03 Material De Consulta - Programación De Metas

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Programación de Metas

Tomado de Winston, 2009 En todos los problemas formulados hasta este momento, ha existido un solo objetivo general, cómo maximizar ganancias o minimizar costos. En muchas situaciones, sin embargo, Usted puede tener objetivos múltiples, es decir, dos o más metas por lograr. Así en un problema de inversiones, usted podría desear, de manera simultánea, maximizar la recuperación total esperada, maximizar la tasa de recuperación, minimizar la cantidad de riesgo implicado y minimizar las obligaciones fiscales. Los objetivos múltiples pueden presentarse en problemas lineales, enteros e, incluso, en no lineales y existen varias formas de manejar los equilibrios. En este capítulo usted aprenderá un planteamiento para manejar tales equilibrios en un modelo de programación lineal.

APLICACIÓN 1.EL PROBLEMA MULTIOBJETIVO DE ACEROS AREQUIPA: Aceros Arequipa produce tres tipos de tubos: A, que vende a $10 el pie, B, que vende a $12 el pie, y C, que vende a $9 el pie. Para manufacturar un pie del tubo A se requieren 0.5 minutos de tiempo de procesamiento en cierta máquina formadora. Un pie del tubo B 0.45 minutos y un pie del tubo C 0.6 minutos en la misma máquina. Después de la producción, cada pie de tubo independientemente del tipo, requiere una onza de material de soldadura. El costo de producción total esta estimado en $3, $4 y $4 por pie de tubo A, B y C respectivamente. Para la semana siguiente, Aceros Arequipa ha recibido un pedido excepcionalmente grande consistente en 2000 pies del tubo A, 4000 pies del tubo B y 5000 pies del tubo C. Como en la presente semana solamente hay disponibles 40 horas de tiempo de máquina y solamente 5500 onzas de material de soldadura se encuentran en inventario. El departamento de producción no será capaz de cumplir con la demanda que requiere un total de 97 horas de tiempo de máquina y 11000 onzas de material de soldadura. Debido a que la administración no espera que continúe el nivel de demanda tan alto no desea extender las instalaciones de producción, pero tampoco quiere perder el contrato. Por consiguiente, está considerando la posibilidad de adquirir algunos tubos de proveedores japoneses al costo de entrega de $6 por pie de tubo A, $6 por pie de tubo B y $7 por

píe de tubo C. Estos datos se resumen en la siguiente tabla: Tipo de Tubo A Precio de Venta ($/pie) 10 Demanda (pies) 2000 Tiempo de máquina (min/pie) 0.50 Material de soldadura (onzas/pie) 1 Costo de producción ($/pie) 3 Costo de adquisición ($/pie) 6

B 12 4000 0.45 1 4 6

C 9 5000 0.60 1 4 7

Disponibilidad: Tiempo de máquina: 40 horas = 2400 minutos Material de soldadura: 5500 onzas El objetivo consiste en determinar cuánto de cada tubo producir y cuánto adquirir del Japón de modo que se pueda cumplir las demandas y maximizar las ganancias de Aceros Arequipa. Sin embargo, un segundo objetivo surge cuando el director ejecutivo le informa a usted que el gobierno ha impuesto un esfuerzo voluntario para reducir la cantidad de gasto monetario en importaciones. Este problema de hágalo o cómprelo, además de maximizar la ganancia de la empresa, desea también minimizar el costo de las importaciones. Como miembro de la administración que sugiere a Aceros Arequipa?. SOLUCIÓN El problema que implica solamente la maximización de ganancias se formula utilizando seis variables de decisión: PA = número de pies de Tubo A por producir PB = número de pies de Tubo B por producir PC = número de pies de Tubo C por producir IA = número de pies de Tubo A por comprar a Japón

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IB = número de pies de Tubo B por comprar a Japón IC = número de pies de Tubo C por comprar a Japón En términos de estas variables de decisión y de los datos del problema. los dos objetivos a buscar son los siguientes: OBJETIVO1: Maximizar la ganancia de la empresa: Donde: Ganancia = (ganancia de la producción) + (ganancia de los productos comprados a los japoneses) = (7PA + 8PB + 5PC) + (4IA+ 6IB + 2IC) OBJETIVO 2: Minimizar el costo de importación: Donde: Costo importación = (costo de importación de tubos Tipo A) + (costo de importación de tubos Tipo B) + (costo de importación de tubos tipo C) = 6IA +6IB + 7IC Por lo tanto el programa lineal asociado, incluyendo las restricciones de demanda, de recursos y lógicas es el siguiente: Maximizar 7PA + 8PB + 5PC + 4IA + 6IB + 2IC (ganancia de la empresa) Minimizar 6IA + 6IB + 7IC (costo de importaciones) Dependiendo de: Restricciones de Demanda: PA + IA = 2000 (demanda de tubos A) PB + IB = 4000 (demanda de tubos B) PC + IC = 5000 (demanda de tubos C) Restricciones de Recursos: 0.5PA + 0.45PB + 0.6PC <= 2400 (tiempo de máquina) PA + PB + PC <= 5500 (material de soldadura) Restricciones lógicas: PA, PB, PC, IA, IB, IC >= 0 Primero daremos una solución considerando dos modelos matemáticos: uno para la empresa cuya función objetivo es la maximización de utilidades y otro para la minimización del costo de las importaciones. Veremos que existe un conflicto entre estos dos objetivos que se ilustra en el resultado de computación obtenido con el programa LINDO. La solución óptima siguiente es para el programa lineal en el cual el objetivo es maximizar la ganancia, ignorando el costo de las importaciones. Dicha solución óptima es: Salida de LINDO para el objetivo de maximizar la utilidad de la empresa: Max 7PA+ 8PB+ 5PC+ 4IA+ 6IB+ 2IC ST PA+ IA = 2000 PB+ IB = 4000 PC+ IC = 5000 0.5PA+ 0.45PB+ 0.6PC <= 2400 PA+ PB+ PC <= 5500 END LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 55000.00 VARIABLE VALUE REDUCED COST PA 2000.000 0.000 PB 0.000 0.250 PC 2333.333 0.000 IA 0.000 0.500 IB 4000.000 0.000 IC 2666.667 0.000 ROW SLACK OR SURPLUS 2) 0.000 3) 0.000

DUAL PRICES 4.500 6.000

3

4) 0.000 5) 0.000 6) 1166.667 NO. ITERATIONS= 2

2.000 5.000 0.000

Esta solución indica que Aceros Arequipa deberá producir 2000 pies de tubo Tipo A y 2333.333 pies de tubo Tipo C, mientras que deberá importar del Japón 4000 pies de tubo Tipo B y 2666.667 pies de tubo Tipo C, obteniendo una ganancia máxima de 55000 dólares. El costo total de importación para esta solución es: Costo de importación = 6IA + 6IB + 7IC = 6(0) + 6(4000) + 7(2666.667) = $ 42666.667 Por otro lado la solución óptima siguiente es para el programa lineal en el cual el objetivo es minimizar el costo de importaciones, ignorando la utilidad de la empresa. Salida de LINDO para el objetivo de Minimizar el costo de importaciones: Min 6IA + 6IB + 7IC ST PA+ IA = 2000 PB+ IB = 4000 PC+ IC = 5000 0.5PA+ 0.45PB+ 0.6PC <= 2400 PA+ PB+ PC <= 5500 END LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 39800.00 VARIABLE VALUE IA 800.000 IB 0.000 IC 5000.000 PA 1200.000 PB 4000.000 PC 0.000

REDUCED COST 0.000 0.600 0.000 0.000 0.000 0.200

ROW SLACK OR SURPLUS 2) 0.000 3) 0.000 4) 0.000 5) 0.000 6) 300.000 NO. ITERATIONS=

DUAL PRICES -6.000 -5.400 -7.000 12.000 0.000

1

Para minimizar el costo de importaciones Aceros Arequipa deberá producir 1200 pies del tubo tipo A, y 4000 pies del tubo B, mientras que deberá importar del Japón 800 pies del tubo Tipo A y 5000 pies del tubo Tipo C, obteniendo un costo de importación de $39800. La ganancia total a partir de estas cantidades de tubo es la siguiente: Ganancia = 7PA + 8PB + 5PC + 4IA + 6IB + 2IC = 7(1200) + 8(4000) + 5(0) + 4(800) + 6(0) + 2(5000) = $ 53600 Como puede ver, en un intento por minimizar el costo de las importaciones la ganancia disminuye de su valor máximo de $ 55000 a $53 600. De manera parecida en un intento por maximizar las ganancias, el costo de las importaciones aumenta de su valor mínimo de $39800 a $42666.667. En la siguiente sección usted aprenderá un planteamiento para lograr el equilibrio entre tales objetivos en conflicto.

APLICANDO PROGRAMACION DE METAS:

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¿De que modo Aceros Arequipa trata los objetivos en conflicto: maximizar las ganancias y minimizar el costo de las importaciones?. Un planteamiento para manejar el equilibrio de estos objetivos en la programación de metas, en la cual, para cada objetivo, usted indica metas de penalizaciones. CARACTERÍSTICAS CLAVE Para aplicar la programación de metas y llegar a una decisión, identifique una meta en la forma de un valor objetivo numérico especifico que usted desea que esa meta logre y una penalización en la forma de un valor para cada unidad que el objetivo se encuentre por debajo de la meta si el objetivo es maximizar o por encima de la meta si el objetivo es minimizar. Ya que se han identificado estas metas y sanciones, se encuentra una solución que minimice las penalizaciones totales asociadas con todos los objetivos.

Identificación de las metas y penalidades: En el problema de Aceros Arequipa, el director ejecutivo, sabiendo que la ganancia máxima posible es de $55000, puede elegir este valor como el objetivo que refleje la meta de lograr la ganancia más alta posible. Así mismo, sabiendo que el costo mínimo posible de las importaciones, según la salida del LINDO es de $39 8OO, el director ejecutivo puede escoger este valor o algún otro como la meta. Por ejemplo, el director ejecutivo puede estar igualmente satisfecho si se hace un intento de lograr un costo de importaciones de $40000, Esta meta de $40000 puede ser violada si al hacerlo tiene como resultado un aumento significativo de la ganancia. Las penalidades, a su vez reflejan la diferencia entre la meta y lo real. Es lo que falta para alcanzar la meta. En cuanto mayor sea esta diferencia, mayor será la penalidad, por lo que el modelo de programación de metas deberá buscar la minimización de las penalidades. De otro lado se puede también asignar prioridades a cada una de las metas, de tal forma que es podría el Gerente plantear que la meta de la ganancia es dos veces mas prioritario que la meta del costo de importación.

Formulación de la programación lineal para un problema de programación de metas: Para desarrollar un modelo de programación lineal apropiado al problema de programación de metas, en el cual usted ha identificado las metas y las penalidades para cada uno de los objetivos, siga los pasos acostumbrados en la identificación de variables de una sola función objetivo y de restricciones.

a)

Identificación de las Variables de Decisión:

Con el enfoque de programación de metas, además de las variables de decisión originales se necesita definir dos nuevas variables para cada objetivo: una para representar la cantidad en la cual el objetivo se pasa del objetivo especificado y la otra para representar la cantidad que esta por debajo de la meta. Por ejemplo, para el problema de Aceros Arequipa, debido a que hay dos objetivos necesita las siguientes cuatro variables de decisión: E1 = cantidad de dólares en que se excede la ganancia de la meta de $55000 D1 = cantidad de dólares que faltan para la ganancia meta de $55000 E2 = cantidad de dólares en que las importaciones exceden la meta de $39800 D2 = cantidad de dólares que faltan para que las importaciones alcancen la meta de $39800. El modelo final debe asegurar que solamente una variable de cada par tenga un valor positivo, y que el valor de la otra sea cero.

b)

Identificación de la Función Objetivo:

Como se estableció anteriormente, en la programación de metas el objetivo es: Minimizar la penalización total por no haber logrado las dos metas. Aplicando la descomposición se tiene el siguiente resultado: Penalización total = importación)

(penalización por no alcanzar la meta de ganancia) + (penalización por exceder la meta de

La variable de decisión D1 es la cantidad que falta para alcanzar la meta de ganancia de $55 000. De igual manera, E2 es la cantidad en que se excede la meta de importación de $39 800. Recuerde que el director ejecutivo ha asignado una prioridad del doble por cada dólar que falte para lograr la meta de ganancia que la asignada a cada dólar que se exceda de la meta de importación. Así pues. la función objetivo para este problema es:

Minimizar :

2D1 + 1E2

c) Identificación de las Restricciones: Las restricciones del modelo de programación de metas serían: Restricciones de Demanda:

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PA + IA = 2000 (demanda de tubos A) PB + IB = 4000 (demanda de tubos B) PC + IC = 5000 (demanda de tubos C) Restricciones de Recursos: 0.5PA + 0.45PB + 0.6PC <=2400 (tiempo de máquina) PA + PB + PC <= 5500 (material de soldadura)

RESTRICCIONES DE METAS: Una para cada meta: Meta 1: Ganancia 7PA + 8PB + 5PC + 4IA + 6IB + 2IC + D1 – E1 = 55000 Meta 2: Costo de Importación 6IA + 6IB + 7IC +D2 – E2 = 39 800 Para ver de que manera E1 y D1 representan la cantidad en la cual la ganancia esta por arriba o por debajo del objetivo de $55 000, observe; lo siguiente: 1. Si la ganancia 7PA + 8PB + 5PC + 4IA + 6IB + 2IC excede la meta de $55 000 entonces el valor de D1 deberá ser 0 y la de E1 deberá ser: E1 = 7PA + 8PB + 5PC + 4IA + 6IB + 2IC – 55000 ó 7PA + 8PB + 5PC + 4IA + 6IB + 2IC – E1 = 55000 2. Si la ganancia 7PA + 8PB + 5PC + 4IA + 6IB + 2IC esta por debajo de la meta de $55 000, entonces el valor de E1 deberá ser 0 y el de D1 deberá ser: D1 = 55 000 – (7PA + 8PB + 5PC + 4IA + 6IB + 2IC ) Restricciones lógicas: PA, PB, PC, IA, IB, IC, D1, E1, D2, E2 >= 0

CARACTERÍSTICAS CLAVE En general, se incluye la siguiente restricción de metas para cada objetivo original: Meta = {Valor objetivo} – {cantidad por arriba de la meta} + {cantidad por debajo de la meta} Al combinar todas las piezas se obtiene el siguiente problema de programación lineal.

PROGRAMA LINEAL DE METAS PARA EL PROBLEMA DE OBJETIVOS MÚLTIPLES DE ACEROS AREQUIPA Minimizar

2D1 + 1E2

Dependiendo de RESTRICCIONES DE DEMANDA PA + IA = 2000 PB + IB = 4000 PC + IC = 5000

(demanda Tipo A) (demanda Tipo B) (demanda Tipo C) ,

RESTRICCIONES DE RECURSOS 0.5PA + 0.45.PB +0.6PC <=2400 (tiempo de maquina) PA + PB + PC <= 5500 (material de soldadura) RESTRICCIONES DE METAS Meta de Ganancia: 7PA + 8PB + 5PC + 4IA + 6IB + 2IC - E1 + D1 = 55000 Meta de Importación:

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6IA + 6IB + 7IC - E2 + D2 = 40000 RESTRICCIONES LÓGICAS PA, PB, PC, IA, IB, IC, D1, E1, D2, E2 >= 0 A continuación se muestra la solución por computadora del problema de programación de metas de Aceros Arequipa utilizando el LINDO y acompañado de las soluciones anteriores. Claramente se observa que la solución de la programación de metas minimiza las penalidades si es que se implementaría una de las soluciones anteriores.

Soluciones óptimas para los tres modelos del problema de producir o comprar de Aceros Arequipa: PROGRAMAS LINEALES DE UN SOLO OBJETIVO MAXIMIZAR GANANCIA Producir: Tipo A Tipo B Tipo C Importar: Tipo A Tipo B Tipo B

MINIMIZAR IMPORTACIONES

PROGRAMA DE METAS MINIMIZAR PENALIZACION

2 000.00 0.00 2 333.33

1 200.00 4 000.00 0.00

2 000.00 3 111.11 0.00

0.00 4 000.00 2 666.67

800.00 0.00 5 000.00

0.00 888.89 5 000.00

53 600.00 39 800.00

54 222.22 40 333.33

Ganancia 55 000.00 Costo Importación 42 666.67

PROGRAMACIÓN DE METAS CON PRIORIDADES: En la sección anterior formulamos y resolvimos un modelo de programación por objetivos que implicaba una meta de prioridad 1 y una meta de prioridad 2. En esta sección mostraremos cómo formular y resolver modelos de programación por objetivos con metas de un mismo nivel de prioridad. Aunque se han desarrollado programas de computadora especialmente para resolver modelos de programación por objetivos. Estos programas no son tan fáciles de conseguir como el software de programación lineal de uso general. Por lo tanto, el procedimiento por computadora que se esboza en esta sección desarrolla una solución al modelo de programación por objetivos resolviendo una secuencia de modelos de programación lineal con un software de programación lineal de uso general.

Aplicación 2: El Problema de SOS; La administración de SOS establece metas, es decir, cuotas mensuales para el tipo de clientes que se contactan. La estrategia de contacto con clientes de SOS determina que en las siguientes cuatro semanas, la fuerza de ventas formada por 4 personas, deben efectuar 200 contactos con clientes que hayan adquirido productos de la empresa, además de hacer 120 contactos con clientes nuevos. La finalidad de esta última meta es asegurarse de que la fuerza de ventas investigue nuevas fuentes de ventas. Tomando en consideración tiempos de viaje y de espera, así como el tiempo directo de venta y de demostración, SOS ha asignado dos horas de esfuerzo de la fuerza de ventas para cada contacto con un cliente anterior. Los contactos con nuevos clientes tienden a ser más largos y requieren tres horas cada uno. Normalmente, un vendedor trabaja 40 ho ras a la semana, es decir 160 en un horizonte de planeación de 4 semanas: según un programa de trabajo normal los 4 vendedores tendrán disponibles 4(160) = 640 horas de la fuerza de ventas para contacto con clientes. La administración, si fuera necesario está dispuesta a utilizar algo de tiempo extraor dinario, pero también aceptará una solución que utilice menos de las 640 horas programadas. Sin embargo, la administración desea que, a lo largo de las 4 semanas, el tiempo extraordinario y la subutilización de la fuerza de trabajo se limite, a no más de 40 horas. Así en referencia

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al tiempo extraordinario la meta de la administración es no utilizar más de 640 + 40 = 680 horas para las ventas: y en cuanto al uso de la mano de obra, la meta de la administración es utilizar por lo menos 640 - 40 = 600 horas de la fuerza de ventas. Además de las metas de contacto con clientes. SOS estableció una meta en relación con el volumen de ventas. Con base en su experiencia. SOS estima que cada cliente anterior contactado generará ventas por 250 dólares y cada cliente nuevo generará 125 dólares de ventas. La administración desea generar ingresos por ventas de por lo menos 70,000 dólares para el mes siguiente. Dada la pequeña fuerza de ventas de SOS y el breve lapso involucrado, la administración decidió que la meta de tiempo extraordinario y la meta de uso de la mano de obra sean de prioridad 1. También concluyó en que la meta de 70,000 dólares debe ser de prioridad 2, y que las dos metas de contactos con clientes deben ser de prioridad 3. Sobre esta base, ahora podemos resumir las metas: Metas de prioridad 1 Meta 1: No utilizar más de 680 horas del tiempo de la fuerza de ventas. Meta 2: No utilizar menos de 600 horas. Metas de prioridad 2 Meta 3: Generar ingresos por ventas de por lo menos 70,000 dólares. Metas de prioridad 3 Meta 4: Visitar por lo menos 200 clientes anteriores. Meta 5: Visitar por lo menos 120 clientes nuevos. Formulación de las ecuaciones objetivo: A continuación debemos definir las variables de decisión cuyos valores se utilizarán para determinar si podemos conseguir las metas. Supongamos que: x1 = número de clientes anteriores contactados x2 = número de clientes nuevos contactados Con estas variables de decisión y las variables de desviación apropiadas, podemos desarrollar una ecuación objetivo por cada meta. El procedimiento utilizado es similar al de la sección anterior. Enseguida aparece un resumen de los resultados obtenidos para cada una de las metas. Meta 1 2x1 + 3x2 – e1 + d1 = 680 donde: e1 = d1 =

cantidad en la cual el número de horas utilizadas por la fuerza de ventas es superior al valor meta de 680 horas cantidad en la cual el número de horas utilizadas por la fuerza de ventas es inferior al valor meta de 680 horas

Meta 2 2x1 + 3x2 – e2+ d2 = 600 donde: e2 = d2 =

cantidad en la cual el número de horas utilizadas por la fuerza de ventas es superior al valor meta de 600 horas cantidad en la cual el número de horas utilizadas por la fuerza de ventas es inferior al valor meta de 600 horas

Meta 3 25x1 + 125x2 – e3 + d3 = 70,000 donde: e3 = d3 =

cantidad en la cual el ingreso por ventas es superior al valor meta de 70,000 dólares cantidad en la cual el ingreso por ventas es inferior al valor meta de 70,000 dólares

Meta 4 x1 – e4 + d4 = 200 donde: e4 = cantidad en la cual el número de contactos con clientes anteriores es superior al valor meta de 200 d4 = cantidad en la cual el número de contactos con clientes anteriores es inferior al valor meta de 200 Meta 5 x2 – e5 + d5 = 120

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donde: e5 = d5 =

cantidad en la cual el número de contactos con clientes nuevos es superior al valor meta de 120 cantidad en la cual el número de contactos con clientes nuevos es inferior al valor meta de 120

Formulación de la función objetivo: Para desarrollar la función objetivo en el problema de SOS, empezaremos considerando las metas de prioridad 1. Al considerar la meta 1, si e1 = 0, habremos encontrado una solución que utilice no más de 680 horas del tiempo de la fuerza de ventas. Como las soluciones en las cuales e1 es superior a cero representan un tiempo extraordinario por encima del nivel deseado, la función objetivo debe minimizar el valor de e1. Al considerar la meta 2, d1 = 0, encontramos una solución que utilice por lo menos 600 horas del tiempo de la fuerza de ventas. Si d2 es superior a cero, la utilización de la mano de obra no habrá alcanzado un nivel aceptable. Por lo tanto, la función objetivo para las metas de prioridad 1 deben minimizar el valor de d2. Ya que ambas metas de prioridad 1 tienen igual importancia, la función objetivo para el problema de prioridad 1 es Mín e1 + d2 Al considerar la meta de prioridad 2, observamos que la administración desea alcanzar ingresos por ventas de por lo menos 70,000 dólares. Si d3= 0, SOS conseguirá ingresos de por lo menos esa cantidad y si d3 > 0, se obtendrán ingreses inferiores a la meta, por lo que la función objetivo para el problema de prioridad 2 es Mín d3 A continuación consideraremos cuál debe ser la función objetivo para el problema de prioridad 3. Al tener en cuenta la meta 4, si d4 = 0 habremos encontrado una solución con por lo menos 200 contactos con clientes anteriores; sin embargo, si d4 > 0, no habremos alcanzado la meta de entrar en contacto con por lo menos 200 clientes ante riores. Así, para la meta 4, el objetivo es minimizar d4. Al ver la meta 5, si d5 = 0 encontraremos una solución de al menos 120 contactos con clientes nuevos; sin embargo, si d5 > 0, no habremos alcanzado dicha meta. Para la meta 5, el objetivo es minimizar d5. Si la meta 4 y la 5 sen de igual importancia la función objetivo para el problema de prioridades 3 sería Mín d4 + d5 Sin embargo, suponga que la administración cree que generar nuevos clientes es vital para el éxito a largo plazo de la empresa, y que la meta 5 debe tener doble peso que la 4; de esta manera la función objetivo para el problema de prioridad 3 sería Mín d4 +2 d5 Combinando las funciones objetivo para los tres niveles de prioridad. obtenemos la función objetivo general para el problema de SOS: Mín P1(e1) + P1 (d2) + P2 (d3) + P3 (d4) + P3(2d5) Como indicamos anteriormente, P1 P2 y P3 son simples etiquetas que nos recuerdan que las metas 1 y 2 son de prioridad 1; la meta 3 es de prioridad 2 y las metas 4 y 5 sen de prioridad 3. Ahora podremos escribir el modelo completo de programación por objetivos como sigue: Mín P1(e1) + P1(d2) + P2(d3) + P3(d4) + P3(2d5) sujeto a: 2x1+ 3x2 – e1 +d1 = 680 Meta 1 2x1 + 3x2 – e2+ d2 = 600 Meta 2 250x1 + 125x2 – e3+ d3 = 70 000 Meta 3 x1 – e4+ d4 = 200 Meta 4 x2 – e5+ d5 = 120 Meta 5 x1, x2, e1, d1, e2, d2, e3, d3, e4, d4, e5, d5>=0

SOLUCION POR COMPUTADORA El siguiente procedimiento por computadora desarrolla una solución a un modelo de programación por objetivos, al resolver una secuencia del problema de programación lineal. El primer problema comprende todas las restricciones y todas las ecuaciones objetivo para el modelo completo de programación por objetivos; sin embargo la función objetivo para este problema involucra únicamente metas de prioridad P1. De nuevo, nos referiremos a este problema como P1. Cualquiera que sea la solución al problema P1, se elabora el problema P2 agregando una restricción al modelo P1, la cual asegure que los problemas subsecuentes no degraden la solución obtenida para el problema P1. La función objetivo para el problema de prioridad 2 toma en consideración únicamente las metas P2. Continuaremos este proceso hasta que hayamos considerado todos los niveles de prioridad. Ilustramos el procedimiento para el problema de SOS utilizando LINDO.

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Para resolver el problema de SOS, iniciaremos con el problema P1: Mín e1 + d2 sujeto a: 2x1+ 3x2 – e1+d1 = 680 Meta 1 2x1 + 3x2 – e2+ d2 = 600 Meta 2 250x1 + 125x2 – e3+ d3 = 70 000 Meta 3 x1 – e4+ d4 = 200 Meta 4 x2 – e5+ d5 = 120 Meta 5 x1, x2, e1, d1, e2, d2, e3, d3, e4, d4, e5, d5>=0 En la figura A mostramos la solución LINDO para este programa lineal. La solución, que consiste de x1 = 300 contactos con clientes anteriores y x2 = 0 contactos con clientes nuevos, consigue tanto las metas 1 y 2 porque e1 y d2 son iguales a cero; de manera alterna, el valor de la función objetivo de e1 + d2 = 0 también confirma que ambas prioridades 1 se alcanzaron. Note que esta solución también alcanza la meta de ingresos por ventas, dado que e3 = 5000 dólares, alcanza la meta 4 ya que e4 = 100 y se queda corta en la meta 5 en d5 = 100 clientes nuevos. Sin embargo, es aun más importante saber que hay una solución que alcanza las metas de prioridad 1 y 2. Dado que la solución al problema P3 también alcanza la meta de prioridad 2, no es necesario que elaboremos un problema P2. De hecho, pasamos directamente a la solución del P3 cuyo modelo se forma agregando una restricción al problema P1 la cual debe garantizar que todas las soluciones posteriores no degraden la solución ya obtenida para las metas de prioridad P1 y P2. Podemos agregar una restricción que obligue a todas las soluciones futuras a satisfacer las restricciones e1 + d2 = 0 y d3 = 0. Al agregar estas restricciones al modelo y escribiendo la función objetivo en función de la meta de prioridad 3, obtenemos el programa lineal y la solución LINDO que aparece en la figura B. La solución óptima al problema P3 es entrar en contacto con x1 = 250 clientes anteriores y con x2 = 60 nuevos. Aunque esta solución excede la meta de contacto con los anteriores en e4 = 50, no llega a la meta de contactos con nuevos por d5 = 60 clientes nuevos. Se consideraron todos los niveles de prioridad por lo que el procedimiento de solución ha terminado. La solución óptima para SOS es entrar en contacto con 250 clientes anteriores y con 60 nuevos. Aunque dicha respuesta no satisface la meta de la administración de entrar en contacto con por lo menos 120 clientes nuevos, consigue todas las demás metas especificadas. Si a la administración no le satisface esta solución se podría considerar un conjunto distinto de prioridades. Sin embargo, la administración debe considerar que en cualquier situación con metas múltiples en distintos niveles de prioridad, muy rara vez se alcanzarán todas las metas con los recursos existentes.

Figura A: SOLUCION CON LINDO AL PROBLEMA P1 OBJETIVE FUNCTION VALUE 1)

0.0000000

VARIABLE VALUE e1 0.000000 d2 0.000000 X1 300.000000 X2 0.000000 d1 80.000000 e2 0.000000 e3 5000.000000 d3 0.000000 e4 100.000000 d4 0.000000 e5 0.000000 d5 100.000000

REDUCED COST 1.000000 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

Figura B: SOLUCION CON LINDO AL PROBLEMA P3 MIN d4 + 2d5 SUBJET TO 2X1 + 3X2 – e1 + d1 =680 2X1 + 3X2 – e2 + d2 = 600 250X1 + 125X2 – e3 + d3 = 70000 X1 – e4 + d4 = 200

10

X2 – e5 + d5 = 120 e1 + d2 = 0 d3 = 0 END OBJETIVE FUNCTION VALUE 1)

120.0000000

VARIABLE e1 d2 X1 X2 d1 e2 e3 d3 e4 d4 e5 d5

VALUE 0.000000 0.000000 250.000000 60.000000 0.000000 80.000000 0.000000 0.000000 50.000000 0.000000 0.000000 60.000000

REDUCED COST 0.000000 1.000000 0.000000 0.000000 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 1.000000 2.000000 0.000000

Aplicación 3: Problema de producción La compañía ARIES ha desarrollado recientemente tres nuevos productos haciendo uso del exceso de capacidad en sus tres plantas sucursales existentes: Cada producto puede fabricarse en cualquiera de las tres plantas. El análisis ha demostrado que sería rentable utilizar el exceso de capacidad para producir estos tres nuevos productos. En realidad, el propósito de la gerencia al desarrollar los nuevos productos era lograr la utilización completa de la capacidad productiva de exceso sobre una base rentable. Mientras que las plantas ARIES generalmente operan a capacidad plena en sus líneas de productos existentes, la producción por debajo de la capacidad normal ocurre con poca frecuencia, presentando problemas con la fuerza laboral. Aunque la compañía no necesita la fuerza laboral plena durante los períodos de holgura, el costo de los despidos sería considerable, y ARIES desearía evitar esto tanto como fuera posible. Además, la gerencia desearía balancear la utilización del exceso de capacidad entre las sucursales. Esto serviría para distribuir equitativamente la carga de trabajo del personal de supervisores asalariados y reducir los agravios de la fuerza laboral que se le paga por horas, que de otra manera se sentiría discriminada con respecto a las cargas de trabajo o a los despidos. Para el período presente se está considerando lo siguiente: Las plantas tienen las siguientes capacidades de producción en exceso (en términos de unidades) de nuevos productos y capacidades de embarque disponibles asignadas a los nuevos productos: Planta 1 2 3

Exceso de Producción 750 unidades 300 “ 450 “

Capacidad Embarque (pies cúbicos) 12000 10000 6500

Los productos 1, 2 y 3 requieren 30, 20 y 15 pies cúbicos por unidad, respectivamente. Las contribuciones unitarias a la utilidad de los productos 1, 2 y 3 son $15, 18 y 12 respectivamente. Los pronósticos de ventas indican que ARIES puede esperar ventas tan altas como 900, 1000 y 700 unidades de los productos 1, 2 y 3 respectivamente, durante el periodo de planeación en consideración. Dada la situación que hemos descrito, la administración ha expresado las siguientes metas de preferencia en orden de importancia decreciente (P1= más importante): P1. Lograr una utilidad perseguida de $15000. P2. Utilizar tanto de la capacidad de exceso como sea posible. Debido al bajo costo de la mano de obra, la administración cree que es 1,5 veces más importante utilizar la capacidad de exceso de la planta 1 que la de las plantas 2 y 3.

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P3. Lograr un balance de la carga de trabajo en la utilización de exceso de la capacidad entre todas las plantas. Debido a ciertas demandas adicionales de los trabajadores de la planta 1, la administración cree que si ocurre algún desbalance en la carga de trabajo, es dos veces más importante que favorecer a la planta 1 con menor trabajo con respecto a las plantas 2 y 3. P4. Lograr el pronóstico de ventas para el producto 2, puesto que este tiene la mayor contribución a la utilidad por unidad. P5. Producir suficiente cantidad de los productos 1 y 3 para cumplir con las ventas pronosticadas. P6. No exceder la capacidad de embarque disponible.

Formulación del modelo Los siguientes pasos se requieren para formular el modelo de programación de metas. 1-Exceso en las restricciones de capacidad Sean: d- desviación negativa. e- desviación positiva. X11 + X21 + X31 – e1 + d1 = 750 X12 + X22 + X32 – e2 + d2 = 300 X13 + X23 + X33 – e3 + d3 = 450. Donde: Xij = número de unidades del producto i producidas en la planta j d1, d2, d3 =exceso de capacidad no utilizada en las plantas 1,2 y 3 respectivamente. e1, e2, e3 = cantidad mediante la cual la capacidad de exceso se excede las plantas 1,2 y 3 respectivamente. 2-Restricciones en el requisito de espacio 30X11 + 20X21 + 15X31 – e4 + d4 = 12000 30X12 + 20X22 + 15X32 – e5 + d5 = 10000 30X13 + 20X23 + 15X33 – e6 + d6 = 6500 Donde: d4, d5, d6 =número de unidades de capacidad de embarque disponible no utilizada en las plantas 1,2 y 3, respectivamente. e4, e5, e6 = número de unidades de capacidad adicional de embarque requerida en las plantas 1,2 y 3, respectivamente 3-Restricciones en las ventas esperadas X11 + X12 + X13 – e7 + d7 = 900 X21 + X22 + X23 – e8 + d8 = 1000 X31 + X32 + X33 – e9 + d9 = 700 Donde: d7, d8, d9 =número de unidades sublogradas de las ventas esperadas de los productos 1, 2 y 3 respectivamente. e7, e8, e9 = número de unidades sobrelogradas de las ventas esperadas de los productos 1, 2 y 3 respectivamente. 4-Balance de carga de trabajo (X11 + X21 + X31) / 750 = (X12 + X22 + X32) / 300 (X11 + X21 + X31) / 750 = (X13 + X23 + X33) / 450 Este balance de ecuaciones puede escribirse como una restricción meta por medio de una simple división y por transposición del miembro derecho como sigue (por transitividad, solamente dos restricciones de balance son necesarias): 0.0013X11 + 0.0013X21 + 0.0013X31 + 0.0033X12 + 0.0033X22 + P0.0033X32 – e10 + d10 = 0 0.0013X11 + 0.0013X21 + 0.0013X31 + 0.00223X13 + 0.00223X23 + 0.00223X33 – e11 + d11 = 0 Donde: d10, d11= número de unidades producidas demasiado bajas con relación a las producidas en las plantas 2 y 3, respectivamente.

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e10, e11= Número de unidades producidas en exceso relativas a las que es producen en las plantas 2 y 3, respectivamente. 5- Restricción de utilidad 15(X11 + X12 + X13) + 18(X21 + X22 + X23) + 12(X31 + X32 + X33) – e12 + d12 = 15000 Donde: d12 =suma en dólares por debajo de la utilidad perseguida. e12 = suma en dólares por encima de la utilidad perseguida. Si la meta de utilidad no se enuncia, se puede restringir el lado derecho de esta ecuación para que sea cero y determinar cuál sería la utilidad. Puesto que todas las variables reales (Xij) y las variables de desviación (d ó e) son no negativas, el valor de (e12, d12) sería la utilidad real. 6- Función objetivo Minimizar Z = P1(e12 + d12) + 1,5P2(d1) + P2(d2 + d3) + 2P3(d10 + d11) + P3(e10 + e11) + P4(d8) + P5(d7 + d9) +P6(e4 + e5 + e6) Puesto que la administración desea conseguir una utilidad perseguida de $15000 con la más alta prioridad, se asigna P1 a las variables de desviación en la meta de restricción de utilidad. La segunda meta de la administración sería utilizar el exceso de capacidad de planta hasta donde fuera posible. Sin embargo, era preferible utilizar el exceso en la planta 1 sobre las plantas 2 y 3 en una relación de 1,5 a 1. Esta situación presumiblemente representa una distinción en los costos de operación de las diferentes plantas. Para reflejar las prioridades relativas de la administración, se modifica la formulación estándar de la función objetivo (que sería (P2(d1 + d2 + d3) a 1,5P2d1 + P2(d2 + d3), que pondera el logro de la minimización de la desviación 1 con un factor de 3/2 vez. El segundo nivel general de prioridades administrativas que tienen que ver con el problema de P2. La tercera meta de la administración era lograr un balance de subutilizarla la planta 1 en vez de sobreutilizarla, debido a factores adicionales desfavorables que existían allí y no se presentan en las plantas 2 y 3. Por tanto, se asigna 2P3 a d10 y d11 y P3 a e10 y e11. Puesto que la cuarta meta era lograr las ventas esperadas del producto 2, se asigna P4 a d8. A d7 y d9 asignamos P5, pues la quinta meta es el logro de estas ventas esperadas. Aquí no preocupa el sobrelogro de las ventas pronosticadas, puesto que se puede, si hay espacio disponible, almacenar un inventario. Si no es posible, las restricciones en la capacidad de embarque, que tienen prioridad más alta, tendrán en cuenta esta situación. Puesto que la sexta meta de la administración es no exceder la capacidad de embarque, se asigna a e4, e5 y e6 el valor de P6.

Aplicación 4.PROBLEMA DE TRANSPORTE. La Mercury Distributing Company suministra un solo producto a tres clientes en diversos sitios desde bodegas diferentes. Durante el período de planeación considerado, la compañía no puede cumplir la demanda de los clientes los cuales deben satisfacerse a expensas de otros. Para evitar desequilibrios serios, es importante balancear la porción de demanda satisfecha entre ciertos clientes. También debido a acuerdos sindicales, la compañía debe satisfacer ciertos requisitos mínimos en los niveles de embarque en ciertas rutas. Finalmente, varias de las rutas sobre las cuales se podría embarcar el producto son peligrosas y deben evitarse. El problema de transporte se resume a continuación, los costos de embarque se dan en cada una de las celdas y los valores de demanda en los márgenes. Note que la demanda total excede al suministro en 1.500 unidades. De a Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 Suministro Bodega 1 10 4 12 3000 Bodega 2 8 10 3 4000 Demanda 2000 1500 5000 La administración ha expresado las siguientes preferencias de las metas en el orden decreciente de importancia (P1= más importante): P1. Satisfacer la demanda total del cliente 3 (entrega garantizada). P2. Satisfacer por lo menos el 75% de la demanda de cada cliente. P3. Minimizar el costo de transporte para los artículos embarcados. P4. Embarcar por lo menos 1.000 unidades en la ruta de la bodega 2 al cliente 1 (convenio sindical). P5. Minimizar el costo de embarque en las rutas de la bodega 1 al cliente 3 y de la bodega 2 al cliente 2 (peligros). P6. Balancear el porcentaje de demanda satisfecha entre los clientes 1 y 2.

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Formulación del modelo Se definen las siguientes variables: Xij = número de unidades embarcadas de la bodega i al cliente j. di = sublogro de la meta en la restricción i-ésima. ei = sobrelogro de la meta en la restricción iésima. 1. Restricciones de suministro. El suministro se restringe a la capacidad de la bodega, por tanto, las desviaciones positivas pueden excluirse de las restricciones de suministro. X11 + X12 + X13 = 3000 X21 + X22 + X23 = 4000. 2. Restricciones de demanda. Supongamos que la compañía nunca desea sobrecumplir la demanda del cliente. Por tanto, las desviaciones positivas pueden excluirse de las restricciones de demanda. Sin embargo, las desviaciones negativas deben incluirse para identificar el sublogro de las metas de demanda, pues la demanda total excede el suministro total. X11 + X21 + d1 = 2000 X12 + X22 + d2 = 1500 X13 + X23 + d3 = 5000 (Meta 1) 3. Mínima meta de demanda satisfecha (Meta 2). Para evitar desequilibrios grandes de satisfacción de demanda entre los clientes, se incluye una meta de satisfacción de por lo menos el 75% de la demanda de cada uno de los clientes. Las restricciones adecuadas, incluyendo variables de desviación son las siguientes: X11 + X21 + d4 – e4 = 0.75(2000) = 1500 X12 + X22 + d5 – e5 = 0.75(1500) = 1125 X13 + X23 + d6 – e6 = 0.75(5000) = 3750 4. Meta del costo de transporte (Meta 3). Puesto que la compañía desea minimizar el costo total de transporte, se impone una meta de cero y se hace un intento por minimizar la desviación positiva de este valor de la meta perseguida. 10X11 + 4X12 + 12X13 + 8X21 + 10X22 + 3X23 - e7 = 0 5. Meta de convenio sindical (Meta 4). El convenio sindical expresa que al menos 1.000 unidades deben embarcarse de la bodega 2 al cliente 1. La variable d8 representa una desviación negativa de esta meta, mientras que la variable e8 es la cantidad de sobrelogro de la meta. X21 + d8 – e8 = 1000 6. Meta de peligros en la carretera (Meta 5). Debido a los peligros de la carretera, la Compañía desea minimizar el embarque desde la bodega 1 al cliente 3 y desde la bodega 2 al cliente 2. Por tanto, el nivel de meta para estas restricciones se fija en cero y se minimizan e10 y e11. X13 – e9 = 0 X22 - e10 = 0 7. Meta de balance a clientes (Meta 6).. La compañía desea transportar cantidades a los clientes 1 y 2 tales que una proporción igual de la demanda de cada una sea satisfecha. Esto se puede expresar por: (X11 + X21) / 2000 = (X12 + X22) / 1500 así, trasponiendo e incorporando variables de desviación, la restricción meta se convierte en: X11 – 1.33X12 + X21 – 1.33X22 + d11 - e11 = 0 8. función objetivo. Minimizar Z = P1(d3) + P2(d4 + d5 + d6) + P3(e7) + P4(d8) + P5(1.2e9 + e10) + P6(d11 + e11) Note que para P5, e9 tiene un coeficiente de 1,2, pues el costo de embarque de la bodega 1 al cliente 3 (costo=12) es 1,2 veces mayor que el costo de embarque de la bodega 2 al cliente 2 (costo=10).

SOLUCIÓN APLICANDO PROGRAMACIÓN LINEAL: 1. Modelo a resolver considerando la meta de prioridad 1:

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La salida nos indica que la meta de prioridad 1 ha sido satisfecha (d3=0), esto se comprueba sumando los suministros hacia el cliente 3 (x13+x23=1000+4000=5000) Ahora para resolver el modelo considerando la segunda meta, agregamos como restricción el valor de la penalidad de la meta 1, a fin de no perder su valor (d3=0)

2. Modelo a resolver considerando la meta de prioridad 2:

La salida nos indica que el requerimiento del al meno el 75% de la demanda del cliente 3 ha sido satisfecha (d6=0), en cambio los requerimientos de los clientes 1 y 2 no han sido satisfechos y para llegar a cumplir dichos requerimientos, al cliente 1 le faltaría 624 unidades (d4=625) y al cliente 2 le faltaría 1 unidad (d5=1).

3. Modelo a resolver considerando la meta de prioridad 3:

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Y así sucesivamente hasta llegar a resolver el modelo con la prioridad 6:

4. Modelo a resolver considerando la meta de prioridad 6:

Finalmente se tiene la solución final del problema. El sólo observar el valor de las variables de penalización nos indica que metas se han cumplido y que metas no se han cumplido y por cuánto.

SOLUCIÓN APLICANDO PROGRAMACIÓN DE METAS DEL WINQSB (Opción Goal Programming):

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APLICACIONES PROPUESTAS: 1.- Un pequeño fabricante de equipo especial de productos de oficina, fabrica dos clases de productos, sillas y lámparas. El margen bruto de la venta de una silla es $80; el de la venta de una lámpara $40. La producción de una silla o de una lámpara requiere 1 hora de capacidad de producción de 10 horas por semana. Debido a la capacidad limitada en las ventas, el máximo número de sillas y lámparas que puede venderse es de seis y de ocho por semana respectivamente. El gerente de planta ha colocado las siguientes metas, clasificadas de acuerdo a importancia (prioridad):

  

Desea evitar la subutilización de la capacidad de producción. Desea vender tantas sillas y lámparas como sea posible. Puesto que el margen bruto de la venta de una silla se ha fijado como el doble de la utilidad de una lámpara, tiene un deseo doble de lograr la meta de sillas sobre la meta de las lámparas Desea minimizar el tiempo extra de la planta tanto como sea posible.

Formule este problema como un problema de programación de metas, para que el gerente de planta pueda tomar una decisión que cumpla sus metas tanto como se pueda.

2.- ICE AREQUIPA produce congeladores. La compañía tiene dos líneas de producción. La tasa de producción para la línea 1 es 3 unidades por hora y para la línea 2 es de 2 unidades por hora. La capacidad regular de producción es de 40 horas por semana para ambas líneas. La utilidad bruta de un congelador es de $125. El presidente de la compañía tiene las siguientes metas para la semana siguiente, que se muestran en orden descendente de prioridad. 1- Cumplir la meta de producción de 200 unidades por semana. 2- Limitar la operación de tiempo extra de la línea a 5 horas. 3- Evitar la subutilización de las horas normales de trabajo de ambas líneas. Formule este problema como un problema de programación de metas. 3.- Una Compañía manufacturera fabrica dos productos que tienen la utilidad y las necesidades de recursos siguientes: Características Utilidad / unidad Horas de departamento A /unidad Horas del departamento B /unidad

Producto 1 $4 1 2

Producto 2 $2 1 5

El programa de producción del mes pasado utilizó 350 horas de mano de obra en el departamento A y 1000 horas en el

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departamento B. En los últimos 6 meses la administración ha sufrido fluctuaciones mensuales en la carga de trabajo en los departamentos por problemas de motivación de la fuerza de trabajo y problemas sindicales. Se han hecho usuales nuevas contrataciones despidos y transferencias interdepartamentales ya que la empresa no ha intentado estabilizar las necesidades de carga de trabajo. La administración desearía desarrollar un programa de producción para el mes siguiente que consiga las siguientes metas: Meta 1: Utilizar 350 horas de mano de obra en el departamento A. Meta 2: Utilizar 1000 horas de mano de obra en el departamento B. Meta 3: Obtener por lo menos 1300 dólares de utilidad. Formule un modelo de programación de metas para este problema suponiendo que las metas 1 y 2 son de nivel P1 y que la meta 3 es de nivel P2. Suponga que las metas 1 y 2 son de igual importancia.

4.- Una industria de automóviles MMC acaba de poner a la venta un nuevo auto de turismo de lujo. Como parte de su campaña promocional, el departamento de comercialización ha decidido enviar invitaciones personalizadas para un recorrido de prueba del nuevo vehículo a dos grupos meta: (1) los propietarios actuales del automóvil MMC de lujo y (2) los propietarios de automóviles de lujo fabricados por uno de los competidores de MMC. El costo de enviar una invitación personalizada a cada uno de los clientes se estima igual a un dólar por carta. Con base en la experien cia con este tipo de publicidad, MMC estima que 25% de los clientes del grupo 1 y 10% de los del grupo 2 harán el recorrido de prueba en el nuevo auto. Como parte de esta campaña, MMC ha establecido las metas siguientes: Meta 1: Obtener que por lo menos 10.000 clientes del grupo 1 hagan un recorrido de prueba. Meta 2: Hacer que por lo menos 5.000 clientes del grupo 2 hagan un recorrido de prueba. Meta 3: Limitar el costo de envío de invitaciones a 70,000 dólares. Suponga que las metas 1 y 2 son de prioridad P1 y que la meta 3 es de Prioridad P2, formule un modelo de programación por objetivos del problema MMC, suponiendo que las metas 1 y 2 son de igual importancia. 5.- Una Empresa fabrica cuatro clases de juguetes de madera. La empresa quiere planear la producción de la semana próxima en sus tres operaciones, procesado, ensamble y terminado. Se conoce lo siguiente: Producto A B C D Disponibilidad Tiempo de procesado (horas) 3 4 6 3 400 Tiempo de ensamble (horas) 2 3 5 2 300 Tiempo de terminado (horas) 2 1 4 3 200 Contribución/unidad $5 $7 $8 $6 Demanda (unidades) 100 150 50 200 Se tiene los siguientes objetivos en orden de prioridad: a) Minimizar la subutilización de las horas disponibles en cada operación. b) Satisfacer la demanda de los productos A y B. c) Generar una contribución de $1500. d) Limitar el tiempo extra en la operación de procesado a 20 horas. 6.- La Zener Corporation produce dos tipos de televisores, de color y blanco y negro. El departamento de control de producción está tratando de establecer la programación de ensamble de las consolas para el próximo mes. Ambos tipos de televisores usan la misma consola y se dispone de 75 000 consolas. Se usa una misma línea de ensamble para los dos tipos y se dispone de 100 000 horas de mano de obra regular. Los televisores de color, que son mas complejos, usan 1.5 horas de mano de obra y los blanco y negro 1 hora. Para cumplir los objetivos de ventas se establecieron cuotas de 40 000 y 30 000 televisores de color y blanco y negro respectivamente. Las utilidades unitarias para los televisores a color y televisores blanco y negro son $70 y $40 respectivamente. Los objetivos en orden de prioridad son: 1) Cumplir con las cuotas de producción. 2) Minimizar el tiempo extra. 3) Asegurar para la empresa una utilidad de 4 500 000 dólares. 4) Proporcionar seguridad en el trabajo y utilizar en su totalidad las horas de trabajo regulares. 5) De haber tiempo extra, este deberá limitarse al 10% de la capacidad regular disponible. Establezca el modelo matemático respectivo que determine la solución óptima para la empresa.

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7.- Una

Compañía manufacturera fabrica dos productos que tienen la utilidad y las necesidades

de recursos siguientes: Características Utilidad / unidad Horas de departamento A /unidad Horas del departamento B /unidad

Producto 1 $4 1 2

Producto 2 $2 1 5

La empresa dispone de 350 horas de mano de obra en el departamento A y 1000 horas en el departamento B. La demanda de los productos 1 y 2 son de 200 y 150 unidades respectivamente. En los últimos 6 meses la administración ha sufrido fluctuaciones mensuales en la carga de trabajo en los departamentos por problemas de motivación de la fuerza de trabajo y problemas sindicales. Se han hecho usuales nuevas contrataciones, despidos y transferencias interdepartamentales ya que la empresa no ha intentado estabilizar las necesidades de carga de trabajo. La administración desearía desarrollar un programa de producción para el mes siguiente, para lo cual ha establecido los siguientes objetivos en orden de prioridad: 1) 2) 3) 4)

Minimizar el tiempo extra en cada departamento Minimizar la demanda insatisfecha de ambos productos. Obtener por lo menos 1500 dólares de utilidad. Minimizar el tiempo ocioso en el departamento A.

Establezca la solución óptima para este problema y determine el plan de producción, la demanda insatisfecha de cada producto, el tiempo ocioso y el tiempo extra en cada departamento y la utilidad de la compañía. MIN P1(e1+e2)+P2(d3+d4)+P3d5+P4e6 ST X1+X2+d1-e1=350 2X1+5X2+d2-e2=1000 e1-e3=0 e2-e4=0 X1+d3=200 X2+d4=150 4X1+2X2+d5-e5=1500 d2-e6=0