Series De Fourier

MATEMÁTICAS APLICADAS

SERIES DE FOURIER Bibliografía: 1. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería – Kreyszig 10ma. Edición, capítulo 11 2. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería 2, Cálculo Vectorial, Análisis de Fourier y Análisis Compljeo – Dennis Zill 3ra. Edición, capítulo 4. 3. Análisis de Fourier – Murray Spiegel (serie Schaum), capítulo 2.

Marzo 2018 – Agosto 2018

FUNCIONES PERIÓDICAS Una función se denomina periódica si para toda 𝑥 ∈ 𝑅, en su dominio y para algún número positivo T, se tiene que:

f ( x  T )  f ( x) Al número T se le denomina periodo de la función. La gráfica de la función periódica se obtiene mediante la repetición de la curva comprendida en el intervalo T. En una función periódica, también se cumple que para un número n entero positivo:

f ( x  nT )  f ( x)

Entonces, los números 2𝑇, 3𝑇, 4𝑇, ⋯ , 𝑛𝑇, ⋯ son también periodos de f(x). Para dos funciones f(x) y g(x) con periodo T, se cumple que la función ℎ 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥), también tiene periodo T.

FUNCIONES PERIÓDICAS Un ejemplo de funciones periódicas son las funciones trigonométricas seno y coseno.

T  2

f ( x)  sen( x)

f ( x)  cos( x)

Para 1, cos 𝑥 , sen 𝑥 , cos 2𝑥 , sen 2𝑥 , ⋯ , cos 𝑛𝑥 , sen 𝑛𝑥 , ⋯ , el conjunto es ortogonal, por lo que se puede usar el mismo para representar funciones, así como se usan las funciones de Bessel y los polinomios de Legendre. Se debe tomar en cuenta que: 

 cos(nx) sen(mx)dx  0



n, m



0 si n  m sen( nx ) sen( mx ) dx     si n  m 

0 si n  m  cos(nx) cos(mx)dx   si n  m

SERIE TRIGONOMÉTRICA – SERIE DE FOURIER Las funciones seno y coseno de periodo 2𝜋, se puede usar para formar una serie trigonométrica tal como: a0  a1 cos( x)  b1 sen( x)  a2 cos(2 x)  b2 sen(2 x)    an cos(nx)  bn sen(nx)  

La serie trigonométrica puede ser utilizada para representar una función de periodo 2𝜋, y se denomina serie de Fourier. Los coeficientes, 𝑎0 , 𝑎1 , 𝑎2 , ⋯ , 𝑎𝑛 , ⋯ y 𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 , ⋯ , 𝑏𝑛 , ⋯ son coeficientes reales, y cada término de la serie tendrá el periodo 2𝜋. De este modo una función f(x) de periodo 2𝜋 se puede representar mediante una serie trigonométrica denominada Serie de Fourier. f ( x)  a0  a1 cos( x)  b1 sen( x)  a2 cos(2 x)  b2 sen(2 x)    an cos(nx)  bn sen(nx)   

f ( x)  a0   an cos(nx)  bn sen(nx) n 1



f ( x)   an cos(nx)  bn sen(nx) n 0

SERIE DE FOURIER – FÓRMULAS DE EULER El problema será determinar los coeficientes de la serie, de manera que la misma converja y represente a la función f(x).

Los coeficientes se pueden determinar usando las fórmulas de Euler:

1 a0  2



 f ( x)dx



an 

1





 f ( x) cos(nx)dx

bn 



n  1,2,3, 

1





 f ( x) sen(nx)dx



n  1,2,3, 

Ejemplo 1: Encontrar la representación de una serie de Fourier, determinando los coeficientes de la serie de Fourier para la función: 0 para    x  0 f ( x)   0 x   Ax para

f ( x  2 )  f ( x)

f(x) A

-2π

-π

π

2π

3π

x

SERIE DE FOURIER Teorema 1: Si 𝑓(𝑥) es una función de periodo 2𝜋 y seccionalmente continua en el intervalo −𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 y tiene derivada por la izquierda y la derecha en cada punto de este intervalo, entonces la Serie de Fourier es convergente. La suma de esta serie es 𝑓(𝑥), excepto en un punto 𝑥0 en el que 𝑓 𝑥 sea discontinua y la suma de la serie es el promedio de los límites desde la izquierda y la derecha de 𝑓(𝑥) en 𝑥0 . La serie se puede escribir como: 

f ( x)  a0   an cos(nx)  bn sen(nx) n 1

En 𝑥0 , donde existe una discontinuidad finita, se cumple: 

f ( x0 )  a0   an cos(nx0 )  bn sen(nx0 )  n 1

lím f ( x)  lím f ( x)

x  x0

x  x0

2

SERIE DE FOURIER Ejemplo 2: Determinar la serie de Fourier para la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 , para − 𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 y 𝑓 𝑥 + 𝑇 = 𝑓(𝑥), siendo 𝑇 = 2𝜋. Ejemplo 3: Determinar la serie de Fourier para la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 , para − 𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 y 𝑓 𝑥 + 𝑇 = 𝑓(𝑥), siendo 𝑇 = 2𝜋.

Teorema 2 – Serie de Fourier de funciones pares: La serie de Fourier de una función 𝑓(𝑥) par de periodo T, es una “serie de cosenos” dada por: 

f ( x)  a0   an cos(nx) n 1

Donde los coeficientes de Fourier se determinan de las fórmulas de Euler:

a0 

1



f ( x)dx   0

an 

2



f ( x) cos(nx)dx   0

n  1,2,3, 

SERIE DE FOURIER DE FUNCIONES PARES E IMPARES Teorema 3 – Serie de Fourier de funciones impares: La serie de Fourier de una función 𝑓(𝑥) impar de periodo T, es una “serie senoidal” dada por: 

f ( x)   bn sen(nx) n 1

Donde los coeficientes de Fourier se determinan de las fórmulas de Euler: 

bn 

2

f ( x) sen(nx)dx  

n  1,2,3, 

0

Teorema 4 – Serie de Fourier de suma de funciones: Los coeficientes de una suma de funciones 𝑓1 𝑥 + 𝑓2 (𝑥), son la suma de los coeficientes de Fourier de 𝑓1 (𝑥) y 𝑓2 (𝑥). Ejemplo 4: Para la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 𝑥 2 cuando −𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 y 𝑓 (𝑥 + 2𝜋) = 𝑓(𝑥), determinar la serie de Fourier.

SERIE DE FOURIER – PERIODO ARBITRARIO Las funciones pueden tener periodo arbitrario T. La serie de Fourier en este caso se puede obtener usando un cambio de escala. Sea 𝑓(𝑡) una función con periodo T, entonces se introduce la variable x de modo que 𝑓(𝑡) sea una función de x con periodo 2𝜋.

t

T x 2

x

2 t T

Los coeficientes de Fourier se determinan a través de las fórmulas de Euler mediante las expresiones: T

2

1 a0   f (t )dt T T 2

T

2 an   f (t ) cos 2Tn t dt T T 2 2

n  1,2,3, 

T

2 2 bn   f (t ) sen  2Tn t dt T T 2

n  1,2,3, 

La serie de Fourier para la función 𝑓(𝑡) con periodo T es: 

f (t )  a0   an cos 2Tn t   bn sen  2Tn t  n 1

SERIE DE FOURIER – PERIODO ARBITRARIO Ejemplo 5: Para la función 𝑓(𝑡) con periodo 𝑇 = Fourier. T

si 

0 f (t )    E sen(t )

2

t 0

0t 

si

T

2𝜋 , 𝜔

determinar la serie de

f (t  nT )  f (t )

2

En el caso de que la función 𝑓(𝑡) es par, los coeficientes son:

2 a0  T

T

2



f (t )dt

0

4 an  T

T

2



f (t ) cos 2Tn t dt

bn  0

n  1,2,3, 

0

La serie de Fourier para la función 𝑓(𝑡) para la función par es: 

f (t )  a0   an cos 2Tn t  n 1

Si la función es impar, entonces:

a0  0 an  0



Y la serie será:

f (t )   bn sen  2Tn t  n 1

4 bn  T

T

2

 0

f (t ) sen  2Tn t dt n  1,2,3, 

DESARROLLOS DE MEDIO RANGO En varios problemas de la Física, puede existir la necesidad de utilizar una serie de Fourier para representar funciones que se encuentran definidas en un intervalo finito 0 < 𝑡 < 𝑙 sobre el cual está definida 𝑓(𝑡). Para obtener lo expuesto, se puede hacer que el intervalo 0 < 𝑡 < 𝑙 corresponda al intervalo de integración 0 < 𝑡 < 𝑇Τ2 con lo cual se tiene que 𝑇Τ2 = 𝑙 y 𝑇 = 2𝑙. De esta manera 𝑓 𝑡 se puede representar como una serie cosenoidal al considerar a la función como par y hacer que 𝑇 = 2𝑙. l



f (t )  a0   an cos nl t  n 1

1 a0   f (t )dt l0 l

2 an   f (t ) cos nl t dt l 0

n  1,2,3, 

DESARROLLOS DE MEDIO RANGO Se puede también utilizar una representación senoidal para 𝑓(𝑡), si se considera a la función como impar y 𝑇 = 2𝑙, así: 

f (t )   bn sen  nl t  n 1

l

2 bn   f (t ) sen  nl t dt l 0

n  1,2,3, 

Ejemplo 5: Determinar los desarrollos de medio rango para la siguiente función.

 2k  l t f (t )    2k l-t   l

si 0  t  si

l

2

l

2

t l

SERIE COMPLEJA DE FOURIER La serie de Fourier para una función con periodo arbitrario T, se puede expresar como: T



f (t )  a0   an cos 2Tn t   bn sen  2Tn t  n 1

n  1,2,3, 

1 2 a0   f (t )dt T T 2 T

2 2 an   f (t ) cos 2Tn t dt T T 2 T

2 2 bn   f (t ) sen  2Tn t dt T T 2

Se utiliza las siguientes fórmulas de Euler para realizar las siguientes sustituciones:

e i  cos   i sen 

cos  

1 2

e  i  cos   i sen 

sen  

1 2i

e e

i

 e  i

i

 e  i

Si en las expresiones para la serie de Fourier se hace 𝜃 =

 

2𝑛𝜋 𝑡 𝑇

SERIE COMPLEJA DE FOURIER Entonces se obtiene una expresión para la serie compleja de Fourier representada como: 

f (t )  c0   cn e

i 2 nTt

n 1



  kne

c0  a0

i 2 nTt

cn 

n 1

kn 

1 2

an  ibn 

1 2

an  ibn 

Si al tercer término se hace que 𝑘𝑛 = 𝑐−𝑛 , entonces la serie se puede expresar:  1 

f (t ) 

c

n  

n

e

i 2 nTt

 c0   cn e

i 2 nTt

f (t )   cn e

i 2 nTt



n 1

En donde el coeficiente de la serie compleja de Fourier se obtiene T como: 2

1 i 2 nTt cn   f (t )e dt T T 2

n  1,2,3, 

Ejemplo 6: Encontrar la serie compleja de Fourier para 𝑓 𝑡 = 𝑒 𝑡 , con −𝜋 < 𝑡 < 𝜋 y 𝑓 𝑡 + 2𝜋 = 𝑓(𝑡). A partir de este resultado determinar la serie real de Fourier.

COEFICIENTES DE FOURIER SIN INTEGRACIÓN Los coeficientes 𝑎𝑛 y 𝑏𝑛 para las funciones polinómicas que son periódicas se pueden determinar utilizando los saltos de la función y de sus derivadas. Salto de una función: Para una función 𝑔(𝑥), se define al salto en un número 𝑥0 a la diferencia entre los límites por la derecha y por la izquierda de la función 𝑔(𝑥) en 𝑥0 , es decir:

j0  g ( x0  0)  g ( x0  0) El salto podrá ser positivo (salto hacia arriba) o negativo (salto hacia abajo). Las siguientes expresiones se utilizan para una función con periodo 𝑇 = 2𝜋, pero es válido incluso para funciones de periodo arbitrario. Para la función 𝑓(𝑥) con periodo 𝑇 = 2𝜋 y representada por los polinomios 𝑝1 , 𝑝2 , 𝑝3 , ⋯ , 𝑝𝑚 en el intervalo −𝜋 < 𝑥 < 𝜋. Esta se puede expresar como:

COEFICIENTES DE FOURIER SIN INTEGRACIÓN  p1 ( x)  p ( x)  2 f (t )   p3 ( x)    pm ( x)

si

x0  x  x1 ( x0   )

si

x1  x  x2

si

x2  x  x3

si

𝑗𝑠 = salto de 𝑓(𝑥) en 𝑥𝑠 . 𝑗𝑠′ = salto de 𝑓′(𝑥) en 𝑥𝑠 .

xm 1  x  xm ( xm   )

𝑗𝑠′′ = salto de 𝑓′′(𝑥) en 𝑥𝑠 . ⋮

La función 𝑓(𝑥) tiene saltos en 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑚 , así como todas sus derivadas 𝑓 ′ 𝑥 , 𝑓 ′′ 𝑥 , 𝑓 ′′′ 𝑥 , ⋯.

Ejemplo 7: Determine todos los saltos de la siguiente función y de sus derivadas. si    x  0 0 f (t )   2 x

si

0 x 

Se puede utilizar estos conceptos de los saltos para determinar los coeficientes de Fourier sin necesidad de realizar la integración.

COEFICIENTES DE FOURIER SIN INTEGRACIÓN Los coeficientes de pueden determinar utilizando las expresiones: 1 an  n

1 m ' 1  m      j sen nx  j cos nx   s s s   s n s 1 n2  s 1

1 m 1 m ' 1     bn  j cos nx  j sen nx   s  s s s n  s 1 n s 1 n2

1 m '''  j sen nxs   3  js cosnxs       n s 1 

m



'' s

s 1

m

 s 1

1 m '''  j cosnxs   3  js sen nxs        n s 1  '' s

n  1,2,3,  Ejemplo 8: Encontrar la serie de Fourier para la función 𝑓(𝑥) con periodo 𝑇 = 2𝜋. A 4A  x  f ( x)   4 A  4 A x   A 

si

0 x4 4

 x2

2

 x  3 4

si



si



si

3

4

 x 

OSCILACIONES FORZADAS Las series de Fourier también se pueden aplicar para calcular las soluciones particulares de las ecuaciones diferenciales no homogéneas.

Ejemplo 9: Aplicación a un circuito eléctrico. 1 2   2 t  2 t e(t )    t  1 t 2  2 2

si

  t  0

si

0t 