Mat 99(practica)

GUÍA DE EJERCICIOS MAT-99 INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS FACULTAD DE CIENCIAS PURAS Y NATURALES CURSO PREUNIVERSITARIO

La Paz - Bolivia 2019

Índice general

1. Lógica de Proposiciones

1

1.1. Proposiciones y conectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2. Clasificación de formulas Proposicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.3. Simplificación de formulas Proposicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.4. Razonamiento deductivo valido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2. Conjuntos

5

2.1. Conjuntos por extensión y por comprensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2. Inclusión e igualdad de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.3. Unión e Intersección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.4. Diferencia y Complemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.5. Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

i

CAPÍTULO 1

Lógica de Proposiciones

1.1.

Proposiciones y conectivas

Problema. 1 Traduzcanse a forma simbolica los siguientes enunciados compuestos. a) Si la demanda a permanecido constante y los precios han aumentado, entonces el volumen de transacciones tiene que haber disminuido. b) Si x es un numero racional e y un entero, entonces z no es real. c) La suma de dos números es par si y solo si los dos números son pares o los dos números son impares. d) Si y es un entero entonces z no es real, supuesto que x sea un numero real.

1.2.

Clasificación de formulas Proposicionales

Problema. 1 Escribir las tablas de verdad de las siguientes proposiciones: a) (∼ p) ∧ (∼ q)

b) ∼ ((p → q) → (∼ (q → p)))

c) p → (q → r)

d) (p ∧ q) → r

e) (p ↔ (∼ q)) ∨ q

f ) (p ∧ q) ∨ (r ∧ s)

g) (∼ p ∧ q) → (∼ q ∧ r)

h) (p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r))

Problema. 2 Demostrar que:

1

a) La proposición (∼ p) ∨ q da lugar a la misma tabla de verdad de la proposición p → q b) La proposición (∼ p) → (q ∨ r) da lugar a la misma tabla de verdad de la proposición (∼ q) → ((∼ r) → p) Problema. 3 ¿Cuáles entre las proposiciones nos da una tautología? a) p → (q → p)

b) (q ∨ r) → ((∼ r) → q)

c) (p∧ ∼ q) ∨ (q∧ ∼ r) ∨ (r∧ ∼ p)

d) (p → (q → r)) → ((p∧ ∼ q) ∨ r)

Problema. 4 Demostrar que los siguientes pares de proposiciones son lógicamente equivalentes a) (p → q) es logicamente equivalente a (∼ q) → (∼ p) b) (p ∨ q) ∧ r es logicamente equivalente a (p ∧ r) ∨ (q ∧ r) c) (∼ p∧ ∼ q) → (∼ r) es logicamente equivalente a r → (q ∧ p) d) (∼ p ∨ q) → r es logicamente equivalente a (p∧ ∼ q) ∨ res logicamente equivalente a

1.3.

Simplificación de formulas Proposicionales

Problema. 1 Simplificar las siguientes proposiciones: a) ∼ (∼ p∨ ∼ q) b)∼ (p ∨ q) ∨ (∼ p ∧ q) c)∼ (∼ p∨ ∼ q) ∨ (∼ p ∧ q)∨ ∼ (p ∨ q) d)(∼ p ∧ q)∨ ∼ (∼ p ∨ q) ∨ (∼ p∧ ∼ q) e)∼ [(∼ p → r)∧ ∼ (q∧ ∼ p)] f )∼ {∼ (∼ p ∨ q)∨ ∼ p} →∼ [(p ∨ F ) → (r ∨ V )] g)[(p ∧ q) ∨ (∼ q∧ ∼ p) ∨ (r → V ) ∨ (q∧ ∼ p)] ∧ [(q∨ ∼ p) ∧ q] h)[∼ (r∧ ∼ q)∧ ∼ (∼ q → p)] → r i)∼ {∼ [∼ (p ∨ q) → (∼ p∧ ∼ q)]} j)∼ {∼ [∼ (p → (r ∨ t)) ↔ (s ∨ r)] ∧ ∼ (∼ t)} → (t → t)

2

1.4.

Razonamiento deductivo valido

Problema. 1 Demostrar ∼ p

Problema. 2 Demostrar p ∨ q

1. r →∼ p

1. ∼ r → p

2. s → r

2. F ∨ G →∼ r

3. s

3. G

Problema. 3 Demostrar r ∨ s

Problema. 4 Demostrar A

1. C ∨ D

1. ∼ G → E

2. C ∨ D →∼ F

2. E → K

3. ∼ F → (A∧ ∼ B)

3. ∼ G

4. A∧ ∼ B → r ∧ s

4. ∼ K∨ ∼ L 5. L ∨ M 6. M → A

Problema. 5 Demostrar r = 8

Problema. 6 Demostrar x 6= 0

1. r = 10 ∨ r < 5

1. x = y → x = z

2. (r > 5 ∨ t < 2) → (t < r ∨ s = 0)

2. x = z → x = 1

3. r < 5 → t < 2

3. x = 0 → x 6= 1

4. s = 0 →∼ (r > 5 ∨ t < 2)

4. x = y

5. r = 10 → r > 5 6. t < r → r = 8 Problema. 7 Demostrar a = 3

Problema. 8 Demostrar P → Q

1. ∼ (c < 8 ∨ a > b) ∧ b = 5

1. P → S

2. a ≮ b ∨ a = 3

2. R → Q

3. a > c → a > b

3. P → R

4. a ≯ c → a < b

√ Problema. 10 Demostrar x ≮ 3 ∧ y < x √ 1. y > x ∨ y < 3 √ √ 2. y < 3 → (y < x ∧ x ≮ 3) √ 3. y > x → y = 3 √ 4. y 6= 3 ∧ z = 100

Problema. 9 Demostrar x2 + 1 ≤ 10 1. x = 2 ∧ x2 + 1 ≤ 10 → x 6= y 2. x 6= y → x = 2 3. x2 + 1 10 → x 6= y

3

Problema. 11 Demostrar (a + c = 5) → (b = 5) 1. (a + b = 7 → b = 5) ∨ a + c = 5 2. c 6= 2 ∨ (a + c = 5 → a + b = 7) 3. a + b 6= 7 ∧ z = 2 Problema. 12 Demostrar ∼ (r = s ∨ s ≯ a) 1. s 6= a ∧ s ≮ a 2. s ≯ a → s < a ∨ s = a 3. r = b ∨ r = b 4. r = b → r 6= s 5. r > b → r 6= s Problema. 13 Demostrar: m =

3 → (m + n = 7 ∧ mn =

√ 6 √ 2. m + n 6= 7 → m 6= 3 √ √ √ 3. (n = 3 ∨ m = 6) →∼ (m + n = 7 ∧ mn = 6) 1. m =

√

√

3 → mn =

Problema. 14 Demostrar la inconsistencia de la premisa: 1. a < b → a 6= b 2. b > c → c ≮ b 3. a ≮ b → c < b 4. ∼ (a = b → b ≯ c)

4

√ 6)

CAPÍTULO 2

Conjuntos

2.1.

Conjuntos por extensión y por comprensión

1. Escribir los siguientes conjuntos por extensión a) A = {x ∈ Z : | x |≤ 3}  c) C = x ∈ R : | x − 12 |≤ 2


n b) B = an : an = − n1 + 1 para n = 2, 3, 4, 5

e) E = {x ∈ Z : x2 < 7}

f ) F = {x ∈ Z : x = 4m + 6n donde m, n ∈ Z}

g) G = {x ∈ Z : 3 < x < 7 y x es primo}

h) H = {x ∈ R : x2 − 3x + 2 = 0}

i) I = {x ∈ R : x2 + 1 = 2}

j) J = {x ∈ Z : x3 − 1 = 0}

d) D = {x ∈ Z : x = 2m + 3n donde m, n ∈ Z}

2. Escribir los siguiente conjuntos por comprensión

2.2.

a) A = {−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2}

b) B = {i, u}

c) C = {−2, 2}

e) E = {a, b, c}

Inclusión e igualdad de conjuntos

1. Verificar si los siguientes incisos son verdaderos o falsos a) ∅ ∈ {∅}

b) {∅} ⊆ {{∅}}

c) ∅ = {∅}

d) {∅} ∈ {{∅}}

e) ∅ ⊆ {∅}

f ) {∅} = {∅, {∅}}

g) {a, a, b, c} = {a, b, c}

h) {a} = {a, {a}}

i) {a} ∈ {a, {a}}

j) {a} ⊆ {a, {a}}

k) {{a}} ⊆ {a, {a}}

l) {a, b} ⊆ {a, {a, b}}

5

2. Cuantos subconjuntos tiene cada uno de los siguientes conjuntos a) {1}

b) {1, 2}

c) {1, 2, 3}

y generalizar

2.3.

Unión e Intersección

1. Verificar que 0

0

0

a) Si A ⊆ B y A ⊆ B , entonces A ∩ A ⊆ B ∩ B

0

b) A ∩ B = A si y sólo si A ⊆ B 2. Diga si cada uno de los siguientges incisos son falsos o verdaderos, en caso afirmativo verificarlo y en caso contrario dar un contraejemplo a) A ∪ B = A ∪ C entonces B = C b) A ∩ B = A ∩ C entonces B = C c) A ∪ B = A ∪ C y A ∩ B = A ∩ C entonces B = C 3. Determinar los siguientes conjuntos a) Z+ \ Z−

b) Z+ ∩ Z−

c) Z+ ∪ Z−

4. Dado que U = {1, 2, 3, ..., 10}, A = {3, 9, 10}, B = {1, 2, 6, 7} y C = {2, 5, 7, 9} tres conjuntos. Ubicarlos en un diagrama de Venn conveniente. 5. Sean los conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 4, 6, 8} y C = {2, 4, 5, 7} obtener un conjunto X tal que X ⊆ A y X = B ∩ C 6. ¿Cual de las siguientes afirmaciones son verdaderas? ¿Cuales son falsas? Para las que sean falsas proporciona un contraejemplo. a) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C, para todo A, B y C b) A ∪ B ⊆ A ∩ B implica que A = B c) A ∩ (∅ ∪ B) = A siempre que A ⊆ B d) A ∪ B = A ∩ B si y solo si A = B

2.4.

Diferencia y Complemento

1. Considera que U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 4, 5}, B = {1, 2, 4, 5} y C = {2, 3, 5}, tres conjuntos. Determina los elementos de: 6

a) X = [(A ∩ B)c ∪ (A − C)] ∩ (A − B)

b) Y = (A ∪ B)c ∩ (A ∪ C)

2. Si U = {1, 2, 3, ..., 10}, A = {1, 3, 5, 6}, B = {3, 6, 9, 10} y C = {3, 4, 5, 6}, determinar los elementos de los siguientes conjuntos: a) A ∩ (B − C)

b) C − (B − A)

c) (C − B) − A

d) (Ac − B) ∩ C c

3. Verificar que para cualesquiera conjuntos A, B y C vale que a) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C)

b) A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C)

c) A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ C

d) (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C)

4. Suponga que A ∩ B = ∅, verificar que a) A ∩ (B ∪ C) = A ∩ C

b) A − B = A

c) A = (A ∪ B) − B 5. Verificar que si B ⊆ A, entonces a) B ∪ CA (B) = A

b) B ∩ CA (B) = ∅

6. Dados los siguientes conjuntos a) A = {x ∈ Z : | x |≤ 5}

b) B = {x ∈ N : x es divisor de 6}

c) C = B = {x ∈ N : x2 < 16}

d) D = {x ∈ R : x2 − 3x + 2 = 0}

calcular a) A ∪ D

b) (A ∩ B) ∪ C

c) (A − B) ∪ (B − D)

d) (B − A) ∩ C

e) A4B

f ) (A ∩ B) ∩ C

g) (C − A) ∩ (A − C)

h) (A ∩ B) − C

7. Demuestre que para cualesquiera A, B y C subconjuntos de un conjunto universo Z. a) {B ∩ [(A ∪ B)c ∪ (B ∪ Ac )c ]}c = Z b) [(Ac ∪ B) − (A ∪ B)c ] ∪ B c = Z c) (B ∩ C) − [(A ∩ B) ∪ (C ∪ A)] = ∅ 8. Sin utilizar diagramas de Venn, demostrar que: a) A ⊆ B c si y solo si A ∩ B = ∅ b) A ∪ B = U si y solo si Ac ⊆ B 7

c) A ⊆ B, entonces (A ∩ C) ⊆ (B ∩ C) d) A ⊆ B, entonces (A ∪ C) ⊆ (B ∪ C) 9. Sabiendo que H = A 4 B, I = A 4 C y J = B 4 C simplifique (H 4 I) 4 J 10. Sabiendo que {2, 3} = A ⊆ B ⊆ C y que (A ∪ B) 4 X = (B ∩ C) 4 A determinar el conjunto X 11. Demostrar (A − B) − C ⊆ A − (B − C) 12. Demostrar A − (B − C) = (A − B) ∪ (A ∩ C)

2.5.

Producto Cartesiano

Problemas: 1. Dibujar en el plano cartesiano a) A = {(m, n) ∈ N2 :

−1 ≤ m − n ≤ 1}

b) B = {(m, n) ∈ N2 :

1 ≤ m − n ≤ 4}

c) C = {(x, y) ∈ R2 :

x2 = y}

d) D = {(x, y) ∈ R2 :

x ≥ 0 e y ≥ 0 y x + y = 1}

2. Demostrar A × B = ∅ ⇔ A = ∅ ∨ B = ∅ 3. Demostrar A ⊂ B ∧ C ⊂ D ⇔ A × C ⊂ B × D 4. Demostrar (A − B) × C = (A × C) − (B × C) 5. Demuestre que: a) (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C) b) (A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C) c) A × (B − C) = (A × B) − (A × C) d) A × (B 4 C) = (A × B) 4 (A × C) 6. Sean A, B ⊆ X y C, D ⊆ Y . Demuestre que: a) (A × C) ∩ (B × D) = (A ∩ B) × (C ∩ D) b) (A × C) ∪ (B × D) ⊆ (A ∪ B) × (C ∪ D) . Muestre que es posible que se de la igualdad. c) (X × Y ) − (B × C) = ((X − B) × Y ) ∪ (X × (Y − C)) 7. Demostrar o refutar a) A ⊆ B si y solo si P (A) ⊆ P (B) b) P (A ∪ B) = P (A) ∪ P (B)

8

c) P (A ∩ B) = P (A) ∩ P (B) 8. Demostrar (A − B) − C = A − (B ∪ C)

9