Solución Examen Fase Iii

SOLUCIÓN DEL TERCER EXAMEN DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES

1. Tres máquinas A, B y C producen respectivamente 50, 30 y 20 artículos diariamente en una fábrica. El número de artículos defectuosos de estas tres máquinas es 3, 4 y 5 diariamente. Si se selecciona un artículo al azar y resulta que está defectuoso, determine la probabilidad de que el artículo haya sido producido por la máquina A. D ( A) A P ( )= =¿ D D D D P ( A ) P ( )+ P ( B ) P ( )+ P ( C ) P ( ) A B C P( A)P

50 3 3 ∙ 100 50 100 3 ¿ = = =0.25 50 3 30 4 20 5 12 12 ∙ + ∙ + ∙ 100 50 100 30 100 20 100

2. La probabilidad de que un penitenciario esté recluido por cometer delito contra el patrimonio es 0,4. Determinar la probabilidad de que de 5 penitenciarios, al menos uno haya cometido delito contra el patrimonio. DESARROLLO DATOS n=5 p = 0,4 q = 0,6 SOLUCIÓN Al menos uno haya cometido delito contra el patrimonio. P ( 1≤ X ≤5 )=PT −P( X =0) P ( 1≤ X ≤5 )=1−

5! ∙0,4 0 ∙0,6 5−0 0 ! ∙ (5−0 ) !

P ( 1≤ X ≤5 )=1−0,0778 P ( 1≤ X ≤5 )=0,9222

3. La probabilidad de que un ciudadano registrado vote en las elecciones presidenciales es de 0.70. Determinar la probabilidad de que de 6 ciudadanos registrados elegidos al azar, al menos la mitad de ellos emita su voto. Solución: Aplicamos la distribución binomial. P ( X ≥3 )=P ( X=3 )+ P ( X =4 ) + P ( X=5 )+ P( X=6)=0.9295

4. Usted participa diariamente en un juego de lotería, en el cual debe seleccionar una secuencia de 4 dígitos, como 7579. Solo existe un número ganador. Calcule la probabilidad de ganar exactamente una vez en 365 días. Solución: n=365 . El número total de resultados posibles de la selección de los 4 dígitos es 10 000 1 . Considerando que ganar la lotería es (del 0 000 al 9 999); entonces p= 10 000 un evento “raro”, usaremos la distribución de Poisson:

λ=n ∙ p=365 ∙

1 =0.0365 10 000

Ahora calculamos la probabilidad: P ( X=1 ) =

0.03651 ∙ e−0.0365 =0.0352 1!

5. Un estudio revela que, de cada 10 000 personas, la probabilidad de que una persona sea víctima de secuestro es de 0,0009. Determinar la probabilidad de que tres personas sean secuestradas. n = 10 000 P = 0,0009 λ=n*p λ = 10000 * 0,0009 λ=9 SOLUCIÓN Tres personas sean secuestradas. P ( X=3 )=

e−9 ∙ 93 3!

P ( X=3 )=0,014945

6. La probabilidad de que una persona sea víctima de estafa es 0.05. Determinar la probabilidad de que 2 de 100 personas sean víctimas de estafa. DESARROLLO: DATOS

SOLUCIÓN

n=100

λ x ∙ e− λ ( ) P X=x = x!

x=2

5 2 ∙ e−5 ( ) P X=2 = 2!

p=0,05

P ( X=2 )=0,084

q=0,95

7. La demanda diaria, en kilogramos, de un producto es una variable X cuya distribución es normal con una media de 50 y una desviación estándar de 10. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la demanda de un día cualquiera este entre los 46 y 54 kilogramos? b) Si la utilidad diaria (en soles) del producto está dada por U =2.4 X +20. ¿con qué probabilidad la utilidad de un día cualquiera supera los 170 soles? Solución: La demanda diaria sigue una distribución N (50,10). a) Queremos calcular P ( 46 ≤ X ≤54 ). Para ello tipificaremos la variable X y haremos uso de la tabla de valores de la distribución normal estándar: P ( 46 ≤ X ≤54 )=P

X −50 54−50 ≤ ≤ ( 46−50 10 10 10 )

¿ P (−0.4 ≤ Z ≤0.4 )=0.1554 +0.1554=0.3108. Entonces P ( 46 ≤ X ≤54 )=0.3108. b) Siendo la utilidad diaria del producto U =2.4 X +20, el inciso b) nos pide P ( U >170 ). Entonces: P ( U >170 )=P ( 2.4 X + 20>170 )=P ( X >62.5 )=P Por tablas, P ( Z >1.25 )=0.5−0.3944=0.1056.

62.5−50 > =P(Z >1.25) ( X−50 10 10 )

8. La siguiente tabla muestra los precios de combustibles en soles por galón en noviembre y diciembre del 2018:

Combustible Gasohol 84 Gasohol 90 Gasohol 95 Gasohol 97 Gasolina 84 Gasolina 90

Noviembre 9.70 9.84 10.60 10.96 9.64 9.98

Diciembre 9.76 9.96 10.75 11.13 9.72 10.11

Determine índice con la fórmula de Promediación de Índices Simples en diciembre respecto a noviembre. Solución: Combustible

Noviembre

Diciembre

IP

Gasohol 84

9.7

9.76

100.62

Gasohol 90

9.84

9.96

101.22

Gasohol 95

10.6

10.75

101.42

Gasohol 97

10.96

11.13

101.55

Gasolina 84

9.64

9.72

100.83

Gasolina 90

9.98

10.11

101.30 606.94

IP=606.94/6=101.16