Apuntes Ampliación Cálculo (con Ecuaciones Diferenciales) En Un único Pdf
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Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM
1
1
Funciones definidas mediante integrales
1.1
Regla de Leibniz
Supongamos que ϕ : (a, b) −→ R est´a definida por Z d ϕ(x) = f (x, t) dt ,
a<x
c
donde c, d ∈ R son constantes. Si f y
∂f ∂x
son continuas en el rect´angulo
R = (a, b) × [c, d] = {(x, t) : a < x < b, c ≤ t ≤ d} entonces ϕ es derivable en (a, b) y Z ϕ0 (x) = c
1.2
d
∂f (x, t) dt ∂x
,
a<x
Regla generalizada de Leibniz
Supongamos que f y
∂f ∂x
son continuas en el rect´angulo
R = (a, b) × [c, d] = {(x, t) : a < x < b, c ≤ t ≤ d} y que u1 , u2 : (a, b) −→ (c, d) son funciones derivables con continuidad. Si se define ϕ : (a, b) −→ R por Z
u2 (x)
ϕ(x) =
f (x, t) dt ,
a<x
u1 (x)
entonces ϕ es derivable en (a, b) y Z 0
ϕ (x) = f
1.3
(x, u2 (x)) u02 (x)
−f
(x, u1 (x)) u01 (x)
u2 (x)
+ u1 (x)
∂f (x, t) dt , ∂x
Funci´ on Γ
Se define la funci´on Γ : (0, ∞) −→ R por Z Γ(p) =
∞
xp−1 e−x dx
0
que es una integral impropia convergente para cada p > 0.
1.4
C´ alculo de Γ
1. F´ormula de reducci´on: Si p > 1 entonces Γ(p) = (p − 1) · Γ(p − 1). 2. Si p = n ∈ N∗ = N \ {0}, entonces Γ(p) = Γ(n) = (n − 1)! En particular Γ(1) = 0! = 1.
a<x
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM
2
3. Si p = n + r con n ∈ N∗ y 0 < r < 1, entonces γ(p) = Γ(n + r) = (n − 1 + r)(n − 2 + r) . . . (2 + r)(1 + r)r · Γ(r) 4. Si 0 < p < 1 entonces Γ(p) · Γ(1 − p) = En particular Γ( 12 ) =
1.5
√ π.
π sen pπ
Funci´ on β
Se define la funci´on β : (0, ∞) × (0, ∞) −→ R por Z β(p, q) =
1
xp−1 (1 − x)q−1 dx
0
para cada p, q > 0.
1.6
C´ alculo de β β(p, q) =
1.7
Γ(p) · Γ(q) Γ(p + q)
F´ ormula trigonom´ etrica de β
Se puede ver que Z β(p, q) = 2 ·
π 2
sen2p−1 θ cos2q−1 θ dθ
,
p, q > 0
0
de donde
Z I(n, m) = 0
π 2
1 sen x cos x dx = · β 2 n
para cualesquiera n, m ∈ R, n, m > −1.
m
µ
n+1 m+1 , 2 2
¶
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM
1
Ejercicios Tema 1: Funciones definidas mediante integrales 1. Hallar las derivadas, indicando su campo de definici´on, de las siguientes funciones definidas mediante integrales: R 2 e−t dt (a) f (x) = 1 xt+1 R x2 (b) g(x) = 1 cos t2 dt Rx (c) h(x) = sen x ln(1 + xt) dt R 2 −te−t −1 0 4 Sol.: (a) f 0 (x) = 1 (xt+1) 2 dt, para x ∈ (−∞, −1) ∪ ( 2 , +∞); (b) g (x) = 2x cos x , ¢ ¡ ¢ ¡ para x ∈ R; (c) h0 (x) = 1 − senx x + 1 − x12 ln(1 + x2 ) + x12 − cos x ln(1 + x sen x), para 0 < x < π. 2. Hallar la derivada de la funci´on Z π 2 ϕ(x) = f (x, t) dt
( donde
f (x, t) =
0
Sol.:
( sen πx ϕ0 (x) =
π 2
x
2
sen xt t
x
, si t 6= 0, , si t = 0.
, si x 6= 0 , si x = 0
3. Hallar, usando la regla de Leibniz, las integrales Z 1 du I(n) = 2 n 0 (u + 1) para n = 2, 3. Sol.: I(2) = π+2 8 ; I(3) =
3π+8 32 .
4. Calcular, usando integrales eulerianas, el valor de las siguientes integrales R1√ (a) 0 x − x2 dx. R∞ 5 (b) 0 xe−x dx. R∞ (c) 0 x5 a−3x dx, con a > 1. R∞ 2 2 (d) −∞ x2 e−n x dx. ¡ ¢p R1 (e) 0 xm ln x1 dx, con p, m > −1. R 1 dx (f) 0 √ . 4 1−x4 R 1 x2 (g) 0 √1−x4 dx. Rπ√ (h) 02 tan x dx. R √ na (i) 0 (a − xn )p dx, con a > 0 y n ∈ N∗ . ´ Rπ³ 1 √ 1 (j) 02 √tan + dx. x cotan x
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM π 1 2 5! 8 ; (b) 5 Γ( 5 ); (c) (3 ln a)6 ; √ √ ap n a 1 n β( n , p + 1); (j) π 2.
Sol.: (a) π √ ; 2
(i)
√
(d)
π ; 2n3
(e)
2
Γ(p+1) ; (m+1)p+1
(f)
π √ ; 2 2
(g)
5. Hallar el ´area del recinto encerrado por la curva x2/5 + y 2/5 = a2/5 . 2 Sol.: 15πa 128 . ³ ´ Q jπ k 6. Sabiendo que k−1 = 2k−1 sen , hallar j=1 k I(k) =
k Z Y m=1 0
Sol.: (2π)
k−1 2
1
k −k− 2 .
∞
k
xm−1 e−x dx
√1 Γ( 3 )2 ; 4 2π
(h)
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1
Curvas en Rn
2 2.1
Definici´ on
Se dice que Γ ⊂ Rn es una curva si existe un intervalo compacto I = [a, b] ⊂ R y una aplicaci´on α : I −→ Rn continua tal que α(I) = Γ. El origen de Γ es α(a), el extremo es α(b), y el sentido el que va de α(a) a α(b). La funci´on α se llama parametrizaci´ on de Γ. Si α(a) = α(b) la curva se llama cerrada, y si α es inyectiva sobre [a, b) (o (a, b]) la curva se llama simple. Una curva Γ se llama suave si admite una parametrizaci´on α(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)) derivable, siendo ¡ ¢ α0 (t) = x01 (t), x02 (t), . . . , x0n (t) el vector velocidad de la curva (o vector tangente a la curva), y à n !1/2 X ¯ 0 ¯ 0 2 ¯α (t)¯ = (xi (t)) i=1
la velocidad en el punto α(t). Si α es derivable salvo quiz´as en un n´ umero finito de puntos, la curva se llama suave a trozos. Llamaremos camino a cualquier curva simple y suave a trozos.
2.2
Algunas parametrizaciones de curvas planas
1. Una parametrizaci´on del segmento que va de P = (x1 , y1 ) a Q = (x2 , y2 ) es α(t) = (x(t), y(t)), 0 ≤ t ≤ 1, con ( x(t) = x1 + t(x2 − x1 ) y(t) = y1 + t(y2 − y1 ) 2. Las funciones α(t) = (x0 + r cos t, y0 + r sen t) ,
t ∈ [0, 2π]
β(t) = (x0 + r cos πt, y0 + r sen πt) ,
t ∈ [0, 2]
son dos parametrizaciones de la circunferencia de centro (x0 , y0 ) y radio r recorrida en sentido positivo (contrario al sentido de avance de las agujas del reloj). En sentido negativo lo es γ(t) = (x0 + r cos t, y0 − r sen t) ,
t ∈ [0, 2π]
3. Una parametrizaci´on de la elipse (x − x0 )2 (y − y0 )2 + =1 a2 b2 recorrida en sentido positivo es α(t) = (x0 + a cos t, y0 + b sen t), 0 ≤ t ≤ 2π. 4. Una parametrizaci´on del grafo de la funci´on continua f : [a, b] −→ R es α(t) = (t, f (t)) ,
a≤t≤b
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2.3
2
Parametrizaci´ on de −Γ
Se llama −Γ a la curva Γ recorrido en sentido contrario. Si α : [a, b] −→ Rn es una parametrizaci´on de Γ, entonces β : [−b, −a] −→ Rn definida por β(t) = α(−t) es una parametrizaci´on de −Γ.
2.4
Longitud de una curva
Si Γ ⊂ Rn es un camino parametrizado por α : [a, b] −→ Rn , se define su longitud por Z L(Γ) = a
¯ ¯α0 (t)¯ dt
b¯
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM
1
Ejercicios Tema 2: Curvas en Rn 1. Hallar la longitud de (a) Una circunferencia de radio r. (b) El arco de la curva y = x3/2 entre x = 0 y x = 5. (c) El arco de la par´abola y 2 = 12x comprendida en el primer cuadrante entre x = 0 y x = 1. (d) La curva α(t) = (t − sen t, 1 − cos t), 0 ≤ t ≤ 2π. (e) El arco de h´elice c´onica dado por la parametrizaci´on α(t) = aet (cos t, sen t, 1), a > 0, y que va del origen de coordenadas al punto A(a, 0, a). (f) El arco parametrizado por α(t) = (a cos t, a sen t, bt), 0 ≤ t ≤ 2π. √ √ 3 2 2 Sol.: (a) 2πr; (b) 335 27 ; (c) 2 + 2 ln 3; (d) 8; (e) a 3; (f) 2π a + b .
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3
1
Integral curvil´ınea de primer tipo
3.1
Definici´ on
Sea Γ ⊂ R un camino (curva simple y suave a trozos) parametrizado por α : [a, b] −→ Rn , y sea f : Γ −→ R una funci´on escalar y acotada. Se define la integral curvil´ınea de primer tipo de f sobre Γ como Z
Z
b
f ds = Γ
3.2
¯ ¯ f (α(t)) ¯α0 (t)¯ dt
a
Observaciones
1. La integral curvil´ınea de primer tipo no depende de la parametrizaci´on elegida, ni del sentido en que se recorre la curva. 2. Si Γ ⊂ R2 es el grafo de la funci´on continua ϕ : [a, b] −→ R, entonces Z
Z f ds =
Γ
3. Si f ≡ 1, entonces
3.3
R
Γ 1 ds
b
f (t, ϕ(t))
p 1 + ϕ0 (t)2 dt
a
= L(Γ).
Interpretaci´ on f´ısica
Si un camino Γ ⊂ Rn , parametrizado por α : [a, b] −→ Rn , representa a una cuerda y ρ(α(t)) es la densidad puntual de la cuerda en el punto α(t) ∈ Γ, entonces la integral curvil´ınea de primer tipo de ρ sobre Γ nos da la masa de dicha cuerda.
3.4
Aplicaciones
Sea Γ ⊂ Rn un camino que representa a una cuerda y ρ(M ), M ∈ Γ, la densidad puntual de dicha cuerda en el punto M . La masa de la cuerda viene dada por Z m= ρ(x1 , x2 , . . . , xn ) ds Γ
y el centro de gravedad ser´a G = (xg1 , xg2 , . . . , xgn ), donde Z 1 g xi = xi ρ(x1 , x2 , . . . , xn ) ds m Γ
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1
Ejercicios Tema 3: Integral curvil´ınea de primer tipo R 1. Hallar I = Γ xy ds, si Γ es la parte de la circunferencia x2 + y 2 = 1 comprendida en el primer cuadrante. Sol.: 12 . 2. Calcular la masa de una espiral de un muelle que tiene la forma de h´elice de ecuaci´on α(t) = (a cos t, a sen t, bt) ,
t ∈ [0, 2π] ,
a, b > 0
2 2 2 si la densidad ¡puntual viene ¢dada √ por ρ(x, y, z) = x + y + z . 8 3 2 2 a2 + b2 . Sol.: Masa = 2πa + 3 π b
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4
1
Integral curvil´ınea de segundo tipo
4.1
Definici´ on
Sea Γ ⊂ Rn un camino (curva simple y suave a trozos) parametrizado por α : [a, b] −→ Rn , y sea F : Γ −→ Rn una funci´on vectorial y acotada. Se define la integral curvil´ınea de segundo tipo de F sobre Γ como Z b Z F ds = F (α(t)) · α0 (t) dt Γ
a
siempre que esta integral exista. El s´ımbolo de producto ”·” indica producto escalar.
4.2
Notaci´ on
1. Cuando el camino Γ es cerrado, la integral se suele representar por I F ds Γ
2. Si F = (f1 , f2 , . . . , fn ) y α(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)), entonces ! Z Z b Z b ÃX n ¡ 0 ¢ 0 fi (α(t))xi (t) dt = f1 x1 + f2 x02 + . . . + fn x0n dt F ds = Γ
a
a
i=1
de donde se deriva la siguiente frecuente notaci´on de la integral curvil´ınea de segundo tipo: Z Z F ds = Γ
Γ
f1 dx1 + f2 dx2 + . . . + fn dxn
que en los casos n = 2 y n = 3 ser´ıa Z Z P (x, y) dx + Q(x, y) dy y P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz Γ
4.3
Γ
Propiedades
1. Linealidad: Si F, G : Γ −→ Rn y λ, µ ∈ R, entonces Z Z Z (λF + µG) ds = λ F ds + µ G ds Γ
Γ
Γ
2. Si Γ1 , Γ2 ⊂ Rn son dos caminos con Γ1 ∩ Γ2 = {P }, siendo P el extremo de Γ1 y el origen de Γ2 , si se define Γ = Γ1 ∪ Γ2 , y si F : Γ −→ Rn , entonces Z Z Z F ds = F ds + F ds Γ
Γ1
Γ2
3. La integral curvil´ınea de segundo tipo no depende de la parametrizaci´on elegida, pero si depende del sentido en que se recorre el camino, siendo Z Z F ds = − F ds −Γ
Γ
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4.4
2
Interpretaci´ on f´ısica
Sea Ω ⊂ Rn un dominio, y supongamos que la funci´on vectorial F : Ω −→ Rn nos define un campo de fuerzas (electromagn´etico, gravitacional, etc.) en cada punto de Ω y que Γ ⊂ Ω representa un camino que va de A a B. Entonces Z F ds Γ
es el trabajo necesario para llevar una part´ıcula de masa unidad de A a B a lo largo de Γ.
4.5
Definici´ on
Sea Ω ⊂ Rn un dominio (abierto y conexo) y F : Ω −→ Rn un campo vectorial continuo. Diremos que la integral de f es independiente sobre Ω del camino que une A con B, A, B ∈ Ω, si la integral Z F ds Γ
siempre nos da el mismo resultado para cualquier camino Γ que une A con B y est´a contenido en Ω. En este caso, y puesto que la integral s´olo depende del origen A y del extremo B, se suele representar Z Z B F ds = F ds Γ
A
Si lo anterior ocurre para cualesquiera A, B ∈ Ω, se dice que la integral es independiente del camino en Ω.
4.6
Definici´ on
Sea Ω ⊂ Rn un dominio, y f : Ω −→ R una funci´on escalar con derivadas parciales en cada punto de Ω. Se llama gradiente de f a la funci´on vectorial ∇f : Ω −→ Rn definida por ¶ µ ∂f ∂f ∂f , ,..., ∇f = ∂x1 ∂x2 ∂xn
4.7
Segundo teorema fundamental del c´ alculo para integrales de l´ınea
Sea Ω ⊂ Rn un dominio y f : Ω −→ R una funci´on escalar diferenciable con gradiente ∇f : Ω −→ Rn continuo. Entonces, para cualesquiera puntos A, B ∈ Ω y camino Γ ⊂ Ω que vaya de A a B, se cumple que Z ∇f ds = f (B) − f (A) Γ
es decir, la integral de ∇f es independiente del camino en Ω.
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4.8
3
Consecuencias
1. La integral curvil´ınea de un gradiente continuo es cero sobre cualquier camino cerrado contenido en Ω. 2. Si F : Ω −→ Rn es continua y existe f : Ω −→ R diferenciable con ∇f = F , entonces Z B F ds = f (B) − f (A) A
sobre cualquier camino Γ ⊂ Ω que vaya de A a B, y I F ds = 0 Γ
sobre cualquier camino cerrado Γ ⊂ Ω.
4.9
Definici´ on
Sea Ω ⊂ Rn un dominio y F : Ω −→ Rn una funci´on continua. Se llama funci´ on potencial de F en Ω a cualquier funci´on escalar f : Ω −→ R tal que ∇f = F .
4.10
Primer teorema fundamental del c´ alculo para integrales de l´ınea
Sea Ω ⊂ Rn un dominio y F : Ω −→ Rn una funci´on vectorial cuya integral de l´ınea es independiente del camino en Ω. Entonces la funci´on f : Ω −→ R definida por Z X f (X) = F ds A
sobre cualquier camino Γ ⊂ Ω que va de un punto fijo arbitrario A ∈ Ω al punto X = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Ω, est´a bien definida y es una funci´on potencial de F en Ω (∇f = F ).
4.11
Teorema general de caracterizaci´ on
Sea Ω ⊂ Rn un dominio y F : Ω −→ Rn una funci´on vectorial continua. Son equivalentes: 1. Existe funci´on potencial de F en Ω. 2. La integral de l´ınea de F es independiente del camino en Ω. 3. La integral de l´ınea de F es cero sobre cualquier camino cerrado contenido en Ω.
4.12
Condiciones necesarias (no suficientes) para la existencia de funci´ on potencial
Sea Ω ⊂ Rn un dominio y F = (f1 , f2 , . . . , fn ) : Ω −→ Rn una funci´on vectorial diferenciable con continuidad en Ω que admite funci´on potencial. Entonces ∂fj ∂fi = ∂xj ∂xi en Ω, para cada i, j, 1 ≤ i, j ≤ n.
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4.13
4
Definici´ on
Un dominio Ω ⊂ R2 se llamar´a simplemente conexo si para cualquier camino cerrado Γ ⊂ Ω, su interior est´a tambi´en contenido en Ω (no tiene agujeros).
4.14
Condici´ on necesaria y suficiente para la existencia de funci´ on potencial en R2
Sea Ω ⊂ R2 un dominio simplemente conexo y F = (P, Q) : Ω −→ R2 diferenciable con continuidad. Entonces F admite funci´on potencial en Ω (o la integral de l´ınea de F es independiente del camino en Ω) si y s´olo si ∂P ∂Q = ∂y ∂x en Ω.
4.15
Definici´ on
Un dominio Ω ⊂ Rn se llamar´a convexo si para cualquier par de puntos de Ω el segmento que los une est´a contenido en Ω.
4.16
Condici´ on necesaria y suficiente para la existencia de funci´ on potencial en Rn
Sea Ω ⊂ Rn un dominio convexo y F = (f1 , f2 , . . . , fn ) : Ω −→ Rn diferenciable con continuidad. Entonces F admite funci´on potencial en Ω (o la integral de l´ınea de F es independiente del camino en Ω) si y s´olo si ∂fj ∂fi = ∂xj ∂xi en Ω, para cada 1 ≤ i, j ≤ n.
4.17
C´ alculo pr´ actico de integrales de l´ınea sobre caminos cerrados en R2
Sea Γ ⊂ R2 un camino cerrado, sea S la regi´on interior a Γ, Ω un dominio simplemente conexo que contiene a S ∪ Γ, y F = (P, Q) una funci´on vectorial definida sobre Ω salvo quiz´as en un n´ umero finito de puntos. Entonces 1. Si
∂P ∂y
=
∂Q ∂x
en Ω entonces
I F ds = 0 Γ
2. Si
∂P ∂y
=
∂Q ∂x
en Ω \ {A}, con A ∈ S, entonces I I F ds = F ds Γ
γ
donde γ ⊂ Ω es cualquier otro camino cerrado, que contiene al punto A en su interior, y con la misma orientaci´on de Γ.
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM 3. Si
∂P ∂y
=
∂Q ∂x
5
en Ω \ {A1 , . . . , AN }, con A1 , . . . , AN ∈ S, entonces I F ds = Γ
N I X i=1
F ds
γi
donde γi ⊂ Ω es cualquier camino cerrado, con la misma orientaci´ on de Γ, que contiene al punto Ai en su interior y que no contiene ni corta a ning´ un otro punto Aj , j 6= i. 4. En cualquier otro caso es necesario usar el m´etodo general, es decir parametrizar el camino Γ por α : [a, b] −→ R2 y entonces I
Z F ds =
Γ
b
F (α(t)) · α0 (t) dt
a
Obviamente, este m´etodo general se puede usar en cualquier caso y, por supuesto, en los casos inicialmente descritos.
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1
Ejercicios Tema 4: Integral curvil´ınea de segundo tipo ¡√ ¢ 1. Sea F : R × (0, ∞) −→ R2 definida por F (x, y) = y, x3 + y . Hallar la integral de F a lo largo de cada uno de los siguientes caminos: (a) La recta Γ1 parametrizada por α1 (t) = (t, t), 0 ≤ t ≤ 1. (b) La curva Γ2 parametrizada por α2 (t) = (t2 , t3 ), 0 ≤ t ≤ 1. extrayendo las conclusiones oportunas. 59 Sol.: (a) 17 12 ; (b) 42 . Conclusi´on: La integral curvi´ınea depende del camino (no s´olo de los puntos inicial y final). 2. Estudiar si la funci´on
µ F (x, y) =
−y x , 2 2 2 x + y x + y2
¶
admite funci´on potencial en Ω = R2 \ {(0, 0)}. Sol.: No. 3. Calcular la integral curvil´ınea Z I = (10xz 3 + 1) dx − 6y 2 dy + 15x2 z 2 dz γ
donde γ es el trozo de la h´elice x = cos t, y = sen t, z = t/π, comprendida entre t = 0 y t = 2π. Sol.: 40. 4. Calcular
Z 2yz 2 dx + xz 2 dy + yz dz
I= γ
siendo γ el camino determinado en el primer octante (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0) por la intersecci´on de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 4 con el cilindro x2 + y 2 − 2x = 0, y que va de A(2, 0, 0) a B(0, 0, 2). Sol.: I = −3π 2 . 5. Dada la expresi´on diferencial: y 2 + 2xy + ax2 x2 + 2xy + by 2 dx − dy (x2 + y 2 )2 (x2 + y 2 )2
,
a, b ∈ R
(a) Determinar los valores de a y b que conviertan a la expresi´on anterior en la derivada total de una funci´on U (x, y) para alg´ un conjunto del plano. Determinar dicho conjunto. (b) Para los valores de a y b determinados en el apartado anterior, calcular razonadamente la integral de dU sobre la curva γ de ecuaci´on x2/3 + y 2/3 = k 2/3 , recorrida en sentido positivo. Sol.: (a) a = b = −1; (b) 0.
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM 6. Calcular I=
2
¶ Z µ ³ y2 y y y y´ 1 − 2 cos dx + sen + cos dy x x x x x γ
donde γ es el arco de la curva (x − 3/2)2 + (y − π)2 = 0.25 que une los puntos (1, π) y (2, π). Sol.: I = 1 + π. 7. Calcular:
Z I= γ
(n + y 2 ) dx + (n + x2 ) dy (xy − n)2
donde n ∈ N y γ es: (a) El pol´ıgono ABCD de v´ertices A(−7, 1), B(−13, 5), C(−6, 8) y D(−1, 4). d (b) Cualquier curva M N que pertenece al cuarto cuadrante (x > 0 e y < 0) y que une los puntos M (1/2, −1/2) y N (3, −5). Sol.: (a) 0; (b)
−2 n+15 .
8. Siendo P (x, y) = x+y(x2 +y 2 )−1 y Q(x, y) = y−x(x2 +y 2 )−1 , calcular las integrales: Z P (x, y) dx + Q(x, y) dy , i = 1, 2, 3 Ii = γi
donde γ1 es la elipse (x − 4)2 + (y − 4)2 = 4, γ2 el astroide de ecuaci´on x2/3 + y 2/3 = a2/3 , a > 0, y γ3 el segmento que une el punto (1, 1) con el punto (2, 1). Sol.: I1 = 0; I2 = −2π; I3 = 6−π 4 + arctan 2. 9. Calcular:
Z γi
x dx + y dy ex2 +y2 − 1
,
i = 1, 2
donde γ1 es el tri´angulo de v´ertices A(7, 0), B(6, 6) y C(4, 5); y γ2 el cuadril´atero de v´ertices D(1, 0), E(0, 5), F (−6, −1) y G(−1, −5). Sol.: I1 = I2 = 0. 10. Calcular la integral: Z I= γ
2xy(y + 2) dx + (y 2 − 2x2 − 2x2 y) dy (2x2 + y 2 )2
donde γ es: (a) El segmento de extremos A( √12 , 0) y B(0, 1). (b) El pol´ıgono cerrado de v´ertices M (0, 3), N (1, 2), O(1, 0), P (−2, 3) y Q(−3, 12 ). Sol.: (a) 11. Sean
−3 2 ;
(b) 0. ½
P (x, y) = [2x f (x) − 2x3 ]y 2 + 6x2 y Q(x, y) = y f (x) + 2x3
donde f (x) es un polinomio de segundo grado. Se pide:
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM (a) Hallar f (x) para que: I P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 C
sobre cualquier curva cerrada. (b) Para la funci´on f (x) hallada en el apartado anterior hallar Z P (x, y) dx + Q(x, y) dy γ
donde γ es cualquier curva que va de A(0, 0) a B(2, 1). Sol.: (a) f (x) = x2 + 12 ; (b)
73 4 .
3
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM
5
1
Integral doble de Riemann
5.1
Definici´ on
Llamaremos rect´ angulo cerrado de R2 al producto de dos intervalos cerrados y acotados de R, es decir © ª R = [a, b] × [c, d] = (x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d Si los intervalos son abiertos, el rect´ angulo se llama abierto. Se llama ´area del rect´angulo al producto de las longitudes de los intervalos que lo definen, es decir A(R) = (b−a)(d−c).
5.2
Particiones de un rect´ angulo
Sea R = [a, b] × [c, d] ⊂ R2 . Llamaremos partici´ on de R al producto cartesiano de una partici´on de [a, b] por otra de [c, d]. Es decir, si P1 = (a = x0 < x1 < . . . < xn = b) ∈ P([a, b]) y P2 = (c = y0 < y1 < . . . < ym = d) ∈ P([c, d]), entonces P = P1 × P2 = {Rij = [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m} ∈ P(R) La partici´on P consta de n · m rect´angulos. Si P, P 0 ∈ P(R), diremos que P 0 es m´ as fina que P , P ≺ P 0 , si cada rect´angulo de P 0 est´a contenido en alg´ un rect´angulo de P .
5.3
Sumas de Riemann
Sea R = [a, b] × [c, d] ⊂ R2 , P = {Rij = [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m} ∈ P(R) y f : R −→ R una funci´on acotada. Se definen las sumas inferior y superior de Riemann de f asociadas a P como s (f, P ) = S (f, P ) =
n X m X i=1 j=1 m n X X
mij · A(Rij ) = Mij · A(Rij ) =
n X m X i=1 j=1 n X m X
i=1 j=1
mij (xi − xi−1 )(yj − yj−1 ) Mij (xi − xi−1 )(yj − yj−1 )
i=1 j=1
donde mij = inf {f (x, y) : (x, y) ∈ Rij }
y
Mij = sup {f (x, y) : (x, y) ∈ Rij }
La suma de Riemann de f asociada a P y a {(ξij , ηij ) ∈ Rij : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m} es S (f, P, {(ξij , ηij )}) =
m n X X i=1 j=1
f (ξij , ηij ) · A(Rij ) =
n X m X i=1 j=1
f (ξij , ηij )(xi − xi−1 )(yj − yj−1 )
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5.4
2
Propiedades
Sean R = [a, b] × [c, d], P, P 0 ∈ P(R) y f : R −→ R una funci´on acotada. Se tienen las siguientes propiedades: 1. Para cualesquiera (ξij , ηij ) ∈ Rij ∈ P , 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m, se tiene que s (f, P ) ≤ S (f, P, {(ξij , ηij )}) ≤ S (f, P ) 2. Si P ≺ P 0 , entonces ¡ ¢ ¡ ¢ s (f, P ) ≤ s f, P 0 ≤ S f, P 0 ≤ S (f, P ) 3. Si m y M son, respectivamente, el infimo y el supremo de f en R, se tiene que m · A(R) ≤ s (f, P ) ≤ S (f, P ) ≤ M · A(R)
5.5
Integral doble de Riemann
Sean R = [a, b] × [c, d] y f : R −→ R una funci´on acotada. Se definen las integrales inferior y superior de Riemann de f sobre R como ZZ f (x, y) dx dy = sup {s(f, P ) : P ∈ P(R)} R
ZZ f (x, y) dx dy = inf {S(f, P ) : P ∈ P(R)} R
Es claro, de las propiedades anteriores, que ZZ ZZ f (x, y) dx dy f (x, y) dx dy ≤ R
R
y cuando ambas coinciden se dice que f es integrable Riemann sobre R, defini´endose la integral como el valor com´ un que se representar´ a por ZZ f (x, y) dx dy R
En caso contrario se dice que f no es integrable Riemann sobre R. Se representar´ a por R(R) a la familia de todas las funciones que son integrables Riemann sobre R.
5.6
Teorema de caracterizaci´ on de la integrabilidad Riemann
Sean R = [a, b] × [c, d] y f : R −→ R una funci´on acotada. Son equivalentes: 1. f es integrable Riemann sobre R. 2. Para cada ε > 0 existe Pε ∈ P(R) tal que S(f, Pε ) − s(f, Pε ) < ε. 3. Existe I ∈ R tal que para cada ε > 0 existe Pε ∈ P(R) verificando que |S (f, Pε , {(ξij , ηij )}) − I| < ε para cualquier suma de Riemann asociada a Pε .
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5.7
3
Propiedades
Sean R = [a, b] × [c, d] y f, g : R −→ R funciones integrables Riemann. 1. Para cualesquiera α, β ∈ R se tiene que ZZ ZZ ZZ g(x, y) dx dy [αf (x, y) + βg(x, y)] dx dy = α f (x, y) dx dy + β R
R
R
2. Si m ≤ f (x, y) ≤ M en cualquier punto (x, y) ∈ R, entonces ZZ m · A(R) ≤ f (x, y) dx dy ≤ M · A(R) R
3. Si f (x, y) ≤ g(x, y), para todo (x, y) ∈ R, entonces ZZ ZZ f (x, y) dx dy ≤ g(x, y) dx dy R
R
4. La funci´on valor absoluto de f , |f |, es tambi´en integrable Riemann y ¯ ¯ ¯Z Z ¯ ZZ ¯ ¯ ¯ f (x, y) dx dy ¯¯ ≤ |f (x, y)| dx dy ¯ ¯ ¯ R
5.8
R
Teorema de Fubini
Sean R = [a, b] × [c, d] y f : R −→ R una funci´on acotada e integrable sobre R, y supongamos que para cada x ∈ [a, b] existe la integral Z J(x) =
d
f (x, y) dy c
Entonces tambi´en existe la integral de J(x) sobre [a, b] y se cumple que ZZ
Z f (x, y) dx dy =
¶
d
J(x) dx =
f (x, y) dy
a
R
5.9
Z b µZ
b
a
dx
c
Notaci´ on
Se suele representar Z b µZ
¶
d
f (x, y) dy a
c
Z dx =
Z
b
dx a
d
f (x, y) dy c
entendiendo esta u ´ltima expresi´on como que en primer lugar hay que hacer la integral de f , respecto de y, entre c y d, y su resultado integrarlo, respecto de x, entre a y b.
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5.10
4
Observaci´ on
En el teorema de Fubini se pueden invertir las variables y resulta que Z b Z d Z d Z b ZZ f (x, y) dx dy = dx f (x, y) dy = dy f (x, y) dx a
R
c
c
a
cuando existen todas las integrales implicadas.
5.11
Integrabilidad de las funciones continuas
Si f : R = [a, b] × [c, d] −→ R es continua, entonces f es integrable Riemann sobre R.
5.12
Contenido nulo
Sea A ⊂ R2 un conjunto acotado. Se dice que A tiene contenido nulo si para cada ε > 0 existe una familia finita de rect´angulos, {Ri }N i=1 , tales que A⊂
N [
Ri
N X
y
i=1
5.13
A(Ri ) < ε
i=1
Ejemplos
1. Cualquier conjunto finito de puntos tiene contenido nulo. 2. Cualquier sucesi´on convergente de puntos tiene contenido nulo. 3. El grafo de una funci´on continua definida sobre un intervalo compacto tiene contenido nulo. 4. Todo subconjunto de un conjunto de contenido nulo tiene contenido nulo. 5. La uni´on finita de conjuntos de contenido nulo tiene contenido nulo.
5.14
Teorema
Sea f : R = [a, b] × [c, d] −→ R acotada y sea Df (R) el conjunto de discontinuidades de f en R. Entonces, si Df (R) tiene contenido nulo, la funci´on f es integrable Riemann sobre R.
5.15
Integral de Riemann sobre otros recintos acotados
Sea S ⊂ R2 acotado y f : S −→ R una funci´on acotada. Se define ZZ ZZ f (x, y) dx dy = fe(x, y) dx dy S
R
donde R = [a, b] × [c, d] es cualquier rect´angulo que contiene a S y ( f (x, y) , si (x, y) ∈ S fe(x, y) = 0 , si (x, y) ∈ R \ S
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5.16
5
Propiedades
La integral de Riemann sobre recintos acotados tiene las mismas propiedades de la integral sobre rect´angulos, ya descritas en (5.7), y adem´as ZZ ZZ ZZ f (x, y) dx dy = f (x, y) dx dy + f (x, y) dx dy A∪B
A
B
siempre que A ∩ B tenga contenido nulo.
5.17
Integral de Riemann sobre recintos proyectables
1. Un recinto S ⊂ R2 se llama x-proyectable si es de la forma S = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, ϕ1 (x) ≤ y ≤ ϕ2 (x)} donde ϕ1 , ϕ2 : [a, b] −→ R son funciones continuas con ϕ1 (x) ≤ ϕ2 (x), para todo x ∈ [a, b]. Aplicando el teorema de Fubini, si f : S −→ R, se tiene que ZZ Z b Z ϕ2 (x) f (x, y) dx dy = dx f (x, y) dy a
S
ϕ1 (x)
2. Un recinto S ⊂ R2 se llama y-proyectable si es de la forma S = {(x, y) : c ≤ y ≤ d, ψ1 (y) ≤ x ≤ ψ2 (y)} donde ψ1 , ψ2 : [c, d] −→ R son funciones continuas con ψ1 (y) ≤ ψ2 (y), para todo y ∈ [c, d]. Aplicando el teorema de Fubini, si f : S −→ R, se tiene que ZZ Z d Z ψ2 (y) f (x, y) dx dy = dy f (x, y) dx c
S
5.18
ψ1 (y)
Aplicaciones
1. C´ alculo de ´areas: Si S ⊂ R2 , su ´area es ZZ A(S) =
dx dy S
2. C´ alculo de masas y centro de gravedad: Si S ⊂ R2 representa a una superficie plana con densidad puntual ρ(x, y) ≥ 0, para cada (x, y) ∈ S, entonces la masa de S viene dada por ZZ m(S) =
ρ(x, y) dx dy S
y el centro de gravedad de S, (xg , yg ), viene dado por ZZ ZZ 1 1 xg = xρ(x, y) dx dy , yg = yρ(x, y) dx dy m(S) m(S) S
S
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6
3. C´ alculo de vol´ umenes: Sea D ⊂ R3 un recinto xy-proyectable definido por © ª D = (x, y, z) : (x, y) ∈ S ⊂ R2 y f (x, y) ≤ z ≤ g(x, y) Entonces, su volumen vendr´a dado por ZZ V (D) = [g(x, y) − f (x, y)] dx dy S
La aplicaci´on es an´aloga para recintos xz-proyectables e yz-proyectables. 4. Areas de superficies: Sea Ω ⊂ R3 la superficie xy-proyectable definida por © ª Ω = (x, y, z) : (x, y) ∈ S ⊂ R2 y z = f (x, y) Entonces su ´area viene dada por ZZ
s
A(Ω) =
µ
1+
∂f ∂x
¶2
µ +
∂f ∂y
¶2 dx dy
S
La aplicaci´on es an´aloga para superficies xz-proyectables e yz-proyectables.
5.19
Teorema del Cambio de Variable
Sea S ⊂ R2 compacto y Ω ⊂ R2 un conjunto abierto con S ⊂ Ω. Sea ϕ : Ω −→ R2 , ◦
ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v)), con derivadas parciales continuas, inyectiva en S y tal que ϕ−1 : ϕ(S) −→ S tiene derivadas parciales continuas. Entonces, si f ∈ R (ϕ(S)) la funci´on (f ◦ ϕ) · |Jϕ| ∈ R(S) y ZZ ZZ f (x, y) dx dy = f (x(u, v), y(u, v)) · |Jϕ(u, v)| du dv S
ϕ(S)
donde Jϕ es el Jacobiano de ϕ, es decir ¯ ∂x ∂(x, y) ¯¯ ∂u Jϕ(u, v) = = ∂y ∂(u, v) ¯ ∂u
5.20
¯
∂x ¯ ∂v ¯ ∂y ¯ ∂v
Algunos cambios de variable usuales
1. Coordenadas polares: El cambio a coordenadas polares cl´asicas ½ x = ρ cos θ y = ρ sen θ con ρ ≥ 0 y θ ∈ [0, 2π), aplica biyectivamente R2 \ {(0, 0)} en (0, ∞) × [0, 2π), siendo |J| = ρ, y queda ZZ ZZ f (x, y) dx dy = f (ρ cos θ, ρ sen θ) ρ dρ dθ S
S∗
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7
donde S ∗ es la transformada de S por coordenadas polares. Con frecuencia S ∗ = {(ρ, θ) : θ1 ≤ θ ≤ θ2 , ρ1 (θ) ≤ ρ ≤ ρ2 (θ)} y en este caso Z
ZZ S
Z
θ2
ρ2 (θ)
dθ
f (x, y) dx dy = θ1
f (ρ cos θ, ρ sen θ) ρ dρ ρ1 (θ)
2. Coordenadas polares centradas en (x0 , y0 ): ½ x = x0 + ρ cos θ y = y0 + ρ sen θ 3. Coordenadas el´ıpticas centradas en (x0 , y0 ): ½ x = x0 + aρ cos θ y = y0 + bρ sen θ
;
|Jϕ| = ρ
;
|Jϕ| = abρ
4. Cuando el recinto S ⊂ R2 est´ a limitado por cuatro curvas de la forma ϕ(x, y) = a, ϕ(x, y) = b, ψ(x, y) = c y ψ(x, y) = d, suele dar buenos resultados hacer el cambio de variables ½ u = ϕ(x, y) v = ψ(x, y) siempre que se cumplan las condiciones del teorema del cambio de variable.
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1
Ejercicios Tema 5: Integral doble de Riemann 1. Estudiar la integrabilidad Riemann de la funci´on f , sobre el rect´angulo R, en los siguientes casos: (a) R = [a, b] × [c, d] y f (x, y) = 1, ∀(x, y) ∈ R. (b) R = [0, 1] × [0, 1] y
( f (x, y) =
1 , si x ∈ Q 0 , si x ∈ /Q
Sol.: (a) I = (b − a)(d − c); (b) No existe. 2. Hallar la integral de f (x, y) = x sen y − yex sobre el rect´angulo R = [−1, 1] × [0, π/2]. ¢ 2 ¡ Sol.: π8 e−1 − e p 3. Hallar la integral de f (x, y) = |y − x2 | sobre R = [−1, 1] × [0, 2]. Sol.: 43 + π2 4. Hallar el centro de gravedad de la regi´on plana limitada por un arco de sinusoide de densidad constante ρ0 . ¢ ¡ Sol.: Masa=2ρ0 ; Centro de gravedad= π2 , π8 . 5. Hallar el ´area de la superficie determinada por z = 23 (x3/2 + y 3/2 ) sobre el cuadrado S = [0, 1]¡ × [0, √ 1]. √ ¢ 4 1+9 3−8 2 . Sol.: 15 © ª RR p 6. Hallar a2 − x2 − y 2 dx dy donde S = (x, y) : x2 + y 2 ≤ a2 , x, y ≥ 0 . Sol.:
S πa3 6 . y−x
7. Hallar la integral de f (x, y) = e y+x sobre el tri´angulo de v´ertices (0, 0), (2, 0) y (0, 2). Sol.: e − e−1 . 8. Hallar el volumen del recinto limitado por el cilindro x2 + (y − a)2 = a2 , el plano z = 0 y el parabol´oide 4az = x2 + y 2 , a > 0. 3 Sol.: 3πa 8 . 9. Calcular las siguientes integrales dobles: RR (xy)2 dx dy, si D est´a limitado por y > 0, xy < 1 y x2 − 3xy + 2y 2 < 0. (a) D
(b)
RR
(x + y) dx dy, si D est´ a limitado por x2 + y 2 = x + y.
D
(c)
RR D
√ − x2 − y 2 | dx dy, si D est´ | x+y a limitado por x2 + y 2 ≤ 1. 2
Sol.: (a)
ln 2 6 ;
(b)
π 2;
(c)
9π 16 .
10. Hallar las ´areas interceptadas por las curvas:
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2
(a) ρ = 2a, ρ = 4a cos θ, (a > 0). (b) ρ = 2, ρ = 2(1 + cos θ), e interior al primer cuadrante. √ ¢ 2 ¡ π+8 Sol.: (a) 8π 3 − 2 3 a ; (b) 2 . 11. Hallar el ´area del recinto acotado del primer cuadrante encerrado por la curva: (x2 + y 2 )2 = Sol.:
1 4β
¡2
2 3, 3
√ xy
¢ .
12. Calcular la integral:
ZZ
2
x2 ex /y dx dy y(x2 + y 2 )
D
donde D es el recinto limitado en el primer cuadrante por las rectas x = y, x = 2y y las par´abolas¡ x2 = y, x2 =¢ 2y. Sol.: e(e − 1) arctan 2 − π4 . 13. Hallar la masa y el centro de gravedad de la regi´on: F = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1 , x3 ≤ y ≤
√ x}
si la densidad de los puntos de F viene ¢por ρ(x, y) = 3x. ¡ dada 25 Sol.: Masa= 53 ; Centro de gravedad= 25 , 42 48 . 14. Hallar el ´area de las siguientes superficies: (a) La parte del cilindro x2 + z 2 = a2 dentro del cilindro x2 + y 2 = a2 . (b) La parte del cono z 2 = x2 + y 2 dentro del cilindro x2 + y 2 = 2x. (c) La parte de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 4z dentro del parabol´oide x2 + y 2 = z. (d) La parte del cilindro x2 + z 2 = a2 sobre el cuadrado |x| ≤ a/2, |y| ≤ a/2. √ 2 Sol.: (a) 8a2 ; (b) 4 2π; (c) 4π; (d) πa3 . 15. Calcular los vol´ umenes de los s´olidos limitados por: (a) x2 + 4y 2 = z, z = 0, y 2 = x, x2 = y. (b) x2 + y 2 = 1, x2 + y 2 = 2, z(x2 + y 2 ) = 1, z = 0. (c) z = 0, x2 + y 2 = a2 , x ≥ 0 y el plano que pasa por la recta x = z = 0 y que forma un ´angulo α con el plano z = 0. (d) (x − c)2 + (y − d)2 = k 2 , (c > d > k > 0), xy = z, z = 0. (e) 3x2 + y 2 = 72z, 2x2 + y 2 = 24(2 − z). (f) z = 0,
x2 2p
+
y2 2q
= z, (p, q > 0), x2 + y 2 = a2 .
(g) z = x2 + y 2 , z = 2(x2 + y 2 ), xy = a2 , xy = 2a2 , x = 2y, 2x = y, x > 0. ³ ´ 3 4 Sol.: (a) 37 ; (b) π ln 2; (c) 2a3 tan α; (d) cdk 2 π; (e) 24π; (f) πa8 p1 + 1q ; (g)
9a4 4 .
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3
16. Hallar el volumen del s´olido limitado por los parabol´oides y 2 + z 2 = −2(x − 1) e y 2 + z 2 = 2(x + 1). Sol.: 2π. 17. Hallar el volumen del recinto interior al cilindro x2 + y 2 = 2x, y comprendido entre los planos z = x , z = 2x. Sol.: π. 18. Hallar el volumen del recinto interior al cilindro x2 +y 2 = 2x, y limitado por el plano z = 0 y la superficie xy 2 z= 2 x + y2 Sol.:
π 6.
19. Calcular la integral:
ZZ p y 2 − 4x2 dx dy D
donde D es el recinto acotado limitado por las rectas y − 2x = −1, y + 2x = −1, y por la hip´erbola y 2 − 4x2 = 1/4. Sol.: 7−372ln 2 . 20. Hallar el volumen del s´olido limitado por el plano z = 0, el parabol´oide z = y el cilindro Sol.: 3abπ 2 .
x2 a2
+
y2 b2
=
2x a .
x2 a2
+
y2 b2
21. Hallar el volumen del recinto interior al cilindro (x − 2)2 + y 2 = 1 y limitado por el plano z = 1 y por el parabol´oide x2 + y 2 = z. Sol.: 7π 2 . RR 22. (Septiembre 1999)Calcular la integral doble arctan xy dx dy, donde D
n √ o √ D = (x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 9, x ≤ y 3, y ≤ x 3 Sol.:
π2 6 .
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6
1
Teorema de Green-Riemann
6.1
Teorema de Green-Riemann
Sea Ω ⊂ R2 un abierto simplemente conexo y F = (P, Q) : Ω −→ R2 una funci´on vectorial derivable con continuidad. Entonces, si Γ ⊂ Ω es un camino cerrado y llamamos S a la uni´on de Γ con su interior, S ⊂ Ω, se tiene que ¶ I ZZ µ ∂Q ∂P P (x, y) dx + Q(x, y) dy = − dx dy ∂x ∂y Γ S
donde Γ se recorre en sentido positivo.
6.2
Aplicaciones
1. Hallar integrales de l´ınea sobre caminos cerrados por medio de integrales dobles: Para ello basta con aplicar directamente la f´ormula que nos da el teorema de GreenRiemann. 2. Hallar integrales dobles por medio de integrales curvil´ıneas: Si S ⊂ R2 es un recinto acotado y ∂S es la frontera de S orientada positivamente, entonces ZZ I f (x, y) dx dy = P dx + Q dy S
∂S
∂P siendo P = P (x, y) y Q = Q(x, y) tales que ∂Q ∂x − ∂y = f (x, y). Por ejemplo, si f ≡ 1, se tiene H −y dx+x dy ZZ H∂S 2 A(S) = dx dy = ∂S x dy H S ∂S −y dx
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1
Ejercicios Tema 6: Teorema de Green-Riemann 1. Hallar la integral curvil´ınea I
¡ ¢ ¡ ¢ x − y 3 dx + x3 + sen y dy
Γ
siendo Γ la circunferencia x2 + y 2 = 1 orientada positivamente. Sol.: 3π 2 . R 2. Calcular AB d x dy − y dx, siendo A(a, 0), B(0, b), (a, b > 0): (a) sobre el arco de la curva x2 /a2 + y 2 /b2 = 1 comprendido entre A y B. (b) sobre el segmento de extremos A y B. (c) Calcular el ´area limitada por las curvas anteriores. Sol.: (a)
abπ 2 ;
(b) ab; (c)
ab(π−2) . 4
3. Aplicando el Teorema de Riemann, calcular la integral curvil´ınea Z 2 2 3 ey dx + (2xyey + x + ey ) dy γ
siendo γ la curva formada por el segmento que une los puntos (0, 0) y (1, 1) y por el segmento que une los puntos (1, 1) y (2, 0). Sol.: −1. 4. Calcular la integral: Z γ
(x3 + xy 2 + x) dy − (y 3 + yx2 + y) dx x2 + y 2
donde γ es el arco de la curva x6 + y 6 = 56 que est´a en el semiplano superior y que va de B(5, 0) a¡ A(−5, ¢ 0). 1 7 Sol.: π + 50 β , 3 6 6 . 5. Calcular, aplicando el teorema de Riemann-Green en un contorno adecuado, la integral curvil´ınea: Z (x + 1)ex+y dx + x(1 + ex+y ) dy γ
donde γ es el arco de la circunferencia x2 + y 2 = 1 comprendido en el primer y segundo cuadrantes. ¡ ¢ Sol.: π2 − e + 1e . 6. Utilizando el teorema de Green-Riemann, hallar la integral curvil´ınea: Z (1 + y)ex−y dx + (x5 − yex−y ) dy γ
donde γ es el arco de la circunferencia x2 + y 2 = 1, orientada positivamente, comprendido en el primer cuadrante. −1 − e. Sol.: 5π 32 + 2e
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2
7. Utilizando el teorema de Green-Riemann, calcular: Z I = (f 0 (x) sen y − 3y) dx + (f (x) cos y + 8x) dy γ
donde f es una fuci´on con derivada continua en R y γ es una curva simple y suave a trozos que, sin cortar a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes y estando por debajo de ella, une los puntos O(0, 0) y A(π, π) y que cerr´andola mediante el segmento OA determina un recinto de ´area S. 2 Sol.: 5π2 + 11S. 8. Utilizando el teorema de Green-Riemann, calcular: ¶ µ ¶ Z µ x−1 y−1 2 I= + y x dx + (x − 1)y + dy (x − 1)2 + (y − 1)2 (x − 1)2 + (y − 1)2 γ donde γ es el arco de la circunferencia x2 + y 2 = 4, orientado positivamente, que une los puntos A(0, 2) y B(2, 0) y no est´a comprendido en el primer cuadrante. Sol.: 10 3 . 9. Hallar, utilizando el teorema de Green-Riemann, la integral curvil´ınea: Z 2 2 2 2 (2xex +2y − y) dx + (4yex +2y + x2 ) dy γ
donde γ es el contorno de la circunferencia unidad x2 + y 2 = 1, orientada positivamente, comprendido en el primer cuadrante. Sol.: 23 + π4 + e(e − 1). 10. Calcular, usando el teorema de Green-Riemann, la integral ¶ Z µ x−2 y−1 I= − 2y dx + dy 2 + (y − 1)2 2 + (y − 1)2 (x − 2) (x − 2) γ 2
donde γ es el arco de la elipse 4(x − 2)2 + y4 = 1 comprendido en el primer cuadrante y que une los puntos A( 32 , 0) y B(2, 2). ¡ ¢ Sol.: 12 ln 45 − π . 11. Hallar las integrales curvil´ıneas: Z Ii =
γi
£ ¤ [(x + y) sen x + cos x] dx + x(x + y)2 + cos x dy , i = 1, 2 (x + y)2
donde: (a) γ1 es el segmento que une los puntos A(π, 0) y B(0, π). √ √ √ (b) γ2 es la curva de ecuaci´on x + y = π que une B con A. Sol.: a) I1 =
π2 2
− π2 ; b) I2 =
2 π
−
π2 6 .
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM
3
12. (Febrero 1999) Calcular la integral curvil´ınea Z ³ ´ ³ ´ 2 2 2 2 I= 2xex +2y − y dx + 4yex +2y + x2 dy γ
donde γ es el arco de la curva y = 2 − x2 que va desde el punto A(1, 1) hasta el punto B(−1, 1). Sol.: I = 10 3 . 13. (Septiembre 1999) Calcular la integral: ¶ µ ¶ Z µ 2(2y − 1) x 2 +y dx + + x(2y − 1) dy I= x2 + (2y − 1)2 x2 + (2y − 1)2 γ donde γ es el arco de la circunferencia x2 + y 2 = 1 que, en el primer cuadrante, va desde A(1, 0) hasta√B(0, 1). Sol.: I = − π4 − ln 2.
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM
7
1
Integral triple de Riemann
7.1
Definici´ on
Llamaremos rect´ angulo cerrado de R3 (paralelep´ıpedo) al producto de tres intervalos cerrados y acotados de R, es decir © ª R = [a, b] × [c, d] × [e, f ] = (x, y, z) ∈ R3 : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, e ≤ z ≤ f Si los intervalos son abiertos, el rect´ angulo se llama abierto. Se llama volumen del rect´angulo al producto de las longitudes de los intervalos que lo definen, es decir V (R) = (b − a)(d − c)(f − e).
7.2
Particiones de un rect´ angulo
Sea R = [a, b] × [c, d] × [e, f ] ⊂ R3 . Llamaremos partici´ on de R al producto cartesiano de una partici´on de [a, b], por otra de [c, d] y por otra de [e, f ]. Es decir, si P1 = (a = x0 < x1 < . . . < xn = b) ∈ P([a, b]), P2 = (c = y0 < y1 < . . . < ym = d) ∈ P([c, d]) y P3 = (e = z0 < z1 < . . . < zp = f ) ∈ P([e, f ]), entonces P = P1 × P2 × P3 = {Rijk = [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] × [zk−1 , zk ] : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ k ≤ p} ∈ P(R) La partici´on P consta de n · m · k rect´angulos. Si P, P 0 ∈ P(R), diremos que P 0 es m´ as fina que P , P ≺ P 0 , si cada rect´angulo de P 0 est´a contenido en alg´ un rect´angulo de P .
7.3
Sumas de Riemann
Sea R = [a, b] × [c, d] × [e, f ] ⊂ R3 , P = {Rijk = [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] × [zk−1 , zk ] : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ k ≤ p} ∈ P(R) y f : R −→ R una funci´on acotada. Se definen las sumas inferior y superior de Riemann de f asociadas a P como s (f, P ) = S (f, P ) =
p m X n X X i=1 j=1 k=1 p n X m X X i=1 j=1 k=1
mijk · V (Rijk ) = Mijk · V (Rijk ) =
p n X m X X i=1 j=1 k=1 p n X m X X
mijk (xi − xi−1 )(yj − yj−1 )(zk − zk−1 ) Mijk (xi − xi−1 )(yj − yj−1 )(zk − zk−1 )
i=1 j=1 k=1
donde mijk = inf {f (x, y, z) : (x, y, z) ∈ Rijk }
y Mijk = sup {f (x, y, z) : (x, y, z) ∈ Rijk }
La suma de Riemann de f asociada a P y a {(ξijk , ηijk , χijk ) ∈ Rijk : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ k ≤ p}
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM
2
es S (f, P, {(ξijk , ηijk , χijk )}) =
p n X m X X
f (ξijk , ηijk , χijk ) · V (Rijk )
i=1 j=1 k=1
=
p n X m X X
f (ξijk , ηijk , χijk )(xi − xi−1 )(yj − yj−1 )(zk − zk−1 )
i=1 j=1 k=1
7.4
Propiedades
Sean R = [a, b] × [c, d] × [e, f ], P, P 0 ∈ P(R) y f : R −→ R una funci´on acotada. Se tienen las siguientes propiedades: 1. Para cualesquiera (ξijk , ηijk , χijk ) ∈ Rijk ∈ P , 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m y 1 ≤ k ≤ p, se tiene que s (f, P ) ≤ S (f, P, {(ξijk , ηijk , χijk )}) ≤ S (f, P ) 2. Si P ≺ P 0 , entonces ¡ ¢ ¡ ¢ s (f, P ) ≤ s f, P 0 ≤ S f, P 0 ≤ S (f, P ) 3. Si m y M son, respectivamente, el infimo y el supremo de f en R, se tiene que m · V (R) ≤ s (f, P ) ≤ S (f, P ) ≤ M · V (R)
7.5
Integral triple de Riemann
Sean R = [a, b]×[c, d]×[e, f ] y f : R −→ R una funci´on acotada. Se definen las integrales inferior y superior de Riemann de f sobre R como ZZZ f (x, y, z) dx dy dz = sup {s(f, P ) : P ∈ P(R)} R
ZZZ f (x, y, z) dx dy dz = inf {S(f, P ) : P ∈ P(R)} R
Es claro, de las propiedades anteriores, que ZZZ ZZZ f (x, y, z) dx dy dz ≤ f (x, y, z) dx dy dz R
R
y cuando ambas coinciden se dice que f es integrable Riemann sobre R, defini´endose la integral como el valor com´ un que se representar´ a por ZZZ f (x, y, z) dx dy dz R
En caso contrario se dice que f no es integrable Riemann sobre R. Se representar´ a por R(R) a la familia de todas las funciones que son integrables Riemann sobre R.
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7.6
3
Teorema de caracterizaci´ on de la integrabilidad Riemann
Sean R = [a, b] × [c, d] × [e, f ] y f : R −→ R una funci´on acotada. Son equivalentes: 1. f es integrable Riemann sobre R. 2. Para cada ε > 0 existe Pε ∈ P(R) tal que S(f, Pε ) − s(f, Pε ) < ε. 3. Existe I ∈ R tal que para cada ε > 0 existe Pε ∈ P(R) verificando que |S (f, Pε , {(ξijk , ηijk , χijk )}) − I| < ε para cualquier suma de Riemann asociada a Pε .
7.7
Propiedades
Sean R = [a, b] × [c, d] × [e, f ] y f, g : R −→ R funciones integrables Riemann. 1. Para cualesquiera α, β ∈ R se tiene que ZZZ ZZZ [αf (x, y, z) + βg(x, y, z)] dx dy dz = α f (x, y, z) dx dy dz R
R
ZZZ +β
g(x, y, z) dx dy dz R
2. Si m ≤ f (x, y, z) ≤ M en cualquier punto (x, y, z) ∈ R, entonces ZZZ m · V (R) ≤ f (x, y, z) dx dy dz ≤ M · V (R) R
3. Si f (x, y, z) ≤ g(x, y, z), para todo (x, y, z) ∈ R, entonces ZZZ ZZZ f (x, y, z) dx dy dz ≤ g(x, y, z) dx dy dz R
R
4. La funci´on valor absoluto de f , |f |, es tambi´en integrable Riemann y ¯ ¯ ¯Z Z Z ¯ ZZZ ¯ ¯ ¯ f (x, y, z) dx dy dz ¯¯ ≤ |f (x, y, z)| dx dy dz ¯ ¯ ¯ R
7.8
R
Teorema de Fubini
Sean R = [a, b] × [c, d] × [e, f ] y f : R −→ R una funci´on acotada e integrable sobre R. Supongamos que para cada x ∈ [a, b] existe la integral ZZ J(x) = f (x, y, z) dy dz donde R1 = [c, d] × [e, f ] R1
Entonces tambi´en existe la integral de J(x) sobre [a, b] y se cumple que ZZZ Z b Z b ZZ f (x, y, z) dx dy dz = J(x) dx = f (x, y, z) dy dz dx R
a
a
R1
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7.9
4
Notaci´ on
Se suele representar Z b ZZ Z b ZZ f (x, y, z) dy dz dx = dx f (x, y, z) dy dz a
a
R1
R1
entendiendo esta u ´ltima expresi´on como que en primer lugar hay que hacer la integral doble de f , respecto de y y z, sobre R1 , y su resultado integrarlo, respecto de x, entre a y b.
7.10
Observaciones
Si aplicamos el teorema de Fubini bidimensional en la integral sobre R1 se obtiene: ZZZ
Z
Z
b
f (x, y, z) dx dy dz =
dx a
R
Z
d
dy c
Z
f
f (x, y, z) dz = e
Z
b
dx a
Z
f
dz e
d
f (x, y, z) dy c
Otras posibles formas de aplicar el teorema (invirtiendo variables) ser´ıan: ZZZ
Z
ZZ
d
f (x, y, z) dx dy dz =
dy c
R
ZZZ
donde R2 = [a, b] × [e, f ]
f (x, y, z) dx dy
donde R3 = [a, b] × [c, d]
R2
Z
ZZ
f
f (x, y, z) dx dy dz =
dz e
R
f (x, y, z) dx dz
R3
pudiendo aplicar despu´es, en ambos casos, el teorema de Fubini bidimensional.
7.11
Integrabilidad de las funciones continuas
Si f : R = [a, b] × [c, d] × [e, f ] −→ R es continua, entonces f es integrable Riemann sobre R.
7.12
Contenido nulo
Sea A ⊂ R3 un conjunto acotado. Se dice que A tiene contenido nulo si para cada ε > 0 existe una familia finita de rect´angulos, {Ri }N i=1 , tales que A⊂
N [ i=1
7.13
Ri
y
N X
V (Ri ) < ε
i=1
Ejemplos
1. Cualquier conjunto plano de contenido nulo tiene contenido nulo en R3 . 2. Un conjunto finito de puntos, una sucesion convergente de puntos y un segmento de recta tienen contenido nulo.
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5
3. El grafo de una funci´on continua, definida sobre un conjunto compacto del plano, tiene contenido nulo. 4. Todo subconjunto de un conjunto de contenido nulo tiene contenido nulo. 5. La uni´on finita de conjuntos de contenido nulo tiene contenido nulo.
7.14
Teorema
Sea f : R = [a, b] × [c, d] × [e, f ] −→ R acotada y sea Df (R) ⊂ R3 el conjunto de discontinuidades de f en R. Entonces, si Df (R) tiene contenido nulo, la funci´on f es integrable Riemann sobre R.
7.15
Integral de Riemann sobre otros recintos acotados
Sea D ⊂ R3 acotado y f : D −→ R una funci´on acotada. Se define ZZZ ZZZ f (x, y, z) dx dy dz = fe(x, y, z) dx dy dz D
R
donde R = [a, b] × [c, d] × [e, f ] es cualquier rect´angulo que contiene a D y ( f (x, y, z) , si (x, y, z) ∈ D fe(x, y, z) = 0 , si (x, y, z) ∈ R \ D
7.16
Propiedades
La integral de Riemann sobre recintos acotados tiene las mismas propiedades de la integral sobre rect´angulos, ya descritas en (7.7), y adem´as ZZZ ZZZ ZZZ f (x, y, z) dx dy dz = f (x, y, z) dx dy dz + f (x, y, z) dx dy dz A∪B
A
B
siempre que A ∩ B tenga contenido nulo.
7.17
Integral de Riemann sobre recintos especiales
1. Un recinto D ⊂ R3 se llama x-seccionable si es de la forma D = {(x, y, z) : a ≤ x ≤ b, (y, z) ∈ Sx } donde Sx , a ≤ x ≤ b, es un recinto acotado de R2 (en el plano Y Z) sobre el que se sabe calcular una integral doble. En este caso, aplicando el teorema de Fubini, se llega a que ZZZ Z b ZZ f (x, y, z) dx dy dz = dx f (x, y, z) dy dz D
a
Sx
Para recintos seccionables respecto de los ejes y o z se procede de forma an´aloga.
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6
2. Un recinto D ⊂ R3 se llama xy-proyectable si es de la forma D = {(x, y, z) : (x, y) ∈ S, ϕ1 (x, y) ≤ z ≤ ϕ2 (x, y)} donde ϕ1 , ϕ2 : S −→ R son funciones continuas con ϕ1 (x, y) ≤ ϕ2 (x, y), para todo (x, y) ∈ S, y S ⊂ R2 es un recinto acotado sobre el que no es dif´ıcil calcular integrales dobles. Aplicando el teorema de Fubini, si f : D −→ R, se tiene que ZZZ ZZ Z ϕ2 (x,y) f (x, y, z) dx dy dz = dx dy f (x, y, z) dz D
ϕ1 (x,y)
S
Para recintos xz-proyectables e yz-proyectables se procede de forma an´aloga.
7.18
Aplicaciones
1. C´ alculo de vol´ umenes: Si D ⊂ R3 , su volumen es ZZZ V (D) = dx dy dz D
2. C´ alculo de masas y centro de gravedad: Si D ⊂ R3 representa a un s´olido tridimensional con densidad puntual ρ(x, y, z) ≥ 0, para cada (x, y, z) ∈ D, entonces la masa de D viene dada por ZZZ m(D) =
ρ(x, y, z) dx dy dz D
y el centro de gravedad de D, (xg , yg , zg ), viene dado por ZZZ ZZZ 1 1 xg = xρ(x, y, z) dx dy dz , yg = yρ(x, y, z) dx dy dz m(D) m(D) D
zg =
1 m(D)
D
ZZZ
zρ(x, y, z) dx dy dz D
7.19
Teorema del Cambio de Variable
Sea D ⊂ R3 compacto y Ω ⊂ R3 un conjunto abierto con D ⊂ Ω. Sea ϕ : Ω −→ R3 , ϕ(u, v, w) = (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)), con derivadas parciales continuas, inyectiva ◦
en D y tal que ϕ−1 : ϕ(D) −→ D tiene derivadas parciales continuas. Entonces, si f ∈ R (ϕ(D)) la funci´on (f ◦ ϕ) · |Jϕ| ∈ R(D) y ZZZ ZZZ f (x, y) dx dy dz = f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) · |Jϕ(u, v, w)| du dv dw ϕ(D)
D
donde Jϕ es el Jacobiano de ϕ, es decir ¯ ∂x ¯ ¯ ∂u ∂(x, y, z) ∂y = ¯¯ ∂u Jϕ(u, v, w) = ∂(u, v, w) ¯ ∂z ∂u
∂x ∂v ∂y ∂v ∂z ∂v
¯
∂x ¯ ∂w ¯ ∂y ¯ ∂w ¯ ∂z ¯ ∂w
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7.20
7
Algunos cambios de variable usuales
1. Coordenadas cil´ındricas: Consiste en aplicar coordenadas polares en uno de los planos (por ejemplo XY ) y mantener intacta la otra. Es decir x = ρ cos θ y = ρ sen θ ; |Jϕ| = ρ z=z con 0 ≤ ρ < ∞ y 0 ≤ θ < 2π. 2. Coordenadas esf´ericas: x = ρ cos θ sen ψ y = ρ sen θ sen ψ z = ρ cos ψ con 0 ≤ ρ < ∞, 0 ≤ θ < 2π y 0 ≤ ψ ≤ π.
;
|Jϕ| = ρ2 sen ψ
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1
Ejercicios Tema 7: Integral triple de Riemann 1. Hallar
ZZZ
dx dy dz √ 1+x+y+z
R
donde R ¡= [0, 1] × √[0, 1] ×√[0,¢1]. 8 Sol.: 15 31 − 27 3 + 12 2 . 2. Hallar
ZZZ
dx dy dz (1 + x + y + z)3
D
donde D es el tetraedro acotado por los planos x = 0, y = 0, z = 0 y x + y + z = 1. 5 Sol.: ln22 − 16 . 3. Hallar el volumen de una esfera de radio r. Sol.: 43 πr3 . 4. Hallar
ZZZ I=
x dx dy dz D
donde D es la regi´on acotada por los planos x = 0, y = 0, z = 2 y la superficie z = x2 + y 2√ , x, y ≥ 0. Sol.: I = 8152 . 5. Hallar el volumen del recinto interior al cilindro x2 + y 2 = 2x y comprendido entre los planos z = 0 y z = a > 0. Sol.: aπ. 6. Hallar el volumen del recinto limitado por las superficies x2 + y 2 + z 2 = 2rz, r > 0, y x2 + y 2 = z 2 , y que contiene al punto (0, 0, r) en su interior. Sol.: πr3 . 7. Hallar el volumen del recinto limitado por la superficie (x2 + y 2 + z 2 )2 = a3 z, a > 0. 3 Sol.: πa3 . 8. Calcular las siguientes integrales triples: RRR 2 (a) (x + y 2 ) dx dy dz, si D est´ a limitado por x2 + y 2 = 2z y z = 2. D
´ RRR ³ 2 2 2 1/2 (b) 1 − xa2 − yb2 − zc2 dx dy dz, si D es (x/a)2 + (y/b)2 + (z/c)2 ≤ 1. D RRR (4x − y + z) dx dy dz, si D est´ a limitado por x = 0, y = 0, z = 0, x + y = 1 (c) D
y z = 2 − x2 . Sol.: (a)
16π 3 ;
(b)
abcπ 2 4 ;
(c) 53 .
9. Calcular los vol´ umenes de los s´olidos limitados por:
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2
(a) (x2 + y 2 + z 2 )2 = 2z(x2 + y 2 ). (b) el plano z = 0 y el cono de v´ertice el punto (0, 0, 1) y que corta al plano z = 0 seg´ un la curva (x − 21 )2 + y 2 = 0.25. π Sol.: (a) 2π 15 ; (b) 12 . p RRR p 10. Hallar |y| dx dy dz, si D = {(x, y, z) : x2 + y 2 ≤ 2x , 0 ≤ z ≤ x2 + y 2 }.
Sol.:
D 5π 7 .
11. Hallar la integral:
ZZZ p
x2 + y 2 dx dy dz
D
donde D es el recinto limitado por la superficie x2 + y 2 = z(1 − z). 2 Sol.: π64 . 12. Hallar la masa y el centro de gravedad de las siguientes regiones limitadas por las superficies descritas, y con la densidad puntual que se indica: (a) z 2 = y 2 (1 − x2 ), y = 1; ρ(x, y, z) = ρ0 . (b) x = 0, y = 0, z = 0, x + z = a > 0, y = z; ρ(x, y, z) = x. (c) z 2 = x2 + y 2 , x2 + y 2 = 2ax; ρ(x, y, z) = x2 + y 2 . ¡ 2 ¢ ¡ 2a a 2a ¢ πρ0 a4 Sol.: ¡ 5a (a) ¢m = 2 y G 0, 3 , 0 ; (b) m = 24 y G 5 , 5 , 5 ; (c) m = G 7 , 0, 0 . 13. Hallar el volumen del s´olido limitado por el plano z = 0, el parabol´oide z = y el cilindro Sol.: 3abπ 2 .
x2 a2
+
y2 b2
=
2x a .
210 a5 75
x2 a2
+
y y2 b2
14. Hallar el volumen del s´olido limitado por la superficie de ecuaci´on (x2 + y 2 + z 2 )2 = a3 x Sol.:
,
a>0
πa3 3 .
15. Calcular la integral
©
donde D = (x, y, z) : Sol.: 13 .
ZZZ
¯ 2 ¯ ¯x − z 2 ¯ dx dy dz
D
x2
+
z2
ª ≤y≤1 .
16. (Febrero 1999) Calcular la integral ZZZ ¡ 2 2 ¢ I= y z + x2 z 2 + x2 y 2 dx dy dz Ω
donde Ω es el recinto acotado entre las superficies de ecuaciones x2 + z 2 = y 2 y x2 + z 2 = 2az, a > 0. 13 ·a7 Sol.: I = 41·2 . 11·9·72 ·5
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3
¢ RRR ¡ 2 2 3/2 dx dy dz, donde V es el 17. (Septiembre 1999) Calcular la integral V x +y recinto limitado por la superficie x2 + y 2 + z 2 = z. 2 Sol.: π29 .
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8 8.1
1
Integrales m´ ultiples impropias Integrales dobles impropias
Una integral doble
ZZ f (x, y) dx dy S
se llama impropia si el recinto S ⊂ R2 no est´a acotado o si la funci´on f : S −→ R no esta acotada. En este caso se considera una sucesi´on creciente de recintos acotados, {Sk }∞ k=1 , que convergan al recinto total S, siendo la funci´on f acotada sobre cada uno de ellos, y se define la integral impropia de f sobre S como ZZ ZZ f (x, y) dx dy = lim f (x, y) dx dy k→∞
S
Sk
siempre que este l´ımite exista y no dependa de la sucesi´on de recintos elegidos (se puede ver que esto es as´ı cuando el signo de f es constante sobre S).
8.2
Integrales triples impropias
Una integral triple
ZZZ f (x, y, z) dx dy dz D
se llama impropia si el recinto D ⊂ R3 no est´a acotado o si la funci´on f : D −→ R no esta acotada. En este caso se considera una sucesi´on creciente de recintos acotados, {Dk }∞ on f acotada sobre cada uno de k=1 , que convergan al recinto total D, siendo la funci´ ellos, y se define la integral impropia de f sobre D como ZZZ ZZZ f (x, y, z) dx dy dz = lim f (x, y, z) dx dy dz k→∞
D
Dk
siempre que este l´ımite exista y no dependa de la sucesi´on de recintos elegidos (se puede ver que esto es as´ı cuando el signo de f es constante sobre D).
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1
Ejercicios Tema 8: Integrales m´ ultiples impropias 1. Calcular las siguientes integrales dobles impropias: RR √ dx dy , si S est´a limitado por x2 + y 2 ≤ 1. (a) 1−x2 −y 2
S
(b) I(p) = (c)
RR
dx dy , (x2 +y 2 )p
S RR dx dy , (1+x2 +y 2 )2 por y 2 = 2x.
p > 0, si S est´ a limitado por x2 + y 2 ≥ 1.
extendida a todo el plano y a cada uno de los recintos limitados
Sol.: (a) 2π. (b)
( I(p) =
π p−1
, si p > 1
∞
, si 0 < p ≤ 1
(c) La integral sobre√todo el plano vale π, y sobre los recintos limitados por la π par´abola 2√ y 2 2√2−1 π. 2 2 2. Calcular el ´area del recinto del primer cuadrante comprendida entre el eje OY y la curva ³ y ´r x2 + y 2 = x con 0 < r < 1. Sol.: 4 cosπ πr . 2
3. Hallar el volumen del recinto: Ω = {(x, y, z) : 0 < x2 + 4y 2 ≤ 4 , z 2 ≤ (x2 + 4y 2 ) ln Sol.: 2
¡ 2π ¢3/2 3
4 , z ≥ 0} x2 + 4y 2
.
4. Calcular las siguientes integrales triples impropias: RRR dx dy dz (a) I(p, q, r) = xp y q z r , si D verifica que 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 y D
(b) (c)
p, q, r ∈ R+ . RRR dx dy dz RRR
(x2 +y 2 +z 2 +a2 )2
e−(x
2 +y 2 +z 2 )
, extendida a todo el espacio.
dx dy dz extendida a todo el espacio.
Sol.: (a)
( I(p, q, r) =
1 (1−p)(1−q)(1−r)
, si 0 < p, q, r < 1
∞
, si p ≥ 1, q ≥ 1 ´o r ≥ 1
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM (b)
2
π2 a .
√ (c) π π.
5. Hallar el volumen del cuerpo del primer octante limitado por la superficie r y 2 2 −2z x +y =e x Sol.:
π √ . 4 2
6. Hallar
ZZ xp (y 2 − x)q (a − y)r dx dy S
con a, p, q, r > 0, donde S es el recinto limitado por el eje de ordenadas, la recta y = a y la par´abola x = y 2 . Sol.: a2p+2q+r+3 β(p + 1, q + 1)β(2p + 2q + 3, r + 1).
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9
1
Ecuaciones diferenciales ordinarias. Ecuaciones diferenciales de primer orden en forma normal
9.1
Definici´ on
Se llama ecuaci´ on diferencial ordinaria a cualquier expresi´on de la forma ³ ´ F x, y, y 0 , y 00 , . . . , y (n) = 0 que liga a una variable independiente x con una funci´on de ella y = y(x) (variable dependiente) y sus n, n ≥ 1, primeras derivadas. ´Y ´ de la definici´on hace referencia al hecho de que la funci´on El t´ermino “ordinariaY que aparece depende de una u ´nica variable y no aparecen derivadas parciales. Si en la expresi´on aparece despejada la derivada de orden m´aximo: ³ ´ y (n) = f x, y, y 0 , . . . , y (n−1) se dice que la ecuaci´on diferencial est´a en forma normal o expl´ıcita. En caso contrario se dice que est´a en forma general o impl´ıcita. Se llama orden de la ecuaci´on diferencial al orden mayor de derivada que aparece en la ecuaci´on.
9.2
Definici´ on
Se llama soluci´ on de la ecuaci´on diferencial ³ ´ F x, y, y 0 , y 00 , . . . , y (n) = 0 a cualquier funci´on y = ϕ(x), x ∈ I = (a, b), que tenga derivadas continuas hasta el orden n en I, y que verifique la ecuaci´on: ³ ´ F x, ϕ(x), ϕ0 (x), ϕ00 (x), . . . , ϕ(n) (x) = 0 para todo x ∈ I. Las soluciones pueden darse en forma expl´ıcita, como se indica en la definici´on, pero tambi´en pueden venir dadas en forma impl´ıcita o param´etrica. Resolver una ecuaci´on diferencial es hallar todas sus soluciones.
9.3
El origen de las ecuaciones diferenciales
Existen muchos y variados campos de las Ciencias donde aparecen, y tuvieron su origen, las Ecuaciones Diferenciales. Por ejemplo: 1. Ley de enfriamiento de Newton: La velocidad con que cambia la temperatura T (t) de un cuerpo con respecto al tiempo t es proporcional a la diferencia entre la temperatura T (t) del cuerpo y la temperatura A del medio ambiente. Es decir dT (t) = k (A − T (t)) dt Luego esta ley nos lleva a una ecuaci´on diferencial T 0 = k(A − T ) donde t es la variable independiente y T la dependiente.
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM
2
2. Din´ amica de poblaciones de Malthus: La velocidad de cambio, con respecto al tiempo t, de una poblaci´on P (t) con ´ındices constantes de nacimientos y mortalidad es proporcional al tama˜ no de la poblaci´on. Es decir P 0 (t) = k · P (t) que es una ecuaci´on diferencial. 3. Problemas geom´ etricos que impliquen condiciones de pendiente o concavidad.
9.4
Ecuaciones de la forma y 0 = f (x)
Se resuelven mediante integraci´on directa. La soluci´on es Z y = f (x) dx = ϕ(x) + c , c∈R donde ϕ es una primitiva de f (ϕ0 = f ).
9.5
Ecuaciones de la forma y (n) = f (x)
Se resuelven mediante n integraciones sucesivas: Z (n−1) y = f (x) dx = ϕ1 (x) + c1 Z (n−2) y = (ϕ1 (x) + c1 ) dx = ϕ2 (x) + c1 x + c2 Z x2 (n−3) y = (ϕ2 (x) + c1 x + c2 ) dx = ϕ3 (x) + c1 + c2 x + c3 2 ... ... y = ϕn (x) + k1 xn−1 + k2 xn−2 + . . . + kn−1 x + kn con ki ∈ R, 1 ≤ i ≤ n.
9.6
Ecuaciones de variables separables
Son aquellas ecuaciones de la forma y 0 = f (x, y) = que se pueden transformar, haciendo y 0 =
dy dx ,
g(x) h(y)
en
h(y) dy = g(x) dx e integrando cada miembro respecto de la variable que all´ı aparece se obtienen las soluciones ϕ(y) = ψ(x) + c , c∈R siendo ϕ(y) primitiva de h(y) (ϕ0 = h) y ψ(x) primitiva de g(x) (ψ 0 = g).
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9.7
3
Ecuaciones aut´ onomas
Son ecuaciones de la forma y 0 = f (y) que son de variables separables y se resuelven como tales.
9.8
Ecuaciones homog´ eneas
Son ecuaciones de la forma y0 = f
³y´ x
y se resuelven mediante el cambio de variable dependiente u(x) = Haciendo el cambio nos queda u0 x + u = f (u)
y(x) x
(es decir y = ux).
de donde se obtiene
du dx = f (u) − u x que es una ecuaci´on de variables separables, que se resuelve como tal y se deshace el cambio.
9.9
Ecuaciones reducibles a homog´ eneas
Son ecuaciones del tipo
µ
ax + by + c y =f Ax + By + C Para su resoluci´on se distinguen tres casos:
¶
0
1. c = C = 0. En este caso la ecuaci´on dada ya es homog´enea, pues µ ¶ µ ¶ ³y´ a + b xy ax + by 0 y =f =f = F Ax + By A + B xy x y se resuelve como tal. 2. c 6= 0 o C 6= 0 y aB − bA 6= 0. Se transforma en una ecuaci´on homog´enea mediante el doble cambio de variables, (x, y) por (X, Y ), dado por ½ x=X +α y =Y +β donde (α, β) es el punto de corte de las rectas ½ ax + by + c = 0 Ax + By + C = 0 Haciendo el cambio queda:
µ ¶ µ ¶ dY dy a(X + α) + b(Y + β) + c aX + bY 0 Y = = =y =f =f dX dx A(X + α) + B(Y + β) + C AX + BY ! Ã µ ¶ Y a + bX Y =F =f Y X A + BX 0
que es una ecuaci´on homog´enea. Se resuelve y se deshace el cambio.
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4
3. c 6= 0 o C 6= 0 y aB − bA = 0. En este caso (A, B) = k(a, b), y haciendo el cambio de variable dependiente u = ax + by se llega a µ ¶ u+c 0 0 u = a + by = a + bf ku + C que es una ecuaci´on de variables separables. Se resuelve como tal y se deshace el cambio.
9.10
Interpretaci´ on geom´ etrica de y 0 = f (x, y)
La ecuaci´on diferencial nos indica, en cada punto (x0 , y0 ), la pendiente que debe tener la soluci´on: y00 = f (x0 , y0 ). Se llama campo de direcciones de la ecuaci´on diferencial a una representaci´ on del plano con indicaci´on, en cada uno de sus puntos (en un entramado suficientemente amplio de ellos), de la pendiente que debe tener la soluci´on. El campo de direcciones nos proporciona una soluci´on gr´afica aproximada de las posibles soluciones de la ecuaci´on diferencial.
9.11
Problema de Cauchy
Una ecuaci´on diferencial tiene, en general, infinitas soluciones. Se llama problema de Cauchy al conjunto formado por una ecuaci´on diferencial y ciertas condiciones que hagan (o que pretendan conseguir) que la soluci´on sea u ´nica. El m´as t´ıpico problema de Cauchy de orden 1 es ½ 0 y = f (x, y) y(x0 ) = y0 donde y(x0 ) = y0 indica que la soluci´on buscada debe pasar por el punto (x0 , y0 ), y de orden n es ¡ ¢ y (n) = f x, y, y 0 , . . . , y (n−1) y(x0 ) = y0 y 0 (x ) = y 0 0 0 · · · ··· y (n−1) (x ) = y (n−1) 0 0
9.12
Teorema de existencia y unicidad
Sea D ⊂ R2 abierto y f : D −→ R una funci´on continua. Entonces, para cada punto (x0 , y0 ) ∈ D, el problema de Cauchy ½ 0 y = f (x, y) y(x0 ) = y0 admite al menos una soluci´on y = ϕ(x), x ∈ I = (a, b) con x0 ∈ I. Si adem´as continua en D, entonces la soluci´on al problema de Cauchy es u ´nica.
∂f ∂y
es
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9.13
5
M´ etodo iterativo de Picard
Es un m´etodo iterativo, que se deriva del teorema anterior, que permite determinar la u ´nica soluci´on y = ϕ(x) de un problema de Cauchy ½ 0 y = f (x, y) y(x0 ) = y0 como l´ımite ϕ(x) = lim ϕn (x) n→∞
de la sucesi´on {ϕn }∞ n=0 definida inductivamente por ϕ0 (x) = y0
Z
ϕn (x) = y0 +
9.14
x
x0
f (t, ϕn−1 (t)) dt ,
n≥1
Familias de curvas y ecuaciones diferenciales
En general, a cada ecuaci´on diferencial de orden n ³ ´ F x, y, y 0 , y 00 , . . . , y (n) = 0 se le puede hacer corresponder una familia n-param´etrica de curvas ϕ (x, y, c1 , c2 , . . . , cn ) = 0 con ci ∈ R, 1 ≤ i ≤ n, que son sus soluciones. As´ımismo, a cada familia n-param´etrica de curvas se le puede asociar una ecuaci´on diferencial de orden n que se obtiene derivando n veces (hasta el orden n) la ecuaci´on de la familia de curvas y eliminando despu´es los n par´ametros entre las n + 1 ecuaciones obtenidas.
9.15
Trayectorias ortogonales.
θ-trayectorias
Dada una familia uniparam´etrica de curvas ϕ(x, y, c) = 0, c ∈ R, se llaman θ-trayectorias a la familia ψθ (x, y, c) = 0, c ∈ R, de curvas que verifica que el ´angulo de corte de cada curva de ϕ con cada curva de ψθ es θ. En el caso de θ = π/2 las trayectorias se llaman ortogonales. Si F (x, y, y 0 ) = 0 es la ecuaci´on diferencial asociada a la familia ϕ(x, y, c) = 0, entonces la familia de θ-trayectorias ψθ (x, y, c) = 0 son las soluciones de la ecuaci´on diferencial ³ ´ θ π F x, y, y0 −tan 0 1+y´ tan θ = 0 , si θ 6= 2 ³ F x, y, −10 = 0 , si θ = π2 y
9.16
Ecuaci´ on lineal homog´ enea
Es la ecuaci´on de la forma a(x)y 0 + b(x)y = 0 que es una ecuaci´on de variables separables, se resuelve como tal y su soluci´on general es y = k · ϕ(x) ,
k∈R
con ϕ(x) una soluci´on particular arbitraria no nula.
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9.17
6
Ecuaci´ on lineal completa
Es la ecuaci´on de la forma a(x)y 0 + b(x)y = p(x) M´ etodo de resoluci´ on: 1. Resolver la ecuaci´on homog´enea asociada a(x)y 0 + b(x)y = 0 cuya soluci´on es y = kϕ(x), k ∈ R. 2. Aplicar el m´ etodo de variaci´ on de las constantes imponiendo que la soluci´on de la ecuaci´on completa es de la forma y = k(x)ϕ(x), con lo que se llega sustituyendo a £ ¤ a(x) k 0 (x)ϕ(x) + k(x)ϕ0 (x) + b(x)k(x)ϕ(x) = p(x) de donde se llega a que k 0 (x) = y por tanto
Z k(x) =
p(x) a(x)ϕ(x)
p(x) dx = ψ(x) + k a(x)ϕ(x)
,
k∈R
3. La soluci´on de la ecuaci´on lineal completa es y = (ψ(x) + k) ϕ(x) = ψ(x)ϕ(x) + kϕ(x) ,
9.18
k∈R
Ecuaci´ on de Bernouilli
Es la ecuaci´on de la forma a(x)y 0 + b(x)y = p(x)y n con p(x) 6≡ 0, n 6= 0 y n 6= 1. Se resuelve mediante el cambio de variable dependiente z = y 1−n que la transforma en una ecuaci´on lineal. Si n > 0, no olvidar a˜ nadir la soluci´on y = 0 que se pierde en la resoluci´on de la ecuaci´on.
9.19
Ecuaci´ on de Riccati
Es la ecuaci´on de la forma a(x)y 0 + b(x)y + c(x)y 2 = p(x) con c(x) 6≡ 0 y p(x) 6≡ 0. Para resolverla es necesario conocer previamente una soluci´on particular no nula y = ϕ(x). A partir de ella hay dos posibilidades de resoluci´on: 1. Hacer el cambio de variable dependiente y = ϕ(x) + z que la transforma en una ecuaci´on de Bernouilli de orden n = 2.
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7
2. Hacer el cambio de variable dependiente y = ϕ(x) +
1 u
que la transforma en una ecuaci´on lineal. No olvidar a˜ nadir la soluci´on y = ϕ(x) que se pierde en la resoluci´on de la ecuaci´on.
9.20
Definici´ on
Toda ecuaci´on diferencial de orden 1 en forma normal, y 0 = f (x, y), se puede transformar (sustituyendo y 0 por dy/dx) en dy = f (x, y) dx, que operando y simplificando nos llevar´ a a una ecuaci´on del tipo P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 que se llama forma diferencial de la ecuaci´on.
9.21
Ecuaciones diferenciales exactas
Una ecuaci´ on diferencial P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 se llama exacta si existe una funci´on U : D −→ R, D ⊂ R2 un dominio (abierto y conexo), continua y con derivadas parciales continuas en D, tal que ∂U = P (x, y) ∂x
∂U = Q(x, y) ∂y
y
La soluci´on de la ecuaci´on diferencial exacta viene dada por U (x, y) = k
9.22
,
k∈R
Observaciones
Recordando la secci´on 4, la ecuaci´on P dx + Q dy = 0 es exacta si y s´olo si la funci´on vectorial F = (P, Q) admite funci´on potencial, lo que es equivalente, en un dominio D ⊂ R2 simplemente conexo, a que ∂P ∂Q = ∂y ∂x
en
D
La funci´on potencial es la funci´on U del apartado anterior.
9.23
Factor integrante
Dada una ecuaci´on diferencial no exacta P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0, llamaremos factor integrante a cualquier funci´on µ = µ(x, y) no nula tal que la ecuaci´on P (x, y)µ(x, y) dx + Q(x, y)µ(x, y) dy = 0 sea diferencial exacta.
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8
Cualquier ecuaci´on diferencial de orden 1 en forma normal se podr´ıa resolver siempre que se sepa obtener un factor integrante ya que, en este caso, se multiplicar´ıa la ecuaci´on por ´el y se resolver´ıa. La condici´on para que µ = µ(x, y) sea factor integrante es que ∂(P µ) ∂(Qµ) = ∂y ∂x en un dominio simplemente conexo D ⊂ R2 , que se puede transformar en ∂P ∂µ ∂Q ∂µ µ+P = µ+Q ∂y ∂y ∂x ∂x que es una ecuaci´on diferencial en derivadas parciales (la inc´ognita es la funci´on µ) mucho m´as dif´ıcil de resolver, en general, que la ecuaci´on original. Sin embargo puede resolverse, de forma m´as sencilla, bajo ciertas hip´otesis adicionales como que µ = µ(x) ; µ = µ(y) ; µ = µ(x + y) ; µ = µ(xn y m ) ; . . .
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1
Ejercicios Tema 9: Ecuaciones diferenciales ordinarias. Ecuaciones diferenciales de primer orden en forma normal 1 1. Comprobar que todas las funciones de la familia y = c−x , c ∈ R, son soluciones de 0 2 la ecuaci´on diferencial y = y . ¿Existe alguna otra soluci´on?. Dibujarlas y sacar conclusiones. Sol.: Si, la soluci´on y = 0. Conclusi´on: Por cada punto del plano pasa una u ´nica soluci´on.
2. Comprobar que todas las funciones de la familia y = ceax , c ∈ R, son soluciones de la ecuaci´on diferencial y 0 = ay, a 6= 0. ¿Existe alguna otra soluci´on?. Dibujarlas y sacar conclusiones. Sol.: No. Conclusi´on: Por cada punto del plano pasa una u ´nica soluci´on. 3. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: (a) y 0 = y (1+y2 )x (b) y 0 = y (c) y 0 = 2xy 2 2
Sol.: (a) y = k · ex , k ∈ R. (b) 1 + y 2 = kex , k > 0. (c) y =
−1 , x2 +c
c ∈ R; e y = 0.
4. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales homog´eneas: (a) x(x − y)y 0 + y 2 = 0 (b) x2 y 0 = y(x + y) (c)
y−xy 0 x+yy 0
=2 y
Sol.: (a) y = k ·e x , k ∈ R. (b) y = k > 0.
x c−ln|x| ,
y
c ∈ R; e y = 0. (c) x2 +y 2 = k ·e− arctan x ,
5. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales reducibles a homog´eneas: (a) y 0 = (b) y 0 =
y−x−1 x+y−1 x+y+1 x+y−1
(c) yy 0 = 4x + 3y − 2 (d) (2x + y + 5)y 0 = 3x + 6 p y−1 Sol.: (a) x2¡ + (y − 1)2¢ = k · e− arctan x , k 6= 0. (b) x + y = k · e−x+y , k ∈ R. (c) (y − 4x + 2)4 y + x − 12 = k, k ∈ R. (d) (y − x − 1)3 (y + 3x + 7) = k, k ∈ R. 6. Representar los campos de direcciones de las ecuaciones diferenciales: (a) y 0 = y (b) yy 0 = −x
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2
indicando la posible representaci´ on gr´afica de sus soluciones. Sol.: (a) y = k · ex , 2 2 k ∈ R. (b) x + y = k, k > 0. 7. Estudiar la existencia y unicidad de soluciones para los problemas de Cauchy ½ 0 ½ 0 2 y = y 2/3 y = e−x (a) (b) y(0) = 0 y(0) = 0 Sol.: (a) Existe soluci´on y es u ´nica: y = (b) Existe soluci´on pero no es u ´nica: y =
Rx
−t2 dt. 0 e 3 x 27 e y = 0.
8. Hallar el conjunto abierto donde la ecuaci´on diferencial y 0 cos y +x+sen y = 0 admite soluci´on y © es u ´nica. ª Sol.: Ω = (x, y) : y 6= π2 + kπ, k ∈ Z . 9. Aplicar el m´etodo iterativo de Picard para resolver el problema de Cauchy ½ 0 y =y y(0) = 1 Sol.: ϕn (x) =
Pn
xk k=0 k!
−→n→∞ ex .
10. Hallar las ecuaciones diferenciales asociadas a las familias de curvas (a) y = cx, c ∈ R. (b) y = ax + bex , a, b ∈ R. Sol.: (a) y = y 0 x. (b) (1 − x)y 00 + xy 0 − y = 0. 11. Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas y = cx, c ∈ R. Hallar tambi´en las θ-trayectorias, para θ 6= π2 . Sol.: Trayectorias ortogonales: x2 + y 2 = c, c > 0. y 2 θ-trayectorias: x2 + y 2 = k · e tan θ ·arctan x , k > 0. 12. Si la temperatura del aire es de 20◦ C, y un cuerpo disminuye su temperatura de 100◦ C a 60◦ C en 20 minutos, ¿en cu´anto tiempo disminuir´ a su temperatura a 30◦ C?. Sol.: 1 hora. 13. Est´a nevando con regularidad. A las 12:00 sale una m´aquina quitanieves que recorre en la primera hora 2 Km. y en la segunda 1 Km. ¿A qu´e hora empez´o a nevar? Nota: Se admitir´a como hip´otesis que la cantidad de nieve quitada por la m´aquina en unidad de tiempo es uniforme, de modo que su velocidad de avance es inversamente proporcional a la altura de nieve encontrada. La altura encontrada es proporcional al tiempo que lleva nevando. Sol.: 11h 220 5500 . 14. Resolver la ecuaci´o³n diferencial´ lineal (x + 1)y 0 − 2y = (x + 1)4 . 2 Sol.: y = (x + 1)2 x2 + x + c , c ∈ R. 15. Resolver las siguientes ecuaci´ones diferenciales de Bernouilli:
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3
(a) y 0 + xy = x3 y 3 (b) xy 0 + y = y 2 ln x Sol.: (a)
1 y2
2
= x2 + 1 + c · ex , c ∈ R; e y = 0. (b)
1 y
= ln x + 1 + kx, k ∈ R; e y = 0.
16. Resolver ecuaci´on diferencial (de Riccati): ¡ ¢ 1 + x3 y 0 + 2xy 2 + x2 y + 1 = 0 sabiendo que admite una soluci´on particular de la forma y = ax + b. 3 − x, c ∈ R; e y = −x. Sol.: y = 1+x x2 +c 17. Resolver la ecuaci´on diferencial exacta: (2x + ey ) dx + xey dy = 0 y hallar la soluci´on particular que pasa por el punto √ ¡ (1, 0). ¢ Sol.: x2 + xey = k, k ∈ R. Sol. particular: y = ln x2 − x en (0, 2). 18. Estudiar si la ecuaci´on diferencial y(xy + 1) dx − x dy = 0 es exacta. Comprobarlo tambi´en despu´es de multiplicarla por y −2 . Resolverla y sacar conclusiones. 2 Sol.: xy + x2 = k, k ∈ R; e y = 0. 19. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales sabiendo que admiten un factor integrante del tipo que se indica: ¡ ¢ µ(x, y) = µ(x). (a) y dx + x2 y − x dy = 0; ¡ 2 2 ¢ ¡ 2 2 ¢ (b) y x y + xy dx + x x y − 1 dy = 0; µ(x, y) = µ(xy). ¡ 2 ¢ ¡ ¢ 2 (c) y x + y dx + x (x dy − y dx) = 0; µ(x, y) = x−3 ϕ xy . Sol.: (a) µ(x, y) = (b) µ(x, y) = (c) µ(x, y) =
y 1 . y2 2 − x = c, c ∈ R. x2 1 xy(xy+1) . xy − ln |y| = k, k ∈ 1 . x2 + y 2 = ky 2 e2x , k y(x2 +y 2 )
R; y = 0; y xy + 1 = 0. > 0.
20. Estudiar los dominios de existencia y unicidad de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales: p √ (a) y 0 1 − x + 1 − y 2 = 0. (b) y 0 =
√
√ 3
y . x2 −1
(c) y 0 = |y|. 2
2
−y (d) (x − 1)y 0 = xsen x + √ 1−(x2 +y 2 ) (e) y 0 = . x
√ 3 y − x + |y|.
(f) (x + 7)y 0 = ln(y + 1) +
p |x| − y.
Sol.: (a) D = {(x, y) : x < 1, |y| < 1}. (b) D = {(x, y) : |x| > 1, y 6= 0}. (c) D = ©{(x, y) : y 6= 0}. (d) D = ª{(x, y) : x 6= 1, x 6= kπ, k ∈ Z, y 6= 0, y 6= x}. (e) D = (x, y) : x2 + y 2 < 1, x 6= 0 . (f) D = {(x, y) : y > −1, x 6= −7, y < |x|}.
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21. Estudiar los dominios de existencia y unicidad de la ecuaci´on diferencial y 0 = x + y, y hallar por el m´etodo iterativo de Picard la soluci´on al problema: ½ 0 y =x+y y(0) = 1 Sol.: R2 . y = 2ex − x − 1. 22. Dada la ecuaci´on y 0 = xy + (x − 1)ϕ(x) + 7, ϕ ∈ C(−∞, ∞), hallar la intersecci´ on de las rectas tangentes en (1, 0) y (1, 1) a las soluciones que pasan por esos puntos. Sol.: (0, −7). 23. Hallar la curva que pasa por (1, 3) y es ortogonal a todas las rectas que pasan por el punto (−1, 1). Sol.: (x + 1)2 + (y − 1)2 = 8. 24. Estudiar los dominios de existencia y unicidad de la ecuaci´on diferencial y 0 = y|y|. Hallar las soluciones particulares que pasan por los puntos (0, 1) y (1, 0). 1 Sol.: R2 . y = 1−x e y = 0. 25. Encontrar la soluci´on exacta del problema de Cauchy: ½ 0 y = 2x(1 + y) y(0) = 0 Aplicar el m´etodo de Picard para hallar las cuatro primeras aproximaciones a la soluci´on, y comparar con la soluci´on exacta. 2 Sol.: y = ex − 1. 26. Encontrar la familia de curvas ortogonales a cada una de las siguientes familias de curvas: (a) xy = c. (b) y = cx2 . (c) y = cex . Sol.: (a) x2 − y 2 = k, k ∈ R. (b) x2 + 2y 2 = k, k > 0. (c) y 2 + 2x = k, k ∈ R. 27. Los puntos medios de los segmentos de tangente a una curva comprendidos entre el punto de contacto y el eje OX describen la par´abola y 2 = 2x. Hallar la curva, sabiendo que pasa por el punto (1, 2). Sol.: x = 1+ln 2−ln|y| y2 . 4 28. Si la poblaci´on de un pa´ıs se duplica en 50 a˜ nos, ¿en cu´antos a˜ nos ser´a triple suponiendo que la velocidad de crecimiento es proporcional al n´ umero de habitantes?. Sol.: 50lnln2 3 ≈ 79, 25 a˜ nos. 29. Obt´engase la familia de curvas ortogonales a cada una de las siguientes familias: (a) y(cx + 1) = x. (b) x2 + (y − c)2 = c2 .
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5
Sol.: (a) x3 + y 3 = c, c ∈ R. (b) (x − c)2 + y 2 = c2 , c 6= 0. 30. Demostrar que: (a) la ecuaci´on y 0 = f (ax + by + c) se reduce a una ecuaci´on de variables separables mediante el cambio de variable dependiente z = ax + by + c. ax+by+c (b) la ecuaci´on y 0 = F ( dx+ey+f ) se reduce a una ecuaci´on homog´enea mediante el cambio de variables u = ax + by + c y v = dx + ey + f , siempre que ae 6= bd. Examinar el caso ae = bd.
(c) Aplicar los dos apartados anteriores a la resoluci´on de las ecuaciones diferenciales: i. ii. iii. iv.
y 0 = (x + y)2 . y 0 = sen2 (x − y + 1). (x + y)y 0 = 2y − 1. (y + x + 1) dx + (2y + 2x + 1) dy = 0.
Sol.: (i) y = tan(x+c)−x, c ∈ R. (ii) tan(x−y+1) = x+c, c ∈ R; y x−y+1 = π2 +kπ, k ∈ Z. (iii) (x − y + 1)2 = c(2y − 1), c ∈ R; y 2y − 1 = 0. (iv) x + y = ce−x−2y , c ∈ R. 31. Resolver la ecuaci´on: [sen(x + 2y) + 3x cos(x + 2y)] dx + 6x cos(x + 2y) dy = 0 sabiendo que admite un factor integrante de la forma senn (x + 2y), n ∈ N. Sol.: µ(x, y) = sen2 (x + 2y). x sen3 (x + 2y) = k, k ∈ R. 32. Supongamos que para la funci´on F (x, y, y 0 ) existen unos valores reales de k y m tales que F (tx, tk y, tk−1 y 0 ) = tm · F (x, y, y 0 ) Demostrar que en tal caso la ecuaci´on diferencial F (x, y, y 0 ) = 0 se reduce a una ecuaci´on homog´enea mediante el cambio de variable dependiente y = z k . Aplicar lo anterior a la resoluci´on de las ecuaciones diferenciales: √ (a) x2 y 0 = 2y(x + y). ³ p ´ (b) 3x2 y 0 = 2y x − y 3 . Sol.: (a) y =
x2 , (ln|x|+c)2
³ c ∈ R; e y = 0. (b) y =
x ln|x|+c
´2 3
, c ∈ R; e y = 0.
33. Hallar la condici´on para que la ecuaci´on diferencial P (x, y) dx+Q(x, y) dy = 0 admita un factor integrante de la forma µ(x, y) = f (xm y n ), m, n ∈ N. Aplicarlo a resolver: ¡ ¢ y dx − x y 2 + ln x dy = 0 Sol.: µ(x, y) =
1 . lnyx xy 2
− y = c, c ∈ R; e y = 0.
34. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: (a) (2xy 2 − 3x3 ) dx + (2yx2 + 2y − 1) dy = 0.
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6
¡ √ ¢ (b) x2 y 0 = 2y x + y . √ (c) x = (xy 0 + y) 1 + x2 . (d) (3xy + y 2 ) dx + (3xy + x2 ) dy = 0. (e) x2 dt − (tx + t3 ) dx = 0. (f) (x2 + y 2 + x) dx + y dy = 0. Sol.: (a) x2 y 2 − 43 x4 + y 2 − y = c, c ∈ R. (b) y = √ 2 y = c+ x1+x , c ∈ R. (d) x2 + y 2 = ce−2x , c > 0.
xy(x + y) = c, c ∈ R. (e)
x2 , c ∈ R; e y = 0. (ln|x|+c)2 1 = c−2x , c ∈ R; y t = 0. t2 x2
(c) (f)
35. Dada la ecuaci´on yP (x, y) dx + xQ(x, y) dy = 0, donde P y Q son funciones de xy, demostrar que 1 µ(x, y) = (P − Q)xy es un factor integrante. Aplicar lo anterior a la resoluci´on de la ecuaci´on diferencial: y(x2 y 2 + xy) dx + x(x2 y 2 − 1) dy = 0 Sol.: µ(x, y) =
1 xy(xy+1) .
xy − ln |y| = k, k ∈ R; y = 0 y xy + 1 = 0.
36. Resolver la ecuaci´on diferencial: (2x3 + 3x2 y − y 3 ) dx + (2y 3 + 3xy 2 − x3 ) dy = 0 sabiendo que admite un factor integrante del tipo µ(x, y) = f (x + y). 1 2 2 Sol.: µ(x, y) = (x+y) 2 . x + y − xy = c, c ∈ R; e y = −x. 37. Resolver la ecuaci´on diferencial: (x + 2)ex cos y dx − (x + 5)ex sen y dy = 0 sabiendo que admite un factor integrante de la forma µ(x, y) = f (x). ex cos y 1 Sol.: µ(x, y) = (x+5) 4 . (x+5)3 = c, c ∈ R. 38. Detallar el conjunto de condiciones que se han de verificar para que la ecuaci´on P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 admita un factor integrante de la forma µ(x, y) = ϕ(xe−y ). Aplicar lo anterior a la resoluci´on de la ecuaci´on: µ ¶ ³y ´ x 1 2e + 1 dx + 2 ey − ex dy = 0 x x Sol.: µ(x, y) = xe−y . y 2 + 2xex−y = k, k ∈ R. 39. Resolver la ecuaci´on: (− cos x sen2 y − sen y) dx + cos y dy = 0 sabiendo que admite un factor integrante de la forma µ(x, y) = β(x) sen−2 y. ´ ³ x x Sol.: µ(x, y) = sene 2 y . sen1 y + sen x+cos ex = c, c ∈ R; e y = kπ, k ∈ Z. 2
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40. Resolver la ecuaci´on: (y ln y + yex ) dx + (x + y cos y) dy = 0 sabiendo que admite un factor integrante que depende de una u ´nica variable. Sol.: µ(x, y) = y1 . x ln y + ex + sen y = k, k ∈ R; e y = 0. 41. Sabiendo que µ(x, y) = 3xy 2 es un factor integrante de la ecuaci´on: µ ¶ x 1 − dx + Q(y) dy = 0 y 2 xy se pide: (a) Determinar Q(y). (b) Resolver la ecuaci´on resultante. Sol.: (a) Q(y) = −y −2 . (b) x3 − 3xy = k, k ∈ R. 42. Integrar la ecuaci´on diferencial (x2 − y 2 ) dx + 2xy dy = 0 sabiendo que admite un factor integrante de la forma µ(x, y) = x−1 f (x2 + y 2 ). Sol.: µ(x, y == x(x21+y2 ) . x2 + y 2 = kx, k 6= 0. 43. La velocidad de crecimiento de una poblaci´on es proporcional a la poblaci´on en cada instante. En cierto cultivo de bacterias, el n´ umero de estas se ha sextuplicado en 10 horas. ¿Qu´e tiempo tard´o la poblaci´on en duplicar su n´ umero inicial?. 10 ln 2 Sol.: ln 6 ≈ 3, 8685 horas. on sobre el eje OX de la 44. Encontrar la curva o curvas que verifican que la proyecci´ parte de la tangente entre (x, y) y el eje OX tiene longitud 1. Sol.: y = ke±x , k 6= 0. 45. Una curva pasa del origen al primer cuadrante. El ´area bajo la curva de (0, 0) a (x, y) es un tercio del ´area del rect´angulo que, con lados paralelos a los ejes, tiene esos puntos como v´ertices opuestos. Encontrar la ecuaci´on de la curva. Sol.: y = kx2 , k > 0. 46. Hallar la soluci´on general de la ecuaci´on: y y0 + = sen x x+1 Encontrar la soluci´on particular que pasa por el punto ( π2 , 1) y decir cu´al es su dominio de definici´on. π +sen x x 2 Sol.: y = c+sen x+1 − cos x, c ∈ R. y = x+1 − cos x, definida en (−1, +∞). 47. Resolver el siguiente problema de Cauchy: ½ 0 y + y = 2 sen x y(0) = 1 Sol.: y = sen x − cos x + 2e−x .
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48. Dada la ecuaci´on diferencial µ ¶ 10 2 6xy dx + 4x + dy = 0 x se pide: (a) Determinar un factor integrante de la forma µ(x, y) = yβ(x). (b) Hallar todas sus soluciones. ¡ ¢ Sol.: (a) µ(x, y) = xy. (b) y 2 2x3 + 5 = c, c ∈ R. 49. Hallar todas las soluciones de la ecuaci´on diferencial: (x2 + y 2 + x) dx + xy dy = 0 sabiendo que admite ¡un factor integrante que depende de una u ´nica variable. ¢ Sol.: µ(x, y) = x. x2 3x2 + 4x + 6y 2 = c, c ∈ R. 50. Dada la ecuaci´on diferencial: xy 0 =
p
x2 − y 2 + y
se pide: (a) Determinar los dominios de existencia y unicidad de soluciones. (b) Hallar todas sus soluciones. (c) Resolver el problema de Cauchy: p ½ xy 0 = x2 − y 2 + y y(eπ ) = 0 Sol.: (a) D = {(x, y) : |x| > |y|}. (b) y = x sen(c + ln |x|), c ∈ R; e y = ±x. (c) y = x sen(ln x − π). 51. Dada la ecuaci´on diferencial (x2 − 1)y 0 + xy(1 − y) = 0 se pide: (a) Determinar los dominios del plano donde se puede asegurar existencia y unicidad de soluciones. (b) Hallar todas sus soluciones.
√ (c) Hallar las soluciones que pasan por los puntos (1, 1), (1, 2) y ( 2, 1/2).
Sol.: (a) D = {(x, y) : x 6= ±1} √1 2 , c ∈ R; e y = 0. (b) y = 1+c
|x −1|
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√1 2 , c ∈ R. Por √|x −1| el punto (1, 2) no pasa ninguna soluci´on. Por el punto ( 2, 12 ) pasa la u ´nica soluci´on: y = √1 2 .
(c) Por el punto (1, 1) pasan infinitas soluciones: y =
1+
1+c
|x −1|
52. La aceleraci´on de un cierto autom´ovil deportivo es, en cada instante, proporcional a la diferencia entre 250 Km/h y la velocidad que lleva. Sabiendo que el autom´ovil pasa del reposo a la velocidad de 100 Km/h en 10 segundos, ¿cu´anto tiempo necesitar´a para pasar del reposo a 200 Km/h?. − ln 5 Sol.: 360 ≈ 31, 5 segundos. ln 3 5
53. Dada la ecuaci´on diferencial x2 y 0 + 2xy − y 3 = 0 se pide: (a) Determinar los dominios del plano donde se puede asegurar existencia y unicidad de soluciones. (b) Hallar todas sus soluciones. (c) Hallar las soluciones que pasan por los puntos (0, 0), (1, 0) y (1, 1). Sol.: (a) D = {(x, y) : x 6= 0} q 5x (b) y = ± 2+5cx 5 , c ∈ R; e y = 0. (c) Por el punto (0, 0) pasan todas las soluciones de la ecuaci´on. Por el punto (1, 0)qpasa la u ´nica soluci´on y = 0. Por el punto (1, 1) pasa la u ´nica soluci´on: y=
5x . 2+3x5
54. (Febrero 1999) Resolver la ecuaci´on diferencial µ −y ¶ e 3 + 2x y dx + x4 (1 + y) dy = 0 x sabiendo que admite un factor integrante de la forma µ(x, y) = x−2 f (y). Sol.: µ(x, y) = x−2 ey , y la soluci´on es: 2x2 yey − x−2 = c, c ∈ R. 55. (Febrero 1999) Determinar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas (x + y)2 = kx2 , k > 0. Sol.: x2 + y 2 = c, c ∈ R.
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10 10.1
1
Ecuaciones diferenciales de primer orden en forma impl´ıcita Definici´ on
Son ecuaciones diferenciales de la forma F (x, y, y 0 ) = 0 donde no se puede despejar y 0 de forma un´ıvoca.
10.2
Ecuaciones resolubles en y 0
Son ecuaciones de la forma F (x, y, y 0 ) = 0 donde, aunque no de forma un´ıvoca, se puede despejar y 0 . Es decir, que despejando y 0 nos queda y 0 = f1 (x, y) y 0 = f2 (x, y) ... ... 0
y = fN (x, y) En este caso se resuelve cada una de estas ecuaciones diferenciales (por los m´etodos dados en la secci´on 9), cuyas soluciones ser´an ϕ1 (x, y, c) = 0
;
c∈R
ϕ2 (x, y, c) = 0
;
c∈R
;
c∈R
... ... ϕN (x, y, c) = 0
y el conjunto de todas ellas forman la soluci´on general de la ecuaci´on dada. Es decir, la soluci´on general de la ecuaci´on F (x, y, y 0 ) = 0 ser´a ϕ1 (x, y, c1 ) · ϕ2 (x, y, c2 ) · . . . · ϕN (x, y, cN ) = 0
10.3
;
ci ∈ R , 1 ≤ i ≤ N
M´ etodo general: Parametrizaci´ on
El m´etodo general para resolver la ecuaci´on diferencial F (x, y, y 0 ) = 0 es el siguiente: 1. Hacer y 0 = p y parametrizar la ecuaci´on: x = ϕ(u, v) F (x, y, p) = 0 =⇒ y = ψ(u, v) p = χ(u, v) 2. Desarrollar p = y 0 = dy/dx (es decir dy = p dx) en funci´on de u y v, con lo que nos queda µ ¶ ∂ψ ∂ψ ∂ϕ ∂ϕ du + dv = χ(u, v) · du + dv ∂u ∂v ∂u ∂v con lo que nos queda una ecuaci´on diferencial de primer orden en forma diferencial (que es tambi´en forma normal) en u y v.
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2
3. Se resuelve la ecuaci´on diferencial obtenida y su soluci´on ser´a W (u, v, c) = 0
;
c∈R
4. La soluci´on general de la ecuaci´on F (x, y, y 0 ) = 0, en forma param´etrica, es x = ϕ(u, v) ; c∈R y = ψ(u, v) W (u, v, c) = 0 Nota: Eliminando los par´ametros se puede llegar a una expresi´on del tipo Φ(x, y, c) = 0
10.4
;
c∈R
Observaci´ on
Si se puede despejar en F (x, y, y 0 ) = 0 alguna de las variables (x, y o y 0 ) de forma un´ıvoca, una parametrizaci´on de la ecuaci´on ser´ıa, seg´ un el caso, la siguiente: 1. Si se puede despejar x = ϕ(y, y 0 ), y haciendo y 0 = p, una parametrizaci´on ser´ıa x = ϕ(u, v) y=u p=v 2. Si se puede despejar y = ψ(x, y 0 ), y haciendo y 0 = p, una parametrizaci´on ser´ıa x = u y = ψ(u, v) p=v 3. Si se puede despejar y 0 = χ(x, y), y haciendo y 0 = p, una parametrizaci´on ser´ıa x = u y=v p = χ(u, v) aunque en este caso, si es posible, se resolver´ıa por los m´etodos de la secci´on 9.
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1
Ejercicios Tema 10: Ecuaciones diferenciales de primer orden en forma impl´ıcita 1. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: (a) x2 y 02 + xyy 0 − 6y 2 = 0. (b) xy 02 + (y − 1 − x2 )y 0 − x(y − 1) = 0. ¡ ¢¡ ¢ ¡ Sol.: (a) y − cx2 y − xc3 = 0, c ∈ R. (b) (x2 − 2y + c) y −
c x
¢ − 1 = 0, c ∈ R.
2. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: (a) yy 02 + 2xy 0 − y = 0. ¡ ¢ (b) 4x = yy 0 y 02 − 3 . (c) y 03 − 4xyy 0 + 8y 2 = 0. Sol.: ( (a)
√ ±2 1−kx k
y= y=0
, k>0 ½ (c)
4x = uv(v 2 − 3) y=u (b) ; c ∈ R. 10 2 6 2 9 u (v + 1) (v − 4) = c y = c(x − c)2 , c ∈ R 3 y = 4x 27
3. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: (a) xy 02 + y 03 − y = 0. (b) 2xy 0 − y 02 − y = 0. p (c) xy 0 − y + a 1 − y 02 = 0. p (d) x = y 0 1 + y 02 . Sol.: ) ( v 2 (2v−3)+c x = 2(v−1)2 , c∈R 2 (x + v) y = v (a) y=0 y =x+1 ) ( √ av x = 2 1−v √ 2 y = √av + a 1 − v2 2 1−v (c) √ y = kx + a 1 − k 2 , k ∈ [−1, 1] y = kx , k ∈ R
½ x= (b) y= y=0
½ (d)
2v c 3 + v2 2c 4v 2 3 + v
¾ − v2
, c∈R
√ x = v 1 + v2 √ y = 13 (2v 2 − 1) 1 + v 2 + c
; c∈R
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11 11.1
1
Ecuaciones diferenciales generales de orden superior ¢ ¡ Ecuaciones diferenciales del tipo F x, y (k) , y (k+1) = 0, k ≥ 1
M´ etodo de resoluci´ on: 1. Hacer el cambio de variable dependiente z(x) = y (k) (x), con lo que se llega a F (x, z, z 0 ) = 0 2. Resolver esta ecuaci´on y expresar su soluci´on en forma expl´ıcita: z = ϕ(x, c) ;
c∈R
3. Deshacer el cambio: y (k) = ϕ(x, c) ;
c∈R
4. Integrar k veces hasta llegar a una expresi´on del tipo y = ψ(x, ck+1 ) + c1 xk−1 + c2 xk−2 + . . . + ck−1 x + ck con ci ∈ R, 1 ≤ i ≤ k + 1, que ser´a la soluci´on de la ecuaci´on diferencial dada.
11.2
Ecuaciones diferenciales del tipo F (y, y 0 , y 00 ) = 0
M´ etodo de resoluci´ on: 1. Hacer el cambio y 0 = z(y) con lo que y 00 =
dy 0 dz(y) dz(y) dy = = · = z 0 (y)y 0 = z 0 z dx dx dy dx
y sustituyendo se obtiene F (y, z, z 0 z) = 0 que es una ecuaci´on diferencial con variable independiente y y variable dependiente z. 2. Resolver esta ecuaci´on diferencial para obtener como soluci´on ϕ(y, z, c) = 0 ;
c∈R
3. Deshacer el cambio para obtener ϕ(y, y 0 , c) = 0
;
c∈R
4. Resolver esta ecuaci´on diferencial y su soluci´on ψ(x, y, c1 , c2 ) = 0 ; ser´a la soluci´on general de la ecuaci´on dada.
c1 , c2 ∈ R
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1
Ejercicios Tema 11: Ecuaciones diferenciales generales de orden superior 1. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: (a) xy 000 − y 00 = 0. (b) y 00 = y 03 ln y. Sol.: (a) y = ax3 + bx + c, a, b, c ∈ R. (b) y 2 (3 − 2 ln y) + ay + b = 4x, a, b ∈ R. 2. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: 0
(a) xy 00 = y 0 ln yx . (b) yy 00 − y 02 = 0. (c) yy 00 = y 2 y 0 + y 02 . Sol.: ( (a)
y= y=
ex2 2 +c, c∈R c1 x−1 1+c1 x e + c2 c21
½ (c)
, c1 6= 0 , c2 ∈ R
y= y=
1 k−x , k c 1+ke−cx
(b) y = kecx , k, c ∈ R
∈R , c, k ∈ R
3. Usando la soluci´on obtenida en (2-c), resolver el problema de Cauchy 00 2 0 02 yy = y y + y y(0) = −1 2 0 y (0) = 1 Sol.: y =
−5 2+8e
5x 2
.
4. (Septiembre 1999) Resolver la ecuaci´on diferencial p x2 y 00 − xy 0 + y = x2 − (xy 0 − y)2 aplicando el cambio de variables x = et , y = et z(t). Sol.: y = x [c2 − cos (c1 + ln x)], c1 , c2 ∈ R; y = ±x(ln x + c), c ∈ R.
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12 12.1
1
Ecuaciones diferenciales lineales Definici´ on
Llamaremos ecuaci´ on diferencial lineal de orden n a cualquier ecuaci´on de la forma a0 (x)y (n) + a1 (x)y (n−1) + . . . + an−1 (x)y 0 + an (x)y = b(x) Si b(x) ≡ 0 la ecuaci´on lineal se llama homog´ enea y si b(x) 6≡ 0 se llama completa. Dada una ecuaci´on diferencial lineal completa de orden n a0 (x)y (n) + a1 (x)y (n−1) + . . . + an−1 (x)y 0 + an (x)y = b(x) con b(x) 6≡ 0, a la que en adelante nos referiremos por (ELC), llamaremos ecuaci´on lineal homog´ enea asociada a la ecuaci´on a0 (x)y (n) + a1 (x)y (n−1) + . . . + an−1 (x)y 0 + an (x)y = 0 a la que en adelante nos referiremos por (ELH).
12.2
Teorema de existencia y unicidad
Si ai (x), 0 ≤ i ≤ n, y b(x) son funciones continuas en un intervalo I = [a, b] ⊂ R y (n−1) a0 (x) 6= 0 para todo x ∈ I, entonces para cada x0 ∈ I e (y0 , y00 , . . . , y0 ) ∈ Rn el problema de Cauchy (n) (n−1) + . . . + a 0 n−1 (x)y + an (x)y = b(x) a0 (x)y + a1 (x)y y(x0 ) = y0 y 0 (x ) = y 0 0 0 ... ... y (n−1) (x ) = y (n−1) 0
0
tiene una u ´nica soluci´on y = ϕ(x), x ∈ I = [a, b].
12.3
Polinomio operacional
Si representamos Dk y = y (k) , k ≥ 1, la ecuaci´on diferencial (ELC) se puede representar por P (D)y = b(x) donde P (D) = a0 (x)Dn + a1 (x)Dn−1 + . . . + an−1 (x)D + an (x) se llama polinomio operacional. Las soluciones de (ELC) y (ELH) se pueden expresar en t´erminos de este polinomio como P (D)ϕ(x) = b(x) P (D)y = b(x) o o ⇐⇒ y = ϕ(x) es soluci´on de P (D)ϕ(x) = 0 P (D)y = 0 Este polinomio tiene las siguientes propiedades: 1. P (D) (αϕ + βψ) = αP (D)ϕ + βP (D)ψ, ∀α, β ∈ R. (Lineal) 2. P (D)eλx = P (λ)eλx , ∀λ ∈ R. Como consecuencia inmediata, de esta u ´ltima propiedad, se tiene que si existe λ ∈ R tal λx que P (λ) ≡ 0 entonces y = e es soluci´on de (ELH).
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12.4
2
Propiedades de las soluciones
1. Si {ϕi (x)}N on lineal de i=1 son N soluciones de (ELH), entonces cualquier combinaci´ ellas N X ϕ(x) = ci ϕi (x) ; ci ∈ R , 1 ≤ i ≤ N i=1
es tambi´en soluci´on de (ELH). 2. ϕ(x) ≡ 0 es soluci´on de (ELH). 3. Si ψ1 (x) y ψ2 (x) son soluciones de (ELC) entonces ϕ(x) = ψ1 (x) − ψ2 (x) es soluci´on de (ELH). 4. Si ψ(x) es una soluci´on particular de (ELC) e yH representa a todas las soluciones de (ELH), entonces todas las soluciones de (ELC) vienen dadas por y = ψ(x) + yH 5. Principio de superposici´ on: Si ψ1 (x) es soluci´on de P (D)y = b1 (x) y ψ2 (x) es soluci´on de P (D)y = b2 (x), entonces ψ1 (x) + ψ2 (x) es soluci´on de P (D)y = b1 (x) + b2 (x).
12.5
Conclusiones
1. El conjunto de soluciones de una ecuaci´on lineal homog´enea de orden n es un espacio vectorial de dimensi´on n (el hecho de que la dimensi´on sea n se justifica despu´es con el llamado Teorema 2). Por lo tanto, para resolver (ELH) basta con encontrar n soluciones particulares, {ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn }, linealmente independientes (que formen base) y la soluci´on general de (ELH) ser´a y=
n X
ci ϕi (x) ;
ci ∈ R , 1 ≤ i ≤ n
i=1
2. El conjunto de soluciones de una ecuaci´on lineal completa de orden n es un espacio af´ın de dimensi´on n sobre el espacio vectorial de las soluciones de su ecuaci´on homog´enea asociada. Por lo tanto, para resolver (ELC) basta con encontrar n soluciones particulares, {ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn }, linealmente independientes (que formen base) de su ecuaci´on homog´enea asociada (ELH) y una soluci´on particular ψ(x) de (ELC); la soluci´on general de (ELC) vendr´ a dada por y = ψ(x) +
n X i=1
ci ϕi (x)
;
ci ∈ R , 1 ≤ i ≤ n
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12.6
3
Definici´ on
Dadas k > 1 funciones, {ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕk }, derivables con continuidad hasta el orden k en un cierto intervalo [a, b], llamaremos wronskiano a la funci´on definida por el siguiente determinante ¯ ¯ ¯ ϕ1 ϕ2 ... ϕk ¯¯ ¯ ¯ ϕ0 ϕ02 ... ϕ0k ¯¯ ¯ 1 ¯ ϕ00 00 ϕ2 ... ϕ00k ¯¯ ¯ W [ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕk ] (x) = ¯ 1 ... ... . . . ¯¯ ¯ ... ¯ ¯ ... ... ... ¯ ¯ ... ¯ (k−1) (k−1) (k−1) ¯ ¯ϕ1 ¯ ϕ2 . . . ϕk
12.7
Teorema 1
Sean {ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn } n soluciones particulares no nulas de (ELH) en I = [a, b] donde se cumplen las hip´otesis del teorema de existencia y unicidad 12.2. Entonces {ϕi }ni=1 son linealmente dependientes en I ⇐⇒ W [ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn ] (x) ≡ 0 en I y adem´as {ϕi }ni=1 son linealmente independientes en I ⇐⇒ W [ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn ] (x) 6= 0 , ∀x ∈ I
12.8
Teorema 2
Sean {ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn } soluciones particulares de (ELH) linealmente independientes en I = [a, b]. Entonces n X y= ci ϕi (x) ; ci ∈ R , 1 ≤ i ≤ n i=1
es la soluci´on general de (ELH) en I.
12.9
M´ etodo de variaci´ on de las constantes
Sirve para hallar la soluci´on general de (ELC) cuando conocemos la soluci´on general de (ELH): n X y= ci ϕi (x) ; ci ∈ R , 1 ≤ i ≤ n i=1
El m´etodo consiste en suponer que las constantes son funciones de x, es decir que ci = ci (x) ,
1≤i≤n
Para imponer que la soluci´on de (ELC) es del tipo y=
n X i=1
ci (x)ϕi (x)
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4
se deriva n veces haciendo ciertas hip´otesis adicionales que se indican a continuaci´ on: 0
y =
n X
ci ϕ0i
n X
+
i=1
y 00 =
n X
ci ϕ00i +
i=1 n X
i=1
y 000 =
n X
ci ϕ000 i +
i=1
c0i ϕi
Hip´ otesis:
c0i ϕ0i
i=1 n X
Hip´ otesis:
y
=
i=1
n X
c0i ϕ0i = 0
i=1
c0i ϕ00i
Hip´ otesis:
i=1
n X
c0i ϕ00i = 0
i=1
·········
········· n n X X (n−1) (n−2) (n−1) y = ci ϕi + c0i ϕi (n)
c0i ϕi = 0
i=1
·········
i=1 n X
n X
········· n X
Hip´ otesis:
i=1 (n) ci ϕi
+
n X
(n−2)
c0i ϕi
=0
i=1 (n−1)
c0i ϕi
i=1
Considerando estas hip´otesis adicionales y sustituyendo en la ecuaci´on (ELC) nos queda a0
n X
(n−1)
c0i ϕi
= b(x)
i=1
con lo que tenemos el siguiente sistema lineal Pn 0 i=1 ci ϕi = 0 Pn c0 ϕ0 = 0 i=1 i i ······ ······ P (n−1) = b(x) a0 (x) ni=1 c0i ϕi de n ecuaciones con n incognitas: {c0i (x) : 1 ≤ i ≤ n}. Se resuelve y nos dar´a como soluciones c0i (x) = χi (x) , 1≤i≤n e integrando
Z ci (x) = χi (x) dx = ψi (x) + ki ; P Sustituyendo en y = ni=1 ci (x)ϕi (x) se obtiene y=
n X i=1
(ψi (x) + ki ) ϕi (x) =
n X
ki ∈ R , 1 ≤ i ≤ n
ψi (x)ϕi (x) +
n X
i=1
ki ϕi (x)
i=1
con ki ∈ R, 1 ≤ i ≤ n, que es la soluci´on general de (ELC).
12.10
F´ ormula de Liouville-Ostrogradski
Si {ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn } son n soluciones linealmente independientes de (ELH), entonces W [ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn ] = C · e con C 6= 0.
−
R
a1 (x) a0 (x)
dx
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12.11
5
Observaci´ on
En el caso n = 2 ¯ ¯ µ ¶ ¯ϕ1 ϕ2 ¯ 0 0 2 ¯ = ϕ1 ϕ2 − ϕ1 ϕ2 = ϕ1 · D ϕ2 W [ϕ1 , ϕ2 ] = ¯¯ 0 0 ϕ1 ϕ2 ¯ ϕ1 con lo que la f´ormula de Liouville quedar´ıa, en este caso, como µ ¶ R a1 (x) ϕ2 − dx 2 = C · e a0 (x) ϕ1 · D ϕ1 que nos permite calcular f´acilmente una segunda soluci´on de (ELH) cuando conocemos una de ellas, o incluso calcularlas las dos cuando conocemos cierta relaci´on entre ellas.
12.12
Ecuaciones lineales de segundo orden
Son las ecuaciones de la forma a0 (x)y 00 + a1 (x)y 0 + a2 (x)y = b(x) cuya soluci´on, seg´ un lo que hemos visto, ser´a y = ψ(x) + c1 ϕ1 (x) + c2 ϕ2 (x) ;
c1 , c2 ∈ R
con {ϕ1 , ϕ2 } soluciones linealmente independientes de (ELH) y ψ soluci´ on particular de (ELC). Para resolver estas ecuaciones es necesario conocer alguna hip´otesis adicional, pues no hay un m´etodo general que permita resolverlas. Veamos algunos casos particulares: 1. Se conoce y = ϕ1 (x), soluci´on particular no nula de (ELH). En este caso se puede proceder de dos maneras: (a) Utilizar la f´ormula de Liouville para hallar ϕ2 y luego i. aplicar variaci´on de constantes para hallar la soluci´on general de (ELC) o ii. buscar por tanteo una soluci´on particular ψ(x) de (ELC). (b) Hacer el cambio y = zϕ1 (x) que transforma la ecuaci´on en £ ¤ ¡ ¢ a0 z 00 ϕ1 + 2z 0 ϕ01 + zϕ001 + a1 z 0 ϕ1 + zϕ01 + a2 zϕ1 = b que operando nos da ¡ ¢ a0 ϕ1 z 00 + 2a0 ϕ01 + a1 ϕ1 z 0 = b y haciendo ahora el cambio u = z 0 se llega a A0 (x)u0 + A1 (x)u = b(x) que es una ecuaci´on lineal de primer orden. Se resuelve y se deshacen los cambios.
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6
2. Se conocen ψ1 y ψ2 soluciones particulares de (ELC). En este caso ϕ1 = ψ1 − ψ2 es una soluci´on particular de (ELH) y aplicando la f´ormula de Liouville se calcula otra soluci´on ϕ2 de (ELH). Con ´esto ya tenemos la soluci´on general de (ELC) pues conocemos dos soluciones particulares de (ELC) (s´olo necesitamos una) y dos soluciones particulares linealmente independientes de (ELH). 3. Se conoce una relaci´on entre dos soluciones particulares y linealmente independientes de (ELH). En este caso se aplica la f´ormula de Liouville para hallar las dos soluciones particulares de (ELH) y despu´es se aplica cualquiera de los m´etodos descritos en (1) para hallar la soluci´on general de (ELC).
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1
Ejercicios Tema 12: Ecuaciones diferenciales lineales 1. Estudiar la dependencia o independencia lineal de las siguientes familias de funciones: © ª (a) 1, x, x2 , x3 . © ª (b) eλ1 x , eλ2 x , eλ3 x . Sol.: (a) L. indep. (b) L. indep. si λi 6= λj para i 6= j; y L. dep. en caso contrario. 2. Resolver la ecuaci´on x(1 − x ln x)y 00 + (1 + x2 ln x)y 0 − (x + 1)y = (1 − x ln x)2 ex sabiendo que y = ex e y = ln x son soluciones de la ecuaci´on homog´enea asociada. Sol.: y = c1 ex + c2 ln x + [x(1 − ln x) + ln x] ex , c1 , c2 ∈ R. 3. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: (a) x2 y 00 + xy 0 − y = 3x2 + 1. (b) xy 00 + 2y 0 + xy = 0, sabiendo que y = (c)
x2 y 00
xy 0
sen x x
es una soluci´on particular.
5x4 ,
− − 3y = sabiendo que y = x−1 es una soluci´on particular de la ecuaci´on homog´enea asociada.
(d) (1 + x2 )y 00 − 2xy 0 + 2y = 0. (e) (sen2 x)y 00 − (2 sen x cos x)y 0 + (1 + cos2 x)y = 0, sabiendo que admite dos soluciones particulares cuyo cociente es x. 2 cos x Sol.: (a) y = c1 x + cx2 + x2 − 1, c1 , c2 ∈ R; (b) y = c1 sen x+c , c1 , c2 ∈ R; x c2 4 3 2 (c) y = x + c1 x + x , c1 , c2 ∈ R. (d) y = c1 (x − 1) + c2 x, c1 , c2 ∈ R; (e) y = (c1 + c2 x) sen x, c1 , c2 ∈ R.
4. Resolver las siguientes ecuaciones: (a) y 00 − xf (x)y 0 + f (x)y = 0, siendo f continua en R. (b) y 00 − f (x)y 0 + (f (x) − 1) y = 0, siendo f continua en R. Sol.: (a) y = (c1 ϕ(x) + c2 ) x, c1 , c2 ∈ R, donde ϕ0 (x) = x12 e ³ R ´ Rs x (b) y = c1 0 e−2s+ 0 f (t) dt ds + c2 ex , c1 , c2 ∈ R.
Rx 0
tf (t) dt
.
5. Dada la ecuaci´on: xy 00 + (2 − 3x)y 0 − 3y = 20x3 − 15x4 , se pide: (a) Calcular una soluci´on para la ecuaci´on completa del tipo y = xm . (b) Hallar todas sus soluciones sabiendo que y = completa. Sol.: (a) y = x4 . (b) y =
c1 +c2 e3x x
+ x4 .
x5 −7 x
es soluci´on de la ecuaci´on
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2
6. Determinar los coeficientes a, b y c de modo que la ecuaci´on: (x2 + 1)y 00 − 2xy 0 − y(ax2 + bx + c) = 0 tenga una soluci´on de tipo exponencial. Calcular la soluci´on general de la ecuaci´on obtenida. Sol.: y = eλx es soluci´on si a = c = λ2 y b = −2λ. En este caso la soluci´on general es: y = c1 eλx + c2 (2λ2 x2 + 2λx + 2λ2 + 1)e−λx , c1 , c2 ∈ R. 7. Resolver la ecuaci´on x2 y 00 − x(2x + 3)y 0 + (x2 + 3x + 3)y = (6 − x2 )ex sabiendo que xex es soluci´ ¡ y= ¢ onx de la homog´enea. 2 2 Sol.: y = x + x + c1 x + c2 xe , c1 , c2 ∈ R. 8. Dada la expresi´on x2 y 00 (x) + 6xy 0 (x) + 6y(x), calcular una funci´on f (x) que, multiplicada por la expresi´on anterior, nos d´e una derivada de una expresi´on del tipo F (x)y(x). Bas´andose en ´esto, integrar la ecuaci´on: x2 y 00 + 6xy 0 + 6y = 7 Sol.: f (x) = cx y F (x) = cx3 , c ∈ R; y =
7 6
+
c1 x2
+
c2 , x3
c1 , c2 ∈ R.
9. Hallar la soluci´on general de la ecuaci´on: x2 y 00 − 2xy 0 + (x2 + 2)y = x3 ex sabiendo que su ecuaci´on homog´enea asociada admite dos soluciones particulares cuyo cociente es igual a tan x. x Sol.: y = (a cos x + b sen x)x + xe2 , a, b ∈ R. 10. Dada la ecuaci´on:
µ ¶ 2 f (x) y + tan x − y 0 + 2 y = x tan x x x 00
se pide: (a) Determinar f (x) para que la ecuaci´on homog´enea admita dos soluciones particulares cuyo cociente sea igual a sen x. (b) Siendo f (x) la funci´on determinada en el apartado anterior, hallar la soluci´on general de la ecuaci´on completa, sabiendo que posee una soluci´on particular del tipo y = xn . Sol.: (a) f (x) = 2 − x tan x. (b) y = (a + b sen x)x + x2 , a, b ∈ R. 11. Determinar la ecuaci´on lineal cuya soluci´on general es: A(x + 1)3 + B(x − 1)3
;
A, B ∈ R
Bas´andose en ´esto, integrar la ecuaci´on: (x2 − 1)y 00 − 4xy 0 + 6y = 2x Sol.: (x2 − 1)y 00 − 4xy 0 + 6y = 0. y = A(x + 1)3 + B(x − 1)3 + x, A, B ∈ R.
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3
12. Hallar los valores del par´ametro real α para los cuales la ecuaci´on: (x + 1)y 00 − αxy 0 + (1 − 2α)y = 0 admite soluciones del tipo eαx . Para esos valores del par´ametro α, resolver la correspondiente ecuaci´on. e−x Sol.: α = 1. y = (c1 ϕ(x) + c2 ) ex , c1 , c2 ∈ R, siendo ϕ0 (x) = x+1 . 13. Hallar todas las soluciones de la ecuaci´on diferencial: (1 − x)y 00 + xy 0 − y = 1 Sol.: y = c1 x + c2 ex − 1, c1 , c2 ∈ R. 14. Hallar todas las soluciones reales de la ecuaci´on diferencial x2 y 00 − x(x + 4)y 0 + 2(x + 3)y = x5 sabiendo que la ecuaci´on homog´enea asociada admite una soluci´on de la forma y = xn . 3 Sol.: y = −x (x+2) + (c1 + c2 ex ) x2 , c1 , c2 ∈ R. 2 15. Determinar f (x) para que la ecuaci´on diferencial xy 00 − 2y 0 + f (x)y = 0 admita dos soluciones particulares tales que una de ellas sea el cuadrado de la otra. Hallar todas las soluciones de la ecuaci´ on diferencial. p √ 3 2x5 3 Sol.: f (x) = (x3 +a)2 , a ∈ R. y = c1 x + a + c2 3 (x3 + a)2 , c1 , c2 ∈ R. 16. Hallar la soluci´on general de la ecuaci´on (2x + 1)y 00 − 4(x + 1)y 0 + 4y = 4(2x + 1)2 e2x sabiendo que y = e2x es soluci´on de la ecuaci´on homog´enea asociada. Sol.: y = c1 e2x + c2 (x + 1) + 2(x2 + x − 1)e2x , c1 , c2 ∈ R. 17. Dada la ecuaci´on (x − a)y 00 − xy 0 + a2 y = a(x − 1)2 ex hallar los valores del par´ametro real a para que la ecuaci´on homog´enea asociada tenga soluci´on y = ex , y resolverla en estos casos. ³ 2 ´ Sol.: a = 0 e y = c1 e−x + c2 ex , c1 , c2 ∈ R; y a = 1 e y = c1 ex + c2 x + x2 − x ex , c1 , c2 ∈ R. 18. Dada la ecuaci´on diferencial µ ¶ µ ¶ 2 1 2 00 0 y − + cotan x y + + cotan x y = −x cotan x x x x se pide: (a) Hallar dos soluciones particulares de la ecuaci´on completa de la forma y = xn + αx. (b) Hallar su soluci´on general. Sol.: (a) y = x2 e y = x2 + x. (b) y = (c1 + c2 cos x)x + x2 , c1 , c2 ∈ R.
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13 13.1
1
Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes Previo: Funciones complejas de variable real
Son funciones f : I −→ C, I ⊂ R, definidas como ( f (x) = u(x) + i v(x) =⇒
u(x) = Re f v(x) = Im f
Por definici´on, f es continua/derivable/integrable si lo son u y v. Adem´as f (k) (x) = u(k) (x) + i v (k) (x) , k≥1 Z b Z b Z b f (x) dx = u(x) dx + i v(x) dx a
a
a
La m´as importante funci´on compleja de variable real es la funci´on exponencial definida, para λ = a + i b ∈ C, como f (x) = eλx = eax (cos bx + i sen bx) para todo x ∈ R. Es claro de la definici´on que ( u(x) = Re eλx = eax cos bx v(x) = Im eλx = eax sen bx luego la funci´on exponencial es continua, infinitamente derivable e integrable sobre cualquier intervalo. Se cumplen adem´as las siguientes propiedades: 1. eλ1 x · eλ2 x = e(λ1 +λ2 )x . En particular eλx · e−λx = 1. 2.
d λx dx e
Rβ
= λeλx .
λx dx = α e ¯ ¯ 4. ¯eλx ¯ = eax .
3.
13.2
£1
λx λe
¤x=β x=α
=
eλβ −eλα , λ
si λ 6= 0.
Definici´ on
Llamaremos ecuaci´ on diferencial lineal con coeficientes constantes de orden n a la ecuaci´on a0 y (n) + a1 y (n−1) + . . . + an−1 y 0 + an y = b(x) con ai ∈ R, 0 ≤ i ≤ n, y a0 6= 0, a la que en adelante nos referiremos como (ELC), siendo su homog´ enea sociada la ecuaci´on a0 y (n) + a1 y (n−1) + . . . + an−1 y 0 + an y = 0 a la que en adelante nos referiremos como (ELH).
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13.3
2
Observaci´ on
Las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes son, por supuesto, ecuaciones diferenciales lineales, y como tales se pueden aplicar todos los resultados expuestos en la secci´on anterior. En esta secci´on se dan m´etodos espec´ıficos para resolverlas que no son aplicables, en general, a las otras.
13.4
Definici´ on
Llamaremos polinomio caracter´ıstico de (ELC) al polinomio P (λ) = a0 λn + a1 λn−1 + . . . + an−1 λ + an y autovalor a cada una de sus raices (soluciones de P (λ) = 0). Si λ es un autovalor, entonces P (λ) = 0, y por tanto P (D)eλx = P (λ) · eλx = 0 luego y = eλx es soluci´on de (ELH). De aqu´ı se deriva la mejor manera de obtener soluciones particulares para la ecuaci´on homog´enea con coeficientes constantes.
13.5
Soluci´ on general de la ecuaci´ on homog´ enea
Distinguiremos varios casos: 1. Autovalores reales y distintos. Sean {λ1 , λ2 , . . . , λn } ⊂ R con λi 6= λj , para i 6= j, los autovalores. En este caso n o eλ1 x , eλ2 x , . . . , eλn x son n soluciones linealmente independientes de (ELH), y su soluci´on general ser´a cualquier combinaci´on lineal de ellas, es decir: y=
n X
ci eλi x
;
ci ∈ R , 1 ≤ i ≤ n
i=1
2. Autovalores reales. Sean {λ1 , λ2 , . . . , λp } ⊂ R los autovalores con multiplicidades P respectivamente {k1 , k2 , . . . , kp }, que deber´an cumplir que pi=1 ki = n. En este caso eλ1 x , xeλ1 x , . . . , xk1 −1 eλ1 x , eλ2 x , xeλ2 x , . . . , xk2 −1 eλ2 x , ..., ..., eλp x , xeλp x , . . . , xkp −1 eλp x son n soluciones linealmente independiente de (ELH), y su soluci´on general ser´a cualquier combinaci´on lineal de ellas, es decir: y=
p kX i −1 X i=1 j=0
con cji ∈ R, 1 ≤ i ≤ p, 0 ≤ j ≤ ki − 1.
cji xj eλi x
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3
3. Caso general. Sean {λ1 , λ2 , . . . , λp } ⊂ C los autovalores, reales o complejos, con multiplicidades respectivamente {k1 , k2 , . . . , kp }. A cada autovalor le vamos a asignar tantas soluciones de (ELH) linealmente independientes como indica su multiplicidad, con lo que al final tendremos n soluciones linealmente independientes de (ELH) cuyas combinaciones lineales nos dar´an la soluci´on general de (ELH). (a) Si λ ∈ R con multiplicidad k, le asignamos las k soluciones siguientes: eλx , xeλx , . . . , xk−1 eλx (b) Si λ = a + i b ∈ C es un autovalor con multiplicidad k, y puesto que los coeficientes de P (λ) son reales, entonces λ = a − i b ∈ C ser´a tambi´en autovalor con la misma multiplicidad k. A estos dos autovalores, de multiplicidad k cada uno de ellos, les asignamos las 2k funciones siguientes eax sen bx , xeax sen bx , . . . , xk−1 eax sen bx , eax cos bx , xeax cos bx , . . . , xk−1 eax cos bx
13.6
Soluci´ on general de la ecuaci´ on completa
Para resolver la ecuaci´on completa, una vez resuelta la homog´enea, basta con hallar una soluci´on particular de la misma. Para ello podemos usar: 1. Similitud. Si b(x) = Pm (x)eµx , donde Pm representa un polinomio de grado m, entonces (ELC) admite una soluci´on particular de la forma ( Qm (x)eµx , si µ no es autovalor y= k µx x Qm (x)e , si µ es autovalor de multiplicidad k donde Qm es un polinomio de grado m que habr´a que determinar. 2. Variaci´on de constantes. 3. Principio de superposici´on.
13.7
Ecuaci´ on de Euler
Es la ecuaci´on lineal de la forma a0 (ax + b)n y (n) + a1 (ax + b)n−1 y (n−1) + . . . + an−1 (ax + b)y 0 + an y = b(x) con ai ∈ R, 0 ≤ i ≤ n. El caso m´as frecuente es cuando a = 1 y b = 0, es decir a0 xn y (n) + a1 xn−1 y (n−1) + . . . + an−1 xy 0 + an y = b(x) Para resolverla se hace el cambio de variable independiente ax + b = et , de donde dy dy dt = · = ae−t yt0 dx dt dx ¡ ¢ ¡ ¢ dy 0 dy 0 dt y 00 = = · = a e−t yt00 − e−t yt0 ae−t = a2 e−2t yt00 − yt0 dx dt dx ········· y0 =
·········
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4
donde el sub´ındice t indica que las derivadas son respecto de la nueva variable independiente t. Sustituyendo, nos queda una ecuaci´on diferencial lineal de coeficientes constantes: (n)
A0 yt
(n−1)
+ A1 yt
+ . . . + An−1 yt0 + An y = B(t)
con Ai ∈ R, 0 ≤ i ≤ n, que se resuelve y se deshace el cambio. Nota: Al deshacer el cambio, sustituir t = ln |ax + b|. Observaci´ on: En la ecuaci´on de Euler es muy com´ un que las soluciones particulares de la ecuaci´on homog´enea sean de la forma y = (ax + b)r
(y = xr en el caso a = 1 y b = 0)
por lo que es buena idea comenzar buscando soluciones particulares de este tipo, y si encontramos n puede que evitemos hacer el cambio de variable.
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Ejercicios Tema 13: Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes 1. Hallar los autovalores y la soluci´on de la ecuaci´on diferencial y 00 − y = 0. Sol.: Autovalores: 1 y −1. Soluci´on: y = c1 ex + c2 e−x , c1 , c2 ∈ R. 2. Resolver las siguientes ecuaciones lineales homog´eneas: (a) y 00 − 3y 0 + 2y = 0. (b) y 000 − y 00 = 0. (c) y 0000 + 4y 000 + 14y 00 + 20y 0 + 25y = 0. Sol.: (a) y = c1 ex + c2 e2x , c1 , c2 ∈ R. (b) y = c1 + c2 x + c3 ex , c1 , c2 , c3 ∈ R. (c) y = [(c1 + c2 x) cos 2x + (c3 + c4 x) sen 2x] e−x , c1 , c2 , c3 , c4 ∈ R. 3. Resolver las siguientes ecuaciones lineales completas: (a) y 000 − y 00 = x + 1. (b) y 00 − 2y 0 + 5y = 2e−x . (c) y 00 − 2y 0 + 5y = 2e−x + ex cos 2x. (d) y 000 + y 00 + y 0 + y = xe−x + x cos x + e−x sen 2x. Sol.: ¡ ¢ (a) y = c1 + c2 x + c3 ex − x2 1 + x6 , c1 , c2 , c3 ∈ R. (b) y = (c1 cos 2x + c2 sen 2x) ex + 14 e−x , c1 , c2 ∈ R. (c) y = (c1 cos 2x + c2 sen 2x) ex + 14 e−x + 14 xex sen 2x, c1 , c2 ∈ R. (d) £ ¤ x [(x + 1) sen x − (x − 3) cos x] y = c1 e−x + c2 sen x + c3 cos x + 16 e−x + [5x(x + 2) + cos 2x + 2 sen 2x] ; c1 , c2 , c3 ∈ R 20 4. Resolver la siguiente ecuaci´on diferencial de Euler: x2 y 00 + 2xy 0 − 6y = 0 Sol.: y = c1 x2 +
c2 , x3
c1 , c2 ∈ R.
5. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales: (a) y 000 − y 00 + y 0 − y = x2 + x. (b) y 00 + y = cosec x. (c) (x − 3)2 y 00 + 3y = 2.
1
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2
(d) y 00 + 10y 0 + 25y = 14e−5x + 3x. (e) x2 y 000 + 2xy 00 − 4y 0 + 4 xy = 2x. (f) y 00 + y 0 + y = e2x − sen x. (g) y 00 + k 2 y = sen bx, b, k > 0. (h) y 0000 − 2y 000 + 2y 00 − 2y 0 + y = ex + 1. (i) x2 y 00 − xy 0 − 3y = −16 lnxx . (j) y 0000 + 2n2 y 00 + n4 y = a sen(nx + b). Sol.: (a) y = c1 ex + c2 cos x + c3 sen x − (x2 + 3x + 1), c1 , c2 , c3 ∈ R. (b) y = (c1 − x) cos x + (c2 + ln |sen x|) sen x, c1 , c2 ∈ R. ³√ h ³√ ´ ´i p 11 ln|x−3| 11 ln|x−3| + b sen (c) y = 23 + a cos |x − 3|, a, b ∈ R. 2 2 (d) y = (7x2 + ax + b)e−5x + bx2
c x2
15x−6 125 ,
a, b ∈ R.
x2 2
(e) y = ax + + + ln |x|, a, b, c ∈ R. ³ √ √ ´ −x (f) y = c1 cos 23x + c2 sen 23x e 2 + 17 e2x + cos x, c1 , c2 ∈ R. (g)
( bx c1 cos kx + c2 sen kx + ksen , si b 6= k 2 −b2 y= ; c1 , c2 ∈ R x cos kx , si b = k c1 cos kx + c2 sen kx − 2k ³ 2 ´ (h) y = 1 + x4 + c1 x + c2 ex + c3 cos x + c4 sen x, c1 , c2 , c3 , c4 ∈ R. ¡ ¢ (i) y = c1 x3 + cx2 + lnxx 2 ln x + 43 , c1 , c2 ∈ R. (j) ( y=
a sen b 4 4! x
+ c1 x3 + c2 x2 + c3 x + c4 (c1 x + c2 ) cos nx + (c3 x + c4 ) sen nx −
ax2 8n2
, si n = 0 sen(nx + b) , si n 6= 0
c1 , c2 , c3 , c4 ∈ R 6. (a) Resolver la ecuaci´on: y 000 − y 00 − a2 y 0 + a2 y = 0 seg´ un los valores reales del par´ametro a. (b) Utilizando ´esto, hallar la soluci´on general de la ecuaci´on: y 000 − y 00 − 4y 0 + 4y = 4e2x Sol.: (a)
x c1 + c2 x + c3 e y = (c1 + c2 x)ex + c3 e−x x c1 e + c2 eax + c3 e−ax
, si a = 0 , si a2 = 1 , si a = 6 0 y a2 6= 1
; c1 , c2 , c3 ∈ R
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3
(b) y = c1 ex + (x + c2 )e2x + c3 e−2x , c1 , c2 , c3 ∈ R. 7. Hallar todas las soluciones reales de la ecuaci´on diferencial: y 000 − ay 00 + y 0 − ay = ex donde a es un par´ametro real. Sol.: ( ex c1 eax + c2 sen x + c3 cos x + 2(1−a) y= ¡ ¢ c1 + x2 ex + c2 sen x + c3 cos x
, si a 6= 1 , si a = 1
; c1 , c2 , c3 ∈ R
8. Hallar todas las soluciones reales de la ecuaci´on diferencial: y 00 − (2 cotan x)y 0 + (5 + 2 cotan2 x)y = sen x sabiendo que el cambio de variable dependiente y = z sen x la reduce a una ecuaci´on lineal de coeficientes constantes. ¢ ¡ Sol.: y = a cos 2x + b sen 2x + 14 sen x, a, b ∈ R. 9. Una soluci´on u(x) de la ecuaci´on diferencial y 00 − 4y 0 + 4y = 0 corta a una soluci´on v(x) de la ecuaci´on diferencial y 00 − 4y 0 + 29y = 0 en el origen. Determinar u y v sabiendo que ambas curvas tienen la misma pendiente en el origen y que v 0 (π) = −1. Sol.: u(x) = xe2(x−π) y v(x) = 15 e2(x−π) sen 5x. 10. Resolver la ecuaci´on diferencial: x3 y 000 + 5x2 y 00 + 4xy 0 = 1 + ln x Sol.: y =
¡ ln x 2
¢ − 1 ln x + c1 +
c2 +c3 ln x , x
c1 , c2 , c3 ∈ R.
11. (Septiembre 1999) (a) Hallar, seg´ un los valores de a ∈ R, todas las soluciones de la ecuaci´on diferencial: y 000 − (3a + 2)y 00 + 2a(a + 3)y 0 − 4a2 y = 0 (b) Hallar, utilizando lo anterior, todas las soluciones de: y 000 − 5y 00 + 8y 0 − 4y = (2x − 5)ex Sol.: (a) c1 + c2 x + c3 e2x c ex + (c + c x)e2x 1 2 3 y= 2x (c1 + c2 x)e + c3 e4x c eax + c e2ax + c e2x 1 2 3
, , , ,
si si si si
a=0 a=1 a=2 a 6= 0, a 6= 1 y a 6= 2
(b) y = c1 ex + (c2 + c3 x)e2x + x(x − 1)ex , c1 , c2 , c3 ∈ R
; c1 , c2 , c3 ∈ R
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14
1
Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes
14.1
Definici´ on
Se llama sistema lineal con coeficientes constantes al siguiente sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden: 0 x1 = a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn + b1 (t) x02 = a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn + b2 (t) ········· ········· 0 xn = an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn + bn (t) donde t es la variable independiente y xi = xi (t), 1 ≤ i ≤ n, son n funciones de t (variables dependientes). Se llama soluci´ on del sistema a un conjunto de n funciones xi = ϕi (t) ,
1≤i≤n
derivables con continuidad y que lo verifican. Resolver un sistema es hallar todas sus soluciones. Todo sistema lineal admite una expresi´ on matricial de la forma x0 = Ax + b donde
a11 a21 A= · · · · · · an1 x1 (t) x2 (t) ; x0 · · · x = x(t) = ··· xn (t)
a1n a2n ··· ∈ Mn×n (R) ··· ann 0 x1 (t) b1 (t) x02 (t) b2 (t) 0 · · · = x (t) = · · · ; b = b(t) = ··· ··· x0n (t) bn (t)
a12 a22 ··· ··· an2
··· ··· ··· ··· ···
Si b = b(t) ≡ 0, el sistema lineal se llama homog´ eneo. En adelante nos referiremos al sistema lineal completo (no homog´eneo) por (SLC) y al homog´eneo por (SLH).
14.2
Sistemas y Ecuaciones lineales
1. Toda ecuaci´on lineal de coeficientes constantes a0 y (n) + a1 y (n−1) + . . . + an−1 y 0 + an y = b(t) donde t es la variable independiente e y la dependiente, se puede transformar en un sistema lineal de orden n con coeficientes constantes llamando xi = y (i−1) , 1 ≤ i ≤ n,
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2
con lo que se llega al sistema x0 = x2 01 x2 = x3 ··· ··· x0n−1 = xn x0 = − an x − n a0 1
an−1 a0 x2
− ... −
a1 a0 x n
+
b(t) a0
La soluci´on de x1 en el sistema ser´a la soluci´on de y en la ecuaci´on diferencial. 2. Todo sistema lineal x0 = Ax + b se puede transformar mediante eliminaci´on (por combinaciones lineales de ecuaciones y derivadas de ellas) en una ecuaci´on lineal de orden n en alguna de las variables xi . Resolviendo esta ecuaci´on y hallando las dem´as variables xj , j 6= i, se tiene resuelto el sistema. Este m´etodo de eliminaci´on no se puede sistematizar y puede resultar en ocasiones muy complicado.
14.3
El espacio de soluciones
1. El conjunto de soluciones del sistema lineal homog´eneo (SLH) es un espacio vectorial de dimensi´on n. 2. El conjunto de soluciones del sistema lineal completo (SLC) es un espacio af´ın sobre el espacio vectorial de las soluciones del sistema homog´eneo (SLH) asociado.
14.4
Dependencia e independencia lineal de funciones
Sean
ϕ11 (t) ϕ12 (t) ; · · · ϕ1 (t) = ··· ϕ1n (t)
ϕ21 (t) ϕ22 (t) ; · · · ϕ2 (t) = ··· ϕ2n (t)
······ ;
ϕn1 (t) ϕn2 (t) · · · ϕn (t) = ··· ϕnn (t)
n funciones vectoriales derivables con continuidad y soluciones de (SLH). La familia de funciones {ϕi }ni=1 son linealmente dependientes si y s´olo si ¯ ¯ ¯ ϕ11 ϕ21 · · · ϕn1 ¯ ¯ ¯ ¯ ϕ12 ϕ22 · · · ϕn2 ¯ ¯ ¯ D(t) = ¯¯ · · · · · · · · · · · · ¯¯ ≡ 0 ¯· · · · · · · · · · · · ¯ ¯ ¯ ¯ϕ1n ϕ2n · · · ϕnn ¯ y ser´an linealmente independientes si y s´olo si D(t) 6= 0 ,
∀t ∈ R
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14.5
3
Resoluci´ on de sistemas
1. Para resolver (SLH) hay que encontrar n soluciones particulares {ϕi }ni=1 que sean linealmente independientes, y entonces x = ϕ(t) =
n X
ci ϕi (t) ;
ci ∈ R , 1 ≤ i ≤ n
i=1
es la soluci´on general de (SLH). 2. Para resolver (SLC) hay que hallar una soluci´on particular ψ(t) y todas las soluP ciones, ϕ(t) = ni=1 ci ϕi (t), del sistema homog´eneo asociado, y entonces x = ψ(t) + ϕ(t) = ψ(t) +
n X
ci ϕi (t)
;
ci ∈ R , 1 ≤ i ≤ n
i=1
es la soluci´on general de (SLC).
14.6
Definici´ on
Dada una matriz A ∈ Mn×n (R), llamaremos autovalor a cualquiera de las raices λ ∈ C de la ecuaci´on |A − λI| = 0 donde I ∈ Mn×n (R) es la matriz identidad y |B| indica el determinante de la matriz B. Si λ ∈ C es un autovalor de la matriz A, llamaremos autovector asociado a λ a cualquier vector v ∈ Cn no nulo tal que (A − λI) v = 0
14.7
Propiedades
Sea A ∈ Mn×n (R). Entonces: 1. Si λ ∈ C es un autovalor de A y v ∈ Cn es un autovector asociado a λ, entonces la funci´on x = veλt es soluci´on del sistema x0 = Ax, y se llamar´a autofunci´ on asociada a λ y v. 2. Los autovectores asociados a distintos autovalores son linealmente independientes. 3. Las autofunciones asociadas a autovectores linealmente independientes son tambi´en linealmente independientes. 4. Si λ ∈ C \ R es un autovalor con multiplicidad k, entonces su conjugado λ ∈ C \ R es tambi´en autovalor con la misma multiplicidad k. Adem´as, si v ∈ Cn es autovector asociado a λ, entonces su conjugado v es autovector asociado a λ.
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14.8
4
Resoluci´ on de sistemas lineales homog´ eneos 2 × 2
Sea x0 = Ax, con A ∈ M2×2 (R) el sistema (SLH). Para resolverlo distinguiremos tres casos: 1. Dos autovalores reales distintos. Sean v1 y v2 autovectores asociados, respectivamente, a los autovalores λ1 y λ2 , λ1 6= λ2 . Entonces x = c1 v1 eλ1 t + c2 v2 eλ2 t
;
c1 , c2 ∈ R
es la soluci´on general de (SLH). 2. Un autovalor real doble. Sea λ ∈ R el autovalor con multiplicidad dos. Se pueden distinguir dos casos: (a) Existen dos autovectores, v1 y v2 , linealmente independientes asociados a λ. En este caso la soluci´on general de (SLH) es x = c1 v1 eλt + c2 v2 eλt = (c1 v1 + c2 v2 ) eλt
;
c1 , c2 ∈ R
´nico autovector v linealmente independiente asociado a λ. En este (b) Existe un u caso x = veλt es soluci´on particular de (SLH) y existe otra de la forma x = (vt + u) eλt donde u ∈ R2 es un vector que habr´a que determinar sustituyendo en (SLH). La soluci´on general ser´a en este caso x = c1 veλt + c2 (vt + u) eλt = [c1 v + c2 (vt + u)] eλt
;
c1 , c2 ∈ R
3. Dos autovalores complejos. Sean λ = α + i β y λ = α − i β los autovalores y v = a + i b y v = a − i b los autovectores asociados. Entonces ³ ´ ϕ1 (t) = Re veλt = [a cos βt − b sen βt] eαt ³ ´ ϕ2 (t) = Im veλt = [a sen βt + b cos βt] eαt son soluciones particulares linealmente independientes de (SLH). Su soluci´on general ser´a: x = c1 ϕ1 (t) + c2 ϕ2 (t) = [(a cos βt − b sen βt) c1 + (a sen βt + b cos βt) c2 ] eαt con c1 , c2 ∈ R.
14.9
Resoluci´ on de sistemas lineales homog´ eneos 3 × 3
Sea x0 = Ax, con A ∈ M3×3 (R) el sistema (SLH). Para resolverlo distinguiremos tres casos: 1. Tres autovalores distintos. Distinguiremos, a su vez, dos casos:
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5
(a) Autovalores reales. Sean λ1 , λ2 , λ3 ∈ R autovalores distintos con autovectores asociados v1 , v2 , v3 ∈ R3 , respectivamente. Entonces x = c1 v1 eλ1 t + c2 v2 eλ2 t + c3 v3 eλ3 t
;
c1 , c2 , c3 ∈ R
es la soluci´on general de (SLH). (b) Autovalores complejos. Sean λ1 = α + i β, λ2 = λ1 = α − i β y λ3 ∈ R los autovalores con autovectores, respectivamente, v1 = a + i b, v2 = v1 = a − i b y v3 . Entonces ³ ´ ϕ1 (t) = Re v1 eλ1 t = [a cos βt − b sen βt] eαt ³ ´ ϕ2 (t) = Im v1 eλ1 t = [a sen βt + b cos βt] eαt ϕ3 (t) = v3 eλ3 t son soluciones particulares linealmente independientes de (SLH), con lo que la soluci´on general ser´a x = [(a cos βt − b sen βt) c1 + (a sen βt + b cos βt) c2 ] eαt + c3 v3 eλ3 t con c1 , c2 , c3 ∈ R. 2. Dos autovalores distintos. Sea λ1 ∈ R autovalor simple con autovector asociado v1 y λ2 ∈ R autovalor doble. Se distinguen dos casos: (a) Existen dos autovectores linealmente independientes, v2 y v3 , asociados a λ2 . En este caso la soluci´on general de (SLH) es x = c1 v1 eλ1 t + (c2 v2 + c3 v3 ) eλ2 t
;
c1 , c2 , c3 ∈ R
´nico autovector v2 linealmente independiente asociado a λ2 . En este (b) Existe un u caso x = v2 eλ2 t es soluci´on particular de (SLH) y existe otra de la forma x = (v2 t + u) eλ2 t donde u ∈ R3 es un vector que habr´a que determinar sustituyendo en (SLH). La soluci´on general de (SLH) ser´a x = c1 v1 eλ1 t + [c2 v2 + c3 (v2 t + u)] eλ2 t con c1 , c2 , c3 ∈ R. 3. Un u ´ nico autovalor. Sea λ ∈ R el autovalor con multiplicidad tres. Se pueden presentar tres casos: (a) Existen tres autovectores, v1 , v2 y v3 , linealmente independientes asociados a λ. En este caso la soluci´on general de (SLH) es x = (c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 ) eλt
;
c1 , c2 , c3 ∈ R
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6
(b) Existe dos autovectores, v1 y v2 , linealmente independientes asociados a λ. En este caso x = v1 eλt y x = v2 eλt son soluciones particulares linealmente independientes de (SLH) y existe otra de la forma x = [(αv1 + βv2 ) t + u] eλt donde α, β ∈ R y u ∈ R3 habr´a que determinarlos sustituyendo en (SLH). La soluci´on general ser´a x = [c1 v1 + c2 v2 + ((αv1 + βv2 )t + u) c3 ] eλt con c1 , c2 , c3 ∈ R. (c) Existe un u ´nico autovector v linealmente independiente asociado a λ. En este caso x = veλt es soluci´on particular de (SLH) y existen otras dos de la forma x = ϕ1 (t) = (vt + u) eλt µ 2 ¶ t x = ϕ2 (t) = v + ut + w eλt 2 donde u, w ∈ R3 son vectores que habr´a que determinar sustituyendo en (SLH). La soluci´on general ser´a · µ 2 ¶ ¸ t x = c1 v + (vt + u) c2 + v + ut + w c3 eλt 2 con c1 , c2 , c3 ∈ R.
14.10
Resoluci´ on del sistema lineal completo
Sea ϕ(t) =
n X
ci ϕi (t) ;
ci ∈ R , 1 ≤ i ≤ n
i=1
la soluci´on general de (SLH). Para resolver (SLC) hay tres posibilidades: 1. Propiedad de similitud: Si b(t) = Pm (t)eµt , donde Pm (t) es un vector cuyas componentes son polinomios en t de grado menor o igual que m, entonces (SLC) admite una soluci´on particular de la forma ( Qm (t)eµt , si µ no es autovalor ψ(t) = µt Qm+k (t)e , si µ es un autovalor de multiplicidad k Esta soluci´on se calcula sustituyendo en el sistema y la soluci´on general ser´a x = ψ(t) +
n X i=1
ci ϕi (t) ;
ci ∈ R , 1 ≤ i ≤ n
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7
2. M´etodo de variaci´ on de las constantes: La soluci´on general de (SLH) se puede expresar matricialmente como x = ϕ(t) =
n X
ci ϕi (t) = X(t)c
i=1
donde X(t), que se llama matriz fundamental, es una matriz cuyas columnas son las funciones {ϕi }ni=1 y c es un vector columna cuyas componentes son las constantes ci , 1 ≤ i ≤ n. El m´etodo de variaci´ on de las constantes consiste en suponer que la soluci´on general de (SLC) es de la forma x = X(t)c(t) Sustituyendo en (SLC) se llega a que c0 (t) = X −1 (t)b(t) e integrando c(t) = ψ(t) + c Sustituyendo, se tiene que la soluci´on general de (SLC) es x = X(t) (ψ(t) + c) = X(t)ψ(t) + X(t)c 3. Los dos m´etodos anteriores y el principio de superposici´ on: Si x1 (t) es soluci´on 0 0 de x = Ax + b1 (t) y x2 (t) es soluci´on de x = Ax + b2 (t), entonces x1 + x2
es soluci´on de x0 = Ax + (b1 (t) + b2 (t))
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1
Ejercicios Tema 14: Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes 1. Resolver los sistemas: (a)
(b)
(
x0 = 3x − 4y y 0 = 4x − 7y
0 x = 3x + y − z y 0 = x + 2y − z 0 z = 3x + 3y − z
2. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: (a)
( x0 = 2x + y y 0 = 3x + 4y
(b)
( x0 = x + y y 0 = 3y − 2x
(c)
( x0 = −x − 5y y0 = x + y
(d)
(
(e)
x0 = 5x + 3y y 0 = −3x − y
( x0 = y − 2x y 0 = 2y − 4x
3. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: (a)
0 x = x − 2y − z y0 = y − x + z 0 z =x−z
(b)
0 x = 2x + y y 0 = x + 3y − z 0 z = 2y + 3z − x
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM (c)
0 x = 2x + 2z − y y 0 = x + 2z 0 z = y − 2x − z
(d)
0 x = 4x − y − z y 0 = x + 2y − z 0 z = x − y + 2z
(e)
0 x = x − y + z y0 = x + y − z 0 z = 2z − y
(f)
0 x = 2x − y − z y 0 = 2x − y − 2z 0 z = 2z − x + y
(g)
0 x = 4x − y y 0 = 3x + y − z 0 z =x+z
(h)
0 x = 2x − 6y + 3z y 0 = 2x − 5y + 2z 0 z = x − 2y
4. Resolver los siguientes sistemas no homog´eneos: (a)
( x0 = y + 2et y 0 = x + t2
(b)
( x0 = 3x + 2y + 4e5t y 0 = x + 2y
(c)
(d)
(
x0 = x + y + e2t cos 3t y 0 = 3y − 5x + 18t2 e2t
( x0 = 2x − y + sec t y 0 = 5x − 2y + tan t
2
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM (e)
( x0 = 3x − y + t−2 y 0 = 9x − 3y + t−3
(f)
( x0 = 2x − y + e2t tan t y 0 = x + 2y
(g)
(
x0 = 2x − 4y + ln t y 0 = x − 2y + t
5. Hallar todas las soluciones reales del sistema 0 x = x − z y 0 = 4x − 3z 0 z = 2x − 2z
3
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM
15 15.1
1
Transformada de Laplace. Aplicaciones Definici´ on
Dada una funci´on f : [0, ∞) −→ R, se define su transformada de Laplace como una nueva funci´on Z ∞ F (s) = f (t)e−st dt 0
que estar´a definida en aquellos valores de s para los que la integral es convergente. La transformada de Laplace de f (t) se representa por F (s) y se indicar´a F = L(f ). Inversamente, llamaremos transformada inversa de Laplace de F (s) a cualquier funci´on f (t), 0 ≤ t < ∞, tal que L(f ) = F , y se indicar´a f = L−1 (F ).
15.2
Propiedades de valor inicial y final
Sea F (s) = L (f (t)). Entonces: 1. lims→∞ F (s) = 0. 2. lims→∞ sF 0 (s) = 0. 3. lims→∞ sF (s) = limt→0+ f (t). 4. lims→0 sF (s) = limt→∞ f (t).
15.3
Funci´ on de Heaviside
La funci´ on de Heaviside es ( h(t) =
1 , si t ≥ 0 0 , si t < 0
y la funci´on de Heaviside centrada en a ∈ R es ( 1 , si t ≥ a h(t − a) = 0 , si t < a
15.4
Observaciones
Es claro, de la definici´on de transformada de Laplace, que L (f (t)) = L (f (t)h(t)) y en consecuencia L−1 (F (s)) = f (t) = f (t)h(t) ya que dos funciones que coincidan en t ≥ 0 tienen la misma transformada de Laplace.
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM
15.5
2
Propiedades
Sean L (f (t)) = F (s) y L (g(t)) = G(s). Entonces: 1. L(αf + βg) = αF + βG, ∀α, β ∈ R. 2. L (f (t − a)h(t − a)) = e−as F (s), si a > 0. ¡ ¢ 3. L eat f (t) = F (s − a), ∀a ∈ R. ¡ ¢ 4. L (f (αt)) = α1 F αs , si α > 0. 5. L (f 0 (t)) = sF (s) − f (0), y en general ³ ´ L f (n) (t) = sn F (s) − sn−1 f (0) − sn−2 f 0 (0) − . . . − f (n−1) (0) ,
n≥1
6. L (tn f (t)) = (−1)n F (n) (s), para n ≥ 1. ³ ´ R ∞ 7. L f (t) = s F (u) du. t 8. L
³R t
´ f (u) du = 0
F (s) s .
Nota: Cada una de estas propiedades tiene su lectura usando transformadas inversas de Laplace. As´ı por ejemplo, la propiedad (2) ser´ıa ¡ ¢ L−1 e−as F (s) = f (t − a)h(t − a) , a > 0
15.6
Transformadas de Laplace elementales
1. L(a) = as , ∀a ∈ R. En particular L(1) = 1s . 2. L (tn ) =
n! , sn+1
∀n ∈ N. En particular L(t) =
1 . s2
3. L (tp ) = Γ(p+1) , p > −1. sp+1 ¡ at ¢ 1 4. L e = s−a , definida para s > a. ¡ ¢ n! 5. L tn eat = (s−a) n+1 , definida para s > a. 6. L(sen at) =
a . s2 +a2
7. L(cos at) =
s . s2 +a2
8. L(sh at) =
a . s2 −a2
9. L(ch at) =
s . s2 −a2
10. L (h(t − a)) =
e−as s ,
a ≥ 0. En particular L (h(t)) = 1s .
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15.7
3
C´ alculo de transformadas de Laplace por desarrollo en serie
Si f (t) =
P∞
n=0 an t
n,
∀t ≥ 0, entonces L (f (t)) =
∞ X
an L(tn ) =
n=0
∞ X n!an sn+1
n=0
siendo v´alido este c´alculo si esta u ´ltima serie converge para s > a, a ∈ R.
15.8
Transformada de Laplace de funciones peri´ odicas
Si f : [0, ∞) −→ R es peri´odica de periodo T > 0, entonces Z T 1 f (t)e−st dt L (f (t)) = 1 − e−sT 0
15.9
Convoluci´ on y transformadas de Laplace
Si f, g : [0, ∞) −→ R, se define su convoluci´ on como Z t (f ∗ g)(t) = f (x)g(t − x) dx ,
∀t ≥ 0
0
La convoluci´on de dos funciones tiene la propiedad conmutativa, y adem´as L (f ∗ g) = L(f ) · L(g) −1
L
15.10
(F · G) = L−1 (F ) ∗ L−1 (G)
Transformada de Laplace inversa de funciones racionales
Sea
P (s) Q(s) donde P y Q son polinomios con grado(P ) < grado(Q), que se necesita para que se cumpla que lims→∞ F (s) = 0 (condici´on para que F (s) pueda tener transformada inversa de Laplace). Para hallar L−1 (F ) se calcula la descomposici´on en fracciones simples de F (s), pudiendo salir sumandos del tipo F (s) =
A ; s−a
A ; (s − a)p
As + B ; (s + a)2 + b2
As + B [(s + a)2 + b2 ]p
y se calcula hallando la transformada inversa de Laplace de cada uno de estos sumandos, que se hace como sigue: µ ¶ A L−1 = Aeat s−a µ ¶ µ ¶ A 1 Aeat tp−1 −1 at −1 L = Ae L = (s − a)p sp (p − 1)! ¶ µ ¶ µ ¶ µ s+a b As + B −1 −1 −1 = αL + βL L (s + a)2 + b2 (s + a)2 + b2 (s + a)2 + b2 −at −at = αe cos bt + βe sen bt = (α cos bt + β sen bt) e−at
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4
donde α, β ∈ R habr´a que determinarlos en cada caso, y la transformada de Laplace del u ´ltimo tipo se halla aplicando convoluci´ on.
15.11
F´ ormula de Heaviside
Si
n Y Q(s) = (s − ai ) i=1
con ai ∈ C, 1 ≤ i ≤ n, y ai 6= aj para i 6= j, entonces µ L
15.12
−1
P (s) Q(s)
¶ =
n X P (ai ) ai t e Q0 (ai ) i=1
Aplicaci´ on al c´ alculo de integrales
Si F (s) = L (f (t)), entonces
Z
∞
f (t)e−at dt = F (a)
0
En particular, si a = 0, se tiene que Z
∞
f (t) dt = F (0) 0
15.13
Aplicaci´ on a la resoluci´ on de ecuaciones y sistemas diferenciales lineales
Puesto que la transformada de Laplace de la derivada de una funci´on ¡ ¢ L f 0 (t) = sF (s) − f (0) no aporta derivadas a la transformada de la funci´on, el m´etodo consiste en aplicar transformadas a la ecuaci´on o sistema, hallar algebraicamente las transformadas de las soluciones y, por u ´ltimo, hallar las soluciones mediante transformadas inversas de Laplace.
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1
Ejercicios Tema 15: Transformada de Laplace. Aplicaciones 1. Hallar, usando la definici´on, la transformada de Laplace de (a) f (t) = tp , p > −1. (b) f (t) = eat . Sol.: (a) F (s) =
Γ(p+1) ; sp+1
(b) F (s) =
1 s−a ,
s > a.
2. Hallar, mediante desarrollo en serie, la transformada de Laplace de (a) f (t) = e−t . (b) f (t) = sen t. Sol.: (a) F (s) =
1 s+1 ,
s > −1; (b) F (s) =
1 . s2 +1
3. Hallar la transformada de Laplace de la funci´on que se obtiene al expandir peri´odicamente, con periodo 1, la funci´on f (t) = t, 0 ≤ t < 1. −s . Sol.: F (s) = 1−(1+s)e s2 (1−e−s ) 4. Hallar, usando convoluci´on, la transformada inversa de Laplace de F (s) = Sol.: f (t) =
1 (s2 + 4s + 13)2
(sen 3t−3t cos 3t)e−2t . 54
5. Hallar:
µ −1
L
3s + 1 (s − 1)(s2 + 1)
¶
Sol.: f (t) = 2et − 2 cos t + sen t. 6. Hallar, mediante transformadas de Laplace, la siguiente integral Z ∞ sen t dt t 0 Sol.: π/2. 7. Utilizando las propiedades de la transformada de Laplace, calcular: Rt (a) L[s(t)], siendo s(t) = 0 senu u du. ³ 2 ´ ³ ´ ³ ´ 1 s t −1 (b) L−1 (s2s+1)2 y L−1 (s2 +1) = t sen 2 , sabiendo que L 2 2 2 . (s +1) ³ ´ 2s2 −4 (c) L−1 (s+1)(s+2)(s−3) .
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2
(d) L[fi (t)], siendo fi (t), i = 1, 2, la funci´on cuya gr´afica es: 6
3
6
2
¡@ ¡ @ ¡ @ f2 ¢ A ¢ A ¢ A ¢ A
f1
1
¡ ¡
@ @
¡
1
1
@
2
3
-
¢ ¢
A A -
1
2
3
4
Sol.: (a) F (s) = 1s arctan 1s ; (b) f (t) = (sen t + t)/2 y g(t) = (sen ¡ t cos−s ¢ t 2− t cos t)/2; 1 −t 4 −2t 7 3t −2s −3s = 2e + 5e + 10 e ;¢ (d) F1 (s) = 1 − e − e +e /s y F2 (s) = ¡(c) f (t) 2 − e−s − 2e−2s − e−3s + 2e−4s /s2 . 8. Calcular, usando transformadas de Laplace, las siguientes integrales: R ∞ −t −3t dt. (a) 0 e −e t ³ ´ R∞ 1 (b) 0 t 1 − e− 2 t + e−2t cos t dt. R∞ 2 (c) 0 e−t dt. √ Sol.: (a) ln 3; (b) −2/5; (c) π/2. 9. Resolver, utilizando transformadas de Laplace, las siguientes ecuaciones diferenciales y sistemas: ½ 2 , si 0 < t ≤ 1 0000 x (t) = ½ 00 0 , si 1 < t ≤ 2 y − 3y 0 + 2y = 2e3t 0 x(t) + y (t) = 0 ; (a) ; (e) y(0) = 0 , y 0 (0) = 1 0 (0) = x00 (0) = x000 (0) = 0 x(0) = x y(0) = 3 0 ½ 00 x = −7x − 6y + t y + y = et y 0 = 12x + 10y (b) ; (f) ; y(1) = 1 , y 0 (1) = 0 x(3) = 1 ; y(3) = −8 0 , si 0 < t < 2 ½ 0−y = 1 , si 2 < t < 3 1 , si 0 < t < 2 x 0 y +y = 0 , si t > 3 0 , si t ≥ 2 ; (c) ; (g) 0−x=1 y y(0) = 0 x(1) = y(1) = 1 ½ 1 , si 0 < t < 1 x0 − y = ½ 00 ½ 0 , si t > 1 ty + 4y 0 + 9ty = cos 3t ; t > 0 0 , si 0 < t < 2 ; (h) . (d) 0 y(0) = 0 ; y 0 (0) = 1/4 y −x= 1 , si t > 2 x(0) = y(0) = 0
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3
Sol.: (a)(y = e3t − e2t ; (b) y = [et + (2 − e) cos(t − 1) − e sen(t − 1)]/2; 1 − e−t , si 0 < t < 2 (c) y = ; 2 −t (e − 1)e , si t ≥ 2 , si 0 < t < 1 sh t (d) x = sh t − sh(t − 1) , si 1 < t < 2 ; sh t − sh(t − 1) + ch(t − 2) − 1 , si t > 2 , si 0 < t < 1 ch t − 1 y = ch t − ch(t − 1) , si 1 < t < 2 ; ch t − ch(t − 1) + sh(t − 2) , si t > 2 (e) x = [t4 − (t − 1)4 h(t − 1)]/12; y = [180 + t5 − (t − 1)5 h(t − 1)]/60; (f) x = −8 − 5t − et−3 + 25e2(t−3) ; y = 9 + 6t + 4et−3 − 39e2(t−3) ; (g) x = [et−1 − 1 + ch(t − 1)]h(t − 1) − sh(t − 2)h(t − 2) + sh(t − 3)h(t − 3); y = [ch(t − 1) + 2 sh(t − 1)]h(t − 1) − [ch(t − 2) − 1]h(t − 2) + [ch(t − 3) − 1]h(t − 3); 3t (h) y = sen 12 . 10. Resolver, utilizando transformadas de Laplace, las siguientes ecuaciones diferenciales y sistemas: 0 Rt x + 2x + 6 0 y(u) du = −2 (a) x0 + y 0 + y = 0 x(0) = −5 ; y(0) = 6 ½ 0 , si 0 < t < 1 0 0 9x − 32y − 32y = 1 , si t ≥ 1 Rt (b) −2x0 + 0 x(u) du + 8y 0 + 8y = 0 x(0) = 32 ; y(0) = 9 Sol.: (a) x = 2−3e−4t −4e¢t ; y ¡= 4e−4t +2et ; (b) x = 32 cos 2t+ h(t−1) sen 2(t−1); 2 ¡ ¢ y= −1 1 1−t 9 9 9 −t + 4 cos 2t − 2 sen 2t + 32 − 40 e + 160 cos 2(t − 1) + 80 sen 2(t − 1) h(t − 5 e 1). 11. Utilizando transformadas de Laplace: (a) Resolver:
½
(b) Demostrar que:
Z
x00 − 5x0 + 4x = 4 , t ≥ 0 x(0) = 0 , x0 (0) = 2 t
sen y cos(t − y) dy = 0
Sol.: (a) x(t) = 1 −
2et
+
e4t ,
t sen t 2
t ≥ 0.
12. Usando transformadas de Laplace, resolver el problema de Cauchy: 0 x − 2x + 3y = 4 − 2t y 0 + 2y − x = 2 − t x(0) = −1 , y(0) = 0 para t ≥ 0. Sol.: x(t) = t − e−t , y(t) = 1 − e−t , t ≥ 0.
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4
13. Resolver, utilizando la Transformada de Laplace, el problema de Cauchy: ½ 00 Rt y − 2y 0 + y − 2 0 y(u) du = 5 , t > 0 y(0) = 1 , y 0 (0) = 0 Sol.: y(t) = e2t − 2 sen t, t ≥ 0. 14. Resolver el problema de Cauchy ½ 1 , si 0 < t < 2 0 x −y = ½ 0 , si 2 < t 0 , si 0 < t < 2 y 0 − x0 = 1 , si 2 < t x(0) = 1 ; y(0) = 0 Sol.: x(t) = et h(t) − (t − 2)h(t − 2); y(t) = (et − 1)h(t). 15. Dada la funci´on f (t) = n, si (n − 1)α < t < nα, para n ≥ 1, siendo α un n´ umero real positivo y no nulo, se pide: (a) Trazar su gr´afica y obtener para f (t) una f´ormula que la exprese como una serie cuyos t´erminos sean funciones de Heaviside. (b) Calcular la transformada de Laplace de f (t). (c) Aplicando convoluci´on, calcular la transformada inversa de F (s) =
1 s2 (s2
+ 4)
(d) Resolver, mediante transformadas de Laplace, el problema de Cauchy ( x00 = 8 − 4t + 2 sen(2t − 4) x(2) = 1 , x0 (2) = 0 P∞
− nα); (b) L (f (t)) = s(1−e1−αs ) ; (c) L−1 (F (s)) = ¡ ¢ 2t−sen 2t h(t); (d) x(t) = t − 1 − 23 (t − 2)3 − 21 sen 2(t − 2) h(t − 2). 8
Sol.: (a) f (t) =
n=0 h(t
16. Dada la funci´on ( 0 , si 4ka < t < (4k + 2)a, k ≥ 0 f (t) = a , si (4k + 2)a < t < 4(k + 1)a, k ≥ 0 con a > 0, se pide: (a) Obtener su transformada de Laplace. (b) Resolver el problema de Cauchy ( x00 − 2x0 + x = f (t) (h(t) − h(t − 3a)) x(0) = x0 (0) = 2
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5
a Sol.: (a) L (f (t)) = s(e2as ; (b) x(t) = 2et h(t)+ +1) £¡ ¢ ¡ ¢ ¤ +a 1 + et−2a (t − 2a − 1) h(t − 2a) − 1 + et−3a (t − 3a − 1) h(t − 3a) .
17. Dada la funci´on
( f (t) =
cos 4t , si 0 ≤ t < 4π 0 , si t ≥ 4π
se pide: (a) Expresarla mediante la funci´on de Heaviside y hallar, aplicando las propiedades, su transformada de Laplace. (b) Resolver el problema de Cauchy ( x00 + 16x = f (t) x(0) = x0 (0) = 0 Sol.: (a) f (t) = h(t) cos 4t − h(t − 4π) cos 4t, L (f (t)) = (b) x = 18 (th(t) sen 4t − (t − 4π)h(t − 4π) sen(t − 4π)).
s(1−e−4πs ) ; s2 +16
1
1
Funciones definidas mediante integrales
1.1
Regla de Leibniz
Supongamos que ϕ : (a, b) −→ R est´a definida por Z d ϕ(x) = f (x, t) dt ,
a<x
c
donde c, d ∈ R son constantes. Si f y
∂f ∂x
son continuas en el rect´angulo
R = (a, b) × [c, d] = {(x, t) : a < x < b, c ≤ t ≤ d} entonces ϕ es derivable en (a, b) y Z ϕ0 (x) = c
1.2
d
∂f (x, t) dt ∂x
,
a<x
Regla generalizada de Leibniz
Supongamos que f y
∂f ∂x
son continuas en el rect´angulo
R = (a, b) × [c, d] = {(x, t) : a < x < b, c ≤ t ≤ d} y que u1 , u2 : (a, b) −→ (c, d) son funciones derivables con continuidad. Si se define ϕ : (a, b) −→ R por Z
u2 (x)
ϕ(x) =
f (x, t) dt ,
a<x
u1 (x)
entonces ϕ es derivable en (a, b) y Z 0
ϕ (x) = f
1.3
(x, u2 (x)) u02 (x)
−f
(x, u1 (x)) u01 (x)
u2 (x)
+ u1 (x)
∂f (x, t) dt , ∂x
Funci´ on Γ
Se define la funci´on Γ : (0, ∞) −→ R por Z Γ(p) =
∞
xp−1 e−x dx
0
que es una integral impropia convergente para cada p > 0.
1.4
C´ alculo de Γ
1. F´ormula de reducci´on: Si p > 1 entonces Γ(p) = (p − 1) · Γ(p − 1). 2. Si p = n ∈ N∗ = N \ {0}, entonces Γ(p) = Γ(n) = (n − 1)! En particular Γ(1) = 0! = 1.
a<x
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2
3. Si p = n + r con n ∈ N∗ y 0 < r < 1, entonces γ(p) = Γ(n + r) = (n − 1 + r)(n − 2 + r) . . . (2 + r)(1 + r)r · Γ(r) 4. Si 0 < p < 1 entonces Γ(p) · Γ(1 − p) = En particular Γ( 12 ) =
1.5
√ π.
π sen pπ
Funci´ on β
Se define la funci´on β : (0, ∞) × (0, ∞) −→ R por Z β(p, q) =
1
xp−1 (1 − x)q−1 dx
0
para cada p, q > 0.
1.6
C´ alculo de β β(p, q) =
1.7
Γ(p) · Γ(q) Γ(p + q)
F´ ormula trigonom´ etrica de β
Se puede ver que Z β(p, q) = 2 ·
π 2
sen2p−1 θ cos2q−1 θ dθ
,
p, q > 0
0
de donde
Z I(n, m) = 0
π 2
1 sen x cos x dx = · β 2 n
para cualesquiera n, m ∈ R, n, m > −1.
m
µ
n+1 m+1 , 2 2
¶
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1
Ejercicios Tema 1: Funciones definidas mediante integrales 1. Hallar las derivadas, indicando su campo de definici´on, de las siguientes funciones definidas mediante integrales: R 2 e−t dt (a) f (x) = 1 xt+1 R x2 (b) g(x) = 1 cos t2 dt Rx (c) h(x) = sen x ln(1 + xt) dt R 2 −te−t −1 0 4 Sol.: (a) f 0 (x) = 1 (xt+1) 2 dt, para x ∈ (−∞, −1) ∪ ( 2 , +∞); (b) g (x) = 2x cos x , ¢ ¡ ¢ ¡ para x ∈ R; (c) h0 (x) = 1 − senx x + 1 − x12 ln(1 + x2 ) + x12 − cos x ln(1 + x sen x), para 0 < x < π. 2. Hallar la derivada de la funci´on Z π 2 ϕ(x) = f (x, t) dt
( donde
f (x, t) =
0
Sol.:
( sen πx ϕ0 (x) =
π 2
x
2
sen xt t
x
, si t 6= 0, , si t = 0.
, si x 6= 0 , si x = 0
3. Hallar, usando la regla de Leibniz, las integrales Z 1 du I(n) = 2 n 0 (u + 1) para n = 2, 3. Sol.: I(2) = π+2 8 ; I(3) =
3π+8 32 .
4. Calcular, usando integrales eulerianas, el valor de las siguientes integrales R1√ (a) 0 x − x2 dx. R∞ 5 (b) 0 xe−x dx. R∞ (c) 0 x5 a−3x dx, con a > 1. R∞ 2 2 (d) −∞ x2 e−n x dx. ¡ ¢p R1 (e) 0 xm ln x1 dx, con p, m > −1. R 1 dx (f) 0 √ . 4 1−x4 R 1 x2 (g) 0 √1−x4 dx. Rπ√ (h) 02 tan x dx. R √ na (i) 0 (a − xn )p dx, con a > 0 y n ∈ N∗ . ´ Rπ³ 1 √ 1 (j) 02 √tan + dx. x cotan x
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM π 1 2 5! 8 ; (b) 5 Γ( 5 ); (c) (3 ln a)6 ; √ √ ap n a 1 n β( n , p + 1); (j) π 2.
Sol.: (a) π √ ; 2
(i)
√
(d)
π ; 2n3
(e)
2
Γ(p+1) ; (m+1)p+1
(f)
π √ ; 2 2
(g)
5. Hallar el ´area del recinto encerrado por la curva x2/5 + y 2/5 = a2/5 . 2 Sol.: 15πa 128 . ³ ´ Q jπ k 6. Sabiendo que k−1 = 2k−1 sen , hallar j=1 k I(k) =
k Z Y m=1 0
Sol.: (2π)
k−1 2
1
k −k− 2 .
∞
k
xm−1 e−x dx
√1 Γ( 3 )2 ; 4 2π
(h)
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM
1
Curvas en Rn
2 2.1
Definici´ on
Se dice que Γ ⊂ Rn es una curva si existe un intervalo compacto I = [a, b] ⊂ R y una aplicaci´on α : I −→ Rn continua tal que α(I) = Γ. El origen de Γ es α(a), el extremo es α(b), y el sentido el que va de α(a) a α(b). La funci´on α se llama parametrizaci´ on de Γ. Si α(a) = α(b) la curva se llama cerrada, y si α es inyectiva sobre [a, b) (o (a, b]) la curva se llama simple. Una curva Γ se llama suave si admite una parametrizaci´on α(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)) derivable, siendo ¡ ¢ α0 (t) = x01 (t), x02 (t), . . . , x0n (t) el vector velocidad de la curva (o vector tangente a la curva), y à n !1/2 X ¯ 0 ¯ 0 2 ¯α (t)¯ = (xi (t)) i=1
la velocidad en el punto α(t). Si α es derivable salvo quiz´as en un n´ umero finito de puntos, la curva se llama suave a trozos. Llamaremos camino a cualquier curva simple y suave a trozos.
2.2
Algunas parametrizaciones de curvas planas
1. Una parametrizaci´on del segmento que va de P = (x1 , y1 ) a Q = (x2 , y2 ) es α(t) = (x(t), y(t)), 0 ≤ t ≤ 1, con ( x(t) = x1 + t(x2 − x1 ) y(t) = y1 + t(y2 − y1 ) 2. Las funciones α(t) = (x0 + r cos t, y0 + r sen t) ,
t ∈ [0, 2π]
β(t) = (x0 + r cos πt, y0 + r sen πt) ,
t ∈ [0, 2]
son dos parametrizaciones de la circunferencia de centro (x0 , y0 ) y radio r recorrida en sentido positivo (contrario al sentido de avance de las agujas del reloj). En sentido negativo lo es γ(t) = (x0 + r cos t, y0 − r sen t) ,
t ∈ [0, 2π]
3. Una parametrizaci´on de la elipse (x − x0 )2 (y − y0 )2 + =1 a2 b2 recorrida en sentido positivo es α(t) = (x0 + a cos t, y0 + b sen t), 0 ≤ t ≤ 2π. 4. Una parametrizaci´on del grafo de la funci´on continua f : [a, b] −→ R es α(t) = (t, f (t)) ,
a≤t≤b
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM
2.3
2
Parametrizaci´ on de −Γ
Se llama −Γ a la curva Γ recorrido en sentido contrario. Si α : [a, b] −→ Rn es una parametrizaci´on de Γ, entonces β : [−b, −a] −→ Rn definida por β(t) = α(−t) es una parametrizaci´on de −Γ.
2.4
Longitud de una curva
Si Γ ⊂ Rn es un camino parametrizado por α : [a, b] −→ Rn , se define su longitud por Z L(Γ) = a
¯ ¯α0 (t)¯ dt
b¯
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1
Ejercicios Tema 2: Curvas en Rn 1. Hallar la longitud de (a) Una circunferencia de radio r. (b) El arco de la curva y = x3/2 entre x = 0 y x = 5. (c) El arco de la par´abola y 2 = 12x comprendida en el primer cuadrante entre x = 0 y x = 1. (d) La curva α(t) = (t − sen t, 1 − cos t), 0 ≤ t ≤ 2π. (e) El arco de h´elice c´onica dado por la parametrizaci´on α(t) = aet (cos t, sen t, 1), a > 0, y que va del origen de coordenadas al punto A(a, 0, a). (f) El arco parametrizado por α(t) = (a cos t, a sen t, bt), 0 ≤ t ≤ 2π. √ √ 3 2 2 Sol.: (a) 2πr; (b) 335 27 ; (c) 2 + 2 ln 3; (d) 8; (e) a 3; (f) 2π a + b .
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3
1
Integral curvil´ınea de primer tipo
3.1
Definici´ on
Sea Γ ⊂ R un camino (curva simple y suave a trozos) parametrizado por α : [a, b] −→ Rn , y sea f : Γ −→ R una funci´on escalar y acotada. Se define la integral curvil´ınea de primer tipo de f sobre Γ como Z
Z
b
f ds = Γ
3.2
¯ ¯ f (α(t)) ¯α0 (t)¯ dt
a
Observaciones
1. La integral curvil´ınea de primer tipo no depende de la parametrizaci´on elegida, ni del sentido en que se recorre la curva. 2. Si Γ ⊂ R2 es el grafo de la funci´on continua ϕ : [a, b] −→ R, entonces Z
Z f ds =
Γ
3. Si f ≡ 1, entonces
3.3
R
Γ 1 ds
b
f (t, ϕ(t))
p 1 + ϕ0 (t)2 dt
a
= L(Γ).
Interpretaci´ on f´ısica
Si un camino Γ ⊂ Rn , parametrizado por α : [a, b] −→ Rn , representa a una cuerda y ρ(α(t)) es la densidad puntual de la cuerda en el punto α(t) ∈ Γ, entonces la integral curvil´ınea de primer tipo de ρ sobre Γ nos da la masa de dicha cuerda.
3.4
Aplicaciones
Sea Γ ⊂ Rn un camino que representa a una cuerda y ρ(M ), M ∈ Γ, la densidad puntual de dicha cuerda en el punto M . La masa de la cuerda viene dada por Z m= ρ(x1 , x2 , . . . , xn ) ds Γ
y el centro de gravedad ser´a G = (xg1 , xg2 , . . . , xgn ), donde Z 1 g xi = xi ρ(x1 , x2 , . . . , xn ) ds m Γ
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM
1
Ejercicios Tema 3: Integral curvil´ınea de primer tipo R 1. Hallar I = Γ xy ds, si Γ es la parte de la circunferencia x2 + y 2 = 1 comprendida en el primer cuadrante. Sol.: 12 . 2. Calcular la masa de una espiral de un muelle que tiene la forma de h´elice de ecuaci´on α(t) = (a cos t, a sen t, bt) ,
t ∈ [0, 2π] ,
a, b > 0
2 2 2 si la densidad ¡puntual viene ¢dada √ por ρ(x, y, z) = x + y + z . 8 3 2 2 a2 + b2 . Sol.: Masa = 2πa + 3 π b
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4
1
Integral curvil´ınea de segundo tipo
4.1
Definici´ on
Sea Γ ⊂ Rn un camino (curva simple y suave a trozos) parametrizado por α : [a, b] −→ Rn , y sea F : Γ −→ Rn una funci´on vectorial y acotada. Se define la integral curvil´ınea de segundo tipo de F sobre Γ como Z b Z F ds = F (α(t)) · α0 (t) dt Γ
a
siempre que esta integral exista. El s´ımbolo de producto ”·” indica producto escalar.
4.2
Notaci´ on
1. Cuando el camino Γ es cerrado, la integral se suele representar por I F ds Γ
2. Si F = (f1 , f2 , . . . , fn ) y α(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)), entonces ! Z Z b Z b ÃX n ¡ 0 ¢ 0 fi (α(t))xi (t) dt = f1 x1 + f2 x02 + . . . + fn x0n dt F ds = Γ
a
a
i=1
de donde se deriva la siguiente frecuente notaci´on de la integral curvil´ınea de segundo tipo: Z Z F ds = Γ
Γ
f1 dx1 + f2 dx2 + . . . + fn dxn
que en los casos n = 2 y n = 3 ser´ıa Z Z P (x, y) dx + Q(x, y) dy y P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz Γ
4.3
Γ
Propiedades
1. Linealidad: Si F, G : Γ −→ Rn y λ, µ ∈ R, entonces Z Z Z (λF + µG) ds = λ F ds + µ G ds Γ
Γ
Γ
2. Si Γ1 , Γ2 ⊂ Rn son dos caminos con Γ1 ∩ Γ2 = {P }, siendo P el extremo de Γ1 y el origen de Γ2 , si se define Γ = Γ1 ∪ Γ2 , y si F : Γ −→ Rn , entonces Z Z Z F ds = F ds + F ds Γ
Γ1
Γ2
3. La integral curvil´ınea de segundo tipo no depende de la parametrizaci´on elegida, pero si depende del sentido en que se recorre el camino, siendo Z Z F ds = − F ds −Γ
Γ
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM
4.4
2
Interpretaci´ on f´ısica
Sea Ω ⊂ Rn un dominio, y supongamos que la funci´on vectorial F : Ω −→ Rn nos define un campo de fuerzas (electromagn´etico, gravitacional, etc.) en cada punto de Ω y que Γ ⊂ Ω representa un camino que va de A a B. Entonces Z F ds Γ
es el trabajo necesario para llevar una part´ıcula de masa unidad de A a B a lo largo de Γ.
4.5
Definici´ on
Sea Ω ⊂ Rn un dominio (abierto y conexo) y F : Ω −→ Rn un campo vectorial continuo. Diremos que la integral de f es independiente sobre Ω del camino que une A con B, A, B ∈ Ω, si la integral Z F ds Γ
siempre nos da el mismo resultado para cualquier camino Γ que une A con B y est´a contenido en Ω. En este caso, y puesto que la integral s´olo depende del origen A y del extremo B, se suele representar Z Z B F ds = F ds Γ
A
Si lo anterior ocurre para cualesquiera A, B ∈ Ω, se dice que la integral es independiente del camino en Ω.
4.6
Definici´ on
Sea Ω ⊂ Rn un dominio, y f : Ω −→ R una funci´on escalar con derivadas parciales en cada punto de Ω. Se llama gradiente de f a la funci´on vectorial ∇f : Ω −→ Rn definida por ¶ µ ∂f ∂f ∂f , ,..., ∇f = ∂x1 ∂x2 ∂xn
4.7
Segundo teorema fundamental del c´ alculo para integrales de l´ınea
Sea Ω ⊂ Rn un dominio y f : Ω −→ R una funci´on escalar diferenciable con gradiente ∇f : Ω −→ Rn continuo. Entonces, para cualesquiera puntos A, B ∈ Ω y camino Γ ⊂ Ω que vaya de A a B, se cumple que Z ∇f ds = f (B) − f (A) Γ
es decir, la integral de ∇f es independiente del camino en Ω.
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM
4.8
3
Consecuencias
1. La integral curvil´ınea de un gradiente continuo es cero sobre cualquier camino cerrado contenido en Ω. 2. Si F : Ω −→ Rn es continua y existe f : Ω −→ R diferenciable con ∇f = F , entonces Z B F ds = f (B) − f (A) A
sobre cualquier camino Γ ⊂ Ω que vaya de A a B, y I F ds = 0 Γ
sobre cualquier camino cerrado Γ ⊂ Ω.
4.9
Definici´ on
Sea Ω ⊂ Rn un dominio y F : Ω −→ Rn una funci´on continua. Se llama funci´ on potencial de F en Ω a cualquier funci´on escalar f : Ω −→ R tal que ∇f = F .
4.10
Primer teorema fundamental del c´ alculo para integrales de l´ınea
Sea Ω ⊂ Rn un dominio y F : Ω −→ Rn una funci´on vectorial cuya integral de l´ınea es independiente del camino en Ω. Entonces la funci´on f : Ω −→ R definida por Z X f (X) = F ds A
sobre cualquier camino Γ ⊂ Ω que va de un punto fijo arbitrario A ∈ Ω al punto X = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Ω, est´a bien definida y es una funci´on potencial de F en Ω (∇f = F ).
4.11
Teorema general de caracterizaci´ on
Sea Ω ⊂ Rn un dominio y F : Ω −→ Rn una funci´on vectorial continua. Son equivalentes: 1. Existe funci´on potencial de F en Ω. 2. La integral de l´ınea de F es independiente del camino en Ω. 3. La integral de l´ınea de F es cero sobre cualquier camino cerrado contenido en Ω.
4.12
Condiciones necesarias (no suficientes) para la existencia de funci´ on potencial
Sea Ω ⊂ Rn un dominio y F = (f1 , f2 , . . . , fn ) : Ω −→ Rn una funci´on vectorial diferenciable con continuidad en Ω que admite funci´on potencial. Entonces ∂fj ∂fi = ∂xj ∂xi en Ω, para cada i, j, 1 ≤ i, j ≤ n.
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM
4.13
4
Definici´ on
Un dominio Ω ⊂ R2 se llamar´a simplemente conexo si para cualquier camino cerrado Γ ⊂ Ω, su interior est´a tambi´en contenido en Ω (no tiene agujeros).
4.14
Condici´ on necesaria y suficiente para la existencia de funci´ on potencial en R2
Sea Ω ⊂ R2 un dominio simplemente conexo y F = (P, Q) : Ω −→ R2 diferenciable con continuidad. Entonces F admite funci´on potencial en Ω (o la integral de l´ınea de F es independiente del camino en Ω) si y s´olo si ∂P ∂Q = ∂y ∂x en Ω.
4.15
Definici´ on
Un dominio Ω ⊂ Rn se llamar´a convexo si para cualquier par de puntos de Ω el segmento que los une est´a contenido en Ω.
4.16
Condici´ on necesaria y suficiente para la existencia de funci´ on potencial en Rn
Sea Ω ⊂ Rn un dominio convexo y F = (f1 , f2 , . . . , fn ) : Ω −→ Rn diferenciable con continuidad. Entonces F admite funci´on potencial en Ω (o la integral de l´ınea de F es independiente del camino en Ω) si y s´olo si ∂fj ∂fi = ∂xj ∂xi en Ω, para cada 1 ≤ i, j ≤ n.
4.17
C´ alculo pr´ actico de integrales de l´ınea sobre caminos cerrados en R2
Sea Γ ⊂ R2 un camino cerrado, sea S la regi´on interior a Γ, Ω un dominio simplemente conexo que contiene a S ∪ Γ, y F = (P, Q) una funci´on vectorial definida sobre Ω salvo quiz´as en un n´ umero finito de puntos. Entonces 1. Si
∂P ∂y
=
∂Q ∂x
en Ω entonces
I F ds = 0 Γ
2. Si
∂P ∂y
=
∂Q ∂x
en Ω \ {A}, con A ∈ S, entonces I I F ds = F ds Γ
γ
donde γ ⊂ Ω es cualquier otro camino cerrado, que contiene al punto A en su interior, y con la misma orientaci´on de Γ.
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM 3. Si
∂P ∂y
=
∂Q ∂x
5
en Ω \ {A1 , . . . , AN }, con A1 , . . . , AN ∈ S, entonces I F ds = Γ
N I X i=1
F ds
γi
donde γi ⊂ Ω es cualquier camino cerrado, con la misma orientaci´ on de Γ, que contiene al punto Ai en su interior y que no contiene ni corta a ning´ un otro punto Aj , j 6= i. 4. En cualquier otro caso es necesario usar el m´etodo general, es decir parametrizar el camino Γ por α : [a, b] −→ R2 y entonces I
Z F ds =
Γ
b
F (α(t)) · α0 (t) dt
a
Obviamente, este m´etodo general se puede usar en cualquier caso y, por supuesto, en los casos inicialmente descritos.
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM
1
Ejercicios Tema 4: Integral curvil´ınea de segundo tipo ¡√ ¢ 1. Sea F : R × (0, ∞) −→ R2 definida por F (x, y) = y, x3 + y . Hallar la integral de F a lo largo de cada uno de los siguientes caminos: (a) La recta Γ1 parametrizada por α1 (t) = (t, t), 0 ≤ t ≤ 1. (b) La curva Γ2 parametrizada por α2 (t) = (t2 , t3 ), 0 ≤ t ≤ 1. extrayendo las conclusiones oportunas. 59 Sol.: (a) 17 12 ; (b) 42 . Conclusi´on: La integral curvi´ınea depende del camino (no s´olo de los puntos inicial y final). 2. Estudiar si la funci´on
µ F (x, y) =
−y x , 2 2 2 x + y x + y2
¶
admite funci´on potencial en Ω = R2 \ {(0, 0)}. Sol.: No. 3. Calcular la integral curvil´ınea Z I = (10xz 3 + 1) dx − 6y 2 dy + 15x2 z 2 dz γ
donde γ es el trozo de la h´elice x = cos t, y = sen t, z = t/π, comprendida entre t = 0 y t = 2π. Sol.: 40. 4. Calcular
Z 2yz 2 dx + xz 2 dy + yz dz
I= γ
siendo γ el camino determinado en el primer octante (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0) por la intersecci´on de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 4 con el cilindro x2 + y 2 − 2x = 0, y que va de A(2, 0, 0) a B(0, 0, 2). Sol.: I = −3π 2 . 5. Dada la expresi´on diferencial: y 2 + 2xy + ax2 x2 + 2xy + by 2 dx − dy (x2 + y 2 )2 (x2 + y 2 )2
,
a, b ∈ R
(a) Determinar los valores de a y b que conviertan a la expresi´on anterior en la derivada total de una funci´on U (x, y) para alg´ un conjunto del plano. Determinar dicho conjunto. (b) Para los valores de a y b determinados en el apartado anterior, calcular razonadamente la integral de dU sobre la curva γ de ecuaci´on x2/3 + y 2/3 = k 2/3 , recorrida en sentido positivo. Sol.: (a) a = b = −1; (b) 0.
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM 6. Calcular I=
2
¶ Z µ ³ y2 y y y y´ 1 − 2 cos dx + sen + cos dy x x x x x γ
donde γ es el arco de la curva (x − 3/2)2 + (y − π)2 = 0.25 que une los puntos (1, π) y (2, π). Sol.: I = 1 + π. 7. Calcular:
Z I= γ
(n + y 2 ) dx + (n + x2 ) dy (xy − n)2
donde n ∈ N y γ es: (a) El pol´ıgono ABCD de v´ertices A(−7, 1), B(−13, 5), C(−6, 8) y D(−1, 4). d (b) Cualquier curva M N que pertenece al cuarto cuadrante (x > 0 e y < 0) y que une los puntos M (1/2, −1/2) y N (3, −5). Sol.: (a) 0; (b)
−2 n+15 .
8. Siendo P (x, y) = x+y(x2 +y 2 )−1 y Q(x, y) = y−x(x2 +y 2 )−1 , calcular las integrales: Z P (x, y) dx + Q(x, y) dy , i = 1, 2, 3 Ii = γi
donde γ1 es la elipse (x − 4)2 + (y − 4)2 = 4, γ2 el astroide de ecuaci´on x2/3 + y 2/3 = a2/3 , a > 0, y γ3 el segmento que une el punto (1, 1) con el punto (2, 1). Sol.: I1 = 0; I2 = −2π; I3 = 6−π 4 + arctan 2. 9. Calcular:
Z γi
x dx + y dy ex2 +y2 − 1
,
i = 1, 2
donde γ1 es el tri´angulo de v´ertices A(7, 0), B(6, 6) y C(4, 5); y γ2 el cuadril´atero de v´ertices D(1, 0), E(0, 5), F (−6, −1) y G(−1, −5). Sol.: I1 = I2 = 0. 10. Calcular la integral: Z I= γ
2xy(y + 2) dx + (y 2 − 2x2 − 2x2 y) dy (2x2 + y 2 )2
donde γ es: (a) El segmento de extremos A( √12 , 0) y B(0, 1). (b) El pol´ıgono cerrado de v´ertices M (0, 3), N (1, 2), O(1, 0), P (−2, 3) y Q(−3, 12 ). Sol.: (a) 11. Sean
−3 2 ;
(b) 0. ½
P (x, y) = [2x f (x) − 2x3 ]y 2 + 6x2 y Q(x, y) = y f (x) + 2x3
donde f (x) es un polinomio de segundo grado. Se pide:
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM (a) Hallar f (x) para que: I P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 C
sobre cualquier curva cerrada. (b) Para la funci´on f (x) hallada en el apartado anterior hallar Z P (x, y) dx + Q(x, y) dy γ
donde γ es cualquier curva que va de A(0, 0) a B(2, 1). Sol.: (a) f (x) = x2 + 12 ; (b)
73 4 .
3
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM
5
1
Integral doble de Riemann
5.1
Definici´ on
Llamaremos rect´ angulo cerrado de R2 al producto de dos intervalos cerrados y acotados de R, es decir © ª R = [a, b] × [c, d] = (x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d Si los intervalos son abiertos, el rect´ angulo se llama abierto. Se llama ´area del rect´angulo al producto de las longitudes de los intervalos que lo definen, es decir A(R) = (b−a)(d−c).
5.2
Particiones de un rect´ angulo
Sea R = [a, b] × [c, d] ⊂ R2 . Llamaremos partici´ on de R al producto cartesiano de una partici´on de [a, b] por otra de [c, d]. Es decir, si P1 = (a = x0 < x1 < . . . < xn = b) ∈ P([a, b]) y P2 = (c = y0 < y1 < . . . < ym = d) ∈ P([c, d]), entonces P = P1 × P2 = {Rij = [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m} ∈ P(R) La partici´on P consta de n · m rect´angulos. Si P, P 0 ∈ P(R), diremos que P 0 es m´ as fina que P , P ≺ P 0 , si cada rect´angulo de P 0 est´a contenido en alg´ un rect´angulo de P .
5.3
Sumas de Riemann
Sea R = [a, b] × [c, d] ⊂ R2 , P = {Rij = [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m} ∈ P(R) y f : R −→ R una funci´on acotada. Se definen las sumas inferior y superior de Riemann de f asociadas a P como s (f, P ) = S (f, P ) =
n X m X i=1 j=1 m n X X
mij · A(Rij ) = Mij · A(Rij ) =
n X m X i=1 j=1 n X m X
i=1 j=1
mij (xi − xi−1 )(yj − yj−1 ) Mij (xi − xi−1 )(yj − yj−1 )
i=1 j=1
donde mij = inf {f (x, y) : (x, y) ∈ Rij }
y
Mij = sup {f (x, y) : (x, y) ∈ Rij }
La suma de Riemann de f asociada a P y a {(ξij , ηij ) ∈ Rij : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m} es S (f, P, {(ξij , ηij )}) =
m n X X i=1 j=1
f (ξij , ηij ) · A(Rij ) =
n X m X i=1 j=1
f (ξij , ηij )(xi − xi−1 )(yj − yj−1 )
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM
5.4
2
Propiedades
Sean R = [a, b] × [c, d], P, P 0 ∈ P(R) y f : R −→ R una funci´on acotada. Se tienen las siguientes propiedades: 1. Para cualesquiera (ξij , ηij ) ∈ Rij ∈ P , 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m, se tiene que s (f, P ) ≤ S (f, P, {(ξij , ηij )}) ≤ S (f, P ) 2. Si P ≺ P 0 , entonces ¡ ¢ ¡ ¢ s (f, P ) ≤ s f, P 0 ≤ S f, P 0 ≤ S (f, P ) 3. Si m y M son, respectivamente, el infimo y el supremo de f en R, se tiene que m · A(R) ≤ s (f, P ) ≤ S (f, P ) ≤ M · A(R)
5.5
Integral doble de Riemann
Sean R = [a, b] × [c, d] y f : R −→ R una funci´on acotada. Se definen las integrales inferior y superior de Riemann de f sobre R como ZZ f (x, y) dx dy = sup {s(f, P ) : P ∈ P(R)} R
ZZ f (x, y) dx dy = inf {S(f, P ) : P ∈ P(R)} R
Es claro, de las propiedades anteriores, que ZZ ZZ f (x, y) dx dy f (x, y) dx dy ≤ R
R
y cuando ambas coinciden se dice que f es integrable Riemann sobre R, defini´endose la integral como el valor com´ un que se representar´ a por ZZ f (x, y) dx dy R
En caso contrario se dice que f no es integrable Riemann sobre R. Se representar´ a por R(R) a la familia de todas las funciones que son integrables Riemann sobre R.
5.6
Teorema de caracterizaci´ on de la integrabilidad Riemann
Sean R = [a, b] × [c, d] y f : R −→ R una funci´on acotada. Son equivalentes: 1. f es integrable Riemann sobre R. 2. Para cada ε > 0 existe Pε ∈ P(R) tal que S(f, Pε ) − s(f, Pε ) < ε. 3. Existe I ∈ R tal que para cada ε > 0 existe Pε ∈ P(R) verificando que |S (f, Pε , {(ξij , ηij )}) − I| < ε para cualquier suma de Riemann asociada a Pε .
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM
5.7
3
Propiedades
Sean R = [a, b] × [c, d] y f, g : R −→ R funciones integrables Riemann. 1. Para cualesquiera α, β ∈ R se tiene que ZZ ZZ ZZ g(x, y) dx dy [αf (x, y) + βg(x, y)] dx dy = α f (x, y) dx dy + β R
R
R
2. Si m ≤ f (x, y) ≤ M en cualquier punto (x, y) ∈ R, entonces ZZ m · A(R) ≤ f (x, y) dx dy ≤ M · A(R) R
3. Si f (x, y) ≤ g(x, y), para todo (x, y) ∈ R, entonces ZZ ZZ f (x, y) dx dy ≤ g(x, y) dx dy R
R
4. La funci´on valor absoluto de f , |f |, es tambi´en integrable Riemann y ¯ ¯ ¯Z Z ¯ ZZ ¯ ¯ ¯ f (x, y) dx dy ¯¯ ≤ |f (x, y)| dx dy ¯ ¯ ¯ R
5.8
R
Teorema de Fubini
Sean R = [a, b] × [c, d] y f : R −→ R una funci´on acotada e integrable sobre R, y supongamos que para cada x ∈ [a, b] existe la integral Z J(x) =
d
f (x, y) dy c
Entonces tambi´en existe la integral de J(x) sobre [a, b] y se cumple que ZZ
Z f (x, y) dx dy =
¶
d
J(x) dx =
f (x, y) dy
a
R
5.9
Z b µZ
b
a
dx
c
Notaci´ on
Se suele representar Z b µZ
¶
d
f (x, y) dy a
c
Z dx =
Z
b
dx a
d
f (x, y) dy c
entendiendo esta u ´ltima expresi´on como que en primer lugar hay que hacer la integral de f , respecto de y, entre c y d, y su resultado integrarlo, respecto de x, entre a y b.
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM
5.10
4
Observaci´ on
En el teorema de Fubini se pueden invertir las variables y resulta que Z b Z d Z d Z b ZZ f (x, y) dx dy = dx f (x, y) dy = dy f (x, y) dx a
R
c
c
a
cuando existen todas las integrales implicadas.
5.11
Integrabilidad de las funciones continuas
Si f : R = [a, b] × [c, d] −→ R es continua, entonces f es integrable Riemann sobre R.
5.12
Contenido nulo
Sea A ⊂ R2 un conjunto acotado. Se dice que A tiene contenido nulo si para cada ε > 0 existe una familia finita de rect´angulos, {Ri }N i=1 , tales que A⊂
N [
Ri
N X
y
i=1
5.13
A(Ri ) < ε
i=1
Ejemplos
1. Cualquier conjunto finito de puntos tiene contenido nulo. 2. Cualquier sucesi´on convergente de puntos tiene contenido nulo. 3. El grafo de una funci´on continua definida sobre un intervalo compacto tiene contenido nulo. 4. Todo subconjunto de un conjunto de contenido nulo tiene contenido nulo. 5. La uni´on finita de conjuntos de contenido nulo tiene contenido nulo.
5.14
Teorema
Sea f : R = [a, b] × [c, d] −→ R acotada y sea Df (R) el conjunto de discontinuidades de f en R. Entonces, si Df (R) tiene contenido nulo, la funci´on f es integrable Riemann sobre R.
5.15
Integral de Riemann sobre otros recintos acotados
Sea S ⊂ R2 acotado y f : S −→ R una funci´on acotada. Se define ZZ ZZ f (x, y) dx dy = fe(x, y) dx dy S
R
donde R = [a, b] × [c, d] es cualquier rect´angulo que contiene a S y ( f (x, y) , si (x, y) ∈ S fe(x, y) = 0 , si (x, y) ∈ R \ S
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5.16
5
Propiedades
La integral de Riemann sobre recintos acotados tiene las mismas propiedades de la integral sobre rect´angulos, ya descritas en (5.7), y adem´as ZZ ZZ ZZ f (x, y) dx dy = f (x, y) dx dy + f (x, y) dx dy A∪B
A
B
siempre que A ∩ B tenga contenido nulo.
5.17
Integral de Riemann sobre recintos proyectables
1. Un recinto S ⊂ R2 se llama x-proyectable si es de la forma S = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, ϕ1 (x) ≤ y ≤ ϕ2 (x)} donde ϕ1 , ϕ2 : [a, b] −→ R son funciones continuas con ϕ1 (x) ≤ ϕ2 (x), para todo x ∈ [a, b]. Aplicando el teorema de Fubini, si f : S −→ R, se tiene que ZZ Z b Z ϕ2 (x) f (x, y) dx dy = dx f (x, y) dy a
S
ϕ1 (x)
2. Un recinto S ⊂ R2 se llama y-proyectable si es de la forma S = {(x, y) : c ≤ y ≤ d, ψ1 (y) ≤ x ≤ ψ2 (y)} donde ψ1 , ψ2 : [c, d] −→ R son funciones continuas con ψ1 (y) ≤ ψ2 (y), para todo y ∈ [c, d]. Aplicando el teorema de Fubini, si f : S −→ R, se tiene que ZZ Z d Z ψ2 (y) f (x, y) dx dy = dy f (x, y) dx c
S
5.18
ψ1 (y)
Aplicaciones
1. C´ alculo de ´areas: Si S ⊂ R2 , su ´area es ZZ A(S) =
dx dy S
2. C´ alculo de masas y centro de gravedad: Si S ⊂ R2 representa a una superficie plana con densidad puntual ρ(x, y) ≥ 0, para cada (x, y) ∈ S, entonces la masa de S viene dada por ZZ m(S) =
ρ(x, y) dx dy S
y el centro de gravedad de S, (xg , yg ), viene dado por ZZ ZZ 1 1 xg = xρ(x, y) dx dy , yg = yρ(x, y) dx dy m(S) m(S) S
S
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6
3. C´ alculo de vol´ umenes: Sea D ⊂ R3 un recinto xy-proyectable definido por © ª D = (x, y, z) : (x, y) ∈ S ⊂ R2 y f (x, y) ≤ z ≤ g(x, y) Entonces, su volumen vendr´a dado por ZZ V (D) = [g(x, y) − f (x, y)] dx dy S
La aplicaci´on es an´aloga para recintos xz-proyectables e yz-proyectables. 4. Areas de superficies: Sea Ω ⊂ R3 la superficie xy-proyectable definida por © ª Ω = (x, y, z) : (x, y) ∈ S ⊂ R2 y z = f (x, y) Entonces su ´area viene dada por ZZ
s
A(Ω) =
µ
1+
∂f ∂x
¶2
µ +
∂f ∂y
¶2 dx dy
S
La aplicaci´on es an´aloga para superficies xz-proyectables e yz-proyectables.
5.19
Teorema del Cambio de Variable
Sea S ⊂ R2 compacto y Ω ⊂ R2 un conjunto abierto con S ⊂ Ω. Sea ϕ : Ω −→ R2 , ◦
ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v)), con derivadas parciales continuas, inyectiva en S y tal que ϕ−1 : ϕ(S) −→ S tiene derivadas parciales continuas. Entonces, si f ∈ R (ϕ(S)) la funci´on (f ◦ ϕ) · |Jϕ| ∈ R(S) y ZZ ZZ f (x, y) dx dy = f (x(u, v), y(u, v)) · |Jϕ(u, v)| du dv S
ϕ(S)
donde Jϕ es el Jacobiano de ϕ, es decir ¯ ∂x ∂(x, y) ¯¯ ∂u Jϕ(u, v) = = ∂y ∂(u, v) ¯ ∂u
5.20
¯
∂x ¯ ∂v ¯ ∂y ¯ ∂v
Algunos cambios de variable usuales
1. Coordenadas polares: El cambio a coordenadas polares cl´asicas ½ x = ρ cos θ y = ρ sen θ con ρ ≥ 0 y θ ∈ [0, 2π), aplica biyectivamente R2 \ {(0, 0)} en (0, ∞) × [0, 2π), siendo |J| = ρ, y queda ZZ ZZ f (x, y) dx dy = f (ρ cos θ, ρ sen θ) ρ dρ dθ S
S∗
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7
donde S ∗ es la transformada de S por coordenadas polares. Con frecuencia S ∗ = {(ρ, θ) : θ1 ≤ θ ≤ θ2 , ρ1 (θ) ≤ ρ ≤ ρ2 (θ)} y en este caso Z
ZZ S
Z
θ2
ρ2 (θ)
dθ
f (x, y) dx dy = θ1
f (ρ cos θ, ρ sen θ) ρ dρ ρ1 (θ)
2. Coordenadas polares centradas en (x0 , y0 ): ½ x = x0 + ρ cos θ y = y0 + ρ sen θ 3. Coordenadas el´ıpticas centradas en (x0 , y0 ): ½ x = x0 + aρ cos θ y = y0 + bρ sen θ
;
|Jϕ| = ρ
;
|Jϕ| = abρ
4. Cuando el recinto S ⊂ R2 est´ a limitado por cuatro curvas de la forma ϕ(x, y) = a, ϕ(x, y) = b, ψ(x, y) = c y ψ(x, y) = d, suele dar buenos resultados hacer el cambio de variables ½ u = ϕ(x, y) v = ψ(x, y) siempre que se cumplan las condiciones del teorema del cambio de variable.
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1
Ejercicios Tema 5: Integral doble de Riemann 1. Estudiar la integrabilidad Riemann de la funci´on f , sobre el rect´angulo R, en los siguientes casos: (a) R = [a, b] × [c, d] y f (x, y) = 1, ∀(x, y) ∈ R. (b) R = [0, 1] × [0, 1] y
( f (x, y) =
1 , si x ∈ Q 0 , si x ∈ /Q
Sol.: (a) I = (b − a)(d − c); (b) No existe. 2. Hallar la integral de f (x, y) = x sen y − yex sobre el rect´angulo R = [−1, 1] × [0, π/2]. ¢ 2 ¡ Sol.: π8 e−1 − e p 3. Hallar la integral de f (x, y) = |y − x2 | sobre R = [−1, 1] × [0, 2]. Sol.: 43 + π2 4. Hallar el centro de gravedad de la regi´on plana limitada por un arco de sinusoide de densidad constante ρ0 . ¢ ¡ Sol.: Masa=2ρ0 ; Centro de gravedad= π2 , π8 . 5. Hallar el ´area de la superficie determinada por z = 23 (x3/2 + y 3/2 ) sobre el cuadrado S = [0, 1]¡ × [0, √ 1]. √ ¢ 4 1+9 3−8 2 . Sol.: 15 © ª RR p 6. Hallar a2 − x2 − y 2 dx dy donde S = (x, y) : x2 + y 2 ≤ a2 , x, y ≥ 0 . Sol.:
S πa3 6 . y−x
7. Hallar la integral de f (x, y) = e y+x sobre el tri´angulo de v´ertices (0, 0), (2, 0) y (0, 2). Sol.: e − e−1 . 8. Hallar el volumen del recinto limitado por el cilindro x2 + (y − a)2 = a2 , el plano z = 0 y el parabol´oide 4az = x2 + y 2 , a > 0. 3 Sol.: 3πa 8 . 9. Calcular las siguientes integrales dobles: RR (xy)2 dx dy, si D est´a limitado por y > 0, xy < 1 y x2 − 3xy + 2y 2 < 0. (a) D
(b)
RR
(x + y) dx dy, si D est´ a limitado por x2 + y 2 = x + y.
D
(c)
RR D
√ − x2 − y 2 | dx dy, si D est´ | x+y a limitado por x2 + y 2 ≤ 1. 2
Sol.: (a)
ln 2 6 ;
(b)
π 2;
(c)
9π 16 .
10. Hallar las ´areas interceptadas por las curvas:
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2
(a) ρ = 2a, ρ = 4a cos θ, (a > 0). (b) ρ = 2, ρ = 2(1 + cos θ), e interior al primer cuadrante. √ ¢ 2 ¡ π+8 Sol.: (a) 8π 3 − 2 3 a ; (b) 2 . 11. Hallar el ´area del recinto acotado del primer cuadrante encerrado por la curva: (x2 + y 2 )2 = Sol.:
1 4β
¡2
2 3, 3
√ xy
¢ .
12. Calcular la integral:
ZZ
2
x2 ex /y dx dy y(x2 + y 2 )
D
donde D es el recinto limitado en el primer cuadrante por las rectas x = y, x = 2y y las par´abolas¡ x2 = y, x2 =¢ 2y. Sol.: e(e − 1) arctan 2 − π4 . 13. Hallar la masa y el centro de gravedad de la regi´on: F = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1 , x3 ≤ y ≤
√ x}
si la densidad de los puntos de F viene ¢por ρ(x, y) = 3x. ¡ dada 25 Sol.: Masa= 53 ; Centro de gravedad= 25 , 42 48 . 14. Hallar el ´area de las siguientes superficies: (a) La parte del cilindro x2 + z 2 = a2 dentro del cilindro x2 + y 2 = a2 . (b) La parte del cono z 2 = x2 + y 2 dentro del cilindro x2 + y 2 = 2x. (c) La parte de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 4z dentro del parabol´oide x2 + y 2 = z. (d) La parte del cilindro x2 + z 2 = a2 sobre el cuadrado |x| ≤ a/2, |y| ≤ a/2. √ 2 Sol.: (a) 8a2 ; (b) 4 2π; (c) 4π; (d) πa3 . 15. Calcular los vol´ umenes de los s´olidos limitados por: (a) x2 + 4y 2 = z, z = 0, y 2 = x, x2 = y. (b) x2 + y 2 = 1, x2 + y 2 = 2, z(x2 + y 2 ) = 1, z = 0. (c) z = 0, x2 + y 2 = a2 , x ≥ 0 y el plano que pasa por la recta x = z = 0 y que forma un ´angulo α con el plano z = 0. (d) (x − c)2 + (y − d)2 = k 2 , (c > d > k > 0), xy = z, z = 0. (e) 3x2 + y 2 = 72z, 2x2 + y 2 = 24(2 − z). (f) z = 0,
x2 2p
+
y2 2q
= z, (p, q > 0), x2 + y 2 = a2 .
(g) z = x2 + y 2 , z = 2(x2 + y 2 ), xy = a2 , xy = 2a2 , x = 2y, 2x = y, x > 0. ³ ´ 3 4 Sol.: (a) 37 ; (b) π ln 2; (c) 2a3 tan α; (d) cdk 2 π; (e) 24π; (f) πa8 p1 + 1q ; (g)
9a4 4 .
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3
16. Hallar el volumen del s´olido limitado por los parabol´oides y 2 + z 2 = −2(x − 1) e y 2 + z 2 = 2(x + 1). Sol.: 2π. 17. Hallar el volumen del recinto interior al cilindro x2 + y 2 = 2x, y comprendido entre los planos z = x , z = 2x. Sol.: π. 18. Hallar el volumen del recinto interior al cilindro x2 +y 2 = 2x, y limitado por el plano z = 0 y la superficie xy 2 z= 2 x + y2 Sol.:
π 6.
19. Calcular la integral:
ZZ p y 2 − 4x2 dx dy D
donde D es el recinto acotado limitado por las rectas y − 2x = −1, y + 2x = −1, y por la hip´erbola y 2 − 4x2 = 1/4. Sol.: 7−372ln 2 . 20. Hallar el volumen del s´olido limitado por el plano z = 0, el parabol´oide z = y el cilindro Sol.: 3abπ 2 .
x2 a2
+
y2 b2
=
2x a .
x2 a2
+
y2 b2
21. Hallar el volumen del recinto interior al cilindro (x − 2)2 + y 2 = 1 y limitado por el plano z = 1 y por el parabol´oide x2 + y 2 = z. Sol.: 7π 2 . RR 22. (Septiembre 1999)Calcular la integral doble arctan xy dx dy, donde D
n √ o √ D = (x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 9, x ≤ y 3, y ≤ x 3 Sol.:
π2 6 .
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6
1
Teorema de Green-Riemann
6.1
Teorema de Green-Riemann
Sea Ω ⊂ R2 un abierto simplemente conexo y F = (P, Q) : Ω −→ R2 una funci´on vectorial derivable con continuidad. Entonces, si Γ ⊂ Ω es un camino cerrado y llamamos S a la uni´on de Γ con su interior, S ⊂ Ω, se tiene que ¶ I ZZ µ ∂Q ∂P P (x, y) dx + Q(x, y) dy = − dx dy ∂x ∂y Γ S
donde Γ se recorre en sentido positivo.
6.2
Aplicaciones
1. Hallar integrales de l´ınea sobre caminos cerrados por medio de integrales dobles: Para ello basta con aplicar directamente la f´ormula que nos da el teorema de GreenRiemann. 2. Hallar integrales dobles por medio de integrales curvil´ıneas: Si S ⊂ R2 es un recinto acotado y ∂S es la frontera de S orientada positivamente, entonces ZZ I f (x, y) dx dy = P dx + Q dy S
∂S
∂P siendo P = P (x, y) y Q = Q(x, y) tales que ∂Q ∂x − ∂y = f (x, y). Por ejemplo, si f ≡ 1, se tiene H −y dx+x dy ZZ H∂S 2 A(S) = dx dy = ∂S x dy H S ∂S −y dx
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1
Ejercicios Tema 6: Teorema de Green-Riemann 1. Hallar la integral curvil´ınea I
¡ ¢ ¡ ¢ x − y 3 dx + x3 + sen y dy
Γ
siendo Γ la circunferencia x2 + y 2 = 1 orientada positivamente. Sol.: 3π 2 . R 2. Calcular AB d x dy − y dx, siendo A(a, 0), B(0, b), (a, b > 0): (a) sobre el arco de la curva x2 /a2 + y 2 /b2 = 1 comprendido entre A y B. (b) sobre el segmento de extremos A y B. (c) Calcular el ´area limitada por las curvas anteriores. Sol.: (a)
abπ 2 ;
(b) ab; (c)
ab(π−2) . 4
3. Aplicando el Teorema de Riemann, calcular la integral curvil´ınea Z 2 2 3 ey dx + (2xyey + x + ey ) dy γ
siendo γ la curva formada por el segmento que une los puntos (0, 0) y (1, 1) y por el segmento que une los puntos (1, 1) y (2, 0). Sol.: −1. 4. Calcular la integral: Z γ
(x3 + xy 2 + x) dy − (y 3 + yx2 + y) dx x2 + y 2
donde γ es el arco de la curva x6 + y 6 = 56 que est´a en el semiplano superior y que va de B(5, 0) a¡ A(−5, ¢ 0). 1 7 Sol.: π + 50 β , 3 6 6 . 5. Calcular, aplicando el teorema de Riemann-Green en un contorno adecuado, la integral curvil´ınea: Z (x + 1)ex+y dx + x(1 + ex+y ) dy γ
donde γ es el arco de la circunferencia x2 + y 2 = 1 comprendido en el primer y segundo cuadrantes. ¡ ¢ Sol.: π2 − e + 1e . 6. Utilizando el teorema de Green-Riemann, hallar la integral curvil´ınea: Z (1 + y)ex−y dx + (x5 − yex−y ) dy γ
donde γ es el arco de la circunferencia x2 + y 2 = 1, orientada positivamente, comprendido en el primer cuadrante. −1 − e. Sol.: 5π 32 + 2e
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2
7. Utilizando el teorema de Green-Riemann, calcular: Z I = (f 0 (x) sen y − 3y) dx + (f (x) cos y + 8x) dy γ
donde f es una fuci´on con derivada continua en R y γ es una curva simple y suave a trozos que, sin cortar a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes y estando por debajo de ella, une los puntos O(0, 0) y A(π, π) y que cerr´andola mediante el segmento OA determina un recinto de ´area S. 2 Sol.: 5π2 + 11S. 8. Utilizando el teorema de Green-Riemann, calcular: ¶ µ ¶ Z µ x−1 y−1 2 I= + y x dx + (x − 1)y + dy (x − 1)2 + (y − 1)2 (x − 1)2 + (y − 1)2 γ donde γ es el arco de la circunferencia x2 + y 2 = 4, orientado positivamente, que une los puntos A(0, 2) y B(2, 0) y no est´a comprendido en el primer cuadrante. Sol.: 10 3 . 9. Hallar, utilizando el teorema de Green-Riemann, la integral curvil´ınea: Z 2 2 2 2 (2xex +2y − y) dx + (4yex +2y + x2 ) dy γ
donde γ es el contorno de la circunferencia unidad x2 + y 2 = 1, orientada positivamente, comprendido en el primer cuadrante. Sol.: 23 + π4 + e(e − 1). 10. Calcular, usando el teorema de Green-Riemann, la integral ¶ Z µ x−2 y−1 I= − 2y dx + dy 2 + (y − 1)2 2 + (y − 1)2 (x − 2) (x − 2) γ 2
donde γ es el arco de la elipse 4(x − 2)2 + y4 = 1 comprendido en el primer cuadrante y que une los puntos A( 32 , 0) y B(2, 2). ¡ ¢ Sol.: 12 ln 45 − π . 11. Hallar las integrales curvil´ıneas: Z Ii =
γi
£ ¤ [(x + y) sen x + cos x] dx + x(x + y)2 + cos x dy , i = 1, 2 (x + y)2
donde: (a) γ1 es el segmento que une los puntos A(π, 0) y B(0, π). √ √ √ (b) γ2 es la curva de ecuaci´on x + y = π que une B con A. Sol.: a) I1 =
π2 2
− π2 ; b) I2 =
2 π
−
π2 6 .
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3
12. (Febrero 1999) Calcular la integral curvil´ınea Z ³ ´ ³ ´ 2 2 2 2 I= 2xex +2y − y dx + 4yex +2y + x2 dy γ
donde γ es el arco de la curva y = 2 − x2 que va desde el punto A(1, 1) hasta el punto B(−1, 1). Sol.: I = 10 3 . 13. (Septiembre 1999) Calcular la integral: ¶ µ ¶ Z µ 2(2y − 1) x 2 +y dx + + x(2y − 1) dy I= x2 + (2y − 1)2 x2 + (2y − 1)2 γ donde γ es el arco de la circunferencia x2 + y 2 = 1 que, en el primer cuadrante, va desde A(1, 0) hasta√B(0, 1). Sol.: I = − π4 − ln 2.
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7
1
Integral triple de Riemann
7.1
Definici´ on
Llamaremos rect´ angulo cerrado de R3 (paralelep´ıpedo) al producto de tres intervalos cerrados y acotados de R, es decir © ª R = [a, b] × [c, d] × [e, f ] = (x, y, z) ∈ R3 : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, e ≤ z ≤ f Si los intervalos son abiertos, el rect´ angulo se llama abierto. Se llama volumen del rect´angulo al producto de las longitudes de los intervalos que lo definen, es decir V (R) = (b − a)(d − c)(f − e).
7.2
Particiones de un rect´ angulo
Sea R = [a, b] × [c, d] × [e, f ] ⊂ R3 . Llamaremos partici´ on de R al producto cartesiano de una partici´on de [a, b], por otra de [c, d] y por otra de [e, f ]. Es decir, si P1 = (a = x0 < x1 < . . . < xn = b) ∈ P([a, b]), P2 = (c = y0 < y1 < . . . < ym = d) ∈ P([c, d]) y P3 = (e = z0 < z1 < . . . < zp = f ) ∈ P([e, f ]), entonces P = P1 × P2 × P3 = {Rijk = [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] × [zk−1 , zk ] : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ k ≤ p} ∈ P(R) La partici´on P consta de n · m · k rect´angulos. Si P, P 0 ∈ P(R), diremos que P 0 es m´ as fina que P , P ≺ P 0 , si cada rect´angulo de P 0 est´a contenido en alg´ un rect´angulo de P .
7.3
Sumas de Riemann
Sea R = [a, b] × [c, d] × [e, f ] ⊂ R3 , P = {Rijk = [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] × [zk−1 , zk ] : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ k ≤ p} ∈ P(R) y f : R −→ R una funci´on acotada. Se definen las sumas inferior y superior de Riemann de f asociadas a P como s (f, P ) = S (f, P ) =
p m X n X X i=1 j=1 k=1 p n X m X X i=1 j=1 k=1
mijk · V (Rijk ) = Mijk · V (Rijk ) =
p n X m X X i=1 j=1 k=1 p n X m X X
mijk (xi − xi−1 )(yj − yj−1 )(zk − zk−1 ) Mijk (xi − xi−1 )(yj − yj−1 )(zk − zk−1 )
i=1 j=1 k=1
donde mijk = inf {f (x, y, z) : (x, y, z) ∈ Rijk }
y Mijk = sup {f (x, y, z) : (x, y, z) ∈ Rijk }
La suma de Riemann de f asociada a P y a {(ξijk , ηijk , χijk ) ∈ Rijk : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ k ≤ p}
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2
es S (f, P, {(ξijk , ηijk , χijk )}) =
p n X m X X
f (ξijk , ηijk , χijk ) · V (Rijk )
i=1 j=1 k=1
=
p n X m X X
f (ξijk , ηijk , χijk )(xi − xi−1 )(yj − yj−1 )(zk − zk−1 )
i=1 j=1 k=1
7.4
Propiedades
Sean R = [a, b] × [c, d] × [e, f ], P, P 0 ∈ P(R) y f : R −→ R una funci´on acotada. Se tienen las siguientes propiedades: 1. Para cualesquiera (ξijk , ηijk , χijk ) ∈ Rijk ∈ P , 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m y 1 ≤ k ≤ p, se tiene que s (f, P ) ≤ S (f, P, {(ξijk , ηijk , χijk )}) ≤ S (f, P ) 2. Si P ≺ P 0 , entonces ¡ ¢ ¡ ¢ s (f, P ) ≤ s f, P 0 ≤ S f, P 0 ≤ S (f, P ) 3. Si m y M son, respectivamente, el infimo y el supremo de f en R, se tiene que m · V (R) ≤ s (f, P ) ≤ S (f, P ) ≤ M · V (R)
7.5
Integral triple de Riemann
Sean R = [a, b]×[c, d]×[e, f ] y f : R −→ R una funci´on acotada. Se definen las integrales inferior y superior de Riemann de f sobre R como ZZZ f (x, y, z) dx dy dz = sup {s(f, P ) : P ∈ P(R)} R
ZZZ f (x, y, z) dx dy dz = inf {S(f, P ) : P ∈ P(R)} R
Es claro, de las propiedades anteriores, que ZZZ ZZZ f (x, y, z) dx dy dz ≤ f (x, y, z) dx dy dz R
R
y cuando ambas coinciden se dice que f es integrable Riemann sobre R, defini´endose la integral como el valor com´ un que se representar´ a por ZZZ f (x, y, z) dx dy dz R
En caso contrario se dice que f no es integrable Riemann sobre R. Se representar´ a por R(R) a la familia de todas las funciones que son integrables Riemann sobre R.
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7.6
3
Teorema de caracterizaci´ on de la integrabilidad Riemann
Sean R = [a, b] × [c, d] × [e, f ] y f : R −→ R una funci´on acotada. Son equivalentes: 1. f es integrable Riemann sobre R. 2. Para cada ε > 0 existe Pε ∈ P(R) tal que S(f, Pε ) − s(f, Pε ) < ε. 3. Existe I ∈ R tal que para cada ε > 0 existe Pε ∈ P(R) verificando que |S (f, Pε , {(ξijk , ηijk , χijk )}) − I| < ε para cualquier suma de Riemann asociada a Pε .
7.7
Propiedades
Sean R = [a, b] × [c, d] × [e, f ] y f, g : R −→ R funciones integrables Riemann. 1. Para cualesquiera α, β ∈ R se tiene que ZZZ ZZZ [αf (x, y, z) + βg(x, y, z)] dx dy dz = α f (x, y, z) dx dy dz R
R
ZZZ +β
g(x, y, z) dx dy dz R
2. Si m ≤ f (x, y, z) ≤ M en cualquier punto (x, y, z) ∈ R, entonces ZZZ m · V (R) ≤ f (x, y, z) dx dy dz ≤ M · V (R) R
3. Si f (x, y, z) ≤ g(x, y, z), para todo (x, y, z) ∈ R, entonces ZZZ ZZZ f (x, y, z) dx dy dz ≤ g(x, y, z) dx dy dz R
R
4. La funci´on valor absoluto de f , |f |, es tambi´en integrable Riemann y ¯ ¯ ¯Z Z Z ¯ ZZZ ¯ ¯ ¯ f (x, y, z) dx dy dz ¯¯ ≤ |f (x, y, z)| dx dy dz ¯ ¯ ¯ R
7.8
R
Teorema de Fubini
Sean R = [a, b] × [c, d] × [e, f ] y f : R −→ R una funci´on acotada e integrable sobre R. Supongamos que para cada x ∈ [a, b] existe la integral ZZ J(x) = f (x, y, z) dy dz donde R1 = [c, d] × [e, f ] R1
Entonces tambi´en existe la integral de J(x) sobre [a, b] y se cumple que ZZZ Z b Z b ZZ f (x, y, z) dx dy dz = J(x) dx = f (x, y, z) dy dz dx R
a
a
R1
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7.9
4
Notaci´ on
Se suele representar Z b ZZ Z b ZZ f (x, y, z) dy dz dx = dx f (x, y, z) dy dz a
a
R1
R1
entendiendo esta u ´ltima expresi´on como que en primer lugar hay que hacer la integral doble de f , respecto de y y z, sobre R1 , y su resultado integrarlo, respecto de x, entre a y b.
7.10
Observaciones
Si aplicamos el teorema de Fubini bidimensional en la integral sobre R1 se obtiene: ZZZ
Z
Z
b
f (x, y, z) dx dy dz =
dx a
R
Z
d
dy c
Z
f
f (x, y, z) dz = e
Z
b
dx a
Z
f
dz e
d
f (x, y, z) dy c
Otras posibles formas de aplicar el teorema (invirtiendo variables) ser´ıan: ZZZ
Z
ZZ
d
f (x, y, z) dx dy dz =
dy c
R
ZZZ
donde R2 = [a, b] × [e, f ]
f (x, y, z) dx dy
donde R3 = [a, b] × [c, d]
R2
Z
ZZ
f
f (x, y, z) dx dy dz =
dz e
R
f (x, y, z) dx dz
R3
pudiendo aplicar despu´es, en ambos casos, el teorema de Fubini bidimensional.
7.11
Integrabilidad de las funciones continuas
Si f : R = [a, b] × [c, d] × [e, f ] −→ R es continua, entonces f es integrable Riemann sobre R.
7.12
Contenido nulo
Sea A ⊂ R3 un conjunto acotado. Se dice que A tiene contenido nulo si para cada ε > 0 existe una familia finita de rect´angulos, {Ri }N i=1 , tales que A⊂
N [ i=1
7.13
Ri
y
N X
V (Ri ) < ε
i=1
Ejemplos
1. Cualquier conjunto plano de contenido nulo tiene contenido nulo en R3 . 2. Un conjunto finito de puntos, una sucesion convergente de puntos y un segmento de recta tienen contenido nulo.
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5
3. El grafo de una funci´on continua, definida sobre un conjunto compacto del plano, tiene contenido nulo. 4. Todo subconjunto de un conjunto de contenido nulo tiene contenido nulo. 5. La uni´on finita de conjuntos de contenido nulo tiene contenido nulo.
7.14
Teorema
Sea f : R = [a, b] × [c, d] × [e, f ] −→ R acotada y sea Df (R) ⊂ R3 el conjunto de discontinuidades de f en R. Entonces, si Df (R) tiene contenido nulo, la funci´on f es integrable Riemann sobre R.
7.15
Integral de Riemann sobre otros recintos acotados
Sea D ⊂ R3 acotado y f : D −→ R una funci´on acotada. Se define ZZZ ZZZ f (x, y, z) dx dy dz = fe(x, y, z) dx dy dz D
R
donde R = [a, b] × [c, d] × [e, f ] es cualquier rect´angulo que contiene a D y ( f (x, y, z) , si (x, y, z) ∈ D fe(x, y, z) = 0 , si (x, y, z) ∈ R \ D
7.16
Propiedades
La integral de Riemann sobre recintos acotados tiene las mismas propiedades de la integral sobre rect´angulos, ya descritas en (7.7), y adem´as ZZZ ZZZ ZZZ f (x, y, z) dx dy dz = f (x, y, z) dx dy dz + f (x, y, z) dx dy dz A∪B
A
B
siempre que A ∩ B tenga contenido nulo.
7.17
Integral de Riemann sobre recintos especiales
1. Un recinto D ⊂ R3 se llama x-seccionable si es de la forma D = {(x, y, z) : a ≤ x ≤ b, (y, z) ∈ Sx } donde Sx , a ≤ x ≤ b, es un recinto acotado de R2 (en el plano Y Z) sobre el que se sabe calcular una integral doble. En este caso, aplicando el teorema de Fubini, se llega a que ZZZ Z b ZZ f (x, y, z) dx dy dz = dx f (x, y, z) dy dz D
a
Sx
Para recintos seccionables respecto de los ejes y o z se procede de forma an´aloga.
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6
2. Un recinto D ⊂ R3 se llama xy-proyectable si es de la forma D = {(x, y, z) : (x, y) ∈ S, ϕ1 (x, y) ≤ z ≤ ϕ2 (x, y)} donde ϕ1 , ϕ2 : S −→ R son funciones continuas con ϕ1 (x, y) ≤ ϕ2 (x, y), para todo (x, y) ∈ S, y S ⊂ R2 es un recinto acotado sobre el que no es dif´ıcil calcular integrales dobles. Aplicando el teorema de Fubini, si f : D −→ R, se tiene que ZZZ ZZ Z ϕ2 (x,y) f (x, y, z) dx dy dz = dx dy f (x, y, z) dz D
ϕ1 (x,y)
S
Para recintos xz-proyectables e yz-proyectables se procede de forma an´aloga.
7.18
Aplicaciones
1. C´ alculo de vol´ umenes: Si D ⊂ R3 , su volumen es ZZZ V (D) = dx dy dz D
2. C´ alculo de masas y centro de gravedad: Si D ⊂ R3 representa a un s´olido tridimensional con densidad puntual ρ(x, y, z) ≥ 0, para cada (x, y, z) ∈ D, entonces la masa de D viene dada por ZZZ m(D) =
ρ(x, y, z) dx dy dz D
y el centro de gravedad de D, (xg , yg , zg ), viene dado por ZZZ ZZZ 1 1 xg = xρ(x, y, z) dx dy dz , yg = yρ(x, y, z) dx dy dz m(D) m(D) D
zg =
1 m(D)
D
ZZZ
zρ(x, y, z) dx dy dz D
7.19
Teorema del Cambio de Variable
Sea D ⊂ R3 compacto y Ω ⊂ R3 un conjunto abierto con D ⊂ Ω. Sea ϕ : Ω −→ R3 , ϕ(u, v, w) = (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)), con derivadas parciales continuas, inyectiva ◦
en D y tal que ϕ−1 : ϕ(D) −→ D tiene derivadas parciales continuas. Entonces, si f ∈ R (ϕ(D)) la funci´on (f ◦ ϕ) · |Jϕ| ∈ R(D) y ZZZ ZZZ f (x, y) dx dy dz = f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) · |Jϕ(u, v, w)| du dv dw ϕ(D)
D
donde Jϕ es el Jacobiano de ϕ, es decir ¯ ∂x ¯ ¯ ∂u ∂(x, y, z) ∂y = ¯¯ ∂u Jϕ(u, v, w) = ∂(u, v, w) ¯ ∂z ∂u
∂x ∂v ∂y ∂v ∂z ∂v
¯
∂x ¯ ∂w ¯ ∂y ¯ ∂w ¯ ∂z ¯ ∂w
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM
7.20
7
Algunos cambios de variable usuales
1. Coordenadas cil´ındricas: Consiste en aplicar coordenadas polares en uno de los planos (por ejemplo XY ) y mantener intacta la otra. Es decir x = ρ cos θ y = ρ sen θ ; |Jϕ| = ρ z=z con 0 ≤ ρ < ∞ y 0 ≤ θ < 2π. 2. Coordenadas esf´ericas: x = ρ cos θ sen ψ y = ρ sen θ sen ψ z = ρ cos ψ con 0 ≤ ρ < ∞, 0 ≤ θ < 2π y 0 ≤ ψ ≤ π.
;
|Jϕ| = ρ2 sen ψ
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM
1
Ejercicios Tema 7: Integral triple de Riemann 1. Hallar
ZZZ
dx dy dz √ 1+x+y+z
R
donde R ¡= [0, 1] × √[0, 1] ×√[0,¢1]. 8 Sol.: 15 31 − 27 3 + 12 2 . 2. Hallar
ZZZ
dx dy dz (1 + x + y + z)3
D
donde D es el tetraedro acotado por los planos x = 0, y = 0, z = 0 y x + y + z = 1. 5 Sol.: ln22 − 16 . 3. Hallar el volumen de una esfera de radio r. Sol.: 43 πr3 . 4. Hallar
ZZZ I=
x dx dy dz D
donde D es la regi´on acotada por los planos x = 0, y = 0, z = 2 y la superficie z = x2 + y 2√ , x, y ≥ 0. Sol.: I = 8152 . 5. Hallar el volumen del recinto interior al cilindro x2 + y 2 = 2x y comprendido entre los planos z = 0 y z = a > 0. Sol.: aπ. 6. Hallar el volumen del recinto limitado por las superficies x2 + y 2 + z 2 = 2rz, r > 0, y x2 + y 2 = z 2 , y que contiene al punto (0, 0, r) en su interior. Sol.: πr3 . 7. Hallar el volumen del recinto limitado por la superficie (x2 + y 2 + z 2 )2 = a3 z, a > 0. 3 Sol.: πa3 . 8. Calcular las siguientes integrales triples: RRR 2 (a) (x + y 2 ) dx dy dz, si D est´ a limitado por x2 + y 2 = 2z y z = 2. D
´ RRR ³ 2 2 2 1/2 (b) 1 − xa2 − yb2 − zc2 dx dy dz, si D es (x/a)2 + (y/b)2 + (z/c)2 ≤ 1. D RRR (4x − y + z) dx dy dz, si D est´ a limitado por x = 0, y = 0, z = 0, x + y = 1 (c) D
y z = 2 − x2 . Sol.: (a)
16π 3 ;
(b)
abcπ 2 4 ;
(c) 53 .
9. Calcular los vol´ umenes de los s´olidos limitados por:
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM
2
(a) (x2 + y 2 + z 2 )2 = 2z(x2 + y 2 ). (b) el plano z = 0 y el cono de v´ertice el punto (0, 0, 1) y que corta al plano z = 0 seg´ un la curva (x − 21 )2 + y 2 = 0.25. π Sol.: (a) 2π 15 ; (b) 12 . p RRR p 10. Hallar |y| dx dy dz, si D = {(x, y, z) : x2 + y 2 ≤ 2x , 0 ≤ z ≤ x2 + y 2 }.
Sol.:
D 5π 7 .
11. Hallar la integral:
ZZZ p
x2 + y 2 dx dy dz
D
donde D es el recinto limitado por la superficie x2 + y 2 = z(1 − z). 2 Sol.: π64 . 12. Hallar la masa y el centro de gravedad de las siguientes regiones limitadas por las superficies descritas, y con la densidad puntual que se indica: (a) z 2 = y 2 (1 − x2 ), y = 1; ρ(x, y, z) = ρ0 . (b) x = 0, y = 0, z = 0, x + z = a > 0, y = z; ρ(x, y, z) = x. (c) z 2 = x2 + y 2 , x2 + y 2 = 2ax; ρ(x, y, z) = x2 + y 2 . ¡ 2 ¢ ¡ 2a a 2a ¢ πρ0 a4 Sol.: ¡ 5a (a) ¢m = 2 y G 0, 3 , 0 ; (b) m = 24 y G 5 , 5 , 5 ; (c) m = G 7 , 0, 0 . 13. Hallar el volumen del s´olido limitado por el plano z = 0, el parabol´oide z = y el cilindro Sol.: 3abπ 2 .
x2 a2
+
y2 b2
=
2x a .
210 a5 75
x2 a2
+
y y2 b2
14. Hallar el volumen del s´olido limitado por la superficie de ecuaci´on (x2 + y 2 + z 2 )2 = a3 x Sol.:
,
a>0
πa3 3 .
15. Calcular la integral
©
donde D = (x, y, z) : Sol.: 13 .
ZZZ
¯ 2 ¯ ¯x − z 2 ¯ dx dy dz
D
x2
+
z2
ª ≤y≤1 .
16. (Febrero 1999) Calcular la integral ZZZ ¡ 2 2 ¢ I= y z + x2 z 2 + x2 y 2 dx dy dz Ω
donde Ω es el recinto acotado entre las superficies de ecuaciones x2 + z 2 = y 2 y x2 + z 2 = 2az, a > 0. 13 ·a7 Sol.: I = 41·2 . 11·9·72 ·5
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3
¢ RRR ¡ 2 2 3/2 dx dy dz, donde V es el 17. (Septiembre 1999) Calcular la integral V x +y recinto limitado por la superficie x2 + y 2 + z 2 = z. 2 Sol.: π29 .
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8 8.1
1
Integrales m´ ultiples impropias Integrales dobles impropias
Una integral doble
ZZ f (x, y) dx dy S
se llama impropia si el recinto S ⊂ R2 no est´a acotado o si la funci´on f : S −→ R no esta acotada. En este caso se considera una sucesi´on creciente de recintos acotados, {Sk }∞ k=1 , que convergan al recinto total S, siendo la funci´on f acotada sobre cada uno de ellos, y se define la integral impropia de f sobre S como ZZ ZZ f (x, y) dx dy = lim f (x, y) dx dy k→∞
S
Sk
siempre que este l´ımite exista y no dependa de la sucesi´on de recintos elegidos (se puede ver que esto es as´ı cuando el signo de f es constante sobre S).
8.2
Integrales triples impropias
Una integral triple
ZZZ f (x, y, z) dx dy dz D
se llama impropia si el recinto D ⊂ R3 no est´a acotado o si la funci´on f : D −→ R no esta acotada. En este caso se considera una sucesi´on creciente de recintos acotados, {Dk }∞ on f acotada sobre cada uno de k=1 , que convergan al recinto total D, siendo la funci´ ellos, y se define la integral impropia de f sobre D como ZZZ ZZZ f (x, y, z) dx dy dz = lim f (x, y, z) dx dy dz k→∞
D
Dk
siempre que este l´ımite exista y no dependa de la sucesi´on de recintos elegidos (se puede ver que esto es as´ı cuando el signo de f es constante sobre D).
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM
1
Ejercicios Tema 8: Integrales m´ ultiples impropias 1. Calcular las siguientes integrales dobles impropias: RR √ dx dy , si S est´a limitado por x2 + y 2 ≤ 1. (a) 1−x2 −y 2
S
(b) I(p) = (c)
RR
dx dy , (x2 +y 2 )p
S RR dx dy , (1+x2 +y 2 )2 por y 2 = 2x.
p > 0, si S est´ a limitado por x2 + y 2 ≥ 1.
extendida a todo el plano y a cada uno de los recintos limitados
Sol.: (a) 2π. (b)
( I(p) =
π p−1
, si p > 1
∞
, si 0 < p ≤ 1
(c) La integral sobre√todo el plano vale π, y sobre los recintos limitados por la π par´abola 2√ y 2 2√2−1 π. 2 2 2. Calcular el ´area del recinto del primer cuadrante comprendida entre el eje OY y la curva ³ y ´r x2 + y 2 = x con 0 < r < 1. Sol.: 4 cosπ πr . 2
3. Hallar el volumen del recinto: Ω = {(x, y, z) : 0 < x2 + 4y 2 ≤ 4 , z 2 ≤ (x2 + 4y 2 ) ln Sol.: 2
¡ 2π ¢3/2 3
4 , z ≥ 0} x2 + 4y 2
.
4. Calcular las siguientes integrales triples impropias: RRR dx dy dz (a) I(p, q, r) = xp y q z r , si D verifica que 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 y D
(b) (c)
p, q, r ∈ R+ . RRR dx dy dz RRR
(x2 +y 2 +z 2 +a2 )2
e−(x
2 +y 2 +z 2 )
, extendida a todo el espacio.
dx dy dz extendida a todo el espacio.
Sol.: (a)
( I(p, q, r) =
1 (1−p)(1−q)(1−r)
, si 0 < p, q, r < 1
∞
, si p ≥ 1, q ≥ 1 ´o r ≥ 1
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM (b)
2
π2 a .
√ (c) π π.
5. Hallar el volumen del cuerpo del primer octante limitado por la superficie r y 2 2 −2z x +y =e x Sol.:
π √ . 4 2
6. Hallar
ZZ xp (y 2 − x)q (a − y)r dx dy S
con a, p, q, r > 0, donde S es el recinto limitado por el eje de ordenadas, la recta y = a y la par´abola x = y 2 . Sol.: a2p+2q+r+3 β(p + 1, q + 1)β(2p + 2q + 3, r + 1).
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9
1
Ecuaciones diferenciales ordinarias. Ecuaciones diferenciales de primer orden en forma normal
9.1
Definici´ on
Se llama ecuaci´ on diferencial ordinaria a cualquier expresi´on de la forma ³ ´ F x, y, y 0 , y 00 , . . . , y (n) = 0 que liga a una variable independiente x con una funci´on de ella y = y(x) (variable dependiente) y sus n, n ≥ 1, primeras derivadas. ´Y ´ de la definici´on hace referencia al hecho de que la funci´on El t´ermino “ordinariaY que aparece depende de una u ´nica variable y no aparecen derivadas parciales. Si en la expresi´on aparece despejada la derivada de orden m´aximo: ³ ´ y (n) = f x, y, y 0 , . . . , y (n−1) se dice que la ecuaci´on diferencial est´a en forma normal o expl´ıcita. En caso contrario se dice que est´a en forma general o impl´ıcita. Se llama orden de la ecuaci´on diferencial al orden mayor de derivada que aparece en la ecuaci´on.
9.2
Definici´ on
Se llama soluci´ on de la ecuaci´on diferencial ³ ´ F x, y, y 0 , y 00 , . . . , y (n) = 0 a cualquier funci´on y = ϕ(x), x ∈ I = (a, b), que tenga derivadas continuas hasta el orden n en I, y que verifique la ecuaci´on: ³ ´ F x, ϕ(x), ϕ0 (x), ϕ00 (x), . . . , ϕ(n) (x) = 0 para todo x ∈ I. Las soluciones pueden darse en forma expl´ıcita, como se indica en la definici´on, pero tambi´en pueden venir dadas en forma impl´ıcita o param´etrica. Resolver una ecuaci´on diferencial es hallar todas sus soluciones.
9.3
El origen de las ecuaciones diferenciales
Existen muchos y variados campos de las Ciencias donde aparecen, y tuvieron su origen, las Ecuaciones Diferenciales. Por ejemplo: 1. Ley de enfriamiento de Newton: La velocidad con que cambia la temperatura T (t) de un cuerpo con respecto al tiempo t es proporcional a la diferencia entre la temperatura T (t) del cuerpo y la temperatura A del medio ambiente. Es decir dT (t) = k (A − T (t)) dt Luego esta ley nos lleva a una ecuaci´on diferencial T 0 = k(A − T ) donde t es la variable independiente y T la dependiente.
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2
2. Din´ amica de poblaciones de Malthus: La velocidad de cambio, con respecto al tiempo t, de una poblaci´on P (t) con ´ındices constantes de nacimientos y mortalidad es proporcional al tama˜ no de la poblaci´on. Es decir P 0 (t) = k · P (t) que es una ecuaci´on diferencial. 3. Problemas geom´ etricos que impliquen condiciones de pendiente o concavidad.
9.4
Ecuaciones de la forma y 0 = f (x)
Se resuelven mediante integraci´on directa. La soluci´on es Z y = f (x) dx = ϕ(x) + c , c∈R donde ϕ es una primitiva de f (ϕ0 = f ).
9.5
Ecuaciones de la forma y (n) = f (x)
Se resuelven mediante n integraciones sucesivas: Z (n−1) y = f (x) dx = ϕ1 (x) + c1 Z (n−2) y = (ϕ1 (x) + c1 ) dx = ϕ2 (x) + c1 x + c2 Z x2 (n−3) y = (ϕ2 (x) + c1 x + c2 ) dx = ϕ3 (x) + c1 + c2 x + c3 2 ... ... y = ϕn (x) + k1 xn−1 + k2 xn−2 + . . . + kn−1 x + kn con ki ∈ R, 1 ≤ i ≤ n.
9.6
Ecuaciones de variables separables
Son aquellas ecuaciones de la forma y 0 = f (x, y) = que se pueden transformar, haciendo y 0 =
dy dx ,
g(x) h(y)
en
h(y) dy = g(x) dx e integrando cada miembro respecto de la variable que all´ı aparece se obtienen las soluciones ϕ(y) = ψ(x) + c , c∈R siendo ϕ(y) primitiva de h(y) (ϕ0 = h) y ψ(x) primitiva de g(x) (ψ 0 = g).
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9.7
3
Ecuaciones aut´ onomas
Son ecuaciones de la forma y 0 = f (y) que son de variables separables y se resuelven como tales.
9.8
Ecuaciones homog´ eneas
Son ecuaciones de la forma y0 = f
³y´ x
y se resuelven mediante el cambio de variable dependiente u(x) = Haciendo el cambio nos queda u0 x + u = f (u)
y(x) x
(es decir y = ux).
de donde se obtiene
du dx = f (u) − u x que es una ecuaci´on de variables separables, que se resuelve como tal y se deshace el cambio.
9.9
Ecuaciones reducibles a homog´ eneas
Son ecuaciones del tipo
µ
ax + by + c y =f Ax + By + C Para su resoluci´on se distinguen tres casos:
¶
0
1. c = C = 0. En este caso la ecuaci´on dada ya es homog´enea, pues µ ¶ µ ¶ ³y´ a + b xy ax + by 0 y =f =f = F Ax + By A + B xy x y se resuelve como tal. 2. c 6= 0 o C 6= 0 y aB − bA 6= 0. Se transforma en una ecuaci´on homog´enea mediante el doble cambio de variables, (x, y) por (X, Y ), dado por ½ x=X +α y =Y +β donde (α, β) es el punto de corte de las rectas ½ ax + by + c = 0 Ax + By + C = 0 Haciendo el cambio queda:
µ ¶ µ ¶ dY dy a(X + α) + b(Y + β) + c aX + bY 0 Y = = =y =f =f dX dx A(X + α) + B(Y + β) + C AX + BY ! Ã µ ¶ Y a + bX Y =F =f Y X A + BX 0
que es una ecuaci´on homog´enea. Se resuelve y se deshace el cambio.
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4
3. c 6= 0 o C 6= 0 y aB − bA = 0. En este caso (A, B) = k(a, b), y haciendo el cambio de variable dependiente u = ax + by se llega a µ ¶ u+c 0 0 u = a + by = a + bf ku + C que es una ecuaci´on de variables separables. Se resuelve como tal y se deshace el cambio.
9.10
Interpretaci´ on geom´ etrica de y 0 = f (x, y)
La ecuaci´on diferencial nos indica, en cada punto (x0 , y0 ), la pendiente que debe tener la soluci´on: y00 = f (x0 , y0 ). Se llama campo de direcciones de la ecuaci´on diferencial a una representaci´ on del plano con indicaci´on, en cada uno de sus puntos (en un entramado suficientemente amplio de ellos), de la pendiente que debe tener la soluci´on. El campo de direcciones nos proporciona una soluci´on gr´afica aproximada de las posibles soluciones de la ecuaci´on diferencial.
9.11
Problema de Cauchy
Una ecuaci´on diferencial tiene, en general, infinitas soluciones. Se llama problema de Cauchy al conjunto formado por una ecuaci´on diferencial y ciertas condiciones que hagan (o que pretendan conseguir) que la soluci´on sea u ´nica. El m´as t´ıpico problema de Cauchy de orden 1 es ½ 0 y = f (x, y) y(x0 ) = y0 donde y(x0 ) = y0 indica que la soluci´on buscada debe pasar por el punto (x0 , y0 ), y de orden n es ¡ ¢ y (n) = f x, y, y 0 , . . . , y (n−1) y(x0 ) = y0 y 0 (x ) = y 0 0 0 · · · ··· y (n−1) (x ) = y (n−1) 0 0
9.12
Teorema de existencia y unicidad
Sea D ⊂ R2 abierto y f : D −→ R una funci´on continua. Entonces, para cada punto (x0 , y0 ) ∈ D, el problema de Cauchy ½ 0 y = f (x, y) y(x0 ) = y0 admite al menos una soluci´on y = ϕ(x), x ∈ I = (a, b) con x0 ∈ I. Si adem´as continua en D, entonces la soluci´on al problema de Cauchy es u ´nica.
∂f ∂y
es
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9.13
5
M´ etodo iterativo de Picard
Es un m´etodo iterativo, que se deriva del teorema anterior, que permite determinar la u ´nica soluci´on y = ϕ(x) de un problema de Cauchy ½ 0 y = f (x, y) y(x0 ) = y0 como l´ımite ϕ(x) = lim ϕn (x) n→∞
de la sucesi´on {ϕn }∞ n=0 definida inductivamente por ϕ0 (x) = y0
Z
ϕn (x) = y0 +
9.14
x
x0
f (t, ϕn−1 (t)) dt ,
n≥1
Familias de curvas y ecuaciones diferenciales
En general, a cada ecuaci´on diferencial de orden n ³ ´ F x, y, y 0 , y 00 , . . . , y (n) = 0 se le puede hacer corresponder una familia n-param´etrica de curvas ϕ (x, y, c1 , c2 , . . . , cn ) = 0 con ci ∈ R, 1 ≤ i ≤ n, que son sus soluciones. As´ımismo, a cada familia n-param´etrica de curvas se le puede asociar una ecuaci´on diferencial de orden n que se obtiene derivando n veces (hasta el orden n) la ecuaci´on de la familia de curvas y eliminando despu´es los n par´ametros entre las n + 1 ecuaciones obtenidas.
9.15
Trayectorias ortogonales.
θ-trayectorias
Dada una familia uniparam´etrica de curvas ϕ(x, y, c) = 0, c ∈ R, se llaman θ-trayectorias a la familia ψθ (x, y, c) = 0, c ∈ R, de curvas que verifica que el ´angulo de corte de cada curva de ϕ con cada curva de ψθ es θ. En el caso de θ = π/2 las trayectorias se llaman ortogonales. Si F (x, y, y 0 ) = 0 es la ecuaci´on diferencial asociada a la familia ϕ(x, y, c) = 0, entonces la familia de θ-trayectorias ψθ (x, y, c) = 0 son las soluciones de la ecuaci´on diferencial ³ ´ θ π F x, y, y0 −tan 0 1+y´ tan θ = 0 , si θ 6= 2 ³ F x, y, −10 = 0 , si θ = π2 y
9.16
Ecuaci´ on lineal homog´ enea
Es la ecuaci´on de la forma a(x)y 0 + b(x)y = 0 que es una ecuaci´on de variables separables, se resuelve como tal y su soluci´on general es y = k · ϕ(x) ,
k∈R
con ϕ(x) una soluci´on particular arbitraria no nula.
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9.17
6
Ecuaci´ on lineal completa
Es la ecuaci´on de la forma a(x)y 0 + b(x)y = p(x) M´ etodo de resoluci´ on: 1. Resolver la ecuaci´on homog´enea asociada a(x)y 0 + b(x)y = 0 cuya soluci´on es y = kϕ(x), k ∈ R. 2. Aplicar el m´ etodo de variaci´ on de las constantes imponiendo que la soluci´on de la ecuaci´on completa es de la forma y = k(x)ϕ(x), con lo que se llega sustituyendo a £ ¤ a(x) k 0 (x)ϕ(x) + k(x)ϕ0 (x) + b(x)k(x)ϕ(x) = p(x) de donde se llega a que k 0 (x) = y por tanto
Z k(x) =
p(x) a(x)ϕ(x)
p(x) dx = ψ(x) + k a(x)ϕ(x)
,
k∈R
3. La soluci´on de la ecuaci´on lineal completa es y = (ψ(x) + k) ϕ(x) = ψ(x)ϕ(x) + kϕ(x) ,
9.18
k∈R
Ecuaci´ on de Bernouilli
Es la ecuaci´on de la forma a(x)y 0 + b(x)y = p(x)y n con p(x) 6≡ 0, n 6= 0 y n 6= 1. Se resuelve mediante el cambio de variable dependiente z = y 1−n que la transforma en una ecuaci´on lineal. Si n > 0, no olvidar a˜ nadir la soluci´on y = 0 que se pierde en la resoluci´on de la ecuaci´on.
9.19
Ecuaci´ on de Riccati
Es la ecuaci´on de la forma a(x)y 0 + b(x)y + c(x)y 2 = p(x) con c(x) 6≡ 0 y p(x) 6≡ 0. Para resolverla es necesario conocer previamente una soluci´on particular no nula y = ϕ(x). A partir de ella hay dos posibilidades de resoluci´on: 1. Hacer el cambio de variable dependiente y = ϕ(x) + z que la transforma en una ecuaci´on de Bernouilli de orden n = 2.
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7
2. Hacer el cambio de variable dependiente y = ϕ(x) +
1 u
que la transforma en una ecuaci´on lineal. No olvidar a˜ nadir la soluci´on y = ϕ(x) que se pierde en la resoluci´on de la ecuaci´on.
9.20
Definici´ on
Toda ecuaci´on diferencial de orden 1 en forma normal, y 0 = f (x, y), se puede transformar (sustituyendo y 0 por dy/dx) en dy = f (x, y) dx, que operando y simplificando nos llevar´ a a una ecuaci´on del tipo P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 que se llama forma diferencial de la ecuaci´on.
9.21
Ecuaciones diferenciales exactas
Una ecuaci´ on diferencial P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 se llama exacta si existe una funci´on U : D −→ R, D ⊂ R2 un dominio (abierto y conexo), continua y con derivadas parciales continuas en D, tal que ∂U = P (x, y) ∂x
∂U = Q(x, y) ∂y
y
La soluci´on de la ecuaci´on diferencial exacta viene dada por U (x, y) = k
9.22
,
k∈R
Observaciones
Recordando la secci´on 4, la ecuaci´on P dx + Q dy = 0 es exacta si y s´olo si la funci´on vectorial F = (P, Q) admite funci´on potencial, lo que es equivalente, en un dominio D ⊂ R2 simplemente conexo, a que ∂P ∂Q = ∂y ∂x
en
D
La funci´on potencial es la funci´on U del apartado anterior.
9.23
Factor integrante
Dada una ecuaci´on diferencial no exacta P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0, llamaremos factor integrante a cualquier funci´on µ = µ(x, y) no nula tal que la ecuaci´on P (x, y)µ(x, y) dx + Q(x, y)µ(x, y) dy = 0 sea diferencial exacta.
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8
Cualquier ecuaci´on diferencial de orden 1 en forma normal se podr´ıa resolver siempre que se sepa obtener un factor integrante ya que, en este caso, se multiplicar´ıa la ecuaci´on por ´el y se resolver´ıa. La condici´on para que µ = µ(x, y) sea factor integrante es que ∂(P µ) ∂(Qµ) = ∂y ∂x en un dominio simplemente conexo D ⊂ R2 , que se puede transformar en ∂P ∂µ ∂Q ∂µ µ+P = µ+Q ∂y ∂y ∂x ∂x que es una ecuaci´on diferencial en derivadas parciales (la inc´ognita es la funci´on µ) mucho m´as dif´ıcil de resolver, en general, que la ecuaci´on original. Sin embargo puede resolverse, de forma m´as sencilla, bajo ciertas hip´otesis adicionales como que µ = µ(x) ; µ = µ(y) ; µ = µ(x + y) ; µ = µ(xn y m ) ; . . .
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Ejercicios Tema 9: Ecuaciones diferenciales ordinarias. Ecuaciones diferenciales de primer orden en forma normal 1 1. Comprobar que todas las funciones de la familia y = c−x , c ∈ R, son soluciones de 0 2 la ecuaci´on diferencial y = y . ¿Existe alguna otra soluci´on?. Dibujarlas y sacar conclusiones. Sol.: Si, la soluci´on y = 0. Conclusi´on: Por cada punto del plano pasa una u ´nica soluci´on.
2. Comprobar que todas las funciones de la familia y = ceax , c ∈ R, son soluciones de la ecuaci´on diferencial y 0 = ay, a 6= 0. ¿Existe alguna otra soluci´on?. Dibujarlas y sacar conclusiones. Sol.: No. Conclusi´on: Por cada punto del plano pasa una u ´nica soluci´on. 3. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: (a) y 0 = y (1+y2 )x (b) y 0 = y (c) y 0 = 2xy 2 2
Sol.: (a) y = k · ex , k ∈ R. (b) 1 + y 2 = kex , k > 0. (c) y =
−1 , x2 +c
c ∈ R; e y = 0.
4. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales homog´eneas: (a) x(x − y)y 0 + y 2 = 0 (b) x2 y 0 = y(x + y) (c)
y−xy 0 x+yy 0
=2 y
Sol.: (a) y = k ·e x , k ∈ R. (b) y = k > 0.
x c−ln|x| ,
y
c ∈ R; e y = 0. (c) x2 +y 2 = k ·e− arctan x ,
5. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales reducibles a homog´eneas: (a) y 0 = (b) y 0 =
y−x−1 x+y−1 x+y+1 x+y−1
(c) yy 0 = 4x + 3y − 2 (d) (2x + y + 5)y 0 = 3x + 6 p y−1 Sol.: (a) x2¡ + (y − 1)2¢ = k · e− arctan x , k 6= 0. (b) x + y = k · e−x+y , k ∈ R. (c) (y − 4x + 2)4 y + x − 12 = k, k ∈ R. (d) (y − x − 1)3 (y + 3x + 7) = k, k ∈ R. 6. Representar los campos de direcciones de las ecuaciones diferenciales: (a) y 0 = y (b) yy 0 = −x
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indicando la posible representaci´ on gr´afica de sus soluciones. Sol.: (a) y = k · ex , 2 2 k ∈ R. (b) x + y = k, k > 0. 7. Estudiar la existencia y unicidad de soluciones para los problemas de Cauchy ½ 0 ½ 0 2 y = y 2/3 y = e−x (a) (b) y(0) = 0 y(0) = 0 Sol.: (a) Existe soluci´on y es u ´nica: y = (b) Existe soluci´on pero no es u ´nica: y =
Rx
−t2 dt. 0 e 3 x 27 e y = 0.
8. Hallar el conjunto abierto donde la ecuaci´on diferencial y 0 cos y +x+sen y = 0 admite soluci´on y © es u ´nica. ª Sol.: Ω = (x, y) : y 6= π2 + kπ, k ∈ Z . 9. Aplicar el m´etodo iterativo de Picard para resolver el problema de Cauchy ½ 0 y =y y(0) = 1 Sol.: ϕn (x) =
Pn
xk k=0 k!
−→n→∞ ex .
10. Hallar las ecuaciones diferenciales asociadas a las familias de curvas (a) y = cx, c ∈ R. (b) y = ax + bex , a, b ∈ R. Sol.: (a) y = y 0 x. (b) (1 − x)y 00 + xy 0 − y = 0. 11. Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas y = cx, c ∈ R. Hallar tambi´en las θ-trayectorias, para θ 6= π2 . Sol.: Trayectorias ortogonales: x2 + y 2 = c, c > 0. y 2 θ-trayectorias: x2 + y 2 = k · e tan θ ·arctan x , k > 0. 12. Si la temperatura del aire es de 20◦ C, y un cuerpo disminuye su temperatura de 100◦ C a 60◦ C en 20 minutos, ¿en cu´anto tiempo disminuir´ a su temperatura a 30◦ C?. Sol.: 1 hora. 13. Est´a nevando con regularidad. A las 12:00 sale una m´aquina quitanieves que recorre en la primera hora 2 Km. y en la segunda 1 Km. ¿A qu´e hora empez´o a nevar? Nota: Se admitir´a como hip´otesis que la cantidad de nieve quitada por la m´aquina en unidad de tiempo es uniforme, de modo que su velocidad de avance es inversamente proporcional a la altura de nieve encontrada. La altura encontrada es proporcional al tiempo que lleva nevando. Sol.: 11h 220 5500 . 14. Resolver la ecuaci´o³n diferencial´ lineal (x + 1)y 0 − 2y = (x + 1)4 . 2 Sol.: y = (x + 1)2 x2 + x + c , c ∈ R. 15. Resolver las siguientes ecuaci´ones diferenciales de Bernouilli:
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(a) y 0 + xy = x3 y 3 (b) xy 0 + y = y 2 ln x Sol.: (a)
1 y2
2
= x2 + 1 + c · ex , c ∈ R; e y = 0. (b)
1 y
= ln x + 1 + kx, k ∈ R; e y = 0.
16. Resolver ecuaci´on diferencial (de Riccati): ¡ ¢ 1 + x3 y 0 + 2xy 2 + x2 y + 1 = 0 sabiendo que admite una soluci´on particular de la forma y = ax + b. 3 − x, c ∈ R; e y = −x. Sol.: y = 1+x x2 +c 17. Resolver la ecuaci´on diferencial exacta: (2x + ey ) dx + xey dy = 0 y hallar la soluci´on particular que pasa por el punto √ ¡ (1, 0). ¢ Sol.: x2 + xey = k, k ∈ R. Sol. particular: y = ln x2 − x en (0, 2). 18. Estudiar si la ecuaci´on diferencial y(xy + 1) dx − x dy = 0 es exacta. Comprobarlo tambi´en despu´es de multiplicarla por y −2 . Resolverla y sacar conclusiones. 2 Sol.: xy + x2 = k, k ∈ R; e y = 0. 19. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales sabiendo que admiten un factor integrante del tipo que se indica: ¡ ¢ µ(x, y) = µ(x). (a) y dx + x2 y − x dy = 0; ¡ 2 2 ¢ ¡ 2 2 ¢ (b) y x y + xy dx + x x y − 1 dy = 0; µ(x, y) = µ(xy). ¡ 2 ¢ ¡ ¢ 2 (c) y x + y dx + x (x dy − y dx) = 0; µ(x, y) = x−3 ϕ xy . Sol.: (a) µ(x, y) = (b) µ(x, y) = (c) µ(x, y) =
y 1 . y2 2 − x = c, c ∈ R. x2 1 xy(xy+1) . xy − ln |y| = k, k ∈ 1 . x2 + y 2 = ky 2 e2x , k y(x2 +y 2 )
R; y = 0; y xy + 1 = 0. > 0.
20. Estudiar los dominios de existencia y unicidad de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales: p √ (a) y 0 1 − x + 1 − y 2 = 0. (b) y 0 =
√
√ 3
y . x2 −1
(c) y 0 = |y|. 2
2
−y (d) (x − 1)y 0 = xsen x + √ 1−(x2 +y 2 ) (e) y 0 = . x
√ 3 y − x + |y|.
(f) (x + 7)y 0 = ln(y + 1) +
p |x| − y.
Sol.: (a) D = {(x, y) : x < 1, |y| < 1}. (b) D = {(x, y) : |x| > 1, y 6= 0}. (c) D = ©{(x, y) : y 6= 0}. (d) D = ª{(x, y) : x 6= 1, x 6= kπ, k ∈ Z, y 6= 0, y 6= x}. (e) D = (x, y) : x2 + y 2 < 1, x 6= 0 . (f) D = {(x, y) : y > −1, x 6= −7, y < |x|}.
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21. Estudiar los dominios de existencia y unicidad de la ecuaci´on diferencial y 0 = x + y, y hallar por el m´etodo iterativo de Picard la soluci´on al problema: ½ 0 y =x+y y(0) = 1 Sol.: R2 . y = 2ex − x − 1. 22. Dada la ecuaci´on y 0 = xy + (x − 1)ϕ(x) + 7, ϕ ∈ C(−∞, ∞), hallar la intersecci´ on de las rectas tangentes en (1, 0) y (1, 1) a las soluciones que pasan por esos puntos. Sol.: (0, −7). 23. Hallar la curva que pasa por (1, 3) y es ortogonal a todas las rectas que pasan por el punto (−1, 1). Sol.: (x + 1)2 + (y − 1)2 = 8. 24. Estudiar los dominios de existencia y unicidad de la ecuaci´on diferencial y 0 = y|y|. Hallar las soluciones particulares que pasan por los puntos (0, 1) y (1, 0). 1 Sol.: R2 . y = 1−x e y = 0. 25. Encontrar la soluci´on exacta del problema de Cauchy: ½ 0 y = 2x(1 + y) y(0) = 0 Aplicar el m´etodo de Picard para hallar las cuatro primeras aproximaciones a la soluci´on, y comparar con la soluci´on exacta. 2 Sol.: y = ex − 1. 26. Encontrar la familia de curvas ortogonales a cada una de las siguientes familias de curvas: (a) xy = c. (b) y = cx2 . (c) y = cex . Sol.: (a) x2 − y 2 = k, k ∈ R. (b) x2 + 2y 2 = k, k > 0. (c) y 2 + 2x = k, k ∈ R. 27. Los puntos medios de los segmentos de tangente a una curva comprendidos entre el punto de contacto y el eje OX describen la par´abola y 2 = 2x. Hallar la curva, sabiendo que pasa por el punto (1, 2). Sol.: x = 1+ln 2−ln|y| y2 . 4 28. Si la poblaci´on de un pa´ıs se duplica en 50 a˜ nos, ¿en cu´antos a˜ nos ser´a triple suponiendo que la velocidad de crecimiento es proporcional al n´ umero de habitantes?. Sol.: 50lnln2 3 ≈ 79, 25 a˜ nos. 29. Obt´engase la familia de curvas ortogonales a cada una de las siguientes familias: (a) y(cx + 1) = x. (b) x2 + (y − c)2 = c2 .
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Sol.: (a) x3 + y 3 = c, c ∈ R. (b) (x − c)2 + y 2 = c2 , c 6= 0. 30. Demostrar que: (a) la ecuaci´on y 0 = f (ax + by + c) se reduce a una ecuaci´on de variables separables mediante el cambio de variable dependiente z = ax + by + c. ax+by+c (b) la ecuaci´on y 0 = F ( dx+ey+f ) se reduce a una ecuaci´on homog´enea mediante el cambio de variables u = ax + by + c y v = dx + ey + f , siempre que ae 6= bd. Examinar el caso ae = bd.
(c) Aplicar los dos apartados anteriores a la resoluci´on de las ecuaciones diferenciales: i. ii. iii. iv.
y 0 = (x + y)2 . y 0 = sen2 (x − y + 1). (x + y)y 0 = 2y − 1. (y + x + 1) dx + (2y + 2x + 1) dy = 0.
Sol.: (i) y = tan(x+c)−x, c ∈ R. (ii) tan(x−y+1) = x+c, c ∈ R; y x−y+1 = π2 +kπ, k ∈ Z. (iii) (x − y + 1)2 = c(2y − 1), c ∈ R; y 2y − 1 = 0. (iv) x + y = ce−x−2y , c ∈ R. 31. Resolver la ecuaci´on: [sen(x + 2y) + 3x cos(x + 2y)] dx + 6x cos(x + 2y) dy = 0 sabiendo que admite un factor integrante de la forma senn (x + 2y), n ∈ N. Sol.: µ(x, y) = sen2 (x + 2y). x sen3 (x + 2y) = k, k ∈ R. 32. Supongamos que para la funci´on F (x, y, y 0 ) existen unos valores reales de k y m tales que F (tx, tk y, tk−1 y 0 ) = tm · F (x, y, y 0 ) Demostrar que en tal caso la ecuaci´on diferencial F (x, y, y 0 ) = 0 se reduce a una ecuaci´on homog´enea mediante el cambio de variable dependiente y = z k . Aplicar lo anterior a la resoluci´on de las ecuaciones diferenciales: √ (a) x2 y 0 = 2y(x + y). ³ p ´ (b) 3x2 y 0 = 2y x − y 3 . Sol.: (a) y =
x2 , (ln|x|+c)2
³ c ∈ R; e y = 0. (b) y =
x ln|x|+c
´2 3
, c ∈ R; e y = 0.
33. Hallar la condici´on para que la ecuaci´on diferencial P (x, y) dx+Q(x, y) dy = 0 admita un factor integrante de la forma µ(x, y) = f (xm y n ), m, n ∈ N. Aplicarlo a resolver: ¡ ¢ y dx − x y 2 + ln x dy = 0 Sol.: µ(x, y) =
1 . lnyx xy 2
− y = c, c ∈ R; e y = 0.
34. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: (a) (2xy 2 − 3x3 ) dx + (2yx2 + 2y − 1) dy = 0.
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¡ √ ¢ (b) x2 y 0 = 2y x + y . √ (c) x = (xy 0 + y) 1 + x2 . (d) (3xy + y 2 ) dx + (3xy + x2 ) dy = 0. (e) x2 dt − (tx + t3 ) dx = 0. (f) (x2 + y 2 + x) dx + y dy = 0. Sol.: (a) x2 y 2 − 43 x4 + y 2 − y = c, c ∈ R. (b) y = √ 2 y = c+ x1+x , c ∈ R. (d) x2 + y 2 = ce−2x , c > 0.
xy(x + y) = c, c ∈ R. (e)
x2 , c ∈ R; e y = 0. (ln|x|+c)2 1 = c−2x , c ∈ R; y t = 0. t2 x2
(c) (f)
35. Dada la ecuaci´on yP (x, y) dx + xQ(x, y) dy = 0, donde P y Q son funciones de xy, demostrar que 1 µ(x, y) = (P − Q)xy es un factor integrante. Aplicar lo anterior a la resoluci´on de la ecuaci´on diferencial: y(x2 y 2 + xy) dx + x(x2 y 2 − 1) dy = 0 Sol.: µ(x, y) =
1 xy(xy+1) .
xy − ln |y| = k, k ∈ R; y = 0 y xy + 1 = 0.
36. Resolver la ecuaci´on diferencial: (2x3 + 3x2 y − y 3 ) dx + (2y 3 + 3xy 2 − x3 ) dy = 0 sabiendo que admite un factor integrante del tipo µ(x, y) = f (x + y). 1 2 2 Sol.: µ(x, y) = (x+y) 2 . x + y − xy = c, c ∈ R; e y = −x. 37. Resolver la ecuaci´on diferencial: (x + 2)ex cos y dx − (x + 5)ex sen y dy = 0 sabiendo que admite un factor integrante de la forma µ(x, y) = f (x). ex cos y 1 Sol.: µ(x, y) = (x+5) 4 . (x+5)3 = c, c ∈ R. 38. Detallar el conjunto de condiciones que se han de verificar para que la ecuaci´on P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 admita un factor integrante de la forma µ(x, y) = ϕ(xe−y ). Aplicar lo anterior a la resoluci´on de la ecuaci´on: µ ¶ ³y ´ x 1 2e + 1 dx + 2 ey − ex dy = 0 x x Sol.: µ(x, y) = xe−y . y 2 + 2xex−y = k, k ∈ R. 39. Resolver la ecuaci´on: (− cos x sen2 y − sen y) dx + cos y dy = 0 sabiendo que admite un factor integrante de la forma µ(x, y) = β(x) sen−2 y. ´ ³ x x Sol.: µ(x, y) = sene 2 y . sen1 y + sen x+cos ex = c, c ∈ R; e y = kπ, k ∈ Z. 2
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40. Resolver la ecuaci´on: (y ln y + yex ) dx + (x + y cos y) dy = 0 sabiendo que admite un factor integrante que depende de una u ´nica variable. Sol.: µ(x, y) = y1 . x ln y + ex + sen y = k, k ∈ R; e y = 0. 41. Sabiendo que µ(x, y) = 3xy 2 es un factor integrante de la ecuaci´on: µ ¶ x 1 − dx + Q(y) dy = 0 y 2 xy se pide: (a) Determinar Q(y). (b) Resolver la ecuaci´on resultante. Sol.: (a) Q(y) = −y −2 . (b) x3 − 3xy = k, k ∈ R. 42. Integrar la ecuaci´on diferencial (x2 − y 2 ) dx + 2xy dy = 0 sabiendo que admite un factor integrante de la forma µ(x, y) = x−1 f (x2 + y 2 ). Sol.: µ(x, y == x(x21+y2 ) . x2 + y 2 = kx, k 6= 0. 43. La velocidad de crecimiento de una poblaci´on es proporcional a la poblaci´on en cada instante. En cierto cultivo de bacterias, el n´ umero de estas se ha sextuplicado en 10 horas. ¿Qu´e tiempo tard´o la poblaci´on en duplicar su n´ umero inicial?. 10 ln 2 Sol.: ln 6 ≈ 3, 8685 horas. on sobre el eje OX de la 44. Encontrar la curva o curvas que verifican que la proyecci´ parte de la tangente entre (x, y) y el eje OX tiene longitud 1. Sol.: y = ke±x , k 6= 0. 45. Una curva pasa del origen al primer cuadrante. El ´area bajo la curva de (0, 0) a (x, y) es un tercio del ´area del rect´angulo que, con lados paralelos a los ejes, tiene esos puntos como v´ertices opuestos. Encontrar la ecuaci´on de la curva. Sol.: y = kx2 , k > 0. 46. Hallar la soluci´on general de la ecuaci´on: y y0 + = sen x x+1 Encontrar la soluci´on particular que pasa por el punto ( π2 , 1) y decir cu´al es su dominio de definici´on. π +sen x x 2 Sol.: y = c+sen x+1 − cos x, c ∈ R. y = x+1 − cos x, definida en (−1, +∞). 47. Resolver el siguiente problema de Cauchy: ½ 0 y + y = 2 sen x y(0) = 1 Sol.: y = sen x − cos x + 2e−x .
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48. Dada la ecuaci´on diferencial µ ¶ 10 2 6xy dx + 4x + dy = 0 x se pide: (a) Determinar un factor integrante de la forma µ(x, y) = yβ(x). (b) Hallar todas sus soluciones. ¡ ¢ Sol.: (a) µ(x, y) = xy. (b) y 2 2x3 + 5 = c, c ∈ R. 49. Hallar todas las soluciones de la ecuaci´on diferencial: (x2 + y 2 + x) dx + xy dy = 0 sabiendo que admite ¡un factor integrante que depende de una u ´nica variable. ¢ Sol.: µ(x, y) = x. x2 3x2 + 4x + 6y 2 = c, c ∈ R. 50. Dada la ecuaci´on diferencial: xy 0 =
p
x2 − y 2 + y
se pide: (a) Determinar los dominios de existencia y unicidad de soluciones. (b) Hallar todas sus soluciones. (c) Resolver el problema de Cauchy: p ½ xy 0 = x2 − y 2 + y y(eπ ) = 0 Sol.: (a) D = {(x, y) : |x| > |y|}. (b) y = x sen(c + ln |x|), c ∈ R; e y = ±x. (c) y = x sen(ln x − π). 51. Dada la ecuaci´on diferencial (x2 − 1)y 0 + xy(1 − y) = 0 se pide: (a) Determinar los dominios del plano donde se puede asegurar existencia y unicidad de soluciones. (b) Hallar todas sus soluciones.
√ (c) Hallar las soluciones que pasan por los puntos (1, 1), (1, 2) y ( 2, 1/2).
Sol.: (a) D = {(x, y) : x 6= ±1} √1 2 , c ∈ R; e y = 0. (b) y = 1+c
|x −1|
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√1 2 , c ∈ R. Por √|x −1| el punto (1, 2) no pasa ninguna soluci´on. Por el punto ( 2, 12 ) pasa la u ´nica soluci´on: y = √1 2 .
(c) Por el punto (1, 1) pasan infinitas soluciones: y =
1+
1+c
|x −1|
52. La aceleraci´on de un cierto autom´ovil deportivo es, en cada instante, proporcional a la diferencia entre 250 Km/h y la velocidad que lleva. Sabiendo que el autom´ovil pasa del reposo a la velocidad de 100 Km/h en 10 segundos, ¿cu´anto tiempo necesitar´a para pasar del reposo a 200 Km/h?. − ln 5 Sol.: 360 ≈ 31, 5 segundos. ln 3 5
53. Dada la ecuaci´on diferencial x2 y 0 + 2xy − y 3 = 0 se pide: (a) Determinar los dominios del plano donde se puede asegurar existencia y unicidad de soluciones. (b) Hallar todas sus soluciones. (c) Hallar las soluciones que pasan por los puntos (0, 0), (1, 0) y (1, 1). Sol.: (a) D = {(x, y) : x 6= 0} q 5x (b) y = ± 2+5cx 5 , c ∈ R; e y = 0. (c) Por el punto (0, 0) pasan todas las soluciones de la ecuaci´on. Por el punto (1, 0)qpasa la u ´nica soluci´on y = 0. Por el punto (1, 1) pasa la u ´nica soluci´on: y=
5x . 2+3x5
54. (Febrero 1999) Resolver la ecuaci´on diferencial µ −y ¶ e 3 + 2x y dx + x4 (1 + y) dy = 0 x sabiendo que admite un factor integrante de la forma µ(x, y) = x−2 f (y). Sol.: µ(x, y) = x−2 ey , y la soluci´on es: 2x2 yey − x−2 = c, c ∈ R. 55. (Febrero 1999) Determinar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas (x + y)2 = kx2 , k > 0. Sol.: x2 + y 2 = c, c ∈ R.
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10 10.1
1
Ecuaciones diferenciales de primer orden en forma impl´ıcita Definici´ on
Son ecuaciones diferenciales de la forma F (x, y, y 0 ) = 0 donde no se puede despejar y 0 de forma un´ıvoca.
10.2
Ecuaciones resolubles en y 0
Son ecuaciones de la forma F (x, y, y 0 ) = 0 donde, aunque no de forma un´ıvoca, se puede despejar y 0 . Es decir, que despejando y 0 nos queda y 0 = f1 (x, y) y 0 = f2 (x, y) ... ... 0
y = fN (x, y) En este caso se resuelve cada una de estas ecuaciones diferenciales (por los m´etodos dados en la secci´on 9), cuyas soluciones ser´an ϕ1 (x, y, c) = 0
;
c∈R
ϕ2 (x, y, c) = 0
;
c∈R
;
c∈R
... ... ϕN (x, y, c) = 0
y el conjunto de todas ellas forman la soluci´on general de la ecuaci´on dada. Es decir, la soluci´on general de la ecuaci´on F (x, y, y 0 ) = 0 ser´a ϕ1 (x, y, c1 ) · ϕ2 (x, y, c2 ) · . . . · ϕN (x, y, cN ) = 0
10.3
;
ci ∈ R , 1 ≤ i ≤ N
M´ etodo general: Parametrizaci´ on
El m´etodo general para resolver la ecuaci´on diferencial F (x, y, y 0 ) = 0 es el siguiente: 1. Hacer y 0 = p y parametrizar la ecuaci´on: x = ϕ(u, v) F (x, y, p) = 0 =⇒ y = ψ(u, v) p = χ(u, v) 2. Desarrollar p = y 0 = dy/dx (es decir dy = p dx) en funci´on de u y v, con lo que nos queda µ ¶ ∂ψ ∂ψ ∂ϕ ∂ϕ du + dv = χ(u, v) · du + dv ∂u ∂v ∂u ∂v con lo que nos queda una ecuaci´on diferencial de primer orden en forma diferencial (que es tambi´en forma normal) en u y v.
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2
3. Se resuelve la ecuaci´on diferencial obtenida y su soluci´on ser´a W (u, v, c) = 0
;
c∈R
4. La soluci´on general de la ecuaci´on F (x, y, y 0 ) = 0, en forma param´etrica, es x = ϕ(u, v) ; c∈R y = ψ(u, v) W (u, v, c) = 0 Nota: Eliminando los par´ametros se puede llegar a una expresi´on del tipo Φ(x, y, c) = 0
10.4
;
c∈R
Observaci´ on
Si se puede despejar en F (x, y, y 0 ) = 0 alguna de las variables (x, y o y 0 ) de forma un´ıvoca, una parametrizaci´on de la ecuaci´on ser´ıa, seg´ un el caso, la siguiente: 1. Si se puede despejar x = ϕ(y, y 0 ), y haciendo y 0 = p, una parametrizaci´on ser´ıa x = ϕ(u, v) y=u p=v 2. Si se puede despejar y = ψ(x, y 0 ), y haciendo y 0 = p, una parametrizaci´on ser´ıa x = u y = ψ(u, v) p=v 3. Si se puede despejar y 0 = χ(x, y), y haciendo y 0 = p, una parametrizaci´on ser´ıa x = u y=v p = χ(u, v) aunque en este caso, si es posible, se resolver´ıa por los m´etodos de la secci´on 9.
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1
Ejercicios Tema 10: Ecuaciones diferenciales de primer orden en forma impl´ıcita 1. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: (a) x2 y 02 + xyy 0 − 6y 2 = 0. (b) xy 02 + (y − 1 − x2 )y 0 − x(y − 1) = 0. ¡ ¢¡ ¢ ¡ Sol.: (a) y − cx2 y − xc3 = 0, c ∈ R. (b) (x2 − 2y + c) y −
c x
¢ − 1 = 0, c ∈ R.
2. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: (a) yy 02 + 2xy 0 − y = 0. ¡ ¢ (b) 4x = yy 0 y 02 − 3 . (c) y 03 − 4xyy 0 + 8y 2 = 0. Sol.: ( (a)
√ ±2 1−kx k
y= y=0
, k>0 ½ (c)
4x = uv(v 2 − 3) y=u (b) ; c ∈ R. 10 2 6 2 9 u (v + 1) (v − 4) = c y = c(x − c)2 , c ∈ R 3 y = 4x 27
3. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: (a) xy 02 + y 03 − y = 0. (b) 2xy 0 − y 02 − y = 0. p (c) xy 0 − y + a 1 − y 02 = 0. p (d) x = y 0 1 + y 02 . Sol.: ) ( v 2 (2v−3)+c x = 2(v−1)2 , c∈R 2 (x + v) y = v (a) y=0 y =x+1 ) ( √ av x = 2 1−v √ 2 y = √av + a 1 − v2 2 1−v (c) √ y = kx + a 1 − k 2 , k ∈ [−1, 1] y = kx , k ∈ R
½ x= (b) y= y=0
½ (d)
2v c 3 + v2 2c 4v 2 3 + v
¾ − v2
, c∈R
√ x = v 1 + v2 √ y = 13 (2v 2 − 1) 1 + v 2 + c
; c∈R
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM
11 11.1
1
Ecuaciones diferenciales generales de orden superior ¢ ¡ Ecuaciones diferenciales del tipo F x, y (k) , y (k+1) = 0, k ≥ 1
M´ etodo de resoluci´ on: 1. Hacer el cambio de variable dependiente z(x) = y (k) (x), con lo que se llega a F (x, z, z 0 ) = 0 2. Resolver esta ecuaci´on y expresar su soluci´on en forma expl´ıcita: z = ϕ(x, c) ;
c∈R
3. Deshacer el cambio: y (k) = ϕ(x, c) ;
c∈R
4. Integrar k veces hasta llegar a una expresi´on del tipo y = ψ(x, ck+1 ) + c1 xk−1 + c2 xk−2 + . . . + ck−1 x + ck con ci ∈ R, 1 ≤ i ≤ k + 1, que ser´a la soluci´on de la ecuaci´on diferencial dada.
11.2
Ecuaciones diferenciales del tipo F (y, y 0 , y 00 ) = 0
M´ etodo de resoluci´ on: 1. Hacer el cambio y 0 = z(y) con lo que y 00 =
dy 0 dz(y) dz(y) dy = = · = z 0 (y)y 0 = z 0 z dx dx dy dx
y sustituyendo se obtiene F (y, z, z 0 z) = 0 que es una ecuaci´on diferencial con variable independiente y y variable dependiente z. 2. Resolver esta ecuaci´on diferencial para obtener como soluci´on ϕ(y, z, c) = 0 ;
c∈R
3. Deshacer el cambio para obtener ϕ(y, y 0 , c) = 0
;
c∈R
4. Resolver esta ecuaci´on diferencial y su soluci´on ψ(x, y, c1 , c2 ) = 0 ; ser´a la soluci´on general de la ecuaci´on dada.
c1 , c2 ∈ R
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1
Ejercicios Tema 11: Ecuaciones diferenciales generales de orden superior 1. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: (a) xy 000 − y 00 = 0. (b) y 00 = y 03 ln y. Sol.: (a) y = ax3 + bx + c, a, b, c ∈ R. (b) y 2 (3 − 2 ln y) + ay + b = 4x, a, b ∈ R. 2. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: 0
(a) xy 00 = y 0 ln yx . (b) yy 00 − y 02 = 0. (c) yy 00 = y 2 y 0 + y 02 . Sol.: ( (a)
y= y=
ex2 2 +c, c∈R c1 x−1 1+c1 x e + c2 c21
½ (c)
, c1 6= 0 , c2 ∈ R
y= y=
1 k−x , k c 1+ke−cx
(b) y = kecx , k, c ∈ R
∈R , c, k ∈ R
3. Usando la soluci´on obtenida en (2-c), resolver el problema de Cauchy 00 2 0 02 yy = y y + y y(0) = −1 2 0 y (0) = 1 Sol.: y =
−5 2+8e
5x 2
.
4. (Septiembre 1999) Resolver la ecuaci´on diferencial p x2 y 00 − xy 0 + y = x2 − (xy 0 − y)2 aplicando el cambio de variables x = et , y = et z(t). Sol.: y = x [c2 − cos (c1 + ln x)], c1 , c2 ∈ R; y = ±x(ln x + c), c ∈ R.
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12 12.1
1
Ecuaciones diferenciales lineales Definici´ on
Llamaremos ecuaci´ on diferencial lineal de orden n a cualquier ecuaci´on de la forma a0 (x)y (n) + a1 (x)y (n−1) + . . . + an−1 (x)y 0 + an (x)y = b(x) Si b(x) ≡ 0 la ecuaci´on lineal se llama homog´ enea y si b(x) 6≡ 0 se llama completa. Dada una ecuaci´on diferencial lineal completa de orden n a0 (x)y (n) + a1 (x)y (n−1) + . . . + an−1 (x)y 0 + an (x)y = b(x) con b(x) 6≡ 0, a la que en adelante nos referiremos por (ELC), llamaremos ecuaci´on lineal homog´ enea asociada a la ecuaci´on a0 (x)y (n) + a1 (x)y (n−1) + . . . + an−1 (x)y 0 + an (x)y = 0 a la que en adelante nos referiremos por (ELH).
12.2
Teorema de existencia y unicidad
Si ai (x), 0 ≤ i ≤ n, y b(x) son funciones continuas en un intervalo I = [a, b] ⊂ R y (n−1) a0 (x) 6= 0 para todo x ∈ I, entonces para cada x0 ∈ I e (y0 , y00 , . . . , y0 ) ∈ Rn el problema de Cauchy (n) (n−1) + . . . + a 0 n−1 (x)y + an (x)y = b(x) a0 (x)y + a1 (x)y y(x0 ) = y0 y 0 (x ) = y 0 0 0 ... ... y (n−1) (x ) = y (n−1) 0
0
tiene una u ´nica soluci´on y = ϕ(x), x ∈ I = [a, b].
12.3
Polinomio operacional
Si representamos Dk y = y (k) , k ≥ 1, la ecuaci´on diferencial (ELC) se puede representar por P (D)y = b(x) donde P (D) = a0 (x)Dn + a1 (x)Dn−1 + . . . + an−1 (x)D + an (x) se llama polinomio operacional. Las soluciones de (ELC) y (ELH) se pueden expresar en t´erminos de este polinomio como P (D)ϕ(x) = b(x) P (D)y = b(x) o o ⇐⇒ y = ϕ(x) es soluci´on de P (D)ϕ(x) = 0 P (D)y = 0 Este polinomio tiene las siguientes propiedades: 1. P (D) (αϕ + βψ) = αP (D)ϕ + βP (D)ψ, ∀α, β ∈ R. (Lineal) 2. P (D)eλx = P (λ)eλx , ∀λ ∈ R. Como consecuencia inmediata, de esta u ´ltima propiedad, se tiene que si existe λ ∈ R tal λx que P (λ) ≡ 0 entonces y = e es soluci´on de (ELH).
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12.4
2
Propiedades de las soluciones
1. Si {ϕi (x)}N on lineal de i=1 son N soluciones de (ELH), entonces cualquier combinaci´ ellas N X ϕ(x) = ci ϕi (x) ; ci ∈ R , 1 ≤ i ≤ N i=1
es tambi´en soluci´on de (ELH). 2. ϕ(x) ≡ 0 es soluci´on de (ELH). 3. Si ψ1 (x) y ψ2 (x) son soluciones de (ELC) entonces ϕ(x) = ψ1 (x) − ψ2 (x) es soluci´on de (ELH). 4. Si ψ(x) es una soluci´on particular de (ELC) e yH representa a todas las soluciones de (ELH), entonces todas las soluciones de (ELC) vienen dadas por y = ψ(x) + yH 5. Principio de superposici´ on: Si ψ1 (x) es soluci´on de P (D)y = b1 (x) y ψ2 (x) es soluci´on de P (D)y = b2 (x), entonces ψ1 (x) + ψ2 (x) es soluci´on de P (D)y = b1 (x) + b2 (x).
12.5
Conclusiones
1. El conjunto de soluciones de una ecuaci´on lineal homog´enea de orden n es un espacio vectorial de dimensi´on n (el hecho de que la dimensi´on sea n se justifica despu´es con el llamado Teorema 2). Por lo tanto, para resolver (ELH) basta con encontrar n soluciones particulares, {ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn }, linealmente independientes (que formen base) y la soluci´on general de (ELH) ser´a y=
n X
ci ϕi (x) ;
ci ∈ R , 1 ≤ i ≤ n
i=1
2. El conjunto de soluciones de una ecuaci´on lineal completa de orden n es un espacio af´ın de dimensi´on n sobre el espacio vectorial de las soluciones de su ecuaci´on homog´enea asociada. Por lo tanto, para resolver (ELC) basta con encontrar n soluciones particulares, {ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn }, linealmente independientes (que formen base) de su ecuaci´on homog´enea asociada (ELH) y una soluci´on particular ψ(x) de (ELC); la soluci´on general de (ELC) vendr´ a dada por y = ψ(x) +
n X i=1
ci ϕi (x)
;
ci ∈ R , 1 ≤ i ≤ n
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12.6
3
Definici´ on
Dadas k > 1 funciones, {ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕk }, derivables con continuidad hasta el orden k en un cierto intervalo [a, b], llamaremos wronskiano a la funci´on definida por el siguiente determinante ¯ ¯ ¯ ϕ1 ϕ2 ... ϕk ¯¯ ¯ ¯ ϕ0 ϕ02 ... ϕ0k ¯¯ ¯ 1 ¯ ϕ00 00 ϕ2 ... ϕ00k ¯¯ ¯ W [ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕk ] (x) = ¯ 1 ... ... . . . ¯¯ ¯ ... ¯ ¯ ... ... ... ¯ ¯ ... ¯ (k−1) (k−1) (k−1) ¯ ¯ϕ1 ¯ ϕ2 . . . ϕk
12.7
Teorema 1
Sean {ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn } n soluciones particulares no nulas de (ELH) en I = [a, b] donde se cumplen las hip´otesis del teorema de existencia y unicidad 12.2. Entonces {ϕi }ni=1 son linealmente dependientes en I ⇐⇒ W [ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn ] (x) ≡ 0 en I y adem´as {ϕi }ni=1 son linealmente independientes en I ⇐⇒ W [ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn ] (x) 6= 0 , ∀x ∈ I
12.8
Teorema 2
Sean {ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn } soluciones particulares de (ELH) linealmente independientes en I = [a, b]. Entonces n X y= ci ϕi (x) ; ci ∈ R , 1 ≤ i ≤ n i=1
es la soluci´on general de (ELH) en I.
12.9
M´ etodo de variaci´ on de las constantes
Sirve para hallar la soluci´on general de (ELC) cuando conocemos la soluci´on general de (ELH): n X y= ci ϕi (x) ; ci ∈ R , 1 ≤ i ≤ n i=1
El m´etodo consiste en suponer que las constantes son funciones de x, es decir que ci = ci (x) ,
1≤i≤n
Para imponer que la soluci´on de (ELC) es del tipo y=
n X i=1
ci (x)ϕi (x)
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4
se deriva n veces haciendo ciertas hip´otesis adicionales que se indican a continuaci´ on: 0
y =
n X
ci ϕ0i
n X
+
i=1
y 00 =
n X
ci ϕ00i +
i=1 n X
i=1
y 000 =
n X
ci ϕ000 i +
i=1
c0i ϕi
Hip´ otesis:
c0i ϕ0i
i=1 n X
Hip´ otesis:
y
=
i=1
n X
c0i ϕ0i = 0
i=1
c0i ϕ00i
Hip´ otesis:
i=1
n X
c0i ϕ00i = 0
i=1
·········
········· n n X X (n−1) (n−2) (n−1) y = ci ϕi + c0i ϕi (n)
c0i ϕi = 0
i=1
·········
i=1 n X
n X
········· n X
Hip´ otesis:
i=1 (n) ci ϕi
+
n X
(n−2)
c0i ϕi
=0
i=1 (n−1)
c0i ϕi
i=1
Considerando estas hip´otesis adicionales y sustituyendo en la ecuaci´on (ELC) nos queda a0
n X
(n−1)
c0i ϕi
= b(x)
i=1
con lo que tenemos el siguiente sistema lineal Pn 0 i=1 ci ϕi = 0 Pn c0 ϕ0 = 0 i=1 i i ······ ······ P (n−1) = b(x) a0 (x) ni=1 c0i ϕi de n ecuaciones con n incognitas: {c0i (x) : 1 ≤ i ≤ n}. Se resuelve y nos dar´a como soluciones c0i (x) = χi (x) , 1≤i≤n e integrando
Z ci (x) = χi (x) dx = ψi (x) + ki ; P Sustituyendo en y = ni=1 ci (x)ϕi (x) se obtiene y=
n X i=1
(ψi (x) + ki ) ϕi (x) =
n X
ki ∈ R , 1 ≤ i ≤ n
ψi (x)ϕi (x) +
n X
i=1
ki ϕi (x)
i=1
con ki ∈ R, 1 ≤ i ≤ n, que es la soluci´on general de (ELC).
12.10
F´ ormula de Liouville-Ostrogradski
Si {ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn } son n soluciones linealmente independientes de (ELH), entonces W [ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn ] = C · e con C 6= 0.
−
R
a1 (x) a0 (x)
dx
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12.11
5
Observaci´ on
En el caso n = 2 ¯ ¯ µ ¶ ¯ϕ1 ϕ2 ¯ 0 0 2 ¯ = ϕ1 ϕ2 − ϕ1 ϕ2 = ϕ1 · D ϕ2 W [ϕ1 , ϕ2 ] = ¯¯ 0 0 ϕ1 ϕ2 ¯ ϕ1 con lo que la f´ormula de Liouville quedar´ıa, en este caso, como µ ¶ R a1 (x) ϕ2 − dx 2 = C · e a0 (x) ϕ1 · D ϕ1 que nos permite calcular f´acilmente una segunda soluci´on de (ELH) cuando conocemos una de ellas, o incluso calcularlas las dos cuando conocemos cierta relaci´on entre ellas.
12.12
Ecuaciones lineales de segundo orden
Son las ecuaciones de la forma a0 (x)y 00 + a1 (x)y 0 + a2 (x)y = b(x) cuya soluci´on, seg´ un lo que hemos visto, ser´a y = ψ(x) + c1 ϕ1 (x) + c2 ϕ2 (x) ;
c1 , c2 ∈ R
con {ϕ1 , ϕ2 } soluciones linealmente independientes de (ELH) y ψ soluci´ on particular de (ELC). Para resolver estas ecuaciones es necesario conocer alguna hip´otesis adicional, pues no hay un m´etodo general que permita resolverlas. Veamos algunos casos particulares: 1. Se conoce y = ϕ1 (x), soluci´on particular no nula de (ELH). En este caso se puede proceder de dos maneras: (a) Utilizar la f´ormula de Liouville para hallar ϕ2 y luego i. aplicar variaci´on de constantes para hallar la soluci´on general de (ELC) o ii. buscar por tanteo una soluci´on particular ψ(x) de (ELC). (b) Hacer el cambio y = zϕ1 (x) que transforma la ecuaci´on en £ ¤ ¡ ¢ a0 z 00 ϕ1 + 2z 0 ϕ01 + zϕ001 + a1 z 0 ϕ1 + zϕ01 + a2 zϕ1 = b que operando nos da ¡ ¢ a0 ϕ1 z 00 + 2a0 ϕ01 + a1 ϕ1 z 0 = b y haciendo ahora el cambio u = z 0 se llega a A0 (x)u0 + A1 (x)u = b(x) que es una ecuaci´on lineal de primer orden. Se resuelve y se deshacen los cambios.
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6
2. Se conocen ψ1 y ψ2 soluciones particulares de (ELC). En este caso ϕ1 = ψ1 − ψ2 es una soluci´on particular de (ELH) y aplicando la f´ormula de Liouville se calcula otra soluci´on ϕ2 de (ELH). Con ´esto ya tenemos la soluci´on general de (ELC) pues conocemos dos soluciones particulares de (ELC) (s´olo necesitamos una) y dos soluciones particulares linealmente independientes de (ELH). 3. Se conoce una relaci´on entre dos soluciones particulares y linealmente independientes de (ELH). En este caso se aplica la f´ormula de Liouville para hallar las dos soluciones particulares de (ELH) y despu´es se aplica cualquiera de los m´etodos descritos en (1) para hallar la soluci´on general de (ELC).
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1
Ejercicios Tema 12: Ecuaciones diferenciales lineales 1. Estudiar la dependencia o independencia lineal de las siguientes familias de funciones: © ª (a) 1, x, x2 , x3 . © ª (b) eλ1 x , eλ2 x , eλ3 x . Sol.: (a) L. indep. (b) L. indep. si λi 6= λj para i 6= j; y L. dep. en caso contrario. 2. Resolver la ecuaci´on x(1 − x ln x)y 00 + (1 + x2 ln x)y 0 − (x + 1)y = (1 − x ln x)2 ex sabiendo que y = ex e y = ln x son soluciones de la ecuaci´on homog´enea asociada. Sol.: y = c1 ex + c2 ln x + [x(1 − ln x) + ln x] ex , c1 , c2 ∈ R. 3. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: (a) x2 y 00 + xy 0 − y = 3x2 + 1. (b) xy 00 + 2y 0 + xy = 0, sabiendo que y = (c)
x2 y 00
xy 0
sen x x
es una soluci´on particular.
5x4 ,
− − 3y = sabiendo que y = x−1 es una soluci´on particular de la ecuaci´on homog´enea asociada.
(d) (1 + x2 )y 00 − 2xy 0 + 2y = 0. (e) (sen2 x)y 00 − (2 sen x cos x)y 0 + (1 + cos2 x)y = 0, sabiendo que admite dos soluciones particulares cuyo cociente es x. 2 cos x Sol.: (a) y = c1 x + cx2 + x2 − 1, c1 , c2 ∈ R; (b) y = c1 sen x+c , c1 , c2 ∈ R; x c2 4 3 2 (c) y = x + c1 x + x , c1 , c2 ∈ R. (d) y = c1 (x − 1) + c2 x, c1 , c2 ∈ R; (e) y = (c1 + c2 x) sen x, c1 , c2 ∈ R.
4. Resolver las siguientes ecuaciones: (a) y 00 − xf (x)y 0 + f (x)y = 0, siendo f continua en R. (b) y 00 − f (x)y 0 + (f (x) − 1) y = 0, siendo f continua en R. Sol.: (a) y = (c1 ϕ(x) + c2 ) x, c1 , c2 ∈ R, donde ϕ0 (x) = x12 e ³ R ´ Rs x (b) y = c1 0 e−2s+ 0 f (t) dt ds + c2 ex , c1 , c2 ∈ R.
Rx 0
tf (t) dt
.
5. Dada la ecuaci´on: xy 00 + (2 − 3x)y 0 − 3y = 20x3 − 15x4 , se pide: (a) Calcular una soluci´on para la ecuaci´on completa del tipo y = xm . (b) Hallar todas sus soluciones sabiendo que y = completa. Sol.: (a) y = x4 . (b) y =
c1 +c2 e3x x
+ x4 .
x5 −7 x
es soluci´on de la ecuaci´on
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2
6. Determinar los coeficientes a, b y c de modo que la ecuaci´on: (x2 + 1)y 00 − 2xy 0 − y(ax2 + bx + c) = 0 tenga una soluci´on de tipo exponencial. Calcular la soluci´on general de la ecuaci´on obtenida. Sol.: y = eλx es soluci´on si a = c = λ2 y b = −2λ. En este caso la soluci´on general es: y = c1 eλx + c2 (2λ2 x2 + 2λx + 2λ2 + 1)e−λx , c1 , c2 ∈ R. 7. Resolver la ecuaci´on x2 y 00 − x(2x + 3)y 0 + (x2 + 3x + 3)y = (6 − x2 )ex sabiendo que xex es soluci´ ¡ y= ¢ onx de la homog´enea. 2 2 Sol.: y = x + x + c1 x + c2 xe , c1 , c2 ∈ R. 8. Dada la expresi´on x2 y 00 (x) + 6xy 0 (x) + 6y(x), calcular una funci´on f (x) que, multiplicada por la expresi´on anterior, nos d´e una derivada de una expresi´on del tipo F (x)y(x). Bas´andose en ´esto, integrar la ecuaci´on: x2 y 00 + 6xy 0 + 6y = 7 Sol.: f (x) = cx y F (x) = cx3 , c ∈ R; y =
7 6
+
c1 x2
+
c2 , x3
c1 , c2 ∈ R.
9. Hallar la soluci´on general de la ecuaci´on: x2 y 00 − 2xy 0 + (x2 + 2)y = x3 ex sabiendo que su ecuaci´on homog´enea asociada admite dos soluciones particulares cuyo cociente es igual a tan x. x Sol.: y = (a cos x + b sen x)x + xe2 , a, b ∈ R. 10. Dada la ecuaci´on:
µ ¶ 2 f (x) y + tan x − y 0 + 2 y = x tan x x x 00
se pide: (a) Determinar f (x) para que la ecuaci´on homog´enea admita dos soluciones particulares cuyo cociente sea igual a sen x. (b) Siendo f (x) la funci´on determinada en el apartado anterior, hallar la soluci´on general de la ecuaci´on completa, sabiendo que posee una soluci´on particular del tipo y = xn . Sol.: (a) f (x) = 2 − x tan x. (b) y = (a + b sen x)x + x2 , a, b ∈ R. 11. Determinar la ecuaci´on lineal cuya soluci´on general es: A(x + 1)3 + B(x − 1)3
;
A, B ∈ R
Bas´andose en ´esto, integrar la ecuaci´on: (x2 − 1)y 00 − 4xy 0 + 6y = 2x Sol.: (x2 − 1)y 00 − 4xy 0 + 6y = 0. y = A(x + 1)3 + B(x − 1)3 + x, A, B ∈ R.
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3
12. Hallar los valores del par´ametro real α para los cuales la ecuaci´on: (x + 1)y 00 − αxy 0 + (1 − 2α)y = 0 admite soluciones del tipo eαx . Para esos valores del par´ametro α, resolver la correspondiente ecuaci´on. e−x Sol.: α = 1. y = (c1 ϕ(x) + c2 ) ex , c1 , c2 ∈ R, siendo ϕ0 (x) = x+1 . 13. Hallar todas las soluciones de la ecuaci´on diferencial: (1 − x)y 00 + xy 0 − y = 1 Sol.: y = c1 x + c2 ex − 1, c1 , c2 ∈ R. 14. Hallar todas las soluciones reales de la ecuaci´on diferencial x2 y 00 − x(x + 4)y 0 + 2(x + 3)y = x5 sabiendo que la ecuaci´on homog´enea asociada admite una soluci´on de la forma y = xn . 3 Sol.: y = −x (x+2) + (c1 + c2 ex ) x2 , c1 , c2 ∈ R. 2 15. Determinar f (x) para que la ecuaci´on diferencial xy 00 − 2y 0 + f (x)y = 0 admita dos soluciones particulares tales que una de ellas sea el cuadrado de la otra. Hallar todas las soluciones de la ecuaci´ on diferencial. p √ 3 2x5 3 Sol.: f (x) = (x3 +a)2 , a ∈ R. y = c1 x + a + c2 3 (x3 + a)2 , c1 , c2 ∈ R. 16. Hallar la soluci´on general de la ecuaci´on (2x + 1)y 00 − 4(x + 1)y 0 + 4y = 4(2x + 1)2 e2x sabiendo que y = e2x es soluci´on de la ecuaci´on homog´enea asociada. Sol.: y = c1 e2x + c2 (x + 1) + 2(x2 + x − 1)e2x , c1 , c2 ∈ R. 17. Dada la ecuaci´on (x − a)y 00 − xy 0 + a2 y = a(x − 1)2 ex hallar los valores del par´ametro real a para que la ecuaci´on homog´enea asociada tenga soluci´on y = ex , y resolverla en estos casos. ³ 2 ´ Sol.: a = 0 e y = c1 e−x + c2 ex , c1 , c2 ∈ R; y a = 1 e y = c1 ex + c2 x + x2 − x ex , c1 , c2 ∈ R. 18. Dada la ecuaci´on diferencial µ ¶ µ ¶ 2 1 2 00 0 y − + cotan x y + + cotan x y = −x cotan x x x x se pide: (a) Hallar dos soluciones particulares de la ecuaci´on completa de la forma y = xn + αx. (b) Hallar su soluci´on general. Sol.: (a) y = x2 e y = x2 + x. (b) y = (c1 + c2 cos x)x + x2 , c1 , c2 ∈ R.
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13 13.1
1
Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes Previo: Funciones complejas de variable real
Son funciones f : I −→ C, I ⊂ R, definidas como ( f (x) = u(x) + i v(x) =⇒
u(x) = Re f v(x) = Im f
Por definici´on, f es continua/derivable/integrable si lo son u y v. Adem´as f (k) (x) = u(k) (x) + i v (k) (x) , k≥1 Z b Z b Z b f (x) dx = u(x) dx + i v(x) dx a
a
a
La m´as importante funci´on compleja de variable real es la funci´on exponencial definida, para λ = a + i b ∈ C, como f (x) = eλx = eax (cos bx + i sen bx) para todo x ∈ R. Es claro de la definici´on que ( u(x) = Re eλx = eax cos bx v(x) = Im eλx = eax sen bx luego la funci´on exponencial es continua, infinitamente derivable e integrable sobre cualquier intervalo. Se cumplen adem´as las siguientes propiedades: 1. eλ1 x · eλ2 x = e(λ1 +λ2 )x . En particular eλx · e−λx = 1. 2.
d λx dx e
Rβ
= λeλx .
λx dx = α e ¯ ¯ 4. ¯eλx ¯ = eax .
3.
13.2
£1
λx λe
¤x=β x=α
=
eλβ −eλα , λ
si λ 6= 0.
Definici´ on
Llamaremos ecuaci´ on diferencial lineal con coeficientes constantes de orden n a la ecuaci´on a0 y (n) + a1 y (n−1) + . . . + an−1 y 0 + an y = b(x) con ai ∈ R, 0 ≤ i ≤ n, y a0 6= 0, a la que en adelante nos referiremos como (ELC), siendo su homog´ enea sociada la ecuaci´on a0 y (n) + a1 y (n−1) + . . . + an−1 y 0 + an y = 0 a la que en adelante nos referiremos como (ELH).
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13.3
2
Observaci´ on
Las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes son, por supuesto, ecuaciones diferenciales lineales, y como tales se pueden aplicar todos los resultados expuestos en la secci´on anterior. En esta secci´on se dan m´etodos espec´ıficos para resolverlas que no son aplicables, en general, a las otras.
13.4
Definici´ on
Llamaremos polinomio caracter´ıstico de (ELC) al polinomio P (λ) = a0 λn + a1 λn−1 + . . . + an−1 λ + an y autovalor a cada una de sus raices (soluciones de P (λ) = 0). Si λ es un autovalor, entonces P (λ) = 0, y por tanto P (D)eλx = P (λ) · eλx = 0 luego y = eλx es soluci´on de (ELH). De aqu´ı se deriva la mejor manera de obtener soluciones particulares para la ecuaci´on homog´enea con coeficientes constantes.
13.5
Soluci´ on general de la ecuaci´ on homog´ enea
Distinguiremos varios casos: 1. Autovalores reales y distintos. Sean {λ1 , λ2 , . . . , λn } ⊂ R con λi 6= λj , para i 6= j, los autovalores. En este caso n o eλ1 x , eλ2 x , . . . , eλn x son n soluciones linealmente independientes de (ELH), y su soluci´on general ser´a cualquier combinaci´on lineal de ellas, es decir: y=
n X
ci eλi x
;
ci ∈ R , 1 ≤ i ≤ n
i=1
2. Autovalores reales. Sean {λ1 , λ2 , . . . , λp } ⊂ R los autovalores con multiplicidades P respectivamente {k1 , k2 , . . . , kp }, que deber´an cumplir que pi=1 ki = n. En este caso eλ1 x , xeλ1 x , . . . , xk1 −1 eλ1 x , eλ2 x , xeλ2 x , . . . , xk2 −1 eλ2 x , ..., ..., eλp x , xeλp x , . . . , xkp −1 eλp x son n soluciones linealmente independiente de (ELH), y su soluci´on general ser´a cualquier combinaci´on lineal de ellas, es decir: y=
p kX i −1 X i=1 j=0
con cji ∈ R, 1 ≤ i ≤ p, 0 ≤ j ≤ ki − 1.
cji xj eλi x
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3
3. Caso general. Sean {λ1 , λ2 , . . . , λp } ⊂ C los autovalores, reales o complejos, con multiplicidades respectivamente {k1 , k2 , . . . , kp }. A cada autovalor le vamos a asignar tantas soluciones de (ELH) linealmente independientes como indica su multiplicidad, con lo que al final tendremos n soluciones linealmente independientes de (ELH) cuyas combinaciones lineales nos dar´an la soluci´on general de (ELH). (a) Si λ ∈ R con multiplicidad k, le asignamos las k soluciones siguientes: eλx , xeλx , . . . , xk−1 eλx (b) Si λ = a + i b ∈ C es un autovalor con multiplicidad k, y puesto que los coeficientes de P (λ) son reales, entonces λ = a − i b ∈ C ser´a tambi´en autovalor con la misma multiplicidad k. A estos dos autovalores, de multiplicidad k cada uno de ellos, les asignamos las 2k funciones siguientes eax sen bx , xeax sen bx , . . . , xk−1 eax sen bx , eax cos bx , xeax cos bx , . . . , xk−1 eax cos bx
13.6
Soluci´ on general de la ecuaci´ on completa
Para resolver la ecuaci´on completa, una vez resuelta la homog´enea, basta con hallar una soluci´on particular de la misma. Para ello podemos usar: 1. Similitud. Si b(x) = Pm (x)eµx , donde Pm representa un polinomio de grado m, entonces (ELC) admite una soluci´on particular de la forma ( Qm (x)eµx , si µ no es autovalor y= k µx x Qm (x)e , si µ es autovalor de multiplicidad k donde Qm es un polinomio de grado m que habr´a que determinar. 2. Variaci´on de constantes. 3. Principio de superposici´on.
13.7
Ecuaci´ on de Euler
Es la ecuaci´on lineal de la forma a0 (ax + b)n y (n) + a1 (ax + b)n−1 y (n−1) + . . . + an−1 (ax + b)y 0 + an y = b(x) con ai ∈ R, 0 ≤ i ≤ n. El caso m´as frecuente es cuando a = 1 y b = 0, es decir a0 xn y (n) + a1 xn−1 y (n−1) + . . . + an−1 xy 0 + an y = b(x) Para resolverla se hace el cambio de variable independiente ax + b = et , de donde dy dy dt = · = ae−t yt0 dx dt dx ¡ ¢ ¡ ¢ dy 0 dy 0 dt y 00 = = · = a e−t yt00 − e−t yt0 ae−t = a2 e−2t yt00 − yt0 dx dt dx ········· y0 =
·········
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4
donde el sub´ındice t indica que las derivadas son respecto de la nueva variable independiente t. Sustituyendo, nos queda una ecuaci´on diferencial lineal de coeficientes constantes: (n)
A0 yt
(n−1)
+ A1 yt
+ . . . + An−1 yt0 + An y = B(t)
con Ai ∈ R, 0 ≤ i ≤ n, que se resuelve y se deshace el cambio. Nota: Al deshacer el cambio, sustituir t = ln |ax + b|. Observaci´ on: En la ecuaci´on de Euler es muy com´ un que las soluciones particulares de la ecuaci´on homog´enea sean de la forma y = (ax + b)r
(y = xr en el caso a = 1 y b = 0)
por lo que es buena idea comenzar buscando soluciones particulares de este tipo, y si encontramos n puede que evitemos hacer el cambio de variable.
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Ejercicios Tema 13: Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes 1. Hallar los autovalores y la soluci´on de la ecuaci´on diferencial y 00 − y = 0. Sol.: Autovalores: 1 y −1. Soluci´on: y = c1 ex + c2 e−x , c1 , c2 ∈ R. 2. Resolver las siguientes ecuaciones lineales homog´eneas: (a) y 00 − 3y 0 + 2y = 0. (b) y 000 − y 00 = 0. (c) y 0000 + 4y 000 + 14y 00 + 20y 0 + 25y = 0. Sol.: (a) y = c1 ex + c2 e2x , c1 , c2 ∈ R. (b) y = c1 + c2 x + c3 ex , c1 , c2 , c3 ∈ R. (c) y = [(c1 + c2 x) cos 2x + (c3 + c4 x) sen 2x] e−x , c1 , c2 , c3 , c4 ∈ R. 3. Resolver las siguientes ecuaciones lineales completas: (a) y 000 − y 00 = x + 1. (b) y 00 − 2y 0 + 5y = 2e−x . (c) y 00 − 2y 0 + 5y = 2e−x + ex cos 2x. (d) y 000 + y 00 + y 0 + y = xe−x + x cos x + e−x sen 2x. Sol.: ¡ ¢ (a) y = c1 + c2 x + c3 ex − x2 1 + x6 , c1 , c2 , c3 ∈ R. (b) y = (c1 cos 2x + c2 sen 2x) ex + 14 e−x , c1 , c2 ∈ R. (c) y = (c1 cos 2x + c2 sen 2x) ex + 14 e−x + 14 xex sen 2x, c1 , c2 ∈ R. (d) £ ¤ x [(x + 1) sen x − (x − 3) cos x] y = c1 e−x + c2 sen x + c3 cos x + 16 e−x + [5x(x + 2) + cos 2x + 2 sen 2x] ; c1 , c2 , c3 ∈ R 20 4. Resolver la siguiente ecuaci´on diferencial de Euler: x2 y 00 + 2xy 0 − 6y = 0 Sol.: y = c1 x2 +
c2 , x3
c1 , c2 ∈ R.
5. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales: (a) y 000 − y 00 + y 0 − y = x2 + x. (b) y 00 + y = cosec x. (c) (x − 3)2 y 00 + 3y = 2.
1
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2
(d) y 00 + 10y 0 + 25y = 14e−5x + 3x. (e) x2 y 000 + 2xy 00 − 4y 0 + 4 xy = 2x. (f) y 00 + y 0 + y = e2x − sen x. (g) y 00 + k 2 y = sen bx, b, k > 0. (h) y 0000 − 2y 000 + 2y 00 − 2y 0 + y = ex + 1. (i) x2 y 00 − xy 0 − 3y = −16 lnxx . (j) y 0000 + 2n2 y 00 + n4 y = a sen(nx + b). Sol.: (a) y = c1 ex + c2 cos x + c3 sen x − (x2 + 3x + 1), c1 , c2 , c3 ∈ R. (b) y = (c1 − x) cos x + (c2 + ln |sen x|) sen x, c1 , c2 ∈ R. ³√ h ³√ ´ ´i p 11 ln|x−3| 11 ln|x−3| + b sen (c) y = 23 + a cos |x − 3|, a, b ∈ R. 2 2 (d) y = (7x2 + ax + b)e−5x + bx2
c x2
15x−6 125 ,
a, b ∈ R.
x2 2
(e) y = ax + + + ln |x|, a, b, c ∈ R. ³ √ √ ´ −x (f) y = c1 cos 23x + c2 sen 23x e 2 + 17 e2x + cos x, c1 , c2 ∈ R. (g)
( bx c1 cos kx + c2 sen kx + ksen , si b 6= k 2 −b2 y= ; c1 , c2 ∈ R x cos kx , si b = k c1 cos kx + c2 sen kx − 2k ³ 2 ´ (h) y = 1 + x4 + c1 x + c2 ex + c3 cos x + c4 sen x, c1 , c2 , c3 , c4 ∈ R. ¡ ¢ (i) y = c1 x3 + cx2 + lnxx 2 ln x + 43 , c1 , c2 ∈ R. (j) ( y=
a sen b 4 4! x
+ c1 x3 + c2 x2 + c3 x + c4 (c1 x + c2 ) cos nx + (c3 x + c4 ) sen nx −
ax2 8n2
, si n = 0 sen(nx + b) , si n 6= 0
c1 , c2 , c3 , c4 ∈ R 6. (a) Resolver la ecuaci´on: y 000 − y 00 − a2 y 0 + a2 y = 0 seg´ un los valores reales del par´ametro a. (b) Utilizando ´esto, hallar la soluci´on general de la ecuaci´on: y 000 − y 00 − 4y 0 + 4y = 4e2x Sol.: (a)
x c1 + c2 x + c3 e y = (c1 + c2 x)ex + c3 e−x x c1 e + c2 eax + c3 e−ax
, si a = 0 , si a2 = 1 , si a = 6 0 y a2 6= 1
; c1 , c2 , c3 ∈ R
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3
(b) y = c1 ex + (x + c2 )e2x + c3 e−2x , c1 , c2 , c3 ∈ R. 7. Hallar todas las soluciones reales de la ecuaci´on diferencial: y 000 − ay 00 + y 0 − ay = ex donde a es un par´ametro real. Sol.: ( ex c1 eax + c2 sen x + c3 cos x + 2(1−a) y= ¡ ¢ c1 + x2 ex + c2 sen x + c3 cos x
, si a 6= 1 , si a = 1
; c1 , c2 , c3 ∈ R
8. Hallar todas las soluciones reales de la ecuaci´on diferencial: y 00 − (2 cotan x)y 0 + (5 + 2 cotan2 x)y = sen x sabiendo que el cambio de variable dependiente y = z sen x la reduce a una ecuaci´on lineal de coeficientes constantes. ¢ ¡ Sol.: y = a cos 2x + b sen 2x + 14 sen x, a, b ∈ R. 9. Una soluci´on u(x) de la ecuaci´on diferencial y 00 − 4y 0 + 4y = 0 corta a una soluci´on v(x) de la ecuaci´on diferencial y 00 − 4y 0 + 29y = 0 en el origen. Determinar u y v sabiendo que ambas curvas tienen la misma pendiente en el origen y que v 0 (π) = −1. Sol.: u(x) = xe2(x−π) y v(x) = 15 e2(x−π) sen 5x. 10. Resolver la ecuaci´on diferencial: x3 y 000 + 5x2 y 00 + 4xy 0 = 1 + ln x Sol.: y =
¡ ln x 2
¢ − 1 ln x + c1 +
c2 +c3 ln x , x
c1 , c2 , c3 ∈ R.
11. (Septiembre 1999) (a) Hallar, seg´ un los valores de a ∈ R, todas las soluciones de la ecuaci´on diferencial: y 000 − (3a + 2)y 00 + 2a(a + 3)y 0 − 4a2 y = 0 (b) Hallar, utilizando lo anterior, todas las soluciones de: y 000 − 5y 00 + 8y 0 − 4y = (2x − 5)ex Sol.: (a) c1 + c2 x + c3 e2x c ex + (c + c x)e2x 1 2 3 y= 2x (c1 + c2 x)e + c3 e4x c eax + c e2ax + c e2x 1 2 3
, , , ,
si si si si
a=0 a=1 a=2 a 6= 0, a 6= 1 y a 6= 2
(b) y = c1 ex + (c2 + c3 x)e2x + x(x − 1)ex , c1 , c2 , c3 ∈ R
; c1 , c2 , c3 ∈ R
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14
1
Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes
14.1
Definici´ on
Se llama sistema lineal con coeficientes constantes al siguiente sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden: 0 x1 = a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn + b1 (t) x02 = a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn + b2 (t) ········· ········· 0 xn = an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn + bn (t) donde t es la variable independiente y xi = xi (t), 1 ≤ i ≤ n, son n funciones de t (variables dependientes). Se llama soluci´ on del sistema a un conjunto de n funciones xi = ϕi (t) ,
1≤i≤n
derivables con continuidad y que lo verifican. Resolver un sistema es hallar todas sus soluciones. Todo sistema lineal admite una expresi´ on matricial de la forma x0 = Ax + b donde
a11 a21 A= · · · · · · an1 x1 (t) x2 (t) ; x0 · · · x = x(t) = ··· xn (t)
a1n a2n ··· ∈ Mn×n (R) ··· ann 0 x1 (t) b1 (t) x02 (t) b2 (t) 0 · · · = x (t) = · · · ; b = b(t) = ··· ··· x0n (t) bn (t)
a12 a22 ··· ··· an2
··· ··· ··· ··· ···
Si b = b(t) ≡ 0, el sistema lineal se llama homog´ eneo. En adelante nos referiremos al sistema lineal completo (no homog´eneo) por (SLC) y al homog´eneo por (SLH).
14.2
Sistemas y Ecuaciones lineales
1. Toda ecuaci´on lineal de coeficientes constantes a0 y (n) + a1 y (n−1) + . . . + an−1 y 0 + an y = b(t) donde t es la variable independiente e y la dependiente, se puede transformar en un sistema lineal de orden n con coeficientes constantes llamando xi = y (i−1) , 1 ≤ i ≤ n,
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2
con lo que se llega al sistema x0 = x2 01 x2 = x3 ··· ··· x0n−1 = xn x0 = − an x − n a0 1
an−1 a0 x2
− ... −
a1 a0 x n
+
b(t) a0
La soluci´on de x1 en el sistema ser´a la soluci´on de y en la ecuaci´on diferencial. 2. Todo sistema lineal x0 = Ax + b se puede transformar mediante eliminaci´on (por combinaciones lineales de ecuaciones y derivadas de ellas) en una ecuaci´on lineal de orden n en alguna de las variables xi . Resolviendo esta ecuaci´on y hallando las dem´as variables xj , j 6= i, se tiene resuelto el sistema. Este m´etodo de eliminaci´on no se puede sistematizar y puede resultar en ocasiones muy complicado.
14.3
El espacio de soluciones
1. El conjunto de soluciones del sistema lineal homog´eneo (SLH) es un espacio vectorial de dimensi´on n. 2. El conjunto de soluciones del sistema lineal completo (SLC) es un espacio af´ın sobre el espacio vectorial de las soluciones del sistema homog´eneo (SLH) asociado.
14.4
Dependencia e independencia lineal de funciones
Sean
ϕ11 (t) ϕ12 (t) ; · · · ϕ1 (t) = ··· ϕ1n (t)
ϕ21 (t) ϕ22 (t) ; · · · ϕ2 (t) = ··· ϕ2n (t)
······ ;
ϕn1 (t) ϕn2 (t) · · · ϕn (t) = ··· ϕnn (t)
n funciones vectoriales derivables con continuidad y soluciones de (SLH). La familia de funciones {ϕi }ni=1 son linealmente dependientes si y s´olo si ¯ ¯ ¯ ϕ11 ϕ21 · · · ϕn1 ¯ ¯ ¯ ¯ ϕ12 ϕ22 · · · ϕn2 ¯ ¯ ¯ D(t) = ¯¯ · · · · · · · · · · · · ¯¯ ≡ 0 ¯· · · · · · · · · · · · ¯ ¯ ¯ ¯ϕ1n ϕ2n · · · ϕnn ¯ y ser´an linealmente independientes si y s´olo si D(t) 6= 0 ,
∀t ∈ R
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14.5
3
Resoluci´ on de sistemas
1. Para resolver (SLH) hay que encontrar n soluciones particulares {ϕi }ni=1 que sean linealmente independientes, y entonces x = ϕ(t) =
n X
ci ϕi (t) ;
ci ∈ R , 1 ≤ i ≤ n
i=1
es la soluci´on general de (SLH). 2. Para resolver (SLC) hay que hallar una soluci´on particular ψ(t) y todas las soluP ciones, ϕ(t) = ni=1 ci ϕi (t), del sistema homog´eneo asociado, y entonces x = ψ(t) + ϕ(t) = ψ(t) +
n X
ci ϕi (t)
;
ci ∈ R , 1 ≤ i ≤ n
i=1
es la soluci´on general de (SLC).
14.6
Definici´ on
Dada una matriz A ∈ Mn×n (R), llamaremos autovalor a cualquiera de las raices λ ∈ C de la ecuaci´on |A − λI| = 0 donde I ∈ Mn×n (R) es la matriz identidad y |B| indica el determinante de la matriz B. Si λ ∈ C es un autovalor de la matriz A, llamaremos autovector asociado a λ a cualquier vector v ∈ Cn no nulo tal que (A − λI) v = 0
14.7
Propiedades
Sea A ∈ Mn×n (R). Entonces: 1. Si λ ∈ C es un autovalor de A y v ∈ Cn es un autovector asociado a λ, entonces la funci´on x = veλt es soluci´on del sistema x0 = Ax, y se llamar´a autofunci´ on asociada a λ y v. 2. Los autovectores asociados a distintos autovalores son linealmente independientes. 3. Las autofunciones asociadas a autovectores linealmente independientes son tambi´en linealmente independientes. 4. Si λ ∈ C \ R es un autovalor con multiplicidad k, entonces su conjugado λ ∈ C \ R es tambi´en autovalor con la misma multiplicidad k. Adem´as, si v ∈ Cn es autovector asociado a λ, entonces su conjugado v es autovector asociado a λ.
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14.8
4
Resoluci´ on de sistemas lineales homog´ eneos 2 × 2
Sea x0 = Ax, con A ∈ M2×2 (R) el sistema (SLH). Para resolverlo distinguiremos tres casos: 1. Dos autovalores reales distintos. Sean v1 y v2 autovectores asociados, respectivamente, a los autovalores λ1 y λ2 , λ1 6= λ2 . Entonces x = c1 v1 eλ1 t + c2 v2 eλ2 t
;
c1 , c2 ∈ R
es la soluci´on general de (SLH). 2. Un autovalor real doble. Sea λ ∈ R el autovalor con multiplicidad dos. Se pueden distinguir dos casos: (a) Existen dos autovectores, v1 y v2 , linealmente independientes asociados a λ. En este caso la soluci´on general de (SLH) es x = c1 v1 eλt + c2 v2 eλt = (c1 v1 + c2 v2 ) eλt
;
c1 , c2 ∈ R
´nico autovector v linealmente independiente asociado a λ. En este (b) Existe un u caso x = veλt es soluci´on particular de (SLH) y existe otra de la forma x = (vt + u) eλt donde u ∈ R2 es un vector que habr´a que determinar sustituyendo en (SLH). La soluci´on general ser´a en este caso x = c1 veλt + c2 (vt + u) eλt = [c1 v + c2 (vt + u)] eλt
;
c1 , c2 ∈ R
3. Dos autovalores complejos. Sean λ = α + i β y λ = α − i β los autovalores y v = a + i b y v = a − i b los autovectores asociados. Entonces ³ ´ ϕ1 (t) = Re veλt = [a cos βt − b sen βt] eαt ³ ´ ϕ2 (t) = Im veλt = [a sen βt + b cos βt] eαt son soluciones particulares linealmente independientes de (SLH). Su soluci´on general ser´a: x = c1 ϕ1 (t) + c2 ϕ2 (t) = [(a cos βt − b sen βt) c1 + (a sen βt + b cos βt) c2 ] eαt con c1 , c2 ∈ R.
14.9
Resoluci´ on de sistemas lineales homog´ eneos 3 × 3
Sea x0 = Ax, con A ∈ M3×3 (R) el sistema (SLH). Para resolverlo distinguiremos tres casos: 1. Tres autovalores distintos. Distinguiremos, a su vez, dos casos:
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5
(a) Autovalores reales. Sean λ1 , λ2 , λ3 ∈ R autovalores distintos con autovectores asociados v1 , v2 , v3 ∈ R3 , respectivamente. Entonces x = c1 v1 eλ1 t + c2 v2 eλ2 t + c3 v3 eλ3 t
;
c1 , c2 , c3 ∈ R
es la soluci´on general de (SLH). (b) Autovalores complejos. Sean λ1 = α + i β, λ2 = λ1 = α − i β y λ3 ∈ R los autovalores con autovectores, respectivamente, v1 = a + i b, v2 = v1 = a − i b y v3 . Entonces ³ ´ ϕ1 (t) = Re v1 eλ1 t = [a cos βt − b sen βt] eαt ³ ´ ϕ2 (t) = Im v1 eλ1 t = [a sen βt + b cos βt] eαt ϕ3 (t) = v3 eλ3 t son soluciones particulares linealmente independientes de (SLH), con lo que la soluci´on general ser´a x = [(a cos βt − b sen βt) c1 + (a sen βt + b cos βt) c2 ] eαt + c3 v3 eλ3 t con c1 , c2 , c3 ∈ R. 2. Dos autovalores distintos. Sea λ1 ∈ R autovalor simple con autovector asociado v1 y λ2 ∈ R autovalor doble. Se distinguen dos casos: (a) Existen dos autovectores linealmente independientes, v2 y v3 , asociados a λ2 . En este caso la soluci´on general de (SLH) es x = c1 v1 eλ1 t + (c2 v2 + c3 v3 ) eλ2 t
;
c1 , c2 , c3 ∈ R
´nico autovector v2 linealmente independiente asociado a λ2 . En este (b) Existe un u caso x = v2 eλ2 t es soluci´on particular de (SLH) y existe otra de la forma x = (v2 t + u) eλ2 t donde u ∈ R3 es un vector que habr´a que determinar sustituyendo en (SLH). La soluci´on general de (SLH) ser´a x = c1 v1 eλ1 t + [c2 v2 + c3 (v2 t + u)] eλ2 t con c1 , c2 , c3 ∈ R. 3. Un u ´ nico autovalor. Sea λ ∈ R el autovalor con multiplicidad tres. Se pueden presentar tres casos: (a) Existen tres autovectores, v1 , v2 y v3 , linealmente independientes asociados a λ. En este caso la soluci´on general de (SLH) es x = (c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 ) eλt
;
c1 , c2 , c3 ∈ R
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM
6
(b) Existe dos autovectores, v1 y v2 , linealmente independientes asociados a λ. En este caso x = v1 eλt y x = v2 eλt son soluciones particulares linealmente independientes de (SLH) y existe otra de la forma x = [(αv1 + βv2 ) t + u] eλt donde α, β ∈ R y u ∈ R3 habr´a que determinarlos sustituyendo en (SLH). La soluci´on general ser´a x = [c1 v1 + c2 v2 + ((αv1 + βv2 )t + u) c3 ] eλt con c1 , c2 , c3 ∈ R. (c) Existe un u ´nico autovector v linealmente independiente asociado a λ. En este caso x = veλt es soluci´on particular de (SLH) y existen otras dos de la forma x = ϕ1 (t) = (vt + u) eλt µ 2 ¶ t x = ϕ2 (t) = v + ut + w eλt 2 donde u, w ∈ R3 son vectores que habr´a que determinar sustituyendo en (SLH). La soluci´on general ser´a · µ 2 ¶ ¸ t x = c1 v + (vt + u) c2 + v + ut + w c3 eλt 2 con c1 , c2 , c3 ∈ R.
14.10
Resoluci´ on del sistema lineal completo
Sea ϕ(t) =
n X
ci ϕi (t) ;
ci ∈ R , 1 ≤ i ≤ n
i=1
la soluci´on general de (SLH). Para resolver (SLC) hay tres posibilidades: 1. Propiedad de similitud: Si b(t) = Pm (t)eµt , donde Pm (t) es un vector cuyas componentes son polinomios en t de grado menor o igual que m, entonces (SLC) admite una soluci´on particular de la forma ( Qm (t)eµt , si µ no es autovalor ψ(t) = µt Qm+k (t)e , si µ es un autovalor de multiplicidad k Esta soluci´on se calcula sustituyendo en el sistema y la soluci´on general ser´a x = ψ(t) +
n X i=1
ci ϕi (t) ;
ci ∈ R , 1 ≤ i ≤ n
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM
7
2. M´etodo de variaci´ on de las constantes: La soluci´on general de (SLH) se puede expresar matricialmente como x = ϕ(t) =
n X
ci ϕi (t) = X(t)c
i=1
donde X(t), que se llama matriz fundamental, es una matriz cuyas columnas son las funciones {ϕi }ni=1 y c es un vector columna cuyas componentes son las constantes ci , 1 ≤ i ≤ n. El m´etodo de variaci´ on de las constantes consiste en suponer que la soluci´on general de (SLC) es de la forma x = X(t)c(t) Sustituyendo en (SLC) se llega a que c0 (t) = X −1 (t)b(t) e integrando c(t) = ψ(t) + c Sustituyendo, se tiene que la soluci´on general de (SLC) es x = X(t) (ψ(t) + c) = X(t)ψ(t) + X(t)c 3. Los dos m´etodos anteriores y el principio de superposici´ on: Si x1 (t) es soluci´on 0 0 de x = Ax + b1 (t) y x2 (t) es soluci´on de x = Ax + b2 (t), entonces x1 + x2
es soluci´on de x0 = Ax + (b1 (t) + b2 (t))
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM
1
Ejercicios Tema 14: Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes 1. Resolver los sistemas: (a)
(b)
(
x0 = 3x − 4y y 0 = 4x − 7y
0 x = 3x + y − z y 0 = x + 2y − z 0 z = 3x + 3y − z
2. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: (a)
( x0 = 2x + y y 0 = 3x + 4y
(b)
( x0 = x + y y 0 = 3y − 2x
(c)
( x0 = −x − 5y y0 = x + y
(d)
(
(e)
x0 = 5x + 3y y 0 = −3x − y
( x0 = y − 2x y 0 = 2y − 4x
3. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: (a)
0 x = x − 2y − z y0 = y − x + z 0 z =x−z
(b)
0 x = 2x + y y 0 = x + 3y − z 0 z = 2y + 3z − x
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM (c)
0 x = 2x + 2z − y y 0 = x + 2z 0 z = y − 2x − z
(d)
0 x = 4x − y − z y 0 = x + 2y − z 0 z = x − y + 2z
(e)
0 x = x − y + z y0 = x + y − z 0 z = 2z − y
(f)
0 x = 2x − y − z y 0 = 2x − y − 2z 0 z = 2z − x + y
(g)
0 x = 4x − y y 0 = 3x + y − z 0 z =x+z
(h)
0 x = 2x − 6y + 3z y 0 = 2x − 5y + 2z 0 z = x − 2y
4. Resolver los siguientes sistemas no homog´eneos: (a)
( x0 = y + 2et y 0 = x + t2
(b)
( x0 = 3x + 2y + 4e5t y 0 = x + 2y
(c)
(d)
(
x0 = x + y + e2t cos 3t y 0 = 3y − 5x + 18t2 e2t
( x0 = 2x − y + sec t y 0 = 5x − 2y + tan t
2
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM (e)
( x0 = 3x − y + t−2 y 0 = 9x − 3y + t−3
(f)
( x0 = 2x − y + e2t tan t y 0 = x + 2y
(g)
(
x0 = 2x − 4y + ln t y 0 = x − 2y + t
5. Hallar todas las soluciones reales del sistema 0 x = x − z y 0 = 4x − 3z 0 z = 2x − 2z
3
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM
15 15.1
1
Transformada de Laplace. Aplicaciones Definici´ on
Dada una funci´on f : [0, ∞) −→ R, se define su transformada de Laplace como una nueva funci´on Z ∞ F (s) = f (t)e−st dt 0
que estar´a definida en aquellos valores de s para los que la integral es convergente. La transformada de Laplace de f (t) se representa por F (s) y se indicar´a F = L(f ). Inversamente, llamaremos transformada inversa de Laplace de F (s) a cualquier funci´on f (t), 0 ≤ t < ∞, tal que L(f ) = F , y se indicar´a f = L−1 (F ).
15.2
Propiedades de valor inicial y final
Sea F (s) = L (f (t)). Entonces: 1. lims→∞ F (s) = 0. 2. lims→∞ sF 0 (s) = 0. 3. lims→∞ sF (s) = limt→0+ f (t). 4. lims→0 sF (s) = limt→∞ f (t).
15.3
Funci´ on de Heaviside
La funci´ on de Heaviside es ( h(t) =
1 , si t ≥ 0 0 , si t < 0
y la funci´on de Heaviside centrada en a ∈ R es ( 1 , si t ≥ a h(t − a) = 0 , si t < a
15.4
Observaciones
Es claro, de la definici´on de transformada de Laplace, que L (f (t)) = L (f (t)h(t)) y en consecuencia L−1 (F (s)) = f (t) = f (t)h(t) ya que dos funciones que coincidan en t ≥ 0 tienen la misma transformada de Laplace.
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM
15.5
2
Propiedades
Sean L (f (t)) = F (s) y L (g(t)) = G(s). Entonces: 1. L(αf + βg) = αF + βG, ∀α, β ∈ R. 2. L (f (t − a)h(t − a)) = e−as F (s), si a > 0. ¡ ¢ 3. L eat f (t) = F (s − a), ∀a ∈ R. ¡ ¢ 4. L (f (αt)) = α1 F αs , si α > 0. 5. L (f 0 (t)) = sF (s) − f (0), y en general ³ ´ L f (n) (t) = sn F (s) − sn−1 f (0) − sn−2 f 0 (0) − . . . − f (n−1) (0) ,
n≥1
6. L (tn f (t)) = (−1)n F (n) (s), para n ≥ 1. ³ ´ R ∞ 7. L f (t) = s F (u) du. t 8. L
³R t
´ f (u) du = 0
F (s) s .
Nota: Cada una de estas propiedades tiene su lectura usando transformadas inversas de Laplace. As´ı por ejemplo, la propiedad (2) ser´ıa ¡ ¢ L−1 e−as F (s) = f (t − a)h(t − a) , a > 0
15.6
Transformadas de Laplace elementales
1. L(a) = as , ∀a ∈ R. En particular L(1) = 1s . 2. L (tn ) =
n! , sn+1
∀n ∈ N. En particular L(t) =
1 . s2
3. L (tp ) = Γ(p+1) , p > −1. sp+1 ¡ at ¢ 1 4. L e = s−a , definida para s > a. ¡ ¢ n! 5. L tn eat = (s−a) n+1 , definida para s > a. 6. L(sen at) =
a . s2 +a2
7. L(cos at) =
s . s2 +a2
8. L(sh at) =
a . s2 −a2
9. L(ch at) =
s . s2 −a2
10. L (h(t − a)) =
e−as s ,
a ≥ 0. En particular L (h(t)) = 1s .
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM
15.7
3
C´ alculo de transformadas de Laplace por desarrollo en serie
Si f (t) =
P∞
n=0 an t
n,
∀t ≥ 0, entonces L (f (t)) =
∞ X
an L(tn ) =
n=0
∞ X n!an sn+1
n=0
siendo v´alido este c´alculo si esta u ´ltima serie converge para s > a, a ∈ R.
15.8
Transformada de Laplace de funciones peri´ odicas
Si f : [0, ∞) −→ R es peri´odica de periodo T > 0, entonces Z T 1 f (t)e−st dt L (f (t)) = 1 − e−sT 0
15.9
Convoluci´ on y transformadas de Laplace
Si f, g : [0, ∞) −→ R, se define su convoluci´ on como Z t (f ∗ g)(t) = f (x)g(t − x) dx ,
∀t ≥ 0
0
La convoluci´on de dos funciones tiene la propiedad conmutativa, y adem´as L (f ∗ g) = L(f ) · L(g) −1
L
15.10
(F · G) = L−1 (F ) ∗ L−1 (G)
Transformada de Laplace inversa de funciones racionales
Sea
P (s) Q(s) donde P y Q son polinomios con grado(P ) < grado(Q), que se necesita para que se cumpla que lims→∞ F (s) = 0 (condici´on para que F (s) pueda tener transformada inversa de Laplace). Para hallar L−1 (F ) se calcula la descomposici´on en fracciones simples de F (s), pudiendo salir sumandos del tipo F (s) =
A ; s−a
A ; (s − a)p
As + B ; (s + a)2 + b2
As + B [(s + a)2 + b2 ]p
y se calcula hallando la transformada inversa de Laplace de cada uno de estos sumandos, que se hace como sigue: µ ¶ A L−1 = Aeat s−a µ ¶ µ ¶ A 1 Aeat tp−1 −1 at −1 L = Ae L = (s − a)p sp (p − 1)! ¶ µ ¶ µ ¶ µ s+a b As + B −1 −1 −1 = αL + βL L (s + a)2 + b2 (s + a)2 + b2 (s + a)2 + b2 −at −at = αe cos bt + βe sen bt = (α cos bt + β sen bt) e−at
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4
donde α, β ∈ R habr´a que determinarlos en cada caso, y la transformada de Laplace del u ´ltimo tipo se halla aplicando convoluci´ on.
15.11
F´ ormula de Heaviside
Si
n Y Q(s) = (s − ai ) i=1
con ai ∈ C, 1 ≤ i ≤ n, y ai 6= aj para i 6= j, entonces µ L
15.12
−1
P (s) Q(s)
¶ =
n X P (ai ) ai t e Q0 (ai ) i=1
Aplicaci´ on al c´ alculo de integrales
Si F (s) = L (f (t)), entonces
Z
∞
f (t)e−at dt = F (a)
0
En particular, si a = 0, se tiene que Z
∞
f (t) dt = F (0) 0
15.13
Aplicaci´ on a la resoluci´ on de ecuaciones y sistemas diferenciales lineales
Puesto que la transformada de Laplace de la derivada de una funci´on ¡ ¢ L f 0 (t) = sF (s) − f (0) no aporta derivadas a la transformada de la funci´on, el m´etodo consiste en aplicar transformadas a la ecuaci´on o sistema, hallar algebraicamente las transformadas de las soluciones y, por u ´ltimo, hallar las soluciones mediante transformadas inversas de Laplace.
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1
Ejercicios Tema 15: Transformada de Laplace. Aplicaciones 1. Hallar, usando la definici´on, la transformada de Laplace de (a) f (t) = tp , p > −1. (b) f (t) = eat . Sol.: (a) F (s) =
Γ(p+1) ; sp+1
(b) F (s) =
1 s−a ,
s > a.
2. Hallar, mediante desarrollo en serie, la transformada de Laplace de (a) f (t) = e−t . (b) f (t) = sen t. Sol.: (a) F (s) =
1 s+1 ,
s > −1; (b) F (s) =
1 . s2 +1
3. Hallar la transformada de Laplace de la funci´on que se obtiene al expandir peri´odicamente, con periodo 1, la funci´on f (t) = t, 0 ≤ t < 1. −s . Sol.: F (s) = 1−(1+s)e s2 (1−e−s ) 4. Hallar, usando convoluci´on, la transformada inversa de Laplace de F (s) = Sol.: f (t) =
1 (s2 + 4s + 13)2
(sen 3t−3t cos 3t)e−2t . 54
5. Hallar:
µ −1
L
3s + 1 (s − 1)(s2 + 1)
¶
Sol.: f (t) = 2et − 2 cos t + sen t. 6. Hallar, mediante transformadas de Laplace, la siguiente integral Z ∞ sen t dt t 0 Sol.: π/2. 7. Utilizando las propiedades de la transformada de Laplace, calcular: Rt (a) L[s(t)], siendo s(t) = 0 senu u du. ³ 2 ´ ³ ´ ³ ´ 1 s t −1 (b) L−1 (s2s+1)2 y L−1 (s2 +1) = t sen 2 , sabiendo que L 2 2 2 . (s +1) ³ ´ 2s2 −4 (c) L−1 (s+1)(s+2)(s−3) .
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2
(d) L[fi (t)], siendo fi (t), i = 1, 2, la funci´on cuya gr´afica es: 6
3
6
2
¡@ ¡ @ ¡ @ f2 ¢ A ¢ A ¢ A ¢ A
f1
1
¡ ¡
@ @
¡
1
1
@
2
3
-
¢ ¢
A A -
1
2
3
4
Sol.: (a) F (s) = 1s arctan 1s ; (b) f (t) = (sen t + t)/2 y g(t) = (sen ¡ t cos−s ¢ t 2− t cos t)/2; 1 −t 4 −2t 7 3t −2s −3s = 2e + 5e + 10 e ;¢ (d) F1 (s) = 1 − e − e +e /s y F2 (s) = ¡(c) f (t) 2 − e−s − 2e−2s − e−3s + 2e−4s /s2 . 8. Calcular, usando transformadas de Laplace, las siguientes integrales: R ∞ −t −3t dt. (a) 0 e −e t ³ ´ R∞ 1 (b) 0 t 1 − e− 2 t + e−2t cos t dt. R∞ 2 (c) 0 e−t dt. √ Sol.: (a) ln 3; (b) −2/5; (c) π/2. 9. Resolver, utilizando transformadas de Laplace, las siguientes ecuaciones diferenciales y sistemas: ½ 2 , si 0 < t ≤ 1 0000 x (t) = ½ 00 0 , si 1 < t ≤ 2 y − 3y 0 + 2y = 2e3t 0 x(t) + y (t) = 0 ; (a) ; (e) y(0) = 0 , y 0 (0) = 1 0 (0) = x00 (0) = x000 (0) = 0 x(0) = x y(0) = 3 0 ½ 00 x = −7x − 6y + t y + y = et y 0 = 12x + 10y (b) ; (f) ; y(1) = 1 , y 0 (1) = 0 x(3) = 1 ; y(3) = −8 0 , si 0 < t < 2 ½ 0−y = 1 , si 2 < t < 3 1 , si 0 < t < 2 x 0 y +y = 0 , si t > 3 0 , si t ≥ 2 ; (c) ; (g) 0−x=1 y y(0) = 0 x(1) = y(1) = 1 ½ 1 , si 0 < t < 1 x0 − y = ½ 00 ½ 0 , si t > 1 ty + 4y 0 + 9ty = cos 3t ; t > 0 0 , si 0 < t < 2 ; (h) . (d) 0 y(0) = 0 ; y 0 (0) = 1/4 y −x= 1 , si t > 2 x(0) = y(0) = 0
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3
Sol.: (a)(y = e3t − e2t ; (b) y = [et + (2 − e) cos(t − 1) − e sen(t − 1)]/2; 1 − e−t , si 0 < t < 2 (c) y = ; 2 −t (e − 1)e , si t ≥ 2 , si 0 < t < 1 sh t (d) x = sh t − sh(t − 1) , si 1 < t < 2 ; sh t − sh(t − 1) + ch(t − 2) − 1 , si t > 2 , si 0 < t < 1 ch t − 1 y = ch t − ch(t − 1) , si 1 < t < 2 ; ch t − ch(t − 1) + sh(t − 2) , si t > 2 (e) x = [t4 − (t − 1)4 h(t − 1)]/12; y = [180 + t5 − (t − 1)5 h(t − 1)]/60; (f) x = −8 − 5t − et−3 + 25e2(t−3) ; y = 9 + 6t + 4et−3 − 39e2(t−3) ; (g) x = [et−1 − 1 + ch(t − 1)]h(t − 1) − sh(t − 2)h(t − 2) + sh(t − 3)h(t − 3); y = [ch(t − 1) + 2 sh(t − 1)]h(t − 1) − [ch(t − 2) − 1]h(t − 2) + [ch(t − 3) − 1]h(t − 3); 3t (h) y = sen 12 . 10. Resolver, utilizando transformadas de Laplace, las siguientes ecuaciones diferenciales y sistemas: 0 Rt x + 2x + 6 0 y(u) du = −2 (a) x0 + y 0 + y = 0 x(0) = −5 ; y(0) = 6 ½ 0 , si 0 < t < 1 0 0 9x − 32y − 32y = 1 , si t ≥ 1 Rt (b) −2x0 + 0 x(u) du + 8y 0 + 8y = 0 x(0) = 32 ; y(0) = 9 Sol.: (a) x = 2−3e−4t −4e¢t ; y ¡= 4e−4t +2et ; (b) x = 32 cos 2t+ h(t−1) sen 2(t−1); 2 ¡ ¢ y= −1 1 1−t 9 9 9 −t + 4 cos 2t − 2 sen 2t + 32 − 40 e + 160 cos 2(t − 1) + 80 sen 2(t − 1) h(t − 5 e 1). 11. Utilizando transformadas de Laplace: (a) Resolver:
½
(b) Demostrar que:
Z
x00 − 5x0 + 4x = 4 , t ≥ 0 x(0) = 0 , x0 (0) = 2 t
sen y cos(t − y) dy = 0
Sol.: (a) x(t) = 1 −
2et
+
e4t ,
t sen t 2
t ≥ 0.
12. Usando transformadas de Laplace, resolver el problema de Cauchy: 0 x − 2x + 3y = 4 − 2t y 0 + 2y − x = 2 − t x(0) = −1 , y(0) = 0 para t ≥ 0. Sol.: x(t) = t − e−t , y(t) = 1 − e−t , t ≥ 0.
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4
13. Resolver, utilizando la Transformada de Laplace, el problema de Cauchy: ½ 00 Rt y − 2y 0 + y − 2 0 y(u) du = 5 , t > 0 y(0) = 1 , y 0 (0) = 0 Sol.: y(t) = e2t − 2 sen t, t ≥ 0. 14. Resolver el problema de Cauchy ½ 1 , si 0 < t < 2 0 x −y = ½ 0 , si 2 < t 0 , si 0 < t < 2 y 0 − x0 = 1 , si 2 < t x(0) = 1 ; y(0) = 0 Sol.: x(t) = et h(t) − (t − 2)h(t − 2); y(t) = (et − 1)h(t). 15. Dada la funci´on f (t) = n, si (n − 1)α < t < nα, para n ≥ 1, siendo α un n´ umero real positivo y no nulo, se pide: (a) Trazar su gr´afica y obtener para f (t) una f´ormula que la exprese como una serie cuyos t´erminos sean funciones de Heaviside. (b) Calcular la transformada de Laplace de f (t). (c) Aplicando convoluci´on, calcular la transformada inversa de F (s) =
1 s2 (s2
+ 4)
(d) Resolver, mediante transformadas de Laplace, el problema de Cauchy ( x00 = 8 − 4t + 2 sen(2t − 4) x(2) = 1 , x0 (2) = 0 P∞
− nα); (b) L (f (t)) = s(1−e1−αs ) ; (c) L−1 (F (s)) = ¡ ¢ 2t−sen 2t h(t); (d) x(t) = t − 1 − 23 (t − 2)3 − 21 sen 2(t − 2) h(t − 2). 8
Sol.: (a) f (t) =
n=0 h(t
16. Dada la funci´on ( 0 , si 4ka < t < (4k + 2)a, k ≥ 0 f (t) = a , si (4k + 2)a < t < 4(k + 1)a, k ≥ 0 con a > 0, se pide: (a) Obtener su transformada de Laplace. (b) Resolver el problema de Cauchy ( x00 − 2x0 + x = f (t) (h(t) − h(t − 3a)) x(0) = x0 (0) = 2
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5
a Sol.: (a) L (f (t)) = s(e2as ; (b) x(t) = 2et h(t)+ +1) £¡ ¢ ¡ ¢ ¤ +a 1 + et−2a (t − 2a − 1) h(t − 2a) − 1 + et−3a (t − 3a − 1) h(t − 3a) .
17. Dada la funci´on
( f (t) =
cos 4t , si 0 ≤ t < 4π 0 , si t ≥ 4π
se pide: (a) Expresarla mediante la funci´on de Heaviside y hallar, aplicando las propiedades, su transformada de Laplace. (b) Resolver el problema de Cauchy ( x00 + 16x = f (t) x(0) = x0 (0) = 0 Sol.: (a) f (t) = h(t) cos 4t − h(t − 4π) cos 4t, L (f (t)) = (b) x = 18 (th(t) sen 4t − (t − 4π)h(t − 4π) sen(t − 4π)).
s(1−e−4πs ) ; s2 +16
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