La Distribución Normal: Aljd V Tj Alejandro Vera Trejo

La Distribución Normal

Al j d V Alejandro Vera T Trejo j

L Distribución La Di t ib ió Normal N l

I t d Introducción ió Una de las herramientas de mayor uso en las empresas es la utilización de la curva normal p para describir situaciones donde podemos recopilar datos. Esto nos permite tomar decisiones que vayan a la par con las metas y objetivos de la organización. organización En este módulo se describe la Distribución normal. Se utilizan ejemplos y ejercicios donde se enseña sobre la determinación de probabilidades y sus aplicaciones.

Obj ti Objetivo ƒ Identificar las propiedades de una distribución normal. ƒ Encontrar el área bajo una distribución normal estándar. ƒ Interpretar áreas bajo la curva normal de acuerdo a diferentes problemas y su aplicación al medio financiero.

¿Cuál C ál es su Utilid Utilidad? d? Š Se utiliza muy a menudo porque hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal. normal Š Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, i l plantas,...) l t ) de d una especie, i por ejemplo: j l tallas, pesos, diámetros, distancias, perímetros,... Š C Caracteres fisiológicos, f por ejemplo: efecto f de una misma dosis de un fármaco, o de una misma cantidad de abono

¿Cuál C ál es su Utilid Utilidad? d? Š Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto p producto p por un mismo g grupo p de individuos,, puntuaciones de examen. Š Caracteres psicológicos, por ejemplo: cociente intelectual, grado de adaptación a un medio,... Š Comportamiento de los precios en el medio financiero, por ejemplo: los precios de las acciones, el tipo de cambio, la cotización de los metales.

¿Cuál C ál es lla función f ió F(x)? F( )?

¿Cuál C ál es lla función f ió F(x)? F( )? En la siguiente gráfica vemos la representación gráfica de la función de Z.

¿Cuáles C ál son sus P Propiedades? i d d ? Š Es simétrica respecto a su Media. Š La moda y la mediana son ambas iguales a la media. media Š Los puntos de inflexión de la curva se dan para x = µ − σ y x = µ + σ. Š En el intervalo [µ - σ, µ + σ] se encuentra comprendida, aproximadamente, p , el 68,26% , de la distribución. Š En el intervalo [µ - 2σ, µ + 2σ] se encuentra, aproximadamente, el 95,44% de la distribución. Š Por P su parte, t en ell intervalo i t l [µ [ -3σ, 3 µ + 3σ] 3 ] se encuentra t comprendida, aproximadamente, el 99,74% de la distribución.

¿Cuáles C ál son sus P Propiedades? i d d ?

¿Qué es la estándar (σ )?

desviación

Compruebe el cambio de la distribución variando la desviación estándar

Q é es lla media di µ? ? ¿Qué Compruebe el cambio de la distribución variando la media

Ej Ejemplo l En el siguiente histograma podemos observar la distribución de frecuencias por peso de acuerdo a la edad. d d De D acuerdo d a este t teorema t según ú aumenten t l la cantidad de dato se podrá trazar una curva que tome cada vez más formación en forma campana. p

¿Cómo determinar el área bajo la curva normal? Š Paso 1 - Interpretar gráficamente el área de interés. interés Š Paso 2 - Determinar el valor Z por medio de Š Paso 3 - Encontrar el valor de Z en excel p la función DISTR.NORM.ESTAND Š Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad deseada

Ej Ejemplos l y ejercicios j i i Supóngase que se sabe que el peso de los/as estudiantes universitarios/as sigue g una distribución aproximadamente normal, con una media de 140 libras y una desviación estándar de 20 libras. Determinar la probabilidad de que una persona tenga un peso menor o igual a 150 libras

Ejemplo 1 Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés. Se establece que a a=150 150 libras, libras por lo tanto el área de la curva de la curva requerida es:

Ejemplo 1 Paso 2 - Determinar el valor Z: Z =

X −µ

σ

=

150 − 140 = 0.50 20

Paso 3 - Encontrar en excel el valor Z=0.50 con la función DISTR.NORM.ESTAND de aquí resulta que el área de 0.6915 Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas (de ser necesario) para encontrar la probabilidad deseada. Y la probabilidad b bilid d de d que una persona pese 150 lbs. lb o menos es de 0.6915

Ejemplo 2 Se desea obtener la probabilidad de que una persona elegida al azar, tenga un peso mayor o igual a 150 libras. Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés. Se establece que a=150 libras, libras por lo tanto el área de la curva buscada es:

Ejemplo 2 Paso 2 - Determinar el valor Z: Z =

X −µ

σ

150 − 140 = = 0.50 20

Paso 3 - Encontrar en Excel el valor Z=0.50 con la función DISTR.NORM.ESTAND el área es de 0.6915 Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad deseada. El área de 0.6915 no representa el área requerida sino la contraria. En este caso se debe restar 1 a la probabilidad encontrada. p 1 - .6915 = 0.3085

Ejemplo 3 Determinar la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso menor o igual a 115 libras Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés. Se establece que a=115 libras, libras por lo tato el área buscada es:

Ejemplo 3 Paso 2 - Determinar el valor Z: Z =

X −µ

σ

115 − 140 = = −1.25 20

Paso 3 - Encontrar en Excel el valor Z=-1.25 con la función DISTR.NORM.ESTAND el área es de 0.1056. En este caso la probabilidad de que una persona pese 115 lbs. o menos es de 0.1056

Ejemplo 4 Determinar la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso entre 115 y 150 libras. Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés. Se establece q que a=115 libras y b=150 libras,, p por lo tanto el área de la curva buscada es:

Ejemplo 4 Paso 2 - Determinar los valores de Z Cuando X=115

Z=

Cuando X=150

Z=

X −µ

σ X −µ

σ

=

115 − 140 = −1.25 20

=

150 − 140 = 0.50 20

Paso 3 - Se encuentran los valores de Z=-1.25 y Z = 0.50, de donde las probabilidades resultan de: 0.1056 y 0.6915 respectivamente. Paso 4 - Al área de 0.1056 se le resta la de 0.6915 y el resultado es = 0.5858

Ejemplo 5 Determinar la probabilidad de que una persona elegida al azar, tenga un peso entre 150 y 160 libras. Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés. Se establece q que a=150 libras y b= 160 libras,, p por tanto el área de la curva buscada es:

Ejemplo 5 Paso 2 - Determinar el valor Z

Z=

X −µ

σ

=

160 − 140 = 1 .0 20

Paso 3 - Se encuentran los valores de Z Š Cuando Z = 0.50 el área es de 0.6915 Š Cuando Z = 1.0 el área es de 0.8413 Paso 4 - Al área de 0.8413 se el resta la de 0.6915 y el resultado es = 0.1499

Ejemplo 6 Determinar la probabilidad de elegir a una persona que pese entre 115 y 130 libras. Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés. Se establece que a a=115 115 libras y b b= 130 libras, libras el área de la curva que nos interesa es la siguiente:

Ejemplo 6 Paso 2 - Determinar el valor Z para X=130 X 130

Z=

X −µ

σ

=

130 − 140 = −0.50 20

Paso 3 - Encontrar el valor de Z=-0.50 el área es de 0.3085 Paso 4 - Haciendo la resta correspondiente la probabilidad buscada resulta de 0.3085 - 0.1056=0.2029

Bibli Bibliografía fí 9Estadísticas para administración y economía, by David R. Anderson and Dennis J. Sweeney (Paperback - Jan. 2, 2008) 9Statistics Statistics for Business And Economics, by Paul Newbold, William Carlson, and Betty Thorne (Hardcover - Mar. 23, 2009) 9Elementary Statistics: A Step By Step Approach by Allan G. Bluman (Hardcover - Oct. 27, 2008)

La Distribución Normal

Al j d V Alejandro Vera T Trejo j