Inegalitatea Lui Bernoulli

Inegalitatea lui Bernoulli Daca α>0, r>1 si r Є Q , atunci : (q+α)r>1+ r α Demonstratie: Fie r= >1, cu p Є N si q Є N*. Aplicam inegalitatea dintre media geometrica si media aritmetica pentru numerele : (1+r α),(1+r α),…,(1+r α) , 1,1,…,1 , obtinem: p√(

) q < 1+

= 1+α

De aici rezulta 1+r α<(1+α) ,adica (1+α)r >1+r α Observatie: Inegalitatea lui Bernoulli (1654-1705), este cunoscuta si in variant particulara: (1+x)n ≥ 1+nx , pentru orice x> -1 si orice numar natural. Aplicatii: 1) Sa se arate ca daca n>9900, atunci 1,01n >100. Rezolvare: Conform inegalitatii lui Bernoulli: 1,01n =(1+

)n >1+

> 1+99=100

2) Sa se arate ca n√ -1 < . Rezolvar: Inegalitatea din ipoteza este echivalenta cu 2<(1+ )n , adevarata conform inegalitatii lui Bernoulli. 3) Sa se arate ca 690 > 594 . Rezolvare: Avem 690 > 594  (645) 2 >(547) 2 645 >547  ( ) 45 >52 .Dar ( ) 5 =(1+ ) 5 >1+5· =2 si atunci ( ) 45 >29 >25.

ECUATII FUNCTIONALE PE R 1) a) b) c) d) e) f) g) h)

Sa se determine functia f:R ─>R astfel incat f(0) ≠0 si verifica relatia: f(x) * f(y) =f(y+xy) , (V)x,y Є R; f(x) * f(y) =f(x+xy) , (V)x,y Є R; f(x) * f(y) =f(y-xy) , (V)x,y Є R; f(x) * f(y) =f(x-xy) , (V)x,y Є R; f(x) * f(y) =f(2x+3xy) , (V)x,y Є R; f(x) * f(y) =f(4xy-5y) , (V)x,y Є R; f(x) * f(y) =f(x -xy) , (V)x,y Є R; f(x) * f(y) =f(10xy-y ) , (V)x,y Є R; 2

2

Solutii: In a), c), f), h) inlocuind y=0 se obtine: f(x) * f(0) =f(0) si impartind prin f(0) , cu f(0) ≠0, rezulta f(x) =1, V x Є R. In b), d), e), g) inlocuind x=0 se obtine f(0) * f(y) =f(0) si impartind prin f(0) , cu f(0) ≠0, rezulta f(y) =1, (V) y Є R. Facand in final substitutia y ─>x, ontinem solutia f(x) =1, (V) x Є R. 2) a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

Sa se determine functia f:R ─>R astfel incat f(1) ≠0 si verifica relatia: f(x) * f(y) =f(2-y) , (V)x,y Є R; f(x) * f(y) =f(4-3x) , (V)x,y Є R; f(x) * f(y) =f(2-x ) , (V)x,y Є R; f(x) * f(y) =f(5-4y ) , (V)x,y Є R; f(x) * f(y) =f(2-x ) , (V)x,y Є R; f(x) * f(y) =f(xy-x-y+2) , (V)x,y Є R; f(x) * f(y) =f(xy-x-2y+3) , (V)x,y Є R; f(x) * f(y) =f(xy-y+3x-2) , (V)x,y Є R; f(x) * f(y) =f(x -x+1) , (V)x,y Є R; f(x) * f(y) =f(y -y+1) , (V)x,y Є R; 2

2

2

2

3

Solutii: In a), c), e), f), i) inlocuind y=1 obtinem f(x) * f(1) =f(1) si impartind prin f(1) , cu f(1) ≠0, rezulta f(x) =1, (V)x Є R; In b), d), g), h) inlocuind x=1 obtinem f(1) * f(y) =f(1) si impartind prin f(1) ,cu f(1) ≠0 rezulta f(y) =1, (V)y Є R; In final, facand substitutia y─>x, obtinem f(x) =1, (V)x Є R. 3) Sa se determine toate functiile f:R─>R care verifica relatia a) f(x) * f(y) + f(x) + f(y) +1=xy , (V)x,y Є R; b) f(x) * f(y) + f(x) + f(y) +1=4xy, (V)x,y Є R; c) f(x) * f(y) - f(x) - f(y) +1=9xy, (V)x,y Є R; d) f(x) * f(y) - 2f(x) - 2f(y) +4=9xy+x+y+1, (V)x,y Є R; e) f(x) * f(y) - xf(x) =2y f(x), (V)x,y Є R; f) f(x) * f(y) +3f(x) + 3f(y) +9=xy-2x-2t+4, (V)x,y Є R; g) f(x) * f(y) + f(x) + f(y) +1=x2y2, (V)x,y Є R; Solutii: Metoda I: Luand y=x => [f(x) +1]2 =x2 , (V)x,y Є R => f(x) +1= ±x, adica f(x) =x-1 sau f(x) = -x-1, (V)x,y Є R. Metoda II: Luand y=x=1=> f2 (1) +2 f(1) =0=> f(1) =0 sau f(1) = -2: a) Daca f(1) =0, facand y=1 in relatia initiala obtinem: f(x) * f(1) + f(x) * f(y) +1=x=> f(x) =x-1, (V)x,y Є R. b) Daca f(x) = -2, obtinem analog f(x) = -x+1. 4) Sa se determine toate functiile f:R─>R care verifica relatia: a) f(1-x) + 2f(1+x)=x+3; b) 2f(1-x) + f(1+x)= -x+6; c) 2f(1-x) + 3f(1+x)=x-5; d) f(1-x) -3f(1+x)=4x-3; e) 2f(1-x) -4f(1+x)= -2(6x+1); f) xf(1-x) + (x+1)f(x+1)=6x+2; g) (x+2)f(1-x) + xf(x+1)= -6x+2;

h) (x+2)f(1-x) + (x-1)f(x+1)=2x; i) (x-3)f(1-x) + (x+4)f(x+1)=2x+1; j) 3f(1-x) - 2f(1+x)= -10x+1; Solutie: a) Inlocuind x─> -x se obtine: f(1+x) +2f(1-x) =3-x si luand aceasta relatie impreuna cu relatia initiala obtinem f(1-x) =1-x. Facem substitutia 1-x─>x si avem: f(x) =x, (V)x,y Є R. b) f(x) =x+1, c) f(x) =x-2, d) f(x) =4-x, e) f(x=2x-1) , f) f(x) =4-x. 5) Sa se determine toate functiile f:R─>R care verifica relatia: a) f(1+x) + 2f(1-x)=3x2 -2x+3;