Calculo Integral: Universidad Nacional Abierta Y A Distancia – Unad

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD

CALCULO INTEGRAL

Tarea 2 – Metodo de integracion

Grupo No. 100411A_611

Integrantes:

Código: Skype: Zaroso

Tutor: Guido Vidal Ayala

Universidad Abierta y a Distancia UNAD CEAD Barranquilla 2019

INTRODUCCION

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La integración es el proceso contrario de la derivación, y su desarrollo consiste en el cálculo de las anti derivadas, para este cálculo se utilizan diversos métodos y técnicas, entre las cuales están: la integración directa, integración por sustitución, integración por partes, integración por funciones trigonométricas, integración por sustitución trigonométrica, integración por fracciones parciales. En el Presente Trabajo vamos a poner en práctica los conocimientos adquiridos en la unidad 2 del curso de cálculo integral, para el desarrollo de problemas con integrales a través del uso de las técnicas antes mencionadas.

DESARROLLOS PUNTOS E

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Tipo de ejercicios 1 – Integración por sustitución. Desarrollar los ejercicios seleccionado utilizando el método de integración por sustitución.

∫ √ x3

1+ √ x

dx

Multiplicar por

√x 3 1+ √ x

3

12−1 √3 x + √ x2 3

3

12−1 √ x + √ x2

∫ √ x3

3

.

12−1 √3 x + √ x2

1+ √ x 12−1 √3 x + √3 x2

dx

Combinacion de fracciones

∫ √ x ¿¿ ¿ ¿ ∫ √ x ¿¿ ¿ ¿ Simplifica el numerador

∫ √ x ¿¿ ¿ Rescribe -1 √3 x como −√3 x

∫ √ x ¿¿ ¿ Reecribe √3 x 2 como ¿

∫ √ x ¿¿ ¿ ¿

Tipo de ejercicios 2 – Integración por partes. Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de integración por partes.

∫ e x sen( x )dx

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Reordena e x y sen (x)

∫ sen( x )e x dx Integracion por partes usando la formula.

∫ udv=uv−¿∫ udv , donde ¿ u=sen ( x) y dv=e x sen( x )e x −∫ e x cos ( x) dx Reordena e x y cos (x) sen( x )e x −∫ cos( x ) e x dx Integracion por partes usando la formula.

∫ udv=uv−¿∫ udv , donde ¿ u=cos( x ) y dv=e x. sen( x )e x −¿ Como -1 es una constante con respecto a x , se mueve -1 fuera de la integral. −¿ Simplicacion multiplicando. sen(x )e x +(−(cos ( x )e x )−∫ e x sen ( x)dx) x Resolviendo para ∫ e sen(x )dx ,descubrimos que

sen (x) e x −(cos(x )e x ) . ∫ e sen( x )dx=¿ 2 x

sen (x) e x −(cos( x ) e x ) +c 2 Simplificacion. ex ¿ ¿ Tipo de ejercicios 3 – Sustitución Trigonométrica y Fracciones parciales.

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Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de integración adecuado: 4

3

2

x +12 x + x−1 dx ∫ 3 x −12 3 x −4 x2 + 4 x Dividir x−1

∫ 3 x + x 3−4 x 2 +4 x dx x−1

∫ 3 xdx ∫ x 3−4 x 2+ 4 x dx 3∫ 3 xdx+∫

x−1 dx x −4 x2 + 4 x 3

Por la regla de la potencia, la integral de x respecto a x es 1 x−1 3( x 2 +c)+∫ 3 dx 2 x −4 x2 + 4 x Combina las fracciones. (

x2 x−1 +c )+∫ 3 dx 2 x −4 x2 + 4 x

Factorizar el numerador y el denominador de 3(

x2 x−1 +c )+∫ dx 2 2 x ( x −2 )

3(

A A A2 x2 +c )+∫ 1 + 2 + dx 2 x x −2 ( x−2 )2

Simplifica 3(

x2 −1 1 1 +c )+∫ + + dx 2 2 4 x 2 ( x−2 ) 4( x−2)

Divide la integral en multiples integrales. 3(

x2 −1 1 1 +c )+∫ dx+∫ dx +∫ dx 2 2 4x 4 ( x−2 )❑ 2 ( x−2 )

x−1 x −4 x 2 +4 x 3

1 2 x. 2

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Eliminar parentesis 3(

x2 −1 1 1 +c )+∫ dx+∫ dx +∫ dx 2 2 4x 4 ( x−2 )❑ 2 ( x−2 )

Dado que -1 es constante con respecto a x , se mueve -1 de la integral. x2 −1 1 1 3( +c )−∫ dx +∫ dx+∫ dx 2 2 4x 4 ( x −2 )❑ 2 ( x−2 ) Dado que 3(

1 1 es constate con respecto a x movemos fuera de la integral. 4 4

x2 +c )−¿ 2

La integral de 3(

1 respecto a x es In (lxl). x

x2 1 1 1 +c )− (¿(x )+ c)+∫ dx+∫ dx 2 2 4x 4 ( x−2 )❑ 2 ( x−2 )

Sea u 1=x−2. entonces du 1=dx rescribir usando u 1 y du 1. 3(

x2 1 1 1 +c )− (¿(x )+ c)+ ∫ u1−2 d u 1+¿ ∫ dx ¿ 2 4x 2 4 ( x−2 )❑

Por la regla de la potencia, la integral de u1−2 respecto a −u1−1 3(

x2 1 1 1 +c )− (¿( x)+c )+ (u¿¿ 1¿¿−1+C)+∫ dx ¿ ¿ 2 4 2 4 ( x−2 )❑

Dado que 3(

1 1 es constate con respecto a x movemos fuera de la integral. 4 4

x2 1 1 1 1 +c )− (¿( x)+c )+ (−u¿¿ 1¿¿−1+C)+ ∫ du2 ¿ ¿ 2 4 2 4 u2

La integral de 3(

1 respecto a u2 es In (lu2l). u2

x2 1 1 1 +c )− (¿( x)+c )+ (−u¿¿ 1¿¿−1+C)+ (¿(l u2 l)+ C)¿¿ 2 4 2 4

Simplifica la respuesta.

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6 x2 +¿ (l x−2 l) 1 ∈(l x l)− 1 +C 4 2(x−2) 4 Tipo de ejercicios 4 – Integral Impropias. Según el ejercicio seleccionado, desarrollar la integral impropia. 5

1

∫ 2

( x−4 )

Factor 5

dx

1

( x−4 )

1

∫ 2

1 3

( x−4 )

1 3

1 3

.

dx

Sea U =x−4. Entonces du=dx . Reescribir usando u=dx . 1

1

∫ −2

(u)

1 3

du

Regla del exponente 1

∫ du

−1 3

du

−2

Por la regla de la potencia, la integral de u

−1 3

3 2 respecto a u es u 3 . 2

2 1

3 3 u 2

]

−2

Simplificar. 3 + 2

3 (−2)

2 3

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

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

Velásquez, W. (2014). Cálculo Integral. Editorial Unimagdalena. (pp. 24 – 32). Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co/login? url=http://search.ebscohost.com/login.aspx? direct=true&db=edselb&AN=edselb.5045548&lang=es&site=eds-live



Rivera, F. (2014). Calculo integral: sucesiones y series de funciones. México: Larousse – Grupo Editorial Patria.  (pp. 88 – 95). Recuperado de https://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2538/lib/unadsp/reader.action? ppg=1&docID=3227578&tm=1536935311791



Aguayo, J. (2012). Cálculo integral y series. Editorial ebooks Patagonia - J.C. Sáez Editor. (pp. 98 – 106). Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co/login? url=http://search.ebscohost.com/login.aspx? direct=true&db=edselb&AN=edselb.3196635&lang=es&site=eds-live