Calculo Esencial.pdf

James Stewart

UNA VARIABLE

Cálculo Esencial TRASCENDENTALES TEMPRANAS TRASCENDENTES TEMPRANAS

Segunda Edición

Stewart, James: Essential Calculus: Early Trascendentals, 2da. Ed., 2013.

CONTENIDO 1

FUNCIONES Y LÍMITES 1.1

Funciones y sus Representaciones 1 Representación de Funciones

4

Funciones Definidas por Tramos Simetrías

7

9

Funciones crecientes y Decrecientes 1.1 EJERCICIOS

1.2

10

11

Modelos Matemáticos: Un Catálogo de Funciones Esenciales 16 Modelado Matemático Modelos Lineales Polinomios

16

17

18

Funciones de Potencia 19 Funciones Racionales

21

Funciones Algebraicas 21 Funciones Trigonométricas

21

Funciones Exponenciales y Logaritmos Transformación de Funciones Combinación de Funciones 1.2 Ejercicios

1.3

23

26

28

El Límite de una Función

33

Definición Intuitiva de un Límite Límites Unilaterales

40

Definición Precisa de un Límite 1.3 Ejercicios

1.4

44

Cálculo de Límites 48 1.4 Ejercicios

57

34

42

23

ii

1.5

Continuidad 1.5 Ejercicios

1.6

62 71

Límites que Involucran Infinito Límites Infinitos

74

74

Límites en Infinito 78 Límites Infinitos en Infinito Definiciones Precisas 1.6 Ejercicios

2

84

86

89

DERIVADAS 2.1

Derivadas y Tasas de Cambio El Problema de la Tangente El Problema de la Velocidad Derivadas

95

95 99

100

Tasas de cambio 102 2.1 Ejercicios

2.2

104

La Derivada Como una Función Otras Notaciones

109

112

¿Cómo Puede Fallar una Función y No Ser Diferenciable? Derivadas Superiores 2.2 Ejercicios

2.3

116

118

Fórmulas de Diferenciación Básicas 124 Funciones de Potencia

124

Nuevas Derivadas a Partir de Conocidas Las Funciones Seno y Coseno

127

129

Aplicaciones a Razones (Tasas) de Cambio 130 2.3 Ejercicios

133

115

iii

2.4

Las Reglas del Producto y del Cociente La Regla del Producto

137

La Regla del Cociente

138

Funciones Trigonométricas 2.4 Ejercicios

2.5

2.6

151

163

167

Aproximaciones Lineales y Diferenciales Aplicaciones en Física

3

155

159

Tasas Relacionadas 2.7 Ejercicios

2.8

146

Diferenciación Implícita 2.6 Ejercicios

2.7

141

142

La Regla de la Cadena 2.5 Ejercicios

137

Diferenciales

174

2.8 Ejercicios

175

171

174

FUNCIONES INVERSAS FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGARÍTMICAS Y TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 3.1 Funciones Exponenciales 179 El Numero e y la Función Exponencial Natural 183 3.1 Ejercicios

185

3.2 Funciones Inversas y Logaritmos 186 El Cálculo de Funciones Inversas 191 Funciones Logarítmicas 193 Logaritmos Naturales 195 3.2 Ejercicios

198

iv

3.3 Derivadas de Funciones Logarítmicas y Exponenciales 202 Derivadas de las Funciones Logarítmicas 202 Diferenciación Logarítmica 206 Derivadas de Funciones Exponenciales 207 3.3 Ejercicios

209

3.4 Crecimiento y Decaimiento Exponencial 211 Crecimiento de Población 212 Decaimiento Radiactivo 213 Ley de Enfriamiento de Newton 214 Interés Compuesto Continuamente 216 3.4 Ejercicios

225

3.5 Funciones Trigonométricas Inversas 217 3.5 Ejercicios

225

3.6 Funciones Hiperbólicas 227 Funciones Hiperbólicas Inversas 230 3.6

Ejercicios

232

3.7 Formas Indeterminadas y la Regla de L’Hôpital 235 Productos Indeterminados 239 Diferencias Indeterminadas 239 Potencias Indeterminadas 240 3.7 Ejercicios

241

4 APLICACIONES DE LA DIFERENCIACIÓN 4.1 Valores Máximos y Mínimos 245 4.1 Ejercicios

252

4.2 El Teorema del Valor Medio 4.2 Ejercicios

260

255

v

4.3 Derivadas y las Formas de las Gráficas 262 ¿Qué Dice f’ Acerca de f? ¿Qué Dice f ′′ Acerca de f? 265 4.3 Ejercicios

269

4.4 Dibujo de Curvas 274 Normas Para Dibujar una Curva Gráficas y Tecnología 4.4 Ejercicios

274

278

280

4.5 Problemas de Optimización

282

Pasos en la Solución de Problemas de Optimización 282 Aplicaciones en Negocios y Economía 288 Aplicaciones en Negocios Y Economía 4.5 Ejercicios

289

4.6 El Método de Newton 4.6 Ejercicios

290

297

300

4.7 Antiderivadas 303 Movimiento Rectilíneo 306 4.7 Ejercicios

308

RESPUESTAS A EJERCICIOS IMPARES

313

1 FUNCIONES Y LÍMITES El cálculo es fundamentalmente diferente de la matemática que ha estudiado previamente. Es menos estático y más dinámico. Se ocupa del cambio y del movimiento; trabaja con cantidades que tienden o se acercan a otras cantidades. Por esa razón, en este capítulo comenzamos nuestro estudio del cálculo analizando las ideas básicas relacionadas con funciones y con la investigación de cómo cambian los valores de las funciones y tienden a límites.

1.1 Funciones y sus Representaciones Las funciones aparecen siempre que una cantidad depende de otra. Considérense las cuatro situaciones siguientes: A.

El área A de un círculo depende del radio r del círculo. La regla que conecta r y A la da la ecuación A = πr 2 . Con cada número positivo r está asociado un valor de A y decimos que A es una función de r.

B.

La población humana del mundo P depende del tiempo t La tabla da un estimado de la población mundial P(t) en el instante t, para ciertos años. Por ejemplo,

P(1950) ≈ 2 560 000 000 Pero a cada valor del tiempo t, le corresponde un valor de P, y decimos que P es una función de t. Año

Población (millones)

C.

El costo C de enviar por correo unä carta depende de su peso w. Aunque no hay una fórmula sencilla que conecte w y C, la oficina de correos tiene una regla para determinar C cuando w se conoce.

D.

La aceleración vertical a del suelo medida por un sismógrafo durante un terremoto es una función del tiempo transcurrido t. La Fig. 1 muestra una gráfica generada por la actividad sísmica durante el terremoto que ocurrió en Los Ángeles (Estados Unidos) en 1994. Para un valor dado de t, la gráfica suministra un valor correspondiente de a.

Cada uno de estos ejemplos describe una regla mediante la cual, dado un número (r, t, w o t), se asigna otro número (A, P, C o a). En cada caso se puede decir que el segundo número es una función del primer número.

2

(segundos)

Figura 1 Aceleración vertical del suelo durante el terremoto de Los Ángeles.

Una función f es una regla que asigna a cada elemento x en un conjunto D exactamente un elemento, denominado f ( x ) , en un conjunto E.

Usualmente consideramos funciones para las cuales los conjuntos D y E son conjuntos de números reales. El conjunto D se denomina el dominio de la función. El número f ( x ) es el valor de f en x y se lee “f de x”. El recorrido de f es el conjunto de todos los valores posibles de f ( x ) conforme x varía a través del dominio. Un símbolo que represente un número arbitrario en el dominio de una función f se denomina una variable independiente. Un símbolo que represente un número en el recorrido de f se llama una variable dependiente. En el Ejemplo A, por ejemplo, r es la variable independiente y A es la variable dependiente. Es de utilidad pensar en una función como si fuese una máquina (véase la Fig. 2). Si x está en el dominio de la función f, entonces cuando x entra en la máquina, es aceptada como una entrada y la máquina produce una salida f ( x ) de acuerdo con la regla de la función. Así podemos pensar en el dominio de la función como el conjunto de todas las entradas posibles y en el recorrido como el conjunto de todas las salidas posibles.

(entrada)

(salida)

Figura 2 Diagrama de máquina para una función f.

Las funciones preprogramadas en una calculadora son buenos ejemplos de una función como una máquina. Por ejemplo, la tecla de la raíz cuadrada en su calculadora calcula una función así. Usted presiona la tecla

( o x ) e introduce la entrada x. Si x < 0, entonces x no está en el dominio de la función; esto es, x marcada no es una entrada aceptable y la calculadora indicará un error. Si x > 0, entonces aparecerá una aproximación a x en la pantalla. De manera que la tecla x en su calculadora no es exactamente lo mismo que la función matemática exacta f definida por f ( x ) = x Otra forma de imaginarse una función es mediante un diagrama de flechas como en la Fig. 3. Cada flecha conecta un elemento de D con un elemento de E. La flecha indica que f ( x ) está asociada con x, f(a) está asociada con a, etc. El método más común para visualizar una función es su gráfica. Si f es una función con dominio D, entonces su gráfica es el conjunto de pares ordenados

{x , f (x )

x ∈ D}

3

Figura 3 Diagrama de flechas para f.

Observe que éstos son pares de entrada-salida. En otras palabras, la gráfica de f consiste de todos los puntos ( x , y ) en el plano de coordenadas tales que y = f ( x ) y x está en el dominio de f. La gráfica de una función f nos da una imagen útil de la conducta o “historia de vida” de una función. Como la coordenada y de cualquier punto (x, y) en la gráfica es y = f ( x ) , el valor de f ( x ) se puede leer de la gráfica como la altura de la misma sobre el punto x (véase la Fig. 4). La gráfica de f también nos permite ver el dominio de f en el eje x y su recorrido en el eje y, como en la Fig. 5.

recorrido

dominio Figura 4

Figura 5

Ejemplo 1 En la Fig. 6 se muestra la gráfica de una función f. (a) Hallar los valores de f (1) y f (5) . (b) ¿Cuál es el dominio y el recorrido de f?

Figura 6

Solución (a) De la Fig. 6 vemos que el punto (1, 3) está en la gráfica de f, de modo que el valor de f en 1 es f (1) = 3 . En otras palabras, el punto en la gráfica que sobre x = 1 está 3 unidades por encima del eje x.

4

Cuando x = 5, la gráfica está aproximadamente 0.7 unidades por debajo del eje x; por tanto, estimamos que f (5) ≈ −0.7 . (b) Vemos que f ( x ) está definida cuando 0 ≤ x ≤ 7, de manera que el dominio de f es el intervalo cerrado [0, 7]. Observe que f toma todos los valores desde −2 hasta 4; por tanto, el recorrido de f es

{y

− 2 ≤ y ≤ 4} = [ −2, 4 ]

Ejemplo 2 Dibuje la gráfica y halle el dominio y el recorrido de la función f ( x ) = 2 x − 1 . Solución La ecuación de la gráfica es y = 2 x − 1 y reconocemos ésta como la ecuación de una recta con pendiente 2 e intersección con el eje e igual a −1. Esto nos permite dibujar una parte de la gráfica de f en la Fig. 7. La expresión 2 x − 1 está definida para todos los números reales, de modo que el dominio de f es el conjunto de todos los números reales ℝ. La gráfica muestra que el recorrido también es ℝ.

Figura 7

Representación de Funciones Hay cuatro formas posibles de representar una función:




verbalmente

(una descripción en palabras)




numéricamente

(una tabla de valores)




visualmente

(una gráfica)




algebraicamente

(una fórmula explícita)

Si una sola función puede ser representada en todas las cuatros formas, con frecuencia es de utilidad pasar de una representación a otra para obtener una mejor idea de la función (en el Ejemplo 2 se comenzó con una fórmula algebraica y después se obtuvo una gráfica). Pero ciertas funciones se describen más naturalmente mediante un método que por otro. Con esto en mente, examinemos de nuevo las cuatro situaciones que se consideraron al inicio de esta sección.

A.

La representación más útil del área de un círculo como una función de su radio es probablemente la fórmula algebraica A(r ) = πr 2 , aunque es posible compilar una tabla de valores para dibujar una gráfica (media parábola). Como un círculo debe tener un radio positivo, el dominio es

{r

r > 0} = ( 0, ∞ ) y el

recorrido también es (0, ∞).

B.

Se nos da una descripción de la función en palabras: P(t) es la población humana del mundo en el instante t. Midamos t de moso que t = 0 corresponde al año 1900. La tabla de valores de la población mundial proporciona una representación conveniente de esta función.

5

Población (millones)

Si se grafican estos valores, obtenemos la gráfica (llamada una gráfica dispersa) en la Fig. 8. También es una representación útil; la gráfica no permite diseñar una fórmula explícita que dé la población humana exacta P(t) en cualquier instante T. Pero sí es posible hallar una expresión para una función que aproxime P(t). De hecho, podríamos usar una calculadora que grafique con capacidades de regresión exponencial para obtener la aproximación

P(t ) ≈ f (t ) = ( 1.43653 × 109 ) × ( 1.01395 )

t

La Fig. 9 muestra que es un “ajuste” razonablemente bueno. La función f se denomina un modelo matemático para el crecimiento de la población. En otras palabras, es una función con una fórmula explícita que aproxima la conducta de nuestra función dada. Sin embargo, veremos que las idead del cálculo pueden aplicarse a una tabla de valores; no es necesario una fórmula explícita.

Figura 8 Gráfica dispersa de puntos de datos para crecimiento de población.

Figura 9 Gráfica de un modelo matemático para crecimiento de población.

La función P es típica de las funciones que aparecen siempre que intentamos aplicar el cálculo al mundo real. Comenzamos con una descripción verbal de una función. Entonces puede ser posible construir una tabla de valores de la función, quizás a partir de lecturas en instrumentos en un experimento científico. Aunque no tenemos un conocimiento completo de los valores de la función, a través del libro se verá que todavía es posible realizar las operaciones del cálculo en una función así.

C.

Una vez más, la función se describe en palabras. Sea C(w) el costo de enviar por correo especial una carta de peso w. La regla en uso en el Servicio Postal en Norte América hasta 2011 es como sigue: El costo es 88

6

centavos hasta una onza, más 20 centavos por cada onza (o menos) hasta 13 onzas. La tabla de valores mostrada es la representación más conveniente para esta función, aunque es posible dibujar una gráfica (véase el Ejemplo 6). w (onzas)

D.

C(w) (dólares)

La gráfica mostrada en la Fig. 1 es la representación más natural de la función aceleración vertical a(t). Es cierto que se podría compilar una tabla de valores y que es hasta posible obtener una fórmula aproximada. Pero todo lo que un geólogo necesita conocer – amplitudes y patrones – pueden verse fácilmente a partir de la gráfica. Lo mismo es cierto para los patrones que se observan en electrocardiogramas del corazón de pacientes y de polígrafos para la detección de mentiras.

En el ejemplo siguiente se dibuja la gráfica de una definición que se define verbalmente.

Ejemplo 3 Cuando se abre la llave del agua caliente, la temperatura T del agua depende de cuanto tiempo ha estado abierta la llave. Dibuje una gráfica aproximada de T como una función del tiempo t transcurrido desde que la llave se abrió. Solución La temperatura inicial del agua saliente está cerca de la temperatura ambiente porque el agua ha estado estacionaria en la tubería. Cuando el agua proveniente del tanque de agua caliente comienza a fluir, T aumenta rápidamente. En la siguiente fase, T es una constante igual a la temperatura del agua caliente en el tanque. Cuando el tanque se vacía, T disminuye hasta la temperatura del suministro de agua. Esto nos permite hacer el dibujo aproximado de T como una función de t en la Fig. 10.

Figura 10

Ejemplo 4 Hallar el dominio de cada función. (a) f ( x ) = x + 2

(b) g( x ) =

1 2

x −x

Solución (a) Puesto que la raíz cuadrada de un número negativo no está definida (como un número real), el dominio de f consiste de todos los valores de x tales que x + 2 ≥ 0 . Esto es equivalente a x ≥ −2 , de modo que el dominio es el intervalo [−2, ∞). (b) Puesto que

g( x ) =

1 2

x −x

=

1 x ( x − 1)

7

y la división por 0 no está permitida, vemos que g(x) no está definida cuando x = 0 o x = 1. Por tanto, el dominio de g es

{x

x ≠ 0, x ≠ 1}

lo cual también puede escribirse en la notación de intervalos como

( −∞ , 0 ) ∪ (0, 1) ∪ (1, ∞) . La gráfica de una función es una curva en el plano xy. Pero surge la pregunta: ¿Cuáles curvas en el plano xy son gráficas de funciones? Esto lo responde el criterio siguiente.

El Criterio de la Recta Vertical Una curva en el plano xy es la gráfica de una función de x si y sólo si ninguna recta vertical interseca la curva más de una vez.

La razón para la validez del Criterio de la Recta Vertical puede verse en la Fig. 11. Si cada recta vertical x = a interseca la curva sólo una vez, en (a, b), entonces f ( a) = b define exactamente un valor. Pero si una recta x = a interseca la curva dos veces, en (a, b) y (a, c), entonces la curva no puede representar una función porque una función no puede asignar dos valores diferentes a a.

Figura 11

Funciones Definidas Por Tramos Las funciones en los tres ejemplos siguientes están definidas por diferentes fórmulas en diferentes partes de sus dominios.

Ejemplo 5 Un función f se define por

 1 − x si x ≤ 1 f (x ) =  2 si x > 1  x Evaluar f (0), f (1) y f (2) y dibuje la gráfica.

Solución Recuerde que una función es una regla. Para esta función en particular, la regla es la siguiente: Primero busque el valor de la entrada x. Si se tiene que x ≤ 1, entonces el valor de f ( x ) es 1 − x . Por otra parte, si x > 1, entonces el valor de f ( x ) es x 2 .

Como 0 ≤ 1, tenemos f (0) = 1 − 0 = 1 Como 1 ≤ 1, tenemos f (1) = 1 − 1 = 0 Como 2 > 1, tenemos f (2) = 2 2 = 4

8

¿Cómo dibujamos la gráfica de f? Observamos que si x ≤ 1, entonces f ( x ) = 1 − x , de modo que la parte de la gráfica que está a la izquierda de la recta vertical x = 1 debe coincidir con la recta y = 1 − x , la cual tiene pendiente −1 y cruza el eje y en y = 1. Si x > 1, entonces f ( x ) = x 2 , de manera que la gráfica de f que esta a la derecha de la recta x = 1 debe coincidir con la gráfica de y = x 2 , que es una parábola. Esto nos perite dibujar la gráfica en la Fig. 12. El punto sólido indica que el punto (1, 0) está incluido en la gráfica; el punto abierto (no relleno) está excluido de la gráfica.

Figura 12

El siguiente ejemplo de una función definida por tramos es la función valor absoluto. Recuerde que el valor absoluto de un número a, denotado por a , es la distancia desde a hasta 0 en la línea de números reales. Las distancias son siempre positivas o 0, y tenemos entonces que

a ≥ 0 para todo número a Por ejemplo,

3 = 3,

− 3 = 3,

0 = 0,

2 − 1 = 2 − 1,

3−π = π−3

En general, tenemos

a =a

si a ≥ 0

a = − a si a < 0 Recuerde que si a es negativa, entonces −a es positiva.

Ejemplo 6 Dibujar la gráfica de la función valor absoluto f ( x ) = x . Solución Del análisis precedente sabemos que

x x = −x

si x ≥ 0 si x < 0

Usando el mismo método que en el Ejemplo 4, vemos que la gráfica de f coincide con la recta y = x a la derecha del eje y y coincide con la recta y = −x a la izquierda del eje y (véase la Fig. 13).

Figura 13

Ejemplo 7 En el Ejemplo C al comienzo de esta sección, se consideró el costo C(w) de enviar por correo un sobre grande de peso w. En efecto, ésta es una función definida por tramos porque, de la tabla de valores dada, tenemos

9

 0.88  1.08  C( w) =   1.28  1.48

si si si si

0<w≤1 1<w≤2 2<w≤3 3<w≤4

La gráfica se muestra en la Fig. 14. Se puede ver por qué funciones semejantes a ésta se denominan funciones escalón – saltan de un valor al siguiente.

Figura 14

Simetrías Si una función f satisface la relación f ( −x ) = f ( x ) para todo número x en su dominio, entonces f se denomina una función par. Por ejemplo, la función f ( x ) = x 2 es par porque 2 2 f ( − x ) = ( − x ) = ( −1 ) x 2 = x 2 = f ( x )

El significado geométrico de una función par es que su gráfica es simétrica con respecto al eje y (véase la Fig. 15). Esto significa que se ha dibujado la gráfica de f para x ≥ 0, toda la gráfica se obtiene con simplemente reflejar esta parte con respecto al eje y.

Figura 15 Una función par.

Figura 16 Una función impar.

Si f satisface la relación f ( −x ) = − f ( x ) para todo número x en su dominio, entonces f se denomina una

función impar. Por ejemplo, la función f ( x ) = x 3 es impar porque 3 3 f ( − x ) = ( − x ) = ( −1 ) x 3 = − x 3 = − f ( x )

La gráfica de una función impar es simétrica en torno al origen (véase la Fig. 16). Si ya se tiene la gráfica de f para x ≥ 0, toda la gráfica se puede obtener girando esta porción a través de 180° con respecto al origen.

Ejemplo 8 Determine si cada una de las funciones siguientes es par, impar o ni par ni impar

10

(a) f ( x ) = x 3 + x

(b) g( x ) = 1 − x 4

(c) h( x ) = 2 x − x 2

Solución (a)

3 3 f ( − x ) = ( − x ) + ( − x ) = ( −1 ) + − x

= −x 3 − x = − ( x 3 + x ) = − f (x ) Por tanto, f es una función impar. (b)

4

g ( − x ) = 1 − ( − x ) = 1 − x 4 = g( x )

y g es par. (c)

2

h ( −x ) = 2 ( −x ) − ( −x ) = −2 x − x 2

Como h ( −x ) ≠ h( x ) y h ( −x ) ≠ −h( x ) , concluimos que n no es ni par ni impar. Las gráficas de las funciones en el Ejemplo 8 se muestran en la Fig. 17. Observe que la gráfica de h no tiene simetría ni con respecto al eje y ni con respecto al origen.

Figura 17

Funciones Crecientes y Decrecientes La gráfica mostrada en la Fig. 18 se eleva desde A hasta B, cae desde B hasta C y se eleva de nuevo desde C hasta D. Se dice que la función f está creciendo en el intervalo [a, b], decreciendo en [b, c] y creciendo de nuevo en [c, d]. Observe que si x1 y x2 son dos números cualesquiera entre a y b con x1 < x2, entonces f ( x1 ) < f ( x2 ) . Esto lo usamos como la propiedad de definición de una función creciente.

Figura 18

11

Una función f se denomina creciente en in intervalo I si

f ( x1 ) < f ( x 2 )

siempre que x1 < x2 en I

Se denomina decreciente en I si

f ( x1 ) > f ( x2 ) siempre que x1 < x2 en I

En la definición de una función creciente es importante darse cuenta de que la desigualdad f ( x1 ) < f ( x2 ) debe cumplirse para todo par de números x1 y x2 en I con x1 < x2 . En la Fig. 19 se puede ver que la función f ( x ) = x 2 es decreciente en el intervalo (−∞, 0] y creciente en el intervalo [0, ∞).

Figura 19

1.1 Ejercicios 1.

Si f ( x ) = x + 2 − x y g(u) = u + 2 − u , ¿es cierto que f = g?

2.

Si

f (x ) =

x2 − x x−1

¿es cierto que f = g?

3.

Se da la gráfica de una función f. (a) Exprese el valor de f (1) . (b) Estime el valor de f ( −1) . (c)

¿Para qué valores de x es f ( x ) = 1 ?

(d) Estime el valor de x de modo que f ( x ) = 0 . (e) Establezca el dominio y el recorrido de f. (f)

¿En cuál intervalo es f creciente?

y

g( x ) = x

12

4.

Se dan las gráficas de f y g. (a) Determine los valores de f ( −4 ) y g(3) . (b) ¿Para qué valores de x es f ( x ) = g( x ) ? (c)

Estime la solución de la ecuación f ( x ) = −1 .

(d) ¿En qué intervalo es f decreciente? (e) Determine el dominio y recorrido de f. (f)

Determine el dominio y el recorrido de g.

Ejercicios 5−8: Determine si la curva es la gráfica de una función de x. Si lo es, diga el dominio y el recorrido de la función.

9.

La gráfica mostrada da el peso de una cierta persona como una función de la edad. Describa en palabras cómo el peso de esta persona varía con el tiempo. ¿Qué piensa usted sucedió cuando esta persona tenía30 años de edad?

13

Peso (libras)

Edad (años)

10. La gráfica muestra la altura del agua en una bañera como una función del tiempo. Dé una descripción verbal de lo que usted piensa que pasó. Altura (pulgadas)

Tiempo (min)

11. Usted puso algunos cubitos de hielo en un vaso, llenó el vaso con agua fría y después dejó el vaso sobre una mesa. Describa cómo cambia la temperatura del agua conforme pasa el tiempo. Entonces dibuje una gráfica aproximada de la temperatura del agua como una función del tiempo transcurrido. 12. Dibuje una gráfica aproximada del número de horas de luz diurna como una función de la estación del año. 13. Dibuje una gráfica aproximada de la temperatura externa como una función de tiempo durante un día típico de primavera. 14. Dibuje una gráfica aproximada del valor de mercado de un automóvil nuevo como una función del tiempo para un periodo de 20 años. Suponga que el auto tiene buen mantenimiento. 15. Dibuje la gráfica de la cantidad de una marca particular de café vendida por una tienda como una función del precio del café. 16. Usted coloca un trozo de carne congelada en un horno y lo cocina por una hora. Después lo saca y deja que se enfríe antes de comérselo. Describa cómo cambia la temperatura de la carne conforme pasa el tiempo. Después dibuje una gráfica aproximada de la temperatura de la carne como una función del tiempo. 17. El dueño de una casa poda su patio cada miércoles por la tarde. Dibuje una gráfica aproximada de la altura de la grama como una función del tiempo durante el curso de un periodo de cuatro semanas. 18. Un avión despega de un aeropuerto y aterriza una hora después en otro aeropuerto a 400 millas de distancia. Si t representa el tiempo en minutos desde que el avión salió del terminal, x(t) la distancia horizontal recorrida y y(t) la altitud del avión. (a) Dibuje una posible gráfica de x(t). (b) Dibuje una posible gráfica de y(t). (c)

Dibuje una posible gráfica de la velocidad en tierra.

(d) Dibuje una posible gráfica de la velocidad vertical.

19. Si f ( x ) = 3x 2 − x + 2 , hallar f (2) , f ( −2) , f ( a) , f ( − a) , f ( a + 1) , 2 f ( a) , f (2 a) , f ( a 2 ) y f ( a + b ) .

14

20. Un balón esférico de radio r pulgadas tiene un volumen V (r ) = 43 π3 . Halle una función que represente la cantidad de aire requerida para inflar el balón desde un radio de r pulgadas hasta un radio de r + 1 pulgadas. Ejercicios 21−24: Evaluar el cociente de diferencias para la función dada. Simplifique su respuesta.

21.

f ( x ) = 4 + 3x − x 2 ,

22.

f (x ) = x 3 ,

23.

f (x ) =

1 , x

24.

f (x ) =

x+3 , x+1

f (3 + h ) − f (3) h

f ( a + h ) − f ( a) h f ( x ) − f ( a) x−a f ( x ) − f (1) x−1

Ejercicios 25−29: Halle el dominio de la función.

25.

f (x ) =

x+4 2

x −9

28. g(t ) = 3 − t − 2 − t

26.

f (x ) =

29. h( x ) =

2x3 − 5 x2 + x − 6

27. F( p) = 2 − p

1 4

2

x − 5x

30. Halle el dominio y el recorrido y dibuje la gráfica de la función h( x ) = 4 − x 2 . Ejercicios 31−42: Halle el dominio y dibuje la gráfica de la función.

31.

f ( x = 2 − 0.4x

35. g( x ) = x − 5

40.

1  3 − 2 x , x ≤ 2 f (x ) =   2 x − 3, x > 2

32. F( x ) = x 2 − 2 x + 1

33.

36. F( x ) = 2 x + 1

37. G( x ) =

41.

 x + 2, x ≤ −1 f (x ) =  2 x > −1  x ,

42.

f (t ) = 2t + t 2

34. H (t ) =

3x + x

 x + 2, x < 0 38. f ( x ) =   1 − x, x ≥ 0

x

 − 1,  f ( x ) =  3x + 2,  7 − 2x , 

4 − t2 2 −t

x ≤ −1 x <1 x≥1

Ejercicios 43−46: Halle una expresión para la función cuya gráfica es la curva dada.

56. El segmento de recta que une los puntos (1, −3) y (5, 7). 57. El segmento de recta que une los puntos (−5, 10) y (7, −10). 2

58. La mitad inferior de la parábola x + ( y − 1 ) = 0 . 2

59. La mitad superior del círculo x 2 + ( y − 2 ) = 4 . Ejercicios 47−51: Halle una fórmula para la función descrita y determine su dominio.

60. Un rectángulo tiene perímetro de 20 m. Exprese el área del rectángulo como una función de la longitud de sus lados. 61. Un rectángulo tiene área de 16 m2. Exprese el perímetro del rectángulo como una función de la longitud de uno de sus lados. 62. Exprese el área de un triángulo equilátero como una función de la longitud de un lado.

15

63. Exprese el área superficial de un cubo como una función de su volumen. 64. Una caja rectangular abierta con volumen d 2 m3 tiene una base cuadrada. Exprese el área superficial de la caja como una función de la longitud de un lado de la base. 65. Un teléfono celular tiene una mensualidad básica de $35. El plan incluye 400 minutos libres y cargas de 10 centavos por cada minuto de uso adicional. Escriba el costo mensual C como una función del número x de minutos usados y grafique C como una función de x para 0 ≤ x ≤ 600. 66. En un cierto país, el impuesto se calcula en la forma siguiente. No se cobra impuesto con un ingreso de hasta $10000. Cualquier ingreso sobre $10000 paga con una tasa de 10% hasta un ingreso de $20000. Cualquier ingreso superior a $20000 es paga con una tasa de 15%. (a) Dibuje la gráfica de la tasa de impuestos R como una función del ingreso I. (b) ¿Cuánto impuesto debe pagar un ingreso de $14000? ¿de $26000? (c)

Dibuje la gráfica del impuesto total T estimado como una función del ingreso I.

67. Las funciones en el Ejemplo 6 y Ejercicios 52 y 53(a) se conocen como funciones escalón porque sus gráficas se parecen a escaleras. Dé dos otros ejemplos de funciones escalón que surgen en la vida diaria. Ejercicios 55−56: Se muestran gráficas de f y g. Decida si cada función es par, impar o de ningún tipo. Explique su razonamiento

57. (a) Si el punto (5, 3) está en la gráfica de una función par, ¿qué otro punto debe estar también en la gráfica? (b) Si el punto (5, 3) está en la gráfica de una función impar, ¿qué oro punto debe estar también en la gráfica?

58. Una función f tiene dominio [−5, 5] y se muestra una porción de su gráfica. (a) Complete la gráfica de f si se sabe que f es par. (b) Complete la gráfica de f si se sabe que f es impar.

Ejercicios 59−64: Determine si f es par, impar o de ningún tipo. Si tiene una calculadora que grafique, úsela para verificar su respuesta visualmente.

x

59.

f (x ) =

63.

f ( x ) = 1 + 3x 2 − x 4

2

x +1

x2

60.

f (x ) =

64.

f ( x ) = 1 + 3x 3 − x 5

2

x +1

61.

f (x) =

x x+1

62. f ( x ) = x x

16

65. Si f y g son ambas funciones pares, ¿es f + g par? Si f y g son ambas funciones impares, ¿es f + g impar? ¿Cuál es el resultado si f es par y g es impar? Justifique sus respuestas. 66. Si f y g son ambas funciones pares, ¿es el producto fg par? Si f y g son ambas funciones impares, ¿es fg impar? ¿Cuál es el resultado si f es par y g es impar? Justifique sus respuestas.

1.2 Modelos Matemáticos: Un Catálogo de Funciones Esenciales En la solución de problemas de cálculo se encontrará que es útil tener conocimiento de las gráficas de algunas funciones que ocurren comúnmente. Estas mismas funciones básicas se usan con frecuencia para modelar fenómenos en el mundo real, de manera que comenzamos con un estudio de modelado matemático. También se repasa brevemente cómo transformar estas funciones mediante desplazamiento, estiramiento y reflexión de sus gráficas como también cómo combinar pares de funciones mediante las operaciones aritméticas estándar y mediante composición.

Modelado Matemático Un modelo matemático es una descripción matemática (a menudo por medio de una función o una ecuación) de un fenómeno del mundo real como por ejemplo el tamaño de una población, la demanda de un producto, la velocidad de un objeto cayendo, la concentración de un producto en una reacción química, la esperanza de vida de una persona al nacer o el costo de reducir emisiones. El objetivo del modelo es comprender el fenómeno y quizás hacer predicciones sobre la conducta futura. La Fig. 1 ilustra el proceso de modelado matemático. Dado un problema del mundo real, nuestra primera tarea es formular un modelo matemático mediante la identificación y denominación de las variables dependientes e independientes y hacer suposiciones que simplifiquen el fenómeno lo suficiente y lo haga matemáticamente manejable. Utilizamos nuestro conocimiento de la situación física y nuestras habilidades matemáticas para obtener ecuaciones que relacionan las variables. En situaciones donde no hay una ley física para orientarnos, podemos necesitar una recolección de datos (ya sea en una biblioteca o la Internet o conduciendo nuestros propios experimentos) y examinar los datos en la forma de una tabla para descubrir patrones. A partir de esta representación numérica de una función podemos querer obtener una representación gráfica dibujando los datos. La gráfica también podría sugerir en algunos casos una fórmula algebraica adecuada.

Problema del mundo real

Formular

Modelo matemático

Resolver

Conclusiones matemáticas

Interpretar

Predicciones del mundo real

Verificar

Figura 1 El proceso de modelado

La segunda etapa es aplicar la matemática que conocemos (como el cálculo que se desarrollará en este libro) al modelo matemático que hemos formulado para deducir conclusiones matemáticas. Entonces, en la tercera etapa, tomamos esas conclusiones matemáticas y las interpretamos como información acerca del fenómeno original en el mundo real ofreciendo explicaciones o haciendo predicciones. La etapa final es verificar nuestras predicciones comprobándolas contra nuevos datos reales. Si las predicciones no se comparan bien con la realidad, necesitamos refinar nuestro modelo o formular un nuevo modelo y comenzar el ciclo una vez más. Un modelo matemático nunca es una representación completamente precisa de una situación física – es una idealización. Un buen modelo simplifica la realidad lo suficiente para permitir cálculos matemáticos pero es lo suficientemente preciso como para proporcionar conclusiones valiosas. Es importante tener conciencia de las limitaciones del modelo. Al final, la Madre Naturaleza tiene la palabra final.

17

Hay muchos tipos diferentes de funciones que pueden usarse para modelar relaciones observadas en el mundo real. En lo que sigue, se estudian la conducta y gráficas de estas funciones y se dan ejemplos de situaciones modeladas adecuadamente por esas funciones.

Modelos Lineales Cuando decimos que y es una función lineal de x, se entiende que la gráfica de la función es una línea recta, de modo que podemos usar la forma pendiente-intersección de la ecuación de una recta para escribir una fórmula para la función como

y = f ( x ) = mx + b donde m es la pendiente de la recta y b es la intersección con el eje y. Una característica que identifica las funciones lineales es que crecen con un ritmo constante. Por ejemplo, la Fig. 2 muestra una gráfica de la función lineal f ( x ) = 3x − 2 y una tabla de valores de muestras. Observe que siempre que x se incrementa en 0.1, el valor de f ( x ) se incrementa tres veces más rápido que x. Por tanto, la pendiente de la gráfica y = 3x − 2 , vale decir 3, puede interpretarse como la tasa de cambio de y con respecto a x.

Figura 2

Ejemplo 1 (a) Conforme el aire seco se eleva, se expande y se enfría. Si la temperatura del suelo es 20°C y la temperatura a una altura de 1 km es 10°C, exprese la temperatura T (en °C) como una función de la altura h (en kilómetros), suponiendo que un modelo lineal es apropiado. (b) Dibuje la gráfica de la función en la parte (a). ¿Qué representa la pendiente? (c)

¿Cuál es la temperatura a una altura de 2.5 km?

Solución (a) Como estamos suponiendo que T es una función lineal de h, podemos escribir

T = mh + b Se nos dice que T = 20 cuando h = 0, de manera que

20 = m ⋅ 0 + b = b En otras palabras, la intersección con el eje y es b = 20. También se nos dice que T = 10 cuando h = 1, de modo que 10 = m ⋅ 1 + 20 Por tanto, la pendiente de la recta es m = 10 − 20 = −10 y la función lineal requerida es

T = −10 h + 20 (b) La gráfica se dibuja en la Fig. 3. La pendiente es m = −10°C/km y ésta representa la tasa de cambio de la temperatura con respecto a la altura.

18

Figura 3

(c) A una altura de h = 2.5 km, la temperatura es T = −10 ( 2.5 ) + 20 = −3°C

Polinomios Una función P se denomina un polinomio si

P( x ) = an x n + an − 1 x n −1 + ⋯ + a2 x 2 + a1 x + a0 donde n es un entero no negativo y los números a0, a1, a2, … , an son constantes llamadas los coeficientes del polinomio. El dominio de cualquier polinomio es ℝ = ( −∞ , ∞ ) . Si el coeficiente dominante an ≠ 0, entonces el grado del polinomio es n. Por ejemplo, la función

P( x ) = 2 x 6 − x 4 + 25 x 2 + 2 es un polinomio de grado 6. Un polinomio de grado 1 es de la forma P( x ) = mx + b y por tanto es una función lineal. Un polinomio de grado 2 es de la forma P( x ) = ax 2 + bx + c y se denomina una función cuadrática. Su gráfica es siempre una parábola obtenida al desplazar la parábola y = ax 2 . La parábola se abre hacia arriba si a > 0 (véase la Fig. 4).

Figura 4 Las gráficas de funciones cuadráticas y parábolas.

Un polinomio de grado 3 es de la forma

P( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ,

a≠0

y se denomina una función cúbica. La Fig. 5 muestra la gráfica de una función cúbica en la parte (a) y gráficas de polinomios de grados 4 y 5 en las partes (b) y (d). Más adelante se verá por qué las gráficas tienen estas formas.

19

Figura 5

Los polinomios se usan comúnmente para modelar diferentes cantidades que ocurren en la naturaleza y en las ciencias sociales. Por ejemplo, en el Capítulo 2 se explicará por qué los economistas usan con frecuencia un polinomio P(x) para representar el costo de producir x unidades de un producto.

Funciones de Potencia Una función de la forma f ( x ) = x a , donde a es una constante, se llama una función de potencia. Se considerarán varios casos.

(i)

a = n, donde n es un entero positivo

Las gráficas de f ( x ) = x n para n = 1, 2, 3, 4 y 5 se muestran en la Fig. 6 (éstos son polinomios con un solo término). Ya conocemos la forma de las gráfica de y = x (una recta de pendiente 1 que pasa por el origen) y y = x 2 (una parábola). La forma general de la gráfica de f ( x ) = x n depende de si n es par o impar. Si n es par, entonces f ( x ) = x n es una función par y su gráfica se asemeja a la parábola y = x 2 . Si n es impar, entonces f ( x ) = x n es una función impar y su gráfica se asemeja a la de y = x 3 . Sin embargo, observe en la Fig. 7 que conforme n aumenta, la gráfica de y = x n se vuelve más plana cerca de 0 y más empinada cuando x ≥ 1 (si x es pequeña, entonces x 2 es más pequeña, x 3 es todavía más pequeña, y así sucesivamente).

Figura 6 Gráficas de f ( x ) = x n para n = 1, 2, 3, 4, 5.

20

Figura 7 Familias de funciones de potencia.

(ii)

a = 1 n , donde n es un entero positivo.

La función f ( x ) = x 1 n = n x es una función raíz. Para n = 2 es la función raíz cuadrada f ( x ) = x , cuyo dominio es [0, ∞) y cuya gráfica es la mitad superior d la parábola x = y 2 [véase la Fig. 8(a)]. Para otros valores pares de n, la gráfica de y = n x es semejante a la de y = x . Para n = 3, tenemos la función raíz cúbica f ( x ) = 3 x cuyo dominio es ℝ (recuerde que todo número real tiene una raíz cúbica) y cuya gráfica se muestra en la Fig. 8(b). La gráfica de y = n x para n impar (n > 3) es similar a la de y = 3 x .

Figura 8 Gráficas de funciones raíz.

(iii)

a = −1

La gráfica de la función recíproca f ( x ) = x −1 = 1 x se muestra en la Fig. 9. Su gráfica tiene la ecuación y = 1 x o xy = 1 y es una hipérbola con los ejes coordenados como sus asíntotas. Esta función ocurre en física y química en conexión con la Ley de Boyle, la cual dice que, cuando la temperatura es constante, el volumen V de un gas es inversamente proporcional a la presión P:

V=

C P

Figura 9 La función recíproca.

21

donde C es una constante. Así, la gráfica de V como una función de P tiene la misma forma general que la mitad del lado derecho de la Fig. 9. Las funciones de potencia también se usan para modelar relaciones de especies – áreas (Ejercicio 16), la iluminación como una función de la distancia a una fuente luminosa (Ejercicio 15) y el periodo de revolución de un planeta como una función de su distancia al sol (Segunda Ley de Kepler).

Funciones Racionales Una función racional f es una razón entre dos polinomios:

f (x ) =

P( x ) Q( x )

donde P y Q son polinomios. El dominio consiste de todos los valores de x tales que Q(x) ≠ 0. Un ejemplo sencillo de una función racional es la función f ( x ) = 1 x , cuyo dominio es {x x ≠ 0} ; ésta es la función recíproca graficada en la Fig. 9. La función

f (x ) =

2x4 − x2 + 1 x2 − 4

es una función racional con dominio {x x ≠ ±2} . Su gráfica se muestra en la Fig. 10.

Figura 10 Funciones Algebraicas Una función f se denomina una función algebraica si puede construirse usando operaciones algebraicas (tales como adición, sustracción, multiplicación, división y sacar raíces), comenzando con polinomios. Cualquier función racional es automáticamente una función algebraica. Otros dos ejemplos de funciones algebraicas son

f (x ) = x 2 + 1

g( x ) =

x 4 − 16 x 2 x+ x

+ (x − 2) 3 x + 1

Funciones Trigonométricas Trigonometría y las funciones trigonométricas se repasan en el Apéndice A. En cálculo la convención es que la medida radián siempre se usa (excepto cuando se indica lo contrario). Por ejemplo, cuando usamos la función f ( x ) = sen x , se entiende que sen x significa el seno del ángulo cuya medida radián es x. Por tanto, las gráficas de las funciones seno y coseno son como muestra la Fig. 11. Observe que para las funciones seno y coseno el dominio es (−∞, ∞) y el recorrido es el intervalo cerrado [ − 1, 1] . Así, para todos los valores de x, tenemos

−1 ≤ sen x ≤ 1

y

− 1 ≤ cos x ≤ 1

22

Figura 11

o, en términos de valores absolutos,

sen x ≤ 1

y

cos x ≤ 1

También, los ceros de la función seno ocurren en los múltiplos enteros de π; esto es, sen x = 0

cuando

x = nπ ,

n un entero

Una propiedad importante de las funciones seno y coseno es que son funciones periódicas y tienen periodo 2π. Esto significa que, para todos los valores de x,

sen ( x + 2 π ) = sen x

cos ( x + 2 π ) = cos x

La naturaleza periódica de estas funciones las hace adecuadas para modelar fenómenos repetitivos como por ejemplo mareas, resortes vibratorios y ondas de sonido. La función tangente está relacionada con las funciones seno y coseno por la ecuación

tan x =

sen x cos x

y su gráfica se muestra en la Fig. 12. No está definida siempre que cos x = 0 , esto es, cuando x = ± π 2 , ± 3π 2 , … . Su recorrido es (−∞, ∞). Observe que la función tangente tiene periodo π

tan ( x + π ) = tan x para toda x

Figura 12

Las tres funciones trigonométricas restantes (cosecante, secante y cotangente) son las recíprocas de las funciones seno, coseno y tangente. Sus gráficas se muestran en el Apéndice A.

23

Funciones Exponenciales y Logaritmos Las funciones exponenciales son las funciones de la forma f ( x ) = a x , donde la base a es una constante positiva. x

Las gráficas de y = 2 x y y = ( 0.5 ) se muestran en la Fig. 13. En ambos casos, el dominio es (−∞, ∞) y el recorrido es (0, ∞).

Figura 13

Las funciones exponenciales se estudiarán en la Sección 3.1y se verá que son útiles para modelar muchos fenómenos naturales, tales como el crecimiento poblacional (si a > 1) y el decaimiento radiactivo (si a < 1). Las funciones logarítmicas f ( x ) = log a x , donde la base a es una constante positiva, son las funciones inversas de las funciones exponenciales. Se estudiarán en la Sección 3.2. La Fig. 14 muestra las gráficas de cuatro funciones logarítmicas con diferentes bases. En cada caso el dominio es (0, ∞), el recorrido es (−∞, ∞) y la función se incrementa lentamente cuando x > 1.

Figura 14

Transformación de Funciones Mediante la aplicación de ciertas transformaciones a la gráfica de una función dada, se pueden gráficas de otras funciones relacionadas. Esto nos dará la habilidad para dibujar rápidamente y gráficas de muchas funciones. Consideremos primero la traslación. Si c es un número positivo, gráfica de y = f ( x ) + c es justo la gráfica de y = f ( x ) desplazada hacia arriba una distancia de

obtener las a mano las entonces la c unidades (porque cada coordenada y es incrementada por el mismo número c). En la misma forma, si g( x ) = f ( x − c ) , donde c > 0, entonces el valor de g en x es el mismo que el valor de f en x − x (c unidades hacia la izquierda de c). Por tanto, la gráfica de y = f ( x − c ) es precisamente la gráfica de y = f ( x ) desplazada c unidades hacia la derecha (véase la Fig. 15).

24

Figura 15 Ilustración de los desplazamientos para obtener la gráfica 2 de y = ( x + 3 ) + 1 a partir de la parábola y = x 2 : Desplace 3 unidades hacia la izquierda y 1 unidad hacia arriba.

Desplazamientos Verticales y Horizontales Supóngase que c < 0. Para obtener la gráfica de

y = f ( x ) + c , la gráfica de y = f ( x ) una distancia de c unidades hacia arriba. y = f ( x ) − c , la gráfica de y = f ( x ) una distancia de c unidades hacia abajo. y = f ( x − c ) , la gráfica de y = f ( x ) una distancia de c unidades hacia la derecha. y = f ( x + c ) , la gráfica de y = f ( x ) una distancia de c unidades hacia la izquierda.

Consideremos ahora las transformaciones de expansión (estiramiento) y reflexión. Si c > 1, entonces la gráfica de y = cf ( x ) es la gráfica de y = f ( x ) estirada por un factor de c en la dirección vertical (porque cada coordenada y es multiplicada por el mismo número c). La gráfica de y = − f ( x ) es reflejada en torno al eje x porque el punto

( x , y ) es reemplazado por el punto ( x , − y ) . La tabla siguiente también incorpora los resultados de otras transformaciones de expansión, compresión y reflexión.

Estiramiento Vertical y Horizontal, Compresión Y Reflexión Supóngase que c > 1. Para obtener la gráfica de

y = cf ( x ) , estire la gráfica de y = f ( x ) verticalmente por un factor de c. y = ( 1 c ) f ( x ) , encoja la gráfica de y = f ( x ) verticalmente por un factor de c. y = f (cx ) , encoja la gráfica de y = f ( x ) horizontalmente por un factor de c. y = f ( x c ) , estire la gráfica de y = f ( x ) horizontalmente por un factor de c. y = − f ( x ) , refleje la gráfica de y = f ( x ) en torno al eje x. y = f ( −x ) , refleje la gráfica de y = f ( x ) en torno al eje y.

La Fig. 16 ilustra estas transformaciones de estiramiento cuando se aplican a la función coseno con c =2. Por ejemplo, para obtener la gráfica de y = 2 cos x , se multiplica la coordenada y de cada punto en la gráfica de y = cos x por 2. Esto significa que la gráfica de y = cos x es estirada verticalmente por un factor de 2.

Ejemplo 2 Dada la gráfica de y = x , use transformaciones para graficar y = x − 2 , y = x − 2 , y = − x y

y = −x .

25

Figura 16

Solución La gráfica de la función raíz cuadrada y = x , obtenida a partir de la Fig. 8(a), se muestra en la Fig. 17(a). En las otras partes de la figura, se dibuja y = x − 2 desplazando 2 unidades hacia abajo, y = x − 2 desplazando 2 unidades hacia la derecha, y = − x reflejando en torno al eje x, y = 2 x estirando verticalmente por un factor de 2 y y = −x reflejando en torno al eje y.

Figura 17

Ejemplo 3 Dibuje la gráfica de la función y = 1 − sen x . Solución Para obtener la gráfica de y = 1 − sen x , comenzamos con y = sen x . Reflejamos en torno al eje x para obtener la gráfica y = − sen x y luego desplazamos 1 unidad hacia arriba para obtener y = 1 − sen x (véase la Fig. 18).

Figura 18 Otra transformación de cierto interés es tomar el valor absoluto de una función. Si y = f ( x ) , entonces, de acuerdo con la definición de valor absoluto, y = f ( x ) cuando f ( x ) ≥ 0 y y = − f ( x ) cuando f ( x ) < 0 . Esto nos dice cómo obtener la gráfica de y = f ( x ) a partir de la gráfica de y = f ( x ) . La parte de la gráfica que está sobre el eje x permanece sin cambios; la parte que está debajo del eje x es reflejada en torno al eje x.

26

Combinación de Funciones Dos funciones f y g pueden combinarse para formar dos nuevas funciones f + g , f − g , fg y f g en una forma semejante a la forma que sumamos, restamos multiplicamos y dividimos números reales. Las funciones suma y la diferencia se definen por

( f + g ) (x ) =

f ( x ) + g( x ),

( f − g ) (x) =

f ( x ) − g( x )

Si el dominio de f es A y el dominio de g es B, entonces el dominio de f + g es la intersección A ∩ B porque tanto f ( x ) como g( x ) tienen que estar definidas. Por ejemplo, el dominio de f ( x ) = x es A = [0, ∞) y el dominio de g( x ) = 2 − x es (−∞, 2], de modo que el dominio de ( f + g ) ( x ) = x + 2 − x es A ∩ B = [0, 2] . En forma similar, las funciones producto y cociente se definen por

( fg ) ( x ) =

f ( x ) g( x )

f (x ) f  g  ( x ) = g( x )  

El dominio de fg es A ∩ B , pero no podemos dividir por 0 y por tanto el dominio de f/g es

{x ∈ A ∩ B

g( x ) ≠ 0} . Por ejemplo, si f ( x ) = x 2 y g( x ) = x − 1 , entonces el dominio de la función racional

( f g ) (x ) = x 2

( x − 1) es {x x ≠ 1} o ( −∞ , 1 ) ∪ ( 1, ∞ ) .

Existe otra forma de combinar dos funciones para obtener una nueva función. Por ejemplo, supóngase que y = f (u) = u y u = g( x ) = x 2 + 1 . Puesto que y es una función de u y u es, a su vez, una función de x, se sigue que en definitiva y es una función de x. Esto lo calculamos por sustitución:

y = f (u) = f ( g ( x ) ) = f ( x 2 + 1 ) = x 2 + 1 El procedimiento se conoce como composición porque la nueva función está compuesta de las dos funciones dadas f y g. En general, dadas dos funciones f y g cualesquiera, comenzamos con un número x en el dominio de g y hallamos su imagen g(x). Si este número g(x) está en el dominio de f, entonces podemos calcular el valor de f ( g ( x ) ) . El resultado es una nueva función h( x ) = f ( g ( x ) ) obtenida al sustituir f en f. Se denomina la composición (o el compuesto) de f y g y se denota por f  g .

Definición Dadas dos funciones f y g, la función compuesta f  g (también llamada la composición de f y g) se define por

(f

 g ) (x ) = f ( g ( x ) )

El dominio de f  g es el conjunto de todas las x en el dominio de g tales que g(x) está en el dominio de f. En otras palabras,

(f

 g ) ( x ) está definida siempre que g(x) y f ( g ( x ) ) estén definidas. La Fig. 19 muestra cómo

imaginarse f  g en términos de máquinas.

Ejemplo 4 Si f ( x ) = x 2 y g( x ) = x − 3 , hallar las funciones compuestas f  g y g  f Solución Tenemos

( f  g ) ( x ) = f ( g ( x ) ) = f ( x − 3 ) = ( x − 3 )2 ( g  f ) (x ) = g ( f ( x )) = g ( x 2 ) = x 2 − 3

27

(entrada)

(salida)

Figura 19 La máquina f  g está compuesta de la máquina g (primera) y entonces la máquina f.

Nota Se puede ver del Ejemplo 4 que, en general, f  g ≠ g  f . Recuerde, la notación f  g significa que la función g es aplicada primero y entonces f se aplica después. En el Ejemplo 4, f  g es la función que primero resta 3 y luego eleva al cuadrado; g  f es la función que primero eleva al cuadrado y después resta 3.

Ejemplo 5 Si f ( x ) = x y g( x ) = 2 − x , hallar cada función y su dominio. (a) f  g

(b) g  f

(c) f  f

(d) g  g

Solución

( f  g ) (x ) = f ( g ( x ) ) = f (

(a)

2−x) =

2−x = 4 2−x

El dominio de f  g es {x 2 − x ≥ 0} = {x x ≤ 2} = ( −∞ , 2 ]

( g  f ) (x ) = g ( f ( x ) ) = g (

(b) Para que

x) = 2− x

x esté definida, debemos tener que x ≥ 0. Para que

2 − x ≥ 0 , esto es, [0, 4].

2 − x esté definida, debemos tener que

x ≤ 2 o x ≤ 4 . Por tanto, tenemos que 0 ≤ x ≤ 4 y el dominio de g  f es el intervalo cerrado

(c)

( f  f ) (x ) = f ( f ( x ) ) = f (

x) =

x =4x

El dominio de f  f es [0, ∞). (d)

( g  g ) (x) = g ( g ( x ) ) = g (

2−x) = 2− 2−x

Esta expresión esta definida cuando 2 − x ≥ 0 y 2 − 2 − x ≥ 0 . La primera desigualdad significa que x ≤ 2, y la segunda es equivalente a 2 − x ≤ 2 , o 2 − x ≤ 4 o x ≥ −2 . Por tanto, −2 ≤ x ≤ 2 , de modo que el dominio de g  g es el intervalo cerrado [−2, 2]. Es posible formar la composición de tres o más funciones. Por ejemplo, la función compuesta f  g  h se encuentra aplicando primero h, después g y entonces f en la forma siguiente:

( f  g  h ) (x ) = f ( g ( h ( x ) ) ) Hasta ahora hemos usado composición para construir funciones complicadas a partir de funciones más sencillas. Pero en cálculo, con frecuencia es útil poder descomponer una función complicada en funciones más sencillas, como en el ejemplo siguiente.

Ejemplo 6 Dada F( x ) = cos 2 ( x + 9 ) , hallar funciones f, g y h tales que F = f  g  h .

28

2

Solución Como F( x ) = [ cos ( x + 9 )] , la fórmula para F dice: Primero añada 9, entonces tome el coseno del resultado y finalmente eleve al cuadrado. Por tanto, tomamos

h( x ) = x + 9,

g( x ) = cos x ,

f (x ) = x 2

Entonces

( f  g  h ) ( x ) = f ( g ( h ( x ) ) ) f ( g ( x + 9 ) ) = f ( cos ( x + 9 ) ) 2

= [ cos ( x + 9 )] = F( x )

1.2 Ejercicios 1.

(a) Hallar una ecuación para la familia de funciones lineales con pendiente 2 y dibuje varios miembros de la familia. (b) Hallar una ecuación para la familia de funciones lineales tales que f (2) = 1 y dibuje varios miembros de la familia. (c) ¿Qué función pertenece a ambas familias?

2.

¿Qué tienen en común todos los miembros de la familia de funciones lineales f ( x ) = 1 + m ( x + 3 ) ? Dibuje varios miembros de la familia.

3.

¿Qué tienen en común todos los miembros de la familia de funciones lineales f ( x ) = c − x ? Dibuje varios miembros de la familia.

4.

Halle expresiones para las funciones cuadráticas cuyas gráficas se muestran.

5.

Hallar una expresión para una función cúbica f si f (1) = 6 y f ( −1 ) = f (0) = f (2) = 0 .

6.

Algunos científicos creen que la temperatura promedio de la superficie del globo terrestre ha estado aumentando uniformemente. Han modelado la temperatura por la función lineal T = 0.02t + 8.50 , donde T es la temperatura en °C y t representa los años desde 1900. (a) ¿Qué representan la pendiente y la intersección con T? (b) Use la ecuación para predecir la temperatura promedio global de la superficie en 2100.

7.

Si la dosis recomendada para un adulto de una medicina es D (en mg), entonces para determina la dosis apropiada c para un niño de edad a, los farmaceutas usan la ecuación c = 0.0417 D ( a + 1 ) . Supóngase que la dosis para un adulto es 200 mg. (a) Halla la pendiente de la gráfica de c. ¿Qué representa? (b) ¿Cuál es la dosis para un recién nacido?

8.

El gerente de un “mercado de los corotos” sabe por experiencia propia que si cobra x dólares por el alquiler de un espacio en el mercado, entonces el número y de espacio que puede alquilar es dado por la ecuación y = 200 − 4 x .

29

(a) Dibuje una gráfica de esta función lineal. Recuerde que el costo del alquiler de un espacio y el número de espacios alquilados no pueden ser cantidades negativas. (b) ¿Qué representan en la gráfica la pendiente, la intersección con el eje y y la intersección con el eje x?

9.

La relación entre las escalas de temperatura Fahrenheit (F) y Celsius (C) la da la función lineal F = 95 C + 32 . (a) Dibuje una gráfica de esta función. (b) ¿Cuál es la pendiente de la gráfica y qué representa? ¿Cuá es la intersección con el eje F y qué representa?

10. Jason sale de Detroit a las 2:00 PM y conduce con una velocidad constante hacia el oeste a lo largo de la I-96. Pasa por Ann Arbor, a 65 kilómetros de Detroit, a las 2:50 PM. (a) Exprese la distancia recorrida en términos del tiempo transcurrido. (b) Dibuje la gráfica de la ecuación en la parte (a). (c)

¿Cuál es la pendiente de esta recta? ¿Qué representa.

11. Los biólogos han observado que la frecuencia de los chirridos de los grillos de una cierta especie está relacionada con la temperatura, y la relación parece ser casi lineal. Un grillo produce 113 chillidos por minuto a 70°F y 173 chillidos por minuto a 80°F. (a) Halle una ecuación lineal que modele la temperatura T como una función del número de chillidos por minuto N. (b) ¿Cuál es la pendiente de la gráfica? ¿Qué representa? (c)

Si los grillos emiten chirridos con una frecuencia de 150 chirridos por minuto, estime la temperatura.

12. El gerente de una fábrica de muebles determina que le cuesta $2200 fabricar 100 silla en un día y $4800 para producir 300 sillas en un día. (a)

Exprese el costo como una función del número de sillas producidas, suponiendo que es lineal. Dibuje después la gráfica.

(b)

¿Cuál es la pendiente de la gráfica y qué representa?

(c)

¿Cuál es la intersección de la gráfica con el eje y y qué representa?

13. En la superficie del océano, la presión del agua es la misma que la presión del aire sobre el agua, 15 lb/in2. Debajo de la superficie, la presión del agua aumenta en 4.34 lb/in2 por cada 10 pies de descenso. (a)

Exprese la presión del agua como una función de la profundidad debajo de la superficie del océano.

(b)

¿A qué profundidad es la presión igual a 100 lb/in2?

14. El costo mensual de conducir un automóvil depende del número de millas recorridas. Luisa encontró que en mayo le costó $380 conducir 480 millas y en junio le costó $460 manejar 800 millas. (a) Exprese el costo mensual C como una función de la distancia recorrida d, suponiendo que una relación lineal da un modelo adecuado. (b) Use la parte (a) para predecir el costo de manejar 1500 millas por mes. (c) Dibuje la gráfica de la función lineal. ¿Qué representa la pendiente? (d) ¿Qué representa la intersección con el eje y? (e) ¿Por qué una función lineal da un modelo adecuado en esta situación?

15. Muchas cantidades físicas está relacionadas por leyes de cuadrado inverso, esto es, por funciones de potencia de la forma f ( x ) = kx −2 . En particular, la iluminación de un objeto por una fuente luminosa es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a la fuente. Supóngase que después de oscurecer usted está en una

30

habitación son sólo una lámpara y está tratando de leer un libro. La luz es demasiado débil y se mueve a la mitad de la distancia a la lámpara. ¿Cuánto más brillante es la luz?

16. Tiene sentido que mientras mayor sea el área de una región, más grande será el número de especias que habitan la región. Muchos ecologistas han modelado la relación especies-área con una función de potencia y, en particular, el número de especies S de murciélagos que viven en cuevas en el centro de México ha sido relacionado con el área de la superficie A de las cuevas por la ecuación S = 0.7 A0.3 . (a) La cueva denominada Misión Imposible cerca de Puebla, México, tiene una superficie de área A = 60 m2. ¿Cuántas especies de murciélagos esperaría encontrar en esa cueva? (b) Si descubre que en la cueva viven cuatro especies, estime el área de la cueva.

17. Supóngase que se da la gráfica de f. Escriba ecuaciones para las gráficas que se obtienen a partir de la gráfica de f en la forma siguiente: (a) Desplace 3 unidades hacia arriba. (b) Desplace 3 unidades hacia abajo. (c)

Desplace 3 unidades hacia la derecha.

(d) Desplace 3 unidades hacia la izquierda. (e) Refleje en torno al eje x. (f)

Refleje en torno al eje y.

(g) Expanda verticalmente por un factor de 3. (h) Comprima verticalmente por un factor de 3.

18. Explique cómo se obtiene cada gráfica a partir de la gráfica de y = f ( x ) . (a) y = f ( x ) + 8

(b) y = f ( x + 8)

(e) y = − f ( x ) − 1

(f) y = 8 f

(c) y = 8 f ( x )

(d) y = f (8x )

( 18 x )

19. Se da la gráfica de y = f ( x ) . Acople cada ecuación con su gráfica y dé razones para sus selecciones. (a) y = f ( x + 4)

(b) y = f ( x ) + 3

(c) y =

1 7

f (x )

(d) y = − f ( x + 4)

(e) y = 2 f ( x + 6)

20. Se da la gráfica de f. Dibuje las gráficas de las funciones siguientes: (a) y = f ( x ) − 2

(b) y = f ( x − 2)

(c) y = 2 f ( x )

(d) y = f

( 21 x ) + 1

31

21. Se da la gráfica de f. Úsela para graficar las funciones siguientes: (a) y = f ( 2 x )

(b) y = f

( 12 x )

(c) y = f ( −x )

(d) y = − f ( −x )

22. (a) ¿Cómo está relacionada la gráfica de y = 2 sen x con la gráfica de y = sen x ? Use su respuesta y la Fig. 18(a) para dibujar la gráfica de y = 2 sen x . ¿Cómo está relacionada la gráfica de y = 1 + x con la gráfica de y = x ? Use su respuesta y la Fig.

(b)

17(a) para dibujar la gráfica de y = 1 + x . Ejercicios 23−36: Dibuje a mano la función, no colocando puntos, sino comenzando con la gráfica de una de las funciones estándar y aplicando después las transformaciones apropiadas.

23.

y=

1 x+2

24. y = ( x − 1 )

3

( 21 x )

27. y = x − 2 − 1

28. y = 4 sen 3x

29. y = sen

31. y = 21 ( 1 − cos x )

32. y = 1 − 2 x + 3

33. y = 1 − 2 x − x 2

35. y =

2 x+1

36. y =

26. y = x 2 + 6x + 4

25. y = − 3 x

30. y =

2 −2 x

34. y = x − 2

1 π  tan  x −  4  4

Ejercicios 37−38: Hallar (a) f + g , (b) f − g , (c) fg y (d) f g y determine sus dominios.

37. f ( x ) = x 3 + 2 x 2 , g( x ) = 3x 2 − 1 38. f ( x ) = 3 − x , g( x ) = x 2 − 1 Ejercicios 39−44: Hallar las funciones (a) f  g , (b) g  f , (c) f  f y (d) g  g y sus dominios.

39. f ( x ) = x 2 − 1, g( x ) = 2 x + 1

40. f ( x ) = x − 2, g( x ) = x 2 + 3x + 4

41. f ( x ) = 1 − 3x , g( x ) = cos x

42. f ( x ) = x , g( x ) = 3 1 − x

43. f ( x ) = x +

1 x+1 , g( x ) = x x+2

44. f ( x ) =

x , g( x ) = sen 2 x 1+x

Ejercicios 45−46: Hallar f  g  h .

45. f ( x ) = x + 3, g( x ) = x 2 , h( x ) = x 3 + 2 Ejercicios 47−50: Exprese la función en la forma f  g .

46. f ( x ) = tan x , g( x ) =

x , h( x ) = 3 x x−1

32

47. F( x ) = ( 2 x + x 2 )

4

49. v(t ) = sec ( t 2 ) tan ( t 2 )

48. F( x ) = cos 2 x

50. u(t ) =

tan t 1 + tan t

Ejercicios 51−53: Exprese la función en la forma f  g  h .

51.

x −1

53. H ( x ) = sec 4 ( x )

52. H ( x ) = 8 2 + x

54. Use la tabla para evaluar cada expresión. (a) f ( g ( 1 ) ) (e)

( g  f ) (3)

(b) g ( f ( 1 ) ) (f)

(c) f ( f ( 1 ) )

(d) g ( g ( 1 ) )

( f  g ) (6)

55. Use las gráficas de f y g dadas para evaluar cada expresión o explique por qué no está definida. (a) f ( f ( 2 ) ) (e)

( g  g ) ( −2)

(b) g ( f ( 0 ) ) (f)

(c)

( f  g ) (0)

(d)

( g  f ) (6)

( f  f ) (4)

56. Se está inflando un balón esférico y el radio del balón se está incrementando con una tasa de 2 cm/s. (a) Exprese el radio r del balón como una función del tiempo t (en segundos). (b) Si V es el volumen del balón en función del radio, halle V  r e interprétela.

57. Se deja caer una piedra en un lago y se crea un oleaje circular que se extiende con una velocidad de 60 cm/s. (a) Exprese el radio r de este círculo como una función del tiempo t (en segundos). (b) Si A es el área de este círculo en función del radio, halle A  r e interprétela.

58. Un avión vuela con una velocidad de 350 mi/h a una altitud de una milla y pasa directamente sobre una estación de radar en el instante t = 0. (a) Exprese la distancia horizontal d (en millas) que el avión ha volado como una función de t. (b) Exprese la distancia s entre el avión y la estación de radar como una función de d. (c)

Use composición para expresar s como una función de t.

59. La función de Heaviside H se define como

 0 si t < 0 H (t ) =   1 si t > 0 Se usa en el estudio de circuitos eléctricos para representar el inicio repentino de una corriente o voltaje, cuando se conecta un interruptor instantáneamente. (a) Dibuje la gráfica de la función de Heaviside.

33

(b) Dibuje la gráfica del voltaje V(t) en un circuito si el interruptor se conecta en el instante t = 5 segundos y se aplican instantáneamente 240 voltios al circuito. Escriba una fórmula para V(t) en términos de H(t). Observe que comenzar en t = 5 corresponde a una traslación.

60. La función de Heaviside definida en el Ejercicio 59 también puede usarse para definir la función rampa y = ctH (t ) , la cual representa un incremento gradual en el voltaje o la corriente en un circuito. (a) Dibuje la gráfica de la función rampa y = tH (t ) . (b) Dibuje la gráfica del voltaje V(t) en un circuito si el interruptor se conecta en el instante t = 0 y el voltaje se incrementa gradualmente hasta 120 voltios en un intervalo de tiempo de 60 segundos. (c) Dibuje la gráfica del voltaje V(t) en un circuito si el interruptor se conecta en el instante t = 7 segundos y el voltaje se incrementa gradualmente hasta 100 voltios en un periodo de 25 segundos. Escriba una fórmula para V(t) en términos de H(t) para t ≤ 32.

61. Sean f y g funciones lineales con ecuaciones f ( x ) = m1 x + b1 y g( x ) = m2 x + b2 . ¿Es f  g una combinación lineal también? Si lo es, ¿cuál es la pendiente de su gráfica? 62. Si usted invierte x dólares a 4% de interés compuesto anualmente, entonces la cantidad A(x) de la inversión después de un año es A( x ) = 1.04x , Halle A  A , A  A  A y A  A  A  A . ¿Qué representan estas composiciones? Halle una fórmula para la composición de n copias de A. 63. (a) Si g( x ) = 2 x + 1 y h( x ) = 4x 2 + 4x + 7 , halle una función f tal que f  g = h . Piense en las operaciones que tendría que realizar para que la fórmula para g se convierta en la fórmula para h. (b) Si f ( x ) = 3x + 5 y h( x ) = 3x 2 + 3x + 2 , halle una función g tal que f  g = h .

64. Si f ( x ) = x + 4 y h( x ) = 4x − 1 , halle una función g tal que g  f = h . 65. Supóngase que g es una función par y sea h = f  g . ¿Es h siempre una función par? 66. Supóngase que g es una función impar y sea h = f  g . ¿Es h siempre una función impar? ¿Qué sucede si f es impar? ¿Si f es par?

1.3 El Límite de una Función Nuestro objetivo es esta sección es explorar el significado del límite de una función. Comenzamos por mostrar cómo surge la idea de un límite cuando tratamos de hallar la velocidad de una pelota que cae.

Ejemplo 1 Supóngase que se deja caer una pelota desde el piso de observación de la Torre CN en Toronto, 450 m sobre el suelo. Hallar la velocidad de la pelota después de 5 segundos. Solución Por experimentos realizados hace cuatro siglos, Galileo descubrió que la distancia recorrida por cualquier cuerpo en caída libre es proporcional al cuadrado del tiempo que ha estado cayendo. (Este modelo de caída libre desprecia la resistencia del aire.) Si la distancia recorrida después de t segundos se denota por s(t) y se mide en metros, entonces la ley de Galileo la expresa la ecuación

s(t ) = 4.9t 2 La dificultad en hallar la velocidad después de 5 s es que estamos tratando con un solo instante del tiempo (t = 5) , de modo que no está involucrado un intervalo de tiempo. Sin embargo, la cantidad deseada se puede aproximar calculando la velocidad promedio por un breve periodo de tiempo de una décima de un segundo desde t = 5 hasta t = 5.1:

34

cambio en posición tiempo transcurrido s(5.1) − s(5) = 0.1 2 2 4.9 ( 5.1 ) − 4.9 ( 5 ) = = 49.49 m/s 0.1

velocidad promedio =

La tabla siguiente muestra los resultados de cálculos similares de la velocidad promedio para periodos de tiempo sucesivamente menores. Intervalo de tiempo

Velocidad promedio m/s

Parece que conforme acortamos el periodo de tiempo, la velocidad promedio se acerca más y más a 49 m/s. La velocidad instantánea cuando t = 5 se define como el valor límite de estas velocidades promedio durante periodos de tiempo más y más cortos que comienzan en t = 5. Por tanto, la velocidad (instantánea) después de 5 s es

v = 49 m/s Definición Intuitiva de un Límite Investiguemos la conducta de la función f definida por f ( x ) = x 2 − x + 2 para valores de x cerca de 2. La tabla siguiente da valores de f ( x ) para valores de x cercanos a 2, pero no iguales a 2.

De la tabla y la gráfica de f (una parábola) mostrada en la Fig. 1, vemos que cuando x está cerca de 2 (a cada lado de 2), f ( x ) está cerca de 4. De hecho, pareciese que podemos tomar los valores de f ( x ) tan cerca de 4 como queramos si se toma x lo suficientemente cerca de 2. Esto lo expresamos diciendo que “el límite de la función f ( x ) = x 2 − x + 2 conforme x tiende a 2 es igual a 4”. La notación para esto es

lím ( x 2 − x + 2 ) = 4

x→2

35

f(x) tiende a 4

Conforme x tiende a 2

Figura 1

En general, usamos la notación siguiente:

1 Definición Supóngase que f ( x ) está definida cuando x está cerca del número a. (Esto significa que f está definida en algún intervalo abierto que contiene a a, excepto posiblemente en la propia a.) Entonces escribimos

lím f ( x ) = L

x→a

y decimos “el límite de f ( x ) , conforme x tiende a a, es igual a L” si podemos hacer que los valores de f ( x ) se acerquen arbitrariamente a L (tan cerca de L como queramos) tomando a x lo suficientemente cerca de a (a cada lado de a) pero no igual a a.

De forma aproximada, esto dice que los valores de f ( x ) se acercan a L conforme x se acerca a a. En otras palabras, los valores de f ( x ) tiende a acercarse más y más al número L conforme x se acerca más y más al número a (por cada lado de a) pero x ≠ ä . Una notación alterna para

lím f ( x ) = L

x→a

es

f (x ) → L

conforme x → a

que igualmente se lee “ f ( x ) tiende a L conforme x tiende a a”. Observe la frase “pero x ≠ a ” en la definición de límite. Esto significa que al hallar el límite de f ( x ) conforme x tiende a a, nunca consideramos x = a. De hecho, f ( x ) ni siquiera tiene que estar definida cuando x = a. Lo único que importa es cómo está definida f cerca de a. La Fig. 2 muestra las gráfica de tres funciones. Observe que en la parte (c), f ( a) no está definida y en la parte (b), f ( a) ≠ L . Pero en cada caso, indiferentemente de lo que sucede en a, es cierto que lím x → a f ( x ) = L .

Ejemplo 2 Estimar el valor de lím

x−1

x →1 x2

−1

.

36

Figura 2 lím f ( x ) = L en los tres casos. x→a

Solución Observe que la función f ( x ) = ( x − 1 ) ( x 2 − 1 ) no está definida cuando x = 1, pero eso no importa porque la definición de lím x → a f ( x ) dice que consideremos valores de x que estén cerca de a pero que no sean iguales a a. Las tablas siguientes dan los valores de f ( x ) (correctos hasta seis cifras decimales) para de x que se acercan a 1 (pero no son iguales a 1).

Con base en los valores en las tablas, hacemos la suposición o estimado de que

lím

x−1

x →1 x2

−1

= 0.5

El Ejemplo 2 se ilustra mediante la gráfica de f en la Fig. 3. Ahora, cambiemos f ligeramente dándole el valor 2 cuando x = 1 y llamando g la función resultante:

 x−1 si x ≠ 1  g( x ) =  x 2 − 1 2 si x = 1 

Figura 3

Figura 4

37

Esta nueva función g todavía tiene el mismo límite conforme x tiende a 1 (véase la Fig. 4).

Ejemplo 3 Estime el valor de lím t →0

t2 + 9 − 3 t2

.

Solución La tabla da una lista de valores de la función para varios valores de t cerca de 0.

Conforme t tiende a 0, los valores de la función parecen acercarse a 0.1666666… y por tanto estimamos que

lím

t2 + 9 − 3

t →0

t

2

=

1 6

En el Ejemplo 3, ¿qué sucedería si se tomasen valores de t todavía más pequeños? La tabla siguiente muestra los resultados de una calculadora; se puede ver que parece que está sucediendo algo extraño.

Si prueba estos cálculos en su propia calculadora, podría obtener valores diferentes, pero finalmente obtendría el valor 0 si hace a t lo suficientemente pequeño. ¿Significa esto que la respuesta es realmente 0 en vez de 61 ? Por supuesto que no, el valor del límite es calculadora da valores falsos porque

1 6

, como se demostrará en la próxima sección. El problema es que la

t 2 + 9 está muy cerca de 3 cuando t es pequeño (de hecho, cuando t es lo

suficientemente pequeño, el valor de la calculadora para calculadora pueda dar).

t 2 + 9 es 3.000… hasta tantos dígitos como la

Algo similar sucede cuando tratamos de graficar la función

f (t ) =

t2 + 9 − 3 t2

del Ejemplo 3 con una calculadora gráfica o una computadora. Las partes (a) y (b) de la Fig. 5 muestra gráficas bastante precisas de f, y cuando usamos el modo trace (si está disponible) podemos estimar fácilmente que el límite es aproximadamente 61 . Pero si se amplía demasiado, como en las partes (c) y (d), entonces obtenemos gráficas imprecisas, una vez más debido a problemas con la sustracción.

38

Figura 5

Ejemplo 4 Estimar el valor de lím

x →0

sen x . x

Solución La función f ( x ) = ( sen x ) x no está definida cuando x = 0. Si se usa una calculadora (y se recuerda que, si x ∈ ℝ , sen x significa el seno del ángulo cuya medida radián es x), construimos la tabla de valores correcta hasta ocho cifras decimales:

De la tabla y la gráfica en la Fig. 6, estimamos que

lím

x →0

sen x =1 x

Este estimado es de hecho correcto, como se demostrará en la sección siguiente usando un argumento geométrico.

Figura 6

Ejemplo 5 Investigar lím sen x →0

π . x

Solución Una vez más la función f ( x ) = sen ( π x ) no está definida en x = 0. Si se evalúa la función para valores pequeños de x, se obtiene

39

f ( 13 ) = sen 3π = 0

( 21 ) = sen 2π = 0 f ( 41 ) = sen 34π = 0

f ( 0.1 ) = sen 10π = 0

f ( 0.01 ) = sen 100π = 0

f (1) = sen π = 0

f

En la misma forma, f ( 0.001 ) = f ( 0.0001 ) = 0 . Con base en esta información, podría intentar el estimado

lím sen x→0

π =0 x

pero nuestro estimado está errado. Observe que aunque f ( 1 n ) = sen nπ = 0 para cualquier entero n, no es menos cierto que f ( x ) = 1 para infinitamente muchos valores de x que tienden a 0. La gráfica de f se da en la Fig. 7.

Figura 7

Las líneas punteadas cerca del eje y indican que los valores de sen ( π x ) oscilan entre 1 y −1 conforme x se acerca a 0. Puesto que los valores de f ( x ) no tiende a un número fijo conforme x tiende a 0, entonces

lím sen

x →0

π x

no existe

Ejemplo 6 La función de Heaviside H se define como

 0 si t < 0 H (t ) =   1 si t ≥ 0 Su gráfica se muestra en la Fig. 8.

Figura 8

Conforme t se acerca a 0 por la izquierda, H(t) se acerca a 0, Conforme t tiende a 0 por la derecha, H(t) tiende a 1. No hay un número único al cual H(t) se acerque conforme t se acerca a 0. Por tanto, lím x → 0 H (t ) no existe.

40

Límites Unilaterales En el Ejemplo 6 se señaló que H(t) tiende a 0 conforme t tiende a 0 por la izquierda y H(t) tiende a 1 conforme t tiende a 0 por la derecha. Esta situación se indica simbólicamente escribiendo

lím H (t ) = 0

t → 0−

y

lím H (t ) = 1

t → 0+

El símbolo " t → 0 − " indica que solamente consideramos valores de t que son menores que 0. En la misma forma,

" t → 0 + " indica que solamente consideramos valores de t que son mayores que 0.

2 Definición Escribimos

lím f ( x ) = L

x → a−

y decimos el límite por la izquierda de f(x) conforme x tiende a a [o el límite de f(x) conforme x tiende a a por la izquierda] es igual a L si podemos hacer que los valores de f ( x ) sean arbitrariamente cercanos a L tomando a x lo suficientemente cerca de a y a x menor que a.

Observe que la Definición 2 difiere de la Definición 1 solamente en que se requiere que x sea menor que a. En la misma forma, si se requiere que x sea mayor que a, se obtiene “el límite por la derecha de f(x) conforme x tiende a a es igual a L” y escribimos

lím f ( x ) = L

x → a+

Así, el símbolo “ x → a + ” significa que consideramos solamente a x > a. Estas definiciones se ilustran en la Fig. 9.

Figura 9

Comparando la Definición 1 con la definición de límites unilaterales, vemos que lo siguiente tiene validez.

lím f ( x ) = L

[3]

x→a

si y sólo si

lím f ( x ) = L

x → a−

y

lím f ( x ) = L

x → a+

Ejemplo 7 En la Fig. 10 se muestra la gráfica de una función g. Úsela para obtener valores (si existen) de lo siguiente: (a) (d)

lím g( x )

(b)

lím g( x )

(e)

x → 2−

x → 5−

lím g( x )

(c) lím g( x )

lím g( x )

(f) lím g( x )

x → 2+

x → 5+

x→2

x→5

41

Figura 10

Solución En la gráfica se ve que los valores de g(x) tienden a 3 conforme x se acerca a 2 por la izquierda, pero tiende a 1 conforme x tiende a 2 por la derecha. Por tanto, (a)

lím g( x ) = 3

x → 2−

y

(b)

lím g( x ) = 1

x → 2+

(c) Puesto que los límites por la izquierda y por la derecha son diferentes, concluimos de [3] que lím x → 2 g( x ) no existe. La gráfica también muestra que (d)

lím g( x ) = 2

x → 5−

y

(e)

lím g( x ) = 2

x → 5+

(f) Esta vez los límites por la izquierda y por la derecha son los mismos y entonces, por [3], tenemos que

lím g( x ) = 2

x→5

A pesar de este hecho, observe que g(5) ≠ 2 .

Límites Infinitos EJEMPLO 8 Hallar lím

x →0

1

x2

si existe.

Solución Conforme x se acerca a 0, x 2 también se acerca a 0 y 1 x 2 se hace muy grande (vea la tabla siguiente). De hecho, en la gráfica de la función f ( x ) = 1 x 2 mostrada en la Fig. 11, se observa que los valores de f ( x ) pueden hacerse arbitrariamente grandes tomando x lo suficientemente cerca de 0. Por tanto, los valores de f ( x ) no tienden a un número y, como consecuencia, lím x → 0 ( 1 x 2 ) no existe.

Figura 11

42

Definición Precisa de un Límite La Definición 1 es apropiada para una comprensión intuitiva de límites, pero para un entendimiento más profundo y demostraciones rigurosas, se necesita ser más precisos. Queremos expresar, en una forma cuantitativa, que f ( x ) puede hacerse arbitrariamente cerca de L, si se toma x lo suficientemente cerca de a (pero x ≠ a). Esto significa que f ( x ) puede hacerse que esté dentro de una distancia preasignada de L (denotada tradicionalmente por ε) requiriendo que x esté dentro de una distancia especificada δ de a. Esto es, f ( x ) − L < ε cuando x − a < δ y x ≠ a. Observe que se puede establecer que x ≠ a escribiendo 0 < x − a . La definición precisa de límite que resulta es la siguiente:

4 Definición Sea f una función definida en algún intervalo abierto que contiene al número a, excepto posiblemente al propio número a. Entonces decimos que el límite de f(x) conforme x tiende a a es L, y escribimos lím f ( x ) = L x →a

si para todo número ε > 0 existe un número correspondiente δ > 0 tal que si 0 < x − a < δ

Puesto que x − a es la distancia de x a a y

entonces

f ( x) − L < ε

f ( x ) − L es la distancia de f ( x ) a L, y puesto que ε puede ser

arbitrariamente pequeño, la definicion de un límite puede expresarse en palabras en la forma siguiente:

lím x → a f ( x ) = L significa que la distancia entre f ( x ) y L puede hacerse arbitrariamente pequeña tomando la distancia entre x y a suficientemente pequeña (pero no igual a 0) La Definición 4 se ilustra en las Figs. 12 – 14. Si se da un número ε > 0, entonces dibujamos las rectas horizontales L + ε y L − ε y la gráfica de f. (Véase la Fig. 12.) Si lím x → a f ( x ) = L , entonces podemos hallar un número δ > 0 tal que si restringimos a x a estar en el intervalo ( a − δ , a + δ ) y tomamos x ≠ a, entonces la curva

y = f ( x ) está entre las rectas y = L − ε y y = L + ε. (Véase la Fig. 13.) Se puede ver que si se ha encontrado una δ así, entonces también funcionará cualquier δ más pequeña.

f(x) está aquí

cuando x está aquí (x ≠ a)

Figura 12

Figura13

Figura14

Es importante observar que el proceso ilustrado en las Figs. 12 y 13 debe funcionar para todo número positivo ε, indiferentemente de lo pequeño que se escoja. La Fig. 14 muestra que si se escoge un ε más pequeño, entonces se podría requerir una δ más pequeña.

43

En la demostración de afirmaciones sobre límites podría ser de utilidad pensar en la definición de límite como un reto. Primero, se nos reta con un número ε. Entonces debemos poder producir una δ adecuada. Esto lo debemos poder hacer para todo ε > 0, no sólo un ε en particular.

Ejemplo 9 Demuestre que lím ( 4 x − 5 ) = 7 . x→3

Solución Sea ε un número positivo. De acuerdo con la Definición 4 con a = 3 y L = 7, necesitamos encontrar un número δ tal que si 0 < x − 3 < δ entonces ( 4x − 5 ) − 7 < ε Pero ( 4x − 5 ) − 7 = 4x − 12 = 4 ( x − 3 ) = 4 x − 3 . Por tanto, queremos que si 0 < x − 3 < δ entonces 4 x − 3 < ε Observe que 4 x − 3 < ε ⇔

x − 3 < ε 4 , Por tanto, escogemos δ = ε/4. Podemos entonces escribir lo siguiente:

si 0 < x − 3 < δ entonces 4 x − 3 < ε de modo que ( 4x − 5 ) − 7 < ε En consecuencia, por la definición de un límite,

lím ( 4 x − 5 ) = 7 x→3

La Fig. 15 muestra la geometría que soporta al Ejemplo 9.

Figura 15

Para un límite por la izquierda, se restringe x de modo que x < a y, por tanto, en la Definición 4 se reemplaza 0 < x − a < δ por a − δ < x < a . En forma similar, para un límite por la derecha, usamos a < x < a + δ .

Ejemplo 10 Demostrar que lím+ x = 0 . x→0

Solución Sea ε un número positivo dado. Necesitamos hallar un número δ tal que si 0 < x < δ entonces

x − 0 < ε , esto es

x <ε

Pero x < ε ⇔ x < ε 2 . De modo que si escogemos δ = ε 2 y 0 < x < δ = ε 2 , entonces Esto demuestra que x → 0 conforme x → 0 + .

x < ε . (Véase la Fig. 16.)

44

Figura 16

1.3 Ejercicios 1.

Si se lanza una pelota al aire con una velocidad de 40 ft/s, su altura en pies t segundos después es dada por y = 40t − 16t 2 . (a) Halle la velocidad promedio para el periodo de tiempo que comienza cuando t = 2 y tiene duración (i) 0.5 segundos

(ii) 0.1 segundos

(iii) 0.05 segundos

(iv) 0.01 segundos

(b) Estime la velocidad instantánea cuando t = 2.

2.

Si se lanza una roca hacia arriba en el planeta Marte con una velocidad de 10 m/s, su altura en metros t segundos después es dada por y = 10t − 1.86t 2 . (a) Halle la velocidad promedio en los intervalos de tiempo dados: (i) [1, 2]

(ii) [1, 1.5]

(iii) [1, 1.1]

(iv) [1, 1.01]

(v) [1, 1.001] (b) Estime la velocidad instantánea cuando t = 1.

3.

Para la función f cuya gráfica se da, establezca el valor de cada cantidad, si existe. Si no existe, explique por qué. (a) lím f ( x ) x →1

(b) lím− f ( x ) x→3

(c) lím+ f ( x ) x→3

(d) lím f ( x ) x →3

(e) f (3)

4.

Use la gráfica de f dada para hallar el valor de cada cantidad, si existe. Si no existe, explique por qué. (a) lím− f ( x )

(b) lím+ f ( x )

(e) lím f ( x )

(f) f (4)

x→2 x→4

x→2

(c) lím f ( x ) x→2

(d) f (2)

45

5.

Para la función cuya gráfica se da, establezca el valor de cada cantidad, si existe. Si no existe, explique por qué. (a) lím− g(t )

(b) lím+ g(t )

(c) lím g(t )

(d) lím− g(t )

(e) lím+ g(t )

(f) lím g(t )

(g) g(2)

(h) lím g(t )

t →0

t →0

t →2

t →2

6.

t →0

t →2

t→4

Dibuje la gráfica de la función siguiente y úsela para determinar los valores de a para los cuales lím x → a f ( x ) existe.

 1 + sen x si x < 0  f ( x ) =  cos x si 0 ≤ x ≤ π  sen x si x > π  Problemas 7−10: Dibujar la gráfica de un ejemplo de una función f que satisfaga todas las condiciones dadas.

7. 8.

lím f ( x ) = −1,

x →0−

lím f ( x ) = 1,

lím f ( x ) = −2,

x→0

x → 3−

f (0) = −1, 9.

10.

lím f ( x ) = 4,

lím f ( x ) = 2,

x → 3−

lím f ( x ) = 2,

x → 3+

lím f ( x ) = 2, x →2

f ( −2) = 1

lím f ( x ) = 2,

lím f ( x ) = 0,

x → 0−

x →0+

lím f ( x ) = 0,

f (0) = 2,

x→4+

f (0) = 1

f (3) = 1

x → 3+

f (3) = 3,

lím f ( x ) = 2,

x →0 +

lím f ( x ) = 3,

x → 4−

f (4) = 1

Problemas 11−14 Estime el valor de la función (si existe) evaluando la función en los números dados (correctos hasta seis cifras decimales).

11.

lím

x2 − 2x

x2 − x − 2 x = 2.5, 2.1, 2.05, 2.01, 2.005, 2.001, 1.9, 1.95, 1.995, 1.999 x→2

46

12.

lím

x2 − 2x

x2 − x − 2 x = 0, − 0.5, − 0.9, − 0.95, − 0.99, − 0.999, − 2, − 1.5, − 1.1, − 1.01, − 1.001 x →−1

sen x x + tan x x = ±1, ± 0.5, ± 0.2, ± 0.1, ± 0.05, ± 0.01

13.

lím

14.

lím

x→0

( 2 + h )5 − 32

x→0 h x = ±0.5, ± 0.1, ± 0.01, ± 0.001, ± 0.0001

Problemas 15−18 Use una tabla de valores para estimar el valor del límite. Si tiene un dispositivo para graficar, úselo para confirmar su resultado gráficamente.

15.

lím

x→0

x+4 −2 x

tan 3x x → 0 tan 5x

16. lím

17. lím

x→1

x6 − 1 x 10 − 1

9 x − 5x x→0 x

18. lím

19. (a) Grafique la función f ( x ) = ( cos 2 x − cos x ) x 2 y use el modo de “zoom” en el punto donde la gráfica cruza el eje y para estimar el valor de lím x →0 f ( x ) . (b) Verifique su respuesta en la parte (a) evaluando f ( x ) para valores de x que se acerquen a 0.

20.

(a) Estime el valor de

lím

x →0

sen x sen πx

graficando la función f ( x ) = ( sen x ) ( sen πx ) . Escriba su respuesta correcta hasta dos cifras decimales. (b) Verifique su respuesta en la parte (a) evaluando f ( x ) para valores de x que se acerquen a 0.

21.

(a) Evaluar la función f ( x ) = x 2 − ( 2 x 1000 ) para x = 1, 0.8, 0.6, 0.4, 0.2, 0.1 y 0.05 y estime el valor de

 2x  lím  x 2 −  x→0  1000  (b) Evaluar f ( x ) para x = 0.04, 0.02, 0.01, 0.005, 0.003 y 0.001. Estime una vez más.

22.

(a) Evaluar h( x ) = ( tan x − x ) x 3 para x = 1, 0.5, 0.1, 0.05, 0.01 y 0.005. (b) Estime el valor de lím

x→0

(c)

tan x − x x3

.

Evaluar h(x) para valores sucesivamente más pequeños de x hasta que finalmente alcance valores 0 para h(x). ¿Tiene todavía confianza en que su estimado de la parte (b) es correcto? Explique por qué en definitiva se obtienen valores 0.

(d) Grafique la función h en el rectángulo visor [−1, 1] por [0, 1]. Después aplique “zoom” en el punto donde la gráfica cruza el eje y para estimar el límite de h(x) conforme x tiende a 0. Continúe aumentando hasta que observe distorsiones en la gráfica de h. Compare con los resultados de la parte (c).

23.

Use la gráfica dada de f ( x ) = x para hallar un número δ tal que si

x − 4 < δ entonces

x − 2 < 0.4

47

24.

Use gráfica dada de f ( x ) = x 2 para hallar un número δ tal que si

25.

1 2

x−

π < δ entonces 4

tan x − 1 < 0.2

Use una gráfica para hallar un número δ tal que si

27.

x2 − 1 <

Use una gráfica para hallar un número δ tal que si

26.

x − 1 < δ entonces

x − 1 < δ entonces

2x − 0.4 < 0.1 x2 + 4

Se requiere que un tornero fabrique un disco metálico circular de área 1000 cm2. (a) ¿Qué radio produce un disco así? (b) Si se le permite al tornero una tolerancia de error de ±5 cm2, ¿cuán cerca del radio ideal en la parte (a) debe el tornero controlar el radio? (c)

En términos de la definición ε, δ de lím x → a f ( x ) = L , ¿cuál es x? ¿Cuál es a? ¿Cuál es L? ¿Qué valor de ε se da? ¿Cuál es el valor correspondiente de δ?

28.

Un horno de cultivo de cristales se usa en investigación para determinar cómo fabricar mejor los cristales usados en las componentes electrónicas del trasbordador espacial. Para el crecimiento apropiado del cristal, la temperatura debe ser controlada con precisión ajustando la potencia de entrada. Supóngase que la relación es dada por

T ( w) = 0.1w 2 + 2.15 w + 20 donde T es la temperatura en grados Celsius y w es la potencia de entrada en vatios. (a) ¿Cuánta potencia se necesita para mantener la temperatura en 200°C? (b) Si se permite que la temperatura varíe de 200°C hacia arriba por ±1°C, ¿cuál es la banda de voltajes permitidos para la potencia de entrada? (c)

En términos de la definición ε, δ de lím x → a f ( x ) = L , ¿cuál es x? ¿Cuál es f ( x ) ? ¿Cuál es a? ¿Cuál es L? ¿Qué valor de ε se da? ¿Cuál es el valor correspondiente de δ?

Ejercicios 29−32 Demuestre las afirmaciones usando la definición ε, δ de un límite e ilustre con un diagrama como el de la Fig. 15.

48

29.

(

)

lím 1 + 13 x = 2 x→3

30. lím ( 2 x − 5 ) = 3

31. lím ( 1 − 4x ) = 13

x→4

x →−3

32. lím ( 3x + 5 ) = −1 x →−2

Ejercicios 33−44 Demuestre la afirmación usando la definición ε, δ de un límite.

33.

2 + 4x =2 x→4 3

34.

lím

( x → 10

37. lím x = a

38. lím c = c

41. lím x = 0

42.

x→a

lím

x → 9−

4

9 − 4x2 =6 x → 1.5 3 + 2 x

35. lím

36. lím

39. lím x 2 = 0

40. lím x 3 = 0

x →0

x →a

x→0

43.

x2 + x − 6 =5 x→2 x−2

)

lím 3 − 45 x = −5

x →0

9 − x2 = 0

lím x 2 = 9 [Sugerencia: Escriba x 2 − 9 = x + 3 x − 3 , Demuestre que si x − 3 < 1 , entonces x + 3 < 7 . Si x→3

permite que δ sea el menor de los números 1 ε/7, demuestre que esta δ funciona].

44.

lím ( x 2 + x − 4 ) = 8 [Sugerencia: Si x − 3 < 1 , ¿qué se puede decir acerca de x + 4 ?] x→3

45. (a) Para el límite lím x →1 ( x 3 + x + 1) = 3 , use una gráfica para hallar un valor de δ que corresponde a un valor de ε = 0.4. (b)

Usando un sistema de computación para solución de ecuaciones, resuelva la ecuación cúbica x 3 + x + 1 = 3 + ε , halle el mayor valor posible de δ que funcione para cualquier ε > 0 dado.

(c) Haga ε = 0.4 en su respuesta a la parte (b) compare con su respuesta a la parte (a).

46.

Si H es la función de Heaviside definida en el Ejemplo 6, demuestre, usando la Definición 4, que lím x → 0 H ( x ) no existe. [Sugerencia: Use una demostración indirecta en la forma siguiente. Supóngase que el límite es L. Tome ε =

1 2

en la definición de un límite y trate de llegar a una contradicción.]

1.4 Cálculo de Límites En la Sec. 1.3 se usaron calculadoras y gráficas para estimar valores de límites, pero vimos que esos métodos no siempre conducen a la solución correcta. En esta sección usamos las siguientes propiedades de límites, llamada las Leyes de Límites, para calcular límites.

Leyes de Límites Supóngase que c es una constante y que los límites

lím f ( x ) x→a

existen. Entonces

1.

lím [ f ( x ) + g( x )] = lím f ( x ) + lím g( x )

2.

lím [ f ( x ) − g( x )] = lím f ( x ) − lím g( x )

3.

lím [cf ( x )] = c lím f ( x )

4.

lím [ f ( x ) g( x )] = lím f ( x ) ⋅ lím g( x )

x →a

x →a

x →a

x→a

x →a

x→a

x→a

x→a

x→a

x→a

x→a

y

lím g( x ) x→a

49

5.

lím

x →a

f (x ) f ( x ) lím = x→a g( x ) lím g( x )

si lím g( x ) ≠ 0 x→a

x→a

Estas cinco leyes pueden expresarse verbalmente en la forma siguiente:

1.

El límite de una suma es la suma de los límites.

2.

El límite de una diferencia es la diferencia de los límites

3.

El del producto de una constante por una función es el producto de la constante por el límite de la función.

4.

El límite de un producto es el producto de los límites.

5.

El límite de un cociente es el cociente de los límites (siempre y cuando el límite del denominador no sea 0). Es fácil convencerse de la veracidad de estas propiedades. Por ejemplo, si f ( x ) está cerca de L y g( x ) está

cerca de M, es razonable concluir que f ( x ) + g( x ) está cerca de L + M . Esto nos da una base intuitiva para creer que la Ley 1 es cierta. Todas estas leyes pueden demostrarse usando la definición precisa de un límite. (Véase el Apéndice D.) Si usamos la Ley del Producto repetidamente con g( x ) = f ( x ) , se obtiene la siguiente ley:

n

n

lím [ f ( x )] = lím f ( x ) donde n es un entero positivo. x →a  x→a 

6.

Para aplicar estas seis leyes de límites, necesitamos utilizar dos límites especiales:

7.

lím c = c x →a

8. lím x = a x→a

Estos límites son obvios desde un punto de vista intuitivo (expréselos en palabras o dibuje gráficas de y = c y y = x ), pero se pueden demostrar a partir de la definición precisa. (Véanse los Ejercicios 37 y 38 en la Sección 1.3.) Si ahora hacemos f ( x ) = x en la Ley 6 y usamos la Ley 8, obtenemos otro límite especial de utilidad:

lím x n = an , donde n es un entero positivo.

9.

x→a

Para raíces también se cumple un límite similar:

10.

lím n x = n a , donde n es un entero positivo. Si n es par, suponemos que a > 0. x→a

De forma más general, tenemos la siguiente ley:

50

11.

lím n f ( x ) = n lím f ( x ) , donde n es un entero positivo. Si n es par, suponemos que lím f ( x ) > 0 . x →a

x→a

x→a

Ejemplo 1 Evaluar los límites siguientes y justificar cada paso:

x3 + 2x2 − 1 x →−2 5 − 3x

(a) lím ( 2 x 2 − 3x + 4 )

(b) lím

x→5

Solución (a)

lím ( 2 x 2 − 3x + 4 ) = lím ( 2 x 2 ) − lím ( 3x ) + lím 4 x→5

x→5

x →5

x →5

(por las Leyes 2 y 1)

= 2 lím x 2 − 3 lím x + lím 4

(por 3)

= 2 ( 52 ) − 3 ( 5 ) + 4 = 39

(por 9, 8 y 7)

x →5

x →5

x→5

(b) Comenzamos por usar la Ley 5, pero su uso estaraá plenamente justificado sólo en la etapa final cuando veamos que los límites del numerador y el denominador existen y el límite del denominador no es 0.

( x3 + 2x2 − 1) x 3 + 2 x 2 − 1 xlím →−2 lím = x →−2 5 − 3x lím ( 5 − 3x )

(por la Ley 5)

x →−2

lím x 3 + 2 lím x 2 − lím 1

=

x →−2

x →−2

x →−2

lím 5 − 3 lím x

x →−2

(por 1, 2 y 3)

x →−2

( −2 )3 + 2 ( −2 )2 − 1 = 5 − 3 ( −2 ) 1 =− 11

(por 9, 8 y 7)

Nota Si se toma f ( x ) = 2 x 2 − 3x + 4 , entonces f (5) = 39 . En otras palabras, se obtendría la respuesta correcta en el Ejemplo 1(a) al sustituir x por 5. En la misma forma, la sustitución directa da la respuesta correcta en la parte (b). Las funciones en el Ejemplo 1 son un polinomio y una función racional, respectivamente, y el uso similar de las Leyes de Límites demuestra que la sustitución directa siempre funciona para tales funciones (véase los Ejercicios 57 y 58). Este hecho se expresa en la forma siguiente:

Propiedad de Sustitución Directa Si f es un polinomio o una función racional y a está en el dominio de f, entonces

lím f ( x ) = f ( a) x→a

Las funciones trigonométricas también gozan de la Propiedad de Sustitución Directa. Por las definiciones de sen θ y cos θ sabemos que las coordenadas del punto P en la Fig. 1 son ( cos θ , sen θ ) . Conforme θ → 0, vemos que P se acerca al punto (1, 0) y por tanto cos θ → 1 y sen θ → 0 . Por tanto, [1]

lím cos θ = 1 θ→ 0

lím sen θ = 0 θ→ 0

51

Figura 1

Puesto que cos 0 = 1 y sen 0 = 0 , las ecuaciones en [1] afirman que las funciones coseno y seno satisfacen la Propiedad de Sustitución Directa en 0. Las fórmulas de adición para el coseno y el seno pueden entonces usarse para deducir que estas funciones satisfacen las Propiedad de Sustitución Directa en todas partes (véase los Ejercicios 59 y 60). En otras palabras, para cualquier número real

lím sen θ = sen a

lím cos θ = cos a

θ→ a

θ→ a

Esto nos permite evaluar ciertos límites con bastante sencillez. Por ejemplo,

(

)(

)

lím x cos x = lím x lím cos x = π ⋅ cos π = −π θ→π

θ→π

θ→π

Funciones con la Propiedad de Sustitución Directa se denominan continuas en a y se estudiarán en la Sección 1.5. Sin embargo, no todos los límites pueden evaluarse por sustitución directa, como muestran los ejemplos siguientes.

x2 − 1 . x→1 x − 1

Ejemplo 2 Hallar lím

Solución Sea f ( x ) = ( x 2 − 1 ) x − 1 . El límite no se puede hallar al sustituir x = 1 porque f (1) no está definida. Tampoco se puede aplicar la Ley del Cociente, porque el límite del denominador es 0. Más bien, necesitamos de alguna álgebra preliminar. Factorizamos el numerador como una diferencia de cuadrados:

x 2 − 1 ( x − 1 )( x + 1 ) = x−1 x−1 El numerador y el denominador tienen un factor común de x − 1 . Cuando tomamos el límite conforme x se acerca a 1, tenemos que x ≠ 1 y por tanto x − 1 ≠ 0 . Por consiguiente, podemos cancelar el factor común y calcular el límite en la forma siguiente:

( x − 1 )( x + 1) x2 − 1 = lím x →1 x − 1 x →1 x−1 = lím ( x + 1 )

lím

x →1

= 1+1 = 2 Nota En el Ejemplo 2 se pudo calcular el límite reemplazando la función dada f ( x ) = ( x 2 − 1 ) x − 1 por una función más sencilla, g( x ) = x + 1 , con el mismo límite. Esto es válido porque f ( x ) = g( x ) excepto cuando x = 1, y al calcular un límite conforme x tiende a 1, no consideramos lo que sucede cuando x es efectivamente igual a 1. En general, tenemos el siguiente hecho útil.

Si f ( x ) = g( x ) cuando x ≠ a, entonces lím f ( x ) = lím g( x ) , siempre y cuando los límites existan. x→a

x→a

52

Ejemplo 3 Hallar lím g( x ) , donde x →1

 x + 1 si x ≠ 1 g( x ) =  si x = 1 π Solución Aquí g está definida en x = 1 y g(1) = π, pero el valor de un límite conforme x tiende a 1 no depende del valor de la función en 1. Como g( x ) = x + 1 para x ≠ 1, tenemos

lím g( x ) = lím ( x + 1 ) = 2 x →1

x →1

Observe que los valores de las funciones en los Ejemplos 2 y 3 son idénticas excepto cuando x = 1 (véase la Fig. 2) y por tanto ellas tienen el mismo límite conforme x tiende a 1.

Figura 2 Las gráficas de las funciones f (del Ejemplo 2) y g (del Ejemplo 3).

( 3 + h )2 − 9 . h →0 h

Ejemplo 4 Evaluar lím Solución Si definimos

F( h ) =

( 3 + h )2 − 9 h

entonces, igual que en el Ejemplo 2, no podemos calcular lím h →0 F( h ) cuando h = 0 puesto que F(0) no está definida. Pero si simplificaos F(h) algebraicamente, encontramos que

F( h ) =

( 9 + 6h + h 2 ) − 9 h

=

6h + h 2 =6+h h

(Recuérdese que consideramos solamente h ≠ 0 cuando permitimos que h se acerque a 0.) Por tanto,

( 3 + h )2 − 9 = lím ( 6 + h ) = 6 h→0 h→0 h

lím

Ejemplo 5 Hallar lím t →0

t2 + 9 − 3 t2

.

Solución No podemos aplicar la Ley del Cociente de inmediato, ya que el límite del denominador es 0. Aquí el álgebra preliminar consiste en racionalizar el numerador:

53

lím

t2 + 9 − 3 t2

t →0

t2 + 9 − 3

= lím

t2

t →0

t2 + 9 + 3

⋅

t2 + 9 + 3

(t2 + 9) − 9

= lím

t →0 2

(

= lím

)

t →0

t2

(

)

t2 + 9 + 3 t2 t2 + 9 + 3 1 1 1 1 = lím = = = 2 t →0 2 3 + 3 6 t +9 +3 lím ( t + 9 ) + 3 t

t →0

Este cálculo confirma el estimado que se hizo en el Ejemplo 3 de la Sección 1.3 Algunos límites se calculan mejor hallando primero los límites por la izquierda y por la derecha. El teorema siguiente es un recordatorio de lo que se descubrió en la Sec. 1.3. Dice que un límite bilateral existe si y sólo si los dos límites unilaterales existen y son iguales.

2 Teorema lím f ( x ) = L

si y sólo si

x →a

lím f ( x ) = L = lím+ f ( x )

x → a−

x→a

Cuando se calculan límites unilaterales, usamos el hecho de que las Leyes de Límites también son validas para límites unilaterales.

Ejemplo 6 Demuestres que lím x = 0 . x→0

si x ≥ 0 x Solución Recuérdese que x =  . Puesto que x = x para x > 0, tenemos que  − x si x < 0

lím x = lím+ x = 0

x →0 +

x →0

Para x < 0 tenemos que x = x y por tanto

lím x = lím− ( −x ) = 0

x → 0−

x →0

Por tanto, por el Teorema 2,

lím x = 0 x→0

Figura 3 El resultado del Ejemplo 6 parece plausible al ver esta figura.

Ejemplo 7 Demuestre que lím

x →0

x x

no existe.

54

Solución

x

x = lím 1 = 1 x x →0+ −x lím = lím− = lím+ ( −1) = −1 x → 0− x x →0 x x →0 lím

x → 0+

x x

= lím+ x →0

Como los límites por la izquierda y por la derecha son diferentes, se deduce del Teorema 2 que lím x →0 x x no existe. La gráfica de la función f ( x ) = x x se muestra en la Fig. 4 y exhibe los límites laterales que encontramos.

Figura 4

Ejemplo 8 La función el mayor entero se define por  x  = el mayor entero que es menor que o igual a x . Por ejemplo,  4  = 4 ,  4.8  = 4 ,  π = 3 ,  − 1  = −1 . Demuestre que lím x → 3  x  no existe. 2

Solución La gráfica de la función el mayor entero se muestra en la Fig. 5. Puesto que  x  = 3 para 3 ≤ x < 4, tenemos que

lím  x  = lím+ 3 = 3

x → 3+

x →3

Como  x  = 2 para 2 ≤ x < 3, tenemos que

lím  x  = lím 2 = 2

x → 3−

x→3

Puesto que estos límites unilaterales no son iguales, lím x → 3  x  no existe por el Teorema 2.

Figura 5

Los dos teoremas siguientes dan dos propiedades adicionales de límites. Sus demostraciones se pueden hallar en el Apéndice D.

[3] Teorema Si f ( x ) ≤ g( x ) cuando x está cerca de a (excepto posiblemente en a) y los límites de f y g existen ambos conforme x tiende a a, entonces lím f ( x ) ≤ lím g( x ) x→a

x→a

55

[4] El Teorema del Encaje Si f ( x ) ≤ g( x ) ≤ h( x ) cuando x está cerca de a (excepto posiblemente en a) y

lím f ( x ) = lím h( x ) = L x →a

x→a

entonces

lím g( x ) = L x →a

El Teorema del Encaje, que algunas veces se denomina el Teorema del Emparedado, se ilustra en la Fig. 6. Dice que si g( x ) se encaja entre f ( x ) y h( x ) cerca de a y si f y h tienen el mismo límite L en a, entonces g es forzad a tener el mismo límite L en a.

Figura 6

Ejemplo 9 Demostrar que lím x 2 sen x→0

1 =0. x

Solución Observe primero que no podemos usar

lím x 2 sen x→0

1 1 = lím x 2 ⋅ lím sen x →0 x x x →0

porque lím x →0 sen ( 1 x ) no existe (véase el Ejemplo 5, Sección 1.3). En su lugar se aplica el Teorema del Encaje y por tanto necesitamos hallar una función f menor que g( x ) = x 2 sen ( 1 x ) y una función h mayor que g tal que ambas f ( x ) y h( x ) tiendan a cero. Para hacer esto utilizamos nuestro conocimiento de la función seno. Puesto que el seno de cualquier número está entre −1 y 1, podemos escribir

−1 ≤ sen

[5]

1 ≤1 x

Cualquier desigualdad permanece válida cuando se multiplica por un número positivo. Sabemos que x 2 ≥ 0 para toda x y por tanto, multiplicando cada lado de las desigualdades en [5] por x 2 , se obtiene

− x 2 ≤ x 2 sen

1 ≤ x2 x

como se ilustra en la Fig. 7. Sabemos que

lím x 2 = 0 x→0

y

lím ( − x 2 ) = 0 x →0

Tomando f ( x ) = −x 2 , g( x ) = x 2 sen ( 1 x ) y h( x ) = x 2 en el Teorema del Encaje, obtenemos

lím x 2 sen x→0

1 =0 x

56

Figura 7

En el Ejemplo 4 de la Sección se hizo el estimado, sobre la base de evidencia numérica y gráfica que

sen θ =1 θ→0 θ

lím

[4]

La Ec. 6 se puede demostrar con la ayuda del Teorema del Encaje. Supóngase primero que θ está entre 0 y π/2. La Fig. 8(a) muestra un sector de un círculo con centro en O, ángulo central θ y radio 1. BC se dibuja perpendicular a OA. Por la definición de la medida radián, tenemos que AB = θ. También, BC = = B sen θ = sen θ . Del diagrama vemos que

BC < AB < arc AB Por tanto,

sen θ < θ

o

sen θ <1 θ

Suponga que las rectas tangentes en A y B se intersecan en E. De la Fig. 8(b) se puede ver que la circunferencia de un círculo es menor que la longitud de un polígono circunscrito y, por tanto, AB < AE + EB . Entonces

θ = arc AB < AE + EB < AE + ED = AD = OA tan θ = tan θ En el Apéndice D se demuestra la desigualdad θ ≤ tan θ directamente a partir de la definición de la longitud de un arco sin recurrir a la intuición geométrica, como se hizo aquí. Por tanto, tenemos que

θ<

sen θ cos θ

y por tanto

Figura 8

cos θ <

sen θ <1 θ

57

Sabemos que lím θ→ 0 1 = 1 y lím θ→ 0 cos θ = 1 , de modo que por el Teorema del Encaje, tenemos que

lím+

θ→0

sen θ =1 θ

Pero la función ( sen θ ) θ es una función par, de modo que sus límites por la derecha y por la izquierda deben ser iguales. Por tanto, tenemos que

sen θ =1 θ→0 θ lím

y así queda demostrada la Ecuación 6.

Ejemplo 10 Hallar lím

x→0

sen 7 x . 4x

Solución Para aplicar la Ecuación 6, primero reescribimos la función multiplicándola y dividiéndola por 7:

sen 7 x 7  sen 7 x  =   4x 4  7x  Observe que conforme x → 0, tenemos que 7x → 0 y por tanto, por la Ecuación 6 con θ = 7x ,

lím

x→0

sen 7 x sen θ = lím =1 θ → 0 7x θ

y por tanto

sen 7 x 7  sen 7 x  7 sen 7 x 7 7 = lím  = ⋅1=  = lím x → 0 7x x → 0 4  7x  4 x → 0 7x 4 4 lím

cos θ − 1 . θ→0 θ

Ejemplo 11 Evaluar lím Solución

cos θ − 1 cos 2 θ − 1  cos θ − 1 cos θ + 1  = lím  ⋅  = lím ( θ→0 θ → 0 θ θ cos θ + 1  θ → 0 θ cos θ + 1) lím

− sen 2 θ sen θ   sen θ = − lím  ⋅  θ → 0 θ ( cos θ + 1 ) θ → 0 θ cos θ + 1  sen θ sen θ = − lím ⋅ lím θ→0 θ θ → 0 cos θ + 1  0  = −1 ⋅  =0  1+1

= lím

1.4 Ejercicios 1.

Dado que

lím f ( x ) = 4,

x→2

lím g( x ) = −2,

x→2

lím h( x ) = 0

x→2

hallar los límites que existan. Si el límite no existe, explique por qué.

58

3

(b) lím [ g( x )]

(a) lím [ f ( x ) + 5 g( x )] x→2

(d) lím

x→2

2.

x→2

3 f (x) g( x )

(e) lím

x→2

(c) lím

f (x )

(f) lím

g( x )h( x ) f (x)

x→2

g( x ) h( x )

x→2

Se dan las gráficas de f y g. Úselas para evaluar cada límite, si existe. Si el límite no existe, explique por qué. (a) lím [ f ( x ) + g( x )] x→2

(d)

lím

x → −1

(b) lím [ f ( x ) + g( x )]

(c) lím [ f ( x ) g( x )]

(e) lím  x 3 f ( x ) x→2

(f) lím 3 + f ( x )

x→1

f (x) g( x )

x→0

x→3

Ejercicios 3−9: Evaluar el límite y justificar cada paso indicando la Ley (o Leyes) de Límites apropiada.

3.

lím ( 5x 3 − 3x 2 + x − 6 )

4. lím ( x 4 − 3x )( x 2 + 5x + 3 )

x→3

x →− 1

7. lím ( 1 + 3 x ) ( 2 − 6x 2 + x 3 )

8. lím

x →0

x →8

cos 4 x

5. 9.

5 + 2x3

lím

t →− 2

t4 − 2

2t 2 − 3t + 2

6.

lím

u → −2

u 4 + 3u + 6

lím θ sen θ

θ→π 2

10. (a) ¿Por qué está errada la ecuación siguiente?

x2 + x − 6 = x+3 x−2 (b) En vista de la parte (a), explique por qué la ecuación

x2 + x − 6 = lím ( x + 3 ) x→2 x→2 x−2 lím

está correcta. Ejercicios 11−28: Evaluar el límite, si existe.

11.

x 2 − 6x + 5 x→5 x−5

15.

lím

19.

lím

t2 − 9 2t 2 + 7 t + 3

t → −3

lím

x+2

x → −2

23. lím

x → 16

3

x +8 4− x

16 x − x 2

( x + h )2 − x 3 27. lím h→0 h

12.

16. 20.

lím

x→4

lím

x → −1

lím

x → −1

x 2 − 4x x 2 − 3x − 4 2 x 2 + 3x + 1 x2 − 2x − 3 x2 + 2x + 1 4

x −1

1  1 24. lím  − 2  t → 0 t t +t  1 28.

2

( ) lím x + h h

h→0

−

1 x2

x 2 − 5x + 6 x→5 x−5

14.

17.

( −5 + h )2 − 25 h→0 h

18.

( 2 + h )3 − 8 h→0 h

21.

lím

22.

lím

13. lím

lím

h→0

9+h −3 h

1 1 + 25. lím 4 x x → −4 4 + x

lím

x 2 − 4x

x → −1 x 2

− 3x − 4

lím

u→0

26. lím

x → −4

4u + 1 − 3 u−2 x2 + 9 − 5 x+4

59

29.

(a) Estime el valor de

lím

x→0

graficando la función f ( x ) = x

(

x 1 + 3x − 1

1 + 3x − 1 ) .

(b) Utilice una tabla de valores de f ( x ) para x cerca de 0 y estime el valor del límite. (c) Use las Leyes de Límites para demostrar que su estimado es correcto.

30.

(a) Use una gráfica de

f (x ) =

3+x − 3 x

para estimar el valor de lím x → 0 f ( x ) hasta dos cifras decimales. (b) Utilice una tabla de valores de f ( x ) para x cerca de 0 y estime el valor del límite hasta cuatro cifras decimales. (c) Use las Leyes de Límites para determinar el valor exacto del límite.

31.

Use el Teorema del Encaje para demostrar que lím x → 0 ( x 2 cos 20πx ) = 0 . Ilustre esto graficando las funciones f ( x ) = −x 2 , g( x ) = x 2 cos 20πx y h( x ) = x 2 en los mismos ejes.

32.

Use el Teorema del Encaje para demostrar que

lím x 3 + x 2 sen

x→0

π =0 x

Ilustre esto graficando las funciones f , g y h en los mismos ejes.

33.

Si 4x − 9 ≤ f ( x ) ≤ x 2 − 4 x + 7 para x ≥ 0, halle lím f ( x ) .

34.

Si 2 x ≤ g( x ) ≤ x 4 − x 2 + 2 para toda x, halle lím g( x ) .

35.

Demuestre que lím x 4 cos

36.

Demuestre que lím x  1 + sen 2 ( 2 π x )  = 0 . x→0

x→4

x→1

x→0

2 = 0. x

Ejercicios 37−42: Hallar el límite, si existe. Si el límite no existe, explique por qué.

37.

lím ( 2 x + x − 3

x→3

)

1 1  lím  −  x x 

38.

41.

43.

Sea g( x ) =

x → 0−

38.

42.

lím

x → −6

2 x + 12 x+6

1 1  lím  −  x x 

x → 0+

x2 + x − 6 . x−2

(a) Hallar (i)

lím g( x )

x → 2+

(ii)

lím g( x )

x → 2−

39.

lím −

x → 0.5

2x − 1 3

2x − x

2

40.

lím

x → −2

2− x 2+x

60

(b) ¿Existe lím x → 2 g( x ) ? (c)

44.

Dibuje la gráfica de g.

Sea

x 3  g( x ) =  2 2−x x−3 

si x < 1 si x = 1 si 1 < x ≤ 2 si x > 2

(b) Evaluar cada uno de los límites siguientes, si existe. (i) lím− g( x )

(ii) lím g( x )

(iv) (c)

45.

(iii) g(1)

x→1

x→1

lím g( x )

(v)

x → 2−

lím g( x )

(vi) lím g( x ) x→2

x → 2+

Dibujar la gráfica de g.

(a) Si el símbolo   denota la función mayor entero definida en el Ejemplo 8, evaluar: (i)

lím  x 

(ii)

x → 2+

(iii)

lím  x 

x → −2

lím  x 

x → − 2.4

(b) Si n es un entero, evaluar (i)

lím  x 

(ii)

x → n−

lím  x 

x → n+

(c) ¿Para qué valores de a existe lím x → a  x  ?

46.

Sea f ( x ) =  cos x  , −π≤ x ≤π. (a) Dibuje la gráfica de f. (b) Evaluar cada límite, si existe. (i) lím f ( x )

(ii)

x→0

(c)

lím

x → (π 2)

−

f (x)

(iii)

lím

x → (π 2)

+

f (x)

(iv)

lím f ( x )

x→π 2

¿Para qué valores de a existe lím x → a f ( x ) ?

47.

Si f ( x ) =  x  +  −x  , demuestre que lím x → 2 f ( x ) existe pero no es igual a f (2) .

48.

En la teoría de la relatividad, la fórmula de contracción de Lorentz

L = L0 1 − v 2 c 2 expresa la longitud L de un objeto como una función de su velocidad v con respecto a un observador, donde L0 es la longitud del objeto en reposo y c es la velocidad de la luz. Hallar lím v → c − L e interprete el resultado. ¿Por qué es necesario un límite por la izquierda? Ejercicios 49−56: Hallar el límite.

49.

sen 3x x→0 x

53.

lím

lím

x→0

sen 3x 5x 3 − 4 x

50.

sen 4x x → 0 sen 6 x lím

54. lím

x→0

sen 3x sen 5x x2

tan 4t t → 0 sen 2t

52. lím

sen θ θ → 0 θ + tan θ

56.

51. lím 55.

lím

cos θ − 1 θ → 0 sen θ sen x 2 x→0 x lím

61

57. Si p es un polinomio, demuestre que lím x → a p( x ) = p( a) . 58. Si r es una función racional, use el Ejercicio 57 para demostrar que lím x → a r ( x ) = r ( a) para todo número a en el dominio de r.

59. Para demostrar que el seno tiene la Propiedad de Sustitución Directa es necesario demostrar que lím x → a sen x = sen a para todo número real a. Si se toma h = x − a , entonces x = a + h y x → a ⇔ h → 0 . Así que una afirmación equivalente es

lím sen ( a + h ) = sen a

h→0

Use [1] para demostrar que esto es cierto.

60. Demuestre que el coseno tiene la Propiedad de Sustitución Directa. 61. Si lím

x→1

f (x ) − 8 = 10 , hallar lím f ( x ) . x→1 x−1

62. Demuestre que si lím x → a g( x ) = 0 y lím x → a f ( x ) existe y no es 0, entonces

lím

x→a

f (x) no existe g( x )

63. Demuestre mediante un ejemplo que lím x → a [ f ( x ) + g( x )] puede existir aunque ni lím x → a f ( x ) ni

lím x → a f ( x ) existan. 64. Demuestre mediante un ejemplo que lím x → a [ f ( x ) g( x )] puede existir aunque ni lím x → a f ( x ) ni

lím x → a f ( x ) existan. 65. ¿Existe un número a tal que

lím

x → −a

3x 2 + ax + a + 3 x2 + x − 2

existe? Si es así, halle el valor de a y el valor del límite. 2 66. La figura muestra un círculo fijo C1 con ecuación ( x − 1 ) + y 2 = 1 y un círculo que se comprime C2 con radio r y centro en el origen. P es el punto (0, r), Q el punto superior de la intersección de los dos círculos y R es el punto de intersección de la recta PQ y el eje x. ¿Qué le sucede a R conforme C2 se comprime, esto es, conforme r → 0 + ?

62

1.5 Continuidad En la Sección 1.4 se observó que el límite de una función conforme x tiende a a con frecuencia puede hallarse con simplemente calcular el valor de la función en a. Las funciones con esta propiedad se denominan continuas en a. Veremos que la definición matemática de continuidad se corresponde muy de cerca con el significado de la palabra continuidad en el lenguaje diario. (Un proceso continuo es uno que ocurre gradualmente, sin interrupción o cambio abrupto.)

[1] Definición Una función f es continua en un número a si

lím f ( x ) = f ( a)

x→a

Observe que la Definición 1 requiere implícitamente de tres condiciones si f es continua en a:

1. 2. 3.

f ( a) está definida (esto es, a está en el dominio de f). lím f ( x ) existe.

x→a

lím f ( x ) = f ( a)

x→a

La definición dice que f es continua en a si f ( x ) tiende a f ( a) conforme x se acerca a a. Esto es, una función continua f tiene la propiedad de que un pequeño cambio en x produce sólo un pequeño cambio en f ( x ) . De hecho, el cambio en f ( x ) puede mantenerse tan pequeño como se desee si se mantiene el cambio en x lo suficientemente pequeño. Si f está definida cerca de a (en otras palabras, f está definida en un intervalo abierto que contiene a a, excepto quizás en a), decimos que f es discontinua en a (o f tiene una discontinuidad en a) si f no es continua en a. Los fenómenos físicos usualmente son continuos. Por ejemplo, el desplazamiento o velocidad de un vehículo varía continuamente con el tiempo, como lo hace la estatura de una persona. Pero sí ocurren discontinuidades en situaciones tales como corrientes eléctricas. [Véase el Ejemplo 6 en la Sección 1.3, donde la función de Heaviside es discontinua en 0 porque lím t → 0 H (t ) no existe.] Geométricamente, se puede pensar en una función que es continua en todo punto en un intervalo como una función cuya gráfica no presenta rupturas o interrupciones. La gráfica puede dibujarse sin levantar su lápiz del papel.

f(x) tiende a f(a)

Conforme x tiende a a

Figura 1

Si f es continua, entones los puntos

( x , f ( x ))

tienden al punto ( a , f ( a)) conforme x → a. Así que no hay brechas en la curva.

63

Ejemplo 1 La Fig. 2 muestra la gráfica de una función f. ¿En cuáles números es f discontinua? ¿Por qué? Solución Parece que existiese una discontinuidad cuando a = 1 porque la gráfica tiene una interrupción allí. La razón oficial de que f es discontinua en 1 es que f (1) no está definida.

Figura 2

La gráfica también tiene una interrupción cuando a = 3, pero la razón para la discontinuidad es diferente. Aquí, f (3) está definida, pero lím x → 3 f ( x ) no existe (los límites por la izquierda y por la derecha son diferentes). Por tanto, f es discontinua en 3. ¿Qué sucede en x = 5? Aquí, f (5) está definida y lím x → 5 f ( x ) existe (porque los límites por la izquierda y por la derecha son los mismos). Pero

lím f ( x ) ≠ f (5) x→5

Por tanto, f es discontinua en 5. Veamos ahora cómo detectar discontinuidades cuando una función está definida por una fórmula.

Ejemplo 2 Las funciones siguientes, ¿dónde son discontinuas? (a)

x2 − x − 2 f (x ) = x−2

(d)

f (x ) = x 

(b)

 1  2 si x ≠ 0 f (x ) =  x  1 si x = 0 

 x2 − x − 2 si x ≠ 2  (c) f ( x ) =  x2  1 si x = 2 

Solución (a) Observe que f (2) no está definida, de modo que f es discontinua en 2. Más adelante veremos por qué f es continua en todos los otros puntos. (b) Aquí f (0) = 1 está definida pero

lím f ( x ) = lím x→0

x →0

1 x2

no existe. (Véase el Ejemplo 8 en la Sección 1.3.). Por tanto, f es discontinua en 0. (c) Aquí f (2) = 1 está definida y

( x − 2 )( x + 1 ) x2 − x − 2 = lím = lím ( x + 1 ) = 3 x→2 x→2 x→2 x−2 x−2

lím f ( x ) = lím x→2

existe. Pero

lím f ( x ) ≠ f (2) x→2

64

de manera que f no es continua en 2. (d) La función mayor entero f ( x ) =  x  tiene discontinuidades en todos los enteros porque lím x →n  n no existe si n es un entero. (Véase el Ejemplo 8 y el Ejercicio 45 en la Sección 1.4.) La Fig. 3 muestra las gráficas de las funciones en el Ejemplo 2. En cada caso, la gráfica no puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel porque ocurriría un hueco o ruptura o salto en la gráfica. La clase de discontinuidad ilustrada en las partes (a) y (c) se denomina removible debido a que se podría remover la discontinuidad redefiniendo f en precisamente el número 2. [La función g( x ) = x + 1 es continua.] La discontinu8idad en la parte (b) se denomina una discontinuidad infinita. Las discontinuidades en la parte (d) se denominan discontinuidades de salto porque la función “salta” de un valor a otro.

Figura 3 Gráficas de las funciones en el Ejemplo 2.

[2} Definición Una función f es continua por la derecha en un número a si

lím f ( x ) = f ( a)

x → a+

y f es continua por la izquierda en a si

lím f ( x ) = f ( a)

x → a−

Ejemplo 3 En cada entero n, la función f ( x ) =  x  [véase la Fig. 3(d)] es continua por la derecha pero discontinua por la izquierda porque

lím f ( x ) = lím+  x  = n = f (n)

x → n+

x→n

pero

lím f ( x ) = lím−  x  = n − 1 ≠ f (n)

x → n−

x→n

[3] Definición Una función f es continua en un intervalo si es continua en todo punto en el intervalo. (Si f está definida en sólo un lado de un punto extremo del intervalo, se entiende que continua en el punto extremo significa continua por la derecha o continua por la izquierda.

Ejemplo 4 Demuestre que la función f ( x ) = 1 − 1 − x 2 es continua en el intervalo [−1, 1].

65

Solución Si −1 < a < 1, entonces usando las Leyes de Límites, se obtiene que

(

lím f ( x ) = lím 1 − 1 − x 2

x→a

)

x→a

= 1 − lím 1 − x 2 x→a

= 1 − lím ( 1 − x 2 ) x→a

= f ( a) Por tanto, por la Definición 1, f es continua en a si −1 < a < 1. Cálculos similares muestran que

lím f ( x ) = 1 = f ( −1 )

x → − 1+

y

lím f ( x ) = 1 = f ( 1 )

x → − 1−

de modo que f es continua por la derecha en −1 y continua por la izquierda en 1. Por tanto, de acuerdo con la definición 3, f es continua en [−1, 1]. La gráfica de f se dibuja en la Fig. 4. Es la mitad inferior del círculo 2

x2 + ( y − 1) = 1

Figura 4

En vez de usar siempre las Definiciones 1, 2 y 3 para verificar la continuidad de una función como se hizo en el Ejemplo 4, con frecuencia es conveniente usar el teorema siguiente, el cual muestra cómo construir funciones continuas complicadas a partir de funciones sencillas.

[4] Teorema Si f y g son continuas en a y c es una constante, entonces las funciones siguientes también son continuas en a:

1. f + g

2. f − g

3. cf

4. fg

5.

f g

si g( a) ≠ 0

Demostración Cada una de las cinco partes de este teorema se deduce de la Ley de Límites correspondiente en la Sección 1.4. Por ejemplo, a continuación damos la demostración de la parte 1. Puesto que f y g son continuas en a, tenemos

lím f ( x ) = f ( a)

x→a

y

lím g( x ) = g( a)

x→a

Por tanto

lím ( f + g ) ( x ) = lím [ f ( x ) + g( x )]

x→a

x→a

= lím f ( x ) + lím g( x ) x→a

= f ( a ) + g( a ) = ( f + g ) ( a) Esto demuestra que f + g es continua en a.

x→a

66

Del Teorema 4 y la Definición 3 se deduce que si f y g son continuas en un intervalo, entonces las funciones f + g , f − g cf, fg y (si g nunca es 0) f/g también lo son. El teorema siguiente se enunció en la Sección 1.4 como la Propiedad de Sustitución Directa:

[5] Teorema (a) Cualquier polinomio es continuo en todas partes; esto es, es continuo en ℝ = ( −∞ , ∞ ) . (b) Cualquier función racional es continua siempre y cuando esté definida; es decir, es continua en su dominio.

Demostración (a) Un polinomio es una función de la forma

P( x ) = cn x n + cn −1 x n −1 + ⋯ + c1 x + c0 donde c0 , c1 , … , cn son constantes. Sabemos que

lím c0 = c0

x→a

y

lím x m = am , m = 1, 2, … , n

x→a

Esta ecuación es precisamente la afirmación de que la función f ( x ) = x m es una función continua. Entonces, por la parte 3 del Teorema 4, la función g( x ) = cx m es continua. Como P es una suma de funciones de esta forma y una función constante, se deduce, por la parte 1 del Teorema 4, que P es continua. (b) Una función racional es de la forma

f (x ) =

P( x ) Q( x )

donde P y Q son polinomios. El dominio de f es D = {x ∈ ℝ Q( x ) ≠ 0} . De la parte (a) sabemos que P y Q son continuos en todas partes. Por tanto, por la parte 5 del Teorema 4, f es continua en todo punto en D. Como una ilustración del Teorema 5, observe que el volumen de una esfera varía continuamente con su radio porque la fórmula V (r ) = 43 πr 3 muestra que V es una función polinomial de r. En la misma forma, si se lanza una pelota verticalmente al aire con una velocidad de 50 ft/s, entonces la altura de la pelota en pies t segundos después es dada por la fórmula h = 50t − 16t 2 . Una vez más, ésta es una función polinomial, de modo que la altura es una función continua del tiempo transcurrido. El conocimiento de cuáles funciones son continuas nos permite evaluar algunos límites muy rápidamente, como muestra el ejemplo siguiente. Compárelo con el Ejemplo 1(b) en la Sección 1.4.

x3 + 2x 2 − 1 . x → −2 5 − 3x

Ejemplo 5 Hallar lím Solución La función

f (x ) =

x3 + 2x2 − 1 5 − 3x

{

es racional; por tanto, por el Teorema 5 es continua en su dominio, el cual es x x ≠

5 3

} . Por consiguiente,

67

x3 + 2x2 − 1 = lím f ( x ) = f ( −2) x → −2 x → −2 5 − 3x lím

=

( −2 ) 3 + 2 ( −2 )2 − 1 1 =− 5 − 3 ( −2 ) 11

Resulta que la mayoría de las funciones conocidas son continuas en todo punto de sus dominios. Por ejemplo, La Ley de Límites 10 es exactamente la afirmación de que las funciones raíz son continuas. A partir del aspecto de las gráficas de las funciones seno y coseno (Fig. 11 en la Sección 1.2), ciertamente diríamos que ellas son continuas. Y en la Sección 1.4 se demostró que

lím sen θ = sen a ,

lím cos θ = cos a

θ→a

θ→a

En otras palabras, las funciones seno y coseno son continuas en todas partes. Por la parte 5 del Teorema 4 se deduce que sen x tan x = cos x es continua excepto donde cos x = 0 . Esto sucede cuando x es un múltiplo entero impar de π/2, de modo que y = tan x tiene infinitas discontinuidades cuando x = ± π 2, ± 3π 2, ± 5π 2 y así sucesivamente (véase la Fig. 5).

Figura 5 y = tan x

[6] Teorema Los tipos de funciones siguientes son continuas en todo punto de sus dominios: polinomios, funciones racionales, funciones raíces y funciones trigonométricas.

Ejemplo 6 ¿En cuáles intervalos es cada función continua? (a) f ( x ) = x 100 − 2 x 37 + 75

(b) g( x ) =

x 2 + 2 x + 17 2

x −1

(c) h( x ) = x +

x+1 x+1 − x − 1 x2 + 1

Solución (a) f es un polinomio; por tanto, es continua en (−∞, ∞) por el Teorema 5(a). (b) g es una función racional; por tanto, por el Teorema 5(b) es continua en su dominio, el cual es

{

}

D = x x 2 − 1 ≠ 0 = {x x ≠ ±1} Por tanto, g es continua en los intervalos (−∞, −1), (−1, 1) y (1, ∞). (c) Podemos escribir h( x ) = F( x ) + G( x ) − H ( x ) , donde

68

F( x ) = x ,

G( x ) =

x+1 , x−1

H (x ) =

x+1 x2 + 1

F es continua en (0, ∞) por el Teorema 6. G es una función racional, así que es continua en todas partes excepto cuando x − 1 =0, esto es, x = 1. H también es una función racional, pero su denominador nunca es 0, de modo que H es continua en todas partes. Por tanto, por las partes 1 y 2 del Teorema 4, h es continua en los intervalos [0, 1) y (1, ∞).

sen x . x → π 2 + cos x

Ejemplo 7 Evaluar lím

Solución La función y = sen x es continua. La función en el denominador, y = 2 + cos x , es la suma de dos funciones continuar y, por tanto, es continua. Observe que esta función nunca es 0 por que cos x ≥ −1 para toda x y por ende 2 + cos x > 0 en todas partes. De modo que la razón

f (x ) =

sen x 2 + cos x

es continua en todas partes. Por consiguiente, por la definición de una función continua,

lím

x→π

sen x sen π 0 = lím f ( x ) = f ( π) = = =0 2 + cos x x → π 2 + cos π 2 − 1

Otra forma de combinar las funciones continuas f y g para obtener una nueva función continua es formar la función compuesta f  g . Este hecho es una consecuencia del teorema siguiente.

[7] Teorema Si f es continua en b y lím g( x ) = b , entonces lím f ( g( x ) ) = f (b ) . En otras palabras, x→a

x→a

(

lím f ( g( x ) ) = f lím g( x )

x→a

x→a

)

Intuitivamente, el Teorema 7 es razonable porque si x está cerca de a, entonces g(x) está cerca de b y, como f es continua en b, entonces f ( g( x ) ) está cerca de f(b). Una demostración del teorema 7 se da en el Apéndice D.

[8] Teorema Si g es continua en a y f es continua en g(a), entonces la función compuesta f  g dada por

( f  g ) (x ) = f ( g ( x ) )

es continua en a.

Este teorema con frecuencia se expresa informalmente diciente “una función continua de una función continua es una función continua”.

Demostración Puesto que g es continua en a, tenemos que

lím g( x ) = g( a)

x→a

Como f es continua en b = g(a), podemos aplicar el Teorema 7 para obtener

lím f ( g( x ) ) = f ( g( a) )

x→a

69

que es precisamente la afirmación de que la función h( x ) = f ( g ( x ) ) es continua en a; esto es, f  g es continua en a.

Ejemplo 8 ¿Dónde son continuas las funciones siguientes? (a) h( x ) = sen ( x 2 )

(b) F( x ) =

1 2

x +7 −4

Solución (a) Tenemos h( x ) = f ( g ( x ) ) , donde

g( x ) = x 2

y

f ( x ) = sen x

Ahora bien, g es continua en ℝ ya que es un polinomio y f también es continua en todas partes por el Teorema 6. Por tanto, h = f  g es continua en ℝ por el Teorema 8, (b) Observe que F puede separarse como la composición de cuatro funciones continuas:

F = f  gh k

o

F( x ) = f ( g ( h ( k ( x ) ) ) )

donde

f (x ) =

1 x

g( x ) = x − 4

h( x ) = x

j( x ) = x 2 + 7

Sabemos que cada una de estas funciones es continua en su dominio (por los Teoremas 5 y 6), de modo que por el Teorema 8, F es continua en su dominio, el cual es

{x ∈ ℝ

}

x 2 + 7 ≠ 4 = {x x ≠ ± 3} = {−∞ , 3} ∪ ( −3, 3 ) ∪ ( 3, ∞ )

Una propiedad importante de las funciones continua la expresa el siguiente teorema, cuya demostración se encuentra en textos de cálculo más avanzados.

9 El Teorema del Valor Intermedio Supóngase que f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y sea N cualquier número entre f ( a) y f (b ) . Entonces existe un número c en (a, b) tal que f ( x ) = N .

El Teorema del Valor Intermedio afirma que una función continua toma todo valor intermedio entre los valores de la función f ( a) y f (b ) . Se ilustra en la Fig. 6. Observe que el valor N puede asumirse una vez [como en la parte (a)] o más de una vez [como en la parte (b)].

Figura 6

70

Si pensamos en una función continua como una función cuya gráfica no tiene huecos o rupturas, entonces es fácil creer que el Teorema del Valor Intermedio es cierto. En términos geométricos, el teorema dice que si se da cualquier recta horizontal y = N entre y = f ( a) y y = f (b ) como en la Fig. 7, entonces la gráfica de f no puede saltar sobre la recta. Debe cortar a y = N en alguna parte. Es importante que la función f en el Teorema 9 sea continua. El Teorema del Valor Intermedio no es válido en general para funciones discontinuas (véase el Ejercicio 36). Una aplicación del Teorema del Valor Intermedio está en la localización de raíces de ecuaciones como en el siguiente ejemplo.

Figura 7

Ejemplo 9 Demuestre que entre 1 y 2 hay una raíz de la ecuación

4 x 3 − 6 x 2 + 3x − 2 = 0 Solución Sea f ( x ) = 4x 3 − 6x 2 + 3x − 2 . Estamos buscando una solución de la ecuación dada, esto es, un número c entre 1 y 2 tal que f (c ) = 0 . Por tanto, tomamos a = 1, b = 2 y N = 0 en el Teorema 9 y tenemos

f (1) = 4 − 6 + 3 − 2 = −1 < 0 y

f (2) = 32 − 24 + 6 − 2 = 12 > 0 Entonces, f (1) < 0 < f (2) ; esto es, N = 0 es un número entre f (1) y f (2) . Ahora bien, f es continua puesto que es un polinomio, y el Teorema del Valor Intermedio dice que existe un número c entre 1 y 2 tal que f (c ) = 0 . En otras palabras, la ecuación 4x 3 − 6 x 2 + 3x − 2 = 0 tiene por lo menos una raíz c en el intervalo (1, 2). De hecho, podemos localizar una raíz con mayor precisión utilizando de nuevo el Teorema del Valor Intermedio. Puesto que

f (1.2) = −0.128 < 0

y

f (1.3) = 0.548 > 0

debe haber una raíz entre 1.2 y 1.3. Una calculadora da, por ensayo y error,

f (1.22) = −0.007008 < 0

y

f (1.23) = 0.056068 > 0

así que hay una raíz en el intervalo (1.22, 1.23). Podemos usar una calculadora con graficadora o computadora para ilustrar el uso del Teorema del Valor Intermedió en el Ejemplo 9. La Fig. 8 muestra la gráfica de f en el rectángulo visor −1, 3] por [−3, 3] y se puede ver que la gráfica cruza el eje x entre 1 y 2. La Fig. 9 muestra el resultado de aumentar el rectángulo visor [1.2, 1.3] por [−0.2, 0.2].

71

Figura 8

Figura 9

1.5 Ejercicios 1.

Escriba una ecuación que exprese el hecho de que una función f es continua en el número 4.

2.

Si f es continua en (−∞, ∞), ¿qué se puede decir sobre su gráfica?

3.

(a) A partir de la gráfica de f, determine los números en los cuales f es discontinua y explique por qué. (b) Para cada uno de los números hallados en la parte (a), determine si f es continua por la derecha, o por la izquierda o por ningún lado.

4.

A partir de la gráfica de g, determine los intervalos en los cuales g es continua.

Ejercicios 5−8: Dibuje la gráfica de una función f que sea continua excepto por la discontinuidad especificada.

5.

Discontinua, pero continua por la derecha en 2.

6.

Discontinua en −1, pero continua por la izquierda en −1 y por la derecha en 4.

7.

Discontinuidad removible en 3, discontinuidad de salto en 5.

8.

No es continua ni por la izquierda ni por la derecha en −2, continua solamente por la izquierda en 2.

72

9.

El peaje T que se paga por recorre un cierto tramo de una autopista es $5, excepto durante horas de mucho tráfico (entre 7 AM y 10 AM y entre 4 PM y 7 PM) cuando el peaje es $7. (c)

Dibuje una gráfica de T como una función del tiempo t, medido en horas después de la medianoche.

(d) Explique las discontinuidades de esta función y su significado a alguien que usa esta autopista.

10. Explique por qué cada una de las funciones siguientes es continua o discontinua. (a) La temperatura en una ubicación específica como una función del tiempo. (b) La temperatura en un momento específico como una función de la distancia hacia el oeste de la ciudad de Nueva York. (c)

La altitud sobre el nivel del mar como una función hacia el oeste de la ciudad de Nueva York.

(d) El costo de una carrera en taxi como una función de la distancia recorrida. (e) La corriente en el circuito para las luces en una habitación como una función del tiempo.

11. Supóngase que f y g son funciones continuas tales que g(2) = 6 y lím x → 2 [ 3 f ( x ) + f ( x ) g( x )] = 36 . Halle f (2) . Ejercicios 12−13: Use la definición de continuidad y las propiedades de los límites para demostrar que la función es continua en el número dado a. 4

12.

f ( x ) = 3x 4 − 5x + 3 x 2 + 4 , a = 2

14.

Use la definición de continuidad y las propiedades de los límites para demostrar que la función

13. f ( x ) = ( x + 3x 3 ) , a = −1

f ( x ) = x 16 − x 2 es continua en el intervalo [−4, 4]. Ejercicios 15−18: Explique por qué la función es discontinua en el punto dado a. Dibuje la gráfica de la función.

15.

f (x ) =

1 x+2

 1  16. f ( x ) =  x + 2  1

a = −2

 1 − x 2 17. f ( x ) =   1

si x < 1 si x ≥ 1

a=1

 x2 − x  18. f ( x ) =  x 2 − 1 1 

si x ≠ −2

a = −2

si x = −2 si x ≠ 1

a=1

si x = 1

Ejercicios 19−24: Explique, usando los Teoremas 4, 5, 6 y 8, por qué la función es continua en todo punto de su dominio. Determine el dominio.

19. F( x ) =

2x2 − x − 1 2

x +1

22. B( x ) =

tan x 4−x

2

20. G( x ) =

x2 + 1 2

2x − x − 1

23. M ( x ) = 1 +

1 x

21. Q( x ) =

3

x−2 3

x −2

24. F( x ) = sen ( cos ( sen x ) )

Ejercicios25−26: Localice las discontinuidades de la función e ilustre mediante una gráfica.

25. y =

1 1 + sen x

26. y = tan x

Ejercicios 27−28: Use continuidad para evaluar el límite.

27. lím

x→4

5+ x 5+x

28. lím sen ( x + sen x ) x →π

Ejercicios 29−30: Demuestre que f es continua en (−∞, ∞).

73

2  x 29. f ( x ) =   x

31.

si x < 1 si x ≥ 1

 sen x 30. f ( x ) =   cos x

si x < π 4 si x ≥ π 4

Halle los números para los cuales la función

x+2  f (x ) =  2x 2 2−x 

si x < 0 si 0 ≤ x ≤ 1 si x > 1

es discontinua. ¿En cuáles de esos puntos es f continua por la derecha, por la izquierda o por ninguno de los lados? Dibuje la gráfica de f.

32.

La fuerza gravitacional ejercida por la tierra sobre una masa unitaria a una distancia r del centro del planeta es  GMr si r < R  3 F( r ) =  R  GM si r ≥ R  r donde M es la masa de la tierra, R es su radio y G es la constante gravitacional. ¿Es F una función continua de r?

33.

¿Para qué valor de la constante c es la función f continua en (−∞, ∞)? 2  cx + 2 x si x < 2 f (x ) =  2  x − cx si x ≥ 2

34.

Halle los valores de a y b que hacen a f continua en todas partes.

 x 2 − 4  si x < 2    x − 2   f ( x ) =  ax 2 − bx + 3 si 2 ≤ x < 3  2x − a + b si x ≥ 3  35.

¿Cuál (o cuáles) de las funciones f siguientes tiene una discontinuidad removible en a? Si la discontinuidad es removible, halle una función g que coincida con f para x ≠ a y sea continua en a. (a) f ( x ) =

x4 − 1 , a=1 x−1

(b) f ( x ) =

x3 − x2 − 2x , a=2 x−2

(c) f ( x ) =  sen x  , a = π

36.

Supóngase que una función f es continua en [0, 1] excepto en 0.25 y que f (0) = 1 y f (1) = 3 . Sea N = 2. Dibuje dos gráficas posibles de f, una que muestre que f podría no satisfacer la conclusión del Teorema del Valor Intermedio y otra que muestre que f todavía podría satisfacer la conclusión del Teorema del Valor Intermedio (aunque no satisfaga la hipótesis).

37.

Si f ( x ) = x 2 + 10 sen x , demuestre que existe un número c tal que f (c ) = 1000 .

38.

Supóngase que f es continua en [0, 5] y que las únicas soluciones de la ecuación f ( x ) = 6 son x = 1 y x = 4. Si

f (2) = 8 , explique por qué f (3) > 6 . Ejercicios 39−42: Use el Teorema del Valor Intermedio para demostrar que existe una raíz de la ecuación dada en el intervalo especificado.

x 4 + x − 3 = 0,

(1, 2)

42. sen x = x 2 − x ,

(1, 2)

39.

40.

3

x = 1 − x,

(0, 1)

41. cos x = x ,

(0, 1)

74

Ejercicios 43−44: (a) Demuestre que la ecuación tiene por lo menos una raíz real. (b) Use su calculadora para hallar un intervalo de longitud 0.01 que contenga una raíz.

43. cos x = x 3

44. x 3 − x 2 + 2 x + 3 = 0

Ejercicios 45−46: (a) Demuestre que la ecuación tiene por lo menos una raíz real. (b) Use un dispositivo de graficar para hallar la raíz correcta hasta tres cifras decimales.

45. x 5 − x 2 − 4 = 0

46.

x−5 =

1 x+3

47. ¿Existe un número que sea exactamente igual a su cubo mas 1? 48.

Si a y b son números positivos, demuestre que la ecuación

a 3

2

x + 2x − 1

+

b 2

x +x−2

=0

tiene por lo menos una solución en el intervalo (−1, 1).

49.

Demuestre que la función

 x 4 sen ( 1 x ) si x ≠ 0 f (x ) =  si x = 0  0 es continua en (−∞, ∞)-

50.

(a) Demuestre que la función valor absoluto F( x ) = x es continua en todas partes. (b) Demuestre que si f es una función continua en un intervalo, entonces f

también lo es.

(c) ¿Es también cierto lo inverso de la afirmación en la parte (b)? En otras palabras, si

f

es continua, ¿se

concluye que f es continua? Si lo es, demuéstrelo. Si no lo es, halle un ejemplo de lo contrario.

51.

Un monje tibetano sale del monasterio a la 7:00 AM y toma su trayectoria usual hacia la cima de la montaña, llegando a las 7:00 PM. La mañana siguiente, sale a las 7:00 AM de la cima y toma el mismo camino de regreso, llegando al monasterio a las 7:00 PM. Use el Teorema del Valor Intermedio para demostrar que existe un punto en el camino por el cual el monje pasará a exactamente la misma oradle día en ambos días.

1.6 Límites que Involucran Infinito En esta sección investigamos la conducta global de funciones y, en particular, si sus gráficas se acercan a asíntotas, verticales u horizontales.

Límites Infinitos En el Ejemplo 8 en la Sección 1.3 se concluyó que

lím

x →0

1 x2

no existe

por observación, de la tabla de valores y la gráfica de y = 1 x 2 , que los valores de 1 x 2 se podían hacer arbitrariamente grandes si se tomaba x lo suficientemente cerca de 0. Así pues, los valores de f ( x ) no se acercan a un número, de modo que lím x → 0 ( 1 x 2 ) no existe. Para indicar este tipo de comportamiento, usamos la notación

75

lím

x →0

1 x2

=∞

Figura 1

Esto no significa que estamos considerando a ∞ como un número, ni tampoco significa que el límite existe. Simplemente expresa la forma particular en que el límite no existe: 1 x 2 puede hacerse tan grande como queramos tomando a x lo suficientemente cerca de 0. En general, escribimos simbólicamente

lím f ( x ) = ∞ x→a

para indicar que los valores de f ( x ) se tornan más y más grandes (o “crecen sin límite”) conforme x tiende a a.

1 Definición Sea f una función definida en ambos lados de s, excepto posiblemente en a. La notación

lím f ( x ) = ∞ x→a

significa que los valores de f ( x ) pueden hacerse arbitrariamente grandes (tan grandes como queramos) si se toma x lo suficientemente cerca de a (a cada lado de a) pero no igual a a.

Otra notación para lím x → a f ( x ) = ∞ es

f (x ) → ∞

conforme

x→a

Una vez más, el símbolo ∞ no es un número, pero la expresión lím x → a f ( x ) = ∞ con frecuencia se lee como “el límite de f ( x ) , conforme x tiende a a, es infinito” o “ f ( x ) se vuelve infinita conforme x tiende a a” o “ f ( x ) crece sin límite conforme x tiende a a” Esta definición se ilustra gráficamente en la Fig. 2. En forma similar, como se muestra en la Fig. 3,

lím f ( x ) = −∞ x→a

significa que los valores de f ( x ) son tan grandes negativos como queramos para todos los valores de x que estén lo suficientemente cerca de a, pero no iguales a a.

76

Figura 2 lím f ( x ) = ∞

Figura 3 lím f ( x ) = −∞

x→a

x→a

El símbolo lím x → a f ( x ) = −∞ puede leerse como “el límite de f ( x ) , conforme x tiende a a, es menos infinito” o “ f ( x ) disminuye sin límite conforme x tiende a a”. Como un ejemplo tenemos

 1 lím  − 2 x→a  x

  = −∞ 

Se pueden dar definiciones similares para los límites infinitos unilaterales:

lím f ( x ) = ∞

lím f ( x ) = ∞

x → a−

x → a+

lím f ( x ) = −∞

x → a−

lím f ( x ) = −∞

x → a+

recordando que " x → a − " significa que sólo consideramos valores de x que son menores que a, y similarmente

" x → a + " significa que sólo consideramos x > a. En la Fig. 4 se dan ilustraciones de estos cuatro casos.

Figura 4

2 Definición La recta x = a se denomina una asíntota vertical de la curva y = f ( x ) si por lo menos una de las siguientes afirmaciones es cierta:

lím f ( x ) = ∞ x→a

lím f ( x ) = −∞ x→a

lím f ( x ) = ∞

x → a−

lím f ( x ) = −∞

x → a−

lím f ( x ) = ∞

x → a+

lím f ( x ) = −∞

x → a+

Por ejemplo, el eje y es una asíntota vertical de la curva y = 1 x 2 porque lím x → 0 ( 1 x 2 ) = ∞ .

Ejemplo 1 Hallar lím+ x→3

2x 2x y lím− . x − 3 x→3 x − 3

77

Solución Si x está cerca de 3 pero es mayor que 3, entonces el denominador x − 3 es un número positivo pequeño y 2x está cerca de 6. Por tanto, el cociente 2 x ( x − 3 ) es un número positivo grande. Así, intuitivamente, vemos que 2x lím =∞ x → 3+ x − 3 En la misma forma, si x está cerca de 3 pero es menor que 3, entonces x − 3 es un pequeño número negativo pero 2x es todavía un número positivo (cerca e 6). De modo que 2 x ( x − 3 ) es un número negativo numéricamente grande. Por tanto, 2x lím = −∞ x → 3− x − 3 La gráfica de la curva y = 2 x ( x − 3 ) se da en la Fig. 5. La recta x = 3 es una asíntota vertical.

Figura 5

Ejemplo 3 Hallar las asíntotas verticales de f ( x ) = tan x . Solución Como

tan x =

sen x cos x −

hay asíntotas verticales potenciales donde cos x = 0 . De hecho, puesto que cos x → 0+ conforme x → ( π 2 ) y +

cos x → 0− cuando x → ( π 2 ) , en tanto que sen x es positivo (y no está cerca de 0) cuando x está cerca de π/2, tenemos

lím − tan x = ∞

x →( π 2 )

y

lím + tan x = −∞

x →( π 2 )

Esto muestra que la recta x = π 2 es una asíntota vertical. Un razonamiento similar muestra que las rectas x = ( 2 n + 1 ) π 2 , donde n es un entero, so todas asíntotas verticales de f ( x ) = tan x . La gráfica en la Fig. 6 confirma esto.

Figura 6 y = tan x

78

Límites en Infinito Al calcular límites infinitos, permitimos que x se acercara a un número y el resultado fue que los valores de y se volvían arbitrariamente grandes (positivos o negativos). Aquí permitimos que x se vuelva arbitrariamente grande (positiva o negativa) y vemos qué le sucede a y. Comencemos por investigar la conducta de la función f definida por

f (x ) =

x2 − 1 x2 + 1

conforme x se hace grande. La tabla siguiente da valores de esta función correctos hasta seis cifras decimales, y la gráfica de f se dibujó con una computadora en la Fig. 7.

Figura 7

Conforme x crece más y más, se puede ver que los valores de f ( x ) se acercan más y más a 1. De hecho, parece que podemos hacer que los valores de f ( x ) se acerquen a 1 tanto como queramos, si tomamos a x lo suficientemente grande. Esta situación se expresa simbólicamente escribiendo

lím =

x→∞

x2 − 1 x2 + 1

=1

En general se usa la notación

lím f ( x ) = L

x→∞

para indicar que los valores de f ( x ) se acercan a L conforme x se hace más y más grande.

3 Definición Sea f una función definida en algún intervalo (a, ∞). Entonces

lím f ( x ) = L

x→∞

significa que los valores de f ( x ) pueden hacerse tan cercanos a L como se quiera si se toma x lo suficientemente grande.

Otra notación para lím x →∞ f ( x ) = L es

f ( x ) → L conforme x → ∞ El símbolo ∞ no representa un número. No obstante, la expresión lím x →∞ f ( x ) = L con frecuencia se lee como

79

“el límite de f ( x ) , conforme x tiende a infinito, es L” o “el límite de f ( x ) , conforme x se vuelve infinita, es L” o “el límite de f ( x ) , conforme x crece sin límite, es L” El significado de estas frases lo da la Definición 3. Una definición más precisa, semejante a la definición ε, δ de la Sección 1.3, se da al final de esta sección. En la Fig. 8 se muestran ilustraciones geométricas de la Definición 3. Observe que existen muchas formas en las que la gráfica de f se acerca a la recta y = L (la cual se denomina una asíntota horizontal) conforme miramos hacia el extremo derecho de cada gráfica.

Figura 8 Ejemplos que ilustran lím x → ∞ f ( x ) = L .

Refiriéndonos de nuevo a la Fig. 7, vemos que para valores negativos numéricamente grandes de x, los valores de f ( x ) están cerca de 1. Permitiendo que x disminuya a través de valores negativos sin límite, podemos hacer que f ( x ) se acerque a 1 tanto como queramos. Esto se expresa escribiendo

lím

x →−∞

x2 − 1 x2 + 1

=1

En general, como muestra la Fig. 9, la notación

lím f ( x ) = L

x →−∞

significa que los valores de f ( x ) pueden hacerse arbitrariamente cercanos a L si se toma x negativa lo suficientemente grande. Una vez más, el símbolo −∞ no representa un número, pero la expresión lím x →−∞ f ( x ) = L con frecuencia se lee “el límite de f ( x ) , conforme x tiende a menos infinito, es L”

Figura 9 Ejemplos que ilustran lím x → −∞ f ( x ) = L .

80

4 Definición La recta y = L se denomina una asíntota horizontal de la curva y = f ( x ) si ya sea

lím f ( x ) = L

o

x→∞

lím f ( x ) = L

x → −∞

Por ejemplo,, la curva ilustrada en la Fig. 7 tiene la recta y = 1 como una asíntota horizontal porque

lím

x →∞

x2 − 1 x2 + 1

=1

La curva y = f ( x ) dibujada en la Fig. 10 tiene a y = −1 y y = 2 como asíntotas horizontales porque

lím f ( x ) = −1

y

x→∞

lím f ( x ) = 2

x → −∞

Figura 10

Ejemplo 3 Hallar los límites infinitos, límites en infinito y asíntotas para la función f cuya gráfica se muestra en la Fig. 11.

Figura 11

Solución Vemos que los valores de f ( x ) se vuelven grandes conforme x → −1 por ambos lados, de modo que

lím f ( x ) = ∞

x →− 1

Observe que f ( x ) se hace grande negativa conforme x tiende a 2 por la izquierda, pero grande positiva conforme x tiende a 2 por la derecha. Por tanto,

lím f ( x ) = −∞

x → 2−

y

Así que ambas rectas x = −1 y x = 2 son asíntotas verticales.

lím f ( x ) = ∞

x → 2+

81

Conforme x crece, parece que f ( x ) tiende a 4. Pero conforme x decrece a través de valores negativos, f ( x ) tiende a 2. Por tanto,

lím f ( x ) = 4

y

x →∞

lím f ( x ) = 2

x →−∞

Esto significa que tanto y = 4 como y = 2 son asíntotas horizontales.

Ejemplo 4 Hallar lím

x →∞

1 1 y lím . x →−∞ x x

Solución Observe que cuando x es grande, 1/x es pequeña. Por ejemplo,

1 = 0.01, 100

1 = 0.0001, 10 000

1 = 0.000001 1 000 000

De hecho, si se toma x lo suficientemente grande, podemos hacer que 1/x se acerque a 0 tanto como queramos. Por tanto, de acuerdo con la definición 3, tenemos

lím

x →∞

1 =0 x

Un razonamiento similar muestra que cuando x es grande negativa, 1/x es pequeña negativa, de modo que también se tiene que

1 =0 x →−∞ x lím

Se deduce que la recta y = 0 (el eje x) es una asíntota horizontal de la curva y = 1 x (ésta es una hipérbola equilátera; véase la Fig. 12).

Figura 12 lím

x →∞

1 1 = 0 y lím = 0 . x → −∞ x x

La mayoría de las Leyes de Límites que se dieron en la Sección 1.4 también se cumplen para límites en infinito. Se puede demostrar que las Leyes de Límites dadas en la Sección 1.4 (con la excepción de las Leyes 9 y 10) también son válidas si “x → a” se remplaza por “x → ∞” o “x → −∞”. En particular, si combinamos la Ley 6 con los resultados del Ejemplo 4, se obtiene la importante regla siguiente para calcular límites.

5 Si n es un entero positivo, entonces

lím

x →∞

1 xn

= 0,

lím

x →− ∞

1 xn

=0

82

Ejemplo 5 Evaluar

lím

x →∞

3x 2 − x − 2 5x 2 + 4 x + 1

Solución Conforme x se hace grande, también lo hacen el numerador y el denominador, de manera que no es obvio lo que le sucede a su cociente. Necesitamos hacer primero algo de álgebra. Para evaluar el límite en infinito de cualquier función racional, primero dividimos tanto el numerador como el denominador por la potencia más alta de x que ocurra en el denominador (podemos suponer que x ≠ 0, ya que sólo estamos interesados en valores grandes de x). En este caso, la potencia más alta de x es x 2 y, por tanto, usando las Leyes de Límites, tenemos

3x 2 − x − 2 1 2 3− − 2 2 3x − x − 2 x x = lím 2 x = lím lím 4 1 x →∞ 5x 2 + 4 x + 1 x →∞ 5x + 4 x + 1 x →∞ 5+ + 2 x x x2 1 2   lím  3 − − 2  x →∞  x x  = 4 1   lím  5 + + 2  x →∞  x x  1 1 lím 3 − lím − 2 lím 2 x →∞ x →∞ x x →∞ x = 1 1 lím 5 + 4 lím + lím 2 x →∞ x →∞ x x →∞ x 3−0−0 = 5+0+0 3 = 5 2

Un cálculo similar muestra que el límite conforme x → ∞ también es

3 5

.

Figura 13 Ilustración de cómo la gráfica de la función racional tiende a la asíntota horizontal y = 5 3 .

Ejemplo 6 Hallar las asíntotas horizontales y verticales de la gráfica de la función

f (x ) =

2x2 + 1 3x − 3

83

Solución Dividiendo el numerador y el denominador por x y usando las propiedades de los límites, se obtiene

1 2+ 2 2x2 + 1 x lím = = lím 5 x→∞ x→∞ 3x − 3 3− x 1 1 lím 2 + lím 2 lím 2 + 2 x→∞ x x→∞ 2+0 2 x = x→∞ = = = 1 5 3 − 5 ⋅ 0 3  lím 3 − 5 lím lím  3 −  x→∞ x→∞ x x → ∞ x Por tanto, la recta y = 2 3 es una asíntota horizontal de la gráfica de f. Para calcular el límite cuando x → −∞, debemos recordar que para x < 0, tenemos

x 2 = x = −x . Por tanto,

cuando dividimos el numerador por x, para x < 0 obtenemos

1 1 2x2 + 1 = − x x2

2x2 + 1 = − 2 +

1 x2

Entonces,

2x2 + 1 lím = = lím x → −∞ x → −∞ 3x − 3

1 1 − 2 + lím 2 2 x → ∞ 2 x x == =− 5 1 3 3− 3 − 5 lím x→∞ x x

− 2+

y se obtiene que la recta y = − 2 3 también es una asíntota horizontal. Es posible que ocurra una asíntota vertical cuando el denominador 3x − 5 sea 0, esto es, cuando x = cerca de

5 3

y x>

5 3

, entonces el denominador está cerca de 0 y 3x − 5 es positivo. El numerador

5 3

. Si x está

2 x 2 + 1 es

siempre positivo. Por tanto,

lím

x → ( 5 3)

Si x está cerca de

5 3

pero x <

5 3

, entonces 3x − 5 < 0 y por tanto f ( x ) es negativa, numéricamente grande y

lím

x → ( 5 3)

La asíntota vertical es x =

Ejemplo 7 Calcular lím

x →∞

(

5 3

+

2x2 + 1 =∞ 3x − 3

2x2 + 1 = −∞ 3x − 3

−

. En la Fig. 14 se muestran todas las tres asíntotas.

)

x2 + 1 − x .

Solución Puesto que tanto x 2 + 1 y x son grandes cuando x es grande, es difícil ver lo que sucede con su diferencia, de modo que usamos álgebra para reescribir la función. Primero multiplicamos el numerador y el denominador por el radical conjugado:

lím

x →∞

(

)

x 2 + 1 − x = lím

x →∞

= lím

x →∞

(

x2 + 1 − x

( x2 + 1) − x2 2

x +1+x

)

x2 + 1 + x x2 + 1 + x = lím

x →∞

1 2

x +1+x

84

Figura 14

Observe que denominador de esta expresión, x). Por tanto,

lím

x →∞

(

(

)

x 2 + 1 + x , se hace grande conforme x → ∞ (es más grande que

)

x 2 + 1 − x = lím

x →∞

1 x2 + 1 + x

=0

La Fig. 15 ilustra este resultado.

Figura 15

Ejemplo 8 Evaluar lím

x →∞

sen x . x

Solución Si hacemos t = 1 x , entonces t → 0+ conforme t → ∞. Por tanto,

sen x = lím+ sen t = 0 x →∞ x t →0 lím

(Véase el Ejercicio 59.)

Ejemplo 8 Evaluar lím sen x . x →∞

Solución Conforme x crece, los valores de sen x oscilan entre 1 y −1 un número infinito de veces. Por tanto, lím sen x no existe. x →∞

Límites Infinitos en Infinito La notación

lím f ( x ) = ∞

x →∞

se usa para indicar que los valores de f ( x ) se vuelven grandes conforme x se hace grande. Se dan significados similares a los símbolos siguientes:

85

lím f ( x ) = ∞ ,

lím f ( x ) = −∞ ,

x →−∞

lím f ( x ) = −∞

x →∞

x → −∞

Ejemplo 10 Hallar lím x 3 y lím x 3 . x →∞

x →−∞

Solución Cuando x se torna grande, x 3 también se hace grande. Por ejemplo

10 3 = 1 000,

100 3 = 1 000 000,

1000 3 = 1 000 000 000

De hecho, podemos hacer que x 3 sea tan grande como queramos si se toma x lo suficientemente grande. Por tanto, podemos escribir

lím x 3 = ∞

x →∞

En forma similar, cuando x es grande negativa, x 3 también lo es. Por tanto,

lím x 3 = −∞

x →−∞

Estas expresiones para los límites también pueden verse en la gráfica de y = x 3 en la Fig. 16.

Figura 16

Ejemplo 11 Hallar lím ( x 2 − x ) . x →−∞

Solución Se cometería un error si escribimos

lím ( x 2 − x ) = lím x 2 − lím x = ∞ − ∞

x →−∞

x →−∞

x →−∞

No se pueden aplicar las Leyes de Límites a límites infinitos porque ∞ no es un número (∞ − ∞ no puede definirse). Sin embargo, podemos escribir

lím ( x 2 − x ) = lím x ( x − 1 ) = ∞

x →−∞

x → −∞

porque tanto x como x − 1 se vuelven arbitrariamente grandes.

x2 + x . x →−∞ 3 − x

Ejemplo 12 Hallar lím

Solución Se divide el numerador y el denominador por x (la potencia más alta de x que ocurre en el denominador):

86

x2 + x x+1 = lím = −∞ x →−∞ 3 − x x →−∞ 3 −1 x lím

ya que x + 1 → ∞ y 3 x − 1 → −1 conforme x → ∞.

Definiciones Precisas La siguiente es una definición precisa de la Definición 1.

6 Definición Sea f una función definida en algún intervalo abierto que contiene al número a, excepto posiblemente a la propia a. Entonces lím f ( x ) = ∞ x→a

significa que para todo número positivo M existe un número positivo δ tal que

si 0 < x − a < δ entonces f ( x ) > M

Esto dice que los valores de f ( x ) pueden hacerse arbitrariamente grandes (más grandes que cualquier número dado M) si se toma x lo suficientemente cerca de a (dentro de una distancia δ donde δ depende de M, pero con x ≠ a ). En la Fig. 17 se muestra una ilustración geométrica.

Figura 17

Dada cualquier recta horizontal y = M, podemos encontrar un número δ > 0 tal que si restringimos x a estar en el intervalo ( a − δ , a + δ ) pero x ≠ a, entonces la curva y = f ( x ) está por encima de la recta y = M. Se puede ver que si se escoge una M más grande, entonces se requerirá una δ más pequeña.

Ejemplo 13 Use la Definición 6 para demostrar que lím

x →0

1 x2

=∞.

Solución Sea M un número positivo dado. De acuerdo con la Definición 6, necesitamos hallar un número δ tal que 1 1 si 0 < x < δ entonces > M , esto es x 2 < 2 M x Pero x 2 < 1 M ⇔

x <1

M . Podemos escoger δ = 1 si 0 < x < δ =

Por tanto, por la Definición 6,

1 M

M porque

entonces

1 x

2

>

1 δ2

=M

87

lím

x→0

1 x2

=∞

En forma similar, lím x → a f ( x ) = −∞ significa que para todo número negativo N existe un número positivo δ tal que si 0 < x − a < δ , entonces f ( x ) < N . La Definición 3 puede expresarse con precisión en la forma siguiente:

7 Definición Sea f una función definida en algún intervalo (a, ∞). Entonces

lím f ( x ) = L

x→∞

significa que para todo ε > 0, existe un número correspondiente N tal que

si

x>N

entonces

f (x ) − L < ε

En palabras, esto dice que los valores de f ( x ) puede hacerse arbitrariamente cerca de L (dentro de una distancia ε, donde ε es cualquier número positivo) si se toma x suficientemente grande (más grande que N, donde N depende de ε). Gráficamente dice que si se escoge x lo suficientemente grande (más grande que algún número N) podemos hacer que la gráfica de f esté entre las líneas horizontales y = L − ε y y = L + ε , como en la Fig. 18. Esto debe cumplirse indiferentemente de lo pequeño que se escoja ε.

f(x) está aquí

cuando x está aquí

Figura 18 lím f ( x ) = L . x→∞

La Fig. 19 muestra que si se escoge un valor menor de x, entonces se puede requerir un valor más grande de N. En forma similar, lím x → −∞ f ( x ) = L significa que para todo ε > 0 existe un número correspondiente N tal que si x < N , entonces f ( x ) − L < ε .

Figura 19 lím f ( x ) = L x→∞

88

1 =0. x→∞ x

Ejemplo 14 Use la Definición 7 para demostrar que lím Solución Dado ε > 0, queremos hallar N tal que

si

x>N

entonces

1 −0 < ε x

Para calcular el límite se puede suponer que x > 0. Entonces 1 x < ε ⇔ x > 1 ε . Escojamos N = 1 ε . Entonces

si

x>N=

1 ε

entonces

1 1 −0 = < ε x x

Por tanto, por la Definición 7,

1 =0 x→∞ x lím

La Fig. 20 ilustra la demostración mostrando algunos valores de ε y los valores correspondientes de N.

Figura 20

Finalmente notamos que se puede definir un límite infinito en infinito en la forma siguiente. La ilustración geométrica se da en la Fig. 21.

Figura 21

8 Definición Sea f una función definida en algún intervalo (a, ∞). Entonces

lím f ( x ) = ∞

x→∞

significa que para todo número positivo M existe un número positivo correspondiente M tal que

si

x>N

entonces f ( x ) > M

89

Se aplican definiciones similares cuando el símbolo ∞ es reemplazado por −∞.

1.6 Ejercicios 1.

Para la función f cuya gráfica se da, establezca lo siguiente: (a) lím f ( x )

(b) lím f ( x )

x →∞

(c) lím f ( x ) x →1

x →−∞

(d) lím f ( x ) x →3

(e) La ecuación de las asíntotas.

2.

Para la función cuya gráfica se da, establezca lo siguiente: (a) lím g( x )

(b) lím g( x )

(e) lím+ g( x )

(f) la ecuación de las asíntotas

x →∞

(c) lím g( x ) x →0

x →−∞

x→2

(d) lím− g( x ) x→2

Ejercicios 3−8: Dibuje la gráfica de un ejemplo de una función f que satisfaga las condiciones dadas.

3.

lím f ( x ) = −∞ ,

4.

lím f ( x ) = 0,

lím f ( x ) = 5,

x→0

x →−∞

lím f ( x ) = ∞ ,

x→2

x →−2 +

lím f ( x ) = 0,

x →−∞

5.

lím f ( x ) = −∞ , x→2

lím f ( x ) = ∞ ,

x →0+

6. 7.

lím f ( x ) = 3,

x→3

lím f ( x ) = −∞

lím f ( x ) = 4,

lím f ( x ) = −∞ ,

lím f ( x ) = 0,

x →−∞

x →0 −

x →0 −

lím f ( x ) = −∞ ,

8.

lím f ( x ) = ∞ ,

x →∞

lím f ( x ) = ∞ ,

x →−∞

lím f ( x ) = −∞ ,

x →−2 −

f (0) = 0

x →∞

x→2−

x →∞

f (0) = 3,

lím f ( x ) = 0,

lím f ( x ) = −5

x →∞

f es impar

lím f ( x ) = 2,

x →0+

lím f ( x ) = −∞ ,

x→4−

lím f ( x ) = 2,

x →∞

lím f ( x ) = −∞ ,

x →2+

lím f ( x ) = ∞ ,

x → 4+

f (0) = 0,

f es par

lím f ( x ) = 3

x →∞

90

9.

Estime el valor del límite

x2

lím

2x

x→∞

evaluando la función f ( x ) = x 2 2 x para x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 50 y 100.. Después use una gráfica de f para soportar su estimado.

10. Determine lím− x→1

1 3

x −1

y lím+ x→1

1 3

x −1

(a) evaluando f ( x ) = 1 ( x 3 − 1) para valores de x que tiende a 1 por la izquierda y por la derecha. (b) razonando como en el Ejemplo 1, y (c)

a partir de una gráfica de f.

11. Use una gráfica para estimar todas las asíntotas horizontales y verticales de la curva

y=

x3 x3 − 2x + 1

12. (a) Use una gráfica de

2  f (x ) =  1 −  x 

x

para estimar el valor de lím x →∞ f ( x ) correcto hasta dos cifras decimales. (b) Use una tabla de valores de f ( x ) para estimar el límite hasta cuatro cifras decimales. Ejercicios 13−33: Hallar el límite.

13.

17.

lím

x →− 3+

27. 31.

14.

18.

lím − x csc x

x →2π

21. lím 25.

x+2 x+3

t + t2

t →∞

2t − t 2

lím

(

x →∞

lím

x →∞

9 x 2 + x − 3x

lím

x →− 3−

)

x 4 − 3x 2 + x x3 − x + 2

lím ( x − x )

x →∞

26. 28. 32.

x → 1 ( x − 1 )2

x 2 − 4x + 4

x→2

t+t t

t →∞

2t 3 2 + 3t − 5

lím

(

x →∞

lím

x →∞

2−x

15. lím

x2 − 2x

lím−

22. lím

x+2 x+3

x 2 + ax − x 2 + bx

sen 2 x

3x − 2 x →∞ 2 x + 1

20.

23.

( 2 x 2 + 1 )2 lím x →∞ ( x − 1 ) 2 ( x 2 + x )

24. lím

lím

lím ( x 2 − x 4 )

lím

x →∞

x →∞

1 − x2 x3 − x + 1 x2 x4 + 1

) x →∞

33.

x →∞

lím cot x

x →π−

19.

29. lím cos x

x3

16.

30. lím

x →−∞

1 + x6 x4 + 1

lím ( x 4 + x 5 )

x →−∞

34. (a) Grafique la función

2x2 + 1 3x − 5

f (x ) =

¿Cuántas asíntotas horizontales y verticales se observan? Use la gráfica para estimar los valores de los límites

lím

x →∞

2x2 + 1 3x − 5

y

lím

x →−∞

2x2 + 1 3x − 5

91

(b) Calculando valores de f ( x ) , dé estimados numéricos de los límites en la parte (a). (c)

Calcular los valores exactos de los límite en la parte (a). ¿Obtuvo el mismo valor o valores diferentes para estos dos límites? En vista de su respuesta a la parte (a), podría tener que verificar su cálculo para el segundo límite.

Problemas 35−36: Hallar las asíntotas horizontales y verticales de cada curva. Verifique su trabajo graficando la curva y estimando las asíntotas.

35. y =

2x2 + x − 1 2

x +x−2

36. F( x ) =

x−9 2

4 x + 3x + 2

37. (a) Estime el valor de

lím

(

x →−∞

x2 + x + 1 + x

)

graficando la función f ( x ) = x 2 + x + 1 + x . (b) Use una tabla de valores de f ( x ) para estimar el valor del límite. (c)

39.

Demuestre que su estimado es correcto.

(a) Use una gráfica de

f ( x ) = 3x 2 + 8x + 6 − 3x 2 + 3x + 1 para estimar el valor de lím x →∞ f ( x ) hasta una cifra decimal. (b) Use una tabla de valores de f ( x ) para estimar el límite hasta cuatro cifras decimales. (c)

40.

Halle el valor exacto del límite.

Estime la asíntota horizontal de la función

f (x ) =

3x 3 + 500 x 2 x 3 + 500 x 2 + 100 x + 2000

graficando f para −10 ≤ x ≤ 10 . Después, calcule la ecuación de la asíntota evaluando el límite. ¿Cómo explica la discrepancia?

41.

Hallar una fórmula para una función que tenga las asíntotas verticales x = 1 y x = 3 y la asíntota horizontal y=1.

42.

Halle una fórmula para una función f que satisfaga las condiciones siguientes:

lím f ( x ) = 0,

x →±∞

lím f ( x ) = ∞ ,

x → 3−

43.

x →∞

lím f ( x ) = −∞

x → 3+

1 x

(b)

lím x sen

x →∞

1 x

Una función f es una razón entre funciones cuadráticas y tiene una asíntota vertical x = 4 y sólo una intersección con el eje x, x = 1. Se sabe que f tiene una discontinuidad removible en x = −1 y que lím x →−1 f ( x ) = 2 . Evaluar (a) f (0)

45.

f (2) = 0,

Evaluar los límites, (a) lím x sen

44.

lím f ( x ) = −∞ ,

x →0

(b)

lím f ( x )

x →∞

Por la conducta extrema de una función se entiende la conducta de sus valores conforme x → ∞ o x → −∞.

92

(a) Describa y compare la conducta extrema de las funciones

P( x ) = 3x 5 − 5x 3 + 2 x ,

Q( x ) = 3x 5

graficando ambas funciones en los visores rectangulares [−2, 2] por [−2, 2] y [-10, 10] por [ −10 000, 10 000] . (b) Se dice que dos funciones tienen la misma conducta terminal si sus razones tienden a 1 conforme x → ∞. Demuestre que P y Q tienen la misma conducta terminal.

46.

Sean P y Q polinomios. Hallar

lím

P( x )

x →∞ Q( x )

si el grado de P es (a) menor que el grado de Q y (b) mayor que el grado de Q.

47.

Haga un dibujo aproximado de la curva y = x n (n un entero) para los cinco casos siguientes: (i) n = 0

(ii) n > 0, n impar

(iii) n > 0, n par

(iv) n < 0, n impar

(v) n < 0, n par

Después, use estos dibujos para hallar los límites siguientes: (a) lím+ x n x →0

48.

(b) lím− x n

(c) lím x n

x →0

(d) lím x n

x →∞

x →−∞

Hallar lím x →∞ f ( x ) si, para toda x > 5

4x − 1 4 x 2 + 3x < f (x ) < x x2 49.

En la teoría de la relatividad, la masa de una partícula con velocidad v es

m0

m=

1 − v2 c 2

donde m0 es la masa de la partícula en reposo y c es la velocidad de la luz. ¿Qué sucede conforme v → c − ?

50.

(a) Un tanque contiene 5000 L de agua pura. Al tanque se le agrega una salmuera que contiene 30 g de sal por litro de agua con una tasa de 25 L/min. Demuestre que la concentración de sal t minutos después (en gramos por litro) es 30t C (t ) = 200 + t (b) ¿Qué le sucede a la concentración conforme t → ∞?

51.

(a) Demuestre que lím

x →∞

4 x 2 − 5x 2x2 + 1

=2.

(b) Graficando la función en la parte (a) y la recta y = 1.9 en ejes comunes, halle un número N tal que

si

entonces

x>N

4 x 2 − 5x 2x2 + 1

¿Qué sucede si 1.9 se cambia por 1.99?

52.

¿A qué distancia de −3 tenemos que tomar x de manera que

1

( x + 3 )4 53.

Usando la Definición 6, demuestre que lím

> 10 000 ?

1

x →− 3 ( x + 3 ) 4

=∞.

> 1.9

93

54.

Demuestre que lím −

55.

Para el límite

x →− 1

5

( x + 1 )3

= −∞ .

lím

x →∞

4x 2 + 1 =2 x+1

ilustre la Definición 7 hallando valores de N que correspondan a ε = 0.5 y ε = 0.1.

56.

Use una gráfica para hallar un número N tal que

si 57.

x>N

3x 2 + 1

entonces

2x2 + x + 1

− 1.5 < 0.05

Para el límite

lím

2x + 1

x →∞

x+1

=∞

ilustre la Definición 1 hallando un valor de N que corresponda a M = 100.

58.

(a) ¿De qué tamaño tenemos que tomar x para que 1 x 2 < 0.0001? (b) Tomando n = 2 en [5], obtenemos la expresión

lím

x →∞

1 x2

=∞

Demuestre esto directamente usando la Definición 7.

59.

Usando la Definición 8, demuestre que lím x →∞ x 2 = ∞ .

60.

Demuestre que

lím f ( x ) = lím+ f ( 1 t )

x →∞

t →0

y

lím f ( x ) = lím− f ( 1 t )

x →−∞

si estos límites existen.

t →0

94

2 DERIVADAS En este capítulo estudiamos un tipo especial de límite, denominado una derivada, que ocurre cuando queremos hallar una pendiente de una recta tangente o una velocidad o cualquier tasa de cambio instantánea.

2.1

DERIVADAS Y TASAS DE CAMBIO

El problema de hallar la recta tangente a una curva y el problema de hallar la velocidad de un objeto involucran el mismo tipo de límite, el cual llamamos una derivada. El Problema de la Tangente La palabra tangente se deriva de la palabra en latín tangens, la cual significa “tocar”. Así una tangente a una curva es una recta que toca la curva. En otras palabras, una recta tangente debe tener la misma dirección que la curva en el punto de contacto. ¿Cómo podemos hacer más precisa esta idea? Para un círculo podríamos simplemente seguir a Euclides y decir que una tangente es una recta que interseca el círculo una vez, y sólo una, como en la Fig. 1(a). Para curvas más complicadas esta definición es inadecuada. La Fig. 1(b) muestra dos rectas L y T que pasan por un punto P en una curva C. La recta L interseca C sólo una vez, pero ciertamente no tiene ningún parecido con lo que consideramos como una tangente. La recta T, por otra parte, se parece a una tangente pero interseca a C dos veces.

Figura 1

Para ser específicos, examinemos el problema de tratar de hallar una recta tangente T a la parábola y = x 2 en el siguiente ejemplo. Ejemplo 1 Hallar una ecuación de la recta tangente a la parábola y = x 2 en el punto P(1, 1). Solución Podremos hallar una ecuación de la recta tangente T tan pronto como conozcamos su pendiente m. La dificultad está en que sólo tenemos un punto, P, en T, en tanto que necesitamos dos puntos para calcular la pendiente. Pero observe que podemos calcular una aproximación a m escogiendo un punto cercano Q ( x , x 2 ) en la parábola (como en la Fig. 2) y calculamos la pendiente mPQ de la secante PQ.

96

Figura 2

Escogemos x ≠ 1 de modo que Q ≠ P. Entonces

mPQ =

x2 − 1 x−1

Por ejemplo, para el punto Q(1.5, 2.5), tenemos que

mPQ =

2.25 − 1 1.25 = = 2.5 1.5 − 1 0.5

La tabla siguiente muestra los valores de mPQ para diferentes valores de x cercanos a 1.

Mientras más cerca está Q de P, más cerca esta x de 1 y parece ser que más cerca está mPQ de 2. Esto sugiere que la pendiente de la recta tangente T debe ser m = 2. ¿Qué es lo que sucede conforme x tiende a 1? La Fig. 3 ilustra este proceso de límite que ocurre cuando Q se acerca a P a lo largo de la parábola y las secantes PQ giran en torno a P y se aproximan a la recta tangente T. Decimos que la pendiente de la recta tangente es el límite de las pendientes de las líneas secantes, y esto lo expresamos simbólicamente escribiendo

lím mPQ = m

P →Q

y

( x − 1 )( x + 1) x2 − 1 = lím x →1 x − 1 x →1 x−1 = lím ( x + 1) = 1 + 1 = 2

m = lím x →1

Suponiendo que la pendiente de la tangente es electamente 2, usamos la forma punto-pendiente de la recta para escribir la ecuación de la recta tangente que pasa por (1, 1) como

y − 1 = 2 ( x − 1)

o

y = 2x − 1

Algunas veces nos referimos a la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto como la pendiente de la curva en el punto. La idea es que si aumentamos lo suficiente en el punto, la curva se parece a casi una recta. La Fig. 4 ilustra este procedimiento para la curva y = x 2 en el Ejemplo 1. Mientras más se aumente más se parecerá la parábola a una recta. En otras palabras, la curva se vuelve casi indistinguible de su tangente.

97

Q se acerca a P por la derecha

Q se acerca a P por la izquierda Figura 3

Figura 4 Ampliación en el punto (1, 1) de la parábola y = x 2 .

En general, si una curva C tiene la ecuación y = f ( x ) y queremos hallar la tangente a C en el punto P ( a , f ( a ) ) , entonces consideramos un punto cercano Q ( x , f ( x ) ) , donde x ≠ a y calculamos la pendiente de la secante PQ:

mPQ =

f ( x ) − f ( a) x−a

Entonces permitimos que Q se acerque a P a lo largo de la curva C dejando que x se acerque a a. Si mPQ tiende a un número m, entonces definimos la tangente T como la recta que pasa por P con pendiente m. Esto equivale a decir que la recta tangente es la posición límite de la secante PQ conforme Q tiende a P. Véase la Fig. 5.

[1] DEFINICIÓN La recta tangente a la curva y = f ( x ) en el punto P ( a , f ( a ) ) es la recta que pasa por P con pendiente

m = lím

x→a

siempre y cuando este límite exista.

f ( x ) − f ( a) x−a

98

Figura 5

Existe otra expresión para la pendiente de una recta tangente que es algunas veces más fácil de usar. Si h = x − a , entonces x = a + h y por tanto la pendiente de la recta secante PQ es

mPQ =

f ( a + h ) − f ( a) h

Véase la Fig. 6, donde se ilustra el caso h > 0 y Q está a la derecha de P. Sin embargo, si ocurre que h < 0, Q estaría a la izquierda de P. Observe que conforme x tiende a a, h tiende a 0 (porque h = x − a ) y por tanto la expresión para la pendiente de la recta tangente en la Definición 1 se convierte en

[2]

m = lím

h→0

f ( a + h ) − f ( a) h

Figura 6

EJEMPLO 2 Hallar una ecuación de la recta tangente a la hipérbola y = 3 x en el punto (3, 1). SOLUCIÓN Sea f ( x ) = 3 x . Entonces la pendiente de la tangente en (3, 1) es

f (3 + h ) − f (3) h→0 h 3 3 − (3 + h) −1 h = lím 3 + h = lím h→0 h→0 h h −h 1  1  = lím = lím  − =−  h → 0 h (3 + h) h → 0 3 + h  3

m = lím

Por tanto, una ecuación de la tangente en el punto (3, 1) es

1 y − 1 = − ( x − 3) 3

99

que se simplifica a x + 3y − 6 = 0

La hipérbola y su tangente se muestran en la Fig. 7.

Figura 7

El Problema de la Velocidad En la Sección 1.3 se investigó el movimiento de una pelota que se deja caer desde la Torre CN y se definió su velocidad como el valor límite de las velocidades promedio en periodos de tiempo más y más cortos. En general, supóngase que un objeto se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo con una ecuación de movimiento s = f (t ) , donde s es el desplazamiento (distancia dirigida) del objeto desde el origen en el instante t. La función f que describe el movimiento se denomina la función de posición del objeto. En el intervalo de tiempo desde t = a hasta t = a + h, el cambio en la posición es f ( a + h ) − f ( a ) (véase la Fig. 8). La velocidad promedio en el intervalo de tiempo es

velocidad promedio =

desplazamiento f ( a + h ) − f ( a ) = tiempo h

que es la misma que la pendiente de la recta secante PQ en la Fig. 9.

Posición en el instante t = a

Posición en el instante t = a + h

velocidad promedio

Figura 8

Figura 9

Supóngase ahora que calculamos las velocidades promedio en intervalos de tiempo [a, a + h] cada vez más cortos. En otras palabras, permitimos que h tienda a 0. Igual que en el ejemplo de la pelota cayendo, definimos la velocidad (o velocidad instantánea) v(a) en el instante t = a como el límite de estas velocidades promedio:

[3]

v( a) = lím

h→0

f ( a + h ) − f ( a) h

100

Esto significa que la velocidad en el instante t = a es igual a la pendiente de la recta tangente en P (compare con las Ecuaciones 2 y 3). Ahora que sabemos cómo calcular límites, reconsideremos el problema de la pelota en caída.

Ejemplo 3 Supóngase que se deja caer una pelota desde la plataforma de observación de la Torre CN, a 450 m de altura. (a) ¿Cuál es la velocidad de la pelota después de 5 segundos? (b) ¿Cuál es la velocidad de la pelota cuando golpea el suelo?

Solución Primero usamos la ecuación de movimiento sf ( f ) = 4.9t 2 para hallar la velocidad v(a) después de a segundos: 2 f ( a + h) − f (a) 4.9 ( a + h ) − 4.9 a 2 v( a) = lím = lím h→0 h→0 h h

4.9 ( a2 + 2 ah + h − a2 ) 4.9 ( 2 ah + h 2 ) = lím h→0 h→0 h h = lím 4.9 ( 2 a + h ) = 9.8a = lím

h→0

(a) La velocidad después de 5 s es v(5) = ( 9.8 ) ( 5 ) = 49 m/s. (b) Puesto que la plataforma de observación está a 450 m de altura, la pelota golpeará el suelo en el instante t1 cuando s ( t1 ) = 450 , esto es

4.9t12 = 450 Esto da

t12 =

450 9

y

t1 =

450 = 9.6 s 4.9

Por tanto, la velocidad de la bola cuando golpea el suelo es

v ( t1 ) = 9.8t1 = 9.8

450 ≈ 94 m/s 4.9

Derivadas Hemos visto que el mismo tipo de límite aparece cuando hallamos la pendiente de una recta tangente (Ecuación 2) o la velocidad de un objeto (Ecuación 3). De hecho, límites de la forma

lím

h→0

f ( a + h) − f ( a) h

se originan siempre que calculamos una tasa de cambio en cualquiera de las ciencias o en ingeniería, tales como la tasa de reacción en química o un costo marginal en economía. Puesto que este tipo de límite ocurre con tanta frecuencia, se le da un nombre y una notación especiales.

[4] DEFINICIÓN La derivada de una función f en un punto a, denotada por f ′( a) , es

f ′( a ) = lím

h→0

si este límite existe.

f ( a + h ) − f ( a) h

101

Si escribimos x = a + h , entonces h = x − a y h tiende a 0 si y sólo si x tiende a a. Por tanto, una forma equivalente de enunciar la definición de la derivada, como vimos al hallar rectas tangentes, es

f ′( a) = lím

[5]

x→a

f (x) − f (a) x−a

Ejemplo 4 Hallar la derivada de la función f ( x ) = x 2 − 8x + 9 en el número a. Solución A partir de la Definición 4, tenemos

f ( a + h ) − f ( a) h→0 h 2 [ a + h ] − 8 ( a + h ) + 9  − [ a2 − 8 a + 9 ] = lím h→0 h

f ′( a ) = lím

a 2 + 2 ah + h 2 − 8a − 8h + 9 − a2 + 8a − 9 h→0 h

= lím

2 ah + h 2 − 8h = lím ( 2 a + h − 8 ) = 2 a − 8 h→0 h→0 h

= lím

La recta tangente a la curva y = f ( x ) en el punto P ( a , f ( a ) ) se definió como la recta que pasa por P y tiene la pendiente m dada por la Ecuación 1 o 2. Puesto que, por la Definición 4, esto es lo mismo que la derivada f ′( a) , ahora podemos decir lo siguiente: La recta tangente a y = f ( x ) en el punto P ( a , f ( a ) ) es la recta que pasa por ( a , f ( a ) ) cuya pendiente es igual a

f ′( a) , la derivada de f en a. Si usamos la forma punto pendiente de una recta, podemos escribir una ecuación de la tangente a la curva y = f ( x ) en el punto ( a , f ( a ) ) :

y − f ( a) = f ′( a) ( x − a ) Ejemplo 5 Hallar una ecuación de la recta tangente a la parábola y = x 2 − 8x + 9 en el punto (3, −6). Solución Por el Ejemplo 4 sabemos que la derivada de f ( x ) = x 2 − 8x + 9 en el número a es f ′( a) = 2 a − 8 . Por tanto, la pendiente de la recta tangente en (3, −6) es f ′(3) = 2(3) − 8 = −2 . De manera que una ecuación de la recta tangente, mostrada en la Fig. 10, es

y − ( −6) = ( −2)( x − 3)

o

y = −2 x

Figura 10

102

Tasas de Cambio Supóngase que y es una cantidad que depende de otra cantidad x. Por tanto, y es una función de x y escribimos y = f ( x ) . Si x cambia de x1 a x2, entonces el cambio en x (también denominado el incremento de x) es

∆x = x 2 − x 1 y el cambio correspondiente en y es

∆y = f ( x 2 ) − f ( x 1 ) El cociente de diferencias

∆y f ( x 2 ) − f x1 = ∆x x2 − x1 se denomina la tasa promedio de cambio de y con respecto a x en el intervalo [ x1 , x2 ] y puede interpretarse como la pendiente de la recta secante PQ en la Fig. 11.

tasa promedio de cambio = mPQ tasa instantánea de cambio = pendiente de la tangente en P

Figura 11

Por analogía con la velocidad, consideramos la tasa promedio de cambio en intervalos más y más pequeños permitiendo que x2 se aproxime a x1 y por tanto que ∆x tiende a 0. El límite de estas tasas de cambio promedio se se denomina la tasa de cambio (instantánea) de y con respecto a x en x = x1, y se interpreta como la pendiente de la tangente a la curva y = f ( x ) en P ( x1 , f ( x1 ) ) :

[6]

tasa instantánea de cambio = lím

∆x → 0

f ( x 2 ) − f ( x1 ) ∆x = lím ∆y x2 → x1 x2 − x1

Este límite se reconoce como la derivada de f ( x ) . Sabemos que una interpretación de la derivada f ′( a) es como la pendiente de la recta tangente a la curva

y = f ( x ) cuando x = a. Ahora tenemos una segunda interpretación:

La derivada f ′( a) es la tasa instantánea de cambio de y = f ( x ) con respecto a x cuando x = a.

La conexión con la primera interpretación es que si dibujamos la curva y = f ( x ) , entonces la tasa instantánea de cambio es la pendiente de la tangente a esta curva en el punto donde x = a. Esto significa que cuando la

103

derivada es grande (y por tanto la curva es empinada, como en el punto P en la Fig. 12), los valores de y cambian rápidamente. Cuando la derivada es pequeña, la curva es relativamente plana y los valores de y cambian lentamente.

Figura 12

En particular, si s = f (t ) es la función de posición de una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta, entonces f ′( a) es la tasa de cambio del desplazamiento s con respecto al tiempo t. En otras palabras, f ′( a) es la velocidad de la partícula en el instante t = a. La rapidez de la partícula es el valor absoluto de la velocidad, esto es, f ′( a) . En el ejemplo continuación estimamos la tasa de cambio de la deuda nacional con respecto al tiempo. Aquí la función está definida no por una fórmula sino por una tabla de valores.

Ejemplo 6 Sea D(t) la deuda nacional de los Estados Unidos en el instante t. La tabla da valores aproximados de esta función proporcionando estimados de fin de año, en millardos de dólares, desde 1990 hasta 2010. Interprete y estime el valor de D(2000).

Solución La derivada D′(2000) significa la tasa de cambio de D con respecto a t cuando t = 2000, esto es, la tasa de crecimiento de la deuda nacional en 2000. De acuerdo con la Ecuación 5

D(t ) − d(2000) t → 2000 t − 2000

D ( 2000 ) = lím

Por tanto, calculamos y tabulamos valores del cociente de diferencias (las tasas promedio de cambio) en la forma siguiente:

104

A partir de esta tabla vemos que D′(2000) está en algún punto entre 140.04 y 451.70 millardos de dólares por año [aquí estamos haciendo la suposición razonable de que la deuda no fluctuó desordenadamente entre 1995 y 2005]. Estimamos que la tasa de crecimiento de la deuda nacional de los Estados Unidos en 2000 fue el promedio de estos dos números, a saber,

D′ ( 2000 ) = 296 millardos de dólares por año Otro método sería graficar la función deuda y estimar la pendiente de la tangente cuanto t = 2000. La tasa de cambio de la deuda con respecto al tiempo en el Ejemplo 6 es sólo un ejemplo de una tasa de cambio. Aquí hay algunos de muchos otros. La velocidad de una partícula es la tasa de cambio del desplazamiento con respecto al tiempo. Los físicos también están interesados en otras tasas de cambio – por ejemplo, la tasa de cambio del trabajo con respecto al tiempo (que se denomina potencia). Los químicos que estudian una reacción química están interesado en la tasa de cambio en la concentración de un reactivo con respecto al tiempo (denominada la tasa de reacción). Un fabricante de acero está interesado en la tasa de cambo del costo de producir x toneladas de acero por día con respecto a x (denominada el costo marginal). Un biólogo está interesado en la tasa de cambio de la población de un cultivo de bacterias con respecto al tiempo. De hecho, el cálculo de tasas de cambio es importante en todas las ciencias naturales, en ingeniería y hasta en las ciencias sociales. Todas estas tasas de cambio pueden interpretarse como pendientes de tangentes. Esto da un significado adicional a la solución del problema de la tangente. Siempre que resolvemos un problema que involucra rectas tangentes, no estamos resolviendo solamente un problema en geometría. Implícitamente también estamos resolviendo una gran variedad de problemas que involucran tasas de cambio en las ciencias y en ingeniería.

2.1 Ejercicios 1.

(a)

Hallar la pendiente de la recta tangente a la parábola y = 4 x − x 2 en el punto (1, 3) (i) usando la Definición 1

(ii) usando la Ecuación 2

(b) Hallar una ecuación e la tangente en la parte (a). (c)

2.

Graficar la parábola y la recta tangente. Como una verificación de su trabajo, haga un aumento en el punto (1, 3) hasta que la parábola y la tangente no se puedan distinguir.

(a) Halle la pendiente de la tangente a la curva y = x − x 3 en el punto (1, 0) (b) Hallar una ecuación e la tangente en la parte (a). (c) Graficar la parábola y la recta tangente en visores rectangulares cada vez menores centrados en (1, 0) hasta que la curva y la recta parezcan coincidir.

Ejercicios 3−6: Halle una ecuación de la tangente a la curva en el punto dado.

3.

y = 4 x − 3x 2 , (2, − 4)

4. y = x 3 − 3 x + 1, (2, 3)

5.

y = x , (1, 1)

6. y =

7.

(a) Hallar la pendiente de la tangente a la curva y = 3 + 4 x 2 − 2 x 3 en el punto x = a.

2x + 1 , (1, 1) x+2

(b) Hallar ecuaciones de las tangentes a los puntos (1, 5) y (2, 3). (c) Graficar la curva y ambas tangentes en ejes comunes.

8.

(a) Hallar la pendiente de la tangente a la curva y = 1

x en el punto donde x = a.

105

(

(b) Hallar ecuaciones de las tangentes en los puntos (1, 1) y 4,

1 2

).

(c) Graficar la curva y ambas tangentes en ejes comunes.

9.

La gráfica muestra la función de posición de un carro. Use la forma de la gráfica para explicar sus respuestas a las siguientes preguntas: (a) ¿Cuá fue la velocidad inicial el carro? (b) ¿El carro iba más rápido en B o en C? (c) ¿El carro se estaba desacelerando o acelerando en A, B y C? (d) ¿Qué sucedió entre D y E?

10. Se muestran las gráficas de las funciones de posición de dos corredores A y B, quienes compiten en una carrera de 100 m y finalizan en un empate. (a) Describa y compare cómo corrieron los competidores la competencia? (b) ¿En qué instante es mayor la distancia entre los corredores? (c)

¿En qué momento tienen la misma velocidad?

s (metros)

t (segundos)

11. Si se deja caer una pelota en el aire con una velocidad de 40 ft/s, su altura (en pies) después de t segundos es dada por y = 40t − 16t 2 . Halle la velocidad cuando t = 2. 12. Si se dispara una flecha hacia arriba en la luna con una velocidad de 58 m/s, su altura (en metros) después de t segundos es dada por H = 58t − 0.83t 2 . (a) Halle la velocidad de la flecha después de un segundo. (b) Halle la velocidad de la flecha cuanto t = a. (c)

¿Cuándo golpeará la flecha a la luna?

(d) ¿Con qué velocidad golpeará la flecha a la luna?

13. El desplazamiento (en metros) de una partícula que se mueve en una línea recta es dado por la ecuación de movimiento s = 1 t 2 , donde t se mide en segundos. Halle la velocidad de la partícula en los instantes t = a , t = 1, t = 2 y t = 3. 14. El desplazamiento (en metros) de una partícula que se mueve en una línea recta es dado por la ecuación de movimiento s = t 2 − 8t + 18 , donde t se mide en segundos. (a) Halle la velocidad promedio en cada intervalo de tiempo:

106

(i) [3, 4]

(ii) [3.5, 4]

(iii) [4, 5]

(iv) [4, 4.5]

(b) Halle la velocidad instantánea cuando t = 4. (c)

Dibuje la gráfica de s como una función de t y dibuje las rectas secantes cuyas pendientes son las velocidades promedio en la parte (a) y la recta tangente cuya pendiente es la velocidad instantánea en la parte (b).

15. Para la función g cuya gráfica se da, arregle los siguientes números en orden creciente y explique su razonamiento:

g ′( −2)

0

g ′(0)

g ′(2)

g ′(4)

16. Halle una ecuación de la recta tangente a la gráfica de y = g( x ) en x = 5 si g(5) = 3 y g ′(5) = 4 . 17. Si una ecuación de la recta tangente a la curva y = f ( x ) en el punto donde a = 2 es y = 4 x + 5 , halle f (2) y f ′(2) . 18. Si la recta tangente a y = f ( x ) en (4, 3) pasa por el punto (0, 2), halle f (4) y f ′(4) . 19. Dibuje la gráfica de una función f para la cual f (0) = 0 , f ′(0) = 3 , f ′(1) = 0 y f ′(2) = −1 . 20. Dibuje la gráfica de una función g para la cual g(0) = g(2) = g(4) = 0 , g ′(1) = g ′(3) = 0 , g ′(0) = g ′(4) = 1 , g ′(2) = −1 , lím x → ∞ g( x ) = ∞ y lím x → −∞ g( x ) = −∞ . 21. Si f ( x ) = 3x 2 − x 3 , halle f ′( x ) y úsela para hallar una ecuación de la recta tangente a la curva y = 3x 2 − x 3 en el punto (1, 2). 22. Si g( x ) = x 4 − 2 , halle g ′( x ) y úsela para hallar una ecuación de la recta tangente a la curva y = x 4 − 2 en el punto (1, −1).

23. (a) Si F( x ) = 5x ( 1 + x 2 ) , halle F ′(2) y úsela para hallar una ecuación de la tangente a la curva

y=

5x 1 + x2

en el punto (2, 2). (b) Ilustre la parte (a) dibujando la curva y la recta tangente en los mismos ejes coordenados.

24. (a)

Si G( x ) = 4 x 2 − x 3 , determine G′( a) y úsela para hallar ecuaciones de las rectas tangentes a la curva

y = 4 x 2 − x 3 en los puntos (2, 8) y (3, 9). (b) Ilustre la parte (a) dibujando la curva y las tangentes en los mismos ejes coordenados. Ejercicios 25−30: Hallar f ′( a) .

25.

f ( x ) = 3x 2 − 4 x + 1

26.

f (t ) = 2t 3 + t

27.

f (t ) =

2t + 1 t+2

107

28.

f ( x ) = x −2

29.

f (x ) = 1 − 2 x

30.

f (x ) =

4 1−x

Ejercicios 31−36: Cada límite representa la derivada de alguna función f en algún número a. Defina f y a en cada caso.

31.

( 1 + h )10 − 1 h→0 h

32.

34.

tan x − 1 x→π 4 x−π 4

35.

lím

lím

lím

h→0

4

16 + h − 2 h

cos ( π + h ) + 1 h→0 h lím

33.

2 x − 32 x→5 x−5 lím

t4 + t − 2 t→1 t −1

36. lím

37. Una lata de refresco tibio se mete en un refrigerador frío. Dibuje la gráfica de la temperatura del refresco como una función del tiempo. ¿Es la tasa de cambio inicial de la temperatura mayor o menor que la tasa de cambio después de una hora? 38. Un pavo asado se saca del horno cuando su temperatura ha llegado a 185°F y se coloca sobre una mesa en una habitación donde la temperatura es 75°F. La gráfica muestra cómo disminuye la temperatura del pavo y finalmente se acerca a la temperatura de la habitación. Use la medición de la pendiente de la tangente para estimar la tasa de cambio de la temperatura después de una hora.

39. El número N de suscritores de teléfonos celulares en los Estados Unidos (en millones) se muestra en la tabla (se dan estimado de mitad de año).

(a) Halle la tasa promedio de crecimiento de celulares (i)

desde 2002 hasta 2006

(ii) desde 2002 hasta 2004 (iii) desde 200 hasta 2002 (b) Estime la tasa instantánea de crecimiento en 2002 tomando el promedio de dos tasas de cambio promedio. ¿Cuáles son sus unidades? (c)

Estime la tasa instantánea de crecimiento en 2002 midiendo la pendiente de una tangente.

40. En la tabla se da el número N se ubicaciones de una cadena de cafeterías muy popular (el número de ubicaciones hasta el 1ro. de octubre).

(a) Halle la tasa promedio de crecimiento (i)

desde 2006 hasta 2008

108

(ii) desde 2006 hasta 2007 (iii) desde 2005 hasta 2006 (b) Estime la tasa instantánea de crecimiento en 2006 tomando el promedio de dos tasas de cambio promedio. (c)

Estime la tasa instantánea de crecimiento en 2006 midiendo la pendiente de una tangente.

(d) Estime la tasa instantánea de crecimiento en 2007 y compárela con la tasa de crecimiento en 2006. ¿Cuál es su conclusión?

41. El costo en dólares de producir x unidades de un cierto producto es C ( x ) = 5000 + 10 x + 0.05x 2 . (a) Halle la tasa de cambio promedio de C con respecto a x cuando se cambia el nivel de producción (i)

de x = 100 a x = 105

(ii) de x = 100 a x = 101 (b) Halle la tasa de cambio instantánea de C con respecto a x cuando x = 100 (esto se denomina el costo marginal. Su significado se explicará en la Sección 2.3).

42. Si un tanque cilíndrico tiene una capacidad de 100000 galones de agua, los cuales pueden ser vaciados por el fondo del tanque en una hora, entonces la Ley de Torricelli da el volumen V de agua que queda en el tanque después de t minutos como

1   V (t ) = 100 000  1 − t 2  , 60  

0 ≤ t ≤ 60

Halle la razón (tasa) con la cual el agua está saliendo del tanque (la tasa instantánea de cambio de V con respecto a t) como una función de t. ¿Cuáles son sus unidades? Para los instantes t = 0, 10, 20, 30, 40, 50 y 60 min, halle la tasa de flujo y la cantidad de agua que queda en el tanque. Resuma sus resultados en una oración o dos. ¿En qué momento es mayor la tasa de flujo? ¿Y mínima?

43. El costo de producir x onzas de oro en una nueva mina de oro es C = f ( x ) dólares. (a) ¿Cuál es el significado de la derivada f ′( x ) ? ¿Cuáles son sus unidades? (b) ¿Qué significa la expresión f ′(800) = 17 ? (c)

¿Cree usted que los valores de f ′( x ) aumentarán o disminuirán en el corto plazo? ¿Y en el largo plazo? Explique.

44. El número de bacterias después de t horas en un experimento controlado de laboratorio es n = f (t ) . (a) ¿Cuál es el significado de la derivada f ′(5) ? ¿Cuáles son sus unidades? (b) Supóngase que existe una cantidad ilimitada de espacio y de nutrientes para las bacterias. ¿Cuál cree usted es más grande, f ′(5) o f ′(10) ? Si el suministro de nutrientes es limitado, ¿afectaría esto su conclusión? Explique.

45. Sea T (t ) la temperatura (en °F) en Phoenix t horas después de la medianoche el 10 de setiembre de 2008. La tabla muestra valores de esta función registrados cada dos horas. ¿Cuál es el significado de T ′(8) ? Estime su valor.

46. La cantidad (en libras) de un café molido tipo gourmet vendido por una compañía de café a un precio de p dólares por libra es Q = f ( p ) .

109

(a) ¿Cuál es el significado de la derivada f ′(8) ? ¿Cuáles son sus unidades? (b) ¿Es f ′(8) positiva o negativa? Explique.

47. La cantidad de oxígeno que se puede disolver en el agua depende de la temperatura del agua (por tanto, la contaminación térmica influye en el contenido de oxígeno del agua). La gráfica muestra cómo la solubilidad del oxígeno S varía en función de la temperatura del agua T. (a) ¿Cuál es el significado de la derivada S′(T ) ? ¿Cuáles son sus unidades? (b) Estime el valor de S′(16) e interprétela.

48. La gráfica muestra la influencia de la temperatura T sobre la máxima velocidad de natación sostenible S del salmón Coho. (a) ¿Cuál es el significado de la derivada S′(T ) ? ¿Cuáles son sus unidades? (b) Estime los valores de S′(15) y S′(25) e interprételas.

Ejercicios 49−50: Determine si f ′(0) existe.

49.

50.

2.2

1   x sen , f (x ) =  x  0, 1  2  x sen , f (x ) =  x  0,

x≠0 x=0 x≠0 x=0

La Derivada como una Función

En la Sección 2.1 se consideró la derivada de una función f es un número fijo a: [1]

f ′( a ) = lím

h→0

f ( a + h ) − f ( a) h

110

Ahora cambiamos nuestro punto de vista y permitimos que el número a varíe. Si se reemplaza a en la Ecuación 1 por una variable x, se obtiene

[2]

f ′( x ) = lím

h→0

f (x + h) − f (x) h

Dado cualquier número x para el cual este límite existe, le asignamos a x el número f ′( x ) . De modo que podemos considerar a f ′ como una nueva función, denominada la derivada de f y definida por la Ecuación 2. Sabemos que el valor de f ′ en x, f ′( x ) , puede interpretarse geométricamente como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto ( x , f ( x ) ) . La función f ′ se conoce como la derivada de f porque ha sido “derivada” a partir de f por la operación de límite en la Ecuación 2. El dominio de f ′ es el conjunto

{x

f ′( x ) existe} y puede ser más pequeño que el

dominio de f.

Ejemplo 1 En la Fig. 1 da la gráfica de una función f. Úsela para dibujar la gráfica de la derivada f ′ .

Figura 1

Solución Podemos estimar el valor de la derivada en cualquier valor de x dibujando la tangente en el punto ( x , f ( x ) ) y estimando la pendiente. Por ejemplo, para x= 5, dibujamos la tangente en P en la Fig. 2(a) y estimamos su pendiente como aproximadamente

3 2

, así que f ′(5) ≈ 1.5 . Esto nos permite colocar el punto

P′(5, 1.5) en la gráfica de f ′ directamente debajo de P. Repitiendo este procedimiento en varios puntos, obtenemos la gráfica mostrada en la Fig. 2(b). Observe que las tangentes en A, B y C son horizontales, de modo que la derivada es 0 allí y la gráfica de f ′ cruza el eje x en los puntos A′, B′ y C ′ , directamente debajo de A, B y C. Entre A y B las tangentes tienen pendiente positiva, de modo que f ′( x ) es positiva allí. Pero entre B y C las tangentes tienen pendiente negativa, de modo que f ′( x ) es negativa allí.

Ejemplo 2 (a) Si f ( x ) = x 3 − x , halle una fórmula para f ′( x ) . (b) Ilustrar mediante una comparación de las gráficas de f y f ′ .

SOLUCIÓN (a) Cuando se usa la Ecuación 2 para calcular una derivada, debemos recordar que la variable es h y que x se considera temporalmente como una constante durante el cálculo del límite.

111

Figura 2

f ′( x ) = lím

h→0

( x + h ) 3 − ( x + h )  − [ x 3 − x ] f (x + h) − f (x) = lím h→0 h h

x 3 + 3x 2 h + 3xh 2 + h 3 − x − h − x 3 + x h→0 h

= lím

3x 2 h + 3xh 2 + h 3 − h = lím ( 3x 2 + 3xh + h 2 − 1 ) = 3x 2 − 1 h→0 h→0 h

= lím

(b) Utilizamos un dispositivo de graficar para dibujar f y f ′ en la Fig. 3. Observe que f ′( x ) = 0 cuando f tiene tangentes horizontales y f ′( x ) es positiva cuando las tangentes tienen pendientes positivas. Por tanto, estas gráficas sirven como una verificación de nuestro trabajo en la parte (a).

Figura 3

Ejemplo 3 Si f ( x ) = x , halle la derivada de f y establezca el dominio de f ′ . Solución

f (x + h) − f = x x+h − x = lím h→0 h→0 h h  x+h − x x+h + x  = lím  ⋅  h → 0 h x+h + x  (x + h) − x 1 = lím = lím h → 0 h( x + h + x) h→0 x+h + x 1 1 = = x+ x 2 x

f ′( x ) = lím

112

Vemos que f ′( x ) existe si x > 0, de modo que el dominio de f ′ es (0, ∞). Éste es menor que el dominio de f, el cual es [0, ∞). Comprobemos para ver que el resultado del Ejemplo 3 es razonable observando las gráficas de f y f ′ en la Fig.

x también está cerca de 0, de manera que f ′( x ) = 1 ( 2 x ) es muy grande y este corresponde a tangentes muy empinadas cerca de (0, 0) en la Fig. 4(a) y a los valores grandes de f ′( x ) en la Fig.

4. Cuando x está cerca de 0,

4(b). Cuando x es grande, f ′( x ) es muy pequeña y esto corresponde a las tangentes más planas en el extremo derecho de la gráfica de f y a la asíntota horizontal de la gráfica de f ′ .

Figura 4

Ejemplo 4 Hallar f ′ si f ( x ) =

1−x . 2+x

Solución

1 − (x + h) 1 − x − f (x + h) − f (x) 2 + (x + h) 2 + x f ′( x ) = lím = lím h→0 h→0 h h ( 1 − x − h )( 2 + x ) − ( 1 − x )( 2 + x + h ) = lím h→0 h (2 + x + h) (2 + x) = lím

( 2 − x − 2 h − x 2 − xh ) − ( 2 − x + h − x 2 − xh ) h ( 2 + x + h )( 2 + x )

h→0

= lím

h→0

−3 h −3 −3 = lím = ( )( ) ( )( ) h → 0 h 2+x+h 2+x 2+x+h 2+x ( 2 + x )2

Otras Notaciones Si usamos la notación tradicional y = f ( x ) para indicar que la variable independiente es x y la variable dependiente es y, entonces algunas notaciones alternas comunes para la derivada son las siguientes:

f ′( x ) = y ′ =

dy df d = = f ( x ) = Df ( x ) = Dx f ( x ) dx dx dx

Los símbolos D y d/dx se denominan operadores de diferenciación porque ellos indican la operación de diferenciación, que es el proceso de calcular una derivada. El símbolo dy/dx, el cual fue introducido por Leibniz, no debe considerarse como una razón (por el momento); es simplemente un sinónimo para f ′( x ) . No obstante, es una notación muy útil y sugerente, especialmente cuando se usa en conjunto con la notación del incremento. Refiriéndonos a la Ec. 2.1.6, podemos reescribir la definición de derivada en la notación de Leibniz en la forma

113

dy ∆y = lím dx ∆x → 0 ∆x Si queremos indicar el valor de una derivada dy/dx en la notación de Leibniz en un punto específico a, usamos la notación

dy dx

o x=a

dy  dx  x = a

la cual es un sinónimo para f ′( a) .

Funciones Diferenciables

[3] Definición Una función f es diferenciable en a si f ′( a) existe. Es diferenciable en un intervalo abierto

( a , b ) [o (a, ∞) o (−∞, a) o (−∞, ∞)] si es diferenciable en todo punto en el intervalo.

Ejemplo 5 ¿Dónde es diferenciable la función f ( x ) = x ? Solución Si x > 0, entonces x = x y podemos escoger h lo suficientemente pequeña de modo que x + h > 0 y por tanto x + h = x + h . Entonces, para x > 0, tenemos

x+h − x

f ′( x ) = lím

h

h→0

(x + h) − x h = lím = lím 1 = 1 h→0 h→0 h h→0 h

= lím

y por tanto f es diferenciable para cualquier x > 0. En forma similar, para x < 0, tenemos que x = −x y se puede escoger h lo suficientemente pequeña de manera que x + h < 0 y así x + h = − ( x + h ) . Por tanto, para x < 0,

f ′( x ) = lím

x+h − x h

h→0

− ( x + h ) − ( −x ) −h = lím = lím ( −1 ) = −1 h→0 h→0 h h→0 h

= lím

y f es diferenciable para cualquier x < 0. Para x = 0 tenemos que investigar la derivada:

f (0 + h) − f (0) h→0 h 0+h − 0 = lím (si existe) h→0 h

f ′(0) = lím

Calculemos los límites por la izquierda y por la derecha por separado:

lím+

0+h − 0 h

h→0

= lím+ h→0

h = lím 1 = 1 h h → 0+

y

lím−

h→0

0+h − 0 h

= lím− h→0

−h = lím ( −1 ) = −1 h h → 0+

Como estos dos límites son diferentes, f ′(0) no existe. Por tanto, f es diferenciable para toda x excepto 0. Una fórmula para f ′ es dada por

114

x>0  1, f ′( x ) =   − 1, x < 0 y su gráfica se muestra en la Fig. 5(b). El hecho de que f ′(0) no existe se refleja geométricamente en el hecho de que la curva y = x no tiene una tangente en (0, 0) [véase la Fig. 5(a).

Figura 5

Tanto la continuidad como la diferenciabilidad son propiedades deseables en una función. El teorema siguiente muestra cómo están relacionadas estas propiedades.

[4] Teorema Si f es diferenciable en a, entonces f es continua en a.

Demostración Para demostrar que f es continua en a, tenemos que demostrar que lím x → a f ( x ) = f ( a) . Esto lo hacemos demostrando que la diferencia f ( x ) − f ( a) tiende a 0. La información dada es que f es diferenciable en a, esto es,

f ′( a) = lím

x→a

f ( x ) − f ( a) x−a

existe (véase la Ecuación 2.1.5). Para conectar lo dado y lo desconocido, multiplicamos y dividimos f ( x ) − f ( a) por x − a (lo que podemos hacer cuando x ≠ a):

f (x ) − f ( a) =

f ( x ) − f ( a) ( x − a) x−a

Entonces, usando la Ley del Producto y (2.1.5), podemos escribir

f ( x ) − f ( a) ( x − a) x−a f ( x ) − f ( a) = lím ⋅ lím ( x − a ) x→a x→a x−a = f ′( a) ⋅ 0 = 0

lím [ f ( x ) − f ( a)] = lím

x→a

x→a

Para usar lo que acabamos de demostrar, comenzamos con f ( x ) y le sumamos y restamos f ( a) :

lím f ( x ) = lím  f ( a) + ( f ( x ) − f ( a ) )  x→a

x→a

= lím f ( a) + lím [ f ( x ) − f ( a)] x→a

x→a

= f ( a) + 0 = f ( a) Por tanto, f es continua en a.

115

Observación Lo contrario del Teorema 4 es falso; esto es, existen funciones que son continuas pero no diferenciables. Por ejemplo, la función f ( x ) = x es continua en 0 porque

lím f ( x ) = lím x = 0 = f (0)

x→0

x→0

Pero en el Ejemplo 5 se demostró que f no es diferenciable en 0.

¿Cómo Puede Fallar una Función y No Ser Diferenciable? Vimos que la función y = x en el Ejemplo 5 no es diferenciable en 0 y la Fig. 5(a) muestra que su gráfica cambia de dirección abruptamente cuando x = 0. En general, si la gráfica de una función f tiene una “esquina” o “pliegue”, entonces la gráfica de f no tiene tangente en este punto y f no es diferenciable allí. Al tratar de calcular f ′( a) , se encuentra que los límites por la izquierda y por la derecha son diferentes. El Teorema 4 da otra forma en la cual una función puede no tener una derivada. Dice que si f no es continua en a, entonces f no es diferenciable en a. De manera que en cualquier discontinuidad (por ejemplo, una discontinuidad de salto) f falla en ser diferenciable. Una tercera posibilidad es que la curva tenga una recta tangente vertical cuando x = a; esto es, f es continua en ay

lím f ′( x ) = ∞

x→a

Esto significa que las tangentes se vuelven más y más empinadas conforme x → a. La Fig. 6 muestra una en la que esto puede suceder. La Fig. 7(c) muestra otra. La Fig. 7 ilustra los tres posibilidades que hemos analizado.

tangente vertical

Figura 6

(a) Una esquina

(b) Una discontinuidad

(c) Una tangente vertical

Figura 7

Una calculadora con graficadora o computadora proporciona otra forma de mirar la diferenciación. Si f es diferenciable en a, entonces cuando aumentamos en el punto ( a , f ( a ) ) , la gráfica se “endereza” y tiende a parecerse más a una recta (véase la Fig. 8. Ya vimos un ejemplo específico de esto en la Fig. 4 en la Sección 2.1).

116

Figura 8

Figura 9

Pero indiferentemente de cuánto aumentemos en un punto como en las Figs. 6 y 7(a), no podemos eliminar el punto agudo de la esquina (véase la Fig. 9).

Derivadas Superiores Si f es una función diferenciable, entonces su derivada f ′ también es una función y, por tanto, f ′ puede tener su propia derivada, denotada por

( f ′ )′ =

f ′′ . Esta nueva función f ′′ se denomina la segunda derivada de f

porque es la derivada de la derivada de f. Usando la notación de Leibniz, la segunda derivada de y = f ( x ) la escribimos como

d  dy  d 2 y  = dx  dx  dx 2 Ejemplo 6 Si f ( x ) = x 3 − x , hallar e interpretar f ′′( x ) . Solución En el Ejemplo 2 se encontró que la primera derivada es f ′( x ) = 3x 2 − 1 . Por tanto, la segunda derivada es

f ′(x + h) − f (x) h→0 h  3 ( x + h )2 − 1 − [ 3x 2 − 1] = lím h→0 h

f ′′( x ) = lím

3x 2 + 6 xh + 3h 2 − 1 − 3x 2 + 1 h→0 h = lím ( 6x + 3h ) = 6x = lím

h→0

Las gráficas de f, f ′, f ′′ se muestran en la Fig. 10.

Figura 10

117

f ′′ se puede interpretar como la pendiente de la curva y = f ′( x ) en el punto ( x , f ( x ) ) . En otras palabras, es la tasa de cambio de la pendiente de la curva original y = f ( x ) . Observe en la Fig. 10 que f ′′( x ) es negativa cuando y = f ′( x ) tiene pendiente negativa y positiva cuando y = f ′( x ) tiene pendiente positiva. Por tanto, las gráficas sirven como una forma de verificar nuestros cálculos. En general, una segunda derivada se puede interpretar como una tasa de cambio de una tasa de cambo. El ejemplo más conocido de esto es la aceleración, la cual se define en la forma siguiente. Si s = s(t) es la función de posición de un objeto que se mueve en una línea recta, sabemos que su primera derivada representa la velocidad v(t) del objeto como una función del tiempo:

v(t ) = s′(t ) =

ds dt

La tasa instantánea del cambio de velocidad con respecto al tiempo se denomina la aceleración a(t) del objeto. Por tanto, la función aceleración es la derivada de la función velocidad y, en consecuencia, es la segunda derivada de la función de posición:

a(t ) = v′(t ) = s ′′(t ) o, en la notación de Leibniz,

a=

dv d 2 s = dt dt 2

La tercera derivada f ′′′ es la derivada de la segunda derivada: f ′′′ = ( f ′′ )′ . De modo que f ′′′( x ) puede interpretarse como la pendiente de la curva y = f ′′( x ) o como la tasa de cambio de f ′′( x ) . Si y = f ( x ) , entonces notaciones alternas para la tercera derivada son

y ′′′ = f ′′′( x ) =

d  d2 y  d3 y  = dx  dx 2  dx 3

El proceso se puede continuar. La cuarta derivada f ′′′′ usualmente se denota por f derivada de f se denota por f

(n)

( 4)

. En general, la n-ésima

y se obtiene a partir de f diferenciando n veces. Si y = f ( x ) , escribimos

y

(n)

= f

(n)

(x ) =

dn y dx n

Ejemplo 7 Si f ( x ) = x 3 − x , hallar f ′′′( x ) y f (4) ( x ) . Solución En el Ejemplo 6 se encontró que f ′′( x ) = 6x . La gráfica de la segunda derivada tiene ecuación y = 6 x y por tanto es una línea recta con pendiente 6. Como la derivada f ′′′( x ) es la pendiente de f ′′( x ) , tenemos que

f ′′′( x ) = 6 para todos los valores de x. De manera que f ′′′ es una función constante y su gráfica es una recta horizontal. Por tanto, para todos los valores de x,

f (4) ( x ) = 0 Hemos visto que una aplicación de las segundas derivadas ocurre al analizar el movimiento de objetos usando aceleración. Investigaremos otra aplicación de las segundas derivadas en la Sección 4.3, donde se demuestra cómo el conocimiento de f ′′ nos da información acerca de la forma de la gráfica de f. En la Sección 8.7 se verá

118

cómo las derivadas segunda y de órdenes superiores nos permiten representar funciones como sumas de series infinitas.

2.2 Ejercicios Ejercicios 1−2: Use la gráfica dada para estimar el valor de cada derivada. Dibuje después la gráfica de f.

1.

2.

3.

(a) f ′( −3)

(b) f ′( −2)

(c) f ′( −1)

(d) f ′(0)

(e) f ′(1)

(f) f ′(2)

(g) f ′(3)

(a) f ′(0)

(b) f ′(1)

(c) f ′(2)

(d) f ′(3)

(e) f ′(4)

(f) f ′(5)

(g) f ′(6)

(h) f ′(7)

Aparee la gráfica de cada función en (a) – (d) con la gráfica de su derivada en I – IV. Dé razones para sus selecciones.

Ejercicios 4−11: Copie la gráfica de la función dada f (suponga que los ejes tienen escalas iguales). Luego use el método del Ejemplo 1 para dibujar la gráfica de f ′ .

119

4.

12. En la figura se muestra la gráfica de la función de población P(t) para células de levadura en un cultivo de laboratorio. Use el método del Ejemplo 1 para graficar la derivada P′(t ) . ¿Qué nos dice la gráfica de P′ acerca de la población de la levadura? (células de levadura)

t (horas)

13. Una batería recargable se conecta a un cargador. La gráfica muestra a C(t), el porcentaje de capacidad plena que la batería alcanza como una función del tiempo t transcurrido (en horas). (a) ¿Cuál es el significado de la derivada C ′(t ) ? (b) Dibuje la gráfica de C ′(t ) . ¿Qué nos dice la gráfica?

120

porcentaje de plena carga

t (horas)

14. La gráfica (del Departamento de Energía de los Estados Unidos) muestra como la velocidad al conducir afecta el consumo de combustible. La economía de combustible F se mide en millas por galón y la velocidad v se mide en millas por hora. (a) ¿Cuál es el significado de la derivada F ′( v) ? (b) Dibuje la gráfica de F ′( v) . (c)

¿Cuál es la velocidad con la que se debe conducir si se quiere ahorrar gasolina?

15. La gráfica muestra cómo ha variado la edad promedio del primer matrimonio de los hombres japoneses en la segunda mitad del siglo 20. Dibuje la gráfica de la función derivada M ′(t ) . ¿En cuáles años fue negativa la derivada?

16. Haga un dibujo cuidadoso de la gráfica de la función seno y debajo de ella dibuja la gráfica de la derivada en la misma forma que en los Ejercicios 4−11. ¿Puede estimar a partir de la gráfica la derivada de la función seno? 17. Sea f ( x ) = x 2 . (a) Estime los valores de f ′(0) , f ′

( 21 ) ,

f ′(1) y f ′(2) usando un dispositivo de graficar para aumentar la

gráfica de f.

( )

(b) Use simetría para deducir los valores de f ′ − 21 , f ′( −1) y f ′( −2) . (c)

Use los resultados de las partes (a) y (b) para suponer una fórmula para f ′( x ) .

(d) Use la definición de una derivada para demostrar que su suposición en la parte (c) es correcta.

121

18. Sea f ( x ) = x 3 . (a) Estime los valores de f ′(0) , f ′

( 21 ) ,

f ′(1) , f ′(2) y f ′(3) usando un dispositivo de graficar para

aumentar la gráfica de f.

( )

(b) Use simetría para deducir los valores de f ′ − 21 , f ′( −1) , f ′( −2) y f ′( −3) . (c)

Use los valores de las partes (a) y (b) para graficar f ′ .

(d) Supóngase una fórmula para f ′( x ) . (e) Use la definición de una derivada para demostrar que su suposición en la parte (d) es correcta. Ejercicios 19−27: Hallar la derivada de la función usando la definición de derivada. Establezca el dominio de la función y el dominio de su derivada.

19.

f ( x ) = 12 x − 13

22. g(t ) = 25. G(t ) =

1 t 1 − 2t 3+t

20.

f ( x ) = 1.5x 2 − x + 3.7

23. g( x ) = 9 − x 26.

f (x ) = x 3 2

21.

f (x ) = x 2 − 2x 3

24.

f (x ) =

27.

f (x ) = x 4

x2 − 1 2x − 3

28. (a) Dibujar la gráfica de f ( x ) = 6 − x partiendo de la gráfica de y = x y usando las transformaciones de la Sección 1.2. (b) Use la gráfica de la parte (a) para dibujar la gráfica de f ′ . (c) Use la definición de una derivada para hallar f ′( x ) . ¿Cuáles son los dominios de f y f ′ ? (d) Use un dispositivo de graficar para dibujar f ′ y compárela con su dibujo en la parte (b).

29, (a) Si f ( x ) = x 2 + 2 x , hallar f ′( x ) . (b) Verifique para ver que su respuesta en la parte (a) es razonable comparando las gráficas de f y f ′ .

30.

(a) Si f ( x ) = x + 1 x , hallar f ′( x ) . (b) Verifique para ver que su respuesta en la parte (a) es razonable comparando las gráficas de f y f ′ .

31. La tasa de desempleo U(t) varía con el tiempo. La tabla (de la Oficina de Estadísticas del Trabajo) da el porcentaje de desempleo en la fuerza laboral de los Estados Unidos desde 1999 hasta 2008.

(a) ¿Cuál es el significado de U ′(t ) ? ¿Cuáles son sus unidades? (b) Construya una tabla de valores estimados de U ′(t ) .

32. Sea P(t) el porcentaje de Norteamericanos menores de 18 años en el instante t. La tabla da valores de esta función en los años de censos 1950 hasta 2000.

122

(a) ¿Cuál es el significado de P′(t ) ? ¿Cuáles son sus unidades? (b) Construya una tabla de valores estimados para P′(t ) . (c)

Graficar P y P′ .

(d) ¿Cómo se podrían obtener valores más precisos para P′(t ) ? Ejercicios 33−36: Se da la gráfica de f. Determine, con razones, los números en los cuales f no es diferenciable.

37. Graficar la función f ( x ) = x +

x . Aumente repetidamente, primero hacia el punto (−1, 0) y después hacia

el origen. ¿Qué es diferente en la conducta de f en los entornos de estos dos puntos? ¿Qué concluye acerca de la diferenciabilidad de f?

38. Aumente hacia los puntos (1, 0), (0, 1) y (−1, 0) en la gráfica de la función g( x ) = ( x 2 − 1 ) Explique lo que ve en términos de la diferenciabilidad de g.

2 3

. ¿Qué observa?

39. La figura muestra las gráficas de f, f ′ y f ′′ . Identifique cada curva y explique sus selecciones. 40. La figura muestra las gráficas de f, f ′ , f ′′ y f ′′′ . Identifique cada curva y explique sus selecciones.

Problema 39

Problema 40

41. La figura muestra las gráficas de tres funciones. Una es la función de posición de un carro, otra es la velocidad del carro y otra más es su aceleración. Identifique cada curva y explique sus selecciones.

123

Ejercicios 42−43: Use la definición de una derivada para hallar f ′′( x ) y f ′′( x ) . Después grafique f, f ′ y f ′′ en ejes comunes y verifique para ver si sus respuestas son razonables.

42.

f ( x ) = x 3 − 3x

43.

f ( x ) = 3x 2 + 2 x + 1

44. Si f ( x ) = 2 x 2 − x 3 hallar f ′′( x ) , f ′′( x ) , f ′′′( x ) y f (4) ( x ) . Grafique f, f ′ y f ′′ en ejes comunes. ¿Son las gráficas consistentes con las interpretaciones geométricas de estas derivadas? 45. Sea f ( x ) = 3 x . (a) Si a ≠ 0, use la Ecuación 2.1.5 para hallar f ′( a) . (b) Demuestre que f ′(0) no existe. (c)

Demuestre que y = 3 x tiene una tangente vertical en (0, 0). Recuerde la forma de la gráfica de f. Véase la Fig. 8 en la Sección 1.2.

46. (a) Si g( x ) = x 2 3 , demuestre que g(0) no existe. (b) Si a ≠ 0, hallar g ′( a) . (c) Demuestre que y = x 2 3 tiene una tangente vertical en (0, 0). (d) Ilustre la parte (c) mediante una gráfica de y = x 2 3 .

47. Demuestre que la función f ( x ) = x − 6 no es diferenciable en x = 6. Halle una fórmula para f ′ y dibuje su gráfica.

48. ¿Dónde no es diferenciable la función mayor entero f ( x ) =
x  ? Halle una fórmula para f ′ y dibuje su gráfica. 49. Recuerde que una función f se denomina par si f ( − x ) = f ( x ) para toda x en el dominio e impar si

f ( − x ) = − f ( x ) para toda x en el dominio. Demuestre cada una de las afirmaciones siguientes: (a) La derivada de una función par es una función impar. (b) La derivada de una función impar es una función par.

50. Cuando se abre la llave del agua caliente, la temperatura T del agua depende de cuánto tiempo se deja abierta la llave. (a) Dibuje una gráfica posible de T como una función del tiempo t que ha transcurrido desde que la llave se abrió. (b) Describa cómo varía la razón de cambio de T con respecto a t conforme t aumenta. (c)

Dibuje una gráfica de la derivada de T

51. Sea ℓ la recta tangente a la parábola y = x 2 en el punto (1, 1). El ángulo de inclinación de ℓ es el ángulo φ que

ℓ forma con la dirección positiva del eje x. Calcule el ángulo φ correcto hasta el grado más cercano.

124

2.3

Fórmulas de Diferenciación Básicas

Si siempre fuese necesario calcular derivadas directamente a partir de la definición, como hicimos en la sección precedente, esos cálculos serían tediosos y la evaluación de algunos límites requeriría de bastante ingeniosidad. Afortunadamente, se han desarrollado varias reglas para hallar derivadas sin tener que usar la definición directamente. Estas fórmulas simplifican la tarea de la diferenciación. En esta sección se aprenderá cómo diferenciar funciones constantes, funciones potencia, polinomios y las funciones seno y coseno. Después usamos este conocimiento para calcular tasas o razones de cambio. Comencemos con la más sencilla de todas las funciones, la función constante f ( x ) = c . La gráfica de esta función es la recta horizontal y = c, la cual tiene pendiente 0, de modo que debemos tener f ′( x ) = 0 (véase la Fig. 1). Una demostración formal, a partir de la definición de una derivada, también es sencilla:

f ( x + h ) − f (x) c −c = lím h → 0 h h = lím 0 = 0

f ′( x ) = lím

h→0

h→0

En la notación de Leibniz, esta regla se escribe en la forma siguiente:

Derivada de una Función Constante

d (c ) = 0 dx

pendiente = 0

Figura 1

Funciones de Potencia Ahora analizamos las funciones f ( x ) = x n , donde n es un entero positivo. Si n = 1, la gráfica de f ( x ) = x es la recta y = x , la cual tiene pendiente 1 (véase la Fig. 2). Por tanto,

{1}

d (x) = 1 dx

Esta ecuación también se puede verificar a partir de la definición de una derivada. Ya hemos investigado los casos n = 2 y n = 3. De hecho, en la Sección 2.2 (Ejercicios 17 y 18), se encontró que {2}

d ( 2) x = 2x dx

d ( 3) x = 3x 2 dx

Para n = 4, se encuentra que la derivada de f ( x ) = x 4 es como sigue:

125

pendiente = 1

Figura 2

f ′( x ) = lím

h→0

( x + h )4 − x 4 f ( x + h ) − f (x) = lím h→0 h h

x 4 + 4 x 3 h + 6 x 2 h 2 + 4xh 3 + h 4 − x 4 4x 3 h + 6x 2 h 2 + 4 xh 3 + h 4 = lím h→0 h→0 h h

= lím

= lím ( 4x 3 + 6x 2 h + 4 xh 2 + h 3 ) = 4x 3 h→0

Por tanto,

d ( 4) x = 4x 3 dx

[3]

Si se comparan las ecuaciones en (1), (2) y (3), vemos que comienza a aparecer un patrón. Parece razonable suponer que, cuando n es un entero positivo, entonces ( d dx ) ( x n ) = nx n −1 , lo cual resulta ser cierto.

La Regla de Potencia Si n es un entero positivo, entonces d ( n) x = nx n −1 dx

Demostración Si f ( x ) = x n , entonces

f ′( x ) = lím

h→0

( x + h )n − x n f ( x + h ) − f (x) = lím h→0 h h

4 n Para hallar la derivada de x 4 tuvimos que expandir ( x + h ) . Aquí necesitamos expandir ( x + h ) y usamos el Teorema del Binomio:

n(n − 1) n − 2 2  n  n−1 x h + ⋯ + nxh n − 1 + h n  − x n  x + nx h + 2  f ′( x ) = lím h→0 h n(n − 1) n − 2 2 nx n − 1 h + x h + ⋯ + nxh n − 1 + h n 2 = lím h→0 h  n −1 n(n − 1) n − 2  = lím nx + x h + ⋯ + nxh n − 2 + h n − 1  h→0 2  = nx n −1 puesto que todo término, excepto el primero, tiene a h como un factor y por tanto tiende a 0. La Regla de Potencia se ilustra en el Ejemplo 1 usando diferentes notaciones.

126

Ejemplo 1 (a) Si f ( x ) = x 6 , entonces f ′( x ) = 6x 5 . (c) ) Si y = t 4 , entonces

(b) Si y = x 1000 , entonces y ′ = 1000 x 999 .

dy = 4t 3 . dt

(d)

d ( 3) r = 3r 2 dr

¿Qué sucede con las funciones de potencia que tienen exponentes enteros negativos? En el Ejercicio 57, se pide verificar, a partir de la definición, que

d 1 1  =− 2 dx  x  x

Esta ecuación se puede reescribir como

d ( −1 ) x = ( − 1 ) x −2 dx y se tiene que la Regla de Potencia se cumple cuando n = −1. De hecho, en la próxima sección se demostrará [Ejercicio 57(c)] que también se cumple para todos los enteros negativos. ¿Qué sucede si el exponente es una fracción? En el Ejemplo 3, Sección 2.2, se encontró que

1 d x= dx 2 x la cual puede reescribirse como

d ( 1 2 ) 1 −1 2 x = 2x dx Ésta demuestra que la Regla de Potencia es válida hasta cuando n = 21 . De hecho, en la Sección 3.3 se demostrará que es válida para todos los números reales n.

La Regla de Potencia (Versión General) Si n es cualquier número real, entonces d ( n) x = nx n −1 dx

Ejemplo 2 Diferenciar (a) f ( x ) =

1 x

(b) y = 3 x 2

2

Solución En cada caso se reescribe la función como una potencia de x. (a) Como f ( x ) =

1 x2

= x −2 , usamos la Regla de Potencia con n = −2: f ′( x ) =

(b)

2 d ( −2 ) x = −2 x −2 − 1 = −2 x −3 = − 3 dx x

dy d 3 2 ( x ) = d ( x 2 3 ) = 23 x 23 −1 = 23 x −1 3 = dx dx dx

La Regla de Potencia nos permite hallar rectas tangentes sin tener que recurrir a la definición de una derivada. También nos permite hallar rectas normales. La recta normal a una curva C en un punto P es la recta que pasa por P y es perpendicular a la recta tangente en P. En el estudio de óptica se necesita considerar el ángulo entre un rayo de luz y la recta normal a un lente.

127

Ejemplo 3 Hallar ecuaciones de la recta tangente y la recta normal a la curva y = x x en el punto (1, 1). Ilustre mediante una gráfica de la curva y estas rectas. Solución La derivada de f ( x ) = x x = xx 1 2 = x 3 2 es 3 −1

f ′( x ) = 23 x 2

= 23 x 1 2 =

De manera que la pendiente de la tangente en (1, 1) es f ′(1) =

y − 1 = 23 ( x − 1 )

o

3 2

3 2

x

. Por tanto, una ecuación de la recta tangente es

y = 23 x − 21

La recta normal es perpendicular a la recta tangente, de modo que su pendiente es el recíproco negativo de

3 2

,

2 3

esto es − . Por tanto, una ecuación de la recta normal es

y − 1 = − 23 ( x − 1)

o

y = − 23 x + 53

En la Fig. 4 se grafican la curva y su recta tangente y su recta normal.

tangente

Figura 4

Nuevas Derivadas a Partir de Conocidas Cuando se forman nuevas funciones a partir de funciones conocidas mediante adición, sustracción o multiplicación por una constante, sus derivadas pueden calcularse en términos de las derivadas de las funciones conocidas. En particular, la siguiente fórmula dice que la derivada de una constante multiplicada por una función es la constante multiplicada por la derivada de la función.

La Regla de Multiplicación por una Constante Si c es una constante y f es una función diferenciable, entonces

d d [cf (x )] = c f (x) dx dx

Demostración Sea g( x ) = cf ( x ) . Entonces

g ( x + h ) − g( x ) cf ( x + h ) − cf ( x ) = lím h→0 h→0 h h  f ( x + h ) − f (x)  = lím c   h→0  h  f ( x + h ) − f (x) = c lím h→0 h = cf ′( x )

g ′( x ) = lím

128

Ejemplo 4 (a)

d ( 4) d 3x = 3 ( x 4 ) = 3 ( 4x 3 ) = 12 x 3 dx dx

(b)

d ( −x ) = d [ ( −1) x ] = ( −1 ) d ( x ) = ( −1 )( 1) = 1 dx dx dx

La regla siguiente nos dice que la derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas.

La Regla de la Suma Si f y g son ambas diferenciables, entonces

d d d [ f ( x ) + g ( x )] = f ( x ) + g ( x ) dx dx dx

Demostración Sea F( x ) = f ( x ) + g( x ) . Entonces

F ( x + h ) − F( x ) h→0 h  f ( x + h ) + g ( x + h )  − [ f ( x ) + g( x )] = lím  h→0 h  f (x + h) − f (x) g (x + h) − g (x)  = lím  +  h→0 h h  ( ) ( ) ( ) f x+h − f x g x + h − g (x) = lím + lím h→0 h→0 h h = f ′( x ) + g ′( x )

F ′( x ) = lím

La Regla de la Suma se puede extender a la suma de cualquier número de funciones. Por ejemplo, usando el teorema dos veces, se obtiene

( f + g + h )′ = ( f + g ) + h  ′ = ( f + g )′ + h′ =

f ′ + g′ + h ′

Si se escribe f − g como f + ( −1 ) g y aplicando la Regla de la Suma y la de Multiplicación por una Constante, se obtiene la fórmula siguiente:

La Regla de la Diferencia Si f y g son ambas diferenciables, entonces

d d d [ f (x ) − g( x)] = f (x) − g( x) dx dx dx

La Regla de Multiplicación por una Constante, la Regla de la Suma y la Regla de la Diferencia pueden combinarse con la Regla de Potencia para diferenciar cualquier polinomio, como lo demuestran los ejemplos siguientes.

Ejemplo 5

d ( 8 d ( 8) d d d d d x + 12 x 5 − 4 x 4 + 10x 3 − 6 x + 5 ) = x + 12 ( x 5 ) − 4 ( x 4 ) + 10 ( x 3 ) − 6 ( x ) + ( 5 ) dx dx dx dx dx dx dx = 8x7 + 12 ( 5x 4 ) − 4 ( 4x 3 ) + 10 ( 3x 2 ) − 6 ( 1 ) + 0 = 8x7 + 60 x 4 − 16 x 3 + 30 x 2 − 6

129

Ejemplo 6 Hallar los puntos en la curva y = x 4 − 6x 2 + 4 donde la recta tangente es horizontal. Solución Las tangentes horizontales ocurren cuando la derivada es cero. Por tanto, para la derivada tenemos

dy d 4 ( x ) − 6 d ( x2 ) + d ( 4 ) = dx dx dx dx = 4x 3 − 12 x + 0 = 4 x ( x 2 − 3 ) Entonces, dy dx = 0 si x = 0 o x 2 − 3 = 0 , esto es, x = ± 3 , De modo que la curva dada tiene tangentes horizontales cuando x = 0, Fig. 5).

3 y − 3 . Los puntos correspondientes son (0, 4),

(

3 , − 5 ) y ( − 3 , − 5 ) (véase la

Figura 5

Las Funciones Seno y Coseno Si dibujamos la gráfica de la función f ( x ) = sen x y usamos la interpretación de f ′( x ) como la pendiente de la tangente a la curva seno para dibujar la gráfica de f ′ (véase el Ejercicio 16 en la Sección 2.2), entonces pareciese como si la gráfica de f ′ podría ser la misma que la de la curva coseno (véase la Fig. 6). Para demostrar que esto es cierto necesitamos utilizar dos límites de la Sección 1.4 (véase la Ecuación 6 y el Ejemplo 11 en esa sección):

sen θ = 1, θ→0 θ lím

cos θ − 1 =0 θ→0 θ lím

Figura 6

130

d ( sen x ) = cos x dx

[4]

Demostración Si f ( x ) = sen x , entonces

f ( x + h ) − f (x) sen ( x + h ) − sen x = lím h→0 h→0 h h sen x cos h + cos x sen h − sen x = lím h→0 h  sen x cos h − sen x cos x sen h  = lím  +  h→0 h h   cos h − 1   sen h   = lím sen x   + cos x   h→0 h    h  cos h − 1 sen h = lím sen x ⋅ lím + lím cos x ⋅ lím h→0 h→0 h→0 h→0 h h = ( sen x ) ⋅ 0 + ( cos x ) ⋅ 1 = cos x

f ′( x ) = lím

Si se usa el mismo método que en la demostración de la Fórmula 4, se puede demostrar (véase el Ejercicio 58) que

d ( cos x ) = − sen x dx

[5]

Ejemplo 7 Diferenciar y = 3 sen θ + 4 cos θ . Solución

dy d d = 3 ( sen θ ) + 4 ( cos θ ) = 3 cos θ − 4 sen θ dθ dθ dθ

Ejemplo 8 Hallar la 27ma. derivada de cos x . Solución Las primeras derivadas de f ( x ) = cos x son las siguientes:

f ′( x ) = − sen x , f ′′′( x ) = sen x f

(5)

f ′′( x ) = − cos x f

(4)

( x ) = cos x

( x ) = − sen x

Si se busca un patrón, vemos que las derivadas sucesivas ocurren en un ciclo de longitud 4 y, en particular, f ( n ) ( x ) = cos x siempre y cuando n sea un múltiplo de 4. Por tanto,

f (24) ( x ) = cos x y, diferenciando tres veces más, se obtiene

f (27 ) ( x ) = sen x Aplicaciones a Razones (Tasas) de Cambio En la Sección 2.1 estudiamos velocidad y otras razones de cambio, pero ahora que conocemos algunas fórmulas de diferenciación podemos resolver más fácilmente problemas que involucran tasas de cambio.

131

Ejemplo 9 La posición de una partícula la da la ecuación

s = f ( t ) = t 3 − 6t 2 + 9t donde t se mide en segundos y s en metros. (a) Hallar la velocidad en el instante t. (b) ¿Cuál es la velocidad después de 2 s? ¿Después de 4 s? (c)

¿Cuándo está la partícula en reposo?

(d) ¿Cuándo está la partícula moviéndose hacia adelante (esto es, en la dirección positiva)? (e) Dibuje un diagrama que represente el movimiento de la partícula. (f)

Halle la distancia total recorrida por la partícula durante los primeros cinco segundos?

(g) Halle la aceleración en el instante t y después de 4 s. (h) Grafique las funciones de posición, velocidad y aceleración para 0 ≤ t ≤ 5.

Solución (a) La función velocidad es la derivada de la función de posición:

s = f ( t ) = t 3 − 6t 2 + 9t v(t ) =

ds = 3t 2 − 12t + 9 dt

(b) La velocidad después de 2 s significa la velocidad instantánea cuando t = 2, es decir,

v(2) =

ds dt

2

= 3 ( 2 ) − 12 ( 2 ) + 9 = −3 m/s t =2

La velocidad después de 4 s es

v(4) =

ds dt

2

= 3 ( 4 ) − 12 ( 4 ) + 9 = 8 m/s t =4

(c) La partícula está en reposo cuando v(t) = 0, esto es,

3t 2 − 12t + 9 = 3 ( t 2 − 4t + 3 ) = 3 ( t − 1 )( t − 3 ) = 0 y esto se cumple cuando t = 1 o t = 3. Por tanto, la partícula está en reposo después de 1 s y después de 3 s. (d) La partícula se mueve en la dirección positiva cuando v(t) > 0, esto es,

3t 2 − 12t + 9 = 3 ( t − 1) ( t − 3 ) > 0 Esta inecuación se cumple cuando ambos factores son positivos (t > 3) o cuando ambos factores son negativos (t < 1) . Por tanto, la partícula se mueve en la dirección positiva en los intervalos de tiempo t < 1 y t > 3. Se mueve de regreso (en la dirección negativa) cuando 1 < t < 3. (e) Utilizando la información de la parte (d), hacemos un dibujo esquemático en la Fig. 7 del movimiento de la partícula oscilando a lo largo de una recta (el eje s).

Figura 7

132

(f) A causa de lo aprendido en las partes (d) y (e), necesitamos calcular el distancia recorrida durante los intervalos de tiempo [0, 1], [1, 3] y [3, 5] por separado. La distancia recorrida en el primer segundo es

f (1) − f (0) = 4 − 0 = 4 m De t = 1 a t = 3, la distancia recorrida es

f (3) − f (1) = 0 − 4 = 4 m De t = 3 a t = 5, la distancia recorrida es

f (5) − f (3) = 20 − 0 = 20 m La distancia total es 4 + 4 + 20 = 28 m. (f)

La aceleración es la derivada de la función velocidad:

a(t ) =

d2 s 2

=

dv = 6t − 12 dt

dt a(4) = 6 ( 4 ) − 12 = 12 m/s 2

(g) La Fig. 8 muestra las gráficas de s, v y a.

Figura 8

Ejemplo 10 Supóngase que C(x) es el costo total en que incurre una compañía que produce x unidades de un cierto producto. La función C se denomina una función de costo. Si se aumenta el número de ítems producidos desde x1 hasta x2, entonces el costo adicional es ∆C = C ( x2 ) − c ( x1 ) y el promedio de la tasa de cambio del costo es

∆C C ( x 2 ) − C ( x 1 ) C ( x 1 + ∆x ) − C ( x 1 ) = = ∆x x 2 − x1 ∆x El límite de esta cantidad conforme ∆x → 0 , es decir, la tasa de cambio instantánea del costo con respecto al número de ítems producidos, se denomina el costo marginal

costo marginal = lím

∆x → 0

∆C dC = ∆x dx

Puesto que x con frecuencia sólo toma valores enteros, puede no tener sentido literalmente cuando se dice que ∆x tiende a 0, pero siempre podemos reemplazar a C(x) por función de aproximación suave. Tomando ∆x = 1 y n grande (modo que ∆x sea pequeño comparado con n), tenemos que

C ′(n) ≈ C ( n + 1 ) − C (n) Por tanto, el costo marginal de producir n unidades es aproximadamente igual al costo de producir una unidad adicional [la (n + 1)-ésima unidad].

133

Con frecuencia es apropiado representar una función de costo total mediante un polinomio como, por ejemplo,

C ( x ) = a + bx + cx 2 + dx 3 donde a representa los gastos generales (alquiler, calefacción, mantenimiento) y los otros términos representan el costo de la materia prima, mano de obra, etc. (El costo de la materia prima puede ser proporcional a x, pero los costos de la mano de obra podrían depender parcialmente de potencias superiores de x debido a los costos de sobretiempo e ineficiencias involucrados en las operaciones de gran escala.) Por ejemplo, supóngase que una compañía ha estimado que el costo (en dólares) de producir x ítems es

C ( x ) = 10 000 + 5x + 0.01x 2 Entonces la función costo marginal es

C ′( x ) = 5 + 0.02 x El costo marginal en el nivel de producción de 500 ítems es

C ′(500) = 5 + 0.02 (500) = $15 item Esto da la tasa con la cual se están incrementando los costos con respecto al nivel de producción cuando x = 500 y predice el costo del ítem 501. El costo real de producir el ítem 501 es

C (501) − C(500) = 10 000 + 5(501) + 0.01(501)2  −  10 000 + 5(500) + 0.01(500)2  = $15.01 Observe que C ′(500) ≈ ¨C (501) − C(500) .

2.3 Ejercicios Ejercicios 1−26: Diferenciar la función.

1.

f ( x ) = 2 40

2.

f ( x ) = π2

3.

f (t ) = 2 − 23 t

4. F( x ) = 34 x 8

5.

f ( x ) = x 3 − 4x + 6

6.

f (t ) = 1.4t 5 − 2.5t 2 + 6.7

7.

f ( x ) = 3x 2 − 2 cos x

8. y = sen t + π cos t

9. g( x ) = x 2 ( 1 − 2 x ) 13. A(s ) = −

12 s5

17. S( p ) = p − p 21. v = t 2 −

1

10. h( x ) = ( x − 2 )( 2 x + 3 )

11. g(t ) = 2t − 3 4

14. y = x 5 3 − x 2 3

15. R( a) = ( 3a + 1)

18. S( R) = 4πR 2

19. y =

x +x

22. y =

4 3

x

t

25. H ( x ) = ( x + x −1 )

3

2

23. z =

12. B( y ) = cy −6 2

x2 + 4x + 3 x A y

10

+ B cos y

16. y = x ( x − 1 ) 20. g(u) = 2 u + 3u

24. y =

sen θ c + θ 2

3

26. u = t 2 + 2 t 3

Ejercicios 27−28: Hallar ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la curva en el punto dado.

27. y = 6 cos x ,

( π 3 , 3)

28. y = x 2 − x 4 , ( 1, 0 )

Ejercicios 29−30: Hallar una ecuación de la tangente a la curva en el punto dado. Ilustre mediante una gráfica de la curva y de la tangente en los mismos ejes.

134

29. y = 3x 2 − x 3 , (1, 2)

30. y = x − x , (1, 0)

Ejercicios 31−34: Halla las derivadas primera y segunda de la función.

31. f ( x ) = x 4 − 3x 3 + 16x 35. Hallar

d 99 dx 99

32. G(r ) = r + 3 r

33. g(t ) = 2 cos t − 3 sen t

34. h(t ) = t + 5 sen t

( sen x ) .

36. Hallar la n-ésima derivada de cada función calculando varias derivadas y observando el patrón que ocurre. (a) f ( x ) = x n

(b) f ( x ) = 1 x

37. ¿Para qué valores de x tiene la gráfica de f ( x ) = x + 2 sen x una tangente horizontal? 38. Hallar los puntos en la curva y = 2 x 3 + 3x 2 − 12 x + 1 donde la tangente es horizontal. 39. Demuestre que la curva y = 6 x 3 + 5x − 3 no tiene tangente cuya pendiente sea 4. 40. Hallar una ecuación de la tangente a la curva y = x x que sea paralela a la recta y = 1 + 3x . 41. Hallar una ecuación de la recta normal a la parábola y = x 2 − 5x + 4 que sea paralela a la recta x − 3 y = 5 . 42. ¿Dónde interseca la parábola una segunda vez la normal a la parábola y = x − x 2 en el punto (1, 0)? Ilustre mediante un dibujo. 43. La ecuación de movimiento de una partícula es s = t 3 − 3t , donde s está en metros y t en segundos. Hallar (a) la velocidad y aceleración como funciones de t. (b) la aceleración después de 2 s, y (c)

la aceleración cuando la velocidad es 0.

44. La ecuación de movimiento de una partícula es s = 2t 3 − 7t 2 + 4t + 1 , donde s está en metros y t en segundos. (a) Hallar la velocidad y aceleración como funciones de t. (b) Hallar la aceleración después de 1 s. (c)

Graficar las funciones de posición, velocidad y aceleración en los mismos ejes.

Ejercicios 45−46: Una partícula se mueve de acuerdo con una ley de movimiento s = f (t ) , t ≥ 0, donde t se mide en segundos y s en pies. (a) Hallar la velocidad en el instante t. (b) ¿Cuál es la velocidad después de 3 s? (c)

¿Cuándo está la partícula en reposo?

(d) ¿Cuándo se está moviendo la partícula en la dirección positiva? (e) Hallar la distancia total recorrida durante los primeros 8 s. (f)

Dibuje un diagrama como la Fig. 2 para ilustrar el movimiento de la partícula.

(g) Hallar la aceleración en el instante t y después de 3 s. (h) Graficar las funciones de posición, velocidad y aceleración para 0 ≤ t ≤ 8.

45.

f (t ) = t 3 − 12t 2 + 36t

46. f (t ) = 0.01t 4 − 0.04t 3

47. La función de posición de una partícula es dada por s = t 3 − 45t 2 − 7t , t ≥ 0.

135

(a) ¿Cuándo alcanza la partícula una velocidad de 5 m/s? (b) ¿Cuándo es la aceleración igual a 0? ¿Cuál es el significado de este valor de t?

48. Si a una pelota se le da un empujón de manera que tenga una velocidad inicial de 5 m/s bajando por un plano inclinado, entonces la distancia que ha rodado después de t segundos es s = 5t + 3t 2 . (a)

Hallar la velocidad después de 2 s.

(b)

¿Cuánto tiempo se necesita para que la velocidad alcance 35 m/s?

49. Si se lanza una piedra verticalmente desde la superficie de Marte con velocidad igual a 15 m/s, su altura después de t segundos es h = 15t − 1.86t 2 . (a)

¿Cuál es la velocidad de la piedra después de 2 s?

(b)

¿Cuál es la velocidad de la piedra cuando la altura es de 25 m y está subiendo? ¿Cuándo está bajando?

50. Si se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 80 ft/s, entonces su altura después de t segundos es s = 80t − 16t 2 . (a)

¿Cuál es la máxima altura que alcanza la pelota?

(b)

¿Cuál es la velocidad de la pelota cuando está a 96 ft sobre el suelo y subiendo? ¿Cuando está bajando?

51. El costo, en dólares, de producir x yardas de una cierta tela es

C ( x ) = 1200 + 12 x − 0.1x 2 + 0.0005x 3 (a)

Halle la función de costo marginal.

(b)

Halle C ′(200) y explique su significado. ¿Qué predice?

(c)

Compare C ′(200) con el costo de fabricar la yarda 201 de tela.

52. La función de costo para la producción de un artículo es

C ( x ) = 339 + 25x − 0.09 x 2 + 0.0004x 3 (a)

Halle e interprete C ′(100) .

(b)

Compare C ′(100) con el costo de producir el artículo 101.

53. Se está inflando un balón esférico. Halle la tasa de crecimiento del área superficial ( S = 4 πr 2 ) con respecto al radio r cuando r es igual a (a) 1 ft, (b) 2 ft y (c) 3 ft. ¿Qué conclusiones se pueden hacer? 54. Si la capacidad de un tanque es de 5000 galones de agua, los cuales drenan por el fondo del tanque en 40 minutos, entonces la Ley de Torricelli da el volumen V del agua que queda en el tanque después de t minutos como

(

1 V = 5000 1 − 40 t

)

2

,

0 ≤ t ≤ 40

Halle la tasa con la cual el agua está saliendo del tanque después de (1) 5 minutos, (b) 10 minutos, (c) 20 minutos y (d) 40 minutos. ¿En qué momento está el agua saliendo con mayor velocidad? ¿Con menor velocidad? Resuma sus resultados.

55. La Ley de Boyle establece que cuando se comprime una muestra de gas a presión constante, la presión P del gas es inversamente proporcional al volumen V del gas. (a)

Supóngase que la presión de una muestra de aire que ocupa 0.106 m2 a 25°C es 50 kPa. Escriba V como una función de P.

(b)

Calcule dV/dP cuando P = 50 kPa. ¿Cuál es el significado de la derivada? ¿Cuáles son sus unidades?

136

56. La Ley de Gravitación de Newton dice que la magnitud F de la fuerza ejercida por un cuerpo de masa m sobre un cuerpo de masa M es

F=

GmM r2

donde G es la constante gravitacional y r es la distancia entre los cuerpos. (a)

Hallar dF/dr y explique su significado. ¿Qué indica el signo menos?

(b)

Supóngase que se conoce que la tierra atrae un objeto con una fuerza que disminuye con una tasa de 2 N/km cuando r = 20000 km. ¿Con qué rapidez cambia esta fuerza cuando r = 10000 km?

57. Use la definición de una derivada para demostrar que si f ( x ) = 1 x , entonces f ′( x ) = − 1 x 2 . Esto demuestra la Regla de Potencia para el caso n = −1.

58. Demuestre, usando la definición de derivada, que si f ( x ) = cos x , entonces f ( x ) = − sen x . 59. La ecuación y ′′ + y ′ − 2 y = sen x se llama una ecuación diferencial porque involucra una función desconocida y y sus derivadas y ′ y y ′′ . Halle constantes A y B tales que la función y = A sen x + B cos x satisfaga esta ecuación. 60. Halle constantes A, B y C tales que la función y = Ax 2 + Bx + C satisfaga la ecuación diferencial

y ′′ + y ′ − 2 y = x 2 . 61. Dibuje un diagrama para demostrar que hay dos tangentes a la parábola y = x 2 que pasan por el punto

(0, − 4) . Halle las coordenadas de los puntos donde estas tangentes intersecan la parábola. 62.

(a) Halle ecuaciones de las dos líneas que pasan por el punto (2, −3) y son tangentes a la parábola y = x2 + x . (b) Demuestre que por el punto (2, 7) no pasa ninguna recta que sea tangente a la parábola. Haga después un diagrama para ver por qué.

63. ¿Para qué valores de a y b es la recta 2x + y = b tangente a la parábola y = ax 2 cuando x = 2? 64. Hallar una parábola con ecuación y = ax 2 + bs + c que tenga pendiente 4 en x = 1, pendiente −8 en x = −1 y pasa por el punto (2, 15). 65. Hallar una función cúbica y = ax 3 + bx 2 + cx + d cuya gráfica tiene tangentes horizontales en los puntos

( −2, 6 ) y (2, 0). 66. Supóngase que la curva y = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d tiene una tangente cuando x = 0 con ecuación y = 2 x + 1 y una tangente cuando x = 1 con ecuación y = 2 − 3x . Hallar los valores de a, b, c y d. 67. Hallar la parábola con ecuación y = ax 2 + bx cuya tangente en (1, 1) tiene ecuación y = 3x − 2 . 68. Se dibuja una tangente a la hipérbola xy = c en un punto P. (a)

Demuestre que P es el punto medio del segmento lineal cortado de esta recta por los ejes de coordenadas.

(b)

Demuestre que el triángulo formado por la tangente y los ejes de coordenadas tiene siempre la misma área, sin importar dónde esté situado P en la hipérbola.

69. Evaluar lím

x→1

x 1000 − 1

.

137

70. Dibuje un diagrama que muestre dos rectas perpendiculares que se intersecan en el eje y y son ambas tangentes a la parábola y = x 2 - ¿Dónde se cruzan estas rectas? 71. Si c >

1 2

, ¿cuántas rectas que pasan por el punto (0, c) son rectas normales a la parábola y = x 2 ? ¿Qué

sucede si c <

1 2

?

72. Dibuje las parábolas y = x 2 y y = x 2 − 2 x + 2 . ¿Cree usted que hay una recta que sea tangente a ambas curvas? Si es así, halle su ecuación. Si no lo es, ¿por qué?

2.4

Las Reglas del Producto y del Cociente

Las fórmulas de esta sección nos permiten diferenciar nuevas funciones formadas a partir de funciones conocidas mediante multiplicación o división.

La Regla del Producto Por analogía con las Reglas de Suma y Diferencia, podríamos estar tentados a suponer, como lo hizo Leibniz hace tres siglos, que la derivada de un producto es el producto de las derivadas. Sin embargo, podemos ver que esta suposición está errada al estudiar un ejemplo particular. Sea f ( x ) = x y g( x ) = x 2 . Entonces la Regla de Potencia da f ′( x ) = 1 y g ′( x ) = 2 x . Pero

( fg ) ( x ) = x 3 ,

de modo que

( fg )′ ( x ) = 3x 2 .

Por tanto,

( fg )′ ≠

f ′g′ . La

fórmula correcta fue descubierta por Leibniz (poco después de su falsa partida) y se denominó la Regla del Producto.

La Regla del Producto Si f y g son ambas diferenciables, entonces

d d d [ f (x )g(x )] = f ( x) [ g(x )] + g( x) [ f ( x)] dx dx dx

Demostración Sea F( x ) = f ( x ) g( x ) . Entonces

f ( x + h ) g ( x + h ) − f ( x ) g( x ) F (x + h) − F (x) = lím h→0 h→0 h h

F ′( x ) = lím

Para evaluar este límite, nos gustaría separar las funciones f y g como en la demostración de la Regla de la Suma. Esto lo podemos hacer restando y sumando el término f ( x + h ) g( x ) en el numerador:

f ( x + h ) − f ( x + h ) g ( x ) + f ( x + h ) g ( x ) − f ( x ) g( x ) h→0 h  g ( x + h ) − g( x f ( x + h ) − f (x )  = lím  f ( x + h ) + g( x )  h→0 h h  g ( x + h ) − g( x f ( x + h ) − f (x) = lím f ( x + h ) ⋅ lím + lím g( x ) ⋅ lím h→0 h→0 h → 0 h h h→0

F ′( x ) = lím

= f ( x ) g′( x ) + g( x ) f ′( x ) Observe que lím h → 0 g( x ) = g( x ) ya que g(x) es una constante con respecto a la variable h. También, como f es diferenciable en x, es continua en x por el Teorema 2.2.4 y por tanto lím h → 0 f ( x + h ) = f ( x ) .

138

En palabras, la Regla del Producto dice que la derivada de un producto de dos funciones es el producto de la primera función multiplicada por la derivada de la segunda función más la segunda función multiplicada por la derivada de la primera función.

Ejemplo 1 Diferenciar y = x 2 sen x . Solución Si se usa la Regla del Producto, se obtiene

dy d ( sen x ) + sen x d ( x 2 ) = x 2 cos x + 2 x sen x = x2 dx dx dx

Figura 1 Gráficas de la función del Ejemplo 1 y su derivada. Observe que y’ = 0 siempre que y tenga una tangente horizontal.

Ejemplo 2 Diferenciar la función f (t ) = t ( a + bt ) . Solución 1 Usando la Regla del Producto, tenemos que

d ( a + bt ) + ( a + bt ) d ( t ) dt dt − 1 2 1 = t ⋅ b + ( a + bt ) ⋅ 2 t

f ′(t ) = t

=b t+

a + bt 2 t

=

a + 3bt 2 t

Solución 2 Si usamos primero las leyes de exponentes para reescribir f (t ) , entonces podemos proceder directamente sin usar la Regla del Producto:

f (t ) = a t + bt t = at 1 2 + bt 3 2

⇒

f ′(t ) = 21 at − 1 2 + 23 bt 1 2

la cual es equivalente a la respuesta dada en la Solución 1. El Ejemplo 2 muestra que algunas veces es más sencillo simplificar un producto de funciones que usar la Regla del Producto. Sin embargo, en el Ejemplo 1, la Regla del Producto es el único método posible.

Ejemplo 3 Si h( x ) = xg( x ) y se sabe que g(3) = 5 y g ′(3) = 2 , hallar h ′(3) . Solución Aplicando la Regla del Producto, se obtiene

h ′( x ) =

d d d [ xg( x)] = x + g(x ) [ x ] = xg′( x) + g(x) dx dx dx

Por tanto,

h ′(3) = 3 g ′(3) + g(3) = 3 ⋅ 2 + 5 = 11 La Regla del Cociente La regla siguiente permite diferenciar el cociente de dos funciones diferenciables.

139

La Regla del Cociente Si f y g son diferenciables, entonces

d  f (x )  = dx  g( x ) 

g( x )

d d f ( x )] − f ( x ) [ g ( x )] [ dx dx 2 g ( x ) [ ]

Demostración Sea F( x ) = f ( x ) g( x ) . Entonces

f ( x + h ) f (x ) − g ( x + h ) g( x ) F (x + h) − F (x) ′ = lím F ( x ) = lím h→0 h→0 h h f ( x + h ) g( x ) − f ( x ) g ( x + h ) = lím h→0 h g ( x + h ) g( x ) Podemos separar a f y g en esta expresión si restamos y sumamos el término f ( x ) g( x ) en el numerador:

f ( x + h ) g( x ) − f ( x ) g( x ) + f ( x ) g( x ) − f ( x ) g ( x + h ) h→0 h g ( x + h ) g( x ) f ( x + h ) − f (x) g ( x + h ) − g( x ) g( x ) − f (x) h h = lím h→0 g ( x + h ) g( x ) f ( x + h ) − f (x ) g ( x + h ) − g( x ) lím g( x ) ⋅ lím − lím f ( x ) ⋅ lím h→0 h→0 h→0 h→0 h h = lím g ( x + h ) ⋅ lím g( x )

F ′( x ) = lím

h→0

h→0

g( x ) f ′( x ) − f ( x ) g ′( x )

=

[ g( x)]2

Una vez más, g es continua por el Teorema 2.2.4, de modo que lím h → 0 g ( x + h ) = g( x ) . En palabras, la Regla del Cociente dice que la derivada de un cociente es el producto del denominador por la derivada del numerador menos el producto del numerador por la derivada del denominador, todo dividido por el cuadrado del denominador. La Regla del Cociente y las otras fórmulas para diferenciar nos permiten calcular la derivada de cualquier función racional, como se ilustra en el ejemplo siguiente.

Ejemplo 4 Sea y =

x2 + x − 2 x3 + 6

. Entonces

( x3 + 6 ) y′ = = =

d ( 2 d x + x − 2 ) − ( x2 + x − 2 ) ( x3 + 6) dx dx

( x 3 + 6 )2

( x 3 + 6 ) ( 2 x + 1 ) − ( x 2 + x − 2 )( 3x 2 ) ( 2 x 4 + x 3 + 12 x + 6 ) − ( 3x 4 + 3x 3 − 6x 2 ) = ( x 3 + 6 )2 ( x 3 + 6 )2 −x 4 − 2 x 3 + 6x 2 + 12 x + 6

( x 3 + 6 )2

140

Figura 2 Gráficas de la función en el Ejemplo 4 y su derivada. Observe que cuando y crece rápidamente (cerca de −2), y’ es grande; y cuando y crece lentamente, y’ es casi cero.

Ejemplo 5 Hallar una ecuación de la tangente a la curva y = x ( 1 + x 2 ) en el punto 1,

(

1 2

).

Solución De acuerdo con la Regla del Cociente, tenemos

dy = dx

(1 + x2 )

d ( x ) − x d (1 + x2 ) dx dx

( 1 + x 2 )2

(1 + x2 ) =

1 2 x

− x ( 2x )

( 1 + x 2 )2 ( 1 + x 2 − 4x 2 ) = = 2 )2 ( 2 x 1+x 2

(

y la pendiente de la tangente en 1,

1 2

1 − 3x 2 x (1 + x2 )

2

) es dy dx

= x=1

1 − 3 ⋅ 12 2 2 (1 + 1

2 2

)

=

1 4

(

Usamos la forma punto-pendiente para escribir una ecuación de la tangente en 1,

y − 21 = − 14 ( x − 1 )

o

1 2

):

y = − 14 x + 43

La curva y su tangente se grafican en la Fig. 3.

Figura 3

Observación No use la Regla del Cociente cada vez que vea un cociente. Algunas veces es más fácil reescribir un cociente primero para ponerlo en una forma que sea más sencilla con el objetivo de diferenciación. Por ejemplo, aunque es posible diferenciar la función

F( x ) =

3x 2 + 2 x x

141

usando la Regla del Cociente, es mucho más fácil realizar la división primero y escribir la función como

F( x ) = 3x + 2 x − 1 2 antes de diferenciar.

Funciones Trigonométricas Si se conocen las derivadas de las funciones seno y coseno, podemos usar la Regla del Cociente para hallar la derivada de la función tangente:

d ( tan x ) = d  sen x  dx dx  cos x  d d cos x ( sen x ) − sen x ( cos x ) dx dx = cos 2 x cos x ⋅ cos x − sen x ( − sen x ) = cos 2 x 2 cos x + sen 2 x 1 = = 2 cos x cos 2 x = sec2 x d ( tan x ) = sec2 x dx Las derivadas de las funciones trigonométricas restantes, csc, sec y cot, también pueden determinarse usando la Regla del Cociente (véase los Ejercicios 37−39). La tabla siguiente recoge todas las fórmulas de diferenciación para las funciones trigonométricas. Recuerde que ellas sólo tienen validez cuando x se mide en radianes.

Derivadas de las Funciones Trigonométricas

d ( sen x ) = cos x dx

d ( csc x ) = − csc x cot x dx

d ( cos x ) = − sen x dx

d ( sec x ) = sec x tan x dx

d ( tan x ) = sec2 x dx

d ( cot x ) = − csc 2 x dx

Ejemplo 6 Diferenciar f ( x ) = sec x ( 1 + tan x ) . ¿Para qué valores de x tiene la gráfica de f una tangente horizontal? Solución La Regla del cociente da

( 1 + tan x ) d ( sec x ) − sec x d ( 1 + tan x ) dx dx f ′( x ) = ( 1 + tan x )2 ( 1 + tan x ) sec x tan x − sec x ⋅ sec 2 x = ( 1 + tan x )2 =

sec x ( tan x + tan 2 x − sec 2 x )

( 1 + tan x )

2

=

sec x ( tan x − 1 )

( 1 + tan x )2

142

En la simplificación de la respuesta se usó la identidad tan 2 x + 1 = sec 2 x . Puesto que sec x nunca es 0, vemos que f ′( x ) = 0 cuando tan x = 1 , y esto ocurre cuando x = nπ + π 4 , donde n es un entero (véase la Fig. 4).

Figura 4

2.4 Ejercicios 1.

Hallar la derivada de f ( x ) = ( 1 + 2 x 2 )( x − x 2 ) en dos formas: utilizando la Regla del Producto y realizando primero la multiplicación. ¿Coinciden sus respuestas?

2.

Hallar la derivada de la función

F( x ) =

x 4 − 5x 3 + x x2

en dos formas: usando la Regla del Cociente y simplificando primero. Demuestre que sus respuestas son equivalentes. ¿Cuál método prefiere? Ejercicios 3−26: Diferenciar.

3.

g(t ) = t 3 cos t

4.

f ( x ) = x sen x

6. J ( v) = ( v 3 − 2 v )( v −4 + v −2 ) 8. y = 2 sec x − csc x 12. G( x ) =

24. y =

t

9. h(θ) = θ csc θ − cot θ

x3 1−x

17. f (t ) =

13

cos x 1 − sen x

21. f (θ) =

t

(t − 1)

7.

13. y =

t− t

16. g(t ) = 20. y =

x2 − 2 2x + 1

25. f ( x ) =

2

3   1 5. F( y ) =  2 − 4  ( y + 5 y 3 ) y  y

2

2t 2+ t sec θ 1 + sec θ

x c x+ x

f ( x ) = sen x + 21 cot x

10. y = sen θ cos θ 14. y = 18. y = 22. y =

x+1 3

x +x−2 x −1 x +1 1 − sec x tan x

11. g( x ) = 15. y =

v3 − 2 v v v

19. y =

x 2 − tan x

23. y =

t sen t 1+t

26. y = x 2 sen x tan x

Ejercicios 27−30: Hallar una ecuación de la tangente a la curva en el punto dado.

27. y =

x2 − 1 2

x +x+1

, (1, 0)

28. y =

x , (4, 0.4) x+1

1 + 2x 3 − 4x

29. y = cos x − sen x , ( π , − 1)

143

30. y = x + tan x , ( π , π) 31. (a) La curva y = 1 ( 1 + x 2 ) se denomina una bruja de María Agnesi. Hallar una ecuación de la tangente a

(

esta curva en el punto −1,

1 2

).

(b) Ilustre la parte (a) mediante una gráfica de la curva y de la tangente en los mismos ejes.

32. (a) La curva y = x ( 1 + x 2 ) se denomina una serpentina. Hallar una ecuación de la tangente a esta curva en el punto (3, 0.3). (b) Ilustre la parte (a) mediante una gráfica de la curva y de la tangente en los mismos ejes.

31. Si f ( x ) = x 2 ( 1 + x ) , halle f ′′(1) .

34. Si f ( x ) = sec x , halle f ′′( π 4) .

35. Si H (θ) = θ sen θ , hallar H ′(θ) y H ′′(θ) .

36. Hallar

37. Demostrar que

d ( csc x ) = − csc x cot x . dx

39. Demostrar que

d ( cot x ) = − csc 2 x . dx

d 35 dx 35

( x sen x ) .

38. Demostrar que

d ( sec x ) = sec x tan x . dx

40. Supóngase que f ( π 3 ) = 4 y f ′ ( π 3 ) = −2 y sea g( x ) = f ( x )sen x y h( x ) = ( cos x ) f ( x ) . Hallar (a) g ′ ( π 3 ) y (b) h ′ ( π 3 ) .

41. Supóngase que f (5) = 1 , f ′(5) = 6 , g(5) = −3 y g ′(5) = 2 . Hallar los valores siguientes: (a)

( fg ) (5)

(b)

( f g ) (5)

(c)

( g f ) (5)

42. Si f (3) = 4 , f ′(3) = −6 , g(3) = 2 y g ′(3) = 5 , hallar los valores siguientes: (a)

( f + g ) (3)

(b)

( fg ) (3)

(c)

( f g ) (3)

43. Si f y g son las funciones cuyas gráficas se muestran, sea u( x ) = f ( x ) g( x ) y v( x ) = f ( x ) g( x ) . (a) Hallar u′(1)

(b) Hallar v′(5)

44. Sea P( x ) = F ( x )G( x ) y Q( x ) = F( x ) G( x ) , donde F y G son las funciones cuyas gráficas se muestran. (a) Hallar P′(2)

(b) Hallar Q′′(7)

144

45. Si g es una función diferenciable, hallar una expresión para la derivada de cada una de las funciones siguientes: (a) y = xg( x )

(b) y =

x g( x )

(c) y =

g( x ) x

46. Si f es una función diferenciable, hallar una expresión para la derivada de cada una de las funciones siguientes: (a) y = x 2 f ( x )

(b) y =

f (x ) x

(c) y =

2

x2 f (x )

(d) y =

1 + xf ( x ) x

47. ¿Cuántas tangentes a la curva y = x ( x + 1 ) pasan por el punto (1, 2)? ¿En qué puntos tocan la curva estas tangentes? 48. Hallar ecuaciones de las tangentes a la curva

y=

x−1 x+1

que sean paralelas a la recta x − 2 y = 2 .

49. Hallar R′(0) , donde

R( x ) =

x − 3x 3 + 5x 5 1 + 3x 3 + 6 x 6 + 9 x 9

Sugerencia: En vez de hallar primero R′( x ) , suponga que f ( x ) es el numerador y g( x ) el denominador de R( x ) y calcule R′(0) a partir de f (0) , f ′(0) , g(0) y g ′(0) .

50. Un fabricante produce pernos de una estructura con un ancho fijo. La cantidad q de esta estructura (medida en yardas) que se vende es una función del precio de venta p (en dólares por yarda), de modo que podemos escribir q = f ( p) . Entonces todo el ingreso obtenido con el precio de venta p es R( p ) = pf ( p) . (a)

¿Qué significa cuando se dice que f (20) = 10 000 y f ′(20) = −350 ?

(b)

Suponiendo los valores en la parte (a), hallar R′(20) e interprete su respuesta.

51. Una masa en un resorte vibra horizontalmente sobre una superficie suave nivelada (véase la figura). Su ecuación de movimiento es x(t ) = 8 sen t , donde t está en segundos y x en centímetros. (a) Hallar la velocidad y la aceleración en el instante t. (b) Hallar la posición, velocidad y aceleración de la masa en el instante t = 2π/3. ¿En que dirección se está moviendo en ese instante? ¿Se está acelerando o desacelerando? posición de equilibrio

52. Un objeto de peso W es arrastrado por un plano horizontal por una fuerza que actúa a lo largo de una cuerda atada al objeto. Si la cuerda forma un ángulo θ con el plano, entonces la magnitud de la fuerza es

F=

µW µ sen θ + cos θ

donde µ es una constante denominada el coeficiente de fricción. (a)

Halle la tasa de cambio de F con respecto a θ.

145

(b)

¿Cuándo es esta tasa de cambio igual a 0?

(c)

Si W = 50 libras y µ = 0.6, dibuje la gráfica de F en función de θ y úsela para localizar el valor de θ para el cual dF/dθ = 0. ¿Es este valor consistente con su respuesta a la parte (b)?

53. La ley de gases para un gas ideal a temperatura absoluta T (en kelvins), presión P (en atmósferas) y volumen V (en litros) es PV = nRT , donde n es el número de moles del gas y R = 0.0821 es la constante de los gases. Supóngase que, en un cierto instante, P = 8.0 atm y está creciendo con una tasa de 0.10 atm/min y V = 10 L y está decreciendo con una tasa de 0.15 L/min. Halle la tasa de cambio de T con respecto al tiempo en ese instante si n = 10 mol. 54. Si R denota la reacción del cuerpo a algún estímulo de intensidad x, la sensibilidad S se define como la tasa de cambio de la reacción con respecto a x. Un ejemplo específico es que cuando se incrementa el brillo x de una fuente luminosa, el ojo reacciona disminuyendo el área R de la pupila. La fórmula experimental

R=

40 + 24 x 0.4 1 + 4x 0.4

se ha utilizado para modelar cómo depende R de x cuando R se mide en milímetros cuadrados y x se mide en las unidades de brillo apropiadas. (a) Halle la sensibilidad. (b) Ilustre la parte (a) graficando tanto R como S en función de x. Comente sobre los valores de R y S para bajos niveles de brillo. ¿Es esto lo que usted esperaría?

55. (a) Use la Regla del Producto dos veces para demostrar que si f, g y h son diferenciables, entonces ( fgh )′ = f ′gh + fg′h + fgh′ . (b) Use la parte (a) para diferenciar y = x sen x cos x .

56. (a) Si F( x ) = f ( x ) g( x ) , donde f y g poseen derivadas de todos los órdenes, demuestre que F ′′ = f ′′g + 2 f ′g ′ + fg ′′ . (b) Halle fórmulas similares para F ′′′ y F (4) . (c) Estime una fórmula para F ( n ) .

57. (a) Si g es diferenciable, la Regla del Recíproco dice que

g′( x ) d  1  =− dx  g( x )  [ g(x )]2 Use la Regla del Cociente para demostrar esta regla. (b) Use la Regla del Recíproco para diferenciar la función y = 1 ( x 4 + x 2 + 1 ) . (c) Use la Regla del Recíproco para verificar que la Regla de Potencia tiene validez para enteros negativos, esto es,

d ( −n ) x = −nx − n −1 dx para todos los enteros positivos n.

146

2.5

La Regla de la Cadena

Supóngase que se nos pide diferenciar la función

F( x ) = x 2 + 1 Las fórmulas de diferenciación que hemos aprendido en las secciones previas de este capítulo no nos permiten calcular F ′( x ) . Observe que F es una función compuesta. De hecho, si hacemos y = f (u) = u y u = g( x ) = x 2 + 1 , entonces podemos escribir y = F( x ) = f ( g ( x ) ) , esto es, F = f  g . Sabemos cómo diferencia tanto a f como a g, de modo que sería útil tener una regla que nos diga cómo hallar la derivada de F = f  g en términos de las derivadas de f y g. Resulta que la derivada de la función compuesta f  g es el producto de las derivadas de f y g. Este hecho es una de las reglas de diferenciación más importantes y se denomina la Regla de la Cadena. Parece plausible si interpretamos las derivadas como tasas de cambio. Considérese a du/dx como la tasa de cambio de u con respecto a x, dy/du como la tasa de cambio de y con respecto a u y dy/dx como la tasa de cambio de y con respecto a x. Si u cambia dos veces más rápido que x y y cambia tres veces más rápido que u, entonces parece razonable suponer que y cambia seis veces más rápido que x y por tanto esperamos que

dy dy du = dx du dx

La Regla de la Cadena Si g es diferenciable y f es diferenciable en g(x), entonces la función compuesta F = f  g definida por F( x ) = f ( g ( x ) ) , entonces F es diferenciable en x y F ′ es dada por el producto

F ′( x ) = f ′ ( g ( x ) ) ⋅ g′( x ) En la notación de Leibniz, si y = f (u) y u = g( x ) son ambas funciones diferenciables, entonces

dy dy du = ds du dx

Comentarios Sobre la Demostración de la Regla de la Cadena Sea ∆u el cambio en u correspondiente a un cambio ∆x en x, esto es,

∆u = g ( x + ∆x ) − g ( x ) Entonces el cambio correspondiente en y es

∆y = y ( u + ∆u ) − f ( u ) Estamos tentados a escribir

[1]

dy ∆y ∆y ∆u = lím = lím ⋅ dx ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 ∆u ∆x ∆y ∆y ∆u ∆u = lím ⋅ lím = lím ⋅ lím ∆x → 0 ∆u ∆x → 0 ∆x ∆u → 0 ∆u ∆x → 0 ∆x dy du = du dx

La única falla en este razonamiento está en que en [1] podría suceder que ∆u = 0 (aun cuando ∆x ≠ 0) y, por supuesto, no podemos dividir por 0. No obstante, este razonamiento por lo menos sugiere que la Regla de la Cadena es cierta. Al final de esta sección se da una demostración completa de la Regla de la Cadena.

147

La Regla de la Cadena puede escribirse bien sea en la notación con tildes:

( f  g )′ ( x ) = f ′ ( g ( x ) ) ⋅ g′( x )

[2]

o, si y = f (u) y u = g( x ) , en la notación de Leibniz:

dy dy du = ds du dx

[3]

La ecuación [3] es fácil de recordar porque si dy/du y du/dx fuesen cocientes, entonces du se podría cancelar. Sin embargo, recuerde que du no se ha definido y du/dx no debe considerarse como un cociente real.

Ejemplo 1 Hallar F ′( x ) si F( x ) = x 2 + 1 . Solución (Usando la Ecuación 2): Al comienzo de esta sección F se expresó como F( x ) = ( f  g ) ( x ) = f ( g ( x ) ) , donde f (u) = u y u = g( x ) = x 2 + 1 . Como

f ′(u) = 12 u −1 2 =

1 2 u

y

g′( x ) = 2 x

entonces

F ′( x ) = f ′ ( g ( x ) ) ⋅ g ′( x ) =

1 2

2 x +1

⋅ 2x =

x 2

x +1

Solución (Usando la Ecuación 3): Si hacemos u = x 2 + 1 y y = u , entonces

dy du 1 ( 2x ) = du dx 2 u 1 x ( 2x ) = = 2 2 2 x +1 x +1

F ′( x ) =

Cuando se usa la Fórmula 3 debemos tener en mente que dy/dx se refiere a la derivada de y cuando y se considera como una función de x (denominada la derivada de y con respecto a x), en tanto que dy/du se refiere a la derivada de y cuando se considera como una función de u (la derivada de y con respecto a u). Por ejemplo, en el Ejemplo 1, y puede considerarse como una función de x

(y =

(y =

x2 + 1

)

y también como una función de u

u ) . Observe que dy = F ′( x ) = dx

x 2

x +1

en tanto que

dy 1 = f ′(u) = du 2 u

Observación Al usar la Regla de la Cadena trabajamos desde afuera hacia adentro. La fórmula 2 dice que diferenciamos la función externa f [en la función interna g(x)] y después multiplicamos por la derivada de la función interna:

d f dx 

f′ ( g ( x ) ) =  

 

funcion evaluada en externa la función interna

g′( x ) ( g ( x ) ) ⋅  

 

derivada de evaluada en la función externa función interna

Ejemplo 2 Diferenciar (a) y = sen ( x 2 ) y (b) y = sen 2 x .

derivada de función interna

148

Solución (a) Si y = sen ( x 2 ) , entonces la función externa es la función seno y la función interna es la función de elevar al cuadrado, de modo que la Regla de la Cadena da

dy d = sen 

dx dx  funcion externa

2 x

evaluada en la función interna

= cos 

x2 

derivada de evaluada en la función externa función interna

⋅

x  2

derivada de función interna

= 2 x cos ( x 2 ) 2 (b) Observe que sen 2 x = ( sen x ) . Aquí la función externa es la función de elevar al cuadrado y la función interna es la función seno. Por tanto,

dy d 2 ( sen 2

= x ) =      dx dx derivada de funcion externa

sen cos x ⋅  x

   

evaluada en la función externa función interna

derivada de función interna

La respuesta puede dejarse como 2 sen x cos x o escrita como sen 2x . En el Ejemplo 2(a) se combinó la Regla de la Cadena con la regla para diferenciar la función seno. En general, si y = sen u , donde u es una función diferenciable de x, entonces, por la Regla de la Cadena,

dy dy du du = = cos u dx du dx dx Por tanto,

d ( sen u ) = cos u du dx dx En una forma similar, todas las fórmulas para diferenciar funciones trigonométricas se pueden combinar con la Regla de la Cadena. Hagamos explícito el caso especial de la Regla de la Cadena donde la función externa f es una función de n

potencia. Si y = [ g( x )] , entonces podemos escribir y = f (u) = un donde u = g( x ) . Si se usa primero la Regla de la Cadena y después la Regla de Potencia, se obtiene

dy dy du du n −1 = = nun − 1 = n [ g( x )] g ′( x ) dx du dx dx

[4] La Regla de Potencia Combinada con la Regla de la Cadena Si n es cualquier número real y u = g(x) es diferenciable, entonces d ( n) du u = nun − 1 dx dx Alternativamente, d [ g(x )]n = n [ g(x )]n −1 ⋅ g′( x) dx

Observe que la derivada en el Ejemplo 1 se pudo haber calculado tomando n =

Ejemplo 3 Diferenciar y = ( x 3 − 1 )

100

.

Solución Tomando u = g( x ) = x 3 − 1 y n = 100 en [4], tenemos

1 2

en la regla 4.

149

dy d 3 ( x − 1)100 = 100 ( x 2 − 1 )99 d ( x 3 − 1 ) = dx dx dx = 100 ( x 3 − 1 ) Ejemplo 4 Hallar f ′( x ) si f ( x ) =

1 3

2

x +x+1

⋅ 3x 2 = 300 x 2 ( x 3 − 1)

99

.

Solución Primero se reescribe f: f ( x ) = ( x 2 + x + 1 )

f ′( x ) = − 13 ( x 2 + x + 1)

99

−4 3

−1 3

. Por tanto,

−4 3 d ( 2 ( 2x + 1) x + x + 1 ) = − 13 ( x 2 + x + 1) dx

9

 t−2  Ejemplo 5 Hallar la derivada de la función g(t ) =   .  2t + 1  Solución Al combinar la Regla de Potencia, Regla de la Cadena y la Regla del Cociente, se obtiene 8 8 8  t−2  d  t−2   t − 2  ( 2t + 1 ) ⋅ 1 − 2 ( t − 2 ) 45 ( t − 2 ) g ′(t ) = 9  = 9 =       2t + 1  dt  2t + 1   2t + 1  ( 2t + 1 )2 ( 2t + 1)10

Ejemplo 6 Diferenciar y = ( 2 x + 1 )

5

( x 3 − x + 1)4 .

Solución En este ejemplo debemos usar la Regla del Producto antes de utilizar la Regla de la Cadena:

dy 3 d ( x 3 − x + 1 ) 4 + ( x 3 − x + 1 ) 4 d ( 2 x + 1 )3 = ( 2 x + 1) dx dx dx 3 d 3 3 3 ( x − x + 1) = ( 2x + 1) ⋅ 4 ( x − x + 1) dx 4 4 d ( 2x + 1) + ( x3 − x + 1) . 5 ( 2x + 1) dx = 4 ( 2 x + 1)

5

( x 3 − x + 1 )3 ( 3x 2 − 1 ) + 5 ( x 3 − x + 1 ) 4 ( 2 x + 1 ) 4

Observe que cada término tiene el factor común 2 ( 2 x + 1) se puede escribir entonces como

4

⋅2

( x 3 − x + 1 )3 , el cual puede factorizarse y la respuesta

3 dy 4 = 2 ( 2 x + 1 ) ( x 3 − x + 1 ) ( 17 x 3 + 6 x 2 − 9x + 3 ) dx

Figura 1 Gráficas de las funciones y y y’ en el Ejemplo 6.

150

La razón para el nombre “Regla de la Cadena” se aclara cuando tenemos una cadena más larga al añadir otro eslabón. Supóngase que y = f (u) , u = g( x ) y x = h(t ) , donde f, g y h son funciones diferenciables. Entonces, para calcular la derivada de y con respecto a t, usamos la Regla de la Cadena dos veces:

dy dy dx dy du dx = = dt dx dt du dx dt Ejemplo 7 Si f ( x ) = cos ( cos ( tan x ) ) , entonces

f ′( x ) = cos ( cos ( tan x ) )

d cos ( tan x ) dx

d ( tan x ) dx = − cos ( cos ( tan x ) ) sen ( tan x ) sec2 x = cos ( cos ( tan x ) ) [ − sen ( tan x )]

Observe que la Regla de la Cadena se usó dos veces.

Ejemplo 8 Diferenciar y = sec x 3 . Solución Aquí la función externa es la función raíz cuadrada, la función intermedia es la función secante y la función interna es la función de elevar al cubo. Por tanto, tenemos

dy 1 d ( = sec x 3 ) dx 2 sec x 3 dx 1 d ( 3) sec x 3 tan x 3 = x dx 2 sec x 3 =

3x 2 sec x 3 tan x 3 2 sec x 3

Cómo Demostrar la Regla de la Cadena Recuerde que si y = f ( x ) y x cambia desde a hasta a + ∆x, el incremente de y se define como

∆y = f ( a + ∆x ) − f ( a ) De acuerdo con la definición de una derivada, tenemos que

lím

∆x → 0

∆y = f ′( a) ∆x

Entonces, si se denota por ε la diferencia entre el cociente de diferencias y la derivada, se obtiene

 ∆y  lím ε = lím  − f ′( a)  = f ′( a) − f ′( a) = 0 ∆x → 0 ∆ x → 0  ∆x  Pero

ε=

∆y − f ′( a) ∆x

⇒

∆y = f ′( a) ∆x + ε ∆x

Si se establece que ε = 0 cuando ∆x = 0 , entonces ε se convierte en una función continua de ∆x. Por tanto, para una función diferenciable f, podemos escribir [5]

∆y = f ′( a) ∆x + ε ∆x

donde ε → 0 cuando ∆x → 0

y ε es una función continua de ∆x. Esta propiedad de las funciones diferenciables es lo que nos permite demostrar la Regla de la Cadena.

151

Demostración de la Regla de la Cadena Supóngase que u = g( x ) es diferenciable en a y que y = f (u) es diferenciable en b = g( a) . Si ∆x es un incremento en x y ∆u y ∆y son los incrementos correspondientes en u y y, entonces podemos usar la Ecuación 5 para escribir

∆u = g ′( a)∆x + ε1 ∆x = [ g ′( a) + ε1 ] ∆x

[6]

donde ε1 → 0 conforme ∆x → 0 . En forma similar,

∆y = f ′( g )∆u + ε 2 ∆u = [ f ′(b ) + ε2 ] ∆u

[7]

donde ε 2 → 0 conforme ∆u → 0 . Si ahora sustituimos la expresión para ∆u de la Ecuación 6 en la Ecuación 7, se obtiene

∆y = [ f ′(b ) + ε 2 ][ g ′( a) + ε1 ] ∆x entonces

∆y = [ f ′(b ) + ε2 ][ g ′( a) + ε1 ] ∆x Conforme ∆x → 0 , la Ecuación 6 muestra que ∆u → 0 . Por tanto, ambos ε1 → 0 y ε 2 → 0 conforme ∆x → 0 . Por consiguiente,

dy ∆y = lím = lím [ f ′(b ) + ε 2 ][ g ′( a) + ε1 ] dx ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 = f ′(b ) g′( a) = f ′ ( g ( a ) ) g′( a) Esto demuestra la Regla de la Cadena.

2.5 Ejercicios Ejercicios 1−6: Escriba la función compuesta en la forma f ( g ( x ) ) . Identifique la función interna u = g( x ) y la función externa y = f (u) . Después halle la derivada dy/dx.

1. y = 3 1 + 4x

2. y = ( 2 x 3 + 5 )

5. y = sen x

6. y = sen x

4

3. y = tan πx

4. y = sen ( cot x )

9. F( x ) = 1 − 2 x

10. f ( x ) =

12. f (t ) = 3 1 + tan t

13. y = cos ( a2 + x 2 )

14. y = a 2 + cos 3 x

16. y = 3 cot nθ

17. f ( x ) = ( 2 x − 3 )

Ejercicios 7−42: Hallar la derivada de la función.

7.

f ( x ) = ( x 4 + 3x 2 − 2 )

11. F( z) =

5

1 2

z +1

15. y = x sec kx 18. g( x ) = ( x 2 + 1 )

3

( x 2 + 2 )6

8. F( x ) = ( 4x − x 2 )

19. h(t ) = ( t + 1 )

23

 x2 + 1  4 −3 20. F(t ) = ( 3t − 1) ( 2t + 1 ) 21. y =  2   x −1

100

4

1

( 1 + sec x )2

( x 2 + x + 1)5

( 2t 2 − 1 )3

3

22. f (s ) =

s2 + 1 s2 + 4

23. y = sen ( x cos x )

152

24. f ( x ) =

x

25. y =

7 − 3x

 v  28. F( v ) =  3   v +1 32. y = x sen

r

26. G( y ) =

2

r +1

6

 1 − cos 2 x  33. y =    1 + cos 2 x 

(y

2

− 2y )

27. y = sen 1 + x 2

5

30. y = sec 2 ( mθ )

29. y = sen ( tan 2 x )

1 x

( y − 1)4

4

(

34. y = ax + x 2 + b 2 3

36. y = sen ( sen ( sen x ) )

5 37. y =  x 2 + ( 1 − 3x ) 

40. y = cos 4 ( sen 3 x )

41. y = cos sen ( tan πx )

31. y = sec 2 x + tan 2 x

)

−2

35. y = cot 2 ( sen θ )

38. y = x + x + x 3 42. y =  x + ( x + sen 2 x ) 

39. g( x ) = ( 2r sen rx + n )

p

4

Ejercicios 43−46: Hallar las derivadas primera y segunda de la función.

43. y = cos ( x 2 )

44. y = cos 2 x

45. H (t ) = tan 3t

46. y =

4x

x+1

Ejercicios 47−48: Hallar una ecuación de la tangente a la curva en el punto dado.

47. y = sen ( sen x ) ,

(π, 0) 48. y = 1 + x 3 ,

(2, 3)

49. (a) Hallar una ecuación de la tangente a la curva y = tan ( πx 2 4 ) en el punto (1, 1). (b) Ilustra la parte (a) mediante una gráfica de la curva y la tangente en los mismos ejes.

50. (a) La curva y = x

2 − x 2 se denomina una curva punta de bala. Halle una ecuación de la tangente a esta

curva en el punto (1, 1). (b) Ilustre la parte (a) mediante una gráfica de la curva y la tangente en los mismos ejes.

52. Hallar todos los puntos en la gráfica de la función f ( x ) = 2 sen x + sen 2 x en los cuales la tangente es horizontal. 53. Si F( x ) = f ( g ( x ) ) , donde f ( −2) = 8 , f ′( −2) = 4 , f ′(5) = 3 , g(5) = −2 y g ′(5) = 6 , hallar F ′(5) . 54. Si h( x ) = 4 + 3 f ( x ) , donde f (1) = 7 y f ′(1) = 4 , hallar h ′(1) . 55. Se da una tabla de valores para f, g, f ′ y g ′ .

(a) Si h( x ) = f ( g ( x ) ) , hallar h ′(1) . (b) Si H ( x ) = g ( f ( x ) ) , hallar H ′(1) .

56. Sean f y g las funciones en el Ejercicio 55. (a) Si F( x ) = f ( f ( x ) ) , hallar F ′(2) . (b) Si G( x ) = g ( g ( x ) ) , hallar

G′(3) . 57. Si f y g son las funciones cuyas gráficas se muestran, sean u( x ) = f ( g ( x ) ) , v( x ) = g ( f ( x ) ) y w( x ) = g ( g ( x ) ) . Hallar cada derivada si existe. Si no existe, explique por qué.

153

(a) u′(1)

(b) v′(1)

(c) w′(1)

58. Si f es la función cuya gráfica se muestra, sean h( x ) = f ( f ( x ) ) y g( x ) = f ( x 2 ) . Use la gráfica de f para estimar el valor de cada derivada: (a) h ′(2) ; (b) g ′(2)

59. Si g( x ) =

f ( x ) , donde se muestra la gráfica de f, evaluar g ′(3) .

Problema 57

Problema 58

Problema 59

60. Suponga que f es diferenciable en ℝ y α es un número real. Sean F( x ) = f ( x α ) y G( x ) = [ f ( x )] . Hallar α

expresiones para (a) F ′( x ) y (b) G′( x ) .

61. Sea r ( x ) = f ( g ( h ( x ) ) ) , donde h(1) = 2, g(2) = 3, h ′(1) = 4 , g ′(2) = 5 y f ′(3) = 6 . Hallar r ′(1) . 62. Si g es una función diferenciable dos veces y f ( x ) = xg ( x 2 ) , hallar f ′′ en términos de g, g ′ y g ′′ . 63. Halle la derivada 50ma. de y = cos 2 x . 64. Si la ecuación de movimiento de una partícula es dada por s = A cos ( ωt + δ ) , se dice que experimenta movimiento armónico simple. (a)

Halle la velocidad de la partícula en el instante t.

(b)

¿Cuándo es la velocidad igual a 0?

65. Una estrella Cefeida es una cuyo brillo aumenta y disminuye de forma alterna. La más fácilmente visible de esas estrella es Delta Cefeida, para la cual el intervalo entre los instantes de brillo máximo es 5.4 días. El brillo promedio de esta estrella es 4.0 veces sus cambios de brillo por ±0.35. En vista de estos datos, el brillo de Delta Cefeida en el instante t, donde t se mide en días, ha sido modelado por la función

B(t ) = 4.0 + 0.35 sen ( 2 πt 5.4 ) (a) Determine la tasa de cambio del brillo después de t días. (b) Halle, con precisión de hasta dos cifras decimales, la tasa de crecimiento después de un día.

66. Un modelo para la duración de la luz diurna (en horas) en Filadelfia en el día t-ésimo del año es dado por la función  2π (  L(t ) = 12 + 2.8 sen  t − 80 )   365  Utilice este modelo para comparar cómo está aumentando el número de horas de luz diurna en Filadelfia el 21 de Marzo y el 21 de Mayo.

67. La fuerza F actuando sobre un cuerpo de masa m y con velocidad v es la tasa de cambio del momento: F = ( d dt ) ( mv ) . Si m es constante, ésta se convierte en F = ma, donde a = dv/dt es la aceleración. Pero en la teoría de la relatividad la masa de una partícula varía con v en la forma siguiente: m = m0 donde m0 es la masa de la partícula en reposo y c es la velocidad de la luz. Demostrar que

1 − v2 c 2 ,

154

F=

m0 a

( 1 − v2 c 2 )

32

68. Algunas de las olas más altas en el mundo ocurren en la Bahía de Fundy en la Costa Atlántica de Canadá. En el Cabo Hopewell, la profundidad del agua en marea baja es de aproximadamente 2.0 m y en marea alta es de aproximadamente 12.0 m. El periodo natural de oscilación es un poco más de 12 horas y el 30 de junio de 2009, la marea alta ocurrió a las 6:45 AM. Esto ayuda a explicar el siguiente modelo para la profundidad del agua D (en metros) como una función del tiempo t (en horas después de la medianoche) en ese día:

D(t ) = 7 + 5 cos [ 0.503 ( t − 6.75 )] ¿Con qué rapidez sube (o baja) la marea en los instantes siguientes? (a) 3:00 AM

(b) 6:00 AM

(c) 9:00 AM

(d) Mediodía

69. Una partícula se mueve en una línea recta con desplazamiento s(t), velocidad v(t) y aceleración a(t). Demuestre que dv a(t ) = v( f ) dt Explique la diferencia entre los significados de las derivadas dv/dt y dv/ds.

70. Se bombea aire a un globo meteorológico esférico. En cualquier instante t, el volumen del globo es V(t) y su radio es r(t). (a) ¿Qué representan las derivadas dV/dr y dV/dt. (b) Exprese dV/dt en términos de dr/dt.

71. (a) Si n es un entero positivo, demuestre que

d ( sen n x cos nx ) = n sen n − 1 x cos ( n + 1) x dx (b) Halle una fórmula para la derivada de y = cosn x cos nx que sea similar a la de parte (a).

72. Use la Regla de la Cadena para demostrar lo siguiente: (a) La derivada de una función par es una función impar; (b) La derivada de una función impar es una función par. 73. Use la Regla de la Cadena para demostrar que si θ se mide en grados, entonces

d ( sen θ ) = π cos θ dθ 180 Esto da una razón para la convención del uso de la medida radián cuando se trabaja con funciones trigonométricas en el cálculo: Las formulas de diferenciación no serían tan sencillas si usa la medida grados.

74. Supóngase que y = f ( x ) es una curva que siempre está por encima del eje x y nunca tiene una tangente horizontal, donde f es diferenciable en todas partes. ¿Para qué valor de y es la tasa de cambio de y 5 con respecto a x ochenta veces la tasa de cambio de y con respecto a x?

75. Si F( x ) = f ( 3 f ( 4 f ( x ) ) ) , donde f (0) = 0 y f ′(0) = 2 , calcular F ′(0) . 76. Si F( x ) = f ( xf ( xf ( x ) ) ) , donde f (1) = 2 , f (2) = 3 , f ′(1) = 4 , f ′(2) = 5 y f ′(3) = 6 , calcular F ′(1) . 77. Si y = f (u) y u = g( x ) , donde f y g son funciones dos veces diferenciables, demostrar que

d2 y dx 2

=

dy d 2 u d 2 y  du  +   du dx 2 du 2  dx 

2

155

78. (a) Escriba x = x 2 y use la Regla de la Cadena para demostrar que

d x x = dx x (b) Si f ( x ) = sen x , calcular f ′( x ) y dibujar las gráficas de f y f ′ . ¿Dónde no es diferenciable f? (c) Si g( x ) = sen x , hallar g ′( x ) y dibujar las gráficas de g y g ′ . ¿Dónde no es diferenciable g?

2.6

Diferenciación Implícita

Las funciones que hemos encontrado hasta ahora pueden describirse expresando una variable explícitamente en función de otra variable; por ejemplo,

y = x3 + 1

o

y = sen x

o, en general, y = f ( x ) . Sin embargo, algunas funciones están definidas implícitamente por una relación entre x y y como, por ejemplo, [1] o [2]

x 2 + y 2 = 25 x 3 + y 3 = 6xy

En algunos casos es posible despejar y en una ecuación así y obtener y como una función (o varias funciones) explícita de x. Por ejemplo, si se despeja y en la Ecuación 1, se obtiene y = ± 25 − x 2 , de modo que dos de las funciones determinadas por la Ecuación implícita 1 son f ( x ) = 25 − x 2 y g( x ) = − 25 − x 2 . Las gráficas de f y g son los semicírculos superior e inferior del círculo x 2 + y 2 = 25 (véase la Fig. 1).

Figura 1

No es fácil resolver a mano la Ecuación 2 para obtener y explícitamente como una función de x. Sin embargo, [2] es la ecuación de una curva denominada el folio de Descartes mostrada en la Figura 2 y ella define implícitamente a y como varias funciones de x. Las gráficas de tres de esas funciones se muestran en la Figura 3. Cuando decimos que f es una función definida implícitamente por la Ecuación 2, se entiende que la ecuación 3

x 3 + [ f ( x )] = 6xf ( x ) es válida para todos los valores de x en el dominio de f.

156

Figura 2 El folio de Descartes.

Figura 3 Gráficas de tres funciones definidas por el folio de Descartes.

Afortunadamente, para hallar la derivada de y no es necesario resolver una ecuación para y en términos de x. Más bien, podemos usar el método de diferenciación implícita. Este método consiste en diferenciar ambos lados de la ecuación con respecto a x y luego resolver la ecuación resultante para obtener y’. En los ejemplos y ejercicios de esta sección siempre se supone que la ecuación dada determina y implícitamente como una función diferenciable de x, de manera que se pueda aplicar el método de diferenciación implícita.

Ejemplo 1 (a)

Si x 2 + y 2 = 25 , determinar dy/dx.

(b)

Halle una ecuación de la tangente al círculo x 2 + y 2 = 25 en el punto (3, 4).

Solución 1 (a) Diferencie ambos lados de la ecuación x 2 + y 2 = 25 :

d 2 d ( 25 ) x + y2 ) = ( dx dx

d ( 2) d 2 x + (y ) = 0 dx dx

⇒

Recordando que y es una función de x y usando la Regla de la Cadena, tenemos

dy d 2 d 2 dy y )= y ) = 2y ( ( dx dy dx dx Por tanto,

2x + 2y

dy =0 dx

de donde

dy x =− dx y (b) En el punto (3, 4), tenemos x = 3 y y = 4, de modo que

dy 3 =− dx 4 y una ecuación de la tangente al círculo en (3, 4) es

y − 4 = − 34 ( x − 3 )

o

3x + 4 y = 25

Solución 2 (b) Resolviendo la ecuación x 2 + y 2 = 25 , se obtiene y = ± 25 − x 2 . El punto (3, 4) está en el semicírculo superior y = 25 − x 2 y por tanto consideramos la función f ( x ) = 25 − x 2 . Diferenciando f usando la Regla de la Cadena, obtenemos

157

f ′( x ) =

1 2

( 25 − x 2 )−1 2

=

1 2

( 25 − x 2 )−1 2 ( −2 x ) = −

d ( 25 − x 2 ) dx x 25 − x 2

Por tanto,

f ′(3) = −

3 25 − 3

2

=−

3 4

y, como en la Solución 1, una ecuación de la tangente es 3x + 4 y = 25 .

Ejemplo 2 (a) Hallar y’ si x 3 + y 3 = 6xy . (b) ¿En qué punto en el primer cuadrante es horizontal la tangente?

Solución (a) Diferenciando ambos lados de x 3 + y 3 = 6xy con respecto a x, considerando a y como una función de x y usando la Regla de la Cadena en el término y 3 y la Regla del Producto en el término 6xy, se obtiene

3x 2 + 3y 2 y ′ = 6 y + 6xy ′ o

x 2 + y 2 y ′ = 2 y + 2 xy ′ Ahora resolvemos por y’:

y 2 y ′ − 2 xy ′ = 2 y − x 2

( y 2 − 2x ) y′ = 2y − x2 y′ =

2y − x2 y 2 − 2x

(b) Cuando x = y = 3,

y′ =

2 ⋅ 3 − 32 32 − 2 ⋅ 3

= −1

y una mirada a la Figura 4 confirma que éste es un valor razonable para la pendiente en (3, 3). Entonces, una ecuación de la tangente al folio en (3, 3) es

y − 3 = −1 ( x − 3 )

o

x+y =6

Figura 4

(c) La tangente es horizontal si y ′ = 0 . Usando la expresión para y’ en la parte (a), vemos que y ′ = 0 cuando

2 y − x 2 = 0 (siempre y cuando y 2 − 2 x ≠ 0 ). Sustituyendo y = 21 x 2 en la ecuación de la curva, se obtiene

158

x3 +

( 21 x 2 )

3

= 6x

( 21 x 2 )

la cual se simplifica a x 6 = 16x 3 . Puesto que x ≠ 0 en el primer cuadrante, tenemos que x 3 = 16 . Si

x = 161 3 = 2 4 3 , entonces y =

1 2

( 28 3 ) = 25 3 .

Por tanto, la tangente es horizontal en

(24 3 ,

2 5 3 ) , que es

aproximadamente (2.5198, 3.1748). Mirando la Figura 5, vemos que esta respuesta es razonable.

Figura 5

Ejemplo 3 Hallar y’ si sen ( x + y ) = y 2 cos x . Solución Si se usa diferenciación implícita con respecto a x y se recuerda que y es una función de x, se obtiene

cos ( x + y ) ⋅ ( 1 + y ′ ) = y 2 ( − sen x ) + ( cos x ) ( 2 yy ′ ) Observe que se usó la Regla de la Cadena en el lado izquierdo y la Regla del Producto y la Regla de la Cadena en el lado derecho. Si agrupamos los términos que involucran y’, obtenemos

cos ( x + y ) + y 2 sen x = ( 2 y cos x ) y ′ − cos ( x + y ) ⋅ y ′ Por tanto,

y′ =

y 2 sen x + cos ( x + y )

2 y cos x − cos ( x + y )

La Fig. 6 muestra parte de la curva sen ( x + y ) = y 2 cos x . Como una verificación de nuestro cálculo, observe que y ′ = −1 cuando x = y = 0 y de la gráfica parece que la pendiente es aproximadamente −1 en el origen.

Figura 6 Ejemplo 4 Hallar y ′′ se x 4 + y 4 = 16 . Solución Diferenciando la ecuación implícitamente con respecto a x, se obtiene

4x 3 + 4 y 3 y ′ = 0 Despejando y’ da

159

[3]

y′ = −

x3 y3

Para hallar y ′′ diferenciamos esta expresión para y’ usando la Regla del Cociente y recordando que y es una función de x:

y ′′ =

d  x3  −  dx  y 3 

=−

y 3 ( d dx ) ( x 3 ) − x 3 ( d dx ) ( y 3 ) 2

( y3 ) y 3 ⋅ 3x 2 − x 3 ( 3 y 2 y ′ ) =− y6

Si ahora se sustituye la Ecuación 3 en esta expresión, se obtiene

 x3 3x 2 y 3 − 3x 3 y 2  − 3  y  y ′′ = − y6 =−

3 ( x2 y 4 + x6 ) y7

=−

  

3x 2 ( y 4 + x 4 ) y7

Pero los valores de xy y deben satisfacer la ecuación original x 4 + y 4 = 16 ; de modo que la respuesta se simplifica a

y ′′ = −

3x 2 ( 16 ) y

7

= −48

x2 y7

Figura 7 Gráfica de la curva del Ejemplo 4. Observe que es una versión estirada y achatada del círculo x 2 + y 2 = 4 .

2.6 Ejercicios Ejercicios 1−2: (a) Hallar y’ por diferenciación implícita. (b) Resolver la ecuación explícitamente por y y diferenciar para obtener y’ en términos de x.

160

(c) Verifique que sus soluciones a las partes (a) y (b) son consistentes al sustituir la expresión para y en su solución para la parte (a).

1. 9x 2 − y 2 = 1

2. 2 x 2 + x + xy = 1

Ejercicios 3−16: Hallar dy/dx por diferenciación implícita.

3. x 3 + y 3 = 1

4. 2 x 3 + x 2 y − xy 3 = 2

5. x 2 + xy − y 2 = 4

6. y 5 + x 2 y 3 = 1 + x 4 y

7. y cos x = x 2 + y 2

8. cos ( xy ) = 1 + sen y

9. 4 cos x sen y = 1

10. y sen ( x 2 ) = x sen ( y 2 )

11. tan ( x y ) = x + y

12.

15. y cos x = 1 + sen ( xy )

16. tan ( x − y ) =

x + y = 1 + x2y2

13.

xy = 1 + x 2 y

14. x sen y + y sen x = 1

y 1 + x2

3

17. Si f ( x ) = + x 2 [ f ( x )] = 10 y f (1) = 2 , hallar f ′(1) . 18. Si g( x ) + x sen g( x ) = x 2 , hallar g′(0) . Ejercicios 19−24: Use diferenciación implícita para hallar una ecuación de la tangente a la curva en el punto dado.

19.

x 2 + xy + y 2 = 3,

20.

x 2 + 2 xy − y 2 + x = 2, (1, 2) (hipérbola)

21.

x2 + y 2 = ( 2x2 + 2y 2 − x )

(1, 1) (elipse)

2

22. x 2 3 + y 2 3 = 4

(0, 1) (cardioide)

2

( −3

23. 2 ( x 2 + y 2 ) = 25 ( x 2 − y 2 )

(3, 1)

3 , 1)

(astroide)

24. y 2 ( y 2 − 4 ) = x 2 ( x 2 − 5 )

(lemniscato)

(0, − 2) (curva del diablo)

Ejercicios 25−28: Determinar y′′ usando diferenciación implícita.

25. 9x 2 + y 2 = 9

26.

x+ y =1

27. x 3 + y 3 = 1

28. x 4 + y 4 = a 4

29. (a) La curva con ecuación y 2 = 5x 4 − x 2 se conoce como una kampila de Eudoxio. Halle una ecuación de la tangente a esta curva en el punto (1, 2). (b) Ilustre la parte (a) mediante una gráfica de la curva y de la tangente en un conjunto de ejes comunes.

161

30. (a) La curva con ecuación y 2 = x 3 + 3x 2 se denomina la cúbica de Tschirnhausen. Halle una ecuación de la tangente a esta curva en el punto (1, −2). (b) ¿En qué punto tiene esta curva una tangente horizontal? (c) Ilustre las partes (a) y (b) graficando la curva y las tangentes en un conjunto común de ejes.

31. Se pueden crear formas fantásticas usando las capacidades de graficar implícitamente de sistemas de computación. (a) Grafique la curva con ecuación

y ( y 2 − 1 ) ( y − 2 ) = x ( x − 1 )( x − 2 ) ¿En cuántos puntos tiene esta curva tangentes horizontales? Estime las coordenadas x de estos puntos. (b) Halle ecuaciones de las tangentes en los puntos (0, 1) y (0, 2). (c) Halle las coordenadas x exactas de los puntos en la parte (a). (d) Cree curvas todavía más fantásticas modificando la ecuación el parte (a).

32. (a) La curva con ecuación

2 y 3 + y 2 − y 5 = x 4 − 2x3 + x2 ha sido comparada con un vagón rebotando. Use un paquete de computación para graficar esta curva y descubrir por qué. (b) ¿En cuántos puntos tiene esta curva tangentes horizontales? Halle las coordenadas x de estos puntos.

33. Halle los puntos en la lemniscata del Ejercicio 23 donde la tangente es horizontal. 34. Demuestre por diferenciación implícita que la tangente a la elipse

x2 a2

+

y2 b2

=1

en el punto ( x0 , y0 ) es

x0 x a

2

+

y0 y b2

=1

Ejercicios 35−38: Dos curvas son ortogonales si sus tangentes son perpendiculares en cada punto de intersección. Demuestre que las familias de curvas dadas son trayectorias ortogonales entre sí, esto es, toda curva en una familia es ortogonal a toda curva en la otra familia. Dibuje ambas familias de curvas en el mismo conjunto de ejes.

35. x 2 + y 2 = r 2 ,

ax + by = 0

36. x 2 + y 2 = ax ,

x 2 + y 2 = by

37. y = cx 2 ,

x2 + 2y 2 = k

38. y = ax 3 ,

x2 + 3y 2 = b

39. (a) La ecuación de van der Waals para n moles de un gas es

 n2 a   P + 2  (V − nb ) = nRT V  

162

donde P es la presión, V es el volumen y T es la temperatura del gas. La constante R es la constante universal de los gases y a y b son constantes positivas que son características de un gas en particular. Si T permanece constante, use diferenciación implícita para hallar dV/dP. (b) Halle la tasa de cambio del volumen con respecto a la presión de 1 mol de dióxido de carbono en un volumen de V = 10 L y una presión de P = 2.5 atm. Use a = 3.592 L2 -atm/mol 2 y b = 0.04267 L/mol.

40. (a) Use diferenciación implícita para hallar y’ si

x 2 + xy + y 2 + 1 = 0 (b) Grafique la curva en la parte (a). ¿Qué es lo que ve? Demuestre que lo que se ve es correcto. (c) En vista de la parte (b), ¿qué se puede decir acerca de la expresión para y’ que se halló en la parte (a)?

41. Demuestre, usando diferenciación implícita, que cualquier tangente en un punto P de un círculo con centro en O es perpendicular al radio OP. 42. Demuestre que la suma de las intersecciones con los ejes x y y de cualquier tangente a la curva x + y = c es igual a c. 43. La ecuación x 2 − xy + y 2 = 3 representa una “elipse rotada”, esto es, una elipse cuyos ejes no son paralelos a los ejes de coordenadas. Halle los puntos en los cuales esta elipse cruza el eje x y demuestre que las tangentes en estos puntos son paralelas. 44. (a) ¿En qué la normal a la elipse x 2 − xy + y 2 = 3 en el punto (−1, 1) interseca la elipse una segunda vez? (b) Ilustre la parte (a) graficando la elipse y la normal.

45. Halle todos los puntos en la curva x 2 y 2 + xy = 2 donde la pendiente de la tangente es igual a −1. 46. Halle ecuaciones de las dos tangentes a la elipse x 2 + 4 y = 36 que pasan por el punto (12, 3). 47. Demuestre que la elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 y la hipérbola x 2 A2 . y 2 B2 = 1 son trayectorias ortogonales si

A2 < a2 y a2 − b 2 = A2 + B2 (de modo que la elipse y la hipérbola tienen los mismos focos). 48. Halle el valor del número a tal que las familias de curvas y = ( x + c ) ortogonales.

−1

y y = a (x + k)

13

sean trayectorias

49. La función de Bessel de orden 0, y = J ( x ) , satisface la ecuación diferencial xy ′′ + y ′ + xy = 0 para todos los valores de x y su valor en 0 es J(0) = 1. (a) Hallar J ′(0) .

(b) Use diferenciación implícita para hallar J ′′(0) .

50. La figura muestra una lámpara ubicada tres unidades a la derecha del eje y y una sombra creada por la región elíptica x 2 + 4 y 2 ≤ 5 . Si el punto (−5, 0) está en el borde de la sombra, ¿a qué distancia sobre el eje x está ubicada la lámpara?

163

2.7

Tasas Relacionadas

Si estamos bombeando aire a un balón, tanto el volumen como el radio del balón están creciendo y sus tasas de crecimiento están relacionadas entre sí. Pero es mucho más fácil medir directamente la tasa de incremento del volumen que la tasa de incremento del radio. En un problema de tasas relacionadas, la idea es calcular la tasa de cambio de una cantidad en términos de la tasa de cambio de otra cantidad (la cual puede ser más fácil de medir. El procedimiento es hallar una ecuación que relacione las dos cantidades y luego usar la Regla de la Cadena para diferenciar ambos lados con respecto al tiempo.

Ejemplo 1 Se está bombeando aire a un balón esférico de manera que su volumen se incrementa con una tasa de 100 cm 3 /s . ¿Con qué rapidez está creciendo el radio del balón cuando el diámetro es 50 cm? Solución Comenzamos por identificar dos cosas: la información dada: la tasa de crecimiento del volumen de aire es 100 cm 3 /s y la incógnita la tasa de crecimiento del radio cuando el diámetro es 50 cm Para expresar estas cantidades matemáticamente, introducimos alguna notación sugerente: Sea V el volumen del balón y sea r su radio. La clave a recordar es que las tasas de cambio son derivadas. En este problema, el volumen y el radio son ambos funciones del tiempo t. La tasa de crecimiento del volumen con respecto al tiempo es la derivada dV/dt, y la tasa de crecimiento del radio es dr/dt. Por tanto, podemos redefinir lo conocido y la incógnita en la forma siguiente: Conocido:

dV = 100 cm 3 /s dt

Incógnita:

dr dt

cuando r = 25 cm

Para conectar dV/dt y dr/dt, primero relacionamos V y r mediante la fórmula para el volumen de una esfera:

V = 43 πr 3 Para utilizar la información dada, diferenciamos cada lado de esta ecuación con respecto a t. Para diferenciar el lado derecho, necesitamos usar la Regla de la Cadena:

dV dV dr dr = = 4 πr 2 dt dr dt dt Ahora podemos resolver por la cantidad desconocida:

dr 1 dV = dt 4πr 2 dt Si hacemos r = 25 y dV/dt = 100 en esta ecuación, obtenemos

dr 1 1 = 100 = dt 4π ( 25 )2 25π El radio del balón está creciendo con una tasa de 1 ( 25π ) ≈ 0.0127 cm/s.

164

Ejemplo 2 Una escalera de 10 pies de largo está apoyada en una pared vertical. Si la parte inferior de la escalera se desliza alejándose de la pared con una tasa de 1 ft/s, ¿con qué rapidez está descendiendo la parte superior de la escalera cuando la parte inferior está a 6 pies de la pared? Solución Primero dibujamos un diagrama y lo marcamos como en en la Figura 1. Sea x (pies) la distancia entre la parte inferior de la escalera y la pared y y (pies) la distancia entre la parte superior de la escalera y el piso. Observe que x y y son ambas funciones de t (el tiempo, medido en segundos). Pared

Piso

Figura 1

Figura 2

Se nos dice que dx/dt = 1 ft/s y se nos pide hallar dy/dt cuando x = 6 ft (véase la Fig. 2). En este problema, la relación entre x y y la da el Teorema de Pitágoras:

x 2 + y 2 = 100 Diferenciando cada lado con respecto a t y usando la Regla de la Cadena, tenemos que

2x

dy dx + 2y =0 dt dt

Despejando ahora en esta ecuación la tasa deseada, obtenemos

dy x dx =− dt y dt Cuando x = 6, el Teorema de Pitágoras da y = 8 y por tanto, al sustituir estos valores y dx/dt = 1, se obtiene

dy 6 3 = − ( 1 ) = − ft/s dt 8 4 El hecho de que dy/dt sea negativa significa que la distancia entre la parte superior de la escalera y el piso está decreciendo con una tasa de 34 ft/s. En otras palabras, la parte superior de la escalera está descendiendo por la pared con una tasa de

3 4

ft/s.

Ejemplo 3 Un tanque de agua tiene la forma de un cono circular invertido con una base de radio 2 m y una altura de 4 m. Si se está bombeando agua al tanque con una tasa de 2 m 3 min , halle la tasa con la cual está subiendo el nivel del agua cuando el agua tiene una profundidad de 3 m. Solución Primero dibujamos el cono y lo marcamos como en la Figura 3. Sean V, r y h el volumen del agua, el radio de la superficie y la altura en el instante t, donde t se mide en minutos. Se nos dice que dV/dt = 2 m 3 min y se nos pide hallar dh/dt cuando h es igual a 3 m. Las cantidades V y h están relacionadas por la ecuación

165

Figura 3

V = 13 πr 2 h pero es muy útil expresar V como una función de h solamente. Para eliminar r, usamos los triángulos semejanete en la Figura 3 para escribir

r 2 = h 4

⇒

r=

h 2

y la expresión para V se convierte en 2

V=

1 h π 3 π  h = h 3 2 12

Ahora podemos diferenciar cada lado con respecto a t:

dV π 2 dh = h dt 4 dt o

dh 4 dV = 2 dt πh dt Sustituyendo h = 3 m y dV/dt = 2 m 3 min , se obtiene

dh 4 8 = ⋅2= 2 dt π ( 3 ) 9π El nivel del agua está subiendo con una tasa de 8 ( 9 π ) ≈ 0.28 m/min.

Estrategia Los Ejemplos 1−3 sugieren los pasos siguientes para resolver problemas de tasas relacionadas: 1.

Lea el problema cuidadosamente.

2.

Si es posible, dibuje un diagrama.

3.

Introduzca notación. Asigne símbolos a todas las cantidades que son funciones del tiempo.

4.

Exprese la información dada y la tasa requerida en términos de derivadas.

5.

Escriba una ecuación que relaciones las diferentes cantidades del problema. Si fuese necesario, use la geometría de la situación para eliminar una de las variable por sustitución (como en el Ejemplo 3).

6.

Use la Regla de la Cadena para diferenciar ambos lados de la ecuación con respecto a t.

7.

Sustituya la información dada en la ecuación resultante y despeje la tasa desconocida.

Los ejemplos siguientes son ilustraciones adicionales de la estrategia.

166

Ejemplo 4 El carro A se desplaza hacia el oeste a 50 mi/h y el carro B se desplaza hacia el norta a 60 mi/h. Ambos se dirgen a la intersección de las dos carreteras. ¿Con qué tasa se están acercando los dos carro cuando el carro A está a 0.2 mi y el carro B está a 0.4 mi de la interseccion. Solución Dibujamos la Figura 4, donde C es la intersección de las carreteras. En un instante dado t, sea x la distancia del carro A a C, sea y la distancia del carro B a C y sea z la distancia entre los carros, donde x, y y z se miden en millas.

Figura 4

Se nos dice que dx/dt = −50 mi/h y dy/dt = −60 mi/h (las derivadas son negativas porque x y y están decreciendo). Se nos pide hallar dz/dt. La ecuación que relaciona x, y y z la da el Teorema de Pitágoras:

z2 = x 2 + y 2 Diferenciando cada lado con respecto a t, se obtiene

2z

dy dz dx = 2x + 2y dt dt dt dy  dz 1  dx = x +y  dt z  dt dt 

Cuando x = 0.3 mi y y = 0.4 mi, el Teorema de Pitágoras da z = 0.5 mi y, por tanto,

dz 1 [ 0.3 ( −50 ) + 0.4 ( −60 )] = −78 mi h = dt 0.5 Los carros se están acercando con una tasa de 78 mi/h.

Ejemplo 5 Un hombre camina a lo largo de un sendero con una velocidad de 4 ft/s. Un faro de búsqueda está ubicado en el piso a 20 ft del sendero y se mantiende enfocado sobre el hombre. ¿Con qué tasa está girando el faro cuando el hombre está a 15 ft del punto en la trayectoria que está más cerca del faro? Solución Dibujamos la Figura 5 y tomamos x como la distancia entre el hombre y el punto en el sendero más cercano al faro. Tomamos θ como el ángulo entre el haz del faro y la perpendicular a la trayectoria.

Figura 5

Se nos dice que dx/dt = 4 ft/s y se nos pide hallar dθ/dt cuando x = 15. La ecuación que relaciona x con θ puede obtnerse de la Figura 5:

167

x = tan θ 20

⇒

x = 20 tan θ

Diferenciando cada lado con respecto a t, se obtiene

dx dθ = 20 sec 2 θ dt dt y por tanto

dθ = dt

1 20

cos 2 θ

dx = dt

1 20

cos 2 θ (4) = 15 cos 2 θ

Cuando x = 15 ft, la longitud del haz es 25 ft; entonces cos θ =

4 5

y

2

dθ 1  4  16 =   = = 0.128 dt 5  5  125 El faro está girando con una tasa de 0.128 rad/s.

2.7 Ejercicios 1.

Si V es el volumen de un cubo con arista de longitud x y el cubo se expande conforme pasa el tiempo, halle dV/dt en términos de dx/dt.

2.

(a) Si A es el área de un círculo de radio r y el círculo se expande conforme pasa el tiempo, halle dA/dt en términos de dr/dt. (b) Supóngase que se derrama aceite de un tanque roto y se esparce de forma circular. Si el radio del aceite derramado se incrementa con una tasa constante de 1 m/s, ¿con qué rapidez está creciendo el área del derrame cuando el radio es 30 m?

3.

Cada lado de un cuadrado está creciendo con una tasa de 6 cm/s. ¿Con qué tasa está creciendo el área del cuadrado cuando el área es 16 cm2?

4.

La longitud de un rectángulo está creciendo con una tasa de 8 cm/s y su ancho crece con una tasa de 3 cm/s. Cuando la longitud es 20 cm y el ancho es 10 cm, ¿cuál es la rapidez de crecimiento del área del rectánglo?

5.

Un tanque cilíndrio de radio 5 m está siendo llenado de agua con una tasa de 3 m3/min. ¿Cuál es la rapidez de crecimiento de la altura del agua?

6.

El radio de una esfera está creciendo con un ritmo de 4 mm/s. ¿Cuál es la rapidez de crecimiento del volumen cuando el diámetro es 80 mm?

7.

Supóngase que y = 2 x + 1 , donde x y y son funciones de t. (a) Si dx/dt = 3, halle dy/dt cuando x = 4. (b) Si dy/dt = 6, halle dx/dt cuando x = 12.

8.

Supóngase que 4x 2 + 9 y 2 = 36 , donde x y y son funciones de t.

9.

1 3

, halle dx/dt cuando x = 2 y y =

2 3

5.

(b) Si dx/dt = 3, halle dy/dt cuando x = −2 y y =

2 3

5.

(a) Si dy dt =

Si x 2 + y 2 + z 2 = 9 , dx/dt = 5 y dy/dt = 4, hallar dz/dt cuando (x, y, z) = (2, 2, 1).

168

10. Una partícula se mueve a lo largo de la hipérbola xy = 8 . Cuando alcanza el punto (4, 2), la coordenada y está disminuyendo con una tasa de 3 cm/s. ¿Con qué rapidez está cambiando la coordenada x del punto en ese instante? Ejercicios 11−14: (a) ¿Qué cantidades se dan en el problema? (b) ¿Cuál es la incógnita? (c) Dibuje una gráfica de la situación para cualquier instante t. (d) Escriba una ecuación que relacione las cantidades. (e) Termine de resolver el problema.

11. Si una bola de nieve se derrite de modo que su área superficial disminuye con una tasa de 1 cm2/min, halle la tasa con la cual disminuye el diámetro cuando su longitud es de 10 cm. 12. En el mediodía, el barco A está a 150 km al oeste del barco B. El barco A está navegando hacia el este a 35 km/h y el barco B está navegando hacia el norta a 25 km/h. ¿Con qué rapidez está cambiando la distancia entre los barcos a las 4:00 PM? 13. Un avión volando horizontalmente a una altitud de 1 milla y una velocidad de 500 millas/h pasa directamente sobre una estación de radar. Halla la tasa con la cual está aumentando la distancia entre el avión y la estación cuando la distancia entre ellos es de 2 millas. 14. Una luz de calle está montada en el tope de un poste de 15 pies de altura. Un hombre, cuya estatura es de 6 pies, se aleja del poste con una velocidad de 5 ft/s a lo largo de un camino recto. ¿Con qué velocidad se está moviendo la punta de su sombre cuando está a 40 pies del poste? 15. Dos carros comienzan a moverse desde el mismo punto. Uno se desplaza hacia el sur a 60 mi/h y el otro hacia el oeste a 25 mi/h. ¿Con cuál esta está creciendo la distancia entre los carros dos horas después? 16. Un proyector en el suelo ilumina una pared a 12 m de distancia. Si un hombre de 2 m de estatura camina desde el proyector hacia el edificio con una velocidad de 1.6 m/s, ¿con qué rapidez está disminuyendo la longitud de su sombra sobre el edificio cuando está a 4 m del edificio? 17. Un hombre comienza a caminar hacia el norte a 4 ft/s desde un punto P. Cinco minutos después una mujer comienza a caminar hacia el sur a 5 ft/s desde un punto a 500 pies de P en la dirección este. ¿Con qué tasa se están alejando las personas 15 minutos después que la mujer comenzó a caminar? 18. Un diamante de béisbol es un cuadrado de lado igual a 90 pies. Un bateador golpea la bola y corre hacia la primera base con una velocidad de 24 ft/s. (a) ¿Con que tasa está decreciendo su distancia a la segunda base cuando está a mitad de camino hacia la primera base? (b) ¿Con qué tasa está creciendo su distancia a la tercera base en el mismo instante?

19. La altitud de un triángulo está aumentando a un ritmo de 1 cm/min, mientras que su área está creciendo con una tasa de 2 cm2/min. ¿Con qué tasa está cambiando la base del triángulo cuando la altitud es 10 cm y el área es 100 cm2?

169

20. Un bote se hala a un muelle mediante una cuerda atada a su proa y que pasa por una polea en el muelle que está a 1 m más alto que la proa del bot. Si se tira de la cuerda con una tasa de 1 m/s, ¿cuá es la rapidez con la cual el bote se acerca al muelle cuando está a 8 m de ditancia?

21. En el mediodía, el barco A está a 150 km al oeste del barco B. El barco A está navegando hacia el este a 35 km/h y el barco B está navegando hacia el norte a 25 km/h. ¿Con qué rapidez está cambiando la distancia entre los barcos a las 4:00 PM? 22. Una partícula se mueve a lo largo de la curva y = 2 sen ( πx 2 ) . Cuando la partícula pasa por el punto

( 13 , 1) , su coordenada x aumenta con una tasa de

10 cm/s. ¿Con qué rapidez está cambiando la distancia

entre la partícula y el origen en ese instante?

23. Dos vagones, A y B, están conectados por una cuerda de 39 ft de largo que pasa por una polea P. El punto Q está en el piso a 12 ft directamente debajo de P y entre los vagones. El vagón A está siendo alejado de Q con una velocidad de 2 ft/s. ¿Con qué rapidez se está moviendo el vagón B hacia Q en el instante cuando el vagón A está a 5 ft de Q?

24. Agua está filtrándose de un tanque cónico invertido con una tasa de 10000 cm3/min y al mismo tiempo se está bombeando agua al tanque con una tasa constante. El tanque tiene una altura de 6 m y el diámetro en la parte superior es 4 m. Si el nivel del agua está subiendo con una tasa de 20 cm/min cuando la altura del agua es 2 m, halla la tasa con la cual el agua está siendo bombeada al tanque. 25. Un canalón tiene 10 ft de largo y sus extremos tiene la forma de triángulos isósceles que tienen 3 ft en la parte superior y una altura de 1 ft. Si el canalón está siendo llenado con agua con una tasa de 12 ft3/m, ¿cuál es la rapidez con la cual está subiendo el nivel cuando el agua tiene 6 pulgadas de profundidad? 26. Una piscina tiene 20 ft de ancho, 40 ft de largo, 3 ft de profundidad en el lado llano y 9 ft de profundidad en el lado más profundo. En la figura se muestra una sección transversal. Si la piscina está siendo llendad con una tasa de 0.8 ft3/min, ¿con qué rapidez está subiendo el nivel del agua cuando la profundidad en el punto más profundo es 5 ft?

27. Se descarga grava sobre una correa transportadora con una tasa de 30 ft3/min y su grosor es tal que forma una pila en la forma de un cono cuyo diámetro en la base y su altura son siempre iguales. ¿Cuál es la rapidez de crecimiento de la altura de la pila cuando ésta tiene 10 ft de altura?

170

28. Un papagayo a 100 ft sobre el suelo se mueve horizontalmente con una velocidad de 8 ft/s. ¿Con qué tasa está decreciendo el ántulo entre la cuerda y la horizontal cuando la longitud de la cuerda es de 200 ft? 29. Dos lados de un triángulo tienen 4 m y 5 m de longitud y el ángulo entre llos está creciendo con una tasa de 0.06 rad/s. Halle la tasa de crecimiento del área del triángulo cuando el ánglo entre los lados de longitud fija es π/3. 30. Dos lados de un triángulo tienen longitudes de 12 m y 15 m. El ángulo entre ellos está creciendo con una tasa de 2 °/min. ¿Cuál es la rapidez de crecimiento de la longitud del tercer lado cuando el ángulo entre los lados de longitud fija es de 60°? 31. La parte superior de una escalera resbala por una pared vertical con una tasa de 0.15 m/s. En el momento cuando la parte inferior de la escalera está a 3 m de la pared, se desliza alejándose de la pared con una tasa de 0.2 m7s. ¿Cuál es la longitud de la escalera? 32. Un grifo está llenando de agua un lavamanos hemisférico de diámetro igual a 60 cm con una tasa de 2 L/min. Halle la tasa con la cual está subiendo el agua en el lavamanos cuando está lleno hasta la mitad. Use los hechos siguientes: 1 L es 1000 cm3. El volumen de la porción de una esfera de radio r desde el fondo

(

)

hasta una altura h es V = π rh 2 − 13 h 3 .

33. La ley de Boyle establece que cuando una muestra de gas es comprimida a una temperatura constante, la presión P y el volumen V satisfacen la ecuación PV = C, donde C es una constante. Supóngase que en un cierto instante, el volumen es 600 cm3, la presión es 150 kPa y la presión está creciendo con una tasa de 20 kPa/min. ¿Con que tasa está decreciendo el volumen en ese instante? 34. Cuando el aire se expande adiabáticamente (sin ganar o perder calor), su presión P y el volumen V están relacionados por la ecuación PV 1.4 = C , donde C es una constante. Supóngase que en un cierto momento, el volumen es 400 cm3 y la presión es 80 kPa y está decreciendo con una tasa de 10 kPa/min. ¿Cuál es la tasa de crecimiento del volumen en ese instante? 35. Si dos resistores con resistencias R1 y R2 se conectan en paralelo, como en la figura, entonces la resistencia total R, medida en ohmios (Ω), es dada por

1 1 1 = + R R1 R2 Si R1 y R2 están creciendo con tasas de 0.3 Ω/s y 0.2 Ω/s, respectivamente, ¿cuál es la rapidez con la cual R está cambiando cuando R1 = 80 Ω y R2 = 100 Ω?

36. El peso del cerebro B como una función del peso del cuerpo W en peces ha sido modelado por la función de potencia B = 0.007 W 2 3 , donde B y W se miden en gramos. Un modelo para el peso del cuerpo como una

171

función de la longitud del cuerpo L (medida en centímetros) es W = 0.12L2.53 . Si, en 10 millones de años, la longitud promedio de una cierta especie de pez evolucionó de 15 cm a 20 cm con una tasa constante, ¿con qué rapidez estaba creciendo el cerebro de esta especie cuando la longitud promedio era 18 cm?

37. Una cámara de televisión está posicionada a 4000 ft de la base de lanzamiento de un cohete. El ángulo de elevación de la cámara tiene que cambiar con la tasa correcta para mantener al cohete a la vista. Tamtien, el mecanismo para enfocar la cámara tiene que tomar en cuenta la distancia creciente entre la cámara y el cohete elevándose. Supongamos que el cohete se eleva verticalmente y su velocidad es de 600 ft/s cuando llega a una altura de 3000 ft. (a) ¿Con qué rapidez está cambiando la distancia entre la cámara de televisión y el cohete en ese momento? (b) Si la cámara de televisión está siempre apuntando al cohete, ¿con qué rapidez está cambiando el ángulo de elevación de la cámara en ese momento?

38. Un faro esta ubicado en una pequeña isla a 3 km del punto más cercano P en una playa recta y su luz hace cuatro revoluciones por minuto. ¿Con qué rapidez se está moviendo el haz de luz a lo largo de la playa cuando está a 1 km de P? 39. Un avión volando con una velocidad constante de 300 km/h pasa sobre una estación de radar en tierra a una altitud de 1 km y asciende formando un ánglo de 30°. ¿Con que tasa está creciendo la distancia entre el avión y la estación de radar un minuto después? 40. Dos personas arrancan desde un mismo punto. Una camina hacia el esta a 3 mi/h y la otra hacia el noreste a 2 mi/h. ¿Con que rapidez está cambiando la distancia entre las personas después de 15 minutos? 41. Un corredos se desplaza alrededor de una pista circular de radio 100 m con una velocidad constante de 7 m/s. Un amigo del corredos esta parado a una distancia de 200 m del centro de la pista. ¿Cuál es la rapidez del cambio de la distancia entre los amigos cuando la distancia entre ellos es de 200m? 42. El minutero de un reloj tiene 8 mm de longitud y la manecilla horaria tiene una longitud de 4 mm. ¿Con qué rapidez está cambiando la distancia entre las puntas de las manecillas a la una de la tarde?

2.8

Aproximaciones Lineales y Diferenciales

Hemos visto que una curva está muy cerca de su tangente cerca del punto de tangencia. De hecho, si ampliamos en un punto de la gráfica de una función diferenciable, notamos que la gráfica se parece más y más a su tangente (véase la Figura 4 en la Sección 2.1). Esta observación es la base para un método para hallar valores aproximados de funciones. La idea es que podría ser fácil calcular un valor f(a) de una función, pero difícil (o hasta imposible) calcular valores cercanos de f. Por tanto, nos conformamos con los valores calculados fácilmente de la función lineal L cuya gráfica es la tangente de f en ( a , f ( a ) ) (véase la Figura 1).

Figura 1

172

En otras palabras, usamos la recta tangente en ( a , f ( a ) ) como una aproximación a la curva y = f ( x ) cuando x está cerca de a. Una ecuación de esta recta tangente es

y = f ( a) + f ′( a) ( x − a ) y la aproximación

f ( x ) ≈ f ( a) + f ′( a) ( x − a )

[1]

se denomina la aproximación lineal o aproximación de la recta tangente a f en a. La función lineal cuya gráfica es esta recta tangente, esto es,

L( x ) = f ( a ) + f ′( a) ( x − a )

[2] se denomina la linealizacion de f en a.

Ejemplo 1 Hallar la linealización de la función f ( x ) = x + 3 en a = 1 y úsela para aproximar los números

3.98 y

4.05 . Estas aproximaciones, ¿están sobreestimadas o subestimadas?

Solución La derivada de f ( x ) = ( x + 3 )

12

es −1 2 f ′( x ) = 21 ( x + 3 ) =

y por tanto tenemos f (1) = 2 y f ′(1) =

1 4

1 2 x+3

. Si se introducen estos valores en la Ecuación 2, vemos que la

linealización es

L( x ) = f (1) + f ′(1) ( x − 1 ) = 2 + 14 ( x − 1 ) =

7 x + 4 4

La aproximación lineal correspondiente [1] es

x+3 ≈

7 x + 4 4

(cuando x está cerca de 1)

En particular, tenemos

3.98 ≈

7 0.98 + = 1.995 4 4

y

4.05 ≈

7 1.05 + = 2.0125 4 4

La aproximación lineal se ilustra en la Figura 2. Vemos que, en efecto, la aproximación de la recta tangente es una buena aproximación a la función dada cuando x está cerca de 1. También vemos que nuestras aproximaciones son sobreestimadas ya que la tangente está sobre la curva. Por supuesto, una calculadora nos da una aproximación para una aproximación en todo un intervalo.

3.98 y

4.05 , pero la aproximación lineal da

Figura 2

En la tabla siguiente se comparan los estimados a partir de la aproximación linean en el Ejemplo 1 con los valores verdaderos. Observe de la tabla, y también de la Figura 2, que la aproximación de la recta tangente da

173

buenos estimados cuando x está cerca de 1, pero la precisión de la aproximación se deteriora cuando x se aleja de 1. A partir de L(x)

Valor real

¿Cuán buena es la aproximación que se obtuvo en el Ejemplo 1? El siguiente ejemplo muestra que al usar una calculadora gráfica o una computadora podemos determinar un intervalo en el cual una aproximación lineal proporcional una precisión especificada.

Ejemplo 2 ¿Para qué valores de x tiene la aproximación lineal

x+3 ≈

7 x + 4 4

una precisión de hasta dentro de 0.5? ¿Qué se puede decir acerca de hasta dentro de 0.1?

Solución La precisión hasta dentro de 0.5 significa que las funciones deben diferir por menos de 0.5:

7 x x + 3 −  +  < 0.5 4 4 De forma equivalente, se puedo escribir

x + 3 − 0.5 <

7 x + < x + 3 + 0.5 4 4

Ésta dice que la aproximación lineal debe estar entre las curvas obtenidas al desplazar la curva y = x + 3 hacia arriba y hacia abajo en una cantidad igual a 0.5. La Figura 3 muestra la tangente y = ( 7 + x ) 4 cortando la curva superior y = x + 3 + 0.5 en P y Q. Aumentando y usando el cursor, estimamos que la coordenada x de P es aproximadamente −2.66 y la coordenada x de Q es aproximadamente 8.66. Por tanto, vemos de la gráfica que la aproximación 7 x x+3 ≈ + 4 4 es precisa hasta dentro de 0.5 cuando −2.6 < x < 8.6 (hemos redondeado para estar seguros). En forma similar, de la Figura 4 vemos que la aproximación es precisa hasta dentro de 0.1 cuando −1.1 < x < 3.9 .

Figura 4

174

Aplicaciones en Física Las aplicaciones lineales se usan con frecuencia en física. Al analizar las consecuencias de una ecuación, un físico necesita algunas veces simplificar una función reemplazándola con su aproximación lineal. Por ejemplo, cuando se deriva una fórmula para el periodo de un péndulo, los textos de física obtienen la expresión aT = − g sen θ para la aceleración tangencial y luego reemplazan sen θ por θ con la observación que sen θ está muy cerca de θ si θ no es demasiado grande. Se puede verificar que la linealización de la función f ( x ) = sen x en a = 0 es

L( x ) = x y por tanto la aproximación lineal en 0 es sen x ≈ x (véase el Ejercicio 28). Así que, en efecto, la derivación de la fórmula para el periodo de un péndulo usa la aproximación de la recta tangente para la función seno. Otro ejemplo ocurre en el teoria de óptica, donde los rayos de luz que llegan con ángulos llanos en relación con el eje óptico se denominan rayos paraxiales. En la óptica paraxial (o gaussiana), tanto sen θ como cos θ son reemplazados por sus linealizaciones. En otras palabras, se usan las aproximaciones lineales sen θ ≈ θ

y

cos θ ≈ 1

porque θ está cerca de 0. Los resultados de los cálculos que se hacen con estas aproximaciones se convirtieron en la herramienta teórica básica usada para diseñar lentes.

Diferenciales Las ideas detrás de las aproximaciones lineales son formuladas algunas veces en la terminologia de diferenciales. Si y = f ( x ) ,donde f es una función diferenciable, entonces el diferencial dx es una variable independiene; esto es, a dx se le puede dar el valor de cualquier número real. El diferencial dy se define entonces en términos de dx por la ecuación [3]

dy = f ′( x )dx

De modo que dy es una variable dependiente; depende de los valores de x y dx. Si a dx se le da un valor específico y x se toma como algún número específico en el dominio de f, entonces el valor numérico de dy queda determinado. El significado geométrico de los diferenciales se muestra en la Figura 5. Sean P ( x , f ( x ) ) y Q ( x + ∆x , f ( x + ∆x ) ) puntos en la gráfica de f y sea dx = ∆x . El cambio correspondiente en y es

∆y = f ( x + ∆x ) − f ( x )

Figura 5

La pendiente de la tangente PR es la derivada f ′( x ) . Así que la distancia dirigida desde S hasta R es f ′( x )dx = dy . Por tanto, dy representa la cantidad que la recta tangente sube o baja (el cambio en la linealización), en tanto que ∆y representa la cantidad que la curva y = f ( x ) sube o baja cuando x cambia por una cantidad dx. Observe en la Figura 5 que la aproximación ∆y ≈ dy mejora a medida que ∆x disminuye.

175

Si se toma dx = x − a , entonces x = a + dx y podemos reescribir la aproximación lineal [1] en la notación de diferenciales:

f ( a + dx ) ≈ f ( a) + dy Por ejemplo, para la función f ( x ) = x + 3 en el Ejemplo 1, tenemos que

dy = f ′( x ) dx =

dx 2 x+3

Si a = 1 y dx = ∆x = 0.05 , entonces

dy =

0.05 2 1+ 3

= 0.0125

y

4.05 = f ( 1.05 ) ≈ f (1) + dy = 2.0125 igual a lo encontrado en el Ejemplo 1. Nuestro ejemplo final ilustra el uso de diferenciales al estimar los errores que ocurren debido a mediciones aproximadas.

Ejemplo 3 Se midió el radio de una esfera y se encontró que medía 21 cm con un posible error de medición de cuando más 0.05 cm. ¿Cuál es el máximo error al usar este valor del radio para calcular el volumen de la esfera? Solución Si el radio de la esfera es r, entonces su volumen es V = 43 πr 3 . Si el error en el valor medio de r se denota por dr = ∆r , entonces el error correspondiente en el valor calculdo de V es ∆V, el cual puede ser aproximado por el diferencial

dV = 4πr 2 dr Cuando r = 21 y dr = 0.05, esto se convierte en 2

dV = 4π ( 21 ) 0.05 ≈ 277 El error máximo en el volumen calcujlado es aproximadamente 277 cm3.

Observación Aunque el error posible en el Ejemplo 3 puede parecer bastante grande, una idea mejor del error la da el error relativo, el cual se calcula dividiendo el error por el volumen total.

∆v dV 4 πr 2 dr dr ≈ = =3 3 4 V V r πr 3 Por tanto, el error relativo en el volumen es aproximadamente tres vees el error relativo en el radio. En el Ejemplo 3, el error relativo en el radio es aproximadamente dr r = 0.05 21 ≈ 0.0024 y produce un error relativo e aproximadamente 0.007 en el volumen. Los errores también se pueden expresar como errores porcentuales de 0.24% en en el radio y 0.7% en el volumen.

2.8 Ejercicios Ejercicios 1−4: Hallar la linealización L(x) de la función en a.

1.

f ( x ) = x 4 + 3x 2 ,

a = −1

2.

f (x ) = 1

2+x,

a=0

176

f ( x ) = cos x ,

5.

Hallar la aproximación lineal de la función f ( x ) = 1 − x en a = 0 y úsela para aproximar los números 3

6.

0.95 y

3

4.

f (x ) = x 3 4 ,

3.

a=π 2

a = 16

1.1 . Ilustre graficando f y la tangente.

Hallar la aproximación lineal de la función g( x ) = 3 1 + x en x = 0 y úsela para aproximar los números 3

0.95 y

3

1.1 . Ilustre graficando f y la tangente.

Ejercicios 7−10: Verifique la aproximación lineal dada en a = 0. Después determine los valores de x para los cuales la aproximación lineal es precisa hasta dentro de 0.1.

7.

3

1 + x ≈ 1 − 12 x

8. tan x ≈ x

4

9. 1 ( 1 + 2 x 4 ) ≈ 8x

10. 1

1 4 − x ≈ 21 + 16 x

Ejercicios 11−14: Use una aproximación lineal (o diferenciales) para estimar el número dado. 4 11. ( 1.999 )

12.

3

1001

23 13. ( 8.06 )

14. 1 4.002

Ejercicios 15−16: Explique, en términos de aproximaciones lineales o diferenciales, por qué la aproximación es razonable.

15. sec 0.08 ≈ 1

6 16. ( 1.01 ) ≈ 1.06

Ejercicios 17−18: Halle la diferencial de cada función.

17. (a) y = tan t

(b) y =

1 − v2 1 + v2

18. (a) y = s ( 1 + 2 s )

(b) y = u cos u

19. Sea y = tan x . (a) Hallar el diferencial dy. (b) Evaluar dy y ∆y si x = π 4 y dx = −0.1. 20. Sea y = x . (a) Hallar el diferencial dy. (b) Evaluar dy y ∆y si x = 1 y dx = ∆x = 1. (c) Dibujar un diagrama como el de la Figura 5 que muestre los segmentos de rectas con longitudes dx, dy y ∆yl

21. Se encontró que la arista de un cubo mide 30 cm con un posible error en la medición de 0.1 cm. Use diferenciales para estimar el error máximo posible, el error relativo y el error porcentual al calcular (a) el volumen del cubo y (b) el área superficial del cubo. 22. El radio de un disco circular se da como 24 cm con un error máximo en la medición de 0.2 cm. (a) Use diferenciales para estimar el error máximo en el área calculada del disco. (b) ¿Cuál es el error relativo? ¿Cuál es el error porcentual?

23. Se midió la circunferencia de una esfera y se obtuvo un valor de 84 cm con un error posible de 0.5 cm. (a) Use diferenciales para estimar el error máximo en el área superficial calculada. ¿Cuál es el erro relativo? (b) Use diferenciales para estima el error máximo en el volumen calculado. ¿Cuál es el error relativo?

24. Use diferenciales para estimar la cantidad de pintura que se necesita para aplica una mano de pintura de 005 cm de espesor a un domo hemisférico de diámetro igual a 50 m. 25. Si una corriente I pasa a través de un resistor con resistencia R, la Ley de Ohm establece que la caída de voltaje es V = RI . Si V es constante y R se mide con un cierto error, use diferenciales para demostrar que el error relativo al calcular I es aproximadamente el mismo (en magnitud) que el error relativo en R.

177

26. Se sabe que un lado de un triángulo rectángulo mide 20 cm de largo y el ángulo opuesto se mide como 30°, con un posible error de ±1°. (a) Use diferenciales para estimar el error al calcular la longitud de la hipotenusa. (b) ¿Cuál es el error porcentual?

27. Cuando fluye sangre por un vaso sanguíneo, el flujo F (el volumen de sangre por unidad de tiempo que fluye pasando un punto) es proporcional a la cuarta potencia del radio R del vaso sanguíneo:

F = kR 4 Ésta se conoce como la Ley de Poiseuille. Una arteria parcialmente obstruida puede expandirse mediante una operación denominada angioplastia, en la cual un cateter con punta en forma de balón es inflado en el interior de la arteria para ampliarla y restaurar el flujo normal de la sangre. Demuestre que el cambio relativo en F es aproximadamente cuatro veces el cambio relativo en R. ¿Cómo afectará el flujo sanguíneo un 5% de incremento en el radio?

28. En la página 431 de Physics: Calculus, 2da. ed., por Eugene Hecht (Pacific Grove, CA, 2000), en el curso de la deducción de la fórmula T = 2 π L g para el periodo de un péndulo de longitud L, el autor obtiene la ecuación aT = − g sen θ para la aceleración tangencial del extremo del péndulo. Dice entonces, “para ángulos pequeños, el valor de θ en radianes es casi igual al valor de sen θ ; difieren por menos de 2% hasta aproximadamente 20°”. (a) Verifique la aproximación lineal en 0 para la función seno: sen x ≈ x (b) Use un dispositivo de graficar para determinar los valores de x para los cuales sen x y x difieren por menos de 2%. Verifique después la afirmación de Hecht convirtiendo de radianes a grados.

29. Supóngase que la única información que se tiene acerca de una función f es que f (1) = 5 y la gráfica de su derivada es como se muestra. (a) Use una aproximación lineal para estimar f (0.9) y f (1.1) . (b) Sus estimados en la parte (a) ¿son demasiado grandes o demasiado pequeños? Explique.

30. Suponga que no tenemos una fórmula para g(x) pero sabemos que g(2) = −4 y g ′( x ) = x 2 + 5 para toda x. (a) Use una aproximación lineal para estimar g(1.95 y g(2.05). (b) ¿Son sus estimados en la parte (a) demasiado grandes o demasiado pequeños?

178

3 FUNCIONES INVERSAS FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGARÍTMICAS Y TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

El tema común que enlaza las funciones de este capítulo es que ellas ocurren como pares de funciones inversas. En particular, dos de las funciones más importantes que ocurren en matemáticas y sus aplicaciones son la función exponencial f ( x ) = a x y su función inversa, la función logarítmica g( x ) = log a x . Aquí investigamos sus propiedades, calculamos sus derivadas y las usamos para describir el crecimiento y el decaimiento exponencial en biología, física, química y otras ciencias. También estudiamos las inversas de las funciones trigonométricas e hiperbólicas. Finalmente estudiamos un método (la Regla de L’Hôpital) para calcular límites de esas funciones.

3.1 Funciones Exponenciales La función f ( x ) = 2 x se denomina una función exponencial porque la variable, x, es el exponente. No se debe confundir con la función potencia g( x ) = x 2 , en la cual la variable es la base. En general, una función exponencial es una función de la forma

f ( x) = ax donde a es una constante positiva. Recordemos lo que esto significa. Si x = n, un entero positivo, entonces

an = a ⋅ a ⋅ ⋯ ⋅ a  n factores

Si x = 0, entonces a0 = 1 y si x = −n, donde n es un entero positivo, entonces

a− n =

1 an

Si x es un número racional, x = p/q, donde p y q son enteros y q > 0, entonces

ax = a p

q

= ap = ( a ) q

q

p

Pero ¿cuál es el significado de ax si x es un número irracional? por ejemplo, ¿qué se entiende por 2

3

o 5π ?

Para ayudar a responder esta pregunta, primero observamos la gráfica de la función y = 2 x , donde x es racional. Una representación de esta gráfica se muestra en la Fig. 1. Queremos aumentar el dominio de y = 2 x para incluir números tanto racionales como irracionales. En la gráfica en la Fig. 1 hay huecos correspondientes a valores irracionales de x. Queremos llenar los huecos definiendo f ( x ) = 2 x , donde x ∈ ℝ , de modo que f sea una función continua creciente. En particular, como el número irracional

3 satisface la inecuación

180

1.7 < 3 < 1.8 debemos tener

2 1.7 < 2

3

< 2 1.8

y sabemos lo que significan 2 1.7 y 2 1.8 porque 1.7 y 1.8 son números racionales. En forma similar, si usamos mejores aproximaciones para

3 , obtenemos mejores aproximaciones para 2

3

:

Se puede demostrar que hay exactamente un número que es mayor que todos los números

2 1.7 , 2 1.73 , 2 1.732 , 2 1.7320 , 2 1.73205 , … y menor que todos los números

2 1.8 , 2 1.74 , 2 1.733 , 2 1.7321 , 2 1.73206 , … Definimos a 2 3 como este número. Usando el proceso de aproximación precedente, podemos calcularlo con precisión de hasta seis cifras decimales

2

3

≈ 3.321997

En forma similar podemos definir a 2 x (o ax , si a > 0), donde x es cualquier número irracional. La Fig. 2 muestra cómo se han llenado todos los huecos en la Fig. 1 para completar la gráfica de la función f ( x ) = 2 x , x∈ℝ .

Figura 1

Figura 2

En general, si a es cualquier número positivo, definimos

ax = lím ar ,

[1]

r→a

r racional

Esta definición tiene sentido porque cualquier número irracional puede ser aproximado por un número racional con tanta precisión como queramos. Por ejemplo, como 3 tiene la representación decimal 3 = 1.7320508…, la Definición 1 dice que 2

3

es el límite de la secuencia de números

181

2 1.7 , 2 1.73 , 2 1.732 , 2 1.7320 , 2 1.73205 , 2 1.732050 , 2 1.77320508 , … En la misma forma, 5π es el límite de la secuencia de números

5 3.1 , 5 3.14 , 5 3.141 , 5 3.14.15 , 5 3.14159 , 53.141592 , 53.1415926 , … Se puede demostrar que la Definición 1 especifica en forma única a ax y hace que la función f ( x ) = a x sea continua. En la Fig. 3 se muestran las gráficas de la familia de funciones y = a x para diferentes valores de la base a. Observe que todas estas gráficas pasan por el mismo punto (0, 1) ya que a0 = 1 para a ≠ 0. Observe también que conforme la base a se hace más grande, la función exponencial crece más rápidamente (para x > 0).

Figura 3

La Fig. 4 muestra cómo se compara la función exponencial y = 2 x con la función potencia y = x 2 . Las gráficas se intersecan tres veces, pero finalmente la curva exponencial y = 2 x crece mucho más rápidamente que la parábola y = x 2 (véase también la Fig. 5).

Figura 4

Figura 5

En la Fig. 3 se puede ver que hay básicamente tres clases de funciones exponenciales y = a x . Si 0 < a < 1, la función exponencial decrece; si a = 1, es una constante y si a > 1, crece. Estos tres casos se ilustran en la Fig. 6. x

x

Puesto que ( 1 a ) = 1 a x = a − x , la gráfica de ( 1 a ) es precisamente la reflexión de la gráfica de y = a x en torno al eje y.

182

Figura 6

Las propiedades de la función exponencial se resumen en el teorema siguiente.

2 Teorema

Si a > 0 y a ≠ 1, entonces f ( x ) = a x es una función continua con dominio ℝ y recorrido (0, ∞). En

particular, ax > 0 para toda x. Si a, b > 0 y x, y ∈ ℝ, entonces

2. ax − y =

1. ax + y = a x a y

ax a

3.

y

( ax )y

x 4. ( ab ) = a x b x

= axy

La razón para la importancia de la función exponencial está en las propiedades 1−4, las cuales se conocen como las Leyes de Exponentes. Si x y y son números racionales, entonces estas leyes se conocen bien por el álgebra elemental. Para números reales arbitrarios x y y, estas leyes pueden deducirse a partir del caso especial donde los exponentes son racionales usando la Ecuación 1. Los límites siguientes pueden leerse a partir de las gráficas mostradas en la Fig. 6 o demostradas a partir de la definición de un límite en infinito (véase el Ejercicio 77 en la Sección 3.2).

3

Si a > 1,

entonces

Si 0 < a < 1, entonces

lím ax = ∞

y

lím ax = 0

y

x→∞

x→∞

lím a x = 0

x → −∞

lím a x = ∞

x → −∞

En particular, si a ≠ 1, entonces el eje x es una asíntota horizontal de la gráfica de la función exponencial y = a x .

Ejemplo 1 (a) Hallar lím x → ∞ ( 2 − x − 1 ) . (b) Dibujar la gráfica de la función y = 2 − x − 1 .

Solución

lím

(a)

(b) Escribimos y =

x→∞

( 21 )

x

 1  x  lím   − 1 x → ∞  2   = 0 − 1 = −1

( 2 −x − 1) =

corremos una unidad hacia abajo para obtener la gráfica de muestra que la recta y = −1 es una asíntota horizontal.

x

( 21 ) se muestra en la Fig. 3; por tanto, la x y = ( 21 ) − 1 mostrada en la Fig. 7. La parte (a)

− 1 como en la parte (a). La gráfica de y =

183

El Numero e y la Función Exponencial Natural De todas las bases posibles para una función exponencial, hay una que es la más conveniente para los propósitos del cálculo. En la Sección 3.3 veremos que la fórmula de diferenciación para una función exponencial es más sencilla cuando la base escogida es el número e, el cual se define a continuación:

[4]

e = lím ( 1 + x )

1x

x→0

1x La gráfica de la función y = ( 1 + x ) se muestra en la Fig. 8. No está definida cuando x = 0, pero su conducta cuando x está cerca de 0 se indica en la tabla de valores correctos hasta ocho cifras decimales. Estos valores sugieren (pero no demuestran) que el límite en la Definición 4 existe y que e ≈ 2.71828 . La existencia del límite se demuestra en el Apéndice B. El valor aproximado hasta 20 cifras decimales es

e ≈ 2.71828182845904523536 La expansión decimal de e no es repetitiva porque e es un número irracional. La notación e para este número fue escogido por el matemático suizo Leonhard Euler en 1727, probablemente porque es la primera letra de la palabra exponencial.

Figura 8

La función exponencial y = e x con base e se denomina la función exponencial natural. Como e está entre 2 y 3, la gráfica de y = e x está entre las gráficas de y = 2 x y y = 3x , como se muestra en la Fig. 9. En la Sección 3.3 veremos que la función exponencial natural es la función exponencial cuya gráfica cruza el eje y con una pendiente igual a 1 (véase la Fig. 10). De hecho, se puede ver por qué esto podría ser cierto en el límite en la Definición 4. La pendiente de la tangente a la gráfica de f ( x ) = e x en el punto (0, 1) es

f ′(0) = lím

h→0

f ( 0 + h ) − f (0) eh − 1 = lím h→0 h h

Reemplazando x por h en la Definición 4, vemos que, para valores pequeños de h,

e ≈ (1 + h )

1h

,

por tanto

eh ≈ 1 + h

Por tanto, si h está cerca de 0, tenemos que

eh − 1 ≈1 h y parece plausible que f ′(0) = 1 .

y

eh − 1 ≈ h

184

Figura 9

Figura 10

La función exponencial f ( x ) = e x es una de las funciones que ocurren con más frecuencia en el cálculo y en sus aplicaciones, de modo que es importante conocer bien su gráfica (Fig. 10) y sus propiedades. Estas propiedades se resumen a continuación, usando el hecho de que esta función es simplemente un caso especial de las funciones exponenciales consideradas anteriormente pero con base a = e > 1.

[5] Propiedades de la Función Exponencial Natural La función exponencial f ( x ) = e x es una función continua con dominio ℝ y recorrido (0, ∞). Por tanto, e x > 0 para toda x. También

lím e x = 0,

lím e x = ∞

x → −∞

x→∞

de modo que el eje x es una asíntota horizontal de f ( x ) = e x .

Ejemplo 2 Evaluar lím− e 1 x . x→0

Solución Si hacemos t = 1/x, de la Sección 1.6 sabemos que t → −∞ conforme x → 0−. Por tanto, por (5),

lím e 1 x = lím et = 0

x → 0−

Ejemplo 3 Hallar lím

e2 x

x → ∞ e2 x

+1

t → −∞

.

Solución Dividimos el numerador y el denominador por e 2 x :

lím

e2 x

x → ∞ e2 x

+1

= lím

x→∞

1 1+ e

−2 x

=

1 1 + lím e

−2 x

=

x→∞

Hemos usado el hecho de que t = −2x → −∞ conforme x → ∞ y por tanto

lím e −2 x = lím et = 0

x→∞

t → −∞

1 =1 1+0

185

3.1 Ejercicios 1. (a) Escriba una ecuación que defina la función exponencial con base a > 0. (b) ¿Cuál es un valor aproximado para e? (c) ¿Cuál es la función exponencial natural? Ejercicios 3−6: Graficar las funciones dadas en ejes comunes. ¿Cómo están relacionadas estas gráficas? 4. y = e x , y = e − x , y = 8 x , y = 8− x

3. y = 2 x , y = e x , y = 5x , y = 20 x 5. y = 3x , y = 10 x , y =

( 13 )

x

, y=

( 1011 )

x

6. y = 0.9 x , y = 0.6 x , y = 0.3x , y = 0.1x

Ejercicios 7−12: Haga una gráfica aproximada de la función. No use una calculadora. Use solamente las gráficas dadas en las Figs. 3 y 9 y, si fuese necesario, las transformaciones de la Sección 1.2.

8. y = 4 x − 3

7. y = 4 x − 3

9. y = −2 − x

10. y = 2 ( 1 − e x )

13. Comenzando con la gráfica de y = e x , escriba la ecuación de la gráfica que resulta de: (a) desplazar 2 unidades hacia abajo. (b) desplazar 2 unidades hacia la derecha. (c) reflejar en torno al eje x. (d) reflejar en torno al eje y. (e) reflejar en torno al eje x y después en torno al eje y.

14. Comenzando con la gráfica de y = e x , hallar la ecuación de la gráfica que resulta de: (a) reflejar en torno a la línea y = 4. (b) reflejar en torno a la línea x = 2. Ejercicios 15−16: Hallar el dominio de cada función.

15. (a) f ( x ) =

1 1+ e

x

16. (a) g(t ) = sen ( e −t )

(b)

f (x ) =

1 1 − ex

(b) g(t ) = 1 − 2 t

Ejercicios 17−18: Hallar la función exponencial f ( x ) = Cax cuya gráfica se da.

17.

18.

19. Supóngase que se dibujan las gráficas de f ( x ) = x 2 y g( x ) = 2 x en un plano de coordenadas donde la unidad de medición es 1 pulgada. Demuestre que, a una distancia de 2 pies a la derecha del origen, la altura de la gráfica de f es de 48 pies pero la altura de la gráfica de g es de aproximadamente 265 millas.

186

20. Compare las tasas de crecimiento de las funciones f ( x ) = x 5 y g( x ) = 5x graficando ambas funciones en varios visores rectangulares. Halle todos los puntos de intersección de las gráficas con precisión de una cifra decimal. 21. Compara las funciones f ( x ) = x 10 y g( x ) = e x graficando f y g en varios visores rectangulares. ¿Cuándo sobrepasa la gráfica de g finalmente a la gráfica de f? 22. Use una gráfica para estimar los valores de x tales que e x > 1 000 000 000 . Ejercicios 23−30: Hallar el límite.

23. lím (1.001)x x→∞

27.

lím e 3

(2−x)

x → 2+

24. lím e − x

2

25. lím

x → ∞ e 3x

x→∞

28.

lím e 3

e 3 x − e −3 x + e −3 x

29. lím ( e −2 x cos x )

(2−x)

x → 2−

x→∞

26. lím

x→∞

30.

2 + 10 x 3 − 10 x

lím

x → (π 2)

+

e tan x

31. Si se grafica la función

f (x ) =

1 − e1 x 1 + e1 x

se verá que f parece ser una función impar. Demuéstrelo.

32. Grafique varios componentes de la familia de funciones

f (x ) =

1 1 + ae bx

donde a > 0. ¿Cómo cambia la gráfica cuando b cambia? ¿Cómo cambia cuando a cambia?

3.2 Funciones Inversas y Logaritmos La Tabla 1 da datos de un experimento en los cuales un cultivo de bacterias comenzó con 100 bacterias en un medio de nutriente limitado; el tamaño de la población de bacterias se registró en intervalos de una hora. El número de bacterias N es una función del tiempo t: N = f (t ) . Supóngase, sin embargo, que el biólogo cambia su punto de vista y se interesa en el tiempo requerido para que la población alcance varios niveles. En otras palabras, ella está pensando en t como una función de N. Esta función se denomina la función inversa de f, denotada por f −1 , y se lee “f inversa”. Por tanto, t = f −1 ( N ) es el tiempo requerido para que el nivel de población alcance N. Los valores de f −1 pueden hallarse leyendo la Tabla 1 de derecha a izquierda o consultando la Tabla 2. Por ejemplo, f −1 ( 550 ) = 6 porque f (6) = 550. No todas las funciones poseen inversas. Comparemos las funciones f y g cuyos diagramas de flechas se muestran en la Fig. 1. Observe que f nunca toma el mismo valor dos veces (cualesquiera dos entradas en A tienen diferentes salidas), en tanto que g sí toma el mismo valor dos veces (tanto 2 como 3 tienen la misma salida, 4). En símbolos

g(2) = g(3)

187

TABLA 1 N como una función de t (horas)

TABLA 2 t como una función de N

población en t

tiempo para lograr N bacterias

Figura 1 f es uno a uno; g no lo es.

pero

f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) siempre y cuando x1 ≠ x2

Las funciones que comparte esta propiedad con f se denominan funciones uno a uno.

1 Definición Una función f se denomina una función uno a uno si nunca asume el mismo valor dos veces; esto es f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) siempre y cuando x1 ≠ x2

Si una línea horizontal corta la gráfica de f en más de un punto, entonces vemos en la Fig. 2 que existen números x1 y x2 tales que f ( x1 ) = f ( x2 ) . Esto significa que f no es uno a uno. Por tanto, tenemos el siguiente método geométrico para determinar si una función es uno a uno:

Criterio de la Recta Horizontal Una función es uno a uno si y sólo si ninguna recta horizontal interseca su gráfica más de una vez.

Ejemplo 1 ¿Es uno a uno la función f ( x ) = x 3 ? Solución 1 Si x1 ≠ x2, entonces x12 ≠ x23 (dos números diferentes no pueden tener el mismo cubo). Por tanto, por la Definición 1, f ( x ) = x 3 es uno a uno.

Solución 2 De la Fig. 3 vemos que ninguna recta horizontal cruza la gráfica de f ( x ) = x 3 más de una vez. Por tanto, por el Criterio de la Recta Horizontal, f es uno a uno.

188

Figura 2

Figura 3

Ejemplo 2 ¿Es uno a uno la función g( x ) = x 2 ? Solución 1 Esta función no es uno a uno porque, por ejemplo

g(1) = 1 = g( −1) y por tanto 1 y −1 tienen la misma salida.

Solución 2 En la Fig. 4 vemos que hay rectas horizontales que intersecan la gráfica de g más de una vez. Por tanto, por el Criterio de la Recta Horizontal, g no es uno a uno.

Figura 4

Las funciones uno a uno son importantes porque ellas son precisamente las funciones que poseen funciones inversas de acuerdo con la siguiente definición.

2 Definición Sea f una función uno a uno con dominio A y recorrido B. Entonces su función inversa f −1 tiene dominio B y recorrido A y se define por f −1 ( y ) = x ⇔ f ( x ) = y para cualquier y en B.

Esta definición dice que si f mapea x en y, entonces f −1 mapea y de regreso en x (si f fuese uno a uno, entonces

f −1 no estaría definida en forma única). El diagrama de flechas en la Fig. 5 indica que f −1 revierte el efecto de f. Observe que

dominio de f −1 = recorrido de f recorrido de f −1 = dominio de f

Por ejemplo, la función inversa de f ( x ) = x 3 es f −1 ( x ) = x 1 3 porque si y = x 3 , entonces

189

Figura 5

f −1 ( y ) = f −1 ( x 3 ) = ( x 3 )

13

=x

Advertencia No confunda el −1 en f −1 con un exponente. Esto es,

1 f (x)

f −1 ( x ) no significa −1

Sin embargo, el recíproco 1 f ( x ) podría escribirse como [ f ( x )] .

Ejemplo 3 Si f(1) = 5, f(3) = 7 y f(8) = −10, hallar f −1 (7) , f −1 (5) y f −1 ( −10) . Solución A partir de la definición de f −1 , se obtiene

f −1 (7) = 3 f f

porque f (3) = 7

−1

(5) = 1

porque f (3) = 5

−1

( −10) = 8

porque

f (8) = −10

El diagrama en la Fig. 6 aclara cómo f −1 revierte el efecto de f en este caso.

Figura 6

La letra x se usa tradicionalmente como la variable independiente, de modo que cuando nos concentramos en f −1 en vez de f, usualmente invertimos los papeles de x y y en la Definición 2 y escribimos

[3]

f −1 ( x ) = y

⇔

f (y) = x

Sustituyendo a y en la Definición 2 y a x en [3], se obtienen las siguientes ecuaciones de cancelación:

[4]

f −1 ( f ( x ) ) = x

para toda x en A

f (f

para toda x en B

−1 (

x )) = x

190

La primera ecuación de cancelación dice que si comenzamos con x, aplicamos f y después aplicamos f −1 , llegamos de nuevo a x, donde comenzamos (véase el diagrama de máquinas en la Fig. 7). Por tanto, f −1 deshace lo que f hace. La segunda ecuación dice que f deshace lo que f −1 hace.

Figura 7

Por ejemplo, si f ( x ) = x 3 , entonces f −1 ( x ) = x 1 3 y las ecuaciones de cancelación se convierten en

f −1 ( f ( x ) ) = ( x 3 ) f ( f −1 ( x ) ) = ( x

13

13 3

)

=x =x

Estas ecuaciones simplemente dice que la función elevar al cubo y la función raíz cúbica se cancelan entre sí cuando se aplican en sucesión. Veamos ahora cómo calcular funciones inversas. Si tenemos una función y = f ( x ) y podemos resolver esta ecuación por x en términos de y, entonces, de acuerdo con la Definición 2, debemos tener x = f −1 ( y ) . Si queremos llamar x a la variable independiente, entonces intercambiamos x y y en la ecuación y = f −1 ( x ) .

[5] Cómo Hallar la Función Inversa de una Función f Uno a Uno PASO 1

Escribimos y = f ( x ) .

PASO 2

Resolvemos esta ecuación por x en términos de y (si es posible).

PASO 3

Para expresar f −1 como una función de x, intercambiar x y y. La ecuación resultante es y = f −1 ( x ) .

Ejemplo 4 Hallar la función inversa de f ( x ) = x 3 + 2 . Solución De acuerdo con [5], primero escribimos

y = x3 + 2 Entonces despejamos x en esta ecuación:

x3 = y − 2 x = 3 y−2 Finalmente, se intercambian x y y:

y = 3 x−2 Por tanto, la función inversa es f −1 ( x ) = 3 x − 2 . El principio de intercambiar x y y para hallar la función inversa también nos da el método para obtener la gráfica de f −1 a partir de la gráfica de f. Puesto que f ( a) = b si y sólo si f −1 (b ) = a , el punto (a, b) está en la gráfica de f si y sólo si el punto (b, a) está en la gráfica de f −1 . Pero el punto (b, a) se obtiene a partir del punto

( a , b ) por reflexión en torno a la recta y = x (véase la Fig. 8).

191

Figura 8

Figura 9

Por tanto, como se ilustra en la Fig. 9:

La gráfica de f −1 se obtiene reflejando la gráfica de f en torno a la recta y = x.

Ejemplo 5 Dibuje las gráficas de f ( x ) = −1 − x (la mitad superior de la parábola y 2 = −1 − x o x = − y 2 − 1 ) y luego reflejamos en torno a la recta y = x para obtener la gráfica de f −1 (véase la Fig. 10). Como una verificación es nuestra gráfica, observe que la expresión para f −1 es f −1 ( x ) = −x 2 − 1 , x ≥ 0. De modo que la gráfica de f −1 es la mitad derecha de la parábola y = − x 2 − 1 y esto parece razonable de la Fig. 10.

Figura 10

El Cálculo de Funciones Inversas Examinemos ahora a las funciones inversas desde el punto de vista del cálculo. Supóngase que f es uno a uno y continua. Pensamos en una función continua como una cuya gráfica no tiene interrupciones (consiste de una sola pieza). Como la gráfica de f −1 se obtiene a partir de la gráfica de f por reflexión en torno a la recta y = x, la gráfica de f −1 tampoco tiene interrupciones (véase la Fig. 9). Por tanto, podríamos esperar que f −1 también sea una función continua. El argumento geométrico no demuestra el teorema siguiente, pero por lo meno lo hace plausible. Se puede encontrar una demostración en el Apéndice B.

6 Teorema Si f es una función continua y uno a uno definida en un intervalo, entonces su función inversa f −1 también es continua.

192

Supóngase ahora que f es una función uno a uno y diferenciable. Geométricamente podemos considerar a una función diferenciable como una cuya gráfica no tiene esquinas ni pliegues. La gráfica de f −1 se obtiene reflejando la gráfica de f en torno a la recta y = x, de modo que la gráfica de f −1 tampoco tiene esquinas ni pliegues. Por tanto, esperamos que f −1 también sea diferenciable (excepto donde sus tangentes sean verticales). De hecho, podemos predecir el valor de la derivada de f −1 en un punto dado mediante un argumento geométrico. En la Fig. 11 se muestran las gráficas de f y de su inversa f −1 . Si f (b ) = a , entonces f −1 ( a) = b y

( f −1 )′ ( a) es la pendiente de la tangente a la gráfica de

f −1 en (a, b). que es ∆y ∆x . Reflejando en la recta y = x

tiene el efecto de intercambiar las coordenadas x y y. Por tanto, la pendiente de la línea reflejada ℓ [la tangente a la gráfica de f en (b, a) es ∆x ∆y . Por tanto, la pendiente de L es el recíproco de la pendiente de ℓ , esto es,

( f −1 )′ ( a) = ∆∆yx = ∆x1∆y =

1 f ′(b )

Figura 11

7 Teorema Si f es una función uno a uno y diferenciable con función inversa f −1 y f ′ ( f −1 ( a ) ) ≠ 0 , entonces la función inversa es diferenciable en a y

( f −1 )′ ( a ) =

1 f ′ ( f −1 ( a ) )

Demostración Escriba la definición de derivada como en la Ecuación 2.1.5:

f ( f −1 )′ ( a ) = xlím →a

−1

( x ) − f −1 ( a) x−a

Si f (b ) = f ( a) , entonces f −1 ( a) = b . Y si tomamos y = f −1 ( x ) , entonces f ( y ) = x . Puesto que f es diferenciable, es continua y, por tanto, f −1 es continua por el Teorema 6. Por tanto si x → a, entonces f −1 ( x ) → f −1 ( a) , esto es,

y → b . Por consiguiente, f ( f −1 )′ ( a ) = xlím →a

= lím

v→v

=

−1

( x ) − f −1 ( a) x−b = lím → y b x−a f ( y ) − f (b )

1 1 = f ( y ) − f (b ) f ( y ) − f (b ) lím y→y y−b y−b

1 1 = − f ′(b ) f ′ ( f 1 ( a ) )

Observación 1 Si se reemplaza a por el número general x en la fórmula del Teorema 7, se obtiene

193

[8[

( f −1 )′ (x) =

1

f ′( f

−1 (

x ))

Si escribimos y = f −1 ( x ) , entonces f ( y ) = x y, la Ecuación 8, cuando se expresa en la notación de Leibniz, se convierte en dy 1 = dx dx dy

Observación 2 Si se sabe de antemano que f −1 es diferenciable, entonces su derivada se puede calcular más fácilmente que en la demostración del Teorema 7 utilizando diferenciación implícita. Si y = f −1 ( x ) , entonces

f ( y ) = x . Diferenciando f ( y ) = x implícitamente con respecto a x, recordando que y es una función de x y usando la Regla de la Cadena, se obtiene f ′( y )

dy =1 dx

Por tanto,

dy 1 1 = = dx f ′( y ) dx dy ′ Ejemplo 6 Si f ( x ) = 2 x + cos x , hallar ( f −1 ) (1) . Solución Observe que f es diferenciable y uno a uno (su gráfica se muestra en la Fig. 12).

Figura 12

Para usar el Teorema 7 necesitamos conocer ( f −1 ) (1) , y éste lo podemos hallar por inspección:

f −1 (1) = 0

⇒

f (0) = 1 Por tanto,

( f −1 )′ (1) =

1 f ′( f

−1

( 1) )

=

1 1 1 = = ′ f (0) 2 − sen 0 2

Funciones Logarítmicas Si a > 0 y a ≠ 1, la función exponencial f ( x ) = a x es ya sea creciente o decreciente y por ende es uno a uno por el Criterio de la Recta Horizontal. Por tanto, tiene una función inversa f −1 , que se denomina la función

logarítmica con base a y se denota por log a . Si usamos la formulación de una función inversa dada por [3],

f −1 ( x ) = y entonces tenemos

⇔

f (y) = x

194

[9]

log a x = y

⇔

ay = x

Por tanto, si x > 0, entonces log a x es el exponente al cual debe elevarse la base a para obtener x. Por ejemplo,

log 10 0.001 = −3 porque 10−3 = 0.001 . Las ecuaciones de cancelación [4], cuando se aplican a la función f ( x ) = a x y f −1 ( x ) = log a x , se convierten en

[10]

log a ( a x ) = x para toda x ∈ ℝ alog a x = x para toda x > 0

La función logarítmica log a tiene dominio (0, ∞) y recorrido ℝ y es continua puesto que es la inversa de una función continua, a saber, la función exponencial. Su gráfica es la reflexión de la gráfica de y = a x en torno a la recta y = x. La Fig. 13 muestra el caso donde a > 1 (la función logarítmica más importante tiene base a > 1). El hecho de que y = a x sea una función de muy rápido crecimiento para x > 0 se refleja en el hecho de que y = log a x es una función de crecimiento muy lento para x > 1.

Figura 13

La Fig. 14 muestra las gráficas de y = log a x para varios valores de la base a > 1. Como log a 1 = 0 , las gráficas de todas las funciones logarítmicas pasan por el punto (1,0).

Figura 14

195

Las siguientes propiedades de las funciones logarítmicas se deducen a partir de las propiedades correspondientes de las funciones exponenciales dadas en la Sección 3.1.

Leyes de Logaritmos Si x y y son números positivos, entonces 1.

log a ( xy ) = log a x + log a y

2.

x log a   = log a x − log a y y

3.

log a ( x r ) = r log a x

(donde r es cualquier número real)

Ejemplo 7 Use las leyes de logaritmos para evaluar log 2 80 − log 2 5 . Solución Usando la Ley 2, tenemos

 80  log 2 80 − log 2 5 = log 2   = log 2 16 = 4  5  porque 2 4 = 16 . Los límites de las funciones exponenciales dados en la Sección 3.1 se reflejan en los límites siguientes de las funciones logarítmicas (compare con la Fig. 13).

[11] Si a > 1, entonces

lím log a x = ∞

x→∞

y

lím log a x = −∞

x → 0+

En particular, el eje y es una asíntota vertical de la curva y = log a x .

Ejemplo 8 Hallar lím log 10 ( tan 2 x ) . x→0

Solución Conforme x → 0, sabemos que t = tan 2 x → tan 2 0 = 0 y los valores de t son positivos. Entonces, por [11], con a = 10 > 1, tenemos

lím log 10 ( tan 2 x ) = lím log 10 t = −∞

x→0

x→0

Logaritmos Naturales De todas las bases posibles para los logaritmos, en la próxima sección se verá que la selección más conveniente de una base es el número e, el cual se definió en la Sección 3.1. El logaritmo con base e se denomina el logaritmo natural y tiene una notación especial:

log e x = ln x

196

Si hacemos a = e y reemplazamos log e con “ln” en [9] y [10], entonces las propiedades de definición del logaritmo natural se convierten en

[12]

ln x = y

[13]

ln ( e x ) = x e

ln x

ey = x

⇔

x∈ℝ x>0

=x

En particular, si hacemos x = 1, obtenemos

ln e = 1

Ejemplo 9 Hallar x si ln x = 5 . Solución 1 Por [12] vemos que

ln x = 5

significa

e5 = x

Por tanto, x = e 5 .

Solución 2 Comience con la ecuación

ln x = 5 y aplique la función exponencial en ambos lados de la ecuación:

eln x = e 5 Pero la segunda ecuación de cancelación en [13] dice que eln x = x . Por tanto, x = e 5 .

Ejemplo 10 Resuelva la ecuación e 5 − 3 x = 10 . Solución Tomamos logaritmos naturales de ambos de la ecuación y usamos [13]:

ln ( e 5 − 3 x ) = ln 10

⇒

5 − 3x = ln x 0

x = 13 ( 5 − ln 10 ) Ejemplo 11 Exprese ln a + 21 ln b como un solo logaritmo. Solución Usando las Leyes 3 y 1 de logaritmos, tenemos

ln a + 12 ln b = ln a + ln b 1 2 = ln a + ln b = ln ( a b ) La fórmula siguiente muestra los logaritmos con cualquier base pueden expresarse en términos del logaritmo natural:

197

14 Fórmula de Cambio de Base Para cualquier número positivo a (a ≠ 1), se tiene que ln x log a x = ln a

Demostración Sea y = log a x . Entonces, de [9], tenemos a y = x . Tomando logaritmos naturales de ambos lados de esta ecuación, se obtiene y ln a = ln x . Por tanto,

y=

ln x ln a

Las calculadoras científicas tienen una tecla para los logaritmos naturales, de modo que la Fórmula 14 nos permite usar una calculadora para calcular un logaritmo con cualquier base. De forma similar, la Fórmula 10 permite graficar cualquier función logarítmica en una calculadora o computadora con opción de graficar.

Ejemplo 1 Evaluar log 8 5 con precisión de hasta seis cifras decimales. Solución La fórmula [14] da

log 8 5 =

ln 5 ≈ 0.773976 ln 8

Las gráficas de la función exponencial y = e x y de su función inversa, la función logaritmo natural, se muestran en la Fig. 15. Como la curva y = e x cruza el eje y con una pendiente 1, se deduce que la curva reflejada

y = ln x cruza el eje x con una pendiente de 1.

Figura 15

En común con todas las otras funciones logarítmicas con base mayor que 1, el logaritmo natural es una función continua y creciente definida en (0, ∞) y el eje y es una asíntota vertical. Si hacemos a = e en [11], entonces tenemos los límites siguientes:

[15]

lím ln x = ∞

x→∞

lím ln x = −∞

x → 0+

Ejemplo 13 Dibujar la gráfica de la función y = ln ( x − 2 ) − 1 .

198

Solución Comenzamos con la gráfica de y = ln x como la da la Fig. 15. Usando las transformaciones de la Sección 1.2, la desplazamos 2 unidades hacia la derecha para obtener la gráfica de y = ln ( x − 2 ) y después la desplazamos 1 unidad hacia abajo para obtener la gráfica de y = ln ( x − 2 ) − 1 (véase la Fig. 16). Observe que la recta x = 2 es una asíntota vertical puesto que

lím [ ln ( x − 2 ) − 1] = −∞

x → 2+

Figura 16

3.2 Ejercicios 1.

(a) ¿Qué es una función uno a uno? (b) ¿Cómo puede decidir en la gráfica de una función si ésta es uno a uno?

2.

(a) Supóngase que f es una función uno a uno con dominio A y recorrido B. ¿Cómo está definida la función inversa f −1 ? ¿Cuál es el dominio de f −1 ? ¿Cuál es el recorrido de f −1 ? (b) Si se da una fórmula para f, ¿cómo se encuentra una fórmula para f −1 ? (c) Si se da la gráfica de f, ¿cómo se encuentra la gráfica de f −1 ?

Ejercicios 3−14: Se da una función mediante una tabla de valores, una gráfica, una fórmula o una descripción verbal. Determine si es uno a uno.

3.

4.

199

9.

f (x ) = x 2 − 2 x

10. f ( x ) = 10 − 3x

11. g( x ) = 1 x

12. g( x ) = cos x

13. f (t ) es la altura de una pelota de fútbol t segundos después de ser pateada. 14. f (t ) es su altura cuando su edad es t. 15.

Si f es una función uno a uno tal que f (2) = 9 , ¿cuál es f .1 (9) ?

16.

Si f ( x ) = x + cos x , hallar f .1 (1) .

17.

Si g( x ) = 3 + x + e x , hallar g −1 (4) .

18.

Se da la gráfica de f. (a) ¿Por qué es f uno a uno? (b) ¿Cuál es el dominio y cuál es el recorrido de f −1 ? (c) ¿Cuál es el valor de f −1 (2) ? (d) Estime el valor de f −1 (0)

19.

La fórmula C = 95 ( F − 32 ) , donde F ≥ 459.67, expresa la temperatura Celsius como una función de la temperatura Fahrenheit F. Halle una fórmula para la función inversa e interprétela. ¿Cuál es el dominio de la función inversa?

20.

En la teoría de la relatividad, la masa de una partícula con velocidad v es

m = f ( v) =

m0 1 − v2 c 2

donde m0 es la masa en reposo de la partícula y c es la velocidad de la luz en un vacío. Halle la función inversa de f y explique su significado. Ejercicios 21−26: Hallar una fórmula para la inversa de la función.

21. f ( x ) = 1 + 2 + 3x

22. f ( x ) =

25. y = ln ( x + 3 )

26. y =

4x − 1 2x + 3

23. f ( x ) = e 2 x − 1

24. y = x 2 − x , x ≥

1 2

ex 1 + 2 ex

Ejercicios 27−28: Hallar una fórmula explícita para f −1 y úsela para graficar f −1 , f y la recta y = x en los mismos ejes. Verifique su trabajo, vea si las gráficas de f y f −1 son reflexiones en torno a la recta.

200

27. f ( x ) = x 4 + 1, x ≥ 0

28. f ( x ) = 2 − e x

Ejercicios 29−30: Use la gráfica dada de f para dibujar la gráfica de f −1 .

Ejercicios 31−34: (a) Demuestre que f es uno a uno.

′ (b) Use el Teorema 7 para hallar ( f −1 ) ( a ) . (c) Calcular f −1 ( x ) y diga el dominio y el recorrido de f −1 . (d) Calcular

( f −1 )′ ( a )

a partir de la fórmula en la parte (c) y verifique que concuerda con el resultado de la

parte (b). (e) Dibuje las gráficas de f y f −1 en los mismos ejes.

31. f ( x ) = x 3 , a = 8

32. f ( x ) = x − 2 , a = 2

33. f ( x ) = 9 − x 2 , 0 ≤ x ≤ 3, a = 8

34. f ( x ) = 1 ( x − 1 ) , x > 1, a = 2

′ Ejercicios 35−38: Hallar ( f −1 ) ( a ) . 35. f ( x ) = 2 x 3 + 3x 2 + 7 x + 4, a = 4

36. f ( x ) = x 3 3 sen x + 2 cos x , a = 2

37. f ( x ) = 3 + x 2 + tan ( πx 2 ) , − 1 < x < 1, a = 3

38. f ( x ) = x 3 + x 2 + x + 1 , a = 2

39. Supóngase que f −1 es la función inversa de una función diferenciable f y f (4) = 5 , f ′(4) =

2 3

. Hallar

( f −1 )′ (5) . 40. Supóngase que f −1 es la función inversa de una función diferenciable f y sea G( x ) = 1 f −1 ( x ) . Si f (3) = 2 y

f ′(3) = 91 , hallar G′(2) . 41. (a) ¿Cómo se define la función logarítmica y = log a x ? (b) ¿Cuál es el dominio de esta función? (c) ¿Cuál es el recorrido de esta función? (d) Dibuje la forma general de la gráfica de la función y = log a x si a >1.

42. (a) ¿Qué es el logaritmo natural? (b) ¿Qué es el logaritmo común? (c) Dibuje las gráficas de la función logaritmo natural y de la función exponencial natural en un conjunto común de ejes. Ejercicios 43−46: Halle el valor exacto de cada expresión (sin una calculadora).

201

43. (a) log 5 125

(b) log 3

( 271 )

44. (a) ln ( 1 e )

45. (a) log 2 6 + log 2 15 + log 2 20 (b) ln ( ln e e

46. (a) e −2 ln 5

(b) log 10 10

(b) log 2 100 − log 3 18 − log 10 50 10

)

Ejercicios 47−50: Use las propiedades de los logaritmos para expandir la cantidad.

47. ln ab

48. log 10

x−1 x+1

49. ln

x2 y 3 z4

(

50. ln s 4 t u

)

Ejercicios 51−53: Exprese la cantidad dada como un solo logaritmo.

51. ln 5 + 5 ln 3 53.

3 1 ln ( x + 2 ) 3

52. ln ( a + b ) + ln ( a − b ) − 2 lnc 2 + 12 ln x − ln ( x 2 + 3x + 2 ) 

54. Use la Fórmula 14 para evaluar cada logaritmo correcto hasta seis cifras decimales. (a) log 12 10

(b) log 2 8.4

Ejercicios 55−56: Use la Fórmula 14 para graficar las funciones dadas en ejes comunes. ¿Cómo están relacionadas estas gráficas?

55. y = log 1.5 x , y = ln x , y = log 10 x , y = log 50 x 56. y = ln x , y = log 10 x , y = e x , y = 10 x 57. Supóngase que se dibuja la gráfica de y = log 2 x en unas coordenadas donde la unidad de medida es una pulgada. ¿Cuántas millas hacia la derecha del origen tenemos que movernos antes que la altura de la curva alcance 3 pies? 58. Compare las funciones f ( x ) = x 0.1 y g( x ) = ln x graficando ambas f y g en varios visores rectangulares. ¿Cuándo sobrepasa finalmente la gráfica de f a la gráfica de g? Ejercicios 59−60: Haga un bosquejo de la gráfica de cada función. No use una calculadora. Sólo use las gráficas dadas en las Figs. 14 y 15 y, si fuese necesario, las transformaciones de la Sección 1.2.

59. (a) y = log 10 ( x + 5 )

(b) y = − ln x

60. (a) y = ln ( −x )

(b) y = ln x

Ejercicios 61−62: (a) ¿Cuáles son el dominio y el recorrido de f? (b) ¿Cuál es la intersección de la gráfica de f con el eje x? (c) Dibuje la gráfica de f.

61.

f ( x ) = ln x + 2

62. f ( x ) = ln ( x − 1 ) − 1

Ejercicios 63−66: Resuelva cada ecuación para obtener x.

63. (a) e7 − 4 x = 6

(b) ln ( 3x − 10 ) = 2

64. (a) ln ( x 2 − 1 ) = 3

(b) e 2 x − 3 e x + 2 = 0

65. (a) 2 x − 5 = 3

(b) ln x + ln ( x − 1 ) = 1

66. (a) ln ( ln x ) = 1

(b) e ax = Ce bx . donde a ≠ b

202

Ejercicios 67−68: Resuelva cada desigualdad por x.

67. (a) ln x < 0

(b) e x > 5

68. (a) 1 < e 3 x −1 < 2

(b) 1 − 2 ln x < 3

69. (a) Halle el dominio de f ( x ) = ln ( e x − 3 ) . (b) Hallar f −1 y su dominio.

70. (a) ¿Cuáles son los valores de eln 300 y ln ( e 300 ) ? (b) Use su calculadora para evaluar eln 300 y ln ( e 300 ) . ¿Qué observa? ¿Puede explicar por qué su calculadora presenta dificultades? Ejercicios 71−76: Halar el límite

71.

lím ln ( x 2 − 9 )

x → 3+

72.

lím log 10 ( 8x − x 4 )

x → 2−

75. lím  ln ( 1 + x 2 ) − ln ( 1 + x ) 

73. lím ln ( cos x ) x→0

74.

lím ln ( sen x )

x → 0+

76. lím [ ln ( 2 + x ) − ln ( 1 + x )]

x→∞

x→∞

77. Graficar la función f ( x ) = x 3 + x 2 + x + 1 y explicar por qué es uno a uno. Use entonces un programa de computadora para hallar una expresión explícita para f −1 ( x ) . Su programa le producirá tres expresiones posibles. Explique por qué dos de ellas son irrelevantes en este contexto.

78. Cuando el flash de una cámara se apaga, las baterías comienzan de inmediato a recargar el capacitor del flash, el cual almacena una carga eléctrica dada por

Q(t ) = Q0 ( 1 − e −t a ) La carga máxima almacenada es Q0 y t se mide en segundos. (a) Halle la inversa de esta función y explique su significado. (b) ¿Cuánto tiempo le toma al capacitor recargarse a 90% de su capacidad si a = 2?

79. Sea a > 1. Usando definiciones precisas, demuestre que (a)

lím ax = 0

x → −∞

(b) lím a x = ∞ x→∞

80. (a) Si corremos una curva hacia la izquierda, ¿qué le sucede a su reflexión en torno a la recta y = x? En virtud de este principio geométrico, halle una expresión para la inversa de g( x ) = f ( x + c ) , donde f es una función uno a uno. (b) Halle una expresión para la inversa de h( x ) = f ( cx ) , donde c ≠ 0.

3.3 Derivadas de Funciones Logarítmicas y Exponenciales En esta sección encontramos fórmulas para las derivadas de funciones logarítmicas y entonces las usamos para calcular las derivadas de las funciones exponenciales.

Derivadas de las Funciones Logarítmicas Al usar la definición de una derivada para diferenciar la función f ( x ) = log a x , se utilizó el hecho de que es continua, junto con algunas de las leyes de logaritmos. También recordamos la definición de e en la Sección 3.1:

203

e = lím ( 1 + x )

1x

x→0

1 Teorema La función f ( x ) = log a x es diferenciable y

f ′( x ) =

1 log a e x

Demostración

f ′( x ) = lím

h→0

f ( x + h ) − f (x) log a ( x + h ) − log a ( x ) = lím h → 0 h h x+h log a    x  = lím 1 log  1 + h  = lím  a h→0 h→0 h h x  h 1 x  = lím ⋅ log a  1 +  h→0x h x  1 x h   = lím log a  1 +  x h→0 h x  x h

1 h  lím log a  1 +  h → 0 x x  x h  1 h  1  = log a  lím  1 +   = log a e x  x x h → 0  =

El paso final puede verse más claramente haciendo el cambio de variable t =h/x. Conforme h → 0, también tenemos que t → 0 y por tanto

h  lím  1 +  h → 0 x

1 (h x)

= lím ( 1 + t ) t→0

1t

=e

por la definición de e. De manera que

f ′( x ) =

1 log a e x

Observación Por la Fórmula del Cambio de Base (3.2.14) sabemos que

log a e =

ln e 1 = ln a ln a

y, por tanto, la fórmula en el Teorema 1 puede reescribirse como

[2]

d 1 ( log a x ) = dx x ln a

Ejemplo 1 Diferenciar f ( x ) = log 10 ( 2 + sen x ) . Solución Usando la fórmula 2 con a = 10, junto con la Regla de la Cadena, tenemos que

204

1 d d ( 2 + sen x ) log 10 ( 2 + sen x ) = ( ) dx 2 + sen x ln 10 dx cos x = ( 2 + sen x ) ln 10

f ′( x ) =

Si hacemos a = e en la Fórmula 2, entonces el factor ln a en el lado derecho se convierte en ln e = 1 y se obtiene la fórmula para la derivada de la función logarítmica natural log e x = ln x :

3 Derivada de la Función Logarítmica Natural

d ( ln x ) = 1 dx x

Si se comparan las fórmulas 2 y 3, vemos una de las principales razones por las que los logaritmos naturales (logaritmos con base e) se usan en cálculo. La formula de diferenciación más sencilla cuando a = e porque ln e = 1 .

Ejemplo 2 Diferenciar y = ln ( x 3 + 1 ) . Solución Para usar la Regla de la Cadena, hacemos u = x 2 + 1 . Entonces y = ln u y

dy dy du 1 du 1 ( 2) 3x 2 = = = 3 3x = 3 dx du dx u dx x + 1 x +1 En general, si combinamos la Fórmula 3 con la Regla de la Cadena como en el Ejemplo 2, se obtiene

d ( ln u ) = 1 du dx u dx

[4]

Ejemplo 3 Hallar

o

g′( x ) d [ ln g(x )] = dx g( x )

d ln ( sen x ) . dx

Solución Usando [4], se obtiene

d 1 d ( sen x ) = 1 cos x = cot x ln ( sen x ) = dx sen x dx sen x Ejemplo 4 Diferenciar f ( x ) = ln x . Solución Esta vez el logaritmo es la función interna, de modo que la Regla de la Cadena da −1 2 f ′( x ) = 21 ( ln x )

Ejemplo 5 Hallar

d x+1 ln . dx x−2

d 1 ( ln x ) = 1 ⋅ 1 = dx 2 ln x x 2 x ln x

205

Solución 1

d x+1 1 d x−1 ln = + 1 x dx dx x−2 x−2 x−2 −1 2 1 x − 2 x − 2 ⋅ 1 − ( x + 1) ( 2 ) ( x − 2 ) = x+1 x−2 x − 2 − 21 ( x + 1 ) = ( x + 1) ( x − 2 ) x−5 = ( 2 x + 1 )( x − 2 )

Solución 2 Si simplificamos primero la función dada usando las leyes de logaritmos, entonces la diferenciación se vuelve más fácil:

d x+1 d 1 1 1   ln ( x + 1 ) − 21 ln ( x − 2 )  = ln = −   dx x+1 xx−2 x − 2 dx La respuesta se puede dejar como está, pero si se usa un denominador común se obtendría la misma respuesta que en la Solución 1.

Figura 1 Gráfica de la función f del Ejemplo 5 junto la gráfica de su derivada. Da una verificación visual del cálculo.

Ejemplo 6 Hallar f ′( x ) si f ( x ) = ln x . Solución Puesto que

 ln x , f (x ) =  ln ( −x ) ,

x>0 x<0

se deduce que

x>0  1 x , f ′( x ) =  ( ) 1 − x − 1 = 1 x , x<0 ) ( Por tanto, f ′( x ) = 1 x para toda x ≠ 0. Vale la pena recordar el resultado del Ejemplo 6:

[5]

d 1 ln x = dx x

206

Figura 2 Gráfica de la función f ( x ) = ln x en el Ejemplo 6 y su derivada f ′( x ) = 1 x .

Diferenciación Logarítmica El cálculo de derivadas de funciones complicadas involucra productos, cocientes o potencias con frecuencia puede simplificarse tomando logaritmos. El método utilizado en el ejemplo siguiente se denomina diferenciación logarítmica.

Ejemplo 7 Diferenciar y =

x3 4 x2 + 1

( 3x + 2 )5

.

Solución Tomamos logaritmos de ambos lados de la ecuación y usamos las Leyes de Logaritmos para simplificar:

ln y = 14 ln x + 21 ln ( x 2 + 1 ) − 5 ln ( 3x + 2 ) Si ahora se diferencia implícitamente con respecto a x, se obtiene

1 dy 3 1 1 2x 3 = ⋅ + ⋅ 2 −5 ⋅ y dx 4 x 2 x + 1 3x + 2 Despejando dy/dx, se tiene que

dy x 15   3 = y + 2 −  dx  4 x x + 1 3x + 2  Puesto que tenemos una expresión explícita para y, podemos sustituir y escribir

dy x 3 4 x 2 + 1  3 15  x = + 2 −   5 dx ( 3x + 2 )  4 x x + 1 3x + 2 

Pasos en la Diferenciación Logarítmica 1.

Tome logaritmos naturales de ambos lados de una ecuación y = f ( x ) y use las Leyes de Logaritmos para simplificar.

2.

Diferencie implícitamente con respecto a x.

3.

Resuelva la ecuación resultante para obtener y ′ .

Si f ( x ) > 0 para algunos valores de x, entonces ln f ( x ) no está definida, pero podemos escribir y = f ( x ) y usar la Ecuación 5. Este procedimiento se ilustra demostrando la versión general de la Regla de Potencia, como se prometió en la Sección 2.3.

207

La Regla de Potencia Si n es cualquier número real y f ( x ) = x n , entonces

f ′( x ) = nx n −1 Demostración Sea y = x n y usemos diferenciación logarítmica:

ln y = ln x

n

= n ln x ,

x≠0

Por tanto,

y′ n = y x y entonces

y′ = n

y xn =n = nx n −1 x x

Derivadas de Funciones Exponenciales Para calcula la derivada de la función exponencial y = a x , usamos el hecho de que las funciones exponencial y logarítmica son funciones inversas.

Teorema 6 La función exponencial y = a x , a > 0, es diferenciable y

d ( x) a = ax ln a dx

Demostración Sabemos que la función logarítmica y = log a x es diferenciable (y su derivada no es cero) por el Teorema 1. Por tanto, su función inversa y = a x es diferenciable por el Teorema 3.2.7. Si y = a x , entonces log a y = x . Si se diferencia esta ecuación implícitamente con respecto a x, se obtiene

1 dy =1 y ln a dx Por tanto,

dy = y ln a = a x ln a dx Ejemplo 8 Si se combina la Fórmula 6 con la Regla de la Cadena, tenemos que 2 2 d ( x2 ) d 10 = 10 x ( ln 10 ) ( x 2 ) = ( 2 x ln 10 ) × 10 x dx dx

Si hacemos a = e en el Teorema 6, la fórmula de diferenciación para funciones exponenciales toma una forma particularmente sencilla:

7 Derivada de la Función Exponencial Natural

d ( x) x e =e dx

208

Esta ecuación dice que la función exponencial f ( x ) = e x es su propia derivada. Si se comparan las Ecuaciones 6 y 7, vemos que la fórmula de diferenciación más sencilla para una función exponencial ocurre cuando a = e. Ésta es la razón para la cual la función exponencial natural es la de uso más frecuente en cálculo. El significado geométrico de la Ecuación 7 es que la pendiente de una tangente a la curva y = e x en cualquier punto es igual a la coordenada y del punto. En particular, si f ( x ) = e x , entonces f ′(0) = e 0 = 1 . Esto significa que de todas las funciones exponenciales y = a x , la función y = e x es la única que cruza el eje y con una pendiente de 1 (véase la Fig. 3).

pendiente = e x

pendiente = 1

Figura 3

Ejemplo 9 Diferenciar la función y = e tan x . Solución Para usar la Regla de la Cadena, hacemos u = tan x . Entonces tenemos que y = e x y por tanto

dy dy du du = = eu = e tan x sec2 x dx du dx dx En general, si se combina la Fórmula 7 con la Regla de la Cadena, igual que en el Ejemplo 9, se obtiene

d ( u ) u du e =e dx dx

8

Ejemplo 10 Hallar y ′ si y = e −4 x sen 5x . Solución Si se usa la Fórmula 8 y la Regla del Producto, se obtiene

y ′ = e −4 x ( cos 5x )( 5 ) + ( sen 5x ) e −4 x ( −4 ) = e −4 x ( 5 cos 5x − 4 sen 5x ) Para diferenciar una función de la forma y [ f ( x )]

g( x )

, donde la base y el exponente son funciones, se puede

usar diferenciación logarítmica como en el ejemplo siguiente.

Ejemplo 11 Diferenciar y = x

x

.

Solución 1 Si se usa diferenciación logarítmica, tenemos que

209

ln y = ln x x = x ln x y′ 1 1 = x ⋅ + ( ln x ) y x 2 x ln x   1 y′ = y  + =x x x 2  Solución 2 Otro método consiste en es escribir x

d ( x dx

x

x

= ( e ln x )

d ( x ln x ) e =e dx  2 + ln x  =x x   2 x 

)=

x

x

 2 + ln x     2 x 

: x ln x

d ( x ln x ) dx

Figura 4 Gráfica de la función en el Ejemplo 11 y de su derivada.

3.3 Ejercicios Ejercicios 1−40: Diferenciar la función.

1.

f ( x ) = log 10 ( x 3 + 1 )

5.

f ( x ) = ln

9. g( x ) = ln

f ( x ) = x ln x − x

1 x

6. y =

a−x a+x

10. f (u) =

13. G( y ) = ln

( 2 y + 1)2 2

y +1

17. y = tan [ ln ( ax + b )]

21. y =

2.

x ex

1 ln x

4.

f ( x ) = sen ( ln x )

u 1 + ln u

18. H ( z) = ln

a2 − z 2 a2 + z2

ex 1 − ex 2

25. y = 5− 1 x

26. y = 101− x

29. y = ln 2 − x − 5x 2

30. y = 1 + xe −2 x

(

11. g( x ) = ln x x 2 − 1

f ( x ) = ln ( sen 2 x )

8. f ( x ) = log 5 ( xe x )

7. f ( x ) = sen x ln ( 5x )

14. g(r ) = r 2 ln ( 2 r + 1)

22. y =

3.

)

(

12. h( x ) = ln x + x 2 − 1

15. F(s ) = ln ln s

16. y = ln cos ( ln x )

19. f ( x ) = ( x 3 + 2 x ) e x

20. g( x ) = x e x

23. y = 1 + 2 e 3 x

24. y = e −2 t cos 4t

27. F(t ) = et sen 2 t

28. y =

31. f (t ) = tan ( et ) + e tan t

32. y = e k tan

eu − e −u eu + e − u x

)

210

34. y =  ln ( 1 + e x ) 

33. y = ln ( e − x + xe − x ) 37. f (t ) = sen 2 ( e sen

2

t

)

2

36. y = x 2 e −1 x

35. y = 2 x log 10 x

38. y = log 2 ( e − x cos πx )

39. g( x ) = ( 2 earx + n )

p

40. y = 2 3

x2

Ejercicios 41−44: Hallar y ′ y y ′′ .

41. y = e αx sen βx

42. y =

ln x

43. y = x ln x

x2

44. y = ln ( sec x + tan x )

Ejercicios 45−46: Hallar una ecuación de la tangente a la curva en el punto dado.

45. y = ln ( x 2 − 3x + 1 ) , (3, 0)

46. y = e x x , (1, e )

Ejercicios 47−48: Diferenciar f y hallar el dominio de f.

47. f ( x ) =

x 1 + ln ( x − 1)

48. f ( x ) = ln ln ln x

49. Sea f ( x ) = cx + ln ( cos x ) . ¿Para qué valor de c es f ′ ( π 4 ) = 6 ? 50. Sea f ( x ) = log a ( 3x 2 − 2 ) . ¿Para qué valor de a es f ′ ( 1 ) = 3 ? Ejercicios 51−60: Use diferenciación logarítmica o un método alterno para hallar la derivada de la función.

51. y = ( x 2 + 2 )

2

54. y = y = x e x 58. y = ( x )

( x 4 + 4 )4 2

−x

e − x cos x x +x+1

59. y = ( tan x ) 2

53. y =

2

( x + 1)2 3 55. y = x x

x

61. Hallar y ′ si e x

52. y =

y

x−1 x4 + 1

56. y = x cos x 1x

60. y = ( sen x )

57. y = ( cos x )

x

ln x

= x+y .

62. Hallar una ecuación de la tangente a la curva xe y + ye x = 1 en el punto (0, 1). 63. Hallar y ′ si y = ln ( x 2 + y 2 ) . 64. Hallar y ′ si x y = y x . 65. El movimiento de un resorte que está sometido a una fuerza de fricción o una fuerza de amortiguamiento (como por ejemplo un amortiguador en un carro) con frecuencia es modelado por el producto de una función exponencial y una función seno o coseno. Supóngase que la ecuación de movimiento de un punto en un resorte así es

s(t ) = 2 e −1.5t sen 2 πt donde s se mide en centímetros y t en segundos. Halle la velocidad después de t segundos y grafique las funciones de posición y velocidad para 0 ≤ t ≤ 2.

66. Bajo ciertas circunstancias un rumor se propaga de acuerdo con la ecuación

p(t ) =

1 1 + ae − kt

donde p(t) es la proporción de la población que sabe del rumor en el tiempo t y a y k son constantes positivas. (a) Hallar lím t → ∞ p(t ) .

211

(b) Hallar la tasa de propagación del rumor. (c) Grafique p para el caso a = 10, k = 05 con t medido en horas. Use la gráfica para estimar cuánto tiempo le tomará a 80% de la población para oír el rumor.

67. Demuestre que la función y = Ae − x + Bxe − x satisface la ecuación diferencial y ′′ + 2 y ′ + y = 0 . 68. Para qué valores de r la función y = erx satisface la ecuación y ′′ + 5y ′ − 6 y = 0 ? 69. Si f ( x ) = e 2 x , encuentre una fórmula para f ( n ) ( x ) . 70. Halle la derivada mil de f ( x ) = xe − x . 71. Halle una fórmula para f ( n ) ( x ) si f ( x ) = ln ( x − 1 ) . 72. Hallar

d9 dx

9

( x 8 ln x ) .

′ 73. Si f ( x ) = 3 + x + e x , hallar ( f −1 ) (4) . e sen x − 1 . x→π x−π

74. Evaluar lím

3.4 Crecimiento y Decaimiento Exponencial En muchos fenómenos naturales, hay cantidades que crecen o decrecen con una tasa proporcional a su tamaño. Por ejemplo, si y = f (t ) es el número de individuos en una población de animales o bacterias en el instante t, entonces parece razonable esperar que la tasa de crecimiento f ′(t ) sea proporcional a la población f (t ) ; esto es,

f ′(t ) = kf (t ) para alguna constante k. En efecto, bajo condiciones ideales (ambiente ilimitado, nutrición adecuada, inmunidad a las enfermedades) el modelo matemático dado por la ecuación f ′(t ) = kf (t ) predice lo que sucede realmente con bastante precisión. Otro ejemplo ocurre en la física nuclear donde la masa de una sustancia radiactiva decae con una tasa proporcional a la masa. En química, la tasa de una reacción unimolecular de primer orden es proporcional a la concentración de la sustancia. En finanzas, el valor de una cuenta de ahorros con interés compuesto continuamente se incrementa con una tasa proporcional a ese valor. En general, si y(t) es el valor de una cantidad en el instante t y si la tasa o razón de cambio de y con respecto a t es proporcional a su tamaño y(t) en cualquier instante, entonces

[1]

dy = ky dt

donde k es una constante. La Ecuación 1 se conoce algunas veces como la ley de crecimiento natural (si k > 0) o la ley de decaimiento natural (si k < 0). Se denomina una ecuación diferencial porque involucra una función desconocida y y su derivada dy/dt. No es difícil pensar en una solución de la Ecuación 1. Esta ecuación nos pide hallar una función cuya derivada sea un múltiplo constante de sí misma. Ya hemos encontrado estas funciones en este capítulo. Cualquier función exponencial de la forma y(t ) = Ce kt , donde C es una constante, satisface la relación

y ′(t ) = C ( ke kt ) = k (Ce kt ) = ky(t )

212

En la Sección 7.6 se verá que cualquier función que satisface la relación dy dt = ky debe ser de la forma

y(t ) = Ce kt . Para ver el significado de la constante C, observe que y(0) = Ce k ⋅ 0 = C Por tanto, C es el valor inicial de la función.

2 Teorema Las únicas soluciones de la ecuación diferencial dy dt = ky son las funciones exponenciales

y(t ) = y(0) e kt

Crecimiento de Población ¿Cuál es el significado de la constante de proporcionalidad k? En el contexto del crecimiento poblacional, donde P(t ) es el tamaño de una población en el instante t, podemos escribir

[3]

dP = kP dt

o

1 dP =k P dt

La cantidad

1 dP P dt es la tasa de crecimiento dividida por el tamaño de la población; se denomina la tasa de crecimiento relativo. De acuerdo con [3], en vez de decir “la tasa de crecimiento es proporcional al tamaño de la población” podríamos decir “la tasa de crecimiento relativo es constante”. Entonces [2] dice que una población con tasa de crecimiento relativo constante debe crecer exponencialmente. Observe que la tasa de crecimiento relativo k aparece como el coeficiente de t en la función exponencial Ce kt . Por ejemplo, si

dP = 0.02 P dt y t se mide en años, entonces la tasa de crecimiento relativo es k = 0.02 y la población crece con una tasa relativa de 2% por año. Si la poblaciones en el instante 0 es P0, entonces la expresión para la población s

P(t ) = P0 e 0.02 t Ejemplo 1 Use el dato de que la población mundial era de 2560 millones en 1950 y 3040 millones en 1960 para modelar la población del mundo en la segunda mitad del siglo 20. Suponga que la tasa de crecimiento es proporcional al tamaño de la población. ¿Cuál es el crecimiento relativo? Use el modelo para estimar la población mundial en 1993 y para predecir la población en el año 2020. Solución El tiempo t lo medimos en años y sea t = 0 el año 1950. Medimos la población P(t ) en millones de personas. Entonces P(0) = 2560 y P(10) = 3040. Puesto que estamos suponiendo que dP dt = kP , el Teorema 2 da

P(t ) = P(0)e kt = 2560 e kt P(10) = 2560 e 10 k = 3040 1 3040 k= = 0.017185 ln 10 2560 La tasa de crecimiento relativo es aproximadamente 1.7% anual y el modelo es

213

P(t ) = 2560 e 0.017185t Estimamos que la población mundial en 1993 fue

P(43) = 2560 e0.017185

( 43 )

≈ 5360 millones

El modelo predice que la población en 2020 será

P(70) = 2560 e 0.017185 70 ≈ 8524 millones (

)

La gráfica en la Fig. 1 muestra que el modelo es bastante preciso hasta la fecha (los puntos representan la población real), de modo que el estimado para 1993 es bastante confiable. Pero la predicción para 2020 es más riesgosa.

Decaimiento Radiactivo Las sustancias radiactivas decaen mediante la emisión espontánea de radiación. Si m(t) es la masa que permanece de una masa inicial m0 de la sustancia después de un tiempo t, entonces se ha determinado experimentalmente que la tasa de decaimiento relativo

−

1 dm m dt

es constante. Como dm/dt es negativa, la tasa de decaimiento relativo es positiva.) Se deduce que

dm = km dt donde k es una constante negativa. En otras palabras, las sustancias radiactivas decaen con una tasa proporcional a la masa restante. Eso significa que podemos usar [2] para demostrar que la masa decae exponencialmente: m(t ) = m0 e kt Los Físicos expresan la tasa de decaimiento en término la media vida, el tiempo requerido para que decaiga la mitad de cualquier cantidad dada.

Población (en millones)

Años desde 1950

Figura 1 Un modelo para el crecimiento de la población mundial en la segunda mitad del siglo 20.

Ejemplo 2 La media vida del radio-226

( 88226 Ra ) es 1590 años.

(a) Una muestra de radio-226 tiene una masa de 100 mg. Halle una fórmula para la masa de después de t años. (b) Halle la masa después de 1000 años correcta hasta el miligramo más cercano. (c) ¿Cuándo se reducirá la masa a 30 mg?

226 88 Ra

que queda

214

Solución (a) Sea m(t) la masa del radio-226 (en miligramos) que permanece después de t años. Entonces dm dt = km y y(0) = 100, de modo que (2) da m(t ) = m(0)e kt = 100 e kt Para determinar el valor de k, usamos el dato de que y ( 1590 ) = 21 ( 100 ) . Por tanto,

100 e 1590 k = 50

o

e 1590 k =

1 2

y

1590 k = ln 21 = − ln 2 k=

− ln 2 1590

Por consiguiente,

m(t ) = 100 e −

( ln 2 )t 1590

Podemos usar el hecho de que eln 2 = 2 para escribir esta última expresión en la forma alterna

m(t ) = 100 × 2 −t 1590 (b) La masa después de 1000 años es

m(1000) = 100 e −

( ln 2 ) 1000 1590

≈ 65 mg

(c) Queremos hallar el valor de t tal que m(t) = 30, esto es,

100 e − ln 2 t 1590 = 30 (

)

o

−( ln 2 )t 1590

= 0.3

Resolvemos esta ecuación por t tomando el logaritmo natural de ambos lados:

−

ln 2 t = ln 0.3 1590

Por tanto,

t = −1590

ln 0.3 ≈ 2762 años ln 2

Como una verificación de nuestro trabajo en el Ejemplo 2, usamos un dispositivo de graficar para dibujar la gráfica de m(t) en la Fig. 2 junto con la recta horizontal m = 30. Estas curvas se intersecan cuando t ≈ 2800, y esto concuerda con la respuesta en la parte (c).

Figura 2

Ley de Enfriamiento de Newton La Ley de Enfriamiento de Newton establece que la tasa de enfriamiento de un objeto es proporcional a la diferencia de temperatura entre el objeto y el ambiente que lo rodea, siempre y cuando esta diferencia no sea demasiado grande. Esta ley también se aplica al calentamiento. Si se denota por T(t) la temperatura del objeto en el instante t y por Ts la temperatura del ambiente, entonces podemos formular la Ley de Enfriamiento de Newton como una ecuación diferencial:

215

dT = k (T − Ts ) dt donde k es una constante. Esta ecuación no es exactamente igual a la Ecuación 1, de modo que hacemos el cambio de variable y(t ) = T (t ) − Ts . Como Ts es constante, tenemos y ′(t ) = T ′(t ) y entonces la ecuación se convierte en dy = ky dt Podemos entonces usar [2] para hallar una expresión para y, a partir de la cual podemos hallar T.

Ejemplo 3 Una botella de refresco a temperatura ambiente (72°F) se coloca en un refrigerador donde la temperatura es 44°F. Después de media hora, el refresco se ha enfriado a 61°F. (a) ¿Cuál es la temperatura del refresco después de otra media hora? (b) ¿Cuánto tiempo necesita el refresco para enfriarse a 50°F?

Solución (a) Sea T(t) la temperatura del refresco después de t minutos. La temperatura ambiente es Ts = 44°F, de manera que la Ley de Enfriamiento de Newton establece que

dT = k ( T − 44 ) dt Si hacemos y = T − 44, entonces y(0) = T(0) − 44 = 72 − 44 =28 y y satisface la relación

dy = ky , dt

y(0) = 28

y por [2] tenemos

y(t ) = y(0)e kt = 28e kt Se nos da que T(30) = 61, de manera que y(30) = 61 − 44 = 17 y

28e 30 k = 17

⇒

e 30 k =

17 28

Tomando logaritmos, se obtiene

k=

ln ( 17 28 ) 30

≈ −0.01663

Por tanto,

y(t ) = 28 e −0.01663t T (t ) = 44 + 28e −0.01663t T ( 60 ) = 44 + 28e −0.01663 60 ≈ 54.3 (

)

De modo que después de media hora, refresco se ha enfriado a aproximadamente 54°F. (b) Tenemos T(t) = 50 cuando

44 + 28 e −0.01663t = 50 e −0.01663t = t=

6 28 6 ln ( 28 )

−0.01663

≈ 92.6

El refresco se enfría a 50°F después de aproximadamente 1 hora y 33 minutos. Observe que en el Ejemplo 3, tenemos

216

lím T (t ) = lím ( 44 + 28e −0.01663t ) = 44 + 28 ⋅ 0 = 44

t→∞

t→∞

que era de esperarse. La gráfica de la función de temperatura se muestra en la Fig. 3.

Figura 3

Interés Compuesto Continuamente Ejemplo 4 Si se invierten $1000 a 6% de interés, compuesto anualmente, entonces después de 1 año la inversión tiene un valor de $1000 ( 1.06 ) = $1060 , después de 2 años vale $ [ 1000 ( 1.06 )] 1.06 = $1123.60 , y después de t años t

su valor es $1000 ( 1.06 ) . En general, si se invierte una cantidad A0 con una tasa de interés r ( r = 0.06 en este t ejemplo), entonces después de t años tiene un valor de A0 ( 1 + r ) . Sin embargo, comúnmente el interés se compone con más frecuenta, digamos, n veces al año. Entonces en cada período de composición, la tasa de interés es r/n y hay nt periodos de composición en t años, de modo que el valor de la inversión es

r  A0  1 +  n 

nt

Por ejemplo, después de 3 años a 6% de interés, una inversión de $1000 tendrá un valor 3

$1000 ( 1.06 ) = $1191.02 con composición anual 6

$1000 ( 1.03 ) = $1194.05 con composición semianual $1000 ( 1.015 )

12

= $1195.62 con composición por cuartos

$1000 ( 1.005 )

36

= $1196.68 con composición mensual

0.06   $1000  1 +  365  

365 ⋅ 3

= $1197.20 con composición diaria

Se puede ver que el interés pagado aumenta a medida que aumenta el número de periodos de composición (n). Si hacemos que n → ∞, entonces el interés se compone continuamente y el valor de la inversión será

r  A(t ) = lím A0  1 +  n→∞ n 

nt

nr  r  = lím A0  1 +   n→∞ n  

nr  r   = A0  lím  1 +   n  n → ∞  m  1   = A0  lím  1 +   m  n → ∞ 

rt

rt

rt

Pero el límite en esta expresión es igual al número e. De manera que con interés compuesto continuo con una tasa de interés r, la cantidad después de t años es

A(t ) = A0 e rt Si diferenciamos esta ecuación, se obtiene

217

dA = rA0 e rt = rA(t ) dt la cual dice que, con interés compuesto continuamente, la tasa de crecimiento de una inversión es proporcional a su tamaño. Regresando al ejemplo de los $1000 invertidos por 3 años a 6% de interés, vemos que con interés compuesto continuamente, el valor de la inversión será

A(3) = $1000 e 0.06 (

)3

= $1197.22

Observe lo cercano que esta cantidad está de la calculada para la composición diaria, $1197.20. Pero la cantidad es más fácil de calcular si usamos composición continua.

3.4 Ejercicios 1.

Una población de protozoarios se desarrolla con una tasa de crecimiento relativo constante de 0.7944 por miembro por día. En el día cero, la población está formada por dos miembros. Halle el tamaño de la población después de seis días.

2.

Un habitante común de los intestinos humanos es la bacteria Escherichia coli. Una célula de esta bacteria en medio nutriente se divide en dos células cada 20 minutos. La población inicial de un cultivo es 60 células. (a) Hallar la tasa de crecimiento relativo. (b) Hallar una expresión para el número de células después de t horas. (c) Hallar el número de células después de 8 horas. (d) Hallar la tasa de crecimiento después de 8 horas. (e) ¿Cuándo llegará la población a 20000 células?

3.

Un cultivo de bacterias contiene inicialmente 100 células y crece con una tasa proporcional a su tamaño. Después de una hora, la población se ha incrementado a 420. (a) Halle una expresión para el número de bacterias después de t horas. (b) Hallar el número de bacterias después d 3 horas. (c) Hallar la tasa de crecimiento después de 3 horas. (d) ¿Cuándo llegará la población a 10000?

4.

Un cultivo de bacterias crece con una tasa constante de crecimiento relativo. Después de 2 horas hay 600 bacterias y después de 8 horas la cuenta es de 75000. (a) Hallar la población inicial. (b) Hallar una expresión para la población después de t horas. (c) Hallar el número de células después de 5 horas. (d) Hallar la tasa de crecimiento después de 5 horas. (e) ¿Cuándo llegará la población a 200000?

5.

La tabla da estimados de la población mundial, en millones, desde 1750 hasta 2000.

218

Año

Población

Año

Población

(a) Use el modelo exponencial y las cifras de población para 1750 y 1800 para predecir la población mundial en 1900 y 1950. Compare con las cifras reales. (b) Use el modelo exponencial y las cifras de población para 1850 y 1900 para predecir la población mundial en 1950. Compare con la población real. (c) Use el modelo exponencial y las cifras de población para 1900 y 1950 para predecir la población mundial en 2000. Compare con la población real y trate de explicar la discrepancia.

6.

La tabla da la población de los Estados Unidos, cifras tomadas del censo en millones, para los años 1900−2000. Año

Población

Año

Población

(a) Use el modelo exponencial y las cifras del censo para 1900 y 1910 para predecir la población en 2000. Compare con la cifra real y trate de explicar la discrepancia. (b) Use el modelo exponencial y las cifras del censo para 1980 y 1990 para predecir la población en 2000. Compare con la población real. Después use este modelo para predecir la población en los años 2010 y 2020. (c) Grafique las funciones exponenciales de las partes (a) y (b) junto con una grafica de la población real. ¿Son razonables estos modelos?

7.

Experimentos muestran que si la reacción química

N 2 O 5 → 2NO 2 + 21 O 2 ocurre a 45°C, la tasa de la reacción del pentóxido de dinitrógeno es proporcional a su concentración en la forma siguiente:

−

d [N 2 O 5 ] dt

= 0.0005 [ N 2 O 5 ]

(a) Halle expresiones para la concentración [N2O5] después de t segundos si la concentración inicial es C. (b) ¿Cuánto tiempo le tomará a la reacción para reducir la concentración de N2O5 a 90% de su valor original?

8.

El bismuto-210 tiene una media vida de 5.0 días. (a) Una muestra originalmente tiene una masa de 800 mg. Halle una fórmula para la masa que queda después de t días. (b) Halle la masa que queda después de 30 días. (c) ¿Cuándo se reduce la masa a 1 mg? (d) Dibuje la gráfica de la función masa.

9.

La media vida del cesio-137 es 30 años. Supóngase que tenemos una muestra de 100 mg.

219

(a) Halle la masa que permaneces después de t años. (b) ¿Qué cantidad de la muestra permaneces después de 100 años? (c) ¿Después de cuánto tiempo queda sólo 1 mg?

10. Una muestra de tritio-3 decayó a 94.5% de su cantidad original después de un año. (a) ¿Cuál es la media vida del tritio-3? (b) ¿Cuánto tiempo le tomará a la muestra decaer a 20% de su cantidad original?

11. Los científicos pueden determinar la edad de objetos antiguos mediante un método denominado datación con radio carbono. El bombardeo de la atmósfera superior por rayos cósmicos convierte el nitrógeno en un isótopo radiactivo del carbón, 14C, con una media vida de aproximadamente 5730 años. La vegetación absorbe dióxido de carbono a través de la atmósfera y la vida animal asimila el 14C a través de las cadenas alimenticias. Cuando una planta o un animal muere, detiene el reemplazo de su carbón y la cantidad de 14C comienza a disminuir a través del decaimiento radiactivo. Por tanto, el nivel de radiactividad debe también decaer exponencialmente. Se descubrió un pergamino que tenía aproximadamente 74% tanta radiactividad de 14C como un material vegetal en la tierra actual. Estime la edad del pergamino. 12. Una curva pasa por el punto (0, 5) y tiene la propiedad de que la pendiente de la curva en todo punto P es el doble de la coordenada y de P. ¿Cuál es la ecuación de la curva? 13. Se saca un pavo asado de un horno cuando su temperatura ha alcanzado los 185°F y se coloca en una mesa en un cuarto donde la temperatura es 75°F. (a) Si la temperatura del pavo es 150°F después de media hora, ¿cuál es la temperatura después de 45 minutos? (b) ¿Cuándo se habrá enfriado el pavo a una temperatura de 100°F?

14. Se saca un termómetro de un cuarto donde la temperatura es 20°C hacia el patio externo, donde la temperatura es 5°C. Después de un minuto, el termómetro lee 12°C. (a) ¿Cuál será la lectura del termómetro después de un minuto adicional? (b) ¿Cuándo leerá el termómetro 6°C?

15. Cuando una bebida fría se saca de una nevera, su temperatura es 5°C. Después de 25 minutos en un cuarto a 20°C, su temperatura se ha incrementado a 10°C. (a) ¿Cuál es la temperatura de la bebida después de 50 minutos? (b) ¿Cuándo será su temperatura igual a 15°C?

16. Una taza de café recién colado tiene una temperatura de 95°C en un cuarto a 20°C. Cuando su temperatura es 70°C, se está enfriando con una tasa de 1°C por minuto. ¿Cuándo ocurre esto? 17. La tasa de cambio de la presión atmosférica P con respecto a la altitud h es proporcional a P, siempre y cuando la temperatura sea constante. A 15°C, la presión es 101.3 kPa a nivel del mar y 87.14 a una h = 1000 m. (a) ¿Cuál es la presión a una altitud de 3000 m? (b) ¿Cuál es la presión en la cima del Monte McKinley, a una altitud de 6187m?

18. (a) Si se prestan $500 a 14% de interés, halle las cantidades que se deben al final de 2 años si el interés se compone (i) anualmente, (ii) trimestralmente, (iii) mensualmente, (iv) diariamente, (v) cada hora y (vi) continuamente. (b) Supóngase que se prestan $500 y el interés se componen continuamente. Si A(t) es la cantidad que se debe después de t años, donde 0 ≤ t ≤ 2, grafique A(t) para las tasas de interés de 14%, 10% y 6% en ejes comunes.

220

19. Si se invierten $3000 a 5% de interés, halle el valor de la inversión al final d 5 años si el interés se compone (a) anualmente, (b) semestralmente, (c) mensualmente, (d) semanalmente, (e) diariamente y (f) continuamente. 20. (a) ¿Cuánto tiempo le tomará a una inversión duplicar su valor si la tasa de interés es 6% compuesto continuamente? (b) ¿Cuál es la tasa de interés anual equivalente?

3.5 Funciones Trigonométricas Inversas En esta sección se aplican las ideas de la Sección 3.2 para hallar las derivadas de las llamadas funciones trigonométricas inversas. En esta tarea hay una ligera dificultad: Como las funciones trigonométricas no son uno a uno, ellas no poseen funciones inversas. La dificultad se supera restringiendo los dominios de estas funciones de manera que se conviertan en uno a uno. En la Fig. 1 se puede ver que la función y = sen x no es uno a uno (use el Criterio de la Recta Horizontal). Pero la función f ( x ) = sen x , − π 2 ≤ x ≤ π 2 (ver la Fig. 2) es uno a uno. La función inversa de esta función seno restringido f existe y se denota por sen −1 o arcsen . Se denomina la función seno inverso o la función arco seno,

Figura 1

Figura 2 y = sen x , − π2 ≤ x ≤

Puesto que la definición de una función inversa dice que f −1 ( x ) = y

⇔

f (y) = x

tenemos que

sen −1 ( x ) = y

1

sen( y ) = x

⇔

y

−

π π ≤y≤ 2 2

Por tanto, si −1 ≤ x ≤ 1, sen −1 x es el número entre −π/2 y π/2 cuyo seno es x.

Ejemplo 1 Evaluar (a) sen −1

( 21 ) y (b)

(

tan arcsen 13

)

Solución (a) Tenemos que

sen −1 ( 21 ) = porque sen ( π 6 ) =

1 2

y π/6 está entre −π/2 y π/2.

π 6

π 2

221

(b) Sea θ = arcsen 13 , tal que sen θ = 13 . Entonces podemos dibujar un triángulo rectángulo con ángulo θ como en la Fig. 3 y deducir por el Teorema de Pitágoras que el tercer lado tiene longitud obtener del triángulo que 1 tan arcsen 13 = tan θ = 2 2

(

9 − 1 = 2 2 . Esto nos permite

)

Las ecuaciones de cancelación para las funciones inversas se convierten, en este caso, en

sen −1 ( sen x ) = x para −

2

sen ( sen −1 x ) = x para

π π ≤x≤ 2 2

−1≤ x ≤ 1

La función seno inverso, sen −1 , tiene dominio [−1, 1] y recorrido [−π/2, π/2] y su gráfica, mostrada en la Fig. 4, se obtiene a partir de la función seno restringido (Fig. 2) por reflexión en torno a la recta y = x.

Figura 3

Figura 4

Sabemos que la función seno f es continua, de modo que la función seno inverso también es continua. También sabemos por la Sección 2.3 que la función seno es diferenciable, de manera que la función seno inverso también es diferenciable. Podríamos calcular la derivada de sen −1 por la fórmula en el Teorema 3.2.7, pero como sabemos que sen −1 es diferenciable, simplemente podemos calcular la derivada por diferenciación implícita. Sea y = sen −1 x . Entonces sen y = x y −π/2 ≤ y ≤ π/2. Diferenciando sen y = x implícitamente con respecto a x, obtenemos dy dy 1 cos y =1 ⇒ = dx dx cos y Ahora bien, cos y ≥ 0 puesto que −π/2 ≤ y ≤ π/2, de modo que

cos y = 1 − sen 2 y = 1 − x 2 y por tanto

dy 1 1 = = dx cos y 1 − x2

3

d ( sen −1 x ) = dx

1 1 − x2

,

−1 < x < 1

222

Ejemplo 2 Si f ( x ) = sen −1 ( x 2 − 1 ) , hallar (a) el dominio de f, (b) f ′( x ) y (c) el dominio de f ′ . Solución (a) Como el dominio de la función seno inverso es [−1, 1], el dominio de f es

{x

} { = {x

}

− 1 ≤ x2 − 1 ≤ 1 = x 0 ≤ x2 ≤ 2

}

x ≤ 2 =  − 2 ,

2 

(b) Combinando la Fórmula 3 con la Regla de la Cadena, tenemos

1

f ′( x ) = =

1 − ( x2 − 1) 1

2

d ( 2 x − 1) dx

1 − ( x − 2x + 1) 2

2

2x =

2x 2x2 − x4

(c) El dominio de f ′ es

{x

} { ={x

− 1 < x2 − 1 < 1 = x 0 < x2 < 2

} }

0 < x < 2 = ( − 2 , 0 ) ∪ ( 0,

2)

La función coseno inverso se maneja en la misma forma. La función coseno restringido f ( x ) = cos x , 0 ≤ x ≤ π , es uno a uno (véase la Fig. 6) y por tanto tiene una función inversa, denotada por cos −1 o arccos .

Figura 6

cos −1 x = y

4

⇔

cos y = x

y

0≤y≤π

Las ecuaciones de cancelación son

4

cos −1 ( cos x ) = x para cos ( cos

−1

x ) = x para

0≤x≤π −1 ≤ x ≤ 1

La función coseno inverso, cos −1 , tiene dominio [−1, 1] y recorrido [0, π] y es una función continua cuya gráfica se muestra en la Fig. 7. Su derivada es dada por

6

d ( 1 cos −1 x ) = − dx 1 − x2

−1 < x < 1

La Fórmula 6 se puede demostrar por el mismo método usado para la Fórmula 3 y se deja como el Ejercicio 11.

223

Figura 7

La función tangente puede hacerse uno a uno si se la restringe al intervalo (−π/2, π/2). De manera que la función tangente inversa se define como la inversa de la función f ( x ) = tan x , −π/2 < x < π/2 (véase la Fig. 8). Se denota por tan −1 o arctan :

tan −1 x = y

7

tan y = x

⇔

y

−

π π ≤y≤ 2 2

Figura 8

Ejemplo 3 Simplifique la expresión cos ( tan −1 x ) . Solución Sea y = tan −1 x . Entonces tan y = x y −π/2 < y < π/2. Queremos hallar cos y , pero como se conoce tan y , es más fácil hallar primero a sec y :

sec2 y = 1 + tan 2 y = 1 + x 2

⇒

sec y = 1 + x 2

Por tanto

cos ( tan −1 x ) = cos y =

1 1 = sec y 1 + x2

Solución 2 En vez de usar identidades trigonométricas como en la Solución 1, quizás es más fácil usar un diagrama. Si y = tan −1 x , entonces tan y = x y del triángulo en la Fig. 9 (que ilustra el caso y > 0) se obtiene

cos ( tan −1 x ) = cos y =

1 1 + x2

La función tangente inversa, tan −1 = arctan , tiene dominio ℝ y su recorrido es (−π/2, π/2). Su gráfica se muestra en la Fig. 10. Sabemos que

lím

x → (π 2)

+

tan x = ∞

y

lím

x → −( π 2 )

+

tan x = −∞

224

Figura 9

Figura 10

y por tanto las rectas x = ± π 2 son asíntotas verticales de la gráfica de tan. Puesto que la gráfica de tan −1 se obtiene por reflexión de la gráfica de la función tangente restringida en torno a la recta y = x, se deduce que las rectas y = π/2 y y = −π/2 son asíntotas horizontales de la gráfica de tan −1 . Este hecho se expresa mediante los límites siguientes:

lím tan −1 x =

8

x→∞

π 2

lím tan −1 x = −

x → −∞

π 2

 1  Ejemplo 4 Evaluar lím+ arctan  . x→2 x−2 Solución Puesto que

1 → ∞ x−2

conforme x → 2

la primera ecuación en [8] da

 1  π lím+ arctan  = x→2 x−2 2 Como tan es diferenciable, tan −1 también lo es. Para hallar su derivada, sea y = tan −1 x . Entonces tan y = x . Si se diferencia esta última ecuación implícitamente con respecto a x, se obtiene

sec2 y

dy =1 dx

y entonces

dy 1 1 1 = = = 2 2 dx sec y 1 + tan y 1 + x 2 d 1 tan −1 y ) = ( dx 1 + x2

9

Las otras funciones trigonométricas inversa no se usan con tanta frecuencia y se resumen a continuación:

10

y = csc −1 ( x ) −1

y = sec ( x )

(x (x

≥ 1)

⇔

csc y = x y y ∈ ( 0, π 2 ] ∪ ( π , 3π 2 ]

≥ 1)

⇔

sec y = x y y ∈ [ 0, π 2 ) ∪ [ π , 3π 2 )

⇔

cot y = x y y ∈ ( 0, π )

y = cot −1 ( x ) ( x ∈ ℝ )

225

La selección de los intervalos para y en las definiciones de csc−1 y sec −1 no es aceptada universalmente. Por ejemplo, algunos autores usan y ∈ [ 0, π 2 ) ∪ ( π 2, π] en la definición de sec −1 . De la gráfica de la función secante en la Fig. 11 se puede ver que tanto esta selección como la dada en [10] funcionarán. La razón para la selección en [10] es que las fórmulas de diferenciación son más sencillas (véase el Ejercicio 41).

Figura 11

En la Tabla 11 se muestran las fórmulas de diferenciación para todas las funciones trigonométricas inversas. Las demostraciones de las fórmulas para las derivadas de csc−1 , sec −1 y cot [ 1] se dejan como Ejercicios 13−15.

11 Tabla de Derivadas de Funciones Trigonométricas Inversas

d ( sen −1 x ) = dx

1 1−x

d ( −1 ) 1 csc x = − dx x x2 − 1

2

d ( 1 cos −1 x ) = − dx 1 − x2

d ( −1 ) 1 sec x = dx x x2 − 1

d ( 1 tan −1 x ) = dx 1 + x2

d ( −1 ) 1 cot x = − dx 1 + x2

Cada una de estas fórmulas puede combinarse con la Regla de la Cadena. Por ejemplo, si u es una función diferenciable de x, entonces

d ( 1 du sen −1 u ) = 2 dx 1 − u dx

y

d ( 1 du tan −1 u ) = dx 1 + u2 dx

Ejemplo 5 Diferenciar f ( x ) = x tan −1 x . Solución

f (x ) = x

1 1+( x)

2

1 −1 2 x x + tan −1 x = + tan −1 x 2 2 (1 + x )

3.5 Ejercicios Ejercicios 1−6: Hallar el valor exacto de cada expresión:

1. (a) sen −1 ( 3 2 )

(b) cos −1 ( −1 )

3. (a) arctan 1

(b) sen −1 ( 1

5. (a) tan ( arctan 10 )

(b) sen −1 ( sen ( 7 π 3 ) )

7. Demostrar que cos ( sen −1 x ) = 1 − x 2 .

2. (a) arctan ( 1

2)

3)

(b) sec−1 2

4. (a) cot −1 ( − 3 )

(b) arccos − 12

6. (a) tan ( sec −1 4 )

(b) sen 2 cos −1

( )

(

( 35 ) )

226

Ejercicios 8−10: Simplificar la expresión.

8. tan ( sen −1 x )

9. sen ( tan −1 x )

10. cos ( 2 tan −1 x )

11. Demuestre la Fórmula 6 para la derivada de cos −1 por el mismo método que para la Fórmula 3. 12. (a) Demostrar que sen −1 x + cos −1 x = π 2 . (b) Use la parte (a) para demostrar la Fórmula 6. 13. Demuestre que

d ( −1 ) 1 cot x = − . dx 1 + x2

14. Demuestre que

d ( −1 ) 1 sec x = . dx x x2 − 1

15. Demuestre que

d ( −1 ) 1 csc x = − . dx x x2 − 1

Ejercicios 16−29: Hallar la derivada de la función. Simplificar donde sea posible.

16. y = tan −1 ( x 2 )

(

20. y = tan −1 x − 1 + x 2

17. y = ( tan −1 x )

)

2

21. G( x ) = 1 − x 2 arccos x

 b + a cos x  29. y = arccos  ,  a + b cos x 

27. y = x sen −1 x + 1 − x 2

19. y = sen −1 ( 2 x + 1 )

22. F(θ) = arcsen sen θ 24. y = cos −1 ( sen −1 t )

23. h(t ) = cot −1 (t ) + cot −1 ( 1 t ) 26. f ( x ) = x ln ( arctan x )

18. g( x ) = x 2 − 1 sec −1 x

28. y = arctan

25. y = arctan ( cos θ )

1−x 1+x

0 ≤ x ≤ π, a > b > 0

Ejercicios 30−31: Hallar la derivada de la función. Hallar los dominios de la función y su derivada.

30. f ( x ) = arcsen ( e x )

31. g( x ) = cos −1 ( 3 − 2 x )

32. Hallar y ′ si tan −1 ( xy ) = 1 + x 2 y . 33. Si g( x ) = x sen −1 ( x 4 ) + 16 − x 2 , hallar g ′(2) . 34. Hallar una ecuación de la tangente a la curva y = 3 arccos ( x 2 ) en el punto (1, π). Ejercicios 35−38: Hallar el límite.

35.

lím + sen −1 x

x → −1

 1 + x2  36. lím arccos   x→∞  1 + 2x2 

37. lím arctan ( e x ) x→∞

38.

lím tan −1 ( ln x )

x → 0+

39. Una escalera de 10 pies de largo descansa contra una pared vertical. Si la parte baja de la escalera se desliza alejándose de la base de la pared con una velocidad de 2 ft/s, ¿con qué rapidez está cambiando el ángulo entre la escalera y la pared cuando la base de la escalera está a 6 pies de la base de la pared? 40. Un faro está ubicado en una pequeña isla a 3 km de distancia del punto más cercano P en una costa en línea recta, y su luz gira a cuatro revoluciones por minuto. ¿Con qué rapidez se está moviendo el haz de luz a lo largo de la costa cuando está a 1 km de P? 41. Algunos autores definen a y = sec −1 x ⇔ sec y = x y y ∈ [ 0, π 2 ) ∪ ( π 2 , π] . Demuestre que con esta definición, tenemos, en vez de la fórmula dada en el Ejercicio 14,

227

d ( −1 ) sec x = dx x

1 x2 − 1

,

x >1

42. (a) Dibuje la gráfica de la función f ( x ) = sen ( sen −1 x ) . (b) Dibuje la gráfica de la función g( x ) = sen −1 ( sen x ) , x ∈ ℝ. (c) Demuestre que g ′( x ) =

cos x . cos x

(d) Dibuje la gráfica de h( x ) = cos −1 ( sen x ) , x ∈ ℝ y halle su derivada.

3.6 Funciones Hiperbólicas Ciertas combinaciones de las funciones exponenciales e x y e − x aparecen con tanta frecuencia en matemáticas y sus aplicaciones que merecen se les dé nombres especiales. En muchas formas, ellas son análogas a las funciones trigonométricas y tienen la misma relación con la hipérbola que las funciones trigonométricas tienen con el círculo. Por esta razón, se denominan colectivamente funciones hiperbólicas e individualmente se llaman seno hiperbólico, coseno hiperbólico y así sucesivamente.

Definición de las Funciones Hiperbólicas

ex − e −x 2 ex + e − x cosh x = 2 senh x tanh x = cosh x

senh x =

1 senh x 1 sech x = cosh x cosh x coth x = senh x csch x =

Las gráficas del seno y coseno hiperbólicos pueden dibujarse usando adición gráfica como en las Figs. 1 y 2.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Observe que senh tiene dominio ℝ y recorrido ℝ, en tanto que cosh tiene dominio ℝ y recorrido [1, ∞). La gráfica de tanh se muestra en la Fig. 3. Tiene las asíntotas horizontales y = ±1 (véase el Ejercicio 19).

228

Las aplicaciones de las funciones hiperbólicas en ciencias e ingeniería ocurren siempre que un ente tal como la luz, velocidad, electricidad o radiactivaza es absorbido o extinguido gradualmente, ya que el decaimiento puede ser representado por funciones hiperbólicas. La aplicación más famosa es el uso del coseno hiperbólico para describir la forma de un alambre colgante. Se puede demostrar que si un cable flexible pesado (como el de una línea telefónica o de potencia) está suspendido entre dos puntos con la misma altura, entonces toma la forma de una curva con ecuación y = c + a cosh ( x a ) denominada una catenaria (véase la Fig. 4). La palabra en latín catena significa “cadena”.

Figura 4

Otra aplicación de las funciones hiperbólicas ocurre en la descripción de las ondas oceánicas. La velocidad de una onda acuática con longitud L moviéndose en un cuerpo de agua con profundidad d es modelada por la función

gL  2 πd  tanh   2π  L  donde g es la aceleración de la gravedad (véase la Fig. 5 y el Ejercicio 45). v=

Figura 5

Las funciones hiperbólicas satisfacen varias identidades que son semejantes a identidades trigonométricas muy conocidas. Aquí damos una lista de algunas de ellas y dejamos la mayoría de las demostraciones para los ejercicios.

Identidades Trigonométricas

senh ( −x ) = − senh x 2

cosh ( −x ) = cosh x

2

1 − tanh 2 x = sech 2 x

cosh x − senh x = 1

senh ( x + y ) = senh x cosh y + cosh y senh y cosh ( x + y ) = cosh x cosh y + senh y senh y

Ejemplo 1 Demostrar (a) cosh 2 x − senh 2 x = 1 y (b) 1 − tanh 2 x = sech 2 x . Solución 2

(a)

 e x + e− x   ex − e −x  cosh x − senh x =   −   2   2  2

2

2

=

e 2 x + 2 + e −2 x e 2 x − 2 + e −2 x 4 − = =1 4 4 4

229

(b) Comenzamos con la identidad demostrada en la parte (a)

cosh 2 x − senh 2 x = 1 Si dividimos ambos lados por cosh 2 x , se obtiene

1− o

senh 2 x 2

cosh x

=

1 cosh 2 x

1 − tanh 2 x = sech 2 x La identidad demostrada en el Ejemplo 1(a) da un indicio de por qué el nombre de funciones “hiperbólicas”: Si t es cualquier número real, el punto P ( cos t , sen t ) está en el círculo unitario x 2 + y 2 = 1 porque

cos 2 t + sen 2 t = 1 . De hecho, t puede interpretarse como la medida radián de ∠POQ en la Fig. 6. Por esta razón, las funciones trigonométricas se llaman algunas veces funciones circulares.

Figura 6

En la misma forma, si t es cualquier número real, entonces el punto P ( cosh t , senh t ) está en la rama derecha de la hipérbola x 2 − y 2 = 1 porque cosh 2 t − senh 2 t = 1 y cosh t ≥ 1 . Esta vez, t no representa la medida de un ángulo. Sin embargo, resulta que t representa el doble del área del sector hiperbólico sombreado en la Fig. 7, en la misma forma que en el caso trigonométrico, t representa el doble del área del sector circular sombreado en la Fig. 6.

Figura 7

Las derivadas de las funciones hiperbólicas se calculan fácilmente. Por ejemplo,

 x −x d ( senh x ) = d  e − e dx dx  2

 e x + e− x = cosh x =  2

En la Tabla 1 se da una lista de las fórmulas de diferenciación para las funciones hiperbólicas. Las demostraciones restantes se dejan como ejercicios. Observe la analogía con laS fórmulas de diferenciación para las funciones trigonométricas.

230

1 Derivadas de las Funciones Hiperbólicas

d ( senh x ) = cosh x dx

d ( csch x ) = − csch x coth x dx

d ( cosh x ) = senh x dx

d ( sech x ) = − sech x tanh x dx

d ( tanh x ) = sech 2 x dx

d ( coth x ) = − csch 2 x dx

Ejemplo 2 Cualquiera de estas reglas de diferenciación puede combinarse con la Regla de la Cadena. Por ejemplo,

d ( cosh x ) = senh x ⋅ d x = senh x dx dx 2 x Funciones Hiperbólicas Inversas En las Figs. 1 y 3 se puede ver que senh y tanh son funciones uno a uno y por tanto tienen funciones inversas, las cuales se denotan por senh −1 y tanh −1 . La Fig. 2 muestra que cosh no es uno a uno, pero cuando se restringe al dominio [0, ∞), se convierte en uno a uno. La función coseno hiperbólico inverso se define como la inversa de esta función restringida.

y = senh −1 x

2

y = cosh

−1

y = tanh

−1

⇔

senh y = x

x

⇔

cosh y = x y y ≥ 0

x

⇔

tanh y = x

Las funciones hiperbólicas restantes se definen en forma similar (véase el Ejercicio 24). Podemos dibujar las gráficas de senh −1 , cosh −1 y tanh −1 en las Figs. 8, 9 y 10 utilizando las Figs. 1, 2 y 3.

y = senh −1 x

y = cosh −1 x

y = tanh −1 x

dominio = ℝ recorrido = ℝ

dominio = [1, ∞ ) recorrido = [0, ∞ )

dominio = ( −1, 1 ) recorrido = ℝ

Figura 8

Figura 9

Figura 10

Puesto que las funciones hiperbólicas se definen en términos de funciones exponenciales, no debe sorprendernos saber que las funciones hiperbólicas inversas puedan expresarse en términos de logaritmos. En particular, tenemos:

231

( cosh −1 x = ln ( x +

) x2 − 1 )

senh −1 x = ln x + x 2 + 1

3 4

 1+x  tanh −1 x = 21 ln    1−x 

5

(

x∈ℝ x≥1 −1 < x < 1

)

Ejemplo 3 Demostrar que senh −1 x = ln x + x 2 + 1 . Solución Sea y = senh −1 x . Entonces

x = senh y = o

e y − e.y 2

ey − 2x − e−y = 0 o, multiplicando por e y , e 2 y − 2 xe x − 1 = 0

Ésta es en realidad una ecuación cuadrática en e y :

( e y )2 − 2 x ( e x ) − 1 = 0 Usando la fórmula cuadrática, se obtiene

ey = Observe que e y > 0 , pero x − x 2 + 1 < 0 entonces tenemos que

2x ± 4x2 + 4 = x ± x2 + 1 2

(porque x < x 2 + 1 ). Por tanto, el signo menos no es admisible y

ey = x + x2 + 1 y

(

y = ln ( e y ) = ln x + x 2 + 1

)

(Véase el Ejercicio 21 para otro método.)

6 Derivadas de las Funciones Hiperbólicas Inversas

d ( 1 senh −1 x ) = dx 1 + x2 d ( cosh −1 x ) = dx

1 2

x −1

d ( 1 tanh −1 x ) = dx 1 − x2

d ( csch −1 x ) = − dx x

1 x2 + 1

d ( 1 sech −1 x ) = − dx x 1 − x2 d ( 1 coth −1 x ) = dx 1 − x2

232

Las funciones hiperbólicas inversas son todas diferenciables porque las funciones hiperbólicas son diferenciables. Las fórmulas en la Tabla 6 se pueden demostrar ya sea por el método para las funciones inversas o diferenciando las Fórmulas 3, 4 y 5.

Ejemplo 4 Demostrar que

d ( 1 . senh −1 x ) = dx 1 + x2

Solución Sea y = senh −1 x . Entonces senh y = x . Si diferenciamos esta ecuación implícitamente con respecto a x, se obtiene

cosh y

dy =1 dx

Como cosh 2 y − senh 2 y = 1 y cosh y ≥ 0 , tenemos que cosh y = 1 + senh 2 y y entonces

dy 1 1 = = = dx cosh y 1 + senh 2 y Ejemplo 5 Hallar

1 1 + x2

d [ tanh −1 ( sen x )] . dx

Solución Usando la Tabla 6 y la Regla de la Cadena, tenemos

d 1 d ( sen x ) [ tanh −1 ( sen x )] = 2 dx dx 1 − ( sen x ) 1 cos x = cos x = = sec x 2 1 − sen x cos 2 x

3.6 Ejercicios Ejercicios 1−6: Hallar el valor numérico de cada expresión.

1. (a) senh 0

(b) cosh 0

3. (a) senh ( ln 2 ) 5. (a) sech 0

(b) senh 2

(b) cosh −1 0

Ejercicios 7−15: Demostrar la identidad.

7.

senh ( −x ) = − senh x (Esto de demuestra que senh es una función impar.)

8.

cosh ( −x ) = cosh x (Esto de demuestra que senh es una función par.)

9.

cosh x + senh x = e x

10. cosh x − senh x = e − x 11. senh ( x + y ) = senh x cosh y + cosh x senh y 12. cosh ( x + y ) = cosh x cosh y + senh x senh y

2. (a) tanh 0

(b) tanh 1

4. (a) cosh 3

(b) cosh ( ln 3 )

6. (a) senh 1

(b) senh −1 1

233

13. senh 2 x = 2 senh x cosh x 14.

1 + tanh x = e2 x 1 − tanh x

n 15. ( cosh x + senh x ) = cosh nx + senh nx (n cualquier número real)

16. Si senh x = 34 , hallar los valores de las otras funciones hiperbólicas en x. 17. Si tanh x =

4 5

, hallar los valores de las otras funciones hiperbólicas en x.

18. (a) Use las gráficas de senh, cosh y tanh en las Fig. 1−3 para dibujar las gráficas de csch, sech y coth. (b) Verificar las gráficas que dibujó en la parte (a) usando un dispositivo de graficar para producirlas.

19. Use las definiciones de las funciones hiperbólicas para hallar cada uno de los límites siguientes: (a) lím tanh x

(b)

(e) lím sech x

(f) lím coth x

x→∞

x→∞

(i)

lím tanh x

x → −∞

x→∞

(c) lím senh x

(d)

lím coth x

(h)

x→∞

(g)

x → 0+

lím senh x

x → −∞

lím coth x

x → 0−

lím csch x

x → −∞

20. Demuestre las fórmulas dadas en la Tabla 1 para cada una de las derivadas de las funciones (a) cosh, (b) tanh, (c) csch, (d) sech y (e) coth. 21. Dé una solución alterna al Ejemplo 3 haciendo y = senh −1 x y luego usando el Ejercicio 9 y el Ejemplo 1(a) con x reemplazada por y. 22. Demuestre la Ecuación 4. 23. Demuestre la Fórmula 5 usando (a) el método del Ejemplo 3 y (b) el Ejercicio 14 con x sustituida por y. 24. Para cada una de las funciones siguientes (i) dé una definición como las de (2), (ii) dibuje la gráfica y (iii) halle una fórmula semejante a la Fórmula 3. (a) csch −1

(b) sech −1

(c) coth −1

25. Demuestre las fórmulas dadas en la Tabla 6 para las derivadas de las funciones siguientes: (a) cosh −1

(b) tanh −1

(c) sech −1

Ejercicios 26−41: Hallar la derivada. Simplificar donde sea posible.

26. g( x ) = tanh ( 1 + e 2 x )

27. f ( x ) = x senh x.cosh x

28. g( x ) = cosh ( ln x )

30. y = x coth ( 1 + x 2 )

31. y = e cosh 3 x

32. f (t ) = csc ht ( 1 − ln csch t )

33. f (t = sech 2 ( et )

34. y = senh ( cosh x )

35. G( x ) =

37. y = cosh −1 x

38. y = x tanh x + ln 1 − x 2

39. y = x senh −1 ( x 3 ) − 9 + x 2

40. y = sech −1 ( e − x )

41. y = coth −1 ( sec x )

42. Demuestre que

d 4 1 + tanh x 1 x 2 = e . dx 1 − tanh x 2

1 − cosh x 1 + cosh x

29. h( x ) = ln ( cosh x )

36. y = senh −1 ( tan x )

234

43. Demuestre que

d arctan ( tanh x ) = sech 2 x . dx

44. El Arco Gateway en San Luis fue diseñado por Eero Saarinen y se construyó usando la ecuación

y = 211.49 − 20.96 cosh 0.03291765x para la curva central del arco, donde x y y se miden en metros y x ≤ 91.20. (a) Grafique la curva central. (b) ¿Cuál es la altura del arco en su centro? (c) ¿En qué punto es la altura igual a 100 metros? (d) ¿Cuál es la pendiente del arco en los puntos en la parte (c)?

45. Si una onda con longitud L se mueve con velocidad v en un cuerpo de agua con profundidad d, entonces

gL  2 πd  tanh   2π  L 

v=

donde g es la aceleración de la gravedad (véase la Fig. 5). Explique por qué la aproximación

v=

gL 2π

es apropiada en aguas profundas.

46. Un cable flexible cuelga en la forma de una catenaria y = c + a cosh ( x a ) , donde c y a son constantes y a > 0 (véase la Fig. 4 y el Ejercicio 48). Grafique varios miembros de la familia de funciones y = a cosh ( x a ) . ¿Cómo cambia la gráfica conforme a varía?

47. Una línea telefónica cuelga entre dos postes con separación de 14 m en la forma de la catenaria y = 20 cosh ( x 20 ) − 15 , donde x se miden en metros. (e) Hallar la pendiente de esta curva en el punto don se une al poste derecho. (f) Halle el ángulo θ entre la línea y el poste.

48. Usando principios de física se puede demostrar que cuando un cable cuelga entre dos postes, toma la forma de una curva y = f ( x ) que satisface la ecuación diferencial

d2 y dx 2

=

ρg T

 dy  1+   dx 

2

donde ρ es la densidad lineal del cable, g es la aceleración de la gravedad y T es la tensión en el cable en su punto más bajo, y el sistema de coordenadas se escoge apropiadamente. Verifique que la función

y = f (x) = es una solución de la ecuación diferencial.

T  ρgx  cosh   ρg  T 

235

49. Un cable con densidad lineal ρ = 2 kg/m está tendido entre dos postes con una separación de 200 m. (a) Use el Ejercicio 48 para hallar la tensión T de modo que el cable esté 60 m sobre el suelo en su punto más bajo. ¿De qué tamaño son los postes? (b) Si se duplica la tensión, ¿cuál el nuevo punto más bajo del cable? ¿Qué altitud tienen los postes ahora?

50. Evaluar lím

x→∞

senh x ex

.

51. (a) Demuestre que cualquier función de la forma

y = A senh mx + B cosh mx satisface la ecuación diferencial y ′′ = m2 y . (b) Hallar y = y(x) tal que y ′′ = 9 y , y(0) = −4 y y ′(0) = 6 .

52. Si x = ln ( sec θ + tan θ ) , demuestre que sec θ = cosh x . 53. ¿En qué punto de la curva y = cosh x tiene la tangente una pendiente igual a 1? 54. Demuestre que si a ≠ 0 y b ≠ 0, entonces existen números α y β tales que ae x + be − x es igual ya sea a α senh ( x + β ) o α cosh ( x + β ) . En otras palabras, casi toda función de la forma f ( x ) = ae x + be − x es una función hiperbólica seno o coseno desplazada y alargada.

3.7 Formas Indeterminadas y la Regla de L’Hôpital Supóngase que estamos tratando de analizar la conducta de la función

F( x ) =

ln x x−1

Aunque F no está definida cuando x = 1, necesitamos conocer cómo se comporta F cerca de 1. En particular, nos gustaría conocer el valor del límite

ln x x→1 x−1 lím

[1]

Al calcular este límite no podemos aplicar la Ley 5 de límites (el límite de un cociente es el cociente de los límites, véase la Sección 1.4) porque el límite del denominador es 0. De hecho, aunque el límite en [1] existe, su valor no es obvio porque tanto el numerador como el denominador tienden a 0 y 00 no está definido. En general, si tenemos un límite de la forma

lím

x→a

f (x) g( x )

donde ambos f ( x ) → 0 y g( x ) → 0 conforme x → a , entonces este límite puede existir o no y se denomina una

forma indeterminada de tipo

0 0

. En el Capítulo 1 ya encontramos algunos límites de este tipo. Para funciones

racionales, podemos cancelar factores comunes:

x2 − x x ( x − 1) x 1 = lím = lím = x→1 x−1 x → 1 ( x + 1 )( x − 1 ) x→1x+1 2 lím

Usamos un argumento geométrico para demostrar que

236

sen x =1 x→0 x lím

Pero estos métodos no funcionan para límites tales como [1], de modo que esta sección introducimos un método sistemático, conocido como la Regla de L’Hôpital, para la evaluación de formas indeterminadas. Otra situación en la cual un límite no es obvio ocurre cuando buscamos una asíntota horizontal de F y necesitamos evaluar el límite

ln x x→∞ x−1 lím

[2]

No es obvio cómo se evalúa este límite ya que tanto el numerador como el denominador se vuelven grandes conforme x → ∞. Hay una lucha entre el numerador y el denominador. Si el numerador gana, el límite será ∞; si gana el denominador, la respuesta será 0. O puede haber algún compromiso, en el cual la respuesta puede ser algún número positivo finito. En general, si tenemos un límite de la forma

lím

x→a

f (x) g( x )

donde ambos f ( x ) → ∞ (o −∞) y g( x ) → ∞ (o −∞), entonces el límite puede existir o no y se denomina una

forma indeterminada del tipo ∞/∞. En la Sección 1.6 vimos que este tipo de límite se podía evaluar para ciertas funciones, incluyendo funciones racionales, dividiendo el numerador y el denominador por la potencia más alta de x que ocurre en el denominador. Por ejemplo,

1 x2 = 1 − 0 = 1 lím = lím 1 x → ∞ 2x2 + 1 x→∞ 1+ 2 2 +0 2 x 1−

x2 − 1

Este método no funciona para límites como los de [2], pero la Regla de L’Hôpital sí aplica a este tipo de forma indeterminada.

Regla de L’Hôpital Supóngase que f y g son diferenciable y g ′( x ) ≠ 0 cerca de a (excepto posiblemente en a). Supóngase que

lím f ( x ) = 0

y

lím f ( x ) = ±∞

y

x→a

lím g( x ) = 0

x→a

o que x→a

lím g( x ) = ±∞

x→a

En otras palabras, tenemos una forma indeterminada de tipo

lím

x→a

0 0

o ∞/∞- Entonces

f (x) f ′( x ) = lím g( x ) x → a g ′( x )

si el límite en el lado derecho existe (o si es ∞ o −∞).

Observación 1 La Regla de L’Hôpital dice que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas, siempre y cuando se satisfagan las condiciones dadas. Es de especial importancia verificar las condiciones relacionadas con los límites de f y g antes de usar la Regla de L’Hôpital.

237

Observación 2 La Regla de L’Hôpital también es válida para limites unilaterales y para limites en infinito o menos infinito; es decir, “x → a” puede sustituirse por cualquiera de los símbolos x → a+, x → a−, x → ∞ o x → −∞ . Observación 3 Para el caso especial en el cual f ( a) = g( a) = 0 , f ′ y g ′ son continuas y g ′( a) ≠ 0 , es fácil ver por qué la Regla de L’Hôpital es válida. De hecho, usando la forma alterna de la definición de una derivada, tenemos

f ( x ) − f ( a) f ( x ) − f ( a) x−a x−a = lím g( x ) − g( a) x → a g( x ) − g( a) lím x→a x−a x−a f ( x ) − f ( a) f (x ) = lím = lím x → a g( x ) − g( a ) x → a g( x ) lím

f ′( x ) f ′( a) lím = = x → a g ′( x ) g ′( a)

x→a

La versión general de la Regla de L’Hôpital es más difícil; su demostración se puede encontrar en el Apéndice B.

Ejemplo 1 Hallar lím

x→1

ln x . x−1

Solución Puesto que

lím ln x = ln 1 = 0

y

x→1

lím ( x − 1) = 0

x→1

podemos aplicar la Regla de L’Hôpital:

d ( ln x ) 1x ln x 1 dx lím = lím = lím = lím = 1 x→1x−1 x→1 d x→1 1 x→1x ( x − 1) dx Ejemplo 2 Calcular lím

x→∞

ex x2

.

Solución Tenemos lím x →∞ e x = ∞ y lím x →∞ x 2 = ∞ , por lo que la Regla de L’Hôpital da

d ( x) e ex dx lím 2 = lím = lím x→∞ x x→∞ d ( x2 ) x → ∞ 2x dx ex

Como e x → ∞ y 2x → ∞ conforme x → ∞ , el límite en el lado derecho también es indeterminado, pero una segunda aplicación de la Regla de L’Hôpital da

lím

ex

x→∞

Ejemplo 3 Calcular lím

ln x

x→∞ 3

x

x2

ex ex = lím =∞ x → ∞ 2x x→∞ 2

= lím

.

Solución Puesto que ln x → ∞ y

3

x → ∞ conforme x → ∞ , la Regla de L’Hôpital aplica: lím

ln x

x→∞ 3

x

= lím

x→∞ 1 3

1x x −2 3

238

Observe que el límite en el lado derecho es ahora indeterminado de tipo

0 0

. Pero en vez de aplicar la Regla de

L’Hôpital una segunda vez como se hizo en el Ejemplo 2, simplificamos la expresión y vemos que no es necesaria una segunda aplicación:

ln x

lím

x→∞ 3

Ejemplo 4 Hallar lím

tan x − x

x→0

x3

x

1x

= lím

x→∞ 1 3

x

−2 3

= lím

3

x→∞ 3

x

=0

. [Véase el Ejercicio 22 en la Sección 1.3.]

Solución Observando que tan x − x → 0 y x 3 → 0 conforme x → 0 , usamos la Regla de L’Hôpital:

lím

tan x − x

x→0

x

3

= lím

x→0

sec 2 x − 1 3x 2

Puesto que el límite en el lado derecho todavía es indeterminado de tipo

0 0

, aplicamos de nuevo la Regla de

L’Hôpital:

lím

sec2 x − 1 3x 2

x→0

2 sec2 x tan x x→0 6x

= lím

Como lím x →0 sec2 x = 1 , simplificamos el cálculo escribiendo

2 sec2 x tan x 1 tan x 1 tan x = lím sec2 x ⋅ lím = lím x→0 x→0 x 6x 3x→0 3x→0 x lím

Podemos evaluar este último límite ya sea usando la Regla de L’Hôpital una tercera vez o escribiendo tan x como ( sen x ) ( cos x ) y usando nuestro conocimiento de límites trigonométricos. Agrupando todos los pasos, se obtiene:

lím

x→0

Ejemplo 5 Hallar lím− x→π

tan x − x x3

= lím

sec 2 x − 1

2 sec2 x tan x x→0 6x

= lím

3x 2 1 tan x 1 sec2 x 1 = lím = lím = 3x→0 x 3 x→0 1 3 x→0

sen x . 1 − cos x

Solución Si intentamos aplicar ciegamente la Regla de L’Hôpital, obtendríamos

lím

x → π−

sen x cos x = lím = −∞ 1 − cos x x → π− sen x

¡Esto es incorrecto! Aunque el numerador sen x → 0 conforme x → π− , observe que el denominador ( 1 − cos x ) no tiende a 0, de manera que aquí no se puede aplicar la Regla de L’Hôpital. El límite requerido es, de hecho, fácil de hallar porque la función es continua en π y allí el denominador no es cero:

lím

x → π−

sen x sen π 0 = = =0 1 − cos x 1 − cos π 1 − ( −1 )

El Ejemplo 5 muestra lo que puede ser una equivocación cuando se usa la Regla de L’Hôpital sin pensar. Se pueden hallar otros límites usando la Regla de L’Hôpital, aunque a veces es más fácil determinarlos usando otros

239

métodos. Por tanto, cuando se evalúa cualquier límite, se deben considerar otros métodos antes de usar la Regla de L’Hôpital.

Productos Indeterminados Si lím x → a f ( x ) = 0 y lím x → a g( x ) = ∞ (o −∞), entonces no está claro cuál será el valor, si existe, de

lím x → a f ( x ) g( x ) . Hay una lucha entre f y g. Si f gana, la respuesta será 0; si g gana, la respuesta será ∞ (o −∞). O puede haber un compromiso donde la respuesta es un número finito diferente de cero. Esta clase de límite se denomina una forma indeterminada de tipo 0 ⋅ ∞ . Esto lo podemos tratar si escribimos el producto fg como un cociente:

fg =

f 1 g

o

fg =

g 1 f

Esto convierte el límite dado en una forma indeterminada de tipo

0 0

o ∞/∞ y entonces podemos usar la Regla de

L’Hôpital. Ejemplo 6 Evaluar lím+ x ln x . x→0

Solución El límite dado es indeterminado ya que, conforme x → 0+ , el primer factor (x) tiende a 0, en tanto que el segundo factor ( ln x ) tiende a −∞. Escribiendo x = 1 ( 1 x ) , tenemos que 1 x → ∞ conforme x → 0+ y la Regla de L’Hôpital da

lím+ x ln x = lím+

x→0

x→0

1x ln x = lím+ = lím ( −x ) = 0 1 x x → 0 −1 x 2 x → 0 +

Observación Al resolver el Ejemplo 6, otra opción posible sería

lím x ln x = lím+

x → 0+

x→0

x 1 ln x

Esto da una forma indeterminada del tipo 0/0, pero si aplicamos la Regla de L’Hôpital se obtiene una expresión más complicada que la expresión original. En general, cuando reescribimos un producto indeterminado, tratamos de escoger la opción que nos lleva al límite más sencillo. Diferencias Indeterminadas Si lím x → a f ( x ) = ∞ y lím x → a g( x ) = ∞ , entonces el límite

lím x → a [ f ( x ) − g( x )] se denomina una forma indeterminada de tipo ∞ − ∞. De nuevo, aquí existe una competencia entre f y g. ¿Será la respuesta ∞ (f gana) o será −∞ (g gana) o habrá un compromiso y se obtendrá un número finito? Para responder esto, tratamos de convertir la diferencia en un cociente (por ejemplo, usando un denominador común, o racionalización o factorización) de modo que tengamos una forma indeterminada de la forma 00 o ∞/∞. Ejemplo 7 Calcular

Solución

lím

x → (π 2)

−

( sec x − tan x ) .

−

Observe primero que sec x → ∞ y tan x → ∞ conforme x → ( π 2 ) , de modo que el límite es

indeterminado. Aquí usamos un denominador común:

240

lím

x → (π 2)

−

sen x   1 −   cos x  x → ( π 2 )  cos x − cos x 1 − sen x = lím − = lím − =0 cos x − sen x x → (π 2) x → (π 2)

( sec x − tan x ) =

lím

−

Observe que el uso de la Regla de L’Hôpital está justificado porque ( 1 − sen x ) → 0 y cos x → 0 conforme −

x → (π 2) . Potencias Indeterminadas Varias formas indeterminadas se derivan del límite 1. lím f ( x ) = 0 y lím f ( x ) = 0

tipo 00

2. lím f ( x ) = ∞ y lím f ( x ) = 0

tipo ∞ 0

x→a

x→a

x→a

x→a

tipo 1∞

3. lím f ( x ) = 1 y lím f ( x ) = ±∞ x→a

x→a

Cualquiera de estos tres casos puede tratarse bien sea tomando el logaritmo natural:

sea y = [ f ( x )]

g( x )

, entonces ln y = g( x )ln f ( x )

o escribiendo la función como una exponencial:

[ f (x )]g( x = e g( x )ln f ( x ) Recuerde que estos dos métodos se usaron en la diferenciación de esas funciones. En cualquiera de los métodos, se obtiene el producto indeterminado g( x )ln f ( x ) que es de tipo 0 ⋅ ∞ . Ejemplo 8 Calcular lím+ ( 1 + sen 4x ) x→0

cot x

.

Solución Observe primero que conforme x → 0+ , tenemos ( 1 + sen 4 x ) → 1 y cot x → ∞ , de modo que el límite dado es indeterminado. Sea

y = ( 1 + sen 4x )

cot x

Entonces

ln y = ln ( 1 + sen 4x )

cot x 

 = cot x ln ( 1 + sen 4 x )

y la Regla de L’Hôpital da

4 cos 4x ln ( 1 + sen 4 x ) 4x = 4 lím ln y = lím+ = lím+ 1 + sen x → 0+ x→0 x→0 tan x sec 2 x Hasta aquí hemos calculado el límite de ln y , pero lo que queremos es el límite de y. Para hallarlo, usamos el hecho de que y = e ln y :

lím y = lím+ y = lím+ e ln y = e 4

x → 0+

Ejemplo 9 Hallar lím+ x x . x→0

x→0

x→0

241

Solución Observe que este límite es indeterminado ya que 0 x = 0 para cualquiera x > 0, pero x 0 = 1 para cualquiera x ≠ 0. Podríamos proceder como en el Ejemplo 8 o escribiendo la función como una exponencial: x

x x = ( e ln x ) = e x ln x En el Ejemplo 6 se usó la Regla de L’Hôpital para demostrar que

lím x ln x = 0

x → 0+

Por tanto,

lím x x = lím+ e x ln x = e0 = 1

x → 0+

x→0

3.7 Ejercicios Ejercicios 1−38: Hallar el límite. Use la Regla de L’Hôpital donde sea apropiado. Si hay más de un método elemental, considere usarlo. Si la Regla de L’Hôpital no aplica, explique por qué. 1.

lím

x→1

x2 − 1 2

x −x

e2t − 1 t → 0 sen t

5. lím 9.

lím+

x→0

13. lím

x→0

ln x x 2

3.

cos x x → ( π 2 ) 1 − sen x

4.

sen 4x x → 0 tan 5x

6.

x2 x → 0 1 − cos x

7.

1 − sen θ θ → π 2 1 + cos 2 θ

8.

1 − sen θ θ → π 2 csc θ

lím

ln x

cos x − 1 + 21 x 2

x→0

25. lím x 2 e − x

u

x

4

2

18. lím

x→0

22. 26.

x→∞

1  1 29. lím  − x  x → ∞ x e −1

3

cos x ln ( x − a ) ln ( e x − e a )

lím sen x ln x

x → 0+

30. lím ( csc x − cot x ) x→0

lím+ ln ( x7 − 1 ) − ln ( x 5 − 1 )  1x

x→0

19. lím

a  36. lím  1 +  x → ∞ x

−1

x 3x x

3 −1 x a − ax + a − 1

x→1

( x − 1 )2

23. lím cos 2 x sen 6x x→0

27.

lím ln x tan ( πx 2 )

x → 1+

lím

lím

8t − 5t t→0 t

12. lím

16. lím

x→0

cos mx − cos nx x2

ex − e−x − 2x x → 0 x − sen x

20. lím

24. lím

x→∞

x e−x 2

28. lím x tan ( 1 x ) x→∞

31. lím ( x − ln x ) x→∞

33.

x→1

35. lím ( 1 − 2 x )

t8 − 1

x→0

tan −1 ( 4 x )

x→a

lím

15. lím

x

lím+

+

t → 1 t5

eu 10

14. lím

lím

11. lím

x2

u→∞

1 − x + ln x x → 1 1 + cos πx

32.

x2 + x − 6 x→2 x−2

x→∞

17. lím

21. lím

lím

10. lím

ex − 1 − x x

2.

bx

37.

lím+ x

x

lím+ x 1

( 1− x )

x→0

x→1

34.

lím+ ( tan 2 x )

x

x→0

38. lím ( e x + x )

1x

x→∞

Ejercicios 39−40: Use una gráfica para estimar el valor del límite. Use después la Regla de L’Hôpital para hallar el valor exacto.

2  39. lím  1 +  x → ∞ x

x

41. Demostrar que

40. lím

x→0

5x − 4 x 3x − 2 x

242

lím

ex

x→∞

xn

=∞

para cualquier entero positivo n. Esto muestra que la función exponencial tiende a infinito más rápido que cualquier potencia de x. 42. Demostrar que

lím

x→∞

ln x xp

=0

para cualquier número p > 0- Esto muestra que la función logarítmica tiende a ∞ más lentamente que cualquier potencia de x. Ejercicios 43−44: ¿Qué sucede si trata de usar la Regla de L’Hôpital para hallar el límite? Evaluar el límite usando otro método. 43. lím

x→∞

x 2

x +1

44.

sec x → ( π 2 ) tan x lím

−

45. Si se invierte una cantidad inicial A0 de dinero con una tasa de interés r compuesto n veces al año, el valor de la inversión después de t años es

r  A = A0  1 +  n 

nt

Si se toma n → ∞, nos referimos al interés compuesto continuo. Use la Regla de L’Hôpital para demostrar que si el interés es compuesto continuamente, entonces la cantidad después de t años es

A = A0 ert 46. Si un objeto de masa m en reposo se deja caer, un modelo para su velocidad v después de t segundos, tomando en cuenta la resistencia del aire, es

v=

mg ( 1 − e −ct m ) c

donde g es la aceleración de la gravedad y c es una constante positiva. (a) Calcular lím t →∞ v . ¿Cuál es el significado de este límite? (b) Para t fijo, use la Regla de L’Hôpital para calcular lím c → 0+ v . ¿Qué se puede concluir acerca de la velocidad de caída de un objeto en un vacío? 47. Si un campo electrostático E actúa sobre un líquido o un dieléctrico polar líquido, el momento dipolar P por unidad de volumen es

P(E) =

eE + e −E E

e −e

−E

−

1 E

Demuestre que lím E → 0 + P(E) = 0 . 48. Un cable metálico tiene radio r y está cubierto por un aislante, de modo que la distancia desde el centro del cable hasta el exterior del aislamiento es R. La velocidad v de un impulso eléctrico en el cable es 2

r r v = −c   ln   R R donde c es una constante positiva. Halle los límites siguientes e interprete sus respuestas:

243

(a)

lím v

R → r+

(b) lím+ v r→0

49. La primer aparición impresa de la Regla de L’Hôpital fue en el libro Analyse des Infiniment Petits publicado por el Marques de L’Hôpital en 1696. Éste fue el primer texto de cálculo que se publicó y el ejemplo que el Marqués usó en ese libro para ilustrar la regla fue hallar el límite de la función

2a 3 x − x 4 − a 3 aax

y=

a − 4 ax 3

conforme x tiende a a, donde a > 0. En esa época era común escribir aa en vez de a2. Resuelva este problema. 50. La figura muestra un sector de un círculo con ángulo central θ. Sea A(θ) el área de la porción entre la cuerda PR y el arco PR. Sea B(θ) el área del triángulo PQR. Hallar lím θ → 0+ A(θ) B(θ) .

  1 + x  51. Evaluar lím  x − x 2 ln   . x→∞  x   52. Supóngase que f es una función positiva. Si lím x → a f ( x ) = 0 y lím x → a g( x ) = ∞ , demuestre que

lím [ f ( x )]

g( x )

x→a

=0

Esto demuestra que 0∞ no es una forma indeterminada. 53. Si f ′ es continua, f(2) = 0 y f ′(2) = 7 , evaluar

lím

x→0

f ( 2 + 3x ) + f ( 2 + 5x ) x

54. ¿Para qué valores de a y b es válida la siguiente ecuación?

b  sen 2 x lím  +a+ 2 3 x → 0 x x

 =0 

55. Si f ′ es continua, use la Regla de L’Hôpital para demostrar que

lím

x→0

f (x + h) + f (x − h) = f ′( x ) 2h

Explique el significado de esta ecuación con la ayuda de un diagrama. 56. Si f ′ es continua, demuestre que

lím

x→0

f ( x + h ) − 2 f (x ) + f ( x − h ) h2

57. Sea

 e −1 x 2 , x ≠ 0 f (x ) =  x=0  0,

= f ′′( x )

244

(a) Use la definición de derivada para calcular f ′(0) . (b) Demuestre que f tiene derivadas de todos los órdenes que están definidas en ℝ. Sugerencia: Demuestre primero por inducción que existe un polinomio pn ( x ) y un entero no negativo kn tal que

f ( n ) ( x ) = pn ( x ) f ( x ) x kn para x ≠ 0. 58. Sea

 x f (x ) =   0,

x

,

x≠0 x=0

(a)

Demuestre que f es continua en 0.

(b)

Investigue gráficamente si f es diferenciable en 0 ampliando varias veces en el punto (0, 1) en la gráfica de f.

(c)

Demuestre que f no es diferenciable en 0. ¿Cómo puede reconciliar este hecho con el aspecto de las gráficas en la parte (b)?

4 APLICACIONES DE LA DIFERENCIACIÓN

Ya hemos investigado algunas de las aplicaciones de las derivadas, pero ahora que conocemos las reglas de diferenciación estamos en una mejor posición para dedicarnos a las aplicaciones de la diferenciación con mayor profundidad. Aquí aprenderemos cómo las derivadas afectan la forma de la gráfica de una función y, en particular, cómo nos ayudan a localizar valores máximos y mínimos de funciones. Muchos problemas prácticos nos exigen minimizar un costo o maximizar un área o de alguna manera encontrar el mejor resultado posible de una situación. En particular, se podrá investigar la forma óptima de un recipiente y para explicar la forma de las celdas de una colmena de abejas.

4.1 Valores Máximos y Mínimos Algunas de las aplicaciones más importantes del cálculo diferencial son los problemas de optimización, en los cuales se nos pide hallar la forma óptima (la mejor) de hacer algo. Aquí están algunos ejemplos de algunos de los problemas que se resolverán en este capítulo.


¿Cuál es la forma de una lata que minimiza los costos de fabricación?




¿Cuál es la aceleración máxima de un trasbordador espacial? Ésta es una pregunta importante para los astronautas, quienes tienen que soportar los efectos de la aceleración.




¿Cuál es el radio de una tráquea contraída que expele aire más rápidamente al toser?




¿A qué distancia nos debemos colocar en frente de una pintura en una galería de arte para tener la mejor vista de la pintura.

Estos problemas pueden reducirse a la determinación de los valores máximos o mínimos de una función. Expliquemos primero lo que se entiende por valores máximos y mínimos. Vemos que el punto más alto en la gráfica de la función f mostrada en la Fig. 1 es el punto (3, 5). En otras palabras, el mayor valor de f es f (3) = 5 . En la misma forma, el menor valor es f (6) = 2 . Decimos que f (3) = 5 es el máximo absoluto de f y que f (6) = 2 es el mínimo absoluto. En general, usamos la siguiente definición:

1 DEFINICIÓN Sea c un número en el dominio D de una función f. Entonces f (c ) es el


valor máximo absoluto de f en D si f (c ) ≥ f ( x ) para toda x en D.




valor mínimo absoluto de f en D si f (c ) ≤ f ( x ) para toda x en D.

246

Figura 1

Algunas veces, un máximo o mínimo absoluto se denomina un máximo global o un mínimo global. Los valores máximos y mínimos de f se denominan valores extremos de f. La Fig. 2 muestra la gráfica de una función f con un máximo absoluto en d y un mínimo absoluto en a. Observe que ( d , f ( d ) ) es el punto más alto en la gráfica y ( a , f ( a ) ) es el punto más bajo. En la Fig. 2, si consideramos solamente valores de x cerca de b [por ejemplo, si restringimos nuestra atención al intervalo (a, c)], entonces f (b ) es el mayor de esos valores de f ( x ) y se denomina una valor máximo local de f. En la misma forma, f (c ) se denomina un valor mínimo local de f porque f (c ) ≤ ¨ f ( x ) para x cerca de c [en el intervalo (b, d), por ejemplo]. La función f también tiene un mínimo local en e. En general, tenemos la siguiente definición:

Figura 2

2 DEFINICIÓN El número f (c ) es un •

valor máximo local de f si f (c ) ≥ f ( x ) cuando x está cerca de c.

•

valor mínimo local de f si f (c ) ≤ f ( x ) cuando x está cerca de c.

En la Definición 2 (y en cualquier otra parte), si decimos que al es cierto cerca de c, se entiende que es cierto en algún intervalo abierto que contiene a c. Por ejemplo, en la Fig. 3 vemos que f (4) = 5 es un mínimo local porque es el menor valor de f en el intervalo I. No es el mínimo absoluto porque f ( x ) toma valores más pequeños cuando x está cerca de 12 (en el intervalo K, por ejemplo). De hecho, f (12) = 3 es a la vez un mínimo local y el mínimo absoluto. En la misma forma, f (8) = 7 es un máximo local, pero no es el máximo absoluto porque f toma valores más grandes cerca de 1.

mín loc

máx loc

mín loc y abs

Figura 3

247

Ejemplo 1 La función f ( x ) = cos x toma su valor máximo (local y absoluto) de 1 infinitamente muchas veces, puesto que cos 2 nπ = 1 para cualquier entero n y −1 ≤ cos x ≤ 1 para toda x. En la misma forma, cos ( 2 n + 1 ) π = −1 es su valor mínimo, donde n es cualquier entero. Ejemplo 2 Si f ( x ) = x 2 , entonces f ( x ) ≥ f (0) porque x 2 ≥ 0 para toda x. Por tanto, f (0) = 0 el valor mínimo absoluto (y local) de f. Esto corresponde al hecho de que el origen es el punto más bajo en la parábola y = x 2 (véase la Fig. 4). Sin embargo, en la parábola no hay un punto más alto y por tanto esta función no tiene un valor máximo.

Ejemplo 3 De la gráfica de la función f ( x ) = x 3 , mostrada en la Fig. 5, vemos que esta función no tiene ni un valor máximo ni un valor mínimo. De hecho, tampoco tiene valores extremos locales.

Figura 4

Figura 5

Ejemplo 4 La gráfica de la función

f ( x ) = 3x 4 − 16x 3 + 18x 2 ,

−1 ≤ x ≤ 4

se muestra en la Fig. 6. Se puede ver que f (1) = 5 es un máximo local, en tanto que el máximo absoluto es

f ( −1) = 37 (este máximo absoluto no es un máximo local porque ocurre en un punto extremos). También, f (0) = 0 es un mínimo local y f (3) = −27 es a la vez un mínimo lo cal y un mínimo absoluto. Observe que f no tiene un máximo local ni un máximo absoluto en x = 4.

Figura 6

Hemos visto que algunas funciones tienen valores extremos y otras no. El teorema siguiente da condiciones bajo las cuales se garantiza que una función posea valores extremos.

3 EL TEOREMA DEL VALOR EXTREMO Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f alcanza un valor máximo absoluto f (c ) y un valor mínimo f ( d ) en algunos puntos c y d en [a, b].

248

El Teorema del Valor Extremo se ilustra en la Fig. 7. Observe que se puede tomar un valor extremo más de una vez. Aunque el Teorema del Valor Extremos es intuitivamente muy plausible, es difícil de demostrar y por tanto omitimos la demostración.

Figura 7

Las Figs. 8 y 9 muestran que una función no tiene que poseer valores extremos si se omite cualquiera de las hipótesis (continuidad o intervalo cerrado) en el Teorema del Valor Extremo.

Figura 8

Figura 9

La función f cuya gráfica se muestra en la Fig. 8 está definida en el intervalo cerrado [0, 2] pero no tiene valor máximo (observe que el recorrido de f es [0, 3). La función asume valores arbitrariamente cercanos a 3, pero no alcanza realmente el valor 3). Esto no contradice el Teorema del Valor Extremos porque f no es continua. Sin embargo, una función discontinua podría tener valores máximos y mínimos. Véase el Ejercicio 13(b). La función g mostrada en la Fig. 9 es continua en el intervalo abierto (0, 2) pero no tiene un valor máximo ni un valor mínimo [el recorrido de g es (1, ∞). La función toma valores arbitrariamente grandes]. Esto no contradice el Teorema del Valor Extremo porque el intervalo (0, 2) no es cerrado. El Teorema del Valor Extremo dice que una función continua en un intervalo cerrado tiene un valor máximo y un valor mínimo, pero no nos dice cómo hallar estos valores extremos. Comenzaremos por buscar valores extremos locales. La Fig. 10 muestra la gráfica de una función f con un máximo local en c y un mínimo local en d. Parece que en los puntos de máximo y mínimo las líneas tangentes son horizontales y por tanto cada una tiene pendiente 0. Sabemos que la derivada es la pendiente de la tangente, de modo que parece que f ′(c ) = 0 y f ′( d ) = 0 . El teorema siguiente dice que esto siempre es cierto para funciones diferenciables.

Figura 10

249

4

TEOREMA DE FERMAT Si f tiene un máximo o un mínimo local en c y si f ′(c ) existe, entonces f ′(c ) = 0 .

Demostración Supóngase, para la definición, que f tiene un máximo local en c. Entonces, de acuerdo con la Definición 2, f (c ) ≥ f ( x ) si x está lo suficientemente cerca de c. Esto implica que si h está lo suficientemente cerca de 0, donde h es positiva o negativa, entonces

f ( c ) ≥ f (c + h ) y por tanto

f (c + h ) − f (c ) ≤ 0

[5]

Podemos dividir ambos lados de esta desigualdad por un número positivo. Entonces, si h > 0 y h es lo suficientemente pequeño, tenemos que

f (c + h ) − f (c ) ≤0 h Tomando el límite por la derecha de ambos lados de esta desigualdad (usando el Teorema 1.4.3), obtenemos

lím+

h→0

f (c + h ) − f ( c ) ≤ lím+ 0 = 0 h→0 h

Pero, como f ′(c ) existe, entonces

f ′(c ) = lím

h→0

f (c + h ) − f (c ) f (c + h ) − f (c ) = lím+ h→0 h h

y así hemos demostrado que f ′(c ) ≤ 0 . Si h < 0, entonces la dirección de la desigualdad [5] es invertida cuando dividimos por h:

f (c + h ) − f ( c ) ≥ 0, h

h<0

Entonces, tomando el límite por la izquierda, se obtiene

f ′(c ) = lím

h→0

f (c + h ) − f (c ) f (c + h ) − f (c ) = lím− ≥0 h→0 h h

Hemos demostrado que f ′(c ) ≥ 0 y también que f ′(c ) ≤ 0 . Como ambas de estas desigualdades deben ser ciertas, la única posibilidad es que f ′(c ) = 0 . Hemos demostrado el Teorema de Fermat para el caso de un máximo local. El caso de un mínimo local puede demostrarse en una forma similar o podríamos usar el Ejercicio 64 para deducirlo a partir del caso que acabamos de demostrar (véase el Ejercicio 65), Aunque el Teorema de Fermat es muy útil, tenemos que tener cuidado al utilizarlo. Si f ( x ) = x 3 , entonces

f ′( x ) = 3x 2 y f ′(0) = 0 . Pero f no tiene ni máximo ni mínimo en 0, como se puede ver en la gráfica de la Fig. 11. El hecho de que f ′(0) = 0 simplemente significa que la curva y = x 3 tiene una tangente horizontal en (0, 0). En vez de tener un máximo o un mínimo en (0, 0), la curva cruza su tangente horizontal en ese punto. Por tanto, cuando f ′(c ) = 0 , f no necesariamente tiene un máximo o un mínimo en c. En otras palabras, el inverso del Teorema de Fermat es falso en general.

250

Figura 11

Debemos tener en mente que puede haber un valor extremo donde f ′(c ) no existe. Por ejemplo, la función

f ( x ) = x tiene su valor mínimo (local y absoluto) en 0 (véase la Fig. 12), pero ese valor no puede determinarse haciendo f ′( x ) = 0 porque, como se demostró en el Ejemplo 5, Sección 2.2, f ′(0) no existe.

Figura 12

El Teorema de Fermat sí sugiere que debemos por lo menos comenzar a buscar valores extremos de f en los números c donde f ′(c ) = 0 o donde f ′(c ) no exista. Esos números reciben un nombre especial.

5 DEFINICIÓN Un número crítico de una función f es un número c en el dominio de f tal que bien sea f ′(c ) = 0 o f ′(c ) no existe.

Ejemplo 5 Hallar Los números críticos de f ( x ) = x 3 5 ( 4 − x ) . Solución La Regla del Producto da

f ′( x ) = x 3 5 ( −1) + 35 x − 2 5 ( 4 − x ) = − x 3 5 + =

−5 x + 3 ( 4 − x ) 5x

Por tanto, f ′( x ) = 0 si 12 − 8x = 0 , esto es, x = 3 2

2 5 3 2

=

3(4 − x) 5x 2 5

12 − 8x 5x 2 5

y f ′( x ) no existe cuando x = 0. Así que los números críticos son

y 0.

Figura 13 Gráfica de la función f en el Ejemplo 5. Observe que hay una tangente horizontal en x = 1.5 y una tangente vertical en x = 0.

En términos de los números críticos, el Teorema de Fermat puede parafrasearse en la forma siguiente (compare la Definición 6 con el Teorema 4):

251

[7] Si f tiene un máximo o un mínimo local en c, entonces c es un número crítico de f.

Para hallar un máximo o un mínimo absoluto de una función continua en un intervalo cerrado, notamos que es bien sea local [en cuyo caso ocurre en un número crítico por [7] u ocurre en un punto extremo del intervalo. Por tanto, el siguiente procedimiento de tres pasos siempre funciona.

EL MÉTODO DEL INTERVALO CERRADO Para hallar valores máximos o mínimos absolutos de una función continua f en un intervalo cerrado [a, b]: 1.

Halle los valores de f en los números críticos de f en (a, b)

2.

Halle los valores de f en los puntos extremos del intervalo.

3.

El mayor de los valores en los Pasos 1 y 2 es el valor máximo absoluto; el menor de estos valores es el valor mínimo absoluto.

Ejemplo 6 Hallar los valores máximo y mínimo absolutos de la función

f ( x ) = x 3 − 3x 2 + 1,

−1 2 ≤ x ≤ 4

Solución Puesto que f es continua en  − 21 , 4  , usamos el Método del Intervalo Cerrado:

f ( x ) = x 3 − 3x 2 + 1 f ′( x ) = 3x 2 − 6x = 3x ( x − 2 ) Como f ′( x ) existe para toda x, los únicos números críticos de f ocurren cuando f ′( x ) = 0 , esto es, x = 0 o x = 2 .

(

)

Observe que cada uno de estos números críticos está en el intervalo − 21 , 4 . Los valores de f en estos números críticos son

f (0) = 1,

f (2) = −3

Los valores de f en los puntos extremos del intervalo son

( )

f − 21 = 18 ,

f (4) = 17

Comparando estos cuatro números, vemos que el valor máximo absoluto es f (4) = 17 y el valor mínimo absoluto es f (2) = −3 . Observe que en este ejemplo el máximo absoluto ocurre en un punto extremo, en tanto que el mínimo absoluto ocurre en un número crítico. La gráfica de f se dibuja en la Fig. 14.

Figura 14

252

4.1 Ejercicios 1.

Explique la diferencia entre un mínimo absoluto y un mínimo local.

2.

Supóngase que f es una función continua definida en un intervalo cerrado [a, b]. (b) ¿Cuál teorema garantiza la existencia de un valor máximo absoluto y un valor mínimo absoluto para f? (c)

¿Qué pasos se deben tomar par hallar esos valores máximos y mínimos?

Ejercicios 3−4: Para cada uno de los números a, b, c, d, r y s, establezca si la función cuya gráfica se muestra tiene un máximo o un mínimo absoluto, un máximo o un mínimo local o ningún máximo ni mínimo.

Ejercicios 5−6 Use la gráfica para obtener los valores máximos y mínimos absolutos y locales de la función.

Ejercicios 7−10: Dibuje la gráfica de una función f que sea continua en [1, 5] y tenga las propiedades dadas.

7.

Mínimo absoluto en 2, máximo absoluto en 3, mínimo local en 4.

8.

Mínimo absoluto en 1, máximo absoluto en 5, máximo local en 2, mínimo local en 4.

9.

Máximo absoluto en 5, mínimo absoluto en 2, máximo local en 3, mínimos locales en 2 y 4.

10. f no tiene máximos ni mínimos locales, pero 2 y 4 son números críticos. 11. (a) Dibuje la gráfica de una función que tenga un máximo local en 2 y sea diferenciable en 2.. (b) Dibuje la gráfica de una función que tengan un máximo local en 2 y sea continua pero no diferenciable en 2. (c)

Dibuje la gráfica de una función que tenga un máximo local en 2 y no sea continua en 2.

12. (a) Dibuje la gráfica de una función en [−1, 2] que tenga un máximo absoluto pero ningún máximo local. (b) Dibuje la gráfica de una función en [−1, 2] que tenga un máximo local pero ningún máximo absoluto.

13. (a) Dibuje la gráfica de una función en [−1, 2] que tenga un máximo absoluto pero ningún mínimo absoluto. (b) Dibuje la gráfica de una función en [−1, 2] que sea discontinua pero que tenga un máximo absoluto y un mínimo absoluto.

14. (a) Dibuje la gráfica de una función en [−1, 2] que tenga un máximo absoluto pero ningún mínimo absoluto. (b) Dibuje la gráfica de una función que tenga tres mínimos locales, dos máximos locales y siete números críticos.

253

Ejercicios 15−22: Dibuje a mano la gráfica de f y use su dibujo para halle los valores máximos y mínimos absolutos y locales de f. Sugerencia: Use las gráficas y transformaciones de las Secciones 1.1.

15.

f ( x ) = 12 ( 3x − 1 ) , x ≤ 3 16. f ( x ) = 2 − 13 x , x ≥ −2

18. f (t ) = sen t , − 32π ≤ t ≤

17. f ( x ) = sen x , 0 ≤ x ≤ π 2

π 2

19. f ( x ) = ln x , 0 < x ≤ 2

20. f ( x ) =

1 , 1<x<3 x

 4 − x 2 , 22. f ( x ) =   2 x − 1,

21. f ( x ) = 1 − x

−2 ≤ x <0 0≤x≤2

Ejercicios 23−36: Hallar los números críticos de la función.

23. f ( x ) = 4 + 13 x − 21 x 2

24. f ( x ) = x 3 + 6 x 2 − 15x

25. f ( x ) = 2 x 3 − 3x 2 − 36x

27. g(t ) = t 4 + t 3 + t 2 + 1

28. g(t ) = 3t − 4

29. g( y ) =

32. g( x ) = x 1 3 − x − 2 3

33. f (θ) = 2 cos θ + sen 2 θ

31. F( x ) = x 4 5 ( x − 4 )

2

35. f ( x ) = x 2 e −3 x

26. f ( x ) = 2 x 3 + x 2 + 2 x

y −1

30. h( p) =

2

y −y+1

p−1 p2 + 4

34. g(θ) = 4θ − tan θ

36. f ( x ) = x −2 ln x

Ejercicios 37−50: Hallar el valor máximo absoluto y el valor mínimo absoluto de f en el intervalo dado.

37. f ( x ) = 12 + 4x − x 2 , [0, 5]

38. f ( x ) = 5 + 54x − 2 x 3 , [0, 4]

39. f ( x ) = 2 x 3 − 3x 2 − 12 x + 1, [ −2, 3]

40. f ( x ) = x 3 − 6x 2 + 5, [ −3, 5]

41. f ( x ) = 3x 4 − 4x 3 − 12 x 2 + 1, [ −2, 3]

42. f ( x ) = ( x 2 − 1 ) , [ −1, 2]

43. f (t ) = t 4 − t 2 , [ −1, 2]

44. f ( x ) =

45. f (t ) = 2 cos t + sen 2t , [0, π 2 ]

46. f (t ) = t + cos

47. f ( x ) = xe − x

2

8

, [ −1, 4]

49. f ( x ) = ln ( x 2 + x + 1 ) , [ −1, 1]

3

x x2 − x + 1

, [0, 3]

( 21 t ) ,

[π 4 , 7π 4 ]

 21 , 2 

48. f ( x ) = x − ln x ,

50. f ( x ) = x − 2 tan −1 x , [0, 4] b

51. Si a y b son números positivos, hallar el valor máximo de f ( x ) = x a ( 1 − x ) , 0 ≤ x ≤ 1. 52. Use una gráfica para estimar los números críticos de f ( x ) = x 3 − 3x 2 + 2

con precisión de una cifra

decimal. Ejercicios 53−56: (a)

Use una gráfica para estimar los valores máximo y mínimo absolutos de la función hasta dos cifras decimales.

(b) Use calculo para hallar los valores exactos del máximo y el mínimo.

53.

f ( x ) = x 5 − x 3 + 2,

55. f ( x ) = x x − x 2

−1 ≤ x ≤ 1

54. f ( x ) = e x + e −2 x , 0 ≤ x ≤ 1 56. f ( x ) = x − 2 cos x ,

−2 ≤ x ≤ 0

57. Entre 0°C y 30°C, el volumen V (en centímetros cúbicos) de 1 kg de agua a una temperatura T es dado aproximadamente por la fórmula V = 999.87 − 0.06426T + 0.0085043T 2 − 0.0000679T 3 . Halle la temperatura en la cual el agua tiene su densidad máxima.

254

58. Un objeto con peso W es arrastrado en un plano horizontal por una fuerza que actúa a lo largo de una cuerda atada al objeto. Si la cuerda forma un ángulo θ con el plano, entonces la magnitud de la fuerza es

F=

µW µ sen θ + cos θ

donde µ es una constante positiva denomina el coeficiente de fricción y 0 ≤ θ ≤ π/2. Demuestre que F es minimizada cuando tan θ = µ .

59. Un modelo para el precio promedio en los Estados Unidos de una libra de azúcar blanca desde 1993 hasta 2003 lo da la función

S(t ) = −0.00003237t 5 + 0.0009037 t 4 − 0.0089t 3 + 0.03629t 2 − 0.04458t + 0.4074 donde t se mide en años comenzando en 1993. Estime los instantes cuando la azúcar es más barata y más cara durante el periodo 1993−2003.

60. El Telescopio Espacial Hubble fue desplegado el 24 de abril, 1990, por el trasbordador espacial Discovery. Un modelo para la velocidad del trasbordador durante esta misión, desde el despegue en t = 0 hasta que se dispararon los cohetes auxiliares de propulsión en t = 126 s, es dado por

v(t ) = 0.001302t 3 − 0.09029t 2 + 23.61t − 3.083 en pies por segundo. Usando este modelo, estime los valores máximo y mínimo absolutos de la aceleración del transbordador entre el despegue y el encendido de los cohetes auxiliares.

61. Cuando un objeto extraño alojado en la tráquea hace que una persona tosa, el diafragma empuja hacia arriba y produce un incremento en la presión en los pulmones. Esto se logran mediante una contracción de la tráquea, formando un canal más angosto para que el aire expulsado fluye. Para que una cantidad de aire dada escape en un tiempo fijo, se debe mover más rápida a través del canal más angosto que en el más ancho. Mientras mayor sea la velocidad de la corriente de aire, mayor será la fuerza sobre el objeto extraño. Los rayos X muestran que el radio del tubo traqueal circular se contrae en aproximadamente dos tercios de su radio normal duran una tos. De acuerdo con un modelo matemática de la acción de toser, la velocidad v de la corriente de aire está relacionada con el radio r de la tráquea por la ecuación

v(r ) = k ( r0 − r ) r 2 ,

1 r 2 0

≤ r ≤ r0

donde k es una constante y r0 es el radio normal de la tráquea. La restricción sobre r se debe al hecho de que la pared de la tráquea se endurece bajo presión y se previene una contracción mayor que 21 r0 (de lo contrario, la persona se sofocaría). (a) Determinar el valor de r en el intervalo  21 r0 , r0  en el cual r tiene un máximo absoluto. ¿Cómo se compara esto con la evidencia experimental? (b) ¿Cuál es el valor máximo absoluto de v en el intervalo? (c)

Dibuje la gráfica de v en el intervalo [ 0, r0 ] . 3

62. Demuestre que 5 es un número crítico d la función g( x ) = 2 + ( x − 5 ) pero que g no tiene un valor extremo local en 5. 63. Demuestre que la función f ( x ) = x 101 + x 51 + x + 1 no tiene un máximo local ni un mínimo local. 64. Si f tiene un valor mínimo local en c, demuestre que la función g( x ) = − f ( x ) tiene un valor máximo local en c. 65. Demuestre el Teorema de Fermat para el caso en el cual f tiene un mínimo local en c. 66. Una función cúbica es un polinomio de grado 3; esto es, tiene la forma f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d donde a ≠ 0.

255

(b) Demuestre que una función cúbica puede tener dos, uno o ningún número crítico (números). Dé ejemplos para ilustrar las tres posibilidades. (c)

¿Cuántos valores extremos locales puede tener una función cúbica?

4.2 El Teorema del Valor Medio Ahora Veremos que muchos de los resultados de este capítulo dependen de un hecho central, el cual se denomina el Teorema del Valor Medio. Pero para llegarle al Teorema del Valor Medio, primero necesitamos el resultado siguiente.

TEOREMA DE ROLLE Sea f una función que satisface las tres hipótesis siguientes: 1.

f es continua en el intervalo cerrado [a, b].

2.

f es diferenciable en el intervalo abierto (a, b).

3.

f ( a ) = f (b ) .

Entonces existe un número c en (a, b) tal que f ′(c ) = 0 .

Antes de dar la demostración, examinemos las gráficas de algunas funciones típicas que satisfacen las tres hipótesis. La Fig. 1 muestra las gráficas de tales funciones. En cada caso, se tiene que existe por lo menos un punto ( c , f ( c ) ) en la gráfica donde la tangente es horizontal y por tanto f ′(c ) = 0 . De modo que el Teorema de Rolle es plausible.

Figura 1

Demostración Se tienen tres casos: CASO I f ( x ) = k , una constante. Entonces f ′( x ) = 0 , y el número c se puede tomar como cualquier número en (a, b).

CASO II f ( x ) > f ( a) para alguna x en (a, b) [como en la Fig. 1(b) o (c)]. Por el Teorema del Valor Extremos (el cual podemos aplicar por la hipótesis 1), f tiene un valor máximo en alguna parte en [a, b]. Puesto que f ( a) = f (b ) , f debe alcanzar este valor máximo en un número c en el intervalo abierto (a, b). Entonces f tiene un máximo local en c y, por la hipótesis 2, f es diferenciable en c. Por tanto, f ′(c ) = 0 por el Teorema de Fermat. CASO III

f ( x ) < f ( a) para alguna x en (a, b) [como en la Fig. 1(c) o (d)]. Por el Teorema del Valor Extremo, f

tiene un valor mínimo en [a, b] y alcanza este valor mínimo en un número c en (a, b). Una vez más, f ′(c ) = 0 por el Teorema de Fermat.

256

Ejemplo 1 Apliquemos el Teorema de Rolle a la función de posición s = f (t ) de un objeto en movimiento. Si el objeto está en el mismo sitio en dos instantes diferentes t = a t t = b, entonces f ( a) = f (b ) . El Teorema de Rolle dice que existe algún instante t = c entre a y b cuando f ′(c ) = 0 ; esto es, la velocidad es 0 (en particular, se puede ver que esto es cierto cuando una pelota se lanza directamente hacia arriba).

Ejemplo 2 Demostrar que la ecuación x 3 + x − 1 = 0 tiene exactamente una raíz real. Solución Primero usamos el Teorema del Valor Intermedio (1.5.9) para demostrar que existe una raíz. Sea f ( x ) = x 3 + x − 1 . Entonces f (0) = −1 < 0 y f(1) = 1 > 0. Puesto que f es un polinomio, es continua, de modo que el Teorema del Valor Intermedio dice que existe un número c entre 0 y 1 tal que f (c ) = 0 . Por tanto, la ecuación dada tiene una raíz. Para demostrar que la ecuación no tiene otra raíz real, usamos el Teorema de Rolle y argumentamos por contradicción. Supóngase que tuviese dos raíces a y b. Entonces f ( a) = 0 = f (b ) y, como f es un polinomio, es diferenciable en (a, b) y continua en [a, b]. Entonces, por el Teorema de Rolle existe un número c entre a y b tal que f ′(c ) = 0 . Pero

f ′( x ) = 3x 2 + 1 ≥ 1

para toda x

(ya que x 2 ≥ 0 ) de modo que f ′( x ) nunca puede ser 0. Esto da una contradicción. Por tanto, la ecuación no puede tener dos raíces reales.

Figura 2 El Teorema de Rolle muestra que no importa cuánto agrandemos el rectángulo visor, nunca podremos encontrar una segunda intersección con el eje x de f ( x ) = x 3 + x − 1 .

Nuestro uso principal del Teorema de Rolle es en la demostración del siguiente teorema importante, el cual fue enunciado por primera vez por otro matemático francés, Joseph-Louis Lagrange.

EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO Sea f una función que satisface las hipótesis siguientes: 1.

f es continua en el intervalo cerrado [a, b].

2.

f es diferenciable en el intervalo abierto (a, b).

Entonces existe un número c en (a, b) tal que [1]

f ′(c ) =

f (b ) − f ( a ) b−a

o el equivalente [2]

f (b ) − f ( a) = f ′(c ) ( b − a )

257

Antes de demostrar este teorema, podemos ver que es razonable si lo interpretamos geométricamente. Las Figs. 3 y 4 muestran los puntos A ( a , f ( a ) ) y B ( b , f ( b ) ) en las gráficas de dos funciones diferenciables. La pendiente de la línea secante AB es [3]

m AB =

f (b) − f ( a ) b−a

que es la misma expresión que la del lado derecho en la Ec. [1]. Puesto que f ′(c ) es la pendiente de la tangente en el punto ( c , f ( c ) ) , el Teorema del Valor Medio, en la forma dada en la Ec. [1], dice que hay por lo menos un punto P ( c , f ( c ) ) en la gráfica donde la pendiente de la tangente es la misma que la pendiente de la secante AB. En otras palabras, existe un punto P donde la Tange es paralela a la secante AB (imagínese una recta paralela a AB, comenzando desde lejos y moviéndose paralela a sí misma hasta que toca la gráfica por primera vez).

Figura 3

Figura 4

Demostración Aplicamos el Teorema de Rolle a una nueva función h definida como la diferencia entre f y la función cuya gráfica es la secante AB. Usando la Ec. [3], vemos que la ecuación de la recta AB puede escribirse como

y − f ( a) =

f (b ) − f ( a) ( x − a) b−a

y = f ( a) +

f (b) − f ( a ) ( x − a) b−a

o como

Por tanto, como muestra la Fig. 5,

hx ) = f ( x ) − f ( a) −

f (b ) − f ( a) ( x − a) b−a

Primero debemos verificar que h satisface las tres hipótesis del Teorema de Rolle:

1.

La función h es continua en [a, b] porque es la suma de f y un polinomio de primer grado, dos funciones que son continuas.

2.

La función h es diferenciable en (a, b) porque f y el polinomio de primer grado son diferenciables. De hecho, podemos calcular h’ directamente a partir de la Ec. [4]:

h ′( x ) = f ′( x ) −

f (b ) − f ( a) b−a

Observe que f ( a) y [ f (b) − f ( a)] ( b − a ) son constantes.

3.

h( a ) = f ( a ) − f ( a ) −

f ( b ) − f ( a) ( a − a) = 0 b−a

258

Figura 5

f ( b ) − f ( a) (b − a) = 0 b−a = f (b) − f ( a) −  f ( b ) − f ( a) = 0

h( b ) = f ( b ) − f ( a ) −

Por tanto, h( a) = h(b) . Puesto que h satisface las hipótesis del Teorema de Rolle, ese teorema dice que existe un número c en (a, b) tal que h′(c ) = 0 . Por tanto,

0 = h′(c ) = f ′(c ) −

f (b) − f ( a) b−a

de donde

f ′(c ) =

f (b) − f ( a) b−a

Ejemplo 3 Para ilustrar el Teorema del Valor Medio con una función específica, consideremos a f ( x ) = x 3 − x , a = 0 , b = 2. Como f es un polinomio, es continua y diferenciable para toda x, de modo que es ciertamente continua en [0, 2] y diferenciable en (0, 2). Por tanto, por el Teorema del Valor Medio, existe un número c en (0, 2) tal que

f (2) − f (0) = f ′(c ) ( 2 − 0 ) Ahora bien, f (2) = 6 , f (0) = 0 y f ′( x ) = 3x 2 − 1 , de modo que esta ecuación se convierte en

6 = ( 3c 2 − 1 ) 2 = 6c 2 − 2 la cual da c 2 = 43 , es decir, c = ± 2

3 . Pero c debe estar en (0, 2=, por lo que se toma c = 2

3 . La Fig. 6 ilustra

este cálculo. La tangente en este valor de c es paralela a la secante OB.

Figura 6

Ejemplo 4 Si un objeto se mueve en una línea recta con función de posición s = f (t ) , entonces la velocidad promedio entre t = a y t = b es

f (b ) − f ( a ) b−a

259

y la velocidad en t = c es f ′(c ) . Así que el Teorema del Valor Medio (en la forma de la Ec. [1]) nos dice que en algún instante t = c entre a y b, la velocidad instantánea f ′(c ) es igual a la velocidad promedio. Por ejemplo, si un carro recorre 180 k en 2 horas, entonces el velocímetro debe leer 90 km/h por lo menos una vez. En general, el Teorema del Valor Medio puede interpretarse como diciendo que existe un número en el cual la tasa de cambio instantánea es igual a la tasa promedio de cambio en un intervalo. La importancia primordial del Teorema del Valor Medio es que nos permite obtener información acerca de una función a partir de información sobre su derivada. El ejemplo a continuación proporciona un caso de este principio.

Ejemplo 5 Supóngase que f (0) = −1 y f ′( x ) ≤ 5 para todos los valores de x. ¿Qué tamaño puede tener f (2) ? Solución Se nos dice que f es diferenciable (y por tanto continua) en todas partes. En particular, podemos aplicar el Teorema del Valor Medio en el intervalo [0, 2]. Existe un número c tal que

f (2) − f (0) = f ′(c ) ( 2 − 0 ) Entonces

f (2) = f (0) + 2 f ′(c ) = −3 + 2 f ′(c ) Se nos da que f ′( x ) ≤ 5 para toda x, así que en particular sabemos que f ′(c ) ≤ 5 . Multiplicando ambos lados de esta desigualdad por 2, tenemos que 2 f ′(c ) ≤ 10 y por tanto

f (2) = −3 + 2 f ′(c ) ≤ −3 + 10 = 7 Esto es, el mayor valor posible para f (2) es 7. El Teorema del Valor Medio se puede usar para establecer algunos de los hechos básicos del cálculo diferencial. Uno de estos hechos es el teorema siguiente. En las secciones siguientes se encontrarán otros.

5

TEOREMA Si f ′( x ) = 0 para toda x en un intervalo (a, b), entonces f es constante en (a, b).

Demostración Sean x1 y x2 dos números cualesquiera en (a, b) con x1 < x2. Puesto que f es diferenciable en (a, b), debe ser diferenciable en ( x1 , x2 ) y continua en [ x1 , x2 ] . Si se aplica el Teorema del Valor Medio a f en el intervalo [ x1 , x2 ] , se obtiene un número c tal que x1 < c < x2 y

f ( x2 ) − f ( x1 ) = f ′(c ) ( x2 − x1 )

[6]

Puesto que f ′( x ) = 0 para toda x, tenemos que f ′(c ) = 0 y por tanto la Ec. [6] se convierte en

f ( x 2 ) − f ( x1 ) = 0

o

f ( x 2 ) = f ( x1 )

Por consiguiente, f tiene el mismo valor en dos números cualesquiera x1 y x2 en (a, b). Esto significa que f es constante en (a, b).

7 COROLARIO Si f ′( x ) = g′( x ) para toda x en un intervalo (a, b), entones f − g es constante en (a, b); esto es,

f ( x ) = g( x ) + c , donde c es una constante.

Demostración Sea F( x ) = f ( x ) − g( x ) . Entonces

260

F( x ) = f ′( x ) − g′( x ) = 0 para toda x en (a, b). Entonces, por el Teorema 5, F es constante; esto es, f − g es constante.

Observación Se debe tener cuidado cuando se aplica el Teorema 5. Sea

f (x ) =

 1, x > 0 x = x  0, x < 0

El dominio de f es D = {x x ≠ 0} y f ′( x ) = 0 para toda x en D. Pero f no es obviamente una función constante. Esto no contradice el Teorema 5 porque D no es un intervalo. Observe que f es constante en el intervalo (0. ∞) y también en el intervalo (−∞, 0). Haremos un uso extenso del Teorema 5 y el Corolario 7 cuando estudiemos las antiderivadas en la Sección 4.7.

4.2 Ejercicios Ejercicios 3−4: Verificar que la función satisface las tres hipótesis del Teorema de Rolle en el intervalo dado. Halle después todos los números c que satisfacen la conclusión del Teorema de Rolle.

1.

f ( x ) = 5 − 12 x + 3x 2 ,

3.

f ( x ) = x − 13 x ,

[1, 3]

[0, 9 ]

2.

f ( x ) = x 3 − x 2 − 6x + 2,

4.

f ( x ) = cos 2 x ,

[π 8 ,

[0, 3] 7 π 8]

5.

Sea f ( x ) = 1 − x 2 3 . Demostrar que f ( −1) = f (1) pero que no hay un número c en (−1, 1) tal que f ′(c ) = 0 . ¿Por qué esto no contradice el Teorema de Rolle?

6.

Sea f ( x ) = tan x . Demostrar que f (0) = f ( π) pero que no hay un número c en (0, π) tal que f ′(c ) = 0 . ¿Por qué esto no contradice el Teorema de Rolle?

7.

Use la gráfica de f para estimar los valores de c que satisfacen la conclusión del Teorema del Valor Medio para el intervalo [0, 8].

8.

Use la gráfica de f dada en el Ejercicio 7 para estimar el valor de c que satisface la conclusión del Teorema del Valor Medio para el intervalo [1, 7].

Ejercicios 9−12: Verificar que la función satisface las hipótesis del Teorema del Valor Medio en el intervalo dado. Halle después todos los números c que satisfacen la conclusión del Teorema del Valor Medio.

9.

f ( x ) = 2 x 2 − 3x + 1,

11.

f ( x ) = ln x ,

[ 1, 4 ]

[ 0, 2 ]

10. f ( x ) = x 3 − 3x + 2, 12.

f (x ) = 1 x ,

[ −2, 2 ]

[ 1, 3]

Ejercicios 13−14: Hallar el número c que satisface la conclusión del Teorema del Valor Medio en el intervalo dado. Grafique la función, la secante que pasa por los puntos extremos y la tangente en ( c , f ( c ) ) - ¿Son paralelas la secante y la tangente?

13. f ( x ) = x ,

[ 0, 4]

14. f ( x ) = e − x ,

[0, 2 ]

261

−2 15. Sea f ( x ) = ( x − 3 ) . Demuestre que no hay valor de c en (1, 4) tal que f (4) − f (1) = f ′(c ) ( 4 − 1 ) . ¿Por qué esto no contradice el Teorema del Valor Medio?

16. Sea f ( x ) = 2 − 2 x − 1 . Demuestre que no hay valor de c en tal que f (3) − f (0) = f ′(c ) ( 3 − 0 ) . ¿Por qué esto no contradice el Teorema del Valor Medio? Problemas 17−18: Demostrar que la ecuación tiene exactamente una raíz.

17. 2 x + cos x = 0

18. x 3 + e x = 0

19. Demostrar que la ecuación x 3 − 15x + c tiene dos raíces reales como máximo en el intervalo [−2, 2].. 20. Demostrar que la ecuación x 4 + 4x + c tiene dos raíces reales como máximo. 21. (a) Demuestre que un polinomio de grado 3 tiene tres raíces reales como máximo. (b) Demostrar que un polinomio de grado n tiene n raíces reales como máximo.

22. (a) Supóngase que f es diferenciable en ℝ y tiene dos raíces. Demuestre que f ′ tiene al menos una raíz real. (b) Supóngase que f es diferenciable dos veces en ℝ y tiene tres raíces. Demuestre que f ′′ tiene por lo menos una raíz real. (c)

¿Se pueden generalizar los resultados de las partes (a) y (b)?

23. Si f (1) = 10 y f ′( x ) ≥ 2 para 1 ≤ x ≤ 4, ¿cuál es menor valor que puede tener f (4) ? 24. Supóngase que 3 ≤ f ′( x ) ≤ 5 para todos los valores de x. Demuestre que 10 ≤ f (8) − f (2) ≤ 30 . 25.

¿Existe una función f tal que f (0) = −1 , f (2) = 4 y f ′( x ) ≤ 2 para toda x?

26. Supóngase que f y g son continuas en [a, b] y diferenciables en (a, b), Supóngase también que f ( a) = g( a) y f ′( x ) < g′( x ) para a < x < b. Demostrar que f (b ) < g(b ) . Sugerencia: Aplique el Teorema del Valor Medio a la función h = f − g.

27. Demostrar que

1 + x < 1 + 12 x si x > 0.

28. Supóngase que f es una función impar y es diferenciable en todas partes. Demuestre que para todo número positivo b, existe un número c en (−b, b) tal que f ′(c ) = f (b) b . 29. Use el Teorema del Valor Medio para demostrar la desigualdad

sen a − sen b ≤ a − b

para todas a y b

30. Si f ′( x ) = c (c una constante) para toda x, use el Corolario 7 para demostrar que f ( x ) = cx + d para alguna constante d. 31. Sea f ( x ) = 1 x y

 1  , g( x ) =  x  1+ 1 ,  x

x>0 x<0

Demuestre que f ′( x ) = g′( x ) para toda x en sus dominios. ¿Se puede concluir del Corolario 7 que f − g es constante?

32. Use el Teorema 5 para demostrar la identidad

2 sen −1 x = cos −1 ( 1 − 2 x 2 ) ,

x≥0

262

33. Demuestre la identidad

arcsen

x−1 π = 2 arctan x − x+1 2

34. A las 2:00 PM, el velocímetro lee 30 mi/h. A las 2:10 PM, lee 50 mi/h. Demuestre que en algún momento entre las 2:00 y las 2:10 la aceleración es exactamente 120 mi/h2. 35. Dos corredores comienzan una carrera al mismo tiempo y terminan empatados. Demuestre que en algún momento durante la carrera, los dos tenían la misma velocidad. Sugerencia: Considere a f (t ) = g(t ) − h(t ) , donde g y h son las funciones de posición de los dos corredores. 36. Un número a se denomina un punto fijo de una función f si f ( a) = a . Demostrar que f ′( x ) ≠ 1 para todo número real x, entonces f tiene como máximo un punto fijo.

4.3 Derivadas y las Formas de las Gráficas Muchas de las aplicaciones del cálculo dependen de nuestra habilidad para deducir hecho acerca de una función f a partir de información relacionada con sus derivadas. Como f ′( x ) representa la pendiente de la curva

y = f ( x ) en el punto ( x , f ( x ) ) , ella nos dice la dirección en la cual la cual procede en este punto. Así que es razonable esperar que la información acerca de f ′( x ) nos dará información sobre f ( x ) .

¿Qué Dice f’ Acerca de f? Para ver cómo la derivada de f puede decirnos dónde está creciendo o decreciendo una función, examinemos la Fig. 1 (las funciones crecientes y decrecientes se definieron en la Sección 1.1). Entre A y B y entre C y D, las tangentes tienen pendientes positivas y por tanto f ′( x ) > 0 . Entre B y C, las tangentes tienen pendientes negativas y por tanto f ′( x ) < 0 . Parece entonces que f crece cuando f ′( x ) es positiva y decrece cuando f ′( x ) es negativa. Para demostrar que éste es siempre el caso, usamos el Teorema del Valor Medio.

Figura 1

CRITERIO CRECIENTE/DECRECIENTE (a) Si f ′( x ) > 0 en un intervalo, entonces f es creciente en ese intervalo. (b) Si f ′( x ) < 0 en un intervalo, entonces f es decreciente en ese intervalo.

263

Demostración (a) Sean x1 y x2 dos números cualesquiera en el intervalo con x1 < x2. De acuerdo con la definición de una función creciente, tenemos que demostrar que f ( x1 ) < f ( x2 ) . Puesto que se nos dice que f ′( x ) > 0 , sabemos que f es diferenciable en [ x1 , x2 ] . Entonces, por el Teorema del Valor Medio, existe un número c entre x1 y x2 tal que

f ( x2 ) − f ( x1 ) = f ′(c ) ( x2 − x1 )

[1]

Ahora bien, por hipótesis f ′(c ) > 0 y x2 − x1 > 0 . Por tanto, el lado derecho de la Ec. [1] es positivo en consecuencia

f ( x2 ) − f ( x1 ) > 0

o

f ( x1 ) < f ( x 2 )

Esto demuestra que f es creciente. La parte (b) se demuestra en la misma forma.

Ejemplo 1 Halar dónde es creciente la función f ( x ) = 3x 4 − 4x 3 − 12 x 2 + 5 y dónde es decreciente. Solución

f ′( x ) = 12 x 3 − 12 x 2 − 24x = 12 x ( x − 2 )( x + 1 )

Para usar el Criterio Creciente/Decreciente (Criterio C/D) tenemos que saber dónde f ′( x ) > 0 y dónde f ′( x ) < 0 . Esto dependen de los signos de los tres factores de f ′( x ) , a saber, 12x, x − 2 y x + 1 . Dividimos la línea real en intervalos cuyos puntos extremos son los números críticos −1, 0 y 2 y acomodamos nuestro trabajo en una tabla. Un signo “más” indica que la expresión dada es positiva, y un signo “menos” indica que es negativa. La última columna de la tabla da la conclusión con base en el Criterio C/D. Por ejemplo, f ′( x ) < 0 para 0 < x < 2, de modo que f es decreciente en (0, 2) (también sería cierto que f es decreciente en el intervalo cerrado [0, 2] ). Intervalo

12x

x−2

x+1

f ′( x )

f

x < −1

−

−

−

−

decreciente en (−∞, −1)

−1 < x < 0

−

−

+

+

creciente en (−1, 0)

0<x<2

+

−

+

−

decreciente en (0, 2)

x>2

+

+

+

+

creciente en (2, ∞)

La gráfica de f mostrada en la Fig. 2 confirma la información en la tabla.

Figura 2

264

Recuerde de la Sección 4.1 que si f tiene un máximo o mínimo local en c, entonces c debe ser un número crítico de f (por el Teorema de Fermat), pero no todo número crítico da lugar a un máximo o un mínimo. Por tanto, necesitamos un criterio o prueba que nos diga si f tiene o no tiene un máximo o un mínimo local en un número crítico. En la Fig. 2 se puede ver que f (0) = 5 es un valor mínimo local de f porque f crece en (−1, 0). O, en términos de las derivadas, f ′( x ) > 0 para −1 < x < 0 y f ′( x ) < 0 para 0 < x < 2. En otras palabras, el signo de f ′( x ) cambia de positivo a negativo en 0. Esta observación es la base del siguiente criterio.

EL CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA Supóngase que c es un número crítico de una función continua f. (a) Si f ′ cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo local en c. (b) Si f ′ cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo local en c. (c)

Si f ′ no cambia de singo en c (por ejemplo, si f ′ es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados), entonces f no tiene ni máximo ni mínimo local en c.

El Criterio de la Primera Derivada es una consecuencia del Criterio C/D. En la parte (a), por ejemplo, como el signo de f ′( x ) cambia de positivo a negativo en c, f está creciendo a la izquierda de c y decreciendo a la derecha de c. Se deduce que f tiene un máximo local en c. El Criterio de la Primera Derivada es fácil de recordar si se visualizan diagramas tales como los de la Fig. 3.

(a) Mínimo local

(b) Mínimo local

(c) Ni máximo ni mínimo

(d) Ni máximo ni mínimo

Figura 3 Ejemplo 2 Hallar los valores de los máximos y mínimos locales de la función f en el Ejemplo 1. Solución De la tabla en el solución del Ejemplo 1, vemos que f ′( x ) cambia de negativa a positiva en −1, de modo que f ( −1) = 0 es un valor mínimo local por el Criterio de la Primera Derivada. En la misma forma, f ′ cambia de negativa a positiva en 2; por tanto f (2) = −27 también es un valor mínimo local. Como se señaló previamente, f (0) = 5 es un máximo local porque f ′( x ) cambia de positiva a negativa en 0.

Ejemplo 3 Hallar los valores máximos y mínimos locales de la función

g( x ) = x + 2 sen x ,

0 ≤ x ≤ 2π

Solución Para hallar los números críticos de g, diferenciamos

g ′( x ) = 1 + 2 cos x

265

Así que g ′( x ) = 0 cuando cos x = − 12 . Las soluciones de esta ecuación son 2π/3 y 4π/3 y ahora analizamos g en la tabla siguiente. Intervalo

g ′( x ) = 1 + 2 cos x

0 < x < 2π/3

+

creciente en (0, 2π/3)

2π/3 < x < 4π/3

−

decreciente en (2π/3, 4π/3)

4π/3 < x < 2π

+

creciente en (4π/3, 2π)

g

Como g ′( x ) cambia de positiva a negativa en 2π/3, el Criterio de la Primera Derivada nos dice que hay un máximo local en 2π/3 y el valor del máximo local es

g ( 2π 3) =

 3  2π 2π 2π 2π + 2 sen = + 2 + 3 ≈ 3.83 = 3 3 3  2  3

En la misma forma, g ′( x ) cambia de negativa a positiva en 4π/3 y por tanto

g ( 4π 3 ) =

 4π 4 π 4π 3  4π + 2 sen = + 2− 3 ≈ 2.46 = 3 3 3  2  3

es el valor de un mínimo local. La gráfica de g en la Fig. 4 soporta esta conclusión.

Figura 4

¿Qué Dice f ′′ Acerca de f? La Fig. 5 muestra las gráficas de dos funciones crecientes en (a, b). Ambas gráficas unen el punto A con el punto B pero parecen diferentes por se doblan en direcciones diferentes. ¿Cómo podemos distinguir entre estos dos tipos de conducta? En la Fig. 6 se han dibujado tangentes a estas curvas en varios puntos. En (a), la curva está sobre las tangentes y se dice que f es cóncava hacia arriba en (a, b). En (b) la curva está debajo de las tangentes y se dice que g es cóncava hacia abajo en (a, b).

(a) Cóncava hacia arriba

Figura 5

Figura 6

(b) Cóncava hacia abajo

266

DEFINICIÓN Si la gráfica de f está sobre todas sus tangentes en un intervalo I, entonces se denomina cóncava hacia arriba en I. Si la gráfica de f está por debajo de todas sus tangentes en I, se denomina cóncava hacia abajo en I.

La Fig. 7 muestra la gráfica de una función que es cóncava hacia arriba en los intervalos (b, c), (d, e) y (e, p) y cóncava hacia abajo en los intervalos (a, b), (c, d y (p, q).

Figura 7

DEFINICIÓN Un punto P en una curva y = f ( x ) se denomina un punto de inflexión si f es continua en P y la curva cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo o de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba en P.

Por ejemplo, en la Fig. 7, B, C, D y P son los puntos de inflexión. Observe que si una curva tiene una tangente en un punto de inflexión, entonces la curva cruza su tangente en ese punto. Veamos como la segunda derivada ayuda a determinar los intervalos de concavidad. Mirando a la Fig. 6(a) se puede ver que, yendo de izquierda a derecha, la pendiente de la tangente aumenta. Esto significa que la derivada f ′ es una función creciente y, por tanto, su derivada f ′′ es positiva. En la misma forma, en la Fig. 6(b) la pendiente de la tangente decrece de izquierda a derecha, de modo que f ′ disminuye y por tanto f ′′ es negativa. Este razonamiento puede invertirse y sugerir que el siguiente teorema es cierto. Una demostración se da en el Apéndice D con la ayuda del Teorema del Valor Medio.

PRUEBA O CRITERIO DE CONCAVIDAD (a) Si f ′′( x ) > 0 para toda x en I, entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en I. (b) Si f ′′( x ) < 0 para toda x en I, entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo en I.

En vista del Criterio de Concavidad, existe un punto de inflexión en cualquier punto donde la segunda derivada cambia de signo.

Ejemplo 4 Dibujar una posible gráfica de una función f que satisface las condiciones siguientes: (i)

f ′( x ) > 0 en (−∞, 1), f ′( x ) < 0 en (1, ∞)

(ii)

f ′′( x ) > 0 en (−∞, −2) y (2, ∞), f ′′( x ) < 0 en (−2, 2)

(iii)

lím f ( x ) = −2 , lím f ( x ) = 0

x → −∞

x→∞

267

Solución La condición (i) nos dice que f es creciente en (−∞, 1) y decreciente en (1, ∞). La condición (ii) dice que f es cóncava hacia arriba en −∞, −2) y (2, ∞) y cóncava hacia abajo en (−2, 2). Por la condición (iii) sabemos que la gráfica de f tiene dos asíntotas horizontales: y = −2 y y = 0. Primero dibujamos la asíntota horizontal y = −2 como una línea punteada (véase la Fig. 8). Entonces dibujamos la gráfica de f acercándose a la asíntota en la izquierda lejana, creciendo hacia su máximo punto en x = 1 y decreciendo hacia el eje x en la derecha lejana. También nos aseguramos de que la gráfica tenga puntos de inflexión cuando x = −2 y 2. Observe que la curva se dibujo doblando hacia arriba para x < −2 y x > 2 y doblando hacia abajo cuando x está entre −2 y 2.

Figura 8

Otra aplicación de la segunda derivada es el criterio siguiente para valores máximos y mínimos. Éste es una consecuencia de la Prueba de Concavidad.

EL CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA Supóngase que f ′′ es continua cerca de c. (a) Si f ′(c ) = 0 y f ′′(c ) > 0 , entonces f tiene un mínimo local en c. (b) Si f ′(c ) = 0 y f ′′(c ) < 0 , entonces f tiene un máximo local en c.

Por ejemplo, la parte (a) es cierta porque f ′′( x ) > 0 cerca de c y por tanto f es cóncava hacia arriba cerca de c. Esto significa que la gráfica de f está por encima de su tangente horizontal en c y en consecuencia f tiene un mínimo local en c (véase la Fig. 9).

Figura 9

Ejemplo 5 Analice la curva y = x 4 − 4 x 3 con respecto a la concavidad, puntos de inflexión y máximos y mínimos locales. Use esta información para dibujar la curva. Solución Si f ( x ) = x 4 − 4x 3 , entonces

f ′( x ) = 4x 3 − 12 x 2 = 4x 2 ( x − 3) f ′′( x ) = 12 x 2 − 24x = 12 x( x − 2) Para hallar los números críticos, hacemos f ′( x ) = 0 y obtenemos x = 0 y x = 3. Para usar el Criterio de la Segunda Derivada, evaluamos f ′′ en estos números críticos:

f ′′(0) = 0,

f ′′(3) = 36 > 0

268

Como f ′(3) = 0 y f ′′(3) > 0 , f (3) = −27 es un mínimo local. Como f ′′(0) = 0 , el Criterio de la Segunda Derivada no da información sobre el número crítico 0. Pero como f ′( x ) < 0 para x < 0 y también para 0 < x < 3, el Criterio de la Segunda Derivada nos dice que f no tiene un máximo local ni un mínimo local en 0. De hecho, la expresión para f ′( x ) muestra que f decrece a la izquierda de 3 y crece a la derecha de 3. Puesto que f ′′( x ) = 0 cuando x = 0 o 2, dividimos la línea real en intervalos con estos números como puntos extremos y completamos la tabla siguiente: Intervalo

f ′′( x ) = 12 x( x − 2)

Concavidad

(−∞, 0)

+

hacia arriba

(0, 2)

−

hacia abajo

(2, ∞)

+

hacia arriba

El punto (0, 0) es un punto de inflexión ya que la curva cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo en ese punto. También (2, −16) es un punto de inflexión ya que la curva cambia allí de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba. Si se usa el mínimo local, los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión, dibujamos la curva en la Fig. 10.

Puntos de inflexión

Figura 10

Observación El Criterio de la Segunda Derivada no es concluyente cuando f ′′(c ) = 0 . En otras palabras, en un punto así podría haber un máximo, un mínimo o ninguno de los dos (como en el Ejemplo 5). Este criterio también falla cuando f ′′(c ) no existe. En tales casos, se de usar el Criterio de la Primera Derivada. De hecho, aunque ambos criterios son aplicables, con frecuencia el Criterio de la Primera Derivada es más fácil de usar. Ejemplo 6 Dibujar la gráfica de la función f ( x ) = x 2 3 ( 6 − x )

13

.

Solución Se pueden usar las reglas de diferenciación para verificar que las derivadas primera y segunda son

f ′( x ) =

4−x x

13

(6 − x )

2 3

,

f ′′( x ) =

−8 x

43

( 6 − x )5 3

Puesto que f ′( x ) = 0 cuando x = 4 y f ′( x ) no existe cuando x = 0 o x = 6, los números críticos son 0, 4 y 6.

269

Intervalo

4−x

x1 3

( 6 − x )2 3

f ′( x )

f

x<0

+

−

+

−

decreciente en (−∞, 0)

0<x<4

+

+

+

+

creciente en (0, 4)

4<x<6

−

+

+

−

decreciente en (4, 6)

x>6

−

+

+

−

decreciente en (6, ∞)

Para hallar los valores extremos locales, usamos el Criterio de la Primera Derivada. Puesto que f ′ cambia de negativa a positiva en 0, f (0) = 0 es un mínimo local. Como f ′ cambia de positiva a negativa en 4, f (4) = 2 5 3 es un máximo local. El signo de f ′ no cambia en 6, así que allí no hay ni mínimo ni máximo. El Criterio de la Segunda Derivada se podría usar en 4 pero no en 0 o 6 ya que f ′′ no existe en ninguno de estos números. Si se examina la expresión para f ′′( x ) y observando que x 4 3 ≥ 0 para toda x, tenemos que f ′′( x ) < 0 para x < 0 y 0 < x < 6 y f ′′( x ) > 0 para x > 6. De modo que f es cóncava hacia abajo en (−∞, 0) y (0, 6) y cóncava hacia arriba en (6, ∞) y el único punto de inflexión es (6, 0). La gráfica se dibuja en la Fig. 11. Observe que la curva tiene tangentes verticales en (0, 0) y (6, 0) porque f ′( x ) → ∞ conforme x → 0 y conforme x → 6.

Figura 11

4.3 Ejercicios Ejercicios 1−10: (a) Hallar los intervalos en los cuales f es creciente o decreciente. (b) Hallar los máximos y mínimos locales de f. (c)

Hallar los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión.

1.

f ( x ) = 2 x 3 + 3x 2 − 36 x

4.

f (x ) =

6.

f ( x ) = cos 2 x − 2 sen x ,

0 ≤ x ≤ 2π

9.

f ( x ) = x 2 − x − ln x

10. f ( x ) = x 4 e − x

x x2 + 1

2.

f ( x ) = 4 x 3 + 3x 2 − 6 x + 1

5.

f ( x ) = sen x + cos x ,

3.

f (x ) = x 4 − 2x 2 + 3

8.

f ( x ) = x 2 ln x

0 ≤ x ≤ 2π 7.

f (x ) = e2 x + e− x

270

Ejercicios 11−12: Hallar los máximos y mínimos locales de f usando los Criterios de la Primera y Segunda Derivada. ¿Cuál método prefiere usted?

11. f ( x ) = 1 + 3x 2 − 2 x 3

12. f ( x ) =

x2 x−1

13. Supóngase que f ′′ es continua en (−∞, ∞). (a) Si f ′(2) = 0 y f ′′(2) = −5 , ¿qué se puede decir acerca de f? (b) Si f ′(6) = 0 y f ′′(6) = 0 , ¿qué se puede decir acerca de f? 3

14. (a) Halle los números críticos de f ( x ) = x 4 ( x − 1 ) . (b) ¿Qué nos dice el Criterio de la Segunda Derivada sobre la conducta de f en estos números críticos? (c) ¿Qué nos dice el Criterio de la Primera Derivada.

15. En cada punto, establezca las coordenadas x de los puntos de inflexión. Dé razones para sus respuestas. (a) La curva es la gráfica de f. (b) La curva es la gráfica de f ′ . (c)

La curva es la gráfica de f ′′ .

16. Se muestra la gráfica de la primera derivada f ′ de una función f. (a) ¿En cuáles intervalos está f creciendo? Explique. (b) ¿Para qué valores de x tiene f un máximo o mínimo local? Explique. (c)

¿En cuáles intervalos es f cóncava hacia arriba o hacia abajo? Explique.

(d) ¿Cuáles son las coordenadas x de los puntos de inflexión? ¿Por qué?

Ejercicios 17−22: Dibuje la gráfica de una función que satisfaga todas las condiciones dadas.

17.

f ′( x ) y f ′′( x ) son siempre negativas.

18. Asíntota vertical x = 0, f ′( x ) > 0 si x < −2, f ′( x ) < 0 si x > −2 (x ≠ 0),

f ′′( x ) < 0 si x < 0, f ′′( x ) > 0 si x < 0 . 19.

f ′(0) = f ′(2) = f ′(4) = 0 , f ′( x ) > 0 si x < 0 o 2 < x < 4, f ′( x ) < 0 si 0 < x < 2 o x > 4, f ′′( x ) > 0 si 1 < x < 3, f ′′( x ) < 0 si x < 1 o x > 3

271

20.

f ′(1) = f ′( −1) = 0 , f ′( x ) < 0 si x < 1 , f ′( x ) > 0 si 1 < x < 2 , f ′( x ) = −1 si x > 2 f ′′( x ) < 0 si −2 < x < 0 , punto de inflexión (0, 1)

21.

f ′( x ) > 0 si x < 2 , f ′( x ) < 0 si x > 2 f ′( −2) = 0 , lím f ′( x ) = ∞ , f ′′( x ) > 0 si x ≠ 2 x→2

22.

f ′( x ) > 0 si x < 2 , f ′( x ) < 0 si x > 2 f ′(2) = 0 , lím f ( x ) = 1 , f ( − x ) = − f ( x ) , x →∞

f ′′( x ) < 0 si 0 < x < 3, f ′′( x ) > 0 si x >3 Ejercicios 23−24: Se muestra la gráfica de la derivada f ′ de una función continua f. (a) ¿En qué intervalos está f creciendo o decreciendo? (b) ¿Para qué valores x tiene f un máximo o un mínimo local? (c)

¿En cuáles intervalos es f cóncava hacia arriba o hacia abajo?

(d) Determine la coordenada o coordenadas del punto o puntos de inflexión. (e) Suponiendo que f (0) = 0 , dibuje una gráfica de f.

Ejercicios 25−36: (a) Hallar los intervalos de crecimiento o decrecimiento. (b) Hallar los valores máximos y mínimos locales. (c)

Hallar los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión.

(d) Use la información de las partes (a)−(c) par dibujar la gráfica. Verifique su trabajo con un dispositivo de graficar si tiene uno.

25. f ( x ) = x 3 − 12 x + 2

26. f ( x ) = 36x + 3x 2 − 2 x 3

27. f ( x ) = 2 + 2 x 2 − x 4

28. g( x ) = 200 + 8x 3 + x 4

29. h( x ) = ( x + 1 ) − 5x − 2

30. h( x ) = 5x 3 − 3x 5

31. F( x ) = x 6 − x

32. G( x ) = 5x 2 3 − 2 x 5 3

33. C ( x ) = x 1 3 ( x + 4 )

34. f ( x ) = ln ( x 4 + 27 )

35. f (θ) = 2 cos θ + cos 2 θ ,

5

36. S( x ) = x − sen x ,

0 ≤ θ ≤ 2π

Ejercicios 37−44: (a) Hallar las asíntotas verticales y horizontales. (b) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

0 ≤ θ ≤ 2π

272

(c)

Hallar los valores de los máximos y mínimos locales.

(d) Hallar los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión. (e) Use la información de las partes (a)−(d) para dibujar la gráfica de f.

37. f ( x ) = 1 + 41. f ( x ) = e − x

1 1 − x x2 2

38. f ( x ) =

x2 − 4 2

x +4

42. f ( x ) = x − 61 x 2 − 23 ln x

ex

39. f ( x ) = x 2 + 1 − x

40. f ( x ) =

43. f ( x ) = ln ( 1 − ln x )

44. f ( x ) = earctan x

1 − ex

2 5 4 45. Supóngase que la derivada de una función es f ′( x ) = ( x + 1 ) ( x − 3 ) ( x − 6 ) . ¿En cuál intervalo está f creciendo?

46. Use los métodos de esta sección para dibujar la curva y = x 3 − 3a 2 x + 2 a3 , donde a es una constante positiva. ¿Qué tienen en común los miembros de esta familia de curvas? ¿Cómo difieren entre ellos? Ejercicios 47−48: (a) Use una gráfica de f para estimar los valores máximos y mínimos. Halle después los valores exactos. (b) Estime el valor de x para el cual f crece más rápidamente. Halle después el valor exacto.

47. f ( x ) =

x+1 x2 + 1

48. f ( x ) = x 2 e − x

49. Una curva de respuesta de una droga describe el nivel del medicamento en el flujo sanguíneo después que la droga se administró. Con frecuencia se usa una función de arranque S(t ) = At p e − kt para modelar la curva de respuesta, la cual refleja un crecimiento inicial en el nivel de la droga y después una declinación más gradual. Si, para una droga en particular, A = 0.01, p= 4, k = 0.97 y t se mide en minutos, estime los instantes correspondientes a los puntos de inflexión y explique su significado. Si tiene un dispositivo para graficar, úsel para dibujar la curva de respuesta de la droga.

50. La familia de curvas acampanadas

y=

1 σ 2π

e −( x −µ )

2

( 2 σ2 )

ocurre en probabilidad y estadística, donde se conoce como la función de densidad normal. La constante µ se denomina la media y la constante positiva σ se conoce como la desviación estándar. Para simplificar, escalemos la función removiendo el factor 1 ( σ 2 π ) y analicemos el caso especial donde µ = 0. Así que estudiamos la función

f (x ) = e− x

2

( 2 σ2 )

(a) Halle la asíntota, el valor máximo y los puntos de inflexión de f. (b) ¿Qué papel desempeña σ en la forma de la curva? (c)

Ilustre graficando cuatro miembros de esta familia en los mismos ejes.

51. Halle una función cúbica f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d que tenga un valor máximo de 3 en x = −2 y un valor mínimo local de 0 en x = 1. 52. ¿Para qué valores de los números a y b tiene la función

f ( x ) = axe bx el valor máximo f (2) = 1 ?

2

273

53. (a) Si la función f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx tiene el valor mínimo local − 92 3 en x = 1

3 , ¿cuáles son los valores

de a y b? (b) ¿Cuál de las tangentes a la curva en la parte (a) tiene la menor pendiente?

54. Demuestre que los puntos de inflexión de la curva y = sen x están en la curva y 2 ( x 2 + 4 ) = 4 x 2 . 55. Demuestre que la curva y = ( 1 + x ) ( 1 + x 2 ) tiene tres puntos de inflexión y que todos ellos están en una línea recta. 56. Demuestre que las curvas y = e − x y y = − e − x tocan la curva y = e − x sen x en sus puntos de inflexión. 57. Demuestre que tan x > x para 0 < x < π/2. Sugerencia: Demuestre que f ( x ) = tan x − x es creciente en

( 0,

π 2) .

58. (a) Demuestre que e x ≥ 1 para x ≥ 0. (b) Deduzca que e x ≥ 1 + x + 21 x 2 para x ≥ 0. (c) Use inducción matemática para demostrar que para x ≥ 0 y cualquier entero positivo n,

ex ≥ 1 + x +

x2 xn + ⋯ + 2! n!

59. Demuestre que una función cúbica (un polinomio de tercer grado) siempre tiene exactamente un punto de inflexión. Si su gráfica tiene tres intersecciones con el eje x, x1, x2 y x3, demuestre que la coordenada x del punto de inflexión es ( x1 + x2 + x3 ) 3 . 60. ¿Para qué valores de c tiene el polinomio P( x ) = x 4 + cx 3 + x 2 dos puntos de inflexión? ¿Un punto de inflexión? ¿Ningún punto de inflexión? Ilustre graficando P para varios valores de c. ¿Cómo cambia la gráfica cuando c decrece? 61. Demuestre que si ( c , f ( c ) ) es un punto de inflexión de la gráfica de f y f ′′ existe en un intervalo abierto que contiene a c, entonces f ′′(c ) = 0 . Sugerencia: Aplique el Criterio de la Primera Derivada y el Teorema de Fermat a la función g = f ′ .

62. Demuestre que si f ( x ) = x 4 , entonces f ′′(0) = 0 pero (0, 0) no es un punto de inflexión de la gráfica de f. 63. Demostrar que la función g( x ) = x x tiene un punto de inflexión en (0, 0) pero g ′′(0) no existe. 64. Supóngase que f ′′′ es continua y que f ′(c ) = f ′′(c ) = 0 , pero f ′′′(c ) > 0 . ¿Tiene f un máximo o un mínimo local en c? ¿Tiene f un punto de inflexión en c? 65. Supóngase que f es diferenciable en un intervalo I que f ′( x ) > 0 para toda x en I excepto por un solo número c. Demostrar que f es creciente en todo el intervalo I. 66. ¿Para qué valores de c es la función

f ( x ) = cx + creciente en (−∞, ∞)?

1 2

x +3

274

4.4 DIBUJO DE CURVAS Hasta ahora nos hemos ocupado de algunos aspectos particulares del dibujo de curvas: dominio, recorrido, simetría, límites, continuidad y asíntotas en el Capítulo 1; derivadas y tangentes en los Capítulos 2 y 3; la Regla de L’Hôpital en el Capítulo 3 y valores extremos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad y puntos de inflexión en este capítulo. Ahora es tiempo de conectar toda esta información para dibujar gráficas que revelen las características importantes de las funciones. Se puede preguntar: ¿Por qué no usar una calculadora de graficar o computadora para dibujar una curva? ¿Por qué necesitamos usar cálculo? Es cierto que la tecnología moderna es capaz de producir gráficas muy precisas. Pero hasta los mejores dispositivos para graficar tienen que usarse de forma inteligente. El uso del cálculo nos permite descubrir los aspectos más interesantes de las curvas y detectar conductas que podrían de otra forma escapársenos. En el Ejemplo 4 veremos cómo nos ayuda el cálculo a evitar las trampas de la tecnología.

Normas Para Dibujar una Curva La siguiente lista es una guía para dibujar a mano una curva y = f ( x ) . No todo punto es relevante para toda función (por ejemplo, una curva dada podría no tener una asíntota o poseer simetría). Pero las normas proporcionan toda la información que se necesita para hacer un dibujo que muestre los aspectos más importantes de la función.

A.

Dominio A menudo es útil comenzar por determinar el dominio D de f, esto es, el conjunto de valores de x para los cuales f ( x ) está definida.

B.

Intersecciones La intersección con el eje y es f (0) y esto nos dice donde la curva corta el eje y. Para hallar las intersecciones con el eje x, hacemos y = 0 y despejamos x (este paso se puede omitir si la ecuación es difícil de resolver).

C.

Simetría (i)

Si f ( − x ) = f ( x ) para toda x en D, esto es, la ecuación de la curva no cambia cuando x es reemplazada por −x, entonces f es una función par y la curva es simétrica con respecto al eje y. Esto significa que nuestro trabajo se reduce a la mitad. Si conocemos cómo es la curva para x ≥ 0, entonces sólo necesitamos reflejar en torno al eje y para obtener toda la curva [véase la Fig. 1(a)]. Aquí tiene algunos ejemplos: y = x 2 , y = x 4 , y = x y y = cos x .

(ii) Si f ( − x ) = − f ( x ) para toda x en D, entonces f es una función impar y la curva es simétrica en torno al origen. De nuevo, podemos obtener la curva completa si conocemos cómo es la curva para x ≥ 0 [rotamos 180° en torno al origen, véase la Fig. 1(b)]. Algunos ejemplos simples de funciones impares son: y = x , y = x 3 , y = x 5 y y = sen x .

(a) Función par: simetría de reflexión

(b) Función impar: simetría de rotación

Figura 1

(iii) Si f ( x + p ) = f ( x ) para toda x en D, donde p es una constante positiva, entonces f se denomina una

función periódica y el número p más pequeño se llama el periodo. Por ejemplo, y = sen x tiene

275

periodo 2π. Si conocemos el aspecto de la curva en un intervalo de longitud p, entonces podemos usar traslación para dibujar toda la gráfica (véase la Fig. 2).

Figura 2 Función periódica: simetría de traslación.

D.

Asíntotas (i)

Asíntotas Horizontales. Recuerde de la Sección 1.6 que si lím x →∞ f ( x ) = L o lím x →−∞ f ( x ) = L , entonces la recta y = L es una asíntota horizontal de la curva y = f ( x ) . Si resulta que lím x →∞ f ( x ) = ∞ (o −∞), entonces no tenemos una asuntota en la derecha, pero esto todavía es información útil para dibujar la curva.

(ii) Asíntotas Verticales. Recuerde de la Sección 1.6 que la recta x = a es una asíntota vertical si al menos una de las siguientes afirmaciones es cierta: [1]

lím f ( x ) = ∞ ,

x → a+

lím f ( x ) = −∞ ,

x → a+

lím f ( x ) = ∞

x → a−

lím f ( x ) = −∞

x → a−

Para funciones racionales, las asíntotas verticales pueden localizarse igualando el denominador a 0 después de cancelar cualesquiera factores comunes. Pero para otras funciones, este método no aplica. Adicionalmente, al dibujar la curva es muy útil conocer exactamente cuál de las afirmaciones en [1] es cierta. Si f ( a) no está definida pero a es un punto extremo del dominio de f, entonces se debe calcular

lím x → a− f ( x ) o lím x → a+ f ( x ) , sea este límite infinito o no. E.

Intervalos de Crecimiento o Decrecimiento Use el Criterio de C/D. Calcule f ′( x ) y encuentre los intervalos en los cuales f ′( x ) es positiva (f es creciente) y los intervalos en los cuales f ′( x ) es negativa (f es decreciente).

F.

Valores Máximos y Mínimos Locales Hallar los números críticos de f [los números c donde f ′(c ) = 0 o f ′(c ) no existe]. Entonces use el Criterio de la Primera Derivada. Si f ′ cambia de positiva a negativa en un número crítico c, entonces f (c ) es un máximo local. Si f ′ cambia de negativa a positiva en c, entonces f (c ) es un mínimo local. Aunque usualmente es preferible usar el Criterio de la Primera Derivada, se puede usar el Criterio de la Segunda Derivada si f ′(c ) = 0 y f ′′(c ) ≠ 0 . Entonces f ′′(c ) > 0 implica que f (c ) es un mínimo local, en tanto que f ′′(c ) < 0 implica que f (c ) es un máximo local.

G.

Concavidad y Puntos de Inflexión Calcule f ′′( x ) y use la Prueba de Concavidad. La curva es cóncava hacia arriba donde f ′′( x ) > 0 y cóncava hacia abajo donde f ′′( x ) < 0 . Los puntos de inflexión ocurren donde cambia la dirección de la concavidad.

H.

Dibujar la Curva Usando la información el los puntos A−G, dibuje la gráfica. Dibuje las asíntotas como líneas punteadas. Grafique las intersecciones, puntos de máximos y mínimos y puntos de inflexión. Entonces haga que la curva pase a través de estos puntos, elevándose y descendiendo de acuerdo con E, con concavidad de acuerdo con G y tendiendo a las asíntotas. Si se desea precisión adicional cerca de cualquier punto, se puede calcular el valor de la derivada en es punto. La tangente indica la dirección en la cual la curva procede.

276

Ejemplo 1 Use las normas para dibujar la curva y = A.

2x2 x2 − 1

.

El dominio es

{x

}

x 2 − 1 ≠ 0 = {x x ≠ ± 1} = ( −∞ , − 1 ) ∪ ( −1, 1 ) ∪ ( 1, ∞ )

B.

Las intersecciones con los ejes x y y son ambas 0.

C.

Puesto que f ( −x ) = f ( x ) , la función f es par. La curva es simétrica con respecto al eje y.

D.

lím

x → ±∞

2x2 2

x −1

2

= lím

x → ±∞ 1 − 1

=2

x2

Por tanto, la recta y = 2 es una asíntota horizontal. Como el denominador es 0 cuando x = ±1, calculamos los límites siguientes:

2x2

lím+

x2 − 1

x→1

lím +

x → −1

= ∞,

2x2 2

x −1

lím−

x→1

= −∞ ,

2x2 x2 − 1

lím −

x → −1

2x2 x2 − 1

= −∞ =∞

Por tanto, las rectas x = 1 y x = −1 son asíntotas verticales. Esta información sobre límites y asíntotas nos permite dibujar la figura prelimar en la Fig. 3, mostrando las partes de la curva cerca de las asíntotas.

Figura 3 Dibujo preliminar.

E.

f ′( x ) =

4x ( x 2 − 1 ) − 2 x 2 ⋅ 2 x

(x

2

− 1)

2

=

−4 x

(x

2

− 1)

2

Puesto que f ′( x ) > 0 cuando x < 0 (x ≠ −1) y f ′( x ) < 0 cuando x > 0 (x ≠ −1), f es creciente en (−∞, −1) y

( −1, 0) y decreciente en (0, 1) y (1, ∞). F.

El único número crítico es x = 0, Puesto que f ′ cambia de positiva a negativa en 0, f (0) = 0 es un máximo local por el Criterio de la Primera Derivada. 2

G.

f ′′( x ) =

−4 ( x 2 − 1 ) + 4x ⋅ 2 ( x 2 − 1 ) 12 x

( x 2 − 1)4

=

12 x 2 + 4

( x 2 − 1 )3

Como 12 x 2 + 4 > 0 para toda x, tenemos que

f ′′( x ) > 0 y f ′′( x ) < 0 ⇔

⇔

x2 − 1 > 0

⇔

x >1

x < 1 . Esta curva es cóncava hacia arriba en los intervalos (−∞, ∞) y (1, ∞) y cóncava hacia

abajo en (−1, 1). No tiene puntos de inflexión ya que 1 y −1 no están en el dominio de f.

277

H.

Usando la información en E−G, finalizamos el dibujo en la Fig. 4.

Figura 4 Ejemplo 2 Dibujar la gráfica de xe x . A.

El dominio es ℝ.

B.

Las intersecciones con los ejes x y y son ambas 0.

C.

Simetría: Ninguna.

D.

Puesto que x y e x crecen conforme x → ∞, tenemos lím x → ∞ xe x = ∞ . Sin embargo, cuando x → −∞, e x → 0 y, por tanto, tenemos un producto indeterminado que requiere el uso de la Regla de L’Hôpital

lím xe x = lím

x → −∞

x

x → −∞ e − x

= lím

x → −∞

1 −e−x

= lím ( − e x ) = 0 x → −∞

Así que el eje x es una asíntota horizontal.

f ′( x ) = xe x + e x = ( x + 1 ) e x

E.

Puesto que e x es siempre positivo, vemos que f ′( x ) > 0 cuando x + 1 > 0 y f ′( x ) < 0 cuando x + 1 < 0 . De modo que f es creciente en (−1, ∞) y decreciente en (−∞, 1).

F.

Como f ′( −1) = 0 y f ′ cambia de signo de negativa a positiva en x = −1, f ( −1) = − e −1 es un mínimo local (y absoluto.

f ′′( x ) = ( x + 1) e x + e x = ( x + 2 ) e x

G.

Puesto que f ′′( x ) > 0 si x > −2 y f ′′( x ) < 0 si x < −2, f es cóncava hacia arriba en (−2, ∞) y cóncava hacia abajo en (−∞, −2). El punto de inflexión es ( −2, − 2e −2 ) .

H.

Usamos esta información para dibujar la curva en la Fig. 5.

Figura 5

Ejemplo 3 Dibujar la gráfica de f ( x ) = A.

El dominio es ℝ.

cos x . 2 + sen x

278

B.

La intersección con el eje y es f (0) =

1 2

. Las intersecciones con el eje x ocurren cuando cos x = 0 , es decir,

x = ( 2 n + 1 ) π 2 , donde n es un entero. C.

f no es ni par ni impar, pero f ( x + 2 π ) = f ( x ) para toda x y por tanto f es periódica y tiene periodo 2π. Entonces, en lo que sigue, sólo necesitamos considerar 0 ≤ x ≤ 2π y luego extender la curva por traslación en la parte H.

D.

Asíntotas: Ninguna.

E.

f ′( x ) =

( 2 + sen x ) ( − sen x ) − cos x ( cos x ) ( 2 + sen x )2

Por tanto f ′( x ) > 0 cuando 2 sen x + 1 < 0

⇔

sen x < − 21

⇔

=

2 sen x + 1 ( 2´sen x )2 7 π 6 < x < 11 π 6 . Así que f está creciendo

en ( 0, 7 π 6 ) y ( 11π 6 , 2 π ) .

F.

De la parte E y el Criterio de la Primera Derivada, vemos que el valor del mínimo local es f ( 7 π 6 ) = 1

G.

Si usamos la regla del cociente de nuevo y simplificamos, se obtiene

f ′′( x ) =

3.

2 cos x ( 1 − sen x )

( 2 + sen x )3

3 Como ( 2 + sen x ) > 0 y 1 − sen x ≥ 0 para toda x, sabemos que f ′′( x ) > 0 cuando cos x < 0 , es decir,

π 2 < x < 3π 2 . De modo que f es cóncava hacia arriba en ( π 2 , 3π 2 ) y cóncava hacia abajo en ( 0, π 2 ) y

( 3π H.

2 , 2 π ) . Los puntos de inflexión son ( π 2 , 0 ) y ( 3π 2 , 0 ) .

La gráfica de la función restringida a 0 ≤ x ≤ 2π se muestra en la Fig. 6. Usando la periodicidad, la extendemos a la gráfica completa en la Fig. 7.

Figura 6

Figura 7

Gráficas y Tecnología Cuando usamos tecnología para graficar una curva, nuestra estrategia es diferente a la de los Ejemplos 1−3. Aquí comenzamos con una gráfica producida por una calculadora o computadora y luego la refinamos. Usamos cálculo para asegurarnos que se revelan todas las características importantes de la curva. Y con el uso de graficadores podemos abordar curvas que su consideración sería muy complicada sin tecnología.

Ejemplo 4 Graficar el polinomio f ( x ) = 2 x 6 + 3x 5 + 3x 3 − 2 x 2 . Use las gráficas de f ′ y f ′′ para estimar todos los puntos de máximos y mínimos y los intervalos de concavidad. Solución Si especificamos un dominio pero no un recorrido, muchos dispositivos de graficar deducirán un recorrido adecuado a partir de los valores calculados. La Fig. 8 muestra las gráficas de uno de esos dispositivos si especificamos que −5 ≤ x ≤ 5. Aunque este visor rectangular es útil para mostrar que la conducta asintótica (o conducta extrema) es la misma que para y = 2 x 6 , obviamente oculta detalles más refinados. Así que cambiamos al rectángulo [−3, 2] por [−50, 100] mostrado en la Fig. 9.

279

Figura 8

Figura 9

A partir de esta gráfica parece que hay un valor mínimo absoluto de aproximadamente −15.33 cuando x ≈ ¨ −1.62 . También parece que hay una tangente horizontal en el origen y puntos de inflexión cuando x = 0 y cuando x está en alguna parte entre −2 y −1. Tratemos ahora de confirmas estas impresiones usando cálculo. Diferenciamos y obtenemos

f ′( x ) = 12 x 5 + 15x 4 + 9x 2 − 4x f ′′( x ) = 60x 4 + 60 x 3 + 18x − 4 Cuando graficamos f ′ en la Fig. 10 vemos que f ′( x ) cambia de negativa a positiva cuando x ≈ −1.62; esto confirma (por el Criterio de la Primera Derivada) el valor mínimo que se halló anteriormente. Pero, quizás para nuestra sorpresa, también observamos que f ′( x ) cambia de positiva a negativa cuando x = 0 y de negativa a positiva cuando x ≈ 0.35. Esto significa que f tiene un máximo local en 0 y un mínimo local cuando x ≈ 0.35, pero estos estaban ocultos en la Fig. 9. En efecto, si ahora aumentamos hacia el origen en la Fig. 11, vemos los que se nos escapó anteriormente: un valor máximo local de 0 cuando x = 0 y un valor mínimo local de aproximadamente −0.1 cuando x ≈ 0.35.

Figura 10

Figura 11

¿Qué se puede decir sobre la concavidad y los puntos de inflexión? De las Figs. 9 y 11 parece que puntos de inflexión cuando x está un poco a la izquierda de −1 y cuando x es un poco a la derecha de 0. Pero es difícil determinar puntos de inflexión a partir de la gráfica de f, de modo que graficamos la segunda derivada f ′′ en la Fig. 12. Vemos que f ′′ cambia de positiva a negativa cuando x ≈ −1.23 y de negativa a positiva cuando x ≈ 0.19. De manera que, con precisión de hasta dos cifras decimales, f es cóncava hacia arriba en (−∞, −1.23) y (0.19, ∞) y cóncava hacia abajo en (−1.23, 0.19). Los puntos de inflexión son (−1.23, −10.18) y (0.19, −0.05).

Figura 12

280

Hemos descubierto que ningún gráfico único revea todos los detalles importantes de este polinomio. Pero las Figs. 9 y 1, cuando se toman en conjunto, sí proporcionan una imagen precisa.

4.4 Ejercicios Ejercicios 1−44: Use las normas de esta sección para dibujar la curva.

1. y = x 3 − 12 x 2 + 36x 5. y = x ( x − 4 ) 9. y = 13. y =

3

x x−1 x 2

x +9

17. y = x 5 − x

21. y =

1 − x2 x

25. y = 3 x 2 − 1 29. y = x tan x ,

2. y = 2 + 3x 2 − x 3

3. y = x 4 − 4x

4. y = x 4 − 8x 2 + 8

6. y = x 5 − 5x

7. y = 15 x 5 − 83 x 3 + 16x

8. y = ( 4 − x 2 )

10. y = 1 + 14. y =

1 1 + x x2

11. y =

x2

15. y =

2

x +9

sen x 1 + cos x

x−1 x2 x

12. y = 16. y =

x x2 − 9 x x3 − 1

20. y = x 2 + x − x

18. y = 2 x − x

19. y =

22. y = x 2 − x 2

23. y = x − 3x 1 3

24. y = x 5 3 − 5x 2 3

26. y = 3 x 2 + 1

27. y = sen x

28. y = x + cos x

34. y =

2

x +1

30. y = 2 x − tan x ,

−π 2 < x < π 2

31. y = 21 x − sen x , 0 < x < 3π 33. y =

1 x2 − 9

5

−π 2 < x < π 2

32. y = sec x + tan x , 0 < x < π 2

sen x 2 + cos x

35. y =

ex

37. y = x ln x

38. y =

41. y = ln ( sen x )

42. y = e x − 3 e − x − 4x

x2

1 1 + e− x

36. y = e 2 x − e x

39. y = xe − x

40. y = ln ( x 2 − 3x + 2 )

43. y = xe −1 x

 x−1 44. y = tan −1    x+1

45. En la teoría de la relatividad, la masa de una partícula es

m=

m0 1 − v2 c 2

donde m0 es la masa en reposo de la partícula, m es la masa cuando la partícula se mueve con velocidad v en relación con el observado y c es la velocidad de la luz. Dibuje la gráfica de m como una función de v.

46. En la teoría de la relatividad, la energía de una partícula es

E = m02 c 2 + h 2 c 2 λ 2 donde m0 es la masa en reposo de la partícula, λ es su longitud de onda y h es la constante de Planck, Dibuje la gráfica de E como una función de λ. ¿Qué dice la gráfica sobre la energía?

281

47. La figura muestra una viga de longitud L empotrada en paredes de concreto. Si una carga constante W está distribuida en forma homogénea a lo largo de su longitud, la viga toma la forma de la curva de deflexión

y=−

W 4 WL 3 WL2 2 x + x − x 24EI 12 EI 24EI

donde E e I son constantes positiva. E es el modulo de elasticidad de Young e I es el momento de inercia de una sección transversal de la viga. Dibuje la gráfica de la curva de deflexión.

48. La Ley de Coulomb establece que la fuerza de atracción entre dos partículas cargadas es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas. La figura muestra partículas con carga 1 ubicadas en las posiciones 0 y 2 en una línea de coordenada y una partícula con carga −1 en una posición x entre ellas. Se deduce de la Ley de Coulomb que la fuerza neta actuando sobre la partícula en el medio es

F( x ) = −

k x

2

+

k

( x − 2 )2

,

0<x<2

donde k es una constante positiva. Dibuje la gráfica de la función fuerza neta. ¿Qué dice la gráfica acerca de la fuerza?

Ejercicios 49−52: La recta y = mx + b se denomina una asíntota inclinada si f ( x ) − ( mx + b ) → 0 conforme x → ∞ o x → − ∞ porque la distancia vertical entre la curva y = f ( x ) y la recta y = mx + b tiende a 0 conforme x se hace grande. Hallar una ecuación de la asíntota inclinada de la función y úsela para ayudar a dibujar la gráfica. Para funciones racionales, una asíntota inclinada ocurre cuando el grado del numerador es uno más que el grado del denominador. Para hallarla, use división para escribir f ( x ) = mx + b + R( x ) Q( x ) .

49. y =

x2 x−1

50. y =

1 + 5x − 2 x 2 x−2

51. y =

x3 + 4 x2

52. y = 1 − x + e 1+ x 3

53. Demuestre que la curva y = x − tan −1 x tiene dos asíntotas inclinadas: y = x + π 2 y y = −x − π 2 . Use este hecho como ayuda para dibujar la curva. 54. Demuestre que la curva y = x 2 + 4x tiene dos asíntotas inclinadas: y = x + 2 y y = − x − 2 . Use este hecho como ayuda para dibujar la curva. Ejercicios 55−58: Produzca gráficas de f que revelen todos los aspectos importantes de la curva. En particular, se deben usar gráficas de f ′ y f ′′ para estimar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, valores extremos, intervalos de concavidad y puntos de inflexión.

55.

f ( x ) = 4x 4 − 32 x 3 + 89x 2 − 95x + 29

56.

f ( x ) = x 6 − 15x 5 + 75x 4 − 125x 3 − x

57.

f ( x ) = 6 sen x + cot x ,

58.

f ( x ) = e x − 0.186x 4

−π≤ x ≤ π

282

Ejercicios 59−60: Produzca gráficas de f que revelen todos los aspectos importantes de la curva. Estime los intervalos de crecimiento y decrecimiento e intervalos de concavidad y use el cálculo para hallar estos intervalos exactamente.

59. f ( x ) = 1 +

1 8 1 + + x x2 x3

60. f ( x ) =

1 x

8

−

2 × 108 x4

Ejercicios 61−65: Describa cómo varía la gráfica de f conforme varía c. Grafique varios miembros de la familia para ilustrar las tendencias que descubra. En particular, debe investigar cómo se mueven los puntos de máximos y mínimos y los puntos de inflexión cuando c cambia. También debe identificar cualesquiera valores de transición de c en los cuales cambia la forma básica de la curva.

61. f ( x ) = x 4 + cx 2

62. f ( x ) = x 3 + cx

63. f ( x ) = e −c

x2

64. f ( x ) = ln ( x 2 + c )

65. f ( x ) = cx + sen x 66. Investigue la familia de curvas dadas por la ecuación f ( x ) = x 4 + cx 2 + x . Comience por determinar el valor de transición de c en el cual el número de puntos de inflexión cambia. Entonces grafique varios miembros de la familia para ver qué formas son posibles. Existe otro valor de transición de c en el cual cambia el número de valores críticos. Trate de descubrirlo gráficamente. Demuestre después lo que ha descubierto.

4.5 Problemas de Optimización Los métodos que hemos aprendido en este capítulo para hallar valores extremos tienen aplicaciones prácticas en muchas áreas de la vida. Una persona de negocios quiere minimizar el tiempo de transporte. El Principio de Fermat en óptica establece que la luz sigue la trayectoria que toma el menor tiempo. En esta sección y la siguiente resolvemos problemas tales como maximización de áreas, volúmenes y beneficios y minimización de distancias, tiempos y costos. Al resolver problemas prácticos, el mayor desafío a menudo consiste en convertir el problema de palabras en un problema matemático de optimización definiendo la función que debe ser maximizada o minimizada. Los pasos siguientes pueden ser útiles.

Pasos en la Solución de Problemas de Optimización 1.

Entender el Problema El primer paso es leer el problema cuidadosamente hasta que se entienda claramente. Pregúntese: ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son las cantidades dadas? ¿Cuáles son las condiciones dadas?

2.

Dibujar un Diagrama En la mayoría de los problemas es de utilidad dibujar un diagrama e identificar en el diagrama las cantidades dadas y las requeridas.

3.

Introducir Notación Asigne un símbolo a la cantidad que se va a maximizar o minimizar (llámela Q por ahora). Seleccione también símbolos (a, b, c, … , x, y) para otras cantidades desconocidas y marque el diagrama con estos símbolos. Puede ser de ayuda usar iniciales como símbolos sugerentes – por ejemplo, A por área, t por tiempo, a por aceleración.

4.

Exprese Q en términos de algunos de los otros símbolos del Paso 3.

5.

Si Q se ha expresado como una función de más de una variable en el Paso 4, use la información dada para hallar relaciones (en la forma de ecuaciones) entre estas variable. Use entonces estas ecuaciones para eliminar todas excepto una de las variables en la expresión para Q. Por tanto, Q se expresará como una función de una variable, digamos x, Q = f ( x ) . Escriba el dominio de esta función.

283

6.

Use los métodos de las Secciones 4.1 y 4.3 para hallar el valor máximo o mínimo absoluto de f. En particular, si el dominio de f es un intervalo cerrado, entonces se puede usar el Método del Intervalo Cerrado en la Sección 4.1.

Ejemplo 1 Un granjero tiene 2400 pies de cercado y quiere cercar un campo rectangular que bordea un río recto. No necesita cercar a lo largo del río. ¿Cuáles son las dimensiones del campo que tiene la mayor área? Solución Para tener una idea de lo que está sucediendo en este problema, experimentemos con algunos casos especiales. La Fig. 1 (no está a escala) muestra tres formas posible de instalar los 240 pies de cercado. Vemos que cuando probamos campos poco profundos y anchos o profundos y angostos, obtenemos áreas relativamente pequeñas. Parece plausible que exista alguna configuración intermedia que produzca el área más grande.

Figura 1

La Fig. 2 ilustra el caso general. Queremos maximizar el área A del rectángulo. Sean x y y la profundidad y el ancho del rectángulo (en pies). Entonces expresamos A en función de x y y:

A = xy Queremos expresar A como una función de sólo una variable, de modo que eliminamos y expresándola en términos de x. Para hacer esto, usamos la información dada de que la longitud total del cercado es 2400 pies. Así pues, 2 x + y = 2400 A partir de esta ecuación tenemos que y = 2400 − 2 x , lo cual da

A = x ( 2400 − 2 x ) = 2400x − 2 x 2 Observe que x ≥ 0 y x ≤ 1200 (de lo contrario A < 0). De modo que la función que queremos maximizar es

A = 2400 x − 2 x 2 ,

0 ≤ x ≤ 1200

La derivada es A′( x ) = 2400 − 4x y entonces para hallar los números críticos resolvemos la ecuación

2400 − 4x = 0 la cual da x = 600. El valor máximo de A debe ocurrir ya sea en este número crítico o en un punto extremo del intervalo. Como A(0) = 0, A(600) = 720000 y A(1200) = 0, el Método del Intervalo Cerrado da el valor máximo como A(600) = 720000.

Figura 2

284

Alternativamente, pudimos haber observado que A′′( x ) = −4 < 0 para toda x, de modo que A siempre cóncava hacia abajo y el máximo local en x = 600 debe ser un máximo absoluto. Por consiguiente, el campo rectangular debe tener una profundidad de 600 pies y un ancho de 1200 pies.

Ejemplo 2 Se va construir una lata cilíndrica para envasar 1 L de aceite. Halle las dimensiones que minimizarán el costo del material para fabricar la lata. Solución Dibuje el diagrama como en la Fig. 3, donde r es el radio y b la altura (ambos en centímetros). Para minimizar el costo del metal, minimizamos el área de superficie total del cilindro (tapa, fondo y lados). De la Fig. 4 vemos que los lados están hechos de una lámina rectangular con dimensiones 2 πr y h. De modo que el área de la superficie es

A = 2 πr 2 + 2 πrh

Figura 3

Figura 4

Para eliminar h usamos el hecho de que el volumen se da como 1 L, lo que tomamos como 1000 cm3. Por tanto,

πr 2 h = 1000 lo cual da h = 1000 ( πr 2 ) . La sustitución e esto en la expresión para A da

2000  1000  A = 2 πr 2 + 2 πr  2  = 2 πr 2 + r  πr  Por tanto, la función que queremos minimizar es

A = 2 πr 2 +

2000 , r

r >0

Para hallar los valores críticos, diferenciamos:

A′(r ) = 4 πr −

2000 r2

=

4 ( πr 3 − 500 ) r2

Entonces A′(r ) = 0 cuando πr 2 = 500 , y el único valor crítico es r = 3 500 π . Como el dominio de A es (0, ∞), no podemos usar el argumento del Ejemplo 1 relacionado con los puntos extremos. Pero sí podemos observar que A′(r ) < 0 para r < 3 500 π y A′(r ) > 0 para r > 3 500 π , de modo que A está decreciendo para toda r a la izquierda del valor crítico y creciendo para toda r a la derecha. Por tanto, r = 3 500 π debe dar lugar a un mínimo absoluto. Alternativamente, se podría argumentar que A(r ) → ∞ conforme r → 0 + y A(r ) → ∞ conforme r → ∞ , de modo que debe haber un valor mínimo de A(r ) , el cual debe ocurrir en el número crítico (véase la Fig. 5).

285

Figura 5 El valor de h correspondiente a r = 3 500 π es

h=

1000 πr

2

=

1000 π ( 500 π )

23

=2

Por tanto, para minimizar el costo de la lata, el radio debe ser

3

500 = 2r π 3

500 π ≈ 5.42 cm y la altura debe ser igual al

doble del radio, vale decir, el diámetro.

Observación 1 El argumento usado en el Ejemplo 2 para justificar el mínimo absoluto es una variante del Criterio de la Primera Derivada (el cual aplica sólo a valores máximos o mínimos locales) y se enuncia aquí para referencia futura.

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA VALORES EXTREMOS ABSOLUTOS Supóngase que c es un número crítico de una función continua f definida en un intervalo. (a) Si f ′( x ) > 0 para toda x < c y f ′( x ) < 0 para toda x > c, entonces f (c ) es el valor máximo absoluto de f. (b) Si f ′( x ) < 0 para toda x < c y f ′( x ) > 0 para toda x > c, entonces f (c ) es el valor mínimo absoluto de f.

Observación 2 Un método alterno para resolver problemas de optimización es usar diferenciación implícita. Examinemos de nuevo el Ejemplo 2 para ilustrar el método. Trabajamos con las mismas ecuaciones:

A = 2 πr 2 + 2 πrh ,

πr 2 h = 1000

pero en vez de eliminar h, diferenciamos ambas ecuaciones implícitamente con respecto a r:

πr 2 h ′ + 2 πrh = 0

A′ = 4 π + 2 πrh ′ + 2 πh ,

El mínimo ocurre en un número crítico, así que hacemos A′ = 0 , simplificamos y llegamos a las ecuaciones 2 r + h + rh ′ = 0,

2 h + rh ′ = 0

y restando da 2 r − h = 0 o h = 2 r .

Ejemplo 3 Hallar el punto en la parábola y 2 = 2 x que está más cercano al punto (1, 4). Solución La distancia entre el punto (1, 4) y el punto (x, y) es 2 2 d = ( x − 1) + ( y − 4 )

Véase la Fig. 6. Pero si (x, y) está en la parábola, entonces x = y 2 2 y la expresión para d se convierte en

d=

( 12 y 2 − 1)

2

+ ( y − 4)

2

286

Figura 6

Alternativamente, pudimos haber sustituido y = 2 x para obtener d en términos de x solamente,. En vez de minimizar d, minimizamos su cuadrado:

d2 = f (y) =

( 21 y 2 − 1)

2

+ (y − 4)

2

Convénzase usted mismo de que el mínimo de d ocurre en el mismo punto que el mínimo de d2, pero es más fácil trabajar con d2. Diferenciando, se obtiene

f ′( y ) = 2

( 21 y 2 − 1) y + 2 ( y − 4 ) = y 3 − 8

tal que f ′( y ) = 0 cuando y = 2. Observe que f ′( y ) < 0 cuando y < 2 y f ′( y ) > 0 cuando y > 2, de manera que por el Criterio de la Primera Derivada para Valores Extremos Absolutos, el mínimo absoluto ocurre cuando y = 2. o simplemente podríamos decir que debido a la naturaleza geométrica del problema, es obvio que existe un punto más cercano pero no uno más lejano. El valor correspondiente de x es x = y 2 2 = 2 . Por tanto, el punto en

y 2 = 2 x más cercano a (1, 4) es (2, 2). Ejemplo 4 Un hombre echa al agua su bote desde un punto A en un banco de un río recto, de 3 km de ancho, y quiere llegar a un punto B, a 8 km río abajo en el banco opuesto, tan rápido como sea posible (véase la Fig. 7). Podría remar su bote directamente cruzando el río hasta el punto C y después correr hasta B, o podría remar directamente hasta N, o podría remar hasta algún punto D entre C y B y luego correr hasta B. Si puede remar a 6 km/h y correr a 8 km/h, ¿dónde debe desembarcar para llegar a B lo más rápido posible? Suponga que la velocidad del agua es despreciable comparada con la velocidad con la cual rema el hombre.

Figura 7 Solución Si x es la distancia de C a D, entonces la distancia a correr es DB = 8 − x y el Teorema de Pitágoras da la distancia a remar como AD = x 2 + 9 . Usamos la ecuación

287

tiempo = Entonces el tiempo de remado es función de x es

distancia tasa

x 2 + 9 6 y el tiempo corriendo es ( 8 − x ) 8 , de modo que el tiempo total T en x2 + 9 8 − x + 6 8

T (x ) =

El dominio de esta función T es [0, 8]. Observe que si x = 0, él rema hasta C y si x = 8 rema directamente hasta B. La derivada de T es

T ′( x ) =

x 2

6 x +9

−

1 8

Por tanto, usando el hecho de que x ≥ 0, tenemos

T ′( x ) = 0

⇔

x 2

6 x +9

=

1 8

⇔

16 x 2 = 9 ( x 2 + 9 )

⇔

x=

⇔

4x = 3 x 2 + 9

⇔

7 x 2 = 81

9 7

El único número crítico es x = 9 7 . Para ver si el mínimo ocurre en este número crítico o en un punto extremo del dominio [0, 8], evaluamos T en los tres puntos:

T (0) = 1.5,

7  9  T  = 1 + 8 ≈ 1.33, 7  

Como el menor de estos valores de T ocurre cuando x = 9 La Fig. 8 ilustra este cálculo mostrando la gráfica de T.

T (8) =

73 ≈ 1.42 6

7 , el valor mínimo absoluto de T debe ocurrir allí.

Así que el hombre debe desembarcar del bote en un punto a 9

7 km ( ≈ 3.4 km) río abajo de su punto inicial.

Figura 8

Ejemplo 5 Hallar el área del mayor rectángulo que puede inscribirse en un semicírculo de radio r. Solución 1 Tomemos el semicírculo como la mitad suprior del círculo x 2 + y 2 = r 2 con centro en el origen. Entonces la palabra inscrito significa que el rectángulo tiene dos vértices en el eje x, como muestra la Fig. 9. Sea (x, y) el vértice que está en el primer cuadrante. Entonces el rectángulo tiene lados de longitudes 2x y y, de modo que su área es

A = 2x y Para eliminar y usamos el hecho de que (x, y) está en el círculo x 2 + y 2 = r 2 y por tanto y = r 2 − x 2 . Entonces

288

Figura 9

A = 2x r 2 − x2 El dominio de esta función es 0 ≤ x ≤ r. Su derivada es

A′ = − que es 0 cuando 2x 2 = r 2 , esto es, x = r

2x2 r 2 − x2

+ 2 r 2 − x2 =

2 ( r 2 − 2x2 ) r 2 − x2

2 (ya que x ≥ 0). Este valor de x da un valor máximo de A puesto que

A(0) = 0 y A(r ) = 0 . Por tanto, el área del mayor rectángulo inscrito es r r2  r  2 A = 2 r − = r2  2 2  2

Solución 2 Es posible una solución más sencilla si pensamos en usar un ángulo como una variable. Sea θ el ángulo mostrado en la Fig. 10. Entonces el área del rectángulo es

A(θ) = ( 2r cos θ ) ( r sen θ ) = r 2 ( 2 sen θ cos θ ) = r 2 sen 2θ Sabemos que sen 2θ tiene un valor máximo de 1 y ocurre cuando 2 θ = π 2 . Así que A(θ) tiene un valor máximo de r 2 y ocurre cuando θ = π 4 .

Figura 10

Observe que la solución trigonométrica no involucra diferenciación. De hecho, no se necesitaba el cálculo para nada.

Aplicaciones en Negocios y Economía En el Ejemplo 10 en la Sección 2.3, se introdujo la idea de costo marginal. Recuerde que si C(x), la función costo, es el costo de producir x unidades de un cierto producto, entonces el costo marginal es la tasa de cambio de C con respecto a x. En otras palabras, la función costo marginal es la derivada C ′( x ) de la función costo. Consideremos ahora el mercadeo. Sea p(x) el precio por unidad que la compañía puede obtener si vende x unidades. Entonces p se denomina la función demanda (o función precio) y esperaríamos que sea una función decreciente de x. Si se venden x unidades y el precio por unidad es p(x), entonces el ingreso total es

R( x ) = xp( x ) y R se llama la función ingreso. La derivada R′ de la función ingreso se conoce como la función ingreso marginal y es la tasa de cambio del ingreso con respecto al número de unidades vendidas.

289

Si se venden x unidades, entonces la ganancia total es

P( x ) = R( x ) − C ( x ) y P se denomina la función ganancia. La función ganancia marginal es P’, de la derivada de la función ganancia. En los Ejercicios 43−48 se le pide usar las funciones de costo marginal, ingreso y beneficio para minimizar costos y maximizar ingresos y beneficios.

Ejemplo 6 Una tienda ha estado vendiendo 200 quemadores de DVD por semana a $350 cada uno. Una investigación de mercado indica que por cada $10 de reembolso ofrecido a los compradores, el número de unidades vendidas aumentará en 20 por semana. Hallar la función demanda y la función ingreso. ¿Cuál debe ser el tamaño del reembolso que debe ofrecer la tienda para maximizar su ingreso? Solución Si x es el número de quemadores de DVD vendidos por semana, entonces el incremento semanal en ventas es x − 200. Por cada incremento de 20 unidades vendidas, el precio disminuye en $10. Entonces, por cada 1 × 10 y la función demanda es unidad adicional vendida, la disminución en precio será 20

( x − 200 ) = 450 − 1 x p( x ) = 350 − 10 20 2 La función ingreso es

R( x ) = xp( x ) = 450 x − 21 x 2 Como R′( x ) = 450 − x , vemos que R′( x ) = 0 cuando x = 450. Este valor de x da un máximo absoluto por el Criterio de la Primera Derivada (o simplemente observando que la gráfica de R es una parábola que se abre hacia abajo). El precio correspondiente es

p(450) = 450 − 12 (450) = 225 y el reembolso es 350 − 225 = 125 . Por tanto, para maximizar el ingreso, la tienda debe ofrecer un reembolso de $125.

4.5 Ejercicios 1.

Considere el problema siguiente: Hallar dos números cuya suma sea 23 y cuyo producto sea un máximo. (a) Haga una tabla de valores, como la siguiente, de modo que la suma de los números en las primeras dos columnas siempre sea 23. Con base en la evidencia en su tabla, estime la respuesta al problema Primer número

Segundo número

Producto

1

22

22

2

21

42

3

20

60

.

.

.

.

.

.

.

.

.

(b) Use cálculo para resolver el problema y compare con su respuesta en la parte (a).

2.

Halle dos números cuya diferencia sea 100 y cuyo producto sea un mínimo.

3.

Halle dos números positivos cuyo producto sea 100 y cuya suma sea un mínimo.

290

4.

La suma de dos números positivos es 16. ¿Cuál es el menor valor posible de la suma de sus cuadrados?

5.

¿Cuál es la máxima distancia vertical entre la recta y = x 2 + 1 y y = x − x 2 ?

6.

¿Cuál es la máxima distancia vertical entre las parábolas y = x 2 + 1 y y = x − x 2 ?

7.

Halle las dimensiones de un rectángulo con perímetro 100 m cuya área sea tan grande como sea posible.

8.

Halle las dimensiones de un rectángulo con área 1000 m2 cuyo perímetro sea tan pequeño como sea posible.

9.

Considérese el problema siguiente: Un granjero con 759 pies de cercado quiere encerrar un área rectangular y luego dividirla en cuatro corrales con cercado paralelo a un lado del rectángulo. ¿Cuál es la mayor área total posible de los cuatro corrales? (a) Dibuje varios diagramas que ilustren la situación, algunos con corrales anchos y poco profundos, con corrales profundos y angostos. Halles las áreas totales de estas configuraciones. ¿Da la impresión de que existe un área máxima? Si es así, estímela. (b) Dibuje un diagrama que ilustre la situación general. Introduzca notación y marque el diagrama con sus símbolos. (c)

Escriba una expresión para el área total.

(d) Use la información dada para escribir una ecuación que relaciones las variables. (e) Use la parte (d) para escribir el área total como una función de una variable. (f)

Finalice la solución del problema y compare la respuesta con su estimado en la parte (a).

10. Considere el problema siguiente: Se va a construir una caja sin tapa a partir de un trozo cuadrado de cartón, 3 pies por lado, cortando un cuadrado de cada una de las cuatro esquinas y doblando los lados. Halle el mayor volumen que puede tener cada caja. (a) Dibuje varios diagramas para ilustrar la situación, algunas cajas cortas con bases grandes y algunas cajas altas con bases pequeñas. Halle los volúmenes de varias de esas cajas. ¿Pareciese que hay un volumen máximo? Si lo hay, estímelo. (b) Dibuje un diagrama que ilustre la situación general. Introduzca notación y marque el diagrama con sus símbolos. (c)

Escriba una expresión para el volumen.

(d) Use la información dada para escribir una ecuación que relaciones las variables. (e) Use la parte (d) para escribir el volumen como una función de una variable. (f)

Finalice la solución del problema y compare la respuesta con su estimado en la parte (a).

11. Si se dispone de 1200 cm2 de material para fabricar una caja con una base cuadrada y sin tapa, halle el mayor volumen posible de la caja. 12. Una caja con una base cuadrada y sin tapa debe tener un volumen de 32000 cm3. Halle las dimensiones de la caja que minimizan la cantidad de material utilizado. 13. (a) Demuestre que de todos los rectángulos con un área dada, el que tiene el menor perímetro es un cuadrado. (b)

Demuestre que de todos los rectángulos con un perímetro dado, el que tiene mayor área es un cuadrado.

14. Un contenedor para almacenar sin tapa debe tener un volumen de 10 m3. La longitud de su b ase es el doble del ancho. El material para la base cuesta $1 por metro cuadrado. El material para los lados cuesta $6 por metro cuadrado. Halle el costo de los materiales para el contenedor más barato. 15. Halle en el punto en la recta y = 2 x + 3 que está más cerca del origen.

291

16. Halle el punto en la curva y = x que está más cerca del punto (3, 0). 17. Hallar los puntos en la elipse 4x 2 + y 2 = 4 que están más alejados del punto (1, 0). 18. Hallar, con precisión de hasta dos cifras decimales, las coordenadas el punto en la curva y = sen x que está más cerca del punto (4, 2). 19. Hallar las dimensiones del rectángulo con mayor área que puede inscribirse en un triángulo equilátero de lado L, si un lado del rectángulo está en la base del triángulo. 20. Hallar el área del mayor trapezoide que puede inscribirse en un círculo de radio 1 y cuya base es un diámetro del círculo. 21. Hallar las dimensiones del triángulo isósceles de mayor área que puede inscribirse en un círculo de radio r. 22. Hallar el área del mayor rectángulo que puede inscribirse en un triángulo rectángulo con brazos de 3 cm y 4 cm si dos lados del rectángulo están a lo largo de los brazos. 23. Un cilindro circular recto está inscrito en una esfera de radio r. Hallar el mayor volumen posible de un cilindro así. 24. Hallar el área del rectángulo más grande que puede ser inscrito en la elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 . 25. Una ventana de tipo Norman tiene la forma de un rectángulo con un semicírculo superpuesto (por tanto, el diámetro del semicírculo es igual al ancho del rectángulo). Si el perímetro de la ventana es 30 pies, halle las dimensiones de la ventana de manera que pase la mayor cantidad de luz posible. 26. Un cilindro circular recto está inscrito en un cono de altura h y base de radio r. Hallar el mayor volumen posible de este cilindro. 27. Un trozo de alambra de 10 m de longitud se corta en dos pedazos. Un pedazo se dobla para formar un cuadrado y el otro se doble para formar un triángulo equilátero. ¿Cómo debe cortarse el alambre para que el área total encerrada sea (a) un máximo? (b) Un mínimo? 28. Una cerca de 8 pies de alto es paralela a un alto edificio a una distancia de 4 pies. ¿Cuál es la longitud de la escalera más corta que llegará desde el piso, pasando la cerca, hasta la pared del edificio? 29. Se fabrica un vaso con forma de cono a partir de un trozo circular de papel de radio R cortando un sector y uniendo los bordes CA y CB. Halle la máxima capacidad de este vaso.

30. Se quiere fabricar un vaso de papel en forma de cono con una capacidad de 27 cm3. Hallar la altura y el radio del vaso que usará la menor cantidad de papel. 31. Un cono de altura h está inscrito en un cono más grande de altura H de modo que su vértice está en el centro de la base del cono más grande. Demuestre que el cono interno tiene el volumen máximo cuando h = 13 H . 32. La gráfica muestra el consumo de gasolina c de un carro (medido en galones por hora) como una función de la velocidad v del carro. A velocidades muy bajas, el motor función con muy baja eficiencia, así que inicialmente c disminuye conforme la velocidad aumenta. Pero a altas velocidades el consume de gasolina aumenta. Se puede ver que c(v) es minimizado para este carro cuando v ≈ 30 mi/h. Sin embargo, para eficiencia en el combustible, lo que debe ser minimizado no es el consumo en galones por hora sino más bien el consumo de combustible en galones por milla. Sea G este consumo. Usando la gráfica, estime la velocidad en la cual G tiene su valor mínimo.

292

33. Si un resistor de R ohmios se conecta a una batería de E voltios con resistencia interna de r ohmios, entonces la potencia (en vatios) en resistor externo es

P=

E2 R

( R + r )2

Si E y r son fijos pero R varía, ¿cuál es el máximo valor de la potencia?

34. Para un pez nadando con velocidad v relativa al agua, el gasto de energía por unidad de tiempo es proporcional a v3. Se cree que los peces migratorios tratan de minimizar la energía total requerida para nadar una distancia fija. Si los peces están nadando contra una corriente u (u < v), entonces el tiempo requerido para nadar una distancia L es L ( v − u ) y la energía total E requerida para nadar la distancia es dada por L E( v) = av 3 ⋅ v−u donde a es una constante de proporcionalidad. (a) Determine el valor de a que minimiza E. (b) Dibuje la gráfica de E. Observación: Este resultado ha sido verificado experimentalmente; los peces migratorios nadan contra una corriente con una velocidad 50% mayor que la velocidad de la corriente.

35. En una colmena de abejas, cada celda es un prisma regular hexagonal, abierto en un extremo y con un ángulo triedro en el otro extremo, como en la figura. Se cree que las abejas construyen sus celdas en una forma tal que se minimiza el área superficial, usando así la menor cantidad de cera en la construcción. Un examen de estas celdas ha demostrado que la medida del ángulo del ápice θ es sorprendentemente consistente. Con base en la geometría de la celda, se puede demostrar que el área superficial S es dada por

S = 6sh − 23 s 2 cot θ + ( 3s 2 3 2 ) csc θ donde s , la longitud de los lados del hexágono, y h, la altura, son constantes. (a) Calcular dS/dθ. (b) ¿Qué ángulo deben preferir las abejas? (c) Determine el área superficial mínima de la celda (en términos de s y h) Observación: Se han hecho mediciones reales del ángulo θ en las colmenas y las medidas de estos ángulos raramente difieren del valor calculado por más de 2°. detrás de la celda

ángulo triedro θ

frente de la celda

293

36. Un bote sale de un muelle a las 2:00 PM y viaja en dirección sur con una velocidad de 20 km/h. Otro bote ha estado navegando en dirección este a 15 km/h y llega al mismo muelle a las 3:00 PM. ¿En qué momento estuvieron los botes más cerca? 37. La iluminación de un objeto por una fuente luminosa es directamente proporcional a la intensidad de la fuente e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a la fuente. Si dos fuentes, una tres veces más fuerte que la otra, se colocan con una separación de 10 pies, ¿dónde debe colocarse un objeto entre las fuentes para que reciba la menor cantidad de iluminación? 38. Una mujer en un punto A en la costa de un lago circular con radio de 2 millas quiere llegar al punto C, diametralmente opuesto a A en el otro lado del lago, en el menor tiempo posible. Ella puede caminar con el ritmo de 4 mi/h o remar un bote a 2 mi/h. ¿Cómo debe proceder?

39. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, 5) que genere el área mínima en el primer cuadrante. 40. ¿En cuáles puntos en la curva y = 1 + 40x 3 − 3x 5 tiene la recta tangente la mayor pendiente? 41. ¿Cuál es la longitud más corta posible del segmento de recta que es generado por el primer cuadrante y es tangente a la curva y = 3 x en algún punto? 42. ¿Cuál es la menor área posible del triángulo que es generado por el primer cuadrante y cuya hipotenusa es tangente a la parábola y = 4 − x 2 en algún punto? 43. (a) Si C(x) es el costo de producir x unidades de un producto, entonces el costo promedio por unidad es c( x ) = C ( x ) x . Demuestre que si el costo promedio es un mínimo, entonces el costo marginal es igual al costo promedio. (b) Si C ( x ) = 16 000 + 200x + 4x 3 2 en dólares, hallar (i) el costo, el costro promedio y el costo marginal en un nivel de producción de 1000 unidades; (ii) el nivel de producción que minimizará el costo promedio y (iii) el costo promedio mínimo.

44. (a) Demostrar que si la ganancia P(x) es un máximo, entonces el ingreso marginal es igual al costo marginal. (b) Si C ( x ) = 16 000 + 500 x − 1.6x 2 + 0.004x 3 es la función costo y p( x ) == 1700 − 7 x es la función demanda, halle el nivel de producción que maximizará la ganancia.

45. Un equipo de béisbol juega en un estadio que tiene una capacidad de 55000 espectadores. Cuando el precio de las entradas es de $10, la asistencia promedio es de 27000. Cuando el precio de la entrada se bajo a $8, la asistencia promedio subió a 33000. (a) Halle la función demanda, suponiendo que es lineal. (b) ¿Cómo deben fijarse los precios para maximizar el ingreso?

46. Durante los meses de verano, Teresa fabrica y vende collares en la playa. El último verano vendió los collares a $10 cada uno y sus ventas promediaron 20 por día. Cuando subió el precio por $1, halló que el promedio disminuyó en dos ventas por día. (a) Halle la función demanda, suponiendo que es lineal. (b) Si el material para cada collar le cuesta $6, ¿cuál debe ser el precio de venta para maximizar sus beneficios?

294

47. Un fabricante ha estado vendiendo 1000 TV de pantalla plana por semana a $450 cada uno. Una investigación de mercado indica que por cada $10 de reembolso ofrecidos al comprador, el número de TV vendidos se incrementará en 100 por semana. (a) Halle la función demanda. (b) ¿Cuál debe ser el tamaño del reembolso que la compañía debe ofrecer al comprador para maximizar su ingreso? (c)

Si su función de costo semanal es C ( x ) = 68 000 + 150x , ¿cómo debe el fabricante fijar el tamaño del reembolso para maximizar su beneficio?

48. El gerente de un complejo de apartamentos de 100 unidades sabe por experiencia que todas las unidades estarán ocupadas si el alquiler es $800 por mes. Una investigación de mercado sugiere que, en promedio, una unidad adicional permanecerá desocupada por cada $10 de incremento en el alquiler. ¿Cuál es el alquiler que el gerente debe cobrar para maximizar el inceso? 49. Sean a y b números positivos. Halle la longitud del segmento de recta más corto que es generado por el primer cuadrante y pasa a través del punto (a, b). 50. Se va a construir el marco para un cometa a partir de seis piezas de madera. Las cuatro piezas externas se cortaron con las longitudes indicadas en la figura. Para maximizar el área del cometa, ¿cuál debe ser la longitud de las piezas diagonales?

51. Sea v1 la velocidad de la luz en el aire y v2 la velocidad de la luz en el agua. De acuerdo con el Principio de Fermat, un rayo de luz se desplazará desde un punto A en el aire a un punto B en el agua por una trayectoria ACB que minimiza el tiempo del recorrido. Demuestre que

sen θ1 v1 = sen θ2 v2 donde θ1 (el ángulo de incidencia) y θ2 (el ángulo de refracción) son como se muestra en la figura. Esta ecuación se conoce como la Ley de Snell.

52. Dos postes verticales PQ y ST son asegurados por una cuerda PRS que va desde la parte superior del primer poste hasta un punto R en el piso entre los postes y después hasta la parte superior del segundo poste, como en la figura. Demuestre que la longitud más corta de la cuerda ocurrirá cuando θ1 = θ2.

295

53. La esquina superior derecha de una hoja de papel, 12 pulgadas por 8 pulgadas, como en la figura, se dobla sobre el borde inferior. ¿Cómo la doblaría usted para minimizar la longitud del pliegue? Dicho de otra forma, ¿cómo escogería x para minimizar y? 54. Se transporta un tubo de acero por un pasillo de 9 pies de ancho. Al final del pasillo hay un cruce en ángulo recto hacia un pasillo más angosto de 6 pies de ancho. ¿Cuál es la longitud del tubo más largo que se puede transportar horizontalmente alrededor del cruce?

55. Halle la máxima área de un rectángulo que pueda circunscribirse en torno a un rectángulo dado de longitud L y ancho W. Sugerencia: Exprese el área como una función de un ángulo θ. 56. Se va a construir un canal para la lluvia a partir de una lámina de metal de ancho 30 cm, doblando un tercio de la lámina en cada lado un ángulo θ. ¿Cómo se debe escoger θ de forma que por el canal pase la máxima cantidad de agua?

57. ¿Dónde se debe escoger el punto P en el segmento de recta AB de forma que se maximice el ángulo θ?

58. Una pintura en una galería de arte tiene una altura h y está colgada de modo que su borde inferior esta a una distancia d sobre el ojo de un observador (como en la figura). ¿A qué distancia de la pared debe colocarse el observador para obtener la mejor vista? Dicho de otra forma, ¿dónde se debe parar el observdor para maximizar el ángulo θ subtendido en su ojo por la pintura?

4.6 EL MÉTODO DE NEWTON Supóngase que un vendedor de autor ofrece venderle un carro por $18000 o a crédito con cuotas de $375 mensuales por cinco años. A usted le gustaría saber cuál es la tasa de interés mensual que el vendedor, en efecto, le está cobrando. Par hallar la respuesta, tiene que resolver la ecuación [1]

48x ( 1 + x )

60

− (1 + x)

60

+1 = 0

296

Los detalles se explican en el Ejercicio 31. ¿Cómo resolvería usted esta ecuación? Para una ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0 , existe una fórmula bien conocida para las raíces. Para las ecuaciones de tercer y cuarto grado también existen fórmulas para las raíces, pero son extremadamente complicadas. Si f es un polinomio de grado 5 o superior, no hay tal fórmula. En la misma forma, no existe una fórmula que nos permita hallar las raíces exactas de una ecuación trascendente como, por ejemplo, cos x = x . Podemos hallar una solución aproximada a la Ecuación 1 graficando el lado izquierdo de la ecuación. Usando una graficadora y luego de experimentar con visores rectangulares, se produce la gráfica de la Fig. 1.

Figura 1

Vemos que además de la solución en x = 0, la cual no nos interesa, existe una solución entre 0.007 y 0.008. El aumento muestra que la raíz es aproximadamente 0.0076. Si necesitamos más precisión, podríamos aumentar repetidamente, pero eso se vuelve fastidioso. Una alternativa más rápida es usar un localizador de raíces numérico en un sistema de álgebra de una computadora o calculadora. Si lo hacemos, encontramos que la raíz, correcta hasta nueve cifras decimales, es 0.007628603. ¿Cómo trabajan estos localizadores numéricos de raíces? Ellos utilizan una variedad de métodos, pero en su mayoría utilizan en parte el método de Newton, el cual también se conoce como el método de NewtonRaphson. Explicaremos cómo trabaja este método, parcialmente para mostrar lo que sucede en el interior de una calculadora o computadora y parcialmente como una aplicación de la idea de aproximación lineal. La geometría detrás del método de Newton se muestra en la Fig. 2, donde la raíz que estamos tratando de hallar está marcada r. Comenzamos con una primera aproximación x1, la cual se obtienen mediante un estimado o de un boceto de la gráfica de f, o de una gráfica de f generada por computadora. Considere la tangente L a la curva y = f ( x ) en el punto ( x , f ( x ) ) y miramos a la intersección de L con eje x, marcada x2. La idea detrás del método de Newton es que la tangente está cerca de la curva y por tanto su intersección con el eje x, x2, está cerca de la intersección de la curva con el eje x (a saber, la raíz r que estamos buscando). Como la tangente es una recta, podemos hallar fácilmente su intersección con el eje x.

Figura 2

Para hallar una fórmula para x2 en términos de x1 usamos el hecho de que la pendiente de L es f ′ ( x1 ) , de modo que su ecuación es

y − f ( x1 ) = f ′ ( x1 )( x − x1 ) Puesto que la intersección de L con el eje x es x2, hacemos y = 0 y obtenemos

0 − f ( x1 ) = f ′ ( x1 )( x − x1 )

297

Si f ′ ( x1 ) ≠ 0 , podemos despejar x2 y obtener

x 2 = x1 −

f ( x1 ) f ′ ( x1 )

Usamos x2 como una segunda aproximación a r. A continuación repetimos este procedimiento con x1 reemplazada por x2, usando la recta tangente en ( x2 , f ( x2 ) ) . Esto da una tercera aproximación:

x 3 = x2 −

f ( x2 ) f ′ ( x2 )

Si seguimos repitiendo este proceso, obtenemos una sucesión de aproximaciones x1, x2, x3, x4, … como muestra la Fig. 3. En general, si la n-ésima aproximación es xn y f ′ ( xn ) ≠ 0 , entonces la siguiente aproximación es

[2]

x n + 1 = xn −

f ( xn ) f ′ ( xn )

Si los números se acercan más y más a r conforme n se vuelve grande, entonces decimos que la sucesión converge a r y escribimos

lím xn = r

n→∞

Figura 3

Aunque la secuencia de aproximaciones sucesivas converge a la raíz deseada para funciones del tipo ilustrado en la Fig. 3, en ciertas circunstancias, la sucesión puede no converger. Por ejemplo, considérese la situación mostrada en la Fig. 4. Se puede ver que x2 es una pero aproximación que x1. Éste es posiblemente el caso cuando f ′ ( x1 ) está cerca de 0. Hasta podría pasar que una aproximación (como x3 en la Fig. 4) caiga fuera del dominio de f. Entonces el método de Newton falla y se debe escoger una mejor aproximación inicial x1. Véanse los Ejercicios 25−27 para ejemplos específicos en los cuales el método de Newton trabaja muy lentamente o simplemente no trabaja.

Figura 4

298

Ejemplo 2 Comenzando con x1 = 2, halle la tercera aproximación x3 a la raíz de la ecuación x 3 − 2 x − 5 = 0 . Solución Aplicamos el método de Newton con

f (x ) = x 3 − 2 x − 5

y

f ′( x ) = 3x 2 − 2

El mismo Newton utilizó esta ecuación para ilustrar su método y escogió x1 = 2 después de algunos ensayos porque f (1) = 6 , f (2) = −1 y f (3) = 16 . La Ecuación [2] se convierte en

x n + 1 = xn −

xn3 − 2 xn − 5 3xn2 − 2

Con n = 1, tenemos

x 2 = x1 − =2−

x13 − 2 x1 − 5 3x12 − 2

23 − 2 ( 2 ) − 5 = 2.1 3 3(2) − 2

Entonces, con n = 2, obtenemos

x 3 = x2 −

x23 − 2 x2 − 5

= 2.1 −

3x22 − 2

( 2.1 )3 − 2 ( 2.1 ) − 5 3

3 ( 2.1 ) − 2

¨

≈ 2.0946

Resulta que esta tercera aproximación x3 ≈ 2.0946 tiene una precisión de hasta cuatro cifras decimales.

Figura 5 Geometría detrás del primer paso en el método de Newton en el Ejemplo 1.

Supóngase que se quiere lograr una precisión dada, digamos de hasta ocho cifras decimales, usando el método de Newton. ¿Cómo sabemos cuando parar? La regla empírica que se usa generalmente es que podemos parar cuando aproximaciones sucesivas xn y xn+1 coinciden hasta ocho cifras decimales. Una afirmación precisa relacionada con la precisión en el método de Newton se dará en el Ejercicio 29 en la Sección 8.8. Observe que el procedimiento al pasar de n a n + 1 es el mismo para todos los valores de n (se denomina un proceso iterativo). Esto significa que el método de Newton es particularmente conveniente para utilizarlo con una calculadora o computadora programables.

Ejemplo 2 Usar el método de Newton para hallar Solución Primero observamos que hallar

6

6

2 correcta hasta ocho cifras decimales.

2 es equivalente a hallar la raíz positiva de la ecuación x6 − 2 = 0

299

de manera que tomamos f ( x ) = x 6 − 2 . Entonces f ′( x ) = 6x 5 y la Fórmula [2] (método de Newton) se convierte en

x n + 1 = xn −

xn6 − 2 6 xn5

Si escogemos x1 = 1 como la aproximación inicial, entonces obtenemos

x2 x3 x4 x5 x5

≈ 1.16666667 ≈ 1.12644368 ≈ 1.12249707 ≈ 1.12246205 ≈ 1.12246205

Como x1 y x2 coinciden hasta ocho cifras decimales, concluimos que 6

2 ≈ 1.12246205

hasta ocho cifras decimales.

Ejemplo 3 Hallar, correcta hasta seis cifras decimales, la raíz de la ecuación cos x = x . Solución Primero reescribimos la ecuación en forma estándar:

cos x − x = 0 Por tanto, tomamos f ( x ) = cos x − x . Entonces f ′( x ) = − sen x − x y la Fórmula [2] se convierte en

x n + 1 = xn −

cos xn − xn cos xn − xn = xn + − sen xn − 1 sen xn + 1

Para estimar un valor adecuado para x1, dibujamos las gráficas de y = cos x y y = x en la Fig. 6. Parece que se intersecan en un punto cuya coordenada x algo menos que 1, de manera que tomamos x1 = 1 como una primera aproximación conveniente.

Figura 6

Entonces, recordando de colocar la calculadora en modo radián, obtenemos

x2 ≈ 0.75036387 x3 ≈ 0.73911289 x 4 ≈ 0.73908513 x5 ≈ 0.73908513 Como x4 y x5 coinciden hasta seis cifras decimales (ocho, de hecho), concluimos que la raíz de la ecuación, correcta hasta seis cifras decimales es 0.739085. En vez de usar el bosquejo en la Fig. 6 para obtener una aproximación inicial para el método de Newton en el Ejemplo 3, pudimos haber usado la gráfica más precisa que da una calculadora o una computadora. La Fig. 7 sugiere que usemos x1 = 0.75 como la aproximación inicial. El método de Newton da entonces

x2 ≈ 0.73911114,

x3 ≈ 0.73908513,

x4 ≈ 0.73908513

y así obtenemos la misma respuesta que antes, pero con un paso menos.

300

Figura 7

4.6 Ejercicios 1.

La figura muestra la gráfica de una función f. Supóngase que se usa el método de Newton para aproximar la raíz r de la ecuación f ( x ) = 0 con aproximación inicial x1 = 1. (a) Dibuje las tangentes que se usen para hallar x2 y x3 y estime los valores numéricos de x2 y x3. (b) ¿Sería x1 = 5 una mejor primera aproximación? Explique.

2.

Siga las instrucciones para el Ejercicio 1(a) pero use x1 = 9 como la aproximación inicial para hallar la raíz s.

3.

Suponga que la tangente a la curva y = f ( x ) en el punto (2, 5) tiene la ecuación y = 9 − 2 x . Si se usa el método de Newton para localizar una raíz de la ecuación f ( x ) = 0 y la aproximación inicial es x1 2, halle la segunda aproximación x2.

4.

Para cada aproximación inicial, determine gráficamente lo que sucede si se usa el método de Newton para la función cuya gráfica se muestra. (a) x1 = 0

5.

(b) x1 = 1

(c) x1 = 3

(d) x1 = 4

(e) x1 = 5

¿Para cuál de las aproximaciones iniciales x1 = a, b, c y d piensa usted funcionará el método de Newton y conducirá a la raíz de la ecuación f ( x ) = 0 ?

Ejercicios 6−8: Use el método de Newton con la aproximación inicial especificada x1 para hallar x2, la tercera aproximación a la raíz de la ecuación dada (dé su respuesta hasta cuatro cifras decimales).

301

x 3 + 21 x 2 + 3 = 0,

6.

1 3

7.

x 5 − x − 1 = 0,

8.

x 7 + 4 = 0,

9.

Use el método de Newton con aproximación inicial x1 = −1 para hallar x2, la segunda aproximación a la raíz de la ecuación x 3 + x + 3 = 0 . Explique cómo trabaja el método graficando primero la función y su tangente en (−1, 1).

x1 = −3

x1 = 1

x 1 = −1

10. Use el método de Newton con aproximación inicial x1 = −1 para hallar x2, la segunda aproximación a la raíz de la ecuación x 2 − x − 1 = 0 . Explique cómo trabaja el método graficando primero la función y su tangente en (1, −1). Ejercicios 11−12: Use el método de Newton para aproximar el número dado correcto hasta ocho cifras decimales.

11.

5

12.

20

100

100

Ejercicios 13−14: Use el método de Newton para aproximar la raíz indicada de la ecuación correcta hasta seis cifras decimales.

13. La raíz de x 4 − 2 x 3 + 5x 2 − 6 = 0 en el intervalo [1, 2]. 14. La raíz positiva de 3 sen x = x . Ejercicios 15−22: Use el método de Newton para hallar las raíces de la ecuación correctas hasta ocho cifras decimales. Comience por dibujar una gráfica para hallar las aproximaciones iniciales.

15. x 6 − x 5 − 6 x 4 − x 2 + x + 10 = 0 17. e − x = 2 + x 2

21. 4 e − x sen x = x 2 − x + 1

16. x 5 − 3x 4 + x 3 − x 2 − x + 6 = 0

18. x 2 ( 4 − x 2 ) =

4 2

x +1

19. x 2 2 − x − x 2 = 1

20. cos ( x 2 − x ) = x 4

22. earctan x = x 3 + 1

23. (a) Aplique el método de Newton a la ecuación x 2 − a = 0 para deducir el siguiente algoritmo para la raíz cuadrada (usado en la antigua Babilonia para calcular

xn + 1 = (b) Use la parte (a) para calcular

a ):

1 a  xn +  2  xn 

1000 correcta hasta seis cifras decimales.

24. (a) Aplique el método de Newton a la ecuación 1 x − a = 0 para deducir el siguiente algoritmo recíproco:

xn + 1 = 2 xn − axn2 Este algoritmo le permite a una computadora hallar recíprocos sin efectivamente dividir. (b) Use la parte (a) para calcular 1/1.6984 correcto hasta seis cifras decimales.

25. Explique por qué el método de Newton no funciona para hallar la raíz de la ecuación x 3 − 3x + 6 = 0 si la aproximación inicial escogida es x1 = 1. 26. (a) Use el método de Newton con x1 = 1 para hallar la raíz de la ecuación x 3 − x = 1 correcta hasta seis cifras decimales. (b) Resuelva la ecuación en la parte (a) usando x1 = 0.6 como la aproximación inicial. (c) Resuelva la ecuación en la parte (a) usando x1 = 0.57. Para esto se necesita una calculadora programable.

302

(d) Grafique f ( x ) = x 3 − x − 1 y sus tangentes en x1 = 1, 0.6 y 0.57 para explicar por qué el método de Newton es tan sensible al valor de la aproximación inicial.

27. Explique por qué el método de Newton falla cuando se aplica a la ecuación aproximación inicial x1 ≠ 0. Ilustre su explicación con un dibujo.

3

x = 0 con cualquier

28. Use el método de Newton para hallar el valor máximo absoluto de la función f ( x ) = x cos x , 0 ≤ x ≤ π , correcto hasta seis cifras decimales. 29. Use el método de Newton para hallar las coordenadas del punto de inflexión de la curva y = x 2 sen x , 0 ≤ x ≤ π , correctas hasta seis cifras decimales. 30. De las infinitamente muchas rectas que son tangentes a la curva y = sen x y que pasan por el origen, existe una que tiene la mayor pendiente. Use el método de Newton para hallar la pendiente de esa recta correcta hasta seis cifras decimales. 31. Un vendedor de carros vende un carro nuevo por $18000. También ofrece vender el mismo carro a crédito con cuotas de $375 mensuales por cinco años. ¿Cuál es la tasa de interés que este vendedor está cargando? Para resolver este problema se necesitará utilizar la fórmula para el valor presente A de una anualidad consistente de n pagos iguales de tamaño R con tasa de interés i por periodo de tiempo:

A=

R −n 1 − ( 1 + i )  i

Reemplazando i por x, demuestre que

48x ( 1 + x )

60

− (1 + x)

60

+1 = 0

Use el método de Newton para resolver esta ecuación.

32. La figura muestra al sol ubicado en el origen y la tierra en el punto (1, 0). La unidad aquí es la distancia entre los centros de la tierra y el sol, denominada una unidad astronómica: 1 UA ≈ 1.496 × 108 km. Hay cinco posiciones L1, L2, L3, L4 y L5 en este plano de rotación de la tierra en torno al sol donde un satélite permanece estacionario con respecto a la tierra porque las fuerzas que actúan sobre el satélite (incluyendo las atracciones gravitacionales de la tierra y el sol) se equilibran entre ellas. Estas posiciones se denominas puntos de libración (un satélite de investigación solar está colocado en uno de estos puntos de libración). Si m1 es la masa del sol, m2 es la masa de la tierra y r = m2 ( m1 + m2 ) , resulta que la coordenada x de L1 es la única raíz de la ecuación de quinto grado

p( x ) = x 5 − ( 2 + r ) x 4 + ( 1 + 2r ) x 3 − ( 1 − r ) x 2 + 2 ( 1 − r ) x + r − 1 = 0 y la coordenada x de L2 es la raíz de la ecuación

p( x ) − 2 rx 2 = 0 Usando el valor r ≈ 3.04042 × 10−6 , halle las ubicaciones de los puntos de libración (a) L1 y (b) L2.

sol

tierra

303

4.7 Antiderivadas Un físico que conoce la velocidad de una partícula podría desear conocer su posición en un instante dado. Un ingeniero que puede medir la tasa variable con la cual el agua se sale de un tanque quiere saber la cantidad perdida durante un cierto periodo de tiempo. Un biólogo que conoce la tasa con la cual un población de bacteria está creciendo podría querer deducir cuál será el tamaño de la población en algún tiempo futuro. En cada caso, el problema es hallar una función F cuya derivada es una función conocida f. Si una función F así existe, se denomina una antiderivada de f.

DEFINICIÓN Una función F se denomina una antiderivada de f en un intervalo I si F ′( x ) = f ( x ) para toda x en I.

Por ejemplo, sea f ( x ) = x 2 . No es difícil descubrir una antiderivada de f si recurrimos a la Regla de Potencia. De hecho, si F( x ) = 13 x 3 , entonces F ′( x ) = x 2 = f ( x ) . Pero la función G( x ) = 13 x 3 + 100 también cumple con la relación G ′( x ) = x 2 . En consecuencia, tanto F como G son antiderivadas de f. En efecto, cualquier función de la forma H ( x ) = 13 x 3 + C , donde C es una constante, es una antiderivada de f. Surge la pregunta: ¿Hay algunas otras? Para responder esta pregunta, recuerde que en la Sección 4.2 usamos el Teorema del Valor Medio para demostrar que si dos funciones tienen derivadas idénticas en un intervalo, entonces ellas deben diferir por una constante (Corolario 4.2.7). Por tanto, si F y G son cualesquiera dos antiderivadas de f, entonces

F ′( x ) = f ( x ) = G′( x ) de modo que G( x ) − F( x ) = C , donde C es una constante. Esto lo podemos escribir como G( x ) = F( x ) + C y tenemos el resultado siguiente:

1 TEOREMA Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, entonces la antiderivada más general de f en I es

F( x ) + C donde C es una constante arbitraria.

Regresando a la función f ( x ) = x 2 , vemos que la antiderivada general de f es

1 3

x 3 + C . Si se asignan valores

específicos a la constante C, obtenemos una familia de funciones cuyas gráficas son traslaciones verticales unas de otras (véase la Fig. 1). Esto tiene sentido ya que cada curva debe tener la misma forma para cualquier valor de x dado.

Ejemplo 1 Hallar la antiderivada más general de cada una de las funciones siguientes: (a) f ( x ) = sen x

(b) f ( x ) = 1 x

(c) f ( x ) = x n ,

n ≠ −1

Solución (a) Si F( x ) = − cos x , entonces F ′( x ) = sen x , de modo que una antiderivada de sen x es − cos x . Por el Teorema 1, la antiderivada más general es G( x ) = − cos x + C .

304

Figura 1

(b) Recuerde de la Sección 3.3 que

d ( ln x ) = 1 dx x Entonces, en el intervalo (0, ∞), la antiderivada general de 1/x es ln x + C . También aprendimos que

d ( ln x dx

1

)= x

para toda x ≠ 0. El Teorema 1 nos dice entonces que la antiderivada general de f ( x ) = 1 x es ln x + C en cualquier intervalo que no contenga a 0. En particular, esto se cumple en cada uno de los intervalos (−∞, 0) y (0, ∞ ) . Por tanto, la antiderivada general de f es

x>0  ln x + C 1 , F( x ) =   ln ( −x ) + C 2 , x < 0 (c) Usamos la Regla de Potencia para descubrir una antiderivada de x n . De hecho, si n ≠ −1, entonces

d  x n+ 1  ( n + 1) x n = xn  = dx  n + 1  n+1 Por tanto, la antiderivada general de f ( x ) = x n es

F( x ) =

xn+ 1 +C n+1

Ésta es válida para n ≥ 0 ya que entonces f ( x ) = x n está definida en un intervalo. Si n es negativa (pero n ≠ −1), es válida sólo en cualquier intervalo que no contenga a 0. Igual que en el Ejemplo 1, toda fórmula de diferenciación, cuando se lee de derecha a izquierda, da lugar a una fórmula de antidiferenciación. En la Tabla 2 se da una lista de algunas antiderivadas particulares. Cada fórmula en la tabla es cierta porque la derivada de la función en la columna de la derecha aparece en la columna de la izquierda. En particular, la primera fórmula dice que la antiderivada del producto de una constante por una función es el producto de la constante por la antiderivada de la función. La segunda fórmula dice que la antiderivada de una suma es la suma de las antiderivadas (usamos la notación F’ = f, G’ = g).

305

2 Tabla de Fórmulas de Antidiferenciación Función

Antiderivada particular

Función

Antiderivada particular

cf ( x )

cF( x )

sec2 x

tan x

f ( x ) + g( x )

F( x ) + G( x )

sec x tan x

secx

( n ≠ 1)

xn+1 n+1

1

1 x

ln x

ex

ex

cosh x

senh x

cos x

sen x

senh x

cosh x

sen x

− cos x

xn

1 − x2 1 1 + x2

sen −1 x

tan −1 x

Ejemplo 2 Hallar todas las funciones g tales que

g ′( x ) = 4 sen x +

2x5 − x x

Solución Primero reescribimos la función dada en la forma siguiente:

g ′( x ) = 4 sen x +

2x5 x 1 − = 4 sen x + 2 x 4 − x x x

De modo que queremos hallar una antiderivada de

g ′( x ) = 4 sen x + 2 x 4 − x − 1 2 Usando las fórmulas en la Tabla 2 junto con el Teorema 1, obtenemos

g( x ) = 4 ( − cos x ) + 2

x 5 x1 2 − 1 +C 5 2

= −4 cos x + 25 x 5 − 2 x + C En aplicaciones del cálculo es muy común tener una situación como en el Ejemplo 2, don de se pide hallar una función, dado que se conocen sus derivadas. Una ecuación que involucra las derivadas de una función se denomina una ecuación diferencial. Éstas se estudiarán con cierto detalle en la Sección 7.7, pero por el presente solamente podemos resolver algunas ecuaciones diferenciales elementales. La solución general de una ecuación general envuelve una constante arbitraria (o constantes arbitrarias) como en el Ejemplo 2. Sin embargo, pueden existir algunas condiciones adicionales que determinarán las constantes y por tanto especifican en forma única la solución.

Ejemplo 3 Hallar f si f ′( x ) = e x + 20 ( 1 + x 2 ) Solución La antiderivada general es

−1

y f (0) = −2 .

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f ′( x ) = e x +

20 1 + x2

es

f ( x ) = e x + 20 tan −1 x + C Para determinar C usamos el hecho de que f (0) = −2 :

f (0) = e 0 + 20 tan −1 0 + C = −2 Por tanto, se obtiene que C = −2 − 1 = −3 y la solución particular es

f ( x ) = e x + 20 tan −1 x − 3 Ejemplo 4 Hallar f si f ′′( x ) = 12 x 2 + 6x − 4 , f (0) = 4 y f (1) = 1 . Solución La antiderivada general de f ′′( x ) = 12 x 2 + 6x − 4 es

f ′( x ) = 12

x3 x2 +6 − 4 x + C = 4 x 3 + 3x 2 − 4 x + C 3 2

Usando la antidiferenciación una vez más, se encuentra que

f (x ) = 4

x4 x3 x2 +3 −4 + Cx + D = x 4 + x 3 − 2 x 2 + Cx + D 4 3 2

Para determinar C y D usamos las condiciones dadas: f (0) = 4 y f (1) = 1 . Puesto que f (0) = 0 + D = 4 , tenemos que D = 4. Como

f (1) = 1 + 1 − 2 + C + 4 = 1 tenemos que C = −3. Por tanto, la función requerida es

f ( x )0x 4 + x 3 − 2 x 2 − 3x + 4 Movimiento Rectilíneo La antidiferenciación es de particular utilidad en el análisis del movimiento de un objeto a lo largo de una línea recta. Recuerde que si el objeto tiene función de posición s = f (t ) , entonces la función velocidad es v(t ) = s′(t ) . Esto significa que la función de posición es una antiderivada de la función de velocidad. En la misma forma, la función aceleración es a(t ) = v′(t ) , de modo que la función velocidad es una antiderivada de la aceleración. Si se conocen la aceleración y los valores iniciales s(0) y v(0), entonces se puede hallar la función de posición al antidiferenciar dos veces.

Ejemplo 5 Una partícula se mueve en una línea recta y tiene una aceleración dada por a(t ) = 6t + 4 . Su velocidad inicial es v(0) = −6 cm/s y su desplazamiento inicial es s(0) = 9 cm. Halle su función de posición s(t).

Solución Como v′(t ) = a(t ) = 6t + 4 , la antidiferenciación da

v(t ) = 6

t2 + 4t + C = 3t 2 + 4t + C 2

Observe que v(0) = C y se nos da que v(0) = −6; por tanto, C = −6 y

v(t ) = 3t 2 + 4t − 6

307

Puesto que v(t ) = s′(t ) , s es la antiderivada de v y

s(t ) = 3

t3 t2 + 4 − 6t + D = t 3 + 2t 2 − 6t + D 3 2

Esto da s(0) = D. Se nos da que s(0) = 9; por tanto, D = 9 y la función de posición requerida es

s(t ) = t 3 + 2t 2 − 6t + 9 Un objeto cerca de la superficie de la tierra está sometido a una fuerza gravitacional que produce una aceleración hacia abajo denotada por g. Para movimiento cercano a la superficie podemos suponer que g es constante y su valor es de aproximadamente 9.8 m/s2 (o 32 ft/s2).

Ejemplo 6 Se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad de 48 ft/s desde el borde de un acantilado a 432 pies sobre la superficie. Halle su altura sobre la superficie t segundos después. ¿Cuándo alcanza su altura máxima? ¿Cuándo choca contra la superficie? Solución El movimiento es vertical y escogemos la dirección positiva hacia arriba. En el instante t, la distancia sobre la superficie es s(t) y la velocidad v(t) está disminuyendo. Por tanto, la aceleración debe ser negativa y tenemos que

a(t =

dv = −32 dt

Tomando antiderivadas, se obtiene

v(t ) = −32t + C Para determinar C usamos la información dada de que v(0) = 48. Esto da 48 = 0 + C y entonces

v(t ) = −32t + 48 La altura máxima se alcanza cuando v(t) = 0, esto es, después de 1.5 s. Como s′(t ) = v(t ) , antidiferenciamos una vez más y obtenemos

s(t ) = −16t 2 + 48t + D Usando el hecho de que s(0) = 432, tenemos 432 = 0 + D y por tanto

s(t ) = −16t 2 + 48t + 432 La expresión para s(t) es válida hasta que la pelota golpea la superficie. Esto sucede cuando s(t) = 0, esto es, cuando

−16t 2 + 48t + 432 = 0 o

t 2 − 3t − 27 = 0 Usando la fórmula cuadrática para resolver esta ecuación, obtenemos

t=

3 ± 3 13 2

Rechazamos la solución con el signo menos ya que da un valor negativo para t. Por tanto, la pelota golpea la superficie después de 3 ( 1 + 13 ) 2 ≈ 6.9 s.

308

Figura 3 Función de posición de la pelota en el Ejemplo 6.

4.7 Ejercicios Ejercicios 1−14: Hallar la antiderivada más general de la función. Verifique su respuesta por diferenciación.

1.

f ( x ) = 12 + 34 x 2 − 45 x 3

2.

f ( x ) = 8x 9 − 3x 6 + 12 x 3

5.

f (x ) = 3 x − 2 3 x

6.

f (t ) =

9. h(θ) = 2 sen θ − sec 2 θ 13. f ( x ) =

x5 − x3 + 2x x4

3t 4 − t 3 + 6t 2 t4

10. f (t ) = sen t + 2 senh t 14. f ( x ) =

3.

f ( x ) = 7 x 2 5 + 8x − 4 5

7. g(t ) =

4.

1 + t + t2

f (x ) = 3 x 2 + x x

8. r (θ) = sec θ tan θ − 2 e θ

t

11. f ( x ) = 5e x − 3 cosh x

12. f ( x ) = 2 x + 6 cos x

2 + x2 1 + x2

Ejercicios 15−16: Hallar la antiderivada F de f que satisfaga la condición dada. Verifique su respuesta comparando las gráficas de f y F.

15. f ( x ) = 5x 4 − 2 x 3 , F(0) = 4

16. f ( x ) = 4 − 3 ( 1 + x 2 )

−1

, F(1) = 0

Ejercicios 17−34: Hallar f.

17. f ′′( x ) = 20 x 3 − 12 x 2 + 6 x 19. f ′′( x ) = 23 x 2 3

18. f ′′( x ) = x 6 − 4x 4 + x + 1 20. f ′′( x ) = 6 x + sen x

21. f ′′′(t ) = cos t

22. f ′′′(t ) = et + t −4

23. f ′( x ) = 1 + 3 x , f (4) = 25

24. f ′( x ) = 5x 4 − 3x 2 + 4, f ( −1) = 2

25. f ′(t ) = 4 ( 1 + t 2 ) , f (1) = 0

26. f ′(t ) = t + 1 t 3 , t > 0, f (1) = 6

27. f ′(t ) = 2 cos t + sec 2 t , − π 2 < t < π 2 , f ( π 3 ) = 4

28. f ′( x ) = 4

29. f ′′( x ) = .2 + 12 x − 12 x 2 , f (0) = 4, f ′(0) = 12

30. f ′′( x ) = 8x 3 + 5, f (1) = 0, f ′(1) = 8

31. f ′′(θ) = sen θ + cos θ , f (0) = 3, f ′(0) = 4

32. f ′′(t ) = 3

33. f ′′( x ) = x −2 , x > 0, f (1) = 0, f (2) = 0

34. f ′′(t ) = 2 et + 3 sen t , f (0) = 0, f ( π) = 0

1 − x 2 , f ( 12 ) = 1

t , f (4) = 20, f ′(4) = 7

35. Dado que la gráfica de f pasa por el punto (1, 6) y que la pendiente de su tangente en ( x , f ( x ) ) es 2 x + 1 , hallar f (2) .

36. Hallar una función f tal que f ′( x ) = x 3 y la recta x + y = 0 sea tangente a la gráfica de f.

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Ejercicios 37−38: Se muestra la gráfica de una función f. ¿Cuál gráfica es una antiderivada de f y por qué?

Ejercicios 39−42: Una partícula se está moviendo con los datos dados. Hallar la posición de la partícula.

39. v(t ) = sen t − cos t , s(0) = 0

40. v(t ) = 1.5 t , s(4) = 10

41. a(t ) = 10 sen t + 3 cos t , s(0) = 0, s(2 π) = 12

42. a(t ) = t 2 − 4t + 6, s(0) = 0, s(1) = 20

43. Se deja caer una piedra desde el piso de observación de la Torre CB, 450 pies sobre la superficie. (a) Halle la distancia de la piedra sobre el nivel del suelo en el instante t. (b) ¿Cuánto tiempo le toma a la piedra llegar al suelo? (c)

¿Con qué velocidad choca contra el suelo?

(d) Si la piedra se lanza hacia abajo con una velocidad de 5 m/s, ¿en cuánto tiempo llega al suelo?

44. Demuestre que para movimiento en una línea recta con aceleración constante a, velocidad inicial v0 y desplazamiento inicial s0, el desplazamiento después de un tiempo t es

s = 21 at 2 + v0 t + s0 45. Un objeto se lanza hacia arriba con velocidad inicial v0 m/s desde un punto a s0 metros sobre el suelo. Demuestre que

[ v(t )]2 = v02 − 19.6 [s(t ) − s0 ] 46.

Se lanzan dos pelotas hacia arriba desde el borde del acantilado en el Ejemplo 6. La primera pelota se lanza con una velocidad de 48 pies/s y la otra se lanza un segundo después con una velocidad de 24 pies/s. ¿Alguna vez pasa una bola a la otra?

47. Se deja caer una piedra desde un acantilado y choca con el suelo con una velocidad de 120 pies/s. ¿Cuál es la altura del acantilado? 48. Si un clavadista de masa m está parado en el extremo de un trampolín de longitud L y densidad lineal ρ, entonces el trampolín toma la forma de una curva y = f ( x ) , donde

EIy ′′ = mg ( L − x ) + 12 ρg ( L − x )

2

E e I son constantes positivas que dependen del material del trampolín y g (< 0) es la aceleración debida a la gravedad. (a) Hallar una expresión para la forma de la curva. (b) Use f (L ) para estimar la distancia debajo de la horizontal en el extremo del trampolín.

310

49. Como las gotas de lluvia crecen a medida que caen, su área superficial crece y por tanto aumenta la resistencia a su caída. Una gota de lluvia tiene una velocidad inicial hacia debajo de 10 m/s y su aceleración hacia abajo es

 9 − 0.9t , a= 0

0 ≤ t ≤ 10 t > 10

Si la gota de lluvia está inicialmente a 500 m sobre el suelo, ¿cuánto tiempo tarda en caer?

50. Un carro se desplaza a 50 millas/h cuando se aplican los frenos por completo, produciendo una desaceleración de 22 pues/s2. ¿Cuál es la distancia recorrida por el carro antes de detenerse? 51. ¿Qué aceleración constante se requiere para incrementar la velocidad de un carro desde 30 millas/h hasta 50 millas/h en 5 s? 52. Un carro frena con una desaceleración constante de 16 pies/s2, produciendo marcas de frenado que miden 200 pies antes de detenerse por completo. ¿Con que velocidad viajaba el carro cuando se aplicaron los freos por primera vez? 53. Un carro se desplaza a 100 km/h cuando el conductor ve un accidente a 80 m de distancia y aplica los frenos. ¿Qué desaceleración constante se requiere para detener el carro a tiempo y evitar y evitar un amontonamiento? 54. Un cohete modelo se lanza verticalmente hacia arriba desde el reposo. Su aceleración para los primeros tres segundos es a(t ) = 60t , en cuyo momento se acaba el combustible y se convierte en un cuerpo en “caída” libre. Catorce segundos después, se abre el paracaídas del cohete y la velocidad (hacia abajo) disminuye linealmente a −18 pies/s en 5 s. Entonces, el cohete “flota” hacia tierra con esa tasa. (a) Determine la función de posición s y la función de velocidad v (para todos los instantes t). Dibuje las gráficas de s y v. (b) ¿En qué momento alcanza el cohete si altura máxima y cuál es esa altura? (c)

¿En qué momento aterriza el cohete?

55. Un tren bala de alta velocidad acelera y desacelera con la tasa de 4 pies/s2. Su máxima velocidad de crucero es 90 millas/hl (a) ¿Cuál es la distancia máxima que el tren puede recorrer si acelera desde el reposo hasta que alcanza su velocidad de crucero. (b) Supóngase que el tren arranca desde el reposo y debe detenerse por completo en 15 minutos. ¿Cuál es la distancia máxima que puede recorrer bajo estas condiciones? (c) Halle el tiempo máximo que tarda el tren para desplazarse entre dos estaciones consecutivas que están a una distancia de 45 millas entre ellas. (d) El viaje de una estación a la siguiente tarda 37.5 minutos. ¿A qué distancia están las estaciones una de la otra?

RESPUESTAS A EJERCICIOS IMPARES

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