Teorema De Los Ejes Paralelos O Teorema De Steiner: I= R Dm...........(1)

Teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner Martes 24 de marzo del 2020 Física II Marco Aurelio Sánchez Benavides Resumen, demostración y explicación Lo primero que se tiene que tener en cuenta es que el objeto al cual se le quiere obtener su momento de inercia está dando vueltas con respecto al eje z y que se “aplasta” a la figura en un plano xy, además de que se está obteniendo el momento de inercia de un objeto con respecto a un eje arbitrario y no respecto a un eje en el centro de masa. Y el eje arbitrario es paralelo al eje primado. El eje de rotación va a estar en una posición arbitraria de la figura y el eje primado estará en el centro de masa de la figura. Por definición se sabe que: I =∫ r 2 dm...........(1) Donde I es el momento de inercia que se busca de un eje arbitrario, r es la distancia desde el eje hasta la masa y dm es el diferencial de masa.

Ahora en serway 10ª edición para encontrar r se utiliza Pitágoras, sin embargo, no creo que sea necesario, debido a que r es la distancia que hay entre el dm y el eje de rotación, no importa la “altura” por así decirlo, dependerá de la perspectiva. Se sabe que entre el eje de rotación y el eje primado que está en el centro de masa hay una distancia d y entre el eje primado y el diferencial de masa hay una distancia r´. Por lo que se puede decir que: r =d +r ´ Entonces se puede rescribir la ecuación 1 de la siguiente manera: I =∫ ( d+ r ´ )2 dm Con ayuda del álgebra se puede reescribir así: I =∫ ( d 2+2 dr ´ +r 2) dm Y con propiedades de las integrales: I =∫ d 2 dm+∫ (2 dr ´ ) dm+∫ r ´ 2 dm Ahora para evaluar la primera integral, se tiene que la distancia entre el eje primado y el eje arbitrario es una constante por lo que se obtendría lo siguiente:

I =d 2∫ dm+∫ (2 dr ´ ) dm+∫ r ´ 2 dm

I =d 2 m+∫ (2 dr ´ ) dm+∫ r ´ 2 dm Después en la segunda integral se puede reescribir de la siguiente manera:

2 d ∫ r ´ dm Y como la distancia del centro de masa al centro de masa es cero, la integral anterior es cero. Entonces se obtiene que: I =d 2 m+∫ r ´ 2 dm Y de la expresión anterior, la integral faltante, sería igual al momento de inercia del eje primado o centro de masa por lo que se puede reescribir como: I =d 2 m+ I CM Que es lo que se quería demostrar, algunos libros lo escriben como: I p=I CM + M d 2 Donde la p del momento de inercia representa un punto cualquiera y M representa la masa total. Ejercicios

ICM es la inercia de un solo disco, y la posición está dada por radio por el coseno del ángulo, donde el radio (x) ira variando al igual que theta.

R2π

I CM =∬ x 2( cos θ)2 dm 00

Después utilizando la densidad superficial, longitud de arco y perímetro: σ=

M π r2

s=θr p=2 πr Después obteniendo diferencial de longitud de arco, y de la densidad superficial: σ=

dM 2 πrdr

ds=rdθ Después se tiene que la longitud del arco diferencial va ser igual al perímetro: ds=2 πr Entonces se puede sustituir en la expresión de densidad superficial: σ=

dM rdθdr

Se sustituye el diferencial de masa en la integral: R2π

I CM =∬ x 2(cos θ)2 σrdθdr 00

Ahora el radio r es un radio cualquier que va variando o sea x, y se saca lo constante: R2π

I CM =σ ∬ x 3 (cos θ)2 dθdr 00

Haciendo uso de identidades trigonométricas y sustituyendo la densidad superficial: R2π

I CM =

M x3 ∬ (1+ cos 2 θ) dθdx 2 π R2 00 2

Como la x3/2 es constante: R

2π

M x3 I CM = ∫ (1+ cos 2θ) d θdx 2∫ πR 0 2 0 Separando la integral se obtiene que: R

I CM =

2π

2π

M x3 ∫ [∫ dθ+∫ cos 2θdθ ] π R2 0 2 0 0

Resolviendo la integral del coseno se obtiene que es igual a cero y la segunda integral se obtiene como resultado 2π por lo que se llega a que: R

M x3 I CM = 2 πdx ∫ 2 πR 0 2 Se va el dos y el pi y se obtiene que: R

I CM =

M x 3 dx 2∫ R 0

Resolviendo la integral se obtiene que: I CM =

M R4 R2 4

Cancelando los términos debidos se obtiene que: 1 I CM = M R 2 4

Una vez teniendo al expresión de: 1 I = M R2 + M d 2 4 Se deriva implícitamente la masa para después integrar de –L/2 a L/2 por el diferencial de masa: L 2

I=∫ −L 2

( 14 R +d ) dm 2

2

Utilizando la densidad volumétrica del cilindro: ρ=

M π r2 h

Diferenciando h que sería la variable x: ρ=

dM π R2 dx

Y sustituyendo en la integral: L 2

I=∫ −L 2

( 14 R + x ) ρπ R dx 2

2

2

Sacando de la integral los valores constantes y sustituyendo ro por su valor: L 2

I=

M 1 2 2 π R2 ∫ R + x dx 2 πR L −L 4

(

)

2

Separando la integral y cancelando los valores pertinentes fuera de la integral:

I=

L 2

L 2

2

2

M 1 [ ∫ R2 dx+ ∫ x 2 dx ] L −L 4 −L

Resolviendo las integrales se obtiene que: I=

M 1 2 ( ) L3 L 3 [ R L +( + )] L 4 24 24

Que multiplicando y reduciendo términos se obtiene que: 1 1 I = M R 2 + M L2 4 12 Que es la inercia de todos los disquitos sumados que giran con respecto al centro de masa.

Partiendo del teorema: I p=I CM +d 2 m Primero se obtendrá la inercia de las varillas verticales las cuales tienen un área de b*da, plateando la densidad superficial y diferenciando para a que son las varillas que se quieren obtener primero. σ=

M A

σ=

M b∗a

σ=

dM b∗da

Ahora se sabe que: I CM =∫ r 2 dm Como va a ser la variable que cambia, o sea es r, entonces se puede sustituir: σ=

dM b∗dr

Despejando el diferencial de masa y sustituyendo en la integral se: I CM =∫ r 2 σbdr Sacando los valores constantes de la integral y sustituyendo σ por su valor, se obtiene que:

I CM =

M b∫ r 2 dr ba

Cancelando b y los límites serán de –a/2 a a/2, porque se está analizando las varillas verticales: a 2

I CM =

M ∫ r 2 dr a −a 2

Se resuelve la integral, todavía no evaluándola se obtiene que: M r3 I CM = a 3

Evaluando la el resultado en los límites se obtiene que:

I CM =

M 1 a 3 a3 + a 3 8 8

(

)

Simplificando la expresión se obtiene que:

I CM =

1 M a2 12

Se sustituye en la expresión del teorema de los ejes paralelos: I p=

1 M a 2+ d 2 m 12

Se diferencian las masas, y después se integra de –b/2 a b/2

b 2

I p= ∫ −b 2

b 2

1 2 a dm+ ∫ d 2 dm 12 −b 2

Como la primera integral contiene constantes se sacan y se obtiene que:

I p=

b 2

b 2

2

2

1 2 a ∫ dm+ ∫ d 2 dm 12 −b −b

Y resolviendo la primera integral se obtiene que: b 2

I p=

1 2 a M + ∫ d 2 dm 12 −b 2

En al integral faltante, d va a ser la variable, y de nuevo se hizo uso de la densidad lineal, sin embargo esta vez se diferenció b por lo que se obtiene que: σ=

dM d b∗a

Despejando el diferencial de masa y sustituyendo en la integral se obtiene que: b 2

I p=

1 2 a M + ∫ d 2 dbaσ 12 −b 2

Se saca de la integral los valor constantes y se sustituye el valor de σ: b 2

I p=

1 2 M a M + a ∫ d 2 db 12 ba −b 2

Cancelando a que está afuera de la integral y resolviendo sin evaluar aun: I p=

1 2 M d3 a M+ 12 b 3

Evaluando la integral: I p=

1 2 M 1 b 3 b3 a M+ ( + ) 12 b 3 8 8

Y simplificando la expresión se obtiene que:

I p=

1 M (a2 +b 2) 12

Que sería la inercia de la placa en un eje ubicado en el centro de masa.