Electrotécnia. Academia Militar Zaragoza

Curso 2012/13

Transparencias de la asignatura:

Fundamentos de Electrotecnia Grado en Ingeniería de Organización Industrial 2º curso, 2º cuatrimestre

• • • •

Miguel Ángel García García Joaquín Mur Amada Iván Cristóbal Monreal  Nabil El Halabi

Tema 1 Leyes de Kirchhoff. Referencias de  polaridad

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 1

2

Índice Tema 1.‐ Leyes de Kirchhoff. Referencias de polaridad. 1.1.‐ 1.2.‐ 1.3.‐ 1.4.‐ 1.5.‐

Generalidades. Unidades. Definiciones. Referencias de polaridad. Leyes de Kirchhoff. 1.5.1‐ Primera ley de Kirchhoff. 1.5.2‐ Segunda ley de Kirchhoff.

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 1

3

1.1. Generalidades • Se llama circuito eléctrico a un conjunto de elementos conectados entre sí en donde existe la posibilidad de que circule una corriente eléctrica. • La Teoría de Circuitos se dedica al estudio de las propiedades y el comportamiento de los circuitos eléctricos. • Analizar un circuito consiste en hallar para cada elemento de dicho circuito: – la diferencia de potencial existente entre sus bornes – la corriente eléctrica que lo atraviesa Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 1

4

1.2. Unidades • Se va a utilizar fundamentalmente el sistema internacional de unidades (S.I.) Magnitud

Unidad (S.I.)

Carga eléctrica (q)

Culombio (C)

Tensión o caída de tensión (u)

Voltio (V)

Corriente eléctrica o intensidad (i)

Amperio (A)

Resistencia (R)

Ohmio ()

Capacidad (C)

Faradio (F)

Coeficiente de autoinducción (L)

Henrio (H)

Densidad de flujo magnético (B)

Tesla (T)

Flujo magnético ()

Weber (Wb) = T∙m2

Intensidad de campo magnético (H)

Amperio por metro (A/m)

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 1

5

1.3. Definiciones • Se define la corriente eléctrica como el número de cargas que circulan por una sección dada de un conductor por unidad de tiempo debido a la existencia de una diferencia de potencial eléctrico entre sus extremos.

dq(t ) i(t )  dt

• Se define la tensión entre dos puntos 1 y 1' como la diferencia entre los potenciales eléctricos de esos puntos.

u11' (t )  V1  V1'

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 1

6

1.3. Definiciones • Se define rama de un circuito al elemento o grupo de elementos que presenta dos terminales y del que se puede conocer la relación entre la tensión entre sus terminales y la corriente que lo atraviesa. • Se define nudo de un circuito al punto de unión de dos o más ramas. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

R1

5

4

C A

eg(t)

R2 1

ig(t)

+

C R4

3 L

6

B

R3

2 D

Tema 1

7

1.4. Referencias de polaridad • Para indicar la tensión en bornes o la intensidad que circula por un elemento de un circuito: – no basta con indicar el valor de dichas magnitudes, – también es necesario determinar el sentido en que circula la corriente por el elemento, o bien cuál de sus dos extremos se encuentra a mayor potencial eléctrico. – Para poder determinar de una forma sencilla estos sentidos, es necesario asignar a cada elemento de un circuito lo que se denominan referencias de polaridad.

• Por convenio, se toma como sentido de la corriente el opuesto al movimiento de los electrones, esto es, el sentido del movimiento de unas supuestas cargas ideales positivas. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 1

8

1.4. Referencias de polaridad • Referencia de polaridad de intensidad: – Dado un conductor por el que circula una corriente eléctrica, la forma de dar una referencia de corriente a dicho conductor consiste en dibujar sobre él una flecha en sentido arbitrario. – Otra manera de establecer la referencia de corriente en un conductor consiste en la utilización de un doble subíndice 1’

i(t)

i11' (t) = – i1'1(t)

1 Primera forma Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Segunda forma Tema 1

9

1.4. Referencias de polaridad • Referencia de polaridad de tensión: – una forma de dar referencia a la tensión que existe entre estos dos puntos es a través de los subíndices, colocando en primer lugar el subíndice correspondiente al punto a mayor potencial eléctrico – dibujar una flecha que, partiendo del punto supuesto a mayor potencial eléctrico, apunte al terminal a menor potencial. El terminal supuesto a mayor potencial se señala con el signo “+”.

u11‘ (t) = V1 –V1' Primera forma

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

u(t)

1 +

Segunda forma Tema 1

1’ 10

1.5. Leyes de Kirchhoff • 1.5.1. Primera Ley de Kirchhoff (1ª L.K.) – La suma algebraica de todas las intensidades que entran (salen) en (de) un nudo a través del conjunto de conductores que concurren en él es, en todo instante, cero.  isalen (t)  0  ientran (t)  0 algebraica

algebraica

i1

i2

i

entran

(t )   isalen (t )

i3 i4

Ejemplos:

i1  i2  i3  i4  0

i1  i2  i3  i4  0 Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 1

i1  i3  i2  i4 11

1.5. Leyes de Kirchhoff • Generalización de la 1ª L.K. – La suma algebraica de las intensidades que entran (salen) en (de) un recinto cerrado por todos los conductores que atraviesan su frontera es, en todo instante, cero  isalen (t)  0  ientran (t)  0 i1

i2

algebraica

algebraica

i

entran

(t )   isalen (t )

Ejemplos: i4 Fundamentos de Electrotecnia

i3 CUD / 2012‐2013

i1  i2  i3  i4  0 i1  i2  i3  i4  0 Tema 1

i1  i4  i2  i3 12

1.5. Leyes de Kirchhoff • 1.5.2. Segunda Ley de Kirchhoff – La suma algebraica de las tensiones a lo largo de cualquier trayectoria cerrada de un circuito es, en todo instante, cero. Ejemplos: B u1(t)

u2(t)

A+ + u5(t)

u6(t)

u3(t)

+ E +

u4(t)

+ C +

D

Trayectoria ABCDEA .............. u1 (t )  u2 (t )  u3 (t )  u4 (t )  u5 (t )  0 Trayectoria ABEA .................. u1 (t)  u6 (t)  u5 (t)  0 Trayectoria EBCDE ............. u6 (t )  u2 (t )  u3 (t )  u4 (t )  0   u6 (t )  u2 (t )  u3 (t )  u4 (t ) Trayectoria EBAE ............... u6 (t )  u1 (t )  u5 (t )  0   u6 (t )  u1 (t )  u5 (t )

uEB (t )  u6 (t )  u5 (t )  u1 (t )  u4 (t )  u3 (t )  u2 (t )     Trayectoria EAB

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 1

Trayectoria EDCB 13

Referencias • •

PARRA, V. M.; ORTEGA, J.; PASTOR, A.; PEREZ, A.: “Teoría de Circuitos (Tomo I)”. Universidad Nacional de Educación a Distancia (UNED). BAYOD, A.A.; BERNAL, J.L.; DOMINGUEZ, J.A.; GARCIA GARCIA, M.A.; LLOMBART, A.; YUSTA, J.M.: “Análisis de circuitos eléctricos I”. Colección Textos Docentes, vol. 58. Prensas Universitarias de Zaragoza.

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 1

14

Tema 2 Elementos de circuitos

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 2

1

Índice Tema 2.‐ Elementos de circuitos. 2.1.‐Elementos ideales de circuitos. 2.1.1.‐Dipolos. 2.1.1.1.‐Resistencia. 2.1.1.2.‐Condensador. 2.1.1.3.‐Bobina. 2.1.1.4.‐Fuentes independientes. 2.1.1.5.‐Fuentes dependientes.

2.1.2.‐Cuadripolos. 2.1.2.1.‐Bobinas acopladas magnéticamente. 2.1.2.2.‐Transformador ideal.

2.2.‐Elementos reales de circuitos. 2.2.1.‐Resistencia. 2.2.2.‐Condensador. 2.2.3.‐Bobina. 2.2.4.‐Fuente real de tensión. 2.2.5.‐Fuente real de intensidad. 2.2.6.‐Voltímetro. 2.2.7.‐Amperímetro.

2.3.‐Asociación de resistencias. Divisores de tensión e intensidad resistivos. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 2

2

2.1. Elementos ideales de circuitos

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 2

3

2.1. Elementos ideales de circuitos • Se denomina dipolo a todo circuito eléctrico, compuesto por uno o varios elementos simples, que presenta dos terminales accesibles. • Se denomina cuadripolo a todo circuito eléctrico, compuesto por uno o varios elementos simples, que presenta cuatro terminales accesibles. 1

1 Dipolo

Cuadripolo 1’

1’ Fundamentos de Electrotecnia

2

CUD / 2012‐2013

2’

Tema 2

4

2.1. Elementos ideales de circuitos • Caracterizar un elemento de un circuito consiste en expresar una relación funcional entre la intensidad que circula a través de él y la caída de tensión entre sus terminales.

u   f (i)

i  g(u)

• Estas ecuaciones, que modelan matemáticamente el comportamiento de dichos elementos, se denominan ecuaciones de definición. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 2

5

2.1.1. Dipolos • El signo de las ecuaciones de definición depende del sentido relativo entre las referencias de tensión y de intensidad. 1

i(t)

1

+

+

u(t)

u(t)

1’

i(t)

1

1’

CUD / 2012‐2013

1

u(t)

u(t)

+

+

1’

i(t)

1’





+ Fundamentos de Electrotecnia

i(t)

Tema 2

+ 6

2.1.1.1. Resistencia • Al circular por ella una corriente eléctrica, disipa energía en forma de calor. • La caída de tensión entre sus terminales es proporcional a la corriente que circula a través de ella Ley de Ohm. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Representación: 1

R 1’

Ec. de definición:

u(t )   R∙i(t ) R: Resistencia (se mide en ohmios, ) Tema 2

7

2.1.1.1. Resistencia • Otra ecuación de definición: 1

i(t )   G∙u(t ) G

G: Conductancia (se mide en siemens, S)

1’

• Se cumple que: Fundamentos de Electrotecnia

1 G R

CUD / 2012‐2013

Tema 2

8

2.1.1.1. Resistencia • Ejemplos: 1

1

u(t )   R∙i(t )

i(t)

R

+

u(t)

i(t )   G∙u(t )

i(t)

R

u(t )   R∙i(t )

+

u(t)

1’

1’

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

i(t )   G∙u(t ) Tema 2

9

2.1.1.1. Resistencia • Casos particulares: – Si R = 0 (G = ), se cumple que la caída de tensión entre sus terminales es, en todo instante, igual a cero (u(t)=0). A este elemento se le denomina cortocircuito. – Si R =  (G = 0), se cumple que la corriente que circula por ella es, en todo instante, igual a cero (i(t) = 0). A este elemento se le denomina circuito abierto. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 2

1

i(t)  0

+ R = 0

u(t) = 0 1’

1

i(t) = 0

+ R = 

u(t)  0 1’ 10

2.1.1.2. Condensador • Elemento constituido por dos conductores enfrentados separados por un medio aislante llamado dieléctrico. • Al aplicar una tensión entre estos dos conductores se depositan cargas eléctricas de signos contrarios en cada uno de ellos, apareciendo un campo eléctrico en el medio aislante. • La cantidad de carga depositada es proporcional a la diferencia de potencial entre las placas. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

1

i(t)

+ +++ +++

u(t)

‐‐‐ ‐ ‐ ‐

C

1’

q(t )  C  u(t ) C: Capacidad  (se mide en faradios, F) Tema 2

11

2.1.1.2.  Condensador 1

• Representación:

C 1’

• Ecuaciones de definición:

q(t )  C  u(t ) du(t ) i(t )  C  dt

du(t ) i(t )  C  dt

dq(t ) du(t ) C dt dt

t 1 t 1  t0 1 t  u(t )    i( )d    i( )d   i( )d  u(t 0 )   i( )d t0  C  C   C t0

1 t u(t )  u(t 0 )   i( )d C t0 Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 2

12

2.1.1.2.  Condensador du(t ) • A partir de: i(t )  C  dt • Se deduce que: – La tensión en bornes del condensador ha de ser una función continua en el tiempo, ya que la existencia de puntos de discontinuidad supondría la existencia de instantes en los que la intensidad fuera infinita, algo físicamente imposible. – Si la tensión en bornes de un condensador tiene un valor constante en el tiempo (caso de corriente continua), su derivada respecto del tiempo es cero y, por lo tanto, i(t) = 0 t, es decir, no circulará intensidad por el condensador. En estas condiciones, el condensador se comporta como un circuito abierto. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 2

13

2.1.1.2.  Condensador • En un tema posterior, se justificará que: – A frecuencias altas, un condensador se comporta como un cortocircuito (elemento que, en todo instante, presenta una tensión cero entre sus terminales).

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 2

14

• Elemento constituido por un conductor arrollado en forma de hélice alrededor de un núcleo. Cada una de las vueltas del arrollamiento se denomina espira. • Al circular una intensidad por el conductor arrollado, se crea un campo magnético en el interior del núcleo de la bobina proporcional a la intensidad y en la dirección del eje de la bobina. El sentido de este campo es el del avance de un sacacorchos que gira con la corriente («regla del sacacorchos»). Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013



2.1.1.3.  Bobina «Regla de la mano derecha»

_ B

i(t)

+

i(t)

u(t)

N   (t )   L  i(t ) L: coeficiente de  autoinducción (se mide en henrios, H) Tema 2

15

2.1.1.3.  Bobina 1 L

• Representación: 1’

• Ecuaciones de definición: N   (t )   L  i(t )

N

Ley de Faraday: u(t )  L

di(t ) dt

d (t ) di(t ) L dt dt

u(t )  N

d (t ) dt

u(t )  L

di(t ) dt

di(t ) u(t )  L dt

t 1 t 1  t0 1 t  i(t )    u( )d    u( )d   u( )d  i(t 0 )   u( )d  t0 L  L   L t0

1 t i(t )  i(t 0 )   u( )d L t0 Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 2

16

2.1.1.3.  Bobina di(t ) • A partir de: u(t )  L dt • Se deduce que: – La intensidad que circula por una bobina ha de ser una función continua en el tiempo, ya que la existencia de puntos de discontinuidad implicaría la existencia de instantes en los que la tensión entre sus bornes fuera infinita, algo físicamente imposible. – Si la intensidad que circula por una bobina es constante en el tiempo (caso de circuitos de corriente continua), su derivada con respecto al tiempo es cero y, por lo tanto, la tensión en bornes de la bobina es en todo instante cero. En estas condiciones, la bobina se comporta como un cortocircuito. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 2

17

2.1.1.3.  Bobina • En un tema posterior, se justificará que: – A frecuencias altas, una bobina se comporta como un circuito abierto (elemento por el que, en todo instante, circula una intensidad cero).

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 2

18

2.1.1.4. Fuentes independientes • Fuente ideal independiente de tensión: – Se trata de un elemento de circuito que establece entre sus terminales una tensión bien definida a lo largo del tiempo. – Dicha tensión es, además, independiente del resto del circuito al cual está conectada la fuente. 1

i(t)

+ + u(t)

eg(t)

u(t )   eg (t )

1’ Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 2

19

2.1.1.4. Fuentes independientes • Ejemplo: Fuente ideal independiente de tensión continua (Notar como el valor de la tensión en bornes de la fuente es independiente del resto del circuito) i2(t)

i1(t) 1 +

+ eg(t)= 4 V

+ R1 = 2 

u1(t)

eg(t)= 4 V

u1(t) = 4 V

u2(t)

R2 = 4 

u2(t) = 4 V i2(t) =  4/4 = 1 A

i1(t) = 4/2 = 2 A CUD / 2012‐2013

+

1’

1’

Fundamentos de Electrotecnia

1

Tema 2

20

2.1.1.4. Fuentes independientes • Fuente ideal independiente de intensidad: – Se trata de un elemento de circuito que suministra una intensidad bien definida a lo largo del tiempo. – Dicha intensidad es, además, independiente del resto del circuito al cual está conectada la fuente. i(t) 1

+ u(t)

ig(t)

i(t )   ig (t )

1’

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 2

21

2.1.1.4. Fuentes independientes • Ejemplo: Fuente ideal independiente intensidad continua

de

(Notar como el valor de la corriente que suministra la fuente es independiente del resto del circuito) i1(t)

i2(t)

1

+

+ ig(t)= 2 A

u1(t)

R1 = 2 

ig(t)= 2 A

i1(t) = 2 A

R2 = 4 

i2(t) = 2 A

u1(t) = i1(t)∙R1 = 4 V CUD / 2012‐2013

u2(t) 1’

1’

Fundamentos de Electrotecnia

1

u2(t) = i2(t)∙R2 = 8 V Tema 2

22

2.1.1.4. Fuentes independientes • Casos particulares:

i(t)  0

– Si una fuente de tensión es constantemente de valor cero, esto es eg(t) = 0 (para todo t), se trata de un cortocircuito. – Si una fuente de intensidad es constantemente de valor cero, esto es, ig(t) = 0 (para todo t), se trata de un circuito abierto.

1

+ u(t) = 0

eg(t) = 0 1’

i(t) = 0 1

+ u(t)  0

ig(t) = 0 1’

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 2

23

2.1.1.5. Fuentes dependientes • Elementos tales que la tensión o intensidad que suministran depende de la tensión o intensidad en otra parte del circuito. eg(t) =  = ∙u(t)

+ ‒

: adimensional

Circuito eléctrico

eg(t) =  = ∙i(t)

+ ‒

Circuito eléctrico

: ohmios []

+ u(t)

i(t)

Fuente de tensión dependiente de tensión

Fuente de tensión dependiente de intensidad

, , ,  son constantes

ig(t) =  = ∙u(t) : siemens [S]

Circuito eléctrico

ig(t) =  = ∙i(t)

+ u(t)

: adimensional

Circuito eléctrico

i(t)

Fuente de intensidad dependiente de tensión Fuente de intensidad dependiente de intensidad Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 2

24

2.1.2. Cuadripolos • Como ya se ha dicho, se denomina cuadripolo a todo circuito eléctrico, compuesto por uno o varios elementos simples, que presenta cuatro terminales accesibles. 1

2 Cuadripolo

1’

2’

• Cuadripolos que se van a estudiar: bobinas acopladas magnéticamente, transformador ideal. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 2

25

2.1.2.1.

Bobinas acopladas  magnéticamente

• Dos circuitos se dice que están acoplados cuando intercambian energía. • Las variables que se presentan en cada uno de ellos no dependen únicamente de los parámetros de sus propios elementos, sino que también dependen de parámetros de acoplamiento o mutuos. • Propiedad: Dado un medio magnético lineal, se cumple que el flujo magnético en una sección debido a la acción conjunta de dos intensidades es igual a la suma de los flujos en esta misma sección debido a la acción de cada intensidad considerándolas por separado. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 2

Representación: 2

1 L1

L2

1’

2’

26

2.1.2.1.

Bobinas acopladas  magnéticamente

• Análisis de los flujos:

1

1 (t )  11 (t )  12 (t ) 2 (t )  22 (t )  21 (t ) flujo de  dispersión

i1(t)

flujo mutuo m (t )  21 (t )  12 (t )

1 (t )  11 (t )  12 (t )  S 1 (t )  m (t ) 2 (t )  22 (t )  21 (t )  S 2 (t )  m (t )

Fundamentos de Electrotecnia

Máquinas CUD / 2012‐2013

2

L2

L1

1 (t )  11 (t )  12 (t )  S 1 (t )  21 (t )  12 (t ) 2 (t )  22 (t )  21 (t )  S 2 (t )  12 (t )  21 (t )

i2(t) S2(t)

S1(t)

11 (t )  21 (t )  S1 (t ) 22 (t )  12 (t )  S 2 (t )

Circuitos

21(t)

12(t) 1’

2’

1 (t ):  Flujo total que abarca una espira de la bobina 1 2 (t ):  Flujo total que abarca una espira de la bobina 2 ij (t ):  Flujo que abarca una espira de la bobina "i "debido a que circula intensidad por la bobina "j" Tema 2

27

2.1.2.1.

Bobinas acopladas  magnéticamente

• Relación entre los flujos y las intensidades: N1  11 (t )  L1  i1 (t ) N1  12 (t )  M12  i2 (t )

1

i1(t)

21(t)

S1(t)

N2  21 (t )  M21  i1 (t ) N2  22 (t )  L2  i2 (t )

i2(t)

2

S2(t) L2

L1 12(t) 1’

2’

Donde: L1 y L2 : coeficientes de autoinducción de las bobinas, M12 y M21: coeficientes de inducción mutua y sus unidades son HENRIOS (H) Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 2

28

2.1.2.1.

Bobinas acopladas  magnéticamente

• Determinación del signo en las ecuaciones: – Dibujar las bobinas acopladas en representación espacial y dar también referencias para los flujos (engorroso). – Utilizar el concepto de terminales correspondientes. • Se llaman así al conjunto de terminales (un terminal de cada una de las bobinas acopladas) para los que se verifica que, si entra (o sale) por ellos simultáneamente intensidad en cada una de las bobinas, se originan líneas de campo magnético comunes del mismo sentido. 1 Terminales  correspondientes:  1 y 2

i1(t)



i2(t)

Fundamentos de Electrotecnia

Terminales  correspondientes:  1 y 2’



1’

1

2

1’

2’ CUD / 2012‐2013

Tema 2

i1(t)



2

 i2(t) 29

2’

2.1.2.1.

Bobinas acopladas  magnéticamente

• Ecuaciones de definición: 1 (t )  11 (t )  12 (t ) 2 (t )  22 (t )  21 (t )

M

1

Multiplicar por N1 y N2, y derivar

L1

d1 (t ) d (t ) d (t )  N1 11  N1 12 dt dt dt d (t ) d (t ) d (t ) N2 2  N2 22  N2 21 dt dt dt N1

1’

2 L2 2’

Ley de Faraday y relación entre flujos e intensidades d (t ) d (t ) di (t ) di (t ) u1 (t )  N1 11  N1 12  L1 1  M12 2 dt dt dt dt d (t ) d (t ) di (t ) di (t ) u2 (t )  N2 22  N1 21  L2 2  M21 1 dt dt dt dt

En general, se cumple que M12 = M21 = M.

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

di1 (t ) di (t )  M12 2 dt dt di (t ) di (t ) u2 (t )  L2 2  M21 1 dt dt u1 (t )  L1

Tema 2

30

2.1.2.1.

Bobinas acopladas  magnéticamente

• Signo de las ecuaciones de definición: – Términos que contienen Li: Se miran las referencias de tensión e intensidad sobre la bobina “i”. Si ambas llevan el mismo sentido sobre esta bobina, el signo del término es “+”. En caso contrario, signo “‒”. – Términos que contienen Mij: Se miran las referencias de la tensión “i”, la intensidad “j” y los terminales correspondientes. Si la intensidad “j” entra por terminal marcado de la bobina “j” (se puede razonar de la misma manera en el caso de que le intensidad “j” salga por el terminal marcado), la intensidad equivalente que circulando por la bobina “i” crearía el mismo efecto, sería una intensidad que entrase por el terminal marcado de la bobina “i”. Si dicha intensidad equivalente en la bobina “i” lleva sobre ella el mismo sentido que le referencia de la tensión “i”, el signo del término es positivo. En caso contrario, signo “‒”. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 2

31

2.1.2.1.

Bobinas acopladas  magnéticamente

• Ejemplo:

i1(t)

1

M12 = M21

i2(t)

2

+

u1(t)

L1

1’

L2

u2(t) + 2’

di di di11(t(t)) di22(t(t)) u1 (t )  LL11 M M1212 dt dt dt dt di2 (t ) di11(t ) u2 (t )  L22  M21 21 dt dt Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 2

32

2.1.2.2. Transformador ideal • Es un elemento constituido por dos o más bobinas acopladas magnéticamente. • El acoplamiento magnético entre las bobinas se consigue gracias a que éstas están arrolladas sobre un núcleo encargado de conducir el campo magnético que crean las intensidades que pueden circulan por dichas bobinas. • Si la relación entre las intensidades que circulan por las bobinas y el flujo magnético en el núcleo es lineal, se hablará del transformador lineal. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 2

33

2.1.2.2. Transformador ideal • Un transformador se considera ideal cuando cumple las siguientes condiciones: – 1) Las bobinas que lo forman carecen de resistencia. – 2) No existe flujo de dispersión en las bobinas. El acoplamiento entre ellas es perfecto. – 3) La permeabilidad magnética del medio que conduce el campo magnético es infinita. – 4) Dicho núcleo magnético carece de histéresis y en él no se inducen corrientes parásitas. – 5) No existen capacidades parásitas entre las espiras de las bobinas ni entre éstas. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

1 +

i1(t)

i2(t)

u1(t) 1’

2 + u2(t) 2’

d1 (t ) u1 (t )  N1 dt d2 (t ) u2 (t )  N2 dt Tema 2

34

2.1.2.2. Transformador ideal • Ecuaciones de definición: d1 (t ) dt d (t ) u2 (t )  N2 2 dt

u1 (t )  N1

1 +

i1(t)

i2(t)

u1(t)

1 (t )  S1 (t )  m (t ), 2 (t )  S 2 (t )  m (t ) dS 1 (t ) d (t )  N1 m dt dt d (t ) d (t ) u2 (t )  N2 S 2  N2 m dt dt

1’

2 + u2(t) 2’

a:1

u1 (t )  N1

No existen flujos de dispersión d (t ) u1 (t )  N1 m u1 (t ) dt d (t ) u2 (t ) u2 (t )  N2 m dt Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

N1 a  : Relación de transformación N2 1ª Ec. de definición

u1 (t ) a u2 (t )

N1  N2 Tema 2

35

2.1.2.2. Transformador ideal No confundir a:1 con a=1

• Ecuaciones de definición:

N1 a : 1  : 1  N1 : N2 N2 N a  1  1  1  N1  N2 N2

– Ley de Ampère:    H  dl   N  i(t)   BS

H  l   N  i(t )

B   H

1 l m (t )     N  i(t )  S

1 +

i1(t)

i2(t)

2 +

u1(t) 1’

Permeabilidad infinita

u2(t) 2’

a:1

2ª Ec. de definición

N1  i1 (t )  N2  i2 (t )  0 Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

N1  i1 (t )  N2  i2 (t )  0 Tema 2

36

2.1.2.2. Transformador ideal • Determinación del signo en ecuaciones de definición: u1 (t ) N1 – Primera ecuación (  ) u2 (t ) N2 • Si ambas referencias de tensión parten de o llegan a terminales correspondientes, signo “+”. En caso contrario, signo “–”.

– Segunda ecuación ( N1  i1 (t )  N2  i2 (t )  0 ) • Si ambas referencias de intensidad entran o salen por terminales correspondientes, signo “+”. En caso contrario, signo “–”. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 2

37

2.1.2.2. Transformador ideal • Ejemplos: 1 +

i1(t)

i2(t)

u1(t)

u2(t)

1’

1 +

+ 2’

a:1 i1(t)

i2(t)

u1(t) 1’

2

2 + u2(t)

a:1

Fundamentos de Electrotecnia

2’ CUD / 2012‐2013

u1 (t ) N1    a u2 (t ) N2 N1i1 (t )  N2 i2 (t )  0

u1 (t ) N1    a u2 (t ) N2 N1i1 (t )  N2 i2 (t )  0 Tema 2

38

2.2. Elementos reales de circuitos

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 2

39

2.2.1. Resistencia • 2.2.1. Resistencia – En el mercado es posible encontrar resistencias de muy diversos tipos: • Fijas • Variables: – – – – –

Potenciométros Con la tensión Con la temperatura Con la luz Etc.

Potenciómetros

VDR  (tensión)

LDR (luz) Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 2

NTC, PTC  (temperatura)

40

2.2.1. Resistencia – Parámetros de una  resistencia: • Resistencia • Potencia máxima que es capaz de disipar (de ¼ W, ½ W, 1 W, etc) • Tolerancia máxima  (desde 0,5% hasta 10%) • Los valores se indican: – Escritos en la superficie (100  ± 10%) – Mediante franjas de colores. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 2

41

2.2.2. Condensador • 2.2.2. Condensador – Diferentes tipos: electrolíticos, de papel, de poliéster, cerámicos, etc, (según el dieléctrico).

Poliéster

Polipropileno

Electrolítico

Tántalo

– Parámetros de un condensador: • Capacidad. • Tensión máxima que es capaz de soportar sin perforarse. • Tolerancia (mediante valores o colores). Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 2

42

2.2.3. Bobina • 2.2.3. Bobina – La bobina es el elemento en el que su comportamiento real más se aleja del comportamiento ideal. – Existen diferentes tipos según su núcleo.

Núcleo de aire Fundamentos de Electrotecnia

Núcleo  ferrromagnético CUD / 2012‐2013

Núcleo toroidal Tema 2

Multitoma 43

2.2.4. Fuente real de tensión • 2.2.4. Fuente real de tensión – En una fuente indepen‐ diente de tensión real, se observa que la tensión en sus bornes disminuye con‐ forme aumenta la inten‐ sidad que se solicita a dicha fuente. Rg +

Eg =

U Eg

I

u(t )  eg (t )  Rg  i(t ) Rg

I +

U

Resto circuito

Circuito equivalente de una  fuente real de tensión continua Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

+

eg (t)

Lg

i(t) +

u(t)

Resto circuito

Circuito equivalente de una  fuente real de tensión sinusoidal Tema 2

44

2.2.5. Fuente real de intensidad • 2.2.5. Fuente real de  intensidad – En una fuente real de intensidad se observa que conforme aumenta la tensión entre sus bornes va disminuyendo la intensidad que suministra.

Ig

I

U

i(t )  ig (t )  Gg  u  t  i(t)

I +

Ig

Gg U

Resto circuito

Circuito equivalente de una fuente  real de intensidad continua Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

+

ig (t)

Yg

Resto u(t) circuito

Circuito equivalente de una fuente  real de intensidad sinusoidal Tema 2

45

2.2.6. Voltímetro • 2.2.6. Voltímetro – Instrumento que sirve para medir la tensión existente entre dos puntos de un circuito eléctrico. 1

V

1’

– Se conecta en paralelo con los dos puntos entre los que se desea medir la tensión. i(t)

R1

iV=0

Voltímetro ideal

+

+

eg(t)

R2

U

V

i(t) Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 2

46

2.2.6. Voltímetro – Comportamiento ideal del voltímetro: No circula intensidad por el voltímetro. – Comportamiento real del voltímetro: Circula cierta intensidad por el voltímetro. Este comportamiento se puede modelar colocando una resistencia interna (Rv) en paralelo con un voltímeto ideal. – Voltímetro ideal Voltímetro real con resistencia interna infinita Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 2

iV0

iV ideal = 0

RV

V iV

Circuito equivalente de un  voltímetro real Rv viene indicada por el  fabricante

Si Rv = Voltímetro ideal 47

2.2.7. Amperímetro • 2.2.7. Amperímetro – Instrumento empleado para medir la intensidad que circula por un circuito. 1

1’

A

– Se conecta en serie con la rama del circuito en la que se desea medir la intensidad. R1 +

eg(t)

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

+

uA = 0

Amperímetro ideal

A R2

Tema 2

48

2.2.7. Amperímetro – Comportamiento ideal del amperímetro: No hay caída de tensión entre sus bornes. – Comportamiento real del amperímetro: Se produce una cierta caída de tensión entre sus bornes. Este comportamiento se puede modelar colocando una resistencia interna (RA) en serie con un amperímetro ideal. – Amperímetro ideal Amperímetro real con resistencia interna cero. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 2

uA0

+

RA +

uA

A +u

A ideal=0

Circuito equivalente de un  amperímetro real RA viene indicada por el  fabricante

Si RA = 0 Amperímetro  ideal 49

2.3. Asociación de resistencias

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 2

50

2.3. Asociación de resistencias • Asociación de resistencias en serie: 1 i(t)

R1

+ u (t) 1

R2

…

+ u (t) 2

+

Rk + uk(t)

…

Rn

1’

+ u (t) n



1 i(t)

Req

+

u(t)

1’

u(t) u1 (t )  R1  i(t ) u2 (t )  R2  i(t )  uk (t )  Rk  i(t )  un (t )  Rn  i(t )

Fundamentos de Electrotecnia

Segunda Ley de Kirchhoff

 n  u(t )   uk (t )    Rk   i(t ) k 1  k 1  n

n

Req   Rk k 1

Ley de Ohm

u(t )  Req  i(t ) CUD / 2012‐2013

Tema 2

51

2.3. Asociación de resistencias • Divisor de tensión: 1 i(t)

R1

+ u (t) 1

R2 + u (t) 2

+

 n  u(t )    Rk   i(t)  k 1  uk (t )  Rk  i(t)

…

Rk

…

+ uk(t)

Rn

1’

+ u (t) n

u(t)

uk (t ) Rk  n u(t )  Rk

uk (t ) 

k 1

Rk n

R k 1

u(t )

k

Expresión del divisor de tensión Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 2

52

2.3. Asociación de resistencias • Asociación de resistencias en paralelo: i(t) + u(t)

…

…

i(t)

i1(t) i2(t)

ik(t)

in(t)

G1

Gk

Gn

G2 …



1 1 1 1    ∙∙∙  Rn Req R1 R2

Primera Ley de Kirchhoff

 ik (t )  Gk  u(t )

 n  i(t )   ik (t )    G j   u(t ) k 1  k 1 



Ley de Ohm

in (t )  Gn  u(t )

i(t )  Geq  u(t )

Fundamentos de Electrotecnia

Geq

…

i1 (t )  G1  u(t ) i2 (t )  G2  u(t )

+ u(t)

n

CUD / 2012‐2013

n

Geq   Gk k 1

Tema 2

53

2.3. Asociación de resistencias • Divisor de intensidad: i(t) + u(t)

…

…

i1(t) i2(t)

ik(t)

in(t)

G1

Gk

Gn

G2

…

…

 n  i(t )    Gk   u(t )  k 1 

ik (t )  Gk  u(t )

ik (t ) 

ik (t ) Gk  n i(t )  Gk

Gk n

G k 1

k 1

i(t )

k

Expresión del divisor de corriente Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 2

54

Referencias • •

PARRA, V. M.; ORTEGA, J.; PASTOR, A.; PEREZ, A.: “Teoría de Circuitos (Tomo I)”. Universidad Nacional de Educación a Distancia (UNED). BAYOD, A.A.; BERNAL, J.L.; DOMINGUEZ, J.A.; GARCIA GARCIA, M.A.; LLOMBART, A.; YUSTA, J.M.: “Análisis de circuitos eléctricos I”. Colección Textos Docentes, vol. 58. Prensas Universitarias de Zaragoza.

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 2

55

Tema 3 Energía y potencia

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 3

1

Índice Tema 3.‐ Energía y Potencia. 3.1.‐Definiciones. 3.2.‐Energía y potencia en dipolos. 3.2.1.‐Resistencia. 3.2.2.‐Condensador. 3.2.3.‐Bobina. 3.2.4.‐Fuente ideal de tensión. 3.2.5.‐Fuente ideal de intensidad.

3.3.‐Energía y potencia en cuadripolos. 3.3.1.‐Bobinas acopladas magnéticamente. 3.3.2.‐Transformador ideal. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 3

2

3.1. Definiciones

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 3

3

3.1. Definiciones • Para las referencias de la figura, se define la potencia absorbida como:

1 i(t)

+ Dipolo

u(t) 1’

pabs (t )  u(t )  i(t) • Y la energía como:

Recordar que:

absorbida

— Si pabs(t) < 0, el dipolo  cede potencia.

t

t



t0

w(t)   p( ) d  w(t 0 )   p( ) d (suponiendo que w(‐) = 0) Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

— Si pabs(t) > 0, el dipolo  absorbe potencia.

Tema 3

— Se cumple que:

pced (t )   pabs (t ) 4

3.2. Energía y potencia en dipolos

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 3

5

3.2.1. Resistencia – La potencia absorbida por una resistencia, para las referencias dadas, se calcula como:

pabs (t )  u(t )  i(t )

1 i(t)

+ R

u(t)

u(t)  R  i(t)  i(t )  G  u(t)  

1’

2

u (t ) pabs (t )  R  i (t )   G  u2 (t ) R 2

La energía absorbida por  una resistencia:

– La energía absorbida por una resistencia se calcula:

‐ Es siempre positiva

2 u ( ) 2 w(t )   R  i ( )d   d   R t

Fundamentos de Electrotecnia

‐ Se disipa en forma de  calor: Ley de Joule

t

CUD / 2012‐2013

Tema 3

6

3.2.2. Condensador – La potencia absorbida por un condensador es:

pabs (t )  u(t)  i(t )

– La energía almacenada por un condensador es: t



u (t ) du( ) 1 d   C  u du  C u2 (t )  u2 (  ) u ( ) d 2

1 w(t )  C  u2 (t ) 2 (suponiendo que u(‐) = 0) Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

i(t)

+

du(t)   i(t)  C  dt 

du(t ) pabs (t )  C  u(t ) dt w(t )   C  u( )

1

C

u(t) 1’

La potencia que cede un condensador siempre es a costa de la energía que ha almacenado en forma de campo eléctrico entre sus placas. La energía almacenada en un condensador sólo depende del valor de la tensión en ese momento y no de la forma en la que varía esta tensión. Tema 3

7

3.2.3. Bobina – La potencia absorbida por una bobina es:

pabs (t )  u(t)  i(t )

1 i(t)

+

di(t )   u ( t ) L    dt 

u(t)

di(t ) pabs (t )  L  i(t ) dt – La energía almacenada por una bobina es: t

w(t )   L  i( ) 

i (t ) di( ) 1 d   L  i di  L i 2 (t )  i 2 (  ) i ( ) d 2

1 2 w(t )  L  i (t ) 2 (suponiendo que i(‐) = 0) Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

L 1’

La potencia que cede una bobina siempre es a costa de la energía que ha almacenado en forma de campo magnético en su núcleo. La energía almacenada en una bobina sólo depende del valor de la intensidad en ese momento y no de la forma en la que varía esta intensidad. Tema 3

8

3.2.4. Fuente de tensión – La potencia absorbida por una fuente ideal de tensión es:

pabs (t )  u(t )  i(t )

1

+

u(t)  eg (t)

i(t) + eg(t)

u(t)

pabs (t )  eg (t )  i(t )

1’

– La energía almacenada por una fuente de tensión es: t

t





w(t )   p( ) d   eg ( )  i( ) d Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 3

9

3.2.5. Fuente de intensidad – La potencia absorbida por una fuente ideal de intensidad es: 1

i(t)

+

pabs (t )  u(t )  i(t )

i(t)  ig (t)

ig(t)

u(t) 1’

pabs (t )  u(t )  ig (t ) – La energía almacenada por una fuente de intensidad es: t

t





w(t )   p( ) d   u( )  ig ( ) d Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 3

10

3.3. Energía y potencia en cuadripolos

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 3

11

3.3. Energía y potencia en  cuadripolos • Un cuadripolo puede absorber potencia por cada par de terminales • Así pues, para las referencias de la figura, se define la potencia absorbida como:

1 i1(t)

i2(t) 2

+

+

u1(t)

u2(t)

Cuadripolo 2’

1’

pabs (t )  u1 (t )  i1 (t )  u2 (t )  i2 (t ) • Y la energía absorbida como:

u1 ( )  i1 ( )  u2 ( )  i2 ( ) d  

w(t)  

t

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 3

12

3.3.1. Bobinas acopladas  magnéticamente – La potencia absorbida es: pabs (t )  u1 (t )  i1 (t )  u2 (t )  i2 (t ) pabs (t )  L1i1 (t )

1

i1(t)

M12

i2(t)

+

+

di1 (t ) di (t ) di (t )  di (t )   M  i1 (t ) 2  i2 (t ) 1   L2i2 (t ) 2 dt dt dt  dt 

u1(t)

L1

u2(t)

L2

2’

1’

d 1 2 1 2  pabs (t )   L1i1 (t )  M i1 (t )  i2 (t )  L2i2 (t )  dt  2 2 

1 2 1 2 w(t)   p( )d  L1i1 (t )  M i1 (t )  i2 (t )  L2 i2 (t )  2 2 t

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

di1 (t ) di (t ) M 2 dt dt di (t ) di (t ) u2 (t )  L2 2  M 1 dt dt La potencia que cede siempre es a costa de la energía que ha almacenado en forma de campo magnético en su núcleo. u1 (t )  L1

– La energía almacenada es:

Tema 3

2

13

3.3.2. Transformador ideal – La potencia absorbida es: pabs (t )  u1 (t )  i1 (t )  u2 (t )  i2 (t )  1  pabs (t )  a  u2 (t )   i2 (t )   u2 (t )  i2 (t )  a 

1

t

w(t )   p( ) d  0 

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

i2(t)

u2(t)

u1(t) 1’

2

+

+

2’

a:1

u1 (t )  a  u2 (t ) 1 i1 (t )   i2 (t ) a

pabs (t )  0 – La energía almacenada es:

i1(t)

La potencia que absorbe el primario de un transformador ideal es igual a la potencia que cede el secundario. El transformador ideal no absorbe ni cede potencia. Tema 3

14

3.4. Balance de potencia en un circuito

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 3

15

3.4.  Balance de potencia en un  circuito • Para cualquier circuito se cumple que, en todo instante, la suma algebraica de la potencia absorbida por todos sus elementos es siempre igual a cero.

p

abs

p

ced

Fundamentos de Electrotecnia

(t )

elementos activos

CUD / 2012‐2013

(t )  0  pabs (t )

Tema 3

elementos pasivos

16

Referencias • •

PARRA, V. M.; ORTEGA, J.; PASTOR, A.; PEREZ, A.: “Teoría de Circuitos (Tomo I)”. Universidad Nacional de Educación a Distancia (UNED). BAYOD, A.A.; BERNAL, J.L.; DOMINGUEZ, J.A.; GARCIA GARCIA, M.A.; LLOMBART, A.; YUSTA, J.M.: “Análisis de circuitos eléctricos I”. Colección Textos Docentes, vol. 58. Prensas Universitarias de Zaragoza.

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 3

17

Tema 4 Métodos de análisis de circuitos

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 4

1

Índice Tema 4.‐ Métodos de análisis de circuitos. 4.1.‐ Introducción. 4.2.‐ Impedancias y admitancias operacionales. 4.3.‐ Representación de los circuitos. 4.4.‐ Equivalencias entre ramas. 4.4.1.‐ Equivalencia entre fuentes reales. 4.4.2.‐ Elementos en paralelo y en serie con fuentes ideales. 4.5.‐ Métodos de análisis de circuitos. 4.5.1.‐ Acerca del número de ecuaciones e incógnitas. 4.5.2.‐Método de análisis por nudos. 4.5.3.‐ Método de análisis por mallas. 4.6. Casos especiales. 4.6.1.‐ Circuitos con fuentes ideales de tensión. 4.6.2.‐ Circuitos con fuentes ideales de intensidad. 4.6.3.‐ Circuitos con bobinas acopladas magnéticamente. 4.6.4.‐ Circuitos con transformadores ideales. 4.6.5.‐ Circuitos con fuentes dependientes. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 4

2

4.1. Introducción

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 4

3

4.1. Introducción • Analizar un circuito consiste en determinar la tensión y la intensidad, en función del tiempo, en cada uno de los elementos que componen dicho circuito. • Datos iniciales: – – – –

la configuración del circuito, el valor de las fuentes de tensión e intensidad del circuito, el valor de los elementos que constituyen el circuito, las tensiones e intensidades iniciales en cada una de las ramas del circuito.

• A partir de estos datos, mediante las leyes de Kirchhoff y las ecuaciones de definición de los elementos, se obtiene la solución del circuito (tensiones e intensidades en cada elemento del circuito). • En este capítulo se van a estudiar métodos que sistematizan el análisis de circuitos.

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 4

4

4.2. Impedancias y admitancias operacionales

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 4

5

4.2.1. Definición de impedancia y  admitancia operacional • Se define el operador (operador derivada) como:

D

d D dt

1 • y su inversa como:   dt D Ecuaciones de  definición de los  distintos  elementos  en  función del  operador D Fundamentos de Electrotecnia

Resistencia

Bobina

di(t ) dt

u(t )  R∙i(t )

u(t )  L∙

u(t )  R∙i(t )

u(t )  L∙D∙i(t )

i(t )  G∙u(t )

i(t ) 

CUD / 2012‐2013

Tema 4

1 ∙u(t ) L∙D

Condensador

i(t )  C ∙

du(t ) dt

i(t )  C ∙D∙u(t )

u(t ) 

1 ∙i(t ) C ∙D 6

4.2.1. Definición de impedancia y  admitancia operacional • En general: 1 i(t)

Z(D)

1 i(t)

1’

+ u(t)

Y(D)

1’

+ u(t)

u(t) = Z(D)∙i(t)

1 Z (D)  Y (D)

i(t) = Y(D)∙u(t)

Z(D): impedancia operacional

Y(D): admitancia operacional

Resistencia

Bobina

Impedancia operacional

Z (D)  R

Z (D)  L∙D

Admitancia operacional

Y (D)  G

Y (D) 

Fundamentos de Electrotecnia

Se cumple que:

CUD / 2012‐2013

1 L∙D

Tema 4

Condensador Z (D) 

1 C ∙D

Y (D)  C ∙D 7

4.2.2. Asociación de impedancias A) En serie: 1

i(t)

Z2(D)

Z1(D)

…

Zk(D)

Zn(D) … +

+ u (t) + u (t) 2 k u(t)

+ u (t) 1

1’

un(t)

uk (t )  Z k (D)∙i(t ) uk (t ) Z k (D)   n u(t )  Z eq (D)∙i(t )  u(t )  Zk (D) k 1

u(t )  u1 (t )  u2 (t )    uk (t )    un (t ) u(t )  Z1 (D)∙i(t )  Z2 (D)∙i(t )    Z k (D)∙i(t )    Z n (D)∙i(t )  u(t )   Z k (D)∙i(t ) k 1  u(t )  Z eq (D)∙i(t )  n

uk (t )  u(t )

n

Z eq (D)   Z k (D)

Z k (D) n

 Z (D) k 1

k 1

k

Divisor de tensión

Ejemplo: LD

1 i(t) R

+ Fundamentos de Electrotecnia

1’

u(t) CUD / 2012‐2013

ZR (D)  R   ZT (D)  ZR (D)  ZL (D)  R  LD ZL (D)  LD  Tema 4

8

4.2.2. Asociación de impedancias B) En paralelo: i(t)

1

+ u(t)

… ik(t)

in(t)

Y1(D) Y2(D)

Yk(D)

Yn(D)

…

…

i1(t)

… i2(t)

1’

ik (t )  Yk (D)∙u(t ) ik (t ) Yk (D)   n i(t )  Yeq (D)∙u(t )  i(t ) Yk (D) k 1

i(t )  i1 (t )  i2 (t )    ik (t )    in (t ) i(t )  Y1 (D)∙u(t )  Y2 (D)∙u(t )    Yk (D)∙u(t )    Yn (D)∙u(t )  i(t )   Yk (D)∙u(t ) k 1  i(t )  Yeq (D)∙u(t )  n

ik (t )  i(t )

n

Yeq (D)   Yk (D)

Yk (D) n

Y (D) k 1

k 1

k

Divisor de intensidad

Ejemplo: 1

+ u(t)

i(t) G

1’

1 LD

Fundamentos de Electrotecnia

YR (D)  G  1 1  GLD   1 YT (D)  YR (D)  YL (D)  G  LD LD YL (D)   LD  CUD / 2012‐2013

Tema 4

9

4.2.2. Asociación de impedancias C) Asociación tipo puente: 1

i(t)

+ u(t)

El puente se dice equilibrado si: uMN  0  im  0

A

M

i1

i2

Z1 im Zm

Z2 N

i4

i3

Z3 1’ B

Z4

entonces: Si uMN  0    uAM  uAN   y   uMB  uNB

uAM  Z1 ∙i1   Z1 ∙i1  Z2 ∙i2 uAN  Z2 ∙i2  uMB  Z3 ∙i3   Z3 ∙i3  Z 4 ∙i4 uNB  Z 4 ∙i4 

CUD / 2012‐2013

Z1 ∙i1 Z2 ∙i2  Z3 ∙i3 Z 4 ∙i4

Z1 Z 2  Z3 Z 4

Como  im  0    i1  i3   e   i2  i4

Fundamentos de Electrotecnia

dividiendo:

Tema 4

Puente equilibrado

10

4.2.2. Asociación de impedancias • Caso particular: Puente de Wheatstone – Se llama así en el caso de que todas las impedancias del puente sean resistencias. – Se utiliza, principalmente, para medir resistencias con alta precisión. 1

i(t)

‒ R1 y R2 resistencias fijas de valor conocido

A

+ R1 iG

M

u(t)

R3

R2

‒ R3 resistencia variable de valor conocido ‒ G: Galvanómetro. Instrumento que indica si 

G

N

hay circulación de intensidad o no a través 

Rx

de él, y el sentido que ésta lleva

1’

‒ Rx: Resistencia cuyo valor se desea medir

B

‒ Se varía R3 hasta que G indica  que iG = 0

Puente equilibrado

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

R1 R2  R3 Rx Tema 4

R2R3 Rx  R1 11

4.2.2. Asociación de impedancias D) Asociación en estrella y en triángulo: a

a

Z1 Z2

Z1 Z3

Z3 Z2

b

b

c

c

Asociación en estrella

Asociación en triángulo

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 4

12

4.3. Representación de los circuitos

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 4

13

4.3. Representación de circuitos •

Definiciones: – Rama: Elemento o grupo de elementos de un circuito que presenta dos terminales y del que se puede conocer su ecuación de definición. En el circuito de la figura podemos considerar que tenemos 6 ramas (se podrían contar hasta 8, en función de si se consideran las fuentes como reales o bien como ideales) – Nudo: Punto de unión de dos o más ramas. El circuito de la figura tiene 4 nudos (A, B, C y D). – Grafo reticular: Representación de un circuito resultado de sustituir cada rama de su esquema por un segmento orientado. – Lazo: Conjunto de ramas de un circuito que forman una línea cerrada (1‐4‐5; 1‐2‐3; 3‐4‐ 6; 2‐3‐4‐5; 2‐5‐6; etc.). – Malla: Lazo de un circuito que no contiene a otro lazo en su interior. En el circuito de la figura sólo hay tres mallas: (1‐2‐3; 1‐4‐5; 3‐ 4‐6). Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 4

R1

A

5

6

B

1/CD 4 R2 eg(t) + R4 C

1

3

LD

R3

2 D

5

6

B

4 A

C

1 2

3 D

Grafo reticular 14

ig(t)

4.4.

Equivalencias entre ramas

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 4

15

4.4.1. Equivalencia entre fuentes  reales • Dos dipolos activos se dicen equivalentes respecto de sus terminales si, al cargarlos con el mismo receptor, la tensión entre sus bornes y la intensidad que entra (sale) de ellos es la misma. Z(D) i (t) 1 + eg(t)

+ uZ(t)

1

+

Z’(D) Receptor

u1(t)

i2(t) 1 iZ’(t) + Receptor

u2(t)

ig(t) Y’(D)

1’

1’

u1 (t )  eg (t )  uZ (t )  eg (t )  Z (D)∙i1 (t ) u2 (t )  Z ' (D)∙i Z ' (t )  Z ' (D)(ig (t )  i2 (t ))   Z ' (D)∙ig (t )  Z ' (D)∙i2 (t ) Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 4

16

4.4.1. Equivalencia entre fuentes  reales Fuente de tensión:

u1 (t )  eg (t )  Z (D)∙i1 (t )

Fuente de intensidad:

u2 (t )  Z ' (D)∙ig (t )  Z ' (D)∙i2 (t )

u1 (t )  u2 (t )  u(t ) Para que las fuentes sean equivalentes: i1 (t )  i2 (t )  i(t ) entonces:

eg (t )  Z (D)∙i(t )  Z ' (D)∙ig (t )  Z ' (D)∙i(t )

Z (D)  Z '(D) eg (t )  Z (D)∙ig (t ) Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 4

17

4.4.1. Equivalencia entre fuentes  reales Zg(D)

1

eg (t ) ig (t )  Zg (D)

+ eg(t)

1

ig(t)

eg (t )  Zg (D)∙ig (t ) 1’

Zg(D) Yg(D) 1’

Zg (D)fuente tensión  Zg (D)fuente intensidad

•

La flecha de la fuente de intensidad ha de apuntar hacia el terminal  marcado con el “+” de la fuente de tensión

• Atención: La equivalencia entre fuentes reales es sólo válida para el resto de los elementos del circuito al cual están conectadas, no para los elementos que forman la fuente real. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 4

18

4.4.2. Elementos en paralelo y en serie  con fuentes ideales

• Elementos en paralelo con una fuente ideal de tensión 1

1

+ eg(t)

Z(D)

ig(t)

+ u(t)

+

+

u(t)

eg(t)

En ambos casos:

u(t )  eg (t )

1’

1’

• Elementos en serie con una fuente ideal de intensidad i(t) 1’

+

1

ig(t)

Z(D)

eg(t)

i(t) 1’

1

ig(t)

En ambos casos:

i(t )  ig (t )

Atención: Estas equivalencias son sólo válidas para los elementos del resto del circuito, no para los elementos que intervienen en ella. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 4

19

4.5. Métodos de análisis de circuitos

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 4

20

4.5.1. Acerca del número de  ecuaciones e incógnitas • Balance de ecuaciones e incógnitas que se tienen al realizar el análisis de un circuito: – Incógnitas: • Si el circuito tiene r ramas, tendremos 2r incógnitas correspondientes a la tensión y la intensidad de cada rama.

– Ecuaciones linealmente independientes: • De las ecuaciones de definición de cada rama se obtienen r ecuaciones linealmente independientes. • Mediante la aplicación de la primera Ley de Kirchhoff se pueden obtener n1 (n = número de nodos del circuito) ecuaciones linealmente independientes. • Mediante la aplicación de la segunda ley se pueden obtener r‐(n‐1) ecuaciones linealmente independientes.

– Número de ecuaciones lin. independientes: r+(n1)+[r(n1)] = 2r

• Si número de ecuaciones linealmente independientes = número de incógnitas El sistema tiene solución única Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 4

21

4.5.2. Método de análisis por  nudos • Consiste en aplicar la primera Ley de Kirchhoff a cada uno de los nudos del circuito, excepto a uno de ellos que se toma como referencia, utilizando para ello las tensiones de nudo. – Tensiones de nudo: Cada una de las tensiones de los n‐1 nudos restantes al nudo de referencia (uB0(t), uC0(t) y uD0(t)) – Criterio de aplicación de la 1ª LK: Suma de las intensidades que salen de un nudo por los elementos pasivos que concurren en él = Suma de las intensidades que entran al nudo provenientes de fuentes. – Es deseable que todas las fuentes presentes en el circuito sean fuentes de intensidad (en el caso de fuentes reales de tensión, aplicar la equivalencia de fuentes reales) Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

R1

A

B

1/CD R2 eg(t) +

C

ig(t)

R4

R3

LD D

R1

B

+ 1/CD uB0(t) R eg(t) 0 ref

2

uD0(t)LD

+

uC0(t) + +

C

ig(t)

R4

R3

D Tema 4

22

4.5.2. Método de análisis por  nudos – Recomendaciones y notas: • Elección del nudo de referencia: Se puede escoger a tal fin cualquier nudo del circuito; sin embargo, se recomienda elegir aquel nudo al que concurran un mayor número de ramas por resultar las ecuaciones, en general, más sencillas. • A la hora de determinar los nudos del circuito, hay que asegurarse de que todos y cada uno de los elementos del circuito está situado entre dos nudos. • Si dos o más nudos del circuito están unidos por un cortocircuito, eléctricamente todos esos nudos son sólo uno y, en consecuencia, todos han de tener igual nombre. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

R1

B

+ uB0(t) 1/CD eg(t)/R2

0 ref

R2 uD0(t)LD

uC0(t) + +

C

ig(t)

R4

R3

D

Tema 4

23

4.5.2.  Método de análisis por  nudos • Aplicación de la 1ªLK a todos los nudos (siguiendo el criterio dado), excepto al nudo de referencia R1

Nudo B:

+ uB0(t) 1/CD

uB0 (t ) uB0 (t )  uC0 (t ) uB0 (t )  uD0 (t )    ig (t ) 1 R1 R4 CD 1 1  CD   R4  R1

B

eg(t)/R2

 1 ( ) ( ) u t  CD  u t  uD0 (t )  ig (t )  B0 C0 R4 

0 ref

R2 uD0(t)LD

C

uC0(t) +

R4

ig(t)

R3

+ D

R1

uC0 (t ) uC0 (t )  uB0 (t ) uC0 (t )  uD0 (t ) eg (t )    Nudo C: 1 R2 R3 R2 CD eg (t ) 1 1 1 CD  uB0 (t )    CD   uC0 (t )  uD0 (t )  R3  R3 R2  R2

B

+ 1/CD uB0(t) eg(t)/R2

0 ref

R2 uD0(t)LD

C

uC0(t) +

R4

R3

+ D

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 4

24

ig(t)

4.5.2.  Método de análisis por  nudos u (t ) u (t )  uC0 (t) uD0 (t )  uB0 (t ) Nudo D: D0  D0   ig (t ) LD R3 R4 1 1 1 1  1  uB0 (t )      uD0 (t )  uC0 (t )  ig (t ) R4 R LD R4  R3  3 Nota:  Las intensidades siempre se consideran saliendo  por los elementos pasivos, independientemente  del nudo que estemos considerando

Escribiendo las  ecuaciones en  forma matricial:

Fundamentos de Electrotecnia

R1 + uB0(t) 1/CD eg(t)/R2

0 ref

R2 uD0(t)LD

 1 1  1 CD CD       R R R4 4   1  1 1 1  CD CD       2 R R R3  3   1 1 1 1 1        R4 R3  R3 LD R4  CUD / 2012‐2013

Tema 4

B

uC0(t) + +

C

R4

ig(t)

R3

D

    uB0 (t )   ig (t )  ∙uC0 (t )  eg (t ) R2       uD0 (t )  ig (t )     25

4.5.2.  Método de análisis por  nudos • Los elementos de la primera matriz tienen dimensiones de admitancias, los de la segunda tienen dimensiones de tensiones y los elementos de la tercera, dimensiones de intensidades. En general, se puede escribir:

Yij   ui (t )   iial (t ) donde:

Yij  :  Matriz de admitancias de nudo (matriz simétrica) ui (t ) :  Vector de tensiones de nudo

 iial (t ) :  Vector de intensidades de alimentación de nudo Yii :  Admitancia propia de nudo Yij

i j

:  Admitancia mutua de nudo

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 4

26

4.5.2.  Método de análisis por  nudos • Escritura sistemática de las ecuaciones: – Yii: Suma de las admitancias de los elementos pasivos que concurren en el nudo i. – Yiji≠j: Suma, con signo ‒, de las admitancias de los elementos pasivos que comparten el nudo i y el nudo j – ui(t): Tensiones de nudo (incógnitas). – iial(t): Suma algebraica de las intensidades provenientes de fuentes que entran en el nudo i. Estas intensidades se toman positivas si entran en el nudo i y negativas si salen de dicho nudo. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 4

27

4.5.2.  Método de análisis por  nudos •

YBB 

•

R1

R2

eg(t)/R2

R4

0 ref

 CD 

R3

R3



LD



R4

YBC: El nudo B y el nudo C comparten el condensador C CUD / 2012‐2013

C

uC0(t) + +

ig(t)

R4

R3

D

•

YBD: El nudo B y el nudo D comparten la resistencia R4. YBD  

•

1 R4

YCD: El nudo C y el nudo D comparten la resistencia R3. YCD  

YBC  CD

Fundamentos de Electrotecnia

R2 uD0(t)LD

YDD: En el nudo D concurren la resistencia R3, el condensador L y la resistencia R4. 1 1 1 YDD 

•

 CD 

B

+ uB0(t) 1/CD

YCC: En el nudo C concurren la resistencia R2, el condensador C y la resistencia R3. 1 1 YCC 

•

R1

YBB: En el nudo B concurren la resistencia R1, el condensador C y la resistencia R4. 1 1

Tema 4

1 R3

28

4.5.2.  Método de análisis por  nudos • •

Matriz simétrica  YCB=YBC, YDB=YBD, YDC=YCD iBal: Al nudo B le llega la intensidad proveniente de la fuente ig(t), y entra en dicho nudo.

R1

+ uB0(t) 1/CD

iBal (t )  ig (t )

•

eg(t)/R2

iCal: Al nudo C le llega la intensidad proveniente de la fuente eg(t)/R2, y entra en dicho nudo.

iCal (t )  eg (t ) / R2 • iDal: Al nudo D le llega la intensidad proveniente de la fuente ig(t), y sale de dicho nudo. iDal (t )  ig (t )

Fundamentos de Electrotecnia

B

0 ref

R2 uD0(t)LD

uC0(t) +

 1 1  1 CD    CD   R4  R4  R1  1 1 1  CD    CD    R2  R3  R3  1 1 1 1 1        R4 R3  R3 LD R4 

CUD / 2012‐2013

Tema 4

+

C

R4

ig(t)

R3

D

    uB0 (t )  ig (t )  ∙uC0 (t )  eg (t ) R2       uD0 (t )  ig (t )     29

4.5.2. Método de análisis por  nudos • Una vez resuelto el sistema (que, en el caso más general, se tratará de un sistema de ecuaciones diferenciales), a partir de las tensiones de nudo, se pueden determinar las tensiones e intensidades en todos y cada uno de los elementos del circuito. R1

R1

B +

uB0(t) 1/CD eg(t)/R2

0 ref

R C 4

R2 uD0(t)LD

uC0(t)

ig(t) A

+

B

uR1 + iC uB0(t)+ 1/CD + uC R2 eg(t) + R4

+

R3

iR1

uD0(t)LD

uC0(t)

C

+

R3

+

D

ig(t)

uR1 (t )  uB 0 (t ) uB 0 (t ) iR1 (t )  R1

D

uC (t )  uB 0 (t )  uC 0 (t )

iC (t )  CD∙ uB 0 (t )  uC 0 (t )

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 4

30

4.5.2. Método de análisis por  nudos •

En el ejemplo empleado, el circuito analizado no es el circuito original, sino que se trata de un circuito equivalente a éste. A la hora de calcular tensiones e intensidades en el circuito original a partir del circuito equivalente, atención a las ramas “transformadas” y los elementos que las forman. Circuito equivalente R1 B

Circuito original R1 B

1/CD 0 ref

uC0(t)R2

eg(t)/R2

uR2 + LD

C

+

R4

uR2

ig(t) A

Fundamentos de Electrotecnia

ig(t)

R4

R3

LD

D

uC 0 (t ) iR 2 (t )  R2

C

uC0(t) +

R3

uR 2 (t )  uC 0 (t )

1/CD R2 eg(t) + +

D

Distintas !!!!!

CUD / 2012‐2013

uR 2 (t )  uC 0 (t )  eg (t ) iR 2 (t ) 

Tema 4

uC 0 (t )  eg (t ) R2

31



4.5.2. Método de análisis por  mallas • Consiste en aplicar la segunda de Kirchhoff a cada malla circuito, utilizando para ello intensidades de circulación malla.

Ley del las de

– Intensidades de circulación de malla: Intensidad que es común a todos las ramas que forman una malla – Criterio de aplicación de la 2ª LK: Caídas de tensión positivas las origina la intensidad de la malla considerada. – Es deseable que todas las fuentes presentes en el circuito sean fuentes de tensión (en el caso de fuentes reales de intensidad, aplicar la equivalencia de fuentes reales) – Nota: El sentido de las intensidades de circulación de malla es arbitrario, a elección de cada cual. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

R1

A

B

1/CD R2 eg(t) +

C

ig(t)

R4

R3

LD D

R1

A

B

i3(t) 1/CD i1(t) R2 eg(t) + R4

ig(t)

C

LD

i2(t)

R3 D

Tema 4

32

4.5.2.  Método de análisis por  mallas • Aplicación de la 2ªLK a todas las mallas del circuito (siguiendo el criterio dado). Malla 1:

R1

1  i1 (t)  i3 (t)  eg (t)  R2 (i1 (t)  i2 (t))  0 CD 1 1    R2  i1 (t )  R2 i2 (t )  i3 (t )  eg (t )  R1  CD CD   R1 i1 (t ) 

B

i1(t) 1/CD R eg(t) A

2

+

+

i3(t) R4 R3

i2(t) LD

Malla 2:

R2  i2 (t )  i1 (t )  eg (t )  R3  i2 (t )  i3 (t )  LDi2 (t )  0

R4ig(t)

C

D

R2 i1 (t )   R2  R3  LD  i2 (t )  R3 i3 (t )  eg (t ) Malla 3:

1  i3 (t)  i1 (t)  0 CD 1 1    i1 (t )  R3 i2 (t )   R4  R3   i3 (t )  R4 ig (t ) CD CD   R4 ig (t )  R4 i3 (t )  R3  i3 (t )  i2 (t )  

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 4

33

4.5.2.  Método de análisis por  mallas • Escribiendo estas ecuaciones en forma matricial: 1  R   1 CD  R2  R2   1   CD 

   i1 (t )  eg (t )     e (t )  R2  R3  LD i t ∙ ( ) 2   g  1  i3 (t )  R4 ig (t ) R4  R3   R3 CD  R2

1 CD R3



• Los elementos de la primera matriz tienen dimensiones de impedancias, los de la segunda tienen dimensiones de intensidades y los elementos de la tercera, dimensiones de tensiones. En general, se puede escribir:

 Z ij    ii (t )   eial (t ) Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 4

34

4.5.2.  Método de análisis por  mallas donde:  Z ij  :  Matriz de impedancias de malla (matriz simétrica)  ii (t ) :  Vector de intensidades de alimentación de malla

 eial (t ) :  Vector de tensiones de alimentación de malla Z ii :  Impedancia propia de malla Z ij

i j

:  Impedancia mutua de malla

• Escritura sistemática de las ecuaciones: – Zii: Suma de las impedancias de los elementos pasivos que pertenecen a la malla i. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 4

35

4.5.2.  Método de análisis por  mallas – Ziji≠j: Suma algebraica de las impedancias de los elementos pasivos que pertenecen simultáneamente a la malla i y a la malla j • Signo positivo: Las intensidades de ambas mallas llevan el mismo sentido sobre la impedancia considerada. • Signo negativo: Las intensidades de ambas mallas tienen sentidos contrarios sobre la impedancia considerada.

– ii(t): Intensidades de circulación de malla (incógnitas). – eial(t): Suma algebraica de los valores de las fuentes de tensión que pertenecen a la malla i. • Signo positivo: Si la intensidad de la malla considerada sale por el terminal marcado con “+” de la fuente. • Signo negativo: Si la intensidad de la malla considera entra por el terminal marcado con “+” de la fuente. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 4

36

4.5.2. Método de análisis por  mallas •

Z11: A la malla 1 pertenecen la resistencia R1, el condensador C y la resistencia R2. 1 Z11  R1 

•

CD

A

Z22: A la malla 2 pertenecen la resistencia R2, la resistencia R3 y la bobina L.

•

12

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

R4ig(t)

C

i3(t) R4 R3

Z13: La malla 1 y la malla 3 comparten el condensador C. Z13  

•

Z12: La malla 1 y la malla 2 comparten la resistencia R2. i2 lleva sentido contrario a i1 sobre R2. Z  R

+

D

•

CD

2

+

i2(t) LD

Z33: A la malla 3 pertenecen la resistencia R4, la resistencia R3 y el condensador C. 1 Z33  R4  R3 

B

i1(t) 1/CD R eg(t)

 R2

Z22  R2  R3  LD

•

R1

1 CD

Z23: La malla 2 y la malla 3 comparten la resistencia R3. Z23  R3

2

Tema 4

37

4.5.2. Método de análisis por  mallas • Matriz simétrica  Z21=Z12, Z31=Z13, Z32=Z23 • e1al: A la malla 1 pertenece la fuente eg(t) e i1(t) entra por el “+”. e1al (t )  eg (t ) • e2al: A la malla 2 pertenece la fuente eg(t) e i2(t) sale por el “+”. e2al (t )  eg (t ) • e3al: A la malla 3 pertenece la fuente R4ig(t) e i3(t) entra por el “+”. e3al (t )  R4 ig (t )

Fundamentos de Electrotecnia

1  R   1 CD  R2  R2   1   CD 

CUD / 2012‐2013

R1

B

i1(t) 1/CD R eg(t) 2

A

+

+

R4ig(t)

C

i3(t) R4 R3

i2(t) LD D

   i1 (t )  eg (t )      e (t )  R2  R3  LD i t ∙ ( ) 2   g  1  i3 (t )  R4 ig (t ) R 4  R3   R3 CD  1 CD R3

R2



Tema 4

38

4.5.2. Método de análisis por  mallas • Una vez resuelto el sistema (que, en el caso más general, se tratará de un sistema de ecuaciones diferenciales), a partir de las intensidades de malla, se pueden determinar las tensiones e intensidades en todos y cada uno de los elementos del circuito. R1

R1

B

i1(t) 1/CD R eg(t) A

2

uR1

+

+

C

R4ig(t)

i3(t) R4 R3

i2(t) LD

A

iR1

B

i i1(t)+ 1/CD +C uC R2 eg(t) + R4 C

g

i2(t) LD

R3 i3(t)

D

ig(t)

iR1 (t )  i1 (t ) uR1 (t )  R1 ∙i1 (t )

D

iC (t )   i1 (t )  i3 (t )

1 uC (t )  ∙ i1 (t )  i3 (t )  CD Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 4

39

4.5.2. Método de análisis por  mallas •

En el ejemplo empleado, el circuito analizado no es el circuito original, sino que se trata de un circuito equivalente a éste. A la hora de calcular tensiones e intensidades en el circuito original a partir del circuito equivalente, atención a las ramas “transformadas” y los elementos que las forman. Circuito equivalente R1 B

A

1/CD R2 eg(t) +

+

R4ig(t)

C

LD D

A

i3(t) R4 + R3 uR4 iR4

iR 4 (t )  i3 (t )

+

C

uR4 iR4 R3



D

Distintas !!!!!

CUD / 2012‐2013

2

LD

uR 4 (t )  R4 i3 (t ) Fundamentos de Electrotecnia

Circuito original R1 B i3(t) + 1/CD i (t) R eg(t) + R4 g

Tema 4

iR 4 (t )  i3 (t )  ig (t )

uR 4 (t )  R4  i3 (t )  ig (t ) 40

4.6. Casos especiales

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 4

41

4.6.1. Circuitos con fuentes ideales  de tensión • En el caso de análisis por mallas no es ningún problema, ya que el método prefiere fuentes de tensión (no importa si ideales o reales). • En el caso de análisis por nudos, y al tratarse de una fuente ideal de tensión, que no conocemos como convertir en fuente de intensidad, será necesario encontrar una forma de solventar este inconveniente. Procedimiento: – Se da una referencia a la intensidad que circula por la fuente ideal de tensión. – Esta intensidad (que circulará por la fuente ideal de tensión) se trata, a todos los efectos, como la intensidad suministrada por una fuente de intensidad. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 4

42

4.6.1. Circuitos con fuentes ideales  de tensión – Se ha añadido una incógnita al problema (la intensidad que circula por la fuente), por lo que hay que añadir una ecuación adicional a las ecuaciones resultantes del análisis del circuito por el método de los nudos. – Esta ecuación adicional se construye poniendo el valor conocido de la fuente ideal (su tensión), en función de las incógnitas principales del problema (en este caso las tensiones de nudo).

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 4

43

4.6.1. Circuitos con fuentes ideales  de tensión • Ejemplo: Analizar por el método de los nudos eg(t)

eg(t)

+

R1

uA0(t) R1

C

A

R3

+ ie(t)

Incógnita añadida

ig(t)

R2

0

A

uB0(t)

R3

ig(t)

B

R2

1 1 R  R 2  1 1    R 2 

1  R2  uA0 (t ) ig (t )  ie (t )     1 1  uB 0 (t )   0    R2 R3  

B

2 ecuaciones, 3 incógnitas: uA0(t), uB0(t) e ie(t) Ecuación adicional: eg (t )  uA 0 (t )

Lo que sabemos de la fuente: eg(t) En función de las incógnitas: uA0(t), uB0(t)

Por lo tanto: 3 ecuaciones, 3 incógnitas                         SOLUCIÓN ÚNICA  Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 4

44

4.6.2. Circuitos con fuentes ideales  de intensidad • En el caso de análisis por nudos no es ningún problema, ya que el método prefiere fuentes de intensidad (no importa si ideales o reales). • En el caso de análisis por mallas, y al tratarse de una fuente ideal de intensidad, que no conocemos como convertir en fuente de tensión, será necesario encontrar una forma de solventar este inconveniente. Procedimiento: – Se da una referencia a la tensión que cae en bornes de la fuente ideal de intensidad. – Esta tensión (que cae en bornes de la fuente ideal de intensidad) se trata, a todos los efectos, como se tratan las tensiones en bornes de las fuentes de tensión. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 4

45

4.6.2. Circuitos con fuentes ideales  de intensidad – Se ha añadido una incógnita al problema (la tensión en bornes de la fuente), por lo que hay que añadir una ecuación adicional a las ecuaciones resultantes del análisis del circuito por el método de las mallas. – Esta ecuación adicional se construye poniendo el valor conocido de la fuente ideal (su intensidad), en función de las incógnitas principales del problema (en este caso las intensidades de circulación de malla).

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 4

46

4.6.2. Circuitos con fuentes ideales  de intensidad • Ejemplo: Analizar por el método de las mallas eg(t)

+

R1

eg(t)

+

R1

Incógnita añadida

i1(t) C

ig(t) R3

A

R2

C

ig(t) R3

A

+ ui(t) i2(t) R2

B

R1 0 

  i1 (t ) eg (t )  ui (t )     R2  R3  i2 (t )  ui (t )  0

B

2 ecuaciones, 3 incógnitas: i1(t), i2(t) y ui(t) Ecuación adicional: ig (t )  i2 (t )  i1 (t )

Lo que sabemos de la fuente: ig(t) En función de las incógnitas: i1(t), i2(t)

Por lo tanto: 3 ecuaciones, 3 incógnitas                         SOLUCIÓN ÚNICA  Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 4

47

4.6.3. Circuitos con bobinas  acopladas magnéticamente • Los circuitos que contengan bobinas acopladas magnéticamente y/o transformadores ideales, se analizarán mediante el método de las mallas (salvo casos especiales en los que se pueda obviar el acoplamiento magnético). • Es posible la escritura directa de las ecuaciones de malla, si bien, en el caso de presencia de bobinas acopladas magnéticamente y/o transformadores la regla para dicha escritura se hace más complicada (buscar en la bibliografía en caso de interés) Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 4

48

4.6.3. Circuitos con bobinas  acopladas magnéticamente • En el caso de presencia de bobinas acopladas magnéticamente, se recomienda aplicar la 2ªLK a cada malla. Para aplicarla, se suman las tensiones en todos los elementos de cada malla y se hace esta suma igual a cero. Se recomienda empezar la suma de tensiones en un punto de la malla y terminarla en ese mismo punto, teniendo en cuenta que las tensiones en las bobinas acopladas no sólo se deben a que circula intensidad por ellas, sino que también se deben a que circula intensidad por las bobinas con las que están acopladas. • En el caso de presencia de transformadores ideales, se recomienda aplicar la 2ª LK a cada malla incluyendo la caída de tensión en los devanados del transformador y escribir más adelante las ecuaciones de definición del transformador de acuerdo a las referencias consideradas. • Recordar el criterio de escritura de la 2ª LK en el método de análisis por mallas: Caídas de tensión positivas las crea la intensidad de la malla considerada en cada momento. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 4

49

4.6.3. Circuitos con bobinas  acopladas magnéticamente • Ejemplo: L1D

eg2(t)

+

eg1(t)

R1 i2(t)

i1(t) R2

+

MD

L2D

En la bobina L1 cae tensión debido a que circula intensidad por ella (en este caso i1(t)), pero también debido a que circula intensidad por la bobina L2 (en este caso i2(t)). Idem para la bobina L2

R3

Malla 1: L1D∙i1 (t )  MD∙i2 (t )  R1  i1 (t )  i2 (t )   R2 i1 (t )  eg1 (t )  0    Caída de tensión en bobina L1

Malla 2: eg 2 (t )  L2 D∙i2 (t )  MD∙i1 (t )  R3 i2 (t )  R1  i2 (t )  i1 (t )   0    Caída de tensión en bobina L2

L1D  R1  R2  R  MD 1  Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

R1  MD   i1 (t )  eg1 (t )      L2D  R3  R1  i2 (t ) eg 2 (t ) Tema 4

50

4.6.3. Circuitos con bobinas  acopladas magnéticamente • Ejemplo:

Por el criterio expresado: L1D

eg2(t)

+

eg1(t)

i1(t)

+

L2D i2(t)

+

+

R1

+ +

R2 MD

R3

Caída de tensión positiva en L2 como  elemento de la malla 1  Caída de tensión positiva en L2 como  elemento de la malla 2

Malla 1: L1D∙i1 (t )  MD∙ i1 (t )  i2 (t )   L2D∙ i1 (t )  i2 (t )   MD∙i1 (t )  R2 i1 (t )  eg1 (t )  0   Caída de tensión en bobina L1

Caída de tensión en bobina L2

Malla 2: eg 2 (t )  R1 i2 (t )  R3 i2 (t )  L2D∙ i2 (t )  i1 (t )   MD∙i1 (t )  0  Caída de tensión en bobina L2

L1D  L2D  R2  2MD MD  L2D   i1 (t )  eg1 (t )       e ( t )     MD L D L D R R i ( t ) 2 2 3 1 2    g2  Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 4

51

4.6.3 Escritura directa de las ecuaciones de malla con circuitos que contengan bobinas acopladas magnéticamente.

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012-2013

Tema 4

1

4.6.3. Circuitos con bobinas acopladas magnéticamente Escritura directa de las ecuaciones de malla con circuitos que contengan bobinas acopladas magnéticamente.

• Escribir la matriz de impedancias como si todas las bobinas fueran independientes (sin inducción mutua). • Inspeccionar el circuito por si alguna intensidad de malla ik(t) atraviesa dos bobinas acopladas a la vez. En tal caso, añadir en la posición Zkk de la diagonal de la matriz: 9 2MD si en una bobina ik(t) entra por x y en la otra ik(t) sale por x 9 +2MD en otro caso (Es decir, en las dos bobinas ik(t) entra por x o en las dos bobinas ik(t) sale por x) Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012-2013

Tema 4

2

4.6.3. Circuitos con bobinas acopladas magnéticamente • Inspeccionar el circuito por si hay algún par de bobinas acopladas atravesadas por dos intensidades de malla diferentes ik(t) y im(t). En tal caso, añadir en la posición Zkm de la matriz (y en su simétrica Zkm): 9MD si en una bobina ik(t) entra por x y en la otra im(t) sale por x 9+MD en otro caso [en las dos bobinas las intensidades entran por x o en las dos bobinas salen por x ]

CUD / 2012-2013

Fundamentos de Electrotecnia

Tema 4

3

4.6.3. Circuitos con bobinas acopladas magnéticamente • Ejemplo: L1D

eg2(t)

Sistema sin considerar acoplamientos magnéticos:

+

+

eg1(t)

R1 i2(t)

i1(t)

R2

MD

L2 D

R3

ªL1D  R1  R2 « R1 ¬

R1 º ª i1 (t )º L2D  R3  R1 »¼ «¬i2 (t )»¼

ª eg1 (t )º «e (t )» ¬ g2 ¼

i1(t) no atraviesa dos bobinas acopladas a la vez i2(t) tampoco atraviesa dos bobinas acopladas a la vez o no hay que añadir términos en la diagonal i1(t) entra por x en L1 e i2(t) sale por x en L2 o hay que añadir en la posición (1,2) y en (2,1) de la matriz el término MD

ªL1D  R1  R2 « R  MD 1 ¬ Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012-2013

R1  MD º ª i1 (t )º L2D  R3  R1 »¼ «¬i2 (t )»¼ Tema 4

ª eg1 (t )º «e (t )» ¬ g2 ¼ 4

4.6.3. Circuitos con bobinas acopladas magnéticamente • Ejemplo: L1D +

eg2(t)

L2D i2(t)

i1(t)

Sistema sin considerar acoplamientos magnéticos:

+

R1

ªL1D  L2D  R2 « L2 D ¬

L2D º ª i1 (t )º L2D  R3  R1 »¼ «¬i2 (t )»¼

ª eg1 (t )º «e (t )» ¬ g2 ¼ R2 MD R3 i1(t) atraviesa dos bobinas acopladas a la vez, entrando en ambas bobinas por x o hay que añadir un término +2MD en la diagonal (1,1) L2D ªL1D  L2D  R2  2MD º ª i1 (t )º ª eg1 (t )º « » « L2 D L2D  R3  R1 »¼ «¬i2 (t )»¼ ¬eg 2 (t )¼ ¬ Signo + porque i1(t) entra en ambas bobinas por x eg1(t)

i1(t) entra por x en L1 e i2(t) sale por x en L2 o hay que añadir en la posición (1,2) y en (2,1) de la matriz el término MD ªL1D  L2D  R2  2MD L2D  MD º ª i1 (t )º ª eg1 (t )º « » « L2 D  MD L2D  R3  R1 »¼ «¬i2 (t )»¼ ¬eg 2 (t )¼ ¬ Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012-2013

Tema 4

5

4.6.3. Circuitos con bobinas acopladas magnéticamente • Ejemplo: L1 + eg1(t)

M12

Sistema sin acoplamientos magnéticos:

0 º ª i1 (t )º ªL1D  L2D « 0 L3D  R1 »¼ «¬i2 (t )»¼ ¬

M13 L3

i2(t)

R1

i1(t) L2

M23

ªeg1 (t )º « 0 » ¬ ¼

i1(t) atraviesa las bobinas 1 y 2 a la vez, entrando por x en L1 y saliendo por x en L2 o hay que añadir un término -2M12D 0 º ª i1 (t )º ªeg1 (t )º ªL1D  L2D  2M12 D « 0 L3D  R1 »¼ «¬i2 (t )»¼ «¬ 0 »¼ ¬ Signo - porque i1(t) entra y sale por x

i1(t) entra por c en L1 e i2(t) sale por c en L3 o añadir términos M13D ªL1D  L2D  2M12 D M13D º ª i1 (t )º ªeg1 (t )º « M13D L3D  R1 »¼ «¬i2 (t )»¼ «¬ 0 »¼ ¬ i1(t) sale por „ en L2 e i2(t) entra por „ en L3 o añadir términos M23D

ªL1D  L2D  2M12 D M13D  M23D º ª i1 (t )º « M D  M D L3D  R1 »¼ «¬i2 (t )»¼ 13 23 ¬ Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012-2013

Tema 4

ªeg1 (t )º « 0 » ¬ ¼ 8

4.6.4. Circuitos con  transformadores ideales • Ejemplo: ip(t)

+

Ecs. transformador:

up(t)

eg2(t)

+

eg1(t)

up (t ) +

us (t )

is(t)

ip (t )

+

R1 i2(t)

i1(t) R2

a:1

us(t)

is (t )

 a

up (t )  aus (t )

1 a

1 i1 (t )  i2 (t ) a



ip (t )  i1 (t )

R3

is (t )  i2 (t )

Malla 1: up (t )  R1  i1 (t )  i2 (t )   R2 i1 (t )  eg1 (t )  0 Malla 2: eg 2 (t )  us (t )  R3 i2 (t )  R1  i2 (t )  i1 (t )  0

aus (t )  R1  i1 (t )  i2 (t )  R2 i1 (t )  eg1 (t )  0

eg 2 (t )  us (t )  R3 i2 (t )  R1  i2 (t )  i1 (t )  0 1 i1 (t )  i2 (t ) a Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 4

incógnitas: us (t ), i1 (t ), i2 (t )

52

4.6.5. Circuitos con fuentes  dependientes • El tratamiento de las fuentes dependientes es idéntico al seguido con las fuentes independientes. • Por cada fuente dependiente, será necesario agregar una ecuación expresando la tensión o la intensidad de la que depende dicha fuente en función de las incógnitas principales del método de análisis utilizado (las tensiones de nudo en el caso del métodos de nudo o las intensidades de circulación de malla en el caso del método de mallas). • En algunos casos, y si se reagrupan las ecuaciones una vez escritas, es posible que la matriz de admitancias de nudo/impedancias de malla, no sea simétrica. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 4

53

Referencias • •

PARRA, V. M.; ORTEGA, J.; PASTOR, A.; PEREZ, A.: “Teoría de Circuitos (Tomo I)”. Universidad Nacional de Educación a Distancia (UNED). BAYOD, A.A.; BERNAL, J.L.; DOMINGUEZ, J.A.; GARCIA GARCIA, M.A.; LLOMBART, A.; YUSTA, J.M.: “Análisis de circuitos eléctricos I”. Colección Textos Docentes, vol. 58. Prensas Universitarias de Zaragoza.

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 4

54

Tema 5 Teoremas Fundamentales del Análisis  de Circuitos

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 5

1

Índice Tema 5.‐ Teoremas fundamentales del análisis de          circuitos. 5.1.‐Introducción. 5.2.‐Teorema de Superposición. 5.3.‐Teorema de Thévenin. Equivalente  Thévenin. 5.4.‐Teorema de Norton. Equivalente Norton. 5.5.‐Equivalente Thévenin y equivalente Norton.

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 5

2

5.1. Introducción

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 5

3

5.1. Introducción • Un teorema es una proposición que hay que demostrar por medio de un razonamiento lógico a partir de hechos o de hipótesis de los cuales el teorema es la consecuencia evidente (opuesto a problema). • Consta de tres partes: – hipótesis, que es lo que se supone; – tesis, que es lo que se afirma; – y demostración, que es lo que prueba la tesis.

• Los teoremas que a continuación se van a exponer pueden representar una alternativa o un complemento a los métodos de análisis que usualmente se aplican. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 5

4

5.1. Introducción • Un circuito lineal es aquel cuyo comportamiento puede caracterizarse por medio de una ecuación diferencial lineal. • Una propiedad importante de los circuitos lineales es que, si todas las fuentes de un circuito lineal son multiplicadas por una cantidad constante, las respuestas de dicho circuito se verán multiplicadas por esa misma constante (principio de linealidad). Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 5

5

5.2. Teorema de superposición

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 5

6

5.2. Teorema de superposición • Si en un circuito lineal actúan varias fuentes de excitación de forma simultánea, la respuesta (tensión o intensidad) de dicho circuito será igual a la suma de las respuestas de dicho circuito cuando actúa cada una de las fuentes de excitación por separado. • Este teorema es válido para circuitos que incluyan fuentes dependientes.

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 5

7

5.2. Teorema de superposición Ejemplo: Determinar la intensidad I aplicando el teorema de superposición.

+U

R1

I

R2

+

Eg1 =

∙U

Eg2,U = 0

R1  R2  R4

Eg1,U = 0 R4 I2 

Superposición:

Eg1, Eg2 = 0

I  I1  I2  I3 I

Eg 1

R3

+

Eg2 =

I1 

1 R1  R2 I3   u 1 1  R4 R1  R2

 R2R4  R1  R2  R4 CUD / 2012‐2013

R1  R2  R4

Por divisor de intensidad:

Eg 1  Eg 2

Fundamentos de Electrotecnia

Eg 2

u = R2I Tema 5

8

5.3. Teorema de Thévenin. Equivalente Thévenin

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 5

9

5.3. Teorema de Thévenin • Ante cualquier otro dipolo conectado a él, un dipolo activo es equivalente a una fuente real de tensión, formada por, una fuente ideal de tensión de valor la tensión que aparece entre los terminales del dipolo activo si éstos se encuentran a circuito abierto, y en serie una impedancia de valor la impedancia vista desde los terminales del dipolo pasivo correspondiente al activo dado. Thévenin

Zeq 1

1

Dipolo activo

Cualquier dipolo

u0(t)

1’

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

+

Cualquier dipolo 1’

Tema 5

10

5.3. Teorema de Thévenin • Determinación de los valores de la fuente real: Dipolo activo a circuito abierto i(t)=0

Dipolo pasivo

1

1

+

Dipolo activo

u0(t)

Dipolo pasivo

Zeq(D)

1’

1’

• El circuito pasivo correspondiente al activo dado se construye haciendo cero todas las fuentes independientes del circuito. Las fuentes dependientes se dejan tal cual están en el circuito, es decir, no se tocan. • El equivalente Thévenin de un dipolo activo es la fuente real que le es equivalente. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 5

11

5.4. Teorema de Norton. Equivalente Norton

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 5

12

5.4. Teorema de Norton • Ante cualquier otro dipolo conectado a él, un dipolo activo es equivalente a una fuente real de intensidad, formada por, una fuente ideal de intensidad de valor la intensidad que circula entre los terminales del dipolo activo si éstos se cortocircuitan, y en paralelo una impedancia de valor la impedancia vista desde los terminales del dipolo pasivo correspondiente al activo dado. Norton

1 1

Dipolo activo

Cualquier dipolo

icc(t)

1’

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Zeq

Cualquier dipolo

1’

Tema 5

13

5.4. Teorema de Norton • Determinación de los valores de la fuente real: Dipolo activo en cortocircuito

Dipolo pasivo

1

1

+ Dipolo activo

icc(t)

u(t)=0

Dipolo pasivo

Zeq(D)

1’

1’

• El circuito pasivo correspondiente al activo dado se construye haciendo cero todas las fuentes independientes del circuito. Las fuentes dependientes se dejan tal cual están en el circuito, es decir, no se tocan. • El equivalente Norton de un dipolo activo es la fuente real que le es equivalente. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 5

14

5.5. Equivalente Thévenin y equivalente Norton

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 5

15

5.5.  Equivalente Thévenin y  Equivalente Norton  • El equivalente Thévenin y el equivalente Norton de un mismo dipolo activo, son fuentes reales equivalentes. Z (D) 1 eq

u0(t)

+

Siempre se cumple que:

Eq. Thévenin 1’

1

u0 (t )  Zeq (D)∙icc (t )

Dipolo activo

1 1’

Eq. Norton

icc(t)

Zeq(D) 1’

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 5

16

Referencias • •

PARRA, V. M.; ORTEGA, J.; PASTOR, A.; PEREZ, A.: “Teoría de Circuitos (Tomo I)”. Universidad Nacional de Educación a Distancia (UNED). BAYOD, A.A.; BERNAL, J.L.; DOMINGUEZ, J.A.; GARCIA GARCIA, M.A.; LLOMBART, A.; YUSTA, J.M.: “Análisis de circuitos eléctricos I”. Colección Textos Docentes, vol. 58. Prensas Universitarias de Zaragoza.

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 5

17

Tema 6 Análisis de circuitos en régimen  estacionario sinusoidal

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

1

Índice Tema 6.‐ Análisis de circuitos en régimen estacionario sinusoidal. 6.1.‐ Introducción. 6.2.‐ Generación de una tensión sinusoidal. 6.3.‐ Formas de onda sinusoidales. Propiedades. 6.3.1.‐ Formas de onda sinusoidales. 6.3.2.‐ Valores asociados a formas de onda sinusoidales.

6.4.‐ Circuitos alimentados con fuentes sinusoidales. 6.5.‐ Determinación del Régimen Estacionario Sinusoidal (RES). 6.5.1.‐ Determinación del Régimen Estacionario Sinusoidal por el método de los coeficientes indeterminados. 6.5.2.‐ Determinación del Régimen Estacionario Sinusoidal por el método simbólico.

6.6.‐ Impedancias y Admitancias complejas. Asociación de impedancias complejas. 6.6.1.‐ Impedancias y admitancias complejas. 6.6.2.‐ Asociación de impedancias complejas. continúa … Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

2

Índice 6.7.‐ Elementos pasivos en régimen estacionario sinusoidal. 6.7.1.‐ Resistencia. 6.7.2.‐ Bobina. 6.7.3.‐ Condensador. 6.7.4.‐ Bobinas acopladas magnéticamente. 6.7.5.‐ Transformador ideal.

6.8.‐ Leyes de Kirchhoff en régimen estacionario sinusoidal. 6.8.1.‐ Primera ley de Kirchhoff en régimen estacionario sinusoidal. 6.8.2.‐ Segunda ley de Kirchhoff en régimen estacionario sinusoidal.

6.9.‐ Métodos de análisis de circuitos en régimen estacionario sinusoidal. 6.10.‐Teoremas fundamentales en régimen estacionario sinusoidal. 6.10.1.‐ Teorema de superposición. 6.10.2.‐ Teorema de Thévenin. 6.10.3.‐ Teorema de Norton.

6.11.‐Estudio de circuitos básicos en régimen estacionario sinusoidal. 6.11.1.‐ Circuito RC. 6.11.2.‐ Circuito RL. 6.11.3.‐ Circuito RLC. 6.11.4.‐ Resumen. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

3

6.1. Introducción

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

4

6.1.

Introducción

• Generación, transporte, distribución y consumo de la energía eléctrica se lleva a cabo principalmente en forma sinusoidal. • Inicialmente, el principal uso de la electricidad era la iluminación. A medida que la energía eléctrica cobró importancia como fuente de energía, comenzó la disyuntiva entre corriente alterna y corriente continua, adoptándose finalmente como mayoritario el uso de la corriente alterna. • La principal ventaja de la corriente alterna sobre la continua es la eficiencia en el transporte de la energía eléctrica. • Se van a ver los fundamentos del análisis de circuitos en régimen estacionario sinusoidal, utilizando para ello el método simbólico desarrollado por Steinmetz. Para el análisis de dichos circuitos, se utilizarán los números complejos. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

5

6.2. Generación de una tensión sinusoidal

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

6

6.2.

Generación de una tensión  sinusoidal

• Bobina rectangular de N espiras situada en un campo magnético uniforme. B  S dS 

 = t

N

– Flujo que atraviesa una espira:





     B dS  B  A  cos S

– Flujo que atraviesa las N espiras de la bobina:   N  B  A  cos Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

7

6.2.

Generación de una tensión  sinusoidal

• Si la bobina gira con una velocidad angular , el flujo que la atraviesa variará con el tiempo: (t )  N  B  A  cos  t

• Por la “Ley de inducción de Faraday”, se inducirá una fuerza electromotriz en bornes de la bobina de valor: d (t )  N  B  A    sen t  N   m    sen t u(t )   dt

• De forma más general, se puede escribir: u(t )  U0 cos  t  u 

donde U0 es el valor máximo que alcanza la tensión generada en bornes de la bobina. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

8

6.3. Formas de onda sinusoidales. Propiedades

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

9

6.3.1. Formas de onda sinusoidales • Se dice que una forma de onda es sinusoidal si sigue la ecuación: F0 :  Amplitud

f (t )  F0sen(t   )

:  Pulsación t  : Fase de la onda : Fase inicial

donde:

• Para toda forma de onda sinusoidal se verifica que:

∙T  2        =2 f

donde:

T :  periodo (s) f :  frecuencia (Hz)

• Toda forma de onda sinusoidal se puede expresar en forma seno o coseno, con sólo cambiar su fase inicial: f (t )  F0sen(t   )  F0 cos(t     2) f (t )  F0cos(t   )  F0sen(t     2) Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

10

6.3.2. Valores asociados a formas  de onda sinusoidales •

•

•

Valor de pico: Distancia  vertical  entre el cero y el  valor máximo (o el  mínimo)de la forma de  onda. En ondas sinusoidales  coincide con la amplitud(F0). Valor de pico a pico: Distancia vertical entre el  valor máximo y el valor  mínimo de una forma de  onda. En ondas sinusoidales,  dos veces la amplitud (2F0). Valor medio: Promedio  integral en un período.

F 1 T fm   f (t ) dt  0 T 0 T Fundamentos de Electrotecnia



T

0

sent dt  0 CUD / 2012‐2013

•

•

Ciclo: Porción de onda  comprendida en un intervalo  igual a un periodo. Frecuencia: Nº de ciclos que  tienen lugar en una unidad de  tiempo.

T∙ f  1  f 

Tema 6

1 T

11

6.3.2. Valores asociados a formas  de onda sinusoidales • Valor eficaz: Es el resultado de: F0 1 T 2 Fef  f (t )dt      Sólo en el caso de formas de onda sinusoidales   0 T 2 – El valor eficaz de cualquier forma de onda siempre es distinto de cero. – Interpretación física del valor eficaz: • El valor eficaz de una tensión alterna es el valor de la tensión continua que, aplicada a una resistencia, produce la misma disipación de calor que el producido por dicha tensión alterna aplicada a esa misma resistencia. • El valor eficaz de una intensidad alterna es el valor de la intensidad continua que, circulando por una resistencia, produce la misma disipación de calor que el producido por dicha intensidad alterna circulando por esa misma resistencia. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

12

6.3.2. Valores asociados a formas  de onda sinusoidales • Desfase entre dos ondas:

d suele expresarse en grados

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

• Para medir el desfase entre dos ondas, se comparan estados homólogos de ambas ondas que estén separados por menos de un semiperiodo (1 y 2 ó 1’ y 2’, pero no 1 y 2’, por ejemplo). • Adelanta lo que primero sucede y, teniendo en cuenta que el eje horizontal es un eje de tiempo creciente, el punto 1 sucede antes que el punto 2. Por lo tanto, en el ejemplo, la onda 1 adelanta a la onda 2. Tema 6

13

6.3.3. Propiedades de las formas de  onda sinusoidales • Las ondas sinusoidales cumplen las siguientes propiedades matemáticas: ‐ Al sumar o restar varias ondas sinusoidales de la misma frecuencia se obtiene otra onda sinusoidal de la misma frecuencia. ‐ Al derivar o integrar cualquier número de veces una onda sinusoidal se obtiene otra onda sinusoidal de la misma frecuencia. ‐ El producto de dos formas de onda sinusoidales, es otra forma de onda sinusoidal (aunque no de la misma frecuencia). Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

14

6.4. Circuitos alimentados con fuentes  sinusoidales

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

15

6.4. Circuitos alimentados con fuentes  sinusoidales • Sea un circuito: +

R

+

uR(t)

i(t) +

uL(t)

eg(t) = E0 cos (t + u)

LD

• Aplicando la 2ª ley de Kirchhoff al circuito: eg (t )  uR (t )  uL (t ) • Y a partir de las ecuaciones de definición de los elementos del circuito: uR (t )  R  i(t )

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

uL (t )  LD∙i(t )

16

6.4. Circuitos alimentados con fuentes  sinusoidales

• La ecuación diferencial que comportamiento del circuito es:

rige

el

R  i(t )  LD∙i(t )  eg (t ) • Y dado que la fuente de tensión es sinusoidal:

R  i(t )  LD∙i(t )  E 0 cos( t  u ) • La intensidad que circula por el circuito (es decir, su respuesta) es la solución de esta ecuación diferencial. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

17

6.4. Circuitos alimentados con fuentes  sinusoidales

• Solución: Intensidad que circula por el circuito i(t) 1 IV1

600m 1

Plot1 IV1 in amperes

200m

-200m

-600m

-1.00

100m

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

300m

500m TIME in seconds

Tema 6

700m

900m

18

6.4. Circuitos alimentados con fuentes  sinusoidales • Solución completa de la ecuación diferencial: i(t )  ihomogénea (t)  iparticular (t )

• Ecuación diferencial homogénea: di(t ) R  i(t )  L 0 dt

E0 E0  t RL ih (t )   e R R

Solución

– Es el modo natural del circuito, constituye su régimen transitorio. – Se amortigua con el tiempo. – No depende de la forma de onda de la fuente de excitación del circuito. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

19

6.4. Circuitos alimentados con fuentes  sinusoidales

• Solución de la ecuación diferencial homogénea: 1 IV1

25.0

Plot1 IV1 in amperes

15.0 1 5.00

-5.00

-15.0

100m

Fundamentos de Electrotecnia

300m

CUD / 2012‐2013

500m TIME in seconds

700m

Tema 6

900m

20

6.4. Circuitos alimentados con fuentes  sinusoidales

• Solución particular: – Se prueba una solución que tenga la misma forma que la excitación del circuito: ip (t )  I0 cos( t  i )

– Esta solución constituye el régimen permanente o régimen estacionario del circuito. – Queda totalmente determinada calculando el valor de la amplitud I0 y el valor del ángulo i .

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

21

6.4. Circuitos alimentados con fuentes  sinusoidales

• Solución particular de la ecuación diferencial: Régimen permanente  o régimen estacionario

1 IV1

2.00

Plot1 IV1 in amperes

1.00

0

-1.00 1 -2.00

1.10

Fundamentos de Electrotecnia

1.30

CUD / 2012‐2013

1.50 TIME in seconds

1.70

Tema 6

1.90

22

6.4. Circuitos alimentados con fuentes  sinusoidales

• Solución completa i(t): 1 IV1

600m 1

Plot1 IV1 in amperes

200m

=

-200m

-600m

Régimen  Estacionario  Sinusoidal (RES)

-1.00

100m

300m

500m TIME in seconds

700m

900m

1 IV1

1 IV1

25.0

400m

200m 1

+

5.00

Plot1 IV1 in amperes

=

Plot1 IV1 in amperes

15.0

0

-5.00

-200m

-15.0

-400m

100m

300m

500m TIME in seconds

Fundamentos de Electrotecnia

700m

900m

CUD / 2012‐2013

1

1.10

1.30

Tema 6

1.50 TIME in seconds

1.70

1.90

23

6.5. Determinación del Régimen Estacionario  Sinusoidal

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

24

6.5. Determinación del Régimen  Estacionario Sinusoidal

• El régimen estacionario de un circuito viene dado por la solución particular de la ecuación diferencial que rige el comportamiento de dicho circuito. • Formas de determinar los parámetros de la solución particular: – Método de los coeficientes indeterminados o cualquier otro que permita la resolución de la ecuación diferencial. – Método simbólico. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

25

6.5.1

Determinación del RES por el  método de los coefs. indeterminados

– Método de los coeficientes indeterminados: • Se considera una solución particular de la ecuación con la misma forma que el término independiente, donde I0 y i son los coeficientes a determinar. ip (t )  I0 cos( t  i )

• Esta solución ha de satisfacer la ecuación diferencial:

LI0sen( t  i )  RI0 cos( t  i )  E0 cos( t  u ) • Desarrollando las sumas de senos y cosenos se llega a: LI0sen t cos i  LI0 cos  t seni  RI0 cos  t cos i  RI0sen t seni   E0 cos  t cos u  E0sen t senu Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

26

6.5.1

Determinación del RES por el  método de los coefs. indeterminados • Agrupando términos e igualando coeficientes, se obtiene: RI0 cosi   LI0 seni  E0 cos u

RI0seni   LI0 cos i  E 0senu

• Ecuaciones que constituyen un sistema de ecuaciones que permite calcular las incógnitas I0 y i. • Elevando al cuadrado los dos miembros de ambas ecuaciones: R 2I02 cos2 i   2 L2I02sen2i  2R LI02 cos i seni  E 02 cos2 u R 2I02sen2 i   2 L2I02 cos2  i  2R LI02 cos  i sen i  E 02 sen2u Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

27

6.5.1

Determinación del RES por el  método de los coefs. indeterminados • Sumando miembro a miembro ambas ecuaciones:

R 2I02   2L2I02  E02 • y despejando, se obtiene:

I0 

E0 R  L 2

2 2

• Si dividimos ambas ecuaciones:

Rseni  Lcosi tg u  Rcosi  Lseni • que también puede escribirse: Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

tg u 

Tema 6

tg  i  1

L R

L R

tg i 28

6.5.1

Determinación del RES por el  método de los coefs. indeterminados • Si se denota por tg  a la expresión: tg  

L R

• se obtiene que: tg u  tg(i   )

• y, por lo tanto:

 i  u  

• Esto es, la solución particular de la ecuación diferencial queda: E0 ip (t )  cos( t  u   ) R 2   2L2 Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

29

6.5.2 Determinación del RES por el  método simbólico – Método simbólico: • Consiste en la resolución analítica de circuitos en régimen estacionario sinusoidal mediante la aplicación del cálculo complejo a través del método vectorial complejo. • El método se basa en la fórmula de Euler:

e j t  cos  t  jsen t

siendo  j  1

• Esta ecuación representa, en el plano complejo, un vector unitario que gira en el sentido contrario a las agujas del reloj, con una velocidad angular de  radianes/segundo. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

30

6.5.2 Determinación del RES por el  método simbólico • Sea una forma de onda sinusoidal: f (t )  F0 sen( t   )

• Esta función sinusoidal se puede considerar como el resultado de proyectar en el eje vertical un vector giratorio, tal y como puede verse en la figura siguiente.  F0 

Im 

t F0 

F0 (sen t + ) F0 sen  Re

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

t = 0



t

t

Tema 6

31

6.5.2 Determinación del RES por el  método simbólico

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

32

6.5.2 Determinación del RES por el  método simbólico • En t = 0, el número complejo forma un ángulo  con el eje horizontal. De acuerdo con el álgebra de los números complejos y la fórmula de Euler, este número se puede representar por la forma:

F 0  F0 e j  F0 cos  jF0 sen • Ahora bien, si el vector que representa al número complejo gira en sentido contrario a las agujas del reloj con una velocidad angular de  rad/s, en el instante t el vector habrá barrido un ángulo t, que sumado a la fase inicial significará que el ángulo que forma el vector con el eje real será:

  t  

  2 f  : pulsación  radianes / segundo  f : frecuencia  Herzios 

• En estas condiciones, el vector giratorio F0 (FASOR) se puede representar en la forma: F 0  F0 e j (t  )   F0 e j  e jt  F0 e jt

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

33

6.5.2 Determinación del RES por el  método simbólico – La aplicación del método simbólico para determinar la solución particular de la ecuación diferencial se basa en la transformación del circuito al campo complejo, basándose en la posibilidad de representar las ondas sinusoidales mediante fasores. – Transformación del circuito al campo complejo: • La fuente de excitación es sinusoidal, por lo que se le puede asociar un fasor:

E 0  E0 u  (E0 e ju )e jt  E0 cos(t  u )  j E0 sen(t  u ) • Sustituyendo en la ecuación diferencial la fuente sinusoidal por su fasor asociado, se tendrá:

R  i(t )  LD∙i(t )  E 0 Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

34

6.5.2 Determinación del RES por el  método simbólico – En cuanto a la intensidad que circula por el circuito, también será sinusoidal, y se le podrá asociar un fasor: I 0  I0 i  (I0 e ji )e jt  I0 cos(t  i )  j I0 sen(t  i )

– Sustituyendo en la ecuación diferencial: ji

RI0 e e

jt

ji

 j LI0 e e

jt

ju

 E0 e e

jt

(R  j L) I 0  E 0 – Puede verse que esta ecuación se trata ahora de una ecuación en números complejos, en vez de una ecuación diferencial. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

35

6.5.2 Determinación del RES por el  método simbólico – Se resuelve planteando la igualdad de módulos y argumentos: R 2   2L2 ∙I0  E0

L

    siendo   arctg    i  u R – Si en vez de utilizar valores de amplitud si se utilizan valores eficaces, algo habitual en ingeniería eléctrica, la ecuación se escribirá:

(R  j L)I  E – Este proceso de transformación para conseguir que las ecuaciones diferenciales pasen a ser ecuaciones algebraicas, suele denominarse “transformar el circuito al campo complejo”. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

36

6.5.2 Determinación del RES por el  método simbólico – Una vez resuelta la ecuación o sistemas de ecuaciones en números complejos, se tendrán los fasores correspondientes a las respuestas de los circuitos. – Para hacer la transformación inversa, y obtener así la expresión temporal de las respuestas de los circuitos, se tomará la parte real o la parte imaginaria de los números complejos que representan a estos fasores en función de si las excitaciones se han expresado en forma coseno (parte real) o en forma seno (parte imaginaria).                             i(t )  Re I   2∙I cos(t  i )                si fuentes en forma coseno I  I i                             i(t )  ImI   2∙I  sen(t   i )               si fuentes en forma seno Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

37

6.5.2 Determinación del RES por el  método simbólico • Procedimiento para realizar la transformación de un circuito al campo complejo: – Comprobar que todas las fuentes de excitación del circuito son de la misma pulsación. Si no lo son, y se desea analizar el circuito por el método simbólico, será imprescindible hacerlo aplicando el teorema de superposición. – Comprobar que todas las fuentes de excitación del circuito una única forma seno o coseno, y si no la tienen transformarlas sumando o restando /2 a su fase inicial. – Sustituir las expresiones temporales de las fuentes de excitación del circuito por sus fasores asociados. Dichos fasores se escribirán como números complejos cuyo módulo es el valor eficaz y como argumento la fase inicial de cada una de las fuentes. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

38

6.5.2 Determinación del RES por el  método simbólico – Sustituir las expresiones temporales de las distintas variables del circuito por sus fasores asociados. – En las impedancias operacionales del circuito, se sustituye el operador derivada, D, por j

• En la siguiente página se ve un ejemplo de esta transformación. – En amarillo, circuito en el dominio del tiempo. – En azul, circuito en el campo complejo.

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

39

6.5.2 Determinación del RES por el  método simbólico R

+  + eg(t) = E0 cos (t+u) 

i(t)

+ uR(t) 

+ uL(t)

eg (t )  uR (t )  uL (t ) uR (t )  R  i(t )

LD

++ Eg 

i(t )  ihomogénea (t)  iparticular (t )

iparticular (t )  iestacionario (t) CUD / 2012‐2013

I

+ U    R

E g  UR  UL

uL (t )  LD  i(t )

R  i(t )  LD  i(t )  E0 cos( t  u )

Fundamentos de Electrotecnia

R

+ U L 

jL 

UR  R  I U L  jL  I

(R  j L) I  E

R 2   2L2 ∙ I  E       I 

E R 2   2L2

   i  u    i  u ‐       siendo   arctg I  I i Tema 6

L R

i(t )  Re(I)  2∙I cos(t  i ) 40

6.6. Impedancias y admitancias complejas.  Asociación de impedancias

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

41

6.6.1. Impedancias y admitancias  complejas • Dado un dipolo pasivo, se definen: – Impedancia compleja: relación entre la tensión compleja en bornes del dipolo y la intensidad compleja que lo atraviesa. U Z I

Z  Z  Z       Forma polar R :  Resistencia Z  R  jX   Forma binómica X :  Reactancia

Representación: 1

Z

I +

1’

U

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Unidades:

Z :  Ohmios () R :  Ohmios () X :  Ohmios () Tema 6

42

6.6.1. Impedancias y admitancias  complejas – Admitancia compleja: relación entre la intensidad compleja que atraviesa un dipolo y la tensión compleja entre sus bornes. I Y U

Y  Y Y       Forma polar G :  Conductancia Y  G  jB   Forma binómica B :  Susceptancia

Representación: 1

Y

I +

G :  Siemens (s)

1’

Unidades: U

Fundamentos de Electrotecnia

B :  Siemens (s) Y :  Siemens (s)

CUD / 2012‐2013

Tema 6

43

6.6.1. Impedancias y admitancias  complejas – Siempre se cumple que: 1 Z Y 1 1 1 – Atención: Y     pero    G    y   B  Z R X

– Comprobación: 1 1 R  jX R X   2 j 2  G  jB Y  2 2 Z R  jX  R  jX  R  jX  R  X R X – Entonces: Fundamentos de Electrotecnia

R X G 2          B   2 2 R X R  X2 CUD / 2012‐2013

Tema 6

44

6.6.2. Asociación de impedancias  complejas • Asociación de impedancias complejas en serie: 1

Z1

I

Z2

Zk …

+ U 1 +

U1  Z 1  I U2  Z 2  I  Uk  Z k  I  Un  Z n  I

Fundamentos de Electrotecnia

Zn …

+ U 2

+ U k

1’



+ Un

Zeq

1 I +

1’

U

U

Segunda Ley de Kirchhoff  n  U  U k    Z k   I k 1  k 1  n

n

Z eq   Z k

Ley de Ohm

k 1

U  Z eq  I CUD / 2012‐2013

Tema 6

45

6.6.2. Asociación de impedancias  complejas • Divisor de tensión: 1

 n  U    Zk I  k 1  Uk  Z k  I

I

Z1

Z2

+ U 1 +

+ U 2

Zk

…

+ U k

Zn

…

1’

+ Un

U

Zk Uk  n U  Zk

Uk 

k 1

Zk

U

n

Z k 1

k

Expresión del divisor de  tensión Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

46

6.6.2. Asociación de impedancias  complejas • Asociación de admitancias complejas en paralelo: 1 +

U

I

…

I1 Y1

I2

1’

I2  Y 2  U  Ik  Y k U  In  Y n U Fundamentos de Electrotecnia



Yn

Yk …

I1  Y 1  U

In

Ik

Y2

1 +

…

U

I

Yeq

…

1’

Primera Ley de Kirchhoff  n  I   I k   Y k   U k 1  k 1  n

n

Y eq  Y k

Ley de Ohm

k 1

I  Y eq  U CUD / 2012‐2013

Tema 6

47

6.6.2. Asociación de impedancias  complejas • Divisor de intensidad: 1 +

U

I

…

…

I1

I2

Ik

In

Y1

Y2

Yk

Yn

…

…

1’

 n  I   Y k   U  k 1  Ik  Y k U

Yk Ik  n I Yk

Ik 

k 1

Yk

I

n

Y k 1

k

Expresión del divisor de  intensidad Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

48

6.7. Elementos pasivos en RES

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

49

6.7. Elementos pasivos básicos en  régimen estacionario sinusoidal • A continuación se ven las impedancias complejas de los distintos elementos pasivos básicos que forman parte de los circuitos eléctricos. • Hay que recordar que para transformar las impedancias operacionales al campo complejo, se sustituye el operador derivada, D, por el número complejo j. • Recordar también que cualquier circuito pasivo puede representarse mediante su impedancia equivalente, de manera que: 1

I

Z

1’

+ U

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

U Z   R  jX  Z  Z I

U  Z ∙I

Z  R2  X 2

U  Z ∙I

X  Z  arctg R

u   Z   i Tema 6

50

6.7.1. Resistencia 1

i(t) R +

1’

Z (D)  R

I

1

+

u(t)

R

1’

U

R  0 Z  R  R  j0  X  0

u(t )  R∙i(t )

Z R Z  R Z  R  R 0º   Z  0º

U  R  I U  R 0º  I   u  i

Resistencia: u= i Tensión e intensidad están en fase Diagrama vectorial Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

51

6.7.2. Bobina 1

i(t) LD +

1’

Z (D)  LD

u(t) u(t )  LD∙i(t )

I

1

+

jL

1’

Z  jL

U

R  0  Z  L Z  jL  0  jL  Z  jL  L 90º   X  L  0   Z  90º

U  L  I U  L 90º  I   u  i  90º

Bobina: u= i+90º  u i La tensión adelanta 90º a la intensidad Diagrama vectorial Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

52

6.7.2. Bobina I

1

+

jL

1’

Z  jL

U

 Z  L → El valor depende de la frecuencia Z  jL  L  90º   Z   90º Si  = 0 (corriente continua)  Z = L = 0 → Cortocircuito Si  →  (alta frecuencia)  Z = L →  → Circuito abierto

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

53

6.7.3. Condensador 1

i(t) 1/CD +

1’

Z (D) 

u(t) u(t ) 

1 ∙i(t ) CD

I 1/jC

1

1 CD

+

1’

U

1 j 1 Z   j jC j  jC  C

1  R  0 1 1 1 1  Z   90º  Z  j 0 j Z  j C 1    C C C C  X   0  Z  90º C 

1   I U 1  90º  I   U C C u  i  90º Diagrama vectorial

Condensador: u= i‐90º  u< i La tensión retrasa 90º respecto de la intensidad Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

54

6.7.3. Condensador I

1

+

1/jC

1’

U

1 j 1 Z   j jC j  jC  C

1  → El valor depende de la frecuencia 1 1 Z    90º  Z  j C C C  Z   90º Si  = 0 (corriente continua)  Z = 1/C →  → Circuito abierto Si  →  (alta frecuencia)  Z = 1/C = 0 → Cortocircuito

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

55

6.7.4. Bobinas acopladas  magnéticamente Para las referencias y terminales correspondientes indicados:

1

i1(t) MD

i2(t)

+

u1(t)

2

+

L1D

1’

L2D

u2(t) 2’

u1 (t )  L1D∙i1 (t )  MD∙i2 (t ) u2 (t )  L2 D∙i2 (t )  MD∙i1 (t )

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

1

I1

jM

I2

U1 1’

2

+

+

jL1

jL2

U2 2’

U1  jL1 ∙I 1  jM∙I 2 U2  jL2 ∙I 2  jM∙I 1

Tema 6

56

6.7.5. Transformador ideal Para las referencias y terminales correspondientes indicados: 1

i1(t)

i2(t)

+

1’

2

+

u2(t)

u1(t) a:1

1

2’

u1 (t ) N1u1 (t )  N2u2 (t )  a u2 (t ) i (t ) 1 N1 i1 (t )  N2 i2 (t )  0  1   i2 (t ) a

I1

I2

+

U2

U1 1’

2

+

a:1

2’

U1 N1 U1  N2 U2  a U2 I 1 1 N1 I 1  N1 I 1  0  1    180º I2 a a

Diagrama vectorial Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

57

6.8. Leyes de Kirchhoff en RES

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

58

6.8.1. 1ª Ley de Kirchhoff en RES – La suma de todas las intensidades complejas que entran (salen) en (de) un nudo a través del conjunto de conductores que concurren en él, es siempre cero.

I

I1

I2 I3 I4

entran

I

0 entran

I  I

0

salen

Ejemplos: I1  I 2  I 3  I 4  0 I 1  I 2  I 3  I 4  0

salen

I1  I 3  I2  I 4

Atención: Notar que las sumas son vectoriales, NO EN MÓDULO I1  I2  I3  I4  0 En general:                                    Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

59

6.8.2. 2ª Ley de Kirchhoff en RES – La suma de las tensiones complejas a lo largo de cualquier trayectoria cerrada de un circuito, es siempre cero. B U1 A+ + U5

Ejemplos: U2

U6 + E +

U4 D

+ C + U3

Trayectoria ABCDEA .................. U1  U2  U 3  U 4  U 5  0 Trayectoria ABEA ..................................... U1  U 6  U 5  0 Trayectoria EBCDE ....... U 6  U 2  U 3  U 4  0  U 6  U2  U 3  U 4 Trayectoria EBAE ................. U 6  U1  U 5  0  U 6  U1  U 5

U EB  U 6  U 5  U1  U 4  U 3  U2     Trayectoria EAB

Trayectoria EDCB

Atención: Notar que las sumas son vectoriales, NO EN MÓDULO U1  U2  U3  U4  U5  0 En general:                                             Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

60

6.9. Métodos de análisis de circuitos en RES

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

61

6.9. Método de análisis de  circuitos en RES • Métodos de análisis: – Método de nudos. – Método de mallas.

• Las variables empleadas en los métodos de análisis (tensiones de nudo e intensidades de malla) serán fasores y vendrán representadas por números complejos. • Los sistemas de ecuaciones resultantes de aplicar el método de análisis elegido a un circuito, serán sistemas de ecuaciones en números complejos, en vez de sistemas de ecuaciones diferenciales. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

62

6.10. Teoremas fundamentales en RES

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

63

6.10.1. Teorema de superposición • Dado un circuito lineal, la respuesta de dicho circuito cuando actúan en él de manera simultánea varias fuentes de excitación, es igual a la suma de las respuestas del circuito si actúa cada fuente de excitación de manera independiente. – Este teorema es de uso imprescindible para analizar, por el método simbólico, circuitos en los que haya fuentes de distintas formas de onda, o bien en el caso de que, aun siendo todas las fuentes sinusoidales, no tengan todas la misma pulsación. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

64

6.10.2. Teorema de Thévenin • Ante cualquier otro dipolo conectado a él, un dipolo activo es equivalente a una fuente real de tensión, formada por, una fuente ideal de tensión de valor la tensión que aparece entre los terminales del dipolo activo si éstos se encuentran a circuito abierto, y en serie una impedancia de valor la impedancia vista desde los terminales del dipolo pasivo correspondiente al activo dado. Thévenin

Dipolo activo

Fundamentos de Electrotecnia

Cualquier dipolo

CUD / 2012‐2013

Zeq +

U0

Tema 6

Cualquier dipolo

65

6.10.2. Teorema de Thevenin • Determinación de los valores de la fuente: Dipolo activo a circuito abierto I=0 Dipolo activo

Dipolo pasivo

1 +

1

U0

Dipolo pasivo

1’

Zeq(D) 1’

• El circuito pasivo correspondiente al activo dado, se construye haciendo cero todas las fuentes independientes del circuito. Las fuentes dependientes se dejan tal cual están en el circuito, es decir, no se tocan. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

66

6.10.3. Teorema de Norton • Ante cualquier otro dipolo conectado a él, un dipolo activo es equivalente a una fuente real de intensidad, formada por, una fuente ideal de intensidad de valor la intensidad que circula entre los terminales del dipolo activo si éstos se cortocircuitan, y en paralelo una impedancia de valor la impedancia vista desde los terminales del dipolo pasivo correspondiente al activo dado. Norton

1 1

Dipolo activo

Cualquier dipolo

Icc

1’

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Zeq

Cualquier dipolo

1’

Tema 6

67

6.10.3. Teorema de Norton • Determinación de los valores de la fuente real: Dipolo activo en cortocircuito

Dipolo pasivo

1

1

+ Dipolo activo

Icc(t)

U=0

Dipolo pasivo

Zeq(D)

1’

1’

• El circuito pasivo correspondiente al activo dado se construye haciendo cero todas las fuentes independientes del circuito. Las fuentes dependientes se dejan tal cual están en el circuito, es decir, no se tocan. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

68

6.11. Estudio de circuitos básicos en RES

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

69

6.11.1. Circuito RC 1

+

I

R

+U R

U

U  U R  UC  RI  ( j +

‐j(1/C)

UC 1’

2   Z  R 2   1    C  1  Z R j  1 C   C   0  arctg  Z R

2  U  R 2   1  ∙I U  Z ∙I    C   u  i   Z  u  i

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

1 1 )I  (R  j )I C C

• La tensión retrasa a la intensidad un ángulo igual al argumento de la impedancia Z . Tema 6

70

6.11.1. Circuito RC 1

Im

+

I

R

+ U R

U

+

‐j(1/C)

UC 1’

UC UR

Z

I

i Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

U

u

Re

Tema 6

71

6.11.2. Circuito RL 1

+

I

+ U R

U

U  U R  U L  RI  j LI  (R  jL)I

R +

UL

jL

 Z  R 2   2 L2  Z  R  j L   L 0  Z  arctg  R

1’

U  R 2   2 L2 ∙I U  Z ∙I   u  i   Z  u  i Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

• La tensión adelanta a la intensidad un ángulo igual al argumento de la impedancia Z . Tema 6

72

6.11.2. Circuito RL Im

1

+

Z i

Fundamentos de Electrotecnia

UL

R

+U R

U

U

I

+

jL

UL 1’

UR I

CUD / 2012‐2013

u

Re

Tema 6

73

6.11.3. Circuito RLC 1

+

I

U  U R  U L  U C  RI  j LI  j

R

+U R

+

UL

U

+

Uc

1’

jL

1 I C

  1   R  j   L   I  C   

‐j(1/C)

2   Z  R 2    L  1   C     1    Z  0 si   L   1 C 1  )  Z  R  j( L   L C  C  1    Z  0 si   L   Z  arctg R C     1 si      Z  0   L   C  

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

74

6.11.3. Circuito RLC 2  U  R 2    L  1  ∙I  C   U  Z ∙I   si  Z  0  u  i         si  Z  0  u  i  u i Z si   0      u i  Z 

• En función del valor del condensador, de la bobina y de la pulsación , el ángulo de la impedancia equivalente puede ser mayor, menor o igual cero, y , por lo tanto, la tensión puede adelantar, retrasar o estar en fase, respectivamente, respecto de la intensidad que recorre el circuito. – Caso particular: si L = (1/C) Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

RESONANCIA Tema 6

75

6.11.3. Circuito RLC L

Im

UC U

UL

1

+

I

1  Z  0 C

R

+U R

+

UL

U

Fundamentos de Electrotecnia

+

Uc

Z i

jL

UR I

CUD / 2012‐2013

u

‐j(1/C)

1’

Re

Tema 6

76

6.11.3. Circuito RLC 1 L  Z  0 C

Im

UL

UC

1

+

i

Fundamentos de Electrotecnia

I

CUD / 2012‐2013

R

+U R

+

UL

U

U

Z=0

I

jL

+

Uc

UR

u

‐j(1/C)

1’

Re

Tema 6

77

6.11.3. Circuito RLC L

Im

1  Z  0 C

UL UC UR

1

+

I

Z

i

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

U

I

R

+U R

+

jL

UL

U

+

Uc

u

1’

Tema 6

‐j(1/C)

Re

78

6.11.4. Resumen • El desfase entre la tensión en bornes y la intensidad que circula por un dipolo pasivo, que puede representarse mediante su impedancia equivalente, es siempre igual al argumento de dicha impedancia equivalente. 1

I

Z + U

1’

Z  R  jX Z  Z Z

U  Z ∙I U  Z ∙I  u   Z   i  u   i   Z (Ejemplo con impedancia de carácter inductivo) Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

79

6.10.4. Resumen • En RES, se pueden clasificar los elementos pasivos (también llamados impedancias o cargas) en los siguientes tipos: Cargas

U respecto de I

Resistivas puras

En fase

Inductivas puras

Adelanta 90º

Capacitivas puras

Retrasa 90º

Carácter inductivo

Adelanta un ángulo Z

Carácter capacitivo

Retrasa un ángulo Z (HELICE)

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

80

6.10.4. Resumen • En general, el valor de la impedancia de los elementos pasivos depende de la frecuencia, tanto su módulo como su argumento. • Si nos fijamos en una impedancia de carácter inductivo, tenemos que:  Z  R 2   2 L2  Z  R  j L   L 0  Z  arctg R 

• Si aumenta la frecuencia de la fuente de excitación, es decir, aumenta su pulsación, tanto el módulo de la impedancia Z, como su argumento Z , aumentan su valor. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

81

Referencias • •

•

PARRA, V. M.; ORTEGA, J.; PASTOR, A.; PEREZ, A.: “Teoría de Circuitos (Tomo I)”. Universidad Nacional de Educación a Distancia (UNED). BAYOD, A.A.; BERNAL, J.L.; DOMINGUEZ, J.A.; GARCIA GARCIA, M.A.; LLOMBART, A.; YUSTA, J.M.: “Análisis de circuitos eléctricos I”. Colección Textos Docentes, vol. 58. Prensas Universitarias de Zaragoza. BAYOD, A.A.: ”Circuitos monofásicos en régimen estacionario senoidal”. Colección Textos Docentes, vol. 107. Prensas Universitarias de Zaragoza.

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 6

82

Tema 7 Potencia en régimen estacionario  sinusoidal

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 7

1

Índice Tema 7.‐ Potencia en régimen estacionario sinusoidal. 7.1.‐ Potencia instantánea. 7.2.‐ Potencia instantánea en dipolos pasivos básicos. 7.2.1.‐ Resistencia. 7.2.2.‐ Bobina. 7.2.3.‐ Condensador.

7.3.‐ Expresión de la potencia en el campo complejo. Triángulo de potencias. 7.3.1.‐ Expresión de la potencia en el campo complejo. 7.3.2.‐ Triángulo de potencias.

7.4.‐ Potencia compleja en dipolos pasivos. 7.4.1.‐ Dipolo pasivo básico. 7.4.2.‐ Resistencia. 7.4.3.‐ Bobina. 7.4.4.‐ Condensador.

7.5.‐ Factor de potencia. 7.5.1.‐ Definición del factor de potencia. 7.5.2.‐ Efectos de un factor de potencia bajo. 7.5.3.‐ Compensación del factor de potencia.

7.6.‐ Teoremas relacionados con la potencia en RES. 7.6.1.‐ Teorema de Boucherot. 7.6.2.‐ Teorema de la máxima transferencia de potencia.

7.7.‐ Medida de la potencia. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 7

2

7.1. Potencia instantánea

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 7

3

7.1. Potencia instantánea • Dado un dipolo, con las referencias de la figura: 1 + u(t)

i(t)

1’

– Se define la potencia instantánea absorbida por el dipolo como:

pabs (t )  u(t )∙i(t ) – Teniendo en cuenta que en un circuito en régimen estacionario sinusoidal: u(t )  2 U cos( t  u ) i(t )  2 I cos( t  i ) Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 7

U e I son valores  eficaces 4

7.1. Potencia instantánea • Representando gráficamente estas formas de onda se tiene:

– La potencia instantánea es una función sinusoidal de frecuencia doble a la de la onda de tensión o intensidad – La potencia es cero en los instantes en que i(t)=0 ó u(t)=0 – En los instantes en los que p(t) > 0, el dipolo absorbe energía de la fuente de excitación; mientras que en los instantes en los que p(t) < 0, es el dipolo el que devuelve parte de esta energía a la fuente de excitación Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 7

5

7.1. Potencia instantánea • Analíticamente: p(t )  u(t )i(t )  2UI cos( t  u )cos( t  i )

• Expresión que puede escribirse como: p(t )  u(t )i(t )  UI cos(2 t  u  i )  cos(u  i )

• O también: p(t )  UI cos(2 t  2u   )  UI cos 

siendo   u  i

– Notar que: – Los términos U, I y cos  son constantes, no dependen del tiempo y, por lo tanto, el término UI cos  también es una cantidad constante – La potencia instantánea se puede expresar como suma de dos términos, uno constante y otro dependiente del tiempo, sinusoidal, y de frecuencia doble de la de la tensión o la intensidad Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 7

6

7.1. Potencia instantánea • Integrando la potencia instantánea a lo largo del tiempo: t

t

t

0

0

0

w(t )  w(0)   p(t )dt   UI cos  dt   UI cos(2 t  2u   )dt

• Integrando a lo largo de un número entero de periodos de la potencia, se ve que:



nT 0

p(t )dt   UI cos  dt   UI cos(2 t  2u   )dt  nT UI cos   0  nT

nT

0

0

– El valor medio de la potencia instantánea coincide con el término constante. – Este término se denomina potencia media o potencia activa, y su producto por el tiempo es el valor de la energía total suministrada por la fuente de excitación al circuito durante el tiempo considerado. Energía transferida nT UI cos   P   UI cos  nT intervalo de tiempo Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 7

7

7.1. Potencia instantánea – Al término sinusoidal se le denomina potencia fluctuante, y muestra las fluctuaciones de la potencia instantánea en torno al valor medio. F (t )  UI cos(2 t  2u   ) – Su integral, a lo largo de un número entero de periodos, es cero

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 7

8

7.2. Potencia instantánea en dipolos pasivos  básicos

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 7

9

7.2.1. Resistencia u(t )  R∙i(t )

i(t )  2 I cos( t  i ) u(t )  2 RI cos( t  i )

pabs (t )  RI 2 cos(2 t  2i )  RI 2

Potencia media P = RI2 • En cualquier instante pabs(t) siempre es mayor o igual a cero, esto es, una resistencia siempre absorbe energía del circuito. • Una resistencia no almacena energía Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 7

10

7.2.2. Bobina u(t )  LD∙i(t )

i(t )  2 I cos( t  i ) u(t )  2 I L cos( t  i   / 2)

pabs (t )   LI 2 cos(2 t  2i   / 2)  0

Potencia media P = 0

• Se efectúa constantemente una transferencia energética entre la fuente de excitación y el campo magnético asociado a la bobina. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 7

11

7.2.3. Condensador i(t )  CD∙u(t )

i(t )  2 I cos( t  i ) u(t )  2 I(1 /  C )cos( t  i   / 2)

pabs (t )  (1 /  C )I 2 cos(2 t  2i   / 2)  0

Potencia media P = 0

• Se efectúa constantemente una transferencia energética entre la fuente de excitación y el campo eléctrico asociado al condensador Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 7

12

7.3. Expresión de la potencia en el campo  complejo. Triángulo de potencias.

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 7

13

7.3.1. Expresión de la potencia en  el campo complejo • Un dipolo pasivo se puede  representar mediante su  impedancia compleja  equivalente, de parte real R y  parte imaginaria X. • Multiplicando todos los lados  del triángulo por la  intensidad que entra en el  dipolo Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 7

Triángulo de impedancias

Triángulo de tensiones 14

7.3.1. Expresión de la potencia en  el campo complejo • Multiplicando nuevamente los lados del triángulo de tensiones por la intensidad que entra en el dipolo – Cateto horizontal: Potencia media absorbida por la parte resistiva. Potencia Activa. – Cateto vertical: Es el valor de la amplitud de las oscilaciones de la potencia absorbida en la componente reactiva del dipolo. Potencia Reactiva. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

UZ∙I

X∙I2

Z

Triángulo de potencias

R∙I2

Potencia activa :  P  RI 2  UI cos  Potencia reactiva : Q  XI 2  UIsen

Tema 7

15

7.3.1. Expresión de la potencia en  el campo complejo • Dado el triángulo de potencias

• La hipotenusa de dicho triángulo, de longitud U∙I, tiene dimensiones de potencia y se denomina Potencia Compleja ( S ). S  P  jQ  UI cos   jUIsen

• El módulo de dicho vector, S, recibe el nombre de Potencia Aparente. S  UI  P 2  Q2 Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 7

16

7.3.1. Expresión de la potencia en  el campo complejo • Expresión general de la potencia compleja • Sea un dipolo, y las referencias mostradas en la figura: I

1 + U

Dipolo

1’

• La potencia compleja absorbida por el dipolo se calcula:

S abs  U∙I * donde I* denota al conjugado de la intensidad compleja I P : potencia activa : W (Vatios)

• Unidades: Q : potencia reactiva : var (Voltamperios reactivos) S : potencia aparente : VA (Voltamperios) Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 7

17

7.3.1. Expresión de la potencia en  el campo complejo • La potencia activa es la potencia consumida por un elemento y que se invierte en realizar un trabajo. • Tanto la potencia aparente como la potencia reactiva no tienen significado físico. Se definen porque son útiles para los cálculos electrotécnicos y porque se pueden medir. • La potencia reactiva es un indicador de la energía intercambiada en cada semiciclo entre los elementos que almacenan energía y la fuente de excitación. • La potencia aparente es un indicador de la disponibilidad o limitación de una instalación. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 7

18

7.3.2. Triángulo de potencias • A partir del triángulo de potencias, se puede escribir: S  P Q 2

P  S cos Q  S sen

2

Q tg  P P cos   S

Fundamentos de Electrotecnia

como  S  U∙I P  UI cos  Q  UIsen

CUD / 2012‐2013

Tema 7

19

7.3.2. Triángulo de potencias •

El signo de las potencias activa y reactiva absorbidas por un dipolo, depende del ángulo entre la tensión en bornes del dipolo y la intensidad que lo atraviesa. De esta manera y para las referencias indicadas, se tiene:

 = u‒i > 0 Pabs < 0 Generador Qabs > 0  Absorbe Q

Im

U

 = u‒i > 0 Pabs > 0 Receptor Qabs > 0  Inductivo

U

 

 = u‒i < 0 Pabs < 0 Generador Qabs < 0  Cede Q

Fundamentos de Electrotecnia

I

 U

CUD / 2012‐2013



U

Tema 7

Re

 = u‒i < 0 Pabs > 0 Receptor Qabs < 0  Capacitivo

20

7.3.2. Triángulo de potencias • La especificación de la potencia en máquinas y equipos de corriente alterna es diversa y tiene origen práctico: • En máquinas generadoras de corriente alterna y transformadores, se expresa su potencia en forma de potencia aparente (en VA, kVA, MVA). El conocimiento de esta potencia y de la tensión nominal, permite calcular la corriente máxima de diseño de la máquina • En motores de corriente alterna se especifica la tensión de alimentación y la potencia mecánica en el eje (en kW o en CV, 1CV = 736 W), de forma que, conociendo el rendimiento, permite saber la potencia activa que absorbe • En el caso de las reactancias, la potencia se expresa en forma de potencia reactiva (en var o kvar) Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 7

21

7.4. Potencia compleja en dipolos pasivos

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 7

22

7.4.1. Dipolo pasivo genérico En términos de su impedancia equivalente: 1 I +

Z

1’

U  Z ∙I

Z  R  jX

S  U∙I *

U

S abs  U∙I*  Z ∙I∙I*  (R  jX )I 2  RI 2  jXI 2  Pabs  jQabs

entonces:

Pabs  RI 2 Qabs  XI 2

• En un dipolo pasivo, siempre R  0, por lo que: Pabs  0 • Sin embargo, puede ocurrir que: X  0  Carácter inductivo  Qabs  0 X  0  Carácter capacitivo  Qabs  0 Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 7

23

7.4.1. Dipolo pasivo genérico En términos de su admitancia equivalente: 1 I +

Y

1’

I  Y ∙U

Y  G  jB

S  U∙I *

U

S abs  U∙I*  U(Y ∙U)*  Y * U∙U*  (G  jB)U2  GU2  jBU 2  Pabs  jQabs

entonces:

Pabs  GU2 Qabs  BU 2

• En un dipolo pasivo, siempre G  0, por lo que: Pabs  0 • Sin embargo, puede ocurrir que: B  0  Carácter inductivo  Qabs  0 B  0  Carácter capacitivo  Qabs  0 Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 7

24

7.4.2. Resistencia Z  R  jX  R

S abs

Y  G  jB  G

2 U  U∙I*  RI 2  0  0 R

Qabs  0

Pabs  RI 2

7.4.3. Bobina Z  R  jX  jL

1 Y  G  jB   j L

Pabs  0 Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

S abs

2 U  U∙I*  0  jLI 2  0  j L

Qabs

2 U  LI 2  0 L Tema 7

25

7.4.4 . Condensador Z  R  jX   j

1 C

Y  G  jB  jC

Pabs  0

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

S abs

I2  U∙I*  0  j  0  jU2C L

Qabs

I2   CU2  0 C

Tema 7

26

Dipolo pasivo genérico: Dipolos pasivos (cargas) Como: 

Z  Z Z

SIEMPRE  90º ≤ Z ≤ + 90º Im

y  u = Z + i

 = + 90º U

Im

Re

I

I

U

Re

U

I

Tensión como origen de fases Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

 =  90º Intensidad como origen de fases Tema 7

27

7.5. Factor de potencia

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 7

28

7.5.1 Definición del factor de  potencia • En general, en un dipolo, la potencia activa es menor que la potencia aparente • Se define el Factor de potencia como la relación: P f .d.p.  S

• En régimen estacionario sinusoidal:

P UI cos  cos f .d.p.   S UI Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 7

29

7.5.1 Definición del factor de  potencia • El ángulo  es el ángulo entre la tensión compleja en bornes de un dipolo y la intensidad compleja que lo atraviesa. Si el dipolo es pasivo, este ángulo es el argumento de su impedancia equivalente. • La tensión de trabajo de un generador es una magnitud esencialmente constante, y viene dada por el diseño de su aislamiento y por el campo magnético admisible en su interior, mientras que su corriente máxima viene dada por la sección de sus conductores. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 7

30

7.5.1 Definición del factor de  potencia • Así pues, la medida de la capacidad de un generador, que viene dada por su potencia aparente, es esencialmente constante. S

Q1 S 1

2 P1

Q2 P2

• Dependiendo del factor de potencia con el que trabaje una instalación, ésta estará mejor o peor aprovechada. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 7

31

7.5.1 Definición del factor de  potencia cos = 1 S S

cos = 0

Q

Q=0

P

P=0

• Observando los dos casos límite: (aprovechamiento) – En el caso de factor de potencia unidad, la potencia activa y la potencia aparente coinciden, con lo cual, la potencia reactiva consumida es cero. – En el caso de factor de potencia igual a cero, la potencia reactiva y la potencia aparente coinciden, con lo que la potencia activa es nula Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 7

32

7.5.2. Efectos de un factor de  potencia bajo • Para una misma potencia activa, a menor factor de potencia, mayor es la intensidad que circula por las líneas. P I  si  P, U=ctes  y  cos       I  U cos 

• Este incremento de la intensidad, como consecuencia de un factor de potencia bajo, lleva, entre otros efectos, a un aumento de pérdidas por efecto Joule en los conductores del generador y en las líneas de transporte de energía. Además, aumentan las caídas de tensión en dichas líneas de transporte. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 7

33

7.5.2. Efectos de un factor de  potencia bajo • Otro efecto que se produce, a causa de un factor de potencia bajo, es la saturación de la capacidad de un sistema. Generador: • Supongamos el sistema: S  UImax  10000 VA

Rg+jXg +

Imax 

+

+ 100 V

Eg

I

100 V

Generación

Transporte

Carga:

Z P = 1 kW cos =0,1

S = 10 kVA

S 10000   100 A U 100

P  UI cos   1000 W

I

Consumo

P 1000   100 A U cos 100∙0,1

Sistema saturado Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 7

34

7.5.2. Efectos de un factor de  potencia bajo • El mismo sistema operando con mejor factor de potencia: Generador:

Rg+jXg +

S  UImax  10000 VA

+

+ 100 V

Eg

I

100 V

Z P = 1 kW cos =1

S = 10 kVA Generación

Transporte

Imax 

S 10000   100 A U 100

Carga: P  UI cos   1000 W

Consumo

I

«Sobran» 90 A

P 1000   10 A U cos  100∙1

– En la primera situación, con un consumidor se alcanza la capacidad máxima del sistema. En el segundo caso es posible alimentar a más usuarios con el mismo sistema. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 7

35

7.5.2. Efectos de un factor de  potencia bajo • Como se ha visto: – Las pérdidas en los sistemas eléctricos (tanto en la generación como en el transporte) aumentan cuando se dan factores de potencia bajos. – El aprovechamiento de las instalaciones generadoras y de transporte de energía eléctrica es mucho peor si se dan factores de potencia bajos.

• El RETB (Reglamento Electrotécnico para Baja Tensión) obliga a que los receptores trabajen con un factor de potencia mayor de 0,9. • Si el f.d.p. es menor, será necesario“compensar el factor de potencia” de una instalación. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 7

36

7.5.3. Compensación del factor de  potencia • Dado que las líneas de transporte y la mayoría de receptores presentan carácter inductivo, es decir, absorben potencia reactiva, la compensación del factor de potencia se hace mediante la conexión, en paralelo con el receptor, de baterías de condensadores (elementos que ceden potencia reactiva sin consumir potencia activa). • Esta conexión hace que la potencia reactiva total consumida por el sistema compensado sea menor que la potencia reactiva absorbida por el receptor trabajando aislado y, por lo tanto, que aumente el factor de potencia del conjunto. 1 + U

C

Dipolo Receptor

1’ Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 7

37

7.5.3. Compensación del factor de  potencia

1 + U

Dipolo: Absorbe P Absorbe Q

Dipolo Receptor

C

Conjunto: Absorbe la misma P Absorbe menos Q

1’

Condensador: No absorbe P Cede Q

• La potencia reactiva que cede un condensador sometido a una tensión U vale: Qced Fundamentos de Electrotecnia

2 U  XI 2   CU 2 X

CUD / 2012‐2013

Tema 7

38

7.5.3. Compensación del factor de  potencia • Al conectar una batería de condensadores en paralelo con un receptor que consume potencia reactiva, la nueva potencia reactiva que absorbe el conjunto será: Qabs total  Qabs receptor  Qced condensador

• Mientras que la potencia activa del conjunto permanecerá constante, ya que el condensador no absorbe potencia activa. • Entonces: Qced condensador  Qabs receptor  Qabs total

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 7

39

7.5.3. Compensación del factor de  potencia • Representando esto en el triángulo de potencias:

• El valor de la capacidad de la batería de condensadores requerida para pasar de factor de potencia cos a un factor de potencia cos’ se calcula: Qced condensador  Q  Q '  Ptg  Ptg '  P(tg  tg ') Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 7

40

7.5.3. Compensación del factor de  potencia • Dado que la potencia reactiva que cede un condensador vale: Qced condensador  CU

2

• Entonces: CU 2  P(tg  tg ')

• Con lo que:

Fundamentos de Electrotecnia

P(tg  tg ') C U 2 CUD / 2012‐2013

Tema 7

41

7.6. Teoremas relacionados con la potencia en  RES

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 7

42

7.6.1. Teorema de Boucherot • En todo circuito alimentado por fuentes sinusoidales de la misma pulsación, se conservan, de manera independiente, la potencia activa y la potencia reactiva.



Pabs  0

algebraica



Qabs  0

S

abs

=0

algebraica

Atención: Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

  Pabs  j  Qabs 0

S

abs

=0

 0        Sabs  0 Tema 7

43

7.6.2. Teorema de la máxima  transferencia de potencia • De entre las infinitas cargas que pueden conectarse en bornes de un dipolo activo alimentado por fuentes sinusoidales, absorberá la máxima potencia activa la carga para la que se cumpla que el valor de su impedancia compleja sea igual al conjugado de la impedancia compleja del equivalente Thévenin del dipolo al cual se conecta. Zeq

1

Dipolo activo

Z  U0 1’ Equivalente Thevenin

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Z absorbe la máx P si:

1

+

Z

Z  Z eq *

donde:  Z eq  Req  jX eq *

1’ Tema 7

44

7.6.2. Teorema de la máxima  transferencia de potencia • En muchas aplicaciones es importante lograr la máxima transferencia de potencia entre el circuito y la carga que alimenta. • En otras no se busca esta transferencia máxima, ya que, cuando se da, el rendimiento del circuito es del 50%. (Ejemplo: Transporte de energía eléctrica)

Zeq=Req+ jXeq

Z T  Z eq  Z  Req  jX eq  Req  jX eq  2Req

I

1

+

Z=Req jXeq

U0

2 2 U U U0 U0 2 I   PabsZ  I ∙Re q  02 Re q  0 4Re q 4Req ZT 2Req

1’

Pced  fuente

2 0 2 eq



2 0

U U 2Re q   I ∙Re q  Re q   2Re q 4R 2

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 7

PabsZ Pced  fuente



U02 4Re q 2 0

U 2Re q

 0,5

45

7.6.2. Teorema de la máxima  transferencia de potencia • De entre las infinitas resistencias que pueden conectarse en bornes de un dipolo activo alimentado por fuentes sinusoidales, absorberá la máxima potencia activa la resistencia para la que se cumpla que su valor sea igual al módulo de la impedancia compleja del equivalente Thévenin del dipolo al cual se conecta. Zeq

1

Dipolo activo

R  U0 1’ Equivalente Thevenin

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

R absorbe la máx P si:

1

+

R

R  Z eq 2 donde: Z eq  R2eq  X eq

1’ Tema 7

46

7.7. Medida de la potencia

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 7

47

7.7. Medida de la potencia • Potencia aparente: – Si se conoce el valor eficaz de la tensión en bornes de un elemento, y el valor eficaz de la intensidad que circula por él, se puede conocer la potencia aparente, ya que:

S  U∙I

• Potencia activa: – El instrumento utilizado para la medida de la potencia activa se denomina Vatímetro. – Dado que:

P  U∙I∙cos 

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 7

48

7.7. Medida de la potencia – Un vatímetro ha de medir la tensión eficaz, la intensidad eficaz y el coseno del ángulo de desfase entre estas dos magnitudes. – Para ello, este equipo consta de un elemento que mide la tensión, llamado bobina voltimétrica y que se conecta en paralelo con la tensión que se desea medir; y un elemento encargado de medir la intensidad, denominado bobina amperímetrica y que se coloca en serie con la intensidad a medir. – El producto de estas tres magnitudes da como resultado la medida de la potencia activa que absorbe la parte del circuito que se encuentra «aguas abajo» del punto de conexión del vatímetro. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 7

49

7.7. Medida de la potencia – El símbolo empleado para el vatímetro es: Bobina voltimétrica W

W Bobina amperimétrica

• Potencia reactiva: – El instrumento utilizado para la medida de la potencia reactiva se denomina Varímetro. – Su principio de funcionamiento es el mismo que el del vatímetro, pero utilizando el seno del ángulo de desfase entre tensión e intensidad Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 7

var

50

Referencias • •

•

PARRA, V. M.; ORTEGA, J.; PASTOR, A.; PEREZ, A.: “Teoría de Circuitos (Tomo I)”. Universidad Nacional de Educación a Distancia (UNED). BAYOD, A.A.; BERNAL, J.L.; DOMINGUEZ, J.A.; GARCIA GARCIA, M.A.; LLOMBART, A.; YUSTA, J.M.: “Análisis de circuitos eléctricos I”. Colección Textos Docentes, vol. 58. Prensas Universitarias de Zaragoza. BAYOD, A.A.: “Circuitos monofásicos en régimen estacionario senoidal”. Colección Textos Docentes, vol. 107. Prensas Universitarias de Zaragoza.

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 7

51

Tema 8 Sistemas trifásicos equilibrados

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 8

1

Índice Tema 8.‐ Sistemas trifásicos equilibrados. 8.1.‐ Introducción. 8.2.‐ Generación de un sistema trifásico. 8.3.‐ Conexiones en estrella y en triángulo. 8.3.1.‐ Conexión en estrella (Y). 8.3.2.‐ Conexión en triángulo (D).

8.4.‐ Conexión de sistemas trifásicos. 8.4.1.‐ Sistema estrella‐estrella. 8.4.2.‐ Sistema triángulo‐triángulo. 8.4.3.‐ Sistema estrella‐triángulo. 8.4.4.‐ Sistema triángulo‐estrella.

8.5.‐ Tensiones e intensidades en sistemas trifásicos. 8.5.1.‐ Tensión de línea o compuesta. 8.5.2.‐ Intensidad de línea. 8.5.3.‐ Tensión de fase o simple. 8.5.4.‐ Intensidad de fase.

8.6.‐ Sistemas trifásicos equilibrados. 8.6.1.‐ Relación entre magnitudes de línea y fase. 8.6.2.‐ Equivalentes monofásicos. 8.6.3.‐ Equivalencia de cargas. 8.6.4.‐ Potencia en sistemas trifásicos equilibrados. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 8

2

8.1. Introducción

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 8

3

8.1. Introducción • Los sistemas trifásicos son los más habitualmente empleados en la generación, el transporte y la distribución de la energía eléctrica. • Esto es debido a que los sistemas trifásicos presentan notables ventajas sobre los monofásicos. Entre estas ventajas se pueden citar: – Para transportar una determinada energía a una determinada tensión, con unas determinadas pérdidas, es más económico el sistema trifásico ya que supone un ahorro de “cobre” del 25% – La potencia instantánea es constante. Esto se refleja en un par totalmente uniforme en los motores trifásicos, y las consiguientes menores vibraciones – Los motores trifásicos pueden arrancar por sí mismos, mientras que los monofásicos precisan sistemas de arranque especiales – Los sistemas trifásicos son capaces de generar campos magnéticos giratorios Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 8

4

8.1. Introducción • Las instalaciones de pequeña potencia (por ejemplo las instalaciones domésticas) son monofásicas, pero no se tratan más que de una derivación de un sistema trifásico. • Para conocer y estudiar el funcionamiento de los sistemas eléctricos de potencia se hace necesario entonces conocer el análisis de los circuitos trifásicos. No obstante, hay que tener en cuenta que: – Las técnicas de análisis vistas en el caso de circuitos monofásicos son aplicables directamente a sistemas trifásicos. – En muchas ocasiones, el análisis de los sistemas trifásicos se efectúa mediante su reducción a sistemas monofásicos equivalentes, cuyo estudio ya se ha visto.

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 8

5

8.1. Introducción

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 8

6

8.1. Introducción

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 8

7

8.1. Introducción

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 8

8

8.1. Introducción

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 8

9

8.1. Introducción

Transporte Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Distribución Tema 8

10

8.1. Introducción

Distribución en baja tensión Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 8

11

8.2. Generación de un sistema trifásico

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 8

12

8.2.  Generación de un sistema  trifásico • Como se ha visto: N

a

S

2



uaa'(t)

1

N



B

S

a’

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

0 -1

0

2

6 t

4

-2

Tema 8

13

8.2.  Generación de un sistema  trifásico 2

uaa'(t)

1 0 -1

0

2

4

t

6

-2

c’

a



120º

N

b’

1

b

S

B c

ubb'(t)

2

0 -1

0

1

2

3

4

5

6

3

4

5

6

t

-2

a’

ucc'(t)

2 1 0 -1

0

1

2

-2

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 8

14

t

8.2.  Generación de un sistema  trifásico 1,5 1 0,5 0 -0,5

0

1

2

3

4

5

6 uaa'(t)

-1

ubb'(t)

-1,5

ucc'(t)

uaa' (t)  U0sen( t)

Ucc'

2   ubb' (t)  U0sen   t‐  3   4  ucc' (t)  U0sen   t  3 

120º

Uaa' 120º

2      U sen  t  0   3   

120º

Ubb' Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 8

15

8.2.  Generación de un sistema  trifásico Se dispone de tres fuentes reales de tensión con la misma amplitud y desfasadas 120º entre sí ‐ Fase: cada una de las partes de un circuito trifásico donde se genera, se transporta o se utiliza cada una de las tensiones del sistema ‐ Secuencia de fases: orden en el que se suceden los valores máximos de las tensiones en las fases abc: secuencia directa acb: secuencia inversa Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 8

16

8.2.  Generación de un sistema  trifásico Secuencia directa Ucc' Uaa'

c’

a



b N

S

B

b’

Ubb'

c

a’

Uaa'  U 0º

Ubb'  U 120º Ucc'  U 240º  U 120º Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 8

17

8.2.  Generación de un sistema  trifásico Secuencia inversa Ubb' Uaa'



a

b’ c

N

S

B

c’

Ucc'

b

a’

Uaa'  U 0º

Ubb'  U 240º  U 120º Ucc'  U 120º Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 8

18

8.3. Conexiones en estrella (Y) y en triángulo()

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 8

19

8.3.1. Conexión en estrella Zga

Fase a

ZLa

a

a

+

Za

Ega ZLa Zgb

a’ b

a’ b

ZLb

+

Fase b

Egb n

Zgc

b’ c

Zb

ZLn ZLb

n’ b’ c

ZLc

+

Fase c

Zc

Egc ZLc c’

c’ Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 8

20

8.3.1. Conexión en estrella • Se unen entre sí uno de los terminales de cada una de las fases (punto neutro de la estrella) a +

Zga

a

Zga +

Ega

E

a’ gb c’ b’ n

Egc

+

Zgb

Ega

b

Egc +

Zgc

c

Zgc

n n a’ c’ b’

Egb Zgb b

n

c

Generador en estrella Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 8

21

8.3.1. Conexión en estrella

a a

Za

Za n’

b

Zb

a’ n’ b’ c’

Zc

c

Zb

a’ n b’ c’

Zc

b c

n

Carga en estrella Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 8

22

8.3.2. Conexión en triángulo Zga

Fase a

a

ZLa

a

+

Za

Ega ZLa Zgb

a’ b

a’ b

ZLb

+

Fase b

Zb

Egb ZLb Zgc

b’ c

b’ c

ZLc

+

Fase c

Zc

Egc ZLc c’

c’ Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 8

23

8.3.2. Conexión en triángulo • Se unen el terminal “final” de una fase con el terminal “comienzo” de la siguiente: a

Zga

Zga

Egc

b’ Egb

Ega

b

Zgb a’

+ b’

b

c’ Egc

b

Zgb

c

+

Egb

c

a

+

Zgc

a’ Ega

a

+

c’

Zgc

c

Generador en triángulo Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 8

24

8.3.2. Conexión en triángulo

a

a

a

a

c’

a

c’

Za

Za Zc

Za

b a’ b

b

a’

Zb

c

Zc

b

Zb

c

Zc

b’

Zb

b’ c

c

a’ b

b’ c

c’

Carga en triángulo Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 8

25

8.4. Conexión de sistemas trifásicos

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 8

26

8.4.1. Sistema estrella ‐ estrella • Sistema Y‐Y ZLa a

a’’

Zga +

Za

Ega Egc Zgc

Znn’

n

Egb

Zc

Zb

Zgb b c

Fundamentos de Electrotecnia

n’

CUD / 2012‐2013

ZLb ZLc

b’’ c’’

Tema 8

27

8.4.2. Sistema triángulo ‐ triángulo • Sistema ‐ ZLa

a

Egc

a’’

Zga Za

Zgc

Zc

Ega b

+

Egb

Zgb

Fundamentos de Electrotecnia

c

CUD / 2012‐2013

ZLb ZLc

b’’

Zb

c’’

Tema 8

28

8.4.3. Sistema estrella ‐ triángulo • Sistema Y‐ a

ZLa

a’’

+

Zga Ega Egc Zgc

Za

n

Egb

Zgb

ZLb

b’’

b c

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Zc Zb

ZLc c’’

Tema 8

29

8.4.4. Sistema triángulo ‐ estrella • Sistema ‐Y ZLa

a

Egc

a’’

Zga Za

Zgc

Ega b

+

Egb

Zb

Zgb

Fundamentos de Electrotecnia

c

CUD / 2012‐2013

ZLb ZLc

n’

Zc

b’’

c’’

Tema 8

30

8.5. Tensiones e intensidades en sistemas  trifásicos

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 8

31

8.5.1. Tensión de línea o tensión  compuesta • Tensión entre dos conductores de línea. a’

+

+

a

+

Zga Uab

Ega

Za

Uca

n

Egb

Zgb b

b’

+

Zgc

Ua’b’

+

+ c CUD / 2012‐2013

Zb

Ub’c’

Ubc

Fundamentos de Electrotecnia

Zc

+

Egc

Uc’a’

c’ Tema 8

32

8.5.2. Intensidad de línea • Intensidad que circula por cada uno de los conductores de la línea de conexión entre generación y carga. Ia

a

Ia’

a’

+

Zga Ega Egc Zgc

Za

n

Egb

Zgb Ib b Ic

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

b’

Ib’

Zc Zb

Ic’ c

c’ Tema 8

33

8.5.3. Tensión de fase o tensión  simple • Tensión en bornes de cada una de las fases, ya sea de la generación o de la carga a’

+

+

a

Zgc Egb

Zgb

b

b’

Ubc

c

c’

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 8

Za n’

Zb +

+

Ega

+

+

Egc

Ua’n’

Uab

Ub’n’

Zc Uc’n’

34

+

Zga

Uca

8.5.4. Intensidad de fase • Intensidad que circula por cada fuente de la generación o por cada impedancia de la carga. a

a’ Ia’n’

Iab Zga

Za

Egc Ica

Zgc Egb +

Ega Zgb

Zb b

b’

c

c’

n’

Zc

Ib’n’

Ic’n’

Ibc

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 8

35

8.5.

Tensiones e intensidades a’

a +

+

Uab

Zga

Ia’n’

Uab

Za

Egc Zgc Egb

Zgb

Zb

n’

Zc

I b’ Ib’n’ b’n’

b

Ic’n’

Ubc

Ubc

+

+

+

Uca

Ega

+

+

Uca

Ia’n’

c’

Ic’n’

c

En una conexión en triángulo, las tensiones de línea coinciden con las tensiones de fase. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

En una conexión en estrella, las intensidades de línea coinciden con las intensidades de fase. Tema 8

36

8.6. Sistemas trifásicos equilibrados

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 8

37

8.6.

Sistemas trifásicos  equilibrados

• Sistema equilibrado: Cuando son iguales las impedancias en cada de las fases que componen las cargas, son iguales las impedancias internas de las fuentes que representan cada fase de la generación y son iguales las impedancias de las tres líneas que unen generación y carga, y las fuentes de tensión que representan la generación tienen el mismo valor eficaz y están defasadas 120º.

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 8

38

8.6.

Sistemas trifásicos  equilibrados

Ejemplo de sistema equilibrado ZL a

Zg

Ega  Egb  Egc  Eg

+ n

Z

Egb  Ega ∙1 120º

Ega Egc

a’

Egc  Ega ∙1 120º

Egb

Zg

Zg b c

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

ZL ZL

n’

Z

Z

b’ c’

Tema 8

39

8.6.1. Relación entre magnitudes  de línea y de fase • Relación entre tensiones de línea y tensiones de fase U an  UF 0º     origen de fases U bn  UF 120º U cn  UF 120º

+

a +

Suponiendo sist. eq. secuencia directa:

Uab

Uan

Za

Uca

n

Zb

Por 2ª LK: Zc

Ubn

Ucn

U ab  U an  U bn  UF 1 0º  1 120º   3  UF 1 30º 

+

+

+

b

+

Ubc c Secuencia directa Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

U ab  U an  U bn U bc  U bn  U cn U ca  U cn  U an

Esto es: Si  Uab  Ubc  Uca  UL

Uab  UL  3  UF Las tensiones de línea adelantan 30 º  a las tensiones de fase correspondientes Tema 8

40

8.6.1. Relación entre magnitudes  de línea y de fase Secuencia directa: Uan, Ubn, Ucn En triángulo, las tensiones de línea coinciden con las tensiones de fase

U ab  U an  U bn Uab

Ubn

Ucn 30º 120º

60º

120º

Comprobar que en sist. trifásicos  equilibrados de secuencia inversa:

Uan

Uab  UL  3  UF

120º

Ubn

Uab adelanta 30º a Uan Comprobar que: Ubc adelanta 30º a Ubn Uca adelanta 30º a Ucn

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Las tensiones de línea retrasan 30º respecto de las tensiones de fase correspondientes. Tema 8

41

8.6.1. Relación entre magnitudes  de línea y de fase • Relación entre intensidades de línea e intens. de fase a

Suponiendo sist. eq. secuencia directa:

Ia

I ab  IF 0º     origen de fases I bc  IF 120º I ca  IF 120º

Iab Za

Zc Por 1ª LK:

b

Ib

Zb

Ibc

Ica

I a  I ab  I ca  IF 1 0º  1 120º   3  IF 1 30º  Esto es:

Ic c

Secuencia directa Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

I a  I ab  I ca I b  I bc  I ab I c  I ca  I bc

Si  Ia  Ib  Ic  IL

Ia  IL  3  IF Las intensidades de línea restrasan 30 º  a las intensidades de fase correspondientes Tema 8

42

8.6.1. Relación entre magnitudes  de línea y de fase Secuencia directa: Iab, Ibc, Ica En estrella, las intensidades de línea coinciden con las intensidades de fase

I a  I ab  I ca Ica Iab 30º

120º

120º

60º

120º

Ibc

Ica Ia Ia retrasa 30º a Iab Comprobar que: Ib retrasa 30º a Ibc Ic adelanta 30º a Ica

Fundamentos de Electrotecnia

Comprobar que en sist. trifásicos  equilibrados de secuencia inversa:

CUD / 2012‐2013

Ia  IL  3  IF Las intensidades de línea adelantan 30º respecto de las intensidades de fase correspondientes. Tema 8

43

8.6.2. Equivalentes monofásicos • Equivalente Y‐Y Ia

ZL

a

a’

Zg +

Z Ega Egc Zg

ZN

Inn’

n

Egb

Z

Z

Zg b c

Fundamentos de Electrotecnia

n’

CUD / 2012‐2013

Ib

ZL

Ic

ZL

b’ c’

Tema 8

44

8.6.2. Equivalentes monofásicos E ga  Z g ∙I a  Z L ∙I a  Z ∙I a  Z N I nn '   Z g  Z L  Z  I a  Z N I nn '

E gb  Z g ∙I b  Z L ∙I b  Z ∙I b  Z N I nn '   Z g  Z L  Z  I b  Z N I nn ' E gc  Z g ∙I c  Z L ∙I c  Z ∙I c  Z N I nn '   Z g  Z L  Z  I c  Z N I nn '

E ga  E gb  E gc   Z g  Z L  Z   I a  I b  I c   3Z N I nn '

Sumando

0

g

Ega

Ega Egb

E ga  E gb  E gc  0

Como: I nn '   I a  I b  I c 

Z

Egc

 Z L  Z  3Z N   I a  I b  I c   0     I a  I b  I c   0   I nn '  0   U nn '  0

Esto es: En un sistema trifásico equilibrado Y‐Y, los neutros de las estrellas siempre están a la misma tensión. Si esto es así, podemos unir dichos neutros mediante un cortocircuito, tal y como se ve en el esquema siguiente: Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 8

45

8.6.2. Equivalentes monofásicos • Equivalente Y‐Y Ia

ZL

a

a’

a

Zg +

Z Ega n

Egc Zg

n’

Egb

b

c

Z

Z

Zg b

c

Ib

ZL

Ic

ZL

b’ c’

Aplicando la 2ªLK a las trayectorias indicadas en la figura, se tiene que: Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 8

46

8.6.2. Equivalentes monofásicos a Ia 

Z

E ga

g

b Ib 

 ZL  Z 

Z

E gb

g

c

 ZL  Z 

Ic 

Z

E gc

g

 ZL  Z 

Intensidades que también se obtienen si se analizan los tres circuitos monofásicos: a

ZL

Ib

a’

b

ZL

Z

+

+

Z n’

n

ZL

c’

Z

Egc

Egb

Ega

c

Zg

Zg

Zg

Ic

b’

+

Ia

n’

n

n’

n

Equivalentes monofásicos de un sistema Y‐Y Basta con analizar uno los equivalentes para obtener las tensiones e intensidades para el resto de las fases. Sólo habrá que tener en cuenta que estas tensiones e intensidades serán fasores desfasados 120º respecto de las calculadas sobre el equivalente elegido. Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 8

47

8.6.3. Equivalencia de cargas • Equivalencia estrella‐triángulo a

a

Z D  3Z Y ZY

n

ZY

ZY

ZD

ZD ZY  3 b

ZD ZD

b c c Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 8

48

8.6.3. Equivalencia de cargas • Cargas en estrella en paralelo Z1

a

Z1 a

b

Z1

c

Z1

n

Z2

Z1

Z2

Z1

b

c Z2

Z2

Z2

Z2 n’

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 8

49

n n’

8.6.3. Equivalencia de cargas • Cargas en triángulo en paralelo a

a Z1

b

Z1 Z1

Z1

c

b

Z1 Z1

Z2

Z2

Z2 Z2

Z2

c Z2

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 8

50

8.6.4. Potencia en sistemas  trifásicos equilibrados • Sea un sistema trifásico equilibrado: a b

Carga Trifásica

c

– La potencia activa absorbida por una fase vale: PF  UF ∙IF cos 

– Como el sistema es equilibrado, la potencia absorbida por las 3 fases vale: PT  3PF  3UF ∙IF cos  Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 8

51

8.6.4. Potencia en sistemas  trifásicos equilibrados – Dado que en una carga conectada en estrella se cumple: UF 

UL 3

IL  IF

– Y si la carga está conectada en triángulo se cumple: UF  UL I IF  L 3

– Entonces, en ambos casos: 1 UF ∙IF  UL ∙IL 3 Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 8

52

8.6.4. Potencia en sistemas  trifásicos equilibrados – Y entonces se tiene: PT 

3U L IL c o s 

QT 

3U L IL s e n 

– En los sistemas trifásicos, si se habla de tensión o intensidad y no se indica nada más, se hace referencia, de forma implícita, a magnitudes de línea. Entonces: PT 

3U I c o s 

QT 

3U Is e n 

– Atención: U e I son magnitudes de línea, pero:   U F , IF Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 8

53

8.6.4. Potencia en sistemas  trifásicos equilibrados – Dado que la potencia compleja vale: S T  PT  jQ T – Entonces:

S T  PT  jQ T 

3 U I  c o s   js e n 



– Por lo que la potencia aparente trifásica vale: ST 

3U I

ST



  U F , IF

Triángulo de potencias trifásicas Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 8

QT



PT 54

Referencias • •

• •

PARRA, V. M.; ORTEGA, J.; PASTOR, A.; PEREZ, A.: “Teoría de Circuitos (Tomo I)”. Universidad Nacional de Educación a Distancia (UNED). BAYOD, A.A.; BERNAL, J.L.; DOMINGUEZ, J.A.; GARCIA GARCIA, M.A.; LLOMBART, A.; YUSTA, J.M.: “Análisis de circuitos eléctricos I”. Colección Textos Docentes, vol. 58. Prensas Universitarias de Zaragoza. SALLÁN, J.: “Sistemas trifásicos”. Dpto. Ingeniería Eléctrica. Universidad de Zaragoza. BAYOD, A.A.: “Análisis de circuitos trifásicos en régimen estacionario senoidal”. Colección Textos Docentes, vol. 108. Prensas Universitarias de Zaragoza.

Fundamentos de Electrotecnia

CUD / 2012‐2013

Tema 8

55