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Modelado físico

Modelado físico Cuando se desea obtener una descripción matemática de un sistema físico, lo que se debe hacer es aplicar las leyes físicas (Newton, kirchoff, Lagrange*, Bernoulli, Maxwell, etc) al sistema en estudio. Es importante recordar que el Estado o comportamiento dinámico de un sistema se establece cuando se conocen perfectamente las relaciones entre las coordenadas, las velocidades y las aceleraciones. * No es una ley es un principio de aplicación.

Dependiendo de las características del sistema y de lo que se desea estudiar de él se utilizan diferentes herramienta o técnicas matemáticas.

Mecánica Vectorial

Newton D’alembert

Mecánica Analítica

Euler Lagrange Hamilton

Mecánica vectorial Leyes de movimiento de Newton Este enfoque propone el reconocimiento de todas las fuerzas que actúan sobre una partícula, su movimiento está determinado de manera única por la fuerzas que actual en todo instante de tiempo.

La preocupación básica de la mecánica vectorial es el análisis y síntesis de las fuerzas y momentos. Se puede decir que se ocupa del movimiento desde un punto de vista “estático”, observa las fuerzas que actuán en cada instante y determina la cantidad de movimiento como un cambio de lugar. En mecánica vectorial precisamos de tres ecuaciones escalares, o una ecuación vectorial, para el caso más simple de una sola partícula:

• Para sistemas con múltiples elementos se requiere una ecuación vectorial para cada elemento. • En el plano : 1 ecuación de 2º orden para cada elemento

• Sistemas en 3 ejes: 3 ecuaciones de 2º orden para cada elemento

Mecánica analítica Principio de Lagrange y Hamilton La mecánica analítica es una formulación más abstracta y general. La mecánica analítica tiene, básicamente dos formulaciones: la formulación lagrangiana y la formulación hamiltoniana. Las dos llegan básicamente a los mismo resultados físicos, aunque la elección del enfoque puede depender del tipo de problema. El germen de la mecánica analítica puede encontrarse en los trabajos de Leibniz y en la definición de dos magnitudes escalares básicas: la energía cinética y el trabajo (energía potencial). 

• Lo que queremos es saber cómo son las cosas y, en general, predecir el comportamiento de los sistemas de acuerdo con nuestro conocimiento: si nuestro método puede dar como pronóstico cualquier cosa , la realidad deja de tener sentido y pasa a ser un caso particular, en vez de ser el sujeto central de lo que nos atañe. • Por eso es tan importante la simplicidad. El objetivo de todo científico es poder hacer predicciones sobre el comportamiento de la realidad; si está descrito de manera muy compleja es posible que no estemos teniendo en cuenta los parámetros y simplificaciones adecuados para nuestro sistema en cuestión. • Supongo que algo así deberían tener en la mente los científicos y matemáticos de los siglos XVIII y XIX cuando fundaron lo que se denominó “mecánica analítica”.  Para ello, utilizaron el metafísico “principio de mínima acción” que plantea, en palabras de Maupertuis [1] que “…la Naturaleza siempre actúa  de la manera más simple posible para producir sus efectos.”

• Y… ¿para qué sirve este principio?  Tomémos un ejemplo de mecánica clásica.  • Queremos saber qué camino tomará un cuerpo en una cierta situación. Imaginemos que tenemos una cantidad (un funcional, matemáticamente hablando), a la que llamaremos acción, que depende del “camino” que ese cuerpo toma en su movimiento. Esa acción puede ser calculada para cada cualquier camino siempre y cuando tenga una cierta regularidad.  Pues bien, el camino real, el que tomará el cuerpo y que podrá ser predicho, es aquel que hace de la acción un mínimo (más rigurosamente, un valor estacionario).  Esto es “fácil” de entender:

• Si calculamos la acción para todos los caminos, escogemos el camino que tiene la acción más pequeña, esa trayectoria es nuestra solución (ecuaciones diferenciales que describen el movimiento). • Muy simple.

• El número de caminos posibles es infinito. ¡¿Tenemos que calcular la acción para todos los posibles caminos?! • La respuesta es “no”.  He aquí la belleza de la Naturaleza y del ingenio humano. Matemáticamente es un poco engorroso de explicar, y se necesita alguna fórmula. • Las dos principales ramas de esta teoría en la física, el método Lagrangiano y Hamiltoniano.

Euler - Lagrange •  El procedimiento es el siguiente: • Se define un funcional llamado Lagrangiano, el cual se establece para todas las partículas (elementos para cuerpos rígidos) que depende de la energía cinética y de la energía potencial. • Donde Ec es la energía cinética que depende de la velocidad y Ep la energía potencial que depende de la posición. • Por ejemplo para una sola partícula con coordenada x

• Posteriormente se define la acción como:

• La cual se debe minimizar y obtendremos las ecuaciones diferenciales del movimiento

• Cuando se tienen n partículas y m coordenadas generalizadas

• Este enfoque va desde el funcional, que se obtiene con consideraciones físicas, a la ecuación diferencial. • Para un sistema de n grados de libertad, la mecánica lagrangiana proporciona un sistema de n ecuaciones diferenciales de segundo orden llamadas ecuaciones del movimiento que permiten conocer como evolucionará el sistema.

Hamilton • La mecánica hamiltoniana se suele formular sobre supuestos variacionales de un modo similar a los usados para la mecánica lagrangiana. • Sin embargo, el enfoque hamiltoniano permite transformaciones de coordenadas más generales lo cual le da mayor flexibilidad para resolver las ecuaciones del movimiento. • Otra ventaja es que las ecuaciones de evolución temporal en el enfoque hamiltoniano son  ecuaciones diferenciales de primer orden, lo cual permite integrar más fácilmente las ecuaciones de movimiento.

• el hamiltoniano es una constante del movimiento para un sistema autónomo, lo escribimos en términos del lagrangiano y calculamos su derivada total respecto al tiempo:

• Una reflexión: • Simplicidad no implica que vaya a ser fácil obtener un resultado correcto. Simplicidad implica que puedes contárselo a tu abuela (de una manera más o menos burda). • En estas lineas, Euler dejó escrito [2]: • “Comparados con los métodos de la mecánica tradicional, puede ser que el movimiento sea más dificil de calcular utilizando nuestro nuevo método; sin embargo, parece más fácil de comprender desde primeros principios.”

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son los cuatro principales puntos de vista en el que la mecánica vectorial y analítico difieren:

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1. Mecánica vectorial aísla la partícula y la considera como un individuo, la mecánica analítica considera al sistema en su conjunto.

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2. Mecánica vectorial construye una fuerza separada que actúa para cada partícula en movimiento; mecánica analítica considera una sola función: la obra función (o energía potencial). Esta función contiene toda la información necesaria sobre las fuerzas.

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3. Si las fuerzas fuertes mantienen una relación definida entre las coordenadas de un sistema, y la relación es dado empíricamente, el tratamiento vectorial tiene que considerar las fuerzas necesarias para mantenerla. El tratamiento analítico toma la relación dada por sentado, sin requerir el conocimiento de las fuerzas que mantienen.

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4. En el método analítico. todo el conjunto de ecuaciones de movimiento se pueden desarrollar a partir de un principio unificado que implícitamente incluye todas estas ecuaciones. Este principio toma la forma al minimizar una cierta cantidad, la "acción". Ya que el principio mínimo es independiente de cualquier sistema de referencia especial, la ecuaciones de la mecánica analítica son válidas para cualquier conjunto de coordenadas (c00rdenadas generalizadas). Esto le permite a uno ajustar las coordenadas empleado para la especificidad de cada problema.

Referencias • [1] Introducción al cálculo variacional en las matemáticas, http://scientiapotentiaest.ambages.es/?p=87 • [1] Cornelius Lanczos. The variational principles of mechanics (1949)