a 6= 1) u0 (x)au(x) dx = ln a Z u0 (x) sin u(x) dx = − cos u(x) + c Z u0 (x) cos u(x) dx = sin u(x) + c Z u0 (x) dx = tan u(x) + c 2 Z cos0 u(x) u (x) dx = − cot u(x) + c 2 Z sin u(x) 0 u (x) p dx = arcsin u(x) + c 2 (x) 1 − u Z u0 (x) dx = arctan u(x) + c 2 Z 1 +0 u (x) u (x) dx = ln |sec u(x) + tan u(x)| + c Z cos0 u(x) u (x) dx = ln |csc u(x) − cot u(x)| + c sin u(x)

Las dos u ´ltimas integrales que aparecen en la tabla no son realmente inmediatas y su c´alculo es ciertamente laborioso. Sin embargo, se incorporan a la lista por las funciones implicadas y la frecuencia con que aparecen.

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

2

4.2.3. Ejemplos Calcula las siguientes integrales reducibles inmediatas: Z Z Z 1−x 2 + 3 cos x 1 + ln x √ (a) dx (b) dx (c) dx 2 2 3 + x ln x sin x 1−x

Z (d)

sin3 x √ dx cos x

4.2.4. Integraci´ on por cambio de variable Si en la integral de f (x) se hace un cambio de la variable x a una nueva variable t, relacionadas mediante la funci´on x = ϕ(t), se obtiene: µ ¶ Z Z ¡ ¢ x = ϕ(t) f (x) dx = = f (ϕ(t))ϕ0 (t) dt = F (t) + c = F ϕ−1 (x) + c 0 dx = ϕ (t) dt ya que si F (t) es una primitiva de f (ϕ(t))ϕ0 (t) entonces: ¡ ¢ ¡ ¢ dF ϕ−1 (x) dF ϕ−1 (x) dt dF (t) dt 1 = · = · = f (ϕ(t))ϕ0 (t) · 0 = f (x) dx dt dx dt dx ϕ (t) ¡ ¢ es decir, F ϕ−1 (x) es primitiva de f (x). Obviamente, este cambio es efectivo cuando la integral respecto de t es m´as sencilla que respecto de x. Con frecuencia la relaci´on que proporciona el cambio de variable suele aparecer como t = ψ(x), siendo en este caso x = ϕ(t) = ψ −1 (t).

4.2.5. Ejemplos Z Calcula por cambio de variable las siguientes integrales: (a)

√ x x − 5 dx; (b)

Z

x3 dx. 1 + x8

4.2.6. Integraci´ on por partes Tomando primitivas en la f´ormula de la derivada de un producto, y puesto que la integral de una derivada es la propia funci´on: Z Z Z 0 0 0 0 0 (f (x)g(x)) = f (x)g(x) + f (x)g (x) =⇒ (f (x)g(x)) dx = f (x)g(x) dx + f (x)g 0 (x) dx =⇒ Z Z 0 =⇒ f (x)g(x) = f (x)g(x) dx + f (x)g 0 (x) dx =⇒ Z Z 0 =⇒ f (x)g (x) dx = f (x)g(x) − f 0 (x)g(x) dx Si u = f (x) y v = g(x), du = f 0 (x)dx y dv = g 0 (x)dx, y sustituyendo en la f´ormula anterior se obtiene la conocida f´ ormula de integraci´ on por partes: Z Z u dv = uv − v du

4.2.7. Ejemplos Calcula las siguientes integrales mediante integraci´ on por partes: Z Z Z (a) x ln x dx (b) arcsin x dx (c) x2 e−x dx

Z (d)

ex sin x dx

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

3

4.2.8. Integrales de funciones racionales Toda funci´on racional en la que el grado de numerador sea mayor o igual que el grado del denominador se puede reducir ala suma de un polinomio con otra funci´on racional en la que el grado de numerador es inferior al grado del denominador. Para ello basta efectuar la divisi´on de polinomios: P (x) Q(x) r(x) c(x)

=⇒ P (x) = Q(x)c(x) + r(x)

=⇒

P (x) r(x) = c(x) + Q(x) Q(x)

Obviamente, si el grado de P es menor que el grado de Q no se efect´ ua la divisi´on, y entonces c = 0 y r = P . Una vez que el grado del numerador es inferior al grado del denominador, se puede proceder a la descomposici´ on en fracciones simples: • Se halla la descomposici´on factorial del denominador en la que pueden aparecer los siguientes factores: Q(x) = (x − a) · (x − b)p · [(x − α)2 + β 2 ] · [(x − γ)2 + δ 2 ]q · . . .

(p, q > 1)

donde se ha supuesto que el coeficiente de grado m´aximo en Q(x) es 1. Si no es as´ı, se saca factor com´ un y divide al numerador r(x). • Se buscan n´ umeros reales A, Bi , C, D, Ei y Fi tales que: p

q

i=1

i=1

X Bi X A r(x) Cx + D Ei x + Fi = + + + + ... Q(x) x−a (x − b)i (x − α)2 + β 2 [(x − γ)2 + δ 2 ]i Despu´es de esto: p

q

i=1

i=1

X Bi X P (x) r(x) A Cx + D Ei x + Fi = c(x) + = c(x) + + + + + ... i 2 2 Q(x) Q(x) x−a (x − b) (x − α) + β [(x − γ)2 + δ 2 ]i y entonces, la integral racional es: Z

P (x) dx = Q(x) +

Z

Z c(x) dx +

q Z X i=1

p

X A dx + x−a i=1

Z

Bi dx + (x − b)i

Z

Cx + D dx+ (x − α)2 + β 2

Ei x + Fi dx + . . . [(x − γ)2 + δ 2 ]i

con lo que queda reducida a hallar la integral de un polinomio y todas o algunas de las siguientes integrales: Z Z Z Z A Bi Cx + D Ei x + Fi dx dx (i > 1) dx dx (i > 1) i 2 2 x−a (x − b) (x − α) + β [(x − γ)2 + δ 2 ]i Las tres primeras son f´aciles de resolver: Z A dx = A ln |x − a| + c x−a Z Z Bi (x − b)−i+1 −Bi −i dx = B (x − b) dx = B +c= +c i i i (x − b) −i + 1 (i − 1)(x − b)i−1 Z Z Z Z Cx + D C(x − α) + (Cα + D) C(x − α) (Cα + D) dx = dx = dx + dx = (x − α)2 + β 2 (x − α)2 + β 2 (x − α)2 + β 2 (x − α)2 + β 2 ¢ Cα + D C ¡ x−α = ln (x − α)2 + β 2 + arctan 2 β β mientras que el m´etodo general para la u ´ltima es algo m´as complicado (integraci´ on por partes y reducci´on de exponente en el denominador), aunque en casos particulares puede ser m´as sencilla de resolver.

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

4

4.2.9. Ejemplos Z Calcula las siguientes integrales: (a)

x2 + 1 dx; (b) x4 − x2

Z

x3 − x dx. x2 + 4x + 13

4.2.10. Integrales de funciones racionales trigonom´ etricas Son integrales de la forma

Z R(sin x, cos x) dx

donde R es una funci´on racional, es decir, es un cociente de polinomios en senos y cosenos. Todas estas integrales se reducen a integrales racionales mediante el cambio de variable: tan

x =t 2

en cuyo caso: sin x =

2t 1 + t2

cos x =

1 − t2 1 + t2

tan x =

2t 1 − t2

dx =

2 dt 1 + t2

En algunos casos particulares, hay cambios m´as sencillos que tambi´en las reducen a integrales racionales: • Si R es impar en seno, es decir, R(− sin x, cos x) = −R(sin x, cos x), se hace el cambio t = cos x. • Si R es impar en coseno, es decir, R(sin x, − cos x) = −R(sin x, cos x), se hace el cambio t = sin x. • Si R es par en seno y coseno, es decir, R(− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x), se hace el cambio t = tan x.

4.2.11. Ejemplos

Z

Calcula las siguientes integrales: (a)

cos x dx; (b) sin x(1 + cos x)

Z

2 − sin x dx. 2 + cos x

4.2.12. Integrales de algunas funciones irracionales Las integrales de la forma Z ³ p ´ R x, a2 ± b2 x2 dx

Z

³ p ´ R x, a2 x2 − b2 dx

se pueden reducir a integrales de funciones racionales trigonom´etricas mediante los siguientes cambios de variable: ³ √ ´ • Si R = R x, a2 − b2 x2 , se hace el cambio bx = a sin t o bx = a cos t. ³ √ ´ • Si R = R x, a2 + b2 x2 , se hace el cambio bx = a tan t. ³ √ ´ • Si R = R x, a2 x2 − b2 , se hace el cambio ax = b sec t.

4.2.13. Ejemplos Z Calcula las siguientes integrales: (a)

dx √ dx; (b) x + 1 − x2

Z

x2 √ dx. x2 − 1

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

5

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Calcula las siguientes integrales inmediatas: Z Z Z dx e2x x2 √ (a) (b) dx (c) dx 9x2 + 25 2 + e2x x3 + 1

Z (d)

cos x dx sin x ln(sin x)

2. Calcula, mediante un cambio de variable adecuado, las siguientes integrales: Z x Z Z p e − 3e2x dx √ (a) dx (b) (c) 1 + e2x dx 1 + ex x x2 − 2 3. Calcula, mediante integraci´on por partes, las siguientes integrales: Z Z Z Z Z x 2 3 −x2 2 (a) dx (b) (ln x) dx (c) x e dx (d) x sin x dx (e) x3 ln(1 + x2 ) dx cos2 x 4. Calcula las siguientes integrales racionales: Z Z 2 x3 dx x +x+1 (a) (b) dx 3 2 x + 2x − x − 2 x2 − x + 1 5. Calcula las siguientes integrales trigonom´etricas: Z Z (a) sin2 x dx (c) cos4 x dx Z Z 2 (b) cos x dx (d) sin5 x dx 6. Calcula las siguientes integrales trigonom´etricas: Z Z Z dx dx dx (a) (b) (c) 2 2 sin x 1 + cos2 x sin x cos x

Z

x−2 dx (x − 1)2 (x2 + 1)

(c) Z

sin2 x cos2 x dx

(e) Z (f ) Z (d)

sin2 x cos5 x dx

dx 1 + sin x

Z (e)

dx 1 + sin x + cos x

7. Usando las f´ormulas trigonom´etricas: cos(α + β) + cos(α − β) = 2 cos α cos β cos(α + β) − cos(α − β) = −2 sin α sin β

sin(α + β) + sin(α − β) = 2 sin α cos β

calcula, si a 6= b, las siguientes integrales: Z Z (a) sin ax sin bx dx (b) sin ax cos bx dx

Z (c)

cos ax cos bx dx

8. Calcula, mediante un cambio a funciones trigonom´etricas, las siguientes integrales de funciones irracionales: Z p Z √ 2 Z Z x +1 x4 x dx 2 p √ (a) 16 − x dx (b) dx (c) dx (d) 2 x x2 − 2x (1 − x2 )3 9. Calcula las siguientes integrales irracionales: √ √ Z √ Z q√ 3 3 x + 2 x + x2 3 √ x2 + 2 dx (a) dx (b) x 3 1+ x R 10. Halla la integral: xf 00 (x) dx.

Z (c)

p x x2 + 2x + 2 dx

11. Encuentra una funci´on f , dos veces derivable, que verifica: f 0 (x) = xf 00 (x) , f (1) = 2 , f 0 (1) = −1 12. Encuentra la funci´on y = f (x) que verifica: (a) y 0 = 3x−2/3 ; y(−1) = 2.

(b) y 00 = 1 + x ; y(0) = 1, y 0 (0) = −1.

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

6

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Calcula las siguientes integrales inmediatas: Z Z (arcsin x)2 sin x √ (a) e cos x dx (b) dx 1 − x2

Z (c)

Z tan x dx

(d)

ex dx 1 + e2x

2. Calcula, mediante un cambio de variable adecuado, las siguientes integrales: Z Z Z √ ln x dx dx (c) (a) x x − 1 dx (b) x 1 + ex 3. Calcula, mediante integraci´on por partes, las siguientes integrales: Z Z Z Z (a) ln x dx (b) arctan x dx (c) x sin x dx (d) xex dx 4. Calcula, para a, b 6= 0, las siguientes integrales: Z Z Z (a) eax sin bx dx (b) eax cos bx dx (c) eax sin2 bx dx 5. Calcula las siguientes integrales racionales: Z Z dx x2 + 6x − 1 (a) (b) dx x2 − 9 x3 − 7x2 + 15x − 9

6. Calcula las siguientes integrales trigonom´etricas: Z Z Z 3 6 (a) cos x dx (b) sin x dx (c) sin4 x cos2 x dx 7. Calcula las siguientes integrales trigonom´etricas: Z Z Z dx dx dx (b) (c) (a) sin x cos x cos x 1 + 2 sin2 x

Z (d)

(e)

x2 e2x dx

Z eax cos2 bx dx

(d)

Z (c)

Z

x2 + 1 dx (x − 1)(x2 + 2)2 Z sin3 x cos4 x dx

(d)

dx 1 + cos x

Z (e)

dx sin x + cos x

8. Calcula, mediante un cambio a funciones trigonom´etricas, las siguientes integrales de funciones irracionales: Z p Z p Z x √ dx (a) 16 + x2 dx (b) x2 − 16 dx (c) 1 + x4 9. Calcula, mediante un cambio a funciones trigonom´etricas, las siguientes integrales (a 6= 0): Z Z p Z Z dx x2 dx dx 2 + x2 dx √ √ (a) (b) (d) a (c) (a2 − x2 )3/2 x2 − a2 a2 − x2 10. Utiliza el cambio de variable x = a tan u para evaluar integrales del tipo Z dx 2 (a + x2 )n Halla las primitivas resultantes para n = 2 y n = 3. 11. Calcula las siguientes integrales irracionales: Z Z dx dx √ √ √ (b) (a) 4 4 2x − 1 − 2x − 1 x 1 + x2

Z (c)

12. Halla las f´ormulas de reducci´on para las siguientes integrales: Z Z m (a) Sm = sin x dx (b) Cm = cosm x dx

dx √ (1 + x) 1 + x + x2 Z (c) Tm =

13. Encuentra la funci´on y = f (x) que verifica: (a) y 0 = x2 ; y(0) = −1.

(b) y 0 = sin 2x ; y(π) = 1.

tanm x dx

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

1

´ DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 4. INTEGRACION 4.3. INTEGRALES IMPROPIAS Hasta ahora se han considerado integrales sobre intervalos acotados de funciones acotadas, es decir, Rb integrales de la forma a f (x) dx donde a, b ∈ R y f : [a, b] −→ R es acotada. Cuando falla alguna de estas hip´otesis la integral se llama impropia.

4.3.1. Integrales impropias Rb Se dice que a f (x) dx es una integral impropia cuando el intervalo de integraci´ on es infinito (a o b son ±∞) o la funci´on f : (a, b) −→ R no est´a acotada. • Integral impropia de primera especie: Es cualquier integral de la forma Z +∞ Z b f (x) dx o f (x) dx a

−∞

donde a, b ∈ R y f es acotada en cada intervalo de la forma [−r, b] o [a, r], seg´ un el caso, con r ∈ R. En estos casos se define la integral impropia como: y Z

Z

+∞

r→+∞ a

a

f

r

f (x) dx = lim

f (x) dx O

a

r→

x

b

x

y Z

Z

b

f (x) dx = lim −∞

f b

r→+∞ −r

f (x) dx ← −r

O

siendo convergente cuando el l´ımite es finito, y divergente cuando es infinito. Cuando no existe el l´ımite se dice que la integral impropia no existe. Rb • Integral impropia de segunda especie: Es cualquier integral de la forma a f (x) dx, donde a, b ∈ R y f es acotada en cada intervalo de la forma [a, r] o [r, b], seg´ un el caso, con a < r < b. En estos casos se define la integral impropia como: y Z

Z

b

r

f (x) dx = lim

r→b−

a

f (x) dx

f

a

O

a

r→b

x

b

x

y Z

Z

b

f (x) dx = lim a

r→a+

b

f

f (x) dx r

O

a←r

siendo convergente cuando el l´ımite es finito, y divergente cuando es infinito. Cuando no existe el l´ımite se dice que la integral impropia no existe.

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

2

• Cualquier integral impropia se puede descomponer en suma de integrales impropias de primera y/o segunda especie. Se dice que la integral es convergente cuando lo son todas las integrales de primera y/o segunda especie en que se descompone, siendo divergente en caso contrario.

4.3.2. Ejemplos Estudia la convergencia o divergencia de las siguientes integrales impropias: Z +∞ Z 1 Z 1 dx dx 1 − 2x p (a) Ip = (b) Jp = (c) dx p p x x(1 − x) 1 0 x 0 En caso de convergencia, determina su valor.

4.3.3. Criterio de comparaci´ on Sean f, g : (a, b) −→ R tales que 0 ≤ f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ (a, b). Entonces: Z •

Z

b

a

Z

b

g(x) dx converge =⇒

f (x) dx converge

Z

b

•

f (x) dx diverge =⇒

a

b

g(x) dx diverge

a

a

4.3.4. Ejemplos Estudia la convergencia o divergencia de las siguientes integrales impropias: Z +∞ Z +∞ dx dx √ √ (a) (b) 3 1+x 1 + x2 1 1

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Eval´ ua las siguientes integrales impropias: Z (a) 0

∞

dx 1 + x2

Z (b)

Z

1

x ln x dx

∞

(c)

0

2. Eval´ ua las siguientes integrales impropias: Z 3 Z ∞ dx ex (a) (b) dx 2x −3 x(x + 1) −∞ 1 + e

Z cos2 x dx

(d)

π/2

sec x dx

π

0

Z (c)

3. Estudia la convergencia de las siguientes integrales impropias: Z 1 Z +∞ x dx √ (a) dx (c) , ab 6= 0 2 2 a x2 + b2 1−x 0 0 Z +∞ Z 4 √ 1 x dx (d) sin2 dx (b) x 1 1 ln x

0

∞

1 √ dx x(1 + x)

Z

2

dx √ 2x − x2 0 Z 5 dx (f ) 3 −1 (x − 1)

(e)

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

3

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Eval´ ua las siguientes integrales impropias: Z 1 Z ∞ dx 2 √ (a) (b) xe−x dx 2 1−x 0 0

Z

0

(c)

e2x dx

−∞

un los valores de p y q, de las siguientes integrales impropias: 2. Estudia la convergencia, seg´ Z ∞ Z 1 (a) Γ(p) = xp−1 e−x dx (b) β(p, q) = xp−1 (1 − x)q−1 dx 0

0

3. Sea f : R −→ R definida por f (t) =

1 a · 2 π a + (t − b)2

con a, b ∈ R y a > 0. Se pide: (a) Esboza su gr´afica en el caso a = 1 y b = 0. Rx (b) Obt´en expl´ıcitamente F (x) = −∞ f (t) dt. (c) Determina el ´area comprendida entre la gr´afica y el eje de abscisas.

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

1

´ DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 4. INTEGRACION 4.4. APLICACIONES DE LA INTEGRAL ´ 4.4.1. Area de una regi´ on plana Como ya se ha visto en 4.1.7, el c´alculo de areas de regiones planas limitadas entre la gr´afica de una funci´on y el eje de abscisas se puede realizar mediante la integral definida: y y y f a b f »R x O »»» » 9 R R b a c ? x O f b x O a Z c Z b Z b Z b A(R) = f (x) dx A(R) = − f (x) dx A(R) = f (x) dx − f (x) dx a

a

a

c

En general, el ´area de la regi´on plana limitada por las gr´aficas de dos funciones entre las rectas x = a y x = b es: y g Z b Z b R A(R) = |f (x) − g(x)| dx = (g(x) − f (x)) dx a

a

f O

a

b x

4.4.2. Ejemplo Halla el ´ area del recinto limitado por las gr´ aficas de las funciones y = x2 e y = x3 − 2x.

4.4.3. Volumen de un s´ olido de revoluci´ on El cuerpo engendrado al girar la gr´afica de una funci´on f , entre x = a y x = b, alrededor del eje de abscisas se llama s´ olido de revoluci´ on. y A partir de la partici´on P = (a = x0 < x1 < . . . < xn = b) f el s´olido de revoluci´ on se descompone en n secciones cuyos vol´ umenes se pueden aproximar por los de los cilindros de altura xi − xi−1 y base la circunferencia de radio f (αi ) con a xi−1xi x b O xi−1 ≤ αi ≤ xi , 1 ≤ i ≤ n, es decir: V '

n X

π (f (αi ))2 (xi − xi−1 )

i=1

El volumen del s´olido de revoluci´on se puede interpretar como el l´ımite cuando el di´ametro de la partici´on tiende a cero de las sumas anteriores, que son las sumas de Riemann de la funci´on π (f (x))2 asociadas a la partici´on P y a los puntos {αi }. Por tanto, si la funci´on f es integrable el volumen es: Z b n X 2 V = lim π (f (αi )) (xi − xi−1 ) = π (f (x))2 dx δ(P )→0

a

i=1

Cuando el recinto que gira alrededor del eje de abscisas es el comprendido entre dos funciones f y g, con 0 ≤ f (x) ≤ g(x), entonces el volumen del s´olido obtenido es: Z bh i V =π (g(x))2 − (f (x))2 dx a

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

2

4.4.4. Ejemplo Halla el volumen del s´ olido de revoluci´ on engendrado al girar alrededor del eje de abscisas el recinto √ 2 limitado por las curvas y = x e y = x.

´ 4.4.5. Area de una superficie de revoluci´ on Se trata ahora de hallar el ´area de la superficie del cuerpo de revoluci´ on engendrado al girar la gr´afica de una funci´on f , entre x = a y x = b, alrededor del eje de abscisas. y Ai−1Ai O

a

f

xi−1xi

x

b

A partir de la partici´on P = (a = x0 < x1 < . . . < xn = b) el s´olido de revoluci´ on se descompone en n secciones cuyas superficies laterales se pueden aproximar por las de los cilindros con bases de radios f (αi ), xi−1 ≤ αi ≤ xi , y alturas: p Ai−1 Ai = (xi − xi−1 )2 + (f (xi ) − f (xi−1 ))2 p = (xi − xi−1 )2 + (f 0 (αi )(xi − xi−1 ))2 p = 1 + (f 0 (αi ))2 (xi − xi−1 )

Por tanto, el ´area del s´olido de revoluci´on se puede aproximar por: A'

n X

p 2πf (αi ) 1 + (f 0 (αi ))2 (xi − xi−1 )

i=1

p que son las sumas de Riemann de la funci´on 2πf (x) 1 + (f 0 (x))2 asociadas a la partici´on P y a los puntos {αi }. Por tanto, el ´area de la superficie de revoluci´ on se puede interpretar como el l´ımite cuando el di´ametro de la partici´on tiende a cero de las sumas anteriores que, si la funci´on f es integrable, es: V = lim

n X

δ(P )→0

Z b p p 0 2 f (x) 1 + (f 0 (x))2 dx 2πf (αi ) 1 + (f (αi )) (xi − xi−1 ) = 2π a

i=1

4.4.6. Ejemplo Halla el ´ area de la superficie de revoluci´ on engendrada al girar la curva y = cosh x, 0 ≤ x ≤ 2, alrededor del eje de abscisas.

4.4.7. Longitud de una curva Se trata de hallar la longitud de la gr´afica de una funci´on f entre x = a y x = b. y A1© ©H HAi−1 ¶¶ Q A! i Q! %

An

A0% O

a x1

xi−1xi

b

x

La gr´afica de la funci´on se puede aproximar por la poligonal con vertices en los puntos {Ai } asociados a la partici´on P = (a = x0 < x1 < . . . < xn = b). Aplicando el teorema de valor medio: p Ai−1 Ai = (xi − xi−1 )2 + (f (xi ) − f (xi−1 ))2 p = (xi − xi−1 )2 + (f 0 (αi )(xi − xi−1 ))2 p = 1 + (f 0 (αi ))2 (xi − xi−1 )

donde xi−1 ≤ αi ≤ xi , 1 ≤ i ≤ n. Por tanto, la longitud de la curva se puede aproximar por: L'

n X i=1

Ai−1 Ai =

n p X

1 + (f 0 (αi ))2 (xi − xi−1 )

i=1

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

3

p que son las sumas de Riemann de la funci´on 1 + (f 0 (x))2 asociadas a la partici´on P y a los puntos {αi }. Por tanto, la longitud se puede interpretar como el l´ımite cuando el di´ametro de la partici´on tiende a cero de las sumas anteriores que, si la funci´on f es integrable, es: Z bp n p X 0 2 L = lim 1 + (f (αi )) (xi − xi−1 ) = 1 + (f 0 (x))2 dx δ(P )→0

i=1

a

4.4.8. Ejemplo Halla la longitud de la curva y = cosh x, 1 ≤ x ≤ 2.

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Halla el ´area encerrada por las curvas y = sin x e y = sin 2x, entre x = 0 y x = π2 . 2. Determina el ´area encerrada por las par´abolas y 2 = 4px y x2 = 4py, p > 0. © ª 3. Dibuja el recinto Ω = (x, y) ∈ R2 : x2 − 1 ≤ y ≤ 1 − |x| y calcula su ´area. 4. Sean f (x) = x − x2 y g(x) = ax, a ∈ R. Determina los valores de a para los que el ´area de la regi´on acotada limitada por ambas funciones es 9/2. 5. Dadas las funciones f (x) = −xe−x y g(x) = x2 e−x , se pide: (a) Calcula el ´area de la regi´on acotada limitada por sus gr´aficas. (b) Estudia si el ´area de la regi´on comprendida entre sus gr´aficas en x ≥ 0 es o no finita. 6. Calcula el volumen del hiperboloide engendrado al girar alrededor del eje de abscisas la porci´on de la hip´erbola equil´atera x2 − y 2 = a2 , a > 0, comprendida entre las rectas x = a y x = 2a. 7. Halla el volumen del s´olido obtenido al hacer girar la regi´on comprendida entre y = x2 e y = 2x alrededor del: (a) eje de abscisas; (b) eje de ordenadas. 8. Dada una esfera de radio r, se pide: (a) Su volumen. (b) El volumen del sector esf´erico de altura h, obtenido al cortar la esfera por un plano perpendicular a un di´ametro al que lo corta a una distancia h de su extremo. (c) Halla h para que el volumen del sector esf´erico sea un tercio del volumen total de la esfera. 9. Un toro es el s´olido obtenido al girar una circunferencia de radio r alrededor de un eje que est´a a distancia R, R > r, del centro de la circunferencia. Calcula su volumen. 10. Un tanque de gasolina con forma de cilindro de radio r y longitud l, se halla situado horizontalmente. Determina el volumen de gasolina en el tanque cuando la misma llega a una altura h, 0 ≤ h ≤ 2r. 11. Considera la regi´on acotada limitada por la par´abola y = x2 y por la recta y = ax, con a > 0. Determina el valor de a para que el volumen de revoluci´ on engendrado al girar dicha regi´on alrededor del eje de abscisas valga 64π . 15 12. Halla el ´area de una esfera de radio r. 13. Calcula la superficie de un espejo parab´olico de base un c´ırculo de radio 4 m y altura 1 m. 14. Halla la longitud de la astroide de ecuaci´on x2/3 + y 2/3 = a2/3 , a > 0. 15. Halla la longitud de la catenaria (cable colgante) y = a cosh xa desde el v´ertice (0, a) hasta el punto (b, h).

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

4

16. Un objeto se mueve a lo largo de un eje de coordenadas con velocidad v(t) = 2 − 3t + t2 m/seg en el instante t. Su posici´on inicial (en el instante t = 0) es 2 metros a la derecha del origen. Halla la posici´on del objeto 4 segundos m´as tarde.

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Halla el ´area de la regi´on limitada por las curvas x = y 2 y x − y = 2. 2. Halla el ´area de la regi´on del plano limitada por las par´abolas y 2 = x, y 2 = 2x, x2 = y y x2 = 2y. 3. Demuestra que las ´areas de los recintos comprendidos entre el eje de abscisas y las ondas de la curva y = e−x sin x forman una progresi´on geom´etrica decreciente de raz´on e−π . Halla el ´area total de las ondas situadas a la derecha del eje de ordenadas. 4. Consid´erese un semic´ırculo de radio R y dos semirrectas perpendiculares a su di´ametro en sus extremos. Determina la altura a que se debe colocar una recta paralela al di´ametro para que sea m´ınima la suma del ´area del semic´ırculo sobre ella con las ´areas bajo ella exteriores al semic´ırculo y comprendidas entre las semirrectas paralelas. 5. Determina el ´area de la regi´on formada por los puntos de un cuadrado de lado l que est´an m´as cerca del centro que del borde. 6. Calcula el volumen que queda de una esfera de radio 2r, si se elimina el volumen limitado por un cilindro circular de radio r que tiene por eje un di´ametro de la esfera. 7. Dadas las curva x2 + y 2 − 2rx = 0 y x2 + y 2 − 2ry = 0, con r > 0, se pide: (a) El ´area del regi´on com´ un al interior de ambas curvas. on engendrado al girar dicha regi´on alrededor del eje de (b) El volumen del s´olido de revoluci´ ordenadas. 8. Un barril es dise˜ nado mediante rotaci´on alrededor del eje de abscisas de la regi´on encerrada por la y2 x2 elipse a2 + b2 = 1 entre las rectas x = −l/2 y x = l/2, 0 < l < 2a. Determina la capacidad del barril. 9. Calcula el ´area de la superficie que resulta al girar f (x) = sin x, 0 ≤ x ≤ π, alrededor del eje de abscisas. 10. Halla la longitud de una circunferencia de radio r. 11. Halla la longitud de la curva dada por la ecuaci´on f (x) =

Rx −π/2

√ cos t dt, entre x = −π/2 y x = π/2.

12. Un objeto se mueve a lo largo del eje de abscisas con aceleraci´on a(t) = 2t m/seg 2 . Su posici´on inicial (en el instante t = 0) es 5 metros a la derecha del origen. Un segundo m´as tarde, el objeto se est´a moviendo hacia la izquierda a una velocidad de 4 m/seg. (a) ¿Cu´al es la posici´on del objeto en el instante t = 4? (b) ¿Cu´al es la distancia total recorrida por el objeto durante los 4 primeros segundos?

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

1

´ 5. CURVAS PARAMETRICAS Y POLARES ´ 5.1. CURVAS EN FORMA PARAMETRICA 5.1.1. Curvas en forma param´ etrica Se dice que γ ⊂ Rn es una curva si existe una aplicaci´on continua α : [a, b] −→ Rn tal que α([a, b]) = γ. La aplicaci´on α se llama parametrizaci´ on de la curva. α(b) α(a) α(t) © ©© O

a

£

£

£

£

• Origen de la curva: α(a)

µγ ¡ ¡

• Extremo de la curva: α(b)

£±

• Sentido de la curva: el que va de α(a) a α(b).

t

b

Sea γ ⊂ Rn una curva parametrizada por α : [a, b] −→ Rn . Se dice que • γ es una curva cerrada cuando el origen y el extremo coinciden, es decir, si α(a) = α(b). • γ es una curva simple cuando la parametrizaci´on α es inyectiva en [a, b) y en (a, b], es decir, si α(t1 ) 6= α(t2 ) cuando t1 6= t2 con t1 , t2 ∈ [a, b) o con t1 , t2 ∈ (a, b]. La curva γ no es simple cuando existen puntos m´ ultiples, es decir, cuando existen t1 , t2 ∈ [a, b) o t1 , t2 ∈ (a, b] tales que α(t1 ) = α(t2 ) con t1 6= t2 . Intuitivamente, una curva no es simple cuando se corta a s´ı misma en un punto interior. La definici´on de curva se extiende de modo natural al caso en que el intervalo de definici´on no es cerrado o acotado. En estos casos puede ocurrir que el origen y/o extremo no se alcancen.

5.1.2. Algunas parametrizaciones de curvas 1. El segmento que va de P (x1 , y1 , z1 ) a Q(x2 , y2 , z2 ) es una curva en R3 parametrizada por: α : [0, 1] −→ R3 t

−→ α(t) = (x1 + t(x2 − x1 ), y1 + t(y2 − y1 ), z1 + t(z2 − z1 ))

2. Una circunferencia en el plano es una curva cerrada. Dos parametrizaciones de la circunferencia de centro (a, b) y radio r recorrida en sentido positivo (contrario a las agujas de reloj) son: α : [0, 2π] −→ R2 t

β : [0, 1] −→ R2

−→ α(t) = (a + r cos t, b + r sin t)

t

−→ β(t) = (a + r cos 2πt, b + r sin 2πt)

y otra que la recorre en sentido negativo es: ϕ(t) = (a + r cos t, b − r sin t) , 0 ≤ t ≤ 2π 3. Una elipse en el plano es una curva cerrada. Una parametrizaci´on de la elipse recorrida en sentido positivo es:

(x−x0 )2 a2

2

0) + (y−y =1 b2

α(t) = (x0 + a cos t, y0 + b sin t) , 0 ≤ t ≤ 2π 4. El grafo de una funci´on continua f : [a, b] −→ R es una curva parametrizada, por ejemplo, por la aplicaci´ on: α : [a, b] −→ R2 t

−→ α(t) = (t, f (t))

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

2

5.1.3. Curva contraria Si γ ⊂ Rn es una curva parametrizada por α : [a, b] −→ Rn , se llama curva contraria a la misma curva recorrida en sentido contrario. Se suele representar por −γ, y una parametrizaci´on suya es β : [−b, −a] −→ R2 t

−→ β(t) = α(−t)

5.1.4. Curvas suaves Una curva γ ⊂ Rn se dice curva suave si admite una parametrizaci´on α(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)), a ≤ t ≤ b, derivable, siendo el vector velocidad o vector tangente: α0 (t) = (x01 (t), x02 (t), . . . , x0n (t)) y la velocidad: |α0 (t)| =

α(b) α(a) © ©© O

p 0 x1 (t)2 + x02 (t)2 + . . . + x0n (t)2

a

£

t

£

£

£

µγ ¡ ¡ α(t) PP PP £± P q α0 (t)

b

La recta tangente a la curva suave γ en el punto α(t0 ) es, en forma vectorial y param´etrica:  x1 = x1 (t0 ) + tx01 (t0 )     x2 = x2 (t0 ) + tx0 (t0 ) 2 0 (x1 , x2 , . . . , xn ) = α(t0 ) + tα (t0 ) . .   .    xn = xn (t0 ) + tx0n (t0 ) y en forma cartesiana (cuando ninguna derivada se anula): x1 − x1 (t0 ) x2 − x2 (t0 ) xn − xn (t0 ) = = ... = x01 (t0 ) x02 (t0 ) x0n (t0 ) En el caso particular de curvas planas la parametrizaci´on se suele expresar por α(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b], y la recta tangente en el punto α(t0 ) = (x(t0 ), y(t0 )) es ( x = x(t0 ) + tx0 (t0 ) (x(t), y(t)) = (x(t0 ), y(t0 )) + t(x0 (t0 ), y 0 (t0 )) y = y(t0 ) + ty 0 (t0 ) x − x(t0 ) y − y(t0 ) = 0 x (t0 ) y 0 (t0 )

(si x0 (t0 ) 6= 0 e y 0 (t0 ) 6= 0)

En este caso, son tambi´en de inter´es los puntos en los que la tangente es horizontal o vertical: • Un punto α(t0 ) es de tangente horizontal si y 0 (t0 ) = 0. • Un punto α(t0 ) es de tangente vertical si x0 (t0 ) = 0.

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

3

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Para cada una de las siguientes curvas, halla ecuaciones param´etricas, indica el sentido en que se recorren y esboza su gr´afica: (a) Segmento AB con A(−1, 3) y B(4, 1)

(b) (x − 1)2 + (y + 2)2 = 1

(c) y 2 = x3

2. Para cada una de las siguientes curvas, halla ecuaciones cartesianas y esboza su gr´afica: ( ( ( x = 2 cos t x = 2 − sin t x=t+1 , 0≤t≤π , π ≤ t ≤ 2π (c) (a) , t ∈ R (b) 2 y = −2 sin t y = cos t y = t − 2t 3. Halla la ecuaci´on de la recta tangente a cada una de las siguientes curvas en el punto que se indica: ( ( x = sin2 t x = (t − 1)2 π (a) , t= (b) , P (1, 4) 3 y = cos t y = (t2 − 2)2 4. Encuentra los puntos de tangencia horizontal y vertical de la curva: {x = 4 + 2 cos t, y = −1 + sin t ; 0 ≤ t ≤ 2π} ( x = 96t 5. Encuentra las coordenadas cartesianas del punto m´as alto de la curva: , t ∈ R. y = 96t − 16t2 6. Dos part´ıculas parten en el instante t = 0 siguiendo la trayectoria indicada por las curvas: ( ( 8 x = 16 − t x = 2 sin π2 t 3 3 , t≥0 Part´ıcula 1: Part´ıcula 2: , t≥0 y = 4t − 5 y = −3 cos π2 t ¿En qu´e puntos se cortan sus trayectorias? ¿En qu´e puntos chocan las part´ıculas? 7. Haz un esbozo de la gr´afica de la curva {x = a cos t, y = a sin t, z = t ; t ≥ 0}. © ª 8. Determina el punto de la curva x = 1 − 2t, y = t2 , z = 2e2(t−1) ; t ∈ R en el que el vector tangente es paralelo al vector de posici´on.

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Para cada una de las siguientes curvas, halla ecuaciones param´etricas, indica el sentido en que se recorren y esboza su gr´afica: (a) x2 + y 2 = 3

(b) 4x2 + 9y 2 = 36

(c) y = x2

2. Para cada una de las siguientes curvas, halla ecuaciones cartesianas y esboza su gr´afica: ( ( ( x = a cos t x = 2t + 1 x = (t − π)3 , t ≥ 0 (c) , 0 ≤ t ≤ 2π (a) , t ∈ [−1, 2] (b) 2 y = b sin t y = 3t − 5 y = (t − π) ( x = 2t − π sin t 3. Halla la ecuaci´on de la recta tangente a la curva y = 2 − π cos t

en el punto P (0, 2).

© ª 4. Encuentra los puntos de tangencia horizontal y vertical de la curva x = 1 − t, y = t3 − 3t ; t ∈ R . 5. Haz un esbozo de la gr´afica de la curva {x = 2t + 1, y = 3t − 5, z = 1 − t ; t ∈ R}. √ © ª 6. Halla la recta tangente a la curva x = sin2 t, y = t2 , z = 2t ; 0 ≤ t ≤ π en el punto t = π2 .

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

1

´ 5. CURVAS PARAMETRICAS Y POLARES 5.2. CURVAS EN COORDENADAS POLARES 5.2.1. Coordenadas polares Cada punto P del plano distinto del origen queda un´ıvocamente determinado por el segmento OP que lo une al origen, llamado radio vector, que a su vez queda un´ıvocamente determinado por su longitud ρ > 0 y por el ´angulo θ ∈ [0, 2π) que forma con la parte positiva del eje de abscisas. El par (ρ, θ) se llaman coordenadas polares del punto P . ( x = ρ cos θ (x, y) −→ (ρ, θ) P y = ρ sin θ y ´ ´

ρ´

´

´

´

´

O

´θ

x

(ρ, θ) −→ (x, y)

( p ρ = x2 + y 2 tan θ = xy

5.2.2. Ecuaci´ on polar de una curva En general, en coordenadas cartesianas los puntos (x, y) de una curva se caracterizan por cumplir cierta relaci´on que, en forma expl´ıcita, se expresa por y = f (x). Cuando los puntos se expresan en coordenadas polares, la relaci´on que se establece se llama ecuaci´ on polar de la curva y se suele expresar como ρ = f (θ), con θ ∈ D. En principio, deber´ıa ser θ ∈ [0, 2π) y ρ ≥ 0. Sin embargo, es posible considerar valores de θ fuera de ese intervalo (considerando sucesivas circunferencias) e incluso valores negativos de ρ. En este u ´ltimo caso, si ρ < 0 en la direcci´on θ, el punto se dibuja a distancia −ρ > 0 sobre la semirrecta correspondiente a la direcci´on θ + π.

5.2.3. Propiedades de tangencia A partir de la ecuaci´on polar de una curva se pueden obtener unas ecuaciones param´etricas: ( x = ρ cos θ = f (θ) cos θ ρ = f (θ) −→ −→ α(θ) = (f (θ) cos θ, f (θ) sin θ) y = ρ sin θ = f (θ) sin θ Entonces, usando t´ecnicas de curvas param´etricas: • Vector tangente: α0 (θ) = (f 0 (θ) cos θ − f (θ) sin θ, f 0 (θ) sin θ + f (θ) cos θ) • Recta tangente en un punto (θ0 , ρ0 ) con ρ0 = f (θ0 ): y − f (θ0 ) sin θ0 x − f (θ0 ) cos θ0 = 0 f 0 (θ0 ) cos θ0 − f (θ0 ) sin θ0 f (θ0 ) sin θ0 + f (θ0 ) cos θ0 • Puntos con tangente horizontal: f 0 (θ) sin θ + f (θ) cos θ = 0 • Puntos con tangente vertical: f 0 (θ) cos θ − f (θ) sin θ = 0 Son tambi´en de inter´es los puntos extremales, que son aquellos puntos donde el radio vector es perpendicular al vector tangente, lo que sucede cuando f 0 (θ) = 0.

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

2

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Pasa de coordenadas cartesianas a polares, o viceversa, cada una de las siguientes funciones: (a) x = 2

(b) x2 +(y −2)2 = 4

(c) ρ sin θ = 4

(d) ρ = sin θ +cos θ

(e) ρ =

2 1 − cos θ

2. Representa las siguientes curvas indicando el sentido en que se recorren: (a) ρ = 1 − cos θ

(b) ρ = 1 − 2 cos θ

(c) ρ = cos 2θ

(d) ρ = 3 sin 3θ

3. Halla la ecuaci´on de la recta tangente a cada una de las siguientes curvas en el punto que se indica: (a) ρ = 4 − 2 sin θ , θ = 0

(b) ρ =

4 π , θ= 5 − cos θ 2

4. Determina los puntos de tangencia horizontal y vertical de la curva ρ = 1 − cos θ.

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Pasa de coordenadas cartesianas a polares, o viceversa, cada una de las siguientes funciones: (a) x2 +y 2 = 9

(b) y = ax

(c) y = 3

(d) ρ cos θ = 4

(e) θ =

2. Representa las siguientes curvas indicando el sentido en que se recorren: (a) ρ = 1 + 2 cos θ

(b) ρ = 4θ

(c) ρ = 2 sin 4θ

3. Halla la ecuaci´on de la recta tangente a la curva ρ =

(d) ρ2 = 4 cos 2θ

sin θ + cos θ en θ = π2 . sin θ − cos θ

4. Determina los puntos de tangencia horizontal y vertical de la curva ρ2 = 4 cos 2θ.

π 3

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

6. Sucesiones y Series num´ ericas 6.1. Sucesiones num´ ericas

6.1.1. DEFINICIONES

Sucesiones de n´ umeros reales Se llama sucesi´ on de n´ umeros reales a cualquier lista ordenada de n´ umeros reales: a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . ., que se suele representar por {an }. Una sucesi´on se puede interpretar tambi´en como una aplicaci´on: n −→ an , donde la expresi´on, si existe, de cada t´ermino en funci´on del lugar que ocupa, an = f (n), se llama t´ ermino general de la sucesi´on. L´ımite de una sucesi´ on Intuitivamente, se dice que la sucesi´on {an } tiene l´ımite l (que puede ser un n´ umero real, +∞ o −∞) si an tiende a l cuando n tiende a infinito, y se indica: lim an = l, ´o lim an = l, ´o an −→ l. n→∞ n El l´ımite de una sucesi´on, si existe, es u ´ nico. Las sucesiones con l´ımite cero se llaman infinit´ esimos. Car´ acter de una sucesi´ on • Una sucesi´on es convergente si tiene l´ımite finito. • Una sucesi´on {an } es divergente si la sucesi´on {|an |} tiende a +∞. Observa que son divergentes las sucesiones con l´ımite +∞ y con l´ımite −∞, pero tambi´en lo son ciertas sucesiones sin l´ımite como, por ejemplo, la sucesi´on 1, −2, 3, −4, 5, −6, . . . donde los t´erminos que ocupan lugares impares tienden a +∞ y los que ocupan lugares pares tienden a −∞. • Una sucesi´on es oscilante cuando no es convergente ni divergente. Por ejemplo: 1, −1, 1, −1, 1, −1, . . .. Tipos de sucesiones y propiedades • La sucesi´on {an } es acotada si existe M > 0 tal que |an | ≤ M , para todo n ∈ N. • La sucesi´on {an } es mon´ otona creciente si an ≤ an+1 , para todo n ∈ N. otona decreciente si an ≥ an+1 , para todo n ∈ N. • La sucesi´on {an } es mon´ otona cuando es mon´otona creciente o mon´otona decreciente. • Se dice que una sucesi´on es mon´ 1. Toda sucesi´on mon´otona y acotada es convergente. 2. Toda sucesi´on mon´otona no acotada es divergente. 3. Toda sucesi´on convergente est´a acotada. Subsucesiones y propiedades Se llama subsucesi´ on de la sucesi´on {an } a cualquier sucesi´on {ank } donde n1 < n2 < n3 < . . ., es decir, cualquier sucesi´on formada por t´erminos elegidos arbitrariamente pero en orden creciente de ubicaci´on. • Toda subsucesi´on de una sucesi´on convergente (divergente) es una sucesi´on convergente (divergente) y el l´ımite (si existe) es el mismo. • Toda sucesi´on acotada admite una subsucesi´on convergente. • Toda sucesi´on admite una subsucesi´on que es convergente o divergente. Puesto que una sucesi´on oscilante contiene subsucesiones convergentes, tiene sentido definir los l´ımites de estas como l´ımites de oscilaci´ on de la primera. As´ı, por ejemplo, 1, −1 y +∞ son l´ımites de oscilaci´on de la sucesi´on 1, −1, 1, 1, −1, 2, 1, −1, 3, 1, −1, 4, 1, −1, 5, 1, −1, 6, . . .. Ejercicios 1. Encuentra el t´ermino general de las siguientes sucesiones: 1 1 1 (b) 2, −4, 6, −8, 10, −12, . . . (a) 1, , , , . . . 2 3 4

(c) 12, 6, 3,

3 3 3 , , , ... 2 4 8

2. Encuentra los l´ımites de las siguientes sucesiones: (a) an =

n−1 n+1

(b) an =

n2 n+1

(c) an =

n2 1−n

(d) 1, −1, 1, −1, 1, −1, . . .

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

6. Sucesiones y Series num´ ericas 6.1. Sucesiones num´ ericas

´ 6.1.2. CALCULO DE L´IMITES I

L´ımites de operaciones con sucesiones Si {an } −→ a y {bn } −→ b, entonces: an a −→ (si b 6= 0) abnn −→ ab bn b siempre que no se presente alguna de las siguientes indeterminaciones: 0 ∞ 1∞ 00 ∞0 ∞−∞ 0·∞ 0 ∞ que, en cada caso, habr´a que resolver mediante t´ecnicas adecuadas de c´alculo de l´ımites. an ± bn −→ a ± b

an bn −→ ab

L´ımites de sucesiones como l´ımites de funciones Si an = f (n) y lim f (x) = l, entonces lim an = l. x→∞ n Observaci´ on: Este resultado permite usar en el c´alculo de l´ımites de sucesiones las t´ecnicas empleadas para el c´alculo de l´ımites de funciones, incluso la regla de L’Hˆopital. Sucesiones equivalentes an Se dice que {an } y {bn } son sucesiones equivalentes si lim = 1, y se indica: an ∼ bn . n bn ( sin an ∼ an ∼ arcsin an (1 + an )p ∼ 1 + pan ln(1 + an ) ∼ an • Si an → 0, son equivalentes: a2n ean − 1 ∼ an tan an ∼ an ∼ arctan an 1 − cos an ∼ 2 √ 1 n a − 1 ∼ ln a (a > 0) n ³ n ´n √ √ • F´ ormula de Stirling: n! ∼ nn e−n 2πn = 2πn e En c´alculo de l´ımites, en productos y cocientes se pueden sustituir sucesiones por otras equivalentes. • Si an → 1, son equivalentes:

ln an ∼ an − 1

´ Infinitos. Ordenes de magnitud Se dice que una sucesi´on es un infinito si es divergente, es decir, si lim |an | = ∞ n

Dados dos infinitos {an } y {bn }, se dice que {bn } es un infinito de orden superior al de {an } si: an =0 lim n bn y se representa por: an ¿ bn . Es f´acil comprobar, hallando los l´ımites pertinentes, la siguiente jerarqu´ıa de infinitos: ln n ¿ np ¿ an ¿ n! ¿ nn

(p > 0, a > 1)

En el c´alculo de l´ımites, se puede sustituir una suma o diferencia de infinitos por aquel que tiene jerarqu´ıa superior. Ejercicios 1. Halla el l´ımite de las siguientes sucesiones: √ √ √ (c) an = n n (a) an = n + 1 − n µ ¶2n+1 n ln n (d) an = (b) an = n n−1

(e) an =

ap np + ap−1 np−1 + . . . bq nq + bq−1 nq−1 + . . .

2. Calcula, usando sucesiones equivalentes, los siguientes l´ımites: ³ ´ 1 2n nn (a) lim n sin (b) lim n2 e1/n − 1 (c) lim (d) lim n n n n! n n! n √ n3 + n2 − (ln n)13 √ 3. Halla, usando la jerarqu´ıa de infinitos, el siguiente l´ımite: lim n n n+1

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

6. Sucesiones y Series num´ ericas ´ 6.1.3. CALCULO DE L´IMITES II

6.1. Sucesiones num´ ericas Dos teoremas sobre l´ımites

• Regla del sandwich: El l´ımite de una sucesi´on comprendida entre dos que tienen el mismo l´ımite coincide con este, es decir: ( an ≤ bn ≤ cn =⇒ lim bn = l n lim an = lim cn = l n

n

• Teorema: El producto de una sucesi´on acotada por otra con l´ımite cero tambi´en tiene l´ımite cero: ( {an } acotada =⇒ lim an bn = 0 n lim bn = 0 n

Criterio de Stolz Si {bn } es mon´otona divergente, o {an } y {bn } son infinit´esimos con {bn } mon´ otona, entonces lim n

an an − an−1 = lim n bn bn − bn−1

siempre que este u ´ltimo l´ımite exista.

Otros criterios de c´ alculo de l´ımites Como consecuencia del criterios de Stolz, se obtienen los siguientes criterios de convergencia (aplicables cuando el u ´ltimo l´ımite existe): etica: • Media aritm´ • Media geom´ etrica: • Criterio de la ra´ız:

a1 + a2 + . . . + an = lim an n n √ lim n a1 a2 . . . an = lim an

lim n

n

n

√ an+1 lim n an = lim n n an

(an > 0 para todo n)

Ejercicios 1. Halla los l´ımites de las siguientes sucesiones: (a) an = sin

1 1 1 √ + sin √ + . . . + sin √ n + n n+ 1 n+ 2

2. Halla los siguientes l´ımites: √ √ √ √ 1 + 2 + 3 + ... + n √ (a) lim n n n 3. Halla los l´ımites de las siguientes sucesiones: √ √ √ 1 + 2 + 3 3 + ... + n n (a) an = n r 4 9 n2 n 1 (b) an = · · · ... · 2 2 5 10 n +1

(b) an =

(b) lim n

1+

1 2

(−1)n sin n

+

1 3

·µ

+ ... + ln n

n3 + 3n2 + ln n n!

1 n

√ n n p n (n + 1)(n + 2) . . . (n + n) (d) an = n (c) an =

¶n ¸

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

6. Sucesiones y Series num´ ericas 6.1. Sucesiones num´ ericas

6.1.4. SUCESIONES RECURRENTES

Sucesiones recurrentes Se dice que {an } es una sucesi´ on recurrente cuando sus t´erminos vienen definidos en funci´on de los que le preceden. Son sucesiones recurrentes: ( √ √ √ a1 = 1 p es la sucesi´on: 1, 2, 3, 4 = 2, . . . an+1 = 1 + a2n , n ≥ 1 ( a1 = a2 = 1 es la sucesi´on: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . (sucesi´ on de Fibonacci) an = an−1 + an−2 , n > 2 Para hallar el l´ımite de sucesiones recurrentes es frecuente proceder como se indica a continuaci´ on: 1. Probar que la sucesi´on es mon´otona y acotada, de donde se deduce que tiene l´ımite (6.1.1). 2. Tomar l´ımites en la expresi´on de recurrencia y hallar el l´ımite en la ecuaci´on que se obtiene. Ejercicios ( 1. Halla el l´ımite de la sucesi´on recurrente:

an+1 = a1 = 2

1 3−an

, n≥1

2. Estudia la convergencia y calcula el l´ımite, cuando exista, de cada una de las siguientes sucesiones recurrentes: √ n an , a1 = 1 (b) an+1 = 1 + 2an − 1 , a1 = a > 0 (a) an+1 = n+1 3. En un estudio sobre la reproducci´on de conejos, Fibonacci encontr´ o la sucesi´on que lleva su nombre: an+2 = an + an+1

con a1 = a2 = 1

(a) Escribe los 12 primeros t´erminos de la sucesi´on de Fibonacci. (b) Escribe los 10 primeros t´erminos de la sucesi´on definida por bn = (c) Demuestra que bn+1 = 1 +

1 bn ,

an+1 an ,

n ≥ 1.

n ≥ 1.

(d) Suponiendo que la sucesi´on {bn } es convergente, encuentra su valor (este l´ımite se conoce con el nombre de raz´ on ´ aurea). 4. Halla el l´ımite de las sucesiones: r q q √ √ √ (a) 2, 2 + 2, 2 + 2 + 2, . . .

√ (b) 5,

q

√ 5 + 5,

r

q √ 5 + 5 + 5, . . .

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

6. Sucesiones y Series num´ ericas 6.1. Sucesiones num´ ericas

EJERCICIOS

1. Contesta razonadamente si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones: (a) Si una sucesi´on no es convergente, entonces es divergente. (b) Toda sucesi´on divergente tiene l´ımite. (c) Toda sucesi´on divergente de t´erminos negativos tiene l´ımite. (d) Toda sucesi´on acotada es convergente. (e) El l´ımite de una sucesi´on convergente de n´ umeros racionales es racional. (f ) Si dos sucesiones tienen el mismo l´ımite, el l´ımite de su cociente es 1. (g) Si dos sucesiones tienen el mismo l´ımite, el l´ımite de su diferencia es 0. 2. Halla el t´ermino general de las siguientes sucesiones: 8 , 1, 9 1 3 7 15 1 2 3 , (b) 1 + , 1 + , 1 + , 1 + , . . . (d) , , 2 4 8 16 4 8 16 (a) 2, −4, 8, −16, 32, . . .

(c) 2, 1,

32 , 25 4 , 32

64 2 −3 , . . . (e) − 1, , , 36 3 5 5 1 5 5 9 , . . . (f ) , , , , 64 3 6 9 12

4 −5 , , ... 7 9 9 13 , , ... 15 18

3. Calcula el l´ımite de las siguientes sucesiones: √ n (a) q p √ n+ n+ n p (b) n2 + n − n (−2)n + 3n (c) (−2)n+1 + 3n+1 √ n ( n + 2n + 1) (d) n2 + 3

µ (e) (f )

n2 + 1 n2 + 3

sµ ¶ 2n (i) n n

¶n

√ √ 3 n− 3n−1

(j)

r

n+a (g) n ln n−a Ã√ √ √ !n n a+ nb+ nc (h) 3

(k)

4. Calcula el l´ımite de las siguientes sucesiones: µ ¶ 1 1 1 1 √ +√ √ + ... + √ (a) √ √ n 1+ 2 n−1+ n 2+ 3 1 1 1 (b) √ +√ + ... + √ 1 + n2 2 + n2 n + n2 n n n + 2 + ... + 2 (c) 2 n +1 n +2 n +n ³ ´ 2n ln 21 · 43 · 65 · . . . · 2n−1 (d) ln n2

ln nn ln n! Ãr

µ (m)

(1 + an)2 a2 n2

¶n

1 ¡ ¢ (n) 2 + 3n4 3+2 ln(n+1)

1−n 1 − 2n

(n!)2 4n √ (l) (2n)! n

! 1+3n

2n−1

(˜ n) n

¡√ n a−

√ ¢ a

n−1

µ ¶ 2n −n √ (o) 4 n n

p n (n + 1)(n + 2) . . . (n + n) (e) n 1 + 2p + 3p + . . . + np (f ) , p∈N np+1 µ ¶ 2 · 4 · 6 · . . . · (2n − 2) 2 (g) n 1 · 3 · 5 · . . . · (2n − 1)

cuando exista, de cada una de las siguientes sucesiones 5. Estudia la convergencia √y calcula el l´ımite, √ recurrentes: (a) xn+1 = 2 + xn , x1 = 2; (b) xn+1 = 14 + x2n , x1 = a ∈ R. 6. Un programa gubernamental que actualmente cuesta a los contribuyentes 200 millones de euros, se va a reducir un 10% por a˜ no. (a) ¿Cu´al ser´a la cantidad presupuestada despu´es de n a˜ nos? (b) ¿Cu´al ser´a el futuro a largo plazo de este programa? 7. Suponiendo una inflacci´on mantenida del 4,5% anual, ¿cu´al ser´a el precio dentro de nn a˜ nos de un coche cuyo precio actual es de 20.000 e?

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

6. Sucesiones y Series num´ ericas 6.2. Series num´ ericas

6.2.1. DEFINICIONES Y PROPIEDADES

Series de n´ umeros reales Se llama serie num´ erica o de n´ umeros reales a la suma indicada de los infinitos t´erminos de una sucesi´on: ∞ X

a1 + a2 + . . . + an + . . . =

an

n=1

P que, para simplificar, muchas veces se expresa simplemente por an . Como a veces ocurre, no es necesario que la suma comience en n = 1, pudi´endolo hacer en otro valor cualquiera de n. Car´ acter de una P serie Dada una serie an , se llama sucesi´on de las sumas parciales a {Sn }, donde Sn = a1 + a2 + . . . + an es la suma de los n primeros sumandos de la serie. Entonces: • Si la sucesi´on de las sumas parciales converge a S, se dice que la serie es convergente y su suma es S: lim Sn = S =⇒ n

∞ X

an = S

n=1

• Si la sucesi´on de las sumas parciales es divergente u oscilante, se dice que la serie es divergente u oscilante. Propiedades de las series P P an = A y bn = B, entonces: 1. Si λ ∈ R, ∞ X

∞ X

λan = λA

n=1

∞ X

(an + bn ) = A + B

n=1

(an − bn ) = A − B

n=1

2. Si se quitan o a˜ naden una cantidad finita de sumandos el car´acter de la serie no var´ıa, aunque s´ı la suma. 3. No se puede aplicar la propiedad asociativa a los sumandos de una serie. Condici´ on necesaria de convergencia: Si

∞ X

an converge, entonces lim an = 0. n→∞

n=1

Es importante observar que esta condici´on es pero no suficiente: existen series divergentes cuyo P necesaria 1 t´ermino general de la sucesi´on tiende a cero: = ∞. n Como consecuencia inmediata, se obtiene el siguiente criterio del t´ ermino en´ esimo para la divergencia de una serie: P • Si la sucesi´on {an } no converge a cero, la serie an no converge (es divergente u oscilante). P • En particular, si lim an = a 6= 0 la serie an es divergente. Ejercicios 1. Estudia la convergencia o divergencia de las series: ¶ ∞ µ ∞ X X 1 1 1 (b) − (a) 2n n n+1 n=1

n=1

(c)

∞ X

1

n=1

(d)

∞ X

(−1)n

n=1

2. Estudia la convergencia o divergencia de las series: (a)

∞ X n=1

2n

(b)

∞ X n=1

n sen

1 n

(c)

∞ X 1 n

n=1

(d)

∞ X 1 n2

n=1

(e)

∞ X

(−1)n

n=1

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

6. Sucesiones y Series num´ ericas 6.2. Series num´ ericas

6.2.2. SERIES SUMABLES

Serie telesc´ opica P Se llama serie telesc´ opica a cualquier serie de la forma an donde an = bn − bn+1 . Observa que las sumas parciales de esta serie son: Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an = (b1 − b2 ) + (b2 − b3 ) + (b3 − b4 ) + . . . + (bn − bn+1 ) = b1 − bn+1 de donde se deduce que la serie es convergente si el l´ımite de {bn } es finito, siendo su suma: ∞ X

an =

n=1

∞ X

(bn − bn+1 ) = lim(b1 − bn+1 ) = b1 − lim bn n

n=1

n

Serie geom´ etrica Se llama serie geom´ etrica a cualquier serie de la forma

∞ X

arn = a + ar + ar2 + . . . + arn + . . ., con a 6= 0.

n=0

La serie geom´etrica diverge si |r| > 1 o r = 1, oscila si r = −1 y converge si |r| < 1, en cuyo caso: ∞ X

a 1−r

arn = a + ar + ar2 + . . . + arn + . . . =

n=0

Serie aritm´ etico-geom´ etrica Se llama serie aritm´ etico-geom´ etrica a cualquier serie de la forma

∞ X

P (n)rn , donde P (n) es un poli-

n=0

nomio en n. La serie aritm´etico-geom´etrica converge siempre que |r| < 1. Para calcular su suma S se aplica repetidamente, hasta llegar a una serie geom´etrica, el hecho de que X S − rS = k + Q(n)rn donde Q es un polinomio de grado inferior a P Serie hipergeom´ etrica

∞ X

αn + β an+1 = , con α > 0, β 6= 0 an αn + γ n=0 y α+β−γ = 6 0. Esta serie diverge cuando α + β − γ > 0, y converge cuando α + β − γ < 0, siendo la suma en este caso: ∞ X a1 γ an = γ−α−β Se llama serie hipergeom´ etrica a cualquier serie de la forma

an , donde

n=1

Ejercicios 1. Calcula la suma de las series: (a)

∞ X n=1

2. Calcula la suma de las series: (a)

∞ X 1 1 ; (b) . 2 n(n + 1) n −1

P∞

2 n=0 3n ;

n=2

(b)

P∞

3n n=1 22n ;

(c)

P∞

3n n=0 2n .

b 3; (b) a = 2, 051. 3. Usa series geom´etricas para encontrar la expresi´on fraccionaria de: (a) a = 2, b 4. Se deja caer una pelota desde una altura de 2 metros y se deja botar indefinidamente hasta que se para. Si la altura alcanzada en cada salto igual a 3/4 de la altura alcanzada en el salto anterior, ¿cu´al es la distancia vertical recorrida por la pelota? ∞ ∞ ∞ X X X n 4n − 1 1 5. Calcula la suma de las series: (a) ; (b) ; (c) , a > 1. 3n 2n n(n + 1) · · · (n + a − 1) n=1

n=1

n=1

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

6. Sucesiones y Series num´ ericas ´ 6.2.3. CRITERIOS DE COMPARACION

6.2. Series num´ ericas Criterio de comparaci´ on con la integral

Si f es positiva, continua y decreciente para x ≥ 1, y an = f (n), entonces la serie

∞ X

Z an y la integral

n=1

tienen el mismo car´acter (ambas convergen o ambas divergen).

∞

f (x) dx 1

Series arm´ onicas • Se llama serie arm´ onica a la siguiente serie divergente: ∞ X 1 1 1 1 1 = 1 + + + + + ... = ∞ n 2 3 4 5

n=1

• Se llama serie arm´ onica generalizada a la serie ∞ X 1 1 1 1 1 = 1 + p + p + p + p + ... np 2 3 4 5

n=1

( divergente , si 0 < p ≤ 1 que es convergente , si p > 1

Criterio de comparaci´ on de Gauss Si 0 ≤ an ≤ bn para todo n (o, al menos, a partir de un n), entonces: X X X X • bn converge =⇒ an converge • an diverge =⇒ bn diverge Criterio de on en el l´ımite P P comparaci´ Si an y bn son dos series de t´erminos positivos tales que existe lim abnn = l con 0 < l < ∞, entonces las dos series tienen el mismo car´acter (ambas convergen o ambas divergen). Ejercicios 1. Estudia la convergencia o divergencia de las series: (a)

∞ X n=1

n 2 n +1

(b)

∞ X n=1

1 2 n +1

(c)

∞ X n=2

1 n ln n

(d)

∞ X n=2

1 n(ln n)2

2. Aplica el criterio de comparaci´on para estudiar el car´acter de las series: (a)

∞ X 1 (b) ln n

∞ X sen2 n3 n=1

n3

(c)

n=2

∞ X n=1

1 (n + 1)n

3. Aplica el criterio de comparaci´on en el l´ımite para estudiar el car´acter de las series: (a)

∞ X n=1

1 3n2 − 4n + 5

(b)

∞ X

1 √ 3n −2 n=1

(c)

∞ X n2 − 10 4n5 + n3

n=1

(d)

√ ∞ X n n2 + 1

n=1

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

6. Sucesiones y Series num´ ericas 6.2. Series num´ ericas 6.2.4. OTROS CRITERIOS DE CONVERGENCIA Criterio P de la ra´ız √ Sea an una serie de t´erminos positivos tal que existe lim n an = l. Entonces: • Si 0 ≤ l < 1, la serie

X

an es convergente

• Si l > 1, la serie

X

an es divergente

Si l = 1, este criterio no decide el car´acter de la serie. Criterio P del cociente Sea an una serie de t´erminos positivos tal que existe lim an+1 an = l. Entonces: • Si 0 ≤ l < 1, la serie

X

an es convergente

• Si l > 1, la serie

X

an es divergente

Si l = 1, este criterio no decide el car´acter de la serie. Criterio ³ P de Raabe Sea an una serie de t´erminos positivos tal que existe lim n 1 − • Si l < 1, la serie

X

an es divergente

an+1 an

´ = l. Entonces:

• Si l > 1, la serie

X

an es convergente

Si l = 1, este criterio no decide el car´acter de la serie. Observaci´ on: El criterio de Raabe suele decidir cuando no lo hace el criterio del cociente. Ejercicios 1. Estudia la convergencia o divergencia de las series: ∞ X ¢n ¡√ n n−1 (a) n=1

(b)

¶ ∞ ·µ X n+1 n n=1

n

2n − n+1

2. Estudia la convergencia o divergencia de las series: p ∞ X (n − 1)! √ (a) √ (1 + 1)(1 + 2) . . . (1 + n) n=1

(b)

¸−n (c)

∞ X n2 2n+1 n=0

3n

¶ ∞ µ X 1 · 4 · 7 · . . . · (3n − 2) 2 n=1

3 · 6 · 9 · . . . · 3n

(d)

∞ X nn n=1

n!

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

6. Sucesiones y Series num´ ericas 6.2. Series num´ ericas

6.2.5. SERIES ALTERNADAS Y ARBITRARIAS

Series alternadas P Se dice que an es una serie alternada si an an+1 < 0 para todo n, es decir, si es de la forma ∞ X

n

(−1) an = −a1 + a2 − a3 + a4 − . . .

o

n=1

∞ X

(−1)n−1 an = a1 − a2 + a3 − a4 + . . .

con an > 0

n=1

Criterio de convergencia de series alternadas P Una serie alternada an es convergente siempre que se verifiquen las dos condiciones siguientes: • lim an = 0

• |an+1 | ≤ |an | , para todo n

n

es decir, cuando {|an |} ↓ 0. Suma aproximada de Pseries alternadas Si una serie alternada an verifica las condiciones del criterio de convergencia (lim an = 0 y |an+1 | ≤ |an |), su suma se puede aproximar por cualquier suma parcial con un error menor que el valor absoluto del primer t´ermino desechado: ∞ N X X S= an y SN = an =⇒ |S − SN | ≤ |aN +1 | n=1

n=1

En concreto, cuando el primer t´ermino desechado es positivo la aproximaci´ on es por defecto, y cuando es negativo por exceso. Series de t´ erminos arbitrarios. Convergencia absoluta y condicional P P • Se dice que la serie an es absolutamente convergente si la serie |an | es convergente. • Toda serie absolutamente convergente es tambi´en convergente. • Una serie se dice condicionalmente convergente si es convergente pero no absolutamente convergente. • Toda serie convergente de t´erminos positivos es tambi´en absolutamente convergente, por lo que no puede ser condicionalmente convergente. Reordenaci´ on de series • En una serie absolutamente convergente, cualquier reordenaci´on es tambi´en convergente a la misma suma. • En una serie condicionalmente convergente, existen reordenaciones convergentes (a cualquier valor prefijado), divergentes y oscilantes. Ejercicios 1. Estudia la convergencia o divergencia de las series: (a)

∞ X (−1)n+1 n=1

2. Estudia la convergencia o divergencia de la serie:

n

; (b)

∞ X n=1

n . (−2)n−1

∞ X (−1)n+1

. En caso de convergencia, aproxima su n! suma por la de sus seis primeros t´erminos y determina una cota del error cometido. n=1

3. Estudia el car´acter y la convergencia (absoluta o condicional) de las siguientes series: (a)

∞ X (−1)n n! n=0

2n

∞ X (−1)n √ (b) n n=1

(c)

∞ X (−1)n(n+1)/2 n=1

3n

∞ X (−1)n (d) ln(n + 1) n=1

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

6. Sucesiones y Series num´ ericas 6.2. Series num´ ericas

EJERCICIOS

1. Contesta razonadamente si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones: P (a) Si an es convergente entonces an → 0. P (b) Si an → 0 entonces an es convergente. (c) Toda sucesi´on de t´erminos positivos cuya sucesi´on de sumas parciales est´a acotada es convergente. (d) Si una serie es convergente deben ser nulos todos los t´erminos de una sucesi´on a partir de uno dado. (e) Si a una serie se le quitan los 100 primeros sumandos, su car´acter no var´ıa. 2. Calcula la suma de las series: (a)

∞ X n=1

∞ ∞ X X 1 n−1 3n − 2 . ; (b) ; (c) 2 4n − 1 n(n + 1)(n + 2) 2n−1 n=1

n=1

3. De un intervalo cerrado de longitud 1 se quita el intervalo abierto central de longitud 1/3. Si se repite esta operaci´on sobre cada uno de los intervalos cerrados que van quedando, quitando siempre el intervalo abierto central de longitud 1/3 del intervalo original, el conjunto que queda al final del proceso se llama conjunto de Cantor. (a) ¿Cu´al es la suma de las longitudes de todos los intervalos que se quitan? (b) ¿Cu´al es la longitud del conjunto de Cantor? 4. Se llama curva de Koch a la curva que se obtiene despu´es del siguiente proceso infinito: ­J 1 J3 J ­ J ­ 1 3­

1 3

1

1 3

­­JJ

JJ ­­

­­JJ

­­ JJ

­­JJ

(a) ¿Cu´al es la longitud de la curva de Koch? (b) ¿Cu´al es el ´area encerrada por la curva de Koch sobre el segmento inicial? 5. En un cuadrado Q1 de lado 1 se inscribe un c´ırculo C1 , dentro de este se inscribe un cuadrado Q2 y dentro de ´el un c´ırculo C2 , y as´ı sucesivamente. (a) Halla la suma de las ´areas de todos los cuadrados; (b) Halla la suma de las ´areas de todos los c´ırculos; (c) Halla la suma de los per´ımetros de todos los cuadrados; (d) Halla la suma de los per´ımetros de todos los c´ırculos. 6. Estudia el car´acter de las siguientes series: ∞ X 1 (a) nn

(b)

n=1 ∞ X

n=1

n! nn

(c) (d)

∞ X n=1 ∞ X n=1

−n

ne

(e)

∞ r X n=1

1 (ln n)n

(f )

∞ X

ln

n=1

n 4 n +1

√ √ n+1− n √ (g) n2 + n n=1

n+1 n

(h)

∞ X

∞ X n=1

1 , p∈N n(n + p)

7. Analiza el car´acter de las siguientes series, y suma las que converjan: (a)

∞ X n=1

n+2 3 n + 6n2 + 11n + 6

(b)

∞ X 2n + 3n n=2

6n

(c)

∞ X

n2−n

(d)

n=1

∞ X n=1

n sen

1 n2

8. Estudia la convergencia de las siguientes series seg´ un los valores del par´ametro: ∞ X a1/n (i) , a>0 1 + an n=1

(ii)

∞ X (a + 1)2n n=1

nan

, a>0

µ ¶ ∞ X 1−a n n (iii) , a 6= −1 1+a n=1

9. Se construye una columna de esferas apiladas (cada una encima de la anterior) de radios sucesivos: 1, √1 , √1 , ... metros. (a) ¿Cu´ al es la altura de la columna? (b) ¿Cu´ al es el ´area de la superficie total de 2 3 todas las esferas? (c) Si las esferas est´an hechas de un material que pesa 1 newton por metro c´ ubico, ¿cu´al es el peso total de la columna?

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

7. Sucesiones y Series de funciones 7.1. Sucesiones de funciones

7.1.1. CONVERGENCIA PUNTUAL

Sucesiones de funciones Se llama sucesi´ on de funciones a cualquier lista ordenada de funciones reales definidas sobre un mismo conjunto de n´ umeros reales: f1 , f2 , f3 , . . . , fn , . . ., que se suele representar por {fn } donde fn es el t´ ermino general de la sucesi´on. Convergencia puntual Se dice que la sucesi´on de funciones {fn } converge puntualmente a la funci´on f en A ⊂ R si lim fn (x) = f (x)

n→∞

para todo x ∈ A

Campo de convergencia Se llama campo de convergencia de una serie de funciones {fn } al conjunto de n´ umeros reales donde converge puntualmente, es decir, al conjunto: A = {x ∈ R : {fn (x)} es convergente} Ejercicios 1. Estudia la convergencia (hallando el campo de convergencia y la funci´on l´ımite) de las sucesiones de funciones cuyo t´ermino general es: (a) fn (x) =

x2 n

(b) fn (x) = nx2

2

(c) fn (x) = xn

(d) fn (x) = e−nx

2. Estudia la convergencia puntual de la sucesi´on de funciones fn (x) = de las funciones de la sucesi´on con la de la funci´on l´ımite.

x2n , 1+x2n

3. Estudia la convergencia puntual de la sucesi´on de funciones fn (x) = l´ımite, comprueba si se verifica: lim fn0 (x) = f 0 (x)

(e) fn (x) = n sin

x n

n ≥ 1. Compara la continuidad

sen nx n ,

n ≥ 1. Si f es la funci´on

n

2

4. Estudia la convergencia puntual de la sucesi´on de funciones fn (x) = nxe−nx , n ≥ 1. Si f es la funci´on l´ımite, comprueba si se verifica: Z 1 Z 1 lim fn (x) dx = f (x) dx n

0

0

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

7. Sucesiones y Series de funciones 7.1. Sucesiones de funciones

7.1.2. CONVERGENCIA UNIFORME

Convergencia uniforme Sea {fn } una sucesi´on de funciones que converge puntualmente a f en A ⊂ R. Entonces: {fn } converge uniformemente a f en A ⇐⇒ σn = sup {|fn (x) − f (x)| : x ∈ A} −→ 0 n→∞

Continuidad, acotaci´ on e integraci´ on de la funci´ on l´ımite Sea {fn } una sucesi´on de funciones que converge uniformemente a la funci´on f en A ⊂ R. Entonces: • Si todas las funciones fn son continuas, f es continua. • Si todas las funciones fn son acotadas, f es acotada. • Si todas las funciones fn son integrables en [a, b] ⊂ A, f es integrable en [a, b] y Z lim n

a

Z

b

fn (x) dx =

b

f (x) dx a

Observaci´ on: Si la funci´on l´ımite puntual de una sucesi´on de funciones continuas (acotadas) no es continua (acotada), la convergencia no puede ser uniforme. Ejercicios 1. Estudia la convergencia puntual y uniforme de las siguientes sucesiones de funciones: (a) fn (x) = xn

(b) fn (x) =

x n

(c) fn (x) =

nx 1 + nx

2

(d) fn (x) = ne−nx

2. Estudia la convergencia puntual y uniforme en [0, 1] de las siguientes sucesiones de funciones: (a) fn (x) =

1 1 + (nx − 1)2

(b) fn (x) =

nx2 1 + nx

(c) fn (x) =

x 1 + n2 x2

3. ¿Puede ser uniforme la convergencia de las sucesiones consideradas en los ejercicios 2, 3 y 4 de la secci´on 7.1.1?

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

7. Sucesiones y Series de funciones 7.1. Sucesiones de funciones

EJERCICIOS

1. Estudia la convergencia puntual y uniforme de las siguientes sucesiones de funciones: µ ¶ x n sen nx x2n − 1 (a) fn (x) = √ , x ∈ [−1, 2] (b) fn (x) = , x ∈ (0, π] (c) fn (x) = 2n , x∈R nx x +1 n 2. Se considera la sucesi´on de funciones {fn } donde ( an xn fn (x) = n−1 nx

, si 0 ≤ x ≤ 1 , si x > 1

(a) Halla an para que fn sea continua; (b) Calcula el l´ımite puntual y estudia si la convergencia es o no uniforme. 3. Estudia la convergencia puntual y uniforme de la sucesi´on {fn } donde   , si x ≤ −1 −1 n −1 fn (x) = sen nπx , si < x < n1 2 n   1 , si x ≥ n1 4. Estudia la convergencia puntual y uniforme de la sucesi´on de funciones fn (x) = xn ln x, n ≥ 1. Si f es la funci´on l´ımite, comprueba si se verifica: Z 1 Z 1 lim fn (x) dx = f (x) dx n

0

0

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

7. Sucesiones y Series de funciones 7.2. Series de funciones

7.2.1. SERIES DE FUNCIONES

Series de funciones Se llama serie de funciones a la suma indicada de los infinitos t´erminos de una sucesi´on de funciones: f1 (x) + f2 (x) + f3 (x) + . . . + fn (x) + . . . =

∞ X

fn (x)

n=1

P

que, para simplificar, muchas veces se expresa simplemente por fn . Como a veces ocurre, no es necesario que la suma comience en n = 1, pudi´endolo hacer en otro valor cualquiera de n. Convergencia puntual y uniforme P Dada una serie de funciones fn (x), se llama sucesi´on de las sumas parciales a la sucesi´on de funciones {Sn (x)}, donde Sn (x) = f1 (x) + f2 (x) + . . . + fn (x) es la suma de las n primeras funciones de la serie. Entonces: P • Se dice que la serie de funciones fn (x) converge puntualmente a la funci´on S(x) si la sucesi´on de las sumas parciales converge puntualmente a dicha funci´on. P • Se dice que la serie de funciones fn (x) converge uniformemente a la funci´on S(x) en A ⊂ R, si es uniforme la convergencia en A de la sucesi´on de las sumas parciales. Continuidad, acotaci´ on e integraci´ on de la funci´ on l´ımite P Sea fn una serie de funciones que converge uniformemente a la funci´on S en A ⊂ R. Entonces: • Si todas las funciones fn son continuas, S es continua. • Si todas las funciones fn son acotadas, S es acotada. • Si todas las funciones fn son integrables en [a, b] ⊂ A, S es integrable en [a, b] y ∞ Z X n=1 a

Z

b

fn (x) dx =

b

S(x) dx a

Observaci´ on: Si la funci´on suma de una serie de funciones continuas (acotadas) no es continua (acotada), la convergencia de la serie no puede ser uniforme. Criterio mayorante de Weierstrass para la convergencia uniforme P Si |fn (x)| ≤ aP erica an es convergente, entonces la serie n , para todo x ∈ A y para todo n ≥ n0 , y la serie num´ de funciones fn converge uniformemente en A. Ejercicios 1. Estudia la convergencia puntual y uniforme de las series de funciones: (a)

∞ X xn

∞ X sen nx

n=1

n=1

; (b) 2n

n2

.

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

7. Sucesiones y Series de funciones 7.2. Series de funciones

7.2.2. SERIES DE POTENCIAS

Series de potencias Se llama serie de potencias centrada en x0 ∈ R a cualquier serie funcional de la forma: ∞ X

an (x − x0 )n = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + . . . + an (x − x0 )n + . . .

n=0

con an ∈ R, n ≥ 0. En particular, si x0 = 0 se dice que la serie de potencias est´a centrada en el origen: ∞ X

an xn = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn + . . .

n=0

Radio de convergencia P Se llama radio de convergencia de la serie an (x − x0 )n al n´ umero (real o infinito) que se obtiene por cualquiera de los l´ımites siguientes: R=

limn

1 p n

R=

|an |

1 ¯ ¯ ¯ an+1 ¯ limn ¯ an ¯

con el convenio de que 1/0 = ∞. Convergencia de la serie de potencias P Si R es el radio de convergencia de la serie an (x − x0 )n , entonces: • La serie converge puntualmente si |x − x0 | < R, es decir en el intervalo abierto (x0 − R, x0 + R). • La serie diverge si |x − x0 | > R, es decir en (−∞, x0 − R) ∪ (x0 + R, ∞). • En |x − x0 | = R, es decir, en x = x0 ± R la serie puede ser convergente o divergente (hay que estudiarlos en cada caso). • La serie converge uniformemente en cualquier intervalo cerrado y acotado [a, b] ⊂ (x0 − R, x0 + R). Campo de convergencia P Se llama campo de convergencia de la serie an (x−x0 )n al conjunto donde converge puntualmente. Si R es el radio de convergencia, el campo de convergencia puede ser (x0 − R, x0 + R), [x0 − R, x0 + R), (x0 − R, x0 + R] o [x0 − R, x0 + R]. Ejercicios 1. Halla el campo de convergencia de las siguientes series de potencias: (a)

∞ X

xn

(b)

n=0

∞ X xn n=1

n

(c)

∞ X xn n=1

n2

2. Halla el campo de convergencia de las siguientes series de potencias: (a)

∞ X (x − 2)n n=0

n!

(b)

∞ X (−1)n+1 (x − 1)n n=1

n

(c)

∞ X (−1)n+1 (x + 1)n n=0

2n

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

7. Sucesiones y Series de funciones 7.2. Series de funciones

7.2.3. DESARROLLOS EN SERIE

Derivaci´ on de series de potencias P on e integraci´ n Sea an (x − x0 ) una serie de potencias con radio de convergencia R > 0 y cuya suma es la funci´on f (x) =

∞ X

an (x − x0 )n = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + a3 (x − x0 )3 + . . .

n=0

Entonces: • La funci´on f es derivable y su serie de potencias es la que se obtiene derivando t´ermino a t´ermino la serie de f , es decir: ∞ X f 0 (x) = nan (x − x0 )n−1 = a1 + 2a2 (x − x0 ) + 3a3 (x − x0 )2 + . . . n=1

• La funci´on f admite primitiva que es la que se obtiene integrando t´ermino a t´ermino la serie de f , es decir: Z ∞ X (x − x0 )2 (x − x0 )3 (x − x0 )n+1 f (x) dx = c + an = c + a0 (x − x0 ) + a1 + a2 + ... n+1 2 3 n=0

El radio de convergencia de las series derivada e integral es el mismo R de la serie original, pero el campo de convergencia puede diferir por el comportamiento en los extremos. Desarrollos en series de potencias Desarrollar una funci´on f en serie de potencias de centro x0 es hallar una serie de potencias tal que ∞ X f (x) = an (x − x0 )n , para |x − x0 | < R n=0

∞ X f n) (x0 )

(x − x0 )n n! n=0 Para hallar series de potencias se recurre a la serie de Taylor, a la serie geom´etrica y a las propiedades de derivaci´on e integraci´on de series de potencias. Algunas de las m´as importantes son: Z ∞ ∞ X X x2 x3 (−1)n−1 xn xn dx x =1+x+ + + . . . , ∀x ∈ R ln(1 + x) = = , |x| < 1 e = n! 2! 3! 1+x n n=1 n=0 Z ∞ ∞ X X 1 dx (−1)n x2n+1 n 2 3 = x = 1 + x + x + x + . . . , |x| < 1 arctan x = , |x| < 1 = 1−x 1 + x2 2n + 1 Si f es infinitamente derivable en x0 , la serie de potencias es la serie de Taylor: f (x) =

n=0

1 1 = = 1+x 1 − (−x)

n=0

∞ X

(−1)n xn , |x| < 1

n=0 ∞ X

1 1 = = 2 1+x 1 − (−x2 )

(−1)n x2n , |x| < 1

n=0

sen x = cos x =

∞ X (−1)n x2n+1 n=0 ∞ X n=0

(2n + 1)!

=x−

x3 x5 + − . . . , ∀x ∈ R 3! 5!

(−1)n x2n x2 x4 =1− + − . . . , ∀x ∈ R (2n)! 2! 4!

Ejercicios

P 1. Halla las series de la derivada y las primitivas de la funci´on f (x) = ∞ n=1 convergencia de cada una de ellas. ¿Cu´al es la expresi´on algebraica de f ?

xn n ,

calculando el campo de

2. Halla las series de potencias de las siguientes funciones en los puntos que se indican, y el campo de convergencia de cada una de ellas. √ 1 3x − 1 (a) f (x) = , x=0 (c) f (x) = 2 , x=0 (e) f (x) = cos x , x = 0 x+2 x −1 1 (b) f (x) = , x = 3 (d) f (x) = ln x , x = 1 (f ) f (x) = cosh x , x = 0 x

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

7. Sucesiones y Series de funciones 7.2. Series de funciones

EJERCICIOS

1. Determina el campo de convergencia de las siguientes series de potencias: (a)

∞ X 2n n=1

n

xn

(b)

∞ X n3 n=1

n!

xn

(c)

∞ X nxn en−1

n=0

2. Se consideran las series de potencias:

∞ X xn (I) n2 3n

(d)

∞ X (x + 1)n n=1

y

n=1

(e)

n2n

(II)

∞ X (−1)n (2x)2n n=1

∞ X xn−1 n=1

n3n

2n

.

(a) Halla el campo de convergencia de las dos series. (b) Si f es la funci´on definida por la serie (I) en su campo de convergencia, ¿cu´al es su derivada en x = 0? 3. (a) Encuentra la serie de potencias de la funci´on f (x) = ln(1 + x) centrada en x = 0, y halla su campo P (−1)n−1 de convergencia. (b) Usa la serie obtenida para sumar la serie num´erica: ∞ . n=1 n 4. (a) Encuentra la serie de potencias de la funci´on f (x) = arctan x centrada en x = 0, y halla su campo P (−1)n de convergencia. (b) Usa la serie obtenida para sumar la serie num´erica: ∞ n=0 2n+1 . 5. Halla las series de potencias de las siguientes funciones en los puntos que se indican, y el campo de convergencia de cada una de ellas. 4 , x = −2 5−x 3 , x=2 (b) f (x) = 2x − 1

(a) f (x) =

1 , x=0 x2 − 1 1 (d) f (x) = , x=0 (1 − x)2 (c) f (x) =

1 , x=0 (x + 1)3 1+x (f ) f (x) = , x=0 (1 − x)2

(e) f (x) =

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

8. Funciones reales de varias variables reales 8.1. Funciones de varias variables

8.1.1. DEFINICIONES

Nociones b´ asicas de la topolog´ıa de Rn

n o p (x, y) : (x − a)2 + (y − b)2 < r . n o p • En R3 , un entorno de centro (a, b, c) y radio r > 0 es: (x, y, z) : (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 < r . • En R2 , un entorno de centro (a, b) y radio r > 0 es:

• Sea A ⊂ Rn un conjunto. Se dice que un punto es punto interior de A si existe un entorno centrado en el punto y contenido en el conjunto. Se dice que un punto es punto frontera de A si en todo entorno suyo hay puntos de A y puntos que no son de A. • Un conjunto se dice abierto si todos sus puntos son interiores. • Un conjunto se dice cerrado si contiene a todos sus puntos frontera. • Un conjunto se dice acotado si est´a contenido en un entorno del origen de radio suficientemente grande. • Un conjunto se dice compacto si es cerrado y acotado. Funci´ on real de varias variables reales Se llama funci´ on real de varias variables reales a cualquier funci´on f : D −→ R con D ⊂ Rn , n ≥ 2. El conjunto D se llama dominio, y el conjunto de todos los valores que toma la funci´on se llama imagen o recorrido. • Si n = 2 la funci´on se suele representar por z = f (x, y), donde x e y son las variables independientes y z la variable dependiente. • Si n = 3 la funci´on se suele representar por w = f (x, y, z), donde x, y, z son las variables independientes y w la variable dependiente. Operaciones con funciones • Con dos funciones f (x, y) y g(x, y) se pueden realizar las siguientes operaciones aritm´ eticas: (f ±g)(x, y) = f (x, y)± g(x, y)

(f ·g)(x, y) = f (x, y)g(x, y)

f f (x, y) (x, y) = , si g(x, y) 6= 0 g g(x, y)

• Si g(x) es una funci´on de una u ´nica variable y f (x, y) es una funci´on de dos variables, se define la composici´ on: (g ◦ f )(x, y) = g(f (x, y)). Funciones polin´ omicas y racionales • Se llama funci´ on polin´ omica de dos variables a la que se puede expresar como suma finita de t´erminos n m de la forma ax y , con a ∈ R y n y m n´ umeros naturales. El grado de la funci´on polin´omica es el mayor valor n + m de sus sumandos. • Se llama funci´ on racional al cociente entre dos funciones polin´omicas. Ejercicios

√ x2 +y 2 −9 1. Halla el dominio de las siguientes funciones: (a) f (x, y) = ; (b) f (x, y) = x p p (c) f (x, y) = x(y − x2 ); (d) f (x, y) = 4x2 − y 2 ; (e) g(x, y, z) = √ 2x 2 2 .

1 ; x2 +y 2 −2x

9−x −y −z

2. La funci´on de producci´on de Cobb-Douglas es una funci´on muy utilizada en econom´ıa que proporciona el n´ umero z de unidades producidas en funci´on del n´ umero x de unidades de trabajo empleadas y el n´ umero y de unidades de capital invertido: z = f (x, y) = axα y 1−α , donde a > 0 y 0 < α < 1 Demuestra que si se duplican el n´ umero de unidades de trabajo y el n´ umero de unidades de capital, el n´ umero de unidades producidas tambi´en se duplica.

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

8. Funciones reales de varias variables reales ´ GRAFICA ´ 8.1. Funciones de varias variables 8.1.2. REPRESENTACION Gr´ afica de una funci´ on de dos variables Se llama gr´ afica de una funci´on f de dos variables a la representaci´ on en el espacio de todos los puntos (x, y, z) tales que z = f (x, y). Esta gr´afica es una superficie cuya proyecci´ on sobre el plano xy es el dominio de la funci´ on. A cada punto (x, y) del dominio le corresponde uno y s´olo un punto (x, y, z) de la gr´afica (superficie). Recursos para la representaci´ on gr´ afica de funciones de dos variables • Representar las curvas que se obtienen al cortar por planos perpendiculares a los ejes. plano ⊥ al eje x: x = a

plano ⊥ al eje y: y = b

plano ⊥ al eje z: z = c

• Representar en el plano xy las curvas de nivel a lo largo de las cuales el valor de la funci´on es constante. Para obtener las curvas de nivel se deben usar valores de z igualmente espaciados, de tal manera que curvas de nivel alejadas indican que z cambia lentamente y curvas de nivel juntas indican que z cambia r´apidamente. El conjunto de todas las curvas de nivel se llama mapa de contorno. • En la actualidad, lo m´as r´apido y u ´til para visualizar gr´aficas de funciones de dos variables es recurrir a la inform´atica y usar programas matem´aticos como Maple, MatLab, etc. Ejercicios p 1. Mediante cortes por planos, haz un esbozo de la gr´afica de la funci´on: f (x, y) = 16 − x2 − y 2 . p 2. Haz el mapa de contorno correspondiente a las funciones: (a) f (x, y) = 16 − x2 − y 2 ; (b) z = y 2 − x2 . 3. Usa Maple para visualizar las gr´aficas de las siguientes funciones: (a) z =

p

16 − x2 − y 2

(b) z = y 2 − x2

(c) z = (x2 + y 2 )e1−x

2 −y 2

(d) z = (2 − y 2 + x2 )e1−x

(e) z = 2 2− y 4

−4x x2 + y 2 + 1

(f ) z = sen x sen y

1

(g) z = p

x2

+ y2 1 − x2 − y 2 (g) z = p |1 − x2 − y 2 |

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

8. Funciones reales de varias variables reales 8.1. Funciones de varias variables

EJERCICIOS

1. Halla el dominio y la imagen de las siguientes funciones: (a) f (x, y) =

p

4 − x2 − 4y 2

(b) f (x, y) = arcsen(x + y)

(c) f (x, y) = ln(4 − x − y) (d) z =

x+y xy

x+y 2 − x + 3y 3x + y (f ) z = 2 x + y 2 − 2x (e) z =

2. Una caja rectangular abierta por arriba tiene por base un rect´angulo de lados x e y y altura z, todos ellos expresados en cent´ımetros. Construir la base cuesta 2 e euros por cm2 , y construir las caras laterales 1 e por cm2 . Expresa el costo total de fabricaci´on de la caja en funci´on de sus dimensiones. 3. Un tanque de combustible se construye soldando semiesferas a los extremos de un cilindro circular recto. Expresa el volumen del tanque en funci´on del radio y altura del cilindro. 4. Haz el mapa de contorno correspondiente a las funciones: (a) f (x, y) = x2 + 2y 2

(b) f (x, y) = xy

(c) f (x, y) =

x2

x + y2

(b) f (x, y) = ln(x − y)

5. Usa Maple para visualizar las gr´aficas de las siguientes funciones: 2 −y 2

(a) z = e1−x

(b) z = e1−x

2 +y 2

¯ ¯ (c) z = ln ¯y − x2 ¯

(d) z = cos

x2 + 2y 2 4

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

8. Funciones reales de varias variables reales 8.2.1. L´IMITES

8.2. L´ımites y continuidad

L´ımite de una funci´ on de dos variables en un punto Sea z = f (x, y) definida en un entorno del punto (a, b) ∈ R2 (aunque no, necesariamente, en el punto). Se dice que f tiene l´ımite l en (a, b) si f (x, y) tiende a l cuando (x, y) tiende a (a, b) de todas las formas posibles, y se indica: lim f (x, y) = l (x,y)→(a,b)

La existencia de l´ımite y su valor son independientes de que la funci´on est´e definida en el punto y de su valor en dicho punto. Propiedades de los l´ımites • Si P (x, y) es una funci´on polin´omica de dos variables y f (x) es una funci´on elemental de una variable, entonces: lim P (x, y) = P (a, b) lim f (P (x, y)) = f (P (a, b)) (x,y)→(a,b)

• Si

lim

(x,y)→(a,b)

f (x, y) = l y

(x,y)→(a,b)

lim

(x,y)→(a,b)

g(x, y) = m, entonces:

lim

(f (x, y) ± g(x, y)) = l ± m

lim

(f (x, y)g(x, y)) = lm

(x,y)→(a,b)

(x,y)→(a,b)

lim

kf (x, y) = kl

lim

l f (x, y) = g(x, y) m

(x,y)→(a,b)

(x,y)→(a,b)

lim

(x,y)→(a,b)

(f (x, y))g(x,y) = lm

siempre que no se presente alguna de las siguientes indeterminaciones: ∞−∞

∞ ∞

0 0

0·∞

1∞

00

∞0

L´ımites iterados y direccionales Ante la necesidad de acercarse al punto de todas las formas posibles, es interesante considerar los siguientes l´ımites: un las direcciones de los ejes: • L´ımites iterados: son los l´ımites seg´ µ ¶ ³ ´ lim lim f (x, y) lim lim f (x, y) x→a

y→b

y→b

x→a

un las direcciones de las rectas que pasan por el punto: • L´ımites direccionales: son los l´ımites seg´ lim f (x, b + m(x − a)) , para cada m ∈ R

x→a

Observaci´ on: Los l´ımites iterados no coinciden necesariamente, y tampoco los direccionales. Obviamente, si los l´ımites iterados o direccionales no coinciden no existe el l´ımite. Ejercicios 1. Calcula los siguientes l´ımites: (a)

xy 2 (x,y)→(2,1) x2 + y 2 lim

(b)

lim

(x,y)→(1,−1)

cos π(2x + y) (c)

lim

(x,y)→(3,−2)

e−x

2 −y 3

(d)

lim

(x,y)→(0,0) x2

2. Calcula los l´ımites iterados y direccionales de las funciones del ejercicio anterior. 3. Halla los l´ımites iterados de la funci´on f (x, y) =

x2 −y 2 x2 +y 2

4. Halla los l´ımites direccionales de la funci´on f (x, y) =

en (0, 0).

x2 x2 +y 2

en (0, 0).

5. Halla los l´ımites iterados y direccionales de la funci´on f (x, y) =

x+y x3 −y 2

en el punto (1, −1).

1 + y2

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

8. Funciones reales de varias variables reales 8.2.2. RELACIONES ENTRE L´IMITES

8.2. L´ımites y continuidad

Relaciones entre el l´ımite y los l´ımites iterados y direccionales • Si existe el l´ımite, entonces existen los l´ımites iterados y direccionales y el valor de todos ellos coincide con el del l´ımite. • La existencia de los l´ımites iterados, aunque coincidan, no implica la existencia de l´ımite. • La existencia de los l´ımites direccionales, aunque coincidan, no implica la existencia de l´ımite. C´ alculo del l´ımite en coordenadas polares Para hallar el l´ımite de f (x, y) en el punto (a, b) se puede recurrir a coordenadas polares centradas en el punto obteniendo un l´ımite direccional: lim

(x,y)→(a,b)

x=a+ρ cos θ

f (x, y) −→−→−→−→−→ lim F (ρ, θ) , con 0 ≤ θ < 2π y=b+ρ sen θ

ρ→0

y en el caso de que F (ρ, θ) = g(ρ)h(θ), con limρ→0 g(ρ) = 0 y h(θ) acotada cuando 0 ≤ θ < 2π, entonces se concluye que el l´ımite es cero. Lo anterior se puede resumir en que: µ ¶ x = a + ρ cos θ lim f (x, y) = = lim F (ρ, θ) = lim g(ρ)h(θ) = 0 · acotado = 0 y = b + ρ sen θ ρ→0 ρ→0 (x,y)→(a,b) Cuando el l´ımite de g no es cero o h no est´a acotada no se puede asegurar la existencia de l´ımite. Para probar, usando coordenadas polares, que el l´ımite de una funci´on f es ` basta probar que el l´ımite de f − ` es cero. Observaci´ on En los casos de indeterminaci´on, para estudiar la existencia de l´ımite y su valor, se puede proceder siguiendo los siguientes pasos: 1. Hallar los l´ımites iterados y comprobar que coinciden. 2. Hallar los l´ımites direccionales y comprobar que coinciden. 3. Usar coordenadas polares para comprobar si el l´ımite es el valor anteriormente obtenido. Ejercicios 1. Halla los l´ımites iterados y direccionales de la funci´on f (x, y) = de la funci´on en el punto?

xy x2 +y 2

en el punto (0, 0). ¿Existe el l´ımite 2

2. Comprueba que existen y coinciden los l´ımites iterados y direccionales de la funci´on f (x, y) = x4x+yy 2 en el punto (0, 0). Halla ahora el l´ımite siguiendo la direcci´on del la par´abola y = x2 . ¿Existe el l´ımite de la funci´on en el punto? ³ 2 2 ´2 3. Estudia la existencia del l´ımite de la funci´on f (x, y) = xx2 −y en el origen. +y 2 4. Comprueba que existen y coinciden los l´ımites iterados y direccionales de la funci´on f (x, y) = en el punto (0, 0). Usa coordenadas polares para estudiar la existencia del l´ımite.

x2 y 2 (x2 +y 2 )3/2

5. Estudia la existencia, calculando su valor en caso afirmativo, de los siguientes l´ımites : (a)

x+y (x,y)→(0,0) x2 + y lim

(b)

sin(x + y − 1) y+1 (x,y)→(2,−1) lim

(c)

ln(x2 + y − 4) x+y+1 (x,y)→(−2, 1) lim

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

8. Funciones reales de varias variables reales 8.2. L´ımites y continuidad

8.2.3. CONTINUIDAD

Continuidad de una funci´ on de dos variables en un punto Sea z = f (x, y) una funci´on definida en un entorno del punto (a, b) ∈ R2 . Se dice que f es continua en (a, b) si lim f (x, y) = f (a, b). (x,y)→(a,b)

Tipos de discontinuidad Si una funci´on no es continua en un punto se dice que presenta una discontinuidad, que puede ser: • evitable si existe y es finito el l´ımite de la funci´on en el punto. • esencial si no existe o es infinito el l´ımite de la funci´on en el punto. Observaci´ on: Cuando una funci´on presenta una discontinuidad evitable en un punto se puede redefinir en dicho punto para convertirla en una funci´on continua. Continuidad en conjuntos abiertos Una funci´on es continua en un conjunto abierto D ⊂ R2 cuando es continua en todos los puntos de D. Propiedades de la continuidad 1. Si f y g son dos funciones continua en (a, b), entonces las funciones f ± g y f · g son continuas en a. Adem´as, si g(a, b) 6= 0 la funci´on f /g es tambi´en continua en (a, b). 2. Si f (x, y) es continua en (a, b) y g(x) es continua en c = f (a, b), entonces g ◦ f es continua en (a, b). Continuidad de las funciones elementales De las propiedades de los l´ımites y de la continuidad, se puede deducir que todas las funciones elementales son continuas en su dominio de definici´on. Teorema de los extremos de Weierstrass Sea f una funci´on continua de n ≥ 1 variables definida sobre un conjunto cerrado y acotado R ⊂ Rn . Entonces: • Existe al menos un punto de R donde f toma su valor m´ınimo, llamado m´ınimo absoluto de f en R. • Existe al menos un punto de R donde f toma su valor m´aximo, llamado m´ aximo absoluto de f en R. Como en el caso de una variable, el m´ınimo y el m´aximo absolutos se llaman extremos absolutos. Ejercicios 1. Estudia la continuidad de las siguientes funciones: (a) f (x, y) = ln(x + y)

(b) f (x, y) =

sin x cos y x2 − y 2

(c) z =

p

2. Estudia la continuidad de las siguientes funciones: µ 2 ¶2 x2 y x − y2 (a) f (x, y) = 2 (b) f (x, y) = x + y2 x2 + y 2 3. Estudia la continuidad de la funci´on: f (x, y, z) =

y 2 − 4x2

(d) z =

(c) f (x, y) =

1 y − x2

x − 2y x2 + y 2

1 . x2 +y 2 −z

4. Estudia la continuidad de las siguientes funciones: ( 2 x +2xy 2 +y 2 , si (x, y) 6= (0, 0) x2 +y 2 (a) f (x, y) = 1 , si (x, y) = (0, 0)

( (b) f (x, y) =

x2 y 2 x2 +y 2

, si (x, y) 6= (0, 0)

1

, si (x, y) = (0, 0)

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

8. Funciones reales de varias variables reales 8.2. L´ımites y continuidad

EJERCICIOS

1. Halla los siguientes l´ımites: (a) (b)

x+y (x,y)→(2,4) x − y lim

lim

(x,y)→(π,3)

y cos(xy)

arcsen(x/y) 1 + xy (x,y)→(0,1) √ (d) lim x+y+z

(c)

lim

(x,y,z)→(1,2,5)

(e) (f )

x + y − 2z p (x,y,z)→(1,0,−2) x2 + y 2 + z 2 lim

lim

(x,y,z)→(2,0,1)

xeyz

2. Estudia la existencia, calculando su valor en caso afirmativo, de los siguientes l´ımites : (a)

lim

p

xy

x2 + y 2 sen(x2 + y 2 ) (b) lim x2 + y 2 (x,y)→(0,0) (x,y)→(0,0)

(c)

x4 − y 4 (x,y)→(0,0) x2 − y 2

(e)

xy(x2 − y 2 ) x2 + y 2 (x,y)→(0,0)

(d)

y(x2 + y 2 ) x (x,y)→(0,0)

(f )

x+y−1 √ √ x− 1−y (x,y)→(0,1)

lim

lim

lim

lim

3. Estudia la continuidad de las siguientes funciones: ( ( 4 4 x +y 1 (x + y) sen x2 +y , si (x, y) = 6 (0, 0) 2 2 2 (b) f (x, y) = (a) f (x, y) = x +y 0 0 , si (x, y) = (0, 0)

, si (x, y) 6= (0, 0) , si (x, y) = (0, 0)

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

9. Diferenciaci´ on de funciones reales de varias variables reales 9.1. Diferenciaci´ on

9.1.1. DERIVADAS PARCIALES

Derivadas parciales de una funci´ on de dos variables Se llaman primeras derivadas parciales de una funci´on f (x, y) respecto de x e y a las funciones: ∂f f (x + h, y) − f (x, y) ∂f f (x, y + k) − f (x, y) (x, y) = lim fy (x, y) = (x, y) = lim h→0 k→0 ∂x h ∂y k es decir, a las derivadas usuales respecto de cada una de las variables considerando a la otra constante. Si ∂z ∂z y zy = ∂y . z = f (x, y), las derivadas parciales tambi´en se suelen representar por zx = ∂x fx (x, y) =

Interpretaci´ on geom´ etrica y f´ısica Las derivadas parciales de z = f (x, y) representan • Geom´ etricamente: las pendientes de la superficie z = f (x, y) en las direcciones de los ejes x e y. • F´ısicamente: las velocidades de cambio de z respecto de cada una de las variables x e y. Derivadas parciales y continuidad La continuidad y la existencia de derivadas parciales no est´an relacionadas. Una funci´on continua puede no tener derivadas parciales y viceversa. Derivadas parciales de funciones de m´ as de dos variables Las derivadas parciales de funciones de m´as de dos variables se definen de forma an´aloga: se deriva respecto de cada variable considerando las otras constantes. Derivadas parciales de orden superior Puesto que las derivadas parciales primeras son funciones, se pueden volver a derivar parcialmente para obtener las derivadas parciales de segundo orden, y as´ı sucesivamente. En el caso de dos variables hay cuatro derivadas parciales de segundo orden: µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ ∂2f ∂2f ∂ ∂f ∂2f ∂ ∂f ∂2f ∂ ∂f ∂ ∂f = = = f = = f = = f = fyy xy yx xx ∂x ∂x ∂x2 ∂y ∂x ∂y∂x ∂x ∂y ∂x∂y ∂y ∂y ∂y 2 Las derivadas fxy y fyx se llaman derivadas parciales cruzadas y no son siempre iguales. Igualdad de las derivadas parciales cruzadas Si f , fxy y fyx son continuas en un conjunto abierto D, entonces: fxy = fyx en D. Ejercicios x 1. Halla las derivadas parciales de: (a) f (x, y) = x2 − xy + 3y 2 ; (b) g(x, y) = x2 +y 2 ; (c) z = p x (d) z = ln x2 + y 2 ; (e) f (x, y) = x arctan y , y su valor en el punto (1, −1).

p

1 − x2 − y 2 ;

2. Halla las pendientes de la superficie z = 9 − x2 − 2y 2 en P (2, −1, 3) en las direcciones de los ejes x e y. 3. La temperatura en un punto (x, y) de una placa de acero es T (x, y) = 500 − x2 − 2y 2 . Halla la velocidad de cambio de la temperatura respecto en cada una de las direcciones en el punto (1, 2). √ 4. Una empresa fabrica dos tipos de estufas, X e Y, siendo C(x, y) = 32 xy + 175x + 205y + 1050 el coste en euros de fabricar x estufas del tipo X e y estufas del tipo Y. (a) Halla los costes marginales (derivadas parciales) cuando x = 80 e y = 20; (b) Si se requiere una producci´on adicional, ¿qu´e modelo de estufa incrementar´a el costo con una tasa m´as alta? 5. Utiliza las funciones f y g para comprobar que la continuidad y la existencia de derivadas parciales no est´an relacionadas. ( 2 ( xy 1 , si (x, y) 6= (0, 0) y sen x2 +y , si (x, y) = 6 (0, 0) 2 2 4 f (x, y) = x +y g(x, y) = 0 , si (x, y) = (0, 0) 0 , si (x, y) = (0, 0) 6. Halla las derivadas parciales segundas de las funciones del ejercicio 1.

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

9. Diferenciaci´ on de funciones reales de varias variables reales 9.1. Diferenciaci´ on

9.1.2. LA DIFERENCIAL

Incrementos y diferenciales Dada una funci´on z = f (x, y), se llama incremento de la funci´ on, cuando x e y se incrementan ∆x e ∆y, a: ∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y) y se llama diferencial total a: dz =

∂z ∂z dx + dy = fx (x, y) dx + fy (x, y) dy ∂x ∂y

Diferencial de una funci´ on en un punto Una funci´on z = f (x, y) es diferenciable en (a, b) si su incremento se puede expresar como: ∆z = fx (a, b)∆x + fy (a, b)∆y + ε1 ∆x + ε2 ∆y

donde ε1 , ε2 → 0 cuando (∆x, ∆y) → (0, 0)

para lo que se debe cumplir que: lim

(x,y)→(a,b)

|f (x, y) − f (a, b) − fx (a, b)(x − a) − fy (a, b)(y − b)| p =0 (x − a)2 + (y − b)2

Condici´ on suficiente de diferenciabilidad Si una funci´on y sus primeras derivadas parciales son continuas en un abierto, entonces es diferenciable en el abierto. Condiciones necesarias de diferenciabilidad Si una funci´on es diferenciable en un punto entonces es continua y admite derivadas parciales primeras en el punto. Uso de la diferencial como aproximaci´ on Despreciando los t´erminos que tienden a cero, si una funci´on es diferenciable en (a, b) entonces se verifica la siguiente f´ormula para la estimaci´on de errores: ∆z ' fx (a, b)∆x + fy (a, b)∆y

cuando ∆x, ∆y ' 0

Sustituyendo los incrementos por su expresi´on, se obtiene la siguiente f´ormula de aproximaci´ on: f (x, y) ' f (a, b) + fx (a, b)(x − a) + fy (a, b)(y − b)

cuando (x, y) ' (a, b)

Ejercicios 1. Halla las diferenciales totales de las siguientes funciones: (a) z = 2x sen y − 3x2 y 2 ; (b) w = x2 + y 2 + z 2 . 2. Prueba que la funci´on f (x, y) = x2 + 3y es diferenciable en todo punto. 3. Prueba que la siguiente funci´on es continua y admite derivadas parciales primeras en el origen, pero no es diferenciable en dicho punto.   √ xy , si (x, y) 6= (0, 0) x2 +y 2 f (x, y) = 0 , si (x, y) = (0, 0) 4. El error cometido al medir cada una de las aristas de una caja rectangular es ±0, 1 mil´ımetros. Halla el error absoluto y relativo que se puede cometer al hallar el volumen de una caja de aristas que miden 50, 20 y 15 cent´ımetros.

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

9. Diferenciaci´ on de funciones reales de varias variables reales 9.1. Diferenciaci´ on

9.1.3. REGLA DE LA CADENA

Regla de la cadena • Si z = f (x, y) con x = x(t) e y = y(t), entonces: z(t) = f (x(t), y(t))

y

∂z dx ∂z dy dz = + dt ∂x dt ∂y dt

o, mejor en este caso: z 0 (t) =

∂z 0 ∂z 0 x (t) + y (t) ∂x ∂y

• Si z = f (x, y) con x = x(u, v) e y = y(u, v), entonces: z(u, v) = f (x(u, v), y(u, v))

∂z ∂z ∂x ∂z ∂y = + ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u

∂z ∂z ∂x ∂z ∂y = + ∂v ∂x ∂v ∂y ∂v

Derivaci´ on impl´ıcita • Si F (x, y) = 0 define impl´ıcitamente a y como funci´on derivable de x, entonces: ∂F dx ∂F dy Fx (x, y) + = 0 =⇒ Fx (x, y) + Fy (x, y)y 0 = 0 =⇒ y 0 = − ∂x dx ∂y dx Fy (x, y) • Si F (x, y, z) = 0 define impl´ıcitamente a z como funci´on diferenciable de x e y, entonces: ∂F ∂x ∂F ∂y

∂x ∂F + ∂x ∂z ∂y ∂F + ∂y ∂z

∂z ∂z ∂z Fx (x, y, z) = 0 =⇒ Fx (x, y, z) + Fz (x, y, z) = 0 =⇒ =− ∂x ∂x ∂x Fz (x, y, z) Fy (x, y, z) ∂z ∂z ∂z = 0 =⇒ Fy (x, y, z) + Fz (x, y, z) = 0 =⇒ =− ∂y ∂y ∂y Fz (x, y, z)

Ejercicios 1. Si z = (x2 − y)y, con x = sin t e y = et , aplica la regla de la cadena para calcular z 0 (t) y su valor en t = 0. 2. Deduce la expresi´on de la regla de la cadena para la funci´on w = f (x, y, z) si: (a) x = x(t), y = y(t) y z = z(t); (b) x = x(u, v), y = y(u, v) y z = z(u, v). 3. Usa la regla de la cadena para hallar las derivadas parciales de w respecto de u y v en los siguientes casos: (a) w = x2 − 2xy + y 2 , con x = u + 2v e y = uv

(b) w = xyz , con x = u + v, y = u − v y z = uv 2

4. Halla las derivadas parciales de z respecto de ρ y θ (coordenadas polares) de las dos formas siguientes: usando la regla de la cadena y obteniendo primero la expresi´on de z en polares. p y (a) z = 1 − x2 − y 2 (b) z = arctan x 5. Deriva impl´ıcitamente a y respecto de x en la ecuaci´on: y 3 + y 2 − 5y − x2 + 4 = 0. ¿Cu´al es la pendiente de la curva representada por la ecuaci´on en el punto de abscisa −1 y ordenada negativa? 6. Deriva impl´ıcitamente a z respecto de x e y en la ecuaci´on 3x2 z − x2 y 2 + 2z 3 + 3yz + 15 = 0, y calcula sus valores en el punto de la superficie donde x = 2 e y = −1. 7. El radio de un cilindro circular recto se incrementa a raz´on de 6 cent´ımetros por minuto y la altura decrece a raz´on de 4 cent´ımetros por minuto. ¿Cu´al es la velocidad o ritmo de cambio del volumen y del ´area superficial del cilindro cuando el radio es de 12 cent´ımetros y la altura de 36 cent´ımetros?

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

9. Diferenciaci´ on de funciones reales de varias variables reales 9.1. Diferenciaci´ on 9.1.4. DERIVADA DIRECCIONAL Y GRADIENTE Derivada direccional de funciones de dos variables Sea f (x, y) una funci´on de dos variables y u = (cos θ, sen θ), 0 ≤ θ < 2π, un vector unitario. Se llama derivada direccional de f en (a, b) en la direcci´on de u al siguiente l´ımite (si existe): f (a + h cos θ, b + h sen θ) − f (a, b) h→0 h

Du f (a, b) = Dθ f (a, b) = lim

Cuando la funci´on es diferenciable en el punto, la derivada direccional se puede expresar en funci´on de las derivadas parciales: Du f (a, b) = Dθ f (a, b) = fx (a, b) cos θ + fy (a, b) sen θ Gradiente de funciones de dos variables Se llama gradiente de la funci´on diferenciable f al vector cuyas componentes son las derivadas parciales: ∇f (x, y) = (fx (x, y), fy (x, y)) Usando el gradiente, la derivada direccional se puede expresar mediante el producto escalar: Du f (a, b) = ∇f (a, b) · u Propiedades del gradiente de una funci´ on de dos variables • Si ∇f (a, b) = 0, entonces Du f (a, b) = 0 para todo u. • La derivada direccional en (a, b) es m´axima en la direcci´on del vector gradiente ∇f (a, b) (direcci´on de m´aximo incremento de f ), siendo k∇f (a, b)k su valor m´aximo. • La derivada direccional en (a, b) es m´ınima en la direcci´on del vector −∇f (a, b) (direcci´on de m´ınimo incremento de f ), siendo − k∇f (a, b)k su valor m´ınimo. • La derivada direccional en (a, b) es nula en cualquier direcci´on perpendicular al vector gradiente. Derivada direccional y gradiente de una funci´ on de tres variables La derivada direccional de f (x, y, z) en (a, b, c) en la direcci´on del vector unitario u = (u1 , u2 , u3 ) es Du f (a, b, c) = fx (a, b, c)u1 + fy (a, b, c)u2 + fz (a, b, c)u3 = ∇f (a, b, c) · u donde ∇f (a, b, c) = (fx (a, b, c), fy (a, b, c), fz (a, b, c)) es el vector gradiente, que tiene las mismas propiedades que en el caso de dos variables. Ejercicios 1. Halla las derivadas direccionales de las siguientes funciones en los puntos y direcciones que se indican: (a) f (x, y) = 5 + x2 − 3y 2 , en el punto (1, 2) y el la direcci´on θ = π6 . (b) f (x, y) = y 2 sen(3xy), en el punto (π, 1) y el la direcci´on v = 3i − 4j. 2. Usa el gradiente para hallar la derivada direccional de f (x, y) = 3x2 − 2y 2 en P (−3/4, 0) en la direcci´on que va de P a Q(0, 1). 3. La temperatura en grados cent´ıgrados en la superficie de una placa met´alica es T (x, y) = 20 − 4x2 − y 2 , donde x e y se expresan en cent´ımetros. A partir del punto (2, −3), ¿en qu´e direcci´on aumenta m´as r´apidamente la temperatura de la placa? ¿Cu´al es el ritmo de crecimiento? 4. Halla el vector gradiente de la funci´on f (x, y, z) = x2 + y 2 − 4z, as´ı como las direcciones de m´aximo y m´ınimo incremento de f en el punto (2, −1, 1). ¿Existe alguna direcci´on en la que la derivada direccional sea nula?

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

9. Diferenciaci´ on de funciones reales de varias variables reales 9.1. Diferenciaci´ on

´ 9.1.5. APLICACIONES GEOMETRICAS

Recta normal y plano tangente a una superficie Si S es una superficie de ecuaci´on impl´ıcita F (x, y, z) = 0, y P (a, b, c) un punto de la misma en el que ∇F (a, b, c) 6= 0, entonces un vector normal a S en P es ∇F (a, b, c) y, en consecuencia: • La recta normal a la superficie S en el punto P es la que pasa por P con vector de direcci´on ∇F (a, b, c), cuya ecuaci´on es: (x, y, z) = (a, b, c) + λ (Fx (a, b, c), Fy (a, b, c), Fz (a, b, c)) • El plano tangente a la superficie S en el punto P es el que pasa por P con vector normal ∇F (a, b, c), cuya ecuaci´on es: Fx (a, b, c)(x − a) + Fy (a, b, c)(y − b) + Fz (a, b, c)(z − c) = 0 Observaci´ on Si la superficie viene dada en forma expl´ıcita, z = f (x, y), entonces F (x, y, z) = f (x, y) − z y el vector normal en el punto P (a, b, c) es: ∇F (a, b, c) = (Fx (a, b, c), Fy (a, b, c), Fz (a, b, c)) = (fx (a, b), fy (a, b), −1) Recta tangente a una curva dada como intersecci´ on de superficies Si Γ es la curva dada por la intersecci´on de las superficies F (x, y, z) = 0 y G(x, y, z) = 0, su recta tangente en el punto P (a, b, c) es paralela al producto vectorial de los vectores perpendiculares a cada una de las superficies, es decir, paralela al vector: ∇F (a, b, c) × ∇G(a, b, c). Su ecuaci´on vectorial es: (x, y, z) = (a, b, c) + λ (∇F (a, b, c) × ∇G(a, b, c)) Ejercicios 1. Halla ecuaciones de la recta normal y del plano tangente al hiperboloide z 2 − 2x2 − 2y 2 = 12 en el punto (1, −1, 4). 2. Halla ecuaciones de la recta normal y del plano tangente al paraboloide z = 1 − x2 − 2y 2 en el punto (1, −1, −2). 3. Halla ecuaciones de la recta normal y del plano tangente a la superficie xy − x2 z + xz 2 + 4 = 0 en el punto donde x = −1, y = 2 y z < 0. on de las superficies x2 + y 2 + z 2 = 6 y 4. Halla una ecuaci´on de la recta tangente a la curva intersecci´ x + y − z = 0 en el punto (2, −1, 1).

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

9. Diferenciaci´ on de funciones reales de varias variables reales 9.1. Diferenciaci´ on

EJERCICIOS

1. Halla las derivadas parciales primeras de las siguientes funciones: y

(a) f (x, y) = esen x

(b) f (x, y) = arctan

y x

(c) f (x, y) = xy

(d) f (x, y, z) = (xy)z

2. Una medida de la percepci´on del calor ambiental se mide por el ´ındice de temperatura aparente: A(t, h) = 0, 885t − 22, 4h + 1, 20th − 0, 544 grados cent´ıgrados donde t es la temperatura del aire y h la humedad relativa en tanto por uno. (a) Halla el ´ındice de temperatura aparente y sus derivadas parciales cuando la temperatura del aire es 30oC y la humedad relativa del aire es del 80%; (b) ¿Qu´e influye m´as sobre el ´ındice, la temperatura del aire o la humedad. 3. Si el radio y la altura de un cilindro circular recto se miden con posibles errores de 4% y 2%, respectivamente, ¿cu´al es el error relativo que se puede cometer al medir el volumen? 4. Dos lados adyacentes de un tri´angulo miden 3 ± 0, 01 y 4 ± 0, 01 metros, y el ´angulo comprendido entre ellos mide π/4 ± 0, 02 radianes. ¿Cu´al es el m´aximo error que se puede cometer al hallar su ´area? 2

5. La potencia el´ectrica viene dada por la f´ormula P = ER , donde E es el voltaje y R la resistencia. Aproxima el error relativo que se puede cometer al hallar la potencia si se aplican 200 voltios a una resistencia de 4000 ohmios, medidos con errores relativos del 2% y 3%, respectivamente. 6. Usa la regla de la cadena para hallar las derivadas parciales, con respecto a u y v, en los siguientes casos: (a) z = x2 sen(xy) + y 2 cos(xy), con x = u2 v e y = uv 2 . (b) w = xy + xz + yz, con x = uv, y = u2 y z = v 2 . 7. Calcula las derivadas p direccionales de las siguientes funciones en los puntos y direcciones que se indican: (a) f (x, y) = ln x2 + y 2 , en el punto (1, −1) y en la direcci´on del vector v = (2, 1). (b) f (x, y) = ex cos(xy), en el punto (−1, π2 ) y en la direcci´on del vector v = −3i + 4j. Rx 2 8. Se considera la funci´on f (x, y) = π1 ex+y + 0 √tt4 +1 dt. (a) Prueba que es diferenciable en todo el plano. (b) Calcula la derivada direccional en el origen seg´ un el vector v = (1, 2). (c) ¿En qu´e direcci´on es m´axima la derivada direccional en el origen? ¿Cu´al es su valor? 9. Se consideran las funciones: ( f (x, y) =

x+y 1−xy

, si xy 6= 1

0

. si xy = 1

( g(x, y) =

xy x4 +y 6

, si (x, y) 6= (0, 0)

0

. si (x, y) = (0, 0)

(a) Estudia la continuidad y diferenciabilidad. (b) Halla las derivadas parciales en el origen y, si existe, la derivada direccional seg´ un el vector v = (1, 2). (c) ¿En qu´e direcci´on es m´axima la derivada direccional en el origen? ¿Y nula? 10. Un rastreador t´ermico se encuentra en el punto (2, −3) sobre una placa met´alica cuya temperatura viene dada por la funci´on T (x, y) = 20 − 4x2 − y 2 . Si el rastreador se mueve continuamente en la direcci´on de m´aximo incremento de temperatura, ¿cu´al ser´a su trayectoria? 11. Halla la ecuaci´on del plano tangente a la superficie z =

1 xy

en el punto (1, 1, 1).

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

9. Diferenciaci´ on de funciones reales de varias variables reales 9.2. Extremos

9.2.1. POLINOMIOS DE TAYLOR

Polinomios de Taylor y de McLaurin Se llama polinomio de Taylor de orden n ≥ 1 de la funci´on f (x, y) en (a, b) al polinomio: ∂f (a, b) ∂f (a, b) Pn(a,b) (x, y) = f (a, b) + (x − a) + (y − b)+ ∂x ∂y µ ¶ 1 ∂ 2 f (a, b) ∂ 2 f (a, b) ∂ 2 f (a, b) 2 2 + (x − a) + 2 (x − a)(y − b) + (y − b) + . . . + 2! ∂x2 ∂x∂y ∂y 2 n µ ¶ 1 X n ∂ n f (a, b) + (x − a)n−k (y − b)k n! k ∂xn−k ∂y k k=0

En el caso particular en que (a, b) = (0, 0) se obtiene el polinomio de McLaurin: µ ¶ ∂ 2 f (0, 0) ∂f (0, 0) ∂f (0, 0) 1 ∂ 2 f (0, 0) 2 ∂ 2 f (0, 0) 2 Pn (x, y) = f (0, 0) + x+ y+ x + 2 xy + y + ...+ ∂x ∂y 2! ∂x2 ∂x∂y ∂y 2 n µ ¶ 1 X n ∂ n f (0, 0) n−k k + x y n! k ∂xn−k ∂y k k=0

Ejercicios 1. Obt´en el polinomio de McLaurin de orden 2 de la funci´on f (x, y) = x cos y + y sen x. 2. Obt´en el polinomio de Taylor de orden 3 de la funci´on f (x, y) = ln xy en el punto (1, 1).

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

9. Diferenciaci´ on de funciones reales de varias variables reales 9.2. Extremos

9.2.2. EXTREMOS RELATIVOS Y ABSOLUTOS

Extremos relativos Sea f (x, y) una funci´on definida sobre el conjunto R del que (a, b) es un punto interior. Se dice que: • La funci´on f alcanza un m´ınimo relativo en el punto (a, b) si en un entorno del punto: f (x, y) ≥ f (a, b). • La funci´on f alcanza un m´ aximo relativo en el punto (a, b) si en un entorno del punto: f (x, y) ≤ f (a, b). Puntos cr´ıticos Sea f (x, y) una funci´on definida sobre el conjunto R del que (a, b) es un punto interior. Se dice que (a, b) es un punto cr´ıtico de f si en dicho punto se anulan las dos derivadas parciales o no existe alguna de ellas. Criterio de las primeras derivadas parciales para la determinaci´ on de extremos relativos Una funci´on definida sobre un abierto s´olo puede alcanzar extremos relativos en los puntos cr´ıticos, es decir, donde se anulan las dos derivadas parciales o no existe alguna de ellas. Matriz hessiana Dada una funci´on f diferenciable dos veces en el punto (a, b), se llama matriz hessiana de f en (a, b) a la matriz: µ ¶ fxx (a, b) fxy (a, b) Hf (a, b) = fyx (a, b) fyy (a, b) Criterio de las segundas derivadas parciales para la determinaci´ on de extremos relativos Sea f una funci´on con segundas derivadas parciales continuas en una regi´on abierta que contiene al punto (a, b) que es cr´ıtico (fx (a, b) = fy (a, b) = 0). Entonces: • Si |Hf (a, b)| > 0 y fxx (a, b) > 0, f tiene un m´ınimo relativo en (a, b). • Si |Hf (a, b)| > 0 y fxx (a, b) < 0, f tiene un m´ aximo relativo en (a, b). • Si |Hf (a, b)| < 0, f tiene un punto de silla en (a, b). • Si |Hf (a, b)| = 0, este criterio no lleva a ninguna conclusi´on. Extremos absolutos Sea f (x, y) una funci´on definida sobre el conjunto R. Se dice que: • La funci´on f alcanza un m´ınimo absoluto en el punto (a, b) si: f (x, y) ≥ f (a, b), para todo (x, y) ∈ R. • La funci´on f alcanza un m´ aximo absoluto en el punto (a, b) si: f (x, y) ≤ f (a, b), para todo (x, y) ∈ R. Para la existencia de extremos absolutos se considera el teorema de Weierstrass: toda funci´ on continua definida sobre un conjunto cerrado y acotado alcanza su m´ aximo y su m´ınimo absolutos. Para determinar los extremos absolutos hay que tener en cuenta que se pueden alcanzar tanto en los extremos relativos como en la frontera del dominio de definici´on. Ejercicios 1. Determina los extremos relativos de las siguientes funciones:p (a) f (x, y) = 2x2 + y 2 + 8x − 6y + 20; (b) f (x, y) = 1 − 3 x2 + y 2 . 2. Determina los extremos relativos de las siguientes funciones: (a) f (x, y) = −x3 + 4xy − 2y 2 + 1; (b) f (x, y) = x2 y 2 . 3. Determina los extremos absolutos de la funci´on f (x, y) = sen(xy) en [0, π] × [0, 1].

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

9. Diferenciaci´ on de funciones reales de varias variables reales 9.2. Extremos

´ 9.2.3. PROBLEMAS DE OPTIMIZACION

Problemas de optimizaci´ on Como en el caso de funciones de una variable, una aplicaci´on muy importante del c´alculo de derivadas de funciones de varias variables es la resoluci´on de problemas de optimizaci´on, es decir, problemas relativos a hallar un extremo absoluto (m´aximo o m´ınimo) de una funci´on en un cierto dominio. Ejercicios 1. Una caja rectangular descansa en el plano z = 0 con uno de sus v´ertices en el origen y el opuesto en el primer octante sobre el plano 6x + 4y + 3z = 24. ¿Cu´al es el volumen m´aximo de la caja? 2. Un fabricante de art´ıculos electr´onicos determina que los beneficios obtenidos con la fabricaci´on de x unidades de un reproductor de DVD e y unidades de un grabador de DVD vienen dados por la funci´on P (x, y) = 8x + 10y − 0, 001(x2 + xy + y 2 ) − 10000 euros ¿Cu´antas unidades debe fabricar de cada producto para obtener el m´aximo beneficio? ¿Cu´al es? 3. Se quiere construir un canal cuya secci´on sea un trapecio is´osceles de base x y lado inclinado y con x + 2y = 1 metro. ¿Cu´al debe ser el ´angulo exterior de los lados inclinados y cu´anto deben medir los lados para que tenga secci´on m´axima. 4. Demuestra que el cubo es la caja rectangular de volumen m´aximo inscrita en una esfera. 5. Una empresa fabrica velas en dos lugares distintos. El costo de producci´on de x unidades en el lugar 1 es C1 (x) = 0, 02x2 + 4x + 500, y en lugar 2 es C2 (x) = 0, 05x2 + 4x + 275. (a) Interpreta las diferencias entre estas dos funciones de costo. (b) Si las velas se venden a 15 e por unidad, ¿cu´al es el beneficio obtenido con la venta de x unidades producidas en 1 e y unidades producidas en 2? (c) Determina las unidades que se deben producir en cada lugar para que el beneficio sea m´aximo.

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

9. Diferenciaci´ on de funciones reales de varias variables reales 9.2. Extremos

9.2.4. EXTREMOS CONDICIONADOS

Extremos condicionados Muchos problemas de optimizaci´on requieren de la obtenci´on de alg´ un extremo (m´aximo o m´ınimo) absoluto de cierta funci´on f , llamada funci´ on objetivo, que est´a definida sobre variables que deben verificar ciertas condiciones, dadas por medio de ecuaciones, llamadas restricciones o ligaduras. Estos extremos se llaman extremos condicionados, y se resuelven usando el conocido como m´etodo de los multiplicadores de Lagrange. El m´ etodo de los multiplicadores de Lagrange A continuaci´on se expondr´a el m´ etodo de los multiplicadores de Lagrange en los casos m´as usuales. En todos ellos, f y gi son funciones con primeras derivadas parciales continuas. • Dos variables y una ligadura. Para hallar el extremo absoluto de f (x, y) sometido a la restricci´on g(x, y) = 0, se procede as´ı: 1. Se considera la funci´on F (x, y) = f (x, y) + λg(x, y) y se resuelve el sistema:  (  fx (x, y) + λgx (x, y) = 0 ∇F (x, y) = 0 que es equivalente a: fy (x, y) + λgy (x, y) = 0  g(x, y) = 0  g(x, y) = 0 2. Se eval´ ua f en cada soluci´on del sistema. El valor mayor y el menor valor obtenidos dan el m´aximo y el m´ınimo de f , respectivamente, condicionado a la ligadura. • Tres variables y una o dos ligaduras. Para hallar el extremo absoluto de f (x, y) sometido a las restricciones g1 (x, y, z) = 0 y g2 (x, y, z) = 0, se procede as´ı: 1. Se considera la funci´on F (x, y, z) = f (x, y, z) + λ1 g1 (x, y, z) + λ2 g2 (x, y, z) y se resuelve el sistema:   ∇F (x, y, z) = 0 g1 (x, y, z) = 0   g2 (x, y, z) = 0 2. Se eval´ ua f en cada soluci´on del sistema. El valor mayor y el menor valor obtenidos dan el m´aximo y el m´ınimo de f , respectivamente, condicionados a las ligaduras. Ejercicios 1. Halla el valor m´aximo que alcanza la funci´on f (x, y) = xy, sobre la circunferencia x2 + y 2 = 1. 2. Halla el valor m´ınimo que alcanza la funci´on f (x, y, z) = 3x2 + y 2 + 5z 2 sobre el plano 3x + y − 2z = 2. 3. Sea T (x, y, z) = 20 + 2x + 2y + z 2 la temperatura en cada punto de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 11. Halla las temperaturas extremas sobre la curva intersecci´ on del plano x + y + z = 3 con la esfera. 4. Halla los valores extremos de la funci´on f (x, y) = x2 + 2y 2 − 2x + 3 en el c´ırculo x2 + y 2 ≤ 10. 5. Halla las dimensiones del paralelep´ıpedo de volumen m´aximo que se puede construir siendo 1 metro la suma de las longitudes de sus lados distintos.

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

9. Diferenciaci´ on de funciones reales de varias variables reales 9.2. Extremos

EJERCICIOS

1. Obt´en el polinomio de McLaurin de orden 3 de la funci´on f (x, y) = ex cos y. 2. Obt´en el polinomio de Taylor de orden 2 de la funci´on f (x, y) = x3 + y 2 + xy 2 en el punto (1, 2). 3. Halla los extremos relativos de las siguientes funciones: (a) f (x, y) = x4 + y 4 + 6x2 y 2 + 8x3 ; (b) f (x, y) = x3 + y 3 − 3x − 12y + 5; (c) f (x, y) = (1 − x)(1 − 2x)(1 − y)(1 − 2y). 4. Halla los extremos relativos y © absolutos de las siguientes funciones en elª recinto que se indica: (a) f (x, y) = x2 − y 2 , en R = (x, y) : y − x2 +ª1 ≥ 0 , y + x2 − 1 ≤ 0 . © (b) f (x, y) = xy, en R = (x, y) : x2 + y 2 ≤ a2 , a > 0. 5. Calcula el ´area del mayor rect´angulo con lados paralelos a los ejes inscrito en: (a) un c´ırculo de radio r; (b) una elipse de semiejes a y b. 6. Se considera la circunferencia C intersecci´ on de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 1 y el plano x + y + z = 1, y el punto P (0, 3, 3). (a) Obt´en las coordenadas del punto Q sobre la circunferencia C cuya distancia a P sea m´ınima. (b) ¿Cu´al es el valor de esa distancia m´ınima? 7. Se desea construir una caja cerrada rectangular de volumen 10 cm3 usando tres materiales diferentes para cada par de caras opuestas. El precio de los materiales es de 1 e, 2 e y 5 e el cm2 , respectivamente. Determina las dimensiones de la caja m´as econ´omica. 8. Halla el volumen m´aximo de un prisma rectangular de ´area igual a 6 m2 . 9. Una f´abrica, que produce tres productos diferentes en cantidades x, y y z, obtiene un beneficio igual a B(x, y, z) = 2x + 8y + 24z. Encuentra las cantidades que se deben producir, sujetas a la restricci´on x2 + 2y 2 + 4z 2 = 4, 5 · 109 , para que beneficio sea m´aximo. 10. Calcula el m´ınimo y m´aximo absolutos © de: ª 2 x+y+z 2 + y 2 + z 2 = 4 , x2 + y 2 = 1 . (a) f (x, y, z) = e , sobre Γ = (x, y, z) : x © ª (b) f (x, y, z) = x + y + z, sobre Γ = (x, y, z) : x2 + y 2 = 2 , x + z = 1 .