Matemática Financ Iera - Esan

MATEMATICA FINANCIERA

VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO Dr© MBA Fernando García-Rada Anderson ® 2015

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VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO





Lo que relaciona el valor del dinero con el tiempo es el interés Nunca se deben sumar valores en fechas diferentes.

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Desplazamiento del Valor flujo financiero Futuro CRECE

Valor Presente o actual DISMINUYE

21/06/89

DISMINUYE

21/02/00

21/06/2010

CRECE

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Tasas de interés

26/05/15

4 Saltar a la primera página

LA CAPITALIZACIÓN El dinero crece cada vez que capitalizo 100 10 110

110 11 121

133.10 CRECIO 13.31 46.41% 121.00 146.41 TASA 12.10 EFECTIVA 133.10

100 10% 26/05/15

0 I II III IV Trimestres 5 Saltar a la primera 10% x 4 trimestres = 40% TASA NOMINAL página

Alberto deposita $1,500 en una cuenta de ahorro a un 12% de interés anual compuesto por un plazo de 3 años. ¿Cuánto tendrá al final de los 3 años Claudia hace un deposito de $2,000 en una cuenta de ahorro a un 8% de interés anual compuesto por un plazo de 5 años. ¿Cuánto tendrá al final de los 5 años? Patricia hizo un deposito de $1,000 en una cuenta de ahorro y al final de 5 años obtuvo $1,350. ¿Cuál fue la tasa de interés anual compuesta? Carlos deposita $3,000 a una tasa de interés anual compuesta de 10%, en cuanto tiempo podría duplicar su capital? Saltar a la primera página

6

Es una tasa de interés enunciativa que no refleja el verdadero interés que se obtiene por el capital. Se presenta con fines nominativos. Esta tasa debe estar acompañada de los periodos de capitalización compuesta. Ejemplos Tasa nominal de 12% anual con capitalización semestral. Tasa nominal de 18% anual con capitalización bimestral. Tasa nominal de 21% anual con capitalización trimestral. 16% nominal anual con capitalización quincenal. 10% nominal anual con capitalización diaria. 32% nominal anual con capitalización semestral.

i mm = r/m

m : Número de periodos de capitalización en un año im : Tasa de interés del periodo “m” Saltar a la primera página

7

El periodo acordado para convertir el interés en capital se llama Periodo de Capitalización o Periodo de Conversión. Puede ser, anual, semestral, mensual, semanal, diaria entre otros

El número de veces que el interés se capitaliza en un año se conoce como Frecuencia de Capitalización o Frecuencia de Conversión Ejemplos: La frecuencia de capitalización para una inversión que se realiza a una tasa de interés con capitalización mensual será de 12 y para una inversión con una tasa de interés con capitalización trimestral será de 4

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8

El Banco Atlántico ofrece una tasa de 10% nominal anual con capitalización semestral . ¿Cuál es la tasa semestral correspondiente? 10% nominal

0

1

5% semestral

2

0

5% semestral

1

2

r = 10% m = 2 (semestral) im = r/m im = 10%/2 isemestral = 5%

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9

Es una tasa de interés que refleja el interés que verdaderamente se obtendrá por el capital. La tasa de interés efectiva emplea el concepto del interés compuesto. La tasa de interés efectiva se suele expresar en términos anual recibiendo el nombre de Tasa Efectiva Anual o TEA. La tasa de interés efectiva es la empleada entre otros en: Préstamos concedidos por los bancos a empresas. Compras de bienes de consumo a plazos. Créditos hipotecarios. Créditos vehiculares. Préstamos de consumo. Valuación de activos. Evaluación de inversiones.

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10

Relación entre la Tasa de interés nominal (r) y la Tasa de interés efectiva ( i )

i mm = r/m m : Número de periodos de capitalización en un año im : Tasa de interés efectiva del periodo “m”

i = (1 + r/m)mm - 1 i : Tasa de interés efectiva correspondiente al periodo de la Tasa de interés nominal “r”

1/m – 1] m r = [(1 + i)1/m r : Tasa de interés nominal correspondiente al periodo de la Tasa de interés efectiva “i” Saltar a la primera página

11

Tasa de interés nominal =TASA.NOMINAL(tasa_efect, núm_per_año)

Tasa de interés efectiva anual(TEA) =INT.EFECTIVO(tasa_nominal, núm_per_año) Saltar a la primera 96 página

12

Dos o más tasas son equivalentes cuando capitalizándose en periodos distintos generalmente menores a 1 año, el monto final obtenido en igual plazo es el mismo. Tasa equivalente para interés efectivo

ix = (1+iy)(x/y) - 1 x,y: en días iy : Tasa conocida ix : Tasa incógnita

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13

•

•

•

•

La tasa efectiva anual que paga un Banco por una cuenta a plazo fijo es de 15%. ¿Cuál será la tasa efectiva mensual? Una entidad financiera cobra por préstamo una tasa efectiva mensual de 5%.¿Cuál será la Tasa Efectiva anual que cobra el Banco por préstamo? Cual es la tasa efectiva equivalente bimestral de una tasa efectiva del 25% semestral La tasa efectiva que se cobra por la compra de un artefacto es 12% trimestral cual será la tasa efectiva semestral que cobra la tienda de artefactos?

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14

CASOS PRACTICOS 1. Calcular la tasa efectiva semestral correspondiente a la tasa de interés del 50% anual capitalizable trimestralmente. i = (1 + 0.50/4)2 - 1 = 0.26562 = 26.56%

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CASOS PRACTICOS 3. Si la tasa efectiva mensual es de 4%. Hallar la tasa equivalente diaria. i01 = (1 + 0.04)1/30- 1 = 0.0013082 = 0.13082%

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CASOS PRACTICOS 4. Si la tasa efectiva quincenal es de 1.5%. Hallar la tasa equivalente semestral. i180 = (1 + 0.015)180/15- 1 = (1.015)12 - 1 = 0.195618 = 19.562%

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Leyes 







Es una función que trabaja con tasas de interés y tiempo. La tasa de interés SIEMPRE ingresa a las fórmulas expresada en TANTO POR UNO (=/100) Cuando no se dice nada acerca de la tasa de interés, SE ASUME que está expresada en términos ANUALES. ANUALES La tasa de interés y el tiempo SIEMPRE deben estar expresados en la misma unidad de medida, y se puede transformar cualquiera de ellos o ambos en el interés simple, y en el compuesto siempre se debe de expresar en términos del periodo de capitalización o pago.

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Interés Simple Ejemplo: S/. 10,000 a 5 años con 6% interés anual simple. ¿Cuánto debemos pagar al final?

10,000.00x6%=600.00

10,600.00

10,000.00x6%=600.00

11,200.00

10,000.00x6%=600.00

11,800.00

10,000.00x6%=600.00

12,400.00

10,000.00x6%=600.00

13,000.00 Saltar a la primera página

Interés Compuesto Ejemplo: S/. 10,000 a 5 años con 6% interés anual compuesto. ¿Cuánto debemos pagar al final?

10,000.00x6%=600.00

10,600.00

10,600.00x6%=636.00

11,236.00

11,236.00x6%=674.16

11,910.16

11,910.16x6%=714.61

12,625.77

12,625.77x6%=757.49

13,382.26 Saltar a la primera página

VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO

26/05/15

21

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Antes de resolver problemas de interés compuesto debemos hacernos la siguiente pregunta:

¿Quién manda? La Capitalización



26/05/15

22

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LA CAPITALIZACIÓN El dinero crece cada vez que capitalizo 100 10 110

110 11 121

133.10 CRECIO 13.31 46.41% 121.00 146.41 TASA 12.10 EFECTIVA 133.10

100 10% 26/05/15

0 I II III IV Trimestres 23 Saltar a la primera 10% x 4 trimestres = 40% TASA NOMINAL página

INTERES COMPUESTO El interés compuesto puede ser convertido en Capital: anualmente semestralmente trimestralmente mensualmente diariamente Saltar a la primera página

INTERES COMPUESTO El número de veces que el interés se convierte en capital, se conoce como “frecuencia de conversión” o “frecuencia de capitalización”

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INTERES COMPUESTO VALOR PRESENTE o VALOR FINAL n

de donde:

S = P (1 + i)

-n P = S (1 + i)

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INTERES COMPUESTO Ejemplo: Una cierta cantidad invertida durante 8.5 años al 7% convertible trimestralmente. El período de capitalización es cada tres meses, la frecuencia de capitalización es 4. Tasa anual de interés = 0,07 = 0,0175 frecuencia de capitalización 4 Saltar a la primera página

INTERES COMPUESTO Ejemplo: Se invierten US$ 1.000 durante 8.5 años al 7% convertible trimestralmente, tenemos que: P = 1.000 i = 0,0175 n = 34 n

S = P (1 +i)

34

= 1000(1,0175) = 1000(1,803725) = 1.803,72

El interés compuesto es US$ 803,72 Saltar a la primera página

INTERES COMPUESTO Ejemplo B: Hallar el interés compuesto sobre US$ 1.000 por 3 años, si el interés de 5% es capitalizable anualmente en capital.

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INTERES COMPUESTO Ejemplo B: El Capital original es US$ 1.000 El interés por un año es 1.000(0.05) = 50.00 El Capital al final del primer año es = 1.050.00 El interés del nuevo capital es 1050(0.05)= 52.50 El capital al final del 2º año es = 1.102.50 El interés nuevo capital es 1.102.50(0.05) = 55.12 El capital al final del 3er año es = 1.157.62 El interés compuesto es 1.157.62 - 1.000 = 157.62 Saltar a la primera página

INTERES COMPUESTO Ejemplo B: I=S-P n S= P (1 + i) 3 S= 1,000 (1 + 0.05) S= 1,000 (1.05)(1.05)(1.05) S= 1,000 (1.157625) S= 1,157.625 I = 157.625 Saltar a la primera página

INTERES COMPUESTO Calcule el monto de un Capital inicial de S/. 1,000 colocado durante 4 años a una tasa efectiva anual de 18%. S=? P= 1,000 n= 4 años i = 0.18 Saltar a la primera página

INTERES COMPUESTO Calcule el monto de un Capital inicial de S/. 1,000 colocado durante 4 años a una tasa efectiva anual de 18%. n S=? S = P(1 + i) 4 P= 1,000 S = 1,000( 1 + 0.18) n= 4 años S = 1,938.78 i = 0.18 Saltar a la primera página

INTERES COMPUESTO Calcule el monto de un depósito inicial de S/. 2,000 colocado durante 5 meses a una tasa efectiva mensual del 4% S=? P= 2,000 n= 5 meses i = 0.04 Saltar a la primera página

INTERES COMPUESTO Calcule el monto de un depósito inicial de S/. 2,000 colocado durante 5 meses a una tasa efectiva mensual del 4% n S=? S = P(1 + i) 5 P= 2,000 S = 2,000( 1 + 0.04) n= 5 meses

S = 2,433.31

i = 0.04 Saltar a la primera página

INTERES COMPUESTO Un banco paga por los depósitos que recibe del público una tasa nominal mensual del 3% con capitalización trimestral. ¿Qué monto se habrá acumulado con un capital inicial de S/. 3,000 colocado durante 6 meses? S = ? P = 3,000 n = 6 meses i = 0.03 mensual Saltar a la primera página

INTERES COMPUESTO S = ?

n S = P(1 + i)

P = 3,000

2 S = 3,000( 1 + 0.09)

n = 6 meses

S = 3,564.30

i = 0.03 mensual

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INTERES COMPUESTO VALOR PRESENTE PARA EL CASO DE UN PERIODO DE CONVERSION FRACCIONARIO Ejemplo: Hallar el valor presente de US$ 3.000 pagaderos en 8 años y 10 meses, suponiendo un rendimiento de 4% convertible trimestralmente. S= 3.000; i= 0.01;

n = 35 trim, más 1 mes - 35

-1/3

por tanto: P = 3.000(1.01) (1,01)

=

P = 3.000(0,7059114)(0,996689)= 2.110,73 Saltar a la primera página

INTERES COMPUESTO CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS n De la fórmula S= P(1 + i) , despejamos i:

i=

S P

1/n - 1

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INTERES COMPUESTO ¿A que tasa efectiva mensual un capital de S/. 1,000 se habrá convertido en un monto de S/ 1,100 si dicho capital original fue colocado a 3 meses? I = ? mensual

i = (S/P)

-1

P = 1,000 i = (1,100/1,000)

1/n

-1

1/3

S = 1,100 i = 0.0322801155 n = 3 meses

i = 3.23 % efectivo mensual Saltar a la primera página

INTERES COMPUESTO CALCULO DEL NUMERO DE PERÍODOS DE CAPITALIZACIÓN n De la fórmula S= P(1 + i) , despejamos n:

n=

Log (S/P) Log (1 + i )

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INTERES COMPUESTO El 1º de Abril, el precio de una materia prima fue de S/. 20,000 por TM. 45 días después aumentó a S/ 22,000 ¿Cuál será el precio a pagar por el nuevo stock que lo renovaremos dentro de 180 días, contados a partir del 1º de Abril, si nuestro proveedor nos manifiesta que los precios se incrementarán periódicamente (cada 45 días) en el mismo porcentaje?

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INTERES COMPUESTO Solución La tasa de crecimiento (i) del precio de la MP en 22,000 cada período de 45 días es i = - 1 = 0.1 20,000 El número de períodos (n) de 45 días que se capitalizarán en el plazo de 180 días = 4 . Conociendo P, n e i, podemos proyectar el precio de la materia prima a 180días

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INTERES COMPUESTO Solución S=? P = 20,000 n = 180/45 i = 0.1

4

S = 20,000 (1 + 0.1) S = 29, 282

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INTERES COMPUESTO Se ha suscrito un contrato de crédito por S/. 80,000 para cancelarlo dentro de 120 días, a la tasa efectiva mensual de mercado Al vencimiento del plazo, la tasa efectiva ha sufrido las siguientes variaciones: 5% durante 46 días, 4.5% durante 10 días y 4% durante 64 días. ¿Cuál es el monto a cancelar al vencimiento del crédito? Saltar a la primera página

INTERES COMPUESTO Solución n= 46/30

0

i = 0.05

n2= 10/30

46

i = 0.04

n3= 64/30

56

i = 0.04

S=? 120P=

P = 80,000

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INTERES COMPUESTO Solución S= ? P = 80,000 n = 120 S = 80,000 ( 1.05

46/30

x 1.045

10/30

64/30

x 1.04

S = 95,124 Saltar a la primera página

)

INTERES COMPUESTO El 6 de Junio la empresa Agroexport S.A. Compró en el Banco Platino un Certificado de Depósito a Plazo (CDP) a 90 días por un importe de S/. 20,000, ganando una tasa nominal anual de 24% con capitalización diaria, si el 1º de Julio del mismo año la tasa bajó al 18 nominal anual (con la misma capitalización). ¿Cuál fue el monto que recibió Agroexport S.A. Al vencimiento del plazo del CDP? Saltar a la primera página

INTERES COMPUESTO Solución i = 0.24/360 06.06

n1 = 25

i2 = 0.18/360 01.07

n2 = 65

S=? 04.09

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INTERES COMPUESTO Solución S=? P = 20,000 S = 20,000 [ (1+0.24/360)

25

65

(1+ 0.18/360) ]

S = 21,007.62 Saltar a la primera página

INTERES COMPUESTO Calcule el Valor Futuro de un Capital inicial de S/. 2,000, que genera una tasa de interés nominal anual del 24% capitalizable mensualmente, durante un trimestre.

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INTERES COMPUESTO Solución S=? 0 P = 2,000

1

2

n= 3 meses 3

S = 2,000 (1 + 0.24/12) = 2,122.42 Saltar a la primera página

INTERES COMPUESTO Solución S=? 0 P = 2,000

1

2

n= 3 meses 3

S = 2,000 (1 + 0.24/12) = 2,122.42 Saltar a la primera página

INTERES COMPUESTO Hace 4 meses se colocó en un banco un capital de 3% efectivo mensual, lo que permitió acumular un monto de S/. 2,000 ¿Cuál fue el importe del Capital original?

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INTERES COMPUESTO Solución P=?N=4 i = 0.03 S = 2,000 2,000 P=

4

1.03 P = 1,776.97 Saltar a la primera página

INTERES COMPUESTO ¿Cuánto podré disponer hoy, si me han descontado un paquete de 4 letras cuyos importes son S/. 2,000, 6,500, 8,000 y 7,500, las cuales vencen dentro de 15,30,45 y 60 días respectivamente? La tasa efectiva quincenal que cobra la entidad financiera es del 1%.

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INTERES COMPUESTO Solución El problema consiste en hallar el Valor Presente de 4 valores futuros, descontándolos cada uno aplicando una tasa efectiva quincenal del 1% durante 1, 2, 3 y 4 períodos quincenales respectivamente.

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INTERES COMPUESTO Solución

2,000 0 P=?

1

6,500 2

8,000 3

7,500 4

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INTERES COMPUESTO Solución 2

P = 2,000/1.01 + 6,500/1.01 + 8,000/1.01

3

+

4

+ 7,500/1.01 P = 23,324.20

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INTERES COMPUESTO El 24 de setiembre se efectuó un depósito al banco percibiendo una tasa efectiva mensual del 4% la cual varió el 16 de Octubre al 4.2% y al 4.5% el 11 de Noviembre. El día de hoy, 25 de Noviembre, el saldo de la cuenta es de S/. 6,500 ¿Qué importe se depositó originalmente? ¿Cuál fue la tasa de interés acumulada?

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INTERES COMPUESTO Solución Hallar el capital inicial que produjo un monto de S/.6,500 en el plazo de 42 días. En ese período de tiempo la tasa de interés efectiva mensual fue del 4% durante 22 días, 4.2% durante 26 días y 4.5% durante 14 días

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INTERES COMPUESTO Solución 22 d 24/9

i = 0.04

26 d 16/10

i = 0.042

14 d 11/11

S=? 25/11

i = 0.045

P=?

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INTERES COMPUESTO Solución P=? S = 6,500 i1 = 0.04 i2 = 0.042 i3 = 0.045

n1 = 22/30 n2 = 26/30 n3 = 14/30

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INTERES COMPUESTO Solución 6,500 P= 22/30

1.04 P=

26/30

x 1.042

6,500 1.088672888

14/30

x 1.045 =

5,970.57

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INTERES COMPUESTO Después de tres meses de haber colocado un capital de S/. 3,000 se obtuvo un monto de S/. 3,500 ¿A qué tasa de interés efectivo mensual se colocó el capital?

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INTERES COMPUESTO Solución i=? n=3 P = 3,000 S = 3,500

1/3 3,500 i=

- 1 3,000

i=

0.0527266

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INTERES COMPUESTO Calcule la tasa de rentabilidad efectiva mensual de un bono comprado en S/. 2,000 y vendido al cabo de 90 días en S/. 2,315.25

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INTERES COMPUESTO Solución i=? n = 90/30 P = 2,000 S = 2,315.25

1/3 2,315.25 i=

- 1 2,000

i=

0.05

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INTERES COMPUESTO Después de colocar un capital de S/. 1,000 a una tasa de interés efectiva del 4% mensual se ha obtenido un monto de S/. 1,500. ¿A qué tiempo se colocó el capital?

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INTERES COMPUESTO Solución: Sabiendo que S = 1,500, P = 1,000 e i = 0.04. Podemos plantear la siguiente ecuación: n

1,500= 1,000( 1 + 0.04) y despejar “n”.

log

1,500 1,000

n=

log

1.04

= 10.33803507

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INTERES COMPUESTO ¿Cuánto tiempo a partir del segundo depósito será necesario para que un depósito de /. 1,000 efectuado hoy y un depósitop de S/. 1,500 que efectuar dentro de 4 meses en un banco, ganando una tasa efectiva mensual del 4% se conviertan en S/. 4,000?

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INTERES COMPUESTO Solución 1,000 0

1,500 4 S1

S2 = 4,000 ?

n

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INTERES COMPUESTO Solución n =? S1 = 2,669.86 S2 = 4,000.00 Log i = 0.04

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INTERES COMPUESTO Solución 4 S = 1,000 (1.04) + 1,500 =2,669.86 4,000.00 Log 2,669.86 n=

= 10.30753475 Log 1.04 Saltar a la primera página

INTERES COMPUESTO Calcule el Interés que ha producido un capital de S/. 7,000 a una tasa efectiva mensual del 1% por e período comprendido entre el 3 de Abril y 6 de Junio del mismo año.

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INTERES COMPUESTO Solución I=? P = 7,000 i = 0.01 n = 64/30 I = 7,000 ( 1.01 I = 150.18

64/30

-1)

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INTERES COMPUESTO ¿Cuánto de interés se pagará por un préstamo de S/. 6,000 que devenga una tasa efectiva trimestral del 2% ? El crédito se ha utilizado durante 17 días.

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INTERES COMPUESTO Solución I=? P = 6,000 i = 0.02 n = 17/90 I = 6,000 ( 1.02 I = 22.49

17/90

-1)

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SERVICIO DE LA DEUDA 

Cronogramas de Pagos Cuotas crecientes, decrecientes  Cuotas Iguales  Periodos de Gracia 

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Cronogramas de Pagos 

¿Qué es el interés al rebatir? Es el interés que se cobra sobre los saldos deudores durante períodos de frecuencia de tiempos exactos. Cuota: Amortización + Interés

C = A+ I Amortización: Es lo único que rebaja el principal de una deuda. Interés: es el importe cobrado sobre el saldo deudor. Si el interés es igual a cero es que se ha otorgado otro préstamo. Saltar a la primera página

Interés al Rebatir Cronograma de pago: Método Amortizaciones Iguales (Tasa 10%) n Saldo 1 100,000 2 75,000 3 50,000 4 25,000

Amortización Interés Cuota 25,000 10,000 35,000 25,000 7,500 32,500 25,000 5,000 30,000 25,000 2,500 27,500 100,000 25,000 125,000 Saltar a la primera página

Interés al Rebatir Cronograma de pago: Método Pago Final n Saldo 1 100,000 2 100,000 3 100,000 4 100,000

Amortización Interés Cuota 0 10,000 10,000 0 10,000 10,000 0 10,000 10,000 100,000 10,000 110,000 100,000 40,000 140,000

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Modificaciones 1. PAGO DE UNA CUOTA MAYOR

n 1 2

Saldo 100,000 75,000

Amortización 25,000 25,000

Interés 10,000 7,500

Cuota 35,000 32,500

3

50,000

35,000

5,000

40,000

4

15,000

15,000 100,000

1,500 24,000

16,500 124,000 Saltar a la primera página

2. PAGO DE UNA CUOTA MENOR

N 1 2

Saldo 100,000 75,000

Amortización 25,000 25,000

Interés 10,000 7,500

Cuota 35,000 32,500

3

50,000

15,000

5,000

20,000

4

35,000

35,000 100,000

3,500 26,000

38,500 126,000

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3. CUANDO EL CLIENTE NO PUEDE PAGAR NADA n 1 2

Saldo 100,000 75,000

Amortización 25,000 25,000

Interés 10,000 7,500

Cuota 35,000 32,500

3

50,000

25,000

5,000

0

4

55,000

55,000 105,000

5,500 23,000

60,500 128,000

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Cuotas Iguales ANUALIDAD Serie de pagos iguales efectuados a intervalos iguales de tiempo. Ejemplos: Abonos semanales, pagos de renta mensuales, dividendos trimestrales, primas anuales de pólizas de seguros, etc Saltar a la primera página

ANUALIDADES Consideremos una anualidad ordinaria de US$ 1,000 anuales, durante 4 años, al 5%

0

1,000

1,000

1,000

1,000

1

2

3

4

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ANUALIDADES S = Monto de la anualidad. Es la suma de los montos compuestos, de los distintos pagos, c/u, acumulado hasta el término del plazo.

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ANUALIDADES Solución: Puesto que el primer pago gana intereses por 3 años, el segundo pago por 2 años, el tercero por 1 año y el cuarto coincide con el término del plazo, tenemos que: 3

2

1

S = 1,000(1.05) + 1,000(1.05) + 1,000(1.05) + 1,000 o invirtiendo e orden: 1

2

3

S = 1,000 + 1,000(1.05) + 1,000(1.05) + 1,000(1.05)

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ANUALIDADES 2

3

S = 1,000 + 1,000(1.05) + 1,000(1.05) + 1,000(1.05) 2

3

S = 1,000 [ 1 + (1.05) + (1.05) + (1.05) ] S = 1,000 [ 1 + (1.05) + 1.1025 + 1.15725] S = 1,000 (4.310125) S = 4,310.12 Saltar a la primera página

ANUALIDADES El valor presente A de una anualidad es la suma de los valores presentes de los distintos pagos, cada uno descontado al principio del plazo. Saltar a la primera página

ANUALIDADES FORMULAS DE ANUALIDADES R = El pago periódico de una anualidad. i = j/m = la tasa de interés por período de interés. n = el número de intervalos de pago o número de períodos de interés S =El monto de la anualidad A =El valor presente de la anualidad Saltar a la primera página

ANUALIDADES n

S=R*S

n i

(1 + i) - 1 = R --------------i

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ANUALIDADES n

Donde: S

(1 + i) - 1 -------------------n i i

Monto de una anualidad de 1 por intervalo de pago durante “n” intervalos.

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ANUALIDADES -n

A= R*a n

1 - ( 1 +i) = R ----------------i i

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ANUALIDADES Donde:

-n

a n

1 - ( 1 +i) = ----------------i i

Valor presente de una anualidad de 1 por intervalo de pago durante “n” intervalos

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ANUALIDADES Ejemplo: Hallar el monto y valor presente de una anualidad de US$ 150 mensuales, durante tres años seis meses al 6% convertible mensualmente. S= X R = 150 i = 6 % = 0 .06 /12 = 0.005 n = 42 Saltar a la primera página

ANUALIDADES n

S=R*S

n i

(1 + i) - 1 = R --------------i

S = R*S n i = 150 S42

= 150 (46.60654)= 6,990.98

0.005

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ANUALIDADES -n

A= R*a n

1 - ( 1 +i) = R ----------------i i

A = R*a n i= 150 S 42

= 150 (37.79830)= 5.669.74

0.005

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ANUALIDADES En los últimos 10 años, Carlos ha depositado US$ 500 al final de cada año en una cuenta de ahorros la cual paga el 3.5% efectivo. ¿Cuánto había en la cuenta inmediatamente después de haber hecho el 10º depósito? R = 500 i = 0.035 n = 10 S = R* S n i Saltar a la primera página

ANUALIDADES R = 500 i = 0.035 n = 10 S = R* S = 500 = 500(11.73139)= 5,865.70 n i 10 0.035

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ANUALIDADES El día de hoy, Miguel compra una anualidad de US$ 2,500 anuales durante 15 años, en una compañía de seguros que utiliza el 3% anual. Si el primer pago vence en un año, ¿Cuál fue el costo de la anualidad?

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ANUALIDADES R = 2,500 i = 0.03 n = 15 A = 2,500 = 2,500(11.937935)= 29,844.84 15 0.03

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ANUALIDADES La compañía de Televisión Canal XZN, tiene una oferta de una máquina con US$ 20,000 de cuota inicial y de US$ 2,500 de cuota mensual por los próximos 12 meses. Si se carga un interés de 9% convertible mensualmente, hallar el valor al ctdo equivalente C.

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ANUALIDADES La compañía de Televisión Canal XZN, tiene una oferta de una máquina con US$ 20,000 de cuota inicial y de US$ 2,500 de cuota mensual por los próximos 12 meses. Si se carga un interés de 9% convertible mensualmente, hallar el valor al ctdo equivalente C. C= 20,000 + 2,500a 12 0.0075

= 20000+2500(11.4349)=

C= 48,587 Saltar a la primera página

ANUALIDADES Eduardo depositó cada 6 meses US$ 100 en una cuenta de ahorros, la cual producía un interés del 3% convertible semestralmente. El primer depósito lo hizo cuando el hijo de Eduardo tenía 6 meses de edad y el último cuando el hijo cumplió 21 años. El dinero permaneció en la cuenta y fue entregado al hijo cuando cumplió 25 años. ¿Cuánto recibió?

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ANUALIDADES Eduardo depositó cada 6 meses US$ 100 en una cuenta de ahorros, la cual producía un interés del 3% convertible semestralmente. El primer depósito lo hizo cuando el hijo de Eduardo tenía 6 meses de edad y el último cuando el hijo cumplió 21 años. El dinero permaneció en la cuenta y fue entregado al hijo cuando cumplió 25 años. ¿Cuánto recibió? 8

X = S (1.015) =100 X

= 6,525.00

8

(1.015)=100(57.923)(1.12649) 42 0.015 Saltar a la primera página

ANUALIDADES Para liquidar una cierta deuda con intereses al 6% convertible mensualmente, José acuerda hacer pagos de US$ 50 al final de cada mes por los próximos 17 meses y un pago final de US$ 95.25 un mes después. ¿Cuál es el importe de la deuda?

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ANUALIDADES Para liquidar una cierta deuda con intereses al 6% convertible mensualmente, José acuerda hacer pagos de US$ 50 al final de cada mes por los próximos 17 meses y un pago final de US$ 95.25 un mes después. ¿Cuál es el importe de la deuda? A = 50 a

-18

17 0.005

+ 92.25(1.005) = 900

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ANUALIDADES ¿Cuál tiene que ser el importe de cada uno de los depósitos semestrales que deberán hacerse en una cuenta de ahorros que paga el 3.5% convertible semestralmente, durante 10 años para que el monto alcance la suma US$ 25,000, precisamente después del último depósito?

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ANUALIDADES ¿Cuál tiene que ser el importe de cada uno de los depósitos semestrales que deberán hacerse en una cuenta de ahorros que paga el 3.5% convertible semestralmente, durante 10 años para que el monto alcance la suma US$ 25,000, precisamente después del último depósito? 1 1 R= S ------- = 25,000 --------------- = 25,000(0.0421912) = sn i 20 0.0175 R = 1,054.78 Saltar a la primera página

ANUALIDADES Tres meses antes de ingresar al colegio un estudiante recibe US$ 10,000.00, los cuales son invertidos al 4% convertible trimestralmente. ¿Cuál es el importe de cada uno de los retiros trimestrales que podrá hacer durante cuatro años, iniciando el primero, transcurridos tres meses? A =10,000; i = 0.01 ; n = 16 1 1 R = A --------- = 10,000 ----------- = 10,000(0.0579446 + 0.01) an i

R =

16 0.01

10,000(0.0679446) = 679.45 Saltar a la primera página

ANUALIDADES Tres meses antes de ingresar al colegio un estudiante recibe US$ 10,000.00, los cuales son invertidos al 4% convertible trimestralmente. ¿Cuál es el importe de cada uno de los retiros trimestrales que podrá hacer durante cuatro años, iniciando el primero, transcurridos tres meses? A =10,000; i = 0.01 ; n = 16

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ANUALIDADES Tres meses antes de ingresar al colegio un estudiante recibe US$ 10,000.00, los cuales son invertidos al 4% anual convertible trimestralmente. ¿Cuál es el importe de cada uno de los retiros trimestrales que podrá hacer durante cuatro años, iniciando el primero, transcurridos tres meses? A =10,000; i = 0.01 ; n = 16 1 1 R = A --------- = 10,000 ----------- = 10,000(0.0579446 + 0.01) an i

R =

16 0.01

10,000(0.0679446) = 679.45

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CRONOGRAMAS DE PAGOS Una deuda de US$ 5,000 con intereses al 5% anual convertible semestralmente se va a amortizar mediante pagos semestrales iguales “R” en los próximos 3 años, el primero con vencimiento al término de 6 meses. Hallar el pago.

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CRONOGRAMA DE PAGOS Una deuda de US$ 5,000 con intereses al 5% convertible semestralmente se va a amortizar mediante pagos semestrales iguales “R” en los próximos 3 años, el primero con vencimiento al término de 6 meses. Hallar el pago. 1 R = 5,000 y R= 5000---------- = 907.75 a

6 0.025

6 0.025

a

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TABLA DE AMORTIZACION Período Capital Insoluto 1 5,000.00 2 4,217.25 3 3,414.93 4 2,592.55 5 1,749.61 6 885.60

Interés Vencido 125.00 105.43 85.37 64.81 43.74 22.14 446.49

Pago Capital pagado 907.75 782.75 907.75 802.32 907.75 822.38 907.75 842.94 907.75 864.01 907.75 885.61 5,446.50 5,000.01 Saltar a la primera página

CRONOGRAMA DE PAGOS Hallar el Capital insoluto justamente después del 4º pago y comparar con la cifra de la tabla del Ejemplo anterior.

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CRONOGRAMA DE PAGOS Hallar el Capital insoluto justamente después del 4º pago y comparar con la cifra de la tabla del Ejemplo anterior. El Capital insoluto “ P “ justamente después del 4º pago, es el Valor Presente de los 6 - 4 = 2 pagos que aún faltan por hacerse. P = 907.75 a

= 1,749.62 2 0.025 Saltar a la primera página

CRONOGRAMA DE PAGOS Un empresario pide un préstamo de US$ 20,000 para renovar su planta de producción. Acuerda amortizar su deuda, capital e intereses al 4.5% mediante pagos anuales iguales por 8 años, el primero con vencimiento en un año. Hallar: a) El costo anual de la deuda b) El capital insoluto después del 6º pago c) ¿En cuanto se reduce la deuda con el 4º pago? Saltar a la primera página

a) El pago anual es: 1 R= 20,000----------- = 3,032.19 a

8 0.045

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b) El capital insoluto después de 6º pago es: 1 3,032.19----------- = 5,678.28 a

2 0.045

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c) En cuánto reduce la deuda el 4º pago? El capital insoluto después de 3er pago es: 1 3,032.19----------- = 13,311.24 5 0.045

a

El interés vencido cuando sea hecho el 4º pago es: 13,311.24 (0.045)= 599.01. En consecuencia el 4º pago reduce la deuda de US$ 3,032.19 - US$ 599.01= US$ 2,433.18 Saltar a la primera página

PROGRAMA DE PAGOS CON PERIODO DE GRACIA

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124

Es el periodo que transcurre entre que se efectúa el préstamo y que se empiezan a efectuar los pagos de las amortizaciones y el interés. Durante el periodo de gracia no se efectúan pagos del principal (amortización). Se tienen dos modalidades de préstamo con periodos de gracia: Periodo de gracia muerto: Es aquel en donde no se efectúa ninguna clase de pagos, ni del principal ni de intereses. No obstante, los intereses se van acumulando a la deuda, es decir, se capitalización durante todo el periodo de gracia. Periodo de gracia con cuota reducida. Se pagan solo intereses durante dicho periodo sin efectuar pagos del principal (amortización), por tanto la deuda permanece constante

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125

Solicita un préstamo al banco por un valor de $10,000. El Banco del Norte le ha ofrecido prestarle el monto bajo las siguientes condiciones: TEA de 12% pagadero en 12 meses en cuotas uniformes con un periodo de gracia de 5 meses. Los 12 meses se cuentan a partir del inicio del pago.

A.

B.

Desarrollar el cronograma de pago de la deuda, con Periodo de Gracia Muerto y con Cuota reducida A cuanto ascendería la cuota que pagaría.

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126

Paso 1: Datos TEA : 12% i mes : 0.95% Plazo gracia: 5 meses n : 12 meses P : 10,000 C : ¿?

Paso 2: Cálculo Cuota

Paso 3: Cronograma

Los intereses se capitalizan hasta el periodo 5

Se

elabora el cuadro de programación de deuda.

P5 = 10,000*(1+0.95%)5 P5 = 10,483.52 C

= Pago(0.95%, 10,483.52 )

C = 928.44

12,

-

Intereses que se capitalizan

Periodo de gracia muerto Monto capitalizado

Periodo de pago de la deuda

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127

Paso 1: Datos TEA : 12% i mes : 0.95% Plazo gracia: 5 meses n : 12 meses P : 10,000 C : ¿?

Paso 2: Cálculo Cuota Los intereses se capitalizan hasta el periodo 5

Paso 3: Cronograma Se

elabora el cuadro de programación de deuda.

P5 = 10,000 C = Pago(0.95%, 12, - 10,000) C = 885.62 Intereses que se cancelan

Periodo de gracia con cuota reducida

Monto sin capitalizado

Periodo de pago de la deuda

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128