Taller Prueba De Hipótesis

Taller prueba de hipótesis

Presentado a: Prof. Pedro Pérez

Presentado por: Felipe Sánchez Beltrán Juan Manuel Corredor Juan Sebastián Ávila Paula Natalia Cuartas

Universidad Autónoma de Colombia FACEAC Estadística II Bogotá D.C 2018

Ejercicio 10.40 En un estudio realizado en Virginia Tech se compararon los niveles de ácido ascórbico en plasma en mujeres embarazadas fumadoras con los de mujeres no fumadoras. Para el estudio se seleccionaron 32 mujeres que estuvieran en los últimos 3 meses de embarazo, que no tuvieran padecimientos importantes y que sus edades fluctuaran entre los 15 y los 32 años. Antes de tomar muestras de 20 ml de sangre se pidió a las participantes que fueran en ayunas, que no tomaran sus suplementos vitamínicos y que evitaran alimentos con alto contenido de ácido ascórbico. A partir de las muestras de sangre se determinaron los siguientes valores de ácido ascórbico en el plasma de cada mujer, en miligramos por 100 mililitros:

0.97 0.72 1.00 0.81 0.62 1.32 1.24 0.99 0.90 0.74 0.88 0.94

Valores de ácido ascórbico No fumadoras 1.16 0.86 0.85 0.58 0.57 0.64 0.98 1.09 0.92 0.78 1.24 1.18

Fumadoras 0.48 0.71 0.98 0.68 1.18 1.36 0.78 1.64

¿Existe suficiente evidencia para concluir que hay una diferencia entre los niveles de ácido ascórbico en plasma de mujeres fumadoras y no fumadoras? Suponga que los dos conjuntos de datos provienen de poblaciones normales con varianzas diferentes. Utilice un valor P 𝑛: 32 𝑛1 : 24

𝑛2 : 8

𝑥̅1 :0.915833

𝑋̅2 : 0.97625

𝑆1 : 0.2144

𝑆2 : 0.3914

𝛼: 0.001 𝐻𝑂 : 𝜇1 − 𝜇2 = 0 𝐻𝐴 : 𝜇1 − 𝜇2 ≠ 0

𝑡:

0.915833 − 0.97625 2 2 √0.2144 + 0.3914 24 8

= −0.42

Prueba Hipótesis nula

H₀: μ₁ - µ₂ = 0,001

Hipótesis alterna

H₁: μ₁ - µ₂ ≠ 0,001

Valor T

GL

Valor p

-0,42

8

0,683 Gráfica de distribución T; df=8

0,4

Densidad

0,3

0,2

0,1

0,0

-0,42 0

X

Decision: No hay evidencia suficiente para concluir que hay una diferencia de ácido, por lo tanto no se rechaza 𝐻𝑜 Ejercicio 10.41 El Departamento de Zoología de Virginia Tech llevó a cabo un estudio para determinar si existe una diferencia significativa en la densidad de organismos en dos estaciones diferentes ubicadas en Cedar Run, una corriente secundaria que se localiza en la cuenca del río Roanoke. El drenaje de una planta de tratamiento de aguas negras y el sobreflujo del estanque de sedimentación de la Federal Mogul Corporation entran al flujo cerca del nacimiento del río. Los siguientes datos proporcionan las medidas de densidad, en número de organismos por metro cuadrado, en las dos estaciones colectoras:

Numero de organismos por metros cuadrado Estación 1 Estación 2 4980 2800 2810 11910 4670 1330 8130 6890 3320 26850 7720 1230 17660 7030 2130 22800 7330 2190 1130 2810 1690 1330

5030 13700 10730 11400 860 2200 4250 15040

A un nivel de significancia de 0.05, ¿podemos concluir que las densidades promedio en las dos estaciones son iguales? Suponga que las observaciones provienen de poblaciones normales con varianzas diferentes. 𝑛: 28 𝑛1 : 16

𝑛2 : 12

𝑥̅1 :9898

𝑋̅2 : 4121

𝑆1 : 7874

𝑆2 : 2480

𝛼: 0.05 𝐻𝑂 : 𝜇1 = 𝜇2 𝐻𝐴 : 𝜇1 ≠ 𝜇2

𝑡:

Prueba Hipótesis nula

H₀: μ₁ - µ₂ = 0,05

Hipótesis alterna

H₁: μ₁ - µ₂ ≠ 0,05

Valor T

GL

Valor p

2,76

18

0,013

9898 − 4121 2 2 √7874 + 2480 16 12

= 2.76

Gráfica de distribución T; df=18

0,4

Densidad

0,3

0,2

0,1

0,05 0,0

0

X

2,76

Decisión: Si existe una diferencia significativa en la densidad de organismos en dos estaciones, son distintas las densidades promedio, por lo tanto, se rechaza 𝐻𝑜 . Ejercicio 10.53 En el Departamento de Medicina Veterinaria del Virginia Tech se llevó a cabo un estudio para determinar si la “resistencia” de una herida de incisión quirúrgica es afectada por la temperatura del bisturí. En el experimento se utilizaron 8 perros. Se hicieron incisiones “calientes” y “frías” en el abdomen de cada perro y se midió la resistencia. A continuación, se presentan los datos resultantes. Perro 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8

Bisturí Caliente Frio Caliente Frio Caliente Frio Caliente Frio Caliente Frio Caliente Frio Caliente Frio Caliente

Resistencia 5120 8200 10000 8600 10000 9200 10000 6200 10000 10000 7900 5200 510 885 1020

8

frio

460

𝑛: 16 𝑛1 : 8

𝑛2 : 8

𝑥̅1 :6819

𝑋̅2 : 6093

𝑆1 : 4105

𝑆2 : 3690

𝛼: 0.05 𝐻𝑂 : 𝜇1 − 𝜇2 = 0 𝐻𝐴 : 𝜇1 − 𝜇2 ≠ 0

Prueba Hipótesis nula

H₀: diferencia_μ = 0,05

Hipótesis alterna

H₁: diferencia_μ ≠ 0,05

Valor T

Valor p

0,99

0,355 Gráfica de distribución T; df=14

0,4

Densidad

0,3

0,2

0,1

0,1695 0,0

0,1695 -0,99

0

X

0,99

Decisión: t=0,99 y el valor de P es > 0,30 por lo tanto ℎ𝑜 no se rechaza

Ejercicio 10.65 Una comunidad urbana quiere demostrar que la incidencia de cáncer de mama es mayor en su localidad que en un área rural vecina. (Se encontró que los niveles de PCB son más altos en el suelo de la comunidad urbana). Si descubre que en la comunidad urbana 20 de 200

mujeres adultas tienen cáncer de mama y que en la comunidad rural 10 de 150 mujeres adultas lo tienen, ¿podría concluir, con un nivel de significancia de 0.05, que el cáncer de mama prevalece más en la comunidad urbana? 𝐻𝑂 : 𝜇1 = 𝜇2 𝐻𝐴 : 𝜇1 > 𝜇2 20



Comunidad urbana: 200 con cáncer de mama



Comunidad rural: 150 con cáncer de mama

10

𝑝: ̂

𝑧:

20 + 10 = 0.0857 200 + 150

𝑥1 − 𝑥2 √𝑝̂ ∗ 1 − 𝑝̂ (

𝑧:

1 1 𝑛1 + 𝑛2 )

20 10 200 − 150 √0.80857 ∗ 0.9143( 1 + 1 200 150

= 1.1099

 Prueba Hipótesis nula

H₀: μ = 0,05

Hipótesis alterna

H₁: μ > 0,05

Valor p

1.10

13,57 Gráfica de distribución

Normal; Media=0,0857; Desv.Est.=1 0,4

0,3

Densidad

Valor Z

0,2

0,1

0,05 0,0

0,0857

X

1,1099

Decisión: z = 1.10 con valor P = 0.1357; no tenemos evidencia suficiente para concluir que el cáncer de mama es más frecuente en las comunidades urbanas. Ejercicio 10.73 Se realiza un estudio para comparar el tiempo que les toma a hombres y mujeres ensamblar cierto producto. La experiencia indica que la distribución del tiempo tanto para hombres como para mujeres es aproximadamente normal, pero que la varianza del tiempo para las mujeres es menor que para los hombres. Una muestra aleatoria de los tiempos de 11 hombres y 14 mujeres produce los siguientes datos: Hombres

Mujeres 𝑛1 = 11 𝑠1 = 6.1

𝑛2 = 14 𝑠2 = 5.3

Pruebe la hipótesis de que σ1 2 = σ2 2 contra la alternativa de que σ1 2 > σ2 2. Utilice un valor P en su conclusión 𝐻𝑂 : 𝜎1 = 𝜎2 𝐻𝐴 : 𝜎1 > 𝜎2 𝛼: 0.05 𝑓: 𝑓:

𝑠12 𝑠22

6.12 = 1.32 5.32

𝑛1 : 11 𝑣 = 10 𝑛2 : 14 𝑣 = 13 𝑓𝐿 (10,13) = 2.67

Gráfica de distribución F; df1=10; df2=13

0,8 0,7

Densidad

0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0

0

X

2,67

Decision: f = 1.33 con valor P = 0.3095, por lo tanto, no se rechaza 𝐻𝑂 : 𝜎1 = 𝜎2 Ejercicio 10.69 Se deben supervisar las aflatoxinas ocasionadas por moho en cosechas de cacahuate en Virginia. Una muestra de 64 lotes de cacahuate revela niveles de 24.17 ppm, en promedio, con una varianza de 4.25 ppm. Pruebe la hipótesis de que σ 2 = 4.2 ppm contra la alternativa de que σ 2 ≠ 4.2 ppm. Utilice un valor P en sus conclusiones. 𝐻𝑂 : 𝜎 2 = 4.2 𝑝𝑝𝑚 𝐻𝐴 : 𝜎 2 ≠ 4.2 𝑝𝑝𝑚

𝑛 = 64 𝜎 2 =4.2

𝑥2 =

63∗4.25 4.2

= 63.75

𝑝 = 0.8898

Gráfica de distribución Chi-cuadrada; df=63

0,04

Densidad

0,03

0,02

0,01

0,05 0,00

63.75

X

Decisión: χ2 = 63.75 con valor P = 0.8998, por lo tanto, no se rechaza 𝐻𝑂 : 𝜎 2 = 4.2 𝑝𝑝𝑚 Ejercicio 10.68 Por experiencia se sabe que el tiempo que se requiere para que los estudiantes de preparatoria de último año contesten una prueba estandarizada es una variable aleatoria normal con una desviación estándar de 6 minutos. Pruebe la hipótesis de que σ = 6 contra la alternativa de que σ < 6 si una muestra aleatoria de los tiempos para realizar la prueba de 20 estudiantes de preparatoria de último año tiene una desviación estándar s = 4.51. Utilice un nivel de significancia de 0.05 𝐻𝑂 : 𝜎 = 6 𝐻𝐴 : 𝜎 ≺ 6 𝑥2 =

19∗4.512 36

= 10.74

Gráfica de distribución Chi-cuadrada; df=19

0,07 0,06

Densidad

0,05 0,04 0,03 0,02 0,01

0,05 0,00

0

X

10,75

Decisión: No se rechaza 𝐻𝑜 pues no existe evidencia suficiente para concluir que la desviación estándar es menor a 6 en el nivel de significancia de 0.05.