Tugas Proyek Anril

PROYEK ANALISIS REAL I

APLIKASI ANALISIS REAL (LIMIT) DALAM BERBAGAI BIDANG

OLEH : AZIZAH HAYATI RITONGA

4151111007

DEDE ELIZA

4151111012

DWIRA ADITYA

4151111020

EKA PUTRI

4151111021

AISYAH ADELINA

4153111002

ATMA YUSNIDA

4153111007

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN 2016

KATA PENGANTAR Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena dengan limpahan rahmat dan karunia-Nya kami dapat menyelesaikan tugas Proyek mata kuliah Analisis Real I ini dengan judul APLIKASI ANALISIS REAL (LIMIT) DALAM BERBAGAI BIDANG. Kami juga mengucapkan terima kasih kepada Dosen Pembimbing mata kuliah Analisis Real I, Bapak Prof. Dr. Bornok Sinaga, M.Pd yang telah membantu kami dalam menjalankan perkuliahan sehari-hari untuk memahami materi-materi dalam mata kuliah Analisi Real I. Kami juga mengucapkan terima kasih kepada orangtua yang telah memberikan fasilitas dalam mengerjakan tugas ini serta teman-teman yang juga sudah memberi kontribusi dalam pembuatan tugas ini. Kami sangat menyadari bahwa dalam perancangan tugas ini masih jauh dari sempurna dan masih banyak sekali kesalahan. Kami berharap semoga tugas ini bisa menambah pengetahuan dan wawasan kita semua. Amin. Medan, 28 November 2016

Penyusun

2

DAFTAR ISI HALAMAN SAMPUL ........................................................................................ 1 KATA PENGANTAR .......................................................................................... 2 DAFTAR ISI ........................................................................................................ 3 JUDUL ..................................................................................................................4 ABSTRAK ........................................................................................................... 4 TUJUAN .............................................................................................................. 4 DASAR TEORI ................................................................................................... 5 PROSEDUR KERJA / TAHAPAN KERJA ........................................................ 7 HASIL PENGAMATAN ...................................................................................... 8 ANALISIS HASIL PENGAMATAN ................................................................ 10 KESIMPULAN DAN SARAN............................................................................... 15

DAFTAR PUSTAKA

3

JUDUL

APLIKASI ANALISIS REAL (LIMIT) DALAM BERBAGAI BIDANG ABSTRAK Matematika merupakan ilmu sangat berguna dan banyak memberi bantuan dalam mempelajari berbagai disiplin ilmu yang lain. Oleh karena itu maka dapat dikatakan bahwa setiap orang memerlukan pengetahuan matematika dalam berbagai bentuk sesuai kebutuhuannya. Proyek ini bertujuan untuk mengetahui penerapan atau aplikasi ilmu matematika khususnya pada Analisis Real dalam berbagai bidang. Prosedur yang digunakan dalam proyek ini ialah menentukan tema/topik terlebih dahulu, lalu merancang penyelesaiannya, menyusun dan yang terakhir ialah menyelesaikan proyek ini. Hasil yang didapat dalam proyek ini ialah beberapa aplikasi analisis real dalam berbagai bidang ilmu, dalam hal ini diambil penerapan limit pada bidang fisika, ekonomi, kedokteran.

Kesimpulan

yang

dapat

diambil

ialah,

banyak

sekali

penerapan/aplikasi matematika khususnya analisis real dalam berbagai bidang ilmu, seperti bidang ekonomi,fisika dan kedokteran. TUJUAN 1. Mengetahui defenisi dan sifat-sifat pada bilangan real. 2. Mengetahui defenisi pengertian limit fungsi. 3. Mengetahui penerapan analisi real dalam kehidupan sehari-hari.

4

DASAR TEORI BILANGAN REAL DAN SIFAT-SIFAT PADA BILANGAN REAL Defenisi

Bilangan Real adalah bilangan yang mencakup semua bilangan yang ada. Dalam bagan bilangan bilangan real menaungi beberapa jenis bilangan yang sering kita jumpai dalam mata pelajaran matematika. Bilangan-bilangan tersebut yakni bilangan rasional, irasional, bilangan bulat dan bilangan asli. Pada himpunan bilangan real ℝ, terdapat dua operasi biner yang dilambangkan dengan + dan . dan berturut-turut disebut dengan penjumlahan dan perkalian. Operasi biner tersebut memiliki berbagai sifat. Sifat –sifat bilangan real: a + b = b + a untuk setiap a, b ∈ ℝ (Komutatif terhadap

(A1) penjumlahan) (A2) (A3)

(a + b) + c = a + (b + c) (Sifat assosiatif dalam penjumlahan) sedemikian sehingga 0 + a = a ^ a + 0 = a (Eksistensi elemen identitas nol)

(A4)

sedemikian sehingga a + (-a) = 0 ^ (-a) + a = 0 (Eksistensi unsur negatif atau sifat invers penjumlahan pada bilangan real)

(M1) (M2) (M3)

a . b = b . a (Komutatif terhadap perkalian) (a . b) . c = a . (b . c) (Assosiatif terhadap perkalian) sedemikian sehingga 1 . a = a ^ a . 1 = a

(Eksistensi dari elemen satu atau 1 elemen identitas perkalian bilangan real) (M4)

(Eksistensi kebalikan atau

sifat invers perkalian pada bilangan real)

5

(D)

a . (b + c) = (a . b) + (a . c) ^ (b + c) . a = (b . a) + (c . a) (Sifat

distributif dari perkalian terhadap penjumlahan)

LIMIT FUNGSI Pengertian Limit Fungsi Secara Intuitif Limit dapat digunakan untuk menjelaskan pengaruh variabel fungsi yang bergerak mendekati suatu titik terhadap fungsi tersebut. Untuk dapat memahami pengertian limit secara intuitif, perhatikanlah contoh berikut: Fungsi f di definisikan sebagai f (x) =

x2  x  2 x2

Jika variabel x diganti dengan 2, maka f(x) =

0 (tidak dapat ditemukan) 0

Untuk itu perhatikanlah tabel berikut : x f(x)

0 1

1,1 2,1

1,5 2,5

1,9 2,9

1,999 2.000 2,001 2,01 2,999 ??? 3,001 3,01

Dari uraian tersebut dapat disimpulkan bahwa f (x) =

2,5 3,5

2,7 3,7

x2  x  2 : mendekati 3. x2

jika x mendekati 2, baik didekati dari sebelah kiri (disebut limit kiri) maupun di dekati dari sebelah kanan (disebut limit kanan). Dapat ditulis : lim x2

x2  x  2 3 x2

Bila f : R → R terdefenisi pada garis bilangan real, dan p,L ϵ R maka kita menyebut limit f ketika x mendekati p adalah L, yang ditulis sebagai: Jika dan hanya jika untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga |x – p| < δ mengimplikasikan bahwa |f(x) – L| < ε. Disini baik ε maupun δ merupakan bilangan real. Perhatika bahwa nilai limit tidak tergantung pada nilai f(p). Bila f diterapkan pada tiap masukan yang cukup dekat pada p, hasilnya adalah keluaran yang (secara sembarang) dekat dengan L. Bila masukan yang dekat pada p ternyata dipetakan pada keluaran yang sangat berbeda, fungsi f dikatakan tidak memiliki limit.

6

PROSEDUR KERJA/TAHAPAN KERJA Pada proyek ini menggunakan teknik analisis data statistik dengan menggunakan metode deskriptif. Dengan tujuan mendeskripsikan berbagai penerapan/aplikasi analisis real dalam berbagai bidang ilmu. Analisis statistik dengan metode deskriptif digunakan untuk memaparkan (menggambarkan) penerapan dari suatu sampel. Langkah yang dilakukan dalam melaksanakan tugas proyek ini adalah: 1) Penentuan proyek Pada langkah ini, memilih atau menentukan tema/topik dalam proyek yang akan dihasilkan. 2)   

Perancangan langkah-langkah penyelesaian proyek Mencari referensi dari berbagai sumber dalam memenuhi proyek ini Membaca hasil pencarian referensi tersebut Memilih dan menyeleksi referensi dari berbagai sumber sesuai dengan



tema/topik yang telah ditentukan Menyusun hasil pemilihan referensi tersebut yang menjadi bahan dalam

pengerjaan proyek ini. 3) Penyususan jadwal pelaksanaan proyek Lamanya waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan proyek ini ialah satu minggu. 4) Penyelesaian proyek Menyelesaikan proyek dengan berbagai sumber/referensi yang telah dicari pada berbagai sumber. 5) Penyusunan laporan proyek Menyusun hasil laporan proyek ini sesuai sistematika pelaporan tugas proyek yang telah diberikan oleh dosen pengampu.

7

HASIL PENGAMATAN Matematika memiliki penerapan atau aplikasi dalam berbagai bidang, dalam hal ini peranan tersebut dikhususkan pada Analisis Real. Aplikasi tersebut ialah: APLIKASI LIMIT PADA BERBAGAI BIDANG Konsep limit digunakan dalam berbagai macam bidang dalam kehidupan sehari-hari. 1. Bidang fisika Konsep limit digunakan dalam bidang fisika. Sebagai contoh, produksi maksimum dari mesin suatu pabrik, dapat dikatakan merupakan limit untuk pencapain hasil. Pada prakteknya, pencapaian tersebut tidak tepat, tapi mendekati sedekat dekatnya. Dalam kehidupan sehari-hari, manusia tidak pernah sadar bahwa semua yang kita lakukan itu berkaitan dengan matematika. limit fungsi berguna untuk menghitung rotasi bumi dan benda lain yang seperti elips. limit fungsi juga dapat digunakan untuk menghitung kecepatan sesaat benda yang bergerak. Dimana kecepatan rata-rata pada selang waktu t=a sampai t=a+h . Akan dicari kecepatan rata-rata pada selang waktu {a, a+h} yang sangat pendek, yang berarti h mendekati nol. Untuk h mendekati nol, kecepatan rataratanya disebut dengan kecepatan sesaat, yaitu kecepatan v(a) pada saat t=a, sebagai limit dari kecepatan rata-rata. 2. Bidang Ekonomi Limit fungsi sering digunakan oleh pemerintah dalam menentukkan pajak yang harus dibayar oleh masyarakat. Dalam bidang ekonomi, limit fungsi juga sering digunakan dalam menghitung keuntungan maksiumum dari penjualanan, biaya produksi, biaya rata-rata dan bunga. 3. Bidang Kedokteran Limit juga berguna untuk menghitung kerusakan jantung yang biasa ditampilkan dalam bentuk USG pada kasus cardiac carest. Pada kasus ini sang 8

dokter hanya bisa melihat data-data dari USG tapi tidak bisa menentukan dengan cepat bagian sel mana yang rusak di jantung sementara sel jantung itu sangat banyak. Maka pada kasus ini dibutuhkan penghitungan limit untuk menebak luas area sel jantung yang rusak.

9

ANALISIS HASIL PENGAMATAN APLIKASI LIMIT PADA BERBAGAI BIDANG 1. Bidang Fisika Percepatan Percepatan suatu benda yang bergerak dalam waktu tertentu disebut dengan percepatan sesaat. Secara matematis dapat yang dinyatakan dalam persamaan berikut.

Jika digambar dalam bidang XY, maka kecepatan sesaat merupakan kemiringan garis singgung dari grafik v – t pada saat t = t1.

Tampilan geometris pada saat t = t1 sama dengan kemiringan garis singgung pada

Kecepatan Sesaat Jika kita mengendarai sepeda motor sepanjang jalan yang lurus sejauh 100 km dalam waktu 2 jam, besar kecepatan rata-ratanya adalah 50 km/jam. Walaupun demikian, tidak mungkin kita mengendarai sepeda motor tersebut tepat 50 km/jam setiap saat. Untuk mengetahui situasi ini, kita memerlukan konsep kecepatan 10

sesaat yang merupakan kecepatan pada suatu waktu. Kecepatan sesaat adalah kecepatan rata-rata pada limit selang waktu Δt mendekati nol. Secara matematis kecepatan sesaat dituliskan:

dx/dt adalah turunan pertama fungsi vektor posisi terhadap waktu. jika r = xi + yj dan Δr = Δxi + Δyj maka,

dengan: v = vektor kecepatan sesaat (m/s) νx = dx/dt komponen kecepatan sesaat pada sumbu x (m/s) νy = dy/dt komponen kecepatan sesaat pada sumbu y (m/s) Arah kecepatan sesaat merupakan arah garis singgung lintasan di titik tersebut. 2. Bidang Ekonomi Prinsip ekononomi berbunyi, “Menggunakan modal/pengorbanan/biaya produksi yang sekecil-kecilnya (minimum) untuk memperoleh keuntungan yang sebesar-besarnya (maksimum)?” Prinsip tersebut sering digunakan oleh berbagai perusahaan yaitu dengan menekan biaya produksi menjadi sekecil mungkin (minimum) agar memperoleh keuntungan maksimum. Penentuan biaya produksi minimum dan keuntungan maksimum tersebut dalam matematika merupakan salah satu contoh masalah laju perubahan sesaat nilai fungsi. Biaya produksi 11

minimum dan keuntungan maksimum akan dicapai pada saat laju perubahan biaya produksi sama dengan nol. Masalah sehari-hari yang berkaitan dengan laju perubahan sesaat nilai fungsi dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep limit. Akan diberikan contoh aplikasi limit dalam menghitung keuntungan maksimum dan biaya produksi. 2.1. Sebuah perusahaan distributor laptop memperkirakan keuntungan (dalam jutaan rupiah) untuk penjualan model tertentu adalah C(x) = 5x - 0,004x2 dengan x adalah banyaknya laptop yang dijual. Berapakah tingkat penjualan perusahaan tersebut agar keuntungan maksimum? Penyelesaian: Diketahui: C(x) = 5x - 0,004x2 Besar laju perubahan penjualan terhadap banyaknya laptop (x) adalah:

Keuntungan maksimum diperoleh ketika laju perubahan penjualan sama dengan nol yaitu:

12

Jadi, tingkat penjualan agar keuntungan maksimum adalah sebesar 625. 2.2. Fungsi C(x) = 5 x - 0,06x2 + 0,0002x3 merupakan fungsi biaya produksi barang (dalam $) suatu perusahaan. Jika x adalah banyaknya barang yang diproduksi untuk setiap fungsi biaya yang diberikan, tentukan tingkat produksi (dalam $) agar biaya produksi minimum, kemudian tentukan biaya produksi (dalam $) pada nilai tersebut. Penyelesaian: Diketahui C(x) = 5 x - 0,06x2 + 0,0002x3 . Pertama-tama, tentukan laju biaya produksi barang tersebut dengan cara sebagai berikut.

Misalkan besar laju perubahan produksi terhadap x dinyatakan menjadi suatu fungsi R(x) maka: R(x) = 5 – 0,12x + 0,0006x2 . Fungsi R(x) merupakan fungsi kuadrat dalam x dengan a =0,0006, b = -0,12, dan c = 5. Ingat kembali syarat suatu fungsi kuadrat mencapai nilai minimum. Suatu fungsi kuadrat akan mencapai nilai minimum ketika:

13

Substitusikan x = 100 pada persamaan C(x), maka diperoleh biaya produksi minimum sebesar: C(100) = 5(100) – 0,06(100)2 + 0,0002(100)3 = 500 – 0,06(10000) + 0,0002(1000000) =500 – 600 + 200 = 100 Jadi, pada tingkat produksi barang sebanyak 100 satuan akan mencapai biaya produksi minimum yaitu sebesar $100. 3. Bidang kedokteran Limit fungsi, secara tidak sadar digunakan dalam bidang kedokteran. Seseorang yang menderita rabun jauh akan memakai kacamata lensa cekung agar dapat melihat dengan normal. Oleh karena itu, ia meminta bantuan seorang dokter. Mula-mula dokter tersebut memeriksa dan menguji jarak pandang pasien untuk mengetahui seberapa parah penyakitnya. Setelah itu, dokter tersebut harus menentukan jarak fokus lensa cekung kacamata dari pasien tersebut. Dengan f = jarak fokus lesa, s = jarak mata ke benda dan s’=titik jau mata penderita. Jadi, dengan menggunakan limit fungsi, penderita rabun jauh dapat tertolong sehingga penderita tersebut dapat melihat dengan normal kembali. Untuk menghitung kerusakan dari jantung, irama jantung yang rusak yang hasilnya ditampilkan oleh USG, ritme ritme detak jantung pada kasus cardiac carest detak jantuk tidak berirama, maka seorang dokter harus menganalisa. Dimana posisi letak kerusakan pada jantung sedangkan hanya melihat dari hasil USG tadi data datanya. Padahal sel-sel yang ada dijantung banyak, fungsi limit ini dibutuhkan untuk menebak dimana luas area yang rusak. Contoh lain adalah populasi bakteri atau virus dan kemungkinan berapa persen virus itu menular dengan melalui udara, area kontribusi dan kecepatan angin dihitung grafiknya melalui limit. Bakteri dapat ditemukan di mana-mana, seperti di rongga mulut, sela-sela gigi, tanah, sisa-sisa makanan yang sudah basi dan untuk memperolehnya, biasanya dibiakkan di dalam cawan petri yang berisi nutrisi atau medium. Koloni yang tumbuh pada media agar dapat dilihat secara visual dan dihitung. Secara kuantitatif koloni bakteri dapat dihitung dengan cara menghitung populasinya 14

secara umum atau dengan kata lain menghitung seluruh sel bakteri yang ada dalam media termasuk sel yang mati, dan menghitung sel bakteri hidup dengan menggunakan teori pendekatan(limit).

15

KESIMPULAN DAN SARAN 1. Kesimpulan Matematika memiliki penerapan atau aplikasi dalam berbagai bidang, dalam hal ini peranan tersebut dikhususkan pada Analisis Real. Konsep Limit dapat diaplikasikan/digunakan dalam berbagai macam bidang dalam kehidupan sehari-hari. Contohnya dalam bidang Fisika, bidang Ekonomi dan Kedokteran. Dalam bidang fisika,dapat digunakan untuk menghitung kecepatan sesaat, percepatan sesaat benda yang bergerak. Dalam bidang ekonomi, limit sering digunakan dalam menghitung keuntungan maksiumum dari penjualanan, biaya produksi, biaya rata-rata dan bunga. Dan dalam bidang kedokteran menghitung kerusakan jantung yang biasa ditampilkan dalam bentuk USG pada kasus cardiac carest, juga populasi bakteri atau virus dan kemungkinan berapa persen virus itu menular dengan melalui udara, area kontribusi dan kecepatan angin dihitung grafiknya melalui limit. 2. Saran Penulis menyadari banyak kesalahan dalam penulisan makalah ini, kami berharap dengan adanya makalah ini semoga dapat bermanfaat dan menambah pengetahuan bagi kita semua. Dan dari kesalahan dan kekurangan dalam makalah ini semoga menjadi pelajaran bagi kita semua. Amin.

16

DAFTAR PUSTAKA Sinaga, Bornok dan Tri Andri Hutapea., 2016. Analisi Real 1. Medan: Unimed. http://harryprayoga6.blogspot.co.id/2015/04/penerapan-limit-dalam-kehidupan sehari.html http://www.docs-engine.com/pdf/1/penerapan-limit-dalam-ekonomi.html http://www.google.co.idAplikasi_Limit_dalam_Kehidupan_Sehari1.docx&usg= FQjCNHalhLozdt1rgNgkCpXtMGdD2HPRQ http://www.google.co.id/url?/penerapan-limitdikehidupannyata.html&usg=AFQi CNFagT-682mPpBG2ikkamcwdeEklgQ

17