08 Clase 3. Carga Armónica

Respuesta de sistemas SDOF ante carga armónica

Ecuación del movimiento:

donde:

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Respuesta de sistemas SDOF ante carga armónica Recordemos la solución de esta ecuación diferencial: Ecuación homogénea: Ecuación no-homogénea: La solución de la ecuación no homogénea está compuesta por las soluciones complementaria y particular.

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Respuesta de sistemas SDOF ante carga armónica Observemos primero la solución particular…

…y reemplazando en la ecuación del movimiento (teniendo en cuenta condiciones iniciales nulas), las constantes vienen dadas por:

Substituyendo

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Controla la amplitud del factor de modificación dinámica

Desplazamiento stático

Controla la variación en el tiempo del factor de modificación dinámica.

Factor de modificación dinámica

La amplitud de la respuesta depende del desplazamiento estático y de la relación de frecuencias ω/ωn. © José Velásquez

Respuesta no-amortiguada ante carga armónica

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Respuesta no-amortiguada ante carga armónica

puede expresarse como

}

Desplazamiento estático

}

Factor de amplificación dinámica

}

Ángulo de fase

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Respuesta no-amortiguada ante carga armónica

Cuando ω<ωn φ=0° lo cual significa que el desplazamiento varía como sinωt. La respuesta está en fase con la excitación armónica.

Cuando ω>ωn φ=180° lo cual significa que el desplazamiento varía como -sinωt. La respuesta está fuera de fase con la excitación armónica.

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Respuesta no-amortiguada ante carga armónica Factor de modificación dinámica

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Respuesta no-amortiguada ante carga armónica Ángulo de fase

En fase

Fuera de fase

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Respuesta no-amortiguada ante carga armónica Regresemos a la solución completa:

donde C y D de la solución particular ya son valores conocidos

Podemos usar nuevamente las condiciones iniciales para encontrar A y B. Cabe resaltar que no son las mismas que para el caso de vibración libre. Éstos se obtienen reemplazando el desplazamiento y la velocidad iniciales para un tiempo cero.

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Respuesta no-amortiguada ante carga armónica Para condiciones iniciales dadas, la respuesta no-amortiguada de un sistema de 1 g.d.l. sometido a carga armónica está dada por: para ω≠ωn:

respuesta transiente

respuesta de régimen

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Respuesta no-amortiguada ante carga armónica

para ω≠ωn:

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Respuesta no-amortiguada ante carga armónica Para condiciones iniciales dadas, la respuesta no-amortiguada de un sistema de 1 g.d.l. sometido a carga armónica está dada por: para ω≠ωn:

respuesta transiente

respuesta de régimen

para ω=ωn:

Cuando ω=ωn el sistema está en resonancia con la excitación. © José Velásquez

Respuesta no-amortiguada ante carga armónica para ω=ωn:

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Respuesta amortiguada ante carga armónica

Ecuación del movimiento:

donde:

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Respuesta amortiguada ante carga armónica De manera análoga, la respuesta de un sistema SDOF amortiguado sometido a carga armónica está dada por:

respuesta transitoria

respuesta transitoria

respuesta de régimen

respuesta de régimen

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Respuesta amortiguada ante carga armónica

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Respuesta amortiguada ante carga armónica Calculemos la solución particular (de régimen) de la respuesta:

donde C y D se obtienen de la ecuación del movimiento no-homogénea y de las condiciones iniciales

Sustituyendo en la parte de la solución particular (de régimen) de la respuesta, se obtiene:

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Respuesta amortiguada ante carga armónica Si examinamos la respuesta de régimen:

Notamos que se puede escribir en función de una única función trigonométrica

donde

Reemplazando C y D y simplificando, obtenemos:

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Respuesta amortiguada ante carga armónica Factor de modificación dinámica

Amortiguamiento

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Respuesta amortiguada ante carga armónica Factor de modificación dinámica (FMD)

Para amortiguamiento pequeño (ζ<0.2) los valores máximos del FMD (o desplazamiento) ocure cuando ω/ωn está cerca a uno.

Esto implica que para amortiguamiento pequeño, una buena aproximación del máximo FMD se obtiene sustituyendo ω/ωn como uno en la expresión anterior.

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Respuesta amortiguada ante carga armónica

Respuesta para ω=ωn:

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Respuesta amortiguada ante carga armónica Respuesta para ω=ωn:

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Respuesta amortiguada ante carga armónica Variación de la amplitud de la rpta. con el número de ciclos de carga armónica para ω=ωn

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Respuesta amortiguada ante carga armónica Rpta. de régimen para ω/ωn=0.5

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Respuesta amortiguada ante carga armónica Rpta. de régimen para ω/ωn=1.0

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Respuesta amortiguada ante carga armónica Rpta. de régimen para ω/ωn=2

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Respuesta amortiguada ante carga armónica Factor de amplificación dinámica

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Respuesta amortiguada ante carga armónica Ángulo de fase

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Factores de respuesta de desplazamiento, velocidad y aceleración

Aplicaciones 1) Respuesta ante un generador de vibraciones

2) Método de la banda de potencia media

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3) Transmisibilidad para una excitación armónica

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4) Transductores de aceleración

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5) Transductores de desplazamiento

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Ejemplo